Глава 1. Общие принципы построения дискретных моделей несжимаемой жидкости и их численной реализации 17

Пространственная дискретизация, условия несжимаемости, законы сохранения 17

Дискретизация по времени. Полностью консервативная схема 22

Глава 2. Двумерная модель на регулярнойсетке 32

Построение модели, аппроксимация 32

Дисперсия линейных волн 39

Численное моделирование уединенных волн 46

Глава 3. Одномерная модель мелкой воды 54

Построение модели, аппроксимация, дисперсия 54

Уединенные волны, накат на пологий берег 62

Численное моделирование стоячих волн и волн от источника давления 70

Глава 4. Дискретные модели для трехмерных волн 76

Трехмерная модель 76

Двумерная модель мелкой воды 82

Отражение Маха для уединенных волн 88

Глава 5. Свободно-лагранжевы дискретные модели 104

Бессеточная модель 104

Модель на сетке Дирихле 115

Модель с частицами переменной массы 132

Глава 6. Метод частиц 144

Описание метода 145

Законы сохранения 152

Результаты численных расчетов 160

Глава 7. Численное моделирование удержания шара струей жидкости 175

Двумерная задача 176

Построение базисных функций в произвольной области .. 184

Трехмерная задача 189

Список литературы 202

Численные методы гидродинамики для задач со свободными границами (границами раздела) можно условно разделить на несколько классов. Это, во-первых, классические лагранжевы методы, в которых используется лагранжева сетка с неизменной топологией. Такие методы строятся как на основе конечноразностных (Hirt, Cook, Butler 1971; Brennen 1971) так и конечноэлементных аппроксимаций (Kawahara, Miwa 1984; Ramaswamy, Kawahara, Nakayama 1986; Терентьев, Афанасьев 1987 и др.). Для этих методов характерна достаточно высокая точность, аккуратное явное вычисление положения границ раздела и довольно простые для программной реализации алгоритмы. Основным недостатком является принципиальная невозможность расчета течений с большими деформации, т.к. возникающие в этом случае сильные искажения ячеек сетки и перехлест узлов ведут к потере точности и аварийному завершению расчета.

Следующий класс методов использует нелагранжево преобразование расчетной области в область простой формы с фиксированной границей (см. например Гущин, Коньшин 1981; Daubert, Hauguel, Cahouet 1982; Хакимзянов 1991). Такое преобразование строится численно на каждом шаге, а уравнения движения аппроксимируются в новых переменных. Этот подход более универсален, чем лагранжев, однако возникают определенные сложности с построением консервативных схем, т.к. в уравнения движения входят коэффициенты преобразования. Дополнительные проблемы возникают также для течений со сложной формой свободных и жестких границ.

Близким к предыдущему является класс эйлерово-лагранжевых методов (см. например Херт 1973; Ramaswamy, Kawahara 1987), в которых узлы на границах раздела движутся лагранжево, а движением остальных управляют таким образом, чтобы расчетная сетка оставалась хорошей. В отличие от предыдущего случая в этих методах уравнения движения аппроксимируют в

исходной системе координат с учетом потоков массы, импульса и энергии между ячейками, которые возникают из-за нелагранже- вого движения сетки. Основная проблема здесь — построение хороших аппроксимаций для обменных членов, а также надежные и в то же время недорогие методы управления сеткой в случае сложных течений.

Последнее время известное распространение получили методы граничных интегральных уравнений (граничных элементов) (Longuet-Higgins, Cokelet 1976; Бреббия, Теллес, Вроубел 1987). С помощью них получены весьма впечатляющие результаты, как например расчеты обрушающихся волн (Longuet-Higgins, Cokelet 1976). В то же время существуют задачи, к которым эти методы вряд ли смогут быть когда-либо применены. Таким примером является, скажем, накат разрушающихся волн на пологий берег, когда свободная граница сначала становится многосвязной, а затем вообще не может быть описана гладкой кривой. К недостаткам следует отнести также необходимость решения систем линейных алгебраических уравнений с заполненными матрицами, причем последние необходимо вычислять и хранить на каждом шаге.

При расчетах внутренних течений несжимаемой жидкости, особенно турбулентных течений в областях простой формы, довольно широко используются спектральные и псевдоспектраль- ные методы. Вариант такого метода для расчета волн на воде предложен в статье Fenton, Rienecker (1982). Метод показал высокую точность и хорошее выполнение законов сохранения на задачах о взаимодействии уединенных волн. К сожалению спектральные методы плохо переносятся на случай областей произвольной формы, скажем реальных озер, бухт и т.д.

Следующий замечательный класс методов берет начало от метода частиц в ячейках (Харлоу 1967), а для несжимаемой жидкости— метода маркеров и ячеек (метод MAC: Harlow, Welch 1965). Позже появились модификации этих методов: метод крупных частиц (Белоцерковский, Давыдов 1982), методы SMAC: (Amsden, Harlow 1970) и SUMMAC: (Chan, Street 1970), модификация граничных условий (Николс 1973), а также примыкающий к этому семейству метод VOF (Hirt, Nichols 1981). Методы МАС и SMAC позволяют моделировать сквозным счетом широкий класс задач,

включая задачи соударения, выход волн на берег и т.д., однако обработка условий на свободной границе в этих “универсальных” версиях метода достаточно грубая и, поэтому, они вносят большую погрешность на гладких решениях типа бегущих волн. Модификации (Николс 1973), (Chan, Street 1970) позволяют существенно улучшить качество таких решений, однако они гораздо менее универсальны. Наиболее существенным недостатком этих методов является отсутствие консервативности, причем оно похоже принципиально неустранимо из-за наличия неполных приграничных ячеек.

Достаточно близко к этому семейству методов примыкает Level set —метод, (Sussman, Smereka 1997), получивший в последнее время известное распространение. В этом методе граница раздела сред является линией уровня некоторой функции, для которой решается уравнение переноса. Такой способ выделения границы раздела обладает рядом достоинств, в частности, он допускает изменение связности границы. Однако, задачи со свободными границами, где влиянием внешней среды (атмосферы) на течение можно пренебречь, данный метод искусственно усложняет, поскольку это течение приходится погружать в некоторую существенно более легкую среду.

С ростом производительности компьютеров возродился интерес к лагранжевому описанию движения жидкости на основе так называемых свободно-лагранжевых (Free-Lagrange) методов. К родоначальникам этих методов следует отнести метод свободных частиц (Дьяченко 1965), методы FLAG (Кроули 1973) и “Медуза” (Глаголева и др. 1972). Дальнейшее развитие этот подход получил в методах, использующих перестраиваемую треугольную сетку (Fritts, Boris 1979; Fyfe, Oran, Fritts 1988; Арделян, Космачевский, Чувашев 1985), методах частиц НОВО (Clark 1985, 1988) и SPH (Monaghan, 1992), а также в методах, использующих для построения дискретных операторов сетку Дирихле (Михайлова, Тишкин, Тюрина и др. 1986; Соловьев, Соловьева, Тишкин и др. 1986; Borgers, Peskin 1985, 1987; Augenbaum 1985; Trease 1985, 1988;). К этому же семейству можно отнести методы FLIP (Brackbill, Kothe, Ruppel 1988) и ДВМ (Кошур, Мартьянов 1989). Общим принципом, объединяющим эти мето-

ды, является возможность лагранжевых частиц, бывших вначале соседями, расходиться со временем сколь угодно далеко. Эти методы специально предназначены для решения задач со сложным поведением границ раздела. Здесь есть заметные успехи, но имеется и ряд проблем, которые будут обсуждаться ниже.

Почти все перечисленные выше численные методы строятся на основе непосредственной аппроксимации уравнений гидродинамики, т.е. многомерных уравнений в частных производных. В тоже время известно, что эти уравнения могут быть получены из принципа Гамильтона (Herivel 1955; Seliger, Whitham 1968; Salmon 1988). Идея использования принципа Гамильтона для непосредственного вывода конечномерных численных моделей и привела к появлению дискретных моделей жидкости. По-видимому, первой попыткой в этом направлении была работа Коробицына, Либина (1975). В законченном и достаточно общем виде эта идея была сформулирована в работах Головизнин, Самарский, Фаворский (1977); Фаворский (1980). Затем последовала серия работ в этом направлении ( Гасилов и др. 1979; Волкова и др. 1982, 1985; см. также цитированные выше работы по методам на сетке Дирихле).

Общей идеей непосредственного дискретного моделирования движения сплошной среды, минуя стадии вывода и аппроксимации дифференциальных уравнений, активно интересовался Н.Н. Яненко. Автором совместно с ним было проделано исследование свойств упругой дискретной цепочки (Яненко, Франк 1980), а затем начата работа над дискретными моделями несжимаемой жидкости, которая привела к появлению описанной в §5.1 бессеточной модели (Франк, Яненко 1985).

Первые дискретные модели несжимаемой жидкости строились также на основе принципа Гамильтона с дискретными условиями несжимаемости в виде голономных связей. Дальнейшая работа над ними привела сначала к добавлению неголономных связей (§3.1, §5.3), затем к дополнению уравнений Лагранжа энергетически нейтральными обменными членами (§5.3), позволившими в известном смысле развязать динамику среды и кинематику сетки и, наконец, к идее использования другого подхода на основе вариационного принципа Гаусса (гл. 6), который поз-

волил построить модель, применимую для описания достаточно широкого класса течений.

В целом, дискретный подход, независимо от используемых вариационных принципов и их конкретных аппроксимаций, обладает рядом достоинств. Во-первых, исходная вариационная постановка для механики является естественной и наиболее общей, а значит содержит в себе широкий класс возможных решений, требования регулярности которых могут быть гораздо слабее, чем при классическом выводе дифференциальных уравнений гидродинамики. Во-вторых, полученные таким образом дискретные модели обладают основными механическими законами сохранения при любом числе степеней свободы, т.е. действительно представляют собой в некотором смысле самостоятельные математические модели явления. Так например, в гл. 2 на основе исследования дисперсионных соотношений и результатов расчета уединенных волн показано, что модель, аппроксимирующая полные уравнения Эйлера, при грубой дискретизации ведет себя как модель мелкой воды с дисперсией. В третьих, иногда сокращение процедуры получения численной модели за счет исключения этапа вывода дифференциальных уравнений (не актуальное в случае классических уравнений Эйлера) действительно бывает по-существу. Примером такого случая может служить дискретная нелинейно-дисперсионная модель главы 3. Далее, переход к дискретной системе сразу в вариационном принципе дает пример хорошего консервативного осреднения, что часто бывает трудно сделать потом в нелинейных уравнениях. Это может оказаться полезным в подходах типа моделирования больших вихрей. Еще одним немаловажным достоинством является то обстоятельство, что необходимые граничные условия получаются естественным образом, причем все аппроксимации сразу получаются согласованными в смысле законов сохранения (известно, что хорошая аппроксимация граничных условий часто представляет собой отдельную проблему). Разумеется, дискретный подход не является универсальной панацеей, и полученные на этом пути конкретные аппроксимации обладают теми или иными недостатками и ограничениями области применимости, которые обсуждаются ниже.

Предлагаемая вниманию монография состоит из семи глав. В

нумерации параграфов первая цифра обозначает номер главы. Нумерация формул и рисунков своя в каждом параграфе, за исключением главы 6, где нумерация формул единая по всей главе для удобства изложения.

В § 1.1 кратко обрисован общий подход построения дискретных моделей несжимаемой жидкости из принципа Гамильтона. Он сводится к аппроксимации исходного континуума дискретной системой частиц, на движение которых накладываются голо- номные ограничения, обеспечивающие “несжимаемость” среды. Отсюда стандартным образом выводятся уравнения Лагранжа. При этом различные дискретные модели в рамках такого подхода отличаются друг от друга заданием конкретного вида условий несжимаемости и гравитационного потенциала. Далее приводятся примеры дискретизаций и коротко обсуждается проблема выбора дискретных условий несжимаемости.

Второй параграф этой главы посвящен построению численного алгоритма решения уравнений Лагранжа с голономными, а также определенного вида неголономными связями. Специфика уравнений несжимаемой среды позволила получить здесь экономичную полностью консервативную схему, для реализации которой, в отличие скажем от полностью консервативных схем в газовой динамике, не требуются итерации по нелинейности. Схема обладает вторым порядком аппроксимации при одном вычислении правой части. Для вычисления множителей Лагранжа на каждом шаге один раз решается система линейных уравнений с матрицей Грама. Приведена геометрическая интерпретация метода и некоторые результаты тестовых расчетов. В дальнейшем эта схема использовалась для численной реализации почти всех описанных в диссертации дискретных моделей.

Вторая глава посвящена построению и исследованию двумерной дискретной модели на регулярной четырехугольной сетке, а также ее применению к расчету некоторых волновых задач. Это пример наиболее простой дискретной модели, имеющей ряд общих черт с известным методом LING (Hirt, Cook, Butler 1969). Здесь показано на примере бесконечного слоя жидкости со свободной границей, что данная модель аппроксимирует соответствующую краевую задачу для уравнений Эйлера.

Результаты численных расчетов свидетельствуют о том, что, несмотря на формально первый порядок аппроксимации, описанная модель обеспечивает хорошее качество расчетов. Она дает возможность получать хорошие уединенные волны на весьма грубой с точки зрения других численных методов сетке. Немаловажным является также то, что в данной модели получаются “настоящие” уединенные волны, т.е. незатухающие одиночные возмущения определенной формы, распространяющиеся с постоянной скоростью. По-видимому, это можно объяснить наличием основных законов сохранения, а также хорошими дисперсионными свойствами данной модели.

Закон дисперсии линейных волн в жидкости конечной глубины Н исследовался с помощью линеаризации модели и нахождения точного решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений по аналогии с разделением переменных в соответствующей классической задаче. Из полученных зависимостей следует, что модель хорошо описывает дисперсию волн с длиной А ^ 3, 5Н (Н — глубина жидкости) на сетке с шагами hi ^ А/14, h2 ^ Н/4. Далее, волны с А ^ 7Н можно успешно моделировать уже при hi = Н. h2 = Н/2. Отметим, что при этом на одну длину волны приходится семь узлов, а по вертикали сетка состоит всего из двух ячеек. Приводимые далее численные расчеты показали, что такой сетки вполне достаточно для адекватного моделирования уединенных волн, а также процесса их взаимодействия с вертикальной стенкой.

Интересно отметить, что при грубом пространственном разрешении модель обладает излишней дисперсией, а закон дисперсии при определенных параметрах сетки очень близок к дисперсионной кривой для уравнений Буссинеска. При большом разрешении закон дисперсии стремится к точному. Таким образом данная дискретная модель может являться своеобразным мостиком между приближенными моделями теории мелкой воды и точной постановкой. Причем этот переход осуществляется простым увеличением числа степеней свободы.

Рассмотрены задачи о накате уединенных волн на вертикальную и наклонные стенки. Результаты сравниваются с экспериментами и расчетами других авторов.

В третьей главе описана одномерная дискретная нелинейнодисперсионная модель мелкой воды. С помощью дополнительного предположения о распределении скорости жидкости по глубине кинетическая энергия всего слоя выражается через скорости частиц на поверхности жидкости. Тем самым появляется возможность понизить размерность задачи и избавиться от проблемы перехлеста лагранжевых ячеек. Дополнительным удобством является то, что матрица системы для нахождения множителей лагранжа получается трехдиагональной.

Для этой модели показано, что в случае ровного дна она является полностью консервативной аппроксимацией уравнений Green, Naghdi (1976). Исследуется дисперсия модели, а также дисперсия и устойчивость разностной (по времени) схемы.

В качестве задач, иллюстрирующих возможности и качество модели, рассматриваются задачи о распространении уединенных волн и их накате на пологий откос, в том числе при малых углах.

Еще одним тестом служит задача о стоячих волнах, для которой в работе Tadjbakhsh, Keller (1960) обнаружен интересный нелинейный эффект, заключающийся в том, что частота колебаний возрастает с амплитудой для волн, длина которых превышает значение А* ~ 5, 9477, и, наоборот, убывает для волн длины меньшей А* . При А = А* частота от амплитуды не зависит. Поскольку критическое значение А* находится в области “средних” длин волн, для которых возможность применения теории длинных волн не очевидна, то эта задача может служить хорошим тестом для нелинейно-дисперсионных моделей мелкой воды, как индикатор качества учета дисперсии.

Рассмотрена также задача с заданным на свободной поверхности источником давления, движущимся с постоянной критической скоростью. Здесь обнаружен интересный эффект, заключающийся в том, что в случае области разрежения, при некоторых значениях полуширины источника возникает новый периодический режим, когда источник не генерирует вперед солитоны.

В §4.1 четвертой главы описана трехмерная модель на регулярной сетке. Модель похожа на двумерную из второй главы с той лишь разницей, что из-за трехмерности в качестве ячеек сетки здесь уже не получается использовать гексаэдры и вместо них

выбраны неправильные додекаэдры.

В §4.2 строится двумерная (в плане) модель мелкой воды, являющаяся обобщением одномерной модели третьей главы. Получены предельные уравнения при Л1, Л2 —> 0.

Последний параграф этой главы посвящен численному моделированию маховских конфигураций. Известно, что при накате уединенной поверхностной волны на вертикальную стенку, расположенную под углом к фронту волны, возможно как регулярное отражение, когда наблюдаются только две волны— падающая и отраженная, причем углы и амплитуды этих волн одинаковы, так и отражение Маха, когда возникает тройная несимметричная конфигурация. Существующие здесь теоретические результаты и данные экспериментальных измерений во многом расходятся, даже качественно. Для выяснения причин этого расхождения были проведены достаточно подробные численные эксперименты на основе двух дискретных моделей.

В результате проведенных численных экспериментов, получено неплохое совпадение с экспериментами Melville (1980), моделирующими начальную стадию развития маховских конфигураций для волн конечной амплитуды. Затем, на больших временах для волн малой амплитуды получено неплохое согласие с теорией Майлса. Все это дает определенные основания надеяться, что численная модель адекватно описывает явление и в промежуточной области параметров, в которой применимость теории Майлса изначально сомнительна, а постановка хорошего эксперимента очень затруднительна по причинам, обсуждаемым в данном параграфе.

Далее, численные расчеты дают основу для понимания причин расхождения теории и экспериментов, а точнее дополнительные аргументы в пользу применимости асимптотической теории Майлса к описанию маховского отражения уединенных волн при небольших амплитудах. Наиболее интересен здесь предсказанный теоретически эффект резонансного усиления волны на стенке, амплитуда которой в теории достигает четырех, а в расчетах трех с половиной амплитуд падающей волны.

Глава 5 посвящена свободно-лагранжевым дискретным моделям. Описанные в предыдущих главах модели обладают одним

общим недостатком, характерным вообще для лагранжевых методов. Они работоспособны только для течений с относительно небольшими деформациями среды, как, например, описанные выше волновые движения. В случае течений с интенсивной завихренностью неизбежно возникает перехлест сетки. Для преодоления этого недостатка естественно попытаться построить дискретные модели, в которых отношение соседства частиц не фиксировано и может со временем изменяться. То есть частицы, бывшие соседями в начальный момент времени должны иметь возможность со временем расходиться сколь угодно далеко. Ясно, что основная проблема здесь — это способ введения дискретного условия несжимаемости, которое бы допускало такое движение. В главе рассмотрены три примера таких моделей.

Первая “бессеточная” модель состоит из “частиц”, каждая из которых представляет собой малый, но конечный объем, например шар, заполненный какой-то средой. Частицы могут пересекаться, т.е. одна и та же точка физического пространства может одновременно принадлежать нескольким частицам. Считается, что плотность среды в этой точке равна сумме плотностей сред частиц, ее содержащих. В качестве условия несжимаемости требуется постоянство массы среды в конечном числе контрольных объемов, покрывающих расчетную область. Эти объемы также могут пересекаться друг с другом. Такое условие несжимаемости порождает голономные связи между частицами. Приведены примеры решения модельных задач.

Во втором параграфе строится и численно исследуется на тестовых задачах модель, использующая сетку Дирихле. Идея использования такой сетки для расчета гидродинамических задач в лагранжевых координатах, по-видимому, впервые предложена в методе “Медуза” (Глаголева и др. 1972). Привлекательность сетки Дирихле обусловлена тем, что в ней не фиксировано отношение соседства между точками, в отличие от регулярных сеток. В результате, при расчете задач с большими деформациями на такой сетке в принципе не возникает явления перехлеста ячеек. Кроме того, к достоинствам сетки Дирихле следует отнести выпуклость ячеек и гладкую зависимость площадей ячек от координат точек.

Построение сетки Дирихле само по себе является не слишком простой задачей, требующей специального рассмотрения. Существуют универсальные индуктивные алгоритмы, позволяющие строить сетку Дирихле для произвольного набора точек в областях не слишком сложной формы. Однако эти алгоритмы требуют большого количества операций и, поэтому, неэкономичны при построении сетки на каждом временном шаге, как того требуют лагранжевы методы. Поэтому здесь описан экономичный алгоритм, основанный на локальных перестройках.

Из результатов второго параграфа следует, что нелагранже- вость движения ячеек Дирихле приводит к существенной потере качества расчетов. С другой стороны, если все узлы сетки движутся чисто лагранжево, т.е. со скоростью среды — это неминуемо приводит в общем случае к перехлесту сетки. Дискретная модель параграфа 3 в известном смысле устраняет это противоречие. Эта модель позволяет узлам многоугольной сетки двигаться “почти лагранжево”, т.е. как можно ближе к истинной скорости среды, и в то же время так, чтобы не возникало перехлеста. То есть допускается добавление к лагранжевой скорости узла некоторой управляющей скорости. При этом возможна смена соседства частиц аналогично описанному в § 5.2 процессу парных перестроек. Добавление управления приводит к необходимости учитывать потоки массы, импульса и энергии между ячейками. Для этого в уравнения Лагранжа добавляется энергетически нейтральный конвективный член.

В шестой главе описана также свободно-лагранжева модель, которая в отличие от предыдущих строится не на основе принципа Гамильтона, а на основе принципа наименьшего принуждения Гаусса. Использование этого принципа дает ряд преимуществ. В частности, появляется возможность вернуться к идее системы свободных частиц, не связанных никакой сеткой. Метод по-сути состоит из двух дробных шагов, где первый представляет собой свободное движение частиц, в поле внешней силы, а второй является проектированием в £2 предварительно найденных скоростей частиц на некоторое конечномерное подпространство Н гладких соленоидальных функций. Это позволяет с малыми затратами получать гладкие численные решения в области гладких

течений, а в областях с большими деформациями не заботиться о проблемах перехлеста.

Здесь получены необходимые и достаточные, а также простые достаточные условия на пространство Н. обеспечивающие точное выполнение основных законов сохранения. Важным достоинством метода является то, что базис пространства Н можно в принципе на каждом шаге выбирать заново, улучшая разрешение, подстраиваясь под возникающие в процессе расчета особенности решения и т.д. При этом гарантируется выполнение законов сохранения и не возникает необходимости в какой-бы то ни было переинтерполяции величин.

В качестве тестовых рассмотрены задачи: о деформации жидкого эллипса со свободной границей, бегущие уединенные и периодические волны. На этих задачах метод показал очень хорошие результаты. В качестве более сложной рассмотрена задача об обрушении периодических волн большой амплитуды.

Седьмая глава посвящена численному моделированию методом частиц известного гидродинамического эффекта удержания шара тонкой вертикальной струей жидкости. В первом параграфе приведено решение соответствующей плоской задачи. Устойчивые колебания цилиндра в струе получаются здесь только при использовании условия М.А. Лаврентьева о положении точки отрыва. Во втором параграфе описан способ построения соленоидальных базисных функций на прямоугольной сетке, удовлетворяющих условию непротекания на сфере. В третьем параграфе приведены расчеты трехмерной задачи, где исследуемый эффект был численно смоделирован без всяких дополнительных условий на положение точки отрыва. Приводится сравнение с экспериментом, а также обсуждается физический механизм этого феномена.

Автор глубоко признателен академику Н.П. Яненко, инициировавшему в свое время эти исследования, коллегам — соавторам совместных публикаций, а также многим участникам конференций и семинаров, на которых обсуждались изложенные здесь результаты. Отдельная благодарность О.А. Суховой (Серебренниковой) и моей жене Л.А. Франк за помощь в оформлении рукописи.

ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ПОСТРОЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ МОДЕЛЕЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ И ИХ ЧИСЛЕННОЙ РЕАЛИЗАЦИИ

Пространственная дискретизация, условия несжимаемости, законы сохранения

Рассмотрим некоторый объем идеальной несжимаемой жидкости V (рис. 1), для простоты в двумерном случае. При построении дискретной модели аппроксимируем этот объем

Рис. 1

конечной системой материальных частиц. Это можно сделать, например, разбивая объем V на элементарные объемы с помощью какой-либо сетки, в том числе криволинейной и нерегулярной. Каждый из элементарных объемов теперь можно рассматривать как частицу. Частица обладает некоторой массой, импульсом и потенциальной энергией в поле силы тяжести. Считаем, что потенциальных взаимодействий между частицами нет, так же как нет их между жидкими частицами в классической

теории несжимаемой жидкости. Вместо этого вводится условие

несжимаемости, которое по сути является чисто кинематическим ограничением на возможные поля скорости. Аналогично, в дискретных моделях вводится некоторый дискретный аналог усло

вие. 2кретизации является условиевие. 2кретизации является условиевия несжимаемости.Простейший пример такого условия несжимаемости иллюстрирует рис. 2. Здесь материальные частицы расположены в узлах лагранжевой четырехугольной сетки. Масса каждой частицы постоянна и определяется в начальный момент времени из соотношениятк = ^ 52 v3' w 3где суммирование ведется по четырем соседним с данным узлом ячейкам сетки, Vj обозначает объем ячейки, р— плотность жидкости. Достаточно естественным условием несжимаемости при такой дис-вия несжимаемости.Простейший пример такого условия несжимаемости иллюстрирует рис. 2. Здесь материальные частицы расположены в узлах лагранжевой четырехугольной сетки. Масса каждой частицы постоянна и определяется в начальный момент времени из соотношениятк = ^ 52 v3' w 3где суммирование ведется по четырем соседним с данным узлом ячейкам сетки, Vj обозначает объем ячейки, р— плотность жидкости. Достаточно естественным условием несжимаемости при такой дис-

вие. 2

кретизации является условие

вие. 2

кретизации является условие

вия несжимаемости.

Простейший пример такого условия несжимаемости иллюстрирует рис. 2. Здесь материальные частицы расположены в узлах лагранжевой четырехугольной сетки. Масса каждой частицы постоянна и определяется в начальный момент времени из соотношения

тк = ^ 52 v3' w 3

где суммирование ведется по четырем соседним с данным узлом ячейкам сетки, Vj обозначает объем ячейки, р— плотность жидкости. Достаточно естественным условием несжимаемости при такой дис-

вия несжимаемости.

Простейший пример такого условия несжимаемости иллюстрирует рис. 2. Здесь материальные частицы расположены в узлах лагранжевой четырехугольной сетки. Масса каждой частицы постоянна и определяется в начальный момент времени из соотношения

тк = ^ 52 v3' w 3

где суммирование ведется по четырем соседним с данным узлом ячейкам сетки, Vj обозначает объем ячейки, р— плотность жидкости. Достаточно естественным условием несжимаемости при такой дис-

Vj = const, (2) которое гарантирует постоянство объемов всех ячеек сетки в процессе движения среды. Такое условие несжимаемости использовалось в лагранжевом методе LING (Hirt,Cook,Butler, 1971). Поскольку объем четырехугольной ячейки Vj зависит только от координат ее вершин, т.е. координат соответствующих частиц, то условия (2) являются голономными связями, ограничивающими возможные движения частиц. Ясно, что вместо регулярной четырехугольной сетки можно рассмотреть любую другую, в том числе нерегулярную, у которой число соседних ячеек или узлов непостоянно. Примеры таких сеток дает произвольная триангуляция, а также рассматриваемая ниже мозаика Дирихле. В лю-

бом случае можно, по крайней мере формально, ввести аналогичное условие несжимаемости, требующее постоянства объема всех ячеек сетки. Примеры дискретных условий несжимаемости будут приведены ниже при описании конкретных дискретных моделей. Пока нам важно только отметить, что в большинстве случаев такие “ геометрические” условия приводят к голономным связям вида

А(г) = о, (3)

где г — это вектор, составленный из координат всех частиц.

В случае, если в рассматриваемой задаче необходимо учесть влияние силы тяжести или другой внешней массовой силы, необходимо ввести в рассмотрение потенциальную энергию П системы частиц в поле этой силы. Тем самым оказывается полностью определенным лагранжиан такой системы

L = ^^LmkUk-n + ^LXsJs^ks

и, следовательно, уравнения движения

. _ ад апik = ^ь. _ ад апik = ^ь(5)(5)

. _ ад ап

ik = ^ь

. _ ад ап

ik = ^ь

(5)

(5)

A (г) = о.

Здесь т^ , и& , 17 —масса, скорость и радиус-вектор fc-ой частицы, As— множители Лагранжа. Множители As возникают вследствие кинематических ограничений (3) и являются, по-сути, аналогом гидродинамического давления.

Условия непротекания на жестких границах также достаточно естественно включаются в эту общую схему. Для частиц, лежащих на жестких границах, возможно движение только вдоль кривой у (г) = 0, описывающей эту границу. Тем самым для граничных частиц возникают дополнительные голономные связи. В случае простых границ уравнения движения часто удобнее записать в обобщенных координатах так, чтобы граничные условия выполнялись тождественно. Тогда граничные частицы имеют только одну степень свободы — вдоль граничной кривой.

Как видно из системы (5), различные дискретные модели в

рамках такого подхода отличаются друг от друга заданием конкретного вида гравитационного потенциала П и условий несжимаемости (3).

Хорошо известно (Ландау, Лифшиц 1973), что для системы (5) при любом числе степеней свободы выполнен закон сохранения полной энергии, если лагранжиан не зависит явно от t. Далее, в отсутствие внешней силы, т.е. при П = 0, суммарные импульс и момент импульса системы сохраняются, если L

инвариантна относительно пространственных сдвигов и вращений. Последнее будет выполнено, если, в свою очередь, связи (3)

обладают такой инвариантностью, т.е.

V 9гкV 9гк= 0,= 0,ккOh 8гкOh 8гк(6)(6)

V 9гк

V 9гк

= 0,

= 0,

к

к

Oh 8гк

Oh 8гк

(6)

(6)

Для приведенных выше примеров условий несжимаемости эта инвариантность очевидна. Таким образом, при разумном выбо

ре условий несжимаемости, данная механическая система, равно как и любая ее изолированная подсистема, обладает основными законами сохранения. Заметим, что это справедливо при любом числе степеней свободы. Таким образом дискретная модель имеет определенный физический смысл даже при очень грубой пространственной дискретизации. Количество степеней свободы

отвечает здесь уже за внутренние свойства дискретной среды, ее деформируемость, изотропию и т.д.

Ясно, что граничные голономные связи неинвариантны относительно сдвигов и вращений, и, вообще говоря, приводят к изменению импульса и момента импульса. Если, однако, все усло

вия несжимаемости инвариантны относительно движения системы вдоль гладкой жесткой границы, то соответствующая компонента импульса также сохраняется. Простым примером является движение объема жидкости вдоль прямого дна. Пример голоном- ной связи, зависящей явно от времени, дает подвижная жесткая граница. Это приводит к накачке или стоку энергии.

В заключение этого вводного параграфа остановимся подробнее на проблеме выбора дискретных условий несжимаемости.

Как уже отмечалось выше, именно конкретный вид этих условий (наряду с видом гравитационного потенциала) является определяющим. Наиболее простой способ — дискретизация с помощью какой-либо лагранжевой сетки. В этом случае условия (6) являются естественными и тождественно выполняются. В последующих главах описано несколько таких моделей. При использовании регулярных сеток обычно получаются хорошие гладкие решения, с неплохой точностью даже на грубых сетках. Однако регулярные лагранжевы сетки пригодны только для задач с относительно небольшими деформациями, типа распространения поверхностных волн. При течениях с большими деформациями возникают обычные проблемы лагранжевых методов, связанные с сильным искажением и перехлестом ячеек.

Известный интерес в этом смысле представляют нерегулярные сетки, типа описанных ниже сетки Дирихле и достаточно произвольной многоугольной сетки. Здесь не возникает проблем с перехлестом ячеек, но качество численных решений обычно хуже. Для построения этих сеток требуются достататочно сложные и дорогие по времени счета процедуры. Кроме того, проблема поиска соседей резко усложняется в случае невыпуклых и многосвязных областей.

В качестве одного из примеров другого, бессеточного способа введения условия несжимаемости приведена модель, где требуется постоянство массы среды в некоторых контрольных объемах. К сожалению, условия (6) не позволяют использовать фиксированные, эйлеровы контрольные объемы, что было бы очень заманчиво, а введение подвижных, лагранжевых контрольных объемов приводит к весьма приблизительному учету несжимаемости.

Наиболее удачным здесь представляется метод, описанный в гл. 6, который сочетает в себе достоинства лагранжевого и эйле- рового подходов.

Дискретизация по времени. Полностью консервативная схема

Для решения уравнений Лагранжа (5) §1.1 существует классическая схема (Голдстейн 1975), суть которой состоит в том, что уравнения связей дважды дифференцируются по времени. В полученные соотношения из уравнений подставляются выражения для ускорений и, в результате, получается система линейных уравнений для определения множителей Лагранжа As . Полученная таким образом система дифференциально-алгебраических уравнений может быть решена любым методом численного интегрирования систем ОДУ. Недостатком такой схемы является прежде всего отсутствие консервативности, особенно ярко проявляющееся в задачах типа соударения. В связи с этим возникает естественное желание попытаться построить полностью консервативную схему (ПКС). В ряде работ (Гасилов и др. 1979), (Волкова и др. 1985) строятся такие ПКС, но они требуют дорогостоящих итераций по нелинейности для которых, в частности, использовался метод параллельных хорд. Специфика уравнений для несжимаемой жидкости позволяет построить линейную ПКС (Франк 1987), в которой на каждом шаге по времени требуется только один раз обращать некоторую симметричную положительно определенную матрицу.

Обозначим число частиц через N, число голономных связей — Мвекторы, составленные из координат и скоростей всех частиц, соответственно, q = (щ,... ^nY u = (пх,... ^u^nY Перепишем систему (5) §1.1 в обобщенных координатах:

mkuk=>Х8 ——,(1)

“д^д^

Qk = ^к^(2)

A(q)=0.(3)

Обозначим далее гк = 5 As ——, Gk = — —— и пусть, соглас- s 8qkoqk

но (1), (2) скорости и координаты на n + 1 слое определяются из

уравнений вида

mku^+1 = mku^ + ЦЕк + Gky

(4)

qk = Qk + тик-

Для построения схемы необходимо определить йк и точку q, в „9fs г ,

которой вычисляются —— и G^ , чтобы аппроксимировались OQk

или удовлетворялись тождественно уравнения связей и законы сохранения. Рассмотрим разность A/p+1 = /s(Qn+1) — Л(чп)« Пользуясь вторым уравнением в (4), имеем

Таким образом, если на каждом шаге по времени вместо (3) требовать выполнение условий

(5)

мы получим аппроксимацию (3) с порядком О(т). Разложим теперь А/р+1 в точке q = qn + —un, тогДа

АД+1 = Ыч - ^ип + ти) - Uq - Ju”) = Т 52 иДЦчН ZOQk

T2fЭ2 f1

м Е{а^®5И=, - u?) +- Д + O(A

Следовательно, если вместо (5) требовать выполнение

^s^®=0’(6)

и, кроме того, определить и так, чтобы и — ип = О(т), то получится аппроксимация соотношений (3) уже второго порядка по t.

Разберем сначала случай П = 0. Для выбора и рассмотрим изменение кинетической энергии системы при переходе с одного

временного слоя на другой. Из (4) имеем

= Е" + тЕ“7'^-уЕ Р)

кк

Пусть теперь, например, u = un+1, тогда при выполнении (5) или (6) имеем ^и1^1 Fk = 0, и полученная схема оказывается к

диссипативной. Если, однако, определить и как й& = (и^+1 + + «р/2 = «£ + ^Fkl то из (7) будем иметь

= Еи + т52^Еь

к

и при выполнении (5) или (6) получаем точное сохранение энергии.

На основе вышеизложенного можно написать следующее семейство алгоритмов

qk = qk+Tauk^(8Л)

тки^+1 = ткик+т^Х8^Цч),(8.2)

йк = (1 - py^Y + H.(8.3)

qnk^=qnkFT^k,(8.4)

E^№ = 0-(8-5)

Среди этих алгоритмов выделим четыре:

а = 0,/=О—схема 1(диссипативная, О(т)),

а = 0,/3=1/2—схема 2(консервативная, О(т)),

а = 1/2,/3=0—схема 3(диссипативная, О(т2)),

а = 1/2,/3=1/2—схема 4(консервативная, О(т2)).

Заметим, что порядок по т в скобках здесь относится не к схеме в целом, а только к аппроксимации голономных связей. Действительно вторым порядком аппроксимации обладает только схема 4.

Поясним, прежде всего, как на каждом шаге удовлетворяются условия (8.5). Выражая йк из (8.2), (8.3), и подставляя в (8.5), имеем систему линейных уравнений для определения Xj

— Н^ s = 1,..., М(9)

3 где

1 9fs dfj1

asj = >—(q)V-(q).=

mk dqk dqk(1 -dqk

Определив таким образом As, остальные величины можно вычислить явно из (8.2)-(8.4), при этом обеспечивается выполнение (8.5).

Из (8.2) следует выполнение закона сохранения импульса, при условии инвариантности связей относительно сдвига. Для схем 1 и 4 можно показать точное выполнение закона сохранения момента импульса для связей, инвариантных относительно вращения. В самом деле, из (8.1)—(8.5) можно получить

ми+1 = У т^1 х u”+1 = КГ + т2^ - а) У U^ х Fk, (10) kk

и при а = (3 имеем Mn+1 = Мп. Здесь, в отличие от предыдущих формул, суммирование ведется по частицам, а не по их степеням свободы. Векторы с индексом к обозначают радиус-вектор, скорость и силу реакции связей для fc-й частицы.

Таким образом, показано, что схема 4 является полностью консервативной. Ясно, что сохранение энергии обеспечивает безусловную устойчивость схемы в норме L^

к

||rn||||rn-1|| + тС ||г°|| + СТ.

Далее, полная консервативность получается здесь без дополнительных затрат, то есть в отличие, скажем, от газовой динамики она не вносит дополнительной неявности. Более того, второй порядок здесь также получается фактически даром. Схема 4 по количеству вычислений на один шаг практически не отличается от схемы 1, так как основное время требует вычисление правой

части в (8.2), включая вычисление матрицы в (9) и нахождение As . Заметим, что это вычисление правой части делается на шаге всего один раз.

