АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ

Под редакцией В. В. СЫЧЁВА

МОСКВА «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 19 8 7

ББК 22.253.3 А90

УДК 532.5.032

Асимптотическая теория отрывных течений/Сычёв В. В., Рубан А. И., Сычёв Вик. В” Королев Г. Л.; Под ред. В. В. Сычёва.— М.: Наука. Гл. ред. физ.- мат. лит., 1987,— 256 с.

Излагаются результаты теоретических исследований отрывных течений несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса, полученные на основе использования асимптотических методов. Основное внимание уделяется проблемам самоиндуцированного отрыва при стационарном и нестационарном течениях, теории локальных отрывов у передних и задних кромок тонких профилей, а также исследованию глобальной структуры поля течения за тупым телом. Рассматриваются численные методы решения соответствующих задач о взаимодействии пограничного слоя с потенциальным потоком.

Для специалистов в области аэрогидродинамики.

Ил. 97. Библиогр. 163 назв.

Рецензент

доктор физико-математических наук Г. Ю. Степанов

А1703040000—101~053(02)-87

73-87

©Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, 1987

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие

Глава 1. ТЕОРИЯ ОТРЫВА ОТ ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ ....

Теория пограничного слоя

Проблема отрыва пограничного слоя .

Самоиндуцированный отрыв

Предотрывное течение

Область взаимодействия

Течение в зоне отрыва

Численное решение задачи

Влияние кривизны поверхности

Глава II. ОТРЫВ ПОТОКА ОТ УГЛОВЫХ ТОЧЕК КОНТУРА ТЕЛА . § 1. Отрыв от угла с образованием развитой застойной зоны ...

Течения с малыми значениями параметра к § 3. Зарояодение отрыва вблизи точки слабого излома контура тела .

Глава Ш, ТЕЧЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ЗАДНЕЙ КРОМКИ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ

Пограничный слой в окрестности задней кромки плоской пластины § 2. Влияние толщины профиля

Влияние угла атаки

Глава /Р. ОТРЫВ НА ПЕРЕДНЕЙ КРОМКЕ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ .

Экспериментальные наблюдения

Постановка задачи. Область невязкого течения

Пограничный слой

Область взаимодействия

Численное решение фундаментального уравнения

Глава К ТЕОРИЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО ОТРЫВА

Аналогия нестационарного отрыва с отрывом на подвижной поверхности

Особые решения уравнений пограничного слоя § 3. Самоиндуцированный отрыв на подвижной поверхности ...

Отрыв нестационарного пограничного слоя

「"“ба VI. АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЙ ЗА ТУПЫМИ ТЕЛАМИ

История вопроса .・

Постановка задачи. Исходные предположения и оценки ...

5 7 71482603 6 796

1112233 3 356

83839404^ ^и^^^

1 1 1 1 1 1 1

6 6 1

9 9 0

112

Течение в слое смешения и зоне отрыва204

Сопротивление тела и параметры зоны отрыва210

Смыкание зоны отрыва и нестационарность .212

Переход к тонкому телу215

Глава VII. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ТЕОРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 222

Постановка задачи222

Методы, использующие явную схему аппроксимации условия взаимодействия 224

Неявные разностные схемы . .231

Полностью неявная схема237

Список литературы ...; .°~ 。°245

ПРЕДИСЛОВИЕ

Значительные успехи, достигнутые за последние 15—20 лет в развитии теории отрывных течений жидкостей и газов при больших числах Рейнольдса во многом связаны с использованием асимптотических методов их исследования. Наиболее плодотворным оказался при этом метод построения сращиваемых асимптотических разложений, получивший широкое применение и во многих других областях механики и математической физики (Ван Дайк, 1964; Коул, 1968; Лагерстром и Кастен, 1972). С помощью этого метода были решены важные задачи о взаимодействии и отрыве пограничного слоя в дозвуковых и сверхзвуковых потоках, выявлена природа, установлены основные закономерности и управляющие параметры этих явлений. Количество оригинальных статей, посвященных различным задачам асимптотической теории отрывных течений исчисляется уже многими десятками. Можно смело сказать, что возникло новое и весьма плодотворное направление в развитии теоретической гидродинамики. Однако оно не получило пока должного систематического изложения, и целью настоящей монографии является попытка хотя бы частично заполнить этот пробел.

Авторы, по необходимости, ограничили себя рассмотрением наи^ более близкого им круга проблем, связанных с плоскими отрывными течениями несжимаемой жидкости, в предположении их лами- парности. Таким образом, за пределами этой книги остались результаты многочисленных исследований отрывных течений газа при околозвуковых, сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростях потока, хотя хронологически задача об отрыве пограничного слоя в сверхзвуковом потоке была решена раньше других (см. гл. I).

Мы совсем не касаемся здесь исследований взаимодействия и отрыва турбулентного пограничного слоя, а также большого класса внутренних задач о течениях в каналах и трубах. Многим из перечисленных проблем посвящены обстоятельные обзоры, среди кото- рык прежде всего следует назвать работы Браун и Стюартсона (1969), Нейланда (1974, 1981), Стюартсона (1974, 1981), Лагер- строма (1975), Месситера (1979, 1983), Адамсона и Месситера (1980), Смита (1982а).

Работы в области асимптотической теории отрывных течений находятся еще в стадии интенсивного развития, и авторы отдают себе отиет в том, что за время подготовки книги к печати появится нема-

ло новых результатов. Тем не менее мы надеемся, что предлагаемая монография может послужить полезным введением в эту теорию и привлечь внимание к тем новым возможностям, которые доставляет нам применение асимптотического подхода к исследованию многих проблем. По мнению авторов, основное значение такого подхода состоит не в том, что он дает приближенный метод решения задачи (точность которого может оказаться и очень низкой, если реальное значение малого параметра задачи ненамного меньше единицы), а в том, что он вскрывает физический механизм явления, устанавливая управляющие им безразмерные параметры, которые играют роль параметров подобия. Этим вполне окупается и известная сложность построения совокупности сращиваемых асимптотических разложений при большом количестве подобластей течения. Результаты асимптотического анализа должны всегда учитываться (или даже непосредственно вводиться) при построении надежных численных методов расчета. Только таким путем могут быть осуществлены учет всех локальных особенностей течения и построение адекватной ему математической модели.

Наконец, одним из важных следствий асимптотической теории вязких отрывных течений несжимаемой жидкости является ее глубокая связь с классической теорией течений идеальной жидкости со свободными линиями тока. Это относится не только к проблеме установления асимптотического состояния глобального поля течения за тупым телом конечных размеров (гл. VI), но также и к локальным особенностям решений теории Кирхгофа в точках отрыва потока от поверхности тела, появление которых нельзя объяснить, остав&ясь в рамках теории невязких течений, поскольку в действительности они связаны с процессом взаимодействия пограничного слоя и внешнего потенциального потока (гл. I, II, V).

В написании этой книги участвовало несколько авторов и поэтому возможно, что (несмотря на усилия редактора) читатель найдет ее не вполне однородной по стилю изложения. Гл. I и VI написаны В. В. Сычёвым, гл. II, IV и § 2 гл. III — А. И. Рубаном, гл. V и § 1, 3 гл. III — Вик. В. Сычёвым, гл. VII Г. Л. Королевым. По просьбе авторов § 6 гл. VI был написан С. Н. Тимошиным, за что они ему очень признательны. Авторы считают также своим приятным долгом поблагодарить К. Е. Ивашкину, Г. Е. Царькову и Е. Б. Иванову, оказавших большую помощь при подготовке иллюстраций и графиков.

Особую благодарность авторы хотели бы выразить проф. Г. Ю. Степанову, взявшему на себя труд ознакомиться с рукописью и сделавшему ряд ценных замечаний.

5. Сычёв

Глава I

ТЕОРИЯ ОТРЫВА ОТ ГЛАДКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

Проблема исследования отрыва потока от твердой поверхности обтекаемого тела и образующегося в результате этого отрывного течения принадлежит к числу фундаментальных и наиболее трудных проблем теоретической гидродинамики. Первые попытки построения отрывных течений за тупыми телами, как известно, были предприняты Гельмгольцем (1868) и Кирхгофом (1869) еще в середине XIX в. в рамках классической теории течений идеальной жидкости. Хотя в работе Гельмгольца и можно найти указание на вязкую природу слоев смешения, представляемых в пределе тангенциальными разрывами, однако до создания Прандтлем (1904) в начале текущего столетия теории пограничного слоя адекватные методы исследования таких течений отсутствовали. Прандтлю принадлежит первое объяснение физической природы отрыва потока при больших числах Рейнольдса как отрыва пограничного слоя. По существу теория пограничного слоя Прандтля явилась основополагающей для всех последующих исследований асимптотического поведения течений жидкости или газа с исчезающе малой вязкостью, т. е. течений сред, подобных воздуху или воде, с которыми чаще всего приходится иметь дело в природе и технике. Поэтому мы начнем с краткого изложения основных положений этой теории.

Теория пограничного слоя

В качестве исходной системы соотношений, описывающих течения вязкой жидкости, обычно используются уравнения Навье —— Стокса с соответствующими краевыми и начальными условиями. Эти уравнения достаточно хорошо отражают поведение реальных жидкостей и газов.

Для несжимаемой жидкости при отсутствии массовых сил уравнения Навье — Стокса могут быть записаны в виде

察 + (V, V) V + ^ Vp =田匕(V, V) = 0.(1.1)

Принятые здесь обозначения являются стандартными: V ——вектор скорости течения, р — гидродинамическое давление, р ——плотность, V — кинематическая вязкость среды.

Рассмотрим задачу обтекания тела однородным потоком. Граничными условиями для этой задачи будут условия прилипания жидкости к твердой поверхности, а также условия, определяющие значения функций течения на бесконечности.

В дальнейшем уравнения и граничные условия мы будем всегда записывать в безразмерном виде. С этой целью независимые переменные г отнесем к характерной длине тела £, компоненты вектора скорости V — к характерной скорости (например, к скорости невозмущенного потока) ГД, давление — к удвоенному скоростному напору р。^； в качестве характерного времени примем L/Uo,

Основным безразмерным параметром задачи будет число Рейнольдса

Уравнения Навье — Стокса, записанные в безразмерной форме, отличаются от (1.1) тем, что в правой части в качестве коэффициента при старших производных вместо v стоит величина Re-1. Для исследования двумерных (плоских) течений жидкости их удобно записать в криволинейных ортогональных координатах 瑞 ％ связанных с поверхностью тела у = 0 (см., например, Розенхед, 1963):

ди и ди亦+方匈+ "ди и ди亦+方匈+ "dv и ди前+不方+Ddv и ди前+不方+DKVU厂十KVU厂十_1 дрh дх_1 дрh дхдр 8?др 8?Re дхRe дх(1.2)(1.2)д (7ш)д (7ш)Re dy[7i dyRe dy[7i dy

ди и ди

亦+方匈+ "

ди и ди

亦+方匈+ "

dv и ди

前+不方+D

dv и ди

前+不方+D

KVU

厂十

KVU

厂十

_1 др

h дх

_1 др

h дх

др 8?

др 8?

Re дх

Re дх

(1.2)

(1.2)

д (7ш)

д (7ш)

Re dy[7i dy

Re dy[7i dy

du ] 6 (hv) ndu ] 6 (hv) nh = 1 + %{x)y.h = 1 + %{x)y.

du ] 6 (hv) n

du ] 6 (hv) n

h = 1 + %{x)y.

h = 1 + %{x)y.

в пограничном слоев пограничном слое

в пограничном слое

в пограничном слое

Здесь 乂 一 безразмерная кривизна поверхности тела, которая опре

делена положительной для выпуклой стенки, изображенной на рис. 1.1, когда центр кривизны находится на стороне z/ < 0. Координата х отсчитывается от некоторой точки。вдоль поверхности тела, у ——по нормали к поверхности, щ V ——соответственно тангенциаль- ная и нормальная к стенке безразмерные составляющие вектора

скорости.

На основании уравнения неразрывности можно ввести в рас

смотрение функцию тока *ф, определяемую соотношениями

学=〃，粵=_(1 + %加.(1.3)

Gyox '

Ее использование в качестве искомой функции часто оказывается более удобной формой записи уравнений количества движения.

С математической точки зрения исследование течения при большом числе Рейнольдса эквивалентно рассмотрению асимптотического доведения решения уравнений Навье ——Стокса при Re f g. Если осуществлять предельный переход Re -> 8 при сохранении порядков величин, введенных выше безразмерных независимых и зависимых переменных, то «вязкие» члены в (1.2), обратно пропорциональные числу Рейнольдса, исчезнут, и мы получим систему уравнений Эйлера. Ввиду отсутствия в них членов со старшими производными от искомых функций порядок этой системы является более низким, чем порядок исходной системы уравнений Навье ——Стокса. Это обстоятельство не позволяет удовлетворить всем граничным условиям задачи. Приходится отбросить граничные условия, связанные с прилипанием жидкости к твердой поверхности, допустив произвольное скольжение жидкости вдоль стенки, что противоречит реальной физической ситуации. Выход из этого положения, указанный Прандтлем (1904), состоит, как известно, в том, что при сколь угодно больших числах Re всегда существует вязкий пристеночный слой, поперек которого тангенциальная составляющая вектора скорости и изменяется от нуля до значения, предписываемого теорией течений идеальной жидкости (рис. 1.1). Относительная толщина этого пограничного слоя убывает с ростом числа Re и может быть определена из условия баланса инерционных сил и сил внутреннего трения. Нетрудно установить, что 6 = O(Re~1/2). Поперечная (нормальная к стенке) составляющая вектора скорости течения и внутри пограничного слоя также оказывается величиной порядка Re"”？. Отсюда следует, что для получения уравнений, описывающих течение жидкости в пограничном слое, следует совершить предельный переход Re -> 8, предварительно введя в качестве переменных порядка единицы

y = Re'/2% T = Re"2m (1.4)

В результате получается система уравнений Прандтля, имеющая для случая двумерного (плоского) течения вид )

ди 0〃 т ди др 0% др с ди t dV п而+ 〃窮+卩疗+而=萨，部=°，方+疗=°，

Такпм образом, если отправляться от уравнений Навье ——Стокса (1.2) как от точных уравнений динамики вязкой жидкости, то решение для внешнего невязкого поля течения (описываемого системой уравнений Эйлера) и решение для пограничного слоя (описываемого уравнениями Прандтля) следует рассматривать как совокупность двух асимптотических представлений, внешнего и внутреннего (в их главных членах), справедливых при Re + 8. Именно такой взгляд на теорию пограничного слоя подчеркивает полную равноправность уравнений Эйлера и Прандтля в том смысле, что

(вопреки все еще распространенному представлению) первые из них не следует считать «точными» уравнениями, а вторые ——«приближенными».

Граничными условиями для системы (1.5) будут: во-первых, условие прилипания жидкости к поверхности тела

〃3, 0)=Т(£, 0) = 0, (1.6а) во-вторых, условие сращивания решений для пограничного слоя и внешнего невязкого поля течения, которое может быть записано в виде

lim {и (瑞 У)} = lim {U (瑞 у)} = Ue (况) (1.66) У-*ОО у—0

и, наконец, условие, определяющее профиль скорости пограничного слоя в некотором сечении ж = х^ обычно называемое начальным:

辽(仇，У)=%(У)・ (1.6в)

Условия (1.6) в случае стационарного течения единственным образом определяют решение системы (1.5) (если оно существует) для всех а：》/。при условии, что Ue (力 о)>О и функция 北о (У) непрерывна (Никкель, 1958).

Существование решения уравнений пограничного слоя, как мы увидим, во многом зависит от характера распределения давления вдоль стенки, т. е. от продольного градиента давления, определяемого из решения задачи обтекания тела невязким потоком:

翁1=0 =k(优)=一乙(优)%优). (1.7)

Так, еснир；(/)&0 при х>х0, то решение задачи (1.5), (1.6) существует при всех х > ж0; если это условие не вьшолняется, то существует такая точка 力【> 力о, что задача имеет по крайней мере одно решение в области 力о W £ W 力㈠ OWYVoo (Олейник, 1963). Более подробно эта ситуация будет рассмотрена ниже.

При решении многих задач удобно использовать безразмерную функцию тока течения в пограничном слое, которая на основании уравнения неразрывности (1.5) определяется соотношениями, эквивалентными (1.3):

票=〃,雾=-匕 中=电1/2不 (1.8)

(1.5) и граничные условия(1.9)(140)(1.5) и граничные условия(1.9)(140)Тогда уравнение количества движения (1.6) примут вид

(1.5) и граничные условия

(1.9)

(140)

(1.5) и граничные условия

(1.9)

(140)

@屮巒屮不屮g型統屮.

lY dxdY 石亦’+ Pe (/)=济"；

У=將=0, У = 0;

翡•f" (*I 8；

8屮

QY = % (У)， N =力0・

В дальнейшем при исследовании стационарных течений мы будем преимущественно пользоваться уравнениями в этой форме.

Рассмотренная нами теория пограничного слоя Прандтля соответствует так называемому иерархическому принципу построения асимптотических разложений, согласно которому эти разложения в каждой из двух (или большем числе) областей строятся поочередно член за членом. Так, например, в случае безотрывного обтекания тела, как мы видели, прежде всего определяется главный член внешнего асимптотического разложения, соответствующий решению задачи обтекания заданного тела потоком идеальной жидкости; затем находится главный член внутреннего асимптотического разложения, соответствующий решению задачи о пограничном слое при заданном (т. е. известном из решения первой задачи) распределении давления; затем может быть определен второй член внешнего асимптотического разложения, учитывающий вытесняющее воздействие пограничного слоя и следа на распределение давления; затем второй член внутреннего разложения, который учитывает это изменение в распределении давления, и т. д.

Иерархический принцип построения асимптотических разложений соответствует итерационной процедуре последовательного уточнения решений для внешнего поля течения и пограничного слоя, указанной самим Прандтлем (1935).

Однако, как мы в дальнейшем увидим, описанная иерархическая процедура наталкивается на известные трудности или оказывается вообще неприменимой при анализе отрывных течений.

Проблема отрыва пограничного слоя

Существование решения уравнений пограничного слоя при упомянутых выше условиях означает, что нормальная к поверхности тела безразмерная составляющая вектора скорости и всюду в пограничном слое является величиной порядка Re~1/2, так что в пределе при Re -> 8 пограничный слой переходит в поверхность тангенциального разрыва, совпадающего с поверхностью тела. Такие течения являются безотрывными. Они могут быть реализованы, например, около пластины, расположенной вдоль потока или у поверхности тонкого профиля при малом угле атаки.

Вообще для реализации безотрывного обтекания необходимы достаточно жесткие ограничения, которые на практике в большинстве случаев не выполняются; это ведет к образованию течений иного рода ——с отрывом потока от обтекаемой поверхности.

Физическая природа явления отрыва потока была впервые объяснена Прандтлем (1904) на основе созданной им теории пограничного слоя. Возникновение отрыва потока всегда связано с действием неблагоприятного (положительного) градиента давления. Под его влиянием частицы жидкости, движущиеся внутри пограничного слоя и обладающие меньшим запасом кинетической энергии, чем частицы на его внешней границе, тормозятся более интенсивно. Профиль скорости течения в пограничном слое при этом постепен-

но изменяется, как это показано на рис, 1.2, так что в некотором сечении х = xs безразмерное трение на стенке т == uY\Y^ впервые обращается в нуль, а при х> х8 возникает область медленного возвратного течения. Эта область быстро расширяется, оттесняя частицы жидкости, принадлежащие пограничному слою, на конечные расстояния от поверхности тела. В пределе при Re -> ©о отрывное течение поэтому выглядит таким образом, что поверхность тангенциального разрыва, в которую переходит пограничный слой, лишь

до некоторой точки совпадает с поверхностью тела, а затем отходит от нее и простирается вдоль «свободной» линии тока, представляя в пределе так называемый слой смешения.

Определение поля течения идеальной жидкости, соответствующего этому предельному состоянию, представляет одну из фундаментальных и наиболее сложных проблем гидродинамики. Мы рассмотрим ее в одном из заключительных разделов этой монографии.

Весьма важным для выяснения условий отрыва потока является исследование механизма отрыва пограничного слоя под действием неблагоприятного градиента давления, т. е. исследование локальной структуры течения вблизи точки отхода нулевой линии тока от твердой стенки. Исходя из картины течения, изображенной на рис. 1.2, эту точку обычно отождествляют с точкой х = xSl где трение на поверхности впервые обращается в нуль. Поэтому изучение отрыва пограничного слоя от гладкой поверхности с математической точки зрения связано с анализом поведения решения уравнений пограничного слоя в окрестности точки нулевого трения. Эта проблема была предметом многих исследований. В основе их, как правило, лежало предположение о том, что распределение давления вдоль поверхности тела в окрестности точки отрыва является регулярным, т. е. положительный градиент давления является здесь конечным и распределенным на конечном участке поверхности. Исследуя решение уравнений пограничного слоя с линейным законом роста давления, Хоуэрт (1938) и Хартри (1939) впервые обнаружили особый характер поведения решения в окрестности точки нулевого трения. Позднее Ландау и Лифшиц (1944) исследовали характер этой особенности и обнаружили, что нормальная к стенке составляющая вектора скорости при приближении к этой особой точке увеличивается как (ж5 — ^)~1/2. Это явилось формальным подтверждением правомерности идентификации точки нулевого трения 12

с точкой отрыва пограничного слоя. Наконец, Гольдштейном (1948) был проведен наиболее подробный и строгий математический анализ возникающей здесь ситуации.

пограничного слоя имеет «двух-пограничного слоя имеет «двух-Рис. £.3. Структура течения перед точкой нулевого трения 力=0Рис. £.3. Структура течения перед точкой нулевого трения 力=0Гольдштейн показал, что непосредственно перед точкой отрыва (которую мы для удобства примем за начало координат, т. е. положим xs = 0) решение уравнений слойную» структуру (рис. 1.3)).

пограничного слоя имеет «двух-

пограничного слоя имеет «двух-

Рис. £.3. Структура течения перед точкой нулевого трения 力=0

Рис. £.3. Структура течения перед точкой нулевого трения 力=0

Во внутренней (пристеночной) области 3, толщина которой при

% —0 убывает по закону У ~ ~ (—/)'", решение уравнения (1.9) для функции тока имеет вид )

^х)^Ш + {~х)^^

+。[(-胃)5勻，п = у(т)h* (2.1) Первый член этого разложения, в котором

/о = ^ %俏 ％ = Ре (0),

соответствует известному асимптотическому профилю скорости при У 0 в точке с нулевым трением: u = dW/dY ^Х0У2/2. Решением уравнения для функции /】(п), удовлетворяющим условиям прилипания и отсутствия экспоненциального роста при т] -> о°, является

А = аЕ?・

Здесь ai ——произвольная постоянная, которую в общем случае следует считать отличной от нуля и положительной, так как трение на стенкет = -~^= 2al (―力)"？ + ... больше нуля при 富 V 0 ).

Во внешней (основной) области пограничного слоя 2, где У = 0(4), решение при 富一> —0 представимо в виде следующего асимптотического разложения:

中 =立(y) + (一 “/2 (2a1%)*(У) + 0 [(一 况)3"

где 4ro(У) определяет профиль продольной составляющей вектора скорости в точке отрыва: % (О, У) = К (У).

Для поперечной составляющей вектора скорости получаем следующее выражение:

厂=—翼=(一 ％)Т2 此(У) + 01(-Ж)~1/4].

гл.гл.Отсюда следует, что если а4 六 0, то по мере приближения к точке нулевого трения величина V (ж, У) неограниченно возрастает, и тео-

гл.

гл.

рия пограничного слоя, согласно которой Р = О(1), перестает быть справедливой. Другим весьма важным результатом исследования Гольдштейна (1948) было доказательство невозможности в общем случае продолжения решения через точку £ = 0, т. е. невозможности построения асимптотического решения, совместимого с (2.1) при х -> +0. Оказалось, что если а4 * 0, то второй член в разложении функции тока W (力,У) при х -> +0, аналогичном (2.1) для внутренней области, пропорциональный 怎 содержит мнимую постоянную.

Таким образом, результаты исследования Гольдштейна не могут рассматриваться как описание реальной ситуации в окрестности точки отрыва пограничного слоя. Вместе с тем они весьма важны, так как появление исследованной Гольдштейном особенности при решении задачи о течении в пограничном слое с заданным неблагоприятным градиентом давления всегда свидетельствует о невозможности безотрывного обтекания.

Самоиндуцированный отрыв

Альтернативой рассмотренной ситуации является откаа от предположения о регулярности распределения давления в окрестности точки отрыва пограничного слоя при Re -> 8. Вместо этого следует предположить, что в реальных течениях вблизи точки отрыва всегда имеет место такое взаимодействие пограничного слоя с внешним потенциальным потоком, что градиент давления, приводящий к отрыву, является самоиндуцированным. В пользу этого предположения говорят и результаты численного исследования Кэтирелла и Манглера (1966), в котором было впервые показано, что если градиент давления не является заранее заданным, а определяется в некоторой окрестности точки отрыва самим пограничным слоем, то особенность Гольдштейна может отсутствовать и решение может быть беспрепятственно продолжено нерез точку нулевого трения.

Рациональные решения такого типа, соответствующие отрыву пограничного слоя в сверхзвуковом потоке, были впервые получены Нейландом (1969), а также Стюартсоном и Вилльямсом (1969). В этом случае зависимость между давлением и наклоном линий тока является локальной, а сингулярность в распределении давления связана с формированием во внешнем потоке волны сжатия, переходящей в пределе в ударную волну.

Более сложно обстоит депо в несжимаемой жидкости. Если сингулярный характер распределения давления в окрестности точки отрыва по-прежнему обусловлен взаимодействием пограничного слоя с внешним потоком, то соответствующее сингулярное решение должно содержаться в классе возможных решений для идеальной жидкости, представляющих течение вне пограничного слоя. На первый взгляд это кажется невозможным из-за эллиптического характера задачи обтекания тела несжимаемой жидкостью. Однако если обратиться к теории струйных течений идеальной жидкости со свободными линиями тока, то оказывается, что она содержит локальное 14

решение, обладающее всеми необходимыми свойствами. Рассмотрим это более подробно.

Рис. 1.4. Форма свободных линий тока в течении Кирхгофа при различных положениях точки отрываРис. 1.4. Форма свободных линий тока в течении Кирхгофа при различных положениях точки отрываРешение задачи обтекания гладкого препятствия, например кругового цилиндра по схеме Кирхгофа, вообще говоря, неоднозначно. Оно может быть построено при различных положениях точки отрыва нулевой линии тока от поверхности тела (рис. 1.4). Если начало криволинейной ортогональной системы координат Оху поместить в точку отхода нулевой линии тока от поверхности тела, то кривизна свободной линии тока будет определяться выражением

Рис. 1.4. Форма свободных линий тока в течении Кирхгофа при различных положениях точки отрыва

Рис. 1.4. Форма свободных линий тока в течении Кирхгофа при различных положениях точки отрыва

乂 = _^一/2+% + 0(炉/2),

l+0(3.1)

(у。一 безразмерная кривизна поверхности тела в точке отрыва, по

лагаемая конечной), а величина градиента давления на поверхности тела в окрестности этой точки будет равна

黑=似一 %)T/2 + 書依 +。［(一 牙/，кf 一 0;

罢=0,%>0.

Произвольной постоянной, связанной с положением точки отрыва, является А.

Подробный вывод соотношений, лежащих в основе формул (3.1), (3.2), можно найти в монографии Биркгофа и Сарантонелло (1957) или в работах Имаи (1953) и Аккерберга (1970).

Заметим что при fc < 0 течение является физически невозможным: в этом случае свободная линия тока пересекает поверхность тела (рис. 1.4), поскольку ее кривизна, согласно (3.1), приобретает бесконечно большое положительное значение. Случай к>0 обычно отвергается на том основании, что соответствующий ему бесконечно большой положительный градиент давления (3.2) при подходе к точке х = 0 привел бы к более раннему отрыву потока. Поэтому в качестве условия, определяющего единственное решение задачи, обычно выставляется требование 论=0, называемое условием «гладкого отрыва» Бриллюэна (1911)——Билля (1914)). Но в этом случае положительный градиент давления вдоль поверхности обтекаемого тела вообще отсутствует и появление отрыва становится физически необъяснимым.

Выход из этой парадоксальной ситуации был впервые указан в работе Сычёва (1972). Основная идея этой работы состоит в том,

что рассматриваемая постоянная к полагается положительной и зависящей от числа Рейнольдса таким образом, что

"(Re)f 0 при Re-> 8. (3.3〉

Это предположение означает, что предельным состоянием течения при Re -> оо будет невязкое течение, удовлетворяющее условию Бриллюэна ——Билля. Однако такой предельный переход является особым: при любом, сколь угодно большом числе Рейнольдса будет существовать исчезающе малая окрестность точки 1/1=0 с большим неблагоприятным градиентом давления, приводящим к отрыву лотока. Этот градиент давления, как мы увидим, является самоин- дуцированным, т. е. он обусловлен процессом взаимодействия пограничного слоя с внешним потенциальным потоком. Это свидетельствует о том, что физическая природа существования особых решений уравнений Эйлера (3.1), (3.2) обусловлена вязкостью среды, т. е. действием сил внутреннего трения.

Прежде чем переходить к подробному рассмотрению асимптотической теории отрыва пограничного слоя (т. е. лостроению совокупности разложений, описывающих поле течения в окрестности точки отрыва), полезно привести некоторые более простые рассуждения о порядках гидродинамических величин^ которые позволяют выяснить структуру течения в окрестности точки отрыва и понять происходящие здесь физические процессы. Мы будем называть такое рассмотрение инспекционным анализом задачи.

Возьмем малую окрестность точки отрыва с характерным продольным размером А/《4, в которой неблагоприятный градиент давления вызывает отрыв потока. Согласно (3.2) и (3.3) продольный перепад давления по порядку величины здесь равен )

Ар~"(А%)。， (3.4)

т. е. является величиной, много меньшей единицы. Но для того, чтобы исчезающе малый перепад давления мог вызвать отрыв потока, необходимо чтобы градиент давления Ар/А/ был по порядку величиной, много больше единицы ), а это означает, что основная часть пограничного слоя с толщиной 6 порядка Re~i/2, где У = 0(1) и тангенциальная составляющая вектора скорости 乂 = 0(1), будет локально невязкой, поскольку «вязкий» член d2u/dY2 в правой части уравнения количества движения (1.5) остается здесь величиной порядка единицы. Из баланса инерционных членов и градиента давления следует, что изменение скорости А〃 вдоль рассматриваемой области будет порядка Ар, а тогда из уравнения сохранения расхода следует, что и относительное изменение толщины вытесне-

ния основной части пограничного слоя составляет ту же величину: Дб/б ~ Ар.

Теперь необходимо рассмотреть более тонкую область (подслой) около стенки. Для этого имеются две причины. Во-первых, невязкий характер течения в основной части пограничного слоя не позволяет удовлетворить условиям прилипания на поверхности тела. Во-вторых, около стенки, где 〃《1, может проявиться эффект нелинейности продольного уравнения импульсов, когда и ~ А〃. Если действие вязкости окажется сильнее влияния нелинейности, то вдоль пристеночного подслоя профиль скорости в основном порядке останется неизменным. Следовательно, такая ситуация не может соответствовать отрыву потока. С другой стороны, если действие сил внутреннего трения окажется слабее эффекта нелинейности, то для рассматриваемого течения будет верно уравнение Бернулли. Однако это также невозможно, поскольку для достаточно близких к стенке струек тока квадрат скорости в результате повышения давления стал бы отрицательным. Таким образом, пристеночный подслой должен быть одновременно нелинейным и вязким. Тогда из уравнения импульсов (1.5) следует, что в этом подслое с толщиной Re"/2AY

(3.5)(3.5)АмДр △〃

(3.5)

(3.5)

U -:-〜-?- 〜

А ①Дж(АУ)?

Из условия сращивания решений в рассматриваемой области и области течения перед ней, где трение конечно, имеем

(3.6)(3.6)(3.7)(3.7)辽〜Аy.

(3.6)

(3.6)

(3.7)

(3.7)

Далее, поскольку и ~ А〃, то первое из соотношений (3.5) дает

Кроме того, из условия 〃 ~ А〃 следует на основании уравнения сохранения расхода, что изменение толщины вытеснения вязкого под- слоя имеет порядок его толщины АУ. Тогда, сравнивая (3.6) с (3.7)% получаем, что влияние вязкого подслоя на изменение толщины 6 всего пограничного слоя будет

(3.8>(3.8>Дб 〜Re-1/2AF 〜Rei/2]/Ap, т. & Дб/6 〜必口

(3.8>

(3.8>

Таким образом, основной вклад в вытесняющее воздействие пограничного слоя на внешний потенциальный поток вносит вязкий подслой. Вклад основной части пограничного слоя, где 〃 = О(1), как мы видели, составляет величину порядка Re~1/2A/j. Эта область течения играет поэтому пассивную роль и (в первом приближении) лишь оттесняется вязким подслоем, так что наклон линий тока, обусловленный развитием последнего, передается без изменения внешнему потенциальному потоку.

Используя (3.5)——(3.8), нетрудно оценить порядки величин градиента давления и кривизны свободной лижш тока, обусловленных

2 П./ред. В. В. Сычёва17

вытесняющим эффектом подслоя:

^ 〜(М)Т2, 乂〜 鳥〜Re-"? ОР)-叫©С)

Если теперь учесть, что на основании исходных соотношений (3.1), (3.2) обе эти величины должны быть в рассматриваемой области порядка А (Агг)-о?, то, используя (3.9) и предыдущие соотношения (3.5)—— (3.8), можно получить оценки для всех переменных в вязком подслое области взаимодействия:

(3.110)(З.И) бесконеч-(3.110)(З.И) бесконеч-^x = O (RL/8),у = Re-/2y =。(Re-5/s),

(3.110)

(З.И) бесконеч-

(3.110)

(З.И) бесконеч-

〃 =О (R『"8),。= 0(r『3/8), 厶卩=。(r「/4).

Подставляя эти оценки, например, в (3.4), находим, что

k = 0(Re-S6).

Итак, мы видим, та о при стремлении числа Рейнольдса к

ности градиент давления и кривизна линий тока внешнего течения неограниченно возрастают как Re弋 а протяженность области взаимодействия убывает как Re~3/8.

Предотрывное течение

Перейдем теперь к подробному асимптотическому анализу течения в окрестности точки отрыва при больших числах Рейнольдса, т. е. построению системы асимптотических разложений, представляющих в совокупности искомое решение при Re -> 8 ).

Начнем с рассмотрения течения перед областью взаимодействия при £ V 0. Пограничный слой на поверхности тела развивается здесь под действием градиента давления, определяемого при х f —О выражением (3.2), в котором постоянная к, как мы установили, стремится к нулю при Re -> 8 по закону Re""* Поэтому положим

k = RL〃6Q, 5>о(4.1)

и представим решение уравнения пограничного слоя для функции тока (1.9) вместе с соответствующим распределением давления в виде разложений

屮=В。3, У) + Re-〃6% у, Y) + O (Re-1/8),

ре = /?о (^) + Re-1/16Pi (Х) + О (Re-1/8).( •)

Здесь 4ro(£, У) представляет собой решение краевой задачи (1.9), (1.10), (1.7) для пограничного слоя в потоке, удовлетворяющем условию Бриллюэна ——Билля (Л: = 0), т. е. при наличии заданного благоприятного градиента давления р° ⑺.При х f —0 оно может быть представлено в виде разложений

% =呼。(У) + (一£)叫I ( У)十0[(-£)7咛

р。 = Рао +。[(-£)3勻.

Появление нерегулярных членов в этих разложениях^ порядки которых указаны, связано с нерегулярностью в распределении давле- ния (3.2).

Напомним, что положение точки отрыва свободной линии тока невязкого течения при заданном давлении pQQ в зоне отрыва зависит от величины параметра 论.При к = O(Re-1/16) эта точка сместится вниз по потоку от своего исходного положения (соответствующего 乃=0) на величину, пропорциональную Re_1/i6. В соотношениях (4.2), (4.3) и всюду в дальнейшем мы будем полагать, что значению / = 0 соответствует новое положение точки отрыва.

Поскольку трение на поверхности тела при 为=0 положительно,, то для первого члена (4.3) вблизи стенки имеем

Тоо = 4 а°У2 + о(у9/2), °. (4.4)

Уравнение для функции Ч\(啰,У), получаемое подстановкой (4.2) в (1.9), имеет вид

dW /рd24f @qd屮 d2w@2屮 d屮d@3屮

dY dx dY 十 dx dY dY dx ^ya @y2 @力 dz ^y3 “

(4.5a) где, согласно (3.2) и (4.1),

〃 =—2q(—%)"2 + .・.，—0.(4.56)

1Я (4.5а) при £->—0 бу- течению в области с по-1Я (4.5а) при £->—0 бу- течению в области с по-Рис. 4.5. Схематическое изображение структуры течения перед областью взаимодействияРис. 4.5. Схематическое изображение структуры течения перед областью взаимодействияТак как при х т—0 «вязкий» член в правой части по порядку величины должен оставаться конечным, а градиент давления неограниченно возрастает, то решение уравнев дет соответствовать локально невязкому перечным масштабом У = 0(1) (которую мы в дальнейшем будем называть основной частью пограничного слоя) и не будет удовлетворять условию прилипания на твердой границе. Для удовлетворения этому условию необходимо ввести в рассмотрение вязкий подслой, течение в котором должно определяться балансом градиента давления, инерционных сил и сил внутреннего трения ). Схематически течение в предотрывной области изображено на рис. 1.5 ). Так как? согласно (4.4), величина трения на стенке а0 отлична от

1Я (4.5а) при £->—0 бу- течению в области с по-

1Я (4.5а) при £->—0 бу- течению в области с по-

Рис. 4.5. Схематическое изображение структуры течения перед областью взаимодействия

Рис. 4.5. Схематическое изображение структуры течения перед областью взаимодействия

2*2*нуля, то конвективные члены уравнения (4.5а), например последний, будут одного порядка с «вязким» членом, стоящим в его правой части, в области с поперечным размером У~(—а)"* и будут при

2*

2*

этом того же порядка, что и градиент давления, если 4rl (力,У) меняется в этой области пропорционально (―①)"?. Поэтому решение для вязкого подслоя при х -> —0 следует искать в виде

К = (—#) s 厶⑺ + °[(—£)4/з],刀=у/ (—£)i/з.(4.6)

Пользуясь условием сращивания решений в основной части пограничного слоя 2 и подслое 3, мы можем на основании (4.4) и (4.6) представить функцию 4ro (怎 У) в подслое в виде

屮о = ^〃。(-况产3^ + О[(- %)3/2],%f — 0・(4.7)

Подставляя теперь выражения (4.6) и (4.7) для главных членов разложения функций 中о(瑞 У) 0 4fl (怎 V) в (4.5), получим уравнение для функции /Дт]), которое имеет вид

/Г—у ^fi + -f- л/ifA = ci •(4.8)

Граничными условиями для этого уравнения будут условия прилипания на твердой стенке

力(°) = /； (0) = 0，(4.9)

а также условие отсутствия экспоненциального роста функции 九(п) при Т)-> 8 для возможности выполнения сращивания решения в подслое с решением для основной части пограничного слоя. Перечисленные условия единственным образом определяют искомую функцию, которая при больших п имеет асимптотическое представление вида

А = ^1Т]3/2 + 61Л + 0(1), п-> 8.(4.10)

Интегрирование (4.8) дает для постоянных в (4.10) следующие значения *):

旬=-5,48q〃”2,%=4,92j乐2/3.(4.11)

Асимптотическое представление функции 厶(п) при “ 一> 8 позволяет, на основании принципа сращивания решений в вязком подслое и в основной части пограничного слоя, выписать, пользуясь (4.10) и (4.6), выражение для функции 4fl(£, У) при У-> 0, которое будет иметь вид

明=а/з/2 + ^xy^biY + 0[(一£尸勻・(4.12)

На основании этого выражения можно написать следующее разложение для функции 4rl(怎 У) при У = 0(1):

% =叫。(y) + (-少/6%](У) + 0[(-£)円，/->一0.(4.13)

Подставляя это разложение вместе с (4.3) в (4.5), получим уравнение для функции 4fli(У)

屮;0屮;1 一屮;。|11 = 0, решение которого имеет вид

匕1 = 4必 о・(4.14)

Из условия (4.12) и с учетом (4.4) определяется постоянная 4 = =仇/〃о. Заметим также, что

屮 1о = &уз/2 + . . ., у> °.(4.15)

Полученное решение для функции тока 4fl(£, У) в основной части пограничного слоя по существу соответствует простому смещению или оттеснению этой области вязким подслоем. В самом деле, если выписать главный член соответствующего изменения угла наклона линий тока (А今)в области У = 0(1) при х 一—0, то получим, пользуясь (4.3), (4.13) и (4.14), что

R//2 A0=-Re-Vie醬/譽 +...=电一山m一 n)-5/6%/旬+・・.

