ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ

Предмет и цель книги

Системы, в которых наблюдается движение совокупности небольших частиц относительно жидкости, в которой они находятся, встречаются в широком круге явлений, представляющих интерес как для ученых, так и для инженеров. Эти явления, вообще говоря, можно разбить на несколько классов. Частицы могут перемещаться сквозь жидкость совместно, в общей массе, как это происходит при осаждении. Напротив, частицы могут оставаться более или менее неподвижными, как в плотноупакованном слое. Относительные движения частиц и жидкости могут быть более сложными, как в псевдоожиженных системах. Наконец, явление вязкости суспензии, или сопротивления сдвигу, обнаруживается при движении твердых частиц относительно друг друга, когда течение несущей жидкости является сдвиговым. В природе и технике встречается много процессов, связанных с такими типами движения. Основная цель данной книги и состоит в том, чтобы добиться понимания поведения систем, содержащих частицы, причем исходным пунктом будет динамика одиночных частиц.

На первый взгляд может показаться, что все основные проблемы и важнейшие приложения уже давным-давно рассмотрены. В самом деле, для современной науки модными проблемами являются исследование поведения чрезвычайно малых объектов при помощи циклотронов, либо же изучение объектов гораздо большего размера при помощи радиотелескопов. Однако лишь недавно мы всерьез приступили к разработке основных принципов медленного течения вязкой жидкости. Прежде чем перейти к другим интересным вопросам, хотелось бы дать представление о диапазоне размеров тех объектов, которыми нам предстоит заниматься.

Термин частица — довольно расплывчатый, но мы для удобства будем считать, что в эту категорию попадает любой твердый предмет диаметром менее 10 см. Частицы могут иметь размеры начиная от этого значения и вплоть до размеров молекул. При этом нижний предел размеров частиц, которые нас здесь интересуют, будет таким, при котором окружающую наши частицы жидкость еще можно считать сплошной средой. Этот предел зависит от типа рассматриваемой системы; материал, охваченный данной

книгой, включает в себя интересные результаты, полученные для частиц размером вплоть до 10"7 см (10 А). Этот диапазон размеров можно представить себе, заметив, что диаметр Земли составляет приблизительно 12-108 см (8000 миль). Таким образом, земной шар примерно во столько же раз больше самой большой частицы, которую мы будем рассматривать, во сколько раз эта частица в свою очередь больше самых крупных молекул органических веществ. Рис. 1.1.1 дает представление о разных типах материалов, встречающихся на практике (шкала дана в логарифмическом масштабе).

- Для построения разумных математических моделей течения систем с частицами необходимо прибегнуть к ряду упрощающих предположений. В этой книге принимается, что поток является ламинарным и, кроме того, достаточно «медленным», чтобы при решении уравнений, описывающих движение жидкости относи-

Диаметр, см„

•g |-*— Земной тар

Ю8—

Ю7 —

ю6—

ю5 --

, ю4--

|3|3ю? —ю? —

|3

|3

ю? —

ю? —

ю2—

1010Бейсбольный мячБейсбольный мяч10° —10° —ЗерноЗерно1 о-1 - катализатора1 о-1 - катализатораПредел видимостиПредел видимостиЮ"2—Ю"2—1 мк1 мк1СГ3-*1СГ4—1СГ3-*1СГ4—- ПесчинкаКатализатор -крекинг -процесса -Капельки воды в облаке- ПесчинкаКатализатор -крекинг -процесса -Капельки воды в облакеПросеи- ■ ваемые частицыПросеи- ■ ваемые частицы10"510"5Красящий пигмент ■ Частицы табачного дымаКрасящий пигмент ■ Частицы табачного дымаМикро с ко - пические частицыМикро с ко - пические частицыДиапазон> размеров„ частицДиапазон> размеров„ частицjq-6 _ ^t— Вирусы растенийjq-6 _ ^t— Вирусы растений10'10'1А — Ю"81А — Ю"8Молекулы• органических соединении•Атом водородаМолекулы• органических соединении•Атом водородаКоллоидные 'частицыКоллоидные 'частицы

10

10

Бейсбольный мяч

Бейсбольный мяч

10° —

10° —

Зерно

Зерно

1 о-1 - катализатора

1 о-1 - катализатора

Предел видимости

Предел видимости

Ю"2—

Ю"2—

1 мк

1 мк

1СГ3-*

1СГ4—

1СГ3-*

1СГ4—

- Песчинка

Катализатор -крекинг -процесса -Капельки воды в облаке

- Песчинка

Катализатор -крекинг -процесса -Капельки воды в облаке

Просеи- ■ ваемые частицы

Просеи- ■ ваемые частицы

10"5

10"5

Красящий пигмент ■ Частицы табачного дыма

Красящий пигмент ■ Частицы табачного дыма

Микро с ко - пические частицы

Микро с ко - пические частицы

Диапазон> размеров„ частиц

Диапазон> размеров„ частиц

jq-6 _ ^t— Вирусы растений

jq-6 _ ^t— Вирусы растений

10'

10'

1А — Ю"8

1А — Ю"8

Молекулы

• органических соединении

•Атом водорода

Молекулы

• органических соединении

•Атом водорода

Коллоидные 'частицы

Коллоидные 'частицы

10"9j-

Рис. 1.1.1. Шкала размеров различных объектов.

только частиц, можно было не учитывать инерционные эффекты. Это упрощение вполне оправдано, поскольку во многих дисперсных системах скорости жидкости и в самом деле достаточно малы. Часто рассматриваемые системы состоят из очень мелких частиц, и даже в том случае, когда скорость частиц относительно стенок сосуда велика, они движутся медленно по отношению к обтекающей их жидкости или по отношению друг к другу. Мы будем рассматривать системы, которые проявляют «сильно вязкое» поведение (термин, придуманный Шапиро [40]). Такие системы описываются так называемыми уравнениями ползущего (creeping) течения, или уравнениями Стокса.

Безразмерный критерий, определяющий относительное значение вязких и инерционных эффектов, называется числом Рейнольдса:

Чисчо Рейно41 1 саПлотность жидкости X Скорость X Размерисл о синольдсаВязкость*

Ситуации, в которых число Рейнольдса мало, называются медленными вязкими течениями, потому что силы вязкости, возникающие при сдвиговом движении жидкости, значительно больше сил инерции, связанных с ускорением или торможением частиц жидкости. Однако число Рейнольдса может быть малым не только за счет малой скорости. Так, при полете тел в разреженной атмосфере па большой высоте над поверхностью Земли имеет место ситуация, аналогичная движению в очень вязкой жидкости, хотя вязкость разреженного воздуха очень мала. Дело в том, что его плотность соответственно очень мала. Разумеется, в этом случае размеры тела должны быть велики по сравнению со средней длиной свободного пробега молекул воздуха; в противном случае перестает быть справедливой гипотеза сплошности среды. Медленное оседание достаточно малой пылинки или капельки тумана в обычной атмосфере может служить моделью сильно вязкого течения в большей степени, нежели падение стального шара в патоке. Во многих практических ситуациях, связанных с седиментацией и псевдоожижением, число Рейнольдса(по дочитанное по диаметру частицы) не превышает пяти. Стало быть, эти процессы можно описывать, используя уравнения ползущего течения.

Неприятности часто возникают из-за сложности геометрии ансамбля частиц произвольной формы. И хотя основные дифференциальные уравнения движения вполне поддаются интерпретации, тем не менее получить точные и даже приближенные решения необычайно трудно, если не считать самых простых случаев. Граничные задачи для систем со многими частицами решают главным образом двумя методами, а именно методом отражений и методом единичной ячейки.

В методе отражений граничным условиям удовлетворяют последовательно на каждой граничной поверхности, в том числе на стенках сосуда, содержащего суспензию, если система жидкость — частицы ограничена в пространстве. Для достаточно разреженных систем — когда число частиц в единице объема мало — возможна быстрая сходимость метода. Таким образом, этот подход особенно годится для определения взаимодействия нескольких частиц между собой или одиночных частиц с ограничивающими стенками.

С другой стороны, способ единичной ячейки основан па идееу что систему можно разбить на ряд одинаковых ячеек, причем в каждой ячейке находится ровно одна частица (как правило, сферическая). Тем самым, краевая задача сводится к рассмотрению одиночной частицы и окружающей ее жидкой оболочки. Этот прием, строго говоря, применим лишь к периодической совокупности частиц. Его можно, впрочем, применять в некотором статистическом смысле и к хаотической совокупности частиц. Ячеечная модель лучше всего подходит для описания концентрированных систем, когда влиянием ограничивающих стенок можно пренебречь.

Ячеечную модель можно привлечь для схематического объяснения (в сильно идеализированной форме) структуры упомянутых выше основных типов течения. Разные исследователи пользовались разными формами ячеек, однако наибольшие удобства связаны с предположением о сферичности как частиц, так и окружающих их фиктивных жидких оболочек. С математической точки зрения сферическая поверхность удобна тем, что она может быть описана при помощи одного параметра; она представляет и большой практический интерес, поскольку форма многих частиц близка к сферической. Для иллюстрации мы кратко рассмотрим те структуры потока, которые отвечают модели сферической ячейки, концентрической с частицей.

На рис. 1.1.2—1.1.4 схематически изображена сферическая ячеечная модель «со свободной поверхностью» [23] применительно к явлениям осаждения, течения в пористой среде и вязкости суспензии. При седиментации группа частиц под действием силы тяжести оседает в жидкости с одной и той же скоростью. Наше внимание при этом сосредоточено па одной частице, которая окружена жидкой оболочкой, изображенной на рисунке пунктирной линией. Радиус этой жидкой оболочки определяется из условия, что внутри ячейки объемная концентрация твердой фазы должьш быть такой же, как и во всей системе. Конечно, такие воображаемые оболочки, или ячейки, окружающие каждую частицу, в реальной системе будут искажены, будет происходить «утечка» жидкости из одной ячейки в другую, однако предполагается, что в среднем можно пользоваться сферической ячейкой ввиду хаотичности расположения частиц. Тогда все возмущение, вносимое в поток каждой частицей, локализовано в пределах объема жидкости, непосред-

Рис. 1.1.2. Осаждение. Твердая сфера, находящаяся в центре окружающей ее жидкой оболочки, движется вниз.Рис. 1.1.2. Осаждение. Твердая сфера, находящаяся в центре окружающей ее жидкой оболочки, движется вниз.

Рис. 1.1.2. Осаждение. Твердая сфера, находящаяся в центре окружающей ее жидкой оболочки, движется вниз.

Рис. 1.1.2. Осаждение. Твердая сфера, находящаяся в центре окружающей ее жидкой оболочки, движется вниз.

ственно связанного с частицей. На внешней поверхности ячейки (пунктирная линия) отсутствует трение (т. е. касательные напряжения равны нулю), так что ничто не мешает жидкости протекать по этой поверхности, как если бы ячейка представляла собой свободно висящую в атмосфере дождевую каплю. На рисунке схематически показана мгновенная картина линий тока жидкости внутри ячейки, из которой видно, что течение жидкости имеет циркуляционный характер. Скорость жидкости на поверхности ячейки такова, что при сближении двух ячеек, принадлежащих разным частицам, скорости жидкости в точке соприкосновения оказываются одинаковыми для обеих сфер как по величине, так и по направлению. Итак, считается, что трение между жидкими оболочками соседних частиц отсутствует.

По профилю скорости, изображенному на рис. 1.1.2, можно найти силу сопротивления, действующую со стороны жидкости на частицу, находящуюся в ячейке. При сближении частиц толщина оболочки, окружающей каждую из частиц, будет уменьшаться, и сопротивление движению частиц возрастет. Для процесса осаждения это означает, что с увеличением концентрации частиц ячейки и находящиеся в них частицы будут оседать медленнее, чем в системе достаточно малой концентрации, когда частицы не оказывают влияния друг на друга.

Во сколько раз уменьшается скорость осаждения частиц в системе с заданной пористостью, ровно во столько же раз возрастает сопротивление потоку жидкости через псевдоожиженный или плотноупаковаппый слой той же пористости. На рис. 1.1.3 показана идеализированная картина распределения скоростей жидкости при течении через неподвижную ячейку. Знание этого поля скоростей дает возможность довольно точно оценить перепад давления при течении жидкости через плотный слой частиц.

Па рис. 1.1.4 изображена структура течения, возникающего, когда поток с постоянным градиентом скорости искажается присутствием частиц. Знание этой картины течения позволяет подсчитать диссипируемую за счет трения энергию жидкости в ячейке, окружающей частицу. Сферическая частица, увлекаемая сдвиго-

2*

вым потоком, станет вращаться, как показано па рисунке. Скорость диссипации энергии в ячейке, содержащей частицу, можно сравнить с соответствующей величиной для невозмущенного потока жидкости в сдвиговом поле с таким же градиентом скорости, но в отсутствие частицы. В результате такого сопоставления можно получить падежную оценку относительной величины вязкости суспензии частиц при довольно высоких концентрациях.

Надо подчеркнуть, что, хотя ячеечные модели описанного типа дают, по-видимому, удовлетворительное приближение к осреднен- ной картине течения вблизи частиц в реальной физической системе, нельзя рассчитывать на то, что они хорошо описывают ситуацию вблизи воображаемых границ ячеек. В связи с этим в рамках таких моделей нельзя описать такие явления, как конвективный перенос жидкости из одной ячейки в другие. В таких случаях более удовлетворительные результаты получаются, если воспользоваться приближенным решением соответствующей граничной задачи методами типа метода отражений.

Во многих случаях для фактической реализации исследования приходится делать дополнительные упрощающие предположения, помимо существенных упрощений, связанных с линеаризацией

Однородное течение

Сдвиговое триениеСдвиговое триениеРис. 1.1.4. Вязкость. Твердая сфера вращается. На жидкую оболочку набегает сдвиговый поток.Рис. 1.1.4. Вязкость. Твердая сфера вращается. На жидкую оболочку набегает сдвиговый поток.Рис. 1.1.3. Фильтрация. Твердая сфера покоится. Невозмущенный ноток, набегающий на жидкую оболочку, однороден.

Сдвиговое триение

Сдвиговое триение

Рис. 1.1.4. Вязкость. Твердая сфера вращается. На жидкую оболочку набегает сдвиговый поток.

Рис. 1.1.4. Вязкость. Твердая сфера вращается. На жидкую оболочку набегает сдвиговый поток.

уравнений движения и с упрощением геометрической картины. Эти дополнительные упрощения включают в себя предположение об одинаковости размеров частиц, пренебрежение броуновским движением частиц и, если не считать сил тяжести, предположение об отсутствии посторонних сил, таких, как электростатические или поверхностные силы. Хорошее сог.часие теоретических результатов с имеющимися экспериментами обычно имеет место как раз в тех ситуациях, когда эти допущения справедливы.

Эта книга начинается с обсуждения основных уравнений движения и пределов их применимости. Далее рассматривается поведение одиночных частиц. Затем изучается гидродинамическое взаимодействие отдельных частиц друг с другом, а также взаимодействие частиц со стенками. Наконец, чтобы исследовать поведение систем частиц, рассматривается комбинация указанных эффектов. Основные принципы представляются нам четко очерченными. Они направлены на то, чтобы продемонстрировать универсальность уравнений ползущего течения в задачах, где влияние вязкости на движение частиц является определяющим.

Изложение в последующих главах в значительной мере носит математический характер. Экспериментальные данные анализируются главным образом для того, чтобы убедиться, что найденными решениями можно пользоваться в реальных физических ситуациях. Однако во всех рассмотренных случаях делается упор на гидродинамические аспекты явления.

Предполагается, что читатель знаком с основами векторного исчисления. В меньшей степени требуется также знание некоторых фактов тензорного и полиадического анализа. Те, кто не знаком с этими и другими вопросами инженерной математики, должны обратиться к стандартным руководствам. У Берда, Стюарта и Лайтфута [5] имеется хорошее введение в теорию явлений переноса. Краткое изложение понятий векторного и полиадического исчисления, необходимых для изучения теории диффузии, гидродинамики и смежных вопросов, содержится в справочнике Дрю [13]. Особого упоминания заслуживает руководство Гиббса г) по векторному и полиадическому анализу. Арис [1] написал полезный учебник, в котором особое внимание уделено приложениям векторов и тензоров к проблемам гидромеханики.

В конце данной книги, в приложении А. сведены в таблицу полезные сведения о некоторых важнейших криволинейных системах координат. В приложении Б в сжатом виде собраны векторные и тензорные обозначения, используемые в книге.

В гл. 2 содержатся ссылки на ряд руководств по общей гидродинамике. Ближе всего к нашему изложению по своей направлен-

Э Gibbs J. W., Wilson Е. В., Vector analysis, Dover reprint, New York, Dover, 1960.

пости стоит первый раздел классического курса Озеена [351, в котором, помимо прочего, рассмотрено и медленное движение частиц при наличии ограничивающих стенок 1).

Что касается течения жидкости через систему частиц, то многочисленные ссылки по этому вопросу можно найти в гл. 8. В монографии Шейдеггера [41] по физике течения жидкостей через пористые среды приводится хороший обзор как английских, так и иностранных научных статей и учебников, охватывающих фундаментальные вопросы и, в частности, системы, в которых нет рассеяния диспергированной фазы.

Остальное содержание настоящей главы посвящено вопросам общего характера, а именно краткому историческому обзору развития предмета и описанию в общих чертах различных его приложений в науке и технике, стимулирующих дальнейшие исследования в этой области.

Исторический обзор

Общая история экспериментальной гидравлики и теоретической гидродинамики интересно изложена у Рауза и Айпса [39]. В книгах Бассэ [4] и Драйдена, Мурнагапа и Бейтмена [14] тоже есть многочисленные ссылки на ранние исследования, особенно по ламинарным потокам. Хотя практическая гидравлика уходит корнями в глубокое прошлое, научное исследование течения жидкости в дисперсных средах началось всего лишь сто лет назад. Мы не собираемся здесь перечислять имена или упоминать работы всех, кто внес вклад в эту область механики, а хотели бы обратить внимание читателя на тех ученых и инженеров, имена которых чаще всего связываются с изучением обтекания частиц и течением жидкости в пористых средах.

Так, мы не будем, входить в подробности работ таких классиков, как Навье (1785—1836 гг.),которому вместе со Стоксом принадлежит заслуга формулировки уравнений движения, используемых в гидро-

9 Укажем другие книги, целиком (или почти целиком) посвященные течениям при малых числах Рейнольдса: Villat Н., Lemons sur les fluides visquex, Paris, Gauthier-Villars, 1943; Langlois W. E., Slow viscous flow. New York, Macmillan, 1964; Ладыженская О. Л., Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. Физматгиз, М., 1961. В дополнение к названным книгам назовем отдельные главы из других книг, содержащие подробное изложение различных аспектов течений при малых числах Рейнольдса: Chang I-Dee в книге «Handbook of engineering mechanics», Flugge W., ed., New York, McGraw-Hill, 1962; Illingworth C. R., в книге «Laminary boundary layers», Rosenhead L., ed., London, Oxford, 1963; Berker RA в книге «Encyclopedia of physics: Fluid dynamics II», Flugge S., Truesdell C., eds., vol. 82, Berlin, Springer-Verlag, 1963; Lagerstrom P. А. в книге «Theory of laminar flows». Moore F. K.. ed., Princeton,N. J., Princeton University Press, 1964; Brenner H. в книге'«Advances in chemical engineering», vol. 6,Drew T. B., Hoopes J. W., Jr., Vermeulen T., eds., New York, Academic Press, 1966.

динамике; как Пуазейль (1799—1869 гг.), тщательные эксперименты которого привели к установлению закона ламинарного течения, носящего его имя; как лорд Рэлей (1842—1919 гг.), занимавшийся многими вопросами гидродинамики, в том числе диссипацией энергии; как Буссинеск (1842—1929 гг.), выполнивший исчерпывающее математическое исследование ламинарного течения в трубах и каналах. На соответствующие исследования старых авторов, не упомянутые здесь, даны ссылки в других главах книги.

Течение жидкости в пористой среде впервые завладело умами нескольких инженеров знаменитого Ведомства путей сообщения во второй половине девятнадцатого века. Анри Дарси (1803— 1858 гг.), уроженец Дижона, получив образование в Париже, вернулся в свой родной город, где был назначен руководителем общественных работ. На этом посту его основным достижением •была разработка и сооружение городской системы водоснабжения. Система эта не только великолепно функционировала, но и дала Дарси материал для целого ряда исследований по фильтрации воды через песочные фильтры. В 1856 г. он опубликовал результаты этих исследований, а также много других сведений, касающихся усовершенствования систем водоснабжения 112] (рис. 1.2.1).

Открытый Дарси закон пропорциональности расхода жидкости через слой мелких частиц перепаду давления носит его имя. Этим законом широко пользуются при исследовании всех видов течения воды через пористые среды: притока к грунтовым колодцам, течения воды в почве при ее орошении, фильтрации через основания плотин и т. д. Кроме того, оказалось, что движение нефти в подземных пластах следует закону Дарси, и в настоящее время в нефтяной промышленности на каждом шагу пользуются единицей проницаемости, получившей наименование дарси. Экспериментальному определению проницаемости по Дарси для различных пористых сред посвящены буквально сотни работ. Вскоре после опубликования трактата Дарси его здоровье сильно пошатнулось, и он умер в 1858 году в процессе работы над одним проектом, связанным с движением воды в открытых руслах. Эту работу впоследствии завершил его способный ученик и коллега Базен.

Другой сотрудник упомянутого ведомства, Арсен Дюпюи, продолжил исследования Дарси по течениям через пористые среды и опубликовал свои исследования во втором издании книги [15], посвященной вопросам транспортировки и распределения воды. В это издание Дюпюи впервые внес замечания о способности потока переносить взвешенные наносы. Теорию движения речных наносов продолжали развивать другие последователи Дарси в Ведомстве путей сообщения.

Геометрия укладки шаров была впервые изучена в 1899 г. Слихтером 142], занимавшимся вопросами движения грунтовых вод. К анализу различных способов укладки шаров его привело

LES

FONTAINES PUBLIOUES

UE LA VILLE DE DIJON

EXPOSITION ET APPLICAT’ON

DES PRINCIPES A SUIVRE ET DES FORMULES A EMPLOYER

DANS LES QUESTIONS

DISTRIBUTION D’EAU

мши tiuiH

PAR IN APPENDICE RELATIF AUX FOURNITCRES D EAU DE PLISIEURS VILLES

AU FILTRAGE DES EAUX

* LA FABRICATION DES TUTAUX DE FONTE, DE PLOMB. DE TOLE ET DE BITUNE

HENRY DARCY

INEPECTEUR GENERAL DES PONTS ET CHAUSSEES.

La bonne qualite des <aui etael une des .-hows qul eontribuenl Ie plus a la aante des citoyens d une ville, il n у a non a quo! les maqis- trats aieol plus d mletet qu A enlrelenir la salukrite deealkt qui tervenl a la bouton cvmmune des homantt et dal animaus el A lercedier aei actideots par letquelc tea eaei pourtaieat duealttreea soil dans Ie lit det loolaicea det nvidret. des rntswaui on «lies eoulent, soil daos les lieui ou tont centcrvdes celles qu on eo dHive soil entin dans les pu tt d cu na stent det aoutret

Di Jituitv /7n( de I Arademit repo « in Kitncrr. <1)3, p 311

PARIS

VICTOR DALMONT, EDITEUR,

Succrsseur de Cirihan-liffurj et Vй Daimon!,LIBRAIRE DES CORPS IMPERIAUI DES PONTS ET CHaUSSEES ET DES MINES,* Quai des Augustins, 49.

1856

Рис. 1.2.1. Обложка книги Дарси.

стремление свести гидравлику сложного грунта к течению в идеализированной системе. Ему принадлежит также первая попытка получения значения пористости для слоя одинаковых шариков. Для этого Слихтер ввел упрощающее предположение, что осред- ненное поперечное сечение потока имеет вид треугольника. Применяя модифицированную формулу Пуазейля для течения в трубе треугольного поперечного сечения, он пришел к соответствующему уравнению для проницаемости. Основная формула Слихтера оказалась неверной из-за того, что его обобщенная модель была чересчур упрощенной. Тем не менее его подход послужил отправной точкой для многих дальнейших исследований.

Одной из самых плодотворных идей было привлечение американским инженером-химиком Блейком (1922 г.) эмпирического понятия гидравлического радиуса [б|, что привело к уравнениям для проницаемости точно такого же типа, как и те, что сейчас применяются для расчета сопротивления потоку в пористых средах. Еще до этого было установлено, что сопротивление течению в различных трубопроводах некругового сечения можно сопоставить с сопротивлением потоку в круглой трубе, если воспользоваться понятием гидравлического радиуса, характеризующего соответствующие поперечные сечения. Эта величина определяется следующим соотношением:

Гидравлический радиус=

Площадь поперечного сечения, перпендикулярного потоку

Смоченный периметр’

или, в эквивалентной форме, „Объем, заполненный жидкостью

идравлическии радиус = —.

rr J Площадь смоченной поверхности

Блейк был, по-видимому, первым, кто понял, что пористую среду можно рассматривать как единую трубу чрезвычайно сложного поперечного сечения и что для получения гидравлического радиуса нужно объем порового пространства разделить на площадь смоченной поверхности зерен. В 1927 г. Козепи [26] развил этот подход дальше, а в 1937 г. Карман [8] внес в эту теорию ряд усовершенствований, в результате чего получил полуэмпирическое уравнение, которым в настоящее время широко пользуются при описании течений в пористых средах (см. уравнение (8.5.К))).

В тот же период, когда проводились первые экспериментальные исследования течений в пористых средах, ученые стали уделять внимание и теоретическим аспектам динамики дисперсных систем. Первое решение задачи о сопротивлении движению твердого тела в вязкой жидкости опубликовал сэр Джордж Стокс(1819—1903 гг.). Он родился в Скрине (Ирландия) и получил образование в Кембриджском университете. Впоследствии он стал там профессором

и оставался в Кембридже до конца своих диен. Ему принадлежит ряд важных результатов в теоретической физике. Сначала его интересы лежали в области гидродинамики, которая тогда находилась в стороне от основного русла исследований.

Первые работы Стокса, относящиеся главным образом к теоретической гидродинамике, выходили в «Философских трудах» Кембриджского университета. Для нас наиболее интересна его работа, в которой он линеаризовал общие уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости и получил уравнения нестационарного ползущего течения. Эти уравнения он применил к расчету затухания колебаний маятника со сферическим грузом под действием сил сопротивления воздуха (1851 г.) [47]. Когда частота колебаний маятника приближается к пулю, он движется относительно воздуха с практически постоянной скоростью. Стокс развил в этой работе теорию сопротивления, испытываемого падающим телом сферической формы. Полученное им соотношение носит название формулы Стокса [формула (2.6.3)]. Оказалось, что эта формула применима и к случаю осаждения всевозможных мелких частиц, скорость которых невелика. В математическом отношении предложенный Стоксом вывод этой формулы отличается элегантностью и приводится во многих учебниках гидродинамики. Он относится к таким случаям, когда частицы находятся достаточно далеко друг от друга, так что на движение каждой из них не влияет движение соседних частиц. Прожив долгую жизнь (он умер в возрасте 84 лет), Стокс прославил кембриджскую школу математической физики многими другими серьезными достижениями.

Классический трактат Ламба по гидродинамике [30] вышел в свет в 1879 г. и с тех пор выдержал шесть изданий. В нем содержится много исторической и технической информации, касающейся разработки методов решения уравнений ползущего течения, хотя книга в основном посвящена потенциальным течениям. Особого упоминания заслуживает также и решение Обербеком (1876 г.) [34] задачи о стационарном поступательном движении эллипсоида в направлении его главной оси в вязкой жидкости.

Позднее были рассмотрены некоторые задачи, связанные с влиянием стесненности обтекания на поведение одиночной частицы. Следуя методу, разработанному Стоксом в 1845 г. [46], Лоренц в 1896 г. [31] рассчитал движение сферы при наличии плоской стенки. Его метод основан на предположении, что исходное движение жидкости, вызванное рассматриваемым телом, «отражается» от стенки в направлении тела. Позднее Ладенбург (1907 г.) [29] воспользовался тем же методом для исследования влияния цилиндрической трубы на движение сферы вдоль оси трубы.

Этот же метод применял польский математик Смолуховский (1911 г.) [43] при анализе эффектов гидродинамического взаимодействия двух сфер, движущихся в вязкой жидкости. Вскоре

он снова воспользовался «методом отражений» для исследования процесса осаждения ансамбля сфер (1912 г.) [44]. Каннингам [10] рассмотрел в 1910 г. при помощи ячеечной модели задачу об осаждении облака частиц в замкнутом сосуде. Его расчет уменьшения предельной скорости осаждения за счет взаимодействия частиц основан на упрощающей гипотезе, что каждая частица в среднем движется так, как будто она заключена в твердую сферическую оболочку, радиус которой равен половине расстояния от частицы до се ближайших соседей.

Эти основные методы часто применяются до сих пор. Метод отражений излагается в гл. 6 и 7; различные ячеечные модели для процесса седиментации рассмотрены в разд. 8.4.

В книге шведского физика Карла Озеена (1927 г.) [35] обсуждаются многие ранние исследования по гидродинамике при малых числах Рейнольдса, из которых особый интерес представляют работы его сотрудника Хильдинга Факсена. Более поздние исследования Факсена упоминаются в разных главах настоящей книги. Работы Факсена сыграли выдающуюся роль в развитии теории дисперсных систем.

Задача отыскания возмущений, вызванных присутствием взвешенной частицы в потоке с постоянным градиентом скорости, была рассмотрена несколько позже соответствующей задачи для однородного потока. Интересно, что впервые опа была решена в докторской диссертации Альберта Эйнштейна (1879—1955 гг.). Эйнштейн родился в Германии, по изучал физику в Политехническом институте в Цюрихе. После получения степени доктора в 1905 г. оп принял швейцарское подданство. Среди прочих вопросов в его диссертации был рассмотрен новый метод определения размеров молекул химических веществ. Для этой цели он разработал теорию сопротивления сдвигу суспензии маленьких сферических частиц, взвешенных в непрерывной жидкой среде. Такая суспензия служила ему моделью больших молекул, находящихся в растворе. Оп показал теоретически, что наблюдаемое увеличение вязкости жидкости, несущей частицы, можно связать с объемной концентрацией твердых частиц (или молекул растворенного вещества) при помощи простого коэффициента пропорциональности <1906, 1911 гг.) [16].

С тех пор формула Эйнштейна для вязкости суспензий служит основой почти всех теорий поведения суспензий в сдвиговых потоках. (В разд. 9.6 обсуждаются результаты Эйнштейна по определению размера молекулы сахара.) Как и формула Стокса, формула Эйнштейна годится для случая, когда взвешенные частицы в среднем расположены достаточно далеко друг от друга, так что на их движение не оказывает влияния взаимодействие возмущений, вносимых отдельными частицами. Как известно, интересы Эйнштейна вскоре переключились на теорию относительности и кван-

товую теорию. Последние годы жизни он провел в Соединенных Штатах, гражданином которых о и стал.

Эйнштейновская теория вязкости суспензий сферических частиц и ее обобщение па случай эллипсоидальных частиц, выполненное Джеффри [25], были развиты дальше в нескольких направлениях Гутом и его сотрудниками в Венском университете в 1936 г. Гут [21] приводит краткий обзор этих исследований. Особенно интересна статья Гута и Симхи 122], в которой рассмотрено влияние стенок и взаимодействия между частицами на кажущуюся вязкости суспензий.

Последние тридцать лет отмечены для нашей области более разнообразными и, как и во всех других областях науки, более многочисленными достижениями. Многие из них были вызваны к жизни другими научно-техническими проблемами либо обусловлены потребностями практики. Несомненно, что в этом прогрессе заинтересованы не только те, кому нужны лишь технические приложения, по, хотелось бы надеяться, также и научные работники, для которых успехи в казалось бы не связанных между собой дисциплинах могут послужить источником новых идей.

Приложения к науке и технике

О влиянии науки о маленьких частичках на самые разнообразные вопросы со всей убедительностью говорится в книге Далла Валле [И] под названием «Микромеритика», охватывающей многие аспекты применения дисперсных систем в технике, не связанные с чистой гидродинамикой. Среди таких вопросов можно отметить геометрию упаковки частиц, определение их размеров, просеивание и сортировка частиц, а также электрические, оптические, акустические и поверхностные свойства частиц. В нижеследующем обзоре мы касаемся главным образом тех приложений, которые в той или иной мере связаны с основной гидродинамической направленностью данной книги. В первую очередь мы рассмотрим технические приложения, имея в виду, что па гидродинамику можно по праву смотреть как на техническую науку, а ле просто как па источник вспомогательной информации для физических наук.

ХИМИЧЕСКАЯ ТЕХНОЛОГИЯ

Пожалуй, наиболее очевидные приложения динамики систем с частицами связаны с такими ситуациями, когда можно пренебречь взаимодействием частиц, т. е. когда применимы основные положения механики одиночных частиц. Простым практическим примером реализации такой идеализированной картины служит процесс отделения пыли и влаги от разбавленной суспензии измельченного твердого материала и от взвеси жидкости в газе 136]. Общеизвестным приложением является также борьба с загрязло-

пием атмосферы, в частности очистка воздуха в вентиляционных системах и уменьшение угрозы для здоровья со стороны промышленного производства (например, борьба с ядовитым дымом химических предприятий). Утилизация ценных отходов, содержащихся в атмосфере сушильных устройств и плавильных печей, представляет собой еще один важный пример такого приложения. Наконец, многие технологические процессы связаны с производством порошкообразного продукта, который необходимо отделять от жидкости или газа, в которых он взвешен. Для примера назовем аэрозольную сушку молока и мыла, а также производство цинковых белил и сажи. Часто в таких случаях размер частиц оказывается очень малым, что позволяет применять формулы, полученные для медленного падения тел в неограниченной вязкой среде.

К названным приложениям примыкает гравитационное и центробежное осаждение концентрированных суспензий мелких частиц в жидкости, встречающееся во многих отраслях промышленности. Аппараты, предназначенные для повышения концентрации и сгущения суспензий, до сих пор, как правило, конструируются на чисто эмпирической основе. Вполне возможно, что по мере накопления наших знаний о законах медленного вязкого течения разработка таких устройств станет на более надежную основу.

Что касается более концентрированных систем, то в химической технологии издавна применялись насадочные колонны, заполненные измельченным твердым материалом или же частицами специальной формы. Такие колонны выполняют роль контактных аппаратов: в них осуществляется контакт газов и жидкостей для целей абсорбции и десорбции, контакт жидкостей с жидкостями для экстракции, нагрев или охлаждение газов (например, в печах для обжига и газогенераторах). Во многих из этих процессов (как, например, в доменных печах) используется подвижный слой твердого материала.

Последние 25 лет прошли под знаком дальнейшего активного внедрения систем жидкость — частицы в химическую технологию [37, 28, 51]. Это связано с промышленной эксплуатацией установок непрерывного действия, работающих па таких системах, а именно аппаратов каталитического крекинга нефти для получения бензина с высоким октановым числом. Заметным достижением технологии явилось использование подвижной насадки, когда гранулированный катализатор опускается в реакторе навстречу восходящему потоку паров жидкости, а затем отработанный катализатор подается подъемником или потоком воздуха в регенератор. Это стимулировало дальнейшее развитие технологических приемов, использующих подвижный слой частиц [501. Среди более новых приложений заслуживает упоминания реторта для перегонки нефтеносных сланцев с подвижной насадкой и реакторы с подвижным слоем для производства четырехфтористого урана.

Рис. 1.3.1. Аппарат каталитического крекинга в псевдоожиженном слое (с любезного разрешения «Келлог Компани»).

Дальнейшие исследования привели к созданию удивительных аппаратов, в которых не только происходит пневмотранспорт катализатора, но и осуществляется его взвешивание в парах жидкости в реакторе и регенерационных камерах. Так возникло псевдоожижение. В этом способе контакта различных материалов используется порошковый катализатор. При определенной скорости паров, проходящих через слой мелких частиц, последние переходят во взвешенное состояние и напоминают обыкновенную жидкость. В псевдоожиженном состоянии частицы могут перемещаться и вступать в контакт с паром точно так же, как если бы они были однородной жидкостью.

На рис. 1.3.1 показана современная установка каталитического крекинга в псевдоожиженном слое. В технологических процессах подобного типа пары нефти, содержащие нагретые частицы регенерированного катализатора (диаметром от 20 до 180 мкм),

поступают в псевдоожиженный слой реактора. Там происходит крекинг-процесс с образованием бензина. Расщепленные фракции поступают в разделительную систему, а обуглившиеся частицы катализатора стекают под действием тяжести, словно обычная жидкость, в регенератор. В регенераторе слой частиц псевдоожижается потоком горячего воздуха, уничтожающего налет на катализаторе. В результате нагретый регенерированный катализатор опять готов к контакту с нефтяными парами.

За час работы одной современной установки описанного типа в контакт с парами нефти приводится 5000 т частиц катализатора. Это сравнимо с масштабами работы крупных предприятий горнодобывающей промышленности (например, суточная производительность предприятия компании Кеннекотт Коппер в шт. Юта составляет 300 000 т). Несмотря-на это, установку обслуживает всего лишь горстка люден, обязанность которых состоит просто в том, чтобы следить за показаниями приборов, ибо все частицы транспортируются в виде взвеси и поддерживаются в реакторе и в зонах горения в псевдоожиженном состоянии.

За внедрением псевдоожижения в нефтеперерабатывающую промышленность последовало его использование во многих других областях. Одно из наиболее интересных приложений оно нашло в металлургии. В качестве примера укажем псевдоожижение железной руды при получении железа прямым восстановлением водородом, а также обжиг пиритовых руд и известняка в псевдоожиженном слое. Использование техники псевдоожижения для газификации угля при производстве водяного газа было запатентовано Винклером еще в 1922 г. Был построен ряд заводов, работающих по этой технологии. Вполне возможно, что этот метод, найдет новые разнообразные применения в промышленности.

Динамика частиц в псевдоожиженном слое необычайно сложна [51]. Пока еще преждевременно рассчитывать на то, чтобы теоретические формулы во всех деталях описывали их поведение.Однако, как отмечают Зенз и Отмер [51], числа Рейнольдса для частиц, участвующих в каталитическом крекинге, лежат в диапазоне от 0,01 до 5,0. Поэтому уравнения медленного вязкого течения вполне могут служить разумной основой для теоретических исследований. В этом диапазоне формулы для перепада давления типа тех, которые выводятся в данной книге (см. гл. 8), очень хорошо согласуются с данными наблюдений псевдоожиженных слоев, в которых имеет место плавное однородное расширение слоя частиц. Такое псевдоожижение обычно наблюдается в случае, когда сплошной фазой является жидкость. Если же частицы псевдоожижаются газом, то, как правило, имеет место неоднородное псевдоожижение. В этом случае происходит неоднородное расширение слоя, сопровождаемое образованием пузырей, что затрудняет количественный анализ. В этой области еще непочатый край

работы — как в теоретическом, так и в экспериментальном направлениях.

Особенности течения многих пластмасс и красителей тоже связаны с гидродинамикой сдвиговых потоков суспензий; это же относится и к особенностям поведения волокнистой массы, используемой при изготовлении бумаги [45].

КОММУНАЛЬНОЕ ХОЗЯЙСТВО

Во многих динамических процессах, оказывающих существенное влияние па окружающую среду, участвуют взвешенные твердые частицы. Окружающая среда, грубо говоря, состоит из земли, воды и воздуха. Земля в основном состоит из грунта, образованного отложениями минералов вроде песка и глины. Грунт обладает многими свойствами плотноупакованного слоя частиц, однако отличается большей сложностью ввиду непостоянства размера и формы частиц, а также анизотропии распределения в пластах.

Проблема фильтрации воды и нефти в грунтах встречается во многих областях, среди которых наиболее характерными являются нефтяная промышленность, механика грунтов, гидрология грунтовых вод, сантехника. В книге Коллинза [9] сведены воедино факты, относящиеся к течениям в пористых средах: начиная с основных физических характеристик пористых материалов и кончая некоторыми сложными проблемами (в частности, одновременным ламинарным течением смешивающихся жидкостей и течениями с фазовыми переходами).

Примером более разбавленной системы, где частицы не соприкасаются друг с другом, служат речные наносы. Наносы в конце концов либо рассеиваются по большой площади океанского дна, либо откладываются, формируя дельты рек, как в случае Миссисипи и Нила. Такие отложения часто приносят большую пользу земледелию, но, с другой стороны, могут представлять проблему, если они накапливаются в водохранилищах за плотинами или в судоходных каналах. Основные гидродинамические принципы здесь почти такие же, как и в рассмотренных выше задачах технологического характера.

Объектами другой категории задач являются пыль, дым и туман 120]. Здесь частицы меньше по размеру и взвешены в воздухе. Хотя для аэрозолей и гидрозолей основные законы гидродинамики одинаковы, первые обладают многими специфическими свойствами ввиду чрезвычайно малого размера частиц. Многие проблемы промышленной гигиены связаны с Загрязнением атмосферы дымом, бактериями и т. п.

ГОРНОЕ ДЕЛО

Знание поведения и характеристик суспензий мелких частиц в жидкостях важно для разделения руд. После достижения заданной степени измельчения для обогащения полезных ископаемых

применяются различные процессы флотации и осаждения. По существу, все процессы обогащения руд связаны с движением частиц в жидкостях [19].

Течение и фильтрация растворов минералов через проницаемые структуры грунта сыграли в доисторические времена важную роль в формировании залежей растворимых в воде веществ; поэтому понимание таких явлений необходимо для горного инженера. Умение воздействовать на реологические свойства промывочных жидкостей при бурении нефтяных скважин имеет большое значение для добычи нефти.

Решение проблемы вентиляции шахт и устранение опасности взрыва (связанной с наличием в шахтах таких взрывчатых веществ, как угольная пыль) зависит от понимания динамики разбавленных суспензий частиц в атмосфере.

ФИЗИЧЕСКИЕ НАУКИ

Знание параметров течения многих дисперсных систем (таких, как суспензии, эмульсии, гели, брызги, пена, порошки) необходимо для их научного изучения и описания [24, 17]. Проводились бесчисленные реологические исследования суспензий коллоидных материалов и макромолекул с целью получения данных о физикохимической природе самих частиц. Дисперсные системы в виде всевозможных эмульсий и дисперсий составляют большую группу материалов, имеющих промышленное значение [32]: цемент, алебастр, краска, чернила, целлюлозные пульпы.

В одном из основных стандартных методов определения вязкости жидкостей используют вискозиметр, в котором наблюдают за падением шарика в круглом цилиндре, заполненном исследуемой жидкостью. Точная теория этого прибора является примером непосредственного приложения соответствующих законов динамики взаимодействия частиц со стенкой.

БИОЛОГИЯ

Обычная кровь представляет собой суспензию частиц (красных и белых кровяных телец и тромбоцитов) в сплошной среде — плазме. Из имеющихся в цельной крови взвешенных частиц наибольший объем приходится на долю красных кровяных телец, занимающих в среднем около 40% объема крови. Детальный обзор реологических свойств крови, плазмы крови и некоторых слизей дан Мерриллом и Уэллсом [33]. Более подробное изложение этих вопросов имеется в сборнике «Характеристики течения крови» под редакцией Копли и Стейнсби т). Доказано, что биологические

х) Copley A. L., Stainsby G. (eds.), Flow properties of bloody New York, Pergamon Press, 1960. ‘

3-01084

функции крови, плазмы и биологических жидкостей тесно связаны с их реологическим поведением, которое во много раз сложнее поведения искусственно созданных систем. Испытания цельной крови на специальном вискозиметре (до того, как происходит свертывание) показывают, что кровь ведет себя как неньютоновская жидкость. Однако суспензия красных кровяных телец в соляном растворе в достаточно широком диапазоне концентраций проявляет свойства ньютоновской жидкости (см. табл. 9.6.3).

Как указывают Меррилл и Уэллс, это далеко не единственный пример эффективного сотрудничества инженеров, врачей и ученых в решении важных проблем медицины.

НАУКИ О ЗЕМЛЕ

О водопроницаемости грунта уже говорилось в разделе, посвященном техническим приложениям. Она имеет также непосредственное отношение к различным вопросам земледелия, в частности к урожайности, плодородию почв и произрастанию. Дело в том, что в этих вопросах существенная роль принадлежит дренажу воды от естественных источников или ирригационных сооружений.

Геологов и географов всегда интересовало образование отложений и формирование из них различных типов горных пород. Книга Твенхофеля [49] служит источником наиболее существенной информации относительно многих аспектов исторической седиментологии. В последние годы седиментологи много занимаются изучением роли мутных потоков.

Речь идет о движении взвешенных наносов вдоль наклонного дна водоема, наполненного чистой покоящейся водой. Это движение вызывается гравитационными силами и связано с большей плотностью суспензии частиц. Специалисты по позднейшим морским отложениям убеждены в том, что замутненные потоки играют важную роль в объяснении многих топографических особенностей континентальных шельфов, например подводных каньонов. Один из самых крупных каньонов образован рекой Гудзон. Этот каньон простирается более чем на 100 миль вдоль континентального шельфа, беря начало у входа в гавань Нью-Йорка. Его топологическая структура, вероятно, представляет собой столь же впечатляющее и захватывающее подйодное зрелище, что и расположенные в нескольких милях вверх по реке знаменитые острые скалы.

Многие геологи полагают, что эти каньоны были созданы потоками тяжелых наносов в те времена, когда в ледниковый период уровень океана понизился на несколько сот футов. Обычно считают, что отложения мельчайших частиц почвы на континентальном шельфе переходили во время штормов во взвешенное состояние и затем с большими скоростями двигались вдоль скло-

нов шельфа, не смешиваясь с основной толщей воды. Ясно, что хотя при этом играют роль инерционные эффекты и турбулентность, медленное течение таких суспензий и их поведение при сдвиге тоже имеют немаловажное значение [27].

Такие замутненные потоки обнаруживают сходство с другими явлениями природы. Так, Кюнен проводит параллель между той ролью, которую играют наносы континентального шельфа, и ролью звука, вызывающего нарастающую снежную лавину в горах. Еще один любопытный пример дают клубы газа, время от времени вырывающиеся из вулканической лавы. В них так много пепла, что они с большой скоростью спускаются по горным склонам [7]. Взвесь вулканического пепла в воде тоже способна быстро двигаться под уклон, напоминая, таким образом, псевдоожиженный слой.

Зыбучий песок представляет собой драматический пример процесса псевдоожижения, происходящего в природных условиях. Здесь слой чрезвычайно мелких частиц песка приводится в состояние псевдоожижения водой из подземного источника. Плотности суспензии лишь незначительно превышает плотность воды, однако наличие взвешенного материала приводит к столь резкому возрастанию вязкости, что сопротивление суспензии сдвигу становится очень большим.Этим и объясняется,что попавшим'в зыбучий песок или плывун трудно плыть и вообще совершать какие-либо движения.

Другой интересной формой взаимодействия частиц с жидкостью или газом в природе является перепое твердых частиц при сальтации, когда частица совершает серию прыжков, чередующихся с ударами о поверхность земли. Такого рода явлениями объясняется образование сугробов, песчаных дюн, а также всевозможные процессы разрушения морского побережья. Бэгнольд [2, 3] описал и исследовал многие задачи, связанные с образованием ряби и песчаных гребней, а также с ростом и перемещением песчаных дюн. При песчаных бурях не происходит подъема частиц в воздух и их переноса на большие расстояния, как обычно считают; частицы транспортируются в сравнительно плотной суспензии путем сальтации.

Метеорологи интересуются более разбавленными суспензиями (типа тех, которые участвуют в формировании дождевых капель [38]) и взвесями мелких частиц в атмосфере. Для этой области характерны задачи, связанные с движением капель разных размеров и их способностью сливаться друг с другом. В таких явлениях гидродинамические силы играют важную роль.

Подводя итог, можно сказать, что существует целый мир всевозможных мелких частиц со спектром размеров от небольших молекул до обыкновенных пылинок и песчинок, видимых невооруженным глазом. Белковые молекулы, вирусы, синтетические поли-

3*-

меры, коллоидные частицы, космическая пыль, сажа и частицы пепла от атомных испытаний — все это примеры материалов, характеризующихся определенным размером и формой частиц и определенными свойствами. Наблюдение самих частиц [48] при помощи современной аппаратуры (типа электронного микроскопа) представляет одну сторону их исследования. Другая сторона — это анализ взаимодействия частиц и их движения при наличии границ. Гидродинамический подход к этим явлениям служит поистине универсальным ключом к пониманию их основных особенностей. Правда, гидродинамика дисперсных систем часто осложняется инерционными эффектами и турбулентностью потока; а такие факторы, как столкновения частиц, наличие у них электрических зарядов и учет поверхностных свойств, еще больше усложняют дело. Однако исследование эффектов, связанных с силами вязкости, действующими в медленных течениях, обычно оказывается полезным и очень часто позволяет объяснить главные особенности наблюдаемых явлений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Aris R., Vectors, tensors, and the basic equations of fluid mechanics, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1962.

Bagnold R. A., Philos. Trans. Roy. Soc. {London}, 249A (1956), 235.

Bagnold R. A., The physics of blown sand and desert dunes, London, Methuen, 1941.

Basset A. B., Treatise on hydrodynamics, 2vols.,1888; New York, Dover, 1961.

Bird R. B., Stewart W. E., Lightfoot E. N., Transport phenomena, New York, Wiley, 1960.

Blake F. C., Trans. Amer. Inst. Chern. Engrs., 14 (1922), 415.

Burgers J. M., Proc. Koningl. Akad. Wetenschap., 45 (1942), 9.

Carman P. C., Trans. Inst. Chern. Engrs., London, 15 (1937), 150; см. также книгу: Flow of gases through porous media, New York, Academic Press, 1956.

Collins R. E., Flow of fluids through porous materials, New York, Reinhold. 1961; русский перевод: Коллинз P., Течения жидкостей через пористые материалы, «Мир», М., 1964.

Cunningham Е., Proc. Roy. Soc., London, A83 (1910), 357.

Dalia Valle J. M., Micromeritics — the technology of fine particles, 2nd ed., New York, Pitman, 1948.

Darcy H. P. G., Les fontaines publiques de la ville de Dijon, Paris, Victor Dalmont, 1856.

Drew T. B., Handbook of vector and-polyadic analysis, New York, Reinhold, 1961.

Dryden H. L., Murnaghan F. P., Bateman H., Hydrodynamics, reprint, Bull. No. 84, Nat. Res. Counc., New York, Dover, 1956.

Dupuit A. J., Traite theorique et pratique de la conduite et de la distribution des eaux, Paris, 1865.

Einstein A., A nn. Phys., 19 (1906), 289; поправку см. в Ann. Phys., 34 (1911), 591. Перевод на английский этих и связанных с ними работ см. в книге: Einstein A., The theory of Brownian movement, New York, Dover, 1956.

Everett D. Н., Stone F. S., The structure and properties of porous materials. New York, Academic Press, Butterworth’s, London, 1958.

Fox T. G., Gratch S., Roshaek S., in «Rheology — theory and applications, vol. 1, ed. F. R. Eirich, New York, Academic Press, 1956, Chap. 12; русский перевод: Фокс T., Гратч С., Рошек С., в кн. «Реология. Теория и приложения», под ред. Эйриха, ИЛ, М., 1962, стр. 508.

Gaudin А. М., Principles of mineral dressing, New York, McGraw-Hill, 1939.

Green H. L., Lane W. R., Particulate clouds, dusts, smokes, and mists, London, Spon, 1957.

Guth E., Proc. Int. Congr. Appl. Meeh., 1938, p. 448—455.

Guth E., Simha R., Kolloid. Z., 74 (19 36), 266.

Happel J., Trans. N. Y. Acad. Set., 20 (1958), 404.

Hermans J. J., Flow properties of disperse systems, Amsterdam, North- Holland Publishing Co., New York, Interscience, 1953.

Jeffery G. B., Proc. Roy. Soc., London, A102 (1922), 161.

Kozeny J., Sitz-Ber. Wiener Akad., Abt. Ila, 136 (1927), 271; см. также Hydraulik, Wien, Springer, 1953.

Kuenen P. H., Society of economic paleontologists and mineralogists, Special Publication, No. 2, p. 14—33, November, 1951.

Leva M., Fluidization, New York, McGraw-Hill, 1959.

Ladenburg R., Ann. Phys., 23 (1907), 447.

Ламб Г., Гидродинамика, Гостехиздат, 1947.

Lorentz Н. A., Zittingsverl. Akad. van Wet., 5 (1896), 168; см. также A bhandl, theoret. Phys., 1 (1907), 23.

Mill С. C., Rheology of disperse systems, New York, Pergamon, 1959.

Merrill E. W., Wells R. E., Jr., Appl. Meeh. Reviews, 14 (1961), 663.

Oberbeck H. A., Crelle, 81 (1876), 62.

Oseen C. W., Hydrodynamik, Leipzig, Akademische Verlag, 1927.

Perry J. H., Chemical engineers’ handbook, 3rd ed., New York, McGraw- Hill, 1950.

Reboux P., Phenomenes de fluidization, Paris, Association Fran^aise de Fluidization, 28, rue St. Dominique, 1954.

Richardson E. G., Aerodynamic capture of particles, New York, Pergamon, 1960.'

Rouse H., Ince S., History of hydraulics, State Univ. Iowa, Inst. Hydraulic Res., 1957.

Shapiro A. H., Shape and flow — the fluid dynamics of drag, Anchor. Books, Science Study Series, New York, Doubleday, 1961.

Scheidegger A. E., The physics of flow through porous media, 2nd ed., New York, Macmillan, 1960.

Slichter C. S., Theoretical investigation of the motion of ground waters, U. S. Geological Survey, 19th Ann. Rep., Part 2, 1899, p. 301—384.

Smoluchowski M., Bull. Intern, acad. polonaise set. lettres, 1A (1911), 28.

Smoluchowski M., 5th Intern. Congr. Math., vol. 2 , 1912, p. 192.

Steenberg B., Johansson B., Svensk Papperstidning, 61 (1958), 696.

Stokes G. G., Trans. Cambr. Philos. Soc., 8 (1845), 287.

Stokes G. G., Trans. Cambr. Philos. Soc., 9, pt. II (1851), 8.

48; Turkevich J., Amer. Scientist, 47 (1959), 97.

Twenhofel W. H., Treatise on sedimentation, New York, Dover, 1960.

Vener R. E., Chern. Eng., 62 (1955), 175.

Zenz F. A., Othmer D. F., Fluidization and fluid particle systems, New York, Reinhold, 1960.

ГЛАВА 2. ПОВЕДЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ ПРИ МЕДЛЕННОМ ТЕЧЕНИИ

Уравнения сохранения для вязкой жидкости

В книге рассматриваются уравнения сохранения только для изотермического течения однородной вязкой жидкости. Эти уравнения выражают классические принципы сохранения массы и количества движения и подробно рассматриваются в учебниках [48, 39, 6]. Для неизотермических течений и для неоднородных многокомпонентных жидких систем необходимы дополнительные уравнения, учитывающие законы сохранения энергии и сохранения отдельных химических веществ. Арис [3] представил подробный вывод основных уравнений с общей точки зрения.

Уравнение неразрывности можно получить, применяя закон сохранения массы к маленькому стационарному элементу объема, выделенному в потоке текущей жидкости. Его можно записать в векторной форме

^.= _V.(pv), (2.1.1)

где р — локальная плотность, v — локальная средняя массовая скорость жидкости и didt обозначает скорость изменения в фиксированной точке в пространстве, занимаемом жидкостью. Величина V-(pv) называется дивергенцией pv и иногда записывается как div pv. Здесь вектор pv представляет плотность массового потока, а его дивергенция определяет массовую скорость истечения, отнесенную к единице объема. Таким образом, уравнение (2.1.1) устанавливает то, что скорость увеличения массы в бесконечно малом фиксированном в пространстве элементе объема равна массовой скорости поступления жидкости в этот элемент, деленной на его объем.

Уравнение неразрывности удобно иногда записывать в другой, но эквивалентной форме

^=^pV.v,(2.1.2)

в которой оператор DIDt означает дифференцирование по времени вдоль траектории движения жидкости. Оператор DIDt называется субстанциональной производной, или оператором Стокса, и определяется следующим образом:

(2.1.3)(2.1.3)D _ д

(2.1.3)

(2.1.3)

Dt Ot

Уравнение неразрывности в форме (2.1.2) описывает скорость изменения плотности с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с жидкостью.

Все вопросы, рассмотренные в книге, относятся к несжимаемым жидкостям, имеющим постоянную плотность; следовательно, р неизменна, и уравнение неразрывности сводится к виду

(2.1.4)(2.1.4)V-v - 0.

(2.1.4)

(2.1.4)

Рассмотрим теперь уравнение для количества движения сплошной среды. Его можно получить, применяя законы движения Ньютона к бесконечно малому объему жидкости. Законы Ньютона можно рассматривать как равенство внешних сил, действующих со стороны окружающей жидкости на стационарный жидкий элемент, и скорости производства количества движения в объеме.

Возможны два типа внешних сил: (а) поверхностные, или контактные, силы, вызываемые напряжениями в жидкости, действующими на поверхность элемента; (б) объемные, или массовые, силы (например, сила тяжести), действующие на жидкий элемент. Далее, скорость образования количества движения в объеме просто равна скорости накопления или увеличения количества] движения в объеме плюс скорость истечения количества движения из этого объема через его поверхность. Следовательно, получаем

d(pv) л dt1- V-(pvv) =V п +PF.СкоростьУменьшениеПоверхноВнешниеувеличеколичествастные намассовыения колидвижения запряжениясилы, дейчествасчет протекана единицуствующиедвиженияния через пообъемана элементв единицеверхностьна единиобъемаединичного объемацу объемаd(pv) л dt1- V-(pvv) =V п +PF.СкоростьУменьшениеПоверхноВнешниеувеличеколичествастные намассовыения колидвижения запряжениясилы, дейчествасчет протекана единицуствующиедвиженияния через пообъемана элементв единицеверхностьна единиобъемаединичного объемацу объемаСкорость образования количества движения в единице объемаСкорость образования количества движения в единице объемаВнешние силы на единицу объемаВнешние силы на единицу объема(2.1.5)(2.1.5)

d(pv) л dt1

- V-(pvv) =

V п +

PF.

Скорость

Уменьшение

Поверхно

Внешние

увеличе

количества

стные на

массовые

ния коли

движения за

пряжения

силы, дей

чества

счет протека

на единицу

ствующие

движения

ния через по

объема

на элемент

в единице

верхность

на едини

объема

единичного объема

цу объема

d(pv) л dt1

- V-(pvv) =

V п +

PF.

Скорость

Уменьшение

Поверхно

Внешние

увеличе

количества

стные на

массовые

ния коли

движения за

пряжения

силы, дей

чества

счет протека

на единицу

ствующие

движения

ния через по

объема

на элемент

в единице

верхность

на едини

объема

единичного объема

цу объема

Скорость образования количества движения в единице объема

Скорость образования количества движения в единице объема

Внешние силы на единицу объема

Внешние силы на единицу объема

(2.1.5)

(2.1.5)

Тензор давлений или напряжений П представляет собой тензор второго ранга (диадик) и определяется обычным образом. Если dS — ориентированный элемент площади поверхности, то dS-П определяет поверхностную силу, действующую со стороны жидкости, находящейся в направлении ориентации вектора dS, па жидкость, расположенную с противоположной стороны элемента поверхности. Для бесструктурных жидкостейг), рас

]) Для «структурированных» сред тензор давлений не обязательно симметричен, так как внешний момент количества движения может трансформироваться во внутренний момент количества движения, и наоборот, и должен сохраняться только полный момент количества движения. Исчерпывающую дискуссию по этому вопросу можно найти в работе Dahler J., Scriven L. Е., Proc. Roy. Soc^ A275 (1963), 504.

сматриваемых в этой книге, внешний момент количества движения сохраняется, следовательно, тензор П симметричен [3]. Таким образом, из девяти компонент П;А (/, k = 1, 2, 3) благодаря условию симметрии Цуд = Пд; только шесть независимых.

В уравнении (2.1.5) вектор F представляет собой внешнюю массовую силу, отнесенную к единице массы. Обычно эта сила вызвана действием тяжести. Если g — вектор местного ускорения свободного падения, направленный вертикально вниз, то F --= g.

DnDnЗаметим, что V-(pvv) и V П — не простые дивергенции из-за тензорной природы pvv и П. Уравнение (2.1.5) можно преобразовать, используя уравнения неразрывности и определение субстанциональной производной векторного поля, а именно

Dn

Dn

(2.1.6)

где Vv можно рассматривать как диадик. Уравнение количества движения можно теперь представить в другой форме:

V-П + pFV-П + pF(2.1.7)(2.1.7)

V-П + pF

V-П + pF

(2.1.7)

(2.1.7)

Массав единицеобъема,умножен-ная наускорениеМассав единицеобъема,умножен-ная наускорениеПоверхностные напряжения, действующие на единичный объемПоверхностные напряжения, действующие на единичный объемМассовыесилы наединицуобъемаМассовыесилы наединицуобъема

Массав единицеобъема,умножен-ная наускорение

Массав единицеобъема,умножен-ная наускорение

Поверхностные напряжения, действующие на единичный объем

Поверхностные напряжения, действующие на единичный объем

Массовыесилы наединицуобъема

Массовыесилы наединицуобъема

Уравнение количества движения в этой форме описывает движение маленького элемента объема, движущегося вместе с жидкостью и ускоряемого действующими на пего силами.

Вектор скорости v, входящий в эти уравнения, представляет среднюю массовую локальную скорость. Так как далее мы ограничиваемся рассмотрением только однородных жидкостей, в которых относительная диффузия отдельных веществ отсутствует, то нет необходимости отличать это определение скорости от других возможных определений. Однако в связи с принятой записью уравнений движения Ньютона необходимо помнить, что скорость v должна измеряться относительно наблюдателя, находящегося в инерциальной системе отсчета.

Эти уравнения применимы к любой непрерывной жидкой среде. Чтобы использовать их, необходимо выразить тензор давлений через измеряемые давления и скорости. Теория ньютоновских жидкостей приводит к следующему выражению:

П - — pl +x(V-v)I +2цА,П - — pl +x(V-v)I +2цА,(2.1.8)(2.1.8)

П - — pl +x(V-v)I +2цА,

П - — pl +x(V-v)I +2цА,

(2.1.8)

(2.1.8)

где р — гидростатическое давление жидкости, которое наблюдалось бы, если бы жидкость находилась в покое при локальной плотности р и температуре Г; I — единичный тензор 6^; х — объемная вязкость, записываемая иногда как X -(- (2ц/3), р —

сдвиговая вязкость, А — тензор скоростей деформации, определяемый в (2.1.12).

Два феноменологических коэффициента х и ц определяются внутренними свойствами жидкости и не зависят от ее движения. В общем случае они зависят от р и Т.

Два члена в уравнении (2.1.8), которые умножаются на единичный тензор, вносят вклад в нормальные напряжения. Для сжимаемых сред необходимо различать так называемое среднее нормальное давление р в точке и давление/?, фигурирующее в этом уравнении. Среднее давление р определяется следующим образом:

—уП: I1) = (2.1.9) = -4(П.хх + П!/у.!-П„)= (2.1.10) = р-и^.ху (2.1.11)

Таким образом, давление р в любой точке жидкости больше среднего нормального давления на дополнительную величину, пропорциональную дивергенции местной скорости V -v. Константой пропорциональности является коэффициент объемной вязкости, который связывает напряжения со скоростью объемной деформации, аналогично тому как сдвиговая вязкость связывает напряжения со скоростью линейной сдвиговой деформации. Объемная вязкость важна в случаях, в которых жидкость подвержена действию быстропеременпых сил, как, например, при ультразвуковых колебаниях. Для одноатомных газов с малой плотностью х = 0. Суще-^ ствуют формулы, определяющие х для разреженного многоатомного газа и для плотных газов [28]. Для дальнейшего изучения этих вопросов необходимо обратиться к книгам Ариса [3] и Ландау и Лифшица [35].

Оставшийся член в уравнении (2.1.8) получается из-за линейной связи между вязкой частью тензора давлений и тензором деформаций (тензором скоростей сдвига). Эта связь записывается следующим образом:

A = l[Vv-KVv)]-ll(Vv), (2.1.12)

где (Vv)* — транспонированное или сопряженное к Vv, иногда записываемое в виде (Vv)f или Vv.

Как было показано теоретически [13], ньютоновская гипотеза, отраженная в уравнении (2.1.8), дает полную поправку первого порядка к теории совершенных жидкостей в предельном случае, когда все градиенты малы. Таким образом, поведение пьютонов-

ских жидкостей должно приближенно описывать поведение многих реальных сред в пределе медленного движения.

Подстановка окончательного выражения для П в уравнения (2.1.7) дает следующее общее уравнение движения ньютоновской жидкости:

Dn1

Р = — Vp+ pV2v + g-pv (V-v) +

+ 2(Vp)• W + (Vp) X (V X v)

- у (VP) (V-v) + xv (V-v)

+ (Vx)(V-v) + pF.(2.1.13)

Это уравнение вместе с уравнением состояния р - р (р, Г), зависимостью сдвиговой вязкости от плотности pt — р (р, ТУ зависимостью объемной вязкости от плотности х — х (р, Т) и граничными и начальными условиями полностью определяют давление, плотность и компоненты скорости при изотермическом течении жидкости.

Уравнение применимо также к неизотермическим течениям однородной жидкости, но при этом необходимо использовать для определения зависимых переменных также уравнение энергии, в дополнение к граничным условиям, включающим температуру или поток тепла. Вязкость и плотность будут теперь также функциями температуры. Уравнение (2.1.13) обычно не употребляется в этой полной форме, а записывается в формах, соответствующих конкретным задачам течения.

Таким образом, х часто полагается равным нулю. При этом подстановка в уравнение (2.1.13) векторного тождества

V2v = V (V-v) — V X (V X v),(2.1.14)

приводит общее уравнение к виду, полученному Милн-Томсоном [39].

Если градиенты температуры и давления малы, то можно опустить из уравнения члены Vp и Vx. Если эти члены и члены, содержащие х, исключить, то получим форму уравнений, часто используемую для сжимаемых жидкостей [48] J

Для постоянного давления р (несжимаемая жидкость, V-v 0) и постоянной вязкости р уравнение (2.1.13) сводится к одной из форм уравнений Навье — Стокса:

0^ = 0 (17 + v‘Vv) = — Vp + pV2v + pF, (2.1.15)

которая впервые выведена Павье в 1827 г.

Чтобы использовать уравнения неразрывности и движения, их нужно выразить в системах координат, соответствующих

по форме границам, включенным в конкретные задачи. В приложении А даются общие правила для выбора таких систем координат.

В частности, рассмотрим систему декартовых координат (х, у/, z). Пусть

v = m+j^+k^ и F=iX + jy-|-kZ, где i, j, k — единичные векторы, параллельные соответствующим осям. Для несжимаемых жидкостей уравнение неразрывности и уравнения Навье — Стокса имеют соответственно вид

ди ди . ди)р дх * dy dzди ди . ди)р дх * dy dz(2.1.16а)(2.1.16а)Иди,duхди.диdt1дхду'dzди,ди,ди.ди1)Г^-^ + и—^ш — =Иди,duхди.диdt1дхду'dzди,ди,ди.ди1)Г^-^ + и—^ш — =1 др . р / д2и . д2и . д2и р дх р \ дх2 + ду2 "*~ dz21 др . р / д2и . д2и . д2и р дх р \ дх2 + ду2 "*~ dz2\ др . р / d2v р ду р \ dx2 *\ др . р / d2v р ду р \ dx2 *д2и д2иду2 * dz2д2и д2иду2 * dz2(2.1.166)(2.1.166)

ди ди . ди)р дх * dy dz

ди ди . ди)р дх * dy dz

(2.1.16а)

(2.1.16а)

И

ди,duхди.ди

dt1дхду'dz

ди,ди,ди.ди

1)Г^-^ + и—^ш — =

И

ди,duхди.ди

dt1дхду'dz

ди,ди,ди.ди

1)Г^-^ + и—^ш — =

1 др . р / д2и . д2и . д2и р дх р \ дх2 + ду2 "*~ dz2

1 др . р / д2и . д2и . д2и р дх р \ дх2 + ду2 "*~ dz2

\ др . р / d2v р ду р \ dx2 *

\ др . р / d2v р ду р \ dx2 *

д2и д2и

ду2 * dz2

д2и д2и

ду2 * dz2

(2.1.166)

(2.1.166)

дш . дю ,дю . ди)

dt дх 1ду dz

р dz ' р \ dx2 ' dy2 dz2 j

Компоненты тензора давлений для вязкой несжимаемой жидкости в соответствии с уравнением (2.1.8) при х = 0 и V-v = 0 записываются в декартовых координатах:

Пхх=-^+2^,

(2.1.17)(2.1.17)l^ = -p+2H-g-, 1Ъг=-р + 2ц^-, ПЖу = П,/х = ц(-^- + -£-) , Пуг = П2!/=:р. (— + —) , п-=п-=^(£+^)'

(2.1.17)

(2.1.17)

Если плотность р постоянна и, кроме того, F может быть выражена как градиент от потенциала, то члены с Vp и pF можно объединить. Так, если массовая сила обусловлена тяжестью,

то F — —Vgz, где и — вертикальная координата, отсчитываемая от некоторого стандартного уровня, a g = | g | = const. То есть предполагается, что изменением гравитационного поля при подъеме можно пренебречь на расстояниях, представляющих интерес для данной задачи. Уравнение (2.1.15) тогда принимает вид

р— V (р + pgz) + ^v2v. (2.1.18)

Обычно это уравнение применяется в форме, в которой р заменено на р 4- pgz. Давление р, введенное таким образом, называется динамическим, или гидродинамическим, давлением. Оно исчезает в случаях, когда жидкость находится в покое.

При ц —О уравнение (2.1.18) сводится к хороню известному уравнению Эйлера для невязкой, или идеальной, жидкости. В случае безвихревого течения V X v = 0 получаются уравнения потенциального течения. Они представляют основу для решения многих проблем классической гидродинамической теории. Так как стационарные потенциальные течения не оказывают воздействия на неподвижные твердые тела, теория обычно правильно описывает течение жидкости только вдали от ее границ.

Для вязкой жидкости в контакте с твердым телом относительная тангенциальная скорость, как это наблюдается в эксперименте, равна нулю (нет проскальзывания). Дополнительно, конечно, должно удовлетворяться и кинетическое условие, т. е. нормальная скорость жидкости должна быть равной нормальной скорости границы. Последнее условие справедливо как для твердой, так и жидкой границы независимо от того, является ли жидкость вязкой или нет. Таким образом, в случае, когда граница представляет стационарную твердую поверхность, справедливо векторное граничное условие

v = 0 ' (2.1.19)

для относительной скорости.

Предположение об отсутствии проскальзывания справедливо до тех пор, пока средний свободный пробег молекул не станет большим по сравнению с размерами граничных поверхностей. Во многих случаях в рамках сверхзвуковой аэродинамики или для сильно разреженных течений в узких капиллярах требуется скорее молекулярный, чем континуальный подход [44].

Диссипация механической энергии

в вязкой жидкости

Если ориентированный элемент площади поверхности dS, на который действуют напряжения, движется в жидкости со скоростью v, то величина

(2.2.1)(2.2.1)v П -dS

(2.2.1)

(2.2.1)

дает мгновенную скорость, с которой жидкость по ту сторону элемента, в которую направлен dS, в результате действия напряжений совершает работу над веществом, расположенным с противоположной стороны поверхности элемента. Следовательно, вектор v-П можно рассматривать как поток механической энергии. Таким образом, скорость возникновения энергии за счет работы, совершаемой действующими на элемент напряжениями, отнесенная к единице времени и единице объема, равна V -(v -П). Влиянием массовых сил здесь пренебрегаем.

Эта работа может быть представлена в виде суммы трех составляющих:

V(v.H) =— pV-v+ Ф+ v.(vH),Работа, совершаемая над элементом напряжениями, относимыми к единице объемаРабота, совершаемая за счет изменения объема элементаРабота, обусловленная преодолением сил внутреннего тренияРабота, совершаемая над элементом, движущимся как единое целоеV(v.H) =— pV-v+ Ф+ v.(vH),Работа, совершаемая над элементом напряжениями, относимыми к единице объемаРабота, совершаемая за счет изменения объема элементаРабота, обусловленная преодолением сил внутреннего тренияРабота, совершаемая над элементом, движущимся как единое целое(2.2.2)(2.2.2)

V(v.H) =

— pV-v

+ Ф

+ v.(vH),

Работа, совершаемая над элементом напряжениями, относимыми к единице объема

Работа, совершаемая за счет изменения объема элемента

Работа, обусловленная преодолением сил внутреннего трения

Работа, совершаемая над элементом, движущимся как единое целое

V(v.H) =

— pV-v

+ Ф

+ v.(vH),

Работа, совершаемая над элементом напряжениями, относимыми к единице объема

Работа, совершаемая за счет изменения объема элемента

Работа, обусловленная преодолением сил внутреннего трения

Работа, совершаемая над элементом, движущимся как единое целое

(2.2.2)

(2.2.2)

Величина Ф представляет собой скорость диссипации механической энергии. Она выражает локальную скорость, отнесенную к единице времени и единице объема, с которой механическая энергия диссипируется при деформировании жидкого элемента против действия приложенных напряжений. Для ньютоновской жидкости эта величина описывается выражением

Ф = 2рсА : А + х (V-v)2. (2.2.3)

Коэффициенты ц и х не отрицательны, откуда следует, что Ф также никогда не может быть отрицательной. Она равна нулю только тогда, когда А = 0 и V-v = О, что соответствует движению твердого тела. В случае несжимаемой жидкости второй член в уравнении (2.2.3) исчезает.

Скорость диссипации механической энергии в любой области, занятой жидкостью, можно найти интегрированием локальной скорости диссипации по всей жидкой области:

5=|фйГ.(2.2.4)

V

Величина Е/2 иногда называется диссипативной функцией Рэлея [34].

Сила и пара, действующие на тело, движущееся в вязкой жидкости

Рассмотрим некоторое тело, погруженное в жидкость, и пусть dS — ориентированный элемент площади поверхности, нормальный к телу и направленный в окружающую тело жидкость. Резуль-

тирующая сила, вызванная напряжениями, действующими на тело со стороны окружающей жидкости, равна

F = j n dS.(2.3.1)

тело

Тензор давлений П находится из уравнения (2.1.8). Тогда, если жидкость несжимаема, а ц постоянна, то

F= - j рс£ + 2ц j A-dS.(2.3.2)

телотело

Вместо суммирования напряжений по поверхности тела иногда используют другой подход, основанный на приложении теоремы моментов к бесконечной жидкости, окружающей тело [2].

Крутящий момент, действующий па тело (если он вообще имеется), может быть получен суммированием моментов, действующих на элементы поверхности dS. Величина его зависит от положения точки отсчета. Рассмотрим произвольную точку отсчета О и обозначим через г0 радиус-вектор точки, отсчитываемый от О. Так как сила, действующая на dS, равна П -dS, то момент этой силы относительно О равен r0 X П-dS. Следовательно, крутящий момент относительно О, обусловленный напряжениями, действующими па тело со стороны окружающей жидкости, равен

То= j гоХП-dS. 4(2.3.3)

тело

Так как далее будут рассматриваться только несжимаемые жидкости, то нет необходимости принимать во внимание в явном виде силы тяжести, действующие на жидкость. Таким образом, более правильно интерпретировать р как гидродинамическое, а не как полное давление. Первое не включает в себя гидростатическое давление. В соответствии с принятым определением давления р силу F, представленную уравнением (2.3.1), удобно определить как гидродинамическую силу, действующую на тело со стороны жидкости. Она равна нулю для жидкости, находящейся в покое. Так как на самом деле гравитация всегда действует на жидкость, то для того, чтобы получить полную силу, действующую со стороны жидкости на тело, необходимо добавить к уравнению (2.3.1) выталкивающую силу, действующую на тело. Согласно закону Архимеда, эта дополнительная сила равна весу жидкости, вытесненной телом. Если g — вектор ускорения свободного падения, направленный вертикально вниз (предполагается, что он постоянен), и т^ — масса вытесненной жидкости, то выталкивающая сила равна

Гвыталн™(2.3.4)

Аналогичные дополнения должны быть сделаны к формуле для крутящего момента, так как при принятом определении давления уравнение (2.3.3) дает только гидродинамический момент. Выталкивающий момент необходимо в общем случае прибавлять для того, чтобы получить полный момент, действующий па тело со стороны окружающей жидкости. Еслигов есть радиус-вектор, направленный из О к центру В действия на тело выталкивающей силы, то выталкивающий момент, с которым жидкость воздействует на тело, равен

(То)выталк “ ТП^ОВ^ g* (2.3.5)

Вестберг [62] вывел общие формулы для результирующих сил и моментов, действующих со стороны вязкой несжимаемой жидкости па тело (тело не обязательно жесткое) при неустановившемся движении. Эти формулы включают различные преобразования уравнений (2.3.2) и (2.3.3).

Точные решения уравнений движения

вязкой жидкости

Вследствие общей нелинейной природы уравнений Навье — Стокса получить их точные решения сложно. Известно только- весьма немного таких решений, за исключением относительнотривиальных случаев, таких, как, например, течение в канале, когда нелинейные члены тождественно равны пулю. Так, до сих пор еще не удалось провести полное исследование установившегося течения для обтекания тела вязкой жидкостью при больших числах Рейнольдса. Немногие имеющиеся решения подробно обсуждаются в обычных учебниках по механике жидкости [52, 58] и здесь будут рассмотрены только кратко. Важно отметить, что все известные точные решения подтверждают предположения теории пограничного слоя, которая широко используется для получения приближенных, или асимптотических, решений, справедливых при больших числах Рейнольдса. ,

Течение между непараллельными плоскостями представляет собой двумерную задачу, в которой линии тока есть прямые линии,, сходящиеся в точке пересечения плоскостей. В сходящихся ламинарных потоках между непараллельными пластинами не бывает отрыва потока, в то время как в расходящихся ламинарных течениях будет происходить отрыв, когда угол между плоскостями превышает некоторый предел, зависящий от определенного должным образом числа Рейнольдса. Точное решение для динамической задачи об осесимметричном течении в конусе неизвестно. Для сравнительно малых чисел Рейнольдса течение в конусе рассматривается в разд. 4.24.

Ламинарное течение, вызванное вращением диска над полупространством вязкой жидкости, иллюстрирует роль центробеж-

ных сил. Жидкость вблизи плоскости отбрасывается от оси вращения, в то время как жидкость из более отдаленных областей течет внутри полупространства в направлении к центру плоскости.

Задача двумерного натекания на плоскую стенку полностью решена Блазиусом и Хименцом. Полученное решение интересно тем, что оно тесно связано с решениями типа пограничного слоя при обтекании тупых тел.

Ламинарное круговое движение жидкости, заключенной между вращающимися круговыми цилиндрами, уже давно привлекает внимание исследователей. Течение несжимаемой жидкости, возникающее при относительном вращении двух цилиндров, известно как течение Куэтта. Так как линии тока располагаются по концентрическим окружностям и, следовательно, частицы жидкости ускоряются, инерционные члены в уравнениях Навье — Стокса не должны быть равны нулю. Эти нелинейные члены, однако, полностью компенсируются радиальным градиентом давления, и поэтому метод решения результирующих уравнений достаточно прост. В частности, если ввести цилиндрические координаты (г, ср, х^ то не равной нулю компонентой скорости будет лишь тангенциальная составляющая и^ которая будет являться функцией только радиального расстояния г. Таким образом, уравнение неразрывности удовлетворяется автоматически, а уравнения Навье — Стокса сводятся к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям:

1 ^(r^L)_^.= 0(2.4.1а)

г dr\ dr ) г2-х '

И

=(2.4.16)

для определения и^ (г) ир (г). Еслиг^ и го — соответственно

радиусы внутреннего и внешнего цилиндров, а со, и со0 — их угловые скорости, то справедливы следующие граничные условия:

^Ф = ^^1, Г = г,,

Vq, = СОоГо, Г = То.

Уравнение (2.4.1а) имеет общее решение

v^C.r-V^^(2.4.2)

где Сх и С ^ — постоянные. Граничные условия удовлетворяются, если положить

г _ 6>оГ= —<ОгГ?

~ г2 —г? ’

( °\ 22(2.4.3)

G2—,2_г2*

g г

Зная рф, уравнение (2.4.16) можно проинтегрировать и получить выражение для давления. Если pt — постоянное давление на стенке внутреннего цилиндра, то тогда

Р = Pi + Т^Т?)- [(«оГо — Ю^2(г2 — Г?) —

— 2г-^ (<Оо — (О;) ((0оГ? — согг-) In -^

-rVo (®0-®;)2(-^--^-)]. (2.4.4)

Эти результаты можно проверить, замечая, что в случае, когда два цилиндра вращаются в одном направлении с одинаковой скоростью со о = coz- = со, эти результаты сводятся к

Гф^СОГ и p = Pi + jpco2(r2 — r^

что соответствует вращению твердого тела как целого.

Для получения момента, действующего па каждый из цилиндров, заметим, что не равна нулю только тангенциальная составляющая тензора напряжения:

ПГФ = ^А(^)_(2.4.5)

Крутящая сила на единицу длины цилиндра получается умножением последнего выражения на площадь 2лг, приходящуюся на единицу длины. Умножение па г дает момент М крутящей силы. Таким образом, для величины момента на единицу длины каждого из цилиндров получаем вискозиметрическую формулу Куэтта.

=(2.4.6)

(1/ф~ (l/^)V 7

Ламинарное течение в каналах

Несмотря па то что уравнения Навье — Стокса в общем случае нелинейны, существуют течения, для которых нелинейные члены v-Vv равны нулю тождественно. Точные решения полученных линейных уравнений в этих случаях относительно легко найти, особенно если течение стационарно.

Установившееся движение несжимаемой вязкой жидкости, при котором линии тока строго параллельны, представляет особый интерес для нашей книги. Даже в тех случаях, когда интересуются преимущественно системами, содержащими частицы, внешняя граница, окружающая жидкость, в реальных условиях существует и влияет на вид течения. Поэтому важно иметь под рукой решения для течения в трубах и других системах постоянного поперечного сечения.

4—01084

Если предположить, что течение происходит только в направлении х, уравнения Навье — Стокса сводятся к простому скалярному уравнению

(2.5.1)(2.5.1)»1 dp

(2.5.1)

(2.5.1)

Vи = —-г-,р, dx

где компонента скорости и в направлении х, не зависит от х. Тогда уравнение неразрывности удовлетворяется автоматически: градиент давления dpldx в стационарных условиях постоянен вдоль образующей трубы и может быть записан в виде(—&р/1), где( А/? >0 — полный перепад давления в трубе, а I — ее длина. Влиянием концевых участков на течение пренебрегаем.

Для течения между двумя бесконечными параллельными плоскостями, находящимися друг от друга на расстоянии К, выбираем за у расстояние, отсчитываемое от одной из плоскостей. Из уравнения (2.5.1) получаем

(2.5.2)(2.5.2)d^u ^p

(2.5.2)

(2.5.2)

dy2pl *

Интегрирование этого уравнения с граничными условиями и = 0 при у = 0 и у = h дает

и =(2.5.3)

(2.5.4)(2.5.4)Течение с параболическим распределением скоростей известно как плоское течение Пуазейля. Объемный расход на единицу ширины в поперечном к потоку направлении получается интегрированием по сечению; в результате имеем

(2.5.4)

(2.5.4)

вид

Id /&t\ = _Ар .(2.5.5)

г dr \ dr /х7

h3^p 12pl "

В случае цилиндрической симметрии уравнение (2.5.1) принимает

После интегрирования получаем

(2.5.6)(2.5.6)и = —г2 + a In г + Ь.

(2.5.6)

(2.5.6)

4р111

В случае, если круглая труба полая, постоянная а должна быть равна нулю для того, чтобы на оси трубы скорость оставалась конечной. Постоянная Ъ получается из граничного условия и= 0 на стенке трубы при г = rv Следовательно,

w=#^-r2)-(2.5.?)

Распределение скорости поперек трубы опять будет параболическим; это течение известно как течение Пуазейля — Хагена.

Объемный расход получается интегрированием дифференциального потока ^игийг, проходящего через круговой элемент 2лгйг площади поперечного сечения. Тогда полный расход

<2=2л j rudr = ^^-(2.5.8)

О

выражает закон Пуазейля для ламинарного течения в круговой трубе.

Рис. 2.5.1. Общий вид поперечного сечения при рассмотрении ламинарного параллельного течения.Рис. 2.5.1. Общий вид поперечного сечения при рассмотрении ламинарного параллельного течения.вида, полностью окруженныхвида, полностью окруженныхЕсли труба не полая, а имеет коаксиально расположенное ядро, можно снова применять уравнение (2.5.6). Граничными условиями теперь будут и = 0 при радиусе трубы т\ и при радиу-

Рис. 2.5.1. Общий вид поперечного сечения при рассмотрении ламинарного параллельного течения.

Рис. 2.5.1. Общий вид поперечного сечения при рассмотрении ламинарного параллельного течения.

вида, полностью окруженных

вида, полностью окруженных

—1.

4gZ L 1' In (г^2)Г! J

(2.5.9)

Расход может быть рассчитан, как и ранее:

лДр г 44(г? —гр2!

V ^l L 12In^/r^J*

(2.5.10)

Уравнение (2.5.1) можно применять к поперечному сечению произвольной формы. Поперечное сечение может содержать одно или несколько ядер произвольного

жидкостью, при условии что полное поперечное сечение остается тем же самым вдоль всей трубы (рис. 2.5.1). Так как правая часть уравнения (2.5.1) постоянна, то выражение для скорости можно представить в несколько другом виде:

(2.5.И)

Функция ф удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа:

^ + 5 = 0.(2.5.12)

Условие прилипания требует, чтобы

^■=^^2+z2)(2-5-13)

на стационарных граничных поверхностях £х (у, 2), S^ (у, 2) и т. д. Решение двумерного уравнения Лапласа можно получить различными методами. Если произвольное поперечное сечение может быть отображено на круг некоторым конформным преоб-

4*

разеванием, то анализ существенно упрощается. Можно также применить прямое численное решение, использующее релаксационные методы. Интересно отметить, что решение уравнения Лапласа в такой форме соответствует некоторым другим физическим задачам, среди которых можно упомянуть вращение идеальной жидкости, изгиб призматической балки и выпучивание тонкой мембраны, закрепленной по периметру.

Задача течения в круглой трубе, содержащей эксцентрично расположенное круглое ядро [47, 9], решалась при помощи конформного отображения уравнений (2.5.12) и (2.5.13). Применяем преобразование г = М tg (£/2), где г’ = у -]~ iz, £ = £ + ^Л» М — постоянная и / = У —1. Тогда получаем уравнение

^ + ^1-0, (2.5.14)

решение которого ф (5, ц) удовлетворяет граничным условиям

, Др / 2M2chp

(2.5.15)(2.5.15)) на внУтРеннеи границе,

(2.5.15)

(2.5.15)

4" = "гт ( ~i7~7~~~t\—^2) на внешней границе, 1 4pl \cha + cos£)/г

где аир — значения ц на внешней и внутренней границах соответственно. Получено замкнутое выражение для и, а выражение для объемного расхода за секунду получается интегрированием:

Л Р

Q = 2 j j u|-^|MdT).(2.5.16)

0 a

Окончательная формула для расхода через трубу радиуса гх с ядром радиуса г2 и расстоянием между центрами трубы и ядра b дается следующим выражением:

_ лДр { 44(Г1 + г2 + Ь) (Г1+г2 —Ь) (ri —r2 + 6) (rt — r2 — b) _

~ 8цг 1 12(Р-а)

~. Л , (2.5.17)

причем аир можно найти из соотношений

11 Г Ч- Мп 11 Г — b -f- М/ q г л о\

а=21ПСТ’Р=21П F-b-M’(2‘5Л8)

где

F^-^-^ М^У^-гХ-

В вырожденном случае Ъ = 0, т. е. когда ядро расположено центрально, последний член в уравнении (2.5.17) равен нулю.

Кроме того,

|3— а—In —, Г2|3— а—In —, Г2откуда получаем соотношениеоткуда получаем соотношениеQeQe_ лДр Г 44(rf —Г§)2 "I8^ L 14In^/r^J’_ лДр Г 44(rf —Г§)2 "I8^ L 14In^/r^J’(2.5.19)(2.5.20)(2.5.19)(2.5.20)

|3— а—In —, Г2

|3— а—In —, Г2

откуда получаем соотношение

откуда получаем соотношение

Qe

Qe

_ лДр Г 44(rf —Г§)2 "I

8^ L 14In^/r^J’

_ лДр Г 44(rf —Г§)2 "I

8^ L 14In^/r^J’

(2.5.19)

(2.5.20)

(2.5.19)

(2.5.20)

которое идентично уравнению (2.5.10).

ЗЬ22(Г1-Г2)2 ’ЗЬ22(Г1-Г2)2 ’QQcQQc(2.5.21)(2.5.21)Значения, даваемые уравнением (2.5.17), наиболее легко проверить, рассматривая зависимость относительного расхода QlQe от Ы^ — г2), где Qc — расход при центрально расположенном ядре. Результаты некоторых таких расчетов [47] представлены на рис. 2.5.2. Для сравнения приведена также параболическая аппроксимация

ЗЬ2

2(Г1-Г2)2 ’

ЗЬ2

2(Г1-Г2)2 ’

Q

Qc

Q

Qc

(2.5.21)

(2.5.21)

полученная из приближения, аналогичного применяемому в теории смазки. Видно, что это простое выражение аппроксимирует точное решение для значений г^Ту > 0,5.

Задача течения в круглой трубе с эксцентричным ядром рассматривалась также Редбергером и Чарлзом [50], которые применили иное конформное отображение. Их численные результаты не находятся в точном согласии с данными, представленными на рис. 2.5.2. Например, Редбергер и Чарлз получили QIQC = = 2,25 для эксцентриситета, равного единице, и rjr2 = 0,7, в то время как из рис. 2.5.2 при тех же условиях следует QlQe = = 2,4.

Эти исследования подтверждают общее утверждение, что очень большое увеличение расхода, обусловленное эксцентриситетом, имеет место при малых зазорах. Инженеры давно заметили большое увеличение в утечке из-за зазора в клапане при закрытии его только с одной стороны. Другое интересное наблюдение, хотя вряд ли такое неожиданное, заключается в том, что малое ядро при максимальном эксцентриситете практически не влияет на суммарное сопротивление потоку.

Установившееся течение в длинной трубе эллиптического сечения, содержащей софокусное эллиптическое ядро [47], также изучалось при помощи методов конформного отображения. Когда площадь поперечного сечения ядра превосходит треть поперечного сечения трубы, увеличение перепада давления, вызванное ядром, может быть близко аппроксимировано результатами, полученными для случая концентрического круглого ядра с такой же площадью поперечного сечения. При этом представляет интерес ситуация, когда внутренняя граница стягивается в бесконечно тонкую полоску, соединяющую фокусы.

Ряд других типов поперечных сечений рассмотрели Грец [19] и Гринхилл [21]. Метод решения основывается на уравнениях (2.5.12) и (2.5.13), Для эллиптических поперечных сечений результат можно выразить в точной алгебраической форме. В случае

Рис. 2.5.2. Изменение расхода в зависимости от эксцентриситета ядра.

прямоугольного поперечного сечения необходимы трансцендентные функции. Второй метод включает в себя нахождение выражений, которые удовлетворяют дифференциальному уравнению (2.5.12), и определение затем поперечных сечений, для которых * удовлетворяются граничные условия (2.5.13). В качестве примера приложения этого метода можно рассмотреть течение в трубах треугольного или квадратного поперечного сечения с криволинейными сторонами и закругленными или острыми углами.

У2а2 Ъ2 ГУ2а2 Ъ2 ГДля течения в трубе эллиптического поперечного сечения с большой и малой полуосями а и Ъ соответственно решение, удовлетворяющее условию и = 0 на периметре эллипса уй1а? 4- 4-2W = 1, имеет вид

У2

а2 Ъ2 Г

У2

а2 Ъ2 Г

и =и =(2.5.22)(2.5.22)(2.5.23)(2.5.23)^ра2Ь2 / ,2р,Ца^ + Ь2^ \ k

и =

и =

(2.5.22)

(2.5.22)

(2.5.23)

(2.5.23)

Тогда расход равен

л Др а3Ъ3

Для прямоугольного поперечного сечения со сторонами а и b в направлениях у и 2 соответственно решение дифференциального уравнения имеет вид

т=1

(2.5.24)

Это решение удовлетворяет граничному условию и = О при у = 0 и у = а. Коэффициенты Ат и Вт определяются из граничных условий и = 0 при 2 = 0 И 2 = 6. Из условия 2 =*0 следует

°=-&У<У-аН 2 ^Ч^(2.5.25)

7П=1

Это дает возможность определить коэффициенты Ат при помощи формулы Фурье

а

Л™ = Щ j У^У-“) sin (Ч) ^iSSt^0™-1)" <2-5-26) о

Граничное условие при 2 = Ъ = ца требует, чтобы выполнялось равенство

0= —4^У (у —«) + 2 sin (-^^) (Jmchmiin4-.Bmshmi]^ m=l

(2.5.27) которое дает

fi ЛпИсЬтрг-!)(2.5.28)

Интегрируя, получаем выражение для расхода

“> 2 (етр[«*‘Ь (т-») +»*» (-^"“) ■ (2-5.29) п=1

В случае квадратного сечения со стороной а это выражение имеет ВИД

<2-мо>

п=1.

или после суммирования ряда

^ = JW^^_(2.5.31)

Если обозначить через Qo расход через круглую трубу с такой же площадью поперечного сечения, как и у трубы с квадратным сечением, то при помощи (2.5.8) находим

^- = 0,88327.(2.5.32)

V0

Уменьшение расхода обусловлено острыми углами квадратного сечения.

Для равностороннего треугольника со стороной 5, центр которого является центром поперечного сечения, и с осью у, параллельной одной из сторон, имеем

и=(z + 1/З у(z — 3 у.

6^1 \2^3/' У у ]/3 / V v у |Лз/

(2.5.33)

Объемный расход равен

.уздрм

V320|iZ ’

(2.5.34)

Его можно сравнить с

расходом для круглой

трубы равного

поперечного сечения:

-£ = 0,72552. V0

(2.5.35)

Расход через канал с сечением в виде равностороннего треугольника также существенно ниже расхода через каналы квадратного или круглого сечения такой же площади.

В следующей главе будет рассмотрена задача дополнительного перепада давлений, вызванного наличием частицы или разбавленной смеси частиц в канале произвольной формы (см. разд. 3.6 и 7.1).

Упрощения уравнений Навье — Стокса, в частности для медленного течения

Как уже отмечалось, известно немного решений полных уравнений Навье — Стокса. Однако значительно более серьезные трудности возникают при достаточно больших скоростях, при

которых течение становится турбулентным. Зависимые переменные, такие, как скорость и давление, не являются более однозначными функциями пространственных координат и времени и должны описываться стохастическими законами. Появление турбулентности [26] связано с неустойчивостью, присущей установившемуся ламинарному течению. Для полной устойчивости течения необходимо, чтобы малые возмущения основного течения, если они возникли, затухали со временем. Если эти возмущения,, которые всегда существуют в реальных течениях, стремятся усилиться со временем, течение неустойчиво и естественным образом наступает турбулентность. Несмотря на то что зависимые от времени формы уравнений неразрывности и движения можно считать применимыми, их решение для мгновенных скоростей и давлений невозможно найти; предпочтительно прибегнуть к различным приближенным схемам.