Можно предложить следующую геометрическую интерпретацию приведенных алгоритмов. Без ограничения общности можно считать, что все т^ = 1, поскольку этого легко добиться заменой координат q^ = ^m^q^ . Тогда система (1)-(3) фактически описывает движение материальной точки единичной массы по задаваемой уравнениями (3) З^ТИ-мерной поверхности 2 в пространстве R3N. При этом вектор

aq' Хэ-п ’aq3.q4lj

является нормалью к поверхности /s(q) = 0 в точке q°, а линейная оболоч-

ка векторов < ——(q ) >

dq J s=i образует ортогональное дополнение к касательному пространству TX(q°) поверхности 2 в точке q°. Пусть теперь при t = 0 точка находится в положении q° Е 2 и имеет начальную скорость u° Е TS(qo). В схеме 1 на первом шаге

точка сдвигается в положе- Рис. 111

ние q , имея скорость и =

= и0 (рис. 1). На втором шаге скорость и2 находится согласно (8.2), (8.3) как ортогональная проекция и1 на TZ^q1), где

поверхность

^{qG^IAfaWsfa1)}

отстоит от 2 на О (г2) . При этом, при каждом таком проектировании происходит некоторая потеря энергии. Эта схема похожа на известные для несжимаемой жидкости схемы в переменных

скорость-давление, когда на каждом шаге скорость ортогонально проектируется на пространство соленоидальных функций (см. например Темам 1981). В схеме 2 (рис. 2) в касательном пространстве TSi(qx) лежит и , а вектор и2 зеркально симметричен и1. При этом сохраняется как касательная к Si компонен

та импульса, так и кинетическая энергия. В схемах 3 и 4 про

ектирование скорости делается не вектирование скорости делается не вЗаметим, что во всехЗаметим, что во всехсхемах точка движетсясхемах точка движетсясо скоростью и, являюсо скоростью и, являющейся“ соленоидальной”щейся“ соленоидальной”компонентой скорости un. Матрица а^ в (9) является матрицей Грама для векторов -у—(q), откуда следует ее положительнаякомпонентой скорости un. Матрица а^ в (9) является матрицей Грама для векторов -у—(q), откуда следует ее положительнаяполуопределенность и положительная определенполуопределенность и положительная определенность, если все векторы линейно независимы. Вность, если все векторы линейно независимы. Вслучае их линейной зависимости в какой-то точкеслучае их линейной зависимости в какой-то точкеточках qn, а в точках q.точках qn, а в точках q.Рис. 2Рис. 2q система (9) остаетсяq система (9) остаетсяразрешимой, причем годится любоеразрешимой, причем годится любоеее решение (например,ее решение (например,нормальное), так как ортогональная проекция вектора unнормальное), так как ортогональная проекция вектора unлинейное подпространство, ортогональное всемлинейное подпространство, ортогональное всем81-гл81-глнавсенавсе

ектирование скорости делается не в

ектирование скорости делается не в

Заметим, что во всех

Заметим, что во всех

схемах точка движется

схемах точка движется

со скоростью и, являю

со скоростью и, являю

щейся“ соленоидальной”

щейся“ соленоидальной”

компонентой скорости un. Матрица а^ в (9) является матрицей Грама для векторов -у—(q), откуда следует ее положительная

компонентой скорости un. Матрица а^ в (9) является матрицей Грама для векторов -у—(q), откуда следует ее положительная

полуопределенность и положительная определен

полуопределенность и положительная определен

ность, если все векторы линейно независимы. В

ность, если все векторы линейно независимы. В

случае их линейной зависимости в какой-то точке

случае их линейной зависимости в какой-то точке

точках qn, а в точках q.

точках qn, а в точках q.

Рис. 2

Рис. 2

q система (9) остается

q система (9) остается

разрешимой, причем годится любое

разрешимой, причем годится любое

ее решение (например,

ее решение (например,

нормальное), так как ортогональная проекция вектора un

нормальное), так как ортогональная проекция вектора un

линейное подпространство, ортогональное всем

линейное подпространство, ортогональное всем

81-гл

81-гл

на

все

на

все

равно определена однозначно.

Приведем сравнительные численные примеры применения данных алгоритмов. В качестве простого теста, поясняющего также один из возможных способов получения системы (1)-(3), рассмотрим задачу “брус под штампом” (Овсянников 1967). Единичный квадрат (рис. 3), заполненный невязкой несжимаемой жидкостью с заданным при t = 0 линейным полем скоростей

uoM=z, УоЦу) = -у,деформируется движущейся с постоянной скоростью верхней

Рис. 3Рис. 3стенкой. При этом, как следует из аналитического решения, форма объема, занятого жидкостью, в процессе движения остается прямоугольной и симметричной, причем правая свободная граница движется по закону xr = = —-. Построим пример

Рис. 3

Рис. 3

простейшей дискретной модели для данной задачи. Для этого рассмотрим систему из четырех частиц с координатами rk = (xk,yk), fc = l,...,4,

имеющих одинаковую массу т^ = 1/4 (рис. 4). Будем считать, что частицы могут двигаться без трения, каждая по своей жесткой стенке. Условие несжимаемости здесь естественно сформулировать как постоянство объема четырехугольника с вершинами

в точках Гк

фг2 - Г1) х (г3 - г2) + (г4 - Г3) х (ri - г4)| = 1(11)

Рис. 4Рис. 4Условие (11) представляет собой пример внутренней го- лономной связи вида (3), инвариантной относительно сдвига и вращения. Граничные условия порождают дополнительные голономные связи вида

Рис. 4

Рис. 4

У1 = У4 = О, У2 = Уз = 1 - t.

(12)

Подставляя (12) в (11), получаем одну связь

(ж4 — Ж1 + Ж3 - Ж2)Х

х(1 —/) —2 = 0. (13)

Уравнения движения принимают вид

xk — ^ki uk —•OXkxk — ^ki uk —•OXk(14)(14)

xk — ^ki uk —•

OXk

xk — ^ki uk —•

OXk

(14)

(14)

Вводя новые неизвестные X =, U =

«4 - Ш + U3 - U2.. (.

= , из системы (13), (14) получаем

X = U, U = X(l-t), X(l-t) = ^.(15)

Система (15) с начальными данными Xo = 1/2 , Uq = 1/2 решалась численно с использованием четырех приведенных выше схем. Одновременно с этим решалась система

х = и, й =х = и, й =2U1 - t2U1 - t(16)(16)

х = и, й =

х = и, й =

2U

1 - t

2U

1 - t

(16)

(16)

с теми же начальными данными методом Рунге-Кутта (P-К) 2-го порядка. Система (16) получается из (15) двукратным дифференцированием уравнения связи по времени. Заметим, что системы (15) и (16) при Xq = 1/2 , 1Д = 1/2 имеют единственное решение

Х “ 2(1 -ty U ~ 2(1 совпадающее с точным решением исходной гидродинамической задачи в случае симметричного движения частиц, то есть Ж4 = = жз = — ж2 = — Ж1. В таблице приведены результаты расчетов X и U при t = 0, 5, U при t = ОД — т/2 для двух значений т, а также точные значения этих величин.

Таблица

г = 0,1

г = 0,01

Xи

и

Xи

и

Точное

1,00000

2,00000

1,65289

1,00000

2,00000

1,96059

Р-К

0,98546

1,94397

-

0,99981

1,99927

-

Схема 1

0,91667

1,30952

-

0,99020

1,90422

-

Схема 2

0,91667

1,46032

1,30952

0,99020

1,94616

1,90422

Схема 3

0,98889

1,61078

-

0,99985

1,95976

-

Схема 4

0,99294

1,91247

1,63148

0,99993

1,99908

1,96026

Видно, что схема 4 обладает вторым порядком точности и наименьшей ошибкой вычисления X. Ошибка по U у нее в полтора раза больше, чем у схемы P-К. Заметим, что схема 4 в два раза экономичней схемы P-К, так как требует одного вычисления правой части в (8.2). Кроме того, ошибка вычисления U для нее в два раза меньше, чем ошибка по U у схемы Р-К. Этим объясняется лучшая точность вычисления X, так как согласно (8.4) частицы движутся именно со скоростью U. Это любопытное свойство консервативных схем отмечалось и в других расчетах и может быть объяснено немонотонностью изменения и~ МИ + Ми+1

и (рис. 2), которая сглаживается осреднением и = .

Рис. 5Рис. 5На рис. 5 приведены результаты расчета другой задачи, также имеющей аналитическое решение (Овсянников 1967). Это плоская задача о деформации жидкого объема со свободной границей в отсутствие силы тяжести, имеющего в начальный момент форму круга и заданное линейное поле скоростей. Л.В. Овсянниковым эта задача названа “о вытягивании плоской иглы”. Подробно эта задача разобрана в §5.1, там же описана и используемая дискретная модель свободных частиц. Здесь же нас интересует только срав

Рис. 5

Рис. 5

нение численных схем.

Для расчета использовалась схема 4 с шагом т = 0,2. Квадратиками обозначены частицы, сплошная линия — точное положение свободной границы из аналитического решения. При т = 0, 2 относительная невязка для всех уравнений связей не превышает 2%. При т = 0,1ит = 0,05 эта величина уменьшается соответственно до 0,4% и 0,1%. Для того, чтобы получить невязку 2% по схемам 1 и 2 требуется шаг т = 0, 02, то есть в десять раз меньший. Схема 3 при шаге т = 0,2 дает невязку 3%, при этом в конце расчета теряется 5% начальной энергии.

В заключение рассмотрим схему 4 при П % 0. В этом случае, в правой части уравнения (8.2) добавляется слагаемое тО^(цУ где

Gk = — ——. Аналогично проделанному выше легко получить, OQk

ЧТО

1Г+1 = 1Г+ т^№(ч) + О(т3).(17)

к

Отсюда, учитывая (7), полная энергия

яп+1 =Я^ + О(Т3^(18)

т.е. энергия сохраняется с точностью до О(т2). В случае, когда П

является линейной функцией от q^ например при П = д 52 ткУк? к

равенство (17) становится точным и, следовательно, полная энергия сохраняется точно.

ГЛАВА 2

ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ НА РЕГУЛЯРНОЙ СЕТКЕ

Рассматриваемая здесь дискретная модель уже приводилась в качестве примера в §1.1. Там же отмечалось, что она имеет определенное сходство с лагранжевым методом LINC. В этом методе условие несжимаемости тоже вводилось как требование постоянства объемов ячеек сетки. Близкие дискретные модели, использующие гамильтонов подход, предлагались также в работах: Коробицин, Либин 1975; Гасилов и др. 1979; Волкова и др. 1985. Основным отличием приводимой ниже модели (Франк 1989) от цитированных является способ учета силы тяжести, а также дискретизация по времени.

Построение модели, аппроксимация

Описание модели. Рассмотрим слой несжимаемой жидкости конечной глубины со свободной границей. Разобъем область, занятую жидкостью Q, на четырехугольники (рис. 1).

Рис. 1

Будем считать, что в узлах полученной сетки находятся материальные частицы с массой, являющейся суммой четвертых частей масс, прилежащих к данному узлу четырехугольников. Напри-

мер, для внутренних узлов

mij = ^Р^^Уцз + Ищхд ++ ^Д-1),(1)

(р— плотность жидкости). Для узлов, лежащих на дне и свободной границе, в этой сумме будет только два слагаемых, соответственно масса этих частиц будет меньше. Таким образом, исходную непрерывную среду аппроксимировали конечной системой материальных частиц, суммарная масса которых равна массе жидкости.

Теперь необходимо ввести дискретное условие несжимаемости, обеспечивающее постоянство объема жидкости. Потребуем, чтобы в процессе движения среды площади всех ячеек сетки оставались постоянными

Vij = const.(2)

Площадь каждого четырехугольника — функция координат его вершин

Vij = ^(ггД) ^j+l^i+lj+l^i+lj)^

поэтому соотношения (2) представляют собой голономные связи, наложенные на возможные движения частиц. На частицы, лежащие на твердых границах, накладываются дополнительные ограничения возможности движения только вдоль границ (т.е. условие непротекания). Эти ограничения также, очевидно, — голономные связи. Например, для частиц, лежащих на правой стенке, эта связь имеет вид

Уг, ~У° ~ 1жч - ж°)tan « = 0-(3)

Для описания волновых движений необходимо ввести силу тяжести. Наиболее простой способ — считать, что на каждую частицу действует сила тяжести

Fij = mij9"(4)

Однако в этом случае легко показать на примере, что при разбиении области Q с помощью неортогональной сетки возможны варианты, когда покоящийся слой “жидкости” с ровной невозмущенной свободной границей не обладает минимальной потенциальной энергией и, значит, не является устойчивым положением 3 Франк А.М.

равновесия. В расчетах это приводит к нефизическому движению частиц. Все это происходит оттого, что дискретное условие несжимаемости (2) неспособно скомпенсировать одновременно все силы (4), т.е. сила (4) не согласована с (2). В терминах разностных схем для уравнений гидродинамики это означает несогласованную аппроксимацию градиента давления и градиента гравитационного потенциала. Поэтому сила тяжести здесь вводится иначе.

Потенциальная энергия рассматриваемого слоя жидкости равна pg J ydxdy. Дискретная среда занимает область Q' со свободной границей — ломаной, образованной поверхностными частицами. Положим потенциальную энергию дискретной системы равной

п = pg I ydx dy.(5)

Q'

Легко показать, что в этом случае П минимальна , когда свободная граница горизонтальна (при условии постоянства площади Q'). Ясно также, что П зависит от координат только поверхностных частиц. С учетом всего вышесказанного лагранжиан дискретной системы имеет вид

L = ^УДзи1з -п+^а^щ -гд (6) Мs,l

Для учета граничных условий на жесткой поверхности к (6) надо добавить еще граничные связи

7(<,^) = 0.(7)

В (7) входит явно t в случае, если какая-либо из твердых границ движется по заданному закону. Например, полагая в (3) а = = a(ty можно получить качающуюся правую стенку — вариант волнопродуктора.

Граничные условия на твердых поверхностях, сформулированные в виде голономных связей (7), естественным образом включаются в общую схему. Соответствующие этим связям множители Лагранжа представляют собой силу реакции стенок на граничные частицы и могут быть затем использованы для вычисления действующих на стенки сил. В некоторых случаях,

с целью уменьшения размерности системы, удобнее часть граничных связей (7) разрешать явно. Так, в приведенных ниже

расчетах, для частиц на ровном дне только их х координа

ты включались в число обобщенных координат всей системы.

Если связи (2), (7) записать в общем виде

A(t,q) = o, (8)

где q — вектор обобщен

—Г1—Г1Рис. 2Рис. 2ных координат всех частиц, то уравнения движения такой дискретной системы приобретут канонический вид

—

Г1

—

Г1

Рис. 2

Рис. 2

(9)(9)Qk = ^ к

(9)

(9)

A(^q) = О,

и могут быть затем численно проинтегрированы с помощью алгоритма, описанного в §1.2.

Аппроксимация. В связи с изложенным выше построением дискретной модели возникает естественный вопрос о связи уравнений (9) с классической задачей гидродинамики о движении однородной идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей. Здесь мы покажем, на примере бесконечного по х слоя (рис. 2), что уравнения (9) являются аппроксимацией соответствующей краевой задачи для уравнений Эйлера:

d,

—ри = -grad р + pg at

div u = 0

(юл)

(Ю.2)

un Гх = 0

(10.3)

р|г2 = 0

(Ю.4)

дрЭр

"57 + «1 я«2=0. otox

(10.5)

з*

Здесь через ц обозначена функция возвышения свободной поверхности, Г1—жесткая, а Г2 — свободная границы. Введем р = = р + рду. тогда (10.1) и (10.4) можно переписать в виде

(ЮЛ) (Ю.4)(ЮЛ) (Ю.4)d

(ЮЛ) (Ю.4)

(ЮЛ) (Ю.4)

—ри = —grad р dt

р|г2 = Р9П-

ij+l

Г2_

i-lj

A

Va

i+lj

Y

Y'

——^

В

a _ -

•"

Г1iJ—1a=(i,j)

Рис. 3

Для внутренних частиц и частиц на свободной поверхности обобщенные координаты qn совпадают с декартовыми, поэтому уравнения (9) для них имеют вид

.9VP 911

m^a = ^Xp—- —

(11.1)

Га = UQ

(П.2)

Vp = V^,

(П.З)

где а = (г ДУ /3 = (kJ)—мультииндексы, обозначающие номера узлов и ячеек, соответственно. Для частиц на дне у = 0, поэтому в (11.1), (11.2) остаются только уравнения на горизонтальные компоненты скоростей и перемещений. Рассмотрим вокруг узла с номером а жидкий контур у (рис. 3) такой, чтобы он отсекал от каждой ячейки четверть ее площади и проходил через середины

сторон. Интегрируя уравнение (10.1) по области Ga, имеем

pu dxdy =pu dxdy =gradp dxdy =gradp dxdy =(12)(12)

pu dxdy =

pu dxdy =

gradp dxdy =

gradp dxdy =

(12)

(12)

Аппроксимируя давление р кусочно-постоянной функцией р такой, что р = const в каждой ячейке, интеграл в правой части можно переписать

(13)(13)j pnd-y« jрп d-у = Jрп d-у = 52

(13)

(13)

где д'— пунктирный контур, р^—значение р в ячейке (3. Производная ————это вектор, ортогональный диагонали ячейки р, дга

-9V3

противолежащей узлу а. Модуль ——— равен половине длины этой диагонали. Например на рис. 3 вектор dVa/dva ортогонален отрезку АВ, а длины их равны. Суммирование ведется по множеству номеров ячеек Na, для которых узел а является вершиной.

г2i-

^Y J

Lvvvvvvvvvvv

Г1iJ-2

Рис. 4

Левая часть (12) дает в точности

d•

— pu dxdy = тахха,

если под uQ понимать скорость центра масс жидкой области Ga. С первым порядком аппроксимации эту скорость можно припи-

сать узлу а. Таким образом для внутренних частиц, для которых

ап_

—— = 0, получается в точности уравнение (11.1), где Л^ = —рр.

Для поверхностных частиц (рис. 4) при аналогичном интегрировании по области Ga в правой части (12) наряду с суммой (13) присутствует также интеграл по участку свободной границы, который с учетом (10.4) имеет вид

j рп dq = pg J цп dq.(14)

CDCD

С другой стороны из (5) несложно получить

^П _ Уг-\^з + Уъ^з + УгУУр Ш+Дз^ДДДД

Эха3’2’

м5+(15)

6Г

Рис. 5Рис. 5u • n dsu • n dsНетрудно убедиться, что (15) является аппроксимацией (14), хотя и несколько специфической. Заметим, что именно эта специфика обеспечивает сохранение полной энергии. Далее, если оператор дивергенции в уравнениии (10.2) аппроксимировать следующим естественным образом (рис. 5)

Рис. 5

Рис. 5

u • n ds

u • n ds

divu dxdy =

vdv

4

« y^Uj + ui+i) ■ Пг, (здесь u5 d= Ui),

где nz — вектор нормали к соответствующей стороне с длиной равной половине длины этой стороны, то получится разностное условие несжимаемости

которое является в точности полной производной по времени от уравнения (11.3). Аппроксимация оставшихся граничных условий (10.3), (10.5) очевидна.

В заключение этого параграфа отметим, что, несмотря на формально первый порядок аппроксимации, описанная модель обеспечивает хорошее качество расчетов, выражающееся в частности в том, что можно получать решения с достаточно хорошей точностью на очень грубых сетках. По-видимому, это можно объяснить наличием основных законов сохранения, а также неплохими дисперсионными свойствами данной модели (см. следующий параграф).

Дисперсия линейных волн

Рис. 1Рис. 1одним из которых для волн на во- зависимость скорости распростране-одним из которых для волн на во- зависимость скорости распростране-С точки зрения качества численной модели важна не только аппроксимация уравнений и наличие законов сохранения, но и то, насколько хорошо модель отражает некоторые другие характерные свойства процесса, де является дисперсия, т.е.

Рис. 1

Рис. 1

одним из которых для волн на во- зависимость скорости распростране-

одним из которых для волн на во- зависимость скорости распростране-

ния гармонических волн от их длины. Требуемые дисперсионные свойства модели являлись одним из критериев выбора шагов сетки при проведении расчетов.

Здесь мы рассмотрим линейную задачу о плоских периодических волнах в идеальной жидкости конечной глубины. Для этой задачи известно классическое дисперсионное соотношение

сс2 = дк tanh(fcH)(1)

или

2

С-2 = ^- = ипЦкН)(2)

к2 к

где Н — глубина жидкости, к — волновое число, ш — частота, а С —фазовая скорость волны.

Для дискретной модели можно поставить аналогичную задачу, т.е. рассмотреть в линейной постановке эволюцию гармонических волн в слое “дискретной жидкости” глубины Н (рис. 1). Положим р = 1, введем равномерную сетку с размерами ячеек ^1, Къ и обозначим а = h\/H, N = Н(h^.

Поскольку рассматриваются волны с амплитудой s ^ 1, де,9Vm 9V^3

формациями сетки при вычислении производных ——-, ——- 8xkl Эук1 можно пренебречь. Пусть у = 0 соответствует невозмущенной свободной поверхности, тогда из выражений (15) §2.1 получаем

апд$шапд$ш= o^Y= o^Y

ап

д$ш

ап

д$ш

= o^Y

= o^Y

апдушапдуш

ап

душ

ап

душ

= ^-(У/-1Л + 4yiN + yi+l,N^ + О(е2).

Отсюда, линеаризованные уравнения движения, в которых отброшены члены порядка с2 , имеют вид

для j = 0

тю^ю = ^2[А/—i,o — А;д]/2(3.1)

для j ^0,N

mijiiij = h2 [(A;_ij + Ai-iy-i) — (A/j + А^_1)]/2

(3-2)

mlj^lj = ^i [Oj-ij-i + ^IJ-^ — (^-ij + Д1)]/2 для j = N

тщйш = h2 [A/-i^-i — A^jv_i] /2(3.3)

TniNVlN = ^1 [A/-l^-l + A;,jv_i]/2

-ghi(yi-i,N + 4^1^ + Уг+цЛ/б-

Заметим, что для жидкости с плотностью равной единице mij =

= /11/12 при j ^ 0, N, а m/о = тгцм = /11/12/2.

Далее, дифференцируя дважды условие несжимаемости (2)

по времени, получим:

= V ^йк1 + ^41i)kl + О^ = 0.4

dt2 ^ dxki dyki

Подставляя выражения для ускорений из (3.1)—(3.3) в (4), получим систему линейных уравнений для нахождения Хпт

^a^Xum = Fljl(5)

п, т где

^пт _ 4Л1^219Vnm dVij । 8Упт 9Уц

ai3 И2 ъ mks 9xks dxks dyks dyks ’

(0, при з ^ TV — 1

\ 2

3[ 29a‘2^yi~1’N+ 5yi’N+ 5yi+1’N+ yi+2’N^ при 3 = N-1

Нормирующий множитель 4Ь,ДДН2 введен для удобства вычисления коэффициентов матрицы.

При з ф 0,7V — 1, ненулевыми коэффициентами матрицы в уравнении (5) с номером (7,)) будут

а1^ = 4(а2 + 1/2V2), аД1 = -2(а2 - 1/2V2),

а^Д = 2(а2 - 1/2V2),= -(а2 + 1/2V2).

Таким образом, при j ^ 0, TV — 1 получаются следующие уравнения для Хц :

4(а2 + 1/7V2)A/j + 2(а2 — 1/7V2)(A/+ij + Ащхд — A/j+i — A/j_i) — — (а2 + 1/7V2)(A/_ij_i + Ащ1д+1 + A/+ij+i + A/+ij_i) = 0. (6)

Пусть теперь возмущение свободной границы задано в виде периодической волны

(7)(7)-уцу = eexp(iwt) sm(klhi).

(7)

(7)

Введем безразмерное волновое число к, = кН. Решение уравнений (6) будем искать в виде

\j = ^ sin((Z + \ДДа\(8)

Подстановка (8) в (6) дает два корня

€1=^=1^,^2 = 1Д,(9)

7 911 — cos ка

гДе Ь2 = тто^^—•

Nzcr 1 + cos к,а

Ясно, что эти два корня соответствуют двум линейнонезависимым решениям уравнения (6). Взяв их линейную комбинацию

^ij = (ж^ + С fx^ sin((Z + 1/2)/^а), (10) найдем константу С из уравнения для А/д при 7 = 0, которое получается аналогично (6) и имеет вид

2(а2 + 3/№)А/5о + (<а2 — 3/7У2)(А/+цо + Ащхд) —

— 2(а2 — 1/7У2)Ащ — (а2 + 1/№)(А/_1д + А/+хд) = 0. (11) Подстановка (10) в (11) дает С = 1/ж. Обозначим Dj = х^ + + 1/ж-7^1, тогда общее решение уравнений (6), (11) можно записать в виде

A/j = KDj sin((Z + 1/2)^а) exp iwt.(12)

Теперь осталось найти константу Л, подставив (12) в уравнение для А/д при у = N — 1. Тогда (12) будет искомым решением системы (5) для поверхностных синусоидальных волн (7).

Подставляя (7) в выражение (5) для F^w-x, получим

F^n-i = F sin((Z + 1/2)^а) exp iwt^(13)

мат-мат-~ 8s 9ка

мат-

мат-

где F = — да (2 + cos/^a) cos —. Вычисляя коэффициенты

рицы при з = N — 1

а1^ = 6(«2 +а\з 1 = —2(а2 — 1/7V2),

а‘Д = 3(а2 - 1/№), а^Д"1 = -(а2 + 1/W2), получаем уравнение

б(а2 + 1/№)Лг,дг_1 + 3(а2 — 1/7V2)(A/_|_iiw_i + A/_i^_i) —

— 2(а2 — 1/^)А/>дг_2 — («2 + 1/лДЦ-1,дг-2+

+ ^+1^-2) = F^n-v (14)

Подставляя (12), (13) в (14) имеем

Л{3(1 + b^D^ - (1 - Ь^Д = f?(15)

IJ 2cr(l + cos ка)

После преобразований получим

*2 Т cos ка . г 117

^ = е9ц7—7л/Г1-^ + 5 +— 1 + Ь + Ь • (16)

3cos(^a/2) Lx1NJ

Подставляя, наконец, (7), (12), (16) во второе уравнение (3.3), получаем дисперсионное соотношение

~~ К23V ~ ^^-1/[Ж(1 —Ь + Ь ) + ^(1 + 6 + 6 )j J.

2(17)

Переходя к безразмерной частоте Q2 = (A?H(g^ после преобразований из (17) имеем окончательно

fi2 = 2ОТ^±^Х

х (1 + '>)2Л' - (1 - ^ П81

(l_b)27V-1(l_b + b2) + (l + b)27V-1(l + b + b2)- I

Соотношение (18) получено, в сущности, в предположении ^ ^ 3, однако прямая проверка показывает, что оно справедливо и для N = 1, 2.

Нетрудно видеть, что при любом фиксированном к,

2 /1 — cos ка ,х

Q -л —\ (2 + cosft«)x

За V 1 + cos ка

h2^0

к tanh к,к tanh к,Q2Q2_ 2 /1 — cos ках tanh —\ а V 1 + cos ка

к tanh к,

к tanh к,

Q2

Q2

(1 + BfN - (1 -BfN

(1 - в^-д - в + в2) + (1 + ByN-^i *В*В^ ^о

-Л ft tanh ft,

ft где В = ,Д 2N'ft где В = ,Д 2N'h2~>0

ft где В = ,

Д 2N'

ft где В = ,

Д 2N'

причем при малых hi сходимость по h2 равномер

ная, и наоборот. Следовательно, соотношение (18) при Л1, Л2 0

сходится к точному дисперсионному соотношению (1) для волн

в жидкости конечной глубины.

С точки зрения качества модели интерес представляет не только факт сходимости (18) к (1), но и степень близости этих соотношений для не слишком малых значений hi и Л2. На рис. 2, 3

мелкая 0,440,881,311,75 глубокая

вода ’

Рис. 2

приведены дисперсионные кривые Q(^) для разных сеток при фиксированном значении отношения Л1/Л2, равного соответственно 2 и 0, 5.

мелкая 0,440,881,311,75 глубокая

вода

Рис. 3

Границы изменения волнового числа к, выбраны в соответствии с критерием (Лайтхилл 1981), согласно которому волны с длиной волны А ^ 3, 5Н с точки зрения энергетики и дисперсионного соотношения уже практически не чувствуют дно, т.е. дают предельный случай волн на глубокой воде. Другой предельный случай длинных волн (теория мелкой воды) со скоростью распространения у/gH практически достигается при А ^ 1471. Верхняя

кривая соответствует точному закону (1).

Из приведенных на рис. 2 зависимостей видно, во-первых, что модель хорошо описывает дисперсию всех волн из указанного диапазона при hi < А/14, h^ ^ Н(%. Далее, волны с А > 7Н можно успешно моделировать уже при hi = Н^ hz = Н/2. Заметим, что при этом на одну длину волны приходится восемь узлов, а по вертикали сетка состоит всего из двух ячеек. Приводимые ниже численные расчеты показали, что такой сетки вполне достаточно для адекватного моделирования уединенных волн, а также процесса их взаимодействия с вертикальной стенкой.

Интересно отметить, что при грубом пространственном разрешении модель обладает излишней дисперсией. Избыточная дисперсия характерна для большинства нелинейно-дисперсионных моделей в теории мелкой воды. Более того, оказалось, что кривая при N = 4 на рис. 2 практически совпадает с дисперсионной кривой для уравнений Буссинеска

+ к2/3’

(эта зависимость вообще-то характерна для многих уравнений второго приближения мелкой воды, см. например Марчук, Чубаров, Шокин 1983)

Как уже отмечалось выше, при большом разрешении закон дисперсии стремится к точному. Таким образом данная дискретная модель может являться своеобразным мостиком между приближенными моделями теории мелкой воды и точной постановкой. Причем этот переход осуществляется простым увеличением числа степеней свободы.

Исследование дисперсионных свойств позволило также понять и устранить причину появления иногда в решении высокочастотной ряби. Такое явление возникало в трехмерных расчетах (гл. 4) для солитонов малой апмлитуды, когда, из соображений подобия горизонтальные шаги сетки выбирались достаточно большими. Оказалось, что это связано с дисперсией самых коротких волн.

На рис. 4 приведены кривые С (к?) для фиксированного значения hi = Н/2 и нескольких значений N. Здесь к, пробегает весь диапазон возможных для сеточных функций значений 0 ^ к, ^ 2тг.

Рис. 4

Можно видеть, что при фиксированном hi с увеличением N фазовая скорость самых коротких волн с длиной А = 2Л1, растет как a/N. Точнее, из (18) для этих гармоник можно получить

Такие волны сами по себе, разумеется, не могут описываться моделью адекватно, т.к. они слишком короткие для данной сетки. Однако они всегда реально присутствуют в решении и, если дисперсионная кривая для дискретной среды качественно отличается от точной, как это имеет место при больших N на рис. 4, это может приводить к искажению волновой картины в коротковолновой области. Из (20) видно, что фазовая скорость коротких волн не будет превышать “физическую”, если hi и h2 выбирать так, чтобы отношение hi/h2 было не больше Зя/2. Реально в расчетах использовались значения hi/h2 = 2 -У 4, при которых получаются гладкие решения.

Численное моделирование уединенных волн

Одной из первых задач для апробации описанной в предыдущих параграфах дискретной модели было численное получение

Рис. 1

Рассмотрим слой жидкости в лотке с горизонтальным дном и вертикальными стенками, глубиной 77 = 1 и длиной L = 58. Плотность жидкости р = 1, ускорение свободного падения g = 1. Таким образом выбранные переменные соответствуют обезраз- мериванию исходных уравнений с помощью естественных для этой задачи масштабов p^H^U* = VgH, Т* = H/U. Система координат выбрана так, что у = 0 отвечает невозмущенной свободной границе, а х = 0 — правой стенке. Генерация волн осуществляется у левого конца лотка с помощью создания локального возвышения уровня жидкости (рис. 1) подобно тому, как это иногда делается в экспериментах, в частности в экпериментах первооткрывателя солитона Дж.С. Рассела (Miles 1980). Возможности численного эксперимента позволяют задать еще и закон вертикального движения первых восьми поверхностных частиц (аналог жесткой пластины)

о < t < т, t >т.о < t < т, t >т.uh .

о < t < т, t >т.

о < t < т, t >т.

—— 8Ш

2Т

0,

Здесь h отвечает за амплитуду генерируемой волны, а с помощью подбора Т удается почти полностью избавиться от дисперсион

ного хвоста.

Для подавления остаточных после ухода волны деформаций сетки в районе волнопродуктора в уравнения (9) §2.1 вводилось искусственное вязкоупругое взаимодействие для частиц в окрестности волнопродуктора. Эти силы хо-

Рис. 2Рис. 2

Рис. 2

Рис. 2

рошо регуляризуют сетку, практически не влияют на характеристики генерируемой волны и совершенно не сказываются на ее дальнейшем распространении. После генерации волна распространяется по лотку, при этом ее амплитуда и форма через некоторое время устанавливаются.

На рис. 2 приведены формы полученных волн в конце лотка для двух значений амплитуд. Эти расчеты выполнены на сетке, изображенной на рис. 1, горизонтальный размер ячеек невозмущенной сетки Л i = 1, вертикальный h^ = 0, 5, шаг по времени т = 0, 5. Штриховой линией показана форма уединенных волн из решения теории второго приближения мелкой воды (Овсянников 1983).

Сравнение со вторым приближением теории мелкой воды проводилось также по скорости распространения волн С. Результаты для нескольких значений амплитуд в сравнении с теорией приведены в табл.1.

Таблица 1

А

VT+A

С

0,52

1,233

1,231

0,41

1,187

1,185

0,29

1,136

1,134

0,195

1,093

1,089

Видно, что данная модель дает возможность получать хорошие уединенные волны на весьма грубой с точки зрения других численных методов (ср. Chan, Street 1970; Чен, Стрит, Фромм 1973; Kawahara, Miwa 1984; Новикова, Хакимзянов 1990) сетке. Немаловажным является также то, что в дискретных моделях получаются “настоящие” уединенные волны, т.е. незату-

хающие одиночные возмущения определенной формы, распространяющиеся с постоянной скоростью (см. далее главы 3, 4).

Рис. 3Рис. 3при N = 1, а —> Опри N = 1, а —> ОНа рис. 3 приведен профиль волны, полученной на сетке из одной ячейки по глубине, т.е. при hi = h2 = = 1. В этом случае тоже получаются солитоны, однако несколько более широкие, чем уединенные волны в жидкости. Последнее обстоятельство объясняется избыточной дисперсией. В самом деле, из формулы (18) §2.2 легко получить, чг

Рис. 3

Рис. 3

при N = 1, а —> О

при N = 1, а —> О

1 + ^/2'

Сравнение с (19) §2.2 показывает, что при N = 1 фазовая скорость волн в дискретной среде убывает с ростом к, быстрее, чем в теории второго приближения мелкой воды.

Рассматривалась также задача о накате уединенных волн на

вертикальную стенку. На рис. 4 точками 1 показаны результаты расчетов на различных сетках максимального заплеска тутаХ на стенку в зависимости от амплитуды А падающей волны. При А ^ 0, 3 использовались сетки с hi = 1, h^ = = 0,5 и 0,25. Для больших А результаты приведены при

4 Франк А.М.

Л2 = 0,25 и 0,125,

Л1 = 1 и Л1 = 14-0,5,

когда сетка сгущалась у правой стенки. Здесь же представлены результаты лабораторных экспериментов (Chan,Street 1970, точки 2), (Загряд- ская и др. 1980, точки 3), (Maxworthy 1976, штрихпунктирная линия), (Давлетшин 1984, штриховая линия), а также результаты

расчетов этой задачи методом SUMMAC (Chan,Street 1970, сплошная линия) и спектральным методом (Fenton, Rienecker 1982, точки 4).

Прежде всего видно

хорошее совпадение расчетов по дискретной модели с результатами других численных расчетов. Экспериментальные данные дают значительный разброс заплеска, наиболее близки к расчетам результаты Давлетшина (1984). Далее следует отметить, что если для А < <0,5 все полученные по дискретной модели результаты хорошо ложат-

рис 6ся на одну кривую, то

для А > 0, 5 наблюдается разброс до 5% при расчетах на разных сетках. При А > 0, 5 сильно увеличивается также и разброс экспериментальных данных. Судя по резкому, почти пороговому характеру этого явле-

ния, процесс заплеска для волн с амплитудой А > 0, 5 похоже является неустойчивым.

Определялось также динамическое воздействие волн на стенку. На рис. 5 крестиками показана рассчитанная зависимость от амплитуды волны максимального значения давления на стенке на уровне у = 0, а на рис. 6 — аналогичные зависимости для волновой составляющей действующей на стенку силы и опрокидывающего момента. Здесь же приведены экспериментальные и расчетные данные из цитированных выше работ, а также расчеты по нелинейно-дисперсионной модели (Железняк 1985). Рис. 5: кривые 1-3 отвечают (Загрядская и др. 1980; Давлетшин 1984, Железняк 1985). Рис. 6: △ —(Fenton,Rienecker 1982), штриховые линии—(Железняк 1985).

Интересно отметить, что при расчетах по дискретной модели на грубой сетке из двух ячеек по вертикали заплеск для волн большой амплитуды несколько уменьшается, а давление на стенке немного увеличивается, так что эти зависимости приближаются к результатам расчетов по нелинейно-дисперсионной модели (Железняк 1985). Это хорошо коррелирует с приведенными в §2.2 результатами исследования дисперсии модели. На рис. 7 дана зависимость от времени заплеска ту, давления на стенке Pg ПРИ У = 0 и суммарной силы F (кривые 1-3) в процессе наката волны с амплитудой А = 0,51. Хорошо видны обнаруженный экспериментально (Загрядская и др. 1980) эффект появления двух максимумов на хронограмме давления для волн большой амплитуды, а также запаздывание пика заплеска относительно пика давления.

Давление и силы вычиля- лись здесь следующим образом. Можно показать, что каждый

множитель Лагранжа As, отвечающий условию несжимаемости в ячейке 5, является аппроксимацией значения функции р + рду в этой ячейке (р — полное гидродинамическое давление). Отсюда давление в «s-й ячейке

Ps = As - pgys

(ys— координата некоторой точки в ячейке s). Горизонтальная сила, действующая на k-ю частицу, может быть вычислена тогда как

Fk =•

дхк

Суммированием по всем частицам, лежащим на стенке, находится результирующая сила F. Для получения волновой силы, из F вычитается ее гидростатическая составляющая (1/2)рдН2. Аналогично вычисляется опрокидывающий момент. Было опробовано несколько вариантов выбора значений у8. Для мелких сеток все они дали примерно одинаковые результаты, для более грубых наилучшим оказался выбор в качестве у8 вертикальной координаты центра масс 5-й ячейки. Давление на стенке при у = О определялось с помощью линейной интерполяции по вертикали по двум соседним ячейкам.

Все приведенные результаты получаются с хорошей точностью на сетке h\ = 1, hz = 0, 25 и т = 0,2. В принципе, удовлетворительные результаты, в которых отличие по заплеску, давлению и силе не превышает 5% от приведенных, можно получить на сетке h\ = 1, Л2 — 0,5, т = 0, 5.

Таблица 2 tana

1,0

0,5

А

^/тах

Ро

^/тах

Ро

0,113

0,24

0,22

0,27

0,21

0,195

0,44

0,36

0,49

0,32

0,29

0,7

0,49

0,79

0,43

0,41

1,03

0,62

1Д7

0,54

0,5

1,3

0,7

1,49

0,61

По этой модели проводились также расчеты наката уединенных волн на наклонные стенки с тангенсом угла наклона 1 и

Рис. 8. 1 —лин. теория; 2, 4 —заплеск; 3, 5 —давление; 2, 3 —ctgci = 0;

4, 5 — ctga = 2

0, 5. Результаты по максимальному заплеску и давлению Fq на уровне у = 0 сведены в табл. 2.

На рис. 8 показаны для сравнения зависимости ?7тах (кривые 2, 3) и Fq (кривые 5, 6) от амплитуды волны А для вертикальной стенки и наклонной с ctga = 2 (а « 27°). Здесь штриховая линия 1 отвечает ?7тах и Fq для линейной теории наката на вертикальную стенку, 2, 3 — рассчитанные зависимости этих величин для вертикальной, а 4, 5 — для наклонной стенки.

Здесь же штриховая линия 6 — это приведенная в работе Pedersen, Gjevik (1983) эмпирическая зависимость ?7тах = КА^ полученная на основе обработки экспериментальных данных (Hall, Watts 1953) с константами К = 3,4, /3 = 1,16, соответствующими ctga = 2. Видно, что результаты приведенных расчетов неплохо согласуются с этой зависимостью.

ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ МЕЛКОЙ ВОДЫ

Построение модели, аппроксимация, дисперсия

Выше уже отмечалось, что построенная в гл. 2 схема на регулярной сетке дает пример дискретной математической модели, которая при детальной пространственной дискретизации является конечномерным аналогом полных уравнений Эйлера, а при более грубой — нелинейно-дисперсионных уравнений мелкой воды. Оказывается, однако, что в рамках такого дискретного подхода можно непосредственно построить более простую нелинейнодисперсионную модель мелкой воды (Франк 1994), которая, как и в непрерывном случае, имеет меньшую размерность и, поэтому, более удобна и экономична при моделировании длинных волн.

Рассмотрим задачу о движении длинных гравитационных волн в невязкой несжимаемой жидкости над неровным дном. Разобьем слой жидкости на элементарные жидкие объемы Vi (рис. 1).