(4.16)

Это выражение не зависит от У, и, следовательно, в первом приближении индуцируемый подслоем наклон линий тока действительно передается без изменения поперек основной части пограничного слоя внешнему потенциальному потоку.

Таким образом, нерегулярность разложения (4.13) для функции 4rM瑞 У), обусловленная членом порядка (—/)"* обязана своим происхождением развитию вязкого пристеночного подслоя под действием неблагоприятного градиента давления (4.56).

Пользуясь (4.2), (4.6) и (4.7), выпишем теперь разложение для функции тока в подслое, где 刀=。(1):

屮〒％(怎 y)+RL"6%(£, y)+ 0(Re-〃8)；

屮0 = 4^0 (—力产з Т]2 +・・・， 阴=(—%产2 /](哨+・・・，(4.17)

L57(一/)弋 l-O.

Это разложение перестает быть справедливым при |力! = O(Re~3/8), когда выписанные здесь члены становятся величинами одного порядка. Поэтому нам теперь необходимо отдельно рассмотреть окрестность точки отрыва с продольным масштабом порядка Re_3/8, которая, как это было установлено в предыдущем параграфе, должна быть областью взаимодействия и зарождения отрыва потока.

Однако, прежде чем переходить к описанию течения в этой области, сделаем одно замечание. Из выражения (3.2) для градиента давления и полученной оценки (3.11) для коэффициента к получается, что при \х\ = O(Re_i/16) порядки величин первого и третьего членов разложения (3.2) сравниваются. Поэтому для рассмотрения

21

течения в области с продольным размером порядка Re-1/16? вообще говоря, необходим учет члена О(|ж|1/2) в (3.2). Однако для исследования отрыва в этом нет никакой необходимости, поскольку пра Re1/i6^ ——0 соответствующее решение для главных членов разложения, с точностью до обозначений, совпало бы с полученным нами двухслойным асимптотическим решением исходных уравнений по- граничного слоя при 力—0.

§ 5. Область взаимодействия

На основании инспекционного анализа течения в окрестности точки отрыва, проведенного в § 3, или, пользуясь условиями сращи- вания с решением в предотрывной области (§ 4), мы можем теперь

выписать главные члены асимптотических разложений для искомых функций течения в области взаимодействия с продольным размером

Рис. 1.6. Схематическое изображение структуры течения в области взаи-Рис. 1.6. Схематическое изображение структуры течения в области взаи-модеиствиямодеиствия\х\ =0( Re-3/8). Структура пол 任 учения в этой области схематически изображена на рис. 1.6. Ее обычно называют трехслойной или «трехпалубной»*). Основная часть области взаимодействия II является продолжением зоны 2 иредот- рывного течения (рис. 1.5) и @ме-

Рис. 1.6. Схематическое изображение структуры течения в области взаи-

Рис. 1.6. Схематическое изображение структуры течения в области взаи-

модеиствия

модеиствия

ет по-прежнему толщину порядка Re-i/2. Влияние вязкости в гнав-

ных членах здесь будет отсутство-

вать. Вблизи поверхности тела расположен вязкий подслой ПЦ

обеспечивающий выполнение условий прилипания и ответственный

за вытесняющее воздействие пограничного слоя на внешний потенциальный поток /. Подслой в области взаимодействия является продолжением пристеночного слоя в предотрывном течении (область 3 на рис. 1.5), толщина которого при х -> —0 уменьшается пропорционально Re~1/2 (—ж)1/3 и при \х\ = O(Re-3/8) становится величиной порядка Re-"8, 4To соответствует полученной ранее оценке (3.10).

Для последовательного рассмотрения решений во всех трех под

областях необходимо для каждой из них ввести независимые переменные порядка единицы. В основной части пограничного слоя та” кими переменными, как мы видели, будут

(5.1)(5.1)%* = Re3/8rr, У = Re"2y.

(5.1)

(5.1)

Решение здесь может быть представлено в виде

2 =24f = RL/2此(公，y) + 加7/，6田式/*, y)+…，

p = p00 + Re-1/4P0 (公，У) +。(Re-3/8).

Это следует из рассмотрения внутреннего предела внешних асимптотических разложений (4.2) с учетом (4.3), (4.13) и (4.56). Если подставить (5.1) и (5.2) в исходные уравнения Навье ——Стокса (1.2), (1.3) и сохранить главные члены, то мы получим для 11ro (/, У) уравнения невязкого пограничного слоя без градиента давления *)

dY dx^dY dx* »2 — u. 丿

泉=%(可о)泉=%(可о)следует, чтоследует, чтоИз интеграла этого уравнения

泉=%(可о)

泉=%(可о)

следует, что

следует, что

(54)

(5.5)

Таким образом, продольная составляющая вектора скорости (5.4) в зоне II сохраняет свое значение вдоль каждой линии тока, а наклон линий тока (5.5) не меняется поперек этой зоны. Иными словами, профиль скорости сохраняется здесь неизменным вдоль всей области взаимодействия. Подобласть II лишь оттесняется пристеночным вязким подслоем 777, в результате чего задача сводится к исследованию этого подслоя и обусловленного им процесса взаимодействия пограничного слоя с внешним потенциальным потоком.

Независимыми переменными порядка единицы в подслое будут

= Re* 旣，у* = Re^y = R 餡 Gy.(5.6)

В качестве искомой функции будем по-прежнему рассматривать функцию тока 屮；она будет здесь порядка Re~3/4. Это следует как из оценок (3.10), так и из условия сращивания с решением (4.17) для подслоя 3. Поэтому решение для области вязкого подслоя III будем искать в виде

屮=ReT/4屮；(况*, у*) +。(ReT/8),

p = Poo + Ref 0:(*广)+。飾-3/8).

Подставляя (5.6) и (5.7) в исходные уравнения (1.2), (1.3), получим для функции тока 4fo (%*, У*) уравнение пограничного слоя с градиентом давления

а党@2驾@党@2吟 乃；。3吟 竹；_

疗^石而戸一而■斤/十飞启/^，育^ 一 u・9，⑴

Решение этого уравнения должно удовлетворять условиям прилипания на твердой границе

屮；=券=0 при У* = 0,(5.9》

а также условиям сращивания с решениями для окружающих областей. Проводя сращивание с решением (4.17), для подслоя пред- отрывного течения получаем, что при /* -^—8

T» =4。0(7*严［(二］严 + (i*)"% ［(_：闾 + (5-10>

Условие сращивания решения в подслое с решением для основной области 77, профиль скорости в которой, согласно (5.4), (5.5), сохраняется неизменным, будет-, очевидно, определяться решением для предотрывной области 2 при / 一—О, У f 0. Тогда на основание (4.2) — (4.4) и (4.12) получим выражение

唠=%а°У*2 + 〃］У*3/2 + У* ТОО, (5.11>

совпадающее в главных членах с асимптотическим выражением функции То (ж*, У*) при /* —оо (5.10).

Вытесняющее действие подслоя (передаваемое без изменения поперек зоны //) определяется асимптотическим выражением

з=Re-1% g (叫 +, g g) = hm {_喜/票］. (5.12>

Отсюда следует, что в основной части области взаимодействия II поперечная составляющая вектора скорости будет порядка Re-"'介 и потому для главных членов разложения функции тока (5.2) получаем

吗0/*吗0/*齊不%*齊不%*0.0.(5.13)(5.13)

吗

0/*

吗

0/*

齊

不%*

齊

不%*

0.

0.

(5.13)

(5.13)

Тогда на основании второго уравнения количества движения (1.2) нетрудно установить, что

嘗=0。為=p:(公)，(5.14>

т. е. поперечный перепад давления в пограничном слое области взаи~ модействия в первом приближении будет отсутствовать. (Он составляет величину порядка Re~3/8.)

Таким образом, продольный градиент давления в уравнения (5.8) для вязкого подслоя будет определяться из решения задачи для внешней области потенциального течения /, подверженного вытесняющему воздействию пограничного слоя (5.12).

Для определения внешнего потенциального потока можно воспользоваться методом малых возмущений и (на основании 5.12》 24

искать соответствующее решение в виде

и=1 + Re—"%,(%, у^) + ., 。= Re-/%](%*,严)十・..， 岱) р =卩oq + Re"/4p(%*, в*) + …•

В качестве независимых переменных порядка единицы примем

/* = &з/旣，у* = RTF,(5.16)

так как продольный и поперечный масштабы внешней области I должны быть одинаковы *).

Если подставить (5.15), (5.16) в уравнения Навье ——Стокса

《1.2), то получим систему линеаризованных уравнений Эйлера

—1—qL = О.

&况*6况*' dz* ду* ' dz* 0/

Ее решение может быть получено на основании классической теории малых возмущений. Вводя в рассмотрение аналитическую функцию

w(z) = pi + iVi

комплексного переменного z =力* + Zg*, мы можем представить ее в виде

it (z)=①(z) + %2qz'/2.

Тогда условие сращивания этого решения при Ы -> оо с решением для основной области потенциального течения, соответствующего разложениям (3.1), (3.2), будет иметь вид

①+ 0,|z|-8.(5.17)

На действительной оси с учетом (5.12) имеем

Im ① 1/=。 = - 2分/*1/2h(公)+ G Q*),(5.18)

где 〃(/*)——функция Хэвисайда, равная единице при гг* > 0 и обращающаяся в нуль при < 0.

Решение задачи определения аналитической функции ①(z) в верхней полуплоскости по условиям (5.17) и (5.18) хорошо извест* но и имеет вид (см., например, Мусхелишвили, 1968)

т /С G(t)_2cp2H (t)

@(z) =又 J 工dt.

Применяя формулу Сохоцкого ——Племеля к этому интегралу и отделяя действительную часть от мнимой, получим выражение для

распределения давления )

р式工*, 0) = Р：(力*) = — 2q I %* 11/2 Я (— %*) +

+豆叱当2阳(5働

где функция G(力)определяется из (5.12). Заметим, что формула для градиента давления при этом имеет вид

禁［=0 = 鲁 =；! 制^班 (5.2。)

Полученные соотношения (5.19) или (5.20) вместе с (5.12) замыкают задачу о взаимодействии пограничного слоя с внешним потенциальным потоком.

§ 6. Течение в зоне отрыва

Перейдем теперь к рассмотрению отрывного течения при £〉0, т. е. в области, расположенной вниз по потоку от области взаимодействия и зарождения отрыва. Схематически это течение изображено на рис. 1.7. Область 2' представляет собой продолжение основной части оторвавшегося пограничного слоя, т. е. основную часть слоя смешения, отделяющего внешний потенциальный поток 1 от зоны отрыва 4'・ Если ввести криволинейную ортогональную систему координат Osn, в которой линия 拉=0 совпадает с нулевой разделительной линией тока слоя смешения, то главный член асимптотического разложения для функции тока 屮 при s -> +0 можно записать в виде

Re^^^Q(N) +・・・，

N = Re〃2% (6.1)

Рис. 1.7. Схематическое изображение 「/二

структуры течения за областью вза- Соотношения (5.13) вместе с ус- имодействияловиями сращивания решений

(6.1) и (5.2) определяют неизменность профиля скорости вдоль основной части слоя смешения 2‘. Но тогда в первом приближении он будет совпадать с исходным профилем скорости в основной части пограничного слоя 2 предотрывно- го течения (рис. 1.5), и потому

鹏7^鹏7^N=0N=0@0@0(6・2)(6・2)

鹏

7^

鹏

7^

N=0

N=0

@0

@0

(6・2)

(6・2)

Основная часть слоя смешения 2’ будет поэтому отделяться от ^оны отрыва 4’ узким подслоем 3‘，трение поперек которого должно изменяться от а。на границе с зоной 2’ до нуля в зоне отрыва. Решение для подслоя при s -> +0 должно удовлетворять условию сращивания с решением для подслоя области взаимодействия. Такое решение можно записать в виде

Ri% = s2/3g° (自)+ ...,自=N/s°(6.3)

Для функции go(g) с помощью подстановки (6.3) в исходное уравнение пограничного слоя (записанное в переменных s, N) получаем уравнение

go + "з ёоёо — у ^0 = 0・(6.4)

Условием сращивания решения в подслое смешения с решением для основной части слоя смешения (имеющего исходный профиль ио- граничного слоя) будет (вследствие (6.2))

go =五〃0守 + • • Ef8,(6.5)

а условие сращивания с решением для зоны отрыва 4’ определяется тем, что скорость рециркуляционного движения жидкости в этой области при Re -> 8 должна стремиться к нулю, вследствие чего оно имеет вид

g；->0 при Ет— оо.(6.6)

Наконец, полагая, как обычно, на разделительной линии тока

^ (0) = 0,(6.7)

получаем хорошо изученную задачу (6.4) — (6.7)). Ее решение дает, в частности, значение

g°(_ 8)= 一 & = -1,2539 a*(6.8)

(Нейланд, 1971).

В дальнейшем мы будем предполагать, что движение жидкости в зоне отрыва 4’ полностью обусловлено эжектирующим действием слоя смешения. Рассмотрим это движение более подробно. Уравнение границы зоны отрыва при £>0 на основании (3.1), (4.1) имеет вид

0 = 5s = Bs° (%) + 区尸“叭］⑺ +。(Re~1/8),

(о.

PsQ = с。％"? + ..., ys1 =可 q %"* + ..., 况 f + о.

Члены этого выражения становятся величинами одного порядка малости при х = O(Re-1/i6). Поэтому введем в рассмотрение область с

этим продольным масштабом, расположенную непосредственно за областью взаимодействия. Полагая

% = Re-”6£ у = R「/32応 2 = r「3/2《位 6 +(6.10)

(6.11)(6.12)(6.11)(6.12)мы можем на основании (6.9), (6.3) и (6.8) представить уравнение границы области отрыва и значение функции тока на ней соответственно в виде )

(6.11)

(6.12)

(6.11)

(6.12)

Г\а /*о /Xj

ys) = -KQx2/3.

Подстановка (6.10) в уравнения Навье — Стокса показывает, что течение в срьгвной области является невязким и потому описывается уравнением Пуассона для функции тока, которое из-за узости рассматриваемой области принимает вид

(6.13)(6.13)а绯0〜

(6.13)

(6.13)

7^2 =⑴(屮о)・

Возвратный характер течения в срывной зоне, при котором все линии тока, вливающиеся в слой смешения, приходят из области, лежащей за рассматриваемой областью 交= 0(1), позволяет определить функцию ш(г|)0) из условия при /->8. Так как, согласно

(6.12), производная—уменьшается по порядку ве- 〜ду ^т8

личины как 力тз/з, то s (屮о)= 0, и решение (6.13) для области отрыва, удовлетворяющее граничным условиям (6.12) и ®о(£, 0) = 0»

имеет вид

(6.14)

(6.15)(6.15)При х -> +0 главным членом (6.11) будет второй, так что

(6.15)

(6.15)

屮。J反0勿С1/6+ 0.

При 企一> 8 главным членом (6.11) будет первый, и мы получим

-фо = -~KQy/c0Xll/Q + . . ., £f 8.(6.16}

Асимптотическое выражение (6.15) позволяет выписать условия сращивания решения (6.14) с решением для течения в подслое области взаимодействия, а выражение (6.16) позволяет определить функции течения в отрывной области порядка размеров тела при £->+0. В самом деле, записывая с помощью (6.10) полу-

ченное выражение (6.15), в переменных области взаимодействия (5.6), (5.7) находим, что

屮；=—^K°y*/q%*5/6+ …，％*+8,(6.17)

а используя (6.16), находим, что продольная составляющая вектора скорости в зоне отрыва

〃=需=Re-i/2 (一 K.lc^1,Q) + ・・.， Nf + О.(6.18)

Отсюда, в частности, следует, что переменная часть коэффициента давления в зоне отрыва, пропорциональная квадрату этой скоростиу на конечных расстояниях за телом становится величиной порядка Re-i.

Поскольку только что рассмотренное возвратное течение в области отрыва является невязким и решение (6.14) не удовлетворяет условиям прилипания жидкости к поверхности тела, необходимо ввести в рассмотрение еще одну область ——вязкий пограничный слой 5’ вблизи твердой стенки. Обычная процедура вывода уравнений пограничного слоя показывает, что при Ж = Ае"^力 _> 十。функция тока течения в этом пограничном слое может быть представлена в виде

屮=Re-23/32炉 * 伙(？+...,z = Re9/32〃/”(6.19)

Это следует из характера распределения давления, определяемого на основании (6.15).

Уравнения и граничные условия, которым удовлетворяет функ^ ция ф0(^), имеют при этом вид

〃/ I 4〃5，215 ^о

屮。+运屮0学0 + -g-фо =被3，

1 к(6.20)

屮о (°)=屮о (°)= °， Фо (00) —Г

Сращивание решения (6.19) с решением для подслоя области взаимодействия приводит к следующему асимптотическому выражению:

屮；=^*1/12(р0 [У*/力*ii/i2] + ・・・，％* f ОО.(6.21)

Заметим, что соотношения (6.17) и (6.21) определяют поведение возвратного течения при £* -> 8 目 играют для него роль начальных условий при расчете течения в области взаимодействия.

Этим исчерпывается анализ и вывод всех необходимых соотношений для отрывного течения в зоне, расположенной за областью взаимодействия.

Численное решение задачи

Проведенный анализ ламинарного течения жидкости в окрестности точки отрыва при Re f 8 показывает, что отрыв потока от гладкой поверхности всегда происходит под действием большого само- индуцированного градиента давления др/дх ^ Re1/8, действующего на малом участке поверхности Дж 〜Re-3/8.

Схема течения, предполагавшая, что отрыв потока на гладкой поверхности происходит в результате неблагоприятного градиента давления, распределенного на конечном участке поверхности, и служившая предметом многих исследований, не имеет места в действительности (Сычёв, 1972).

При исследовании механизма отрыва ключевой является задача о взаимодействии пограничного слоя с внешним потенциальным потоком, определяющем самоивдуцированный характер отрыва. Эта задача состоит в интегрировании уравнения (5.8) с граничными условиями (5.9) и (5.11), условием сращивания с решением перед областью взаимодействия (5.10) и за областью взаимодействия (6.3), (6.17) и (6.21), а также условием (5.20), определяющим связь между вытесняющим воздействием пограничного слоя (5.12) и градиентом давления.

Нетрудно установить, что замена переменных вида

况东 = ^x. y* =川呼屮:=a”2叽爲=4/2Л爲=或喧

(7.1)

приводит все перечисленные соотношения к форме, включающей лишь один параметр:

(7.2)(7.2)а = 2с1!а^3.

(7.2)

(7.2)

Для удобства ниже выписана полная система соотношений в переменных подобия, описывающая течение в области взаимодействия:

盛@2可@干a2可疝03可

dY dX dYдХ *dX犷\/

1 C° Gr (t) dt元 d t-X1 C° Gr (t) dt元 d t-XG（X）=G（X）=(7.36)(7.36)

1 C° Gr (t) dt元 d t-X

1 C° Gr (t) dt元 d t-X

G（X）=

G（X）=

(7.36)

(7.36)

疗

可=扛 +。尸)， oo,

(7.3в)(7.3в)^ = }P+_|a(—又产2 Д[ У/(- *户3] + ...,又+ — оо,

(7.3в)

(7.3в)

可=尹”。闻 + * ・ *, U(y-j a*/?) / 戸 В =。(1), 可=一 ^(目p/В/6+ 衣方/2 =0(1), 可=争力啞£) + ・・・， t = Y/X^ = O^

В этих соотношениях

2。® =曲""^。 (〃「鱷)， (7.4) 品© = */48%(戏/4 圖.

Если решение сформулированной задачи (7.3) существует и единственно, то оно должно соответствовать некоторому вполне определенному численному значению параметра а. Тогда решение^ полученное в переменных (7.1), будет универсальным, и эти переменные будут переменными локального подобия различных течений в окрестности точки отрыва.

Численный анализ сформулированной задачи о взаимодействии был впервые осуществлен Смитом (1977). Используя итерационный процеас поочередного построения решений уравнений пограничного слоя (7.3а) и определения градиента давления на основании (7.36), ему удалось установить как существование, так и единственность поставленной задачи. При этом численное значение параметра а было найдено равным 0,%4. Для упрощения процедуры решения скорость возвратного течения в зоне отрыва полагалась равной нулю, что позволяло избежать трудностей, связанных с необходимостью удовлетворения условий вниз по потоку (при X -> 8).

Расчеты, выполненные позднее Королевым (1980а) на основе более совершенного численного метода (см. гл. VII) с учетом возвратного течения, дали близкое значение а = 0,42. Оно было также подтверждено в недавней работе Ван Доммелена и Шена (1984), получивших а = 0,415 士 0,005.

Рис. 1.9. Сравнение асимптотического распределения трения (Re -> оо) с результатами численных расчетов при Re = 100, 300 (Форнберг, 1980) и экспериментальными измерениями (Варти и Кюррье, 1984) — светлые кружкиРис. 1.9. Сравнение асимптотического распределения трения (Re -> оо) с результатами численных расчетов при Re = 100, 300 (Форнберг, 1980) и экспериментальными измерениями (Варти и Кюррье, 1984) — светлые кружки

Рис. 1.9. Сравнение асимптотического распределения трения (Re -> оо) с результатами численных расчетов при Re = 100, 300 (Форнберг, 1980) и экспериментальными измерениями (Варти и Кюррье, 1984) — светлые кружки

Рис. 1.9. Сравнение асимптотического распределения трения (Re -> оо) с результатами численных расчетов при Re = 100, 300 (Форнберг, 1980) и экспериментальными измерениями (Варти и Кюррье, 1984) — светлые кружки

В качестве иллюстрации результатов, полученных Королевым, на рис. 1.8 приводится картина линий тока вблизи точки отрыва ).

В работе Смита (1977) было также впервые проведено сопоставление асимптотического решения задачи с результатам® численного решения полных уравнений Навье — Стокса для случая отрывного обтекания кругового цилиндра при числах Re до 100 (Деннис и Ченг, 1970), а также экспериментальными измерениями трения на поверхности цилиндра при числах Re около 200 (Димо- поулос и Ханратти, 1968). Соответствие между ними, несмотря на малые значения чисел Re, оказалось достаточно хорошим. Позднее, Форнбергом (1980) было получено численное решение той же задачи на основе полных уравнений Навье — Стокса при числах Re до 300. По-видимому, его результаты являются в настоящее время наиболее точными. На рис. 1.9 приведены кривые распределения безразмерного трения по поверхности кругового цилиндра (三(％)=箒 |_ ) вблизи точки отрыва (X = 0), полученные Королевым (1980а) на основании асимптотической теории (Re-> 8), и результаты численного решения Форн- берга при числах Re = 100 и 300. Здесь же нанесены результаты недавних экспериментальных измерений Варти и Кюррье (1984), проведенных при Re = 1?2 • 104. В ка

честве характерного линейного размера L при определении числа Рейнольдса во всех случаях был выбран диаметр цилиндра. Для приведения результатов численных расчетов и эксперимента к переменным подобия необходимо знать численное значение постоянной а。, которая представляет собой величину безразмерного коэффициента трения т перед областью взаимодействия. Эта величина условно предполагалась равной максимальному значению безразмерного коэффициента поверхностного трения, так как его последующее уменьшение связано с ростом давления, обусловленным процессом взаимодействия. Численное значение а0 для данных Форнберга, соответствующее среднему значению ттах, в диапазоне

чисел Re от 20 до 300 было принято равным 1,7. При обработке экспериментальных данных Варти и Кюррье использовалось значение & = 2,81, взятое на основании работы Ахенбаха (1968).

Учитывая, что малым параметром асимптотической теории является Re-i/1\ соответствие ее результатов результатам экспериментальных данных п численных расчетов можно считать удовлетворительным.

В цитируемой работе Форнберга (1980) приводятся также результаты расчетов поля течения за цилиндром при нескольких значениях числа Re. Интересным результатом этих расчетов является

Рис. 1.10. Картина линий тока в области отрыва за круговьш цплиндрол! при Re = 200 (Форнберг, 1980)

явная тенденция линий тока к сгущению в области слоя смешения с ростом числа Re. Это подтверждает принятую выше схему течения, согласно которой все линии тока возвратного течения в зоне отрыва вливаются в слой смешения. В качестве иллюстрации iCKa- занного на рис. 1.10 приведена картина линий тока в области отрыва при числе Re = 200.

Влияние кривизны поверхности

До сих пор мы рассматривали течение около поверхности, радиус кривизны которой в окрестности точки отрыва был порядка характерного размера тела, т. е. безразмерная кривизна х0 в исходном уравнении (3.1) предполагалась величиной порядка единицы. Рассмотрим теперь ситуации, при которых это условие не выполняется.

Прежде всего это относится к случаю отрыва от плоской поверхности (冗о = О). Хотя такой отрыв и представляет собой частный случай отрыва от гладкой поверхности, непосредственное распространение рассмотренной теории на этот случай требует специального рассмотрения. Примером может служить отрыв пограничного

3 П./ред. В. В. Сычёва 33

слоя от плоской пластины, происходящий под действием неблагоприятного градиента давления, вызванного какими-либо внешними

причинами, например уступом, расположенным на конечном расстоянии от ее передней кромки (рис. 1.11).

Дело в том, что предельное состояние поля течения при Re о© в этом случае не может соответствовать решению задачи обтекания тупого тела по схеме Кирхгофа с условием Бриллюэна — Билля. Поэтому, следуя работе Сычёва (1978а), сделаем следующее пред-

положение: предельноеположение: предельноеРис. 1.11 Схематическое изображение отрывного течения около плоской пластины перед уступомРис. 1.11 Схематическое изображение отрывного течения около плоской пластины перед уступомсостояние поля течения в окрестноюти точки

положение: предельное

положение: предельное

Рис. 1.11 Схематическое изображение отрывного течения около плоской пластины перед уступом

Рис. 1.11 Схематическое изображение отрывного течения около плоской пластины перед уступом

отрыва соответствует другому известному решению теории потенциальных течений со свободными линиями тока ——течению с образованием перед уступом застойной зоны, начинающейся с заострения в виде точки возврата. Такие течения были впервые изучены Чаплыгиным (1899).

Если в качестве характерного линейного размера L принять расстояние от передней кромки пластины до препятствия, вызывающего отрыв, а в качестве характерной скорости U。——скорость течения на границе застойной зоны (которая не равна скорости на бесконечности), то форма застойной зоны и рас

пределение давления перед ней будут по-прежнему определяться безразмерными соотношениями (3.1), (3.2), в которых х0 следует приравнять нулю, но коэффициент к теперь полагать величиной порядка единицы. Однако из физических соображений ясно, что

для приведения этой задачи к предыдущей в качестве характерного масштаба следует принимать не длину пластины, а расстояние от ее передней кромки до точки отрыва, поскольку именно оно ха

рактеризует состояние пограничного слоя в окрестности точки отрыва. Положим это расстояние равным е£ (рис. 1.11). Тогда, вводя в рассмотрение число Рейнольдса

(8Л)(8Л)Res = —-— = g Re

(8Л)

(8Л)

и переходя от безразмерных переменных 力,у к переменным

豆= а/е, у = у/г,(8.2)

мы можем все соотношения рассматриваемой задачи свести к соответствующим уравнениям и граничным условиям предыдущей задачи (Сычёв, 1978а). В частности, переписанные в переменных (8.2) соотношения (3.1) и (3.2) будут тогда содержать в качестве коэффициента при первом члене постоянную порядка Rer"^. Отсюда следует, что е = O(R噎”8) = О(Re~1/9). После некоторых преобразований с использованием переменных подобия можно получить

叫/8 y6/9叫/8 y6/9£ =仇 Re "9, о*。£ =仇 Re "9, о*。следующее выражение для расстояния точки отрыва от передней кромки пластины (Рубан и Сычёв, 1979):

叫/8 y6/9

叫/8 y6/9

£ =仇 Re "9, о*。

£ =仇 Re "9, о*。

где а ——параметр подобия (7.2), 〃° ——безразмерный коэффициент трения в предотрывном течении (которое в данном случае определяется решением Блазиуса (1908)), численно равный 0,3321.

Таким образом, точка отрыва пограничного слоя по мере увеличения числа Рейнольдса стремится к передней кромке пластины и в пределе, при Re 8, отрыв будет происходить от этой кромки. Этот результат хорошо соответствует экспериментальным наблюдениям (см., например, Шлихтинг (1974), с. 46) ).

Рассмотрим теперь противоположный случай ——отрыв от поверхности большой кривизны. Нетрудно установить, что по мере увеличения кривизны стенки (&) теория самоиндуцированного отрыва от гладкой поверхности перестанет быть справедливой при значениях %о порядка Re1/8. В самом деле, именно такой порядок величины, как мы видели, имеет кривизна линий тока в области взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком (§ 5). Поэтому при %o = 0(Re"8) кривизна тела начнет оказывать влияние, компенсирующее (в случае выпуклой поверхности) вытесняющее воздействие пограничного слоя на внешний поток. В результате положительный градиент давления, вызывающий отрыв потока, станет определяться не только процессом взаимодействия пограничного слоя с невязким потоком, но и непосредственно формой поверхности обтекаемого тела. Предельным случаем такой ситуации будет отрыв от угловой точки, который подробно рассмотрен в следующей главе.

Глава II

ОТРЫВ ПОТОКА ОТ УГЛОВЫХ ТОЧЕК КОНТУРА ТЕЛА

Если контур твердого тела (рпс. 2.1) имеет точку излома, образуя выпуклый угол 丫 < п, то его обтекание потоком несжимаемой жидкости не может быть безотрывным. Хорошо известно, что при

безотрывном обтекании выпуклого угла реализовалась бы нереаль

ная ситуация, когда скорость частиц жидкости по мере приближения к угловой точке неограниченно возрастает. Согласно теории потенциальных течений скорость пропорциональна г-а, где а =(п — у)/ /(2л — у), a г — расстояние до угловой точки О. Давление умень

шается по мере приближенияшается по мере приближенияРис. 2.1. Отрыв потока от угловой точки контура телаРис. 2.1. Отрыв потока от угловой точки контура телак точке О и, в соответствии с законом Бернулли, должно было бы стать отрицательным в некоторой ее окрестности.

шается по мере приближения

шается по мере приближения

Рис. 2.1. Отрыв потока от угловой точки контура тела

Рис. 2.1. Отрыв потока от угловой точки контура тела

Физической причиной отрыва потока от угловой точки является вязкость среды. Если бы обтекание угловой точки осуществлялось безотрывным образом, то разгон потока перед точкой О сопровождался бы его торможением вниз по течению от этой точки. Пристеночный

пограничный слой непосредственно за угловой точкой оказался бы тогда под действием бесконечно большого неблагоприятного

градиента давления, который и приводит к отрыву потока. Исключение может представлять случай слабого излома поверхности,

когда неблагоприятный градиент давления оказывается недостаточным для отрыва пограничного слоя. Этот случай будет рассмотрен в § 3, посвященном определению условий зарождения отрыва. Как будет показано, безотрывный режим течения около угловой точки сохраняется вплоть до углов л — у = O(Re~1/4). Даль

нейшее увеличение угла излома поверхности п — 丫 приводит к отрыву пограничного слоя. Поэтому, рассматривая в § 1 течение около выпуклого угла с л — у = О (1), будем ic самого начала предполагать, что его обтекание сопровождается отрывом от угловой точки ).

§ 1. Отрыв от угла с образованием развитой застойной зоны

Классическим примером течения с отрывом от угловой точки контура тела является течение Кирхгофа (1869), который рассмотрел обтекание плоской пластины, установленной в потоке идеальной жидкости (рис. 2.2), и построил соответствующее решение уравнений Эйлера, предположив, что давление вдоль Свободных линий тока ОБ и (УВ' является постоянным и совпадает с давлением в

набегающем потоке. Мы ограничим свое внимание окрестностью

угловой точки, однако анализ течения в этой окрестности проведем на более общей основе, включив в рассмотрение случай, когда контур АО имеет кривизну, а угол 丫 между касательными к контуру обтекаемого тела в точке О отличен от нуля (рис. 2.1). В качестве исходных уравнений движения, как и в предыдущей главе, будем использовать уравнения Навье — Стокса. Задача состоит в том, чтобы найти их асимптотическое решение при Re -> сю.

Введем безразмерные переменные:

все расстояния отнесем к характерно- рПс. 22 Обтекание плоской му размеру обтекаемого тела Л, состав- пластины по схеме Кирхгофа

ляющие вектора скорости ——к предель

ному значению скорости UQ на свободной линии тока, в которую

вырождается при Re сю слой смешения между оторвавшимся от угла потоком и застойной зоной. Давление 卩,как обычно, отнесем к удвоенному скоростному напору pU^, а число Рейнольдса определим как Re = LUQ/v.

Область потенциального течения. При рассмотрении основной невязкой области течения (области 7) удобно использовать прямоугольную декартову сшстему координат Оху. начало которой совмещено с угловой точкой контура тела, а ось Ох направлена по

Рис. 2.3. Асимптотическая структура характерных областей течения перед угловой точкой контура телаРис. 2.3. Асимптотическая структура характерных областей течения перед угловой точкой контура телакасательной к поверхности АО (рис. 2.3). Составляющие вектора скорости в этой системе координат обозначим через и\ и' и заметим, что для главных членов разложения искомых функций течения при Re f 8

Рис. 2.3. Асимптотическая структура характерных областей течения перед угловой точкой контура тела

Рис. 2.3. Асимптотическая структура характерных областей течения перед угловой точкой контура тела

〃' = 〃0(/‘，У)+.vf = %(/', У)+・・・，Р=Ро(Х,『)+ ••• (1-1) справедливы уравнения Эйлера.

Как и в случае отрыва от гладкой поверхности, решение этих

Уравнений должно удовлетворять условию непротекания на поверхности АО и условию постоянства давления на свободной

линии тока ОВ. Следствием этой аналогии является одинаковая форма записи решения вблизи точки отрыва. Комплексно сопряженная скорость

ш0 (z) = % — ^о, где z = %' + %；

представляется при |z| -> 0 асимптотическим разложением (Имаи, 1953)

"о = 1 + 2 自立1/2 一 ［号川 一 i^z+o(\z |3/2).(1.2)

Давление на поверхности АО ведет себя перед точкой отрыва (/，— —0) как

рО = Aю + 2/c (- й)"2-学 к2 (- ") +。［(-力'产2］,(1.3)

а форма свободной линзы тока У =叁(吟 имеет вид

勃=一 ^ "侬)3/2 一 ^_ % з)2 +。［(МУ］, 公-+ °.(1.4)

Здесь Хо ——кривизна поверхно(сти АО перед точкой отрыва (/'= =—0), через pQQ обозначено давление в застойной зоне. Зависимость выписанного локального решения от глобальной картины течения выражается через параметр к, значение которого при заданном положении точки отрыва может быть определено в результате решения задачи для области 7 в целом.

Если речь идет об обтекании тела с гладким контуром, когда точка отрыва заранее неизвестна, то решение задачи для области 1 позволяет лишь установить связь между параметром к и положением этой точки. С другой стороны, как было установлено в предыдущей главе, течение в области взаимодействия, лежащей вблизи точки отрыва, является самосогласованным только при вполне определенной величине параметра к, что и определяет картину течения в целом.

Отличительная особенность отрыва от угловой точки состоит в том, что здесь положение точки отрыва является фиксированным. Поэтому, приступая к анализу течения в окрестности угловой точки, будем считать параметр к известным. В зависимости от конкретной формы обтекаемого тела он может принимать различные значения. В дальнейшем основное внимание будет уделено изучению течений (к числу которых, в частности, относится и течение Кирхгофа) с положительными к порядка единицы ). Обсуждению других возможностей посвящен § 2.

Пограничный слой перед угловой точкой. Введем ортогональную криволинейную систему координат Оху. в которой х отсчитывается от угловой точки контура тела вдоль нулевой линии тока, а у —— по нормали к ней; при % V 0 нулевая линия тока совпадает с кон

туром тела АО, а вниз по течению от угловой точки переходит в разделяющую линию тока ОБ (рис. 2.3). Составляющие вектора скорости в этой системе координат обозначим через м, р. Введем также безразмерную функцию тока яр, определяя ее соотношениями

雰_ (1 + “у)力罟=и，

где 冗——кривизна нулево宜 линии тока.

Асимптотический анализ уравнений Навье ——Стокса в пограничном слое основан на предельном переходе

力=。(1), y=Req = O(l), Re - оо.

Для главного члена разложения функции тока

W = Re-/2屮°(/, у)+…(1.5)

в рассматриваемой области течения справедливо уравнение Прандтля

dY dx dY дx d屮d/ 货3 •

Краевыми условиями для него являются условие прилипания жидкости к обтекаемой поверхности

(1.7)(1.7)То = -^. = 0 при У、= О

(1.7)

(1.7)

и условие сращивания продольной составляющей вектора скорости в пограничном слое и внешней области течения (области 7):

吗

才=ие(х) при У = oo.

Кроме того, следовало бы поставить краевое условие в некотором начальном сечении пограничного слоя. Однако вид этого условия не влияет на дальнейший анализ и поэтому здесь не конкретизируется.

Распределения давления ре (ж) и тангенциальной составляющей вектора скорости Ue(x) на внешней границе пограничного слоя определяются из решения для области 1. В окрестности точки излома контура тела они выражаются формулами (1.2), (1.3). Если переписать эти формулы в переменных ортогональной системы координат Оху. то получим, что при х —О

Ре = Аю + 2/c (— /)"2к2 (― X)+ О [(— /)3/2],

紀(1.8)

Ue =4-2k (一 /产 + 号依(一力)+。[(- 冷 3/2]

Подробное исследование свойств пограничного слоя перед угловой точкой контура тела (/->—0) выполнил Аккерберг (1970, 1971, 1973). Он установил, что под действием «экстремально благо-

39

Приятного» градиента давления

黑=一(一<)1/2 + 0a)(L9)

пограничный слой перед угловой точкой расщепляется на две характерные области течения (рис. 2.3). В одной из них ——пристеночной области 3 ——влияние сил внутреннего трения остается значительным при сколь угодно малых значениях \х\. Вторая же — область 2, занимающая основную часть пограничного слоя, оказывается при х -> —0 локально невязкой. В самом деле, если речь идет о вязком течении, то должны выполняться следующие соотношения между порядками величин в уравнении (1.6)

亓^7 〜后 〜

Учитывая выражение (1.9) для градиента давления, получим, что толщина вязкой области уменьшается при х —0 по закону

У=0(—/)3/8].(1.Ц)

В остальной части пограничного слоя вязкость не оказывает существенного влияния на поток жидкости.

Из (1.10) следует также, что в вязкой области 4r° =。[(—力产% Поэтому главный член асимптотического разложения функции 4rо(芻 У) при /-> —0 может быть здесь записан в виде

К = (8少％(_"/%(“)+п =(4)1/4^^.(1.12)

Коэффициенты перед функцией /0(т]) и в выражении для независимой переменной 刀 выбраны таким образом, чтобы уравнение для /о(л) не содержало параметра к. Если подставить (1.12) в уравнение пограничного слоя (1.6) и перейти к пределу при /-^—0, считая переменную 刀 величиной порядка единицы, то получим

/о' — 4" ^о + 4 ^2 + 1 = 0-(1・13)

Из условий прилипания (1.7) следует, что

/о (0)= /； (0) = 0.(1.14)

Как указал Аккерберг (1970), для однозначного определения решения уравнения (1.13) с краевыми у/словиями (1.14) достаточно в качестве третьего условия потребовать отсутствия экспоненциально растущего члена в асимптотическом разложении функции /°(п) при 刀-> оо ). Позднее уравнение (1.13) исследовал Маклеод (1972) и доказал для него теоремы существования и единственно-

стп: решение уравнения (1.13) с краевыми условиями (1.14) и условием, запрещающим экспоненциальный рост функции %(“) при 刀—оо, существует и является единственным, если оно удовлетворяет также дополнительному условию /；》0, которое означает отсутствие возвратных токов в области 3.