Даже в упрощенном виде теоретическая задача устойчивости установившегося обтекания тел конечных размеров не решена. Но представляется несомненным, что установившееся течение устойчиво при достаточно малых числах Рейнольдса. Экспериментальные данные указывают на то, что ламинарное течение устойчиво при достаточно малых числах Рейнольдса. Экспериментальные данные также свидетельствуют о том, что ламинарное течение всегда устойчиво в каналах с круговым поперечным сече* нием вплоть до N^ = dUp/p. = 2100, где d — диаметр трубы и U — средняя скорость. Однако когда приняты специальные меры по уменьшению возмущений на входе, ламинарные течения могут существовать при значительно более высоких числах Рейнольдса. В случае обтекания потоком тел, помещенных в жидкость, критическое число Рейнольдса намного меньше, особенно для плохо обтекаемых тел, обтекание которых происходит с отрывом потока. При этом критические значения имеют порядок от 10 до 100; так, например [35], при поперечном обтекании цилин дра потоком жидкости незатухающее неустановившееся течение наблюдается при N^ = dUpIp. =34, где d— диаметр цилиндра. Критическое число Рейнольдса т¥не = 17, при котором начинается отрыв потока при обтекании сферы, было найдено Дженсоном [29]; его анализ основан на решении полных уравнений Навье — Стокса релаксационными методами.

Одним из общих путей упрощения уравнений Навье — Стокса при больших числах Рейнольдса является полное или частичное пренебрежение вязкими членами p,V2v по сравнению с инерционными pv-Vv. Если полностью пренебречь вязкими членами и считать движение безвихревым, то получим уравнения потенциального течения, являющиеся основой классической гидродинамической теории [39]. Эта теория, к сожалению, не дает никакой информации о сопротивлении, испытываемом телами, помещенными

в установившиеся течения неограниченной среды, или о сопротивлении при течении жидкости по каналам. Так как пренебрежение вязкими членами понижает порядок уравнений движения с четвертого до третьего, то их решение не может удовлетворить условию прилипания на твердой границе. По этой причине установившиеся течения такого типа лишены физического смысла, по крайней мере в непосредственной близости от твердых границ, даже для очень больших чисел Рейнольдса.

Однако в предельном случае больших чисел Рейнольдса можно разделить поле течения вокруг тела на внешнюю область, где течение обычно безвихревое и тонкий слой вблизи тела вместе со следом за ним, где вязкими эффектами пренебрегать нельзя. Можно полагать, что во внешней области течение приближенно описывается уравнениями идеальной жидкости, а во внутренней области вязкие и инерционные эффекты равнозначны, и поэтому необходимо использовать полные уравнения Навье — Стокса. Эта последняя область состоит из пограничного слоя, непосредственно примыкающего к телу, и следа за ним.

Понятие о пограничном слое введено в гидромеханику Прандтлем в начале нашего века и успешно используется в задачах гидравлики и аэродинамики [54].

Короче говоря, теория пограничного слоя включает в себя упрощенные уравнения Навье — Стокса, основанные на малости некоторых членов вблизи твердой поверхности, и надлежащего сращивания течения вблизи поверхности с внешним потоком. Эта теория применялась к задачам как турбулентного, так и ламинарного течения, и получено большое разнообразие решений [45, 38]. К сожалению, поток за обтекаемыми телами после точки отрыва не может рассматриваться в рамках теории пограничного слоя. Таким образом, не существует теоретической оценки сопротивления для обтекаемых тел при числах Рейнольдса, при которых сказывается возможным отрыв потока.

Другой метод упрощения, который будет применяться в этой книге, заключается в модификации или пренебрежении инерционными членами pv-Vv по сравнению с вязкими членами p,V2v в уравнении (2.1.15). Полное пренебрежение инерционными членами приводит к так называемым уравнениям ползущего течения (creeping flow), или уравнениям Стокса. Так, для установившегося течения несжимаемой жидкости пренебрежение инерционными членами и учет всех консервативных внешних массовых сил в давлении р приводит уравнение (2.1.15) к следующему виду:

V2v = -^Vp, (2.6.1)

которое вместе с уравнением неразрывности

V-v = 0 (2.6.2)

представляют собой уравнения Стокса для данной ситуации. В случаях, когда применимо пренебрежение квадратичными инерционными членами, оно ведет к весьма существенным упрощениям уравнений движения, которые при этом становятся линейными. Другими словами, если (vx, р^) и (v2, р^ каждая в отдельности удовлетворяет (2.6.1), (2.6.2), то этим же уравнениям удовлетворяет и (vx + v2, рх + Р^- Точные решения пригодны теперь даже для случаев с относительно сложной геометрией, которые могут быть рассмотрены при помощи классических методов суперпозиции, применяемых к линейным дифференциальным уравнениям в частных производных.

Уравнения Стокса могут быть применены в случаях, когда члены pv-Vv малы по сравнению с членом, pV2v в каждой точке жидкости. Если в данной задаче I и V— соответственно характерный линейный размер и скорость, то эти выражения пропорциональны pV2/Z и pV/Z2. Отношение инерционных сил к вязким обычно описывается безразмерным параметром ZPp/p, характерным числом Рейнольдса. Таким образом, чем меньше число Рейнольдса, тем лучше приближенное решение уравнений Навье — Стокса, полученное при учете только вязких членов. Конкретное значение числа Рейнольдса, выше которого пренебрежение инерционными членами дает плохую аппроксимацию, в конечном счете зависит от требуемой точности. Сопротивление для сферы радиуса а, движущейся стационарно со скоростью U в неограниченной жидкости по закону Стокса, полученному из уравнений медленного течения, выражается в виде

F = 6лца[7. (2.6.3)

При числах Рейнольдса N^e = aUp/p. вплоть до 0,05 сопротивление по закону Стокса только на 2% меньше, чем ожидаемое более точное значение, полученное Праудменом и Пирсоном [49] на основе строгих разложений уравнений Навье — Стокса по малому числу Рейнольдса, в которых принимаются во внимание инерционные члены. Этот результат выражается уравнением (2.6.6).

В тех случаях, когда в задачу входит более одной характерной величины, число Рейнольдса может быть значительно больше единицы, по по-прежнему можно пренебречь инерционными членами. Например, в соответствии с экспериментальными данными Мак-Ноуна и др. [37] для сферы, расположенной на оси кругового цилиндра, заполненного вязкой жидкостью, диаметр которого мало отличается от диаметра сферы, числа Рейнольдса для сферы должны стать порядка 70, для того чтобы влияние инерционных членов стало заметным. Аналогично, при течении во взвешенном слое числа Рейнольдса для сфер, определенные по скорости псевдоожижения, должны быть более 5, чтобы стали заметны откло-

нения от линейности на кривой зависимости перепада давления от скорости ожижения [22]. В этом случае в дополнение к радиусу сферы играет роль также второй характерный линейный размер — среднее расстояние между сферами. Аналогичные эффекты проявляются и при течении сквозь плотную упаковку цилиндров [23].

Кроме того, уравнение (2.6.1) представляет собой хорошую аппроксимацию уравнений Навье — Стокса для некоторых классов неустановившихся течений.'Возможность такого приближения подробно будет обсуждаться в разд. 2.10.

Явления, в основе которых лежит инерция жидкости, конечно, не описываются уравнениями Стокса. Например, две одинаковые сферы, падающие вдоль линии центров, испытывают одинаковое сопротивление и движутся с одинаковой скоростью. Следовательно, при их падении расстояние между ними должно оставаться фиксированным [60]. Однако можно показать, что при любом ненулевом числе Рейнольдса верхняя сфера испытывает меньшее сопротивление, чем нижняя, и, следовательно, верхняя сфера в конце концов догонит нижнюю [24]. Другой пример соответствует нейтрально плавающей сфере, центр которой смещен относительно оси вертикального кругового цилиндра, в котором вязкая жидкость течет по закону Пуазейля. В соответствии с уравнениями Стокса [7] сфера будет находиться все время в постоянном положении относительно оси. Если, однако, принять во внимание инерционные члены, то боковая сила будет стремиться передвинуть сферу поперек линий тока [53]. Чем меньше число Рейнольдса, тем меньше при прочих равных условиях инерционные эффекты. Но так как течения, для которых число Рейнольдса тождественно равно нулю, не могут существовать, инерционные эффекты должны проявляться в некоторой степени во всех реальных системах.

Эффекты, проявляющиеся в случаях, когда число Рейнольдса мало, но не настолько, чтобы его влиянием можно было пренебречь, можно выявить, применяя методы, аппроксимирующие инерционные члены в уравнениях Навье — Стокса. Первая попытка в этом направлении принадлежит Уайтхеду [63], который в 1889 г. пытался распространить решение Стокса для поступательного движения сферы на более высокие числа Рейнольдса, используя схему регулярных возмущений. Уайтхед предположил, что стоксово решение уравнений медленного течения

|iV2v0 — Vp0 = 0,

V-v0 = 0

при обтекании сферы, удовлетворяющее граничным условиям v0 = 0 при г = a, v0 —U при г ->оо,

применимо для итеративной аппроксимации инерциальных членов в уравнениях Навье — Стокса. Таким образом, вместо уравнений Навье — Стокса, Уайтхед использовал уравнения

— \рх = pv0-Vv0,

V-vx = О,

для которых он затем пытался найти решения (v17 р^, удовлетворяющие граничным условиям

¥х — О при г — as ¥х ->U при Г —>ОО.

Поле ух представляет улучшенное стоксово решение, в котором учтено влияние членов первого порядка по числу Рейнольдса.

Схема Уайтхеда обладает тем очевидным преимуществом, что теперь нужно решать только линейное неоднородное уравнение вместо нелинейного уравнения. Более того, эту схему возмущений можно в принципе продолжить далее, используя p¥1-V¥1 в качестве следующей аппроксимации инерционных членов. Это дает также идею итерационной схемы для получения более высоких приближений. К сожалению, как это обнаружил сам Уайтхед, не существует решения приведенных выше уравнений для v17 удовлетворяющих условию однородного течения па бесконечности. Более того, можно показать, что следующее приближение, скажем v2, становится бесконечным вдали от сферы. Невозможность продолжить решение Стокса при помощи только что намеченной итерационной схемы известна как парадокс Уайтхеда.

Таким положение оставалось вплоть до 1910 г., когда Озеен указал причину появления парадокса Уайтхеда и предложил метод для его разрешения. Детали этого предложения изложены подробно в книге Озеена [43], в которой приведены также различные приложения. Как подчеркнул Озеен, обычное стоксово решение уравнений медленного течения имеет па больших расстояниях от сферы вид v0 = U -}- UaO (г-1). Таким образом, на больших расстояниях V2v0 = UaO (г-3) и v0-V¥0 = U^aO (г-2). Отношение инерционных членов к вязким вдали от сферы поэтому равно

Pl vp-Vvol _ 0 / rUp \p|V2v0|'\ М /

и представляет локальное число Рейнольдса. Так как в предыдущем выражении появляется расстояние г, то очевидно, что неявное стоксово предположение о том, что инерционные члены везде меньше вязких членов, не согласуется с формой поля скоростей. Таким образом, стоксово распределение скоростей не является равномерно справедливой аппроксимацией и становится неверным на тех расстояниях г от сферы, для которых rUpIp = О (1). Начиная с этих расстояний, локальные инерционные и вязкие члены

становятся одного порядка, что не согласуется с полным пренебрежением инерцией, проведенным Стоксом. Так как решение v0 неравномерно справедливо, оно не может привести к корректным вычислениям инерциальных членов на больших расстояниях и поэтому не может играть роль первой аппроксимации инерционных членов в итеративном методе Уайтхеда. Таким образом, Озеен указал источник парадокса Уайтхеда.

Чтобы обойти эту трудность, Озеен сделал следующие дополнительные предположения. В пределе малых чисел Рейнольдса aUp!\x. -^0 стоксово приближение становится несправедливым, только когда г!а-^оо. Но на больших расстояниях локальная скорость v весьма незначительно отличается от скорости набегающего потока U. Поэтому Озеен предположил, что инерционный член pv-Vv долженравномерно приближаться членом pU-Vv. На основе таких аргументов он предположил, что равномерно справедливые решения задачи установившегося обтекания тел при малых числах Рейнольдса можно получить, решая линейные уравнения

HV2v - Vp = pU-Vv, (26^

V-v = 0.

Они известны как уравнения Озеена.

Сам Озеен получил приближенное решение своих уравнений для обтекания сферы, на основе которого была выведена формула для сопротивления

F = 6лр«(7 [1 + A WRe + <?№)], (2.6.5)

где 7VBe = aUp/p. В пределе 7УВе ->0 это выражение сводится к формуле Стокса. Формулы для сопротивления, подобные по структуре вышеприведенной формуле, были получены для множества других тел, например эллипсоидов [2], при помощи приближенного решения уравнений Озеена. Большинство из этих результатов можно найти в книге Озеена [43].

Много споров вызывает интерпретация связи между дифференциальными уравнениями Озеена и уравнениями Навье — Стокса. Хотя озееновский член U-Vv, по-видимому, удовлетворительно аппроксимирует истинный инерционный член v-Vv на больших расстояниях от сферы, такая аппроксимация должна ухудшаться вблизи тела, где граничное условие v = 0 требует, чтобы истинный инерционный член был мал. В частности, из озееновского анализа совершенно не ясно, является ли инерционная поправка 37УВе/8 к сопротивлению для сферы действительно правильной; кроме того, метод Озеена не дает возможности построить систематическую процедуру возмущений для получения приближений более высокого порядка к решению уравнений Навье — Стокса.

С другой стороны, озееновский анализ придает прочную теоретическую основу закону Стокса, а также указывает на то, что связь между уравнениями Стокса и Навье — Стокса при малых числах Рейнольдса не столь очевидна, как это могло бы показаться из элементарных соображений теории размерности. Подход Озеена дает возможность разрешить парадокс Стокса (разд. 2.7), согласно которому не существует решения уравнений Стокса для задачи двумерного поперечного обтекания цилиндра потоком неограниченной жидкости.

Неудовлетворительное положение с уравнениями Озеена, связанное с описанием инерционных эффектов, существовало до появления работы Лагерстрома, Коула и особенно Каплуна из Калифорнийского технологического института в середине 50-х годов. Их идеи оказались весьма плодотворными и были далее развиты в работе Праудмена и Пирсона [49]. Весьма интересно, что стимулом к такой деятельности послужили проблемы теории ламинарного пограничного слоя при высоких числах Рейнольдса, когда попытки получить поправки высшего порядка к теории Прандтля и тем самым распространить ее на область более низких чисел Рейнольдса оказались безуспешными в связи с отсутствием ясного понимания соотношения между уравнениями Прандтля и полными уравнениями Навье — Стокса.

Праудмен и Пирсон [49] установили, что решение Озеена нужно рассматривать как равномерно справедливое нулевое приближение решения уравнений Навье — Стокса при малых числах Рейнольдса. Хотя его и можно использовать для оправдания закона Стокса, но нельзя непосредственно применить для получения поправки первого порядка к этому закону того же типа, что и в уравнении (2.6.5). Если обозначить решение уравнения Озеена через (v0, /?0), то Праудмен и Пирсон указали, что это поле, а не поле Стокса, примененное в методе возмущений типа Уайтхеда, должно привести к удовлетворительному начальному приближению для описания инерционных эффектов при малых числах Рейнольдса. Вследствие сложной структуры уравнений Озеена этот подход, наверное, не может быть продолжен далее. В некотором смысле Праудмен и Пирсон отстаивали другой метод возмущений для решения уравнений Навье — Стокса при малых числах Рейнольдса. Этот метод сингулярных возмущений, схематически более сложный, чем комбинированный метод Уайтхеда — Озеена, более удобен на практике. При его помощи удается получить приближенные поля возмущений, равномерно справедливые во всем объеме жидкости, и определить подходящие решения, которые локально справедливы в отдельных областях вблизи и вдали от тела. Это —«внутреннее» и «внешнее» решения, каждое из которых единственным образом определяется асимптотическим сращиванием этих решений в области их общей справедливости.

Рис. 2.6.1. Сравнение некоторых методов определения коэффициента сопротивления сферы.

1 — Дженсон; 2 — действительные данные о сопротивлении (сглаженные); з — закон Стокса.

Главным результатом этих расчетов является выражение для сопротивления сферы при малых числах Рейнольдса:

F = 6^aU [ 1 + -1 ^ве + -^ Nk In WRe + О №) ] . (2.6.6)

Из-за сложности аргументов, лежащих в основе метода, все еще оказывается невозможным точно установить область применимости этой асимптотической формулы. Совпадение с формулой Озее- на (2.6.5) до членов порядка О (Л^ке) случайно. Причина этого состоит, как было показано, в том, что теория Озеена сама по себе недостаточна для вывода формулы сопротивления с точностью до членов выше нулевого порядка по числу Рейнольдса, т. е. для уточнения закона Стокса.

В обзоре Дженсона [29] рассматриваются численные методы, используемые при исследовании обтекания сфер и круговых цилиндров в промежуточной области чисел Рейнольдса, от медленных до погранслойных течений. Он получил детальное решение задачи обтекания сфер при промежуточных числах Рейнольдса с использованием релаксационных методов. В его методе уравнения Навье — Стокса и неразрывности сводятся к одному нелинейному уравнению в частных производных, в котором функция

тока (см. гл. 4) является независимой переменной, а число Рейнольдса играет роль свободного параметра. Затем это дифференциальное уравнение сводится к конечно-разностному уравнению и решается графическим методом. Пространство вне сферы представляется в виде сетки, в узлах которой функция тока рассчитывается методом проб и ошибок. Более удачные попытки дают лучшую аппроксимацию в зависимости от выбранного размера ячейки сетки. Для решения таких разностных уравнений используются быстродействующие вычислительные машины. Хотя ни приближение Стокса, ни приближение пограничного слоя неприменимы в рассматриваемой области, сила сопротивления, вычисляемая по обеим теориям, плавно переходит в результаты, полученные Дженсоном, что указывает на непрерывный переход от течения Стокса к течению с образованием пограничного слоя при увеличении чисел Рейнольдса. На рис. 2.6.1 представлена зависимость коэффициента сопротивления CD = Fl^pU^na^lZ) от числа Рейнольдса для сферы N-Red = 2aUp/p, полученная из численных расчетов Дженсона по закону Стокса (CD = 24/Nned) и измеренная в эксперименте [46].

Суммируя сказанное выше, можно утверждать, что уравнения Стокса во многих случаях дают имеющие физический смысл решения краевых задач для течений при малых числах Рейнольдса.

Парадоксы, возникающие

при решениях уравнений Стокса

В случае двумерного течения, перпендикулярного оси кругового цилиндра, не существует решения уравнений Стокса, обращающегося в нуль на поверхности цилиндра и остающегося конечным вдали от него. Эта двумерная задача сильно отличается от трехмерной задачи об обтекании сферы. Указанное обстоятельство иногда называют парадоксом Стокса. Тот факт, что этот парадокс должен возникать в двумерном случае, можно просто продемонстрировать при помощи элементарных соображений, следующих из теории размерности. Так, при обтекании кругового цилиндра радиуса а необходимо рассматривать не силу, действующую на все тело, как это имеет место для трехмерных течений, а только силу, действующую на единицу длины тела, скажем F. Так как в уравнениях Стокса плотность жидкости р не входит в качестве параметра, то F может зависеть только от р,, a, U. Возможна только одна безразмерная комбинация F/pU из этих переменных. Отсюда следует, что F/pU = const. Такая связь, очевидно, невозможна, так как из нее получается, что сила на единицу длины не зависит от размера цилиндра. Если положить а —>-О, что соответствует исчезновению цилиндра, то сила 5—01084

при этом не обращается в нуль, как это должно быть на самом деле.

Эти соображения показывают существенное отличие между двумерными и трехмерными медленными течениями. Если имеется вторая поверхность, то необходимо ввести еще один дополнительный параметр размерности длины, скажем Ь, и тогда из анализа размерности следует равенство FI\kU = функция от (а/Ь), которое более не противоречит интуиции. С другой стороны, если инерционные члены не отбрасываются, то р также является определяющим параметром, и можно получить F!\xU = функция от (atZp/p). Такая связь более не противоречит физическому смыслу, при условии что эта функция становится равной нулю при aUp!\x, -^0.

Ламб [34] использовал уравнение Озеена для получения подходящего первого приближения для определения сопротивления на единицу длины цилиндра:

1/2 —Т—In (С7ар/4р,) ’

где у = 0,577 — постоянная Эйлера и а — радиус цилиндра. Строгое обоснование этого результата получено Праудменом и Пирсоном [49] методами сингулярных возмущений.

Краковский и Чэрнес [33] обобщили парадокс Стокса на произвольные двумерные течения, неограниченные внешне во всех направлениях. Они показали, что не существует решения уравнения Стокса, везде отличного от тривиального решения v = 0, которое было бы ограничено в области течения. Граница области течения предполагалась состоящей из произвольного числа препятствий, которые могут быть открытыми или замкнутыми поверхностями или даже отдельными точками, в которых скорость равна нулю.

Для двумерных областей, частично ограниченных на бесконечности, уравнения Стокса могут иметь ограниченные решения, которые при малых числах Рейнольдса хорошо аппроксимируют действительные течения. Таким образом, Бейрстоу с соавторами [5] и Факсен [18], используя уравнения Стокса, успешно рассмотрели течение, перпендикулярное оси кругового цилиндра, расположенного между двумя параллельными стенками. Доказаны теоремы существования для таких областей [33].

Если в жидкости имеется более одной поверхности, необходимо внимательно рассмотреть природу границы, чтобы определить, будет ли физически разумен результат, полученный при использовании уравнений Стокса. Так, Эмерслебен [15] получил теоретическое решение для одномерной задачи о течении вязкой жидкости, параллельном продольным осям цилиндров равного

диаметра, расположенных в узлах квадратной решетки, простирающейся неограниченно в направлениях, лежащих в плоскости, нормальной осям цилиндров. Аналогично, Хасимото [25] предложил теоретическое решение двумерной задачи для течения, перпендикулярного к продольным осям цилиндров, образующих такую же бесконечную квадратную решетку. При анализе периодической системы такого типа невозможно, очевидно, рассматривать область течения как внешне неограниченную.

Тамада и Фудзикава [61], используя уравнения Озеена, исследовали двумерное обтекание бесконечной полосы параллельных цилиндров в общем случае, когда направление набегающего потока образует произвольный угол с осью полосы. Они показали, что для течения, перпендикулярного к полосе, сопротивление каждого цилиндра стремится в пределе при числе Рейнольдса, стремящемся к нулю, к результату, полученному на основе уравнений Стокса. Для течения, параллельного полосе цилиндров (но перпендикулярного продольной оси каждого цилиндра в полосе), ограниченное решение уравнения Стокса не получается, как это и предполагалось из результатов Краковского и Чэрнеса. Таким образом, при любом косом обтекании плоской сетки равновеликих параллельных цилиндров не может существовать решение* уравнения Стокса. Однако возможно получить удовлетворительную аппроксимацию, основываясь на решении уравнений Озеена или, более точно, используя методы сингулярных возмущений.

Трехмерные задачи, включающие большое число обтекаемых объектов, могут также приводить к парадоксам, аналогичным парадоксам Стокса для двумерной задачи. Так, в случае падения неограниченной бесконечной полосы или цепочки одинаковых равноотстоящих сфер уравнения Стокса приводят к бесконечной скорости осаждения. Действительно, Смолуховский [59] показал^ что в общем случае не существует ограниченного решения для течения с совокупностью бесконечного числа частиц, занимающих все пространство.

С другой стороны, при обтекании периодической решетки сфер, простирающейся на бесконечное расстояние во всех трех направлениях или только в двух направлениях, перпендикулярных направлению течения, решение уравнений Стокса существует. Хасимото [25] рассмотрел кубические структуры и цилиндрические сетки подобных типов.

Молекулярные эффекты в динамике жидкости

В основе уравнений Навье — Стокса лежит предположение, что жидкость можно рассматривать как континуум. Кроме того,, обычно предполагается, что отсутствует проскальзывание на твердых поверхностях. Фактически это означает идеализацию процес-

5*

сов переноса. При рассмотрении ограничений, присущих уравнениям Навье — Стокса и обусловленных нарушением любого из трех допущений, удобно различать два эффекта, а именно столкновения молекул жидкости между собой и их столкновения с граничными поверхностями.

Чепмен [12] рассмотрел многочисленные аспекты теории переноса в газе, в котором имеются взвешенные частицы. В случае газов при достаточно низком давлении, или с достаточно малыми частицами, или при малых размерах сосуда длина среднего свободного пробега I может быть большой по сравнению с тем или иным микроскопическим размером d. При этих условиях безразмерное число Кнудсена Кп = Ud велико, межмолекулярпые 'Столкновения редки и перенос в газе будет зависеть от увеличения числа столкновений молекул с граничными поверхностями. При теоретическом анализе различают зеркальное упругое отражение, например от стенки с абсолютно гладкой жесткой или упругой поверхностью, и диффузное упругое отражение, например от стенки с негладкой упругой поверхностью. Кроме того, столкновения со стенками могут быть неупругими; молекула может войти в некоторую полость поверхности и затем выйти оттуда с энергией, отличной от энергии на входе. Эта разница может иметь случайный характер, а может быть и систематической, как это имеет место в случае, когда стенка или слой, с которым взаимодействуют молекулы, горячее или холоднее газа [12]. Такие рассуждения приводят к понятию коэффициента аккомодации.

Кнудсен изучал как течение в каналах [31], так и движение малых взвешенных частиц [32] в условиях, когда молекулярные эффекты играют главную роль. В этой книге будут отдельно рассмотрены ситуации, когда молекулярные эффекты проявляются только в виде малых отклонений от континуального поведения.

Для чисел Кнудсена Кп = 0,01 и меньше применим закон Пуазейля (2.5.8). В области давлений, где длина среднего свободного пробега хотя и мала, но ею полностью пренебрегать нельзя (0,01 < Кп < 0,1), все еще можно применять решение уравнения Навье — Стокса, получаемое из закона Пуазейля. Однако нужно делать поправку, позволяющую учесть «проскальзывание» газа у твердой границы [30]. Удовлетворительный теоретический подход, пригодный в промежуточной области, примерно соответствующей числам Кнудсена в интервале 0,1 < Кп < 10, пока еще отсутствует, хотя для этой области и имеются эмпирические зависимости [8], относящиеся к течению в каналах.

Эпштейн [16] развил подробную теорию движения малых сфер, твзвешенных в газе, на основе кинетической теории. Он рассмотрел как случаи, когда частица мала по сравнению с длиной среднего свободного пробега молекулы газа, так и случаи, когда

сферическая частица может быть относительно большой. Как и в задаче о течении в каналах, последний случай соответствует ситуации, когда отклонения от уравнений Стокса достаточно малы, так что их можно описать при помощи поправки первого порядка, найденной на основе метода возмущений. При этих обстоятельствах сопротивление сферы, определенное в предположении упругих столкновений как для «зеркального, так и для диффузного отражения, определяется соотношением [ср. (4.20.10)1

F = 6лц(/а (1 - цфа), (2.8.1)

где Р — коэффициент пропорциональности, называемый «коэффициентом сопротивления скольжению». «Коэффициент скольжения» ц/р определяется экспериментально и находится в соответствии с общей кинетической теорией, основанной на предположении,, что только малая часть отражений осуществляется зеркальным образом. Шмитт в статье [55], содержащей обзор экспериментальных данных, рекомендует рассчитывать коэффициент скольжения по формуле

ц/р = А1. (2.8.2)

где А = 1,3—1,4 и Z — длина среднего свободного пробега моле* кулы газа.

Некоторые из подходов, применяемых к течению газа в цилиндрических трубах, использовались и в случае течения через пористую среду в предположении, что ее можно рассматривать как пучок капиллярных трубок. На этой основе получается, ■ что кажущаяся проницаемость (расход через единицу площади при единичной разности давлений) среды для течения газа является линейной функцией его среднего давления. Зависимость такого типа наблюдалась экспериментально рядом авторов [10, 4]. Однако в области низких давлений (среднее давление обычно порядка нескольких мм рт. ст.) были замечены некоторые расхождения. Хирш [27] обсудил некоторые из этих статей и привел новые экспериментальные данные, указывающие на нелинейную зависимость проницаемости от давления. Для учета этих эффектов необходимо развить более точную модель взаимодействия со стенкой, чем та, которая используется в обычной кинетической теории, где полагается, что стенка жесткая. Фактически, поверхность твердого тела быстро покрывается слоем адсорбированных молекул газа, которые способны мигрировать вдоль поверхности.

Для течений жидкости большинство имеющихся экспериментальных результатов указывает на отсутствие проскальзывания. Однако в обзоре [56], в который включены новые данные, показано, что если твердая поверхность химически обработана таким образом, что она становится несмачиваемой для протекающей жидкости, то возможно заметное проскальзывание.

Для неньютоновских жидкостей, обладающих конечным предельным напряжением сдвига (как, например, для тел Бингама), екольжение^ возможно при определенных условиях течения [51].

Течение неньютоновских жидкостей

К счастью, большинство жидкостей, которые не обладают или не формируют нитевидную кристаллическую структуру при их движении, следуют ньютоновской гипотезе [1], В задачах о течении полимеров и полимерных растворов (аморфных, но не сшитых), в которых неньютоновские эффекты могут стать важными, само течение часто происходит в условиях, в которых допустимо пренебречь инерционными членами в уравнении импульсов, как это делается и при выводе обычных уравнений для медленного ньютоновского течения.

Некоторые авторы, такие, как известные Эриксен и Ривлин [171, Олдройд [42], Нолл [41] и Грин и Ривлин [20], ввели простые теоретически оправданные нелинейные модели, связывающие тензор напряжений с тензором скоростей деформаций в неньютоновских жидкостях. Модель Эриксена и Ривлина применялась для медленных течений неньютоновских жидкостей Касуэллом и Шварцем [И] при помощи метода сращиваемых разложений, предложенного Праудменом и Пирсоном [49], с учетом соответствующих неньютоновских членов как во «внутренних», так и во «внешних» разложениях. Их окончательное выражение для сопротивления, испытываемого сферой при обтекании, имеет вид

^=6лцС7а(1+-|-^Не)+^Ф. (2.9.1)

Коэффициент Ф является сложным выражением, зависящим от неньютоновских параметров, которые постоянны для каждой данной жидкости при изотермических условиях. К сожалению, их нельзя еще определить из имеющихся экспериментальных данных.

Лесли [36] также исследовал медленное обтекание сферы, используя модель Олдройда [42] для описания неньютоновских свойств. Он получил также, что неньютоновский член пропорционален IP. Обе модели в пределе очень малых скоростей сдвига обнаруживают ньютоновские свойства, и тогда справедлив закон Стокса. При экспериментальном изучении обтекания сферы неньютоновской жидкостью Слэттери и Берд [57] использовали эмпирические модели при корреляции экспериментальных данных для водного раствора карбоксиметил целлюлозы. Требуется провести еще много исследований как экспериментальных, так и теоретических, пока будет возможен точный подход к течениям неньютоновских жидкостей в системах с частицами.

Неустановившиеся медленные течения

Уравнение Коши для количества движения (2.1.7) можно записать в виде

pa = V П 4- pF, где

Dv Ov .

a = -DF = -dT+v^v

— ускорение жидкой частицы. Так как эта связь выводится на основе применения законов движения Ньютона для малой жидкой частицы массы 6т в элементарной форме 6Евнеш = 6/па, то а и v должны измеряться относительно наблюдателя, находящегося в некоторой инерциальной системе координат. Хотя и нет в этом, строго говоря, необходимости, обычно удобно измерять скорость v, фигурирующую в ньютоновском соотношении для напряжений (2.1.8) и (2.1.12) и в общем уравнении неразрывности (2.1.1), именно в такой системе координат.

Для несжимаемых жидкостей в предположении о консервативности полей массовых сил уравнения Навье — Стокса и непрерывности можно представить в виде

p(-^- + v*Vv) = —Vp + P'V2'^,(2.10.1а)

Vv = 0,(2.10.16)

где р — динамическое давление и v измеряется относительно инерциальной системы координат. Как было показано выше, для установившегося течения при малых числах Рейнольдса эти уравнения сводятся к уравнениям Стокса

о = -^Vp + pV4|(2.10.2а)

V-v = 0.■(2.10.26)

Покажем, что эти соотношения могут^быть также применимы и для описания многих неустановившихся течений при малых числах Рейнольдса.

Для иллюстрации рассмотрим задачу о «медленном» вращении эллипсоида вокруг главной оси с угловой скоростью со. Ясно, что такое движение нестационарно, так как dxldt ^= 0. Действительно, ясно, что движение периодично в том смысле, что локальная скорость жидкости и давление в некоторой фиксированной точке пространства изменяются периодически со временем. Пусть I — характерный размер частицы, тогда определим следующие безразмерные переменные и параметры:

t = <ot — безразмерное время;

г = г/1 — безразмерный радиус-вектор; '

v = v/Zcd — безразмерная скорость;

р = (р — Poo)/y.to — безразмерное давление;

Ане = Z2G)p/p, — угловое число Рейнольдса;

V = ZV,

где роо — постоянное давление на бесконечности и со = | (о |. Записывая уравнения (2.10.2) в безразмерных переменных, получаем

^Re (4^+v-Vv) = — V^ + V2v, (2.10.3а)

V*v = 0.(2.10.36)

При условии что эти безразмерные переменные остаются конечными при N-Re ->0, предыдущие уравнения сводятся к уравнениям

0= — Vp + V2v,(2.10.4а)

V- v = 0.(2.10.46)

То, что безразмерные переменные и производные в самом деле остаются конечными при стремлении углового числа Рейнольдса к нулю, можно проверить a posteriori при помощи решения уравнения (2.10.4).

Если уравнения (2.10.4) записать в обычной размерной форме, то они формально идентичны уравнениям для стационарного медленного течения. Удобно при этих условиях уравнения (2.10.2) называть квазистатическими или квазиустановившимися уравнениями медленного течения, или уравнениями Стокса. Временная переменная входит в эти уравнения неявно.

Другие существенно неустановившиеся течения можно рассматривать по аналогичной схеме. В довольно общем случае имеется как поступательная скорость UOl так и частотный фактор со. Эта ситуация встречается, например, для пропеллероподобной частицы, падающей в гравитационном поле. Асимметричные частицы такого типа обычно достигают конечной стадии движения, в которой они одновременно совершают поступательное движение со скоростью Uo и вращательное с угловой скоростью со. Маятниковое движение сферы, совершающей поступательные гармонические колебания с некоторой частотой о, представляет собой другой пример неустановившегося движения, в котором встречаются оба эти параметра; скорость сферы в любой момент времени можно записать в виде

U — Uq cos (<dZ + а),

где ос — постоянная.

Для этих двухпараметрических движений определим следующие безразмерные величины:

t^tot, r=r/Z, v = y/UOl

Р=ЛР — Poo) If^U^. V = iv,

где две последние величины, представляют собой поступательное и вращательное числа Рейнольдса соответственно. Подставляем их в (2.10.1), тогда уравнения Навье — Стокса и неразрывности принимают безразмерный вид:

+ Жу-Уу= -Vp+ V2v,(2.10.5а)

д t

V-v = 0.(2.10.56)

Для линеаризации уравнений устремляем поступательное число Рейнольдса к нулю, тогда возможны два предельных случая в зависимости от того, является вращательное число Рейнольдса независимой переменной или нет. При падении в гравитационном поле пропеллероподобного тела о и Е70 зависят от одних и тех же физических переменных и, следовательно, не являются независимыми переменными. В этом случае вращательное число Рейнольдса исчезает вместе с поступательным числом Рейнольдса, и уравнения (2.10.5) сводятся к квазистатической форме уравнений Стокса. С другой стороны, в задаче о вынужденных продольных колебаниях частоту о можно изменять независимо от Uo, Здесь «вибрационное» число Рейнольдса N^e = /2<ор/ц не обязательно должно быть малым, даже если мало поступательное число Рейнольдса. В размерной форме уравнения (2.10.5) принимают вид

Р^- = -Vp + nV2v,(2.10.6а)

V-v = 0.(2.10.66)

Квазистатические уравнения Стокса и предыдущая форма уравнений медленного течения значительно отличаются тем, что член с локальным ускорением рдч/dt не обязательно должен быть малым. Конечно, если /2<ор/ц также мало, предыдущая форма уравнений будет идентичной квазистатическим уравнениям. В любом случае уравнения (2.10.6) линейны и могут быть решены относительно прямыми методами. Методы преобразования Лапласа, устраняющие временную переменную, широко применяются для решения нестационарной формы уравнений Стокса.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Andrade Е. N. da С., Viscosity and plasticity, New York, Chemical Publishing Co., 1951.

Aoi T. J., Phys. Soc. Japan, 10 (1955), 119.

Aris R., Vectors, tensors, and the basic equations of fluid mechanics, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1962.

Arnovsky J. S., J. Appl. Phys., 25 (1954), 48.

Bairstow L., Cave В. M., Lang E. D., Philos. Trans. Roy. Soc., London, A223 (1923), 383.

Bird R. B., Stewart W. E., Lightfoot E. N., Transport phenomena, New York, Wiley, 1960.

Brenner H., Happel J., J. Fluid Meeh., 4 (1958), 195.

Brown D. P., Di Nardo A., Cheng G. K., Sherwood T. K., J. Appl. Phys.,

17 (1946), 802.

Caldwell J., J. Roy. Tech. Coll. (Glasgow^), 2 (1930), 203.

Carman P. C., Proc. Roy. Soc., London, A203 (1950), 55.

Caswell B., Schwarz W. H., J. Fluid Meeh., 13 (1962), 417.

Chapman S., Progress in international research on thermodynamic and transport properties, Paper 24 A.S.M.E., New York, Academic Press, 1962.

Coleman B. D., Noll W., Ann. N. Y. Acad. Sei., 89 (1961), 672.

Drew T. B., Handbook of vector and polyadic analysis, New York, Reinhold, 1961.

Emersleben O., Physik. Z., 26 (1925), 601.

Epstein P. S., Phys. Rev., 23 (1924), 710.

Ericksen J. L., Rivlin R. S., J. Rational Meeh, and Analysis, 4 (1955), 323.

Faxen О. H., Nova Acta reg. Sci. Upsaliensis, (1927), 1—55.

Graetz L., Z. Math. Physik, 25 (1880), 316, 375.

Green A. E., Rivlin R. S., Arch. Rational Meeh, and Analysis, 4 (1960), 387.

Greenhill A. G., London Math. Soc. Proc., 13 (1881), 43.

Happel J., Ind. Eng. Chern., 41 (1949), 1161.

Happel J., A. I. Ch. E. Jour., 5 (1959), 174.

Happel J., Pfeffer R., A. I. Ch. E. Jour., 6 (1960), 129.

Hasimoto H., J. Fluid Meeh., 5 (1959), 317.

Хинце И., Турбулентность. Ее механизм и теория, Физматгиз, М., 1963.

Hirsch Е. Н., J. Appl. Phys., 32 (1961), 977.

Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р., Молекулярная теория газов и жидкостей, ИЛ, М., 1961.

Jenson V. G., Proc. Roy. Soc., A249 (1959), 346.

Kennard E. H., Kinetic theory of gases, New York, McGraw-Hill, 1938.

Knudsen M., Ann. Physik, 28 (1909), 7 5, 999.

Knudsen M., Weber S., Ann. Physik, 30 (1911), 981.

Krakowski M., Charnes A., Carnegie Institute of Technology, Dept. Mathematics, Tech. Rep., No. 37, 1953.

Ламб Г., Гидродинамика, Гостехиздат, 1947.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, Гостехиздат, 1952.

Leslie F. М., Quart. J. Meeh, and Appl. Math., 14 (1961), 36.

McNown J. S., Lee N. M., McPherson M. B., Engez S. M., Proc. VII Intern. Cong. Appl. Meeh., vol. 2, 1948, p. 17.

Meksyn D., New methods in laminar boundary layer theory, New York, Pergamon, 1961.

Милн-Томсон Л. M., Теоретическая гидродинамика, «Мир», M., 1964.

Navier L. M. H., Mem. Acad. Sci., 6 (1827), 389.

Noll W., Arch. Rational Meeh, and Analysis, 2 (1958), 197.

Oldroyd J. G., Proc. Roy. Soc., A245 (1958), 278.

Oseen G. W., Neuere Methoden und Ergebnisse in der Hydrodynamik, Leipzig, Akademische Verlag, 1927.

Patterson G. N., Molecular flow of gases, New York, Wiley, 1956.

Pai S., Viscous flow theory: I—Laminar flow, Princeton, N. J., D. Van Nostrand, 1956.

Perry J. W., ed., Chemical engineers’ handbook, 3rd ed., New York, McGraw-Hill, 1950, p. 1013.

Piercy N. A. V., Hooper M. S., Winny H. F., Philos. Mag. (7), 15 (1933), 647.

Prandtl L., Tietjens 0. G., Fundamentals of hydro- and aeromechanics, New York, McGraw-Hill, 1934.

Proudman I., Pearson J. R. A., J. Fluid, Meeh., 2 (1957), 237; русский перевод: Праудман И., Пирсон Дж., сб. Механика, № 2 (48), 3—28 (1958).

Redberger Р. J., Charles М. Е., Can. J. Chern. Eng., 40 (1962), 148.

Reiner М., Deformation and flow, London, H. K. Lewis and Co., 1949.

Rouse H., Advanced mechanics of fluids, New York, Wiley, 1959.

Saffman P. G., J. Fluid Meeh., 1 (1956), 540.

Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, Наука, М., 1974.

Schmitt К., Staub, 19 (1959), 416.

Schnell Е., J. Appl. Phys., 27 (1956), 1149.

Slattery J. C., Bird R. B., Chem. Eng. Set., 16 (1961), 231.

Слезкин H. А., Динамика вязкой несжимаемой жидкости, Гостехиздат, М., 1955.

Smoluchowski М., Bull. Acad. Sci., Cracow, la (1911), 28.

Stimson M., Jeffery G. B., Proc. Roy. Soc., London, Alli (1926), 110.

Tamada K., Fujikawa H., Quart. J. Meeh, and Appl. Math., 10 (1957), 425; J. Phys. Soc. Japan, 14 (1959), 202.

Westberg R., Kungl. Fysiografiska Sallskapets, J. Lund Forhandlingar, 14, No. 1 (1944).

Whitehead A. N., Quart. J. Math., 23 (1889), 143.

ГЛАВА 3. НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ РЕШЕНИЯ И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ УРАВНЕНИЙ

СТОКСА

ЗЛ» Введение

Далее будут рассматриваться в основном установившиеся течения несжимаемых жидкостей, удовлетворяющие уравнениям движения и неразрывности для медленных течений (2.6.1) и (2.6.2). Как уже отмечалось, исследование некоторых одномерных течений (например, течений в канале с плоскими параллельными стенками) может быть сведено к решению уравнения Лапласа (2.5.12), причем имеются решения для ряда течений такого типа.

Необходимо также отметить применение уравнений медленного течения в гидродинамической теории смазки. Исследование относительного движения двух близко расположенных параллельных поверхностей было начато Рейнольдсом [25]. Развитые им методы применялись с тех пор в разнообразных задачах теории смазки [14]. В дополнение к пренебрежению инерцией принимается, что течение жидкости существенно одномерно. Такие же упрощения применялись также, например, к исследованию аксиального движения сферы в круглой трубе, заполненной вязкой жидкостью, в случае, когда диаметр трубы ненамного больше диаметра сферы [8], и для вязкого течения в зазоре между параллельными круговыми цилиндрами в случае, когда зазор между ними мал по сравнению с их диаметром [17]. В первом случае наблюдается хорошее согласие эксперимента с теорией. Имеется также много других аналогичных применений данной теории.

Как указывалось в разд. 2.7, уравнения Стокса не дают конечных результатов для двумерных течений в неограниченных областях различного типа. В ограниченных системах, для которых решение получено, картина течения одинакова во всех плоскостях, параллельных, скажем, плоскости ху. Тогда можно записать

V = iu (ж, у) + р (я, у).(3.1.1)

Так как вектор завихренности в общем случае есть w = 4vxv,(3.1.2)

видим, что для двумерных течений вектор о направлен перпендикулярно плоскости ху. Если записать о = ко, то скалярная завихренность равна

Для течения несжимаемой жидкости уравнения Стокса можно записать в форме

Vp = —2p,V X о).(3.1.4)

Тогда уравнения, связывающие давление с завихренностью, эквивалентны условиям Коши — Римана [22], связывающим действительную и мнимые части функции комплексного переменного:

1 др дсо е1 др dcozq 4 ^\

2р дхду ’ 2ц дудх *V • • /

Двумерные стоксовы течения несжимаемой жидкости можно поэтому представить при помощи подходящей аналитической функции W (z) комплексного переменного z = т + ^У с действительной частью р/2р, и мнимой частью, равной —со.

Двумерные течения несжимаемой жидкости можно получить также из функции тока гр (ж, у). Компоненты скоростей связаны с функцией тока при помощи соотношений

dip дуdip дуdip дхdip дх(3.1.6)(3.1.6)

dip ду

dip ду

dip дх

dip дх

(3.1.6)

(3.1.6)

Уравнение неразрывности

ди"айди"айООдидх

ди"ай

ди"ай

О

О

автоматически удовлетворяется при любом выборе гр. В общем случае функция гр связана с завихренностью уравнением

V^ = 2(0.(3.1.7)

Легко показать, что для медленных течений функция гр удовлетворяет двумерному бигармоническому уравнению

V^ = 0,(3.1.8)

где V4ip = V2 (V^). Использование функции тока значительно упрощает решение всех двумерных задач.

Течение при малых, но не равных нулю числах Рейнольдса можно рассматривать при помощи соответствующих методов возмущений. Так, Дин [9] рассмотрел двумерное сдвиговое течение вязкой несжимаемой жидкости, обтекающей выступ на плоской стенке, причем в качестве течения, не возмущенного выступом, рассматривалось течение с однородным сдвигом.

Бигармоническое уравнение (3.1.8) решалось с тем, чтобы найти функцию тока в нулевом приближении по числу Рейнольдса. Поправка первого порядка была получена при помощи подходящей итерационной процедуры, в основе которой лежала оценка инерционных членов при помощи поля нулевого приближения.

Трехмерные решения уравнений Стокса имеют важнейшее значение для задач, относящихся к средам со многими частицами.

Так как в этих задачах обычно имеется много границ, то для их решения желательно иметь в распоряжении набор достаточнообщих решений, который позволял бы одновременно удовлетворить ряду граничных условий. Методом, наиболее широко используемым для получения таких решений, является классический метод разделения переменных. Разделяемость переменных в уравнениях Стокса полностью не исследована, но трехмерные задачи в сферических и цилиндрических координатах могут эффективна решаться таким способом. В этом случае получаются полезные решения, представляемые в виде удобных рядов.

Осесимметричные течения, или обтекание тела вращения параллельно его оси вращения, представляют пример трехмерных течений, которые могут быть охарактеризованы при помощи единственной скалярной функции тока, как это имеет места и в случае двумерных течений. Разделение переменных в этом случае возможно для более широкого класса систем ортогональных координат, что обсуждается в гл. 4. В другом общем методе получения решений линеаризованных уравнений движения используются обобщенные функции Грина. Так как получаемые решения содержат интегралы, они во многих случаях не так удобны, как решения в виде рядов. В других более специальных методах используются «зеркальные» отражения и аппарат вариационного исчисления. В последующих разделах этой главы некоторые из этих методов рассматриваются подробно, причем особое внимание уделяется тем из них, которые наиболее широко используются для целей этой книги.

Как хорошо известно [22], для полной постановки гидродинамической задачи необходимы не только решения дифференциальных уравнений, но также и граничные условия. В большинстве случаев форма границы должна быть задана. Граница называется замкнутой, если она целиком окружает жидкость. «Замкнутая граница» может уходить на бесконечность, но в этом случае граничные условия должны быть определены и на бесконечности. Так, граница является замкнутой для сферы, оседающей аксиально в бесконечно длинном цилиндре, заполненном жидкостью, если скорости заданы как на сфере и стенке цилиндра, так и при ±оо вдоль оси цилиндра.

Граница называется открытой, если она уходит на бесконечность и граничные условия для жидкости на бесконечности отсутствуют. Уравнения Стокса относятся к классу уравнений в частных производных, известных как эллиптические уравнения. Для этих уравнений предпочтительно ставить краевые задачи с замкнутыми границами. В обычно используемых граничных условиях задаются либо сам вектор поля на границе, либо же величины первых производных его компонент в тангенциальном направлении к границе.

Установление необходимых и достаточных условий, требуемых для единственности решения уравнений Стокса, представляет собой сложную математическую проблему, которая решена еще не полностью). Значительное внимание уделялось наиболее часто встречаемой задаче, а именно установлению существования и единственности решения в случае замкнутой границы, на которой компоненты скорости принимают заданные значения.

Так, Лихтенштейн [20] и Одквист [23] доказали существование решения для общего случая вязкой несжимаемой жидкости в замкнутой области, содержащей конечное число частиц конечных размеров. В случае уравнений Стокса решение также единственно, но при больших числах Рейнольдса это не так. Например, Тейлор [29], рассматривая течение между двумя вращающимися концентрическими цилиндрами, показал, что если число Рейнольдса при вращении внутреннего цилиндра по отношению к внешнему превышает определенную величину, возникает неустойчивость течения, приводящая к установлению другого течения, которое само по себе устойчиво. С увеличением числа Рейнольдса течение становится неустановившимся с вполне определенной периодичностью. Для краевых задач, в которых на границах заданы производные компонент вектора или комбинации скоростей и производных, сформулировать требуемые условия не удается. Обычно сама физическая природа интуитивно используется при формулировке подходящих граничных условий, приводящих к единственному существующему решению.

Для задач со многими границами обычно необходимо либо одновременно найти решения для каждой границы и определить появляющиеся в них функции из системы бесконечного числа уравнений, либо же удовлетворять граничным условиям последовательно (при помощи метода отражений) на каждой из внутренних границ по отдельности вместе с общим граничным условием на внешней границе, если последнее имеется.

Подробно эти методы будут обсуждаться в связи с конкретными краевыми задачами, решаемыми в последующих главах книги. Однако теорема взаимности Лоренца, которая обычно полезна для краевых задач с большим количеством границ, будет обсуждаться в этой главе параллельно с некоторыми ее применениями.

Сферические координаты

В книге Ламба [19] приведено общее решение уравнений Стокса в сферических координатах. Вычисляя дивергенцию векторного уравнения (2.6.1) и используя (2.6.2), видим, что поле давления

гармоническое, т. е. удовлетворяет уравнению Лапласа ^р = 0.(3.2.1)

Это дает возможность выразить поле давления в виде ряда по сферическим гармоникам

(3'2,2)

где рп — сферическая гармоника n-го порядка. Это разложение представляет основу для общего решения Ламба:

V= 2 [vx(rxn)+vФn +

+'г^йм^Т^ГрзГ^Р^ц(л+1)(2п+3) ГРп] * (3-2.3)

где Хп и Фп — сферические гармоники, возникающие при решении соответствующих однородных уравнений:

W = О,(3.2.4)

VV = 0.(3.2.5)

Решение краевой задачи заканчивается, когда эти три гармонические функции определяются из заданных граничных условий для каждого значения п.

Ниже приводится весьма общий метод получения этих гармонических функций в случае, когда поле скорости задано на сферической поверхности. Для случаев, когда на поверхности сферы, полностью или частично, задано поле напряжений, а не скоростей, подробности метода можно найти в оригинальной статье ). В этой статье подробно рассматривается также применение общего решения Ламба к несферическим телам, в частности к слабо деформированной сфере.

Для радиальной составляющей скорости из (3.2.3) имеем

_ 5Л Г 5ФП .п + 3 2 дрп

ZJ L dr2р(п + 1)(2п + 3) 1 8г

Дальнейшее упрощение этого выражения можно сделать при помощи теоремы Эйлера об однородных полиномах

r^_ = nhn,(3.2.7)

где hn — любая сферическая гармоника n-го порядка. Применение этого соотношения к (3.2.6) дает

-" = S [тдаТ^ + тФ"]-<3-2'8)

71= - оо

Дифференцируя по г и снова применяя теорему Эйлера, имеем

г-^= 2+«1±^^(3.2.9)

drL 2р,(2л + 3)гх 7

П=-оо

В дополнение к этим соотношениям из (3.2.3) можно также получить уравнение

r*VXv = У n(zz + l)Xn,(3.2.10)

71= - оо

которое было ранее найдено Ламбом. Тогда на поверхности сферы радиуса а получаем

( 2g|2"+3) (Aj.+vlM. (3.2.11)

[?TfL = 3 { wi) Ш. + "~^^л} (3.2.12) n=-oo

и

[r.VXv]s=Jwn(B + l)[Xn]e,(3.2.13)

где индекс а соответствует значению функции при г = а.

Если V = V (6, ф) — величина скорости на поверхности сферы, т. е.

v = М„,

то можно показать, что

kr]a = ^-V,(3.2.14)

■[г^].=<3'2Л5>

[Г. V X ¥]« = Г. V X V,(3.2.16)

где V — обычный трехмерный оператор набла. Справедливость второго из этих трех уравнений зависит от выполнимости уравнения неразрывности V-v=0, в то время как остальные два уравне^ ния справедливы для произвольной векторной функции v. Вследствие свойств сферических гармоник можно записать

[Рп1а=(-^)ПРП,(3.2.17)

6-01084

причем подобные же тождества справедливы для функций %п и Фп. Они одинаково верны и для отрицательных и для положительных п. Введение этих соотношений в уравнения (3.2.11) — (3.2.13) дает

2 [тезг(7р. + т(тГ®-]-”-у.(3.2.18)

XI Г га (п + 1) а / « \п I п(п—1) / а \"m Лv

М №+3^7) + а (т) ^nJ^-rV-V

(3.2.19)

2 [n(«+l)(7)nZn] = nVXV.2 [n(«+l)(7)nZn] = nVXV.(3.2.20)(3.2.20)

2 [n(«+l)(7)nZn] = nVXV.

2 [n(«+l)(7)nZn] = nVXV.

(3.2.20)

(3.2.20)

Далее эти соотношения конкретизируются для областей, расположенных внутри и снаружи сферы.

ОБЛАСТЬ, ВНУТРЕННЯЯ К СФЕРЕ

В случае когда жидкость занимает внутреннюю область сферы, условие конечности скорости в центре заставляет использовать положительные гармоники, т. е. мы принимаем

Рп = Фп = Хп = 0, п < 0, (3.2.21)

(3.2.22)(3.2.23)(3.2.24)(3.2.22)(3.2.23)(3.2.24)и удерживаем только те члены, для которых п ^ 1. Далее, хорошо известно, что произвольная скалярная функция угловых сферических координат (6, ср) может быть единственным образом представлена в виде ряда по поверхностным сферическим гармоникам. Это означает, что существуют соотношения вида

(3.2.22)

(3.2.23)

(3.2.24)

(3.2.22)

(3.2.23)

(3.2.24)

-rvv= 2 у„,71=1

r-VxV = J Zn,n=l

где гармоники Хп(9, ф), Уп (9, ф) и Zn (9, ф) можно определить при помощи заданной скорости V на поверхности. Рассматривая

эти выражения совместно с (3.2.18) — (3.2.20), получаем

па2|л (2м -}- 3)па2|л (2м -}- 3)п (п— 1) ап (п— 1) аV Г п(п + 1)а /_о_\"Zj L 2ц(2п + 3) \ г ) Рп71= 1V Г п(п + 1)а /_о_\"Zj L 2ц(2п + 3) \ г ) Рп71= 1п=1п=12 [«(п+1) ^-уУП=12 [«(п+1) ^-уУП=1х„]= 2 zn.П=1х„]= 2 zn.П=1(3.2.25)(3.2.26)(3.2.27)(3.2.25)(3.2.26)(3.2.27)

па

2|л (2м -}- 3)

па

2|л (2м -}- 3)

п (п— 1) а

п (п— 1) а

V Г п(п + 1)а /_о_\"

Zj L 2ц(2п + 3) \ г ) Рп

71= 1

V Г п(п + 1)а /_о_\"

Zj L 2ц(2п + 3) \ г ) Рп

71= 1

п=1

п=1

2 [«(п+1) ^-уУ

П=1

2 [«(п+1) ^-уУ

П=1

х„]= 2 zn.

П=1

х„]= 2 zn.

П=1

(3.2.25)

(3.2.26)

(3.2.27)

(3.2.25)

(3.2.26)

(3.2.27)

Приравнивая отдельные члены под символом суммирования и решая три получающихся уравнения относительно гармонических функций рп, Фп и %п, имеем при и >0

Р„ = -^ML ± (_L )" [Уп_ (и_ 1) хп], (3.2.28)

Ф. = ^«Н)"|(»+1)Х„-Г,1.<3-2-29>

<3-2-30)

Так как функции Хп, Yn и Zn в принципе могут быть вычислены из заданного значения скорости на поверхности сферы, краевую задачу внутри сферы можно считать в принципе решенной.

ОБЛАСТЬ, ВНЕШНЯЯ К СФЕРЕ

В случае когда скорость должна обращаться в нуль на бесконечности, мы должны ограничиться рассмотрением гармонических функций только отрицательного порядка. Задача об определении „поля скорости, которое не исчезает на бесконечности, а обращается в Voo = Voo (г, 9, ср), всегда может быть сведена к предыдущей задаче с нулевой скоростью на бесконечности, когда это заданное поле удовлетворяет уравнениям Стокса и неразрывности.

Как и ранее, можно воспользоваться решением, получаемым из (3.2.3), если пренебречь всеми отрицательными гармониками:.

V-Voo= 2 [v X (гХ-(П+1))+ УФ-(п+1) —

n = l

— p.2n(2n— 1) г2^Р-<"+1) + ^(2^21) rP-(n+i)J •(3.2.31)

Здесь величина п заменена на —(п + 1). По аналогии с используемыми ранее обозначениями пусть Voo обозначает поле Voo> заданное на поверхности сферы радиуса а, т. е.

Voo = [vja.(3.2.32)

6*

Используя заданные граничные условия, в конечном счете получаем решение:

P-(n+o = ^V^ ± (^-)n+1 [(п + 2) Хп + Уп], (3.2.33) ф-Он» = 2^Т1Г “ (Т)"" <"х- + У">-<3'2'34)

<3-2-35>

Функции Хп, Уп и Zn должны быть определены из (3.2.22) — (3.2.24) при замене V на V — Voo.

ОБЛАСТЬ МЕЖДУ КОНЦЕНТРИЧЕСКИМИ СФЕРАМИ

Если жидкость заключена между концентрическими сферами, отсутствуют условия, которые должны быть удовлетворены как в начале координат, так и на бесконечности; следовательно, можно использовать гармонические функции как положительных, так и отрицательных порядков. Как и в предыдущих случаях, можно получить разложения по гармоническим функциям, соответствующие произвольно заданным на обеих поверхностях скоростям. Совместное решение шести уравнений дает возможность найти гармоники, появляющиеся в общем решении (3.2.3).

СИЛА ТРЕНИЯ И МОМЕНТ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА СФЕРУ

Как только краевая задача внешнего обтекания сферы решена, можно рассчитать силу трения и момент (относительно центра сферы), действующие на сферу в данном поле. Вектор напряжений, действующий на поверхности сферы радиуса г, для несжимаемой ньютоновской жидкости равен, как легко показать [19], nr=v п= —Lp+^^-2_)+bV(r.v).(3.2.36)

При помощи (3.2.2) и (3.2.3) это выражение можно окончательно выразить в форме

Пг=^ 2 [(«-l)Vx(rXn) + 2(n-l)vOn-

(2n2+4n+3),n(n + 2)21 сз 2 37^

ц(п+1)(2п+3) ^n+g(n + l)(2n + 3) VPn_T

Сила трения F, действующая на сферу со стороны жидкости, получается из (2.3.1) при интегрировании этого напряжения по поверхности сферы. В данном случае dS = г2 sinOdOdcp есть элемент площади поверхности сферы. Этот интеграл можно оценить весьма общим образом при помощи следующих теорем для поверхностных интегралов (в соотношениях ниже Нп — произ-

вольная сферическая гармоническая функция положительного или отрицательного порядка):

SSj rHndS = sj rHndS = s{4лг2Я0 4лг2Я_1 О^г^Н-г.< О{4лг2Я0 4лг2Я_1 О^г^Н-г.< Оi I 0i I 0при п = 0, при п — — 1, при всех п;(3.2.38)при п=1,) при п — ^2,(3.2.39)при всех п; при п=1,(3.2.40)при всех п;при всех п.(3.2.41)при п = 0, при п — — 1, при всех п;(3.2.38)при п=1,) при п — ^2,(3.2.39)при всех п; при п=1,(3.2.40)при всех п;при всех п.(3.2.41)весьма про-весьма про-в конечном итогев конечном итогеsТак как F = j HpdS, получаемsстой результатsТак как F = j HpdS, получаемsстой результатF = —4л V (г3^-2)-F = —4л V (г3^-2)-(3.2.42)(3.2.42)

S

S

j rHndS = s

j rHndS = s

{4лг2Я0 4лг2Я_1 О

^г^Н-г.

< О

{4лг2Я0 4лг2Я_1 О

^г^Н-г.

< О

i I 0

i I 0

при п = 0, при п — — 1, при всех п;

(3.2.38)

при п=1,

) при п — ^2,

(3.2.39)

при всех п; при п=1,

(3.2.40)

при всех п;

при всех п.

(3.2.41)

при п = 0, при п — — 1, при всех п;

(3.2.38)

при п=1,

) при п — ^2,

(3.2.39)

при всех п; при п=1,

(3.2.40)

при всех п;

при всех п.

(3.2.41)

весьма про-

весьма про-

в конечном итоге

в конечном итоге

s

Так как F = j HpdS, получаемs

стой результат

s

Так как F = j HpdS, получаемs

стой результат

F = —4л V (г3^-2)-

F = —4л V (г3^-2)-

(3.2.42)

(3.2.42)

Отметим, что эта формула не изменяется при учете дополнительного члена у*, в (3.2.31), так как гармоника р_2 не вносит вклада в поле скорости в точках, бесконечно удаленных от сферы.

В оригинальной работе ) показано, что это соотношение справедливо также и для несферических частиц, т. е. оно определяет силу, действующую на частицу произвольной формы.

Формулу, аналогичную (3.2.42), можно получить и для момента, действующего на сферическую частицу относительно ее центра. Сила, действующая на элементарную площадку поверхности сферы, равна HTdS. Плечо этой силы равно г. Следовательно, момент, действующий на сферу, равен

То — j rxnrdS. (3.2.43) s

Теперь из (3.2.37) получаем

гхПг = у 2 [(га—1) r2VXn —71 (n —1) гХп—2 (n—l)v X (гфп)—

--(„ + 1)^ + 3) ^х(гР„)].(3.2.44)

(3.2.45)(3.2.45)Применение интегральных теорем, приведенных в (3.2.38) — (3.2.41), дает в конце концов

(3.2.45)

(3.2.45)

И в этом случае, как показано в оригинальном выводе, приложение этой формулы не ограничивается сферическими частицами, и она также дает выражение для момента (относительно начала координат г = 0), испытываемого частицей любой формы.

Если нужно вычислить только гидродинамическую силу и момент, действующие на твердую сферическую частицу, но не само поле скоростей, то это можно сделать, воспользовавшись законами Факсена [11]. В соответствии с этими законами в случае, если сфера погружена в неограниченную жидкость, имеющую на бесконечности скорость Voo, причем центр сферы движется поступательно со скоростью U, а сама она вращается с угловой скоростью о, то сила и момент, действующие на сферу, равны

F = блца ([Voo]o — U) + F1^3 (V2Voo)o» (3.2.46)

Т0 = 8л|1а3 (у [V X Voo]o — ®j ,(3.2.47)

где а — радиус сферы. Индекс О указывает, что соответствующая величина оценивается в точке, занятой центром сферы.

В качестве простой иллюстрации рассмотрим задачу об аксиальном движении без вращения твердой сферической частицы в круглой цилиндрической трубе, в которой течет вязкая жидкость. Полагаем, что радиус цилиндра много. больше радиуса сферы, а за ось z = Z выбираем ось цилиндра. Сферическая частица движется с постоянной скоростью U = kU параллельно оси, в то время как внешний поток жидкости направлен в том же направлении со средней скоростью Um = kUm = kU0/2, где k — единичный вектор в направлении оси z и Uo — невозмущенная скорость на оси трубы. Радиус трубы есть Ro; радиальное расстояние от продольной оси трубы до точки в жидкости есть R, а центр сферы расположен на расстоянии R = Ъ от оси.

На больших расстояниях от сферы невозмущенный поток представляет собой течение Пуазейля. Поэтому принимаем

<3-2-48’

В соответствии с законом Пуазейля динамическое давление равно

Роо = const — z.(3.2.49)

Если ввести сферические координаты г, 6, ср с началом в центре сферы, как показано па рис. 7.3.1, то легко проверить, что

д2 = r2 sin2 6 + Ь2 + 25г sin 6 cos ср, (3.2.50) откуда

Voa = kC70 (1 — ^-sin20 —-^- —-^-sin0cos<p).(3.2.51)

Поэтому, так как V = к/7, то

у _Voo = к [(7-£7,(1-^)+f70-^ sin2 0 +

-VU0^ sin0 cosy].(3.2.52)

При помощи преобразования

-у = i sin 0 cos ф -j-j sin 9 sin ф + к cos0 (3.2.53) находим

^.(V-V^^CZ-t/ojl-J^JcosO + tfo-^sin2©^

+ C7o-^-sin0cos0cosq). (3.2.54)

При помощи полиномов Лежандра и присоединенных полиномов Лежандра первого рода, определяемых соответственно в виде

(3.2.55) и

= (1 - И2)(1/2)т Ц- Рп (ц),(3.2.56)

получаем

cos 0 = Pt (cos 0),(3.2.57)

sin20 cos 0 = -|- [Pi (cos0) — P3 (cos 0)],(3.2.58)

sin 0 cos 0 cos Ф = -y cos фР* (cos 0).(3.2.59)

Подставляя эти соотношения в (3.2.54), получаем разложение по сферическим гармоникам:

IL. (V — Voo) = Xi + Х2 + Х3,(3.2.60)

где

Х1 = [£7_£/о(1-^)+^ио(-^)2]Р1(со80), (3.2.61)

X^^U6^ (-^)COS<P^(COS0).(3.2.62)

Х3 = —|-^(-^J^s^osO).(3.2.63)

Совершенно аналогичное рассмотрение приводит к разложению

—rV-(V - У») = Ki + Y^ + У3,(3.2.64)

где

У-=1С-Ш2

Pi (cos 9),

(3.2.65)

-^-) cos фР* (cos 9),

(3.2.66)

У Р3 (cos 9),

(3.2.67)

а также к разложению

г-V X (V -

" Voo) = Zlt

(3.2.68)

где

(-^-) sin фР* (cos 9).

(3.2.69)

Эти выражения можно теперь использовать в (3.2.33) —- (3.2.35) для получения гармонических функций для поля скорости вне сферы в соответствии с (3.2.31). Это поле скорости v удовлетворяет граничным условиям v = U при г = а и v -уVoc на бесконечности. Соответствующие значения сферических гармоник равны:

Xr-2Pi(cosO), (3.2.70) />_3 = -y-|ia2C70(-^-) г-3 cos фР^ (cos 9),(3.2.71)

Р-4 = -^аЧЦ-^Уг-^соб^,(3.2.72)

ф-2=т^-М1Ч^)+4^Ш1х

X r~2Pt (cosO), (3.2.73) ф_3 = 1-а4Р70(А) (JL)r-3cosvP;(cos9),(3.2.74)

Ф_4= -^«^„(-Д-)2 Falcos 9),(3.2.75)

Х-2= -^U6 (-^) (^) r-2sinVP}(cos0).(3.2.76)

Для ссылок приведем следующие значения:

PY (cos 0) = COS0,

Р\ (cos 0) = sin 0, Р\ (cos 0) = 3 sin 0 cos 0,

P3 (cos 0) = -^- (5 cos3 0 — 3 cos 0).

В соответствии с (3.2.31) решение задачи имеет вид v-k!70(l-^.)=VX(rx^) +

+ v(V, + ®-, + ®.l+-l-r^-^j^) + +г(^+4^+т^) (3-2-77> И

Р Poo = Р -2 + Р-3 + р-4?

где величина роо определена уравнением (3.2.49).

Гидродинамическую силу, действующую на сферу, можно вычислить из (3.2.42). Для этой цели используем величину р_^ из уравнения (3.2.70) и замечаем, что

V (гРх (cos 9)) = Vz = к.(3.2.78)

Поэтому сила, действующая на сферу, равна'

F= —кблца [г/ — Z70(1 —^ + -|-t70(JL)2] .(3.2.79)

Для расчета момента используем уравнение (3.2.45) и величину %-2, определяемую соотношением (3.2.76), совместно с выражением

V [г sin фРДсоз 6)] = \у = j.(3.2.80)

Следовательно, момент относительно центра сферы равен

To = \^U0 (-^) ^у(3.2.81)

Он соответствует вращению сферы относительно оси, перпендикулярной линии, соединяющей центр сферы с продольной осью цилиндра, и направлению потока. Эти результаты подтверждают выводы, полученные ранее Симхой [26].

Последние результаты можно получить непосредственно, используя уравнения Факсена (3.2.46) и (3.2.47). В данном примере (о = 0. Более того, поскольку центр сферы расположен в точке R = Ъ, из (3.2.48) находим

[Voo]0 = k2tfm[l-(-^)2J,(3.2.82)

^2Уоо]о = ^[^оо]о=-к-^,(3.2.83)

[VXv^j^.(3.2.84)

Принимая Um = Uq!2 и подставляя эти выражения в (3.2.46) и (3.2.47), получаем представления для силы и момента, тождественные (3.2.79) и (3.2.81). Нужно ясно понимать, что выражения, полученные для гидродинамической силы и момента, действую-

щих на сферу в круговом цилиндре, асимптотически верны только в пределе малых значений a!R$. Методы получения приближений более высокого порядка обсуждаются в разд. 7.3.

Цилиндрические координаты

Во многих практических ситуациях, в которых встречается обтекание частиц, жидкость ограничена снаружи стенками длинного кругового цилиндра. В этом разделе будет построено общее трехмерное решение уравнений Стокса и неразрывности, подходящее для удовлетворения произвольных граничных условий, задаваемых на поверхности кругового цилиндра бесконечной длины.

В цилиндрических координатах р, ср, z компоненты скоростей выражаются в виде

v = ipVp + 1фрф 4- izyz,(3.3.1)

где ip, iv и iz — единичные векторы в направлении каждой из трех координатных осей. Тогда уравнения Стокса в этих координатах имеют вид

V2y(3,3.2)

р dz 1х '

_,Vp2Мр1др/ооОХ

V Ур^=5—,(3.3.3)

рр2р25фрдр’''

—2уФ,29vp11др,оо/1Х

V Уфр2+р2д(рррдф ’(11 )

где оператор Лапласа выражается в виде

V2 = —+ — ++(3.3.5)

V dp2*р dp р2 дф2"dz2\• /

Кроме того, должно удовлетворяться уравнение неразрывности

*L+«x=0(3.3.6)

dp ~р* pd(p ' dzV

К частному решению этих уравнений должно быть добавлено общее решение однородных уравнений

W - 0,(3.3.7)

Vv' = 0.(3.3.8)

ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ

Используемый здесь метод решения представляет собой обобщение [3] метода, впервые развитого Ладенбургом [18] для задач осесимметричного движения сферы в цилиндре. Однако позднее Хаберман и Сэйр использовали функцию тока для того, чтобы предложить более общий и утонченный метод подхода к решению таких задач (ссылка на их работу дана в гл. 7).

Как и в случае сферических координат, отметим, что поле давлений удовлетворяет уравнению Лапласа (3.2.1). Решения этого уравнения, которые можно использовать для удовлетворения произвольным условиям на поверхности р = const, имеют вид

Р = 2 ^"тк^С" (XP)cos(Xz)dX, (3.3.9) „sin J Кп sin

где X — произвольный параметр и цп (X) — произвольная функция, полностью определяемая из граничных условий. Функции /п (Zp) и Кп (Zp) представляют соответственно модифицированные функции Бесселя первого и второго рода n-го порядка и удовлетворяют дифференциальному уравнению "

i; (ХР)+± /; (ХР) - (х=+^-) in (ХР) = о.(З.з.Ю)

Аналогичное уравнение имеем для Кп (Хр). В этом и в последующих уравнениях этого раздела штрихом обозначается дифференцирование по р. Для получения подходящего решения неоднородных уравнений рассмотрим вначале поле давления очень простого вида. Это ограничение далее будет снято. В качестве частного решения выбираем

р = цАп (X) cos пф/п (Хр) sin Xz,(3.3.11)

где An (X) — произвольная функция п и X.

Будем искать решение для составляющей z поля скорости в виде

Уг = Fn (К р) cos Яф cos Xz.(3.3.12)

Подставляя эти выражения в (3.3.2), видим, что Fn представляет собой решение уравнения

Fn + у F'n - ( Х= +^) Fn = А„ (X) X/п (Хр).(3.3.13)

Как следует из (3.3.10), однородная часть предыдущего уравнения соответствует модифицированному уравнению Бесселя. Так как общее решение однородного уравнения известно, то решение неоднородного уравнения (3.3.13) можно найти, используя метод вариации постоянных. В конце концов это приводит к выражению

Fn(^ р) = Вп(Х)/п(^) + Лп(^)Ц^,(3.3.14)

в котором опущена та часть решения, которая содержит функции Бесселя второго рода. Имеем теперь

yz ^ [ вп (X) In (Хр) + A„ (X) ^^J cos Иф cos Xz. (3.3.15)

Элемент произвольности функции Вп (X) исключается при одновременном удовлетворении уравнения неразрывности, в результате чего Вп (X) выражается через Ап (X). Решение для оставшихся компонент скорости разыскиваем в виде

ур = Gn (X, р) cos тгф sin Xz,(3.3.16)

= Нп (X, р) sin пф sin Xz.(3'3.17)

Тогда на основе (3.3.3), (3.3.4) и (3.3.11) получаем совместные уравнения:

G;+yG;-(X2 + ^tL) сп_^п=лп(Х)7;(Хр),(3.3.18)

я"+^-(х2+^^)яп--^=~л^Х)^^. (3.3.19)

Складывая эти два уравнения, получаем

(G„ + Я„)" + A (Gn + Нпу - [х2 + ^^] (Gn + Я„) =

= Ап (X) Х7п+1 (Хр).(3.3.20)

Здесь было использовано рекуррентное соотношение

7;(Хр)--^М = Х7п+1(^Р).(3.3.21)

Но это уравнение имеет точно такой же вид, что и (3.3.13), если заменить п на п -|-1. Отсюда сразу же следует решение

Gn + ЯП = Gn (X) 7п+1 (Хр) + Ап (X).(3.3.22)

Второе соотношение между Gn и Нп можно получить, вычитая (3.3.19) из (3.3.18), а именно

(Gn - Нп)" + ^(Gn-Hny-^ + ^1] (Gn -Нп) = = An(K)'kIn-l(1p). (3.3.23)

Здесь было использовано соотношение

7;(Хр) + ^^- = Х7п_1(Хр).(3.3.24)

Уравнение (3.3.23) имеет точно такой же вид, что и (3.3.13) при замене п на п — 1. Таким образом, решение есть

Gn - Нп = Dn (X) In-, (Хр) + Ап (X) ^^.(3.3.25)

Комбинируя (3.3.22) и (3.3.25), имеем

Gn (X, р) = А„ (X) ^- [7;+1 (Хр) + Гп-1 (Хр)],(3.3.26)

Я„(Х, р) = Лп(Х)^г[7^1(Хр)-7;_1(Хр)].(3.3.27)

Произвольные функции Сп (X) и Dn (X) положены равными нулю, так как аналогичные решения однородных уравнений (3.3.7) и (3.3.8) появятся позже, и учет их на этой стадии был бы излишним.

Дифференцирование рекуррентных формул in^(XHin-i (Х) = 2/;(Х), приводит в конечном итоге к дополнительным выражениям для Gn и Нп.

Таким образом, получаем

^(Х, р^/Ц^^уМ,(3.3.28)

Нп^, р)=Лп(Х)^[2пЖ_/;1(Хр)]. (3.3.29)

Окончательные выражения для компонент р и ср поля скорости имеют вид

ур = ^2^ ^™ ^Р^ cos ^ sin ^Zl(3.3.30)

уф = -^^ [-^~^— ^n (Хр) J sin nep sin Xz. (3.3.31)

Эти два соотношения вместе с соответствующими выражениями (3.3.15) и (3.3.11) для vznp составляют решение уравнений (3.3.2)— (3.3.4). Остается еще удовлетворить уравнению неразрывности. После подстановки этих выражений для компонент скорости в уравнение неразрывности (3.3.6) и выполнения соответствующих операций убеждаемся, что это уравнение удовлетворяется, если -^- [р/% (Хр) + ^Ги (Хр) - XW (Хр) -

--!!-^ + Z^M] _вп (К) Хк (Хр) = о. (3.3.32) Умножение (3.3.10) на р и последующее дифференцирование по р показывают, что член в квадратных скобках равен просто Х2/п (Хр). Следовательно, уравнение неразрывности будет удовлетворено при выполнении соотношения

2?„(Х)=-^-.(3.3.33)

Тогда выражение для yz принимает вид

vx = ^2x2^' ‘ I ^ (^Р) + Xp/n(Xp)]cos^cosXz. (3.3.34)

Если теперь определить гармоническую функцию П соотношением

П = ^~1п(Хр)со8Пф8шХя, . (3.3.35)

то можно показать, что

д <

О

(3.3.36)

д i

( 1 дПИ

( р дф / ’

(3.3.37)

8 ।

( ап \ ап

1 az ) 1 dz 1

(3.3.38)

Р = — 2р

д2П dz2 "

(3.3.39)

В векторных обозначениях

9।

v = p — (vn) + iz —.

(3.3.40)

v2n - 0.v2n - 0.Хотя это решение было получено при рассмотрении поля давления специального вида, решение, данное в (3.3.39) и (3.3.40), является фактически решением как уравнений Стокса, так и уравнения неразрывности для любой гармонической функции П одновременно, как в этом легко убедиться, т. е. для любой функцииП, удовлетворяющей уравнению Лапласа

v2n - 0.

v2n - 0.

(3.3.41)

РЕШЕНИЕ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ

На этом этапе перейдем к решению однородных уравнений (3.3.7) и (3.3.8). Как и ранее, полагаем, что решения этих уравнений можно искать в простом виде*

их = /п (^7 р) cos nep cosXz,(3.3.42)

Ур = gn (X, р) cos nep sinXz,(3.3.43)

Уф — ^п (^7 р) sin тгф sinXz.(3.3.44)

По форме эти выражения аналогичны выражениям, использованным при решении соответствующих неоднородных уравнений. Поэтому, если положить Ап (X) = 0 в (3.3.14), (3.3.22) и (3.3.25), можно сразу же заключить, что удовлетворить уравнению V2v' = О можно при выборе

/п (X, Р) = bn (X) /п (Хр), (3.3.45)

gn (А, Р) + К (^ р) = Сп W 1п+1 (М»(3.3.46)

gn (К р) - hn (X, Р) = dn (X) 1п_х (Хр).(3.3.47)

Последние уравнения можно одновременно разрешить относительно gn и hn. Если сделать это и ввести произвольные функ-

ции еп (X) и /п (X), определенные соотношениями

еп (X) = Сп W+jn/Ч ,(3.3.48)

k (X) =^^^-,(3.3.49)

то при помощи рекуррентных формул, приведенных в (3.3.21) и (3.3.24), получим

Vp = [en (X) /; (Хр) —/п (X) ^-^j cos Иф sin Xz,(3.3.501

v»= [/n (X) /; (Хр) — en (X) A^BLJ sin ф sin Xz,(3.3.51)

v' = &n (X) /n (Xp) cos иф cos Xz.(3.3.52)

Подставляя эти результаты в уравнение неразрывности (3.3.8), записанное в цилиндрических координатах (ср. с уравнением (3.3.6)), находим, что для его удовлетворения необходимо выполнение равенства

еп (X) [/; (Хр) +-1- /; (Хр) - -^М] - 6П (X) X/„ (Хр) = 0 (3.3.53)

(коэффициент при/п (X) обращается в пуль). Из уравнения (3.3.10) видно, что сомножитель при еп (X) в предыдущем выражении равен Х2/п (Хр). Таким образом, уравнение неразрывности будет наверняка удовлетворено, если выбрать

bn (X) = Хеп (X),

откуда можно записать вместо (3.3.52)

Vz = еп (X) XIn (Хр) cos пф cos Xz.

(3.3.54)

Если ввести гармонические функции

^n W 1ц (^р) COS Пф sin Xz,

(3.3.55)

Q = —fn (X) In (Xp) sin пф sin Xz,

(3.3.56)

о компоненты скорости vz можно записать в виде

Up др ' р дф ’

(3.3.57)

, _ дфЭЙ

р дф5р ’

(3.3.58)

Vz— dz'

(3.3.59)

Эти соотношения можно записать более кратко, векторные обозначения

используя

vz = VT + V X (izQ).

(3.3.60)

Это выражение является решением однородных уравнений (3.3.7) и (3.3.8). Конечный результат снова справедлив для любых гармонических функций:

V2^ - 0(3.3.61)

и

V2Q = 0.(3.3.62)

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ О КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРАХ

Полное решение уравнений Стокса и неразрывности получается при складывании соответствующих решений неоднородных и однородных уравнений, откуда

v = vY + Vx(i2fi) + p^(vn) + i2-^,(3.3.63)

(3.3.64)

при условии что

V2{n, Т, Q} = {0, 0, 0}.(3.3.65)

Остается теперь показать, как применять эти результаты к решению краевых задач, в которых имеются круговые цилиндрические поверхности. Для иллюстрации ограничимся случаями, когда жидкость целиком находится в бесконечно длинном цилиндре, на поверхности которого поле скорости принимает произвольно заданные значения. Распространение метода на другие ситуации включает просто использование решений уравнений Лапласа, соответствующих рассматриваемой области, например неограниченной области вне цилиндра или области, заключенной между двумя концентрическими цилиндрами. Отметим, что для двумерного обтекания кругового цилиндра неограниченной средой решения не существует.

Полагаем, что гармонические функции П, T, Q можно выразить в виде суммы рядов цилиндрических гармонических функций порядка п:

{П, V, a} = nSjnn, Vn, QJ,(3.3.66)

где

У2{Пп,Тп>Йп} ={0,0,0}.(3.3.67)

Метод решения состоит в определении Пп, Ч^ и Qn для каждого п из условий, заданных на границе р = р0 = const.

Подходящие решения уравнения Лапласа имеют вид

{Hn, Vn, Qn} = COS (Т2ф-|-{о^тг, Pn? Yn}) X

X ^{лп(Х),фп(Х),с^(3.3.68)

о

Таким образом, требуется определить теперь вид функций лп (X), фп (X), (on (X), . . . и т. д. из граничных условий, после чего задача будет решена. Это можно сделать, подставляя (3.3.68) в уравнение (3.3.66). В свою очередь, полученные выражения, будучи подставлены в (3.3.63), дают для компонент скорости на стенке цилиндра выражения вида1

[Рр]р=ро= 2 ^(пф + Уп) ^n (X) cos(Xz + vx) dX. (3.3.69) 71= - ООо

Аналогичные выражения получаются для двух других составляющих скорости на стенке. Здесь

On = функция («„, рп, уп),(3.3.70)

М^) = функция [лп (X), фп (X),юп (X)],(3.3.71)

vk = функция (6К, U,(3.3.72)

В соответствии с теоремой Фурье любая достаточно регулярная функция координат (ф, z) может быть представлена в виде, приведенном в (3.3.69). Тогда, если заданные компоненты скорости на стенке цилиндра представлены в таком же виде, функции on, ^п (X), vx и т. д. сразу же оказываются известными. Из этих величин можно определить функции ап, лп (X), 6Х и т. д., решая совместно уравнения (3.3.70) — (3.3.72).

Этот метод решения был успешно применен [3] для исследования поведения сферической частицы в круглом цилиндрическом канале, в котором течет вязкая жидкость (подробное обсуждение содержится в разд. 7.3).

Интегральные представления

Для выяснения некоторых аспектов гидродинамических задач и для доказательства существования решений желательно иметь решение, представляемое в замкнутом виде, если даже при этом появляются интегральные члены. При таком подходе можно воспользоваться методом функции Грина. Этот метод составляет основу классической книги Озеена [24], посвященной гидродинамике при малых числах Рейнольдса. В этом разделе будет кратко изложен подход Озеена и кратко проиллюстрированы некоторые его приложения.

Следуя Озеену, используем тензоры в декартовых координатах. Везде, где это специально не оговорено, используется условие Энштейна о суммировании. Тогда уравнения Стокса

и неразрывности (2.6.1) и (2.6.2) принимают вид

^- = 0,(3.4.1)

Ous ~

где xv х^ х3 — декартовы координаты.

Рассмотрим область^, и пусть S — ее граница. Предположим, что уравнения Стокса имеют регулярное решение в S, и обозначим через Р<0) = (х^, х2\ х^) любую точку внутри В, в которой разыскивается решение уравнений (3.4.1) и (3.4.2). Чтобы

получить поле, создаваемое распределенным источником в точках Р = (хъ х2, х3), вычислим вклады в поле Ри\ соответствующие источникам в каждой элементарной точке Р, и сложим их все. Правомочность этой процедуры зависит, конечно, от линейности основных уравнений. Чтобы получить решение, зависящее от любых двух точек Р и Р;о\ введем тензор второго ранга tj^ = = tjK (Р, Р<0)) следующим образом:

Ьи = 6/hV4 (г)

д2ф (г) dxj дхк ’

T^^^Xj — X^2, г>0,

(3.4.3)

где гр (г) — функция только г, a 6jk — символ Кронекера:f 1 при j = k,

^jh [ 0 при ]^=к.

гр

Дифференцируя (3.4.3), находим, что при любом выборе

справедливо

(3.4.4)

V4t|> = 0,

2_ д2,gzД2_ a g/QZ^

дх^1дх§‘ дх^Эх1дх[’' * * '

и положить

(3.4.6)

то получим тогда

§- = 0.(3.4.7)

axj

Если теперь предположить, что гр удовлетворяет бигармоническо- му уравнению

Таким образом, для каждого & (1, 2 или 3) вектор с компонентами ^л, ^а» tdh и скаляр рк представляют решения уравнений Стокса и неразрывности.

Так как гр зависит только от г, бигармоническое уравнение (3.4.5), записанное в сферических координатах, принимает

ВИД

Wt=O, ^„^A-.^-Ly(3.4.8)

Его общее решение есть гр = аг2 + Ъг + с 4- dk, где а, Ь, с и d — постоянные. По причинам, которые станут ясными ниже, выбираем произвольно гр (г) = г. Тогда

V4 = 4,,(3.4.9)

№=-2^(±)=2,^5^.(3.4.10)

Окружим Р^ сферой радиуса г = е и выберем е настолько малым, чтобы эта сфера полностью находилась внутри ограничивающей поверхности S. Часть области В, находящейся вне сферы г = е, обозначим через В (е). Обобщая формулу Грина [22], получаем

j V^^-pnikuA^^-pknjY^ds=0’ (3-4Л1) S

где Hj — компоненты единичного вектора внешней нормали к поверхности S. Доказательство этого соотношения дано в приложении к этой главе. Ограничивающая поверхность состоит теперь из двух частей: S и сферы г = е. В соответствии с тем, что величина rtjk везде, включая и точку Р<0\ имеет порядок О (1), и поскольку площадь поверхности сферы г = е пропорциональна е2, имеем

lim j tjk^^L-pn^aS = 0.(3.4.12)

Т=й

Более того,

i™ $ Uik^^--PkniVS = т—с

г С /। 3“/to—^“’Н^—<') \ as,0/404

= hmnj (Mh +^^.(3.4.13)

г=е

Разлагая в ряд Тейлора, имеем

и. = и^ +гс?1(3.4.14)

где и^ = Uj (Р^), а ф — функция точки Р, конечная в окрестности Р(о). Так как

4л s=—6^4л s=—6^(3.4.15)(3.4.15)г (xj-x^Uxh-x^dS

4л s

=—6^

4л s

=—6^

(3.4.15)

(3.4.15)

Jг2

т=г

имеем

lim j иДр.-^—Pknj) d-S —8npuh (Р(0}).(3.4.16)

г=е’

Окончательно, после подстановки в (3.4.11) получаем

(3'4Л7)

Если удается найти тензоры Tjh и Рк, такие, что внутри объема, окруженного замкнутой поверхностью 5, их можно представить в виде Tjk = tjk + тм, Pk = pk + лА, где Tjk, лА — регулярное решение уравнений Стокса внутри 5, то можно выразить результат (3.4.17) через Т jk и Рк. В частности, если тензор Tjk выбран так, что он обращается в нуль в точке Р, когда она лежит на границе 5, то получаем

"‘W--^ Ы^-М48- <3-4Л8> S

Таким образом, Tjk представляет собой диадик Грина, используемый в обобщенной поверхностной функции Грина [22].

Аналогичным образом можно выразить давление при помощи тех же функций, что и введенные в (3.4.17):

S

Озеен распространил решения этого типа на более сложные ситуации. Например, для уравнения Озеена (2.6.4) с учетом массовой силы, действующей на каждый единичный объем жидкости, имеем

^Uj-pU^—^+ рХ, = 0(3.4.20а)

И

^=4(3.4.206)

где U — однородная скорость потока в направлении положительных значений х1$ р — плотность жидкости, a Xj — массовая сила в расчете на единицу объема. Эти уравнения имеют фундаментальное решение

“»^”)=^ j Ы^"№)~

-и, ^T-Pk^-pUujt^ dS+-^- j X^dV (3.4.21)

ИИ

И

И

{(^т-Н^(т)-S<

-^<^*["‘■57(7)-

(3.4.22)(3.4.22)-”^Ш]И+тг5х-4-(4)л'.

(3.4.22)

(3.4.22)

В

Здесь d,V обозначает элемент объема. Тензор tj^ определяется при помощи соотношения

=(3.4.23)

как и ранее, но теперь

рС7(г-Х1)/2ц

* = W(3-4.24)

о

Тензор рк определяется в виде

₽‘=-2^(т)-<3.4.27)

В большинстве приложений, где имеются граничные условия на сферах и цилиндрах, легче использовать прямые разложения по гармоническим функциям, чем применять приведенные выше интегральные соотношения. Для тел, размеры которых значительно меньше расстояний между ними и между ними и границами, или для симметричных тел в неограниченной среде можно представить возмущение, вызванное телом, как результат действия точечной силы. В таких случаях можно использовать интегральные соотношения в упрощенной форме, как это обсуждается в следующих разделах.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ОЗЕЕНА В ПРИБЛИЖЕНИИТОЧЕЧНЫХ СИЛ

Характерная черта используемого здесь метода состоит в том, что внимание направлено на движение жидкости, вызванное действием внешних сил, приложенных к отдельным элементам объема, занятого жидкостью. Этот метод интенсивно разрабатывался Бюргерсом [7] и изложен в последующем обсуждении.

Рассмотрим сначала действие единичной точечной силы заданной постоянной величины (не зависящей от времени), приложенной в точке Р, которую можно выбрать в качестве начала системы координат ж, у, г. Если мы хотим использовать приближение

Озеена, нужно принять, что жидкость имела первоначально однородную скорость U, направленную параллельно оси х, и что это состояние движения имеет место на достаточном расстоянии от точечной силы. Сила вызывает возмущение этого однородного течения, приводя к наложению на него поля течения с компонентами скорости и, р, и?. Для силы достаточно малой интенсивности эти компоненты определятся следующими выражениями, получаемыми из (3.4.21) при пренебрежении членами, связанными с поверхностью S (обозначаем рХ; через Fj):

‘3-4-26>

' <3'4'27>

W■ (3-4-28>

Здесь Fx, Fyi Fz — компоненты приложенной силы, а гр определяется уравнением (3.4.24). Для малых величин pZ7r/p функцию гр можно приближенно представить в форме

гр = (г —ж)—|^- (г2— 2гх+ х2),(3.4.29)

или же, если желательно рассмотреть решение, соответствующее уравнениям Стокса, можно принять (ср. с (3.4.9)

= г. .(3.4.30)

Так как решение (3.4.30) соответствует уравнениям Стокса, влияние основного течения U и его направление во внимание не при

нимаются.

ния для ut vt w:ния для ut vt w:Так, например, если рассмотреть случай, когда сила действует в направлении оси ж, имеем Fy = Fz = 0 и следующие выраже

ния для ut vt w:

ния для ut vt w:

(3.4.31)(3.4.31)_ Fx ( 1 . х^ \

(3.4.31)

(3.4.31)

8лр \ г ‘ г3 / ’

8лр г3 ’8лр г3 ’(3.4.32)

8лр г3 ’

8лр г3 ’

(3.4.33)(3.4.33)Fx хгw = —.

(3.4.33)

(3.4.33)

8лр, г3

Ламб [19] вывел аналогичные выражения, соответствующие действию точечной силы в приближении Стокса.

В случае когда сила зависит также и от времени, Озеен получил соответствующие выражения для нестационарной формы

fV^-^-P^ + pX^O;fV^-^-P^ + pX^O;(3.4.34)(3.4.34)уравнений медленного течения;

fV^-^-P^ + pX^O;

fV^-^-P^ + pX^O;

(3.4.34)

(3.4.34)

4^=0 (7 = 1, 2, 3).0Хкv7

Проводя те же упрощения, что и выше, Бюргерс получил следующие приближенные выражения в случае силы, приложенной в начале координат:

♦ (3.4.35)

олр, J Lдх2 у дхду 6 dxdz Д 1 х 7

0

v =( ДтГ^У2^-^-^— ^-^-^-ЙЯ . (3.4.36)

8лц JLу Yдхдуу ду^dydz Д'х7

0

8лц JL Y1dxdzу ду dzdz^ J47

0

В этих формулах т — вспомогательная переменная, обозначающая время, протекающее между t = 0 и временем наблюдения i, а функция ^ определяется при помощи интеграла

/

”Л~ 1 Г 4Р-ра2/4ц(<-т)

•<3-4-38)

Здесь предполагается, что сила начинает действовать в момент t = О и что жидкость вплоть до этого момента везде находилась в покое.

Если еще более упростить рассматриваемую ситуацию, считая, что FX1 Fy и Fz поддерживаются постоянными начиная с момента £ = 0, при интегрировании по т существенна только функция гр. В этом случае для описания течения можно опять воспользоваться уравнениями (3.4.26) — (3.4.28) при условии, что теперь

С1 Г Г л ,-pa2/4p,(t-T)

HdT*-=2/5гтМаА^7ст■ (3'4'39) оО ОГ

Бюргерс [7] показал, что при достаточно больших значениях t этот интеграл можно оценить при помощи разложения в ряд. Он приводит окончательный результат для гр в виде

гр = г(1(3.4.40)

V 3]Лл 240Л/’

где R = )^pr2/p,t. При больших значениях t (следовательно, R ->0) имеем формулу (3.4.30), что соответствует стационарной форме уравнений Стокса. Таким образом, (3.4.40) можно исполь-

зовать для оценки ошибки, соответствующей предположению о стационарности течения.

Бюргерс [7] получил также выражение для ф при очень малых значениях t. В этом случае

(3.4.41)

Таким образом, отсюда следует, что при малых значениях t компоненты скорости и, v и w можно записать в виде производных от потенциала ср:

'₽=^("-^ + f«7r+^)-(3.4.42)

Следовательно, при этих условиях (t мало; г велико) имеем безвихревое течение с линейно увеличивающейся со временем интенсивностью.