Рис. 1

Согласно обычным представлениям в теории мелкой воды будем считать, что касательная к дну компонента скорости жидкости слабо меняется по глубине, при этом, в силу уравнения неразрывности, нормальная к дну компонента скорости изменяется с глубиной от нуля до некоторого значения на поверхности

по закону близкому к линейному. При таком распределении скоростей сдвиговая деформация объемов Vi невелика и, поэтому, можно попробовать описать это течение как движение совокупности объемов Vi, каждый из которых рассматривается как материальная частица, движущаяся без трения вдоль дна, имеющая массу пц = pVi и две степени свободы: ^ — координата вдоль кривой, описывающей рельеф дна, и а^—характерная толщина слоя жидкости по нормали к дну. Кинетическую энергию такой системы с учетом сделанных выше предположений можно приближенно записать в виде

т = 152 т^^2 + а^2ЬС)

г

где а — коэффициент, возникающий при интегрировании квадрата нормальной к дну компоненты скорости жидкости по объему 1Д равный 1/3 в случае ее линейного изменения по нормали.

Для отслеживания положения свободной границы удобно ввести специальные нематериальные частицы-маркеры Si (рис. 1) с декартовыми координатами Xi, yi . Тогда потенциальную энергию дискретной системы можно аналогично §2.1 записать в виде

П = / J pgydxdy,(2)

Q

где р— плотность жидкости, g— ускорение свободного падения, Q — область, занятая жидкостью, если под свободной границей понимать ломаную, проведенную через S^. Ясно, что П зависит от координат маркеров и эту зависимость можно легко выписать в явном виде. Так, например, в случае канала с вертикальными боковыми стенками

П = П0 + у 52“ Ж^ + УгУг+1 + Дх),

г=1

где По зависит только от выбора начала декартовой системы координат.

Дискретное условие несжимаемости, гарантирующее точное сохранение объема жидкости также удобно ввести с помощью маркеров. В приводимых ниже рассуждениях и численных рас-

четах использовалось условие

4+1/2 = Ц+1/2 = const,(3)

где Vj+i/2 — объем, вырезаемый из слоя жидкости вертикальными прямыми, проведенными из Sj и Sj+i (рис. 1). Ясно, что в принципе возможны и другие способы разбиения. Соотношения (3) представляют собой голономные связи, поэтому лагранжиан рассматриваемой системы приобретает вид

L = т - п + у~^ ^6+1/2 (г+1/2 - Ч+1/2)’(4)

S

где As+1/2 — множители Лагранжа.

Степенями свободы здесь являются ^, а^ xi, IP- поэтому необходимо ввести еще некоторые замыкающие соотношения, связывающие движение маркеров с осредненным движением жидкости. В качестве таких соотношений здесь используются неголономные связи вида

§Xi = 5^ cos ipi — ба^ sin^,

5yi = Sin Ipi + 5(Ji COS <7^,(5)

где pi это угол наклона касательной к дну в точке Xi. Пусть d(x) обозначает глубину невозмущенной жидкости, тогда tan^ = —dx(xi\ Связи (5) постулируют, что маркеры движутся как жидкие частицы на свободной границе с учетом приближения мелкой воды.

Соотношения (1)-(5) полностью определяют движение системы. Покажем, как в этом случае выводятся уравнения Лагранжа. Этот вывод пригодится также в гл. 5, где тоже используются неголономные связи. Пусть функция Лагранжа имеет вид

L = L(Q^

где Qi и qi связаны соотношениями

^^ = у CLjjSQj.

j

Выбирая в качестве независимых вариации 5Qi имеем из прин-

ципа Гамильтона

t

to г'3 г

откуда в силу произвольности вариаций dQ^ следуют уравнения

Лагранжа

d dLdL n

dt dQi ^ 3 dq.

со связями

Qi = ^ ' UjjQj-

Для лагранжиана (4) роль QL играют ^, ст^, и уравнения прини-

мают вид

•■ ЭГdF .

тКг = -^— COS ¥?i + — sin <pt

ЭЕЭЕ

ami<7i = -— sin^ + -^— cos ipi dx^

F = У~^ ^5+1/24+1/2 - П(6)

s

Xi = Ui = $,i cos ipi - bi SYUipi yi = Vi = $,i Sin ipi + bi cos ipi 4+1/2 = 4+1/2-

Приведем еще некоторые формулы. Если выбрать декартову систему координат так, что у = 0 соответствует невозмущенной свободной поверхности, то для маркера общего положения бу-

дем иметь ап 9хк ап 8укVs+l/2дем иметь ап 9хк ап 8укVs+l/2^(Ук-1 — Ук+1)(Ук-1 + Ук + ^+1),

дем иметь ап 9хк ап 8ук

Vs+l/2

дем иметь ап 9хк ап 8ук

Vs+l/2

— %к — 1)кУк — 1 Т ^Ук^ Т

О L

(7)(7)Н“(^А;+1 — жк^Ук-\-1 — Ук — 1)] i

(7)

(7)

|(xs+i - x§Xys + d(xs) + у8^1 + d(xs^i)Y

В силу известных теорем классической механики система (6) обладает законом сохранения полной энергии, а для ровного дна при отсутствии боковых стенок, или для локализованного возмущения, также законом сохранения горизонтальной компоненты

импульса.

Для системы (6), аналогично непрерывному случаю, можно исследовать дисперсию линейных гармонических поверхностных волн в бесконечном слое жидкости глубины d = const. Введем безразмерные переменные с помощью масштабов длины d и скорости U = л/gd, и распределим маркеры на поверхности невозмущенного слоя равномерно с безразмерным шагом Н. Тогда, линеаризуя уравнения (6), (7) в окрестности покоя, аналогично проделанному в §2.1, можно получить следующий закон дисперсии линейных волн

2 кН

92 + cos кН 4tan.

4а tan2 — + h

где w и к — безразмерные частота волны и ее волновое число. В пределе при Н —> 0 получаем

2 к2Ш 1 + ак2

Для а = 1/3 выражение (9) представляет собой известное дисперсионное соотношение, характерное для многих нелинейнодисперсионных моделей мелкой воды. Слегка изменяя а в окрестности значения 1/3 можно в определенном интервале волновых чисел добиться от (8) лучшей, чем (9) при а = 1/3, аппроксимации точного закона дисперсии для линейных волн ш2 = к tanh(fc).

Рис. 2Рис. 2На рис. 2 пунктиром приведены две дисперсионные кривые (8) при h = 0, 3 (кривая 2 для а = 0, 27 и кривая 4 для а = 1/3) в сравнении с точным законом (кривая 1) и законом (9) при а = = 1/3 (кривая 3). Интервал волновых чисел выбран так, что

Рис. 2

Рис. 2

самые короткие волны имеют 2тг безразмерную длину А = -— = = 3, при этом на одну длину такой волны приходится 10 ячеек сетки дискретной модели. Видно, что выбор а = = 0,27 дает лучшую аппроксимацию точного закона, чем (9) при а = 1/3. Заметим, что уменьшение а относительно 1/3 для коротких волн физически оправдано, т.к. вертикальная скорость в них убывает ная функция.

На рис. 3 для иллюстрации

с глубиной быстрее, чем линей-зависимости (8) при больших кс глубиной быстрее, чем линей-зависимости (8) при больших кдисперсионная кривая приведена в полном диапазоне изменения

с глубиной быстрее, чем линей-

зависимости (8) при больших к

с глубиной быстрее, чем линей-

зависимости (8) при больших к

волнового числа 0 < к < тг/Л для h = 0,5, а = 1/3 (кривая 1). Здесь же для сравнения построены зависимость (9) при том же значении а (кривая 2) и точный закон дисперсии для линейных волн (кривая 3).

Посмотрим теперь какие дифференциальные уравнения получаются в пределе из уравнений (6), (7) при h —> 0. Выкладки для простоты приведем в случае d^ = const, тогда ф = 0,яд = = ^Ш = ^г- Будем считать, что в покое все частицы распределены равномерно с шагом h. т.е. все т^ одинаковы и равны т^ = hd. Введем лагранжеву координату частиц q, qi = ih, а также полную глубину Н = у + d. Дифференцируя связи (3) по времени, учитывая (7), получим

кш + Ут + 2d)(«i+i - и^ + (жг+1 - Xi^vw + Vi) = 0.(10)

При h -

■> 0 из (3) и (10) имеем, соответственно, d

^ + •'^ = 0.(12)

oq oq

Первые два уравнения (6) дают в пределе

ай = _-1_хн 9У(13)

oqoq

= А^ - ду^-.(14)

oqoq

Вводя, как обычно, функцию возвышения свободной поверхности ц(£,ж(£, q)) = y(^g), и учитывая, что полная производная по времени Dy = у = yt + нуж = ^ из (11)—(14) получаем окончательно

т + (Я^ = О, (15) Du + gr/x = —-^(Я2Я2?/)Ж.

Система (15) при а = 1/3 является хорошо известной нелинейно-дисперсионной моделью мелкой воды для волн конечной амплитуды (Green, Naghdi 1976), в таком виде она приведена в работе Ertekin, Webster, Wehausen (1986). Таким образом, в случае ровного дна и при а = 1/3 построенная выше

дискретная модель фактически представляет собой полностью консервативную разностную схему в лагранжевых координатах для уравнений, эквивалентных уравнениям Green-Naghdi. Приведенный выше вывод этих уравнений представляется более простым и физически наглядным, чем в оригинале. Если же иметь целью численное моделирование, то построение полностью консервативной схемы для уравнений в виде (15) является еще одной самостоятельной и нетривиальной задачей. Здесь же обычная для численного моделирования цепочка сильно сокращена, т.е. сразу получена дискретная численная модель, минуя вывод дифференциальных уравнений.

В случае неровного дна для достаточно гладкой функции глубины d(x) предельные уравнения можно привести к аналогичному виду

П + (Ни)х = О,

Du + gr]x = — ^-(Н^А + В^х + aAdx + В(1 + adx), (16) где А = В2тр В = udxx/(l + d2). Здесь дисперсионный член в правой части второго уравнения (16) уже отличается от дисперсионного члена уравнений Green-Naghdi. Отметим, что здесь также отличаются исходные посылки,так как в модели Green- Naghdi и в случае неровного дна предполагается, что горизонтальная скорость и не зависит от у. Отметим еще, что в дискретная модель (6) выгодно отличается от уравнений (16) тем, что формальные требования к гладкости функции глубины d(x) в ней существенно слабее, в частности не возникает бесконечных или очень больших ускорений, если дно имеет излом или участок с малым радиусом кривизны, как, например, в рассматриваемой ниже задаче наката волн на откос.

Необходимо сказать еще несколько слов о точках контакта свободной поверхности с жесткими стенками. Такие точки также являются маркерами,т.е. служат узлами ломаной , аппроксимирующей свободную границу. В отличие от других, они могут двигаться только вдоль жесткой стенки, т.е. имеют одну степень свободы ^. Соответственно, в (6) для них отсутствуют уравнения в направлении аг. Немного изменяются для таких частиц выражения для производных от П. Так, например, в рассматри-

апЭхмапdyNапЭхмапdyNваемой ниже задаче наката волн на пологий откос, для крайнего маркера с номером N описывающего движение точки уреза, будем иметь

ап

ЭхмапdyN

ап

ЭхмапdyN

= ^(ж-i - UnKun-i + 2удг), б

= ^^N — ^N-lKUN-l + 2удг).

Эти выражения можно получить как непосредственно из (2), так и из (7), если ввести фиктивную частицу с номером N + 1 и положить по определению х^\ = xn^ W+i = dN-

Уединенные волны, накат на пологий берег

Для численного решения системы (6) использовалась схема 4 из §1.2. Матрица линейной системы для определения множителей Лагранжа здесь трехдиагональная. Для ее обращения использовалась прогонка. Тем самым схема получается весьма экономичной. Будучи по сути неявной и, как показано ниже, абсолютно устойчивой, по количеству вычислений она эквивалентна простой явной схеме для уравнений (15), (16) в лагранжевых координатах.

Для разностной схемы так же как и для дифференциальной модели можно провести исследование дисперсии и устойчивости в линейном приближении. Рассмотрим, как в предыдущем параграфе, равномерную сетку, и пусть do = l,p=l1g = l. Линеаризованная на покое схема имеет вид

«Г1 = “?+ Д?1/2 - ЛГ'/2)-<L2>

«Д1 = у? + L Ду V2 + лу 1/2\ _

VV2 - «г1'2)+Цу:у+«гд - о, ил) = У" + Д/2, / '

(1.6)

(Здесь а = const из (1) §3.1).

Будем искать решение в виде

d1- = Gcjexp(zcjnT) smkjh,

^+!/2 _ р exp(zcj(n + 1/2)т) sin(fc(j + 1/2)Л).(2)

Из (1.3) имеем

уД1 - 2< + уД1 = - (лД1/2 - АД1/2 + аД^2 - АДД2) -

_ + L1^ _ »-l/2 V п+1/2 _ п-1/2\п+1/2 _ п-1/2\

6сД^ + 1^+1 + \i ^з )^Уз-3 Уз-1 )"

(3)

Далее, беря разность уравнений (1.4) на двух последовательных слоях и пользуясь (1.5), получим

«г1+"+*)+

+- и^ + уД1 - уД1) = 0. (4)

Теперь из (1.2), (2) и (4) легко получить связь констант D и С

DСDС(5)(5). , 9 . шт kh гшгг sin -—- cos —- 22

D

С

D

С

(5)

(5)

л . 9 kh4т sin —

2

Наконец, из (2), (3), (5), пользуясь вытекающим из (1.1), (1.6) п+1/2 п—1/2 п

соотношением ^77 = тч) -^ получаем искомое уравне

ние

2 kh

. 9 шт 9 2 + cos kh ^anSin2 = т2.

23 л 9 kh 79

4a tan21- h2

Из анализа (6) можно видеть, во-первых, что оно аппроксимирует соотношение (8) §3.1 со вторым порядком. Далее, чисто вещественные значения ш получаются тогда и только тогда, когда правая часть (6) не превосходит 1. В противном случае появляются неустойчивые моды с частотами шг = тг(2А; + 1)/т, А; —целое. Правую часть (6) можно оценить сверху через т2/4<щ откуда получается условие устойчивости схемы

т < 2V^. (7)

Отметим некоторую необычность условия (7), поскольку оно не зависит от h и, поэтому, накладывает некоторое “абсолютное”

ограничение, зависящее только от константы а. значение которой должно быть близко к 1/3. Причина этого до конца не ясна, однако можно показать, что если ^+1^2 в правой части (1.3) вычислять не с помощью предиктора (1.1), а положить ^ = = (?/™+1+?/™)/2 (т.е.вместо предиктор-корректора взять неявную аппроксимацию типа Кранка-Николсона), то полученная схема будет безусловно устойчивой.

Все численные расчеты проводились для do = 1, g = 1, р = = 1, что соответствует обезразмериванию переменных с помощью масштабов d^ Vgdo и р. Прежде всего они показали, что описанная дискретная модель даже на довольно грубой сетке

имеет решения в виде уединенных волн, которые в силу консервативных свойств модели и численного алгоритма распространяются по ровному дну с постоянной средней скоростью, амплитудой и энергией. Для а = 1/3 эти решения сравнивались с классическими солитонами Рэлея

ц = а/ cosh2ц = а/ cosh2За \4(а + 1) ГЗа \4(а + 1) Г(8)(8)

ц = а/ cosh2

ц = а/ cosh2

За \

4(а + 1) Г

За \

4(а + 1) Г

(8)

(8)

Так, для солитона с амплитудой а = 0, 7, при значениях шагов по пространству h = 1, по времени т = 0,5, максимальное относительное отличие численного решения от (8) не превышало для формы солитона и его фазовой скорости, соответственно, 1% и 0,3%. При h = 0,5, т = 0,25 эта разница уменьшается до 0,2% и 0,09%. Колебания полной энергии волны относительно

постоянного среднего значения не превышают, соответственно,

0,005% и 0,003%, т.е. находятся уже вблизи ошибок округления (использовалась одинарная точность). Эти расчеты проводились до значений безразмерного времени t = 400 и более.

Следующим тестом было сравнение расчетов наката уединенных волн на откос с результатами работ: Pedersen, Gjevik (1983); Synolakis (1987); Новикова, Хакимзянов (1990), а также с расчетами этой задачи по модели гл. 2.

к

20

Рис. 1

На рис. 1 приведена серия картинок, демонстрирующих накат уединенной волны амплитуды а = 0, 019 на пологий откос с котангенсом угла наклона 19,85. Профили возвышения свободной поверхности выведены с интервалом Z\t = 5. Результаты численных расчетов по дискретной модели (сплошная кривая) сравниваются с экспериментальными точками и приближенным решением уравнений мелкой воды (пунктир) из работы Synolakis, 1987. На рис. 2 для этой задачи приведены расчетные (пунктир) зависимости от времени возвышения свободной поверхности в 5 Франк А.М.

Рис. 2

четырех фиксированных точках на откосе в сравнении с данными той же работы (сплошная кривая — эксперимент, ... теория). Расчеты по дискретной модели проводились при а = 1/3, т =

= 0, 2 , значение h изменялось от 1 на ровном дне до 0, 2 около

точки уреза.

На рис. 3 приведены последовательные картинки заплеска волны с большей амплитудой а = = 0,19 на откос под углом 30°. Здесь расчетные данные (пунктир) сравниваются с экспериментом (сплошная кривая) (Pedersen, Gjevik 1983). Картинки приведены с интервалом по времени Z\t = = 2,86.

Результаты численных расчетов и лабораторных экспериментов различных авторов по максимальному заплеску уединенных волн на наклонную стенку в диапазоне амплитуд от 0,03 до 0,5 и котангенсов углов наклона от 1 до 10, взятые из цитированных выше работ, собраны в табл. 1. Здесь же приведены результаты расчетов по дискретной модели при те

и выше. В скобках для сравнения даны величины заплеска при вдвое меньших значениях т и h. Видно, что существующие для этой задачи теоретические результаты заметно отличаются друг от друга. Разброс данных расчетов доходит иногда до 20% и более. Если принять во внимание эксперимент, то разброс еще увеличится. Результаты расчетов по дискретной модели, как пра

вило, хорошо ложатся в этот диапазон за исключением случаев волн большой амплитуды для крутых углов, особенно для 0 = = 45° . Последнее вполне понятно, так как сделанные при выводе модели предположения о распределении скоростей по глубине физически оправданы, строго говоря, для \dx\ ^. 1. Расчеты показывают, что реально величина заплеска в этой задаче неплохо описывается вплоть до \dx\ ^ 1/2.

Приведенные выше результаты показывают, что дискретная

модель в задаче о накате работает не хуже уравнений мелкой воды, и достаточно хорошо описывает процесс заплеска при использовании довольно крупной расчетной сетки.

Таблица 1

Сравнение данных по накату

cot 9

А

Максимальный заплеск

Численные расчеты [источник]

Runup Экспе-

Дискретная модель мелкой воды

law

[S]

римент [H&W]

10,000

0,030

0,100[Н&Н]

0,112

-

0,117

(5,7°)

0,050

0,180

0,212

-

0,217 (0,215)

3,732

0,050

0,135 [KLL]

0,129

0,173

0,139

0,100

0,308

0,308

0,281

0,309

(15°)

0,200

0,766

0,732

0,599

0,684 (0.687)

3,333

0,050

0,150[Н&Н]

0,122

0,121

0,134

(16,7°)

0,100

0,310

0,291

0,264

0,298 (0,295)

2,747

0,050

0,127[P&G]

0,111

0,115

0,125

0,098

0,275

0,257

0,252

0,267

(20°)

0,193

0,599

0,600

0,552

0,567

0,294

0,958

1,016

0,898

0,920 (0,926)

2,000

0,113

0,27[гл.2]

0,262

0,284

0,278

0,195

0,49

0,519

0,526

0,497

(26,6°)

0,29

0,79

0,852

0,825

0,774

0,41

1Д7

1,314

1,220

1,142

0,50

1,49

1,683

1,530

1,416 (1,422)

1,000

0,113

0,24[гл.2]

0,185

-

0,236

0,195

0,44

0,367

-

0,395

(45°)

0,29

0,70

0,602

-

0,574

0,41

1,03

0,929

-

0,795

0,50

1,30

1,190

-

0,951 (0,953)

1,000

0,060

0,126[Н&Х]

0,084

0,115

0,125

0,100

0,216

0,159

0,212

0,209

(45°)

0,200

0,451

0,379

0,454

0,404

0,480

1,249

1,131

1,270

0,916

Н&Н: Heitner & Housner (1970); KLL: Kim, Liu & Liggett (1983); P&G: Pedersen & Gjevik (1983); H&X: Новикова & Xa- кимзянов (1990); S: Synolakis (1987); H&W: интерполяция экспериментов (Hall & Watts 1953). Последний столбец в скобках — результаты расчета при вдвое меньших значениях т и h.

Здесь уместно отметить, что данная дискретная модель (равно как и другие нелинейно-дисперсионные модели) из-за учета дисперсии обладает существенно более широкой областью применимости, чем обычные уравнения мелкой воды. Тем самым она пригодна для сквозного расчета распространения и наката на берег длинных волн, с учетом их трансформации на неровном дне. Отметим еще, что при лагранжевом подходе не возникает сложностей с граничными условиями на линии уреза, особенно характерным для моделей с дисперсией.

В описанных расчетах угол наклона дна ср^ вблизи точки излома вычислялся с помощью осреднения по трем соседним частицам, хотя, в принципе, эта процедура необязательна и оказывает некоторое сглаживающее влияние на форму свободной границы лишь для больших углов.

К недостаткам модели следует отнести аналогичное описанному в § 2.2 ограничение сверху на пространственный шаг h. вытекающее из дисперсионного соотношения (8). Легко видеть, что для самых коротких численных гармоник с длинной волны А =

9 ш2 h2

= 2п фазовая скорость с = —г = —5— неограниченно растет к2 а

с увеличением h. При h > ivV^a это приводит к качественному изменению закона дисперсии, когда фазовая скорость имеет максимум, больший единицы в области коротких волн. Вследствие чего, при таких значениях h искажается форма длинных волн, скажем солитонов очень малой амплитуды, для которых выбор крупного шага, казалось бы, вполне допустим из соображений подобия.

Численное моделирование стоячих волн и волн от источника давления

Стоячие волны. В работе Tadjbakhsh, Keller (1960) на основе разложения решения для стоячих волн в жидкости конечной глубины Н до третьего порядка по амплитуде обнаружен интересный нелинейный эффект, который заключается в том, что частота колебаний возрастает с амплитудой для волн, длина которых превышает значение А* ~ 5, 9477, и, наоборот, убывает для волн длины меньшей Л*. При Л = Л* частота от амплитуды не зависит. Точнее, для безразмерной частоты была получена следующая зависимость

ш — у "д~{ш° + (^д) ^ш° 7 — 12шо 3 — З^о — 2<Д)}, (1)

где cJq = 1апН(2тг/Л), а — амплитуда. Здесь все величины обез- размерены, как обычно, с помощью масштабов длины Н и скорости V9H.

Этот эффект был проверен и подтвержден экспериментально в работе Fultz (1962) с тем лишь отличием, что критическое значение длины волны в эксперименте получилось около ЧН. Численные расчеты (Vanden-Broeck, Schwartz 1981) этой задачи в полной потенциальной постановке спектральным методом дали то же значение Л* , что и у Tadjbakhsh & Keller.

Поскольку критическое значение Л* находится в области “средних” длин волн, для которых возможность применения теории длинных волн не очевидна, то эта задача может служить хорошим тестом для нелинейно-дисперсионных моделей мелкой воды, как индикатор качества учета дисперсии.

Такой тест был проделан для данной дискретной модели (дипломная работа Н. Рогач). С этой целью было проведено прямое численное моделирование стоячих волн в бассейне прямоугольной формы (рис. 1) длины Л/2. В качестве начальных данных задавался профиль свободной поверхности из приближенного решения (Tadjbakhsh, Keller 1960)

у = а{[1 + e2(9w0 8 + 6w0 4 + 8^0 — 15)/256] со8(2тгж/А)+

+ e(wq + З^Д) cos(4tt®/A)/8+

+ Зе^ЭшД2 + Gw^8 + ЗОшД + Wq + М - 16) со8(6тгж/А)/25б}

в момент, когда все скорости равны нулю. Здесь £ = 2тга/А.

Задача решалась при ю Н = V 9 = 1 1,з- до значений t порядка 20-30 периодов вол- i 2 — ны. Частота колебаний

вычислялась осредне- i 1 _

нием по всем изме

ренным значениям пе- 1,0™ риодов. Эта величина довольно быстро уста- 0,9—' навливалась и ее изменения в конце расче- °^— та были незначитель-

1=41=41*=5,938331*=5,93833ны. В таблице 1 приведены максимальные и минимальные значения средней частоты для последних пяти периодов при различ-ны. В таблице 1 приведены максимальные и минимальные значения средней частоты для последних пяти периодов при различ-0,7™

1=4

1=4

1*=5,93833

1*=5,93833

ны. В таблице 1 приведены максимальные и минимальные значения средней частоты для последних пяти периодов при различ-

ны. В таблице 1 приведены максимальные и минимальные значения средней частоты для последних пяти периодов при различ-

1=10

0,6-

°’5 11111—

ных длинах и ампли-ных длинах и ампли-Рис. 2Рис. 20,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30

ных длинах и ампли-

ных длинах и ампли-

Рис. 2

Рис. 2

тудах волн.

Расчеты проводились на сетке с h = А/40 и т = 0,2. Для проверки один вариант был просчитан с вдвое меньшими значениями г и Л, при этом отличие по частоте составило около 0,06%.

Таблица 1

а

А

0,02

0,1

0,2

0,3

min

max

min

max

min

max

min

max

4

1,1921

1,1922

1,1892

1,1895

1,1799

1,1805

1,1629

1,1641

5,9383

0,9161

0,9162

0,9157

0,9158

0,9141

0,9146

0,9102

0,9111

10

0,5944

0,5944

0,5960

0,5961

0,6007

0,6009

0,6068

0,6078

На рис. 2 сплошной кривой приведены теоретические зависимости (1) частоты от амплитуды для трех длин волн. Здесь же пунктиром представлены результаты численных расчетов. Видно, что модель качественно ухватывает описанный выше эффект. Количественно результаты также неплохо согласуются между собой.

Самые короткие волны здесь имеют длину А = 4Н. Напомним, что приведенный в § 3.1 закон дисперсии этой модели для линейных волн неплохо согласовывался с точным вплоть до А = = ЗН. Вместе эти результаты позволяют оценить границы применимости данной модели для не слишком длинных волн.

Волны от источника давления. Следующая задача дает пример задачи с заданным на свободной поверхности нестационарным давлением

161 >1| |f | < Д

где £ = х — жо — Ut.

Тем самым получается источник давления, движущийся с постоянной скоростью U над свободной границей жидкости и генерирующий поверхностные волны (рис. 3) подобно полупогружен-

ному телу. Такая постановка является довольно распространенной для исследования корабельных волн, и исследованию подоб

ных задач в двух и трехмерной постановке посвящено довольно много работ. Для примера сошлемся здесь на Mei (1986); Ertekin,

Webster, Wehausen (1986); Pedersen (1988); Lee, Grimshaw (1990) и обзор Стуровой (1990).

В описываемых ниже расчетах полагалось Н = g = 1, источник двигался с критической скоростью, т.е. U = 1. Дно ровное, на боковых границах области никаких дополнительных граничных условий не ставилось, что при данном способе введения силы тяжести фактически означает задание гидростатического давления (см. тж. гл. 4). Расчетная область дви

жется вслед за возмущением, для чего через время Z\t = h справа добавляется, а слева убирается по одной частице.

На рис. 3 приведен пример одного из расчетов при р^ = 0,14. Видно, что источник периодически генерирует впереди себя солитоны почти постоянной амплитуды. Поскольку скорость солитона больше единицы, он уходит вперед, а на его месте образуется новый и т.д. Внизу изображен график изменения во времени коэффициента горизонтального (волнового) сопротивления источника. В этом случае он все время положителен и осциллирует

в такт с генерацией солитонов.

На рис. 4 приведен пример в случае области разрежения, когда ро = —0,14. Такой источник тоже генерирует со-

литоны, однако несколько иначе. Он не толкает впереди себя воду подобно кораблю, а сначала вытягивает волну большой амплитуды, которая затем, обгоняя источник теряет ам

плитуду и превращается в солитон. Качественно другой вид

имеет, соответственно,имеет, соответственно,/=31,5/=31,5и график коэффициента сопротивления.Результаты, приведенные на рис. 3, 4 хорошои график коэффициента сопротивления.Результаты, приведенные на рис. 3, 4 хорошоааизвестныизвестныных вышеных вышеbbприведены люстрации в задачу.приведены люстрации в задачу.из цитирован- работ и здесьв качестве ил-из цитирован- работ и здесьв качестве ил-для введенияОсновная цельдля введенияОсновная цельздесь — исследованиездесь — исследованиеоб-об-

имеет, соответственно,

имеет, соответственно,

/=31,5

/=31,5

и график коэффициента сопротивления.

Результаты, приведенные на рис. 3, 4 хорошо

и график коэффициента сопротивления.

Результаты, приведенные на рис. 3, 4 хорошо

а

а

известны

известны

ных выше

ных выше

b

b

приведены люстрации в задачу.

приведены люстрации в задачу.

из цитирован- работ и здесь

в качестве ил-

из цитирован- работ и здесь

в качестве ил-

для введения

Основная цель

для введения

Основная цель

здесь — исследование

здесь — исследование

об-

об-

/=136,5/=136,5и, соответственно, дляи, соответственно, длянаруженного в расчетах с эффекта (Frank, 1995), заключающегося в том, что при ро < 0, т.е. в случае области разрежения, при некотором значении полуширины источника L (зависящем от р^ <0)возникает новый периодический режим, когда источник не генерирует вперед солитоны. Сначала этот эффект был получен для больших значений р^наруженного в расчетах с эффекта (Frank, 1995), заключающегося в том, что при ро < 0, т.е. в случае области разрежения, при некотором значении полуширины источника L (зависящем от р^ <0)возникает новый периодический режим, когда источник не генерирует вперед солитоны. Сначала этот эффект был получен для больших значений р^солитонов большой амплитуды, которыесолитонов большой амплитуды, которыесуществуют только в уравнениях мелкой воды, а в действительности разрушаются. Потом оказалось, что такие режимы существуют при любых амплитудах.На рис. 5 приведен пример такого режима. Хорошо видно каксуществуют только в уравнениях мелкой воды, а в действительности разрушаются. Потом оказалось, что такие режимы существуют при любых амплитудах.На рис. 5 приведен пример такого режима. Хорошо видно какисточник вытягивает волну, которая, смещаясь вправо, теряет амплитуду и на правом конце источника полностью рассасывается. На левом конце в это время появляется новая и т.д. Такимисточник вытягивает волну, которая, смещаясь вправо, теряет амплитуду и на правом конце источника полностью рассасывается. На левом конце в это время появляется новая и т.д. Таким

/=136,5

/=136,5

и, соответственно, для

и, соответственно, для

наруженного в расчетах с эффекта (Frank, 1995), заключающегося в том, что при ро < 0, т.е. в случае области разрежения, при некотором значении полуширины источника L (зависящем от р^ <0)

возникает новый периодический режим, когда источник не генерирует вперед солитоны. Сначала этот эффект был получен для больших значений р^

наруженного в расчетах с эффекта (Frank, 1995), заключающегося в том, что при ро < 0, т.е. в случае области разрежения, при некотором значении полуширины источника L (зависящем от р^ <0)

возникает новый периодический режим, когда источник не генерирует вперед солитоны. Сначала этот эффект был получен для больших значений р^

солитонов большой амплитуды, которые

солитонов большой амплитуды, которые

существуют только в уравнениях мелкой воды, а в действительности разрушаются. Потом оказалось, что такие режимы существуют при любых амплитудах.

На рис. 5 приведен пример такого режима. Хорошо видно как

существуют только в уравнениях мелкой воды, а в действительности разрушаются. Потом оказалось, что такие режимы существуют при любых амплитудах.

На рис. 5 приведен пример такого режима. Хорошо видно как

источник вытягивает волну, которая, смещаясь вправо, теряет амплитуду и на правом конце источника полностью рассасывается. На левом конце в это время появляется новая и т.д. Таким

источник вытягивает волну, которая, смещаясь вправо, теряет амплитуду и на правом конце источника полностью рассасывается. На левом конце в это время появляется новая и т.д. Таким

образом получается /=11 5а

новый периодический

(см. (е) и (6), а также

график коэффици

ента сопротивления)'

процесс, во время кото

рого солитоны вперед^^ 5-»*

не генерируются. ИзL

графика коэффици

ента сопротивления видно также, что в этом случае среднее волновое сопротивление равно нулю. Реально такая периодичность наблюдается в течение нескольких (порядка 8-10) периодов, а затем такой источник все-таки излучает солитон малой амплитуды (см. /).

На рис. 6а при

Рис. 5Рис. 5ведена кривая значений полуширины источника L в зависимости

Рис. 5

Рис. 5

L от амплитуды давления ро? 12 для которых реализуется этот режим.

На рис. 66 приведены 6 максимальные значения амплитуд волн, которые в этом случае достигаются. Видно,

что такие режимы существу

ют и для небольших амплитуд волн и, следовательно, могут быть

реализованы в эксперименте.

ГЛАВА 4

ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ТРЕХМЕРНЫХ ВОЛН

Трехмерная дискретная модель

Данная модель (Серебренникова, Франк 1993) является обобщением на трехмерный случай дискретной модели из гл. 2. Её построение будем проводить имея в виду рассматриваемую ниже задачу о взаимодействии уединенной волны с жесткой вертикальной стенкой, расположенной под углом к фронту. Ось Z направлена вверх, Z = 0 соответствует уровню невозмущенной свободной поверхности. В занятой жидкостью области Q вводится регулярная сетка

= {г« = Щ,уа,га)|а = (м,0,

i = 1,..., М, j = 1,..., N, к = 1,..., L},

при этом к = 1 и к = L отвечают, соответственно, узлам, лежащим на дне и на свободной поверхности, 3 = 1 — узлам на вертикальной стенке. Ячейкой является неправильный многогранник с вершинами в узлах сетки, гранями которого являются треугольники (рис. 1).

Такое определение ячейки связано с тем, что через четыре точки провести плоскость, вообще говоря, уже нельзя, поэтому сетка из шестигранных ячеек возможна только если их грани являются поверхностями второго порядка, а это сильно усложняет вычисление объемов ячеек. Нетрудно видеть, что ячейки сетки разбивают всю область Q на элементарные объемы без пустот и пересечений. При этом свободная граница представляет собой кусочно-линейную поверхность из треугольных элементов.

Будем далее считать, что в узлах сетки находятся материальные частицы, в которых сосредоточена вся масса среды, причем

масса частицы с номером а = (i,j,k) определяется как

= 5 Е ^3.(1)

где Na = {(г — 71,7 — 72, к — 7з)|7« = 0? 1} — множество номеров соседних с ней ячеек, р— плотность жидкости.

Следующим шагом является формулирование дискретного условия несжимаемости. В данной ситуации естественным условием несжимаемости является условие постоянства объемов всех ячеек сетки в процессе движения частиц

Га = г^ = const.(2)

Объем ячейки Va выражается через координаты вершин как сумма объемов пяти тетраэдров, поэтому условия (2) представляют собой голономные связи. Отсюда ясно почему условия несжимаемости (2) нельзя формулировать для каждого тетраэдра в отдельности, поскольку число голономных связей в этом случае было бы больше числа степеней свободы системы. Напомним, что в несжимаемой жидкости на три степени свободы каждой

частицы приходится только одно скалярное ограничение.

Потенциальная энергия системы частиц, аналогично §2.1, полагается равной потенциальной энергии слоя жидкости со свободной границей

п = у У У dxdy-(3)

Здесь Т] — возвышение от спокойного уровня кусочно-линейной свободной поверхности дискретной среды. Ясно, что при таком определении потенциальная энергия зависит только от координат поверхностных частиц, причем вид этой функции выписывается явно. Ясно также, что минимум потенциальной энергии, т.е. устойчивое равновесие слоя достигается при ц = О для любой сетки.

Таким образом, снова получается конечная система материальных частиц с кинетической энергией

а

потенциальной энергией (3) и голономными связями (2). В силу условия непротекания частицы, лежащие на дне и на стенке, имеют, в отличие от внутренних, только две степени свободы в плоскости, соответственно, дна и стенки. Сохранение суммарного объема жидкости гарантируется условиями (2).

Вводя для всех частиц обобщенные координаты qn которые для внутренних частиц совпадают с декартовыми, лагранжиан системы можно записать в виде

L = ^^™п^-П + ^Ха(уа- Г<Д(5)

па

где AQ— множители Лагранжа. Соответственно, уравнения Лагранжа имеют вид

= У А= У Аэуа ап dqn dqn ’

= У А

= У А

<3п = «п,(6)

Из описанного выше способа введения ячеек видно, что узлы сетки неравноправны. Так, “белые” узлы (рис. 1) при своем

движении изменяют объем одного тетраэдра в каждой ячейке, в то время, как “черные”—четырех. Поэтому в расчетах использовалась симметризация условия несжимаемости — “черные” и “белые” узлы на каждом шаге по времени меняются ролями.

Рис. 2

Приведем основные формулы. Для вычисления производных

ЭУа9 Ыо

—— обратимся к рис. 2. Обозначим rg = r^k • П случае, когда этот узел “белый” (рис. 2а), соседними с ним узлами являются rQ, г^, г7, где мультииндексы пробегают значения

а = (г ± IJA 3 = 1м ± СМ, 7 = кмЛ ± 1).

Ясно, что для вычисления производной объема ячейки по г о достаточно вычислить эту производную от объема тетраэдра

П = АП = АХа Xq У а ~ УО ^а ~ ^0Ха Xq У а ~ УО ^а ~ ^0Ж/3 - Ж0 Уд -Уо zp - ^0Ж/3 - Ж0 Уд -Уо zp - ^0Х^ — Жд У^-У^з z^ - ZqХ^ — Жд У^-У^з z^ - Zq(7)(7)где функция индексов А = - [(од — г)(^2 6где функция индексов А = - [(од — г)(^2 6-РЬз-к^ отвечает за-РЬз-к^ отвечает зазнак. Пользуясь известными свойствами определителей, можнознак. Пользуясь известными свойствами определителей, можно

П = А

П = А

Ха Xq У а ~ УО ^а ~ ^0

Ха Xq У а ~ УО ^а ~ ^0

Ж/3 - Ж0 Уд -Уо zp - ^0

Ж/3 - Ж0 Уд -Уо zp - ^0

Х^ — Жд У^-У^з z^ - Zq

Х^ — Жд У^-У^з z^ - Zq

(7)

(7)

где функция индексов А = - [(од — г)(^2 6

где функция индексов А = - [(од — г)(^2 6

-РЬз-к^ отвечает за

-РЬз-к^ отвечает за

знак. Пользуясь известными свойствами определителей, можно

знак. Пользуясь известными свойствами определителей, можно

получитьполучитьЭУЭхоЭУЭхо1= -А уа1= -А уа1УрZP1УрZP1Ут1УтЭУ ,—- = -А ЭуоЭУ ,—- = -А Эуо11жр1ZPжр1ZP1Z^1Z^9V , "дГо"”9V , "дГо"”Уа1Уа1$3Ур1$3Ур1Ут1Ут1(8)(8)В случае, когда го— “черный’ ются еще узлы г^, г£, га, где5 = (ад, /32, Ц £ =В случае, когда го— “черный’ ются еще узлы г^, г£, га, где5 = (ад, /32, Ц £ =узел (рис. 26), его соседями явля-узел (рис. 26), его соседями явля-(«1,7,7з), ст = (г,/32,7з),(«1,7,7з), ст = (г,/32,7з),и производную необходимо вычислять от четырех После несложных преобразований получаеми производную необходимо вычислять от четырех После несложных преобразований получаемтетраэдров.тетраэдров.ЭУЭхоЭУЭхо1УаZa1УаZa1УбZ81УбZ81УеZe1УеZe1УбZ81УбZ81УрZP1УрZP1Уа1Уа1Уе1Уе1Уа1УаУтУт00- Z5- Z5ЭУ дуоЭУ дуо11х51zsх51zs1Ze1Ze$81$81Хр1ZPХр1ZP111Ze1Ze11х^ — Xg0Z^ - zgх^ — Xg0Z^ - zgЭУ dzoЭУ dzoУа1Уа1Ж 8У81Ж 8У81Уе1Уе1$6У81$6У81хзУр1хзУр1ГТГТУа1Уа1Уе1Уе1Уа У^1Уа У^100

получить

получить

ЭУ

Эхо

ЭУ

Эхо

1

= -А уа

1

= -А уа

1

Ур

ZP

1

Ур

ZP

1

Ут

1

Ут

ЭУ ,

—- = -А Эуо

ЭУ ,

—- = -А Эуо

1

1

жр

1

ZP

жр

1

ZP

1

Z^

1

Z^

9V , "дГо"”

9V , "дГо"”

Уа

1

Уа

1

$3

Ур

1

$3

Ур

1

Ут

1

Ут

1

(8)

(8)

В случае, когда го— “черный’ ются еще узлы г^, г£, га, где

5 = (ад, /32, Ц £ =

В случае, когда го— “черный’ ются еще узлы г^, г£, га, где

5 = (ад, /32, Ц £ =

узел (рис. 26), его соседями явля-

узел (рис. 26), его соседями явля-

(«1,7,7з), ст = (г,/32,7з),

(«1,7,7з), ст = (г,/32,7з),

и производную необходимо вычислять от четырех После несложных преобразований получаем

и производную необходимо вычислять от четырех После несложных преобразований получаем

тетраэдров.