Численное решение уравнения (1.13), удовлетворяющее указанным условиям, построил Аккерберг (1970). Он обратил внимание на то, что асимптотическое разложение функции /°(п) при 刀―8 имеет вид

/о = 4产3 + 5"/з + 奇『3 +。(丁1/3).(1.15)

Постоянные Ло и 50 можно определить, интегрируя уравнение (1.13) от некоторого достаточно большого значения переменной т] до т) = 0 и подбирая Ао и Во таким образом, чтобы удовлетворить краевым условиям (1.14). Как оказалось,

4 = 1,9507,伉=一 1,5776, /；⑼=3,0140.

На этом закончим рассмотрение области 3 и перейдем к области 2, которая занимает основную часть пограничного слоя (рис. 2.3). Асимптотический анализ уравнения (1.6) в этой области основан на предельном переходе

У = О(1), /—О.

Для определения формы асимптотического разложения функции 4rо(/, У) в области 2 проще всего поступить следующим образом. Подставим (1.15) в (1.12) и перейдем от переменной т] к переменной У. В результате получим

屮0 = (2收)1/3 4y5/3 + (27厂)1/12 线(—加)3/8 у2/3 十

十(纵产3仓(一疗/2尸/3 + 一書

Согласно принципу сращивания асимптотических разложений это будет означать, что в области 2

叫=叫。(У) + (一力严叭](y)+。[(一沙勻(1.16)

и что асимптотические представления функций ^々。(丫) и 4roi (У) при У -> 0 имеют вид

Woo = (2兴)"34y5/3 + …，Yol = (27Л3)1/1250У2/3 + ...(1.17)

Подставляя разложение (1.16) в уравнение пограничного слоя (1.6) и используя выражение (1.9) для градиента давления, получим уравнение

明Ml-叽°%1=0・(1.18)

Его решение, удовлетворяющее условиям (1.17), имеет вид

4fL佐爵叫。(У)・d阳)

44

Если теперь воспользоваться полученным решением (1.16), (1.19) и вычислить наклон & линий тока, то окажется, что его величина

—…2。)

сохраняется неизменной поперек области 2.

Вышеприведенный анализ показывает, что при х -> —0 толщина вязкой области 3 стремится к нулю, а следовательно, предельный (力=—0) профиль скорости в пограничном слое определяется решением для области 2:

%(У) = %(У)・

Поскольку решение 4ro (/, У) уравнения пограничного слоя в каждой точке (/, У) зависит от всей совокупности краевых условий вверх по потоку от этой точки, проведенное локальное исследование не позволяет однозначно определить функцию м()(У). Однако ее поведение вблизи обтекаемой поверхности известно. Как следует из (1.17),

旬=_!(2/)1/3 4片/3 + при ут0.(1.21)

Для любой фиксированной точки контура ЛО, лежащей вверх по потоку от точки О, безразмерное поверхностное трение

ди

имеет конечную величину. Поэтому

北= О(У) при У 0,/ V 0.

Сравнивая это соотношение с формулой (1.21), приходим к выводу, что экстремально благоприятный градиент давления приводит к интенсивному разгону частиц жидкости в пристеночной области течения. Согласно (1.12) величина поверхностного трения возрастает по мере приближения к угловой точке как

Т = (2&3尸/4 /；(0)(一 力厂 1/8 + …при ^->-0.

Повышенная чувствительность пристенного заторможенного слоя жидкости к сингулярному градиенту давления выражается в том, что именно этот юлой (область 3) определяет вытесняющее действие всего пограничного слоя в целом. Из выражения (1.12) следует, что угол наклона линий тока

меняется от нуля на стенке (п = 0) Д。

R"O = (¥^I)78+ …

яа внешней границе 5 f 8)области 3, а затем сохраняет свою величину (1.20) вплоть до внешней границы пограничного слоя.

Слой смешения и течение в застойной области. Для рассмотрения слоя смешения, который разделяет оторвавшийся от угла невязкий поток жидкости (область 1 на рис. 2.4) и застойную зону (область 4'), будем использовать введенную ранее ортогональную систему координат Оху. Напомним, что х отсчитывается вдоль разделяющей нулевой линии тока, а т/ — по нормали к ней. Так же как и в пристеночном пограничном слое, главным членом разложения функции тока в слое смешения будет

屮=Re-"24fo (瑞 У)+… при Re-> 8.(1.22)'

как обычно, давление в главном приближении постоянным вдоль функция 4ro (力,У) удовлетворяеткак обычно, давление в главном приближении постоянным вдоль функция 4ro (力,У) удовлетворяетПодставляя (1.22) в исходные уравнения Навье ——Стокса и полагая,

как обычно, давление в главном приближении постоянным вдоль функция 4ro (力,У) удовлетворяет

как обычно, давление в главном приближении постоянным вдоль функция 4ro (力,У) удовлетворяет

Рис. 2.4. Асимптотическая структура характерных областей течения за угловой точкой контура телаРис. 2.4. Асимптотическая структура характерных областей течения за угловой точкой контура теласлоя смешения, получим, что уравнению (1.6) с dpjdx = 0. Прежде чем сформулировать краевые условия для этого уравнения, обратим внимание на то, что решение в пристеночном пограничном слое перед угловой точкой имеет особенность. Эта особенность, как будет показано ниже, приводит к образованию области взаимодействия, расположенной в окрестности угловой точки, где решение, полученное для областей 7, 2 目 3 (рис. 2.3), становится несправедливым. Следу-

Рис. 2.4. Асимптотическая структура характерных областей течения за угловой точкой контура тела

Рис. 2.4. Асимптотическая структура характерных областей течения за угловой точкой контура тела

ет, однако, отметить, что основная часть пограничного слоя в обла

сти взаимодействия, являющаяся продолжением локально невязкой области 2, должна быть невязкой. Поэтому изменение скорости вдоль каждой линии. тока при переходе из пристеночного пограничного слоя в слой смешения можно связать с приращением давления интегралом Бернулли. Поскольку перепад давления в области взаимодействия является бесконечно малым ), начальный профиль скорости для слоя смешения будет в главном приближении совпадать с предельным профилем скорости для пограничного слоя, что может быть записано как

屮。=叫。(у)при / = +0, yз0.

Скорость на внешней границе слоя смешения равна единице: 涼=1 при У = оо,

а условие сращивания с решением в застойной области, гдб

скорость жидкости стремится к нулю при Re f 8, имеет вид

~^^ = 0 при У = — сю.(1.23)

Необходимо, наконец, поставить кинематическое условие

屮° = 0 при У = 0,(1.24)

которое связано с выбором используемой системы координат.

Построим теперь асимптотическое решение сформулированной краевой задачи при х -> +0. В момент схода пограничного слоя с угла он вступает в контакт с покоящейся жидкостью в застойной зоне, и это дает начало вязкой области 3] которая отделяет основную часть слоя смешения от застойной зоны (рис. 2.4). Исходя из требования о совпадении порядков конвективного и «вязкого» членов

aw a24r@з屮

_оg_ 〜

dY dxdY@уЗ

в уравнении пограничного (слоя (1.6) и используя для функции тока оценку 4r° = О(У5/3), которая следует из формы (1.17) начального профиля скорости, легко получить, что ширина вязкой области 3’ уменьшается при х +0 по закону У = O(z3/8)? а функция тока 中о является здесь величиной порядка 力‘北.Поэтому решение в области 3' представим в виде

屮。=(8旷5阮阳+ё=(打/4击.(1.25)

Функция go(W) является решением следующей краевой задачи:

gf + 4g°g〔 一 ^ g： = 0,g；(- °0) = go (0) = 0,

go = Ао^/3 + 0 (^2/3) ПРИ 1 8・" 26)

Уравнение для g°(W) получено с помощью подстановки (1.25) в (1.6) с последующим переходом к пределу при х +0. Краевые условия при 自=—°0 и ^ = 0 следуют из (1.23) и (1.24), а условие при 自 f 8 представляет собой результат сращивания с решением в основной части слоя смешения (области 2'), где главный член асимптотического разложения функции Wo (ж, У) совпадает с 叫。(У).

Как было показано Диесперовым (1984), решение краевой задачи (1.26), удовлетворяющее дополнительному условию g()>0, существует и является единственным. Асимптотическое разложение функции go(W) при 自 f 8 имеет вид

g^ = A^ + B^+O^Y

Если же & -> —8, то

go = — 瑞 + О ехр( ~ 勺三)]•

В результате численного решения краевой задачи (1.26) для постоянных Зо п К。получены значения

Во = 0,428, К。=1,181.

Перейдем к области 2‘, которая занимает основную часть слоя смешения (рис. 2.4). Асимптотический анализ уравнения (1.6) в этой области связан с предельным переходом

力—+0, У = 0(1).

Как уже указывалось, главным членом асимптотического разложения функции тока 4ro (瑞 У) здесь является 4fоо(У). Второй член разложения можно найти точно так же, как это было сделано для области 2. В результате получим

% = %。(У) + 停厂翁 %F(у)+

Чтобы убедиться в правомерности условия (1.23) и требования о постоянстве давления вдоль слоя смешения, рассмотрим более подробно застойную зону (область 4', рис. в2.4). Как и в случае отрыва от гладкой поверхности, будем считать, что движение жидкости в области 4' обусловлено эжектирующим действием слоя смешения. Тогда из сращивания с решением для слоя смешения следует, что в области 7 if> = O(Re-1/2). Составляющие вектора скорости имеют тот же порядок малости, а изменение давления оценивается как квадрат этой величины: р — р00 = ^(Re-1).

Решение в области 4' удобно искать в полярной системе коордп* нат г, ф. Поместим ее центр в точку О и будем отсчитывать угол <р от касательной, которая проведена в точке О к поверхности тела О" омываемой возвратными токами (рис. 2.4). Касательная к разделяющей линии тока ОВ записывается в этой системе координат как ф = р, где ^ = л — у.

Асимптотический анализ уравнений Навье —- Стокса в области 4, связан с предельным переходом

尸= 0(1), ср = 0(1), Re оо.

Решение представим в виде

Ч> = Re-1/2$0(r, ф)+ ..卩一卩°。= RLpo(r,(p)+...(1.27)

Уравнениями для функций 业(г, ср) н 卩о (г, ф) являются уравнения Эйлера. Поэтому в области 4' справедлив закон (сохранения вихря вдоль линий тока

А业= со(屮о).(1.28)

Если г -> 0, то условие сращивания с решением в области 3' может быть записано как

近(г, 0) = — (8北产产8乂 + ...(1.29)

45

Вторым краевым условием является условие пепротекаипя на поверхности OD：

冠(г, 0) = 0.(1.30)

Исходя из формы условия (1.29), представим решение уравнения (1.28) в виде

收=产8①(屮)+… пpп f 0.收=产8①(屮)+… пpп f 0.(1.31)(1.31)

收=产8①(屮)+… пpп f 0.

收=产8①(屮)+… пpп f 0.

(1.31)

(1.31)

Следует обратить внимание на то, что эжектпрующее действие слоя смешения усиливается по мере приближения к угловой точке ——при 尸 f 0 скорость жидкости в области 4' возрастает, как это следует из (1.31), пропорционально г~3/8. В то же время вихрь 3(G) сохраняет свою величину вдоль каждой линии тока. Поэтому, как и в случае отрыва от гладкой поверхности, уравнение (1.28) при малых значениях г равносильно уравнению Лапласа. Его решение, удовлетворяющее условиям (1.29), (1.30), имеет вид

(1.32)(1.32)% =5/8. . при r->0.

(1.32)

(1.32)

sin

Так как течение жидкости в области 4' является невязким, распределение давления может быть получено из уравнения Еернулли:

叩о叩о5(2”。广 3/48 8e得j .5(2”。广 3/48 8e得j .+ ... при 尸 f 0.+ ... при 尸 f 0.(1.33)(1.33)

叩о

叩о

5(2”。广 3/4

8 8e得j .

5(2”。广 3/4

8 8e得j .

+ ... при 尸 f 0.

+ ... при 尸 f 0.

(1.33)

(1.33)

Решение (1.32) для области 4' не удовлетворяет условию прилипания на поверхности OD. Поэтому в рассмотрение необходимо еще включить область 5'——вязкий пограничный слои, расположенный вблизи этой поверхности (рис. 2.4). Поток жидкости в области 5', так же как и поток жидкости в пограничном слое на поверхности /О, направлен в сторону угловой точки контура тела. И в том, и в другом случаях градиент давления является благоприятным. Однако между этими двумя течениями имеется существенное различие. На поверхности АО в бесконечность обращается лишь градиент давления. Само же давление остается при 汽 -> —0 ограниченным. В этих условиях пограничный слой расщепляется на две характерные области. Действие сил внутреннего трения оказывается существенным лишь в пристеночной области 3, однако решение для этой области не удовлетворяет краевому условию на внешней границе пограничного слоя. Поэтому возникает необходимость во введении промежуточной локально невязкой области 2・

На поверхности OD не только градиент давления, но и само давление (1.33) стремится к бесконечности при приближении к угловой точке. В этом случае пограничный слой остается однородным и не расщепляется на дополнительные области течения.

Введем орготональную криволинейную систему координат Оху, совмещая ее начало с угловой точкой О н направляя ось Ох вдоль контура OD, а ось Оу ——по нормали к нему. При Ж -> 0 решение для области 5' представим в виде

i|)= -Re-3/41/2^5/16(po (?)+...

Независимая переменная g и постоянная d вычисляются по формулам

si"百6丿

Для определения функции (р0(?) имеет место следующая краевая задача:

屮О —石^о^о十百(1 —屮0 ) = °,

Фо ⑼=Фо (°) = °,屮0 (°°) = 1.

Решение этой задачи существует и является единственным при дополнительном условии: фо > 0 на интервале (0, 8). Доказательство соответствующей теоремы приведено, например, в статье Габутти (1984).

Заканчивая рассмотрение внешних областей, окружающих область взаимодействия, остановимся на определении тех возмущений, которые возникают во внешней потенциальной части течения (область 7) за счет вытесняющего действия пограничного слоя. Чтобы учесть этот эффект, необходимо, кроме главных членов разложения (1.1) гидродинамических функций, в области 1 удержать члены порядка Re~"2：

= 〃о(/［『)+... + Re-。员 2(", У)十

苏=%(犷，『)+・.. + ReT/2办(犷，『)+..・，(1.34)

卩= &(”，yf) + .. . + RQ-l/2p2(x\ У) + ・・.

Здесь используется введенная ранее прямоугольная декартова система координат Оху" ic началом в угловой точке О и осью Ох . направленной по касательной к контуру АО (рис. 2.3). В дальнейшем будет показано, что разложения (1.34) содержат еще и промежуточные члены порядка Re-4/9.

Подставляя (1.34) в уравнения Навье ——Стокса, легко убедиться, что возмущения составляющих вектора скорости 北2, ^2 обладают тем же свойством, что и их главные приближения 〃о, и°: если положить u?2(z) = 〃2 — %^2, то функция g(z) будет аналитической функцией комплексного переменного z = %' + iyf. Вторым следствием этой подстановки является линеаризованное уравнение Еернул- ли, которое связывает возмущение давления с составляющими вектора скорости:

С =—(〃迴2 + и。％).(1.35)

47

Решая задачу для области 2 в главном приближении, мы ставили в качестве краевых условии для комплексно сопряженной скорости ш0 (z) = uQ — Wq условие непротекания на поверхности тела АО п условие постоянства давления вдоль разделяющей линии тока ОВ. Чтобы получить соответствующие краевые условия для функции g(z), необходимо произвести сращивание с решением в пограничном слое и с решением для слоя смешения. Угол наклона линий тока в области 2 определяется формулой (1.20). Поэтому первым краевым условием будет

(

2 \1/496_

Z6； (— /') "8 + • • • при d т0.(1.36)

Благодаря тому, что вариации давления в области 4' составляют величину порядка Re-1, распределение давления вдоль внешней границы слоя смешения определяется его перепадом Лр поперек этого слоя. Из второго уравнения системы уравнений Навье ——Стокса (см. (1.2) гл. I) следует, что Ар = O(Re~1/2x). Здесь х — кривизна разделяющей линии тока

— (1 十抬

Если воспользоваться формулой (1.4), то легко получить, что возмущения давления в области 1 удовлетворяют на границе со слоем (Смешения следующему условию:

卩2(力 1 0)=0[(力'尸勻 при х +0.

Используя уравнение Бернулли (1.35), можно записать это условие е другой форме：

〃2(力 1 0)=。[(力')т/2] при 力'+0.(1.37)

Условия (1.36) и (1.37) однозначно определяют главный член разложения функции 加2(z) при \z\0：

1/4——叫 5一L8 + 0(1z|T/2).

40& cos -g- л

Выделяя действительную часть и2 этого выражения при arg z = л и подставляя результат в (1.35), приходим к выводу, что возмущение давления, создаваемое на поверхности АО за счет вытесняющего действия пограничного слоя, возрастает по мере приближения к угловой точке как

卩2 = (h) %" " tg "I•冗(一力'尸/ 8 + ... при 力'т 0,(1・38)

Область взаимодействия. Из формулы (1.38) следует, что градиент давления, индуцируемый на поверхно1сти АО вытесняющим действием пограничного слоя, возрастает при х -> —0 как О [Re-1/2(—j:)_13/8]. Исходный градиент давления, наложенный на

Рис. 2.5. Асимптотическая структура области взаимодействияРис. 2.5. Асимптотическая структура области взаимодействия

Рис. 2.5. Асимптотическая структура области взаимодействия

Рис. 2.5. Асимптотическая структура области взаимодействия

пограничный слой (1.9), имеет порядок О[(—ж)-1/2]. Ясно, что существует такая окрестность угловой точки контура обтекаемого те- ла? в которой индуцируемый градиент давления становится величиной того же порядка, что и исходный градиент давления. Эта окрестность имеет протяженность

(1.39)(1.39)A/ = 0(Re-/9)・

(1.39)

(1.39)

Здесь градиент давления, действующий на пограничный слой, уже не является заранее заданным, а должен определяться в результате совместного решения задач для вязкого пристеночного слоя и внешней потенциальной части потока.

Получить оценку протяженности области взаимодействия (1.39) можно и с помощью инспекционного анализа (§ 3 гл. I). Оценки влияния физических процессов, происходящих в области взаимодействия, на которые опирается этот анализ, справедливы и в данном случае. Необходимо только, учитывая изменение формы исходного профиля скорости (1.21) перед областью взаимодействия, заменить соотношение (3.6) гл. I на 乂 ~ 尸б Тогда вместо соотношения А力=。(Re-3/8), которое определяет протяженность области взаимодействия на гладкой поверхности, получим (1.39).

Как было показано, пограничный слой перед областью взаимодействия имеет двухслойную структуру: он включает в себя локально невязкую

область 2, занимающую основную часть пограничного слоя, и вязкую пристеночную область 3, которая определяет в главном приближении вытесняющее действие всего пограничного слоя в целом. Область 3 «порождает» вязкий пристеночный слой области взаимодействия (область ZZ7), а область 2 ——средний слой (область II на рис. 2.5).

Рассмотрим сначала область III. Ее протяженность определяется соотношением (1.39), а толщина такова, какой была бы толщина (1.11) области 3 на расстоянии Дж = О(Re~4/9) от угловой точки контура тела: u = °(Re-"3). Таким образом асимптотический анализ уравнений Навье ——Стокса в области III связан с предельным переходом

/* = Re'/旣= 0(1), У * = RT% = 0(1), Re - 8.(1.40)

Полагая в решении (1.5), (1.12) для области 3 I况I = 0(Re-'/9)， приходим к выводу, что в области III ip = O(Re~7/9). Аналогичным

4 П./ред. В. В. Сычёва49

образом из (1.8) получаем: р — р00^= O(Re"2/9). Поэтому решение уравнений Навье ——Стокса в области III будем искать в виде

"=ReT/9 覺(状，у*) + ...，р=p。。+ Re-2/9p:(/*)+(1.41)

Из второго уравнения системы уравнений Навье ——Стокса (см. (1.2) гл. I) следует, что в рассматриваемом приближении давление остается постоянным поперек области III. В связи с этим функция ，"公)， входящая в разложение (1.41) для давления, с самого начала записана как функция одного аргумента /*. Подставляя (1.41) в первое уравнение Навье — Стокса, получим

ОУ* dx*dY* дх* ау*2 &/* @у*з '

Краевыми условиями является условия прилипания на поверхности АО:

屮;=謂=о при У* = 0, 状 V о,(1.43)

условие сращивания с решением (1.5), (1.12) в области 3

屮； = (8〃)1/4(一优*)5/8/о(п)+ ... при 力*Т —оо,(1.44)

где.

У*

丿(—/*)3/8，

а также условие сращивания

屮:=(2兴)1/3/。y*5/з + |_4(力*)y*2/3 + … приу*тоо (1.45)

с решением в области IL Чтобы убедиться в справедливости этого условия, рассмотрим область II более подробно.

Асимптотический анализ уравнений Навье ——Стокса в этой области связан с предельным переходом

力 * =。(1), у = 0([), Re->oo.

Если форма асимптотического разложения функции тока в области III была получена из сращивания с решением в области 3, то теперь следует воспользоваться результатами решения задачи в области 2. Произведя в решении (1.5), (1.16), (1.19) для области 2 замену переменной х = Re-'/^力*, получим

屮=Re* 屮°。(у) + Re—2/3 (—力*产 仔厂 翁 ％。(У) + ...

Согласно принципу сращивания асимптотических разложений выписанное выражение должно совпадать с асимптотическим представлением функции тока в области II при /* -> —8. Поэтому 50

решение в области II будем искать в виде

(1.46)(1.46)2 = Re-"2^°(%*, y)+ Re-2/3*(#, У)+…, 卩="。+ 1!ь2/9户0К*, y)+…

(1.46)

(1.46)

Для главного члена разложения функции тока получим в результате подстановки (1.46) в уравнения Навье — Стокса следующее уравнение:

叫7屮0 叫0dY dx^dY 0/* @y2*叫7屮0 叫0dY dx^dY 0/* @y2*Переписывая его в формеПереписывая его в форме

叫7屮0 叫0

dY dx^dY 0/* @y2*

叫7屮0 叫0

dY dx^dY 0/* @y2*

Переписывая его в форме

Переписывая его в форме

приходим к выводу, что угол наклона линий тока

。一翡崂一Ri噜/卷+…。一翡崂一Ri噜/卷+…(1.47)(1.47)

。一翡崂一Ri噜/卷+…

。一翡崂一Ri噜/卷+…

(1.47)

(1.47)

сохраняется неизменным поперек области II и совпадает с углом наклона линий тока на внешней границе области III, Так как в области III 8 = O(Re-2/9), то в рассматриваемом приближении угол наклона линий тока (1.47) тождественно равен нулю. Вместе с ним обращается в нуль и производная д^о/дх^. Что же касается самой функции 4^0(^*, У), то она определяется из сращивания с решением в области 2:

и 4s (/*, У) являютсяи 4s (/*, У) являются5° = %°(У)・ (1.48)

и 4s (/*, У) являются

и 4s (/*, У) являются

Уравнениями для функций Р°(/*, У)

方=a方=a弘。烹一明。譬=0弘。烹一明。譬=0

方=a

方=a

弘。烹一明。譬=0

弘。烹一明。譬=0

(1.49)(1.49)Согласно первому из них давление не меняется поперек области II и, следовательно, совпадает с давление^! в области Ш:

(1.49)

(1.49)

几=尸：3).

Решение второго уравнения, удовлетворяющее условию сращивания с решением в области 2, имеет вид

可1 = /(状)屮;。 (У).(1.50)

Здесь Л (х*)— произвольная функция; из сращивания с решением в области 2 известно только, что

Л =Л =(一讲)3/8 (^『‘鲁 + 0(1)吨口 /*— — 0c.

Л =

Л =

Осталось произвести сращивание разложения (1.46), (1.48), (1.50)

4*51

функции тока в области II с разложением (1.41) функции тока в области ПЦ и формула (1.45) будет доказана.

Решение (1.46), (1.48), (1.50) для области II может быть записано в виде

屮=ReT/2q。。[У + Re-VM (/*)] + …(1.51)

Из (1.51) следует, что все линии тока в области II повторяют по форме друг друга, причем вдоль каждой линии тока продольная составляющая вектора скорости

iz = V；0[y + Re~1/64(^*)] +

остается постоянной. Таким образом, с изменением 力* профиль продольной составляющей вектора скорости не меняется. Вытесняющее действие вязкого подслоя (область III) приводит лишь к тому, что в каждой точке /* невязкая часть пограничного слоя (область II) сдвигается как целое по нормали к обтекаемой поверхности. Функция /(/*), которая характеризует вытесняющее действие вязкого подслоя, должна определяться из решения уравнения (1.42). Однако, в отличие от классической постановки задачи для уравнения пограничного слоя, в данном случае градиент давления "；/d" не задан. Поэтому для замыкания задачи (1.42) — (1.45) необходимо еще рассмотреть течение в области / (рис. 2.5).

Асимптотический анализ уравнений Навье ——Стокса в области / связан с предельным переходом

4 =公 Re4/9 =。(1), 山=yf Re4/9 = О (1), Ref oo.

Здесь, как и в области I, мы будем использовать декартову систему координат Оху. Гидродинамические функции представим в виде разложений

加= l + RL/9式阮，山)+

U = ReT/9 游(五，成)+ ・ ・ .,(1.52)

卩=Poo + Re』，(兀,山)+ • • •

Подставляя (1.52) в уравнения Навье ——Стокса, приходим к выво« ду, что функция

投 l(z*) = 〃1 — z%

является аналитической функцией комплексного переменного z* = =力：+ 力В；, а р； удовлетворяет линеаризованному уравнению Бернулли

< =— 〃；・(1.53)

Сформулируем краевые условия для функции з； (z*). Первое из них

it； = 2〃反：/2 + . .. при I I 8(1.54)

является следствием у!словпя сращивания с решением (1.1), (1.2) в области 7. Необходимо также осуществить сращивание с решением в области 〃. Согласно (1.46), (1.48), (1.50) угол наклона вектора скорости в области II определяется как

g -票 / = - RL 4(* + …(1・55)

С другой стороны, в области I

® = ^ = Re~2/9 и；(弘，У^ +(1.56)

Сравнивая формулы (1.55) и (1.56), необходимо иметь в виду, что первая из них записана в криволинейной (системе координат Оху и определяет угол наклона вектора скорости по отношению к оси Ох. Вторая записана в декартовой системе координат Он'у' и определяет угол наклона вектора скорости по отношению к оси Ох . При /* V 0 разница между этими величинами, равная углу наклона поверхности тела к оси О/［ оценивается как О (Re~4/9) и не сказывается на результате сращивания разложений (1.55) и (1.56):

a； (W, 0)= — 4 (/：) при /： V 0.(1.57)

Иначе обстоит дело вниз по потоку от точки отрыва. Как следует из решения (1.4) для области 7, угол между касательной к оси Ох и осью Ох" уменьшается при /'->0 по закону。［(力，)"？］. В области взаимодействия этот угол становится величиной того же порядка O(Re-2/9), что и угол наклона вектора скорости.

Уравнение разделяющей линии тока запишем в области взаимодействия в виде

Тогда в дополнение к условию (1.57) получим

и； (К, 0)= Ь (4) — 4 (4) ПРИ *4 > 0.(1.58)

Своеобразие рассматриваемой области взаимодействия проявляется в том, что ее вязкий слой (область III), отделяясь от поверхности тела в точке О, сразу же вступает в контакт с областью IV, лежащей в застойной зоне (рис. 2.5). Движение жидкости в области IV подчиняется тем же законам, что и движение жидкости в области 4'. Учитывая это сходство, мы не будем останавливаться на построении решения уравнений Навье ——Стокса для области IV, Укажем лишь, что в этой области, имеющей протяженность г — =O(Re-4/9), изменения давления оцениваются, согласно условию сращивания с решением (1.27), (1.33) для области 4', как *)

р-роо = 0(Ее^2/3).

Сопоставив эту оценку с разложением давления (1.41) в области III, приходим к выводу, что

Р；(力來)=0 при 广 >0.(1.59)

Если теперь воспользоваться условием сращивания разложения давления (1.52) в области I с разложением давления (1.46), (1.49) б области II

Pi (W，о) = Ро (4)

и уравнением Бернулли (1.53), то в результате получим условие

":(力：,0)= 0 при 力:> 0,(1.60)

которое позволяет сформулировать задачу для области I как смешанную краевую задачу теории функций комплексного переменного: найти аналитическую в верхней полуплоскости переменного z來 функцию wr (z來)по ее мнимой части, заданной на отрицательной действительной полуоси (1.57) и действительной части, заданной на положительной действительной полуоси (1.60), если известно, что при I z^ I -> оо функция ш* (z^) удовлетворяет условию (1.54).

Используя метод Келдыша ——Седова (1937), можно показать, что решение поставленной задачи, удовлетворяющее дополнительному условию 必；=о (z；V2) в окрестности точки 2* = 0, существует и яв^ ляется единственным. Оно записывается (Рубан, 1976а) через интеграл типа Коши:

[

0-

+ ； f —.(1.61)

Здесь G(s)——угол наклона вектора скорости на внешней границе области J/Z： G(s) = —/'(s).

Чтобы найти предельное значение функции 必】(z來)на линии интегрирования (т. е. при z來一а/；, где 力:V0), нужно воспользоваться формулой Сохоцкого——Племеля. Тогда для давления в области III получим выражение

которое замыкает задачу о взаимодействии.

Записав давление с помощью формулы (1.62), мы получаем возможность рассматривать течение перед угловой точкой контура тела независимо от течения при 力來 > 0. Задача о взаимодействии будет в этом случае включать в себя уравнение (1.42) для функции тока в области III с краевыми условиями (1.43) — (1.45) и соотношение (1.62), которое связывает угол наклона вектора скорости на внешней границе области III с давлением в этой области.

Положим

唠=/г"啤р^ =厶4/»,J _ Л~2/Зл?

%* =『。/眩，У* = k~2/3Y,"S3)

тогда задача о взаимодействии запишется в виде

理户干一四m矛d万萨千

丄夕_4_ dsn丄了二"斤严丄夕_4_ dsn丄了二"斤严(1.64)(1.64)d?dXdY~~ 病— 一 旋 + 赤3 w

丄夕_4_ dsn丄了二"斤严

丄夕_4_ dsn丄了二"斤严

(1.64)

(1.64)

¥ = ^1 = 0 при У = 0, dY

可=21/34f5/3 + _|才(不)部/3 +при У-> оо,

可= 23% (—又У % ⑺ + ...ПРИ Х->-ОО, где—

" (一又)3/8.

Таким образом, преобразования (1.63) позволяют исключить зависимость гидродинамических функций от параметра к. Это означает, что все течения в области взаимодействия рассматриваемого типа подобны друг другу.

Изложенный выше анализ течения жидкости в области взаимодействия был произведен Рубаном (1974). Численное решение задачи о взаимодействии (1.64) построено в его более поздней работе (Рубан, 1976а). Как оказалось, трение

T=改1"唯8%(天)，где三(灯=雪］ ,

"ly=0

остается положительным на всей вплоть до угловой точки О. Болееостается положительным на всей вплоть до угловой точки О. Болееповерхности обтекаемого тела того, т(Х) монотонно возрастаетповерхности обтекаемого тела того, т(Х) монотонно возрастает

остается положительным на всей вплоть до угловой точки О. Более

остается положительным на всей вплоть до угловой точки О. Более

поверхности обтекаемого тела того, т(Х) монотонно возрастает

поверхности обтекаемого тела того, т(Х) монотонно возрастает

Рис, 2.6. Графики зависимости поверхностного трения (а) и давления (6) от расстояния до угловой точкиРис, 2.6. Графики зависимости поверхностного трения (а) и давления (6) от расстояния до угловой точки

Рис, 2.6. Графики зависимости поверхностного трения (а) и давления (6) от расстояния до угловой точки

Рис, 2.6. Графики зависимости поверхностного трения (а) и давления (6) от расстояния до угловой точки

по мере приближения к этой точке (рис. 2.6, а). Одновременно происходит уменьшение давления (рис. 2.6, 6), так что градиент давления dP/dX оказывается благоприятным при всех X V 0. Перед

55

угловой точкой он имеет конечную величину, а в самой этой точке терпит разрыв и, согласно (1.59), становится равным нулю при Х>0.

Решение задачи о взаимодействии (1.64) позволяет определить функциюy*) не во всей области III, а лишь вверх по по

току от сечения /* = 0. Определяется и функция

屮;。(у*)= lim 屮:(状，y*), х*^—0

Зная ее, можно продолжить решение уравнения (1.42) вниз по течению от угловой точки. При этом начальное условие запишется в виде

弘=у；。(广)при 力* = + 0,Y*> 0;

градиент давления в уравнении (1.42) необходимо положить равным нулю, а условие прилипания

謀=0 при У* = 0

заменить на условие сращивания с решением в застойной области IV:

忐=0 при У* = — оо.

Второе краевое условие (1.43) при У* = 0 и условие (1.45) на внешней границе области III остаются неизменными. Заметим, что для однозначного определения решения рассматриваемой краевой задачи достаточно в условии (1.45) сохранить лишь первый член разложения 屮； при У* -> °°. Второй член выписывается для того, чтобы указать правило, по которому вычисляется функция /(/*).

Вернемся теперь к выражению (1.61) для функции wr {z^. Полагая в этом выражении z* = /*>0 и используя условие (1.58), получим формулу

0-

尸(%) — М/ 2为 g J ”27^ (L 万曲.

Она позволяет определить положение в пространстве разделяющей линии тока.

Остановимся более подробно на течении непосредственно за угловой точкой контура тела. При /* > 0 область III превращается в обычный слой смешения и подчиняется тем же законам, что и слой смешения (области 2'目 3') за пределами области взаимодействия. Если /* f +0, то основная часть области III становится локально невязкой; действие сил внутреннего трения оказывает существенное влияние лишь на течение в тонком слое смешения, который образуется на границе с застойной областью IV. Сравни-

ван конвективный член уравнения (1.42) с его «вязким» членом

@У dx^dY* ~ ау*з

и учитывая форму начального профиля скорости

謂=卢/(一 о)т + при y*f О,

приходим к выводу, что в вязком слое У* = О (ж*1/3), а 巾ункц1Hя То (力來,У*) представляется как

屮；=x^gQ (^*) + ... при N* Т + 0,(1.65)

где

/

G 一 7*1/3 .

Интересно отметить, что такое же представление функции тока имеет место в слое смешения (область 3'), который образуется вниз по течению от точки отрыва пограничного (слоя на гладкой поверхности (см. (6.3) гл. I).

Заканчивая анализ течения в области взаимодействия, заметим, что ее введение не позволяет полностью устранить особенность в решении уравнений гидр о дин амики. Хотя градиент давления становится в области взаимодействия ограниченным, он, как уже указывалось, терпит разрыв в угловой точке контура тела. Особым является и решение (1.65) вниз по течению от угловой точки. Следовательно? в ее окрестности должны лежать дополнительные области течения. Первой из них, по-видимому *), является область с характерными размерами \х\ = O(Re-1/2), |沙丨=。⑴厂〃).В этой области существенным становится перепад давления поперек пограничного слоя, который приводит к устранению разрыва градиента давления. В то же время поверхностное трение перед угловой точкой остается (в главном приближении) неизменным. Сохраняет справедливость и решение (1.65) вниз по течению от угловой точки. Особенность, содержащаяся в этом решении (а также в решениях для областей /F и V), (сглаживается в области с характерными размерами

|"[ =O(Re-7/9), 廿| =o(Re-7/)(1.66)

Здесь течение жидкости описывается полной системой уравнений Навье ——Стокса с локальным числом Рейнольдса, равным единице.

Существование такой области течения можно заранее предсказать с помощью следующих раосуждений. В малой окрестности угловой точки форма обтекаемого тела представляется двумя луча-

mit, исходящими из точки О. Следовательно, единственным характерным размером течения жидкости в этой окрестности является вязкая длина y./UQ, Она и определяет протяженность (1.66) рассматриваемой области. Формальным основанием для введения этой области является нарушение равномерной пригодности решения (1.65) для слоя смешения. Согласно (1.65) и (1.40) на расстоянии 汽/ от угловой точки контура тела толщина слоя смешения оценивается как

У = 0[ReT/27(%)/3]

При \х\ = O(Re~7/9) продольный п поперечный размеры слоя смешения становятся величинами одного порядка. Поэтому уравнение (1.42), описывающее течение жидкости в области /〃，теряет спра- ведливо!сть и уступает место полным уравнениям Навье — Стокса.

Рис. 2.7. Схематическое изображение картины течения в области полных уравнений Навье ——СтоксаРис. 2.7. Схематическое изображение картины течения в области полных уравнений Навье ——СтоксаХотя решение соответствующей краевой задачи для уравнений Навье — Стокса в настоящее время не построено, есть основания иола- гать, что в области с размерами (1.66) отрыв потока от поверхности тела происходит не в угловой точке, а за ней. Такой вывод следует, например, из работы Боголепова (1985), который рассмотрел течение в донной области за телом прямоугольной формы. Построив численное решение уравнений Навье ——Отокса для этого течения, он показал, что частицы вязкой жидкости, приближающиеся к угловой точке конту

Рис. 2.7. Схематическое изображение картины течения в области полных уравнений Навье ——Стокса

Рис. 2.7. Схематическое изображение картины течения в области полных уравнений Навье ——Стокса

ра тела О, сначала огибают эту точку и только потом отходят от поверхности тела, как это изображено на рис. 2.7.

Заслуживает внимания еще одно следствие изложенной теории. Согласно (1.52) асимптотическое разложение комплексно сопряженной скорости в области I имеет вид

и —汐=1 + Re"~2/9 ш* (z*) + ... при Re-> оо.(1.67)

Как следует из (1.61), при 丨z*l — 00

忒=2班z：/2 — £1 J 翟 加 +。(I z* |78)・(1.68)

Подставляя (1.68) в (1.67) и производя замену переменной z* = =Re4/92, получим выражение

1/2°

=1 + 2班 — Re-4/9 匸二 f 笋 ds + o(Re-1/2),

из которого следует, что в области 7, где z = 0(1), асимптотическое 58

разложение комплексно сопряженной скорости имеет вид

М —力=ш0 (z) + Re"9 以⑶ + Re"2g⑵ + …(1.69)

Главный член этого разложения 加o(z) определяется, как было указано в начале данного параграфа, в результате решения классической задачи теории течений идеальной жидкости юо свободными линиями тока. Третий член Re-"2w；2(z) характеризует вытесняющее действие пограничного слоя. Однако не этот эффект определяет основное возмущение «невязкого» решения wQ (z) задачи для области 7, более существенным оказывается влияние области взаимодействия, выражающееся через промежуточный член Re-479^! (z) разложения (1.69).

§ 2. Течения с малыми значениями параметра 力

При отрыве пограничного слоя от гладкой поверхности твердого тела параметр 倉,входящий в разложение (1.2) комплексно сопряженной вскорости вблизи точки отрыва, однозначно определяется из решения локальной задачи для области взаимодействия. Как следует из анализа, проведенного в гл. I, в этом случае параметр к является отрицательным ) и имеет величину порядка Re-1/16. Когда же речь идет об отрыве от угловой точки контура тела, параметр 论 определяется в результате анализа течения в области 1. При этом в зависимости от формы обтекаемого тела он может меняться в достаточно широких пределах. Изложенная выше теория была построена в предположении, что параметр 乃 является положительной величиной порядка единицы. Интересно было бы выяснить, какие

изменения претерпевает эта теория по мере уменьшения параметра 壷 и как в результате этих изменений теория отрыва от угловой

Рис. 2.8. Пример течения с малым значением параметра кРис. 2.8. Пример течения с малым значением параметра кточки переходит в теорию отрыва пограничного слоя от гладкой поверхности.