В качестве простого примера применения этих соотношений покажем, как можно вывести закон Стокса (2.6.3), хотя, разумеется, реальное значение этих соотношений более важно в сложных случаях, когда получение решений в замкнутой форме невозможно. Рассмотрим сферу с центром в начале координат, обтекаемую жидкостью с постоянной скоростью U вдоль оси х. Чтобы сфера находилась в покое, в направлении —х должна действовать некоторая сила. В результате возмущение, обусловленное удерживанием сферы в покое, будет влиять на основное течение. Бюргерс предположил, что вид этого течения не будет сильно отличаться от вида течения, генерируемого точечной силой, приложенной в начале координат. Тогда компонента Fx, которая в данном случае отрицательна, создает поле скоростей, описываемое уравнениями (3.4.31) — (3.4.33). Если рассматривать сферу произвольного радиуса а, наличие которой вызывает силу, то можно потребовать, чтобы средняя величина скорости (U + и, и, w) исчезала на поверхности. Вследствие симметрии средние величины v и w будут автоматически удовлетворять этому условию. Что касается и, запишем

л 2лt

Скорость обращается в нуль при условии, что

С7 + ^Д- = 0,(3.4.44)

1 6лр,я ’4'

ИЛИИЛИFx = —6лца(7.Fx = —6лца(7.(3.4.45)(3.4.45)

ИЛИ

ИЛИ

Fx = —6лца(7.

Fx = —6лца(7.

(3.4.45)

(3.4.45)

Обобщенная теорема взаимности

Полезные общие соотношения, относящиеся к сопротивлению частиц и падению давления, вызываемого движением жидкости относительно частиц, можно получить из дальнейшего развития приближения точечной силы. Эти соотношения можно также применять в частных случаях для получения решений задач, описываемых уравнениями Стокса.

Вывод многих таких соотношений был начат в работе Лоренца [21], который доказал следующее утверждение, касающееся стационарных стоксовых течений несжимаемой жидкости. Пусть (v', П) и (v", П") представляют собой поля скоростей и напряжений, соответствующие любым двум течениям одной и той же жидкости, описываемым уравнениями (2.6.1) и (2.6.2). Тогда можно показать, что

j dS.nz.v"= j dS-n".v',(3.5.1)

ss

где S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем жидкости У; S может состоять из нескольких различных поверхностей, отделенных одна от другой.

Бреннер [4] доказал эту теорему в более общем виде для случая, допускающего наличие двух различных жидкостей, при сохранении только геометрии границ. Далее излагается его исследование.

Основное уравнение импульсов дается уравнением (2.1.5). В случае если можно пренебречь внешними силами, инерцией и нестационарными членами, получаем у -П = 0 или, используя тензоры в декартовых координатах, имеем

^- = 0,(3.5.2)

dxjх

где принято обычное условие о суммировании.

Из (2.1.8) и (2.1.12) имеем для несжимаемой жидкости

По = —6ир + 2^Дг;,(3.5.3)

где 6^ — символ Кронекера, а

А — 1 (j__^L\

2 I дх3 т axt )

есть тензор скоростей сдвига для несжимаемой жидкости. Рассмотрим теперь два возможных течения жидкости: ^иХ, Щ/) и (j/^ Щ,). Записывая уравнение (3.5.3) для первого течения и умножая результат на Д'^, имеем

П^= -р'б^ + 2р'Д^.(3.5.4)

Записывая -здесь р/, мы допускаем возможность того, что два рассматриваемых течения относятся к двум разным жидкостям

-с неравными вязкостями. Но для несжимаемой жидкости

W=^ = V-v"=0,(3.5.5)

так что

Пу Ду = 2 р/Ду Ду.(3.5.6)

Аналогично, переставляя местами обозначения полей в предыдущем выражении, получаем

ПуДу = 2^'ДуДу.(3.5.7)

Однако

АуДу = ДуДу.(3.5.8)

Отсюда следует, что

^ПуДу = р/ПуДу,(3.5.9)

или, в диадиковых обозначениях,

^П' : А" = И'П" : А',(3.5.10)

где использовано гиббсово обозначение [10, 12].

Рассмотрим 1л аи";

П-Ц'-П^-^^+^П^.(3.5.11)

Вследствие симметрии тензора давлений П^ = П/< последний ■член в предыдущем выражении можно записать в виде ди*: dv”i ди"

Пу-^ = П,ч^2, = Пу-^- ,(3.5.12)

v Oxt 4 dxt 4 dxj4'

где немые индексы i и / переставлены местами для получения последнего выражения. Таким образом,

П': Л- = п;, ^ = ^-^.(3.5.13)

Последний член равен нулю согласно (3.5.2). Отсюда, возвращаясь к диадиковым обозначениям и умножая на р,", имеем

^П' : А" = p/'V *(П'-у").(3.5.14)

Аналогичное выражение получается, если поменять местами штриховые и двойные штриховые индексы. В соответствии с (3.5.10) получаемые таким образом выражения равны. Следовательно,

pt"V (П' V) = ^ V -(П" -у').(3.5.15)

Если умножить обе части этого соотношения на элемент объема жидкости dV и проинтегрировать по произвольному объему V, получаемые объемные интегралы можно преобразовать в поверхностные интегралы при помощи формулы Гаусса. Таким путем

получаемполучаем

получаем

получаем

(3.5.16)(3.5.16)и" j dS.n'.v* = n' j dS-IT-v',ss

(3.5.16)

(3.5.16)

где S — любая замкнутая поверхность, проведенная в жидкости. Если р/ = р,", то получается уравнение (3.5.1).

МЕТОД ЗЕРКАЛЬНЫХ ОТРАЖЕНИЙ

Здесь будут обсуждены задачи, в которых имеются объекты, находящиеся вблизиплоской стенки. Задача о приближении сферы к плоскости может быть решена точно при использовании биполярных координат [5]. Несколько более простое первое приближение для задач с единственной плоской стенкой дал Лоренц [21] как один из примеров применения теоремы взаимности. '

Предположим, что имеется решение (у', р') уравнений Стокса и неразрывности. Новое решение тогда можно получить, как легко проверить, при помощи следующих формул:

и”=и‘— "2х-^—-\-—-^—,(3.5.17)

Эх р, дхх '

v"= -v’-2x-$- V—-¥- ,(3.5.18)

Sy Ц Sy ’v '

w"= -w'-2x^—V —,(3.5.19)

/,/ + 2x^-4^.(3.5.20)

Решение, данное соотношениями (3.5.17) — (3.5.20), удовлетворяет следующим граничным условиям на плоскости ух (т. е. при х = 0):

и" = и’, V = -у', w" = -иЛ(3.5.21)

Движение, описываемое полем (у", р"), точно соответствует отражению течения и/ относительно стенки. Таким образом, в каждой точке, расположенной в положительной стороне от стенки, движение у" представляет зеркальное отражение движения у', которое существовало бы в точке, удаленной на такое же расстояние с отрицательной стороны от стенки, если бы стенка отсутствовала. Поле, полученное суммированием у' и у", соответствует поэтому течению без проскальзывания* на плоскости х — 0.

Например, возьмем сферу радиуса а, движущуюся в направлении оси х со скоростью —U, центр которой расположен в точке с координатами (—Z, 0, 0). В приближении точечной силы поле, вызываемое падением сферы перпендикулярно к плоскости х = 0,

описывается уравнениями (3.4.31) — (3.4.33) при г2 = (ж + Z)2 + + у2 + £. Отсюда

,(3.5.22)

и' = -4 aU ^1L ,(3.5.23)

w'=_^aU -^з^- ,(3.5.24)

р' = —|- paU (ж^' + const.(3.5.25)

Подстановка этих значений в (3.5.17) — (3.5.20) дает для течения, отраженного от плоскости:

u-=_^aU^A-A.w_+^w_} t(3-5-26)

v"= —^aU y,(3.5.27)

w"= —^.aU^-^1 + 6Z^+Z\ } .(3.5.28)

Сопротивление, испытываемое телом при малых значениях all, можно найти без дополнительного изучения отражения этого движения от сферы. В соответствии с предыдущими формулами компоненты скоростей в точке расположения центра сферы равны

U"=_^^_U, v" = w" = Q.(3.5.29)

Следовательно, скорость сферы относительно окружающей жидкости равна [1 + (9/8) a!l\ U. Таким образом, сила сопротивления сферы есть

F = 6npaU (1 + -1 А) .(3.5.30)

Аналогичным образом можно показать, что сопротивление при движении сферы параллельно плоскости увеличивается в 1 + + (9/16) all раз. Пока применимы уравнения Стокса, в последнем случае отсутствует сила, стремящаяся переместить сферу или по направлению к плоскости, или от нее.

Диссипация энергии

Значение скорости диссипации энергии в движущейся жидкости часто приводит к получению полезных результатов без обращения к детальным решениям уравнения движения [6]. В качестве простого примера покажем, каким образом можно получить оценки для перепада давления в медленном потоке в системе, содержащей взвешенные частицы.

Рассмотрим некоторое невозмущенное течение (v<0), р(т), удовлетворяющее уравнениям медленного движения. Скорость диссипации механической энергии в объеме Q0 жидкости представляется на основании (2.2.4) в виде

£<о>= j ф<о>^,(3.6.1)

Qo

где Ф(0) — локальная диссипация энергии в единице объема за единицу времени. Из уравнений медленного течения при отсутствии массовых сил в соответствии с (3.5.2) имеем у П = 0. Более того, для несжимаемой жидкости V-v = 0. Таким образом, из уравнения баланса механической энергии (2.2.2) получаем

ф(о> = v-(v(o)-П(0)).

Подставляя этот результат в (3.6.1) и используя теорему Гаусса, имеем

£(0)= j v(0).n(0>-dS,(3.6.2)

So

где So — замкнутая поверхность, ограничивающая объем Qo. Это уравнение отражает равенство скорости диссипации энергии мощности напряжений, действующих на поверхности.

Предположим теперь, что в жидкость введено некоторое число жестких частиц произвольной формы и новое состояние движения есть (v, р). Обозначим поверхность и объем г-й частицы через St и Qt соответственно. Полной поверхностью, ограничивающей жидкость, будет теперь So-4-5.Sz-, причем полный объем, занятый жидкостью, равен Qo — ^iQi- Предполагается, что новое, возмущенное, течение удовлетворяет в точности тем же граничным условиям на So, что и первоначальное, невозмущенное, т. е. у = = у<0) на So, а поле (у, р) удовлетворяет уравнениям медленного движения. Применяя теорему взаимности (3.5.1) к поверхности So + ^tSb можно показать [6], что

£*= J v(n-n«”)-dS+2 j v(n-n<0>).dS.(3.6.3)

Soг Si

Здесь E* — дополнительная диссипация энергии, появляющаяся в результате наличия взвешенных частиц, т. е.

Е = Е* + Е^\(3.6.4)

где Е — полная диссипация энергии, возникающая в возмущенном течении (v, р).

Использование уравнения (3.6.3) рассмотрено на примере течения в бесконечно длинном цилиндре, поверхность которого So состоит из поверхности вертикальных стенок и горизонтальных

плоскостей 2 = ± оо на концах цилиндра, на которых возмущения, обусловленные наличием частиц в трубе, исчезают [6]. Частицы сосредоточены в конечной области канала, а сечение цилиндра не обязательно круговое. Таким образом, граничные условия для возмущенного и невозмущенного течений имеют форму

v = v<0) = 0 на стенках канала,

v = v<0) при 2 — + оо, с) v = 0 на каждой Si.

Для простоты предполагалось, что частицы удерживаются в покоящемся состоянии, что и отражено в последнем граничном условии.

Из этих граничных условий для первого члена в (3.6.3) получаем [6]

j v(n-n<0>).dS = ApM7m, So

где А — полная площадь поперечного сечения канала, Ут — скорость фильтрации жидкости в нем, а

А/?* = Ьр — Ар(0)(3.6.5)

представляет собой дополнительный перепад давления, обусловленный наличием частиц. Величины А/? и А/?<0) описывают здесь действительные потери давления в потоках с частицами и без них при одинаковом расходе жидкости.

Для интеграла во втором члене в (3.6.3) граничные условия дают

j v-(II —II(O))-dS = O,

st

так как v = 0 на 8г. Отсюда имеем

Е* = ^p*AVm.(3.6.6)

Однако можно показать [6], что при этих же условиях

^v^F,,(3.6.7)

г

где V[?] — невозмущенная скорость в точке, занятой центром г-й частицы, a F; — гидродинамическая сила, действующая на /-ю частицу. Приравнивание двух последних выражений дает

2 v{°d-Fz

^р* = - ' v А .(3.6.8)

Этот результат верен в случаях, когда размер частиц мал по сравнению с характерным размером канала.

В целях иллюстрации предположим, что в цилиндрической круговой трубе радиуса R^ в которой течет вязкая жидкость,

имеется единственная сферическая частица, положение которой фиксировано. Если центр сферы расположен на расстоянии b от оси трубы, то невозмущенная скорость параболического течения в точке, занятой центром, есть

v^ = k2rm(l-^-) ,(3.6.9)

где к — единичный вектор в направлении течения. Далее, по формуле Стокса имеем

р. = 6лца¥[?].(3.6.10)

Таким образом,

у^.Г5 = 24лцаП(1-^-)2.(3.6.11)

Рассматривая эти соотношения вместе, для дополнительного падения давления, обусловленного наличием сферы, получаем

^р»=2^т_^_^.(3.6.12)

Этот результат, справедливый только для малых а/7?0, был получен ранее при помощи значительно более сложного анализа, для которого потребовалось детальное вычисление поля v в цилиндре [3]. Как следует из оригинального вывода уравнения (3.6.8) в [6], оно может быть применено также к другим ситуациям, включая случаи с движущимися частицами. Такой же общий анализ, основанный на рассмотрении полного энергетического баланса с учетом эффектов вращения и расширения, вызванных мелкими частицами в сдвиговом потоке, можно применить также к изучению вязкости разбавленных суспензий в условиях медленного движения. Приложения такого типа обсуждаются в разд. 9.1, 9.2.

Используя вариационные методы, можно также применять энергетические соображения непосредственно, без решения соответствующей краевой задачи. Хотя значимость такого подхода до сих пор не была подтверждена решением каких-либо серьезных проблем, встречающихся в механике потоков с частицами, его краткий обзор дается ниже.

ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ДЛЯ МЕДЛЕННОГО ДВИЖЕНИЯ

Хорошо известна теорема, которую, следуя Гельмгольцу [15, 19], можно сформулировать следующим образом: «Диссипация энергии в медленном течении меньше, чем в любом другом непрерывном течении несжимаемой сплошной среды, совместимом с теми же граничными условиями». Другими словами, если рассматривать класс непрерывных векторных полей у, удовлетворяющих заданным граничным условиям на скорость на некоторой

замкнутой поверхности 8, а также условию соленоидальности V -v = О, то некоторый элемент этого класса, который минимизирует функционал 5 (v), определяемый равенством

Е = j ФйГ (3.6.13) V

(здесь Ф = 2р,А : А, где А = 1/2 [Vv+(Vv)*]), будет таким, что у удовлетворяет в каждой точке жидкости дифференциальному уравнению

V2v = ^V9, (3.6.14)

где q — некоторая скалярная функция. Здесь V — объем, заключенный в 8. Этот вариационный принцип можно применять для определения движения жидкости в данной области, когда скорость задана во всех точках ограничивающей поверхности, включая также части поверхности, через которые жидкость входит и выходит из области. Для применения этого принципа обычно выбирают пробное распределение скоростей так, чтобы были удовлетворены уравнения неразрывности и граничные условия. Тогда из всех возможных движений жидкости, удовлетворяющих этим условиям, истинно стационарным будет именно то движение, которое минимизирует функционал (3.6.13).

Берд [1] сформулировал аналогичный вариационный принцип для установившегося ламинарного движения несжимаемых неньютоновских жидкостей в том случае, когда можно пренебречь инерционными членами в уравнениях движения. Он также привлек внимание к другим аналогичным исследованиям [2]. Другое обобщение, которое применено к стоксовому течению вязкой несжимаемой жидкости при неоднородной температуре, было предложено Глансдорфом, Пригожином и Хейзом [13].

Вариационный подход на основе уравнений медленного течения применялся к теории смазки, где предполагалось, что в идеализированной постановке процессы в подшипнике могут быть рассмотрены при помощи двумерной задачи о движении двух близко расположенных параллельных поверхностей, скользящих одна по другой и разделенных тонкой пленкой смазки. Неоднородное уравнение в частных производных второго порядка, которое впервые ввел Рейнольдс [25] и он же приближенно его решил, как уже отмечалось ранее, представляет основу для этих методов. Некоторые авторы получили численные и аналоговые решения двумерных уравнений Рейнольдса, а Хейз [14] представил общий метод, используя вариационный подход.

Кристоферсон и Даусон [8] развили приближенную теорию для описания поведения тяжелого шара, медленно падающего в вертикальной трубе, имеющей диаметр, который лишь ненамного

превышает диаметр шара, и заполненной вязкой жидкостью. Показано, что, согласно их теории, уравнения движения могут быть удовлетворены, когда шар имеет любую степень эксцентричности в трубе, и, более того, что каждому данному эксцентриситету отвечает вращение с вполне определенной скоростью относительно горизонтальной оси.

Найдено, что отношение эксцентриситетов, соответствующее минимуму диссипации энергии при данной скорости опускания (т. е. минимальной скорости падения для данного веса шара), равно примерно 0,98 и что эта скорость более чем в два раза больше скорости, соответствующей нулевому эксцентриситету. Были проведены эксперименты, в которых пытались установить, всегда ли падающий шар будет находиться в положении, соответствующем минимуму диссипации энергии. Но точная проверка невозможна. Желательно доказать, что если в выбранной области движутся одно или более тел и они свободны выбирать различные положения и скорости (в отличие от теоремы Гельмгольца, здесь скорости и границы определены неточно), то реализуются такие скорость и положение сферы, которые соответствуют минимуму диссипации.

Основываясь на аналогии между уравнениями для упругого тела в состоянии равновесия и для вязкой ньютоновской жидкости в установившемся стоксовом течении, Хилл и Пауэр [16] вывели два экстремальных принципа. Стьюарт [28] обсудил эти взаимно дополняющие вариационные принципы и применил их к проблеме ламинарного течения в однородных каналах. Эти теоремы ограничивают диссипацию энергии в данной краевой задаче с обеих сторон, т. е. в интервале между верхним и нижним пределами, соответствующими произвольному выбору допустимых функций. Одна такая функция, которая доставляет верхний предел, определяется по теореме Гельмгольца. Для нижнего предела напряжения должны быть такими, как если бы они были результатом действия на тело конечной силы, или пары сил, или обоих факторов вместе. Многочисленные применения приведены в работе [16], включая случай поступательного движения сферы в неограниченной среде, где для иллюстрации показано, что справедливы неравенства

40 F < 567 n-p.aU 9

для силы, действующей на сферическую частицу радиуса а. Следовательно, FfaipaU ^ 5,97 с максимальной ошибкой 0,25 по сравнению с точной величиной 6, полученной из закона Стокса.

Применение этих принципов, однако, приводит некоторых авторов к выводу, представляющемуся неверным: а именно что сопротивление тела S стремится увеличиться в присутствии Дру- 8—01084

гих тел 5Ь . . ., Sni каждое из которых находится в фиксированном положении или движется свободно без ограничений. Смолу- ховский [27] показал фактически, что если тела движутся в неограниченной среде, верно обратное утверждение.

Вообще нужно заметить, что хотя вариационные методы и интересны, они еще не достигли степени развития, необходимой для их применения к важным трехмерным задачам, в частности к встречающимся в системах с частицами.

Приложение к главе 3

Чтобы доказать (3.4.11), поступим следующим образом. Соглас-

HO

(3.4.1), (3.4.2), (3.4.4) и (3.4.7), имеем

^=0’(3"АЛ)

du;

и

V--0(3-А-2

^2^~2г=0’(3-А-3)

4^- = 0.(З.А.4)

Из

второго тождества Грина для любых функций / и g

J №-67=/)^= j (/-g—S^)^,(З.А.5)

V8

где 5 — поверхность, ограничивающая объем V. Далее пусть

/ = uh g = t)h.

Подставляя в предыдущее уравнение и используя (З.А.1) и (З.А.З), получаем

tjktjk88^jkUj dn^jkUj dndu; \du; \

tjk

tjk

8

8

^jk

Uj dn

^jk

Uj dn

du; \

du; \

Однако

dpi, d / x^uj d z x

* dpd ,, xd ,, x

^ ~d^7 — "357 ^ikP^ ~" P ~9x"f — 9$j}hP^'

Список литературы

По формуле Гаусса ( -^r(ujPu)dV = ( dSjUjPk, Vs

^r. ^jkP^dV— dSjtj^p.

V ’3s

Так как dSj = rijdS, находим после подстановки этого выражения в (З.А.6), что (3.4.11) в самом деле справедливо.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Bird R.В.,Phys.Fluids, 3(1960), 539.

Bird R.В.,Phys.Fluids, 5(1962), 502.

Brenner H., Happel J., J. Fluid Meeh., 4 (1958), 195.

BrennerH.,Chem.Eng. Sei.,18 (1963),1.

BrennerH.,Chem.Eng. Set.,16 (1961),242.

BrennerH.,Phys.Fluids, 1(1958), 338.

Burgers J. M., Second Report on Viscosity and Plasticity, Kon. Ned. Akad. Wet., Verhand. (Eerste Sectie), DI. XVI, No. 4 (1938), p. 1—287. Amsterdam, N. V. Noord-Hollandsche, Uitgeversmaatshappi, 1938.

Christopherson D. G., Dowson D., Proc. Roy. Soc., London, A251 (1959), 550.

Dean W. R., Proc. Camb. Philos. Soc., 40 (1944), 19.

Drew T. B., Handbook of vector and polyadic analysis, New York, Reinhold, 1961.

Faxen H., Arkiv. Mat. Astron, och Fys., 17, No. 1 (1922); 20, No. 8 (1927); см. также его диссертацию: Uppsala Univ., Uppsala, Sweden, 1921.

Gibbs J. W., Wilson E. B., Vector analysis, New York, Dover, 1960.

Glansdorff P., Prigogine I., Hays D. F., Phys. Fluids, 5 (1962), 144.

Hays D. F., J. Basic Eng., 81 (1959), 13.

Helmholtz H. L. F., Verhandl. Naturhist. med., ser. 5, October 30 (1868); Wiss. Abhandl., 1 (1882), 223.

Hill R., Power G., Quart. J. Meeh, and Appl. Math., 9 (1956), 313.

Keller J. B., J. Fluid Meeh., 18 (1964), 94.

Ladenburg R., A nn. Physik, 23 (1907), 447; см. также его диссертацию, Leipzig, 1906.

Ламб Г., Гидродинамика, Гостехиздат, 1947.

Lichtenstein L., Math. Z., 28 (1928), 387.

Lorentz II. A., Abhandl. theoret. Phys., 1 (1906), 23.

Морс Ф. M., Фешбах Г., Методы теоретической физики, ИЛ, М., 1958, 1960.

Odquist F. К. G., Math. Z., 32 (1930), 329; Arkiv. Mat. Astron, och Fys., 22A, No. 28 (1931).

Oseen C. W., Ncuere Methoden und Ergebnisse in der Hydrodynamik, Leipzig, Akademische Verlagsgesellschaft, 1927.

Reynolds O., Philos. Trans. Roy. Soc., London, 177 (1887), 157.

Simha R., Kolloid-Z., 76 (1936), 16.

Smoluchowski M., Proc. 5th Intern. Cong. Math., Cambridge, 1912, vol. II, p. 192.

Stewart W. E., A. I. Ch. E. Jour., 8 (1962), 425.

Taylor G. I., Philos. Trans. Roy. Soc., London, A223 (1923), 289.

ГЛАВА 4. ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ ТЕЧЕНИЕ

Введение

Введение функции тока является унифицированным методом описания двумерных течений несжимаемой жидкости. Для таких течений нахождение решения уравнений движения сводится к определению единственной, скалярной функции. К сожалению, в общем случае трехмерных течений этот метод неприменим. В каждом конкретном случае должны находиться свои решения уравнений движения, зависящие от геометрии задачи. Существуют, однако, классы трехмерных течений, которые можно единственным образом описывать при помощи одной скалярной функции. Каждому из таких течений присущ некоторый вид симметрии.

С практической точки зрения наиболее важным случаем является обтекание тела вращения потоком жидкости, параллельным его оси симметрии. Такие течения называются осесимметричными (или, иногда, аксиально симметричными). Они характеризуются существованием функции тока. В данной главе будут найдены некоторые точные решения для течений этого типа.

Функция тока

Обозначим через ср азимутальный угол точки, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси вращения тела. Осесимметричным течением жидкости является такое движение, для которого

скорость не зависит от этого угла, т. е.

dtpdtp(4.2.1)

dtp

dtp

азимутальная компонента скорости везде равна нулю:

1фу = 0.(4.2.2)

Таким образом, течение жидкости одинаково в любой меридиональной плоскости ср = const. Из уравнения (4.2.2) следует, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях. В соответствии с (4.2.1) получаем, что поверхности тока являются коаксиальными поверхностями вращения.

Здесь и далее будем постоянно полагать, что ось z совпадает -с осью вращения тела, обтекаемого жидкостью. Предположим,

что кривая а, лежащая в меридиональной плоскости, соединяет некоторую точку Ro (О, 20) этой плоскости с некоторой точкой R(y, z) на оси симметрии (рис. 4.2.1, а). При повороте этой меридиональной кривой на угол 2л получаем поверхность А (напоминающую оболочку, изображенную на рис. 4.2.1, б). Обозначим мгновенный объемный расход через эту поверхность через Q

Рис. 4.2.1. Основные обозначения, используемые при рассмотрении осесимметричного течения.Рис. 4.2.1. Основные обозначения, используемые при рассмотрении осесимметричного течения.

Рис. 4.2.1. Основные обозначения, используемые при рассмотрении осесимметричного течения.

Рис. 4.2.1. Основные обозначения, используемые при рассмотрении осесимметричного течения.

и допустим, что его знак положителен в случае ориентации потока в направлении отрицательных значений оси z.

Рассмотрим теперь другую меридиональную кривую б, связывающую R с некоторой другой точкой Rq, лежащей на оси вращения. Вращение этой кривой образует поверхность В. Для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности имеет вид

V-v - 0.(4.2.3)

В соответствии с этим мгновенный объемный расход должен быть одним и тем же как через А, так и через В, так как не может быть накопления или исчезновения жидкости внутри объема т, ограниченного этими поверхностями. Величина Q в любой момент единственным образом определяется положением радиус-вектора R. В частности, эта величина не зависит от выбора меридиональной кривой, соединяющей R с осью.

Величину, называемую функцией тока в точке R, удобно определять так:

гр гр (R; 0 = Q!2u.(4.2.4)

В дальнейшем полагаем, что мгновенная величина ip представляет собой однозначную скалярную функцию точки. Согласно определению, ф = 0 на оси вращения.

Эта величина была впервые введена в гидродинамику Стоксом и часто называется стоксовой функцией тока, или стоксовой

функцией течения. Ее необходимо отличать от двумерной функции тока Лагранжа, упоминаемой в начале гл. 3. Подробное обсуждение стоксовой функции тока можно найти в работах [18, 32, 39]. Существование функции тока основано исключительно на гипотезах симметрии и несжимаемости. Поэтому не удивительно, что функция тока играет важную роль и в других областях гидродинамики, отличных от рассматриваемых здесь.

Связь между функцией тока и локальной скоростью

Связь между функцией тока в точке и локальной скоростью жидкости может быть установлена при помощи определяющих их соотношений. Рассмотрим рис. 4.3.1. Мгновенный расход через поверхность вращения 5, образованную вращением меридиональной кривой R0R, равен

R 2л

Q— j v-n dS = j v-ny dq | dR |,(4.3.1)

SRo <p=0

где | dR | — элемент длины дуги в меридиональной плоскости ин — единичный вектор внешней нормали к поверхности. Так как эта поверхность есть поверхность вращения, то п непременно лежит в меридиональной плоскости. Интегрируя по ф и используя определение функции тока (4.2.4), имеем

R

ф— j vny|dR|.(4.3.2)

Ro

Так как функция тока равна нулю на оси симметрии, то последовательно получаем

RRR

ф — j dip — j dR-j t-V^P | dR |,(4.3.3)

RoRoRo

где t — единичный тангенциальный вектор меридиональной кривой, как показано на рисунке. Из сравнения этих выражений для ф имеем

R

j (v-ny — t-V^P) |dR | — 0.(4.3.4)

Ro

Так как R — произвольный вектор, из этого равенства следует равенство нулю подынтегрального выражения в любой точке, т. е.

Рис. 4.3.1. Единичные векторы для осесимметричных течений.Рис. 4.3.1. Единичные векторы для осесимметричных течений.

Рис. 4.3.1. Единичные векторы для осесимметричных течений.

Рис. 4.3.1. Единичные векторы для осесимметричных течений.

Пусть теперь система единичных векторов (t, п, 1ф) составляет правую систему координат, т. е.

t = n X iv.(4.3.6)

На основе этого имеем

n-(vy — 1ф X ^р) = 0.(4.3.7)

Но в любой точке жидкости направление п произвольно. Следовательно, выражение в круглых скобках должно равняться пулю,

и тогда

1

v - — i<p X Vxp — Vq) X V^,

7(4.3.8)

или в другом виде

v = — v X р,р у) = — V X (ipv<p).

(4.3.9)

Последнее равенство ясно показывает, что условие несжимаемости V V = 0 автоматически выполняется независимо от выбора гр, так как дивергенция от вихря любой векторной функции равна пулю. Очевидно, что условия симметрии (4.2.1) и (4.2.2) удовлетворяются, так как функция тока не зависит от азимутального угла.

Функция тока в различных системах координат

Компоненты скорости в произвольной системе координат можно получить при помощи уравнения (4.3.8), выражая оператор V в этой системе координат и выполняя необходимые операции. В частных случаях имеем

гр = гр (у, z; £):гр = гр (у, z; £):цилиндрические координаты,

гр = гр (у, z; £):

гр = гр (у, z; £):

и^и^1 дф .1 дф

и^

и^

у dz ’ г у ду ’

сферические координаты, гр = гр (г, 6; Z):

1 dip 1 dip

Ur г2 sin 0 dO ’ ^0 г sin 0 dr *

В более общем случае, если (g17 q^ (р) образуют правую систему ортогональных криволинейных координат вращения (см. А.14), то

У У 9qt ’ ' 7 где у = у ^ъ q^.

При помощи функции тока можно быстро преобразовывать компоненты скорости из одной системы координат в другую. По правилу дифференцирования сложной функции от нескольких переменных имеем

f=l, 2,f=l, 2,dip dip dz . dip dy"d^ — "dT "dgT + "dv" "d^T ’

f=l, 2,

f=l, 2,

тогда, например, изтогда, например, из(4.4.1) и (4.4.3) следует

тогда, например, из

тогда, например, из

v^hAv^-v-«^' ^=Цу^-и^У АЛА^

Обратно,

dip dipdq^ L dip d^2

откудаоткудаdzd^idz 1 d^2 dz ’

откуда

откуда

(4.4.5)(4.4.5)= ^2 9qti?i dq^ .

(4.4.5)

(4.4.5)

7 hidzh^dz '

аналогичное выражениеаналогичное выражениедля v7 получается таким же образом.

аналогичное выражение

аналогичное выражение

Характеристические координаты

Удобно описывать обтекание тела вращения при помощи систе. мы координат, характерной для данной поверхности тела. А именно обозначим через п вектор внешней нормали в точке поверхности тела, а через s единичный тангенциальный вектор, как показано на рис. 4.5.1. Благодаря симметрии эти векторы непременно лежат в меридиональной плоскости. Направление s выбираем таким, чтобы система единичных векторов (n, s, 1Ф) была правой. Далее будем обозначать через 6п и 6s элементы длины дуги в направлениях п и s. (Этим величинам больше соответствуют символы 6Zn и 6ZS, принятые в приложении А, однако они более громоздки.)

Далее будем использовать систему локальных ортогональных криволинейных координат, для которой введем следующие вели-

чины:

bqx = 6п, 6^2 h = n, i2

Нх = 1, Л2

= 6ф,

= 6s, б^з

= S71.3

— 1ф7

= 1/у.

(4.5.1)

= 1,A3

В частности,

оператор набла

имеет вид

д . . 1

S д + !ф dsу

д

(4.5.2)

vЭп 1

дц) ’

так что

V =L^L

пу ds

1

; vs = — - У

dtp

On *

(4.5.3)

Это выражения для нормальной и тангенциальной составляющих

скорости на поверхности.

Эти координаты не имеют смысла в точках, не находящихся на поверхности тела. Однако их можно распространить и на любую

поверхность вращения, коаксиальную с осью z, если учитывать

ОРис. 4.5.1. Нормальный и тангенциальный единичные векторы.ОРис. 4.5.1. Нормальный и тангенциальный единичные векторы.при этом их изменившийся смысл. В частности, если поверхность является одной из мгновенных поверхностей тока, то ип = О, в то время как абсолютная величина vs определяет скорость вдоль мгновенной линии тока, проходящей через данную точку.

О

Рис. 4.5.1. Нормальный и тангенциальный единичные векторы.

О

Рис. 4.5.1. Нормальный и тангенциальный единичные векторы.

(4.5.4)(4.5.4)Для последующих ссылок приведем здесь часто используемые формулы в этих координатах:

(4.5.4)

(4.5.4)

Для доказательства первой сис

темы равенств используем известные тождества:

= s-Vv = s-iY = s-iT X iz = s X iviz = n-iz =n-(4.5.5) oson

Доказательство второй системы равенств аналогично.

Для решения задач, связанных с границей определенной формы, часто можно выбрать подходящую систему криволинейных координат вращения, в которой поверхность тела вращения принадлежит семейству координатных поверхностей qN = const. Ортогональными к этим поверхностям в меридиональной плоскости будут криволинейные координатные кривые qs --= const.

Например, в задачах, связанных со сферическими границами, естественно выбрать сферические координаты qN — r^ Qs = 6- Эти координаты тесно связаны с характеристическими координатами, введенными выше при помощи соотношений

Sn= + 6lN = + ^T 8s = ±8ls=±^, (4.5.6)

причем знаки выбираются положительными или отрицательными в соответствии с тем, направлены ли векторы i v и is в ту же сторону, что и векторы п и s, или же пет. Так, в случае сферических координат имеем ir = п и io — s, где необходимо положить знак плюс (см. рис. А.15.1 б).

Свойства функции тока

Мгновенные поверхности тока при осесимметричном течении жидкости характеризуются величиной ф = const, линии тока получаются пересечением этих поверхностей меридиональными плоскостями. Чтобы показать это, рассмотрим произвольное перемещение в пространстве:

chp = dR‘Vip.(4.6.1)

Но из (4.3.8) следует

?ф = —1Ф х yv,(4.6.2)

откуда

йф = —1Ф X yv-dR = — iTY‘(v X dR). (4.6.3)

Это выражение дает изменение функции тока при произвольном перемещении dR. Если теперь предположить, что dR представляет перемещение вдоль линии тока или поверхности тока, то по определению

v X dR - 0,(4.6.4)

так как вектор v параллелен dR. Следовательно,

йф = 0,(4.6.5)

откуда следует, что ф = const вдоль линий и поверхностей тока.

Из уравнения (4.3.8) можно без труда получить, что скорость вдоль линии тока равна

Н =(4-6-6)

С другой стороны, если через йп обозначить смещение, нормальное к поверхности тока, а через п единичный вектор в этом направлении, то

VW = n-^-(4.6.7)

Это выражение эквивалентно выражению для скорости

Функцию тока определяют таким образом, чтобы опа была равна нулю па оси вращения. Это приводит к определению абсолютной величины функции тока в каждой точке жидкости. Однако абсолютные значения функции тока не имеют определенного физического смысла, так как в выражении для компонент скорости входят только производные функции ф. Таким образом, функция тока определяется только с точностью до произвольной аддитивной постоянной.

Существование функции тока для осесимметричных течений является следствием кинематического предположения о несжимаемости жидкости. Таким образом, функция тока присуща не только течениям вязкой жидкости, но, например, и течениям идеальной жидкости, так как эти два течения отличаются друг от друга только динамическими свойствами. Более того, существование функции тока не ограничивается лишь установившимися течениями.

Отметим далее, что функция тока существует для всех случаев двумерного течения несжимаемой жидкости, а для случаев трехмерных течений только при наличии у них аксиальной симметрии.

Динамические уравнения для функции тока

Для получения динамических уравнений, которым должна удовлетворять стоксова функция тока, введем вектор вихря *) в цилиндрических координатах (см. А.9.19):

+^-(-4г))= —£Ч,0.7.1)

ду \ У ду / ) у т'

где оператор Е2 определяется равенством

£2 = у —(-—) 4 —= V2———.(4.7.2)

Y 5у \ у 5у / 1v у Уу

Повторное действие оператора V X на уравнение (4.7.1) дает в соответствии с (А.9.19)

(4.7.3)(4.7.3)V X £ = - 2Г JL (£2^)» (£2ф)

(4.7.3)

(4.7.3)

° у dz 1 у ду х

И

v х (v х g)=-— (у 4- (-4-) +тг} ^^

= --^£2(^4)=—у^Ч-(4.7.4)

В случае несжимаемой жидкости уравнение Навье — Стокса в соответствии с (2.1.15) имеет вид

Р (4r + v'Vv) ~p№v = — Vp-V1^-5)

Это уравнение можно выразить в другой форме при помощи векторных тождеств л

v-Vv —у Vv2 —v X (V X v),(4.7.6)

V2v = V(V-v) —V X (V X v).(4.7.7)

Член V v в последнем уравнении равен нулю в соответствии с предположением о несжимаемости. После подстановки этих тождеств в (4.7.5) и вычисления ротора обеих частей полученного уравнения из него выпадает давление, так как ротор градиента любого вектора равен нулю. Подставляя £ = V X v, получаем ^-VX(vx;) + vVX(VX^)=O,(4.7.8)

где v — кинематическая вязкость.

Уравнение (4.3.8) совместно с (4.7.1) и (4.7.4) позволяет выразить последнее уравнение только через одну функцию тока:

^4г ^-VX^V^-i^E^^.(4.7.9)

Средний член равен — Уф X V (Е2ф/у2) и имеет одну-единствен- ную компоненту, направленную по ср. Вследствие этого дифференциальное уравнение для функции тока имеет вид

v£4i|) — i^-yV^X v(-^)-^ (£2<|.) = О, (4.7.10) или

У£4ф_у №4(4.7.11) т ' X дх ду ду дх } у2 dt хх '

Это скалярное уравнение четвертого порядка для ф. Оно нелинейно благодаря наличию среднего члена, полученного от инерционных членов v • Vv. В случае течения Стокса нелинейный член выпадает, и тогда

^-v^2^0-(4-7-12)

Это уравнение имеет тот же порядок, что и исходное. Если, кроме того, течение стационарно, то равенство

£4гр = 0(4.7.13)

является уравнением движения.

Интересно отметить, что в случае отсутствия вращательного движения £ = 0, и из (4.7.1) для уравнения движения получаем следующую форму:

£2ф = 0.(4.7.14)

Выражение для оператора S2 в криволинейных координатах можно получить с использованием определения (4.7.1). Если у17 Ч^ Ф — ортогональные криволинейные координаты вращения, то используя (А.5.4), для осесимметричного течения имеем

(4.7Л5)

Выражения для криволинейных компонент скорости vx и р2 через функцию тока даются уравнением (4.4.3), откуда после подстановки в (4.7.1) получаем

Y r 1 L dq\XTh2dq^/9q2X ht 6q2 ) J'

или проще

g2 = T^|" »»(1^.^-)1.(4.7.17)

L dq{\у/t2dq\/dq2X у h^ dq2 / Jx 7

В цилиндрических координатах z, у, ср имеем ht = hy = 1, и тогда это уравнение сводится к (4.7.2). Аналогично в сферических координатах

Я2 = -гг + -^-йг(-ПГ7йг) •(4.7.18)

dr2 г2 \ sin 9 09 /х 7

В важном случае сопряженной 1) системы координат вращения (см. разд. А.16), определяемой при помощи конформного преобразования

^),(4.7.19)

метрические коэффициенты равны, и вместо (4.7.17) получаем простое выражение

где h = h^ = h4. Это выражение интересно сравнить с оператором Лапласа в этих же переменных, не зависящим от ср:

^Ш^)+хЬх)Г <4.7.21)

*) Единственной несопряженной системой координат вращения, рассматриваемой в приложении А, является система сферических координат.

Как будет показано в последующих разделах, решения уравнения Е4ф — 0 могут быть получены при помощи решений уравнения второго порядка Е2ф = 0. Оператор Е2 тесно связан с оператором V2, как можно видеть, например, при сравнении их в цилиндрических координатах:

(4.7.22)(4.7.23)(4.7.22)(4.7.23) d / 1 д \ д2 d21д,д2

(4.7.22)

(4.7.23)

(4.7.22)

(4.7.23)

d21 5 д2ду2у dy ' dz2d21 5 д2ду2у dy ' dz2^ ду \ у dy /' dz2ду2уду1dz2 ’

d21 5 д2

ду2у dy ' dz2

d21 5 д2

ду2у dy ' dz2

V —5 ( У ) -]—

у <9у \ 1 ду / 1 dz2

Благодаря подобию этих двух операторов хорошо известная теория решений уравнения Лапласа V2V = 0 имеет неоценимое значение для получения соответствующих решений уравнения Е2ф = — 0 в различных системах координат и в конечном счете решений более важного уравнения Е4ф = 0.

В еще большей степени это относится к течениям при отсутствии вращения, удовлетворяющим уравнению Е2ф = 0. Эти течения широко изучаются в связи с их применением к течению идеальной жидкости. Многочисленные примеры рассмотрены в монографиях Ламба [19] и Милн-Томсона [24].

Однородные течения

Когда скорость жидкости в каждой точке однородна v = i2(7, везде справедливы соотношения

После интегрирования получаем

ф — —|- ^U — —~ Ur2 sin2 0;

(4.8.1) это есть функция тока однородного

течения со скоростью U в направлении положительных значений оси z.

Этот результат можно сразу получить из фундаментального определения функции тока (4.2.4), если заметить, что объемный расход Q через круглую площадку, изображенную на рис. 4.8.1, выражается в виде

Q = —лу2Е — 2лф,(4.8.2)

причем здесь введен отрицательный знак в соответствии с договоренностью, принятой в разд. 4.2, относительно направления течения.

Очевидно, что поверхностями тока ф = const являются концентрические цилиндры у = const, а линии тока, полученные при пересечении этих поверхностей с меридиональными плоскостями, представляют собой прямые линии, параллельные оси z.

Точечный источник или сток

Точечный источник представляет собой бесконечно малую область пространства, из которой жидкость вытекает радиально во всех направлениях. В диаметрально противоположных случаях, при которых жидкость стекает в точку, система называется стоком. Точечные источники и стоки являются абстракциями, которые не могут быть реализованы в природе, хотя их можно моделировать в той или иной степени приближения.

Пусть объемный расход источника в неограниченную область в несжимаемой жидкости равен q. Течение является чисто радиальным. Если представить себе сферическую поверхность радиуса г, имеющую в центре источник, то радиальная компонента скорости на ее поверхности равна

иг г//4лг2, (4.9.1)

в то время как тангенциальная компонента тождественно равна нулю. Член 4лг2 обозначает площадь поверхности сферы. Следовательно,

=v !*Ф=о (4 9 2)

г2 sin 0 50 4лг2 г sin 0 дг х ' откуда после интегрирования получаем

^=-^(1-608 9), (4.9.3)

причем постоянная интегрирования выбрана так, чтобы ф обращалась в нуль па оси 6=0. Функция тока для точечного стока соответствует отрицательному значению q.

Как ясно из физического смысла, поверхностями тока являются конусы 6 = const, имеющие вершину в источнике. Соответствующие линии тока суть лучи, выходящие из этой точки. Эти результаты и заключения справедливы независимо от того, стационарно ли течение или пет, при условии что q можно интерпретировать как мгновенный расход.

Уравнение (4.9.3) имеет чисто кинематическую природу и получено без введения каких-либо динамических предположений. Оно применимо, например, к любому классу течений несжимаемой жидкости, для которых такое течение динамически возможно. Этот вопрос можно всегда решить прямой подстановкой в уравнения движения этой функции тока. В частности, отметим, что выражение (4.9.3) удовлетворяет уравнениям безвихревого дви-

/Кения Л^ф = 0. Поэтому в соответствии с уравнениями (4.7.11), (4.7.13), (4.7.14) это выражение представляет точное решение уравнений Навье — Стокса, Стокса и уравнений потенциального течения. Но различные динамические предположения, принимаемые в этих уравнениях, приводят к разным выражениям для давлений и напряжений.

Источник и сток равной мощности

Несколько интересных примеров течений можно построить при помощи распределения в жидкости источников и стоков разных мощностей. Распределения могут быть как дискретными, так и непрерывными. Ограничимся здесь рассмотрением таких комбинаций, которые образуют осесимметричные течения. Так как

Рис. 4.10.1. Координаты для источника и стока.Рис. 4.10.1. Координаты для источника и стока.Рис. 4.10.2. Линии тока для источника и стока равной мощности.Рис. 4.10.2. Линии тока для источника и стока равной мощности.

Рис. 4.10.1. Координаты для источника и стока.

Рис. 4.10.1. Координаты для источника и стока.

Рис. 4.10.2. Линии тока для источника и стока равной мощности.

Рис. 4.10.2. Линии тока для источника и стока равной мощности.

вклад от каждого отдельного источника удовлетворяет дифференциальному уравнению £*2ф = 0, то из линейности оператора Ей следует, что течение, полученное произвольной суперпозицией решений, дает также решение этого уравнения. Эти решения автоматически удовлетворяют уравнению Стокса 54ф = 0.

В качестве простого примера рассмотрим источник и сток равной мощности, расположенные на равных расстояниях от начала координат на оси z, как показано на рис. 4.10.1. Предположим, что жидкость вытекает из источника А с объемной скоростью q и втекает в сток В равной мощности. Величина функции тока в точке Р при действии источника А определяется при помощи уравнения (4.9.3) при 0 = 0D в то время как ее величина, вызван-

Рис. 4.11.1. Координаты для конечного линейного источника.Рис. 4.11.1. Координаты для конечного линейного источника.

Рис. 4.11.1. Координаты для конечного линейного источника.

Рис. 4.11.1. Координаты для конечного линейного источника.

ная действием стока В в точке Р, равна

Фсток=-^(1 —COs02).(4.10.1)

Следовательно, величина функции тока в точке Р равна

W=^(cos0i-cos9.,).(4.10.2)

Линии тока даются уравнением cos 0Т — cos 02 = const и представлены на рис. 4.10.2.

Конечный линейный источник

В качестве примера непрерывного распределения источников рассмотрим конечный линейный источник, расположенный на оси z от начала координат до точки Л (0, а) (см. рис. 4.11.1). Распределение источников вдоль этого отрезка может быть охарактеризовано локальным расходом, отнесенным к единице длины Q = Q © в каждой точке отрезка; тогда если 6g — объемный расход отрезка длины 6£, то

Ц-QVW- (4.11.1)

Величина функции тока 6ф в точке Р (у, z), обусловленная этим источником в точке ^, в соответствии с (4.9.3) равна

6^ (^= S'cos 6 = Т-cos 9 ^-

(4.11.2)

Здесь для простоты не будем считать функцию тока ф равной нулю на оси симметрии.

Из суперпозиции функций тока получаем для непрерывного распределения источников а

Ш z) = ^ J <?®cos6^.(4.11.3)

о

Это выражение дает функцию тока в точке (у, z) от распределения источников, лежащих вдоль отрезка прямой на оси z от О до Л. Чтобы выразить угол 0 через |, заметим, что в соответствии с рис. 4.11.1

ctgO = -^l.(4.11.4)

9-01084

Разрешая это уравнение относительно cos 6 и подставляя в (4.11.3), получаем

а

Ш Z) = ^f <2(9 v^”-^ ^(4.11.5)

4Л Jу ?2 + (z_y2

При интегрировании уравнения необходимо полагать у и 2 постоянными.

Суммарный объемный расход от линейного источника имеет вид

(4.11.6)(4.11.6)q=^QW

(4.11.6)

(4.11.6)

О

Уравнение (4.11.5) можно применять для расчета функции тока при произвольном распределении источников, мощностьУравнение (4.11.5) можно применять для расчета функции тока при произвольном распределении источников, мощностьРис. 4.11.2. Линии тока при течении, вызываемом однородным конечным линейным источником.Рис. 4.11.2. Линии тока при течении, вызываемом однородным конечным линейным источником.которых меняется вдоль отрезка. Если Q постоянно, то интегрирование в (4.11.3) можно легко выполнить. После дифференцирования (4.11.4) находим, что

Уравнение (4.11.5) можно применять для расчета функции тока при произвольном распределении источников, мощность

Уравнение (4.11.5) можно применять для расчета функции тока при произвольном распределении источников, мощность

Рис. 4.11.2. Линии тока при течении, вызываемом однородным конечным линейным источником.

Рис. 4.11.2. Линии тока при течении, вызываемом однородным конечным линейным источником.

^ = Vcos29d6, (4.11.7) и тогда

02

т 4ла J sin2 6

01

_ д / тт \ 4ла \ sin 01sin 62 /

= 4^(П-гг).(4.11.8)

Линии тока, определяемые соотношениями гг — r2 = const,

представляют собой гиперболы с фокусами в точках О и Л, как показано на рис. 4.11.2.

Для тех точек на положительной оси z, которые лежат над

линейным источником, имеем гг — г2 = ос, и поэтому ф = ^/4л. В обратном случае для точек, лежащих под источником, имеем ф = — #/4л.

Результаты этого раздела можно также кратко выразить при помощи системы координат сплюснутого сфероида (см. А.17).

Точечная сила

Рассмотрим изолированную силу, действующую на жидкость и имеющую компоненту D в направлении отрицательных значений оси z, при этом окружающая жидкость считается неограниченной.

Полученное таким силы, приложенной к с (3.4.31)—(3.4.33))Полученное таким силы, приложенной к с (3.4.31)—(3.4.33))образом течение осесимметрично. Для началу координат, имеем течение (сравни

Полученное таким силы, приложенной к с (3.4.31)—(3.4.33))

Полученное таким силы, приложенной к с (3.4.31)—(3.4.33))

(4.12.1)(4.12.1)(4.12.2)(4.12.2)(4.12.3)(4.12.3) D yz 1 дф

(4.12.1)

(4.12.1)

(4.12.2)

(4.12.2)

(4.12.3)

(4.12.3)

У? 8лц г3у Oz '

/ У22 х1

z 8лр \ г3т )у ду ’

где г2 = у2 + z2. Следовательно, функция тока равна

। D ^

ф = — .

т8лр, г

D z 4л г3 ’D z 4л г3 ’Как и выше, давление дается формулой

D z 4л г3 ’

D z 4л г3 ’

(4.12.4)

Легко проверить, что выражение (4.12.3) удовлетворяет дифференциальному уравнению Стокса Е4*^ = 0.

Решение (4.12.3) можно рассматривать как фундаментальное для осесимметричных стоксовых течений. Из дискретных или непрерывных распределений точечных сил можно составить суперпозицию для получения различных осесимметричных течений аналогично тому, как было сделано с источниками и стоками в предыдущем разделе.

Граничные условия для функции тока

Наиболее часто встречаемой краевой задачей для осесимметричных течений является движение тела вращения в бесконечной жидкости с постоянной скоростью U = izU, параллельной его оси вращения. Граничные условия па теле делятся на два типа: кинематические и динамические.

Если рассматривать течение с точки зрения наблюдателя, находящегося в покое по отношению к жидкости, то кинематическое условие, описывающее непроницаемость поверхности, можно записать в виде

(v - U) n = 0.(4.13.1)

Это условие справедливо независимо от того, является поверхность твердой или нет, лишь бы она не была пористой.

Для твердого тела динамическое условие отсутствия относительной тангенциальной скорости на поверхности раздела требует, чтобы

(v _ U)-s - 0.(4.13.2)

Векторы п и s те же самые, которые рассматривались в разд. 4.5.

Эти условия можно записать при помощи функции тока. Используя (4.5.3) и (4.5.4), кинематические условия запишем в виде

или в другом виде

4(^н4^)=°-(4.13.4)

После интегрирования этого выражения по поверхности тела имеем

(4.13.5)

где постоянная интегрирования положена равной нулю в соответствии с условием, что гр равна нулю на оси у = 0.

Подобным же образом для динамического условия на поверхности тела имеем

^(» + т^)=0.(4.13.6)

Если поверхность принадлежит семейству криволинейных координатных поверхностей qN = const, то

Sn = | bqNlhN I, и тогда вместо (4.13.6) имеем

-^(* + ^У)=0.(4.13.7,

Если жидкость занимает все пространство и покоится на бесконечности, то

-~- -> 0 при г оо,(4.13.8)

так как скорость равна нулю.

Иногда легче рассматривать случай, когда твердое тело находится в покое и обтекается жидкостью, имеющей однородную скорость на бесконечности U = —\ги, направленную в сторону отрицательных значений оси z. Как и ранее, из (4.5.3) следует, что условие исчезновения нормальной скорости на поверхности записывается в виде d^lds = 0, отсюда немедленно следует, что гр = 0(4.13.9)

на поверхности тела. Точно так же при отсутствии тангенциальной скорости мы требуем, чтобы

-^-=0 или ^- = 0(4.13.10)

дпдукv

на поверхности твердого тела.

Если жидкость занимает все пространство, то условием, которому должно удовлетворять поле течений вдали от тела, является условие однородности течения, направленного в сторону отрицательных значений оси z. Поэтому из (4.8.1) с учетом противоположного направления течения имеем

гру217 при г оо.(4.13.11)

Функции тока для двух классов течений отличаются в каждой точке только членом (1/2) ^U, соответствующим постоянной разности скоростей U. Более точно, если гр является функцией тока для тела, движущегося поступательно в положительном направлении оси z со скоростью U в жидкости, находящейся в покое на бесконечности, а гр является функцией тока при обтекании неподвижного тела в отрицательном направлении оси z со скоростью С/, то

^ + 1^ = ^’.(4.13.12)

При обтекании неподвижного тела, как это следует из (4.13.9), поверхность тела сама является поверхностью тока. Что это именно так, очевидно сразу из рассмотрения путей жидких частиц, подходящих к препятствию. С другой стороны, из (4.13.5) видно, что это неверно для движущегося тела. Точнее, жидкие частицы или скользят по телу, или увлекаются им, и поэтому линии тока пересекают тело. Для твердого тела, к поверхности которого жидкость прилипает, оказывается, что скольжение частиц по поверхности должно происходить в том же направлении, в котором течет жидкость. Отсюда следует, что линии тока должны быть параллельны оси z на поверхности тела; т. е.

-§- = 0(4.13.13)

на твердой поверхности. Это можно продемонстрировать аналитически, замечая, что vz = U и = 0 на поверхности, и используя (4.4.1):

= W(4.13.14)

Уравнение (4.13.13) нельзя применять в случае подвижной поверхности, как, например, в случае жидкой капли.

Линии тока для этих двух противоположных случаев относительного движения показаны на рис. 4.17.2 и 4.18.2 для твердой сферической частицы.

Сопротивление тела

Диадик напряжений для несжимаемой вязкой жидкости определяется уравнением (2.1.8):

П = —р! + 2рА,(4.14.1)

где в соответствии с (2.1.12)

Д = у [W + (W)e].(4.14.2)

Выразим напряжения на поверхности тела в криволинейных координатах, рассмотренных в разд. 4.5. Как следует непосредственно из (4.5.1), единичный тензор можно представить в форме

I = nn + SS + 1ф1ф.(4.14.3)

Полагая

v = Ш2П + spe,(4.14.4)

получаем из (А.7.7), что тензор скоростей деформаций принимает вид

д=""^+"4(^+^)+™4(^+^)+^+

+ 1*{№-^(^)+Т№^-(|)} ■ (4-14.5)

Вектор напряжений, действующих поперек элемента площади поверхности с внешней нормалью п, имеет вид

П„ = П.п = п ( -р + 2^) +8И (^ + ^-) ■ (4.14.6)

Первый и второй члены определяют соответственно нормальные и тангенциальные напряжения. Уравнение (4.14.6) можно выразить в другом виде:

Пп=-пр + 2р(п.^ + 5>) + 8и(^--^).(4.14.7)

При помощи (А.5.4) имеем

E = vxv = i,(^—^).(4.14.8)

В соответствии с выражением оператора V, данным в (4.5.2), можно записать

(4.14.9)(4.14.9)Пп = —пр + 2|iVvn + s^ (i„-g).

(4.14.9)

(4.14.9)

Наконец, из соотношений (4.5.3) и (4.7.1), связывающих соответственно нормальную скорость и завихренность с функцией тока, имеем

Пп = - пр - 2pV (A -g-) + sp А Е^.(4.14.10)

Вследствие симметрии течения интегральное действие напряжений на всю поверхность тела выражается только через один динамический параметр — силу, действующую параллельно оси вращения. В соответствии с предыдущими допущениями сила, действующая на тело со стороны жидкости, направлена в положительном направлении оси z и равна

7,= j Hz-dS= j nrnd5= j HxndS = j H^dS, (4.14.11) 888S

где в используемых координатах элемент поверхности равен

65 = 2луб$.(4.14.12)

Для компоненты вектора напряжений в положительном направлении оси z имеем

nnz = Пп • iz = — (n. iz) р - 2р (iz • V) ( А ^) + (S • iz) р А #4- (4.14.13)

Это выражение при помощи (4.5.4) можно представить в форме п^-р-^-Н^)-^#^

(4.14.14)

Сила, действующая на тело, тогда равна

Ег = —Л j l^PW + n J

— 4лр j А- (?ут) 6s—2лр j ^ E^&s, (4.14.15)

где интегралы берутся по площади меридионального сечения тела в направлении, составляющем положительный угол с л (см. рис. 4.5.1); при этом пределами интегрирования служат верхняя и нижняя точки, в которых поверхность, ограничивающая тело, пересекает ось симметрии. Так как в этих конечных точках у = О, то первый и третий интегралы тождественно равны нулю, тогда

Г, = л j ^ -^ 6s - 2лр J AL E2^bs. (4.14.16)

Чтобы избавиться от члена с давлением, воспользуемся результатами разд. 4.15. Отсюда следует, что в установившемся стоксовом течении

= — 4"WV(4.14.17)

ds у дп хх'

Подставляя (4.14.17) в предыдущее выражение, получаем простое выражение для силы, действующей на тело:

<4Л4Л8>

Оно идентично соответствующему выражению, приводимому Стимсоном и Джеффри [36]. Это выражение применимо к различным течениям Стокса независимо от типа граничных условий, и, в частности, его применимость не ограничивается задачами для жидкостей, занимающих все пространство. Заслуживает внимания то, что это выражение применимо также к полным уравнениям Навье — Стокса в тех случаях, когда скорость исчезает на поверхности тела; тогда инерционный член v-Vv, который обычно вносит вклад в выражение для изменения давления др!ds вдоль границы, равен нулю в каждой точке поверхности. В этом смысле приведенное выше выражение согласуется с формулой Уолтона [38].

Оценка сопротивления с использованием (4.14.18) часто представляет собой трудную задачу. Если среда неограниченна, то можно поступать иначе, воспользовавшись результатами разд. 4.12 для осесимметричного течения, вызванного точечной силой. На достаточно большом расстоянии от обтекаемого препятствия функция тока должна совпадать с функцией тока, генерируемой в результате действия точечной силы, равной по величине силе сопротивления, при условии что жидкость на бесконечности покоится. Как следует из (4.12.3), при замене D на Рг сила, действующая со стороны жидкости на тело в положительном направлении оси zr определяется при помощи соотношения

^г = 8лцИт-^-,(4.14.19)1)

где ф — функция тока для рассматриваемого течения. Более строгий вывод можно найти в работе Пейна и Пелла [27], которым и принадлежит это выражение.

Если жидкость не покоится па бесконечности, уравнение (4.14.19) неприменимо; если, однако, через фоо обозначить функ-

г) Напомним, что в соответствии с разд. 4.12 D является силой, действующей в отрицательном направлении осиз со стороны частицы на жидкость. Но, согласно третьему закону Ньютона, эта сила равна силе, действующей со стороны жидкости на тело в положительном направлении оси z.

цию тока, соответствующую течению жидкости на бесконечности, то функция тока ф — фоо соответствует течению жидкости, покоящейся на бесконечности. Подставляя ее в (4.14.19), получаем

^ = 8л|1Ит-^^- .^ = 8л|1Ит-^^- .(4.14.20)(4.14.20)

^ = 8л|1Ит-^^- .

^ = 8л|1Ит-^^- .

(4.14.20)

(4.14.20)

(4.14.21)(4.14.21)Например, если течение жидкости на бесконечности является однородным со скоростью U, направленной в отрицательную сторону оси 2, то

(4.14.21)

(4.14.21)

1роо = у ^U.

В общем случае фоо соответствует течению при отсутствии частицы.

Другой метод для расчета силы, действующей на тело, движущееся поступательно с постоянной скоростью U в неограниченной жидкости, основан на том, что величина | FZU | равна работе, производимой напряжениями, действующими на тело, а с другой стороны, равна скорости диссипации энергии в жидкости. Расчет последней величины сразу же приводит к значению силы, действующей на тело.

Давление

Связь между давлением в жидкости при стационарном стоксовом течении и функцией тока можно выразить при помощи следующих равенств:

yVp = V2v= -Vx £= -vx (-уЕ21|)) = --у х V(^21р).

(4.15.1)

Для оператора V в правой криволинейной системе координат вращения qtl q^ ср имеем

V=iA^ + i*^.(4.15.2)

После подстановки в обе части первого выражения и приравнивания компонент получаем

dq^ у hi dq2 х т/dq^ у hi dq2 х т/(4.15.3)(4.15.3)

dq^ у hi dq2 х т/

dq^ у hi dq2 х т/

(4.15.3)

(4.15.3)

%2 У h2 dqv х

Давление можно получить, интегрируя эти соотношения.

В случае координатной системы вращения сопряженного типа (разд. А.16), т. е. в системе, определяемой конформным преобразованием типа

z + ^ = / (£ + г1!),z + ^ = / (£ + г1!),(4.15.4)(4.15.4)

z + ^ = / (£ + г1!),

z + ^ = / (£ + г1!),

(4.15.4)

(4.15.4)

(4.15.5)(4.15.5)для которой метрические коэффициенты равны, уравнения (4.15.3) сводятся к системе

(4.15.5)

(4.15.5)

5 = fi№).

где ^ т), ср — правая система координат.

Сепарабельные координатные системы

Для получения решений уравнений движения Е4ф = 0 в частных координатных системах полезно кратко рассмотреть методы, используемые для решения более простых родственных уравнений в частных производных. Это может оказаться ценным в последующем. Как станет ясно из дальнейшего, общие методы для решения задач об осесимметричных течениях в любой ортогональной сопряженной системе координат вращения можно свести к методам решения уравнения второго порядка т)

Lh (X) = 0,(4.16.1)

где Lk — оператор:

—z— ,— оо<А< + оо. (4.16.2)

dz2 dy2 у dy4'

Решениями ^ (z, у) предыдущего уравнения являются обобщенные осесимметричные потенциальные функции. Из разд. 4.7 следует, что в частных случаях

Lx = V2, L_x = Я2.(4.16.3)

Для сопряженной координатной системы вращения

* + *Т = / (£ + h)(4.16.4)

имеем

++,(4.16.5)

dz2 1 о^ \ oV dr)2 /

где Н = h^ = Н^ — метрический коэффициент. Кроме того, из (А.14.8)

Ь2 / dy ddy d \

dy \ dg dgdr) dr) / *

Обобщенный оператор поэтому в этих координатах выражается в виде

L>=v‘HW xV^Vf-kYi ■ <4л6-6>

Для более подробного знакомства с сепарабельными координатами см. книгу Морса и Фешбаха [25].

Проверим условия, при которых уравнение (4.16.1) можно решить методом разделения переменных. Отыскиваем решение в виде

Х'*> =(?) V (л).(4.16.7)

После выполнения указанных операций получаем

л1(х»>)=т-‘у [ -л (‘ -1) ^-w {(^.)!+(А)2} -

-4T»«->t7v(^- + ^-) + TM(UT' + rt7)].(4.16.8)

Из (4.16.5) следует, что

=(4.16.9)

Кроме того, пользуясь результатами разд. А.16, легко показать, что

Следовательно, для удовлетворения уравнения

Lk^ =0(4.16.11)

необходимо, чтобы

-4 (4- 1 ) (w) UV-VU-V-VV-U^ (4.16.12)

или после деления на UV

т + -Р-т(4-*)щг = 0-(4.16.13)

Отсюда следует, что достаточным условием разделения переменных является

-^ = Р(Э+е(П),(4.16.14)

которое можно записать в виде

-^-(-j—)=0.(4.16.15)

Все сопряженные координатные системы вращения, приведенные в приложении А, удовлетворяют этому условию. Например, в системе координат сплюснутого сфероида (см. разд. А. 18) имеем

Y = с ch £ sin и, h =,

с (ch2 £ — sin2 т])1/2 и тогда

111

/i2y2 sin2 т]/i2y2 sin2 т]ch2& •ch2& •

/i2y2 sin2 т]

/i2y2 sin2 т]

ch2& •

ch2& •

Это равенство типа (4.16.14), необходимое для разделения переменных.

Комбинация (4.16.13) и (4.16.14) приводит к соотношению

Так как левая часть не зависит от ц, а правая часть не зависит от 5, то каждая из них должна быть равна постоянной, скажем X. Разделенные координаты в соответствии с уравнением (4.16.7) приводят к следующим общим дифференциальным уравнениям второго порядка:

U" ®-[1(4 - ^(ЕН X] £7(^ = 0, гк/к \1(4.16.16)

г(т|)-[|(4-1)<2(п)-х]г(т]) = о.

Выбор константы разделения X полностью зависит от формы функций Р и Q и, следовательно, в конечном счете от системы координат. Для получения более общих решений уравнения (4.16.1) решения уравнения (4.16.7) для различных значений произвольного параметра X можно комбинировать при помощи суперпозиции (или суммирования, или интегрирования).

Из (4.16.7) немедленно следует, что в координатных системах, для которых справедливо

Т = ^ (6) ^ (Л),(4.16.17)

подстановка

г = и (У и (ц)(4.16.18)

будет давать разделяющееся решение без введения дополнительного сомножителя у-ь/2. Такими системами из рассмотренных

в приложении А являются только биполярные и тороидальные координаты.

Приложения общей теории, обсуждаемой здесь, будут иногда встречаться в последующем изложении.

Поступательное движение сферы

Рис. 4.17.1. Поступательное Наиболее важным примером осе- движение сферы.симметричного течения является те

чение, вызываемое движением твердой сферы с постоянной скоростью в неограниченной неподвижной жидкости. Эта задача впервые рассматривалась Стоксом и была решена при помощи функции тока, которую он изобрел специально для этой цели.

Предположим, что радиус сферы а и что она движется в положительном направлении оси z со скоростью U (рис. 4.17.1). Для этой задачи наиболее подходят сферические координаты. Полагая у = г sin 6 в уравнениях (4.13.5) и (4.13.7), получаем граничные условия, которые должны удовлетворяться на поверхности сферы г = а:

(4.17.1)(4.17.1)ф|г=а=: — у Ua2 sin2 0,

(4.17.1)

(4.17.1)

= — Z7asin20.or |г=а

то необходимо(4.17.2)то необходимо(4.17.2)Так как жидкость покоится на бесконечности, принять во внимание условие

то необходимо

(4.17.2)

то необходимо

(4.17.2)

0 при г оо.

Эта функция тока удовлетворяет дифференциальному урав-

нению

.Е’41|) = 0,

(4.17.3)

где в сферических координатах

_ д2 . sin 0 д / 1 д \

(4.17.4)

dr2 * г2 dO \ sinO дО / *

Пробное решение ищем в виде

ф = sin26 F (г),

(4.17.5)

который можно угадать из формы граничного условия

(4.17.1).

В соответствии с уравнением (4.17.4) последовательно

имеем

^ = sin20 (F"--^-F) = sin26/ (г),

(4.17.6)

E^=sin2e(r-40=°-

(4.17.7)

Отсюда следует уравнение

Г—Д-/=о,

(4.17.8)

решение которого есть

/(г) = Лг2 + ^.

(4.17.9)

Следовательно, из (4.17.6) имеем

F"VF= Ar^-V — , Г2Г ’

(4.17.10)

откуда

(4.17.11)

что приводит к соотношению

*=s№6(^_»+w+4).*=s№6(^_»+w+4).(4.17.12)(4.17.12)

*=s№6(^_»+w+4).

*=s№6(^_»+w+4).

(4.17.12)

(4.17.12)

В соответствии с (4.17.2) необходимо положить Л = О, С = 0. После применения оставшихся граничных условий (4.17.1) к выра-

Рис. 4.17.2. Линии тока при движении сферы.Рис. 4.17.2. Линии тока при движении сферы.

Рис. 4.17.2. Линии тока при движении сферы.

Рис. 4.17.2. Линии тока при движении сферы.

(4.17.13)(4.17.13)жению (4.17.12) получаем совместные уравнения для определения оставшихся постоянных В и D:

(4.17.13)

(4.17.13)

-Ua= -1в-К.

Решая уравнения, получаем

B = ^Ua, D = ^Ua\(4.17.14)

Тогда функция тока равна

4 = lt/a2sin20 (у-Зу) ,(4.17.15)

tp=-^-C7r2sin20 [(у)3 — 3 (у)] ,(4.17.16)

откуда соответствующие компоненты скорости, получаемые из уравнения (4.4.2), выражаются в виде

„,= _^исоае^у^_3^,(4.17.17)

_|y,ine(±)[(^)! +.3] .(4.17.18)

Вид нескольких линий тока гр = const показан на рис. 4.17.2.

Для получения давления нужно использовать уравнения (4.15.3) в сферических координатах:

"^ = — г23Ь0 ао (^^ *

Полагая Л = 0 в (4.17.9) и подставляя в (4.17.6), имеем

£2ф = в ^-^ ,(4.17.20)

и тогда

dp=-^dr+-g-dO =

73 / 2 COS 0 dr . SID 0 (/0 \/ COS 0 \ н v

= -H^( — + —^^ = ^Ba\-^-y (4.17.21)

После интегрирования получаем

p^p^^u(4.17.22)

где poo — однородное давление на бесконечности.

Чтобы получить силу, действующую со стороны жидкости на сферу, полагаем в (4.14.18) Ьп = 8г и 6s = г60 и замечаем, что нижний и верхний пределы интегрирования 6 = 0 и 6 = л соответственно. Это дает выражение для силы

л

Г з • з а д / В sin2 0/г \

Fz~№l \ г3 sin3 6 — I —\rd& =

Jdr X r2sin20 /

о

= —35рл j sin39d9= —4лцБ, (4.17.23) о

которое справедливо независимо от значений постоянных величин Л, 5, С и D в (4.17.12). В данном случае это приводит к

рх = -блраЕЛ(4.17.24)

Этот хорошо знакомый результат известен как закон сопротивления Стокса. Отрицательный знак показывает, что сила, действующая со стороны жидкости на сферу, направлена противоположно движению последней; следовательно, жидкость препятствует движению частицы через нее. Чтобы поддерживать стационарное движение, необходимо постоянно прикладывать силу этой же самой величины к сфере в направлении ее движения. На практике это обычно осуществляется за счет действия на сферу силы тяжести.

Главный результат анализа уравнения (4.17.24) можно было получить более просто путем применения формул (4.14.19) к функции тока (4.17.15), откуда следует

Fz = 8nnlim-^-(y- 3-0 = —6лцаСЛ (4.17.25)

Некоторые исследователи приписывают отдельные значения тем частям полного сопротивления, которые получаются как результат действия всех нормальных и тангенциальных напряжений соответственно. Отдельные сопротивления, которые отвечают этим двум типам напряжений, называются сопротивлением формы (или профиля) и поверхностным сопротивлением соответственно. Эти сопротивления можно без труда получить из разложения вектора напряжений в (4.14.6) на нормальные и касательные составляющие. Так как dvjdn = 0 на поверхности сферы, то нормальные напряжения просто равны —п/?. Компонента этого напряжения в направлении z, определяемая при помощи (4.5.4), равна

(Ппг)норм= — k«np= — ^р = —dJL^Lp== —pcose. (4.17.26)

Интегрирование этого выражения по поверхности сферы дает сопротивление формы

Fz—— j j VpAr=a cos 9 dSt(4.17.27)

0=0 ф=0

где dS = a? sin 6 d9 d<$ — элемент площади поверхности. Выражение (4.17.27) легко интегрируется после подстановки выражения для давления из (4.17.22). В результате имеем

Р'г = -2лцаС/.(4.17.28)

Учитываявеличинуполного сопротивления,получаем,что по

верхностное (или вязкое) сопротивление должно быть равно

Р'г = -4лцлС/.(4.17.29)

Такимобразом,отношение поверхностногосопротивления

к сопротивлению формы равно 2:1. Этот результат может быть также получен интегрированием нормальных и тангенциальных напряжений Пгг и Пго по поверхности сферы.

Обтекание сферы

Задачей, непосредственно связанной с вопросом, рассмотренным в предыдущем разделе, является обтекание неподвижной сферы, изображенной на рис. 4.18.1. Если положить, что жидкость

течет в отрицательном направлении z с одинаковой скоростью U в точках, расположенных бесконечно далеко от сферы, то из условия равномерного течения на бесконечности (4.13.11) следует, что

ф у C7r2sin26 при г -> оо. (4.18.1)

VVРис. 4.18.1. Обтека-Рис. 4.18.1. Обтека-Из выполнения граничных условий на сфере в соответствии с (4.13.9) и (4.13.10) имеем ф = 0 и -|^ = 0 при г = а. (4.18.2)

V

V

Рис. 4.18.1. Обтека-

Рис. 4.18.1. Обтека-

Задачу можно решить заново, переопределив постоянные в уравнении (4.17.12). ■ С другой стороны, можно просто наложить на решение предыдущего раздела однородное течение в направлении отрицательных значений z, после чего имеем

4, = ±^sW0[(4)^3(4)+2(i.)2] (4.18.3) или

(4) + 1] ■ (4.18.4)

Компоненты скорости можно получить, прибавляя к соответствующим выражениям предыдущего раздела величины

v'r—— U cosQ, z;e = Z7sin0(4.18.5)

для однородного течения в направлении отрицательных значений z. Результат этих вычислений приводится здесь для справок:

^-^^[(-^-З^) 4-2] ,(4.18.6)

ve = -|C7sin0[(^)3 + 3 (-£) -4] .(4.18.7)

Эти выражения удовлетворяют условию равенства нулю скорости на поверхности сферы г = а.

Давление и вязкие напряжения, зависящие от первых производных скорости, имеют те же самые значения, что и прежде; постоянная разница в скоростях, соответствующих этим двум решениям, не может повлиять на них. В частности, сила, действующая на сферу, по-прежнему выражается при помощи- (4.17.24). Отрицательный знак теперь означает, что сфера стремится двигаться вместе с жидкостью, т. е. в отрицательном направлении оси г.

Рис. 4.18.2. Линии тока при обтекании сферы.Рис. 4.18.2. Линии тока при обтекании сферы.Некоторые линии тока, полученные на основе (4.18.3), нанесены па рис. 4.18.2. В отличие от результатов предыдущего раздела, сфера теперь представляет собой поверхность тока и соответствует величине гр = 0. То, что представленная конфигурация отличается от приведенной на рис. 4.17.2 для поступательного движения сферы в неподвижной жидкости, можно было ожидать на основе замечаний, сделанных в конце разд. 4.13.

Рис. 4.18.2. Линии тока при обтекании сферы.

Рис. 4.18.2. Линии тока при обтекании сферы.

Наиболее удивительным в картинах линий тока является полное отсутствие асимметрии относительно средней плоскости z — 0. Это возможно только при малых числах Рейнольдса, когда жидкость лишена инерции. Эксперименталь

ное наблюдение приболев высоких числах Рейнольдса свидетельствует о наличии асимметрии, проявляющейся в формировании вихрей и в существовании следа за кормовой частью сферы.

Установившаяся скорость падения

Сферическая частица, падающая под действием силы тяжести в вязкой жидкости, в конце концов начинает двигаться с постоянной скоростью, при которой действие силы тяжести уравновешивается гидродинамическими силами. Далее эта скорость будет называться установившейся скоростью падения Uoo. Это верно, конечно, независимо от того, достаточно ли медленно движение или нет, чтобы описываться уравнениями Стокса, хотя здесь внимание сосредоточено исключительно на последнем случае. Определение скорости перехода в это однородное движение из любого другого движения, например из состояния покоя, представляет собой нестационарную задачу.

Сила тяжести, действующая па частицу, с учетом выталкивающей силы равна

F ^^ --р} g ^па\(4.19.1)

где р' — плотность (средняя) сферы и g — местное ускорение свободного падения. С другой стороны, из закона Стокса имеем силу вязкого сопротивления

F = 6лцаС7оо.(4.19.2)

Приравнивая оба выражения, получаем

В случае частицы с плотностью, меньшей, чем плотность окружающей жидкости, р' — р < 0, это выражение дает постоянную скорость, с которой частица поднималась бы в окружающей жидкости.

Если окружающая среда представляет собой газ, часто можно использовать приближение р' ^> р, с учетом которого (4.19.3) сводится к выражению

Выражение (4.19.3) обсуждается так подробно в связи с важ

ными его приложениями.

Скольжение на поверхности сферы

Интересно рассмотреть случай, когда жидкость может скользить по поверхности сферы. Эта задача впервые была решена Бассе [2]. Наиболее правдоподобной гипотезой для этого случая является гипотеза, согласно которой тангенциальная скорость х) жидкости относительно твердого тела в точке на его поверхности пропорциональна тангенциальным напряжениям, действующим в этой точке. Постоянную пропорциональности р, связывающую эти две величины, можно называть коэффициентом трения скольжения. Если этот коэффициент отличен от нуля, то предполагается, что он зависит только от природы жидкости и твердой поверхности.

В случае, если сфера находится в покое и жидкость обтекает ее, эта гипотеза принимает вид

(4.20.1)(4.20.2)(4.20.1)(4.20.2)диг ~dQдиг ~dQ$и9 = Пге при г — а. Для осесимметричных течений

(4.20.1)

(4.20.2)

(4.20.1)

(4.20.2)

диг ~dQ

диг ~dQ

Принимая во внимание условие, что нормальная скорость иТ па поверхности равна нулю, можно переписать (4.20.1) при помощи функции тока в следующем виде:

^7^ = ^ (т^) ПРИ г = а- (4-20-3) Равенство нулю иг на сфере эквивалентно условию

ф = 0 при г = а.(4.20.4)

Вопрос о справедливости условия обращения в нуль относительной нормальной компоненты скорости на поверхности здесь не возникает, так как это чисто кинематическое условие.

Кроме того, так как течение однородно на бесконечности и направлено в сторону отрицательных значений 2, то

(4.20.5)(4.20.5)Ф 2" ^r2sin20 при г -> оо.

(4.20.5)

(4.20.5)

Задача единственным образом определяется уравнениями (4.20.3) — (4.20.5).

Общее решение, выраженное соотношением (4.17.12), подходит для наших целей. Постоянные в этом решении легко находятся:

(4.20.6)(4.20.6)Л = 0, B=lUa-^^ ,2ра + ор

(4.20.6)

(4.20.6)

C = ^U, D = ^Ua? . Р“ .

24 ра + Зр,

Силу, действующую на тело, можно получить из (4.17.23), подставляя полученную выше величину В. Тогда

=(4.20.7)

В частном случае отсутствия скольжения Р = оо имеем

Ех = -блцаС/.(4.20.8)

Это значение соответствует закону Стокса. В случае полного скольжения р = 0 имеем

Ех = —4лцаЕ/,(4.20.9)

и сопротивление меньше величины, определяемой из закона Стокса, в 2/3 раза.

Эпштейн [9] показал при помощи кинетической теории, что феноменологическое предположение Бассе (4.20.1) справедливо только в случае, когда можно пренебречь квадратом отношения На (Z — средняя длина свободного пробега молекулы газа). Он нашел выражение для сопротивления Ех непосредственно, без использования для расчета гидродинамической теории, и пришел к простому выражению (см. (2.8.1)):

(4.20.10)

Эта формула, по-видимому, лучше подтверждается экспериментом, чем выражение Бассе для газов, для которых На достаточно велико для того, чтобы влиять на поправочный фактор, но достаточно мало, чтобы можно было пренебречь высшими степенями На (см. разд. 2.8).

Жидкая сфера

Поступательное движение жидкой сферы было впервые рассмотрено независимо Рыбчинским [31] и Адама ром [13]. Поверхностное натяжение, действующее на поверхность раздела двух несмешиваемых жидкостей, стремится сохранить сферическую форму и противодействует сдвиговым напряжениям, стремящимся деформировать ее. Если движение достаточно медленное или капля достаточно мала, она будет оставаться сферической, по крайней мере в первом приближении *).

Для устранения возможной двусмысленности будем различать движение жидкости внутри и снаружи капли соответственно при помощи индексов i и о. Предположим, что сфера как целое находится в покое по отношению к внешнему течению жидкости, имеющему скорость U и направленному в сторону отрицательных значений z. Это приводит к граничному условию

ф<°) -> ~ Z7r2sin29 при г -> оо. (4.21.1)

Кинематическое условие непроницаемости поверхности раздела vr = 0 требует выполнения равенств

гр(9 = 0приг — а,(4.21.2)

-ф(о) — оприг = а.(4.21.3)

Далее полагаем, что тангенциальная скорость г?е непрерывна на поверхности раздела, тогда

при г = «.(4.21.4)

Если предположить, что к рассматриваемому явлению применима обычная равновесная теория поверхностного натяжения, то единственный эффект коэффициента поверхностного натяжения у будет состоять в появлении разрыва нормального напряжения Пгг на поверхности раздела. Это проявляется в появлении разницы] давлений по обе стороны сферической поверхности, так что в каждой точке на поверхности сферы

р^ = pW + ^/а.(4.21.5)

Большее давление внутри объясняется растяжением поверхности раздела, так же как и в случае баллона с гибкой оболочкой, для которого давление внутри больше, чем снаружи. Следовательно, существование поверхностного натяжения не вносит вклада

г) Расчет искажений формы, имеющих место, когда инерционными эффектами нельзя более пренебречь, см. в работе: Taylor Т. D., Acrivos A., J. Fluid Meeh., 18 (1964), 466.

в тангенциальную составляющую Пге па поверхности раздела; следовательно, она должна оставаться непрерывной на поверхности. Используя методы предыдущего раздела, получаем, что это условие выражается после некоторых упрощений равенством

при г —а,при г —а,(4.21.6)(4.21.6)d / 1 дф^) \ д / 1 дф(°) \ ^1 дг \ г2дт /^° дт \ г2 дг /

при г —а,

при г —а,

(4.21.6)

(4.21.6)

где |иг и |Ио — вязкости внутренней и внешней жидкостей соответственно.

На основе этих шести условий определяется единственное решение. Для функций тока, описывающих внешнее и внутреннее течения, воспользовавшись общим решением, определяемым соотношением (4.17.12), имеем

ip<°) = sin20 (^—^ + ^ + --7-^ , r^>a,(4.21.7)

^(i) = sin2 0+ ^2 +-7-) , г<а. (4.21.8)

Условия на бесконечности сразу же дают

Л = 0, С = (1/2) /7,Л = 0, С = (1/2) /7,(4.21.9)(4.21.9)

Л = 0, С = (1/2) /7,

Л = 0, С = (1/2) /7,

(4.21.9)

(4.21.9)

в то время как условие конечности компонент скорости в центре при г = 0 требует, чтобы

7^ = 0, Я = 0.(4.21.10)

Четыре произвольные постоянные, которые, однако, еще требуется вычислить, можно найти прямо, используя оставшиеся граничные условия (4.21.2)—(4.21.4) и (4.21.6). Решение полученной в результате системы четырех совместных уравнений дает

о 3 ТТл ^ + ^° В— 2 U 14-оо 3 ТТл ^ + ^° В— 2 U 14-о5 U о2 а2 1 + а5 U о2 а2 1 + а41 + с414-41 + с414-(4.21.11)(4.21.11)

о 3 ТТл ^ + ^° В— 2 U 14-о

о 3 ТТл ^ + ^° В— 2 U 14-о

5 U о

2 а2 1 + а

5 U о

2 а2 1 + а

41 + с

414-

41 + с

414-

(4.21.11)

(4.21.11)

где о — отношение вязкостей Цо^г-

Типичные линии тока как для внутренного, так и для внешнего течений представлены на рис. 4.21.1. Отчетливо наблюдается циркуляция внутри капли.

Сопротивление сферы можно рассчитать сразу из общего выражения (4.17.23), применив его к внешнему течению. Подставляя найденную ранее величину В, находим

(4.21.12)

Рис. 4.21.1. Линии тока при обтекании жидкой капли. Показана внутренняя циркуляция.Рис. 4.21.1. Линии тока при обтекании жидкой капли. Показана внутренняя циркуляция.

Рис. 4.21.1. Линии тока при обтекании жидкой капли. Показана внутренняя циркуляция.

Рис. 4.21.1. Линии тока при обтекании жидкой капли. Показана внутренняя циркуляция.

Не должно вызывать удивления, что коэффициент поверхностного натяжения у не фигурирует явно ни в одном из этих результатов, так как он просто изменяет давление во внутренней области на постоянную величину ^la. Так как динамическое давление определяется само по себе только с точностью до дополнительной аддитивной постоянной, зависящей от равномерного давления на

бесконечности, ясно, что дополнительное давление, обусловленное поверхностным натяжением, не может изменить конечный результат.

Если в (4.21.12) положить ц^ = оо, то это выражение сведется к закону Стокса.

Для случая газового пузырька, медленно движущегося в жидкости, имеем р0 > ць и тогда

F г —4лцоа(7. (4.21.13)

Этот результат совпадает с предыдущим, определенным для сферы при не заторможенном скольжении на поверхности.

Из экспериментов известно, что хотя для больших газовых пузырей характерна внутренняя циркуляция, малые пузыри ведут себя подобно твердым сферам и движутся с установившейся скоростью, приближающейся к скорости, соответствующей закону Стокса. Левич [21] показал, что это связано скорее всего с наличием в жидкости следов поверхностно-активных веществ, которые накапливаются на поверхности раздела. Опи сносятся течением

к кормовой части пузыря, создавая тем самым неоднородную кон-

центрацию поверхностно-активных веществ па его поверхности. В свою очередь это приводит к возникновению градиента поверхностного натяжения и к появлению системы поверхностных напряжений. Эти напряжения препятствуют движению поверхности раздела и, следовательно, оказывают тормозящее влияние па внутреннюю циркуляцию.

Ранее Буссинеск [5] критиковал г) теории Рыбчинского и Ада- мара. Он считал, что так как поверхность раздела подвержена

*) Его анализ воспроизведен в монографии Драйдена, Мурнагана и Бэйтмана [8].

постоянным деформациям, то принципиально неверно использовать теорию капиллярных явлений, основанную на результатах статических экспериментов. Он считал, что состояние напряжений на поверхности раздела в общем случае должно зависеть скорее от ее скорости деформации: так же, как понятие давления в статической жидкости должно быть оставлено в пользу понятия о более общей системе напряжения в движущихся жидкостях. На основе этих идей Буссинеск в конце концов получил следующую формулу для сопротивления сферической жидкой капли:

Fz = — 6лр,оа?7Fz = — 6лр,оа?7(е/а) + 2ро + 3р,; (eM)4-3p0 + 3pi(е/а) + 2ро + 3р,; (eM)4-3p0 + 3pi(4.21.14)(4.21.14)

Fz = — 6лр,оа?7

Fz = — 6лр,оа?7

(е/а) + 2ро + 3р,; (eM)4-3p0 + 3pi

(е/а) + 2ро + 3р,; (eM)4-3p0 + 3pi

(4.21.14)

(4.21.14)

Рис. 4.22.1. Концентрические сферы, движущиеся друг относительно друга.Рис. 4.22.1. Концентрические сферы, движущиеся друг относительно друга.

Рис. 4.22.1. Концентрические сферы, движущиеся друг относительно друга.

Рис. 4.22.1. Концентрические сферы, движущиеся друг относительно друга.

где е —«поверхностная вязкость». Если 8 положить равной пулю, то получим предыдущий результат.

Общий математический подход к динамике поверхностей раздела ньютоновских жидкостей развит Скривеном [34]. Он приводится в книге Ариса [1], цитируемой в гл. 2.

Концентрические сферы

Движение сферы в тот момент, когда она проходит через центр сферического контейнера, представляет интерес с точки зрения выяснения значимости влияния стенок на движение одиночной

частицы, а также может служить моделью взаимодействия между

частицами в неограниченной системе, состоящей из многих частиц. Ряд авторов дали подходящие решения уравнений Стокса (при пренебрежении нестационарными членами) для данной задачи при различных граничных условиях.

Радиусы внутренней и внешней сфер равны соответственно а и Ъ. Внутренняя сфера предполагается находящейся в покое, в то время как внешняя движется в отрицательном направлении оси z с постоянной скоростью U (рис. 4.22.1). За исключением постоянной скорости U, эта задача идентична задаче, в которой сфера движется с

постоянной скоростью U в сторону положительных значений оси z в центре внешней сферы, которая находится в покое.

Каннингем [7], Вильямс [37] и Ли [20] независимо нашли решения для случая твердой внутренней сферы. Хаберман и Сайр [12] дали аналогичное решение для жидкой внутренней сферы. В обоих

случаях внешний контейнер считается жестким, так что жидкость прилипает к нему. Здесь рассматриваем жидкую сферу, так как

соответствующие соотношения для твердой сферы могут быть получены как частный случай в предположении, что вязкость жидкой сферы становится бесконечной.

Как и прежде, необходимо различать внутреннее и внешнее течения. Граничные условия на поверхности жидкой сферы г = а идентичны условиям (4.21.2)—(4.21.4), (4.21.6). К ним должны быть добавлены дополнительные условия

г|/°>—A C7r2sin20 = O, (4.22.1)

-^-(^<о,-у^г28т2е)=О (4.22.2)

на внешней сфере г = Ь. В соответствии с (4.13.5) и (4.13.7), таким образом описывается равномерное течение в направлении отрицательных значений z.

Функции тока (4.21.7) и (4.21.8) пригодны для описания течения в рассматриваемом случае. Чтобы внутреннее течение было конечно в начале координат, требуем

F = О, Н = 0. (4.22.3)

Остальные постоянные можно найти путем решения системы совместных уравнений, полученных при удовлетворении шести граничным условиям. После ряда выкладок имеем

(4.22.4)(4.22.4)В=|С7а[1+|а-(1-а)Х6]а, с-^[*+"+4^-4(4-'’)1* D = lt7a3[l-(l-a)X3] а< М4И1Ч’-'+4уЬ g= (i-4y+4x‘) “■ где

(4.22.4)

(4.22.4)

■4=1+<,-4(4+°),-+4у-4(4-|’)у+(1-")у (4.22.5) и

ро внешняя вязкость ,,^ 22 61 Pi внутренняя вязкость *к /

кроме ТОГО,кроме ТОГО,

кроме ТОГО,

кроме ТОГО,

(4.22.7)(4.22.7)а внутренний радиус

(4.22.7)

(4.22.7)

Ъ внешний радиус *

Эти величины принимают соответствующие значения разд. 4.21 для неограниченной среды, отвечающей отношению диаметров X = 0.

Сопротивление можно рассчитать из (4.17.23). Учитывая (4.21.22), его можно представить в виде

Рх=-6пцоа17 ^^^ К,(4.22.8)

где поправочный коэффициент К, учитывающий влияние стенки, определен в виде

^ Сопротивление при наличии внешней сферы ,^ 22 д\ Сопротивление в бесконечной среде *\ •• /

В данном случае

( 1 + (2/3)о)ц №>4 Ш ^-1 (^) ^ (^)

(4.22.10)

Таблица 4.22.1

Коэффициент учета влияния стенок при движении сферы в жесткомсферическом контейнере

Твердые сферы

Жидкие сферы

а=1|

|а=оо

К

0,0

1,000

1,000

1,000

0,1

1,286

1,229

1,176

0,2

1,756

1,575

1,428

0,3

2,573

2,126

1,815

0,4

4,106

3,066

2,469

0,5

7,294

4,831

3,722

0,6

14,948

8,636

6,569

0,7

37,830

18,762

14,826

0,8

138,224

58,480

50,773

0,9

1209,778

431,779

439,156

1,0

ОО

ОО

ОО

Рис. 4.22.2. Поправочные коэффициенты для сфер, движущихся в жестком контейнере.Рис. 4.22.2. Поправочные коэффициенты для сфер, движущихся в жестком контейнере.1 — твердая сфера (о = 0); 2 — равная вяз-кость (о = 1); з — внутренняя вязкость отсут-ствует (О = оо)1 — твердая сфера (о = 0); 2 — равная вяз-кость (о = 1); з — внутренняя вязкость отсут-ствует (О = оо)ростью U, граничные условия на внешней оболочке г = b такоростью U, граничные условия на внешней оболочке г = b тако

Рис. 4.22.2. Поправочные коэффициенты для сфер, движущихся в жестком контейнере.

Рис. 4.22.2. Поправочные коэффициенты для сфер, движущихся в жестком контейнере.

1 — твердая сфера (о = 0); 2 — равная вяз-кость (о = 1); з — внутренняя вязкость отсут-ствует (О = оо)

1 — твердая сфера (о = 0); 2 — равная вяз-кость (о = 1); з — внутренняя вязкость отсут-ствует (О = оо)

ростью U, граничные условия на внешней оболочке г = b тако

ростью U, граничные условия на внешней оболочке г = b тако

В некоторых частных случаях эта величина равна: 1) жесткая сфера т) (а = 0)

(4.22.11)(4.22.11)к1-ь5.

(4.22.11)

(4.22.11)

“ 1 — (9/4) Х + (5/2) ХЗ — (9/4)Х5+Х6 ’

жидкая сфера с исчезающей вязкостью (а = оо)

1 + (3/2)Х5

1 —(3/2)Х + (3/2)Х5—Хб ’ (4.22.12)

жидкая сфера с вязкостью, равной вязкости внешней среды (а = 1)

1—(15/8) Х+(3/4) ХЗ—(3/8) V (4.22.13)

Значения коэффициента К для этих трех случаев приведены в виде функции от X в табл. 4.22.1 и на рис. 4.22.2.

Линии тока для твердой сферы в контейнере найдены Уильямсом [37] и сравниваются, насколько это возможно, с экспериментальными данными.

Тесно связано с обсужденными выше задачами решение Хаппеля [15] уравнений Стокса для

твердой сферы, расположенной в центре внешней сферической оболочки, на которой трение отсутствует. Когда внутренняя сфера г = а падает со ско-

вы, что нормальная скорость иг и тангенциальное напряжение Пго равны нулю. Хотя в оригинальной работе не использова-

Это уравнение согласуется с уравнением Каннингема [7] и Ли [20] за исключением того, что в результате типографской опечатки в работе [7, стоит член (—X6).

лась функция тока, задача об осесимметричном течении допускает общее решение, даваемое соотношением (4.17.12). Главный результат расчета заключается в вычислении "силы сопротивления сферы:

Fz = -6л^ UK.(4.22.14)

где поправочный коэффициент к закону Стокса К имеет вид

1Z 1 + (2/3)Х5// пп Л К\

1-(3/2)Х+(3/2)Х5~Хв •

За исключением числителя, это выражение тождественно соотношению (4.22.12), для которого граничные условия на внутренней и внешней сферах в точности противоположны условиям, рассмотренным Хаппелем.

4.23. Общее решение в сферических координатах

В этом разделе приводится систематический подход к решению дифференциального уравнения осесимметричного стоксова течения в сферических координатах. Это решение найдено Сэмпсоном [32]. Оно было также независимо получено Савиком [33] и Хаберманом и Сайром [12]. Последующее изложение в этом разделе наиболее близко к работам последних авторов. Функция тока удовлетворяет уравнению

Я2 (£2^) = 0|

(4.23.1)

где в сферических координатах

£2_ d2 1 1-е2 »2 dr2г21

(4.23.2)

Для краткости положим

t, = cos 6,

(4.23.3)

Решение уравнения (4.23.1) можно получить, полагая

ф = ф<1> + ^<2),

(4.23.4)

причем

£2^(1) = 0|

(4.23.5)

£2^(2) =

(4.23.6)

где W (г, £) — решение уравнения

£W = 0.