тетраэдров.

ЭУ

Эхо

ЭУ

Эхо

1

Уа

Za

1

Уа

Za

1

Уб

Z8

1

Уб

Z8

1

Уе

Ze

1

Уе

Ze

1

Уб

Z8

1

Уб

Z8

1

Ур

ZP

1

Ур

ZP

1

Уа

1

Уа

1

Уе

1

Уе

1

Уа

1

Уа

Ут

Ут

0

0

- Z5

- Z5

ЭУ дуо

ЭУ дуо

1

1

х5

1

zs

х5

1

zs

1

Ze

1

Ze

$8

1

$8

1

Хр

1

ZP

Хр

1

ZP

1

1

1

Ze

1

Ze

1

1

х^ — Xg

0

Z^ - zg

х^ — Xg

0

Z^ - zg

ЭУ dzo

ЭУ dzo

Уа

1

Уа

1

Ж 8

У8

1

Ж 8

У8

1

Уе

1

Уе

1

$6

У8

1

$6

У8

1

хз

Ур

1

хз

Ур

1

ГТ

ГТ

Уа

1

Уа

1

Уе

1

Уе

1

Уа У^

1

Уа У^

1

0

0

Для вычисления потенциальной энергии и ее производных рассмотрим кусочно-линейную свободную поверхность (рис. 3, вид

сверху). Ясно, что потенциальная энергия слоя жидкости является суммой потенциальных энергий элементарных усеченных призм. Потенциальная энергия призмы с вершинами го, rQ, г^ легко вычисляется и равна с точностью до несущественной аддитивной константы

П<Щ — ВП<Щ — ВХа Xq X XqУ а ~Уо Уд” Уо

П<Щ — В

П<Щ — В

где В = ^(ori—»)(^2—j)/24, а = (г ± l,j, Ц, /3 = (ij± ±1Л)-

Рис. 3Рис. 3дПа^Эх0дПа^Эх0ВхВхУ а ~ У0 % а - Z0У а ~ У0 % а - Z0Уд - У о %д ~ ^оУд - У о %д ~ ^о(2^о "V^Y(2^о "V^YSnQ/3 = ха - ж0chjo^а 2qSnQ/3 = ха - ж0chjo^а 2qХр - Жо 45 - ^0Хр - Жо 45 - ^0(2^о + 4* + 43),(2^о + 4* + 43),(11)(11)5Па/з5Па/зХа Xq У а - УоХа Xq У а - УоХд - Жо Уд -УоХд - Жо Уд -Уо(2^о 4" ^q 4" ^/з)«(2^о 4" ^q 4" ^/з)«Производные от Па^ по го можно теперь вычислить из (10), или находить их по определению, рассматривая приращения потенциальной энергии при изменении вектора го в соответствующем направлении. В этом случае сразу получаются следующие симетричные формулы:

Рис. 3

Рис. 3

дПа^

Эх0

дПа^

Эх0

Вх

Вх

У а ~ У0 % а - Z0

У а ~ У0 % а - Z0

Уд - У о %д ~ ^о

Уд - У о %д ~ ^о

(2^о "V^Y

(2^о "V^Y

SnQ/3 = ха - ж0

chjo^а 2q

SnQ/3 = ха - ж0

chjo^а 2q

Хр - Жо 45 - ^0

Хр - Жо 45 - ^0

(2^о + 4* + 43),

(2^о + 4* + 43),

(11)

(11)

5Па/з

5Па/з

Ха Xq У а - Уо

Ха Xq У а - Уо

Хд - Жо Уд -Уо

Хд - Жо Уд -Уо

(2^о 4" ^q 4" ^/з)«

(2^о 4" ^q 4" ^/з)«

Тогда производные от П для “белых” узлов вычисляются как

(12)(12)дПдПа^з

(12)

(12)

дг0дг0 ’

6 Франк А.М.

а для “черных”а для “черных”

а для “черных”

а для “черных”

(13)(13)ап = (апа5 an^i5г о “t 5г0 5г о /

(13)

(13)

где д = (г+ ai,J+ /02^)- Аппроксимацию трехмерных уравнений Эйлера и граничных условий можно показать здесь аналогично проделанному в §2.1.

Двумерная модель мелкой воды

Эта модель также является обобщением на простран

ственный случай (Серебренникова, Франк 1993) одно

мерной нелинейно-дисперсионной модели мелкой воды из гл. 3. В отличие от §4.1 здесь сетка состоит из одного слоя ячеек по глубине. Каждая ячейка Va^ а = ^Д\ представляет собой объединение двух треугольных призм с перпендикулярными дну боковыми гранями (рис. 1). Лагранжевы частицы, служащие

одновременно вершинами ячеек, расположены только на свободной поверхности. Основное предположение заключается в том, что горизонтальные компоненты скорости жидкости не зависят от глубины, тогда, в силу уравнения неразрывности, вертикальная скорость линейно изменяется от нуля на дне до некоторого значения на свободной поверхности. В этом случае кинетическую энергию дискретной си

стемы можно записать в виде

Т=^Ута++уа +(Г

а

где та =^ V^ а множитель 1/3 появляется вследствие ин

тегрирования по % квадрата линейной функции. Условие несжи-

маемости формулируется так же, как в предыдущем параграфе, хотя зависимость Va от координат частиц, естественно, уже другая. Введение потенциальной энергии, постановка граничных условий на жестких стенках и симметризация схемы (чередование “цвета” узлов) производятся здесь точно так же, как в §4.1. Уравнения Лагранжа имеют вид

.ап

aУ^тпVXfi

^^ /глгл 1(2)

“ЭУпЭуп

-mnwn = > Аа- —, 3^ dz„ dzn

Гп = Vn, V^ = V^

и отличаются от “обычных” только множителем 1/3 в третьем уравнении.

Рис. 2

Покажем, какие дифференциальные уравнения в случае ровного дна получаются из (2) в пределе при Va -^ 0. Для этого приведем сначала некоторые формулы.

Пусть ровное дно соответствует % = — d. Объем усеченной

призмы с вершинами rg,призмы с вершинами rg,rQ, г7 (рис. 2а) равенrQ, г7 (рис. 2а) равенV = АV = А% а ^0У а ~ УО% а ^0У а ~ УОХр - ж0Уд -УоХр - ж0Уд -УоСо + za + zp + 3d),Со + za + zp + 3d),(3)(3)

призмы с вершинами rg,

призмы с вершинами rg,

rQ, г7 (рис. 2а) равен

rQ, г7 (рис. 2а) равен

V = А

V = А

% а ^0

У а ~ УО

% а ^0

У а ~ УО

Хр - ж0

Уд -Уо

Хр - ж0

Уд -Уо

Со + za + zp + 3d),

Со + za + zp + 3d),

(3)

(3)

где Л = («1 — г)Щз — Ю/б, а = (г ± l,j), (3 = (?,j ± 1). Отсюда, производные по “белым” узлам равны

ЭУ

= А(уа - y^zo + za + zp + 3d),

ЭУ

— = —А(ха - xp^zQ + za + zp + MY

(4)(4)— = А ж“ - ж° ж0 dz0 у а -уо Ур - Уо

(4)

(4)

Рис. 3Рис. 3по “черным”

Рис. 3

Рис. 3

^ = ^^(^/q - 3/7)(г0 + ^Q + ^7 + 3d) +

+ (^/7 - ^)(^о + ^7 + ^ + 3d)

ЭУг

-— = — А (жа — ж7)(^0 + zQ + z7 + 3cZ) + оуоL 11

+ (ж7 — ж^)(го + г7 + г^ + 3d)

— = А Ха-хР хч -х°dzoу а ~ Уд Уч- Уо

где 7 = («1^2)—номер вершины, противоположной го (рис. 26).

Выражения для потенциальной энергии и ее производных в точности совпадают с таковыми из §4.1.

Положим плотность р = 1. Пусть невозмущенная сетка равномерная с шагами hi и Н^ (рис. 3). В качестве лагранжевых координат ^, v возьмем декартовы координаты частиц в покоящейся среде. Тогда объем ячейки (рис. 4) равен V = Vi + V2 • Из (3) при hi^ Н^ 0 легко следует, что

lim = limЖг/ Н = -JH,

iii^h^—^0 hih^h±,h2—^0 hih^ 2 y^ yp 2

где H — полная глубина жидкости, На = za + cZ, J — якобиан.

Дифференцируя (5) один раз по времени,Рис. 4

используя (4), после некоторых преобразований получим

(^/2 - ^/1)(^4 - ^1)Я124 - (^/4 - 2/1)(^2 “ ^1)Я124 +

+ (ж4 - жх) Д2 - ^1)Я124 - (ж2 - жх) Д4 - жДЯ124++ (т/З - 2/4)(^3 - ^2)Я234 - (?/з - ?/2)^з - П4)Я234 +

+ (ж3 - ж2) Дз - ж4)Я234 - (ж3 - ж4) Дз - ж2)Я234+

Ж4 — Ж1 Ж2 — Ж1У4 -У1У2- УЗЖ4 — Ж1 Ж2 — Ж1У4 -У1У2- УЗW1/3 +W1/3 +Х2 - Х3 Ж4 - Ж3У2 - УЗ У4- УЗХ2 - Х3 Ж4 - Ж3У2 - УЗ У4- УЗw3/3-w3/3-

Ж4 — Ж1 Ж2 — Ж1

У4 -У1У2- УЗ

Ж4 — Ж1 Ж2 — Ж1

У4 -У1У2- УЗ

W1/3 +

W1/3 +

Х2 - Х3 Ж4 - Ж3

У2 - УЗ У4- УЗ

Х2 - Х3 Ж4 - Ж3

У2 - УЗ У4- УЗ

w3/3-

w3/3-

Ж3 - Ж23/3 - 3/2Ж3 - Ж23/3 - 3/2ж4 - ж3У4 - Узж4 - ж3У4 - УзЖ4 — Ж1У 4 -У1Ж4 — Ж1У 4 -У1Ж1 - ж2У1 - У2Ж1 - ж2У1 - У2>w2/3—>w2/3—

Ж3 - Ж2

3/3 - 3/2

Ж3 - Ж2

3/3 - 3/2

ж4 - ж3

У4 - Уз

ж4 - ж3

У4 - Уз

Ж4 — Ж1

У 4 -У1

Ж4 — Ж1

У 4 -У1

Ж1 - ж2

У1 - У2

Ж1 - ж2

У1 - У2

>w2/3—

>w2/3—

Ж1 — Ж4 3/1 - 3/4Ж1 — Ж4 3/1 - 3/4ж2ж2- ЖХ- ЖХ3/2 - У\3/2 - У\Ж2 - ж3У2 - УзЖ2 - ж3У2 - Узж3ж3— Ж 4— Ж 43/3 — 3/43/3 — 3/4>w4/3 = 0. (7)>w4/3 = 0. (7)

Ж1 — Ж4 3/1 - 3/4

Ж1 — Ж4 3/1 - 3/4

ж2

ж2

- ЖХ

- ЖХ

3/2 - У\

3/2 - У\

Ж2 - ж3

У2 - Уз

Ж2 - ж3

У2 - Уз

ж3

ж3

— Ж 4

— Ж 4

3/3 — 3/4

3/3 — 3/4

>w4/3 = 0. (7)

>w4/3 = 0. (7)

Здесь одиночные индексы соответствуют номерам узлов на рис. 4, а Н^к = (Я^ + Hj + Нк)/^. При Л1, Л2 0 из (7) следует

Н(и£у„ - uvy^ + х^Ьр - xvb^) + Jw = 0,(8)

откуда с учетом соотношений между производными в лагранжевых и эйлеровых координатах

yz/yz/^17^17vy =vy =«Z7«Z7/4/4

yz/

yz/

^17

^17

vy =

vy =

«Z7

«Z7

/4

/4

получается обычное для мелкой воды уравнение неразрывности

w + Н(их + иу) = 0.w + Н(их + иу) = 0.(9)(9)

w + Н(их + иу) = 0.

w + Н(их + иу) = 0.

(9)

(9)

Предельные уравнения движения выведем сначала для “белых” узлов (рис. 5). Массы всех частиц по условию одинаковы и равны т = dhih2- Введем, как обычно, функцию возвышения

свободной поверхности r^t^v^ которая в узлах сетки совпадает с %а. При делении первых трех уравнений (2) на hih^ для компонент массовой силы в пределе при h^h^ —> 0 из (И), (12) §4.1 получаются следующие выражения

Из (3) и (10) легко получается предельный вид для третьего уравнения системы (2)

122

-dw = ^XJ - -Jgq.(11)

Вычисление горизонтальных компонент градиента давления приведем на примере производной по х. Из (4) в обозначениях рис. 5 имеем

^1 = 52 ^~Эх = 2 f^1^1 ~ ^/4)Яо14 - Л2(щ - 2/2)^012 +

+ A3Q/3 - d2)HQ23 - ^(УЗ - 2/4)^034] .

Здесь обозначено Н^ = (Н + Нг + Д^-)/3, где Н — полная глубина в центральном узле. Раскладывая Н^ yi по формуле Тейлора в центральном узле, деля на КД2 и приводя подобные, имеем в пределе

Fi2

. 4т „ nr = H^x^ - uvM + nx^Hv - ^ =

= -HJXx - ^XJHx.

Аналогично

F^h^ = ^Xt^/h1h2 -HJXy - ^XJHy. uya

Отсюда с учетом (6) предельные уравнения имеют вид

•22

ЯУ = -ЯУА - - ДУЯ + -gg^g,(12)

2л 2

-Hw = -л — -атн33 h

где V = (дь^ V — двумерный оператор.

Аналогичные, хотя и более длинные, вычисления для “черных” узлов дают

HV = -HVX - |л7Я +144

= з А - -дд.(13)

Введем функцию Ф = (А — дд)/Н^ тогда уравнения (12) и (13) можно переписать, соответственно, в виде

V + д^Н = -2:V(Я2Ф) + Д VЯ,Я3

|м = Ф-Д,(14)

V + yVЯ = -^V(Я2Ф) - Д VЯ,

Я3

|w = Ф + 1ф.(15)

К этим уравнениям добавляется еще уравнение неразрывности (9) и соотношение

Я = w.(16)

Поскольку “цвет” узла меняется на каждом шаге по времени, система уравнений (9), (14)—(16) представляет собой некоторую специфическую слабую аппроксимацию (схему расщепления) для системы (Green, Naghdi 1976)

V + gVH = -^(Я2Ф),

w = ЗФ,

w + ЯУУ = О,(17)

Я = w.

Отметим, что, несмотря на слабую аппроксимацию, законы сохранения для данной схемы выполняются точно на каждом полушаге. Недавние исследования (дипломная работа Н. Доновой)

показали, что для этой модели можно избежать процедуры симметризации, если использовать треугольную сетку, т.е. постулировать условия несжимаемости для каждой из призм. В этом случае в пределе (для ровного дна) также получаются уравнения (17).

Численное моделирование отражения Маха для уединенных волн

Известно, что при накате уединенной поверхностной волны на вертикальную стенку, расположенную под углом к фронту волны, возможно как регулярное отражение, когда наблюдаются только две волны — падающая и отраженная, причем углы и амплитуды этих волн одинаковы, так и отражение Маха, когда возникает тройная несимметричная конфигурация. Изучению данного феномена посвящены работы: Perraud (1957); Miles (1977); Melville (1980); Funakoshi (1980); Хакимзянов (1991); Серебренникова, Франк (1993); Tanaka (1993); Барахнин, Хакимзянов (1999).

В работе Perraud (1957) (см. также Wiegel (1964)) проведены эксперименты по отражению волн безразмерной амплитуды а = 0,08 — 0, 38 в широком диапазоне углов падения. Перра- уд получил, что для угла падения Д > 45° всегда реализуется регулярное отражение, а для Д ^ 45°—маховское. Были получены также количественные характеристики амплитуд и углов для отраженной волны и ножки Маха. По данным Перрауда эти параметры зависят от угла падения волны на стенку и практически не зависят от ее амплитуды.

Для волн малой амплитуды существуют теоретические результаты (Miles 1977) по резонансному взаимодействию трех уединенных волн, которые, в частности, при t ^ сю дают асимптотическое решение для задачи о маховском отражении. В этой работе получено, что критический угол падения ^*, разделяющий два типа отражения, зависит от амплитуды волны и равен д/За. Параметры тройной конфигурации тоже оказываются зависящими не только от угла падения волны, но и от ее амплитуды.

Существенно отличается также от экспериментов предсказанная амплитуда волны на стенке, которая в решении Майлса достигает 4а при критическом угле падения Д = V^a.

В работе Funakoshi (1980) данное явление моделируется численно с использованием приближенных уравнений длинных волн малой амплитуды. Расчеты проведены, в основном, для а = 0, 05 и в целом неплохо согласуются с теорией Майлса.

Эксперименты (Melville 1980) проводились специально для проверки теоретической модели Майлса. Рассмотрено отражение волн амплитуды а = 0,1 — 0,15 для различных углов. В результате обработки

Рис. 1Рис. 1данных измерений автор высказывает сомнения в правомерности применения модели Майлса к данной задаче.

Рис. 1

Рис. 1

Для выяснения причин расхождения теории с экспериментом были проведены достаточно подробные численные эксперименты (Серебренникова, Франк 1993), результаты которых излагаются в этом параграфе. В качестве математических моделей использовались две описанные в предыдущих параграфах этой главы дискретные модели несжимаемой жидкости. Ниже модели §4.1,

Рис. 2Рис. 2будут фигурировать как модели 1 и 2, соответственно.

Рис. 2

Рис. 2

Все приводимые ни

же расчеты проводились для значений глубины Н = 1, плотности р = 1, ускорения g = 1, что эквивалентно введению без

размерных переменных с помощью масштабов Н. VgH^ р. при этом число Фруда Ft = 1. Прежде всего обе модели были опробованы на задаче о бегущем

над ровным дном солитоне. Расчеты показали, что, здесь, как и в случае дискретных моделей меньшей размерности, даже на достаточно грубой сетке реализуются уединенные волны, которые в силу консервативности дискретной модели и численного алгоритма распространяются с посто

и фазовой скоростью.и фазовой скоростью.янной средней амплитудой, энергией

и фазовой скоростью.

и фазовой скоростью.

На рис. 1, 2 приведены иллюстрации таких расчетов на двух

сетках для модели 1. Хорошо видно, что после некоторого пе

реходного процесса все параметры волны устанавливаются и ее форма хорошо согласуется с солитоном соответствующей амплитуды (профиль приведен пунктиром). Количественные сопоставления показали, что для солитона амплитуды а = 0, 2 на сетке

с размерами ячеек Н\ = h^ = 1, (Таз = 0,5 для модели 1), при шаге по времени т = 0, 5 форма установившегося солитона и его средняя фазовая скорость отличаются от соответствующих величин для классического солитона Рэлея не более чем на 3% и 0,1% (для модели 1), 0,5% и 0,03% (для модели 2). Амплитуда волны определялась с помощью квадратичной интерполяции по трем соседним частицам, а средняя фазовая скорость по расстоянию, проходимому волной за Z\t = 20. Небольшие колебания мгновенных значений амплитуды и фазовой скорости, связанные с дискретным представлением волны, не превышают 1% и не имеют тенденции к росту. В дальнейших расчетах значения пространственных и временных шагов выбирались близкими к приведенным выше.

Рис. 3. Схема эксперимента Melville (1980)Рис. 3. Схема эксперимента Melville (1980)В качестве следующего этапа моделировался эксперимент (Melville 1980), в котором исследована начальная стадия отражения уединенных волн от косой стенки. В эксперименте эта стенка примыкала под изменяемым углом к боковой стенке бассейна на некотором расстоянии от волнопродуктора. Ось х направлена вдоль косой стенки, х = 0 соответствует точке излома (рис. 3). В численных расчетах была повторена схема эксперимента в части, касающейся геометрии бассейна (кроме начального участка с волнопродуктором), расстановки датчиков уровня жидкости и обработки результатов. Отличие заключалось только в генерации начальной волны, которая здесь просто задавалась на входном участке в качестве начальных данных из приближенного решения (Овсянников 1983). Ниже приводятся некоторые результаты сравнения расчетных и экспериментальных данных.

Рис. 3. Схема эксперимента Melville (1980)

Рис. 3. Схема эксперимента Melville (1980)

На рис. 4 приведены зависимости амплитуды волны на стенке aWl отнесенной к амплитуде падающей волны щ, от х для сц = = 0,1 и различных углов падения волны ^ (— о — эксперимент; — модель 1; — модель 2). Здесь и далее под углом падения ^

Рис. 4Рис. 4Рис. 5Рис. 5и углом отражения яД понимается угол между линией гребня соответствующей волны и нормалью к стенке. Видно, что количественное отличие составляет не более 7%, хотя для малых углов расчетные значения амплитуды оказываются систематически больше экспериментальных.

Рис. 4

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 5

С целью дополнительной проверки

точности вычислений

были проведены расчеты по модели 2 при ^ = 10° и 35° на вдвое более мелкой сетке, 153 х 53 узла вместо 77 х 27, и с вдвое меньшим шагом по времени т = 0,25. Полученные при этом зависимости отличались от приведенных расчетных менее чем

на 1%.

На рис. 5 для щ = 0,15 представлены зависимости от у максимального возвышения свободной поверхности, отнесенного к

а^ построенные по показаниям неподвижных датчиков, распо

ложенных на прямой, перпендикулярной стенке, при х = 16,7. Видно, что при фг = 30° и 35° совпадение расчетов и экспериментов очень хорошее, при малых углах отличие доходит до 10%.

На рис. 6 приведены

зависимости, характеризующие форму возникающей при отражении конфигурации волн. В расчетах, как и в эксперименте, гирлянда датчиков уровня была расположена на прямой, перпендикулярной стенке, при х = 23,3 (рис. 3). Через т* обозначена разница во времени между прохождением гребня волны через датчик с координа

Рис. 6Рис. 6той yi и датчик на стенке при у о = 0. Здесь, следуя

Рис. 6

Рис. 6

эксперименту, т* опреде

to+T/2t0-T/2to+T/2t0-T/2Ri(r*) = тахЛфт),Ri(r*) = тахЛфт),лялась с помощью корреляционной функции

to+T/2

t0-T/2

to+T/2

t0-T/2

Ri(r*) = тахЛфт),

Ri(r*) = тахЛфт),

где T]o(t^ цф^)—записи уровня на соответствующих датчиках, ^о = агдтахцоф), размер окна осреднения Т = 3,65.

Кривые (— модель 1, - - - модель 2) и экспериментальные точки приведены для щ = 0,15 при трех значениях ^.

В целом, можно констатировать, что приведенные результаты расчетов по обеим моделям неплохо согласуются между собой и с данными экспериментов.

Следующая большая серия расчетов посвящена исследованию эволюции конфигурации волн во времени вплоть до установления. При этом, как следует из теории Майлса и численных расчетов, в случае регулярного отражения существует действительно стационарная V-образная конфигурация, движущаяся вдоль стенки с постоянной скоростью. В случае тройной конфигурации Маха выход на стационар имеет место только для угла отражения фТ и амплитуд волн, длина ножки Маха со временем продолжает расти. Время установления изменяется от нескольких десятков безразмерных единиц в случае регулярного отражения до тысячи и более Рис. 7. а = 0,186, ^2 = 45° для некоторых тройных конфигураций. Поэтому в данных расчетах использовалась подвижная расчетная область в виде параллелограмма, которая смещалась вдоль стенки вслед за волной. Начальные данные ставились в виде уединенной волны, падающей на косую стенку. На стенке ставилось условие непротекания, на части верхней границы задавалась бегущая уединенная волна. Для этого параллельно решалась вспомогательная задача о движении такой волны в узком канале с вертикальными стенками на той же сетке, что и в основной задаче. Это позволяет полностью исключить всякие эффекты

рассогласования граничных условий с волной внутри области. А использование полностью консервативной схемы обеспечивает неизменную во времени форму и амплитуду падающей волны. На остальных границах не ставилось никаких дополнительных условий, что с точки зрения уравнений гидродинамики соответ

ствует границе с заданным гидростатическим давлением.

На рис. 7 приведен пример развития во времени V- образной конфигурации для случая регулярного отражения волны, а на рис. 8-10 — тройных маховских конфигураций для разных амплитуд падающей волны и углов падения. На рис. 11-14 приведены графики установления во времени амплитуды волны на стенке aw, соответствующие этим примерам. Установление амплитуды aw, или, по крайней мере, сильное замедление ее роста, как на рис. 12, 13, в совокупности с картиной изолиний позволяет судить о завершении формирования тройной конфигурации для определения ее характерных пара-

Рис. 8. а = 0,186, ^г = 23°Рис. 8. а = 0,186, ^г = 23°метров.

Рис. 8. а = 0,186, ^г = 23°

Рис. 8. а = 0,186, ^г = 23°

Расчеты проводились на неравномерных сетках от 50 х 41 х х 3 (модель 1) до 131 х 131 (модель 2) узлов. Размеры расчетной области в зависимости от типа модели и параметров задачи выбирались от 48 х 104 до 197 х 220 единиц. Время расчета одного варианта до установления составляло от двух до двадцати часов на PC АТ 386/387-33мгц (для сравнения, недавний расчет одного из больших вариантов по модели 2 на сетке 100 х ПО до t = 1000 занял всего 10 мин. на AMD Athlon-650 мгц). Амплитуда падающей волны изменялась в основном от 0,1 до 0,3. Для сравнения

с результатами Funakoshi (1980) были также проведены два расчета при ^ = 0,05. Большие амплитуды не рассматривались,

так как даже для сц = 0, 3 при некоторых углах падения ампли

туда ножки Маха значительно превышает критическую высоту

для уединенной волны 0,83,для уединенной волны 0,83,Рис. 9. а = 0,3, фг = 30°Рис. 9. а = 0,3, фг = 30°что, по идее, должно в реальности приводить к ее обрушению.

для уединенной волны 0,83,

для уединенной волны 0,83,

Рис. 9. а = 0,3, фг = 30°

Рис. 9. а = 0,3, фг = 30°

Основными задачами в этой серии было сопоставление результатов для малых амплитуд волн с теорией Майлса, а также получение количественных зависимостей для

амплитуды волны на стенке aw амплитуды отраженной волны аТ и угла отражения яД от амплитуды падающей волны сц и угла падения ^. На рис. 15 приведены рассчитанные зависимости фт от ^ по двум моделям для разных амплитуд. Здесь же значками Л приведены результаты расчетов Funakoshi (1980) для сц = 0,05. Пунктиром для каждого из рассмотренных значений щ изображены теоретические зависимости (Miles 1977):

Видно, что при сц = 0, 05 два расчета по модели 2, представляющие оба типа отражения, хорошо совпадают с результатами Funakoshi (1980) и все вместе неплохо согласуются с теорией Майлса. При больших амплитудах теория дает сильно завышенное значение угла отражения, хотя и для щ = 0, 097 теоретическая оценка угла отражения еще вполне приемлема. Более сильная нелинейность приводит также к характерной немонотонной зависимости угла отражения от угла падения. При этом минимумы этих кривых отвечают тройной конфигурации с максимальной амплитудой ножки Маха (см. ни-

же рис. 16).

На рис. 16 приведены рассчитанные зависимости амплитуд для отраженной волны аТ и ножки Маха на стенке а^ отнесенные к щ, в зависимости от переменной ^/V3ftz. Здесь также приведены результаты расчетов Funakoshi (1980) при сц = 0,05, и результаты теории Майлса, которая в этих переменных дает универсальные зависимости. Обозначения те же, что и на рис. 15.

Из приведенных результатов видно, что увеличение нелинейности приводит к существенному количественному отклонению от универсальных зависимостей Майлса, тем не менее качественный характер явления остается прежним.

Наиболее интересен здесь эффект резонансного усиления амплитуды волны на стенке, которая в расчетах достигает значения 3,5щ. Это значительно пре- °w вышает величину максимального °Л -™

заплеска волны при обычном на- г о,з - кате на вертикальную стенку под прямым углом, которая, для рас- о,2 I' сматриваемых значений ампли- °50100

туд. как известно, почти не отли-

. Рис. 11. а = 0,186, ^2 = 45° чается от результата линеинои теории 2щ.

В экспериментах Перрауда для тройных конфигураций отношение aw/ai не превышало 2. В статье Melville (1980) отмечается,

7 Франк А.М.

Рис. 12. а = 0,186, ^г = 23°Рис. 12. а = 0,186, ^г = 23°Рис. 14. а = 0,3, ^г = 20°Рис. 14. а = 0,3, ^г = 20°что в этих экспериментах явно присутствуют капиллярные эффекты, а также обрушение волн. Другой причиной отсутствия наблюдения такого эффекта, наиболее вероятно, является то обстоятельство, что судя по нашим расчетам, тройная конфигурация с максимальной амплитудой ножки Маха устанавливается дольше всех остальных и это время, в зависимости от амплитуды, составляет 500 и более безразмерных единиц. За это время падающая волна проходит более 500 глубин, что, с учетом эффектов вязкости и капиллярности, вряд ли воз- 300 t можно реализовать в лабораторных условиях. Более того, в дан

Рис. 12. а = 0,186, ^г = 23°

Рис. 12. а = 0,186, ^г = 23°

Рис. 14. а = 0,3, ^г = 20°

Рис. 14. а = 0,3, ^г = 20°

ных расчетах минимальное время установления параметров тройной конфигурации было около 200, при сц = 0,3, ^ = 20° (рис. 10), так что получить в лабораторном эксперименте полностью сформировавшуюся тройную конфигурацию, по-видимому, вообще проблематично. С другой стороны, в натурных условиях такое соотношение масштабов вполне реально, так что предсказанный Майлсом эффект резонансного усиления при накате волны на берег под

углом может иметь практический интерес, например для волн

Рис. 15. Зависимость угла отражения от угла падения для разных амплитуд волны. Модель 1, ар • - 0,097; о - 0,186. Модель 2, ар 0 - 0,05; ■ - 0,097; □ - 0,186;+ - 0,3; А - Funakoshi (1980)

цунами.

Численные результаты других авторов (Танака, 1993; Барах- нин, Хакимзянов 1999) также демонстрируют наличие эффекта резонансного усиления амплитуды волны на стенке, хотя максимальные значения отношения aw/ai в них получились несколько меньшими, не превышающими 3. На рис. 17 приведено сравнение результатов наших расчетов для щ = 0, 3 с расчетами М. Tanaka (1993). Видно, что углы отражения а) и амплитуды отраженной волны б) совпали удивительно хорошо для двух принципиально разных численных методов. Амплитуды же волны на стенке в) в окрестности критического угла у нас получились заметно больше. Проведенные нами недавно расчеты для щ = 0, 3 по модели 2 7*

Рис. 16. Зависимость амплитуды отраженной волны и ножки Маха на стенке от угла падения. Обозначения те же, что и на рис. 15. ф* = ^/V^^zРис. 16. Зависимость амплитуды отраженной волны и ножки Маха на стенке от угла падения. Обозначения те же, что и на рис. 15. ф* = ^/V^^zна последовательности сеток вплоть до 200 х 320, h = 0,25, т = 0,125, т.е. с вчетверо меньшими значениями пространственного и временного шагов, дали, по крайней мере в двух знаках, то же что и ранее максимальное значение сц^/щ = 3,5, с той лишь разницей, что это значение на мелких сетках получается при угле фг = 36° вместо 35°. Здесь следует уточнить, что М. Танака проводил расчеты только до t = 150 и отметил, что установление амплитуды для ^ = 35° еще не достигнуто. Нами расчеты проводились до t = 1000, а при t = 150 значение отношения aw/ai у нас тоже получается около 3 (правда, более детальное сопоставление наших результатов в частной переписке с М. Танакой показало, что его ам

Рис. 16. Зависимость амплитуды отраженной волны и ножки Маха на стенке от угла падения. Обозначения те же, что и на рис. 15. ф* = ^/V^^z

Рис. 16. Зависимость амплитуды отраженной волны и ножки Маха на стенке от угла падения. Обозначения те же, что и на рис. 15. ф* = ^/V^^z

плитудная кривая, аналогичная рис. 11-14, при t = 150 гораздо ближе к насыщению, чем наша).

Некоторое качественное отличие приведенных выше численных результатов от асимптотической теории Майлса заключается также в том, что при увеличении угла ^, после прохождения пика кривой на рис. 16 конфигурация волн, хотя и не развивается со временем в тройную, но остается еще слегка несимметричной и лишь при дальнейшем увеличении ^ переходит в симметрии-

ную. Как видно из рисунков 15, 16 угол отражения фТ в этих случаях на 1°-2° превышает ^, а амплитуда отраженной волны

также несколько меньше а^.

Зависимость амплитуды отраженной волны аТ от угла падения для тройной конфигурации также качественно, а при малых амплитудах и количественно, близка к квадратичной зависимости Майлса ат = ^/^- При больших амплитудах эта зависимость также близка к квадратичной с некоторым зависящим от амплитуды коэффициентом. Например, при щ = 0, 3 расчетные точки хорошо ложатся на кривую ат = = 0,62^--

На рис. 18 приведена диаграмма в плоскости параметров щ, ^ из работы Funakoshi (1980), дополненная нашими расчетами. Светлые значки о, д, соответствуют случаю нерегулярного, а темные •, А— регулярного отражения (о, • — данные Funakoshi; А, А — наши расчеты). В настоящей работе отражение считалось нерегулярным, если установившееся значение ат было меньше 0, 95щ.

Здесь же пунктиром приведена теоретическая кривая (Miles 1977) для критического угла, разделяющего два типа отражения ^ = д/Зщ. Видно, что для амплитуд сц < 0,1 совпадение с теорией хорошее. При больших ^ показанная штрих-пунктиром кривая лучше соответствует результатам расчетов. Эта зависимость растет су-

2020।।।0204060 ^i।।।0204060 ^i।।।0204060 Ti।।।0204060 TiРис. 17. Сравнение численных расчетов для а^ = = 0,3, -I—модель 2, о — работа Tanaka (1993)Рис. 17. Сравнение численных расчетов для а^ = = 0,3, -I—модель 2, о — работа Tanaka (1993)щественно медленнее квадратного корня и для умеренных амплитуд дает величины критического угла, похожие на описанные

20

20

।।।

0204060 ^i

।।।

0204060 ^i

।।।

0204060 Ti

।।।

0204060 Ti

Рис. 17. Сравнение численных расчетов для а^ = = 0,3, -I—модель 2, о — работа Tanaka (1993)

Рис. 17. Сравнение численных расчетов для а^ = = 0,3, -I—модель 2, о — работа Tanaka (1993)

ОД 0,20,3«1ОД 0,20,3«1Рис. 18Рис. 18в монографии Wiegel (1964) экспериментальные данные Чена и Перрауда, в которых были получены значения 40° и 45°, соответственно, причем у Перрауда эта оценка получилась не зависящей от щ.

ОД 0,20,3«1

ОД 0,20,3«1

Рис. 18

Рис. 18

Подведем основные итоги описанных здесь численных экспериментов. Во-первых, получено неплохое совпадение с экспериментами Melville (1980), моделирующими на

чальную стадию развития маховских конфигураций для волн конечной амплитуды. Во-вторых, на больших временах для волн малой амплитуды получено неплохое согласие с теорией Майлса. Все это дает определенные основания надеяться, что дискретные модели адекватно описывают явление и в промежуточной области параметров, в которой применимость теории Майлса изначально сомнительна, а постановка хорошего эксперимента очень затруднительна по причинам, описанным выше.

Далее, численные расчеты дают основу для понимания причин расхождения теории и экспериментов, а точнее дополнительные аргументы в пользу применимости асимптотической теории Майлса к описанию маховского отражения уединенных волн при небольших амплитудах. Сомнения на этот счет высказывались, в частности, в работе Melville (1980). Один из главных аргументов — отсутствие в экспериментах резонансного усиления амплитуды волны на стенке. В качестве другого Мелвилл высказывает сомнение в правомерности гипотезы Майлса о том, что все три волны могут рассматриваться как солитоны.

Относительно первого аргумента численные расчеты ясно показывают, что все дело просто в характерных временах, недостижимых в эксперименте. Что касается второго, то он основан на результатах эксперимента автора статьи, в котором отраженная

волна получилась намного уже солитона той же амплитуды.

Результаты этих измерений приведены на рис. 19 сплошной кривой. Здесь изображены ма- реограммы (зависимость уровня жидкости от времени в фиксированной точке), записанные на гирлянде датчиков (рис. 3) и дающие некоторое представление о профилях ножки Маха, падающей и отраженной волн. Как видно из рис. 19, в эксперименте амплитуда отраженной волны возрастает с удалением от развилки, чего никогда не наблюдалось в численных расчетах и чего, казалось бы, не должно быть и из общих соображений. Естественно предположить, что это следствие отражения волны от стенок бассей-

Рис. 19Рис. 19на и волнопродуктора. Для проверки был специально проведен расчет, в котором были повторены все условия эксперимента, в том числе и генерация уединенной волны с помощью движущейся по заданному закону вертикальной стенки. Результаты приведены на рис. 19 пунктиром. Видно, что результаты расчета и эксперимента согласуются довольно сносно. Главное, в численных расчетах воспроизводится как форма отраженной волны так и увеличение ее амплитуды от развилки к задней стенке. При увеличении размеров бассейна этот эффект полностью исчезает, а амплитуда отраженной волны уменьшается более чем в два раза.

Рис. 19

Рис. 19

ГЛАВА 5

СВОБОДНО-ЛАГРАНЖЕВЫ ДИСКРЕТНЫЕ

МОДЕЛИ

Описанные в предыдущих главах дискретные модели обладают одним общим недостатком, характерным вообще для лагранжевых методов. Они работоспособны только для течений с относительно небольшими деформациями среды, как, например, описанные выше волновые движения. В случае течений с интенсивной завихренностью неизбежно возникает перехлест сетки и авост. Для преодоления этого недостатка естественно попытаться построить дискретные модели, в которых отношение соседства частиц не фиксировано и может со временем изменяться. То есть частицы, бывшие соседями в начальный момент времени, должны иметь возможность со временем расходиться сколь угодно далеко. Ясно, что основная проблема здесь — это способ введения дискретного условия несжимаемости, которое бы допускало такое движение. Ниже рассматриваются варианты построения таких моделей.

Бессеточная модель (Франк, Яненко 1985)

. Описание модели, тестовые расчеты. Рассмотрим некоторый континуум, состоящий из “частиц”, каждая из которых представляет собой малый, но конечный объем, например шар, заполненный какой-то средой. Пусть рфж,у,^)—функция, характеризующая плотность этой среды в точке ж, у, z для г-й частицы. Частицы могут пересекаться, т.е. одна и та же точка физического пространства может одновременно принадлежать нескольким частицам. Тогда мы будем считать, что плотность среды в этой точке равна сумме плотностей сред частиц, ее со-

держащих. Далее, будем считать, что потенциальных взаимодействий между частицами нет, и что они, в принципе, могут свободно проходить друг через друга, если это не противоречит ограничениям, которые будут сформулированы ниже. Такую модель нетрудно вообразить, рассматривая, например, идеальный газ. Здесь под частицей понимается некоторая часть молекул газа, находящегося в объеме, занимаемом этой частицей. Если газ сильно разрежен, так что столкновениями между молекулами можно пренебречь, то, соответственно, и частицы проходят друг через друга свободно, без взаимодействия. В более плотном газе, вследствие столкновения между молекулами, появятся силы взаимодействия между частицами. Для их определения необходимо ввести какое-либо уравнение состояния. В случае, когда скорости движения частиц малы в сравнении со скоростью звука, мы можем рассматривать такой газ как несжимаемую жидкость. В этом случае роль уравнения состояния играет условие несжимаемости, которое требует, чтобы масса среды в любом контрольном объеме оставалась постоянной. Поскольку здесь мы имеем дело с дискретной моделью, то будем требовать выполнение условий несжимаемости только для некоторой конечной системы контрольных объемов, покрывающих расчетную область. Эти объемы также могут пересекаться друг с другом. Такое условие несжимаемости порождает голономные связи между частицами.

