ОТ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА

Теория вязких течений несжимаемой жидкости представляет собой один из важнейших для практики и наиболее интересный дли математических исследований раздел гидродинамики. Не слу- мийио именно в задачах динамики вязких течений Лерэ и Шау- дером были сделаны первые шаги по применению методов функционального анализа, а в последнее время уравнения Навье — Стокса (чили одним из первых объектов применения численных методов. Многие из задач динамики вязкой жидкости, например задача о численном исследовании течений при больших до- и закритиче- । них числах Рейнольдса, вплоть до настоящего времени не решены и настоятельно требуют своего решения.

Предлагаемая вниманию читателей книга известного француз- । кого математика Роже Темама посвящена достаточно обстоятельному изложению вопросов теории и в особенности вычислительным аспектам задач динамики вязкой несжимаемой жидкости.

В книге приведены необходимые для понимания существа де- 1М и местные результаты о существовании, единственности и ре- i улярпости решений уравнений Навье—Стокса. Вместе с тем приводится большое число соответствующих дискретных аппроксимаций дифференциальных задач: метод конечных разностей, метод конечных элементов, экономичные разностные схемы.

Ра (умное сочетание строгости и доступности изложения мате- рнала делают монографию Р. Темама весьма полезной не только дли научных работников, интересующихся численными методами динамики вязких течений, но и для аспирантов и студентов ( Пфших курсов университетов.

Об актуальности данной книги свидетельствует тот факт, что уже через два года после ее появления (1977 г.) вышло второе, исправленное и дополненное издание (1979 г.), с которого и выполнен настоящий перевод. Работа над переводом была суще- стпеппо ускорена благодаря тому, что Р. Темам любезно предос- гинил нам полный список изменений, исправлений и дополнений, «несенных им в текст первого издания. Мы искренне признательны ему за это.

■ Н. Н. Я ненка ■ Б. Г. Кузнецов

ПРЕДИСЛОВИЕ

В настоящей книге мы изложим ряд результатов, касающихся теории и численного анализа уравнений Навье — Стокса, которые описывают движение вязкой несжимаемой жидкости.

Нас будут интересовать следующие две темы: с одной стороны, описание известных результатов о существовании, единственности и, иногда, регулярности решений в линейном и нелинейном, стационарном и нестационарном случаях; с другой стороны, аппроксимация этих задач с помощью дискретизации конечноразностными методами и методами конечных элементов по пространственным переменным, конечно-разностными методами и методами дробных шагов по времени.

Вопросы устойчивости и сходимости соответствующих численных схем рассмотрены со всей возможной полнотой. При этом мы не ограничиваемся одними теоретическими аспектами; в частности, в приложении подробно описывается, как запрограммировать один из приведенных в основном тексте методов. Фактически многие из изучаемых в книге методов применялись на практике; однако у нас нет возможности излагать подробности эффективной вычислительной реализации всех этих методов. Что же касается теоретических результатов (существование, единственность и т. д.), то мы представили лишь самые основные из них, и ни один из этих результатов не нов; тем не менее мы попытались, насколько это было возможно, дать простое и независимое их изложение. Энергетический метод и метод компактности являются центральными для двух интересующих нас тем и служат естественным связующим звеном между ними.

Дадим более подробное описание содержания книги. Мы рассматриваем вначале линеаризованные стационарные уравнения (глава 1), затем нелинейные стационарные уравнения (глава 2) и, наконец, полные нелинейные эволюционные уравнения (глава 3). На каждом этапе мы вводим в дело новые математические средства, полезные сами по себе и подготавливающие последующие шаги.

В главе 1 после краткого изложения результатов о существовании и единственности мы описываем аппроксимацию задачи Стокса £ помощью различных конечно-разностных и конечно-

элементных методов. Тем самым нам представляется удобный случай для введения различных методов аппроксимации соленоидальных вектор-функций, которые (методы) важны также при рассмотрении численных аспектов задач, изучаемых в главах 2 и 3.

В главе 2 приводятся результаты о компактности как для непрерывного, так и для дискретного случаев. Затем распространяются на нелинейный случай результаты, полученные в предыдущей главе для линейных уравнений. Глава завершается доказательством неединственности решения стационарных уравнений Навье—Стокса, основанным на теории бифуркаций и топологических методах; изложение этого вопроса по существу не зависит от предыдущего.

В главе 3 рассматриваются полные нелинейные эволюционные уравнения. Вначале представлено несколько результатов, позволяющих судить о современном состоянии математической теории уравнений Навье —Стокса (теоремы существования и единственности). Затем дается краткое введение в численные аспекты задачи; здесь мы комбинируем дискретизацию по пространственным переменным, обсуждаемую в главе 1, с обычными методами дискретизации по временной переменной. Вопросы устойчивости и сходимости изучаются энергетическим методом. Рассмотрены также метод дробных шагов и метод искусственной сжимаемости.

Приведенного краткого описания содержания достаточно, чтобы понять, что эта книга никоим образом не претендует на роль систематического исчерпывающего трактата по данному предмету. Здесь мы не касаемся многих аспектов теории уравнений Навье —Стокса. Ничего не сказано о целом ряде интересных подходов к задачам существования и единственности, таких как методы полугрупп, сингулярных интегральных операторов, рима' новых многообразий. Что касается численных аспектов задачи, то мы не рассматриваем ни метод частиц, ни родственные ему методы, разработанные в Лос-Аламосской лаборатории.

Кроме того, мы строго ограничиваемся уравнениями Навье — Стокса, совсем не касаясь широкого круга других задач, которые можно изучать теми же методами. Не касаемся мы и трудных задач, связанных с турбулентностью и течениями при больших числах Рейнольдса.

• Материал этой книги читался в Мэрилендском университете в первом семестре 1972 — 73-го учебного года как часть годового курса по уравнениям Навье—Стокса и нелинейным уравнениям в частных производных. Записи этих лекций, изданные Мэрилендским университетом', представляют собой первый вариант данной книги.

1 См. Темам [9].—Прим. ред.

Я чрезвычайно признателен моим коллегам с математического факультета и из Института гидродинамики и прикладной математики при Мэрилендском университете за интерес, проявленный к изданию этих лекционных заметок. Непосредственный вклад в подготовку рукописи внесли Арлетт Уильямсон и профессора Дж. Осборн, Дж. Сэзер и Ф. Уолфи; я благодарен им за исправление моих ошибок в английском и ценные замечания и советы, способствовавшие улучшению рукописи. Рядом полезных указаний я обязан также г-же М. Пелисье, М. Фортэну и Ф. То- массэ. Наконец, я хотел бы выразить благодарность секретарям математических факультетов Мэрилендского и Орсэйского университетов за помощь при подготовке рукописи.

ГЛАВА I

СТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ СТОКСА

Введение

В этой главе мы изучим стационарные уравнения Стокса, т. е. стационарную линеаризованную форму уравнений Навье — Стокса. Изучение уравнений Стокса полезно само по себе, а также позволит нам ввести некоторый аппарат, необходимый для исследования полных уравнений Навье — Стокса.

В § 1 рассматривается ряд функциональных пространств (пространства соленоидальных вектор-функций с компонентами из L?Y В § 2 мы даем вариационную формулировку для уравнений Стокса и доказываем существование и единственность решений с помощью проекционной теоремы. В § 3 и 4 напоминаются некоторые определения и результаты по аппроксимации нормированных пространств и линейных вариационных уравнений (§ -3). Затем мы описываем несколько способов аппроксимации некоторого, играющего фундаментальную роль в последующем изложении, пространства V соленоидальных вектор-функций, включающих в себя аппроксимацию посредством метода конечных разностей (§ 3) и посредством согласованного и несогласованного методов конечных элементов (§ 4). В § 5 обсуждаются конкретные аппроксимационные алгоритмы для уравнений Стокса и соответствующие им дискретные уравнения. Эти алгоритмы вводятся для преодоления затруднений, связанных с условием divM = 0. Как будет показано, преодолеть эти затруднения иногда не просто. '

Наконец, в § 6 мы изучим линеаризованные уравнения слабо сжимаемой жидкости и их асимптотическую сходимость к линейным уравнениям несжимаемой жидкости (т. е. к уравнениям Стокса).

Некоторые функциональные пространства

В этом параграфе мы введем и изучим некоторые основные функциональные пространства. Эти результаты важны для дальнейшего, но методы, используемые в данном параграфе, в дальнейшем не применяются, так что читатель может бегло просмот-

реть доказательства и запомнить лишь общие обозначения,, описанные в п. 1.1, и результаты, подытоженные в замечании 1.6.

Обозначения. В евклидовом пространстве R” мы обозначаем через ех = (1, 0, ..., 0), е2 = (0, 1,0, ..., 0), .... еп = = (0, ..., 0, 1) канонический базис и через х = (хп ..., х„),

J—(ух, • • ^ У^ z = k2v •••> z„), ...—точки пространства. Дифференциальный оператор

обозначается через Db и если j = (ji, .... /„) —мультииндекс, то Dj — это дифференциальный оператор

я IЛ

Di = Dh ... Dm= —°—(i.i)

1” dxh ... дх!п'v '

1п.

где

I/I—/\+• • •+/V(1-2)

Если /,. = 0 для некоторого I, то Ор— тождественный оператор; в частности, если |/| = 0, то Di — тождественный оператор.

Множество Q. Пусть Q —открытое множество' в R" с границей Г (рис. 1). Нам потребуется, чтобы Q обладало некоторыми свойствами гладкости. Иногда мы будем предполагать, что £2является гладким в следующем смысле:

Граница Г есть (п—1)-мерное многообразие класса ^ (значение г ^ 1 должно быть уточнено), и Q расположено локально по одну сторону Г.(1.3)

' Часто в качестве синонима слова „множество" мы будем в настоящем переводе использовать слово „область". Автор всюду употребляет термин set (множество).— Прим, персе.

Мы будем говорить, что область й, удовлетворяющая условию (1.3), принадлежит классу <6Г. Однако это условие слишком сильно для многих практических приложений (например, при рассмотрении течения в канале прямоугольного сечения), и все основные результаты будут доказаны нами при более слабом условии:

Граница области й локально-липшицева.(1.4)

Это означает, что Г в окрестности любой своей точки х допускает представление в виде гиперповерхности yn = 9(yi, ..., уп_^, где О удовлетворяет условию Липшица, a (z/^ ..., z/„) —координаты в R" в некотором ортогональном базисе, который может отличаться от канонического базиса ev, ..., е„.

Конечно, если область й принадлежит классу Й1, то она ло* кально-липшицева.

Для последующего полезно отметить тот факт, что область Й, удовлетворяющая условию (1.4), локально-звездна. Это означает, что каждая точка Ху^Г имеет открытую окрестность бу, такую что множество б/ = ЙПб) звездно относительно одной из своих точек. Более того, согласно (1.4) мы можем при этом предполагать, что граница 6) липшицева.

Если граница Г ограничена, то ее можно покрыть конечным семейством таких областей бу, / € /; если Г не ограничена, то семейство (6у)/еу может быть выбрано локально-конечным.

Всюду далее предполагается, что Й удовлетворяет условию (1.4), если только явно не сказано, что й—произвольное открытое множество в R” или же не наложены какие-нибудь другие требования гладкости.

. Lp и пространства Соболева. Пусть Й — произвольное открытое множество в R". Через L?^, 1<р<+оо, (соотв. L" (й)) обозначим пространство определенных на й вещественных функций, абсолютно интегрируемых с р-й степенью (соотв. существенно ограниченных) по лебеговой мере dx^dx^.. dx„. Это пространство с нормой

|«(x)|?dxj ,(1.5)

СООТВ.

||»!к-(й> = ess sup | «(х)|, Q

является банаховым пространством. При р = 2 мы получаем гильбертово пространство Р(й) со скалярным произведением

(я, у)= u(x)v(x) dx.(1.6)

. Пространство Соболева й^"1'р(Й) —это пространство функций из ^(й), все частные производные которых до порядка т включи-

тельно принадлежат ^(Й) (m —целое, l^p^ + oo). Это —банахово пространство с нормой

11«1^т.,(й)=^.^т1|^«^(й))1/₽-(L7)

При р — 2 пространство №'”-2 (Й) = /7™ (й) представляет собой гильбертово пространство со скалярным произведением

((«, y))//m(Q>= 2 Ф^и, Di<oY(1-8)

I / 1 < rn

Пусть ®(й) (соотв. ®(Й)) обозначает пространство функций класса ^” с компактным носителем, содержащимся в й (соотв. й). Замыкание ®(й) в 1ГМ’Р(Й) обозначим через М^’^й) (через ^(Й) при p-^Y

Мы напомним, когда это потребуется, классические свойства этих пространств, такие как теоремы о плотности или теоремы о следах (при соответствующих предположениях о регулярности й).

Мы часто будем иметь дело с «-мерными вектор-функциями, компоненты которых принадлежат одному из определенных выше пространств. Будем использовать обозначения

LP (Й) = ^Lp (й)}", Wm’ р (й) = {Fm' р (й)}п, Н'Ч^=\нт№, S)^) Н^й)}*.

Предполагается, что эти произведения пространств снабжены обычной нормой произведения или какой-нибудь эквивалентной нормой (за исключением Й)(Й) и ®(й), которые не являются нормированными пространствами).

Наиболее часто мы будем использовать следующие пространства :

/?(Й), L4^, m^Y Hl(Q).

Скалярное произведение и норму в Л2(й) или £2(Й) будем обозначать через (■, •) и |-1, в //{(Й) и //Цй) —через [•, •] и [■].

Напомним, что если й ограничено в некотором направлении 1 , то имеет место неравенство Пуанкаре

I! и 'Ф (И) ^ с (Й)‘|1 Du |i/_2 jQ) Уя б Но (Й),(1-9)

где D — производная"‘в этом направлении, а с (Й) —константа, зависящая только от Й (ограниченная величиной 2/, где / —диа-

'• То есть Й лежит внутри „полосы", ограниченной двумя гиперплоскостями, ортогональными к этому направлению. Минимальное расстояние между такими парами гиперплоскостей называется толщиной (или шириной) Й в соответствующем направлении.

метр й или толщина й в каком-либо направлении). В этом случае норма [•] в НЦф (или в //£(Й)) эквивалентна норме

(Л\1/4

(1.10)(1.10)2 1^«М

(1.10)

(1.10)

/=1/

Пространство Щ (Й) (соотв. Щ (Й)) является также гильбертовым пространством с ассоциированным скалярным произведением

(l.H)(l.H)^и, ®)) = 2 Ф^. D^. z = i

(l.H)

(l.H)

Это скалярное произведение и эту норму в Н^ (й) и Щ (й) (где Й ограничена в некотором направлении) будем обозначать через ((•. ')) и М-

Пусть ^— следующее пространство (без топологии):

^=^£2)^, div« = 0}.(1.12)

Замыкание Т3 в L? (й) и в Щ (Й) дает два основных пространства при изучении уравнений Навье —Стокса; мы обозначим их через Н и V. Результаты настоящего параграфа позволят нам дать некоторую характеризацию этих пространств.

Теорема о плотности. Пусть Е (й) — следующее вспомогательное пространство:

£(Й) = {«€£2(Й), div и € Ь2 («)}.'

Будучи снабжено скалярным произведением

((«, о))ещ = («, ®) + (div и, div®),(1-13)

оно становится гильбертовым пространством. Очевидно, (1.13) есть скалярное произведение в Е (й), и легко видеть , что Е (Й) полно в ассоциированной норме

' ||«||Е (Q) — {((«, «))е(П)}1/3.

Нашей целью является доказательство некоторой теоремы о следе: для вектор-функции «££(й) можно определить значение на Г ее нормальной компоненты их (v — единичный вектор нормали к границе). Мы будем использовать классический метод Лионса — Мадженеса [1]. Начнем с доказательства следующей теоремы.

Если ит—последовательность Коши в Е(Й), то ит будет также последовательностью Коши в Е1 (£2); ит сходится к некоторому пределу и в

Теорема 1.1. Пусть Й — липшицева открытая область в R”. Тогда множество вектор-функций, принадлежащих Й) (^), плотно в Е (й). Доказательство. Пусть « — некоторый элемент изЕ (Й). Мы должны доказать, что и есть предел в Е (Й) вектор-функций из <0(Й).

Если й неограничена, то мы вначале аппроксимируем и функциями из Е (й) с компактными носителями в Й (т. е. функциями с ограниченными носителями).

Пусть фё®(К"). 0 ^ ф ^ 1, ф=1 при |х|<1 и ф = 0 при |х|^2. Для а>0 пусть Фа — ограниченная на й функция хн^-ф(х/а). Легко проверить, что фа«€Е(Й) и фйа сходится км в этом пространстве при а—>-оо.

Функции с ограниченным носителем образуют плотное подпространство в Е (й), и мы можем предположить, что и имеет ограниченный носитель.

(и) Рассмотрим сперва случай Й = К”. Итак, u^E^R"^ и м имеет компактный носитель. В этом случае результат доказывается с помощью регуляризации. Пусть pg®(R") — функция класса *6" с компактным носителем, такая что р^О, ^R„ р (х) dx= 1. Для её (О, 1) пусть р£ обозначает функцию хи->( 1/8")р(х/е). При 8 —* О функция ps сходится в смысле теории распределений к распределению Дирака и справедлив следующий факт, являющийся классическим результатом *:

рЕ * у —> у в L^ (R") Vy ё L2 (R"). (1-14)

Далее, вектор-функция рЕ*м принадлежит S>(R"), поскольку она имеет компактный носитель (csupp pE + supp м), а ее компоненты принадлежат классу ^”. Согласно (1.14), рЕ*м сходится к м в £2(R") при 8-1-0 и div (рЕ* м) = рЕ * div м сходится к diva в L2 (R") при е —* 0. Следовательно, а есть предел в Е (R") функций из S)(R”).

(iii) В общем случае (H^R") воспользуемся замечанием, сделанным после (1.4): область Й локально-звездна. Множества Й, (6/)/eJ образуют открытое покрытие й. Рассмотрим разбиение единицы, отвечающее этому покрытию:

= Ф + S Ф/^е ф ё S> (Й), фу ё S> (6/). (1.15)

’ Звездочка обозначает оператор свёртки:

У * g) (х) = ^Rnf Ix—tfi g (.У> dy.

Если fёЕ1 (R"), gё^/'(R”)> l^p < oo, то свёртка f*g определена и принадлежит Lp (R").

Мы можем записать

« = <р«+ 5 ф/«,

причем сумма 2/ фактически конечна, поскольку носитель и компактен (в й). Так как функция ф« имеет компактный носитель в й, то можно показать, как и в (ii), что ф« является пределом в Е^ функций, принадлежащих 5)(й) (функция ф«, продолженная нулем вне й, принадлежит Е (R"), и для достаточно малых е свёртка рв*(ф«) имеет компактный носитель в й).

Рассмотрим теперь одну из функций «у = фу«, не равную тождественно нулю. Множество бу = бу А й звездно относительно одной из своих точек; после надлежащего переноса начала в R" мы можем считать, что это точка 0. Пусть Ох, Х^О— линейное преобразование хн->Хх (гомотетия с коэффициентом X). Поскольку область 6/ липшицева и звездна относительно 0, то ясно, что

бу С б)С Охбу'для Х>1,.

.0x6'/С0x6) С 6) для 0<Х<1.

Пусть ох ° v обозначает функцию хн-» v(ox(x)); как следует из доказываемой ниже леммы 1.1, сужение на бу функции ох ° «у, X > 1, сходится к «у в Е (бу) (или в Е (й)) при X—* 1. Но если фу ^ ® (ох (6/)) и Ф/=1 на б/, то, очевидно, функция фу (ох ° и) принадлежит £ (R"). Следовательно, нам достаточно вместо функции «у аппроксимировать функцию х}^Е (й), являющуюся сужением на й некоторой функции ти7^Е (R'1) с компактным носителем (возьмем 1Уу = фу (ах ° «)). Поэтому наше утверждение следует из пункта (ii). □

Осталось доказать лемму 1.1, содержащую утверждения, уже использованные выше, и утверждения, которые понадобятся нам позже.

Лемма 1.1. Пусть 6 — открытое множество, звездное относительно 0.■

Для всякого распределения p£S>' (б) можно определить распределение ах о р в S)' (рхб) по формуле

<ох ° р, ф> = V" <р, оцх о ф> Уф ^ S> (ох6) (^ > 0). (1.16) Производная от ох ° Р связана с производной от р равенством

Dj^x0 Р) = ^к° (D{p), l<i^n.(1.17)

При X —* 1, Х> 1 сужение на 6 функции ох° Р сходится к р в смысле теории распределений.

Если p^La(6), 1^а<4-оо, то ох° PELa(,ox6\ При X—»■ 1, X > 1, сужение на б функции ох° Р сходится к р в La (б). Доказательство, (i) Ясно, что отображение фн-* (1/Хи) <р, Oi/x ° ф>

линейно и непрерывно на S>(ox6) и, следовательно, определяет некоторое распределение, которое мы обозначили о/ о р. Формула (1.17) получается так:

<ПДокор), ф>=— «рко р), В[(р> = — -^- <р, av/x ° (Р(<р)> = —Х^<Р. ОДо1/к ° ф)> =^z-1<Dtp1 о1Л о ф> = Х<оА о Djp,^.

Для Х> 1, X—* 1 функции Ol/х оф имеют компактный носитель в 6 для достаточно маленьких X—1 и сходятся к ф в ®(6)при Х-И.

(И) Ясно, что

$ К®/. op)(t/)|™dy=X" $ | р (x) |а dx, °л6 6

|| О1 о р||Ла (aJ.0) = li/’'ilL“ (6)-

Отсюда следует, что достаточно доказать сходимость сужения о>. о р на 6 к р для р, принадлежащих некоторому плотному подпространству в La (6). Но S) (6) плотно в La (6), а для р £ S) (6) результат очевиден. □

1.3. Теорема о следе. Мы предположим здесь, что й —-открытая ограниченная область класса ^2. Известно, что тогда существует непрерывный линейный оператор у0 £ 2 )НХ (Й), L2 (Г)) (оператор следа), такой что уои = сужению и на Г для каждой функции и£Н1^, дважды непрерывно дифференцируемой в Q. Пространство И» (й) совпадает с ядром у0. Образ у0 (И1 (й)) оператора следа является плотным подпространством в 1? (Г); оно обозначается через Нх/2 (Г); пространство Н1,л (Г) может быть снабжено нормой, индуцированной из Н1 (й) с помощью у0. Кроме того, существует непрерывный линейный оператор U. £ 2 (Н112 (Г), Н1 (Й)) (называемый оператором поднятия), такой что у0 о lQ есть тождественный оператор в Н111 (Г). Эти результаты доказываются, например, в книгах: Лионс [1], Лионс и Мадженес [1].

Мы хотим доказать аналогичный результат для вектор-функ- ций из Е (Й).

Пусть Н~'и"2 (Г) —пространство, сопряженное к Н12 (Г); так как Н1-#1 (Г)с£2(Г), пр’йчем вложение непрерывно, то L2(F) непрерывно вложено в ^*1/2 (Г). Справедлива следующая теорема о следе (которая означает, что мы можем определить «-v|r для и С Е )"

Теорема 1.2. Пусть Й — открытая ограниченная область класса ЧоЧ Тогда существует непрерывный линейный оператор yv С 2 (Е (й), Н~ 1,1 (Г)), такой что

^исужению « V на Г для каждого «£<0(Й). (1.18)

Для всех и^Е^ и w£№ (Й) верна следующая обобщенная формула Стокса:

(a, grad да) + (div a, m) = <yva, уода>.(1.19)

Доказательство. Пусть ф^Т/'^Г и для w^H1^ пусть уода=ф. Для и С Е (Й) положим

Х„(ф) = $ [div a(x)№(x) + a(x)gradw(x)]dx .

= (div а, да) 4-(в, grad да).■

Лемма 1.2. Хн(ф) не зависит от выбора да, при условии что да^У/^Й) и Уо^— Ф-

Доказательство. Пусть щг и да2 принадлежат Н1 (й) и у„да1=у0да2=ф.

Положим w = w1 — да2. Нам надо показать, что

(diva, №!) + («, gradдаг) = (div и, да2) + (в, grad№2),

т. е. что

(diva, да) 4* (a, grad да) = 0.(1.20)

Но поскольку w^H1^ и уода = О, то да принадлежит Щ (Й) и является пределом в Н1 (й) гладких функций с компактным носителем: №=lim№m, wm^3)^\ Очевидно, что

(diva, tyj + (a, grad№j = 0 Удат€^>(Й),

и (1.20) получается отсюда при т —>оо. □

Возьмем теперь да=/Яф (см. выше). Тогда, в силу неравенства Шварца,

I ^и (ф) | i^jl « [|е (й) !| w [я* №),

и так как ZSi С (УУ1/2 (Г), УУ^Й)), то

| Х„ (ф) | 8^ со ii и [fi (Q) ji ф ||wl/2 ц.),(1.21)

где с0 —норма оператора 1а.

Следовательно, фн^Х„(ф) есть непрерывное линейное отображение из /71/2 (Г) в R. Таким образом, существует gr=gr(a)G С/7-1/2(Г), такое что

^«(ф) = ^, <Р>-(1-22)

Ясно, что отображение ai-^-g(a) линейно, а ввиду (1.21)

l'g\H-i/2 (Г)^со1!«к(й).(1.23)

Это доказывает, что отображение ai-^-g (а)--yvB непрерывно действует из Е (й) в Н” 1/2 (Г).

Нам осталось лишь доказать (1.18), ибо (1.19) непосредственно следует из определения yv«.

Лемма 1.3. Для «€5)(й)

ухо = сужению их на Г. .

Доказательство. Для таких и и для любых w^.S)^ (или для и и w, дважды непрерывно дифференцируемых в Й) имеем

ХИ (y<>w) — ^ div (ада) dx= ty(«-v)dr Г

= $ (я-уНуо^бГ (по формуле Стокса) = <«-v, yoty>. г

Так как для указанных w следы y6w образуют плотное подмножество в /71/2 (Г). то формула Xu (ф) = <«■ v, ф> верна по непрерывности для каждого ф^№/2 (Г). Сравнивая с (1.22), получаем 3\« = «-v|r.

Замечание 1.1. Теорема 1.1 не используется явно при доказательстве теоремы 1.2, но теорема о плотности в сочетании с леммой 1.3 показывает, что оператор ух определяется единственным образом, так как известны его значения па всюду плотном подмножестве.

Замечание 1.2. В действительности оператор yv отображает Е (й) на Н- ^2 (Г).

Пусть ф —заданная функция из Н~ 1/2 (Г), такая что <ф, 1>—0.

Тогда задача Неймана

Др = 0 в Й,

дрр(1.24)

г=ф на Г Sv

имеет слабое решение р = р (ф) С Н1 (й), которое единственно с точностью до аддитивной постоянной (см. Лионс и Мадженес [1]). Для любого из этих решений р положим « = gradp. Ясно, что я££(й) и Yv« = ф. Кроме того, понятно, что существует вектор- функция «0 с компонентами из ^(й), удовлетворяющая условию Yv«o=l- Поэтому для каждого ф из /71/2 (Г), записав

.,<Ф, 1>,<Ф> '>/1 OCX

ф =.< , ф = ф—-- ,(1.25)

Yт 1mes Г„ ’т тmes Г’v '

можно определить элемент « = «(ф), такой что у¥« = ф, по формуле'

a = gradp^) +^7«о-.(1-26)

Кроме того, ф|—»и(ф) есть непрерывное линейное отображение из Н~112 (Г) в £ (й) (т. е. некоторый оператор поднятия, как и /й). □■

Пусть £u (Q) —замыкание <0(Й) в Е(Й). Имеет место Теорема 1.3. Ядро оператора yv совпадает с Е0(Й). Доказательство. Если я £ Ео (Й), то по определению этого пространства существует последовательность функций Ятё5)(й), сходящаяся к я в Е (й) при т—оо. Из теоремы 1.2 вытекает, что Yv«m = 0 и, значит, у¥я = limyvHm = 0.

Обратно, покажем, что если я g Е (й) иу¥я = 0, то я является пределом в Е (Й) вектор-функций из ^>(Й)П. Пусть Ф — произвольная функция из ®(R") и ср—-ее сужение на й. Так как у¥я = 0, то <ууя, УоФ> = О; это означает, что

[div я-ф + я-grad <p]dx = 0. Q

Следовательно,

[div я■Ф^-я•gradФ] dx=0 УФ^®(КП)

R”'

и потому div я = div я,(1.27)

где и обозначает функцию, равную и в Й и нулю в Сй. Таким образом, яСЕ(К").

Рассуждая точно так же, как и при доказательстве теоремы 1.1 (см., в частности, пункты (i) и (ii)), мы можем свести общий случай к случаю, когда носитель функции я принадлежит одному из множеств 6у рй. Но если я —такая функция, тоя£Е(К") и о^оя имеет компактный носитель в 6) для 0 < X < 1 (множество 6/ предполагается звездным относительно 0). По лемме 1.1 сужение «х°я на 6) (соотв. й) сходится к я в Е (6)) (соотв. в Е (й)) при X—* 1. Тем самым задача свелась к аппроксимации функции я с компактным носителем в Й элементами из S>(R"), а это, очевидно, можно сделать с помощью регуляризации (как и в пункте (ii) доказательства теоремы 1.1). □

Замечание 1.3. Некоторые частные результаты остаются справедливыми и в случае, когда область Q неограничена или имеет негладкую границу. Например, если и£Е(ЯУ то мы можем определить ухи на каждой ограниченной части Го границы Г класса й2 и yvu£Н~ 1/2 (Го). Если область Q гладкая, но неограниченная или если ее граница состоит из объединения конечного числа ограниченных (п—1)-мерных многообразий класса й2, то учи определено вышеуказанным способом на всей границе Г. Тем не менее обобщенная формула Стокса (1.19) в этом случае не имеет места.

Эти результаты можно уточнить, если имеется больше информации о следе функций из Н1 (Q). Предположим, что выполнены следующие условия:

существует оператор у0 €-^ (^ (Щ ’ Х2(Г)), такой что уоа = и|г для КмЖдого »£S>(Q). Обозначим уо^1^)) через ЭС1/2 (Г);

существует оператор поднятия /й€-^ (3€1/а (Г), Н1 (Q)), такой что- То о /й—тождественный оператор; ЭЕ1/2 (Г) снабжено нормой, индуцированной у0;

— 12—липшицева область.

Тогда все предыдущие результаты могут быть распространены на рассматриваемый случай. Справедливы теоремы 1.1 и 1.3. Доказательство теоремы 1.2 приводит к определению yvH как некоторого элемента пространства 9Е-1'2(Г), сопряженного к ЭЕ1/2 (Г). Имеет место обобщенная формула Стокса (1.19).

1.4. Характеризация пространств Н и V. Напомним обозначения, введенные в конце п. 1.1:

^ = V1£®(^ div« = 0},

/7 —замыкание ^ в L2(Q),

V — замыкание ^ в Hl (й).

Характеризация градиента распределения. Пусть Й — открытое множество в R" и р — некоторое распределение на й, p^.S)'^, Легко проверить, что для каждого и^Т3 мы имеем

<grad р, ТО = 2 <DtP, о<> = — 2 <Р, D^y = tsi1=1

= —<р, div *о> = 0.(1-28)

Справедливо и обратное утверждение. Это важное свойство можно доказать, используя следующий глубокий результат де Рама ': Предложение 1.1. Пусть й — открытое множество в R" и f = = (А, • - •, LV А1 € ЗУ (Й), i = 1, ..., п. Для того чтобы

f=yadp(1.29)

' Набросаем контуры этого доказательства, которое лежит в стороне от основного русла изложения. Рассмотрим

/= 2

i= I

и формы класса С 03 степени п— 1 с компактным носителем п

1=2 (™l)I'u^d.x;iA...Adx/_1Adx/.HA^^^y,€S)(Q)-

Ясно, что d® = 0 тогда и только тогда, когда т = {щ, ..., t'n} С V (т. е. div т = О)- Теорема 17' на стр. 154 книги де Рама [1] утверждает, что для/g®'(Й) тогда и только тогда /=dg-, g^S)1 (й) (т. е. ft —Dig, l<i<n), когда </, у> = 0 для каждой формы т указанного вида. Это эквивалентно утверждению предложения 1.1 (Ж.-Л. Лионс, личное сообщение).

В замечании 1.9 приведено доказательство предложения 1.1, основание^ на элементарных соображениях и предложении 1.2. См. также комментарий в конце книги.

для некоторого р из 3)' (Q), необходимо и достаточно, чтобы

<f, v> = OVv€^.(1.30)

Этот результат будет в дальнейшем играть существенную роль при интерпретации вариационной формулировки уравнений Навье— Стокса и родственных им уравнений.

Приведем теперь ряд других результатов.

Предложение 1.2. Пусть й — липилицево ограниченное открытое множество в R".

(i) Если у распределения р все производные первого порядка П(р, l<t<n, принадлежат L2(Q), то p^L2^ и

IIp'Ilmovr <c(Q)||grad р^ш).(1.31)

(и) Если у распределения р все первые производные D,p, 1 ^ i ^ п, принадлежат /7-1(Q), то p^L2^ и

IIР Ik2 (Щ/R С с (Q) || grad р ||и-1 (Q).(1.32)

В обоих случаях, если Q — произвольное открытое множество в R", то р^Ц0С^.

Доказательство. Утверждение (1) доказано у Дени и Лионса [1] для ограниченного звездного открытого множества Q. В нашем случае из этого результата следует, что р принадлежит L2 на каждом шаре, содержащемся в Q вместе со своим замыканием, и на всех множествах 6), определенных после (1.4). Так как конечный набор этих шаров и множеств 6) покрывает Q, то наше утверждение доказано.

Утверждение (ii) доказано у Нечаса [2].

Для области, не обладающей никакими свойствами регулярности, мы применяем уже полученные результаты для каждого шара, содержащегося в Q вместе со своим замыканием, и получаем лишь, что р С Цос (Q). Q

Замечание 1.4. (i) Объединяя результаты предложений 1.1 и 1.2, мы видим,, что если /ЕЯ-i (Q) (соотв. Цо (Q)) и (/,») = 0 Ve^T3. то /=grad Р и Р^Ц№ <fi)-

Если, кроме того, Q—липшицево открытое ограниченное множество, то p^.L2 (Q) (соотв. Hv (Й)).

Из п. (11) предложения 1.2 вытекает, что оператор grad осуществляет изоморфизм L2 (Q)/R вЯ~1(О); следовательно, образ этого оператора замкнут. Напомним, что (для ограниченного Q) L2 (Q)/R изоморфно подпространству В L" (Q), ортогональному константам:'

L2 (Q)/R = Jp£L2 (Q), Jp(x)dx = 0I - Q

См. (6.12)—другой вариант оценки (1.32).

Характеризация пространства Н. Теперь мы можем следующим образом охарактеризовать Н и Н1- (ортогональное дополнение к Н в £2(Й)).

Теорема 1.4. Пусть Q—липшицево открытое ограниченное множество в R". Тогда

H^-^{u^L\^), u=&a&p, р£НЧ^\,(1.33)

Н= (й€ L2(Q), div« = 0, у,и = 0}.(1.34)

Доказательство. (1.33): Пусть й принадлежит пространству в правой части (1.33). Тогда для всех чц^ЧХ51 ■

(и, у) = (grad ps у) = — ^р, div у) = 0;(1.35)

следовательно, и^Н^. Обратно, Н1- содержится в пространстве в правой части (1.33). Действительно, если и^Н^-, то (й, у) = 0 Vy^T3 и, по предложению 1.1, tt = gradp, p^S)'(Q). Поэтому из предложения 1.2 следует, что р^Н1^-

4): Обозначим пространство в правой части (1.34) через Н' и докажем, что Нс Н‘. Если и£.Н, то и = Пт ит, й^СТ3; из этой сходимости в L2 (Й) вытекает сходимость в смысле теории распределений; так как дифференцирование является непрерывным оператором в пространстве распределений и div ит = 0, то div й = 0. Поскольку div и,л= div и= 0, а ит и и принадлежат Е (Q) и

и - Um Це tn, = Ц U - ит Ц^ (й),(1.36)

то ит сходится к и в Е (й) и ^Nu = lim yvttm = 0 (ухит=ит-v |г==0 ^и^Ч^'р Следовательно, и^Н'.

Предположим теперь, что Н не совпадает с Н', и пусть Н" — ортогональное дополнение к Н в Н". В силу (1.33), каждый элемент и£Н" есть градиент некоторого элемента р^Н1^"' более того, р удовлетворяет уравнению

Ap = divtt = 0, tt-v|r = ^-|r = 0,(1-37)

а это означает, что р .есть константа и и = 0; поэтому //" = {0} и Н = Н". □"

Замечание 1.5. В случае’*когда Q — произвольное открытое множество в R”, то доказательство равенства (1.33), с небольшими видоизменениями, показывает, "ЧТО

Hl = \u^L4^Y « = gradp, p^Lioc^)}.(1.38)

.Если Q неограничено, но удовлетворяет условию (1.4), то

I1L = \u£L2 (Й), a = gradp, p^Lioc(^)}.(1.39)

Теорема 1.5. Пусть й— открытое ограниченное множество класса to2. Тогда

и^ = Н^Н^Нг,(1.40)

еде Н, Нг,Нг—взаимно-ортогональные пространства,

Н1 = \иЕЕг(Й'), и = уадр, р^НЦ^, ^p = 0\,(1.41)

На = («€£2(й), « = gradp, р^Н1»^-(1.42)

Доказательство. Ясно, что Нг и Нг содержатся в HL и что любые два из пространств Н, Н^ и Нг пересекаются по {0}. Пространства Нх и Нг ортогональны; если а = grad p£Hx,v — grad q € Нг, то и^Е(Й) и, используя обобщенную формулу Стокса (1.19), мы получаем, что

(а, о) = (и, grad q) = <^и, ^aq> — (div и, q)

обращается в нуль, так как у0<7=0 и div и = Др = 0. Нам осталось доказать, что произвольный элемент и из Z2 (й) может быть- записан в виде суммы элементов «0, их, иг из Н, Hv Hv Для такого и пусть р — единственное решение задачи Дирихле

^p = div и € H~l (й), р^НЦ^.

Возьмем

«2 = gradp.(1.43>

Пусть q — решение задачи Неймана

Ap = 0, |j|r = Yv(« —gradp).(1.44>

Заметим, что div (« — grad р) = 0, так что и — grad р € Е (й) и yv (и — grad р) определено как элемент //-1/2(Г), а по формуле- Стокса (1.19)

<Yv (и —grad р'), 1>= $ div (и —grad р) dx = 0. £2

Согласно одному результату Лионса и Мадженеса [1], задача Неймана (1.44) имеет решение, единственное с точностью до аддитивной постоянной. ■ Положим

«! = grad<7,(1.45)

«0=«—«! —«2.(1.46)

Нам надо показать, что Ио^Н. Но div «fi = div(« — «, —в2) =^ м div и — kp = 0 и

Yv«o = Tv (« — “1 — «2) = Tv («—grad p) — dq/dv = 0. □

Замечание 1.6. (i) Обозначим через Рн ортогональный проектор в Д2 (Q) на//; очевидно, Рн— непрерывный оператор в L2 (й). На самом деле Рн также отображает HL (Й) в себя и непрерывен в норме Н1 (Й). Предположим в доказательстве теоремы 1.5, что и^Н1 (й); тогда div и £Н» (й) ПЛ2 (Й); и—grad р принадлежит Н1 (О) иуу(и—grad р) принадлежит ТУ1/2 (Г). Наконец, мы заключаем на основании (1.44), что q^H1^ и

Рни = и—grad (pP-q^H1 (й).

Понятно также (см., например, Лионс и Мадженес [1]), что отображения щ—>pv—>н—grad pt—*q непрерывны в соответствующих пространствах, и мы получаем, что Рн непрерывно действует из Hi (й) в Н1 (й):

II рнЧ |:№ (И; <с (Q) II “ W №) Vu^H1 (Й)-(1.47)

В случае когда Й—множество класса 1ёг+1, г — целое^Н аналогичные соображения показывают, что если и£Нг(ЗД, то Рни^Нг (Й) и оператор Рн линеен и непрерывен в норме Нг (й):

\\рни\\нг№^с^~ Q)ll«Ur Юр VaC^^).(1.48)

(И) Одно ортогональное разложение Н (для случая когда Й неодносвязно) дано в приложении 1.

Характеризация пространства V.

Теорема 1.6. Пусть й — открытое ограниченное липшицево множество. Тогда

V^ii^HiM, div« = 0}.(1.49)

Доказательство. Обозначим через V" пространство в право'й части (1.49). Ясно, что VaV-; действительно, если и € У. то и — lim ит, №„^.1^; из этой сходимости в Н„ (Q) следует, что divam сходится к div« при т—>оо, и поскольку divum = 0, то div« = 0.

Для того чтобы доказать, что V = V-, мы покажем, что любая непрерывная линейная форма L на V, которая обращается в нуль на V, тождественно равна нулю. Заметим прежде всего, что L допускает (неединственное) представление вида ■

Ь^ = ^ <h> li^H-^^Y(1.50)

1 = 1

В самом деле, V- является замкнутым подпространством в //ДС)= — [/Д(й)]п; произвольная непрерывная линейная форма на V* может быть продолжена до непрерывной линейной формы на W а эта форма—того же вида, что и в правой части (1.50).

Далее, распределение 1 = <1ъ •••, Q принадлежит ТМ^Г) и <1, и> = 0 V‘D£CP. И^-предложений 1.1 и 1.2 следует, что I — = gradp, р С I? (Q); таким образом,

</z, Vi> = <DjP, v^ = — <р, Dp)^ VUj € Hv0 (Q).

Следовательно, L равно нулю на всём V-, поскольку

L(y)= ^<1р и(> = — <р, divy> = 0 Уиб^ - □

У=1

. Замечание 1.7. (1) Предположим, что й—ограниченное открытое множество, ■ глобально звездное относительно одной из своих точек, скажем нуля, а также что , o^Q С П для каждого X, 0 < X < 1, где ох обозначает, как и прежде, линейное преобразование xi—»\х. В этом случае мы можем дать более прямое и более простое доказательство равенства (1.49). Пусть u^V. Тогда функция

' Од о и принадлежит Н^о^^ и divo^o« = 0. Функция их, равная ох°и в о^й и нулю в Q\oxQ (0 < X < 1), лежит в Н^ (Й) и div«^ равняется Xox(div«) в Од (Й) и нулю в Й\а^й; следовательно, div«x = 0, их при- ‘ надлежит V’ и имеет компактный носитель в й. В таком случае с помощью регуляризации легко проверить, что nx£V, и так как их сходится к и в //„(й) при X—► 1, то u^V и V = V.

) Если предположения теоремы 1.6 (о том, что область й ограничена и липшицева) не выполнены, то равенство (1.49) может и не иметь места. Как и при доказательстве теоремы 1.6, обозначим пространство в правой части (1.49) через V. Мы имеем ИсК, и неизвестно, будет ли V = V, когда й ограничена, но не липшицева. Если Й не ограничена, то, как следует из одного примера Хейвуда [4], V может отличаться от У; в действительности, в этом примере dim(E7V)=l. У Ладыженской и Солонникова [2] даны примеры других неограниченных открытых областей Q, таких что dim (W/V) = 6, где к—произвольное целое число.

Замечание 1.8. Наиболее часто в этой книге будут использоваться предложения 1.1, 1.2 и теоремы 1.6 и (несколько реже) 1.5.

Замечание 1.9. Один результат, более слабый, чем предложение 1.1, недостаточный для наших последующих целей, может быть доказан другим методом, без привлечения теории де Рама (см. фразу перед предложением 1.1).

Предположим, что й— липшицева открытая Ограниченная область в R" и что /€^~1(^) удовлетворяет условию <f, v> = 0, Vt^T^ (соотв. К). Тогда f=yddp, где p^L1^.(1-51)

Для произвольной открытой области й С R" имеет место такой же результат, только р€^ос№).(1.52)

Набросаем доказательство этого результата, принадлежащее Тартару [1) и основанное на предложении 1.2 и замечании 1.4(H). Понятно, что существует возрастающая последовательность открытых липшицевых областей ftm (,tim С йи + 1), объединение которых есть й. Пусть А (соотв. Ат) обозначает оператор gradgJf (L (й), Н-1 (Й)) (соотв. £Х (L2 (йт), //“Чй^))), и пусть A*^jB(Hvtt(^, ЬЧй^ (СООТВ. А*т£5е (НХ^, L2 (й„)))-его сопряженный. Согласно замечанию 1.4(H), образ оператора А (обозначаемый через R (Л)) является замкнутым подпространством в //-1(й)'. Из теории линейных операторов известно, что ортогональное дополнение к кег А* совпадает с замыканием R (Л) и, следовательно, с R (Л); здесь кег Л*—ядро оператора А*:

кегЛ*={и, u£Ho(Q.’), div« = 0}'.

Аналогичное утверждение имеет место и для Ат.

Пусть теперь / удовлетворяет условию из (1.51), и пусть и^кег Л^. Если и есть функция и, продолженная нулем вне йт, то и£//^(й) u div« = = div« = 0. Поскольку и имеет компактный носитель в Й, то, используя регуляризацию, легко получить, что и является пределом в Но (й) элементов из 7х31 значит, u^V и </, и> = 0. Поэтому сужение / иа йт ортогонально

к кег Лт и, следовательно, принадлежит R (Ли), т. е. /— ц,тайрт на Qm, Pm €^2 (^1я)- Так как Qm—возрастающая последовательность областей, то pm*t—pm = const на Qm; мы можем выбрать pm*t так, чтобы эта константа ■обращалась в нуль. Тогда /=gradp, p£Lioc(Q). Этого уже достаточно для (1.52). Для доказательства (1.51) (p£L2(Q)) используем тот факт, что Q локально-звездна (см. п. 1.1). Пусть (б/)г</<у—конечное покрытие Г, такое что 6/ = 6/fl^ звездны для всех /. Если и^Я^б^) и div« = 0, то о^он принадлежит Q для 0 < X < 1. Как и выше, </, «>=0, а тогда /=grad</y в б/- А/€.1-2(б7ь 4j = P на 6/ и Рб^Сб/) Для всех /, так что p£L2(Q).

Существование и единственность решения для уравнений Стокса

Уравнения Стокса —это линеаризованная стационарная форма полных уравнений Навье—Стокса. Мы дадим здесь вариационную формулировку задачи Стокса, докажем одну теорему существования и единственности, использующую проекционную теорему, и сделаем ряд замечаний, касающихся случая неограниченной области и регулярности решений.

Вариационная формулировка задачи. Пусть Q — открытая ограниченная область в R" с границей Г и f^L^— заданная вектор-функция на Q. Мы ищем вектор-функцию M=(Uj, ..., м„), представляющую скорость жидкости, и скалярную функцию р, представляющую давление, которые определены в Q и удовлетворяют следующим уравнениям и граничным условиям (где константа V —кинематический коэффициент вязкости):

— v Да-фgradp—f в (2 (v > 0),(2.1)

diva = 0 в Q,(2.2)

а = 0наГ.(2.3)

Если f, и и р — гладкие функции, удовлетворяющие (2.1) —(2.3), то, умножая (2.1) скалярно на функцию У^Т3, мы получаем

(— v Aa + grad р, у) = (/, у);

при интегрировании по частям член (—Дй, у) дает''-

2(gradflf, grad о;) = ((й, у)),(2.4)

1= 1

а член (grad р, у) дает

— (р, divy) = 0;■

в результате приходим к равенству

v ((й, у)) = (/, у) Уу € °F.(2.5)

Так как каждая часть этого равенства линейно и непрерывно зависит от *о (в топологии №0(й)), то оно по непрерывности верно и для каждого © из V — замыкания %9 в 77^й). Если й —область- класса I?2, то удовлетворяющая условию (2.3) (гладкая) функция а принадлежит Н»^ и поэтому, в силу (2.2) и теоремы 1.6, й^Е. Таким образом, мы получили следующее утверждение:

й принадлежит V и удовлетворяет равенству

' V ((И, ©)) = (/, у) Vy^E.(2.6)

Обратно, предположим, что й удовлетворяет (2.6), и покажем,, что тогда и удовлетворяет (2.1) —(2.3) (в некотором смысле). Поскольку й принадлежит лишь HV^Y мы имеем меньшую гладкость, чем ранее, и можем надеяться только на то, что й удовлетворяет (2.1) —(2.3) в каком-то более слабом, чем классический, смысле. В действительности из того, что йСЛЩЙ), следует, что следы чощ ее компонент равны нулю в Н^2 (Г); из того что й ё Е, вытекает (в силу теоремы 1.6), что divfl = 0 в смысле теории распределений; используя (2.6), находим, что

<v Ай—/, ©> = 0 Vy^T3.

Тогда из предложений 1.1 и 1.2 вытекает существование распределения р^!;2^, такого что

— v Аи —/= — grad р в й

в смысле теории распределений. Таким образом, доказана Лемма 2.1. Пусть Й — открытая ограниченная область класса ё2. Тогда следующие условия эквивалентны.

й^Е удовлетворяет (2.6);

й принадлежит 77£(й) и удовлетворяет (2.1) —(2.3) в следующем слабом смысле1.

существует p£l? (й), такое что — vAfl + + gradp=/ в й в смысле теории распределений;(2-7\

divu = 0 в й в смысле теории распределений; (2.8) уой = О.'(2.9)

Определение 2.1. Задача „найти функцию tt^V, удовлетворяющую условию (2.6)“ называется вариационной формулировкой задачи (2.1) —(2.3).

Замечание 2.1. Прежде чем изучать существование и единственность решения яидачи (2.6), сделаем несколько замечаний.

Вариационная формулировка задачи (2.1) —(2.3) была введена Лерэ |1—3]. Она сводит классическую задачу (2.1)— (2.3) к нахождению одного только я; существование р вытекает тогда из предложения 1.1.

В случае когда область 11 негладкая или неограниченная, мы имеем два пространства, которые при доказательстве теоремы 1.6 были обозначены-

через V и V" и которые могут не совпадать между собой (V С И"; см. замечание 1.7(H)):

V—замыкание Т4 в Н» (й), У^и^НоЕД divB = 0}.

Поэтому мы можем дать две (возможно, различные) вариационные формулировки: либо (2.6), либо та же ,задача, но с V, замененным на V. В общем случае соотношение между V и V', а тем более между этими двумя вариационными задачами, неизвестно. Соотношение между этими задачами для некоторых частных случаев изучено в работах: Хейвуд [2], Ладыженская и Солонников [4] (см. замечание 1.7(H)).

По техническим причинам, особенно важным в нелинейном случае, мы.всегда будем иметь дело с пространством V и рассматривать только вариационную задачу (2.6).

В качестве дополнения к лемме 2.1 заметим, что для произвольной области й, если и удовлетворяет (2.6) (или (2.6) с V, замененным на V), то оно удовлетворяет (2.7), с тем лишь ограничением, что P^L\ol (й), удовлетворяет (2.8) без каких-либо оговорок и удовлетворяет (2.9) в том смысле, что и£Но№У более точное толкование этого смысла зависит от теорем о следе, имеющих место для Й.

2. Проекционная теорема. Пусть Q —произвольная открытая область в R", удовлетворяющая условию

Q ограничена в некотором направлении.(2.10)

Согласно (1.10), //J (Q) — гильбертово пространство со скалярным произведением (2.4); %9 определено в (1.12); V— замыкание %9 в HUtt\

Теорема 2.1. Для произвольной открытой области QcR", ограниченной в некотором направлении, и для каждого f£L2(Q) задача

.6) имеет единственное решение и. (Результат остается верным, если / € Н-1 (□).) Более того, существует функция р € Ц1Г (й), та" кая что выполнены (2.7) —(2.9).

Если й — открытая ограниченная область класса ^2, то р £ £.2(й) и для аир выполнены (2.7) —(2.9).

Эта теорема является простым следствием предыдущей леммы и следующей классической проекционной теоремы.

Теорема 2.2. Пусть W —сепарабельное вещественное гильбертово пространство (с нормой [•[«/), и пусть а (и, о)—непрерывная билинейная форма на VxW7, которая коэрцитивна, т. е. существует а > 0, такое чщю

а (а, ид^аДи^ ^u^W.(2.П)

Тогда для каждого I из W' — пространства, сопряженного к W,— существует один и только один элемент u^.W, такой что

а (и, 1о) = <1, о> УуС^-(2.12)

. Применяя эту теорему к (2.6), мы, конечно, берем в качестве W пространство V, снабженное нормой, ассоциированной с (2.4),.

полагаем а(й, ®) = v((a, -о)) и в качестве ф^ <Z, ®> берем форму О^СЛ у), которая, очевидно, линейна и непрерывна на V. Пространство V сепарабельно как замкнутое подпространство сепарабельного пространства Но (й).

Доказательство теоремы 2.2, Единственность. Пусть и^ и и2— два решения уравнения (2.12), и пусть а = я] —я2. Имеем

а(ип ф) = а(и2, ©) = </, я» V-o^W, a^ttt — tt4, У) = 0 Уу€ W.

Положив ® = й в последнем равенстве, заключаем на основании (2.11), что

a||«|‘V ^а (й, й) = 0

и, следовательно, й = 0.

Существование. Так как W сепарабельно, то существует последовательность элементов я»и w2, ..., яют, ... из №, которые линейно-независимы и порождают всюду плотное подпространство в W. Пусть Wm — пространство, натянутое на wn ..., ЧВт. Для каждого фиксированного целого т определим приближенное решение уравнения (2.12) в Wm как вектор um^.Wm;

т

-m£R,(2.13)

f = 1

удовлетворяющий условию

а(ит, яЛ = <Л, я» Уу€Г„.(2.14)

Покажем, что существует один и только один элемент ит, такой что (2.14) имеет место. Уравнение (2.14) эквивалентно системе т. уравнений

а(ат, я»^^, ’“>/>, /= h • т\(2.15)

то линейная система т уравнений для т компонент ^ч.т вектора й,л:

SS,-.ma(w,4 яю^ = <1, яо^, j=\,...,m.(2.16)

Существование и единственность йт будут доказаны, если мы покажем, что линейная система (2.16) невырожденна. Для того чтобы это показать, достаточно установить, что однородная линей- овн система, ассоциированная с (2.16), т. е.

2§,•«(«>/, w,) = 0, / = 1, ...,m,(2.17)

имеет только одно решение Sx = ... = gm = 0. Но если |1? ..., £т удинлетворяют (2.17), то, умножая каждое уравнение (2.17) на

соответствующее Е/ и суммируя эти уравнения, мы получим

или, с учетом билинейности а,

\i = l7=1/

Используя (2.11), находим, что т•.

S Efe>, = о, 1=1

откуда вытекает, что Е„ = ...=Ея^0, поскольку ио^о>„ линейно-независимы.

Переход к пределу. Полагая *о = ит в (2.14), мы получаем

a (a„, «„) = </, йт>.(2.18)

Отсюда, в силу (2.11), следует, что

“!l«mk<a(flm, »J = <Z, «ИХUk-II«тк, ll«Jk<|l|/k^(2.19) .

это доказывает, что последовательность ят ограничена в IT. Так как замкнутые шары в гильбертовом пространстве слабо компактны, то найдутся элемент и из F и подпоследовательность йт,, т1—»-оо, последовательности йт, такие что

ит, —* и при т( оо в слабой топологии W. (2.20)

Пусть © — произвольный фиксированный элемент из Wf для некоторого /. Для всех т ^ / мы имеем ©€ Wm, и, согласно (2.14),

й(й.„„ ©) = </, ©>.

Используя доказываемую ниже лемму, мы можем перейти в этом уравнении к пределу при т( —* оо и получить

а (й, ©) = </, ©>.(2.21)

Равенство (2.21) справедливо для каждого ® €^/» а так кап

'/= 1

это множество плотно в W, то равенство (2.21) справедливо по непрерывности для всех © из W. Этим доказано, что и является решением уравнения (2.12). □

Лемма 2.2. Пусть а {и, ©)— непрерывная билинейная форма на гильбертовом пространстве W. Пусть фт (соотв. фт) — последовательность элементов из W, которая сходится к q> фоотв. к ф)

в слабой (соотв. в сильной) топологии U7. Тогда

Jma (ф„, ф„) = а (ф, ф),(2.22)

^“(Ф»’ ^^^^CT. Ф).(2.23)

Доказательство. Запишем-

«(Фт- фт)-«(Ф, ф) = я(Фт-ф, Фт) + а(ф, фт-ф).

Так как форма а непрерывна, а последовательность фт ограничена, то

I а (Фт — Ф> Фт) IС с || % — ф II ^ II фт || w С с || фт — ф lluz;

правая часть стремится к 0 при т—>оо. Заметим теперь, что линейный функционал фн-»а(ф, ф) непрерывен на W и, следовательно, существует элемент из W, зависящий от ф (обозначим его через А (ф)), удовлетворяющий условию

' а(ф, ф) = <Л(ф), ф> V®£F.(2.24)

Мы можем написать

«(Ф. Фт — ф) = <Л(ф), Фт —ф>.

Правая часть этого равенства стремится к 0 при т—>-оо, так как последовательность ф,я слабо сходится. Итак, (2.22) доказано.

Для доказательства (2.23) достаточно применить (2.22) к билинейной форме а* (я, ф) = а(ф, я). □

Замечание 2.2. (i) Теорема 2.1 верна также, если /£//-1 (й).

Можно показать, что сама последовательность (ага}, построенная при доказательстве теоремы 2.2, сходится к решению и уравнения (2.12) в сильной топологии W. Мы не будем здесь доказывать этот результат, так как он окажется следствием теоремы 3.1

Используя линейный функционал А (ф), введенный при доказательстве леммы 2.2 (см. (2.24)), можно записать уравнение (2.12) в виде

<4 (а), «» = </, 1»,

или, эквивалентно, в виде

AW=UV.(2.25)

Другое классическое доказательство проекционной теоремы состоит в проверке того, что оператор n\—>AW осуществляет изоморфизм 117 на 117', см. Темам [8]._,

Вариационное свойство.

Предложение 2.1. Решение и задачи (2.6) является единственным элементом из V, таким что

£(я)<£(ф) Уф£У,(2.26)

•Об

(2.27)(2.27)£(ф) = у||ф||а —2(/, ф).

(2.27)

(2.27)

Доказательство. Пусть и — решение задачи (2.6). Тогда, поскольку [« —у|,2^0 Vy^V, мы имеем

v|!«|;2 + v|'yj|2-2v((«, у))^0.(2.28)

Но, в силу (2.6), —v||«||2 = v||«||2 —2(/, а) = £(а),

—2v((y, у)) =—2(/, у); так что (2.28) в точности дает (2.26).

Обратно, если «^К удовлетворяет (2.26), то для любых D^V и XgR мы имеем £ («) ^£ («+ Ху). Отсюда можно вывести, что

vV || у ||2 + 2Xv ((«, у)) — 2Х (/, у) >0 Va G К. (2.29)

Это неравенство может иметь место для любого л g R только тогда, когда v ((«, у)) = (/, у), т. е. и и в самом деле есть решение задачи (2.6). О

Замечание 2.3. Если пространства V и И' из замечания 2.1 различны, то теорема 2.2 дает также существование и единственность элемента и£'/-, такого что

v ((а, »)) = (/, v) w£V’.(2.30)

Предложение 2.1 остается справедливым, если а и V заменить на и и I/'.

Случай неограниченной области. А)ы рассмотрим здесь случай, когда область й неограничена и не удовлетворяет (2.10).

В этом случае, даже при условии что Q — область класса £2, задача (2.1) — (2.3) уже не эквивалентна задаче (2.6) (ср. с леммой 2.1). Причиной этого является то, что если и — классическое решение задачи (2.1)—(2.3', то без дополнительной информации относительно поведения и на бесконечности не ясно, принадлежит ли и пространству Н1 (Й); поэтому возможно, что U^V и равенство (2.5) нельзя продолжить по непрерывности на V, замыкание Т3. Кроме того, возникают трудности при попытке решить задачу (2.6) непосредственным применением теоремы 2.2: предположение (2.11) не выполнено, ибо V — гильбертово пространство с нормой

И =У/«/2 + и||2,

которая не эквивалентна нррме Г о В, поскольку мы лишены теперь неравенства Пуанкаре.

Для того чтобы сформулировать и решить вариационную задачу в общем случае, введем пространство

У— пополнение Т3 в норме ||-||.(2.31)

Так как ||«|У|[аЛ, то ясно, что Y шире, чем V:.

V^Y.(2.32)

Лемма 2.3. Для п^З

Yc\u^La(^, Dtu£L4^, l^i^n},(2.33)

где а = 2п/(п — 2). Для п—2•

К с (я 6^ (52), DtU^L2^, / = 1, 2} Va>l. (2.34)

Эти вложения непрерывны.

Доказательство. Вложение (2.33) следует из неравенства Соболева (см. Соболев [1], Лионс [1], а также гл. II)

||ф||ла(й)^с(а, ») II grad <р ||l« (я) УфС®(й),(2.35)

где а = 2н/(п —2). Если и^Х, то существует последовательность элементов итС^. сходящаяся к и в Y; в силу (2.35),

ll«m-WpIU“(2) <С'(«> ^\\ttm-ttp\\,

II Um-Up IX ^ II ttm-Up ||,(2.36)

где Z обозначает пространство в правой части вложения (2.33) и 1Н1^—естественная норма в Z:

||«|U = Hl/.a(2) + ll«l|-

При тир, стремящихся к бесконечности, правая часть (2.36) стремится к 0. Значит, ит есть последовательность Коши в Z; ее предел я принадлежит Z. Ясно также, что ||a||z^c"||«||, с той же константой с", что и в (2.36) (с" = с" (п)).

Вложение (2.34) доказывается аналогично (надо рассмотреть последовательности Коши в La (й'), где й'— компактное подмножество в й).

Теорема 2.3. Пусть й — произвольная открытая область в R", и пусть f принадлежит Y' — пространству, сопряженному к Y из (2.31). Тогда существует единственный элемент и^Х, такой что

v ((я, ©)) = </, l» Xd^Y.(2.37)

Далее, существует р^Ц„ (Й), такое что удовлетворяется (2.7) и справедливо (2.8).

Доказательство. Применив теорему 2.2 к случаю, когда W = Y, а^и, y)=v((«, ф)) и /=/, получим единственный элемент и, удовлетворяющий (2.37). Далее, из замечания 1.4 (г.) следует существование р € Lfoc (й), для которого удовлетворяется (2.7); справедливость (2.8) проверяется без труда. Наконец (2.9) удовлетворяется в некотором смысле, зависящем от того, какая теорема о следе выполняется для Y (или для пространства Z из правой части вложений (2.33) и (2.34)). □

Если область й локально-липшицева, то, как показывает предложение 1.2, р^Ц^^У■

2 р. Темам

Замечание 2.4. По лемме 2.3, для /££а'(й) (1/а+ 1/а' = 1)

о—>^/-®dx(2.38)

Q

есть непрерывная линейная форма на Y. Поэтому в теореме 2.3 можно взять любое /ё£а'(й) (а=-2п/(п—2), П5а3).

Неоднородная задача Стокса. Рассмотрим теперь неоднородную задачу Стокса.

Теорема 2.4. Пусть й— открытая ограниченная область класса У2 в R". Пусть заданы /^Н-х^, й££2(й), фС^1/2(Г), такие что■

§ g dx = §<р-v df.(2.39)

о г

Тогда существуют

а^Н1^, p£L2(Q), являющиеся решением неоднородной задачи Стокса

—vA« + gradp=/в Q,(2.40)

div« = g в й,(2.41)

уон = ф, т. е. и = ^ на Г,(2.42)

причем я единственно, а р единственно с точностью до аддитивной постоянной.

Доказательство. Так как Я'/2 (Г) = y0Ar (й), то существует щ^Н1^, такое что уояо — ф. Тогда, в силу (2.39) и формулы Стокса,

5 U~div »0) dx = 0.

Применяя доказываемую ниже лемму 2.4, мы заключаем, что существует элемент щ^НХ^, такой что div«i = g—div я0.

Полагая ф = « —Яо —«t, сводим (2.40) —(2.42) к однородной задаче Стокса для ф:-.

—vA® + grad р ^/ — vA (я0 + и^ ^ Н~1 (й), divф = 0 в й^"

Ф = 0 на дй.

Отсюда следуют существование и единственность ф и р (а значит, и и р). □

Лемма 2.4. Пусть Й—липшицева открытая ограниченная область в R". Тогда оператор div отображает НХ^ на £?(Й)/1К, т. е.

на пространство'

\g£L4<^, $g(x)dx=o}.(2.43)

Доказательство. Согласно предложению 1.2 и замечанию 1.4(H), оператор Л =grad С ^(Е2 (й), Я-1(й)) осуществляет изоморфизм пространства (2.43) на свой образ R (Л). При помощи транспонирования ' получаем, что его сопряженный Д* = —div С ^ (Я^(й), Е2(й)) осуществляет изоморфизм ортогона;иного дополнения к R (Л) на пространство (2.43); в частности, Л* отображает Н« (й) на I? (Q)/R. □

Замечание 2.5. Теорема 2.4 легко распространяется на случай, когда О является лишь липшицевой открытой ограниченной областью в R”, при условии что ф представляет собой след некоторой функции ср0 из Н (R) и (2.39), (2.42) понимаются в следующем смысле:

gdx = ^ div ф0(1х,(2.39')

Q О'

И-Фоб^(й)-(2.42')

Мы просто берем м0=ф0.

Результаты о регулярности. Классическим результатом для задачи Дирихле —Ku + u=f является тот факт, что решение и^П (Й) принадлежит Нт*-^, как только f^Hm^ (и й достаточно гладка). Естественно возникает вопрос, имеют ли место аналогичные утверждения о регулярности для задачи Стокса.

Этот результат и аналогичный результат для /^-пространств даются следующим предложением.

Предложение 2.2. Пусть Й — открытая ограниченная область класса ^г, г = шах (т + 2,2), т — целое > 0. Предположим, что

и £ W1* а (Й), р € Г1» а (Й), 1 < а < + оо(2.44)

— решение обобщенной задачи Стокса (2.40) — (2.42'1:

—x-Nu + grad р =f в й,.(2.40)

div u = g в й,(2.41)

уом = <р, т. е. и = ^ на Г.(2.42)

Если f^Wm>a^Yи ^Wm^--x-a'4VV

то

U^Wm4r-'a^, р^т*1’а^(2.45)

и существует константа с0(а, v, т, Q), такая что

|| M|lw"= + 7 а (й> + || p|'w'” + ‘. а (Щ/R ^ Со {||/i|wm. а й +

+ l|g||w"! + ,,a (й) + || ф|^У'”+г^а.а (Г)+^а II И||Ьа (й)), (2.46)

где da = 0 для а 2, da — 1 для 1 < а < 2.

Доказательство. Это предложение вытекает из результатов статьи Агмона, Дуглиса и Ниренберга [2], которая при дальнейших ссылках будет обозначаться через АДН, где даны априорные оценки решений общих эллиптических систем.

Пусть «„+1 = (l/v)p, ti = («n ..., «„+1)./ = (/1/vfj», gY Тогда уравнения (2.42) и (2.43) примут вид

^Ц, W uj = fh l<i^/i+l,(2.47)

/=i '''

где /,7(Е), £ = (£iЕ„)£КИ есть матрица, задаваемая следующим образом:1

/17(s) = R|25,7, 1 <i, /^n,

^+i./(5) = -//.«+! (5) = 5/. K/<«.(2-48)

/« + 1, n + i (5) " 0» |£|* = 5?++5«.

Возьмем (см. АДН, c. 38) $, = 0, /,- = 2, l^t^n, sn+j = —1, /n+i = l. Как и требуется, degZ17(g)^s, + //t l^t, /^« + 1, и /г/(1)=/г7(Е). Нетрудно вычислить, что L (S) = det 1’м (с) = | E |2", так что L(^)#=0 для вещественных E^O, а это обеспечивает эллиптичность системы (АДН, условие (1.5) на стр. 39). Ясно, что условие (1.7) па стр. 39 справедливо с т — п. Условие на L также выполнено: Т(с+т^') = 0 имеет ровно п корней с положительной мнимой частью, и эти корни все равны

т+ (5, Г) = —5 • ^ + I итжтч^т

Что же касается граничных условий (см. стр. 42), то имеется п граничных условий и

BhJ = dM (символ Кронекера) для 1^/i^n, 1^/^n+L Положим rh =—2 для" А= 1, ..., п. Тогда, как и требуется, degS^y^^ + ty, и м^’ймеем Bhj = Bh/. Остается проверить условия дополнительности. Легко видеть, что

Л1+(^) = (т-т+ (?))«,

N

где T+(|) = T+(g, v). Матрица с элементами 2 ^н/ (5) Uk (Е) есть /=1

просто матрица с элементами lhkl5>Y 1^^, k^n, —/* «+1(5),

п N

1^Л^п. Тогда линейная комбинация ^Ch ^B^U*6 равна 6=1/ = 1

п

(^ (g + tv)2С„ (5 4- TV)\ 2 С,- ^i + TV,.)), f=i

а это равно нулю по модулю М+, только если С1 = ...=С„ = 0. Таким образом, условие дополнительно выполнено.

Теперь применим теорему 10.5 из АДН, стр. 78. В результате получим (2.45) и (2.46) с da=l для всех а. Согласно замечанию после теоремы 10.5, можно взять da = 0 для а ^ 2, поскольку решение и, р из (2.41)—(2.42) необходимо единственно(рединственное точностью до аддитивной постоянной): если («», р*), (и**, /?*«) —два решения, то u = u« — u$t, р = р* — рм — решение задачи (2.7) — (2.9) с / = 0 и, следовательно, й = 0 и р = const. □

Замечание 2.6. Для а = 2 и m^R, m^s—1 имеют место результаты, аналогичные предложению 2.2. Для доказательства надо использовать интерполяционные методы, см. Лионе и Маджепес [1|.

Предложение 2.2 не утверждает существования «, р, удовлетворяющих (2.45), (2.46) (для заданных /, g, ср), а дает только результат о регулярности возможных решений. Существование решений обеспечивается теоремами 2.1 и 2.4, если a = 2. Следующее предложение дает общин результат о существовании и регулярности решения для п = 2 или 3.

Предложение 2.3. Пусть й— открытая область в R”, п = 2 или 3, класса $г, г = шах (т 4- 2, 2), т —целое ^—1, и пусть заданы у^ W"1-а(й), g ^ Ц7'п+1-а (й), ф g W'11*2-1/01' a (Г), удовлетворяющие условию согласования '

J gdx — ф-vdY. (2.49) и г ■

Тогда существуют единственные функции и и р (р единственно о точностью до аддитивной постоянной), являющиеся решением задачи (2.40)—(2.42) и удовлетворяющие (2.45) и (2.46) с da = 0 для 1 всех a, 1 < а <оо.

. Доказательство. Этот результат о существовании и регулярности не следует полностью из теории Агмона— Дуглиса — Ниренберга [1], что и является причиной ограничения размерности пространства случаем п = 2 или 3. Предложение 2.3 полностью доказано в статье Каттабриги [1] для случая п = 3 (и даже для т = —1). Для п = 2 задачу можно свести к классической бигар- монической задаче. Существует функция ф £ Wm+2> “ (й), такая что

divy=g,(2.50)

у0Ф = ф.(2.51)

Такая функция о может быть определена формулой

® = grad 6 4- /,(2.52)

ь 1 | дх* дхТ I ’v '

где О G Wm+S' “ (й) — решение задачи Неймана

A0 = g в Й,(2.53)

^ = <p-v на Г,(2.54)

а функция о U7m+S- “ (й) будет выбрана позже.

Задача Неймана (2.53)—(2.54) имеет хотя бы одно решение 0, так как выполнено (2.49), а используя стандартные результаты о регулярности для задачи Неймана, легко видеть, чтоб £ Wm+S- “(й). Условия на о определяются исключительно граничными условиями на Г и имеют вид

да ,-„

(=тангепциальная производная ото) = 0,до ,,56

^ ( = пормальная производная от о) = ф-т— ^.

Поскольку <р-т —50/5т g W/m+2“1/a'а(Г), существует о £ HZ™"13-“(Г) су0о = 0, у1о = ф-т —й0/5т. При таком определении о и 0 вектор г> в (2.52) принадлежит иЛл+2’а(й) и удовлетворяет (2.50)—(2.51). Кроме того, отображение {g, ф)*—>ф линейно и непрерывно.

Если положить w = u — V, то задача (2.40)—(2.42) сводится к задаче о нахождении w £ W«+2. (Q), р £ y/m+i, « (Q^ таких что

— vAw + grad р =f, f =f + vAy,(2.55)

divw^O,(2.56)

y„w = 0.(2.57)

Если область й односвязна, то, согласно (2.56), существует такая функция р, что

w = (D2p, — D^).(2.58)

Условие (2.57) сводится к условию p = dp/dv = 0 на Г, и (2.55) дает после дифференцирования — vA (О,^ —^гУз) = D^x — Dxj\. Таким образом, мы поручаем

vA2p = Dj; -П^Х G Wm-i' “ (Й),(2.59)

Р = 0, ^ = 0 наГ.(2.60)

Бигармоническая задача (2.59), (2.60) имеет единственное решение р £ UZm+8» “ (й), а функция W, определенная посредством (2.58), является решением задачи (2.55)—(2.57) и принадлежит Wm+a’ и (й). Если й пеодносвязна (рис. 2), то условие (2.56) позволяет нам получить (2.58) лишь локально, т. е. р может и не быть одно-

значной функцией. Однако, используя (2.57) и доказываемую ниже лемму, можно показать, что р необходимо будет однозначной функцией, удовлетворяющей условиям

■ р = 0 на Го, p = const на Г;, t = l,2 (2.61)

1^ = 0 на Г,(2.62)

где Г = Г0иrf иГа...—разложение 6Q на связные компоненты, Ги—одна из этих компонент (например, внешняя граница й, если О ограничена), a Гй Г2, ... —остальные компоненты. Тогда

задача (2.55)—(2.57) сводится к уравнению (2.59) (относительно р) с граничными условиями (2.61)—(2.62). Как и прежде, бигармо- ническая задача (2.59), (2.61), (2.62) имеет единственное решение р £ Г”>+3' а (й), и функция w, определенная посредством (2.58), является решением задачи (2.55)—(2.57) и принадлежит ^«+2. "(й). Q

Лемма 2.5. Предположим, что вектор-функция to € Wi'1 (й) соле- ноидальна (й — открытая область в R2). Тогда существует единственная однозначная функция р £ IF2’1 (й), которая удовлетворяет условиям (2.61), (2.62) и

w = (D2p, —Dtp). (2.63)

Доказательство. Докажем этот результат для гладких функций to. Затем его можно распространить на общий случай, используя соображения плотности.

Пусть Го, Гй Г2, ... обозначают связные компоненты границы Г = дй. Произведем гладкие разрезы S в й (рис. 2), такие что й = £ий, где й —односвязное открытое множество. Тогда для данной гладкой функции w существует функция р, такая что (2.63) выполняется в й. Ясно, что р — гладкая функция в замыкании й, а поскольку w = 0 на дй, то grad р равен нулю на дЙ, так что р постоянна на каждом Г; и dp/dv равно нулю на дй.

Мы сделаем р единственной с помощью выбора значения р на Го: р = 0 на Го.

Пусть теперь р± обозначает значения р на 2+ и 2_ —двух сторонах 2- Для произвольной функции ЧУ они могут быть различными, но если чу равно нулю на дй и р постоянна на каждом Г,-, то они должны быть одинаковыми. Действительно, если М±, Р± —две точки на 2±> М±£дй, то мы имеем

р(Р+) — р(М<.) =^ wdx =wdx

Х(М+->Р+)2ЛМ_-*Р_)

= р(Р_)-р(Л1_),

и посколькур(М + ) = р(М_), мы видим, чтор(Р+)=Р(Р_) на 2- □ 2.6. Собственные функции для задачи Стокса. Пусть й— произвольная ограниченная область вR". Отображение А: />—>(l/v)ti, определяемое теоремой 2.1, очевидно, линейно и непрерывно действует из £2(й)в V и, следовательно, в НЦЙ\ Так как й ограничена, то естественное вложение //о(й) в £2(й) компактно; и, следовательно, А, рассматриваемый как линейный оператор в L8^, компактен. Этот оператор также самосопряжен, ибо ^fv /2) = v ((«,, и^ = <fv А/3), где А/,. =.- U;, i=l, 2. Следовательно, оператор А обладает ортонормированной последовательностью собственных функций чу/. Лчу,= \чу,-, / ^1, Ху > 0, Ху—' —оо, /—>--}-оо:

Wy € V, ((чу,, ф)) = Ху (чу,, ф) Уф^у.(2.64)

(ЧУ,, ЧУ^ — 6,Ь, №/, ЧУ^) = Xy6yfe Используя опять теорему следующим образом: для(ЧУ,, ЧУ^ — 6,Ь, №/, ЧУ^) = Xy6yfe Используя опять теорему следующим образом: дляКак обычно,.

(ЧУ,, ЧУ^ — 6,Ь, №/, ЧУ^) = Xy6yfe Используя опять теорему следующим образом: для

(ЧУ,, ЧУ^ — 6,Ь, №/, ЧУ^) = Xy6yfe Используя опять теорему следующим образом: для

У/, 1г.(2.65)

мы можем интерпретировать (2.64) каждого / существует р, С Ц№ (й), такое

что

— vAwy + grad ру. = ХуWy в й,

div чу, = 0 в й,(2.66)

yoWy = O на Г.

Если й — липшицева'область, то Ру£Е2(й), в силу предложения 1.2. Если й — область класса iS™ (m—целое ^2), то повторное применение^предложения 2.2 показывает, что

чу, ^Н”^, р, ^Н™-^ У/1.(2.67)

Если й — область класса ^", то, ввиду (2.65),

.ЧУ,^^, р,^^^ Vj> 1.(2.68)

Дискретизация уравнений Стокса (I)

В п. 3.1 мы рассмотрим общее понятие аппроксимации нормированного пространства, а в п. 3.2 приведем одну общую теорему сходимости для аппроксимации общей вариационной задачи.

Последний пункт, а также весь § 4 посвящены описанию некоторых конкретных аппроксимаций основного для уравнений Навье — Стокса пространства V. Мы дадим соответствующие численные схемы для уравнений Стокса и затем применим к этому случаю общую теорему сходимости.

В п. 3.3 рассматривается метод конечных разностей. Методами конечных элементов мы займемся в следующем параграфе (пп. 4.1—4.5).

Вводимые ниже аппроксимации пространства V будут использоваться на протяжении всех последующих глав; они будут обозначаться через (АПР1), (АПР2), ...

Аппроксимация нормированного пространства. При использовании вычислительных методов некое нормированное, пространство W должно быть аппроксимировано семейством (W'^he® нормированных пространств Wh. Множество индексов^? зависит от типа рассматриваемой аппроксимации; ниже мы рассмотрим основные имеющиеся здесь случаи: ^ = N (положитель- п

ные целые числа) для метода Галёркина; ^f=II(0, /1"] для метода конечных разностей; ^^ множеству триангуляций области Q для методов конечных элементов. Знать точный вид 31 нет необходимости; достаточно знать, что на ЭД существует некоторый фильтр, с тем чтобы можно было переходить к пределу по этому фильтру. Для простоты мы всегда будем говорить о предельном переходе „при h —*0“, хотя, строго говоря, эта терминология корректна только для случая конечных разностей; все определения и результаты легко могут быть перенесены на другие случаи. Определение 3.1. Внутренняя аппроксимация нормированного векторного пространства W — это некоторое семейство троек ^л- Рю rbV И^ЭД, где

W h— нормированное векторное пространство;

ph— линейный непрерывный оператор из Wh в IE;

(Hi) rh — оператор (возможно, нелинейный) из W в 1ЕЙ.

Естественный способ сравнения элемента u^W и элемента Uh £ Wh заключается либо в сравнении phuh и и в W. либо в сравнении tth и rhu в Wh. Первая точка зрения, конечно, более привлекательна, так как мы производим сравнение в фиксированном пространстве. Тем не менее и сравнение в Wh также может оказаться полезным.

Другой путь сравнения и и uh заключается в следующем: сравнивается некий образ ши элемента и в каком-либо другом

пространстве F с неким образом phuh элемента «й в F (см. рис.З). Это приводит к понятию внешней аппроксимации пространства W, включающем в себя понятие внутренней аппроксимации как частный случай.

Определение 3.2. Внешняя аппроксимация нормированного пространства №—это пара, состоящая из

некоторого нормированного пространства F и изоморфизма w пространства W в F;

семейства троек {U7ft, ph, rh\h^se, где для каждого h

Wh — нормированное пространство;

ph — непрерывное линейное отображение из WH в F;

rh — отображение (возможно, нелинейное) из W в Wh.

■ В случае когда F=W и о — тождественное отображение, мы, конечно, получаем внутреннюю аппроксимацию пространства ТЕ. Всё последующее легко конкретизировать для этого частного случая.

Чаще всего Wn— конечномерные пространства; операторы ph довольно часто инъективны. Иногда операторы rh линейны (на всём ТЕ или на некотором его подпространстве), однако нет нужды налагать это требование в общем случае; мы не будем также требовать непрерывности rh.

Операторы ph и гп называются соответственно операторами продолжения и сужения. Если пространства W и F гильбертовы и все пространства Wh тоже гильбертовы, то аппроксимацию называют гильбертовой.

Определение 3.3. Для заданных h^^f, u^W, u^W^ назовем

\\®и —phuh''F—невязкой между и и uh,.

\Uh — rhu'\Wh — (декретной невязкой между и и uh,

||со«—phrhиf^Xошибкой аппроксимации для и.

Определим теперь устойчивые и сходящиеся аппроксимации. Определение 3.4. Скажем, что операторы продолжения р„ устойчивы, сели их нормы

1Ы!= SUp llPfoUftllF

“h£Wh

II “ft IIVZ*-1

ограничены равномерно по h. Скажем, что аппроксимация пространства W устойчива, если устойчивы операторы продолжения.

Теперь посмотрим, что происходит „при h-^Q“.

Определение 3.5. Будем говорить, что семейство uh сильно (соотв. слабо) сходится к и, если рки.к сходится к ыи при й —> О в сильной (соотв. слабой) топологии F. Будем говорить, что семейство tth дискретно сходится к и если

Hm Uh-rhU'\.w =0. й о"

Определение 3.6. Будем называть внешнюю аппроксимацию нормированного пространства U7 сходящейся, если выполнены следующие два условия:

(С1) для всех u£W

lim phrhu = tott (в сильной топологии F)\ Й о

(С2) для каждой последовательности tth- элементов Wh- (й' —► 0), такой что ph-Uh- сходится к некоторому элементу ф в слабой топологии F, мы имеем ф£соЦ7, т. е. ф = гок для некоторого u^W.

Замечание 3.1. В случае когда со сюръективно, в частности в случае внутренней аппроксимации, условие (С2) выполняется автоматически.

Следующее предложение показывает, что условие (С1) можно до некоторой степени ослабить, и для внутренней, и для внешней аппроксимаций.

Предложение 3.1. Пусть дана устойчивая внешняя аппроксимация пространства IV’, сходящаяся в следующем ограниченном смысле; операторы rh определены лишь на некотором плотном подмножестве ^ в W и условие (С1) из определения 3.6. должно выполняться только для и, принадлежащих ТГ (условие (С2) остается прежним). Тогда можно продолжить операторы сужения rh на всё пространство W так, что условие (С1) будет справедливо для каждого u^W и, следовательно, аппроксимация пространства W будет устойчивой и сходящейся уже без каких-либо ограничений. Доказательство. Пусть tt^W, tt^'^; нам надо каким-то образом определить rhtt^Wh для всякого й так, чтобы phrhtt—* toll при й —* 0. Элемент и можно аппроксимировать элементами из ^, которые в свою очередь могут быть аппроксимированы элементами из пространства PkW^; нам нужно только подходящим образом объединить эти две аппроксимации. Для каждого целого n ^ 1 существует «„С^, такое что ^ttn—-«[Iw^ 1/п и, следовательно,

>ttn—tou\F^cJn,(3.1)

где сй — норма изоморфизма со. Для каждого фиксированного

целого п сеть7 phrhun сходится к «и,, в F при h->0. Таким образом, найдется Пл > О, такое что iphrhu,,— ®и„\\рС Мп при 1^1 ^Лп- Мы можем предположить, что т]„ меньше, чем ц„_1 и 1/п, так что т)„ есть строго убывающая последовательность сходящаяся к нулю:

0<0<Пл + 1Пл + 1<Пп Пл-О.<Пп Пл-О.

0<

0<

Пл + 1

Пл + 1

<Пп Пл-О.

<Пп Пл-О.

Определим rhu равенством

Гдй = гьцп для т)„+1 < | Л | < П„-

Ясно, что для Пл + 1 < I ^ I ^ Пл

II®и- Ph^h« ||F<|| W« -Шп ||^ + II ®«и -phrhUn^

+ II Phrh“n - Ph^u ^< (1 + c0)/n

и поэтому ||co« —pArA2<!|F<(l+c0)//i для |/г К ц„. Отсюда следует сходимость р^и к mu при Л —> 0. □

Замечание 3.2. Предложение 3.1 показывает, что если отображение rh определено на всем пространстве W, а условие (С1) имеет место для всех и(ё/У, то мы можем изменить величину гАи на дополнении ^ так, чтобы условие (С1) удовлетворялось для всех u£W.

Галёркинская аппроксимация нормированного пространства. В качестве простого примера определим галёркинскую аппроксимацию сепарабельного нормированного пространства IV7. Пусть Wh, Л g N = ^,— возрастающая последовательность конечномерных подпространств IV', объединение которых плотно в IP. Для каждого h пусть ph — каноническое вложение Wh в W и для каждого и С Wh , которое не принадлежит IPA(i_i, пусть rhu = 0, если ft ^h0,° и rhu = u, если h > h0. Понятно, что phrhu-*U при /г со для всех u^U Wh. Оператор гн определен только на

h £ N

множестве ^ = U Wh, плотном в W. Поскольку операторы про- ь eN

должения имеют норму, равную единице, то они устойчивы и по предложению 3.1 операторы rh можно продолжить некоторым способом (неважно каким) на всё пространство W так, чтобы получилась устойчивая.сходящаяся внутренняя аппроксимация пространства IP: это И*"есть галёркинская аппроксимация для W. 3.2. Общая теорема сходимости. Рассмотрим теперь вопрос об аппроксимации общей вариационной задачи (2.12). Пусть IV’— гильбертово пространство, а (и, у) — коэрцитивная непрерывная

В дальнейшем иногда сети (обобщенные последовательности) мы будем называть просто последовательностями.— Прим, перев.

билинейная форма на U^xU^:

а(«, «)>а [я|Г^ У«€^(а>0)(3.2)

и /— линейная непрерывная форма на W. Обозначим через и единственное решение в IE уравнения

а («,»)=</, у> V®€^.(3.3)

Имея в виду аппроксимировать этот элемент и, зададим какую- либо внешнюю устойчивую и сходящуюся гильбертову аппроксимацию пространства IE, скажем \Wh, рк, г^неж- Для каждого h £ Ж зададим также

(i) непрерывную билинейную форму ah^uh, Фй) на WhxWh) которая коэрцитивна, а более точно, удовлетворяет условию,

За0 > 0, не зависящее от h, такое что

ahkuh, Uh^a.^tthU ^Uh^Wh1(3.4)

где |H!ft — норма в 1ЕЛ;■

(и) непрерывную линейную форму lh па X? h^l^W^, такую что

II^U^P,(3.5)

где iHI*fc~ норма в 1Е^ и Р не зависит от И.

Теперь мы свяжем с уравнениями (3.3) следующее семейство аппроксимирующих уравнений.

Для фиксированного h € ЭД найдем uh £ Wh, такое что

М«л> ®л) = <^> ®a> VyA€^.(3.6)

В силу сделанных выше предположений, из теоремы 2.2 (в которой вместо IE, IE', а и I надо взять Wh) W'h, ah и lh соответственно) следует, что уравнение (3.6) имеет единственное решение; будем говорить, что это решение uh является приближенным решением уравнения (3.3).

Прежде чем формулировать общую теорему о сходимости приближенных решений uh к точному решению, уточним, как согласованы формы ah и lh с формами а и /. Мы примем следующие предположения о согласованности:

Если семейство уЛ слабо сходится к у при /i^-О и если семейство n>h сильно сходится !, кто при И —»■ 0, то

.lim ah(yh, ии^ = а(у, w),

^'П->0

Vlim aA(wA, у^^а^и), у).(3.7)

в-* о

' Если семейство Фд слабо сходится к у при

А —* 0, то lim <l(l, vh> = <1, vy.(3.8)

h О

Общая теорема о сходимости звучит так:

Теорема 3.1. При выполнении предположений (3.2), (3.4), (3.5), (3.7) и (3.8) решение uh уравнения (3.6) сильно сходится к решению и уравнения (3.3) при h —* 0.

Доказательство. Полагая *oh = uh в (3.6) и используя (3.4) и (3.5), находим, что.

ahkuh1 и^ = <Ц, ипУ,(3.9)

«о i! Uh 4% < I! lh |Н*Л (: uh >h < р Ц lift |!ft;

отсюда

Ы^Р/^.(3.10)

Так как операторы ph устойчивы, то найдется константа с0, мажорирующая нормы всех этих операторов:

\Рь1' = ^Ря Чл? twh, р)<;С0;(3.11)

следовательно,

№hU^Fs^c>x0.(3.12)

При этих условиях существуют tp^F и сходящаяся к нулю последовательность /г', такие что lim рыиы = <р в слабой топологии F;

согласно условию (С2) из определения 3.6, ф€<в117, т. е. <t = wr$ для некоторого U»^W, так что

lim ph’Uh’ = юи» (в слабой топологии Fy(3.13)

о

Покажем, что и*" и. Для произвольного фиксированного y£U7 запишем (3.6) с vn = г^ и перейдем к пределу по последовательности h’, используя (3.7), (3.8) и (3.13):

М«л- гАФ) = <^, rh-y>, lim а^иы, гио) = а (и1;, у),'

ft' -> о^"■

lim <lh., rh' -иУ = <1, vy.

IV о

Окончательно получаем а^и», у) = </, *уу; в силу произвольности t£W, и» есть решение (3.3), а поэтому и» = и.

Точно таким же образом можно показать, что из любой подпоследовательности сеги phuh можно выбрать подпоследовательность, которая сходится к toll в слабой топологии F. Отсюда

вытекает, что и вся сеть phuh сходится к toil при h —> 0 в слабой топологии.'

Докажем теперь, что фактически здесь имеет место сильная сходимость. Рассмотрим выражение

Xh = ahk.uh-rhu, uh — rhu\

или

Xh = ah^uh) uh}-ah(uh, rhu)—ah{rha, ahHah(rh«, rhUY

В силу (3.7) —(3.9),

lim ah^uh, и^ = <Л, u>, a -* о

lim a^, rhu> = lim ahVhu, u^ = h оa -> о

= lim ah VhU, rhu) = a(u, »). a-> о

Следовательно,'

lim Xh = — a^u, u^-V<l> u> = 0,(3.14)

a о

согласно (3.3) (при "и = и\ Учитывая (3.4) и (3.11), получаем

O^ollUh — rhul ^Xh, поэтому

О <I! phuh - Phrhu lj> < №„) Xh -> 0.

Используя теперь условие (С1) из определения 3.6 и неравенство

II phUh - toU Ilf С II phUh - phrhU |lf + II phrhu — toll |if, мы заключаем, что левая часть стремится к нулю при h —>0. □

Замечание 3.3. Как было указано в замечании 2.2(11), теорема 3.1 применима к галёркинской аппроксимации уравнения (3.3), использованной при доказательстве теоремы 2.2. Беря Wh = Wт Mh = m^^, ^f = N. так же как и в примере в конце п. 3.1, получаем галёркинскую аппроксимацию пространства W. Полагая

а^-о, w) = a(v, w), <lh, d> = <1, d> yv, w^W

и применяя теорему 3.1, убеждаемся, что ит сходится к и в сильной топологии W при т—>оо.

Замечание 3.4. Если семейство {то1-д}1 ^ t ^ N (h) образует базис в Wh, то аппроксимирующая задача (3.6) эквивалентна некоторой невырожденной линейной системе относительно компонент йд в этом базисе: если

N<.h)

uh= 2 ^ih'tDih.

то

Whlwito «^ — ^Ь'«4t>> KKN(h).(3.15)

Решение линейной системы (3.15) находится обычными методами.

Если базис в W^ построить трудно (а это иногда случается в задаче Стокса), для решения уравнения (3.6) приходится подыскивать какой-нибудь специальный метод.

3.3. Аппроксимация с помощью конечных разностей. Мы рассмотрим здесь аппроксимацию пространства Нд1й), а затем и пространства V с помощью конечных разностей и аппроксимацию задачи Стокса соответствующей разностной схемой. Эту аппроксимацию для V будем обозначать через (АПР1).

Обозначения. Имея дело с конечными разностями, мы через h будем обозначать вектор /i = (/i1, ..., h^, где h£— шаг в направлении X; и

О < hf < hl

для некоторых строго положительных чисел hl; следовательно, ^=11(0, hl).(3.16)

•1 = 1

Нас интересует переход к пределу при h —* 0. Введем следующие обозначения (/i g 3t)\

(i) hi~ вектор h^i, где е; — вектор, /-я координата которого есть Ьи (символ Кронекера);

(И) ^ — множество точек из R" вида j^ + ... + jnhn, где у,- — целые числа любого знака (/,CZ);

Рис. 4. Примеры множеств а^М.г’) на плоскости.

(iii) oh (7И) для М = (ри • ■ •, р„) — множество

1=1

называемое блоком;

(iv) <тд (Ж, г) —множество

U ал(2И + (а/2)Л;)

I < 4 < П

-г < а< г

(см. рис. 4); конечно, <тд (Ж, 0) = стл(Л!);

(V) Юум—характеристическая (индикаторная) функция блока стд(Л1);

(vi) 8/д (или 8;, если это не может привести к недоразумениям)— конечноразностный оператор

(6 ,ф) (х) =.(6 ,ф) (х) =.(3.17)(3.17)

(6 ,ф) (х) =.

(6 ,ф) (х) =.

(3.17)

(3.17)

если j = Ut, ...,/„)£№ —мультииндекс, то 6^ (или просто 6-'') будет обозначать оператор

8/ = 8£* ... б'".(3.18)

■ (vii) Каждому открытому множеству Q в R” и каждому неотрицательному целому числу г мы поставим в соответствие следующие множества точек:

& = {M€R6, аА(М, r)cQ), .(3.19)

Q£ = {M£RA, од(М, г)ПЙ#=0).'(3.20)

(viii) Иногда мы будем использовать и другие конечноразностные операторы, например следующие операторы ^ifl и V/л (которые будут обозначаться также через V; и V,-):

V/АФ(х) = ^.^Й ФИ ,(3.21)

TiMx)=»№-<? (x-ht\.(3.22)

Внешняя аппроксимация пространства //„(Q). Пусть Q —липшицева открытая ограниченная область в R". Пусть, далее, W = НЦЗД, F= I? (й)"+1 (с естественным гильбертовым скалярным произведением) и оз— отображение

(3.23)(3.23)ин^ош^ (и, Dxu, ..., Dnu)

(3.23)

(3.23)

из V в F. Ясно, что ||ww|If= М//^, так что го —изоморфизм

из U7 в F.°

Пространство Wh. В предыдущих обозначениях, Wh— это пространство ступенчатых функций вида

«лМ= 2 «a(M)wam(x), aA(M)CRn.(3.24)

Meb^

Функции 1Внм для М ^СД линейно-независимы и порождают пространство Wh; они образуют базис в Wh. Размерность 1^д равна п, умноженному на N (h)—число точек М £йд; Wn конечномерно. Оно

снабжено скалярным произведением

И«й, ®-Ь = $ «Л W "Oh W dx+ 2 $ &iUh (х) &i-oh (х) Ах, (3.25) ui=1u

которое делает его гильбертовым пространством.

Как следует из определения пространства Wh и множества^, функции uh и &tuh, 1 ^ i ^ и, имеют компактные носители в Q. Следовательно, их можно рассматривать как вектор-функции, определенные на £2 или на R".

Операторы ph. Операторы продолжения ph суть дискретные аналоги оператора w:

Ph«h = («л. Мд» • • •. 8„«^ v«a € ^н-(3-26)

Нормы ph в точности равны единице:'

и опи устойчивы.