(4.23.7)

Однородное уравнение (4,23.5) можно решить при помощи метода разделения переменных:

(4.23.9)(4.23.9)Это выражение после подстановки в (4.23.5) дает г2 d^R , 1 —£2 d^Z Д dr2 + Z d^

(4.23.9)

(4.23.9)

Так как второй член не зависит от г, то это справедливо и для первого члена. Это может быть верным, если оба члена равны постоянной, скажем п (п — 1). Последнее приводит к двум уравнениям второго порядка:

(4.23.10)

^-^^^n<n-^Z = 0.(4.23.11)

Вырожденные случаи имеют место при п = 0 и 1.

Первое из этих уравнений имеет решение

R (г) = anr” + pnr"n+1,(4.23.12)

в то время как второе из уравнений является уравнением Геген- бауэра степени —1/2. Оно также тесно связано с уравнением Лежандра

4 ГО - Р) < 1 + п (п +1) Y = °.(4.23.13)

% LJ

Независимыми решениями его являются функции Лежандра первого и второго рода Рп (£) и Qn (£).

Так же как и для уравнения Лежандра, необходимо рассматривать только целые значения п. Кроме того, если положить п = —и + 1, то п (п — 1) = и (и — 1). Отсюда следует, что необходимо сконцентрировать внимание на положительных целых числах п ^ 0. В интересующей нас области изменения —1 ^ ^ ^ 1 запишем независимые решения уравнения (4.23.11) в форме—

z (W ^Зп ^ + «А (9,(4.23.14)

где Jn (£) и S8H (£) — соответственно функции Гегенбауэра первого и второго рода г).

Свойства этих функций подробно исследованы Сэмпсоном [32] в связи с их гидродинамическими приложениями. Для целей данной книги эти свойства можно вывести непосредственно из связи этих функций с соответствующими функциями Лежандра первого и второго рода 2):

3.=прип>2,

(4.23.15)

х) Более точно, это функции Гегенбауэра порядка п и степени —1/2.

2) Обсуждение этих функций Лежандра см. в работе [22].

справедливость которой легко показать, используя уравнения (4.23.11) и (4.23.13). Для нормирования функций введен множитель (2п —- I)-1. Определение, приводимое здесь, отличается знаком от выражения, используемого Сэмпсоном, но идентично ему во всех других отношениях.

В вырожденных случаях п = 0 и 1 определим функции

(4.23.16)(4.23.16)J0(^) = l, ^®=-^

(4.23.16)

(4.23.16)

<^о(^)=-^ ^i(0=-l,;

которые, очевидно, являются решениями уравнения (4.23.11). Для значений п ^ 2 из (4.23.15) находим, что функции первого рода выражаются при помощи конечного степенного ряда:

^п(£) =^п(£) =1-3 ... (2п—3) Г<-n п (п—1)1-3 ... (2п—3) Г<-n п (п—1)1-2 ... n1-2 ... n1Ъ 2 (2п—3) ”п(п—1)(п—2) (п—3) Mi-4_' 2-4-(2п—3) (2п—5)11/ d \n-2 / £2 — 1 \n-l(п-l)! UUI-2~ /1Ъ 2 (2п—3) ”п(п—1)(п—2) (п—3) Mi-4_' 2-4-(2п—3) (2п—5)11/ d \n-2 / £2 — 1 \n-l(п-l)! UUI-2~ /(4.23.17)(4.23.17)(4.23.18)(4.23.18)

^п(£) =

^п(£) =

1-3 ... (2п—3) Г<-n п (п—1)

1-3 ... (2п—3) Г<-n п (п—1)

1-2 ... n

1-2 ... n

1Ъ 2 (2п—3) ”

п(п—1)(п—2) (п—3) Mi-4_' 2-4-(2п—3) (2п—5)1

1/ d \n-2 / £2 — 1 \n-l

(п-l)! UUI-2~ /

1Ъ 2 (2п—3) ”

п(п—1)(п—2) (п—3) Mi-4_' 2-4-(2п—3) (2п—5)1

1/ d \n-2 / £2 — 1 \n-l

(п-l)! UUI-2~ /

(4.23.17)

(4.23.17)

(4.23.18)

(4.23.18)

В частных случаях

ЗГоЮ = 1, Ji(O=-£, 3^ = ^l-^t

J3(£) = l(l-^, J4(^) = l(l-^)(5^-l), (4.23.19)

^(S) = |(1-^2)(7S2-3)S

Для функций второго рода находим из уравнения (4.23.15) при п ^ 2 и —1 ^ ^ ^ 1

<^„ (О = у Зи iRl In 4±| + srn ^)t(4.23.20)

где

(2^—1) (п—к)п (и—1)(2^—1) (п—к)п (и—1)J^n-2h+l (£)>J^n-2h+l (£)>2^<|(п+1) к)L

(2^—1) (п—к)п (и—1)

(2^—1) (п—к)п (и—1)

J^n-2h+l (£)>

J^n-2h+l (£)>

(4.23.21)

причем ряды начинаются или с<70, или с 9 х в зависимости от того> нечетное или четное п.

В частных случаях

^(0 = 4, ^3(£) = |(3^-2),

4t(4.23.22)

^(9=^(15^-13)9 ^5 (^=^(105^-115^+16).

Функции второго рода бесконечны в точках £ = ± 1.

Объединяя результаты, находим в качестве возможного решения уравнения (4.23.5):

Ч^ = 2 (Лпгп+ Впгп^ ^ ^(4.23.23)

п—О

Это же выражение, но с другими постоянными, скажем ап и Ъ^ является решением уравнения (4.23.7). Неоднородное уравнение (4.23.6) можно также решить разделением переменных при помощи подстановки

f'=2«„(r)^(Q.(4.23.24)

п=0

Применяя оператор Е2 к этому выражению и учитывая, что Ук (£) и <96п^ удовлетворяют дифференциальному уравнению (4.23.11), находим уравнение для лп (г):

^—п<п-1^ = апг^Ьпг-^\ (4.23.25)

частное решение которого есть

л гп+2 К г-п+Ъ

*D-r ■ (4'2М6)

После подстановки в (4.23.24) получаем частный интеграл уравнения (4.23.6).

В соответствии с (4.23.4) полное решение для функции тока в сферических координатах выражается в форме

Ч>(г, 6) = § (Л„гп + Впг-^ + Cnr^ + Dnr-^3„т + 71=0

+ 2 №"+ BV^ + С'и^ + D'nr-n^ <%п ^. (4.23.27) 71=2

Последняя сумма начинается с п = 2, так как здесь учтено (4.23.16).

■ В частном случае для п = 2 имеем

J2(cos0) = ysin20»(4.23.28)

и тогда получаем выражение

1|,= |sin=e(v42r2+A+ C^D^ ,(4.23.29)

идентичное уравнению (4.17.12).

Компоненты скоростей, полученные из (4.4.2) и соотношений

М=_р^^, d_Ml=_Qn_1^)(4.23.30)

справедливых при n ^ 1 *), выражаются в виде Vr= - Д (Л„^8 + В„Г^ + С„^ + 1^-™)Р^

-2 (Л^ + В^ + СИ + Р;^(4.23.31)

п=2

ve = 2 VtA^ - (n -1) Bnr"-i + (n + 2) V -

-(n-3)Dnr-"«]^| +

+ 2 [пЛ;^ - (n -1) K^1 + (n + 2) c;rn- ti=2

-(n-3) D;r"+*J -Ml .(4.23.32)

Распределение давления можно найти интегрированием уравнения (4.17.19) для радиального и тангенциального градиентов давления. Отбрасывая произвольную аддитивную постоянную, получаем

уР=-6D0Q0 (С)-667, In (г sin 0) + 2D, у -

2 [^Г CnP^V-SMlDn^ Р^)- п=2

2(4.23.33)

L IV™ 1ev1

n=2

Как отмечалось ранее, функции второго рода бесконечны в точках на оси £ =± 1. В случаях, когда особенность такого типа не лежит в физической природе задачи, постоянные, отмеченные штрихом в (4.23.27), должны быть равны нулю при всех ги

*) Член п = 0 не вносит вклада в ип так как производная #0 (?) равна нулю.

Кроме того, оставшиеся постоянные в (4.23.27) при п = 0 и п = 1 приводят к бесконечным тангенциальным скоростям Уе при 6 = 0 и л. Поэтому в большинстве, но не во всех случаях функция тока в сферических координатах может быть представлена в форме

Wr.e)= £ (Лпгп + Впг-п+ЧСпгп+2 + ^^(4.23.34)

п=2

В этом случае жидкость действует на любую сферическую границу, описываемую уравнением г = const, с силой, общее выражение для которой имеет вид

(4.23.35)(4.23.35)Fz = 4лц D^.

(4.23.35)

(4.23.35)

Это следует из интегрирования уравнения (4.14.18) по любой сферической границе с учетом соотношений

4-1f 2 при п = 0,

j Jn(M=J 2/3 при п = 2,(4.23.36)

-1(0 при п#=0 или 2.

f ^т (0 ^п (ОJ 1-е2-1f ^т (0 ^п (ОJ 1-е2-1о2п (п—1) (2и—1)о2п (п—1) (2и—1)Решения уравнения (4.23.34), удовлетворяющие произвольным граничным условиям на поверхности сферы г = const, можно получить, используя обычные методы теории потенциальных течений с учетом условий ортогональности типа [32]

f ^т (0 ^п (О

J 1-е2

-1

f ^т (0 ^п (О

J 1-е2

-1

о

2

п (п—1) (2и—1)

о

2

п (п—1) (2и—1)

при т^п,

(4.23.37) при т = п1

справедливых, когда ни т, ни п не равны 0 или 1, и

(0при т^п,

\Pn^Pm^d^\2ппит_„ (4.23.38)

ЛI 2МТ при т~п'

Эти выражения позволяют разложить произвольную функцию £ в ряд по характеристическим функциям. Для функций Гегенбау- эра имеем.

(4.23.39) п=0

где в силу условий ортогональности

ап=1п(п-1)(2п-1) j(4.23.40)

Соответствующее разложение по полиномам Лежандра есть

1?(9=2Ш9,(4.23.41)

‘п=0

11-01084

гдегде

где

где

+ 1

(4.23.42)(4.23.42)6п = А(2п+1) j g^Pn&W

(4.23.42)

(4.23.42)

В разд. 4.25 обтекание тела, близкого к сфере, рассматривается при помощи этого метода.

Течение через конический диффузор

Задачу о медленном установившемся течении в прямом круговом конусе можно рассматривать в сферических координатах.

Предположим, что вершина конуса совпадает с началом координат О и ось конуса расположена вдоль оси z. Поверхность конуса представляет собой поверхность вращения 0 = 0О = const (рис. 4.24.1). Линиями тока, очевидно, являются прямые линии,

Рис. 4.24.1. Течение в конусе.Рис. 4.24.1. Течение в конусе.

Рис. 4.24.1. Течение в конусе.

Рис. 4.24.1. Течение в конусе.

радиально выходящие из начала координат, для которых 0 = = const. Из этого замечания следует, что функция тока не должна зависеть от г, т. е.

ф = ф (0).(4.24.1)

Это, конечно, эквивалентно тому, что z?o = 0. Поэтому выбираем такие решения (4.23.27), которые не зависят от г. Следовательно,

ф ^ = ЛЛ ^ + в^ (£) +ад ^ + D^3 (У = а0-вд + ч4я3(1-?К + ^[4£(1-С2)1п(|^)+А^^^(4.24.2)

где, как и прежде, £ = cos 0 и £0 = cos 0О.

Условие конечности скорости на оси конуса требует, чтобы £>з = 0. Оставшиеся постоянные определяются из условий обращения в нуль функции тока на оси конуса:

ф = 0 при £ = 1(4.24.3)

и обращения в нуль скорости vr на стенке:

^ = 0 при £=Е0.(4.24.4)

Кроме того, должен быть задан заранее объемный расход жидкости q в положительном направлении оси z. Из определения функции тока (4.2.4) следует, что

№)=-ir-<4-24-5)

Из уравнений (4.24.3)—(4.24.5) получаем

ло-512л (1+2^(1-ад2’(4.24.6)

7)3_ л (1+2ад(1-ад2-(4.24.7)

Радиальную скорость можно получить из уравнения (4.23.31) при помощи соотношений

PU(Q = 1, Р2(0 = |(3^-1),

тогда

v ~£2—£ом 24 8)Ц

2лг2 (1 + 2£0) (1-?о)2’)

Для распределения давления получаем из (4.23.33)

п— п —3С2/л 94

Р~Р~ лгз (i + 2£0)(1—М2*(’ )

Общее решение (4.24.2) подходит для решения задачи о течении в области, ограниченной с обеих сторон концентрическими конусами.

zzРис. 4.24.2. Точечный источник на плоской стенке.Рис. 4.24.2. Точечный источник на плоской стенке.Интерес представляет частный случай 0О = л/2, т. е. £0 = 0. Это соответствует точечному источнику расположенному на твердой плоской стенке, из которого жидкость истекает со скоростью q в полупространство z> О, как показано на рис. 4.24.2.

z

z

Рис. 4.24.2. Точечный источник на плоской стенке.

Рис. 4.24.2. Точечный источник на плоской стенке.

Здесь

х|)= —JL(1—COS36). (4.24.10)

Эту функцию можно сравнить с выражением для точечного источника в отсутствие стенки (см. (4.9.3)). Приведенное решение дает также линии тока,

которые появляются на больших расстояниях от отверстия конечных размеров в стенке, через которое жидкость вытекает со скоростью q*

х) Эти результаты согласуются с результатами Н. А. Слезкина [35].

И*

При 0о -^0 конус обращается в круговой цилиндр, и приводимые результаты воспроизводят результаты для пуазейлева потока в круговом цилиндре. Для малых 0О имеем при 0О ^ 0 ^ 0

ГА 4 О2 . О4

S = cos9 = l—г 1^- ...

,(4.24.11)

откуда

(1+2^0)(1-^«|е0\ 1-3£2«-2.

В этом приближении

(4.24.12)

(4.24.13)

(4.24.14)

VrA

др

(ren.

(4.24.15)

(4.24.16)

z = г cos 9 « г,

Полагая

а = г sin 0О

дг

« г90,

'л(г60)4 ■

у = г sin 9 » г9,

получаем

dp Вру

dzла4

(4.24.17)

(4.24.18)

в соответствии с (2.5.8).

Наиболее удивительное свойство решения уравнений Стокса в конусе состоит в отсутствии отличия между сходящимися и расходящимися течениями соответственно с q <; 0 и q > 0. Это утверждение становится неверным, если принять во внимание инерционные эффекты х); если заменить в полных уравнениях Навье — Стокса v на —v, инерционные члены pv-Vv останутся неизмененными, в то время как вязкие члены ptV^ изменят свой знак. Следовательно, решения уравнений Навье — Стокса в общем случае не инвариантны относительно изменения направления потока.

Точное решение уравнений Навье — Стокса и уравнений пограничного слоя Прандтля аналогичны двумерной задаче плоского течения между двумя непараллельными стенками [3, 10, 14, 16, 23].

^Исследование сходящегося течения в бесконечном правильном круговом конусе при ненулевых числах Рейнольдса см. в работе: Ackerberg R. С., J. Fluid, Meeh., 21 (1965), 47. В этом отношении существенны также замечания в работе: Goldstein S., J. Fluid Meeh., 21 (1965), 33.

Обтекание тела, близкого к сфере

Задачу симметричного обтекания сфероида, мало отличающегося по форме от сферы, можно рассматривать, следуя Сэмпсону [32], при помощи общих методов разд. 4.23. Дальнейшее обобщение осесимметричных течений обсуждается в разд. 5.9. Зададим уравнение поверхности в полярной форме г = с {1 + / (0)}. Из соотношений ортогональности (4.23.27) и (4.23.38) следует, что / (0) при довольно общих предположениях можно представить в форме

SPmJm(cos 0). Поэтому рассмотрим поверхность т=2

г = с {1 + 0mJm(£)}(4.25.1)

и предположим, что коэффициенты рт достаточно малы, так что можно пренебречь их вторыми и более высокими степенями, т. е.

(-^««ШМ),(4.25.2)

где к может быть как положительным, так и отрицательным числом.

Для течения жидкости в отрицательном направлении 2 со скоростью U соответствующая форма функции тока получается, если положить Л2 = U, С2 = 0 и Ап = Сп = 0 (п ^ 3) в (4.23.34). Запишем функцию тока в форме, в которой оставшиеся коэффициенты безразмерны:

^=[(7)! + ^(7)+D=(7)]^<9 +

+ З^п^Р^+^у)""3]^).(4.25.3)

n=3

Это выражение удовлетворяет условию на бесконечности. Единственными коэффициентами, дающими вклад в решение для обтекания сферы, обсуждаемого в разд. 4.18, являются Б2 и ^2- Поскольку рассматриваемое течение не слишком отличается от течения при обтекании идеальной сферы, все коэффициенты, за исключением только что упомянутых, в (4.25.3) будут порядка рт.

Поэтому во всех членах в (4.25.3), за исключением тех, в которых фигурируют указанные коэффициенты, можно пренебречь отклонениями от сферической формы и полагать г = с вместо того, чтобы использовать (4.25.1).

Коэффициенты Вп, Dn (п ^ 2) определяются из граничных условий ф = 0 и Э^/8г = О на поверхности (см. (4.25.1)). Первое

из условий приводит к

О = (1 + Вг + D^ Зг ^ + (2 - В2 + Dj) Мт кй Зг kt) +

+ 5(В„ + 2Шп(9, (4.25.4) п=3

в то время как из второго следует

О = (2 - В2 + О2) J2 (^ + (2 + 2В2) Мт kt) 3^kt)-

-5 [(п-1)В„ + (п-3)О„ипК). (4.25.5) 72—3

Для главных членов уравнений (4.25.4) и (4.25.5) имеем

1 + Б2 + Б2 = О и 2 - Б2 + Б2 = 0.(4.25.6)

Решая эти уравнения, получаем значения Б2 = 1/2 и Б2 = —3/2, которые в точности совпадают с таковыми для сферы. Подставляя их в (4.25.4) и (4.25.5), мы теперь требуем, чтобы было

0=S (S„ + D„)J„(9(4.25.7)

п=3

И

0 = ЗМт(9^(9-5 [(n-l)5n + (n-3)Dn]J„(9. (4.25.8) 72=3

Так как 3п — линейно независимые функции, то

Бп = -Dni п>3,(4.25.9)

вследствие чего имеем

о = ЗМт (5) Зг kt) + 2 § Dngn (£).(4.25.10)

п=3

Чтобы решить последнее для Dni потребуем, чтобы тождество

/у /у _(тп —2)(тп —3)/у , m^m—i^ ^

2 (2тм — 1) (2m — 3)(2m+1) (2m —3) m

-^ёгЧгЙтТТ (4.25.11)

было справедливым при т ^ 2. Это тождество легко установить, показав сначала, что

кт + l)Jm+1 (С) - (2m - 1) ^Ут (£) +

+ (т - 2) Зт_г ^ = 0, (4.25.12)

как это прямо следует из (4.23.5), и справедлива рекуррентная формула [22]

(n + 1) Рп+1 (^ - (2n + 1) ^п (^ + пР^ (^ = 0.

Умножая уравнение (4.25.12) на £ и применяя его к оценке £Jт+1 и £«7,^, находим при т ^= 0 или 1

t-2/у2) (тп 3) /у z^x j 2тп2 2т 3 /у z^x (

— 1) (2тп — 3) J т"2 W (2т + 1) (2т-т

+(£ynK3)J"=®- <425ЛЗ>

Комбинируя это выражение с тождеством £2 = 1 — 2<72 (£), доказываем приведенное выше соотношение.

Из сравнения соответствующих членов в (4.25.10) следует, что все коэффициенты Dn равны нулю, за исключением тех, для которых п принимает значения т — 2, т и т + 2. В этих случаях коэффициенты равны

(4-25-14)

2(2m + l)(2m—3) ^m’(4.25.15)

°-»d^X-><4-25Лв>

КоэффициентыBm можно получить, используя соотношение (4.25.9).

Собирая полученные результаты и подставляя их в (4.25.3), выражаем функцию тока в виде

» = №[(т)2+т(т)]^Ю-

+4^,24^з>Ч(тГЧ^

-4^<£^|Ш₽4(тГ,-(7)-'?-«).(4.25.17)

Из этой формулы можно построить решение для случая г = с [1 + + SMm(C0S 9)].

т

В качестве частного примера применения этого соотношения рассмотрим сплюснутый сфероид

Ж2 + у2 . Z2 _ ,д2 Та2 (1 — 8)21

с экваториальным радиусом а; 8 достаточно мало, так что можно пренебречь квадратами и более высокими степенями этой величины. Полярное уравнение .сфероида запишется в виде

г = а (1 - е cos2 0) = а {1 - 8 + 2eJ2 (9} (4.25.19)

или, если положить

С = а (1 - е),(4.25.20)

в виде

г-с{1 + 2eJ2(^)}.(4.25.21)

После сравнения с (4.25.1) необходимо положить т = 2 и 02 = 28. Используя (4.25.20), находим из (4.25.17), что функция тока дается выражением

*=^)2+4(*4‘)(l)4(‘4°)(i)W)-

-jcW^-l)1-^)]»^). (4.25.22)

Силу, действующую на сфероид, можно легко получить из (4.14.20), полагая фоо = 111^32 (£). Тогда имеем

Fz=-6nna^(l—I*).(4.25.23)

Эта сила меньше силы, действующей на сферу радиуса, равного экваториальному радиусу сфероида. То, что эта сила меньше, представляется естественным, так как площадь поверхности и объем сплюснутого сфероида меньше, чем для сферы. Относительная малость этого снижения сопротивления также неудивительна, так как полярные области сферы вносят малый вклад в ее сопротивление; следовательно, частичное удаление этих областей не оказывает существенного влияния на сопротивление.

Более подходящее сравнение можно было бы сделать между уравнением (4.25.23) и сопротивлением сферы равного объема или площади поверхности. Объем сфероида (4.25.18) равен (4/3) ла3 (1-е). Следовательно, сфера равного объема должна иметь радиус а (1 — 8/3) и ее сопротивление равно

Ех = —6л[ш^7 (1 — 8/3).Ех = —6л[ш^7 (1 — 8/3).(4.25.24)(4.25.24)

Ех = —6л[ш^7 (1 — 8/3).

Ех = —6л[ш^7 (1 — 8/3).

(4.25.24)

(4.25.24)

Сфера эквивалентного объема, следовательно, имеет меньшее сопротивление, чем сфероид. Подобным же образом, так как площадь поверхности сфероида равна 4ла2 (1 — 2е/3), то сфера равной площади поверхности имеет радиус а (1 — 8/3). Таким образом, вывод об уменьшенном сопротивлении сферы по сравнению с сопротивлением сфероида сохраняется также при условии равенства площадей их поверхности.

Уравнение (4.25.23) можно также вывести из точного выражения для действующей на сплюснутый сфероид силы, полученного в разд. 4.26 для течения, параллельного его оси вращения. Используя этот результат, имеем

Л (4.25.25)

(3/4)K^ + l[Xo-(^-l)arcctgM

где

=<425-26>

Как и выше, а — экваториальный радиус и 6 — полярный радиус, который в данном случае равен а (1 — е). Для больших Хо разложения

arcctg).„=^— зу + а> — 7jj+ ....(4.25.27)

КЧ+Т = М1 + Д~®=+-")-(4-25.28)

каждое из которых справедливо при Хо >1, приводят в конце концов к соотношению

Л=-6лца^(1-^-^82-...) ,(4.25.29)

соответствующему (4.25.23) при малых е.

Сплюснутый сфероид

Рассмотрим задачу обтекания сплюснутого сфероида потоком жидкости, параллельным его оси вращения (рис. 4.26.1). Сфероид предполагается находящимся в цокое, а жидкость имеет на бесконечности скорость U, на- А = А0= constI

UU4.26.1. Обтекание сплюснутого сфероида.4.26.1. Обтекание сплюснутого сфероида.правленную в сторону отрицательных значений оси z. Благодаря существующей симметрии, течение является осесимметричным. Результаты этого раздела можно получить также из результатов работы Обербека [26], исследовавшего в общем виде поступательное движение эллипсоида, параллельное его главной оси. Обсуждение последней задачи приведено в разд. 5.11. Другие Рис. подходы к задаче обтекания сфероидов можно найтц в работах

U

U

4.26.1. Обтекание сплюснутого сфероида.

4.26.1. Обтекание сплюснутого сфероида.

Сэмпсона [32] и Пейна и Пелла [27]. В работе Аои [1] рассмотрено обтекание вязкими жидкостями сплюснутого и вытянутого сфероидов на основе уравнений Озеена.

Системой координат, соответствующей данной задаче, является система координат сплюснутого сфероида £, ц, ср, рассматриваемая подробно в разд. А.18. Для краткости положим

X = sh %,£ = cos т].(4.26.1)

Координатными поверхностями X (или £) = const является семейство софокусных сплюснутых сфероидов. Положим, что данному сфероиду соответствует Хо.

В соответствии с обозначениями (4.26.1) из уравнения (А.18.2) имеем

у = с/А2+Т/Т^, z = cX£.(4.26.2)

Параметры X и £ имеют области изменения

оо >Х>0,1 > £ > -1.

В дальнейшем окажутся полезными следующие выражения, полученные из (4.46.1):

=(4.26.3)

Так как нормальная и тангенциальная составляющие скоростей на сфероиде X = Хо равны нулю, то из уравнений (4.13.9) и (4.13.10) получаем соответственно

ф = 0 при X = Хо,(4.26.4)

■^■^^ при Х=Х0.(4.26.5)

Кроме этого, из условия обтекания на бесконечности (4.13.11) имеем

-Itrc^ + lHl-S2) при Х-^оо. (4.26.6)

При помощи уравнений (4.26.3) выражение для дифференциального оператора Е\ определяемого соотношением (4.7.20), принимает вид

^-^HsE^+^S + ^-^fJ-(4.26.7)

В соответствии с граничными условиями ищем пробное решение в виде

1|) = (1 - й g (X).(4.26.8)

После подстановки в предыдущее уравнение имеем

где введено обозначение

G (X) = (X2 + 1) g" (X) - 2g (X).(4.26.10)

Повторное применение оператора Л2 к (4.26.9) дает после продолжительных выкладок

Е^ = -^g^1 [4 (G-^') + ^ + ^ G"]. (4.26.11)

Для удовлетворения уравнения Стокса

^ = 0(4.26.12)

член в квадратных скобках должен обращаться в нуль. Но так как G является функцией только от X, то это требование может быть выполнено, если только выполняются одновременно следующие условия:

G" = 0,(4.26.13)

G-XG' = 0.

Эти уравнения имеют единственное решение

G = СХК(4.26.14)

После подстановки в (4.26.10) получаем уравнение

(X2 + 1) g" - 2g = СгК(4.26.15)

частное решение которого очевидно:

g=~4cA-(4.26.16)

Остающаяся часть решения уравнения (4.26.15) соответствует решению однородного уравнения

(X2 + 1) g” - 2g = 0,(4.26.17)

которое можно записать в виде

-^[(X24-l)^-2Xgl=0.(4.26.18)

Первый интеграл уравнения (4.26.17) равен

(X2 + 1) g' - 2Xg = С2,(4.26.19)

или в другом виде

4Г12Хт]=712%н2-(4.26.20)

Интегрирование этого уравнения дает

gW = C2(X2 + l) j ^J^^X2*!).(4.26.21)

Интегрируя по частям, находим

j (X2+i)2 = -у (x2+i — агс ct8 ^) •(4.26.22)

Отсюда решение однородного уравнения имеет вид.

g (X) = 4" Сг [X - (X2 +1) arc etg X] +С3 (X2 4-1). (4.26.23)

Общее решение уравнения (4.26.15) можно получить путем сложения уравнений (4.26.16) и (4.26.23). Из уравнения (4.26.8) следует, что возможная форма для функции тока ест

Ф — (1 — £2) { —2" ^АН- "^ ^2 [^— (^2 4~ 1) arc dg ^1 + G (^2 + 1) } •

(4.26.24)

Эта часть точного решения, включающая произвольную постоянную Сх, является решением уравнения ^ф = 0. Оставшаяся часть решения, включающая постоянные С2 и С3, удовлетворяет уравнению £Чр = 0.

Из граничных условий на бесконечности (4.26.6), очевидно, имеем

Сг = ^исЧ•(4.26.25)

Для определения Сг и С2 воспользуемся граничными условиями на сфероиде (4.26.4) и (4.26.5). Решая совместно два уравнения, получаем

= ч—чт^т?—гг,(4.26.26)

^о — (М — ^arc ctgv '

Г Uc2*^ — 1)пп пух

"Zo-M-Darcctg^’ ' (4.26.27)

После подстановки этих постоянных в уравнение (4.26.14) получаем конечный результат:

V[ЫМ + 1)]-[(М“1)/(М + ^ arc ctg Хо J *

где

Хо = sh ^0.(4.26.29)

Соответствующее выражение для сплюснутого сфероида, движущегося поступательно со скоростью U в положительном направлении оси z, можно получить, вычитая 1)^12 из предыдущего выражения, в соответствии с (4.13.12). В результате имеем

1[W2+DH[M-1)/M + D] arcctgX ,, 9п [XO/M+1)1HW-1V(W^^^.^о.ои;

Силу, действующую со стороны жидкости на сфероид, можно получить из (4.14.9). В данном случае, поскольку г ->сХ на больших расстояниях от сфероида, имеем

F = 8лрс lim.F = 8лрс lim.(4.26.31)(4.26.31)

F = 8лрс lim.

F = 8лрс lim.

(4.26.31)

(4.26.31)

Этот предел просто получить из уравнения (4.26.30), учитывая

соотношения

lim XarcctgX=l,(4.26.32)

Х-*оо

11111^^=1.(4.26.33)

Таким образом,

находим

zX0-M-l)arcctgX0"V4.zd.o4)

Эту формулу можно выразить через основные размеры сфероида а и 6, учитывая, что

с = Уа2-Ь\(4,26.35)

х»=т=[(т)2-1]"1/2-(4-26-36)

Таблица 4.26.1

Сопротивление сплюснутого и вытянутого сфероидов

Приведены значения поправочного множителя к стоксовому выражениюдля силы сопротивления сферы с радиусом, равным экваториальномурадиусу сфероида

Ъ/а

к

(для сплюснутого сфероида)

К (для вытянутого сфероида)

0,0

0,84882639

ОО

0,1

0,85245060

2,6471358

0,2

0,86145221

1,7848095

0,3

0,87394886

1,4697413

0,4

0,88880656

1,3050489

0,5

0,90530533

1,2039411

0,6

0,92296815

1,1358194

0,7

0,94146887

1,0870324

0,8

0,96057733

1,0505422

0,9

0,98012819

1,0223468

1,0

1

1

Для сравнения сопротивления сплюснутого сфероида и сферы радиуса а запишем уравнение (4.26.34) в виде

Рг = -^aUK.(4.26.37)

где К = К (.Ыа) — поправка к закону Стокса, определяемая соотношением

(3/4)]ЛР0+1 Ro-(4-1) arcctgXo] '

Ряд значений К представлен в табл. 4.26.1. Эти результаты свидетельствуют об очень слабом влиянии «толщины» сфероида (т. е. полярного радиуса).

Круглый диск

При Хо ->0 сплюснутый сфероид, рассмотренный в предыдущем разделе, вырождается в плоский бесконечно тонкий диск.

В частности, для диска радиуса а, движущегося в поперечном

Рис .14.27.1. Поступательное "движение круглого диска.Рис .14.27.1. Поступательное "движение круглого диска.направлении, как показано на рис. 4.27.1, находим из (4.26.30) функцию тока в виде

Рис .14.27.1. Поступательное "движение круглого диска.

Рис .14.27.1. Поступательное "движение круглого диска.

vq~r +310018 х)- (4-27Л)

Для силы, действующей на диск, уравнение (4.26.34) принимает форму

рг = -i^aU. (4.27.2)

Другие методы получения этих же результатов были даны Сэмпсоном [32], Рэем [28], Роско [30] и Гуптой [И]. Первый из этих авторов приводит детальную картину линий тока и линий постоянного

давления.

Эксперименты, проведенные при малых числах Рейнольдса, подтверждают уравнение (4.27.2). Эти вопросы обсуждаются в разд. 5.11 в части, посвященной изучению эллипсоидов. Практически, конечно, нельзя провести эксперимент с бесконечно тонкими дисками. Однако результаты предыдущего раздела показывают, что даже когда «толщина» сфероида равна десятой части его диаметра, коэффициент в (4.27.2) увеличивается только до величины 16,07.

ф(и =ф(и =92л ’92л ’(4.28.5)(4.28.5)

ф(и =

ф(и =

9

2л ’

9

2л ’

(4.28.5)

(4.28.5)

Течение в трубке Вентури

Система координат сплюснутого сфероида используется и при изучении медленного течения вязкой жидкости через сходящееся- расходящееся сопло, имеющее форму однополостного гиперболоида вращения (см. рис. А.18.1в).

В частности, координатные поверхности т] = const являются гиперболоидами такого же типа.

В разд. 4.26 была введена замена

X = sh Е, £ = cos т]. (4.28.1) Поверхность гиперболоида, совпадающего с трубкой, обозначим через £0, как на рис. 4.28.1. Предположим, что поверхности тока совпадают с поверхностями софо- кусных гиперболоидов £ = const (это предположение нуждается в последующей проверке); тогда

Ф Ф (£)•(4.28.2) рис 4.28.1. Течение в «трубке

При этом нормальная скоростьВентури»,

тождественно равна нулю на поверхности трубки. Из условия равенства нулю тангенциальной скорости на этой поверхности имеем

-^ = 0 при £ = t0.(4.28.3)

Для нормировки положим, что функция тока равна нулю на оси сопла

ф = 0 при £ = 1.(4.28.4)

Если q — объемней расход в положительном направлении оси z, то из определения функции тока следует

где ф (£0) — функция тока на стенке трубки.

Отметим сходство данной задачи с аналогичной задачей о течении в конусе, обсужденной в разд. 4.24.

В соответствии с (4.28.2) разыскиваем такие решения фундаментального уравнения

£4ф = 0,(4.28.6)

которые не зависят от X. Выражение для оператора Е2 в системе координат сплюснутого сфероида дается уравнением (4.26.7).

Таким образом, имеем

(4.28.7)

где введено обозначение

F^ = (l-^^.(4.28.8)

Вторичное применение оператора Е^ приводит к соотношению

Е^ = "сЧКМ^ [ (^ + 9 ^2 + (1 ~ ^) у^] С2 (Л2 + $2) =

=1X4 ^ (1 - ^ ^ +

+ 2X2{2F-2^(l-^)F' + :2(i_^)F"} +■

+ {2? (2-3^) F- 4£3 (1 - 9) F* + 9 (1 - 9) ЛЬ (4.28.9)

Так как F является функцией только £, то для удовлетворения уравнению (4.28.6) необходимо, очевидно, потребовать, чтобы F удовлетворяла одновременно трем дифференциальным уравнениям

(1 - :2) F” + 6F = О,

£2 (1 _ ^2) ри _ 2: (1 - £2) F* + 2F = 0,(4.28.10)

£2 (1 - :2) F" - 4£ (1 - :2) К + 2 (2 - З:2) F = 0.

Если величину F" из первого уравнения подставить в два оставшихся уравнения, то каждое из последних сведется к одному и тому же дифференциальному уравнению первого порядка. Следовательно, предшествующие соотношения будут выполнены, если одновременно выполняются следующие два уравнения:

(1 - :2) F* + ^F = 0,(4.28.11)

^ (1 - :2) F' + (З:2 - 1) F = 0.

Из сравнения с (4.23.11) при п = 3 ясно, что первое из этих уравнений имеет решение

F = C^» (t) + СА (9-(4.28.12)

Второе уравнение можно проинтегрировать непосредственно, что ДЭеТF = С3^ (1 - ^2) = 2Сз33 (9-(4.28.13)

Поэтому решение, остающееся конечным при £ = 1, имеет вид

Г(9=1С^О-^.(4.28.14)

4.28. Течение в трубке Вентури177

Комбинируя это выражение с (4.28.8), находим дифференциальное уравнение для функции тока

1ШС^(4.28.15)

имеющее очевидное решение

t = А + В^ + С^,(4.28.16)

где принято С = 6V12.

Три произвольные постоянные легко определяются при помощи граничных условий (4.28.3)—(4.28.5), и результат записывается

в форме

д_91-3£о2

2л (Ц-2е0) (1 — £о)2 ’

В~ 2л (Ц-2^0)(1—So)2’(4.28.17)

2л (Ц-2£0) <1 —go)2*

Это приводит к следующему выражению для функции тока:

9 U^-3g2o)-(l-3^)(4 28 18)

^~2л(1 + 2^0) (1-£о)2^.Z6.16)

Представляет некоторый интерес определить распределение давления внутри трубки. Градиент давления, согласно уравнениям (4.15.5) и (4.26.2), (4.26.3), равен

а»Е<4"28Л9>

(4-28-2°)

Однако

mlh _ ^-Е2) ^ _ 6CSd~S2), z 98 91 )

+С2(Х24-^2)•

Тогда

^НЛсА'<4-28-22>

<4-28-23>

Так как

dp=^dX + ^d^,(4.28.24)

то

dp= -^d (^4-arctgX).(4.28.25)

Интегрируя это выражение, имеем

Р = Ро— лсЗ(1 + 2£оН1-Со)2 (x2+^ + arctg^’ (4-28-26)

где р0 — давление в горловине трубки Х = 0.

Чтобы получить перепад давления в жидкости при течении в трубке, заметим, что давление на бесконечности в положительном направлении, т. е. при Z->oo, равно

Роо = Ро — 2сз (1 + 2^ (1 _£о)2.(4.28.27)

Благодаря симметрии перепад давления от — оо до +оо равен АР = 2 ^р0 Роо\

откуда

сЗ(1 + 2$о)(1-ео)2сЗ(1 + 2$о)(1-ео)2(4.28.28)(4.28.28)

сЗ(1 + 2$о)(1-ео)2

сЗ(1 + 2$о)(1-ео)2

(4.28.28)

(4.28.28)

Рис. 4.29.1. Течение через круглое отверстие.Рис. 4.29.1. Течение через круглое отверстие.

Рис. 4.29.1. Течение через круглое отверстие.

Рис. 4.29.1. Течение через круглое отверстие.

Течение через круглое отверстие

Решение задачи о течении через круглое отверстие в плоской стенке получается, если положить £0 = 0 в результатах предыдущего раздела. Радиус отверстия есть с, как показано на рис. 4.29.1.

Для функции тока получаем

=-^-(l-cos-л). (4.29.1) Как и выше, линии тока являются гиперболами. На больших расстояниях от отверстия это решение совпадает с решением задачи о течении из точечного источника, расположенного в плоскости стенки, для которого функция тока дается уравнением (4.24.10).

Особый интерес составляет перепад давления при протекании жидкости через отверстие:

\Р = М. (4.29.2)

Этот результат впервые получен Сэмпсоном [32], однако в его окончательную формулу вкралась типографская ошибка. Другой метод решения предложил Роско [30], который использовал электростатическую аналогию.

Соотношение между перепадом давления и расходом определялось экспериментально различными исследователями, которые не ссылались на теоретическую работу Сэмпсона. Так, Бонд [4] наблюдал расход глицерино-водяной смеси через отверстие 0,1469 см в диаметре, просверленное в пластинке толщиной 0,0075 см. Он нашел, что разность давлений выражается формулой (16/с/л) (^ц/с3) при к = 0,631 + 0,01, которая эквивалентна уравнению (4.29.2) с постоянной, равной 3,21 ± 0,05 вместо предсказываемого теорией значения 3.

Он попытался скорректировать свой результат таким образом, чтобы найти к для бесконечно тонкой пластины, и получил значение 0,580 ± 0,01, что находится в хорошем согласии с представленной теорией. Однако метод, который он для этого использовал, нуждается в дальнейшем обосновании.

Йохансен [17] изучал течение касторового масла через круглые отверстия, расположенные внутри трубы и имеющие острые срезы, расположенные под углом 45° в сторону области меньшего давления. Наименьшие отверстия, использованные им, имели диаметр порядка 0,090 от диаметра трубы, и из его данных для отверстий различных диаметров очевидно, что ширина трубы оказывает влияние на получаемый результат. Графическая обработка результатов [17] приводит к величине 2,99, в то время как теоретические расчеты по формуле (4.29.2) дают 3. Точность экспериментов Йохансена, по всей вероятности, примерно такая же, что и точность опытов Бонда.

Из результатов обоих авторов следует, что наблюдается отклонение от прямой пропорциональной зависимости между ДР и q при высоких скоростях течения, причем это отклонение становится более заметным при величинах др/сц, превышающих 10. Напротив, если Um — средняя скорость в отверстии, мы имеем q = = Umitc2 и, таким образом, отклонение от линейности становится заметным при

^^>3,2. (4.29.3)

При числах Рейнольдса, меньших этой величины, можно пренебречь инерционными членами.

Поведение течения, описываемого уравнением (4.29.2), радикально отличается от поведения течения, наблюдаемого при больших числах Рейнольдса. В частности, если cUmpJp, больше, чем примерно 30 000, объемный расход выражается соотношением вида [29]

д = С0лс2]/^-, ' (4.29.4)

где Со — коэффициент отверстия, равный примерно 0,61.

Вытянутый сфероид

Движение жесткого вытянутого сфероида параллельно его оси вращения (рис. 4.30.1) можно рассчитать методами, очень

Рис. '4.30.1. Поступательное движение вытянутого сфероида;Рис. '4.30.1. Поступательное движение вытянутого сфероида;снятым сфероидом. Для (А.18.2) и (4.26.1) имеемснятым сфероидом. Для (А.18.2) и (4.26.1) имеемпохожими на методы, используемые в разд. 4.26 для сплюснутого сфероида. Системой координат, подходящей для этой задачи, является система координат вытянутого сфероида £, г), ср, определяемая как

Рис. '4.30.1. Поступательное движение вытянутого сфероида;

Рис. '4.30.1. Поступательное движение вытянутого сфероида;

снятым сфероидом. Для (А.18.2) и (4.26.1) имеем

снятым сфероидом. Для (А.18.2) и (4.26.1) имеем

2 + i? = с ch (£ + ?л) (4.30.1)

и обсуждавшаяся в разд. А.17. Для краткости положим

т = ch g, £ = cos т]. (4.30.2)

Поверхности т = const представляют собой вытянутые сфероиды. Каждый представляющий интерес сфероид обозначим через т0.

Прежде чем решать задачу заново, тщательно проследим аналогию с результатами для задачи со сплю- сплюснутого сфероида из уравнений

(4.30.3)(4.30.3)z+i7 = c(X£ + i/b2+l/l-C2)-

(4.30.3)

(4.30.3)

С другой стороны, из уравнений (А.17.2) и (4.30.2) следует, что система координат вытянутого сфероида определяется как

г 4- i7 = с (тС -^/^ГЛ/Г^).(4.30.4)

Как легко теперь проверить, если в (4.30.3) заменить X на it и с на —1с, то получим (4.30.4). Отсюда следует, что если сделать две замены в различных соотношениях, уже полученных для сплюснутого сфероида Хо, то придем к решению аналогичной задачи для вытянутого сфероида т0.

Так, функция тока для вытянутого сфероида, движущегося поступательно со скоростью U в положительном направлении оси z параллельно своей оси вращения, из уравнения (4.26.30) выражается в виде

.ь — гт 2 J0£+_l^,, ол КХ

V 27 [(т§ + 1)/(т§ —1)] arcthTo—[То/(Т§ —1)] ’

где использовано соотношение

arc ctg(tr) = —i ar cthr.(4.30.6)

Учитывая равенство

агс1Нт = -^-1п(4.30.7)

соотношение (4.30.5) можно выразить и в другой форме.

Аналогично, выражение для силы, действующей на вытянутый сфероид, получается из (4.26.34):

Fz = —,(4.30.8)

(Tg+1) ar cth То-То’v 7

где

с^у^-Ь^(4.30.9)

а и Ь—соответственно полярные и экваториальные радиусы (см. рис. 4.30.1). Вводя основные размеры сфероида, имеем

T0=chE0 = ^ = [l-(A)2]-1/2.(4.30.10)

Для сравнения сопротивления вытянутого сфероида и сферы с тем же экваториальным радиусом Ъ запишем (4.30.8) в виде

Fz = -^bUK,(4.30.11)

где К — К (Ь/а) — поправка к закону Стокса:

К=7.(4.30.12)

(3/4)]/т§ —1 [(т§4-1) аг cth т0 —т0]

Значения К приведены в таблице 4.26.1. При сравнении этих результатов с результатами разд. 4.26 для сплюснутого сфероида можно заметить, что величины а и Ъ взаимозаменяемы. В обоих случаях а является более длинной из двух полуосей.

Длинный стержень

Если главная ось а вытянутого сфероида много больше экваториального радиуса Ь, сфероид вырождается в длинный тонкий стержень. Для этого предельного случая

и

arcthT0 = y In ^~^ « In 2 + In (-2-) ,(4.31.2)

причем

Тогда сила, действующая на стержень, из (4.30.8) равна г 4itp.aU__4краЦ,,

z In (а/6) + In 2—1/2 In (а/6)Н-0,19315е

Так как в это выражение входит логарифмический член, то сопротивление слабо изменяется с изменением отношения alb.

Осесимметричное обтекание сферического сегмента (лунки)

Пэйн и Пелл [27] получили общее решение для случая осесимметричного обтекания линзоподобных тел (рис. 4.32.1). При

Рис. 4.32.1. Обтекание линзообразного тела.Рис. 4.32.1. Обтекание линзообразного тела.помощи подходящего предельного перехода они получили из представления для функции тока для обтекания линзоподобного тела выражения для функции тока и коэффициента сопротивления при обтекании сферического сегмента. -В их методе использованы периполярные координаты. Численные выкладки сложны, поэтому авторы полностью провели расчеты только для случая сферического сегмента с углом полураствора л/2. В более поздней работе Коллинз [6] указал, что значения, данные Пэйном и Пеллом для сопротивления полусферического сегмента,

Рис. 4.32.1. Обтекание линзообразного тела.

Рис. 4.32.1. Обтекание линзообразного тела.

неправильны.

Коллинз использовал сферические полярные координаты и нашел функцию тока течения, решая две пары совместных систем уравнений в виде рядов по присоединенным функциям Лежандра. Его результаты применимы и в общем случае для расчета функции тока и сопротивления, испытываемого жестким сферическим сегментом г = а (0 ^ 9 ^ а) при обтекании однородным потоком со скоростью U*.

(4.32.1)(4.32.1)F г = —£Мц (6а + 8 sin а + sin 2а).

(4.32.1)

(4.32.1)

Для сферы (а = л) это выражение сводится к формуле — 6лца(7. Для круглого диска (а ->0, а ->оо, аа ->&, b — радиус диска) сопротивление равно —16ц1Ж Сопротивление сегмента с углом полураствора л/2 равно —(Зл + 8) piUa = —17,425ц(7а вместо —17,52 p,Ua, полученного Пэйном и Пеллом.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Aoi Т., J. Phys. Soc. Japan, 10 (1955), 119; Ibid., 10 (1955), 130.

Basset A. B., A treatise on hydrodynamics, vol. 2, New York, Dover, 1961.

Bateman H., Hydrodynamics, Pt. II, Nat. Res. Council Bull., No. 84, 1932 (cm. [8]).

Bond W. N., Proc. Phys. Soc., 33 (1921), 225; 34 (1922), 139.

Boussinesq J., Compt. Rend,. Acad. Set. (Paris), 156 (1913), 124.

Collins W. D., Mathematika, 10 (1963), 72.

Cunningham E., Proc. Roy. Soc., London, A83 (1910), 357.

Dryden H. L., Murnaghan F. D., Bateman H., Hydrodynamics, New York, Dover, 1956.

Epstein P. S., Phys. Rev., 23 (1924), 710.

Гольдштейн С. (ред.), Современное состояние гидроаэромеханики вязкой жидкости, ИЛ, М., 1948.

И. Gupta S. С., ZAMP, 8 (1957), 257.

Haberman W. L., Sayre R. М., David W. Taylor Model Basin Report No. 1143, Washington, D. C., 1958.

Hadamard J. S., Compt. rend. Acad, sci., Paris, 152 (1911), 1735; 154 (1912), 109.

Hamel G., Jahresber. Dt. Math. Ver., 25 (1917), 34; см. также NACA, Tech. Memo. No. 1342.

Happel J., A. I. Ch. E. Jour., (1958), 197.

Jeffery G. B., Proc. bond. Math. Soc., 14 (1915), 327.

Johansen F. C., Proc. Roy. Soc., A126 (1930), 231.

Kneale S. G., Ph. D. Thesis, Harvard Univ., Cambridge, Mass., 1953.

Ламб Г., Гидродинамика, Гостехиздат, 1947.

Lee Н. М., М. S. Thesis, Univ, of Iowa, Iowa City, Iowa, 1947.

Левин В. Г., Физико-химическая гидродинамика, Гостехиздат, 1959.

MacRobert Т. М., Spherical harmonics, 2nd ed., New York, Dover, 1947.

Millsaps K., Pohlhausen K., J. Aero. Set., 20 (1953), 187.

Милн-Томсон Л. M., Теоретическая гидромеханика, «Мир», M., 1964.

Морс Ф. М., Фешбах Г., Методы теоретической физики, ИЛ, М., 1958, 1960.

Oberbeck A., J. reine und angew. Math., 81 (1876), 62.

Payne L. E., Pell W. H., J. Fluid Meeh., 7 (1960), 529.

Ray M., Philos. Mag. (ser. 7), 21 (1936), 546.

Rouse H., Engineering hydraulics, New York, Wiley, 1950. p. 35.

Roscoe R., Philos. Mag., 40 (1949), 338.

Rybczynski W., Bull. Acad. Sci. Cracovie (ser. A), (1911), 40.

Sampson R. A., Philos. Trans. Roy. Soc., A182 (1891), 449.

Savic P., Rept. No. MT-22, Nat. Res. Council Canada (Ottawa), July 31 1953.

Scriven L. E., Chern. Eng. Sci., 12 (1960), 98.

Слезкин H. А., Динамика вязкой несжимаемой жидкости, Гостехиздат, М., 1955.

Stimson М., Jeffery G. В., Proc. Roy. Soc., London, Alli (1926), 110.

Williams W. E., Philos. Mag. (6th ser.), 29 (1915), 526.

Walton T. S., Equations for the numerical determination of the steady flow of a viscous liquid past a solid of revolution, Naval Ordnance Lab., White Oak, Silver Springs, Md. October 19, 1949.

Yih C. S., La Houille Blanche, 12 (1957), No. 3.

ГЛАВА 5. ДВИЖЕНИЕ ЖЕСТКОЙ ЧАСТИЦЫ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ЖИДКОСТИ

Введение

В предыдущей главе были получены формулы для сопротивления осесимметричных частиц, движущихся параллельно своим осям симметрии. Из симметрии таких частиц следует, что гидродинамическая сила, действующая на частицу, должна быть параллельна направлению ее движения. Прежде чем рассматривать другие случаи, для которых нет возможности воспользоваться такой симметрией, целесообразно исследовать влияние ориентации частицы на ее сопротивление в общих чертах. Это даст некую основу для использования как теоретической, так и экспериментальной информации о сопротивлении частиц более сложной формы. Изложение следует работам Бреннера [6—13].

Существует общее мнение, что при достаточно малых числах Рейнольдса величина силы, действующей на твердую частицу произвольной формы при обтекании ее потоком вязкой жидкости, прямо пропорциональна как вязкости жидкости, так и величине скорости свободного потока. Этот результат следует из элементарного анализа размерностей уравнений движения и граничных условий. Но рассмотрение, основанное на анализе размерности, не дает информации о связи между направлениями вектора скорости набегающего потока U и вектора гидродинамической силы F. Эти векторы в общем случае не параллельны, так как тело испытывает не только действие силы сопротивления, параллельной скорости набегающего потока, но и поперечных (подъемных) сил, перпендикулярных набегающему потоку. Для частицы, падающей в гравитационном поле, влияние этих сил может вызвать дрейф частицы в боковом направлении.

Любое общее соотношение, связывающее вектор скорости и вектор силы, должно учитывать ориентацию тела или по отношению к вектору скорости набегающего потока, или (в случае оседающей частицы) к вектору силы тяжести. В работе Ганса [21] обсуждается влияние ориентации частицы на скорость падения для частного случая эллипсоидальной частицы. Позже Ландау и Лифшиц [331 привели общую формулу для влияния ориентации на силу, действующую на тело произвольной формы при обтекании его потоком жидкости.

Вращательное движение частицы более сложно. Если тело обладает хорошо выраженными свойствами симметрии, то возможно наличие центра гидродинамических напряжений. При отсутствии внешних моментов при оседании такого тела установится стационарное поступательное движение без вращения. Некоторые частицы асимметричной формы, типичными образцами которых являются пропеллероподобные тела, не имеют такой точки и могут вращаться при падении в поле тяжести. Если к таким телам приложены боковые силы, то эти тела совершают движение по нисходящей спирали. Если вращающаяся частица может изменять свою ориентацию относительно направления силы тяжести, то возможно пульсирующее движение.

Для случаев, когда применимы квазистационарные уравнения движения Стокса, гидродинамическая сила и момент (относительна произвольного центра О), действующие на твердую частицу произвольной формы при ее поступательном и вращательном движении в жидкости, покоящейся на бесконечности, зависят от трех фундаментальных тензоров второго ранга (диадиков), связанных с геометрическими свойствами тела:

трансляционного тензора К (названного тензором сопротивлений в первой статье Бреннера [6]; позднее этот термин сопротивление был с большим основанием отнесен ко всем типам гидродинамического взаимодействия); этот диадик симметричен;

ротационного тензора Йо, зависящего от положения центра О; этот диадик симметричен;

сопряженного (coupling) тензора Со, зависящего от положения центра О и содержащего его информацию как о поступательном, так и о вращательном движениях. В общем случае этот диадик несимметричен.

Существует единственная точка для всех тел, для которой сопряженный тензор симметричен. Эта точка называется центром реакции R. Если Сд = 0, то точку R можно считать центром гидродинамических напряжений. Если такой центр существует, то тело, движущееся под действием силы тяжести, достигает установившегося состояния движения, когда оно движется поступательно без вращения.

Если твердая частица произвольной формы совершает в жидкости как поступательное, так и вращательное движения, то эта движение по самой своей природе неустаповившееся. Однако, как это уже отмечалось в разд. 2.10, если и поступательное,, и вращательное числа Рейнольдса

л'й-^е- (алл»

малы, то допустимо пользоваться квазистационарной формой уравнений Стокса

V2v = -~V/>,(5.1.2)

V-v-0.(5.1.3)

В уравнениях (5.1.1) с — характерный размер частицы; Uo — максимальная скорость движения любой точки частицы; со — величина угловой скорости.

Так как в первую очередь наиболее интересны силы и моменты, возникающие при движении жидкости, то под давлением р в (5.1.2) в этой главе будет подразумеваться динамическое, а не общее давление. Влиянием гидростатического давления временно пренебрегаем.

Пусть О — любая точка, жестко связанная с частицей. Обозначим через Uo мгновенную скорость этой точки, а через (о — мгновенную угловую скорость частицы. Так как о) — свободный вектор, который может быть перенесен параллельно самому себе, то нет небходимости требовать, чтобы точка О лежала на мгновенной оси вращения частицы. Из условия отсутствия скольжения на поверхности частицы Sp следует мгновенное граничное условие

v = Uo + о X г0 на Sp,(5.1.4)

где го — радиус-вектор точки относительно центра О. Так как жидкость покоится на бесконечности, то граничным условием будет

v ->0, г о ->оо.(5.1.5)

Линейность уравнений движения и граничных условий позволяет представить скорость и движение в виде

v = vo + vo,(5.1.6а)

Р^Ро + Ро,(5.1.66)

где одна и две черточки над буквой обозначают соответственно поступательное и вращательное поля, удовлетворяющие следующим дифференциальным уравнениям и граничным условиям:

V2vo = -^V/>o, (5.1.7а)

V*vo = 0, (5.1.76) v0 = Uo на Sp, (5.1.8) Vo -^0, г о ->оо, (5.1.9) V2v0 = yVp0, (5.1.10а)

V-vo = 0,(5.1.106)

Vo = (oxro на Spi(5.1.11)

vo->0, r-^oo.(5.1.12)

Индекс О у полей скорости и давления служит для напоминания о том, что отдельные поля поступательного и вращательного движения, из которых состоят v и р в (5.1.6), оба зависят от положения центра О. Трансляционное поле (v0, р0) зависит от положения О через зависимость Uo от О. С другой стороны, вращательное. поле (v0, /?0) зависит от выбора О через зависимость г0 от О. Гидродинамические силы, действующие со стороны жидкости на частицу, совершающую поступательное или вращательное движение, равны соответственно

Fo — J dS-По,(5.1.13)

Sp

^0= j dS-Ho,(5.1.14)

Sp

где элемент dS направлен в сторону жидкости, а П — тензор давления. Для несжимаемой неньютоновской жидкости последний определяется соотношением (см. уравнения (2.1.8) и (2.1.12))

П = -Ip + ц [Vv + (Vv)*],(5.1.15)

где I — единичный диадик, a (Vv)* — транспонированное выражение для Vv. Суммарная сила, действующая на частицу при наличии как поступательного, так и вращательного движения, равна

F=Fo + fo.(5.1.16)

Для заданного движения жесткого тела эта сила не должна зависеть от выбора центра О.

Аналогично, гидродинамические моменты относительно О, действующие на частицу вследствие поступательного и вращательного движений, равны соответственно

То= j rox(dS.no),(5.1.17)

То= j rox(dS.Ho),(5.1.18)

Sp

при этом суммарный момент относительно О равен

То-То + То.(5.1.19)

В отличие от F этот момент обычно зависит от выбора точки О.

Поступательные движения

Вследствие линейности уравнений поступательного движения (5.1.7)—(5.1.9) существуют диадик поля «скорости» V = V (г) (в общем случае он не симметричен) и вектор поля «давления» Р = Р (г), такие, что для поступательного движения можно написать

V=v.uo,(5.2.1а)

р0= цР*и0.(5.2.16)

В каждой точке жидкости V и Р не зависят от вязкости жидкости, расположения О и величины и направления скорости Uo. Они зависят только от геометрии поверхности частицы и от радиуса- вектора точки относительно любого начала координат, связанного с частицей.

Для доказательства существования этих полей замечаем, что при их помощи (5.1.7)—(5.1.9) можно записать в форме

(V2V-VP)-Uo = 0,

(V.V).Uo = 0,(V-I).Uo=-0 на SpiV- Uo 0, г ->- оо.

Так как вектор Uo произволен, то из определения равенства векторов и диадиков следует, что эти соотношения приводят к равенствам

V2V-VP,

v-v=o,

= I на Sp,

-> 0 при г -> ОО.

То обстоятельство, что система уравнений не зависит от ц, Uo и О, подтверждает сделанное ранее утверждение.

В качестве простого примера отметим, что для сферы радиуса а, стоксово поле «скоростей» [8] (см. также разд. 4.17) имеет вид

v з /jl+1) * 3(Jel_4)

\ т» г )4\ г5 г3 /

И

3 гг

где г отсчитывается от центра сферы.

Из (5.1.15) и (5.2.1) получаем1)

n0 = H[-IP + vV + *(VV)].U0.

Таким образом, существует триадик поля «напряжений» 9* = = ^(г), определяемый соотношением

П0 = ^.и0,(5.2.2)

где____

-IP+VV+*(VV).

Подобно V и Р эти три'адики зависят только от геометрии частицы. Хотя в наших рассуждениях это и не существенно, отметим тот интересный факт, что qF = *S\ что представляет собой следствие симметрии тензора давления.

Вследствие (5.2.2) уравнения (5.1.23) и (5.1.17) можно записать в виде

Ё0 = и j dS.^.U0,(5.2.3)

Sp

Т0 = и j rox(dS.^).Uo.(5.2.4)

Sp

Тогда если определить постоянные диадики

К= - j dS.>.(5.2.5)

Sp

Со=- J r0X(dS.^),(5.2.6)

Sp

то уравнения (5.2.3) и (5.2.4) принимают вид

F0=-pK.U0,(5.2.7)

То= -цСо-ио.(5.2.8)

Резонно называть член К трансляционным тензором. Этот тензор характеризует внутреннюю геометрию тела и зависит только от его размеров и формы; в частности, он не зависит от ориентации и скорости тела, а также от свойств жидкости. Этот тензор имеет размерность длины и единственным образом характеризует сопротивление тела при поступательных движениях при малых числах Рейнольдса.

г) В соответствии с определением транспонированных полиадиков примем условно, что оператор транспонирования * обладает следующими свойствами:

*(abcd. . .) = bacd. . . ,

(. . .abed)* = . . .abed,

где a, b, . . . могут быть произвольными векторами.

Как будет показано далее, трансляционный тензор симметричен. Рассмотрим частицу, движущуюся со скоростью U3 или/ПЗ. Обе скорости произвольны как по величине, так и по направлению. Поля скоростей, вызываемые этими движениями, удовлетворяют граничным условиям (см. (5.1.8) — (5.1.9)):

(иьнаSpi

(0наоо;

-„JU3наSpi

V°(0наоо.

Пусть По и По — тензоры давления, возникающие при этих двух движениях соответственно. Из теоремы взаимности (3.5.1) имеем

J vo-nb-dS= J v6-n"-(?S. ss

Выберем в качестве S замкнутую поверхность, состоящую из поверхности Sp частицы и сферической поверхности Soo бесконечно большого радиуса, окружающей частицу, с центром вблизи этой частицы. Можно показать далее, что любое стоксово поле скорости, вызываемое поступательным движением частицы в жидкости, находящейся в покое па бесконечности, затухает на достаточно больших расстояниях г от частицы, как г-1. Из уравнений Стокса (5.1.2) следует, что при этом поле давления должно затухать, как г-2. Поэтому из выражения для ньютоновского напряжения (5.1.15) видно, что тензор давления ведет себя, как г-2. Но так как элемент dS пропорционален г2, интегралы от у о -По -dS и Уо-По-dS по поверхности Soo имеют порядок О (г-1) и стремятся к пулю при бесконечном увеличении радиуса внешней сферы. Теорему взаимности можно записать поэтому в виде

j ¥3-ПЬ-с/8= j vo-Bo-dS.(5.2.9)

SpSp

Используя граничные условия, которым эти поля скоростей удовлетворяют на SPl имеем

Uo- j nb-dS = Uo- j По-dS.SpSp

Из (5.1.13) и симметрии тензора давлений ясно, что эти интегра-лы точно равны соответствующим гидродинамическим силам F3и Fo, возникающим в поступательных движениях. Следовательно,из-гз-иа-гз.

При помощи (5.2.7) это соотношение можно переписать в виде

U3-K-U3 = U3-K-U3.

Но в соответствии с определением транспонирования диадиков имеются тождества

Ub.K.Uo = U3-(Uo-K) = U5.K*.Ub, следовательно,

Ub-K-Ub = Ub-K*-Ub.

Так как векторы Ub и Ub выбраны произвольным образом, из определения равенства двух диадиков [17, 22] имеем

К - К*.(5.2.10)

Это соотношение как раз и является условием симметрии К.

Ландау и Лифшиц [33, 34] приводят другое доказательство симметрии трансляционного тензора, однако, как можно заметить, существование этого тензора ими не доказывается. Вернее, они предполагают заранее, что сила, действующая на произвольное тело, может быть выражена в виде линейной векторной функции ее скорости. Доказательство симметрии этого тензора проводится на основе сложной цепи рассуждений, базирующихся на соотношениях взаимности Онзагера и термодинамике необратимых процессов. Это остроумное доказательство замечательно в том смысле, что сама жидкость явно в анализе никогда не фигурирует, если не считать того, что ее мгновенное термодинамическое состояние предполагается полностью заданным, когда известны мгновенные положения и скорость частицы. В частности, обычные уравнения динамики жидкости вообще не привлекаются ). Для проанализированных ими неустановившихся движений допущение о том, что мгновенное термодинамическое состояние системы жидкость — частица единственным образом определяется мгновенным положением и скоростью частицы, равноценно одновременному пренебрежению в уравнениях движения жидкости как конвективными членами, так и членами, связанными с локальным ускорением, и допущению о несжимаемости жидкости. Поэтому к этим результатам можно относиться как к опосредованному подтверждению соотношений Онзагера ).

Будем называть диадик Со сопряженным тензором относительно О. Этот тензор зависит только от внешней геометрии частицы и от расположения точки О. Чтобы определить, как изменяется С при изменении начала координат, заметим, что поскольку cP не зависит от начала координат, то (5.2.6) можно переписать в виде

Ср- - j r₽x(dS.^),Sp

где Р — любая точка, связанная с частицей. После вычитания (5.2.6) из предыдущего выражения легко получить, используя

(5.2.5),

Ср — Со—Гор X К,Ср — Со—Гор X К,(5.2.11)(5.2.11)

Ср — Со—Гор X К,

Ср — Со—Гор X К,

(5.2.11)

(5.2.11)

где гОр — радиус-вектор точки Р относительно начала координат О. Уравнение (5.2.11) дает закон изменения сопряженного тензора при преобразовании от точки к точке.

Поскольку диадик r0P X К не симметричен, то отсюда следует, что в общем случае сопряженный тензор не может быть симметричным. Он не может быть в общем случае и антисимметричным. Свойства сопряженного тензора обсуждаются более подробно далее в разд. 5.4.

ТРАНСЛЯЦИОННЫЙ ТЕНЗОР

Пусть xv х^ х3 — декартовы координаты, связанные с частицей, и пусть ix, i2, i3 — единичные векторы, параллельные координатным осям. Трансляционный тензор можно тогда выразить в виде

(5.2.12)(5.2.12)(5.2.13)(5.2.13)К — ЧЧ^н 4~ W^x^ Мз^1з 4~4” i2il-^^21 4" *2^2^22 4" ЦЦ^гЗ 4"4~ ЦЧ^31 4~ ЦЧ-^зг 4~ ЦЦ-^зз-

(5.2.12)

(5.2.12)

(5.2.13)

(5.2.13)

Из условий симметрии следует

^12 — ^21»^23 — ^32»^31 — ^13-

Таким образом, трансляционный тензор можно в общем случае охарактеризовать шестью независимыми скалярными коэффициентами сопротивления. Хотя численные величины этих постоянных коэффициентов зависят от выбранной системы декартовых координат, инвариантный характер диадика К проявляется в любой системе координат.

Как непосредственно следует из свойств симметричных тензоров, любая произвольная частица должна обладать тремя взаимно перпендикулярными осями, фиксированными в ней, такими, что

если поступательное движение будет совершаться параллельно одной из них, то на частицу будет действовать сила только в этом же направлении; т. е. не будет боковых сил. Далее, эти оси называются главными осями поступательного движения. Коэффициенты Кц, соответствующие этой специальной системе координат, называются главными сопротивлениями поступательному движению частицы.

Этим главным сопротивлениям соответствуют три собственных значения Кг (г = 1, 2, 3) характеристического уравнения

det [К — М] = 0.(5.2.14)

Таким образом, если шесть скалярных сопротивлений Kj^ У, к = = 1, 2, 3) известны из эксперимента в какой-либо системе декартовых координат, то главные сопротивления поступательному движению можно получить, решая уравнения третьего порядка

*ки-кКиКкмК^-КК._^31^32^33 ■*ки-кКиКкмК^-КК._^31^32^33 ■detdet131323-К23-К= 0(5.2.15)= 0(5.2.15)

*ки-к

Ки

К

км

К^-К

К.

_^31

^32

^33 ■

*ки-к

Ки

К

км

К^-К

К.

_^31

^32

^33 ■

det

det

13

13

23

-К

23

-К

= 0(5.2.15)

= 0(5.2.15)

относительно трех его корней. Так как характеристические значения любой симметричной матрицы действительны [1, 20, 25], то тем самым гарантируется существование трех действительных собственных значений. Более того, как будет показано далее, они существенно положительны.

Мгновенная скорость Е диссипации механической энергии при поступательном движении падающей частицы равна —U F г). Это выражение имеет в данном приближении вид p,UKU. Тогда, если Uln U^ U3 — компоненты вектора U, параллельные главным осям, то

Е = и <KXU\ + К.Щ + K3U^. (5.2.16)

Так как Е и р — существенно положительные величины, отсюда следует, что КХ1 К % и К3 должны быть больше нуля.

Скорее с динамической, чем с термодинамической точки зрения значение этого результата заключается в том, что, поскольку

U F = | U | | F | cos (U, F),(5.2.17)

то угол между направлением гидродинамической силы, действующей на движущееся поступательно тело, и направлением его движения должен быть тупым.

Главные оси сопротивления поступательному движению расположены параллельно трем собственным векторам е^ (i = 1, 2, 3)

г) При рассмотрении поступательных движений черту сверху и подстрочный индекс О можно временно опустить, так как, если вращения нет, все материальные точки в частице движутся с одинаковыми скоростями. 13-01084

трансляционного тензора, определяемым из уравнения

Кег. = К^.(5.2.18)

Решения этого уравнения связывают каждый из собственных век-, торов с соответствующим единичным вектором (5.2.12). Поэтому, если записать•

ez = ii^ii 4~ *2^2 4“ Ь^з,(5.2.19)

то компоненты е^ ei2, ei3 каждого собственного вектора соответствуют для каждого I нетривиальным решениям следующих трех совместных уравнений:

^11 (-^11^) 4"^z*2^124"^z‘3-^13 = О,

^1^21 + ^z2 (^22 — ^)4"^3^23 ~ 0,(5.2.20)

^il-^31 4“ ^z2-^324"^z'3 (^33 ^z) ~ 0.

Такимпутем направления трехглавных осей можно определить,

зная шесть коэффициентов сопротивления Kj^ в любой системе декартовых координат, связанной с частицей.

Если собственные векторы е^ нормированы (т. е. представляют единичные векторы в главной системе координат), то трансляционный диадик можно выразить в симметричной (триномиальной) форме

К е^е|2Г1 + 6262^2 4~ ^звзУ^з.(5.2.21)

Сферическая частица радиуса а, являющаяся изотропным телом, представляет вырожденный случай, когда главные сопротивления равны и все направления соответствуют собственным векторам. Из закона Стокса имеем Кг = К2 К3 = бла, откуда

К = I бла.(5.2.22)

Подстановка в (5.2.7) поэтому дает

F = - блцаИ,(5.2.23)

откуда следует корректный результат, что сила, действующая на тело, антипараллельна вектору скорости. Другие тела, изотропные по отношению к поступательному движению, рассматриваются в разд. 5.5 (случай 4).

Для ортотропного тела, т. е. тела, имеющего три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии (например, эллипсоид или прямоугольный параллелепипед), главные оси нормальны к этим плоскостям, как это ясно из соображений симметрии. Поступательное движение, нормальное к плоскости симметрии, приводит, очевидно, к появлению силы, параллельной направлению движения.

Вращательные движения

Вращательное стоксово поле (v0, р0\ удовлетворяющее уравнениям (5.1.10) — (5.1.12), можно записать в форме

v = V0-(o,(5.3.1а)

Ро = нРо-«.(5.3.16)

где диадик поля «скорости» Vo = Vo (г) и вектор поля «давления» Ро = Ро (г) зависят в данной точке поля только от размеров и формы частицы и положения центра О. Для доказательства существования этих полей заметим, что при их помощи уравнения (5.1.10) —(5.1.12) можно записать в форме

VVo-V^o = 0,

v-V0 = o,

Vo = £.ro на Sp,

No-^ r->oo,

где е = —I X I — изотропный триадик х). Тот факт, что эта система уравнений не зависит от ц и (о, доказывает существование векторов Vo и Ро. Последний вектор зависит от расположения О только через зависимость г0 от О. Если в качестве примера рассмотреть сферу радиуса а, то поля скорости и давления, удовлетворяющие уравнениям (5.1.10) — (5.1.12), будут равны [8]

У = (ЙХТО ^У и Ро = 0.

Таким образом, получаем

V0 = 8T0 (-р),

^о = 0,

при условии, что точка О выбрана в центре сферы.

Как следует из (5.1.15) и (5.3.1), тензор давления, связанный с вращательным движением, можно] выразить в форме

По = |х^о*®,(5.3.2) ’

причем в любой точке жидкости триадик напряжений ^о зависит только от геометрии частицы и положения О.^Тогда из (5.1.14) и (5.1.18) сила и момент, действующие на частицу при вращательном движении, выражаются в виде

Fo= — цВо.(о,(5.3.3)

То= — рйо-<«>,(5.3.4)

где

Do^-jdS-Жо,(5.3.5)

Sp

Йо = - j Г0 х (dS- Жо).(5.3.6)

5р

Постоянные диадики Do и й0 зависят только от размера и формы частицы и положения точки О.

Диадик Йо называется ротационным тензором в точке О. Ниже будут обсуждены его свойства. Нет нужды использовать для Do какой-либо новый термин, так как мы докажем сейчас, что этот диадик равен транспонированному сопряженному тензору в точке О и, следовательно, не является независимым параметром сопротивления. Для доказательства применим теорему взаимности (5.2.9) в форме

■ J v0-n0-dS= j vo-Ho-dS.(5.3.7)

SpSp

Как и ранее, были использованы оценки порядка величин тензорных полей скорости и давления для того, чтобы показать, что интегралы равны нулю на удаленной поверхности Soo. Согласно граничным условиям (5.1.8) и (5.1.11), симметрии тензора давлений и векторному тождеству а X b - с = а-Ь Хс, последнее равенство можно записать в виде

и0. j dS.ffo = 0). J r0X(dS.n0).

SpSp

Используя (5.1.14) и (5.1.17), имеем

Uo- Fo = co-To-

4Гогда, подставляя (5.3.3) и (5.2.8) в предыдущее уравнение, получаем

Uq-Dq-g) = (o-Cq-Uq.

Но из определения транспонированного диадика следует, что oj-Co-Uo =Uo.C8.(o.

После подстановки этого тождества в предыдущее выражение и использования определения равенства диадиков сразу же получаем

Do = Со,(5.3.8)

что доказывает утверждение, приведенное выше. Таким образом, из (5.3.3) следует, что гидродинамическая сила, возникающая при вращении частицы относительно какой-либо оси, проходящей через О, равна

>0 = - pCg-to.(5.3.9)

РОТАЦИОННЫЙ ТЕНЗОР

В отличие от трансляционного тензора К ротационный диадик й0 зависит от выбора начала координат О. В этом смысле уравнение (5.3.4) представляет собой аналог линейной зависимости между векторами момента количества движения и угловой скорости вращающегося твердого тела, причем коэффициент пропорциональности в нем представляет тензор моментов инерции [23], который зависит от выбора начала координат. Зависимость й от выбора начала координат будет установлена в разд. (5.4) (см. (5.4.10)).

Как мы сейчас покажем, ротационный тензор симметричен во всех точках. Рассмотрим частицу, вращающуюся относительно произвольной оси, проходящей через точку О, причем эта точка выбрана так, чтобы она оставалась в покое относительно жидкости, неподвижной на бесконечности. Рассмотрим случай, когда частица вращается с угловыми скоростями (д' или (д" относительно осей, проходящих через О. Эти скорости произвольны как по величине, так и по направлению. Поля скоростей, соответствующие этим движениям, удовлетворяют граничным условиям (см. (5.1.11) и (5.1.12))

=( (О X Гоvb=l о■=[ 6)"ХГО. vMoСоответствующие тензоры давлений Так же как и при доказательстве=( (О X Гоvb=l о■=[ 6)"ХГО. vMoСоответствующие тензоры давлений Так же как и при доказательствена 5Р,

=( (О X Го

vb=l о

■=[ 6)"ХГО

. vMo

Соответствующие тензоры давлений Так же как и при доказательстве

=( (О X Го

vb=l о

■=[ 6)"ХГО

. vMo

Соответствующие тензоры давлений Так же как и при доказательстве

на оо, на 5Р, на оо.

обозначим через По и По. симметрии трансляционного

тензора, воспользуемся теоремой взаимности и учтем, что поверхностные интегралы по Soo обращаются в нуль при удалении этой поверхности на бесконечность. Тогда получаем

jvo-B'.dS= jvo-ff"-dS.

SpSp

Используя граничные условия, которым удовлетворяют эти поля скоростей, предыдущие уравнения можно представить в форме

6)"• j Го X no-dS = 6)'- j ГоХПо-dS,

Sps

причем здесь использовано векторное тождество а х Ь с= а -Ь х с. Как видно из (5.1.18) с учетом симметрии тензора давления, эти интегралы равны соответственно гидродинамическим моментам То и То, возникающим при двух вращательных движениях о' и о". Тогда

to" - Тб = to' -То.

При помощи (5.3.4) имеем

со • U о • со —— со -й0 • со .

Так как по определению транспонированного диадика справедливо соотношение

со' -Йо • <о" = со"-Йо* о/, то получаем

со" -Йо • со' = со"йо • со'.

Так как оба вектора со' и со" произвольны, то из определения равенства диадиков заключаем, что

.Йо = Йо.

Это условие показывает, что ротационный тензор симметричен при любом выборе начала координат О.

Так как Йо симметричен, то можно говорить о главных осях вращения и о главных сопротивлениях вращению относительно О. Они соответствуют, конечно, собственным векторам и собственным значениям й0.

В качестве примера применения результатов предыдущего раздела рассмотрим, скажем, куб, вращающийся относительно оси, проходящей через его геометрический центр G. Из соображений симметрии ясно, что в случае, когда куб вращается относительно одной из трех осей симметрии (т. е. осей, проходящих через центр и нормальных к граням куба), момент TG относительно его центра будет параллелен о. Следовательно, эти три направления должны быть собственными векторами ротационного тензора

относительно точки G. Так как эти три направления взаимно ортогональны, то очевидно, что они должны быть главными осями вектора й в рассматриваемой точке. Поэтому если eT, е2, е3 — единичные векторы вдоль каждой из осей симметрии Gxx, Gx^ Gx3 куба, то можно написать

й@ = e^e^Qx Н“ 62^2^2 “Ь ®з®з^з» (5.3.10) где Qx, ^2» ^з ~* главные сопротивления вращению в точке G. Но ясно, что вращения относительно осей GxTl Gx2 и Gx3 неразличимы. Очевидно, должно иметь место равенство Qx = Q2 = ^з = ^» откуда следует, что Йо = 1^. Подставляя это выражение в (5.3.4), имеем

TG = —цЙю (5.3.11) для момента относительно геометрического центра куба.

Это соотношение показывает, что при стоксовом течении куб изотропен по отношению к вращению относительно его центра, т. е. сопротивление вращению одинаково для вращения относительно любой оси, проходящей через его центр. Однако куб не изотропен по отношению к вращению относительно любой другой точки.

Как будет показано в разд. 5.5, существует большое количество симметричных тел, обладающих свойством изотропности по отношению к вращению относительно их геометрических центров (см. случай 4). '

Сфера, конечно, является простейшим примером тела, изотропного по отношению к вращению вокруг своего центра. Момент, возникающий при вращении сферы относительно оси, проходящей через ее центр, равен [32]

TG = -8лцд3(о, (5.3.12) Где а — радиус сферы. Таким образом, ротационный тензор в ее центре равен

Йс = I 8 ля3. (5.3.13)

Интересно отметить, что круглый диск изотропен по отношению к вращению относительно своего центра, в то время как он не изотропен по отношению к поступательным движениям. Момент, действующий на диск при его вращении относительно диаметра [28, 45], таков же, как и при вращении вокруг его оси симметрии [21, 29], ив обоих случаях равен

TG = -^.^3(0, (5.3.14) где с — радиус диска. Следовательно, ротационный тензор в центре диска равен

Йс = 1-у-с3, (5.3.15) откуда следует, что диск в этом отношении изотропен.

Комбинация поступательного движения и вращения

Вернемся к общему случаю, когда частица может одновременно участвовать и в поступательном, и во вращательном движениях. В этом случае сила, действующая на тело, и момент относительно точки О в соответствии с (5.1.16) и (5.1.19) могут быть записаны в виде

F = -pK.U0-pC&.(0, (5.4.1)

То = — pC0-U0 — цй0.(д. (5.4.2) Если с — характерный размер частицы, то К, Со и й0 имеют соответственно порядок с, с2 и с3.

Сила, действующая на тело, не должна, конечно, зависеть от выбора точки О, т. е. если вместо О выбрать другую точку Р, то вектор F должен иметь вид

F = - цК-Up -piC> -(о. (5.4.3)

Для доказательства того, что это выражение действительно следует из (5.4.1), заметим, что при движении твердого тела скорости точек О и Р связаны соотношением Uo = Up + о X гР0, или, так как г0Р = — гР0,

U0 = Up -|- т0Р X со. (5.4.4)

Далее, так как тензор К симметричен, из (5.2.11) следует, что

Со = СР —Кхг0Р. (5.4.5) Подставляя (5.4.4) и (5.4.5) в (5.4.1) и используя тождество К- (г0Р X о) = (К X гОр) • о, справедливое для любого диадика К, убеждаемся в справедливости (5.4.3).

При помощи (5.4.1) и (5.4.2) можно получить закон преобразования трансляционного тензора при переходе от одной точки к другой. Если То и ТР —гидродинамические моменты относительно точек О и Р соответственно для частицы, участвующей как в поступательном, так и во вращательном движениях, то

То = ( г0 х (dS-П),(5.4.6)

Sp

ТР= [ rPx(dS.n),(5.4.7)

sp

где П — тензор давлений, возникающий в комбинированном вращательном и поступательном движении и не зависящий от выбора начала координат. После вычитания (5.4.7) из (5.4.6) имеем

То - ТР = г0Р X F,(5.4.8)

где

F = ( dS-П(5.4.9)

Sp

представляет гидродинамическую силу, действующую на частицу.

Таким образом, F, То и ТР определяются соответственно выражениями (5.4.1), (5.4.2) и выражением, получаемым из (5.4.2) при замене О на Р. После подстановки всех этих результатов в (5.4.8) имеем

—Н (^о ‘Uq — СР - Up)—ц (Йо — ЙР) • (о = /

= — ргОр X (K-Uo + Со •<!>).

Из этого уравнения можно исключить СР при помощи (5.2.11) и Up при помощи (5.4.4). Используя некоторые элементарные тождества для упрощения полученного выражения и принимая во внимание, что (о — произвольный вектор, в конечном счете имеем выражение

йР = Йо — Гор X К X Гор И- Со X Гор — ^ор X Со? (5.4.10) определяющее зависимость ротационного тензора от положения точки. Отметим, что диадики гОр X К X т0Р и Со X тОр — — г0Р X Со симметричны, как это и должно быть для того, чтобы ротационный тензор был симметричен во всех точках.

СОПРЯЖЕННЫЙ ТЕНЗОР

В отличие от трансляционного и ротационного тензоров, которые симметричны во всех точках, сопряженный тензор в общем случае не симметричен. Однако, как сейчас будет доказано, каждая частица имеет, независимо от ее формы, единственную присущую ей геометрическую точку, относительно которой сопряженный тензор симметричен. Будем называть эту точку центром гидродинамической реакции (или более просто центром реакции) и обозначать символом R.

Для доказательства существования и единственности этой точки выбираем, как и ранее, любую точку в качестве центра О. В общем случае сопряженный тензор не будет симметричным относительно О, однако его можно единственным образом разложить на симметричную и антисимметричную части:

со^со+с^+^со-сг)). (5-4Л1>

Из закона преобразования сопряженного тензора (5.2.11) в любой точке R имеем

Сд— Cq —гОд X К.Сд— Cq —гОд X К.(5.4.12)(5.4.12)

Сд— Cq —гОд X К.

Сд— Cq —гОд X К.

(5.4.12)

(5.4.12)

Но tor X К также можно единственным образом разложить на симметричную и антисимметричную части:

ГОВХК = | (гоя х К-К х r0R) +1 (tor х к+ К х год) (5.4.13)

(при этом учтена симметрия диадика К). Первый член симметричен, а последний антисимметричен. Следовательно, если сопряженный тензор симметричен относительно R, то необходимо потребовать выполнения условия Сд — Сд = 0, т. е.

(Со - С^ЧтОн X К + К X год) = 0.(5.4.14)

Тогда для данного несимметричного диадика Со и симметричного диадика К необходимо доказать, что можно найти такой вектор гон, Для которого удовлетворяется уравнение (5.4.14).

Решение уравнения (5.4.14) легко находится:

tor = - KI : К) I — К]-1 е : Со, (5.4.15)

где заимствованы обозначения Гиббса, а е — альтернирующий изотропный триадик. Так как К — положительно определенный симметричный диадик, то его три собственных значения Къ К2, К3 представляют собой существенно положительные величины. Определитель

det [(I: К) I —К] = detdet [(I: К) I —К] = detоК3 + ^i • ооК3 + ^i • о^2 + ^30

det [(I: К) I —К] = det

det [(I: К) I —К] = det

о

К3 + ^i • о

о

К3 + ^i • о

0

= № + ^) №+^з) №+^1)

поэтому тоже существено положителен и не равен нулю. Следовательно, диадик в квадратных скобках в (5.4.15) неособый, и отсюда следует, что tor существует.

Для дальнейших ссылок выразим компоненты вектора ток в системе декартовых координат, параллельных главным осям диадика К. Пусть еь е2, е3 — нормированные собственные векторы диадика К, расположенные в таком порядке, что они составляют правую систему координат при циклической перестановке индексов 1 -> 2 ->3, т. е. ех X е2-е3 = + 1. Тогда можно написать

К = е^К^ 4- е2е2^2 4" езез^з»

Тон = е1 ($0^)1 + е2 (^0^)2 + е3 (^оя)з» а также

Со = e1e1C'i1) + eiez^i2) + е1ез^1з ) 4"

©зе^^ + е3е2Сд^ 4- ОдвдС^.

В этом случае уравнение (5.4.15) эквивалентно уравнениям

($Оя)1 —($Оя)1 —С$-С$^2 + ^3С$-С$^2 + ^3(^oa)z —(^oa)z — ° 31 —° 134+^1’ ° 31 —° 134+^1’(^од)з —(^од)з —С^-С^^1+^2*С^-С^^1+^2*(5.4.16)(5.4.16)

($Оя)1 —

($Оя)1 —

С$-С$^2 + ^3

С$-С$^2 + ^3

(^oa)z —

(^oa)z —

° 31 —° 13

4+^1’

° 31 —° 13

4+^1’

(^од)з —

(^од)з —

С^-С^^1+^2*

С^-С^^1+^2*

(5.4.16)

(5.4.16)

Мы уже знаем, что все тела имеют по крайней мере одну точку, в которой сопряженный тензор симметричен. Докажем теперь, что имеется только одна такая точка. Пусть Р — некоторая точка, в которой сопряженный тензор симметричен.

Тогда из (5.2.11) следует

Ср — Сд — Гдр X К.

Поскольку Сд симметричен, то для симметрии Ср нужно» чтобы антисимметричная часть trp X К обращалась в нуль, т. е. опуская множитель 1/2, потребуем выполнения равенства

Гдр X К + К X Гдр = 0, или, что то же самое, равенства

[(I : К) I — К] тдр = 0.

Так как член в квадратных скобках является полным диадиком, т. е.

det [(I : К) I - К] ^ 0, то предыдущее соотношение может быть удовлетворено только при

Гдр = 0,

т. е. точки Р и R должны совпадать. Таким образом, для данного тела центр реакции единствен.

Так как Сд = Сд, фундаментальные выражения (5.4.1) и (5.4.2) можно записать в их наиболее симметричном виде относительно R, а именно

F - - ц(К.ил + Сд-о>),(5.4.17а)

Тд = ~^(Сд.ил + Йд.(о).(5.4.176)

Удобно ссылаться на главные оси диадика Сл как на главные оси сопряжения. Эти оси взаимно перпендикулярны и обладают следующим свойством: если тело удерживается от поступательного или вращательного движения, но допускается обтекание его жидкостью параллельно главной оси сопряжения, то гидродинамический момент, действующий на тело, будет параллелен вектору скорости набегающего потока. Обратно, если тело вращается относительно оси, проходящей через Д, так, что вектор со параллелен главной оси сопряжения, и если R находится в состоянии покоя по отношению к жидкости на бесконечности, то

гидродинамическая сила, действующая на тело, будет параллельна вектору угловой скорости (о.

Как будет подробно рассмотрено в разд. 5.5, существует класс тел, для которых вследствие геометрической симметрии Сд = 0. В таких случаях, как это следует из (5.4.17), поступательное и вращательное движения «не связаны» и центр реакции совпадает с «центром гидродинамических напряжений». Последний играет такую же роль, что и центр масс в динамике твердого тела, в том смысле, что гидродинамическая сила зависит только от мгновенной поступательной скорости 7?, а гидродинамический момент (относительно 7?) зависит только от мгновенной угловой скорости. Для таких тел закон преобразования Й (5.4.10) сводится к виду

Пр = йс — ^ср X К X гср,(5.4.18)

где С = R — центр гидродинамических напряжений. Это соотношение напоминает хорошо известную в механике теорему «параллельных осей» [231, связывающую тензор момента инерции в любой точке с его величиной в центре масс тела.

ДИССИПАЦИЯ ЭНЕРГИИ

В стоксовом/гечении, когда изменение со временем кинетической энергии частицы и жидкости пренебрежимо мало и нет влияния потенциальной энергии, мгновенная скорость диссипации механической энергии Е равна мгновенной скорости, с которой напряжения, действующие на поверхностях, ограничивающих жидкость, совершают работу над ней. Отсюда

Е=- j dS-n-v.(5.4.19)

Sp+S^

Интегрирование ведется по поверхности Sp частицы и по поверхности жидкости на бесконечности Soo. Для рассматриваемых поступательного и вращательного движений v имеет порядок не более О (г*1); следовательно, П имеет порядок не более О (г^} при г ->оо. Так как dS = О (г2), то интеграл по Soo в пределе г -> оо обращается в нуль, и остается только интеграл по Sp. На этой поверхности v задается уравнением (5.1.4). Поэтому, так как То и F определяются соответственно соотношениями (5.4.6) и (5.4.9), получаем

£ = - U0 F - (» Т0.(5.4.20)

Подставляя (5.4.1) и (5.4.2) в предыдущее уравнение, находим

Е = ц (Uo К • Uо 4~ 2 (о • Со *Uo 4- (о *Йо • (о).(5.4.21)

Помимо всего прочего, инвариантность энергии Е по отношению к выбору начала координат дает простой альтернативный метод определения изменений сопряженного и ротационного тензоров при переходе от точки к точке. Так, если Р — любая жестко связанная с частицей точка, то необходимо

Е = ц (Up -К -UP -j- 2 о • Ср *Up -|- со ЙР • со).

Если теперь подставить (5.4.4) в (5.4.21) и приравнять результат предыдущему выражению, то, учитывая, что Up и со — произвольные векторы, легко получить законы преобразования (5.2.11) и (5.4.10).

Так как скорость диссипации должна быть существенно положительной независимо от величин Uo и со, то должны выполняться определенные неравенства, налагаемые на компоненты тензора Со, с одной стороны, и на компоненты тензоров К и Йо, с другой. Для их получения рассмотрим произвольную систему декартовых координат. Пусть (Uo), (со), (F) и (То) — столбцы, скалярные элементы которых совпадают с соответствующими скалярными компонентами этих векторов, и пусть (К), (й0) и (Со) — квадратные матрицы ранга 3x3, элементами которых являются компоненты соответствующих диадиков. Тогда (5.4.1) и (5.4.2) можно записать при помощи матриц следующим образом:

/(Е)\_ /№

№)/ И \(С0) (Ио) / \ («) / ' '

где (Со)* — матрица, транспонированная к (Со). Так как из (5.4.20) следует, что

I (F) \

получаем

£ = «>)*}£ = «>)*}(К) (Со)*\ / (Со) (Qo) / \(К) (Со)*\ / (Со) (Qo) / \(Uo)\ («) /(Uo)\ («) /(5.4.23)(5.4.23)

£ = «>)*}

£ = «>)*}

(К) (Со)*\ / (Со) (Qo) / \

(К) (Со)*\ / (Со) (Qo) / \

(Uo)\ («) /

(Uo)\ («) /

(5.4.23)

(5.4.23)

Естественно называть эту квадратную матрицу ранга 6x6 мат рицей сопротивлений. Это действительная симметричная матрица, причем заключение о ее симметрии следует из симметрии составляющих ее матриц (К) и (й0). Кроме того, условие положительности диссипации энергии требует, чтобы матрица сопротивлений была положительно определена во всех точках О. (Каждая из составляющих матриц (К) и (й0), разумеется, по отдельности положительно определена.) Кроме всего прочего, для этого необходимо

как можно показать, считая, что для частных значений ] и к только компоненты U^ и (Од в (5.4.21) не равны нулю.

Представляют особый интерес геликоидально изотропные тела, которые обсуждаются далее в разд. 5.5 (случай 10). Для этих тел характерно, что тензор К изотропен и что Со и Йо изотропны в центре реакции, т. е.

(К) = К (QR) = Й (б/А), (Ся) = с

где (67-д) — единичная диагональная матрица. Таким образом, в этом случае условие положительной определенности матрицы сопротивлений просто сводится к тому, чтобы три скалярных коэффициента К, Q и С, характеризующие сопротивление тела, удовлетворяли неравенству

КЙ > С2. (5.4.25)

В то время как К и Q положительны, мы покажем далее, что С может быть как положительной, так и отрицательной величиной, соответственно тому, является ли геликоидальная изотропия лево- или правосторонней.

Функция Е из (5.4.21) является однородной квадратичной функцией скоростей Uо и (о. Поэтому она тесно связана с диссипативной функцией Рэлея F для систем, в которых силы сопротивления пропорциональны скоростям, причем эта связь имеет вид Е = 2F. Большое число работ посвящено свойствам этой функции, особенно в связи с применением ее к уравнениям Лагранжа для затухающих колебаний неконсервативных систем [44].

ПРИМЕР

В качестве простого нетривиального примера тела, для которого можно точно получить трансляционный, ротационный и сопряженный тензоры, 1 рассмотрим идеализированный двухлопастный

Рис. 5.4.1. Два круглых диска, соединенных вместе и образующих «винтовой пропеллер».

«винтовой пропеллер», изображенный на рис. 5.4.1. Он представляет собой два соединенных вместе бесконечно тонких круглых

6 = Icz I6 = Icz IНачальная плоскость совладения дисковНачальная плоскость совладения дисковДискаДискаРис. 5.4.2. Вид сбоку на круглые диски.Рис. 5.4.2. Вид сбоку на круглые диски.^1^16 = -1а(6 = -1а(

6 = Icz I

6 = Icz I

Начальная плоскость совладения дисков

Начальная плоскость совладения дисков

Диска

Диска

Рис. 5.4.2. Вид сбоку на круглые диски.

Рис. 5.4.2. Вид сбоку на круглые диски.

^1

^1

6 = -1а(

6 = -1а(

диска с радиусами с. Соединяющий их жесткий стержень с пренебрежимо малым гидродинамическим сопротивлением лежит в плоскостях обоих дисков, причем его продолжение в обе стороны проходит вдоль диаметров каждого диска. Центры дисков отстоят один от другого на расстояние 2Л, и меньший угол между плоскостями дисков равен 2|0|, причем л/2^|0|^О. Для

Диск!Соединительныйстержень

определения смысла этого угла представим себе, что диски свободно вращаются относительно соединительного стержня и что в начальный момент плоскости обоих дисков совпадают. Посмотрим на систему сбоку, так что соединительный стержень будет казаться точкой.