Рис. 2.8. Пример течения с малым значением параметра к

Рис. 2.8. Пример течения с малым значением параметра к

Течение с любым, сколь угодно малым значением параметра к можно получить, поместив, например, в поток несжимаемой жидкости цилиндрическое тело, имеющее в поперечном сечении форму сегмента круга. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим сначала течение около кругового цилиндра (рис. 2.8). Пусть точка S, лежащая на поверхности ци-

линдра и симметрично расположенная

точка S' выбраны в соответствии с условием Бриллюэна ——Билля. Напомним, что, согласно этому условию, параметр к в выражении (1.2) должен быть равен нулю. Условие Бриллюэна ——Билля опре-

деляет положение точки отрыва потока в пределе при Re = 8. Если же число Рейнольдса хотя п велико, но не обращается в бесконечность, точка отрыва потока оказывается сдвинутой вниз по течению от точки S на расстояние порядка Re-1/16.

Пусть теперь в поток несжимаемой жидкости помещен сегмент AOOf. Характер его обтекания зависит от взаимного расположения точки О и точки Бриллюэна ——Билля S. Если точка О лежит вниз по течению от точки S и длина дуги SO превосходит по порядку величины Re-1/16, то отрыв потока будет происходить на гладком участке поверхности сегмента между точками S и О. В этом случае течение в окрестности точки отрыва описывается теорией, которая была изложена в гл. I. Если же, наоборот, точка О расположена вверх по течению от точки S и расстояние между этими точками конечно, то справедлива теория, изложенная в § 1 данной главы. Анализ потока начнем именно с этого случая и, уменьшая расстояние между точками О и S проследим за сменой режимов течения в окрестности угловой точки контура тела.

Итак, пусть точка О лежит перед точкой S. Тогда отрыв будет, очевидно, происходить в угловых точках О и О'. Учитывая сим- метрию течения, мы рассмотрим в дальнейшем одну из этих точек ——точку О. В ее окрестности для комплексно сопряженной скорости по-прежнему справедливо разложение (1.2). Параметр 〃，входящий в (1.2) и определяющий величину градиента давления перед точкой отрыва (1.9), является в данном случае положительным и зависит от расстояния между точкой О и точкой S. Чем меньше это расстояние, тем меньше величина параметра к.

Для изучения таких режимов течения необходимо положить

к = г (Re) Ci,(2.1)

где & ——положительная постоянная, а

£(Re)f 0 при Re-> 8.

Тогда разложение функции тока в пограничном слое перед точкой отрыва запишется (по аналогии с разложением (4.2) гл. I) в виде

屮=氏-1/2% (芻 y)+ Re-/2£% (招 У)+...(2.2)

Главный член этого разложения определяет состояние пограничного слоя в потоке, удовлетворяющем условию Бриллюэна ——Билля. Поэтому функция 4ro(芻 У) точно совпадает с главным членом разложения (4.2) гл. I. Второй член разложения (2.2) выражает собой реакцию пограничного слоя на действие сингулярного градиента давления. Для функции 4rl (力,У) сохраняет справедливость уравнение (4.5а) гл. I. Необходимо только учесть, что теперь градиент давления )

粤=—R (— /)Т/2 + …при 0 становится благоприятным.

Как и в случае отрыва от гладкой поверхности, рассматриваем мь1п пограничный слой включает в себя две характерные области течения ——локально невязкую область 2 и вязкую пристеночную область 3 (рис. 2.9). Если 力 —0, то в области 3 (см. (4.6), (4.7) гл. I)

七=4旬(一/产3哦+% = 一(一力产2/1(切+(2.3)

Независимая переменная п считается здесь величиной порядка единицы:

"=二品=。()(24》

Рис. 2.9. Асимптотическая структура характерных областей течения в условиях, когда e(Re) превосходит по порядку величины Re-I/16Рис. 2.9. Асимптотическая структура характерных областей течения в условиях, когда e(Re) превосходит по порядку величины Re-I/16Функция /1(") удовлетворяет уравнению (4.8) гл. I. Если т]8, то для /1(”) имеет место разложение

Рис. 2.9. Асимптотическая структура характерных областей течения в условиях, когда e(Re) превосходит по порядку величины Re-I/16

Рис. 2.9. Асимптотическая структура характерных областей течения в условиях, когда e(Re) превосходит по порядку величины Re-I/16

j^a^^ + b^ + O^Y (2.5)

Область 3, включающая в себя пристеночные заторможенные струйки тока, наиболее чувствительна к действию сингулярного градиента давления и вносит основной вклад в вытесняющее действие пограничного слоя. Поэтому, вычисляя угол наклона вектора скорости на внешней границе области 3, мы одновременно определяем его величину и на внешней границе всего пограничного слоя в ращение угла наклона вектора скорости по отношению к его значению в потоке, удовлетворяющем условию Бриллюэна ——Билля. Тогда, как следует из (2.2), (2.3) и (2.5),

А® =—&т/2£(—/)т/б 鲁+ ири 况f — О.

Величиной того же порядка является и возмущение давления

p = Re I/2 £ (-/)"6 F .… при X -> ——0,.

которое индуцируется за счет вытесняющего действия пограничного слоя. Что касается градиента индуцированного давления, то для него имеет место следующая оценка:

穿= O[Re~"2£(—/)7/6].(2.6>

По мере приближения к угловой точке контура тела вытесняющее действие пограничного слоя становится все более интенсивным. Она

приводит к искажению исходного градиента давления, а в конечном итоге ——к образованию области взаимодействия. Протяженность этой области

А力= O(r「3/8)(2.7)

определяется, как обычно, в результате сравнения исходного градиента давления (1.9), (2.1) с индуцируемым (2.6). При этом, конечно, предполагается, что всюду за пределами области взаимодействия сохраняет справедливость как выражение (1.9) для исходного градиента давления, так и оценка (2.6) для индуцированного градиента давления. Между тем, если е (Re) превосходит по порядку величины Re-1/16? то асимптотическое разложение (2.2) функции тока, которое использовалось при выводе формулы (2.6), теряет справедливость в более широкой области. В самом деле, в вязком пристеночном слое (область 3) члены разложения (2.2), (2.3) становятся величинами одного порядка уже при

切=О(Т).(2.8)

Это означает, что отдельно должна быть рассмотрена область С (рис. 2.9), протяженность которой определяется соотношением (2.8), а толщина оценивается в соответствии с (2.4) как У = ^(е2)•

Асимптотический анализ уравнений Навье ——Стокса в области С связан с предельным переходом°

хс = 8~6^ = 0(1), Ус = £-2У = 0(1), Re f 8.

Из условия сращивания с решением (2.2), (2.3) для области 5 следует, что главным членом асимптотического разложения функции тока в области С будет

р = ReTSg'4roe (力％ Ус) + ・・・ при Re f °°.(2.9)

До тех пор, пока вытесняющее действие пограничного слоя является слабым, для градиента давления перед точкой отрыва сохраняет справедливость формула (1.9). В области С она принимает вид

dPe _-2%

阪一(一咽1/2

Подставляя (2.9), (2.10) в уравнения Навье ——Стокса, получим

吗)О 3%0吗)。铲土)0一 J I 0细m

dYc dxcdYc dxc "^ 一(-咐1/2 。绥

Краевыми условиями являются условия прилипания 屮°° = ^^ = О ПРИ Ус = °，汽。＜ °,

З^словие сращивания с решением (2.2), (2.3) в области 3

(2.11)(2.11)屮о。= "^ ао^с + при R。— оо

(2.11)

(2.11)

д условие сращивания с решением в области В (рис. 2.9), которая занимает основную часть пограничного слоя:

叫e=^"0y^+ при Кe -> оо.(2.12)

Легко видеть, что в области С мы имеем дело с уже рассмотренной в § 1 задачей о пограничном слое с экстремально благоприятным градиентом давления. Как было показано, асимптотическое представление решения этой задачи при хс т—0 не зависит от формы начального условия (2.11) и условия (2.12) на внешней границе области С. Поэтому, несмотря на изменение этих условий, мы можем воспользоваться результатами предыдущего анализа, и тогда для угла наклона вектора скорости на внешней границе пограничного слоя получим

今=Re 咦-4 (^) / ^^_ (一20厂"8 + ... при /0"^- 0.

Индуцированный градиент давления выражается теперь в виде

2 = Ri「° 信户誨 tg 艮 1с)*

Сравнив его с исходным градиентом давления (2.10), приходим к выводу, что протяженность области взаимодействия оценивается как

A^ = O(Re-4/9e-10/9). (2.13>

Наиболее короткой (1.39) она является при 乃= 0(1), а уже при к = О(Re~1/16) ее длина достигает своей максимальной величины (2.7). В этот момент промежуточная область С перестает существовать как отдельная область течения, поскольку ее протяженность (2.8) становится такой же, как протяженность области взаимодей* ствия.

Итак, рассматривая отрыв потока от угловой точки контура тела при малых значениях параметра к, необходимо прежде всего выделить класс течений, для которых & (Re) превосходит по порядку величины Re~1/i6. Во всем этом диапазоне изменения параметра 击 пограничный слой перед областью взаимодействия подчиняется тем же законам, что и в потоке с к = 0(1). Этим же свойством обладает и течение внутри области взаимодействия; точнее говоря, может быть доказано следующее утверждение： теория отрыва потока от угловой точки контура тела, изложенная в § 1, имеет более широкую область применения, чем первоначально предполагалось при ее построении — она описывает не только течения с к = О ⑴,но и течения, для которых параметр к превосходит по порядку величины Re-Ai* При этом для области взаимодействия сохраняет справедливость краевая задача (1.64), а деформация масштабов переменных, которая наблюдается при уменьшении параметра к и выражается, в частности, соотношением (2.13), осуществляется в соответствии с преобразованиями (1.63).

Второй характерный режим течения реализуется при е (Re)= =Re-i/i6 в этом случае уравнения и краевые условия, которым подчиняется функция тока в вязком пристеночном слое области взаимодействия, записываются так же, как и в задаче об отрыве потока от гладкой поверхности (см. (5.8) — (5.11) гл. I). Что касается давления, то для него имеет место формула (1.62)). Дело в том, что вниз по течению от угловой точки контура тела вязкий слой по-прежнему находится в контакте с застойной зоной, где давление в рассматриваемом приближении сохраняется постоянным. Поэтому при к = O(Re-1/16) для области взаимодействия получаем следующую краевую задачу:

。可82干 小可辨可_ d万83千

dY病疗 dX dY2 — ddY^

可可狗狗dYdYООe(s)у—(S_X)e(s)у—(S_X)dsdsприпри(2.14)(2.14)

可

可

狗

狗

dY

dY

О

О

e(s)у—(S_X)

e(s)у—(S_X)

ds

ds

при

при

(2.14)

(2.14)

V = -i У2 + . . . при X тоо и У->+оо.

Здесь不=现3/8%/4怎Здесь不=现3/8%/4怎У = &5/%沪弘У = &5/%沪弘

Здесь

不=现3/8%/4怎

Здесь

不=现3/8%/4怎

У = &5/%沪弘

У = &5/%沪弘

через 4r(X, У), Р(Х, У) обозначены коэффициенты в главных членах разложения функции тока и давления для вязкого пристеночного слоя области взаимодействия:

4 = rL%”2可(^ y)+ .... p =厶。+班一1/%乎声X G) + • •・

Параметр а вычисляется по формуле

a = 2q/圖/J

Когда точка О лежит достаточно близко от точки Бриллюэна —— Билля и параметр а является малым, решение задачи (2.14) может быть представлено в виде разложений по степеням а:

= %Р + а% 国 У)+

尸=а尸1(X)+ ..., G = aG](X)+ ...

Подставив эти разложения в

-@2%@可疗 1(

У■―=—=-j- ■

dX dYдХdX(

гО

;(2.14), приходим к линейной задаче

@з可1

河

R = ]/Z^ 1

+ W

ft J

4⑻

更一出得），

可1 =亲=0 при У = 0, Х<0,

¥х = о (У2) при Х-> — оо и при У-> + ОО.

Ее решение может быть получено с помощью метода Винера — Хопфа ). В частности, возмущение трения на поверхности обтекаемого тела перед угловой точкой (X V 0) выражается как

彳 _ "细1П1/2?1/8 c exp [?3/4右 + / ⑵]

]=萨g=0 =J步/6 (1 + %8/3)

а градиент давления -00

dPi _Y3/8 f exp [俨/4石 + /(/)]

友=_/ J 产/2 (1 +方8/3)

Здесь 7 = 32/3/Г(1/3) — положительная постоянная, /(力)определяется через интеграл

厂 /、2 f s"3 In (s +力) 7⑺=薪! 1—~l/Ms"3 + s8/3 加・厂 /、2 f s"3 In (s +力) 7⑺=薪! 1—~l/Ms"3 + s8/3 加・Рис. 2.10. Результать1_решения линейной задачи:。——график функции f(X); 6 — график функции 尸i (X)Рис. 2.10. Результать1_решения линейной задачи:。——график функции f(X); 6 — график функции 尸i (X)

厂 /、2 f s"3 In (s +力) 7

⑺=薪! 1—~l/Ms"3 + s8/3 加・

厂 /、2 f s"3 In (s +力) 7

⑺=薪! 1—~l/Ms"3 + s8/3 加・

Рис. 2.10. Результать1_решения линейной задачи:。——график функции f(X); 6 — график функции 尸i (X)

Рис. 2.10. Результать1_решения линейной задачи:。——график функции f(X); 6 — график функции 尸i (X)

6565Как следует из разложения (2.15) для 屮,в вязком пристеночном слое профиль продольной составляющей вектора скорости сохраняется в главном приближении неизменным вплоть до угловой точки контура тела. Влияние застойной зоны на течение перед

65

65

угловой точкой проявляется лишь через последующие члены разложения функции тока в области взаимодействия. Это свойство течений с малыми значениями параметра Е было впервые обнаружено Даниэльсом (1977), который рассмотрел предельный случай отрыва потока от угловой точки контура тела с параметром 论,тождественно равным нулю, и установил, что существенные изменения гидродинамических величин начинаются в области полных уравнений Навье ——Стокса, занимающей окрестность угловой точки с характерными размерами

=。(电-3/4), 旧1 =o(Re-3/)

К сожалению, мы до сих пор не располагаем решением задачи (2.14) при конечных значениях параметра а и можем дать лишь качественное описание свойств течения в области взаимодействия. Если точка О лежит перед точкой S (рис. 2.8) и параметр а является положительным, то поверхностное трение должно монотонно возрастать по мере приближения к угловой точке контура тела, как это происходит при 乃= 0(1). Если же точка。сдвинута вниз по потоку от точки Бриллюэна ——Билля (а < 0), то трение будет уменьшаться с ростом X, достигая своего минимума в точке X = 0. По мере увеличения расстояния между точками О и S минимальное значение поверхностного трения т(0) будет, по-впдимому, падать, так что существует критическое значение параметра а*, при котором трение в угловой точке контура тела обращается в нуль. Интересно было бы выяснить, как соотносятся между собой критическое значение а* и значение параметра а, соответствующее отрыву потока от гладкой поверхности твердого тела (гл. I), а кроме того, получить ответ на вопрос о том, как выглядит течение при aVa*, когда точка отрыва потока смещается вверх по течению от угловой точки контура тела.

§ 3. Зарождение отрыва вблизи точки слабого излома контура тела

Для простоты рассмотрим течение около твердого тела, образованного двумя плоскими пластинами АО и ОВ (рис. 2.11). Пусть

Рис. 2.11. Асимптотическая структура характерных областей течения перед точкой излома контура телаРис. 2.11. Асимптотическая структура характерных областей течения перед точкой излома контура телапервая из них ориентирована параллельно скорости набегающего потока, а вторая отклонена на малый угол 9. Как и прежде, будем использовать безразмерные переменные: составляющие вектора скорости отнесем к скорости набегающего потока UX1

Рис. 2.11. Асимптотическая структура характерных областей течения перед точкой излома контура тела

Рис. 2.11. Асимптотическая структура характерных областей течения перед точкой излома контура тела

приращение давления по сравнению с его значением на бесконечности — к удвоенному скоростному напору pU^, а в качестве характерного геометрического размера L выберем длину пластины АО. Введем прямо-

угольную декартову систему координат Оху, помещая ее начало в угловую точку О и направляя ось Ох параллельно пластине АО, а ось Оу ——по нормали к ней. Составляющие вектора скорости в этой системе координат обозначим через 〃, и.

Положим

0 = e(Re)0o?(3.1)

где

8 (Re) f 0 при Re = U^L/v 8,

а 9о ——постоянная, которая может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Задача заключается в том, чтобы найти асимптотическое решение уравнений Навье ——Стокса для этого течения при Re -> оо и определить условия, при которых происходит зарождение отрыва потока.

Рассмотрим сначала область внешнего потенциального течения — область 1 (рис. 2.11). Асимптотический анализ уравнений Навье —— Стокса в этой области связан с предельным переходом

/ = О(1), у = 0(1), Re f 8.

Разложения искомых функций течения представим в виде

乂 = 1 + £〃1 (瑞 у)+ . V = 8Pi(X, у) + • •(3 2)

Тогда для 〃丄,内,pi получим линеаризованные уравнения Эйлера, из которых следует, что комплексно сопряженная скорость

Wi (z) = 〃i — iVi

является аналитической функцией переменного z = x + iy^ а возмущение давления удовлетворяет линеаризованному уравнению Бернулли

Pi = —〃з(3.3)

Поскольку речь идет о таких режимах течения, когда отрыв потока либо вообще отсутствует, либо локализован в малой окрестности угловой точки, краевым условием на поверхности твердого тела является условие непротекания

内(力,0) = 0 при —1 V 力 V 0，

办(怎0) = 0О при 0 V力V厶

где I ——безразмерная длина пластины ОБ. Это условие однозначно определяет главный член разложения функции Wt(z) в окрестности угловой точки контура тела:

% = *lnz + d —汾° + о(1) при I z I -> 0.(3.4)

Что касается второго члена этого разложения d — ZB。, то его действительная часть ——постоянная d ——может быть определена лишь в

результате решения задачи для области 7 в целом с учетом всех краевых условий.

Выделяя действительную часть выражения (3.4) и используя уравнение Бернулли (3.3), приходим к выводу, что давление на внешней границе пограничного слоя имеет логарифмическую особенность:

夕1 = — ~ In I I — d + о (1) при х —а О,

а градиент давления ведет себя как

工=—^ ^ +。(1) ПРИ 力 f。・(3・5)

Пограничный слой перед угловой точкой. Асимптотический анализ уравнений Навье ——Стокса в пограничном слое, который образуется на поверхности пластины /О, основан на предельном переходе

/=。(1), y=沙电1/2 =0(1), Re +8.

При этом разложение функции тока имеет следующий вид:

屮=Re-/24ro(/, y)+£11「/2叫(/, y)+...(3.6)

Главный член этого разложения соответствует пограничному слою на плоской пластине с нулевым значением угла излома поверхности, когда справедливо классическое решение Блазиуса (1908):

屮。=(1 + /)1/2 F G),g=鼠%.(3，7)

Здесь F(y)) — функция, удовлетворяющая уравнению

Fw + 4^Fr, =0,

которое должно быть проинтегрировано с краевыми условиями

歹(0) =犷(0) = 0,犷(8)=1.

Известно, в частности, что при п — 0

F = %% 彳 +。(仔)，％ = 0,3321.(3.8)

Для дальнейшего анализа существенным является то, что решение Блазиуса не имеет особенности в точке £ = 0 и может быть представлено вблизи нее в виде разложения по степеням 力：

屮。=Т00(У) + 力％МУ) + •・.，(3.9)

где

%。=歹(У),叫l %歹(У)-(У).

Если У f 0, то

明。=72а0У2 + О(У5), 明尸 二/s尸 +。(尸).(3.10)

Перейдем теперь к рассмотрению второго члена разложения (3.6). Подставляя (3.6) в уравнения Навье — Стокса, получим

@中 @2中02屮0中 0屮 外乎@2屮@屮d d3屮

дУг дх dY dx dY dY dx 死2 九2 dxd/ 十 @уЗ • 丄丿

В гл. I асимптотическое решение уравнения (3.11) при х -> —0 было построено для случая, когда градиент давления (см. выражение (4.56) гл. I) возрастает по мере приближения к точке гг = 0 как а(—/)-"2. Теперь для dpjdx имеет место формула (3.5). Несмотря на это изменение, пограничный слой, как и прежде, расщепляется при 力 f —0 на две характерные области течения ——локально невязкую область 2, занимающую основную часть пограничного слоя, и вязкую пристеночную область 3 (рис. 2.11).

В области 3 первый (и последний) конвективный член уравнения (3.11) должен по порядку величины совпадать с градиентом давления, а также с «вязким» членом:

a% 024rl1*4fl

lYdTdY 〜〜

Согласно (3.9) и (3.10),

^р- =(1qY + ... при 力—> —0,Y —> 0.

Поэтому толщина области 3 оценивается как У =。［(―/尸外］а 屮( является здесь величиной порядка единицы. Это означает, что в области 3, где асимптотический анализ уравнения (3.11) связан с предельным переходом

главный член разложения функции 4r】(/，У) должен быть представлен в виде

% =九⑺+…(3.12)

Производя в решении Блазиуса (3.7) замену переменной У = = (—/)1/3^ и используя асимптотическое представление (3.8) функции 歹(п) при малых значениях аргумента, получим, что в области 3

屮0 = %*(一/产％2 + ...(3.13}

Осталось подставить (3.12), (ЗЛЗ) и (3.5) в (3.11); результатом является следующее уравнение для функции 九箇)：

/7-%。"/； = %(3・14)

Чтобы решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям прилипания на твердой стенке

Л(0) = Л(0) = 0,

было единственным, достаточно в качестве дополнительного условия выдвинуть требование отсутствия экспоненциально растущего члена в асимптотическом разложении функции 九(刀)при 刀 f 8. Если это условие выполнено, то

九=/m + 竦1nn +。⑴ np0 8. (3.15)

Постоянная 4〕определяется в процессе интегрирования уравнения (3.14); ее значение может быть выражено через гамма-функцию Эйлера:

Теперь мы должны повторить те же рассуждения, что и в § 4 гл. I (см. также § 1 настоящей главы). Подставим (3.15) в (3.12) и произведем замену переменной т)= У(—/)~°з. в результате получим выражение

屮]=& (_ х)т/з у —薪 m D +。(1),

из которого следует, что в области 2 (рис. 2.11), где асимптотический анализ уравнения (3.11) связан с предельным переходом

У = О(1),〜一О,

разложение функции 4rl(瑞 У) должно быть представлено в виде

叫= (-/)т/з%о(У) + 0®(_/)].(3.16)

Подставляя (3.16) вместе с разложением (3.9) функции Wo (ж, У) в (3.11), получим для 4f io (У) уже известное из § 1 уравнение (1.18):

叽0也。一%0%0 = 0.

Его решение, удовлетворяющее условию сращивания с решением в области 3

Ч^ = 4У+... при У-0, имеет следующий вид:

屮 io = g 联0(У)・(3.17)

Как показывает проведенный выше анализ, пограничный слой перед точкой излома контура тела обладает обычными свойствами, которые присущи пограничным слоям с сингулярным градиентом давления. Наиболее чувствительной к действию такого градиента давления является пристеночная область 3, «заполненная» заторможенными частицами жидкости. Эта область вносит основной вклад в вытесняющее действие всего пограничного слоя в целом. Согласно (3.6), (3.12) и (3.13) приращение угла наклона вектора скорости,

вызванное сингулярным градиентом давления (3.5), вычисляется в области 3 по формуле

Т Re-"2 制争Re』粤.

На поверхности обтекаемого тела А杼=0, а на внешней границе области 3, где справедливо асимптотическое представление (3.15) функции /i(n), приращение угла наклона вектора скорости достигает величины

АО = _ £ Re~1/2 产(-力7/3 + . . при %f — 0(3.18)

и затем, как следует из (3.6), (3.9), (3.16) и (3.17), остается неизменным поперек всей области 2 вплоть до ее внешней границы.

Область взаимодействия. Необходимость в рассмотрении области взаимодействия как отдельной области течения связана с нарушением равномерной пригодности решения для пограничного слоя перед точкой излома контура тела. При построении этого решения предполагалось, что градиент давления, действующий на пограничный слой, выражается формулой (3.5). Между тем по мере приближения к угловой точке вытесняющее действие пограничного слоя приводит ко все более сильному искажению исходного градиента давления. Как следует из (3.18), для возмущения давления справедлива оценка

卩=0£ Re~V2(-^)-4/3].

Сравнивая исходный градиент давления с индуцируемым за счет вытесняющего действия пограничного слоя

£ 〜£ReT2

力(一/)7/3 '

приходим к выводу, что они становятся величинами одного порядка при

3 ^O(Re-3/3).

Таким образом, протяженность области взаимодействия в данном случае является такой же, как и в задаче отрыва пограничного слоя от гладкой поверхности (гл. I).

Для того чтобы построить теорию, которая описывала бы переход от безотрывного обтекания точки излома контура тела к течению с отрывом потока, необходимо специальным образом выбрать функцию £(Re). Эта функция входит в выражение (3.1) для угла 0 и тем самым определяет уровень возмущений, вносимых в исходный пограничный слой Блазиуса. Вверх по потоку от области взаимодействия решение в пограничном слое записывается с помощью разложения (3.6). На любом конечном расстоянии от угловой точки контура тела главный член в разложении (3.6) превосходит по порядку величины второй член этого разложения, так что вносимые

в пограничный слой возмущения оказываются недостаточными для образования возвратных струек тока. Вместе с тем, по мере уменьшения \х\ соотношение между порядками величин в разложении (3.6) меняется. Чем ближе расположена рассматриваемая точка пространства к угловой точке контура тела, тем сильнее искажается исходный пограничный слой Блазиуса. Особенно быстрый рост возмущений наблюдается в вязкой пристеночной области 3, где глав-

7

II

HI

77777777777777777777777.

Рис. 2.12. Асимптотическая структура области взаимодействия

ный член разложения (3.6) определяется по формуле (3.13), а для второго члена имеет место соотношение (3.12). Этот процесс продолжается вплоть до области взаимодействия, внутри которой, благодаря сглаживанию особенности в градиенте давления (3.5), дальнейший рост возму- z щений становится невозможным.

Таким образом, возвратные струйки тока прежде всего появляются в вязком пристеночном слое области в заим о действия. Что касается функции е (Re), то для ее определения

необходимо сравнить первый и второй члены разложения (3.6) ReT2(-/)2/3~£ReT2,

полагая при этом \х\ = O(Re~3/3). В результате получим £ = Re-1/4.

Анализ области взаимодействия начнем с основной части пограничного слоя——области II (рис. 2.12), в которой

/* = Re3/8/ = o«), y = O^),

Произведя, как обычно, в решении для области 2 замену переменной 第—Re-3/8 第*, приходим к выводу, что разложения функций тока и давления в области II должны быть представлены в виде

гр = Re~1/2 %。(У) + Re-5/з * g. У) + ..

зеб®

Р = Ref’ In & 肃 + Re~1/4 P0^.Y) +

Результатом подстановки этих разложений в уравнения Навье — Стокса являются уравнения

Первое из них свидетельствует о неизменности давления поперек области //; в соответствии с этим уравнением функция 9° (%*, У) может быть записана как функция одного аргумента /*:

户0 =0"花*)・

решение второго уравнения выражается в виде

中工=/(公)中；0(у)，(3.20)

причем функция 4(%*) остается произвольной. Прежде чем перейти к рассмотрению области потенциального течения (область 7, рис. 2.12), необходимо определить угол наклона вектора скорости в области II. Как следует из (3.19), (3.20)；

В области / асимптотический анализ уравнений Навье ——Стокса связан с предельным переходом

/* = 0(1),沙* = Re"8y =。(1), Re-> оо.

Составляющие вектора скорости и давление представим в виде разложений

〃 =1 一 Re-1/4lnRe^ + Re~1/4 乂： ”/)+•..,

〃 = ReT/4 齿 3*,戸)+ ...，(3.22)

P = ReT/4 In Re 2 + Re~1M 卩;(玛厅)+ .・・

Тогда для комплексно сопряженной скорости

Ш*(2*) = м； — %и；

будем иметь следующую краевую задачу: найти аналитическую в верхней полуплоскости переменного 2* = ж* + iy^ функцию 乃(z*) по ее мнимой части, заданной на действительной оси

Im ш* = А!(力*) при у东=О,

если известно, что

投1 =言 In z來 + d —汾。+ о (1) при I z來 I оо ・

Первое из этих условий получено в результате сращивания угла наклона вектора скорости (3.21) в области II с углом наклона вектора скорости

£=/= ReT/4 〃；(",？*) +

в области I, Второе условие является следствием сращивания разложений (3.22) с решением (3.2), (3.4) в области 2

Учитывая, что 如i (z*) неограниченно возрастает при ]г*| -> оо, рассмотрим вместо нее функцию

%；@〃； .财

dz* 一d上* + ' a力*'

В соответствии с уравнением Бернулли

卩;=一":，

она может быть также записана в виде

др* .对

①(Z*) =

\/ дх* дх* 、

На действительной оси

Im Ф = —А 〃(/*) при у* = 0.

Кроме того, известно, что

①= 0(Iz*|t)при lz*|f 8.

Поэтому в любой точке z*, принадлежащей верхней полуплоскости,

(3.23)(3.23)①(z*)=—

(3.23)

(3.23)

Применяя к интегралу, стоящему в правой части соотношения (3.23), формулу Сохоцкого ——Племеля, получим

呐 дх*呐 дх*(3.24)(3.24)и*=ои*=о

呐 дх*

呐 дх*

(3.24)

(3.24)

и*=о

и*=о

Осталось рассмотреть вязкий пристеночный слой области взаимодействия —область III (рис. 2.12). Протяженность этой области совпадает с протяженностью областей / и II, а толщина у = = O(Re-5/§)определяется из условия сращивания с решением в области 3, где у = O[Re~1/2(—ж)1/3]. Согласно (3.6), (3.13) функция тока в области 3 оценивается как 屮=O[Re-"2(—力尸外]；при |/丨= = O(Re-*8) она становится величиной порядка Re~3/4. Поэтому асимптотический анализ уравнений Навье ——Стокса в области III должен основываться на предельном переходе

(3.25)(3.25)(3.26)(3.26)力* =。(1), у* = Re5/8 у = О (1), Re -> 8,

(3.25)

(3.25)

(3.26)

(3.26)

причем решение в этой области следует искать в виде

屮=Re-3/4% (叫 у*"...,

р = Re* In Re 静 + Re~1/4 尸；(状)+

Подставляя (3.26) в уравнения Навье ——Стокса, получим

理* _噬军=_也些

dY* dx*dY* дх* @y*2d/*^y*3*( * 丿

Краевыми условиями для этого уравнения являются условие сращивания с решением (3.6), (3.13), (3.12) в области 5

屮:=^〃。(一力*)2/3n2 +/1 (n) + upHN*f-8, (3.28)

гдегдеу*у*L二可，L二可，условие сращивания с решением (3.19), (3.20), (3.10) в области IIусловие сращивания с решением (3.19), (3.20), (3.10) в области II噎="I 旬У*? + а。/ (优*) У* + ・・・ при У* f оо,(3.29)噎="I 旬У*? + а。/ (优*) У* + ・・・ при У* f оо,(3.29)а также условия прилипания на твердой поверхности% = / = 0прм У* = "(户).Уравнение этой поверхности, записанное в переменных ласти Ш, имеет следующий вид:[0 при 片* V 0, Я(^)= 。I加/* при> 0.а также условия прилипания на твердой поверхности% = / = 0прм У* = "(户).Уравнение этой поверхности, записанное в переменных ласти Ш, имеет следующий вид:[0 при 片* V 0, Я(^)= 。I加/* при> 0.(3.30)(3.25) сб-(3.30)(3.25) сб-Задачу о взаимодействии (3.27) — (3.30) замыкает соотношение (3.24), левая часть которого вследствие неизменности давления поперек областей II и III может быть заменена на "；/姦*.Замена переменных屮；= 〃”2 可，р^ = ^р + ^^%_di 状=方/%Задачу о взаимодействии (3.27) — (3.30) замыкает соотношение (3.24), левая часть которого вследствие неизменности давления поперек областей II и III может быть заменена на "；/姦*.Замена переменных屮；= 〃”2 可，р^ = ^р + ^^%_di 状=方/%у* =若3/4『+ & Л =若3/4% _Н, Н = 〃丁3/4方у* =若3/4『+ & Л =若3/4% _Н, Н = 〃丁3/4方позволяет представить виде *):声友疗一底犷-позволяет представить виде *):声友疗一底犷-задачу о взаимодействии в следующемзадачу о взаимодействии в следующемdP , @з可 一夜+新dP , @з可 一夜+新dPdP夜夜丄少百〃⑶一才⑸丄少百〃⑶一才⑸ллs-Xs-X

где

где

у*

у*

L二可，

L二可，

условие сращивания с решением (3.19), (3.20), (3.10) в области II

условие сращивания с решением (3.19), (3.20), (3.10) в области II

噎="I 旬У*? + а。/ (优*) У* + ・・・ при У* f оо,(3.29)

噎="I 旬У*? + а。/ (优*) У* + ・・・ при У* f оо,(3.29)

а также условия прилипания на твердой поверхности

% = / = 0прм У* = "(户).

Уравнение этой поверхности, записанное в переменных ласти Ш, имеет следующий вид:

[0 при 片* V 0, Я(^)= 。

I加/* при> 0.

а также условия прилипания на твердой поверхности

% = / = 0прм У* = "(户).

Уравнение этой поверхности, записанное в переменных ласти Ш, имеет следующий вид:

[0 при 片* V 0, Я(^)= 。

I加/* при> 0.

(3.30)

(3.25) сб-

(3.30)

(3.25) сб-

Задачу о взаимодействии (3.27) — (3.30) замыкает соотношение (3.24), левая часть которого вследствие неизменности давления поперек областей II и III может быть заменена на "；/姦*.

Замена переменных

屮；= 〃”2 可，р^ = ^р + ^^%_di 状=方/%

Задачу о взаимодействии (3.27) — (3.30) замыкает соотношение (3.24), левая часть которого вследствие неизменности давления поперек областей II и III может быть заменена на "；/姦*.

Замена переменных

屮；= 〃”2 可，р^ = ^р + ^^%_di 状=方/%

у* =若3/4『+ & Л =若3/4% _Н, Н = 〃丁3/4方

у* =若3/4『+ & Л =若3/4% _Н, Н = 〃丁3/4方

позволяет представить виде *):

声友疗一底犷-

позволяет представить виде *):

声友疗一底犷-

задачу о взаимодействии в следующем

задачу о взаимодействии в следующем

dP , @з可 一夜+新

dP , @з可 一夜+新

dP

dP

夜

夜

丄少百〃⑶一才⑸

丄少百〃⑶一才⑸

л

л

s-X

s-X

(3.31)(3.31)可=些=0 при к = 0, dY

(3.31)

(3.31)

Ф=|У2 + Л(Х)У+ при У f 8,

屮=^ У? + …при X f — оо・

Здесь_

—/( 0 при X V 0,

Н(Х)= _—

' '[аХ при Х>0.

Постоянная а = 9о^о~1/2 представляет собой параметр подобия для течений рассматриваемого класса.

Первым, кто с помощью асимптотического решения уравнений Навье ——Стокса при Re 8 исследовал течение около точки слабого излома контура тела, был Стюартсон (1970а). Он сформулировал задачу (3.31) и подробно рассмотрел случай малых значений параметра а, когда функции W (X, У),尸(X) и Л (X) можно представить в виде разложений по степеням а:

可=1/2y2十a瓦X У) + ...,

Р = аР[(Х)+ ..Л = «4(又)+ …

и в соответствии с этим заменить уравнение для 4r (X, Y) линейным уравнением

-a2可1死1石1 歩千]

Решение линеаризованной таким образом задачи о взаимодействии Стюартсон построил в аналитическом виде с помощью метода преобразований Фурье (см. также заметку Стюартсона, 1971).

Линейная теория является, однако, недостаточной, когда речь идет об отрыве потока, появление которого связано с существенным искажением исходного течения:

可=% 产，Р = Л = 0.

Численное решение нелинейной задачи о взаимодействии (3.31) было получено Рубаном (19766). Использованный им численный метод описывается в гл. VII, а результаты расчетов представлены на рис. 2.13 — 2.16.

В случае вогнутого угла (а > 0) перед угловой точкой контура тела X = 0 происходит торможение потока, сопровождающееся уменьшением поверхностного трения

三(%)=驾 ，

которое падает тем быстрее, чем больше величина_параметра а (рис. 2.13, а). Минимум трения достигается в точке X = 0, а вниз по потоку от этой точки т сначала возрастает до значений, иревы- шающих_единицу? а затем возвращается к своей первоначальной величине т = 1. Увеличение параметра а приводит к уменьшению минимального значения трения и смещению максимума давления (рис. 2.13, б) вниз по течению от__точки X = 0, так что в области рециркуляционного течения, где т V 0, градиент давления всегда является положительным. Как было показано Смитом и Меркиным (1982), которые продолжили расчеты Рубана до а = 3,5, с увеличением параметра а область рециркуляционного течения расширяется, однако движение жидкости внутри этой области остается медлен-

ньтм и характеризуется малыми отрицательными значениями трения и умеренным неблагоприятным градиентом давления.

Противоположные тенденции в изменении гидродинамических функций обнаруживаются в потоке около выпуклого угла. В этом случае вместо торможения потока перед угловой точкой контура тела наблюдается ее ускорение, которое сопровождается увеличением

Рис. 2.13. Распределение трения (а) и давления (6) в области взаимодействия для вогнутого угла

поверхностного трения (рис. 2.14, а) и уменьшением давления (рис. 2.14, 6). За угловой точкой трение изменяется немонотонно: сначала падает, а затем, несмотря на продолжающееся увеличение давления, начинает расти. При всех сст^О минимальное значение трения tmin оказывается меньшим единицы, причем увеличение угла излома поверхности влечет за собой уменьшение величины Tmin. Таким образом, торможение жидкости за угловой точкой является более интенсивным, чем ее разгон перед этой точкой. Начиная с некоторого значения параметра а, это торможение приводит к отрыву потока. Интересно отметить, что в данном случае область рециркуляционного течения целиком располагается за угловой точкой контура тела. Картина линий тока в этой области представлена на рис. 2.15 для а = —7,0.

Построив график зависимости минимального значения трения тющ от параметра а (рис. 2.16), Рубан (19766) пришел к выводу, что в случае вогнутого угла отрыв потока впервые появляется при а = 2,0, а в случае выпуклого угла ——при а = —5,7. Согласно же расчетам Смита и Меркина (1982) интервал, в котором сохраняется

Рис. 2.14. Распределение трения (а) и давления (6) в области взаимодействия для выпуклого угла

безотрывный режим обтекания точки излома контура тела, оказывается сдвинутым в область больших значений параметра а:

—5,21 VaV 2,51.

Открытым остается вопрос о существовании решения задачи (3.31) при больших значениях 1al. Дело в том, что использовавшиеся до сих пор численные методы ее решения были основаны на

Рнс. 2.15. Картина линий тока в окрестности точки излома контура тела при а = —7т0Рнс. 2.15. Картина линий тока в окрестности точки излома контура тела при а = —7т0

Рнс. 2.15. Картина линий тока в окрестности точки излома контура тела при а = —7т0

Рнс. 2.15. Картина линий тока в окрестности точки излома контура тела при а = —7т0

Рис. 2.16. График зависимости минимального значения трения от аРис. 2.16. График зависимости минимального значения трения от а

Рис. 2.16. График зависимости минимального значения трения от а

Рис. 2.16. График зависимости минимального значения трения от а

применении итераций, которые неизменно становились расходящимися, как только область рециркуляционного течения достигала

определенных размеров.