В самом деле, пусть имеется N одинаковых частиц, с координатами центров ж^ Цг и распределением плотности р^ж — ж^ у — шУ а также М контрольных объемов Qj. Для упрощения формул в дальнейшем всюду будет рассматриваться случай двух пространственных переменных. Тогда условие несжимаемости имеет вид

N Г

Щ1, yi, ■ ■ ■, %n, yN) = У^ / Ркж ~Хк,У~ yk)dxdy = Ct- (1)

Здесь С г могут быть все одинаковы, если Q^ одинаковы, течение внутреннее, и жидкость однородна. Либо различны, например, для течений со свободными границами, когда часть контрольных объемов находится вблизи границы. Если они при этом лагран-

жевы, т.е. движутся вместе со средой, то их масса постоянна и меньше, чем у внутренних. Таким образом, мы снова получили дискретную механическую систему, состоящую из N частиц с голономными связями (1).

Условия инвариантности связей для сохранения импульса и момента импульса ((6), §1.1) можно удовлетворить, используя, например, сферически симметричные контрольные объемы Q^, жестко связанные с некоторыми частицами, например

Л(ж1,...,уЛ(2)

где ^ = (Д)2 + (у»)2, Д = xk - xiz угк = ук - уt- Универсальная функция g определяется из (1) по известному распределению плотности в частицах. Если р^х — х^^у — у^ — гладкая финитная функция, то это же справедливо и в отношении д.

В дальнейшем будем считать, что контрольные объемы связаны с первыми М частицами, которые мы будем называть контрольными частицами. Заметим, что контрольные объемы не связаны с какой-либо сеткой, они все независимы, поэтому проблема перехлеста здесь не возникает в принципе. Более того, допустимо, чтобы два первоначально близких объема оказались со временем далекими. Разумеется, данный подход в свою очередь не лишен недостатков, поскольку необходимо следить за тем, чтобы контрольные объемы тем не менее покрывали область, занятую жидкостью. Заметим, что аналогично методам с перестраиваемыми сетками, здесь возможна процедура регуляции “сетки”. Например, для внутренних течений можно на каждом шаге объявлять контрольными те частицы, которые находятся ближе других к узлам какой-либо фиксированной или подвижной эйлеровой сетки. При этом мы будем контролировать несжимаемость в объемах, колеблющихся около узлов сетки.

Учитывая (2), приведем некоторые окончательные выражения. Связи (1) можно представить в виде

N$М,...^=^Ш=Сг,(3)

&=1

где ф(р)—некоторые достаточно гладкие финитные функции с малым носителем. Тогдазависит только от

ас др

ааРис. 1Рис. 1б

а

а

Рис. 1

Рис. 1

одной переменной Tfm. Обозначим Е^ = "д^ОпУ тогда уравнения Лагранжа будут иметь вид

йк = Е ^iF^XVk i=i

,к> М

Ук=Ц XiF^^k

vг=1

(4)

Uk = Е xiFV<Wk - XkDk 2 = 1

,к^М

^к = Е W^Wk " ^Dk

NN

где D^. = 52 P^i^i^ D1^ = 52 D^)^. Система (3), (4) может i=ii=i

быть теперь решена численно с помощью алгоритма §1.2.

Для проверки возможностей такого подхода были проведены

расчеты некоторых тестовых задач. В этих расчетах в качестве функции (р(т]) в (3) использовалась бесконечно дифференцируемая функция

^ = <^ = <0 < Ц < £2

^ = <

^ = <

о,о,\2\2На рис. 1а приведен пример расчета цитированной выше задачи (Овсянников 1967) о деформации жидкого эллипса под действием определенного начального распределения скорости в отсутствие внешних сил. Идеальная несжимаемая жидкость при t = 0 находится внутри круга радиуса 0, 5 со свободной границей. Начальное поле скоростей

о,

о,

\2

\2

по = Д(0)/а(0)ж,

«о = -а'(0)/а(0)у.

С ростом t круг деформируется в эллипс x2/a2(t) + + а2^^2 = 1/4, большая полуось которого a(t) —> сю, а малая l/a(t) —> 0 при t -Д сю. Коэффициент a(t) находится из решения задачи

(а4 + 1)аа" = 2(а')2, а(0) = 1, а'(0) = 1/V2.

Здесь общее число частиц N = 121, среди них контрольных (обозначены большими квадратиками) М = 32. Сплошная линия — положение свободной границы из точного решения. Для демонстрации роли дискретного условия несжимаемости (3) на рис. 16 приведен результат расчета этой же задачи, но с “выключенным” условием несжимаемости.

На рис. 2 приведены результаты расчета также упоминавшей- ^=^^= ^^^^^ ===== ся ранее (§1.2) задачи “брус подДоо“До)н),2

штампом”. Здесь общее число ча-==

стиц 153, среди них 45 контрольных. -X-=.

Сплошные прямые — точное поло- =^=^=^=^=

жение свободной границы. Из этихХ=="==

примеров видно, что при простых„

линейных деформациях дискретная ’’/=о,5

среда действительно ведет себя как==

несжимаемая жидкость.=—

На рис. 3, 4 приведен результат ==- решения модельной задачи о столк- == новении двух сферических объемов^=

(в плоской постановке) “невязкой ее несжимаемой жидкости”. Каждый ^q 6^0 7

из объемов имел диаметр около единицы, горизонтальную скоростьРис. 3

ил = 1 (левый), ип = — 1 (правый), и нулевую вертикальную скорость. Рассматривалось симметрич

ное (рис. 3) и несимметричное (рис. 4) столкновения. На этих рисунках каждая частица изображена заштрихованным кружком. Общее количество частиц для обоих вариантов было равно

N = 178. Количество контрольных частиц в первом расчете М =

= 62, во втором М = 42.

На рис. 5 приведено решение задачи о разрушенной плотине (Христианович 1938; Stoker 1953). Покоящийся изначально у левой стенки столб жидкости под действием силы тяжести обрушивается вниз. Здесь N = 128, М = 64, сплошная кривая показывает форму свободной границы рассчитанную по методу SMAC (Amsden, Harlow 1970).

Поскольку данная модель, в отличие от предыдущих, по крайней мере формально допускает большие деформации и расходи

мость частиц, естественно возникло желание посмотреть как она будет себя вести на более сложных режимах.

Ниже описана модельная задача (Франк, 1986) о возникнове-

^=-^^ нии стохастического режима из

^^ периодического плоского течения.

~™ Целью являлось исследование воз- ^^ можности получения развитого ^0,0нц

стохастического течения, начиная

^^с неслучайных начальных данных,

^=^=для дискретной модели с неболь-

^=^= шим числом степеней свободы.

^0 5 Здесь следует отметить, что и сама _ ’_модель и приведенные результаты

_ относятся к середине 80-х годов, а

~ ^^"^= ^= ^ расчеты всех описанных в этом па-

~-^= =^=_= раграфе задач проводились на оте

чественной мини-ЭВМ того време-

^0,7/=0,9

ни СМ-4.

= ^^=^ __2. Стохастическое течение.

tеПо аналогии с прямым числен-

еf^=^^ sным моделированием двумерного

~ ^^изотропного течения несжимаемой

/=1Джидкости рассматривается движе

ние системы N частиц в квадрате

Рис' ^со стороной L = 2тг и периодиче

скими граничными условиями. Все

частицы имеют форму круга радиуса 5 = 2тг/7. Периодические граничные условия реализуются следующим образом.

Рис. 6

Рис. 7

Каждая вышедшая из квадрата частица входит в него с противоположной стороны с той же скоростью. Кроме того, при расчете взаимодействий учитываются не только близлежащие соседи, т.е. частицы дающие ненулевой вклад массы в некоторый контрольный объем, но и частицы, оказывающиеся соседями при сдвиге их на период. Шаг по времени т выбирается из условия удовлетворительного выполнения условия несжимаемости. В расчетах в качестве основного использовалось значение т = 0, 05, что обеспечивает относительную точность сохранения массы в каждом контрольном объеме не хуже 5%. Всего в расчетах использовалось N = 196 частиц первоначально расположенных в узлах сетки с шагом h = 2тг/14 из них М = 49 контрольных — в узлах сетки h = 2тг/7. В качестве начального распределения

скоростей взято стационарное периодическое решение уравнений Эйлера и = sinT/щ = sin ж, обладающее нулевым суммарным им

пульсом в рассматриваемом квадрате.

Результаты расчетов выводились и обрабатывались начиная со времени t = 20, что составляет примерно два характерных временных масштаба задачи Т = —, L = 2тг, 1 2тг 2тг

U2 = —т Г Г и2 dxdy. Для обработки величин использова- о о

лось два типа осреднения: пространственное (/) — среднее ариф

метическое по всем частицам в данный момент времени и пространственно-временное (/), когда (/) осреднялось еще по некоторой временной выборке длины 50-100.

На рис. 6 сплошной линией показано изменение во време

ни горизонтальной компоненты скорости и одной из частиц,

а жирным пунктиром — пространственно-временное среднеквадратичное значение у/(^2)- На рис. 7 приведены те же величины для вертикальной компоненты и. Хорошо видна с одной стороны нерегулярность пульсаций компонент скорости и их отличие друг от друга для отдельной частицы, а с другой стороны — примерное равенство среднеквадратичных значений, что свидетельствует о случайности и изотропии такого течения. Пространственные среднеквадратичные значения ^(n2) V(^2) (здесь не приведены) колеблются во времени, что указывает на недостаточность статистики осреднения, однако их отклонения от пространственно-временных средних не превышает 7%, что также свидетельствует о неплохой изотропии.

На рис. 8 приведен коэффициент корреляции между компонентами скорости (нормированное напряжение сдвига). Для настоящих изотропных турбулентных течений эта величина равна нулю. Пространственное осреднение дает отклонение от нуля не превышающее ОД9, пространственно-временное осреднение уменьшает эту величину до ОД2.

Рис. 9

На рис. 9 приведены двухточечные временные корреляционные функции для обеих компонент скорости (кривые 1, 2, 3, 4), в том числе В2 приведена для двух разных начальных значений to. Видно неплохое совпадение этих кривых. Апериодическое затухание корреляций является основным свидетельством случайности полученного движения.

На всех рисунках мелким пунктиром приведены также результаты расчета с вдвое меньшим шагом по времени. Этот расчет был начат при t = 20 с данных, полученных в расчете с большим т. Хорошо видно (рис. 6, 7), как скорость частицы вначале совпадала с предыдущим расчетом, а затем фактически произошло ветвление нового решения. В то же время осредненные величины изменились незначительно, за исключением хвоста корреляционной функции на рис. 9 (вероятно из-за малости статистики и отсутствия строгой стационарности данного процесса на больших масштабах). Качественно похожая картина описана в

8 Франк А.М.

статье Deissler (1984) при расчете трехмерного течения жидкости в периодической ячейке, где наблюдалось ветвление решений (в то время как осредненные характеристики практически не изменялись) при проведении одного и того же расчета с одинарной и двойной точностью, либо при очень малом возмущении начальных данных. Заметим еще, что масштаб основных флуктуаций на рис. 6, 7 много больше шага по времени т и не изменяется при его уменьшении, так что эти флуктации не являются осцилляциями разностной схемы. Все это свидетельствует о том, что изменение т приводит к появлению новой реализации одного и того же процесса, который с хорошей степенью приближения может рассматриваться как случайный.

Наряду с основным принципиальным достоинством описанной модели, а именно свободно-лагранжевостью связей, она обладает двумя существенными недостатками. Первый — это наблюдаемая в расчетах некоторая жесткость среды, которая напоминает сыпучую среду из гладких жестких шаров. Это обусловлено как недеформируемостью частиц, так и несовершенством дискретного условия несжимаемости, которое при произвольном расположении частиц очевидно не выполняется точно даже для линейного соленоидального поля скорости, например для слоя постоянного сдвига. Последнее по-сути свидетельствует о том, что здесь нет поточечной аппроксимации обычного уравнения несжимаемости. Отметим, что, как свидетельствуют рис. 1, 2, в интегральном смысле эти условия все-таки обеспечивают несжимаемость среды.

Второй связан с тем, что, в принципе, необходимо постоянно следить за тем, чтобы контрольные объемы покрывали всю расчетную область иначе появятся пятна в которых среда будет сжимаемой (рис. 4). Это нетривиально, поскольку контрольные объемы лагранжевы. Сделать их неподвижными мешает требование инвариантности связей.

Все это побуждает искать другие подходы. К идее свободных частиц мы еще вернемся в гл. 6, а пока опишем две модели с деформируемыми частицами.

Дискретная модель на сетке Дирихле

Описание модели. Рассмотрим конечное множество точек плоскости {Д}^х с координатами r^ = (х^у^. Областью (ячейкой) Дирихле А^ точки Р^ называется множество всех точек плоскости, расположенных к Р^ ближе, чем ко всем остальным Pj , т.е.

^k = {х е R2 : |х - rfe| < |х - rj|, j

Совокупность таких ячеек образует сетку (или мозаику) Дирихле (иногда ее еще называют сеткой Вороного).

Идея использования такой сет

ки для расчета гидродинамических задач в лагранжевых координатах, по-видимому, впервые предложена в методе “Медуза” (Глаголева и др. 1972). Привлекательность сетки Дирихле обусловлена тем, что в ней не фиксировано отношение со

седства между точками Р^ в отличие от регулярных сеток. В результате, при расчете задач с большими деформациями на такой сетке в принципе не возникает явления “перехлеста” ячеек. Кроме того, к достоинствам сетки Дирихле следует отнести выпук

лость ячеек и гладкую зависимость площадей ячеек от координат точек. В последующие годы появился ряд публикаций, в которых строятся лагранжевы методы на такой сетке для уравнений газовой динамики (Михайлова, Тишкин, Тюрина и др. 1986; Trease 1985,1988; Clark 1988), мелкой воды (Augenbaum 1985), несжимаемой жидкости (Borgers, Beskin 1985).

Для построения дискретной модели (Паутов, Франк, Шарая 1987) рассмотрим конечный объем невязкой несжимаемой жидкости со свободной границей Г (рис. 1). Аппроксимируем среду конечным числом материальных частиц Р^ с координатами г/^Д = l,^, часть из которых лежит на границе Г. Ломаная у, соединяющая граничные частицы, образует аппроксимацию свободной границы. Область с границей у обозначим Q. Для определения масс частиц и связей построим ячейки Дирихле. Ячейкой

D^ точки Р^ назовем пересечение “обычной” ячейки Дирихле Л/с с областью Q. Здесь считается, что все D^— связные (хотя и не обязательно выпуклые) множества. Этого всегда можно добиться с помощью надлежащего расположения граничных точек. Аналогично определяются ячейки Дирихле в случае, если часть границы Г является заданной (жесткая стенка). Ячейки покрывают без пересечения всю область Q, поэтому одним из естественных дискретных условий несжимаемости среды здесь является условие постоянства объемов Д = V^D^ каждой ячейки:

/аЛп ■ ■ ■, Гдг) = mk = const. (1)

В дальнейшем будем считать, что среда имеет единичную плотность, так что т^— масса fc-й частицы. Условия (1) очевидно являются голономными связями, не зависящими от t. инвариантными относительно преобразований сдвига и поворота. Тогда уравнения Лагранжа для этой модели приобретают обычный вид (см. (5) § 1.1).

Заметим, что реально объем «s-й ячейки Д зависит от координат не всех точек, а лишь некоторых, которые в дальнейшем будем называть соседями. В случае внутренней точки Р8 таковыми являются точки, ячейки Дирихле которых имеют общий участок границы с Ds. В случае, если одним из участков границы ячейки Ds является часть ломаной у, в число ее соседей входят также граничные точки, являющиеся вершинами соответствующих звеньев границы у. В процессе движения среды отношение соседства точек не является фиксированным, более того, изменяется даже количество соседей каждой точки. В связи с этим для хранения информации о соседстве в алгоритме использовались списочные структуры, а программа была реализована на языке Паскаль, в котором предусмотрены специальные средства работы с динамическими структурами.

Построение сетки. Построение сетки Дирихле само по себе является не слишком простой задачей требующей специального рассмотрения. Существуют универсальные индуктивные алгоритмы, позволяющие строить сетку Дирихле для произвольного набора точек в областях не слишком сложной формы. Однако эти алгоритмы требуют большого количества операций и,

поэтому, неэкономичны при построении сетки на каждом временном шаге, как того требуют лагранжевы методы. Поэтому имеет смысл использовать индуктивный алгоритм только для построения начальной сетки, а затем использовать описываемый ниже экономичный алгоритм, основанный на локальных перестройках (Паутов, Франк 1988).

Начальная сетка в области Q строится в 2 этапа: сначала для заданного набора точек строятся ячейки Дирихле Aj, а затем с помощью некоторой методики, описанной в работе Паутов, Франк (1986) строятся ячейки Dj . При этом для построения ячеек Aj используется индуктивный алгоритм, близкий к оригинальному (Green, Sibson 1978), и отличающийся по существу только тем, что ячейки строятся в неограниченной области. Опишем кратко лишь основные этапы этого алгоритма, детальное описание входящих в него процедур можно найти в цитируемых здесь работах.

Пусть на плоскости имеется набор точек Р^ j = 1,7V. Требуется построить сетку Дирихле, т.е. для каждой точки Pj определить список номеров ее соседей Sj = ^S^S^3}. Если для

какой-либо точки ее ячейка Aj неограничена, будем считать, что эта точка имеет соседа с номером 0. Списки Sj являются циклическими, а сами соседи упорядочены в положительном направлении (против часовой стрелки).

Строим списки соседей для точек Ру и Р2: Sy = {2, 0}, S2 = = {1, 0}. Полагаем 3 = 3.

Вводим в дополнение к имеющимся точку Pj. Среди точек Р1,..., Pj-y находим ближайшую к Pj.

Строим список номеров соседей Sj.

Корректируем списки соседей точек, номера которых попали в Sj.

Если з < N возвращаемся к пункту 2, увеличив 3 на единицу.

Наибольшие затраты времени вызывает выполнение пункта 2. Если поиск ближайшей для точки Pj производить путем перебора всех предыдущих (далее — метод I), то всего потребуется порядка 7V2 операций. Число операций можно уменьшить, если использовать метод спуска (метод II — Green, Sibson 1978), а

именно, взяв в качестве начальной произвольную точку с номером к из числа предыдущих, будем искать среди ее соседей точку, имеющую меньшее расстояние до точки Pj, чем Р^. Если такая точка найдется, то возьмем ее номер в качестве нового значения к и повторим эту процедуру. Учитывая, что точек конечное число и на каждом шаге расстояние уменьшается, через определенное количество шагов мы найдем ближайшую. Этот метод требует порядка 7V3/2 операций.

При использовании сетки Дирихле для решения нестационарных задач, в качестве начальной точки Р^ в методе II выбора ближайшей точки можно выбрать ту, которая на предыдущем временном шаге была соседом точки Pj (метод III — Соловьев и др. 1985). Для этого, после построения сетки на каждом шаге точки перенумеровываются таким образом, чтобы среди соседей любой точки всегда находилась точка с меньшим номером. Количество операций при использовании этого метода теоретически пропорционально N.

Следует отметить, что отношение соседства при переходе с n-го временного слоя на п + 1-й обычно меняется для относительно небольшого числа точек. Поэтому представляется целесообразным в такой ситуации использовать алгоритм, в котором сетка не строилась бы заново на каждом шаге, а перестраивалась с учетом изменения соседства. Вариант такого алгоритма (метод IV) описан ниже. Пусть на n-ом временном шаге списки соседей имели вид Sj = {Sj,..., Sj 3} и на п + 1-м шаге точки Pj, для которых были построены эти списки, переместились в новые положения. Для каждой точки Pj и ее бывшего соседа PSk(k = проведем проверку — являются ли они соседями и на шаге п + 1. Эта проверка основана на следующем очевидном свойстве сетки Дирихле:

Пусть 8^ и Sf1 — номера двух последовательных соседей точки Pj. Тогда внутри окружности, проведенной через эти три точки не может быть других точек Р^.

Пользуясь этим свойством, рассмотрим трех последовательных бывших соседей точки Pj. Пусть их номера г, к и I. Если точка Pi остается в левой полуплоскости относительно вектора

PjPk и вне окружности, проходящей через точки Р^ С и Д то точка Р^ остается соседом точки Pj. В противном случае считаем, что точки Pj и Р^ перестали быть соседями, а точки Р^ и Pl стали, и тогда в соответствующие списки соседства вносятся изменения. На рис. 2а показано расположение точек и отношение соседства (пунктир) до, а на рис. 26 после расхождения точек

Pj и Рк.

Похожий метод был немного раньше предложен Kirkpatrick (1985). Выгодное отличие метода IV в том, что он основан на проверке потери старых соседей, а не приобретения новых, что гораздо экономичнее, так как проверяется только список прежних соседей точки, а не все списки соседей ее соседей.

Очевидно, что способность метода IV провести построение ячеек Дирихле зависит от расположения точек и их перемещений. Он будет успешно работать в случае, если новым соседом точки становится точка, бывшая соседом ее соседа. Ситуация, в которой указанное условие не выполняется, показана на рис. 3. Из первоначального положения (а) точки с номерами 1 и 5 переместились навстречу друг другу и стали соседями (б). Оказывается, однако, что и в этом случае можно успешно использовать последовательные локальные перестройки ячеек. Для этого исполь-

Рис. 2Рис. 2Рис. 3Рис. 3зуется многопроходный алгоритм V. В отличие от предыдущего

Рис. 2

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 3

метода процедура корректировки списка проводится не один раз, а несколько (для случая, показанного на рис. 3 достаточно было провести эту процедуру 3 раза). Буквами в,г,д,е отмечены отношения соседства до перестройки списков, после первого, второго и третьего проходов. Если во время очередного просмотра ни один из списков соседей не подвергался изменению, это означа-

Рисет, что списки построены

правильно. Заметим, что в этом методе при очередном проходе проверка на соседство (наиболее дорогая процедура)

осуществляется только для тех точек, списки которых изменялись на предыдущем проходе. Сходимость метода V строго не

доказана, но в описываемых ниже расчетах он всегда сходился не более, чем за три прохода. Подчеркнем, что каждый проход этого алгоритма представляет собой точную проверку, является ли полученная на предыдущем проходе сетка сеткой Дирихле, что всегда гарантирует однозначный ответ и, в принципе, позволяет в случае отсутствия сходимости воспользоваться одним из индуктивных методов I-III.

Для сравнения эффективности упомянутых выше методов построения ячеек Дирихле была проведена серия расчетов следующей тестовой задачи. Сетка строилась для N точек, движущихся со временем по заданному закону. В начальный момент точки расставлялись внутри единичного круга по узлам квадратной сетки. Затем они двигались по закону <pj = <р^ + tr^ где Гз-)Тз—полярные координаты. Построение сетки начиналось с некоторого момента to значение которого варьировалось от 10 до 100, и в этих пределах на результатах практически не сказы-

в ал ось.

Из общих соображений ясно, что быстродействие методов IV и V должно зависеть от степени деформации сетки при переходе с одного временного слоя на другой. В качестве критериев такой деформации использовались величины

DS = max(|/;+1-Д|/Д)-100% и(2)

/ max |9Д+1/д^ - дД/дг^ \

DF = max ~[7777Г77ГП " 100%’(3)

з I шах|У/ДУг^ /уг J/

которые в процентах показывают максимальные относительные изменения площадей ячеек и производных д/^/дгщ входящих в правую часть уравнений движения. Кроме этого, контролировалось количество точек, у которых на одном временном шаге изменялся список соседей. Их количество, отнесенное к общему числу точек (в процентах) обозначим через Р.

На рис. 4 приведена зависимость tp = t/N времени (в сек) построения сетки Дирихле на одну точку от количества точек N (расчеты проводились на ЕС-1052). Это время получено осреднением по 10 последовательным шагам. Номера кривых 1-4 соответствуют номерам методов построения: индуктивные методы с поиском ближайшей путем перебора (I), метода спуска (II), перенумерации (III) и алгоритм, основанный на локальных перестройках (IV). Временной шаг т выбирался из условия DF ^ 25%. Величина DS здесь составляла 2-3%, а Р — до 5%. Были также проведены расчеты с существенно большим шагом т, когда DS и Р достигали, соответственно, 50% и 52%, a DF — более 100%. При этом использовался метод V. Кривые 5, 6 относятся к значениям DS ^ 20% и 50% соответственно.

Результаты расчетов, показывающие зависимость Р и tp от количества точек и различных значений DS и DF приведены также в таблице. Здесь в числителе Р, в знаменателе tp. Звездочками помечены варианты, в которых число проходов в алгоритме V было более одного. Следует отметить, что при проведении реальных расчетов по дискретной модели, из соображений точности невозможно использовать столь большие временные шаги, при которых величина DF составляет 100% и более. Тем не

менее, для проверки работоспособности алгоритмов построения сетки такие варианты тоже рассматривались.

Таблица

N

50100200400800 1600

DS ^ 3% (DF ^ 25%)

0,84,84,44,35,24,7

0,00860,00920,00910,00950,00950,0091

DS ^ 20% (DF < 170%)

15,2 17,6 17,2* 16,1* 22,1* 18,6*

0,00940,01040,01090,01040,01100,0101

DS 50%

32,0* 40,4* 52,2* 47,7* 52,1* 49,3*

0,01220,01200,01340,01370,01250,0113

В следующей таблице показана зависимость Р и tp от временного шага при фиксированном общем количестве точек (N = = 200).

Таблица

Т

0,02

0,04

0,08

0,16

р

4,4

8,0

14,2

32,2

tp

0,0080

0,0086

0,0095

0,0106

Из приведенных результатов видно, что метод V (метод IV очевидно является его частным случаем) в несколько раз экономичнее других. Время tp для него практически не зависит от N, т.е. количество операций для построения сетки здесь действительно пропорционально N. Далее, оказалось, что это время слабо зависит от степени деформации сетки, вплоть до случая, когда списки соседей изменяются на одном шаге у половины точек. Последнее объясняется тем, что основное время уходит на первую проверку, остались ли точки соседями, которая делается для всех точек. Заметим, что эта процедура, в отличие от индуктивных методов, легко может быть распараллелена.

Формулы для производных dfk/drj. Формулы для вычисления производных dfk/drj, которые входят в правую часть уравнений движения, проще всего получить геометрическим путем— через вычисление линейной части приращения объема к-й

ячейки при сдвиге j-й точки.

Рис. 5Рис. 51. Если грань I ячейки Dk лежит внутри занятой жидкостью области Q, то производная dfk/drj представляет собой вектор (рис. 5), направленный из середины с отрезка I в точку Pj и имеющий длину | Z11 cPj | /1 Pk Pj |.

Рис. 5

Рис. 5

9fk _ \l\ , dxj \PkPj\

9fk _ \l\ (.

дУз \РкрД ycY

2. Если отрезок I лежит на участке P%Pj границы области Q, то производная dfk/drj представляет собой вектор (рис. 6), перпен

дикулярный Z, направленный на

ружу из области и имеющий длину^ис*

IWI/I^I-

Если при движении по прямой (PiPj) в направлении от точки

Pi к Pj точка Pk оказывается справа (рис. 6), то формулы для

производной выглядят так:

dxj \РгРД

9fk _ \1\

9Уз \РгР3\

Если точка Pk находится слева, то в этих формулах меняется знак.

Производные от объема ячейки по “своей” точке dfk/drk вы-

числяются по формуле

dfk/drk = - У2 dfk/drj.

j^kPj-сосед Pk

Нахождение множителей Лагранжа. Характерным для сетки Дирихле свойством является то обстоятельство, что матрица А = (ау) линейной системы для множителей Лагранжа (см. (9) § 1.2) при некотором расположении точек Pj может вырождаться. В § 1.2 отмечалось, что матрица А является матрицей Грама системы векторов d/i/dr,..., Э^/Эг^ где

df/dr = (df/8xi,df/8yi,..., dfjdxj, df /ду^ ..., df /dyN).Поэтому, если эта система линейно зависима, то матрица А выро-

ждена, если независима, то матрица положительно определена.

Д

Приведем простой пример, в котором матрица А вырождена. Пусть областью дискретизации является равносторонний треугольник. Порождающие точки мозаики Дирихле расположены в вершинах и центре треугольника как показано на рис. 7. Введем векторы а, Ь, с, которые в 6 раз короче сторон треуголь- Рис. 7 ника и коллинеарны, соответственно, векторам ^2^1, Рз?ъ P^Pi-

В соответствии с формулами дифференцирования имеем d/i/dr = fo, —а + с + b, а — b + с, а + b — с\

d/2/dr=(a, -аДД,^,Д

d/3/dr=(b,£*_ЬД,|),

хОООО /

Очевидно, что эти четыре вектора линейно зависимы:

д/з

2 уг уг уг уг *

Вырождение матрицы А наблюдалось и в приводимых ни

же расчетах тестовых примеров и, естественно, сказывалось на

скорости сходимости итерационного процесса. Поэтому, при решении линейной системы методом последовательной верхней релаксации, для ускорения сходимости применялась регуляризация А = А + 5Е^ 5 > 0.

Выше уже отмечалось, что при вырождении матрицы А, система (9) §1.2 все равно остается разрешимой, причем годится любое ее решение А = (Ai,..., Aw)- Произвол в А соответствует произволу в разложении вектора v = u — un по линейно зависимой системе d/i/dr,..., d/w/dr. Сам вектор и определяется однозначно как ортогональная проекция un на линейное подпространство L С R2N, ортогональное всем d/^/dr.

Результаты тестовых расчетов. Расчеты проводились для уже описанных выше тестовых задач “брус под штампом” и “вытягивание плоской иглы”, имеющих точные решения. В задаче “брус под штампом” область Q имеет при t = 0 вид квадрата |ж| ^ 0,4, 0 ^ у < 0, 8, на котором задано начальное поле скоростей по = ж/0, 8, по = —^//0, 8 (см. § 1.2).

Верхняя стенка движется вниз с постоянной единичной скоростью, нижняя остается неподвижной. В точном решении в процессе движения область Q все время остается прямоугольником

с линейным распределением скоростей

и = к^х^ и = — k(t)y, k(t) = 1/(0, 8 — t).

Во второй задаче “вытягивание плоской иглы” (деформация жидкого эллипса) жидкость при t = 0 находится внутри круга радиуса 0,5. Отличие от §5.1 здесь только в выборе начальных данных для а

а(0) = 1,а'(0) = 3/V2,

что приводит просто к другому масштабу скорости. В силу симметрии задачи движение рассчитывалось только в первом квадранте. При этом на осях задавались те же условия, что и на твердой стенке: точки, лежащие на стенке, могут двигаться только вдоль нее.

0,000,000,140,140,280,280,420,42Рис. 9. т = 10-2, е = КГ3, 5 = 10-2, dd = 0,17%Рис. 9. т = 10-2, е = КГ3, 5 = 10-2, dd = 0,17%

0,00

0,00

0,14

0,14

0,28

0,28

0,42

0,42

Рис. 9. т = 10-2, е = КГ3, 5 = 10-2, dd = 0,17%

Рис. 9. т = 10-2, е = КГ3, 5 = 10-2, dd = 0,17%

На рис. 8, 9 показаны некоторые результаты расчетов первой задачи для разных начальных сеток. Для каждого расчета приведены следующие величины: т — шаг по времени, е— параметр, характеризующий точность решения линейной системы

(А^дЕ)Х = Н,

maxlA^1 _ А^|/max |А^+1| < е — критерий прекращения ите- гг

раций, 5 — параметр регуляризации, dd — максимальное относи-

тельное изменение площади ячеек (точность выполнения условия несжимаемости (1)):

dd = max(|/^ — m^jm^ • 100%.

Рис. 10. т = 10—2, е = 10“3, 5 = 10“3, dd = 2,57%

На рис. 8 приведен расчет на сетке, которая в начальный момент времени является регулярной и прямоугольной. Видно, что со временем регулярность сетки не теряется, т.е. отношение соседства точек не изменяется. При этом форма, величина объема и движение точек графически совпадает с точным решением. Хорошо видна также линейность поля скоростей. Рис. 9 демонстрирует движение частиц в той же задаче, когда начальная сетка уже нерегулярна. В этом случае симметрия сетки в дальнейшем остается, однако форма объема слегка искажается, наблюдает-

0,000,000,100,10Рис. 11. т = 10-2, s = 10-2, б = 0, dd = 0,08%Рис. 11. т = 10-2, s = 10-2, б = 0, dd = 0,08%

0,00

0,00

0,10

0,10

Рис. 11. т = 10-2, s = 10-2, б = 0, dd = 0,08%

Рис. 11. т = 10-2, s = 10-2, б = 0, dd = 0,08%

ся также некоторое отличие поля скоростей от линейного (по искажению изначально вертикальных столбцов). Хорошо виден характерный для модели на сетке Дирихле процесс спаривания точек и появление характерных для лагранжевых методов коротковолновых искажений типа “песочных часов”.

0,000,10

Рис. 12. т = IO”2, е = 10-3, б = IO”3, dd = 0,07%

Рис. 10 относится ко второй задаче и демонстрирует случай одной из наиболее “хороших” начальных сеток, когда нерегулярность сетки возникает только вблизи свободной границы из-за необходимости согласования прямоугольной сетки с криволинейной границей. Видно, что движение свободной границы рассчитывается в принципе сносно. Здесь пунктиром приведено ее точное положение. Тем не менее наблюдается заметное отклонение движения частиц от точного с линейным полем скоростей, особенно, начиная с t = 0,4. Со временем появляется неустойчивый излом на свободной границе.

На рис. 11, 12 показаны расчеты вариантов с другими начальными сетками. Видно, что не очень удачное (хотя, казалось бы, вполне приемлемое) начальное расположение частиц на рис. 12 практически при этом же их числа, что и на рис. 11, приводят к сильному искажению движения среды и свободной границы. Заметим, что такая чувствительность результатов к начальному расположению частиц не является следствием численной неустойчивости, т.к. результаты расчетов при разных значениях т и д совпадают (рис. 13, 14). Из приведенных значений dd видно, что точность выполнения соотношений (1) также весьма хорошая.

Рис. 13. т = 5 • 10“3, е = 10-3, 5 = 0, dd = 0,21%

9 Франк А.М.

Рис. 14. т = 10“3, е = 10-3, б = 0, dd = 0,01%

Таким образом все

0,00

зввввввввввйЯ 2ВВВВВВВВВВВВЕД ibbbbbbbbbbbbe6 1qqhbbBBBBBBBBL-.^_ igggBBBBBBBBBBBgH IBBBBBBBBBBBBBBBgg JBBBBBBBBBBBBBBBM 1ВВВВВВВВВВВВВВВБЯ 1ВВВВВВВВВВВВВВВБИ ilBBBBBBBBBBBBBBBti$|

№

Рис. 15

это следует отнести к несовершенству самой дискретной модели. Наибольшую отрицательную роль здесь играет нелагранже- вость ячеек Дирихле и резкая зависимость их площадей от координат точек в случае сближения последних. Немаловажную роль также играет тот факт, что ячейка Дирихле является чисто геометрическим объектом и, поэтому, движение порождающей точки, вообще говоря, не коррелирует с движением

центра масс ее ячейки.

При увеличении количества частиц модель становится менее

чувствительна к их начальному расположению (рис. 15, 16), однако это слабое утешение, поскольку такое количество точек на эту задачу представляется чрезмерным, а результат явно не адекватен затратам.

Все эти соображения в той или иной степени относятся и к другим существующим лагранжевым методикам на этой сетке. Заметим, что уравнения движения дискретной модели в главном аналогичны уравнениям движения, полученным аппроксимацией урав-

D 0 Q 0 В В BQ0BSBBBEm| ВВВВВВВВВВ® BBBBBBBBBBS

0,00

савввввБПЭвввЯв BBBBBBBBBBBBfigH DBBBGBBBBBBBBfl™ ebqqbbbbbbbbbbgM сввввввввввввввй вввввввввввввввы

тлтзтататли

Рис. 16

CBBBBBBBBBBBBSBEi] ВВВВВВВВВВВВВВЗБУ швшшвв^

нений гидродинамики на сетке Дирихле с использованием согласованных аппроксимаций для дифференциальных операторов (Михайлова, Тишкин, Тюрина и др. 1986; Borgers, Peskin 1985). Так, полная производная по t от уравнений связей (1) представляет собой аппроксимацию уравнения divV = 0 с тем же дискретным оператором DIV, что и в цитируемых работах, а сила реакции связей

У2 ^sdfs/drk

8

представляет собой такую же согласованную аппроксимацию gradX (А —давление). В статье Borgers, Peskin (1985) показано, что эти дискретные операторы аппроксимируют исходные дифференциальные в слабом смысле с первым порядком.

Легко построить пример, когда оператор DIV будет отличен от нуля в некоторой точке на величину 0(1) для линейного соленоидального поля скоростей, что свидетельствует об отсутствии поточечной аппроксимации. Все это разумеется сказывается на

качестве расчетов.

Количественные сравнения с точными решениями, помимо

описанных выше, приведены также в работах Соловьев, Соловьева, Тишкин и др. (1986); Borgers, Peskin (1985). В первой работе получено в принципе неплохое совпадение с точным стационарным решением для задачи о жидкости во вращающемся сосуде при числе частиц 115 и 300, однако, начальная сетка была прямоугольной, и деформация среды относительно невелика. Во второй — для периодического течения вязкой жидкости в единичном квадрате со скоростями

7Г

ui = sin(—t) cos(2ttxi) sin(27rx2L

7Г

П2 = — sin( — t) 8т(2?ГЖ1) COS^THZ^),

при вязкости v = 0,1 погрешность вычисления скорости в норме L^ в зависимости от числа частиц N составила

N

И . 100% 1Ы1

100

35

400

12

1600

6,7

т.е. даже на сетке 40 х 40 при небольшом числе Рейнольдса Re = = 10 точность оставляет желать лучшего.

Все это свидетельствует о том, что построение эффективных свободно-лагранжевых методов на основе сетки Дирихле требует более тонкого и аккуратного подхода, учитывающего отмеченные выше недостатки этой сетки. В следующем параграфе представлен вариант такого улучшения.

Дискретная модель на многоугольной сетке с частицами переменной массы

Описание модели. Из результатов предыдущего параграфа видно, что нелагранжевость движения ячеек Дирихле приводит к существенной потере качества расчетов. С другой стороны,

Рис. 1Рис. 1если все узлы сетки движутся чисто лагранжево, т.е. со скоростью среды — это неминуемо приведет в общем случае к перехлесту сетки. В качестве выхода из этой ситуации можно попробовать двигать узлы многоугольной сетки “почти лагранжево”, т.е. возможно ближе к истинной скорости среды, и, в то же время, не допуская перехлеста. Таким образом, предлагается к лагранжевой скорости узла добавлять некоторую управляющую скорость. Смену соседства частиц можно при этом реализовать аналогично описанному выше процессу парных перестроек. Добавление управления приводит к необходимости учитывать потоки массы, импульса и энергии между ячейками. Для этого в уравнения Лагранжа добавляется энергетически нейтральный конвективный член (Паутов, Франк 1991).

Рис. 1

Рис. 1

Рассмотрим, как обычно, некоторый объем однородной несжимаемой жидкости, граничащий с жесткой стенкой, а также имеющий участок свободной границы (рис. 1).

Введем в занятой жидкостью области Q произвольную многоугольную сетку. Тем самым мы разбиваем континуальную среду на крупные деформируемые частицы, обладающие массами тщ и скоростями 1Д. Координаты и скорости узлов сетки, т.е. вершин многоугольников, будем обозначать, соответственно, г& и v&. Имея в виду построение свободно-лагранжевого метода, в котором соседство частиц может со временем изменяться, удобно иметь дело с сеткой, у которой в каждом узле сходятся три ребра. Это позволяет легко реализовать процесс локальной перестройки соседства, аналогично тому, как это делалось с сеткой Дирихле (§5.2).