Операторы rh. Ввиду предложения 3.1 нам достаточно определить операторы rh лишь на ^’ = S>(£2), являющемся плотным подпространством в //,}(Q); положим

(rft«)(Af) = *(M) VM£& Уй€<0(Й);(3.27)

это полностью определяет rhu € Wh.

Предложение 3.2. Построенная выше внешняя аппроксимация пространства //j(Q) является устойчивой и сходящейся.

Доказательство. Эта аппроксимация устойчива, так как операторы продолжения устойчивы.

Мы должны проверить выполнение условий (С1) и (С2) из определения 3.6.

Лемма 3.1. Условие (С1) выполнено: Vh^^)(Q)

rhtt~^u в L* (Q),(3.28)

Atrhu Dtu в V (Q)(3.29)

при h-»-Q.„■

Доказательство. Пуст^ tt € Я> (^), и пусть h настолько мало, что носитель и, содержится в множестве1

Q (Л) = и oft(M).(3.30)

Для всех М£&н и для всех x£ah^M) формула Тейлора дает при uh = rhu^

| uh (х) — и (х) | | и (Л!) — и<х)\ < Cj (и) [М — х| < 2"JCx («)|ft|,

где

Ct (и) = sup | grad и (х) |,(3.31)

хб Q / п \1/2■ '

\И\ЦЦкП ■ ,(3.32)

Тогда

sup | uh^ — u(x)K2_1ci(n)|/i|.(3.33)

xg£2 (ft)

На множестве Q\Q(/i)

I«(х) | <Н («)d(x, Г),

| uk (x) —u (x) | ^^(и) d (Q(/t), Г).(3.34)

Следовательно,

sup | иЛ (x) —и (x) | ^^ (и) (2-11/i |-|-d (Q (/i), Г));(3.35)

Л € 2

но правая часть стремится к нулю при h—► 0; значит, ик сходится кив Е” (й), а так как Q ограничена, то и в L2(Q).

Для того чтобы доказать (3.29), опять применим формулу Тейлора: VAfgiX ^x^ah^M)>

| 6ZMA (x) —Dz« (x) |

= |l[Hft(M + lftz)-Hft(M-l^)]-Dz.^ (3.36) ^M«)|A|,

где c2(u) зависит только от sup-норм вторых производных от и. На множестве Q\Q(/z)

| D;a(x)Kc2(H)d(Q(ft), Г),

а тогда на всем множестве Q

| \uh (х) — D,u (х) Кс2 (и) I /г 14-С2 (и) d (Q (А),.Г).(3.37)

Правая часть сходится к нулю при h —♦ 0; этим доказана сходимость 6;ид к Dpi в sup-норме и £2-норме. □

Лемма 3.2. Условие (С2) выполнено.

Доказательство. Пусть задана последовательность Ну € Wh-, h'->-0, такая что рн'Чк сходится к ср в слабой топологии F при h'—> 0. Это означает, что

Нт ин- = <р0, л'-*»(3.38)

lim bih-Uh- = <Р/> 1 ^ i ^ п, h'-»o

в слабой топологии 1?^у, ф = (фь, . ..,фп). Так как функции ипч bpih- имеют компактный носитель в й, то мы имеем также

Нт«Л=ф0, h’-*°_(3.39)

Пт 6,.«/,, = ф„ l^t^n,

в слабой топологии I? (Rn); здесь g обозначает функцию, равную g на й и нулю на дополнении к й. Дискретный аналог формулы интегрирования по частям дает

$ ^th-Uh- (х) о (х) dx = — ^ nh' (х) ^мо Iх) dx(3.40)

R"R"

для каждого o^S) (Rn). При h’ —* 0 левая часть (3.40) сходится к § Фг (х) о (х) dx, R"

а правая часть —к

— ^0(x)Dza(x)dx,

R"

так как (по лемме 3.1) ?>iho сходится к Dto в L2(R"). Итак,

^ <р,- (х)о(х) dx =— J фи (х) £>,-о (х) dx Vo g ® (Rn),

R"R"

или, другими словами,

4>1 = в^о> \<1Сп,(3.41)

в смысле теории распределений. Далее, ясно, что ФоСЯ1^")» а поскольку ф0 равно нулю на дополнении к й, то ф0 принадлежит Яо1 (й). Таким образом, фСсо!^,

Ф=(»ф#, ф0€Я*(й). □(3.42)

Дискретное неравенство Пуанкаре. Следующее дискретное неравенство Пуанкарег(ш. (1.9)) позволит нам наделить пространство W h (см. (3.2$)) другим скалярным произведением ((•, -))д, дискретным аналогом скалярного произведения ((•, •)) (см. 1.11)). Предложение 3.3. Пусть Й — область, ограниченная в направлении хь и uh—скалярная ступенчатая функция типа (3.24) ^и^^М) £R\ Тогда

Xun^WihUnV^АЪ)

где I — ширина Й в указанном направлении.

Доказательство. Возьмем для простоты / = 1. Поскольку uh имеет компактный носитель, то для любого УИ £ RA

Un (му = 2 я»й (Л1 - №-[11п(М-и+^лор}

. =Л,^[б1йяй ^М — (/ + 4) А1)] [»а(М-/А,) +

+ «й'(Л1-(/+1)А1)],

(Л4-(/+4)а1)|[|«й(Л1-/А1)Г(Л4-(/+4)а1)|[|«й(Л1-/А1)Г(3.44)(3.44)так что

(Л4-(/+4)а1)|[|«й(Л1-/А1)Г

(Л4-(/+4)а1)|[|«й(Л1-/А1)Г

(3.44)

(3.44)

UhiMy<J = ht £ |61йий+ |ий(Л1-(/+1)А1)|];

(3.45)(3.45)написанная сумма в действительности конечна. Далее, и^М-НЬгУ для любого i^Z мажорируется в точности тем же рядом /. Имеется менее чем ЦК^ значений i, таких что ик^М.А-1Н,^чь^> поскольку х^ширина Q меньше I. Следовательно,

(3.45)

(3.45)

2 UnkM-Vih.y^H/^. i= — оо

Обозначим через f h (Л1) цилиндр и OnkM-У thy. Мы можем интерпретировать (3.45) следующим образом:

uft(x)2dx = (ftp . Л„) 2 uh(M + ih-iy^l(hi...hn)l/hi

= 1 f |6^1/д(х)| (х-^А^Шид (x —lA^Hdx.

Просуммировав последнее неравенство по всем цилиндрам вГд<УИ),. получим

У uh (xy dx < I J| б1йыд(х) 11| ий ^х + 4 А<) | + R”R"

Применение неравенства Шварца дает теперь

I “ft I2 - j “a W2 dxи"I “ft I2 - j “a W2 dxи"^ ^ I ®1Л ил^ ^ I ®1Л илГСП/1\ I2

I “ft I2 - j “a W2 dxи"

I “ft I2 - j “a W2 dxи"

^ ^ I ®1Л ил

^ ^ I ®1Л ил

(•J 2 \ I i/д ( х + у hi)

I J LI\4/ I

к R"

I /|\ |2"1М/6

+ ujx—yAJdx? <2/|61AuA|-|uA|,

откуда и следует (3.43). □

Предложение 3.4. Пусть Q — ограниченная липшицева область. Если ввести в пространстве Wh скалярное произведение

п

(3.46)(3.46)^Н. V^^^ J 6ihuh6ih-ohAx,

(3.46)

(3.46)

<=1 fl

то мы опять получим устойчивую сходящуюся аппроксимацию для Ho(Q).

Доказательство. Операторы продолжения будут устойчивы вследствие предложения 3.3. □

Замечание 3.5. Используя разностные операторы ^ih или ViA> или вообще любую „разумную" аппроксимацию оператора дифференцирования д/дх[, можно определить много других аналогичных аппроксимаций пространства Яо (Й). При этом изменяется: скалярное произведение (3.25), где 6,д нужно будет заменить на Vi'a> • • •> множество Ин, которое нужно будет определить подходящим образом, и некоторые пункты в доказательствах лемм 3.1 и 3.2.

То же самое неравенство Пуанкаре справедливо и для операторов V:a 'и V/a. но не для более общих операторов.

Замечание 3.6. В случае когда область Й неограничена, можно определить внешнюю аппроксимацию пространства Но (й), используя пространство W н, состоящее

— либо из ступенчатых функций вида 2 ^mwhM’ имеющих компактный Л16&1

носитель (мы ограничиваемся суммами по конечному числу точек М^Йн), — либо из ступенчатых функций вида S Х. ^ш^ ц. причем Л! берется из м

пересечения Й^ с некоторым „большим" шаром |х|<р(Л), где р (Я)—>+оо при h —► 0.я,.

Во втором случае Wн конечномерно; в первом случае это не так. Оставляя все другие элемент^аппроксимации без изменения, мы, понятно, получим устойчивую сходящуюся аппроксимацию пространства Но (Й) для неограниченной локально-липшицевой области й.

Дискретное неравенство Пуанкаре сохраняет силу, (если й ограничена в одном из направлений xjхп.

Аппроксимация (АПР1) пространства V. Пусть Q —липшицева ограниченная область в R", Т3 —обычное пространство (1.12) и V — его замыкание в Н»^.

Мы определим сейчас некоторую аппроксимацию пространства V, используя конечные разности; эту аппроксимацию мы будем обозначать через (АПР1). ?

Пусть F = L?(Q)n*1 (с естественным гильбертовым скалярным .произведением). Определим отображение to^Sty, F) следующим образом:

ц>-^(о« = (ц, О^, ..., Опа).

Ясно, что Ijtoti1,^ =[[»]], так что со —изоморфизм из V в F.

Пространство Vh. (В дальнейшем мы пишем Vh вместо Why Vh — пространство ступенчатых функций вида

■Лей),

которые дискретно соленоидальны в следующем смысле: ' п•

2v/ft«lft(Af) = O YM^L(3.48)

1 = 1

- или, эквивалентно,

п

27;/г«;лМ = 0 Nx^P.^.(3.49)

i=l

Никаких доступных базисов в VK в нашем распоряжении нет; ясно только, что Vh — конечномерное пространство размерности меньшей или равной nN (h) — N (/i) = (ц — 1) N (h), так как все функции вида (3.47) образуют пространство размерности nN (h) и имеется не более чем N (h) независимых линейных связей (3.48); неясно, будут ли связи (3.48) всегда линейно-независимы, так ' что неизвестно, равна ли размерность Vh в точности (и— \)N(h).

Пространство Vh снабжается одним из скалярных произведений

' ((«л, ®л))д = 2 $ Мл W • Мл (*) dx,(3.50)

[«а,®а]1а=$ »aW®a Wdx + ((«ft, уа))д.(3.51)

й

Из предложения 3.3 (дискретного неравенства Пуанкаре) следует, что Vh, снабженное любым из этих скалярных произведений, будет гильбертовым пространством.

Операторы р^. Это —дискретные аналоги оператора <о:

ph.uh. = \tth, Dxuh, Dnuk}.(3.52)

Эти операторы устойчивы, поскольку, в силу (3.43),

■ WPfJNi 1Ял1]л ^с|1 ЯА Ий ^°Л € V4.(3.53)

Операторы rh. Мы определим rhu лишь для и из ^—плотного подпространства в V; для всякого M=(mvh.v ..., mnh^ ^Cl\ значение (гйя)(Л4) определяется посредством равенства

uihV№) (т- е- *'я компонента вектора ий) = среднему значению ut на грани х{ = (т;—^ ht множества oh (Л4). (3.54)

Такое сложное определение rhtt необходимо, если мы хотим, чтобы элемент яд принадлежал Vh.

Лемма 3.3. rhu € Vh для каждого и^Т3.

Доказательство. Имеем

^ ih'1 ihV^)^ ih'1 ihV^)= hT~^H “AxW- J М*ШIs s= hT~^H “AxW- J М*ШIs s

^ ih'1 ihV^)

^ ih'1 ihV^)

= hT~^H “AxW- J М*Ш

Is s

= hT~^H “AxW- J М*Ш

Is s

где 2/A 2; — соответственно грани xz = (m( + 1/2) ht и x( = = ^mi — Xl^hi множества ок(МУ Это равенство можно переписать так:

^ihUih(M)= ^у hn j «vdF,S u S

где v обозначает единичный вектор внешней нормали к границе множества ah (М). Поэтому для любой точки

V X^UihiM) = -:——\ u-vdF(no формуле Стокса)

(=1daft(M)

= -г——\ div и dx -= 0, hx ... hn J’

од (M)

так как divti = 0. Условие (3.48) выполняется. П Предложение 3.5. Описанная выше внешняя аппроксимация пространства V является устойчивой и сходящейся.

Доказательство. Устойчивость уже была доказана.

Проверка выполнения условия (С1) аналогична соответствующей проверке в л^мме 3.1, и мы не будем здесь повторять все детали. Для хСод(Л1), /И<Е^

I ит ^ — и; (х) | = | uih (£) — Ut ^ |,

где £ —некоторая точка грани х; —(т; — 1/2)/г,- множества аА(Л4); следователь: ю,

и (3.35) заменяется на

sup\uh(x) — w (x)|^r((u) {(/i| + d(Q(/i), Г)}. ■(3.55)

Проверка выполнения условия (С2) аналогична доказательству леммы 3.2; точнее, совершенно так же, как и при доказательстве леммы 3.2, показывается, что если

pilin' —► 4 в слабой топологии F при h' —♦ О,

то q> = (OH = (u,D1H, ..., £>„«), где а^Н^ЗД. Ввиду теоремы 1.6 доказательство того, что и С V, сводится к проверке того, что divu=0. Как мы сейчас покажем, это следует из (3.49). Пусть о —какая-либо пробная функция из ®(Q). Предположим, что h настолько мало, что носитель а лежит в Q (/г). Из (3.49) вытекает, что тогда

S( 2 (V,-AuZft)(x) )о(х) dx = 0,

Q V^I/

или

(3.56)(3.56)

(3.56)

(3.56)

С помощью дискретной формулы интегрирования по частям легко проверить, что.

(3.57)(3.57)' $ (V(A6)(x)-a(x) dx = — $ 6 (х) (V^o) (х) dx. r"r”

(3.57)

(3.57)

Поэтому (3.56) принимает вид

(3.58)(3.58)$ 2 [«/ft(x)-(VZfto)(x)]dx = 0.

(3.58)

(3.58)

Рассуждение, основанное на формуле Тейлора (аналогичное использованному при доказательстве леммы 3.1), показывает, что

(3.59)(3.59)VZfto —► — £>/<т при h —►О

(3.59)

(3.59)

в (sup-норме и) £2-порме. Так как uih сходится к я, в слабой топологии L2 (R"), то, устремляя h —► 0 в (3.58), мы получаем

R"R"2 tt; (x)-D{o (х) dx = 0.2 tt; (x)-D{o (х) dx = 0.(3.60)(3.60)

R"

R"

2 tt; (x)-D{o (х) dx = 0.

2 tt; (x)-D{o (х) dx = 0.

(3.60)

(3.60)

Из этого равенства, верного для любых о£®(й), вытекает, что div и = 0, а значит <f —сон, где tt^,V. □

Замечание 3.7. Замечание 3.5 может быть распространено на данный случай, с одним, однако, ограничением: условия (3.48) — (3.49) в определении пространств Vh не могут быть заменены аналогичными соотношениями с другими разностными операторами; например, нельзя, по-видимому, заменить (3.49) на

п

(3.61)(3.61)2 6гл«|Л(*)=°> 1=1

(3.61)

(3.61)

так как (3.61) требует много больше алгебраических соотношений, чем (3.49), и, возможно, даже слишком много соотношений (так что может получиться Гй = {0}). ‘

Замечание 3.8. В случае когда область й неограничена, можно, применяя методы, упомянутые в замечании 3.5, определить некоторую устойчивую и сходящуюся внешнюю аппроксимацию пространства' Y, введенного в (2.31).

(3.62)(3.63)(3.62)(3.63)Аппроксимация задачи Стокса. Используя построенную выше аппроксимацию пространства V и результаты п. 3.2, мы можем теперь предложить некоторую конечноразностную схему для аппроксимации задачи Стокса. Возьмем в (3.6)

(3.62)

(3.63)

(3.62)

(3.63)

ан^н. ®A) = v((«ft, v^, <k. ^-(J, ®Д

где Vh и ((•, -))ь —определенные выше пространство и скалярное произведение, а у и / те же, что и в п. 2.1. Задача, аппроксимирующая задачу (2.6), формулируется так:

Найти элемент uh^Vh, такой что

v((«ft, ®л))й = (/, ®А) VV4(3.64)

Предложение 3.6. Для всех h^S^ решение ап задачи (3.64) существует и единственно; при h —> О решение uh задачи (3.64) сходится к решению и задачи (2.6) в следующем смысле;

(3.65)(3.66)(3.65)(3.66)Uh-*U в L1^,

(3.65)

(3.66)

(3.65)

(3.66)

бши^-^О^ в ЩЙ).

Доказательство. Нам надо только проверить, что применима теорема 3.1. Выполнение условия (3.4) очевидно (а0 = 1); что касается условия (3.5), то заметим, что |</д, ®д>| = |СЛ ®л)|^ 5^ |/|-11^1^ (в силу- дискретного неравенства Пуанкаре) с (Q) |/11| Dh l|ft 4vh £ Vh.Следовательно,

ICk=^(WI, (3-67)

и (3.5) выполнено.

Переходя к проверке условий (3.7) —(3.8), отметим, что рдФд шф слабо (соотв. р^н —* юно сильно) означает, что фд ф и 61ДФД—*О,ф в £2(Й) слабо (соотв. wA—и 6/ftwA—>Dzw

в L2^ сильно), и ясно, что это влечет за собой соотношения ^ihVh. ^th^ -* (^i®, Di^ ' ^h. ^й-^а®, w)),

СЛ ®A) -* (/. ^Y □

Аппроксимация Давления. Мы хотим теперь представить „приближенное" давление, которое неявно содержится в (3.64), точно так же как точное давление р неявно содержится в (2.6).

Пространство Vh (см. (3.47)) является подпространством пространства W h (см. (3.24)), а именно оно состоит из тех ‘ОкЕ^ю которые удовлетворяют линейным связям (3.48).

Форма «ft^vll^ft' ®й))д —(/, ®ft) есть линейная форма, определенная на №д и обращающаяся в нуль на Vh. Следовательно, вводя множители Лагранжа, соответствующие линейным соотношениям (3.48), мы получим с помощью классической теоремы линейной алгебры, что существуют Хм € R и Л4 € такие что равенство

^((«й.ФйЬй-^, ®й)= 2 ^м 2 (V/ft®/ft(M))(3.68)

меЬ^ 1=1

имеет место для любого уд С ^й-

' Введем теперь оператор ОдЕ^^'й, ^2(й)):

ОА®А W = 2 ^.п W ^-Vn € Wh\(3.69)

i = l

его сопряженный D’h С 2 Ц? (Q), №д) определяется равенством

№ ®A) = (0, Dhv^ ^h^h ^EL2^.(3.70)

Пусть лд—ступенчатая функция, равная нулю вне Й (/i)= U од(Л1) ле^

и удовлетворяющая условию

Лд^лДЛ^);^^ VxEcAMY М^ (3.71)

Тогда (3.68) можно записать в виде

*((«А. ®й))й-(/, ®й) = (^> Одфд), или, эквивалентно, в виде

v((«A. ®й))й-№а, ®А) = (/, ®A) V®ft€U7ft. (3.72) Беря последовательно u^w^Cy для ME^h, / = 1, ..., /г, мы можем интерпретировать (3.72) следующим образом:

-V 2 ^й«й(М)+(vftЛд)(М)=fh(MY ME^,(3.73)

» = 1

где ?л(лй(Л1)) —вектор (?1Ал„ (Л1)ТпДЛд(Л1)) и

У /^dx-(3-74)

Уравнения (3.73) и

2 (Vift^)(M)-0, M№(3.75)

представляют собой дискретную форму уравнений (2.7), (2.8); — О^лд — „аппроксимация" gradp; —Од —дискретный оператор grad.

Замечание 3.9. Как было сказано в замечании 3.4, решить задачу (3.64) непросто, поскольку нам неизвестен никакой простой базис в Уй. В качестве одного из возможных способов решения задачи (3.64) можно было бы попытаться решить систему (3.73), (3.75), которая является линейной системой относительно неизвестных и^М1), ..., Unh^M), nh(M), Л/^Йд. Эта система имеет единственное решение с точностью до аддитивной постоянной для Яд (Л1); эта неединственность затрудняет нахождение решения; кроме того, -матрица этой системы плохо обусловлена.

Более эффективные способы фактического вычисления приближенного решения будут даны в § 5.

Невязка. Предположим, что точное решение удовлетворяет условиям «g^3(Q) и pg^2(Q). Тогда, используя формулу Тей- .лора, мы получаем

—v S (6^a)(M) —(vftp)(M)=/(M) + eft(M), (3.76) i=i

где rhu — функция из Vh, определенная посредством (3.54), а ей(М) есть „малый" вектор:.

|eft(M)|<c(«, p^hV .(3.77)

где с (и, р) зависит только от sup-норм третьих производных от и и вторых производных от р. Обозначим через Лд функцию

У р(МУичм. Тогд^ равенство (3.76) эквивалентно равенству М 6 н^

v^rhu, -о^^^н. О^^^^-Уч* ^h)(3 78)

для любого Dh £ Wh (см. (3.24)) и влечет

AVh». M^Cf+Bft, <0^(3.79)

для любого Dh £ Vh. Вычитая это равенство из (3.64), мы получаем

^\uh-rhu, ®д))д-=(ей, ©ft)(3.80)

и, полагая -ок = ик — rhu, видим, что

^\\uH-rHu\^ = ^H, uh-rhu)^c(Q, и, P)\h\'\uh-rhu\\h.

Таким образом, мы получаем следующие оценки для дискретной цевязки:.

(3.81)(3.82)(3.81)(3.82)11«л-гй"1!а ^vc(Q> “’ p^hV

(3.81)

(3.82)

(3.81)

(3.82)

Iwa-^^Kv^(Q> “’ p^hV '

Дискретизация уравнений Стокса (II)

. Мы изучим здесь дискретизацию уравнений Стокса при помощи методов конечных элементов. Результаты будут менее общие, чем в предыдущем параграфе, и будут меняться в зависимости от размерности. Мы последовательно рассмотрим следующие согласованные конечные элементы: кусочно-полиномиальные степени два в двумерном случае (п.4.2), кусочно-полиномиальные степени три в трехмерном случае (п.4.3) и кусочно-полиномиальные степени четыре в двумерном случае. В заключение мы рассмотрим одну внешнюю аппроксимацию посредством несогласованных конечных элементов для случая произвольной размерности (п.4.5).

Предварительные результаты. Мы будем иметь дело с кусочно-полиномиальными функциями, определенными на «-мерных симплексах. В связи с этим напомним здесь некоторые определения и введем обозначения, приспособленные к нашей ситуации.

Барицентрические координаты. Пусть в R" заданы п 4-1 точек 1

. Av ..., Л„+1 (с координатами аь , , ..., 1 ^ i ^ п + 1), которые не лежат в одной гиперплоскости; это означает, что п векторов ЛрЛ.,, . ... Л1Л„+1 линейно-независимы, или что матрица

й1, 1fll,21 1 1й1, п + 1

(4.1)(4.1)й2, 1а2,2• 1 ’ti2> п + 1

(4.1)

(4.1)

ап, Iап,г• • •ani „+1

111

• В этом параграфе, где речь идет о конечных элементах, заглавные ’буквы Л, В, М, Р.... (иногда с индексами) обозначают точки аффинного пространства R". Парой таких букв, например АВ, мы обозначаем вектор R" с началом А и концом В.

невырожденна. Для любой данной точки Р £ R" с координатами xv ..., хп существуют п4-1 вещественных чисел X, = XZ(P), l^i^n4-l, таких что

п+1

0P=2W„(4.2)

п+1

2^=1.(4.3)

где О — начало координат в R".

Для того чтобы в этом убедиться, достаточно заметить, что (4.2) и (4.3) эквивалентны линейной системе

которая имеет единственное решение, поскольку матрица «Л невырожденна по предположению. Числа X, называются барицентрическими координатами точки Р относительно п 4-1 точек Лп ..., Лп+1. Согласно (4.4), числа X, представляют собой линейные, вообще говоря, неоднородные функции от координат хп ..., хп точки Р:

2 bhjx.A-bUn*i, 1<1<п+1, (4.5) /=1

где матрица S3 = фь/^ обратна к матрице Л. Легко видеть, что если точку О в (4.2) заменить любой другой точкой из R”, то значения барицентрических координат не изменятся; следовательно,

"^Х^А^О. ■ (4.6) • <=1

Ясно, что барицентрические координаты не зависят также и от выбора базиса в R”. 4

Выпуклой оболочкой и+1 точек Л, является в точности множество точек R^, барицентрические координаты которых удовлетворяют условиям

0<Х,<1, 1<1<«4-1. (4.7)

Эта выпуклая оболочка S’ называется п-мерным симплексом, порожденным точками Л,, которые называются вершинами симплекса S’. Барицентр G симплекса S’ — это точка из (У, барицентрические координаты которой все равны между собой и,

следовательно, равны 1/(п +1); т-мерной гранью симплекса У называется всякий m-мерный симплекс (1^т^/г—1), порожденный т+1 вершинами У (конечно, эти вершины не лежат ни в каком (т— 1)-мерном подпространстве R”). Одномерные грани называются ребрами.

Двумерные симплексы (и = 2) являются треугольниками; вершины и ребра такого симплекса —это просто вершины и стороны треугольника. Трехмерные симплексы представляют собой тетраэдры; их двумерными гранями служат четыре треугольника, образующие границу тетраэдра.

Один интерполяционный результат.

Предложение 4.1. Пусть Лп ..., Л„+1 суть /г+1 точек из R", нс лежащих в одной гиперплоскости. Для любых данных п +1 вещественных чисел +, ..., ct^, существует одна и только одна линейная функция и, такая что u(Ai)=a.i, l^i^n+l; она задается формулой

и^^ос-ХДР) VP^R",(4.8)

i = 1

где ХДР) —барицентрические координаты точки Р относительно точек Av ..., Л„+1.

Доказательство. Пусть и(х) = S P/^+Pn+i—такая функция. Не/ = i

известными здесь являются рп ..., р„+1, которые удовлетворяют следующим уравнениям, означающим, что и(А{) = ар

2 Р/О/, z + Pn+i =az» l^i^/z+1. / = i

Матрицей этой системы служит матрица ‘Л, транспонированная к Л, поэтому функция и существует и единственна. Остается проверить, что формула (4.8) задает требуемую функцию. Но, действительно, u(Aj)=a.p l^j^n+l, поскольку ХДАД=би (символ Кронекера) для любых i и /. □

Замечание 4.1. Интерполяционные формулы более высоких порядков, использующих барицентрические координаты, будут даны позже (см. пн. 4.2—4.4).

Некоторые дифференциальные свойства барицентрических координат. Мы укажем здесь некоторые дифференциальные свойства барицентрических координат Хь рассматриваемых как функции от декартовых координат xv . ..хп точки Р; ниже D обозначает оператор градиента: D = (DV ..., Dn).

Лемма 4.1. ^DX^O,(4.9)

1 = 1

■ ПХДРуРА^ц-ХДРу, l^i, j^n+l. (4.10)

Доказательство. (4.9) немедленно вытекает из тождества (4.3). Согласно (4.5),

^=bUk* l^i^n+1, l<fe<n, поэтому

ОХг (РуРА^ = DX{ (Р) • О А, - DXt (Р). ОР

~ S bu kak_} — 2 Ьи кхк = 2 ьи kaki f + bit n+I — л, R=1R = 1feal

= 6Z/—x{

(мы воспользовались тем, что ^ = Л“1). □

Лемма 4.2. Пусть д’— произвольный п-мерный симплекс с вершинами Лп ... Ап+1 и р' —наименьшая верхняя граница диаметров всех шаров, содержащихся в д’. Тогда

|Г>М<1/р', 1</<п+1,(4.11)

где \DXt —эвклидова норма п-мерного вектора DXt. Доказательство. Имеем

|DA.J = DA.rx,(4.12)

где х —единичный вектор, параллельный DXt\ но мы можем записать x = (l/p')PQ, где Р и Q принадлежат д’. Обозначим через Ц], ..., p„+i барицентрические координаты точки Q относительно Л,, .. , An+t. В силу (4.2) —(4.3),

П+1/2+1

PQ = ^jPA„ ^=Х.

Поэтому /П+1v/2 + 1

п+1

= (согласно (4.10))-^^ ц/б.у — Xz)=-^r(pz — Х;\ ,

Поскольку Р и Q принадлежат д’, то 0^Xz^ 1, 0^pz^l для каждого I, l^i^n+l, а значит, —l^pz —Х;^1, так что |DA.z-xK 1/р', откуда и следует (4.11). □_

Нормы некоторых линейных преобразований. Пусть д’ и д’ — два n-мерных симплекса с вершинами At, ..., Ап^! и Av ..., A„+t. Обозначим через р (соотв. р') диаметр наименьшего шара, содержащего д’ (соотв. диаметр наибольшего шара, содержащегося в d’Y обозначения р и р' имеют аналогичный смысл.

Произведя, если нужно, переносы, мы можем считать, что Л^Л^О; обозначим через Л линейное преобразование в R", такое что

(4.13)(4.13)Л — А Л 0 2 s^ i 5^ м -{- 1 •

(4.13)

(4.13)

Нормы операторов А и А-1 могут быть следующим образом оценены через р, р', р, р'.

Лемма 4.3. ||А||^р/р', ||А-1||^ р/р'.(4.14)

Доказательство. Как и при доказательстве леммы 4.2, пусть х — произвольный вектор из R" с нормой 1. Тогда х = (1/р') PQ, где Р и Q принадлежат У. Ясно, что Ax = (l/p')PQ, гдеР=АД, Q = AQ. Но Р и Q принадлежат У, поскольку

п+10Р= 2 х,оаьп+10Р= 2 х,оаьо^х.о^х.С 1,С 1,

п+1

0Р= 2 х,оаь

п+1

0Р= 2 х,оаь

о^х.

о^х.

С 1,

С 1,

влечет

МР = 2 XtOAb

i = 1

так что барицентрические координаты Р относительно AtА^, совпадают с барицентрическими координатами Р относительно Л,,..., Л„+р Следовательно, I^QI^p и | Ах | ^ р/р'. Первое неравенство (4.14) доказано. Второе становится очевидным, если поменять местами У и У. □

Для соленоидальных вектор-функций оказывается полезной следующая лемма.

Лемма 4.4. Пусть х>->и(х)— соленоидальная вектор-функция, определенная на У (или на R"), и х—* и(х) —функция, определенная на У равенством

и(х)=Аи(А-1х) Nx^.y (или R").■(4.15)

Тогда и — также соленоидальная вектор-функция.

dxkdXjdxkdXjДоказательство. Пусть а-ц и |Зйг обозначают элементы матриц А и А-1. Тогда

dxk

dXj

dxk

dXj

^-(х) = Л=-’^а.ии1(А-хх) = = '^*a-i^hf-§^V^'1X)

3 Р. Темам

(div и) (ж) = 51 ДУ- (X) = 51 “<А<§(Л"*>= Hg(A-i) = O. □

Регулярные триангуляции открытой области й. Пусть й — открытая ограниченная область в R", и пусть S\ — некоторое семейство /г-мерных симплексов; такое семейство будем называть допустимой триангуляцией области й, если выполнены следующие условия:

й^)= и 9сЙ; (4.16) 9 6 h

если 9 и 9'^,S"h1 то 9 р\9” = 0 (где 9— внутренность 9 ') И 9 А 9’ либо пусто, либо является m-мериой гранью одновременно для

9 и 9' (для какого-либо т, О^/тг^и—1). (4.17)

Обозначим через V^Wi^ge семейство всех допустимых триангуляций области й; с каждой допустимой триангуляцией ^h мы свяжем следующие три числа:

р№ = sup р», (4.18) 9 е^н

' p'W = inf Р^, (4.19) 9^н

о^= sup (P^IpW (4.20) 9 € Sh

где, как и прежде, р = р»-—диаметр наименьшего шара, содержащего 9, а р' — Р^,—диаметр наибольшего шара, содержащегося в 9.

В методах конечных элементов нас будет интересовать переход к пределу при р (/г) —► 0. Как мы увидим ниже, для получения сходящихся аппроксимаций необходимы некоторые ограничения на о (Л). .

Подсемейство семейства допустимых триангуляций {оГл}й6ж будем называть регулярной триангуляцией области Й, если величина a (h) остается ограниченной при р (/i) —*- 0:

a (/i) ^а < + со при р (/г) —* 0, (4.21) и й (/г) сходится к й в следующем смысле:

То есть множество точек из jf, барицентрические координаты которых относительно вершин if удовлетворяют соотношениям 0 < А, < 1, 1«<Н-Ь

для каждого компактного множества КсЙ существует такое

6 = 6 (К) > 0, что р (/г) ^ 6 (К) =>

^Q(h)=>K.(4.22)

Обозначим через ^а множество всех допустимых триангуляций Q, удовлетворяющих условиям (4.21) и (4.22).

Замечание 4.2. В двумерном случае, когда У есть треугольник, известно, что

1„ РУ/ 2

6 о' ^sinO’

tg у ^

где 0—наименьший угол в у. Условие (4.21), таким образом, означает, что наименьший угол для всех треугольников У^<9~ь остается ограниченным снизу:

О^Оо>О.(4.23)

Наша цель теперь —сопоставить данному регулярному семейству триангуляций {^Л}л6жа области Q различные типы аппроксимаций интересующих нас функциональных пространств.

Конечные элементы степени 2 (л = 2). Пусть Q—лип- шицева открытая ограниченная область в IR". Мы опишем одну внутреннюю аппроксимацию пространства //„(О) (для любого и), а затем одну внешнюю аппроксимацию пространства V (только для п = 2). Аппроксимирующие функции кусочно будут полиномами степени 2.

Аппроксимация пространства №6(О.). Пусть ^-какая- нибудь допустимая триангуляция Q.

Пространство Wh. Это — пространство непрерывных вектор- функций, которые равны нулю вне множества

Q(A) = U У •(4.24)

У^Зн

и компоненты которых суть полиномы степени два на каждом- симплексе У ^3 h. Оно является конечномерным подпространством в №)• Снабдим его скалярным произведением, индуцированным из /Щй):

((«л> Мл = ((«л> М ^Uh1-OH^h.(4.25)

Базис в Wh. Как и прежде, обозначаем вершины п-мернога симплекса У через Ait ..., Л„+1; обозначим, далее, через Ац среднюю точку ребра А;А;..

Прежде всего, имеет место

Лемма 4.5. Полином степени меньшей или равной двум единственным образом определяется своими значениями в точках А(, А^, 1 ^ t, iC^-H (вершинах и серединах ребер п-мерного симплекса 3”Y Он задается через барицентрические координаты относительно Лп ..., Л„+1 по формуле

п + 1

" Ф W = 2 (2 (X, (х))2 - Х£ (х)) ф (Л,.) +

1=1

п + 1

+ 2 2 \-(х) Мх)ф(А'/)-"(4.26)

л / = I

Доказательство. Покажем вначале, что (4.26) удовлетворяет указанным требованиям. Функция в правой части (4.26) есть полином степени два, поскольку Х£ (х) — линейные (неоднородные) функции от Xj, ..., хп (см. (4.5)). Если обозначить эту функцию через ф(х), то

^МаНфИа). так как Х£(А^ = ди, и Ч’Ии^фИаД так как М^ы) = (6,ft + 6;,)/2.

Таким образом, ф — такая функция, как нужно.'

Далее, полином степени два имеет вид

Ф(х)=а0 + 2 (“Л- + М) + 2 а^Х/,(4.27)

<=1м=х

i < /

так что ф определяется (п + 1)(п + 2)/2 неизвестными коэффициентами а„, а,, Pz, а,7. Имеются п+1 точек Л; и п(п+1)/2 точек Л;/; следовательно, условия на ф

Ф(Л,-) заданы, ф(Л;,) заданы(4.28)

дают (п + 1) (п + 2)/2 линейных уравнений для неизвестных коэффициентов. Согласно (4.26), эта система имеет решение для произвольного набора данных в (4.28); таким образом, эта линейная система регулярна и решение, даваемое формулой (4.26), единственно. □.

Теперь обозначим через cUh множество всех вершин и середин ребер n-мерных симплексов <У С с^д. Обозначим, далее, через +д те точки из 4/д, которые принадлежат внутренности й (h\ Согласно предыдущей лемме, в U/д имеется не более одной функции йд, которая принимает заданные значения в точках Л^д. В действительности справедливо более сильное утверждение.

«Лемма 4.6. Существует одна и только одна функция Uy^Wh, принимающая заданные значения в точках МЕ^

Доказательство. Как мы уже видели, такая функция необходимо единственна. Далее, по лемме 4.5 существует функция uh, ком' поненты которой кусочно являются полиномами степени два,

■принимающая заданные значения в точках М С %д и равная нулю в точках М ^.4Lk\!llh и вне ti(h). Достаточно проверить, что эта функция непрерывна. На любой (л—1)-мерной грани сУ' симплекса оУЕ^а каждая компонёнта uth функции uh есть полином степени два, который имеет два (возможно, различных) значения иД и up,, Но и^н и U(h — полиномы степени не выше двух от и—1 переменных, совпадающие в вершинах и серединах ребер 9”\ лемма 4.5, примененная к соответствующему (и—1)-мерному симплексу, показывает, что г^^и/л па 3”, Следовательно, ttH непрерывна, а значит принадлежит И/д. □

Повторяя рассуждение из предыдущего доказательства, мы видим, что существует единственная скалярная непрерывная функция, являющаяся полиномом степени два на каждом симплексе 3 ^S"д, принимающая заданные значения в точках 7И С ‘Йд и равная нулю вне Q (й). Обозначим через щДД| функцию такого типа, определенную условиями

Щам(Л1)=1, ^м(Р) = 0 VPC^, P=^M V^^kY .(4.29)

Наконец, имеет место

Лемма 4.7. Функции юнмвь М С‘Йа, t — 1, .. .,п, образуют базис в Wh, и размерность Wh равна nN (h), где N (h)—число точек в cuh.

Доказательство. Эти функции линейно-независимы, и ясно, что каждую функцию йд€1^д можно записать в вял^

«aW= 2 ^и,.к(М)е^щи(х),

МбДь 1-1-

или

'«А= 2 ид(М)®лм. □(4.30)

меДь■

Оператор ph. Оператор продолжения рк тождествен:

‘ PnUH = Uh Nu^Wh.(4.31)

Операторы ph имеют норму единица и поэтому устойчивы.

‘ Оператор rh. Мы определим rhu для и€<0(й); положим

< Vuu)VNV) = u(№) NfA^h.(4.32)

Предложение 4.2. Описанная выше внутренняя аппроксимация пространства Щ^ является устойчивой и сходящейся, если h принадлежит регулярной триангуляции %а области й.

Доказательство. Достаточно доказать, что phrhu —+ и в Н„ (О) для каждого tt£S>^ при р (А) —0, /1€^а- Если h. достаточно мало, то Q (А) содержит носитель и, а тогда, в силу приводимой ниже леммы,

I! Phrhu — « К с (“) Р2 W • ° W С с («)ар2 (/г),(4.33)

откуда и следует наше утверждение. □ Лемма 4.8. Пусть Sf—некоторый п-мерный симплекс, ср—скалярная функция из io3(^) и ф— интерполирующий ее полином степени два, такой что

ф(Л;) = ф(Л;), ф(Л17) = ф(Л,/) для К Л К п+1.

Тогда

sup | ф (х) — ф(х)Кс(ф)р3,,(4.34)

SUP W l^^^ ’(4135^

«У!ох, Iр^

где с (ф) зависит от шу-норм третьих производных от ф.

Эта лемма — частный случай общих теорем, касающихся полиномиальной интерполяции на симплексе в связи с конечными элементами.

Полиномиальная интерполяция на симплексе. Пусть af— некоторый n-мерный симплекс и § — конечное множество точек из йГ, обладающих следующим свойством: для любого семейства заданных чисел YmCR, М^<§, существует единственный полином р степени не выше к, такой что

р(М) = ум VMC^.(4.36)

Такое множество <§ будем называть, следуя Сьярле и Равьяру [1], к-унисольвентным", например, согласно предложению 4.1 и лемме 4.5, вершины А^, ..., Л„+, симплекса £Г образуют 1-уни- сольвентное множество, а точки Л,, Л,7, 1 ^ i, j^n + 1, образуют 2-унисольвентно'е множество.

Обозначим через^*- полином степени к, такой что

P,(MJ=1, p^M/W, М^М;, М^<§.(4.37)

Тогда полином р в (4.36) можно записать так:

Р = 5 Чм{Рг(4.38)

Mi68 ‘

Теперь предположим, что задана функция <р £ ^*+1 (af), и пусть <р —интерполирующий ее полином степени к, определенный условием

ф(М) = ф(М) УМС^,(4.39)

Т. е.

ср= 2 <P(MZ)PZ.(4.40)

М-ев

Используя формулу Тейлора, можно доказать, что для любого мультииндекса

- I = Мъ • • •, in) с | /1 = /, + ... + /„ < к

DI^DW).^ ^£ ^VP^-M^x

M^eS I I l=i +!

*xD^p^P),(4.41)

где P; — некоторая точка открытого интервала (Mz, Р),

Dl = №.. .D1", М,Р1 = еР ••■e"In '<I

для MiP = (elj,.enj), l = (lt, ...,!„).

Отклонение <p от <p оценивается на сУ так:

' sup |ОМР)-Я'ф(П|<^+1(ф)р^+,/р£(4.42)

хе»

для | j | = /i+-"+ in==m^ k> гДе P^ и P^y — величины, определенные в п. 4.1 '. Это следует из (4.41) и следующей оценки Для рр

sup ID^.toKc/p^ для \j\ = m<.k.(4.43)

хе»

Доказательство соотношений (4.41) и (4.43) читатель может найти в работах: Сьярле и Равьяр [1], Равьяр [4], Стрэйг и Фикс [1]; по поводу частного случая леммы 4.8 см. также Сьярле и Уэгшолл [1].

Аппроксимация (АПР2) пространства V. Ниже Q —открытая ограниченная область в R2; мы определим некоторую внешнюю аппроксимацию пространства V.

Пространство F, оператор со. Пространство F—это Ш(О), а <ц — тождественный оператор:

®и = и ^tt^V;(4.44)

to — изоморфизм из V в F.

'*1» (ф) = sup sup {I D/ф («)[}.

X | / l = fc

■Супремум по x берется на (У; в других местах, где используется это обозначение, предполагается, что супремум берется по всему. носителю ф.

Пусть 8"ь — произвольная допустимая триангуляция й.

Пространство Vh. Это —подпространство пространства Wh, определенного выше, а именно пространство непрерывных векторов-функций йд, которые равны нулю вне

Й(А) = (J У,(4.45)

У^8н

компоненты которых являются полиномами степени два на каждом симплексе У ^S"д и для которых

divHftdx = 0 ^У^З^.(4.46)

Условие (4.46) является дискретной формой условия divn = 0.

Функции uh^.Vh принадлежат Нх (Й), но не V; Vh ф V. Мы не имеем в своем распоряжении никакого простого базиса для Vh; согласно лемме 4.7, любая функция uh С Vh может быть записана в виде-

Яд = 2 uh (М) шкМ1 М g 1/д

но функции whM не принадлежат Vh. Лемма 4.7 и ,(4.46) показывают также, что

dim Vд ^ 2М (/i) — N' (/i),

где N (/i) — число точек в Q/ft и N'(h)— число треугольников y^8"h. Снабдим пространство Vh скалярным произведением из //^Й) (как и W^:

((Uh, -Oh^h = ((tth, ®д))-(4.47)

Оператор ph. Оператор ph тождествен (напомним, что Vhс Щ (й)). Операторы продолжения имеют норму единица и поэтому устойчивы.

Оператор rh. Операторы сужения определить труднее, так как Гдй должны удовлетворять условию (4.46). Пусть й —некоторый элемент из положим

rHu--=tth = U)^-U1h,(4.48)

где йд и йд по отдельности принадлежат Wh; и\ определяется, как в (4.32), условием

йИМ) = й(А1) УМС^д. _(4.49)

Нет никаких оснований ожидать, что йд принадлежит V-д, и фактически йд будет „малой поправкой", обеспечивающей выполнение условия tth + Uh^Vh. Мы определим функцию йд с помощью ее

§ 4. Дискретизация уравнений Стокса (Л)73 значений в точках Mg^; еслиМ = Л;—вершина треугольника, То йд(Д;) = 0; если М = Аи — середина стороны треугольника, ТО, обозначая через v^ один из двух единичных векторов, ортогональных к AtAj, положим

Uh (А^)- А{А/ = 0,

«к (А (/) ■ vu = -1и (Л,7) + у и(Д ,) + -j и(Ду)| • vz/

+ ий(М, + (1-0Ду)-У//^.(4.50)

о

Лемма 4.9. Функция uh1 определенная посредством (4.48)—(4.50), принадлежит Vh.

Доказательство. Основная идея определения (4.50) состояла в Том, чтобы выбрать Ин так, чтобы

Aj

aft-v,7d/= a-v17d/. .'(4.51)

Если считать уже доказанным, что (4.51) удовлетворяется, то мы имеем для любого треугольника S

divaftdx= «ft-vd/ = tt-vdl = ^ div«dx = 0, «УЭ«У8«У«У

так как и^Т3 (где v — единичный вектор внешней нормали к д;/у

Докажем (4.51). Функция й/, равна

V «^5 uU^wHM.(4.52)

М 6 ^й M = Akl

На отрезке Д,Ду функция WhAi}—единственная из функций WhM В предыдущей сумме, которая не равна тождественно нулю. Используя определение WhAtp легко проверить, что

%л./(/Д1+(1-<) Д/) = 4/(1-0, 0</<1.(4.53)

Аналогично

и\ = 5 иЦМ)1УкМ.

м 6 Ди

где из функций whM лишь функции шьа(, WhAp Wha^ не равны пулю на А;Ар Нетрудно показать, что

whA. {tAi-^{\-t)Aj) = [t-\)^t-1),

№М/(М(. + (1-0Д/) = ^(2/-1)..(4.54)

Тогда

J йй(х).у,уб/ = ^(t 4, + (1-0 Д/Н,^

= у ^(Д,/)-v^+y ииД//)'Viv+y \и\ (Л,.) A-Uh (Л/)} • v,y

= (в силу (4.50)) ^ и (М,- + (1 — /) А,Ухи d/ о

= TWJ и^<А О

Ai

Предложение 4.3. Описанная выше внешняя аппроксимация пространства V является устойчивой и сходящейся, при условии что h пробегает некоторую регулярную триангуляцию 9^а области Q.

Доказательство. Проверим вначале выполнение условия (С2^ :з определения 3.6. Нам надо показать, что если последовательность рн.Мн., Uh'^Vh,, слабо сходится к ср в F, то ц> = и € V. По теореме 1.6 достаточно установить, что.

divtt = 0.(4.55)

Пусть 6 — произвольная функция из 5)(й); в силу (4.46),

$ (divttft)0ftdx = O,■(4.56)

£2

где 0ft— определенная выше ступенчатая функция, равная на каждом симплексе S’ ^STн среднему значению 0 на сУ и равная нулю вне Q(/i). Легко видеть, что, когда supp OgQ (/i),

sup |0ft(x) —0(x)Kc(0)p(/i), xg<2_

так что 0ft сходится к 0 в Т"-и ТЛнормах; таким образом, мы можем перейти к пределу в (4.56) и получить,

$ div«-0dx=»0 V 0£®(Q),

чем и доказано (4.Й).

Условие (С1) из определения 3.6 таково:

Нт ркгки = юи Va^T3.(4-57)

Л->0

Это эквивалентно тому, что

Нт 1|« —гд«| = 0 Уй€^.(4.58)

Предположим, что p(/i) настолько мало, что Q (/г) содержит носитель й. В силу леммы 4.8 и (4.42), на каждом треугольнике

SUp | fl (x) — Й^ (x) | < CT]3 (fl) p^., ^е^/4 gg\

SUp I О;!! (x) — Dtu\ (x) I < CT]3 (fl) p^/p^.. '

Из доказательства леммы 4.9 вытекает, что

уtt\(At()• чи = -Щ4Д- ^»h W.vl7 d/ = |7™ ^[я(х)-ай(х)]у;741

■AiА(

= $ (fl - А» (M i + (1 - 0 Aj) • v„ 4t. (4.60)

.0

Следовательно, оценивая (4.60) с помощью (4.59), получаем

l«U^z/)l=l«h(47)-v</Kcn3(fl)p5’-(4-61)

Далее, согласно (4.43), мы имеем

sup |ay&M W|<C,

sup ID^WKc/p'p, i=l, ..., п.v ■ *

Комбинируя (4.61) —(4.62) с (4.52), приходим к опёнкам

sup |йИх)Кст3(и)рз,,

sup |О;й2й(х)|^п1з(й)р5./р^.(4‘63)

хе<у

Наконец, объединяя (4.59) и последние неравенства, видим, что sup I и (х) — ий (х) I < СГ|3 (й) Р (А )3, лей

. sup I Е),-й (х) — D;Aft(x)|^cr]3(A)p(/i)2a(/i)(4.64)

лей

< сг|3 (и) ар (/i)2. □

Замечание 4.3. Если £2 —многоугольник, то можно выбрать триангуляцию Д h тик, чтобы Q(/i) = Q, что обычно и делается в практических вычислениях. В этом случае мы можем провести предыдущие выкладки для произвольной функции и £ Н» (Й) Г) ё3 (^) и получить

|‘я — rhu II < СПз (я) о (/г) р Q1?.(4.65)

Аппроксимация задачи Стокса. Используя описанную выше аппроксимацию пространства V и результаты п. 3.2, мы можем теперь предложить одну конечно-элементную схему для аппроксимации двумерной задачи Стокса.■

Возьмем в (3.6)

«л («л- ®ft) = v((«A. ®й)), <к> ®h> = k/, Dh\(4.66)

где D и / такие же, как и в. 2.1 (см. теорему 2.1), Аппроксимирующая задача (3.6) принимает тогда вид

■ найти uh 6 Vh, такое что v ((йл, d^ =

= (/, ®ft) Vy^^.(4.67)

Решение uh задачи (4.67) существует и единственно; более того, имеет место

Предложение 4.4. Если p(/i)-*0 и a(/i)^a (jn.e. h£$%aY то решение uh задачи (4.67) сходится к решению и задачи (2.6) в норме HXO^Y

Доказательство. Легко видеть, что теорема 3.1 применима в этом случае и в точности дает утверждаемый результат о сходимости. □

Аппроксимация давления. Мы введем аппроксимацию давления, как в п. 3.3.

v((«ft, ®ft))-(/, V^ = М $v((«ft, ®ft))-(/, V^ = М $Форма v^v^ V^-tf, D^ является линейной формой на Wh, обращающейся в нуль на Vh. Поскольку Vh характеризуется набором линейных связей (4.46), то, как известно, существует семейство чисел Ку,<У £<f h,— множителей Лагранжа, ассоциированных со связями (4.46),—таких что

v((«ft, ®ft))-(/, V^ = М $

v((«ft, ®ft))-(/, V^ = М $

div уд йх^ ^Dh 6 Wh.

(4.68)

Пусть хи«г обозначает характеристическую функцию треугольника сУ, а лд — ступенчатую функцию

л6 = X ^hk^Xh», лд(<У)~ n^/mes^.(4.69)

Тогда мы имеем уравнение

v((aft, Уй))-(лл, divyft) = (/, yft) Nd^h, (4.70) представляющее собой дискретный аналог уравнения

v((«, у)) — (р^ divy) = (/, у) У-о£НЦй\(4.71)

Замечание 4.4. Поскольку базис пространства Ед нам неизвестен, решить задачу (4 G7) непросто. Эффективные вычислительные алгоритмы будут приведены в § 5.

Невязка между и и и^. Предположим, что границей й является многоугольник (й с R2) и чтои£#3(Й), а р^^ЦЙ). Тогда, согласно замечанию 4.3,

Wu-r^iW^cvu, ^yvhf.(4.72)

Мы можем положить D = <oh = uh — rhu в (4.70) и (4.71); вычитая (4.71) из (4.70), получим

v ((uh -и, uh- г^и)) = (л„ -р, div (uh - rhu)). (4.73)

Пусть лА обозначает ступенчатую функцию

я'- = 2(4-74)

Тогда правая часть (4.73) равна (лА—р, div (йд — гhu)) и оценивается величиной

|лд —p|.|div (uh-r4u) |<|лд—р| ||йй— ГдВ||.

Следовательно,•

v((a6-«, «й-ге«)Х|л;—p\\\uh — rhu\V

v II «й - rhu ||2 < (| лк-Р | + v || и-rhu ||) || uh-rhu И, ||ад-Гда|К^1|лд-р| + ||в-гАв||.(4.75)

Легко видеть, что |лд— р| оценивается величиной с th (р) р (/г)> и поэтому мы имеем, во всяком случае,

II «й - ^и II < с (и, р) р (А),

||aft-a||^c(B, p)p(/i),’

а следовательно, в силу (4.64),

II «й —«II ^с-п, (и, р)р(й).(4.77)

Если граница Q —не многоугольник, то, как обычно, в правых частях (4.76), (4.77) появляется некоторая дополнительная ошибка порядка р (й).

Замечание 4.5. Оценка (4.77) неудовлетворительна, так как она означает, что невязка между н и Нд имеет порядок р (А) (в норме Но ^9)), в то время как расстояние между и и Vh имеет порядок р (Л)2, поскольку это расстояние оценивается величиной ||н — тдН || (см. (4.64)). Нам неизвестно, является ли это следствием того факта, что оценка (4.76) неоптимальна, или, действительно, ошибка || а—Нд || имеет порядок р (Л). Цель следующего подпункта — построить улучшенный алгоритм, позволяющий получить приближенное решение, для которого ошибка в норме Но (Й) наверняка порядка р (Л)2.

Использование функций-колоколов. Мы приведем здесь еще одну аппроксимацию пространств Н\(й) и V, приводящую к алгоритму аппроксимации задача Стокса, который слегка отличается от (4.67) и для которого ошибка имеет оптимальный порядок (см. замечание 4.5). Соответствующая аппроксимация пространства V обозначается через (АПР2'), а аппроксимирующие пространства обозначаются через Wh, Vh, . ..; для пространств, введенных при изучении аппроксимации (АПР2), мы сохраняем обозначения WA, Vh.

Аппроксимация пространства 7/o(Q). Пусть 62 — открытая ограниченная область в R2 и jf., — какая-либо допустимая триангуляция Й.

Пространство Wh — это пространство непрерывных вектор- функций, которые равны нулю вне й(й) и компоненты которых на каждом треугольнике S ^S"h равны сумме некоторого полинома степени 2 и так называемой функции-колокола: функция- колокол * на S— эю функция

р (х) = К (х) Х2 (х) Х3 (х),

где X; — барицентрические координаты относительно вершин S'. Заметим, что р(х)='О на dS и [3 (х) > 0 внутри S'. График Р похож на колокол, прикрепленный к границе S’.

Для каждого S ^S"4 обозначим через р^^ непрерывную вещественнозначную функцию на Й, равную функции-колоколу на S и нулю вне S’. Пусть 33 h — пространство всех функций вида

2 aft(^)P^W, аЛтеК2.(4.78)

S' €^"ft

Тогда пространство Wh можно записать как сумму •

Wh = Wh-VSh,(4.79)

где Wh — пространство, введенное в п. 4.2.1. Поскольку Wh П П33д ={0}, то произвольный элемент ©д из Wh допускает единственное разложение вида

vh = -oh-\-th, о№, th^®h.(4.80)

Снабдим пространство Wh (вложенное в //^(Й)) скалярным произведением, индуцированным из /^(Й):

((ад, ©%)) = ((«», ©д)) VBft, Dy^Wn.(4.81)

Возьмем ph равным тождественному оператору и определим rhu, U^S) (й), просто положив

гни<^пк^н\, rHuW = u^ VM^h.

Тогда из доказательства предложения 4.2 немедленно следует Предложение 4.5. (Уписанная выше внутренняя аппроксимация пространства /Д(й) является устойчивой и сходящейся, при условии что h пробегает некоторую регулярную триангуляцию области £2.

Аппроксимация пространства V (АПР2'). Как и ранее, пространство F — это ^)(й) и оператор со тождествен: шц = и Va^K;

В оригинале uaib function.— Прим, перев.

о; — изоморфизм из V в F. Пусть S"h— некоторая допустимая триангуляция Q.

Пространство Vh. Это — некоторое подпространство пространства Wh, а именно пространство всех функций Ядё^А» таких что (ср. (4.46))

■ для любой линейной функции q

$ qd\vuhAx = 0 У^ё^д.(4.82)

Хотя пространство Wh, очевидно, вложено в Wh, пространство Vh не содержится в Vh; функции из Vh — более общего вида (из-за наличия функции-колокола), но они удовлетворяют алгебраическим соотношениям (4.82)-, которые более ограничительны, чем (4.46). Мы укажем позже некоторые весьма специальные связи между пространствами Vh и Vh и, в частности, покажем, что dim Vh = dim Vh.

Снабдим пространство Vh, вложенное в Н^^, скалярным произведением (4.81).

Оператор ph. Оператор ph тождествен. Операторы продолжения имеют норму единица и поэтому устойчивы.

Оператор rh. Операторы сужения будем обозначать через rh. Они строятся довольно сложным образом. Пусть я— некоторый элемент из Т3; положим

^u---=uh = uh-Yth,(4.83)

где Яд + ^д —разложение (4.80) элемента rhu; определим яЛ формулой

«а = ^«,(4.84)

где rh — оператор сужения для аппроксимации (АПР2) (см. п. 4.22). Остается выбрать £д£53д, такое что ИдА^СУд. Нижеследующая лемма показывает, что условие (4.82) определяет единственный элемент th и что

^=5 Оа(ЛР^,(4.85)

°hi^ = l^[ J xAuh^W-\ «Ad*V i=l, 2. (4.86)

Лемма 4.10. Определенный с помощью соотношений (4.83) — (4.86) элемент uh принадлежит Уд-

Доказательство. Нам надо показать, что (4.82) выполняется для q(x)=\, хп х2 и для каждого 'f ^£Гh. В случае ^=1 заметим,

что

divaftdx=§ divaftdx+^ div^ftdx;

££гте

интеграл J divaftdx равен нулю, поскольку ah = rhu£Vh и

div th dx = th-vd,V sra»

обращается в нуль для каждой функции-колокола th^.S3h, так как tfft = 0 на д<У.

Теперь проверим выполнение условия (4.82) для q = xb i = 1, 2.

В этом случае его можно записать так:

0 = ^ xzdivaftdx=^ х,-div ыд dx+§ x, div th&x, (4.87) »srsr

или, поскольку Ра^- равно нулю вне сУ,

х£ div (oft (сУ) Pn^) dx = — ^ xi d*v Яд dx, «r'sr

J Xi Oh, (^)H Oh,

=— 5 div (XiUh) dx+ ^ Uh. dx = — $ x( aAvdr + ^ Uh. dx.

«х«x L asra* 1

Для того чтобы преобразовать левую часть последнего равенства, заметим, что

^ х< dx J "IrkXiWl^x — ьД P/uydx у, ОХ]и. ox,/

(81V —символ Кронекера). Применяя формулу Грина и учитывая тот факт, что Ра^=О на д<У, получаем отсюда

х< ^y^-dx^ — 8,v Paj-dx; ох,- .._

согласно нижеследуйщей лемме, эта величина равна

—60-1 (mes е?’) 8,-у. Окончательно, требуемое соотношение эквивалентно соотношению

^^^"aA/(<5P)= J ^,.(«ft-v)dx—C»h.dx, / = 1, 2,air«z

которое в точности совпадает с (4.86). □

В этом доказательстве мы использовали следующий результат.

Лемма 4.11. J [W (х) dx = m^— .(4.88)

Доказательство. [W (х) = X, (х) Х2 (х) Х3 (х) для х^сУ, где ^. — барицентрические координаты относительно вершин if. Рассмотрим линейное преобразование Л в IR2, действующее по правилу x = (xn х2) >—> х = (хп х2) = (Х1(х), Х2(х)); оно переводит ^ в треугольник

<У = {х; О^х,-, 1 = 1, 2, xt + x2^ 1}.

Имеем dx — J dx, где J обозначает якобиан Л, $ dx'

/=£— = 5^ = 211168^.

■1 mes<5P

J dx

Поэтому'

$ ?пу (х) dx = J x,x2 (1 — х, — x2) J dx.

Интеграл J xxx2 (1 — xt — x2) dx вычисляется элементарно; он pas'

вен 1/120, откуда и следует (4.88). □

Предложение 4.6. Описанная выше внешняя аппроксимация пространства V является устойчивой и сходящейся, при условии что h пробегает некоторую регулярную триангуляцию ^а области Q. Доказательство. Условие (С2) из определения 3.6 проверяется точно так же, как и в случае предложения 4.3. Выполнение условия (С1) из определения 3.7 будет доказано, если мы установим, что lim|;« —rft«|i = 0 VagT3.

h 0

(4.(4.Ввиду (4.58) и определения rh, для этого достаточно показать, что

(4.

(4.

lim \\th =0, r о

где тогде тоэтоэтоth определено посредством (4.85), (4.86). Поскольку div «=0,

где то

где то

это

это

$ div (xz и) dx = $ «zdx;

6»-У«У

дает другое (эквивалентное) выражение для Ок;

°h£ ^ = Н^ | ?$, xi ^ -а^х dr ~ $ (“а,- - ».) dx| >

.(

Из оценок, полученных при доказательстве предложения 4.3, вытекает, что

sup |мд(х) —м(х)Кс'т|3(м)р»..•(4.91)

Комбинируя (4.90) с (4.91), находим, что

I < ^ (з +т) Pi- ( "6= 4 Р? < ™« ^

.(4.92)

|ой '^ I ^са?^ (и} piy.

Теперь можно оценить 1/Л1|. Мы имеем па if

Dth = сн^^ [^i"^1 ^ + ^1 • ВК^К, + ^г^г■ ^з]>

и так как | ^z (х) | ^ 1 и | ОХ,-11/р^, (см. (4.11), то

I Dth К са?^ ^ р^/р, < са8т]а (и) р Qty,

| Dth |2 dx ^с2а6т]з («) р Qxy (mesQ).(4.93)

В результате получаем

[ Ы = I Bth 1^2 (й) < га8Пз (») Р W2,(4.94)

п (4.89) доказано. □

Замечание 4.6. Из (4.83) и оценок (4.59), (4.63), (4.93) вытекает, что при достаточно малых h

sup | и ^—rhu (х) |<ст]3 (и) (1+а3)р(/г)8,

“Й_(4.95)

sup | О,и W — Dir^u (х) | < сцз (и) а (1 4-а3) р (/t)2' xg£2

уц^^рэ, t=], .. ., п. Если Q = Q (Л), то соотношения (4.95) справедливы для каждого u^VП®3 (^). и мы имеем, в частности,

II« — гйа|]<сг]з(*)а(1+а3)р (hy.(4.96)

Лппроксилгация задач^Стокса. Используя описанную выше аппроксимацию пространства V и результаты п. 3.2, мы можем предложить другую конечно-элементную схему для аппроксимации двумерной задачи Стокса.

Возьмем в (3.6)

«л («л. btQ = xQuh, v4)),(4.97)

<^й, vh> = Qf, vhy(4.98)

Аппроксимирующая задача (3.6) принимает тогда вид найти uh^Vh, такое что v^uh, vk)) = {f, vh) ^vk^Vh. (4.99)

Решение задачи (4.99) существует и единственно; более того, применяя теорему 3.1, мы получаем следующий результат о сходимости.

Предложение 4.7. Если р(А) —► О и o(/i)^a (m.e. h^.^^, то решение uh задачи (4.99) сходится к решению и задачи (2.6) в норме Но (Q).

Преимущества этой схемы перед схемой (4.67) будут видны после того, как мы опишем аппроксимацию давления и дадим оценку ошибки.

Аппроксимация давления. Введем аппроксимацию давления так же, как и в (4.70), причем приближенное давление лд будет теперь функцией, кусочно-линейной на каждом треугольнике

Форма Уд1—*v((aft, Уд)) —(/, Уд) есть линейная форма на Wh, равная нулю на Рд. Так как Vh характеризуется набором линейных связей (4.82), где 7=1, xt, х2, то существует семейство множителей Лагранжа t = 0, 1, 2,таких что

v((»a, УЛ))-(/, ул)= 2 ^f$div^dxA

' 'of^S'h \=У)

2'

+ 2 2 ^(tx/div^dx).

Пусть лд обозначает скалярную функцию на Q, равную нулю вне Q(/i) и равную у + хД^ 4- х^у п. в. на каждом of ^ST н. Тогда правая часть последнего соотношения равна

JjtAdivvAdx = (nA, divvA), и мы имеем

V((«A, уд))-(лд, divyA) = (/, £д), VvA6^; (4.100) это соотношение снова является дискретным аналогом (4.71).

Невязка между и и uh. Предположим, что QczIR^ имеет границей многоугольник, Q = Q(/i), «g#3^), р^^^у Тогда, согласно замечанию 4.6,

li« — rhu\\^cVu, aW.(4.101)

Положим "о = 4^ = uh — rhu в (4.100) и (4.71). Вычитая (4.71) из <4.100), получаем

v ((«д - и, «д - 7huy = (лл - р, div («д - rhu^. (4.102)

Обозначим через л,, кусочно-линейную функцию, на каждом треугольнике of равную

p(G) + (x —G)-Vp(G),

где G— барицентр (центр тяжести) 4Р. В силу формулы Тейлора, sup |л((х) — р(х)|<с(р)р^,

sup | л ; (х) — р (х)| ^с(р)р (А)2.(4.103)

1ЕЙ

Однако правая часть (4.102) равна (лд — р, div (яд —гд«)), а учитывая (4.103), мы можем оценить модуль этого выражения величиной

. I— р\\ div (uh — гд«)|<| лд — р|-||йд — rhuX

^c^pW1 fu^-'r^uW

Следовательно,

vil «д - rhu II2 с (| Лд- р | + VII и - rhu 11} I! «д - rhU II,

В ип — гд#!|<1|лд — р|+||« — гд«||, ||«й-':да||^-^с(р)р(/1)2 + с(«, р^рк№.'

Окончательно

||Йд-«;Кс(а, p)p(hf,(4.104)

и мы имеем ошибку оптимального порядка, т. е. порядка расстояния между и и Vh. □

Алгебраическая связь между Vh и Vh. Теперь мы хотим указать простую алгебраическую связь между Vh и Рд; а именно, _мы покажем, что существует весьма простой изоморфизм Ад из Vh в Vh. Эго означает, что Vh и Рд имеют одинаковые размерности и что схема (4.99) может быть интерпретирована как схема в Vh. Тем самым мы найдем схему в Vh, дающую в некотором смысле ошибку оптимального порядка'. Интересно также отметить, что (4.99) эквивалентна некоторой схеме в Vh; схемы в Vд более просты для решения, чем схемы в Уд, поскольку вместо трех линейных связей на каждом сУ^оГ^ мы имеем одну (см. (4.46) и (4.82)).

Произвольный элемент «д, принадлежащий №д, можно единственным образом записать в виде uh-Yth, uhGWh, th^33h. От-

' -Мы получим |« — яд ;|«£ с Vu, р) р (А)2, но, очевидно. не ]|я—ЛДИД|’|^

<■ - (я, р) р (А)2. Нам неизвестно, справедлива ли оценка ||Лдад—Иц [^ср(Л)2.

обряжение Uh*—*uh есть линейный проектор из Wh на W h. Обозначим через Ад сужение этого проектора на Vh.

Лемма 4.12. Ah —изоморфизм из Vh на У^.

Доказательство. Покажем прежде всего, что Лдяд= яд=Яд — #ч€ £Vh, если Яд 6 Уд- Действительно, на каждом if ^3н

J div вд dx = J div uh dx — J div th dx, »*у

а выражение справа равно нулю, поскольку Яд^Уд и, как мы уже отмечали,

^ div^dx = 0 Nth^$h.

Как проекционный оператор Лд взаимно-однозначен. Остается проверить, что Лд есть отображение на. Надо показать, что для любого заданного uh^Vд найдется такое /д = ^ (яд) £ ®д, Ч1о uh € Уд и Яд = яд 4- th (uh\ Т. е. Лдяд = «д. Это доказывается так же, как и в лемме 4.10, причем соотношения, задающие th, в-точности те же, что и (4.85), (4.86). □

Из леммы 4.12 вытекает, что мы можем записать схему (4.99)' в следующем виде:

найти яд £ Уд, такое что

V ((«Л + th lUh), -Oh + th {vh))) = (/, -Oh 4- th Ы 4vu € Уд,

(4.105)

где t4(u^^93h задано в терминах uh леммой 4.11 и формулами (4.85), (4.86). Решение uh задачи (4.105) отличается в „лучшую1* сторону от решения uh задачи (4.67), и улучшение состоит в том, что || я — Лдяд] имеет оптимальный порядок (если, как обычно,. й(К) = й и я£Йг(9-), р£^№

Конечные элементы степени 3(я = 3). Пусть Q — лип- шицева открытая ограниченная область в R3. Вначале мы опишем внутреннюю аппроксимацию пространства Щ (Q), а затем внешнюю аппроксимацию пространства У. Аппроксимирующие функции кусочно будут полиномами степени 3.

Аппроксимация пространства ^(Q). Пусть ^ — некоторая допустимая триангуляция Q, и пусть

£(Н) = • U if.(4.106)

if^u

Если if — трехмерный симплекс (т. е. тетраэдр), то мы обозначаем через А„ ..., Д4 его вершины и через Вь ..., В4—барицентры его двумерных граней if\, ..., if \. Обозначим, далее, через S'n множество вершин симплексов if ^3д, а через ^ — множество бари-

центров двумерных гранен симплексов S, принадлежащих S' h\

Прежде всего докажем следующее утверждение.

Лемма 4.13. Полином степени три в R3 единственным образом определяется своими значениями в точках А,, В:, l^t^4, и значениями своих первых производных в точках At. Он выражается через барицентрические координаты относительно А,Д4 по формуле

ССФ U) = 2 [1 -2 (X,-(х))3 + 3 (X, (х))3] ср (А,)

С

С

27ф (В,) — 7 У ф(Да)а= I

а =# i

4

+ £ (Х/(х))Ч/(х)[Оф(Д/)-Д/Д/]

(4.107)(4.107)г / = 1

(4.107)

(4.107)

i=\*v

Доказательство. Доказательство точно такое же, как и доказательство леммы 4.5. Коэффициенты ф являются решениями некоторой линейной системы, в которой количество неизвестных совпадает с количеством уравнений; достаточно проверить, что полипом в правой части (4.107) удовлетворяет всем требуемым условиям при произвольном наборе данных ф (А,). Ф (SJ, Оф (А,). □

Из этой леммы следует, что скалярная функция (р^ определенная на Q(/i) и являющаяся полиномом степени три на каждом симплексе S ^S\, полностью определена, если заданы ее значения в точках Aj ^Sh и 5/^^, а также значения ее производной D^h в точках A, Такая функция фл дифференцируема на каждом S^S’h, но отсюда вовсе не следует, что эта функция должна быть дифференцируема или хотя бы непрерывна на Й (й). В действительности функции qA все-таки по меньшей мере непрерывны: на двумерных дранях S' тетраэдра S ^S"h функция фл принимает два (возможно, различных) значения, ф^ и ф^; но ф£ и Фй—полиномы степени три, которые имеют одинаковые значения в вершинах и барицентрах S' \ первые производные от ф^ и фд также равны в вершинах S’ (они равны касательной производной от фй относительно S’Y Теперь можно точно так же, как в леммах 4.5 и 4.6, доказать, что фл =ф^.

Обозначим через щДЛ1, M^Sh, скалярную функцию, которая является кусочно полиномом степени три на Q (к) и удовлетворяет

условиям

^(М)=1, ^(^)=0 NP^. Р^М,

DwhM(P) = 0>#P^h.

Для Мб^л. i= 1,2,3, обозначим через w^m скалярную функцию, которая является кусочно полиномом степени три на Q(ft) и удовлетворяет условиям

<№ = 0 VP^Sh,

Dw& (Р)=0 yPeSh, P^M,(4.109)

Dw^mM = eb i = l,2, 3.

Все функции whM, w^M непрерывны на Q(ft).

Пространство Wh. Пространство Wh — это пространство непрерывных вектор-функций мА из Q в R3 вида

з

«А = 2 uh(M)whMA- 2 2 DjUhWwi^, •(4.110)

которые обращаются в нуль вне Q(ft). Понятно, что uh(M)--^O для каждой точки М € Sn U 5Q (h), но так как касательные производные от uh равны нулю на гранях тетраэдров if, содержащихся в Q(ft), то производные О;«А(Л4), М £ Sk U Ой (h), не являются независимыми.

Пространство Wh есть конечномерное подпространство в ^(Q)p снабдим его скалярным произведением, индуцированным из /7J(Q):

((«л. ^))a = ((«a> г’л)) ^Uh, -oh^Wh.(4.111).

Оператор ph. Оператор продолжения ph тождествен. Операторы ph устойчивы.

Оператор rh. Для и^.3)^ определим uh = rhu так: «А = 0, если носитель и не содержится в Q(ft), а если носитель и содержится в Q (ft), то

Uh (М) = и (М) VM € £„. сuh (М) = Du (М) УМ 6 Svh (4.112)

Предложение 4.8. Описанная выше внутренняя аппроксимация пространства №й (й) является устойчивой и сходящейся, при условии что ft пробегает некоторую регулярную триангуляцию '^а области О.

Доказательство. Достаточно доказать, что «А = гАй —>й в Z/„(Q) для каждого U^S)^ ПРИ Р(А) —► 0, Н^^а. Доказательство этого факта аналогично доказательству предложения 4.2. Аналог оценки (4.42) для интерполяционных полиномов эрмитова типа

(см. Сьярле и Равьяр [1]) дает

sup |«(х) — «д (х) | С СТ|4 (я) р^,.

X6,Z, ,(4.113)

sup | Du (x) — Duh (x) | < ct|4 («) p«y/p«y. хеУ

Следовательно,

sup |«(x) — uh (x) К c («) p (/i)4,

X8Q(4 114)

sup | Du^ — О«д(х)Кс(«)р(/г)3о(Л);'

xeQ в частности,

||« —«д1!<ас(«)р(/1)3,(4.115)

в случае если suppис Й (/г). П

Аппроксимация (АПРЗ) пространства V. Напомним, что Й — ограниченная область в R3.

Пространство F, оператор ы. Пространство F — это ЬГа^ и « — тождественный оператор. Пусть ^ — некоторая допустимая триангуляция Й.

Пространство Vh. Это —подпространство введенного выше пространства Wh, а именно пространство всех «д€^д, таких что

div«Adx = 0 УсУ^оГд.(4.116)

Снабдим пространство Vh скалярным произведением (4.111), индуцированным из Щ (й) и И^д.

Оператор ph. Это—тождественный оператор (напомним, что VhcIW

Оператор rh. Оператор rh строится по тому же принципу, что и в п. 4.2. Пусть « — произвольный элемент из Т3; положим

ГдН = «д + «д,(4.117)

где Uh и Ин принадлежат Wh; »h определяется точно так же, как в (4.112):

4(М) = «(М)"УЛ4е^д,

Поправка мд определяется так:

цЦМ^О, ПиЦМ^О УМе^н.(4.119)

и в точках Л4^^д составляющая Uh(M), касательная к той грани <У", барицентром которой является М, равна нулю; нормаль-

ная составляющая «^-v определяется из условия

Uh (х)- v с1Г = и (х)- v dr.(4.120)

ггу

Можно доказать ', что существует константа d, такая что

Uh (х)- v dr = d (mesc?") и^ (M)-v, «у-

и (4.120) означает, что

«ИМ) • v = d ^^ ^ ^(и — uh) (х)• v dr.0.121)

Тогда ясно, что uh принадлежит Vh, поскольку для каждого

■ div uh dx = J uh- v dr = J «-v dr J div и dx = 0. »6»8УZ'

Предложение 4.9. Описанная выше внешняя аппроксимация пространства V является устойчивой и сходящейся при условии, что h пробегает некоторую регулярную триангуляцию 9^а области Q.

Доказательство этого предложения аналогично доказательству предложения 4.3.

Аппроксимация задачи Стокса может быть изучена точно так же, как в п. 4.2.

Внутренняя аппроксимация пространства И. Предположим, что Q — открытая ограниченная область в R2 с лип- пнщевой границей. Для простоты будем считать, что Q одпосвязиа; относительно многосвязного случая см. замечание 4.7.

В двумерном случае условие div«=0 имеет вид

$03?-°(4.122)

и означает, что существует функция ф (функция тока), такая что

«. = $> «2—Й-(4-123)

Функция ф определена локально для произвольной области И и глобально—для односвязной.

Таким образом, в рассматриваемом случае мы можем сопоставить каждой функции из V соответствующую функцию тока ф. Условие «=0 на dQ означает, что касательная и нормальная производные от ф на 6Q равны нулю. Тогда ф постоянна на 6Q, а поскольку ф определяется лишь с точностью до аддитивной

1 Принцип доказательства тот же, что и в лемме 4.9.

постоянной, то можно предположить, что ф = 0 на Г, следовательно, Фб^о(Н). Поэтому отображение

-М}Н-124)

■есть изоморфизм из //о(^) на V.

Теперь нашей целью является построить некоторую аппроксимацию пространства Н» (Q) с помощью кусочно-полиномиальных функций степени 5, а затем получить с помощью изоморфизма (4.124) внутреннюю аппроксимацию пространства V.

Внутренняя аппроксимация пространства //„ (Q). Пусть S'h— какая-нибудь допустимая триангуляция области Q и

Q(A) = U S.*(4.125)

Двумерные симплексы — это треугольники. Пусть S— некоторый треугольник с вершинами Д,, Д2, Д3; обозначим через Bf, Вг, В8 или Д23, Д13, Д12 средние точки сторон Д2Д3, AtAa, А^А^, далее, пусть v,y обозначает единичный вектор, нормальный к стороне A; A,, l<t, j^3.

Отметим вначале следующий результат.

Лемма 4.14. Полином гр степени 5 в R8 определяется единственным образом следующими своими значениями и значениями своих производных-.

D^AA, l^i<3, |а|<2,(4.126)

^"ДМ- 1<(,/<3, i^h(4.127)

здесь А: —вершины треугольника S, а А^—средние точки его сторон.

Доказательство. Мы наметим лишь принцип доказательства. Видно, что имеется столько же неизвестных (21 коэффициент для гр), -сколько линейных уравнений относительно этих неизвестных (21 соотношение, соответствующее (4.126) —(4.127)). Как ивлеммах4.5 и 4.13, достаточно показать, что решение существует для произвольного набора исходных данных в (4.126) —(4.127), а это может быть доказано явцым построением гр, приводящим к формуле, аналогичной (4.26) илу (4.107). Мы опустим доказательство этого чисто технического .фйкта; его можно найти у Женишека[1] или Зламала [!]'• □

1 Принцип построения таков. Пусть Ху, Xs, Х3 обозначают барицентрические координаты относительно Лу, Л2, Л3. Аффинное отображение хн»^ = = (Xt(x), Ха (х)) переводит треугольник S в треугольник S, определяемый условиями z/f = Xj^:O, y2=X2PsO, 0^yi+ys = Xi + X2^ 1. На ^функция -гр (х (у)) строится элементарно; используя обратное отображение у\—»х, лолу- чае..; функцию q> (х).

Из этой леммы следует, что скалярная функция фЛ, которая определена на Q (/г) и является полиномом степени 5 на каждом треугольнике ^С^д, полностью определена, если заданы ее значения в точках Л.-^^д, Bj^Sh и значения ее первых и вторых производных в точкахгде,

S/, — множество вершин треугольников if £ ^S\, содержащихся во внутренно- ■ сти Q (/i), Sh — множество средних точек сторон треугольников if ^.S'h, содержащихся во внутренности Q (/г),

S ц = Sh U Sji-(4.128)

Такая функция фЛ бесконечно дифференцируема на каждом if б STh, но совсем не обязательно, чтобы опа была столь же гладкой па всём Q(/i). В действительности функция фЛ непрерывно дифференцируема на Q (/1). Пусть фд и ф^ обозначают значения фА с разных сторон стороны АгАг треугольника if £^Гй; ф£ и фд суть полиномы степени не выше 5 на AtA2 и совпадают вместе со своими производными первого и второго порядков в точках Аг и Л2 (шесть независимых условий); следовательно, ф^ = фй_. Касательные производные дф^/<Эт и дфд/дт, т = Л^/l Л^ |, также совпадают. Покажем, что и нормальные производные дф^/дт12 и дфд/ду12 равны на А1Аг. Эти производные являются полиномами степени не выше 4 на AtA2; они совпадают между собой вместе со своими первыми производными в точках Л, и Л2 и совпадают между собой в точке Л12. Следовательно, они равны на AtA2. Это доказывает, что фй непрерывно дифференцируема на Q(/i).

Каждой точке М С Sh сопоставим функцию фдМ, являющуюся кусочно полиномом степени 5 на П(й) и такую, что

^-Флм(А4) = 1, а все другие значения ф£м в узлах равны нулю, т. е.

^(Р) = 0 УР^^, Р¥=М,(4.129)

£“^m(P) = 0 VPE^, к К 2.

Каждой точке М^^ сопоставим шесть функций фдМ, • ••,Фйм» определенных следующим образом: они являются кусочно полиномами степени 5 на Q (й) и

фдм = 1; все другие значения фдМ в узлах равны нулю;(4Л 30)

DjWm (М.) — ^^ для t= 1 или 2; все другие значения ф^1 в узлах равны нулю;(4.131)

0Жм(М) = 1, da<m(M) = i, 0Жм=1;

, все другие значения ф^, ф£м и ф£Л1 в узлах равны нулю.(4.132)

Вее эти функции непрерывно дифференцируемы на Й(А).

Пространство Xh. Пространство Xh— это пространство скалярных непрерывно дифференцируемых функций на Q (или R2) вида ■

6

ФА = 2 Мм + 2 2 Мм, »(4.133)

Me8k<=1 ме»ь

Эти функции равны нулю вне Й(А), и поскольку они непрерывно дифференцируемы в Q, то

£>“фЛ(М)=0 УМ £ ^ А <ЭЙ (А), |а|^1,

^(М)=о уме^пдй(й).■(4Л34)

Пространство Хк есть конечномерное подпространство в НЦйУ, мы снабдим его скалярным произведением, индуцированным из Hi (Й):

((Фл, Фл))л =((Фл> Фл))нб(е>уФл- Фа € Хк.(4.135)

Оператор рк. Возьмем в качестве рк тождественный оператор (так как Хдс Zfg (£2)).

Оператор rh. Для ф из S5 (й) (плотного подпространства в //„(Й)) определим функцию г^ф^фд следующими значениями в узлах:

О“ф/г (М) = О^-ф (М) УМС^а, |а|^2, ^о-ей-,4136)

Предложение 4.10. Семейство троек (Xk, ph, rk) задает устойчивую и сходящуюся внутреннюю аппроксимацию Щ^Г), при условии что А пробегает некоторую регулярную триангуляцию 9Са области й.

Доказательство. Достаточно показать, что для каждого фС^(й)

гдФ —Ф в НЦЗД при р(А)—* 0.(4.137)

Это следует из аналога оценки (4.42) для интерполяционных полиномов эрмитова типа (см. Сьярле и Равьяр[1], Стрэнг и Фикс[1],

Женишек [1], а также Зламал [1]):

зир|фд(х) — Ф(х)|^сг]в(Ф)р^,(4.138)

sup | £\фд (х) — £)^ф (х)| ^ст]в (ф) —г—, ^ = 1,2,(4.139)

хе«Ур^

5ир|0“фд(х) —Г>аф(х)1^ст]в(ф)-^, |^| = 2.(4.140)

хе «УР^

Из этих оценок видно, что

И^-^^шсй» ^cMaW)3-(4.141)

Учитывая (4.22), заключаем, что

НЦ(ЯЧй(П))-^0 ПРИ Р(Л)-*О. □(4.142)

Внутренняя аппроксимация (АПР4) пространства V. Напомним, что Q — ограниченная односвязная область в R2. Определим внутреннюю аппроксимацию пространства V, используя описанную выше аппроксимацию пространства НЦЙ) и изоморфизм (4.93).

Пусть задана некоторая допустимая триангуляция <$Гд области Q. Сопоставим этой триангуляции пространство V h и операторы ph, rh следующим образом.

Пространство Vh. Это —пространство определенных на й (или R2) непрерывных вектор-функций uh вида

и д=№, —(4.143)

”(дхг ’ дхг ) ’v 7

где фл принадлежит построенному выше пространству Хд. Ясно, что «д равна нулю вне Q(/i) и непрерывна, поскольку фд непрерывно дифференцируема, и что div«ft = 0. Следовательно, uh^V и Уд есть конечномерное подпространство в V. Снабдим Уд скалярным произведением, индуцированным из У:

(И)»ЧМ»))-(4-144)

В частности,

I! Uh ||д = (( 2.21 О“фд |!ЧЙ))1/2 ^ II фд |'Я2 (а).(4.145)

Оператор ph. Это тождественный оператор.

Оператор rh. Пусть «СТ3 и Ф — соответствующая функция тока (см. (4.124)); понятно, что фС^(Й), и мы можем определить фд^Хд с помощью (4.136). Положим теперь

Предложение 4.11. Описанная выше внутренняя аппроксимация является устойчивой и сходяиугйся при р (А) —* 0, при условии что h пробегает некоторую регулярную триангуляцию ^а области Q.

Доказательство. Достаточно доказать, что

uh = rhu —*и в V УйбТ3.(4.147)

Согласно (4.124), (4.145), (4.146), мы имеем || uh — и || ^ || фА— ф||Н2(£г). Поэтому (4.147) следует из (4.141) и (4.142). □

Аппроксимация задачи Стокса. Возьмем в (3.6)

а^ю *0^ = ^^^ v^^v^, <0^,(4.148)

<Zft, ^> = </, ^>,(4.149)

где -и и f те же, что и в п. 2.1 (см. теорему 2.1). Аппроксимирующая задача, ассоциированная с (2.6), такова:

найти tth С Vh, такое что v((ttft, vh)) = <f, -Dh> ^vh^Vh.

(4.150)

Решение uh задачи (4.150) существует и единственно, и, как следует из теоремы 3.1 и предложения 4.8,

uh —> и в V сильно при р(А) —* 0, h^S^a. (4.151)

Невязка между и и ин. Предположим, что граница области Q — многоугольник, так что мы можем выбрать триангуляцию S*h, для которой й (А) = й. Предположим, что решение й задачи Стокса обладает следующей гладкостью: и 6 #5 (й); тогда, в силу (4.141)' и (4.145),

||й —/"Йй ,| ^с (и, а) р (А)3.(4.152)

Равенства

v ((и, у)) = </, у> Vv С V, v ((иЛ, *0^ = </, -oh> ^-Dh^V х дают v ((й — uh, rhu — uft^ = 0. Следовательно,

II «-«А !i = ((«-«/,, й —/"дй)) ^ || И — Ид |||| И — ГДИ ||, ,

II u-uh IKI! u — rhu Я, и с учетом (4.152) мы получаем

||й —йЛ|К^й, а)р(А)3.(4.153)

Замечание 4.7. Если Й—неодносвязная открытая область в R2 и и принадлежит V, то, согласно лемме 2.4, существует функция ф, удовлетворяющая (4.123). Поскольку и обращается в нуль на дй, то ф необходимо однозначна, дф/dv равняется нулю на дй, ф равняется нулю на Го—внешней части дй—

it принимает постоянные значения на Tj, 1'2, ...—внутренних компонентах дй. Отображение (4.124), -фк-»и — \д^1дхг, — дф/dxt}, устанавливает изоморфизм между пространствами

X = ^ф^//2 (Й), ф = 0 на Го, ф = соп51 на Г/, -^-=0 на дй^- (4.154) и V.

Несложная модификация предложения 4.10 приводит к некоторой аппроксимации пространства X, и как и в предложении 4.11, мы можем получить из нее аппроксимацию пространства V в неодносвязном случае.

Замечание 4.8. (1) Внутренняя аппроксимация пространства V с кусочно-полиномиальными функциями степени 6 построена в работе Томассэ [1].

Для п = 3 никаких внутренних аппроксимаций пространства V неизвестно.

Несогласованные конечные элементы. Из-за условия diva = 0 невозможно аппроксимировать V с помощью самых простых конечных элементов, кусочно-линейных непрерывных функций. Это было показано Фортэном [2]. Наша цель здесь— описать некоторую аппроксимацию пространства V с помощью линейных несогласованных конечных элементов, которые в этом случае являются кусочно-линейными, но разрывными функциями. Это приводит к аппроксимации пространства V, обозначаемой нами (АПР5). Затем мы сопоставим этой аппроксимации некоторую новую аппроксимирующую схему для задачи Стокса.

Аппроксимация пространства HJ(Q). Предположим, что Й— ограниченная липшицева открытая область в К". В настоящем подпункте мы будем аппроксимировать Н^ (й) с помощью несогласованных кусочно-линейных конечных элементов.

Пусть 3"h обозначает некоторую допустимую триангуляцию области й. Для симплекса & £.3"^ мы обозначаем через Лп ..., Л„ + 1 его вершины, через <^(- —его (п—1)-мерную грань, не содержащую Л,., и через В ( —барицентр грани S’;. Если через G обозначить барицентр ^, то, поскольку барицентрические координаты В; относительно A,, j^i, равны 1/и, мы имеем

х GA,GA /

= £(4.155)

1Ф^/ = I

ИЛИ

ов( = -^оаь(4.156)

/1+ 1

ибо 5 СЛу = 0 (барицентрические координаты G относительно Ла •••> Лп+1 равны !/(«+!). Отсюда вытекает, что

nB^j = п ^GB, — GB^ = GAt — GA, = — Л, A,(4.157)

и, следовательно, векторы В^В^ / = 2, . ..,«+1, линейно-независимы, подобно векторам AxAh j = 2, • ••, «4-1. Благодаря этому могут быть определены барицентрические координаты точки Р относительно В^, ..., В„+1; обозначим эти координаты через pi, .. ., pn+i. Заметим еще, что для каждого заданного набора «4- 1 чисел Pi, ..., p„+i существует одна и только одна линейная функция, принимающая в точках В^ ..., Bn+t значения pt, ..., Pn+1, и эта функция ц имеет вид (см. предложение 4.1)

п+ 1

MP'I-'X^PY (4-158) / = 1

Пространство Wh. Это—пространство вектор-функций «Л, которые линейны на каждом ^G^a, равны нулю вне 0(4)' и таковы, что значение йа в барицентре В, некоторой (п—^-мерной грани д’t симплекса S’^3*h равно нулю, если эта грань принадлежит границе О (А); если эта грань пересекается с внутренностью Q (А), то значение йд в В, будет тем же самым, что и в случае, когда В, рассматривается как точка, принадлежащая двум различным смежным симплексам.

Обозначим через 41 h множество всех точек Вь которые являются барицентрами некоторых (я — 1)-мерных граней симплексов ^б^д и которые принадлежат внутренности Q^h\ Функция ИдС^й полностью определяется своими значениями в точках В^п-

Обозначим через tn'h8, где В —точка из 41 h, скалярную функцию, которая линейна на каждом симплексе 5f ^.3"Нл удовлетворяет тем же граничным условиям и условиям согласования, что и функции из Wh, и, кроме того, условию

whB (В) = 1, whR (М) = О YM 6 %,, М ^ в. (4.159) Такая функция №hB имеет носитель, равный объединению двух смежных с В симплексов (рис. 5).

1 Как и прежде, й (й) = и У”.

Лемма 4.15. Функции w^et из Wh, где В ^^ и X^i^n, образуют. базис в Vh. Следовательно, размерность Wh равна nN (h), где N (h)— число точек в 41^.

Доказательство. Ясно, что эти функции линейно-независимы и что их линейная оболочка совпадает со всем Wh\ из предложения 4.1 следует, что любой элемент UH^Wh может быть записан В виде

«д= 5 »h^B)whS.(4.160)

Пространство Wh не содержится в ЬГи (й); фактически производная Dttth функции tth£Wh есть сумма распределений Дирака, сосредоточенных на гранях симплексов, и некоторой ступенчатой функции Dihuh, определенной почти всюду равенством

Dihtt^x)-DiBh№ Vx^^ NS’^^h.(4.161)

* Так как uh линейна на «У, то Dihtih постоянна на каждом симплексе.

' Снабдим Wh следующим скалярным произведением:

h,f4L = (»4>^+2 {Dihuh, Dlh<ohY(4.162)

которое является дискретным аналогом скалярного произведения в Но (Й):

[я, y]j=^, v)+2 Ф^, B^Y(4.163)

Пространство F, операторы со, ph. Положим, как и в п. 3.3, F = L2^l)n+v, а в качестве со возьмем изоморфизм

иЕЩ^'-^-ьзи^ки, Dxu, •Dnu)^F.(4.164)

Аналогично оператор ph определим правилом

»н € ^h^Phtih = к»ю В^ию •••.DnhuhKF. (4.165)

Операторы ph имеют норму единица и устойчивы.

Оператор rh. Определим rhu=uh для «С^(П) равенством

«ft(B) = «(B)VB^ft.(4.166)

Предложение 4.12. Если h пробегает некоторую регулярную триангуляцию 5(а области Q, то описанная выше аппроксимация пространства Щ^Ф является устойчивой и сходящейся.

Доказательство. Нам надо проверить выполнение условий (С1) и (С2) из определения 3.6.

4’; Р. Семам

Для проверки условия (С2) нужно показать, что для каждой функции « G ® (Q)

Uh —► и в L2^ при р (й) —>■ О,(4.167)

Dihuh-^ Dtu в £2(Q) при р (/г) —0.(4.168)

На каждом симплексе S мы можем применить оценку (4.42) к каждой компоненте и; это дает

sup | й (х) — uh (х)| ^ СТ]2 (й) pj-,

^^2 ,(4.169)

sup | D{u(x)—Д,йд(х)| ^ст12(й)р^/р.у. хе«У

Следовательно,

II Ph»h - ®и Ilf ^ с (и) «Р № + Ц«]]//1(£3х£3(й)),(4.170)

но правая часть этого неравенства стремится к нулю при р (й) —► 0. Для проверки условия (С1) предположим, что рн-11п- слабо сходится в F к Ф = (ф0, ■ • •, Ф„); это означает, что

йд—>-ф0 слабо в £2(Q),(4.171)

DihUh- —>- ф/ слабо в £2(Q), l^t^n.(4.172)

Поскольку эти функции имеют компактный носитель, содержащийся в Q, то (4.171) и (4.172) означают, что

йд-—ф0 слабо в £2(R"),(4.173)

DihUh- —> ф; слабо в £2(R"), l^t^n(4.174)

(здесь g обозначает функцию, равную g в й и нулю в CQ). Если мы покажем, что

Ф( = О,ф0, l^t^n,(4.175)

то отсюда будет следовать, что ф0 G И1 (R") и, значит, фоС^о(^)« Ф/ = D/фо, а это и означает, что ф = <о«, й = ф0.

Пусть 9 — какая-либо пробная функция из S?(R"); тогда

Йд-(ОД) dx-Ч- ^ фДОД^х, ^ (О/дйд') О dx —* R”” RnRn

J ф;9 dx.

Равенство (4.175) будет доказано, если мы установим, что

I Ф/бФк^— 5 ф0(Д;9)ах vo€^(R") пR»

ИЛИ что

^L= $ «й (Df6)dx+ 5 (D,ft«ft')9dx-»0 при р (Д') —^0 R"R"

для каждого 9^S>(R"). Но из оценок, полученных в п. 4.5.4 (см. (4.218)), вытекает, что

(4.176)(4.176)I ЯI ^ с (». Й) ар (А) || 9 ||№(Q) || uh Ik,

(4.176)

(4.176)

откуда ясно, что ^ —► 0 при р (/г) —* 0. □

Дискретное неравенство Пуанкаре. Доказываемое далее дискретное неравенство Пуанкаре позволит нам наделить описанное выше пространство Wh другим скалярным произведением ((•, -))ft— дискретным аналогом скалярного произведения ((•, ■)) в Н»^ (см. (1.111) и предложение 3.3).