Теория отрыва потока в окрестности точки излома контура тела была для простоты изложена в данном параграфе на примере течения около тепа, составленного из двух плоских пластин. Между тем эта теория сохраняет справедливость и в более общем случае, когда

контур обтекаемого тела представляет собой кусочно гладкую кривую ). Необходи!мо только, чтобы угол между гладким участком поверхности тела перед точкой излома и гладким участком поверхности тела вниз по течению от этой точки являлся величиной порядка Re-1/4. Единственное изменение, которое при этом должно быть внесено в теорию,— это изменение численного значения параметра «о, входящего в асшптоти-

веское представление (3.9), (3.10) главного члена разложения (3.6) функции тока в пограничном слое вблизи угловой точки. Если в рассмотренном выше течении эта постоянная, характеризующая величину поверхностного трения перед областью взаимодействия, оире-

у = Reiу = Rei旧），旧），

у = Rei

у = Rei

旧），

旧），

делялась из решения Блазиуса (3.7), (3.8), то в более общем случае для ее вычисления необходимо осуществить интегрирование уравнений Прандтля для пограничного слоя, развивающегося вдоль поверхности рассматриваемого тела.

В заключение отметим, что образование локальных зон отрыва может наблюдаться и при обтекании других неровностей на поверхности твердого тела ——выступов, углублений, ступеней и т. п. (Боголепов и Нейланд, 1971). Если продольный размер неровности является величиной порядка Re-3/8? а поперечный ——величиной порядка

Рис. 2.17. Асимптотическая структура течения в окрестности неровности на поверхности плоской пластины

Re-"* другими словами, если поверхность неровности может быть представлена как (рис. 2.17)

то в окрестности точки / = 1 формируется область взаимодействия, вполне аналогичная той, которая была рассмотрена в задаче о течении жидкости около точки излома контура тела. Эта аналогия выражается не только в том, что область взаимодействия сохраняет трехслойную структуру, но и в том, что для нее остается справедливой прежняя формулировка задачи о взаимодействии (3.31). Обзор работ, посвященных решению этой задачи при различных формах неровности и соответственно различных функциях Н (X), содержится, например, в статье Смита (1982а).

Браун и Даниэльс (1975), а несколько позднее Рыжов и Терентьев (1977) расширили область применения теории взаимодействия, включив в рассмотрение нестационарные течения. Они обратили внимание на то, что наиболее чувствительным к эффектам не- стационарности является вязкий пристеночный слой области взаимодействия, где движение жидкости происходит наиболее медленно. Если обозначить иерез t безразмерное время, отнеся его к L/U^, и сравнить нестационарный член первого уравнения системы уравнений Навье — Стокса (см. (1.2) гл. I) с конвективным членом ди ди 衣〜m石，

учитывая при этом, что в вязком пристеночном слое области взаимодействия

и = О (Re"1/8), А/ =。(Rej8),

то в результате получим оценку

方=0(加-勺

для характерного масштаба времени изменения гидродинамических функций, при котором течение в области /〃 (рис. 2.17) становится существенно нестационарным. В то же время в основной части пограничного слоя (область II) и внешнем потенциальном потоке (область /), где и = 0(1), нестационарный член первого уравнения Навье ——Стокса остается пренебрежимо малым по сравнению с конвективным членом. Таким образом, течение в этих областях является квазистационарным и обладает теми же свойствами, что и соответствующее стационарное течение. Следовательно, для того, чтобы переформулировать задачу о взаимодействии (3.31) для рассматриваемого случая, необходимо изменить лишь уравнение для функции 叫 записав его в виде

dt dY +/dXdY —森^F 一 一荻+赤^

где

t = Re1/4 ^3/2f.

Что касается краевых условий и выражения для градиента давления, то они остаются неизменными.

Среди работ, посвященных анализу нестационарных течений в области взаимодействия, следует прежде всего отметить работу Терентьева (1981), который рассмотрел течение в условиях, когда часть твердой поверхности совершает гармонические колебания в направлении своей нормали:

Н (F, X) = oft(X)cos coL

Считая амплитуду колебаний о малой, он представил искомые функ-* ции течения в виде разложений по степеням о:

中= %р + 0可，亿X, p)+…，

Р = oPi(^, X) + ..., 4 = о4«，Х)+…

и построил периодическое решение линеаризованной задачи о взаимодействии, которое, как предполагалось, реализуется по истечении достаточно большого промежутка времени с момента запуска осциллятора. Начальная стадия развития возмущений и переход к периодическому решению были рассмотрены Терентьевым в его более поздних работах (Терентьев, 1984, 1985). Кроме того, Рыжов и Терентьев (1986) исследовали эволюцию вихревого пятна, которое зарождается при запуске осциллятора и с течением времени удаляется вниз по потоку от своего источника.

Еще одна задача в нестационарной теории взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком была решена Рубаном (1984, 1985). Он рассмотрел течение около стационарной неровности на поверхностп обтекаемого тела при воздействии на нее гармони-

П./ред. В. В. Сычёва81

ческой звуковой волны. Как оказалось, решение этой задачи, так же как и решение задачи об осциллирующей поверхности, существенно зависит от частоты со. Если со меньше з= 2,298, то возмущения, вносимые в поток вибрирующей стенкой или при^заимо- действии звуковой волны с неровностью, затухают при X -^ +°о. Однако, если частота со стремится к своему критическому значению (о*, то скорость затухания стремится к нулю, так что предельное решение описывает хорошо известное из эксперимента явление генерации волн Толлмина——Шлихтинга в пограничном слое *).

Этот результат подтверждает установленную ранее связь теории взаимодействия с гидродинамической теорией устойчивости. Как было показано Смитом (19796), Жуком и Рыжовым (1980), а также Михайловым (1981), нестационарная теория взаимодействия описывает нейтральные колебания на нижней ветви кривой устойчивости пограничного слоя. Более подробное обсуждение этого вопроса содержится в докладе Рыжова (1985).

Глава III

ТЕЧЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ЗАДНЕЙ КРОМКИ

ТОНКОГО ПРОФИЛЯ

В этой главе мы рассмотрим течения около тонких тел при больших значениях числа Рейнольдса. Основное внимание будет уделено изучению процессов зарождения отрыва, которые сопровождаются появлением локальных зон возвратных токов в окрестности задних кромок. Такие течения, наподобие рассмотренных в предыдущем параграфе, представляют собой слабые возмущения потока около плоской пластины, установленной под нулевым углом атаки. Поэтому мы начнем с рассмотрения задачи обтекания пластины и* в частности, с анализа течения в окрестности ее задней кромки.

§ 1. Пограничный слой в окрестности задней кромки плоской пластины

Рассмотрим стационарное течение жидкости около плоской пластины, установленной параллельно однородному набегающему потоку. Пусть Ох°у° ——декартова прямоугольная система координат^ начало которой совпадает с задней кромкой, так что пластина длиной L занимает отрезок —厶 V 力° V 0 прямой у° 0. Обозначим через 〃°, и° проекции вектора скорости соответственно на оси Ох и Оу°, а через р° ее 屮° — давление и функцию тока. Введем также безразмерные переменные:

Р° - Poo .Р° - Poo .

Р° - Poo .

Р° - Poo .

где в качестве характерных скорости и давления 08, р^ взяты их значения в однородном набегающем потоке; через р и v обозначены плотность и коэффициент кинематической вязкости.

В дальнейшем, как и раньше, будем часто пользоваться переменными пограничного слоя У,屮,которые связаны с исходными переменными соотношениями

ynRe^p, y = R/2 弘 (1.1J где число Рейнольдса Re = U^L/v; тогда в области, занимаемой пограничным слоем и следом за пластиной, имеет место асимптоти- 6* 8Я

ческое представление

屮=屮。(0 у)+ о([). Re-со.(1.2)

Co времени появления работ Прандтля (1904) и Блазиуса (1908) известно, что решение задачи для пограничного слоя, развивающегося вдоль поверхности полубесконечной пластины, автомодельно. Это решение остается в силе и для пограничного слоя на пластине, имеющей конечную длину, поскольку влияние задней кромки не сказывается на главном члене асимптотического разложения (1.2). Связано это с двумя обстоятельствами. Во-первых, как в случае полубесконечной пластины, так и в случае пластины конечной длины, внешний потенциальный поток в первом приближении однороден, а во-вторых,——уравнения пограничного слоя являются уравнениями параболического типа.

Во введенных выше обозначениях решение Блазиуса имеет вид

屮° =(/ + 1)"2“у/ к + 1)V2]-1<^<0?(1.3а)

где функция F находится из решения следующей задачи:

2尸〃+ 尸歹〃 =0,歹(0) =歹(0) = 0,歹'(8)=1.(1.36)

Вблизи кромок пластины это решение становится несправедливым. Так, при подходе к передней кромке поверхностное трение и вертикальная составляющая вектора скорости на внешней границе пограничного слоя неограниченно возрастают:

工=т =(/ + 1)7/2 N (0), 『(0)= 〃0 = о,3321;

』(1.3в)

Rj/2。I〜v = К + 1)T2 6， В = 0,8604. OX 今 oo

Эта особенность раскрывается путем введения области, для которой U + 11 =O(Re~i)J \у\ = O(Re-i) (рис. 3.1), и течение здесь описывается системой полных уравнений Навье ——Стокса с локальным

XXРис. 3.1. Асимптотическая структура течения около пластины конечной длиныРис. 3.1. Асимптотическая структура течения около пластины конечной длины

X

X

Рис. 3.1. Асимптотическая структура течения около пластины конечной длины

Рис. 3.1. Асимптотическая структура течения около пластины конечной длины

числом Рейнольдса, равным единице (Каррьер и Линь, 1948). Численное решение соответствующей краевой задачи было получено Ван де Вуреном и Диикстра (1970), а также Иошизава (1970).

При подходе к задней кромке (富 + —0) решение Блазиуса ведет себя регулярно, но становится'несправедливым при £>0 из-за невозможности удовлетворить краевым условиям на оси симметрии

следа. (В силу симметрии здесь и ниже речь идет только о течении в верхней полуплоскости.)

При a f —0 решение (1.3) можно представить в виде разложения в ряд Тейлора:

Wo = Woo (У) + (—£)%М У)+。[(一胃)*

彳(1.4)

屮 0。=尸(У), К] = ^(УР—毋・'

В основной части пограничного слоя (область 2, рис. 3.1) решение должно оставаться непрерывным при прохождении через сечение а = 0 и, следовательно,

屮°(+0, У)=Ч%°(У), У = О(1), У>0.(1.5)

На оси следа условие прилипания должно быть заменено на условие симметрии

Y = ^ = 0 при У = 0,力〉0.(1.6)

Однако поскольку главный член разложения функции Блазиуса при У f 0 имеет вид

屮。0=£户 +0(产)(1.7)

и величина безразмерного трения ¥00 (У), таким образом, принимает при У = 0 конечное значение, то начальный профиль скорости (1.5) для области с^еда не удовлетворяет краевым условиям (1.6) на его оси. Это означает (Гольдштейн, 1930), что при £++0 вблизи оси следа лежит подслой (область 3) решение в котором обеспечивает выполнение условий (1.6), а на его внешней границе, в соответствии с (1.7), величина трения принимает конечное значение.

Исходя из этих соображений, а также из баланса инерционных и «вязких» членов в уравнении пограничного слоя с нулевым градиентом давления, решение для подслоя может быть представлено в следующем виде (Гольдштейн, 1930):

% =炉/3g° (g) + О (炉/3),自=у/炉/3.(1.8)

Для функции go (自)при этом получается уравнение

go + "I gogo —j ^'o = °，(1・9)

а краевые условия (1.6) дают

go(O) = g；(O) = O・(1.10)

Для сращивания с решением в основной части следа необходимо, чтобы 且。(8)=。0, и поэтому асимптотическое разложение при 三 f 8 имеет вид

统=£(a + 4)2+。(1)・(1-11)

85

Решение задачи (1.9) — (1.11)) находится численно, и в результате

4 =0,8920 〃” з, g"o)= i,6109 *з.

Переписывая разложение (1.11) в переменных ж, У и учитывая,, что главный член асимптотического разложения при х -> +0, У = = 0(1) (область 2') есть функция Блазиуса, приходим к следующему разложению:

中。=%。(У) + *3 审"(Y) + O (炉 片).(142》

Подставив его в уравнение пограничного слоя, находим, что

可 01 =自也0,(1.13)

а из сращивания с решением в области 3' получим

е=4.(1.14》

Из выражений (1.12)——(1.14) следует, что прп подходе к задней кромке пластины со стороны следа величина вертикальной составляющей вектора скорости (или наклон линий тока) неограниченно возрастает:

匕=氏1因=一肃=_ £-2/3 才屮;° + о (『1/3).(1.15)

Особенность в решении, как это видно из выражений (1.11)—— (1.15), обусловлена изменениями наклона линий тока на внешней границе вязкого подслоя, что в свою очередь вызывается интенсивным ускорением, которое испытывают частицы жидкости на «дне» пограничного слоя при прохождении ими сечения 力=0. Последнее связано, очевидно, с тем, что условия прилипания сменяются здесь условиями симметрии.

Заметим, что построение координатных асимптотических разложений рассмотренного типа впервые было проведено в упомянутой работе Гольдштейна. Применение этого метода, как мы могли видеть в предыдущих главах, сделало возможным исследование уравнений пограничного слоя и при анализе других течений с особенностями в граничных условиях.

В области внешнего потенциального течения разрыв в краевых условиях, происходящий на задней кромке пластины, проявляется прежде всего в изменении распределения давления, которое вызывается изменениями наклона линий тока на внешней границе пограничного слоя. Причем, как показывает решение Гольдштейна, эти изменения носят в окрестности задней кромки сингулярный характер. Действительно, обращаясь к выражениям (1.1)— (1.4), (1.12)—— (1.15), представим комплексную скорость и давление в области

внешнего потенциального течения (область 1) в следующем виде:

и — iv = 1 + RL" wi(z)+ t.., p = Re—"E(力，у)十…，

z = % + ©. (1.16)

В окрестности задней кромки (lz| +0) при arg z -> 冗 и arg z 0 эти разложения должны сращиваться соответственно с решениями (1.4) и (1.12) — (1.15) для основной части пограничного слоя. Следовательно, при I 力 I f О

У = 0,У = 0.У = 0,У = 0.0при 胃 V 0,

У = 0,

У = 0.

У = 0,

У = 0.

m 1扌/Те + о(力т/з) ПрИ 力 >0,

Эти условия однозначно определяют главный член разложения аналитической функции wt (z) при lz丨 f 0:

q =3(一合 + +-2/3+"宀.(1.17)

Отделяя теперь действительную часть этой функции в (1Л6) и воспользовавшись интегралом Бернулли, получим следующее выражение для распределения давления на внешней границе пограничного слоя при 丨/丨-> 0:

一蒜考(一力厂2/3 +。[(一力Т/3],% <0；

尸 1(瑞 0)=卩1(%)= / 丿(1.18)

-^^-2/3 + о(^1/3),^>0.

Тогда асимптотическое представление (1.2) в области пограничного слоя на поверхности пластины принимает вид

屮=屮°3, y)+RL/2%(£, У)+...(1.19а)

Подставляя его вместе с (1.16), (1.18) в уравнения Навье ——Стокса, получим для функции 4fl (①,У) уравнение (3.11) гл. II.

Таким образом, согласно (1.15) — (1.18), изменения наклона линий тока в следе передаются через область потенциального течения на внешнюю границу пограничного слоя на пластине, что и приводит к появлению сингулярного градиента давления в окрестности ее задней кромки.

В § 3 предыдущей главы мы уже рассматривали задачу о сингулярном возмущении решения Блазиуса и видели, что для удовлетворения краевым условиям на поверхности тела при 力 f —0 необходимо введение вязкого подслоя (область 3), в котором У = = О[(—£)“з]. Аналогичная ситуация возникает и в рассматриваемом течении. Поэтому решение для этой области может быть представлено в виде

(1.196)(1.196)立=(一 n)2吟唄+ 0 [(一出門，

(1.196)

(1.196)

*=(-/) -2/3九⑺ +0[(一力)T3] п=У/ (一/)"3.

Здесь, как и раньше, разложение для функции 4ro (%, У) — это решение Блазиуса, взятое при У -> 0 口 записанное через переменную г], а главный член разложения для 4rl (力，У) обусловлен градиентом давления (1.18). После подстановки (1.196), (1.18) в уравнение для функции 屮1(”, У) получаем

з "о1!/； + з ®o/i = — gyj-(1.20)

Помимо условий прилипания, имеющих вид

/1(。) = /； (0) = 0,(1.21)

на решение этого уравнения необходимо наложить условие отсутствия экспоненциального роста при т] -> °°, из которого следует, что

Л(оо) = 0.(1.22)

Последнее обеспечивает возможность сращивания с решением в основной части пограничного слоя.

Решение задачи (1.20) — (1.22) может быть выписано в явном виде через вырожденную гипергеометрпческую функцию, и тогда мы получим, что при Т] 8

2Л2ЛЗТА%ЗТА%[Г (1/3)L Г (2/3)[Г (1/3)L Г (2/3)r厂"一1 +。（L）r厂"一1 +。（L）

2Л

2Л

ЗТА%

ЗТА%

[Г (1/3)

L Г (2/3)

[Г (1/3)

L Г (2/3)

r厂"一1 +。（L）

r厂"一1 +。（L）

Рис. 3.2. Асимптотическая структура области взаимодействияРис. 3.2. Асимптотическая структура области взаимодействия

Рис. 3.2. Асимптотическая структура области взаимодействия

Рис. 3.2. Асимптотическая структура области взаимодействия

Сравнивая теперь член, содержащий функцию /Дт]), с первым членом разложения (1.19), замечаем, что при 1^1 = O(Re-3/£) они становятся величинами одного порядка. Это означает, что решения ,Блазиуса и Гольдштейна становятся

здесь несправедливыми из-за tofo, что изменения в наклоне 费иний тока и распределении давления начинают влиять на характер течения в вязком подслое. Следовательно, изменения параметров течения на внешней границе пофаничного слоя и в вязком подслое становятся здесь взаимообусловленными, т. е. при \х\ = O(Re-3/8) имеет место взаимодействие потенциального течения с

течением в пограничном слое.

В предыдущих главах нами уже были рассмотрены течения, в ко

торых имеет место взаимодействие. Необходимо, однако, отметить, что впервые для течений несжимаемой жидкости это замечательное явление было обнаружено и исследовано Стюартсоном (1969) и Месситером (1970) как раз при рассмотрении потока в окрестности задней кромки пластины.

Перейдем к анализу решения в области взаимодействия. Прежде всего заметим, что пограничный слой здесь состоит из двух харак- 88

терных областей: основной части и вязкого подслоя (соответственно области II п III на рис. 3.2). В основной части, где Y = 0(1), как и раньше (см. гл. I и II), в соответствии с (1.4), (1.12) в первом приближении будет сохраняться профиль скорости Блазиуса. Вводя внутреннюю продольную переменную

R* = Re3/9%,(1.23)

принимающую в области взаимодействия конечные значения, и переходя к ней в разложениях (1.12), (1.18), можем представить решение для этой области в следующем виде:

屮=W00(y)+Re-1/8 宜\。(严，У) + O(Re-勺，

p = Re-1/4 声。(产 Y)+。(Re-3").(・)

Подставив эти разложения с учетом (1.1) и (1.23) в исходные уравнения Навье ——Стокса, после интегрирования находим

貝。=4 (/*)叽。(У), 耳=尸* (产)，(1.25)

где функции /(力*) и Р*(/*) остаются пока произвольными.

Из сращивания с решением в областях 2 и 2' следует, что

2/

(一/*)2/3 p* ->生 才东 T О0；

'' зуз

力 *2/3p*f 二— 8.

3!/3'

Из-за действия большого градиента давления {др/дх — O(Re1/8)) течение в области II локально невязкое.

Вблизи поверхности тела и оси симметрии лежит вязкий подслой ПЦ который, как обычно, играет кл?ючевую роль в процессе взаимодействия. Эта область является продолжением областей 3 и 3'; поэтому, рассматривая разложения (1.8), (1.19), (1.18) как внешние по отношению к области взаимодействия и переходя в них к переменной /*, представим решение в области III в виде следующих асимптотических разложений:

y = ReT8 У*,

У = Кет’ ¥о (#, У*) + О(ReT/8),(1.26)

р = Re~1/4 Р"* У衿 +。(Re-/»

В результате их подстановки вместе с (1.1) и (1.23) в исходные уравнения приходим к уравнениям пограничного слоя Прандтля:

0吸経屮*a屮* /屮* ар* 歩** ар*

dY* a/* ay*@力* @y*2 十 Qx* — @у*з * ay* •

Вспоминая теперь выражение (1.7), произведем сращивание решения (1.24), (1.25) для основной части пограничного слоя с реше-

89

нием в вязком подслое. В результате получим

屮;= ^Y^ + aQA (^*)У* + 0(1) при У*т 8, 片=p*(%*).

(1.28)

Условия в плоскости симметрии

останутся неизменными:

¥о = 0при У* = О,

。屮;/犷=0 при 户 <0, У* = О, М/"*2 = о при 力* >0, у* = 0.

(1.29)

Кроме того, решение в подслое должно удовлетворять условиям сращивания с решениями Блазиуса и Гольдштейна при |%*| -> 8. В соответствии с (1.19), (1.8) это означает, что

唠= ^У*2+(_%*)-2/3

力(刀)+..., т| = У*/(—гс*)1/3при х^оо,

То = /*2/3go ⑶ + .… 自=У*//*1/3 при 力* f ОО

(1.30)

где go(W) и /Мп) —решения задач (1.9) — (1.11) и (1.20) — (1.22).

Производная функции /(/*) из разложения (1.28) определяет наклон линий тока на внешней границе вязкого подслоя:

—Af (ж*) =G(/*)=

lim

Y*-OO

(1.31)

величина которого, согласно (1.25), передается без изменения через основную часть пограничного слоя внешнему потоку. Из выражений (1.24), (1.25) находим, ито

К "оо = G (叫，7； = Re1/4 р. (1.32)

Для замыкания задачи в области III необходимо установить связь между изменениями давления и наклона линий тока на внешней границе пограничного слоя. С этой целью, как мы уже неоднократно делали в предыдущих главах, следует рассмотреть область внешнего потенциального течения, имеющую поперечный размер порядка продольного размера области взаимодействия (область /), в которой становится несправедливым разложение (1.16).

Вводя внутренние переменные

ж* = Re3/8 х, у^ = Re3/8 у(1.33)

и исходя из того, что изменения давления и вертикальной составляющей вектора скорости есть, согласно (1.24), (1.32), величины порядка Re~1/4, представим решение в виде

〃 =1 + Rei% 〃； g, j)+ o(Re-3/8),

d = Re-】/%；(力*,疗)+ 0(ReT/8),(1.34)

P = Re~1/4 卩;(公，疗)+ O(Re~3/8).

После подстановки этих разложений вместе с (1.33) в уравнения Навье ——Стокса для искомых функций получаются уравнения теории малых возмущений, и поэтому

Ш1 (z*) = р； + Zu； = — м； + "(1.35)

является аналитической функцией комплексного переменного z* =» =/* + w*.

Производя сращивание с решением (1.16)——(1.18) для области внешнего потенциального потока, получаем

z*2/%；_ _ 令(_ 合 +Z)(1.36)

при k*|8； используя выражения (1.32), находим, что

Im Шх |尸=0 = G (/*).(1.37)

Из решения задачи (1.36), (1.37) для аналитической функции (1.35) (см. § 5 гл. I) следует, что

Pi 3*, 0) = Р* (/*) = g j ^^・(1-38)

Тем самым мы получаем недостающую связь между изменениями давления и наклоном линий тока; кроме того, это означает, что в области взаимодействия градиент давления является самоиндуци- рованным.

Таким образом, система соотношений для области взаимодействия становится замкнутой.

После преобразований

(1.39)(1.39)状=〃丁 5/4工 у* = a^Y, 骑=<1/2V, 尸』戒2邑G = #g, g° = */3£, E =若喳

(1.39)

(1.39)

краевая задача (1.27) — (1.31), (1.38), решение которой описывает

течение в вязком подслое, принимает вид

d可@2可疗夜疗一d可@2可疗夜疗一更_^. I 亦更_^. I 亦03可03可可=四=0可=四=0при X<0, Y = 0,при X > 0, У = 0,при Х^-оо и У^ооапри X<0, Y = 0,при X > 0, У = 0,при Х^-оо и У^ооа(1.40)(1.40)

d可@2可

疗夜疗一

d可@2可

疗夜疗一

更_^. I 亦

更_^. I 亦

03可

03可

可=四=0

可=四=0

при X<0, Y = 0,

при X > 0, У = 0,

при Х^-оо и У^ооа

при X<0, Y = 0,

при X > 0, У = 0,

при Х^-оо и У^ооа

(1.40)

(1.40)

千=产/3? (Е)十…при Н f 8$

А国=匕:簪,恥)=e［一對對.

Рис. 3.3. Распределение давления в области взаимодействияРис. 3.3. Распределение давления в области взаимодействияЧисленное решение задачи (1.40) впервые было дано Джобом и Бюргграфом (1974). На р吟电^ и 3.4 представлены полученные ими распределение давления_Р (Х)^ а также распределение трения на поверхности пластины т(X)= ^уу |у=о и скорости на оси симметрии следа U(X)=屮歹卜=о・ Видно, что под действием благоприятного градиента давления происходит некоторое увеличение трения, так что т(—0) = ^! > 1, а【=1,343. Это приводит к увеличению силы сопротивления Q по сравнению с ее значением, даваемым решением Блазиуса. Поэтому рассмотрение течения в области взаимодействия позволило правильно определить второй член

Рис. 3.3. Распределение давления в области взаимодействия

Рис. 3.3. Распределение давления в области взаимодействия

Рис. 3.4. Распределение трения и скорости в плоскости симметрии течения

разложения для коэффициента сопротивления с%. Согласно Стюарт- сону (1969) и Месситеру (1970) (для пластины, смачиваемой g одной стороны), имеет место следующее разложение:

(1.41)(1.41)展=-т—2— =1,328 Re-。？ + 办 ReT/8 十。(电一)

(1.41)

(1.41)

0

d0 = 2a「％ J G — 1) dX,

В результате численного решения задачи (1.40) в работах Джоба и Бюргграфа (1974), Велдмана и Ван де Вурена (1975), Чау и Мельника (4976) были получены соответственно значения для постоянной 2(): 2,694; 2,651 ±0,003; 2,668.

Экспериментальные данные Нишиока и Мияджи (1978), а также результаты численного решения Денниса и др. (1966, 1969) дают прекрасное совпадение для коэффициента сопротивления со значением, определяемым по формуле (1.41). Сравнение этих результатов дано на рис. 3.5 (значение для dQ бралось равным 2,668).

Третий член в разложении (1.41) O(Re'~1) определяется интегралом сил поверхностного трения по всем характерным областям. Во-первых, это касается области течения, лежащей в окрестности передней кромки. Соответствующее значение постоянной была найдено Имаи (1957а). Во-вторых, необходимо учесть следующий член разложения по числу Рейнольдса для области пограничного слоя на пластине. Приближенное значение соответствующей постоянной было получено в работе Го (1953). И, наконец, вклад

Рис. 3.5. Зависимость коэффициента сопротивления пластины конечной длины от числа Рейнольдса: штриховая линия — Блазиус (1908); сплошная линия ——по формуле (1.41); темные кружки — Деннис _и др. (1966, 1969); светлые кружки — Нишиока и Мияджи (1978)

в коэффициент сопротивления порядка Re-1 будет вноситься вторым членом разложения (1.26).

В заключение заметим, что решение для области взаимодей* ствия имеет особенность в точке |么*丨=0 (Стюартсон, 1969; Мес- ситер, 1970). Градиент давления в областях II и III в сечении 力* = 0 претерпевает разрыв：

Р*' =。(1) при /* т— 0,

Р*' = О (力*т/з) при + 0.

Устранение этой особенности осуществляется путем рассмотрения областей (трехслойная структура) с продольным масштабом |ж| = O(Re~1/2). Здесь в основной части пограничного слоя уже в главных членах начинает проявляться поперечное изменение давления. Однако полного устранения особенности в решении, вызванной разрывом в краевых условиях, достичь не удается; при |/|vO(Rei/2), как было установлено Велдманом (1976), возникает последовательность из счетного числа вложенных подобластей. Эта последовательность сходится к области с размерами \х\ == O(Re~3/4), 1^1 = ° (Re-3"), в которой течение описывается системой полных уравнений Навье ——Стокса с локальным числом Рейнольдса, равным единице. Детальный анализ и численное решение краевой задачи для этой области были проведены Диикстра (1974). На существование этой области было впервые указано Ван Дайком (1967). Интересно, что величина поверхностного трения, которая вырабатывается в области взаимодействия при подходе к задней кромке (%* = —0), остается неизменной вплоть до области, где \х\ = O(Re~3/4).

§ 2. Влияние толщины профиля

Изложенная в предыдущем параграфе теория течения жидкости в окрестности задней кромки плоской пластины легко обобщается на случай обтекания тонкого крылового профиля. Как было локазано, перед задней кромкой плоской пластины наблюдается ускорение жидкости. При переходе от плоской пластины к профилю в действие может вступить и прямо противоположный эффект ——торможение потока. Интенсивность этого торможения, при

водящего в определенных условиях кводящего в определенных условиях кРис. 3.6. Симметричный тонкий профиль в потоке несжил^аемой жидкостиРис. 3.6. Симметричный тонкий профиль в потоке несжил^аемой жидкостиотрыву пограничного слоя в окрестности задней кромки, зависит как от относительной толщины профиля, так и (что не менее важно) от формы его задней кромки.

водящего в определенных условиях к

водящего в определенных условиях к

Рис. 3.6. Симметричный тонкий профиль в потоке несжил^аемой жидкости

Рис. 3.6. Симметричный тонкий профиль в потоке несжил^аемой жидкости

Клиновидная кромка.

Пусть тонкий симметричный профиль, помещенный в поток несжимае

мой жидкости, ориентирован таким образом, что его средняя линия параллельна вектору скорости невозмущенного потока (рис. 3.6). Совместим начало декартовой системы координат Оху с задней кромкой профиля и направим ось 。力 вдоль оси симметрии течения, а ось Оу ——по нормали к ней. Относительную толщину профиля обозначим через е и будем считать ее малой:

£(Re)-> 0 при Re-> 8.

Предположим также, что в окрестности задней кромки верхняя поверхность профиля можбт быть представлена в виде

у = —8/ + …при 力 f —0.

Здесь 9 ——угол полураствора задней кромки, который определяется как

8 = е (Re)仇； постоянная 90 является положительной и считается величиной порядка единицы.

Вследствие симметрии течения мы можем, как и в предыдущем параграфе, ограничиться рассмотрением лишь верхней полуплоскости (у>0)・ Начнем с анализа области 7 (рис. 3.6), в которой хну являются величинами порядка единицы. Если 8(Re) превосходит по порядку величины Re-1/2, то течение в этой области является таким же, как и течение в области 7 в задаче обтекания точки слабого излома контура тела (§ 3 гл. II). В главном приближении поток остается равномерным, а возмущения, вноси-

мые в него за счет толщины профиля, имеют порядок е:

⑪= ! + &%(£, У)+・・・，и = Е办(瑞 В)+…，(21).

#=e卩1(瑞》)+....

Подставляя (2.1) в уравнения Навье — Стокса, приходим к выводу, что комплексно сопряженная скорость

^i (z) ^1 也 1 — iu、

является аналитической функцией переменного z = х + iy, а давление /?1(/, у) удовлетворяет уравнению Бернулли

Pi = 一也1.(2.2)

Краевыми условиями для функции шД^) являются условия не- протекания на поверхности профиля

内(瑞 0) = ~6о +.. . при 力-> —0

и условие симметрии течения на оси следа

内(力,0) = 0 при / >0.

Из этих условий следует, что асимптотическим разложением функции 投i(z) при \z\0 является

?Pi=?hiz + d + o (1),

где d ——действительная постоянная. Если теперь воспользоваться уравнением Бернулли (2.2), то для давления на поверхности профиля получим следующую формулу:

Pi =~1п |^| — d + о (4) при I %]т 0.(2.3)

При этом градиент давления выражается как

启=^ ^ +。⑴ ПРИ ^-^— 0・(2.4)

Сравнив (2.4) с формулой (3.5) гл. П, приходим к выводу, что пограничный слой в окрестности клиновидной задней кромки тонкого профиля находится в тех же условиях, что и пограничный слой перед точкой излома контура тела. Следовательно, представленное в § 3 предыдущей главы решение уравнений пограничного слоя с логарифмическим распределением давления на его внешней границе сохраняет справедливость и в данном случае. Более того, это решение было впервые получено Райли и Стюартсоном (1969) именно для течения в окрестности задней кромки тонкого профиля.

Итак, в пограничном слое для функции тока имеет место следующее разложение (см. (3.6) в гл. II):

3 = Re-i/2 叫 + & Re-t/2 里 + …(2.5 j

Поскольку обтекаемый профиль является тонким, скорость на внешней границе пограничного слоя слабо отличается от скорости

набегающего потока. Поэтому главный член разложения (2.5) совпадает с решением Блазиуса. Что касается второго члена, то он выражает собой влияние толщины профиля на течение в пограничном слое. В вязкой пристеночной области 3 (рис. 3.6) функции 4ro и 4rl определяются соотношениями (3.12), (3.13) гл. П. Согласно этим соотношениям при х + —0

屮。=V2(-^)2/W + …， % =九(П)+ … (2.6)

Здесь 〃о ——постоянная, значение которой определяется из решения Блазиуса: 〃° = 0,3321; независимая переменная п，являющаяся в области 3 величиной порядка единицы, должна быть записана с учетом поворота используемой здесь системы координат относительно системы координат, применявшейся в § 3 предыдущей главы:

П =П =ReRe1/2 у + ^ tg е(—7)1/31/2 у + ^ tg е(—7)1/3

П =

П =

Re

Re

1/2 у + ^ tg е(—7)1/3

1/2 у + ^ tg е(—7)1/3

Протяженность области взаимодействия, которая образуется в окрестности задней кромки тонкого профиля, можно определить либо с помощью анализа возмущений, вносимых в поток вязким следом, как это было сделано в предыдущем параграфе, либо рассматривая вытесняющее действие пристеночного пограничного слоя на поверхности профиля,——этот подход был продемонстрирован в гл. П. Оба способа приводят к одному результату:

A/ = O(Re-3”

Если е (Re) не превосходит по порядку величины Re_1/4, то всюду за пределами области взаимодействия второй член разложения (2.5) остается пренебрежимо малым по сравнению с его первым членом. Если к тому же & (Re) мало по сравнению с Re_1/\ то и внутри области взаимодействия влияние толщины профиля оказывается незначительным. Поэтому в дальнейшем мы будем полагать e(Re) = Re-1/4.

Чтобы переформулировать задачу о взаимодействии применительно к этому случаю, необходимо осуществить ревизию течения в вязкой области III (рис. 3.7). Что касается основной части пограничного

слоя (области 77) и внешнего потенциального потока (области /), то они обладают стандартными свойствами, которые не меняются лри переходе от течения около плоской пластины к течению в окрестности задней кромки тонкого профиля.

96

Решение в области III представим в виде

屮=Re-3/4屮；(户，六)+…，

Р = Re-"” In Re 券 + Re~1/4P* ^) + …，

r* = Re?/旣，у* = Re5/%.

Тогда для функции 屮：(/*, У*) будем иметь уравнение Прандтля

^о严党^0 /吟 以* 。£

OY* 加*К -汲* 界*2 =5 + a屮*3 .

Краевыми условиями на поверхности профиля являются условия прилипания

屮:=謂=опр0 у* = 〃(严)，n*V0.(2.7)

Здесь Я (ж*)— функция, характеризующая форму задней кромки профиля; в рассматриваемом случае клиновидной кромки

"(/*)=—仇/* < 0.

Вниз по потоку от задней кромки условия прилипания (2.7) должны быть заменены на условия симметрии течения

庐中*

屮:= U=° UP0 y* = °' ”*>°・

Необходимо также выписать условие сращивания с решением (2.5), (2.6) в области 3:

^о = I ^о (一 况*)2/з 唄 + 4(П)+ …при 力* f — oo, где

у* + 9 "

и условие сращивания с решением (1.24), (1.25) в основной части

пограничного слоя — области II (рис. 3.7):

Wo=| 〃°У*2 + а&А (状)у* + … при У*-> ОО.

Задачу о взаимодействии замыкает выражение для градиента давления (см. (3.24) в гл. II)

1 Г 4〃(s) 7

義=У z- ds.

Замена переменных

联=a”2可，尸* = "产声+粤卩ц旬—%况* =。产兄

У* = a^Y + Я, 4 = OU"% — Н，Я = 〃产瓦(2,8)

П./ред. В. В. Сычёва97

которая включает в себя аффинные преобразования теории взаимодействия (см. (7.1) в гл. I) и транспозиционные преобразования Прандтля (1938), позволяет привести задачу о взаимодействии к канонической форме:

@千 @2可 _JT a2可 _ dP№千

dXdf ~ 1¥ dY2 ~7

(2.9)(2.9)dX 冗二 s-x

(2.9)

(2.9)

可=粤=0при У = 0, Х<0,

dY •”

可=票=0• при У = 0, Х>0,

可=^^2 +彳(Н)у+при У->оо,

可=^g2+…up@又f —8.

Здесь

н(х) =н(х) =—аХ при X V 0,

н(х) =

н(х) =

0 при X〉0.

Постоянная а = 8田丁口？ представляет собой параметр подобия течений рассматриваемого класса.

Анализ пограничного слоя перед областью взаимодействия, как уже отмечалось, был выполнен Райли и Стюартсоном (1969), а формулировка задачи о взаимодействии (2.9) впервые была приведена в работе Стюартсона (1970а). Прежде чем приступить к численному решению задачи (2.9), необходимо определить асимптотическое поведение функции 4r (X, У) при больших значениях аргументов. Такой анализ выполняется всякий раз, когда возникает необходимость в интегрировании задачи о взаимодействии. Однако для краткости мы изложим его лишь на одном примере течения около задней кромки тонкого профиля.

Согласно условию сращивания с решением (2.3) за пределами области взаимодействия )

声= —*1л |Н| + о(1) при |Х|т оо.(2.10)

При X -> —оо асимптотическое разложение функции 屮(X, У} представим в виде_

可=(—不产3 ^.不 + 而1切 + …，Q = ^17r(2.11)

Тогда, подставляя (2.10), (2.11) в (2.9), получим для функции 五(/) следующее уравнение:

資一3喲:=*•(2.12)

Его решение, удовлетворяющее условиям прилипания

71(。) = % (0) = 0,(2.13)

является единственным при дополнительном условии отсутствия экспоненциально растущего члена в разложении функции %(п) при т] -> 8. Если это условие выполнено, то

(2.14)(2.14)?1 = An + ^hi%+ 瓦 + о(1) при %-> 8,

(2.14)

(2.14)

где А{, Bi ——постоянные, значения которых определяются в процессе решения уравнения (2.12).

Подставим (2.14) в (2.11) и произведем замену переменной ^=У(-Х)-1/3. В результате получим выражение

电=产+今f+*$+а瓦一:“国+…,

(2.15) из которого следует, что асимптотическое разложение функции 4f (X, У) при У f 8 имеет вид

ф = I У2 + Л(Х)У + ^ In У + В (Х) + .. .(2.16)

Подставляя (2.16) в уравнение (2.9) для функции 4r (X, У) и используя выражение _(2Л5), которое определяет асимптотическое поведение функций А(Х) и В(Х) при X-> —8, приходим к выводу, что

%%2 _分 + 戸=—a 瓦(2.17)

Пусть, наконец, Х-> 8； тогда для 4f (X, У) имеет место разложение

可=#/3?。® *a^(Е)+ 百=晶.(2.18)

Первый его член представляет собой решение Гольдштейна (1930) для следа, подробно рассмотренное в предыдущем параграфе. Функция go(W), входящая в разложение (2.18), связана с функцией gu(W), которая входит в разложение (1.8), аффинным преобразованием

go =碍 3gg 自=

997*

9

9

Применяя это преобразование к соотношению (1.11), получим асимптотическое разложение функции go(g) при & +8：

i0 = 1/2^2 + 20^ + 1/2^+ 0(1),(2.19)

где /()= о(/ /()•

Чтобы определить второй член разложения (2.18), необходимо подставить (2.18) в (2.9). Тогда для функции gi 隽)получим следующее уравнение:

(2.20)(2.20)_2 -一"1

(2.20)

(2.20)

gl + ggogl =

Специфическое свойство уравнения (2.12), позволяющее однозначно определить его решение по двум краевым условиям (2.13), было связано с тем, что одно из линейно независимых решений однородной части уравнения (2.12) представляло собой растущую при г] f 8 экспоненту. Уравнение (2.20) не имеет такого решения и поэтому требует трех краевых условий. Два из них являются следствием симметрии течения：

а (°) = g； (°) = °.