Обозначим ближний к наблюдателю диск как диск I, а более дальний диск как диск II и предположим, что пропеллер образуется при вращении плоскостей каждого из дисков на равные, но противоположные по знаку углы | 0 | относительно соединяющего их стержня. Угол 0 измеряется по направлению часовой стрелки (относительно наблюдателя) между начальной плоскостью совпадения дисков и плоскостью диска I, как показано на рис. 5.4.2. Два пропеллера, изображенные на рис. 5.4.2, а и б, отличаются только алгебраическим знаком угла 0 и являются зеркальными отражениями один другого: один из них правый, а другой левый пропеллер.

Принято характеризовать три фундаментальных тензора при помощи системы декартовых координат, связанной с частицей и определенной следующим образом. Пусть начало координат системы совпадает с серединой соединительного стержня. Обозначим эту точку, которая, как будет доказано впоследствии, является центром реакции пропеллера, через R. Рассмотрим ситуа-

цию перед тем, как диски приходят в свои предельные положения. Пусть ось Rx2 лежит в общей начальной плоскости совпадения обоих дисков и направлена влево от наблюдателя. Пусть ось Rxx

перпендикулярна этой плоскости и направлена вертикально вверх,

Рис. 5.4.3. Собственные оси диска I и естественные оси «пропеллера».Рис. 5.4.3. Собственные оси диска I и естественные оси «пропеллера».наконец, пусть ось Rx3 направлена вдоль соединительного стержня и ориентирована от диска II к диску I, т. е. к наблюдателю. (На рис. 5.4.2 ось Rx3 направлена вверх перпендикулярно плоскости рисунка.) Эта система координат правая с порядком осей 1 2 3. Далее эти оси будут называться естественными осями пропеллера.

Рис. 5.4.3. Собственные оси диска I и естественные оси «пропеллера».

Рис. 5.4.3. Собственные оси диска I и естественные оси «пропеллера».

Предполагаем, что сопротивление

соединительного стержня ничтожно и что диски расположены достаточно далеко друг от друга, так что можно пренебречь их гидродинамическим взаимо

действием. Это допущение справедливо при с/1г<^1. Таким образом, свойства пропеллера можно описать при помощи простой суперпозиции гидродинамических свойств отдельных дисков. Пусть К1 — трансляционный тензор для диска I, и пусть Он и Св — ротационный и сопряженный тензоры для этого диска относительно точки R. Аналогично, пусть К11, йд и Св —соответствующие характеристики диска II. Тогда, если К, йн и Сд —

соответствующие тензоры «винтового пропеллера», то при малых dh имеем

К = К1 + К11,(5.4.26)

Он=Or+Or,(5.4.27)

СН = СНС?. '(5.4.28)

Для расчета К1 в естественных осях пропеллера полагаем, что хг, x2l х3 — правая система декартовых координат, лежащих в плоскости диска I и нормальных к нему (см. рис. 5.4.3). Оси х3 и х3 совпадают в плоскости диска и направлены вверх перпендикулярно плоскостй рисунка. Так как оси, помеченные чертой над буквой, являются главными осями поступательного движения круглого диска, то из решения уравнений Стокса для поступательного движущегося диска [32, 39] имеем

(5.4.29)(5.4.29)К1 — -у- с (3i± it + 2i2 i2 + 2i3 i3) $

(5.4.29)

(5.4.29)

где U — единичные векторы. При помощи соотношений

it = ij cos 0 — i2 sin 0,

i2 = ii sin0 + i2cos0,(5.4.30)

13 = 13 получаем

К1 = у c [iiii (2 + cos2 0) + i2i2 (2 + Sin2 0) +

4-2i3i3 — (i^ +12*1) sin0cos0]. (5.4.31) Аналогично,

Кп = c [iJi (2 + cos2 0) + i2i2 (2 + sin2 0) +

+ 2i3i3 + (i1i2 +i2ii) sin 0 cos 0]. (5.4.32)

Складывая эти величины, с точностью до нулевой степени dh получаем

' К = ~ с [i1i1 (2 + cos2 0) + i2i2 (2 + sin20) + 2i3i3].(5.4.33)

Как следует из этого выражения, главные оси поступательного движения пропеллера совпадают с естественными осями пропеллера. Более того, интуитивно кажется правдоподобным, что тензор поступательного движения для данного пропеллера такой же, как для его зеркального отражения при замене 0 на — 0.

Чтобы рассчитать йд, положим, что Qj — ротационный тензор диска I относительно его собственного геометрического центра. Из симметрии ясно, что сопряженный тензор для диска I равен нулю в центре этого диска. Следовательно, из (5.4.10) получаем

Йд = Qi — rlR х К х rIR,(5.4.34)

где г1н — радиус-вектор точки R относительно начала координат, совпадающего с центром диска I. Из рис. 5.4.1 видно, что

Ид = — i3fo.(5.4.35)

Кроме того, для круглого диска

Qj = I-y-c3,(5.4.36)

где I — единичный диадик. Следовательно,

Q« = I -у- с8 — i3 X К1 х i37i2.(5.4.37)

Аналогично,

дП = I ^. сз_ i3 х кп X i3^2.(5.4.38)

14-01084

Складывая оба диадика с учетом (5.4.26) и (5.4.27), получаем

Од = 1-у-с3-13хКх1Л2. .(5.4.39)

Тогда I = i^ + i2i2 + Мз, гДе К определяется соотношением (5.4.33). Следовательно,

Йн = М!-у-с/12(24-8т2е + 2 5-)+'

+ i2i2-y^2 (2 + cos36 + 2^) + Мз4Л

Так как отношение dh мало по сравнению с единицей, то можно пренебречь членами О \\dhyA. Это равносильно пренебрежению моментом, возникающим при вращении дисков относительно их центров, по сравнению с моментом от действия сил на диски при их поступательном движении в жидкости и вращении пропеллера относительно оси, проходящей через точку R. Следовательно, для величин нулевого порядка по dh имеем

йн = -у- с [МЛ2 (2 + sin2 0) + i2i2^2 (2 + cos26) + i3i32c2].(5.4.40)

Как и для трансляционного тензора, главные оси вращения в точке И совпадают с естественными осями пропеллера; более того) йл имеет такой же вид, как и для пропеллера, полученного из данного зеркальным отражением.

Ввиду отсутствия, «косой» (skew) симметрии у круглого диска ясно, что

(3 = 0.(5.4.41)

Тогда из (5.2.11) имеем

С^-гмХК1,(5.4.42)

где К1 и Fir определяются соотношениями (5.4.31) и (5.4.32) соответственно. Аналогично можно вычислить

Cr = — гпн X К11,

где гпн = + i3^» а К11 дается соотношением (5.4.32). Складывая полученные выражения для Cr и Cr , находим

[Сд = -у- ch (iiii — i2i2)*sin 6 cos 6.(5.4.43)

Отметим, что Сн — симметричный диадик; это является подтверждением того, что центр реакции пропеллера лежит в середине соединительного стержня. Кроме того, главные оси сопряжения Совпадают с естественными осями пропеллера. Отметим также, что алгебраический знак Сн изменяется при замене 0 на — 0.. Наконец, видно, что все неравенства, приведенные в (5.4.24), удовлетворяются для данного примера. "

точке с радиусомточке с радиусом(5.4.45)(5.4.45)Рис. 5.4.4. Вид сбоку на «импеллер», образованный двумя круглыми дисками.Рис. 5.4.4. Вид сбоку на «импеллер», образованный двумя круглыми дисками.

точке с радиусом

точке с радиусом

(5.4.45)

(5.4.45)

Рис. 5.4.4. Вид сбоку на «импеллер», образованный двумя круглыми дисками.

Рис. 5.4.4. Вид сбоку на «импеллер», образованный двумя круглыми дисками.

Можно аналогичным образом рассмотреть и другие поучительные примеры конструкций, состоящих из двух или более отстоящих друг от друга круглых дисков. Так, рассмотрим «импеллероподобное» тело: круглые диски соединены вдоль центров (вид сбоку на это тело приведен на рис. 5.4.4). Ось х8 перпендикулярна плоскости рисунка и направлена к наблюдателю. Расчет, аналогичный предыдущему, показывает, что К1, Кп, а следовательно, К имеют такие же значения, которые следуют из соотношений (5.4.31), (5.4.32) и (5.4.33) соответственно. Хотя можно было бы ожидать, что центр реакции лежит в центре тела Р,

простой расчет показывает, что это не так, поскольку тензор Ср не симметричен и равен

32

Ср = — i3i2 -g - ch sin 0 cos 0.

(5.4.44)

Из дальнейшего расчета следует, что центр реакции расположен в

. h sin 0 cos 0

Грн— —h 4 + sin20 »

причем в этой точке имеем

г _ г . । . . х CAch sin 0 cos 0

— (1213 + I3I2) 3(4+sin2 0) •

(5.4.46)

Так как

12^з + 1з12 — е2е2 б3е3, где

е2= "у^^—^' ез== V^ ^2 + ^’

то главные оси сопряжения лежат в плоскости, перпендикулярной

оси хи и образуют углы 45° с координатными осями х8 и х8<

Из этого примера следует, что 1) центр реакции является единственной геометрической точкой, отличной в общем случае от центра тела, и 2) главные оси различных тензоров относительно центра реакции в общем случае не совпадают.

Симметричные частицы

Полное определение гидродинамического сопротивления жестких частиц при поступательных и вращательных движениях в стоксовом течении требует знания 21 независимого скалярного

14*

коэффициента сопротивления, а именно? 6 для трансляционного тензора, 6 для ротационного тензора и 9 для сопряженного тензора. Количество этих коэффициентов уменьшается при наличии той или иной симметрии у частицы. В этом разделе проводится систематическое исследование влияния различных типов симметрии на структуру трех фундаментальных тензоров. Изложение этих вопросов в этой книге находится под сильным влиянием работ о «гидрокинетической симметрии» Кельвина [31], Лармора [35] и Ламба [32], посвященных кинетической энергии идеальных жидкостей при невращательном апериодическом движении, возникающем при импульсивном движении твердой частицы в жидкости, находящейся в начальный момент в покое [37]. В этом случае общая мгновенная кинетическая энергия системы жидкость — частица является однородной квадратичной функцией мгновенных линейной и угловой скоростей частицы. Так как в стоксовом течении диссипативная функция также однородна и квадратична по этим скоростям, то налицо полная аналогия — по крайней мере в отношении симметрии.

Рассмотрим тело, зафиксированное в пространстве, и пусть Oxt (i = 1, 2, 3) — любая система декартовых координат, фиксированная в пространстве, с произвольным началом О, связанным с частицей. Обозначим через Охг другую систему осей, в начальный момент совпадающую с Охь которая вращается и (или) отражается относительно Oxt. Рассмотрим класс тел, симметрия которых такова, что поверхность частицы располагается относительно осей Ох^ так же как и относительно осей Охь после того как последние повернулись относительно О и (или) были отражены относительно плоскостей, проходящих через О; т. е. если поверхность тела описывается уравнением / (хъ х2, ж3) —О, то уравнение / (^i, ^2» ^з) = 0 описывает поверхность того же тела.

В декартовых тензорных обозначениях скорость диссипации энергии в рассматричаемых системах координат равна в соответствии с (5.4.21)

Е = g ^КииГ + W^U^ + to^tojY (5.5.1)

Ё= ц №кмй^ + W^W +Ж). (5.5.2)

Здесь использовано обычное условие суммирования. Верхний индекс (О) относится к общему началу координат О. Общее преобразование перехода от координат Oxt к координатам Oxt имеет вид

где (а) —- ортогональная матрица направляющих косинусов:

/ Я11^12#13(а) =1 #21#22#23\#31#82#зз/ Я11^12#13(а) =1 #21#22#23\#31#82#ззэлементы которой имеют видэлементы которой имеют видajk = V *** = cos Фхь Ох^.ajk = V *** = cos Фхь Ох^.(5.5.4)(5.5.5)(5.5.4)(5.5.5)

/ Я11

^12

#13

(а) =

1 #21

#22

#23

\#31

#82

#зз

/ Я11

^12

#13

(а) =

1 #21

#22

#23

\#31

#82

#зз

элементы которой имеют вид

элементы которой имеют вид

ajk = V *** = cos Фхь Ох^.

ajk = V *** = cos Фхь Ох^.

(5.5.4)

(5.5.5)

(5.5.4)

(5.5.5)

Так как скаляр Е — тензор нулевого ранга, то его закон преобразования имеет вид.

Е = Е..(5.5.6)

Аналогично, полярный вектор U^ — истинный вектор, который преобразуется по закону

(5.5.7)(5.5.7)U^ = anmU^.

(5.5.7)

(5.5.7)

С другой стороны, вектор угловой скорости (от — псевдовектор (аксиальный вектор) и преобразуется согласно закону

(5.5.8)(5.5.8)^т — I а I ^пт^т

(5.5.8)

(5.5.8)

где через | а | обозначен определитель матрицы (а). Ведцчцна этого определителя равна или —1 или +1 в зависимости от того, изменяется или нет после преобразования Oxt -^Oxi взаимная ориентация осей.

Подставляя (5.5.6)—-(5.5.8) в (5.5.1) и сравнивая полученные выражения с (5.5.2), находим, что Кц, С^ и Q^ преобразуются следующим образом:

KkX = ^kiaU^ih

C^ = \a\akialjC^\ (5.5.9)

где учтено, что | а | | а | = + 1. Следовательно, К^ и й^ - истинные тензоры второго ранга, в то время как С^ — псевдотензор второго ранга ввиду неопределенности в алгебраическом знаке закона преобразования.

Уравнения (5.5.9), конечно, применимы к любому преобразованию декартовой системы координат, включающему общее начало координат. Однако, как это следует из способа определения координатных систем Охг и Ох^ и из инвариантности уравнений Стокса и граничных условий относительно вращения и (или)

отражения, справедливы равенства

КМ = КМ,

С^ = С^\(5.5.10)

Поэтому

Кк1 = »МацКц,

^ = \а\аыа13С^,(5.5.11)

Эти соотношения налагают некоторые ограничения на компоненты трех фундаментальных тензоров, которые теперь будут исследоваться в некоторых важных частных случаях. Так как Киг и Qj^ в (5.5.11) преобразуются по одному закону и оба симметричны, то достаточно исследовать только один из них.

Случай 1. Одна плоскость симметрии

К^я общей иллюстрации применения уравнения (5.5.11) исследуем этот частный случай подробно. Возьмем в качестве плоскости симметрии плоскость Охъ Ох^ Существование плоскости симметрии указывает на то, что тело идентично самому себе при отображении от этой плоскости. Символически это преобразование. можно обозначить через

1-^1, 2-^2, 3-^-3, при этом

и | а | = — 1. Уравнение (5.5.11) приводит к различным соотношениям, из которых типичны следующие:

^и—^1Ь^12 — ^121 •••»^23— —^231 •••»

V23 — U23 » • • • •V23 — U23 » • • • • НО) ИО) ИО)

V23 — U23 » • • • •

V23 — U23 » • • • •

Gn — —GH ,U12 —U12 , . .

Для удовлетворения этих соотношений необходимо потребовать, чтобы '

^23 = ^31 = 0, д^^’-О, г<°> — г^ — г<°> — г<°> — г<°> — л UU —G12 Ь21 G22 —Ь33 U-

Поскольку тензоры Кц и Qy симметричны, из этих соотношений следует, например, что Л*32 = 0. Следовательно,

^12 • \/Й<?>. \

^22 . I, (йо)= Q^ Q^ .,

(5.5.13)(5.5.13)• K3J\..Q^/

(5.5.13)

(5.5.13)

Если К записать в диадиковой форме, то

К = М1-Кн + Мг^22 + Мз-^зз 4" (М2 + Mi) ^12,

откуда видно, что вектор К 43 параллелен i3. Следовательно i3 —- собственный вектор диадика К. Поэтому если тело имеет плоскость симметрии, одна из трех главных осей поступательного движения направлена нормально к этой плоскости, а остальные две (которые перпендикулярны к третьей) лежат в ней. Аналогичные замечания применимы и к главным осям вращения относительно любой точки О, лежащей в плоскости симметрии.

Случай 2. Две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии

Если частица имеет вторую плоскость симметрии, лежащую под прямым углом к первой, то можно отождествить ее с плоскостью Оя3, Охъ где О лежит где-либо на линии пересечения этих плоскостей. Кроме соотношений (5.5.12), должны удовлетворяться следующие дополнительные соотношения:

^12 = 0, 0^ = 0, ^ = ^ = 0.(5.5.14)

Следовательно,'

(К)=. Кгг ., (Йо) = .й<2°> .,

\.. Кзз /\..й^/ /сслкч

Две главные оси тензора К расположены нормально к двум плоскостям симметрии, в то время как третья направлена параллельно

их линии пересечения. Ротационный тензор в любой точке этой линии имеет такие же главные оси, что и К.

«Импеллер», показанный на рис. 5.4.4, представляет собой пример тела этого класса, так как если О лежит на оси Рхъ то плоскости Oxv Ох^ и Ох^ Охг являются плоскостями симметрии.

Равенство С^ = 0, следующее из (5.4.44) и также обусловленное симметрией, не может быть получено при помощи рассматриваемых сейчас методов. Скорее должны быть использованы методы теории групп, которые применяются в кристаллографии [46], так как это ограничение, налагаемое симметрией, является не просто следствием симметрии самого импеллера, а скорее следствием симметрии отдельных элементов, из которых он состоит. Таким образом, в общем случае тело может обладать двумя перпендикулярными плоскостями симметрии даже тогда, когда отдельные элементы, из которых оно состоит, вообще не обладают какой бы то ни было симметрией.

Случай 3. Три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии {ортотропные тела)

Еслц частица имеет третью плоскость симметрии (плоскость Ох^ Ох^ перпендикулярную к двум другим, то в дополнение к (5.5.12) и (5.5.14) потребуем также

(5.5.16)(5.5.16)^ = ^ = 0.

(5.5.16)

(5.5.16)

Тогда, если R есть точка пересечения трех плоскостей, то

(Сн) = (0),(5.5.17)(Сн) = (0),(5.5.17)

(Сн) = (0),

(5.5.17)

(Сн) = (0),

(5.5.17)

так что эта точка представляет центр реакции тела, в котором сопряженный тензор тождественно обращается в нуль.

Случай 4. Сферически изотропные тела

Если ортотропное твердое тело таково, что форма тела одинаково связана с каждой из трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей (например, сфера или куб), то оси Охъ Ох^ и Ох^ неразличимы; следовательно,

Ки = ^22 = ^зз = К (скажем),Q® = qW = qW = Q (скажем).

Поэтому

/1.Л/1.Л

(К) = ^| .1., (Йн) = Й•1• I ,(Сн) = (0),(5.5.19)

\..1/\..1/

или в диадиковых обозначениях

. К = 1^ од=ю, сн=о.

Такие тела будут называться далее сферически изотропными» Характеристика их гидродинамических сопротивлений требует знания только двух скалярных коэффициентов, К и Q. Все регулярные многогранники и тела, образованные симметричным срезыванием или скруглением их вершин, и (или) ребер, и (или) граней, сферически изотропны [8]. Подстановка в (5.4.1) и (5.4.2) дает

F = — р^ин и Тл = — pQ(o.

Эксперименты Петтиджона и Кристиансена [42], в которых изучалось падение изометрических частиц в стоксовом режиме, подтверждают предыдущие заключения. Они изучали падение- тетраэдров, кубов, октаэдров и кубов-октаэдров, причем наблюдаемые скорости падения не зависели от ориентации в пределах экспериментальной ошибки в 0,5%. Частицы, опущенные с произвольной ориентацией в жидкость, при своем падении не проявляют тенденции ни к вращению, ни к переходу в [какое-либо- определенное положение по отношению к направлению движения в жидкости. Более того, они падают вертикально вниз. Такое поведение обсуждается далее в разд. 5.7.

Случай 5. Тела вращения

Если тело является телом вращения (относительно оси Ох-^ то оно симметрично по отношению ко всем плоскостям, содержащим эту ось, хотя оно не обязательно симметрично по отношению к плоскостям, перпендикулярным к этой оси (например, полусфера). Результаты случая 2 приложимы и теперь, но точка О может представлять собой любую точку на оси. Более того, форма тела не изменится, если повернуть оси Ох^ и Ох3 на произвольный угол, например на положительный прямой угол. Преобразование, осуществляющее этот поворот, можно обозначить как

1-^1, 2-> —3, 3->2,

откуда

и | а | = + 1. Тогда в дополнение к соотношениям (5.5.15) мы также потребуем выполнение равенств

^22 = ^33, 0^ = ^. С^=-С^.(5.5.20)

Следовательно,

(5.5.21)(5.5.21)

(5.5.21)

(5.5.21)

Если подставить эти величины в (5.4.16), то получим (жоя)г = = ($оя)з ~ 0- Поэтому центр реакции лежит на оси вращения тела. Теперь, согласно (5.5.21), тензор (Со) антисимметричен для всех точек, лежащих на оси. Но, согласно определению центра реакции, тензор (Сд) должен быть симметричен. Все эти условия удовлетворяются тогда и только тогда: когда Сн = 0. Если у тела отсутствует плоскость симметрии, перпендикулярная оси, то невозможно предсказать положение этой точки априори. Гантель (разд. 5.6), состоящая из двух сфер разного размера, представляет простой пример такого тела.

Случай 6. Косая симметрия относительно оси

Рассмотрим тело, обладающее косой симметрией, например относительно оси Ох^ т. е. такое тело, что оно переходит само в себя при повороте на 180° относительно этой оси, но у которого отсутствует плоскость симметрии, которая или нормальна к этой оси, или содержит ее (например, двухлопастный винтовой пропеллер, рис. 5.4.1). В этом случае имеем

. ^0) ^ I.2833(5,5.22). ^0) ^ I.2833(5,5.22)Ми .. \/

. ^0) ^ I.

2833(5,5.22)

. ^0) ^ I.

2833(5,5.22)

(К)=| .Я22 ^23 I, (Й0) = [

\ •^23 ^33 /\

/ ^(О).

<ад=| .“ с? с™ \ г№ /1(0) \ •^32Ь33

Винтовой пропеллер (рис. 5.4.1) обладает этим типом косой симметрии относительно обеих осей Rxx и Rx^. Тогда в этом случае необходимо положить Я2з = Й^> = С^ = С^ = 0. Дополнительные соотношения симметрии С^ = 0 и С^ = — С^\ следующие из (5.4.43), опять не вытекают из представленных здесь методов.

Случай 7. Геликоидальная симметрия относительно оси

Если в дополнение к условиям предыдущего случая тело переходит само в себя также при повороте на угол 90° относительно оси Охг (например, четырехлопастный пропеллер), то

(5.5.23)(5.5.23)

(5.5.23)

(5.5.23)

причем О находится на оси. Уравнение (5.4.16) показывает тогда, что центр реакции должен лежать на оси. Кроме того, так как (Сд) симметричен, то из (5.5.23) следует, что С^ = 0. Следова

тельно,

(Сн) =(Сн) =(5.5.24)(5.5.24)

(Сн) =

(Сн) =

(5.5.24)

(5.5.24)

Форма предшествующих выражений не изменяется при одновременном повороте осей Ох^ и Ох^ в их плоскости на произвольный угол. Такое тело обладает геликоидальной симметрией [31, 32, 35] относительно оси Oxv Для дальнейшего отметим, что ось геликоидальной симметрии тела является главной осью сопряжения, и тогда все направления в плоскости, перпендикулярной к ней, определяют собственные векторы для сопряженного тензора в R. -

Случай 8. Геликоидальная симметрия при более общих предположениях

Результаты предыдущего раздела можно обобщить так, чтобы они были применимы и к телам более общей формы. Предположим, что форма твердого тела задается соотношением, которое не из-

меняется при повороте осей Ож2 и Ох^ вокруг оси Охх на произвольный угол 6 в любом направлении, за исключением 0 = л» Случай 0 = 0, конечно, тривиален. Общий вид преобразования от осей Охг к осям Ох^ соответствующий повороту на произвольный угол 0 в положительном направлении вокруг оси Oxv определяется матрицей

/1. \

(а) = I . cos 0 sin 0 I ,

\. — sin0 cos0/

откуда следует | а | = + 1. Из (5.5.9) получаем тогда

7ЧО) _ АО)

с^=с^ cos е+cosine,

с^ = - С^ sin 9 + С^ cos 0,

= С^ cos 0 + С^ sin 0,

С^ = С» cos2 0 + (С^ +^>) sin 0 cos 0 + С^ sin2 0,

С^’ = С^ cos = 0 - С^ sin2 0 + (С^ - О sin 0 cos 0,

С^ = - С^ sin 0+С^ cos 0,

С^ = (С^ - с^ sin 0 cos 0 - С^ sin2 0 + С^ cos2 0,

C^ = ^ Sin2 0 - (C^ + О sin 0 cos 0 + C^ cos2 0

и аналогичные выражения для Км и Q^. Из условия инвариантности этих выражений относительно знака 0 имеем

С^ = (^ = (^ = (^=А

^ + ^> = 0,(5.5.25)

Следовательно, (К), (Оо) и(С0) должны иметь точно такой же вид, как и (5.5.23). Такие тела обладают поэтому геликоидальной симметрией.

Случай 9. Геликоидальная симметрия относительно оси при наличии зеркальной симметрии относительно плоскости, содержащей эту ось

Если выбрать ось Охх за ось геликоидальной симметрии, а плоскость Охх, Охг за плоскость симметрии, содержащую эту ось, то уравнения (5.5.13) и (5.5.23) должны удовлетворяться одновременно. Поэтому в данном случае применимо уравнение (5.5.21),

и мы приходим к выводу, что гидродинамическое поведение тел этого типа идентично поведению тел вращения.

Этот случай встречается, например, тогда, когда все поперечные сечения представляют собой правильные подобные многоугольники (возможно, со скругленными гранями и углами), имеющие одну общую плоскость симметрии. Телом такого типа является, например, правильная призма и пирамида с основаниями в форме правильного многоугольника или ромба.

Случай 10. Геликоидальная изотропия

Возвращаясь к случаям 7 и 8, рассмотрим тело, имеющее вторую ось геликоидальной симметрии, расположенную произвольным образом (скажем, ось (УхУ Тогда, как и в случае уравнения (5.5.24), существует единственная точка (назовем ее Д'), расположенная на этой оси, в которой сопряженный тензор симметричен*.

/ /4й')\

'№)= .№ . L(5.5.26)

\ .•0/2'2' /

Но, как обсуждалось в разд. 5.4, тело имеет одну и только одну точку, в которой сопряженный тензор симметричен. Следовательно, в соответствии с (5.5.24) можно заключить, что R и R' представляют одну и ту же точку. Если тело имеет две оси геликоидальной симметрии, то они должны, следовательно, пересекаться в центре реакции тела.

Так как оси Rx\ и Rx^ обе должны быть главными осями сопряжения и так как главные оси сопряжения должны быть взаимно перпендикулярны, ось Rx\ должна лежать в плоскости, перпендикулярной оси Rxv Но, как следует из анализа случая 8, все оси, лежащие в плоскости, перпендикулярной к Rxv эквивалентны. Без ограничения общности можно принять за ось Rx\ ось Rx^ за Rx^ — ось Rx3l а за Rx3 — ось Rxv Тогда из уравнения (5.5.26) имеем

^22**\

..L(5.5.27)

ХН) /

•• ьзз /

Из сравнения с (5.5.24) имеем

С^ = С^=С^=С (скажем),(5.5.28;

т. е. в этом случае сопряженный тензор изотропен в R. Аналогично, из ортогональности главных осей трансляционного и ротаци-

онного тензоров в R легко заключить, что К и Йя также изотропны. Следовательно, можно написать

К = 1Я, ЙН = 1Й, СН = 1С. (5.5.29)

В теории идеальной жидкости Кельвин [31] называл такие тела изотропно геликоидальными. Мы сохраним эту терминологию, хотя ее физическое содержание для течения Стокса совсем иное, чем для потенциального течения. Из анализа следует, что любое тело, обладающее геликоидальной симметрией относительно двух различных осей, геликоидально изотропно. Нужно отличать изотропию этого типа от сферической изотропии, так как в последнем случае Сн = 0. Для полной характеристики гидродинамических свойств геликоидально изотропных тел требуется знание трех скаляров К. Q и С. Эти три постоянные должны удовлетворять неравенству (5.4.25). По причинам, которые станут понятными в следующем разделе, тела, для которых С < 0, — правые, в то время как тела, для которых С >0, —- левые. Зеркальное отражение геликоидально изотропного тела относительно любой плоскости также представляет геликоидально изотропное тело, причем оба тела имеют равные значения К и Й и отличаются только знаком псевдоскаляра С. *

В качестве примеров изотропных геликоидов со специфической геометрией приведем следующие. Согласно Кельвину [31], «изотропный геликоид можно приготовить при помощи подходящего расположения на поверхности шара выступающих лопастей; например, такие лопасти можно расположить вдоль двенадцати отрезков дуг любых трех пересекающихся больших кругов, делящих поверхность шара на восемь сферических треугольников, причем выступающие ребра лопастей обрезаны так, что образуют угол 45° с соответствующей дугой и сходятся к точке над центром этой дуги» (несколько более подробное описание такого тела имеется у Ламба [32]).

Согласно Лармору [35], «если мы возьмем правильный тетраэдр (или другое правильное тело) и заменим его ребра скошенными асимметричными фасками так, чтобы наклон их всех, наблюдаемый с любой вершины, был одинаковым, мы получим пример изотропного геликоида. Результат будет тем же, если от каждой вершины тетраэдра срезать три криволинейные фаски так, чтобы все они имели одинаковый наклон. Первый процесс приводит, возможно, к простейшей форме, которую может иметь тело такого класса. Форму, эквивалентную второму процессу, можно получить, если разместить на поверхности сферы четыре одинаковых асимметричных винтовых пропеллера, опирающихся на углы вписанного правильного тетраэдра».

«Некосые» тела

При движении тела в вязкой жидкости под действием внешней силы на него действует, вообще говоря, гидродинамический момент. В общем случае невозможно выбрать точку приложения силы так, чтобы момент относительно нее был равен нулю, и тем самым предотвратить тело от вращения при его поступательном движении х). Однако для тел, для которых Сд = 0, такой точкой будет центр реакции. Действительно, как видно из (5.4.176), на такой тело, движущееся поступательно, при любой его ориентации но будет действовать гидродинамический момент относительно R. Следовательно, если линия действия массовых сил (например, силы тяжести), действующих на частицу, проходит через Д, то внешний момент относительно этой точки будет равен нулю и при этом частица не будет стремиться повернуться относительно R. Возможные типы поведения таких частиц существенно проще типов движения любого другого класса частиц.

Так как общая теория тел полностью произвольной формы довольно абстрактна, то мы рассмотрим этот специальный класс тел, чтобы на простых примерах показать физическое значение более общей теории. Для упрощения нашей терминологии удобно называть такие тела некосими (nonskew) частицами, причем о них говорят, что они имеют «центр гидродинамических напряжений» С. Конечно, эта точка является также и центром реакции R некосого тела. Полная гидродинамическая сила, действующая на тело при любой его ориентации, всегда прикладывается так, что ее линия действия проходит через эту точку. Из обсуждения разд. 5.5 следует, что типичными примерами некосых частиц являются ортотропные тела (например, эллипсоиды), сферически изотропные тела и тела вращения.

В дополнение к гидродинамической силе, действующей на некосую частицу, она испытывает также действие гидростатической, или выталкивающей, силы, которую нужно также принять во внимание. Результирующая всех внешних сил, действующих на частицу со стороны жидкости, складывается из сил этих двух типов. Как известно, выталкивающая сила приложена к центру плавучести В тела, расположенному в центре тяжести вытесненной жидкости. Для несжимаемой однородной жидкости в однородном гравитационном поле положение точки В является характерным свойством самой частицы, зависящим только от ее внешней геометрии. ,

т) Возможно, однако, а некоторых случаях исключить действие момента путем подходящей ориентации тела относительно направления приложенной силы. Например, двухлопастный «винтовой пропеллер», изображенный на рис. 5.4.1, не будет вращаться в случае, если внешняя сила направлена вдоль оси Rx3. .

Рис. 5.6.1. Обтекание асимметричной гантели.Рис. 5.6.1. Обтекание асимметричной гантели.Центр гидродинамических напряжений играет фундаментальную роль в теории некосых тел. Не только гидродинамический момент относительно этой точки равен нулю при чисто поступательном движении такого тела; в той же мере верно и обратное утверждение. А именно некосое тело, вращающееся в неподвижной жидкости относительно любой оси, проходящей через эту точку, не будет испытывать действия гидродинамической силы. Таким образом, моментом, необходимым для поддержания вращения относительно такой оси, является обычно пара сил (см. (5.4.17)).

Рис. 5.6.1. Обтекание асимметричной гантели.

Рис. 5.6.1. Обтекание асимметричной гантели.

В качестве простого, но поучительного примера некосого тела рассмотрим гантелевидное тело, изображенное на рис. 5.6.1 (ср. случай 5 разд. 5.5), которое получено соединением двух сфер при помощи тонкого жесткого стержня, проходящего через их центры. Полагают, что сферы имеют различные радиусы аг и а2, причем последний соответствует большей сфере. Расстояние между центрами равно h. Предполагается, что массой и гидродинамическим сопротивлением соединительного стержня можно пренебречь по сравнению с соот

ветствующими величинами для сфер. Кроме того, считается, что сферы расположены достаточно далеко друг от друга, так что гидродинамическим взаимодействием сфер можно пренебречь.

Рассмотрим обтекание гантели со скоростью U и предположим, что тело не может вращаться. Так как предполагается, что сферы не оказывают влияния друг на друга, гидродинамическая сила, действующая на каждую из них, согласно закону Стокса, равна Fx = блр^и и F2 = 6лра211.(5.6.1)

Суммарная сила, действующая на гантель, равна

F = блр (^ + а2) U,(5.6.2)

откуда трансляционный тензор имеет вид

(5.6.3)(5.6.3)К = I 6л (аг + а2).

(5.6.3)

(5.6.3)

Отсюда следует, что гантель трансляционно изотропна. Это верно, конечно, только в нулевом приближении, т. е. при больших hl^ и Ма^. Более точное приближение приведено в гл. 6 для двух неравных сфер, движущихся или параллельно, или перпендикулярно линии центров. Если сферы расположены относительно близко, то тело анизотропно.

Как ясно из симметрии, силы Fx и F2 приложены к центрам соответствующей сферы. Следовательно, момент этих сил относительно произвольного начала О равен

То = rOi X Fi + r02 X F2 = блр (ахг01 + a2rO2) X U. (5.6.4) Положение центра С гидродинамических напряжений, относительно которого момент Тс равен нулю, можно найти при помощи уравнения

rci=-^-rC2. (5.6.5)

Из этого соотношения следует, что гС1 и гС2 параллельны. Следовательно, точка С лежит на линии, соединяющей центры двух сфер. Если е — единичный вектор вдоль линии центров сфер, направленный от большей сферы 2 к меньшей сфере 1, то г2С + + rci = ей, где, следует заметить, г2С = — гС2. Отсюда следует, что центр С расположен в точке с радиусом-вектором

<5-6-6)

Центр плавучести В гантели лежит на линии центров двух сфер в точке с радиусом-вектором

^ = «Т+(^- (5.6.7)

Таким образом, точка В лежит ближе к центру сферы 2, чем точка С.

Для дальнейших ссылок отметим здесь, что центр масс М гантели может занимать любое число возможных положений в зависимости от распределения масс в сферах. Если сферы однородны и имеют одинаковую плотность, то центр масс и центр плавучести совпадают, в других случаях этого нет. В случае, например, если две сферы однородны, но имеют не одинаковые плотности рх и р2 соответственно, то центр масс М будет расположен в точке с радиусом-вектором

Г2М = е1 + (р2/р1)(а2/а1)3- ' (5-6-8)

Используя пример гантели, покажем справедливость общей теоремы о вращении некосого тела относительно любой оси, проходящей через С, в отсутствие гидродинамической силы. Полагаем, что гантель вращается с угловой скоростью о относительно

Рис. 5.6.2. Вращение гантели вокруг оси, проходящей через ее центр гидродинамических напряжений.Рис. 5.6.2. Вращение гантели вокруг оси, проходящей через ее центр гидродинамических напряжений.

Рис. 5.6.2. Вращение гантели вокруг оси, проходящей через ее центр гидродинамических напряжений.

Рис. 5.6.2. Вращение гантели вокруг оси, проходящей через ее центр гидродинамических напряжений.

оси, проходящей через С, как показано на рис. 5.6.2. В каждый момент времени центр сферы 1 движется поступательно в окружающей жидкости со скоростью Ux, переменной по направлению^ но постоянной по величине. Аналогично, центр сферы 2 движется в жидкости со скоростью U2. Вследствие этих движений на сферы действуют силы

Fx = — 6ли,дхих, Р 1 (5.6.9) F2 = — 6лр22и2

соответственно, приложенные к их центрам. Однако

Ux = о X гС1,

(5.6.10) U2 = о X гС2.

Тогда суммарная сила, действующая на гантель, равна

F= — блроХ^Гс! + а2тС2)-

(5.6.11)

Так как положение точки С определяется из (5.6.5), то член в скобках равен нулю. Значит, F = 0, как и должно быть в соответствии с общей теоремой.

Как уже отмечалось ранее в (5.4.18), зависимость ротационного тензора от начала координат для тела, имеющего гидро

динамический центр напряжений, определяется при помощи уравнения

Qq = 0^? — ^ос X К X Tqc*(5.6.12)

В частном случае тела, изотропного по отношению к поступательному движению, т. е. К = Ш, последний член равен

— Гос X Кхгос=[1(гос)2-ГосГос]^,(5.6.13)

где (гос)2 = гос-Гос.

В качестве простого примера, имеющего физический смысл, используя уравнение (5.6.12), рассмотрим задачу о вращении сферы относительно оси, не проходящей через ее центр (рис. 5.6.3). Предполагается, что сфера соединена с неподвижной точкой О при помощи тонкого жесткого стержня пренебрежимо малого

сопротивления. Точка О лежит на пересечении оси вращения и перпендикуляра, опущенного из С на эту ось. Так как сфера изотропна как по отношению к поступательному движению, так и по отношению к вращению относительно ее центра, то при помощи (5.2.22) и (5.3.13) находим, что

Qo = I [8ла3 + бла (гос2)] — госгос6ла. |(5.6.14)

Следовательно, из (5.4.2) при Uo = 0 и гос-® = 0 момент относительно О равен

То = — 8лр,а2о — блра (гос)2^-(5.6.15)

Первый член есть момент, вызванный вращением сферы относительно ее собственной оси. Второй член вызван поступательным дви

Рис. 5.6.3. Вращение вокруг оси, не проходящей через ее центр.Рис. 5.6.3. Вращение вокруг оси, не проходящей через ее центр.жением центра сферы в жидкости со скоростью Uc = о X гос относительно жидкости на бесконечности.

Рис. 5.6.3. Вращение вокруг оси, не проходящей через ее центр.

Рис. 5.6.3. Вращение вокруг оси, не проходящей через ее центр.

Следует отметить, что необходимым условием применимости этого соотношения является требование, чтобы обе безразмерные комбинации а2 | (о | р/р, и Гос а | о | р/р, были малы, причем последняя комбинация описывает поступательное движение центра сферы.

В литературе имеется по крайней мере одно детальное решение, доказывающее справедливость (5.6.12). Роско [45] теоретически

изучал медленное движение эллиптического диска: (I) вращающегося относительно своей малой оси, (II) вращающегося относительно касательной к контуру диска в одном из концов малой оси, (III) движущегося в направлении, нормальном к плоскости диска. Центр гидродинамических напряжений, очевидно, расположен в центре диска. Выбирая в качестве О противоположный конец малой оси и соответственным образом учитывая в (5.6.12) пару, ассоциируемую с движением I, и силу, возникающую в движении III, получаем из (5.4.2) результирующий момент (при Uo = 0), который тождественно совпадает с моментом, вычисленным Роско для движения II.

5Л* Установившаяся скорость оседания частицы произвольной формы

Далее ограничимся рассмотрением установившегося движения частицы в поле силы тяжести, при котором ни ее линейная, ни угловая скорости не изменяются со временем. Такое движение характеризуется существованием некоторой точки Q, движущейся поступательно в жидкости с постоянной скоростью Uq; через эту точку проходит ось, относительно которой частица вращается с постоянной угловой скоростью о. В таких случаях результирующие внешние силы и моменты относительно Q должны равняться нулю.

Внешними силами, действующими на тело при движении в гравитационном поле, будут:

квазистатическая гидродинамическая сила

F = - p(K-UQ + С$.©);(5.7.1)

выталкивающая сила

F(Birau,K>=-m/g;(5.7.2)

сила тяжести

F(rpaB)_^^g,(5 7 3)

где Ш) и тр — массы вытесненной жидкости и частицы соответственно, g — вектор ускорения свободного падения, имеющий величину местного ускорения свободного падения g и направленный вертикально вниз.

В равновесии имеем

р [ р(выталк) [ р(грав) ___ q

(5.7.4)

или

И (K-Uq + С^-ю) = (тпр — 7n/)g.

(5.7.5)

Аналогично, внешние моменты относительно Q равны:

квазистатический гидродинамический момент

Tq = - р (Cq-Uq + Qq-©);(5.7.6)

момент выталкивающей силы

T<”>=_rQBX(m/g);(5.7.7)

момент силы тяжести

.T^aB) = rQMx(7npg),.(5.7.8)

где В — точка масс. '

Тогда при

приложения выталкивающей силы,

равновесии имеем

tq+т^выталк> + т£рав)=0,

а М — центр

(5.7.9)

или

(О? • Uq + й« • о) = (тргем — mzrQB) х g.(5.7.10)

Не все тела способны находиться в состоянии стационарного установившегося движения этого типа. (Асимметричные тела могут находиться в спиралевидных или колебательных движениях.) Вопросы устойчивости таких движений требуют введения в уравнения нестационарных членов. Здесь будут рассматриваться только такие конечные состояния, которые динамически возможны в смысле уравнений (5.7.5) и (5.7.10). Полагаем, что во всех случаях вращательное число Рейнольдса

jVg>=-^lP,(5.7.11)

так же как и число Рейнольдса поступательного движения, достаточно мало для того, чтобы можно было применить Квазистацио- нарные уравнения Стокса (см. разд. 2.10).

Сначала будет рассмотрен класс установившихся движений без вращения, характеризующихся равенством Ооо = 0. Нижний индекс оо указывает на установившееся состояние движения, причем все точки частицы движутся с одинаковой скоростью ито. В этом случае удобно отсчитывать все величины от начала, совпадающего с центром реакции. При этом соответствующие уравнения имеют вид

pK*Uoo = ^тр—т^ g,(5.7.12а)

|iCR.Uoo= (mprRM — mfrRB) X g.(5.7.126)

Исключая из этих условий Uoo, имеем

(Ch-K^-Rh Xl).g = 0,(5.7.13)

где К-1 — диадик, обратный к К, а

(5.7.14) "тр — т^v '

Следует заметить, что в (5.7.13) диадики в скобках включают параметры, зависящие только от внешней и внутренней геометрии частицы и распределения в ней масс. Эти параметры постоянны относительно осей тела; вектор g постоянен только относительно пространственных осей.

Уравнение (5.7.13) содержит необходимое и достаточное условие того, чтобы установившееся движение частицы совершалось без вращения. Теперь будут рассмотрены различные ситуации, при которых это требование выполняется.

Случай I. Сн = 0 и Rr = 0.

Сначала исследуем класс тел, для которых установившиеся состояния без вращения возможны при всех ориентациях частицы относительно направления силы тяжести. Это может быть тогда и только тогда, когда величина в скобках в (5.7.13) тождественно обращается в нуль. Если положить этот диадик равным нулю, затем умножить на К, то получим

CR - Rr X К = 0.(5.7.15)

Из симметрии CR следует, что этому соотношению можно удо“ влетворить, если только Rr X К симметричен. Но так как К симметричен, то Rr X К никогда не может быть симметричным, кроме случая Rr = 0. Из уравнения (5.7.15) в свою очередь следует, что Сн = 0. Поэтому только такие тела, для которых как Сн, так и Rr обращаются в нуль, могут достигнуть состояний установившегося движения без вращения при всех ориентациях. Эллипсоид с однородной плотностью представляет собой пример такого тела, так как не только Сл = 0 (см. разд. 5.5, случай 3), но R, М и В совпадают, так что Rr = 0.

Тела вращения, имеющие продольную симметрию и однородные по плотности (см. разд. 5.5, случай 5), будут также удовлетворять этим требованиям.

Сферически изотропные тела (см. разд. 5.5, случай 4) с однородной плотностью не только обладают свойством устойчивого падения при любой ориентации (нейтральная устойчивость по терминологии теории плавучести [4]), но также изотропны по отношению к поступательному движению. Тела такого типа поэтому будут всегда падать вертикально со скоростью

и“=^г^-§-(5-7Л6)

Нейтрально устойчивые анизотропные тела, такие, как эллипсоиды, ведут себя более интересно, чем изотропные. Хотя первые падают устойчиво при любой ориентации, они, вообще говоря, не падают вертикально вниз, если только они случайно не были опущены в жидкость так, что одна из главных осей поступательного движения оказалась параллельной направлению поля тяжести. Во всех других случаях такие тела в процессе оседания дрейфуют также и в боковом направлении. Количественным примером поведения такого типа является движение круглого диска, рассматриваемое далее в этом разделе. ,

Случай II. Сн = 0 и RH =# 0.

Эллипсоиды с неоднородной плотностью и однородные или неоднородные тела вращения, не имеющие продольной симметрии, представляют собой примеры тел, для которых Сн = 0, но RH #=

=# 0, так как гнм У= 0. Тела этого класса могут достигнуть конечных условий без вращения только при определенных ориентациях. Из (5.7.13) следует, что эти ориентации должны удовлетворять требованию

Rr X g = 0. (5.7.17)

Следовательно, такие тела могут падать без вращения только в случаях, если вектор Кд параллелен g.

Условие параллельности RH и g приводит к двум возможным ориентациям тела: в одной из них RH направлен вертикально вниз, а в другой — вертикально вверх. Из двух возможностей только последняя соответствует устойчивому равновесию. Первое состояние неустойчиво в том смысле, что малое отклонение от соответствующей ориентации вызывает появление момента, стремящегося увеличить это отклонение. Наоборот, последнее положение устойчиво, так как направление момента, возникающего при малом отклонении от первоначальной ориентации, таково, что этот момент стремится вернуть тело в прежнее положение. Доказательство этих утверждений близко следует рассуждениям, используемым в вопросах статической устойчивости погруженных в жидкость тел по отношению к опрокидыванию [4]. На самом деле, условие того, что вектор RH направлен вертикально вверх, полностью аналогично требованию статической устойчивости, заключающемуся в том, что центр тяжести должен лежать выше центра масс.

Конечной ориентацией для падающего некосого тела является поэтому такая ориентация, при которой должны выполняться два условия: ,

вектор RH параллелен вектору g (5.7.18) ” RH-g>0. (5.7.19)

Интересно заметить из (5.7.14), что конечная ориентация падающей частицы зависит, вообще говоря, не только от свойств самой частицы. Скорее эти ориентации будут в общем случае разными в жидкостях с различными плотностями благодаря зависимости RH от т^. Если, однако, тело однородно по плотности, так что тмв = 0, то эта особенность в этом случае отсутствует, так как rRM = тнв.

В качестве простого примера рассмотрим падение асимметричной гантели, изложенное в разд. 5.6 (см. рис. 5.6.1). Предположим, что из двух неравных сфер каждая однородна, но их плотности не обязательно равны. После длительных выкладок уравнение (5.7.14) принимает вид

RH = eh ^ л ^^- I (Рг - Р) а2, — (Pi — р) а? ]. (5.7.20)

Условие (5.7.18) требует, чтобы тело падало так, что единичный вектор е в направлении от большей сферы к меньшей был параллелен g, т. е. гантель падала параллельно своей линии центров, что является, очевидно, правильным выводом. Из условия устойчивости (5.7.19) следует необходимость выполнения следующего соотношения:

[(р2 — р) аХ — (pi — р) а^] (e-g) > 0. (5.7.21)

Так, если член в квадратных скобках положителен (например, при р2 ^ Pi ^ р), то гантель будет падать таким образом, что (e-g)<<0. Это значит, что в состоянии установившегося движения большая сфера будет расположена под меньшей. Обратное также верно.

При подходящем подборе плотностей и размеров всегда можно создать такую систему, что большая, более тяжелая, сфера будет расположена при падении над меньшей, более легкой, сферой.

Если выражение в квадратных скобках обращается в нуль, т. е. если Кд = 0, как в случае I, то гантель может находиться в стационарном падении с произвольной ориентацией.

Тела с постоянной плотностью (т. е. однородные тела) наиболее часто встречаются в практике. Для них центры масс и плавучести совпадают, так что твм = 0. Это значительно упрощает рассмотрение вопроса об ориентации тела. В частности, конечное расположение тела теперь определяется просто из условия параллельности Trm и g. Однородное некосое тело будет поэтому ориентировано при падении так, чтобы линия, соединяющая его центр гидродинамических напряжений (т. е. центр реакции) и центр масс, была параллельна направлению силы тяжести. Из двух возможных направлений этой линии то направление, для которого

(тпр — m^ твм -g > 0," (5.7.22)

соответствует случаю устойчивого падения. Если плотность частицы больше плотности жидкости, то центр М будет расположен как раз под 7?, и наоборот.

Случай III. Сд =# 0 и Кд = 0.

Для установившегося падения без вращения необходимо в этом случае, чтобы '

Cn-K^.g^O.

Так как ни Сд, ни К не равны нулю, то это соотношение будет удовлетворено, если и только если Сд -К-1 — неполный диадик

[22]). Так как К, а следовательно, и К”1 — полные диадикиг то для удовлетворения этого соотношения необходимо, чтобы CR был неполным диадиком ).

Примером такого тела является винтовой пропеллер, изображенный на рис. 5.4.1. Если диски однородные и имеют равнук> плотность, то Rr = 0. Кроме того, из (5.4.43) и (5.4.33) следует^ что

Сн = -у- ch (i^ — i2i2) sin0 cos 6(5.7.23)

и

K-’ifW&r+^+T1)-<5-7-24>

Таким образом, величина CH -К-1 -g будет равна нулю, если пропеллер будет ориентирован так, чтобы ось ж3 была параллельна полю тяжести. В этом случае установившееся движение без вращения будет происходить со скоростью

и- = 8^Г^'<57-25>

Случай IV. Сн =# 0 и RH ^ 0.

Установившиеся движения без вращения возможны тогда и только тогда, когда

det (Сд-К-1 — RH X I) = 0.

Этот критерий приложим, конечно, ко всем случаям.

Частный пример, приводящий к движению без вращения в данном случае, осуществляется при одновременном выполнения двух условий:•

Сн .к1 -g = 0 и Rr X g = 0.(5.7.26)

Так как последнее условие требует, чтобы вектор Кн был параллелен g, то первое условие молено записать в виде

Сд К-1 Кд = 0.(5.7.27)

Так как Кд не равен нулю и К-1 — непременно полный диадйк, то из этого условия следует, кроме всего прочего, что Сд — неполный диадик.

Импеллер, изображенный на рис. 5.4.4, представляет пример тела этого класса. Если диски однородны и имеют одинаковую плотность, то из (5.4.45) следует, что

■rHM-rRB-11^+^520-.а соотношение (5.7.14) принимает вид Р . К sin 0 cos 0 R 11 4 +sin2 0 ’■rHM-rRB-11^+^520-.а соотношение (5.7.14) принимает вид Р . К sin 0 cos 0 R 11 4 +sin2 0 ’(5.7.28)(5.7.28). . h sin 6 cos 9

■rHM-rRB-11^+^520-.

а соотношение (5.7.14) принимает вид Р . К sin 0 cos 0 R 11 4 +sin2 0 ’

■rHM-rRB-11^+^520-.

а соотношение (5.7.14) принимает вид Р . К sin 0 cos 0 R 11 4 +sin2 0 ’

(5.7.28)

(5.7.28)

Кроме того, CR определяется уравнением (5.4.46), тогда как К-1 (простое совпадение) имеет то же значение, что и в (5.7.24). Поэтому удовлетворяется уравнение (5.7.27). Отсюда можно •сделать вывод, что динамически возможное установившееся движение импеллера без вращения имеет место в случае, если он падает так, что ось хг параллельна полю силы тяжести. Окончательная скорость падения при этих предположениях равна

(5.7.29)(5.7.29)П — 3(тпр —ту)00 g 32 (2 +cos2 9) ре 1

(5.7.29)

(5.7.29)

Ооо==0.

Только используя соответствующий критерий устойчивости, можно определить, является ли действительное установившееся движение таким, что положительная или отрицательная ось хх направлена вертикально вниз, причем, конечно, предполагается, что по крайней мере одна из этих двух конфигураций устойчива.

Рассмотрим далее некоторые простые примеры установившегося движения, для которых (Ооо ^ 0. Вместо того чтобы попытаться развить общую теорию таких движений, рассмотрим некоторые частные случаи, которые динамически возможны в смысле уравнений (5.7.5) и (5.7.10).

Например, в случае винтового пропеллера (рис. 5.4.1) возможный тип установившегося вращательного движения имеет место в случае, если ось хх параллельна полю силы тяжести; причем это движение имеет вид

/тт \(тпр — тпу) (2 +sin2 9)

( VМ)оо ~ g ,

( X • А А(5.7.30)

—my) sin 9 cos 9х ’

(Осо = " g" •

При —л/2 < 0 < О пропеллер является правым по отношению к оси хх в том смысле, что вектор угловой скорости направлен в ту же сторону, в какую движется частица. Наоборот, при л/2 > 0 > О пропеллер является левым по отношению к этой оси.

Случай, когда ось ж2 винтового пропеллера (рис. 5.4.1) параллельна силе тяжести, представляет другой пример установившегося стационарного вращательного движения; подробное описание этого движения оставляем заинтересованному читателю.

Интересно отметить, что импеллер, изображенный на рис. 5.4.4 (предполагается, что он однороден), не может достичь состояния установившегося вращательного движения с осью х^ параллельной g. При векторе Rr, не параллельном g, как результирующая выталкивающая сила, так и гравитационный момент относительно точки R стремятся повернуть тело относительно оси х3, при этом в конце концов достигается установившееся движение без вращения с осью хг, парараллельной вектору g.

Из большого класса тел, у которых отсутствует центр гидродинамических напряжений, т. е. таких, что Сд =# 0, наиболее замечательны тела, обладающие геликоидальной изотропией. Их установившееся движение не зависит от ориентации, даже если они неоднородны. Это установившееся движение состоит из вертикального поступательного движения со скоростью центра тяжести

(Uh)oo = g ^(^^^2) (5.7.31а) и вращения относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести, с угловой скоростью

= — g ^KQ-Ct) 1 (5.7.316) Это движение таково, что траектория каждой точки тела, за исключением тех, которые лежат на оси вращения, представляет собой спираль с шагом | С |/Q.

Как видно из (5.4.25), знаменатели в обоих последних выражениях положительны. Более того, как так Q — положительна, то, следовательно, зеркально симметричные изотропные геликоиды, отличающиеся только алгебраическим знаком С, падают с одинаковой скоростью, но вращаются в разные стороны. Для С <; 0 тело является правым, в то время как при С >0 оно левое.

Понятие о двух частицах, отличающихся только направлением закрутки, применимо не только к изотропным телам. Так, винтовой пропеллер, изображенный на рис. 5.4.1, при двух различных выборах 0 = +аи6 = —а будет приводить к зеркально отраженным телам, идентичным по всем свойствам, за исключением направления закрутки. Другим примером являются два нарезных винта, отличающихся только направлением нарезки.

ТРАЕКТОРИЯ УСТАНОВИВШЕГОСЯ ДВИЖЕНИЯ НЕКОСОЙЧАСТИЦЫ

Рассмотрим некосую частицу (CR =0) в неограниченной жидкости в состоянии своего установившегося движения. Конечную скорость этой частицы можно определить из (5.7.12а), если как трансляционный тензор, так и равновесная ориентация ее главных трансляционных осей относительно поля силы тяжести известны; тогда

U^^^-K^-g. (5.7.32)

Пусть х\ у', z' — система декартовых осей, связанных с части

цей и расположенных параллельно главным трансляционнымцей и расположенных параллельно главным трансляционным

цей и расположенных параллельно главным трансляционным

цей и расположенных параллельно главным трансляционным

осям последней. Кроме того, путь х, у, z — вторая система, фиксированная в пространстве и выбранная так, что ось z направлена вертикально вниз; при этом g = kg. Трансляционный диадик, приведенный к своим главным осям, определен в (5.2.21). После простых вычислений находим обратный диадик:

К-1 = i'i'Kf + ГГО +

Рис. 5.7.1. Косое падение круглого + к к ^з1, (5.7.33) диска.

где i , j , к' — единичные векторы, параллельные главным осям. Отметим, что в (5.7.32) тр — тму = УАр, где V —- объем частицы, а Ар = рр — р — алгебраическая разность плотностей частицы и жидкости. Если

положить теперь

Uoo - i (U^oo + j (U^oo + k (Uz)oo, (5.7.34) то, согласно (5.7.32)» компоненты скорости равны (их)оо = (^iJsi^i1 + ^12^32^21Н~ ^з^зз^з1) S^Ap/p, (^ у)оо = (Z^ZsA14" /22№ + /2з№) ?^Ар/р, (5-7.35) Фг^ = (ZW + ад + /да W, где I — соответствующие направляющие косинусы: Z31 = (k-Г) = cos (z, я'), Z13 = (i-k') = cos (x, z') и т. д. (5.7.36) В качестве иллюстрации рассмотрим тонкий круглый диск радиуса с и толщины Ь (с^> Ь), падающий наклонно (рис. 5.7.1).

Диск, предполагаемый однородным, нейтрально устойчив (т. е. Кд = 0) и может падать устойчиво при любой ориентации. Главные трансляционные оси, очевидно, расположены в плоскости диска и нормальны к ней. Нормаль к плоскости диска соответствует оси я', а угол между ней и вектором g обозначен через Ф(0 С Ф < л/2). Оси у и у' совпадают, лежат в плоскости диска и направлены вверх нормально плоскости рисунка. В соответствии с этим оси х1 и z можно получить поворотом осей хи я на угол Ф относительно осей у и у’. Следовательно, оси х и я лежат в той же плоскости, что и соответствующие оси, обозначенные штрихом. Во избежание недоразумений примем, что угол между осями хг и я' лежит между 0 и л/2.

Направляющие косинусы, соответствующие этому повороту осей, равны

1ц = Z83 = cos Ф; —Z13 = Z31 = sin Ф, Z22 — 1»(5.7.37)

причем все остальные косинусы равны нулю. Главные трансляционные сопротивления диска равны

К^К^^-с, Я3 = 16с.(5.7.38)

Так как объем диска V = лс2Ь, то компоненты скорости падения в соответствии с (5.7.35) равны

(^)о. = -2^8И12Ф,

(£/„)„ = 0,(5.7.39)

(C7Z)OO=^P (5-СО8 2Ф),

откуда следует, что диск, изображенный на рис. 5.7.1, движется при падении вниз и вправо.

Если через X обозначить угол между направлением «вертикально вниз» и направлением движения диска, то

Этот угол максимален в случае, если диск ориентирован так, что Ф=у arc cos 1 = 39,2°,(5.7.41)

' X = arc tgl^-= 11,5°,(5.7.42)

что соответствует максимуму отношения горизонтальной составляющей скорости к вертикальной:

'HiW^l =Х£ = 0,204.(5.7.43)

.L. (t/z)oo Jmax\/

некоторый интерес рассчитатьнекоторый интерес рассчитатьРис. 5.8.1. Углы Эйлера.Рис. 5.8.1. Углы Эйлера.(5.8.2)(5.8.2)

некоторый интерес рассчитать

некоторый интерес рассчитать

Рис. 5.8.1. Углы Эйлера.

Рис. 5.8.1. Углы Эйлера.

(5.8.2)

(5.8.2)

Среднее сопротивление поступательному движению

Многократные эксперименты, проведенные с некосыми нейтрально устойчивыми анизотропными частицами, в общем случае дают разброс в значениях установившейся скорости падения благодаря зависимости этой скорости от ориентации. Поэтому представляет среднюю величину скорости и*, которая наблюдается при проведении большой серии экспериментов, когда частица падает со случайной ориентацией в жидкости. Этот результат тем более интересен в связи с некоторыми вопросами броуновского движения.

Для определения ориентации тела введем три эйлеровых угла Ф, ф, 6 [23], связывающих систему координат х*, у', z\ жестко связанную с частицей, с системой пространственных координат ж, у, z, фиксированной в жидкости. Последняя система может быть получена из первой при помощи последовательных поворо

тов на углы ф, 0 и ф, как показано на рис. 5.8.1. Эти две системы связаны матрицей преобразований [23]

Э

/созфсозф — cos 0 sin ф sin ф = 1со8ф8тф + cos 0 cos фsinф \ sin 0 sin ф

—sin ф cos ф — cos 0 sin ф cos ф sin 0 sin ф\ /хг

(5.8.1)(5.8.1)—sin ф sin ф + cos 6 cos ф cos ф —sin 0 cos ф ) I у’ sin 0 cos фcos 0 / \zf

(5.8.1)

(5.8.1)

Но если 1^ (г, ; = 1, 2, 3) — направляющие косинусы, определяемые соотношениями (5.7.36), то эти две координатные системы также связаны матричной зависимостью

Направляющие косинусы, даваемые соотношениями (5.7.35), могут поэтому быть выражены через три эйлеровых угла путем приравнивания соответствующих элементов в (5.8.1) и (5.8.2).

Ориентация тела описывается заданием эйлеровых углов относительно пространственных координат, фиксированных в жидко-

сти. Так как эйлеровы углы не зависят друг от друга, то вероятность Р (ф, ф, 0) й0йфйф того, что ориентация тела такова, что соответствующие углы лежат в пределах между 0 и 0 + й0, ф и ф + йф, ф и ф + йф, равна

Р(ф, ф, 0) Й0 йф йф = ^2 sin 6 Й0 йф йф,(5.8.3)

при этом все ориентации предполагаются равновероятными. Дополнительный множитель 1/8л2 введен для нормировки функции распределения, т. е.

J j j ^(Ф» Ф» 0)й0йфйф = 1.|(5.8.4)

Ф=0 -ф=о 6=0

Среднюю скорость падения можно теперь получить из соотношения

2л 2л Л

Uo= = -^ j j j U”^ t’ е)р(ф* M5» O)ded^dy, (5.8.5) ООО

где скорость и* (ф, ф, 9) получена из (5.7.34), (5.7.35), (5.8.1) и (5.8.2). Непосредственное интегрирование приводит к выражению

и”=к^^"(4г+"^"+"Д") '<5-8'6>

Отсюда видно, что в среднем направление падения параллельногравитационному полю. Следовательно, если написать.

F = — p^Uoo,(5.8.7)

то среднеесопротивление К есть скаляр, определяемыйвыраже

нием

Например, для круглого диска из (5.7.38) находим, что

К = 12с.(5.8.9)

Уравнение (5.8.8) дает подходящее среднее сопротивление,, которое используется в формулах типа Стокса — Эйнштейна [19]^ относящихся к поступательному броуновскому движению коллоидных частиц произвольной формы, при этом такие частицы движутся под действием случайных столкновений с молекулами растворителя.

Сопротивление слабо деформированной сферы

Одна из задач, возникающая при практических приложениях изложенной выше теории, вызвана тем, что многие частицы, встречающиеся в промышленных установках и в природе, имеют неправильную форму, которую часто не удается удовлетворительно выразить в простой координатной системе. В качестве простой модели таких тел х) Бреннер [13] рассмотрел случай слабо деформированной сферы, который мы воспроизводим здесь. В принципе этот метод должен быть применим икс асимметричным телам, однако до сих пор он не применялся к анализу деформированных тел, вращающихся при оседании под действием силы тяжести.

Предположим, что поверхность деформированной сферы можно описать при помощи уравнения

г = а[1 + е/ (0, ф)],(5.9.1)

где г, 0, ф — сферические координаты с началом в центре неде- формированной сферы радиуса г = а; | е | <^ 1 — малый безразмерный параметр, а / (0, ф) — произвольная функция углового положения, имеющая порядок О (1) по отношению к параметру е. «Ось» | cos 6 | = 1 может быть выбрана произвольно. Параметр е является, конечно, искусственным параметром, неотделимым от функции / (0, ф). Он введен просто для того, чтобы указывать на степень приближения получаемых в итоге результатов. В конечных результатах. е и / (0, ф) появляются только в комбинации sf (®> ф), так что не имеет значения, каким образом выбирается е. Любую однозначную функцию переменных 6 и ф можно разложить в ряд по поверхностным сферическим гармоникам /А (0, ф); следовательно, без ограничения общности можно взять поверхность тела в форме

г = а [1 + 8 2/к(в, <р)1.(5.9.2)

■Ь=0

Невыпуклые тела, для которых г не есть однозначная функция переменных 0 и ф, не могут, конечно, быть описаны таким уравнением.

При малых поступательных и (или) вращательных числах Рейнольдса а | U | р/р и а2 | со | р/р соответственно течение жидкости описывается уравнениями Стокса

7^ = —Vp, V‘V = 0.(5.9.3а, б)

При обтекании деформированной частицы соответствующие граничные условия имеют вид

•• v = 0 на Sd, v = U при г = оо. (5.9.4а,б)

^ Независимое, хотя и менее полное исследование этой задачи дано в работе Acrivos A., Taylor Т. D., Chem. Eng. Set., 19 (1964), 445.

Здесь через Sa обозначена поверхность деформированной сферы (см. (5.9.1) или (5.9.2)). В случае вращения частицы вокруг оси, проходящей через центр (г = 0), в покоящейся на бесконечности жидкости необходимо удовлетворить следующим граничным условиям:

v = co X г на Sa, v = 0 при г = оо, (5.9.5а,б) где г — радиус-вектор точки относительно начала координат, расположенного в центре недеформированной сферы, г = | г |. Вследствие линейности уравнений Стокса и граничных условий решение для ситуации, когда поступательное и вращательное движения происходят одновременно, можно получить суперпозицией решений для каждого случая в отдельности.

Используя функцию тока Стокса, Сэмпсон (см. разд. 4.25) получил решение (5.9.3) в первом приближении по е для частного случая осесимметричного обтекания сфероида вращения

г = а[14-е2 ^кРк (cos 6)], (5.9.6) к=0 '

где «д — произвольные параметры порядка О (1) по отношению к е; Рд — полиномы Лежандра &-го порядка и линия 0 = 0 (и ее продолжение 6 = л) является осью сфероида. Хотя Сэмпсон не использовал полученное им выражение для функции тока для расчета силы, действующей на сфероид, однако ее легко получить при помощи формулы Пейна и Пелла [41], связывающей силу, действующую на осесимметричное тело, с асимптотическим разложением функции тока на больших расстояниях от тела, как в (4.14.20). Таким путем сила может быть определена в виде

Р = 6я1ши[14-е (^-Iciij+O (е2)] . (5.9.7)

Интересно отметить, что вклад в силу дают только члены, соответствующие к = 0 и к = 2.

Методы Сэмпсона не допускают непосредственного обобщения на несимметричные течения. Как будет видно ниже, задачу нахождения решения уравнений Стокса, удовлетворяющего условиям на деформированной сфере, для любого порядка по е можно свести к последовательности соответствующих задач, требующих удовлетворения более сложных граничных условий на недеформированной сфере. В этом контексте общее решение уравнений Стокса через сферические гармоники, приведенное в разд. 3.2, идеально подходит для наших целей. Для внешних задач, в которых течение жидкости имеет место в бесконечном пространстве вне сферы г = а, общее решение дается уравнением (3.2.31).

ОБТЕКАНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОЙ СФЕРЫ

В этом пункте будет получено решение уравнений Стокса (5.9.3), удовлетворяющее граничным условиям (5.9.4) на деформированной сфере. Предполагается, что поля скорости и давления можно разложить в ряд по е в виде

v= 2 еЧ^, р= 2 ^Р^-(5.9.8а,б)

1=01=0

Подставляя (5.9.8а, б) в (5.9.3) и приравнивая члены при одинаковых степенях е, получаем, что каждое из полей возмущений (v(i>, ро>) удовлетворяет уравнениям Стокса

^У<*> =—vp(i), V.vf^O. (5.9.9а, б)

Аналогично, подставляя (5.9.8а) в граничное условие на бесконечности (5.9.46) и приравнивая члены при одинаковых степенях е, находим, что

v«»=U при г=оо,(5.9.10)

у(^ = 0 при r=oo (t= 1, 2, 3, ...).(5.9.11)

Оставшееся граничное условие (5.9.4а) можно записать в виде

2 8М> = 0 на Sd.(5.9.12)

1=0

Разлагая теперь в ряд Тейлора поле скорости относительно точки г = а, получаем

5=1

Так как г — а = zaf (9, ф) на Sdl то граничное условие (5.9.12) принимает вид

2 8 [v(” + 2 -jf^aT^, ф)( ^ JJ = O при г = а,

1=0*5=1

или, группируя вместе члены при одинаковых степенях е,

v(0) + 2 e^+S ут0^6’ ?)(" а7^ при Т=а* 1=15=1

Таким образом, граничному условию на деформированной сфере можно удовлетворить вплоть до любого порядка по е, требуя^ чтобы различные поля возмущений удовлетворяли следующим

граничным условиям:

(5.9.13)(5.9.13)v<o> = 0 при г = а

(5.9.13)

(5.9.13)

и для i = 1, 2, 3, . . .

уО)= - 2 7Г a’f (°- т) (“ЧЙг~) °РИ r=a- (5.9.14) 5=1

В явном виде первые несколько членов в разложении имеют вид у(°) = 0 при г—а,(5.9.15)

v(D= — а/(6, ф)при г = а,(5.9.16)

v(2)= —[«/(0. ф)-^- + уа2/2(9, ф)-^^-] при г = а

(5.9.17) и т. д.

Начиная с поля нулевого порядка, каждое поле более высокого порядка можно последовательно получить путем удовлетворения соответствующим граничным условиям на поверхности недефор- мированной сферы. Так как для осуществления этой программы развиты общие методы (разд. 3.2), задача может быть в принципе решена вплоть до любого порядка по е, но на практике, конечно, число алгебраических операций резко возрастает. Мы ограничимся поэтому вычислением только поправки первого порядка к закону Стокса. Более того, здесь не делается попытка обоснования предложенного метода возмущений. Вопросы сходимости также слишком сложны, чтобы быть исследованными здесь.

Главный член разложения (v(0), р^^ удовлетворяющий граничным условиям (5.9.10) и (5.9.15), является, конечно, решением Стокса для обтекания недеформированной сферы. Это решение имеет вид [32]

V<»> = и + Уф^ + ^г WS + у rpl»‘,(5.9.18а)

Р№ = Р^,(5.9.186)

где

р<о>=<=^_(5.9.19а, б)

С другой стороны, это поле скорости можно записать в инвариантной форме

v-" = U. [l-’. (l + i)-|«> (-L-3 ^)] . (5.9.20)

.16*

Граничные условия для следующего возмущения v(1) даются

формулами (5.9.11) и (5.9.16). Так как f (О, ф) = 2/а(®» ф)» то •к=0

вследствие линейности уравнений Стокса и граничных условий можно записать

V<n= з ^\ Ptv = 3 р£\(5.9.21а, б)

k=0к=0

где каждый член v^ (А = 0, 1, 2, . . .) удовлетворяет уравнениям Стокса и граничным условиям

vj^ = 0 при г = оо(5.9.22)

и

^^ е, Ф) = -|и. (l—£)/k(0, ф).(5.9.23)

Отметим, что г/г = ir — единичный вектор, проведенный из начала координат. Он не зависит от расстояния г, но является функцией углового положения (6, ф). Физически значение симметричного диадикового оператора I — (гг/г) определяется при помощи теоремы разложения

гг г / т ГГ \

где главный член есть нормальная (векторная) компонента вектора v на поверхности сферы, а второй — касательная (векторная) компонента.

Общие методы разд. 3.2 можно использовать здесь для нахождения полей (v^, р^), удовлетворяющих указанным выше граничным условиям. После вычисления на основе (5.9.23) величины (г/г) -v^ (а, 0, ф) и двух других величин, необходимых в (3.2.22) — (3.2.24), находим при помощи некоторых элементарных векторных тождеств, что

3 hX^’ = 0,(5.9.24)

П=1

2 Л=| (rU-V/»-2/»U.-L) „(5.9.25)

Рассмотрим далее (5.9.26). Как мы теперь докажем, правая часть этого выражения уже является поверхностной гармоникой порядка к. Для доказательства этого определим

^(0, <p)=|u.vx(r/k).

Чтобы доказать это утверждение, достаточно доказать, что г*Тд — объемная сферическая гармоника степени к. Так как функция 1хТк однородна по г*, остается теперь показать только, что она удовлетворяет уравнению Лапласа. Тогда

V X (г/„)=v х (-^) =тгV X (гг^).

Откуда

rhTh = |u.VX(rrh/h).

Следовательно,

V2 (j^ = | и • v X {V2 (rrh/k)}.

V2 (rr*1/,,) = rV2 (rft/k) + 2 V (rkfk) + rft/hV2r.

Но так как /^ — поверхностная сферическая гармоника порядка к, то, согласно определению, T^fk — объемная сферическая гармоника степени к, которая удовлетворяет уравнению Лапласа ^^kfk) = 0. Кроме того, V2r = 0. Следовательно,

V2(rkTk) = 3U.VXV(rh/ft).

Но так как ротор| градиента любой функции равен нулю, то V2 (гдТд) = 0. Таким образом, утверждение доказано. В соответствии с этим из (5,9.26) следует, что

у(1) к^п —у(1) к^п —(5.9.28)(5.9.28)-|u.V х(г/ь) при n = fc,

у(1) к^п —

у(1) к^п —

(5.9.28)

(5.9.28)

k 0 при п Ф к.

В заключение рассмотрим (5.9.25). При помощи некоторых простых векторных тождеств его можно записать в виде

гдегде(5.9.29)(5.9.30)(5.9.29)(5.9.30)2 мУп^^гйгК^-^^+^+з)^], п=1

где

где

(5.9.29)

(5.9.30)

(5.9.29)

(5.9.30)

Uk_^ <p) = r-(b-i)(U.V)rh/h, П+1(0, <p) = rh«(U.V)r-<'‘+i)/ft.

Покажем теперь, что эти две функции являются поверхностными гармониками соответственно степеней к — 1 и к + 1. В первом

случае достаточно показать, что

Г6-1 ик_х = (U-v) ?4h

есть объемная сферическая гармоника порядка к — 1. Эта функция однородна по г*”1; кроме того,

V2 (^U^) = (U-V)V2 № = 0.

Таким образом утверждение доказано. Аналогично, для доказательства того, что Va+i. является поверхностной гармоникой степени к + 1, достаточно показать, что функция r^^Vh^ является объемной сферической гармоникой порядка —(к + 2). Из всего выше сказанного следует, что (5.9.29) имеет вид

ЛМ r-<»-»(U.V)r4 при п=к—1,-AM-r^tU.V)^^^ при n = fc+l,(5-9-31)0при всех других п.

Например, при к = 2 только Ух и У3 не равны нулю.

Подставляя (5.9.27), (5.9.28) и (5.9.31) в (3.2.33) - (3.2.35), получаем

(^at^r-^-»^vkn№n=k-v,

4«ft+1(U-V)r1-('‘+‘)/ftприп = Л+1,

<0при всех других п;

(5.9.32)

6ф(_1(п+1) = ^6ф(_1(п+1) = ^так^1""^"1^-^^ ПРИ п = к-1, 4(2?+!) (и'^)г'(к+1)^ ПР® " = fc + 1.

6ф(_1(п+1) = ^

6ф(_1(п+1) = ^

при всех других п;

3^+12Л (ЛЧ-1)3^+12Л (ЛЧ-1)00r-^+^U-V X (rfh) при п=к,r-^+^U-V X (rfh) при п=к,при всех других п.при всех других п.(5.9.33)

3^+1

2Л (ЛЧ-1)

3^+1

2Л (ЛЧ-1)

0

0

r-^+^U-V X (rfh) при п=к,

r-^+^U-V X (rfh) при п=к,

при всех других п.

при всех других п.

(5.9.34)

Совместно с (3.2.31) (при v» = 0) эти выражения определяют поля скорости и давления v^, р^. Суммируя последние выражения по к в соответствии с (5.9.21), получаем выражения для v(1), р(1).

Силу, действующую на деформированную сферу, можно теперь получить из уравнения (3.2.42). Запишем ее в виде

F = F<°>+ eF1» + О (е),(5.9.35)

где F(0) = 6лр#1Т — сила Стокса, действующая на недеформиро- ванную сферу, и

Е^= -4л7 (г § кР^) •(5.9.36)

h=0

Однако, как следует из (5.9.32), поскольку n = 1, только члены при к = 0 и к = 2 вносят вклад в эту бесконечную сумму. Следовательно, так как /0 = const, то

2 ^=-4^г’3[А>и-г-4(и-уи^^ h=0

отсюда'1

F= 6лр«и-|-блрае [u/0-~-^ (U-V) V (r2/2)J+0 ^^(5.9.37)

Трансляционный диадик К Стокса для деформированной сферы определяется при помощи соотношения (5.2.7) (где U —- скорость обтекания. в то время как Uo, определяемая уравнением (5.2.7), есть скорость частицы):

F=^KU.(5.9.38)

Сравнивая это выражение с (5.9.37), находим, что

К = 6л« {l + 8 {l/0 —4^^ (^^ J +^ (е3)} . [(5.9.39)

Диадик W (г2/2) является, разумеется, постоянным диадиком.

Кроме приведенной выше силы, на тело действует также гидродинамический момецт относительно начала координат. Этот момент можно получить из (3.2.45). Запишем его в виде

То = То1 + еТЬп + О (е2),(5.9.40)

где То* = 0 — момент, действующий на недеформированную сферу, и

Т^ = -8лц7 (г3 2 к^ .(5.9.41)

ь=о

Из (5.9.34) следует, что в этой бесконечной сумме нужно рассмотреть только член с к = 1. Поэтому

что приводит окончательно к следующему результату:

То = - бл^и X V Ш + О (е2),(5.9.42)

где V (г/х) — постоянный вектор.

ВРАЩЕНИЕ ДЕФОРМИРОВАННОЙ СФЕРЫ

Граничные условия, соответствующие вращению деформированной сферы, даются уравнением (5.9.5). Снова предполагается допустимым разложение по степеням 8 аналогично (5.9.8). Та же самая общая процедура, как и ранее, применяется для получения выражения для силы, действующей на вращающееся тело, и момента (относительно начала), за исключением того, что в данном случае F(0)= О и То* = — 8л[ш3со [32]. Тогда имеем [13]

F = - блц^ею X V (гД) + О (е2),(5.9.43)

То = — 8лца3о — 24лца38 [ю/0 — -~- (о • V) V (г2/2) ] + О (е2).

(5.9.44) Если определить ротационный диадик относительно начала в соответствии с (5.3.4)

То = — p,Qoe6>> то (5.9,44) можно выразить в другом виде:

Оо = 8ла3 {l + 3e[l/0 —^-VV№)]+(>(е=)} .(5.9.45)

ПРИМЕР. ОБТЕКАНИЕ СФЕРОИДА

Для осесимметричного обтекания уравнение (5.9.37) сводится к результату Сэмпсона (5.9.7). Чтобы продемонстрировать значение этого результата, рассмотрим задачу обтекания сфероида

(5.9.46)(5.9.46)я2 + у2 , z2 ,а2 "Г а2 (l^e)2 е

(5.9.46)

(5.9.46)

При е > 0 сфероид является сплюснутым; при 8 < 0 — вытянутым. До членов порядка О (е) уравнение (5.9.46) можно записать в виде [36]

г=а[1-в {lp0(cose) + | ^2 (cos0)}]+<9(82),(5.9.47)

где cos 0 = z/r и Ро (cos 0) = 1, Р2 (cos ®) = (1/2) (3 cos2 0 — 1). Сравнение с (5.9.2) дает

/о=-4»(5-9.48)

/2=-^P2(cos0).(5.9.49)

Последнее соотношение дает г2/2 = (1/3) (ж2 + у2 — 2z2) = = г -(1/3 — кк) -г, где к — единичный вектор в направлении z. Тогда w № = 2(4I—кк) .(5.9.50).

Подставляя (5.9.48) и (5.9.50) в (5.9.39), получаем'

К = 6ла {l(l --^Н—уекк+СЦе2)} .(5.9.51)-

Из (5.9.38) следует, что сила, действующая на сфероид при обтекании его со скоростью U, равна

F = 6npa[u (l-18)+48(U.k)k]+(?(e2). (5.9.52> При обтекании, параллельном оси сфероида, имеем U = kU и (U -к) к = Uk = U, следовательно (см. также (4.25.23)),

Р=6лца[1 -у + о (е2)]и.(5.9.53),

С точностью до указанного порядка последнее соотношение совпадает с точными решениями Пейна и Пелла [41] для осесимметричного обтекания сплюснутого и вытянутого сфероидов. Сравнимый результат для обтекания в направлении, перпендикулярном оси сфероида (U-k = 0), имеет вид

Р=6л|1а[1-4е + <9(е2)]и.(5.9.54).

При любых других углах атаки, сила, действующая на сфероид, более не параллельна вектору скорости набегающего потока.

Хотя предполагалось, что выражения (5.9.53) и (5.9.54) справедливы только при малых значениях е, они на самом деле неожиданно точны даже при больших отклонениях от сферической формы. Например, эксцентриситет е для сплюснутого сфероида равен е = [1—(Ь/а)2]1/2, где Ъ и а — полярный и экваториальный: радиусы соответственно. Сравнение с (5.9.46) дает

е = 1 - (1 - в^.

Эксцентриситет плоского круглого диска радиуса а равен единице, следовательно, 8 = 1. Для этого случая выражения (5.9.53^ и (5.9.54) имеют соответственно вид

F , J 15,1 (падение нормально плоскости диска), Щ1^| и з (падение в плоскости диска).

Точное решение имеет вид [32]

^г 16(падение нормально плоскости диска),

^| 10-|- (падение в плоскости диска).

Таким образом, максимальные ошибки для любого сплюснутого сфероида оказываются меньше 6%. Эти ошибки быстро уменьшаются с уменьшением эксцентриситета. При е = 0,8 (т. е. Ыа = = 0,6) расхождение меньше 0,5%.

Ротационный диадик для сфероида (5.9.46) имеет вид

Q0 = Sna8{l(l-|e)+-|-8kk + O(e2)} ,(5.9.55)

так что момент, действующий на вращающийся сфероид, в общем виде равен

То= — 8лца3 ^0^1— у е)+у в(ю*к)к^ + 0(82). (5.9.56)

При вращении относительно оси симметрии имеем

То= — 8лра3 £1 — -|-8 + 0 (e2)J о.(5.9.57)

Аналогичный результат получается при вращении относительно экваториального диаметра:

То= — 8лр,д3 £1 — -|-8 + 0 (82)^jо.(5.9.58)

Выражение (5.9.57) согласуется вплоть до величин порядка О {г) с результатами точных решений Джеффри [27] при вращении сплюснутого и вытянутого сфероидов относительно их осей вращения [18].

СРЕДНЕЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОМУ ДВИЖЕНИЮ

Приведенные ранее результаты можно использовать для определения среднего сопротивления при поступательном движении деформированной сферы. В соответствии с (5.8.8) имеем

где Kv К2 и К3 — собственные числа диадика К. Если через >1» 1г» Ь обозначены нормированные собственные векторы диадика К, то

Kj = i; К i, и = 1» 2, 3).(5.9.60)

Следовательно, из (5.9.39) имеем

откуда

или, так как V2 (7^/2) = О, т0

-^=1-6/о + 0(62),

и окончательно

(5.9.61)(5.9.61)К = бла [1 + е/0 + О (е2)].

(5.9.61)

(5.9.61)

Площадь поверхности деформированной сферы и ее объем [36] равны соответственно

5 = 4ла2 (1 +2е/0) +0 (е2),(5.9.62)

7 = ^(1 + Зе/0) + О (е2).(5.9.63)

Таким образом, недеформированная сфера такого же объема, как и данная частица, имеет радиус а, определенный в виде

4л«з 4ла3 о , х— = — (1 + 38/0).

Отсюда имеем -

а = а (1 + е/0), так что

(5.9.64)(5.9.64)К = бла.

(5.9.64)

(5.9.64)

Сферичность, т. е. отношение площади сферы такого же объема, как и частица, к площади поверхности частицы, в первом приближении равна единице. Таким образом, приведенный расчет дает частичное теоретическое обоснование понятия сферичности в том смысле, что он демонстрирует, что для слабых деформаций использование радиуса, соответствующего сфере такого же объема, дает правильный результат для среднего сопротивления (см. разд. 5.10).

ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ДЕФОРМИРОВАННОЙ СФЕРЫ

УЦентр тяжести деформированной сферы расположен в точке V, радиус-вектор которой yov относительно начала О равен

(5.9.65)(5.9.65)rOv = 4" j vdV.• V

(5.9.65)

(5.9.65)

Этот интеграл можно вычислить, записав его в форме

2л л TY=a к^*^^^tav = (4л«з/3) (1 + Зв/о) + О (е2) j j j — г3 dr sin 0 d0 dq>.•ф=0 6=0r=0

Отметим, что г/г не зависит от г. Интегрируя по г, имеем r=a(l+e2/fe)оо

j гЧг=-^-а4(1+4е 2 /ь)+<9(е2), г=0к=0

следовательно,

’’«^^(^М) $7 (^^З К^А-О^ (5.9.66)81Ь=0

где dQ = sin 0 dO dtp — элемент площади поверхности единичной сферы Sx. Вектор г однороден по г и, более того, удовлетворяет уравнению Лапласа. Следовательно, г/г — векторная поверхностная сферическая гармоника порядка 1. Вследствие ортогональности поверхностных сферических гармоник различных порядков при интегрировании по единичной сфере только член, содержащий /х в предыдущем подинтегральном выражении, дает вклад в конечный результат. Уравнение (5.9.66) поэтому сводится к

Юу = 5-1 7 ^ ^ + 0 (е2)*(5-9167>

(81

Согласно теореме Эйлера, г/х = r-V (г/х). Так как V (г/х) — постоянный вектор, то интеграл можно записать в виде

г»у = ^ { $ ^ } ‘V (г/1) + 0 (е2).|(5.9.68)

Si

Однако можно показать, что

4-JrrdQ = 4l,(5.9.69)

Si

откуда следует, что

Tov = eaV (r/x) + О (е2).(5.9.70)

При помощи этого соотношения уравнение (5.9.42) для мо

мента, действующего на поступательно движущееся тело х), и уравнение (5.9.43) для силы, действующей на вращающееся тело, можно записать соответственно в виде

То = 6лраи0 X rov + О (е2), F = — блрао X гоу + О (е2). Так как трансляционный диадик равен К = 6ла1 + О (е2),

г) Переход от формулы для момента, действующего на тело, обтекаемое течением со скоростью U, к выражению для момента, действующего на тело, движущееся со скоростью Uo, можно сделать, заменив в (5.9.42) U на — Uo.

то вследствие этого предыдущие выражения можно записать в виде

То = — И (г0у X К) -Uo + О (е2),

F = ц (rOy X К)-(о + О (е2).

В данном случае выражения (5.4.1) и (5.4.2) сводятся к выражениям

Tq = — цС0 -Uo, F = — рСо

Сравнивая с предыдущими формулами, получаем

Со = Гоу X К + О (е2).

Однако из (5.2.11) видно, что сопряженный диадик в центре тяжести V связан с сопряженным диадиком в центре О недеформиро- ванной сферы при помощи общего выражения

Су = Со — Гоу X К.

Следовательно, в данном случае Су = О(е2). Из этого результата можно сделать следующие заключения:

центр реакции слабо деформированной сферы совпадает с ее центром тяжести по крайней мере с точностью до первого порядка по е;

слабо деформированная сфера представляет собой некосое тело, обладающее центром гидродинамических напряжений, с точностью по крайней мере до порядка О (е).

Для данного тела произвольной формы в общем случае нет очевидного выбора системы осей, от которых должны отсчитываться углы 0 и ф в (5.9.2). Таким образом, становится возможным придать выражению (5.9.39) для трансляционного тензора другой вид, чтобы в него эти углы не входили явно. Аналогичные рассуждения применимы и к ротационному тензору. Бреннер [13] показал, что это можно сделать следующим образом: если S и V —поверхность и объем частицы неправильной формы и если г у — радиус-вектор точки, отмеряемый относительно начала, расположенного в центре тяжести Г, то

^М^"^)5^ ryrvdK + O(62)],(5.9.71)

Оу = 8ла3М-(-^)5^ rrryd7 + 0(^)l. (5.9.72) У

Интересно отметить, что в случае тела однородной плотности рр диадик моментов инерции относительно центра тяжести (ср. Бюргерс [16]) имеет вид

Щу = рр j j j (Iry —ryry)dF,(5.9.73)

причем интеграл в последнем соотношении тесно связан с интегралами в (5.9.71) и (5.9.72).

Так как гг = (l/3)V«(rrr), то при помощи теоремы Гаусса о дивергенции соотношения (5.9.71) и (5.9.72) можно выразить через поверхностные интегралы.

В работах Бреннера [9—11] показано также при помощи теоремы взаимности (см. разд. 3.5), что макроскопические свойства деформированной сферы можно получить непосредственно вплоть до членов первого порядка по е, зная стоксово поле скорости для недеформированного тела, причем для этого не требуется решения уравнений движения. В принципе этот метод является достаточно общим и может быть использован применительно к телам, имеющим форму, отличную от сферической (например, слегка деформированный эллипсоид). Однако подобно другим интегральным методам этот метод не дает столь подробного описания поля течения, которое необходимо для обобщения результатов до более высоких порядков по е (это, вероятно, необходимо для получения результатов при CR ^0) или же для теоретических расчетов коэффициентов тепло- и массопереноса.

. Падение сферически изотропных тел

Как отмечалось в разд. 5.5 (случай 4), любое тело, обладающее сферической изотропией и однородное по плотности, имеет одинаковое сопротивление поступательному движению при любой ориентации. Такое тело будет также изотропно по отношению к паре сил, возникающей при его вращении относительно произвольной оси, проходящей через его центр. Если такое тело в начальный момент имеет некоторую ориентацию в жидкости и может падать без начального вращения (спина), то оно будет падать вертикально без вращения, сохраняя свою первоначальную ориентацию.

Петтиджон и Кристиансен [42] в обширном экспериментальном исследовании влияния формы частицы на скорости свободного падения нескольких изометрических частиц заключили, что сферичность ф является подходящим параметром для описания среднего сопротивления таких частиц. Сферичность для несферических частиц определяется как отношение площади сферы того же объема^ что и частица, к площади самой частицы:

^ = ф-. (5.10.1)

В то же время за ds выбирается диаметр сферы того же самого объема, что и у частицы. При условиях медленного течения №<0,05) закон Стокса может быть применим с точностью

ДО ±2%:ДО ±2%:и_ K^P”^dU U —18ци_ K^P”^dU U —18ц(5.10.2}(5.10.2}гдегдеК = 0.8431^.К = 0.8431^.(5.10.3)(5.10.3)

ДО ±2%:

ДО ±2%:

и_ K^P”^dU U —18ц

и_ K^P”^dU U —18ц

(5.10.2}

(5.10.2}

где

где

К = 0.8431^.

К = 0.8431^.

(5.10.3)

(5.10.3)

В табл. 5.10.1 приведены значения сферичностей частиц, исследованных Петтиджоном и Кристиансеном. Все эти частицы изо- метричны, т. е. все их ребра имеют равную длину. Последние три

Таблиц 5.10.1

Сферичность исследованных частиц

Форма частицы

Сферичность ф

Сфера

1,000

Куб-коктаэдр

0,906

Октаэдр

0,846

Куб

0,806

Тетраэдр

0,670

частицы, кроме того, являются правильными многогранниками, у которых все грани равны между собой. Кроме этих трех форм, возможны только два правильных многогранника, а именно додекаэдр (с двенадцатью правильными пятиугольными гранями) и икосаэдр (с двадцатью равновеликими треугольными гранями)» Как отмечалось ранее, кроме изометрических, возможны и другие изотропные тела. Хотя эти тела и не исследовались экспериментально, нет причин полагать, что их поведение будет значительно

отличаться ототличаться отповедения изометрических тел.

отличаться от

отличаться от

» Падение ортотропных тел

Этот класс включает тела, которые имеют три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии: эллипсоиды, прямые эллиптические цилиндры и прямоугольные параллелепипеды. Точное решение известно только для поступательного движения эллипсоида, и этот случай будет поэтому рассмотрен первым.

ЭЛЛИПСОИДЫ

Задачу ’установившегося поступательного движения эллипсоида в вязкой жидкости впервые была решена Обербеком [39]. Здесь будут рассмотрены общие идеи метода следуя книге Л амба [32].

Уравнение поверхности эллипсоида имеет вид

(5.11.1)(5.11.1)7*2 н2 %2,

(5.11.1)

(5.11.1)

fl2 Т ^2 Т с2 ” Х®

где а, b и с — полуоси в направлении осей ж, у и z соответственно. В качестве первого шага необходимо найти решение уравнения Лапласа, которое сводится к постоянной на поверхности эллипсоида. Гравитационный потенциал для твердого однородного эллипсоида единичной плотности выражается при помощи формулы Дирихле [30]

Q = uabc (+(5.11.2)

J \ а2 + Х 1 о2 + Х ' с24-Х/ Д 41

X

где

A = y^4W+WW(5.11.3)

Нижним пределом интегрирования будет положительный корень кубического уравнения

++(5.11.4)

Это выражение дает

-^- = 2лоя, -^-=2лРу,— 2луз, (5.11.5)

Эхдуdz • ’ х '

где

ОООО

“ — а6с J (а2+Х) Д ’Р —аЬс J (&2+%) д f

х„оХ(5.11.6)

Второе решение уравнения Лапласа, также полученное Ламбом, соответствует потенциалу скорости для поступательного движения эллипсоида в невязкой жидкости. Следовательно, решение уравнения V2x = 0 имеет вид

X=a6cj^-.(5.11.7)

X

Без ограничения общности здесь будет рассматриваться только частный случай, в котором скорость жидкости U направлена по оси х. Поскольку сила сопротивления направлена вдоль главной оси, мы можем путем суперпозиции исследовать общий с л у-

чай, когда эллипсоид имеет любую ориентацию относительно потока. Для частного случая, следуя Обербеку [39], полагаем

и = А^ + В (®-^-X\+U,

дх2 X дх )

v = A^-^Bx^,(5.11.8)

дх дуду ’х '

А d2Q , D дчw^A-^—r-A-Bx-^.дх дхдх

Эти выражения удовлетворяют уравнению неразрывности, так как V2Q = 0 и V2x = 0 и, кроме того, и = U, г? = 0иш = 0на бесконечности. Более того,

^и = 2В^, ^=2B^L, W=2B^, (5.11.9)

так что уравнения Стокса будут удовлетворены, если положить р — 2БрС-~--|- const.(5.11.10)

Остается определить величины Л и В из условий и = 0, v = 0, w = 0 на поверхности эллипсоида. Условия v = 0, w = 0 требуют

Г2лл4г- + 54г1=0 или 2л-4- + В = О. (5.11.11)

При помощи этого соотношения из условия и = 0 имеем

2лЛа0 — ВЪ + U = 0,(5.11.12)

где индекс обозначает, что нижний предел интегралов в (5.11.6) и (5.11.7) должен быть равен нулю. Поэтому

пА=-1-Ва2, В = —(5.11.13)

2Хо+«оа2v '

На больших расстояниях г от начала координат имеем

4 _ abc v о abc

3 г ’г ’

откуда, сравнивая с законом Стокса для поля скорости при обтекании сферы потоком жидкости, получаем, что распределение имеет такой же вид, как и для сферы радиуса В, определяемого соотношением

lmUR = 2abcB или Я = 1—^£—.(5.11.14)

43 Хо + аод2х 7

Сопротивление, испытываемое эллипсоидом, поэтому равно

6лр,7?£Л(5.11.15)

Следовательно, мы должны только вычислить интегралы

Х0 = аЪс^,(5.11.16)

О

(5.11.17)

О

Для наших целей наиболее интересными являются эллипсоиды вращения. Так, дископодобные предметы могут быть аппроксимированы сплюснутыми сфероидами, а круглый диск является предельным случаем сфероида. Иглоподобные или волокнистоподобные предметы можно аппроксимировать вытянутыми сфероидами.