Предложение 4.13. П редположим, что й— ограниченная область в R". Тогда существует константа с(Й, а), зависящая только от Й и постоянной а в (4.21), такая что

п

(4.177)(4.178)(4.177)(4.178)| «л |r= (Q) ^ с (Й, а) 2 I Dihuh II^

(4.177)

(4.178)

(4.177)

(4.178)

<=i

для любой скалярной функции вида (4.160):

«л= 2 аДВ)®№

Аналогичное неравенство справедливо для вектор-функций вида (4.160):

(4.179)(4.179)(4.180)(4.180)|«л|дчй>^с'(Й, а) || uh Ид ^uh^Whl где

(4.179)

(4.179)

(4.180)

(4.180)

{п| 1/2

^1 I DihUh |дг (Q) Z 1 = 1J

Доказательство. Неравенство (4.179) немедленно следует из (4.177).

Для того чтобы установить (4.177), мы покажем, что

^ uh9 dx о^ uh9 dx о^с(Й, a)|9|L2(Q)||«ft||ft^с(Й, a)|9|L2(Q)||«ft||ft(4.181)(4.181)

^ uh9 dx о

^ uh9 dx о

^с(Й, a)|9|L2(Q)||«ft||ft

^с(Й, a)|9|L2(Q)||«ft||ft

(4.181)

(4.181)

для каждой функции uh вида (4.178) и для каждой функции 9 из ^)(Й); (4.177) вытекает из (4.181), поскольку ^)(й) плотно

вьч^У•

Обозначим через х решение задачи Дирихле

АХ = 9 в Й, Х(Е/ад; ’

X есть функция класса К” на Q и hll™<MQ)||9||^^(4.182)

Тогда мы имеем

^aft9dx = 2 (»-Axdx,

и из формулы Грина вытекает, что

j«*&xdx = J «*|^Г —J gradtt*«gradx dx.

CTdieS’

Следовательно,

$ «*9dx ^ |((»ft, x))ft| + l^ft|.

J «*0 dx ^ II uh II* IIX Ия* (Я) +1 КI

<с(Й)|0|£ЧЙ)||иЛ||* + |^Л|,(4.183)

где

1Ы= £ J%>dr.

йГ^^Гьд»

Ясно, что

& = 2Я(4.184)

где.

Th= £ f «AX/V.dr, =(4.185)

и vu ..., vn —компоненты единичного вектора v, нормального к dif. Согласно формуле Грина,

j «лХ^Г = f ^L (tiftxz) dx,

dir» 1

так что

П^^^Х-

я

Мы уже рассматривали это выражение при доказательстве предложения 4.12. Используя оценку (4.176), получаем

IЯ К с (", Й) ар № II X/ W (й) II «л 11л.

№ Ю (», Q) ар (/г) || х \\н» №! uh ||ft.'

Из (4.182) и (4.184) следует, что

|Xl^c(n, Q)ap(/i)|0|L=(a)||aA|^..(4.186)

Комбинация (4.183) и (4.186) дает в точности (4.181) с констан- ,той c(Q, a)=c(Q)4-c(n, Q)ap(/i)'. □

Предложение 4.14. Пусть Й — ограниченная липшицева область. Предположим, что пространство Wh снабжено скалярным произведением

^“ю ч>^Й=^<П,.ЙиЙ, D^,(4.187)

а остальные требования из предложения 4.12 остаются без изменения. Эта видоизмененная аппроксимация пространства Hl (Q) снова является устойчивой и сходящейся.

Доказательство. Единственное различие между этим предложением и предложением 4.12 заключается в доказательстве устойчивости операторов ph, но эта трудность полностью устраняется предложением 4.13 и оценкой (4.179), которые дают

il«Jlft<KL<c(Q)ll»A|lA *«л^□(4.188)

Аппроксимация (АПР5) пространства V. Пусть Q — липшицева ограниченная область в R",—наше обычное простран

ство (1.12) и V —его замыкание в Щ (П). Определим аппроксимацию пространства V, аналогичную последней аппроксимации пространства 77J(Q). Как и прежде, положим F = L2 (Q)n+1 и возьмем в качестве со ^ ^ (V, F) линейный оператор

м€Vн^.(ои = (и, Dxu, ..., Dnu\.(4.189)

Пространство Vh. Это — следующее подпространство описанного выше пространства Wh‘.

Vh=luh£Wh, ^ Dihulh = 0 /■.(4.190)

I1 = 1J

Содержащееся в (4.190) условие относительно дивергенции uh эквивалентно условию

diva^^O в <УУ^е^й.(4.191)

Функция р(Л), очевидно, ограничена; например, р (Л) ^ diam 62.

Снабдим пространство Vh скалярным произведением ((иЛ, фд))д, индуцированным из Wh.

Оператор ph. Как и прежде, Phuh = \uh, DxhuhOnhuh\. В силу (4.179) (или 4.188)), операторы ph устойчивы.

Оператор г h. Мы определим rhu = uh£V для и С ^- Поскольку uIt должны удовлетворять условию (4.191), оператор rh, использовавшийся для аппроксимации пространства Щ (Й), не удовлетворяет всем требованиям. Вместо него возьмем такой оператор rh. Функция tth = rhtt определяется своими значениями «Л (В), В g 0/Л; если В€^д, то В есть барицентр некоторой (п — 1)-мерной грани сУ" некоторого n-мерного симплекса 6f ^.S"h, и мы полагаем

J“dr(4Л92>

Покажем, что uh^Vh\ поскольку div иЛ = const на каждом симплексе сУ, то условие (4.191) эквивалентно условию

^ divaftdx = 0 ^Sf^S"^ «у

Применяя формулу Грина, получаем div«hdx = у z^ Vcr-dF, <У<Z'ed+»»'

где д+сУ — множество (п—1)-мерных граней сУ; в силу (4.182), сумма справа равняется

У ^ «\\z dr = ^ и v dr = ^ div ndx;

Уео*» &•д»»■

но последний интеграл равен нулю, так как div« = 0.

Предложение 4.15. Описанная выше внешняя аппроксимация пространства V является устойчивой и сходящейся, при условии что h пробегает некоторую регулярную триангуляцию ,%а области Й.

Доказательство. Мы уже отметили, что операторы ph устойчивы. Проверим условие (С2) из определения 3.6. Предположим, что

Ph’Uh—►ф слабо в F.(4,193)

Точно так же, как^-в предложении 4.12, мы видим, что

Ф = соя, и^Нб№У(4.194)

Здесь нам нужно, кроме того, показать, чтои^У, т. е. div» = 0. Но (4.193) означает, в частности, что

У. Dih-Uih- —* div и слабо в L- (й),'

»=1

и поскольку сумма V, В^-щн- тождественно равна нулю, то i=i

div и = 0.

Проверим условие (С1). Для u^V3 обозначим через uh функцию rhu, а через ч)н—функцию из № д, определенную условием t>A (В) = а (В) VB £ %д. В предложении 4.12 доказано, что

1| Ph^h — «иЦр^с (и)ар (А) + и и^ №\и ^н-(4.195)

Нам достаточно показать, что

^PhUH-Ph®hV=Uh-,Dhb-*O ПРИ Р(й)-*О.(4.196)

В силу неравенства (4.188), достаточно установить, что j! иЛ—©AjA—>0 при p(h) —*0. Каждая точка В из 41^ есть барицентр некоторой грани <У" некоторого симплекса S\ мы можем записать

ц(х) = и(В) + £ аицв^-^НаМ. (4.197) .■=1 0 1

где (Р^, ..., р„) —координаты точки В и

|а (х)|^с (^р^Ух^^.(4.198)

Интегрируя (4.197) по S', получаем

, Ид (В) = ©Л (В) + / ^ a(x)dxV ^ dxA \

VS”/Хд” /

так как $ (xz — Р,) dx = 0. Из (4.198) следует, что

- у

u^B^-Vh^B^^^,(4.199)

ГДС

.| Ч (В) |< с (и) рк■(4.200)

Внутри симплекса S с гранями S\, ..., S п^

Uh W -Vh (х) = X ел кВ.) Р/ (х), z = i

где pi, ..., ц„ —барицентрические координаты точки х относи

тельно В^, ..., В„+1. Следовательно, в S

п + 1

| grad (Ид — Уд) к С (и) PJ-52 |gradpz.|

и, в силу,леммы 4.2 и (4.21), |grad (иА —©A)|^G(«)pj./pj». Поэтому на всём Q

Р<л(Ил-®л)(^)1 ^с(«)ар(Л),(4.201)

откуда

|! Uh - ^н к < с («. а, Й) Р (А),(4.202)

так что

WPhUh — ton||F^c(«)ap(/i) + [[«])yi (QXo (А)).'(4.203)

Аппроксимация задачи Стокса. Используя последнюю аппроксимацию пространства V и общие результаты п.3.2, мы можем предложить еще одну схему для задачи Стокса.

Пусть / принадлежит L2 (Q) и v > 0. Положим, в предыдущих обозначениях,

ahkUh, Фк) = ^№н, vh^hVuh, vh£Vh,(4.204)

<1^ ®A>-(/- ®A)V®a€Va.(4.205)

Аппроксимирующая задача такова:

найти uh£Vh, такое что v((«A, DA))A = (f, ®A)VyA€VA.

(4.206)

Решение аА задачи (4.206) существует и единственно. Если р (й)—«-0, причем h пробегает некоторую регулярную триангуляцию ^а, то uh-*u сильно в L2(Q),

DihUji-^-DjU сильно в L2 (£2), l^t^n.' ‘'

Это сразу следует из теоремы 3.1.

Мы можем, как в п.3.3 и как для других аппроксимаций, ввести дискретное давление. Это —ступенчатая функция лА вида лА= ^ «ь^Ш».(4.208)

»e<S" h

где лА (сУ) —значение лА на S, Лд^ЕК, а у^ —характеристическая функция S. Функция лА такова, что

v((«A, Vh^h—i^t. divA®A) = (/. ®А)У»СГА, (4.209) где

divAyA = 5 Dihvih.(4.210)

<=i

Невязка между и и aA —решениями задач (2.6) и (4.209) соответственно — может быть оценена, как и в п.3.3. Предположим, что граница £2 — многоугольник, так что£2(А)=£2, и пусть п С #3 (£2), р Е Я1 (£2). Мы можем определить аппроксимацию rhu по формуле,

аналогичной (4.192), и нетрудно видеть, что оценка (4.203) все еще будет иметь место:

\\phrhU — юи\\гСс(и, а) р (/i).(4.211)

Чуть ниже мы докажем следующую лемму.

Лемма 4.16. Обозначим через и, р точное решение задачи (2.6)—

(2.8) и предположим, что k£#3(Q). Тогда

ah(a, vh) = (f, ^ + lh^h)VT)hEVh,(4.212)

где

Нл(®л)Кс(», Р) Р(Л)II®лIU-(4.213)

Если принять временно, что эта лемма уже доказана, то мы видим, что

ah kuh-u, Dh) = lh (<oh) Vvh € Vh,

<4luh-rhu, vh)=ah(u — rku, e^-lfcW

Полагая фк = иь — rhu и используя (4.205), получаем

v II «Л - rh“ Ifh < VII и - rhU ||ft|| uh - rh4h 4-1 lh (uh - rhu) |.

Оценки (4.211) и (4.213) дают тогда

vll«A-rA«l'ft^c(a, р, a, Q) р(А).(4.214)

Более точно, константа с в (4.214) зависит только от норм и

в g3(Q) и р в ^(Q).

Доказательство леммы 4.16. Умножим скалярно в L? (Q) уравнение

— vA«4-gradp=/(4.215)

на фд; так как Q = Q(/i), то мы получим

2 ( — v(A«, yAV + (gradp, ^^-(у, vA)^) = 0.

Формула Грина, примененная на каждом симплексе <У, дает

2 {—v(A«, фд)^ + (grad р, -DhV — Vf, -vhWl 6f^S"h

. =ah(u, v^-^f, -oh)-lhk‘»h) = 01

где.

1кМ = Z J (v^ ^-Р^ЛйГ’.(4.216)

Sf^.S’he» \/

Оценка (4.213) для lh доказывается теперь точно так же, как и в леммах 4.17—4.19 (см. п.4.5.4). □.

1 В этой формуле v обозначает единичный нормальный вектор к dgf ; не путать с константой v > 0.

Замечание 4.9. В двумернем случае у Уд имеется простой базис. См. Крузей [1J.

Несогласованные конечные элементы, являющиеся кусочно полиномами степени k > 1, также применялись для аппроксимации пространств Н» (й) и V.

Фортэн [2] указал, что пространство V не может быть аппроксимировано согласованными конечными элементами первой степени (т. е. кусочнолинейными функциями). По этой причине аппроксимация, изученная в данном пункте, весьма важна для задач Стокса и Навье—Стокса.

Некоторые вычисления для вязких несжимаемых жидкостей, использующие рассмотренные здесь элементы, были проведены Томассэ [2].

Вспомогательные оценки. Здесь мы докажем некоторые вспомогательные оценки, которые уже использовались выше и потребуются также в гл. II. Эти оценки касаются интеграла

^ = ^.Mdx'(4.217)

12

для uh^W h, t = l, . .., и,, и для различных типов функций ф. Приводимые ниже доказательства можно было бы упростить, если привлечь общие результаты о конечных элементах.

Предложение 4.16. |^U^c(n, Q)ap (А)|| ф^нчш 'i tth ]U» (4.218) для ф € H (й) и tth£Wh.

Доказательство этого факта мы разобьем на ряд лемм.

Лемма 4.17. ^д= S S S «лФ'Ч dr,(4.219)

где д* У — множество (п— Химерных граней У1, a хц »- есть i-я компонента единичного вектора внешней нормали к У.

Доказательство. Так как функции, фигурирующие в (4.219), равны нулю вне Q(/i), мы имеем

М = $ [ил(£>,•ф) + (£’1•лиft)ф]dx й (Л)

= X $ [“а (^/ф)+ (£/“*) ф] dx = X $ °/(®аФ)й^.

Формула Грина —Стокса дает

О, (илф) dx = У, ^ьФ^о dr. □‘

Лемма 4.18. В обозуейениях леммы 4.17,

У^яУ^+у у*

•— cpC^'^v, ^dr,(4.220)

еде В —Ba■—барицентр 8', а ^^8*)—среднее значение ф на 8'.

Доказательство. Вначале покажем, что

^1= У У $ (Uh W~«A(B)M-t) м(, »' dr.

8£S"h8'£d*8»-

(4.221)

иЫ установить это равенство, достаточно доказать, что

У У иЛ(В)ф(х) м,, j-dr = 0.(4.222)

8£S"h8’£d*8 »-

Но для всякой грани 8', принадлежащей границе Q(/i), iih(B) = 0 и вклад этой грани в сумму равен нулю. Если же 8" принадлежит границе двух смежных симплексов, то эта грань дает в сумме два различных члена; uh(B) и ф(х) в них одни и те же, а мг, а’ равны по величине, но имеют противоположные знаки. Следовательно, сумма (4.222) равна нулю.

Равенство (4.220) легко выводится из (4.221), если доказать, что

• У I [(«^)-вА(В))ф(Г)ЧНГ^ 8^<Гн8'^д+8

1(4.223)

Для доказательства (4.223) заметим просто, что

$ [«Л W — uh (5)] ф (8^ Mi, a- dr = 0, a”

так как ф^') и mi, а- постоянны на 8' и так как

$ Uh (х) dF = uh (В) $ dT,(4.224)

a"a"

ибо un линейна на 8', а В —барицентр 8'. □

Лемма 4.19.

\.Th I ^с(п)Уар (^«J»

У У ( (ф(х)-ф(^'))МГу/а. (4.225)

Доказательство. Поскольку иЛ (х) — иЛ (В) —линейная функция на 8', обращающаяся в нуль при х = В, мы можем записать ее на 8 так:

«л w -»/.№ = L У (xt—Ра. ■ 1 = 1 '

где Pf, ..., р„ —координаты точки В. Следовательно, \uh (x) — uh (В) | ^pj. | grad «Л | Vx€ <^

и

$ <uh (х) — uh {В}) (ф (х) — ф (=Н) мц »- dr

(ф(х)-ф(^')Р dr(ф(х)-ф(^')Р dr

(ф(х)-ф(^')Р dr

(ф(х)-ф(^')Р dr

Но так как grad аЛ постоянен на ^', то

$ (grad uhy dr = mes„_t (=У") | grad uh p.

Обозначим через £ расстояние между 3' и противоположной вершиной 3. Хорошо известно, что тезД^^п-1^ mesn_i(^₽z). Следовательно,

mes„_i (<У") = (n/g) mes„ («У) (п/р^у) mes„ (<И.(4.226)

поскольку

(4.227)

(Причина, по которой (4.227) имеет место, ясна: наибольший шар, содержащийся в 3, имеет диаметр, равный р^у, и этот шар лежит в множестве, ограниченном гиперплоскостью, содержащей 3\ и параллельной гиперплоскостью, проходящей через противоположную вершину.) Поэтому

Г (grad uhy dr / 4- mes„ (<У) | grad uh p

4- \ | grad uh p dx

^3-

X'E E -^^|grad«ApdxV/2 "3^S*h3'^d*3V p, \>/

(4.228)(4.228)Ф(^')р drY/a

(4.228)

(4.228)

Используя (4.20), (4.21) и применяя неравенство Шварца, получаем отсюда (4.225). □

Лемма 4,20.

(ф (х) —ф(<У'))2бГ ^c(n)a2p (/i) t (grad Ф)2бх, (4.229)

E E $ (<p (x)—<p(^'))2dr

^c(n)ap (/i) J (grad ф)2dx.(4.230)

Доказательство. Неравенство (4.230) непосредственно следует из (4.229). Неравенство (4.229) становится очевидным следствием из теорем о следах в Н1^^ если заменить константу с (/г)а2 в правой части (4.229) некоторой константой с^), зависящей от выбора симплекса (У; преимущество оценки (4.229) заключается в том, что она равномерна относительно симплексов if из S' h. Для доказательства (4.229) мы произведем преобразование координат, переводящее if в некоторый фиксированный симплекс if, применим в if теорему о следе и вернемся назад к if.

Предположим для простоты, что А,=0, if* содержится в гиперплоскости х„ = 0 и вершины if* суть At, ..., Д„; упомянутый выше фиксированный симплекс if'—это симплекс со следующими вершинами At, ..., Лп+$: Д< = 0, Д,Д/+1 = eb t = 1, ... ,п. Грань, соответствующая if', — это грань if' с вершинами Дп ..., Ап. Обозначим через Л линейный оператор в R", определяемый равенством Д, = ЛДП i=2, ..., «4-1, и через Л'— линейный оператор в Rn_1, определяемый равенством Аг = Л'А£, ( = 2, ..., и. Производя соответствующую замену переменных в интеграле в левой части (4.229), получаем

$ а (х)2 dr^* — । ^ д/1 J °2 W dF^, j"«у

где

(4.231)(4.232)(4.231)(4.232)"№ = Х/М-Х/(5).

(4.231)

(4.232)

(4.231)

(4.232)

o(x) = o(x), x = A-1x.

Для симплекса if неравенство из теоремы о следе и неравенство Пуанкаре дают (напомним, что а(В) = 0)

Вернемся назад к ^ и координатам х{. Запишем

oxjk = I\'

Следовательно,

J ^ (х) dr <с ^ IIЛ-Ц2 j (^ |^| № |^ dx

S'«у

<Zc (сУ) | det Л11| А-11|2 ^ (grad ст)2 dx.

«у

Мы приходим к неравенству

J (X/ W - Xi (5))2 dr < с 'i^t Л'1 IIЛ-1 II2 J (grad XtY dx. j"»

Для доказательства (4.229) осталось показать, что

(| det Л |/| det Л' |)|lA-4|2^cap(/i).(4.233)

Так как det A/det Л' = det A'-1/det А-1 =Л„„' и |Л„„| ^||Л||, то левая часть (4.233) оценивается величиной ||Л||||Л~1||2. По лемме 4.3 это произведение оценивается величиной

(р^/р#) (р^/р^у)2 <с (^)ар^ <с (^)ар (Л),

откуда и следует (4.233). □’

Оценка (4.218) теперь очевидным образом следует из (4.225) и (4.230). □

Следующее неравенство, доказываемое аналогичными методами, будет нам полезно в гл. II.

Предложение 4.17.

1ЖФ. р, Q)a2(22 \Dih«h lLP(Q) )

..(4.234)

для ф € Wx- ^ (Q), uh € Wh, X[q' = 1 — \/q, \/q= \Jp — 1/n, 1 < p < n.

Отправляясь от выражения (4.220) для J^h, мы действуем по существу так же, как и в леммах 4.19 и 4.20, с той лишь разницей, что неравенства Шварца для интегралов заменяются на неравенства Гёльдера с подходящими показателями.

' ’\Пп—это (га, га)-элемент матрицы Л; заметим, что Л/п = 0, 1<1<га—1, в силу нашего выбора осей координат.

Лемма 4.21.

1ГИ< 22р^(тезп_Д^'))^

X | grad^ дл | / ^ IXzUO-Xz^'^dry77,(4.235)

где grad«p«ft обозначает значение grad«ft на ^(l^i^n). Доказательство. Как и в лемме 4.19, имеем на грани 9”

uhVx^-uh(B^^^.Vxl-^^

и поэтому

I uh (х) — uh (В) I ^.pj. I grad uh | Vx e ^.

Пусть у— некоторое вещественное число, 1 < у < оо (оно будет уточнено позже), и пусть у- —сопряженный показатель, 1/у+ + 1/у' = 1. Тогда

$ (М*) —“л (fi))(XZXZ(^'))vi. j-dT

.-У

p.r| grad «л | ^ |Xz М —Xz^^ldT (по неравенству «У'

Гёльдера)

p^ (mes„_i (аУ"))1^' | gratis | ( j |xz (х)—xz Ю |v dT)1/7, откуда после суммирования и следует (4.235). □

Лемма 4.22. Пусть

У =q (п—\)/п, у = у'/(у' —1).'4.236)

Тогда для 1 ^ i ^ п

(JjxAx)-xz(<nivdry/v

^с(п,P«rA |gradxzr dxV7". (4.237)

Доказательство. Поступим точно так же, как в лемме 4.20, используя те же обозначения. Полагая а(х) = <р(х) —ф^'), имеем

J |a(x)|vdr^y/v=|detA'|-i/v^ J |5(x)|v dT^y^. Применим неравенство Пуанкаре и теорему вложения Соболева па „стандартном" симплексе ^г ■

l^ - ^(в силу неравенства Соболева на 9' с: R"

^ с0 (п, р) | сг ] ^ i/q, д’ ^.^(по теореме о следе, см. Лионс [1])

^ct (п, р) | о | ^i.«'(^ ^ (в силу неравенства Пуанкаре)

Используя оценку, полученную в лемме 4.20, заключаем, что

/ пq'\Uq'/ п_2\1/2

I >-=- (х)^ С (о ) > —= X

Vдх, )w дх, У

i = i 'i=i ''

/ п\V2

/ п_ Д 1/9'

^Ч/ИЛ-Ду |^(Лх)П .

Таким образом,'-

—/ л С । а - I ’ -\1№

^^L’V^^eWCa^’ Р)^'^ У Х|^(ЛХ) Г dX ) '

^/ = 1 «У ’

Возвращаясь назад к симплексу 9, получаем

1°| v_ ^c^cjn, р)| det Л|i/«'||Л-11!

L у («У')

( С I о (х) I V drJ-Л1/? С с (9) cs (п, р)1 dgt Л I ,9 || л-11|

Мы завершим доказательство, заметив, что mesn^) ’mes„_! (еУ”)

и, согласно лемме 4.3, ||Л-х||^р^/р^-. □

Лемма 4.23.

/ ПV п\

Ш\^с(п,р)аа(^ I D)hUh I lpIQ) Y 21 ^/Ф I lPq, (4-238>4 = )/\/=i/

Доказательство. Для того чтобы доказать (4.238), объединим (4.235) и (4.237). Мы получим (l/y + l/V = I):

\Тн\^с(п, p,Q) 2p^(mes„(d5₽))-1/«'(mesn_I(^’'))

S G S' h

X Igrad^^lfjlgrad xj»' dxV ".

С учетом (4.226) имеем

I^M^c(n, p, Q) 2 ap<r(mesn(<^))1^|grad«ft|

X M" | grad ф |dxV/l?,(4.239)

поскольку mes„_! (S’) ^ (n/p«y) mesn (S) ^ (na,jp«y) mesn (S). Ho п-мерная мера S больше, чем п-мерная мера шара диаметра р<у; следовательно, (р^у)" с (п) mesn (S) и

р<у 5^ ар«у ^ с (п) a (mes„ (^))1/".

Используя эту оценку, получаем из (4.239)

1-у^Сс(п, р, Q)a2 2 (mes„(^))l/P|gradj.aA|

X ($ | grad cpp' dx^ xfq’,

Применяя к этой сумме неравенство Гёльдера с показателями q и q’, приходим к оценке

1^И^с(п, р, Q)a2 ( 2 mesn(^)«/P|gradj.«ftpY/,?

xM | grad <p |»'dxY.(4.240)

\ц(Л)/

Доказательство (4.238) свелось, таким образом, к доказательству следующего неравенства:

/ 2тезД^)^) grad^ ядру7»

\S £S\)

2 mesJ^lgrad^pYy (4.241) \S € 3"*'

так как правая часть этого неравенства равна

( X § (grad «д |р dxV7", '

а это легко оценивается величиной c(p^^\D/h uh\Lp (й)).

С точностью до обозначений, (4.241) доказывается в следующей лемме. □.

Лемма 4.24. Пусть а,, г, суть N пар неотрицательных чисел, и пусть р, п, q те же, что и прежде. Тогда

/ N\1/е/ п \1/Р

X« sd^zH .(4.242)

x/=i//

Доказательство. Для N = 2 доказательство элементарно. Полагаем а^ + а^ = р, zt = ((р — а^/сцу/е и замечаем, что функция

г2 >-* ai/pz? + аЧЧ^ = аЧР ((р — агг^1а^ч1р + аЧРг1

достигает своего максимума на интервале [0, (р/а2)1/р] в концевой точке и этот максимум равен р^р.

Проведем теперь индукцию по N. Предположим, что (2.57) верно для N— 1, и запишем

C

N\x/q /N\Х/q

^а^гП = (aq/pzq-y ^ afpzH= 1/\/ = 2/

.C (aQilPzqx + adp^x,q,(4.243)

__ f NХлДр + Х)

где a2 = z„ = ( 2 a#zPi Г • Используя уже доказанное неравен- \/ = 2 '

ство для N =2, видам, что правая часть (4.243) оценивается величиной

откуда и следует (4.242). □

Численные алгоритмы

Мы видели, что дискретизация уравнений Стокса не решает полностью задачу численной аппроксимации этих уравнений; для фактического вычисления решения нам надо еще иметь базис в пространстве Vh, такой что аналог (3.6) приводит к линейной алгебраической системе уравнений относительно компонент «д с достаточно разреженной матрицей. Это имеет место только для схем, соответствующих (АПР4) и (АПР5); для дискретной задачи, соответствующей аппроксимациям (АПР1) — (АПРЗ), мы даже не имеем явного базиса в Vh.

В пн. 5.1—5.3 мы изучим два алгоритма, весьма полезных для практического решения дискретизированных уравнений. В пп. 5.1 и 5.2 мы рассмотрим непрерывный случай, а в п. 5.3 вкратце объясним, каким образом построенные алгоритмы могут быть приспособлены к дискретным задачам.

Результаты, доказываемые в и. 5.4, также связаны с задачей численной аппроксимации и, кроме того, показывают, каким образом несжимаемую жидкость можно рассматривать как предельный случай „слабо" сжимаемой жидкости.

Алгоритм Удзавы. В предложении 2.1 мы интерпретировали задачу Стокса как некоторую вариационную задачу — задачу оптимизации с линейными ограничениями. Алгоритмы, описываемые в этом и следующем пунктах, являются классическими алгоритмами оптимизации. Мы опишем эти алгоритмы и изучим их сходимость без каких-либо ссылок на теорию оптимизации, хотя их идея и доказательство их сходимости заимствованы из теории оптимизации.

Рассмотрим функции и и р, даваемые теоремой 2.1. Мы получим и, р как пределы последовательностей ит, рт, которые вычисляются гораздо легче, чем и и р.

Алгоритм начнем с произвольного элемента

P^LH^Y(5.1)

Если рт уже известно, то определим n“+1, р"1*1 (т^О) соотношениями

.Hm + 1£^(Q),

.v ((«m+1, у)) — <рт, div у) = (/, у) Vy С Но (Q);(5.2)

,1^”1+1еА2(Й),

(рт + 1 — рт, ^)4- p(div W“ + 1, ^) = 0 V^^L2(Q).(5.3)

Мы предполагаем, что р>0 — некоторое фиксированное число; позже будут даны другие условия на р.

Существование и единственность решения a“+1 задачи (5.2) являются очень простым следствием проекционной теоремы (тео-

ремы 2.2). Действительно, ит*х есть решение задачи Дирихле и”*1 € Н1» (Й),(5.4)

— v A«m+l = grad рт + f € Н"1 (й).

Если ит*х известно, то рт+1 явно задается формулой (5.3), которая эквивалентна следующей формуле:

p®+1 = р« — р div um+x^L2 (й).(5.5)

Сходимость алгоритма.

Теорема 5.1. Если число р удовлетворяет условию

О < р < 2v,(5.6)

то ит+х сходится при т—»оо к и в НЦЩ, а рт*х сходится к р слабо в L2 (Й)/К.

Доказательство. Уравнение (2.7), которому удовлетворяют ии р, эквивалентно следующему:

v ((а, о)) — (р, div а) = (/,») V® € ^ (й).(5.7)

В уравнениях (5.2) и (5.7) возьмем р = ит*х —и и вычтем одно из другого получающиеся уравнения; это даст v||am+^ — я||2 = kpm — р, div «m+l),

или

v || рт+х ||2 = (р®, div ®®+1),(5.8)

где мы положили

®« + 1 = цт+1— И)(5.9)

qm — pm — p..(5.10)

Взяв q — pm*x — p в (5.3), получаем•

(^®+1— q^ ly®+i) + p(divy™+1, р®+1) = 0,.

что эквивалентно равенству

|12_| ^^l^^.! qm*t _qm^_—2р (div рт*х, q™*^. (5.11)

Умножая теперь (5.8) на 2р и складывая результате (5.11), приходим к равенству

I | 2 _ | qm | 2 ц_ | qm+l _ qm 12 q_ 2pv || <Dm*1 II2

=—2p(div®“+1, qm*x — qm\(5.12)

Правая часть (5.12) оценивается величиной 2р | div ym+l 11 q"**1—qm |,

которая не превосходит 2pi|y'”+1|||^'”+1 — ^“|, так как .

|div уКЦуЦУу^Я^Й)'.(5.13)

Последнее выражение можно оценить величиной 6|^m+i— qmp+ + (р2/6) || y”+11|а, где 6, 0<6< 1, пока произвольно. Следовательно,

| qm*X | 2 _ | qm | 2 + ( 1 _ §) | qm + 1 _ qm | 2

+ p(2v-p/6)||^+4p^O.(5.14)

Если мы сложим неравенства (5.14) для m = 0, ..., N, то найдем

N

l^+i|2 +(i-6) 2 |<?”+i-ri2+(2v-p/6)p m=0

N

х 2 ll®”,+1|l2<k°l2.(5.15)

В силу условия (5.6), существует 6, такое что 0 < p/2v < 6 < 1, и, значит, (2v — р/6) > 0. Зафиксируем это 6. Неравенство (5.15) показывает тогда, что

| ^m+1 — qm 12 = | рт+х — рт |2 —* 0 при т—* оо,

|1ут + Я ||2_ ||цт + 1_ и || 2 —^ 0при т—too. ' ‘'

Таким образом, сходимость =от* к и доказана. Далее, из (5.14) видно также, что последовательность рт ограничена в La(Q). Поэтому мы можем выбрать из рт подпоследовательность рт', слабо сходящуюся в Л2(й) к некоторому элементу ре. Уравнение (5.2) дает в пределе

v ((«, у)) — (р„ div у) = (/, у) Vy € Яо (&);

сравнивая его с (5.7), получаем

(р — р», div у) = 0 Vyg//J(Q),

откуда.

grad (р — р,) — 0, р, = p + const.

Из каждой подпоследовательности последовательности р” можно выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся к р + с; следовательно, и вся последовательность р” сходится к р в слабой топологии La(Q)/R. □

Замечание 5.1. Доопределим р, наложив требование

J р (х) <к = 0.

Предположим, что р° £ L2 (Й) выбрано так, чтобы

J ро (х) dx = 0.

Тогда, очевидно, мы имеем

р® (х) dx = 0, т 5$ 1,■ •

и вся последовательность р® сходится к р слабо в пространстве L? (Й). 0

Алгоритм Эрроу—Гурвица. В этом случае функции и и р также будут пределами двух последовательностей и®, р®, которые определяются рекуррентно.

Алгоритм начинается с произвольных элементов и°, рй:

и^НЦЙ), рй£ЬЦЙ).(5.17)

Если р® и и® уже известны, то определим p®vx и u®*x как решения задач

^U®*X _ цт, у)) _|_ pV ^дт, у)) _ 0 ^m, J jv у)(5.18)

= р(/, ») V®€ W),

p“+iga2 (й),

a (д®+1 —р®, ^) + р (div «®+\ q) = 0 V<? g L2 (Q).(5.19)

Пока мы предполагаем лишь, что р и а —строго положительные числа; дальнейшие требования на них появятся позже.

Существование и единственность элемента и®*1 С ^(й), удовлетворяющего (5.18), легко установить с помощью проекционной теоремы; и®*1 есть решение задачи Дирихле

— А«®+1 =— Ад®+ pv Ад® — pgrad р®+ р/,"

д®+1 g л/оДй)."(5,20)

Тогда р®*х явно зайдется формулой (5.19), которая эквивалентна следующей:•

р®*1 — р® — (p/а) div и®*1 € Е2 (й).(5.21)

Сходимость алгоритма.

Теорема 5.2. Если числа аир удовлетворяют условию

0 < р < 2av/(av2 + 1),(5.22)

то ит сходится при т—>оо к и в Д(9.) и рт сходится к р слабо в L2(Q)/IR.

Доказательство. Пусть

у'”=ы'” —н,(5.23)

qm^pm — p.(5.24)

Уравнения (5.18) и (5.7) дают

' ((©"ч-1 —©“, y)) + pv((y“, у)) = р(^®, divy) Vy ^fft(Q.\

Полагая y = ym+1, получаем

[у« + 1 || 2 — |j ©“ |: 2 -{- 1| у/Л + 1 щШ |. 2 _|_ 2pv ||©“ + 1 |1 2

= 2pv ((y“ + 1, ym+1 —у'ММ- 2р (<7®, div ym+1)

^ 61| у"1+1—у“ || 2+ (p2v2/6) || у"*+11| 2+2p (</“, d i v y“+J), (5.25)

где 6>0 пока произвольно. Уравнение (5.19) c q=qm + 1 даст

а | qm+Y |2 — а | qm 124-а | qm+l — qm 12 = —2р (^m+1, div «m+1) =—2р (qm, div ym+1) — 2p (^m+x — qm, div ium+1') ^ —2p (qm, div ym+1) + 2p | qmtl— qm 11 div y™+1| ^ —2p (qm, div y",+1) + 2p | qm+l — qm | Ijy'”'*-1 ,|

(в силу (5.13)). Наконец, если 6 такое же, как прежде, то

а| qm*Y |2 — х | qm |2-(-а | qmvY —qm |2

^ —2р (qm, div у^+^-раб1 ^“+J — qm |2 + (р2/лб) ||y“+l ||2.

.(5.26)

Складывая неравенства (5.25) и (5.26), получим .

а 1 qm+112 +1| с"1+11|2 — а-1 qm |2 — :1 =от |,+ а (1 — 6) | qm+l — qm |2 — (1 — 6) |iy“+1 — y“!| + р (2v — pv2/6 — р/аб) f y™+11|2 ^ 0.

''(5.27)

Если выполняется условие (5.22), то 2v>pv2 + p/a и для некоторого 6, 0 < 6 < 1, достаточно близкого к 1, мы опять имеем 2v > у-1 (pv2 + p/a), так что

р (2v — pv2/6 — р/aS) > 0.(5.28)

Складывая неравенства (5.27) для m = 0, ...,N, мы придем к неравенству того же типа, что и (5.15), и доказательство завершается, как и в теореме 5.1. □

Замечание 5.2. Замечание 5.1 легко раЛространяется и на этот алгоритм.

Дискретная форма представленных выше алгоритмов. Мы опишем дискретную форму этих алгоритмов в конечноразностном случае (аппроксимация (АПР1)).

Для того чтобы фактически вычислить ступенчатые функции uh и лЛ, которые являются решениями уравнений (3.64), (3.71) и (3.73), мы определим две последовательности ступенчатых функций и”, л^ вида

< = 2 Uwkm, U6R" (т. е. C^WhY(5.29)

меЦ

- 1^ = 2 AMWhM, Пл«бК;(5.30)

ме Ц

они определяются рекуррентно по аналогии с приведенными выше алгоритмами.

Алгоритм Удзавы. Алгоритм начинается с произвольного элемента л^ вида (5.30). Если л™ уже известно, то мы определяем я™41 и л^1 соотношениями■

ur'^wh,

Ч^^Ы^А^Н.^ ^Н^Н1(5.31)

лГ1 (М) = л^ (М) - р ф#^ (М).(5.32)

где Од —дискретный оператор div, определенный в (3.69).

Если р удовлетворяет тем же условиям (5.6), то повторение доказательства теоремы 5.1 показывает, что при т —► оо

< —»д в Гд,(5.33)

л™ —► Лд с точностью до константы;(5.34)

сходимость имеет место для любой. нормы в рассматриваемых конечномерных пространствах.

Алгоритм Эрроу —Гурвица. Алгоритм начинается с произвольных ийи, л£ вида (5.29) и (5.30) соответственно. Если и™. лд1 уже известны, то мы определяем й”+1, Лд+1 соотношениями

uTv6Wh,

((«Г1 - С, -D^h + pV («, Уд))д - р (Лд1, Dh, vh) = (/, Уд)

Ууд € Wh,(5.35)

лГДМ) = лНМ)-(р/а)ОдйГ1(М) VM№(5.36)

Для случая, когда р удовлетворяет условию (5.22), соответствующее распространение доказательства теоремы 5.2 дает соотношения сходимости (5.33), (5.34).

Дискретный алгоритм Эрроу— Гурвица. Задачи (5.31) и (5.35) являются дискретными задачами Дирихле, и они решаются просто и вполне стандартно. Все же интересно отметить, что в конечномерном случае мы можем использовать другую форму алгоритма Эрроу— Гурвица, для которой не надо решать никаких краевых задач по ходу итерационного процесса.

Если й^, л™ уже известны, то определяем и^ из соотношений «Г1 swh, (и^+1 - <, vh) + pv ((»?, фд))д — P w, Dhv^ -рСЛ^) VvAerA, (5.37) а затем л^1 опять определяется формулой (5.36). Вариационное уравнение (5.37) эквивалентно следующим уравнениям:

иГЧМ^а'й (W + pv2 (6^0 (М)- 1=1

- Р (Vrf) (М) + рЛ (М) VM € ^,(5.38)

где VA и /д были определены в (3.74).

Доказательство теоремы 5.2 может быть распространено на этот случай следующим образом. Так как Wh — конечномерное пространство, то все нормы на Wh эквивалентны между собой и, следовательно, существует константа S (А), зависящая от А, такая что

W,h^S№\«h\V«,t6Wh.(5.39)

(П\1/2

2 (W ) и будем i=i/

широко применять это замечание. Теперь, если р удовлетворяет условию

О < р < 2av/(av2S2 (А) + 1),(5.40)

то сходимость (5.33) — (5.34) имеет место также для алгоритма (5.36) —(5.37).

Доказательство точно такое же, как и для теоремы 5.2. Неравенство (5.25) заменяется следующим неравенством (ф^ = й?— йд, х^ л^1—лА):

I ^Г' 12 ~ W2 +1 ФГ1 -< I + 2pv fl ф{"+1U

=2pv ((фГ1, vT -v^ + 2р № D^') ^ 2рVI’ ФГ1LIК'1 - ®^ IIд + 2р №, Dh<0T) <2pvS(A)||®r4!A|^+1-^l + 2p(x^ Dh<or^ ■ < 6 | ФГ1 - < 12 + 5-ip2v2S2 (A) ||фГ1 IM + 2p (X?1, Dh^xY .(5.41)

Неравенство (5.27) соответственно заменяется на следующее:

alx^+ip + l^+ip—alx^p— |^р4-а(1_6)|хГ1 — ^"|2 +(1 — 6) IФГ1 — Ф|? 12 + p (2v — pv2S? (A)/5 — p/a6).

х||фГ‘|М^О.(5.42)

С учетом (5.40) неравенство (5.42) приводит к тому же заключению, что и (5.27)..

Слабо сжимаемая жидкость

Стационарные линеаризованные уравнения слабо сжимаемой жидкости имеют вид

—vA#E —е-1 grad div иЕ=/ в 2,(6.1)

ме=0 на 52,(6.2)

где б>0 „мало". Уравнения (6.1) — (6.2) являются также стационарными уравнениями Ламе из теории упругости.

Мы покажем, что задача (6.1) —(6.2) имеет единственное решение и6 для каждого фиксированного е > 0 и что ие сходится к решению и задачи Стокса при е —► 0.

Первоначально уравнения (6.1) —(6.2) использовались как „аппроксимирующие" для уравнений Стокса —один из путей преодоления трудности ,,divu=0“ состоял в том, чтобы решать уравнения (6.1) — (6.2) с достаточно малым е вместо того, чтобы решать сами уравнения Стокса. В наши дни, поскольку уже известно много эффективных алгоритмов для решения уравнений Стокса и поскольку дискретизация уравнений (6.1) — (6.2) приводит при очень малых е к плохо обусловленной матрице, можно попытаться сделать обратное: вычислить и8 для малых е, используя уравнения Стокса.

В п. 6.1 мы укажем связь между йЕ и и, а в п. 6.2 дадим асимптотическое разложение иг при е—>0. Затем в п. 6.3 мы покажем, как можно построить вычисление и8 для малых е, используя это асимптотическое разложение.

Сходимость «Е к и.

Теорема 6.1. Пусть й —ограниченная липшицева область в R". Для всякого фиксированного е > 0 существует единственный элемент а^Н^б-Д, который удовлетворяет (6.1). Если е—>0, то

ив—*и в норме Я5(2),(6.3)

—е-1 div и8 —«- р в норме L2(2),(6.4)

где и и р определены в (2.6) —(2.9) и, кроме того,

р(х) dx = 0. ,(6.5)

Доказательство. Лег«6 показать, что задача (6.1) —(6.2) эквивалентна следующей вариационной задаче:

найти ив С Н\ (2), такое что

v((tte, Ф^ + е-1 (div и8, div®) = (/, ф) Уф£Я£(2).(6.6)

Действительно, если ив удовлетворяет (6.1) —(6.2), то йЕСЯо(^) и удовлетворяет (6.6) для каждого ф £ <0 (2). По непрерывности ие удовлетворяет (6.6) также и для ф^^(2). Обратно, если

и. Е №>№) — решение (6.6), то «Е удовлетворяет (6.1) в смысле теории распределений и (6.2) в смысле теорем о следе.

Существование и единственность ие, удовлетворяющего (6.6), являются следствием проекционной теоремы: мы применяем теорему 2.2 с

Ц7 = Я2(й), а(и, v) = v((u, ®)) + 6""1(div«, div®),

</, ®> = (/, ®).

Коэрцитивность а и непрерывность а и / очевидны.

Для доказательства (6.3) вычтем (2.7) из (6.1); это дает

— vA (иЕ — tt) — 6-1 grad div «E = grad p,(6.7)

а тогда

v((«E—«, ©O + e'1 (div й8, div®) — — (p, div®) .у®ея*(й).(6.8)

Справедливость уравнения (6.8) для ®€<0(П) легко следует из (6.7); по непрерывности (6.8) удовлетворяется для каждого «>€//»Положим ®=йЕ — и в (6.8); мы получим

v||«g —н^ + е-1 | div м,.|2 = (—р, div «ЕХ | р 11 div дЕ | < (2b)-1 | div «Е [2 + (6/2) | р [2, так что

(6.9)(6.10)(6.9)(6.10)v || «Е —« ||2 + (2е)-21 div «Е |2 < (е/2) | р |2.

(6.9)

(6.10)

(6.9)

(6.10)

Этим доказано (6.3). Теперь (6.7) показывает, что д / div иЕ \др

дх/ \ v )дх;

в норме //"Чй), t= 1, . ..,п, ибо А(« — «) сходится к нулю в Я-ЧЙ), в силу (6.3). Согласно доказываемой ниже лемме,

поскольку С fp + div“R dx = 0, что следует из (6.5) и того, что и

ИЕ равняется нулю на dQ. Тем самым сходимость (6.4) доказана. □ Лемма 6.1. Пусть й— ограниченная липшицева область в R". Тогда существует константа с = с(й), зависящая только от й, такая что

1<’к-»<<№||)Н + Ё|£1-.«|<6.12)

\ Ы1 = 1)

для каждого а из £2(й).

Доказательство, Обозначим через [о] выражение в фигурных скобках в правой части (6.12); [ст] задает некоторую норму в £2(й); действительно, очевидно, что это полунорма, а если [о]=0, то ст = const (так как до/дх( = 0, i = lп) и эта константа равна нулю, поскольку § о dx = 0. Далее ясно, что существует константа с* — с' (й), такая что

[ст] С с' (Й)|оДг(й) Уо££а(й).(6.13)

Если мы покажем, что Л2(й) полно по норме [ст], то по теореме о замкнутом графике [ст] и | ст ( — эквивалентные нормы в £2(й) и (6.12) будет доказано.

Докажем, что /?(Й) полно по норме [ст]. Пусть стт —произвольная последовательность Коши в этой норме. Тогда интегралы J от dx образуют последовательность Коши в R, а производные Й daJdXj являются последовательностями Коши в Н~х (й):

Jo^dx —+ Х при т —f оо ,(6.14)

Й

~Xi ПРИ т ~*■ оо в Н-1 (й), 1 ^ I ^ п.(6.15)

Ясно, что <grad от, ф> = 0 Vy^T3 и, в силу (6.15), f = i

Согласно предложению 1.1, существует распределение ст, такое что Х{ — до1дхц l^i^n. Предложение 1.2 показывает, что ст££2(Й). Мы можем выбрать ст так, чтобы §odx — X, и легко

Й

видеть, что последовательность от сходится к этому элементу ст из Л2(й) в норме [ст]. □

Замечание 6.1. Если область й несвязна, то оценка (6.12) останется справедливой, если заменить | ^ о dx | на 2| $ а ^х |. где 62/—связные компоненты й.

й' Йу

Чтобы распространить у^ерему 6.1 на этот случай, надо просто доопределить р, положив '

J pdx = 0 уЙу.(6.16)

йу

Асимптотическое разложение для ие. Начиная с этого места, будем обозначать решение задачи Стокса, удовлетворяющее (6.5), через ий, р6 (вместо «, р). Покажем, что ив имеет

асимптотическое разложение

(6.17)(6.17)й. == й" + ей1 + еаи2 Ч+ е^й^Ч- ...,

(6.17)

(6.17)

где все я' принадлежат НЦй).

Функции и* и некоторые вспомогательные функции р1 определяются рекуррентно следующим образом:

й°, рй уже известны;(6.18)

если ит~х, рт-1 Im-^ 1) известны, то а”, рт определяются как решение неоднородной задачи Стокса

ит£Щ^, pm^L4^,(6.19)

— ч&ит Ч-grad рт = 0,'(6.20)

divfl'”= — р”-\"(6.21)

Jpmdx = O.(6.22)

J div ftm+l dx = ^ am+1v dr = 0 — J рт dx. ягяJ div ftm+l dx = ^ am+1v dr = 0 — J рт dx. ягя(6.23)(6.24)(6.25)(6.23)(6.24)(6.25)Существование и единственность ит, рт следует из теоремы 2.4. Условие (6.22) полезно в двух отношениях: оно гарантирует единственность рт, которое в противном случае было бы единственно лишь с точностью до аддитивной постоянной; оно гарантирует также условия согласования, необходимые для (/иЧ-1)-го шага: .

J div ftm+l dx = ^ am+1v dr = 0 — J рт dx. ягя

J div ftm+l dx = ^ am+1v dr = 0 — J рт dx. ягя

(6.23)

(6.24)

(6.25)

(6.23)

(6.24)

(6.25)

Обозначим через ttg, ре, N^i, величины 'N

_ аё = 2 6m«m, т=0

N

Рг = 2 ^Р”*- т=0

Теорема 6.2. Пусть ft — ограниченная область класса ^2 в R". Тогда для каждого т^ 1 существуют однозначно определенные функции ит, рт, удовлетворяющие соотношениям (6.19)— (6.22). Для каждого N ^ 0 при е 0

е-Л,(йе —й") —0 в норме H^ift},(6.26)

ег^—б-1 div иг — ре) —* 0 в норме L^^ft).(6.27)

Доказательство. Существование и единственность уже были установлены выше. Умножим (6.20) на е”, т = \, ..., N, и сложим все эти уравнения. Затем прибавим к полученному уравнению уравнение, которому удовлетворяют в0 и р° (раньше обозначав-

шиеся через и и р); — vA«° + grad р° =f. В результате получим — м^йг — е-1 grad div tig = f—aNgrad рЛ.

Сравнивая с (6.3), находим, что

а£-и^Н\^ PN^L4^,(6.28)

— vA (ие —а") —е"1 grad div («. — fl") = 8-^ grad pN. (6.29)

Как и при доказательстве (6.8), убеждаемся, что (6.29) эквивалентно уравнению

v((flE—и", y^H-e-^div (flt — и^, div®)

= - е" ^n, div ®) V® £ Щ (Q).(6.30)

Полагая ® = де —й'Е в (6.30), получаем

v |1 ц8— и^ |i2 + е"11 div (йР — fl") ]2 = — ?N (Р*, div (й6 — и")) <е^pN 11 div (не — й^) | ^ (2е“1) | div (flE — fl") |2 +

.+(e2^+1/2)|p"|2,

так что

VII Йе - иУ |,2 + (2s)-11 div (af - и")|2 с (e2^v+V2) I р"|2. (6.31)

Из неравенства (6.31), очевидно, следует соотношение (6.26).

Из него в свою очередь вытекает, что (1/е-") А (и6 — й£) —► 0 в ^-1(й), поэтому (6.29) показывает, что

^.^div№-«?)-^ в Я--(О). 1«<«. (6.32)

Но

— е-1 grad div и" =—е-1 2 е® grad div й® m = l

N

= е-1 2 е® grad р®-1 = grad (р"— е"'рЛ'), т = 1"

откуда, с учетом (6.32), следует, что,

_Ldiv«e_Q в я-1 Q,

едг дх, \ рv / г

Наконец, (6.27) есть'следствие (6.22), (6.25) и леммы 6.1. □

Замечание 6.2. Замечайие 6.1 легко распространяется на теорему 6.2; а именно, эта теорема справедлива и для несвязной области Q, если заменить условие (6.22) на условие

р® dx = о(6.33)

pa каждой связной компоненте Qy области Q.

Замечание 6.3. Дискретный вариант теоремы 6.2 был дан Фолком [1J.

Численные алгоритмы. Наметим вкратце, как можно распространить алгоритмы, описанные в п. 5, на случай неоднородной задачи Стокса (6.19) — (6.22); решение этой задачи —в данный момент единственное препятствие для практического вычисления асимптотического разложения (6.17) для ut.

Рассмотрим лишь алгоритм Удзавы. Несколько изменяя наши обозначения, запишем задачу (6.19) —(6.22) следующим образом:

найти *о, р, такие что

«б^М pGL2^,(6.34)

vAy + grad р = 0,(6.35)

div у -ф,(6.36)

Jp(x)dx = 0,(6.37)

" й где ф удовлетворяет условию

^(x)dx = 0.(6.38)

я

Существование и единственность у и р уже известны.

Алгоритм начинается с произвольного

p°GL2(Q), такого что Jp°(x)dx = 0.(6.39)

о

Если рт найдено, то определяем ym+1 (m^O) из соотношений фт+1ЕЯ1 (Q), v((ym+1, w)) — (рт, div w) = 0 УдДЯ^Й),(6.40)

^рт*\_ рт, 0) + p(divvm+1 — ф, 6) = 0 0€Л2(й).(6.41)

Уравнение (6.40) — это задача Дирихле для

®т+1€Я; (Й),

vA^+i^ — grad^C^-^Q),(6.42)

и (6.41) непосредственно дает рт*Т-.

p”,+1 = pm—p(div»”+i —ф)€12(Й).(6.43)

Заметим, что

Jpmdx = O Vm>0.(6.44)

Как и в случае теоремы 5.1 (см. также замечание 5.1), можно доказать следующий результат.Теорема 6.3. Если число р удовлетворяет условию0 < Р < 2v,(6.45)то vm+i сходится при т-^оо к ф в норме Я^Й), а р™*1 сходится к р слабо в £2(й).Как и в случае теоремы 5.1 (см. также замечание 5.1), можно доказать следующий результат.Теорема 6.3. Если число р удовлетворяет условию0 < Р < 2v,(6.45)то vm+i сходится при т-^оо к ф в норме Я^Й), а р™*1 сходится к р слабо в £2(й).й

Как и в случае теоремы 5.1 (см. также замечание 5.1), можно доказать следующий результат.

Теорема 6.3. Если число р удовлетворяет условию

0 < Р < 2v,(6.45)

то vm+i сходится при т-^оо к ф в норме Я^Й), а р™*1 сходится к р слабо в £2(й).

Как и в случае теоремы 5.1 (см. также замечание 5.1), можно доказать следующий результат.

Теорема 6.3. Если число р удовлетворяет условию

0 < Р < 2v,(6.45)

то vm+i сходится при т-^оо к ф в норме Я^Й), а р™*1 сходится к р слабо в £2(й).

ГЛАВА II

СТАЦИОНАРНЫЕ УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ—СТОКСА

Введение

В этой главе мы будем заниматься стационарными уравнениями Навье — Стокса; рассмотрения ведутся с той же точки зрения, что и в предыдущей главе, т. е. нас интересуют существование, единственность и численная аппроксимация решения. Тем не менее имеются три важных отличия от линейного случая; это:

— введение методов компактности. Для перехода к пределу в нелинейном члене нам нужны результаты о сильной сходимости. Они будут получены из соображений компактности.

— некоторые технические трудности, связанные с нелинейным членом и неравенствами Соболева. Следствие этих трудностей —• такая трактовка уравнений, которая слабо меняется в зависимости от размерности пространства.

— вообще говоря, неединственность решения. Единственность имеет место, только когда „исходные данные достаточно малы" либо „вязкость достаточно велика".

В § 1 мы опишем некоторые теоремы существования, единственности и регулярности в различных ситуациях (ограниченные и неограниченные области й, однородные и неоднородные уравнения и т. д.). В п. 2 мы докажем дискретные неравенств Соболева и дискретные теоремы о компактности для пространст ступенчатых функций, рассмотренных при аппроксимации (АПР1? пространства V (аппроксимация с помощью конечных разностей) и для несогласованных конечных элементов, фигурирующих в аппроксимации j(AHP5) пространства V. Аналогичные результаты для аппроксимаций (АПР2) — (АПР4) будут следствием теорем, доказанных в непрерывном случае. В § 3 мы займемся аппроксимацией рассматриваемой стационарной задачи — дискретизацией и решением дискретизированных задач. Цель §4 —дать пример неединственности решения стационарных уравнений Навье—Стокса. Доказательство основано на рассуждениях, связанных с понятием топологической степени. Этот параграф по существу не зависит от предыдущего изложения.

' § 1. Теоремы существования и единственности

В настоящем параграфе мы получим некоторые результаты о существовании и единственности для стационарных (нелинейных) уравнений Навье—Стокса. Теоремы существования будут получены с помощью построения приближенных решений для этих уравнений методом Галёркина и последующего перехода к пределу, как в линейном случае. Как уже было сказано, для перехода к пределу нам нужны, в нелинейном случае, некоторые результаты о сильной сходимости; они будут получены при помощи методов компактности.

В п. 1.1 мы напомним неравенства Соболева и некоторые теоремы о компактности в пространствах Соболева; эти теоремы являются основой метода компактности. В п. 1.2 мы дадим вариационную формулировку для однородных уравнений Навье—Стокса (т. е. уравнений Навье—Стокса с однородными краевыми условиями); будут изучены некоторые свойства нелинейной (трилинейной) формы, которая фигурирует в вариационной формулировке. Затем мы дадим весьма общую теорему существования и довольно ограниченный результат о единственности. В п. 1.3 рассматривается случай, когда область Q неограничена и доказываются результаты о регулярности решений. Наконец, п. 1.4 посвящен неоднородным уравнениям Навье — Стокса.

.7. Неравенства Соболева и теоремы о компактности.

Теоремы вложения. Мы напомним теоремы вложения Соболева, которые, начиная с этого места, будем часто использовать. Пусть т — некоторое целое число, а р — произвольное число, большее или равное единице, р^ 1. Тогда если \/p — mjn= 1/q > О, то пространство ^“'^(R") вложено в М (R"), причем вложение непрерывно. Если и ^ Wm*р (R") и \/р — т/п = 0, то и принадлежит £« (6) для любой ограниченной области 6 и любого q, l^q < оо. Если \/р — т/п<0, то всякая функция из Wm,P (R") почти всюду совпадает с некоторой непрерывной функцией; такая функция принадлежит также к соответствующим классам Гёльдера или Липшица, но здесь эти свойства использоваться не будут; если данная функция принадлежит U7”.f(R") с 1/р— mjn < 0, то ее производные порядка а принадлежат Wm-a- p(R") и для этих производных справедливы теоремы вложения, аналогичные предыдущей, если 1/р — (т—а)/п>0.

Для u g lFm'P(Rn), m^ 1, 1<р<оо,

если l_£L = l>o, To|u|Ly(R„)^c(m,p,n)MiF-”..P(R»)l

если-1—^=0, то lulLe(0)<G(m, р, п, q, 0)|wД^ш./,(RW)

Р. Темам

для любой ограниченной области 6aRn и любого q, 1 =С q < оо;(1.1)

если 1—^<0, то |u|go(6)Cc(m, п, р, 6) || и ||„,ш. F (RR) для любой ограниченной области 6 с К”.

В случае когда Й— произвольная открытая область в R", результаты, аналогичные (1.1), обычно можно получить, если й достаточно гладка, а именно если

существует непрерывный линейный оператор продолжения

П€^(^т'р(Й), rm^(Rn)).(1.2)

Свойство (1.2) выполняется, например, для всякой локально- липшицевой области Й. Если (1.2) выполнено, то утверждения (1.1), примененные к Пи, и С 1^”’р (й), m^l, 1<р<оо, дают:

если= — > О, р п q ’

то I “ V^ №)^с(т,р,п, Й)|| и Ц^^р (Q);

если=0, P п ’'

то I ы II* (6) ^ с <т' Р’ п> Ч' 6> Q) IIи L™. р (й)

для любого q, 1 ^<7 < оо, и любой ограниченной

области 0сЙ;(1.3)

если< 0, р п '

то l“lgo(0)<c(m, р, п, q, Й, 6)||u||U7m,^(Q) для любой ограниченной области бей.

Если u£Wm> р (Й), то функция и, равная и в й и нулю в СЙ, принадлежит We- р (Rn), и, следовательно, утверждения (1.3) имеют место без каких-либо предположений относительно й.

Особый интерес для нас представляет случай р = 2, т=1. т. е. случай пространства /7£(й). Не требуя никаких свойств регулярности от й, мы имеем для и^.Н\^

П = ^" \U\L^<C^, 6. Й)И«Ц(й)

для любой ограниченной области 6сЙ и любого q, l^q < оо;

и = 3: | и|£.(я) <с(Й)||и||н1(й);(1.4)

п — 4. | u It* (й) ^ с (Й) || и ||д1(др

П^ 3: | U | ал/(п-2) ^с (й)|| н||н1(й)-

Теоремы о компактности.

Теорема 1.1. Пусть й— произвольная ограниченная открытая область в R”, удовлетворяющая условию (1.2). Тогда вложение

Wi'P{Q)cL<W)(1.5)

компактно для любого qv \ <_qx< оо, если р~^п, и для любого qt, 1 ^^ < А (г0е q задается условием \!р— 1/п = !/<?), если \<_р<п. При тех же значениях р и qv вложение

I^1'/’(Q)c:L«i(Q)(1.6)

компактно для любой открытой ограниченной области Й.

В качестве частного случая теоремы 1.1 отметим, что для любой неограниченной области й, если и g W1' р (й), то сужение и на всякую ограниченную область 6, удовлетворяющую условию 6 сбей, принадлежит 7Л (6) и это отображение сужения

l^i. р (Й)L«, (Й)(1.7)

компактно (значения р и qv те же).

Что касается указанных выше свойств пространств Соболева, то читатель отсылается к литературе, приведенной в § 1, гл. I (см. также в конце книги комментарии к гл. I).

Однородные уравнения Навье — Стокса. Пусть й — липшицева ограниченная открытая область в R” с границей Г и / t L2 (й) — заданная вектор-функция. Мы ищем вектор-функцию u = ^uv ....и^ и скалярную функцию р, представляющие скорость и давление жидкости, которые определены в й и удовлетворяют следующим уравнениям и граничным условиям:

—vAn + 2 a,O2a + grad р =f в й,(1.8)

div и = 0 в й,(1.9)

й = 0 на Г. _(1Ю)

Точно так же, как в п. 2.1 гл. I, если /, «, р — гладкие функции, удовлетворяющие (1.8)—(1.10), то U^V и для каждого® 5^

у((й, v)) + b(u, и, v) = (f, ®),(1.11)

где.

Ь^и, ®, w)= 5 \ttADi,D^‘U)jdx.(112)

t. i=i Q

Далее, соображения непрерывности показывают, что уравнение (1.11) удовлетворяется для любого у gV. Обратно, если й —функция из V, такая что (1.11) имеет место для каждого v^V, то, в силу предложения 1.3 гл. I. существует распределение р, для

которого удовлетворяется (1.8), а (1.9)—(1.10) будут выполнены, поскольку tt^V.

Для а и <о из V выражение b (и, а, г») не обязательно имеет смысл, и поэтому вариационная формулировка задачи (1.8)—(1.10) не совпадает в точности с формулировкой „найти a g И, такое что (1.11) имеет место для каждого d£V“. Она будет немного отличаться от нее, и мы выясним, в ч м это отличие заключается после того, как изучим некоторые свойства формы b(u,v, w).

Введем сначала следующие пространства:

V—-замыкание Т3 в Но (й) Л Ln (й);(1-13)

конечно же, НХ (й) П Ln (й) и V наделяются нормой

11ИЦ(Й) + 1И1£"(Й)-(1-14)

Вообще говоря, V — подпространство в V, отличное от V, но, в силу (1.4), V = V для п = 2, 3, 4 (в случае когда область й ограничена);

Vs — замыкание Т3 в Но (й) Л № (й) (s^ 1);(1-15)

(1.16)(1.16)опять подразумевается, что Яо (И) Л №(^) и ^$ наделены гильбертовой нормой

(1.16)

(1.16)

^Ий На* (й) + IIи Паца) |1/2»

V, вложено в V.

Трилинейная форма Ь. Форма b трилинейна и непрерывна на различных комбинациях пространств V, V, V,. Наиболее подходящим для нас результатом относительно этой формы является следующий результат, не зависящий от каких-либо свойств й. Лемма 1.1. Форма b определена, трилинейна и непрерывна на ННТухНН^У'/Л^Л^^Ь"^^ независимо от того, ограничена или неограничена область й и какова размерность пространства R". Доказательство. Если a, v^V и w€V, то, согласно (1.4), при п 3

и^и^-^Цау Ор^Ь1^, Wj^Ln{Q), 1<1, /<п.

ВВсилу неравенства Еёльдера, ut(J)tD^48)j принадлежит £* (й) и

В

В

iDiDj-aijAx <iDiDj-aijAx <I И; |z zn/(n-2)(fi) I DzVy U2(Q) I ^>j k*WI И; |z zn/(n-2)(fi) I DzVy U2(Q) I ^>j k*W(1.17)(1.17)

iDiDj-aijAx <

iDiDj-aijAx <

I И; |z zn/(n-2)(fi) I DzVy U2(Q) I ^>j k*W

I И; |z zn/(n-2)(fi) I DzVy U2(Q) I ^>j k*W

(1.17)

(1.17)

Поэтому b ^u, ф, w) определено и.

W’*0’ W)| ^С(п)[]«иягх(£1)||®|]//, (Q)[Jw!|^i(0) n£n(Qr (1.18)

Форма b, очевидно, трилинейна, a (1.18) гарантирует ее непре-

рывность. В случае и = 2 мы имеем тот же результат (/Д (й) П Л L2 (й) =/71 (й)), только (1.17) надо заменить на

^ UiDiVjWj dxQ^ UiDiVjWj dxQ< I Ui |l«№) I D^j Ilhs) I ^ k*(Q).< I Ui |l«№) I D^j Ilhs) I ^ k*(Q).(1.19)(1.19)

^ UiDiVjWj dx

Q

^ UiDiVjWj dx

Q

< I Ui |l«№) I D^j Ilhs) I ^ k*(Q).

< I Ui |l«№) I D^j Ilhs) I ^ k*(Q).

(1.19)

(1.19)

В частности, справедлива

Лемма 1.2. Для произвольной открытой области й форма b есть трилинейная непрерывная форма на Vx^xV. Если й ограничена и п ^4, то b— трилинейная непрерывная форма на VxVxV.

Мы докажем, когда потребуется, и некоторые другие свойства формы Ь, аналогичные приведенным выше; доказательство всегда такое же, как и для леммы 1.1 (используются неравенство Гёль- дера и теорема вложения (1.4)).

Обозначим через В (а, У), и, УЕ//?(Й), линейную непрерывную форму на V, определенную следующим образом:

<В(а, у), ту> = Ь(а, у, ту), и, ф^НЦЙ), Vw^V. (1.20)

Для случая а = Ф положим

В^=В(и, а), «€/№)■(1-21)

Другое фундаментальное свойство формы b таково: Лемма 1.3. Для любой открытой области й

Ь(и, Ф, у) = 0 V«€V, ©€ЯО1(Й)П£П(Й),(1.22)

Ь(и, у, ту) = — &(«, w, Ф^и^У, ф, ту € ^о(^) П ^п'(й).

(1.23)

Доказательство. Свойство (1.23) вытекает из (1.22) (надо заменить у на у 4-ТУ и воспользоваться полилинейностью 6). Докажем (1.22). Достаточно установить это равенство для «gT3 и у€<0(^)- Но для таких и и у

J UiDiVjVj dx = J UtDi ~- dx = — у J DiU, (yy)2 dx, aaa

b(u, v, y) = — у У, Cdiva(yy)2dx = 0. □(1-24)

/=1 a

Вариационная формулировка. Для ограниченной области й и произвольного п сопоставим задаче (1.8)—(1.10) задачу

найти и^У, такое что

v((u, ф)) + Ь(и, и, ф) = (/, ф) Уф^У(1-25)

(f — заданный элемент из Ь2(й)). Из (1.11) и (1.13) ясно, что если и и р — гладкие функции, удовлетворяющие (1.8)—(1-10),

то и удовлетворяет (1.25). Обратно, если u^V удовлетворяет (1.25), то

( —vA« + 2«zD<tt—/> ®) = ° V©^^,(1.26)

^и^Н"ЧЙ\ /ЕЬЧ^ и щОщ £ V (й) (l/n( = 1 - 1/п), поскольку Ui £ L"^-^ (й), в силу (1.4), и ПщС; I? (й). Далее, согласно предложениям 1.1 и 1.2 гл. I, существует распределение р€^1ос(й)', такое что (1.8) удовлетворяется в смысле теории распределений, а тогда (1.9) и (1.10) удовлетворяются соответственно в смысле теории распределений и теоремы о следе.

Теорема 1.2. Пусть й—ограниченная область в R" и f—заданный элемент из Н~х (Й). Тогда задача (1.25) имеет по крайней мере одно решение u^V и существует распределение р€Ц>с(й), такое что уравнения (1.8) — (1.9) удовлетворяются.

Доказательство. Нам надо только доказать существование а; существование р уже было установлено и интерпретация (1.8)—(1.9) была дана. Существование и докажем методом Галёркина — построим некоторое приближенное решение задачи (1.25), а затем перейдем к пределу.

Пространство V сепарабельно как подпространство в ЛНЙ). В силу (1.13), существует последовательность wn ..., wm, ... линейно-независимых элементов из Т3, которая тотальна в V. Эта последовательность линейно-независима и тотальна также и в V.

Для каждого фиксированного целого т ^ 1 определим приближенное решение ит задачи (1.25) с помощью соотношений

т

am=S^.mw„E,,m€R.(1.27)

(=i

ЧФ», wk)) + b(Um, ит, <ц>^ = <^ w^>, к = \т. (1.28) Уравнения (1.27) —(1.28) представляют собой систему нелинейных уравнений относительно ^, „, • ••Ат,т1 и хотя существование решения этой системы не очевидно, оно вытекает из следующей леммы.

Лемма 1.4. Пусть X—конечномерное гильбертово пространство со скалярным произведением [., .] и нормой [•], и пусть Р—непрерывное отображение X в себя, такое что

Р (I), 5] > ^‘для [|] = к > 0.(1.29)

Тогда существует элемент Е£Х с [Е]^&, для которого

Р<^=0.(1.30)

Доказательство леммы 1.4 последует за доказательством теоремы. Мы применим эту лемму для доказательства существования ит следующим образом. Возьмем в качестве X пространство, натянутое на w,, ...,wro; скалярным произведением в X пусть будет скалярное произведение ((•, • );, индуцированное из V, а Р = Рт определим так:

[Рт (я), у] = ((Р„ (я), у)) = v ((я, у)) + Ь (и, и, у) -(/, у) Чи, -о^Х.

Непрерывность отображения Рт очевидна; покажем, что выполнено (1.29):

VPmW, и^ v;|«||a + &(B, и, я) —</, я> —(в силу (1.22)) = VI] ЯI!2 — </, я> > VIIЯ f—II/^-Jl я II,

[Р^я), я]>ИИя|Н1/1к(1.31)

Отсюда следует, что [Р„ (я), я] > 0 для j| я J = й, если к достаточно велико (точнее, если А > (1/v) .1/1]^). Предположения леммы 1.4 выполнены, и, значит, существует некоторое решение ит уравнений (1.27)-(1.28).

Переход к пределу. Умножим (1.28) на Чи,т и сложим получающиеся равенства для к — 1, . .., т. Это дает ■

V||tt,J2 + l>(«m, «1». «т) = </- «»>.

откуда, ввиду (1.24),

v||mJ2 = </, аиХ1/к II «Л

Отсюда получаем априорную оценку

II^Kv-1!!/^.(1.32)

Так как последовательность я„ остается ограниченной в V, то существуют такое и 6 V и такая подпоследовательность т* —*оо, что

и,П’ —* я в слабой топологии V.(1.33)

Теорема 1.2 о компактности показывает, в частности, что вложение V в L2 (й) компактно; следовательно,.

Нт- —* я в норме £2(й). '(1-34)

Примем временно на веру следующую лемму.

Лемма 1.5. Если и^ сходится к и слабо в V и сильно в £2(й), то

b (Яц, Яц, у) —> b {и, и, у) Vy € ’Р.(1.35)

Тогда мы можем перейти в (1.28) к пределу по подпоследователь-

ности /п'—>оо. Из (1.33) — (1.35) вытекает, что

v ((я, ©)) + b (и, и, -о^ = </, т>(1.36)

для любого ® = wn . ..,гу„, ... . Равенство (1.36) справедливо также для любого V, которое является линейной комбинацией Wd ...,W„, ... . Так как эти комбинации плотны в V, то соображения непрерывности показывают, что (1.36) имеет место для каждого ©gV и что я—-решение задачи (1.25). □

Доказательство леммы 1.4. Эта лемма —простое следствие теоремы Брауэра о неподвижной точке. Предположим, что Р не обращается в нуль в шаре DcX с центром в 0 и радиусом к. Тогда преобразование Е >—> S (е) =— feP(£)/[P(£)] отображает/) в себя и является непрерывным. Из теоремы Брауэра вытекает, что S имеет неподвижную точку в 7): существует точка Ео € /), такая что — кР (£0)/[Р (^о)] = ^о-. Если мы возьмем норму от обеих частей этого равенства, то увидим, что [^0] = й, а если умножим обе части равенства скалярно на £0, то найдем, что [£0]2 = &2= *=—^(ЕоШ/^О. Это равенство противоречив (1.29), и, таким образом, Р (|) должно обращаться в нуль в некоторой точке шара D. □

Доказательство леммы 1.5. Легко показать, как и в случае (1.22)— (1.23), что

6(ЯЦ, Яц, ®) = —Ь(Яц, ®, Яц) = — 2 \ tty,. Up,, D{*D; йх.

t.i=lQ '7

Но Яц; сходится к Ui сильно в L2 (Q); так как D^j б L” (Q), то легко проверяется, что

5 Яц. Яц D^, dx —> ^ UiUjDiVj dx.

a '7a

Следовательно, b (Яц, *0, u^ сходится к b (я, ®, я) = — b (я, я, ®). □ Единственность. Что касается единственности, то мы имеем лишь следующий результат:

Теорема 1.3. Если п^4 и v достаточно велико или / „достаточно мало", так что

^>с(п^(1-37)

то существует единственное решение и задачи (1.25).

Константа с(п) в (1.37) —это константа с(п) из (1.18); ее оценка связана с оценкой констант в (1.4); последняя дана, например, у Лионса [1].

Доказательство. Мы можем положить р = и в (1.25), так как V ^V для п^4; учитывая (1.22), получим

*М-<Л«>^11/И«4(1.38)

так что всякое решение и задачи (1.25) удовлетворяет неравенству ||»Kv-*|i/||w.(1.39)

Пусть теперь я, и «„—два различных решения задачи (1.25), и пусть « = «»—«„. Вычтем друг из друга уравнения (1.25), соответствующие я, и »„. Получим

v ((я, ©)) 4- b (я„ я, ®) + b (я, «„ ©) = О V© g V. (1.40)

Взяв ф = « в (1.40) и снова используя (1.22), приходим к равенству v [| я ]|2 = — Ь(я, я„я). Вместе с (1.18) и (1.39) это дает (для « = «„)

V ||«II2 ^ С (п) II я II2 II и. II < (с (n)/v) 11/Ц^ || и II2, (V - (г (»)/v) ||/||w)|| я II2 <0.

Ввиду (1.37) отсюда следует, что ||я|| = 0, т. е. Я« = Я„. □

Замечание 1.1. Решение задачи (1.25), вероятно, неединственно, если (1.37) не выполняется, или по крайней мере неединственно для достаточно малых v (при фиксированном /). Результат о неединственности для малых v будет доказан в § 4 для задачи, очень похожей на (1.25).

Замечание 1.2. Для п>4 теорема 1.2 гарантирует существование решения и задачи (1.25), удовлетворяющего (1.39); действительно, оценки (1.32) и (1.33) дают

(l«|l< lira ||am'||^v-||/||v,.(Ь41)

Тем не менее доказательство теоремы 1.3 нельзя распространить на этот случай; (1.40) имеет место для каждого т^У, и нельзя взять d = U.

1.3. Однородные у равнения Навье—Стокса (продолжение).

Неограниченный случай. Мы можем изучить случай неограниченной области Q, используя те же пространства, что и в п. 2.3 гл. I. Напомним, что

У —пополнение пространства Т3 в норме || • ||.(142)

Рассмотрим также пространство У:

У —замыкание Т3 в пространстве УЛЬ"(П), (1-43) снабженном нормой

||и|| + ||як<а)./(1.44)

Напомним, что, в силу леммы 2.3 гл. $, для п|>3 имеет место непрерывное вложение

Ус {я €£“(&), О£и^ЬЦ^, l^i^n},(1.45)

гдегде

где

где

(1.46)(1.46)а = 2п/(п —2).

(1.46)

(1.46)

Так как область й неограничена, то пространства £?(й) не убывают с возрастанием у, как в ограниченном случае, и Y^Y даже для п ^4. Лемму 1.2 нельзя распространить на неограниченный случай; тем не менее справедлива

Лемма 1.6. Для п^З форма b определена, трилинейна и непрерывна на Y xY xY и

(1.47)(1.47)b (я, v, ®) = 0 Ум € У, я £ У

(1.47)

(1.47)

b (я, «о, ги^ — Ь^и, w, v) Vu^Y, ®, тобУ. (1.48)

Доказательство. Для н^З выполняется неравенство (1.17); поэтому для a, v^Y, го СУ мы имеем

^ UiD/Dj W/dx й^ UiD/Dj W/dx й^с||и||у ИЦу II Ий^с||и||у ИЦу II Ий

^ UiD/Dj W/dx й

^ UiD/Dj W/dx й

^с||и||у ИЦу II Ий

^с||и||у ИЦу II Ий

так что

| Ца, D, го)|<с(п)||я||у||г>|Иго||т.(1,49)

Соотношения (1.47) и (1.48) доказываются теперь точно так же, как (1.22) и (1.23): мы проверяем их для и, 1), w£V\ а затем переходим к пределу. □

Вариационная формулировка задачи (1.8) —(1.10) для случая неограниченной области й и п^ 3 такова:

найти tt^Y, такое, что

v((a, ф)) + Ь(я,я, ®)=</, У> У®£У.(1.50)

Теорема 1.4. Пусть й— открытая область в R", п^З, и пусть f—заданный элемент из У' — пространства, сопряженного к У. Тогда существует по крайней мере один элемент u^Y, удовлетворяющий (1.50).

Доказательство. Доказательство очень похоже на доказательство теоремы 1.2 (ограниченный случай). Существует последовательность wn • • •, wm, ..,, линейно-независимых элементов из V3, которая тотальна в У, а следовательно, и в У; эта последовательность необязательно та же, что и прежде. Определим приближенное решение ит с помощью соотношений

(1.51)

V((»„, «>»)) + &(«,,, tlm, wk) = <f, w^k^l, ..., m. (1.52) Существование um, удовлетворяющего (1.51) —(1.52), устанавливается в точности так же, как и выше, с использованием лем-

мы 1.4. Мы имеем априорную оценку, аналогичную (1.32):

"МК^ЧЛу’ (Н —норма в У).(1.53)

Поэтому существуют такая подпоследовательность т' —»оо и такой элемент я€^, что

Ят—* я слабо в Y.(1-54)

Доказательство завершается, как и в ограниченном случае, за исключением перехода к пределу в нелинейном члене b (йт-, йт-, у); неверно, что ят- сильно сходится кив £2(й), поскольку, вообще говоря, я даже не принадлежит £2(Й)(У ф L2 (й)). Однако справедлива следующая лемма. □

Лемма 1.7. Если йи слабо сходится к а в Y, то

b («ц, Иц, У) — b (я, и, у) Vy € ^(1.55)

Доказательство. Мы можем показать, что

(1.56)(1.57)(1.56)(1.57)яц— я сильно в £?ос(й), т. е. что

(1.56)

(1.57)

(1.56)

(1.57)

Яц—♦ Я в L2 (б)

для каждой ограниченной области бей. Действительно, пусть ф€^>(К"). ip = 1 на 6, и пусть й'— какая-нибудь ограниченная подобласть в й, содержащая носитель ф. Тогда функции фя№ принадлежат НЦЙ1'), и поскольку яц слабо сходится к я в У, то фЯц —► фя слабо в ^(й'). Следовательно, ф«ц —»-фя сильно в £2(й'); поэтому мы имеем

J | яи — я |2 dx < J фа | яц —я |а dx —► О,

6

откуда и следует (1.57).

Так как я, сходится к я в норме 1? на носителе функции у, то сходимость (1.55) теперь . доказывается, как в ограниченном случае:

Ь(й», я(1, У) = —6(яц,у, яи)-*—6(я,У, tt) = b (я, я, y).Q

Замечание 1.3. (i) Для п = 2 элемент и из К не принадлежит, вообще говоря, никакому пространству I? (И). По этой причине доказательство леммы 1.6 не проходит и b не определено на YXYXY.

Мы можем заменить задачу (1.50) следующей задачей: найти а^У, такое что

v((a, с))+& (и, и, »’) = </, о> vc^^-

То же самое доказательство, что и для теоремы 1.4, показывает, что такой элемент и существует для любого заданного / из У1.

Поскольку Y ^Y (ни при каких л), то нельзя положить т = и в (1.50) Следовательно, доказательство теоремы 1.2 не распространяется на неограниченный случай даже для л <4.-

Регулярность решения. Если размерность п не больше трех, то мы можем получить некоторую информацию относительно произвольного решения и задачи (1.25) или (1.50) посредством повторения следующей простой процедуры. Та информация относительно я, которой мы уже располагаем, дает нам некоторые п

свойства регулярности нелинейного члена ^и^д. Запишем «=1

8) —(1.10) в таком виде:

п

— vAn + gradp=/—2 а^и в й,(1.58)

1=1

div я = 0 в й,(1.59)

я = 0 на Г;(1.60)

используя имеющиеся в нашем распоряжении свойства регулярности / и предложение 2.2 гл. I, мы получаем новую информацию о регулярности и. Если вновь полученные свойства и будут лучше, чем прежде, то мы можем повторить процедуру.

Докажем, например, следующий результат:

Предложение 1.1. Пусть й—открытая область класса Я™ в R3 или R3, и пусть / задано в # ” (й). Тогда любое решение (я, р} задачи (1.8) —(1.10) принадлежит (Й)х4о~ (й).

Доказательство. Начнем со случая, когда область й ограничена. пп

Нелинейный член 2 и^^ равен 2 ЙДЯ/Я), ввиду (1.59). Если и = 2, то я, принадлежит Л“(й) для любого a, l^a<-j-oo (в силу (1.4)), а значит я,Я/ принадлежит Еа(й) и Di(uiuj') принадлежит W-1- “(й) для любого такого а,. Предложение 2.2 гл. I показывает, что и тогда принадлежит U71’ “ (й), а р принадлежит £“(й) для любого а. Для а> 2 мы имеем IP' а(й) с: L” (й) (это следует из (1.3)); следовательно, я.-П/Я € L® (й) Для любого а. Поэтому предложение 1.2.2 показывает, что я£Ж2'а(й), р ^ IP- “ (й) для любого а. Легко проверить, что и^^ € W11 “ (й), так что agW3’a^). Повторяя эту процедуру, мы находим, в частности, что ,.

я€№(й), ^//“(й) для любого т>1.(1.61)

Те же свойства имеют место для любой производной от я или р* из (1.3) вытекает тогда, что любая производная от я или р принадлежит *6 (й), а это и утверждалось.

Для п = 3 заметим, что Я;€Ь®(Й) (в силу (1.4)), а потому UiDiUj € L^1 (й). Из предложения 1.2.2 следует, что я€^2, 8/2 (й); но (1.3) показывает, что я€Ьа(Й) для произвольного а, 1^а< < + оо (р = 3/2, т = 2, п — 3). Следовательно, Dt (utUj) С l^-1, “(й)

для любого а, и вам остается только повторить доказательство, данное для п=2.

Если й неограничена, то мы получим ту же самую гладкость на любом компактном подмножестве й, применяя описанный выше метод к -фи, где ф —некоторая срезающая функция, ф£/Э(Ки), ф=1 на рассматриваемом компактном подмножестве й. □

Замечание 1.4. (i) Ясно, что можно предположить меньшую гладкость / и получить меньшую гладкость и и р.

Для п^4 этот метод не проходит. Например, для ограниченной области О и п=4, если записать нелинейный член в виде Dj^Uiti), то мы имеем только UiUj ^L' (fi), Di (и^и^Н-1 (Q), так что u^Ho^Q); если записать нелинейный член в виде aiDiU, то мы имеем и^и ^.L^ (Й), так что H^IV2’ 4/3 (Й); но это не дает ничего лучшего, чем «,£L4 (Й), Dpty£L? (О), . что мы знали и раньше.

.4. Неоднородные уравнения Навье — Стокса. Пусть й — открытая ограниченная область в R". Рассмотрим теперь следующую неоднородную задачу Навье—Стокса: пусть заданы две вектор-функции / и ф, определенные соответственно на й и на Г и удовлетворяющие некоторым условиям, которые будут уточнены позже; найти и и р, такие что

—vA« + 2 utDiUA-grad p—f в й,(1.62)

/=i

div «= О в й,■(1.63)

и = <р на Г.(1-64)

Будем предполагать, что й — область класса to2, / задано в Н-1^), а ф задано в следующем"слегка ограничительном виде':

Ф = гоЦ,(1.65)

где

^^(й), D^€L”(Q), ^L”(Q);.(1.66)

rot обозначает обычный оператор ротора для п = 2, 3, а для п^4 — некоторый линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами, такой что div (rot £) = О2.

' Ср. с условием (2.1) и замечанием 2.1 из приложения I.

142

Теорема 1.5. При указанных выше предположениях существуют такой элемент и^Н^ и такое распределение р на й, что имеют место (1.62) —(1.64). 1

Доказательство. Пусть ф — произвольная вектор-функция, принадлежащая № (ЗД П L" (ЭД, такая что .

Ф € Я1 (Q) Л L" (й), div -ф = 0 в й, ф=ф на Г. (1.67)

Положим и = и —ф. Тогда » принадлежит № (Й) и удовлетворяет (1.63); (1.64) означает, что

»€V.''(1.68)

Уравнение (1.62) эквивалентно уравнению

vA«+ 2 игВ..и+ 2 «;О,Ф + 2 Ф А«+grad р=/, (1.69) 1=1Z=1z = i

п

где/=/+уАф—2 Ф/^Ф- Заметим, что /£Я-1(Й). Действи- z = i

тельно, очевидно, что /+уАф^ Я-1 (й); далее, ф(-Я(.ф £ £“'(й), где l/af+ l/a = 1, a = 2n/(n — 2), если и^З, и a>2 произвольно, если и = 2; так как Я$(й) с £“(й), то ф/О/ф также принадлежит Я-1(й).

Как и в п. 1.2, мы сможем показать, что задача (1.68) —(1.69) разрешима, если найдем элемент u^V, такой что

v((«, »)) + &(«, и, у) + Ь (и, ф, ®) + &(ф, й, v} = <f, vy

Nd^V.(1.70)

Существование элемента u^V, удовлетворяющего (1.70), можно доказать точно так же, как в теореме 1.2, при условии что существует Р > 0, для которого '

v||c|p + &(®, v, c) + b(®, ф, гО + Ь(Ф, У, ф)^Р1Ма

или, в силу (1.22),

vMP + &(®. Ф.'"О)>РМа V®€V.(1.71)

Оценка (1.71) заведено будет выполняться, если нам удастся найти ф, удовлетворяющее (1.67) и неравенству

|Н®. Ф. ®)K(v/2)||®||’ V»el7.(1.72)

Но такое ф действительно существует, как показывает следующая лемма. □

Лемма 1.8. Для любого у > О существует функция ф —ф(у), удовлетворяющая (1.67) и условию

\Ь(О, -ф, г»)КтМ1’ V®e^«(1-73)

Прежде чем доказывать эту лемму, предварительно докажем еще две леммы.

Лемма 1.9. Пусть p(x) = d(x, Г) — расстояние от х до Г. Для любого е > 0 существует функция 6К С *6' (й), такая что

0е = 1 в некоторой окрестности Г (зависящей от г); (1.74) 6е(х) = 0, если р(х)^ 26(e), где 6(е)=ехр(—1/е); (1.75) О*ве (х) | ^ е/р (х), если р(х)^ 26(e), А=1п. (1.76)

Доказательство. Рассмотрим, следуя Хопфу [2], функцию Хн-»

<—>£е(Х), определенную для Х^гО формулой

1 при X < 6 (е)2,

(1-77)(1-77)(1.78)(1.78)£е(Х) = е In (6 (е)/Х) при 6 (е)2 < X < 6 (е),

(1-77)

(1-77)

(1.78)

(1.78)

; 0 при X > 6(e),

и обозначим через Хе функцию

Хе W = £e (Р WY

Так как р принадлежит ^2(й), то функция Хв удовлетворяет (1.74)—(1.76), и 6е получается ее регуляризацией. □

Лемма 1.10. Существует положительная константа с^ зависящая только от й, такая что

(1.79)(1.79)| р-J® |z.« (й) < ct || я Ц (й) V® 6 /У? (й).

(1.79)

(1.79)

Доказательство. Используя разбиение единицы, соответствующее некоторому покрытию Г, и локальные координаты вблизи границы, мы можем свести нашу задачу к задаче, в которой й есть полупространство \х = (хп, х), хп > 0, x'==^xv ..., *„-1) € Кп-1}. В этом случае р(х) = х„, и достаточно проверить, что

о (х)2*По (х)2*Пdx ^Q J | Dn<o (x) |2 dxQdx ^Q J | Dn<o (x) |2 dxQNd^s^YNd^s^Y(1.80)(1.80)

о (х)2

*П

о (х)2

*П

dx ^Q J | Dn<o (x) |2 dx

Q

dx ^Q J | Dn<o (x) |2 dx

Q

Nd^s^Y

Nd^s^Y

(1.80)

(1.80)

Последняя оценка становится очевидной, если доказать следующее одномерное неравенство:

|®'(s)|2ds V®6<0(9> +°°).(1.8Г

Это—классическое неравенство Харди. Чтобы его доказать, запишем s = ea, t = e' и

= S ^ S ^(а—т)е~(а~1:)/а w(eT)eT/2dt^ da,

где ^ обозначает функцию Хевисайда: ^(а)=1 для а>0 и У (а) = 0 для а < 0. С помощью обычного неравенства для свертки последнее выражение оценивается величиной

4-оо\ 2 + оо+ оо

^ У (а) е-ст/2 da J J | W (ет) |2 ет бт = 4 ^ I ^ (О I2 d^

откуда и следует (1.81). □

Доказательство леммы 1.8. Покажем теперь, что ip = rot(9E£) удовлетворяет (1.67) и (1.73). Справедливость (1.67) очевидным образом следует из (1.65) и (1.74). Далее,

фДх^О, если р(х)> 26(e),

l^/WKoa(^jRWH-|^Wl). если р(хХ26(е),

(1.82)

| л11/2

где |D£(x)|=< 2 I D&/ W I2 f • Так как мы предполагали, что

£,€L“(Q), то из (1.82) выводим, что

IФ/W I ^са (е/Р W+ 1 ^Р W |) V/, р(х)< 26(e).

Следовательно,

1МЛчй><%!е|тЬ+Г 5 ®?IWd*Y/8L (1.83) I\р < 26 (8)/ J

Но, в силу неравенства Гёльдера,

($®/l^|2dxY/2^p(e)|»/|£a

\р < 26 (е)/

где 1/а=1/2—1/п и p(e)=l ^|D^(x)|" dxV7"; p,(e)->0

(р (X) < 26 (8)J

при ен^О, поскольку D^ ^. Ln (Q), l^i, j^n. С учетом послед-

ней оценки, (1.4) и леммы 1.10, из (1.83) вытекает, что

I ®/Ф/ к* (Я) ^ М М + И (е) I ® Iza (0))

с, (в + р, (е)) || у ||, 1 <1, /<п. (1.84)

Теперь уже легко проверить (1.73); для каждого у^У3

Ь^у, ф, ») = — Ь(у, у, ф),

|Ь(®, у, ф)|<||®||^ 2 |®/Ф/||^ (в СИЛУ (1-84)) ^C7(8 + M8))||®IF.(1.85)

Если в настолько мало, что с, (е + р, (е)) < у, то мы получаем (1.73) для каждого у^Т3, а по непрерывности для каждого У^У. □

Замечание 1.5. (i) Для п<3 условия (1.66) сводятся к условию ££№(й), в силу теорем вложения Соболева (см. (1.3)).

i) Легко записать в виде (1.65) граничные условия для классических задач гидродинамики, таких, как задача кавитации, задача Тейлора и т. д. См. также приложение I.

Замечание 1.6. Легко распространить предложение 1.1 на случай неоднородных задач. Если выполнены предположения этого предложения и, кроме того, Ф^^“ Д), то решение {и, р} задачи (1.62) — (1.64) принадлежит ^” (Q)X Х^” (й). Доказательство этого факта проводится, как и в предложении 1.1, непосредственно для уравнений (1.62) — (1.64) (т. е. без введения в).

Имеет место теорема единственности, аналогичная теореме 1.3: для и ^4, „больших" v и „малых" / решение единственно. Теорема 1.6. Предположим, что и ^4, норма фв £"(Q)Z настолько мала, что

|Ь(®, ф, ®)|^(v/2)||»||a V®GV,(1.86)

и v настолько велико, что

va>4c(n)||/||v-,'(1.87)

еде с (и)— константа из (1.18) и

f=f-Y'»M—'2i^iDl^.(1.88)

Тогда существует единственное решение а, р задачи (1.62) — (1.64)2.

Доказательство. В леммах 1.1—1.3 было доказано, что

Ц®, ф, У^—ЦУ, У, ф) И |&(®, У, ф)| ^МИф^й).

Следовательно, условие (1.86) выполнено, если |ф|£П(й) достаточно мало; это означает, что (1.72) удовлетворяется при i|) = <p и в этом случае мы не нуждаемся в предварительном построении ip. Доказательство существования проходит точно так же с ф = ф.

Если их— некоторое решение задачи (1.62)—(1.64), то я1=я1 — ф есть решение задачи (1.70) с ф = ф. Полагая ч> = Пу в (1.70), имеем vli«iir=— b(ut, ф, «t) + </, «1Х(¥/2)||я1|/2 + ||/||у<||я1|| (мы воспользовались (1.86)) и, следовательно, li«tll^2v-i||>=]^,.(1.89)

Предположим, что и0, я, —два решения задачи (1.62)—(1.64); пусть и6 = ий — ф, их = их — ф, и = ий — их\ я0 и их удовлетворяют (1.70) с ф = ф:

v((«0- «)) + Ь(Я0, «0, »НЬ(е„ ф, ф) + 6(ф, и0, ®) =

= </, ®>. ®€V,

v((«i, ®)) + M«i, йу, v)+b(Uy, ф, ®) + Мф, их, о) =

= </, ®>, d^V.

Возьмем в этих уравнениях v = U и вычтем второе из первого; после некоторых преобразований получим, используя (1.22), v||«p = — b(u, йу, й^ — Ь^и, ф, я).(1.90)

Согласно (1.86), —Ь<а, ф, я)С(v/2) || я ||2. В силу (1.18), —Ь^и, йу, а)^с(п)||«til||«||2. С учетом (1.89) это оценивается величиной (2/v) с (и) ||/||у' || я ||2. Окончательно мы приходим к неравенству

(v/2-(2/v)c(n)||/|HW^

из которого ввиду (1.87) вытекает, чтб я = 0.

Если я0 = Я1, то ясно, что grad р0 = grad рх и, следовательно, р0 и ру отличаются на константу. □

Замечание 1.7. Для задачу (1.62) — (1.64) доказаны в двумерном случае некоторые результаты о неединственности, для определенных конфигураций; см. Рабинович [2], Вельте [J/-2] и § 4 этой главы.

Дискретные неравенства и теоремы о компактности

Прежде чем проводить численную аппроксимацию стационарных уравнений Навье — Стокса, нам надо ввести новый технический аппарат —дискретные аналоги (для ступенчатых функций и несогласованных конечных элементов) неравенств Соболева и тео-

ремы о компактности (теоремы 1.1). Получение этих и некоторых других неравенств соболевского типа и является целью этого параграфа. Он до некоторой степени технический, и детали доказательств в последующем изложении нам не понадобятся.

Дискретные неравенства Соболева для ступенчатых функций. Мы используем те же обозначения, что и для конечных разностей, см. п. 3.3 гл. I. Напомним, в частности, что Rft — это множество точек с координатами т^, ..., mnhn, m-i^Z, h = Qiv ..., An), h[ > 0; иикМ — характеристическая функция блока

^W= П(И,--М. 11/ + /1//2). TH = (R, .... р„); (2.1) t = 1

6ih — разностный оператор:

(2.2)(2.2)6/лФ W = hl1 [ф W +А,/2)—у (л:—Д//2)],

(2.2)

(2.2)

где Л (—вектор с t-й компонентой Н( и всеми прочими компонентами, равными нулю.