Чтобы получить третье условие, необходимо воспользоваться соотношением (2.17). Заметим, что асимптотическое разложение функции gi (自)при 自 f 8 имеет вид

h = M + ^l + Bx + о(1),h = M + ^l + Bx + о(1),(2.21)(2.21)

h = M + ^l + Bx + о(1),

h = M + ^l + Bx + о(1),

(2.21)

(2.21)

где Ai и В】——неизвестные постоянные. Подставляя (2.21) вместе

с (2.19) в разложение (2.18) _и определяя тем_самым асимптотическое поведение функций А(Х)瓜百(X) при X + 8, получим из (2.17), что

(2.22)(2.22)凡一&爲=瓦.

(2.22)

(2.22)

Соотношение (2.22), которое связывает между собой постоянные /1 и 51, как раз и является искомым краевым условием, замыка

ющим задачу для уравнения (2.20).

Численное интегрирование задачи о взаимодействии (2.9) выполнил Рубан (1977). При а = 0, когда тонкий профиль превра

щается в плоскую пластину, его результаты хорошо согласуются с результатами Джоба и Бюргграфа (1974), представленными на рис. 3.3 и 3.4. На поверхности пластины перед ее задней кромкой наблюдается разгон потока, который сопровождается уменьшением давления (рис. 3.8) и увеличением поверхностного трения (рис. 3.9, X < 0). Однако уже при а = 0,5 это ускорение нейтрализуется эффектом торможения потока, обусловленным влиянием толщины профиля, так что давление перед задней кромкой профиля оказы^ вается почти постоянным. Дальнейшее увеличение параметра а приводит к тому, что градиент давления на поверхности профиля

становится неблагоприятным; поверхпостное трение уменьшается по мере приближения к задней кромке, где х(Х) достигает своего минимума. Рост давления продолжается и вниз по потоку от задней кромки, причем, если т(—0)>0, то функция Р(Х) имеет при X f +0 особенность того же типа, что и в случае течения около

Рис. 3.9. Распределения поверхностного трения (又 V 0) и скорости на оси симметрии следа (X > 0) в области взаимодеуствия

задней кромки плоской пластины ). Особым является_ и поведение скорости U(X) на оси симметрии следа (рис. 3冬工>0).

Отрицательные значения поверхностного_трения t(X), так же как и отрицательные значения скорости U (X) в следе, указывают на появление области возвратного течения. Картина линии тока в этой области представлена на рис. 3.10 для а = 3,0. Наконец,

в других случаях. В част-в других случаях. В част-Рис. 3.10. Картина линий тока вблизи клиновидной задней кромки профиля при ■а = 3,0Рис. 3.10. Картина линий тока вблизи клиновидной задней кромки профиля при ■а = 3,0

в других случаях. В част-

в других случаях. В част-

Рис. 3.10. Картина линий тока вблизи клиновидной задней кромки профиля при ■а = 3,0

Рис. 3.10. Картина линий тока вблизи клиновидной задней кромки профиля при ■а = 3,0

на рис. 3.11 приведен график зависимости трения па задней кромке профиля т(—0) от параметра а. Из этого графика следует, что отрыв потока в окрестности задней кромки тонкого профиля возникает при а = 2,6. Таким образом, ускоряющее действие вязкого следа приводит к затягиванию отрыва около задней кромки профиля по сравнению с отрывом в окрестности точки излома контура тела (§ 3 гл. II). Напомним, что в последнем случае область рециркуляционного течения образуется при а = 2,0.

Эллиптический профиль. Теория отрыва потока в окрестности задней кромки тонкого профиля была изложена в этом параграфе на примере течения около профиля, имеющего клиновидную заднюю кромку. Между тем эта теория сохраняет справедливость и

Рис. 3.11. График зависимости трения на задней кромке профиля от параметра а

кромки тонкого эллипса. В результате своего анализа Королев сформулировал следующее простое правило, позволяющее оценить толщину профиля, при которой в окрестности задней кромки происходит отрыв потока: толщина должна быть выбрана такой, чтобы на расстоянии Дж = O(Re-3/8) от задней кромки профиля его поперечный размер составлял величину порядка Re-5/8. Так, если речь идет об эллиптическом профиле

у = ±2еУ—%(1 + /), —1 W / W 0,

то, согласно этому правилу, параметр е должен иметь вид е = Re-7d6 瓦 Где h = О (1).

Тогда в окрестности задней кромки профиля его верхняя поверхность представляется в переменных области III (рис, 3.7) как

(2.23)(2.23)У*=Н(/*),Н(/*) = 2 似一/*) "2.

(2.23)

(2.23)

Рис. 3.12. Распределение давления в области ского профиля

взаимодействия для эллиптиче-

Рис. 3.13. Распределение поверхностного трения (X < 0) и скорости на осп симметрии следа (X > 0) вблизи задней кромки эллиптического профиля

Рис. 3.14. Картина линий тока вблизи эллиптической задней кромки профиля при а = 3,0

Рис. 3.15. График зависимости трения на задней кромке от яараА1етра а для эллиптического профиляРис. 3.15. График зависимости трения на задней кромке от яараА1етра а для эллиптического профиля

Рис. 3.15. График зависимости трения на задней кромке от яараА1етра а для эллиптического профиля

Рис. 3.15. График зависимости трения на задней кромке от яараА1етра а для эллиптического профиля

Применяя к (2.23) аффинные преобразования (2.8), получим

J 2a (一不产2 при Х<05

(0 при Х>0,

(2.24) где а = to^8.

Решение задачу )взаимодействии (2.9) с функцией Н (X), определяемой соотношением (2.24), было построено численно (см. гл. VII). На рис. 3.12 приведены ^рафики зависимости давления 万 от X при различных значениях параметра задачи а. Распределение трения вдоль поверхности эллипса вблизи

его задней кромки и распределение скорости вдоль оси симметрии следа представлены на рис. 3.13. Картина линий тока в области рециркуляционного течения, построенная для а = 3, изобра

жена на рис. 3.14. Наконец, из рис. 3.15 следует, что в данном случае зарождение отрыва потока происходит при а = 1,8. Используя этот результат, можно для каждого эллиптического профиля при заданной относительной толщине 2е определить число Рейнольдса, начиная

с которого обтекание профиля сопровождается отрывом потока от его поверхности. Это число Рейнольдса вычисляется по формуле Re = 5,25e-16/7.

Влияние угла атаки

Другая проблема, связанная с течением жидкости в окрестности задней кромки профиля, состоит в исследовании процесса зарождения отрыва из-за наличия угла атаки. Ее анализ был про- веден Браун и Стюартсоном (1970). Эта задача, в частности, интересна потому, что в результате ее решения удается найти поправку к величине подъемной силы, обусловленную действием вязкости; кроме того, становится ясной природа особенности в окрестности задней кромки, которая всегда имеет место в решении задачи потенциального обтекания при выполнении условия Чаплыгина (1910) ~ Жуковского (1910) о плавном сходе.

На основании результатов, изложенных в предыдущем пара- графе, можно предположить, что зарождение отрыва в окрестности задней кромки, т. е. процесс перехода от безотрывного режима обтекания к отрывному, происходит при малых значениях относительной толщины профиля и угла атаки. Это означает, что при предельном переходе Re -> оо их . величины стремятся к нулю ).

Для того чтобы полностью сосредоточить внимание на влиянии угла атаки, следуя работе Браун и Стюартсона (1970), положим, что толщиной профиля в окрестности задней кромки можно пренебречь. (Условия, при которых такое пренебрежение в главных членах асимптотических разложений является оправданным, были приведены в предыдущем параграфе.) Кроме того, предположим, что профиль обтекается без отрыва, так что безразмерное поверхностное трение т в пограничном слое, приходящем к задней кромке, остается конечным. Классическим примером формы несущего профиля, для безотрывного обтекания передней кромки которого не требуется создания специальных механизмов типа отсоса пограничного слоя, является дужка, установленная под нулевым углом атаки. Дело в том, что в этом частном случае, как известно со времени появления работы Кутта (1902), выбором циркуляции можно обеспечить плавное обтекание как задней, так и передней кромки. Зарождение отрыва будет происходить на верхней стороне ее поверхности вблизи задней кромки. Это связано с тем, что градиент давления здесь максимален, а трение минимально.

Обозначим через £а угол, который составляет наклон задней кромки с направлением однородного набегающего потока. В соответствии со сказанным выше будем полагать, что при Re f ℃

8 = 8(Re)-> 0, а* = О(1). (3.1)

Предположим, что выполняется условие Чаплыгина ——Жуковского. Тогда, как хорошо известно, для комплексной скорости в окрестности задней кромки, где 力=у = 0, имеет место следующее асимптотическое представление：

北一%и = 1 + £ [~2с^/2 + O(z)] + о(8), (3 2) z = x + iyi |z| 0.

Ось Ох декартовой прямоугольной системы координат будем считать направленной по касательной к контуру тела; q ——произвольная постоянная, значение которой определяется из решения внешней задачи в целом*).

Рассмотрим теперь течение в пограничном слое и следе. Согласно исходным предположениям пограничный слои остается всюду присоединенным к поверхности тела, и появление отрыва возможно лишь в некоторой малой окрестности задней кромки. Следовательно, как и в рассмотренных выше течениях около тонких симметричных тел, в соответствии с (3.1), (3.2) задача сводится к рассмотрению малых возмущений (порядка е) решения Блазиуса (1.3). Эти возмущения носят сингулярный характер. Действительно, из выражения (3.2) находим, что давление ка верхней и нижней сторонах поверхности тела (/ < 0) ведет себя следующим

образом:

р = £Р(/, у) + о(£)；

2(/, ±0)=匹(％) = —б (—/) '/2 sign у +。［ (-/) "I (3.3) х -> —0; Ct > 0.

Здесь II ниже знаки + и — относятся соответственно к верхней (у > 0) и нижней (у < 0) сторонам поверхности профиля. Действие сингулярного градиента давления (3.3) должно, очевидно, приводить к торможению жидкости на верхней стороне профиля и к ее ускорению на нижней. (Для простоты изложения кривизной поверхности будем пренебрегать, тем более, что ее влияние не сказывается на приводимом ниже решении для главных членов асимптотических разложений.)

Выше нами уже были рассмотрены задачи о сингулярных возмущениях пограничного слоя. Более того, если сравнить выражения (4.56) из гл. I и (3.3), то мы видим, что они совпадают (при у > 0). Следовательно, решение (в главных членах разложений при / — — 0) здесь будет совпадать с двухслойным решением, описывающим течение перед точкой отрыва (см. § 4 гл. I), если в (4.2) (гл. I) положить “(/) = 0, а под функциями 屮°(/, Y) н /л (汽)понимать функцию Блазиуса (1.3) и р+(/).

На нижней стороне профиля решение, соответствующее функции 屮 1(/, У) из (4.2) гл. I, получается из решения при у ^'0 путем замены У на —У; это обусловлено тем, что выражения для градиентов давления р+ (х) и р_ (х) отличаются в главных членах разложения только знаком, а уравнение (4.5а) гл. I инвариантно относительно преобразования

招Ут—У,叫f—%,屮1f叫，弘f—人

Наряду с торможением на верхней стороне поверхности тела, вызванным углом атаки, в окрестности задней кромки имеет место интенсивное ускорение частиц жидкости на «дне» пограничного слоя, обусловленное разрывом в краевых условиях (см. § 1). В результате в области взаимодействия с продольным размером \х\ = (9(Re_3/8) индуцируется большой градиент давления др/дх = = O(Re"8). Нетрудно определить порядок величины угла атаки е (Re), при котором оба эти эффекта будут компенсировать друг друга, и, следовательно, можно ожидать появления отрыва. Для этого необходимо, чтобы при \х\ =0 (Re_3/8) градиент давления (3.3) был величиной О (Re1/8), что возможно, если

£ = RL” (3.4)

В области взаимодействия при этом будет сохраняться трехслойная структура Месситера (1970)— Стюартсона (1969), но в то же время влияние угла атаки станет существенным при определении главных членов асимптотических разложений. Если бы мы положили е > O(Re_t/i6), то величина неблагоприятного градиента давления (3.3) оказалась бы в области взаимодействия по порядку 106

величины большей, чем Re"* т. е. большей, чем при отрыве с образованием развитой зоны возвратного течения (Сычёв, 1972; см. также гл. I). Это означает, что при е > O(Re-1/16) безотрывное обтекание задней кромки становится невозможным.

Итак, £ = Re-V16. Тогда на основании сказанного в вязком подслое области взаимодействия решение можно представить в виде разложений (1.26), которые с учетом преобразования (1.39) принимают вид

ж = Re~з/%「/4£ у = Ее~5/8^3/4У,

屮=Re-/%”可(^ У)+p = Ref% 产声土(X)+ ...

Искомые функции удовлетворяют уравнению пограничного слоя Прандтля

分干 02可G千/千 dP± _ 03可

В основной части пограничного слоя, развивающегося вдоль верхней стороны тела, где У = 0(1), как обычно сохраняется профиль скорости, определяемый решением Блазиуса; то же можно сказать и о течении вдоль нижней стороны. Поэтому из сращивания решений в этих областях и подслое следует, что

^\Y\, 7f 土 8.(3.6)

dY

Из сращивания с описанным выше решением для пограничного /поя перед областью взаимодействия (/ -> —0) находим, что при X -> —оо

祭f|P|, (_H)T/2%f — asignP,(3.7)

где

a = 2С1a丁9/8(3.8)

——параметр подобия задачи.

На поверхности тела выполняется условие прилипания

Y = -^| =0 при У = ±0, XvO.(3.9)

В силу неизменности давления поперек пограничного _слоя (в рассматриваемом приближении) необходимо, чтобы при X N 0

Р+(Х) = Р-(Х).(ЗЛО)

Наконец, последнее краевое условие состоит в задании профиля скорости при X 8. Оно имеет вид

可f 又2/3?/)，w=(%— |,以в/2)/不/3(3.11)

(4/3ИО = ^о(^1/3Ю — решение задачи (1.9)——(1.11)) и означает, что вниз по потоку от области взаимодействия решение для подслоя переходит в решение Гольдштейна (1930) для ближнего следа (§ 1). Этот подслой развивается вдоль нулевой линии тока, форма которой при 力一>+0, согласно (3.2), описывается выражением

У = Us = & [-y 4/3/2 4-。(/3/2) + 。(£).

Для замыкания полученной системы соотношений, как обычно, необходимо рассмотреть область внешнего потенциального течения

Рис. 3.16. Распределение трения на верхней и нижней сторонах поверхности тела в области взаимодействия: сплошная линия ——Чау и Мельник (1976), штриховая линия ——Г. Л. КоролёвРис. 3.16. Распределение трения на верхней и нижней сторонах поверхности тела в области взаимодействия: сплошная линия ——Чау и Мельник (1976), штриховая линия ——Г. Л. Королёв

Рис. 3.16. Распределение трения на верхней и нижней сторонах поверхности тела в области взаимодействия: сплошная линия ——Чау и Мельник (1976), штриховая линия ——Г. Л. Королёв

Рис. 3.16. Распределение трения на верхней и нижней сторонах поверхности тела в области взаимодействия: сплошная линия ——Чау и Мельник (1976), штриховая линия ——Г. Л. Королёв

с поперечным размером \у \ — O(Re_3/8). Здесь решение имеет вид (1.33), (1.34), и тогда на основании (1.35) аналитическая функция

W(Z)= a”?*(Z*), Z =成4*(3.12)

такова, что ее действительная ^ щественной оси значения 尸土 (X) ющее действие вязкого подслоя:такова, что ее действительная ^ щественной оси значения 尸土 (X) ющее действие вязкого подслоя:мнимая^части принимают на веи G土 (X), где ff± (X) — вытесни-мнимая^части принимают на веи G土 (X), где ff± (X) — вытесни-

такова, что ее действительная ^ щественной оси значения 尸土 (X) ющее действие вязкого подслоя:

такова, что ее действительная ^ щественной оси значения 尸土 (X) ющее действие вязкого подслоя:

мнимая^части принимают на веи G土 (X), где ff± (X) — вытесни-

мнимая^части принимают на веи G土 (X), где ff± (X) — вытесни-

屋")屋")ПоэтомуПоэтомуlimY->±oolimY->±oo(3.13)(3.14)(3.13)(3.14)

屋")

屋")

Поэтому

Поэтому

lim

Y->±oo

lim

Y->±oo

(3.13)

(3.14)

(3.13)

(3.14)

Соотношения (3.13), (3.14) замыкают краевую задачу (3.5) — (3.11) для рассматриваемой области (Браун и Стюартсон, 1970). Численное решение этой задачи было получено Чау и Мельником (1976), а также Г. Л. Королёвым. На рис. (3.16, 〃, 6) представ- 108

лево распределение трения т±(X)= Ту^ |^+0 на верхней и нижней сторонах поверхности тела при различных значениях параметра подобия а. Как видно, по мере увеличения а, соответствующего увеличению угла атаки, на нижней стороне тела величина поверхностного трения увеличивается и принимает при X = —О конечные значения. На верхней стороне при этом наблюдается появление минимума в распределении т+(Х), что обусловлено ускоряющем действием следа. Вместе с тем при увеличении а величина этого минимума стремится к нулю, а его положение сдвигается к задней кромке. При значении а = а$ = 0,47 величина Н(—0) = 0. В работе Браун и Стюартсона (1970) было показано, что для существования решения рассматриваемой краевой задачи

к0)

необходимо выполнение условия =~~исключающего возможности течения жидкости в противоположных направлениях в сечении X = 0 около поверхности тела. При 0 W a W а$ это условие выполняется; решения для а > а$ не получено, и вопрос о его существовании остается открытым. (Чау и Мельнику (1976) удалось получить решение при 0 W a W 0,45, и значение а& = 0,47 было найдено ими путем экстраполяции; решение, полученное с помощью другого численного метода Г. Л. Королёвым (см. § 4 гл. VII), охватывает весь диапазон 0Wa&0,47. Результаты работы Смита (1983) указывают на возможность существования решения для значений а, больших а$ на малую величину.)

Стюартсоном (1980) было высказано предположение, что при значениях углов атаки, больших соответствующего решению при а = cxSj реализуется течение с развитой зоной отрыва, так что точка отрыва лежит на конечном расстоянии от задней кромки. Это предположение основано на следующих соображениях.

Для давления на поверхности тонкого тела перед точкой отрыва, согласно (4.2), (4.56), (7.2) гл. I, имеет место представление

Р (瑞 °) = Refpe ⑺ + • •⑸ рё = -aQ[a^XS + 1L/2]9/8(g-%)1/2 + …，/ f /6 - 0,•

где a0 (xs + 1)-1/2 — безразмерное трение, определяемое из решения Блазиуса (1.3), и а。= 0,42 ——численное значение параметра подобия задачи (7.3) гл. I. Выражение (3.15) представляет собой условие, которое необходимо наложить на распределение давления при решении внешней задачи об обтекании тела под углом атаки (или с относительной толщиной) порядка Re-i/16 для определения координаты точки отрыва свободной линии тока xs ).

С другой стороны, при подходе к задней кромке (® + —0) в соответствии с (3.3), (3.4) и (3.8) получаем

р(/, +0)== Re-1/16/)+(^)+ ..

р+=—切产(—才у" + . ,rt—0.(3.16)

Сравнивая выражения (3.15) и (3.16), видим, что при значениях угла атаки, соответствующих значениям параметра подобия а > 0,42? может реализоваться течение с развитой зоной отрыва. Следовательно, в диапазоне углов атаки, соответствующих значениям 0,42 W a W 0,47, наряду с описанным выше решением возможно существование второго решения (Стюартсон, 1980).

Таким образом, значение параметра подобия as определяет диапазон изменения углов атаки, в котором течение может оставаться безотрывным, а решение во внешней области удовлетворяет условию Чаплыгина — Жуковского.

Определим теперь те изменения, которые вносит взаимодействие в величину подъемной силы, действующей на профиль. Для этого рассмотрим асимптотическое поведение функции W (Z) при |Z| f 8. Из сращивания с решением (3.3) следует, что

W = iu242 + ia^~i!1 + О (Z-2/3), |Z| (3.17)

Вид второго члена и постоянной 丫°(竄) находится с помощью формулы Келдыша и Седова (1937); в результате можно получить

оо6十(%) + G (%)6十(%) + G (%)

о

о

6十(%) + G (%)

6十(%) + G (%)

(Нау и Мельник, 1976). Третий член в (3.17) обусловлен вытесняющим действием следа (см. § 1).

Переходя в разложениях (3.17), с учетом (3.12), (3.8), (3.4) и (1.34), (1.35) к внешним переменным (1.33), получим

U —必=1 + £( — %2clzI" +...)+...+£7[ — lOLy^dQ ^^Z "2 +...]+・..,

|z|->0; E=ReT/i6.(3.18)

Коэффициент пропорциональности при 2一"必 в (3.18) характеризует величину изменения циркуляции по сравнению с ее значением, определяемым из условия Чаплыгина ——Жуковского. Поэтому отношение коэффициента подъемной силы су к его значению %。, определяемому из решения задачи обтекания без учета пограничного слоя, имеет вид

& _ 1 = % Ri3/8 + 仇 Re-i/2 in Re + о (r^1/2),

"°(3.19)

% = — 〃oYo(a)〃o°，

где 汽0 ——некоторая положительная постоянная, значение которой определяется из решения внешней задачи; например, для плоской пластины п0 = 2, а для круговой дужки п0 = 8. Зависимость величины у。от а, полученная Чау и Мельником (1976) и Г. Л. Королевым, представлена на рис. 3.17. Таким образом, в действительности подъемная сила Е = 1/2р^^^^ оказывается меньше той, которая получается из решения задачи в рамках идеальной жидкости, причем это уменьшение, согласно (3.19), обусловлено глав

но

ным образом процессом взаимодействия в окрестности задней кромки, а не всем пограничным слоем, вклад которого составляет величину порядка Re~1/2. Что касается второго члена в правой части выражения (3.19), то он обусловлен кривизной линий тока в ближнем следе; не останавливаясь на подробностях, связанных

Рис. 3.17. Зависимость параметра 70 от а. Темные кружки — данные Чау и Мельника (1976); сплошная линия —— данные Г. Л. Королева (0 & а & 0,47; 0,57^7а <1,11)

с его получением (см. работу Браун и Стюартсона, 1975), отметим только, что входящая в него постоянная Ь2 определяется через толщину вытеснения и толщину потери импульса решения Блазиуса.

В заключение заметим, что обзор результатов других исследований, касающихся течений жидкости в окрестности задней кромки профиля и посвященных в основном влиянию нестационарности, можно найти в работах Стюартсона (1981), Смита (1982а) и Крайтона (1985). .

Глава IV

ОТРЫВ НА ПЕРЕДНЕЙ КРОМКЕ ТОНКОГО ПРОФИЛЯ

Экспериментальные наблюдения

Отрыв пограничного слоя на передней кромке тонкого крылового профиля является основным фактором, который ограничивает подъемную силу, действующую на профиль в потоке жидкости. Первым, кто описал этот тип отрыва, был Джонс (1934). За прошедшие с тех пор полстолетия многие исследователи обращались к экспериментальному изучению течения около передней кромки профиля. Кроме большого числа оригинальных работ, на эту тему написано несколько обзоров. К числу наиболее полных можно отнести обзоры Тани (1964) и Уорда (1963).

Как показывает эксперимент, по мере возрастания угла атаки картина течения около профиля меняется следующим образом.

Рис. 4.1. Обтекание профиля: 〃 ——с коротким пузырем; 6 — с развитой зоной отрыва; 6 — с длинным пузыремРис. 4.1. Обтекание профиля: 〃 ——с коротким пузырем; 6 — с развитой зоной отрыва; 6 — с длинным пузыремКогда угол атаки мал, обтекание профиля безотрывно. При этом давление имеет максимум в точке торможения потока О, где нулевая линия тока раздваивается — одна ее ветвь стелется по нижней образующей профиля, а вторая огибает носик профиля и располагается вдоль его верхней поверхности. Если двигаться от точки торможения вдоль верхней ветви, то давление сначала быстро падает, достигая минимума в некоторой точке М (рпс. а), а затем начинает увеличиваться, так

Рис. 4.1. Обтекание профиля: 〃 ——с коротким пузырем; 6 — с развитой зоной отрыва; 6 — с длинным пузырем

Рис. 4.1. Обтекание профиля: 〃 ——с коротким пузырем; 6 — с развитой зоной отрыва; 6 — с длинным пузырем

что пограничный слой вниз по течению от точки М оказывается под действием неблагоприятного градиента давления. Его величина возрастает с ростом угла атаки, приводя в конечном итоге к отрыву 112

пограничного слоя, причем происходит это тем раньше, чем меньше относительная толщина профиля.

При отрыве пограничного слоя на верхней поверхности профиля наблюдается образование замкнутой области рециркуляционного течения (рис. 4.1, а). Эту область принято называть «коротким пузырем». По своей протяженности короткий пузырь? как правило, не превышает 1 % хорды профиля и оказывает чрезвычайно слабое влияние на его обтекание, а следовательно, и на величину действующих на профиль аэродинамических сил. Однако короткий пузырь существует лишь в небольшом диапазоне изменения угла атаки, а затем внезапно разрушается. В результате формируется новый режим обтекания： это может быть либо поток с развитой зоной отрыва, охватывающей всю верхнюю поверхность профиля (рис. 4.1, б), либо поток с так называемым «длинным пузырем» (рис. 4.1, в). И в том, и в другом случаях переходный процесс сопровождается резким уменьшением подъемной силы, действующей на профиль, и увеличением сопротивления.

Обычными для профиля являются такие условия обтекания, когда пограничный слой на передней кромке остается ламинарным. Дело в том, что роль характерного геометрического размера играет здесь не хорда профиля, а значительно меньшая величина ——радиус кривизны передней кромки. Если определить число Рейнольдса по радиусу носика профиля, то окажется, что для большинства экспериментальных данных оно составляет величину порядка 104—105 (Эли и Хэрринг, 1978), т. е. недостаточно велико для турбулизации пристеночного пограничного слоя.

Оторвавшийся пограничный слой менее устойчив. Поэтому в области отрыва наблюдается переход, и поток присоединяется к поверхности профиля, являясь уже турбулентным. Переход оказывает существенное влияние на поведение короткого пузыря. Если стимулировать переход, увеличивая число Рейнольдса, то диапазон углов атаки, в котором существует короткий пузырь, расширяется. При этом разрушение короткого пузыря, как правило, приводит к образованию развитой зоны отрыва, изображенной на рис. 4.1, б. Наоборот, при уменьшении числа Рейнольдса короткий пузырь разрушается раньше, и взамен него на верхней поверхности профиля образуется длинный пузырь (рис. 4.1, в). Хотя в момент своего появления длинный пузырь может слабо отличаться по размерам от короткого, он подчиняется другим закономерностям. Важнейшая из них состоит в том, что с ростом угла атаки длинный пузырь быстро увеличивает свою протяженность за счет перемещения точки присоединения по направлению к задней кромке профиля. Если вспомнить, что речь идет о числе Рейнольдса, определяемом через радиус носика профиля, то становится понятным, почему вторая из описанных ситуаций оказывается характерной для более тонких профилей.

ИЗИЗВ настоящей главе дан теоретический анализ начальной стадии описанного явления, связанной с коротким пузырем. Несмотря на распространенное мнение о том, что переход в области отрыва

ИЗ

ИЗ

8 П./ред. В. В. Сычёва

является необходимым условием ирисоединепия потока к поверхности профиля, а следовательно, и самого существования короткого пузыря, мы будем исходить из предположения о ламинарности течения около передней кромки профиля и покажем, что построенная таким образом теория не только описывает процесс зарождения короткого пузыря, когда пограничный слой на поверхности профиля безусловно является ламинарным, но и позволяет проследить за его эволюцией вплоть до момента разрушения.

Постановка задачи. Область невязкого течения

Пусть помещенный в двумерный поток несжимаемой жидкости профиль имеет относительную толщину 8, так что уравнение его поверхности может быть записано в виде

уг = £%(/'), О W W 1,

где индекс плюс относится к верхней образующей профиля, а индекс минус — к нижней. Прямоугольная декартова система координат О'хвведена таким образом, что ее начало О' совпадает

夕］с передней кромкой, а ось

;О'х направлена по каса

тельной к средней линии

——^ профиля (рис. 4.2). Здесь aj N~~и в дальне11шем исполь

зуются безразмерные пе-

Рпс. 4.2. Топкий профиль в потоке жидкости ременные:расстояния

вдоль осей О'х‘ и Огуг отнесены к хорде профиля Л, составляющие вектора скорости будем относить к скорости набегающего потока Us, а приращение давления по сравнению с его значением на бесконечности ——к удвоенному скоростному напору pUl).

Предположим для простоты, что носик профиля имеет параболическую Ворму. Тогда параметр & можно выбрать так, что

F± = 土У2/' + ... при х f 0.

При этом радиус кривизны передней кромки г = Ld.

Теорию течения жидкости около профиля будем строить на основе асимптотического анализа уравнений Навье ——Стокса с использованием предельного перехода, в котором число Рейнольдса Re = L7oo?7v, подсчитанное по радиусу передней кромки профиля, стремится к бесконечности, а относительная толщина профиля е стремится к нулю ).

Следуя методу сращиваемых асимптотических разложений, рассмотрим сначала основную невязкую область течения с характерными размерами порядка хорды профиля: х =0(1), yf = 0(1). Если угол атаки d является величиной порядка 8, т. е.

а' = £а，где а* = 0(1),

то для этой области применима классическая теория тонкого профиля *). Согласно этой теории градиент давления на поверхности профиля имеет величину порядка 8； он не способен привести к отрыву пограничного слоя.Вместе с тем известно, что теория тонкого профиля теряет справедливость в окрестности передней кромки — отдельно должна быть рассмотрена область, в которой переменные X' = g-?/' и У' = £-2у' являются величинами порядка единицы, а контур профиля представляется бесконечной параболой У' = ±У2Х' (рис. 4.3). В этой области возмущения гидродинамических функций уже не являются малыми. В частности, тангенциальная составляющая вектора скорости на поверхности профиля (отнесенная к скорости набегающего потока) выража-то для этой области применима классическая теория тонкого профиля *). Согласно этой теории градиент давления на поверхности профиля имеет величину порядка 8； он не способен привести к отрыву пограничного слоя.Вместе с тем известно, что теория тонкого профиля теряет справедливость в окрестности передней кромки — отдельно должна быть рассмотрена область, в которой переменные X' = g-?/' и У' = £-2у' являются величинами порядка единицы, а контур профиля представляется бесконечной параболой У' = ±У2Х' (рис. 4.3). В этой области возмущения гидродинамических функций уже не являются малыми. В частности, тангенциальная составляющая вектора скорости на поверхности профиля (отнесенная к скорости набегающего потока) выража-ется, как было показано Ван (1956), в видеУ(r)2 + iЗдесь У' представляет собой ние от оси параболы до ееется, как было показано Ван (1956), в видеУ(r)2 + iЗдесь У' представляет собой ние от оси параболы до ееДайкомДайком(2.1)(2.1)расстоя-поверх-расстоя-поверх-Рис. 4.3. Течение около леред- ней кромки тонкого профпляРис. 4.3. Течение около леред- ней кромки тонкого профпляности в точке, где вычисляется значение скорости. Параметр к, характеризующий степень асимметрии потока около параболы, определяется из условия сращивания с решением для внешней обности в точке, где вычисляется значение скорости. Параметр к, характеризующий степень асимметрии потока около параболы, определяется из условия сращивания с решением для внешней области течения и выражается через угол линии профиля следующим образом:ласти течения и выражается через угол линии профиля следующим образом:атаки и наклон среднейатаки и наклон средней(2.2)(2.2)

то для этой области применима классическая теория тонкого профиля *). Согласно этой теории градиент давления на поверхности профиля имеет величину порядка 8； он не способен привести к отрыву пограничного слоя.

Вместе с тем известно, что теория тонкого профиля теряет справедливость в окрестности передней кромки — отдельно должна быть рассмотрена область, в которой переменные X' = g-?/' и У' = £-2у' являются величинами порядка единицы, а контур профиля представляется бесконечной параболой У' = ±У2Х' (рис. 4.3). В этой области возмущения гидродинамических функций уже не являются малыми. В частности, тангенциальная составляющая вектора скорости на поверхности профиля (отнесенная к скорости набегающего потока) выража-

то для этой области применима классическая теория тонкого профиля *). Согласно этой теории градиент давления на поверхности профиля имеет величину порядка 8； он не способен привести к отрыву пограничного слоя.

Вместе с тем известно, что теория тонкого профиля теряет справедливость в окрестности передней кромки — отдельно должна быть рассмотрена область, в которой переменные X' = g-?/' и У' = £-2у' являются величинами порядка единицы, а контур профиля представляется бесконечной параболой У' = ±У2Х' (рис. 4.3). В этой области возмущения гидродинамических функций уже не являются малыми. В частности, тангенциальная составляющая вектора скорости на поверхности профиля (отнесенная к скорости набегающего потока) выража-

ется, как было показано Ван (1956), в виде

У(r)2 + i

Здесь У' представляет собой ние от оси параболы до ее

ется, как было показано Ван (1956), в виде

У(r)2 + i

Здесь У' представляет собой ние от оси параболы до ее

Дайком

Дайком

(2.1)

(2.1)

расстоя-поверх-

расстоя-поверх-

Рис. 4.3. Течение около леред- ней кромки тонкого профпля

Рис. 4.3. Течение около леред- ней кромки тонкого профпля

ности в точке, где вычисляется значение скорости. Параметр к, характеризующий степень асимметрии потока около параболы, определяется из условия сращивания с решением для внешней об

ности в точке, где вычисляется значение скорости. Параметр к, характеризующий степень асимметрии потока около параболы, определяется из условия сращивания с решением для внешней об

ласти течения и выражается через угол линии профиля следующим образом:

ласти течения и выражается через угол линии профиля следующим образом:

атаки и наклон средней

атаки и наклон средней

(2.2)

(2.2)

Точка торможения потока определяется как У' = —к; при к = О она совпадает с вершиной параболы, а при Л > 0 переходит на ее нижнюю поверхность.

Пограничный слой

8*8*При рассмотрении пограничного слоя на параболической поверхности профиля в окрестности его передней кромки удобно использовать ортогональную криволинейную систему координат Оху. в которой / отсчитывается от точки торможения потока О вдоль

8*

8*

верхней поверхности профиля, а у——ио нормали к ней (рис. 4.3). В качестве единицы измерения длины примем радиус передней кромки профиля 厂.Компоненты вектора скорости в выбранной системе координат, отнесенные к。刊 обозначим соответственно через и и V. Введем также функцию тока 取 отнеся ее к「。刊 目 заметим, что она связана с компонентами вектора скорости соотношениями

嘉=-(1 + му)

в которых 乂 ——безразмерная кривизна поверхности профиля.

Для главного члена разложения функции тока в пограничном слое

屮=Re-1/2 屮(瑞 У) + ..., где У = Re1/2 у.

имеет место классическое уравнение Прандтля

dY дх" дх ©у2 — &囂 @уЗ £( • а)

которое должно быть проинтегрировано с условиями прилипания на поверхности профиля

屮=界=0 щж У = 0,(3.16)

с условием сращивания с решением во внешней невязкой области течения

赤=Ue ⑺ При У = 8,(3.1В)

а также с начальным условием в точке торможения потока О:

4r = 0 при / = 0.(3.1г)

Градиент давления dpjd% входящий в уравнение (3.1а), не меняется поперек пограничного слоя и может быть вычислен с помощью уравнения Бернулли

dPe 〃 dUe

Скорость на внешней границе пограничного слоя Ue(x) определяется формулой (2.1). Как уже отмечалось, Ue обращается в нуль в точке торможения потока О. По мере удаления от этой точки Ue увеличивается, достигая своего максимального значения У1 + А;2 в точке М, для которой У' = 1/А (см. рис. 4.3). Вниз по течению ют точки М скорость Ue монотонно падает, стремясь к единице.

Первые расчеты пограничного слоя на передней кромке тонкого профиля были выполнены Ермаком (1969). Несколько позднее подробное численное решение задачи (3.1) представили Верле и Дэвис (1S72), которые использовали в своих расчетах метод Крэнка ——Никольсона (1947). Как оказалось, свойства рассматри- 116

ваемого пограничного слоя существенно зависят от значения параметра к. Если к < к^ где kQ = 1,1556, то поверхностное трение

остается положительным при всех 胃 > 0 и имеет минимум за точкой М (рис. 4.4), где градиент давления является неблагоприятным. Появление минимума трения на фоне монотонно растущего давления объясняется диффузией завихренности к стенке. Если dpe/dx > 0, то по мере удаления от стенки напряжения трения

возрастают, а следовательно, силы трения стремятся ускорить пристеночный слой жидкости. Поэтому, когда неблагоприятный градиент давления становится достаточно слабым, трение на поверхности профиля начинает возрастать.

По мере увеличения параметра А величина минимального значения трения падает (рис. 4.5) и обращается в нуль при к = А。.

Координату точки, в которой это происходит, будем обозначать через /о； для параболы /о = 8,37. Если к > 论。,то точка нулевого трения x — xs сдвигается влево от ж0. Величина этого сдвига тем больше, чем больше параметр к отличается от своего критического значения 自.Верле и Дэвис (1972) отметили, что при всех А: > fc0 в решении уравнения пограничного слоя перед точкой нулевого трения появляется особенность. Речь о ней пойдет ниже.

Решение перед точкой нулевого трения. Согласно традиционным представлениям, восходящим к работе Прандтля (1904), точка нулевого трения на поверхности стационарно обтекаемого тела совпадает с точкой отрыва потока. Принципиальный интерес предоставляет поэтому исследование тонкой структуры решения задачи (3.1) в окрестности этой точки.

Рассмотрим сначала область пространства, лежащую перед линией х = xs, и построим асимптотическое разложение функции тока при х -^ xs — Q. В любой точке (力,У) из этой области продольная составляющая вектора скорости и = dW/dY является положительной. Поэтому уравнение пограничного слоя (3.1а) обладает обычными свойствами уравнений параболического типа ——его решение 屮(/, У) в окрестности линии / = /$ зависит от распределения скорости Ue ⑺ на внешней границе пограничного слоя во всем интервале значений 力 от 'точки торможения потока О до точки нулевого трения х = xs. С другой стороны, используемая ниже процедура построения асимптотического разложения функции 4r (/, У) при x-^Xs — Q ограничена рассмотрением лишь окрестности линии х = xs и, таким образом, не учитывает всей совокупности краевых условий, влияющих на функцию 4r (/, У). Поэтому искомое асимптотическое разложение должно строиться как разложение по собственным функциям локальной задачи. Коэффициенты перед этими собственными функциями остаются произвольными при локальном анализе. Вместе с тем они однозначно определяются при решении задачи (3.1) в целом.

Введем переменную s = х — xs и представим градиент давления в окрестности точки нулевого трения в виде разложения в ряд Тейлора:

dpe

曲=% + + ... при ST 0. (3.2)

Главный член этого разложения Хо совпадает с градиентом давления в точке х = xs. При всех к》左°, когда точка нулевого трения существует, Хо > 0.

Из уравнения пограничного слоя (3.1а) и краевых условий при У = 0 следует, что в любой точке, лежащей на обтекаемой поверхности,

@3屮 I — dpe

В точке нулевого трения известна и вторая производная от функции тока: 324f7АУ2 = 0. Следовательно, асимптотическим представлением функции тока в окрестности этой точки будет

^ = 7ДОГ + ... (3.3)

Теперь можно определить ширину вязкой области течения, т. е. такой области, в которой вязкий член уравнения (3.1а) совпадает 118

по порядку величины с инерционным：

不屮024r 評中

dY dx dY 〜@уЗ .

Величина 0屮/8У в левой части этого соотношения оценивается, согласно (3.3), как О (У?). Поэтому ширина вязкой области уменьшается при gf —0 как У = О[ (—§)*[. Что касается основной части пограничного слоя, где У = 0(1), то она представляет собой область локально невязкого течения.