Дискретная модель строится таким образом, что основными неизвестными являются величины, отнесенные к ячейкам, т.е. крупным частицам. В них вычисляются масса, скорость и давление. Именно для этих переменных справедливы все дискретные законы сохранения. Для лагранжевого описания среды, в частности для описания движения свободной границы, скорости уз-

лов сетки могут вычисляться по найденным величинам в ячейке с использованием некоторых интерполяционных формул. В данной модели лагранжева скорость каждого узла вычисляется с помощью линейной интерполяции по скоростям трех соседних с данным узлом ячеек, при этом скорости в ячейках относятся к их центрам масс.

Потенциальная энергия дискретной системы, как и выше, полагается равной потенциальной энергии жидкого объема Q' с кусочно-линейной свободной границей

П(г) = pg J J ydxdy, (1)

где р— плотность жидкости, g— ускорение силы тяжести, г — вектор координат всех узлов сетки, лежащих на свободной поверхности.

Основным этапом, как обычно, является введение условия несжимаемости. В данной модели, в отличие от предыдущих, не требуется постоянство объемов ячеек, и, следовательно, масс частиц. Условие несжимаемости здесь формулируется как требование равенства нулю потока массы через границы ячейки. Для внутренней ячейки с номером к это условие имеет вид

Уь^ги^г = 0, (2)

где Ь^/—вектор нормали к грани между ячейкой к и ячейкой Z, с длиной, равной длине этой грани (рис. 1), и/^ — скорость среды на границе ячейки, определяемая ниже. Сумма берется по всем ячейкам, соседним с ячейкой к. Для поверхностных частиц к сумме (2) добавляется еще одно слагаемое

У Ь^иы + Ь^кк = 0, (3)

где через Ь/^ обозначен вектор нормали к той грани поверхностной ячейки, которая является частью свободной границы (рис. 1), a v^— скорость движения этой грани, определяемая как полусумма скоростей ее вершин. Для ячейки, граничащей с жесткой стенкой, условие несжимаемости имеет вид (2) или (3) в зависимости от того, имеет ли она также грань, принадлежащую

свободной поверхности. Если для ячеек, не являющихся поверхностными, положить по определению Ь^^ = 0, то условие (3) дает общий вид условия несжимаемости, пригодный для ячейки любого типа.

Основным преимуществом условия (3) перед условиями постоянства объема ячейки является то, что оно обеспечивает аппроксимацию уравнения несжимаемости при нелагранжевом движении узлов. Это дает полную свободу в управлении движением сетки.

Если скорость среды на границе ячеек с номерами к и I вычислять с помощью некоторой линейной интерполяции

^kl = «/c/U^ + ^U/, где akl + alk = 1,

то условие (3) через скорости частиц можно переписать в виде

(4)(4)^ d/cSUs — О,

(4)

(4)

8

где d&s — некоторые коэффициенты, вычисляемые по Ь^з апш, а также коэффициентам линейной интерполяции, используемой

при вычислении vkk через скорости соседних частиц.

Таким образом, как обычно при построении дискретных моде

лей, мы получили конечную механическую систему материальных частиц с кинетической энергией Т = - ^~^ m/gU^, потенциальной энергией (1) и связями (4). Возьмем в качестве независимых обобщенных координат частиц координаты центров масс

ячеек R/^. Обозначим импульсы частиц через рк = тк\Зк и положим rk = ^Pks^s-) гДе Pks—коэффициенты линейной интерпо- 8

ляции, используемой для вычисления скоростей узлов сетки по

скоростям частиц. Тогда, используя процедуру вывода уравнений Лагранжа с неголономными связями (§3.1), получим

Р/с — ^^ Psk-)

8SS

^dksUs = 0,(5)

8

^к = Зкв^.

Неприятность здесь, однако, заключается в том, что условия (3), (4) не обеспечивают постоянство площадей ячеек, а значит при решении (5) мы столкнемся с изменением масс частиц, что в уравнениях не учтено. Поэтому в (5) необходимо добавить конвективный член, учитывающий обмен импульсом между соседними частицами. При этом очень желательно сохранить основное достоинство дискретных моделей с частицами постоянной массы, а именно, тождественнное выполнение основных законов сохранения.

Поток импульса внутрь области с произвольно движущейся границей у равен — J u(n(u — v))cZy , где и —скорость среды, 7

a v — скорость движения контура у (плотность жидкости р = = 1). Предлагаемая аппроксимация этого выражения для ячейки с номером к, обеспечивающая точное сохранение импульса и энергии, имеет вид

- У(ьы (иы - vfcZ)),(6)

где v/^ — скорость движения грани между ячейками к и Z, равная полусумме скоростей ее концов.

С учетом (6) уравнения (5) приобретают вид

Рк = Ufc tU/ (Ъы(иы-хк1)НУ^4зк-У^ (7.1) l^kSs 8

£<Ш=0,(7.2)

s

rk = ypksUs.(7.3)

s

С добавлением конвективного члена, уравнение (7.3), обеспечивающее лагранжево движение узлов и, как следствие, частиц, становится обязательным только для узлов на свободной поверхности. Узлы внутри жидкости можно двигать, вообще говоря, с произвольными скоростями, то есть мы фактически получаем полностью консервативный эйлерово-лагранжев метод на произвольной многоугольной сетке.

Покажем, что уравнения (7) обладают основными законами сохранения. Пусть М, Р, Е. соответственно, суммарная масса,

импульс и энергия жидкости. Легко видеть, что

dMdt

Суммируя условия несжимаемости (3), имеем

£ bfc/Ufcz + У2 ^kk^kk = 0.(8)

k,lk

кД

Так как

bki = -b^, vkl = vlk, ukl = u^,(9)

dM

то, учитывая (8), получаем —^- = 0. Далее, в отсутствие силы тяжести

-^ = £Pfe =~Д "(МиЫ -VW)) +y2^s^dsfc-

кkJs к

кД

Первое слагаемое в правой части равно нулю в силу (9), а ^2 ds/c = 0, т.к. условие (4) очевидно тождественно выполняется к

для любого постоянного векторного поля скорости.

Наконец, по определению

= Г + П = V тДЗДД + - V т^к + У —гг.

dt2OYi

ккI

Используя (7.1), умноженное на U& и просуммированное по к, можем преобразовать это выражение к виду

^ = -^ Е ^ + Е£ ^и^- кs к

- £и/с^Д^-(Ьы(иы - Vkl)).

кД

Здесь Edsfeufe = o в силу (4). Далее из (9) и (3) следует, что к

-^ик^Г^Г1^к1(ик1 -Vk^ = Д^ОЫ^ -vkl^ =

k^lк^1

Д 52 U^ [52 bklVkl + Ьд^уД = | 52 ^к^ь откуда ^ = 0. к 1^кк

Отметим еще раз, что введение энергетически нейтрального конвективного члена в уравнения (7), в принципе, дает возможность совершенно произвольно управлять движением внутренних, т.е. не лежащих на свободной границе, узлов. Тем самым управление сеткой выделяется в отдельную задачу, развязанную с динамикой. По управлению сеткой существует много различных подходов, однако в любом случае наиболее разумным является, по-видимому, минимальное управление, обеспечивающее форму ячеек, не слишком отличающуюся от выпуклой, и их своевременную парную перестройку для того, чтобы не было перехлестов.

Рис. 2

Результаты тестовых расчетов. Данная модель апробировалась на двух тестовых задачах. Первая — это описанная

выше задача о деформации жидкого эллипса. На рис. 2, 3 приведены результаты расчетов этой задачи на двух сетках. Здесь а) — это начальная сетка, в) — результат расчета, когда соотношение полуосей эллипса приблизительно равно 10, б)—сжатая по ж и растянутая по у картинка в) для сравнения с начальной сеткой а). Такое сравнение хорошо показывает насколько движе

ние сетки отклоняется от точного решения в лагранжевых ко

ординатах. На всех картинках пунктиром приведено положение

свободной границы из точного решения.

Рис. 4Рис. 4Сравнение этих иллюстраций с рисунками из предыдущего параграфа наглядно демонстрирует существенно более высокое качество расчетов по данной модели в сравнении с моделью §5.2. В этих расчетах сетка была чисто лагранжева, т.к.

Рис. 4

Рис. 4

здесь не возникает проблем с ее перехлестом.

Следующая задача — это прохождение уединенной волны над уступом дна (рис. 4). Данная задача дает пример задачи с особенностью в рамках теории мелкой воды , т.к. скачкообразное изменение глубины приводит к разрывным коэффициентам в уравнениях. При моделировании в рамках полных уравнений наличие больших сдвиговых деформаций около ступеньки также доставляет определенные сложности.

Относительно этой задачи имеются результаты теоретических, численных и экспериментальных исследований (Seabra- Santos, Renouard, Temperville 1987; Losada, Vidal, Medina 1989). В частности показано, что при прохождении солитоном уступа дна образуется отраженная волна, а прошедшая вперед разделяется впоследствии на несколько солитонов. Даны оценки числа этих солитонов и их амплитуд в зависимости от высоты уступа.

На рис. 5 сплошными кривыми приведены результаты расчета для уединенной волны амплитуды а = 0,2, набегающей на ступеньку высоты Н/2. Здесь приведены мареограммы, т.е.

зависимости возвышения свободной поверхности от времени в четырех фиксированных контрольных точках (рис. 4). Здесь же пунктиром приведены результаты экспериментов (Seabra- Santos, Renouard, Temperville 1987). Уединенная волна, проходя над уступом, разделяется на два солитона, а влево от ступеньки

распространяется отраженная волна.

На рис. 6 крестиками приведены полученные в расчете величины амплитуд Л1, для прошедших и АТ для отраженной волн в сравнении с экспериментом (точки) и теорией (прямые линии).

Видно, что по амплитудам волн результаты расчетов весьма прилично совпадают с экспериментом. Причина некоторого опережения рассчитанной волны по сравнению с экспериментом (рис. 5) не ясна, однако здесь необходимо отметить, что проведенный в работе Seabra-Santos, Renouard, Temperville (1987) расчет этой задачи по нелинейнодисперсионной модели мелкой воды дал такой же, как и в настоящем расчете, фазовый сдвиг относительно данных эксперимента.

На рис. 7 приведен фрагмент расчетной сетки после прохождения волной уступа дна (сжата по горизонтали).

Рис. 6Рис. 6В этой задаче вдали от ступеньки сетка была лагранжевой. Вблизи уступа горизонтальная скорость узлов сетки умножалась на некоторый коэффициент, пропорциональный расстоянию до уступа, равный нулю при х = 0 и единице при |ж| большем нескольких значений Н.

Рис. 6

Рис. 6

Рис. 7Рис. 7Отметим, для сравнения, что попытка решить эту задачу по модели §5.2 закончилась неудачей из-за возникновения неустойчивых осцилляций на свободной границе при про- хожении волны над уступом. Не помогло и сглаживание свободной границы с помощью некоторой специальной процедуры, аналогичной примененной в работе Longuet-Higgins, Cokelet (1976). На рис. 8 для иллюстрации приведена начальная сетка Дирихле (сжата) и форма свободной границы в последовательные моменты времени.

Рис. 7

Рис. 7

Как следует из приведенных выше примеров, построенная здесь дискретная модель не уступает по качеству расчетов моделям на регулярных сетках. Из построения ясно также, что при выборе надлежащего способа управления сеткой она, в

принципе, пригодна для решения сложных задач в областях с достаточно произвольной геометрией. Пожалуй единственным серьезным недостатком явля

ется ее громоздкость в программной реализации, присущая, к со-

жалению, большинству свободно-лагранжевых методов. Необходимость построения начальной сетки Дирихле, процедуры модификации списков соседей, неоднородность вычислений для внутренних и поверхностных частиц и узлов сетки — все это в итоге приводит к весьма большой и логически сложной программе. Все вышесказанное относится только к двумерным задачам. Обобщение данной модели на трехмерный случай (если оно вообще возможно) приведет к гораздо более сложным вычислительным проблемам. С этих точек зрения описанная в следующей главе еще одна свободно-лагранжева модель имеет принципиальное преимущество.

ГЛАВА 6

МЕТОД ЧАСТИЦ

Все описанные в предыдущих главах модели строились на основе принципа Гамильтона. При этом, как уже отмечалось выше, ключевым моментом является построение дискретного условия несжимаемости, которое в сущности и определяет способ пространственной дискретизации. Каждый из рассмотренных выше типов условий имеет свои достоинства и недостатки. Проблема заключается в том, что в рамках такого подхода не удается найти более или менее универсальный вид условия несжимаемости, которые бы, с одной стороны хорошо работало на гладких течениях с небольшими деформациями, типа описанных выше волновых движений, а с другой — позволило моделировать, например, выход той же волны на берег, ее обрушение и т.д.

В настоящей главе изложен другой подход (Франк, Огородников 1992), в основе которого лежит другой вариационный принцип — наименьшего принуждения Гаусса (Аппель 1960). При этом появляется возможность вернуться к идее системы свободных частиц, не связанных никакой сеткой, а несжимаемость учесть с помощью проектирования скоростей частиц на ближайшее гладкое соленоидальное поле. Это позволяет с малыми затратами получать гладкие численные решения в области гладких течений, а в областях с большими деформациями не заботиться о проблемах перехлеста. Отметим, что данный принцип уже использовался для построения неклассических континуальных моделей механики сплошной среды (Зак 1974). Здесь он оказался удобным для построения дискретной численной модели, обладающей основными законами сохранения.

Описание метода

Принцип Гаусса. Рассмотрим снова некоторый объем V идеальной несжимаемой жидкости в поле силы тяжести F = pg, g = (0,0,— g), граничащий с жесткой стенкой 7 и имеющий участок свободной границы (рис. 1). Приводимые ниже рассуждения справедливы как для плос-

тем не менее для опре- Там где это необходи-тем не менее для опре- Там где это необходи-будет указыватьсябудет указыватьсяявно.явно.ких так и пространственных задач, деленности рассмотрим случай R3. мо, размерность векторных величин Пусть q обозначает лагранжевы, r(Z, q) —эйлеровы координаты жидких частиц. В дальнейшем будем считать, что r(0, q) = q, тогда в силу условия несжимаемости

тем не менее для опре- Там где это необходи-

тем не менее для опре- Там где это необходи-

будет указываться

будет указываться

явно.

явно.

Эг

якобиан I—— I = 1. Согласно прин- yq

ципу Гаусса в каждый момент времени t жидкость будет двигаться таким образом, чтобы минимизировать функционал

(1)

Vo

Здесь Vq эт0 объем V при t = 0, т.е. область изменения лагранжевых координат, гф —действительное смещение жидких частиц за время А^, т.е. смещение, совместимое с наложенными

ограничениями, в данном случае с условием несжимаемости и граничным условием

dwu = 0,

(2)

I7 — 0, а г° |^+^^ — смещение при свободном движении материальных точек под действием внешней силы, т.е. в отсутствие ограничений.

Таким образом, принцип Гаусса постулирует, что из всех возможных в силу связей движений система выбирает то, которое наиболее близко к свободному. Интересно отметить, что в мет- 10 Франк А.М.

рику, характеризующую эту близость, в качестве весового множителя входит плотность среды (массы частиц в оригинальной формулировке принципа для системы материальных точек).

В силу определения смещений

t+At

r(^q)lt+At= У u(T,q)dT = u(Z + ^,q)A£+ о(А£2),t

где div u = О,

r°(A q)lVAi = u(i, q) Af + — J I F^T,q)dTd^ = t t

= u(t, q)At + Гр(1, q)At2 + o(Ai2)- (3)

Из (l)-(3) теперь легко получить другую формулировку принципа Гаусса

S =S =limAt—>-0limAt—>-0VoVo1\2^F dq = 2p /1\2^F dq = 2p /(4)(4)

S =

S =

lim

At—>-0

lim

At—>-0

Vo

Vo

1\2

^F dq = 2p /

1\2

^F dq = 2p /

(4)

(4)

(5)(6)(5)(6)dwu = 0,^n|7 = 0.

(5)

(6)

(5)

(6)

На основе именно этой формулировки мы и будем строить дискретную модель, но сначала покажем, как связана задача (4-6) с соответствующей краевой задачей для уравнений Эйлера. Вариация полного ускорения

(7)(7)^"(^ г) = <Kut + (и • v)u) = 5ut,

(7)

(7)

поскольку поле скорости u(t,r) в момент времени t в (4) считается заданным и не варьируется. Далее ясно, что ограничения задачи (5, 6) будут удовлетворены, если 5\if = (5u)t является произвольной соленоидальной функцией v(t,r), нормальная компонента которой обращается в ноль на у. Отсюда, варьируя

(4) получаем

5S = I (рй — P)vdr = 0.(8)

v

Уравнения (5), (6), (8) представляют собой известную обобщенную постановку соответствующей рис. 1 краевой задачи для уравнений Эйлера. Далее, вторая вариация функционала (4) равна

62S = I p-vvdx,v

где обе функции v, v удовлетворяют условиям (5), (6). Таким образом, вторая вариация является просто скалярным произведением, а соответствующая квадратичная форма — квадратом нормы в пространстве £2 с весом р. Отсюда (см. например Васильев, 1981) следует, что условие (8) является не только необходимым, но и достаточным условием минимума функционала (4), и, следовательно, задачи (4-6) и (5), (6), (8) эквивалентны.

Как справедливо отмечено в монографии Зака (1974), принцип Гаусса можно применять и в случае разрывных по t скоростей, которые могут возникнуть вследствие разрывных граничных условий, скажем при ударе объема V о жесткую преграду. Если и имеет разрыв l-ro рода в точке t. то вместо (4) следует использовать

S = I p(u| dq^min.(9)

v

Дискретизация. В начальный момент времени t = 0 аппроксимируем объем V конечной системой материальных частиц с координатами г^, массами т^ и скоростями и^, к = = l,...,^. Это всегда можно сделать, используя какую-либо сетку, в том числе и нерегулярную. Обозначим шаг по времени т, г^ = гДпт), гф = иДпт). Аппроксимируем задачу (4)-(6) следующей конечномерной задачей

к

div u = 0,(10)

^n|7 = 0.

Здесь гц = u(r^+1), где и принадлежит некоторому конечномерному пространству Н гладких соленоидальных функций, удовлетворяющих граничному условию (6). Физический и геометрический смысл задачи (10) можно пояснить с помощью метода расщепления. Пусть a, b Е R3 х ... х R3 (N раз), тогда положим по определению

N

(а, Ь) = ^ тк»кЪк, ||а||2 = (а, а).

к=1

Расщепим задачу (10) на два дробных шага:

-„п+1 _ „П , п

Гк — Гк + TUk 1

(П)

71 + 1/272

^ = U^ +

2-й:Найти u Е Н такую, что

||un+1 - ип+1/2|| -+ min,(12)

где un+1 = (u(r^+1),..., и(г^+1)). Видно, что первый дробный шаг представляет собой свободное движение частиц в поле внешней силы, а второй является проектированием предварительно найденных скоростей и^ на ближайшее соленоидальное поле из Н. Такая процедура, восходящая к работам Чорина и Те- мама (Темам 1981), хорошо известна в численных методах для несжимаемой жидкости. Основное отличие предлагаемого здесь способа проектирования, помимо лагранжевого подхода, состоит в следующем. Обычно в качестве Н выбирается пространство сеточных, а не гладких функций, и для проектирования строится некоторая скалярная функция (давление), градиент которой ортогонален Н. Для сохранения энергии оператор GRAD обычно стараются выбрать согласованным с оператором DIV. В описанных в предыдущих главах дискретных моделях имеет место именно такое проектирование, причем согласование операторов получается автоматически вследствие использования принципа Гамильтона.

Как уже отмечалось в предыдущих главах, на регулярных сетках эти операторы получаются достаточно хорошими, но класс решаемых задач довольно ограничен. Переход же к нере-

гулярным сеткам ухудшает аппроксимационные свойства операторов. Таким образом, основная проблема при этом способе проектирования заключается в построении дискретных операторов DIV и GRAD, которые бы, с одной стороны, не ухудшали гладкость хороших решений а, с другой, хотя бы в принципе позволяли расчитывать сложные течения типа отрыва, разрушения структур, обрушения волн и т.д.

В постановке (11), (12) нет необходимости строить сеточные аналоги каких-либо дифференциальных операторов. Вместо нахождения давления будем прямо строить пространство Н и находить функцию и из условия (12). Способы и конкретные примеры построения Н обсуждаются в этой и следующей главах, пока же просто будем считать, что нам известен базис этого пространства, а именно соленоидальные функции vi,..., vm с нулевой нормальной компонентой на у.

Нетрудно показать, что схема (11)—(12) является диссипативной, т.к. проектирование (12) всегда уменьшает кинетическую энергию. Кроме того, она имеет первый порядок аппроксимации по т. Для построения полностью консервативной схемы второго порядка воспользуемся алгоритмом, аналогичным описанному в §1.2:

4W2 = г? +(13)

gn+l/2 = у ть (L_к - g) min, (14)

= 2u(r"+1/2) - uZ,

(15) г"1 = rZ + ru(rr1/2).

Здесь для повышения порядка аппроксимации введен предиктор (13), и соленоидальность поля скорости и требуется не на целом, а на полуцелом шаге, так что

a(r-+l/2, = Ut +U,

Разложим и по базису пространства Н u(r) = ^bjVj^,(16)

тогда, варьируя (14), получаем

^тк^йк -u£ - |g)vj(ry1/2) = 0, г = 1,...,т,(17)

к

где ик =7

Из (16), (17) получается система линейных уравнений относительно коэффициентов разложения bj

^aijbj = ^тк(и^ + ^У^^(18)

3к

где aij = ^2 mkVi(r^^2yvj(r^ Матрица a^ является мат- к

рицей Грама. Ее невырожденность при достаточно большом числе частиц обеспечивается линейной независимостью функций vz (на самом деле, невырожденность матрицы здесь как и независимость vz желательны, но необязательны, см. следующий параграф).

Таким образом один шаг по времени выглядит следующим образом. После предиктора (13) вычисляем матрицу и правую часть системы (18), решаем ее, из (16) находим гладкое поле и и, наконец, из (15) находим новые координаты и скорости частиц. Заметим, что частицы при этом всегда движутся с соленоидальной скоростью и, что, в частности, обеспечивает сохранение (при т —> 0) объема, в том числе и объема частицы, т.е. плотности. Отметим еще, что здесь, так же как в методе маркеров и ячеек, не требуется определять отношение соседства частиц, выделять связные куски свободной границы и т.д. Вычисления однородны как для внутренних так и для поверхностных частиц.

Схема (13)—(18) годится и для разрывных по t скоростей. Нетрудно убедиться, что в этом случае она аппроксимирует функционал (9), “размазывая” разрыв на величину шага т.

При изложении метода однородность среды нигде не предполагалась, так что он вполне применим для моделирования течения неоднородной несжимаемой жидкости. Он также легко

обобщается на случай произвольных массовых сил. С другой стороны, поверхностные силы типа неоднородного поверхностного давления, поверхностного натяжения и т.д. доставляют в этом методе весьма серьезные проблемы. В принципе здесь можно применить подход, типа описанного в работе Brackbill et al. (1992), когда поверхностная сила заменяется на массовую, отличную от нуля в некоторой окрестности границы, однако идентификация поверхностных частиц будет очевидно дополнительной и не слишком тривиальной вычислительной процедурой.

Несмотря на то, что изложенный здесь метод далее применяется к расчету только невязких течений, он легко может быть распространен на случай вязкой жидкости. Покажем как можно получить неявную схему непосредственно из уравнений Навье- Стокса сначала для внутренней краевой задачи, т.е. течения внутри области с границей у. Применяя метод Валеркина с соленоидальными базисными функциями v^, обращающимися в ноль на у, получим

f f du Л А 7

р —z/ A u v^dr = 0.

J \dt ) 1

v

Градиент давления, здесь как обычно исчезает после интегрирования по частям с учетом граничных условий. Применяя ко второму члену в подинтегральном выражении теорему Грина и учитывая условия прилипания на у, получаем

Г (duА ? а

р v^ + ^ V u * Vvz Hr = 0.

J\dt/

v

Здесь vu понимается как диадное произведение векторов, а точка означает скалярное произведение тензоров. Аппроксимируя теперь производную по времени, поле и и скалярные произведения (интегралы) с помощью описанных выше дискретных аналогов, можем получить в точности уравнения (13), (15), (16), (18), в которых изменяются только выражения для коэффициентов матрицы

аП = ^2тк (vi (r£+1/2) Vj (r£+1/2) +

V Vi (гД1/2) ■ vvj (r^2)) , которая по-прежнему остается симметричной и положительно определенной. Для задачи со свободной границей (рис. 1) уравнения будут в точности такими же. Их проще всего получить, рассматривая свободную границу как границу раздела двух жидкостей с одинаковой вязкостью, но разными плотностями, а затем устремляя плотность второй (внешней) жидкости к нулю.

Законы сохранения

Вопрос о законах сохранения имеет здесь два аспекта. Первый связан с дискретизацией по времени. Ниже мы покажем, что алгоритм (13)—(18) при g = 0 является полностью консервативным, т.е. обеспечивает точное выполнение законов сохранения энергии, импульса и момента импульса для конечных т. При g Д О имеет место точный баланс полной энергии и импульса.

Второй аспект связан с дискретизацией по пространству, точнее со структурой пространства Н. Оно должно быть в некотором смысле достаточно представительным для того, чтобы не возникало внутренних источников (стоков) импульса и момента импульса.

Рассмотрим задачу о движении объема V в поле силы тяжести в отсутствие жестких границ, и пусть эту задачу мы моделируем системой из 7V частиц. Введем обозначения

Г = (Г1,...,Гдг), U = (П1,...,илг),

и(г) = (и(г1),...,й(гЛ),

Vyi/2 = v^r^1/2), ии+1/2 = и(ги+1/2),G = (g,...,g) 6H3N.

Тогда алгоритм (13), (15), (16), (18) записывается в виде р+1/2 = р + 2.^(19)

tT+1 = 2ии+1/2 -iT,

~(20)

r?l + l ^п + тии+1/2,

fjn+1/2 = ^ &jVy1/2,(21)

3

У ^(уД1/2, уД1/2) = (un + Jg, V"+1/2),(22)

z—/з2

3

а условие (17) принимает вид

(Г+1/2-|с,Угп+1/2) = 0, i =(23)

где f^+V2 = u^+i/2 _ un

Пусть движение рассматриваемой дискретной системы определяется уравнениями (19)-(23), тогда верны следующие утверждения.

Предложение 1. Полная энергия системы Тп + Пп = = const.

Доказательство.

Тп = l(un,tT), Пи = —(С,ги).

Из (20) имеем

2^тг+1 _— (un I 2fn+1/2 un I ТХ™^^ =

= Tn + 2(Г+1/2, un) + 2(Г+1/2^ p+V2) =

_ rjm । 2^fn+i/2 un+i/2)

Далее, т.к. Un+1/2 = ^biV™^1^ то умножая (23) на b^ и сумми- г руя по г получим

(Г+1/2 _ 1с,ии+1/2) = о,

откуда

уп+1 _ уп t(q, Un+1/2).

С другой стороны

ГГ+1 = -(G, г" + тии+1/2) = п" - r(G, ии+1/2), откуда следует требуемое утверждение.

Для вывода закона изменения импульса рассмотрим произвольный вектор е Е R3. Тогда точное изменение импульса системы в направлении е за время [^ t + т] должно быть равно

(24)(24)Ре + 1 = Р" + Т У^ mkge.к

(24)

(24)

Предложение 2. Изменение импульса дискретной системы с произвольным начальным распределением координат и скоростей частиц описывается выражением (24) при любых е и т, если и только если

V е,г 3 Ль...:

Aivi(rfe) + ... + Amvm(rfe) = е, Vk = l1...1N.

Доказательство. Введем линейное пространство S = = {(е, ...,е)|е Е i?3} С R3N а также определим V г линейное пространство Hr С R3N, как линейную оболочку Нг = = Span\Vi(r)\i = 1,...,mY Тогда предложение можно переформулировать следующим образом:

РД1 = P” + t(G,E) oVr НГЭ5,

где Е = (е,..., е) —произвольный вектор из S. Из (20) имеем

ру1 = Р^ + 2(Г+1/2,Е).

Отсюда необходимым и достаточным условием для выполнения (24) является

(Г+Г2 - |g, Е) = 0, V Е е S.(25)

С другой стороны, из (23) имеем

(Г+1/2 _ |G, А) = о, у A G Нг, где г = ги+1/2,(26)

откуда очевидна достаточность условия предложения. Докажем необходимость от противного. Пусть 3 г, 3 Е G S : Е Нг и в то же время верно (25). Разложим Е = Ei + Е2, где Ei G G Hr, Е2 -L Hr, Е2 ф 0. Рассмотрим дискретную систему из 7V частиц с произвольными скоростями такую, что гп+1/2 = г. Из (25), (26) имеем

(P+1/2 _ |G> Е1 + Е2) = (р+1/2 _ | G ^ = 0

Отсюда, т.к. fn+1/2 = un+1/2 — un, Un+1/2 G Нг, следует

(u" + |g,E2) = 0.(27)

Поскольку Е2 ^ 0, а скорости частиц un G R3N произвольны, то их всегда можно выбрать так, что (27) выполняться не будет, что и требовалось доказать.

Из данного предложения очевидным образом вытекает следующее достаточное условие.

Следствие 1. Для выполнения (24)в любом направлении достаточно, чтобы Н содержало функции, тождественно равные базисным векторам ei, 62- eg G R3 в некоторой ограниченной области G С R3, содержащей все частицы.

Другими словами, если Н содержит все однородные векторные поля, то имеет место требуемый закон сохранения импульса. Причем однородность достаточно требовать только в области физического пространства, в которой моделируется движение жидкости.

Для дальнейшего сопоставим каждому вектору г G R3N векторы

А = (0,^1,-у1,...,0,2дг,-улг),

В ( 21,0, Ж1, . . . , 2дг, 0, Ждг), с = (yi, -жь0,..., yN, -xN, 0).

Предложение 3. При g = 0 для сохранения момента импульса дискретной системы необходимо и достаточно, чтобы

V г А, В, С 6 Нг.(28)

При g Д 0 это условие обеспечивает баланс момента импульса

в виде

Mn+1 = Мп + т У^ х г^+1/2.(29)

к

Доказательство. Введем следующее произведение двух векторов а, b 6 R?N

N

[a,b] = ^ткак х Ъь

к=1

тогда Mn = [ип,гп]. Далее

АМ = Mn+1 - Mn = [un+\ rn+1] - [un, rn] =

= [u™+1-u^^5,r™+1-r™], (30)

где г = (rn+1 + rn)/2, u = (un+1 + un)/2.~

T.k. в силу (20), rn+1 — rn = rUn+1/2, u = Un+1/2, то второе слагаемое в (30) обращается в ноль. Из (19), (20) следует, что г = rn+1/2 + ^ — fn+1/25 откуда

АМ = 2[fn+1/2, rn+1/2 + -p+V2] = 2[fn+1/2, rn+1/2].(31)

Нетрудно убедиться, что

[Г+1/2^+1/2] = е1(р+х/2? Дп+1/2^

+ е2(Г+1/2, Вп+1/2) + е3(Г+1/2, Сп+1/2). (32)

Отсюда и из (23) легко вытекает достаточность условия предложения для выполнения (29), откуда, в свою очередь, при g = 0 следует точное сохранение момента импульса для любых т.

Докажем необходимость так же, как в предложении 2. Пусть 3 г такой, что один из векторов, например А, не принадлежит Нг. Расположим N частиц так, чтобы гп+1/2 = г. Разложим А = = Ai + А2, где Ai 6 Нг, А2 ± Нг, А2 Д 0. Из (23) при g = 0 имеем

(P+V2, а) = (Г+^а,) = -(tT, А2).

Скорости частиц произвольны, а А2 Д 0, следовательно un всегда можно выбрать так, что первая компонента вектора АМ в представлении (31), (32) будет отлична от нуля, откуда следует требуемое утверждение.

Из следствия 1 и предложения 3 легко вытекает предложение 4.

Предложение 4. Для выполнения законов сохранения (24), (29) достаточно, чтобы Н содержало пространство соленоидальных многочленов первой степени.

Доказательство. В самом деле, произвольный соленоидальный многочлен первой степени имеет вид

Р(х, у, Д = (aix + biy + c^z + di,

а2х + b2y + с2% + d2, а3х + b3y + c3z + d3\

где ах + Ь2 + с3 = 0.

Полагая ai = bi = Ci = 0, получим произвольное однородное векторное поле, что в силу следствия 1 влечет за собой выполнение (24). Далее, среди этих многочленов, очевидно, содержатся

РхД,у,Д = (0,г,-?/), РДх,у,Д =

= (-г,0,ж), Р3(х,у,Д = (у,—х,0), что обеспечивает выполнение условия (28) и, следовательно, соотношения (29), что и требовалось доказать.

Замечание. При п = 2, т.е. для плоских задач, предложения 1, 2, 4 остаются без изменений. В предложении 3 вместо (28) появится условие

V г С 6 Нг, где С = (yi, -Xi,... ,yN, -xN\

Нетрудно показать, что достаточные условия предложения 4 не являются необходимыми. Рассмотрим дискретную систему из одной частицы на плоскости, т.е. с двуми степенями свободы. В качестве н возьмем линейную оболочку двух соленоидальных функций

vi^,y) = (ж,-у), У2(ж,у) = (у,ж).

Ясно, что Н не содержит однородных полей. В то же время V г Д 0 Нг = В?, и поэтому выполнены условия предложения 2.

Несмотря на последнее замечание, предложение 4 дает ясные по смыслу и легко выполнимые достаточные условия для выбора базисных функций vi,...,vm. К тому же в практически интересном случае N ^> т эти условия будут похоже близки к необходимым.

Дальнейшая конкретизация пространства Н должна, разумеется, основываться на особенностях задачи. Чем удачнее выбран базис для описания возможных полей скорости в конкретной задаче, тем с большей точностью и меньшими затратами можно ее решить. Заметим, что в случае функций vi,..., vm, определенных во всей расчетной области, получается по сути некоторый вариант спектрального метода для уравнений Эйлера, в котором конвекция учитывается переносом частиц в исходном физическом пространстве. При этом вместо вычисления сверток для конвективных членов приходится находить матрицу и решать систему (18). Последнее может и требует большего количества вычислений при большом количестве частиц, но это дает возможность рассматривать задачи в области с изменяющейся геометрией (свободные или подвижные границы). Матрица (а^) в этом случае будет, как правило, заполненной, однако известно, что спектральные методы могут давать очень хорошие результаты при относительно небольшом числе базисных функций, когда размерность матрицы (щ?) невелика.

Следующий вариант — финитные базисные функции — по- видимому, более универсален. В этом случае получается некий гибрид методов частиц с методом конечных элементов. С учетом требований предложения 4 наибольший интерес представляют В-сплайны, которые представляют собой гладкие финитные функции-шапочки, образующие базис в пространстве полиномиальных сплайнов дефекта 1 (см. например Завьялов, Квасов, Мирошниченко 1980). С их помощью удобно аппроксимировать функцию тока или векторный потенциал, а функции vz находятся тогда взятием операции rot от соответствующих В- сплайнов. В большинстве приводимых ниже примеров численных расчетов использовался именно такой подход. Заметим, что построение Н как пространства сплайнов не обязательно связано с В-сплайнами. Функцию и можно строить и прямо как соленоидальный кусочно-полиномиальный сплайн на некоторой сетке. Можно также использовать комбинированный подход, когда базисные функции являются В-сплайнами по одной переменной и глобальными многочленами или какими-то другими функциями по остальным.

Применение В-сплайнов для аппроксимации функции тока или векторного потенциала часто приводит к тому, что система “базисных” функций vz получается линейно зависимой (ниже мы по прежнему будем называть их базисными в том смысле, что пространство Н является их линейной оболочкой). Самый простой пример — это движение замкнутого объема жидкости со свободной границей. Поскольку В-сплайны всегда образуют разбиение единицы, rot от их суммы равен нулю. Более сложная ситуация возникает в трехмерной задаче гл. 7. В этом случае не всегда возможно, а главное целесообразно, выделять базис, т.е. максимальную независимую подсистему. Гораздо проще работать с исходной линейно зависимой системой функций. Для этого есть следующие основания. Во-первых, несмотря на вырождение матрицы в системе (18), задача (12) всегда однозначно разрешима, как задача проектирования на подпространство гильбертового пространства (см. например Лоран, 1975). Следовательно, система (18) всегда совместна, причем в случае линейно зависимых функций, учитывая неоднозначность разложения поля скорости по ним, нас устраивает любое ее решение. Во-вторых, как показывает опыт, использование метода сопряженных градиентов, позволяет эффективно (с малым количеством итераций) решать вырожденную систему (18) без каких-либо специальных ухищрений типа описанной в § 5.2 регуляризации матрицы.

Из общих соображений ясно, что с усложнением геометрии жестких границ, с появлением особенностей течения сложность задачи проектирования (12) возрастает, но это усложнение естественно, в отличие от описанных выше “искусственных” проблем свободно-лагранжевых методов на нерегулярных сетках.

Отметим в заключение еще один принципиальный момент. Поскольку все вычисляемые величины сосредоточены в частицах, а законы сохранения имеют место для любого пространства Н, удовлетворяющего условию предложения 4, это пространство, в принципе, можно менять от шага к шагу. Например дополнять, сдвигать вслед за решением, улучшать разрешение, подстраиваясь под возникающие в процессе расчета его особенности и т.д. При этом гарантируется выполнение законов сохранения и не возникает необходимости в какой-бы то ни было

переинтерполяции величин.

Результаты численных расчетов

В силу соображений, изложенных в предисловии к настоящей главе, в качестве первых тестовых задач были снова выбраны простые задачи со свободной границей, имеющие точные или приближенные решения. Первая — описанная в предыдущей главе задача о деформации жидкого эллипса со свободной границей. Здесь рассматривался начальный круг единичного радиуса, а а(0) = о/(0) = 1 (см. §5.1).

На рис. 1 представлены начальное распределение и результат расчета этой задачи при t = 6, 5, когда отношение полуосей эллипса R = с? ~ 100. Здесь и далее точками изображены частицы, а сплошной кривой обозначено точное положение свободной границы. Все рисунки для удобства сравнения (а также в силу невозможности изобразить эллипс с таким соотношением полуосей) приводятся на плоскости переменных £ = х/VR^ ц = = yVR^ т.е. в лагранжевых переменных исходной задачи, хотя расчет, естественно, выполнялся в физической плоскости х. у. В качестве пространства Н здесь выбрана линейная оболочка двух

соленоидальных функций

(33)(33)vi^,y) = (ж,-у), У2(ж,у) = (ж2,—2жу).

(33)

(33)

Ввиду симметрии задача решалась только в первом квадранте. Шаг по времени т = 0,1.

Рис. 2

На рис. 2 приведен расчет этой же задачи с меньшим количеством частиц и т = 0, 2. При t > 6, 5 правая картинка уже не меняется (расчеты проводились до R = 1000 и более).

Такое качество расчетов похоже на фокус, но объясняется довольно просто. Дело в том, что точное поле скорости в эйлеровых координатах для этой задачи линейно и полностью определяется одной функцией a(t\ Если в (33) оставить только одну базисную функцию vi, то решение дискретной задачи также будет определяться одной функцией bi (t) — коэффициентом разложения и в (16). В этом случае точное решение (bi(t) = <а(£)) можно получить с помощью всего одной частицы, помещенной при t = 0 на биссектрису квадранта. Т.е. одной этой функции уже хватает для решения задачи. Однако, любое симметричное начальное распределение частиц, скажем внутри квадрата (рис. 3, левый), при одной базисной функции vi дает то же поле скоростей, что иве случае круга, т.е. простую линейную деформацию области. Ясно, что такое решение является слишком грубым первым 11 Франк А.М.

приближением искомого, поскольку для задачи с квадратной начальной областью решение уравнений Эйлера отлично от линейного. Другими словами, базис из одной линейной функции годится только для первой задачи, для второй он слишком беден.

Если добавить V2, как это сделано в данных расчетах, то, как видно из рис. 3, метод уже различает эти две задачи. Решение первой не меняется при добавлении базисных функций, а второй— меняется принципиально, что свидетельствует о необходимости увеличения для нее пространственного разрешения.

Стабилизация картинки при больших t в плоскости £, ц, т.е. по сути выход на точное решение, также имеет простое объяснение. При а ^> 1 первый интеграл уравнения для а (§5.1) вырождается в тривиальный а’ = const, т.е. растяжение происходит с постоянной скоростью. На таком движении описанная выше численная схема, имеющая 2-й порядок по т, становится точной, и дальнейшее движение не приводит к росту ошибки.