Теорема 2.1. Пусть р — произвольное число, удовлетворяющее условию \s^p<n, и q определено равенством \/q=l/p—1/п. Тогда существует константа с = с(п, р), зависящая только от пир, такая что

(2.3)(2.3)(2.4)(2.4)п

(2.3)

(2.3)

(2.4)

(2.4)

I Uh It» (Rn) ^ С ^П’ Р^ X I ^«Дк 1^ (r”)

для каждой ступенчатой функции uh:

uh= X UhWxiDftM, Мб Rft

с компактным носителем.

Доказательство. (1) Рассмотрим скалярную функцию s—»-g(s) = — | s [<"-i> рДп-ю, Так как (п — V) р/(п—р)^1, эта функция дифференцируема, и ее производная равна

g' (s) = ——— | s |(n (p-2)+p)/(«-p) $.

По формуле Тейлора

gksO-g^^^-s^g' M + (1-A,)sa), ^(0, 1),

откуда

I g (Si)-g to) I <1 s,- s2 | ^121 Xst + (1 - X) s2|" №-»/<"-p>

C ~^ I Sf - S2 H| Si | + | S2 I)" VP-lWn-p), 15 (Si) — g (S2) I ^ C$ (n, p) I Sj - s2 HI Si I" <p-d/("-p) 4+ |s2|n‘p-1^""”)}.(2.5)

Пусть M принадлежит Rft; применим (2.5) c st = ukVM — — rhi), s2 = Uh (M — (r + 1) h^', получим

| uh {M—rht) 1(л-1) p/(n~p) — I «и kM — (r + 1) hj J*”-1) pA"-p>

<сДи, р)\ип)М — rhj) — ahlM-(r-V\Yhi)\ .

X (I uh (M — rh,) Г <p~ 1)/("~p)

+1 uh kM- (r + 1) hi) |« <₽-«/)"-«}.

Суммируя эти неравенства для г^О, найдем (сумма фактически конечна).

|яй(УИ)|<«-1) р^-т<А p)ht£ | b^M-{r^ht

(2.6)(2.6)X {| Uh (7И — rht) ln (₽~ ^‘"“^ -НИцЦИ — (r+ Y)h,) I" (p-d/<»-p)}.

(2.6)

(2.6)

Усилим неравенство (2.6), заменив сумму в правой части суммой по г € Z; тогда мы можем интерпретировать эту сумму как интеграл и оценить величиной

с Ап, Р) $ l6.X(^/. ^z)l] Lil «л (Hz Л/ — у1а=-1

•hyrtz)] ' Г d§z,

где (p-i, ..., р„) — координаты точки М и р, =(Pi, ..., p.;_lf H/+i> • •» И»). Аналогично обозначим через х, вектор (Xi, ..., *i-i> xi*ti • ••>**) и запишем x = (iz, xt). Для любого x^Oh^M)

§ 2. Дискретные неравенства и теоремы о компактности 149 неравенство (2.6) дает

I uh w i(n~i) рКп-р'1=। «л (vn) h"-1» рА« -

Сс-М р) J \6,нИк(хь gz)|

V I«А; \ I” (Р-ПАп-Р)!

' 2i “»(*/> ^z + V-J(2.7)

Положим теперь

®i (x) = Wi (X{) = sup I Uh ^ |p/("-p).(2.8)

x-eR■

Тргда |ioz (x{) |n-J оценивается через правую часть (2.7), еледова- тельно,

$ ^(х^Ах^с^п, р) $ |bthuh(xi, £z)|.

R"-1R”

x 1^ + -^1|dxzdgz

(a=-l'' *J

^(в силу неравенства Гёльдера)

^Ci (П> P) | ^1НИ6 Vp (Rn)

(

i „\(p-i)/p

3 \uhkxb iz4-a/iz)pdxzd^) . a=-l/.

Поэтому

$ ^l (XiY-1 Ax I ^ сг (n, p) 16lhuh |^ w I uh \^q~^p. (2.9)

Далее, мы имеем

| ah |? dx < ^ П SUP I ил (^z> *i) \p,№-p> dx

R”R”Z=1 Xi

< S п ю< (^z)dx*

Rn (=1

Согласно неравенству, даваемому нижеследующей леммой, это оценивается через

.nj $ l^(^)l"~*dxzl,

.|=1 (Rn-1)

и из (2.9) следует, что

I uh |»№< са (п, р) { П1bthuh \^ } I uh \^^

I Йй IZ^R"V ^ сз (и, р) П I ^нДк £р( ^ j”,

I ЙЛ к» К(П) ^ с4 (и, р) II I ^ihUh lLP (Rn,’

1ййке(КЛ)см«.p^Sital^^n/ о

Лемма 2.1. Пусть wlt ..., wn —измеримые ограниченные функции на R" с компактными носителями, причем wt не зависит от X/. Тогда

п ~п .~х1Дл-1)

$ П 6У,-(xz)dx^П J $ 1^/G^,)!"-1 dxA •(2.10)

R» i = l/=1 ( R»->/■

Это неравенство—частный случай одного неравенства Гальярдо [1]; см. также Лионс [1], стр. 31.

Замечание 2.1. В случае р — п, если носитель ид содержится в некотором ограниченном множестве Q, то

•le*lL«(Rn)<e(n>«' Q>Sj®‘*^(2.11)

для каждого яд вида (2.4) и всякого q, 1<^<4-оо. Действительно, любое такое q, большее чем р, может быть записано как Pin/(n—рД, где К p-i < п. Тогда применимо неравенство (2.3) с с=с(п, р) = с' (n, qV

п

\tth\L4Rn^c4n,») S i6^^.,^-

Неравенство Гёльдера показывает, что

bihUh 'LP, (Rn) < <mes Q'>^ ~1/P I bihUh l,P ( R„. -

где £2' содержит носитель .6/дЯд. Если мы предположим, что |Л| ограничено единицей (или некоторой" константой d), то mesfi' оценивается величиной (mes £2)Xconst; комбинируя последние два неравенства, получаем (2.11).

Для двумерного и трехмерного случаев мы докажем сейчас другое полезное неравенство, родственное предыдущему.

Предложение 2.1. Предположим, что размерность рассматриваемого пространства равна двум или трем. Для любой ступенчатой функции uh вида (2.4) с компактным носителем справедливы

оценки *

г 214^4

|«л |t»(R8)21/4-31/21 uh |l2(r«)S ^ | ^in^nli^R1) f

если n = 2,(2.12)

I 313/8

| Uh |f>(Rs) ^21/2-33/4 I Uh |l2(R’H ^ | ^ihUh |t!(Rs) I >

если n = 3.(2.13)

Доказательство. Используем неравенство (2.7) с n = 2 и р = 4/3; более тщательный анализ доказательства (2.7) показывает, что в данном случае С-^п, р) = 2; действительно, g($) = $2 и для (2.5) мы, очевидно, имеем

IST(Si) —gT(sa)| ^ 21 st—s8 Н| $! 14-1 s81}.

Поэтому для любых х € °й М и /И € ^д

|«й(х)|2^2 У | bihUh (л?;, ^)|

XX(2.14)(2.14)

X

X

(2.14)

(2.14)

Так как правая часть (2.14) не зависит от хь мы получаем

sup I Uh (х) |2< 2 С I bihtth (*и ё,)|

(2.15)(2.15)

(2.15)

(2.15)

Теперь мы можем записать в двумерном случае

$ I «л W I4 dx С $ [sup | uh (х) |2] [sup | ah (x) |2] dx

[sup | uh (x) p]dxa j | J [sup | uh (x) |2] dx.

' Аналогичные оценки для непрерывного случая будут даны в гл. Ш (лемма 3.3).

(в силу (2.15))(в силу (2.15))«А1 v—, *2«А1 v—, *2'2'2XXdxt dg21.(2.16)dxt dg21.(2.16)

(в силу (2.15))

(в силу (2.15))

«А1 v

—, *2

«А1 v

—, *2

'2

'2

X

X

dxt dg21.

(2.16)

dxt dg21.

(2.16)

Ввиду неравенства Шварца и того факта, что

^2

(2.17)

правая часть (2.16) оценивается величиной

36 {| 61Л»Л |t«(R2) I uh |l=<r8)} {| 62Aoft It^R2) I “h |t2(R2)}

( 21

^ 18| яй |l2(r=)< 2 I ®/л»лкчк*) f •

Тем самым (2.12) доказано.

В трехмерном случае, используя (2.12) и (2.15), запишем

Rs

X [^ | &ih“h I2 dxi dx2 I | dxs r 2 < 18 /sup f | uh |2 dxj dx2 U 2

^3hUh (^s>^3hUh (^s>*8 2

^3hUh (^s>

^3hUh (^s>

з>хз+-22} dx)^(B силу неравенства

Шварца

332 I 6ihuh lb (Ra)2 I 6ihuh lb (Ra)21sLhuh lb<R=)1 3/221sLhuh lb<R=)1 3/2(2.18)(2.18)

3

3

2 I 6ihuh lb (Ra)

2 I 6ihuh lb (Ra)

21sLhuh lb<R=)

1 3/2

21sLhuh lb<R=)

1 3/2

(2.18)

(2.18)

и (2.13) доказано. □

Замечание 2.2. Неравенства (2.3), (2.11) и (2.12) могут быть распространены По непрерывности на классы ступенчатых функций с неограниченным носителем.

Дискретная теорема о компактности для ступенчатых функций. Мы дадим здесь один дискретный аналог теоремы 1.1, а более точно, того факта, что вложение ^^(Й) в /Л (й) компактно, если

1^р<м и <7i —любое число, такое что

l<?i<?> где 1/9 = \[р — \/п,(2.19)

либо же

р — п и 91 —любое число, 1^9j< + oo.(2.20)

Теорема 2.2. Пусть §h — некоторое ^быть может, пустое) семейство ступенчатых функций вида (2.4) и

6 = U §н-(2.21)

| Л | ^ Ср

Предположим, что .

функции uh из S имеют носители, содержащиеся в некотором фиксированном ограничен

ном множестве в К", скажем Й;(2.22)

(2.23)

Тогда если р и q^ удовлетворяют условиям (2.19) —(2.20), то семейство S относительно компактно в Lqi (IR”) ^или в L^ (Й)).

Доказательство. Согласно одной теореме М. Рисса [1], нам нужно доказать следующие два свойства:

Для каждого е > 0 существует компактное множество К с Й, такое что

5 | uh |^ dx < е Vuh € S.(2.24)

£2\К

(И) Для каждого е > 0 существует Ц > 0, такое что 1тг«л-«лк«(кП)<е(2.25)

для любого uh € S и любого / = (/й ..., 1п), где | / К ц; тг обозначает оператор сдвига:

(т гФ) (х) = Ф (х + /).(2.26)

Докажем (1). Как следует из неравенства Соболева (2.3) и (2.11), семейство S ограничено в Lq (Й), где q задается формулой (2.19), если р < п, и равняется какому-нибудь фиксированному

числу, большему qt, в противном случае (р = п). В силу неравенства Гёльдера имеем

| «й ^ dx б£ / dx)М |«A|«dx),

й\к\й\/< /Vs\k /^

$ 1^1»* dx XcOnes^XK))1-^/’ ^uh^S.

Q\K

Правую часть (2.27) (а следовательно, и левую) можно сделать меньше, чем е, выбирая компакт К достаточно большим; тем самым (i) доказано..

Докажем (Н). Вначале покажем, что (2.25) может быть заменено аналогичным условием на | Ttuh—uh |^, (условием (2.30) ниже).

Случай (a): qi^p. Для любой функции /€^(П), мы имеем /^M<(Q), а также /£ЬР(ЗД, поскольку область й ограничена, a qi<;p<q. Далее, 0^1/^]—1/р< 1. Вейлу неравенства Гёльдера,

1 ^ L"‘ ^ (meS Й) 1"''^ 1 f ^COnSt I f L' «й/

L« \as)и \м)L, \»г)

Случай (b): qi > p. Для любой функции /6 L*i (й) имеем, в силу неравенства Гёльдера,

$|/Г dx = $|/M/|<i-0^ dx

< ($ |/Гор dx)1/P ($ |/h<1-e>P' dx)1/P',

где 0 6(0, 1), р>1 и, как обычно, 1/р' + 1/р=1. Мы можем выбрать 0 и р так, чтобы q16p = p, qt(\ — 0)р' =q; этими условиями числа р и 0 определяются единственным образом, и они принадлежат предписанным интервалам [O^jtg—qt^q—p)—p(q—q^ и p(q — q^ = q — р]. Тогда

S l/Г dx X (J |ZP dx)1/P ($ l/p dx)1/P'.(2.28)

В частности, для любых / и uh

X^tUh — U,, lL?1(Rn),.^l ’xlUli — uh ^«(RB) 1ТгЙА —“ft ^(RB)

^| I T<tiA 1^9 (RBf*^ I Mft L4 (R«)}। ДЙА ^L^fR”)

Так как семейство в ограничено в L»(R"), то

I ^lUh — uh |L», (Rn) х с | тг«л — Uh |Рр (RB).(2»29)

Неравенство (2.29) показывает, что достаточно доказать условие (И) с qtl замененным на р:

Ув>03т1:|т,дд-дй|^(|гп)<8 для | /1 ^ t] и uhES- (2.30)

Выполнение условия (2.30) легко следует из (2.23) и следующих двух лемм. □

JteMMa 2.2. \4ttH-Uh-.Lp^^l\Vuh-uh^Rn, (2.31)

где /,- обозначает вектор Ifa.

Доказательство. Обозначая через / тождественный оператор, имеем легко проверяемое тождество

TZ—/=2 ^...т^^^т^-/).(2.32)

Это тождество позволяет оценить норму |тгид—«A|^(Rn) величиной

Вспоминая, что

Р^к^НЛА^) '(2,33)

для любогоа € К" и любой функции/££^(1К"), получаем (2.31). □ Лемма 2.3.

(2.34)

Доказательство. Так как 1т->йй —яй| _=1т ^Uh —„,

I Ч I/Ar") I|zAr«)

мы можем предположить, что /,^0; запишем

li = kai+^i') hb где а,-—целое ^0, 0<р,<1, 1</<п.(2.35)

Имеем

~ x?uh-Uh = s т^ (т^«А-«А)4-та,А, (т^йд—Ид). (2.36)

Из (2.36) и (2.33) вытекает оценка

< S | ^«й - и | LP (R») + [ т^ип - «л | А (R")-(2.37)

Но т^—l = htT^.^bih, и сумма в правой части (2.37) равна “i^ipi^A^Fjijn)' Поскольку atht5^.li, получаем

| ^ «й - »h | lp (Rn) < li | 6ia uh | lP (Rn)+1 TPi^ “л — “a | lp (Rn)-

(2.38)

Оценим теперь норму т ^«А — ин. Для х £ah (М), х = ^ . ...х^ и М € Rft, М = (mf/if, ..., mA). имеем

tPi^«aW-«aW

О, если lmt—у J hi < xt <\пч — pt 4- у ) ht,

~ ' hAhUh ^М + -у-) , если

^i — 314- у) hi < xt < (m 4-1) hle Следовательно,

У |^«а-«а|,'<1^ = М? j |61й«й(^+-7-)^х.ohW 1 ‘aA<M)

Суммируя эти равенства для различных точек М из КЛ, получим It ^uh — р = ?>Yphi\T-, bthuh\,p „ .

Так как h ограничено, a $thi<.li, то правая часть меньше, чем cliP\6ih“h\LPw> откУДа следует (2.34)для 1 = 1;для( = 2п доказательство то же самое. □

Замечание 2.3. В наиболее часто встречающихся случаях применения теоремы 2.2 семейство § представляет собой последовательность элементов и^т, где hm стремится к нулю. Следовательно, §hm = (йд^) и ^^ пусто, если h не равно hm. Замечание 2.4. Предположим, что область Q ограничена и что

S= и Sh- ^ = V“h^h)\\nh\\h^lV(2.39)

|П|<е0 я

где Wh—аппроксимация*пространства Но (Я) конечными разностями, (АПР1). Мы заключаем на основании теоремы 2.2, что ^—относительно компактное подмножество в l> (Я). Определенное ниже множество ^', являющееся подмножеством §, также относительно компактно L? (Я):

S'= U Sh, Sh=^Vh, ||ал|!А<1}:(2.4®)

|А|<Со

Уд соответствует аппроксимации (АПР1) пространства У.

Дискретные неравенства Соболева для несогласованных конечных элементов. В оставшейся части этого параграфа используются те же обозначения, что и в п. 4.5 гл. 1. Мы напомним, в частности, что ^А обозначает некоторую регулярную триангуляцию открытой ограниченной области Q; %, —это множество точек В, которые являются барицентрами (л —^-мерных граней симплексов ^боГд и принадлежат внутренности 62(A)7; и>ЛВ, B^4Lh,— скалярная функция, линейная на каждом симплексе S’^.S"h, равная нулю вне 62(A) и принимающая в узлах следующие значения: №ЛВ(В)=1, №ЛВ(М) = 0 для всех М, отличных от В—барицентров (п—1)-мерных граней симплексов

Для любой функции uh вида

»A = S Uh^WftM(2.41)

лте«д

Dihuh есть ступенчатая функция, равная нулю вне 62(A) и такая, что'

^ihah W = DtUh (х) ^Х £ S’ NS” ^S'h-

Теорема 2.3. Пусть р— некоторое число, удовлетворяющее условию 1^р<п, и q определено равенством l/q= 1/р—\/п. Тогда существует константа с = с(п, р, Q), зависящая только от п, р, 62, такая что

п

I I^ с (п’р,д,ос) 2 I О,Й«А| ,(2.42)

для каждой функции uh вида (2.41).

Доказательство. Доказательство существенно опирается на предложение 4.17 гл. I. Для того чтобы установить (2.42), нам надо показать, что для каждой функции 0 из 2) (62)

п

I $ «, 0dx| < с (л, р, о» е| L,. т (£ | D„«, | t, (Ю) _ (2 43) Q/ = 1

где q' определено равенством 1/<?+l/д'= 1. Обозначим через х решение задачи Дирихле А% = 0 в 62, х~0 на 362. Функция % принадлежит классу #“ в 62, и, согласно результатам о регулярности для эллиптических уравнений,

IX1^. „-(Q) < с (п, р, 62) 10 |l, (Q)(2.44)

'О(Л)« и ^*

S’ ^S" н

(заметим, что 1 < q, q <оо). В силу неравенства Соболева, производные Х/ = О,% (Д<Л<п) принадлежат IF1-*'(£2), а следова- вательно ZZ(Q), где \/pf + Up= V.

1х<к*'(Я)<с(п, р, G)|0|L»'(g), Х/^д, l^i<n. (2.45)

Используя функцию х, запишем

J «А0 dx = 2 J uh Ах dx=S Я»

И3’^S‘h»z=0

где

Th = — 2 $D,.«ADzxdx = —jD,AttADzxdx,

Я= 2 $ Di <uhD^ dx.

tf^Th»

J uh9 dx£2J uh9 dx£2Имеем'

J uh9 dx

£2

J uh9 dx

£2

(2.46)

Для того чтобы доказать (2.43), мы установим некоторые оценки типа (2.43) для выражений |Я1, 0 <'/<«. Для ^ легко полу-* чаем, привлекая неравенство Гёльдера и оценку (2.45):

I ЯI ^ 2 I Dlhuh | р I О,х | р.

(2-47)(2-47)с(п, р, ^)|0|Lr(g/ 2l^«J^(g)\L (U) \ — QL (м) /

(2-47)

(2-47)

Для Я, l^i^n, используя (1.4.234) c Ф = Х/ = ^|Х» находим 1Я1<с(п-р, й> °Y 2 |y/x,lL»'(g Y ^\D/hUhV^Q^, №1<Ф, p, Q, oc)IXlt^3.ff'<n>

Y2\Djhuh \ pсилу (2.44)

<c(n, p, Q^\Q\ (^\DJhuh \ p □

Замечание 2.5. В отличие от обычных неравенств Соболева (см. § 1 и теорему 2.1 для дискретного случая) неравенство (2.42) содержит коэффициент с (л, р, й), который зависит от Q. В обычных неравенствах Соболева коэффициенты не зависят от носителей рассматриваемых функций. Мы потеряли некоторую информацию, но это не очень важно для последующего.

Замечание 2.6. Случай п=р может быть рассмотрен так же, как в замечании 2.1. Пусть р—произвольное число, удовлетворяющее условию 1^р<л

И q определено равенством {/q = \/p— 1/п. Для всякой функции Яд вида (2.41) соотношение (2.42) дает

п *^п> Р, Й, а) 2 \Dihah\ .

Согласно неравенству Гёльдера,.

1 °'А“А 1 Lp (Я) ^ (meS 0)1 ~Р/" 1 °'А“А ,L"<Q)'

Следовательно, с некоторой другой константой с (а, р, й, а),

l”kLq, <с(«. Р. ^- «) 2<2л8)

L '«)(-1

Изменяя обозначение константы с (п, р, й) и замечая, что q может быть любым числом ^ 1, запишем (2.48) в следующем виде:

\«hl„<с(п. q, й, a) '2l\DihUh\Ln№>(2.49)

L (Я);_]

для каждой функции ад вида (2.41) с носителем в й и для каждого q, К q^oo.’'

Замечание 2.7. Одно неравенство, аналогичное (2.13) (п = 3), будет дано в гл. 111. Нам неизвестно, справедливо ли для несогласованных конечных элементов в двумерном случае неравенство, аналогичное (2.12) (п = 2). Некоторое более слабое неравенство будет приведено в гл. III. П

Дискретная теорема о компактности для несогласования конечных элементов. Мы дадим теперь дискретный аналог теоремы 1.3, а более точно того факта, что вложение Н» (й) в L2 (й) компактно для любой ограниченной области й. Однако из-за трудностей технического характера результат будет доказан только в двух- и трехмерном случаях.

Пусть {оГй}д 6 жа — некоторое регулярное семейство триангуляций й. Для каждого h рассмотрим пространство Yh всех скалярных функций uh вида (2.41):

»»= S Uh^WhM, »kW6R.»»= S Uh^WhM, »kW6R.(2.50)(2.50)

»»= S Uh^WhM, »kW6R.

»»= S Uh^WhM, »kW6R.

(2.50)

(2.50)

Эти функции линейны на каждом симплексе ^б^, равны нулю вне й(й) = ^J <^ и непрерывны в барицентрах (л—1)-мерных граней симплексов ^б^д. Пространство Yh наделяется скаляр-

ным произведением

п

«»й. V^^^PihUh, D^-Oh)

пп1=1

п

п

(2.51)(2.51)V VСдаддТй ,

(2.51)

(2.51)

2-i 2-J дх, дх: ил*

1=1 jf^hi-

Теперь сформулируем теорему.

Теорема 2.4. Пусть п=2 или.З и ^л, h^S^a,— некоторое регулярное семейство триангуляций области Q. Пусть Su — некоторое ^быть может, пустое) семейство функций вида (2.50) и

(2.52)(2.53)(2.52)(2.53)S — U Sh.

(2.52)

(2.53)

(2.52)

(2.53)

P(ft:<c0

Предположим, что

5“У«Л||А< + °°-

Тогда семейство § относительно компактно в Z?(fi).

Доказательство. Основная идея доказательства основана на том факте, что пространство (кусочно-линейных) согласованных конечных элементов является подпространством пространства (кусочнолинейных) несогласованных конечных элементов. Мы докажем теорему, используя „недискретную* теорему о компактности (теорему 1.1) и полученные выше априорные оценки.

Пространство УА (см. (2.50)) содержит пространство Xh непрерывных кусочно-линейных функций, обращающихся в нуль на границе Q (А) (согласованные элементы). Так как Xh и Yh конечномерны, то они являются гильбертовыми пространствами со скалярным произведением ((•, -))А (см. (2.51)) ь, следовательно, можно рассмотреть ортогональный проектор лА из /д на ХА; из определения такого проектора следует, что

^huh, »д))й = ((йА, ®й)) V«aG/a Vd^X^, (2.54)

II ллил 11л II ид 1!л V«A £ УА.(2.55)

Рассмотрим теперь элементы цА из S. Из (2.55) вытекает, что семейство {лд«д | ц^ <£} ограничено в НЦЙ). Действительно, поскольку Xhc.Hop) и для согласованных элементов норма j-Цд совпадает с нормой в НЦЙ) (||.||), то

sup ||$А«А kJ (Q) = sup || лА«А ||й < sup || «й Цй < + оо.

иhe8иft 6 8“ft 68

В силу теоремы 1.1, семейство лпип относительно компактно в L2 (Q), и, значит, существуют подпоследовательность h'- —»- 0 и элемент u^L2^, такие что л^ин- —- и в L2 (Q) при h' —>0. Доказательство будет завершено, если мы покажем, что

Лк-иу— ин- —* 0 при h' —* 0.(2.56)

Но (2.56) немедленно следует из приводимой ниже леммы. □ Лемма 2.9. Для каждого vh из Уh

^к-ч^сча^с^, Q) р (А) [| »д |1Й-(2.57)

Доказательство. Как и в доказательстве теоремы 2.3, пусть О —произвольный элемент из ®(Й) и х обозначает решение задачи Дирихле Ах = 0 в Q, % = 0 па 5Q. Для того чтобы оценить норму |г>л — л^к |щя), рассмотрим выражение (<Dh — л^к* 6) = = (vA—лАг>д, Ау). Как и в доказательстве теоремы 2.3,

^п-л^),, ^) = (^hvh-vh, ^п + (2 Й ; (2.58)

S $ Dj^h-n^D^dx.

В силу предложения 4.16 гл. I ',

| f h I С с (Q, а) р (й) [I ®А-л^ь |1А I 6 |Lt(g).(2.59)

Учитывая (2.53) и (2.55), получаем

l^k^pW-(2.60)

Чтобы оценить ((г>А — nhvh, %))л, рассмотрим функции хА, задаваемые следующим образом: хА б Хк- Ха (М) = Х (М) VM 6 ‘Мд (это функции, интерполирующие х; заметим, что х непрерывна в Q, Н2 (Q^^0 (Q) для п^З, см. (1.3)). Из общих результатов об интерполяции, которые напоминались в гл. 12, вытекает, что

liX — Хд|1^с(а)р(/г)|х|№(а><(в силу определения х) ^ ср (Л) | 0 |щя>.(2 61)

Используя (2.54), заключаем, что

к^к-л^^ х))к = ^к-л^к, X-Xh^h.

/ Здесь существенно предположение, что семейство триангуляций регулярно, од < а <4-оо уй.

2 См. (4.42), (4.43). Эти результаты установлены для Л°°-норм. Мы используем здесь аналогичные результаты, имеющие место для £2-норм, см. Сьярле и Равьяр [1], теорема 5, стр. 196.

6 Р. Темам

а значит,

I № - ^®л, х))л I < 1^ - ^h |’А h - Хл !1 л < Ф №-

Соотношение (2.57) установлено. □

Замечание 2.8. В наиболее часто встречающихся приложениях теоремы 2.4 семейство ^ представляет собой последовательность элементов Uhm, р (А„) —> О, o(/zm)^a. Следовательно, §нт = Vuhm\ и Sh = 0 для Л, не совпадающих с hm. Если \\unm\\hm^c> то последовательность uh относительно компактна в L- (Q).

Аппроксимация стационарных уравнений Навье—Стокса

Мы обсудим здесь аппроксимацию стационарных уравнений Навье —Стокса с помощью вычислительных схем того же типа, что и использовавшиеся для линейной задачи Стокса. В п. 3.1 мы дадим общую теорему о сходимости; затем применим ее в п. 3.2 к вычислительным схемам, основанным на аппроксимациях (АПР 1), ..., (АПР5) пространства V. В п. 3.3 мы распространим на нелинейный случай численные алгоритмы, описанныев§5 гл..I. В целом весь этот параграф посвящен распространению результатов, полученных для линейного случая в §§ 3 — 5 гл. I, на нелинейный случай. Однако результаты будут не так сильны, как в линейном случае, в частности из-за неединственности решения задачи в точной постановке.

Общая теорема о сходимости. Пусть Q—ограниченная липшицева открытая область в R" и / задано в L2 (Й). По теореме 1.2 существует по крайней мере один элемент и из V, такой что

v((«, D^-VbVu, U, v) = (f, v) Vv£V. (3.1) По теореме 1.3 этот элемент и единствен, если п ^4 и v достаточно велико.

Наша цель здесь — обсудить аппроксимацию задачи 3.1. Пусть вначале задана некоторая внешняя устойчивость и сходящаяся гильбертова аппроксимация пространства V, скажем (®, F^, (Уп, Ph. rh)he3$. гДв>УА конечномерны; в качестве такой аппроксимации можно взять, например, любую из аппроксимаций (АПР 1), ..., (АПР5), описанных в гл. I. Предположим, что заданы некоторые согласованные аппроксимации билинейной формы v ((«, я)) и линейной формы (/, г>), удовлетворяющие тем же предположениям, что и в § 3 гл. I:

ah (uh, <0^ для каждого h£3% есть непрерывная билинейная форма на VhxV h, равномерно коэрцитивная в следующем

смысле:

Эа0 > 0, не зависящее от h, такое что

«л («л. «л)>а0||«л!й. «лб^й,(3.2)

где |Мл обозначает норму в Vh.

ih для каждого h^SV есть непрерывная линейная форма на Vh, такая что

II ^^<Л(3.3)

Принимаемые нами предположения о согласовании таковы:

Если семейство г>й слабо сходится к® при /г —>- 0, а семейство чЮн сильно сходится к чи при h —♦ 0/, то

limae(p6, wft)=v((v, ад)),

ИшаЛ(адЛ, г>й) = у((ад, г>)).(3.4)

Л-»0

Если семейство ф^ слабо сходится к © при h—»-0, то

Нт </Л, г>й> = (/, г>).(3.5)

h-»0

Для аппроксимации формы b предположим, что заданы непрерывные трилинейные формы bh(uh, 4)h, адй) на Уч, такие что

bhkuh, ч»ь, г>й) = 0 4uh, v^^V^(3.6)

если семейство ©Л слабо сходится к о при h —* 0 и w принадлежит ^, то

ИтЬд^д, Dh, гпч^ = Ь(ч>, ч), ад).(3.7)

Иногда полезно быть более точным в отношении непрерывности bh и требовать, чтобы

\bhkuu, 4)h, ^1<с(п, Й)[|«лЦМл11адй1!й

У«й, 4)h, wh^Vh1(3.8)

где константа с = с^п, Q) зависит от п и Q, но не зависит от h\ неравенство, такое же как (3.8), но с константой с, зависящей от К, очевидно, так как оно эквивалентно непрерывности трилинейной формы bh.

Теперь мы можем определить аппроксимирующую задачу для (3.1):

найти uh£Vh, такое что.

ah^h- vh) + bk(uh, uh, 4)^ = <lh1 Ч)^.(3.9)

Имеет место

' Han/ чннм, что «то означает следующее: р^бн—> we слабо в F, Pnt«h —> ww сильно в F.

Предложение 3.1. Для каждого h существует по крайней мере один элемент uh из Vh, являющийся решением задачи (3.9). Если выполнено (3.8) и

а=>с(ц, Q)P,(3.10)

то uh единствен.

Доказательство. Существование uh следует из леммы 1.4. Применяя эту лемму, мы возьмем X равными Vh, которое представляет собой конечномерное гильбертово пространство со скалярным произведением ((•,•))/,. Оператор Р из Vh в Vh определим равенством

((Л«л)» »л))л = М«л, »а) + М«л. «л> ®л) —</л-®л>(3-П) Vuh, Dh£Vh.

Оператор Р непрерывен, и нам остается только проверить выполнение условия (1.29); но, согласно (3.6),

((Р («Л), uh^h = ah(uh, и^-^, ик»ф силу (3.2)—(3.3)) > «О II «Л | - II1Ь Цу' и uh ||Л > (а0 II uh ||ft - Р) Ц uh :!„.

Следовательно, ((/’(«*), «л))л > О, если [I «л II* = ^ и ^ > Р/«о. Лемма 1.4 гарантирует существование по крайней мере одного элемента uh, такого что Р (яй) = 0, или

(Ш< -D^-0 4-o^V.v(3-12)

Но это в точности совпадает с (3.9).

Предположим, что выполнены (3.8) и (3.10), и покажем, что элемент uh единствен. Если uh и и” — два решения задачи (3.9) И Uh = U*h — Uh\ то

М“ю ч^А-Мин, uh, ■o^ — b^Uh, u*h*, vh) = 0 V-DhEVh;

взяв -Dh = uh и воспользовавшись (3.6), найдем, что ah (uh, uh) = = bh (uh, u*h, uhY В силу (3.2) и (3.8), имеем

«0II Uh |й< СII uh^ II uh lit(3.13)

Если мы положим 1)^1= uh в уравнении (3.9), которому удовлетворяет uh, то получим ahku*h, и*^ = <1к, uh>, а ввиду (3.2)и(3.3)

«и I: Uh lih ^ Р|Г“й lift • II Uh lift ^ Р/«о.(3.14)

Используя эту оценку и (3.13), находим, что

(а0—сР/а0)||«Л^<0;(3.15)

отсюда видно, что если (3.10) имеет место, то «Л = 0. П Теорема 3.1. Предложим, что выполнены условия (3.2) — (3.7), и пусть uh —некоторое решение задачи (3.9). Если п^4, то

семейство \phuh\ содержит подпоследовательности, которые сильно сходятся в F. Любая такая подпоследовательность сходится к «>и, где и — некоторое решение задачи (3.1). Если решение задачи (3.1) единственно, то и само семейство {phuh\ сходится к ши. Если п"^5, то справедливо то же самое заключение, только о заменой сильной сходимости в F на слабую. - Доказательство. Пусть пока п произвольно. Полагая 4)h=uh в (3.9) и используя (3.2), (3.3) и (3.6), находим, что

Ч^ю «ь^^п. “ьХ а0||«Л|^р.(3.16)

Так как операторы ph устойчивы, то семейство {phuh} ограничено в F; следовательно, существуют подпоследовательность h' —> О и элемент ф £ F, такие что рь-ин- —* ф слабо в F. Условие (С2) из определения сходящейся внешней аппроксимации нормированного пространства означает, что необходимо ф^соУ, т. е. ф = (оц,

рк-Uh- —► ши слабо в F при h' —>-0.(3.17)

Пусть г> —произвольный элемент из ^; запишем (3.9) с vh = rh<o\ ah{uh, rhv) + bh{uh, uh, rhv) = <lh, г^>.(3.18)

При h' —>0, согласно (3.4), (3.5) и (3.7), имеем ан- ^ин-, гь'*^ -* -►v(Xu, г>)), Ьн-^ин-, иы, ги)^ — b (ji, и.-о^Лы, гн-т> —► (/, г>). Следовательно, и принадлежит V и удовлетворяет условию

v((«, г>))А-b^u, и, D^ = <f, v) Vve^-(3.19)

Если п^4, то равенство (3.19) выполняется по непрерывности для каждого о^У; если п ^5, то мы заключаем по непрерывности, что (3.19) удовлетворяется для каждого "О eV. В обоих случаях и есть решение стационарных уравнений Навье —Стокса.

В точности тем же методом можно доказать, что любая сходящаяся подпоследовательность семейства phuh сходится к ши, Где и — некоторое решение задачи (3.1). Если это решение единственно, то и всё семейство phuH слабо сходится к ши в F.

Докажем сильную сходимость при п^4. Как нелинейном случае (см. теорему 1.3.1), рассмотрим выражение Xh = " ал(ил —гли> uh~rhuY Разлагая его и используя (3.9) е 4)h«=uh, получаем

Xh = <lh, uh>—ahluh, г^-йк^ни, и^о» Vh»» rhu\ '

В силу (2.4), (3.5) и (3.17), Хн- — </, и^—а^и, и) при h' —>0. Беря D = u в (3.1) и применяя (1.22), находим, что </, «> =а

— а^и, иУ\ следовательно,

Хц'—>0 при Л'—> 0.(3.20)

Теперь доказательство завершается, как в линейном случае; неравенство (3.2) показывает, что [иу — rh'UЦн' —♦■ 0. Поскольку операторы ph устойчивы, отсюда вытекает, что

^Ph'Uh' — Ph’Th'U [|f^ \\ph* Ц«Л?( Vh„ F) || Uh- — rh'U\\h> —* 0.

Теперь запишем

II ph-Uh- — соя ]f с II Ph'tth- — Ph-rh'U !!f +.I Ph^h-U — (ОЯ ||f •

Оба члена в правой части этого неравенства сходятся к нулю при hr О. □

Приложения. В этом пункте мы применим общую теорему о сходимости к аппроксимирующим схемам, соответствующим аппроксимациям (АПР1), ..., (АПР5) пространства V.

Аппроксимация (АПР1). Выберем ah и lh, как в линейном

случае (см. (1.3.62) и (1.3.63)):

«л(«л, ®a) = v((«a> ®л))л.(-21)

<^. ®л> = (/.»»)•(3.22)

Прежде чем определить bh, введем трилинейную форму Ь^и, -о, юу.

b (и, v, w) = Ь' (и, v, w) + b" (и, -о, w),(3.23)

b' (я, v, w)=-|- У ^ и,- Ф1,vz) w, dx,(3.24)

i, i=\u

1 n p

6"(я,г>, гу) = —2" У j m.V/(D.-iciy) dx.(3.25)

/ = t и

Нетрудно видеть, что

b (и, tt, v) = b (и, и, о) ^и 6 W® £ ^,(3.26)

?

о для других значений аргументов b и b различны. Определим бперь bh следующим образом:

bb^uh, vh, 4M^ = b'hktthl ^н, -u>hHbHuh, -Oh, w^,(3.27)

b’hkttht,0h,4i)^y4 E J uih ^ihyj^ ^ih dx,(3-28)

i,i=^a

b’kkUh^h^h^—^ У J «гл^/л (й,Л) dx. (3.29)

; = 1 Й

Ясно, что b'h, b"h, а значит, и b,t — трилинейные формы на РЛ; так как Vh конечномерно, эти формы непрерывны.

Нам надо проверить выполнение условий (3.6) и (3.7); условие (3.6) очевидным образом выполняется, в силу нашего выбора формы bh, а проверку условия (3.7) мы оформим в виде нижеследующей леммы.

Лемма ЗЛ. Если р^и^ сходится к ши, то

bh(uk, uh, rhv)-+Ь(и, и, v) Уъ^Т3.(3.30)

Доказательство. Утверждение, что phuh слабо сходится к ши, означает, что

«д —► « слабо в L2 (Q) и

(3.31)

dlhuh-* Dtu слабо в L2(Q), l^i^n.

(3.32)

Теорема 2.2 о компактности применима в данной ситуации и показывает, что

uh—*tt сильно в L2(Q).

(3.33)

Гд» — Dв норме L~ (Q),

dthrhv ~* О^ в норме L® (Q).

(3.34)

(3.35)

Если мы докажем, что

b'h (uh, uh, r,v)—+b'(u, и, г>),■

(3.36)

Ь^н- uh, r^-н-Ь^и, и, г>),

(3.37)

Нам известно, что если tigT3, то phrhv сходится к шг сильно в F1, но из доказательств леммы 1.3.1 и предложения 1.3.5 вытекает, что фактически

то, согласно (3.26), доказательство (3.7) будет завершено. Чтобы доказать (3.36), запишем

n

i. /=1 n +co 5

i. /=i

S («.дУ/й —UfV/) 6ihu/h dx 4-

■!%(«»- «л, гн^ — Ь' {и, и, г>)|^

Все эти интегралы сходятся к нулю, и (3.36) доказано; (3.37) устанавливается аналогично. □

Результат о сходимости, даваемый теоремой 3.1, означает следующее (и ^ 4):

tth’ —* и сильно в L2(Q),

dih’M'—*Dtu сильно в L2(Q), l^z^n.

(3.38)

(3.39)

Точно так же, как в линейном случае, можно показать, что существует ступенчатая функция

лл= S ”л кМ) шпм,(3.40)

ле£%

для которой

*((«л» v^WC^m ®л) = (/, ®ft) V-vk^Wh-, (3.41) следовательно, некоторое решение цд задачи (3.9) является ступенчатой функцией

«д= 2 uhWwhM,(3.42)

МеЦ

такой что

^ ^ihuih) (Ml - О VM € ^(3.43)

и

—v 52 ^huh (М)+4 52и и w ^«ь w

-4Е 6z» ku^ (M) + ¥длд (Ml =fh (M) УМ € ^, (3.44) где

Л(Л1) = г4т ? №дх-(3-45)

Если удовлетворены условие (3.8) и некоторое условие, аналогичное (3.10), то uh и и будут единственны и невязка между и и uh может быть оценена, как в линейном случае, если, кроме того, и^.*^^! и pg^a(Q). Используя формулу Тейлора, можно записать

—v52 (6< '"/1u)JM)+452 Vh^likM) ^thVhUl (Ml 1 = 1'I SS1

-452 Mvhtti,rhui (Mi+(vhpi(Mi

= /(Ml + eh(MlVM^k,(3.46)

причем

|eh(M)Kc («, р)|/г|,(3.47)

где c (u, pl зависит только от sup-норм вторых и третьих произ-

водных от а и вторых производных от р. Уравнения (3.46) показывают, что

v((rft«, е^п+Ьц^п», гли, е»)-(^, о») = (/+ей, у„)

(3.48) для каждого ©*6^*, где лд—ступенчатая функция

^— ^ РСМ)®йм.(3.49)

ме а\■

Вычитание (3.48) из (3.9) дает

^((«й-гй«, ®й))й = —&й(«й, «ft, -DhHbh^r^ rhu, vh) + (e„, Vft) XD^W,..

Возьмем 4)h = uh — rhu\ используя (3.6), получим

vll«ft-rft«||ft=—bh(uh — rlla, uh, ин — r^-V^h» uh — rhu}.

С учетом (3.8) и (3.47) имеем'

v 1 «й - ^w ||л < с (n, 62) II uh lift II «ft - rhu [|£ +

i(«, Р^Ип-гки^\Ь\, vluh-rhu^<c(n, Й)||«лМ“»-''а“11а + с(«, P)|/i|<

(в силу (3.16)) (₽/a0) c(n, 62) || «д —гд«||д —c (a, р)\Ц. Окончательно

(v —(p/a0)c(n, Q))||«ft —гй«[|й^с(«, р^Ц.(3.50)

Если

va0 > pc (n, 62),(3.51)

(c(n, 62) — константа из (3.8)), это дает следующую оценку невязки:

д«й-гй«||д<(3.52)

n я ft lift \ v —(P/a0) c(n, Й) 1 1*

Аппроксимация (АПР2). В двумерном случае мы можем сопоставить аппроксимации (АПР2) пространства V, описанной в п. 1.4.2, некоторую новую схему дискретизации для уравнений Навье—Стокса. Напомним, что для этой аппроксимации пространство Vh является подпространством в ЯЦ62), и мы возьмем, как в линейном случае,

«л(«л, ®л) = ^((«Л, вй)),(3.53)

<lh. ®л> = (/> ®л)».(3.54)

тде ((., .))—скалярное произведение в Уд и в Я£ (62). Определим форму bh равенством

bk^uk, vh, чю^-Ь^, vk, чю^ V»h1 4)h, чюк^Ун, (3.55)

где 6 определено формулами (3.23) —(3.25); так как Vh — пространство ограниченных вектор-функций, то формы bh определены на Vh; они трилинейны и, следовательно, непрерывны.

Условие (3.6), очевидно, выполнено, в силу нашего выбора bh;

проверке условия (3.7) посвящена нижеследующая лемма.

Лемма 3.2. Если phtth = uh сходятся к юи, то

bh(uh, uh, r^v)-*Ь(и, и, v) Уч^^.(3.56)

Доказательство. Напомним, что Е=НЦ^1у а ® и рк — тождественные операторы. Утверждение, что phuh слабо сходится к сой в F, означает, что

йд —* и слабо в Ну (Й).(3.57)

Теорема 1.1 о компактности показывает тогда, что

йд —* и сильно в £2(Й).(3.58)

Доказательство проводится далее точно так же, как и доказательство леммы 3.1, если заметить, что

гкч)-*ч> в норме L“(Q),(3.59)

Dtrh<D —► В£ч) в норме L" (Q), l^i^n;(3.60)

sto фактически было доказано в предложении 1.4.3 (см. (4.63)). □ Теорема 3.1 дает нам следующий результат о слабой (или сильной) сходимости:

если р (Л) —* 0, причем о (й) ^а (т. е. h G ^а),

то Uh--* и в Я£(Й) слабо (или сильно).(3.61)

Точно так же, как в линейном случае (см. п. 1.4.2), можно показать, что существует ступенчатая функция лд:

(3-62)

<У h

V^h<y характеристическая функция симплекса <У\ такая что

^“м v^)-Vbh(uh, uh, г>д)-(Лд, divt>A) = (/, г>й) -VDh G Wh. (3.63)

Это уравнение —дискретный аналог уравнения

■v^u, v)) + b(u, и, v) — {p, div !>) = (/, г>)

Уч) G Я,1, (Q) П L" (Й). (3.64)

Поскольку размерность n = 2, то b есть непрерывная трилинейная форма на Ну^ и существует константа с, такая что

(3.65)(3.65)|Ци, ч>, ^^cllttjlJjvjljwlj Уи, V, чю^Ну^\

(3.65)

(3.65)

Эта оценка может быть установлена тем же методом, что и оценка (1.18): следовательно, имеет место (3.8) с с(м, Й)_=с._

Получим оценку ошибки, предполагая, что я £ i?3 (И), Р € #2 (^) и выполняется одно условие, аналогичное (3.51). Возьмем УА = = rhu — uh в уравнении (3.63) и у = rhu — uh в уравнении (3.64); вычитая одно уравнение из другого, найдем

v ((я -uh, rhu-ahMb (я, u,rhu~и^ -b(uh,uh, rhu -u^ — (p — nh, div(rAH — яА)) = 0. (3.66)

Так как div(rAH —яА)—ступенчатая функция, постоянная на каждом симплексе 5f^S"h, то мы имеем

(р—лЛ, б^(гАя-яА)) = (р-лд, div (гАя-яА)),

где лА определено формулой

ЯА = £■(3-67)

^^h V7 /

Следовательно,

| (Р - лА, div (гАя - яА)) | ^ | лА - р | div (гАя - яА) |

^| лА-р|||яА-гАя5. (3.68)

Оценим разность

b^uh, tth, rhii—a}—b(a, a, rhu~u)

= Цин — гни, uh, rhu — iihHHrhii, uh, r^u — a^

—b(u, и, rhu — u} = b(uh — rhu, uh, rhu — a^

+ b(rhu, rhu — u, rhtt — uhWbVhtt — tt, u, fhti — UhY

По абсолютной величине эта сумма может быть оценена, в силу (3.65), величиной

.с;[иА||гди —иА1|а+с{)|гли|Ц-!|и1!}|кл« —«1Пкл« —«л11- (3.69)

Напомним, что v || uh |j2 = </, uh> и, значит, Ц «А || ^ v~* |/?|. Поэтому сумма (3.69) не превосходит

.(с/v) | /1 li ил - Г1ДII2 + С (II rhu II + II я 11} ||гАя - я IIIIГАЯ — ЯА |].

(3.70)

Используя оценки (3.68) и (3.70), получаем из (3.66)

"(v - (c/v) I f I) II яА - гАя II2 < VII яА — гАя IIII я - гАяII

+1 "А - Р III «л - ^и II + с (|| гАя ||+1| я ||} II« - 7fta U || яА - гЛя ||. ■

Окончательно

(v - (c/v) |/1) || uh - rhu || < v || и - rhu ||

+ Ид —р|+с(||гдЯ||+Ця||}||я —гЛя||. (3.71) При предположении

v2>c|/|(3.72)

неравенство (3.71) дает опенку невязки между uh и г^, а следовательно между я и йА.

Аппроксимация (АПРЗ). Как и в линейном случае, метод изучения этой аппроксимации очень похож на метод, использованный для аппроксимации (АПР2).

Аппроксимация (АПР4). Напомним, что здесь Q должна быть односвязной открытой областью в R2. Так как (АПР4)— внутренняя аппроксимация пространства V, то простейшая схема (3.9)» связанная с этой аппроксимацией, такова:

найти uh € Vh, такое что

v ((«Л, Уд)) + й(Яд, uh, Уд)=</, vh> VvA€KA. (3.73)

Теорема 3.1 применима и показывает, что

uh—»и в V при р(й)—+0,(3.74)

при условии что о^^а, (т. е. й € -%«). Невязку между и и uh можно оценить следующим образом (если имеет место единственность). Возьмем у = я —яЛ в вариационных уравнениях, которым удовлетворяет я:

у((я, ®)) + &(я, я, ф) = (/, у) Vy^K.

Затем возьмем <о= rhu — uh в (3.73); вычитая эти уравнения одно из другого, найдем

у||йд —я||2 = У((я —Яд, Й-Гдй)) + Й(йд, Ид, Гдй —Яд)

— й(я, и, rHu — uhY (3.75)

Разность й(йд, Яд, гдя —Яд) —й(я, я, Гдй —йд) равняется

Ь(яЛ —я, Яд, Гдй-йд) + &(й, Яд-я, ГдЯ —Яд)

= Ь(Яд —я, Яд, ГдЯ-я) 4-Й (Яд—я, Яд, Я-Яд)

+ Ь(я, Яд—Я,/ГдЯ —Я) = Й(Яд — Я, Яд, ГдЯ —я)

+ Й(Яд —Я, Я, Я —Яд)+6(Я, Яд —Я, ГдЯ —я).

Ввиду (1.18), выражение справа оценивается величиной

о <11 “ II +1| tth IIH »h - «II кд« - и ||+с || а I! || и - яд ||2.

Напомним, что v||h||2 = </, я>, JI яЦ ^ v—4j^ ||и и аналогично *|Яд||а-<=</, ПА>, ЙлЖу"'11/;|/,. Поэтому последнее выражение

оценивается величиной

(2c/v) |/11| uh - и || || rhu — и || + (c/v) ||/11| и - uh ||2.

Тогда из (3.75) вытекает, что

(v—7l/l)ll«A-a||2<(v+^ |/|)||яд —я||||гАо—й||,

(v —1|/|)||Ил-И||<(У+^|/|)||гАй-^(3.76)

Неравенство (3.76) показывает, что если

v2>c||/k,(3.77)

то невязка ||йЛ —и|| имеет тот же порядок, что и ^rhu — я[|. Так как с—это константа с (л) для и = 2 в (1.18), то неравенство (3.77) есть в точности то неравенство (1.37), которое гарантирует единственность решения и задачи в точной постановке.

Аппроксимация (АПР5). В случае когда рассматривается аппроксимация (АПР5) пространства V, мы можем положить

ан <»н> ^ = v ((«л- vh^h,(3.78)

</А. Уд> = (/, ^l,(3.79)

bh(uh, vh, wh) = b'b(uht vh, wh) + b"h(tth, vh, <wh>,(3.80)

ЬЦак, vk, wh) = -j- У ^„ЦЭ^и^и^дх, (3.81) i. / = 1 ы

bh (uh, <0^ -iyh) = — ^ У J uihy/h (Dihw/h) dx. (3.82) i, / = 1 Q

Ясно, что bh, b"h и bh — трилинейные формы на Vh, и так как РА конечномерно, то эти формы непрерывны.

Мы должны проверить (3.6) и (3.7); (3.6) очевидно в силу нашего выбора формы bh, а доказательству (3.7) посвящена следующая лемма.■_

Лемма 3.3. Пусть п^З. Если phuh слабо сходится к юи, то

bh^ah> uh, rh<o)—*b(u, и, у) Vy^^.(3.83)

Доказательство. По предположению,

uh —► и слабо в L2 (й),(3.84)

Dlltuh —♦ Dtu слабо в L2(й), Х^К^п.(3.85)

(3.86)(3.86)Теорема 2.4 о компактности показывает, что uh —♦ и сильно в L2 (й).

(3.86)

(3.86)

Нам известно, что если ©gT3, то phrhv сильно сходится ко© в F; далее, из доказательств предложений 1.4.12 и 1.4.15 вытекает, что г^ —* ч)в норме L® (й),(3.87)

П^г^ —► £>,© в норме L” (Й).(3.88)

Доказательство (3.7) будет завершено, если мы покажем, что

(3.89)(3.90)(3.89)(3.90)biA^, uh, r^-^b' (й, я, ©), bHah, яА, га©) — У(й, я, ©).

(3.89)

(3.90)

(3.89)

(3.90)

Чтобы установить (3.89), запишем

№(«д. «Л. г^-b' (й, и, ©)|

ппп /•

п

п

ппс0 2 XViihyjh-Uio^D^ijHd.x

п

п

} и^ДП^и^—О^А dx .

Q

Все эти интегралы сходятся к нулю, и тельство (3.90) аналогично. □Все эти интегралы сходятся к нулю, и тельство (3.90) аналогично. □доказано. Доказа-

Все эти интегралы сходятся к нулю, и тельство (3.90) аналогично. □

Все эти интегралы сходятся к нулю, и тельство (3.90) аналогично. □

Результат о сходимости, даваемый теоремой 3.1, означает, что

(3.91)(3.92)(3.91)(3.92)ан- —* исильно в L1^,

(3.91)

(3.92)

(3.91)

(3.92)

Dth,uh. —► Dtu сильно в V (й), 1 ^ I ^ п

(напомним, что п = 2 или 3). Точно так же, как в линейном случае, можно показать, что существует ступенчатая функция лА, постоянная на каждом If ^S"h, равная нулю вней(А) и такая, что

v((«A, -Он^к^Ьнкин, ию v^-^, divA©A) = (/, ©й)

V©a€^a. (3.93)

Если удовлетворены условие (3.8) и некоторое условие, аналогичное (3.10), то яА и я единственны и невязка между ними может быть оценена, как в линейном случае, если, кроме того, я € К8 (Й) и р^1 (Й).

Лемма 3.4. Пусть и, р—точное решение задачи (1.8) —(1.10).

Предположим, что и^а^, р£#2(Й) и Й = Й(А). Тогда

v((«, ©A))A+bA(U, и, -о А - <р, div ©А)=(/, ©А)+/А(®А), (3.94) где

IЧ ^А К с (я, р) р ^ I! -vh \\h-(3.95)

Доказательство. Возьмем скалярное произведение в L2 (й) элемента ©А ^ Wh с уравнением (1.8), записанным в виде

— V Ай 4- 4- X kuiDitt + Di («.“)) + grad р =/.

<=i

Так как Q = Q (/г), то мы получим

—v(A«, УДу + у (UiDia + Dt(uiU), -о^^

+ (gradp, «^-(У, ©й)^} =0. Формула Грина, примененная несколько раз на каждом симплексе сУ, показывает, что левая часть последнего соотношения равна

№> v^h +^(», “• ®л)-(Р- divA ®й)-(Л ®й) -^(®й)}=°,

где

lkM = Ц J $drL

dvdv / J

Оценка (3.95) для /а(уа) легко следует из предложения 1.4.16. □

Далее действуем, как и при доказательстве (3.71). Возьмем vh=uh — rhu в соотношениях (3,93) и (3.94) и вычтем одно соотношение из другого. Получим

у((и-яЛ, ал-гА«))л + М«. и, ttk-rha)

— bhkuh, ah, u/l-rhu) — (p — ^h, &wh^hu — uh^ = lh (vA).

(3.96)

Так как divA (rhu — tiA) равняется нулю, то соответствующий член пропадает. Оценим разность

bhkuh, uh, uh-rhu^-bh<u, и, uh — rhu^ = bh^ah — rhu, uk, a„-rhn)

+ b„(rhu, ah, itb-rnt^ — biAit, u, uh — rha)

= bh(uh-rha, ah, uh-rh^

+ bh(rhu, rhu-u, uh — rhuWbhVhU—ii. u, uh—rhu\

Абсолютную величину этой суммы можно оценить, используя (1.18) и (3.65), как

' СII «Л 1'^ Wk - W IK + с {|| rhu ||A + II и ||} II rhu - и |IA!! uh - rhu JA.

(3.97)

Напомним, что v[Iйа|K = </, uh> и, следовательно, |]aA|A ^v-11/|. Поэтому сумма (3.97) не превосходит

WI/1U «h - rhu |K+c {|| rhu |И11»11} II rhU - и ||A II гАя - w, )A.

(3.98)

Используя эту оценку и (3.95), получаем из (3.96)

(v- (c/v) |/1) || яА- rhu|К С v|| uh- rhu W-rh»|1Д

+c 111 rhU 11л+11«11} 11 »h - rhu ||A || и - rhu ||A

+c(a, p)p(/i)|jaA —гАя||А.'(3.99)

Окончательно

(v - № |/1) || uh - rhu ||A ^ v || и - rhu ;|A

+c{ikft«llA + ll«ll}ll« —rft«||A+c(«, P)p(A).(3.100)

В предположении что.

V2>c|/|,(3.101)

неравенство (3.100) дает оценку невязки между uh и г^и, а следовательно между а и яА.

Численные алгоритмы. В последующем анализе мы ограничиваемся случаем п^4. Наша цель — распространить на нелинейный случай численные алгоритмы, описанные для линейного случая в § 5 гл. I.

Заметим, что стационарные уравнения Навье —Стокса не являются в отличие от уравнений Стокса уравнениями Эйлера ни для какой задачи оптимизации. Поэтому приводимые ниже ал- . горитмы представляют собой некоторое расширение классических алгоритмов Удзавы и Эрроу — Гурвица, относящихся лишь к задачам оптимизации.

Всюду в оставшейся части этого параграфа мы будем использовать трилинейную форму b^u, v, и1), определенную формулами (3.23)—(3.25). Это непрерывная трилинейная форма на Я„(П)х хт^хн’ (Q), и существует константа с = с(п), такая что

\Ь(и,,о, ги)|< с (п) || и || || У||||ги || Уя, <о, Ф^Я4 (Й) (и^4).

(3.102)

Как мы уже отмечали,

Ь(и, у, ги)=6(я, у, w), если u^V, <о, w$HlB№)> (3.103)

Ци, У, ф) = 0„,я, ф^Я^И).(3.104)

Алгоритм Удзавы. Для того чтобы аппроксимировать решения задачи (1.8) — (1.10), ^ы, как и в § 1.5, построим две последовательности элементов

итСЩ^, P-GL1^.(3.105)

Это построение осуществляется относительно легко потому, что для аппроксимирующих уравнений условие diva = 0 пропадает. Мы начинаем алгоритм с произвольного

p°^L2^.(3.106)

Если рт уже известно, то определяем и™*1 как некоторое решение задачи

a”=+i^^(Q), v((am+1, у))+Ь(«™+1, um+1, у)

= (pm, divy) + (/, У) V-oGH1^).(3.107)

Далее, определим pm+1 посредством соотношений .

p^Gt1 (Q),

(pm+i_pm, </)+р (div ят+1, q) — 0 VqGL1 (Q).(3.108)

Позже мы дадим условия, которым должно удовлетворять число Р > о.

Существование am+1, удовлетворяющего (3.107), не очевидно, но его можно доказать, используя метод Галёркина, точно так же, как в теореме 1.2, и мы опустим это доказательство. Нетрудно видеть, что я”+1 является решением следующей нелинейной задачи Дирихле:

—vA«m+1 + £ tt7+vDiUm+v + у (div ят+1) um+1

= -gradpm+/6^-1 (Q).(3.109)

Решение задачи (3.107) —(3.109), вообще говоря, неединственно. Если «™+1 известно, то pm+v явно задается посредством соотношения (3.108), которое эквивалентно следующему:

рт^ = р™ — pdiva^ePlQ).(3.110)

При исследовании сходимости мы будем предполагать, что

V — (с (n)/v) |!/||u- = v>0;(3.111)

в силу (3.102), (3.103) и теоремы 1.3, условие (3.111) гарантирует единственность решения задачи (1.8) —(1.10); р единственно с точностью до аддитивной постоянной. Зафиксируем эту постоянную, потребовав, чтобы

р (х) dx = 0.(3.112)

Предложение 3.2. Пусть п^4 и выполнено условие (3.111). Предположим, что число р удовлетворяет условию

0 < р < 2v.(3.113)

Тогда при т —* оо

ити в норме Н\^,■(3.114)

рт р слабо в V (Q),(3.115)

где (я, р}—единственное решение задачи (1.8)—(1.10), удовлетворяющее (3.112).

Доказательство. Положим

ym+l_ ит + 1_ Я) qm+l_pm*l_p(3.116)

и будем действовать, как при доказательстве теоремы 1.5.1. Вычтя уравнение (3.107) из уравнения

v((a, ®))+Ь(я, я, у) — (р, divy) = </, y>Vy^ Н^^

.(З.П7)

и взяв y=ym+1, получим

v||ym + l||2_^»ii div ®“ + 1)+b(H, Я, у® + 1)

— 6(ят+1, я”*1, <от*^ =— (p”*+1— q”, divy”+1)

— (<?™+1> diw™+1)4-b (vm+1, я, v'”+1)

(в силу (3.102) и (1.39)) — (qm+1 — qm, div и”"1"1)

— (qm+1, divy”+1) + (c/v)||/||v,||ym+1i^(3.118)

Положив q = qm*v в (3.108), найдем, что

|pm + 1|2 —\qm |2+|^m + l_ ^m |2 = _ 2p(diV®“ + l, qm*^..

(3.119) Умножим неравенство (3.118) на 2p и сложим его с (3.119); это дает неравенство

I qm*l |2 _ | qm |2 + | qm*l _ qm |2 + 2р (v - (C/v) Ц/Цу.) || <От*^ ||2 ^ — 2p(q™+1 — qm, divt»m+1),(3.120)

которое аналогично равенству (5.12) из доказательства теоремы 1.5.1 с константой v, замененной на v (см. (3.111)). Доказательство завершается теперь точно так же, как в теореме 1.5.1 □

Замечание 3.1. В общем случае, когда не предполагается единственности, мы можем доказать результаты о слабой сходимости для средних значений

Nr‘N

Эти последовательности ограничены в Но (О) и L2 (£2), и каждая их слабо сходящаяся подпоследовательность сходится к паре {«, р), которая является решением задачи (1.8)—(1.10).

Алгоритм Эрроу — Гурвица. Мы построим последовательность пар (я™, р™} следующим образом. Начнем алгоритм с произволь-

ных элементов

«“€#»($). p°€L3(Q).(3.121)

Если р™, и™ уже известны, то определим рт*\ и"1*1 как решения задач

^■►^^(Q), ((am+1 —«®, y)) + pv((«”\ у))

+ b^um, и™*1, ,о^ — р^рт, divy) = p(/, у) Vy^^o(^).

(3.122) pm+1€L2 (Q),

a(p”+l — pm, g) + p(div »”+1, 7) = 0 V^^L2(Q).(3.123)

Предположим, что p и a — строго положительные числа; условия на р и а будут даны позже.

Существование и единственность ит+1 €; НЦЙ), удовлетворяющего (3.122), являются простым следствием проекционной теоремы; (3.122) — линейное вариационное уравнение, эквивалентное задаче Дирихле

ит+1^Ш^,

—Ай®+1 + р У, иТВ(ат+У + (р/2) (div ит) ит+1 i = 1

= —\ит + pvum + р grad рт +/.(3.124)

Следовательно, рт+1 явно задается равенством (3.123), которое эквивалентно равенству

рт + 1 = ря —(p/a) div ит + 1 £ р(Й).(3.125)

Сходимость удается доказать лишь при более сильных условиях, чем использовавшиеся в предложении 3.2.

Предложение 3.3. Предположим, что п ^4,

V —

-^1 V 1

4/^2

>0

(3.126)

и

0<

: р <

av*

2 (l + v2a) "

(3.127)

Тогда при

т-^

СЮ

ат

и

в норме Hl (Q),

(3.128)

рт

-*Р

слабо в I? (Q),

(3.129)

еде \и, р\—единственное решение задачи (1.8)—(1.10), удовлетворяющее (3.112).

Доказательство. Мы опять используем обозначения (3.116). Возьмем ® = 2®m+l в (3.117) и (3.122) и вычтем эти уравнения

одно из другого; это дает

|| ут + 1||2 _ || ут ||2 _|_ || ym + l _ «цт ||2 _|_ 2pv || ®m + 1||“

= 2pv((®“ + 1, <от*х — у™)) + 2р(qm, div©m+1)

4-26 (я™, um*Y, vm*1) — 2b(u, и, <от+1^

^ 4 -11| у т +1 _ ут 1|2 _|_ 4 р2V2 || ут + 1||2 _|_ 2р (дт, J j у у™ + !)

4-26 (ym —ym+1, я, ym+1)4-26(ym+1, и, ym+1)sC(B силу

(3.102) и (ЕЗЭ))^-1^*1 —y'”||24-4p2v2!|y^

+ 2р (qm, div ®m+1) + (2c/v) ||/||v, Ц^+i—®“ ||||y™+i ||

+ (2c/v) Ц/Цу, [ y™+1|]2 ^ 2-11| y™+1 — y” |p + 4p2v2

+ (4c2/v2) Ц/Цу, + (2c/v) ||/||и,) || ym+i ||2 + 2p (qm, div ym+1).

(3.130)

Возьмем q = ’2qm+l в (3.123):

a|gm+1|2—a । ^,.112 — 2p ^qm+1, divy",+1) = — 2p(g“, divym+1)

— 2p (qm+1 — qm, div vm+1) <^ — 2p (g”, divym+1)

+ 2p | qm*v — qm 1|! vm+11| < (a/2) | qm+t—q” |2

4-(2p2n/a)||ym+1||2 —2p(gm, divym+1)(3.131)

(см. соотношения (5.13), (5.25), (5.26) гл. I). Сложив неравенства (3.130) и (3.131), получим

а | qm+112 —a | qm |2 + 2"11 qm+x — qm |2 + j| vm + 11|2 — Цу”’ Ц2 + 2-i |. y-”*i -©»,|2 + 2p (v -(22/v) ||/|!v, -(432/v2) ||/|^. — 2pv2 — (2p/a) || <om+11|2 <0.(3.132)

Условия (3.126)—(3.127) гарантируют, что коэффициент при цут-ыцг (3.132) строго положителен; поэтому это неравенство аналогично неравенству (5.27) в доказательстве теоремы 1.5.2; мы завершаем доказательство, как и в той теореме. П

§ 4. Теория бифуркаций

и результаты о неединственности

Единственность решения стационарных уравнений Нагье — Стокса была установлена лишь в предположении, что v достаточно велико или что заданные силы и граничные значения скорости достаточно малы. Поэтому можно ожидать, что в противном случае решение неединственно, и это действительно было доказано Юдовичем [1, 2], Рабиновичем [2] и Вельте [1, 2]. Две первые работы имеют дело с задачей Бенарда (уравнения Навье— Стокса плюс уравнение теплопроводности), а в третьей устанавливается неединственность решения задачи Тейлора.

В этом параграфе мы докажем неединственность решения задачи Тейлора, следуя Вельте [2]. В п. 4.1 приводятся постановка задачи и некоторые предварительные результаты; в п. 4.2 напоминаются основные результаты из теории топологической степени, которые нам потребуются дальше, а в п. 4.3 дается доказательство теоремы о неединственности.

Задача Тейлора. Предварительные результаты.

Уравнения. В задаче Тейлора изучается течение вязкой несжимаемой жидкости в области пространства R3, ограниченной двумя бесконечными цилиндрами радиусов rt и г4 (гг > гг> 0), имеющими общую вертикальную ось. Внутренний цилиндр вращается с угловой скоростью а, а внешний покоится.

Поскольку мы ищем осесимметричные решения, будем использовать цилиндрические координаты в R3, скажем г, 0, г, где ось г совпадает е осью цилиндров. Таким образом, жидкость заполняет следующую область Q:

П<г<га, — оо<2< + оо. (4.1)

Обозначим через и, и, w компоненты вектора скорости в цилиндрических координатах, а через р — давление. Безразмерная фирма уравнений движения для осесимметричного течения такова:

/д -и\-ди,-ди—г I Аиг ) 4-и -тriv—. Л\г2/дгдг,/л-о\-до.-де.— v ( Avг I + и—5—Ь—НX\г1)дг1дг'\ .-- dw , - dw , др ,,— v Аш 4- и -дН w-sк = 0;X 1 дг ' дг ' дг ’/д -и\-ди,-ди—г I Аиг ) 4-и -тriv—. Л\г2/дгдг,/л-о\-до.-де.— v ( Avг I + и—5—Ь—НX\г1)дг1дг'\ .-- dw , - dw , др ,,— v Аш 4- и -дН w-sк = 0;X 1 дг ' дг ' дг ’— и2 +-^- =0,г ' дг ’— и2 +-^- =0,г ' дг ’й и= 0й и= 0^М + ^(та) = 0,^М + ^(та) = 0,(4.2)(4.3)(4.2)(4.3)

/д -и\-ди,-ди

—г I Аиг ) 4-и -тriv—. Л\г2/дгдг,

/л-о\-до.-де.

— v ( Avг I + и—5—Ь—Н

X\г1)дг1дг'

\ .-- dw , - dw , др ,,

— v Аш 4- и -дН w-sк = 0;

X 1 дг ' дг ' дг ’

/д -и\-ди,-ди

—г I Аиг ) 4-и -тriv—. Л\г2/дгдг,

/л-о\-до.-де.

— v ( Avг I + и—5—Ь—Н

X\г1)дг1дг'

\ .-- dw , - dw , др ,,

— v Аш 4- и -дН w-sк = 0;

X 1 дг ' дг ' дг ’

— и2 +-^- =0,г ' дг ’

— и2 +-^- =0,г ' дг ’

й и= 0

й и= 0

^М + ^(та) = 0,

^М + ^(та) = 0,

(4.2)

(4.3)

(4.2)

(4.3)

(4.4)(4.4)(4.5)(4.5)

(4.4)

(4.4)

(4.5)

(4.5)

где

дг2 ' г дг' дг2

И Х= Re —число Рейнольдса:

Х = Re = ar(v-1.

Граничные условия на боковых поверхностях цилиндров таковы:

u = w = 0, и= 1 для r = rtl

u = v = u» = 0 для r = rv

Известно одно очень простое решение задачи (4.2), (4.3), (4.6), которое мы будем обозначать через и0, ув, w0, р0:

uo = tyo = O, нв(г) = -^uo = tyo = O, нв(г) = -^ri—г?ri—г?(4.7)(4.7)

uo = tyo = O, нв(г) = -^

uo = tyo = O, нв(г) = -^

ri—г?

ri—г?

(4.7)

(4.7)

Ро (г) = Vo In Г + const.

В связи с этим можно искать решение задачи (4.2), (4.3), (4.6) в виде

u = u04-u, y = v04-u, w = w6+w, р = р0 + р.

Мы получим для и, у, w, р следующие уравнения:

1 / Ли \ . ди .ди1„2,др п

— v AUg + И- + К* "5VW. += 0,

Л \г2 )' дг 'дгг г0 1дг ’

1 / л и \ . ди . ди . 1, 1 ,,_

(4-8)(4-8)(4.9)(4.9)~т( Л^-7j + Ud7 + “y~+7tW + 7(t'o + ™o)U = 0’

(4-8)

(4-8)

(4.9)

(4.9)

1л 1дш ,ди>,др „

— v Аиу + u -5— 4-w-r—=0, л 1dr 1dz1dz 1

где и;=^°,

^М+^(М = 0,

и следующие граничные условия, вытекающие из (4.6):

u = u = ty = 0 для г = г, и r = r2.(4.Ю)

Заметим, что граничных условий (4.10) недостаточно для того, чтобы хорошо поставить задачу (как и условий (4.6) недостаточно в случае уравнений (4.2), (4.3)): нужно еще добавить некоторые граничные условия при г = ± оо. Мы можем искать либо решения и, у, ш, обращающиеся в нуль при г = ±оо, либо решения, не зависящие от г, либо решения, периодичные по г. Первая возможность в точности соответствует типу задач, изученному в § 1; вторая возможность тоже, поскольку дело сводится к нахождению двумерных решений. Задача третьего типа (периодичные по г решения) не совпадает ни с одной из задач, рассмотренных в § 1, но очень близка к ним, и в действительности решения такого вида наблюдаются в.-эксперименте. Мы будем искать решения задачи (4.8)—(4.10)f которые периодичны по г с периодом L. Напомним, что всегда имеется тривиальное решение u = u = w = p = 0; мы хотим показать, что в некоторых случаях существует еще и нетривиальное решение.

Функция тока. Из (4.9) вытекает, что существует функция j = f(r, г), такая что

угкгЬ = ги, уДгП = — п«.(4.11)

Граничное условие (4.10) гарантирует, что / — однозначная функция. Представляет интерес записать уравнения (4.8), используя только зависимые переменные /, и. С этой целью продифференцируем первое уравнение (4.8) по г, а третье по г и вычтем одно из другого полученные уравнения. Член с давлением исчезнет; замечая, что

dz dr'\ dr / ’

где

Тг — д;2 т т дг^ дг2 т» *

мы получим после приведения подобных членов

^/+х(л$ + М(Л У))=0,(4.12>

где

V. S (К ^ + ^ [4 ($ w) ^f] + т ж №.

< х 2и02 [ «X , \

Второе уравнение в (4.8) может быть записано следующим образом:

SuA-X^b^^N^L v)) = 0,(4.13)

где

\ г/ г-i— Г1

Граничные условия (4.10) принимают вид

/ =-^=У = 0 для r = rt и т = гг.(4.14)

Итак, задача свелась к нахождению нетривиальных периодичных по г с периодом L решений /, и задачи (4.12)—(4.14).

Ассоциированное функциональное уравнение. Поскольку функции / и v периодичны по г с периодом L, достаточно рассмотреть сужение этих функций на открытую область

6L = 1(г, г) | гх < г < rv — Ы2<г< L^.

Обозначим через Hk{Q\ L) пространство всех функций, удовлетворяющих следующему условию: если функцию продолжить на. область

6=\V> z)\r1<r<r1, г ER}

как периодичную функцию периода L, то продолженная функция будет принадлежать Нк для любой ограниченной подобласти области б. Фактически Hk(6\ L) является в точности подпространством в Нк^О» состоящим из тех функций и, для которых

div (L\ div { L \ . п.

—; I f, —-s- =—: U, -о , / = о, ..., к — 1.

дг! \2 / уг/ \2 /

Введем теперь пространства W = WtxWa и V = V1xVa:

Wt = ^£H3(6; ^)|/ = 57 = ° ПРИ r = rt и r = ra|,

Wa = \v^H1 (б; L)|v = 0 при r = rt и r = ra\,

Vt = H46; L^Wt, Va = Wa.

Ясно, что Wv Wa, Vu Va, снабженные нормами, индуцированными соответственно из Н3 (6L), Hl (6L), Н3^), №(6l), являются гильбертовыми пространствами. Снабдим V нормой произведения, индуцированной из Н3 (6Л) X Н3 (61), однако W наделим другим скалярным произведением:

((ф1, Ф2)) w = ((/Ь /2)) W, + №1, U2))U7„(4-15)

((/i,$ ^-^rdrdz,

6l

j($^ + ^H<k, 6i

где cp(. = {/z, и,) — элементы из W. Соответствующая норма в Wa, очевидно, эквивалентна норме, индуцированной из Н1^^, а соответствующая норма в Wv согласно приводимой ниже лемме 4.1, эквивалентна норме, индуцированной из №(6L). Таким образом, W является гильбертовым пространством со скалярным произведением (4.15).

Лемма 4.1. Норма ||/||ц7, в Wv эквивалентна норме, индуцированной из Н3 (6д).

Доказательство. Легко видеть, что если / и g принадлежат W^, то

У 2f.gr Дгйг = - У (M + ^)rdrdz. (4.16) бт" бт

Поэтому если f€W* и .27 = 0, то ^ ^f • fr dr dz = 0 и f = 0, 6l

в силу (4.16). Следовательно, Ц/Цц?,—норма. Эта норма в W^ эквивалентна норме \ SHi-HOO' а последняя эквивалентна норме, индуцированной из №(6L), как показывает применение теорем о регулярности к оператору „^—эллиптическому оператору второго порядка (см., например, Агмон, Дуглис, Ниренберг [1]). □

Оператор Т. Определение оператора Т будет дано после двух нижеследующих лемм.

Лемма 4.2. Для заданного g^L1 (0£) существует единственное и € ^2 (соотв. и € IF,), такое что

Su = g(4.17)

(соотв. S4v = gy(4.18)

При этом и^Н1 (б^, v £ Н4 (6L).

Доказательство. Как легко проверить, используя (4.15), эти задачи эквивалентны соответственно следующим:

найти и € 1^2, такое что

С (ди ди, , ди диЛ , , С , , w — 1+ г dr dz = I gu,r dr dz Vu. € W,;

Л \dr drdz dz )J s 1

0101

найти u^W-i, такое что.

J Sv• Svx-r dr dz = J gvxr dr dz Vu, € IF,. 0101'

Существование и единственность решения этих вариационных задач следуют из леммы 4.1 и проекционной теоремы (теоремы 1.2.2). Из теорем о регулярности для эллиптических операторов (здесь операторов S в S4^ вытекает, что u^№(0J, a о^НЦб^. П Лемма 4.3. Для (/, и}£У функции

^ + M(f, и), b^+NU, v)

принадлежат L4(6l).

Доказательство. Достаточно доказать, что М (f, и) и N (f, и) принадлежат L4 (0t). Это можно показать, используя теорему вложения Соболева, которая дает, в частности (см. п. 1.1): H2(6L)cz <=£°(0Д, Н1 (б^сЬ4 (0Д. Старшие члены в М (f, v) таковы:

Ьг1 . rat®! д_ , гагу dr dzдгдг^11'

если (^ u)^V, то / принадлежит Н3 (0t), d4f/drdz и Sf принадлежат Н1 (0J, а значит и L4 (0Д, а их произведение принадлежит Z.2(0J; df/dz лежит в Н4 (6L), а значит в ^О(0Д, д(дг (Sf) — в Р(0£), а произведение этих членов—в L4 (0L). Для других членов в М и N доказательство аналогично. □

Теперь мы можем ввести оператор Т. Согласно леммам 4.2 и 4.3, для всякой пары {/, и) из V существует единственная пара {/■, и'}, принадлежащая V, а также Н4 (0^)ХН4 (6^, такая что

^Г = -^а^ + М0,щу Sv'=-^b^ + N(f, и)).

Определение 4.1. Обозначим через Т отображение V в себя, действующее по правилу {/, у)|—*{/', и'}.

Связь этого оператора с нашей задачей такова:

Предложение 4.1. Следующие две задачи эквивалентны:•

найти пару {f,v\^V, удовлетворяющую (4.12) —(4.14); найти элемент ф = {/, и) из V, такой что

Ф = ХТф.(4.20)

Доказательство очевидно. □

Начиная с этого места, мы будем изучать задачу (4.12) —(4.14) в ее функциональной форме (4.20). Следующий подпункт посвящен изучению оператора Т.

Свойства оператора Т.

Лемма 4.4. Т—компактный оператор в V.

Доказательство. Пусть фп = {/„, у„) —произвольная ограниченная последовательность в V и ф„ = {f^, v^ = Tq>„. Более пристальный анализ доказательства леммы 4.3 показывает, что адо^дг + М^п, у„) и bdfn/dz 4- N (fn, у„) — ограниченные последовательности в Z?(6L). Поэтому 5?Ч'п и S^n- ограниченные последовательности в 24(6L), fh и у,',— ограниченные последовательности в H4(6L) и H2(6L), а тогда они являются относительно компактными последовательностями соответственно в Н^б,) (или VJ и в H4(6L) (нли Р2) (см. теорему 1.1). □

Рассмотрим линейный оператор В, определенный следующим образом:

Ф = {/,у)^ф" = ^,у"} = Вф,

^f"=_a^,= —(Г, и")€^.(4’21)

Для всякого ф£№ существует единственная пара {/", у"} из W, которая удовлетворяет (4.21) (см. лемму 4.2). Поэтому В — непрерывное линейное отображение из W в W П{//4(0£)Хнчбй\. Используя опять теорему 1.1, получаем такой результат.

Лемма 4.5. В—компактный линейный оператор в W и в V.

Между операторами Т и В существует следующая связь.

Лемма 4.6. Оператор В —это производная (по Фреше) оператора Т в точке 0.

Доказательство. Запишем /?ф = ф* = Тф —Вф = ф' —ф", ф£Р. Имеем

—М(/, у), ^0* = —М(/, у).(4.22)

Так как 7'0 = 0, то нам надо показать, что

Ф* II к/ll Ф il к —* 0 при ||ф||к-*0.(4.23)

Используя (4.22) и рассуждения из доказательства леммы 4.3, легко убедиться, что

IМ ^ у) । и ш < to IIФ Н. I N а. V) IL. (0L) ^ IIФII

(с,- —константы). Тогда по лемме 4.2

II ^* II № (6д) ^S С2 I ^ (Л У) I Д» (0^) ^ С3 II ф II V,

II у* II № (0L) ^СЛ^ (j, У) I L2 Ш < C6 || Ф || ^.

В частности, I ф*|| v ^ ce 11 <Р!lv', откуда и следует (4.23). □

Один результат о единственности. Прежде чем приступать к доказательству неединственности решения, мы установим один простой результат о единственности (для „малых" X), который представляет собой не что иное, как адаптацию теоремы 1.6 к задаче Тейлора.

Предложение 4.2. Если X достаточно мало:

0<Х<с^,ггу,■(4.24}

то задача (4.12) —(4.14) (или (4.20)) не имеет решений в V, отличных от тривиального.

Доказательство. Пусть ф = (А и} — некоторое решение задачи (4.12) —(4.14). Умножим (4.12) на А (4.13) на о и проинтегрируем эти уравнения на 6L по мере rdrdz. Имеем

[М (A v)-f—N(f, u)-и] rdrdz = 0.

Используя (4.16), получаем

Hi^i’+lsr+ISII^- 61

= хС ( — a^f + b^-v\ rdrdz.

6l

Интегрируя по частям, видим, что правая часть последнего соотношения равна

X С {а + Ь) и ^ rdrdz.

6l

Это оценивается как

Xr2sup|u + b|ly|L2 (б1)|Й|д, №й

^<rt, r„) j ^f|2 + |^.|+ g|aj rdrdz,

так как

sup|а + Ь| = ——гт,

г, < г < г,гг — п г,

IУI * 2 (0 ) С const J Q ^712 +1 ^ |2 ) dr dz(неравенство

Пуанкаре),

1S L« (6l) ^ COnst ' ।2 ^ ^ (&> КСМ* ЛеММу 4‘ ^ Оконча" тельно,

[1-Xc(rn r2)] j [|^| 2 + |-^-р4г|-^р] rdrdz^O, .6i

так что / = и = 0, если имеет место (4.24). О

Замечание 4.1. Незначительно видоизменяя предыдущее доказательство, можно установить единственность решения для X < X, где X—наименьшее собственное значение оператора (В-|-£*}/2, который компактен и самосопряжен в 117. Замечание 4.2. Наша цель—доказать в некоторых случаях неединственность решения для достаточно больших X.

Одно спектральное свойство оператора В. .

Некоторые разложения в ряд Фурье. Если f принадлежит L2(6i), то / обладает разложением в ряд Фурье:

S (/„(Иcos (пог) + Гп(г)sin (пог))(4.25)

п = 0

(с = 2л//.), где /„ и fn принадлежат D на интервале [rv г2]. Кроме того, сумма

( ”_ W1

2 (|L |Ь (/■„ г2) +1L11* от.'.О ( \n=0'•

конечна и определяет в La(6L) некоторую норму, эквивалентную обычной.

Функции из Hk(6;„L) (6^1) аналогичным образом обладают разложением в ряд Фурье вида (4.25), где f„, f„—функции из Hk(t\, г2). Сумма •*'

< » k_1 1/а

2 Sn^d/J^-y^^ + lfJ^-/^, „>)(4.26)

п = О / = ОJ

конечна и определяет в Нк (6; L) норму, эквивалентную норме, индуцированной из Hk(6L). -

■ Рассмотрим подпространство V в V, содержащее все пары V* иЬ удовлетворяющие условиям

/ (О — г) = — / (г, г), и (г, — г) = и (г, г).

Такие функции / и у допускают разложения в ряд Фурье вида

(4.27)(4.27)f = S /„sin (пог), у = 5 у„ cos (пог). п=0пвО

(4.27)

(4.27)

Не составляет труда конкретизировать предыдущие замечания для таких функций (V, а значит и V, является замкнутым подпространством в № (6; Цх Н4 (6; L)).

Далее, если ср = (/, у) £ V, то ср" = 5ф= (/", у") также принадлежит V и ряды Фурье для /" и у" получаются решением следующих одномерных краевых задач:

(4.28)(4.28)k^ — (по)2)2 % (г) = апаип (О, — (^ — («»)2) и'к (г) = Ьпа{п (г),

(4.28)

(4.28)

с граничными условиями

ГО = ^7-(г) = и„(г) = 0 при г = гх и г = гг. (4.29)

Обозначим через Вп линейное отображение \fn, у„} >—» {%, и^, которое непрерывно действует из L2 (r^ r^ х L2 (гп г^ в Н4 {гг, г2) х хН* (г„ г2).

Свойства операторов Вп. Отметим следующий результат, доказательство которого можно найти, например, у Карлина [1] или Кирхгэснера [1].

Лемма 4.7. Пусть М = a(r)^-+Р (г) -^г + ? (г), где а, р, у четырежды непрерывно дифференцируемы на [—1,1], а>0, у<0. Тогда

функция Грина G (г, s) для оператора М с граничными условиями G (± 1, s) = 0 отрицательна для г, s£(—1, 4-1);

функция Грина H(r,s) для оператора М2 с граничными условиями //(±1, s) = (d//)/dz (± 1, s) = 0 положительна для r,se{-\, 4-1).

Из этой леммы вытекает

Лемма 4.8. Функции Грина Н {k\ г, s) и G (А; г, s) для операторов ^ — к2У и —(о^ —А2) на интервале (гп г2) с граничными условиями (4.29) положительны на {rlt r^x Vv га)-

Используя эти ядра, мы можем превратить (4.28), (4.29) в интегральные уравнения

Гп(г) = па G (па; г, s) a(s) v„ (s) ds,(4.30)

■rs

v" (r) = na J H (na; r, s) bfa (s) ds.(4.31)

Собственный вектор оператора Bn— это пара функций (f„, и„}, такая что Вп {f„, ип\ = X ^п, оп) для некоторого X £ R. В этом случае выполняются соотношения (4.28), (4.29) с f" = Xfn, и"=Ху„. Они эквивалентны следующим интегральным уравнениям, которые выводятся из (4.30), (4.31):

г2

fn (r)= ^°$ ^ Vго' г, s) a (s) v„ (s) ds,(4.32)

Г!

оп(г^ = Кпа^ Н (па; г, s) 6/n(s)ds.(4.33)

Исключая vn, получаем

Г!'

fn (г) = Н$ К (па> r>s)fa (s) ds,(4.34)

Г1

где р, = Х2 и

г2

К (k; г, s) = k2\G (к; г, t) H(k;t,s)a (t) b dt.(4.35)

Укажем теперь некоторые свойства собственных значений операторов Вп. Они основаны на следующем результате, доказательство которого можно найти, например, у Виттинга [1]'. Лемма 4.9. Пусть К (г, s) обозначает некоторую вещественную непрерывную функцию, определенную на квадрате [rn г2]х[гп г2] и строго положительную внутри этого квадрата. Задача на собственные значения ^

/(r) = X K(r fs)f (s) ds, r1<r<r2,(4.36)

Г1

t Этот результат—частный случай общего результата Крейна—Рутмана [1], касающегося линейных компактных операторов, которые оставляют инвариантным некоторый конус в банаховом пространстве. Эти результаты обобщают на бесконечномерный случай хорошо известную в линейной алгебре теорему Перрона — Фробениуса для положительных матриц (см., например, Варга [1]).

имеет решение ^ > 0, отвечающее собственной функции f £ € $° ([п> г-г])> для которой / (г) > О для г1<г<г2. Любое другое решение задачи (4.36) будет отвечать собственному значению X, такому что |Х[ > Х1Ф

Лемма 4.10. Оператор В п обладает собственным значением Х^ > О, которому отвечает собственный вектор {/^, и),) с fln (г) > О, Уп (г) > 0 для г\< г < г.г Любое другое собственное значение X оператора Вп удовлетворяет условию |Х|>Х‘.

Доказательство. В силу (4.34), \fn, nJ является собственным вектором Вп с собственным значением Хп тогда и только тогда, когда/„ есть решение задачи (4.34) с р, = Х2. Но к уравнению (4.34) применима лемма 4.9, и тем самым наша лемма доказана, за исключением утверждения о положительности о\. Положительность и^ вытекает из леммы 4.8, положительности fX и соотношения (4.33), записанного с У„=и^, /„ = Д. □

Нам понадобятся и другие спектральные свойства операторов Вп. Лемма 4.11. Пусть Х„— некоторое собственное значение оператора Вп. Тогда

I > Х^ >,2 , aT»2o2.(4-37)

Доказательство. Лемма 4.10 дает |Xn|>XLt.

Докажем второе неравенство в (4.37). Имеем

(4.38)(4.38)И—(по)2)2 Гп (г) = XJ,апаи„ (г), ' — (<^ — (по)) и\ (г) = Х^Ьпо^п (г).

(4.38)

(4.38)

Умножим первое равенство на г^(г), второе —на го„(г), сложим и проинтегрируем. После интегрирования по частям получим

(4.39)(4.39)J Ут и^) = Х\по 5 (a + b) tW dr, г.

(4.39)

(4.39)

где

Uh y^yWviW

+ (пст)Т + (з;)2 + -^г ti2 + (w)2ti2] Г dr.

Правая часть (4.39) оценивается величиной

Х^по max | а + b | ^ | рпи„ | г dr

31|о+»| СЛппа шах -—я—1 < и° \2 (31|о+»| СЛппа шах -—я—1 < и° \2 (j р Г dr + ^Jlu}. |2rdr

31|о+»| С

Лппа шах -—я—1 < и° \

2 (

31|о+»| С

Лппа шах -—я—1 < и° \

2 (

Мы можем поделить на 7(Д, ц„), которое отлично от нуля, откуда и следует (4.37). □

Одно спектральное свойство оператора В. Заметим вначале, что если {/, и) — собственный вектор оператора В с собственным значением X, то ^п, и„}, соответствующие разложению (4.27) для (/, у), будут собственными векторами операторов Вп с собственным значением X. Наоборот, мы выведем из результатов п. 4.2.2 одно спектральное свойство оператора В.

Рассмотрим все Х„, п^Х, даваемые леммой 4.10. Из (4.37) вытекает, что Х^—* оо при п —»■ оо и, следовательно, inf X* коне- п>\.

чен и строго положителен. Обозначим через т наибольшее целое п, такое что XX = inf Х^. Может случиться, что Х„ = Х„ для р>1

некоторых других значений п, п<т. Мы хотели бы избежать такой ситуации, и, действительно, справедлива

Лемма 4.12. Можно выбрать период L так, чтобы Х{ > Х^ Vn > 1. В этом случае X} = infX,) обозначим через к^, X, является простым п>\_

собственным значением оператора В в V, и любое другое собственное значение X оператора В удовлетворяет условию | X | > Хр Собственный вектор ф1^/1, и1}, отвечающий Хп допускает разложение Фурье вида (4.27) с ^ = 0^ = 0 Yn > 1.

Доказательство. Пусть L выбрано произвольно, a = 2n/L и т определено, как выше (равно наибольшему п, такому что X„ = infXn). Положим а* = та, L* = Llm. Для соответствующего п>1

оператора В число Х^ есть собственное значение оператора Ву и Xj <Х), Vn> 1. Другие свойства, утверждаемые в лемме, теперь очевидны. □/

До конца этого параграфа мы будем предполагать, что L выбрано так, как указано в лемме 4.12.

Наш следующий результат касается степени Xt как собственного значения оператора В. Степень Xt — это размерность ядра кег (/—КВ)?, которая не зависит от р для больших р.

Лемма 4.13. В условиях леммы 4.12 Xt является собственным значением оператора В степени 1.

Доказательство. Покажем, что если (/ —Х1В)^ф = 0 для р^2, то U — KB^O, так что ker (/ — ХгВ)Р равно ker(/ —^В) для каждого р и его размерность равна единице, по лемме 4.12. Проведем доказательство индукцией по р. Нам достаточно показать, что из (/ — А^В)2 ф = О вытекает, что (/ —А1В)ф = 0. Пусть функция ф° удовлетворяет условию (Z — А^)2 ф° = 0. Предположим, что вектор (/ — А1В)ф° не равен нулю. Тогда этот вектор равен, с точностью до постоянного сомножителя, собственной функции ф1:

Фг = (/— А1В)ф°, ф^А^Вф1.(4.40)

Имеем ф° = Х.1В(ф° + ф1). Это равенство означает, что

^Т^а-^-^, ^v^M^^ + Z1).(4.4Ь

Напомг.им, что f1 (г, г) = f{ (г) sin (аг), и1 (г, г) = у! (г) cos (аг). Рассмотрим ряды Фурье для f® и и0:

f° = S fn sin (/гаг), v° = ^ и" cos (/гаг). П=1Л=1

Из (4.41) вытекает, что

(с^ — а2)2 f®L = X1O0 (и? + и[), —^ — а2) и? = Xtba (/"+Z1)'

.(4.42)

и для п ^ 2■

^ — а2)2 f® = X^anVn, — (о^ — а2) v“ = ХгЬап4 ”.

Так как Хг не является собственным значением Вп для п ^2 мы видим, что fn = V^=0 для п ^2.

Перейдем теперь от (4.42) к соответствующим интегральным уравнениям, как в (4.30), (4.31). Так как {Z1. ^ — собственный вектор оператора В,, мы получим

г»

tUr^K $ ° (°; r, s)a (s) av" (s) ds+ Z1 (г)>.

Г1

и? (/-) = A.t J Н (a; г, s) baf® (s) ds + vl (г). Г1

Исключая и” и используя ядро К, введенное в (4.35), мы приходим к уравнению г«

п (г)-Xl^K (a; г, s) fl (s) ds = 2/1 (г).(4.43)

Г1

7 Р. Темам

Это уравнение удовлетворяет альтернативе Фредгольма. Поэтому fl ортогонально собственной функции g, сопряженного уравнения:

gi (г) — хЦ К la; s, г) gt (s) ds = O.

По лемме 4.9 функции fl и gt положительны на lrt, г2), а это противоречит условию ортогональности

г,

$ A (S) gi(s) ds = o.

Значит, (/ —^В) ф° = 0. □

Некоторые элементы теории топологической степени. Напомним несколько определений и свойств из теории топологической степени. За доказательствами и дальнейшими результатами читатель1 отсылается к основополагающей работе Лерэ и Шаудера [1] или к книгам Красносельского [1], Ниренберга [1], Рабиновича [4].

Топологическая степень. Пусть Т — компактный оператор в нормированном пространстве V и S —/— Т (/—тождественный оператор в V). Пусть, далее, со, coz обозначают ограниченные области в V, со и дю — замыкание и границу со.

Если со— ограниченная область в V, u^V и u^S(dco), mo можно определить некоторое целое число d (S, со, и), называемое топологической степенью оператора S относительно со в точке V.

Основные свойства степени таковы:

Если co = o)l(j<o2, <»1Псо2 = 0, y^Sfdto^ и у^8(дю2), то o^S(dco) и

d(S, со, u) = dlS, con v) + d(S, со2, и).

Если d(S, со, и) = 0, то v^S(co); последнее означает, что уравнение

U — T) (u) = v

имеет по крайней мере одно решение в со.

Степень d(S,^, и) остается постоянной, если S, со, и непрерывно изменяются таким образом, что и никогда не принадлежит S(dco). 1

Индекс. Пусть и0 — некоторая точка из V и u = Su0. Предположим, что уравнение Su = u допускает лишь это решение и0 в некоторой окрестности ив. В таком случае для достаточно ма-

' Непрерывное изменение S означает следующее: 8 = 8 (Х) = /— Г (X), X £ R (или какому-нибудь другому топологическому пространству) и отображение Хн->Г (X) ср является равномерно непрерывным относительно <р (<р £ V).

лых е можно определить степень d(S, (оЕ (и0), и), где ме («о) ~ от‘ Крытый шар радиуса е с центром в и0. Согласно свойству степени (iii), это число не зависит от е при е —* 0.