Для течения, параллельного оси симметрии, положим b = с и введем отношение длины к диаметру ф = а/с. Если это отношение ф больше единицы, радиус «эквивалентной сферы» равен

R = ^--. (5.11.18)

3 Г 2Ф । Зф2-1 .-/ Ф+^-Ш L ф2—i+ (Ф2—1)3/2 ш ( ф_у^а Л

В случае же достаточно больших относительно единицы ф имеем приблизительно

Д * 3[1п(2ф) —1/2] *(5.11.19)

Отметим, что в этом случае при с -> О независимо от длины объекта его сопротивление стремится к нулю. Значения, соответствующие формуле (5.11.18), которая позволяет проверить (4.30.12) (табл. 4.26.1), даны в табл. 5.11.1, а формула (5.11.19) идентична формуле (4.31.4). Если отношение длины к диаметру ф меньше единицы, то

R = ^-!. (5.11.20)

L 1 —Ф2 + (1 —<р2)3/28 V Ф ) J

В этом случае при ф->0 имеем

Ла=о = >,(5.11.21)

что соответствует движению круглого диска в направлении, нормальном к его плоскости. Значения, определяемые по формуле (5.11.20), которая позволяет проверить (4.26.38), даны в табл. 5.11.1, а формула (5.11.21) идентична формуле (4.27.2).

Течение жидкости, перпендикулярное оси симметрии, не может, конечно, исследоваться методами для осесимметричных течений и поэтому представляет особый интерес как пример применения

Таблица 5ЛЛ

Значения эквивалентных радиусов для эллипсоида вращения\а = Ь, течение, перпендикулярное оси, R/a^

с/а

<1

с/о<1

Дископодобные объекты (сплюснутый

Иглоподобные объекты (вытянутый

сфероид)

сфероид)

с/а

R/а

с/а

В/а

10-6

0,5659

1,01

1,004

10-5

0,5659

1,05

1,020

10-*

0,5659

1,1

1,040

Ю-з

0,5664

1,5

1,194

10-2

0,5707

2

1,379

10-1

0,6133

5

2,371

1,5-10-1

0,6366

10

3,812

2-10-1

0,6596

20

6,365

3-10-1

0,7049

50

13,06

4.10-1

0,7492

102

23,00

5-10-1

0,7927

2.10»

41,08

6-10-1

0,8355

5-102

90,00

7-10-1

0,8775

103

164,6

8-10-1

0,9189

104

1281

9-10-1

0,9597

IO»

10493

9,9-10-1

0,9960

106

88838

[Ь=с, течение параллельное оси, Д/с]

а/с < 1

о/с> 1

Дископодобные объекты (сплюснутый сфероид)

Иглоподобные объекты (вытянутый сфероид)

о/с|

R/c

а/с

R/C

10-6

0,8488,

1,01

1,002

10-5

0,8488

1,05

1,010

10-6

0,8488

1,10

1,020

10-з

0,8488

1,50

1,102

10-2

0,8489

2,0

1,204

10-1

0,8525

5,0

1,785

1,5-10-1

0,8564

10

2,647

2-10-1

0,8615

20

4,172

3-10-1

0,8739

50

8,117

4-10-1

0,8888

102

13,895

5-10-1

0,9053

2-102

24,280

6-10-1

0,9230

5-102

52,022

7-10-1

0,9415

103

93,881

8-10-1

0,9606

104

708,92

9-10-1

0,9801

105

5 695,2

9,9-10-1

0,9980

106

47 590

рассматриваемого метода. В этом случае положим а = Ь и определим ф = с/а. Если отношение длины к диаметру больше единицы, радиус «эквивалентной сферы» равен

8а13 [^г+т&°<ф+^1'8а13 [^г+т&°<ф+^1'(5.11.22)(5.11.22)

8а1

3 [^г+т&°<ф+^1'

8а1

3 [^г+т&°<ф+^1'

(5.11.22)

(5.11.22)

Если ф большое по сравнению с единицей, получаем приблизительно

4аф3 [In (2ф) + 4/2] *4аф3 [In (2ф) + 4/2] *(5.11.23)(5.11.23)

4аф

3 [In (2ф) + 4/2] *

4аф

3 [In (2ф) + 4/2] *

(5.11.23)

(5.11.23)

Для отношения длины к диаметру ф, меньшего единицы, находим

(5.11.24)(5.11.24)(5.11.25)(5.11.25)о За1'

(5.11.24)

(5.11.24)

(5.11.25)

(5.11.25)

~ 3 Г Ф2ф2—3.«Л

—А9oTo-arcsiny 1 — Ф2

L 1 —Ф2 (1 —ф2)3/2V

В предельном случае при ф ->0 имеем

о 16а

Дс=0=="9Г’

что соответствует случаю обтекания диска, движущегося в своей плоскости.

Численные значения для обтекания, перпендикулярного оси симметрии, даны [38] в табл. 5.11.1.

Озеен [40], используя линеаризованные уравнения (2.6.4) для определения влияния инерции на сопротивление однородному поступательному движению эллипсоида в вязкой жидкости, получил результаты, аналогичные таковым для сферы (2.6.5). Так, для движения диска радиуса с перпендикулярно его плоскости в соответствии с (5.11.21) он получил

F=16gcC7(l+-^-),(5.11.26)

где 7Уне = сС7р/|л.

Брич [5] обобщил это приближение, включив в рассмотрение инерционные эффекты [47], при помощи метода Праудмена и Пирсона [43]. Он исследовал осевое движение эллипсоидов вращения, как вытянутого, так и сплюснутого. Для диска, движущегося нормально своей плоскости, он получил

F=16^[l+^+-^-ln^e+O(Me)]. (5.11.27)

Исследование Венкатеса [50] обтекания вязкой жидкостью эллипсоида является единой трактовкой потенциального течения, стоксова течения и пограничного слоя малой толщины как предельных случаев.

Л. Сквайре и У. Сквайре [48] экспериментально изучали предельный случай обтекания круглых очень тонких алюминиевых дисков, движущихся как вдоль, так и перпендикулярно своей плоскости. Согласие с теорией при этом было достаточно хорошим.

Пример метода расчета движения эллипсоида в бесконечной среде уже был приведен для частного случая круглого диска (разд. 5.7). Его трансляционный тензор имеет вид

К = ( (П' ТГ + W -у-+k'k' 16)) с.(5.11.28)

Для иглоподобного эллипсоида длиной I с осью, лежащей вдоль оси ъ , и радиусом с соответствующий трансляционный тензор равен

К = {‘ ‘ [ 1п(2ф) + 1/2 ] +^' [ In (2ф) + 1/2 ] +

+ к'к'[к<^2]}«- (51129>

Здесь <р = Z/(2c) — отношение длины к диаметру иглы.

Рассмотрим здесь в качестве дальнейшей иллюстрации случай наклонного падения иглы, используя терминологию разд. 5.7

Рис. 5.11.1. Косое падение иглоподобного предмета.

(см. рис. 5.11.1). В этом случае главные трансляционные сопротивления иглы аналогично (5.7.38) равны

^Ml-ww]1' ^Чьс^иТ? <5-11.3°)

Если с — радиус иглы, а I — ее длина, то объем V = псЧ, а компоненты скорости падения определяются согласно уравнению

(5.7.35):

(^^(l-lnlJ-^-sn^O, (^)со = 0, (5.11.31)

№)_=-(»-1„Л)^Р*^^(5.11.32)

Эти выражения показывают, что игла движется вниз и влево, как изображено на рис. 5.11.1. Если 1/с очень велико, так что постоянные в предыдущих формулах становятся малыми по сравнению с логарифмическими членами, то эти выражения можно упростить. Найдено, что угол X между вертикалью, направленной зниз, и направлением, в котором движется игла, равен

<5Л1-33)

Этот угол будет максимальным, когда направление иглы с вертикалью составляет угол Ф, равный

(5.11.34)(5.11.34)Ф= I-arc cos (— у) = 54,8°,

(5.11.34)

(5.11.34)

и направление движения будет тогда определяться углом X:

X = arc tg (-0,354) = -19,5°,(5.11.35)

откуда X = 90° — 2Ф. Это сравнимо с X = 11,5° для падающих дисков. Следовательно, можно ожидать, что разбавленная группа иглоподобных предметов будет характеризоваться большей степенью дисперсии, чем группа дископодобных предметов. Заметим, что во всех случаях как иглы, так и плоские объекты при достаточно малых числах Рейнольдса падают так, что их начальная ориентация оказывается устойчивой.

При падении эллипсоидов вращения промежуточной формы соответствующие величины постоянных, используемых в трансляционном тензоре, могут быть легко найдены из табл. 5.11.1.

Бреннер [10, 11] показал, что можно получить обобщенный закон Факсена для расчета сопротивления эллипсоида, взвешенного в произвольном потоке и = и (г), который удовлетворяет уравнениям Стокса. Трансляционный диадик К для эллипсоида с учетом предыдущих результатов выражается в виде

К = 16лаЬс ( —Д^- 4jU- 4^- ) , (5.11.36)

\ Хо+«2«о Хо+&2Ро Xo+*2Yo / ’ v '

где а0, ро, у0 и Хо определяются соотношениями (5.11.6) и (5.11.7). Сила, действующая на неподвижный эллипсоид в невозмущенном течении Стокса со скоростью и на бесконечности, равна

F= рК.[u0+-i-(Db)04-^(ZHu)04-4 (D^)o+ ...], (5.11.37)

где индекс О указывает на значение невозмущенного поля в центре эллипсоида, a D^ — оператор:'

Аналогично, момент То относительно центра неподвижного эллип» соида равен

To=|iQ-[(D Xu^ + ^pCZ?2 □ xu)o +

-^(J> □ x u)o + -^A(D« □ x u)o+ • • •] • (5.11.39) Здесь Q — постоянный диадик:

n_16nabc( ii , jj । kb \,, ,, ш

3 (b20o+c2Yo

a □ — векторный оператор:"

□ =ia2A+j&2 » +kc2 »(5.11.41)

dx * dy *dzx'

где i, j, k — единичные векторы, параллельные главным осям х, у. z эллипсоида.

Когда эллипсоид подвижен, к этим выражениям нужно только добавить формулы для силы и момента для эллипсоида, движущегося в жидкости, покоящейся на бесконечности.

Эти результаты можно проверить при помощи закона Факсена. Для случая сферы имеем

а = Ь = с ^= а. скажем), тогда Вг = a2V2 и □ = a2V. Кроме того, К =1 бла и Q =1 4ла» где I — единичный тензор. Следовательно, в этом случае

F = 6npa puo + ^(V2u)o + -^-1(V4u)o+ • • •] ,То=4лра [a2 (V X u)0 + a4 ^ (v2v X u)0 + ... ].

Однако при течении Стокса V4u = 0, V®u =0 ,..., а V2 (V X u) = = V4 (V X a) = 0 ит. д. Следовательно,

F = блра [ио +"1Г (V2u)oJ ,То = 4лра3 (V X u)0.

Эти выражения эквивалентны (3.2.46) и (3.2.47), соответствующим закону Факсена для сферы.

ДЛИННЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЦИЛИНДРЫ

Как обсуждалось ранее, сопротивление бесконечно длинного цилиндра, движущегося в неограниченной жидкости, не может быть рассмотрено в рамках уравнений Стокса. Для конечных цилиндров точных решений еще не получено, но так как они напоминают по форме эллипсоиды, могут быть использованы приближенные методы. В частности, метод, развитый Бюргерсом [15] и обсуждаемый в разд. 3.4, можно применить для расчета сопротивления длинных цилиндрических тел. Для этой цели мы предполагаем, что тело можно представить как систему сил, расположенных соответствующим образом на оси тела. Можно написать выражения для компонент скорости, являющейся результатом действия этих точечных сил, и далее попытаться определить интенсивность этих сил так, чтобы средняя величина результирующей скорости приближенно равнялась нулю на поверхности, первоначально занимаемой поверхностью тела. Этот метод ранее иллюстрировался при выводе закона Стокса.

Рассмотрим также веретенообразное тело вращения длиной L = 2а, движущееся в направлении своей оси. Ось вращения совпадает с осью х, начало координат берется в центре тела. Пусть на элемент dS, лежащий на оси, действует элемент силы / (g) d£. Тогда компонента и скорости, производимой этой силой в точке на поверхности тела, расположенной в сечении плоскостью х = = const, равна

du =/ (g) d^ Г^nr HVx-^ 1, (5.11.42)

8лр 7 W b L {(a; —^)2 + b2)V2 1 ^_^2_|_62}3/2 J V7

где b — радиус рассматриваемого сечения. Для цилиндра b постоянен; в более общем случае радиус b принимает различные значения в разных сечениях и должен рассматриваться как функция х. Когда аналогичные силы действуют на каждый элемент d^ оси, то суммарная величина и будет определяться при помощи интеграла от выражения (5.11.42) от £ = —а до | = + а, причем предполагается, конечно, что должна быть представлена соответствующая функция g. Приближение, таким образом, заключается в том, что обычное приближение точечной силы в (5.11.42) распространяется на силы, действующие на линии. Добавляя к результату первоначальную скорость U, имеем следующее выражение для результирующей скорости в точке поверхности тела:

"+“ +4г И 4 ((1-й-^' +«,47-w4 ■

(5.11.43)

Это выражение должно обращаться в нуль для каждого значения х. Нет необходимости рассматривать компоненты и и w, так как их средние величины должны обращаться в нуль вследствие сделанного приближения.

Если выражение (5.11.43) приравнять нулю, то мы получим интегральное уравнение относительно неизвестной функции / (£), решение которого нельзя получить в явном виде. Бюргерс применил приближенный метод решения, при котором / (£) ищется в виде простого ряда:

/ (9 = - 8л^[ Ло + Л, (I)2 + Л2 (|)4] . (5 Л1.44) Если (5.11.44) подставить в (5.11.43), то можно провести интегрирование. Если пренебречь членами порядка 62/а2 по сравнению* с единицей и затем результат разделить на 67, то получим

-(2Л0-2Л,-Л!)-(8Л1-2Л!)(|)2-4лг(|)*-1 = 0.

(5.11.45)»

В качестве простого примера эти результаты можно применить к длинному эллипсоиду вращения, движущемуся параллельно своей оси. Для этого случая

4+-S-=l,(5.11.46).

где &0 — экваториальный радиус эллипсоида; тогда

(5.11.47).(5.11.48>[(5.11.49)*(5.11.47).(5.11.48>[(5.11.49)*4 (а2—х2)4а2

(5.11.47).

(5.11.48>

[(5.11.49)*

(5.11.47).

(5.11.48>

[(5.11.49)*

Найдено, что (5.11.45) удовлетворяется, если принять

А° = 21п(4а2/б8)—2 ’ А = 0, Л2=0.

Результирующая сила получается из интеграла +а

^=~j /®^=16л^а(Л0 + Ал1 + 1л2). - а

Подставляя сюда соответствующие величины Ло, Лх и Л2, находим

(5.11.50)(5.11.50)г topUa— 1л (2а/60) —0,5 ’

(5.11.50)

(5.11.50)

что находится в согласии с результатом Обербека (5.11.19).

Для цилиндрического тела с Ъ = const Бюргерс заменил In 4 (а2 — х^)№ приближенным значением In (4 a^/b^ — х^!ай — — (1/2) ж4/а4 и подставил последнее в (5.11.45). Далее, пренебрегая более высокими степенями xla, чем четвертая, приравниваем

дулю коэффициенты при (х/аУ, (х/а)2 и (х/а)4 и, таким образом, получаем три линейных уравнения для определения трех неизвестных постоянных. Таким образом, полученные выражения используются для всех значений отношения Ыа. Следовательно, получаем следующий приближенный результат:

'^о+-у4"у-« 4[1п(2а/6) —0,72] ‘(5.11.51)

Сопротивление цилиндра поэтому равно 4u\x.Ua ~ 1п(2а/Ь) —0,72 *

Таким образом, сопротивление, испытываемое цилиндром, немного больше сопротивления эллипсоида, экваториальный радиус Ьо которого равен радиусу Ъ цилиндра. Результат, данный в (5.11.52), можно приближенно получить из формулы для эллипсоида, полагая экваториальный радиус равным

Ьо « 1,25b.(5.11.53)

Аналогичный подход может быть применен для длинного прямого цилиндра, движущегося перпендикулярно своей оси. Бюргерс дал только самое грубое приближение для этого случая, требуя обращения в нуль результирующей скорости U + и только в центральной области цилиндра. Это привело к результату

(5.11.54) 1п(2а/6)+0,5х 9

Это соотношение эквивалентно формуле ОберббКа (5.11.23) для сопротивления удлиненного эллипсоида вращения, движущегося в направлении, перпендикулярном оси симметрии, где в качестве экваториального радиуса берется Ьо. Вероятно, что более точный

Таблица 5.11.2

Коэффициенты сопротивления для искривленных эллипсоидов вращения

F

X

F У

FZ

Прямой эллипсоид

2лр!7

4л pZ7

4лрС7

In У/Ъо) — 0,50

In (Z/bo)+ 0,50

In (Z/bo)+ 0,50

:Полуок- руж- ность

Зл|лС7

Злр#

4лрС7

In (Z/b0) — 0,68

In (Z/b0) —0,68

ln(Z/bo)+O,56

Круговое кольцо

Злр,£7

Злр,(7

4лр,£7

In (Z/b0) —2,09

In (Z/bo) —2,09

In (Z/b0) + 0,75

расчет дает сопротивление для цилиндра, немного большее, чем приведенная выше величина.

Брурсма [14]] развил метод Бюргерса, пытаясь получить более точное приближение для сопротивления конечного цилиндра, но экспериментальные данные по скорости падения конечных цилиндров недостаточно точны, чтобы установить, получен ли лучший результат. Данные Уайта [51] и Джонса и Кнудсена [26] указывают на важность учета размеров сосудов, в которых проводились эксперименты и влияние их на коэффициенты сопротивления удлиненных цилиндров в стоксовом диапазоне. К сожалению, поправочный множитель, учитывающий влияние стенки, все еще не может быть достаточно хорошо определен для удлиненных цилинд

ров. Следовательно^ точное вы- Рис. 5.11.2. Искривленный сфероид, числение сопротивления в бесконечной среде затруднительно, однако согласие с теоретическими формулами приемлемое.

Чен [49] провел интересное исследование сопротивления, испытываемого искривленной и удлиненной малой частицей, основываясь на методе Бюргерса возмущений скорости. В качестве модели он выбрал формы, изменяющиеся от прямого эллипсоида до таких, которые получены изгибом эллипсоида в дугу круга, включая полуокружность и как предельный случай круглое кольцо. В табл. 5.11.2 даны величины сопротивлений, полученные для течения в направлениях х, у, z (рис. 5.11.2). В статье приведены также результаты тангенциального и радиального течений относительно частиц. Здесь I — длина частицы, &0 — максимальный радиус. Отметим, что формулы для сопротивления прямого эллипсоида позволяют проверить формулы Обербека, обсуждаемые выше. Хотя полуокружность не является ортотропным телом, ее сопротивление течению в плоскости ху не зависит от ориентации.

КОРОТКИЕ КОНЕЧНЫЕ ЦИЛИНДРЫ И ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДЫ

Мы не располагаем теоретическими исследованиями стоксова обтекания твердых объектов, имеющих плоские границы, или коротких цилиндров, но имеется сравнительно большое количество экспериментальных данных по скоростям падения таких частиц. .

Исчерпывающее исследование Хейеса и Коулла [24] включает обзор скоростей падения прямоугольных параллелепипедов и круговых цилиндров, а также сравнение с теоретическими результатами Ганса [21] для падающих сфероидов, которые хороню согласуются с результатами этой и предыдущей глав. На этой основе и используя новые экспериментальные данные, авторы получили эмпирические соотношения для таких объектов, относящиеся к их падению как вдоль, так и поперек оси (рис. 5.11.3).

Для первого случая, когда площадь поперечного сечения не изменяется в диапазоне отношений высоты к диаметру, применимо следующее уравнение:

18Х = 18(АКф)^0,25/^(^.-1), (5.11.55) где К и гр определяются уравнениями (5.10.3) и (5.10.1) соответственно, ds — снова диаметр сферы того же объема, что и данный

h/d

Рис. 5.11.3. Зависимость коэффициента К от отношения высоты к диаметру для цилиндров, прямоугольных параллелепипедов и сфероидов.

1 — падение сфероида ребром; 2 — падение сфероида вдоль оси.

Постоянная величина округленности плоскости сечения: △ цилиндры, + прямые параллелепипеды.

Переменная величина скругленности плоскости сечения: О цилиндры, □ прямоугольные параллелепипеды.

объект. Новая переменная dn равна диаметру круга, площадь которого равна площади проекции частицы на плоскость, перпендикулярную направлению ее падения (это всегда в этих экспериментах главная ось). Отношение dcldn представляет собой меру «округленности» частицы.

Для ориентации, при которой частица падает ребром, причем округленность изменяется при увеличении отношения Md, результаты можно описать следующим выражением:

18^ = 15 (-^l^^) — °’270 .(А_1). (5.11.56)

Хейсс и Коулл в своей статье приводят графики, построенные на основе двух предыдущих уравнений. Джонс и Кнудсен [26] представили некоторые дополнительные данные для коротких цилиндров (см. также [2]). В недавней статье Беккера [3] приводятся экспериментальные данные для свободно ориентированных тел различной формы при больших числах Рейнольдса.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Acrivos A., Amundson N. R., Ind. Eng. Chern., 47 (1955), 1533.

Bart E., M. S. Thesis, New York, N. Y., 1959.

Becker H. A., Can. J. Chern. Eng., 37 (1959), 85.

Binder R. C., Fluid Mechanics, 3rd ed., Englewood Cliffs, N. J., PrenticeHall, Inc., 1955.

Breach D. R., J. Fluid Meeh., 10 (1961), 306.

BrennerH.,Chem.Eng.Set.,18(1963),1.

BrennerH.,Chem.Eng.Set.,18(1963),557.

BrennerH.,Chem.Eng.Set.,19(1964),599.

BrennerH.,Chem.Eng.Set.,19(1964),631.

BrennerH.,Chem.Eng.Sei.,19(1964),703.

Brenner H., Chem. Eng. Sei (в печати, 1965).

Brenner H., in «Recent advances in chemical engineering», vol. 6, T. B. Drew, J. W. Hoopes, Jr., Vermeulen T., eds., New York, Academic Press 1966.

Brenner H., Chem. Eng. Sei., 19 (1964), 519.

Broersma S., J. Chem. Phys., 32 (1960), 1632.

Burgers J. M., in «Second report on viscosity and plasticity», Amsterdam, North Holland Puhi. Co., 1938.

Burgers J. M., Proc. Koningl. Akad. Wetenschap., Amsterdam, 44 (1941), 1045.

Drew T. B., Handbook of vector and polyadic analysis, New York, Reinhold, 1961.

Edwardes D., Quart. J. Math., 26 (1892), 70.

Einstein A., Investigations on the theory of the Brownian movement, New York, Dover, 1956.

Frazer R. A., Duncan W. J., Collar A. R., Elementary matrices, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1938.

Gans R., Sitzber. math-phystk Klasse bayer. Akad. Wtssen, Munich, 41 (1911), 191.

Gibbs J. W., Wilson E. B., Vector analysis, New York, Dover, 1960.

Goldstein H., Classical mechanics, Reading, Mass., Addison-Wesley, 1950.

Heiss J. F., Coull J., Chem. Eng. Prog., 48 (1952), 133.

Hildebrand F. В., Methods of applied mathematics, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1952.

Jones A. M., Knudsen J. G., A. I. Ch. E. Jour.. 7 (1961), 20.

Jeffery G. B., Proc. London Math. Soc.. 14 (1915), 327.

Kanwal R. P., J. Appl. Meeh.. 26 (1959), 485.

Kanwal R. P., J. Fluid Meeh.. 10 (1961), 17.

Kellogg 0. D., Foundations of potential theory, New York, Dover, 1953.

Kelvin Lord, Philos. Mag.. 42 (1871), 362.

Ламб Г., Гидродинамика, Гостехиздат, 1947.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, Гостехиздат, 1952.

Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М., Статистическая физика, Гостехиздат, 1959.

Larmor J., Quart. J. Math.. 20 (1884), 261.

MacRobert T. M., Spherical harmonics, 2nd ed., New York, Dover, 1947, p. 174, 355.

Милн-Томсон Л. M., Теоретическая гидродинамика, «Мир», M., 1964.

Nelson R. W., Physics group, Institute of Paper Chemistry, Appleton, Wis., частное сообщение, 1962.

Oberbeck H. A., Crelles J.. 81 (1876), 79.

Oseen C. W., Hydrodynamik, Leipzig, Akademische Verlagsgesellshaft, 1927; см. также Arkiv. Mat. Astr. Fys.. 24 (1915), 108.

Payne L. E., Pell W. H., J. Fluid Meeh.. 7 (1960), 529.

Pettyjohn E. A., Christiansen E. B., Chern. Eng. Prog.. 44 (1948), 157.

Proudman I., Pearson J. R. A., J. Fluid Meeh.. 2 (1957), 237; русский перевод: Праудмен И., Пирсон Дж., сб. Механика. № 2 (48), 3—28 (1958).

Стретт Дж. В. (Рэлей), Теория звука, т. I, II, 2-е изд., ГТТИ, М.,1955.

Rbscoe R., Philos. Mag.. 40 (1949), 338.

Sachs M., Solid state theory. New York, McGraw-Hill, 1963.

Saffman P. G., J. Fluid Meeh.. 1 (1956), 540.

Squires L., Squires W., Jr., Trans. Amer. Inst. Chern. Engrs.. 33 (1937), 1.

Tchen C., J. Appl. Phys.. 25 (1954), 463.

Venkates H. G., Phys. Fluids. 4 (1961), 33.

White С. M., Proc. Roy. Soc. London. 186 (1946), 472.

ГЛАВА 6. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ДВУХ ИЛИ БОЛЬШЕГО ЧИСЛА ЧАСТИЦ

6.L Введение

В этой главе будет рассмотрено поведение небольшого числа жестких частиц, медленно движущихся в вязкой жидкости под действием внешних сил, в частности силы тяжести. Частицы считаются находящимися достаточно близко друг от друга, так что имеет место их гидродинамическое взаимодействие. Предполагается также, что частицы достаточно удалены от ограничивающих жидкость стенок, так что окружающую их жидкость можно рассматривать как безграничную. Основное внимание сосредоточим преимущественно на ситуациях, когда жидкость на бесконечности покоится. Степень взаимодействия частиц зависит в общем случае от следующих параметров: а) формы и размеров частиц; б) расстояний между ними; в) ориентаций частиц относительно друг друга; г) ориентации каждой частицы относительно направления силы тяжести; д) скоростей поступательного и вращательного движения частиц по отношению к жидкости на бесконечности.

При заданных скоростях поступательного и вращательного* движения частиц первостепенный физический интерес будут представлять такие макроскопические параметры, как гидродинамические силы и моменты, действующие на частицы со стороны жидкости. Как только для определенной совокупности частиц эти параметры становятся известными, можно непосредственно решить обратную задачу определения картины движения частиц по известным значениям гравитационных массовых сил и действующих на них моментов.

Предполагается, что движение жидкости удовлетворяет квази- статическим уравнениям Стокса

V2v=-^Vp,(6.1.1)

V-v = 0,(6.1.2)

где v — скорость жидкости, р — динамическое давление, р — вязкость. В наиболее общем случае жесткие частицы могут совершать поступательное и вращательное движение. Ввиду линейности уравнений движения и граничных условий оба типа движения можно исследовать раздельно, а затем провести суперпозицию результатов. По этой причине ограничимся вначале анализом

случаев, когда частицы движутся в жидкости поступательно, не испытывая вращения. Это простейший из двух возможных типов движения твердого тела.

Рассмотрим твердую частицу произвольной формы совершающую поступательное движение в неограниченной жидкости, покоящейся на бесконечности. Если обозначить частицу символом а, соответствующее граничное условие можно записать в виде

v = Uo на поверхности а (6.1.3) и

v ->0 при г ->оо. (6.1.4)

Если имеются другие частицы (6, сит. д.), то необходимо удовлетворить дополнительным условиям

v = Ub на поверхности &, (6.1.5) v = Uc на поверхности с и т. д. (6.1.6)

Единственное точное решение подобного рода задачи о многих частицах было дано Стимсоном и Джеффри [30] для медленного движения двух сфер параллельно их линии центров (осесимметричное течение). Они использовали систему биполярных координат (см. разд. А.19), которая является единственной системой, где возможно одновременное удовлетворение граничных условий на двух сферах, расположенных одна вне другой. Для большего числа частиц, а также для пары несферических частиц в общем -случае невозможно найти систему координат, обладающую подобным свойством. Попытаемся поэтому найти некоторую регулярную схему последовательных итераций, при помощи которой краевую задачу можно было бы решить в любом приближении, рассматривая каждый раз граничные условия только на одной из частиц.

Такую схему можно построить на основе «метода отражений», впервые примененного Смолуховским [29] к системе из п сфер. Этот метод используется и в данной главе, хотя необходимо отметить, что до сих пор нет строгого доказательства сходимости итерационного процесса к искомому решению. Поэтому в настоящее время приходится /довольствоваться ограниченными эмпирическими свидетельствами в пользу метода. Так, метод дает согласие с точным результатом Стимсона и Джеффри для осесимметричной задачи о двух сферах; в некоторых других случаях имеется согласие с существующими экспериментальными данными.

Рассмотрим систему из п поступательно движущихся частиц. Согласно принятым выше обозначениям, пусть Ид (й = а, Ь, с, . . . . . ., п) — скорость &-й частицы. Особый интерес представляет нахождение сил Рд, которые необходимо приложить к каждой частице для сохранения ею состояния равномерного движения,

и удерживающих моментов ТА, необходимых для того, чтобы частицы не вращались под действием гидродинамических напряжений, возникающих на их поверхностях.а

Чтобы решить краевую задачу, заданную уравнениями (6.1.1) — (6.1.6), поступим следующим образом. Поскольку уравнения движения и граничные условия линейны, допустимо представить поля локальных скоростей и давлений в виде суммы полей, т. е.

V = V(1) + v(2) + v(3) + v(4) + . . .,(6.1.7)

p = p^ + p<2> + p^ + p^ + . . .,(6.1.8)

где каждый член (v(,), pk3^ отдельно удовлетворяет уравнениям движения и исчезает на бесконечности. Дале^ благодаря линейности, можно представить каждое такое поле в виде суммы конечного числа полей (v(^, р^\ также удовлетворяющих дифференциальным уравнениям и исчезающих на бесконечности. Теперь выберем из системы частиц какую-нибудь частицу, например частицу а, и определим поле (v(1), р(1)) при помощи граничного условия

v(1) = Ua на поверхности а.(6.1.9)

«Отражение» этого поля от частицы Ъ определяется посредством граничного условия

v(2) = Ub — v(1) на поверхности Ь. (6.1.10) Вообще отражение поля vW от любой из п—1 оставшихся частиц определяем при помощи условий

vk2) = UА — v(1) на поверхности к (Jc = Ъ, с, . . ., п).

(6.1.11) Таким образом, отражение поля v(1) от всех остальных п — 1 частиц приблизительно дается выражением

v*2>=2v^.’(6.1.12)

k=b.

Теперь можно получить эффект первого порядка, возникающий в результате взаимодействия частицы а с остальными частицами, находя отражение поля v(2) от а, а именно поле v(3), исчезающее на бесконечности и удовлетворяющее граничному условию

v(3) = —v(2) на поверхности а.(6.1.13)

То обстоятельство, что поле v(3) действительно дает поправку первого порядка, очевидно из следующих соображений. Поле v(1) зависит от характерного размера частицы с, так как содержит члены с некоторыми положительными степенями с/r. Далее, так как г = О (Z), где I — характерное расстояние между частицами, то поле с четным номером v(2), определяемое по граничным усло- 4 8—01084

виям на поверхностях Ъ, с, . . ., п, будет зависеть от L Следовательно, в поле v<3) будут входить члены, содержащие отношение сП. Эти члены и дают первое приближение для эффекта взаимодействия, возникающего из-за наличия других п — 1 частиц.

Поле v(3), однако, вычислено пока только вблизи частицы а. Чтобы завершить построение данного приближения для всей области, занятой жидкостью, необходимо выполнить соответствующее вычисление для частицы b и определить значение поля v(3) в окрестности b подобно тому, как (6.1.13) определяет v(3> в окрестности а. Повторив это вычисление для всех п частиц, получим приближение для поля v = v(1) + v(3) вблизи каждой из них.

Чтобы получить приближение следующего порядка для взаимодействия частиц, снова возобновим процесс удовлетворения условий краевой задачи на 6, начатый в (6.1.10):

Vb4) = —v<3) на поверхности Ь. (6.1.14).

Задавая значение поля —v(3), появляющегося за счет наличия частицы а, на поверхностях всех п — 1 частиц, строим поле v<4> таким же образом, как строилось поле v(2) в соответствии е (6.1.12). Поле v(6) в окрестности частицы а определяется, как и ранее, из условия

¥(б) = — ¥(4) на поверхности а. (6.1.15)

Это поле скоростей в окрестности частицы а определено с точностью О ^/Р). Процесс отражений можно продолжить настолько далеко, насколько это необходимо для удовлетворения граничных условий с желаемой точностью. Если не считать работы по составлению простых программ, проведение численных расчетов намного легче, чем представление результатов в общем аналитическом виде. Необходимо, чтобы поле в окрестности каждой частицы могло быть представлено в виде рядов по возрастающим степеням отношения сП. Это представляется возможным, так как взаимодействие двух соприкасающихся сфер может быть в конечном итоге выражено в виде такого ряда, а эмпирические результаты, касающиеся концентрированных систем частиц, могут быть пред- ставлецы несколькими членами рядов такого типа.

Для вполне строгого рассмотрения вопроса необходимо иметь решение уравнений медленного течения для случая одиночной частицы при произвольном распределении скорости, заданном на ее поверхности. Однако если частицы достаточно далеко удалены друг от друга, то хорошее приближение можно получить, используя следующие предположения: а) поле, порождаемое некоторой частицей, будет таким же, как и поле, обусловленное точечной силой, приложенной в центре частицы; б) силу сопротивления, действующую на заданную частицу со стороны отражен-

ного от нее поля, можно найти приближенно, рассматривая это поле как эквивалентное однородному полю скорости, совпадающей по величине и направлению со скоростью, которая действительно реализовывалась бы в месте нахождения центра частицы, если бы последняя отсутствовала.

Прежде чем приступить к анализу некоторых типичных случаев, представляет интерес отметить, предполагая, что все скорости частиц направлены одинаково, что возникающее взаимодействие будет приводить к увеличению скоростей, так как получаемые поля вносят в них только положительные вклады. Так, например, как показал еще Смолуховский, чем больше облако частиц, тем быстрее оно движется. Так как метод отражений основан на предположении, что порожденное частицами поле скоростей обращается в нуль на бесконечности, то он перестает быть применимым при неограниченном увеличении ансамбля частиц. В последующих главах будет рассмотрена модификация метода, пригодная для описания неограниченных ансамблей частиц, а также позволяющая учесть влияние границ.

Как только поле скоростей вычислено с желаемой степенью точности, сила Fo, действующая со стороны жидкости на частицу а. получается путем суммирования вкладов, соответствующих отдельным полям. Поле скорости, которое не имеет особенностей внутри объема, занятого частицей, не может дать вклада ни в результирующую силу, ни в пару сил, которые действуют на эту частицу (действительно, это поле удовлетворяет граничным условиям, в которых постулируется отсутствие частицы). Таким образом, поля, при определении которых граничное условие на поверхности частицы не было использовано, не дают вклада в силу сопротивления для этой частицы, и остаются только вклады от полей, занумерованных нечетными индексами. Отсюда

Fo = Е<п + ЕГ + F^ + ..., (6.1.16) где F^> — действующая на частицу а сила, связанная с /-м отражением.

Наряду с сопротивлением, испытываемым каждой частицей ансамбля, возможны также эффекты, связанные с вращением частиц. Если частицы при движении могут свободно вращаться, то они будут вращаться, причем при установившемся движении действующая на любую из них пара сил будет равна нулю. В таких условиях наличие частиц не будет приводить к появлению пар, действующих на жидкость, так что, если пренебречь дилатационными эффектами, соответствующие частицам взаимные возмущения могут быть по-прежнему представлены в первом приближении как возмущения от точечных сил. Разумеется, точечная сила не может описать вращательное движение жидкости в окрестности своей точки приложения. Однако если

частицы жестко закреплены и не могут вращаться или если они вращаются под действием приложенных к ним внешних пар, то возникнут вращающие моменты.

Общий метод построения полей скорости, намеченный в общих чертах выражениями, приведенными выше, позволяет рассматривать и такие возможности. Момент сил, действующий на частицу в заданном потоке жидкости, вновь выражается в виде суммы членов от полей с нечетными номерами:

То = Т^ + Т<3) + т^ + . . . . (6.1.17) Приближения, пригодные для описания вращательных эффектов, можно получить путем использования точечной пары сил, приложенной в начале координат, связанном с данным полем (т. е. в центре соответствующей частицы), аналогично использованию приближения точечной силы.

В последующих разделах рассмотрены различные задачи в порядке возрастания сложности. Изложение начинается с методов, применяемых к задаче о двух частицах, находящихся на значительном расстоянии друг от друга. Далее рассматриваются более сложные системы, когда частицы расположены ближе одна к другой. В заключение обсуждены некоторые ограничения, налагаемые на форму частиц, а также вопросы, связанные с пренебрежением инерционными членами в уравнениях движения.

Две удаленные сферически изотропные частицы

Рассмотрим две частицы с характерными размерами а и Ъ, движущиеся с мгновенными скоростями Uo и Ub в неограниченной среде, которая на бесконечности покоится. Частицы изотропны по отношению как к поступательному, так и к вращательному движениям. Напомним, что под сферически изотропным телом понимается тело, сопротивление которого при поступательном движении имеет одно и то же значение независимо от ориентации тела по отношению к равномерному потоку жидкости и которое не вращается, будучи свободнЪ взвешенным при любой ориентации в равномерном потоке жидкости. Частицы сферической формы удовлетворяют этим требованиям. Как следует из обсуждения в разд. 5.5, все правильные многогранники, а также тела, которые получаются из них путем симметричного среза или скругления вершин, ребер или граней, являются сферически изотропными. Частица, сопротивление которой одинаково в равномерных потоках, параллельных направлениям трех главных осей тела, также будет изотропна.

. В качестве одной из осей координатной системы удобно выбрать прямую, соединяющую центры двух частиц. Предполагается также, что частицы движутся под действием массовой силы, которая

Исходное поле v(1) соответствует, очевидно, осаждению частиИсходное поле v(1) соответствует, очевидно, осаждению частиРис. 6.2.1. Система координат для случая взаимодействия двух частиц.Рис. 6.2.1. Система координат для случая взаимодействия двух частиц.у(1) =у(1) =блргблргP(1) = ^(F^-V)|P(1) = ^(F^-V)|W7^’^!’(6.2.6)W7^’^!’(6.2.6)(6.2.7)(6.2.7)

Исходное поле v(1) соответствует, очевидно, осаждению части

Исходное поле v(1) соответствует, очевидно, осаждению части

Рис. 6.2.1. Система координат для случая взаимодействия двух частиц.

Рис. 6.2.1. Система координат для случая взаимодействия двух частиц.

у(1) =

у(1) =

блрг

блрг

P(1) = ^(F^-V)|

P(1) = ^(F^-V)|

W7^’^!’(6.2.6)

W7^’^!’(6.2.6)

(6.2.7)

(6.2.7)

не зависит от положения частиц. Движение частиц в этом случае будет плоским, и для его описания достаточно ввести только одну дополнительную координату. За плоскость движения частиц примем плоскость xz, как показано на рис. 6.2.1. Наряду с уравнениями движения (6.1.1) и (6.1.2), необходимо удовлетворить условию (6.1.4) на бесконечности, а также следующим условиям:

v<*> = Uo

на поверхности а,

(6.2.1)

у (2) у(1)

+ Ub на поверхности Ь,

(6.2.2)

у(3) — у(2)

на поверхности а,

(6.2.3)

у(4) — у(3)

на поверхности b и т. д.

(6.2.4)

цы а в безграничной жидкости. Соответствующая сила, действующая со стороны жидкости на частицу, выражается в виде

^ = -^OUO =

= - ^Ка (WaX+kUaz)

(6.2.5) (относительно коэффициента сопротивления Ка см. раздел 5.5, случай 4). Так как предполагается, что частица а находится на сравнительно большом расстоянии от частицы Ъ (по крайней мере на расстоянии в несколько диаметров), то влияние поступательного движения частицы а на частицу b можно приближенно рассчитать, принимая, что поле, создаваемое частицей а, сов

падает с полем, порождаемым точечной силой, рас

положенной в центре части

цы [24]:

где расстояние г измеряется от центра частицы а. В пределах точности, даваемой формулой (6.2.6), поле v(1) не зависит от формы частицы а, а целиком определяется ее силой сопротивления. Выражая (6.2.6) в декартовых координатах, соответствующих рис. 6.2.1, получаем

v<i)=V« (i+rZ.)4_^!»[k+r_L),(6.2.8)

8лг \ г2 / 8лг \ г2 / v ’

Так как координаты центра частицы Ъ суть х = 0, у = 0, z = I, то v(1> в этой точке определяется формулой

Wb = -^(iUax+2klM.(6.2.9)

Отсюда вычисляем силу, действующую на частицу Ь;

= - ц^ь (Ub - [ v< i> ] ь) = - № ( Ubx - -^-) - -к^Кь^-^-у(6.2.10)

Используя ту же самую методику, что и прежде, можно вычислить поле скоростей, порождаемое силой F&2), приложенной в центре частицы Ъ. В этом случае начало координат будет связано с центром частицы Ь. Для значения v(2) в центре частицы а получаем выражение

Соответствующий вклад в величину силы Fa3) = у»Ка [v(2)]a имеет вид

оЛб \оЛ4 /4Л4 \4Л&/'

Аналогично

Таким образом,

Fo = Fo)4-Fa> + Fa5)+ . . . =

= -№{^.-^(^-^)х

Суммируя геометрические прогрессии и приводя подобные члены, находим в результате

(6.2.15)(6.2.15)Fo _. Uax-№Ubx№l), Ugz-kKbUbxW

(6.2.15)

(6.2.15)

\kKa -1 HWW* l-(^b)/(W •

Сила Fb, действующая на частицу 6, получается из (6.2.15) путем простой перемены индексов Ъ и а. Полученные соотношения представляют собой четыре скалярных уравнения, связывающие компоненты силы и скорости. Если обе частицы оседают в одном направлении, удобно сразу же принять эти скаляры положительными. Обычно это действительно так, и, следовательно, сопротивление движению каждой из частиц снижается за счет наличия другой частицы. Если же, например, частицы падают под действием силы тяжести, то Fo и Fb будут известными величинами, зависящими от формы и размеров частиц, а также от плотности материала частиц и окружающей среды. В этом случае имеем четыре уравнения для определения четырех неизвестных компонент скорости.

В качестве иллюстрации рассмотрим случай двух одинаковых сфер радиуса а. Выражение (6.2.15) тогда принимает вид

— F — i Ux 4- к—.(6 2 161

блца 1 + (3/4) (a/Z)1 + (3/2) (a/Z) *

Отметим, что при равенстве сил, действующих на частицы со стороны жидкости, частицы будут двигаться параллельно друг другу и с одной и той же скоростью. Скорость частиц может быть направлена под углом к линии центров, однако расстояние между частицами будет оставаться неизменным.

Если задана скорость U частиц, а угол между направлением скорости и линией центров равен а, то силу воздействия жидкости на частицы можно разложить на продольную F^ и поперечную FD составляющие (по отношению к направлению скорости). Чтобы получить соответствующее представление, заметим, что

Fv = Fz cos а + Fx sin а,(6.2.17)

где

„ 6лра£7 sin а р — ^npaU cos а f 1 - 1 + (3/4) (a/Z) ’1+ (3/2) (a/Z) *

Здесь U — абсолютная величина вектора скорости U. Комбинируя эти выражения, получим

^ = — 6l^aZ7 [ 1+(3/4)(a/I) — { 1 + (3/4) (a/Z) — 1 + (3/2) (a/Z) } С°®2 ”]

(6.2.19) и аналогично

^О = — 6лр.аС7 sin a cos “[тр^з/Щ^Д)1 +(3/4) (a/Z) ] *(6-2.20)

С другой стороны, если известен угол р между линией центров и направлением силы тяжести и требуется определить скорость падения частиц, то последнюю удобно разложить на вертикальную UF и горизонтальную (дрейфовую) UH компоненты. Вычисления, аналогичные только что проделанным, дают для этих компонент следующие значения:

- в^(1+-|-т<1+созгР)) •(6'2'21>

^н= — 6i^alT5in^cosP’<6-2'22>

где F — абсолютная величина силы тяжести F. Таким образом, дрейф возникает всегда, за исключением случаев Р^ 0 или 90°, т. е. когда сферы падают либо одна за другой вдоль линии центров, либо • перпендикулярно ей. Подобные соотношения приведены Смолуховским [29], однако при их применении может возникнуть некоторая путаница, так как он использует проекции на не перпендикулярные между собой направления вдоль линии центров и вдоль направления движения.

Полученные соотношения можно применить для описания относительного движения двух сфер различных размеров, если допустить, что при любом расположении частиц относительно друг друга их движение описывается стационарными уравнениями Стокса [см. также ,(6.2.34) и (6.2.35)]. Например, можно попытаться выяснить, сможет ли большая сфера, падающая вертикально вслед за меньшей, догнать последнюю. Можно использовать уравнение (6.2.15), рассматривая только вертикальную компоненту, отвечающую оси z и единичному вектору к. Применяя это соотношение к частицам b и а и замечая, что Fa(4/3) ла$ и Fb — — (4/3) лЬ3, получаем после некоторых алгебраических выкладок-

и а _ аЗ/ЬЗ + №Нат/В ? пох

Ubl + (3/2)(aW)(«/0 *

(6.2.24)(6.2.24)В случае касания сфер I = а + Ь, откуда Ua _ аЗ/6з + о2/ь2 + з/2 Ub1 + &/а+За2/2&2 ’

(6.2.24)

(6.2.24)

При а = b получаем, конечно, UjUb = 1, как и должно быть» Когда Ъ > а. тогда UJUb ^(За)1(2Ъ). Таким образом, скорость меньшей сферы а будет всегда существенно меньше скорости большей сферы. Этот случай теоретически рассматривался Андерсоном [1], который также использовал точечную силу для представления возмущения, но пришел к выводу, что если большая сфера догоняет меньшую, то существует минимальное расстояние, на котором сближение прекращается, так что сферы не соприкоснутся. Вычисление относительных скоростей сфер, расположенных близ-

ко друг к другу, представляет собой задачу, которая, вообще говоря, должна рассматриваться в нестационарной постановке. Поэтому необходимо соблюдать известную осторожность в выводах, основанных на использовании приближенных методов, не учитывающих влияния нестационарности.

Предложенную схему последовательных приближений можно улучшить, если известно решение уравнений движения для равномерного потока, обтекающего рассматриваемое тело. При помощи этого решения возмущенное поле может быть выражено более точно, чем в приближении точечной силы. Отраженные поля, как и прежде, будут составлять геометрическую прогрессию, и результат по-прежнему можно представить в виде суперпозиции продольной и поперечной (по отношению к линии центров) компонент. Так, в случае сферических частиц можно воспользоваться обычным выражением для стоксова поля [24] (см. разд. 4.17) при движёнии в направлении оси z:

и^и^ЦПа^-аЦ!-^.(6.2.25).

Это же соотношение, в котором z заменено на ж, будет справедливо для движения в направлении оси х. Тогда для двух равных сфер- вместо (6.2.16) получим

F i£xL Wx 6л^ - 1 + (3/4) (a/Z) + (1/4) (a3/Z3) • 1 + (3/2) (a/Z) - (1/2) W e

(6.2.26).

В случае сферических частиц возможно дальнейшее улучшение этого приближения, так как сопротивление сферы можно определить точно через характеристики окружающего ее невозмущенного поля по закону Факсена [см. (3.2.46) и (3.2.47)]. Таким образом, можно точно рассчитать сопротивление сферы b в стоксовом поле, порождаемом сферой а. Как показал Бюргерс [8], для этого нужно только вычислить в центре частицы b скорость ит:

ит = ис + ^ а^и.(6.2.27)

где ис — скорость, вычисленная в точке расположения центра частицы b и отвечающая полю Стокса, выражение для которого приведено в предыдущих формулах. Используя для стоксовой скорости выражение (6.2.25) и следуя (6.2.27), для случая двух равных сфер получим выражение, аналогичное (6.2.16) и (6.2.26):

_ F —2 28У

6лИа “1443/4) (a/Z)+(^^1 + (3/2) (a/Z) - (a3/Z3) *>

По существу это же самое выражение для силы сопротивления получил и Бюргерс. Позднее [9] он пытался улучшить приближе-

ние для поля скоростей путем дополнительного отражения, однако такой шаг мало полезен, если желательно найти лучшее приближение для силы сопротивления, ибо уравнение (6.2.28) уже эквивалентно сумме бесконечного числа отражений. Для того чтобы вычисления, учитывающие дополнительные отражения, принесли ощутимую пользу, необходима иная математическая формулировка задачи. Такие вычисления будут проведены в следующем разделе. При этом численное сравнение различных приближенных методов откладывается до тех пор, пока не будут развиты более точные методы, которые можно будет принять за основу для суждений.

Чтобы применять две только что описанные схемы приближенных расчетов для частиц, форма которых отличается от сферической, необходимо определить понятие центра этих частиц, а также приписать каждой из них некоторый характерный «радиус», за который можно взять радиус сферы, сопротивление которой по Стоксу равно сопротивлению частдцы.

В случае свободного совместного падения в жидкости двух ортотропных (т.е. обладающих тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии) частиц поля течения, создаваемые каждой из них, могут быть представлены как поля, генерируемые соответствующими точечными силами, если только частицы расположены достаточно далеко друг от друга. Используя надлежащим образом выбранную систему координат, можно вычислить сопротивление частиц и оценить, таким образом, их взаимное влияние друг на друга. В данном случае количество параметров задачи возрастает из-за того, что добавляются два-независимых вектора, описывающих ориентацию каждой из частиц относительно направления силы тяжести. Поэтому удобнее всего использовать численные методы. При более близком расположении сплющенных или вытянутых частиц взаимодействие между ними уже нельзя удовлетворительно аппроксимировать точечными силами и требуется детальное решение соответствующей краевой задачи. .

Когда расстояние между частицами составляет величину порядка нескольких диаметров, все изложенные методы дают в общем сравнимые результаты, поэтому эффект взаимодействия частиц проще всего определять в приближении точечных сил, исходя из данных по скоростям осаждения или вычисленных коэффициентов сопротивления для одиночных частиц.

ОБОБЩЕНИЕ ДЛЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Если частицы не являются сферически изотропными, их траектории не будут, вообще говоря, параллельными, как считалось в предшествующем изложении. Бреннер [6] показал, что если применимо приближение точечной силы, метод отражений можно

обобщить на случай, когда две частицы движутся в произвольных направлениях. Свободное вращение таких анизотропных частиц при их оседании в жидкости в присутствии друг друга приведет к появлению компонент скорости, которые не могут быть представлены только при помощи точечных сил и точечных пар, так что переход к отражениям порядка выше О (с/Г) здесь вообще недопустим. Кроме того, вращение анизотропной частицы, падающей под действием тяжести, приводит к изменению величины и направления мгновенной скорости U. Поэтому не будем излагать здесь суть метода в целом, а просто приведем полученные результаты. Более простые результаты получаются, если рассматривать движение одиночной частицы при наличии неподвижной стенки; речь об этом пойдет в разд. 7.2.

В случае двух частиц с характерными размерами са и сь выражение (6.2.5) можно записать через стоксов трансляционный тензор для произвольной сферически не изотропной частицы:

(Foo)a = —ц (К^ -Ua = —6лр,со (фоо)а -ио, (6.2.29) где (Foo)o — сила сопротивления, которую испытывало бы тело при движении в безграничной жидкости со скоростью Uo. В частности, для сферы радиуса са = а имеем (фоо)о = I- Если теперь обозначить через е единичный вектор, направленный вдоль линии центров двух частиц, то полученный Бреннером аналог выражения (6.2.15) имеет вид

[ (Ф.).-1 - (I + ее). (Ф«) S. (I + »)] ’ ‘ X

х[ио—|-^-(1 + ее).(фоо)ь-иь]. (6.2.30)

Соответствующая сила, действующая на частицу 6, получается из (6.2.30) путем перемены индексов Ъ и а; I —- расстояние между центрами частиц.

В большинстве представляющих интерес приложений необходимо рассчитать скорости осаждения Uo и Ub при заданных Fo и Fb. Это можно легко сделать, разрешая совместно уравнение (6.2.30) и аналогичное ему для силы Fb относительно скоростей. В качестве простого примера рассмотрим случай, когда частицы представляют собой сферы радиусов а и Ъ соответственно. В этом случае безразмерные трансляционные тензоры изотропны, именно (ф<»)а = (фоо)ь = !• Подстановка в (6.2.30) дает

(6.2.31)

Пусть теперь Vo — скорость, с которой, согласно закону Стокса, оседала бы под действием тяжести сфера а в неограниченной среде в отсутствие сферы Ь. Тогда получаем соотношение Fo= —6лр,а¥о,

Рис. 6.2.2. Осаждение двух неравных сфер в вязкой жидкости.Рис. 6.2.2. Осаждение двух неравных сфер в вязкой жидкости.Vb = Wbl е = i sin 6 + k cos 6.Vb = Wbl е = i sin 6 + k cos 6.

Рис. 6.2.2. Осаждение двух неравных сфер в вязкой жидкости.

Рис. 6.2.2. Осаждение двух неравных сфер в вязкой жидкости.

Vb = Wbl е = i sin 6 + k cos 6.

Vb = Wbl е = i sin 6 + k cos 6.

которое используем для исключения Fo из предыдущего выражения. Меняя индексы, получаем аналогичное соотношение для сферы Ь. Разрешая оба уравнения относительно Ua и Ub и используя

тождество

= (!-=«) (Чтт)"‘+ +«(1-|пГ'а6'и2)

после ряда преобразований получаем выражение

Uo = Vo + {y(V6 + ee.Vb)

(6.2.33)

и аналогичную формулу для Ub. Чтобы выразить этот результат в проекциях на оси, рассмотрим ситуацию, изображенную на рис. 6.2.2. Если через ink обозначить единичные векторы по осям х и г соответственно, то Vo = iFa, Таким образом, получаем

(Uo)x = uF = va +1А ^ь (1 +sin2 6)’(6-2-34)

(Uo)z=t7H = 12 P6 sin 6 cos 6.(6.2.35)

При a = b полученные выражения переходят соответственно в (6.2.21) и (6.2.22).

ВЛИЯНИЕ ВРАЩЕНИЯ

До сих пор эффекты, связанные с вращением, подробно не рассматривались. Как уже упоминалось, приближение точечной силы в вышеприведенной форме строго применимо лишь тогда, когда частицы могут свободно вращаться и сферически изотропны. В этом случае из (6.2.8) можно получить следующее выражение для ротора поля скорости v(1):

V X v(1> = -^3 [Уож(ку — jz)4- иаг{\х — iy)].(6.2.36)

Так как общее выражение для угловой скорости элементов жидкости в месте нахождения частицы Ъ имеет вид

»i>1) = |(VXv'1%(6.2.37)

а координаты центра частицы b суть х = 0, у = 0, z = I. то

(6-2-38)

Если частица Ъ не фиксирована, она будет просто вращаться с угловой скоростью (д^ и влияние ее на вращение частицы а скажется только через поле точечной силы, приложенной в центре частицы 6, ротор которого может быть получен аналогично (6.2.3о). Скорость вращения частицы а. обусловленная полем v(2), будет, таким образом, равна

Ч2, = Л1^(^.-^)-(6-2.39)

Частица а вращается в противоположном направлении по отношению к частице Ъ. Для частиц равных размеров главные члены в выражениях для скорости вращения равны по величине. Последующие члены, аналогично (6.2.14), образуют геометрическую прогрессию, так что в конце концов получаем

-».=-?+«>;‘'+ ■ ■■=^^7^^ (6-2.40)

Значение юь угловой скорости частицы b получается из этой же формулы после перестановки индексов а и Ъ и изменения знака вращения. Оси вращения перпендикулярны плоскости жз. Для сферических частиц одного размера (К = бла) имеем

- = Т(6.2.41)

Заметим, что вращение частиц обусловлено только компонентой скорости, перпендикулярной их линии центров, Ux = U sin а. Если две частицы падают вдоль линии центров, вращения не будет.

Если же частицы жестко закреплены, то ситуация усложняется, так как со стороны частицы b на жидкость будет действовать момент сопротивления. Влияние этого момента можно оценить, заменяя его точечной парой, приложенной в центре частицы Ь. После отражения это приводит к членам, содержащим Z6 в знаменателе выражения для момента Т и Z4 в знаменателе выражения для силы F; таким образом, эти члены существенны лишь тогда, когда частицы находятся близко друг от друга. Однако если частицы близки, то следует использовать более точную процедуру построения приближенного решения; по этой причине результаты,

основанные на представлении возмущения в виде точечных сил и пар, здесь не приводятся.

Первое приближение для действующего на частицу момента можно получить, исходя из предположения, что для частицы правильной формы вращающий момент не зависит от оси вращения и может быть охарактеризован посредством некоторого скаляра, т. е.

То = Да^а, (6.2.42)

где dQ — некоторый множитель, характерный для рассматриваемого тела, а То - крутящий момент, необходимый для поддержания вращения произвольного тела с угловой скоростью (0о. Если частица представляет собой сферу радиуса а, то da = 8лр,а3.

Если жидкость действует на частицу а таким образом,. что сообщает ей вращение с угловой скоростью о0, то величина противодействующего момента, который нужно приложить к частице, чтобы она не могла вращаться, в первом приближении может быть принята равной главному члену выражения (6.2.40), а именно

T“=j-S^d“- <6-2-43>

В случае сферических частиц это дает

То = ]6лца2 (у ) (у) иЬх. (6.2.44)

Такой момент действует со стороны жидкости на закрепленную частицу. Смолуховский [29] получает по существу выражение такого же типа, однако из-за ошибки в вычислениях в его формуле числовая постоянная в (6.2.44) равна 4 вместо 6.

Решение задачи о двух сферах методом отражений и другими аналогичными методами

Там, где требуются более точные результаты, чем те, которые можно получить приближенными методами, приведенными в разд. 6.2, возможно в принципе решить краевую задачу для двух тел с любой нужной степенью точности при помощи метода отражений. В этом случае необходимо использовать для каждого тела общее решение при произвольных граничных условиях, заданных на его поверхности. Такие решения в общем случае весьма сложны, поэтому метод применялся только к задаче о двух сферах, расположенных произвольно друг относительно друга.

Положение точки пространства относительно начала отсчета, выбранного в центре сферы а, будем определять при помощи декартовых ж, у, z и сферических г, 6, ср координат. Аналогично, X, У, Z и R, 0, Ф означают соответствующие координаты с началом

в центре сферы Ь. Декартова и сферическая системы координат связаны между собой (см. рис. 6.3.1 и 6.3.2) соотношениями

х = г sin 6 cos ф,

у = г sin 0 sin ф,z = г cos 6;

г2 = ж2 + z/2 + z2.

Аналогичные соотношения имеют место для координат, обозначенных прописными буквами. Центр сферы b имеет относительно центра сферы а координаты (я0, у0, z0) и (г0, 0о, ф0); координаты центра сферы b по отношению к центру сферы а суть (Хо, Уо, Zo) и (R0, 0О, Фо). Не нарушая общности, можно считать, что центры обеих сфер лежат на оси z, тогда эти координаты имеют вид

Xg Xg 0, Rg Tg I,

Уо = — Уо = 0, 0O = л — 0O = л, Zg = —Zg,Фо = Л + Фо = Л.

(6.3.1)

Единичные координатные векторы в системе г, 0, ф обозначаются через ir, io, 1ф, в системе R, 0, Ф — через iH, ie, io-

Вследствие линейности исходных дифференциальных уравнений (6.1.1) и (6.1.2) решение полной задачи можно найти в виде суперпозиции частных решений, т. е. можно написать

■у — у* —I- V* Р = Р* + Р**,

(6.3.2)

где v* и р* — решения, удовлетворяющие граничным условиям на сфере Ъ и регулярные вне сферы 6, a v** и р** — решения, удовлетворяющие граничным условиям на сфере а и регулярные вне этой сферы. Таким образом,

"rU& на сфере 6,

v* =/0 на сфере а,

(О йа оо;

г0 на сфере 6, у** = J ио на сфере а, [О на оо.

(6.3.3)

(6.3.4)

Поля, составляющие требуемое решение, можно выразить в виде суммы соответствующих рядов из частных решений:

V*= 2 vt Р*= S Pi-

1=11=1

' (6.3.5)

v**= 2 v**> p**=^ip**. 1=11=1

Ограничиваясь временно Только полем v*, заметим, что на поверх1Ограничиваясь временно Только полем v*, заметим, что на поверх1Совершенно аналогично находим, чтоСовершенно аналогично находим, что

Ограничиваясь временно Только полем v*, заметим, что на поверх1

Ограничиваясь временно Только полем v*, заметим, что на поверх1

Совершенно аналогично находим, что

Совершенно аналогично находим, что

Каждое из полей v*, р* и v**, р** представляет собой решение исходных дифференциальных уравнений.Все решения, разумеется, удовлетворяют условию

V* = у?* = Q на оо-

ности сферы b

Ub=§v?|b,(6.3.6)

г=1

в то время как на поверхности сферы а 0=§v?|„.(6.3.7)

г—1

Оба эти соотношения удовлетворяются, если

vr|b = Ub,

L(6.3.8)L(6.3.8)V2*|« = —Vffa,v?| ь = —v*7&,

L(6.3.8)

L(6.3.8)

V4 I а=-^ | «/И T. Д. Вообще при / = 1, 2, 3. . . v*j = -v^_i на сфере a, g v|j+i= — V2j на сфере b.

Если исходная скорость Ub задана как скорость движения сферы 6, сформулированные условия служат для однозначного определения каждого из полей v*.

v** = 0 всюду, v** = Uа на сфере а и т. д.,

так что в общем виде для / = 1, 2, 3, . . .

V2J+1 = —v*jна сфере 6,,л п

vV+2 = — v^+i на сфере а.V • • )

Хотя обсуждаемый общий метод годится для решения задачи о двух сферах при любом расположении их относительно выбранной системы координат, решение этой задачи проще построить путем комбинации частных решений, соответствующих ситуациям, когда сферы движутся (а) параллельно их линии центров и (б) перпендикулярно линии центров, как было сделано в предыдущем разделе.

Вначале рассмотрим задачу о двух сферах, движущихся вдоль линии центров, т/ е. вдоль оси z (рис. 6.3.1).

ДВИЖЕНИЕ ВДОЛЬ ЛИНИИ ЦЕНТРОВ

Если направление движения сфер принять соответствующим отрицательному направлению оси z выбранной системы координат (в отличие от предыдущего раздела, когда скорость сферы считалась положительной), то имеем граничные условия

-чиъ-izUaО-чиъ-izUaОна сфере 6, на сфере а, на оо,на сфере 6, на сфере а, на оо,(6.3.11)(6.3.11)

-чиъ

-izUa

О

-чиъ

-izUa

О

на сфере 6, на сфере а, на оо,

на сфере 6, на сфере а, на оо,

(6.3.11)

(6.3.11)

где Uа и Ub — скалярные величины, представляющие скорость каждой сферы и считающиеся положительными. Тогда

у* =у* =у**_-у**_-Г —ixUb на сфере 6, { О на сфере а, 10 на оо;ГО на сфере 6, \ —AxUa на сфере а, I 0 на оо.Г —ixUb на сфере 6, { О на сфере а, 10 на оо;ГО на сфере 6, \ —AxUa на сфере а, I 0 на оо.(6.3.12)(6.3.13)(6.3.12)(6.3.13)

у* =

у* =

у**_-

у**_-

Г —ixUb на сфере 6, { О на сфере а, 10 на оо;

ГО на сфере 6, \ —AxUa на сфере а, I 0 на оо.

Г —ixUb на сфере 6, { О на сфере а, 10 на оо;

ГО на сфере 6, \ —AxUa на сфере а, I 0 на оо.

(6.3.12)

(6.3.13)

(6.3.12)

(6.3.13)

Общее решение для полей составляющих скорости и давления было дано Ламбом [24] (см. также разд. 3.2). При движении сфер вдоль линии центров решение не зависит от угла ф = Ф, а компоненты скорости и^ = ^ф из-за осевой симметрии тождественно обращаются в нуль.

Общее выражение для полей, симметричных относительно оси z, в координатах R, 0, Ф имеет вид.

уг= 2 V^.i + ^^v^n^

n=o(6.3.14)

N=0

Здесь TIn-i и nljv-i — гармонические функции, представляющие собой в выбранной системе координат объемные сферические гармоники порядка —(N + 1)..

Построение решения начнем с рассмотрения полей вида v?. Заметим, что граничные условия (6.3.8) требуют, чтобыv* удовлетворяло ^условию

v* — — VxUb при R — Ъ.v* — — VxUb при R — Ъ.(6.3.15)(6.3.15)

v* — — VxUb при R — Ъ.

v* — — VxUb при R — Ъ.

(6.3.15)

(6.3.15)

19—01084

Таким образом, поле v* — это обычное поле Стокса в системе координат R, 0, Ф. Гармонические функции, фигурирующие в (6.3.14), имеют для этого поля следующий вид: '

.1 f—Г^ь№2Р1 (cose) для ЛГ = 1, г1».^4 п ’(6.3.16)

I 0 для всех других N\

(6.3.17)(6.3.17)— ~UъЬН ^Р^ (cos 0) для N = 1,0 для всех других N,

(6.3.17)

(6.3.17)

где Рг (cos О) = cos 0..

Для дальнейшего удобно представить гармонические функции в (6.3.14) в следующей форме:

Tiw_ 1 = (- 1)N b^B^R'^Х (cos 0), IlU-i = (- i)NbNCkR"(N+1)PN (cos 0).

Тогда из (6.3.16) и (6.3.17) имеем

в у = (^ Ub ДЛЯ N = 1, -для всех других'

(6.3.19)

= / (3/2) иъ для N = 1,

N 10 для всех других N.

Чтобы найти поле v*, исходя из поля v*, необходимо перейти в выражении для v* от координат Д, 0, Ф к координатам г, 0, ф. Можно показать, что в координатах г, 0, ф гармонические функции из (6.3.18) выражаются следующим образом:

2=0(6.3.20)

п</^"^ V /пrnpn(cos6)

u-iv-i= (Т/ Ln 2арй*

п=0

,N (n+N)\

где /п = ^^ • Кроме того, R» = ^ + Р - 2rZ cos 6(6.3.21)

и

, R = ir (г — Z cos 0) + ieZ sin 0.(6.3.22)

Если эти выражения подставить в (6.3.14), то получим представление поля v* в системе координат г, О, ф. Чтобы иметь возможность получить поле vh-x исходя из поля vh даваемого выражением (6.3.14), удобно выполнить такие преобразования сразу в общем виде. Поле v/+1 будет иметь такой же общий вид, как и поле vb но оно выражено в системе координат г, 0, ф, соответствующей сфере а.

Таким образом, учитывая осевую симметрию, имеем

Vi+1 = 2 Vip-V-1 + зАгЧт V (r2jt-"" +4 гл-+п-1 ’

n=°(6.3.23)

Рш = Н S «-+n-l, n=0

где предполагается, что гармонические функции выражены в виде

(6.3.24)(6.3.24)ф!*1-1 = - а"*^V^+npn (cos в),ntV-1 = - cPc^r-w^Pn (cos 9).

(6.3.24)

(6.3.24)

Преобразования (6.3.20) — (6.3.22) дают возможность выразить постоянные &^+1, с^+1, определяющие поле у^+х, через постоянные В Nt С^, которые определяют поле vie Здесь используется также общее граничное условие vi+1 = —Vt на сфере а согласно (6.3.9) и (6.3.10). Искомые соотношения имеют следующий вид:

г+1_ п /«Р^Х! ^N^\(b\N

4 ~ 2(n + l) U /п\ N\ \ I ) Х

N=0

X [(2п— 1)(т) Вд—(2и —1) 2(2^-1)^2»-1)(п+^) +т^£зг(тМ’ <6-3-25>

i+i_n(2n—1) / a i»-i „ ^n+N^X (b\Nv n ~n+1\ I ) 2j n! Nt W / X

N=0

x [(2„+1) (A)’ B^-(2„ +1) ^И^н^Л) A +

+у(т)2^]- (6-3-26>

Далее можно снова повторить процедуру отражения для нахождения поля V;+2, удовлетворяющего условию vi+2 = — v<+x на сфе- 19*

ре Ь. Для этого понадобятся формулы типа (6.3.20) — (6.3.22), позволяющие в выражении для поля vf+1 совершить обратный переход от координат г, 0, ф к координатам R, 0, Ф, связанным со сферой Ь. Поле vf+2 можно определить при помощи констант S^2 и См"2, аналогичных В^ и С^ из (6.3.18). Для выражения этих констант через 6£+1 и с^+1 имеем следующие рекуррентные формулы, аналогичные (6.3.25) и (6.3.26):

ni+2_ N / b \N-i(n + ^)l ( а V

N — 2(^ + 1) \Z/TV! \l) Х

п=0

X [(22V-1) ()2Й“ -(2»-1)4+1 +

ri+2_ N(2N-i) (b\N-l ^ (n + ЛГ)! [ах»

N — ^+l ■ U / 2з п\ NI \ I ) ^ п=0

x[(2Ar+i)^)!6;»-(2ff4a)^ti^^

+т(т)8^‘1 <6-3-28)

Таким образом, используя (6.3.25) и (6.3.26), а также (6.3.23), можно выразить поле v* через поле v*. В свою очередь при помощи соотношений (6.3.27) и (6.3.28) вместе с (6.3.14) из поля v* получаем поле v* и т. д. Эта итерационная схема позволяет построить полное поле у*.

Полученные общие соотношения равным образом применимы как к полям v*, так и к полям vj*. Чтобы различать константы, относящиеся к этим полям, будем использовать обозначения Ь*к, €*к или В^, С^1 для полей v& и Ь**к, с**к или В**к, С**к для полей Vh*.

Приступим теперь к вычислениям. Процедура построения последовательных полей начинается с определения стоксова поля v* по формулам (6.3.19). Перед тем как начинать вычисления, необходимо определить точность, которую желательно иметь в окончательных результатах. Для этого выбирается определенная степень одночленов вида (a/Z)a (6/Z)P. Для примера в последующем изложении ограничимся случаем a + 0 5.

Таким образом, определение постоянных, характеризующих поле v*, начинается с нахождения констант %2 по форму-

лам (6.3.25):

^=о,

b^ __3 b 1 / Ь \39 /^\2 / ъ \

иь ~8 г + 8 U / + 40 и / U / ’

64 2 3 / а \3 / Ь \"йь~ — Tu/ kTj»64 2 3 / а \3 / Ь \"йь~ — Tu/ kTj»

64 2 3 / а \3 / Ь \

"йь~ — Tu/ kTj»

64 2 3 / а \3 / Ь \

"йь~ — Tu/ kTj»

b*2 15 ( ^Л4 / 6 \

W- s“u / uh

&Г=о..

Коэффициенты с^ определяются аналогичным образом по формулам (6.3.26) и здесь не приводятся. Далее приступаем к вычислению постоянных В1?? и С^^ для чего используем формулы (6.3.27) и (6.3.28), подставляя в них уже известный набор значений Ь*? и с*2. Этот процесс продолжаем и далее, в результате чего определяются константы fe*4, с*4, В’к, С™, Ь*6 и с*6. На этом вычисления заканчиваются, так как отражения с большими номерами, т. е. при i >6, в пределах выбранной точности дают нуль.

Определим теперь второй ряд констант. Заметим сначала, что V** = о, отсюда

В^*1 = Cn*1 = 0 для всех W.

В то же время поле v** должно удовлетворять граничному условию v** = — izUa при г = а. Поле, удовлетворяющее этому условию, дается формулами (6.3.23), в которых гармонические функции ф^Д и л^Д снова соответствуют полю Стокса и имеют следующий вид:'

($- Ua^F'^P^ (COS 6) ДЛЯ П= 1,

гГ^И 4(6.3.30)

0 для всех других п;

(6.3.31)(6.3.31)2" иааг^Р, (cos 6) для n = 1,0 для всех других п.

(6.3.31)

(6.3.31)

Сравнивая эти соотношения с (6.3.24), находим

~ IUа ДЛЯ 72 = 1,

С =4 4(6.3.32)

0 для всех других п;

г 3

4*2 = /^ для п=1’(6.3.33)

0 для всех других п.

Значения этих постоянных используем в качестве исходных в процессе последовательных отражений. Сначала вычислим по формулам (6.3.27) и (6.3.28) постоянные 5ft*3 и С^*3. Затем этот процесс проводим дальше так же, как и ранее, вплоть до определения постоянных В^*1 и С^*^ которые соответствуют наивысшему порядку, необходимому при сохранении членов не выше пятой степени по (а/Г) и (М).

Значения постоянных, определяющих полное поле скоростей v=v*+v**, удовлетворяющее требуемым граничным условиям, получаются из соотношений

^=2 ^=2 (^+г>П(6.3.34)

1=11=1

и аналогичных соотношений для постоянных сП1 BN и СN. Так, в рассматриваемом приближении

-ИтГЧ+ЧтГЧЬ <М-36>

Значения постоянных BN и CN- можно получить из вышеприведенных формул, меняя местами а и Ъ как в случае, когда эти символы используются как индексы, так и в случае, когда они означают радиусы соответствующих сфер.

Итак, поле скоростей, приближенно удовлетворяющее данным граничным условиям, находится в виде суммы двух полей (каждое из которых связано со своей системой координат):

v= S vt-,+^1,) v(A_„.,)+Am.n_,+ n=l

+ 2(6.3.45)

№=1■

причем фигурирующие здесь функции выражены через известные константы bn, сп, BN и CN:

^-п-!= -b^V^P^ (cos9),

Л-n-i = — cnanr-(”*1> Рп (cos 0), \(6.3.46)

Y_w_i = (- 1)N(cos 0), V '

IL^ = (- V)NCNbNR-^pn (cos 0).

Это поле скоростей можно использовать в качестве первого приближения для оценки течения, вызываемого движением двух сфер в окрестности других тел. Для получения более точных результатов в случае, когда третье тело находится вблизи сфер, необходимо отдельно применять итерационные формулы для построения возмущения от каждого дополнительного тела или сферы.

Fo= — 4лц7 (г3 2 nQ,2=1Fo= — 4лц7 (г3 2 nQ,2=1(6.3.47)(6.3.48)(6.3.47)(6.3.48)Полученные соотношения можно применить для расчета сопротивления каждой из двух сфер. В разд. 3.2 было показано, что сила Fa, действующая на сферу а, выражается в виде

Fo= — 4лц7 (г3 2 nQ,2=1

Fo= — 4лц7 (г3 2 nQ,2=1

(6.3.47)

(6.3.48)

(6.3.47)

(6.3.48)

где

л_2 = 2 ^2— —<чаг”Ч\ (cos 9).

2=1

Это даетЭто даетFo = 4л pac1V (г cos 6).Fo = 4л pac1V (г cos 6).(6.3.49)(6.3.49)

Это дает

Это дает

Fo = 4л pac1V (г cos 6).

Fo = 4л pac1V (г cos 6).

(6.3.49)

(6.3.49)

Замечая, что V(r cos 6) = Vz = iz, находим

Fo = iz4n,p,act.(6.3.50)

Подставляя сюда значение q из (6.3.40), получаем для силы следующее выражение:-

е Г тт Г л 1 ab . 3 / п а3Ь . 27 а2Ь2 . ЗаЬ3 \ 1 . Ра1 = 1г6л|1а{С7о[1+т — + т(_2-р- + ——+ —)J-f-

. Г7 Г3 b . 1 / а2Ь21 ab2 . Ь3 \

+L2 I + 2 \ I34 /з + /з /

9 / а3Ъг . 27 a2b3 , ab4 \ 1 1. ~ то кн

4\ Z5 ^ z5 + Z5 -^бл^аТр (6.3.51)

Здесь индекс а1 указывает на то, что сопротивление сферы рассчитано для случая, когда сферы движутся вдоль линии центров. Uа и Ub — положительные числа, обозначающие абсолютные величины скоростей сфер а и Ъ. Если принять направление падения сфер в качестве положительного, то знак FO1 будет отрицательным. Сила, действующая на сферу Ъ, получается из (6.3.51) путем перемены ролей символов b и а независимо от того, означает ли соответствующий символ индекс или размер.

Идеи, выдвинутые в упоминавшейся работе Смолуховского [29], были развиты Факсеном [14], который применил процедуру отражений, аналогичную использованной выше, к случаю двух сфер, движущихся вдоль линии центров. Его результат совпадает с приведенным в (6.3.51). Метод Факсена слегка отличается от метода, принятого в данной книге, и от метода Смолуховского. Переход в выражениях для отраженных полей от координат, связанных с центром одной сферы, к координатам, связанным с центром другой сферы, в методе Факсена осуществляется путем конформного преобразования, представляющего собой известное преобразование инверсии относительно сферической поверхности. У Смолуховского же этот переход выполняется приближенно при помощи разложений в ряды Тейлора в окрестностях точек, соответствующих началам двух координатных систем.

Для случая равных сфер, а=Ь, Даль [14, приложение], следуя методу Факсена, провел вычисления до членов девятой степени отношения all и получил для силы сопротивления, действующей на сферу а, следующее выражение:

Fnl = 126лца ^U Q [1 + 9ж2 + 93^ + 1197ж6+ 19 821ж8] -

— Ub [Зж + 19ж3 + 387яб + 5331г7 + 76 115г9]},

(6.3.52)

где х = a/(2Z). Чтобы получить выражение для аналогичной силы Fbl, действующей на сферу &, нужно поменять местами скорости Uа и иъ в (6.3.52). Знакопеременный ряд (6.3.52) очень быстро сходится при малых значениях параметра х. По мере сближения сфер до касания, т. е. когда х ->1/4, сходимость ухудшается, откуда Даль заключил, что метод неудобен для приложений.

Однако для улучшения сходимости можно использовать эмпирическую процедуру, основанную на предположении, что оставшиеся члены ряда представляют собой медленно сходящуюся геометрическую прогрессию. Тогда, переписывая (6.3.52) в виде ряда по степеням s = 2а/Z, получаем следующее выражение для силы/действующей на каждую из двух сфер, падающих с одной и той же скоростью U:

Ех = 126лр,аХ,(6.3.53)

где,

9

Х=2 (-1)папЛ

п—О

а коэффициенты an имеют следующие значения:

«0 = 1»

a5 = 0,37792968,

a4 = 0,75,

a6 = 0,29223632,

a2 = 0,5625,

a7 = 0,32537841,

a3 = 0,296875,

a8 = 0,30244445,

a4 = 0,36328125,

a9 = 0,29035568.

Если предположить, что коэффициенты an в ряде для X при п > 9 постоянны и приблизительно равны 1/3, то получим

9оо

х= 2 (-l)"ansn + 4- 2 (-l)nsn. (6.3.54) n—Оn=10

Последний член здесь представляет собой геометрическую прогрессию, сумма которой равна

± 2 (-^-тттг-(6-3-55)

п=10

Для случая касающихся сфер, т. е. когда s = 1, дело сводится к прибавлению 1/6 к величине, полученной Далем, что дает

TV = X = 0,647.(6.3.56)

Это значение X хорошо согласуется со значениями, полученными более точными методами, о чем будет сказано ниже в этой же главе (X = 0,645 согласно (6.4.15)).

ДВИЖЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО ЛИНИИ ЦЕНТРОВ

На рис. 6.3.2 в основном сохранены прежние обозначения, отличие состоит лишь в том, что сферы расположены по оси ж, движение же их происходит по-прежнему вдоль оси z. В случае,

Рис. 6.3.2. Движение двух сфер перпендикулярно линии центров.

когда сферы не вращаются, для чего к ним должен быть приложен соответствующий крутящий момент, граничные условия на их поверхностях будут иметь тот же самый вид, что и (6.3.11) — (6.3.13).

Для полей vf потребуется выражение более общего вида, чем в формуле (6.3.14), а именно

vz-— 2 W-n-i + v х (RQLjv—i) +

N=0

,+ гЛ^-Ц V(.R4T.„.,) + ^RnL„.„ (6.3.57)

где объёмные сферические гармоники Vl^^, Пi^_1, й^ч имеют

следующий вид:

N^-^(-i^b^R-^" 2 Bn м COS МФР^ (cos©),M=-N

N

n\N_t = (-^NbNR"w+n 2 Cn, M COS МФРк(совб), (6.3.58) M=-N ’

N

QLn_i = (-!)"bN+iR-(N+" 2 D^msin M<DP^(cos 6).M=-N '

Для полей ¥г-+! имеем представление, аналогичное (6.3.23):

vi+i= 2 V^n-1 + V X (rw-V-1) +'

n=0.

+^йг v. <6-3-59)

где соответствующие объемные сферические функции записываются в виде,

^L+L, = - а^г^1' 2 ( - l)m bntm cos m^ (cos 6), . m=-n

it'j^-aY™ 2 (-^Г^тСОзт^Р^(cos6),(6.3.60)

mp-n

i n

ot+n‘-1 = - ап+1г^“ '2 (- l)m 4t« Sin пмрР™ (cos 9). •m=-n

Как и прежде, задача состоит в представлении коэффициентов b1^^, сг^т> ^т> определяющих поле vi+1, через константы 5^Мг Cn,m и Dnjm, определяющие предшествующее поле xie Заметим, что в данном случае постоянные зависят уже от пары индексов (п, пг) или (TV, М).

Соответствующие преобразования более громоздки, чем в случае движения сфер вдоль линии центров, однако все же возможно и здесь получить рекуррентные формулы, аналогичные (6.3.25) и (6.3.26). Они имеют следующий вид:

оо N

м+1 _ 2n—1/ а \«-1 XI XI / b \N uN,M^,

Ои-т-‘МЙ:ЛТ\"Т) ^\Т/

N=0 M=-N

.,ПЬ\2„В1, n(2-7V)(2n-l) + g(ATn + l-2n-2iV) ^i ,

ХЦ-) nBN<M +2F(2n-l)(27V-l)In,m +

га(2п+1)2(2п—1)(2п+3)

(т)2с^-м]+

ОО N

^^г(тГ‘2 3 (тГ‘ ««QDkM, (6.3.61) N=0 M=-N

i+1 _ (2n—l)(2n+l) / a \«-l ^ in / b \N-n, Mcn,m—2j 21 (~) X

№=0 M=-N

X^-j-) pBn.mA

n(2 —^(2re-l)+g^n+l — 2n—2N) p\,

2N(2n—1)(2JV—1)N’m +

+^(2^мг(т)2с^м] +

oo N

+ .(2„-№+1) .^)— 2 2 ^Y+,FHHQDkM,

N=0 M=-N

(6.3.62)

oo N

«=-4г(т)"3 2 (4r+*^~^«-

co Njq м A

стг(т)"2 2 AVT-^-Скм, (6.3.63)

N=0M=-N

где

pN,M_ ”n, m —

( — 1 \<lWn+m+N-M) (_n+m+N—M)\

' L)(n+m)l(N—M)\ Л

x^_m+JV + M)!

2n+Nt(n—m+N+M)/2W(n+m+N—Л^)/2]! *

если (n + m + jV — M) — четное,

0, если (n-V-m + N — M) — нечетное,

0, если | M — m | > it + N,

0, если M>N,

(6.3.64)

и

(n+m) (n+m — 1)((n—m) (n — m — 1)

q~ (n+m+N—M—l) ^ ~(a^m+N+M^i)

(6.3.65)

(Mn+Nm?) (n + ^ + 1)(n-Vm+N—M)

Совершенно аналогично можно получить ряд обратных соотношений, позволяющих найти поле vf+2 по известному полю v^ и граничному условию vf+2 = — vf+1 на сфере Ь. Определяющие поле v^2 коэффициенты В^м, Сг^м и Вг^,м выражаются через постоянные Z?^, с^ и d^™ следующим образом:

BN,M— 2(N+1) \ l ) 2j 2j 1 I ) Jn.mX

n—0m=-n

Г/ “ \2 M^+i 1 N^-nH^N—1) + A(n^+1—2n-2^ j+t

L\ I I ^Оп.т"Т"2n (2n—1) (2ЛГ—1)Cn>m

jV(2jV+D2(2^—1) (2^ + 3)jV(2jV+D2(2^—1) (2^ + 3)(тК-]+(тК-]+

jV(2jV+D2(2^—1) (2^ + 3)

jV(2jV+D2(2^—1) (2^ + 3)

(тК-]+

(тК-]+

^WW(тГ’ 2 2 (тГ‘№.м«6^^ (6.3.67)n=±0 m=-n^WW(тГ’ 2 2 (тГ‘№.м«6^^ (6.3.67)n=±0 m=-n,i+2(2^-l)(2^+l)N,M =n^i,i+2(2^-l)(2^+l)N,M =n^iОО n(t)""'2 2 (тУМхn=0 m=-uОО n(t)""'2 2 (тУМхn=0 m=-ux[(-y-)2M#mx[(-y-)2M#m4_^2-j»H2JV-J) + M7^^2n(2n—1)(2JV—1)сп,тп"Г4_^2-j»H2JV-J) + M7^^2n(2n—1)(2JV—1)сп,тп"Г2(2ЛГ+1) ( I ) CntmJ +2(2ЛГ+1) ( I ) CntmJ ++ J2Jy-n^±lL(^p-1 2 2 (-f-)n+1 №+16^*., (6.3.68)n=0 m=-n^«--^(т)” 2 2 (т)"+‘”®."<--n=0 m=-n+ J2Jy-n^±lL(^p-1 2 2 (-f-)n+1 №+16^*., (6.3.68)n=0 m=-n^«--^(т)” 2 2 (т)"+‘”®."<--n=0 m=-nNI,N-Y^ (t) 2 S (t) ~n ^fN.*M+lc^mi (6.3.69)NI,N-Y^ (t) 2 S (t) ~n ^fN.*M+lc^mi (6.3.69)гдегдед_ ^+М)^+Л/-1) . (N-MHN—M—1) (n—m+JV+jlf —1) + (n+m+ЛГ—M — 1) *д_ ^+М)^+Л/-1) . (N-MHN—M—1) (n—m+JV+jlf —1) + (n+m+ЛГ—M — 1) *(6.3.70)(6.3.70)fi_ (.MnA-NmHN-VM-yi')n—m+N+Mfi_ (.MnA-NmHN-VM-yi')n—m+N+M

^WW(тГ’ 2 2 (тГ‘№.м«6^^ (6.3.67)n=±0 m=-n

^WW(тГ’ 2 2 (тГ‘№.м«6^^ (6.3.67)n=±0 m=-n

,i+2(2^-l)(2^+l)

N,M =n^i

,i+2(2^-l)(2^+l)

N,M =n^i

ОО n

(t)""'2 2 (тУМхn=0 m=-u

ОО n

(t)""'2 2 (тУМхn=0 m=-u

x[(-y-)2M#m

x[(-y-)2M#m

4_^2-j»H2JV-J) + M7^^

2n(2n—1)(2JV—1)сп,тп"Г

4_^2-j»H2JV-J) + M7^^

2n(2n—1)(2JV—1)сп,тп"Г

2(2ЛГ+1) ( I ) CntmJ +

2(2ЛГ+1) ( I ) CntmJ +

+ J2Jy-n^±lL(^p-1 2 2 (-f-)n+1 №+16^*., (6.3.68)n=0 m=-n

^«--^(т)” 2 2 (т)"+‘”®."<--

n=0 m=-n

+ J2Jy-n^±lL(^p-1 2 2 (-f-)n+1 №+16^*., (6.3.68)n=0 m=-n

^«--^(т)” 2 2 (т)"+‘”®."<--

n=0 m=-n

NI,N-Y^ (t) 2 S (t) ~n ^fN.*M+lc^mi (6.3.69)

NI,N-Y^ (t) 2 S (t) ~n ^fN.*M+lc^mi (6.3.69)

где

где

д_ ^+М)^+Л/-1) . (N-MHN—M—1) (n—m+JV+jlf —1) + (n+m+ЛГ—M — 1) *

д_ ^+М)^+Л/-1) . (N-MHN—M—1) (n—m+JV+jlf —1) + (n+m+ЛГ—M — 1) *

(6.3.70)

(6.3.70)

fi_ (.MnA-NmHN-VM-yi')n—m+N+M

fi_ (.MnA-NmHN-VM-yi')n—m+N+M

ИИ

И

И

4dA№WN-M) (n + m + N — M)\ 4z'^n — my.^N + M^ Х

,п, т __ I X JN, М —,п, т __ I X JN, М —(n—m + N + М)\

,п, т __ I X JN, М —

,п, т __ I X JN, М —

2"+^ [(„ _ m+дг + Л/)/2]! [(n + m+jv - Л/)/2]! я (6.3.72)

если ^n + m-VN — M') — четное,

0, если n-ym-\-N — М — нечетное.

Полученные соотношения применимы в равной мере как к полям vj, так и к полям vj*. Чтобы различить коэффициенты,, характеризующие каждое из этих полей, будем использовать, обозначения вида b*k, с*^ d*k и соответственно b**k, с**к, d**k.

Рассмотрим сначала поля vj. Из (6.3.8) и (6.3.11) следует, что v* должно удовлетворять граничному условию

v* = —VzUb при R = Ъ.v* = —VzUb при R = Ъ.(6.3.73)(6.3.73)

v* = —VzUb при R = Ъ.

v* = —VzUb при R = Ъ.

(6.3.73)

(6.3.73)

Таким образом, поле v* снова оказывается просто полем Стокса в системе координат /?, 0, Ф. В принятых обозначениях оно выражается посредством (6.3.57), где гармонические функции имеют вид

- 4- Ub№R~2Pt (cos в) для N = 1,0 для всех других IV;

, f-4w№,(cose)M,iJV=i,

I 0 для всех других N.

Заметим, что (6.3.74) и (6.3.75) в точности совпадают с (6.3.16) и (6.3.17). Кроме того,

Q-n-i = 0 для всех N.(6.3.76)

Сравнивая эти соотношения с (6.3.58), находим

#1 J -rUb для N=A и М = 0, Bn, м — i

I 0 для всех других N и М;

(6.3.77)(6.3.77)/'«i( 4"Ub N=1 и М = 0,

(6.3.77)

(6.3.77)

f'N, М = Л

I 0 для всех других N и М;

Dn\m = 0 для всех N и М.

Это как раз те постоянные, которые определяют полет*. Подставляя их значения в (6.3.61), (6.3.62) и (6.3.63), получаем константы, характеризующие поле v*. При проведении этих расчетов необходимо задать точность, выбирая некоторую максимальную степень одночленов вида (Ы1^а (all)$. Здесь снова ограничимся случаем а + р ^ 5.

Как и в предыдущей задаче, вычислим сначала коэффициенты Ьп,™, с^т и d^m- Затем, используя (6.3.67), (6.3.68) и (6.3.69), получаем следующий набор констант: В^м, С^м, В^м и т. д. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будут определены все необходимые поля.

Приступая к нахождению коэффициентов Ь**^ с**^ и т. д., замечаем, что, согласно (6.3.13),

v** = 0, (6.3.78)

тогда как v** должно удовлетворять граничному условию

'Г = —izua при г — а.'Г = —izua при г — а.(6.3.79)(6.3.79)

'Г = —izua при г — а.

'Г = —izua при г — а.

(6.3.79)

(6.3.79)

Это условие удовлетворяется при

*»2 f —Г V^ (cos 6) для П = 1, tn-1^4■

I 0 для всех других п;

**2Л_п_1 —**2Л_п_1 ——2” иааг~2Р^ (cos 0) для n = 1,—2” иааг~2Р^ (cos 0) для n = 1,00(6.3.80)(6.3.80)для всех других п;для всех других п;

**2

Л_п_1 —

**2

Л_п_1 —

—2” иааг~2Р^ (cos 0) для n = 1,

—2” иааг~2Р^ (cos 0) для n = 1,

0

0

(6.3.80)

(6.3.80)

для всех других п;

для всех других п;

, **2ft6)-п-1 — О, **2ft6)-п-1 — Одля всех п.для всех п.

, **2ft

6)-п-1 — О

, **2ft

6)-п-1 — О

для всех п.

для всех п.

Сравнивая эти константы7**2)4 а®пэ т — ]Сравнивая эти константы7**2)4 а®пэ т — ]сс(6.3.60), находим(6.3.60), находимдля п=1 и т^О,для п=1 и т^О,I 0 для всех других п и т; с 3**2 J Т^аДЛЯ П~1 и ”1 = 0, cn, т — |I 0 для всех других п и пцI 0 для всех других п и т; с 3**2 J Т^аДЛЯ П~1 и ”1 = 0, cn, т — |I 0 для всех других п и пц(6.3.81)(6.3.81)

Сравнивая эти константы

7**2)4 а

®пэ т — ]

Сравнивая эти константы

7**2)4 а

®пэ т — ]

с

с

(6.3.60), находим

(6.3.60), находим

для п=1 и т^О,

для п=1 и т^О,

I 0 для всех других п и т; с 3

**2 J Т^аДЛЯ П~1 и ”1 = 0, cn, т — |

I 0 для всех других п и пц

I 0 для всех других п и т; с 3

**2 J Т^аДЛЯ П~1 и ”1 = 0, cn, т — |

I 0 для всех других п и пц

(6.3.81)

(6.3.81)

^п*т = 0для всех п и т.

Отправляясь от этих значений, можно вычислить все требуемые

константы.

Общее выражение для поля скорости, удовлетворяющего граничным условиям отсутствия вращения, дается в виде

V = 2 V^-n-1 + V X (rco_n_j) + 2^^- v ^л_п_о +

n—1

+ —гл„п_1+ ^ W-^-i + V X (RQ-jv-D+

N=1

+ W^-1} v (Я2П^-1) + 4-Rn-^b <6-3-82) а поле давления — формулой

£ = ^(2 ^-71-1+ S П-я-i).(6.3.83)

n=lN=1

Гармонические функции, входящие в эти выражения, задаются по вычисленным значениям коэффициентов

BN, м = 2 (Bn, м + В^гмУ(6.3.84)

г=0

6n,m=S (Ь^т^*^(6.3.85)

г=0

при соответствующих значениях постоянных Cn,mi сп»т) Dn,m и ^п,т*

Для вычисления сопротивления сфер необходимо выражение для функции л_2- Согласно определению,

00.