Асимптотическое разложение функции тока в вязкой области будем искать в виде

屮=(一s)3/4 1 入"+ (- s)a 九(Л) + (一 s产-3书2 ⑺十… (3.4)

Первый член этого разложения совпадает с выражением (3.3), записанным через переменную т] = У(—$)-匕 которая в рассматриваемой области является величиной порядка единицы. Второй член представляет собой собственную функцию с неизвестным заранее собственным числом а. Третий член является вынужденным, он порождается квадратом второго члена п появляется в разложении (3.4) вследствие нелинейности уравнения пограничного слоя.

Подставляя разложение (3.4) в уравнение (3.1а) и производя в нем предельный переход при s -> —0, получим дифференциальные уравнения для функций 九(出)и /2(Л)• Проанализируем первое из них:

/1 — 4 Чл3/1 + "I■入о (а + ；卜竹]—儿а”/] = 0.(3.5)

Поскольку рассматриваемая область примыкает к твердой границе, на функцию /1(т)) необходимо наложить условия прилипания

九(0)=/；(。)=。.(3.6)

Три линейно независимых решения уравнения (3.5) могут быть выбраны таким образом, чтобы их разложения в ряд Тейлора около точки 叮=0 начинались соответственно с 1, п，联 Первые два решения не удовлетворяют краевым условиям (3.6) и должны быть отброшены. Что касается третьего решения, то оно, как легко видеть, тождественно равняется if. Следовательно, нетривиальное решение уравнения (3.5) с краевыми условиями (3.6) существует при всех а：

/1 = 1/2〃о"2；(3.7)

здесь а0 — произвольная постоянная.

Чтобы определить собственное значение а, необходимо рассмотреть третий член разложения (3.4). Для него справедливо уравнение

/2 -^ %喇2 + 大q 卜一4■卜『厶一% (加 l")"% =彳(1 - 2a)q汕

решение которого, удовлетворяющее условиям прилипания /2(0)= =/2 (0) = 0, может быть записано через вырожденную гипергеометрическую функцию F(x, 丫, z)):

(3.8)(3.8)/2 =笳-(Л - %) + ^ b0哦,

(3.8)

(3.8)

无a(n)= n 一 Г)2 ) Т)7 [ь(Y，Y，歩限)-1 %],

где b0 — произвольная постоянная, параметры функции F(x, 丫, z) определяются как 冗=1 — 2а, 丫 = 5/4.

Известно, что вырожденная гипергеометрическая функция определена во всей комплексной плоскости z и возрастает по экспоненциальному закону, если z удаляется в бесконечность вдоль луча, лежащего в правой полуплоскости: Rez>0. Поэтому функция %а(/), а вместе с ней и /2(л) также являются экспоненциально растущими при 1] -> 00. Исключение составляют

冗=—тп, где ?n = 0, 1, 2 ..., (3.9) при которых вырожденная гипергеометрическая функция превращается в полином степени т и возрастает при 2 оо как 0{zm),

Заметим теперь, что вне зависимости от того, как выбран параметр х, решение (3.4), (3.7), (3.8) для вязкой области не удовлетворяет краевому условию на внешней границе пограничного

слоя. Следовательно, кроме вязкой области (область 3 на рис. 4.6), необходимо еще рассмотреть локально невязкую область 2, занимающую основную часть пограничного слоя: У = = 0(1). В этой области продольная составляющая вектора

口 / а аскорости и = dW/dY имеет по-

丄■!□_、/♦ Н. L/・ 2 X47XJ.XVX JU.丄 U 丄 KL ND L/C d/l U 丄 LI V C 丄 Д M Cl. 一__ихарактерных областей течения вбли- рядок скорости на внешней丄■!□_、/♦ Н. L/・ 2 X47XJ.XVX JU.丄 U 丄 KL ND L/C d/l U 丄 LI V C 丄 Д M Cl. 一__ихарактерных областей течения вбли- рядок скорости на внешнейРис. 4.6. Асимптотическая структура 广„

丄■!□_、/♦ Н. L/・ 2 X47XJ.XVX JU.丄 U 丄 KL ND L/C d/l U 丄 LI V C 丄 Д M Cl. 一__и

характерных областей течения вбли- рядок скорости на внешней

丄■!□_、/♦ Н. L/・ 2 X47XJ.XVX JU.丄 U 丄 KL ND L/C d/l U 丄 LI V C 丄 Д M Cl. 一__и

характерных областей течения вбли- рядок скорости на внешней

一..丄" 2/丄ПСГТТСТ/»П Т» ТТЛТТТТТЛ1Я-

зи точки нулевого трениязи точки нулевого трениягранице пограничного слоя: 北= 0(4), так что сращивание

зи точки нулевого трения

зи точки нулевого трения

решений в областях 2 目 3 возможно лишь при условии (3.9), когда 为(刀)не является экспоненциально растущей. Это условие как раз и определяет собственные значения

а = —2—, где m = 0,1, 2,…

Особенность Гольдштейна. Возвращаясь к разложению (3.4), заметим, что оно имеет смысл только при а > 3/4, когда каждый последующий член разложения меньше предыдущего по порядку величины. Поэтому первым собственным значением будет а = 1.

Коэффициент 〃и перед первой собственной функцией зависит от ие(^) 5 или (что то же самое) от распределения давления ре(х) вдоль пограничного слоя. В общем случае, когда распределение давления не подбирается специальным образом, а。отличен от нуля, и решение (3.4), (3.7), (3.8) для области 3 представляется в виде )

屮=(一 S产 I %瞰 + (一 s)九(n) + (― S)5/4 % (n) + • • •，

产(ЗЛО)

А = %〃"，/2 = V2M2 —誥限

Кроме выписанных членов, разложение функции 屮(力,У) содержит сумму бесконечного числа следующих собственных функций, а также включает дополнительные члены, связанные с последующими членами в разложении градиента давления (3.2). Все они, однако, имеют более высокий порядок малости по сравнению с (-S)七

Рассмотрим теперь область 2, в которой У = 0(1). Вид асимптотического разложения функции тока 4r (力,У) в этой области может быть определен с помощью стандартной процедуры, основанной на принципе сращивания асимптотических разложений. Произведем в (3.10) замену переменной т] = У(—5)~i/4 и, считая F = 0(1), соберем члены одинакового порядка малости при s—0. В результате получим, что в области 2

W =叫。(У) + (—s产叫丄(У)+ ・・•(3.11)

и что при У f О

屮00 = %%尸—臨 У5 + . . ., 4r°] = %〃产 + …(3.12)

Подставляя разложение (3.11) в уравнение пограничного слоя (3.1а) и учитывая условия (3.12), получим

呼 1 =»；о(У)・

Если теперь вычислить поперечную составляющую вектора скорости V = —dW/dx, то окажется, что она имеет особенность

V = Re"? и = (— s) "24rо。(У) + ... при s —> — 0.(3.13)

Особым образом, как это следует из (3.10), ведет себя и трение на стенке:

t = (—§)"2〃0 + ・・・ при s—0.

Поскольку при s V 0 трение является положительным, мы должны считать а。> 0.

Описанный выше анализ пограничного слоя перед точкой пулевого трения был впервые изложен в упомянутой уже в гл. I работе Гольдштейна (1948) с тем, однако, отличием, что Гольдштейн, знавший численные результаты Хартри (1939), с самого начала положил а = 1 в разложении (3.4). Гольдштейн показал также, и этот результат является особенно важным, что прп а° 片 0 решение уравнения пограничного слоя не может быть продолжено за точку нулевого трения.

В самом деле, пусть решение непрерывно продолжимо через линию х = xs. Тогда, используя условие непрерывности и выражение (3.11), приходим к выводу, что первый член асимптотического разложения функции тока в области 2' (рис. 4.6) совпадает с 中。。(у)：

屮=叫。(y)+... при S + +0, y = 。(1). (3.14)

Это означает, что продольная составляющая вектора скорости и = dW/dY уменьшается при У +0 как О (У2), а следовательно, толщина вязкой области 3' оценивается как У = О(51/4). Таким образом, асимптотический анализ уравнения пограничного слоя (3.1а) в области 3' связан с предельным переходом

s ++ 0, ^ = Ys-^ = O(l).

Представим в области 3' функцию тока в виде асимптотического разложения

屮=s3/4 А噤з + s%⑶+ S吁3/嘖(&)+・・・ (3.15)

с неизвестным заранее показателем степени 卩.Функции £(自)и /2(^) определяются тем же способом, что и функции %(п) и %5), входящие в разложение (3.4). В результате получим для /t (^) и 孑2(自)следующие выражения:

云=%旗2, 了2=2^(— &) + % 务皆

&⑶=自 一守j「卜卜,％ 一無切-1] ^, 0

где a。，b0 ——произвольные постоянные, а параметры вырожденной гипергеометрической функции F(x, % z) определяются как 处= =1 — 2ц, у = 5/4.

Осталось произвести сращивание разложений функции тока в областях 2’ и 3'. Чтобы осуществить эту процедуру, необходимо знать асимптотическое разложение функции 为(自)при 占 +8. Как известно, асимптотическое поведение вырожденной пшергеометри- ческой функции при больших значениях z зависит от того, каким образом z стремится к бесконечности. Если предельный переход

осуществляется вдоль луча, лежащего в левой полуплоскости (Rez < 0), то

歹(％у)=帚鼻J尸［i+4#

где Г — гамма-функция Эйлера.

Поэтому главным членом асимптотического разложения функции /2(^) при 自-> 8 будет

72 =嗚r(Y -乂)即…

Подставляя его в (3.15) и производя замену переменной 自=У$-'/\ получим, что на внешней границе области 3’

屮=+ ^ ^^4r 傕广詳“…(3.16)

С другой стороны, известно одночленное асимптотическое разложение (3.14) функции тока в области 2'. Если воспользоваться разложением (3.12) для Woo (У) при У 0, то получим, что вблизи внутренней границы области 2'

屮=^九。尸一喻户

Согласно принципу сращивания асимптотических разложений это выражение должно совпадать с выражением (3.16). Поэтому М = 1 и

〃^ =-* (3.17)

Если постоянная а。определяется в процессе решения уравнения пограничного слоя от 'начального сечения ^ = 0 до точки нулевого трения, то для определения постоянной а° служит равенство (3.17). Оно свидетельствует о невозможности построения действительного решения вниз по течению от точки нулевого трения. Исключение составляет случай, когда первая собственная фзшкция в решении перед точкой нулевого трения отсутствует: а° = 0.

Проведенный анализ показывает также, что предположения теории пограничного слоя теряют справедливость в окрестности точки нулевого трения. В самом деле, при всех а° =# 0 поперечная составляющая вектора скорости (3.13) неограниченно возрастает при приближении к этой точке. Следовательно, существует такая ее окрестность, в которой влияние пограничного слоя на внешний поток за счет оттеснения струек тока от обтекаемой поверхности становится значительным и приводит к перераспределению давления вдоль пограничного слоя. Возникает вопрос, вызывает ли вытесняющее действие пограничного слоя такое изменение градиента давления, которое сглаживает особенность и создает возможность для пограничного слоя гладко переходить в область отрыва.

Чтобы ответить на этот вопрос, Стюартсон (19706) исследовал окрестность особой точки на основе уравнений Навье ——Стокса и пришел к следующему выводу. Если для пограничного слоя перед точкой нулевого трения справедливо решение Гольдштейна, то образующаяся в окрестности этой точки область взаимодействия имеет обычную трехснойную структуру, аналогичную той, которая рассматривалась в предыдущих главах. Эта структура уже подготовлена решением Гольдштейна ——в пограничном слое перед точкой нулевого трения образовались две характерные области 3 目 2. Первая из них формирует вязкий пристеночный слой области взаимодействия, вторая ——средний слой. К ним необходимо еще добавить область внешнего потенциального течения, в которой возмущения наклона линий тока, вызываемые пограничным слоем, преобразуются в возмущения давления. Взаимодействие, как обычно, осуществляется между пристеночным слоем и потенциальной частью течения, а промежз^точный слои играет роль пассивного передаточного звена между ними. Однако своеобразие условий, в которых появляется рассматриваемая область взаимодействия (в данном случае пограничный слой перед этой областью имеет предотрывнып профиль скорости с исчезающе малым трением на обтекаемой поверхности) ,приводит к существенному изменению формулировки краевой задачи для нее. Последствия этих изменений оказываются катастрофическими ——решение задачи о взаимодействии перестает существовать. Особенность Гольдштейна оказывается, таким образом, нез^странимой.

Этот результат, полученный Стюартсоном на основе прямого математического анализа задачи о взаимодействии, имеет простое объяснение. Напомним, что невозможность продолжения решения уравнений пограничного слоя через линию х = xs связана с формой начального распределения (3.14) функции тока в области 2‘，а точнее, со знаком минус у второго члена в разложении 4rо。(У) при 0 (3.12). Его появление в правой части соотношения (3.17) как раз и приводит к противоречию. Образование области взаимодействия приводит к тому, что теперь начальный профиль скорости в области 2’ должен определяться не из условия ее непрерывности на линии х = Xs、а из условия сращивания с решением в среднем слое области взаимодействия. Известно, однако, что изменение продольной составляющей вектора скорости Ае является в этом слое малым:

А〃 f 0 при Re f 8.

Поэтому область взаимодействия не меняет начального условия для области 2‘， а следовательно, и всей приводящей к противоречию процедуры построения решения уравнения пограничного слоя (3.1а) при х > xs.

Особое решение уравнения пограничного слоя, непрерывно про- должимое через точку нулевого трения. Поведение пограничного слоя на передней кромке профиля, как уже говорилось, зависит от 124

параметра к, который определяется через угол атаки и кривизну профиля соотношением (2.2). Если параметр к меньше своего критического значения А。, то трение 弋(力)остается положительным, и решение задачи (3.1) существует при всех значениях х, Функция т(/) имеет минимум, величина которого уменьшается по мере возрастания параметра к, как это изображено на рис. 4.5. При к = к® минимальное значение трения обращается в нуль? и на поверхности профиля впервые появляется точка нулевого трения: /s = /0・ Рассмотрим этот случай отдельно.

Обозначим решение задачи (3.1) при fc = fc0 через 4rq(力，У) и изучив! его поведение вблизи точки нулевого трения х = ж0. Прежде всего заметим, что изложенная выше процедура построения решения в окрестности этой точки справедлива и в данном случае. Следует только учесть, что функция Wo (ж, У) может рассматриваться как предел решения уравнения пограничного слоя при 左-> f 乃0 — 0. Между тем при всех к< kQ решение этого уравнения является продолжимым через линию х = /°. Следовательно, продол- жимым будет и предельное решение 4ro(芻 У). Последнее возможно лишь при условии, что коэффициент д0 перед первой собственной функцией в разложении (3.10) равняется нулю.

Такой же вывод следует и из расчетов Верле и Дэвиса (1972). Они обнаружили, что при всех к> 院 в решении уравнения пограничного слоя перед точкой нулевого трения развивается особенность Гольдштейна. Однако по мере уменьшения параметра & точка нулевого трения xs смещается вниз по течению, приближаясь к точке &, а коэффициент & перед первой собственной функцией в разложении (3.10) уменьшается. При k = kQ он становится равным нулю, и первая собственная функция исчезает из разложения (3.4).

Вторым собственным значением является а = 3/2. В этом случае для области 3 получаем

屮尸(一 S严 1/6m3 + (- S)3/2 厶 + (- S)7/4 & + (_ s)9/4 为 + ...，

"=%。"，尸1 =—鳥 ％唄 + 岑XTf,(3.18)

力二扌6炉一^噌+警里

Для сохранения единообразия записи будем по-прежнему обозначать коэффициент перед собственной функцией через 〃о； необходимо, однако, помнить, что теперь это коэффициент перед второй собственной функцией. Появление дополнительного члена (—sy^Fi в разложении для 4fo связано с линейным членом разложения градиента давления (3.2).

Решение в области 2 (рис. 4.6) записывается с помощью разложения

(3.19》125(3.19》125% =屮。。(y) + (一£)屮。1(у)+・・・ при S--0.

(3.19》

125

(3.19》

125

Подставив (3.19) в уравнение пограничного слоя (3.1а), получим

Из сращивания разложений (3.18) и (3.19) следует, что Cq = а“、 и что при У f О

屮°。=内产+争『+奪产+ •・・(3.20)

Решение перед точкой нулевого трения построено. Покажем, что оно может быть непрерывно продолжено вниз по потоку от этой точки. В области 2’ будем искать его в виде

Wo = Woo(y)+^oi(y)+.... при S- + 0.(3.21)

Уравнение пограничного слоя удовлетворяется, если

/一%

屮01 =屮00 ^0 + J、产 dY ・(3.22)

_ о \ 00/一

Решение в области 3х (рис. 4.6) представим в следующей форме:

也=S3% I廳3 + s3/2五⑶+ S7/吼⑹+ s9/%⑹+…(3.23)

Подставляя (3.23) в уравнение пограничного слоя и учитывая условия прилипания на обтекаемой поверхности, получаем

冗=也f+牛0， 卷/宙+專守+專卫

Остается произвести сращивание разложений (3.21) и (3.23). Напомним, что именно эта процедура оказалась неосуществимой при попытке продолжить решение, содержащее особенность Гольдштейна, вниз по течению от точки нулевого трения. Ее результатом явилось равенство (3.17), которое нельзя разрешить относительно а0 в действительных числах. Теперь же вместо (3.17) получим

^о =唸(3.24)

Сращивание разложений (3.21) и (3.23) позволяет также определить постоянную с0 в выражении (3.22) для Woi： с0 = а0/%0.

Из соотношения (3.24) следует, что решение уравнения пограничного слоя, которое является единственным перед точкой нулевого трения, может быть продолжено вниз по потоку от этой точки двумя способами. Первый из них (〃° = — 〃°) обеспечивает гладкое поведение решения ——функция тока представляется в этом случае 126

с помощью разложения

屮。=屮。。(У) + ^00 (У) [ jdY — 扌屮。=屮。。(У) + ^00 (У) [ jdY — 扌+。（歩）,+。（歩）,(3.25)(3.25)

屮。=屮。。(У) + ^00 (У) [ jdY — 扌

屮。=屮。。(У) + ^00 (У) [ jdY — 扌

+。（歩）,

+。（歩）,

(3.25)

(3.25)

сохраняющего равномерную точность во всей окрестности линии 力=胃°. Если теперь вычислить поверхностное трение

Х="『=_。"0(S2),

то окажется, что оно меняет свой знак в точке х = ^0, свидетельствуя об образовании вниз по потоку от этой точки зоны возвратного течения. Предыдущие главы содержат несколько примеров такого решения. Оно реализуется всякий раз, когда в области взаимодействия появляется точка нулевого поверхностного трения, в окрестности которой решение уравнения Прандтля для вязкого пристенного слоя остается гладким.

Существует, однако, ：и второй способ продолжения решения, который реализуется при。° = а°. В этом случае решение

[

у

++°(必)(3・26)

оказывается особым. В частности, угол наклона линий тока в пограничном слое 0 терпит разрыв при переходе через линию / = /(): m'中/栗一打如⑶+ .[甘白+。⑻, 00\ 00；

(3.27)

а поверхностное тренпе ведет себя как

т = <20(5| + О (s2) при s0.(3.28)

Возможность построения решения уравнений пограничного слоя с гладким переходом через точку нулевого трения была указана еще Гольдштейном (1948). Существование особой ветви решения обнаружил Рубан (1981). Именно это особое решение задачи (3.1), имеющее характерный минимум в распределении поверхностного трения, является предельным решением при к -^ к0 — 0. Чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, изучим поведение пограничного слоя при значениях параметра к, близких к критическому 自.

Формирование особенности в пограничном слое. Если параметр к мало отличается от своего критического значения 〃°, то для скорости на внешней границе пограничного слоя (2.1) справедливо разложение Тейлора

Ue(xy к) = Ue (爲 А。)+ +。[(ЛА')2],

где Nk = к —自,а производная dUe/dk вычисляется при к =自. Такое же разложение, как это следует из уравнения Бернулли, имеет место и для давления )

ре = “(/)+ ^кр^х)+

Поэтому решение задачи (3.1) представим в виде

屮=%(化 У)+Д/сЧ^Д^ У)+О[(А/с)2].(3.29)

Свойства функции 屮0(力,У) были подробно исследованы в предыдущем разделе данного параграфа. Рассмотрим теперь функцию 4rl(爲 У). Подставляя (3.29) в (3.1), получим

0屮@2》@2》 @屮@屮62》 m屮a屮dа34r

dY dx dY дх д/ dY дх ^у2^у2 дхdx @уЗ '

(3.30)

屮 1 =寻=0 при У = 0.

Из краевых условий здесь выписаны только условия прилипания на обтекаемой поверхности. Строго говоря, необходимо поставить также краевые условия на внешней границе пограничного слоя и в начальном сечении. Однако конкретный вид этих условий не имеет значения для дальнейшего анализа и поэтому не приводится.

Решение уравнения (3.30) перед точкой нулевого трения / =力0 строится так же, как решение уравнения (3.1а). Рассмотрим сначала пристеночную вязкую область 3. Здесь функцию 屮\(招 У) будем искать в виде

叫=(—s)忆 5) + (—s)в”4g2 ⑺)+ ... при s f - 0,(3.31)

где 0 — собственное число задачи.

Подставляя разложение (3.31) в (3.30), получим

^1=4 旬哦，g2 = "^ (Л 一 廊)+ ^bi 哦，

л

о

Теперь % = —(§ + %), а 丫 по-прежнему равно 5/4.

Функция 无в(п) не является экспоненциально растущей при П -> оо, если

^ = т — %, где ?п = 0, 1, 2,..., причем минимальному собственному значению § = — '/2 соответ-

ствует Лр = т|. Поэтому решение (3.31) для области 3 принимает вид

叫=(—s尸/2 %〃 1Tl2 + (—s产％匕肝+・・・ (3.32) Постоянные ал и 6匕 входящие в это выражение, остаются произвольными. Для их определения необходимо провести полное решение уравнения (3.30), учитывающее конкретный вид краевых условий на внешней границе пограничного слоя и в начальном сечении.

Опираясь на принцип сращивания асимптотических разложений и згчитывая вид решения (3.32) для области 3, можно получить, что в области 2 (рис. 4.6)

屮i=(—s厂i?4^(Y) + O[(-s)T/4] up瓜 Sf-O. (3.33)

Вернемся теперь к разложению (3.29) для функции тока в пограничном слое. Согласно определению асимптотического разложения каждый последующий его член должен быть по порядку ве- личины меньше предыдущего. Предположение о том, что разложение (3.29) удовлетворяет этому условию, было использовано при выводе уравнения (3.30) и, таким образом, легло в основу всей процедуры определения функции 屮/*, У). Оно действительно выполняется за счет малости А/с для каждой фиксированной точки пространства, лежащей вверх по потоку от точки х = xQ. Однако при х xQ~ 0 функция 屮 1(/, У) неограниченно возрастает, приводя к нарушению предполагаемого соотношения между порядками величин в разложении (3.29). Поэтому окрестность точки х = xQ необходимо рассмотреть отдельно. Учитывая, что в следующем параграфе течение вблизи точки х = xQ будет анализироваться на более общей основе, включающей эффект взаимодействия пограничного слоя с внешним невязким потоком, мы опустим здесь описание техники построения соответствующего решения и приведем его без вывода

更=匕。+弘。s^ + 2^^k + s\^^dY + …(3.34)

Формула (3.34) выражает собой асимптотическое решение уравнения пограничного слоя (3.1а). Она справедлива при любом соотношении между порядками величин s и АА. Необходимо только, чтобы обе они были малы по сравнению с единицей.

Область существования решения определяется знаком подкорен»

ного выражения в (3.34). Если &А/с > 0, при всех s. Поверхностное трение

с =与 =%)1/ 52 + 2 ~ Д&

остается положительным всюду и имеет величина которого уменьшается при 卜к f

Tmin ^ V2(2()<2iД/Ь.

9 П./ред. В. В. Сычёва

1 то решение существует

в точке $ = 0 минимум, 0 по закону

(3.35)

429

Если же ai^k V 0, то решение существует лишь до точки нулевого трения

/s =/0 — ?2|&А川/00；

вниз по потоку от нее подкоренное выражение в (3.34) становится отрицательным. Как и следовало ожидать, перед точкой х = xs появляется особенность Гольдштейна. Одаако в данном случае она является слабой. Поверхностное трение ведет себя при х -^ xs~ Q как

т =(8碎 I А乃 |)1/4 (侬一а)"' +

а для поперечной составляющей вектора скорости имеем

?=（吗炉叽。（У） （，s _彳）tВ +

Согласно численным результатам Верле и Дэвиса (1972) первая из рассмотренных ситуаций реализуется при \к< 0, а вторая —— при ДА > 0. Это означает, что постоянная а【является отрицательной.

Рис. 4.7. График зависимости квадрата минимального значения трения от А论= =к — % минимального значенияРис. 4.7. График зависимости квадрата минимального значения трения от А论= =к — % минимального значенияВ промежуточном случае, когда АА = 0, уравнение пограничного слоя (3.1а) допускает, как указывалось выше, два решения. Одно ладким, а второе (3.26) имеет особенность на линии х =玄.Сопоставив формулы (3.26) и (3.34), легко убедиться, что именно особое решенвге уравнения пограничного слоя является его предельным решением при к kQ — 0.

Рис. 4.7. График зависимости квадрата минимального значения трения от А论= =к — % минимального значения

Рис. 4.7. График зависимости квадрата минимального значения трения от А论= =к — % минимального значения

Для определения постоянных 〃о и at необходимо воспользоваться результатами численного решения задачи (3.1). Рассмотрим сначала кривую 7 на рис. 4.5. Она соответствует критическому значению параметра к =乃°, когда справедлива формула (3.28). Используя эту формулу, получим, что о。= 0,0085. Постоянная & может быть найдена с помощью равенства (3.35). Из него следует, что квадрат трения пропорционален А儿.Построив на

основании рис. 4.5 график зависимости Tmin от Ак (рис. 4.7) и определив по нему коэффициент пропорциональности между т^ш и А左 получим % = —1,24 ).

Область взаимодействия

До сих пор анализ течения около передней кромки профиля осуществлялся в рамках теории пограничного слоя. При рассмотрении невязкой области течения мы не учитывали существования присте

ночного пограничного слоя и вместо условии сращивания с решением в этом слое использовали условие непротекания жидкости через поверхность профиля. Когда параметр 友 меньше своего критического значения й0, влияние пограничного слоя на внешний поток и в самом деле оказывается слабым. Оно выражается главным образом в оттеснении струек тока от обтекаемой поверхности. Учесть этот эффект можно с помощью упоминавшейся в гл. I иерархической процедуры Прандтля. Поток жидкости около параболы при докритических значениях параметра к представляет собой классический пример течения, для которого решение в пограничном слое остается регулярным вдоль всей обтекаемой поверхности, и применение иерархической процедуры не приводит к противоречию. Положение меняется, когда параметр 加 приближается к своему критическому значению А:й и в пограничном слое появляется особенность. Если к = Ат。, то линии тока внутри пограничного слоя и на его внешней границе терпят излом при х = xQ, Наклон линий тока (3.27) меняется при переходе через эту точку на угол

8 = — (4.1)

Знак минус введен в формулу (4.1) по аналогии с § 3 гл. II, ГД© рассматривалось течение жидкости вблизи точкк излома контура обтекаемого тепа. Если воспользоваться этой аналогией, то легко получить, что возмущение давления, индуцируемое за счет вытесняющего действия пограничного слоя, оценивается при х -^ xQ как

Р~КеГ2[^т|%-з1 + 0(1)}・

Здесь Uo —значение продольной составляющей вектора скорости на внешней границе пограничного слоя Ue> вычисленное в точке % =爲 при к = kQ^).

На достаточном удалении от точки / =步。индуцируемый градиент давления является малым и не оказывает заметного влияния на течение в пограничном слое. Вместе с тем его неограниченный рост

争(4.2)

при приближении к % =胃。указывает ла неизбежность появления области взаимодействия, где возмущения давления, вызываемые вытесняющим действием пограничного слоя, уже в главном приближении влияют на течение внутри самого пограничного слоя.

Чтобы оценить протяженность области взаимодействия, необходимо пересмотреть процедуру построения решения уравнения по-

граничного слоя в окрестности точки с = /° н выяснить, когда она становится несправедливой. Эта процедура включает в себя, как основной элемент, решение задачи на собственные значения для функции /2(т])- Именно 処з этой задачи определяется зависимость угла наклона линий тока в пограничном слое от продольной координаты х. Следовательно, если в некоторой окрестности точки х = х^ индуцируемый градиент давления окажется настолько большим, что появится необходимость учесть его в уравнении для『2(т]), то такая окрестность и будет являться областью взаимодействия.

Индуцируемый градиент давления можно сравнить с любым членом первого уравнения системы уравнений Навье ——Стокса (см. (1.2) гл. I), дающим вклад в уравнение для /2(т])- В частности, главный «вязкий» член в области 3, где справедливо разложение (3.18), представляется в виде，

/^ = % + (— S)"4* + (— S)Q + (— S)”2 /f +

В уравнение для функции /2(т)) входит четвертый член этого разложения. Его и нужно сравнить с индуцируемым градиентом давления (4.2). В результате получим, что протяженность области взаимодействия оценивается как

\х - ж01 = O(Re-1/5). (4.3)

Приведенные выше рассуждения опираются на свойства решения уравнения пограничного слоя в специальном случае, когда к = к°. Можно надеяться, что они останутся справедливыми и тогда, когда параметр А мало отличается от 论。.Анализу уравнения пограничного слоя (3.1а) в этих условиях был посвящен заключительный раздел предыдущего параграфа. Применив к (3.1а) предельный переход

А/с-0,力= 0(1), У = 0(1), (4.4)

мы получили для функции тока разложение Тейлора (3.29). Это разложение, как было отмечено, является асимптотическим решением уравнения (3.1а) во всем пограничном слое, за исключением малой окрестности точки х =

Поведением решения уравнения пограничного слоя вблизи точки 力=/о управляют собственные функции, содержащиеся в разложении функции тока в области 3. Это относится как к главному приближению 4r°, так и к возмущению решения △论4rl. В первом случае (3.18) собственная функция юцениваетея как 0[(—s)3/2], а во втором (3.32)—как。公包一s)-"?]. При

反一/I =0(lAk||/2) (4.5)

вторая собственная функция сравнивается с первой по порвдку величины, и решение (3.29), построенное с помощью предельного перехода (4.4), становится несправедливым.

132

В зависимости от величины угла атаки и числа Рейнольдса воз- можны разные соотношения между масштабами (4.3) и (4.5). Если масштаб (4.5) меньше масштаба (4.3) или совпадает с ним по порядку величины, то решение (3.29) сохраняет справедливость вплоть до окрестности (4.3) точки x = xOf и оценка протяженности области взаимодействия остается в силе. Если же масштаб (4.5) шире масштаба (4.3), то все зависит от знака АА == к — к0. Когда АВ < 0, особенность, содержащаяся в решении (3.29), сглаживается внутри области (4.5), и эффект взаимодействия не оказывает заметного влияния на течение в пограничном слое. В этом случае функция тока вблизи точки х = х0 определяется формулой (3.34). Когда же А4 > 0, решение (3.34) уравнения пограничного слоя для области с масштабом (4.5) свидетельствует о появлении точки нулевого трения / = £$ с особенностью Гольдштейна вверх по потоку от нее. Действуя формально, мы должны были бы ввести область взаимодействия в окрестности точки х = /$, как это сделал Стюартсон (19706). Указанный путь, однако, приводит к противоречию, поскольку решения краевой задачи для области взаимодействия в данном случае не существует.

Таким образом, наиболее интересным представляется случай, когда АА: = ()(Re-2/5), и масштабы (4.3) и (4.5) совпадают друг с другом. Этот режим течения охватывает весь диапазон углов атаки, связанный с эволюцией короткого пузыря от момента его рождения до разрушения. Мы будем поэтому считать

к = к0 + Re-2/5儿 (4.6)

кромке, но и позволяет (в пределе при 自一> —8)перейти к обычной теории пограничного слоя.Приступая к решению этой задачи, прежде всего заметим, что индуцируемый градиент давления является существенным лишь в области взаимодействия, которая занимает окрестность точки / =芻 протяженностью Дж = O(Re-1/5). Вне этой окрестности сохраняет справедливость теория погракромке, но и позволяет (в пределе при 自一> —8)перейти к обычной теории пограничного слоя.Приступая к решению этой задачи, прежде всего заметим, что индуцируемый градиент давления является существенным лишь в области взаимодействия, которая занимает окрестность точки / =芻 протяженностью Дж = O(Re-1/5). Вне этой окрестности сохраняет справедливость теория пограи покажем, что теория, построенная на основе предельного перехода, в котором постоянная ki остается величиной порядка единицы при Re -> 8, не только описывает явление отрыва на передней

кромке, но и позволяет (в пределе при 自一> —8)перейти к обычной теории пограничного слоя.

Приступая к решению этой задачи, прежде всего заметим, что индуцируемый градиент давления является существенным лишь в области взаимодействия, которая занимает окрестность точки / =芻 протяженностью Дж = O(Re-1/5). Вне этой окрестности сохраняет справедливость теория погра

кромке, но и позволяет (в пределе при 自一> —8)перейти к обычной теории пограничного слоя.

Приступая к решению этой задачи, прежде всего заметим, что индуцируемый градиент давления является существенным лишь в области взаимодействия, которая занимает окрестность точки / =芻 протяженностью Дж = O(Re-1/5). Вне этой окрестности сохраняет справедливость теория погра

ничного слоя. Остаются справедливыми и решения, которые были получены в § 3 для областей 2 ее 3, лежащих перед областью взаимодействия. Что же касается самой области взаимодействия, то она, как легко видеть, имеет трехслойную структуру (рис. 4.8).

Область 3 при продолжении в интересующую нас окрестность точки х = х0 преобразуется в область III — нижний слой области

взаимодействия. Продолжением области 2 является область II ——средний слой области взаимодействия. К ним еще необходимо добавить область /, которая лежит вне пограничного слоя.

Средний слой. Асимптотический анализ уравнений Навье —— Стокса в области II связан с предельным переходом при

/* = Re"5Q —/о)= 0(1), У = 0(1), Re f 8.

Асимптотическое разложение функции тока в этой области имеет вид

，=Re-"2屮°。(У) + Re-7/£Q田](/*, У) + …(4.7)

Убедиться в этом можно, как обычно, записав решение (3.29), (4.6), (3.19), (3.33) для области 2 в переменных области 〃.

Разложение для градиента давления должно представлять собой суперпозицию исходного разложения Тейлора (3.2) и индуцируемого градиента давления/ величина которого оценивается по формуле (4.2). Поэтому

Й = Ч + Re* У* + 加71。薔 +(4.8)

Подставляя (4.7), (4.8) в первое уравнение Навье — Стокса, но- лучим

* =叽。[券 + 2* f ^^ dY .(4.9)

Функция /[(/*) является произвольной. Из условия сращивания с решением в области 2 известно только, что

4 = 〃о(—£*) + В© (—/*)" + ・・・ при 状 f — 8.(4.10)

Подставляя (4.7), (4.8) во второе уравнение импульсов, получим, дто ивдуцируемый градиент давления остается неизменным поперек области 〃：

Пижний слой. Перейдем теперь к рассмотрению области III, Она является продолжением вязкой пристеночной области 3, толщина которой уменьшается при $ -> — 0 по закону У == О[(—5)1/4]. Так как протяженность области III является величиной порядка Re-1/5, то для ее толщины справедлива оценка У = O(Re-1/2°). Таким образом, асимптотический анализ уравнений Навье ——Стокса в области III должен основываться на предельном переходе при

力* =。(1), Y* = Re"/2% = 0(1), Re - оо.

Записав решение (3.29), (4.6), (3.18), (3.32) для области 3 в переменных области ///, приходим к выводу, что асимптотическим 134

сращивание сти II *). В 中;：сращивание сти II *). В 中;：j %У*2j %У*2严屮:严屮:а%* ^у*а%* ^у*一m声=疗諭一m声=疗諭произведем для обла-задачу дляпроизведем для обла-задачу для

сращивание сти II *). В 中;：

сращивание сти II *). В 中;：

j %У*2

j %У*2

严屮:

严屮:

а%* ^у*

а%* ^у*

一m声=疗諭

一m声=疗諭

произведем для обла-

задачу для

произведем для обла-

задачу для

разложением функции тока в области III будет

ф = ReT3/20 %%уз + ReT6/20g；3*, у,+

+ ReT7/2。(^Л у*7 + 扌力*У*з) + ReT9/20*(况*, у*) + ・..(4.11)

Асимптотическое разложение градиента давления сохраняет преж-

нюю форму (4.8).

Подставим (4.11) в первое уравнение импульсов и

с решением для области 3 и решениемрезультате получим следующую краевую

@田*

(4.12)(4.12)屮；=訳=о щш у* = О,

(4.12)

(4.12)

屮;=%4 (力*) У*2 + … при У* f 8,%* ТОО

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что решением задачи (4.12) является

(4.13)(4.13)屮；=%4 (%*) у*2.

(4.13)

(4.13)

Функция /1(/*) остается произвольной. Для ее определения необходимо еще рассмотреть задачу для коэффициента 屮;в четвертом члене разложения (4.11):

貝宀貝宀82驾82驾）产"*）产"*° da* QY*3 2 丄丄@"° da* QY*3 2 丄丄@"

貝宀

貝宀

82驾

82驾

）产"*

）产"*

° da* QY*3 2 丄丄@"

° da* QY*3 2 丄丄@"

(4.14)(4.14)^=^yi = 0 при y* = 0f

(4.14)

(4.14)

% =専 y*9 + ^%*y*5 + "I 4 (状)У*2 十•・・

при У* f ОО, /* ТОО

Здесь 』2(%*)——неизвестная функция, которая играет в задаче (4.14) ту же роль, что и функция 4/%*) в задаче (4.12). Из сращивания разложения (4.11) с решением в области 5 можно получить, что

4 =在也(一/*)-"" + •…при к* Tоо.

Краевая задача (4.14), в отличие от задачи (4.12), не является замкнутой, поскольку градиент давления @尸來/小/來,входящий в правую часть уравнения для 中^ остается неопределенным. Чтобы зам-

кнуть задачу, необходимо рассмотреть область / (рис. 4.8), в кото« рой и происходит формирование градиента давления, индуцируемого вытесняющим действием пограничного слоя. Прежде чем перейти к анализу течения в этой области, напомним, что производная дР^/дх^ не меняется поперек области //. Подставив разложения (4.8), (4.11) во второе уравнение импульсов системы уравнений Навье ——Стокса, можно убедиться, что и в области III

Таким образом, дР^/дх^ сохраняет свою величину поперек всего пограничного слоя.