Заметим, что задача о деформации эллипса, несмотря на кажущуюся простоту, обычно представляет серьезные трудности

для численных методов (см. например гл. 5) из-за криволинейной свободной границы. Для данного метода она оказалась в неко

тором смысле тривиальной, т.к. поле скоростей в ней линейно, а условий на свободной границе в этом подходе не требуется. Интересно отметить, что в реальной физической постановке такой задачи, в отличие от обычно рассматриваемой в механике сплош

ной среды краевой задачи, никаких дополнительных условий на свободной границе ведь тоже нет.

1111Рис. 4Рис. 4В качестве следующих тестовых задач были выбраны задачи о распространении уединенных волн. Здесь использовался прием, аналогичный примененному в гл. 3. Известно, что для уединенных

11

11

Рис. 4

Рис. 4

волн над ровным дном хоро

шим приближением является предположение о линейном распределении вертикальной скорости по глубине. В силу условия

несжимаемости, горизонтальная скорость в этом случае от у не зависит. Поэтому здесь в качестве базисных функций использовались

(34)(34)v,(®,y) = rot(0,0, Вг(ж)у),

(34)

(34)

где Вфж)—одномерные В-сплайны. Выбор базиса (34) позволяет свести задачу (4)-(6) к одномерной. В самом деле, т.к. первая компонента и постоянна по глубине, то при аппроксимации (10) все частицы, лежащие на одной вертикальной прямой будут двигаться с одной и той же горизонтальной скоростью. Их вертикальная скорость однозначно восстанавливается из (34) по вертикальной скорости частицы, лежащей на свободной поверхности. Поэтому при аппроксимации задачи дискретной системой нет необходимости вводить частицы во всей расчетной области, достаточно поместить их только на свободную границу. Тогда в функционале (4) интеграл по ж, как и раньше, надо заменить суммой по частицам, а интегрирование по у с учетом (34) можно выполнить явно. При этом получаются те же формулы, что и в (19)-(23), если под скалярным произведением векторов R = 11*

= (Ж1,У1,... ,ждг,удг) и и = (M1,U1,... ,мдг,идг) понимать

N 1(R,U) = ^тк^хкик + -Ук^кУк=1

Здесь т^ которые как и раньше вычисляются вначале при t = 0, означают массу целого столбика жидкости (рис. 4), а множитель 1/3 появляется вследствие интегрирования квадрата линейной по у функции. Тем самым описываемая модель является упрощением общей модели (19)—(23) для случая длинных волн.

Рис. 5Рис. 5

Рис. 5

Рис. 5

В качестве В/ж) использовались кусочно-линейные, квадратичные и кубические В-сплайны на неподвижной равномерной по х сетке с шагом h.В качестве В/ж) использовались кусочно-линейные, квадратичные и кубические В-сплайны на неподвижной равномерной по х сетке с шагом h.7=07=0Рис. 6Рис. 6На рис. 5 приведен профиль установившейся уединенной волны амплитуды а = 0, 3 при t = 100, т.е. когда волна прошла уже расстояние более ста глубин. Здесь и далее все приводимые величины обезраз- мерены на глубину Н и скорость V9H. Здесь же сплошнойНа рис. 5 приведен профиль установившейся уединенной волны амплитуды а = 0, 3 при t = 100, т.е. когда волна прошла уже расстояние более ста глубин. Здесь и далее все приводимые величины обезраз- мерены на глубину Н и скорость V9H. Здесь же сплошнойкривой приведен профиль солитонакривой приведен профиль солитона

В качестве В/ж) использовались кусочно-линейные, квадратичные и кубические В-сплайны на неподвижной равномерной по х сетке с шагом h.

В качестве В/ж) использовались кусочно-линейные, квадратичные и кубические В-сплайны на неподвижной равномерной по х сетке с шагом h.

7=0

7=0

Рис. 6

Рис. 6

На рис. 5 приведен профиль установившейся уединенной волны амплитуды а = 0, 3 при t = 100, т.е. когда волна прошла уже расстояние более ста глубин. Здесь и далее все приводимые величины обезраз- мерены на глубину Н и скорость V9H. Здесь же сплошной

На рис. 5 приведен профиль установившейся уединенной волны амплитуды а = 0, 3 при t = 100, т.е. когда волна прошла уже расстояние более ста глубин. Здесь и далее все приводимые величины обезраз- мерены на глубину Н и скорость V9H. Здесь же сплошной

кривой приведен профиль солитона

кривой приведен профиль солитона

ц(ж) = а/ cosh2ц(ж) = а/ cosh2

ц(ж) = а/ cosh2

ц(ж) = а/ cosh2

Этот расчет выполнен с т = 0, 5, Л = 1 и кубическими сплайна-

ми. Начальное распределение частиц — по три на каждую ячейку сетки.

Отметим здесь одно существенное обстоятельство. Численные расчеты показали, что, как и в случае лагранжевых дискретных моделей на регулярной сетке, уравнения (19)—(23) вследствие законов сохранения имеют квазистационарные незатухающие решения в виде уединенных волн. Причем, в отличие от чисто лагранжевых схем второй и третьей глав, частицы здесь движутся в кусочно-гладком эйлеровом поле скорости, и, тем не менее, это не приводит к численной диссипации или дисперсии волны со временем. Это иллюстрируется также рис. 6, где приведено решение рассмотренной выше задачи о деформации эллипса в “одномерной” постановке, т.е. с использованием только поверхностных частиц и базисных функций (34) на сетке с h = 0, 2. При этом, из-за растяжения эллипса, число вовлеченных в расчет базисных функций изменялось от М = 8 при t = 0, до М = 52 при t = 6, 5. Отклонение положения свободной границы от точного решения здесь графически неразличимо.

На рис. 7 приведена уединенная волна той же амплитуды при t = 100, полученная с использованием В-сплайнов второго порядка. Здесь т = 0,2, h = 0,5, три частицы на ячейку. Видно, что сказанное выше остается в силе, хотя из-за уменьшения гладкости базисных функций для достижения примерно того же качества расчета приходится брать более мелкую сетку и меньший шаг т. Заметим, что квадратичные В-сплайны имеют

Рис. 8

гладкость С1, поэтому здесь вертикальная скорость по х лишь непрерывна и кусочно-линейна.

Приведенный на рис. 8 при t = 100 профиль получен с использованием кусочно-линейных В^х\ Здесь т = 0,2, h = 0, 5 и 15 частиц на ячейку. В качестве начальных данных взят тот же солитон а = 0,3, однако использование кусочно-линейных В^х^ приводит к базису из разрывных функций. Точнее, вертикальная скорость при любом фиксированном у ^ 0 является кусочнопостоянной по х. Фактически, при т —> 0 движение частиц здесь описывается нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями с разрывной правой частью. Понятно, что в этом случае ничего хорошего ожидать не приходится, тем не менее метод обеспечивает устойчивый счет и по прежнему дает некоторое подобие (и даже количественную аппроксимацию) уединенной волны.

На рис. 9 приведена серия картинок, демонстрирующих накат уединенной волны амплитуды а = 0, 5 на вертикальную стенку. Основные параметры расчета здесь те же, что и для рис. 6, за исключением сгущения частиц у стенки. Получающаяся здесь величина максимального заплеска цтах = 1,19 хорошо согласуется с приведенными в § 2.2 (рис. 4) результатами для этой задачи.

Таким образом можно констатировать, что описанный свободно-лагранжев метод, в отличие от большинства сородичей, способен очень качественно решать тестовые задачи с гладкими решениями.

0

1-

о

1" •

О"

ь

О"

1-

Рис. 9

В качестве иллюстрации работы метода в более сложной ситуации на рис. 10 представлена серия последовательных во вре-

мени картинок, демонстрирующих расчет задачи о накате бора на пологий берег. Тангенс угла наклона 0,05, поток слева имеет скорость и = 1 и высоту Н = 2. В начале частицы распределены неравномерно, их количество в процессе расчета изменялось от 3700 до 6200. В качестве базисных функций использовались

Рис. 10Рис. 10= rot(0,0, B^PjQy-

Рис. 10

Рис. 10

-7(Ц)), J = 1,2,3, где Bi — одномерные квадратичные В-сил айны, Pj — многочлены j-й степени, такие, что Р(0) = 0, у(ж) — кривая, задающая рельеф дна. Нетрудно видеть, что такой базис удовлетворяет граничным условиям непротекания. Несмотря на то, что базис достаточно прост, он тем не менее позволяет, по крайней мере качественно, моделировать обрушение бора.

В качестве следующей была рассмотрена задача о распространении периодических волн большой амплитуды на глубокой воде воде (Frank, 1995 b). Для этой задачи существует решение (Schwartz 1974), суще

ственно расширяющее известное разложение Стокса. В этой ра

боте в виде ряда получено преобразование

(X)

ДО = -<р- ^(a-j/jy^l + bj) sin> + тг,1=1

(X)

ДО = Inr + Г^зИУ3^ - bj) cos j<p,1=1

(35)(35)переводящее кольцо в плоскости £ = гег(р в исходную область в

(35)

(35)

физической плоскости £ = ж + + гу, соответствующую стационарной волне длины А = 2тг. При этом г = 1 переходит в свободную границу, а го = e-d соответствует ровному дну у = —d. В плоскости £ решение представляет собой простой точечный вихрь с комплексным потенциалом

w = icln£,

где с —фазовая скорость волны. С помощью преобразования (35) для скоростей в неподвижной системе координат исходной физической плоскости получаются выражения

(О 2 । ’ где (X)(X)

а = 1 + ^2 азТ^ ^ + М С08.Ж b = ^2 ^^(1 — bj) sin j<p. 3=13 = 1

Здесь bj = (rg/r)2-7, а коэффициенты aj и фазовая скорость с в свою очередь представлены в виде рядов по степеням амплитуды (половины высоты) волны h

ОО

aj = ^2азк^+2к, С = 1,2,...), к=0 оо

с2 = ^2^kh?k- к=0

Коэффициенты этих рядов в свою очередь вычисляются по некоторым рекуррентным формулам (Schwartz 1974).

В описываемых ниже расчетах рассматривались волны амплитуды h = 0,4 в жидкости бесконечной глубины, что составляет 90% от амплитуды волн предельной высоты (^/тг)тах = = 0,1412. Решение для зада

ния начальных данных и последующего сравнения вычислялось ^^ЯГ из (^5), (36), как и в работе Шварца, с использованием аппроксимаций Паде [14,14] (Бейкер, Грейвс-Моррис 1986), поскольку эти ряды для волн боль- г=2,65шой амплитуды сходятся плохо.

Ряды (37) суммировались до /z , а для контроля до Л100. При этом решения получаются с очень высокой точностью. Так например, при /z/тг = 0,13 квадрат фазовой Рис. 12 скорости совпал с аккуратно вычисленной в работе Шварца величиной 1,17820 во всех знаках. Далее, из (35) можно для вну

треннего контроля вычислить апостериори значение амплитуды волны как полуразность значений у для гребня и впадины. Для h = 0,4 получилось значение 0,399928.

Численный расчет бегущей периодической волны проводился в области длины 2я с условиями периодичности на боковых границах. В качестве базиса пространства Н использовались функ

ции

vv(®,y) = го1(0,0,В^(ж)Д(у)),(38)

где В^(0—квадратичные S-сплайны на неравномерной сетке.

На рис. 11 приведен пример расчета бегущей волны в течение одного периода. На верхней картинке изображена сетка, на которой строились В-сплайны. Сплошной кривой показано точное положение свободной границы из решения (35)-(37). В этом расчете сетка имела 20 х 10 ячеек (соответствует общему количеству

базисных функций). Число частиц 61 х 35. Шаг по времени т = = 0, 2 (29 шагов на период), время счета одного шага на PC АТ 386/387-33mhz составляло около 4 сек. Расчеты проводились как для неподвижных базисных функций, так и движущихся вслед за волной. Последнее предпочтительнее с точки зрения уменьшения числа итераций при решении системы (22).

Следующей задачей было получение обрушающихся волн. Для этого при t = 0 к начальным скоростям частиц добавлялось линейное поле

сетка 20х10сетка 20х10Цу) = 0, бу,

сетка 20х10

сетка 20х10

так что скорость частиц на гребне волны становилась близка к фазовой. Такой дополнительный начальный импульс со временем приводит к обрушению волны.

На рис. 12 приведены последовательные во времени картинки, иллюстрирующие этот процесс. Здесь сетка 60 х 28, число частиц 121 х 71. Шаг по времени т = = 0,025.

Для сравнения, были проведены расчеты обрушения с разным

Рис. 13Рис. 13количеством (и, соответственно, размерами носителя) базисных функций. Результаты приведены на рис. 13 для одного и того же момента времени, когда на гребне формируется вылетающая вперед струя. Видно, что несмотря на некоторые отличия в форме струи, в целом начало обрушения воспроизводится достаточно стабильно. Здесь надо учесть, что поперечный размер струи получается гораздо меньше размеров носителя любой базисной функции.

Рис. 13

Рис. 13

На рис. 14, 15 при t = 1, 7 приведены изолинии (границы темных и светлых полей) горизонтальной и вертикальной скорости в момент начала обрушения волны. Из рисунков видно, что в мо-

1,05 1л ос1.23

^1,431

0,45

0,25

0,05

Рис. 14

-0,25

Рис. 15

мент обрушения образуется две зоны больших градиентов. Для горизонтальной скорости и — это носик волны, где к этому времени скорость и достигает значения, значительно превышающего фазовую скорость волны с = 1,082. Для вертикальной скорости и — это узкая область на переднем фронте волны.

Еще одним способом обрушения волн (Longuet-Higgins,

Рис. 16

Cokelet 1976) является задание на свободной границе давления _ Г РО sin t sin(:r — cf^ 0 < t < 7Г [ О,t>TV.

Такой источник давления разгоняет волну и увеличивает ее амплитуду, что в итоге также приводит к обрушению. На рис. 16 показан пример такого расчета при р^ = 0,0729. Выше уже отмечалось, что постановка с заданным на границе давлением является для данного метода наиболее сложной, т.к. поверхностная сила действует только на поверхностные частицы. Остальная “жидкость” начинает чувствовать это воздействие только через базисные функции, которые подстраиваются под измене-

ние скоростей узкого погранслоя из поверхностных частиц. Все это приводит к необходимости вести расчет с малым шагом по времени.

Метод частиц применялся также к расчету интересной задачи о возникновении и развитии неустойчивости в плоском сдвиговом течении слоя жидкости со свободными границами (Frank, 1995 а; Андреев, Франк 1998).

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УДЕРЖАНИЯ ШАРА СТРУЕЙ ЖИДКОСТИ

Эффект удержания шара в вертикальной воздушной или водяной струе, изучавшийся еще О. Рейнольдсом (Reynolds, 1870), хорошо известен как один из интересных гидродинамических феноменов. Тем не менее, в силу сложности задачи для аналитического и численного анализа, до сих пор нет достаточно строгого объяснения этого явления. Приводимое в некоторых учебниках объяснение, основанное на теореме Бернулли, еще можно считать правдоподобным для относительно толстых затопленных струй, например в случае небольшого легкого шарика в струе фена или пылесоса. Однако оно очевидно неудовлетворительно в случае тонкого водяного фонтана, удерживающего шар существенно большего диаметра.

Для плоского аналога этой задачи, т.е. обтекания цилиндра плоской струей, некоторые объяснения причин появления возвращающей силы приведены в работах Лаврентьев, Шабат (1973); Гольдштик (1981) на основе анализа приближенных решений стационарной задачи о струйном потенциальном обтекании. Существенным моментом здесь является предположение о том, что точка отрыва струи расположена диаметрально противоположно точке встречи струи с поверхностью цилиндра. Эта гипотеза М.А. Лаврентьева (Лаврентьев, 1966) была позднее экспериментально подтверждена в работе Вильгельми (1969). Отсюда уже легко показать как возвращающая сила возникает вследствие сохранения импульса. Тем не менее, поскольку система неконсервативна, наличие возвращающей силы еще недостаточно для устойчивости такого движения.

В первом параграфе этой главы описаны результаты численного моделирования этого явления методом частиц в плоском

случае, в которых получены устойчивые колебания цилиндра в струе (Франк 1997, Frank 1998*). Поскольку задача решается в плоской невязкой постановке, для замыкания использовалось условие М.А. Лаврентьева о положении точки отрыва. В следующих параграфах приведены результаты трехмерных расчетов, в которых этот эффект удается смоделировать без привлечения дополнительных условий на положение точки отрыва. Ранее эта же задача была решена с использованием некоторой упрощенной версии метода частиц. Описание этой дискретной модели и результатов расчетов можно найти в статьях Франк (1999), Frank (2000).

Двумерная задача (цилиндр в плоской струе)

Пусть в момент времени t = 0 заданы начальное положение и скорость цилиндра, а также скорость струи в некоторой начальной области (рис. 1). Радиус цилиндра Л, скорость струи на входе V и плотность жидкости положим равными единице. Согласно принципу Гаусса движение такой системы жидкость-цилиндр можно описать единым функционалом, который мы сразу приведем в дискретном по времени виде

5И+х/2 = 1 ^mfc[fi(ryl/2) - ^ - Tg]2 + к

+ |м[и - Un - Tg]2 -4- min. (1)

Здесь т^ г^, гц соответственно массы, декартовы координаты и скорости частиц, М, X, U — масса, координаты центра цилиндра и его скорость, g — ускорение силы тяжести, т— шаг по времени. Подлежащая определению из (1) функция u(r) принадлежит некоторому конечномерному пространству Н достаточно гладких соленоидальных функций и должна удовлетворять граничным условиям задачи, в данном случае это непрерывность нормальной компоненты скорости на границе цилиндра и заданная скорость струи на входе. После нахождения и и U вычисля-

*)©1998 ОРА (Overseas Publishers Association) Amsterdam В. V.

Двумерная задача (цилиндр в плоской струе) 177 ются новые координаты и скорости цилиндра и частиц

Хп+1 = Xй + rU, ии+1 = и,

(2) rn+l _ „И , тп^Л1/^11п+1 — n('rn+1//2A

rk -гк+ти^к 1 uk ~uVrk )•

Для повышения порядка точности по времени используется предиктор

+ 5<. Х"+,-'2=Х" + ^и".(3)

Таким образом разностная схема здесь аналогична схеме 3 из §1.2. Эта схема для данной задачи оказалась предпочтительнее полностью консервативной схемы, поскольку она дает более гладкие решения, а сохранение энергии здесь не так принципиально как в волновых задачах.

В описываемых расчетах для построения базиса пространства Н выбраны функции, получаемые взятием операции rot от двумерных квадратичных В-сплайнов класса С1, построенных на неравномерной по радиусу сетке в полярной системе координат, связанной с цилиндром. Другими словами, функция тока аппроксимируется в полярной системе координат В-сплайнами. Таким образом каждому узлу сетки (гД) соответствует базисная функция

Vij = (d/dr,-^d/d<p)Bi(<p)Bj(r), где Вфж)—одномерные квадратичные В-сплайны. Сплайны В2 (г), соответствующие приграничным узлам, подправлены так, чтобы они обращались в ноль на твердой границе. Для этого вместо сплайна В2(г) берется разность B2(r) — ВДг). Тем самым непрерывность нормальной компоненты скорости на границе цилиндра (она ненулевая, поскольку цилиндр движется) обеспечивается только граничными функциями v^ без нарушения полноты системы базисных функций.

Что касается задания скорости струи на входе, оказалось, что удобнее всего сделать это введением фиктивных частиц, имитирующих начальный участок струи. Эти частицы в расчете неподвижны, но в них задано фиксированное распределение скорости в струе (в данном случае равномерный поток с единичной вертикальной скоростью). При минимизации функционала (1) гладкое 12 Франк А.М.

поле скорости и аппроксимирует в смысле наименьших квадратов это распределение. Фактически получается метод штрафа, где роль большого параметра играет масса фиктивных частиц. Расчеты показали, что для обеспечения стационарности струи на входе достаточно выбрать ее в десять раз больше массы частиц жидкости.

С учетом всего вышесказанного функция и ищется в виде u(r) = П civtiW + У2 bijVijlry(4)

ггл

Условие непрерывности нормальной компоненты скорости во всех граничных узлах г/ с угловыми координатами epi дает тогда

У2 сг<1 (г;) = Ui cos ipt + t/2 sin ^,(5)

г

где U-^U^ соответственно, горизонтальная и вертикальная скорость цилиндра. Из (5) следует, что коэффициенты с^ можно представить в виде

Сг = 4 Ui +(6)

Коэффициенты с-, с? удовлетворяют системам линейных уравнений с одной и той же двухдиагональной матрицей

cLi - Cl = ^cosy^,22 у •

Q-i -ct =

где hip —это шаг сетки по угловой координате. Эти системы легко решаются рекуррентно, поскольку в силу специфики выбранных базисных функций ранг этих систем на единицу меньше их размерности. Последнее обусловлено тем, что сумма граничных функций

w = y>n

г

имеет нормальную компоненту, тождественно равную нулю на границе и, следовательно, коэффициенты определяются с точностью до общей для всех аддитивной постоянной. Поэтому, зафиксировав одно из возможных решений для с^, с?, вообще говоря, необходимо было бы добавить функцию W к числу тех базисных функций, коэффициенты которых подлежат вычислению из (1). В данной постановке задачи, когда граничные условия для струи струи на входе явно не задаются, этого делать не

надо. Поскольку В-сплайны образуют разбиение единицы, функции v^- являются линейно зависимыми (их сумма равна нулю) в любой ограниченной окрестности цилиндра. Выбрасывание из рассмотрения функции W как раз ликвидирует эту зависимость.

Из (4)-(6) получаем окончательное представление для искомого поля скорости U

u(r) = t/iWi(r) + j72W2(r) + У2 bvvv(rL (7)

где

Wi(r) = У2Сг^й(г), W2(r) = У2С^г1(г).

гг

Функция (7) при любых значениях Ui, U^. b^ удовлетворяет граничным условиям на поверхности цилиндра и условию несжимаемости. Заметим, что коэффициенты с^с^ зависят только от геометрии жесткой границы, так что они вычисляются один раз в начале расчета.

Подстановка (7) в (1) и варьирование по переменным Ui, U^ bij приводит к системе линейных уравнений для определения этих величин

r1(M + (W1,W1))+t72(W2,W1) +^^(vi^Wj =

= MU? ++ r^W^*1/2),

k

ri(Wb W2) + U2 (M + (W2, W2)) + У2 Mv^ W2) =

=- r|g|) + £ т^(и^ + Tg)W2(ry1/2),

k

B1(W1, Vpq) + ^(W2, Vpq) + ^^ bijQ^ij ^pq^ —

= ^+ Tg)vp<?(ry1/2).

k

Здесь через (F, G) обозначено скалярное произведение

(F,G) = ^т^(гД1/2)С(Д+1/2).(8)

k

В реальных вычислениях таких скалярных произведений суммирование ведется только по частицам, принадлежащим пересечению носителей функций F и G. Точнее, все коэффициенты матрицы вычисляются по формулам (8) параллельно внутри цикла по всем частицам, на каждом шаге которого вычисляется вклад частицы в скалярные произведения всех функций, пересечение носителей которых содержит данную частицу.

Отметим, что поскольку в коэффициенты линейной системы все векторы входят в виде скалярных произведений, их проще считать в полярной системе координат, а переходить назад к декартовой только в формулах (2). Далее, несмотря на то, что непрерывное поле скорости и (г) вычисляется в системе координат, связанной с цилиндром, это не означает переход в неинерциальную систему координат, просто базисные функции сдвигаются от шага к шагу вместе с цилиндром (пространство Н изменяется со временем). Исходный же вариационный принцип (1) записан в неподвижной декартовой системе координат. Отметим еще, что используемая здесь вариационная постановка позволяет с единых позиций описывать взаимодействие твердого тела с потоком. Цилиндр, в сущности, представляет собой тоже материальную частицу (см. (1)), только доставляющую дополнительные ограничения. Силы взаимодействия возникают здесь как реакция на эти ограничения, причем точный баланс импульса и энергии имеет место (при т —> 0) даже при грубой пространственной аппроксимации поля течения небольшим количеством базисных функций.

Численные расчеты по приведенной выше схеме показали, что, как и следовало ожидать, задача в такой постановке является некорректной по двум причинам. Во первых, пренебрежение силами поверхностного натяжения при наличии центробежной силы приводит к сильной неустойчивости Рэлея-Тейлора на поверхности струи, обтекающей цилиндр. В принципе, метод позволяет моделировать (по крайней мере качественно) и такие течения, но поток при этом становится слишком нерегулярным, чтобы обеспечить устойчивые автоколебания. Как уже говорилось выше, в рамках данного метода ввести настоящее поверхностное натяжение достаточно сложно, так как для этого необходи-

мо каким-то образом идентифицировать поверхностные частицы и определять среди них отношение соседства. Это осложняется еще и самой задачей, в которой, как видно из приводимых ниже рисунков, свободная граница имеет весьма нерегулярную форму. Поэтому, в настоящих расчетах в качестве искусственного регуляризатора вводилась центральная сила притяжения частиц жидкости цилиндром, быстро затухающая с удалением от поверхности цилиндра. Модуль силы взаимодействия имеет вид

/ = - М^к - /?))),

где т^— радиальная координата к-ой частицы, а и (3— параметры, отвечающие за ширину области взаимодействия. Например, для струи шириной 0,2 использовались значения а = 20, (3 = = 1,2.

Вторая причина связана с неединственностью решений. Известно, что задача о потенциальном обтекании цилиндра безграничным потоком идеальной жидкости имеет единственное решение только при задании циркуляции. Неединственность решения должна, очевидно, иметь место и в случае стационарной задачи обтекания цилиндра тонкой струей (Лаврентьев, Шабат 1973). В нестационарном случае это приводит к неустойчивости положения точки отрыва струи с поверхности цилиндра. В результате, вследствие малых изменений входных данных или параметров численной схемы, реализуются различные режимы обтекания. Некоторые из этих режимов демонстрируют достаточно длительное удержание цилиндра в струе (несколько периодов колебаний цилиндра относительно оси струи), однако в целом процесс является неустойчивым. Относительно этой задачи М.А. Лаврентьевым была выдвинута получившая экспериментальное подтверждение гипотеза, о том, что в реальных струях вследствие действия вязкости точка отрыва должна быть диаметрально противоположна точке встречи струи с цилиндром. Для невязкой стационарной задачи это является дополнительным условием, позволяющим выделить единственное приближенное решение (Лаврентьев, Шабат 1973). В монографии М.А. Гольдштика (1981) при анализе той же задачи примени-

^0,0^0,0Z=9,8Z=9,8/=109,7/=109,7

^0,0

^0,0

Z=9,8

Z=9,8

/=109,7

/=109,7

Рис. 1

лось близкое по смыслу условие равенства нулю циркуляции.

В настоящей работе условие Лаврентьева использовалось в

следующем виде. К функционалу (1) добавляется слагаемое (штрафная функция)

^(й(г)-и")2,(9)

где г — вычисляемая в процессе расчета точка, диаметрально противоположная точке встречи струи с поверхностью цилиндра. При достаточно больших значениях (в расчетах использовалось т = 0, 2) это условие обеспечивает отрыв потока в точке г. С точки зрения схемы вычислений это опять эквивалентно введению некоторой фиктивной частицы с массой т и заданным положением г.

На рис. 1 приведен пример расчета этой задачи с учетом сделанных выше дополнений. Здесь ширина струи L = 0, 2, масса V2

цилиндра М = 0, 7, число Фруда Ft = —- = 20. Число частиц gR

здесь около трех тысяч, число узлов сетки (базисных функций) в расчетной области равно 32 х 8, временной шаг т = 0, 05. Один шаг по времени занимал около 2с на PC AT486DX2-66mhz. При t = 7 цилиндру сообщена начальная горизонтальная скорость Uy = 0,2, после чего возникают устойчивые автоколебания с характерным периодом Т = 10-i-12. Амплитуда колебаний горизонтальной скорости цилиндра не превышала в дальнейшем 0,08, его вертикальная скорость имеет такой же порядок. Вообще, устойчивые колебания наблюдались в расчетах в диапазоне взаимно согласованных параметров М = 0, 2 4- 4, £ = 0,14-0,4, Ft = = 10 80.

В соответствии с наблюдениями, движение цилиндра в струе оказалось очень устойчивым. Так, например, при М = 1, L = = 0, 2, начальные возмущения горизонтальной скорости цилиндра вплоть до значения Hi = 0, 5 по прежнему приводят к устойчивым колебаниям, несмотря на то, что импульс такого возмущения сравним с полным импульсом жидкости вокруг цилиндра. При больших значениях возмущений цилиндр покидает струю.

Другим интересным фактом оказалось то обстоятельство, что условие Лаврентьева может быть существенно ослаблено без потери устойчивости движения. Так, при использовании в (9) вместо обычного “большого” значения т = 0, 2 значительно мень-

шего т = 0,001, движение цилиндра оставалось устойчивым, хотя в этом случае добавка (9) уже не обеспечивает отрыв потока в диаметрально противоположной точке. Тем не менее, слабая коррекция поля скорости струи на задней поверхности цилиндра оказывается уже достаточной для устойчивости.

Несмотря на очевидную необходимость постановки в двумерном невязком случае какого-то дополнительного условия, использование условия Лаврентьева является в описанных выше расчетах, безусловно, некоторым “черным ящиком”, обеспечивающим получение конечного результата, но не проливающим свет на физический механизм явления. В работе Лаврентьев, Шабат (1973) такое поведение точки отрыва объясняется действием вязких сил. Результаты следующих параграфов этой главы свидетельствуют о том, что в реальном пространственном случае шара в струе этот эффект можно смоделировать без учета вязких сил и каких-либо дополнительных условий на положение точки отрыва. Там же обсуждается простое физическое объяснение механизма этого явления.

Построение базисных функций в произвольной области

В принципе, уравнения движения и схема метода для этой задачи в трехмерном случае ничем не отличаются от уравнений (1)-(3) §7.1. Однако, с точки зрения реальных вычислений, выбор базисных функций здесь очень существенен. Описанный в §7.1 алгоритм вычисления матрицы линейной системы (8) (скалярных произведений (9)) содержит порядка Nm2/2 операций, где N — общее число частиц, а т— число базисных функций, пересечение носителей которых содержит данную частицу. При использовании квадратичных В-сплайнов, в двумерном случае т = 9. В трехмерной задаче для построения соленоидальных базисных функций удобно аппроксимировать сплайнами векторный потенциал, при этом т возрастает до 81. В результате, число операций при вычислении матрицы увеличивается на два порядка. При использовании хороших итерационных методов решения

линейной системы (8), вычисление матрицы составляет примерно половину времени всех вычислений на одном временном шаге, поэтому оценка необходимого времени расчета в трехмерном случае, с учетом существенно возрастающего числа частиц, дает слишком большие величины. Второй особенностью трехмерной задачи является наличие особенностей (полюсов) в сферической системе координат, в отличие от рассмотренного в предыдущем параграфе цилиндрического случая, что осложняет построение базисных сплайн-функций, удовлетворяющих граничным условиям на поверхности тела. Более того, хотелось бы иметь какой- то более или менее универсальный способ построения базисных функций для достаточно произвольных тел, а не только для цилиндра или шара.

Рассмотрим задачу нахождения векторного потенциала

U = ГО1Ф(1)

для соленоидального поля и, удовлетворяющего условию непро- текания ип = 0 на границе S гомеоморфной шару области Q. Известно (Быховский, Смирнов 1960), что при определенной гладкости и и S такая задача (как внутренняя так и внешняя) однозначно разрешима, при условии

61уФ = 0, Фт|5 = 0.(2)

Из-за условий (2) аппроксимировать функцию Ф ничуть не проще, чем исходное поле и, поэтому будем искать более удобный для наших целей векторный потенциал в виде

Ф = Ф + grad ф.

где ф— произвольная гладкая функция, удовлетворяющая на S условиям ф = 0, дф/дп = — Фп. Для достаточно гладкой S такая функция всегда существует, например, как решение задачи Дирихле для бигармонического уравнения (находить эту функцию нам не надо, важен только факт ее существования). В результате получаем, что для поля и всегда существует (неединственный и несоленоидальный) векторный потенциал Ф, равный нулю на S. Будем искать его в виде

Ф = /Ф,(3)

где / — некоторая гладкая скалярная “функция формы”, равная нулю на S, не равная нулю нигде в Q и имеющая на S всюду отличную от нуля ограниченную нормальную производную. Для рассматриваемого случая, когда Q это внешность единичного шара, в качестве такой функции можно взять, например,

/ = г2 - 1.

Именно такая функция использовалась в описываемых ниже расчетах. Нетрудно показать, что и в общем случае для гладкой границы S представление (3) всегда возможно, где Ф будет непрерывной вплоть до границы функцией. Поскольку для этой функции уже нет никаких граничных условий, мы можем приближать ее векторными В-сплайнами на любой, в том числе простейшей прямоугольной сетке, никак не согласованной с границей. Построение функции формы / для произвольной поверхности будет конечно не столь тривиальным, как в случае шара, но эта задача представляется существенно более простой в сравнении с исходной задачей нахождения финитных соленоидальных функций с нулевой нормальной компонентой на этой поверхности.

Поскольку потенциал Ф— вектор, то в каждом узле сетки с мультииндексом г должны быть определены три независимые функции

= (А, 0,0), Ф2 = (0, В, 0), Ф? = (0,0, С), (4) где А, В, С есть произведения функции формы / на некоторые скалярные В-сплайны А, В, (7, соответственно. Базисные функции для поля скорости тогда получатся из (4) взятием ротора

v^OM^-Ay), ^ = 1-В^Вх\ ^ = {СУ,-СХЛ). (5)

Функции (5) как правило образуют линейно зависимую систему. В случае поверхностей вида % = z(x^y) можно показать, например, что третью функцию в (4) можно без ограничения общности положить равной нулю, сэкономив тем самым на треть объем вычислений и память. Однако в общем случае проще работать с полной зависимой системой функций (см. замечание в конце §6.2).

Как уже говорилось выше, для минимизации затрат на вычисление матрицы линейной системы базисные функции должны иметь как можно меньший носитель, что особенно важно в

трехмерном случае. С учетом требования минимально допустимой гладкости, сплайны А, В, С можно выбрать постоянными по “своей” координате и линейными по двум остальным, т.е., на

пример,

А = Lo^Li^L^z^

где £q и ^1—эт0 кусочнопостоянный и кусочно-линейный одномерные В-сплайны в г-м узле. При этом поле скоростей, как линейная оболочка функций (5), будет, вообще говоря, всего лишь кусочно-непрерывным, тем не менее оно, как легко видеть,будет почти всюду соленоидальным, а поток вектора скорости через любую замкнутую гладкую поверхность будет равен нулю, поскольку он непрерывен на всех гранях ячеек сетки. Что касается упомянутого в начале параграфа числа операций при вычислении матрицы, то оно при таком выборе базисных функций уменьшается в 45 раз по сравнению с квадратичными сплайнами (т = 12 вместо 81). Платой за экономию вычислений является снижение

h 0.4h 0.4h=Mh=Mгладкости, а следовательно и Рис. 1. Линейные сплайны точности численных решений.

h 0.4

h 0.4

h=M

h=M

Оценка погрешности при использовании таких негладких базисных функций производилась на двумерной тестовой задаче. В качестве таковой была выбрана задача о соударении двух

встречных соосных плоских струй невязкой несжимаемой жидкости разной толщины. В потенциальной постановке она решается методами теории функций комплексного переменного (Гуревич, 1979). Из этого точного решения можно найти линию тока,

разделяющую две струи, а затем заменить ее на гладкую по-

верхность. Тем самым получается более сложная, но и более интересная для наших целей задача об обтекании плоской струей гладкого контура заданной формы. Уравнение этого контура у = = 7 (ж) аналитически не выражается, но легко находится с любой точностью численно как решение некоторого нелинейного функционального уравнения. Для численного решения задачи об обтекании использовался описанный выше способ (3) представления функции тока с функцией формы / = 7 (ж) — у и разложениями ^ по линейным (разрывное поле скорости) В-сплайнам

Фг = Щж - хфЪ^у - уф

Рис. 2. Квадратичные сплайныРис. 2. Квадратичные сплайныи, для сравнения, по квадратичным

Рис. 2. Квадратичные сплайны

Рис. 2. Квадратичные сплайны

Фг = L^X - хфЬ^У - уф.

Результаты этих расчетов представлены на рис. 1 и 2 соответственно. Сплошными линиями приведены изолинии модуля скорости (включая свободную границу) из точного решения, а границы заполненных и пустых (белые частицы на белом фоне) областей дают представление об изолиниях модуля скорости в численном расчете. Изображены также сетки с различным шагом h^ на которых строились В-сплайны.

Для дискретизации по времени здесь, как и в следующем параграфе, использовалась та же схема, что и в §7.1. Шаг по времени выбирался в пределах /z/4-y/z/lO при единичной скорости невозмущенной струи. Поскольку численно решалась нестационарная задача об ударе струи о контур 7, при расчете на мелких сетках пришлось ввести небольшую искусственную вязкость, без которой не было установления стационарного решения даже в случае гладких квадратичных сплайнов (вместо него реализовался некоторый периодический режим с небольшими, но заметными колебаниями около стационара). В целом, приведенные

результаты показывают, что использование разрывных базисных функций приводит к вполне допустимой потере гладкости и точности. Именно такие функции использовались далее для расчета трехмерной задачи.

Трехмерная задача

Во всех, описанных ниже расчетах плотность жидкости pj и радиус шара R положены равными единице. Система координат декартова с осью Z, направленной вверх. Для того, чтобы число частиц не было слишком большим, расчетная область ограничена вокруг шара сферой радиуса 2,5, и покидающие эту область частицы в дальнейших вычислениях не участвуют. Сетка и расчетная область жестко связаны с шаром и движутся вместе с ним. Входная скорость струи V задается равномерной по сечению струи на фиксированном расстоянии одного радиуса от шара с помощью введения неподвижных фиктивных частиц, так же как и в двумерной задаче. В начальный момент времени полагается V = 1, а затем ее значение изменяется в соответствии с интегралом Бернулли в процессе смещения шара по вертикали. Поэтому шар всегда находит свое положение равновесия, независимо от начального числа Фруда Ft = 1/g.

Пример конфигурации при t = 0 и начальной стадии обтекания шара приведен на рис. 1. В качестве начального возмущения задается некоторое горизонтальное смещение шара Xq от центра струи в плоскости XZ. Все расчеты проводились до тех пор пока шар не достигнет своего квазистационарного положения, амплитуда колебаний перестанет расти, и три последовательных периода колебаний будут близки. Обычно это происходит через 6-10 периодов. Отдельные расчеты проводились до 25 периодов.

Движение шара, как правило, со временем выходит из XZ плоскости, т.е. появляется заметная У компонента скорости, а движение шара выглядит как вращение в горизонтальной плоскости по траектории близкой к эллипсу, ось которого прецессирует. Это хорошо видно на рис. 2, где изображены траектории движения шара в XY плоскости для двух разных радиусов

Рис. 1. Начальная стадия обтекания

струи.

Вертикальное положение шара также обычно нестационарно, он слегка колеблется вверх-вниз около некоторого положения равновесия. Такое движение шара, включая прецессию плоскости колебаний или его вращение, можно отчетливо наблюдать в несложном эксперименте, который и был проведен для сопоставления с численными расчетами.

Следующий факт, который наблюдался в эксперименте Виль- гельми (1969) а также в наших расчетах и эксперименте, касается поведения точки отрыва струи с поверхности шара. Точка отрыва движется в процессе смещения шара относительно струи так, что она остается примерно диаметрально противоположной точке встречи струи с шаром. Отметим еще раз, что в этих расчетах, в отличие от двумерного случая, никаких специальных условий на положение точки отрыва не ставилось, такое движение реализуется само по себе и ниже мы обсудим возможное

Рис. 2. Траектории движения шара в XY плоскости для двух значений радиуса струи, плотность шара рь = 1,014

объяснение этого явления. Отличие от эксперимента Вильгельми заключается в том, что в последнем шар был закреплен. Поэтому в наших расчетах и экпериментах положение точки отрыва, близкое к диаметрально противоположному, наблюдается только в крайних положениях шара, когда его скорость равна нулю. В промежуточных положениях шара, когда его горизонтальная скорость близка к максимальной, наблюдается заметное запаздывание. Это хорошо видно на рис. 3, 4, где приведены, соответственно, кадры видеофильма и результаты расчета.