Определим индекс оператора S в точке щ, как эту степень для достаточно малых е:

i (S, и0) = d (S, ®.. (u„), и), е < 80.

Ниже приведены некоторые основные свойства индекса:

Если уравнение Su = у обладает в некоторой ограниченной области со конечным числом решений ик и не имеет решений на до, то

d (S, со, и) = 2 i (S, и^.

Индекс тождественного оператора (7 = 0) в любой точке и0 равен единице:

1Д,и^=\.

Предположим, что 7 обладает в точке и0 производной Фреше А. Тогда оператор А компактен, как и 7. Если оператор / — А взаимно-однозначе. (т. е. 1 не является собственным значением Л), то и„ есть изолированное решение уравнения 8и = щ, и можно определить индекс i(S, и^. Имеют место равенства:

i (S, и0) = i (/ — А, 0) = i (/ — Л).

Если Л —компактный линейный оператор в V и оператор / — А взаимно-однозначен, то индекс оператора / — А равен ±1

Аналогично индекс оператора I — ХА определен на каждом интервале X' ^Х :gj X", не содержащем собственных значений А; этот индекс постоянен на таких интервалах и равен ±1. В частности, i(/ — М)=1 на интервале (0, Х^, где ^ — наименьшее положительное собственное значение оператора А.

Если X проходит через некоторое спектральное значение Х( оператора А, то индекс i(/ — М) умножается на (—1)™, где т — степень Хь т. е. размерность ядра ker(/ —Х,Л)А, которая не зависит от к для достаточно больших к.

Теорема о неединственности. Паша цель —доказать следующий результат.

Теорема 4.1. Для достаточно больших X и подходящих значений L задача (4.2), (4.3), (4.6) допускает периодичные по г решения периода L, отличные от тривиального решения (4.7).

1 Индекс оператора / — А можно определить тогда и только тогда, когда он взаимно-однозначен; если индекс определен, то он один и тот же в каждой точке и0.

Доказательство. Мы покажем, что уравнение (4.20) имеет нетривиальное решение в V, когда X достаточно велико. Согласно лемме 4.12, существуют такие L, для которых X, есть простое собственное значение оператора В в V; это и будут „подходящие" значения L. Из предложения 4.2 известно, что для достаточно малых X Q^^c^v гг\, см. (4.24)) (4.20) допускает лишь тривиальное решение. Если уравнение (4.20) имеет нетривиальное решение уже для некоторого Х£[0, XJ, то доказывать нечего. Поэтому мы будем предполагать, начиная с этого момента, что Ф = 0 является единственным, решением уравнения

Ф —ХТср для любого Х£[0, XJ.(4.44)

При этом предположении в последующих леммах устанавливается, с использованием теории степени, существование ненулевого ф из V, удовлетворяющего уравнению ф = ХТф с X > X,. □ Лемма 4.14. Пусть со— открытый шар в V с центром в нуле. Существует 6 > 0, такое что уравнение ф = ХТф не имеет решений на границе дю шара со ни для какого X из интервала [Х.-Х^б], Доказательство. Будем рассуждать от противного. Если наше утверждение неверно, то найдутся такая последовательность Хп, убывающая к Xv и такая последовательность ик, принадлежащая дю, что ип = ХпТип. Так как последовательность и„ ограничена, то последовательность Тип относительно компактна (по лемме 4.4) и у нее существует подпоследовательность Тип^ сходящаяся к некоторому пределу и из V. Тогда uni = XniTum сходится к Х^. Поскольку оператор Т непрерывен, то X1v = X1T (Х£ у). Значит, Х,и— решение уравнения ф —^Тф, и из (4.44) вытекает, ню Х1и = 0, и = 0. Это противоречит тому, что норма liX^I'y равна радиусу шара со (норма \\ип^ равна радиусу со Ум). □ Лемма 4.15. В предположении (4.44), если со и 6 таковы, как в лемме 4.14, уравнение ф = ХГф не имеет решений на дю ни для каких X £ [0, Xt + 6).

Это — очевидное следствие леммы 4.14.

Лемма 4.15 позволяет нам определить степень d(I— XT, ю, 0) для Х£[0, Хх + 6).

Лемма 4.16. Если 6 и со такие же, как прежде, то йЦ — XT, to, 0) — 1 для X ^ [0, Xt 4* 6).

Доказательство. В силу свойства степени (Hi), d(/ — ХТ,ю, 0) = = d U, ®, 0) = i (I), ^ этот индекс равен единице (как индекс тождественного оператора). □

Лемма 4.17. В предположении (4.44) для любого X£ (Xt, Xt + 6) существует по крайней мере одно нетривиальное решение уравнения ф = ХТф.

Доказательство. Согласно лемме 4.13 и свойству индекса (iv), индекс i(I — ХВ) равен 1 на [0, Х£) и —1 на (Х£, Х£4-6). В силу t

свойства индекса (iii), i(/ — XT, 0) равняется +1 для Х£(0, XJ и —1 для A,^(Xlt Х, + б). Если ХЕ(ХП ^1 + 6) и если только пуль является решением уравнения ф — ХТф, то мы получаем (1(1 —XT, со, 0) = i (/—XT, 0), согласно свойству индекса (i). Но мы доказали, что d(I— XT, со, 0) = +1, 1(1— XT, 0) =— 1, X£(Xt, ^ + 6)- Значит, уравнение ф = ХТф имеет нетривиальное решение для любого Xg^, Xj + б). □

Замечание 4.3. Условие „X достаточно велико" означает, что угловая скорость а велика или что вязкость v мала (для фиксированных rt, г^.

Замечание 4.4. Если условие (4.44) выполнено, то для каждого Х£(ЛР Xr -f-d) существует нетривиальное решение ф^ уравнения (4.20). Можно доказать, что <рх —>-0в V, если X убывая сходится к X!. Таким образом, имеет место бифуркация.

В случае задачи Бенарда ситуация очень похожая, но удается доказать, что для Х£[0, XJ существует лишь тривиальное решение. Поэтому предположение (4.44) не нужно н тем самым доказано наличие бифуркации (см. Юдович [2], Рабинович [1], Вельте [1]).

Изучение задачи Тейлора аналитическими методами предпринято в работе Рабиновича [5].

Благодарность. Автор весьма признателен П. X. Рабиновичу за полезные замечания к § 4.

ГЛАВА III

ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ—СТОКСА

Введение

В этой заключительной главе рассматриваются полные, т. е. эволюционные, нелинейные уравнения Навье—Стокса. Сначала мы изложим несколько основных результатов, касающихся существования и единственности решения, а затем исследуем аппроксимацию этих уравнений с помощью различных методов.

В § 1 мы кратко изучим линейные эволюционные уравнения (эволюционные уравнения Стокса). Этот параграф содержит некоторые технические леммы, используемые при рассмотрении эволюционных уравнений. В § 2 приведены теоремы компактности, дающие возможность получить результаты о сильной сходимости в эволюционном случае и перейти к пределу в нелинейных членах.

В § 3 представлены вариационная формулировка задачи (слабые, или турбулентные, решения в смысле Лерэ [1—3] и Хопфа [2]) и основные результаты о существовании и единственности решения (для двумерного или трехмерного пространства}; существование доказывается с помощью построения приближенного решения по методу Галёркина. В § 4 даны дальнейшие результаты о существовании и единственности; здесь доказательство существования проводится с помощью полу дискретизации по времени и остается в силе для пространства произвольной размерности.

В последующих параграфах мы исследуем аппроксимацию эволюционных уравнений Навье —Стокса в двух- и трехмерном случаях. Рассматриваются некоторые разностные схемы, отвечающие какой-нибудь классической дискретизации по времени (неявной, Крэнка—Николсона, явной) и какой-нибудь из дискретизаций по пространственным переменным, введенных в гл. 1 (конечные разности, конечные элементы). Мы завершаем главу изучением нелинейной устойчивости этих схем, а именно хстанавливаем достаточные условия устойчивости и доказываем сходимость всех этих схем при наличии устойчивости.

Линейный случай

В этом параграфе мы обобщим на нестационарный случай ряд результатов о существовании, единственности и гладкости решений линеаризованных уравнений Навье — Стокса. После введения некоторых обозначений, полезных как в линейном, так и нелинейном случаях (п.1.1), мы приводим классическую и вариационную постановки задач и формулировку основного результата о существовании и единственности решения; доказательства существования и единственности даются затем в пп. 1.3 и 1.4. /./. Обозначения. Пусть Q —открытая липшицева область в R"; для простоты мы предполагаем, что она ограничена; относительно случая неограниченной области см. ниже замечания из п. 1.5. Напомним определения пространств Т3, У, Н, которые будут

основными пространствами и в этой главе:

°Р=\и^Э)^ div« = 0},(1.1)

У — замыкание ^ в //J (Q),■(1.2)

Н—замыкание ^ в £2(П).(1.3)

Пространство Н снабжено скалярным произведением (•, •) индуцированным из L2(Q); пространство У является гильбертовым со скалярным произведением

((», я)) = ^ Ф;“. DiV)(1.4)

(область Q ограничена!).

Пространство V вложено в Н и плотно в нем, причем вложение непрерывно. Пусть Н' и V обозначают пространства, сопряженные к Н и У, a t — оператор вложения У в Н. Сопряженный к нему оператор V является непрерывным линейным оператором из Н* в У', который взаимно-однозначен, так как ЦУ) = У плотно в Н; обратно, V (Н') плотно в V', так как t— взаимно-однозначен; поэтому Н’ может быть отождествлено с некоторым плотным подпространством в У*. Отождествляя, далее, по теореме Рисса Н и Н', мы приходим к включениям

Ус// = //'с Г,(1.5)

где каждое пространство плотно в последующем и вложения непрерывны.

В силу указанных отождествлений, скалярное произведение в Н элементов / С Н и и С У совпадает со значением функционала/ на элементе и в смысле двойственности между У' и У:

</, «> = (/, a) V/C/7 Vuev.(1.6)

(1.7)(1.7)Для каждого и из V форма "D^V ((a, v))€R

(1.7)

(1.7)

линейна и непрерывна на V; следовательно, существует элемент из V', который мы обозначим через Аи, такой что

<Аи, Ф> = ((а, ф)) Vt^V.<Аи, Ф> = ((а, ф)) Vt^V.(1.8)(1.8)

<Аи, Ф> = ((а, ф)) Vt^V.

<Аи, Ф> = ((а, ф)) Vt^V.

(1.8)

(1.8)

Легко видеть, что отображение и-^ Аи линейно и непрерывно; в силу теоремы 1.2.2 и замечания 1.2.2, оно является изоморфизмом V на V".

Если область Й неограничена, то пространство V наделяется скалярным произведением

(1.9)(1.9)Цм, ©]] = ((«, »)) + (ы, ®);

(1.9)

(1.9)

при этом отношения включения (1.5) сохраняют силу. Оператор А по-прежнему непрерывный линейный оператор из V в V', но уже, вообще говоря, не изоморфизм; однако для каждого е > 0 оператор Л + е/ есть изоморфизм V на Г.

Пусть а, b — два числа на расширенной вещественной оси, — оо ^а <Ь ^ + о°, и X— некоторое банахово пространство. Для данного а, 1 <Са < + оо, пусть 7“ (а, b; X) обозначает пространство /.“-функций (функций, интегрируемых в степени- а) из [а, 6] в X, которое является банаховым с нормой

11/(0 Их d/11/(0 Их d/1/а1/а(1.10)(1.10)

11/(0 Их d/

11/(0 Их d/

1/а

1/а

(1.10)

(1.10)

Пространство L” (a, b, X) —это пространство существенно-ограниченных функций из [а, 6] в X; оно является банаховым с нормой ess sup ||/(0 ||х.(1.11)

[а. 6]

Пространство *6 ([а, 6]; X) — это пространство непрерывных функций из [а, 6] в X, если — оо < а < 5 <-1-оо, то оно является банаховым с нормой

(1.12)(1.12)sup ||/(0 li'x."'

(1.12)

(1.12)

/ е [а, 6]

Наиболее часто в качестве интервала [а, 5] будет использоваться интервал [0, 7], где Т > 0 фиксировано; если это не может привести к недоразумению, мы будем использовать сокращенные обозначения

(1.13)(1-14)(1.13)(1-14)L“(X) = 7“(0, 7; X), 1<а< + оо,

(1.13)

(1-14)

(1.13)

(1-14)

^(Х) = ^([0, 7]; X).

Остальная часть этого пункта посвящена доказательству следующей технической леммы, касающейся производных от функций со значениями в банаховом пространстве:

Лемма 1.1. Пусть X— банахово пространство с сопряженным X', и пусть и и g—функции, принадлежащие Ly^a,b; X). Тогда следующие три условия эквивалентны:

« п. в. равна первообразной от g:

а (0 = 1 + $ g(s) ds, | € X, для п. в. /£[а, &];(1.15)

о

для каждой пробной функции ф^^>((«, Ь))

6ь

У«Юф'Ю<и = - У^(0ф(0<1/ (ф' = ^);(1.16)

аа

для каждого t]£X'

■^<и, 4> = <g. П>(1-17)

в смысле скалярных распределений на (а, Ь).

Если условия (i)—(iii) выполнены, то и, в частности, п. в. равна некоторой непрерывной функции из [a, bj в X.

Доказательство. В качестве интервала [а, Ь] возьмем для простоты интервал [0, 7]. Законное здесь интегрирование по частям доказывает, что из (i) следуют (ii) и (iii); остается проверить, что из (iii) следует (ii), а из (ii) следует (i). Если выполнено (iii) и ф€^((0> 7)), то по определению

тт

$<«Ю, т]>ф'(^/ = — \<g^, 1^>ф(^)d^(1.18)

оо

или гг

( 5 U (Оф' (06/ + $ g^q-^dt, п) = 0 V-qGX\ оо

так что имеет место (1.16). Докажем теперь, что из (ii) вытекает (i). Мы можем свести общий случай к случаю ^=0. Для того чтобы убедиться в этом, положим <о = и — и0, где

t

«о Ю =$£($) ds;(1.19)

о

ясно, что «0 — абсолютно непрерывная функция и что u0 = g; следовательно, (1.16) выполняется с а, замененным на и„+ v, и

Т■

$ v (0 ф'(0 d/= 0 Уф 6 S> ((0, 7)).(1.20)

о

Доказательство свойства (1) будет завершено, если мы покажем, что из (1.20) вытекает, что у не зависит от I. Пусть ф0 —некото- т

рая функция из S>((0, 7)), такая что ^ <p0(Z)d7= 1. Любая о

функция ф из 2>((0, 7)) может быть записана в виде

7

Ф = Х<р0 + ф', X=$<p(/)d/, Ф6^>((0,7));(1.21)

о

г

в самом деле, так как ^(ф(0— Хф0 (/)) d/ = 0, то первообразная о

от ф—Хф0, обращающаяся в 0 при t — Т, принадлежит S)((0, 7)), и ф в точности совпадает с этой первообразной. Согласно (1.20) и (1.21),

г

$ (гф)-б)ф(^/ = 0 Уч 6 S> ((0,7)),(1.21а)

о

т

где | = J "О (s) ф0 (s) ds. Чтобы завершить доказательство, остается о

показать, что из (1.21а) следует, что у(<) = б п. в., т. е. что функция w, принадлежащая Р(Х) и такая, что

т

$w(0VU)d<=0 Уф 6® ((0,7)),(1.22)

о

равна нулю почти всюду. Этот хорошо известный факт доказывается с помощью регуляризации: если ЧУ — функция, равная чу на [0, 7] и нулю вне_.этого интервала, и ,ое — какая-нибудь гладкая регуляризующая функция, то для достаточно малых е свертка р,«ф принадлежит ®((0, 7)) УфС^>((0, 7)) и

оо

ЧУ (t) (ре*ф) (/) dz = 5 W (/) (ре»ф) (0 d< 0—оо

= $ (рв*т)^)ф(/)б( = 0.

Следовательно, для любого фиксированного т] > 0 свертка pe»w равна 0 на интервале [т], Т — т]] для достаточно малых е; когда е—> 0, pe*w сходится к w в L1 (—оо, +<х>; X). Таким образом, W равно нулю на [т], Т — т]], а так как л > 0 произвольно мало, то w равно нулю на всем интервале [0, 7]. □

Теорема существования и единственности. Пусть П — ограниченная липшицева область в IR”, и пусть 7>0 фиксировано. Обозначим через Q цилиндр Qx(0, 7). Линеаризованные уравнения Навье—Стокса — это эволюционные уравнения, соответствующие задаче Стокса:

найти вектор-функцию

и; йх[0, 7]—IR"

и скалярную функцию

р; fix[0, 7]^R,

представляющие соответственно скорость и давление потока, такие что

^—dAM + gradp=/ в Q = Qx(0, 7), (1.23) div и = 0 в Q, (1.24) и = 0 на dQx[0, 7], (1.25) и(х, О) = ио(х) в Q, (1.26)

где / и и0 —заданные вектор-функции, причем / определена на Qx[0, 7], а и0 — на Q; соотношения (1.25) и (1.26) дают соответственно граничные и начальные условия.

Предположим, что и и р — классические решения задачи (1.23) —(1.26), скажем и€^2(О. P^^VQY Если у —произвольный элемент из Т3, то как легко видеть,

(-^, ®)+v((и, »)) = (/, ®).(1.27)

По непрерывности равенство (1.27) выполняется для каждого ‘D^V; мы видим также, что

(ди \ d ,.

Это приводит к следующей слабой постановке задачи (1.23) — (1.26):

для заданных t и и,;' •

/€Р(0, 7; Г),

(1.28)

Щ^Н, найти функцию и, такую что

(1.29>

u^L»^, Т; V)

(1.30)

U

-^-(я, y) + v((ti, ф)) = </, о> Vo^E, (1-31) и(О) = ио. (1.32)

Если и принадлежит L2(0, Т\ V), то условие (1.32), вообще говоря, не имеет смысла; прежде чем объяснять, как его следует понимать, сделаем два замечания.

(1) Пространства в (1.28) —(1.30) представляют собой пространства, для которых будут доказаны существование и единственность решения; ясно во всяком случае, что каждое гладкое решение и задачи (1.23) — (1.26) удовлетворяет (1.30).

(И) Мы не можем сейчас проверить, что решение задачи (1.30) —(1.32) есть, в некотором слабом смысле, решение задачи (1.23) — (1.26), и поэтому отложим исследование этого вопроса до п. 1.5.

Используя (1.6) и (1.8), мы можем записать (1.31) в виде

-^-<Н, »> = </—v4o, о> Vv^V. (1.33)

Так как А — непрерывный линейный оператор из V в V и и g L2 (V), то функция Аи принадлежит L^ty'Y следовательно, f—vAu-%. £L2(V'), и из (1.33) и леммы 1.1 вытекает, что

(1.34)(1.34)и' 6 (0, Т; V')

(1.34)

(1.34)

и что и п. в. равна некоторой (абсолютно) непрерывной функции из [0, 7] в V'. Любая функция, удовлетворяющая (1.30) и (1.31), становится, после изменения на множесте меры нуль, непрерывной функцией из [0, 7] в V'; следовательно, условие (1.32) имеет смысл.

Предположим снова, как и в (1.28), что f^L2(V'\ Если а удовлетворяет (1.30) и (1.31), то, как видно из вышесказанного, и удовлетворяет (1.34) и (1.33). Согласно лемме 1.1, равенство (1.33) эквивалентно следующему:

и* 4-vAu=f. (1.35)

Обратно, если и удовлетворяет (1.30), (1.34) и (1.35), то и, очевидно, удовлетворяет4 (1.31) V^^V.

Другая формулировка слабой задачи выглядит следующим образом: даны f и «0, удовлетворяющие (1.28) —(1.29); найти и, такое что

(1.36)(1.37)(1.38)(1.36)(1.37)(1.38)а^ЬЧ», Т; V), «'€Е2(0, 7; V'), и' -V^Au ^f на (0, Т\ и (0) и0.

(1.36)

(1.37)

(1.38)

(1.36)

(1.37)

(1.38)

Любое решение задачи (1.36) —(1.38) служит решением задачи (1.30) — (1.32), и, наоборот.

Относительно существования и единственности решения этих задач мы докажем следующую теорему:

Теорема 1.1. Для заданных f и иа, удовлетворяющих (1.28) и (1.29), существует единственная функция и, которая удовлетворяет (1.36) —(1.38). При этом

й€^([0, 7]; Н).(1.39)

Доказательство существования дается в п. 1.3, а единственность и включение (1.39) будут доказаны в п. 1.4.

Доказательство существования. Применим метод Фаэдо —Галёркина. Так как V сепарабельно, то существует последовательность линейно-независимых элементов wv .... wm, ..., тотальная в V. Для каждого т определим приближенное решение ит уравнений (1.37) или (1.31) следующим образом:

т

= ^gimW^h(1'40)

(ит, W/) + v ^ит, 1У^ = </, W/>, /=1, .. , т, (1.41) «т(0) = «с.и)(1.42)

где иОт — это, скажем, ортогональная проекция в Н элемента и» на подпространство, натянутое на wt, ..., wm '. Функции gim. X^i^m,— это скалярные функции, определенные на [0, 7], а (1.41) есть система линейных дифференциальных уравнений относительно этих функций; в самом деле, мы имеем

2 (w„ <0)^'1™ (Z) + v ^ ((wit wy)) gtm (Z)

= </(Z), Wy>, i=X,...,m; (1.43)

поскольку элементы w1( ..., wm линейно-независимы, то, как хорошо известно, матрица с элементами ^еь ®Д (1^7 /^Щ) невырожденна; следовательно, обращая эту матрицу, мы можем свести (1.43) к линейной системе с постоянными коэффициентами

gimW + £«//£/«(<) = ^4<fW. ^>- 1 <i<m, (1.44)

ГДе а,ц, p;/^R. Условие (1.42) эквивалентно т уравнениям 'gim^^i-51 компонента «От, i=l, ..., т.(1-45)

Пот может быть любым элементом подпространства, порожденного «ь ..., т»т, удовлетворяющим условию ийт—> «0 в норме Н при т.—> ос.

Система линейных дифференциальных уравнений (1.44) с начальными данными (1.45) единственным образом определяет gim на всем интервале [0, 7]. Так как скалярные функции t —* </(i), Wy> интегрируемы с квадратом, то это верно и для функций gim и, следовательно, для каждого т

uin^^,T,V)t um^L^^T-V).(1.4€

Далее мы получим не зависящие от т априорные оценки дл функций ит, а затем перейдем к пределу.

Априорные оценки. Домножим уравнения (1.41) на g(m^ и просуммируем их для /=1, ..., т. Получим

(Hm(0, n,„(i)) + v|!M,„(i)|j2 = </(i), ит^>.

Но, в силу (1.46), 2(и„(0, Hm(/)) = -^-|tim(/)|2, и это дает

^|Hm(/)H2v||H,J^=2</W, ит^>.(1.47)

Правая часть (1.47) ограничена сверху величиной

2 V W Jr- II ит (О К v II ат (i)1|2 + V"21|/ (i)||^, поэтому

4 I ит (012 + VII ит (i) II2 < V- II/ (0||^(1.48)

Интегрируя (1.48) от 0 до s, 0 < s < Т, находим, что

sГ

I um (s) I2 < I иЙт I2 + v УII/ (01|^ dZ < I «012 + V J 11/(0 1у- М- оо

(1-49) Отсюда

т

$ sup I Um (s) I2 < I ив I2 +1УII/^ |$, di.(1.50)

Правая часть (1.50) конечна и не зависит от т; следовательно, последовательность ит ограничена в L”(0,T; Н). (1.51)

Проинтегрировав (1.?8) от 0, до Т, получим

Отсюда следует, что

последовательность ит ограничена в Л2(0, Т; V).(1.53)

Предельный переход. Априорная оценка (1.51) показывает, что существуют элемент и в L” (О, Т; Н) и подпоследовательность т' —* оо, такие что

ит. —* и в “-слабой топологии L”(0, Т; НУ, (1-54)

означает, что V® g L1 (О, Т; Н) т

(ит, (i) — и АУ v (i)) di —► 0 при m'->-оо. (1.55) о

Из (1.55) следует, что подпоследовательность ит, ограничена в Л2 (0, Т; И); поэтому, еще раз переходя к подпоследовательности, убеждаемся, что существуют элемент ti«^A2(0, Т; V) и подпоследовательность (обозначаемая ниже через ит.у такие что

ttm.—* и« в слабой топологии L2(0, Т, V);(1.56)

(1.56) означает, что г

<Um> (i) — и, АУ o(i)>di-^0 V®£L2(0, 7; V'). ‘ о

В частности, принимая во внимание (1.6), имеем т7

J 37)J 37)Aim-АУ V (0) di $ (и, АУ 9(0) di оо

J 37)

J 37)

для каждого ®£L2(0, Т; НУ Сравнивая это с (1.55), мы видим,

что

т

(1.58)(1.58)$ (»(i) —«,(0, y(i))di = 0 о

(1.58)

(1.58)

для каждого ®£Л2(0, Т; Ну следовательно, и = «*6А2(0, Т; У)ПЛ"(0, Т; НУ(1.59)

Для того чтобы перейти к пределу в (1.41) и (1.42), рассмотрим скалярные функции ф, непрерывно дифференцируемые на [0, 7] и такие, что

(1.60)(1.60)ф(7) = 0.

(1.60)

(1.60)

Домножим (1.41) на ф и проинтегрируем по частям: тт

J (Хп (0. ^ W) (М = — $ (»и (0 Ф' (0, «»/) dZ оо

-(«„(0), Юу)ф(О).

Таким образом, тт

$ k«m (0. Ф' (О Wy) d/ + v J ((«„ (О, Ф (0 ^у)) d/ Оо*

т

= («„„, 1У/)ф(0) +$</(0, tt»/>dL (1.61) о

Используя (1.54), (1.57) и (1.59), нетрудно перейти к пределу при m — m—> оо в интегралах в левой части; заметим еще, что

U6m-^ue сильно в Н.(1.62)

В пределе получим гт

§(«(0>Ф'(O^d/H-v $ ((«(О,^(^) W/))di

" оо

т

'= («0, №/)Ф(0) + $ </W Wy^(t)dL (1.63)

о

Равенство (1.63), которое имеет место для каждого /, позволяет (по линейности) написать гт

^ (« (0. ®) Ф' (О d^ + v ^ ((и (/), ф)) ф (Z) dZ оо

т

= («0, ®)Ф(0) + $</(0, ®>Ф(^.(1.64)

о

для всякого ф, которое^является линейной комбинацией Wy. Так как каждый член в (1„64) зависит от ф линейно и непрерывно в норме V, то равенство (1.64) выполняется по непрерывности для всех ф^У. В частности, записывая (1.64) с ф=<р£5У((0, Т)), мы получим следующее равенство, которое выполняется в смысле распределений на (0, Т\.

^-(U, v) + v((a, v)) = <f, ®> Уф^И;(1.65)

это в точности совпадает с (1.31). Как было показано перед формулировкой теоремы 1.1, из этого равенства и (1.59) следует, что

«'6^(0, Т; Г) И

и' + уЛи=/.(1.66)

Наконец, остается проверить, что и(О) = ао (непрерывность и доказывается в п. 1.4). Для этого домножим (1.65) на ф(<) (ф то же самое, что и раньше) и проинтегрируем по частям:

тт

У 4" (И (О, ф) W) d/ = — У (И (0, ®) Ф' (0 dZ оо

.+(»(0), ф)Ф(О).

Получим гт.

5 (а (0. ф) Ф' (О dz + V ^ ((«(0, ф)) ф (/) dZ оо

г

= («(0), ф)ф(0) + $ </(0. Ф>ф(Z)dZ. (1.67) о

Сравнивая с (1.64), заключаем, что (и0 —«(0), г>)ф(О) = О для любого ©gV и любой функции ф рассматриваемого типа. Мы можем выбрать ф так, чтобы ф(0)=/=0, поэтому (и (0) — и0, ф) = 0 Уф^Е. Из этого равенства вытекает, что и(0)=и0, чем и завершается доказательство существования.

Доказательство непрерывности и единственности. Это доказательство основывается на следующей лемме, которая является частным случаем общей интерполяционной теоремы Лионса—Мадженеса [1]:

Лемма 1.2. Пусть V, И, V' — тройка гильбертовых пространств, каждое из которых вложено в последующее, как в (1.5), причем V' — пространство, сопряженное к V. Если функция и принадлежит Z? (0, Т; И), а ее производная и' принадлежит L2 (0, Т\ И'), то и п. в. равна некоторой непрерывной функции из [0, Т^ в И и имеет место следующее равенство, которое выполняется в смысле скалярных распределений на (0, Т\.

-^|и|2-=2<и', и>.(1.68)

Равенство (1.68) имеет смысл, так как обе функции tv-» | и (Z) |2 и />—><«'(/), и W> интегрируемы на [0, 7].

Ниже мы дадим доказательство этой леммы, более элементарное, чем приведенное у Лионса и Мадженеса [1].

Если принять, что лемма 1.2 уже доказана, то (1.39) становится очевидным, и остается только проверить единственность решения. Предположим, что и и Ф —два решения задачи (1.36)— (1.38), и пусть w = u — v. Тогда ту принадлежит тем же прост-

ранствам, что и и ф, и

w'Ч-vДw = 0, w(0) = 0.(1.69)

Умножая первое равенство (1.69) скалярно на w^ty находим, что <1ю\1\ w (<)> + v||w (/) ||= = 0 п.в.

Используя теперь (1.68) с и, замененным на ту, получаем ^Iw^H-SvIl-aHHI^O, Itot^p^wKOl^O, <€[0, Т],

откуда и(/) = ф(П для каждого L Тем самым доказательство теоремы 1.1 полностью завершено.

Доказательство ле мы 1.2. Элементарное доказательство леммы 1.2, о котором упоминалось выше, мы оформим в виде двух следующих лемм. □

Лемма 1.3. В предположениях леммы 1.2 справедливо равенство (1.68). Доказательство. Регуляризуя функцию й, действующую из R в V и равную и на [0, Г] и 0 вне этого интервала, мы легко получаем последовательность функций ит, удовлетворяющую условиям

ит для всякого т есть бесконечно дифференциру- • емая функция из [0, Т] в V;(1-70)

при т —>оо

ит - и в Ц^ (]0, TV; V), «^ - »' в Lfoc (]0, Т[; V'). (1.71)

Ввиду (1.6) и (1.70) равенство (1.68) очевидным образом выполняется для ит:

^UmUH^^ (*т (t), ию (0) = 2 <я; (0, Ию (/)> Vm. (1.72)

Из (1.71) следует, что при т —►оо

I «и I2 “ I2 в Lte (]°* Л)» <“т. ит> — <«', «> в L|oc(]0, Т^У

Здесь сходимость также понимается в смысле теории распределений; итак, мы можем,перейти к пределу в (1.72) в смысле теории распределений; в"пределе получим в точности (1.68).

Так как функция.-^ — <и'(/), и (/)> интегрируема на [0,7], равенство (1.68) показывает, что функция и из леммы 1.3 удовлетворяет условию

- й 6 L” (0, Т, Н\(1.73)

В том частном случае, когда функция и удовлетворяет (1.36)—(1.38), это было доказано непосредственно, в п. 1.3. Согласно лемме 1.1, и — непрерывная функция из [0, Г] в V. Поэтому, используя еще (1.73) и приводимую ниже лемму 1.4, получаем, что и — слабо

непрерывная функция из [О, 7] в //, т. е.

N-d^H функция /н-> (к(/), я) непрерывна.(1.74)

Приняв пока на веру этот факт, мы можем завершить доказательство леммы 1.2. Нам надо показать, что для каждого /о^[О, 7]

] ti (Z) — и (/0) |2 —0 при t —>t0.(1-75)

Распишем выражение слева:

|и(012+|«(и|а-2(и(/), «О-'

Когда t—*t0, | и (/) |а-* | а(/0)|а. Действительно, в силу (1.68),

| и (I) |а = | и (/„) | 4-2 ^ <и' (s), и (s)> ds,

а в силу (1.74), (и (/), «(<J) — | и (/0) I2- Тем самым (1.75) доказано. □ Используемую в доказательстве леммы 1.2 лемму мы сформулируем в немного более общем виде, чем это там нужно.

Лемма 1.4. Пусть X и Y— два банаховых пространства, таких что

XcY,(1.76)

причем вложение непрерывно. Если функция ф принадлежит L"(p, Т; X) и слабо непрерывна как функция со значениями в Y, то ф слабо непрерывна как функция со значениями в Y.

Доказательство. Заменив, если надо, Y на замыкание X в Y, мы можем считать, что X плотно в Y. Тогда плотное непрерывное вложение X в Y дает по двойственности плотное непрерывное вложение Y' (сопряженного к У) в X' (сопряженное к X):

Y'cX'.(1.77)

По предположению, для каждого т| ^ К'

<ф(0. П>-^<T(U. П> при t->t0 Y/o,(1.78)

и нам надо показать, что (1.78) верно также для каждого т]€Х'. Покажем сначала, что ф(0£Х для каждого t и

HMMw;» V^[0, 7].(1.79)

В самом деле, регуляризуя функцию ф, равную ф на [0, 7] и О вне этого интервала, мы получаем последовательность функций ф,„, действующих из [0, 7] в X, таких что|фт(/)|1х ^ Mz-~(X) ^m^t £ [0, 7] и <фга (^)> Л> ~* ^ (С> Л> ПРИ т—► со Y-q^y'. Так как I <Ф,ДО, Л> | ^[|ф|к”(Х)|'Лк'Ym YZ, мы получаем в пределе |<ф(/), Л> I ^|1ф'к”(Х) |, лЕх' VZ^[O, 7]YT]^y'. Из этого равенства следует включение ф(/)^Х и неравенство (1.79).

Наконец, докажем (1.78) для ц£Х'. Так как К' плотно в X', то Ve > 0 З-ЦеСК', такое что || л ~ Ль Ik'С е- Запишем

<ф (0 — ф (Q, Т|> = <ф (0 — ф (/„), Т] — т]е> + <Ф(0—ФОТ). ле>^

I <ф W—ф (М п> К 2е II ф L“U) +1 <ф ОТ — ф ОТ). Пе> |.

Так как т^^У', то по предположению о непрерывности имеем <ф(^) — ф(/0)> Лг> -* О ПРИ Z ~* к и> следовательно,

lira | <ф (Z) — ф (Zo), т|> К 2е || ф ||L=(x).

Так как е > О произвольно мало, то этот верхний предел равен О, и (1.78) доказано. □

1.5. Разные замечания. В этом пункте мы приведем некоторые замечания и дополнения к теореме 1.1.

Одно обобщение теоремы 1.1. Теорема 1.1 является частным случаем одной абстрактной теоремы, в которой речь идет об абстрактных пространствах V и Н и абстрактном операторе Д; см. Лионс и Мадженес [1].

Если взамен (1.28) мы предположим, что

/=Л +Л, Л € L2 (О, Т; V'), Л £ I? (О, Т; Н),(1.80)

то все утверждения теоремы 1.1 верны с одним только изменением:

и'№ Т\ V^L1^ Т;Н\(1.81)

В доказательстве существования мы пишем после (1.47)

1| ит ^ K2v || um W ||2 < 2 ШП ||r || um (/)||+2 |/2 (/) 11 um^ |

V |l Um ^ IP +1IIA (/) 1^, +1/2 W H1+1 Um ^ I2}.(1.82)

Отсюда

^ { 1 + I «m (0 I2} < V ll/i ^ ^' + 1/2 № I { 1 + I »• (0 I2}- (1 -83)

Умножая это на ехрч — J |/2 (ст) | do >, приходим к неравенству

.,SXX

d/pxp( —yrAMId" Hi+I^OTI2)? IX о

— У 1/2(ОТI dCTj.

Интегрируя его от 0 до s, s > 0, получаем равномерную по m оценку, аналогичную (1.50), откуда следует (1.51). Интегрируя

затем (1.82) от 0 до Т, получаем (1.53). Доказательство существования проводится далее в точности так же, как в п. 1.3.

Что касается производной и', то мы имеем

и' = - vАи +Л +/2 £ D (О, Т- V') + I? (О, Т; НУ (1.84)

Легко видеть, что лемма 1.2 верна также, если

u^L1 (О, Т\ V) П L” (О, Т; /Г), и* € 7.2 (О, Т; V') +I? (О, Т; Н) (1.85)

Заметив это, мы можем доказать единственность и непрерывность" и, «€#([0, 7’]; 77) точно так же, как в п. 1.4.

Случай неограниченной области Q. Для эволюционной задачи при рассмотрении неограниченных областей Q введение пространства Y, привлекавшегося в стационарном неограниченном случае (гл. I, п. 2.3), не является более необходимым. Все предыдущие результаты остаются верными, если область Q неограничена, а V снабжено нормой (1.9). Предположим, в самом общем случае, что / удовлетворяет (1.80). Мы имеем в точности такие же результаты, как в теореме 1.1, если / удовлетворяет (1.28), и такие же результаты, как в (1.81), если / удовлетворяет (1.80). Единственное отличие заключается в том, что мы должны вместо (1.82) использовать следующее неравенство:

11 ит (7) |2 + 2v г ит (Oli2

<2||/1(0kll«m(0!l + 2|/2(0ll«m(0|

< v li Um (7) Н v | um ^ I2 + v 11Л (7)1]^+|/2 (7) 1(1 + \um ^ I2).

(1.86> Отсюда

^{1 + 1 umW |2} <(|/2(0 |+v){l+|a„(0l2}+vll/i (O,^-

(1.87)

К этому неравенству применяется далее точно та же процедура, что и к неравенству (1.83), для получения утверждения (1.51). После этого, интегрируя (1.86) от 0 до Т, приходим к оценке

г

$ il «m(O!i2d7< const, о

Эта оценка вместе с (1.51) дает (1.53). Доказательство существования, единственности и непрерывности решения проводится далее точно так же, как выше.

Интерпретация вариационной задачи. Мы хотим теперь уточнить, в каком смысле функция и, определяемая теоремой 1.1^ является решением исходной задачи (1.23)—(1.26).

Предложение 1.1. В предположениях теоремы 1.1, существует распределение р на Q = Qx(0, 7), такое что функция и, определяемая теоремой 1.1, и р удовлетворяют уравнению (1.23) в смысле распределений на Q; уравнение (1.24) также выполняется в смысле распределений, а (1.26) удовлетворяется в таком смысле:

и^^-и,, в L2^ при I —>- 0.(1.88)

Доказательство. Равенство (1.24) непосредственно следует из того, что и € L2 (0, Т\ У); (1.26) и (1.88) также немедленно следуют из теоремы 1.1; (1.25) выполняется в том или ином смысле, в зависимости от подходящей для й теоремы о следе, поскольку и принадлежит L2(0, Т; /^(й)). Для того чтобы ввести давление, лоложим

tt

ЩГ^и^Аз, F(l)=\f(s)As.(1.89)

Оо

Очевидно, что во всяком случае U^ "6 ([0, 7); У), F ^ ([0, 7]; V"). Интегрируя (1.31), мы видим, что

№-и«. y) + v(([/(/), ^^<F(t\ y>V<€[0, 7] V©£V,

«ли

Ctt^-tta-^U^-FW, y> = 0V/€[0, 7]Vy6V. (1.90)

Используя предложения 1.1.1 и 1.1.2, находим, что для каждого ^€[0, 7] существует функция P(^)^L2(Q), такая что

и (0 — м0 — vА^(/) + grad Р (t) = F (0-(1.91)

В силу замечания 1.1.4(11), оператор градиента является изомор- -физмом из 72(Й)/К в Я-1(й). Замечая, что

gradP = F + vA^-K + M0,(1.92)

мы заключаем, что grad Р принадлежит £ ([0, 7]; Н-1 (й)), как и лравая часть (1.92); поэтому

Р € ^ ([0, 7]; L2 (й)).(1.93)

Это позволяет нам Продифференцировать (1.91) по / в смысле распределений на (^=*Йх(0, 7); полагая

(1М>

мы получаем в точности (1.23). □

Относительно р у нас нет, вообще говоря, информации большей, чем (1.93) —(1.94). В следующем предложении мы получим большую гладкость р, предположив большую гладкость данных У и м0.

, Некоторые результаты о регулярности. Предполагая, что данные Q, /, а0 являются достаточно гладкими, мы можем получить

. какую угодно регулярность функций и и р. Мы докажем лишь один наиболее простой результат такого типа.

Предложение 1.2. Пусть Q принадлежит классу ‘бЧ

/^ЩО.Т'.Н)(1.95)

и ' a CV.(1.96)

Тогда а^ЬЧО.Т; Н1^),(1.97)

и' €L2(0, Т; Н), т.е.и* £L4QV(1.98)

р^ЬЦО, Т; Hl(Q)\(1.99)

Доказательство. Сначала установим (1.98); этот факт доказывается с помощью дополнительныхаприорныхоценок для приближен

ного решения ит, построенного методом Галёркина. В обозначениях п. 1.3, умножим (1.41) на gjm^ и просуммируем получающиеся равенства для / = 1, . ..,т; это дает

I «т (О Р +V Ы «т (/))) = (/, (П, Um^, - ИЛИ

21 ат(ПI2+ ^^li«M(ОГ = 2(/(/)> и'т^.(1.100)

Теперь проинтегрируем (1.100) от 0 до Т и применим неравенство Шварца; получим тт■

2 $ I u'm W р dZ + VII ит (Т) IP- V Швт IP + 2 $ (/ (0, и;п (t)} At оо

Т7

<v|l«oJ2 + $|/(Opdf+$|C (/)рd/, оо

ТТ

$ I«; (/) р d/ < v I! uOm IP + J I/ (0 р do(1.101>

оо

Базис Wy, используемый в методе Галёркина, можно выбрать так, чтобы Wy £ V для каждого /, и мы можем положить а„т равным проекции в V функции и, на подпространство, натянутое на wt, ..., wm. Тогда

ы0 в V сильно при т—»оо(1.102)

и

II «0» КII Ио II.(1.103)

Благодаря такому выбору wy и иОЛ1 из (1.101) вытекает, что

последовательность и'т ограничена в L4 (0, Т; Н), (1.104)

и (1.98) доказано.

Теперь возвратимся к равенствам (1.23) — (1.25) и применим теорему о регулярности для стационарного случая (теорему 1.2.4): для почти всех t из [0, Т]

- vAti (/) +grad р (0 =/- и' 6 L4 (0, Т; L4 (Q)),

div«(/) = 0 в Q,(1.105)

и (/) = 0 на дй,

так что и^ принадлежит Н4^ и р<^ принадлежит Hl (Q). Далее, поскольку отображение /(/) — и' (/)►—>{«(/), р(0} линейно и непрерывно действует из L4^ в № (Q) х Н1 (Q) (в силу (1.2.40)) и поскольку f — и* € L2 (0, Т; L4 (Q)), то очевидно, что (1.97) и (1.99) выполнены. □

Теоремы о компактности

Теоремы о компактности, представленные в гл. II, недостаточны для нелинейных эволюционных задач. Наша цель теперь— доказать некоторые теоремы компактности, которые подходили бы для нелинейных задач, рассматриваемых далее в этой главе.

После одного предварительного результата, излагаемого в п. 2.1, мы установим в п. 2.2 теорему о компактности для банаховых пространств. В п. 2.3 мы докажем две другие теоремы о компактности для гильбертовых пространств; в одной из них фигурируют дробные производные по времени.

Позднее мы изучим некоторые дискретные аналоги этих теорем.

Один предварительный результат. Доказательства теорем о компактности в следующих двух пунктах основаны на приводимой ниже лемме.

Лемма 2.1. Пусть Хо, X и Xt —тройка банаховых пространств, удовлетворяющая условию■

Х.сХсХр "(2.1)

причем вложение X .ек*Х^ непрерывно, а

вложение Хо в X компактно.(2.2)

Тогда для каждого т] > 0 существует константа сп, зависящая от т] (и от пространств Хо, X, Хг), такая что

II ® к С л II® к.+<ф II ® к. v® € х0.(2.3)

Доказательство. Будем рассуждать от противного. Утверждение, что (2.3) не выполняется, равносильно тому, что существует та-

кое т] > 0, что, каково бы ни было c£R, |iyl|x 2а ЛII ® ilx0 + с II ® Ik, по крайней мере для одного у. Беря с = т, мы получаем последовательность элементов *ит, удовлетворяющих условию f^ ||x^T]|l®m Цх„+ + m||vm||x, Vm. Рассмотрим теперь нормированную последовательность *uoт = ®„/|| ®т ||х„; она удовлетворяет условию

ll^Jx^n + mlimUx, Vm.(2.4)

Так как || wm Цх, = 1, то последовательность чют ограничена в X и из (2.4) следует, что

Bwjx. -► 0 при т-^ оо.(2.5)

Далее, в силу (2.2), последовательность wm относительно компактна в X; следовательно, мы можем выбрать из нее некоторую подпоследовательность т^, сильно сходящуюся в X. Из (2.5) следует, что предел w^ должен равняться 0, но это противоречит (2.4), ибо j|wjx^r] >0 Vp. □

Теорема о компактности для банаховых пространств. Пусть Хо, X, Хг — тройка банаховых пространств, удовлетворяющая условию

Х.сХсХ,,(2.6)

где вложения непрерывны и

Xt рефлексивны, i —0,1,(2.7)

вложение Хо —► X компактно.(2.8)

Пусть, далее, Т > 0— фиксированное конечное число и а0, аг — два конечных числа, таких что а,-> 1, t = 0,1. Рассмотрим пространство

й/ = й/(0, 7; а0, ах; Хо, Х^,(2.9)

2/ = ^ y€La°(0, 7; Хо), -и' = ^- € L»* (0, Т\ Xj}.(2.10)

Пространство й/, снабженное нормой

II ®|1д/ = || ® ilb«o (О, Г; Хо) + II у' ||l«.(0, Т; X,),(2.11)

является банаховым. Очевидно, что Й/сБ"» (0, Т; X), причем вложение непрерывно. Докажем, что в действительности это вложение компактно.

Теорема 2.1. В предположениях (2.6) — (2.9) вложение^ в La«^0, Т; X) компактно.

Доказательство, (i) Пусть ит — произвольная последовательность, ограниченная в й/. Нам надо показать, что эта последовательность содержит подпоследовательность и у, сильно сходящуюся в L“" (0, Т; X). Так как пространства X,-рефлексивны и 1 <а(. <4-оо, то пространства Lai (О, Т; X,); t = 0, 1, также рефлексивны и,

следовательно, У тоже рефлексивно. Поэтому существуют такое иЕ^ и такая подпоследовательность на, что

аа—* а слабо в У/ при р —* оо,(2.12)

т. е.

ма —*■ и слабо в La» (О, Т; Хо),

«а-* и' слабо в L°" (О, 7; Х^.(2-13)

Достаточно показать, что

у., = ии — и —> 0 сильно в La« (О, Т; X).(2.14)

Теорема будет доказана, если мы установим, что

Фи —► 0 сильно в La" (О, Т; XJ.(2.15)

Но действительно, в силу леммы 2.1,

II ®и 4“» (О, Г; X) ^ 'I li ®“ il L“o (О, 7; Хо) + СЛ II ®И1д“о(О. 7; X,).

а так как последовательность фц ограничена в й/, то

II Уц fca° <0, Т; X) < СГ] + cn || фц ||, а„ (О, Т; Х<).(2.16)

Переходя к пределу в (2.16) и учитывая (2.15), получаем

^™ HullLa^o, 7;х><^. (2:17)

Поскольку т] > 0 из леммы 2.1 может быть взято произвольно малым, этот верхний предел равен 0, и, таким образом, (2.14) доказано.

Для того чтобы установить (2.15), заметим, что

2/с^([0, 7]; XJ,(2.18)

причем вложение непрерывно; включение (2.18) следует из леммы 1.1, а непрерывность вложения проверяется без труда. Отсюда мы выводим оценку

Иц (С Их, < С V^[0, 7] Vp.(2.19)

Согласно теореме Лебега, (2.15) будет доказано, если мы покажем, что для почти всех t из [0, 7]

фц(0-*0 сильно в X, при р—--оо.(2.20)

Докажем (2.20) для t = 0; доказательство для других значений t аналогично. Запишем

't

®ц (0) = Фц (0 — $ Фц (т) dT.

о

Интегрируя по t от 0 до s, получаем

так что

. ^(0) = ^ + ^,(2.21)

где

a^^MOd/, Ь^-у^-О^Ж(2.22)

оо

Для заданного е > О выберем s так, чтобы

||6uk<j^(<h, d/<|. О

Тогда для этого фиксированного s при р—>оо мы имеем ац —► 0 слабо в Хо, а значит, сильно в Х^ для достаточно больших р выполняется неравенство lj ац ['.х, ^ е/2, откуда и следует (2.20) для ( =0. □

Теорема о компактности с дробными производными. Следующая теорема о компактности для гильбертовых пространств использует понятие дробных производных. Предположим, что Хо, X, X, —гильбертовы пространства, такие что

XocXcXi,(2.23)

причем вложение Хо в X компактно.(2.24)

Для всякой функции у из R в Xt мы обозначаем через у ее преобразование Фурье:

у(т)= J е-а(Шх® (/) d(..(2.25)

Производной по t порядка у от функции у называется обратное преобразование Фурье функции (2(лт)ту:

ОНСт) = (2<лт) у (т). '(2.26)

Для произвольного у > 0 определим пространство

^v (R; хо, XJ = (у 61? (R; Хо), D^t € La (R; Х^}.(2.27)

Это —гильбертово пространство с нормой

® ’Ж^ < r: Х„ Ха = (ИШ* (R: Хо) + || I т Г® jib (R; Xj}1/2.

Произвольному множеству /(cR поставим в соответствие подпространство 9г\ в ^v, состоящее из тех функций h£^v, носитель которых содержится в К"

9г у (К; Х„, Х^ = {« € ^v № Хв, Х^, supp и с К^ (2.28)

Теперь можно сформулировать теорему о компактности.

Теорема 2.2. Пусть Хй, X, Xt —гильбертовы пространства, удовлетворяющие условиям (2.23) и (2.24). Тогда для любого ограниченного множества К и любого у>0 вложение 5^.(R; Хо, XJ в 19 ^R, X) компактно.

Доказательство, (i) Пусть у и К фиксированы и ит — ограниченная последовательность в 9г"к (R; Хо, XJ. Нам надо показать, что ит содержит подпоследовательность, сильно сходящуюся в L2(R; X). Так как 96^ (R; Хо, XJ — гильбертово пространство, то последовательность ит содержит подпоследовательность uw, слабо сходящуюся в этом пространстве к некоторому элементу и. Очевидно, что и также должен принадлежать 95^\ поэтому, полагая Уц = йи —и, получаем ограниченную последовательность у^ элементов из 9г к (R; Хо, XJ, которая слабо сходится к 0 в ^?; это означает, что

Уц —* 0 слабо в L2 (R; Хо),(2.29)

) т (Н^0 слабо в L2(R; Х^.(2.30)

Теорема будет доказана, если мы покажем, что Иц сильно сходится кив L2(R; X), или, что то же самое,

Уц —0 сильно в L2(R; X).(2.31)

Наш второй шаг заключается в доказательстве того факта, что (2.31) будет доказано, если мы установим, что

Уц 0 сильно в L2 (R; Х^.(2.32)

По лемме 2.1

I; ©ц L'l= (R: X) < Л/Уц |ф= (R; Х„) + <ф Ц Иц ||zj (R; x.h(2.33)

а так как последовательность Уц ограничена в L2 (R; Хо), то

Иц'^8 (R; X) ^С^+СПЦУцЦп» (R; xt)-(2.34)

Предположим, что выполнено (2.32). Устремляя р—► оо в (2.34), получим

W If»n Це « (R; X) <сц-

Д-> СО-

Поскольку т] в лемме 2.1 может быть взято произвольно малым, этот верхний предел должен быть равен 0, откуда и следует (2.31).

Наконец, докажем (2.32). В силу равенства Парсеваля,

/ц= $ h^t/)!^, d/= $ J, vu(t)||£, dZ.(2.35)

где Фц обозначает преобразование Фурье функции ®ц. Нам надо показать, что

/ц^0 при р —* оо.(2.36)

Имеем"

к= У II^WlMr-l- j* (1 + |т|и)|$й<-£-

I Г к AtI т I > М1 1

<ГТ^+ У H^Wlix.d^

I т I < At

ибо Фц ограничена в ^v. Для заданного е> 0 выберем такое М, что с/(1 + М2?) ^ е/2. Тогда

/ц< У ИМ?) l,dx + -|,

I т | < At

и (2.36) будет доказано, если мы покажем, что для этого фиксированного М'

•7Ц = У Ц^ООЦх, dr—*0 при р —* оо,(2.37)

| т | < М

Это устанавливается с помощью теоремы Лебега. Если через % обозначить характеристическую функцию множества К, то ФцХ = ®и и

фц(т)= e-^^xWMOd*.

Поэтому

|| ®ц (т) Цх, < || »ц ||t2 (R; X.) [| е~21л,тХ ||l« (R),

II ®ч 00 Их, < const.(2.38)

€ другой стороны, для каждого а из Хо и каждого фиксирован- лого г.

№Дт), а))х0 = $ ((®ц№, e-ai^xW»))xodZ;

ввиду (2.29) этот интеграл стремится к 0 при р—+оо. Последовательность ©ц (т) слабо сходится к 0 в Хо и потому сильно в X и Хх. Учитывая это последнее замечание и (2.38), по теореме Лебега получаем (2.37). □

Используя метод теоремы 2.2, мы можем доказать другую теорему о компактности, аналогичную теореме 2.1, но не содержащуюся в ней и не содержащую ее.

Теорема 2.3. В предположениях (2.33) и (2.24), вложение 2/(0, Т; 2,1; Хо, ХхУ в Z? (0, Т; X) компактно.

Доказательство. Пусть «„ — ограниченная последовательность в пространстве 2/. Обозначим через ит функцию, определенную на всей числовой прямой R, равную и,п на [0, Г] и 0 вне этого интервала. Согласно теореме 2.2, наше утверждение будет доказано, если мы покажем, что последовательность ит остается ограниченной в пространстве ^ (К; Хо, XJ для некоторого у > 0. По лемме 1.1 каждая функция ит является, с точностью до изменения значений на множестве меры 0, непрерывной функцией из [0, П в X,, причем вложение 2/.в ^([0, 7']; X,) непрерывно. Поскольку функция ит имеет разрывы в точках 0 и Т, то, как хорошо известно, ее обобщенная производная выглядит так:

^ йт = gm + ит (0) б0 - ит (Г) 6Г,(2.39)

где 60 и 6Г — дельта-функции Дирака, сосредоточенные в точках 0 и Т, а

§■„ = «,'„ —производная функция ит на [0, Г],(2.40)

Применяя преобразование Фурье, получаем из (2.39)

2шт«т (т) = gm (т) + и,п (0) - ит <П ехр (— 21лтГ),(2.41)

где gm и ит — преобразования Фурье от gm и ит соответственно. Так как последовательность gm ограничена в Lx (0, 7’; XJ, то последовательность gm ограничена в 1? (R, Xt), а последовательность gm ограничена в L" (R; Xf):

li im W Ik ^ const V,/г Vt^R.■(2.42)

Как мы только что отмечали, вложение 2/ в #([0, Т]; X,) непрерывно; поэтому ^«„(ОДл, < const, [«„СЛЦх, ^const, и из (2.41) следует, что

№ll«mWI|x.<c Vm Vr£R.(2.43)

1 Относительно определения этого пространства см. (2.9)—(2.10).

Теперь заметим, что для фиксированного у < 1/2

№^с„(у)№^с„(у)I + t21+|t|2(1-V>I + t21+|t|2(1-V>Vt^R.Vt^R.

№^с„(у)

№^с„(у)

I + t21+|t|2(1-V>

I + t21+|t|2(1-V>

Vt^R.

Vt^R.

Поэтому из (2.43) получаем

+ ооJ И27^*)^ dr<c0+ ооJ И27^*)^ dr<c01 +1^0-7)11^ «dT1 +1^0-7)11^ «dT

+ оо

J И27^*)^ dr<c0

+ оо

J И27^*)^ dr<c0

1 +1^0-7)11^ «dT

1 +1^0-7)11^ «dT

di l^l^d-v)di l^l^d-v)+ CD+ c0(Y) У il^^lIlA', dT.+ CD+ c0(Y) У il^^lIlA', dT.

di l^l^d-v)

di l^l^d-v)

+ CD

+ c0(Y) У il^^lIlA', dT.

+ CD

+ c0(Y) У il^^lIlA', dT.

Так как у < 1/2, то интегралТак как у < 1/2, то интегралdj1 + I т |2(1-v)dj1 + I т |2(1-v)сходится; далее, всходится; далее, в

Так как у < 1/2, то интеграл

Так как у < 1/2, то интеграл

dj

1 + I т |2(1-v)

dj

1 + I т |2(1-v)

сходится; далее, в

сходится; далее, в

силу равенства Парсеваля,

+ ®т

$ 11«т(т)|Мт = J || и„ (Z) |[x, dZ, — CDО

и эти интегралы ограничены. Отсюда заключаем, что»

+ CD

(2.44)

где с2 зависит от у. Очевидно, что последовательность ит ограничена в 5yv (R; Хо, Xj), и тем самым доказательство завершено. □

Замечание 2.1. Предполагая, что только Xv— гильбертово пространство, а Хо, X банаховы, можно аналогичным образом доказать, что вложение 2/ (О, Т; Оо, 1; Хо, Xj) в La° (О, Т; X) компактно для любого конечного а0 > 1.

Теоремы существования и единственности (га ^4)

Этот параграф посвящен теоремам существования и единственности слабых решений полных уравнений Навье—-Стокса (для и ^4). В п. 3.1 мы, следуя Лерэ, дадим вариационную формулировку этих задач и сформулируем одну теорему существования для таких решений (для п^4). Доказательство этой теоремы, принадлежащее Лионсу, дано в п. 3.2. Оно основано на построении приближенного решения методом Галёркина с последующим предельным переходом, в котором используются, в частности, априорные оценки дробных производных по времени от приближенного решения и теоремы о компактности из § 2. Другое доказательство, основанное на полудискретизации по времени и верное для пространств любой размерности, обсуждается в § 4.

В п. 3.3 мы установим теорему единственности слабых решений (для и = 2). В трехмерном случае (п = 3) имеется „зазор" между классом функций, для которого известно существование решений, и более узким классом, для которого доказана единственность; пример соответствующей теоремы единственности приведен в п. 3.4. В п. 3.5 мы докажем для двумерного случая существование более регулярного решения, предполагая большую регулярность данных; сходный результат имеет место и в трехмерном случае для локальных решений, определенных на некотором „малом" интервале времени, в предположении что данные достаточно малы.

Одна теорема существования для R" (я ^4). Все обозначения здесь те же, что и выше (см., в частности, начало п. 1.1); й —открытая липшицева область, которую для простоты мы считаем ограниченной; случай неограниченной области обсуждается в замечаниях 3.1 и 3.2. Напомним ', что поскольку размерность пространства не превосходит 4, то можно определить па Щ(й) и, в частности, на V трилинейную непрерывную форму Ь, положив

Ь(и, У, 1^ = У, ^ «< (DiV^Wjdx. ■(3.1)

t. i-1 Q

Если и € V, то•

bVu, У, У) = 0 ^ф^Н»^.(3.2)

Для и, У из V обозначим через В (я, у) элемент из V", определяемый равенством

<В (я, у), *u)> = b va, v, w) Vw£V,(3.3)

и положим

5(я) = 5(я, я)€У' Vu^V.(3.4)

В классической формулировке начально-краевая задача для полных уравнений Навье — Стокса выглядит следующим образом: найти вектор-функцию я: йх [О, 7] —> R" и скалярную функцию р: йх[0, Г]—*R, такие что

^— v Aa^^u.D^+grad p=f в Q = fix(0, Т), (3.5)

div я = О в Q,(3.6)

я = 0 на дйх(0, Г),(3.7)'

я (х, 0) = я0 (х) в й.(3.8)

Как и выше, заданные функции / и я0 определены на fix[о, Л и fi соответственно.

Предположим, что я и р — классические решения задачи (3.5)— (3.8), скажем a£^2(Q), pE^kQY Очевидно, я£72(0, Т; К), и легко проверяется, что если у — элемент из У3, то

^-(ti, ») + у((я, у))+ 6 (я, я, ©) = </, Ф>.(3.9)

По непрерывности равенство (3.9) будет выполняться для каждого у gV. Этим подсказывается следующая слабая формулировка задачи (3.5)—(3.9) (см. Лерэ [1—3]):

Задача ЗЛ. Для заданных я0 и f :

/€Ь8(0, Т; У?),(ЗЛО)

ип£Н,(3.11)

найти функцию и, удовлетворяющую условиям

u^L?^. Т; К)■ (3.12)

и

^-(я, o) + v (h, о)) + 1|(я, я, о) = </, »> Vy£V, (3.13)

я (0) = я0.(3.14)

Если я только лишь принадлежит L2 (О, Т; К), то условие (3.14) не имеет смысла. Но если я принадлежит L2(0, Т1, К) и удовлетворяет уравнению (3.13), то, как и в линейном случае, можно показать (используя лемму 1.1), что я п. в. равна некоторой непрерывной функции, так что (3.14) приобретает смысл. Прежде чем доказывать это, напомним, что мы рассматриваем случай nsC4; в случае большей размерности мы немного видоизменим предыдущую формулировку (см. п. 4.1).

Лемма 3.1. Предположим, что размерность пространства ns^4 и что и принадлежит L2 (0, Т; К). Тогда функция Ви, определяемая равенством

<Bu(t), <vy = b(u(t'}, u(t), у) Vy^K п. в. на [0, 7], принадлежит Ly№, Т; V').

Доказательство. Для почти всех t значение Ви (О является элементом из V*, и, как легко проверить, функция t £ [О, T\v-^> Bu^f^V измерима. Далее, поскольку Ь — трилинейная непрерывная форма на V, то,

JBwЦу* <c||w||2 YwgV,(3.15)

так что тт

$||дя(/)|Иг<с Smom^ + oo- □

оо.

8 У. 1емам

Теперь, если й удовлетворяет (3.12)—(3.13), то, согласно (1.6), (1.8) и предыдущей лемме, (3.13) можно записать в виде

■^ <и, v>~<J — мАи — Ви, о> Уо^К.

Так как Аи принадлежит L2(0, Т; V"), то, как и в линейном случае, функция f—xAu — Bu принадлежит L' (О, Т\ V'). Из леммы 1.1 вытекает, что

н'СЩО, Т; V), и' = fАи —Ви(3.16)

и что и п. в. равняется некоторой непрерывной функции из [О, Г] в V*. Таким образом, условие (3.14) имеет смысл. .

Другая формулировка задачи (3.12)—(3.14) выглядит так: Задача 3.2. Для заданных f и и6, удовлетворяющих (3.10)—(3.11), найти функцию и, удовлетворяющую условиям

u£L40,T;V), и'£ L40. Т; V),(3.17)

и' 4-xAuA-Bu—f на (0, Т),(3.18)

и(0)^йэ.• (3.19)

Мы показали, что любое решение задачи 3.1 является решением задачи 3.2; обратное проверяется очень легко, и, следовательно, эти задачи эквивалентны.,

Существование решений этих задач гарантируется следующей теоремой.

Теорема 3.1. Пусть м^4, и пусть заданы f и иЙ, удовлетворяющие (3.10)—(3.И). Тогда существует по крайней мере одна функция и, удовлетворяющая (3.17)—(3.19). При этом•

ti€T"(0, Т; Н)(3.20)

и а слабо непрерывна как функция из [0, Г] в Н 1.

Доказательство существования функции и, удовлетворяющей (3.20), проводится в п. 3.2; утверждение о непрерывности есть прямое следствие (3.20), непрерывности и в V и леммы 1.4.

Замечание 3.1. (i) Теорема 3.1 остается справедливой, если предположить, что /=/1+Л; /1 € ^-2 (О’ Т; V'), /2 С Lx (0, Т; Ну По поводу соответствующих видоизменений в доказательстве теоремы отсылаем читателя к п. 1.5.

(и) Теорема 3.1 верна также, если область Q неограничена; подробнее об этом см. замечание 3.2. □i

3.2. Доказательство теоремы 3.1. (1) Как и в линейном случае, мы воспользуемся методом Галёркина. Поскольку V сепарабельно, а ^ плотно в V, то существует последовательность W,, . .., чит, ... линейно-независимых элементов Т6, которая

' То есть Vv^H скалярная функция i!—»(«(/), и) непрерывна.

тотальна в V. ' Для каждого т определим приближенное решение ит уравнения (3.13) следующим образом:

т

ит=% gim(t)wt,(3.21)

1 = 1

(«т(0, Wy) + v((«„(/), WZ)) +6(«„(/), ит^, wy)

= </(/), Wy>, / €[0, Т], 7 = 1т, (3.22) ат^=иЙт,(3.23)

где аот — ортогональная проекция в Н функции я0 на подпространство, натянутое на Wn . . ., Wm. Уравнения (3.22) образуют нелинейную систему дифференциальных уравнений относительно функций glm, . . ., gmm:,

tnт

2 ^i' *^ g'im (/) + М^ №t1 W/)) 6im (0 m.

+ 5 bk.UDb W,, H)^gimWglm^ = <fVt\ w^.(3.24)

Z = 1

Обращая невырожденную матрицу с элементами («у,, <ш^, 1 ^i, 7 ^ т, мы можем записать эту систему в обычном виде:

тт

gimW+IL^g^VH ^ a-Ukgjm^gkmW / = 1/, к = \х

т

'= 2М/(0. wz>, (3.25)

где afy, a,Uk, Pf/ER. Условие (3.23) эквивалентно т скалярным начальным условиям

gzm (0) = i-я компонента tiOm, i = 1, ..., т.(3.26)

Нелинейная система (3.25) с начальными условиями (3.26) имеет „максимальное" решение —решение, определенное на некотором максимальном интервале [0, 1т\ Если tm < Т, то | ит (/) | должно стремиться к 4- оо при t —► tm; априорные оценки, которые мы получим ниже, показывают, что этого не может быть и поэтому I = Т

(и) Первая априорная оценка получается так же, как в линейном случае. Умножим (3.22) на gjm^ и просуммируем эти уравнения по /=1,т. Приняв во внимание (3.2), получим

(ат(П, M0) + v[|«m(0r.-<m «т(ф.(3.27)

- 1 Функции Wj выбраны из У3 ради простоты. С некоторыми техническими видоизменениями мы могли бы взять их из V.

Далее,

АI ит (О Р + 2v II ит (О II2 = 2 </ (П, ит (О>

< 21|/№ ||г || «„ W К VII ит (О II2 + 4II/ (О 1^

так что

■^ I Um w I2 + VII ит WII2 С V 11/(01^(З-28)

Интегрируя (3.28) от 0 до s, находим, что

sТ .

I Um (S) р < 1 йвга р +1 СII/ (О II2,, dz < | й0 р +1J ц/ (О Г dt оо

Следовательно,

т

sup I ит (s) Р ^ | йо Р +1 Г у ^ ц2, d/>(3.29)

S6[O, Г)v J

откуда вытекает, что

последовательность ит ограничена в L” (О, 7; Я). (3.30)

Интегрируя теперь (3.28) от 0 до Т, получаем гт

\umm + ^U„W4t<\a»mV+^ dtоо

т

■<l«oP + vJll/(O||v'dt

о

Эта оценка показывает, что

последовательность ит ограничена в L2(0, Т; V).(3.31)

(Ш) Пусть йт обозначает функцию, действующую из R в V, которая равна ит на [О, Г] и 0 па дополнении к этому интервалу. Преобразование'Фурье от и„ обозначим через й„. В дополнение к предыдущим женкам, аналогичным оценкам для линейного случая, мы хойм показать, что

+ 00

$ | т |2Т |й„ (т) р d^ ^ const для некоторого у > 0.(3.32)

Вместе с (3.31) это будет означать, что

последовательность йт ограничена в <%’7 (R; V, Я), (3.33)

и даст нам возможность применить теорему о компактности 2.2. Для того чтобы доказать (3.32), заметим, что (3.22) можно переписать в виде 1

•^(«т. «>/) = </». W/> + («om. W,)60

-(«„(П Wz)5r, /=1, .... т, (3.34)

где 60, 6Г—дельта-функции Дирака, сосредоточенные в точках О и Т, и

fm=f-MAttm-Bum,

L=fm на (О, Т].(8135)

Применяя к (3.34) преобразование Фурье, получаем

2шт (»m, 4H)^ = <fm» мА> + ^т, <80^

— (am(T), wy)exp(—2шТт), (3.36)

где йт и fm обозначают преобразования Фурье функций ит и fm соответственно. Домножим (3.36) на gjm (т) (преобразование Фурье gJm^ и сложим получившиеся уравнения для / = 1, ..., т; это дает

2шт| дт (т) |2 = <А (т), «„(т)>+ («,„, umW

— Vu-nATY йт (т)) exp (—2inrT).(3.37)

Вследствие неравенства (3.15), г ~т

$ НА (О IIV' d/ < $ (HZ (О «V" + VII «т (О II + с II ит (О II2) d/, оо

а это выражение ограничено в силу (3.31). Отсюда sup ||/m (т) ||у- ^ те R

<: const Vm. В силу (3.29), | «т (0) | ^ const, | «т(Т) | ^ const, ц мы выводим из (3.37), что |т| | йю(т) |2^с2||ят(т)|| +с81 йт(т) |^ или

1т11«т(т) l2<c4||am(T)J.

Для фиксированного у, у < 1/4, имеем

|тГ<сБ(у)|тГ<сБ(у)1 + |т|14-| т |1-3Y1 + |т|14-| т |1-3YVt^R.Vt^R.

|тГ<сБ(у)

|тГ<сБ(у)

1 + |т|14-| т |1-3Y

1 + |т|14-| т |1-3Y

Vt^R.

Vt^R.

Поэтому

j N2V |am(T)|2dT^c5(y) J _1±121_|аи(т)|2(1т.

+ оо л+оо

^(в силу (3.38))с„ С -^ ^^ dT + c, Г || ит (т) |j2 d/.

1 Т I Ч- м

Вследствие (3.31) и равенства Парсеваля последний интеграл ограничен при т—> оо; таким образом, (3.32) будет доказано, если мы покажем, что

(3.39)(3.39)Г Йт(т)|| d < t

(3.39)

(3.39)

J l + lTl1-^ aT^COnSt'

Согласно неравенству Шварца и равенству Парсеваля, мы можем оценить этот интеграл величиной

.1/271/2.1/271/2

.1/271/2

.1/271/2

которая конечна, так как у < 1/4, и ограничена при т —► оо, в силу (3.31). Доказательство (3.32) и (3.33) закончено.

(iv) Оценки (3.30) и (3.31) позволяют нам утверждать, что существуют элемент и£Л2(0, Т; V) П /-°° (0, Т; Н) и подпоследовательность Um-, такие что

Um' и слабо в L2 (0, Т; V)

и «-слабо в L” (0, Т; Н) при т' —> оо.(3.40)

Ввиду (3.33) и теоремы 2.2 имеем также

(8.41)(8.41)Um- —* и сильно в Z? (0, Т; И).

(8.41)

(8.41)

Результаты о сходимости (3.40) и (3.41) позволяют нам перейти к пределу. Мы поступаем в основном так же, как в линейном случае. Пусть ф — непрерывно дифференцируемая функция на [0, Г] с ф(Т) = 0. Домножим (3.22) на ф(/) и проинтегрируем по частям.

Это приводит к равенству

7т

$ (»„ (О, Ф' (0) w7 dZ + vj ((«„ (0, W/Ф(0)) d/ оо

т

+ jb(»m(0, Ш «^(/))d/= (»„„, №/)ф(0) . О

т

+ J</(0. 4B;^^>dt.(3.42)

о

В линейных членах переход к пределу по последовательности т’ тривиален; для нелинейных членов мы применим приводимую ниже лемму 3.2. В пределе получим, что уравнение

г7

—j(»(0, ®Ф' (0) d/ +v J ((«(0> ®ф(О))й< оо

т

+J&(«(0. «W, ®W))df = (»0, ©)Ф(0) о

7.

+ J</(0, eW)^(3.43)

о

удовлетворяется для ‘О^чв^ w2, ..; по линейности это уравнение выполняется для любой линейной комбинации элементов Чйу, а по непрерывности —для любого c^V. Записывая, в частности, (3.43) для ф = ф£29((0, Т)), мы видим, что и удовлетворяет (3.13) в смысле теории распределений.

Наконец, остается показать, что и удовлетворяет (3.14). Для этого мы умножим (3.13) на ф и проинтегрируем. После интегрирования первого члена по частям получаем

тт

^(u(t), V^(t))dt + v ((u(t), B^(t)))d< '

гй*оо

т

,«+j &(«(/), «(/), »^(0)d<==(«(0), ©)ф(0)

V°

А+J</(0. ^№>d<.(3.44)

о

Сравнивая с (3.43), заключаем, что («(0) —«0, V) ф (0) = 0. Мы можем выбрать ф так, чтобы ф(0)=1; тогда (й(0) — и6, с) = 0 Уф^!7) откуда и следует (3.14).

Доказательство теоремы 3.1 будет полностью завершено, как только мы докажем следующую лемму.

Лемма 3.2. Если и^ сходится к и слабо в L2(0, Т; V) и сильно в L1 (О, Т; Н\ то для любой вектор-функции но с компонентами из ^ (Q)

Тт

$6(йи(0. «и W. to(0)d£-* $ b(a(t), uW^WldE (3.45) оо

Доказательство. Запишем

гт

^(«ц, «я» w)df = —$5(йм, to, ии) оо

= 2 $$(«»)/№>;) («u)yd^d/.

/=1 О я

Эти интегралы сходятся к

тт

^и, (DiW,) Uy dx d/ = J b (u, to, u) dt о я0

T«^b^u, a, to)d/. □ 0T«^b^u, a, to)d/. □ 0

T

«^b^u, a, to)d/. □ 0

T

«^b^u, a, to)d/. □ 0

Замечание 3.2. (i) Неограниченная область. В случае когда область Й неогра- ничеиа, (3.30) и (3.31) доказываются так же, как мы это делали в п. 1.5 для линейного случая. Далее (3.32) и (3.33) получаются, как и выше. Главное отличие заключается в том, что вложение V в Н не является более компактным. Тем ие менее мы можем извлечь подпоследовательность Ищ-, которая удовлетворяет (3.40). Для любого шара 0, содержащегося в й, вложение № (0) в L? (6) компактно, и из (3.33) следует, что

(3.46)(3.46)последовательность “™|g ограничена в ^ (R; Я1 (6), ь» (0)) V0.

(3.46)

(3.46)

Поэтому, в силу теоремы ^<S, ««'jg—>a|g сильно в L2 (0, Т\ Д2 (0)) V0, т. е. ит»—»и сильно в L2 (0, Г; Д10с(р)). В частности, для фиксированного / имеем ит, |а< —>■ и |а, сильно в L8 (0, Т; L1 (Й')), где й' обозначает носитель Wy. Это цозволяет перейти к пределу в (3.42).

(U) Энергетическое неравенство. Интегрируя (3.27), находим, чтоtt

l“m Ц|2+ 2v С й«„(а)||2 ds = |»0ml4-2 ^ </(s), «m(s)>ds.

0о

Домножим это уравнение на ф(./), гДе ф€® (Ю> W» ф(0^0> и проинтегрируем по t;

Используя (3.40), перейдем в этом соотношении к нижнему пределу. В результате получим

t.

| «о Р+а $ ^f^' ° М> ds р (О <w о'

для всех ф£29(]0, И)» Ф^О. Это равносильно тому, что ' tt

]B(/)]2+2v ^ ||в (s) ||2 ds<| «о Р+2 ^ </(s), B(s)>ds(3.47)

о0

для почти всех /£[0, Т\.

Это и есть энергетическое неравенство, которому удовлетворяет функция в из теоремы 3.1. Позднее будет показано, что соответствующее неравенство выполняется и при п = 2 (см. теорему 3.2 и лемму 2.1). Мы не знаем, выполняется ли соответствующее неравенство в общем случае (ср. с теоремой 3.9).

Регулярность и единственность (я=2). В двумерном случае решение задачи (3.17) — (3.19), существование которого гарантируется теоремой 3.1, единственно и обладает некоторыми дополнительными свойствами регулярности. Доказательство этих фактов основано на следующих леммах.

Лемма 3.3. Если п=2, то для произвольной открытой области Q

IIU lit» (Q) < 21/4 ц у [£/*„, || grad у || 1/,2(Q) Vy € Н1 (й).(з.48)

Доказательство. Достаточно доказать (3.48) для o£S>(Q\ Для таких и имеем

и2(х) = 2 J v(^, x^D^^, x2)d|f

и поэтому

у2 (х)< 2^ (х,),■(3.49)

где

+ W

«г М = $ | ° &> ^) 11 D$° «I, X.) I d^i.(3.50)

Аналогично

уЧх^2у2<х;),(3.51)

где'

^U1)= 5 k(^i>Se) 11 ^>aV (Xi, 6a) I dE2,(3.52)

а следовательно,

5 и4 (x) dx ^ 4 J Vj (x2) ua (xt) dx • R2R2

/ + 00X / + COx

С Д $ 01(х2)с1х2Д J ya(Xf) dxfj :^ 41| у [|1= (R2) || Dty ||Ls (RI) || Day ||L2 (R8) C 21| о (II2 (R2)[| grad у ||t2 (R»>. 0

Лемма 3.4. Если n = 2, то Vu, «, uo^H» (Q)

I b (tt, V, W)|<2V« I И|1/2 (|М[|1/2 I'^fj^ |l/2 |]W|]l/a.(3.53)

Если и принадлежит L? (О, T\ V) П L” (О, Т\ Н), то Ви принадлежит I? (О, Т; V') и'

\Ви ||z_2 (о. г Vo ^ 21/2 |!« il^oo (о, т-, я>|1 »||т» (о, т-, V).(3.54)

Доказательство. Несколько раз применяя неравенства Шварца и Гёльдера, находим, что.

2

(b(u, V, «ОК 2 \ lui (-D^/KIdx

<./=1q■

2

< 2 II U i lit* (0) |l Dtyj ||L2 (C) I! Wj [II# (Й)

i, /=1

Согласно (3.48),.

22_

2 ll«illr.’(Q)^X’2 2(И«/1ка (fi)llgradut^L* №>)^K2|а|Ц«Ц. /=i" i=i

Используя аналогичное неравенство для w, получаем (3.53). Если и, V, но принадлежат V, то соотношение b (и, v, гу) = — b (и, по, v) дает другую оценку для Ь;

| b (я, у, w)|< V 21 и |1/81|«||1/21«|1/21| ®||1/г |) но || V», н, по € V.

.(3.55)

В частности,

\Ци, и, гОК21/2|я|||Я|||М' V», ©gV(3.56)

и поэтому■

'I В» ||v- ^ 21/21 я I || я || Уя 6 V.(3.57)

Если теперь я6^а(0, Т\ У)П^”(0, Т; Н), то Bu^t) принадлежит V' для почти всех /, а оценка

। бя(О|у' $С 21/21 я (<) Н| я (<)||(3 58)

показывает, что Вя принадлежит В2 (О, Г; Е'), откуда и вытекает неравенство (3.54). □

Теперь мы можем сформулировать и доказать основной результат (ср. Лионс и Проди [1]).

Теорема 3.2. В двумерном случае решение и задач 3.1—3.2 единственно. Кроме того, и п. в. равна некоторой непрерывной функции из [О, Т] в Н и

и^—*и6 в Н при t —>-0.(3.59)

Доказательство. (1) Сначала мы докажем утверждение о регулярности. Согласно (3.18) и лемме 3.4, я'=/ — vДя —Вя, и так как каждый член в правой части принадлежит пространству Т2 (0, Т; V'), то и' также принадлежит ему. Таким образом, здесь мы имеем больше, чем в (3.17):

и' €Т2(0, Т; V'Y'(3.60)

Это улучшение условия (3.17) позволяет нам применить лемму 1.2, которая утверждает, что я п. в. равняется некоторой непрерывной функции из [0, Т] в Н. Таким образом,

я€^([0, Г]; Щ,(3.61)

откуда немедленно следует (3.59). Напомним также, что лемма 1.2 утверждает, что для любой функции и из В2 (0, Т; V), удовлетворяющей (3.60), выполняется уравнение

4-|я(0|2 = 2<я'(П, uW>.' (3.62)

Этот факт будет использован в доказательстве единственности, к которому мы сейчас приступим.

. Предположим, что иг и я2—два решения задачи (3.17) — (3.19), и пусть я = Я1 —я2. Как показано выше, я^, я2, а значит, и я удовлетворяют (3.60). Разность и^и^ — Я, удовлетворяет условиям

и' + v Ли = — Вих + Ви41(3.63)

?я(0)-0.(3.64)

Применим обе части равенства (3.63) как элементы из V1 к «(/) при почти всех t. Используя (3.62), получим

A|tt(t)H2V||tt(0||2 = 2b(«2(^ «2(0, «(0)

-26(й1(/), uAt\ u{t)).(3.65)

Вследствие (3.2) правая часть этого соотношения равна — 2b(u(t), иг^, u^f)). В силу (3.53), мы можем оценить это выражение величиной

23/2| о (/) IИ (0IIII «2 (0II < 2v II о (0II? +41 я (018 II «2 (0 Г-

Подставляя это в (3.65), находим

^-l«(0l2^vl°wi2ii^(0ii2.

Так как функция / —>||«2(ОН2 интегрируема, получаем

^-<ехр( — -| у || «2 (s) ||ads Н«(0|2><0.

Интегрируя и применяя (3.64), заключаем, что|«(^)|2^0 W

£[0, 7*]. Таким образом, ut = u2. □

Замечание 3.3. Как следует из (3.48), (единственное) решение уравнений Навье—Стокса удовлетворяет условию

u££4(Q) (» = 2)-(3-66)

Замечание 3.4. Теорема 3.2 охватывает как случай ограниченной, так и случай неограниченной области; доказательство не изменяется.

О регулярности и единственности (л = 3). Результаты п. 3.3 не могут быть распространены на более высокие размерности из-за отсутствия информации о регулярности слабых решений, даваемых теоремой 3.1. Тем не менее мы докажем здесь некоторые дополнительные свойства регулярности решения, несколько более слабые, ^ем те, которые были получены в двумерном случае. Затем му приведем одну теорему единственности в классе функций, для которого существование неизвестно; этот результат, однако, показывает, как связана с единственностью информация о регулярности слабых решений.

Аналогом леммы 3.3 служит

Лемма 3.5. Если п = 3, то для любой открытой области (2

|| и ||l« ш) ^ SV2 iи ||Б\Й) || grad и [|^ ш) Vy 6 Н1» (£2).(3.67)

Доказательство. Достаточно доказать (3.67) для vg©(Q). Для таких о, применяя (3.48), получаем

+ “ (/X

J о4 (х) d х 2 С < ( J и2 dXi dx2 J

/2\ \

. ( j 2 (D;u)2 dxT dx2 ) г dx3

X R» /«1/ J

X/ 2X

< 2 ( sup \ v2 dXi dx2 Д 2 I! Dp lib (Rl) ) -(3.68)

Ho

x,

va(x) = 2 J u(xn x2, У Dsy(xo ^, 5s)d?3

5^2 J | и (xj, x2, ^3) 11 Dsv (x^ x2, ?3) | d^3,■

и поэтому

sup $ и2 dXi dx2 < 2 J | v j | Dsv | dx < 21| v ||L$ <R,, || D3y ||L, (RI). Xa R»Ra

Используя это неравенство, выводим из (3.68), что

(

2'

2 l|D,.yfl2L2 (R8) г=1

/ 3Хз/2

^4||u||l2 <r3)( 2 II D-u Ида (R>) 1

\l=I/

откуда и следует (3.67). □

Теорема 3.3. Если п = 3, то решение задачи (3.17) — (3.19), даваемое теоремой 3.1, удовлетворяет условиям

(3.69)(3.70)(3.69)(3.70)и^ЦЧ8 (О, Т\ L4V^\ и* € L^3 (О, Т\ V').

(3.69)

(3.70)

(3.69)

(3.70)

Доказательство. Для почти всех t, согласно (3.67), имеем j;«(oik* (О) ^с0| «(oii/4 и«(0118/4.(3.71)

Функция в правой части неравенства принадлежит L8/s (0, Г); следовательно, то же верно и для функции в левой части. В гл. II,

используя неравенство Гёльдера, мы вывели неравенство'

|6(я, я, у)| = |6(я, г «|^С1!1а|£чй)М Vu, v, ^V.

(3.72)

Поэтому если я£Г2(0, Т; У)Г)К°°(0, Т; Н\ то Ви принадлежит L4'1 (О, Т; У'), ибо

||5Я(<)^^С1!,'Я(<)Й1<(£2),(3.73)

||Вя(Л'Л <с2||*Н0|!1/211«(Ш:!/2 п.в.(3.74)

В двумерном случае мы установили, что любое решение задачи (3.17) —(3.19), удовлетворяет (3.60) и (3.66) и в сущности именно это свойство позволило нам доказать единственность. Для п = 3 соотношения (3.60) и (3.66) заменяются более слабыми соотношениями (3.69) —(3.70).

Теперь мы покажем, что в некотором классе функций, более узком, чем тот, для которого получено существование, может существовать не более одного решения.

Теорема 3.4. Если п — 3, то у задачи 3.2 существует не более одного решения, удовлетворяющего условиям

a^L^O.T; У)П7-”(0, Т; Н),(3.75)

я€2?(0, Т; L4^)).(3.76)

Если такое решение существует, то оно является непрерывной функцией из [0, У] в Н.

Доказательство. (1) Из неравенств (3.72) —(3.73) вытекает, что если и удовлетворяет (3.76), то

Вя^Т2(0, Т; V) (по меньшей мере).(3.77)

Поэтому если я удовлетворяет (3.75) — (3.76) и (3.18), то

я' EL40. Г, У'),(3.78)

и, согласно лемме 1.2, я п. в. равняется некоторой непрерывной функции из [0, Т] в Н.

В силу неравенства Гёльдера и оценки (3.67),

I b (и, и, У) I ^ с01| Я Ил^ (О) II с ||^ (й) II и ц,

|6(Я, Я, У)|^С1|я|1/4 ||я||7/4 ||У|!^(й).'

Предположимг'что я, и я2 —два решения задачи (3.17) — (3.19), удовлетворяющие (3.75) — (3.76), и пусть и = иг — иг. Как и в доказательстве теоремы 3.2, можно показать, что

A(aW|2+2v||a^);|2 = 26(Kw, я(0, «ДО)-(3.80)

' Это неравенство с константой с, зависящей от п, имеет место для любой размерности пространства.

Ввиду (3.79) правая часть оценивается величиной

2^|«(/)M|«(0||V4(^^^

^Ч«(/)|Нса|а(01211«2 ОТ 111-«о •

Таким образом, -i-| и (t) |2^с2|| а2ОТ1’14 №)l “(ОР-Поскольку функция t —* | и2 (Ц |Ь (й) интегрируема, мы можем завершить доказательство так же, как в теореме 3.2. □

Замечание 3.5. Приведенное доказательство годится как для ограниченной так и для неограниченной области й.

Замечание 3.6. Существует много аналогичных результатов о единственности, отвечающих некоторым другим предположениям о свойствах регулярности. Например (см. Лионс [2], стр. 84), единственность имеет место (для случая любой размерности пространства), когда и удовлетворяет вместо (3.76) условию

n£L»(P.T; ГЧ^д-(3.81)

где

2/$+п/г<1, если й ограничена,„ „

2/5-\-пИ=\, если й неограничена.1 ' '

Более регулярные решения. Цель этого пункта—доказать для двумерного случая тот факт, что, предполагая большую регулярность данных, можно получить большую регулярность решений. В трехмерном случае существование таких более регулярных решений доказано на любом временном интервале при условии, что данные «0 и / „достаточно малы" или что v достаточно велико.

8.5.1. Двумерный случай.

Теорема 3.5. Пусть п = 2, и пусть

/,/'€Т2(0, 7; V'),/(0)€Я,(3.83)

«о € Н* (Й) П V-(3.84)

Тогда единственное решение задачи 3.2, даваемое теоремами 3.1 и 3 2, удовлетворяет условию

и' ^ Л2 (0, 7; V) П Л“ (0,7; Н).(3.85)

Доказательство, (i) Прибегнем снова к галёркинскому приближению, использовавшемуся при доказательстве теоремы 3.1. Нам достаточно показать, что это приближенное решение удовлетворяет также двум априорным оценкам, содержащимся в следующем утверждении:

последовательность и'т ограничена

в L2(0, T;V) fl 7“ (0,7; Я),(3.8 6)

В пределе из (3.86) следует (3.85). Так как Uo^ УГШ2(Й), мы можем взять в качестве ий1№ ортогональную проекцию в УПЯ2(Й)

функции ы0 на подпространство, натянутое на wn .. ., wm. Тогда «От-* «0 В №^ при Щ—ЮО, ||«от||№(0)^Иок2(0)- (3.87) (И) Умножим (3.22) на ghn(t) и просуммируем получившиеся равенства по / = 1, ..., т. Это дает

|«т(0|2 + ^((«„(0. «т^ + ЬЩ,^, ttm(t),

u'm(t)) = <f(t), ^(1».(3.88)

В частности, при 1 = 0 получаем

|«^(0) |2 = (/(0), Mm(0)) + v(A«0m, «т(0))_Ь (ttom, ийт, «^(0)),

(3.89)

I и’т (0) | < 1/(0) I + VI Д«о„ I +1 ВиОт |.(3.90)

Из (3.87) ясно, что |A«Oml <M«omk2<s) ^11«окг'(£2)- Для Btt6m мы имеем, согласно неравенству Гёльдера,

Ми, и, ^I^CfUttll^^lgradttl^^lcl

^(в силу (3.48) и неравенства Соболева*

^с2||«||||«||№ (Я) 1®| V«€№(Q) Vee L4&) и поэтому•

I ^«om I ^ ^2 И «от I! II «от |1^! (О) ^ (в силу (3.87)) <*&ЧЙУ

(3.91)

Наконец, (3.90) и предыдущая оценка показывают, что

последовательность «^(0) ограничена в Н.(3.92)

(Hi) Мы можем продифференцировать (3.22) по t. Так как / удовлетворяет (3.83), получим

(С, W/) + v ((«^, wz)) + b (и'т, ttm, wy) + b (um, и™ <Ш^

= <f ,чв#>, i=\, ..m.(3.93)

Умножая (3.93) на gjmW и суммируя получившиеся уравнения по / = 1, ...,т, приходим (с учетом (3.2)) к равенству

1|ит(0М2у^(01|2 + 2b{u'm{t), ит^, u^(t))

= 2</40.»m(t)>.(3.94)

В силу леммы 3.4,

2| ь кит <1\ ит (0, ««(0) I < ТО I и'т <Ц III и'т (0 НИ ит (011 ^v||«m(O|i2 + 4ll«m (0li2|«m(0P.

Поэтому из (3.94) вытекает, что

I и'т (О и | || и'т (О Г^ 4\f (О1^, + фт (О I и'т (0 р,(3.95) где

<P„(O=2/v[|«„,(or

Тогда, по лемме Гронуолла,

Д<|«^(0|2ехр! —Jvm(s)ds -=-]/(/) |^„

откуда

I и'т (/) P< J 111^ (0) ^ + 4 J |/'(s) ^, ds 1 exp J <pm(s)ds. (3.96)

Поскольку последовательность ит ограничена в I? (0, 7; U) (ср. (3.31)), а также вследствие (3.92), правая часть неравенства (3.96) равномерно ограничена по sg[0, 7] и по т;

последовательность и'т ограничена в L” (0, 7; НУ (3.97)

Из (3.97) и (3.95) легко следует, что последовательность а'т ограничена в L2(0, 7; V). □

Теорема 3.6. Пусть выполнены те же предположения, что и в теореме 3.5. Кроме того, мы предположим, что й —ограниченная область класса #2 и

f 6 7”(0, 7; ну

(3.98)

Тогда функция а удовлетворяет условию u^L” (0, 7; № (Q)).’

(3.99)

Доказательство. (1) Запишем (3.18) в виде v((tt(0, vy^kgW V) V»€V,

(3.100)

где

gW-fW-tt'tn-Ba^y

(3.101)

Доказательство основано на двух последовательных применениях предложения 1.2.2.

Так как и£7”(0, 7; V) и

|Ь (и (ty и УУ ©) КСо II а(0 Ik* (й) ||я (0 Illi VИд* (й)

^c1||a(0||2||v|k* (й),(3.102)

то Btt^L”^> T\L*b(^y Поэтому ^f-u'^L”^, Т; Ну £г€Г°(0, 7; 7*/з(П)).' (3.103)

Из предложения 1.2.2 следует, что uf: L" (О, Т\ W2- */3 (62)). Но по теореме Соболева W2’4/8 ^cL”(£2), значит, ttg£”(Q).

(Hi) Теперь мы можем улучшить (3.103). Заменим (3.102) неравенством

\b(u(ty u(ty ®)|<с2||а||£„(<?)||а(0|1М._

из которого следует, что Ви^. L" (0, Т; Ну Отсюда видно, что §•^^”(0, Т; Н). Снова применяя предложение 1.2.2, получаем,.что «СЛ”(О, 7; №(62)). □

Замечание 3.7. Последовательным применением предложения 1.2.2 легко теперь доказать, точно так же как в случае предложения II.1.1, что если Q—область класса ^”, о0 задано в ^” (й), а /—в ^” (Q), то решение о принадлежит 45 х (Q). Тем же самым методом могут быть получены и различные промежуточные результаты о регулярности решения прн соответствующих предположениях о данных.

3.5.2. Трехмерный случай. Мы докажем здесь для п = 3 некоторые свойства регулярности, аналогичные тем, которые были получены для п = 2; однако теперь это будет сделано лишь в предположении достаточной „малости" начальных данных.

В следующей теореме с обозначает некоторую константу, такую что■

|ti(a, v, w) К с ||«|| ||® || w || Чи.’щии^У. (3.104)

Теорема 3.7. Предположим, что п = 3 и что заданные функции/ и и6 удовлетворяют условиям

u^WW,(3.105)

/^L”^, Т; НУ, f £Щ0,Т; Н)(3.106)

и одному дополнительному условию, которое будет сформулировано по ходу доказательства теоремы и которое выполняется, если v достаточно велико или если f и и0 „достаточно малы". Тогда у задачи 3.2 существует единственное решение, которое удовлетворяет, кроме того, условию

и* € И (0, Т; V) П L” (0, Т; НУ '(3.107)

Доказательство, (i) Прежде всего заметим, что единственность есть просто следствуе^теоремы 3.4, поскольку такое решение удовлетворяет условию

и € L” (0, Т; Vy(3.108)

а тогда из включения VcL4^ следует (gm. (3.76)), что

иЕ1”^,Т;ЬЧ^У(З.Ю9)

Первые шаги доказательства существования те же самые, что и в теореме 3.4. А именно, мы используем метод Галёркина, выбирая базис и ит таким образом, чтобы выполнялось (3.87). Оценки (3.90) и (3.91), а поэтому и (3.92) по-прежнему имеют место:■

I Ящ(0) | ^ dt = |/ (0) | + vc01| я0|| Ws <q> + ^1 i| ti0 |!н2(щ.(3-110)

Тем же путем, что и раньше, мы получаем уравнение (3.94), а из него, привлекая (3.104), выводим, что

1| ит (О |2 + 2 (v - с || ttm (01|) || и'т (/) ||2 < 2 |/' (/) 11 Ят (Ш-

(3.111)

(Ш) Из (3.28) и (3.29) следует, что

VIIит^Ц2 ^ 1II/(01^ -2(*„(0, и'т(0) ^ vH^ ^

+2|«mW||«m(m^ + 2(|«0|2 + ^^(3.112)

где

d2 = l|/|!!-(o.r:v',.(З.ПЗ)

Учитывая (3.110), получаем из (3.112) при ^ = 0

v||«m(O)H2^d2/v + 2d1(|ii-o|2 + 7’da/v)V2 _=d3.(3.114)

Дополнительное условие, упомянутое в формулировке теоремы, таково:

^ = ^ + (1 + ^) (j а0|2 + ^)1/2 exp^l/'tsllds^^.