Л-2= — ar-2 2 3 (—1)т(еГт + <1?т)СО8тф.Р™(СО8б). (6.3.86) i=0 т=-1

Учитывая, что во всех отраженных полях

<1 = С1 = о(6.3.87)

и

с*:^ = <М = 0,(6.3.88)

находим, что

л_2 = - аг2 2 (<£ о + сГо) Pt (cos 6).(6.3.89)

i=0

Так как Рг (cos 0) = cos 0 и z = г cos 0, из (6.3.47) получаем

Fo2 = iznpa2 (с*%+сГо)-(6.3.90)

г=0

20-01084

Используя значения постоянных с*/0 и с**\ вычисленные по только что обсужденной схеме, получаем для силы следующее выражение:

VГI 9 ^ . 3 ( a3b I 27 а2Ь2 л 3аЬЗ

Fo2— кблра |С7а+ 16 J2 т 8 ( 14 + 32 14 + 14 ) J

* тТ Г 3 Ъ . 1 / аРЬ . 27 ab2 . Ь3 \ .

\ Z3 +"16" /з + /з) +

+ 64 \ Z5 112 Z5 + Z5 /Л—1х6лраГ2« [(6.3.91)

Индекс а2 означает, что сферы движутся перпендикулярно^линии центров без вращения.

Отметим, что, как и прежде, знак правой части (6.3.91) будет отрицательным, если мы припишем скорости положительный знак. Сила, действующая на сферу Ъ, получается из вышеприведенной формулы, если в последней всюду поменять местами символы а и Ъ.

В рассматриваемом случае сферы не могли вращаться, поэтому со стороны жидкости на них должен действовать крутящий момент. Этот момент может быть найден следующим образом (см. (3.2.45)):

Te=-8nnv(r32 ф£2),(6.3.92)

4=1

где гармоническая функция о)12 задается выражением

1

ю£2=-а2г2 3 (-ind^+d^sinwi^P^cosO). (6.3.93) m=- 1

Учитывая, что

РУ(со8 6) = sin 6,

Р^1 (cos 6) = —^- sin 6,

sin (— ф) = — sin ф,

у = г sin 6 sin ф, находим

Та = i^n^2 { - 2 [((^ ! + d^i) +

4=0

H-l-^-i + CL!)]}.(6.3.94)

Подставляя сюда соответствующие коэффициенты, вычисляемые указанным выше способом, получаем

Та — 1р8л|ха17ъ [ 4 р + 64 z4 +

, 9 / ЗЛ>2 , 27 аЧ* , 2аМ \1ф 32 \ 1^ + 32 Z6 + /в ; J

-^-^(т+тт+т)]}- W

Момент, необходимый для предотвращения вращения частицы, по величине равен моменту То, но противоположен ему по^направ- лению, а следовательно, и по знаку. Момент, действующий на частицу Ь, получается из (6.3.95) после замены Ъ на а и изменения знака момента, т. е. Ть действует в направлении, противоположном То.

Очень похожее решение задачи о движении двух близко расположенных сфер дал Вакия [33]. В качестве системы координат он выбирал ту же систему, что и на рис. 6.2.1, так что результат выражается в виде, подобном полученному выше при решении двух задач о движении сфер вдоль и перпендикулярно^их линии центров. Применяемый им метод решения несколько отличен от использованного здесь. Хотя также применяется разложение по сферическим гармоникам, гармоники для второй сферы выражаются непосредственно в координатах, связанных с центром первой сферы, после чего из граничных условий на первой сфере а получается одна система соотношений, связывающих [определяющие коэффициенты. Таким же образом по граничным условиям на сфере b получается другая система соотношений. Исключая из этих двух систем одну совокупность констант, можно получить бесконечную систему уравнений для другой совокупности констант, определяющих соответствующие гармонические функции. Эту бесконечную систему уравнений Вакия решает методом последовательных приближений, и поэтому расчетная часть у него такая же, как и здесь. Полученные им результаты согласуются с результатами Факсена для двух сфер, движущихся одна за другой, а также с приведенными выше данными для^движения^сфер как вдоль линии центров, так и в перпендикулярном направлении.

Вакия рассматривает также случай движения двух сфер, когда последние могут свободно вращаться. Момент сил, действующий на каждую сферу, в этом случае равен нулю, зато} сферы вращаются с угловой скоростью, которую можно определить по ‘значению ротора скорости жидкости в окрестности центров частиц. Если частицы движутся одна за другой, то вращение сфер отсутствует, и сила сопротивления может быть вычислена по формуле (6.3.51). Однако при движении перпендикулярно'линии центров сопротивление будет меньше сопротивления, даваемого фор- 20*

мулой (6.3.91), и имеет следующий вид:

v( тт Гл । 9 аЬ , 3 ( аЧ , 27 а»б2 а*3 п

FO3-i*6«pa(t7e[l+Ig-ir+T(—+ _._ +—JJ-

тт Г 3 6 , 1 / аЧ , 27 аЪ» , Ь» \ ,-^1тт+т(-^+^-/з-+1г) +

^k^^^^^Y^=x^^ (6-3-96)

где индекс аЗ указывает, что сферы движутся перпендикулярно линии центров и могут вращаться.

Скорость вращения сферы а будет равна

_ : f ТТ Г3 ь , 27 об2 , 9 ( а^ , 27 я2Ьз f аЬ4 х-]

| иъ L 4 +б4* 32 \ Z® +32 Iе /в / J

гт Г 9 ab 3 / а3Ь 27 аЧ^ . а&3 \/до п7Х

~М1б1г+1б(^ + Гб^+-^)_]Г<6Л97>

Формула (6.3.97) дает также скорость вращения сферы 6, если в ней всюду поменять местами символы Ъ и а и, кроме того, изме

нить направление вращения (рис.

6.3.3).

Для равных сфер, падающих с одной и той же скоростью и лишен

ных возможности вращаться, из (6.3.91) получаем

Рис. 6.3.3. Направление вра-щения двух сфер при парал-лельном осаждении.Рис. 6.3.3. Направление вра-щения двух сфер при парал-лельном осаждении.г,=бл^(1-4^+«4-

Рис. 6.3.3. Направление вра-щения двух сфер при парал-лельном осаждении.

Рис. 6.3.3. Направление вра-щения двух сфер при парал-лельном осаждении.

59 а3 , 465 а^ 15813 а3 \ Q Qox 64 /з + 256 Z<7168 I3 J ’

Выражение (6.3.98) можно дополнить до бесконечного ряда подоб

но тому, как это было сделано в случае (6.3.54), если принять, что все последующие коэффициенты по абсолютной величине примерно равны двум. Тогда для касания двух сфер, т. е. когда all = 1/2, из (6.3.98) находим

2% = 6лра(7 -0,716.(6.3.99)

Аналогичным образом из (6.3.96) получаем для случая, когда сферы могут вращаться:

„ а тт / л 3 а . 9 а2 59 а3 . 273 а* 1107 а5 \

Fa=6niLaU (1--т+- —-й—+—-^-^-^J. (6.3.100)

Это выражение также можно дополнить до бесконечного ряда, полагая, что последующие коэффициенты постоянны (по абсолют- лой величине) и равны приблизительно единице. В случае, когда

сферы касаются (a/Z = 1/2), находим, следуя (6.3.100),

F3 = 6npatf-0,694. (6.3.101)

Ввиду значительно более быстрой сходимости эти приближенные выражения должны быть лучше, чем соответствующие выражения для сфер, следующих одна за другой. Наличие вращательной степени свободы сказывается только в очень незначительном уменьшении сопротивления сфер, расположенных в окрестности ДРУГ Друга.

Кинч [22] также получил выражения для скорости каждой из двух сфер, медленно движущихся в вязкой жидкости под действием внешних сил. В некотором отношении его метод подобен методу Вакии, поскольку он, как и Вакия, также выражает решения для второй сферы непосредственно в координатах, связанных с центром первой сферы. Однако вместо сферических гармоник он использует представление решения через производные фундаментального решения. В результате получается бесконечная система уравнений, связывающих неизвестные константы, которая решается методом последовательных приближений. Для задач о движении сфер под действием сил, направленных соответственно вдоль и перпендикулярно линии центров, решение доведено до числовых значений. .

Кинч отмечает, что общее решение может быть получено путем комбинации указанных двух решений. При получении своих численных результатов Кинч использует приближение, позволяющее аналитически просуммировать возникающие ряды. Его окончательные результаты хорошо подтверждают выводы, полученные здесь на основе аналогичной процедуры. Так, для двух равных сфер, касающихся друг друга и падающих вдоль линии центров, формулы Кинча дают Тг = X = 0,642, что хорошо совпадает с величиной 0,647, полученной из (6.3.56), и с 0,645, полученной из точного решения (6.4,15). Для двух сфер, падающих перпендикулярно линии центров, результаты Кинча дают Г3 = 0,710; соответствующее значение из (6.3.101) равно 0,694. Предпочтение изложенному здесь методу отдано потому, что полученные рекуррентные формулы обеспечивают относительно простую процедуру вычислений, при помощи которой можно продолжить решение далее вплоть до любой желаемой точности, предпочтительно используя ЭВМ.

ОБЩЕЕ ДВИЖЕНИЕ ДВУХ СФЕР

Соотношения, полученные для течений вдоль и перпендикулярно линии центров двух сфер, можно просто применить для вывода 'общих соотношений. Следуя обозначениям, принятым в последнем разделе, для двух сфер, лишенных возможности вращаться; получаем вместо (6.2.15) (обратите внимание на изменение

знака)знака)6^=ir*+k^6^=ir*+k^(6.3.102)(6.3.102)

знака)

знака)

6^=ir*+k^

6^=ir*+k^

(6.3.102)

(6.3.102)

где'1Т1 и Т^ находятся соответственно из выражений (6.3.51) и (6.3.91).

Аналогично, для свободно вращающихся сфер выражение для силы, действующей на частицу а, дается формулой

^-ff1 + kr„(6.3.103)

где Г3 определяется из (6.3.96). Используя эти соотношения, можно вывести представление для силы через скорость набегающего потока и размеры сфер или выражения для скоростей частиц, находящихся в поле тяжести, аналогичные полученным в предыдущем разделе.

Значения коэффициентов сопротивления для двух сфер одинакового размера даны в табл. 6.3.1. При расчетах использовался

Таблица 6.3.1

Коэффициенты сопротивления для сфер одинакового размера

Длина/диаметр, 1/2а

Ti, формула (6.3.54)

т2, формула (6.3.98)

Тз, формула (6.3.100)

1,0

0,64658991

0,71581015

0,69367473

2,0

0,74226592

0,83858356

0,83655721

3,0

0,80472200

0,88751164

0,88705925

4,0

0,84412282

0,91362144

0,91346928

5,0

0,87060051

0,92986452

0,92979986

6,0

0,88948753

0,94095210

0,94092014

7,0

0,90360223

0,94900595

0,94898839

8,0

0,91453736

0,95512292

0,95511249

9,0

0,92325335

0,95992763

0,95992104

10,0

0,93036094

0,96380171

0,96379736

метод суммирования рядов путем замены остаточного члена суммой геометрической прогрессии.

Применение соотношений этого типа к задаче определения начальной скорости роста мелких капель за счет коалесценции в незамерзающих облатках вызвало значительный интерес у метеорологов. Так, Хокинг [19] дал изящный способ теоретического определения относительного эффективного сечения захвата для сфер различных радиусов, падающих под действием силы тяжести. Хокинг отмечает, что решение гидродинамической задачи может быть дано в виде суперпозиции течений для двух сфер,

движущихся вдоль и перпендикулярно их линии центров, и для нахождения двух основных решений применяет метод, подобный методу Кинча.

Он полагает, что достаточно ограничиться членами до седьмой степени включительно по величинам all и Ы1, представляющим отношения радиусов частиц к расстоянию между ними, и устанавливает, что следующие три степени дают малую поправку, даже когда сферы близки друг к другу. Численные расчеты коэффициента сопротивления Г3 = X для двух равных касающихся сфер, движущихся перпендикулярно линии центров, которые выполнены по итоговым формулам Хокинга, находятся в хорошем согласии с другими результатами. Однако для двух равных касающихся сфер, падающих вдоль линии центров, коэффициент сопротивления Тх = X равен лишь 0,256, в то время как точное значение, данное Стимсоном и Джеффри, равно 0,645. Кинч [23] и Хокинг [20] указывают, что точность можно было бы улучшить, учитывая дополнительные отражения. Как мы уже видели, для обеспечения сходимости задачи о двух касающихся сферах, следующих друг за другом, необходимо было бы учитывать очень большое число членов (см. (6.3.52) и (6.3.54)).

Важно отметить [20], что, когда сферы сближаются, уравнения медленного течения в стационарной форме не дают корректных результатов. Для получения более точных результатов можно было бы использовать уравнения в форме, учитывающей члены, связанные с локальным ускорением, однако решения этих уравнений для двух или более сфер отсутствуют. Хокинг указывает, что полученные им результаты по относительному сечению захвата хорошо согласуются с экспериментальными данными, так что ясно, что при определенных условиях приближенный подход оказывается вполне удовлетворительным.

Точное решение для двух сфер, падающих вдоль своей линии центров*

Задача о движении двух твердых сфер, равных или неравных, движущихся с одинаковыми малыми постоянными скоростями вдоль своей линии центров, была решена Стимсоном и Джеффри [30] и представляет собой удобный эталон для оценки точности других|более приближенных методов, которые обсуждались раньше в этой главе. Решение основано на определении стоксовой функции тока для движения жидкости, а из нее — сил, необходи- мых^для поддержания движения сфер. Такое упрощение оказывается возможным вследствие осесимметричности движения.

Осесимметричное движение твердого тела в вязкой жидкости рассматривалось в гл. 4, где было дано следующее выражение

для силы, действующей на тело:

= J Р8"^^)^»(6-4Л)

причем интеграл берется вокруг контура меридионального сечения твердого тела в направлении, образующем положительный прямой угол с направлением п, где п — внешняя нормаль к телу, ар- расстояние от оси симметрии.

Применительно к задаче о двух сферах возьмем в качестве криволинейных координат в меридиональной плоскости координаты 6, т], определяемые путем конформного отображения (см. также разд. А.19 г))

z + ip = icctgy(ri + ^),(6.4.2)

или, что эквивалентно, согласно Джеффри,

£ + й] = 1п-£±^Ц,(6.4.3)

* 11 р-Н (z—с) ’v '

где с — положительная постоянная. Таким образом,

p — cchg-cosri’ch cost]’

а поверхности, получаемые вращением кривых 6 = const вокруг оси z, суть семейства сфер, у которых z = О (или 6=0) является общей радикальной плоскостью. Две сферы, внешние по отношению друг к другу, определяются посредством равенств 6 = а, 6 = Р (а >0, Р < 0). Выбором а, Р и постоянной с можно добиться, чтобы сферы имели любые радиусы, а расстояние между их центрами принимало любое значение, большее суммы радиусов. Если радиусы сфер равны т\ и г2, а расстояния их центров от начала координат, отсчитываемые в противоположных направлениях, равны йх и d2, то

с с

Г1~ sha ’ Гг shp’(6.4.5)

dt = с cth a, d2 = — с cth p.

Если пренебречь инерцией жидкости и производными скорости по времени, то уравнения медленного течения жидкости, выраженные через функцию тока, принимают вид (см. также разд. 4.7)

Shp = 0.*(6.4.6)

х) Что касается определения £ и т], то следуем здесь оригинальным обозначениям Стимсона и Джеффри. Это отличается от определения разд. А.19 тем, что символы 6 и Ц меняются ролями.

Решение уравнения (6.4.6) в биполярных координатах получена Стимсоном и Джеффри. С незначительными изменениями их решение имеет вид

(chB-|x)3/4= 2 ^^(н).(6.4.7)

п=0

где для краткости принято ц = cos т|.(6 4 8)

Здесь

Un ® = ап ch (га - 1/2) £ + Ьп sh (п - 1/2) & +

+ сп ch (га + 3/2) g + dn sh (га + 3/2) g, (6.4.9)

8 C~^t (|i) — полином Гегенбауэра степени га + 1 и индекса —1/2. Последние функции связаны с полиномами Лежандра через соотношение

С-^ ^ = Рп~г^Р^'-(6.4.10)

Постоянные ап, ЪК1 . . . должны определяться из граничных условий.

Стимсон и Джеффри показали, что сила, необходимая для поддержания движения сферы £ = а в положительном направлении оси z, выражается формулой

л = ^|/2(ап + &п + Сп_|_4)?(6.4.11)

а для сферы £ = 0 — формулой

2 ^-ъ^с^-а^;(6.4.12)

причем через р в этих выражениях обозначена вязкость.

Для равных сфер коэффициенты Ьп и dn равны нулю, и эти силы становятся равными. Выражение для силы удобно записать в форме

F = 6лра£7Х,(6.4.13)

где а — радиус каждой сферы, а X — некоторый коэффициент,, который можно записать в виде

^ n(n+l) U 4sh4n+l/2)a~(2n+l)2sh2aY (2п_i)(2n+3) I2sh(2n + l)a+(2n + l)sh2a J ’

(6.4.14)

Заметим, что в оригинальной статье Стимсона и Джеффри в формуле, аналогичной (6.4.14), имеется опечатка: значение постоян-

ного коэффициента в правой части равенства равно 2/3 вместо 4/3. Факсен [13], который обратил внимание на эту опечатку, вычислил также значение X для предельного случая касания сфер, когда а = 0. Факсен замечает, что X есть непрерывная функция от а, так что, хотя силы в биполярных координатах и не выражаются, соотношение (6.4.14) все еще будет применимо. Таким образом, он записывает

lim Х=А ( 1 {11- 4) dx(6.4.15)

3 J 4 V * 3 2sh2x+4x Jх *

0

и после численного интегрирования получает для этого случая значение X = 0,645.

Интересно сравнить значения X, полученные при помощи точного метода, использующего биполярные координаты, с модифицированным решением Даля, выражаемым формулой (6.3.54). Когда сферы находятся вдали друг от друга, оба метода согласуются с весьма высокой точностью; прекрасное согласие можно получить даже тогда, когда сферы касаются, если использовать модифицированную формулу (6.3.54). Типичные результаты показаны в табл. 6.4.1 и относятся к двум равным сферам, движущим

.Таблица 6.4.1

Поправка к закону Стокса для двух равных сфер, движущихся параллельно линии центров

а

Отношение расстояния между центрами к диаметру, 1/s—Z/2a

Метод отражений, формула (6.3.54), X

Точное решение, формулы (6.4.14), (6.4.15), X

0

1

0,64658991

0,645

0,5

1,1276260

0,65974465

0,65963461

1,0

1,5430806

0,70249745

0,70245211

1,5

2,3524096

0,76778115

0,76777914

2,0

3,7621957

0,83620498

0,83619387

2,5

6,1322895

0,89158529

0,89158513

3,0

10,067662

0,93079478

0,9307947

ОО

ОО

1,00000000

1,00000000

ся одна за другой вдоль линии центров. Значения X вычислены с большей степенью точности, чем значения, первоначально вычисленные Стимсоном и Джеффри.

Такое близкое согласие считается хорошим теоретическим оправданием для метода отражений, который широко используется в последующем изложении. Заметим, однако, что для двух сфер,

движущихся с различными скоростями, метод Стимсона и Джеффри дает силу сопротивления, стремящуюся к бесконечности при сближении сфер, что связано с неучетом нестационарных членов в основных уравнениях.

Сравнение теорий с экспериментальными данными

для двух сфер

Помимо уверенности в том, что используемые нами методы приводят к удовлетворительным приближенным решениям уравнений медленного течения, желательно знать, в какой степени предсказываемые результаты могут быть реализованы физически. Для случая двух взаимодействующих сфер в настоящее время имеются обширные данные, указывающие на хорошее согласие с теорией. Этот вопрос важен для обеспечения более прочной основы при последующих исследованиях более сложных ансамблей. Как уже отмечалось ранее, движение двух сфер распадается на две задачи о сферах, падающих вдоль и перпендикулярно своей линии центров, поэтому удобно рассматривать эти задачи по отдельности. Данные для обоих случаев можно найти в работе Ивсона и др. [12] и Барта [2], а дополнительные данные для двух сфер, следующих одна за другой, имеются в работе Хаппеля и Пфеффера [18].

Во всех случаях необходимо учитывать, что в экспериментах сферы падают в сосуде (обычно цилиндрическом), а не в безграничной среде. Чтобы получить точные результаты, необходимо учитывать наличие ограничивающей поверхности. Особенно это важно в случае, когда частицы удалены друг от друга, так как влияние стенок в этом случае может быть значительным по сравнению с взаимодействием частиц. Если частицы находятся близко друг от друга (расстояние между их центрами меньше 2—3 диаметров), то их можно рассматривать как одну частицу [5] и поправочный множитель брать таким же, как для сферы, падающей в цилиндрическом сосуде (гл. 4). При этом предполагается, что расстояние между центрами частиц мало по сравнению с диаметром цилиндра. Однако по мере того как в дальнейшем частицы расходятся, их воздействия на течение должны рассматриваться раздельно [18]. Таким образом, если в цилиндре падают две сферы а и Ь, находящиеся в различных положениях, то сопротивление сферы а будет обусловлено сложением сопротивлений, соответствующих четырем полям скорости. В их число входят исходная стоксова скорость сферы а и первое отражение этого поля скорости от стенки цилиндра. Кроме того, сфера Ъ возмущает движение сферы а двояким образом: во-первых, путем прямого отражения своего собственного стоксова поля и, во-вторых, путем отражения этого поля от стенки цилиндра и затем к сфере а [18]. Эти взаимные влияния рассматриваются несколько подробнее в гл. 7 и 8. Вообще если сила сопротивления, действую-

Рис. 6.5.1. Зависимость X от Hd, (расстояния между сферами, отнесенного к их диаметру) для случая движения двух равных сфер параллельно линии центров.

1 — теоретическая кривая Стимсона и Джеффри; 2 — экспериментальная кривая.

щая на каждую из двух жидкости, сравнивается ры, то

сфер, падающих в безграничной вязкой с силой сопротивления единичной сфе-

Х=4г^-^ Иоо

(6.5.1)

Чтобы скорректировать

экспериментально измеренные скорости

с учетом влияния цилиндрической границы, используются множители Tfi и Лц- Если /7ц — экспериментально измеренная скорость двух сфер при известной температуре жидкости, a Ui — скорость одиночной сферы при той же самой температуре, то

Киии •

(6.5.2)

Возможно, наиболее точными являются данные Барта, полученные при числах Рейнольдса менее 0,05, поскольку отношение диаметра сферы к диаметру цилиндра составляет в этом случае 0,0163, что для достаточно близких частиц дает поправочный коэффициент К\1Кц = 0,99. На рис. 6.5.1 дан график зависимости X от отношения расстояния между центрами сфер к их диаметру в области значений этого отношения от 1 (сферы касаются) до 6 для двух равных сфер, падающих вдоль своей линии центров. Согласие со значением, вычисленным теоретически Стимсоном и Джеффри [30], очень хорошее. Когда сферы касаются, получен-

l/d

Рис. 6.5.2. Зависимость X от Ud, для случая движения двух равных сфер перпендикулярно линии центров.

1— теоретическая кривая Вакии; 2 — экспериментальная кривая.

ное экспериментальное значение X = 0,647, в то время как из теории следует, что X = 0,645. Данные Хаппеля и Пфеффера для этого же случая указывают на неплохое согласие с теорией, но они не столь точны, ибо используемое наименьшее значение отношения диаметра сфер к диаметру цилиндра было 0,0437, так что необходим более высокий поправочный множитель.

Что касается данных Ивсона, то здесь среднее значение отношения диаметра сфер к диаметру цилиндра было равно примерно 0,0339, что соответствует в случае касания сфер значению Ку/Куу = = 0,98. Для этого случая значение X без коррекции составило 0,660, так что с учетом коррекции по формуле (6.5.2) X будет равно 0,660 X 0,98 = 0,647, что находится в хорошем согласии с результатом Стимсона и Джеффри. Кинч [22] заметил, что при больших значениях ИД кажущееся значение X, полученное Ивсоном, несколько выше предсказываемого. Так, для двух сфер, следующих друг за другом при l/d = 5, Ивсон получает X = 0,894. В действительности в этом случае Ку/Куу « 0,96, так что исправленное значение X ^ 0,86, что близко к предсказываемому теорией Стимсона — Джеффри значению X = 0,87. Таким образом, теоретическое решение хорошо подтверждается в случае, когда сферы близки друг к Другу. Дополнительные данные Барта для сфер, движущихся вдоль линии центров, демонстрируют хорошее согласие с теорией вплоть до значения l/d = 20, когда точность эксперимента становится недостаточной для правильной интерпретации его результатов.

Аналогичное сопоставление данных Барта с теоретическими соотношениями Вакии для двух сфер, падающих перпендикулярно линии центров, дано на рис. 6.5.2, где представлены как случаи, когда сферы жестко закреплены, так и случаи, когда они могут свободно вращаться (см. также рис. 6.3.3). При условии свободного вращения сфер получено хорошее согласие всюду, за исключением предельного случая, когда сферы касаются. В последнем случае экспериментальное значение К равно 0,707, в то время как теоретическое значение равно 0,694 для свободно вращающихся сфер и 0,716 для сфер, лишенных возможности вращаться. Таким образом, с учетом ошибки эксперимента согласие с теорией снова оказывается хорошим. Однако проводимое сопоставление данных показывает, что реальный контакт двух касающихся сфер действует так, как если бы он ограничивал их свободное вращение. Данные Ивсона для этого случая соответствуют % = 0,73 X 0,98 = = 0,716, что снова находится в хорошем согласии с теорией. Дополнительные данные, полученные Бартом для более удаленных сфер, демонстрируют хорошее согласие с теорией вплоть до значения отношения lid, равного 25.

Ивсон и др. приводят также данные для сфер, падающих при различных углах между линией центров и горизонтальной плоскостью. Хотя эти данные и не столь обширны, как для случая падения сфер вдоль и перпендикулярно линии центров, они находятся в хорошем согласии с теоретической предпосылкой о том, что такое движение может быть определено как суперпозиция этих двух предельных случаев. Итак, показано, что общие теоретические выражения, выведенные из уравнений медленного течения,

Таблица 6.5.1

Сравнение методов определения коэффициента сопротивления для касающихся сфер.

Метод

Коэффициент X

сферы, движущиеся одна за другой

сферы, движущиеся рядом

Формула (6.2.16)

0,572

0,728

Формула (6.2.26)

0,592

0,714

Формула (6.2.28)

0,616

0,695

Формула (6.3.56)

0,647

...

Формула (6.3.98) (вращения нет)

...

0,716

Формула (6.3.100) (свободное вращение)

...

0,694

Формула (6.4.15) (точная)

0,645

...

Экспериментальные данные [2]

0,647

0,707

применимы к системам, где сферы могут отстоять друг от друга на расстояние, равное 20—25 диаметрам, что соответствует очень разреженным ансамблям.

В табл. 6.5.1 дается сравнение различных теоретических выражений и аппроксимаций для случая, когда сферы соприкасаются. Когда используется метод отражений в точном виде, согласие очень хорошее. Когда сферы слегка разделены, любой из приближенны методов дает также удовлетворительные результаты.

Число сфер более двух

для групп частиц, располо-лО ЛО .ДублетbQ 5Q№" вОДублетдля групп частиц, располо-лО ЛО .ДублетbQ 5Q№" вОДублета8вРис. 6.6.1. Движение трех сфер.а8вРис. 6.6.1. Движение трех сфер.Общий метод решения краевой задачи для группы из нескольких сфер развит в разд. 6.1 и следует процедуре, впервые намеченной Смолуховским [29]. Кинч [22] представил общие формулы, показывающие, как получить аналитические решения для трех и большего числа частиц, однако выражения эти настолько сложны, что обобщения возможны т< женных специальным образом. Общие соотношения, подобные соотношениям Кинча и предназначенные для подхода к задачам о многих сферах, были даны также Бреннером [7]. Так как эти соотношения носят достаточно общий характер и позволяют включить в рассмотрение влияние стенок, мы отложим их изложение до гл. 8 (разд. 8.5).

для групп частиц, располо-

лО ЛО .

Дублет

bQ 5Q№" вО

Дублет

для групп частиц, располо-

лО ЛО .

Дублет

bQ 5Q№" вО

Дублет

а8в

Рис. 6.6.1. Движение трех сфер.

а8в

Рис. 6.6.1. Движение трех сфер.

Кинч рассматривает одно частное расположение трех сфер, когда одна из них, сфера А, расположена в вертикальной пло

скости, проходящей посредине между двумя другими. Если все три частицы имеют один и тот же размер, то внешние сферы раздвигаются, позволяя сфере А пройти между ними, а затем снова сближаются позади нее. Другая задача о трех сферах, обсуждавшаяся Хаппелем и Пфеффером [18] и исследованная ими экспериментально, представлена на рис. 6.6.1. Если сферы С, В и А падают вдоль одной и той же вертикальной прямой, так что расстояние между сферами А и В меньше расстояния между сферами В и С, то сферы А и В образуют дублет и движутся быстрее сферы С. В некоторый момент времени t = tx сферы А и В догоняют сферу С и расстояния между всеми тремя сферами становятся равными. Этот «триплет», однако, не будет устойчивым, так как центральная сфера взаимодействует с обеими сферами А и С, в результате

чего сближается со сферой С, образуя с последней дублет, который начиная с момента I = Ц удаляется от сферы А; это явление имеет место даже тогда, когда инерционными эффектами можно пренебречь.

Слэк и Мэтьюз [28] экспериментально изучали осаждение свободно падающих групп одинаковых сфер в диапазоне чисел Рейнольдса для установившегося осаждения одиночной сферы от 10~х до 10. Если число сфер в группе не более 6, они располагаются в одной горизонтальной плоскости в вершинах некоторого правильного многогранника и затем медленно расходятся в процессе падения из-за инерционных эффектов, подобных наблюдаемым при падении двух сфер. Таким образом, три сферы, образующие горизонтальный равносторонний треугольник, в рамках ’теории медленных* течений представляют устойчивую конфигурацию.

Бюргерс [10] проделал вычисления, основанные на методе первого отражения, для ансамблей, состоящих из небольшого числа сфер, жестко удерживаемых в заданном относительном расположении (предполагается, что связь не влияет на движение жидкости), в связи с задачей определения формы белковых молекул по вискозиметрическим данным. В этом случае предполагается, что отношение радиуса частицы к расстоянию между частицами all очень мало.

Сопротивление такого ансамбля дается выражением

F = 6лр,а(7т1,(6.6.1)

где а — радиус каждой частицы, U — скорость осаждения группы, ц — коэффициент сопротивления. Бюргерс дает значения ц для случая, когда осаждающийся ансамбль может принимать все возможные ориентации в пространстве. Он рассчитал следующие случаи для нескольких сфер, соединенных вдоль одной линии:

Система из двух сфер:

1\=ттгтг(6.6.2)

1 1 + a/lv '

Этот результат аналогичен тому, который получится из формулы (6.2.28), если в последней произвести усреднение по различным ориентациям.

Система из трех сфер, соединенных в линию:

11 = 1 + (10/3) (а/0- (1/4) (а/1)2 *(6-6'3)

Здесь I — расстояние между центрами крайних сфер, а — радиус каждой сферы.

Система из четырех сфер, соединенных в линию:

t1 = l + (13/2)(a/Z)-(9/8)(a/Z)21<6,6Л>

Здесь I снова обозначает расстояние между центрами крайних сфер. Заметим, что, как и следовало ожидать, с увеличением количества сфер сопротивление на одну сферу уменьшается.

В случае четырех сфер, расположенных по углам квадрата, снова необходимо учитывать различные возможные ориентации ансамбля. Окончательный результат имеет вид

4

11 = 1 + 2,7 (a//)—0,04(a/Z)2 *(6.6.5)

Бюргерс рассматривал также случай восьми сфер, расположенных в вершинах куба. В этом случае полное сопротивление не изменяется с изменением ориентации (т. е. здесь имеет место эффект симметрии). Для этого случая имеем

71 = 1 + 5,70 (a/Z)—0,34 (a/Z)2 *(6.6.6)

Маловероятно, чтобы приведенные результаты для большего числа сфер давали такую же точность, как формула (6.2.28) для задачи о двух сферах,, ибо, за исключением случая (6.6.2), коэффициент в знаменателе выражения для ц получен без учета многократных отражений.

Два сфероида в вязкой жидкости

Задача о двух сфероидах, движущихся вдоль своей линии центров в сторону отрицательного направления оси х (рис. 6.7.1), рассматривается в работе Вакии (Wakiya S., J. Phys. Soc. Japan, 20 (1965), 1502).x

Декартовы координаты хь уъ ^ выбираются таким образом, что поверхность одного из сфероидов, центр которого расположен в начале координатОх,задаетсяуравнением

+(6.7.1)

а2*х'

Далее выбираетсядругая системадекартовых координат х2,у2,

z2 так, чтобы центр другого сфероида, имеющего ту же форму, что и первый, был в начале координат О2, а его поверхность задавалась уравнением

^Ц^ + # = 1.(6.7,2)

а2,и2,х '

Здесь а — радиус, а b — половина длины (или толщины) каждого из сфероидов. Координаты хъ ух, ^ и х2, у^, z2 связаны между собой следующим образом:

ж2=а:1 — хй,

у2 = Уг cos 6 + ^ sin 6,(6.7.3)

z2 = —уг sin 0 + ^ cos 6,

21—01084

Рис. 6.7.1. Взаимодействие двух сфероидов.

б — схема, показывающая направление крутящего момента, действующего на сфероиды, движущиеся вполь оси х в отрицательном направлении.

где х0 — координата х точки О2 в системе хъ ytl zx. Каждый сфероид движется вдоль оси х с постоянной скоростью —U. В каждой системе координат должны удовлетворяться следующие граничные условия:

и = — U, v = w = 0 на сфероидах Ог и О2, /g у ^\ и = и = ю = 0на бесконечности.( • • /

Предполагается, что движение жидкости описывается уравнениями медленного течения. Таким образом, в системе хъ уь zx

»„»(6-7-5)

дх^ ’ ду^ ' dz^

Решения строятся подобно тому, как обсуждается в разд. 7.5, при помощи гармонических функций %п, определенных соотно-

шением

С 1 Z^ + zf у? ,\пds _ZR 7 61

J 2« \ а2+$ Т 62+s J (а2 + $)1/Ь2+$ •ки.'.и;

X

Здесь К (яь уъ z3) — положительный корень кубического уравнения

(6.7.7)(6.7.7)*1+^1 . у? _ лаЧХ д2 + х 1

(6.7.7)

(6.7.7)

Одно решение записывается в координатах хь уъ хъ другое — в координатах х^ у^ z2. Используя граничные условия на сфероиде Ог и связь (6.7.3) между координатами, приходим к одной бесконечной системе уравнений. Другая бесконечная система уравнений получается в результате использования граничных условий на сфероиде О2. Из этих двух систем уравнений находятся произвольные постоянные, определяющие решение для случая, когда а, Ъ <^ I = | х0 |. '

Силы и моменты, действующие на каждый сфероид, оказываются одинаковыми. Если пренебречь членами порядка (а/Ь)2 и выше, то они могут быть вычислены из следующих соотношений, записанных для сфероида 6^:

DX1 = 16лрЛ,(6.7.8)

МХ1 = ^1Ц1В,(6.7.9)

где

л_Ъи Г,1 Ь , 1 Ь21/12 \ Ь^

4Q [/Q Z * Й2 /2Q \Q2з ) /з +

+ т{т-^ + 24Й}т.Ь (6.7.10)

«=та{‘4т+«(тГ}х

Х-Л sine cos 6 (6 cos2 6 — 1), (6.7.11) причем

Q = lf21n4-(-l].(6.7.12)

Выражения (6.7.10) — (6.7.12) применимы к случаю вытянутых сфероидов или тел иглообразной формы.

Для двух дисков или круглых пластинок (6 = 0) метод Вакии дает

л 2aU Г.8 а . / 8 \2 а2/ 8 \3 аз ;

— Зл L1Зл I\ Зл / Z21 Зл / /з +

Х-^-sin 6 cos 6 (6 cos2 6-1). (6.7.14)

Заметим, что моменты, действующие на сфероиды, приводят к их винтообразному движению, проиллюстрированному на рис. 6.7.1 для сплюснутых сфероидов. Выражение sin 0 cos 6 х X (6 cos2 0 — 1) положительно в интервале от 6 = 0 до 6 = = 65,8°, что соответствует направлению момента, указанному на рис. 6.7.1. При изменении 6 от 65,8 до 90° это выражение отрицательно, что приводит к измененному направлению момента. Во всех случаях этот эффект имеет четвертый порядок по степеням all или Ы1. Он очень мал и на самом деле не возникает в рамках приближений меньшего порядка, как это и было в случае аналогичной задачи о двух дисках, обсуждаемой в связи с формулой (5.4.26). В случае, когда оси сфероидов образуют друг с другом прямой угол, момент равен нулю.

Все эти эффекты исчезают также тогда, когда форма сфероидов приближается к сферической, а = Ь. Для этого случая

л ^3 а . / 3 \2 а2 19 а3 . 93 я4 1

Л^-а(7[1--т+(-) — ___+ --J, (6.7.15)

что согласуется с результатом для двух сфер, движущихся вдоль линии центров (см. (6.3.51)). Вакия рассматривал также более общий случай, когда оси сфероидов по-прежнему лежат в плоскости z/z, но ориентированы они таким образом, что их линия центров не параллельна оси х.

Пределы применимости уравнений медленного течения

Экспериментально замечено, что, когда число Рейнольдса при падении двух сфер превышает 0,25, начинают сказываться инерционные эффекты, которые проявляются в том, что относительное расположение двух сфер больше уже не остается неизменным, как это имело место в режиме медленного течения.

Взаимодействие частиц при наличии малых инерционных сил возможно рассматривать на основе уравнений Озеена [26]. При этом необходимо учитывать, что, как было указано Праудменом

и Пирсоном [27], уравнения Озеена обычно неверно приближают поле течения вблизи самих сфер. По этой причине' относиться к приводимым ниже теоретическим результатам Озеена для задачи о двух сферах следует с подозрением. Бреннер [4] х), используя метод Праудмена и Пирсона, показал, каким образом можно получить сопротивление частицы произвольной формы по Озеену, если известно ее сопротивление по Стоксу. В этом методе, однако, классические уравнения Озеена не используются для описания поля скорости в окрестности частицы.

Для двух сфер при малых числах Рейнольдса Озеен [26] предложил исследование, в котором он просто использует решение Смолуховского для двух сфер, участвующих в медленном движении, но при оценке взаимодействия частиц подставляет вместо стоксовых полей скорости соответствующие озееновы поля. Для двух равных сфер, движущихся одна вслед за другой вдоль оси z, сила, действующая на жидкость со стороны опережающей сферы, дается Озееном в виде

Р« = 6лцаС7 (1 -11 е-2аг) _ 9 „^ [IHld^LC^J , (6.8.1) где

о=^.<6-8-2>

Если ol мало, формула (6.8.1) принимает вид

^^en^fi-ll+I^Be).(6.8.3)

Число Рейнольдса 7VRe отнесено к диаметру сферы, a Z — расстояние между центрами сфер. Сила, действующая на жидкость со стороны запаздывающей сферы, будет такой же, как и в случае уравнений Стокса, а именно

Л2 = 6лИаГ(1-{|).(6.8.4)

Таким образом, первая из падающих сфер тормозится в большей степени, чем следующая за ней.

Для двух сфер, падающих одна рядом с другой вдоль оси ж, силы, действующие на каждую сферу, будут равны, однако уже не будут направлены по линии падения сфер, как было в случае уравнений медленного течения. Для этого случая составляющая по оси х силы, действующей на каждую сферу, имеет вид

F’xt = F'x2 = 6nviaU-l^a2U^p-,(6.8.5)

откуда при малых ol

^1 = ^2 = 6лца67(1-|^+1лгВе).(6.8.6)

*) См. также следующие работы: Chester W., J. Fluid Meeh., 13 (1962), 557; Brenner H., Cox R. G., J. Fluid Meeh., 17 (1963), 561.

Составляющая, действующая по оси z, т. е. вдоль линии, соединяющей центры двух сфер, соответствует отталкиванию. Ее величина

Fzi = — ^z2 = у ^aU•(6.8.7)

При малых о/ это выражение переходит в

^i = - ^2 = 6л^£7 (^).(6.8.8)

Несмотря на то что уравнения Озеена линейны, нельзя рассматривать случай двух произвольно ориентированных сфер как просто векторную сумму результатов, полученных отдельно для движения параллельно линии центров и перпендикулярно ей, так как в уравнениях Озеена скорость U, фигурирующая в приближенном представлении сил инерции pU-Vv, различна для этих двух случаев.

В оригинальном решении Озеена рассматривается случай двух сфер произвольных размеров, однако в окончательных соотношениях член, дающий инерционную поправку, пропорционален произведению агай радиусов сфер. Отсюда следует, что нельзя получить инерционной поправки, если любое из значений av или а2 обращается в нуль. Этот вывод, конечно, несостоятелен и обусловлен, по-видимому, тем, что в действительности в случаях, когда сферы находятся относительно далеко друг от друга, нужно сопрягать граничные условия отдельно на каждой из двух сфер и на бесконечности, как это делается в процедуре сращивания Праудмена и Пирсона, обсуждавшейся в разд. 2.6.

Хаппель и Пфеффер [18] представили результаты экспериментальных исследований с двумя одинаковыми сферами, движущимися одна вслед за другой в диапазоне чисел Рейнольдса от 0,27 до 0,73. Наблюдения качественно подтвердили эффект, предсказанный ранее на основе уравнений Озеена, однако было обнаружено, что лучшая корреляция достигается, когда константа перед N-Re в формуле (6.8.3) равна 0,11 вместо теоретического значения 3/8. Эксперименты на одиночных сферах указывают на такое же расхождение в коэффициенте пропорциональности. Следует также ртметить, что упрощенные формулы (6.8.3), (6.8.6) и (6.8.8) неприменимы, когда сферы очень далеки друг от друга, поскольку при этом использовалось приближение в**- ^ 1 + х* Однако дальнейшее уточнение этих формул, вероятно, неоправданно ввиду того, что применимость самих уравнений Озеена находится под вопросом.

Как отмечалось в разд. 2.7, не существует решения уравнений медленного течения для задачи обтекания вязкой жидкостью одиночного цилиндра. Однако обтекание цилиндра было успешно

рассмотрено с применением линеаризованных уравнений Озеена [26], причем получено качественное согласие с экспериментальными данными. Так как цилиндры в сравнении со сферами являются примером частиц совершенно иной формы, представляют интерес некоторые имеющиеся работы по определению сил, действующих на два цилиндра, расположенных поблизости в медленном потоке вязкой жидкости. Теоретические работы Фудзикавы [15—17] охватывают случаи, когда поток жидкости перпендикулярен осям цилиндров неравных радиусов, расположенных параллельно друг другу. В некотором отношении результаты аналогичны полученным для сфер. Так, если два цилиндра равных радиусов расположены один за другим, то передний цилиндр испытывает большее сопротивление, чем задний. Цилиндры, расположенные рядом, стремятся разойтись. В обоих случаях сопротивление каждого из двух цилиндров меньше, чем для одиночного цилиндра. Танеда [32] провел экспериментальные исследования, и ему удалось получить согласие с теоретическими выводами из уравнений Озеена. Дальнейшее исследование в этом направлении содержится в работе Кувабары [21]. Задача о нахождении сил, действующих на два параллельных эллиптических цилиндра в равномерном потоке жидкости при малых числах Рейнольдса, рассматривалась в работе Такаиси [31], где приведены обширные численные результаты.

Еще одна тема заслуживает рассмотрения. Именно при использовании уравнений медленного течения предполагалось, что сопротивление будет таким же, как при установившемся движении частиц. Этого условия всегда можно добиться в случаях, когда частицы имеют почти одинаковый размер. Когда же сферы неодинаковы, то для получения точных результатов следовало бы учесть ускорение частиц и жидкости. Для одиночных частиц это можно сделать, следуя Ландау и Лифшицу (ссылка [35] в гл. 2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Anderson О., Svensk Papperstidning, 59 (1956), 540.

Bart Е., М. Ch. Е. Thesis, New York University, 1959.

Brenner H., Chem. Eng. Sci., 18 (1963), 1.

Brenner H., J. Fluid Meeh., 11 (1961), 604.

Brenner H., J. Fluid Meeh., 12 (1962), 35.

Brenner H., J. Fluid Meeh., 18 (1964), 144.

Brenner H., Chem. Eng. Sci., 19 (1964), 599.

Burgers J. M., Proc. Koningl. Akad. Wetenschap. (Amsterdam), 44 (1941). 1045.

Burgers J. M., Proc. Koningl. Akad. Wetenschap. (Amsterdam), Ml (1941), 1177.

Burgers J. M., Proc. Koningl. Akad. Wetenschap. (Amsterdam), 43 (1940), 425, 646.

H. Burgers J. M., Chap. Ill, Second Report on Viscosity and Plasticity, ■ Amsterdam, North Holland Publishing Co., 1938.

Eveson G. F., Hall Е. W., Ward S. G., Brit. J. Appt. Phys., 10 (1959), 43.

Faxen H., Z. angew. Math, und Meeh., 7 (1927), 79.

Faxen H., Arkiv. Mat. Astron. Fys., 19A, No. 13 (1925).

Fujikawa H., J. Phys. Soc. Japan, 11 (1956), 558.

Fujikawa H., J. Phys. Soc. Japan, 11 (1956), 690.

Fujikawa H., J. Phys. Soc. Japan, 12 (1957), 423.

Happel J., Pfeffer R., A. I. Ch. E. Jour., 6 (1960), 129.

Hocking L. M., Quart. J. Roy. Meteorol. Soc., 85 (1959), 44; Ph. D. Thesis, Univ. London, 1958.

Hocking L. M., частное сообщение.

Kuwabara S., J. Phys. Soc. Japan, 12 (1957), 291.

Kynch G. J., J. Fluid Meeh., 5 (1959), 193.

Kynch G. J., in «Aerodynamic Capture of Particles», ed. E. G. Richardson, New York, Pergamon, 1960, p. 194.

Ламб T., Гидродинамика, Гостехиздат, 1947.

Милн-Томсон Л. М., Теоретическая гидродинамика, «Мир», М., 1964.

Oseen С. W., Hydrodynamik, Leipzig, Akademische Verlag, 1927.

Proudman I., Pearson J. R. A., J. Fluid Meeh., 2 (1957), 237; русский перевод: Праудмен И., Пирсон Дж., сб. Механика, № 2 (48), 3—28 (1958).

Slack G. W., Mathews Н. W., Porton Technical Paper No. 797, Chemical Defence Exptl. Establishment, Porton, Wilts., England, 1961.

Smoluchowski M., Bull. Inter, acad. Polonaise sci. lett., 1A (1911), 28.

Stimson M., Jeffery G. B., Proc. Roy. Soc., London, Alli (1926), 110.

Takaisi Y., J. Phys. Soc. Japan, 13 (1959), 506.

Taneda S., J. Phys. Soc. Japan, 12 (1957), 291.

Wakiya S., Niigata Univ. (Nagaoka, Japan), Coll. Eng. Res. Report No. 6, Mar. 30, 1957.

ГЛАВА 7. ВЛИЯНИЕ СТЕНОК

НА ДВИЖЕНИЕ ОДИНОЧНОЙ ЧАСТИЦЫ

Введение

Влияние стенок сосуда на скорость осаждения частицы во многих отношениях подобно влиянию другой частицы, которое обсуждалось в гл. 6. Чтобы изучить поведение группы частиц, осаждающихся в некотором резервуаре, вначале необходимо определить влияние стенок на каждую из частиц в отдельности. Затем можно скомбинировать это влияние с влиянием взаимодействия частиц, используя обобщение метода отражений, описанное в разд. 8.3. Когда размеры частицы малы по сравнению с размерами стенок резервуара и когда влияние стенок можно найти для каждого отражения, метод, по-видимому, дает быструю сходимость.

Взаимодействие частицы со стенками будет зависеть как от формы частицы, ее положения и ориентации, так и от геометрии стенок. Как будет установлено ниже, в случаях разбавленных систем эти эффекты можно разделить, так что результаты, определяющие влияние стенок на сферические частицы, можно применить для частиц другой формы при сохранении соответствующей внешней геометрии. В основе исследования снова будут лежать уравнения медленного течения в квазистационарной форме.

Как и в предыдущей главе, мы вначале получим простейшие приближенные формулы, используя метод точечных сил; они имеют общий характер и применимы во всех случаях, когда размеры частиц малы по сравнению с их расстояниями до стенок сосуда. Как в этих случаях, так и тогда, когда нужны приближения более высокого порядка, будем применять метод отражений,, придерживаясь по существу той же схемы, которая была намечена в разд. 6.1.

Как указывалось в гл. 3, первое приближение для избыточного перепада давлений, обусловленного присутствием частицы в ограниченном потоке жидкости, можно получить на основе одного лишь решения задачи о течении жидкости в отсутствие частицы. Теоремы количества движения и энергии (разд. 3.6), будучи применены к относительному движению частицы, заключенной в области с цилиндрической границей произвольного поперечного сече-

ния, приводят к соотношению

Е£=(^-1)Г,(7.1.1)

где FJ — избыток силы трения, действующей на стенки цилиндра, по сравнению с той, которая наблюдалась бы при отсутствии частицы, Vm — средняя скорость жидкости относительно стенок, ГоО)— скорость набегания жидкости на частицу, F — сопротивление частицы. Результат справедлив с точностью до членов нулевой и первой степеней отношения характерных размеров частицы и цилиндра. Так как отношение v^!Vm не зависит от V^ этот результат применим также и к случаю чистого осаждения, когда Vm = 0, причем в этом случае F^ равна фактической силе, действующей на стенки. Приведенное соотношение эквивалентно также следующему:

AP+A = ^-F,(7.1.2)

т

где АР+ — избыточный перепад давления, вызванный присутствием частицы, при условии что под F понимается только компонента действующей на частицу силы, параллельная стенкам цилиндра; Л — площадь поперечного сечения канала.

Выражение (7.1.1) показывает, что как величина, так и направление силы, действующей на стенки, зависят от расположения частицы по отношению к оси цилиндра.

Для кругового цилиндра радиуса /?0 имеем

где b — расстояние центра частицы от оси цилиндра. Таким образом, из формулы (7.1.1) видно, что при движении от оси цилиндра (WR0 = 0) к стенке {Ы R^ = 1) направление избыточной силы изменяется от параллельного силе сопротивления частицы до противоположного. В частном случае

-|-=-т^ = 0,707(7.1.3)

Ro У 2х '

величина этой силы обращается в нуль.

В разд. 2.5 дано решение уравнений прямолинейного течения для некоторых каналов некругового поперечного сечения. Так, для частицы, расположенной на оси канала, сечение которого имеет вид равностороннего треугольника, имеем

^о^ утах 20V т Vm 0

Отсюда ясно, что избыточная сила и перепад давления представляют собой функции формы ограничивающей жидкость поверхности, даже когда эта поверхность бесконечно удалена от частицы.

Поступательное движение частицы вблизи стенок

В этом разделе рассматривается приближение первого порядка для влияния границ течения на гидродинамическую силу, испытываемую жесткой поступательно движущейся частицей произвольной формы. Исследование проводится согласно Бреннеру [5, 9]. Чтобы сделать изложение яснее, делим его на две части. В первой части подробно рассматривается случай, когда, во-первых, частица движется вдоль одной из ее главных трансляционных осей и, во-вторых, когда движение ее параллельно «главной оси границы». В этом случае векторные и диадические по своей природе величины могут рассматриваться как скаляры. Таким образом, сохраняется простота основных идей и результатов, которую можно затерять в математических абстракциях, требуемых при рассмотрении более общего случая. Во второй, более общей, части мы освобождаемся от ограничений, накладываемых симметрией, и приводим результат во всей его общности.

Достоинство анализа в первом приближении заключается в том, что в любом случае можно количественно изучать влияние стенок единообразно для всех частиц, независимо от их формы. Следовательно, известные теоретические либо экспериментальные результаты, касающиеся влияния’ стенок на сферические частицы, могут непосредственно применяться и к несферическим частицам.

Необходимо иметь в виду, что последующий анализ, вообще говоря, применим только к случаю перемещения частиц без вращения. Однако, как увидим, выражение для гидродинамической силы можно использовать и применительно к симметричным вращающимся телам, если придать надлежащий смысл определенным^ членам, входящим в окончательную формулу.

Граничные условия, соответствующие поступательному перемещению твердого тела в жидкости, имеющей границы, требуют, чтобы

v = и на Р, v = 0 на 5, v ->0 на бесконечности, где Р относится к поверхности частицы, a S — к граничной поверхности. Если Р полностью находится внутри 5, то исчезновения v на бесконечности не требуется.

Как и в разд. 6.1, решаем задачу методом отражений. Итак,

V == v^ ■{” v^ + v^ И- . . .,р = р^ + р^ + р^ +...,

где

v(1) = Uна Р, v(1) —>0 на бесконечности,

v(2) = —v(1) на S,v(2) —>0 на бесконечности

И т. д.

Как показано в (6.1.16), поля с четными номерами не вносят вклада в гидродинамическую силу, действующую на частицу, следовательно,

F - F(1> + F(3) + F(5) + . . . .(7.2.1)

Начальное поле v(1) соответствует поступательному движению частицы в безграничной жидкости. Этому движению отвечает сила

Fx> - Foo.(7.2.2)

Детальное знание поля v(1) требуется лишь постольку, поскольку оно входит в вычисление следующего отражения v(2) через граничное условие v(2) = — v(1) на границе 5. На больших расстояниях от любой поступательно движущейся частицы поле скоростей асимптотически должно совпадать с полем, которое порождалось бы действием точечной силы с интенсивностью Foo, расположенной вблизи центра частицы. Таким образом, на больших расстояниях от любой частицы конечного размера из формул (6.2.6) и (6.2.7) имеем

v<n=_^-(F^-v) V — + o(r-‘),(7.2.3)

6л[лгх ' г 1 х ' х '

PU) = ^(F~-V)4 + °0-2)-(7.2.4)

Как только определено поле v(1), необходимо определить поле v(2), нейтрализующее поле v(1) на стенке сосуда S. Вычислив для данной частицы и данной геометрии стенок поле v(2), мы в состоянии затем определить поле v(3), получаемое из условия нейтрализации поля v(2) на поверхности частицы Р, т. е. v(3) удовлетворяет граничным условиям

у(3) — _у(2) на р,

v(3) ->0 на бесконечности.

Как только известно поле v(3), можно определить силу F(3), действующую на частицу со стороны этого поля. Это может быть проделано обычным образом, по крайней мере с точностью до интересующего нас здесь порядка.

Для частицы, движущейся без вращения, из гл. 5 имеем

F - -цК U,(7.2.5)

где К — трансляционный тензор. Так как поле v(2) регулярно во всех точках жидкости, его можно разложить в ряд Тейлора около «центра» частицы О Используя теорему взаимности, можно

затем показать [5], что с точностью до членов наименьшего порядка по отношению размера частицы к размеру стенки

F3) - цК.у<02>,(7.2.6)

где индекс 0 означает, что поле вычисляется в центре частицы.

До сих пор рассмотрение имело совершенно общий характер. Теперь ограничим изложение случаями, когда частица движется параллельно главной трансляционной оси со скоростью U = W (i — единичный вектор в направлении движения). При этом сила, действующая на частицу, движущуюся в безграничной жидкости, противоположна направлению движения; следовательно, можно написать

Foo = -iFoo,(7.2.7)

где скаляр Foo положителен. Далее из (7.2.3) в этом случае имеем для частицы, движущейся в направлении оси ж,

'"’-^['(т+Я+^+кД-<7'2-8)

Остается еще определить направление постоянного вектора v<2). Здесь ограничимся ситуациями, когда граничные поверхности обладают взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии или осями симметрии либо и тем и другим (например, круговой цилиндр, плоская стенка и т. д.); в дальнейшем откажемся от такого ограничения. Предположим, что главная ось, вдоль которой движется частица, параллельна оси симметрии граничной поверхности или перпендикулярна ее плоскости симметрии. В этом случае у^2) будет иметь только одну компоненту, параллельную направлению движения частицы. Этот вывод следует сразу, если заметить, что эта компонента — единственная, которая не есть нечетная функция хотя бы одной из координат ж, у, z, а любая компонента, представляющая собой нечетную функцию координат, обращается в нуль в центре частицы (ж = 0, у = 0, z = 0). Интересующийся читатель может быстро убедиться в справедливости этого факта на некоторых простых примерах, например когда частица движется параллельно или перпендикулярно плоской стенке. Таким образом, можно записать vj2) = —i^2), где скаляр и^ может быть как положительным, так и отрицательным.

Выражение (7.2.6) показывает, что в принятых условиях симметрии сила F(3) параллельна направлению движения частицы, т. е. можно записать F(3) = — iF3). Комбинируя (7.2.5) и (7.2.6), получаем

(7.2.9)

1де Foo и U существенно положительны. Алгебраический знак F^ в таком случае определяется положительностью или отрицатель-

ностью и^\ Для дальнейшего запишем также F = —iF, так как сейчас очевидно, что полная сила, действующая на частицу, будет параллельна направлению ее движения и противоположно направлена. Скалярная величина F существенно положительна.

Так как F(3) теперь известна, то можно вычислить поле скорости v(3) на больших расстояниях от частицы при помощи формулы типа (7.2.3), где вместо v(1) стоит v(3), а вместо Foo стоит F(3). В силу условия v(4) = —v(3) на S это дает граничные условия для определения v(4). По аналогии с предыдущими выкладками сразу заключаем, что

F^F.f^]2, ^7,-^[у]3ит. д. (7.2.10)

После суммирования отдельных слагаемых согласно (7.2.1) получаем следующее выражение для полного сопротивления частицы:

^ = ^ + ^^]+.рЦ^Г + МТГ+--- . (7.2.11)

Эту геометрическую прогрессию можно просуммировать, после чего получаем

F1

= 1-№W(7.2.12)

Как следует из (7.2.3), начальное поле v(U прямо пропорционально Foo. Так как v(2) линейно связано с v(1) при помощи условия v(2) = —v(1) на 5, то отсюда следует, что то же самое верно и для v(2), т. е. v(2) прямо пропорционально Foo. Кроме того, ясно, что v(2) не должна зависеть от вязкости жидкости. Так как Foo прямо пропорциональна вязкости, то отсюда следует, что v(2> пропорциональна Foo/ц. Наконец, очевидно, что v<2) должна стремиться к нулю, когда S неограниченно удаляется от Р, т. е. когда / ->оо, где I — некоторый характерный размер, пропорциональный расстоянию частицы от стенок резервуара. Часто для определенности будем брать в качестве I расстояние от центра частицы до ограничивающей стенки; в некоторых случаях I может изменяться в зависимости от положения частицы и геометрии стенок. Из простых соображений размерности должно быть

Р<» = й-Ц,(7.2.13)

0 блр,/ ’х '

где к — безразмерная постоянная порядка О (1), зависящая только от характера поверхности S. Тогда поправку, обусловленную наличием границ, можно записать в виде

Л_ —1 п 9

Foo 1 — к (Foo/блрШ)’'7

Остается еще оценить точность аппроксимации, которую дает приведенная выше формула. Поскольку Foo пропорциональна ^Пс, результат будет, безусловно, верен с точностью до первых степеней сП (с — характерный размер частицы). Следовательно, знаменатель дроби в (7.2.14) выражен с ошибкой, порядок величины которой не превосходит О (dtf. Однако всегда существует такое начало отсчета, что остаточный член будет иметь вид О (сП)*. В этом случае мы приходим к следующей форме записи для силы сопротивления с учетом поправки, которую вносят стенки:

7^ = 1—л (^оо/блц<7г)+о wiy * (7.2.15)

Следует ясно представлять, что с относится к максимальному размеру частицы. Например, если в круговом цилиндре падает некоторое иглообразное тело, то недостаточно, чтобы диаметр иглы был мал по сравнению с диаметром цилиндра, а нужно, чтобы была мала по сравнению с диаметром цилиндра длина иглы. Конкретный пример на эту тему дает выражение (7.5.21).

Вначале представляет интерес рассмотреть случай, когда частица является сферой радиуса с. В этом? случае известен точный вид некоторых из полученных приближенных соотношений. В первую очередь из выражения для стоксова поля скорости [391 следует, что погрешность в формуле (7.2.3) имеет порядок О ^df^. Кроме того, для сферической частицы имеется точный аналог формулы (7.2.6), следующий из закона Факсена [46]:

■ F^^-^v^ + ^^v12^. (7.2.16)

Отсюда немедленно вытекает, что для сферических частиц справедлива оценка погрешности, приведенная в выражении (7.2.15). Общая форма (7.2.15) для сфер подтверждается во всех деталях подробными решениями, которые имеются для большого разнообразия различных границ. Соответствующие значения к для решений, приводимых ниже, даны в табл. 7.6.1.

Целесообразно отметить, что выражение (7.2.15) справедлива и тогда, когда S не является твердой поверхностью, к которой прилипает жидкость. Тщательный анализ приведенного выше изложения показывает, что окончательный результат сохраняет силу для любого однородного линейного условия, заданного на 5, например тогда, когда S — свободная поверхность, т. е. когда обращаются в нуль нормальная компонента скорости и касательные напряжения. Само собой разумеется, что величина к зависит от вида граничных условий, заданных на S.

ОБОБЩЕНИЯ ДЛЯ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

В работе [9] Бреннер дал обобщение предыдущего изложения на случай, когда главные трансляционные оси частицы могут быть ориентированы любым образом по отношению к главным осям ограничивающих стенок. Как мы сейчас покажем, с точностью до первого порядка по отношению размера частицы к размеру границы избыточное сопротивление частицы в поступательных движениях можно представить в виде симметричного тензора второго ранга (диадика), значение которого не зависит от формы и ориентации частицы.

На больших расстояниях от частицы формулы (7.2.3) и (7.2.4), дающие асимптотику начального поля, можно записать в виде

v<.,= _(1 + ^)._^- + о(^),(7.2.17)

<7'2Л8>

где I — единичный тензор, аг — вектор положения точки жидкости относительно «центра» частицы. Явно выписанные члены соответствуют действию в безграничной жидкости точечной силы интенсивности Есо, расположенной в начале координат.

Так как г = О (Z) на 5, то из (7.2.17) вытекает, что граничные условия, которым должно удовлетворять на S поле v(2), имеют вид

™ S' <7-2Л9>

где

-/ ^g yg Zg \ 3Z Гр , (fs/O (rs/0 "1/7 9

a rs = (ж5, ySl zs) обозначает радиус-вектор точки, лежащей на S. Диадик Ks имеет порядок 0(1) по отношению к параметру сП. Ясно, что в любой точке на S диадик Xs зависит только от положения центра частицы Р по отношению к 5 и от геометрической формы 5 и не зависит от размера S.

В стоксовом режиме F — О (влцсП). Следовательно, v(2) должно иметь вид

’й = ’-<§г+»(1).(7-2.21)

где X = X (я/1, y/l, zfl) — диадик порядка 0(1), обращающийся в Kg на S. Таким образом, этот тензор в любой точке жидкости зависит тоже только от положения центра частицы Р относительно 5 и от формы 5.

Далее, согласно (7.2.6), силаР(3), обусловленная полем (v(3), р^, в принятых здесь обозначениях запишется в виде

F<$) = блцефос -v'? + о(у),(7.2.22)

где фоо = К/блс — безразмерный стоксов трансляционный тензор частицы, a v^ — значение v(2) в центре объема, занятого в настоящий момент частицей. Но из (7.2.21) имеем

<7-2-23»

где к — значение X в центре частицы (х = 0, у = 0, z = 0). Полученное соотношение представляет собой обобщение уравнения (7.2.13). Тензор к, следовательно, есть безразмерный диадик порядка О (1), зависящий только от положения центра частицы Р относительно поверхности S и от формы этой поверхности. В оригинальной работе [9] показано, что диадик к симметричен.

Комбинируя (7.2.22) и (7.2.23), получаем

^^фоо-к-Росу+о (у) .(7.2.24)

Хотя фоо и к симметричны, их произведение, вообще говоря, не симметрично, поэтому при умножении необходимо обращать внимание на то, чтобы сохранялся должный порядок сомножителей..

Отражения высших порядков можно получить таким же образом, как показано выше. В результате находим для т = 0, 1,2, . . .

F(2m+1) = (фоо-к^у • Foo + О (±у.(7.2.25)

Если теперь подставить (7.2.25) в (7.2.1) и просуммировать получающуюся геометрическую прогрессию, то получим выражение, скалярный аналог которого был дан в (7.2.15):

F = [l-V=.ky + o(y)]"1-Foc.(7.2.26)

Если из этого выражения исключить Foe, используя для этого определение безразмерного трансляционного диадика:

Foo = —блцсфоо-U,

то получим основной результат

F= -6л(1с[ф5-ку+о(у)]-1.и,(7.2.27)

представляющий собой обобщение формулы (7.2.15).

При этом не важно, как определяются входящие в (7.2.27) характерные размеры с и L Различный выбор этих величин просто 22-01084

приводит к различным определениям диадиков фоо и к таким образом, что общий результат остается неизменным.

Выражение (7.2.27) получено только для ситуаций, когда частицы перемещаются без вращения. В этом случае результат применим к частицам любой формы. Однако большинство частиц при осаждении их в сосуде под действием силы тяжести приходит во вращение. Естественно поэтому исследовать вопрос о применимости формулы (7.2.27) в более общих условиях. Частично этот вопрос изложен в [9]. Здесь же, завершая изложение, заметим, что предположение об отсутствии вращения у частицы было явно использовано только при применении соотношения Foo — —цК -U. В более общих случаях имеем'

Foo = — р> (К • ид + Сл • со),

где Сд—сопряженный диадик в центре реакции R. Так как для симметричных тел CR = 0, мы заключаем, что выражение (7.2.27) можно применять к любой симметричной частице при условии, что в этом выражении U означает скорость ил центра реакции (т. е. центра гидродинамических напряжений) этой частицы.

ПРИЛОЖЕНИЕ К ПРОИЗВОЛЬНО ОРИЕНТИРОВАННОЙОСАЖДАЮЩЕЙСЯ ЧАСТИЦЕ

Для осаждающихся частиц гидродинамическая сила F известна априори (при условии что пренебрегаем силой инерции, действующей на частицу из-за ее ускорения, если таковое имеется), и надо найти ее мгновенную скорость U. Разрешая соотношение (7.2.27) относительно этой скорости, получаем

^иоо+^ + о^),(7.2.28)

где

1 .р

=(7.2.29)

ОЛ[ЛСх'

обозначает скорость, с которой осаждалась бы (при той же самой ориентации) данная частица в безграничной жидкости. Чтобы найти F, обозначим через g вектор ускорения силы тяжести, направленный вертикально вниз, а через пгр и т^ — соответственно массу частицы и вытесненной жидкости. Если пренебречь силой инерции, связанной с массой частицы, то гравитационная, гидростатическая и гидродинамическая силы, действующие на частицу, будут находиться в равновесии. Следовательно, гидродинамическая сила, действующая на частицу, постоянна и равна

F = — (тр — т^ g.

Отсюда видно, что даже изотропная частица в общем случае не будет в ограниченном объеме жидкости осаждаться вертикально, если только одна из главных осей тензора к не параллельна гравитационному полю Земли.

В качестве простого примера применения формулы (7.2.28) рассмотрим движение тонкого однородного кругового диска толщины b и радиуса с (с ^> Ь), падающего под действием тяжести в полубесконечной области, занятой вязкой жидкостью и ограниченной снизу бесконечной жесткой плоской стенкой, как показано на рис. 7.2.1. Положение центра диска относительно стенки в любой момент времени задается отрезком I.

Пусть яу, xj и xj (/ = 1, 2, 3) — координаты, связанные соответственно с пространством, диском и стенкой. Ось координат х^ направлена к центру Земли, а ось координат х^ параллельна земной поверхности. Все оси, обозначенные индексом 3, направлены от нас перпендикулярно плоскости чертежа. Единичные векторы во всех трех системах координат обозначим через iy, ij и ij, а через Е и ц соответственно углы, образуемые с горизонтальной плоскостью плоскостями диска и стенки. Поставим задачу определить составляющие мгновенной скорости осаждения диска в системе координат х5.

Рис. 7.2.1. Асимметричное осаждение круглого диска вблизи наклонной плоской стенки.

Из соображений симметрии ясно, что главные оси тензора фоо параллельны осям х5. При движении диска в безграничной жидкости плоскостью вперед со скоростью U на него действует стоксова сила Foo = —16p,cU. Соответствующее значение при движении ребром вперед будет Foo = —(32/3) prU. Отсюда получаем (ср. (5.4.29))

фоо = g^ (3i1i1 + 2i2i2 + 2i3i3).(7.2.30)

Из симметрии следует также, что главные оси тензора к везде параллельны осям Xj. Отсюда, используя данные табл. 7.6.1, находим, что т)

к = -jg- (2^4 + Мг + Мз) •(7.2.31)

Заметим также, что g = ijg. Так как тр — mj — nc^b^ (Др — разница плотностей материала диска и жидкости), то непосредственное вычисление дает (73 = 0 и

^ = ^ [ ( —^ - К 2-"Л) т + " (т) ] .

[sin “s 5 + 4 sin ч cos 17 + 0 (f) ] ■

Единственный другой случай, когда удается полностью определить тензор к, описывающий влияние стенок, представляет частица, расположенная в центре полой сферы, заполненной вязкой жидкостью. Очевидно, что в этом случае тензор к должен быть изотропным. Поэтому, если I — радиус полой сферы, из табл. 7.6.1 находим, что

к=-|-1.(7.2.33)

ПОДВИЖНАЯ ГРАНИЦА ИЛИ НЕНУЛЕВАЯ СКОРОСТЬНА БЕСКОНЕЧНОСТИ

Выражения (7.2.15) и (7.2.27) применимы только в случае, когда граница S неподвижна и жидкость на бесконечности покоится. Представляет интерес преобразовать эти выражения таким образом, чтобы избавиться от упомянутых ограничений. Случай

движущейся границы реализуется, например, когда S сама представляет собой частицу, движущуюся вблизи выделенной частицы Р. Случай ненулевой скорости на бесконечности осуществляется, например, при пуазейлевом течении жидкости в круглой трубе, содержащей частицу. Задачи этого типа интересны в связи с наблюдавшимся явлением радиальной миграции частиц в пуазейлевом течении [24, 50].

В случае если граница S движется или скорость жидкости на бесконечности отлична от нуля, через (v(0), pw) будем обозначать поля скоростей и давлений, которые имели бы место при заданных условиях, если бы частица Р была удалена из жидкости. Предполагаем, что эти поля удовлетворяют уравнениям медленного течения. Тогда новая задача отличается от ранее рассмотренной добавлением начальных полей (v(0), p^Y Из прежних граничных условий изменения потребует только условие определения поля v(1). Вместо него теперь нужно потребовать, чтобы

V<D = U — v(0) на Р.<7.2.34)

Начальное поле v(0) можно разложить в ряд Тейлора в окрестности центра частицы Р:

(7.2.35)

где Vq0) — значение v(0) в центре объема, занятого частицей в настоящий момент. Таким образом, вместо (7.2.34) v(1) может быть однозначно определено с точностью до членов первого порядка по сП посредством соотношения

v^U-v^ + ofy) на Р.(7.2.36)

Повторяя рассуждения, которые привели к формуле (7.2.27), находим, что в данном случае с точностью до первого порядка сила, действующая на частицу, дается выражением

F = — блцс [ф" - к | + о (^) ]'1 • [и - v(0°> + <> (у ) ] , (7.2.37) где к имеет то же значение, что и ранее, т. е. когда v(0) было тождественно равно нулю.

Выражение (7.2.37) в совокупности с соотношением F = = — <тр — т?) g Дает следующее значение для мгновенной скорости частицы:

(7.2.38)

Эта формула показывает, что частица, движущаяся в пуазейлевом потоке жидкости х) в вертикальной цилиндрической трубе, будет

(если плотность материала частицы отлична от плотности окружающей жидкости) претерпевать радиальное перемещение всякий раз, когда ни одна из трех ее главных осей не параллельна вектору поля тяжести.

В простейшем случае, когда движение параллельно главной оси, выражение (7.2.37) эквивалентно (7.2.15), если в левой части последнего заменить знаменатель па F'oo — силу сопротивления частицы в безграничной среде, вычисленную по скорости набегающего потока, т. е.

^ = F,o[l-(^) (1 + 0 (у)2}]* (7‘2-39)

Методы, изложенные в данном разделе, можно применить к различным комбинациям форм частиц и стенки, если знать отдельные решения для частиц, движущихся в безграничной среде, и для сфер в окрестности стенок различной формы.

Сфера, движущаяся в осевом направлении

в круглой цилиндрической трубе

В этом разделе рассматривается медленное поступательное движение одиночной сферической частицы параллельно образующей бесконечно длинного кругового цилиндра, через который может протекать вязкая жидкость. Сфера может занимать любое наперед заданное положение. В рамках первого приближения был разработан [6] общий метод, использующий процедуру отражений. Хаберман [27] и др. исследовали более подробно осесимметричный случай, когда центр сферы лежит на оси цилиндра. Эти решения кратко рассмотрены в конце раздела. Нужно отметить, что здесь рассматривается случай, когда сфера не может вращаться в процессе движения. Так как здесь учитываются только поправки первого порядка, то влияние вращения на силу сопротивления будет незначительным.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

В последующем изложении придется использовать целый ряд различных систем координат. Сюда входят декартовы координаты х, у, z, сферические координаты г, 6, ср и цилиндрические координаты р, ф, z, имеющие общий центр, который совпадает с центром сферы; кроме того, необходимо ввести декартовы X, У, Z и цилиндрические R, Ф, Z координаты, начало которых расположено на оси цилиндра так, что выполняется условие z = Z. Соотношения между этими различными системами координат изображены на рис. 7.3.1 ).

Рис. 7.3.1. Системы координат для сферы, находящейся внутри кругового цилиндра.Рис. 7.3.1. Системы координат для сферы, находящейся внутри кругового цилиндра.Сфера движется в положительном направлении оси z (т. е. параллельно оси цилиндра) с произвольной постоянной скоростью U относительно стенок цилиндра. В то же время жидкость

Рис. 7.3.1. Системы координат для сферы, находящейся внутри кругового цилиндра.

Рис. 7.3.1. Системы координат для сферы, находящейся внутри кругового цилиндра.

находится в ламинарном движении со средней по сечению цилиндра скоростью (1/2) Uo в том же самом направлении. Радиус сферы а, радиус цилиндра ROl центр сферы расположен на расстоянии b от оси цилиндра, как показано на рис. 7.3.2.

В системе координат, движущейся вместе со сферой, обычная гипотеза прилипания на поверхности раздела между жидкостью и твердым телом приводит к следующим граничным условиям, определяющим поле скоростей v: v = 0 при г = а,

(7.3.1)

v = —\ги при R = R^

ZZttРис. 7.3.2. Движение частицы и жидкости в круговом цилиндре.Рис. 7.3.2. Движение частицы и жидкости в круговом цилиндре.(7.3.2) где iz — единичный вектор в направлении оси z. Набольших расстояниях от сферы, т. е. при z = ±оо, возмуще-

Z

Z

t

t

Рис. 7.3.2. Движение частицы и жидкости в круговом цилиндре.

Рис. 7.3.2. Движение частицы и жидкости в круговом цилиндре.

ние, порождаемое сферой, исчезает, и распределение скоростей жидкости становится пуазейлевым. Это приводит к дополнительному граничному условию

v = iz[tZ0(l — -^г) — ^] ПРИ z=±oo. (7.3.3)

Кроме того, необходимо удовлетворить уравнениям движения .■V2v=-^-VP,(7.3.4)

а также уравнению неразрывности для несжимаемых жидкостей

(7.3.5)(7.3.5)V V - 0.

(7.3.5)

(7.3.5)

Использование уравнений медленного течения ограничивает справедливость окончательных результатов случаями, когда число Рейнольдса относительного движения частицы 2а | t70 (1 — Ь2//?^)— — U | /v мало (v — кинематическая вязкость).

Как и в ранней работе Хаппеля и Бирна [30], указанная краевая задача решается методом «отражений». Таким образом, решение представляет собой сумму ряда, составленного из полей скоростей, каждое из которых удовлетворяет уравнениям (7.3.4) и (7.3.5) и своим граничным условиям, как указано ниже:

v<°> = i2

И1-

№ \

^02 j

1 — и ] всюду;

(7.3.6)

vd' = |

— v(0) 0

при

при

г = а,

z=±oo (т. е. r=oo);

(7.3.7)

у(2) = ^

— у(1)

0

при при

R = Ron

Z = + оо;

(7.3.8)

v^) = |

— у(2)

0

при

при

г = а, z=±oo (т. е. г=оо)

(7.3.9)

и т. д., причем число взятых полей определяется нужным порядком приближения. Поле v, удовлетворяющее граничным условиям (7.3.1) — (7.3.3), получается тогда в виде

у = у(0) + у(1) + у(2) + V(3) + . . . ,(7.3.10)

а соответствующее поле давления дается выражением

р = р<0) + ^(1) + р(2) + р(3) + . . . .(7.3.11)

Успешное применение данного способа решения обусловлено линейностью уравнений движения. Он имеет то преимущество, что каждый раз нужно рассматривать граничные условия только на одной из поверхностей.

Если обозначить через F и Т соответственно силу трения и момент (относительно центра сферы), действующие на сферу, то- получим аналогичные выражения в виде

F = F(0) + F(1) + F2) + F(3) + . . . ,(7.3.12)

T = T(0) + Т(1) + Т(2) + Т(3) + . . . .(7.3.13)

Далее, если через ^Р8 обозначить избыточный перепад давлений (по отношению к первичному пуазейлевскому перепаду АР0)т который испытывает жидкость из-за присутствия сферы, то ~

APS = ^P1 + ДР2 + ДР3 + ДР4 + . . . , (7.3.13а)

где перепад давлений АРЬ соответствующий полю с номером гТ есть просто разность давлений р(1) при Z = —оо и Z = + оо. При таком определении перепада давлений не возникает неопределенности, так как при Z ->Нгоо давление постоянно по сечению трубы и, следовательно, не зависит от Ф и R. Поэтому при вычислении перепада давлений удобно определять давления р^ при R = Ro. Если не считать произвольной аддитивной постоянной,, которую без потери общности можно положить равной нулю, то из условий симметрии относительно плоскости Z = О вытекает, что давление должно быть нечетной функцией от Z. Учитывая это, приходим к формуле

ДЛ=-2 lim lp^R=Ro,(7.3.14)

2-*4-оо

где индекс означает, что функция вычисляется на стенке цилиндра.

ПЕРВОЕ ОТРАЖЕНИЕ

Невозмущенное поле v(0) определено в (7.3.6). Легко показать, что

F(0) = 0,(7.3.15)

-Т«» = 0.(7.3.16)

Поле v(1), представляющее собой первое отражение и определенное в (7.3.7), было получено Симхой [51] в связи с задачей определения вязкости суспензии. Если использовать общее решение Л амба [39] в сферических координатах, то результат Симхи можно выразить в виде

v<D = V х (гХ(Л) + V (Ф(Л + Ф-з + Ф-I + 4- т3?^ - i ^-Х ) +

<7-ЗЛ7>

//"-рУ + Й + р'-Ч.(7.3.18)

где г — радиус-вектор, проведенный из центра сферы, а р_(п+1)> ФЧп+1) и X-(n+i) — объемные сферические гармоники степени — (п + 1), определяемые следующим образом (ср. вывод на стр. 86—90):

Р-2/pt = Лг"^ (COS в),

Р-з/р, = ВВ0Г"г COS фР2 (COS в),

Р-4 /р = сR^P» (cos 0),

Ф<Л = DR^Px (cos 6),(7.3.19)

Ф^з = ERzr~z cos (рР^ (cos 0),

<S>(l\=FR4er^Pa (cos 6),

Х^г = GRor-z sin фР* (cos 0),

где постоянные даются выражениями

(7.3.20а)(7.3.20а)(7.3.206)(7.3.206)

(7.3.20а)

(7.3.20а)

(7.3.206)

(7.3.206)

Через Рп (cos в) и Р™ (cos в) обозначены соответственно полиномы Лежандра степени п и присоединенные полиномы Лежандра (первого рода) порядка п и ранга т. Для справки приводим значения функций, входящих в (7.3.19):

Pt (cos 0) = cos 9,

Р\ (cos 0) = sin0,

P^ (cos 0) — 3 sin 0cos0,(7.3.21)

P3 (cos 0) = у (5 cos3 0 — 3 cos 0).

Выражения для силы и момента, действующих на сферу, можно получить из соотношений (3.2.42) и (3.2.45):

F^ = -4л? (г^),(7.3.22)

Т(1) = -8лц? W-^Y(7.3.23)

Эти выражения относятся к решению Ламба и имеют совершенно общий характер/ Учитывая, что, согласно (7.3.19), г3^2 = = р, At cos 6—pAz, и подставляя значение А из (7.3.20а), получаем-

F(1) = - 126лИа \U-U6 (1 - ^— у ^-) ] •(7.3.24)

Аналогично, используя соотношение г sin 6 sin ср = у, находим

Т(1> = 1у8л^70(-^) (-£-).(7.3.25)

Если рис. 7.3.2 рассматривать как меридиональную плоскость, проходящую через ось цилиндра и через центр сферы, то действующая на сферу пара сил будет стремиться вращать ее против часовой стрелки.

В последующем изложении ограничимся приближенным решением, когда отношение afR0 радиуса сферы к радиусу цилиндра мало. Полное выражение для поля v(2), учитывающее все члены, дано в дополнении к статье авторов [31]. Первое приближение охватывает большинство представляющих практический интерес ситуаций и иллюстрирует используемую методику. Анализ членов, приведенных в (7.3.19), показывает, что окончательное выражение для силы сопротивления, верное с точностью до членов нулевой и первой степени по а!Н0, может в итоге быть получено, если в приведенном решении оставить только гармонику р1^. Это эквивалентно использованию приближения точечной силы для поля v(1). Таким образом, вместо предыдущих результатов будем в дальнейшем пользоваться приближенным решением

у(1)+ А pW ,(7.3.26)

^ « р^,(7.3.27)

где

-^ = Hr^ cos 6 = Н^,(7.3.28)

а постоянная Н определяется выражением

■Н = 1а^и-иД1-^у(7.3.29)

В рассматриваемом приближении сила сопротивления частицы теперь дается формулой

Г(1)«-126л|ш[£7-С70(1--^-)],(7.3.30)

тогда как момент, действующий на сферу, остается неизменным.

ПЕРЕХОД К ЦИЛИНДРИЧЕСКИМ КООРДИНАТАМ

Чтобы вычислить поле v(2), определяемое условиями (7.3.8), необходимо выразить v(1) на стенке цилиндра, т. е. при R = /?0. Лучше всего это проделать, преобразуя поле v(1) путем перехода к цилиндрическим координатам R, Ф, Z, связанным с осью цилиндра. Используя выражение (7.3.28) для pi^/p, а также соотношение

=<7'3'31>

легко получаем другую форму представления поля первого отражения:

¥1»=4[21.(1-)-у(^)].(7.3.32)

В выбранной системе координат имеем

iz = i2(7.3.33)

и

+(7.3.34)

так что мы достигнем цели, если выразим скалярные функции 1/г и zfr в этих координатах.

В книге Ватсона [641 приводится соотношение

±=(p2 + z2)-i/2 = A j ^0 (Хр) cos Xz dX,(7.3.35)

о

где Ко —- модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка. Хотя это преобразование верно только при р>0, здесь это ограничение несущественно, ибо достаточно выразить v(1) только в окрестности стенки. Замечая, что

Р = (Д2 + Ь2 _ 2bR cos ф)1/2,(7.3.36)

можно воспользоваться еще одним преобразованием, приведенным в книге Ватсона:

#0(Хр) = 2 ^„(ХЯ)7к(ХЬ) созХФ. (7.3.37)

Здесь Ik и Kh — модифицированные функции Бесселя соответственно первого и второго рода if порядка к. Приведенное соотношение справедливо только при R > Ь. По причинам, о которых было сказано ранее, это ограничение несущественно. Подставляя (7.3.37) в (7.3.36), получаем

у = А S cosAoj^k(X7?)7k(X6)cosXZdX. (7.3.38) к=-сю0*

Для получения второго скалярного преобразования убеждаемся, выполняя дифференцирование, в справедливости следующего тождества:

ZKh (ХД) Ih (М>) cos XZ =

= ^ № № Ik W sin XZ] - sin XZ 4k t^h № к №• ^-^) Тогда, умножая (7.3.38) на z и учитывая предыдущее тождество, имеем

7 = 7 2 cos АФ [Kk (XT?) Jk (ХЬ) sin XZ] Г=” —

-Т S созАФ J ^[tfk(XH)/k(Xb)]sinXZdX. (7.3.40) k=-ooО

Первый член в скобках исчезает при X = 0 и X = оо. Выполняя дифференцирование во втором члене, приходим к требуемому преобразованию

-± = _ А 2 COS АФ j [ RK’h (ХЯ) Ih (ХЬ) ч-

+ 67rk(XZ?)7k(^)]sinXZdX. (7.3.41)

Штрихами обозначено дифференцирование функции по своему аргументу.

Теперь уже относительно просто получить искомое преобразование:'

Iv(1)]h0 = iR -i- 2 cos кФ ak (X) sin XZ dX + k=—oo0

+ 1Ф ~- 2 sin ^ j Рь W sin ^ ^X + k= — oo0

+ iz-~ 2 Cos ^Ф j Ta (^) c°s^2dX, (7.3.42) k=- oo0

где

ак (X) = Я [ ХЯ0Як (ХЯ0) Ik (ХЬ) + ХЬК’к (ХЯ0) Гк (ХЬ) Ч-

^^Кк№11ЛЬЬ)У (7.3.43)

Рь (X) = -Нк [^Кк (ХЯ0) Гк (ХЬ) + Кк (ХЯ0) 1к (Хд)],(7.3.44)

Yk (X) = Н VKRoKk (ХЯ0) Ih (ХЬ) + ХЬКк (ХЯ0) Гк (Х6) Ч-

Ч-2Як(ХЯ0)7к(Хд)].(7.3.45)

При этом использовалось уравнение, которому удовлетворяют модифицированные функции Бесселя:

Кк (ХЯ) = --Ц^ ч- (1Ч- да) Кк №•(7.3.46)

Аналогичное выражение для значений на стенке цилиндра начального поля давлений можно получить из (7.3.27) и (7.3.38) при помощи соотношения zlr3 = —8 (1/r) dz, что дает

[Р(1)]в0 = -да 5 cos/сФ j X/fk(Xfi0)7k(X5)sinXZdX. (7.3.47) к= -оо0

ВТОРОЕ ОТРАЖЕНИЕ v<2>

Общее решение уравнений (7.3.4) и (7.3.5) в цилиндрических координатах, пригодное для разыскания поля v(2), было дано в разд. 3.3 и имеет вид

00 г-лап(2> -1

у(2)= 2 [v xGzQ^HvV^ R ^vn^ + iz-^-], (7.3.48)

°°д2П(2)

р(2)=-2И 2 -V'(7-3-49)

к=-оо

где Qft, ¥& и Щ — произвольные цилиндрические гармонические функции порядка к, записанные в координатах R, Ф, Z. Эти формулы имеют совершенно общий характер и применимы также для полей v(4), v(6) и т. д. В данном случае предполагается, что эти гармонические функции имеют вид

Пк > = - ^- cos ЛФ j ^W Ih № sin XZ dX,

0

Tk2) = - 4- cos кФ fIk (ХЯ) sin XZ dX, (7.3.50)

0

Й^>= _±5ткФ j ^Ljk(Xfi) sinXZdX.

0

Функции л а (X), грА (X) и соА (X) должны определяться из граничных условий (7.3.8). Подставляя соответствующие выражения из (7.3.50) в (7.3.48), в итоге получаем

V<2) = — iy А 2 cos ХФ ( Гсок (X) ^А 4 к= — оо0

4~ хрА (X) Ik (Х7?) + ^д (X) XRI^ (XT?) J sin XZ dX —

-1ФА 2 Sin ХФ Г Глк (X) kIh^ -лк (X) Mk (XT?) - k=-oo0

- юк (X) Ik <XR) - xpk (X) A^] sin XZdX~

— iz^ 2 cos ^ j ^ ^ !ь ^^ +

+ лл (X) Rik (XT?) +лк (X) Ik (XT?)] cos XZdX. (7.3.51)

Подставляя в это выражение R = Ro, сравнивая его с (7.3.42) и используя граничное условие

[v<2)]Bo=-[v<‘>]Ro,(7.3.52)

приходим к системе трех уравнений относительно функций лд (X), грд (X) и о)А (X). Решая систему, выражаем эти функции через а^ Wi Ра W и Ya (А)* Используя для последних представления (7.3.43) — (7.3.45), получаем

Ль (X) = Н ^Wh^L + ^к (1),(7.3.53)

+тг№[Х№ (Х7?о) 1к (Х6) + №Кк ^^ Гк ^ +

+ 2ТГьМ)Ть(Х6)], (7.3.54)

^'^ W ”к (X)-НКк (ХТ?0) 1к (Х6)], (7.3.55)

KKolk V^^O)

где ^ь (X) из (7.3.53) дается выражением

Еь (X) - [Я <[Ть (Х6) Гк Wik (ХТ?о)] - (b/Ro) Гк (ХЬ)}] х

L (ХЯ0)2/ь (ХДо) ' хдо / ftV 07

-21к (ХТ?0) Гк (Х/?0)-ХТ?0[Ть(ХТ?0)]2]"1.(7.3.56)

В процессе вывода этих выражений они были несколько упрощены путем использования соотношений

Л№=-4^ + (* + т^г)/-№

и(7.3.57)

Кн (ХЯ0) Ik (ХЯ0) - Кк (ХЯ0) Гк W = - ^ •

Дополнительное граничное условие v<2) —>-0 при Z -^± сю удовлетворяется, так как v(1) ->0 при Z ->± сю, a v(1) и v(2) связаны •соотношением (7.3.52).1

Далее можно вычислить перепад давлений, вызванный первыми двумя отраженными полями. Подставляя значение Щ2) из (7.3.50) в выражение (7.3.49) для р^ и вычисляя результат при 7? = ROl используя при этом выражение лд (А) из (7.3.53), получаем

[р<2)]д0=- ^ 2 cos АФ j ХЛГк (ХЯ0)/к (ХЬ) sin XZdX— k=—oo0

—^ 2 совАФ j XBk(X)/k(XB0)sinXZdX. (7.3.58) k=-oo0

Как показывает выражение (7.3.47), первый член (7.3.58) равен просто — [р<1)1д0, так что

[pW + pt2))^- —^- 2 созАФ jgft(X)7k (ХЯ0) sin XZdX. (7:3.59) k=-oo0

Таким образом, согласно (7.3.14), получаем, что перепад давлений, вызванный этими двумя отражениями, равен

। (АЛ + АР2) = ^-Пт 2 cos АФ j 4k (X)-^-dX, (7.3.60)k=-oo0

где

Ла (X) = (XRoy £к (X) 7к (ХЯ0).(7.3.61)

По теореме. Дирихле

lim Lk(X)-5^-dX = ^nA(0+).(7.3.62)

£-►00 JЛ4

Предел при % ->0+ легко найти путем разложения бесселевых функций в ряд при малых значениях аргументов, что дает

W0+)=%(0)MW0+)=%(0)M-4НО-4НО1162 ^R"» /62 ^R"» /при к —О,(7.3.63) при к =Н=0,при к —О,(7.3.63) при к =Н=0,

W0+)=%(0)M

W0+)=%(0)M

-4Н

О

-4Н

О

1

1

62 ^

R"» /

62 ^

R"» /

при к —О,

(7.3.63) при к =Н=0,

при к —О,

(7.3.63) при к =Н=0,

откуда, с учетом определения Н из (7.3.29), окончательно получаем

(7.3.64)

Больше физического смысла несет в себе следующее представление:

[(ДЛ + ДР^л^] [4^] =

-[влм«{7/,(1-^)-1/}][Г.(1-.^)]. (7.3.65)

В пределах справедливости принятого приближения, когда величина a/R0 мала, член в первых квадратных скобках левой части представляет собой дополнительную - силу (по сравнению с законом Пуазейля), необходимую для проталкивания жидкости через трубу. Второй член — средняя скорость, с которой жидкость проходит сечение цилиндра. Их произведение дает дополнительную диссипацию энергии, вызванную присутствием сферы в поле течения. Первый член в правой части выражения (7.3.65) есть сила трения, испытываемая сферой [формула (7.3.30)], а второй член соответствует локальной скорости невозмущенного параболического поля в окрестности сферы. Таким образом, в случае достаточно малой сферы произведение силы сопротивления и скорости в месте нахождения сферы также дает дополнительную диссипацию энергии, вызванную наличием препятствия в поле течения. Этот вывод подтверждается более непосредственным и общим анализом Бреннера [4], основанным на теореме взаимности, выведенной в разд. 3.5 и используемой в разд. 3.6.

Внутри объема, занимаемого частицей, поле v<2) не имеет особенностей. Сфера как таковая не может в этом поле испытывать ни силы трения, ни момента сопротивления; следовательно,

F<2) = 0,Т<2> = 0.F<2) = 0,Т<2> = 0.(7.3.66)

F<2) = 0,

Т<2> = 0.

F<2) = 0,

Т<2> = 0.

(7.3.67)

23-01084

ТРЕТЬЕ ОТРАЖЕНИЕ

Полученные до сих пор результаты для силы сопротивления и перепада давления можно рассматривать как нулевое приближение по aIRo, а результат для момента сопротивления верен с точностью до первой степени alR^. Чтобы вычислить эти величины с точностью до следующих степеней alR^ необходимо ввести в рассмотрение третье и четвертое отражения. К счастью, оказывается, что для нахождения точных значений поправок не требуется знать точных решений для полей v(3) и v(4).

Сила трения и момент сопротивления, связанные с полем v(3\ могут быть рассчитаны точно по законам Факсена, которые применительно к данному случаю имеют вид

F<3> = блца [v<2,]0 + ла3 [Vp<2)]0,,? 3 ^

Т<3> = 4лр.а3 [V X v<2,]0,

где индекс 0 указывает на то, что значение функции, стоящей в квадратных скобках, должно быть вычислено в центре сферы. Эти соотношения справедливы для произвольных полей v(2) иу(3), при условии что каждое из них удовлетворяет уравнениям медленного течения и что они связаны между собой соотношением (7.3.9). Чтобы соблюсти последовательность в результатах в отношении сохраняемых степеней a/R^ последний член в выражении (7.3.68) для F(3) опускаем.

В системе координат R, Ф, Z центр сферы расположен в точке (R = Ь, Ф = О, Z = 0). Тогда из (7.3.51) и (7.3.68) имеем f^3^ — iz6p. (-^-) 2 ^wdwnwm

’” +лк(Х)А(ХЬ)Н W. (7.3.69)

Используя значения фд (X) и Лд (X), данные соотношениями (7.3.53) и (7.3.54), и полагая а = Х7?0, получаем

F»=-i^«[tZ-^(l-t)]/(X)(^), (7.3.70) где

к= — оо О

+ р7^Т-2^^4М^da> (7.3.7!)

а

&k (a) =

1

2^(«),^2 x

a3^(a) "Ц + a2 /

21к (a) Fh (a)

--■-„ h — [/H«)P

Для краткости здесь введено обозначение р = ЬШ0. Кроме того, в целях упрощения результатов были использованы соотношения (7.3.57).