В трехмерном случае, в отличие от двумерного, не возникло также никаких проблем с неустойчивостью Рэлея-Тейлора на свободной границе. Может быть это связано с более грубым пространственным разрешением в трехмерной задаче. С другой стороны, при обтекании цилиндра эта неустойчивость проявлялась практически на любой сетке. В любом случае, здесь не возникло необходимости введения каких-либо регуляризаторов, типа описанной в §7.1 центральной силы.

Наряду с чисто качественным моделированием этого эффекта безусловный интерес представляет проверка того, насколько численная модель способна описать какие-то количественные интегральные характеристики такого течения. Наибольший интерес

Рис. 3. Иллюстрация положения точки отрыва струи в эксперименте, г = 0,188

здесь представляет период колебаний шарика в струе, тем более что эту величину относительно несложно измерить экспериментально. Если пренебречь вязкостью и поверхностным натяжением, а также предположить, что колебания шара стационарны, т.е. частота и амплитуда постоянны во времени, то безразмерный период таких колебаний должен очевидно зависеть от трех безразмерных параметров: отношения плотностей шара и жидкости рь/рр отношения радиусов струи и шара г (Rm начального числа Фруда F = V2/gR (на срезе сопла). Если выбрать за независимые масштабы длины и времени, соответственно, ради-

Рис. 4. Иллюстрация положения точки отрыва струи в расчете, г = = 0,188

ус шара R и величину 0 = (R/g)1/2, то начальное число Фруда станет равным единице, а вместо него третьим параметром будет безразмерная начальная скорость струи. Как очевидно следует из описанной выше процедуры численных расчетов, параметры установившихся колебаний в них не зависят от начальной скорости струи, поэтому безразмерный период колебаний Т = = (g/R^T будет зависеть только от отношения плотностей и радиусов струи и шара.

В случае реального эксперимента это соответствует подвешиванию шара на расстоянии одного радиуса от сопла, что од- 13 Франк А.М.

Рис. 5. Период колебаний шара в зависимости от радиуса струи

позначно определит скорость струи на срезе сопла. Наблюдения, однако, показали, что гладкий начальный участок реальной струи, в котором только и имеет смысл проводить сопоставления, при достаточно больших числах Фруда струи Fr = V2/дг (они были порядка нескольких десятков) весьма короток и с достаточной степенью точности может считаться цилиндрическим, поскольку неустойчивость искажает свободную поверхность струи существенно быстрее, чем она начинает заметно расширяться под действием силы тяжести. Поэтому расстояние подвешенного шарика от сопла в гладком участке струи не оказывает заметного влияния на период колебаний, и, таким образом, и в реальном эксперименте основных определяющих параметров тоже остается только два.

На рис. 5 приведена рассчитанная зависимость безразмерного периода Т колебаний от безразмерного радиуса струи г/R для фиксированного отношения плотностей ръ/pj = 19 014, а также результаты измерений. Численные значения получены осредне-

Рис. 6. Траектории шара в горизонтальной и вертикальной плоскости для r/R =0,7Рис. 6. Траектории шара в горизонтальной и вертикальной плоскости для r/R =0,7

Рис. 6. Траектории шара в горизонтальной и вертикальной плоскости для r/R =0,7

Рис. 6. Траектории шара в горизонтальной и вертикальной плоскости для r/R =0,7

нием по нескольким последним периодам (не менее трех), отличие которых друг от друга не превышало 5%. Результаты расчетов приведены для значений шага пространственной сетки h = = 0,2 и 0,4 в зависимости от радиуса струи, причем для двух значений радиуса расчеты проведены на двух сетках, что позволяет судить о достаточной точности вычислений. Величина шага по времени выбиралась равной Л/4. В целом количественное предсказание периода колебаний можно считать удовлетворительным, особенно если учесть сложность рассматриваемой задачи, а также отсутствие в численной модели механизмов вязкости и поверхностного натяжения. Вязкость, увеличивая силу сопротивления шара, очевидно приводит к уменьшению необходимой для его удержания скорости струи, а следовательно уменьшает возвращающую силу и увеличивает период колебаний. Обращает на себя внимание также немонотонная зависимость периода от г, которая как будто имеет место и в эксперименте, хотя выражена она менее отчетливо и минимумы периода колебаний достигаются при разных значениях радиуса струи. Интересно отметить, что выполненные ранее расчеты этой задачи по более простой дискретной модели (Франк 1999, Frank 2000) дали существенно лучшее согласие периода колебаний с экспериментом, несмотря на то, что эта модель обеспечивает лишь слабую ап- 13*

проксимацию уравнений гидродинамики (Овчинникова, Франк 2001). Скорее всего это объясняется влиянием аппроксимационной вязкости, которая возникала в этой модели вследствие периодического осреднения решения.

Рис. 7. Период и амплитуда колебаний шара в зависимости от номера цикла колебаний для разных начальных смещений

В экспериментах пластмасовый шарик с диаметром 16 мм и плотностью рь = 1,014г/см3 удерживался водяной струей. Использовались три сопла с диаметрами 3, 5 и 6,2 мм. Период колебаний шарика измерялся с помощью стробоскопа на основе импульсной лампы, управляемой генератором с перестраиваемой частотой. Частота генератора измерялась осциллографом, предварительно откалиброванным сигналом цифрового генератора импульсов.

Каждая экспериментальная точка на рисунке получена осреднением по десяти измерениям, здесь же приведено максимальное отклонение этих измерений от среднего значения. Основная причина разброса —это квазистационарный характер реальных колебаний. Шарик демонстрирует чередующиеся режимы колебаний то с большой, то с малой амплитудой, но частота при этом, как видно из рисунка, меняется не очень сильно. При г/R > 0,4 получить устойчивые колебания в эксперименте не удалось. Скорее всего это связано с ограниченными техническими возможно-

стями последнего. Для получения качественной струи при больших диаметрах сопла необходима более совершенная установка. В расчетах неустойчивость тоже наблюдается, но при г/R > 0, 7. В этом случае шар очень быстро вылетает из струи. Причем, если при г/R = 0,8 сначала еще наблюдается некоторое его движение к оси струи, то при r/R = 1 он сразу выталкивается из нее. Интересно, что перед потерей устойчивости, при “критическом” значении г/R = 0, 7 колебания шара как в горизонтальной так и вертикальной плоскости становятся хаотическими (рис. 6).

В численных расчетах исследовалось также влияние начального смещения Xq. На рис. 7 приведены кривые периода и амплитуды в зависимости от номера цикла колебаний п для нескольких значений начального смещения Xq. Все расчеты здесь проведены при r/R = 0,388 и ръ/Pj = 1,014. Поскольку шар колеблется (или, строго говоря, движется) по довольно сложной трехмерной незамкнутой траектории, необходимо пояснить, что период всюду в расчетах измерялся по проекции этой траектории на плоскость XZ, а амплитуда колебаний — как максимальное расстояние центра шара от оси струи в плоскости XY. Оба рисунка демонстрируют четкую тенденцию к сходимости как периода, так и амплитуды колебаний к некоторым стационарным значениям. Наблюдаемое в эксперименте чередование режимов с разными амплитудами в расчетах не наблюдалось, что возможно связано просто с ограниченностью времени расчета (один-два десятка периодов).

Данные рис. 7 демонстрируют весьма примечательные свойства моделируемого течения, наблюдаемые в действительности. С одной стороны, начальный рост амплитуды колебаний для малых значений Xq фактически свидетельствует о линейной неустойчивости положения равновесия шара на оси струи, т.е. о неустойчивости осесимметричного обтекания. С другой, установление амплитуды говорит о наличии нелинейного механизма ее ограничения, а стремление параметров колебания к некоторым универсальным (не зависящим от начальных данных) значениям свидетельствует об устойчивости вторичного колебательного режима.

Рис. 8. Период колебаний в зависимости от плотности шараРис. 8. Период колебаний в зависимости от плотности шараНа рис. 8 приведена рассчитанная зависимость периода от плотности шара для фиксированного безразмерного радиуса струи г/R = = 0, 388. Рисунок показывает, что период колебаний весь-

Рис. 8. Период колебаний в зависимости от плотности шара

Рис. 8. Период колебаний в зависимости от плотности шара

ма незначительно меняется при существенной вариации плотности шара, что на пер

вый взгляд кажется неожиданным, поскольку, скажем, для простого линейного осциллятора период растет пропорционально квадратному корню из массы. Этому, однако, можно предложить простое объяснение. В рамках рассматриваемой невязкой модели из размерного анализа для больших чисел Фруда следует, что

сила сопротивления шара, равно как и возвращающая сила, при фиксированном отношении г/R должны быть пропорциональны pjV^R?. Это представляется также достаточно правдоподобным для реального течения в некотором диапазоне достаточно больших чисел Рейнольдса, по крайней мере такая зависимость имеет место для шара в безграничном потоке. Для того, чтобы удерживать более тяжелый шар, скорость струи около него должна возрастать как ^/рь, и, следовательно, возвращающая сила тоже возрастает пропорционально рь- Таким образом, возвращающая сила всегда оказывается пропорциональной массе шара, что обеспечивает постоянство горизонтального ускорения и, следовательно, периода колебаний при изменении плотности шара. Другими словами, жесткость такого осциллятора возрастает вместе с массой шара.

В заключение несколько слов о выборе численных параметров и сравнительных расчетах. В большинстве вычислений использовалась равномерная прямоугольная сетка с шагом h = 0, 2 или h = 0,4, в зависимости от диаметра струи. Шаг по времени т = = h(4. Начальное распределение частиц (а в процессе расчетов — распределение во входном сечении) было равномерным с шагом hp = 0,02 -У 0,05, в зависимости от толщины струи. Количество частиц N в области изменялось, в зависимости от варианта, от

Рис. 9. Вертикальное и горизонтальное смещение шара во времени для различного количества частиц

25000 до 150000. Характерное время расчета одного периода колебаний на компьютере AMD А1Ыоп-650мгц при использовании сетки с h = 0,4 составляет около Змии, для N = 26000 и 10мин. для 7V = 110000.

Что касается каких-то оценок точности вычислений, то здесь, помимо приведенной в §7.2 двумерной задачи и сравнения на разных сетках на рис. 5, были предприняты еще некоторые проверочные тесты. В частности, проверялась точность сохранения плотности среды. Дело в том, что точное сохранение плотности

в методе частиц, очевидно, имеет место только при т —> 0, бесконечно большом количестве частиц и гладких базисных функциях. В приведенных выше расчетах ситуация, мягко говоря, далека от этого идеала. Поэтому плотность вычислялась непосредственно как удельная масса частиц в кубике со стороной h в лобовой точке шара (точке максимального торможения) и на некотором расстоянии от него в сходящей струе. Ее отклонение от единицы составило около 10% для небольшого количества частиц и 5% в случае N = 105. Для сравнения, в двумерной задаче предыдущего параграфа при использовании квадратичных В-сплайнов это отклонение было менее 1%. Проверялось также влияние размера вычислительной области. Увеличение ее радиуса с 2,5 до 4 привело к изменению периода колебаний на 4%. Насышение по количеству частиц иллюстрирует рис. 9, где со

поставлены кривые горизонтального и вертикального смещения шара во времени для одного из вариантов при разных N.

Что касается физического меха

низма удержания шара струей, то описанные выше результаты свидетельствуют, что эффект удержания шара струей жидкости может быть смоделирован без учета вязких сил и привлечения дополнительных гипотез о положении точки отрыва. В отличие от двумерного случая, положение точки отрыва, близкое к диаметрально противоположному, которое обеспечивает появление возвращающей силы, получается здесь само собой. Следовательно природа этого феномена может быть объяснена в рамках динамики идеальной жидкости, и одно из таких объясне-

нии приводится ниже.

Рис. 10

Рассмотрим несимметричное стационарное обтекание закрепленного шара струей невязкой несжимаемой жидкости (рис. 10). Со-

гласно принципу Гаусса частицы жидкости должны двигаться так, чтобы минимизировать среднеквадратичное ускорение (интеграл от квадрата ускорения по области течения). Для больших чисел Фруда влиянием ускорения силы тяжести можно очевидно пренебречь. Далее, в интересующем нас случае тонких струй жидкость должна растекаться тонкой пленкой по поверхности шара (эффект Коанда). При этом почти во всей окрестности шара, за исключением небольших областей около точки встречи струи с шаром и точки отрыва, основным ускорением жидких частиц будет, очевидно, центростремительное ускорение. Для его минимизации частицы должны двигаться вдоль поверхности шара по траекториям наименьшей кривизны, т.е. геодезическим, которыми для шара являются большие круги. Тем самым (рис. 10), точка встречи частиц, в которой и происходит отрыв струи с поверхности, будет располагаться диаметрально противоположно точке встречи струи с шаром.

Возвращающая сила появляется вследствие закона сохранения импульса. Уходящая струя, очевидно, должна отклоняться в сторону смещения шара от оси исходной струи, двигаясь как минимум по нормали к поверхности. На самом деле ее отклонение должно быть, вероятно, еще сильнее, поскольку в идеализированном случае потенциального обтекания из-за обратимости задачи течение получается симметричным относительно плоскости, перпендикулярной диаметру, соединяющему точки присоединения и отрыва (Лаврентьев и Шабат, 1973). Тем самым, в результате взаимодействия с шаром, жидкость приобретает горизонтальный импульс и, следовательно, появляется сила, действующая на шар в обратном направлении. Отметим, что приведенные выше рассуждения о механизме движения точки отрыва струи существенно опираются на трехмерность рассматриваемого течения. В гипотетическом плоском случае обтекания цилиндра они не проходят.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Андреев В. К., Франк А.М. Об устойчивости течения Куэтта идеальной жидкости со свободными границами// ПМТФ. 1998. Т. 39, К9 5. С.99-105.

Аппель П. Теоретическая механика.—М.: Физматгиз, 1960. Т. 2.

Арделян Н.В.. Космачевский К. В., Чувашев С.Н. Перестройка треугольной лагранжевой сетки и пересчет сеточных функций при численном моделировании газодинамических течений// Деи. ВИНИТИ № 1229-85.

Арнольд В.И. Математические методы классической механики.—М.: Наука, 1974.

Барахнин В. Б., Хакимзянов Г.С. Численное моделирование косого наката уединенной волны// ПМТФ. 1999. К9 6. С. 17-25.

Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике.—М.: Наука, 1974.

Бейкер Дж., Грейвс-Моррис П. Аппроксимации Наде.—М.: Мир, 1986.

Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов.— М.: Мир, 1987.

Быховский Э.Б., Смирнов Н.В. Об ортогональном разложении пространства вектор-функций, квадратично суммируемых по заданной области, и операторах векторного анализа// Труды МИАН им. В.А.Стеклова. 1960. Т. 59. С. 5-36.

Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы.— Н.: Наука, 1983.

Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач.—Н.: Наука, 1981.

Вильгельми ТА. О струйном обтекании шара// ПМТФ. 1969. К9 5. С. 76-80.

Волкова Р.А., Круглякова Л.В. О моделировании рэлей- тейлоровской неустойчивости в несжимаемой жидкости в трехмерной постановке// Препринт К9 86 ИПМатем. АН СССР. 1985.

Гасилов В.А., Головизнин В.М. О численном моделировании рэлей- тейлоровской неустойчивости в несжимаемой жидкости/ / Препринт № 70 ИПМатем. АН СССР. 1979.

Глаголева Ю.П., Жогов Б.М., Кирьянов Ю.Ф. и др. Основы методики “Медуза”// ЧММСС. 1972. Т. 3, №2. С. 18-55.

Голдстейн Г. Классическая механика.—М.: Наука, 1975.

Гольдштик М.А. Вихревые потоки.—Н.: Наука, 1981.

Головизнин В.М.^ Самарский Л.Л., Фаворский А.И. Вариационный подход к построению конечно-разностных моделей в гидродинамике// ДАН СССР. 1977. Т. 235, №6. С. 1285-1288.

Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости.—М.: Наука, 1979.

Гуш;ин В.А., Коньшин В.И. Численное моделирование течений со свободной поверхностью// Тр. МФТИ. Сер. Аэрофизика и прикл. математика. 1981. С. 124.

Давлетшин В.Х. Силовое воздействие одиночных волн на вертикальные сооружения// Совещание по цунами: Тез.докл. Горький: НПФ АН СССР. 1984. С. 41.

Дьяченко В.Ф. Об одном новом методе численного решения нестационарных задач газовой динамики с двумя пространственными переменными// ЖВМиМФ. 1965. Т. 5, №4. С. 680-688.

Железняк М.И. Воздействие длинных волн на сплошные вертикальные преграды// Накат цунами на берег. Горький: НПФ АН СССР. 1985.

Завьялов Ю.Сп Квасов В.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн- функций.—М.: Наука, 1980.

Загрядская И.И., Иванова С.В. и др. Действие длинных волн на вертикальную преграду// Изв.ВНИИГ. 1980. Т. 138. С. 94.

Зак М.А. Неклассические проблемы механики сплошных сред.—Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1974.

Исаев В.Г, Карев В. КД Компаниец Л.А. и др. Численное моделирование в задачах волновой гидродинамики// Препринт К91. Красноярск: ВЦ СОАН СССР. 1990.

Коробицын В. А., Либин З.Е. Об одном численном методе решения нестационарных задач несжимаемой жидкости со свободной поверхностью// Динамика упругих и твердых тел, взаимодействующих с жидкостью. Томск: Томский ун-т. 1975. С. 60-66.

Кошур В.Д. Нелинейные дискретно-структурные модели и расчет динамической реакции многослойных композитных панелей при интенсивных распределенных и локализованных импульсных воздействиях// Механика композитных материалов. 1987. К9 4. С. 665-670.

Кошур В.Д., Мартьянов С.А. Метод виртуальных элементов и индивидуальных частиц для численного моделирования нестационарной динамики деформируемых сред// Деи. ВИНИТИ К9 771-В90. 1990.

Кроули У. FLAG — свободно-лагранжев метод для численного моделирования гидродинамических течений в двух измерениях// Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973. С. 135-145.

Кузьмичева ТВ., Новиков В. А., Федотова З.И. Сравнение некоторых методов сквозного счета при моделировании наката длинных волн на берег// Труды Всесоюзн. совещ. по числ. мет. волн, гидродин. Ростов-на-Дону. 1990. Красноярск: ВЦ СО АН СССР. 1991. С. 9-14.

Лаврентьев М.А. О некоторых задачах движения жидкости при наличии свободных поверхностей// ПММ. 1966. Т. 30. Кн. 1. С. 177182.

Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели.—М.: Наука, 1973.

Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях.—М.: Мир, 1981.

Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика, т. 1.—М.: Наука,1973.

Лоран П.-Ж. Аппроксимация и оптимизация.—М.: Мир, 1975.

Мансур Н.Н., Моин П., Рейнольдс УК., Ферцигер Ю.Х. Усовершенствованные методы моделирования крупных вихрей// Турбулентные сдвиговые течения 1.—М.: Машиностроение, 1982. С. 402-418.

Марчук А. Г., Чубаров Л.Б., Шокин Ю.И. Численное моделирование волн цунами—Н.: Наука, 1983.

Михайлова Н.В., Тишкин В.Ф., Тюрина Н.Н., Фаворский А.И., Шашков М.Ю. Численное моделирование двумерных газодинамических течений на сетке переменной структуры// ЖВМиМФ. 1986. Т. 26, №9. С. 1392-1406.

Николс Б. Дальнейшее развитие метода маркеров и ячеек для течений несжимаемой жидкости// Численные методы в механике жидкостей. М.: Мир, 1973. С. 165-173.

Новикова Н.В., Хакимзянов Г. С. О численном расчете потенциальных течений идеальной несжимаемой жидкости со свободной границей// Деи. ВИНИТИ №2451-В90. 1990.

Овсянников Л. В. Общие уравнения и примеры// Задачи о неустано- вившемся движении жидкости со свободной границей. Новосибирск: Наука, 1967. С. 5-75.

Овсянников Л.В. Параметры кноидальных волн// Проблемы математики и механики. Н.: Наука, 1983. С. 150-175.

Овчинникова Е.В., Франк А.М. О свойствах аппроксимации одной дискретной модели несжимаемой жидкости (в печати).

Паутов В.Н.. Франк А.М. Алгоритм построения ячеек Дирихле для задач со свободными границами/ / Математические модели и методы решения задач механики сплошной среды. Красноярск: ВЦ СО- АН СССР, 1986. С. 113-117.

Паутов В.П.. Франк А.Мп Шарая И.А. О методике расчета движения несжимаемой жидкости со свободной границей на сетке Дирихле/ / Препринт К916 ВЦ СО АН СССР. 1987.

Паутов В.Н., Франк А.М. Алгоритм построения сетки Дирихле для нестационарных задач на основе локальных перестроек // ЖВМиМФ. 1988. Т. 28, №11. С. 1730-1734.

Паутов В.Н.. Франк А.М. Дискретная модель несжимаемой жидкости с частицами переменной массы// Труды Всесоюзн. совещ. по числ. мет. волн, гидродин. Ростов-на-Дону. 1990. Красноярск: ВЦ СОАН СССР. 1991. С. 80-86.

Полежаев В. И.. Простомолотов А. И., Федосеев А.И. Метод конечных элементов в механике вязкой жидкости/ / Итоги науки и техники, сер. МЖГ. М.: ВИНИТИ, 1987. С. 3-92.

Протопопов Б.Е. Численное моделирование поверхностных волн в канале переменной глубины// Динамика сил. среды. №84. С.91- 105.—Новосибирск, 1988

Рождественский Б. Л.. Симакин И.Н. Устойчивость течения Пуа- зейля относительно конечных возмущений// ЧММСС. 1982. Т. 13, №4. С. 89-128.

Серебренникова О.А., Франк А.М. Численное моделирование отражения Маха для уединенных волн// ПМТФ. 1993. №5. С. 15-24.

Соловьев А.В., Соловьева Е.В., Тишкин В.Ф. и др. Об одном алгоритме построения ячеек Дирихле// Препринт № 68 ИПМ АН СССР. 1985. 31с.

Соловьев А.В., Соловьева Е.В., Тишкин В.Ф. и др. Метод ячеек Дирихле для решения газодинамических уравнений в цилиндрических координатах// Препринт №80 ИПМ АН СССР. 1986. 32 с.

Софронов И.Д. О численном решении уравнения теплопроводности на неортогональной сетке// Тр. Моск, междунар, матем. конгресса. Секц. 14.-М., 1966.

Стурова И. В. Численные расчеты в задачах генерации плоских поверхностных волн// Препринт К9 5, Красноярск: ВЦ СОАН СССР,. 1990. 48 с.

Темам Р. Уравнения Навье-Стокса.—М.: Мир, 1981.

Терентьев А.Г.. Афанасьев К.Е. Численные методы в гидродинамике.—Чебоксары: Чуваш, ун-т, 1987. 80 с.

Фаворский А.П. Вариационно-дискретные модели уравнений гидродинамики// Дифференциальные уравнения. 1980. Т. XVI, К9 7. С.1308-1321.

Франк А.М., Яненко Н.Н. Дискретная модель несжимаемой жидкости// Применение ЭВМ в моделировании задач математической физики. Красноярск: ВЦ СОАН СССР, 1985. С. 133-144.

Франк А.М. Двумерное стохастическое решение для дискретной модели несжимаемой жидкости/ / Математические модели и методы решения задач механики сплошной среды. Красноярск: ВЦ СОАН СССР, 1986. С. 113-117.

Франк А.М. Полностью консервативный численный алгоритм для дискретных моделей несжимаемой жидкости/ / Моделирование в механике. Новосибирск, 1987. Т. 1 (18), К9 5. С. 134-144.

Франк А.М. Численное моделирование уединенных поверхностных волн в рамках дискретной модели несжимаемой жидкости// ПМТФ. 1989. №3. С. 95-101.

Франк А.М., Огородников Е.И. Консервативный свободнолагранжев метод для несжимаемой жидкости// Деи. ВИНИТИ №2123-В92. 1992.

Франк А.М., Огородников Е.И. Метод частиц для несжимаемой жидкости// ДАН. 1992. Т. 326, №6. С. 958-962.

Франк А.М. Дискретная нелинейно-дисперсионная модель мелкой воды// ПМТФ. 1994. №1. С. 34-42.

Франк А.М. Численное моделирование эффекта удержания цилиндра струей жидкости// ДАН. 1997. Т. 357, К9 2. С. 195-198.

Франк А.М. Численное моделирование удержания шара струей жидкости// ДАН. 1999. Т. 365, №3. С. 346-349.

Хакимзянов Г. С. О численном моделировании на адаптивных сетках трехмерных течений жидкости с поверхностными волнами// Труды Всесоюзн. совещ. по числ. мет.волн. гидродин. Ростов-на-Дону, 1990. Красноярск: ВЦ СОАН СССР, 1991. С. 103-108.

Харлоу Ф. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики// Вычислительные методы в гидродинамике.—М.: Мир, 1967. С.316-342.

Херт С. Произвольный лагранжево-эйлеров метод// Численные методы в механике жидкостей.—М.: Мир, 1973. С. 156-164.

Христианович С. А.. Михлин С.Г., Девисон Б.Б. Некоторые новые вопросы механики сплошной среды.—М., Л.: ГОНТИ, 1938.

Чен Р., Стрит Р., Фромм Дж. Численное моделирование волн в воде — развитие метода SUMMAC// Численные методы в механике жидкостей.—М.: Мир, 1973. С. 183-188.

Яненко Н.Н.. Франк А.М. О свойствах осредненного движения упругой одномерной решетки и движении мезообъектов// Препринт К914 ИТПМ СОАН СССР. 1980. 18 с.

Amsden A.A., Harlow F.H. The SMAC method: A numerical technique for calculating incompressible fluid flows// Los Alamos Scient. Lab. Rep. NLA-4370. 1970.

Augenbaum J.M. A lagrangian method for the shallow water equations based on a Voronoi mesh. One dimensional results// J. Comput. Phys. 1984. V.53, №2. P. 240-265.

Augenbaum J.M. A lagrangian method for the shallow water equations based on a Voronoi mesh —Flows on a rotating sphere// Lecture Notes in Physics. Springer-Verlag. 1985. V. 238, №2. P. 54-86.

Augenbaum J.M., Peskin C.S. On the construction of the Voronoi mesh on a sphere// J. Comput. Phys. 1985. V. 59, N9 2. P. 177-192.

Batchelor G.K. Computation of the energy spectrum in homogeneous two-dimensional turbulence// Phys. Fluids Suplement II. 1969. P. 233239.

Brackbill J.U., Kothe D.B., Ruppel H.M. Flip: A low-dissipation. Particle-in-cell method for fluid flow// Comp. Phys. Commun. 1988. V.48. P. 25-38.

Brackbill J.U., Kothe D.B., Zemach C. A continuum method for modelling surface tension// J. Comput. Phys. 1992. V. 100, N9 2. P. 335354.

Brennen C. Some numerical solutions of unsteady free surface wave problems using the Lagrangian description of the flow// Lect.Notesin Phys. 1971. V.8. P. 403-409.

Borgers C.. Peskin C.S. A Lagrangian method based on the Voronoi diagram for the incompressible Navier-Stokes equations on a periodic domain// Leet. Notes in Phys. 1985. V. 238. P. 87-113.

Borgers C.. Peskin C.S. A Lagrangian fractional step method for the incompressible Navier-Stokes equations on a periodic domain // J. Comp. Phys. 1987. V. 70. P. 397-438.

Chan R., Street R. A computer study of finite-amplitude water waves// J. Comp. Phys. 1970. V. 6. P. 68.

Clark R.A. Compressible lagrangian hydrodynamics without lagrangian cells// Leet. Notes in Phys. 1985. V. 238, 281-294.

Clark R.A. The evolution of HOBO// Comp. Phys. Communication. 1988. V.48. P. 61-64.

Dahmen W.A., Micchelli C.A. On the linear independence of multivariate B-splines, I. Triangulations of Simploids// SIAM J. Num. Analysis. 1982. V. 19, №5. P. 993-1012.

Dahmen W.A., Micchelli C.A. On the linear independence of multivariate B-splines, II: Complete Configurations// Math. Comput. 1983. V. 41, № 163, P. 143-164.

Daubert 0., Hauguel A., Cahouet J. Waterwaves calculation by Navier- Stokes equations// Proc. XVIII Coast. Eng. Conf. Cape Town, New York. 1982. V. 1. P. 832-845.

Deissler R.G. Turbulent solutions of the equations of fluid motion// Rev. Modern Phys. 1984. V. 56, № 2, Part 1. P. 223-254.

Erlebacher G. Finite difference operators on unstructured triangular meshes// Leet. Notes in Phys. 1985. V. 238. P. 22-53.

Ertekin R.C., Webster W.C., Wehausen J. V. Waves caused by a moving disturbance in a shallow channel of finite width// J. Fluid Meeh. 1986. V. 169. P. 275-292.

Fenton J.D., Rienecker M.M. К Fourier method for solving nonlinear water-wave problems: application to solitery-wave interactions // J. Fluid Meeh. 1982. V. 118. P. 411.

Frank A.M., Pautov V.N. On discrete model of inviscid incompressible fluid// Proc. Sci. Seminar on Ship Hydrodynamics, BSHC. Varna. 6-11 Oct. 1986. V. 1. P. 17.1-17.5.

Frank A.M. Numerical simulation of solitary surface waves by discrete incompressible fluid model// Proc. USSR-Japan Symp.CFD, Khabarovsk, 9-16 Sept. 1988.-M.: ВЦ АН СССР, 1989. T.3. C.122-128.

Frank A.M. Particles method for incompressible flows with a free surface// Proc, of the 1st Asian CFD conf. (16-19 Jan 1995, Hong Kong), ed. W.H.Hui et all. V.3. P. 1195-1199.

Frank A.M. Particle Method for Water Waves Simulations// Proc, of the 3rd int. conf, on math, and num. aspects of wave propag. phenomena (24-28 April 1995, France), ed. G. Cohen, SIAM. P. 96-103.

Frank A.M. On new mode of wave generation by moving pressure disturbance// Proc, of 12th Int. Workshop on water waves and floating bodies, Carry-le-Rouet (France), 16-19 March 1997. P. 81-83.

Frank A.M. Numerical simulation of liquid jet holding a cylinder// Int. J. of CFD. 1998. V. 10. P. 315-320.

Frank A.M. Discrete modelling of a liquid jet suspending a ball// Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 2000. V. 15, №2. P. 145-161.

The Free-Lagrange Method// Lecture Notes in Physics, SpringerVerlag. 1985. V. 238.

Fritts M.J. Two-dimensional Lagrangian fluid dynamics using triangular grids// Finite-difference techniques for vectorised fluid dynamics calculations.—Berlin: Springer-Verlag, 1981. P. 98-116.

Fultz D. An experimental note on finite-amplitude standing gravity waves// J. Fluid Meeh. 1962. V. 13. P. 193-212.

Funakoshi M. Reflexion of obliquely incident solitary waves// J. of Phys. Soci. of Japan. 1980. V. 49, № 6. P. 2371-2379.

Fyfe D.E.. Oran E.S., Fritts M.J. Surfase tension and viscosity with Lagrangian hydrodynamics on a triangular mesh// J. Comp. Phys. 1988. V.76. P. 349-384.

Green A.E., Naghdi P.M. A derivation of equations for wave propagation in water of variable depth// J. Fluid Meeh. 1976. V. 78. P.237-246.

Green P.J.. Sibson R. Computing Dirichlet Tessellations in the Plane// The Comput. Journal. 1978. V. 21. P. 168-173.

Hall J.Vn Watts J.W. Laboratory investigation of the vertical rise of solitary waves on impermeable slopes. Tech. Memo. 33, Beach Erosion Board, US Army Corps of Engineers. 1953. p. 14.

Harlow F.H., Welch J.E. Numerical study of large amplitude free surface motion// Phys. Fluids. 1965. V. 9. P. 842.

Heitner K.L.. Housner G. W. Numerical model for tsunami run-up. Proc.ASCE. 1970. WW3. P. 701-719.

Herivel J. W. The derivation of the equations of motion of an ideal fluid by Hamilton’s principle// Proc. Cambridge Philos. Soc. 1955. V. 51. P.344-349.

Hirt C. W., Cook J.L., Butler T.D. A Lagrangian method for calculating the dynamics of an incompressible fluid with free surface// Труды секции по численным методам в газовой динамике. II Международный коллоквиум по газодинамике взрыва и реагирующих систем.—М.: ВЦ АН СССР, 1971. Т. 2.

14 Франк А.М.

Hirt С. W.^ Nichols B.D. Volume of fluids (VOF) method for the dynamics of free boundaries// J. Comp. Phys. 1981. V. 39. P. 201-225.

Kawahara M.. Miwa T. Finite element analysis of wave motion// Int. J. Numer. Meeh. Eng. 1984. V. 20. P. 1193-1210.

Kim S.K., Liu P.L-F., Liggett J.A. Boundary integral equation solutions for solitary wave generation, propagation and runup// Coastal Engineering. 1983. V. 7. P. 299-317.

Kirkpatrick R.C. Nearest neighbor algorithm// Leet. Notes in Phys. Springer-Verlag, 1985. V. 238. P. 302-309.

Lee S.-J., Grimshaw R.H.J. Upstream-advancing waves generated by three-dimensional moving disturbances// Phys. Fluids A. 1990. V. 2, №2. P. 194-201.

Lilly D.K. Numerical simulation of two-dimensional turbulence// Phys. Fluids Suplement II. 1969. P. 240-249.

Longuet-Haggins M.S., Cokclct E.D. The deformation of steep surface waves on water// Proc. Roy. Soc. 1976. V. 350. P. 1-26.

Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow// J.Atmos.Sci. 1963. V.20. P.130.

Losada M.A., Vidal C.. Medina R. Experimental study of the evolution of solitary wave at an abrupt junction// J. Geophys. Res. 1989. V. 94, №C10,. P.14, 557-14, 566.

Maxworthy T. Experiments on collisions between solitary waves // J. Fluid Meeh. 1976. V. 76, 177.

Mei С. C. Radiation of solitons by slender bodies advancing in a shallow channel// J. Fluid Meeh. 1986 V. 162, 53-67.

Melville W.K. On the Mach reflexion of a solitary wave// J. Fluid Meeh. 1980. V.98, part 2. P. 285-297.

Meyling G. An Algorithm for constructing configurations of knots for bivariate B-splines// SIAM J. Num. Analysis. 1987. V. 24, № 3. P. 706-724.

Meyling G. Approximation by cubic C1 -splines on arbitrary triangulations// Num. Math. 1987. V. 51, Fasc. 1. P. 65-86.

Miles J.W. Resonantly interacting solitary waves// J. Fluid Meeh. 1977. V. 79, part 1. P. 171-179.

Miles J.W. Solitary waves// Ann. Rev. Fluid Meeh. 1980. V. 12. P.11-43.

Mizumura K. Nonlinear wave transformation// “Boundary Elements VIII” : Proc. Sth Int. Conf. Tokyo. Sept. 1986. V. 2. Berlin e.a. 1986. P.525-534.

Monaghan J. J. Smoothed Particle Hydrodynamics// Annual Review of Astronomy and Astrophysics. 1992. V. 30. P. 543-574.

Orszag S.A., Kells L.C. Transition to turbulence in plane Poiseuille and plane Couette flow// J. Fluid Meeh. 1980. V. 96. P. 159-205.

Pedersen G., Gjevik B. Run-up of solitary waves// J. Fluid Meeh. 1983. V. 135. P. 283-290.

Pedersen G. Three-dimensional wave patterns generated by moving disturbances at transcritical speeds// J. Fluid Meeh. 1988. V. 196. P.39-63.

Perroud P.H. The solitary wave reflection along a straight vertical wall at oblique incidence. PhD thes. Univ. Calif., Berkeley, 1957.

Ramaswamy B.. Kawahara M.. Nakayama T. Lagrangian finite element method for the analysis of two-dimensional sloshing problems// Int. J. Numer. Methods Fluids. 1986. V. 6. P. 659-670.

Ramaswamy B., Kawahara M. Arbitrary lagrangian-eulerian finite element method for unsteady, convective, incompressible viscous free surface fluid flow// Int. J. Numer. Methods Fluids. 1987. V. 7. P.1053-1075.

Reynolds 0. On the suspension of a ball by a jet of water // Proc. Manchester Lit. Phil. Soc. 1870. V. 9. P. 115-120.

Salmon R. Hamiltonian fluid mechanics// Ann. Rev. Fluid Meeh. 1988. V. 20. P. 225-256.

Seabra-Santos F.J., Renouard D.P.^ Temperville A.M. Numerical and experimental study of the transformation of a solitary wave over a shelf or isolated obstacle// J. Fluid Meeh. 1987. V. 176. P. 117-134.

Seliger R.L., Whitham G.B. Variational principles in continuum mechanics// Proc. Roy. Soc. 1968. A 305. P. 1-25.

Schwartz L. W. Computer extension and analytic continuation of Stokes’ expansion for gravity waves// J. Fluid Meeh. 1974. V.62, part 3. P. 553-578.

Stoker J.J. Water waves.—N.Y.: Interscience, 1953.

Sussman M.. Smereka P. Axisymmetric free boundary problems // JFM,. 1997. V.341. P. 269-294.

Synolakis G.E. The runup of solitary waves// J. Fluid Meeh. 1987. V. 185. P. 523-545.

Tadjbakhsh I., Keller J.B. Standing surface waves of finite amplitude// J. Fluid Meeh. 1960. V. 8. P. 442-451.

Tanaka М. Mach reflection of a large-amplitude solitary wave// J. Fluid Meeh. 1993. V. 248. P. 637-661.

Trease H.E. Three-dimensional free lagrangian hydrodynamics // Leet. Notes in Phys. Springer-Verlag. 1985. V. 238. P. 145-157.

Trease H.E. Three-dimensional Free-Lagrange hydrodynamics // Comp. Phys. Commun. 1988. V.48. P. 39-50.

Vanden-Broeck J.-M.^ Schwartz L.W. Numerical calculation of standing waves in water of arbitrary uniform depth// Phys. Fluids. 1981. V.24, №5. P. 812-815.

Wiegcl R.L. Oceanographical engineering.—Prentice-Hall, 1964.

Научное издание

ФРАНК Александр Максович

ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИНЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Редактор Е.С. Артоболевская

Оригинал-макет А.Л. ЖигареваОформление А.А. Логунова

ЛР №071930 от 06.07.99.

Подписано в печать 25.10.01. Формат 60x90/16.Бумага офсетная. Печать офсетная.

Усл. печ. л. 14. Уч.-изд. л. 15.

Тираж 400 экз. Заказ №Издательская фирма« Физико-математическая литература»117864 Москва, ул. Профсоюзная, 90

Отпечатано с готовых диапозитивовв ППП «Типография «Наука»121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6

ISBN 5 -9221 -0190-0

УДК 532.12ББК 22.253Ф83УДК 532.12ББК 22.253Ф83ISBN 5-9221-0190-0ISBN 5-9221-0190-0© ФИЗМАТЛИТ, 2001© А.М. Франк, 2001© ФИЗМАТЛИТ, 2001© А.М. Франк, 2001

УДК 532.12

ББК 22.253

Ф83

УДК 532.12

ББК 22.253

Ф83

ISBN 5-9221-0190-0

ISBN 5-9221-0190-0

© ФИЗМАТЛИТ, 2001

© А.М. Франк, 2001

© ФИЗМАТЛИТ, 2001

© А.М. Франк, 2001

f Издание осуществлено при поддержке И Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 01-01-14037д

Ф р анк А. М. Дискретные модели несжимаемой жидкости. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. - 224 с. - ISBN 5-9221-0190-0.

Монография посвящена сравнительно новому направлению вычислительной гидродинамики. Дискретные модели несжимаемой жидкости представляют собой конечномерные математические модели, получаемые непосредственно из вариационных принципов классической механики, и предназначенные для численного моделирования движения несжимаемого континуума. Книга, в сущности, демонстрирует некоторый новый подход, в котором с единых позиций строятся эффективные численные методы для различных классов задач динамики несжимаемой жидкости со свободной границей. Приводятся примеры расчетов от простейших задач для длинных волн и солитонов, до трехмерных течений со свободной границей. Построенные методы позволили численно смоделировать некоторые нетривиальные гидродинамические эффекты, среди которых — маховское отражение уединенных волн и удержание шара вертикальной струей жидкости. Для физиков, математиков, механиков, включая аспирантов и студентов университетов.

Табл. 8. Ил. 127. Библиогр. 151 назв.

Введение 5