(3.115)

Так как d$^dt, то, в силу (3.114) —(3.115), v|| ит (0) ||2 ^ d3 ^ ^d4<v3/c2, а потому v—с|| ит (0) || > 0. Отсюда заключаем, что выражение v—c||lim(0ll остается положительным на некотором интервале с начальной точкой в 0. Обозначим через Тт первую точку ^^Т, такую что v —c'|nm(Tm)|| = 0; если такой точки нет, то полагаем Тт = Т. Тогда

v-C||tim(0il>0, 0<^Т„.v-C||tim(0il>0, 0<^Т„.(3.116)(3.116)

v-C||tim(0il>0, 0<^Т„.

v-C||tim(0il>0, 0<^Т„.

(3.116)

(3.116)

(iv) Используя (3.116), выводим из (3.111), что

^|^№12^2|/'(0Н««(<)1.

^(1+|ит(0Г)^1/'(01(1+1««(012).

Следовательно,

4 1(1+1^ (^) |а) ехр ( — у] Z4s) I ds)

(X О

1+ l«mWP^(H-|»m(0)|2)exp1+ l«mWP^(H-|»m(0)|2)expI/' (S) I ds^)I/' (S) I ds^)

1+ l«mWP^(H-|»m(0)|2)exp

1+ l«mWP^(H-|»m(0)|2)exp

I/' (S) I ds^)

I/' (S) I ds^)

и, в силу (3.110),

l+l»mW |a<(l+d?)exp(S |/< (s)|dsY 0<t<Tm. (3.117) \o/

Из (3.112), (3.115) и (3.117) получаем

vl|am(0lla<d4, 0</vl|am(0lla<d4, 0</TTv—G'i\umW\\>'»—cVdi/M>0, 0<t<Tm.v—G'i\umW\\>'»—cVdi/M>0, 0<t<Tm.(3.118)(3.118)

vl|am(0lla<d4, 0</

vl|am(0lla<d4, 0</

T

T

v—G'i\umW\\>'»—cVdi/M>0, 0<t<Tm.

v—G'i\umW\\>'»—cVdi/M>0, 0<t<Tm.

(3.118)

(3.118)

Значит, Tm = T и из (3.111) вытекает, что

^ I ит (0 |а + 2 (v -cKW II а^(0 II2 ^ 2 \f ^ 11 uY (01,

Отсюда легко следует, что

последовательность ит ограничена

в L2 (О, Т; V) П L” (О, Т; Н)(3.119)

Тем самым существование доказано. □

Как и в двумерном случае, мы имеем также следующий результат.

Теорема 3.8. Если в дополнение к предположениям теоремы 3.7 потребовать, чтобы Q была областью класса *6®, то функция а будет удовлетворять условию

u£L"(,0, Т; №№(3.120)

Доказательство. Запишем (3.18) в виде v ((»(/), у)) = (§■(#), у) Vo eV, где g(t) ^f^-u'W-Bu^tY Так как/-и' е Т°°(0, Т; Ну, то (3.120) вытекает из'предложения 1.2.2, если только показать, что Ви € L” (0, Р-М (а значит, g^L” (0, Т; /У)).(3.121)

Этот результат снова устанавливается с помощью повторного применения предложения 1.2.2 и различных оценок для формы Ь. Согласно неравенству Гёльдера,

| b {и VY и (,tY о) | ^ с0 'I и (0 Ik- (Q) II и {t} || | о |лз (£3), |6(«(0. «(0. ^KcJIn^^llok^). (3.122)

Из (3.122) (и включения а^.Е”ф, Т; V)) вытекает, что Bu^L* ^, Т; L®/2(Q)), g£L“(0, Т; L3/2(Q)). Предложение 1.2.2 показывает, что«€£"(0, Т; W2- 3/2(П)), а потому (поскольку W2- 3/2(П)с£8(Й) для п = 3) u£L” (О, Т\ I? (Q)). Используя опять неравенство Гёль- дера, получаем для b оценку

Ь(«(0, «Ю, sO<c0ll«(7)Ko)!l«WH®l!t^^

Отсюда Ви, g£.L”$i Т\ L8ib^Y) и> в СИЛУ предложения 1.2.2, яеЬ"(0, 7; W2 8/6 (Q))c£“ (Qx[0, 7]).(3.123)

Из (3.123) и включения a^L” (0, 7; V) легко следует (3.121). □

Замечание 3.8. Справедливо замечание о регулярности, аналогичное замечанию 3.7.

Введение давления (п^4). Для того чтобы ввести давление, положим

ttt

U (t) = J и (s) ds, 0(7) — ^Ba(s) ds, F(t) = $/(s) ds.

000

Если и — решение задачи (3.17) —(3.19), то для любого п^4

U, 0, F £ « ([0, 7]; Г).(3.124)

Интегрируя (3.18), находим, что

v ((£7(7), V)) = <g (t), Ф> УФ е V V7 € [0, 7],(3.125)

где gkt^ = F(t) — 0(7) — я(0 + »0> ^€#([0, ТУ, V')- Применяя предложения 1.1.1 и 1.1.2, получаем, что для каждого 7^(0, 7] существует функция р(7) g L2 (Q), такая что — v MJ(7) + grad р (7)= •= g(t), или

a(t) — ий — v A£7(7) + 0(7) + grad р^ = ру\ (3.126)

Согласно замечанию 1.1.4, оператор градиента является изоморфизмом пространства D (Q)/R в Н-1^\ Замечая, что gradp = - g—vMJ, мы заключаем, что grad р принадлежит ^ ([0, 7]; Н х (П)) и потому

р6^([0, 7]; Л2(П)). (3.127)

Это позволяет нам продифференцировать (3.126) в смысле теории распределений в Q = Qx(0, 7); полагая

p = dp/dt,(3.128)

получаем

(3.129)(3.129)^ —v^u — ^u£Ditt +gradр=/ в Q.

(3.129)

(3.129)

В общем случае давление вводится как распределение на Q, определяемое соотношениями (3.127) —(3.128). В предположениях теорем 3.6 (п = 2) или 3.8 (п = 3) применение предложения 1.2.2 показывает, что

PEL-(О, Т- НЦ^.(3.130)

Связь между задачами о существовании а единственности ^п = ^. В предыдущих пунктах наше внимание было сосредоточено на двух важных вопросах теории уравнений Навье—Стокса в трехмерном случае:■

единственность „очень слабых решений**, т. е. решений, существование которых гарантируется теоремой 3.1;

существование „в целом1* —и для любых данных—более регулярных решений, например решений, существование которых обеспечивается теоремой 3.4, или решений, существование которых доказано при одном дополнительном ограничении в теореме 3.7.

Для краткости вплоть до конца этого параграфа мы будем называть слабыми решениями решения а задачи (3.13), (3.14), такие что

и Е ^2 (0, Т; V) п L” (0, Т\ Н)(3.131)

и поэтому (теорема 3.2)

я€^8/3(0, Т\ L4№ а'ЕЬ*'Ч0*Т-, V)-,(3.132)

сильными решениями — решения у задач (3.13), (3.14), такие что выполняются условия (3.131), (3.132), и, кроме того,

v Е L (0, Т; L4 №(3.133)

Согласно теоремам 3.1, 3.2, 3.4 и 3.7, мы знаем о существовании, по не о единственности слабых решений и знаем о единственности, но не о существовании сильных решений (за исключением отдельных весьма частных случаев).

Заметим, что слабые решения из теоремы 3.1 удовлетворяют- энергетическому неравенству (3.47) (см. замечание 3.2):

tt

| и (О I* + 2v J || и (s) И8 ds ^ | u612 + 2 J </(s), и (s)> ds оо

V^[0, 7]. (3.134)

энергетическому равенству

tt

|v(0|a + 2v$||v(s)||2ds<|eJ2 + 2$</(s), v(s)>ds оо

W€[0, 7]..(3.135)

Вопросы о единственности слабых решений и о существовании сильных решений связаны между собой следующим образом.

Теорема 3.8. Пусть п = 3, и пусть

ИЕчо,т-,н),авен.(3.136)

Если существует решение D задачи (3.13), (3.14), удовлетворяющее (3.131), (3.133) (т. е. сильное решение), то не существует никакого другого решения и этой задачи, удовлетворяющего (3.131), (3.132) и (3.134) (т. е. слабого решения, удовлетворяющего энер- еетическому неравенству).

Этот результат был доказан Дж. Сэзером и Дж. Серрином (см. Серрин [3]).

Доказательство. Пусть и и у —два решения, о которых говорится в формулировке теоремы; и удовлетворяет (3.134), у удовлетворяет (3.135). В приводимой ниже лемме мы покажем, что

(й (0. ») + 2v $ kku (s), и (s))) ds = | и, |a о

It

+ 5 </($), fl(s) + ®(s)> ds—$b(w(s), w(s), v(s))ds, о0

(3.137)

где w = tt—Ф. Сложим (3.134) и (3.135) и вычтем удвоенное (3.137) из получившегося неравенства. После некоторых преобразований придем к неравенству

|щ (0 |24-2v ^ ||w( j|a ds ^ 2 ^(^(s), W(s), ®(s))ds. (3.138) оо

В гл. II, используя неравенство Гёльдера, мы вывели оценку |6(W(s), w(s), ®(s))|<Ci||u>(s)||LMQ)||w(s)H^

В силу леммы 3.5, мы можем оценить выражение справа величиной

С2 I w (S) I1/4 Ц w (8) Ц’^11 е (s) ||l* (Й) < v|| w (S) II2

+41 W(s) |2iI®(s)U1‘(Q).

Учитывая эту оценку, получаем из (3.138)

| по (t) I2 ^ 2с3 $ I w (s) I21! v (S) 11^4 № dz. О

Так как функция t\-»e (1) = 2с8\\у ^t^L № интегрируема (® удовлетворяет (3.133)), то неравенство Гронуолла дает

| w (^) |2 ^ J о (s) | w (s) |2 ds ^ 0. . о

Таким образом, по = и — п = 0. □

Остается доказать (3.137).

Лемма 3.6. Для и и н из теоремы 3.9 выполняется равенство (3.137).

Доказательство. Пусть р g S> (R) — некоторая регуляризующая функция, удовлетворяющая условиям р^О, р(—0 = р(0» р(^) = 0 при |^|^ 1 и Jp(Od/==l; пусть, далее, ре определяется равен- R

ством ре (^) = (1/е) р (^/е). Всякой функции но, определенной на [0, Т1], поставим в соответствие функцию по на R, равную по на [0, Т] и 0 вне этого интервала. Используя (3.18), запишем

а' + vAu + Bu—f на ]0, Т[,(3.139)

у' + v^v + Bv^f на ]0, Т[.(3.140)

После регуляризации получаем из (3.139)

-^ (й*ре*ре) = (/—вй—уДа)*ре*ре на ]е, Т—е[.

(3.141)

Из (3.139) и (3.141) следует, что на ]е, Т— е[ "ыполняются следующие соотношения:

^ (V, И » ре * ре) = <»' Я * р8 * ре> + <», й' * ре * ре>

= </ — vДv — Вп, й*Ре*Ре> + <», (/— Ви — vДй)*pe*pe>.

Так как функция рР четная, имеем также

^(v, ие)=</— vAy—By, ae>+<v8,/—Ba—vAu>, (3.142)

где tte = tt*Pe*pe, Ve = ®*pe*pe.

Теперь проинтегрируем (3.142) от s до t, e < s <t <T—e; no-

F*

Лучим t

(у(0. йв(/)) —(У (s), »6(s)) = $ <fW’ ®в W + ®e (»)> da 0

—v${((y(a), ae(a))) + ((ye(a), a (a)))} da s

— J {&(y (a), у (a), Йе (a))+ 6 (й (a), й(а),уе(а))} da. (3.143) s

В силу (3.131), (3.132) и (3.133),

йе-.И в Lfoc(]0, И; Ю и ^(Р, Л;п 144ч

уе — у в лос(]о, Л; Ю и Lfoc(]0, л; l4^y

Теперь можно перейти к пределу в (3.143); мы видим, что для почти всех s и t, 0 < s < t <_Т,

(у V), a (t)) — (у (s), й(5)) + 2v ^ ((и (а), у (a))) da S

tt

= $</(а), й (а) + у (а)> da — $ {6 (У (а), у (а), й (а))

-V-b^u^o), и (о), у (a))) da. (3.145)

Поскольку функция и слабо непрерывна в Н (теорема 3.1), а функция у сильно непрерывна в Н (теорема 3.4), функция tv-»Vu'W ®(0) непрерывна и поэтому (3.145) имеет место для всех s и t, 0<.s<t^T. Полагая s = 0 в (3.145), получаем в точности (3.137), если заметить, что bfo, V, й) + &(и, й,у) = 6(й —У, й, У) =6 (й —У, И —У, У). □

Использование специального базиса. Если Q —ограниченная липшицева область в R" (п = 2, 3), то в качестве базиса в методе Галёркина (п. 3.2) можно использовать базис из собственных функций -и),, введенный в гл. 1, п. 2.6. Это позволит нам получить дополнительные априорные оценки решения и некоторые результаты о существовании регулярных решений, немного отличающиеся от приведенных в п. 3.5.

Предварительные результаты. Нам будут полезны следующие леммы.

Лемма 3.7. Пусть Q—ограниченная область класса ^2 в R" (п произвольно). Тогда | Дй| является нормой в пространстве Vf)H2(Q), аквивалентной норме, индуцированной из //2(Q).

Доказательство, Для a^V, f^L1^) равенство Ди =/эквивалентно равенству

((й, У)) = (/, У) Vy^V.(3.146)

Рассматривая (3.146) как линейную задачу Стокса и применяя предложение 1.2.2, получаем l{ai'at*<Q)^cu |/|=с0| Аа\. Обратное неравенство тривиально. □

Лемма 3.8. Пусть область QcR" (п —2, 3) ограничена и принадлежит классу ^2. Если й€^ (\№(Й\ то Bu ^HcL2^ и

IBaKc^uHM^-Mal/2 для п = 2,(3.147)

|5й| ^с2||и||з/2 | Дй|1/2 для п = 3.(3.148)

Доказательство. В случае п — 2 применяем неравенство Гёльдера с показателями 4, 4, 2:

J ut (D{ Uf) Vj dx I ^ | ut |n№ I Dtuf [пи» | V/ |n (O).

В силу (3.48) \ правая часть ограничена величиной

С1U; I!/2 | grad и( 11 grad Dtu, |lC | и, |,

откуда |Ь(я, и, ®)|^с4|й|1/2 11 tt|jii й^о) | »|. Привлекая лемму 3.7, получаем (3.147). В случае п = 3 применяем неравенство Гёльдера с показателями 6, 4, 12 и 2:

и^ПщДоудх ^ ^ I ui 11 ^iuz l1/2 I ^иД1^ | щ ^dx ■

^ I Щ |n (О) I DtUj |n to \Dtu; Into | o, |n (Q).

Согласно теоремам вложения Соболева, это не превосходит

С6 I Ui \НЧО> I DjUj |//ЧО) J Vj |n (Q),

откуда |6(й, и, ®)Ксв||й||3/2 ||и||яДо)|®|, чем (3.148) и доказано. □

Двумерный случай.

Теорема 3.10. Предположим, что Й —ограниченная открытая область в R2 класса ^г. Пусть заданы / и и0, такие что

ati^H,(3.149)

fEL40,T;H).(3.150)

Тогда у задачи 3.2 существует единственное решение, которое удовлетворяет, кроме того, следующим условиям;

Vtu^L40, Т- tf2(Q))AL"(0, Т-, V),

КТи'е.ЕЧ0,Т;НУ (3.151)

Исли u0£V, то

u^L (О, Т; № (Й)) П L” (О, Т; V), и' 6 ^ (О, Т; Н\ (3.152)

Доказательство. Начнем со случая и0£ V. Рассмотрим опять галёрки некое приближение, использовавшееся при доказательстве теоремы 3.1. Функции wj возьмем на этот раз те же, что ив гл. I, и. 2.6, и предположим, что uOm С Sp[zun .. ., zu„]' выбраны так, чго иОт —* и0 сильно в V при т —» оо. Соотношение (3.22) можно записать в виде

kttm, <u)jW^AumA-Bttm, 48)^ = ^, TDjV 1^/^m. (3.153)

В силу (1.2.64),

((zuz, у)) = (ЛгУ/, •о> = КДи)п у) Vy^V.(3.154)

Поэтому мы можем переписать (3.153) (после умножения на л,) в виде

((«т, w/)) + v((Л«m, А-и)^АДВит1 Лгу,) = (/, А-ш,у

Умножая это равенство на gf (см. (3.21)) и суммируя по /=1, ..., т, получаем

у 5 II “т II2 + v | Лйт |2 + кВит, Айт) = (/, Аит\ (3.155)

Из леммы 3.8 выводим, что

jsll«J2+vHttJ2^|/|MttJ+Cj^^|»/2

^tM“J2+^|/|2+^| л«^2+с,|а^2и^

Отсюда

А 1| ит ||2 + v | Аит р ^ 11/р + 2с, | ит |21| ит ||\(3.156)

В частности, полагая от (() = 2с, | ит (<) |2|| ит (/)||2, получаем «1/(10Ии||2<(2Л)|/|2 + аи||Ци||2. В силу оценок (3.30), (3.31), т

j от (t) d/ const = cg. На основании леммы Гронуолла и (3.153) заключаем, что

последовательность ит ограничена в L” (О, Т\ V). (3.157)

Возвращаясь к (3.156), имеем теперь

гТ

II и® (7) |р + v \ | Аит Р dt < || й0„ |р + f 11/ |4 dt

т

+ 2^$1«я 12Ит|М^ О

таким образом, в силу (3.157) и леммы 3.7,

последовательность ию ограничена в L4 (О, 7; № (й)).

'(3.158)

Отсюда легко следует, что последовательность ит сходится к некоторому и, причем й€7°°(0, 7; У)Г)72(0, 7; ^(й)). Из леммы 3.8 вытекает, что Bu^L^Q, Т\ Ну с другой стороны, Аа£ € 72 (О, Т; Н^ и, вследствие (3.18), й' — f—Bu — vAtt € 72(0, 7; Ну Тем самым для случая utt£V теорема доказана. В случае ий^Н мы умножим (3.156) на I:

^(t\\um |Р) ч- v^ Л й J4 ^ || й J2 + ^ |/1 + to J й„ |Р,

и получим, что последовательность КТит ограничена в L” (О, Т; V) и в Л2(0, Т; //2(Й)). Предельный переход при m —» оо дает первое включение (3.151); включение УЧи' € L2 (О, Т; Н^ устанавливается аналогично: в силу (3.147), VtU* = Vt^f—Bu — 'oAuY очевидно, принадлежит L2 (О, Т\ Ну □

Трехмерный случай.

Теорема 3.11. Пусть й—ограниченная открытая область в R8 класса ‘б2. Пусть заданные функции й0 и f удовлетворяют условиям

и» € V, / 6 7” (0, 7; //).(3.159)

Тогда можно указать такое Т^, что на интервале (0, 7») существует единственное решение и задачи 3.2; а именно, 7*=min(7, Тгу где

Tt = 3/4cey\(3.160)

p = 4max(||a0|p, 2?/(/)2/c10v2), N (/) = 1/1^0. т-.щ (3.161)

Кроме того,

U^L” (0, 7.; И) П L2 (0, 7*; H2 (й)),(3.162)

и' 6 L2 (0, Т,-, И).(3.163)

Доказательство. Поступаем так же, как при доказательстве теоремы 3.10, вплоть д® уравнения (3.155). Применяя лемму 3.8,

получаем

у ^ II ит ||а + v | Аит |2 ^ |/ П Л ит | + с21| ит ^ \Аит\^

'^7|Л«,лН^|/Р + ^|Лйтр + с9||«и||в.

Отсюда

^ || ит IF + v | Atim Р <4 |/р + 2с9 || ат ||».(3.164)

Согласно лемме 3.7, | Аф | ^с10 ||ф|| и" поэтому

I II «т II2+^vII ат \^lN(f) + 2с9 II итII6.(3.165)

Теперь мы утверждаем, что

\\umVW<b W<TV. (3.166)

при условии что || авт || <||| ti01|; это условие выполняется, например, если иОт — Рти(] (проекция й0 (в V или в Н) на подпространство, натянутое на Wj, ..., wm). В самом деле, пусть z =тах(р/2, ||йт||2). Тогда, согласно одному хорошо известному результату Стампаккьи [1], функция г почти всюду дифференцируема и dz/dZ = О, если || йт||2 ^р/2, и dz/d< = (d/d<) || «„||2 в противном случае. Следовательно, dz/d/ ^ 2cgz3, г(0) = р/2, так что 1/р2^4(1 — с6^р2)/р2^ 1/г2 для t^Tv Мы заключаем, что последовательность ит ограничена в L” (О, Т*; V), а значит, как и выше, в L2(0, Те; Я2(й)). Также и последовательность и'т ограничена в А2 (О, Те; HY Предельная функция и является единственным решением задачи 3.2 на [О, Т»]. □

Замечание 3.9. Рассуждая непосредственно или переходя к нижнему пределу в (3.156), (3.164), можно показать, что

^•1! «!ls+v| Ли p<4-|ZP+2c7 | « РН «II* (п = 2, 0 < КТ), .(3.167)

4l|и||2 + v|ЛиP<4l/l2 + 2c9||и|i6 (п=3, 0<КТе).(3.168)

Частный случай /—0. Мы хотим показать, что для / =0 течение стремится к состоянию покоя при t—*oo.

Теорема 3.12. Предположим, что й — ограниченная открытая область в R" (п = 2, 3) класса is2, a0€V, а / = 0. Если п = 2, то а принадлежит L” (0, оо; V) и стремится к 0 в V при t ->- ео. Если п = 3, то и принадлежит L” (0, Тг\ V) Г) L” (Т3, оо; V) для некоторых Т2 и Т3 (0 < Т% «^ Т4у оцениваемых снизу, и стремится к 0 в V при t —•- 4- оо.

Доказательство. Пусть и —некоторое решение задачи 3.2, даваемое теоремой 3.1 ^единственное при п = 2). В силу (3.47),

(3.169)(3.169)(3.170)(3.170)|tt(nP + 2vJ '[ « (s)|!2 ds <^ | «0 р VI > О, о'

(3.169)

(3.169)

(3.170)

(3.170)

и из (3.167), (3.168) следует, что

^ир+СиЛ ||ир^сп||и|;2п,

где Cii = 2c, |«012 для п = 2 и сп = 2се для п = 3.

Если для некоторого t^ мы имеем utt^V и норма |jtt(^)|| настолько мала, что

(3.171)(3.171)i'tt(^)|i2<n~l)<vclu/2cn,

(3.171)

(3.171)

то (d/d^ |; И (П) |®-HW1O/2H a (*i)|l2'-^О, так что после момента ^ норма |1й(0|| будет убывать; более того, (3.171) остается верным для любого t">tv U^L^^t^, оо; V) и :! и (/) || —► 0 экспоненциально при / —» + оо. Существование /п для которого выполняется (3.171), вытекает из (3.169). Действительно, в противном случае мы должны были бы иметь |ап |2 ^г 2v/j ^Сц^Сц)17*"-1», а это невозможно для достаточно больших tv .

В случае п = 3 мы можем в качестве 7\ взять 7\ из теоремы 3.11. Или можно рассуждать непосредственно: (d/d/) II и |i2 ^ s^nlH6 дает i,l«(/)|i^||«t. 117(1—Sc^^liaoll4)1/4 для t<Ta = = (2Сп||ИоП-1. □

Другое доказательство существования (с помощью полудискретизации)

Теперь мы приведем другое доказательство существования слабых решений для уравнений Навье — Стокса, пригодное для любой размерности пространства. С помощью полудискретизации по времени строится приближенное решение, а затем производится переход к пределу, с использованием соображений компактности.

В п. 4.1 мы переформулируем задачу в виде, подходящем для любой размерности, и сформулируем результаты о существовании; в п. 4.2. описано построение приближенного решения; пп. 4.3 и 4.4 посвящены априорным оценкам и предельному переходу.

Форму лировка задачи. Прежде чем приводить теорему существования для более высоких размерностей, мы должны переформулировать задачу о слабых решениях. Как и в стационарном случае, при п > 4 форма b не является непрерывной трилинейной формой на V и формулировки типа (3.10) — (3.14) не имеют смысла, поскольку член b^u^, tt(t), V) в (3.13) может быть не опреде-

лен. Чтобы преодолеть это затруднение, мы снова введем (см. Гл. II, п. 1.2) пространства V/

V, —замыкание ^ в №О(Й)П Н$ (й), s^l.(4.1)

Пространства Н» (й) П № (й) и V, снабжены обычной гильбертовой нормой из Н* (й):

|| и']н^0) = J 2 l^epV72 (s — целое).(4.2)

([/]<« I

Очевидно (s > 1),

VscV,(4.3)

причем вложение непрерывно и V, плотно в V.

Форма b определена на VxVxV^, если s^n/2:

Лемма 4.1. Форма b является непрерывной трилинейной формой на VxVxVj, при s^niS, и

\Ци, о, w) ] <с|«|||®|||| Wj| Vr '.(4.4)

Доказательство. Для и, У, w^^ имеем, в силу неравенства Гёльдера,

\Ци, У, w)l = ]b(u, w, У)|

.^ . ^ II “/ Ik2 (Й) ll О(Wj ||^П (Д) |i У/ (I^2n/(Z1 - 2) ^

^(в силу вложения Но (Й)с L2n^'~2' (й))

^с0|«1М; £ JI^/IL^g,.

Так как s^n/2, то Hs-1 (й) вложено в 7-»(й), где ■1/^= 1/2 —(s—l)/n, q > п.(4.5)

Если w^^s- то DtWj принадлежит /7s-1 (й) и L4 (й). Поскольку DjWj принадлежит £Д(Й) ПЬа(й), то В^^Е" ^ и || B-Wj |kn(o, ^ ^Ci||w||y5, так что

\Ци, у, w)| ^с.2| w|||©|p|w||v?(4.6)

Эта оценка показывает, что по непрерывности мы можем распространить форму b с'^х'^хТ’наУхУх^и даже на HxVxVs, в силу (4.6). □

Лемма 4.2. Если и принадлежит Л2 (О, Т\ V) f) L” (О, Т; Н), то Ви принадлежит Д2(0, Т; V') для s^ п/2.

Доказательство. Согласно определению В и оценке (4.4),

I <Btt (t), У> | = |Ь(а (О, и (t), У) I ^ с I и (О III и (t) II || У ||^ V® € Vs, откуда■

II Ви (t) ||к, < с I и ^ III и (О II для П.ВЛ€[О, 7]. □

Для любой размерности пространства мы можем дать следующую слабую формулировку задачи Навье—Стокса.

Задача 4.1. Для заданных / и а0:

f^L? (0, 7;V'),(4.7)

и^Н,(4.8)

найти функцию и, удовлетворяющую условиям

u^L^O, Т;V)n£~(0,Т; Н),(4.9)

-^- (а, у) + v ((а, у)) 4- b (а, и, у) = </, у> Vy € V, (s > п^,

(4-10)

а(О) = ао.(4.11)

Если а удовлетворяет (4.9) и (4.10), то -^<и, y> = <g, Ф> Vy £ V,, где g=f—Bu — vAu. В силу леммы 4.2, Ви принадлежит £2(0, Т\ Vs), и поскольку f—мАи принадлежит £2(0, Т; V'), то ^€^(0,7:^).(4.12)

Из леммы 1.1 следует тогда, что

(4-13)(4-13)а' €£2(0, ^‘> ^)» ®' =/— vЛa — Ви,

(4-13)

(4-13)

поэтому а п.в. равняется некоторой непрерывной функции из [0, 7] в V< и (4.11) имеет смысл.

Другая формулировка задачи 4.1 выглядит следующим образом. Задача 4.2. Заданы f и ии, удовлетворяющие (4.7)—(4.8). Найти и, такое что

u£L40, Т; №(0, Т; И), и' €£2(0, Т; V^^s^n!^, '(4-14)

. и' +v4a + Ba=/ на (0, 7),(4.15)

а(0) = а0.(4.16)

Формулировки (4.9)—(4.11) (4.14)—(4.16) эквивалентны.

Существование решений этих задач обеспечивается следующей теоремой, из которой следует, в частности, теорема 3.1.

Теорема 4.1. Пусть заданы f и и0, удовлетворяющие (4.7)—(4.8).

Тогда существует по крайней мере одно решение и задачи 4.2.

При этом и является слабо непрерывной функцией из [0, 7] в Н.

Эта теорема доказана в пп. 4.2 и 4.3; утверждение о слабой непрерывности непосредственно следует из (4.14) и леммы 1.4.

Приближенные решения. Пусть N — целое число, которое, н дальнейшем мы устремим к бесконечности, и пусть

k = T(N.(4.17)

Сейчас мы рекурсивно определим семейство элементов из V, скажем и0, и1, ..., uN, такое что ит будет в некотором смысле аппроксимировать искомую функцию и на интервале mk < t < < (' +1)6.

Определим сперва следующие элементы у1, ..., fN из V:

F=^ f y(/)dC m=l, ...» N; f^V'.(4.18)

(m-1 >k

Теперь положим u° = uu (заданные начальные данные).(4.19)

Если и", ..., ит-х уже известны, то определяем ит как элемент из V, удовлетворяющий соотношению■

^ит — ит~х^к-\-мАит А-Вит =fm\(4.20)

ит зависит от к, но для простоты записи мы обозначаем его через ит вместо и".

Существование такого и™ гарантируется леммой 4.3, доказательство которой мы отложим на конец этого пункта.

Лемма 4.3. Для каждого фиксированного к и каждого m^ 1 существует по крайней мере одно ит, удовлетворяющее (4.20); кроме того,

| ит I2 — I ит~112 +1 ит — ит-112 4- 2kv ;| um II2 ^ 2k <fm, ит>.

'(4.21)

Для каждого фиксированного к (или N) сопоставим элементам И1, ..., uN следующие аппроксимирующие функции:

■ ик- [°,—* V, ик (О = ит, t £ [(m — 1) к, mk\,

"т = \N; (4.22)

чв^. [0, Г] —* Н, тий — непрерывная функция^ линейная на каждом интервале [(т— 1) к, тк\,

и wk(mk)-=um, т = 0, ..., N.(4.23)

В п. 4.3 мы получим априорные оценки для этих функций, а затем перейдем к пределу при к—>0 (п. 4.4).

Доказательство леммы 4.3. Уравнение (4.20) должно рассматриваться в пространстве, более широком, чем V', например в пространстве Vs, s ^ п/2. Оно эквивалентно следующему уравнению:

(ttm, v) + kv((um, v)) + kb(um, ит, -0) = <ит-х +kfm,D>

Vo e V,.(4.24) -

f p. Темам

Мы используем метод Галёркина, по существу точно также, как в теореме II. 1.2. Выберем какую-нибудь последовательность линейно-независимых элементов wv ..., w,, ... из l/s, тотальную в Vs, а поэтому и в V. Применяя лемму 1.4, получаем, что для каждого г существует такой элемент фг (зависящий от г, 6, т), что

Фг = 2 ^t. г wit(4.25)

t= 1

(ф£, ©) + ^((фг, Ф))+^(<}г, фг, У)

= <«'в~х + &/'в, ®>V®£Sp(ze>i, .... zur).(4.26)

Теперь нам надо получить не зависящие от г априорные оценки и перейти к пределу при г—► оо (/г и т фиксированы). Беря у = Фг в (4.26), приходим к равенству

(фг — ит~\ фг) + kv|| фг ||2 = к <fm, фг>.(4.27)

Далее,

2(а-б, a) = |a|2-|d|2-|a-d|2Va, Ь^Н, (4.28)

поэтому из (4.27) следует, что

I<рг I2 +1 фг — u™-1 Г2 — 2^||фг||2 = | ит~1 |2 + 2^</m, фг>

<|ы'”-1|2 + 2й||/”|Ифг|

^ | Ц”-112+ хк II фг II2 + <к/^II/” ||^,.(4.29)

Отсюда

I Фг I2 +1 Фг — и'”~112 + МФг||2 ^ | и”-112+(^)ll/mII2 "(4.30)

Неравенство (4.30) показывает, что последовательность фг ограничена в V. Поэтому мы можем извлечь из нее подпоследовательность фГ', такую что

фг—►ф слабо в V при г'—.-оо.(4.31)

Используя стандартные рассуждения, переходим затем к пределу в (4.26) и доказываем, что ф—ит удовлетворяет (4.24).

Остается установить (4.21). Это было бы очевидным, если бы мы могли положить т^и” ъ (4.24); поскольку, вообще говоря, “m^s* мы поступим иначе, а именно перейдем к нижнему пределу в (4.29) (заметим, что норма полунепрерывна снизу в слабой Топологии): |ф|2< Пт|фг-18, ||ф||а< Нт ||фг-||2. П г' *»f' -* ~

Априорные оценки.

Лемма 4.4. |a™|2^dn m=l, ..., N;(4.32)

N

, k £ || a® ||2 ^ld1((.L33)

N

2 |ti” — a®"1)2 <di,(4.34)

m= 1

ede d, зависит только от данных:'

т

^ = |о0|2 + 1^/(5)^ ds.(4.35)

о

Доказательство. Как уже отмечалось в доказательстве леммы 4.3, мы не можем скалярно умножить (4.20) на ит, по крайней мере для n>4 (Bum^V'). Роль уравнения, которое мы получили бы после этой процедуры, будет для нас играть (4.21).

Оценивая правую часть неравенства (4.21) величиной 2^ ||/® ilv' IIит II ^ ^v IIы“ II2 + W^ И/® ||г, получаем

а® ,2 — | и®"112 + |«т — и”-112 + &v|| ит||2 < ^-||/®||2о (4.36)

т=1, ..., N. Суммируя неравенства (4.36) для т=1, ..., N, находим

NN

uN |2 + У | а™—а™-112 + v^ У || а® ||2 'И = 1т=1

' N

<l«»l2+4E^mll^(4.37)

Суммируя неравенства (4.36) для т = 1, ..., г и отбрасывая члены вида ||а™||2, получаем

гN

а' |2 ^| а012 + А £ у» ц^, ^| а012 +1 У И“ ||и-.(4.38)

т = \т= I

г—1, ..., N. Лемма вытекает теперь из (4.37)—(4.38) и оценок ’ правых частей этих неравенств, даваемых следующей леммой. □ Лемма 4.5. Пусть fm определено формулой (4.18). Тогда

NГ

(4.39)(4.39)к 2 ll/m llv'^S 11/(0 Ци- d/.

(4.39)

(4.39)

m=l0

Доказательство. В силу неравенства Шварца,

Ии1г = ^Ии1г = ^ткткj f^dt(т-1) 6j f^dt(т-1) 6<1 j VW^dt.У'(m—1)*<1 j VW^dt.У'(m—1)*

Ии1г = ^

Ии1г = ^

тк

тк

j f^dt

(т-1) 6

j f^dt

(т-1) 6

<1 j VW^dt.

У'(m—1)*

<1 j VW^dt.

У'(m—1)*

Суммируя эти неравенства по т — 1, ..., N, приходим к (4.39). □ Получим последнюю априорную оценку:

к1

Лемма 4.6. Сумма к У. |“ —“Р ограничена равномерно по к.

Доказательство. Из (4.20) вытекает, что .

-~Р- |к; < ll/m ^ + v I! Л ы™ ||,, +1| Bw»Vs

«^ |^, < с. (И/” ||2r +1| и-” Ц2 +1| Ви-» jy.

В силу (4.4) и (4.32), || Вит ^ ^с31 ит |2|| и” ||2 ^ с41| ит ||2. Следовательно,

Применение опенки (4.33) и леммы 4.5 завершает доказательство.□ Представляет интерес проинтерпретировать изложенное выше в терминах аппроксимирующих функций:

Лемма 3.7. Последовательности ик и wk ограничены в L2 (0, Т; V) П

П^.”(0, Т; Н\ последовательность "шк ограничена в L2 (0, Т; V'^ и

ик— ТУк-^0 в L2(0, Т; Н) при к—* оо.(4.40)

Доказательство. Оценки для ик и 11) к — это просто другая интерпретация оценок (4.32)—(4.33) и леммы 4.6; (4.40) следует из (4.34) и приводимой ниже леммы. □

/ NX 1/2

Лемма 4.8. | ик—tvk\L= <о, т-. н} = 1/ — I 5 | и™ — и”'-1 |2 ) •

У 3 Ут=1/

(4.41) Доказательство. Имеем.

^л(0 — “л(0 =^У^-(аи —ы™-1) ДЛЯ (m— \)k^t ^mk,

(т-I) к(т-I) к\®nW-ak (0\bdt=^\ttm — ttm~1\®nW-ak (0\bdt=^\ttm — ttm~1

(т-I) к

(т-I) к

\®nW-ak (0\bdt=^\ttm — ttm~1

\®nW-ak (0\bdt=^\ttm — ttm~1

Суммируя, получаем (4.41). □

Предельный переход. Согласно лемме 4.7, мы можем Извлечь из ик подпоследовательность tty, такую что

Uh—и слабо в L2(0, Т; У) и *-слабо в L” (О, Т; Н).

(4.42)

Мы хотим показать, что и является решением задачи (4.14) — (4.16); для того чтобы перейти к пределу в (4.20), нам необходим результат о сильной сходимости ик. Функции wk будут играть полезную вспомогательную роль.

Мы можем выбрать подпоследовательность к'1, такую что '

Wk’ —* и* слабо в L2 (0, Т1, У) и *-слабо в L* (0, dm.,.

—^► и', слабо в L2 (0, Т; У$).

Т; НУ (4.43)

(4.44)

'б силу (4.40), и = и*. Из теоремы 2.1 следует, что Wk- — и в L1 (0, Т; НУ, поэтому, снова в силу (4.40), tty — » в L2(0, Т; Н\

Уравнения (4.20) могут быть интерпретированы так:

(4.45)

(4.46)

d/ + Апк-уВ«к /к, где

fk^=f’n, <m— 1) k^t < mk, m=l, ..., N.

(4.47)

Вследствие (4.42), (4.46) и лемм 3.2 и 4.2 Btty—»Ви

слабо

в Л2 (0, Т; У0- Согласно приводимой ниже лемме 4.9, fk—f в L2(0, Т; У'); поэтому мы можем перейти к пределу в (4.47). Получим и' + чАи + Ви —f. Из (4.43), (4.44) и леммы 4.1 выте

кает, что

<Wk (0, О—*<«(<). °> Va^y'V/£[0, Т].

Поскольку Wy (0) = tttt, получаем и(0) = й„.

Мы показали, что й удовлетворяет (4.14)—(4.16). Итак, доказательство теоремы 4.1 будет завершено, как только мы докажем следующую, лемму.

Лемма 4.9. /к—► / в L2(0, Т", V1) при к—►О. (4.48) Доказательство. Заметим, что отображение f*-^fk является ли- иепдым усреднением в L2(0, Т\ У?); эТо отображение непрерывно

' Строго говоря, если я0£У, то w^(0€^ для 0<<^^; в этом случав мы просто заменяем L2(0, Т\ И) на Z-ioc ([0, Г]; И) всюду, где появляются функции wk.

по лемме 4.5, и это позволяет нам заключить, что

||/й IM (О, Г: V') ^ II/lit (0. Г; V”).(4.49)

Поэтому достаточно доказать (4.48) лишь для / из некоторого плотного подпространства в L2(0, Т\ V'); для / из ^([0, Т]; V') этот результат элементарен, и мы опустим его доказательство.□

Замечание 4.1. Суммируя равенства (4.21) для т=1, ..., г и отбрасывая члены | и™ — и'”-1)2, получаем

|«q2+2£v 2 ||«'”|12<|«о|2+2^ 5 V”. «”>•(4.50)

Это неравенство можно интерпретировать так:

'к‘к

1«А (#) r2 + 2v ^ II ыд (s) |]2 ds < I ы012 + ^ <Л(5), и* (s)> ds, (4.51) оо

где

<д = (т4-1)£ для тк < t < (m+O^-*(4.52)

Для каждого фиксированного t значения Яд (() ограничены в Н равномерно по к-, при к' —» 0 последовательность ик. (/) слабо сходится к я (0 в V'; поэтому 1

и (t) —»и (П ела’о в Н при к* —► 0 V#€(0> ^Ь(4.53)

Затем мы переходим к нижнему пределу в (4.51) (/ фиксировано, к'—► 0), используя (4.42) и (4.53). Это приводит к следующему энергетическому неравенству.

tt

| и (0Р+ 2v J || и (s)|p ds < | я0Р4-2 J </ (s), и (s)> ds, v^ € 1®, Г].(4.54)

оо

В случае я = 2, используя (3.62) легко непосредственно доказать энергетическое равенство

tt

|H(0P+2v ^ 1|Я(5)||2 ds = |«0|2 + 2 ^ </(s), H(s)>dsW€IO, Г]. оо

(4.55)

Дискретизация уравнений Навье — Стокса.

Общие теоремы об устойчивости и сходимости

Этот параграф посвящен общему обсуждению дискретизации эволюционных уравнений Навье—Стокса. Здесь мы рассматриваем полную дискретизацию этих уравнений, одновременно по пространственным и временной переменным:

— Дискретизация по пространственным переменным осуществляется путем введения какой-нибудь внешней аппроксимации пространства V, например одной из аппроксимаций (АПР1) — (АПР4), соответствующих конечным разностям либо конечным элементам. Эти конкретные примеры более подробно разобраны в работе Темам [9].

— Для дискретизации по временной переменной мы предлагаем, кроме многих естественных и классических схем, четыре двухслойные схемы (полностью неявная схема, схема Крэнка — Николсона, схема неявная в линейной и явная в нелинейной части уравнений и схема явного типа).

После описания схем, подлежащих рассмотрению, мы приступаем к изучению устойчивости этих схем. Под задачей об устойчивости в численном анализе понимают задачу о получении априорных оценок для приближенных решений. Классическая дискретизация одновременно по временной и пространственным переменным может приводить к неустойчивым или условно устойчивым схемам: приближенные решения неограничены, если параметры дискретизации не удовлетворяют некоторому ограничению. Мы обсудим во всех подробностях численную устойчивость четырех упомянутых выше схем. Насколько нам известно, используемые здесь методы не являются традиционными при исследовании устойчивости нелинейных уравнений. Изучение нелинейной неустойчивости— задача сложная; наше исследование, основанное на энергетическом методе, дает только достаточные условия устойчивости; полученные условия устойчивости представляются близкими к необходимым, однако проблема нахождения необходимых условий устойчивости в книге не рассматривается.

Последняя тема этого параграфа — сходимость схем. В подходящих пространствах доказываются две общие теоремы сходимости для различных схем. Доказательство сходимости основано на дискретных аналогах теорем о компактности. Из-за отсутствия единственности слабых решений в трехмерном случае результаты о сходимости в двух- и трехмерном случаях различны и лучше, конечно, для п = 2.

Распределение всего этого материала по пунктам таково. В п. 5.1 описаны основные типы дискретизаций и численных схем, которые будут изучаться. В пп. 5.2—5.4 мы последовательно изучаем устойчивость схем 5.1 и 5.2 (п. 5.2), 5.3 (п. 5.3) и 5.4 (п. 5.4). Пункт 5.5 посвящен вспомогательным априорным оценкам технического характера (в которых фигурируют дробные производные по времени от аппроксимирующих функций). В и. 5.6 приводятся предположения о согласованности, формулировки общих теорем о сходимости и доказательства этих теорем.

Приложением этих результатов к случаю различных конкретных аппроксимаций пространства V мы займемся в § 6. Там же

мы рассмотрим практические методы решения дискретных задач (описание некоторых практических примеров дано в приложении II). В § 7 и 8 будет изложен ряд других методов аппроксимации нелинейных эволюционных уравнений Навье — Стокса, в том числе метод дробных шагов (или проекционный) и метод искусственной сжимаемости.

Начиная с этого места, мы ограничимся „реальными" размерностями пространства, п = 2 и п = 3.

Описание аппроксимирующих схем. Итак, мы будем иметь дело с аппроксимацией решений уравнений Навье — Стокса исключительно в двух- и трехмерном случаях и лишь для ограниченных областей Q. Ради простоты мы предполагаем, что данные /, ий удовлетворяют условиям

/6L2(0, Т; /7)(5.1)

и, как и выше,

ий^Н..■ (5.2)

Теоремы 3.1 и 3.2 говорят нам, что у задачи 3.2 существует единственное решение, если п — 2, и по крайней мере одно решение, если п = 3.

Пусть задана некоторая устойчивая и сходящаяся аппроксимация пространства V, скажем ((Рд, ph, г^н^зс. (ш, F^; предполагается, что Vh — конечномерные пространства. Это может быть любая из аппроксимаций (АПР1)—(АПР5), описанных в гл. I. Для простоты мы допустим, что'

Vh<zL4^W^iX\(5.3)

это условие выполняется для всех указанных выше аппроксимаций. Пространство Уд снабжено, таким образом, двумя нормами: нормой | • |, индуцированной из L2 (62), и своей собственной нормой ||’Йл- Поскольку Рд конечномерно, эти нормы должны быть эквивалентны: их отношение ограничено константой, которая может зависеть от А. Более точно, мы предположим, что

I ^h I ^о ll а Ил ^^h^V),,(5.4)

где d0 не зависит от h, и

№n^S№\uh\Vtth^Vn.(5.5)

Константа S (/i), которая, как правило, действительно зависит от h, играет важную роль при изучении устойчивости численных аппроксимаций. По этой причине S (/г) называют иногда константой устойчивости. Обычно S (А) —> -|- оо при h —> 0.

Пусть на Vh задана непрерывная трилинейная форма bh Kah, уд, wA), удовлетворяющая условиям

bh(uh, vh, уд) = 0 Vuh, -o^V^,(5.6)

|ЬА(«Л. у», wJK^IIaftllAll^lHi^li* v“a. Dh, -U)h^VH

(5.7)

(di не зависит от Л) и ряду дополнительных условий, которые будут накладываться по мере надобности (при исследовании устойчивости и сходимости схем). Разобьем интервал [О, Г] на N частей длины /г:

k = T)N.(5.8)

Как и в § 4, для данного к сопоставим всякой функции / элементы У1, ..., fN\

/” = Т J f^At, m=l, .... М-,р”£1?^.(5.9)

(m- 1) А

Из большого числа интересных схем, предложенных для уравнений Навье —Стокса, многие из которых уже стали классическими, мы опишем и изучим четыре основные схемы.

Для всех четырех схем мы рекуррентно определим для каждого h и каждого к некоторое семейство элементов ыд, ..., ин из Vh. В действительности эти элементы зависят от h и к (и от данных), и их следовало бы обозначать через и^; однако для простоты мы не будем подчеркивать в записи эту зависимость.

В каждой из четырех схем мы начинаем рекуррентный процесс с

«а = (ортогональная проекция в £2(й) функции ий на Кд);

(5.10)

ввиду (5.3) это определение имеет смысл. Отметим сразу, что

|«?К|Ио| Nh.(5.11)

Схема 5.1. Если 1&, ..., Uh-1 уже известны, то в качестве и^ берется решение в Vh уравнения

у№—<-1, yA) + v(«, уа))а + М“а-1. «?, ®Л) =

= (/“, ®Л) VyA6VA. (5.12)

Схема 5.2. Если и^, ..., «А-1 уже известны, то в качестве и" берется решение в Vh уравнения

^«-иТ1, ®кН^«иГг + а^, ®а))а

+ ^bh (иГ1, «Г1 + С, <о^ - (/”, од) ^к 6 Vk. (5.13)

Схема 5.3. Если и^, .. ., я" ~‘ уже известны, то в качестве и^ берется решение в Vh уравнения

1^-иГ\ ®»)4^((<, ^h + bh<ur\ иТ1^

= (/”, ®й) ^h^Vh. (5.14)

Схема 5.4. Если и^, • • •, Uh-1 уже известны, то в качестве и™ берется решение в Vh уравнения

y№ —и^-1, vJ + vUttg-1, ®д))д + b„ «-1, иТ\ ®»)

= (Л", «кА ^«h 6 vh. (5.15)

Для всех этих схем уравнение, определяющее и™, эквивалентно линейному уравнению вида

ац№. «кА = Е„^к) NDh^Vh,(5.16)

где Lh зависит от т, a ah зависит от т для схем 5.1 и 5.2 и не зависит для схем 5.3 и 5.4.

Ясно, что во всех четырех случаях

«к («к» «кА^к"Ч«к\2-(5.17)

поэтому существование и единственность решения задачи (5.16) вытекают из проекционной теоремы (теоремы 1.2.2).

Замечание 5.1. (i) Вычисление ип требует обращения соответствующей матрицы; для схем 5.1 и 5.2 эта матрица положительно-определённа, несимметрична и зависит от т; для схем 5.3 и 5.4—положительно-определенна, симметрична и не зависит от т.

Схема 5.1—это стандартная полностью неявная схема; схема 5.2 представляет собой интерпретацию классической схемы Крэнка—Николсона. Схема 5.3—это частично неявная схема, а именно неявная только в линейной части оператора.

Схема 5.4 является явной или, точнее, некоторой модификацией явной схемы, поскольку в схемах явного типа ин находится без обращения какой-либо матрицы, а в нашем случае из-за дискретного аналога условия diva—0, фигурирующего в определении пространства Уд, определение и™ необходимо связано с обращением матрицы. Это обстоятельство существенно ограничивает интерес к этой схеме, но мы тем не менее считаем ее достаточно интересной.

Помимо этого обсуждения типов схем см. § 6, где описаны практические методы вычисления ад1.

Замечание 5.2. Некоторые родственные схемы. (1) Схемам 5.1 и 5.2 родственны их нелинейные формы:

Схема 5.F ^-(и^—ад1-1, t>a) + v ((ад1, ©д))д

+ bh (uff, uff, -ohA = ^m, »пА >#^Vh.(5.18)

Схема 5.2'. 1^-иГ\ *А)+| ((«ГЧ «К, ^))*+| Ь^аГЧЙ,

»») = (/”, i>h)^h^Vh.(5.19)

Схеме 5.3 родственна схема Крэнка—Николсона, неявная в ее линейной части:

(5.20)(5.20)Схема 5.3'. ^«-иТ1,-ohH^VkuTv-V»^, vh))h А-Ьнки”-1, am-i, ■о^ = (/т, -0^ MTh^Vh.

(5.20)

(5.20)

(iii) Эти схемы могут 6.1—5.4.(iii) Эти схемы могут 6.1—5.4.быть исследованы теми же методами, что и схемы

(iii) Эти схемы могут 6.1—5.4.

(iii) Эти схемы могут 6.1—5.4.

Устойчивость схем 5.1 и 5.2. Наша задача —доказать некоторые априорные оценки для приближенного решения.

Схема 5.1.

Лемма 5.1. Решение и^ задачи (5.12) остается ограниченным в следующем смысле-.

(5.21)(5.22)(5.23)(5.24)(5.21)(5.22)(5.23)(5.24)К|8^Ч m = 0, .... N,

(5.21)

(5.22)

(5.23)

(5.24)

(5.21)

(5.22)

(5.23)

(5.24)

2 Х-вГЧ^^.

m = l

где

-i T

d2 = |«0|2+^-yi./Wds.

Доказательство. Полагаем ол = «™ в (5.12). Вследствие (5.6) и тождества

2(а—6, а) = |а|а-|д|а + |а-д|а Уа, Ь^СЧ^ (5.25)

имеем

| «Л8 -1 «Г118 +1 «ь - «М8 + 2*v || < |й

= 2(/™, ы?Х2/г|/'»||и^К(в силу (5.4))

<2kd»\fm\\\uHh ^M-mWI/"!8.(5.26)

Отсюда

I и^ |а -1 *TV |a +1 < - W112 + Ь И uS g Cl/m I8, (5.27)

т=^1, .... N. Суммируя эти неравенства по т=1N, получаем

i^ia+ Si<-<_42+^ Zikk т« 1пг* 1

2 N<№+^'£j/”lk (5.28)

Как и в лемме 4.5, можно проверить, что

fe 2 l/“laC\|/(s)|sds;(5.29)

m=l0

поэтому из (5.11) и (5.29) следует, что правая часть (5.28) ограничена константой

2 Т

^ = |«0р + ^-р/(8)|М8.(5.30)

о

Тем самым доказаны (5.22) и (5.23). Теперь просуммируем неравенства (5.27) для т=1, ..., г; отбрасывая некоторые положи-

Г

тельные члены, получаем | «h |2 ^ | «h I2 + kkd^h^Sl/-"l2^ (в силу сказанного выше); (5.21) также доказано. □

Схема 5.2.

Лемма 5.2. Решения ин задачи (5.13) остаются ограниченными в следующем смысле;

|«й|2 ^d2, m=l, ..., N,(5.31)

(5.32) me 1

еде d^ то же, что и в (5.24).

Доказательство. Положим т^ПнА-и™"1 в (5.13). В силу (5.6),

I и? I2 -1 «Г1 I2 + 2fev Д<+ «Г L)/2 |й = k кГ> ин + <"^

C2kdB\f”HWA-«rY№CkW^I/" I2.

(5.33) Поэтому

К I2 + кч Ш + иГ^ Я? ^ I иГ112 + VW | /“ |2. (5.34) Суммируя эти соотношения для т=1, .., N, получаем

N, N

1^ |2+^v У Iw+^- Z 1/и12<^

т = 1Нт = 1

(по тем же соображениям, что и выше); тем самым (5.32) доказано; суммируя теперь соотношения (5.34) для т=1, ...,ги опуская ненужные члены, находим

т = I

откуда следует (5.31). Q

Теоремы об устойчивости. Сначала напомним определение: Определение 5.1. Бесконечное множество функций 6 называется Lp (О, Т; Х)-устойчивым тогда и только тогда, когда оно является ограниченным подмножеством в Lp (О, Т; X).

Представляет интерес вывести некоторые результаты об устойчивости из предыдущих оценок. Чтобы сделать это, введем аппроксимирующие функции uh;

.«А:[0, Г]-*^,(5.35)

ик^ = и’н, ^т — 1) к ^/< тк (схема 5.1),

(5.36)

ик^ = №А-Ин~кУ2, Qn—Y)k^t<mk (схема 5.2),

m = l, ..., N. В силу 5.1 и 5.2,

sup \uh^\^Vd„.(5.37)

' t€LO. 71

\\\u^<dt^d,N.,,■(5.38)

о

Поскольку операторы продолжения PbES'^, F) устойчивы, мы имеем.

^phuh\tF ^da\\Uh\h Nuh^Vh ^ не зависит от Ку (5.39)

На основании (5.38) заключаем, что

$1Рй«й W^^t^cPAN- • о

Эти замечания позволяют нам сформулировать следующую теорему об устойчивости:

Теорема 5.1. Функции uh, h^5^, соответствующие схемам 5.1 и 5.2, безусловно L” (О, Т; L1 (^1))-устойчивьг, функции phuh безусловно /?(0, Т; руустойчивы.

Замечание 5.2. Оценка (5.22), как и некоторые аналогичные оценки для других схем, которые мы дадим позднее, не имеет отношения к результатам об устойчивости, но пригодится при доказательстве сходимости схемы. По поводу аналогичной оценки для схемы 5.2 см. п. 5.4.3.

Устойчивость схемы. 5.3. Из (5.5) и (5.7) вытекает, что

(5.40)(5.40)I bh kuk, uh, ®й)| ^ d, || ин Ил || yh ||й ^ djS2 (й) | иА | • || ий |’А | сй | NuH, Th^Vh.

(5.40)

(5.40)

Иногда эту оценку можно улучшить, и это приводит к существенному ослаблению некоторых ограничительных условий устойчивости, о которых пойдет речь позднее в этом параграфе; имея это в виду, запишем

\Ьк^н> “й. ®л)|С51(Л)|аЛ|||«Л|!А|©А| Уи„, vh$Vh, (5.41)

(5.42)(5.42)где, во всяком случае, Si W ^ d^ (/г).

(5.42)

(5.42)

Априорные оценки.

Лемма 5.3. Предположим, что к и h удовлетворяют условиям1

(5.43)(5.43)kSU^Cd', kS^Cd",

(5.43)

(5.43)

где d' и d" — некоторые константы, зависящие от данных ^их оценки будут даны по ходу доказательства). Тогда и™, задаваемые уравнением (5.14), остаются ограниченными в следующем смысле-.

(5.44)(5.45)(5.46)(5.44)(5.45)(5.46)\< | ^d4, т = 0, .... N,

(5.44)

(5.45)

(5.46)

(5.44)

(5.45)

(5.46)

N"

2 ^К-иГЧ1^.

т=1

N

k 5 iKII^d,.

т=\

где d4 — константа, зависящая только от данных, d' и d". Доказательство. Запишем (5.14) с Th = Uh. Используя опять (5.25), получим соотношение

№ -1 “Г112 + К - иг112 + ^II и1? 1Й

=-2^А«-\ <-\ O + W", <).(5.47)

В силу (5.6), правая часть (5.47) равна —2йЬй(ийг-1, Uh~v, ин — иц-1)-\-2к(^т, и™)-, это выражение не превосходит (см. (5.4) и (5.41)) 2kS^h)\ur4M-lUUh-ttr4 + 2kd6\fm\\\<L а значит и Н«Я+2*2$?(Л)| иГТ11 <-1!iH(l/2)K-r^-1|2+(M/v)|/'”p. Поэтому

I < |2 -1 и)"-112 + (1/2) | «^ - иГ112 + км !| < ^

- №St (h) | иГ112 Л «Г1 !й С ММ I/-» р. (5.48)

' Практически одно из приводимых ниже двух условий всегда является следствием другсго (какое именно, зависит от значений S и Si).

Просуммируем эти неравенства для т = 1, ..., г: 'гг

w+l Цк-гч’+ь £ ют т=1т=1

- WSX № 2 I «Г1 I2 II иГ1 IS < к,(5.49)

т=1

= W+v Е 1/"1а + 2^5Н/0ЮТ11«Щ.(5.50)

т =1

Предположим, что

2kSi(h)kN ^ V — 6 для некоторого 6, 0 < 6 < v. (5.51)

Если это неравенство выполнено, то по индукции легко доказать, что -

l«J2+|E W-<-42 + MEll«^ (5.52) т — \т = 1

г = 1, ..., N, В самом деле, неравенство (5.48), записанное для т= 1, показывает, что (5.52) верно для г =1. Допустим, что (5.52) верно для г—1, и покажем, что оно верно и для г. По предположению,

Кl2C^<^, m= 1г-1.<5.53)

Поэтому, в силу (5.51), т=2т = 2

<2^SXWKn £ Uh\K^b-^ 2-ЮТ- m=lm = l

Подставляя эту оценку в (5.49), получим (5.52). Доказательство будет завершено, если мы покажем, что из некоторого условия типа (5.45) следует (5.51). Согласно оценкам, использовавшимся в леммах 5.1 и 5.2 (см. (5.11), (5.29)), ''d2 е

^ ^ I «о I2+v j 1^ (s>l2 ds + 2^S2 ^ I »• I2 il tt”h IS 0

<(CM. (5.5) и (5.24)) d2 + 2^Sl(/i)S4/i)|«0|\

Следовательно, если (5.43) выполнено, то 2kSi(h) XN *^ 2d' (d2+2d'd-1 и» |2), а правая часть не превосходит v —6, если d' и d” достаточно малы:

2d'(da + 2d'd"iti0|2)<v-6. □(5.54)

Теорема об устойчивости. Для схемы 5.3 мы определим аппроксимирующие функции иА так:

«А: [О, Л-^,

(5.55)(5.55)Ид(0 = Mg1, (т — 1)£^Д < mk, т — \N.

(5.55)

(5.55)

Из (5.39), (5.44), (5.45) вытекает, что если выполняется (5.43), то т

sup |яА(ОКИ^, $||/>АвА(01Н^М-

<6[0. Г]о

Таким образом, верна

Теорема 5.2. Функции uh и phuh, h б ^, отвечающие схеме 5.3, соответственно L”^0, Т, L2(Q))- и L2(0, Т; руустойчивы, если k и h удовлетворяют условиям (5.43).

Определение 5.2. Условия типа (5.43) называются условиями устойчивости. Они являются достаточными для устойчивости схемы. Схема называется условно или безусловно устойчивой в зависимости от того, появляются в доказательстве ее устойчивости такие условия или нет.

Устойчивость схемы 5.4.

Априорные оценки.

Лемма 5.4. Предположим, что k и h удовлетворяют условиям

&52(/г) ^(1 — 6)/4v для некоторого 6, 0 < 6 < 1,(5.об)

AS2 (/г) ^ v6/8d6,(5.57)

где

.т

(5.58)(5.58)^ = \и„\^^ + 4Т)^/^ ds.

(5.58)

(5.58)

' о

W^d5, « = 1N,W^d5, « = 1N,(5.59)(5.60)(5.59)(5.60)(5.61)(5.61)Тогда и”, задаваемые уравнением (5.15), остаются ограниченными в следующем смысле:

W^d5, « = 1N,

W^d5, « = 1N,

(5.59)

(5.60)

(5.59)

(5.60)

(5.61)

(5.61)

N

к 2 l!<|^<2d5/6v, m= 1

NT

2 |и?-иг |2^(d6/6)(2-6) + 4T $|/(s)|2ds.

Доказательство. Заменяя yA на Uh-1 в (5.15) и используя тождество

2 (а - Ь, 6) = |ар —| Л2 —1а —Л" ^и- ^с^\^А(5.62)

IС |2 -1 иГ112 -1 < - «Г112 + ^ЬII иГх 1Й

= 26 (/”, О < 2^01/™ 11| Я? |'й ^ мк ;| < Hi + ^ I/™ |\

| я™ I2 -| иТх |2 -1 < - urx I2 + A:v II итх ЦК С v I/” I- (5-63)

В отличие от (5.26) здесь член ^и™ — «а ~‘|2 входит в левую часть со знаком минус, и поэтому мы вынуждены его оценить. Для того чтобы это сделать, запишем (5.15) с ©Л = Ял — Я™-1. Это дает

21 иЦ - аТ' |2 = -2Av-(«-L, < - иГ^Х

-2кЬ^иГх, иГх, <-uTx>) + Wm. WR-C^Y (5.64)

Последовательно оценим все члены в правой части, используя (5.5), (5.41) и неравенство Шварца:

-2Ь ^-х, ws - иТЧЧ < ^II urx |lft II < - «Г1 11Л ■^кмЗ^иГ'^и^-иГ1^

^\<-иГх\Н^5Чк)\\иГх1;

' -^kb^uF1, uFx, um-uF4

С 2kS, (Л) | иГ11ЦяГ1 ||Л К- <тЧ

sC 1К - «Г Т + ^Si (h) \иГх\Ч«Гх IK;

W u^-ur^W^^-uF^

'.^\<-иТх\4-А-^\Г\\

Таким образом, из (5.64) следует, что

I < - «Г112 < 4^v2S2 W || <“■ ||^ +4£2Si(/i)|m£-1|2||m£-1^4-4£2|/^ силу (5.56)) < км (1 - 6)|| иГ1 g + №St (h) | иГ1121| uTx t + 4£21/™ |2;

.(5.65)

поэтому (5.63) дает

I < I2 -1 иГх I2 + к (v6 - 4feS? (/i) | и'Г112) || иГх IK ^^^ + 4^^|/«|2<^^f^ + 47)|/«|2(5.66)

(поскольку k^T\ Суммируя эти неравенства для т=1, ..., г, получаем

W + ^S (v6-4A’S1i(/i)K-1|2)||<-‘iiA^P„(5.67)

.m = \

где

P,= W+44 + 0 Е 1/тГ(5*68)

Используя (5.57), докажем теперь по индукции, что

|«Я2 + ?£ 1И-ЧК<Р„ г=1N.(5.69)

т *1

Прежде всего заметим, что

ц,^ = |иу;р + ь(4-мт) £ |/»р

< I «о Р + ( V + 47J J I/ (^ dS = d^ I5'70)

Для г = 1 неравенство (5.69) очевидно; действительно, записывая (5.66) для т=1 и учитывая (5.57), получаем

| «л Р + ЫII «У, р< | и\ р + к ^х + 4П | f р

.+ 4Z^S? (ft) | и'^ p I! eg IK < Pi + (v6/2) || ueh \1

т. e. в точности (5.69) для r=l. Предположим теперь, что (5.69) верно для г —1, и докажем, что оно верно для г. По предположению индукции

l«^‘ Р<Р,-т <Р*<^5(5.71)

(в силу (5.70)). Поэтому из (5.67) вытекает, что

I«ip+ftv62 к-ч^р,

+4ft^(/i)d. ЕНГМ^Рг + ^ХИГ1^. (5.72) mslm = l

т. e. (5.69) верно для г. Остается доказать (5.61). Для этого вернемся к (5.65); используя (5.56) и (5.57), получаем

\WK - иТ1Р < kv (1 - 6/2) || иГ1 1Й + 4кТ I/” р. (5.73)

Суммируя эти неравенства и учитывая (5.29), приходим к (5.61). □

Теорема об устойчивости. Положим теперь

«А: [0, Т]-^УА,(5.74)

uh (/) = og1-1, (m— 1) к ^ t < тк, т = 1, ..., N. (5.75) Имеет место

Теорема 5.3. Функции uh и phuh, h.^^, отвечающие схеме 5.4, соответственно L” (О, Т\ L2^)- и I?(0, Т; руустойчивы, при условии что k и h связаны соотношениями (5.56) —(5.58).

Одна дополнительная оценка для схемы 5.2. Используя те же методы, которые мы широко применяли в пп. 5.3 и 5.4, мы можем дополнить результаты п. 5.2 для случая схемы 5.2 одной оценкой, аналогичной оценке

2 | я™ — я^-112 =С const,(5.76)

т = \

полученной нами для схем 5.1, 5.3 и 5.4. Как было указано в замечании 5.2, эти оценки пригодятся при доказательстве сходимости.

Лемма 5.5. Функции и™, определяемые равенствами (5.13) ^схема 5.2), удовлетворяют оценке

2 \<-С-1\1<^+к5Ч^У(5.77)

m = 1

где d —константа, зависящая только от данных.

Доказательство. Положим oA = 2k (и™ — Uh-^ в (5.13). Имеем

21 яЯ' - яГ112 = -Ь || ик \^ + ^ || аГ1R

-kb^uT1, аЯ*+яГ1, <-иТхН^^т, <-<~Ч

<(в силу (5.40) и (5.5)) —-НяЯ’ЦЯ + МаГЧЙ

+ kdYS2 {h) | яГ1||| «Я* + «Г1 LI «Я*- «Г11

+ 261/™ ||йЯ*-ar1

< - M u^ R + Av II ur1 R + (1 /2) | яЯ* - яГ112

+ (A>/2) di S* ^ | яГ112 II аЯ1 + аГ1 R

+ (1 /2) | яЯ1 - яГ112 + 2^T 1/” p.

Поэтому

NN

2|аЯ,-аГ1|2<М»« + 2АТ 2 If-” I2 m=\m=l

N

+ y- d2 5‘ № £ I аГ1 p IIЯЯ1 + яГ1 R m = 1

<(в силу (5.5), (5.11), (5.29), (5.31), (5.32)) T

'< *vSa(/i) | ae |2+ 2T 51/(8)148 + 1^6/^54/1). □

0

Другие априорные оценки. Для того чтобы доказать результаты о сильной сходимости, мы установим некоторые дополнительные априорные оценки, касающиеся дробных производных

по t от аппроксимирующих функций. Результаты настоящего пункта носят в основном технический характер и предназначены для использования в п. 5.7, где доказывается сходимость различных схем..

Для всех четырех схем обозначим через чюк функцию из R в Vk, определяемую следующим образом:

wk — непрерывная функция из R в Vк, линей

ная на каждом интервале [mA, (т + 1)А], и wh (mk) = aR, т = 0, ..., N — 1; <и)к=0 вне интервала [О, Т].(5.78)

Лемма 5.6. В предположении, что выполнены те же условия устойчивости, что и в теоремах 5.1—5.3', преобразование Фурье wk функции чюк удовлетворяет оценке

j | т |2V |гул (т) |2 dx ^ const для 0 < у < 1/4,(5.79)

- 8"

где константа зависит от у и от данных.

Доказательство. Каждое из четырех уравнений (5.12)—(5.15) можно трактовать как уравнение

4 (Wft (/), ^ = ^gh W, ^ ^ь 6 vh, t € (О, Г), (5.80)

где функция g-ft удовлетворяет условию.

Т

$ II 6/Д01И/^ const.(5.81)

о

Например, для схемы 5.1 функция gn определяется равенством ((^(0. VhY)k = tfm, -Dh)-bkW"\ <. ®A)-v(№ -Dh^ УулбУл, (m — I) h <.t < mb.

Неравенство (5.81) вытекает из (5.4), (5.7) и предыдущих априорных оценок:

II gh W lit <d0\Р 1 + d. II ar1 lift II <II/. + v II uR||A, TN

S II gh кП Ik dW £ kd»\Г I + dt II ar1 ik II uR ||„ + v ||< liA); о

правая часть последнего неравенства ограничена по лемме 5.1. Теперь выведем (5.79) из (5.80)—(5.81). Продолжая gk нулем вне [0, Т], мы получаем функцию gk, для которой на всей пря-

' Условия (5.43) для схемы 5.3, условий (5.56)—(5.57) для схемы 5.4; для схем 5.1 и 5.2 — никаких условий.

мой / выполняется следующее уравнение:

^-№(0, -о^ = ^п^, v^ + ial ®д)60

-(^, ^)6Т Ve^, (5.82) где 60 и 6Т обозначают дельта-функции Дирака, сосредоточенные в точках 0 и Т. Применяя преобразование Фурье, приходим к равенству

—2t t(wa(t), ул) = ((iA (т), -у^ + (а^ yft)

— («п, ®л)ехр(—2ттТ)

(^ — преобразование Фурье функции g^. Полагая уд = ^д(т) и оценивая модуль левой части, получаем

2л 1т Ц wa(t) |2 ^||gA (T)MwA(T)||A + c,|wft (т)|

(поскольку tth и Uh остаются ограниченными). В силу (5.81) имеем т

II gn (т) 1л < $ II gn (0II» d/ < const = с2; о

следовательно,

Н|адд(т)|2<с3||гуд(т)|!д.‘(5.83>

Теперь заметим, что для всякого фиксированного у< 1/4

I т р^ с4 (у) (1 +1 т ()/(1 +1 т p-sv) Vt 6 R.

Отсюда

f I т |av | ^п (T) I2 dT < c4 (y) J у~^71 ^n (T) I2 dT

С(В силу (5.83)) c4 (у) С I ^Л(т)|2(1т + сЛ ^^^ dr

^(в силу неравенства Шварца) c4 ^ \*и)п (T) I2 dT

+ ”1/2 +00\ I/2

+=•(_) отгтт^р) (£i”-.«Kd’) ■ <5-M>

Для у < 1/4 интеграл j (1+|т|1-21,)~28тконечен. Поэтому правая- часть последнего неравенства конечна и, согласно предыдущим-

оценкам и равенству Парсеваля, ограничена: + со+оо

5 | wA(T)|2dT^d= ^ II «>А (т) ||£ dr(5.85)

г

= d$ $ Ц wA (0 |g d/ < const. □ о

Сходимость численных схем. Наша цель сейчас—доказать сходимость схем 5.1—5.4 в некотором, смысле, который будет уточнен позднее. Сначала мы сформулируем предположения о согласованности и компактности, которым должны удовлетворять дискретизованные данные, для того чтобы была обеспечена сходимость. Затем сформулируем и докажем теоремы о сходимости. 5.7.1. Предположения о согласованности и компактности. Эти предположения легче будет формулировать после следующей леммы: Лемма 5.7. Пусть {(V^, ph, г^незг» (ю, F^ — устойчивая сходящаяся внешняя аппроксимация пространства V. Предположим, что для некоторой последовательности h' —* 0 семейство функций Uh‘. [О, 7] —* Vw удовлетворяет, условию

рн-ин>-ф слабо в L2(0, Т\ F) при h' —*0.(5.86)

Тогда ц> (t) = ши (t) для почти всех t и

и^ю-^ЬЦО, T;Vy(5.87)

Доказательство. Пусть 9= произвольная функция из ®((0, Г)). Легко проверяется, что

гг

j рн-ин,- (t) 9 (t) di —> $ <P W 9 (?) d? при h* —* 0. оо

Но условие (C2) из определения 1.3.6' показывает нам, что тогда г

J<р(?)9(?)d/^иК Поскольку, по определению, соИ изоморфной, о _

то wl7 является замкнутым подпространством пространства F; выбирая какую-нибудь последовательность функций 9е, сходящуюся к распределению Дирака, сосредоточенному в точке s, ^б(О,'Т), мы видим, что для почти всех s из [0, 7]

г

^ф(?)08(/)б? —* ф (s) в F, о

а потому <р (s) £ coV п. в. Поскольку и —изоморфизм, отсюда вытекает, что го-1ф определено и принадлежит L (О, Т; V). □

Эта лемма — достаточно общая, но в рассматриваемой нами ситуации мы предположили, что

VheL4^ VV,(5.88)

поэтому может оказаться, что для некоторой последовательности h' -» О

Uh- —* и слабо в L2 (О, Т; L2 (Q)),

Ph’Uh’ —* Ф слабо в L2 (О, Т; F).

В силу леммы 5.7, ф = си«„ u,£L?(O, Т\ V). Без дополнительной информации мы не можем заключить, что и = и*. Однако эта будет доказано для каждой из исследуемых нами аппроксимаций. Таким образом, наше первое предположение о согласовании звучит так:

Пусть Uh’ — последовательность функций из

[О, Т] в Vh-, такая что при h' —♦ О

Uh- —♦ и слабо в L1^, Т\ L2(fi)), Ph’Uh’ —* Ф слабо в L1 (О, Т; F\

Тогда u^D^O, Т; V) и ф = шм. .( ).89Х

Дальнейшие предположения о согласовании таковы':

Пусть Tn’, Wh—две последовательности функций из [0, 71] в Vh’, такие что при /г —»- О

Ph-Vh- —♦ со® слабо в L1 (О, Т\ F), ph'Wh’ —♦ w сильно в L2(0, Т; F).

Тогда при h' —* О

тт

$ ((Th- (0. w (0))»' dZ -* J ((® (f), w (t))) dt. (5.90> оо

Пусть Uh’, Th—две последовательности функций из [О, Г] в Vh-, такие что при hl —* О

■Ph’Uh—» гои слабо в L1 (О, Т; F\

Uh- —► и сильно в 1?(СГ), Q = Qx(O, 7),

Ph’Th- —* со® слабо в L2(Q, Т; F).

Тогда при h' —►О т

^Ьн^'ЦУ Dh-kty W)^', Wh-)dt о

т

—*^b(u(ty y(/), ^^ w") dt о

для каждой скалярной функции ^^L” (О, Т) и каждого чм^Т3. Если, кроме того, последовательность функций ф^- такова, что ф«г- — ф в L” (О, Т) при к' -* О, то при h' —► О, к' — О

7

J by (rtv (/), Th- ПУ, фб' (0 rh-Wy) dt о

г

(5.91)(5.91)—>-^b(u(ty тНУ W)tu)dL о

(5.91)

(5.91)

При проверке факта сильной сходимости, о котором идет речь и (5.91) ^tth-—*u сильно в L2(Q)), мы будем использовать следующее предположение о компактности:

Пусть Ть—последовательность функций из R в Vy с носителем в [О, Т], такая что

т

J !| Фь‘ ^Ш'd^ С const, о

5 | т |2V | ‘Ob' (т) |2 dx ^ const для некоторого

(5.92)(5.92)у > 0, где тк— преобразование Фурье функции Тц-. Тогда последовательность Ть- относительно компактна в 1? (Q). В частности, из нее можно извлечь подпоследовательность (снова обозначаемую через Th-), такую что p^Tv —-со® слабо в Z?(0, Т\ F), Th- -* т сильно в LHQY

(5.92)

(5.92)

Теоремы о сходимости. Теоремы о сходимости формулируются по-разному в зависимости от размерности пространства \п = 2 или 3) и рассматриваемой схемы. Напомним, что элементам Uh мы сопоставляем функцию ип‘- f0, Т] -*Vri, определяемую немного по-своему для каждой из Четырех схем (см. (5.36), (5:55),

(5.75) ':

для (т — 1)6 ^/ < mk (m= 1, . ., W)| ин (схемы 5.1 и 5.3),

oA(0=j у ^^Н-»^'1) (схема 5.2),(5.93)

( ин-1 (схема 5.4).

Вот формулировки теорем о сходимости:

Теорема 5.4. Пусть размерность пространства п=2 и выполнены предположения (5.1)—(5.7), (5.9), (5.10), (5.41) и (5.89)—(5.92). Обозначим через и единственное решение задачи 3.1. Имеют место следующие утверждения о сходимости: при h и к —»- 0

uh -* и сильно в L2(Q) и ’-слабо в LT (0, Т; L2(Q)), (5.94)

phUh—*toU слабо в L2 (0, Т; F),(5.95)

если выполнены следующие условия:

схема 5.1: никаких условий,

(и) схема 5.2: kS2(h) —* 0,(5.96)

(ill) схема 5.3: (5.43),

(iv) схема 5.4: (5.56)—(5.57).

Замечание 5.3. (i) Для схем 5.1 и 5.2 можно доказать, без всяких дополнительных предположений, что

Ph«h —’ tou сильно в L2 (0, Т; F) при к, к —* 0.(5.97)

(И) Тот же результат верен для двух других схем, если предположить еще, что

kSi (/1)—>• 0 и kS2 (к)—>0 (схемы 5.3 и 5.4).(5.98)

Предположение (5.96), используемое при доказательстве сходимости схемы 5.2, не является, вероятно, необходимым, поскольку эта схема безусловно L2 (0 Т; ру и L” (0, Т; L2 (Й))-устойчива.

Теорема 5.5. Пусть размерность пространства п = 3, а в остальном предположения те же, что и в теореме 5.4. Тогда существует (двойная) последовательность к', к' —>0, такая что

Ию Я сильно в L2 (Q),(5.99)

Uh' —* и слабо в L” (0, Т; L2(Q)),(5.100)

Ph'tth' —* o)U слабо в L2(0, Т; F),(5.101)

где и —некоторое решение задачи 3.1. Для любой другой последовательности h', к' —>■ 0, для которой выполнены условия (5.99)— (5.101), и должно быть решением задачи 3.1.

' Подчеркнем, что иу зависит от h и к; только ради простоты мы обозначили эти функции через uh вместо uhk-

Замечание 5.4. Из-за отсутствия единственности решения задачи 3.1 мы не можем доказать сходимость всей последовательности. Мы также не можем доказать сильную сходимость в L2(0, Т ; F) из-за отсутствия энергетического равенства для точной задачи (задачи 3.1) (для п = 3 мы имеем лишь энергетическое неравенство; см. замечание 4.1).

Эти две теоремы будут доказаны в оставшейся части настоящего пункта. Мы докажем со всеми подробностями лишь теорему 5.4 для схемы 5.1 (включая (5.97)), а в остальных случаях только набросаем доказательства, которые в действительности все очень похожи.

Доказательство теоремы 5.4 ^схема 5.1). Согласно теореме устойчивости (теореме 5.1) и условию (5.89), существует последовательность h',» 0, такая что

ин--* и _*-слабо в L”^, Т\ L2(Q)),

Ph-Uh—*ши слабо в L2(0, Т; F)"

для некоторого и из Л2 (О, Т; Р)ПТ”(0, Т; Н). Рассмотрим кусочно-линейную функцию гуЛ, введенную в п. 5.6 (см. (5.78)). В силу леммы 5.6 и оценок на и™, имеем

■ I IDh |t“ (О, Т; ytSYl ^ const, || PhUOh ||l« (0, T: F) ^ const, + ОО

5 | т |2Y I wA (т) J2 dr s^const.

Следовательно, согласно (5.92), последовательность h’, k'—>-0 может быть выбрана так, чтобы

Wn- —* ту *-слабо в L" (0, Т\ L2(Q)),

Wh-—+W сильно в L2(0, Т; С2^)),(5.103)

Ph-Wn- —► «гу слабо в L2 (0, Т; F),

где sy€Z?(0, Т\ V)DT“(0, Т; Н\ Теперь заметим, что справедливы следующие факты:

Лемма 5.8. uh — tyA —► 0 сильно в ЦД0, Т; L2(Q)) при h, к—>0;

(5.104)

чм = и\(5.105)

Uh- —* и сильно в 1?Д}, Т; Т2(й)) при h', к* —*Q. (5.106)

Доказательство. В точности так же, как в лемме 4.8, мы убеждаемся в том, что •

/ N

\tth-Wh\L*<o, Т-. и№» = УШ 2Ш-иГ^У11- (5.107) \ tn = 1

Поэтому (5.104) следует из оценки (5.22); утверждения (5.105) и (5.106) являются очевидными следствиями (5.102), (5.103) и (5.104). □■.

Теперь докажем, что и есть решение задачи 3.1.

Лемма 5.9. Функция и (см. (5.102), (5.103), (5.105)) является решением задачи 3.1.

Доказательство. Как нетрудно видеть, (5.12) можно переписать в следующем виде:

^(l»h(tV ТцН^а^Г), Vh^h + bhtUhd-k), uh(t\ vh)

'=(ЛЮ, vA) V/6[0, T] VVa€^. (5.108)

где'

' fk^^fm> (m-\>k<t <mk.(5.109)

Пусть ® — произвольный элемент из °F3. Положим ®д = rh*D в (5.108). Пусть ф —непрерывно дифференцируемая скалярная функция на [0, Г], такая что

ф(Т) = 0.(5.110)

Умножим (5.108) (с Dh = rh'u( на ф(/) и проинтегрируем по I. Интегрируя первый член по частям, получаем

—$ («>Ь W, Ф' (0 rhv) dt + v$ ((йд (О, Ф (О fh-o^h ^ оо

.Т

+ $М«л(^-£), uh(t^ ^(l)rAv)di о

т

=(ul г^жо^слю, w>m (5.111) о

Теперь, используя (5.90), (5.91), (5.102), (5.103) и лемму 5.8, перейдем в (5.111) к пределу по последовательности h', r —*Q\ напомним еще, что

гду-*(о® в F (сильно),' (5.112)

йд —* й„ в L2 (Q) (сильно)',(5.113)

fk—*f в L2(0, Г; L2(Q)) (см. лемму 4.9).(5.114)

' Напомним, как доказывается соотношение (5.113): вследствие (5.11) достаточнодоказать его для и^^Р, а в этом случае |«&—«е | < | гдяо—и0 |< ilW/i»o—““ollf-—* О-

В пределе получим

Тt

— J («(0. Ф' (0 v)d/ + v J ((«(/), ф (f) v)) d/ о0

T

■+ $6(« (/), U (/), W At

0

T

= ku». <W + i(/(0. ®H(0dt. (5.115) о

Из этого равенства мы выводим, что и является решением задачи 3.1, точно так же как мы выводили это в доказательстве теоремы 3.1 из равенства (3.43). □

Поскольку решение задачи 3.1 единственно (см. теорему 3.2), рассуждением от противного, которое мы уже неоднократно использовали, получаем, что

утверждения о сходимости (5.102) и (5.103)

верны для всей последовательности h, к —•- 0.(5.116)

Это завершает доказательство теоремы 5.4.

Доказательство утверждения (5.97). Для полноты изложения мы докажем еще (5.97). При этом нам понадобится один предварительный результат, который является весьма общим и интересен сам по себе.

Лемма 5.10. Пусть {(1/А, ph, rh)%, ((о, F)} — устойчивая сходящаяся внешняя аппроксимация пространства V. Для заданного элемента ® из 1?(б, Т; V) можно определить для каждого Н^^ функцию 1>’, £L2(0, Т; Vh), такую что р^^ —*№*0 в L2(0, Т; F) при h -* 0.

Доказательство. Доказательство по существу то же самое, что и для предложения 1.3.1 Утверждение очевидно, если ©— ступенчатая функция, так как ступенчатые функции плотны в La(0, Т, V). В общем случае результат получается с помощью двойного предельного перехода, как в предложении 1.3.1. □ Лемма 5.11. Пусть размерность пространства п=<2\ тогда для схемы 5.1

phuh -* «и в L2(0, Т; F) (сильно) при h, k—*0. (5.117)

Доказательство. Рассмотрим выражение

nс

Xh = \Ua—u(T) |2+ 2 l<-«r1P + 2vJ||«A(O m = lо

-«HOUftdz,

где Uh определяется так же, как в лемме 5.10. Согласно (5.21) (лемма 5.1), | и^ | ^const; следовательно, существует подпоследовательность h’, к' —► 0, такая что

и^ —х слабо в L2(Q).(5.118)

Примем временно на веру, что

(Х-й(П. ®) = 0 V-v^H,(5.119)

и докажем, что Хн—>-0. Положим Xh = XX + Х’4-ХХ, где тт

' ХА = | й (Г) |2 +2v J||MA40gd/-*l«(ni2 + 2v$ ||жг(ОГd( •оо

(в силу леммы 5.10 и условия (5.90)),

Хь =—‘Zktth, и кТ)) — тт

- 4v $ kkuhkt), uMKdt -. - 21 й (Г) |2-4vJ II tt kt) ^dt оо

(в силу леммы 5.10 и условий (5.90), (5.118)—(5.119); напомним также, что и (Г) ^Н) и

NТ

ХХ=К Н 2 К-нГ^Н-з^Ци^(t^dt m=l0

NN,

=\»”Н2 \<-пГЧ4 + ^к 2 lln^llt (5.120) m=lm = i

Суммируя уравнения (5.26) для m=\, .... N, получаем Nr

X3h = I < |2 + 26 £ (/“, un = I их |2 + 2 J (Л kt), uh kt)) dt. m = l0

Далее, очевидно, что т"

Хл —* | й0|2 + 2 (/ (/)• и kt)) dt при h, к —» 0.(5.121)

о

Отсюда■

т■

Хл-->|й0|2 +2 $(/(/), H(/))d/-|n(r)|2 о 7 — 2v ^ || и (/) ||2 d/,(5.122)

о

и, как следует из (4.55), этот предел равен 0. Рассуждая от противного, мы показываем, что и вся последовательность ХА

сходится к 0: Xft —> 0 при h, k—»-0. В частности, г

$11 «„W-^WRdZ-O о

и

Г/ т

$ 11 PhUh (0 — ^и (t) ||^ dt <с | $ II tth k^—ut (О IK dt oо

T1

+ $ II PiM (0 ~(01> d/ — О,

о)

откуда и вытекает (5.117). Остается доказать (5.119). Суммируя (5.12) для т — 1, ..., N, приходим к равенству

k^-lA, »А) + ^2 ^, у„))Л т = 1

NN

+£ 2 W1.»а=^ 2 (/”. **),

т»1т = 1

Полагая vh = rh‘D, v^^, легко переходим к пределу и получаем /7

(х —«о, ®) + ^$ ((tt(0. v))d/ + $6(a(0, u(t), -о) dt оо

Т

= \(f(t), v)dt Vy^^. о

Поскольку интегрирование (3.13) дает аналогичное уравнение с х. замененным на я (Г), мы заключаем, что (х — и(Т), у) = 0 Vy ^^, откуда и следует (5.119), ибо Т3 плотно в Н. □

Доказательство теорем 5.4 и 5.5 (прочие случаи). Для схем 5.2—5.4 в случае п=2 доказательство проводится аналогичным образом, с использованием соответствующих априорных оценок.

Для схемы 5.2 мы ввели условие (5.96) как некое достаточное условие для (5.104); более точно, в этом случае аналог (5.104) .является следствием (5.77), (5.107) и (5.96). Для схем 5.3, 5.4 условия устойчивости (5.43), (5.56), (5.57) просто обеспечивают ограниченность йй и phah в надлежащих пространствах.

Условие (5.98) появляется при доказательств (5.97) следующим образом:

— Для схемы 5.4 „естественным** выражением, аналогичным Xh в лемме 5.11, является

N

Y h = \tth — и (Г) Г - 2 I С - иГ112

Г

+ 2v $ || «„(/) —«^ (ОИ^; о

для того чтобы вывести (5.97) из того факта, что Y h —* 0, до- N

статочно, чтобы 2 I и™ — Uh~l I2 —► 0, а это следует из (5.98). w = I

— Для схемы 5.3 мы рассматриваем то же самое выражение Xh, но из-за присутствия некоторых членов, содержащих bh (см. (5.47)), выражение X3h не такое простое, как (5.121); (5.98) показывает, что дополнительные члены в Х^, содержащие bh, сходятся к 0.

'Что касается случая п = 3, то заметим прежде всего, что хотя условия устойчивости не упоминаются явно в формулировке теоремы 5.5, на самом деле именно с помощью этих условий и априорных оценок, которые из них вытекают, доказывается существование подпоследовательности h', к* —► 0, для которой выполняются условия (5.99)—(5.101). То что й является решением задачи 3.1, доказывается точно так же, как выше.

Дискретизация уравнений Навье — Стокса.

Приложение общих результатов

Мы хотим теперь явно сформулировать все предположения и заключения теорем об устойчивости и сходимости (теорем 5.1 — 5.5) для конкретных аппроксимаций пространства V. Напомним, что окончательный вид и эффективность рассмотренных в § 5, схем также зависят от выбора аппроксимации пространства V т. е. дискретизации по пространственным переменным.

В п. 6.1 рассматривается аппроксимация пространства V конечными разностями (АПР1). В п. 6.2 мы будем иметь дело с методами согласованных конечных элементов: аппроксимацией V будет одна из аппроксимаций (АПР2) —(АПР4). В п. 6.3 исследуются методы несогласованных конечных элементов (аппроксимация (АПР5)). Затем в п. 6.4 мы изучим некоторые алгоритмы для практического решения возникающих конечномерных задач (т. е. практического вычисления й™ для одной из схем 5.1 и 5^4). 6.1. Конечные разности ((АПР1)). Возьмем в качестве аппроксимации пространства V, рассмотренной в начале п. 5.1, кон- кретную аппроксимацию (АПР1). Мы будем последовательно

проверять и интерпретировать для этого случая предположения теорем 5.1—5.5.

Вычисление S (h). Условия (5.3) и (5.4), очевидно, выполнены; согласно предложению 1.3.3,

iM.KdornJi,,, d0 = 2/,(6.1)

где / — наименьшая ширина области Q в направлениях хп . ,.,хп. В следующем предложении наша цель —проверить (5.5) и явно вычислить ВИД S (А).

Предложение 6.1. Для аппроксимации (АПР1)

(

п \1/2

^hT4 Vh = ^hthBY(Д2)

i=l /

Доказательство. Имеем

'2 хЧ2 $1 ttih(.x + ‘hj/2)— aih(x — ^^pdx}

к i=i I <>l

n (

<2 2 { iy J (|«(.ft(x + V2)|2 + |a/ft(x-/i//2)Hdx

n |1/ л\

<4 2 W ) l«zA(x)|8dx><4( 2 fy"')|«A|2,

U*1 Ip»IV = 1/

откуда и следует (6.2). □

Форма bh и 5г(Н\ Для аппроксимации (АПР1) мы выбираем опять форму bh, определенную в § 3 гл. II (см. (3.27) — (3.29)):

bhkua, Ph, HD^^b'hlUh, -Dh, w^ + ЬЦа^ -Оц, wh), (6.3)

b'h(uh, Th, w^ = 2-^ 2 $«,-A(6A)a,/Adx,(6.4)

bh Uih, vh, wA) =.Ь1ДиЙ, Wb, vhY(6.5)

Очевидно, bh является непрерывной трилинейной формой па VhxVhxVh и что (5.6) выполнено; для того чтобы получить опенку константы d1 в (5.7), докажем следующие леммы.

Де ™а 6.1. Для п = 2 или 3

!%(«». ^ тоЛ)|

у-1 «h иirIIтн ч I wA г2 иwA г (п=2),(6 6)

33/2 | ЙЛ |*/4 || й„ \у || Vh К | №Л Н1 II Wh ||3V4 in = 3).

\b’h («h, 4)h, wft)|

(py IttAplltUHtf/J^WH (« = 2), (6 7) . 33/31 Uh I1/4 II uh I'4111/» II[p/»II w„ |IA In = 3).

Доказательство. Доказательство основано на предложении II.2.1. В силу (II.2.12) и (II.2.13),

5 Wl<№ С 3 /2^ \uih I f 2| Mih 12)1/2 иЗ/2|йй|:|йл|й /=i<=11\?=i/)

(6.8)

для п=2, а для п = 3 '

2II Чщ 11!.№) < 2• 33/2 ^ ^ ^ ] 1QQ) ^|j 8/аМ/ь Ц-1

/ Пх 1/4

^ (в силу неравенства Гёльдера) 2 • З3/21 У Iw/a^q,) ■/ п\3/4

^2.33/2 \tthV-4uh^. (6.9)

Снова используя неравенство Гёльдера, получаем

\ЬЦиЙ, vh, wA)| <у S 11М11*<й)116/лу/л Ь^Н/лЬю)

i./=i

(

П\1/2 / ПX1/2

5L II М/А Hb*(Q) ) ( 5L II wih ^«(Q) J II ^A На» /=1/\/=i/

п

|fr"(ttA, Vn, W^K^ £ ll«/*[|t<<Q)l|f/*||z.<(Q)]|6/Aay/A|k-(Q)

(

n\ 1/2 / П\l/2

2211м/лIIl*(Q)J у52|1и/л Ill^aiJ И^лИл-

Поэтому для n = 2, применяя (6.8), заключаем, что

| b'h <tth, vh, ie^ I < y^- j uh |V21| Йй |;v^ || Уд ||д | Wh ji/2|| Wft ^/«, I % (й„, ®h, W„) I ^-pL I й„ I V= || tth ||l/2|yft |1/2Ц yh Ц1/2 j Wh |[Л.

Для n = 3, используя (6.9), также получаем утверждения (6.6) и (6.7). □

Лемма 6.2.

\ЬДик, Vb, w^Kdilltinllftkftllnll^l^V^, ®„, -U)h^vh, (6.10)

где

di = 6y~2l для п=2; d^wyi для п = 3. (6.11)

Ю р. Темам

Доказательство. Эта оценка немедленно следует из (6.1), (6.3), (6.6) и (6.7). □

Предложение 6.2. Для аппроксимации (АПР1) неравенство (5.41) выполняется с

(6.12)(6.12)с /м —J 3К2 SW при п = 2, diW-\2.38/»S3^W при п=3.

(6.12)

(6.12)

где S(/i) задано равенством (6.2).

Доказательство. Используя (6.1), (6.6) и (6.7), мы можем записать

I bk ltth, tth, wA)) < -^1 Uh |l/2 II uh II»/21 wA 11/2 II UDh ||^2 ^^S(fo)|M/J||«/1|i/1|wA| (n = 2), | b'h (ah, uh, wh) | C 38/a | tth I/41| uh i’^4 IIi)h |'A | w„ | ^41| wA ||2^ ^’^(/Ol^hWIJ^I (n = 3),

\bUtth, tth, wA)|<\bUtth, tth, wA)|<I «л III «лIIaIIWaII,,I «л III «лIIaIIWaII,,

\bUtth, tth, wA)|<

\bUtth, tth, wA)|<

I «л III «лIIaIIWaII,,

I «л III «лIIaIIWaII,,

5(А)|йЛ|||«Л|!й|адй| («=2),

\b'kkuN, uh, wh)\^3^\tth\^^ a^^w^

^W^aMM^ (n = 3),

откуда легко получаем (6.12). □

Приложение теорем об устойчивости и сходимости. Схемы 5.1 и 5.2 безусловно устойчивы. Условия устойчивости схемы 5.3 даны в теореме 5.2 и лемме 5.3:1

где d' и d" определены в доказательстве леммы 5.3.

Для схемы 5.4 условия устойчивости, указанные в теореме 5.3, имеют следующий вид:

/ 2\/ 2\

п— 2.)^~247> L № ^322^’(6.15)

\i^i 1 /\i=i t /°

/ 3\/3*3/2

п = 3:—j^^— ; ^^ —^ ^уз^ (6116)

\<=i* /\i=i * /°

для некоторого 6, 0 < 6 < 1; d. задано равенством (5.58).

Теоремы 5.4 и 5.5 дают (в случае если они применимы)

uh —► и сильно в L2(Q) и *-слабо в L” (О, Т; L2(Q)), (6.17)

bihuh—* D,u сильно или слабо в Z?(Q)(6.18)

(в зависимости от того, какая сходимость имеет место в L2(0, Т; F), сильная или слабая).