В работе [6] было дано представление функции / ^b/R0) в виде ряда по четным степеням b/R0. Первые два члена этого ряда, полученные путем численного интегрирования, таковы:

7Ш=2'10444~°'М77Ш2+°Ш^ <7-3-73)

Это представление верно для значений b,R0 ->0, т. е. вблизи оси цилиндра. В окрестности стенки цилиндра, где b/R0 ->1, оказывается возможным провести точное вычисление, если только относительное расстояние а,^0 — Ь) сферы от стенки цилиндра остается малым. Это дает

<7-3-74>

Этот предел достигается асимптотически и соответствует случаю сферы, расположенной около плоской стенки. Детали расчета*

Таблица 7.3.1

Значения функции эксцентриситета f^b]R^

b/Ho

/ (Ь/Но)

0,0 0,01

0,03 0,05

0,10 0,20 0,30

0,35 0,37 0,39

0,40 0,41

0,43 0,45 0,50 0,60

0,70 0,80

0,90

2,10444± 0,00002 2,10436±0,00002 2,10381±0,00002 2,10270±0,00002 2,09763±0,00002 2,07942±0,00002 2,05691 ±0,00002 2,04805±0,00002 2,04567±0,00002 2,04426±0,00002 2,04401±0,00002 2,04407 ±0,00002 2,04530±0,00002 2,04825±0,00002 2,06566±0,00002 2,16965±0,00002 2,45963±0,00002

3,2316 ±0,0003

5,905 ±0,003

Рис. 7.3.3. Функция эксцентриситета для поступательного движения сферы в круговом цилиндре.

1 — по формуле (7.3.73); 2 — по формуле (7.3.74).

приведенные в оригинальной статье [6], неверны, поскольку там использовался только главный член стоксова поля. Фамуларо [13] вычислил интегралы, фигурирующие в (7.3.71), и получил результаты, приведенные в табл. 7.3.1. График функции [1 — (Ь/До)1 / (^/^о) в зависимости от Ь//?о показан на рис. 7.3.3.

Из (7.3.51) следует выражение

[Vx^=iy| 2 j [2Xnh (%) IV (Xd) -^ <хь>] dX, (7.3.75)

&=-oo 0

^ал^^ал^тде учтено, что в центре сферы Ф = 0 и, следовательно,

^ал^

^ал^

Иф1о- — A-у.- -

Рис. 7.3.4. Функция эксцентриситета для момента, действующего на сферу при ее движении в круговом цилиндре.

1 — по формуле (7.3.79); 2 — по формуле (7.3.80).

Подставляя (7.3.75) в (7.3.68) и используя (7.3.53) и (7.3.55), получаем в итоге

Т^-.^-^-С/ф-^)^^^)2, (7.3.77) где

k=-oo 0

+ 6. №[Л($Р).]|”У- №W)]}аа.

Для малых значений эксцентриситета ЫН0 численное интегрирование по формуле (7.3.78) дает

<7Л79>

причем разложение продолжается по нечетным степеням b/R0. Судя по выражениям (7.3.100) и (7.3.106), можно, по-видимому, ожидать, что при подходе к стенке

lim b/Ro-1lim b/Ro-111(7.3.80)(7.3.80)

lim b/Ro-1

lim b/Ro-1

1

1

(7.3.80)

(7.3.80)

Предварительный график функции [1 — (6//?0)]2 g (b/R0) в зависимости от blR^ построенный с учетом этих предельных случаев, показан на рис. 7.3.4. И в этом случае оригинальная статья не дает правильного значения предельной константы, поскольку не было использовано полное выражение для стоксова поля.

ЧЕТВЕРТОЕ ОТРАЖЕНИЕ V(4)

Чтобы получить первую поправку к нулевому приближению для перепада давления, необходимо учесть поле v<4). Здесь снова можно найти точное значение коэффициентов при первой степени a/R^ не зная точного выражения для v<4). Это можно понять из следующих соображений: если использовать общее решение Ламба для отраженного от сферы поля v<3), то по аналогии с (7.3.72) имеем

4л V (r3p%) = -F<3\(7.3.81)

Из этого соотношения можно найти сферическую гармонику р(2г, умножая его скалярно на г; откуда

4лг -^ (т3^ = - г. F<3>.(7.3.82)

Но р^ — однородная функция степени —2 по г. Тогда, по теореме Эйлера об однородных функциях что дает

<7'3'84)

Используя выражение (7.3.70) для F(3) и замечая, что г -iz = z, получаем

А-р^= Jr2 cose,(7.3.85)

где

/ = 4„[£,-[/,(1-^)],(2_)(^).(7.3.86)

Так же как и в (7.3.26) и (7.3.27), получаем, что входящие в выражения для полной скорости и полного давления члены, соответствующие указанной гармонической функции, имеют вид

v<3> « Л_ v (гзр<*) +_L Й(7.3.87)

И

р^ ^ р^.(7.3.88)

Из всех членов, входящих в общее решение Ламба, единственной гармонической функцией, дающей в полях скоростей и давлений члены первой степени по радиусу сферы а, является гармоника р_^. Этот член является доминирующим при г ->оо. Таким образом, что касается степеней а или, в конечном итоге, в следующем отражении степеней a!RQ, это есть единственный член, который нужно оставить, чтобы получить результаты, верные с точностью до первой степени по a!RQ. В этом приближении выражения (7.3.87) и (7.3.88) можно рассматривать как точные представления для полей скоростей и давлений. Сопоставляя эти выраже- _ ния с выражениями (7.3.26) — (7.3.29), находим

v(3, = -^vn),(7.3.89)

p'3> = -J-p’n.(7.3.90)

Легко видеть, что в этом же приближении

vU) = -^v(2>,(7.3.91)

Р^ = 4гР^'(7.3.92)

откуда немедленно следует

ДР3+ДР4 = -^(ДР1 + ДР2).(7.3.93)

Используя значения J и Н, а также выражение для перепада давления, обусловленного первыми двумя отраженными полями, приведенное в (7.3.64), получаем

Х/ШШ- <7.3.94)

Четвертое отраженное поле не может иметь особенностей внутри объема, занятого сферой, поэтому

F(4) = 0 и Т<4> = 0.(7.3.95)

ОКОНЧАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫДЛЯ ЭКСЦЕНТРИЧНО РАСПОЛОЖЕННОЙ СФЕРЫ

Суммируя отдельные результаты для силы сопротивления, крутящего момента и перепада давлений, получаем

(7.3.96)

+(F.(<-y-FM£)№-] <7-3-97>

и

х[1+'ШШ+-"]- !7-3/й>

Точность этих выражений определяется наибольшим показателем степени при a/R0 в выписанных членах. Случай сферы, осаждающейся в покоящейся жидкости, получается после подстановки в приведенные формулы значения Uo = 0. В случае отсутствия более полной информации об отражениях высших порядков более точную форму выражений (7.3.96) и (7.3.98) получают, помещая зависящий от эксцентриситета член в знаменатель и меняя знак при / (ЬШ0) alROl что эквивалентно суммированию всех высших отражений как геометрической прогрессии, т. е.

1 +/ (—\——ь ...«.

X Ro ) R0Ti-f(b/Ro)a/Ro *

Выражая полученные результаты через отношение a/(R0 — Ь), радиуса сферы к минимальному расстоянию (центра сферы) от стенки, можно получить для приведенных выражений форму, пригодную для рассмотрения ситуаций, в которых сфера находится вблизи стенок резервуара. Это приводит к соотношениям

+(1-У><

х'Ш(1^)+---Ь <7-3-">

х(‘-Н^Ш(^)г+-]- ™

^+H)Oiy+--']' <7'ЗЛ01>

Как уже отмечалось ранее, величины [1 — <(ЫН^А / (b/R0) и [1 — (b/R0^ g (Ь/Rq) при b/R0 ->1 стремятся соответственно к предельным значениям 9/16 и 0. Следует заметить, что в этих случаях предполагается

^«1.(7.3.102)

Из результатов исследования явствует, что как сила сопротивления, так и перепад давления являются четными функциями эксцентриситета b/R0. Этого следовало ожидать, так как условия симметрии требуют, чтобы при перемещении сферы из первоначального положения R = Ъ в положение R = — Ъ с противоположной стороны от оси цилиндра ни направление, ни величина силы не изменялись. Точно так же при этом перемещении останется неизменным и перепад давлений, что находится в согласии с приведенными результатами. С другой стороны, выражение (7.3.97) показывает, что вращающий момент есть нечетная функция от b/R0. Этот вывод верен, поскольку сфера, будучи помещенной в зеркально симметричном положении по другую сторону от оси цилиндра, будет стремиться вращаться в направлении, противоположном первоначальному, но с той же по величине угловой скоростью. На оси цилиндра, естественно, имеем

Т = 0.(7.3.103)

Дальнейшее свидетельство в пользу справедливости данных результатов можно получить, если заметить, что в отсутствие действующих на сферу внешних сил вязкий перепад давлений, вызванный присутствием частицы в исходном поле течения, существенно положителен. Это следует из взаимно однозначного соответствия между перепадом давления в прямолинейном течении и диссипацией энергии. Итак, выражение (7.3.98) показывает, что для потока в направлении +^ положительный перепад давлений означает выполнение неравенства

Так как Uo (1 — №/R^) есть локальная скорость жидкости, то отсюда вытекает, что сфера обязательно отстает от жидкости — вывод,

очевидно, верный. Более того, выражение (7.3.96) правильно указывает на то, что при этих обстоятельствах сила трения, действующая на сферу, всегда направлена по потоку, и сфера, таким образом, увлекается жидкостью.

Из приведенных расчетов следует интересный вывод о том, что сила сопротивления, испытываемая малой сферой, осаждающейся в покоящейся жидкости, не возрастает монотонно по мере продвижения от оси цилиндра к его стенке, а достигает минимального значения в некоторой промежуточной точке. Это ясно видно из формулы (7.3.96) и рис. 7.3.3. В данном случае формула (7.3.96) имеет вид

Г=~№|“Г7[1+/ШШ+ ■•■]■ (7-3.104)

По мере удаления от оси цилиндра функция / (М?о), а следовательно, и сила сопротивления, вначале уменьшаются согласно (7.3.73); однако из (7.3.74) видно, что с приближением к стенке функция / (Ь/До) в конце концов растет, как 1/(1 — b/R0\ Таким образом, существует промежуточное значение эксцентриситета b/R0 ж 0,4, для которого сопротивление минимально. Экспериментальное подтверждение этого факта затруднительно, так как изменение в силе сопротивления мало. Данные Крейга [12] и Барта [1] подтверждают, что имеет место лишь незначительное увеличение сопротивления при осаждении одиночной частицы, до тех пор пока эксцентриситет b/R0 не превзойдет ~0,6. '

В случае осаждения малой частицы в покоящейся жидкости вблизи цилиндрической стенки результаты в точности те же, что и для сферы, движущейся в положительном направлении оси z в окрестности плоской стенки. Последняя задача решалась Лорен- цом [42], который дал формулу

F=-i26n|iat7[l+A(^) + (7.3.105)

Значение момента было дано Факсеном в его диссертации [15]:

Т^бл^^-!)4-^^ (7.3.106)

где h — длина перпендикуляра, опущенного из центра сферы на плоскую стенку, а положительное направление оси х соответствует направлению от центра сферы по нормали к стенке. Подчеркнем, что для использования этих соотношений необходимо, чтобы как а! 1г, так и alR0 были малыми. Соотношения (7.3.105) и (7.3.106) следует сопоставить с (7.3.99) и (7.3.100), которые, если положить в них Uo = 0 и использовать (7.3.74) и (7.3.80),

принимают для течения вблизи стенок цилиндра следующий вид: F=-iz6^a^+A(_JL_) + ...](7.3.107)

н

т="(-^т)2-Р-3-108»

Расстоянию от стенки h соответствует здесь /?0 — Ь.

Решение данной задачи при помощи уравнений медленного течения не обнаруживает наличия каких-либо боковых сил, которые стремились бы переместить сферу перпендикулярно оси трубы. Однако в любой реальной ситуации должны существовать «силы Бернулли», стремящиеся сообщить сфере такое движение. Отсутствие боковых сил есть характерный недостаток уравнений медленного течения, вытекающий из пренебрежения инерцией в исходных уравнениях движения.

Расчеты Рубинова и Келлера [49], основанные на методе сращивания стоксовых и озееновских разложений, показывают, что вращающаяся сфера, движущаяся в покоящейся жидкости, испытывает подъемную силу FL, перпендикулярную направлению движения. Сила эта дается выражением

Fl = ла3рЙ X- U [1 + О №)].(7.3.109)

Здесь а — радиус сферы, Q — ее угловая скорость, U — скорость поступательного движения сферы, р — плотность жидкости, N-Re — число Рейнольдса; N-Re = р^/р. При малых значениях Np^ поперечная сила не зависит от вязкости.

Рубинов и Келлер пытались затем приложить свои результаты к задаче о боковом движении равноплотной сферы, свободно взвешенной в пуазейлевском потоке. Они заменили й в (7.3.109) половиной ротора невозмущенного параболического поля течения, т. е. локальной угловой скоростью элементов жидкости, которая, по-видимому, совпадает с угловой скоростью, с которой будет вращаться малая твердая сфера. Также вместо скорости U в (7.3.109) они брали скорость скольжения, которая получается из (7.3.24), если положить там F = 0. Величина таким образом полученной скорости скольжения равна (2/3) Uo (а,Н0У г). Если следовать такой интерпретации соотношения (7.3.109), то полу-

х) Хотя эта формула для скорости скольжения на самом деле верна, она не может быть строго получена из (7.3.24), так как член, выражающий влияние стенок в (7.3.24), имеет порядок О (a/R^, тогда как, согласно (7.3.96), имеется более существенный член порядка О (a/R0). Таким образом, налицо несоответствие. В последней (неопубликованной) работе авторов, где выражение (7.3.96) было развернуто до членов порядка О (alR^, было показано (что довольно удивительно), что приведенная формула для скорости скольжения правильна.

чим, что боковая сила всегда направлена так, чтобы двигать сферу к центру трубы. Однако этот вывод противоречит опытам Сегре и Зильберберга [50], согласно которым равновесное положение равноплотной вращающейся сферы находится примерно на расстоянии 0,6 радиуса трубы от оси.

Интересно отметить, что Факсен [15] для случая сферы, движущейся вдоль оси цилиндра в покоящейся жидкости, применял уравнения Озеена. Однако, как уже было отмечено, использование уравнений Озеена для оценки инерционных эффектов встречает существенное возражение, и экспериментальные данные не подтверждают решение Факсена при более высоких числах Рейнольдса, при которых его и предполагалось использовать.

Так, Файон и Хаппель [23] экспериментально исследовали влияние цилиндрической границы на сферическую частицу, взвешенную в потоке вязкой жидкости. Измерялись как перепад давлений, вызванный обтеканием жидкостью сферы, так и сопротивление самой сферы. Числа Рейнольдса, построенные по диаметру сферы, изменялись в диапазоне от 0,1 до 40,0. Данные опытов относятся к малым эксцентриситетам, когда значение функции эксцентриситета / (b/R^ не отличается существенно от 2,104. Опытные данные обрабатывались таким образом, чтобы разделить влияние стенок и инерционные эффекты. В пределах погрешности измерений корреляция получилась довольно хорошей. Мак-Наун [44] получил также данные для осаждения сферы вдоль оси цилиндра, которые хорошо согласуются с соотношением, предложенным Файоном и Хаппелем. Для случая осаждения это соотношение имеет вид

-J-H- =;+(7.3.110)

блр.1701 _2,104^^^2,087 (_а_)\ Сд /

Здесь СА— фактический коэффициент сопротивления сферы в неограниченной среде, Cs — коэффициент сопротивления, согласно закону Стокса, равный 24/^е (-^не берется по диаметру сферы). Таким образом, ^СА1С^ — 1 есть мера относительного отклонения фактического сопротивления сферы в безграничной среде от значения, вычисленного по закону Стокса. На рис. 7.3.5 дается сравнение данных Мак-Науна с формулой (7.3.110) и выражением Факсена, основанным на теоретическом решении в приближении Озеена

6лц?7а = 1 — (3/16) NRe- (d/D) / (jVRe, D^+2,09 ^(D^ ' (7 -3-111) где N-Re — число Рейнольдса, построенное по диаметру сферы, a d и D — диаметры сферы и цилиндра соответственно. При Nrs = = 0 Факсен теоретически рассчитал значение / (Wrc, Did), кото-

Рис. 7.3.5. Сопротивление осаждающейся сферы, расположенной на оси -кругового цилиндра.

2 — по формуле (7.3.111); 2 — по формуле (7.3.110); 3 — медленное течение, формула (7.3.112).

О — экспериментальные данные Мак-Науна и др., d/D = 0,3125.

рое оказалось равным 2,104. При возрастании N-Re значение / (Мкв1 D/d) быстро падает. Из рис. 7.3.5 видно, что влиянию увеличения числа Рейнольдса на коэффициент сопротивления был приписан слишком большой вес. Этот вывод подтверждается также данными Фидлериса и Уитмора [25] при N-Re = Ю0. Эти авторы изучали влияние стенок при числах N-Re от 0,05 до 20 000 (число Рейнольдса строится по диаметру сферы).

СФЕРА, РАСПОЛОЖЕННАЯ НА ОСИ

Когда сфера находится на оси цилиндра, т. е. b/R0 = 0, формулы (7.3.96) — (7.3.98) переходят в формулы первого приближения более точных результатов, полученных ранее Факсеном [15], Хаппелем и Бирном [30] и Вакией [57].

Болин [3], используя метод отражений, первоначально примененный Факсеном, продолжил расчет приближений дальше и получил для сферы, расположенной на оси, формулу

F = -Y^aUK^(7.3.112)

где

^=«/[1 -2-10443 Ш+2’08877 ш3 -

-6,94813 (4-)5-1,372 (4-V +

+3'87(х)8-4л6Ш,0+---]' <7-зл,3>

В приложении к статье Болина [3] Факсен дает значение коэффициента при a!R^ равное 2,10444, основываясь на более тщательных выкладках, и обсуждает возможность совместного рассмотрения этого исследования с более ранней своей работой, в которой для получения оценки влияния инерции использовались уравнения Озеена.

Для случая, когда жидкость движется по закону Пуазейля, причем скорость набегающего потока равна UOl Болин получает

F = —126лра (иКг — U0K^(7.3.114)

где

^-^['-Tfxi-^^tx)3-0'4059^)^

+ 0,523в(^), + 1,51(^)‘0+...]. (7.3.115)

Хаберман и Сэйр [27] также рассматривали осесимметричный случай для «больших» a/R^ используя представление общих решений уравнений медленного течения через функцию тока, выраженную как в цилиндрической, так и в сферической системах координат. Для удовлетворения граничных условий на стенках цилиндра использовалось решение для функции тока в цилиндрических координатах. Полученное таким образом выражение представляет собой поле течения внутри кругового цилиндра, пока еще не полностью определенное, но удовлетворяющее граничным условиям на поверхности цилиндра. Затем это выражение преобразовывалось к сферическим координатам. Сравнивая почленно константы в предыдущем выражении с постоянными в выражении для разложения функции тока, полученном непосредственно в сферических координатах, получаем связь между этими константами. Граничные условия на сфере дают связь между константами для решения в сферических координатах. После подстановки предыдущих соотношений в соотношения, полученные из граничных условий на сфере, получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов, фигурирующих в разложении функции тока.

Поправочные множители, учитывающие влияние стенок, для жестких сфер, движущихся в покоящейся жидкости внутри бесконечно длинного цилиндра, определялись путем численного решения алгебраической системы. Число используемых уравнений систематически увеличивалось (самое большее до восьми), пока значения коэффициентов не стали меняться лишь незначительно. Весьма хорошее приближение для силы сопротивления было получено при сохранении только первых двух уравнений бесконечной системы, соответствующей (7.3.114), со следующими значениями постоянных:

17 1 0,75857 (alR^ о1-2,1050 (а/В0) +2,0865 (а/Д0)5+^^’к _1 —(2/3) (а/Д0)2 — 0,20217 WR^Аг~ 1— 2,1050 (а/Д0) +2,0865 (а/Д0)3 —1,7068 (а/Д0)5 +0,72603 (а/Д0)6 *(7.3.117)17 1 0,75857 (alR^ о1-2,1050 (а/В0) +2,0865 (а/Д0)5+^^’к _1 —(2/3) (а/Д0)2 — 0,20217 WR^Аг~ 1— 2,1050 (а/Д0) +2,0865 (а/Д0)3 —1,7068 (а/Д0)5 +0,72603 (а/Д0)6 *(7.3.117)Фактические численные значения, полученные на основе решенияФактические численные значения, полученные на основе решенияполной системы уравнений, дают более точные результаты дляполной системы уравнений, дают более точные результаты дляРис. 7.3.6. Поправочный множитель на влияние стенки для жесткой сферы, движущейся вдоль оси кругового цилиндрического сосуда.1 — точная теория; 2 — приближенная теория.Рис. 7.3.6. Поправочный множитель на влияние стенки для жесткой сферы, движущейся вдоль оси кругового цилиндрического сосуда.1 — точная теория; 2 — приближенная теория.

17 1 0,75857 (alR^ о

1-2,1050 (а/В0) +2,0865 (а/Д0)5+^^’

к _1 —(2/3) (а/Д0)2 — 0,20217 WR^

Аг~ 1— 2,1050 (а/Д0) +2,0865 (а/Д0)3 —1,7068 (а/Д0)5 +0,72603 (а/Д0)6 *

(7.3.117)

17 1 0,75857 (alR^ о

1-2,1050 (а/В0) +2,0865 (а/Д0)5+^^’

к _1 —(2/3) (а/Д0)2 — 0,20217 WR^

Аг~ 1— 2,1050 (а/Д0) +2,0865 (а/Д0)3 —1,7068 (а/Д0)5 +0,72603 (а/Д0)6 *

(7.3.117)

Фактические численные значения, полученные на основе решения

Фактические численные значения, полученные на основе решения

полной системы уравнений, дают более точные результаты для

полной системы уравнений, дают более точные результаты для

Рис. 7.3.6. Поправочный множитель на влияние стенки для жесткой сферы, движущейся вдоль оси кругового цилиндрического сосуда.

1 — точная теория; 2 — приближенная теория.

Рис. 7.3.6. Поправочный множитель на влияние стенки для жесткой сферы, движущейся вдоль оси кругового цилиндрического сосуда.

1 — точная теория; 2 — приближенная теория.

полученных из приближенного и точного решений Хабермана. Фидлерис и Уитмор [25] получили данные вплоть до a!RQ = 0,6, причем при больших a/RQ экспериментальные значения Кх оказались на несколько процентов ниже, чем указанные в табл. 7.3.2. Эта разница, возможно, обусловлена влиянием концов. В табл. 7.3.2 и 7.3.3 дано сравнение коэффициентов Кг и К^ определенных Хаберманом и Болином.

Таблица 7.3.2

Поправочный множитель К^ учитывающий влияние стенки,для жестких сфер, движущихся в покоящейся жидкостив цилиндрической трубе

а/Но

Хаберман, точная теория

Хаберман, формула (7.3.116)

Болин, формула (7.3.113)

0,0

1,000

1,000

1,000

0,1

1,263

1,263

1,263

0,2

1,680

1,680

1,680

0,3

2,371

2,370

.2,370

0,4

3,596

3,582

3,588

0,5

5,970

5,871

5,923

0,6

11,135’

10,591

11,057

0,7

24,955

21,406

(36,598)

0,8

73,555

48,985

(—11,757)

Таблица 7.3.3

Поправочный множитель К^ учитывающий влияние стенки,для неподвижных жестких сфер в пуазейлевском течении

а/До

.Хаберман,

точная теория

Хаберман, формула (7.3.117)

Болин, формула (7.3.115)

0,0

1,000

1,000

1,000

0,1

1,255

1,255

1,255

0,2

1,635

1,635

1,635

0,3

2,231

2,231

2,227

0,4

3,218

3,218

3,198

0,5

5,004

-4,973

4,902

0,6

8,651

8,377

8,298

0,7

17,671

15,686

(24,765)

0,8

.43,301

ЗЗу056

Значения Кг, данные Болином, лежат между значениями, полученными по формуле Хабермана, и его «точными значениями» вплоть до a,R0 = 0,6. Таким образом, согласие с методом Хабермана очень хорошее для интервала 0 С a/R0 < 0,6, где формула Болина должна быть верна. Для больших значений a!RQ членом ^a!R^Y1 уже нельзя пренебречь; этим, вероятно, объясняется невозможное значение Кг при a/R0 = 0,8.

Согласие между значениями Кй, приведенными в табл. 7.3.3, также довольно хорошее при a/R0 < 0,6.

Хаберман и Сэйр рассматривали также случай жидких частиц, движущихся внутри пуазейлевского потока, пренебрегая влиянием поверхностного натяжения в уравнениях для напряжений. Они показали, что предположение о сферической форме жидкой капли, движущейся внутри цилиндра, не может привести к точному решению, хотя во многих случаях, судя по полученным ими экспериментальным данным, служит хорошим приближением. Эти же авторы изучали также движение сферы в момент, когда она проходит через центр сферического сосуда, что обсуждалось в разд. 4.22. Этот случай интересен тем, что он дает верхнюю грань для сопротивления движению в цилиндрическом сосуде, так как влияние сферических границ превосходит влияние стенок бесконечных цилиндров одинаковых радиусов. Эта задача, в отличие от задачи о падении сферы по оси бесконечно длинного цилиндра, не будет уже, строго говоря, стационарной.

Фамуларо [14] также рассматривал случай сферической частицы, осаждающейся внутри сферического контейнера, используя метод отражений. Первое отражение было получено для случая, когда частица может занимать любое положение внутри контейнера. Для этого было использовано решение Ламба [39] уравнений медленного течения в сферических гармониках (см. разд. 3.2), а также преобразования координат, подобные тем, которые обсуждались выше в этом разделе. Для облегчения расчетов мгновенное движение частицы в произвольной точке разлагалось на (а) движение по направлению к центру сферического контейнера и (б) движение в перпендикулярном направлении. В частном случае, когда движение осесимметрично, можно получить точное решение в биполярных координатах для любого отношения радиусов внутренней и внешней сфер.

Смайт [53] изучал потенциальное течение идеальной жидкости через трубу, содержащую концентрическое препятствие сферической формы. Векторный потенциал в пространстве между сферой и цилиндром был найден для отношений радиуса сферы к радиусу трубы alR0 от 0 до 0,95. Хаберман [28, 29] также рассматривал эту и аналогичные задачи теории потенциала, относящиеся к сфере внутри кругового цилиндрического контейнера.

Хаппель и Аст [32] исследовали осевое движение жесткой сферы в цилиндре «без трения на стенках» на основе уравнений медленного течения. Теоретический анализ следует анализу, используемому Хаберманом. Исследовались отношения радиусов сферы к радиусу цилиндра от 0 до 0,7. Решение задачи строилось в предположении, что скорость сдвига жидкости у стенок цилиндра всюду равна нулю. Эта модель обсуждается далее, в разд. 8.4, как основа для теоретических исследований ансамблей частиц.

В настоящее время нет исследований по движению сферы перпендикулярно осевому направлению в цилиндре. Такое движение может иметь место для одиночных сфер, если ось цилиндра не параллельна полю тяжести. Если в трубе имеется более одной сферы, возникающие силы могут также иметь боковые компоненты.

7.4. Сфера, движущаяся относительно плоских стенок

Движение сферы параллельно одиночной плоской стенке представляет интерес как предельный случай движения малой сферы в цилиндрическом контейнере, когда сфера приближается к стенке цилиндра. Эта задача и более общая задача о движении сферы параллельно двум внешним плоским стенкам были рассмотрены в свое время Факсеном [15]. Распространение теории на несферические тела и на сдвиговые и параболические потоки было проделано путем обобщения первоначального метода Факсена.

Для иллюстрации основного метода, используемого здесь, рассмотрим сначала общую задачу о сфере, движущейся между двумя параллельными стенками, бесконечно протяженными в вязкой жидкости, параллельно им. На основе этого здесь будут даны результаты для различных частных случаев.

Основу метода Факсена [15] составляет представление фундаментального решения уравнения Лапласа

V2p = 0,(7.4.1)

имеющего вид

Р=—т^-,(7.4.

г 4лг'

в интегральной форме. Это делается путем представления 1/г в следующем виде:'

_L —_L Г Г eKax+Pvj-MzlJ^L,(7.4.3)

г 2л J Jк

где г = V—1- Здесь а и 0 — вспомогательные переменные интегрирования, к = ]Ла2 + р2. Эту функцию и ее частные производные по декартовым координатам можно использовать для выражения решения Стокса для сферы в бесконечной среде в декартовой системе координат.

СФЕРА, ДВИЖУЩАЯСЯ ПАРАЛЛЕЛЬНО ОДНОЙИЛИ ДВУМ НЕПОДВИЖНЫМ СТЕНКАМ

Уравнения медленного течения в декартовых координатах принимают вид

HV2u=-^,

^и^^'<7-4-4>

Поле скорости должно удовлетворять условиям v = U на поверхности сферы и v = 0 на плоской стенке (стенках), см. рис. 7.4.1 <

Рис. 7.4.1. Движение сферы между параллельными плоскими стенками.Рис. 7.4.1. Движение сферы между параллельными плоскими стенками.

Рис. 7.4.1. Движение сферы между параллельными плоскими стенками.

Рис. 7.4.1. Движение сферы между параллельными плоскими стенками.

Исходя из представления (7.4.3) для 1/г, Факсен [15, 16] установил, что общее решение уравнений (7.4.4), (7.4.5) имеет вид.

ии12л12лei(ax+P//)-k|z|ei(ax+P//)-k|z|XX

и

и

1

2л

1

2л

ei(ax+P//)-k|z|

ei(ax+P//)-k|z|

X

X

Х{-Г^ + ^—^(fcN+l)+^-g3}dad0,(7.4.6>

/VКККJ

V =V =ei(ax+Pi/)-k|z| ф хei(ax+Pi/)-k|z| ф х

V =

V =

ei(ax+Pi/)-k|z| ф х

ei(ax+Pi/)-k|z| ф х

X^+^i^l + ^-^spadP, ^АЛ>

24*

to—-L_ ( С ei(ax+py)-h|z| у

2л J J

х{-^2-^1 + -^з(*И4-1)ра<ф,(7.4.8)

4-оо 4-00

Р = -М f ei(ax4^)-Mz|.^/_gl+ * Л^^(7.4.9)

В общем случае величины gv g^ и g3 могут быть любыми функциями от а и 0. Это представление ценно потому, что оно естественным образом приспособлено для удовлетворения граничных условий как на сферических, так и на плоских границах. Задача состоит в определении величин gv g^ и g3, удовлетворяющих соответствующим граничным условиям.

Используется метод отражений. Сначала движение сферы в безграничной среде представляется в вышеприведенной форме. Это можно сделать, полагая

3

g^ — aU — с (скажем),

gz= — ^ciaa?,(7.4.10)

£з = 0,

где U = ixZ7.

Далее желательно, чтобы эта скорость гасилась одновременно на обеих плоских стенках. Другими словами, если основное решение с функциями, данными выражением (7.4.10), отразить на стенки, то на правой стенке 2 = 6 и на левой стенке z = —I необходимо иметь независимые решения уравнений медленного течения, которые погасят исходное стоксово поле. Это делается путем выбора двух дополнительных решений, каждое с тремя произвольными функциями, подобными (7.4.6) — (7.4.9). Таким образом, определим

^* — .1- \( ei(ax4-Pl/)-kz X

2л J J

х{^5 + -^4~^(zWH/^padp, (7.4.11)

#♦ = _L. С f егкахЛ-№-кг у

2л J J

х $ « + W 1) -^} da dp, (7.4.12)

, 1, 1р* =р* =^- gi (zk -1) + -^} da dp,^- gi (zk -1) + -^} da dp,(7.4.13)(7.4.14)(7.4.15)(7.4.16)(7.4.17)(7.4.18)(7.4.13)(7.4.14)(7.4.15)(7.4.16)(7.4.17)(7.4.18)

, 1

, 1

р* =

р* =

^- gi (zk -1) + -^} da dp,

^- gi (zk -1) + -^} da dp,

(7.4.13)

(7.4.14)

(7.4.15)

(7.4.16)

(7.4.17)

(7.4.18)

(7.4.13)

(7.4.14)

(7.4.15)

(7.4.16)

(7.4.17)

(7.4.18)

-кг у

g5--^g4+xg»^k+ ^} dctd0’ hz^-<-g4 + kg^da^,

U** = -Д- ( ( ei(ax+Py)+hz у

2л J J

х {^г^+т^7-*-

y** = I l е^ах-^Н-кг x 2л J J

.Xip{4^+^g7(l-zA:) —^gopadp,

W** = —— ( f ei(ax+py)+kz у 2л J J'

X \j?s-^gi-^-g»<zk-AV\ dadp, p** = £ j j ei(ax+₽y)+fe-^.{_g7_/cge}dadp.

Теперь необходимо определить функции gj так, чтобы при z = b и z = —I'

и + и* + и** = v + v* + и** = w + w* + w** = 0. (7.4.19) Из условия равенства нулю и + и* + и** приз = —I следует, что 0 = [и + и* + u**Az=_i =

= 27 J J е№^ ^-^-(g^e-kЧg5ek^ + g8e;hlH +ti-^ ^e~U +.

— -§- (gie"hl — g/1 + g4e4 —

'— ^- (g3e~M + g»eM + goe"61)} dadp. (7.4.20)

Так как это равенство справедливо для всех значений х и у, отсюда следует, что выражение в фигурных скобках должно обращаться в нуль. Два аналогичных уравнения получаются из условия, что р + р* + v** = О и w + w* + w** = 0 при z = —L Другая тройка уравнений вытекает из условий на другой стенке, при z = Ь. Эта система из шести уравнений определяет значения шести функций (g4, . . ., g9) через известные функции gv g^ g3. Компоненты скорости, порождаемые полями и* + и**, и* + р**, w* + ip**, могут быть теперь вычислены в центре сферической частицы, а для вычисления сопротивления, увеличенного из-за наличия стенок, используется закон Факсена.

Сила, действующая на частицу, направлена по оси жив общем виде дается выражением

р 1х6л^,а^ ^21)

1 + (3/4) (e/c) (И* + И**)0 + (аЗ/8рС) [-^ (Р* + Р**)]о

Индекс 0 означает, что соответствующее значение и* и т. д. должно быть вычислено в центре сферы. В данном случае получаем р ix6jipaZ7 / Q9\

~ 1-Л(а//)+В(а//)3 — ЦаЦН- 1

где постоянные А и В выражаются следующим образом [19]:

Л =j£{82(3(1_^

4- sH^ (1 + Л) [(1 + h) х - 1] + 4s42 [2 (1 - №) а? - 2х + 1] 4

+ 2s£2 [(3 — h?) х — h] + 2s2Z [(3 — h2) x 4- K\ —

— 4s^ [2 (1 — A,2) ^2 4- 2^r +1] 4-s (1 — ^) [(1 — ^) rc4-1] 4-

4-1 (14~ ^) [(1 + ^)x +11} ^ 4—Ц$—~ ^ ^__ । йхп (7.4.23) о

B =J zi {8(2 [2 (1 _fo) 1] 4-S2f [2(1 +/I) X-1] +

4-8/ [(4х-1)24-1]4-/[2(14-й)*+1] + Я2(1-/0*4-1]--2}(&4-

+ ^Ц^ ( t^Kn {^ (! - fe) + 842 t1 + AH s^ (8*- 4) - 0

- s/2 (8x - 2/i) - w%x + 2/i) + st ^x 4-4) —

— s (1 — h) — t(1 4-/i)}dx — -^-^S- j xa 5^4-dx. (7.4.24)

0

Здесь N = (st - I)2 - 16Л, s = ^i-^, t = ^х^ ^ = = а2 + р2, х — новая переменная интегрирования (не смешивать с соответствующей декартовой координатой). Наконец, I = = (1 — A) L, 6 = (1 + fe) L. где 2L — расстояние между двумя параллельными стенками.

Факсен не дает общего выражения для постоянной С через одну квадратуру. Он применяет эти формулы для случая h = 1/2, что соответствует I = (1/2) L и 6 = (3/2) L, так что расстояние от частицы до одной стенки втрое больше, чем до другой, т. е. b = 3Z. Он также дает численное значение С для этого случая. Кроме того, он проводит приближение дальше путем дополнительного отражения поля, развивающегося на сфере, на две параллельные стенки, получая таким образом два дополнительных поправочных члена в формуле для сопротивления.

Так, для случая сферы, падающей в положении b = 3Z, Факсен получает следующую формулу сопротивления:

— 1 —0,6526 (a/Z) + 0,1475 (a/Z)3 — 0,131 <a/iy—0,0644 (a/Z)5 + О ^ly *

(7.4.25) Здесь постоянные, соответствующие (7.4.22), суть Л = 0,6526, как вычисляется из (7.4.23), В = 0,1475, как вычисляется из (7.4.24), С = 0,0644 вычисляется прямо из соотношений, выведенных из первого отраженного поля. Коэффициент 0,131 при члене (ally выводится из второго отраженного поля. Это последнее поле, разумеется, приведет также к появлению поправочного члена порядка (ally, но этим членом в работе Факсена пренебре- гается.

Сфера, расположенная так, что b = 3Z, будет вращаться вокруг оси, перпендикулярной направлению падения и параллельной стенкам. Направление вращения противоположно тому, которое возникло бы, если бы сфера касалась ближайшей стенки (см. рис. 7.4.2). Если (all)2 мало по сравнению с единицей, скорость вращения дается выражением

_0,025аС7

to— Z2 [1 — 0,6526 (a/Z)J '

Если сфера лишена возможности вращаться, на нее будет действовать пара сил относительно оси у величины | Ту | = 8лра3(о. Естественно, если бы сфера двигалась достаточно близко от ближайшей стенки, направление ее вращения изменилось бы.

Для частного случая, когда сфера находится посредине между двумя плоскими стенками, выражение (7.4.22) становится неопределенным. Однако в этом случае общий метод значительно упрощается, и Факсен [17] получает

р ix6npaC7.

1 -1,004 (а/1) +0,418 (аДО + 0,21 (a/Z)*—0,169 (a/iy ’''

где 2Z — расстояние между стенками. Конечно, на сферу, осаждающуюся посредине между стенками, не будет действовать вращающий момент.

Движение сферы параллельно одной плоской стенке может быть рассмотрено более просто, чем это было в случае двух стенок (см. рис. 7.4.3). В этом случае вместо шести дополнительных функций имеем только одно дополнительное произвольное решение, аналогичное (7.4.11) — (7.4.14) и соответствующее трем дополнительным функциям: g4, g5 и ge. Факсен [15] исследовал этот случай в своей диссертации и получил для сферы и одной плоской стенки

F =—^лщаЕ/ , оя\

— (9/16) (a/Z) + (1/8) (a/Z)3 — (45/256) (a/Z)^ — (1/16) W *'

В этом выражении учтены эффекты второго отражения. Если сфера может свободно вращаться, она будет вращаться с угловой скоростью

в том же самом направлении, как если бы она катилась вдоль стенки. В этих соотношениях Факсен получил поправки на влияние инерции на основе уравнений Озеена. В отношении инерционных поправок справедливы те же основные возражения, какие были сделаны выше для случая сферы, падающей в цилиндрическом сосуде (разд. 7.3).

Формула сопротивления Лоренца, обсуждавшаяся в разд. 3.5, является частным случаем формулы (7.4.28), в которой только коэффициент при члене О (а/Г) выражен явно.

Вакия [63] рассмотрел влияние одной плоской стенки на неуста- новившееся движение сферы, начальная скорость которой равна

Рис. 7.4.2. Направление вращения эксцентрично расположенной сферы, осаждающейся между параллельными стенками.

Рис. 7.4.3. Направление вращения сферы, осаждающейся вблизи одиночной плоской стенки.

нулю, в направлении, параллельном плоскости. Он приходит к выводу, что установившееся состояние достигается быстрее при наличии стенки, чем без нее (см. разд. 7.9). Это решение представляет интерес, так как, по-видимому, нет других работ, посвященных неустановившемуся течению при наличии границ.

Можно было бы поддаться искушению и предположить, что в пределе решение для двух стенок можно построить просто из решения для одной плоской стенки и сферы, как предполагал Озеен [41], путем сложения отдельных эффектов. Это приводит к формуле

F —F —— 1х6лраС7— 1х6лраС71 —(9а/1б) [(1/г!) + (1/г2)] ’1 —(9а/1б) [(1/г!) + (1/г2)] ’(7.4.30)(7.4.30)

F —

F —

— 1х6лраС7

— 1х6лраС7

1 —(9а/1б) [(1/г!) + (1/г2)] ’

1 —(9а/1б) [(1/г!) + (1/г2)] ’

(7.4.30)

(7.4.30)

где Zj и Z2 — расстояния от центра сферы до каждой из стенок. Таким образом, этот подход дает для главного члена поправки на влияние стенок значение (3/4) all в формуле (7.4.25), а не точное значение 0,6526 a/Z; аналогично для формулы (7.4.27) получаем (9/8) all вместо 1,004 all. Очевидно, что этот приближенный метод дает слишком завышенную поправку.

На основе сделанных замечаний следует подчеркнуть, что при использовании только одного отражения метод отражений нельзя применять в задачах со многими границами, когда некоторые из границ находятся близко друг от друга или, что сводится к тому же, когда они бесконечны по протяженности. Таким образом, можно корректно получить влияние двух плоских стенок на сопротивление сферы, рассматривая только их влияние одновременно. Аналогично, в задаче о двух близких сферах при наличии, например, отдаленной плоской стенки необходимо одновременно отражать поля скоростей от поверхности обеих сфер. Это можно сделать, например, в биполярных координатах.

В своей последней работе, посвященной задаче о плоской стент ке, Факсен [19] снова рассматривал случай сферы, падающей между двумя параллельными стенками параллельно им. Он предт положил, что сфера может свободно перемещаться между стенкамц и что все расстояния от сферы до стенки равновероятны. Исполь-^ зуя выражения (7.4.23) и (7.4.24), он получил выражения длц средних значений коэффициентов и вычислил, таким образомг среднюю скорость осаждения частицы, перемещение которой в поперечном направлении вызвано броуновским движением.

СФЕРА В СДВИГОВОМ ПОТОКЕМЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СТЕНКАМИ

Используя общий метод, развитый Факсеном, Вакия [58, 59J рассмотрел случай сферы в сдвиговом течении между двумя параллельными плоскостями. В одном случае плоскости считались неподвижными/а течение между ними было пуазейлевым. В другом

случае одна плоскость удерживалась неподвижной, а другая двигалась параллельно самой себе, создавая однородный сдвиг между двумя плоскостями. Во всех случаях движение сферы считалось параллельным стенкам.

Для двумерного течения Пуазейля, в котором сфера удалена от середины на расстояние I = (1/2) L — одной четверти расстояния между плоскостями (как в численном примере Факсена, для которого имеют место выражения (7.4.25) и (7.4.26)), имеем, помещая начало координат z = 0 в центр сферы:

тт , 2£7£72

Uoo — и + 3 Z 3/2 Z ,

п(7.4.31)

Voo = Woo~V).

Это соответствует максимальной скорости 4(7/3 в средней точке z = + Z и скорости U набегания на сферу в точке z = 0. Для этого течения сопротивление равно

1-0,6526 (a/Z) +0,3160 (a/Z)3-0,242'

Если сфера не может вращаться, она будет испытывать момент относительно оси у, даваемый выражением

7y=|^a77 у [1+0,0758 (у) +0,049 (у)2] . (7.4.33)

Для течения куэттовского типа соответствующая геометрия изображена на рис. 7;4.4. Сфера помещена между двумя пл о-

2L ►I -+ь=згX2L ►I -+ь=згXскими стенками, параллельными плоскости ху и расположенными при z = —Z и z = b = 31. На достаточном расстоянии в на

2L ►

I -+ь=зг

X

2L ►

I -+ь=зг

X

Заметим, что скорость обтекания сферы равна UI4. Если сфера не может вращаться, на нее действует пара сил относительно оси у, величина которой дается выражением

Ty = 4^a2Uy [1 + 0,0506 у +0,033 (у)2] .(7.4.36)

Вакия провел дальнейшие исследования для ситуаций, когда сфера может свободно вращаться вокруг своего центра и когда она может свободно двигаться в потоке. Были выведены выражения для угловой скорости. Получено также соотношение для случая, когда сфера движется в неподвижной жидкости, и найдено, что оно согласуется с результатом Факсена. Исследование свободно движущейся сферы должно оказаться применимым к рассмотрению вязкости суспензий с учетом влияния стенок.

СФЕРА, ДВИЖУЩАЯСЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО ПЛОСКОЙ СТЕНКЕ

Рассматривается движение сферической частицы к (или от) одиночной плоской поверхности в безграничной в других направлениях жидкости. Интерес представляют два отдельных случая: а) плоская поверхность жесткая, например когда она представляет собой дно сосуда, в котором падает частица; б) плоскость является свободной поверхностью, что соответствует поверхности раздела между жидкостью и атмосферой.

Случай жесткой стенки был рассмотрен Лоренцом, о чем говорилось в разд. 3.5, в предположении, что радиус сферы мал по сравнению с мгновенным расстоянием от ее центра до плоскости. Решения, не связанные этим ограничением г), были получены Бреннером [7] с использованием общего решения уравнений медленного течения в биполярных координатах, примененного Стимсоном и Джеффри [54] в их решении задачи о двух сферах, падающих вдоль своей линии центров (разд. 6.4).

Если обозначить через а радиус сферы, а через h — расстояние ее центра от плоскости, то для сопротивления сферы при ее движении к стенке получим

F = 6лИт,(7.4.37)

где X = X (а/А) — поправка к закону Стокса, даваемая выражением

г — 4 сЬ* V М” + 1) Г 2 sh (2n + l) а +(2п +1) sh 2аЛ

л— 3 sna (2п-1)(2п+3),, 1 \ т

П=1 м 1 74sh2 П + у I а —(2n + l)2 sh2 а

(7.4.38)

х) Независимое решение, согласующееся с намеченным здесь, было дано также Модом (Maude A. D., Brit. J. Appl. Phys., 12 (1961), 293).

Параметр а выражается через отношение радиуса сферы а к расстоянию h посредством соотношения а = ar ch Qila\ Значения X даны в табл. 7.4.1.

Таблица 7.4.1

Поправка к закону Стокса при приближении к твердой плоскости

а

Ы а

0

1

ОО

0,5'

1,1276260

9,2517663

1,0

1,5430806

3,0360641

1,5

2,3524096

1,8374749

2,0

3,7621957

1,4128629

2,5

6,1322895

1,2219882

3,0 ■

10,067662

1,1252465

ОО

ОО

1

Экспериментальное подтверждение этой поправки к закону Стокса для сферы, движущейся к плоскости, было дано в работе Мак-Кэя, Судзуки и Мейсона [431.

В работе Вакии [601, где используется метод отражений применительно к двум сферам при наличии плоской стенки, дается как частный случай выражение для сопротивления движению одиночной сферы к плоской стенке с точностью до членов порядка О (a/h)3:

' F —6лраС7 ,

1 — (9/8) (а/А) + (1/2) № *

При значениях безразмерного расстояния Ыа, больших 10, эта формула очень хорошо согласуется с расчетами Бреннера, приведенными в табл. 7.4.1.-

При движении сферы перпендикулярно плоской свободной поверхности, где обращаются в нуль тангенциальные напряжения и нормальная скорость, действующая на сферу сила трения будет равна

F = 6л|ш^р,(7.4.40)

где поправка р к закону Стокса дается выражением [7]

в — A sh а У"(«+!)

р - 3 зп а ^j (2„ _ 1) (2п + 3)

И=1

11(7.4.41)(7.4.41)4 ch2 ^ n + i ^ а + $п +1)2 sh2 а. 2 sh (2n +1) а — (2п +1) sh 2а

1

1

(7.4.41)

(7.4.41)

Значения 0, вычисленные по этой формуле, даны в табл. 7.4.2. Независимое подтверждение этих результатов дает работа Фак- сена и Даля [201 (см. формулу (6.3.52)), так как случай двух рав-

Таблица 7.4.2

Поправка к закону Стокса при приближении к свободной поверхности

а

h/a

3

0

1

ОО

0,5

1,1276260

3,98670

1,0

1,5430806

1,97369

1,5

2,3524096

1,4636

2,0

3,7621957

1,247131

2,5

6,1322895

1,1388563

3,0

10,067662

1,0803758

ОО

ОО

1

ных сфер, движущихся навстречу друг другу, эквивалентен движению одиночной сферы к свободной поверхности [7]. Их результат для первых нескольких членов (они дают соотношение, верное до членов порядка (a/h)9) эквивалентен выражению

,=6^[1.ч4^)+Л(^+»(^..^ (7.4.42)

Как указал Бреннер [7], эти результаты неприменимы к случаю сферы, одновременно ограниченной плоской стенкой и цилиндрической поверхностью, что имеет место, например, в вискозиметре с падающим шариком, когда последний находится вблизи дна. Введение поправочных коэффициентов, отражающих влияние цилиндрической и плоской границ, как было предложено Ладен- бургом [38] и Бреннером [71, даст в лучшем случае только оценку дополнительного сопротивления, испытываемого сферической частицей

7.5» Сфероид, движущийся относительно цилиндрической и плоской стенок

Следуя методам Факсена для изучения взаимодействия сферических частиц с плоскими стенками, Вакия [591 дал более общие решения, позволяющие охватить случай сфероидальных частиц.

х) См. также соответствующее обсуждение и численные результаты Таннера (Tanner R. I., J. Fluid,. Meeh., 17 (1963), 161).

Сначала путем обобщения решения Обербека [451 строится решение уравнения медленного течения в декартовых координатах. Решения, регулярные вне эллипсоида

и обращающиеся в нуль на бесконечности, могут быть построены из производных по декартовым координатам от гармонических функций, определенных выражением

V F 1 / Ж2 у2 Z2 ЧП0s

П ' J 2П \ Я2 + $ ‘ Ь2 + $ ‘ e2 + s/ y(a2_|_s) (62 + s) (c2 + s) ’

n = 0, 1, 2, ..., (7.5.2) где X (ж, у, z) — положительный корень кубического уравнения "2Тг+ ьЙл +гДг=1-(7-5-3)

а2 + л L&2 + X 'с2+Хх '

Вместо однородного потока, как делал Обербек для задачи обтекания эллипсоида, рассмотрим течение, которое на бесконечности имеет более общий вид

ы0 = Яо + aiz + а2^2 + Яз^2»

^о = Ь^ху,(7.5.4)

w0 = Схх + c^xz.

Решение общей задачи движения эллипсоида в безграничной среде при условии (7.5.4) сводится к подбору соответствующих значений постоянных в основном решении. Чтобы определить влияние границ на движение эллипсоида, имеющего ось симметрии (Ь = с), решение для эллипсоида в бесконечной среде выражают в виде несобственных интегралов (аналогично тому, как делал Факсен для плоских стенок). Так, например, при а < с

Хо = И I jWL, (7.5.5) — ОО * •

где г = V"—1, а = W + £2> Р = V ^ + П2 + £2-

Аналогичные представления можно получить для х^о, Xi и ЖХ2> другая совокупность интегралов получается для случая, когда а>с.

СФЕРОИД МЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ СТЕНКАМИ

Данный метод применим к случаю обтекания сфероида (Ь = с), ось симметрии которого параллельна направлению течения, а сам сфероид помещен между двумя плоскими стенками, параллельными плоскости ху (см. рис. 7.5.1). Поверхности стенок задаются

уравнениями

2 —^1,^ — ^2?

где ^ и d2 — положительные постоянные, а плоскость z — О проходит через центр сфероида. На больших расстояниях от сфероида

^2^2ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ/

^2

^2

cl

ТТТТТТТТТТТТТТТТТТТТТ/

Рис. 7.5.1. Сфероид между двумя параллельными стенками.

течение представляется в виде

Moo = а + |3z + yz2,(7.5.6)

Poo = l^oo = О,

где а, р и у — произвольные постоянные. Таким образом, граничные условия, которым необходимо удовлетворить, имеют вид

и = Uoo, v = w = 0 на бесконечности,

и = Uoo, v = w — О при z = —dx и z = d^ (7.5.7) и = v = iv = 0 на поверхности сфероида.

Численные расчеты были выполнены при dx = d!4 и d^ = 3d/4 (аналогично случаю Факсена, рассмотренному в разд. 7.4), где d — расстояние между стенками. Решения были получены для следующих частных случаев:

Случай X. Сфероид, движущийся с постоянной скоростью (— U) вдоль оси х: а = U, Р = 0, у = 0.

Случай Б. Сфероид в куэттовом потоке, полученном путем равномерного перемещения одной из двух стенок в ее собственной плоскости: а = 77, р = U!dXT у = 0. Таким образом, сфероид расположен ближе к неподвижной стенке.

Случай В. Неподвижный сфероид, помещенный в плоское течение Пуазейля: а = 77, р = W!d^ у = — Uldxd2. Скорость набегающего на сфероид потока равна U.

Некоторые значения параметра сопротивления, равного отношению сопротивления сфероида к его сопротивлению в безгра-

Таблица 7.5.1

Сопротивление сфероида, расположенного эксцентричномежду плоскими стенками

ЗначенияЗначенияF*F*^^/(Х + а2^)^^/(Х + а2^)

Значения

Значения

F*

F*

^^/(Х + а2^)

^^/(Х + а2^)

Случай A: Uoo = U

а/с

01)

0,5

1 2)

2

4

0,05

1,03

1,03

1,03

1,04

1,05

0,01

1,06

1,06

1,07

1,08

1,11

0,2

1,12

1,13

1,15

1,18

1,23

0,3

1,20

1,21

1,24

1,29

1,34

0,4

1,28

1,31

1,34

1,40

0,5

1,38

1,41

1,46

1,53

16л

16

17,06

18,85

22,69

30,12

с (К -^a^L^

Злу чай Б: и<

» = U^ + z/d

i)

а/с

0

0,5

1

2

4

е/<Х

0,05

1,03

1,03

1,03

1,04

1,05

0,1

1,06

1,06

1,07

1,08

1,11

0,2

1,12

1,13

1,15

1,18

1,23

0,3

1,19

1,21

1,23

1,27

1,31

0,4

1,27

1,29

1,32

1,37

0,5

1,36

1,38

1,42

1,45

Случай В: Uoo = U (1+ 2/^) (1 —z/c?2)

а/с

c/ZX.

0

0,5

1

2

4

0,05

1,03

1,03

1,03

1,04

1,05

0,1

1,06

1,06

1,07

1,08

1,11

0,2

1,12

1,13

1,14

1,17

1,22

0,3

1,18

1,20

1,22

1,27

1,30

0,4

1,25

1,27

1,30

1,36

0,5

1,32

1,35

1,39

1,44

!) Круглый диск, перпендикулярный основному течению и стенкам.

2) Сфера.

ничной среде

- *-rt^™ ■»(7-5-8)

и моментного параметра

Т^сЧ](7.5.9)

даны в табл. 7.5.1 и 7.5.2. Заметим, что

К = Г,(7.5.10)

J 1/(а2+$)(Ь2 + $)(с2 + $)''

j (а2 + $)^(а2 + $)(Ь2 + $)(с2 + $) \ • I соответствуют постоянным, уже определенным в связи с задачей Обербека о движении эллипсоида в безграничной сфере (гл. 5, разд. И). Обозначения, принятые в таблицах: I = d/4 — расстояние от центра сфероида до ближайшей стенки; с — радиус поперечного сечения (перпендикулярного оси х^ а — длина полуоси, расположенной вдоль оси х.

Из табл. 7.5.2, случай А, следует, что момент, действующий на седиментирующий сфероид, меняет свой знак, когда отношение а!с превосходит некоторое число. Так, ребро диска, падающего плоскостью вперед, будет стремиться погрузиться глубже со стороны, обращенной к ближайшей стенке. Когда отношение а/с превосходит величину

(а/с)кр « 0,901 (7.5.12)

[предполагается, что можно пренебречь членами, порядки которых выше чем (a/Z)3 или (c/Z)3], направление момента становится таким, что последний будет стремиться поворачивать частицу так, как если бы она катилась по ближайшей стенке, как это имеет место для осаждающейся сферы, несимметрично расположенной между стенками. Пока сфероид движется вдоль своей оси симметрии, он не будет испытывать действия боковой силы. Однако когда эксцентрично расположенная частица вращается из-за действующего на нее момента, развивается боковая сила, которая будет стремиться переместить ее к ближайшей стенке, как в случае частиц, имеющих форму диска, так и в случае иглообразных частиц (см. гл. 5).

Используя тот же общий метод, Вакия [61] рассмотрел также поведение сфероида, расположенного посредине между двумя параллельными стенками. В этом случае он провел численные расчеты для ситуации, когда а = с (т. е. круговое поперечное сечение перпендикулярно стенкам, но параллельно направлению течения, ось симметрии перпендикулярна направлению течения). Были рассмотрены два случая:

Таблица 7.5.2

Момент, действующий на сфероид, расположенныйэксцентрично между плоскими стенками

Значения Tyl\Lc4J

Случай A: Uoo = U

a/c

c/z X.

0

0,5

1

2

4

0,01

—0,00

—0,00

0,00

0,00

0,06

0,05

—0,02

—0,01

0,00

0,12

1,03

0,1

—0,06

-0,05

0,02

0,54

4,33

0,2

-0,26

—0,21

0,09

2,16

18,9

0,3

-0,62

—0,49

0,21

5,2

...

Случай Б: Uoo = U (l + z/^)

a/c

0

0,5

1

2

4

0,01

0,32

0,34

0,38

0,46

0,64

0,05

1,58

1,70

1,89

2,39

4,24

0,1

3,14

3,37

3,79

5,04

10,35

0,2

6,14

6,62

7,63

11,24

31,0

0,3

8,98

9,75

11,51

18,8

...

7

Случай В: Uoo = U (l + z/c?i) (1 —z/d2)

X. a/c

c/Z X.

0

0,5

1

2

4

0,01

0,21

0,23

0,25

0,31

0,44

0,05

1,05

1,13

1,26

1,63

3,04

0,1

2,07

2,23

2,53

3,53

8,34

0,2

4,00

4,43

5,11

8,22

27,0

0,3

5,78

6,33

7,74

14,3

...

Случай X. Сфероид, движущийся с постоянной скоростью (—£7) вдоль оси х. (Этот случай аналогичен случаю А для эксцентрично расположенного сфероида.)■

Случай Б. Неподвижный сфероид, помещенный в плоское течение Пуазейля со скоростью набегающего потока -VU, направленной вдоль оси х.

При этих условиях момент, действующий на сфероид, равен нулю. Некоторые значения параметра сопротивления

16лрС7

даны в табл. 7.5.3.

Таблица 7.5.3

Сопротивление сфероида, расположенного посрединемежду плоскими стенками

Значения

Случай A: Uoo = U

Ь/с

с/г

0

0,5

1

2

'3

0,01

1,01

1,01

1,01

1,02

. 1,02

0,05

1,03

1,04

1,05

1,06

1,08

0,1

1,06

1,08

1,10

1,14

1,19

0,2

1,13

1,17

1,24

1,37

1,47

0,3 .

1,20

1,30

1,41

1,61

. •.

0,4

1,28

1,44

1,60

...

...

Случай В: Моо = ^7[1— (z/Z)2]

Ъ/с c/zX.

0

0,5

1

2

3

0,01

1,01

1,01

0,01

1,02

1,02

0,05

1,03

1,04

1,05

1,06

1,08

0,1

1,06

1,08

1,10

1,14

1,19

0,2

1,11

1,15

1,22

1,35

1,45

0,3

1,15

1,25

1,36

1,56

...

0,4

1,21

1,36

1,52

....

...

Значения, приведенные в табл. 7.5.3, случай Б, для течения Пуазейля, соответствуют следующей формуле:

F _16лрС7 [1 — (1/3) (аЦЩК+аи^

l-Hl/fK + a^Z] [2,6776— 0,4244 (6/Z)2-0,6902 (a/Z)2] *

Формула (7.5.13) верна с точностью до членов О (а) или О (Ь/1)3. Значения сопротивления сфероида в бесконечной среде, т. е. l^\i.UI(J£ + a2^), находятся либо из табл. 7.5.1, либо из табл. 5.11.1.

Для случая двумерного течения Пуазейля, набегающего на диск, удерживаемый в положении кромкой к течению, причем его ось симметрии параллельна плоским стенкам и находится посредине между ними, принято в (7.5.13) Ъ = 0. Так как в этом случае К = л/a, Lx = л/(2а3), получаем

(7.5.14)(7.5.14)F __ (32/3) patf [1 —(1/3) (a/Z)2]

(7.5.14)

(7.5.14)

х1—0,568 (a/Z) +0,146 (a/Z)3 *

В случае когда а = 6, имеем сферу в двумерном пуазейлевом потоке, расположенную посредине между стенками. В этом случае К = 2/а, Ьг = 2/(За3), откуда

(7.5.15)(7.5.15)р _ 6лраС7 [1 — (1/3) (a/Z)2]

(7.5.15)

(7.5.15)

1 —1,004 (a/Z) +0,418 (a/Z)3 ’

Эту формулу можно сравнить с формулой Факсона (7.4.27) для сферы, осаждающейся между двумя плоскими стенками. G точностью до членов вида О (а/1)3 знаменатели в обоих выражениях совпадают.

СФЕРОИД, ДВИЖУЩИЙСЯ ПАРАЛЛЕЛЬНО ПЛОСКОЙ СТЕНКЕ, С ОСЬЮ СИММЕТРИИ ПОД ПРОИЗВОЛЬНЫМ УГЛОМ АТАКИ

В другой работе Вакия [62] рассмотрел движение сфероида параллельно одиночной плоской стенке, предположив, однако, что его ось симметрии образует произвольный угол со стенкой, а не параллельна ей, как это было в двух обсуждавшихся выше случаях движения между параллельными стенками. Этот случай более сложный, чем предыдущие, так как требует преобразования от системы координат х, у, z, связанной с эллипсоидом, к системе координат X, У, Z, связанной с направлением движения сфероида (см. рис. 7.5.2).

В предыдущем случае, когда эллипсоид двигался между двумя стенками, находясь на различных расстояниях от них, было отмечено, что направление вращающего момента может изменяться в зависимости от формы эллипсоида. Из этого факта вытекает существование у сфероида устойчивой ориентации, и задача ее

Рис. 7.5.2. Сфероид у плоской стенки (Ь = с).Рис. 7.5.2. Сфероид у плоской стенки (Ь = с).

Рис. 7.5.2. Сфероид у плоской стенки (Ь = с).

Рис. 7.5.2. Сфероид у плоской стенки (Ь = с).

определения была целью работы Вакии. Движение вдоль одиночной стенки было выбрано ради сокращения вычислительной работы.

Было найдено, что на эллипсоид, помимо силы сопротивления, действует также подъемная сила, направленная под прямым углом к плоской стенке.

В пределах точности приближения (т. е. с точностью до членов порядка (a/Z)3 или (c/Z)3) направление вращающего момента меняет знак в зависимости как от формы, так и от наклона оси сфероида. Момент этот равен нулю при а!с = = 1, т. е. в случае сферы. Заметим, что это слегка отличается от критического отношения а/с = = 0,901, полученного для сфероида, эксцентрично расположен-

ного между двумя параллельными

стенками. Таким образом, делается вывод, что если сфероид может свободно вращаться вокруг своего центра, он в конце концов примет определенную ориентацию и не будет продолжать вращаться, как было в случае сферы. Более того, он будет стремиться двигаться в поперечном направлении; из-за* наличия боковой силы.

СФЕРОИД В ЦЕНТРЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА

Используя все то же общее решение задачи обтекания эллипсоида в бесконечной среде, Вакия [59] рассмотрел осесимметричное обтекание сфероида в бесконечно длинной цилиндрической трубе, ось которой совпадает с осью симметрии сфероида (осью хУ Таким образом, для сфероида Ъ = с. Численные расчеты были проделаны для двух частных случаев:

Случай Л. Сфероид движется с постоянной скоростью —U вдоль оси трубы.■

Случай Б. Сфероид погружен в течение Пуазейля в трубе.

В этих случаях (в отличие от течения между плоскостями), чтобы сохранить то же самое значение полного расхода, какое было при отсутствии сфероида, необходимо между концами трубы создать дополнительную разность давлений.

Поскольку члены порядка (а//?0)3 или (с//?0)3 пренебрежимо малы, дополнительный перепад давлений связан с сопротивлением

сфероида таким же соотношением, как и для сферы, а именно

г ЛД2 L з I Ro) J ’

где Ro — радиус цилиндра, ас — радиус сфероида. Если обозначить через Uо скорость на центральной линии тока течения Пуазей- ля, общее выражение для силы сопротивления будет иметь вид

р 16л|1]Т7^^п г a Qx

г 1-[!/(/£ 4-02^) д0] [5,6142 — 2,0241 (а/Я0)2-3,5431 (с/Я0)2] ’ k '

Значения параметров сопротивления и перепада давления даны в табл. 7.5.4—7.5.6.

В частности, для круглого диска (а = 0) имеем

р _ 16цс[С7 + ^о-(2/3)С7о(с//?о)2]/7 5 171

1 —1,786(с/Я0) + М28(с/Я0)3 ’ V 1

кадпН^\иA-Uo-^^UoA-Щ/7 к

1-1,786 (с/Л0) 4^,128(6/^’

В качестве иллюстрации рассмотрим осаждение сфероида внутри кругового цилиндра. В этом случае имеем b = с; здесь а — полуось симметрии. Из разд. 5.11 (следует обратить внимание на изменения обозначений, поскольку там для этого же случая было принято а = с) имеем в неограниченной жидкости

•^” = тт%- = 6я^<7-5Л9)

где R — «радиус эквивалентной сферы». При значении отношения а/с, равном 10, имеем

4=3,812.(7.5.20)

Таким образом, 1/(^ + a?L^ = 1,43 с. Используя (7.5.16), получаем

(7.5.21)(7.5.21)(7.5.22)(7.5.22)F _1

(7.5.21)

(7.5.21)

(7.5.22)

(7.5.22)

Foo "~ 1 —1,43 (с/Д0) [5,612-2,0211 (а/^^

или, так как а = 10 с, F =1

Foo “" 1—1,43 (c/Ro) [5,612—205,65 (c/F0)2] ’

Из-за большой величины коэффициента при (c/Roy в выражении в квадратных скобках влияние длины частицы будет значительным, за исключением случая очень малых отношений с/7?0.Так, если с!Ro = 0,1, то FIFoo = 2,04, а если пренебречь членом, содержащим (с/7?0)2, получим FIFoo = 5,10. Главный поправочный член можно, разумеется, получить непосредственно из (7.2.15), используя приближение точечной силы со значением к = 2,104.

Таблица 7.5.4

Сопротивление сфероида, осаждающегося в цилиндрической трубеF

Значения 1^(к+^Гпри и”=и

а/с

c/Rq

0

0,5

1

2

4

0,01

1,02

1,02

1,02

1,03

1,03

0,05

1,10

1,11

1,12

1,14

1,20

0,1

1,22

1,23

1,26

1,33

1,46

0,2

1,53

1,59

1,68

1,87

2,00

0,3

2,02

2,15

. 2,35

2,62

...

Таблица 7.5.5

Сопротивление сфероида в пуазейлевом потоке, или перепад давлений, обусловленный осаждением сфероида в цилиндрической трубе

F

Значения 16 tf^.^,^ при Иоо-170[1-WOT

а/с

’ с/В0

0

0,5

1

2

4

0,01

1,02

1,02

1,02

1,03

1,03

0,05

1,10

1,10

1,12

1,14

1,20

0,1

1,21

1,22

1,25

1,32

1,45

0,2

1,49

1,55

1,63

1,82

1,95

0,3

1,90

2,02

2,21

2,46

...

Таблица 7.5.6

Перепад давлений, обусловленный наличием сфероидав пуазейлевом потоке в цилиндрической трубеЗначения ^^а^ ПрИ «~=IZo И~ W^

ajc с/Во^Х.

0

0,5

1

2

4

0,01

1,02

1,02

1,02

1,03

1,03

0,05

1,09

1,10

1,11

1,14

1,19

0,1

1,20

1,22

1,25

1,31

1,44

0,2

1,45

1,50

1,59

1,77

...

0,3

1,79

1,90

2,08

...

Тогда F1__1

Foo ~~ l~k(Foo/6^URQ) — 1 — 2,104 (3,812 X^Uc/^URq)

= 1 — 8,02(с/Л0) ’ (7,5е23) что согласуется с (7.5.21).

Коэффициенты к для типичных задач

Рассмотренные выше задачи о движении сфер при наличии различных границ дают возможность определить значения к в формуле (7.2.15), представляющей собой выражение для сопротивления в приближении точечной силы с учетом влияния стенок.

Таблица 7.6.1

Коэффициенты к для сопротивления частицы, движущейсяпри наличии жестких границ

Форма внешней границы

Положение центра частицы

Направление движения

Значение к

Круговой цилиндр

На оси цилиндра; 1 — радиус цилиндра

Вдоль оси

2,1044

Эксцентрическое

Вдоль оси

См. табл.

7.3.1;

k=KblRo)

Параллельные плоские стенки

Посредине между стенками; 1 — расстояние до стенки

Параллельно стенкам

1,004

На 1/4 расстояния между стенками; 1 — расстояние до ближайшей стенки

Параллельно стенкам

0,6526

Одна плоская стенка

1 — расстояние до стенки

Перпендикулярно стенке

9/8

Параллельно стенке

9/16

Сфера

В центре сферы; 1— радиус сферы

Радиальное

9/4

Хотя в большинстве случаев задачи, охватывающие одномерныеХотя в большинстве случаев задачи, охватывающие одномерныеи двумерные ситуации, не относятся непосредственно к дисперсными двумерные ситуации, не относятся непосредственно к дисперснымРис. 7.7.1. Движение цилиндра вдоль оси другого цилиндра.Рис. 7.7.1. Движение цилиндра вдоль оси другого цилиндра.(7.7.2)(7.7.2)

Хотя в большинстве случаев задачи, охватывающие одномерные

Хотя в большинстве случаев задачи, охватывающие одномерные

и двумерные ситуации, не относятся непосредственно к дисперсным

и двумерные ситуации, не относятся непосредственно к дисперсным

Рис. 7.7.1. Движение цилиндра вдоль оси другого цилиндра.

Рис. 7.7.1. Движение цилиндра вдоль оси другого цилиндра.

(7.7.2)

(7.7.2)

Приближения более высокого порядка требуют явного решения краевой задачи, а это означает, что нужно рассматривать не только геометрию стенок, но и геометрию частицы. В табл. 7.6.1 приведен набор значений к из предыдущих разделов данной главы в зависимости от положения частицы, направления ее движения и формы границы. Приближения первого порядка для других задач, включающих задачи со свободной поверхностью, пуазейлево и сдвиговое течения, также могут быть получены без явного учета геометрии частицы [5]. .

Одномерные и двумерные задачи

средам, отдельные такие задачи, в которых фигурируют внешняя стенка и внутренняя граница, представляют определенный интерес, поскольку они могут служить аналогиями для более сложных трехмерных задач, имеющих дело с частицами.

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ СТЕРЖЕНЬ, ДВИЖУЩИЙСЯ ВДОЛЬ ОСИ НЕПОДВИЖ

НОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА

Предположим, что движение внутреннего цилиндра происходит вдоль оси, как показано на рис. 7.7.1. В таком случае уравнение движения имеет вид

/о \ 1dp / 7 7 1

RdR \ dR /~ pidz1

где w = w (R) — компонента скорости в направлении z. Общее решение этого уравнения имеет вид

(7.7.3)(7.7.4)(7.7.3)(7.7.4)

(7.7.3)

(7.7.4)

(7.7.3)

(7.7.4)

Граничные условия

w = — U при R = а,w = О при R = Ь.

В случае осаждения цилиндра полный расход Q через кольцевое сечение равен нулю. Таким образом,

ъ

Q=^ J wR dR^O.(7.7.5)

а

Если положить

с = 1(7.7.6)

Д 4р dz ’v ’

то все три постоянные С^, С2 и С3, входящие в (7.7.2), можно вычислить из трех граничных условий (7.7.3)—(7.7.5), а затем, используя известные значения постоянных, можно рассчитать силу сопротивления Р на единицу длины внутреннего цилиндра по формуле

(7.7.7)

Окончательный результат имеет вид

р _1_у2.аг№г_а^ [1-{2а2/(Ь2_а2)}1п(6/а)]/7 7 Qx

2лр,С7 ~[(52+а^К^—д2)] 1П ф/а) — 1 z * k ’ е '

Если Ь^ а, то можно пренебречь членами порядка (а/b)2, после

чего получаем

(7.7.9)(7.7.9)in 2л|л£7

(7.7.9)

(7.7.9)

Г ~ ln(6/a)—1 ’

Этот результат можно сравнить с предельным случаем течения в кольцевом канале, рассмотренным в работе Ротфуса и др. [48], в основу которой положено решение Ламба [39]. Там анализируется случай, когда как внутренняя, так и внешняя стенки неподвижны, однако в пределе сопротивление должно соответствовать только что рассмотренному случаю, если вместо — U подставить 27, где V — средняя скорость течения в кольцевом сечении. При b ^ а находим, что результат Ротфуса принимает вид

(7.7.10)(7.7.10)„ _ 4лр7 ln(5/a) —1 ’

(7.7.10)

(7.7.10)

Другой интересный случай имеет место, когда трение на наружной оболочке отсутствует. Тогда произведение градиента давления на площадь поперечного сечения должно быть равно сопротивлению на единицу длины внутреннего цилиндра, поскольку на внешнем цилиндре напряжения сдвига нет. Если внутренний цилиндр движется со скоростью U, а внешний покоится, в предельном случае b ^ а получаем

(7.7.11)(7.7.11)у2л|1Г7

(7.7.11)

(7.7.11)

In (Ь/а')— 3/4 *

Характер движения стержня, расположенного эксцентрично, был рассмотрен в разд. 2.5. Бреннер [4] рассмотрел также вопрос о силе сопротивления, действующей на стержень в этом случае.

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ СТЕРЖЕНЬ,РАСПОЛОЖЕННЫЙ ВДОЛЬ ОСИ ДРУГОГО ЦИЛИНДРАИ ДВИЖУЩИЙСЯ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНО ЭТОЙ оси

Этот случай будет более подробно рассмотрен в следующей главе, поскольку полученные результаты можно применить к задаче о течении через ансамбль частиц, решаемой на базе ячеечной модели. Основные черты метода были разработаны Слезкиным [52].

При поперечном движении стержня в трубе с твердой внешней стенкой предельный случай Ъ^ а дает

(7.7.12)(7.7.12)р _ 4лр,С7

(7.7.12)

(7.7.12)

Г — ln(b/a) —1 ’

С другой стороны, если трение на наружной стенке отсутствует, то

(7.7.13)(7.7.13)г 4n.p,U

(7.7.13)

(7.7.13)

Г 1п(д/а) —1/2 *

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ СТЕРЖНЕЙВ КРУГОВЫХ ЦИЛИНДРАХ

Интересно заметить, что экспериментальные данные, относящиеся к круговым цилиндрам, падающим боком, оси которых перпендикулярны осям содержащего их цилиндрического сосуда, находятся, по-видимому, в удовлетворительном согласии с формулой (7.7.12), хотя вывод последней относится к случаю бокового движения цидиндра с осью, ориентированной параллельно оси содержащего цилиндра. Так, в .работе Уайта [66] приведены данные для проволочек, падающих в горизонтальном положении при очень малых числах Рейнольдса в процессе осаждения в вертикальном цилиндрическом сосуде. Свои данные Уайт свел в формулу

=14,5.(7.7.14)

pt7 In(0,86/а)

Формула Слезкина (7.7.12), записанная в Атакой же форме при 6 ^ а, имеет вид

-4г = 1, .(7.7.15)

viL In (b/а) — 1''

Так, например, при Ыа = 100 формула (7.7.14) дает FIpU = 3,3, тогда как формула (7.7.15) дает F/p,U = 3,5. При больших

значениях Ыа совпадение еще более близкое. Исследования Уайта проводились на проволочках, для которых отношение длины к диаметру было 50 и ниже, поэтому вводился поправочный множитель на конечную длину, который оказывается существенным в случае коротких проволочек.

Дополнительные данные, имеющиеся в ограниченном количестве [47], указывают на то, что для длинных проволочек, падающих вдоль своей оси в цилиндрическом сосуде, при b а применима формула (7.7.9). Так, при Ыа = 267 для стержней, длина которых в 200 раз больше диаметра, предсказываемые значения FI^U только на 10% ниже наблюдаемых.

Рис. 7.7.2. Движение цилиндра параллельно стенкам.Рис. 7.7.2. Движение цилиндра параллельно стенкам.Представляется, таким образом, что сопротивление на единицу длины длинного цилиндра, движущегося в сосуде, часто можно аппроксимировать при помощи решений одномерных и двумерных • задач с границами. Напомним, что формула Ламба [39] (см. разд. 2.7) для цилиндра, выведенная с учетом инерционных эффектов, дает аналитическое решение задачи о движении цилиндра в безграничной среде, в то время как из уравнений медленного течения в этом случае невозможно найти конечное решение. Однако в действительности при низких скоростях формула Ламба оказывается применимой только в случае, когда границы находятся очень далеко. Например [66], при N-Re = 0,001 влияние границ, расположенных на расстоянии 500 диаметров, полностью преобладает в выражении для силы сопротивления (вычисленной в приближении уравнений медленного течения) и не исчезает вплоть до того, пока границы не отодвинутся на расстояние порядка 10 000 диаметров.

Рис. 7.7.2. Движение цилиндра параллельно стенкам.

Рис. 7.7.2. Движение цилиндра параллельно стенкам.

ЦИЛИНДР, ДВИЖУЩИЙСЯМЕЖДУ ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬ-НЫМИ ПЛОСКИМИ СТЕНКАМИ

Движение кругового цилиндра перпендикулярно собственной оси, расположенной посредине между стенками и параллельно им, порождает двумерную задачу. Представ

ляют интерес два случая: 1) когда цилиндр движется параллельно стенкам и 2) когда он движется перпендикулярно стенкам.

Геометрические условия для первого случая изображены на пояснительном рис. 7.7.2. Соответствующая задача весьма подробно была исследована Факсеном [21, 22]. Поскольку задача двумерная, ее можно упростить путем введения функции тока гр,

так что компоненты скорости по осям х и у соответственно равны

и =у=-^.(7.7.16)

дудх\/

Записанные через функцию тока уравнения медленного течения имеют вид

Т‘И-^ + ^L)(^ + ^)t = 0,(7.7.17)

т \ дхг 1 ду2* / \ дх2 1 ду2* / т4'

что обсуждалось в разд. 3.1.

Граничные условия выражаются через компоненты скорости в виде

и = v = 0 на плоскостях у = ± Z,

и = U = const, v = 0 на цилиндре ж2 + у2 = а2, (7.7.18)

и = и ->0 при | ж | —> оо.

Точно так же граничные условия, записанные через функцию тока, имеют вид

ф ->0 при |ж | ->оо.(7.7.19

На цилиндре ж2 + у2 = а2

^=Uy, -§- = 0.(7.7.20)

На плоскостях у = ± I

^ = ^ ^ = 0.(7.7.21)

Уравнение (7.7.17) с условиями (7.7.19) и (7.7.21) удовлетворяется при следующем выборе функции тока:

Ф(я, у)= j (Ло +Л1«2+Л2а4 + . . .)[ye-“M + о

, (2а?—1+е~2аг) у ch ау—2a?2shay 1 cos ал: ,.

+sh2a?—2а?J а °“"Г"

+ J(B0 + Bia2 + B2a‘+...) [-^-^14- о

+ 2a^h «У"(1 + 2а?+.2^.) shay 1 ^^ (7 ?

Интегралы в (7.7.22) можно разложить в ряд из более простых сходящихся интегралов, а постоянные Ло, Аъ Л2, . . ., BOlBLl В2, . . . определены так, чтобы удовлетворить условию (7.7.20). Для этой цели удобно ввести разложения в ряд для Ап и Вп.

Получается бесконечная система уравнений, решая которую определяем значения постоянных. Для сопротивления на единицу длины цилиндра окончательно получается формула

F —F —(7.7.23)(7.7.23)4лр£7

F —

F —

(7.7.23)

(7.7.23)

In (?/а)—0,9157 +1,7244 (a/Z)2 —1,7302 Wl^ *

В более поздней работе [22] Факсен продолжил разложение до членов вида (all)8 и дал выражение для дополнительного перепада давления, обусловленного движением цилиндра в пространстве между плоскими стенками. В этой работе приведены аналогичные результаты для неподвижного цилиндра, помещенного в течение Пуазейля. . Интересно отметить, что в случае I ^ а формула (7.7.23) дает результат, очень близкий к наблюдаемому для случая цилиндрической границы (формула (7.7.12)).

Вестберг [65] в большой статье, посвященной аналогичным задачам (включая задачи потенциального течения), рассматривает второй случай, когда цилиндр движется в вязкой несжимаемой жидкости перпендикулярно плоскостям. Величина силы, приходящейся на единицу длины, вычислена с точностью до (a/Z)12. Первые несколько членов даются следующей формулой:

р = П 7 24)

In (Z/a)—0,62026 + 1,04207 (a/Z)2

Такаиси [34] рассматривал задачу о движении кругового цилиндра параллельно одиночной плоской стенке и перпендикулярно своей собственной оси. В предельном случае больших Ыа (Ъ — расстояние от стенки до оси цилиндра, а — радиус цилиндра) сопротивление на единицу длины равно

(7.7.25)(7.7.25)р 4зтр,С7

(7.7.25)

(7.7.25)

Г “ In (26/a) ’

• Решение Такаиси основано на уравнениях Озеена; приведенный результат получается из его более общей формулы, если положить в ней число Рейнольдса равным нулю. Если учитывать инерционные эффекты, то определяется и подъемная сила, стремящаяся удалить цилиндр от стенки. "

В более поздней работе [56] Такаиси рассматривал также движение цилиндра, расположенного посредине между двумя плоскостями, параллельно последним. Результаты в общем согласуются с формулой (7.7.23).

Твердое тело вращения, симметрично вращающееся в ограниченном объеме жидкости

В этом разделе рассматриваются эффекты первого порядка, вызванные близостью стенок, на гидродинамический момент, действующий на вращающееся тело.

Для момента, испытываемого частицей, вращающейся вблизи некоторой границы, имеется аналог формулы (7.2.15). Методы его получения в целом вполне аналогичны методам, которые уже применялись в разд. 7.2 для поступательно движущейся частицы. Однако по причинам, которые будут ясны ниже, здесь ограничим круг исследований телами вращения, вращающимися вокруг своих осей симметрии. Кроме того, форма и ориентация границ сосуда должны быть таковы, чтобы линии тока при медленном вращении тела при наличии границ образовывали бы концентрические окружности. Такой случай возникает, например, при вращении осесимметричного тела вокруг оси сосуда в форме кругового цилиндра, заполненного вязкой жидкостью. Изложение следует оригинальному исследованию Бреннера [5].

' Обозначим через Т момент относительно произвольной точки на оси вращения тела, когда последнее вращается вокруг этой оси с угловой скоростью о. Вследствие симметричного расположения тела относительно границ как Т, так и <о будут параллельны оси симметрии.

Граничные условия,которымнеобходимо удовлетворить,

имеют следующий вид:

v =<оXг наР,(7.8.1)

v =0на5,(7.8.2)

v ->0приг —> оо,(7.8.3)

где Р и S — поверхность тела и ограничивающая поверхность соответственно. В случае вращения частицы внутри замкнутой поверхности условию (7.8.3) удовлетворять не нужно. Поля скоростей и давлений можно разложить на составные части, а последовательные отражения можно определить как в разд. 7.2, за исключением того, что исходное поле в неограниченной жидкости теперь определяется при помощи условий

'v(1) = <о X г на Р, v(1) ->0 при г -^оо.(7.8.4)

Пусть Т — пара, действующая со стороны жидкости на частицу, а Т(П) — пара, обусловленная полем у(П). Пары от полей с четными номерами, отраженных от S, тождественно равны нулю, поэтому аналогично (7.2.1) можно записать

т = Т<!> + Т(3) + Т(6) + . . . .(7.8.5)

Исходное поле, очевидно, соответствует вращению частицы с угловой скоростью о в неограниченной жидкости. С этим движением будет связана пара

Г1) = Too,(7.8.6)

где Too — пара, действующая на частицу при отсутствии границы S.•

Далее, при вращении произвольного некосого тела (т. е. такого, для которого значение сопряженного диадика обращается в нуль в центре реакции) вокруг любой оси, проходящей через его центр реакции, действующая на него полная гидродинамическая сила равна нулю, по крайней мере в неограниченной жидкости. Можно показать, что при этих условиях поле скоростей на больших расстояниях выражается в следующем общем виде:

''",=-^+гС+о(га>’<7А7>

где р(1) = роо — поле давлений, порождаемое вращением частицы в безграничной жидкости. [Точнее, р03 есть та часть поля давлений, которая затухает как О (г-2).] В случае если тело представляет собой тело вращения, вращающееся вокруг своей оси симметрии, давление всюду постоянно; следовательно,

'р^-О,,(7.8.8)

что приводит к следующему асимптотическому выражению для поля скоростей:

v‘» =—^т^т- + о(г"2).(7.8.9)

Члены, выделенные явно, соответствуют движению, создаваемому симметричной точечной парой. сосредоточенной в начале координат.

В общем виде если Q — ротационный диадик в точке оси, относительно которой берутся моменты, то

Too = —pQ-o).(7.8.10)

Далее обратимся к вычислению Т(3) в формуле (7.8.5). Применяя теорему взаимности [5], можно показать, что для симметричных течений рассматриваемого типа

<о-Т<3) = -ю^.Тоо,(7.8.11)

где о>(2) = (1/2)V X v(2), а индекс 0 означает, что соответствующая величина вычисляется в точке, относительно которой берутся моменты.

Вследствие симметрии векторы моментов сил и угловых скоростей можно представить через соответствующие скалярные величины. Пусть к — единичный вектор, параллельный оси вращения и направленный так, что <о = ко, где со = | со | >0. Тогда можно записать Т = —kT. Too = —кТ7^, Т(П) = —кТ(П) и op =f —кю<2). Входящие сюда скаляры все положительны, за возможным исключением в отношении Т^ и <о^2). Из (7.8.11) получаем тогда

Г3»^^^.(7.8.12)

Таким образом, Т^ положительно или отрицательно в зависимости от того, положительна или отрицательна величина <о<2). Полученное соотношение является аналогом формулы (7.2.9).

Начиная с этого момента, анализ в достаточной степени аналогичен исследованию, проведенному в разд. 7.2, поэтому подробности будут опускаться. Окончательно приходим к соотношению

Т _1

Г» ~ H<W аналогичному (7.2.12). Из соображений размерности можно заключить, что

=(7.8.14)

где К — безразмерная постоянная порядка единицы, не зависящая ни от размера, ни от формы частицы, а только от вида границы 5. Заметим, что Z, как и ранее, есть характерное расстояние от частицы до границы. Различные определения Z приводят к различным численным значениям К, так что на окончательный результат это не влияет. Оценивая ошибки, даваемые тем или иным приближением, и используя соображения, аналогичные примененным в разд. 7.2, приходим к окончательному результату:

(7.8.15)(7.8.15)Г _1

(7.8.15)

(7.8.15)

Too — 1 — ^(700^/3(0) +о (с/Z)3 ’

где с — характерный размер частицы. Полученный результат дополняет формулу (7.2.15), определяющую влияние стенок на поступательно движущуюся частицу.

Вообще говоря, Т^ = О (8лр,с3(о). Из предыдущего соотношения можно, таким образом, видеть, что степень влияния стенок для вращающейся частицы зависит от членов порядка O(c/Z)8, в то время как влияние стенок для частицы, движущейся поступательно, зависит от членов порядка О (сП). Следовательно, в первом случае эффект стенок намного меньше, чем во втором. Малость этого эффекта была отмечена еще Джеффри [36] в связи с задачей о сфере, вращающейся около плоской стенки. Вследствие этого формула (7.8.15) применима при гораздо больших значениях отношения сП, чем аналогичная формула для поступательного движения. Например, когда сферическая частица радиуса с вращается вокруг оси, перпендикулярной твердой бесконечной плоскости, расположенной на расстоянии Z от центра частицы, формула (7.8.15) дает при сП = 0,7477 и 0,925 значения TIT«,, равные соответственно 1,055 и 1,110. Точные же значения, протабулированные в работе Джеффри [36], для этих двух случаев равны соответственно 1,057 и 1,126.

Общая форма выражения (7.8.15), включая оценку для ошибки, подтверждается решениями Джеффри [36] для сфероидальных 26-01084 ,

вращающихся частиц, расположенных в центре софокусной сферической оболочки. Для сферических частиц, находящихся в разнообразных ситуациях, имеет место аналогичное совпадение, за исключением того, что фактическая погрешность в этом случае намного меньше, чем указывает формула (7.8.15). Например, решение Ламба [39] для сферической частицы, вращающейся в центре концентрической сферической оболочки, дает в точности формулу (7.8.15), без какой бы то ни было ошибки, независимо от величины отношения радиусов внутренней и внешней сфер. С другой стороны, решение Джеффри [36] для сферы вблизи плоской границы приводит к остаточному члену порядка О (с/1)\ а не О (c/Z)5, как в формуле (7.8.15). По-видимому, сферические частицы представляют собой некий вырожденный случай в отношении величины погрешности, неявно фигурирующей в приближенном решении.

Для сферической частицы радиуса а имеем Too = 8лца3о, и формула (7.8.15) принимает поэтому вид

Т^ ='(7.8.16)

Для каждого частного вида поверхности S значение К можно получить, сравнивая вышеприведенную формулу с известным решением для сферической частицы. Результаты сведены в табл. 7.8.1. Для сфер, вращающихся вблизи границ, известны лишь весьма немногие решения уравнений медленного течения. Они последовательно рассмотрены в табл. 7.8.1. Первые два случая взяты из статьи Джеффри [36] о вращении осесимметричных

Таблица 7.8.1

Значения К для формулы (7.8.15)

Случай I. Частица, вращающаяся в центре внешней сферы с твердыми стенками; I — радиус внешней сферы:

К = 1.

Случай II. Частица, вращающаяся вокруг оси, перпендикулярной одиночной бесконечной плоской поверхности; / — расстояние от центра частицы до поверхности:

твердая плоскость

Я =1/8,

безфрикционная плоскость (свободная поверхность) *) ^=—1/8.

Случай III. Частица, вращающаяся вокруг продольной оси кругового цилиндра; I— радиус цилиндра:

К = 0,79682417.

Это значение получено из решения Джеффри о вращении с одной и той же угловой скоростью вокруг линии центров двух равных сфер, расположенных внешним образом в безграничной жидкости. Плоскость симметрии в этом случае будет «безфрикцион- ной» плоскостью.

тел, третий случай — из независимых работ Хабермана [29] и Бреннера и Саншайна [10].

Ряд других значений К можно получить из решений Джеффри для частицы в центре сфероидальной границы и для частицы, расположенной эксцентрично внутри сферической поверхности.

По всей вероятности, для несферических частиц не существует экспериментальных данных, по которым можно было бы проверить формулу (7.8.15). Это кажется удивительным, ибо вопрос, по-види- мому, представляет интерес для общей теории ротационных вискозиметров.

Как пример других возможных приложений теории рассмотрим задачу о двух равных круглых дисках радиуса с, вращающихся параллельно друг другу вокруг своей линии центров в безграничной жидкости. Обозначим через 2Z расстояние между дисками и предположим, что они вращаются с одной и той же угловой скоростью со либо в одном и том же, либо в противоположных направлениях. Тогда, смотря по тому, имеет ли место первый случай или второй, срединная плоскость ведет себя либо как свободная поверхность, либо как твердая граница. Задача, таким образом^ охватывается случаем II из табл. 7.8.1. Так как Т^ = (32/3)ре3(о (Джеффри [36]), то для пары, которую необходимо приложить к каждому из дисков, чтобы поддержать его равномерное вращение, получим выражение

т(32/3) рс3соп 4

1±[4/(Зл)](с//)3 + О(с//)5 ’

причем верхний или нижний знак берется согласно тому, вращаются ли диски в одном и том же или же в противоположных направлениях. В первом случае величина пары уменьшается из-за наличия другого диска, во втором — увеличивается.

ВРАЩЕНИЕ СФЕРЫ ВНУТРИ ДРУГОЙ СФЕРЫ

Ландау и Лифшиц [40] рассматривают медленное течение жидкости, заключенной в пространстве между двумя концентрическими сферами радиусов ах и а2 соответственно (а2 >64). Обе сферы равномерно вращаются вокруг, вообще говоря, различных диаметров с угловыми скоростями (Oj и <о2. «Угловое» число Рейнольдса ра2со/ц предполагается малым по сравнению с единицей. Благодаря линейности соответствующих уравнений задачу можно решить путем суперпозиции двух движений, получаемых, когда одна сфера покоится, а другая вращается. Поле давлений равно нулю, поле скоростей имеет вид

V= (1/61)3-(1/а2)3 [(7з"-7г) Ю1 + (^Г"7з") Ю2] ХГ’ (7-8Л8>

где г измеряется от центра сфер.

Простое вычисление показывает, что момент Т1? действующий на внутреннюю сферу, равен

(7.8.19)

или, эквивалентно,

т_ 8яМ(®1-®а)/7йоп\

А-^/аг)8 *(7.8.20)

Момент Т2, действующий на внешнюю сферу, равен первому по величине и противоположен по направлению.

Гильдьял [26] рассматривает неустановившееся медленное течение вязкой жидкости, содержащейся между двумя концентрическими сферами. Например, один из рассмотренных случаев состоит в том, что внешней сфере мгновенно сообщается вращательное движение, после чего она вращается с постоянной угловой скоростью, в то время как внутренняя сфера остается неподвижной. Общее решение уравнений неустановившегося медленного течения для несжимаемой жидкости получается путем применения методов интегральных преобразований. Спустя достаточно долгое время в решении начинают преобладать стационарные члены, и оно сводится к решению, получаемому из (7.8.18).

СФЕРА, ВРАЩАЮЩАЯСЯ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИВНУТРИ КОАКСИАЛЬНОГО КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА

Хаберман [29] и независимо Бреннер и Саншайн [10] изучали медленное симметричное вращение сферы радиуса а в вязкой жидкости, ограниченной извне бесконечно длинным круговым цилиндром радиуса /?0, причем сфера находится на оси цилиндра. Более позднее решение [10] является точным и полностью охватывает диапазон отношения a/R0 от 0 до l.j При a/R0 <; 0,9 момент, действующий на сферу, вращающуюся с угловой скоростью <0, достаточно точно выражается формулой [10]

1 ” 1-0,79682417 (д//?0)3-0,060047040^^ *

Если вращается также и сам цилиндр, в вышеприведенном выражении нужно лишь за со принять алгебраическую разность угловых скоростей сферы и цилиндра. В любом случае момент, действующий на цилиндр, равен по величине и противоположен по знаку моменту, действующему на сферу.

МЕДЛЕННОЕ ВРАЩЕНИЕ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЛА, ПОМЕЩЕННОГОВ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДР КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ

Бреннер [8] изучил влияние близости границы на вращение произвольного осесимметричного тела, размер которого мал по сравнению с размерами внешних границ. Он использовал метод приближения точечной пары, вкратце описанный выше.

Для решения задачи о симметричном вращении частицы вокруг оси кругового цилиндра, заполненного на конечную глубину вязкой жидкостью, использовались уравнения медленного течения. Тело может занимать любое положение на оси цилиндра, как показано на пояснительном рис. 7.8.1. Тело вращается вокруг продольной оси (оси z) вертикального цилиндрического сосуда радиуса 7?0, заполненного жидкостью до конечной глубины К = 21. Используется система цилиндрических координат 7?, ф, z. Центр тела находится на расстоянии z = с от начала координат О. Свободная поверхность жидкости лежит на вертикальном расстоянии Ь2 над центром тела. Аналогично, дно цилиндра находится на расстоянии Ьг ниже центра тела.

Предположим, что тело вращается с одной и той же угловой скоростью со как в неограниченном, так и в ограниченном объеме жидкости. Тогда на него будут действовать моменты, равные