Теоремы 5.4 и 5.5 основаны на предположениях (5.89) —(5.92). Нам надо проверить, что эти условия выполнены; этой технической частью доказательства мы сейчас и займемся.

Проверка условий (5.89) —(5.92).

Проверка условия (5.89). Если

Uh- и слабо в L2 (О, Т\ I? (52)),(6.19)

Ph-Ui.' —*<$> = (ср0, • • • - Ф J слабо в Е2(0, Т; РУ (6.20)

то (по лемме 5.7) ср должно равняться со®, где ®£L2(0, T;Vy С другой стороны, по определению ph,•

рh-Uh- —> ср0 = ® слабо в L2lQy(6.21)

сравнение (6.19) и (6.21) показывает, что у = и (как элементы из Ь2(0УУ Следовательно, ср (/) = юи (() п. в. и и € ^2 (О, Т; V).

Проверка условия (5.90). Если рь-Ть- —*со® слабо в Е2(0, Т; F), Рк'ЧУн'—* ючу сильно в Л2(0, Т; F), то bihVh• —>-О;® слабо в L2 (Q), Ь^-ЧУн’ —* Djiy сильно в Ъ (Q) и ясно, что

гт п

^ ((®й- (О, ЧУн- (/)))/=- dZ = $ $ 2 ФщЧЗк'! ^чуИ dx dt

о. о a ‘-1

Т / п\Т

—* ) j ( У D^Djiy dx d/ = ) ((® (0, ЧУ (1))) d/.

о а \'=1/о

Проверка условия (5.91). Доказательство аналогично доказательству леммы II.3.1. Предположим, что

.Uh- —* и сильно в L2(Q),(6.22)

Ph'Vh' со® слабо в Л2(0, Т; F),(6.23)

.- 1|)/г' — в L” (0, ту■(6.24)

и пусть чо — фиксированный элемент из %°. Из (6.23) следует, что ■Он'—**» слабо в L4(Q),(6.25)

Sih-Oh- —* D{v слабо в L2(Q), 1 </, /^n.(6.26)

С другой стороны, как было отмечено в доказательстве леммы 11.3, г hw —* ю в норме L”^,(6.27)

6/ЛгЛгу —* D;ty в норме L" (Q), l^i^n. (6.28)

Рассмотрим сначала форму b'h; г■

$ b'h (Uh (t), ®Л (/), % (/) r^ di О n T

= 4" S И “'A ^J^ ^h^jh d* dt l- /=1о a

Из (6.22), (6.24), (6.26) и (6.27) вытекает, что для всех i и / тт

5 J Uih- (bth’Vjh') %wih' dx df -* 5 $ U/ (DiVj) ^W} dx d/ ОЙО Я

и, следовательно, тт■

J b’h. (Uh- (0. Vh- (О, Фа- (И ги-ча^ dt-^ ^ b(a(t), -и^, 4>(0w)dt оо•

Аналогично г $ b’h,. кик- №, Vh' (t), Фа- (/) th- w^dt —.

о TT

—4 §b(tt (/), Ф (0 W, ® (0) df = 4 j b <u (0, ® (О, Ф (0 ®>) d^, 00

чем (5.91) и доказано.

Проверка условия (5.92). Пусть (фа-) — последовательность функ-, ций из R в УЛ с носителем в [0, 7] (или в любом фиксирован- J ном компактном подмножестве прямой R), таких что;

J||®ft,0,d/<const,(6.29)5

О + ОО

(6.30)(6.30).5 Iт l2V I®6' W I2 dT ^ const (у > 0).

(6.30)

(6.30)

Пим надо доказать, что эта последовательность относительно компактна в L2(Q). Поскольку операторы ph устойчивы, имеем

$ II Ph-Dh' (t) ||М^const,(6.31)

и•

И, следовательно, последовательность Н' 'содержит подпоследовательность (также обозначаемую через А'), такую что

Ph-Vu■ —* «"О слабо в I? (R; F),(6.32)

с^ —* ®слабо в L? (R; L1 (Q)),■(6.33)

где у — некоторая функция из Л2(К;У), равная 0 вне интервала | О, Г] (здесь мы использовали (5.89)). Достаточно установить, что сходимость (6.33) сильная, т. е. что сходится к нулю следующее выражение:

’ к-= $ |®/г(0 — ®(0|2d/= $ |®&'(т) — ®(т)1Чт ' (6.34)

(последнее равенство справедливо в силу формулы Парсеваля). Следуя доказательству теоремы 2.2, запишем

к-= $|®h'(T) —®(т)|Чт

|тК М f*/Ут

т|>М

< $ I ®Л'(Т) — ® (т) I2 dT |т|<М’

+ 1+^ У (l + |T|2Y)|^(T)-©(T)|2dT.

J I^T^WpdT + j-}-^ |т|<М

(в силу (6.1), (6.29) и (6.30)). Для заданного е>0 выберем М так, чтобы С/( 1 + M2v) ^ е/2. Тогда

к- ^ Jh- + e/2,(6.35)

где

■hv = $ |©л-(т) — ® (т) |2 dx,(6.36)

|т|<М

и сходимость к- к нулю будет установлена, если мы покажем, что

(6.37)(6.37)■к-—*- 0 при А', к' —>-0.

(6.37)

(6.37)

Это последнее можно доказать, воспользовавшись теоремой Лебега. А именно, для каждого т

tMt) = J ^(Oe-^dZ = $ Уь-^тД^е-^'й!,(6.38)

где х — произвольная гладкая функция с компактным носителем, равная 1 на [0,7] (так что vh' = %vh' Nh*\ Тогда

| Th' (т) |< | Th’ |l= (R; Z' (Q)) ||е~2;я^ Xllb=(R) ^ const = Ci, (6.39)

| Ф/>'(т) — у (t) |2 ^ 2 (С? +1 у (t) |2) Vt ,(6.40)

и, согласно (6.33) и (6.38),

bh- (т) —► у (t) = J y(Z)x(0e~2JllZTd/ слабо в L2(Q) (6.41)

для каждого т. Далее, в силу (6.38),

U®ft'WK^ $ || ©л' WIM^) k~2<J1ZTXllz.=(R)<const.

Эта последняя оценка и дискретная теорема о компактности (теорема II.2.2 и замечание II.2.4) показывают, что утверждение о сходимости (6.41) имеет место также в норме £2(й): [у^Дт)— —у (т)|2 —#-0 Vt. Применяя теорему Лебега, заключаем на основании (6.40) и уже полученных результатов о сходимости, что справедливо (6.37).

Согласованные конечные элементы ((АПР2) — (АПР4)).

В качестве аппроксимации- пространства V, рассмотренной в начале п. 5.1, выбираем теперь одну из аппроксимаций (АПР2) — (АПР4). Проверим и проинтерпретируем для нее предположения теорем 5.1—5.5. Для всех этих методов

Vh с я; (Й), II uh ||А = II uh II ^Uk € V h,(6.42)

a ph — тождественный оператор V/i.

Вычисление S (h). Условия (5.3) и (5.4), очевидно, выполнены; согласно неравенству Пуанкаре (см. (1.1.9)),

I Мн I ^^оII ЧцИл» d0~2l,(6.43)

где / — наименьшая ширина области Й в направлениях х^, . ., хп. Для (5.5) имеем Предложение 6.3. Для аппроксимаций (АПР2) —(АПР4)

S (/г) —cjp' (h),

еде с q —константа, зависящая от степени q рассматриваемых элементов'.

Доказательство. Пространство Vh — это пространство полиномов степени не выше <7=2,3 или 4 для аппроксимаций (АПР2), (АПРЗ), (ЛПР4) соответственно. Константа устойчивости S (Л) мажорируется квадратным корнем из выражения

, sup \ 2 $ I grad и,-Л (х)|2 dx/^ $ | «гЛ (x)|2 dx ?.(6.45)

Оценка этого супремума связана с оценкой супремума выражения J | grad ср (х) |2 dx/ J | ср (х)2 dx(6.46)

«У-У

Iio всем функциям ср, которые являются полиномами степени не выше q, и всем ef^S\. Действительно, пусть ра—какая-нибудь верхняя граница для этого супремума; мы можем тогда записать для всех / = 1, ..., п и еУ £ S"h

$ | grad uih (х)|2 dx ^ pg ^ I uih Wl2 йх» уу.

где и^ принадлежит Vh, а <7 имеет значение, соответствующее действительному выбору пространства Vh. Суммируя по t и <У, получаем

п

|1«л11л = 2 $ |gradu;7l(x)|2dx

1=1 в'

л

<Ре 2 $ I “,л W I2 dx = Pg I Uh I2, (6.47)

1=1 в-

(6.48)(6.48)так что можно положить S(/i)=Ki^.

(6.48)

(6.48)

Для того чтобы оценить (6.46), мы используем линейное отображение Л: х*—*х, переводящее в еУ стандартный n-симплекс сУ: 0^х, ^1, 2 ^i^l- Функция ср (Ах) является полиномом сте- <=i_

пени не выше q на сУ. Заметим, что функционалы

Н |gradip(x)|2dxV/2 и К | ф(х)|2 dxU78

1 р' (А) было определено в (1.4.19).

представляют собой соответственно полунорму и норму в конечномерном пространстве полиномов степени не выше q на сУ. Поэтому существует константа р9, зависящая только от q (и сУ), такая что

^ | grad 4>(х)|2 dx^p„ J |4’(x)|2dx

для всех таких полиномов ф. В частности,

(6.49)(6.49)У^ |згФ(Ла:)|2 d%<HQ J | tp (Ax)|2dA:

(6.49)

(6.49)

для рассматриваемых полиномов ср. Но

£|^МГ = £ I Еа-ф^)Л

^11Л|12Е^ф(Лх)ГЧ

Отсюда и из (6.49) вытекает, что

У j|^(Ax)|"dx<pJ|A||2 J| (p(Ax)|2dx.

6 = 1 »«У

Возвращаясь к симплексу <У с помощью новой замены переменных х = Л~ух, получаем

5 | grad ср (х)|2 dx ^р9||Л||2 |cp(x)|2dx.

<УсУ

Согласно лемме 1.4.3, ||Л|| ^ р^/р^. Для рассматриваемой триангуляции р^*^ р' (h)- следовательно, ||Л|| ^р^/р'(/i) и мы можем положить рд= рДр^/р' Wy. Таким образом, (6.44) выполняется с

(6.50)(6.50)cq = V^»- П

(6.50)

(6.50)

Форма bh и Si(h). Для аппроксимаций (АПР2) —(АПР4) мы рассмотрим опять форму Ьч, определенную в § 3 гл. II

11| Л ||—норма линейного оператора Л, отвечающая эвклидовой норме в К".

(СМ. (3.55)):

bhkuh, уй, wh)=b' luh, Th, чу^А-Ь"^ ®A, wA), (6.51)

Ь'(я, У, w) = y У ^ «ДО^Шуйх,(6.52)

6" (и, у, «0 = —Ь'(я, чу, y).(6.53)

Форма bh является непрерывной трилинейной формой на VhXVbxVh, удовлетворяющей (5.6); оценка констант d, и ЗДй) будет вытекать из следующей леммы.

Лемма 6.3. Для п = 2 или 3 и для и, v, «>EZ7j(Q)

|b' (я, y, w)||b' (я, y, w)|| b” (u, d, «»)| s.| b” (u, d, «»)| s.у= |«|1/21|«||1/2 II ® II | «У |l/21| «У Ц1/2 (я = 2), , | Я |1/4 II Я |]3/4 || У J | W |1/4 IIW ||3/4 (я = 3), (6.54) ™1 Я |1/2IIЯЦ1/21 У I1/2 II у ||1/2 II »у II (я = 2), | Я14/4 II я ||3/41У |1/4 II ® F/4 II ®У II (« = 3).

|b' (я, y, w)|

|b' (я, y, w)|

| b” (u, d, «»)| s.

| b” (u, d, «»)| s.

(6.55)

Доказательство. Для п = 2 результат следует из леммы 3.4, если заметить, что Ь'(я, У, «0 = (1/2)&(Я, У, ту), Ь"Ди, V, «0 = = —(1/2)6 (я, чу, у). Для п = 3 доказательство основано на лемме 3.5:

з

|6'(я, У, w)|<y У $ | и{ (D^) хт, |dx f»/ = l Q

3

^4" У IlM/llb^llD/V/IlLHOlll^/lll-^Q)

/ з\i/2 / з\i/2 / зкi/a

V- И^у/ЦЬщ)) (У 8ui8Uq) ) ( yi^/lltw) •

2 \i,/ = 1/\i=l'4 = 1•

(6.56)

В силу (3.67),

S ll«/|lb№) <22 (IIut8^0)11 grad u,||^Q))

<2(2 IlwHIt^ fSigradu^M <2|«|^2||h||»^.

\/=i J \<=iJ

Аналогично

з

(6.58)(6.58)2 II ^1 Шчй) < 21 w р/21| ®у ||3/2,

(6.58)

(6.58)

и (5.64) следует теперь из (6.56). Для Ь" мы просто заметим, что ЬУ», т, ту) =—&'(«, ту, v), и применим (6.54). □ Лемма 6.4.

lbk(uh, -oh, wft)|^djjwft(|||z»ftH||wA||Vwft, -oh, wh^h, (6.59) где

dt= 2^2/для n=2, di = 23/2/^ для n = 3.(6.60)

Доказательство. Это немедленно следует из (6.43), (6.51), (6.54) и (6.55). □

Предложение 6.4. Для аппроксимаций (АПР2) —(АПР4) неравенство (5.41) выполняется с

St (h) = V^S(h) прип=2, St(h)=2S^ (h) при п=3, (6.61)

где S (/1) задано равенством (6.44).

Доказательство. В силу (6.43), (6.54) и (6.55), имеем

| Ьц <ип, Th, wA)| < у= S (А) | uh 11| uh || | <wh | (n = 2), 1Ь№, -oh, wA)| ^S3/2 (/г) | «д UI ыА||[ wA | (n = 3), Ши^, Dh, wft)|^^S(A)|«ft|||uft|||wft| (n = 2), №, vh, ^л)1 «С^3/2(/i)Iил|||«л|||wAI (n=3).

6.2.3. Применение теорем, об устойчивости и сходимости. Схемы 5.1 и 5.2 безусловно устойчивы. Условия устойчивости схемы 5.3 даны в теореме 5.2 и лемме 5.3: .

(6.62)(6.63)(6.62)(6.63)о к / • ( й' d"\ п— 2:^тш —г, — ),

(6.62)

(6.63)

(6.62)

(6.63)

[р (А)1\ 4Cq Ч)

„ k . d' к - d" П (P'WI3^ 4с* ’ [P'tol2^ сУ

где d* и d" определены в доказательстве леммы 5.3, a cq —в доказательстве предложения 6.3. Для схемы 5.4 условия устойчивости даны в теореме 5.3 и лемме 5.4:

9к

П

1 — 6кv6

(6.64)

55 4vc2 * 1Р' WP 164dg ’

3к <

Ip'WJ2"

1 — 6кv6

' 4vc2 ’ 1Р'№)13~^ 32^

(6.65)

для некоторого 6, 0 < 6 < 1; ds задано равенством (5.58).

Интерпретация теорем о сходимости (теорем 5.4 и 5.5) очень проста в рассматриваемом случае, поскольку Р = Щ^\ Имеем uh—* и сильно в L2(Q) и ’-слабо в L"(0, 7; £2(Q)), (6.66) tt^u в £2(0, Т; /7£(П)) сильно или слабо (6.67) (в зависимости от того, какая сходимость имеет место в L2 (О, Т; F) — сильная или слабая).

Предположения (5.89) —(5.92), на которых основано доказательство этих теорем, проверяются совсем легко, поэтому мы остановимся на этом лишь очень бегло.

Проверка условий (5.89) —(5.91). Условие (5.89) выполняется тривиальным образом, когда Р = Но^), а операторы со и ph являются тождественными.

Условие (5.90) сводится к утверждению, что если Div —* с слабо в Л2(0, Т; Hq{Q)) и мы ~*-ю сильно в 72(0, Т; Z/o(Q)), то

гт

$ ((Фй- (О, W (0)) d/ -> $ ((® (0, w (0)) &;

оо .

но это очевидно.

Условие (5.91) можно доказать точно так же, как это уже было сделано несколько раз в аналогичных ситуациях

Наконец, условие (5.92) выполняется в силу теоремы 2.2.

6.3. Несогласованные конечные элементы (АПР5). В качестве аппроксимации пространства V, рассмотренной в начале п. 5.1, выбирается теперь аппроксимация (АПР5) (кусочно-линейные несогласованные элементы). Проверим и проинтерпретируем для этого случая предположения теорем 5.1—5.5.

Вычисление 8(h). Условия (5.3) и (5.4), очевидно, выполнены; согласно предложению 1.4.13,

l«ft|*CdoKk(6.68)

где d0=c'(Q, а) —константа, зависящая от Q и а (см. (1.4.179), явно вычислить которую довольно трудно; а имеет тот же смысл, что и в (1.4.21)).

Предложение 6.5. Для аппроксимации (АПР5)

S(h) = с0 (п)/р' (А),(6.69)

где с о (п) — константа, зависяицая только от п, а р'(А) определено так же, как в (1.4.20).

/ Напомним, что для всех рассматриваемых методов конечных элементов «з^^Р, rhw —► w в £°° (Q), Dir^аз —уВ^щз в L” (Q), Ki <п, при h —► 0.

Доказательство аналогично доказательству предложения 6.3. Константа S (/г) не превосходит квадратного корня из

I ИП1

sup ) X \ |grad «/Л (х)|2 dx/^ j } w/А (лс)|2 dx ?.(6.70)

«л€Ул',=|й1=1 ы'

Как и в (6.48), можно показать, что S (/i)2 ограничено супремумом pj выражения

| grad ср (х)|2 dx/J | ф (х)|2 dx

£«г*

по всем линейным функциям ф и всем & £$\. Используя линейное аффинное преобразование Л, отображающее на д’ стан

дартный n-симплекс <У в R": 0^xz^ 1, 2 х^. 1, заключаем, что __~;=1 '

pt =Рг (р^/р'(А))2, где pj —супремум по всем линейным функциям ф отношения

^ | grad ф(х)|2 dx^ |ф(х)|2 dx.

5«у

(6.71)(6.71)Следовательно, (6.69) выполняется с

(6.71)

(6.71)

Форма bh и St (h). Для аппроксимации (АПР5) рассмотрим опять форму bh, определенную в п. 3.1 гл. II (см. (3.80) —(3.82)):

bh<ah, vh, -U)^ = biAuh, vh, wh)+b"h(uh, ®Л, voh\ (6.72)

b'h(uh, Dh, ^ = 1 Z J uih(Dihvjh)wJhdx, (6.73)

i, / = 1 Q

ЬИ»п. vh, w^-b^Uy, uuh, vhY(6.74)

Ясно, что b'h, b'k и bh — непрерывные трилинейные формы на VftXVftXVft и что выполнено (5.6). Значение константы d, из (5.7) можно найти из доказательства следующей леммы.

Лемма 6.5. Для п = 2

WhVuh, Ум wh)l

^сДЙ, а, е)|яй| ’-^llaAl^^ll^HJWftp-^llwA||л+е/2,

(6.75)

\b'kVuh, vh, тол)|

<q(Q, a, ^IttAp-^^Air^l^p-^hAir^ll^l.;

при любом 0 < е < 1, где ctt&, а) зависит только от Q, а и е. Для п — 3

I bhVttn, ф^ гой)|^с2 (Й,а) | uh I1/41| uh F1| -oh ||й | w„ |!/»|| w„ |F, (6.76) WkkuH, vh, тол)Ксг(Й, ^lad^HAlFl^P^hJIH^IlA.

Доказательство. Опенки для b'k получаются из оценок для b'h простой перестановкой г/Л и wA. Используя неравенство Гёльдера, как в лемме 6.1, находим■

(

пX 1/2 / ЛX

£II Uth ЦьЦЙ) ) ( £ II Wih 11Ь(Я) )|1 ^h |1л - /=1/ \/=1/

’(6.77)

Для того чтобы оценить /Анормы uih и у/а, применим теорему II.2.3 и замечание II.2.6. В случае п = 3 неравенство Шварца позволяет нам записать

(в силу (II.2.42), п=2, р = 2\ Отсюда

2 II uih ||Ь(Я) < с3 (Й, a)| uh |V21| uh |^,(6.78)

1 = 1

и оценка (6.76) для b'h следует из этой оценки и (6.77). В случае п = 2 из-за отсутствия оценок такого типа, как в предложении 11.2.1, мы поступим иначе. Ввиду неравенства Шварца,

^ u^dx = J | «fft |г“е | u/A |3+е dx

< ($ U^ d^1"^^ I Uih |=(з + е)/1 + е dx^ + e/2

<с(Й, a, e)|w,.ft|1-s|ju/ft^

(вследствие (11.2.48)). Поэтому

■2h/ft||b(Q)<c4(^a, ^l^r-ll^r,(6.79)

t = 1

откуда и следует оценка (6 75) для b'h. □

Из леммы 6.5 в сочетании с (6.68) легко получается (5.7):

bh luh, -Dh, wA) c dt II Uh ||л II vA |1Й II чюн lift Nuh, фд, wft e vft;

(6.80)

константа dy зависит от Q и a.

Предложение 6.6. Для аппроксимации (АПР5) неравенство (5.41) выполняется с

(6.81)

(6.82)

где е — произвольное число, удовлетворяющее условию 0<е<1, a S(h), щ, с2 заданы в (6.69), (6.75) и (6.76).

Доказательство. В силу (6.69), (6.75) и (6.76), мы имеем для п=2

\b'h(ti!t, tth, «^КМй а, е)S(А)1+е| «д |:,«ЛfA | wft I, №(«д. uh, wJKcjQ, а, e)S(/j)1+E|flJ,)flJ!JwJ,

а для п= 3

\bhltlh, U^, Wft)|<C2(Q, а) S (A)a/a| мд III «д|!д IWA [, Wk<uh, uh, wft)|<c8(Q, CC)S(A)»/aI«дIIIttA,'!Л|гуЛ|. □

6.3.3. Применение теорем об устойчивости и сходимости. Схемы 5.1 и 5.2 безусловно устойчивы. Условия устойчивости схемы 5.3, приведенные в теореме 5.2 и лемме 5.3, выглядят следующим образом:

л, к ,Д’к . d"

'(6.83)

п— * р'(М3 с0(,пу с2 (й, а)2 ’ р'(/Г2) Со (я)2 * V ■‘

где d', d" — константы, определенные в доказательстве леммы 5.3 (е^-произвольное фиксированное число, удовлетворяющее условию 0<е<1). Для схемы 5.4 условия устойчивости, приведенные в теореме 5.3 и лемме 5.4, выглядят так:

(6.85)(6.86)(6.85)(6.86)_ р к . 1 — 6к ^ уб

(6.85)

(6.86)

(6.85)

(6.86)

П IpW 4vco Ip' №Р <1+и ЫМ <lw ’

_ о к 1 — 6 к . мЬ

для некоторого 6, 0 <6 < 1, некоторого е, 0 < е < 1, и d6, заданного формулой (5.58).

Конечно, условия устойчивости (6.83) — (6.86) не являются вполне удовлетворительными, поскольку мы имеем лишь приблизительную информацию о константах в правых частях этих нера

венств.

Интерпретация утверждений теорем о сходимости (теорем 5.4 и 5.5) очень проста:

йд —> й сильно в L2 (Q) и “-слабо в L” (0, Т; I? (й)),

.(6.87)

OihUh-^DtU в L2(Q) сильно или слабо -

(в зависимости от того, какая сходимость, сильная или слабая, имеет место в А2 (0, Т; F^.

Теоремы 5.4 и 5.5 основаны на предположениях (5.89) —(5.92). Нам надо показать, что эти условия выполнены; проверка их выполнения осуществляется точно так же, как и для случая конечных разностей,— нужно просто повторить рассуждения п. 6.1.4, заменяя везде 6;д на Dlh.

6.4. Численные алгоритмы. Аппроксимация давления. Практическое вычисление элемента и^ из Vh, определяемого по одной из рассматриваемых схем, нетривиально. Основная трудность связана с условием ,,div« = 0“, которое входит в определение пространства Vh, и фактически ситуация здесь та же, что и в гл. I для задачи Стокса. В этом пункте мы покажем, как алгоритмы, описанные в § 5 гл. 1 (решение задачи Стокса), можно обобщить до алгоритмов, дающих решение задач (5.12) —(5.15). Одновременно мы введем дискретную аппроксимацию давления.

Аппроксимация давления. Для каждого типа аппроксимаций Vh пространства V мы определили также некоторую аппроксимацию W h пространства Н»^ (см. гл. I, § 3 и 4). По существу элементы uh из 1ГЙ являются элементами того же типа, что и элементы uh из Vh, только отсутствует условие на дивергенцию. Позднее в этом пункте мы покажем, как элемент йй из Vh может быть аппроксимирован последовательностью tth,r, г=1

элементов из Wh.

Аппроксимация (АПР1). Пространство W h — это пространство ступенчатых функций

«й= 2 ^М®пм. Im€R".(6.88)

м е^й

Дискретное давление является элементом пространства Хй ступенчатых функций вида

"л = 2 ПАя- Пм € R.(6.89)

Для ий £ Wh мы определили дискретную дивергенцию Dhuh как ступенчатую функцию из Хд, задаваемую следующим образом:

Dhuh= 2 (^дйд(Л4))шйЛ1,

.М.6й1

П(6.90)

Dhuh (М) = 2 ^lhuih (М) vm е^.

1=1

Элемент ин из W h принадлежит Vh1 если и только если

Dhuh = Q.(6.91)

Точно так же, как в п. 3.3 гл. I (см. (I. 3.72)), мы доказываем,

что если йл есть решение уравнения (5.12) (схема 5.1), то сущ ствует ступенчатая функция л^ вида (6.89), такая что к-Ч^-иТ1, ■v.H^VW, г-А + МяГ1, <, vh)

-№ D,^ = (/-, d^ Ndu e Wh. (6.9!

Основные отличия (6.92) от (5.12) заключаются в появлении член — (л^1, Одфд) и в том, что (6.92) выполнено для всех г»л из W, т. е. даже для фй, не удовлетворяющих условию (6.91) („нес< леноидальных").

Для схем 5.2—5.4 верны те же утверждения. В этих тре случаях существует функция л” вида (6.89), такая что соотве' ственно

к-Ча^-аГ1, vft) + 2-4v(№ + «r1, ®^к

+ 2-^ЬЧиГ1, иЦЧиТ1, ч>^

-№ Dhvh) = (fm, »й) ^ч)^^п,(6.92

(схема 5.2 к-Ч<-С-\ -DhH^kW, tt^h-Vb4Uh'\ UT\ чз^ -М, Dh^ = (./-”, Vh) ^4)h^Wh,(6.94

(схема 5.2

fe-1 «-<-*, t»a) + v(«-1, vA+Ma/Г1, <~x, ч?^ - W, D^ = (/”, vft) v®4 € W„.(6.95

(схема 5.4

Другие аппроксимации. Для других аппроксимаций имею место те же самые результаты; разница только в определении Dh пространства Хк, которому принадлежит л^1 (и, конечно, в опре делении Vh и WhY

Для аппроксимаций (АПР2), (АПРЗ) и (АПР5) пространство X есть пространство ступенчатых функций

лд = 2 nJ'XJ', 'П^ £ R,7(6.96

«Z € ЖЙ

где /«у — характеристическая функция симплекса 8. Дискретна; дивергенция понимается как ступенчатая функция вида (6.96) определяемая соотношениями

(6.97(6.97°й«й = S Л^Х^,

(6.97

(6.97

^=l^J div tth dx- «у

Функция uh из Wк принадлежит Vh, если и только если ступен чатая функция Dhuk является нулевой. При таком определенш

'т)^ =^hW, х^8.

мы также получаем существование функции л™, удовлетворяющей соответственно (6.92) — (6.95) (схемы 5.1 —5.4), в случае аппроксимаций (АПР2), (АПРЗ), (АПР5).

Аналогичный результат можно получить и для аппроксимаций (АПР4), но здесь построение пространства Х% №€Xft) технически более сложно.

Алгоритм Удзавы. Рассмотрим применение алгоритма Удзавы к решению задач (6.92) —(6.95). Пусть элементы (т—1)-го слоя уже вычислены и нам надо вычислить неизвестные

<^Vh и ^Xh. ■(6.98)

Мы хотим получить их как пределы двух последовательностей элементов

tt^^n и ^-r£Xh, r = 0, 1, оо.(6.99)

Как и в пп. 5.1 и 5.3 гл. I, начинаем с произвольного

<^ХЧ..(6.100)

Если Пй■г уже известны, то мы определяем Uh* z"+1 и лд •r+1 (г Ds 0) из уравнений:

схема 5.1, или (6.92): Uh-w£Wh и

Wr+1, vA) -4- Ь ((йГ r+1, -о^н + hbu (й^1, u^-r+l, vh) -k№', D^-W1, v^ + ktf”, vj Ууа€Гй, (6.101) ^•r^^xh и

(л^-я^', q^ + p^D^^1, qh) = 0 Vqh£Xh. (6.102)

Существование и единственность решения и™'r+1 уравнения (6.101) следуют из проекционной теоремы (задача линейна относительно -й”'г+1). То же соображение применимо и к (6.102), но в действительности (6.102) дает л^r+1 явно, без обращения какой-либо матрицы. Определение гфr+1 сводится к решению дискретной задачи Дирихле (см. гл. I, п. 5.1).

Для схем 5.2 — 5.4 (т. е. (6.93) — (6.95))мы оставляем (6.102) без изменения, а вместо (6.101) используем соответственно:

схема 5.2, или (6.93): и™-r+1 € Wh и

VWW1, иТх^1фгФ ®^-fe№r, D„vh)

(6.103)

схема 5.3 или (6.94): Uh’ r^ € ^д и

WvX, Vh}A-kv({uf'r'1, ,oh^h + kbh(tt^-\ и"Г\ -D^

-Wr, Dh> ^(йГ1, vh)+k(fm, чф yvh^Wh, ■

(6.104)

' схема 5.4, или (6.95): tt'h'+1^Wh и

«r+1, v^ + ^aar1, v^h-VM^uT1, аг\ D^

— k№ \ D^^uT1, vh) + k(fm, vh^eh^WH. (6.105)

Подчеркнем, что все элементы (m—1)-го слоя известны и для того, чтобы вычислить и", л^, мы производим итерации по г, вычисляя Uh,r+1, n^r+1.

Что касается сходимости этого алгоритма, то весьма интересно, что критерий сходимости здесь почти тот же самый, что и для линейной задачи.

Предложение 6.7. Если число р удовлетворяет условию

0<p<2v/n',(6.106)

то Uh,r сходится при г —» оо к и^ в Wh, а п™’г—к пЦ в Х^к. Доказательство. Мы проведем доказательство лишь для схемы 5.1 (уравнения (6.101) и (6.102), соответствующие (6.92)). Опуская индексы т и h, положим

<ог =<•'-<,(6.107)

л^л^’'— л^.(6.108)

Вычитание (6.92) из (6.101) дает: V^gW*

(®r + 1. уа)4-^((у'+1, vh)k-btohW\ »r*\ Уд) " = k (л', DhvhY,

при ,oh = ,or*1 получаем (с учетом (5.6))

Ivr+iiz-i-^iiyr+iji^^^, О^*1).(6.109)

Вспоминая, что Одй? = 0, так как 陈^д, мы можем записать (6.102) в виде

.(л'+1-л', q^ = — p(Dhvr+\ qh^ Vqh£Xh;

полагая ^д = лг+1, получаем

| nr+l |2 _ | л, |2 + | „г+1 _ „Г |2 = _ 2р (Dftvr + 1, Л, + 1). (6. 1 10)

Далее продолжаем так же, как в доказательстве теоремы 1.5.1. Правая часть (6.110) равна — 2р (OAvr+1, лг+1—лг) —2р (Dhvr+1, лг) и, как мы докажем ниже,

| (Ойуд, лд) I < Vn I лд 11! vh к Улд ^Xh,4)h^h.(6.111)

Временно приняв это на веру, оцениваем правую часть (6.110) величиной

2р фнч)г*\ лг) + 2р Kfi!jfr+l |й | лг+1 — лл| .

’<6|я^+1-л^=+^|,!^+1^ + 2р(Ой^+\ лО.

^/1 = 2 или 3 (размерность пространства).

Теперь прибавим уравнение (6.110), умноженное на к, к уравнению (6.109), умноженному на 2р. Приведя подобные члены, получим

(6.112)(6.112)£|лг + 1|2_ £|лг |2 + (1 -6)^1 лг + 1_лг|2 + |vr+1| + ^p(2v — рп/6)||гН+1||2 <0.

(6.112)

(6.112)

Если р удовлетворяет (6.106), то найдется такое 6, 0 < 6< 1, что 2v — ри/6 > 0. Суммируя неравенства (6.112) для г — 0, .. .,s, приходим к неравенству

^|л5+1|2+ У {^(1— 6)|лг+1 — л'-|2 + |г,'"+1|2} г = 0

(6.113)(6.113)(6.114)(6.114)+ кр (2v— ри/6) У ||®Г+Ч2 ^^1л1I2- г=0

(6.113)

(6.113)

(6.114)

(6.114)

Это показывает, что ряды У [®'"||2, У |уг|2 г=0 'г=0

сходятся и, следовательно,

V —>0 в W h при г—s-ОО.

Неравенство (6.113) показывает также, что последовательность л* ограничена. В силу (6.102) и уже доказанного, любая сходящаяся подпоследовательность последовательности л5 должна сходиться к 0 в Хд/R. Поэтому и вся последовательность л$ сходится к О в XA/R (т. е. в Ха с точностью до аддитивной постоянной). □

Остается доказать (6.111).

Лемма 6.6. Для аппроксимаций (АПР1) — (АПРЗ) и (АПР5)

| ф^, лА) I ^ Vn I лА I ]vA U УлА £ Xh 4-uh € Г А. (6.115)

Доказательство. Для случая конечных разностей ((АПР1)), поскольку функция лд постоянна на блоках оА (Л4), М € ЗД> имеем

(лА, Dhv^ = $ лЛ (х)( У ^ihvih (х)) dx. я v=i/

Согласно неравенству Шварца, эта величина оценивается как

{

/ П\ 2) 1/2

Ц 2 ?//№(*) dx>

Q Xl=*/I

П\l/2

I лЛ| У n( У $ I V.-^fft ф I2 dx ) ,

\‘=1a/

Но

jI ^in (х) р dx = j | yth (х + M - vih (х) |= dx

й1 R«

1 Г I ( 1 1 £ \/* t \ I2 J

= 77 \yih V-V-oh$ Vyih (*-dx

R”

= S ।d*>

а значат,.

1"л. Dftvft\</n" (лд/2 l6^ftl2) = Vn 1ЛП|К!1Й.

Для случая конечных элементов мы снова замечаем, что лд постоянна на каждом симплексе S' g S'h, так что

(лй, D^h) = $ лд (х) div Од (х) dx.

Поэтому, в силу неравенства Шварца,

|(Лд, Од©д)|^|Лд|^1У Од|<1/5Г|Лд|||Од||. □

Алгоритм Эрроу — Гурвица. Мы вычисляем и™, л^ как пределы двух последовательностей элементов и^-г^'Х'к, n.h-r£Xh, г^О, определенных немного иначе, чем в предыдущем подпункте. Введем два положительных параметра р и а. Алгоритм начинается с любых

С’°€^й, л^-^Ад.(6.116)

Если л^’г и и™■' уже известны, то мы определяем ng1-r+1 и й«, Г+1 как решения уравнений:

схема 5.1, или (6.92): ий -r+l € Wh и

6 (№r+1 - «ft''. 'ОлЖ + № г. ®л) + ^v ((«ft"’ r> ^))п

+ kb/l(u^-1,u^r,vll)~k(n^r, Dhvh)'

= («r,.®ft) + ^(/m,®JVoA€^ft.(6.117)

я^'+1€Хд и

a(<,r+i_<7^) + p(Dz.<,Hii^) = 0 У^дЕХд. (6.118)

Существование и единственность Ид’г+1 следуют из проекционной теоремы, то же верно и для Яд •r+l, хотя в этом последнем случае проще заметить, что n"’r+1 определяется из (6.118) явно.

Для других схем (схемы 5.2—5.4, т. е. (6.93) — (6.95)) мы оставляем (6.118) без изменений, а вместо (6.117) используем

соответственно:

схема 5.2, или (6.93): teg*r+Y £Wh и

k« r+1-u^-r, ^k+W'r, yft)+(£v/2) («> W'M

+(k/2)bh(urY, uTY + wr, 4>^-W\ D^)

= W, уа) + ^(/”, фл) V®, € W„,(6.119)

схема 5.3, или (6.94): ug’r+1 g Wh и

к (№■r+1 - u^ \ Уй))й + W \ ^h) + ^ (№ \ vh)),

+kbft«-1, ug-v, -о^-к^*', Dh, vh)

= W-v^^A-k^,<o^N<oh^H,(6.120)

схема 5.4, или (6.95): ug* '+l g W^ и

к Wr+1 - <• \ vh))h + № \ -v^ + кч ((«Г, ^h

A-kM<-\ <~\ -о^-к^ф', Dhvh)

ЦиГ^Н^т^^,,.(6.121)

Что касается сходимости, то имеет место

Предложение 6.8. Предположим, что р и а удовлетворяют условию

(6.122)(6.122)0 < р < 2av/(av2 + n) С

(6.122)

(6.122)

Тогда Uh’г сходится при г —► оо к йд в 1^д, а лд-г — к л™ в Хд/К.

Мы опустим доказательство этого предложения, аналогичное доказательствам теоремы 1.5.2 и предложения 6.7.

Аппроксимация уравнений Навье — Стокса при помощи метода дробных шагов

В этом параграфе мы рассмотрим аппроксимацию уравнений Навье —Стокса методом дробных шагов. Метод дробных шагов, или метод расщепления,— это метод аппроксимации эволюционных уравнений, основанный на разложении операторов, фигурирующих в уравнениях. Сначала мы изложим идею метода на следующем простом примере. Предположим, что аппроксимируется линейное эволюционное уравнение

(7-1)(7-2)(7-1)(7-2)й'+^й=0, Q<t<T,

(7-1)

(7-2)

(7-1)

(7-2)

и^ = ий,

где и (^ — конечномерный вектор, й(/)€^л, а ^ — квадратная матрица порядка т. С помощью обычной неявной схемы (аналогичной схеме 5.1) определим последовательность векторов ит, m — 0,...,N, соотношениями (T = kN, к — шаг по времени.

N — целое число):

«° = и„,(7.:

(йт+1 —и^+Л^+^О, /п = 0, .. , N — 1.(7?

Метод расщепления базируется на каком-либо разложении « в сумму: о■

Л = 2 At-(7.Е

I = 1

Начиная опять с.

й° = й0,(7.6

мы рекуррентно определяем семейство элементов йт+(/®,/й = 0,.. .. ., N — 1, (=1, ...,q, полагая

(и п + Hq _ ит + (I -1 Mq^k + Л ,ит + Ид = Q,(7.7

i = 1, . ., q, т = 0, ..N — L

Если и” уже известно, то йга+1 может быть вычислено в случае обычной неявной схемы (т. е. (7.4)) с помощью обращения матрищ IA-кЛ; в случае метода дробных шагов (т. е. (7.7)) для вычис ления Hm+1 необходимо обратить q матриц (/+MJ, ..., Ц-укЛ^ алгоритм целесообразен, если все эти q матриц вместе обратит: проще, чем одну матрицу 1-укЛ.

Этот метод может быть применен к уравнениям Навье — Стокс: многими различными способами, соответственно различным воз можным-разложениям операторов. Мы рассмотрим два из них В первом 7 = 2,

Л1а = — vAa+ 2 UiDiU, (7.8' а Лг — некоторый эвристический оператор, учитывающий члег grad р и условие divu = 0. Позднее мы аккуратно всё опишем, а сейчас лишь отметим, что в случае уравнений Навье —Стокса метод, который мы будем рассматривать, является некоторой интерпретацией, а не просто частным случаем метода дробных шагов, представленного формулами (7.5) — (7.7).

Во втором разложении Л мы имеем q = n-yV, оператор Л„+1 похож на предыдущий оператор Л4, а операторы Лх, ..., Лп определяются равенством

Л1и= — vD^u + U/DjU, i = l, ...,п. (7.9)

Мы можем также совместить этот метод с некоторой дискретизацией по пространственным переменным. Изучать все возможные комбинации было бы бессмысленно и утомительно. Поэтому мы ограничимся двумя характерными случаями: рассмотрим пер-

вое из приведенных выше разложений вообще без аппроксимации по пространственным переменным (п. 7.1), а второе—с дискретизацией при помощи конечных разностей (пп. 7.2 и 7.3).

Схема с двумя промежуточными шагами. Мы опишем здесь аппроксимацию уравнений Навье —Стокса методом дробных шагов без дискретизации по пространственным переменным.

Описание схемы. Размерность пространства п=2 или 3. Мы хотим аппроксимировать решение задачи 3.1 (или 3.2). Для простоты предположим, что

/ОТ, Т; Н) -(7.10)

и, как и выше, «„£//.(7.11)

Пусть интервал [0, 7] разбит па N интервалов длины к (Г—kN). Положим■

тк

Р=^ j fVW, m= 1, ...,N.(7.12)

(m - 1) &

Мы определим сейчас некоторое семейство ^^г + г/з, j = o, 1, /и = 0, ..., N — 1, элементов из L2(Q). Эти элементы вычисляются последовательно в порядке возрастания значения дробного индекса т + i/2. Начинаем с

и° = й0.(7.13)

Если ит уже известно (т^О), то последовательно определяем йт+1/2 и цт-Н..

и^ч^Н1^) и к'1(ит+1^— ит, у)-ГV((«"'+1/2, у))

+^(ит+1/2, йт+1/2, у)^^, ^N-o^H^a),(7.14)

ttm*v^H и (й”+1, у) = («m+i/2, у) Vv^H.(7.15)

Здесь В — это форма, введенная в гл. II, кососимметричная часть формы Ь;

b (и, у, ю) = 2-1 \Ь (и, у, w) —Ь(й, чю, у)}.(7.16)

Поскольку ns^3, ясно, что В является, как и Ь, непрерывной трилинейной формой на Я?(й) и

В (и, у, ®) = 0 Nu, v£H№).(7.17)

Уравнение (7.14), определяющее ит + 1/1, представляет собой Нелинейное уравнение, очень похожее на стационарное уравнение Навье—Стокса, и доказательство существования по крайней мере

одного элемента ит*11г, удовлетворяющего (7.14), проводится точно так же, как в теореме 11.1.2, с использованием методг Галёркина и (7.16).

Соотношение (7.15) означает, что йт+1 является ортогональной проекцией элемента ит+1<2 на Н в £2(Q). Поэтому элеменл л”+1 вполне определен равенством (7.15); запишем

ит*1 = рн11т*11г1(7Д8)

где Рн обозначает ортогональный проектор в L2(Q) на подпространство Н. В силу характеризации Н и Н-^-, данной в теореме 1.1.4, разность йт+1/2 —йт+1 есть градиент некоторой функции из Н (Q). Обозначая эту функцию через крт*\ имеем

(am+i,_ит+1/2)//г + grad/)m+i = О, pm+l С Н1 (Q).(7.19)

Соотношение (7.15) эквивалентно двум условиям, а именно (7.19) и йт+1$£2(П), divttm+1 = 0,(7.20)

Замечание 7.1. Соотношение (7.14), определяющее ит +1/2,— это, по существу, нелинейная задача Дирихле; записывая (7.14) для T^S)^, получаем

к-1 (ит +1 /2 - и”)—v Дит +1/2

+^»^+1/2Dl-Bm + 1/2+l(div ит + 1/2)ит + 1/2=/'”.(7.21)

Замечание 7.2. Соотношения (7.19), (7.20), определяющие ат + 1^2 н р”*1, эквивалентны некоторой задаче Неймана относительно рт + \ 1 Применение оператора div к обеим сторонам (7.19) приводит к уравнению

&рт*1 = к-1 div ат +11,2 (ибо divam + 1=0),(7.22)

а применение оператора yv (взятие нормальной компоненты на дй) приводит к условию

дрт + 1/дх = 0 на Г = дй,(7.23)

так как yv um + l = yv а'п + 1^ =0. Интересно отметить, что граничное условие ,,dp/dv = 0 на Г" не выполняется для „настоящего" давления; это влияет на точность, с которой р'”+1 аппроксимирует р; однако, как будет показано позднее, это не влияет на сходимость схемы. В другом методе дробных шагов, разбираемом в п. 7.2, эта особенность не возникает.

Наша цель теперь —получить априорные оценки для ит+‘/2, а затем исследовать схему на сходимость.

Априорные оценки (I).

Лемма 7.1. Элементы ит*11г остаются ограниченными в следую-

и^ем смысле-.

\игпЛ-Ч"\1"^с1г, т = й, ..., N — 1, i=l,2,(7.24)

w-i

к 2 H^IP^/v,(7.25)

m = 0

N-l'

2 |йт+1 —йт+1/2 |2<d2,(7.26)

•> m =0

2 | и'п+1/2 — Йм 12 < d2,(7.27)

m = 0

где

T

da = I u012 —(d„/v) J |/(s) |2 ds. ■(7.28)

о

Доказательство. Записывая (7.14) с -и = игп*1,г и принимая во внимание (7.17), получаем

| йт+1/2 | 2_| ит|2 + |ят.м/2_йт] 2.^2^ ||йт+1/2 ||2

=^.к^т, ит+11^^2к\/т\\ит+^\2 ^‘ 2kd0\fm\ II йт+1^|)

^ &v|| ttm+1/2||2 + (&do/v) |/т |2.(7.29)

Отсюда,

I йт + 1/2 | 2_| И/Л | 2 _}_ j ит+1/2_ит | 2 _]_^v||ym+l||2

<(Wv)l/m|2.(7.30)

Мы можем записать (7.15) с ®=am+i; это дает (м"1"*"1 —м"‘+1/2, Й7Л4-1) = О, или■

| Ят+ 1 | 2 _ | йт+1/2 | 2 _|_ | Й»1+1 _ ят* 1/2 | 2 = Q,(7.31)

Суммируя соотношения (7.29) и (7.30) для т =0, ..., N — 1, получаем

|йлг|2+ 2 {[ит+1 —йт+1/2[2 + |йт+1/2—йт|2}- т = 0

■W-lN

+^v 2 ц й^+^р^]^) 2 + (^ло 2 1/”М т = 0т= 1

Т

^(в силу (5.29)) |tt0|2 + (d?/v)$|/(s)|2ds = d2.(7.32)

о

Это доказывает оценки (7.25)— (7.27). Теперь просуммируем соотношения (7.30) для т = 0, ...,г и соотношения (7.31) для m = 0, ...,r— 1. Опуская некоторые положительные члены,

находим, что

с- 1 l«^i/2l^|ti«|»+(Wv) 2 IZmla^d3- m=0

Аналогично, суммируя соотношения (7.30) и (7.31) для т=0, ..., г, получаем после некоторых выкладок

• le^p^f^p+^/v) 2 |/Л|2<^; т*1

тем самым доказано и (7.24). □

Аппроксимирующие функции. Введем „аппроксимирующие* функции я^, i=i, 2, и й6 следующим образом: '

и^: [0, 7]-^£a(Q),

й^ * (/) = um*i14 для mk ^ t < (т + 1) к,

1=1,2;(7.33)

ик —непрерывная функция из [0, 7] в £а(й), линейная на каждом интервале ^тк, (т +1)^]»

m = 0N — 1;

ukVmk^ = um, /п = 0, ..., N.(7.34)

Из леммы 7.1 непосредственно вытекает

Лемма 7.2. Функции ttk, t$\ i=l, 2, остаются ограниченными в 1”(0, Т; £2(й)) при к—>0. Функции и^ остаются ограниченными в £2(0, Т; /75 (Q)).

Лемма 7.3. | й!2>— й!^ |z« (0, 7; z.2 (ов 5$ l/^d2>(7.35)

| uk — tt^ |l« (о, г-, l^ <й» ^ V^kd.j3.(7.36)

Доказательство. Оценка (7.35) является прямым следствием леммы 7.1. Что касается (7.36), то вычисления из леммы 4.8 дают

N-1

|йй~ йНЬ<0. 7; ЛЧЙ))=(А73) 2 |йга + 1— йт|2. т=0'.

Но

| ут + 1 — й” [^ | ttm + 1 — Ит + 1/а | +| йт+1/а — 11т |, | ут*1 цт |2 ^ 2 | ym+1 дт+1/2 р _р 2 | йт+ х^а йт |а

и потому, в силу (7.26)—(7.27), | ик — й»2’ |Ь(0, т-, £2(й» ^(4A/3)d2. □ 7.1.3. Априорные оценки (11). Для того чтобы применить методы компактности, нам нужно оценить производную от ик по времени. Продолжим функцию ик нулем вне интервала [0, 7] и обозначим через йк преобразование Фурье продолженной функции.

Лемма 7.4. Это преобразование Фурье ик удовлетворяет оценке

$ 1Т 1а7ЦяИт)1|у' di^ const, 0 < у < 1/4,(7.37)

где константа зависит от и от данных.

Доказательство. Согласно теоремам 1.1.4 и 1.1,6, V = Z/n/7J(Q) и соотношения (7.14) и (7.15) выполняются для любого ф £ V. Суммированием получаем

^-i (йт+1 —й™, ®) 4-v ((йт+1/2, ®))+Ь(йт+1/2 ,й'”+1, ®) = (/”, ®)V©eV, т = 0^—1, (7.38)

а это уравнение эквивалентно уравнению'

-^-(«ИО, tO + vtttt™ (О, v^+W?’ (О, и*" W, ф)

= (Л(0> ®)V/€(0, T)Vv£V, (7.39) или

А (ак (/), я) = <gk (/), ®> V/ € (О, Г) V© € V,(7.40)

где

fk^=fm, №^^/<(/72 4-1)^, /72 = 0, . .., N — 1, (7.41) a gk (I) С V определено соотношением: Уо £ И

^(О. ®> = —Ч(й^’(/), у))

-Ш'ЧП. tt^(0, ®) + (ЛЮ, »)•(7-42)

Из свойств формы b очевидным образом следует, что

11 gk V llv- < v || йГ (1)II +с II «^ (Oil2 + 1Л (0 I.(7.43)

и по лемме 7.2

последовательность gk ограничена в L2(0, Т\ V'\ (7.44)

После этого мы можем в точности повторить доказательство теоремы 2.2 и получить (7.37). □

Сходимость схемы. Поведение аппроксимирующих функций й»0, ик при к—> 0 описывается следующими теоремами.

Теорема 7.1. Пусть размерность пространства п = 2 и заданные функции f, иЙ удовлетворяют (7.10)—(7.11); пусть, далее, а—единственное решение задачи 3.1, и^\ ttk — аппроксимирующие

Шляпка над b не имеет никакого отношения к шляпке, обозначающей преобразование Фурье.

.функции, определенные в (7.33), (7.34). Тоеда при к—* О

tt* \ ик сходятся к и сильно в I? ^

и ‘-слабо в L” (О, Т; L4^y,(7.45)

й?1 сходится к и сильно в L? (О, Т; И» (й)).(7.46)

Теорема 7.2. Пусть размерность пространства п = 3 и заданные функции f, й„ удовлетворяют (7.10) —(7.11). Тоеда существует последовательность к' —* 0, такая что

(7.47)(7.48)(7.47)(7.48)tty, tiy сходятся к и сильно вL4Q) и ‘-слабо в L“(O, Т; /?(Й)); ' tty'1 слабо сходится к и

(7.47)

(7.48)

(7.47)

(7.48)

в L2(0, Т; ^(й)),

где й — некоторое решение задачи 3.1. Для любой другой последовательности к' —*• 0, для которой выполняются (1А1)— (7.48), и должно быть решением задачи 3.1.

Доказываются эти две теоремы одинаково, за исключением утверждения о сильной сходимости в Л2(0, Т; ^(й)).

Сильная сходимость в L2(Q\ По лемме 7.2 существует подпоследовательность к' —► 0, такая что

(7-49)(7.50)(7.51)(7-49)(7.50)(7.51)(7-52)(7-52)й^-*й(1) ‘-слабо в L” (0, Т; 2?(Й)) и слабо в L2(0, Т; ^(Й)).

(7-49)

(7.50)

(7.51)

(7-49)

(7.50)

(7.51)

(7-52)

(7-52)

ttt- — и№ ‘-слабо в L“(0, Т-, L2 (Й)), tty — tt» ‘-слабо в L” (0, Т; L2 (Й)).

В силу леммы 7.3, ttm = й,2) = и».

Функции и»21, а значит, и функция й<2) принадлежат L” (0, Т; Н).

■Отсюда вытекает, что'

й*(/)(Е^(Й)П/7=У п. в.

(7.53)(7.53).и, следовательно,

(7.53)

(7.53)

и^ЬЦО, Т; V)DL”(0, Т; И).

Результаты о сильной сходимости в L2 (Q), нужные для того, чтобы перейти к пределу, не получаются простым применением теорем о компактности; они требуют некоторых дополнительных соображений, которые мы сейчас и изложим. Напомним, что, согласно определению nV1, значения й?'(0 принадлежат Н для всех £ £ [0, 71], а по теореме 1.1.4 пространство £2(й) является прямой суммой Н и его ортогонального дополнения Н1-. Обозначая через Рн и Р н^ ортогональные проекторы в £2(Й) на Н и

Z/-L, имеем и^ = Рни^-V Р^tt^» а потому

| и^ (О - и^ W I4 = I Рн^ W - «ь21 (О Р + Р^ (О12.

(7.54)

На основании (7.54) и (7.35) мы заключаем, что

. PhuV'-u^' сильно в L2(0, Т; Н),(7.55)

P^uV'-^O сильно в L^O, Т; L2 (<1^.(7.56)

Из замечания 1.1.6 и леммы 7.2 следует, что Рнп^ является ограниченной последовательностью в I? (О, Т; Hl (й) А /7); поэтому мы можем выбрать упомянутую выше подпоследовательность к* так, чтобы

Рни^-* Рни. = и. слабо в L2(0, Т; fP^RHy (7.57)

Теперь применим теорему 2.1 следующим образом: положим Хв = Н1 (Q) А Н, Хг = У' и в качестве последовательностей {«,„}, (у/л} возьмем последовательности {и*-}, ^Рни^Д. Эти последовательности обладают всеми требуемыми свойствами. Далее, Н1 (й) А V\Hc.HcV', и поскольку вложение /УДЙ^Т/ в Н компактно, то компактно и вложение /71(Й)А/7 = Х0 в V'^Xv Теорема 2.1 позволяет нам утверждать, что последовательность Рн и^ относительно компактна в L2(0, Т; V') и поэтому

РHUy*РИи„ ^ и» сильно в L2(0, Т; У).(7.58)

Применение леммы 2.1 с Хо — Н1 (й) А Н, Х = Н, Хг = У приводит к оценке

I PHU^— И*|С2(0, 7: Н> ^е || PHU^ — и* ||l= (о, 7; Л7ЧЙ>П") + С (е) |l Рни^ — и^ Ць» (о, 7; V')»

и так как последовательность PHaV' ограничена в L2 (О, Т; Н1 (й)), то

| Рн^—И* |t2(0, Г; И) ^ Се 4- С (е) [| Рни^ — йв||п=(0, 7; V').

.(7.59)

Переходя в (7.59) к верхнему пределу, получаем ■ lim Ip^V — и, |L2 (0, 7; н^Се.

к- — О

Поскольку е произвольно мало, этот верхний предел равен нулю и поэтому‘

Рна^-^и» в L2(0, Т; Н) при к' —>-0.(7.60)

Сравнивая (7.56) и (7.60), заключаем, что

«I'’—► и, в L2(0, Т; £2 (Q)) (сильно) при А' -*0. (7.61)

Наконец, из (7.35) и (7.36) вытекает, что

а^ —» и, в Л2(0, Т; L2(Q)) (сильно) при к' —*0, (7.62) Uy —* и* в 7,2 (0, Т\ V (Q)) (сильно) при к' —* 0. (7,63)

Доказательство теорем 7.1 и 7.2. Пусть ф— произвольная непрерывно дифференцируемая функция на [0, Г] и ф(Т) = 0. Умножим (7.39) на ф(7) и проинтегрируем по I. Интегрируя первый член по частям, получаем (й6(О) = йо)

т. т

$(йА(/), Ф'(0®) d/4-v $ ((й^ЧО. ®Ф(0))^ оо

+ 5 b^uV4^i ^ (7), Уф(/))5/ о

= <ив1 Ф(0)®)+ J (Л(о. уф(/))<17 v»cv. о

В силу (7.49), (7.11) и (7.52),

Т7

5 (и*- (/), уф' (7)) d/ —► J («, (/), уф' (/)) d7, оо

77

\«акД1\ ®ф(7)))67 — 5 «и, (0, ^(7)))d7. оо

Вследствие (7.16), (7.61) и леммы 3.2,

^ 6^41), ПуЧ^ ®ip(O)d^—* 5 b(u,^, и»<1\ ^(7))d7. оо

Так как й*(7)£У п.в., из леммы 11.1.3 и (7.16) вытекает, что 6(а*(0, й*(/), V) — Ь («,(/), и«(/), У) п.в. Из леммы 4.9 легко выводим, что '

7Т

S Ш^ ®Ф(/))а/ - $ (/(/), ®ф(/))д/. оо

Таким образом, в пределе получаем

Тт

5 (и* (i), ®Ф' (0) di + v J ((и, (i), У1р (i))) di оо

т

+ $Ь(й, (0, й.Ю» ®ф(О)й< о

Т■

= (й0, Уф(0)) + $ (/Ю, НЮ) di VygV; (7.64) о

Это уравнение в точности то же самое, что и уравнение (3.43), и поэтому мы заключаем, как и в теореме 3.1, что и» является решением задачи 3.1.

Те же рассуждения могут быть проведены для любой другой сходящейся подпоследовательности последовательностей ttk, tt^. Это завершает доказательство теоремы 7.2 для случая п = 3. Если и —2, то существует только одно решение задачи 3.1; значит, й, = й и сами последовательности Uh\ uk сходятся к й, в смысле (7.49)— (7.51). Остается доказать сильную сходимость в L2(0, Т; /Го(Ю); этому посвящен следующий подпункт.

Доказательство теоремы 7.1 (сильная сходимость).

Лемма 7.4. Если п = 2, то uN=uk-*u(T^ слабо в £2(Q) при к — 0.‘

Доказательство. Согласно (7.24), |й*|^const и, следовательно, подпоследовательность к' можно выбрать так, чтобы

й^^Х слабо в Н (ик, x^HY(7.65)

Интегрируя (7.39), получаем, что

т

(«6(Л. ®) = H, ») = («.,, у) — ^(WW, ^)dt

о

Тт

$ ^«^(О. Uh\tV y)di+$(/ft(i), у) di VygV. оо

В этом соотношении легко перейти к пределу по последовательности к';

т

(X. Ю = (й0. y)-vj((tt(i), у))di

о

77

^b(u(t), u(t), у) di + ^ (/(i), у) di. оо

Сравнивая это с (3.13), проинтегрированным от 0 до Т, заключаем, что (х, у) = (й(Т), у) Vy^E, и так как x€^/f то й(Г) = х.

Поскольку предел не зависит от выбора подпоследовательности k', соотношение (7.65) фактически справедливо для всей последовательности к. □

Лемма 7.5. Если п = 2, то и^ —*и сильно в L2(0, Т; Hl(Q)). Доказательство. Рассмотрим выражение

т

Хк -1 и (Т) р + 2v $ II йД (О - и WII2 di.

о

Запишем ХЙ = Х<1)4-Х*2> + Х*3>, где

т

Xu, = |«(7')|2 + 2v$||«(0B2d<, о

т

Х^ = -2(й", й(Т))-4^((йИ0, u^))di,о

I

X(fc3,= |^vr+2v$Hn(i)l|2 di.

о

Член Xй* не зависит от к; в Х^ легко можно перейти к пределу: вследствие (7.49) и леммы 7.4,

т

Х^2> — —21 и (Т) |2 — 4v J || и (/)||2 di = — 2ХЦ>.о

Для предельного перехода в Xi3> доказанных результатов о слабой сходимости недостаточно. Однако суммируя соотношения (7.29| и (7.31) для т = 0, ..., X —1, мы можем записать

N—\N-1

2&v s n«m+i/2ii2+ 5 {|йи+1—ит+1/2m = 1m = 0

N- 1

+ [йт+1/2 —йт|2} = |«0|2 + 2^ 2 (/'". йт+1/2); m = 0

Т

или Х^3)Ой0^4-2 5 (/ДО, й^До) di. Переходя к верхнем} °_

пределу, получаем lim Х13>^|й0|2 + 2 \ (/(i), tt(i))di. В сил}оо

энергетического равенства для точной задачи (см. (4.55)), права* часть последнего неравенства равна Х(п. Отсюда lim Х^^Х’11 к 0

Сопоставляя установленные неравенства, заключаем, что liin Хк^

^0. Это показывает, что Хк —* 0 при к —> 0. □

Т«2. Схема с п + 1 промежуточными шагами. Мы опишем fry схему для случая, когда используется дискретизация по пространственным переменным. А именно, мы рассмотрим аппроксимацию пространства //о(Й) конечными разностями, изученную и гл. I, и соответствующую аппроксимацию (АПР1) пространства V. Последующее можно частично распространить и на другие аппроксимации пространства V, но для них схема представляла бы значительно меньший интерес, так как метод расщепления наиболее эффективен в сочетании с конечно-разностными методами.

Разложение операторов. Для каждого /i = (/ij, ..., /г„), Л/ > О, мы определили, в гл. I, п. 3.3, аппроксимацию Wh пространства Н»^! и соответствующую аппроксимацию Vh пространства V (конечные разности, аппроксимация (АПР1)). Оба эти аппроксимирующие пространства конечномерны и снабжены либо скалярным произведением (и, я), индуцированным из L2 (Q), либо скалярным произведением

((«л, ®л))й = 2 ^ihUh, Sih<ohY 1=1

Определим на Wh (и, следовательно, на V^ п других скалярных произведений

((«л. ®й))1А = (6,л«й, WhV X^i^n.(7.66)

Согласно дискретному неравенству Пуанкаре (см. предложение 1.3.3),

\uft\^dauh\\^h^Wh, d» = 2l,(7.67)

где / обозначает теперь максимальную ширину Й в направлениях х;. Из этого неравенства следует, что || ||/й представляет собой норму в W h, а ((•, • )),,, —гильбертово скалярной произведение.

Далее, запишем трилинейную форму bh, рассмотренную в (6.3)^-

в виде

п

Mttft, Dh. 4»^ = ^bihiu^ Dh, wh),(7.68)

L = 1

b^Ub, Vh, 4^=b'tTAUh, Dh, 4S)hHb"ihkUh, Dh. wh), (7.69) 1 n p

b'lh (и„, Dh, ТОЙ) =y £ j Ulh ^-О^ЧЮ^Х,(7.70)

/= 1 Q

1” p

b'ih (Uh, vh, wft) - — у £ j uihvjh ^ihWj^ dx. (7.71)

Все эти формы являются, очевидно, непрерывными трилинейным формами на W h xWhx Wh\ ясно также, что

bih(«h. ^и- ®й) = 0 Vuh> vh^Wh.(7.75

Описание схемы. Данные / и «0 удовлетворяют (7.10)

. Предположим,что нам задано следующее разложение /:

/ = £/,-,//€L2(0, Г; //),(7.72

1

это разложение может быть совершенно произвольным; простей ший случай—это/^/, /; = 0, 1 = 2, ..., п. Пусть интерва [0, Т] разбит па N интервалов длины k(T = kN\ Положим

(m+ 1 )&

jm-vUs — L ^ /z.(/) d/, t = l, ..., п,(7.74

mk

где

q=n-V\.(7.75

Определим теперь семейство элементов «д1+//’из Wh, т = 0, ... N — 1, i = lq. Эти элементы определяются последователь но в порядке возрастания значения дробного индекса tn -Vi/q Мы начинаем с

«X = (ортогональная проекция «0 на Vh в L2 (О)). (7.76

Это определение имеет смысл, так как W^L1^ и, очевидно

|^|<|И„| Nh.(7.77

Если и™ уже известны (т^О), то определяем um+iIq следующие образом:

для \<.i<.n*. иГМ9 € Wh и

k-v^-'-uV1-^, -О.^ЧкиГ^, *

+ bih киГ^^иТ1'4, vh) = (fm^o, d^ V-Dh£Wh; (7.78 для i =n + \ (=q): Uh + V £Vh и

UlT\ Ч)^ = киГп14, 4)h^Dh^Vh.(7.79

Соотношение (7.79) означает, что Иь+1 является ортогонально! проекцией элемента Uh+ntq на Vh в пространстве Wh со скаляр ным произведением (•, •); таким образом, Пн*х вполне опреде ляется равенством (7.79).

Уравнение (7.78) линейно относительно Пн*114. Существова ние и единственность и^^114 гарантируются проекционной теоре

Мой (теоремой 1.2.2). В самом деле, форма

{йА, ^-^"Чя», ®ft) + v((aA, фд))/а +

+ Ь,Д11Г1-Х\ uh, «и^(7.80)

является непрерывной билинейной формой на Wk, а форма Чп^к-ЧиГ™, ТнШГ"^, vh)

линейна и непрерывна; коэрцитивность формы (7.80) следует из (7.72).

Замечание 7.3. (Интерпретация соотношения (7.79).) Мы дадим здесь интерпретацию соотношения (7.79), которая позволит нам ввести аппроксимацию давления. Поступим так же, как в п. 3.3. Элемент иАт+1—и'^^п^ из 1ГА ортогонален к VА (в смысле скалярного произведения (•, •)). Это равносильно утверждению, что (а^+г‘—и^+п^ , ®А) = 0, если ®A^W'A и (определение Vft)

'5 Х7/^й(М)=0 уМ£^.(7.81)

i= 1

В силу классического результата линейной алгебры, существует семейство чисел Хм, Л4£&ь> таких что

'(<+1 - u^nl% v^ = ^ Хм J 2 V/A®/A (М) | V®a € Wh. (7.82)

Мб& v' = lJ

Пусть л^+ ‘обозначает ступенчатую функцию из ХА, определяемую равенством 1

л?+1 = У(7.83)

-.М е Qh

Тогда отношение (7.82) можно интерпретировать так 2;

к-ЧиГ1-^"^ т^-(<^ Dh^ = 0 Ч-в^нЧ (7.84)

или

■ ' k~4uTh'X W-uThvrii4M^^(7.85)

• Ниже w^m—характеристическая функция блока аА(Л1)

2 Ср. с (1.3.71) —(1.3.72).

sDhT)h (x) = 5V ih^ih W- i=l

Замечание 7.4. (Решение системы (1Л^. Уравнения (7.78) эквивалентны уравнениям

ft-1 (И^+ t,s (М)~и^+^'4 (MV-vefhUh*1^ (М)

+ 2-iM?h+i~l/4M)6ift^№l-Xlqurtlq>(M^

nOhU^

При вычислении tiff*114 неизвестными являются компоненты векторов Илг+1/ '(М); суть метода дробных шагов заключается в том, что предыдущая система в действительности распадается на несколько подсистем, содержащих каждая лишь неизвестные ид1+1/ '(Л4), где точки М все лежат иа одной прямой, параллельной направлению х;. Благодаря этому система (7.78) очень легко решается.

Замечание 7.5. (Решение системы (ТЛУ^ Как и в замечании 7.2, мы можем интерпретировать (7.79) как дискретизацию задачи Неймана для давления nw + 1 (с некоторым граничным условием, отличным от (7.23)):

1 6лст + 1 1 „

Длт +1 = — djv цт+л/^ ——— = _ ^дт+п/». (7.86)

Это позволяет нам решать вместо (7.79) соответствующую дискретную задачу Неймана для лд'+1. По этому поводу см. Чорин [3], Фортэн [1]. В качестве другой процедуры решения (7.79) можно было бы взять итерационный алгоритм типа рассмотренных в гл. 1, § 5, и в этой главе, п. 6.3. Ситуация здесь аналогичная, и мы не будем на этом останавливаться.

Безусловные априорные оценки. Мы установим далее два типа априорных оценок: безусловные априорные оценки и априорные оценки, полученные в предположении, что к и h удовлетворяют некоторым условиям, аналогичным условиям устойчивости. Этот пункт посвящен безусловным априорным оценкам; условные же будут рассмотрены в п. 7.3.3, после изложения некоторых предварительных результатов в пп. 7.3.1 и 7.3.2.

Лемма 7.6. Элементы и™*111 остаются ограниченными в следующем смысле:

Itt^^l2^^, m = 0N — 1, i = l, .... q, (7.87)

N-\

kLW^K^i-L »( = 9-l).(7-88)

m=0

N

2 \иГ‘,ч — иГ1"1,ч\2Сс1а, i = lq. (7.89) m = 0

еде

n T

da=|«ol2 + 2 fl//(s)|2ds.(7.90)

i=i j

| ут+Ич р| ут+1-ifq р _|_ | у^+Ицytniri-Xlq р| ут+Ич р| ут+1-ifq р _|_ | у^+Ицytniri-Xlq рA-ZHur1'9^A-ZHur1'9^Доказательство. Запишем (7.78) с 4>h = Uh*i,9\ используя (7.72), получаем

| ут+Ич р| ут+1-ifq р _|_ | у^+Ицytniri-Xlq р

| ут+Ич р| ут+1-ifq р _|_ | у^+Ицytniri-Xlq р

A-ZHur1'9^

A-ZHur1'9^

= ^к^‘*% ttV“9)^k\fm+il<l\ \tt^l,q\

^(в силу (7.67)) 2^0|/”+//’| ИГ17"!^

<МиГП1н^^1^т+ич\г-.(7.91)

| ym^i-lq р| И1^*^-^9 || ym^i-lq р| И1^*^-^9 |? + |гС+'76? + |гС+'76ym+i-US^ym+i-US^Следовательно,

| ym^i-lq р| И1^*^-^9 |

| ym^i-lq р| И1^*^-^9 |

? + |гС+'76

? + |гС+'76

ym+i-US^

ym+i-US^

ШиГ^СМ^Г^?, i^i^n. (7.92)

Записывая (7.79) с D = Uh*+1, находим, что

|<+1|2 + |am+n/,z |2 + K+1 — аГп/’|2 = 0. (7.93) Суммируем все соотношения (7.92) и (7.93) для t = 1, ..., п, дп = 0, ..., N — 1. После некоторых выкладок получим

I ^ I2 + 2 l' । и* +iN - <* 1'"1/ ’ I2+^ S* 21 II ur1'911» 1= 1 m = 0i = 1 m — 0

2»-l N—Y

<W+v£ £ir+17’l2-(7-94)

t = I m = 0

Вследствие (7.77), |tth|^|tt0| и поэтому, в силу (5.29),

N-tт

k So 1/^-7, p^: ^ |y.(s)pds.

Таким образом, правая часть (7.94) не превосходит d2 и (7.88) — <7.89) доказаны. Теперь при фиксированных г и j, OO^W — 1, 1 ^ / ^ 9, просуммируем соотношения (7.92) и (7.93) для т = 0, ..., г — 1, i = l, ..., q, а также для т ~r, 1 ^ i ^ j'; опустив некоторые положительные члены, найдем, что

la^’P^I^I^ + ^v"1S |/"+7’р

т,0 < m + i/q < r*jfq

гд-\ N-Y

ci»xp +vL ^ 1Л+'/912<^.t= 1 m = 0

г = 0, ..., N — 1, /= 1, ..., q. □

Теорема об устойчивости. Введем аппроксимирующие функции и^\ i = l, ..., q, и uh так:

U^-. [0,Т]-^А,

Uh ’ № = Uh* 49 для mk ^ t < (m + 1) k, i = 1q, (7.95) Uh—непрерывная функция из [О, Т] в Wh, линейная на каждом интервале [т^, (т + 1)^],

т = 0, ..., N — 1, и uh (mk) = и™, т = 0N. (7.96)

Из леммы 7.6 вытекает следующая теорема об устойчивости: Теорема 7.3. Функции ик1, и uh, определенные условиями (7.95), (7.96), безусловно L” (О, Г; U ^уустойчивы (l^i <;".<?). Функции ^ик” (1 s$ i ^ п) безусловно L? (О, Т; L2 ^у-устойчивы.

Замечание 7.6. (i) Из (7.89) следует, что ^и™ — Uh ~nk*<0, Т-. 1Цйр< У"кТ2, i—2п.,7.97)

Как и в лемме 7.3,

| U^ —Uh I L1 (О, Т; I» (£2))< У Ма/2.(7.98)

В самом деле, используя вычисления из доказательства леммы 4.8, мы видим, что

N-1

W'-UhtW Г;Д=(Й» = 4 £ Ы*-^^ m=0 N-1 , qx

£ ^иг^-иг^т m= 0 '/— 1/

/V-l q m = 0 C= 1

Сходимость описанной схемы. Мы хотим доказать сходимость описанной выше схемы (7.78) —(7.79). Сначала нам придется установить некоторые дополнительные априорные оценки. .

Вспомогательные результаты. Обозначим через Л ih (1 ^ i s^n) линейный оператор из Wh в 1^д, определяемый равенством

(7.99)(7.99)(.Aihtth, -D^ = ^Uh, Dh^ih^Uh, Dh£Wh.

(7.99)

(7.99)

Далее, обозначим через Bih непрерывный билинейный оператор из FAxl^ft в Wh, определяемый равенством

(7.100)(7.100)<.BihUth- ThV ^h)

(7.100)

(7.100)

= bih<uhl Dh, Wh)>fUh, Тй, WhQW^.

(7.105)(7.106)(7.107)(7.105)(7.106)(7.107)J l6iftVzl2dxR2J l6iftVzl2dxR2

(7.105)

(7.106)

(7.107)

(7.105)

(7.106)

(7.107)

J l6iftVzl2dx

R2

J l6iftVzl2dx

R2

В терминах этих операторов соотношение (7.78) может быть записано в виде

А-1 (цт + lU-ym^-M^ J^AlhUrUq

А-ВцДиГ^4, ur^Wr1'4.(7.101)

Лемма 7.7. Ш ih <StW\uh\N tth^W н,(7.102)

где

' S,(A) = 2/A,(1 ^t^n).(7.103)

Доказательство. Это по существу доказано в предложении 6.1 '. □ Лемма 7.8. | Aihuh | <5, (h) fl uh fl lh Vtth £W h.(7.104)

Доказательство. Вследствие (7.99) и (7.102), | (Л^Яд.фд) |

= I ^ьЛ^УНь I <fl Uh II ih II -Он II,^ Sf (/i) II uh II lh I vh I Ntth, vh£Wh.U 7.3.2. Оценки для формы bih.

Лемма 7.9. В случае п = 2

\b'ui(tt_h, Dh, «UI

/з I ah I * / fl ah IIX21| Dh II ih | WA |1/21| W„ II U\

\b"lh(Uy Vh, «UI

<Уз\и,гПиДХЛ^\мП^№

^Да*, tUI

2 /3 S( (A) | uh \Пик || X21 Dh Щ «А Г,

где (i, j)— произвольная перестановка множества {1, 2). Доказательство. Мы докажем (7.105) для i = 1, / = 2. Чтобы упростить запись, опустим индексы h и положим и = (я,, я2}, у = {®i, ф2), to = {wn w2). По определению формы bih,

2 е blh<tt, V. w) =y£jU1(6lftuz)®zdx.

/=1 Q

В силу неравенства Шварца,

5 I uxWt I2 dx < U sup I ux (Xi, 62) p W sup I wt (^i, x2) I2 Idx.

R2Ra ( £2J ( $2J

В последнем интеграле переменные интегрирования разделены, поэтому

5 | и^ |2 dx ^ 1 J sup ut (хь £2) |2 dXj ■

R»( -~ 6i,

X I 5 s“p I ^Z (£1» x») I2 dx2 j *

Согласно (11.2.15), sup| ut (xn £2)|2 не превосходит

IS^^.^l/ £ l«1(x1,g2+^-)|)d§„

-«.\a=-l/

так что

$ (sup|u1(x1, UI2)dx1^2.31/i|62Au1||ui|.

— oo ^2

По тем же причинам

4-оо

$ suplm^, ^2) I2 dx2 ^ 2-31/2161Aiyz | |су,|,

и мы можем записать

J | ыг0Уг |2 dx ^ 121 Ui I [S^uJ |mz| 161Amz |,

R2

2

| Ьш {и, У, w) I < У'з Sj «1Г/2 !82й«1Г/2 IWi 11 ™i Г/2181Л ®111/2-

Наконец, снова используя неравенство Шварца, мы оцениваем правую часть последнего соотношения величиной

3 | и. I1'2162ftu, j1/2 | ^ 161Лиг |2 j ^2 | Юг | 161Лшг | j

^/з^и^н^н^

откуда следует (7.105). Для того чтобы установить неравенство (7.106), мы просто заметим, что Ь')к(ай, *oh, wh) = b'lh{uh, Dh,1u)h\ и применим (7.105). Что касается (7.107), то здесь мы замечаем, что

_\bihktth, Dh, wft|

- <2y.3S/(/I)|«ftr2i'aA^.^Af/2^A|^^A^ У^.^.^е^.П

Лемма 7.10. В случае п = 3

lb'ih(aftl oh, wh)\<&H\ttht'*M^<IA^

1 Ь^ (aA, i)h, -^ | C 38'2 | uh I1'41| uh ^ | <oh |1/41| -oh Г fl «шн к, (7.109)

I Blh {uh, vh) | < ^ | uh I1'41| tth Г {S"/4 (/i) fl«oh к + 5^)|®ДПЫЛ.(7.П0)

Доказательство. Доказательство неравенств (7.108) и (7.109) то же самое, что и для леммы 6.1; (7.110) является простым следствием (7.108) и (7.109). □

Условные априорные оценки.

Лемма 7.11. Пусть п = 2. Предположим, что huh удовлетворяют условию

hS^hy^M,(7.111)

где М сколь угодно велико, но фиксировано. Тогда

N-1

k S llu^^U/K const, z = 1, 2, 3,(7.112)

где константа зависит от М и от данных.

Доказательство. Будем работать со схемой в форме (7.101). В нашем случае 7 = 3, и при 1 = 2 уравнение (7.101) принимает вид ^Л/з. и?+2/з + ЬА^иГ’'1 + hB,H №и\ <+2/3) - kf^'\

.Беря от обеих частей норму Ц-k, получаем

ИГ1'3 L < II иТ2'1 к + fev II А,н иг2'3 к + fellВ^ «Г2/3)k + h №raf9U

В силу (7.102), (7.104) и (7.107), правая часть этого неравенства не превосходит

II НГ1/3 к + bS4 (hy [| uV^ ||2ft + 2h Vis, (hy I ar11" |1/8 К+1/3И! \tt гмз |1/2 II «h+2/W + feS8 (fe) |fm+2/31.

Согласно неравенству Шварца,

||^+,/3 ^<-.ЦиГ3131ь + ^^(Ну\\иГг/3 ^

. Wh^hy^rnUr1^^

A-^S^t.hy^'"*1/^1.

Вследствие оценок из леммы 7.6 и условия (7.111), результат -суммирования правой части последнего неравенства по m от 0 до ^ — 1 ограничен некоторой константой, умноженной на fe-1; тем •самым оценка (7.112) доказана для i=l. Чтобы доказать ее для 41 — 2, записываем (7.101) при 1 = 2 (7 = 3) в виде иь*г!з = -иГ118-ЬА4ниГ11а-кВ^киГ1!\ ur^l-kfb^8. а за-

тем поступаем, как выше, только берем от обеих частей норму ||-||1Л. Чтобы доказать (7.112) для / = 3, записываем (7.101) для i= 1(9 = 3) в виден? = и**1,4 — kvAihUp+lli — kBlh(u%, Uh + 1/3) —hfh*lis, а затем берем от обеих частей последовательно нормы Ц-Ь и Нел и далее рассуждаем по существу также, как и выше. □ Лемма 7.12. Пусть п=3. П редположим, что k и h удовлетворяют условию

hS(hy4^M,(7.113)

где М сколь угодно велико, но фиксировано. Тогда

N— 1

k 2 К+1/8|'л ^const, ^= 1, 2, 3, 4,(7.114)

т = о

где константа зависит только от М и от данных.

Доказательство то же самое, что и для леммы 7.11. Оценки (7.107) для B[h заменяются более грубыми оценками (7.110) и по этой причине (7.111) заменяется более сильным условием (7.113). □

Из приведенных выше лемм вытекает следующая теорема об условной устойчивости:

Теорема 7.4. В предположении, что k и h удовлетворяют условию устойчивости (7.111) (в случае п = 2) или (7.113) (в случае п = 3), все функции ^Jhu^\ bjhuh, /=1«+1,/=1, •... п, являются

Ьг10, Т; L ^.у-устойчивыми.

Теоремы о сходимости.

Теорема 7.5. Пусть размерность п = 2. Если к uh удовлетворяют условию (7.111), то при k, h—*0

Uh\ uh сходятся к и сильно в ьг№

и‘-слабо в L” (0, Т, ЕЦйу, i=l, 2, 3;(7.115)

^jHtth\ ^jhUh слабо сходятся к DjU в I? (Q),

1=1, 2, 3, /=1, 2;(7.116)

^thU^ сильно сходится к Dtu в L2 (Q), i = 1, 2,(7.117)

где и — единственное решение задачи 3.1, отвечающее данным f, и0 (удовлетворяющим условиям (7.10), (7.11)).

Теорема 7.6. В случае когда размерность п = 3, существует такая сходящаяся к 0 последовательность h', k' 1, что

tt^\ Uh- сходятся к и сильно в I? (Q) и ‘-слабо в

L”(0, Т; ЬЦ^У,(7.118)

6т-и$, ^jh-, Un- слабо сходятся к D#u в I? (Q\

t=l, ..., 4, / = 1, 2, 3,(7.119)

где и—некоторое решение задачи 3.1

Принцип доказательства этих теорем аналогичен принципу доказательства теорем 7.1, 7.2, 5.4 и 5.5, и мы наметим лишь главную линию рассуждений.

Доказательство сходимости.

Лемма 7,13. При условии (7.111) (в случае п—2) или (7.113) (в случае п = ^

+ »

$ Iт 12 v I #A (т) Р dr ^ const для некоторого у, 0 < у < 1/4, где uh—преобразование Фурье по / от функции uh, продолженной нулем вне интервала [О, Т]. Константа зависит, от у, М и от данных.

Доказательство. Просуммируем (7.79) и (7.78) для — 1, ..., п; получим уравнение

А-Ч<+1-<, У»)+ 2 ((аГ£,% ®^т'

1=1

+ 2 ^«+^1/% uTx,r\ D^ = ^(f^, D^ VvheVh, <=1

эквивалентное (см. (7.95)— (7.96)) уравнению

^п w -oh> + S w w v^+ i=l n

^b^^"^ (t),U^ (t), D^

-1 =tf^MWkW^Vy <IA2^

Затем, используя предыдущие априорные оценки, мы повторяем доказательство леммы 5.6. □

Доказательство теорем 7.5 и 7.6. По теореме 7.3 существует последовательность h', к' —*0, такая что

u№-+uU} «-слабо в L~(0, T;La^,i=\, ...,q, (7.121)

uit^u« «-слабо в L”^, Т; L1^.(7.122)

В силу замечания 7.6, и^ — и^г1' сильно сходится к 0 в L2(Q), 1 = 2, ..., q, и Uh- — »$ также сходится к нулю; поэтому все пределы совпадают между собой:

ит = ... = и^ = и..(7.123)

Наша цель теперь —показать, что и» является решением задачи 3.1. Согласно теореме 7.4, последовательность И', к'—*0 можно выбрать так, чтобы

Sjh-Uh?, djh'Uh'—*DjU» слабо в L?VQY(7.124)

Ввиду леммы 7.13 и условия (5.92), которое было доказано в п. 6.1.3 для конечных разностей,

ап-—*п, сильно в L2(Q).' (7.125).

Снова используя замечание 7.6, мы заключаем, что

U^ —-и, сильно в L2(Q), i=l, . q.(7.126)

Утверждения о сходимости (7.121), (7.122) и (7.124) —(7.126) позволяют нам перейти к пределу в (7.120), как мы это делали в доказательствах теорем 5.4, 5.5, 7.1 и 7.2. В результате получаем, что и» является решением задачи 3.1. Если п = 2, то решение задачи 3.1 единственно; поэтому »» = й и указанная выше- сходимость имеет место и для всей последовательности k, к—«-О. Утверждение о сильной сходимости (7.117) (и = 2) следует из лемм. 5.11 и 7.5, показывающих, что выражение

Xh = | и^ - и (Т) р + 2v 2 $ I Dza (0 - 6ih и\? (0 p dti=l о

сходится к нулю при h, к —* 0. □

Замечание 7.7. Схема (7.78) — (7.79) является дискретизованным по [пространственным переменным аналогом следующей схемы:

Д-1 ^„m+l/a-^ + i-l/q^^^m+i/q^ ^ „m + i-1/Ч (D^ + i/?) /=1 '

+ 2-!(div Ит + г-1/<7) ит*Щ =fm + Hq^ ,-^ ]п,(7.127)

ит + л^Н И кит*\ v} = (um^nl<’, е) ми^н.

Для уравнений (7.127) ставятся подходящие краевые условия: ит*Ч<1 обращается в нуль на некоторой части Г, которая зависит от I; более точно (см. Темам [I]), um*^qcos (v, Л,-)=0 на Г. Элементы um + l!q удовлетворяют априорным оценкам, аналогичным тем, которые были получены в лемме 7.6- для u™ + i*q; однако из-за отсутствия априорных оценок, аналогичных установленным в леммах 7.11 и 7.12, мы не можем доказать сходимость этой полудиск- ретизованной схемы. В ситуации с полной дискретизацией как по временной,, так и по пространственным переменным эта трудность снимается требованием, чтобы к и h удовлетворяли некоторым условиям устойчивости ((7.111), (7.113)). Эти условия устойчивости позволяют получить дополнительные априорные оценки, достаточные для осуществления предельного перехода.

§ 8. Аппроксимация уравнений Навье—Стокса

при помощи метода искусственной сжимаемости

В этом параграфе мы изучим численную аппроксимацию уравнений Навье —Стокса при помощи метода искусственной сжимаемости. Это еще один метод преодоления вычислительных труд-

ностей, связанных с условием „div# = 0“. Мы введем семейство возмущенных систем (зависящих от положительного параметра е), которые аппроксимируют уравнения Навье—Стокса и свободны от этого условия. Одна из наиболее распространенных возмущенных систем —это по сути дела система уравнений слабо сжимаемой среды с искусственным уравнением состояния

(8J)(8J)р = Ро + ер, где е > 0 „мало";

(8J)

(8J)

здесь р —плотность, р —давление, а р0 —некоторая постоянная, представляющая собой первое приближение для плотности С Линеаризируя по е уравнения движения, мы получаем в качестве первого приближения уравнения:

(8.2)(8.3)(8.2)(8.3)^- — vAa + ^и^а + grad р =/, 1 = 1

(8.2)

(8.3)

(8.2)

(8.3)

е ^- + div а= 0..

Эти уравнения и есть те возмущенные уравнения, которые мы будем изучать. Их легче аппроксимировать, чем подлинные уравнения Навье —Стокса, так как условие „div и = 0“ заменено эволюционным уравнением (8.3). Вопросы, подлежащие изучению, таковы:

— существование и единственность решений возмущенных уравнений (8.2) — (8.3) (с подходящими начальными и граничными условиями);

— аппроксимирует ли решение ие , ре уравнений (8.2) —(8.3) решение й, р уравнений Навье — Стокса?

— дискретизация возмущенной задачи; сходимость дискретных аппроксимаций к решению уравнений Навье —Стокса.

В п. 8.1 мы точно поставим краевую задачу для уравнений (8.2) —(8.3) и дадим соответствующие теоремы существования и единственности (для фиксированного е > 0). Ситуация здесь по существу такая же, как и для уравнений Навье — Стокса: существование и единственность слабых решений в двумерном случае и существование слабых решений в трехмерном случае . В п. 8.2 мы показываем, как решения возмущенных задач сходятся к решениям уравнений Навье —Стокса при е—>0. Пункт 8.3 посвящен численной аппроксимации возмущенных уравнений. Существует целое множество численных методов, пригодных для их аппроксимации, и мы не собираемся давать здесь систематический

/ Во всех предыдущих параграфах мы всегда выбирали ради простоты Ро=1. Если ро ф I, то мы приходим к тем же результатам, разделив уравнения движения па р0.

обзор различных методов; вместо этого мы предпочли подробно обсудить аппроксимацию возмущенных уравнений одним методом — методом дробных шагов. Мы построим неявную схему, безусловно устойчивую в некоторых пространствах. Наконец, мы изучим сходимость дискретной аппроксимации к решению уравнений Навье —Стокса при е, h и к, стремящихся к нулю.

Исследование возмущенных задач.

Постановка задачи. Пусть размерность пространства п = 2 или 3 и область й ограничена. Мы предполагаем, что иЙ задано, как в задаче 3.1:

и» € Н,(8.4)

и для простоты предположим, что / лежит в L2(0, Т; Н\ f£L40, Т; Ну(8.5)

Для произвольного заданного е>0 рассмотрим следующую начально-краевую задачу: найти такую вектор-функцию и8 = = {«,£, ..., ип8\ из Q = Qx(0, Т) в R" и такую скалярную функцию ре из Q в R, что

-^.—vA«„+ "^UteD tUe-V y(div Ue^tte

+ gradp8=/ в Q, (8.6>

e-^- г div Ue = 0в Q,(8.7)

Ue = о, x £ dQ, t €(0, ту(8.8)

Ue = «о ври t = 0,(8.9)

Pe = pj При / = 0.(8.10)

Функция рЙ, которая в задаче 3.1 не задана, выбирается произвольно (но независимо от е):

(8.Н)(8.Н)Р^ЬЧ^-У

(8.Н)

(8.Н)

Уравнение (8.6) содержит член (1/2) (div и8) и8, которого нет ни в (8.2), ни в точной задаче (см. (3.5)). Эго стабилизирующий член, уже использовавшийся несколько раз в предыдущих параграфах, который соответствует замене формы b на форму о1.

Предположим, что и8 и р8—классические решения задачи (8.6) —(8.10), скажем и8 (^ЧОУ ре ^^(Q). Тогда еслиУ€,0(й) и д£ЗЦ0.у то, умножая (8.6) на у, (8.7) на q и интегрируя по

/Напомним, что 6(«, и, и) ^ 0, если divujAO. По этой причине мы ввели форму b; biu, v, tu^b (и, т, w), если div и =0, и b (и, у, у) =0 vo, у. Это позволяет нам получить возмущенную задачу, разрешимую на всей временной осн.

й, мы легко получаем уравнения

4-(ие, О) + V ((ае, у)) + Ь(ае, йе, у) + (grad рЕ, у) = (/, у),

&~^~(Рг> ?) + (divae, q) = 0.

Эти уравнения будут также выполняться по непрерывности для любого у из Яд(й) и любого q из Р(й). Это наблюдение приводит к такой первой формулировке задачи:

Задача 8.1. Для фиксированного е>0 и заданных f, й0, рй, удовлетворяющих (8.4), (8.5) и (8.11), найти ие, р8, такие что

Ш’Ф. Т; Я^й)), pe^LHO, Т\ £а(й)),(8.12)

^(«е, y) + v((«e, У)) + &(йе, ЙЕ, У) + (grad р8, У)

= (/, у) Уу6Я*(Й), (8-13) в 4^=’ 9) + (div«e, 9) = 0 У7€^(Й),(8.14)

йе(О) = Йо, рД^ = Р».(8.15)

Замечание 8.1. Если ие и ре удовлетворяют лишь (8.12), то условия (8.15), вообще говоря, не имеют смысла. Ниже мы покажем, что, как и для точных уравнений Навье—Стокса, если и8, р8 удовлетворяют (8.12) — (8.14), то и8 и р$ непрерывны (в достаточно широких пространствах), так что условиям (8.15) можно придать смысл.

Для й, у, € Яо1 (й) определим В (й, у) € Я-1 (й) и В (и) € Я-1 (й), положив

<В(й, у), ти> = Ь(й, у, w), Уй, у, ти^Я^Й), (8.16)

В(й)=В(й, й).(8.17)

Лемма 8.1. Если и принадлежит L2(0, Т; Я£(й)), то функция t *—> В (й (/)) принадлежит L1 (О, Т; Я-1 (й)).

Доказательство. Как мы уже отмечали, форма Ь, задаваемая равенством

Ь(и, у, ^) = 4 {Ь(й, у, ги) —Ь(й, w, »)},(8.18)

является, как и Ь, непрерывной трилинейной формой на Яд(й); поэтому

|Ь(й, у, w)|<d1|lfl|| ||у|| ||w|| Уй, у, ги€Яо(й),

||В(Й, У) II Я-(О) < dll! яIIIIУ I!, !lfi(w)k-4Q)<di||a||2, (8.19)

откуда и следует утверждение леммы. □

Теперь, если й8 удовлетворяет (8.12) и (8.13), то, согласно (1.6) и (1.8), уравнение (8.13) можно записать в виде

4"<й-- ®>= </+vAu8 —В(и8), ®> Vy^V.

Ясно, что \авЕЬЦ0, Т; Я-1(й)), В(й8)е^(0, Г, Я-ЦЙ)), так 4To/4-vAtte —В (й8) принадлежит 2? (О, Т; Я-1(й)), а значит, по лемме 1.1,

и^ТЧО, Т; Я"1^)), ^=/ + vAMe-B(fl8). (8.20)

Аналогично из (8.12), (8.14) и леммы 1.1 вытекает, что

р;€Р(0, Т; Н'Ч^, 8^ +divtie = o.(8.21)

Другая формулировка задачи 8.1 выглядит поэтому следующим образом:

Задача 8.2. Для фиксированного е > 0 и заданных /, й0, р0, удовлетворяющих (8.4), (8.5), (8.11), найти иЕ, ре, такие что

Ue£L40, Т; ЯДЙ)), й^ТДО, Т; Н"Ч^, (8.22) Pe^L40, Т; L4^, P'^L^Q, Т- Н-Ч^, (8.23) й8 —vAtt8 + B(tt8) + gradp8=/, (8.24) £p8 + div й8 = 0, (8.25) й8(0) —й0, ре<0) = ро. (8.26)

Мы уже показали, что любое решение задачи 8.1 авляется решением задачи 8.2; обратное проверяется очень легко (с использованием леммы 1.1), и, таким образом, эти задачи эквивалентны.

Наша цель теперь — изучить вопрос о существовании и единственности решения этих задач для фиксированного е > 0; затем мы посмотрим, как решения этих задач аппроксимируют решения задач 3.1 и 3.2.

Существование решений возмущенных задач.

Теорема 8.1. Для всякого фиксированного е > 0 и для любых f, а^, р0, удовлетворяющих (8.4), (8.5), (8.11), существует по крайней мере одно решение \иЕ, рг\ задач 8.1 и 8.2. При этом

U € L” (0, Т-, I? т, ре € L” (0, Т; L2 (Й)) (8.27)

и и8 (соотв. ре) слабо непрерывна как функция из [0, Т] в £2(й) (соотв. L2 (й)).

Существование устанавливается в следующем подпункте; слабая непрерывность следует из леммы 8.1 и уже доказанной слабой непрерывности и8 и рк как функций со значениями в Я-1(Й) и Н"ЧЙ).

.81.3. Доказательство теоремы 8.1. (i) Имея в виду применить метод Галёркина, рассмотрим базис в Щ^Ь состоящий из эле-

ментов wz€S>(Q), и базис в L1^), состоящий из элементов г;£<Э(й). Для каждого т определим приближенное решение Игт, рет задачи 8.1 соотношениями

Нет (О = 2 glm (О ^Ь Рет (О = X Ът «) Г/,(8.28)

1 = 1/ = 1

(«^(0, Wft) + v((«em(/), 4IDb)HbUlEmU'b U^kty w^ + (gradp8m(0, «w^ =iJW, UDkYk=\(8.29)

e(p;m(O, rz) + (div usm(t), rz) = 0, / = 1, ..., m. (8.30)

Кроме того, для этой системы дифференциальных уравнений ставятся начальные условия

Пгт (б) = Uttm, ptm (0) = Рпт,(8.31)

где ttttm (соотв. рйт) — ортогональная проекция элемента й0 (соотв. р0) в L2(Q) (соотв. L2(Q)) на подпространство, натянутое на Wj, . -., w„ (соотв. г,, ..., гт\

Уравнения (8.29) и (8.30) образуют систему нелинейных дифференциальных уравнений относительно функций glm, . .., gmm, Е1И, • ■•Лтт- Как и в теореме 3.1, существует решение, определенное по крайней мере па некотором интервале[0, /т), 0 < tm ^ Т, а приводимые ниже априорные оценки показывают, что фактически tm = T.

Умножим (8.29) на gftm(/), а (8.30) наё/й(/) и затем просуммируем все эти уравнения по £= 1, ..., т, 1= 1т; в результате получим

(й-щ, й8т) 4“ V il tlem |j2 +&(Мель Wfmi ^гт)+

(grad Рет< Нет ) + е (рутл рут) + (div И8т, pern) — U* Ue^.

В силу (8.18), b(uem, tie™, Uem) = 0, и так как иет обращается в нуль на дЙ, то (grad рЕт, и£т) + (Рет, div иет) = 0. Поэтому остается такое уравнение:

^ {I иЕт I2 + 8 I ркт I2} + 2v II йЕт II2 = 2 (/, иет). (8.32)

Его правая часть не превосходит 2|/||й8m|<2d0|/|heJ^ v|«em||2 + (do7v)|/|2, так ЧТО

(8.33)(8.33)^ { | и8т I2 + 8 | Рот I2} + V || Uem II2 < $ |/12.

(8.33)

(8.33)

Интегрируя (8.33) от 0 до s, получаем

S

I игт (s) р + 8 [ рет (s) р < I и.Хт Р + 81 рот Р + 4 J VW Р d/ о

Т

<l«oP+8|p,p+4jl/WdO о<5</„.

Отсюда tm = T и

sup {| агт (s) р + е | рет (s) |2} < d8,(8.34)

se[0. П

Г

d3 = | «J2 +1Л I2 +4JI/ P d/ '•(8-35)

Теперь проинтегрируем (8.33) от 0 до Т:

I «w (7) Р + 81 Рет (?) Р + V JII иет (О II2 d^< I «ои ро

т

+B|po„p+4yi/(opd^i«op+s|pop

о

Т

+4yi/^iad^^

о

Таким образом,

т

$||Ke,!(/)|i'2d/<d3/v.(8.36)

о

Для того чтобы перейти к пределу в нелинейном члене, нам путно оценить дробную производную по времени от и8т. Полагая ф„W^fWA-v^uьm — B(a8m), получаем из(8.36) и(8.19), что

фт (/) к-.(В) < 1/(01 + VII и6т (/) II + di || ttem (о I?.(8.37)

Следовательно,

последовательность ф„ ограничена в L1 (О, Т\И~1 VQ)). (8.38)

/ Нас интересуют малые значения е; поэтому мы можем, не уменьшая общности, считать, что е<1.

Соотношения (8.29) и (8.30) можно записать в виде «(t), tUA) + (gradpem(O, «^(Sm^- ^kV 6=1т» 8(Pem(0> rz) + (div»8m(/), rz)=0, Z = 1, ...,т.

Как уже неоднократно делалось выше, мы продолжим все функции нулем вне интервала [0, Т] и рассмотрим преобразование Фурье соответствующих дифференциальных уравнений. На всей прямой R справедливы следующие уравнения:

-^ (ч8т, wft) + (grad р8т, wk) = <ф„, Wft> + («о», 1»к> 6 (0)

-(48m(TV wk№

8 4" (Рет, Г^ + (div «8т, г^ = 8 (р0„, rz) 6 (0)

— ЦретСП, Г^ЦТ).

После применения преобразования Фурье приходим к равенствам 21'лт (и8т (т), гу„) + (grad рет (т), wft) = <ф„ (т), чюь> + (чОт, ^к) — (Нет (TV чю^ exp (— 2лkTV 2(ЛТ8 (р8т (т), r^ + (div иет (т), rz) = 8 (pOz„, rz) — 8 (Рет (TV ri) exp (— 2штТ). •

Умножим первое из них на gkm (т) (gkm — преобразование Фурье от ёкт\ а второе —на ^„(т)^» —преобразование Фурье от |/и) и затем просуммируем эти равенства по к = 1, ..., т, I = 1, ..., т. Получим

21лт (| и8т (т) |2 -|- 81 р8т СО |2} ~Ь (grad р8т (г), и8т (т))

+ (div и8т(т), рет(О) =<Фт(О, а8„г(0>

+ (^0/Л» Uem (О) + 8 (pOm, р8т (т))

— ((«ет (TV Чет (О) + 8 (Р8т (TV Рет (О)} ехр (— 21лТт).

(8.39)

Член (grad ргт, «em) + (div и&т, р8т) равен нулю. Учитывая это, выводим из (8.39), что 2л | т | {| ивт (т) |2 + е | рвт (т) |2} <| <ф„ (т), ает(т)>| + |Чот 11 Чгт (Г) I + 8 I Pom I I Рет (т) | + | Чет (Т) | | UBm (т)| + ej pKm (Т) 11 р^т. (т) |. Ввиду оценок (8.34) и (8.36), 2л | т [ а8т (т) |2 < < II Фт (Т) к-1 в II Чет (т) || + 2 Vd3 I ит (т) | + 2 /Зк | Рет (т) |. Но

ЙтМк-чщ^ $ ll$m(0k-4Q)d^<(B силу (8.37))

< $ { 1/(0 I + v II Чет (0 ll + do II Чет (t^ ||2} d( < const о

(в силу (8.38)),

4-хТ

® I Рет (^) | ^ ® ^ | Рет (0.1 d/ = 8 ^ | Р^т (0 | d/ — ее0

^(в силу (8.34)) V е Р^Т ^ const.

Окончательно получаем

2л I т ]] и8т (т) |2 < Ct I! «8т (т) II + с^.(8.40)

Как и в доказательстве теоремы 2.2, из этого неравенства вытекает, что

+ ОО

$ | т |2т | й8т (т) |2 dr ^ const для некоторого у, 0<у<

<1/4.(8.41)

(iv) Мы хотим теперь перейти к пределу в (8.29) —(8.31) при т—* оо, используя оценки (8.34), (8.36) и (8.41). (Напомним, что в настоящий момент е > 0 у нас фиксировано и мы имеем дело только с предельным переходом при т—* оо.) Существует последовательность т' —* ос, такая что

ибт. Ие слабо в L2(0, Т\ fli(Q)), *-слабо (8.42) в I” (0, Т\ L2(Q)) и (в силу (8.41) и теоре

мы 2.1) сильно в L2(0, Т; L8^);

Рет- —•* Ре *-слабо в L” (0, Т; L2 (Q)).(8.43)

Пусть ф—произвольная непрерывно дифференцируемая скалярная функция на [0,7] с ф(7’) = 0. Умножим (8.29) (соотв. (8.30)) на ф(/) и проинтегрируем от 0 до Т. Интегрируя первый член по частям, получаем

тт

$ (и8т (0, ад' (0) dZ + $ v ((й8от (/), го6ф (/))) dZ .

. оо

т

$ {S(«Em(0. UemW, ^'Аф (/)) + (grad pem (Z), tu^(Z))} dZ о

т

= («ош, тй)ф(0)+ $ (/(/), W^(/))d/,(8.44)

о

тт

$ е (р8т (/), г^' (0) d/ + ^ (div й8т (/), r$ (t^ d/ оо

= 8(pOm, гг)ф(О), 1 ^^, Z^m. (8.45)

В равенствах (8.44) и (8.45) легко перейти к пределу по последовательности т'*.

тт

.— $ (Яе (О, «Wb' (0) а/ + V J ((йе (0, W^ (0)) d/

■оо

т

■ + $ {b (ие (0, «8 (0. ^ (0)) + (grad ре (t), гу^ф (0)} d/ О

-Ня0, то^гНОН $ (/(0, WfcW))dt, (8.46)

о

ТI

— е 5 (Ре U), г А' Ю) d/ + 5 (div и6 (Г), ггф (0) d/ оо

= е(р0, гг)Ф(О), 1^6, /^т. (8.47)

Из (8.46) и (8.47) следует, что (як, ре\ является решением задачи 8.1; доказательство такое же, как изложенное в п. 3.2 для случая уравнения (3.43). Таким образом, существование решения задач 8.1 и 8.2 доказано, чем доказательство теоремы 8.1 и завершено.

Замечание 8.2. Имея в виду предстоящий предельный переход при е—>0, полезно установить для и&, рЕ некоторые априорные оценки, независящие от е. В силу (8.34), (8.36), (8.42) и полунепрерывности спичу нормы в слабой топологии, имеем

| Де *£» (о, 7. £2 (Q)) < Um | uEm. l^oo (Q, 7; £2 (Q)( ^ Vd^,(8.48)

II «е К» (О, Т; Zfi <Q))< Um || Uem, ||£« (О, Г; tf£ (Q)) < V da/v.(8.49)

Вследствие (8.34) и (8.43),

1^ 8 I Ре 1доо (0) 7; £2 (Q)) < Um |А е I Дега'l^oo (0, 7; £2 (Ы)(< yTig.

(8.50) Аналогично, анализируя доказательство оценок (8.40) и (8.41), мы замечаем, что фигурирующие в них константы не зависят от е (и, конечно, от т). Поэтому, ввиду (8.42), мы получаем для 0 < у < 1/4 оценку

^ |трт | ие (т) |2d(< lim ^ | т |27 |вкт'(т) |2 ch < const (8.51)

с константой, не зависящей от е.

8.1.4. Единственность решений возмущенных задач.

Теорема 8.2. Пусть n^S, а все остальные предположения те же, что и в теореме 8.1. Тогда существует единственное решение \ик, ра\ задач 8.1 и 8.2, принадлежащее L°°(0, Т; L^ti^x

xL”(O, Т;Р(Й)), причем ие является непрерывной функцией из [О, Г] в L1^.

Теорема следует из ряда лемм; некоторые из них дают дополнительную информацию о свойствах регулярности яЕ.

Лемма 8.2. Пусть п=2. Если u^L2 (О, Т\ Ни (й)) f] L" (О, Т\ L1 (й)), то

tt^L4 (О, Т; L4 (й)),(8.52)

Ви^ЧО, T-,L*f»(Sl)).(8.53)

Доказательство. Свойство (8.52) вытекает из леммы 3.3, дающей оценку

11М011л\(о,^|я(0|211я(0||2 ДЛЯ п-в- t. (8.54)

Что касается (8.53), то заметим прежде всего, что

2

Ци, v, w)= 52 j u^DtV^Wj dx

t, i= i *>

+ 4 52 J (d>v й) dx.(8.55)

/=1й

Это равенство очевидно для О, ®, W£S)№; по непрерывности оно справедливо также для я,Ф, гу € Н'а (й). В силу неравенства Гёльдера,

2

lb (и, v, ТУ) К 52 1|п/1к«(й)1о/У/|ьчц)|т/|ь«(й)

+ у 521 div tt к2 № I yj к4 №> I wi k4 №(8-56)

/=1

и поэтому

|Ь(я, я, гу)Кс||д||1Мй)||я||-||ш||ь<(й) <(в силу (8.54)) < с I я I1/2 II я IP РII w к* (е) Уд с Щ (Й) Угу с L4 (Й).

Так как пространство L4P (й) сопряжено к L4 (й), отсюда следует, что.

||Вя|^/.(й)<с|я|1/2||я||3/2 УяеЯоЧЙ);(8.57)

(8.53) легко выводится из этой оценки. □

Лемма 8.3. Пусть п = 2. Если ие —решение задачи 8.1, принадлежащее L" (О, Т\ Ьг (й)), то

и^ЕЧ'д'Т^НХ^Ч^^^Л-'Ь4^,'(8.58)

я;СА2(0, Т\ //-1(Й)) + 2.4/3(0, Т; £4/3(Й)).(8.59)

Доказательство. Это сразу следует из леммы 8.2; (8.58) эквивалентно (8.52), а для (8.59) мы используем (8.24): я'=/+vA яе — — grad ре — Ви6. Первые три члена в правой части принадлежат L2 (О, Т\ Н"1 (Q)), а последний L4/3 (О, Т; L4/3 (П)) (в силу (8.53)). □ Лемма 8.4. Для любой функции и£, удовлетворяющей (8.58) — (8.59),

2<ЯИ0. «е(0>=^-|«е(0|2(8.60)

в смысле распределений на (0, Т). Кроме того, такая функция ив почти всюду равна некоторой непрерывной функции из [0, в L2 (Q).

Доказательство проводится совершенно аналогично доказательству леммы 1.2, если заметить, что пространства, фигурирующие в (8.58) и (8.59), находятся в двойственности. □

Доказательство теоремы 8.2. Нам осталось доказать единственность. Пусть {«iPi}, {я2, р2}~Два решения задачи 8.1 (для простоты записи мы опускаем индекс е). Положим и = 1Ц — и2, р = = Pi —р2. Вычитая одно из другого соотношения (8.24) (соотв. (8.25)), записанные для и^ и я2 (соотв. для р^ и р2), получаем

tt' — v Дя + grad р = Яя2 — Bait ер'div я = 0.

Умножая скалярно (8.60) на я(/), а (8.61) — на р(/) и складывая получающиеся соотношения, находим

<я' ДУ и^А-еДр* ДУ Р(0) + Ч|я(0112

= -Ь(иДУ «ДО, иДУ;(8.62)

член

(grad р, и) + (Р> div я)

исчез как равный нулю, и мы еще использовали то свойство формы 6, что Ь(Ф, w, гу) = 0 V®, гу. На основании леммы 8.4 мы можем записать (8.62) в виде

А И « «) Р+е | р (0 |2)+2v|]я (0 ||2 2Ь (а Д), я2(/), Я (0).

Неравенства, установленные при доказательстве леммы 8.2, позволяют нам оценить правую часть этого уравнения величиной

с3|я(01||а(01111«а(011+с4^(ПI1/’II«2(ЛЦ

< vIIЯ (О II2+с6 II я2 (0II21 я (012 + V || я (0II2

+ с6|я2(012||«2(01Н«(012.

Таким образом,

4II “ w Г + е IР Ю I2} ^ о (/) I я (/) Р,(8.63)

где о —некоторая скалярная функция из Ll(0, Ту, более точно, о U) = (ск + се | и2 (i) |2) |j и2 (01|2- В силу леммы Гронуолла и того факта, что я(0) = 0, р(0) = 0, из (8.63) следует, что |a(i)|2+‘ + е | р (1) |2 = 0, 0^(^Т, чем единственность и доказана.

Сходимость возмущенных задач к задаче Навье — Стокса.

Теорема 8.3. Если п = 2, то при е —♦ 0 решения |иР, ре) задачи 8.1 сходятся к решению и задачи 3.1 и соответствующему 1 давлению р в следующем смысле:

ие —► и сильно в L1 (0, Т; Н1 й))

*-слабо в L" (0, Т; L (Й)),(8.64)

grad ре — grad р в И'1 (Q).(8.65)

Теорема 8.4. Если п = 3, то существует последовательность ие,, р,., решений задачи 8.1, такая что

U —> U сильно в I? (0, Т; V (Й)),

слабо а ЕЦО, Т; Ни(^))

и *-слабо в L” (0, Т; I? (й)),(8.66)

grad р6, -+ grad р слабо в H~l(Q),(8.67)

где и — некоторое решение задачи 3.1, а р—соответствующее давление. Для любой другой последовательности ий., рй,, для которой имеет место (8.66) —(8.67), и должно быть некоторым решением задачи 3.1, а р — соответствующим давлением. Доказательство теорем 8.3 и 8.4. Как мы отметили в замечании 8.2, построенные в теореме 8.1 решения ие, ps удовлетворяют априорным оценкам, не зависящим от в. Ввиду этих оценок существует последовательность в'—► 0, такая что

Щ, -+ и» «-слабо в L" (0, Т; L2 (Й))

и слабо в L2 (0, Т\ Я?,(й)),(8.68)

^P,, — X ‘-слабо в L” (0, Т; L2 (й)).(8.69)

В силу (8.68), (8.51) и теоремы о компактности (теоремы 2.1), имеем также

U — и, сильно в L40, Т; £2(Й)).(8.70)

Мы можем перейти к пределу (8.14) по этой последовательности в'; поскольку Ke' (d/d/) (рк,, у) —► (d/d/) (х, q) в смысле теории распределений, то в' (d/d/)(pEz, q)—*0 в том же смысле, и (8.14)

' Термином „соответствующий" автор подчеркивает тот факт, что предел р последовательности ре определен однозначно, в то время как в задаче 3.1 давление определяется лишь с точностью до аддитивной постоянной.— Прим, перев.

дает в пределе уравнение (diva,, q^ = О Y^ £ D (Q), которое показывает, что diva, = 0 и, следовательно,

«ЛЬЦО, Т; ИпЛО, Г; Н).(8.71)

Для элементов ® из %^ уравнение (8.13) принимает вид

^-(а , v) + v((ae, ф)) + 6(аЕ, а , ») = (/, у),(8.72)

так как (grad де, ®) —(рЕ1 div ®) = 0. Пусть ф —произвольная непрерывно дифференцируемая скалярная функция на [0, 71] с ф(Т) = 0. Умножим (8.72) на ф(/) и проинтегрируем по t; интегрируя затем по частям, получим

тт

5 («е (0. У'Ф' (0) dz + V J ((ае (Z), Уф (Z))) dZ оо

т■

+ $6(ae(Z), a6(Z), ^(Z))dZ

О

т

= (а0, У)Ф(0)+$(/(Z), H(Z))dZ Уу^У. .(8.73)

о

Используя утверждения (8.68) о слабой и (8.69) о сильной сходимости, мы можем перейти к пределу в (8.73). Получим '

тт

5 (a,(Z),Уф' (Z))dZ 4-V 5 ((a(Z), Уф(Z)))dZ оо

т

b b<ukt\ tt^, г>тр (Z)) dZ о

т■

(a0, ®) Ф (0) + $ (/W, Уф(Z))dZ У^С^.(8.74)

о

Соотношение (8.74) совпадает с (3.43), и мы заключаем, как и для (3.43), что а, является решением задачи 3.1.

Если п = 2, то решение а задачи 3.1 единственно и сама полная последовательность ав сходится к а в смысле (8.68) —(8.69). Сильная сходимость в L2(6, Т\ H^Q)) устанавливается с помощью уже использовавшегося ранее приема, который мы сейчас совсем бегло напомним: сначала доказывается, что (ае(71) — а (7), у) -* О Vc£V, а используя этот результат в сочетании с уже полученными результатами о слабой сходимости, можно показать, что

выражение

т

Хв = | ив (Г) - й(Т) р + е | рв (Т) р + 2v $ || Й£ (0 - «(О II2 dt о

сходится к нулю при е —* 0.

Остается доказать (8.65) и (8.67). С этой целью запишем (8.24) в виде grad pB=f— и'в + vA и, — Вив. Результаты о сходимости для й$ показывают, что правая часть сходится к/—й' + vAh —Вй ф = Ви^ в H~xk.QY а согласно (3.129) это выражение в точности равно gradp. Следовательно, grad ре —► grad р в Z7-1(Q), причем в случае п = 2 сходимость является сильной и имеет место для всей последовательности е, а в случае м = 3 является слабой и имеет место лишь для некоторой подпоследовательности е'. □

Аппроксимация возмущенных задач. Наша цель теперь— аппроксимировать возмущенные задачи— задачи 8.1 и 8.2. Среди множества имеющихся здесь методов мы выбрали для изучения один — аппроксимацию методом дробных шагов с дискретизацией по пространственным переменным при помощи конечных разностей. Это изучение будет во многих отношениях аналогично изучению схемы дробных шагов в п. 7.2.

Описание схемы. В качестве дискретизации пространств Н'6^ и V выбирается дискретизация (АПР1), и все обозначения п. 7.2.1 сохраняются. Для аппроксимации давления нам понадобится некоторая аппроксимация пространства L2 (Q); в качестве таковой возьмем просто пространство ХА, которое уже неоднократно использовалось; Xh — это пространство ступенчатых функций вида

лй = 2 ^м^ьм*— лд (34)),(8.78)

Meaxh

где whM — характеристическая функция ячейки oh(M) с центром в точке М, ребра которой параллельны осям х, и имеют длины hb t = l, ..., п. Пространство Xh снабжено скалярным произведением, индуцированным из 1? (Q):

(лА, лд) = $ лй 00 л; (х) dx = (йй ...Л^ 2 лА (34) Лд (31). им е Q

(8.79)

Далее, данные р6, и0, f удовлетворяют 18.11), (8.4) и (8.5). Выберем некоторое разложение Л

п

2Л, Z-€La(0, Т; /7).(8.80)

1 = 1

Как и в случае (7.73), это разложение совершенно произвольно; простейший случай: Л=Л Л = 0> t = 2, ..., п. Интервал [0, Т

разбит на N интервалов длины k(T~kN), и мы полагаем

(т+ 1) к

(8.81)(8.81)Г*Чп = 2_ j fiV)dt, 1=1, .... п. тк

(8.81)

(8.81)

Схема дробных шагов, которую мы будем изучать, содержит п промежуточных шагов, где п —размерность пространства (п = 2 или 3). Мы определим семейство пар \tth*lln, лд+1/п} из WhxXh, где zn = 0, ..., N—1 и 1=1, ..., п. Эти элементы определяются последовательно в порядке возрастания значения дробного индекса т + i/n. .

Мы начинаем с

(8.82)(8.82)u6h = (ортогональная проекция н0 на Vh в L2 (Q)), л% — (ортогональная проекция р0 на Xh в L2 (Q)).

(8.82)

(8.82)

Эти определения имеют смысл (Vh с I? (Q), Xh с L2 (Q)), и стоит

отметить, что

|«й|^| «о|, 14КЫ уй.|«й|^| «о|, 14КЫ уй.(8.83)(8.83)

|«й|^| «о|, 14КЫ уй.

|«й|^| «о|, 14КЫ уй.

(8.83)

(8.83)

Если tth+t"lln, nn+i~l,n уже известны, то определяем tth*iln, пь+1,п (т = О, ..., N — 1, I = 1, ..., п) с помощью следующих условий:

иГМп^н, nTM,4Xh и

к-ЧиГМп-иГ1-х'\ -VhUAVur^, vh}\h

I hrn + i/n _ \ / m + i/n „ „ \

= (Jm*iini <0^ УфдС^й, (8.84)

гк-Ч^*ип-пГ1"11п, ^Н^^*1^, л£) = 0 Ул^Хд. (8.85) Здесь нет никаких условий на дискретную дивергенцию вычисляемых элементов tth*lln, так как они могут принадлежать Wh, а не только Vh. Уравнения (8.84) — (8.85) образуют линейное вариационное уравнение относительно пары \иь*11п, nh*t,n\ ^W hxXh\ КОЭрЦИТИВНОСТЬ биЛИНеЙНОЙ форМЫ \(tth, Лд), (Uh, Л^)} >-»у (Uft, ик) — v((«ft, a&))ZA + y(nft, лк) + Ьгй(аь+с-1,п, uh, ак)-(лк, Х^и'^ Х(Хти^я,^ обеспечивается равенством (7.72). Существование я»+1/л, я»+</п следует из проекционной теоремы.

Замечание 8.3. Как и в замечании 7.3, мы можем интерпретировать уравнения (8.84)—(8.85) следующим образом:'

А-1 (u^+i,n (М)—и^+‘~1/п (М^-^6^*Ип (М)

^-^и^1-1^ <M^ihu^ + tln (М) + 2-15,-й (и%+<-1/па^+</") (М)

+^ih^h*t,n (Al) =/«+г/« (Af) 4M^lh, (8.86) e.k-i^*l,n (,М)-^ + (-1/п (М))^^ц1и'^11п (М) = 0 xiM^h, (8.87) где

jm+iln (JW)= ’ С р+Чп^д, ^М^,(8.88)

ah (М)

Когда мы вычисляем и™+^п, к^+1*п, неизвестными являются п компонент вектора и^л"^п (М) и числа ^*1,п. Здесь снова (см. замечание 7.3) суть метода дробных шагов заключается в том, что приведенная выше система уравнений в действительности распадается на ряд значительно меньших подсистем, которые содержат каждая лишь неизвестные а^*1^ (Л4), л”+‘/"(Л4), соответствующие узлам, расположенным на одной прямой, параллельной направлениюх/. Это делает решение уравнений (8.86) и (8.87) очень легким.

Безусловные априорные оценки. Устойчивость описанной схемы будет установлена с помощью априорных оценок двух типов (как и в п. 7.2)—безусловных априорных оценок, приводящих к безусловным теоремам об устойчивости, и условных априорных оценок, приводящих к условным теоремам об устойчивости и используемых также в доказательстве сходимости. Настоящий подпункт посвящен выводу безусловных априорных оценок.

Лемма 8.5. Элементы Uh+lln остаются ограниченными в следующем смысле:

I Uh I ^«4» 6№ I Щ, т = и, ..., и — 1, (=1щ (8.89)

N-1

к 2 |«r,Vn|^d4/v, (=1, . ., п,(8.90)

m =0.

^\иГМп-иГ1-х1п\г<^ < = 1. •• . ".(8.91)

т = О

W-1

е 2 \nri/n-^+i-1,nV^dv i = l, .... п, (8.92) т = 0

2 Т

где d1 = \tt0V + \p0V-V^-'L^\/At)Vdl.

< = 1 о

Доказательство. Запишем (8.84) с Dh = tth4rMn\ вследствие (7.72) имеем

|uVMn|2 -1nV'"1/п|2 + |«Г'7л - иГ"x,n |2 + 2HK+1/'>

-2h^rc/n, Dhari/n) = 2k(fm+i/n, иГмЧ

^l/^MIttr17'2!^ силу (7.67)) 2M0 l/^^K^L

<Ь I; иГМп (,& + №\Г*‘,п I2- (8-93)

После упрощения остается

| ин*^п\-\Г‘‘х,п \* + \иГ11п-иГ1-11п |2 tHr^-W1'1*, W^^W"11"'?. (8.94) Далее, полагая Лд=лй+1/п в (8.85), получаем соотношение

е|лГИ2-фГ‘'Л2-^+17п-лГ^

'фг^^"1, V/ftur'/n) = 0. (8.95)

Просуммируем все соотношения (8.94) и (8.95) для /=1, . ...п, т = 0, ..., N — 1. После некоторых выкладок, отбрасывая часть положительных членов, получаем

п N -1 ,

«ь + в Лй I) I Uh —Uh I

i = 1 m = 0

■n N -1

■ +б|лл— ЛйI (+«Vи

’ i = 1 m = 0

,n N -1

< ^P + e|n0h|2 + ^/v 2 2 |/т+</л|2. (8.96)

i = I m = 0

Как уже делалось несколько раз в других случаях, оцениваем правую часть этого неравенства величиной

„ т Т

^4 = 1 «О |3 + | Ро I2 + 4 Е [|/(0Р^

i = 1 о

(см. (8.83) и (5.29); напомним, что е^1). Поэтому из (8.96) следуют (8.90) и (8.91).

При фиксированных г и /, O^r^jV —1, 1^/^п, просуммируем соотношения (8.94) и (8.95) по m = 0, ..., г — 1, i = 1, ... ..., q, а также по m = r, i=l, ..., /'; опуская часть положи-

тельных членов и производя некоторые упрощения, получаем |a;+//’|2 + e|^+//42C|aH2 + 4^ I2

+ -V"£l/m+‘7nl2<l«£|2 + e№

t, т

0<m+i/n<r+ j/n

2"

+4г £ S |/m+i/ni2<d4, .1=1т = 0

г = 0, .... N—\, j=l, ..., п.

Тем самым установлено (8.89). П

Аппроксимирующие функции. Мы рассмотрим следующие аппроксимирующие функции, связанные с uR*lin, тх.™*11"*.

^. [0, ту-^ч,

и^ ^=СМп для mb <1 <(m+l)M=l, . ..,п. (8.97)

и^: [0, 7’]-* ^ — непрерывная функция, линейная на каждом интервале, [m^, (т + 1)6], m = О, ..., N — 1; uh(mb) = и™, т — 0, ..., N. (8.98)

Утверждения леммы 8.5 могут быть интерпретированы как следующая теорема об устойчивости:

Теорема 8.5. Функции Иъ\ и^, определенные условиями (8.97) — (8.98), безусловно Л” (О, Т; L2 (Ь))-устойчивы (1 ^ г ^п). Функции 61ки^ f'nhUh (l5^5^) безусловно L2(0, Т; L2 v^yустойчивы.

Замечание 8.4, (i) В качестве следствия оценки (8.91) имеем

|“й)—“й 11 |t« (о, Т; ciiin^ Vhdi. ё = 2,(8.99)

Как и в лемме 7.3 и в замечании 7.6, имеем.

N-1

| “ft — uh Ц» (О, Т-, £ЧО))_ 3| “ft -“ft I

m = 0'

N -1 / n\ 2

<4£(£|“riV"-<+i-i/n|)

m = 0 \i = 1/

m=0 i = 1

Таким образом,

| Яд1*—“ft |l2 (о, I; £=(Q))^ ^kmlj^-(8.100)

Замечание 8.5. Пусть л^, лй обозначают функции из [0, 74 в Хй, определяемые условиями:

nh' ^ = a?*t,n Для mk^t < (m+^k, i = l, ..., п, (8.101) лй непрерывна на [0, 71], линейна на каждом интер

вале link, (m-HHi и лА(тй) = л™.(8.102)

Тогда (8.92) равносильно утверждению, что

V 8 | !$ — rtk ^jt» (8, Т; L1 (Я)) ^ V"kd4i z =2, ..., п. (8.103)

6 другой стороны, можно показать, как и в случае (8.100), что

1^3 | ^й^— лд|ц(о, Т; L* (Я» ^ V"kndJ3.(8.104)

Условные априорные оценки. Последующие оценки устанавливаются по методу лемм 7.11 и 7.12, с использованием, в частности, лемм пп. 7.3.1 и 7.3.2. Удобно ввести в рассмотрение линейные операторы Dih, непрерывно действующие из Xh в Wh и такие, что

Ф^ю vh) = (лй?/йи;й) Улй € Xh V-Dh € Гй. '(8.105)

Привлекая операторы Aih, Dih, Bih, мы можем записать (8.84) в виде

к-ЧиГ^-иГ^Н^иГ^Чв^^ иГмЧ А-О£кпГип=Л*Ч\ т = 0, ... (V-1, (=1, ... п.

(8.106)

Лемма 8.6. | Dihnh | ^ S, (ft) | лй | Улй € Хй, S, (ft) = 2/ftz. (8.107) Доказательство. В силу (8.101),

^Dihnh> ^д) I = | (лй> ^<hvih) I ^ I пй I I ^ ihvih I = I лй 11 ^ihvih I <1лй|Ц®й|^^5г.(/г)|лй||®й|У®й€Гй. □

Лемма 8.7. Пусть п~2. Предположим, что к и h удовлетворяют условию

kS^hy^M,(8.108)

еде М сколь угодно велико, но фиксировано. Тогда

к 2 ||tth +‘/21л^const, i=l, 2,(8.109)

т = й

еде константа зависит только от М и от данных.

Доказательство. Запишем (8.106) с ( = 2 (и n=2): u”*v”Uh*ul — — kvA^uV1 — kB^^a^1'2, uT^-kD^^-ykfS*1. Беря норму

|| • Ц1Й от каждой стороны этого равенства и используя (7.102), (7.104), (7.107), (8.107), получаем

ll^n^Hr^+M^^^<+1)k

+ 6 || D2h^1Ц1Й к ЦУГ h < || иГ Ц2Й + AvS, (Л) S2 WЧ|2Й

+ 2 гз kS, (h) S, (h) I аГ1/211/2II иГ1/2 Ilir \иГ111/2 \\аГ1 ||£

+ kSt (/i) s2 w I c+l1 + fcSi (h) \f^ |.

Согласно неравенству Шварца,.

Wur^^^a-V^S^War1^

+ 60^5, (A) S2 ^ | иГт 11| <“'2 UI u^ HI СЪ

+ S^ (A)2 S2 (A)21 <+l |2 + 5A2S, (А)21/7+11.

В силу оценок леммы 8.5 и условия (8.108), результат суммирования правой части этого неравенства по т от 0 до N— 1 ограничен произведением к-1 на некоторую константу. Тем самым (8.109) доказано для i = 2. Чтобы доказать, что

к 5 II №'! 2 Ie/. < const, m = О

мы записываем (8.106) с i— 1 и соответственным образом оцениваем Ц-Цгй-НОрму Я^и'2. Q

Лемма 8.8. Пусть п = 3. П редположим, что к и h удовлетворяют условию

kS^'^Va^M,(8.110)

где М сколь угодно велико, но фиксировано. Тогда

к 2 ||аГ‘7п|^const, (=1,2,3,(8.111)

m = 0

где константа зависит только от М и от данных. Доказательство то же самое, что и у леммы 8.7 (и лемм 7 11, 7.12), только оценки (7.107) для Bih заменяются оценками (7.110). □

Из этих лемм вытекает новый результат об устойчивости: Теорема 8.6. В предположении что к, h и а удовлетворяют условию устойчивости (8.108) (при и =2) или (8.110) (при п = 3'), все функции dJhuM\ 1 ^i, i^n, являются L2(0, Т; L2 (^-устойчивыми.

Теоремы о сходимости.

Теорема 8.7. Пусть п = 2. Предположим, что к, h, е связаны условием (8.108). Тогда если к, h, а стремятся к нулю и

(8.112)(8.112)к/а —► 0,

(8.112)

(8.112)

то

и^, uh сходятся к и сильно в V (Q) и •-слабо

в L”^, Т; I?^, i=V2;(8.113)

^/ьиь\ ^jh^h слабо сходятся к D.u в L2(Q), l^r, /<2;(8.114)

б^й^’ сильно сходятся к Dtu в I? (Q), t = 1, 2,(8.115)

где и—единственное решение задачи 3.1, отвечающее данным f, иЙ (удовлетворяющим (8.4) и (8.5)).

Теорема 8.8. Предположим, что размерность п = 3. Существует сходящаяся к нулю последовательность h', к*, в* ', такая что

и^?, nh, сходятся к й сильно в I? (Q) и *-слабо

в L"(Q,T; L4QW,(8.116)

^ih'Uh'» ^jh-Uh- слабо сходятся к D.u в L2(Q),

' l<i, j<3,(8.117)

где и —некоторое решение задачи 3.1. Для любой другой последовательности h', k', s'—>-О, удовлетворяющей условию

k’ls’-^Q(8.118)

и такой, что имеют место (8.116) и (8.117), й должно быть решением задачи 3.1.

Основные моменты доказательства представлены в следующем, заключительном подпункте.

Доказательство сходимости;

Лемма 8.9. Если выполнено условие (8.109) (в случае п = ^ или (8.110) (в случае п = 3) и отношение k/в остается ограниченным, то

$ lT|2vl йй (т) |2 dr ^ const для некоторого у, 0 < у < 1/4, (8.119)

где и^ —преобразование Фурье по / от функции uh, продолженной нулем вне интервала [0, Т], а константа зависит от у, М, от верхней границы отношения к! г и от данных.

Доказательство. Просуммируем (по отдельности) соотношения (8.84) и (8.85) для /= 1, ..., п; после несложных выкладок

Для которой s', к', к' удовлетворяют (8.108) и к’/в'—>-0.

получим

l^1-^1, ®Л) + Е((аГ'/п, Dh^H1 = 1

+ ^biM^'", иГп\ v^-№\ D^^

= 2 tfm+ii\ ®») + 2 ^-л^и\ V/zajvu^^,

(8.120)

(е/Д) (лГ1 - лМ) + ф„аГ\ л^

л^ N^xh. (8.121) i = I

Перепишем эти уравнения в виде

• -^-(йй(/), ^hW i.'WW, ^пУНь

+ 'Lbih(uki-14ty u^w,IW

= y»^ih<t\ DhHWtV 1)^ VvhWh 41^,T\ (8.122)

е^(Ш ^WDhW. лй) = (ей(о, л;)

Vnk € Xh4t € (0, Т\ (8.123)

где фд и 0Й— ступенчатые функции из [0, 7] в Wh и Xh соответственно, определяемые равенствами

Wh (0 = 2 <Dih^*x- i = l

mh<.t <(т-{-1)6,(8.124)

0Л (0= 2 VjhUT-VihUTA

mh ^ t < (/«+ 1) k, m = 0, ..., W —1. (8.125)

Оценка (8.119) выводится в принципе так же, как и предыдущие аналогичные оценки (см. лемму 5.6 и доказательство теоремы 8.1, пункт (iii)), единственный новый момент —это оценка

членов, содержащих <рд и 0д. Заметим, что для l^^mk, (m + 1)Л)

n-1

КтА(О, ®й)1 = S №+1-лГ^, у/ду/д)

X 1/22 IX 1/22 I/п-1\l/2

X 1/2

2 I

X 1/2

2 I

У I тгт+1_1г»1+//112 |

Л\ 1/2

2 |ng,,Vn —л^-1’/'1 I2 )

Z=2/

Поэтому, обозначая через ^Ч!*д норму, дуальную к норме ||-|1д на 1ГД, имеем

Йй(Шл^ 5 Wi,n-<ni-YMn\\ тк^К^г^Х^к, Z = 2

Так что г ^1^(011* ^/<(в силу (8.92)Х4^4^ const. (8.126) о

Аналогично для /С (^> (/^+1)6) |0й(/)1<2| wr-v,^^ |0»(OI2^c2S(/i)2 '2»\иГип-аГ‘"1,п\1 1=2

и поэтому (вследствие (8.91), (8.108) и (8.110)) г

$|0A(Oladf ^ const.(8.127)

о

Оценок (8.126) и (8.127) уже достаточно для того, чтобы оценить члены в (8.122) и (8.123), содержащие фд и 9Д. □

Доказательство теорем 8.7 и 8.8. (1) По теореме 8.5 существует последовательность h', k' —>0, такая что

и^ -^ti'' *-слабо в L" (0, Т\ V (Q)), i = 1, ..., п, (8.128) ин- — й. *-слабо в L” (0, L2 (□)).(8.129)

В силу замечания 8.4, а,/’ —ад-1) сильно сходится к 0 в L2(Q) (2^t ^п) и а;|. —a^’ тоже. Поэтому все пределы совпадают между собой:

ыч> = ... = uw = и..(8.130)

Мы утверждаем, что и» является решением задачи 3.1. Согласно теореме 8.6, последовательность й', к’ —*0 можно выбрать таким

Ve 12»

образом, чтобы выполнялись еще соотношения

^■11$. 6jh.tth. — С,а. слабо в La(Q).(8.131)

При этом мы можем подобрать ее так, чтобы также к'/в' —► 0. Тогда ввиду леммы 8.9 и свойства (5.92)

аА, —* о* сильно в L^Q).(8.132)

Снова используя замечание 8.4, получаем

ий? —* и* сильно в L2(Q), l^i^n.(8.133)

Переходя к пределу в (8.85), покажем, что diva* = 0. Пусть о —произвольная функция из 9) (Й) и лй —функция, определенная равенством лй(Л4) = о (Л4)У/У4 € Йй. Ясно, что

Лд —*о в L" (й) при h —* 0.(8.134)

Пусть, далее, ф —произвольная непрерывно дифференцируемая скалярная функция на [0, 7] с ф(Т) = 0. Умножим (8.85) на ф“ = ф(т/г), а затем просуммируем по т = 0, ..., N — 1, i=l, ..., т; в результате придем к соотношению

N

е 2 (я™> (Ф” — ф”-1) Лд) m=I

п N-\

+ ^2 2 Wiln. W) = »(< лйф(0)). (8.135) i=I т=0

Используя оценки (8.89) для л™ и указанную выше слабую сходимость, легко перейти к пределу в (8.135). В пределе получим■

т

(div а«ф, оф(/))^ = 0,(8.136)

и поскольку о£^(й) и ф были произвольны, то из (8.136) следует, что diva* = O. Таким образом,

а. ЕР (О, Т; ПЛ L" (О, Т; Н\(8.137)

(Hi) Остается перейти к пределу в (8.122). Пусть у —произвольный элемент из Т3. Запишем (8.122) с Уй = гйУ, где rh — оператор сужения для аппроксимации (АПР1) фнг hD — Оу Пусть функция ф такая же, как выше. Умножим (8.122) на ф(<) и про-

интегрируем по t. Интегрируя затем по частям, находим

О1 = 1 о

п Т

+ 2 $ b^w^'W. u^w. 'НО^м I =1 О

= 2 WihW’ ^(t))^ + M, ЯЙЖО)

+ $(Ч>А(О* ®Ж0Ж (8-138) о

Переход к пределу (по последовательности h', k’, s') во всех членах (8.138), за исключением последнего члена в правой части, осуществляется стандартным образом. Этот последний член сходится к нулю в силу оценки (8.126) для <рл и предположения, что й'/е'—>0. Эго единственное место в доказательстве, где используется предположение о стремлении отношения к/s к нулю. В пределе мы получаем уравнение, аналогичное (3.43) (с и, замененным на и»), из которого мы заключаем (так же, как это делалось при доказательстве теоремы 3.1), что и* является решением задачи 3.1. В случае п = 2 решение задачи 3.1 единственно; поэтому а*=й и установленные выше результаты о слабой сходимости имеют место для всей последовательности к, h, е —* 0 (удовлетворяющей условиям (8.108) и А/е-* 0). Утверждения о сильной сходимости (8.115) следуют из того факта, что

X^K-tim + eHI2 2 г

4-2v 2 \ |£,“(0 —^«h'Wl^-*° ПРИ к, к, в—-0. □ 1=1 0

ПРИЛОЖЕНИЕ I |

СВОЙСТВА ОПЕРАТОРА FOt И ИХ ПРИЛОЖЕНИЕК ИЗУЧЕНИЮ СТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ. НАВЬЕ-СТОКСА

В настоящем приложении мы опишем некоторые функциональные свойства оператора rot, действующего на ограниченном множестве в R”, п = 2 или 3, и, используя эти свойства, получим усиленный вариант результата о существовании, представленного в теореме 1.5 гл. II. В основном мы следуем изложению, данному в § 1 работы Фояша и Темама [3].

/. Функциональные свойства оператора rot. Пусть й — открытое ограниченное множество в R", п = 2 или 3. Мы предполагаем, что

й связно и принадлежит класву й’ (ср. (1.1.3)), а его граница Г имеет конечное число связных компонент Г^ .. Гй (k^ 1).(1.1)

Множество Й может быть односвязным или неодносвязным. В последнем случае мы, очевидно, можем сделать его односвяз

ным с помощью конечного числа гладких разрезов (см. рис. 6). Более точно:

Обозначим через 2If ...» 2^ (М>0) много

образия класса S8 размерности п — 1, такие

' чтодля I ^ j и открытое мпо-

.N

жество Й = й\2, 2 = и 2, односвязно

и липшицево (т. е. 3, не являются каса

тельными к Г).(1.2)

В остальном мы используем те же обозначения, что и раньше, в частности обозначения для функциональных пространств, введенные в § 1 и 2 гл. I и в § 1 гл. II (0, V, Н, Нт(Й'), Нт^\ Н^^, Н111 (Г), ...). Кроме того, нам понадобится еще пространство Нт-11г (Г), т— целое ^=1, которое можно определить следующим простым образом (ср. с подстрочным примечанием к предложению 1.2.2): это пространство ^йНт(^, т. е. пространство следов функций из //“(Q), снабженное нормой

ВФИнт-Г/З/г) = in$ ||«||н'»(Я).(1.3)

7оы—^

Систематическое обсуждение таких пространств можно найти у Лионса и Мадженеса [11. Напомним также ортогональное разложение пространства L2(Q), даваемое теоремой 1.1.5:

1?^ = Н^Н^Нг, (1.4)

где Ht и Н^ определены в (1.1.41), (1.1,42). Ниже будет указано ортогональное разложение для Н.

Ядро оператора rot. Нет необходимости напоминать определение оператора rot в трехмерном случае. В случае п = 2 мы полагаем rotu={—D2u, Ьхи\ для скалярных функций и: Q—* R, rottt =Dtu4 — D4ut для вектор-функций « = {«,, и4\: й —♦ R*.

Оператор rot отображает £2(Й) в //-1(й) в случае п=3 (соотв. в Н-1^ в случае п = 2у Наша цель сейчас —описать его ядро в 2?(й), ker (rot). Очевидно, что ker (rot) о Щ^Нг\ найдем элементы из ker (rot) А Н. Если и € ker (rot) А Н, то и локально является градиентом некоторой функции; более точно, tt = grad^ в й, div« = A^ = 0, так что функция q принадлежит классу 8” и однозначна на Й, а также принадлежит классу ^” в Й, за исключением окрестности множества Г A S. В силу (1.1.34) имеем также ч^и = dq/dv = 0 на Г.

Обозначим через St и 5" две стороны 3, и через vz —единичную нормаль к So направленную от St к Sf. Если данная функция 0 принимает различные значения на St и Sf, то мы полагаем [0], = 012+ — 012-. Для функции q, о которой шла речь выше, мы имеем [9], = const, так как grad q принадлежит классу 8" и однозначен; пусть, скажем, [д], = at £ R. Чтобы полностью охарактеризовать и и q, мы должны учесть еще, что diva —О

в Q. Для ф ё ® (П) имеем

<div а, ф> = — <grad q, grad ф> = — J grad q- grad фdx Q или Q

= (так как Xq = 0) = — ^ |^ ф dF ' *dQ

‘f [^]/0d3-O^

. 1 = 1

Отсюда вытекает, что [d^/dv,],. = 0, t = l, ..., N. Таким образом, справедлива

Лемма 1.1. Пространство Ht = ker (rot) A H состоит из функций, являющихся градиентами гармонических функций q, многозначных в Q, однозначных в Q и таких, что

dq/дм — О на Г,(1.5)

■ [^-^const, i=l, . .., N,(1.6)

[d^/dv0, i = 1, . . ., N.(1.7)

Мы хотим указать базис пространства Нс. Предварительно докажем следующий результат:-

Лемма 1.2. Для каждого i = l, ...,N существует функция qb единственная с точностью до аддитивной постоянной, такая что

Xqt — 0 в Q; d^y/dv = 0 на Г;

P^/^Jy-O, /-1N; [^/]7 = 0,[9,-l^L (1.8)

Доказательство. Рассмотрим следующую задачу, которая, как будет показано, эквивалентна задаче (1.8);

Дду = О в й; dq'(fdv = O на Г; [d<7'(/dv/]/ = 0, /=1, . ,.,N;

(1.9) [9<]/ = 0, /^i; [9(]; = (неопределенная константа);

~(dq't/dvi) dS = 1.

Прежде всего заметим, что (1.9) является вариационной задачей. Пусть Xi = \р^ Hv (Q), [р]; = const, [р]; = 0, /^i}. Легко проверить, что задача (1.9) сводится к нахождению элемента q\S.Xi, такого что

$ grad q'i • grad р дх = [р], ^р^Х{.(1.10)

——

Левая часть (1.10) определяет билинейную непрерывную коэрци- . тивную форму на Х,/К, а правая часть есть непрерывная линейная форма на Х;, которая обращается в нуль на постоянных функциях и поэтому индуцирует непрерывную линейную форму на A\/IR. На основании теоремы 1.2.2 заключаем о существовании ■ и единственности q't в Az/R.

Если q't является решением (1.10), то az = [^-]/=^0 и qt = =-• (1/а,.) q't будет решением (1.8): а/^О, ибо в противном случае q't можно было бы продолжить до функции из Н (й), дающей решение однородной задачи Неймана в Й, так что q't была бы постоянной, вопреки (1.10). Обратно, если qt является решением -(1-8), то р; = ^ ^дц^дл?^ dS отлично от нуля и q't — (1/PZ) qt служит

решением (1.9) (р,=^0, ибо в противном случае q; было бы решением уравнения (1.10) с пулевой правой частью и мы имели бы ^, = const( = 0 в X;/IR), в противоречие с тем что (^/],-=1). □ Лемма 1.3. Пространство Hz = ker (rot) п Н порождается элементами grad qt, ..., grad qN*. Его размерность равна N.

Доказательство. Если u^.Ht) то tt — grad q, где q удовлетворяет

N

условиям, указанным в лемме 1.1. Пусть а, = [^]; и г = q — У, atqt. i=i

Очевидно, что функция г аналитична в й и Аг = 0 в й, dr/dv = 0 на Г, [dr/dvL = 0, [г] = 0, i —1, ...,N. Следовательно, г посто

янна и и = 2 ai grad q^ Наконец, ясно, что функции grad^z i = i

линейно-независимы. □

Замечание 1.1. (i) Если й односвязно, то IV =0 и Яс = {0}.

(ii) Пространство Нс изоморфно пространству одномерных когомологий области Й, т. е. факторпространству пространства замкнутых дифференциальных форм на й по подпространству точных дифференциальных форм на Й (см. де Рам |1]).

Лемма 1.4. Пусть Н0 —ортогональное дополнение к Hz в Н. Имеет место равенство

H0=^veH, \ v-v^ = Q,N^j.(1.11)

Доказательство. Пусть и^Н. Тогда и£Н0, если и только если (у, grad^z) = 0, i = l, ..., N. Но согласно обобщенной формуле

Стокса (1.1.19),

(У, grad q^ = J У-grad qt dx = J y-vgfdr = ^y-vdS,Й6Йs/

откуда и следует (1.11). □

Замечание 1.2. (i) Легко видеть, что для v^H интеграл e-vdS не зависит 2/

от разреза 2/ (т. е. значение этого интеграла не изменяется при непрерывной

деформации разреза 2/):деформации разреза 2/):

деформации разреза 2/):

деформации разреза 2/):

(И) Можно непосредственно проверить, что если у £ Нс, t> = grad q и »-v d2= J (dq/dv) d2 = 0, 1 = 1, .,.-, N, to v=0.

2;2Z

Подытожим полученные выше результаты:

Предложение 1.1. В предположениях (1.1) и (1.2),

ЬЧ^^Н^Н^Н^Н»,(1.12)

кег^-Н^Н^Н,,(1.13)

где Ht, Н6, Ht, Нл —описанные выше пространства.

Замечание 1.3. (i) Обозначим через Рн ■, РН-ортогональные проекторы в L4i на Нс, Н;, i — Q, 1,2; проекторы РН1 и РН1 были неявно введены и вычислены в доказательстве теоремы 1.1.5 и в замечании 1.1.6. Если и^£2(й), то

(1.14)(1.14)(1.16)(1.16)«a = PH,« = grad р.

(1.14)

(1.14)

(1.16)

(1.16)

где р — решение задачи Дирихле

Ap*div«6/7-i (Q), р^Но(^)\

далее,

где q—решение задачи Неймана

М = 0 в Й, dq/dv — yx (и—grad р) на Г;(1.17)

это определение корректно (см. (1.1.44) и сказанное вслед за этим соотношением).

Проектор PHt действует следующим образом:

N.

Рн,^^ а1УайЧь

где at образуют решение линейной системы

Nо

2 «//0/= \ a-v d£, 1</<М,(1.18)

z=i $

G

a,/ = JdZ = J %ds=(grad qb 8rad qj'

(так что матрица, составленная из элементов a;j, невырожденна).

Мы знаем (ср. замечание 1.1.6), что Рц, и РН1 отображают №(8) в Ht()Hm (й),(если Й— область класса ^'", г^т^. Поскольку ЯсС®” (Й)П П^л (Й), то же верно для РНй и РНо.

Пространство rot (Я1 (О)). Прежде всего, справедлива Лемма 1.5. rot Н1 (Q) = rot (И1 (Q) Л Ноу

Доказательство. Если я^Я1 (Q), то v = PHu—U — grad q, где grad q ^ ker (rot) и потому rot p = rot я. □. °

Лемма 1.6. Существует константа с0 = с0(й), такая что

||«||ячй)<с0|го1я|,(1.19)

я| ^с01 rot я| •(1.20)

для всех я £ Я1 (О) П Но.

Доказательство. У Дюво и Лионса [1] доказано (теорема 6.1 гл. 7), что

(я^Я1^), vvfl=fl-v|r= 0}

я €£“№). div u^L1^, rotfl§La(Q), yvH=«0 на Г}

(1.21)

и существует константа с^сДО), такая что

||«k*(Q)<c1{|fl| + |div я| + |го(я|}(1.22)

для всех я из пространства (1.21). Оценка (1.19) является очевидным следствием (1.20) и (1.22). Чтобы доказать (1.20), будем рассуждать от противного. Если (1.20) неверно, то существует последовательность ит € Я1 (Q) л Нй) удовлетворяющая условию

и„J > т | rot я„ | Nm.(1.23)

Не уменьшая общности, можно считать, что |ят|=^1. Тогда, в силу (1.22), последовательность ит ограничена в НД&\ Мы можем извлечь из нее подпоследовательность (обозначаемую снова через и^, которая слабо сходится в И (й) к и С Н1 (й) П Н6; эта сходимость будет сильной в 7.2(й), и поэтому |я|=1. С другой стороны, вследствие (1.23), rot«-=0, так что и Е Н6 П ker (rot) и, значит, у---О, в противоречие с равенством |я| ~ 1. □

Лемма 1.7. Подпространство rot Н' (Й) замкнуто в L2(Q) для п — 3 (соотв. в L2(12) для п -

Доказательство. В силу (1.19), rot является изоморфизмом из Я1 (Й) п но в и (Й) (соотв. в I? (Й)). □■

Характеризация подпространства (rot Я1 (й))х. Обозначим через (п^ЯДЙ))1 ортогональное дополнение к го!Я*(й) в А2(Й) (п-3).

Предложение 1.2. Для п -3 справедливо равенство (го1Я1(Й))1 — = {«^L2(Q), n = gradp, р£Я‘(й), р = const на каждом ГД.

Доказательство. Если и С (rot Я* (й))4., то (и, rot ф) = 0 V<p С 2) Ф) и, следовательно, rota = 0. Тогда, поскольку и С L1 (Й) п го1а^А2(й), мы можем, согласно одной теореме о следах Дюво и Лионса [1], аналогичной теореме 1.1.2, определить след функции «Av на Г, «Av |г € Я~1/2 (Г), и записать обобщенную формулу Стокса

Я, rot q>) = (rot я, <p) + <«Av|r, ТоФ> ^ц>^№(Й\(1.24)

Поэтому (я, rot ф) — <яДу |г, уоф> = О Уф^Я^Й), так что яДу|г = 0 и (го1Я1(й))^- = {яС^а(^), rotM=0, яДу|г = 0}. Мы можем уточнить этот результат далее. Для таких я имеем rot я = 0, « = gradp, и^Н^Нг^Н^. Поскольку gradp = = (dp/dv) v + VTp, где ViP —тангенциальная компонента grad р на Г, условие яДу|г^=0 сводится к условию ^хр = 0 на Г, так что р постоянно на каждом Г;. Мы видим, что РНе (grad р) необходимо равно 0 и, значит, р^Нг^\ Обратное проверяется без труда. □

Предложение 1.3. В предположениях (1.1) и (1.2), дляп — 3 справедливо равенство

rot Я1 (й) = / я £ L2 (й), div« = 0, ^я-vdr — O Vil.

Доказательство. Обозначим пространство в правой части этого равенства через Y. Так как rot (Я1 (й)) замкнуто, достаточно показать, что Y = (rot Я1 (й))1- ^. Но если о = grad р € (rot IP (Й))1- и я^£2(й), div я = 0, то

(я, ©)= $ H-gradpdx= j yvHpdF= У, р(Г;) yv«dr,йгi = 1 г,

где р(Г;) —значение р на Г,. Так как р (Г,) —произвольные числа, отсюда следует доказываемый результат. □

Замечание 1.4. Если граница Г связна, 6=1, то установленное только что равенство принимает вид

гсЛНЧ^ЧЕЬ-Ч-Ь div« = 0}.

Замечание 1.5. Для п — 2 имеют место аналогичные результаты (с теми же доказательствами) для rot Н1 (Й) и (rot Z/1 (й))-*-.

Замечание о регулярности. Мы можем до некоторой степени дополнить результат Дюво — Лионса (1.21) —(1.22):

Предложение 1.4. Пусть Q — открытое ограниченное множество в R", п==2, 3, и т — целое числом \. Предположим, что имеют место (1.1.), (1.2) и Q принадлежит классу ^Y r^m-VV. Тогда

H4^ = \u^L4^ х^и^Н-Ч^,

■ divae^-^Q), ^и^Нт"11гОА • )

и существует константа сг = сЧт, й), такая что

II йЦн™ (Й) ^С2 { | и I +1!rot и\\нт-х (Q) +

,| div а |н«-1 (£2) + I YvW |//т-1/2 (Г)}(1-26)

для всех u^Hm^Y

Доказательство, (i) Начнем со случая m = 1. Пространство в правой части (1.25), очевидно, содержит И1 (й); нам надо доказать обратное включение. Пусть я —произвольный элемент этого пространства н grad р — проекция я на Н-^Н^. Мы знаем, что р является решением задачи Неймана

Ap = divH в Й, dp/dv = H-v на Г.(1-27)

Поэтому *о = и — grad р удовлетворяет условиям у € Тг (Й), div о £ Л2 (й) rot у £ Z? (й) и yvv-=0 на Г, так что У принадлежит Нх (Й), в силу (1.21), и я тоже, поскольку pg№(Q), согласно стандартным результатам о регулярности для задачи Неймана (см. Агмон, Дуглис и Ниренберг [1] или Лионс и Мадже- нес [1]). Далее, неравенство (1.26) следует из неравенств (1.22) и

I!РЦнч^л R Ас3 {I Ар к2 (£2) -r|dp/dv к1/2 (Г)}

(см. Агмон, Дуглис и Ниренберг [1]).

Проведем индукцию по т. Предположим, что (1.25) и (1.26) доказаны для т— 1. Покажем, что если я принадлежит пространству в правой части (1.25), то и^НтЧЧ По предположению индукции, и^Нт-х ^\ Если О'”-1 — произвольный дифференциальный оператор порядка т— 1, то у = £>“-1 я удовлет-

воряет соотношениям

<>OT), rot®6L2(Q), divt^2^),

t>. v = D-”-1 («•*)- У (П‘хО”-ь-'и£ Н^ЦГ),

и, значит, в силу (1), о £ № (й). Отсюда вытекает, что и € Нт (й), а теперь нетрудно уже установить и (1.26). □

Замечание 1.6. (i) Это предложение можно вывести непосредственно из результатов работы Агмона, Дуглиса и Ниренберга [1].

Оценку (1.26) можно заменить оценкой

|| а — ^H^U ||ят (£2) *5 ^З {II rot и Цдт-S (й)

+ |div«||Hm-i(Ql+I Vv® 1дт-1/2(Г)Ь<1,28)

2. Приложение к неоднородным стационарным уравнениям Навье — Стокса. Следующий результат дополняет теорему II. 1.5 для случая п = 2 или 3.

Теорема 2,1, Предположим, что п = 2 или 3 и выполнены условия (1.1) и (1.2). Пусть заданы f^H-1^) и ф^Я1/2(Г), такие что

$<p-vdr = O, 1=1k.(2.1)

Тогда задачи (II. 1.62) —(II. 1.64) имеет по крайней мере одно решение и ЕН1 (Й), р € L1 (Й).

Доказательство. Ввиду теоремы 11.1.5 нам достаточно показать, что функция ф удовлетворяет условиям (II.1.65), (II.1.66), т.е. (см. замечание II. 1.5 (1)) что

<р€?о{го1Я=(Й)}.(2.2)

По предположению, ф удовлетворяет (2.1). Решая неоднородную задачу Стокса — АФ + grad л = 0 в й, divO = 0 в й, Ф = ф на Г, мы найдем по теореме 1.2.4 функцию Ф£Я*(Й), такую что с11уФ= 0 и ф = у0Ф. Вследствие (2.1), лемма 1.5 и предложения 1.3 существует функция <$^НХ^Г\НО, такая что го!ф = Ф. Замечая, что п^фЕЯЦЙ) и используя предложение 1.4, мы видим, чтоф€//2(й) и (2.2) (или (II. 1.65), (II. 1.66)) выполнены. □

Замечание 2.1. Как и в (1.2.49), необходимым условием на ф является условие

ф.г6Г = 0,(2.3)

которое слабее, чем (2.1).

Замечание 2.2. По поводу регулярности и и р см. замечание II.1.6 и предложение II.1.1.

Замечание 2.3. Для случая когда заданные функции f и ф несколько раз непрерывно дифференцируемы, а ф удовлетворяет (2.1), Лерэ доказал в [1]

существование решений задачи (11.1.62)— (11.1.64), которые несколько раз непрерывно дифференцируемы.

Предложение 2.1. В предположениях теоремы 2.1, для любого 6 > О существует непрерывное линейное отображение Ле из

ЯЗ/2(Г)= /ф£№/2 (Г), ^.vdr = 0, 1=1Ц (2.4)

в Яа(Й), такое что

divЛбф = 0 в Й,(2.5)

уЛбф на Г,(2.6)

№ ЛбФ, и)|^6i,фЦяз/2(Г),/V|(2 Уф^//^2(Г) Vv^V. (2.7)

Доказательство. Нам надо только внимательно проанализировать доказательства предыдущей теоремы 2.1 и теоремы II. 1.5. Построенное в доказательстве теоремы 2.1 отображение фи->Ф является непрерывным линейным отображением из Я3/2 (Г) в №(й) (теорема 1.2.4). Согласно предложениям 1.3 и 1.4,

rot И2 (62) = / и € И1 (й), div я = 0,«-V dF = O VI I,

IrzI

a rot осуществляет изоморфизм № (й) П H,, на rot H2 (й). Поэтому Ф£го1//2(й) и Ф = го1ф, ф^ЯаП//й, причем отображение Фн-»ф линейно и непрерывно действует из rot №(Й) (снабженного нормой пространств.1. ^(й)) в Я2(й)П^0. Теперь обратимся к доказательству теоремы II. 1.5 и рассмотрим описанное там соответствие ф = rot ф I—> ф = rot (9еф). Отображение ф ь-* 98ф, очевидно, является непрерывным линейным отображением в Н2(О), и для достаточно малого е, е^е0 = е0(6), мы можем положить Л6ф = = ф = гоЦ9еф). Тогда (2.7) будет удовлетворено, а (2.5) и (2.6) выполняются очевидным образом (что касается (2.7), см. также (II. 1.85)). □

ПРИЛОЖЕНИЕ IT

Ф. ТОМАССЭ

ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХНЕСОГЛАСОВАННЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ(Аппроксимация (АПР5), двумерный случай)

0. Тестовые задачи. Рассматриваются две тестовые задачи. Задача 1. Течение в каверне: Q = (0, 1)Х(0, 1) —квадрат в плоскости; граничное условие: « = 0 всюду на dQ, за исключением стороны у=\, где «={[/, 0}- ([/ должно быть задано).

Задача 2. Течение между несоосными вращающимися цилиндрами: Q — кольцевая область плоскости ху, ограниченная двумя окружностями С1:х2 + у2— 25 = 0 и С2:(х—1)2 + у2— 4 = 0, которые вращаются с (алгебраическими) угловыми скоростями Oj и о2 (последние должны быть заданы).

В обоих случаях объемные силы отсутствуют.

/. Триангуляция. Триангуляция <Fft задается перечислением вершин и треугольников. Некоторый алгоритм автоматической триангуляции выдает нам таблицы, представленные на рис. 8.

Рис. 8. (а) Координаты t-й вершины. (Ь) Номера вершин /-го треугольника.

Необходимо иметь возможность простым образом распознавать граничные вершины; один экономичный способ добиться этого заключается в присвоении им номеров > N, где N — общее число

внутренних узлов С Существует два различных типа автоматических триангуляционных алгоритмов:

метод последовательного подразбиения, приводящий к регулярным сеткам;

метод сокращения области Элана Джорджа, удобный для областей с криволинейной границей.

Метод последовательного подразбиения. Сначала берется какая- нибудь грубая триангуляция области, затем на каждом шаге каждый треугольник разбивается на к2 меньших треугольников,

Рис. 9. (а) 6 = 2. (Ь) 6 = 3.

Рнс. 10. (а) Начальная триангуляция: N=l, Ni = 5, М=4. (b) Первое под-разбиение: N = о, N1=\3, М = 16.

подобных исходному (рис. 9). Процедура повторяется до тех пор, пока мы не получим подходящего числа треугольников. Один пример для 6 = 2 представлен на рис. 10.

Для данной триангуляции пусть ^—число внутренних вершин, Mi —общее число вершин, М—число треугольников. Пусть №, N{, М1 — значения соответствующих параметров после того, как выполнено разбиение каждого треугольника на к2 треугольников. Замечая, что 2С + Сгр=ЗЛ4, СГ¥ = N^-M (где С и Сгр— соответственно число внутренних и число граничных ребер), находим

М1 = к2хМ,

Mi = 2-1 (^ —1) (^ —2) М + 2-1 (fc-V^M + N-N^ + N,

N\ = N' -bk<Nt-Ny

После n подразбиений имеем

Мп = к2пМ6, C''p = A"C°Fp,'

M" = 2N" + C?P + 2(T-1), M° = 2№4-C°Fp +2(7-1), где Т — число ,дырок" в рассматриваемой области. Следовательно, параметры триангуляции равны (М" = М, ...)

№ = 2-1 ((А,2П - 1) М° —(к" -1) С"р) + №,

N? = 2-i «к2*1 - 1) ЛР + (^ + 1) С®„) 4- №, М"^к2пМ% C"p = №v — №.

Подчеркнем, что треугольники, получаемые подразбиением, подобны треугольникам начальной триангуляции, поэтому углы не становятся меньше, чем в начальной триангуляции.

Метод последовательного подразбиения может быть распространен на области с простой криволинейной границей: мы просто заменяем новые вершины, появляющиеся па граничных ребрах,

Рис. 11. (а) Начальная триангуляция. (Ь) Первое подразбиение.

их проекциями на границу области. Пример для к = 2 представлен на рис. 11.

Метод сокращения области. Идея метода заключается в том, чтобы покрыть Q треугольниками, максимально близкими к равносторонним (для которых числа О/ минимальны, а потому и величина погрешности минимальна). Задается некоторая начальная дискретизация границы дЙ, образованная замкнутой ломаной. Если область й неодносвязна, вводятся дополнительные искусственные границы, которые удаляются после того, как триангуляция будет закончена. При заданном граничном многоугольнике алгоритм строит треугольник2 одним из двух способов:

— вводится новый внутренний узел („зарубка");

— соединяются две последовательные граничные вершины („стёсывание").

Затем мы начинаем с новой области, образованной начальной областью без последнего треугольника-, и так далее, пока область не сведется к одному треугольнику (рис. 12).

Рис. 12. (i), (iv)—зарубка; (11), (111) —стёсываниеРис. 12. (i), (iv)—зарубка; (11), (111) —стёсывание

Рис. 12. (i), (iv)—зарубка; (11), (111) —стёсывание

Рис. 12. (i), (iv)—зарубка; (11), (111) —стёсывание

Примеры! На рис. 13—16 показано по две триангуляции для двух рассматриваемых областей.

Узлы. Будем называть середины ребер узлами и значения данной функции <р в узлах—узловыми значениями. По заданным таблицам X, У, Nu мы образуем соответствующие таблицы для узлов (рис. 17); граничные узлы нумеруются числами > Nm, где Nm — число внутренних узлов; нумерация узлов сводится к нумерации ребер.

/ ат=о(чИ').—Прим, перев.

(а)

(Ь)

Рис. 17. (а) Координаты 1-го узла. (Ь) Номера узлов /-го треугольника.

Рис. ^0.

Позднее выяснится, что нам нужно уметь быстро определять номера узлов, соседних с данным (т. е. принадлежащих тому же самому треугольнику); очевидно, имеется максимум 4 соседних узла (рис. 18). По этой причине мы вычислим по номерам Num таблицу номеров соседних узлов (рис. 19).

Вычисление базисных функций для данного треугольника. Пусть задан треугольник Т с вершинами М^ М2, М3 и серединами ребер Ри Р2, Р3, и пусть vn v2, v3 обозначают соответствующие базисные функции (V, (Pf) = 6Z/). Введем стандартный треугольник Т и линейное отображение у, преобразующее Т в Т (см. рис. 20):

(G (1.1) G (гДЛ , /6(3.1)\

м = У (М) = (1 2) G (2 2) (3 2)/-

G(l.l) G(2.1)V /(Л41-Мя),(М2-М3)Л-1 О (1.2) 0(2.2)/ \Ч(М1-М3)2(М2-МЯ)2;G(l.l) G(2.1)V /(Л41-Мя),(М2-М3)Л-1 О (1.2) 0(2.2)/ \Ч(М1-М3)2(М2-МЯ)2;(^-м,), (Я-Мз)Д (Л11 М3)2 (М? ^з)а /(^-м,), (Я-Мз)Д (Л11 М3)2 (М? ^з)а /Мы вычисляем G^a,, Р), используя уравнения М.; = у^М£у.

G(l.l) G(2.1)V /(Л41-Мя),(М2-М3)Л-1 О (1.2) 0(2.2)/ \Ч(М1-М3)2(М2-МЯ)2;

G(l.l) G(2.1)V /(Л41-Мя),(М2-М3)Л-1 О (1.2) 0(2.2)/ \Ч(М1-М3)2(М2-МЯ)2;

(^-м,), (Я-Мз)Д (Л11 М3)2 (М? ^з)а /

(^-м,), (Я-Мз)Д (Л11 М3)2 (М? ^з)а /

/(All— A1a)j— (Ala— М»^»\Г (А)2—А)й)? (А1? — ^3)1 \(A1i — А13)2 (Л12— А13)2/\—(Alt—А^з)? (^1 — А1з)1 (All — Ai3)i (Ala — А43)2 — (All— А4з)2 (Al2 — А)з)1 у^-М^ (М2—М3)Да \(Mi М3)2 (М2 Мз)2/

тде & —некоторая матрица размера 2x2, не зависящая от Т;

/G(3.1)\/0(1.1) G(2.1)\

yG(3.2)/ M1 VG(l-2)G(2.2)y p

Из формулы для у легко выводится соответствующая формула для у-1:

лл/сикОС^гпд /СДЗПА

M~Y (М)“ \0Д1.2) 01(2.2)/^ +<С!(3.2)/'

Теперь у нас есть всё необходимое для построения базисных функций. Пусть X; обозначают барицентрические координаты в Т относительно М^ (Х; (Му) = 6Z/). Имеем

v1 = X1 + X2 — Xs, v2 = X2 + X3 —Xn v3 = X3 + XI—X2.

Но

^W = х2 № X, (Л1) = 1 -^ (М) -^ А X, (М)=х2 (М\

J X1 Хг 0X1 0X2 ~ (<, + z2 + 2)l T

Отсюда мы заключаем, что' area Т = 2-1 det G,

J vz dM = 3-1 area (T), ^ v,v, dM = 3~16z/ area (T). тт■

x Стоит заметить, что базисные функции ортогональны в L4^. Используя матрицу Gn можно вычислить градиент vz:

8>ч duj дХг дх/ dvi Qxj8>ч duj дХг дх/ dvi Qxjt = i 9x/ dx^ t=1dx],-G^h 2), ^ = -G1(/, 1)-С1(/, 2), -^-G^/, 1),= -2G1(j, 1), ^. = -2GAb 2), =^ = 2С,(/, 1) +t = i 9x/ dx^ t=1dx],-G^h 2), ^ = -G1(/, 1)-С1(/, 2), -^-G^/, 1),= -2G1(j, 1), ^. = -2GAb 2), =^ = 2С,(/, 1) ++2СД/,+2СД/,2).2).

8>ч duj дХг дх/ dvi Qxj

8>ч duj дХг дх/ dvi Qxj

t = i 9x/ dx^ t=1dx],

-G^h 2), ^ = -G1(/, 1)-С1(/, 2), -^-G^/, 1),= -2G1(j, 1), ^. = -2GAb 2), =^ = 2С,(/, 1) +

t = i 9x/ dx^ t=1dx],

-G^h 2), ^ = -G1(/, 1)-С1(/, 2), -^-G^/, 1),= -2G1(j, 1), ^. = -2GAb 2), =^ = 2С,(/, 1) +

+2СД/,

+2СД/,

2).

2).

Численное интегрирование правой части:

^(M)v/(M)dM«^^f(P/), i=l, 2, 3.

Решение задачи Стокса.

Базисные функции. Базис пространства Wh (аппроксимации пространства //J(^)) можно построить с помощью следующих функций Wj (i = 1, ..., Nm\. w{ линейна на каждом треугольнике; K'z = 0 на dQA; ®z = 0 в каждом узле (т. е. в середине каждого ребра), исключая i-й узел, где ®z(i)=l. (Сужение функции Wj на каждый треугольник Т совпадает с одной из трех функций vy-, определенных в п. 3. Носителем W; является объединение двух треугольников, содержащих i-n узел.) А именно, одним из базисов пространства Wh служит

((iyz, 0), (0, Ф;У /= 1, . . ., Мт\,

где Nm — число внутренних узлов.

Дискретная однородная задача Стокса приводит к решениям вида'

ий= 22(4.1)

\/=ii=i /

2 XAk = Нх wk йМ + 2 ^н (П area (Т) -^ (Т), /=1QТ°*

Nm

V 2 Y,a;k = $ fywk йМ + 2 ^п кТ^теа (Т) кТ\

(1 s^/? ^ Afm), с div(uft) = 0 на TNT. Коэффициенты ajk вычисляются по формуле

а/к = 2 атеа^ГучшДТУхрвДТ), , т (/, 6)

где суммирование ведется по всем треугольникам Т, содержащим узлы / и к.

Для неоднородной задачи мы введем еще wb связанные с граничными узлами (i > Nm\ Линейная система будет иметь тот же вид, что и для (4.1), только в правых частях надо добавить соответственно выражения

— 2 Хр.1и,2 Yfx/k

i>Nm1>N ' '

(X/ и Yj для / > А7 известны: они задаются граничными условиями).

Алгоритм Удзавы. Опишем теперь дискретный алгоритм Удзавы. Мы начинаем с произвольного Лй={лд(Т), Т^<^"Д (например, с л^(Т) = 0 NT). Если ng уже известно, то вычисляем Ug+1 по формуле.

ug+1 = (2ХГЧ« ^ХДхуру,(4.2)

Nm

V .2 xr«/k = j /А <ш - v f>2 хАк

+Елй(Т)агеа(Т)^(Т),

■Nm'

v '^iYny1a./k=\f wkAM — v 2 Yja-n i-xqi>Nm

+ ^^T)area(T)^(T)

(Л=1, ...), а затем вычисляем nk+1 по формуле

л?11 (Г) = ng (Т) - р div (ug+1) (Т) NT.(4.3)

43 р. Темам'■

Две компоненты скорости в (4.2) в действительности расщепляются; нам нужно просто решать линейные системы вида

Nm

k—\,...,Nm.(4.4)

I = 1

Для этогомы используем метод верхней релаксации (см. Варга[1]).

Оптимальное значение параметра релаксации. Легко проверить, что матрица (ауй) симметрична и положительно-определенна. Пусть ю обозначает параметр релаксации. Мы начинаем с некоторого произвольного вектора Z"; если вектор Z" уже известен, то вычисляем Z^+1 по формуле

/6-1.\

5 ajkZt-lfk .(4.5)

^RR \j s\/=6 + 1v /

Условием окончания итераций служит, как обычно, условие типа max|Z"+1— Zg| < ereI

Оптимальное значение параметра релаксации го можно определить с помощью следующего алгоритма: применяем метод Гаусса —Зайделя для решения однородной системы 2^a.jk = О, начиная с какого-нибудь вектора Z° с компонентами Z“ > 0; имеем

(£_1т

(4.6)(4.6)2 ^г + 2 a-i^!=г/=fe+i

(4.6)

(4.6)

полагаем для каждого п

р^1 = min № l/Znk), р£и = max (Z^/Z^,(4.7)

co"/1 = 2/(1+ /П^"1), ro^1 = 2/(1+ К1-РГ1)-(4-8)

Тестовые расчеты показывают, что и coj+1, и co^+1 сходятся к toopt;.

Хранение матрицы; см. рис. 21. Для решения системы (4.4) можно использовать и прямые методы (метод Холеского, фронтальный метод и т. д.), производя соответствующую перенумерацию узлов. Однако в нелинейном случае применять эти методы уже нелегко.

Численные результаты. Выбор параметра р в алгоритме Удзавы производится экспериментально. Мы решаем несколько тестовых задач с различными р и сравниваем результаты для заданного числа итераций Удзавы (скажем, 10, 20, 30, ...).

•'Рр+1 и pg‘+l сходятся к р (J?i)—спектральному радиусу матрицы Гаусса— Зайделя,—и р (5)2 = р (^з), toopt = 2/(l + /1— Р (Я)2).

Рис. 23.

Хорошим показателем сходимости служит величина С^’^шах | div (и^)г| 2.-

г

На рис. 22 и 23 приведены результаты для второго из рассматриваемых нами случаев с v= 1, о1 = 0, а2 = 1 (цилиндр Ct покоится, а цилиндр С2 вращается с единичной угловой скоростью,

1 Это число, равное (1/р) max j л^1+1) (Т) — ^ (Т)|, характеризует сходимость дискретных давлений. Мы рассматриваем также величину ваи^” = max[|X"+1—Х"|, |у"+1 —У" |], характеризующую сходимость дискретных скоростей.

объемных сил нет). Из этих рисунков ясно видно существование оптимального р; в данном случае popt = 0,96.

Метод расширенных лагранжианов. Это комбинация метода штрафов с методом Удзавы. Мы просто добавляем к (1.4.209) штраф (1/е) | divftuft |2, и это приводит к следующей системе уравнений (Фортэн — Гловински):

■ v((«A, vA))A + 4(divA»ft» div„yft)-(nft, divftyft) =

.= (/, ®А)**А^А.(4.9)

Для (4.9) записываем алгоритм Удзавы. Полагая, как и выше, мы должны только заменить левые части уравнений, приведенных после формулы (4.2), на

NmNlm

ч^Х^-Ц ^Х^Ф^,, Dhxwk)

+ У7+ЦОкушл Dhxwk)}, (4.10)

NmNlm

vS ^'«/й + Т/^ ^(J)^, Dhywk>

-A-Y^DhyWj, Dhywk)\ соответственно. Из (4.10) видно, что уравнения для компонент X и Y уже не расщепляются и нам надо решать линейную систему, вдвое большую, чем в предыдущем случае при 1/е = 0. Далее, хотя метод верхней релаксации применим и для решения системы (4.10), параметр со уже нельзя найти с помощью метода, описанного в п. 4.2; поэтому выбор w производится экспериментально.

В результате тестовых расчетов для задачи 2 было выбрано значение ю=1.6. Число итераций пе, необходимое для достижения требуемой точности (С^* s^ IO-?, ба#^ Ю-5), убывает, когда 1/ty возрастает (начиная с 0); в данном случае оно достигает минимума для 1/е = 8, с наилучшим р = р(е) = 9.2. Требуемая точность была достигнута всего за 15 итераций (пе= 15).

Решение уравнений Навье—Стокса. Мы используем следующие обозначения: Wh — аппроксимация пространства НЧф); Wh — аппроксимация пространства//1^); WA — аппроксимация пространства Щ(фу, Wk— аппроксимация пространства Нд(йу Xh — пространство ступенчатых функций лд, постоянных на каждом & £3\ и равных нулю вне Сцку Пусть vk — базисные функции, порождающие ^h yk^Nmy Полагаем

Sk = J vk dM.

вй

Рис. 24.

Рив. 25.

Напомним, что

J vftuzd7W = 0 при k^=l.

Как и выше, вводим дискретные операторы дифференцирования Dhxv, Dhuu и дискретную дивергенцию Dhy = Dhxox-VDhyUy. Обозначения bh, ah имеют тот же смысл, что и в гл. II (см. (II.3.78) и (II.3.80)).

Дискретная задача поставлена в (II.3.93). Мы опробовали два алгоритма из изложенных в гл. II.

Алгоритм 1 (алгоритм Удзавы, см. (II.3.107), (II.3.108)). Начинаем с некоторого р^^Хь (например, с р^ = ОУ Если р^ уже известно (т^О), то находим ц™+1 из уравнений

v«Hr\ ‘Oh^bhkur\ ttr^-VnWe-HDhttr1, Dh<o^

- Dhvh) + (Д уй) 4Dh € Wh (5.1)

(систему (5.1) можно решать методом нижней релаксации). Затем вычисляем р"*1;

P^^P^-pD^*1-(5.2)

Алгоритм 2 (неявный метод Эрроу— Гурвица, см. (II.3.122), (II.3.123)). аГ1 находится из уравнений

((ЯГ1-^, ®A))A + p[v(«, vh^h + e-4Dhttr\ Dhvh) +bh (unhl, иГ1» vh)-W, D^-tf, УЛ)] = 0 ^<oh € ^.(5.3)

Затем p^+1 вычисляется из уравнения

«(р^-Р^ + рВДГ^О.

Примеры. На рис. 24 показаны линии тока для течения в задаче 1, ртвечающие наилучшему экспериментальному выбору р, а, в (алгоритм 2, v=10~2, (7 = 1, 512 треугольников; были опробованы значения 1/е = 0, 5, 7, 10). На рис. 25 показаны линии тока для течения в задаче 2 (v = 4.10~2, 0^=1, о2 = 0, 412 треугольников, 655 узлов (рис. 16); параметры были выбраны такие: р = 0, 1/е= 10, а = 0.004).

КОММЕНТАРИИ

И ЛИТЕРАТУРНЫЕ УКАЗАНИЯ

Глава 1. Параграф 1 посвящен предварительному исследованию играющих центральную роль в этой книге пространств V и Н. Теорема о следе доказана методами, изложенными в монографии Лионса и Мадженеса [1]. Приведенная Характеризация пространств НиН1- основана на теореме де Рама из теории потоков. Более элементарное доказательство дано в книге Ладыженской [1] для п = 3. Упрощенный вариант доказательства Ладыженской, пригодный для любой размерности пространства, приведен у Темами (9]. Другой способ избежать применения теоремы де Рама указан в замечании 1.9.

Мы не даем ни систематического изложения, ни обзора теории пространств Соболева, а ограничиваемся тем, что напоминаем свойства этих пространств по мере надобности (см., в частности, пункты 1.1 глав I н II). Как уже отмечалось в тексте, по поводу доказательств н дополнительных сведений читатель отсылается к работам: Лионе [1], Лионс и Мадженес [1], Нечас [1], Соболев [1] и др.

Вариационная формулировка уравнений Стокса была впервые введена (в общем случае нелинейных уравнений) Лерэ [1—3] при изучении слабых, или турбулентных, решений уравнений Навье—Стокса. Существование решения вариационной задачи Стокса легко получается с помощью классической проекционной теоремы, доказательство которой напоминается для полноты изложения. Результаты, касающиеся задачи Стокса в невариационной постановке и регулярности решений, основаны на статьях Каттабриги [1] (п = 3) и Агмона, Дуглиса н Ниренберга [1] об эллиптических системах (любой размерности); эти результаты проводятся без доказательства. Другой подход к регулярности описан в работе Солонникова и Скадилова [1]. См. также Солонников [4], Ворович и Юдович [1].

Понятия аппроксимации нормированного пространства и аппроксимации вариационной задачи изучались многими авторами, в частности Обэном [1] и Cea [1]; здесь мы придерживаемся изложения, данного в книге Темама [8]. Дискретное неравенство Пуанкаре (п.3.3) и аппроксимация пространства V конечными разностями имеются у Сеа [1]. Аппроксимация пространства У согласованными конечными элементами была впервые изучена и использована Фортэном [2]; наше описание аппроксимаций (АПР2), (АПРЗ) (согласованные конечные елементы) в основном следует Фортэну [2]. В этой работе можно найти также много результатов вычислений, использующих этот тип дискретизации. Идея искальзования функций-колоколов принадлежит Равьяру; данное здесь изложение аппроксимации (АПР2') является новым. Аппроксимация (АПР4) была изучена и применена Томассэ [1]. Результаты, касающиеся использования несогласованных конечных элементов для аппроксимации несоленоидальных вектор-функций, принадлежат Крузею, Гловински, Равьяру и автору. Другие аспекты этой темы (несогласованные конечные элементы высших степеней и более тонкие оценки погрешности) представлены у Крузея и Равьяра [1]; по поводу численных экспериментов см. Томассэ [2], а также Лайи [1] для случая осесимметричного трехмерного течения.

Относительно других приложений конечных элементов в механике жидкости см. Оден, Зенкевич, Гэллахер и Тейлор [1] и материалы конференции в Италии,

состоявшейся в июне 1976 г. (в печати). Что касается общей теории конечных элементов, упомянем следующие работы синтетического характера: Бабушка и Азиз [1], Сьярле [1], Равьяр [2], Стрэнг и Фикс [ 1], Азиз [ 1]. Дальнейшую литературу по конечным элементам читатель найдет в этих работах. Описание методов конечных элементов, приведенное в книге, почти полностью автономно; мы лишь предположили справедливость нескольких конкретных результатов, доказательство которых потребовало бы введения аппарата, далеко выходящего за рамки наших рассмотрений.

После дискретизации задачи Стокса мы должны решать конечномерную линейную задачу, где неизвестным является элемент ин некоторого конечномерного пространства Уд. Здесь есть две возможности:

либо пространство Vy обладает естественным и простым базисом, таким что задача сводится к линейной системе с разреженной матрицей относительно компонент вектора иу, в этом случае мы решаем задачу, разрешая эту линейную систему; '

либо это не так, и тогда конечномерную задачу не так просто решить (приходится иметь дело с плохо обусловленными или неразреженными матрицами), даже если она обладает единственным решением; в этом случае для решения задачи должны быть введены подходящие алгоритмы; это и составляет цель § 5.

Алгоритмы, описанные в § 5, были предложены для задач теории оптимизации и экономики в книге Эрроу, Гурвица и Удзавы [1]. Применение этих методов к задачам гидродинамики изучалось в работах Сеа, Гловински и Не- делека [1], Фортэна [2], Фортэна, Пзйрэ и Темама [1]. Экспериментальное исследование проблемы оптимального выбора параметра р (или р и а) прове. дено у Бежи [1] и Фортэна [2]; теоретическое решение этой проблемы для одного весьма частного случая дано Крузеем [2].

Аппроксимацию несжимаемых течений слабо сжимаемыми, как в § 6, изучали Лионс [4] и Темам [2|. Полное асимптотическое разложение Ие> приведенное в § 6, является новым н принадлежит М. Пелисье. За дальнейшими сведениями по этому вопросу мы отсылаем читателя к работе Пелисье [1]. См. также Фолк [1] и Берковье [1].

Г лава //. В § 1 представлены некоторые стандартные результаты о существовании и единственности решений нелинейных стационарных уравнений Навье— Стокса. Мы следуем в основном Ладыженской [1] и Лионсу [2]. Более полное обсуждение вопроса о регулярности решений и теории гидродинамических потенциалов можно найти у Ладыженской [1]; относительно регулярности см. также статью Фудзиты [1]. Стационарные уравнения Навье—Стокса в неограниченной области изучались финном [1—5], Финном и Смитом [1, 2], Хейвудом [1,3].

Некоторые новые теоретические результаты, касающиеся стационарных уравнений Навье—Стокса, получены в работах Фояша и Темама [2] и Темама [ 11 ].

В § 2 приведены дискретные неравенства Соболева и теоремы компактности, доказательства которых носят весьма технический характер. В принципе доказательства для случая конечных разностей аналогичны соответствующим доказательствам для непрерывного случая (см., например, Лионс [1], Лионс и Мадженес [1]). Доказательство дискретных неравенств Соболева ранее не ) публиковалось, доказательство дискретной теоремы о компактности можно ; найти у Равьяра [1]. Для согласованных конечных элементов доказательства j, намного более просты; в частности, для дискретной теоремы о компактности '' дело совсем просто сводится к непрерывному случаю. Для несогласованных конечных элементов доказательство неравенств Соболева основано иа специфической технике теории несогласованных конечных элементов. Дискретная теорема о компактности доказана с помощью сопоставления согласованных И несогласованных конечных элементов; это новые результаты.

Обсуждение дискретизации стационарных уравнений Навье—Стокса ведется

в соответствии с принципами, развитыми в гл. 1. Общая теорема о сходимости аналогична изложенной в гл. I, рассмотрены те же самые типы дискретизации пространства V; разница заключается в отсутствии единственности решения точной задачи. Численные алгоритмы п. 3.3 были предложены и опробованы Фортэном, Пейрэ и Темамом [ 1 ].

В последние годы были достигнуты успехи в исследовании вопроса о неединственности стационарных решений уравнений Навье—Стокса и родственных им уравнений. Главные результаты в этом направлении принадлежат Рабиновичу [2] и Вельте [1, 2]. В [2] Рабинович установил неединственность решений задачи конвекции, явно построив два различных решения (первое, тривиальное, отвечает покоящейся жидкости, второе строится при помощи некоторого итерационного процесса). Работы Вельте основаны на топологических методах, теории бифуркаций и теории топологической степени; задача, рассмотренная в [1],—это задача о конвекции, как и у Рабиновича [2]. В [2] Вельте доказывает неединственность решения задачи Тейлора; интересно, что ситуация здесь очень похожа на ту, для которой доказано существование в § 1, хотя эти ситуации и не идентичны. Изложение, данное в § 4, близко следует указанным работам. По поводу других приложений теории бифуркаций см., в частности, сборник под редакцией Келлера и Энтмана [1Ь книги Ниренберга [1] и Рабиновича [4] и журнал Rocky Mountain J. of Math., 1973, 3, № 2.

Глава III. Результаты о существовании и единственности решений для линеаризованных уравнений Навье—Стокса (§ 1) являются частным случаем общих результатов о существовании и единственности решений линейных вариационных уравнений (см., например, Лионс и Мадженес [1, т. 2]). Для полноты мы привели элементарные доказательства некоторых технических результатов, обычно получаемых как простые следствия более сильных результатов (имеются в виду, например, лемма 1.1, которая более естественна в рамках теории векторнозначных распределений (Л. Шварц [2]), или лемма 1.2, которую можно доказать интерполяционными методами (Лионс и Мадженес [1])).

Теорема 2.1—одна из стандартных теорем о компактности, используемых в теории нелинейных эволюционных уравнений. Ряд других теорем о компактности доказан и используется у Лионса [2].

Результаты о существовании и единственности, относящиеся к нелинейным уравнениям Навье—Стокса и приведенные в §§ 3 и 4, являются теперь классическими и продолжают ранние работы Лерэ [1—3]; см. Хспф [1, 2], Ладыженская [1], Лионе [2, 3], Лионс и Проди [1], Серрин [3]. Дальнейшие результаты о регулярности решений и существовании дифференцируемых в классическом смысле решений уравнений Навье—Стокса можно найти во втором издании книги Ладыженской [1]. Относительно аналитичности решений см. Фояш и Проди [1], Фудзита и Масуда [1], Кахан [1], Масуда [1], Серрин [3].

Упомянем также о двух новых и совсем других подходах к изучению вопроса о существовании и единственности, которые мы здесь не рассматривали. Первый принадлежит Фейбсу, Джоунзу и Ривьеру [1] и основан на методах сингулярных интегральных операторов. Он дает существование и единственность в пространствах LP. Второй—это метод Эбина и Марсдена [1], сводящий изучение задачи Коши для уравнений Навье — Стокса к исследованию геодезических на некотором римановом многообразии и, таким образом, использующий методы глобального анализа.

Материал § 5, посвященного обсуждению устойчивости и сходимости простых дискретных схем для уравнений Навье—Стокса, является в основном новым; аналогичное исследование для других уравнений или других схем приведено в работах Темама [2—4). Доказательство устойчивости и сходимости некоторых безусловно устойчивых одношаговых схем можно найти у Ладыженской [б]; относительно схем дробных шагов см. Чорин [2], Ладыженская и Ривкинд [11. Во всех этих работах, исключая работу Чорииа [2], сходимость доказывается, как и здесь, получением подходящих априорных оценок приближенных решений н применением подходящей теоремы о компактности;

в [2] Чорин предполагает существование очень гладкого решения и сравнивает приближенное и точное решения.

Пункт 7.1 служит в основном введением к п. 7.2. Схема дробных шагов, описанная в п. 7.2 (проекционный метод), была независимо предложена Чо- рином [1—3] и Темамом [3]; Чорин рассматривает несколько иную форму схемы, без стабилизирующего члена (1/2) (div В) в (т. е. без замены b на 6). Приложения и другие аспекты этой схемы развиты, в частности, в работах Чжу и Йоханссона [1], Чжу, Мортона и Робертса [1], Фортэна, Пейрэ и Темама [1], Фортэна [1], Фортэна и Темама [1], Маршалла [1,2] и Пескина [1, 2]. Эта схема является интерпретацией метода дробных шагов, введенного и изученного Марчуком [1] и Яненко [1] (см. § 8).

Аппроксимация уравнений Навье—Стокса уравнениями слабо сжимаемой жидкости (п. 8.1) была предложена Яненко [1], который рассматривал чуть более сложные возмущенные уравнения. Введение этих возмущений позволило Яненко использовать метод дробных шагов, который изучается в п. 8.2. Отметим, что схемы § 7 представляют собой схемы дробных шагов, не требующие рассмотрения возмущенных уравнений.

Доказательство сходимости схемы дробных шагов, приведенное здесь, принадлежит Темаму [3, 4] и следует методу, предложенному в работе Темама [ 1 ]. Относительно других аспектов метода дробных шагов см. Марчук [1], Яненко [1, 2] и указанную там литературу; см. также Темам [1,6, 7].

Другие типы возмущенных задач, целью введения которых является преодоление трудностей, связанных с ограничением ,,divB = 0“ (а не применение метода дробных шагов), изучены в работах Лионса [4] и Темама [2]. Относительно методов переменных направлений и дальнейших результатов по методам дробных шагов см. Ладыженская и Ривкинд [1], Ривкинд и Эпштейи [1], Эпштейн [ 1].

В §§ 5—8 представлена лишь весьма малая часть из большого количества результатов по аппроксимации уравнений гидродинамики; самые последние результаты и очень полезную библиографию можно найти в сборниках под редакцией Белоцерковского [1], Холта [2], Кабанна и Темама [1], Рихтмай- ера [1]. См. также Брайен [1], Чжу и Крейсс [1] и, наконец, библиографию, подготовленную в Лос-Аламосской лаборатории (Los Alamos Scientific Laboratory).

С помощью изложенных здесь методов можно решать много других задач. Если говорить лишь о самих уравнениях Навье—Стокса, то можно рассмотреть другие краевые условия (см. Йоосс [1]) или периодические решения (Проузе 1, 2]), вариационные неравенства (Лионс [2]). В работах Бенсусана и Темама 1], Фояша [1], Вишика и Фурсикова [1] изучались стохастические уравнения Тавье—Стокса. Задачами оптимального уравнения для систем, управляемых уравнениями Навье—Стокса, занимался Кювелье [1].

Трудности, встречающиеся в математической теории уравнений Навье — Стокса, побудили некоторых авторов к пересмотру гипотез гидродинамики, приводящих к этим уравнениям, и предложению новых метелей с лучшими математическими свойствами; см. Каниэль [1], Ладыженская [1].

Имеются аналогичные модели, связанные с другими уравнениями (чаще всего это уравнения Навье—Стокса, объединенные с какими-нибудь другими уравнениями), как-то: уравнения конвекции, рассмотрение которых почти идентично рассмотрению уравнений Навье—Стокса; различные модели жидкости; модели загрязнения (Маршалл [1]) и кровообращения (Пескин [1]); океанографические модели (в которых фигурирует уравнение для концентрации). Более подробно исследованы уравнения магнитной гидродинамики и уравнения Бингама (см. Дюво и Лионс [1, 2]), служащие примерами моделей неиьюто- новой жидкости.

Математическая теория уравнений Эйлера здесь не рассматривалась. Относительно одного подхода к ним, основанного на аналитических методах, см. Бардос [1], Като [1, 2], Лионс [2], Темам [10, 12], Юдович ]1].

Некоторые результаты о поведении решений уравнений Навье—Стокса при v—> 0 есть у Лионса [2], Юдовича [1]. Аналогичная задача для одного модельного уравнения типа уравнения Бюргерса полностью исследована в статье Брокера, Пенеля и Темама [1) и в диссертации Пенеля [1]; см. также работы Бардсса, Фриша, Пенеля и Сулема в сборнике под редакцией Темама [12].