Верхний слой области взаимодействия. Так же, как и в ранее рассмотренных случаях, наклон линий тока в области I является малым. Поэтому здесь справедлива линейная теория потенциальных течений жидкости. Согласно этой теории индуцируемый градиент давления определяется кривизной линий тока на дне области I, которая может быть найдена из сращивания с решением в области II. Используя соотношения (4.7), (4.9), получаем, что в области II

“ = %(У)+

u = - ReT/2 心。(У)［安 + J ^^ dY +

Поэтому угол наклона вектора скорости определяется как

а для кривизны линий тока получается выражение

(4.15)(4.15)°"r「3/10 41(**)

(4.15)

(4.15)

Осталось подставить (4.15) в интеграл теории малых возмущений. В результате получаем, что

8Р*^о С 4；G)

1X z CIS, дх*Л% 0 s —

Решение задачи о взаимодействии. Произведем замену переменной:

*九С瀛 W第一a既*2 - 2к.a a

* =匕 + 守 У*9 + 告 ％*У*5 + _1_«——L2A 戸

o!^ЛЛ

ж аффинные преобразования— л 17/10 A — л 1/5&Л0$ж аффинные преобразования— л 17/10 A — л 1/5&Л0$竺 дх*竺 дх*7/5万6/57/5万6/5上¥，X ：尸-‘暇 p歐入?5、用公%А。"上¥，X ：尸-‘暇 p歐入?5、用公%А。"(4.16)(4.16)

ж аффинные преобразования

— л 17/10 A — л 1/5&

Л0$

ж аффинные преобразования

— л 17/10 A — л 1/5&

Л0$

竺 дх*

竺 дх*

7/5万6/5

7/5万6/5

上¥，X ：尸-‘暇 p

歐入?5、用公%А。"

上¥，X ：尸-‘暇 p

歐入?5、用公%А。"

(4.16)

(4.16)

Тогда задача о взаимодействии примет вид

2y丞获т戒F —Змх）2y丞获т戒F —Змх）лл上沿"S'上沿"S'(4.17)(4.17)可=0号=g闿пр，у = 0,4r = О (У2) при У -> оо} 4f = о(1) при X -> — 8.Здесь через g(X) обозначена комбинация g(X)=-%(42-X2 + 2a),величина которой, согласно условию (4.10), стремится кX т— 8. Параметр а определяется по формуле可=0号=g闿пр，у = 0,4r = О (У2) при У -> оо} 4f = о(1) при X -> — 8.Здесь через g(X) обозначена комбинация g(X)=-%(42-X2 + 2a),величина которой, согласно условию (4.10), стремится кX т— 8. Параметр а определяется по формуле(4.18)нулю при(4.18)нулю при

2y丞获т戒F —Змх）

2y丞获т戒F —Змх）

л

л

上沿"S'

上沿"S'

(4.17)

(4.17)

可=0号=g闿пр，у = 0,

4r = О (У2) при У -> оо} 4f = о(1) при X -> — 8.

Здесь через g(X) обозначена комбинация g(X)=-%(42-X2 + 2a),

величина которой, согласно условию (4.10), стремится к

X т— 8. Параметр а определяется по формуле

可=0号=g闿пр，у = 0,

4r = О (У2) при У -> оо} 4f = о(1) при X -> — 8.

Здесь через g(X) обозначена комбинация g(X)=-%(42-X2 + 2a),

величина которой, согласно условию (4.10), стремится к

X т— 8. Параметр а определяется по формуле

(4.18)

нулю при

(4.18)

нулю при

и характеризует отклонение параметра к от своего критического значения 左°, причем рост угла атаки приводит к увеличению параметра a. _

Уравнение (4.17) для функции 4r (X, У) можно решить, применив классический метод преобразований Фурье ). Оказывается, что решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям при У = 0, не возрастает экспоненциально при У -> 8 только тогда, когда

g（x）=辻毋竭J毋綜g（x）=辻毋竭J毋綜(4.19)(4.19)

g（x）=辻毋竭J毋綜

g（x）=辻毋竭J毋綜

(4.19)

(4.19)

Если соотношение (4.19) выполнено, то решение существует и удовлетворяет остальным краевым условиям. Вместе с тем оно оказывается неединственным, в чем можно удостовериться с помощью следующих рассуждений. Предположим, что известно некое решение рассматриваемой краевой задачи 屮(X, У). Тогда непосредственной подстановкой легко проверить, что решением является и

¥ + уВ(Х)У2

с произвольной функцией 8(Х). Этот произвол свидетельствует о невозможности определения функции Л2(ж*), входящей в формулировку^ краевой задачи (4.14), из решения самой этой задачи. Чтобы найти Л2(^*), необходимо рассмотреть следующий член разложения (4.11) функции тока в области IIL

Условие разрешимости (4.19) краевой задачи (4.17), записанное с учетом выражения (4.18) для g(X)

х

/2_Х2 + 2〃=—九］值囁说您，(4・20)

дает первую связь между функцией Л (X) и градиентом давления. Вторая выражается интегралом Коши

Г⑹=一之?督"S.(4.21)

Подставляя его в правую часть соотношения (4.20) и производя замену порядка интегрирования, получим интегро-дифференциальное уравнение

屋―х? + 2а =九(4.22)

для функции а (X)・

Подведем теперь некоторые итоги проведенного анализа. Мы видели, что отрыв на передней кромке тонкого профиля, так же как и отрыв от гладкой поверхности (сопровождающийся образованием развитой зоны рециркуляционного течения), происходит в области взаимодействия. Однако если отрыв от гладкой поверхности возникает благодаря самоиндуцированному росту градиента давления, приложенного к пограничному слою, то отрыв на передней кромке тонкого профиля отличается тем, что пограничный слой, приходящий в область взаимодействия, уже имеет отрывный профиль скорости с исчезающе малым трением на обтекаемой поверхности^ Оп формируется под действием неблагоприятного градиента давления, распределенного на некотором участке поверхности профиля перед областью взаимодействия. Градиент давления остается ограниченным и внутри этой области, а само ее появление объясняется особым поведением решения уравнений пограничного слоя в точке с нулевым значением поверхностного трения.

Указанное различие приводит к существенному изменению математической теории течения жидкости в области взаимодействия. В частности, меняется формулировка задачи о взаимодействии. Если при отрыве от гладкой поверхности она записывалась с помощью соотношений (7.3) гл. I, то теперь эта задача сводится к кн- тегро-дифференциальному уравнению (4.22).

Чтобы подчеркнуть своеобразие теории коротких зон отрыва на передней кромке тонкого профиля, ее принято называть теори- 138

ей кромочного отрыва, при этом уравнение (4.22) для 4 (X) называют фундаментальным уравнением теории кромочного отрыва. Напомним, что функция %(Х) связана аффинным преобразованием (4.16) с функцией Ni(/), которая входит в выражение (4.13) для 4； и тем самым определяет двучленное разложение (4.11) функции тока в вязком пристеночном слое области взаимодействия. Дифференцируя (4.11), приходим к выводу, что поверхностное трение пропорционально Л (X):

』對『 = Ref 爭 4Х)+…

Теория кромочного отрыва была независимо развита в двух работах: Рубана (1982а) и Стюартсона, Смита и Каупса (1982). При изложении этой теории в данной главе мы опирались на статью Рубана, а также на его более раннюю работу (Рубаи, 1981), посвященную исследованию пограничного слоя вблизи точки с нулевым значением поверхностного трения (см. § 3 данной главы).

§ 5. Численное решение фундаментального уравнения

Краевыми условиями для уравнения (4.22) являются условия

4(Х)=|Х| + ... при |Х|8,(5.1)

которые следуют из сращивания с особой ветвью решения уравнения пограничного слоя *).

Нетрудно построить асимптотическое решение фундаментального уравнения при больших отрицательных значениях параметра а. Если а -> — 8, то искомая функция А (X) является величиной порядка bl"?. По такому же закону расширяется область, в которой решается фундаментальное уравнение: X = O(\a\i/2). Поэтому интеграл в правой части уравнения (4.22) оценивается как O(\a\^ia). В то же время левая часть этого уравнения растет пропорционально lai. Следовательно, главным членом асимптотического разложения функции Л (X) при 〃— 8 будет

/(Х)=УХ2 = 2о + ・..(5.2)

Учитывая, что правая часть уравнения (4.22), связанная с индуцируемым градиентом давления, оказывается при а -> — 8 пренебрежимо малой, приходим к выводу, что асимптотическое решение (5.2) фундаментального уравнения является, по существу, решением уравнения пограничного слоя (3.1а). Если переписать (5.2) с

то решение уравнения (4.22) оказыва- а — 0 это уравнение допускает, кроме (5.1), еще по крайней мере два реше-

учетом преобразований (4.16) в виде

4(%) = 〃о ]/^а*® + 2屈，+ ・.・

и подставить в выражения (4.7), (4.9), а затем перейти к исходным переменным пограничного слоя, то в результате получится приведенная выше формула (3.34) для функции тока в окрестности точки 力=“о. Подробный вывод этой формулы, основанной на решении уравнения пограничного слоя, содержится в статье Рубана (1981).

Для решения фундаментального уравнения Стюартсон, Смит и Каулс (1982) применили два численных метода. Один из них совпадает с методом, который использовал Рубан (1982а). При построении этого метода фундаментальное уравнение сначала обращается с помощью процедуры, используемой при решении интегрального уравнения Абеля, а затем интегрируется но X с учетом соотношения *)

А2-Х2 + 2а = -Ч.аКпХ-^2 + ... при Х-- (5.3) и в результате принимает форму

. 4阂=[_表产一(?三；产"曲. (5.4)

Далее выбирается достаточно большое число Хз, и бесконечная область — 8 V X V 8, в которой ищется решение фундаментального уравнения, заменяется отрезком [— Xg, Xg] Этот отрезок разбивается на интервалы протяженностью АХ. Искомыми являются значения функции Л (X) в точках разбиения.

Итерационный процесс строится таким образом, что каждое последующее приближение функции Л (X) находится в результате подстановки предыдущего приближения в правую часть уравнения (5.4). При этом интеграл на отрезке [X + АХ, Хе] вычисляется по правилу трапеций; при s > Хто интегрирование продолжается с использованием асшштотической формулы (5.3), а на отрезке [X, X + АХ} числитель подынтегрального выражения аппроксимируется линейной функцией, и интегрирование выполняется аналитически. В результате этих вычислений находятся значения производной /，(Х) в узлах расчетной сетки. Функция 4(Х) восстанавливается по /'(X) с использованием асимптотической формулы

А2-Х2 + 2а = 2Х(-Х)-1/2 + ... при Х->-吗 (5.5)

которая служит для определения значения функции 4 (X) в точке Х = —Xg. Сходимость итерационного процесса достигается применением нижней релаксации.

Более эффективным оказался второй численный метод, в котором уравнение (4.22) аппроксимируется системой нелинейных алгебраических уравнений. Их вывод основан на применении правила трапеций к интегралу в правой части уравнения (4.22). Неизвестными считаются значения функции Л (X) во внутренних точках отрезка [—X®, Х", а ее значения на границах этого отрезка задаются в соответствии с формулами (5.3) и (5.5). Решение полученной таким образом системы уравнений находится с помощью метода Ньютона.

Результаты расчетов представлены на рис. 4.9. Для иллюстрации этих результатов удобно воспользоваться графиком зависимости Л (0) от 〃 (рис. 4.10). Каждому решению фундаментального уравнения соответствует некоторая точка на таком графике, а в целом он дает всю совокупность допустимых решений. В дальнейшем будем его называть фундаментальной кривой.

Пусть точка Q перемещается вдоль фундаментальной кривой в направлении стрелки. Ее движение сопровождается непрерывным изменением решения. При больших отрицательных значениях параметра а график функции 4 (X) хорошо согласуется с асимптотической формулой (5.2). С увеличением а поверхностное трение, пропорциональное 4(Х), уменьшается (рис. 4.9). Одновременно происходит смещение минимума трения вниз по течению. Отрыв зарождается при а = as = 1,14, когда минимальное значение трения обращается в нуль; в этот момент 4(0) остается еще положительным (рис. 4.10). При а > “s на поБерхности профиля образуется зона рециркуляционного течения. В качестве примера на рис. 4.11 (Рубан, 1982а) представлена картина линий тока в этой зоне для а= 1,3. Она была построена с помощью выражения

S =%У"%4(Х)У；,

которое может быть получено в результате замены переменных ГТ12/5-9/5 "4/5〃3/5

屮=氏7/】。鼻牲5，y歩 = RL2令後厶

в двучленном разложении функции тока (4.11), (4.13) для вязкого пристеночного слоя области взаимодействия. Соседние линии тока приведены на рис. 4.11 с интервалом значений 守匕 равным 0,02.

До сих пор расчет проводился таким образом, что в течение итерационного процесса параметр 。 поддерживался фиксированным, а после получения решения значение параметра увеличивалось, и вычисления повторялись снова. На этом пути, однако, возникло препятствие: при всех а > 1,33 итерационный процесс оказался расходящимся, и решение построить не удалось. Чтобы продолжить расчеты, Стюартсон, Смит и Каулс (1982) модернизировали второй численный метод, поменяв ролями。血 4(0). Параметр а был включен в число неизвестных, а фиксируемой величиной стала Л (0). В результате было показано, что с уменьшением Л (0) ©еличина параметра & сначала увеличивается, при Л (0) = —0,55 она

Рис. 4.9. Графики функции 4(Х), построенные при различных значениях параметра а

Рис. 4.10. Фундаментальная кривая

Рис. 4.11. Картина линий тока в области взаимодействия при а = 1,3

достпгае-т максимального значения 〃匸=1,33, и затем начинает падать. Точка Q перемещается при этом на нижнюю ветвь фундаментальной кривой (рис. 4.10).

Подробный анализ нижней ветви решения провели Браун и Стю- лртсон (1983). Они обнаружили существование петли на фундаментальной кривой и, кроме того, показали, что точка а = 0 является особой точкой нижней ветви. Исследование свойств решения вблизи этой точки было проведено с помощью асимптотического аналиаа уравнения (422) при а -> +0. Как оказалось, по мере приближения параметра а к своему предельному значению (а = 0) протяженность области отрыва неограниченно возрастает. При этом точка отрыва стремится к X = 0, а точка присоединения удаляется на бесконечность.

Итак, д-ри всех а V 0 решение фундаментального уравнения существует и является единственным. Оно показывает, что в соответствующем диапазоне углов атаки обтекание передней кромки профиля осуществляется безотрывно. При 0 V а V & движение жидкости в пограничном слое может принимать по крайней мере две формы. Если Q < а < aSl то одно из решений фундаментального уравнения соответствует безотрывному течению, а второе ——течению с локальной зоной отрыва. Если же 〃& V а V 〃％ то оба решения указывают на существование локальной зоны отрыва, причем на нижней ветви фундаментальной кривой эта зона оказывается более длинной. Наконец, при 0,60 V а V 0,68 число решений увеличивается до четырех. Одно из них соответствует безотрывному течению, а остальные ——течениям с локальными зонами отрыва.

Проведенный анализ показывает также (и этот результат особенно важен), что для любого а > ас фундаментальное уравнение не имеет решения. Таким образом, переход через критическое значение параметра а не может быть осуществлен в рамках теории кромочного отрыва. Напомним, что в основе этой теории лежит предположение о локальности области рециркуляционного течения. При 〃 > 〃с по-видим ому следует отказаться от этого ограничения и искать решение в классе течений с развитой зоной отрыва (гл. I). Этот скачкообразный переход от одного режима обтекания профиля к другому хорошо известен из эксперимента как процесс, сопровождающий явление разрушения короткого пузыря.

Течение жидкости вблизи передней кромки профиля явилось первым течением, для которого в рамках асимптотической теории отрыва пограничного слоя была установлена неединственность решения уравнений гидродинамики. Комментируя этот результат, Стюартсон, Смит и Каупс (1982) обратили внимание на существенное отличие этой неединственности от той, которая встречается в автомодельных течениях, когда подходящее решение может быть выбрано из числа допустимых в результате рассмотрения всей картины течения в целом,— как правило, лишь одно из решений вписывается в реальные краевые условия. В данном же случае не единственным оказывается решение задачи, для которой, в соответствии

с формализмом метода сращиваемых асимптотических разложений, сформулированы все необходимые краевые условия.

Из экспериментальных наблюдений известно, что картина течения около твердого тела может при одних и тех же условиях принимать различные формы. Это явление, называемое квазистацио- нарным гистерезисом, наблюдается и при обтекании профиля (см.， например, статью Курьянова, Столярова и Штейнберга, 1979). Если сначала увеличивать угол атаки профиля, а затем уменьшать его (производя это так медленно, чтобы в каждый момент времени течение было близко к стационарному), то может оказаться, что момент возникновения отрыва потока не будет совладать с моментом возврата к безотрывному течению. При этом график зависимости подъемной силы от угла атаки принимает форму гистерезисной кривой, и для одного значения угла атаки возможными оказываются два состояния потока, выбор между которыми должен осуществляться с учетом истории формирования течения. В теории кромочного отрыва мы, по-видимому, как раз и имеем дело с неединственностью такого рода.

Воспользовавшись результатами проведенного анализа, можно для любого профиля с заданным контуром свести задачу определения угла атаки, при котором происходит образование короткого пузыря, и угла атаки, при котором этот пузырь разрушается, к интегрированию классического уравнения Прандтля (1904) для пограничного слоя на поверхности профиля. Обозначим через а® значение угла атаки, соответствующее моменту обращения в нуль минимума поверхностного трения. Для тонкого профиля с параболической передней кромкой такое состояние пограничного слоя наблюдается при к =乃°. Если воспользоваться соотношениями (2.2) и для простоты рассмотреть симметричный профиль {F+ == — F-)T то легко получить, что главным членом разложения а。 при е -> О будет

а； =+。佃2) = 0,8172е + О®).

Взаимодействие пограничного слоя с внешней невязкой частью течения затягивает отрыв потока. В соответствии с результатами численного решения фундаментального уравнения (4.22) появление короткого пузыря следует ожидать при

以= а；(1 + 2,037R「/5+ …)，

а его разрушение при

а' = а；(1 + 2,376 Re~2/5 +

В настоящей главе теория кромочного отрыва была для конкретности изложена на примере течения около передней кромки тонкого профиля. Между тем область ее применимости далеко не исчерпывается этим примером. В частности, Фоминой (1983) было показано, что теория кромочного отрыва остается в силе и тогда, ког- 144

да речь идет о пограничном слое на поверхностп твердого тел霓 (рис. 4.12), контур которого имеет гиперболическую форму

(5.6>(5.6>沙=^ (/ + //2 +一2.

(5.6>

(5.6>

Здесь используется прямоугольная декартова система координат Оху, в которой передняя кромка обтекаемого тела располагается в точке ^ = — 1. Параметр 厶 определякмции протяженность искривленного участка поверхности, считается малым. Есла I тождествен

но равно нулю, то мы приходим к задаче обтекания точки излома контура тела, рассмотренной в § 3 гл. II. В этом случае перед точ

кой излома реализуется автомодельный пограничный слой Блазиу

Рис. 4.12. Пограничный слой на ги- перболической поверхностиРис. 4.12. Пограничный слой на ги- перболической поверхностиса. Решение Блазиуса теряет справедливость в малой окрестности угловой точки, где образуется область взаимодействия. Ее протяженность А/ = О (Re-3/8). Напомним, что именно в этой области происходит зарождение отрыва пограничного слоя.

Рис. 4.12. Пограничный слой на ги- перболической поверхности

Рис. 4.12. Пограничный слой на ги- перболической поверхности

Теория, изложенная в § 3 гл. II, остается справедливой и в том случае, когда I отлично от

величины Re-3/8 Если 撩®величины Re-3/8 Если 撩®нуля, но не превосходит по порядку

величины Re-3/8 Если 撩®

величины Re-3/8 Если 撩®

это условие нарушается, то эффект взаимодействия исчезает и течение в вязком пристеночном слое (область III на： рис. 4.12) подчиняется классической теории Прандтля. Как: показали расчеты, это течение обладает теми же свойствами, что и пограничный слой на передней кромке профиля: распределение трения на обтекаемой поверхности имеет минимум,, величина которого зависит от угла 6 и обращается в нуль при некотором его значении. Всякий раз, когда обнаруживается такое поведение пограничного слоя, можно быть уверенным в применимости

теории кромочного отрыва.

Другой интересный пример был рассмотрен Заметаевым (1986)吐 Ои исследовал отрыв вязкой пристеночной струи, обтекающей поверхность гиперболического тела (5.6). При определенных ограничениях на параметр I удалось показать, что это течение также описывается теорией кромочного отрыва, только теперь она предстает в измененном виде. Дело в том, что для струи индуцируелюе давление пропорционально кривизне линий тика на внешней границе вязкого подслоя: г= — Аг,/ ). Поэтому вместо (4.22) получаем из： (4.20) следующее уравнение:

4 一 X2 + 2a =九f欢.

Его решение показывает, что соответствующая фундаментальная?

кривая имеет форму логарифмической спирали (рис. 4.13), так что при а = 0 число решений оказывается бесконечным.

Рубан (19826) и независимо от нею Смит (19826) распространили теорию кромочного отрыва на случай нестационарных течений жидкости. Как оказалось, пограничный слой на передней кромке тонкого профиля обладает повышенной чувствительностью к влиянию нестационарности, которая может служить объяснением наблюдаемых в эксперименте динамических отрывов от передних кромок тонких профилей, совершающих относительно медленные колебания в потоке. Нестационарный аналог уравнения (4.22) имеет вид

X「оо

雰=_十/"屋&7)一孑+ 2。一 j登备严

ig(5.7)

где Т — безразмерное время, отнесенное к 元(»口加八丿 Re"* a 丫 ——постоянная: 7 = Г(5/4)/21/4л.

Рубан (19826) использовал уравнение (5.7) для исследования

устойчивости потока на передней кромке тонкого профиля, причем,

кроме линейной, была построена и нелинейная теория устойчиво-

Рис. 4.13. Фундаментальная кривая для вязкой пристеночной струи (расчет Заметаева, 1986)Рис. 4.13. Фундаментальная кривая для вязкой пристеночной струи (расчет Заметаева, 1986)сти. Как оказалось, в рассматриваемом течении автоколебания ответвляются от стационарного решения в область докритических значений числа Рейнольдса. Для таких течений характерным является жесткий тип перехода к турбулентности. По нашему мнению, именно этим обстоятельством объясняется тот факт, что зона перехода в области отрыва на передней кромке тонкого профиля, как правило, является чрезвычайно короткой.

Рис. 4.13. Фундаментальная кривая для вязкой пристеночной струи (расчет Заметаева, 1986)

Рис. 4.13. Фундаментальная кривая для вязкой пристеночной струи (расчет Заметаева, 1986)

Работа Смита (19826), а также его более позднее исследование, выполненное совместно с Рыжовым (Рыжов и Смит, 1984), посвящены главным образом анализу задачи Коши для уравнения (5.7). Основной результат этих работ заключается в том, что возмущения к стационарному решению в общем слу

чае не затухают с течением времени, наоборот, в решении формируется особенность, которая проявляется в том, что функция 4(7, X) становится неограниченной, причем происходит это за бесконечно малый промежуток времени. Последнее означает, что задача Коши для уравнения (5.7) не является корректно поставленной. Это интересное свойство не получило до сих пор ясной физической интерпретации.

Глава У

ТЕОРИЯ НЕСТАЦИОНАРНОГО ОТРЫВА

§ f. Аналогия нестационарного отрыва с отрывом на подвижной поверхности

При установившихся движениях жидкости, рассмотрением которых мы занимались в предыдущих главах, отрыв потока приводит к изменению структуры течения в целом. Предельное состояние, когда число Рейнольдса стремится к бесконечности, дается првг этом теорией Гельмгольца ——Кирхгофа для течений идеальной жидкости со свободными линиями тока, а положение точки отрыва, в соответствии с критерием Прандтля, совпадает с точкой, где трение на поверхности тела обращается в нуль (см. гл. I).

Несколько иначе обстоит дело, если течение нестационарно. Для пояснения этого факта рассмотрим в качестве примера обтекание кругового цилиндра, который мгновенно приводится в движение из состояния покоя. Начало движения тела в вязкой жидкости можно уподобить введению условия прилипания на поверхности этого тела, когда оно движется в жидкости, лишенной внутреннего трения. Поэтому в начальный период времени течение жидкости является потенциальным и описывается кзвестным решением безотрывного стационарного обтекания цилиндра с нулевой циркуляцией. От поверхности тела, на которой выполняется условие прилипания, на- чинается процесс диффузии завихренности и переноса ее, что приводит к образоБанию пограничного слоя.

Постановка и приближенное решение этой задачи были даны Блазиусом (1908). Оказалось, что в некоторый момент времени- из задней критической точки вдоль поверхности тела начинает двигаться вверх по потоку точка, в которой трение обращается в нуль. Внутри погранитаого слоя при этом появляется область возвратных токов (рис. 5.1). Несмотря на то, что распределение давления задано, а на поверхности тела имеется точка с нулевым трениещ решение уравнений нестационарного пограничнаго слоя ведет себя регулярно. Таким образом, в отличие от стационарных задач, появление возвратного течения не приводит к нарушению иерархической концепции Прандтля (см. гл. I). Поэтому появление точки нулевого поверхностного трения в нестационарном пограничном слое не следует отождествлять с возникновением отрыва потока.

10*147

Впервые это обстоятельство было отмечено Роттом (1956), Сирсом (1956) и Муром (1958). Этими же авторами был дан другой критерий отрыва, отт［処иный от критерия Прандтля. Наиболее плодотворным и наглядным для анализа при этом оказался подход,

Рис. 5.1. Мгновенная картина линий тока в пограничном слое около импульс сивно приведенного в дви^ жение цилиндра; расчет Блазиуса (1908)

Рис. 5.2. Профили скорости в пограничном слое вблизи точки отрыва на поверхности, движущейся вниз по потоку, и соответствующие им профили скорости в нестационарном пограничном слое критерия нестационарного отрыва, отправляясь от основополагающей работы Мура (1958).Рассмотрим сначала течение в стационарном пограничном слое в предположении, что поверхность обтекаемого тела движется вниз по потоку с постоянной скоростью. Если пограничный слой развивается под действием возрастающего вниз по потоку давления, то 148Рис. 5.2. Профили скорости в пограничном слое вблизи точки отрыва на поверхности, движущейся вниз по потоку, и соответствующие им профили скорости в нестационарном пограничном слое критерия нестационарного отрыва, отправляясь от основополагающей работы Мура (1958).Рассмотрим сначала течение в стационарном пограничном слое в предположении, что поверхность обтекаемого тела движется вниз по потоку с постоянной скоростью. Если пограничный слой развивается под действием возрастающего вниз по потоку давления, то 148основанный на аналогии нестационарного отрыва пограничного слоя со стационарным его отрывом на подвижной поверхности обтекаемого тела. Перейдем к изложению этой аналогии и установлению

Рис. 5.2. Профили скорости в пограничном слое вблизи точки отрыва на поверхности, движущейся вниз по потоку, и соответствующие им профили скорости в нестационарном пограничном слое критерия нестационарного отрыва, отправляясь от основополагающей работы Мура (1958).

Рассмотрим сначала течение в стационарном пограничном слое в предположении, что поверхность обтекаемого тела движется вниз по потоку с постоянной скоростью. Если пограничный слой развивается под действием возрастающего вниз по потоку давления, то 148

Рис. 5.2. Профили скорости в пограничном слое вблизи точки отрыва на поверхности, движущейся вниз по потоку, и соответствующие им профили скорости в нестационарном пограничном слое критерия нестационарного отрыва, отправляясь от основополагающей работы Мура (1958).

Рассмотрим сначала течение в стационарном пограничном слое в предположении, что поверхность обтекаемого тела движется вниз по потоку с постоянной скоростью. Если пограничный слой развивается под действием возрастающего вниз по потоку давления, то 148

жидкость в этом слое будет тормозиться. Поскольку поверхность тела движется и увлекает за собой наиболее близкую к пей часть жидкости, то, начиная с некоторого сечения, профиль скорости внутри пограничного слоя будет иметь точку минимума, которая, очевидно, совпадает с точкой нулевого трения (т = 0), (рис. 5.2, а). Совокупность этих точек представляет собой линию, которая разделяет пограничный слой на области, в одной из которых трение положительно, а в другой отрицательно. (Эта линия изображена штрихами на рис. 5.2, а.) Если в некоторой точке минимум продольной составляющей вектора скорости обращается в нуль, то за этой точкой лежит область возвратного течения. Таким образом, в точке отрыва на поверхности, движущейся вниз по потоку, должно происходить одновременное обращение в нуль величин трения и продольной составляющей вектора скорости. Однако, в отличие ст стационарного течения на неподвижной поверхности, эта точка лежит внутри пограничного слоя, а не на теле. Качественная картина линий тока изображена на рис. 5.3. Важно подчеркнуть, что

7^г7777777777777777777777777777777)7^г7777777777777777777777777777777)Рис. 5.3. Линии тока в окрест-Рис. 5.3. Линии тока в окрест-появление возвратного течения, как и при отрыве от неподвижной поверхности, будет приводить к изменению структуры внешнего течения.

7^г7777777777777777777777777777777)

7^г7777777777777777777777777777777)

Рис. 5.3. Линии тока в окрест-

Рис. 5.3. Линии тока в окрест-

ности точки отрыва на поверхности, движущейся вниз по потокуности точки отрыва на поверхности, движущейся вниз по потокуЕсли теперь осуществить переход к системе координат, связанной с движущейся поверхностью, то в новой системе координат точка отрыва будет двигаться относительно неподвижной поверхности вверх по потоку с постоянной скоростью, равной по вели-

ности точки отрыва на поверхности, движущейся вниз по потоку

ности точки отрыва на поверхности, движущейся вниз по потоку

чине скорости поверхности в исходном «стационарном течении. Точка нулево-

то поверхностного трения находится

при этом на некотором конечном расстоянии от точки отрыва. Про

фили скорости, соответствующие такому нестационарному течению, изображены на рис. 5.2, 6) и получаются из профилей скорости, изображенных на рис. 5.2, а) с помощью указанного перехода к новой системе координат. Если точка отрыва движется с переменной

скоростью, но ускорение ее движения не очень велико, то это, очевидно, не должно приводить к качественному изменению струк

туры течения по сравнению с рассмотренным.

При движении поверхности в направлении, противоположном внешнему потоку, на формирование течения в окрестности точки отрыва влияют возмущения, приходящие как из области, где зарождается пограничный слой, так и из застойной зоны, что существенно усложняет понимание структуры течения.

Критерий отрыва для таких течений был сформулирован Муром (1958) на основании следующих соображений ). На некотором

Рис. 5.4. Профили скорости в пограничном слое вблизи точки отрыва на поверхности, движущейся вверх по потоку, и соответствующие им профили скорости в нестационарном пограничном слоеРис. 5.4. Профили скорости в пограничном слое вблизи точки отрыва на поверхности, движущейся вверх по потоку, и соответствующие им профили скорости в нестационарном пограничном слоеY〃切Y〃切Рис. 5.5. Линии тока в окрестности точки открыв а на поверхности, движущейся вверх по потокуРис. 5.5. Линии тока в окрестности точки открыв а на поверхности, движущейся вверх по потокушые им профили скорости u/Ue дляшые им профили скорости u/Ue для

Рис. 5.4. Профили скорости в пограничном слое вблизи точки отрыва на поверхности, движущейся вверх по потоку, и соответствующие им профили скорости в нестационарном пограничном слое

Рис. 5.4. Профили скорости в пограничном слое вблизи точки отрыва на поверхности, движущейся вверх по потоку, и соответствующие им профили скорости в нестационарном пограничном слое

Y〃切

Y〃切

Рис. 5.5. Линии тока в окрестности точки открыв а на поверхности, движущейся вверх по потоку

Рис. 5.5. Линии тока в окрестности точки открыв а на поверхности, движущейся вверх по потоку

шые им профили скорости u/Ue для

шые им профили скорости u/Ue для

расстоянии вверх по потоку от точки отрыва профиль скорости лме~ ет точку, в которой продольная составляющая (〃) обращается в нуль (рис. 5.4, а). Под действием тормозящего градиента давления величина и уменьшается, причем и в той части пограничного слоя.

где она положительна, и в той, где она отрицательна. По мере развития пограничного слоя вниз по потоку это приводит к деформации профиля скорости, так что в конце концов в точке, где и = 0г величина трения т, по мнению Мура, также будет обращаться в нуль, к за этой точкой будет начинаться область отрыва. На рис. 5.5 представлена качественная картина линий тока такого течения,. Профили скорости, которые получаются на основе описанной выше аналогии и соответствуют нестационарному течению с точкой отрыва, движущейся вниз по потоку, даны на рис. 5.4, 6.

Таким образом, согласно критерию Мура ——Ротта ——Сирса, который обобщает критерий Прандтля (1904), нестационарный отрыв потока происходит внутри пограничного слоя в точке одновременного обращения в нуль величин трения и продольной составляющей

вектора скорости в системе координат, связанной с этой точкой. В дальнейшем эту точку мы будем называть точкой Мура — Ротта — Сирса; иногда ее называют точкой разрушения пограничного слоя.

Описанные выше течения вблизи точек отрыва были изучены экспериментально Людвигом (1964). На рис. 5.6, а и 5.6, 6 представлены получ

пограничного слоя на поверхности, движущейся вниз и вверх па потоку. (Безразмерные значения скорости поверхности равны соответственно 0,3 и —0,3; Ue ——скорость на внешней граница

пограничного слоя.) Эти результаты как мы видим, находятся

в качественном соответствии с описанным выше характером течения. В другой экспериментальной работе Коромиласом и Те дионином (1980) были проведены исследования профилей скорости дляв качественном соответствии с описанным выше характером течения. В другой экспериментальной работе Коромиласом и Те дионином (1980) были проведены исследования профилей скорости длянестационарных движений, также подтвердившие концепцию Мура —Ротта — Сирса.§ 2. Особые решения уравнений пограничного слояПосле описания качественного поведения течения в окрестности ноиек отрыва на подвижной поверхности и в нестационарном пограничном слое можно было бы перейти к изучению механизма отрыва на основе асимптотического анализа уравнений Навье ——Стокса. Однако, прежде чем сделать это, обратимся ж исследованию решений уравнений пограничного слоя Прандтля вблизи точек Мура — Ротта — Сирса в классической постановке, т. е. при заданном регулярном распределении давления. Несколько забегая вперед, заме- там, что, как и в стационарных течениях на неподвижной поверхности, в данном случае от-нестационарных движений, также подтвердившие концепцию Мура —Ротта — Сирса.§ 2. Особые решения уравнений пограничного слояПосле описания качественного поведения течения в окрестности ноиек отрыва на подвижной поверхности и в нестационарном пограничном слое можно было бы перейти к изучению механизма отрыва на основе асимптотического анализа уравнений Навье ——Стокса. Однако, прежде чем сделать это, обратимся ж исследованию решений уравнений пограничного слоя Прандтля вблизи точек Мура — Ротта — Сирса в классической постановке, т. е. при заданном регулярном распределении давления. Несколько забегая вперед, заме- там, что, как и в стационарных течениях на неподвижной поверхности, в данном случае от-礎""0J6-礎""0J6-0=140°^\ e=i5Y0=140°^\ e=i5Yб6*0°0 = 110°°Об6*0°0 = 110°°О0,760,76Рис. 5.6. Профили скорости в пограничном слое на поверхности вращающегося цилиндра. Экспериментальные данные Людвига (1964). (9 — полярный угол, отсчитываемый от передней критической точки.)Рис. 5.6. Профили скорости в пограничном слое на поверхности вращающегося цилиндра. Экспериментальные данные Людвига (1964). (9 — полярный угол, отсчитываемый от передней критической точки.)

в качественном соответствии с описанным выше характером течения. В другой экспериментальной работе Коромиласом и Те дионином (1980) были проведены исследования профилей скорости для

в качественном соответствии с описанным выше характером течения. В другой экспериментальной работе Коромиласом и Те дионином (1980) были проведены исследования профилей скорости для

нестационарных движений, также подтвердившие концепцию Мура —Ротта — Сирса.

§ 2. Особые решения уравнений пограничного слоя

После описания качественного поведения течения в окрестности ноиек отрыва на подвижной поверхности и в нестационарном пограничном слое можно было бы перейти к изучению механизма отрыва на основе асимптотического анализа уравнений Навье ——Стокса. Однако, прежде чем сделать это, обратимся ж исследованию решений уравнений пограничного слоя Прандтля вблизи точек Мура — Ротта — Сирса в классической постановке, т. е. при заданном регулярном распределении давления. Несколько забегая вперед, заме- там, что, как и в стационарных течениях на неподвижной поверхности, в данном случае от-

нестационарных движений, также подтвердившие концепцию Мура —Ротта — Сирса.

§ 2. Особые решения уравнений пограничного слоя

После описания качественного поведения течения в окрестности ноиек отрыва на подвижной поверхности и в нестационарном пограничном слое можно было бы перейти к изучению механизма отрыва на основе асимптотического анализа уравнений Навье ——Стокса. Однако, прежде чем сделать это, обратимся ж исследованию решений уравнений пограничного слоя Прандтля вблизи точек Мура — Ротта — Сирса в классической постановке, т. е. при заданном регулярном распределении давления. Несколько забегая вперед, заме- там, что, как и в стационарных течениях на неподвижной поверхности, в данном случае от-

礎""

0J6-

礎""

0J6-

0=140°^

\ e=i5Y

0=140°^

\ e=i5Y

б6*0°

0 = 110°°

О

б6*0°

0 = 110°°

О

0,76

0,76

Рис. 5.6. Профили скорости в пограничном слое на поверхности вращающегося цилиндра. Экспериментальные данные Людвига (1964). (9 — полярный угол, отсчитываемый от передней критической точки.)

Рис. 5.6. Профили скорости в пограничном слое на поверхности вращающегося цилиндра. Экспериментальные данные Людвига (1964). (9 — полярный угол, отсчитываемый от передней критической точки.)

рыв происходит само-

индуцированно, в то время как классический подход приводит к появлению неустранимых особенностей. Анализ этих особенностей в решении системы уравнений пограничного слоя представляет интерес, поскольку именно неустранимые особенности указывают на невозможность безотрывного обтекания и необходимость пересмотра решения внешней задачи.

Постановка задачи. Исследование уравнений нестационарного пограничного слоя осложнено появлением третьей независимой пе-

151

ременной по сравнению с соответствующими стационарными уравнениями; поэтому, имея в виду описанную в предыдущем параграфе аналогию, рассмотрим стационарные решения уравнений пограничного слоя на поверхности, движущейся с постоянной скоростью.

Обозначим через Ох , Оу° оси криволинейной ортогональной системы координат, которые направлены соответственно вдоль поверхности тела и но нормали к ней; через 〃°, v° обозначим составляющие вектора скорости вдоль этих осей, через р° — функцию тока и р° — давление. Введем безразмерные переменные:

U°乂。D。Р° — Рсо .U°乂。D。Р° — Рсо .小小

U°乂。D。Р° — Рсо .

U°乂。D。Р° — Рсо .

小

小

здесь L ——характерный размер тела, U^ и р^ — параметры одна- родного набегающего потока, р ——плотность. Число Рейнольдса Re =。8上/у, где у ——коэффициент кинематической вязкости.

Будем пользоваться уравнениями пограничного слоя Прандтля как в обычных переменных /,弘 так и в переменных Мизеса (1927) £,叭 В последнем случае вместе с соответствующими краевыми условиями они имеют вид:

du dPe 8 ( Qu \ dY 1

(2.1>(2.1>дУ

(2.1>

(2.1>

и = uWl Y =V = 0 при 4r = 0;

U f Ue⑺ при 4r f 8； u = U*(W) при X =力о.

Здесь, как обычно, 4r = Re"2p, Y = Re"2y, V = Re1/2p; функции Ue(/) и Pe(/) определяют распределение скорости и давления на внешней границе пограничного слоя, U*(屮)—начальный профиль скорости. Через uw обозначена скорость поверхности тела, которую будем считать постоянной величиной порядка единицы.

Пограничный слой на поверхности, движущейся вниз по потоку (”^>0) • В результате численного решения задачи (2.1) (для различных значений %(/)) Телионисом и Верле (1973), а также Вилльямсом и Джонсоном (1974а), впервые было показано, ито, в соответствии с соображениями Мура (1958), при неблагоприятном градиенте давления в точке одновременного обращения в нуль величин трения и продольной составляющей вектора скорости возникает особенность, которая характеризуется неограниченным увеличением вертикальной компоненты вектора скорости; в точке нулевого трения на движущейся поверхности тела решения остаются регулярными.

Перейдем теперь к анализу структуры решения в окрестности этой точки (Сычёв, 1980).

Продольную координату точки Мура — Ротта — Сирса 口映 удобства положим равной нулю. Функции Ue(x) и ре(^) в (2.1) считаются известными из решения внешней задачи и предполагав 152

ются регулярными^ т. е. при 2fo

Ue = %。一 階热 +0(明， 管=-%番=% +。(*(2.2)

Здесь Uw и 九о ——положительные постоянные.

Значение функции тока 屮 в точке Мура ——Ротта ——Сирса обозначим через Ts. В основной части пограничного слоя, где 4r > > 屮$, и той его части, которая прилегает к подвижной поверхности тела (屮 < Ws), продольная составляющая вектора скорости есть величина порядка единицы при 力-^—0. Поэтому в соответ-

Рис. 5.7. Асимптотическая структура решения в окрестности особой точки, в которой и = ди/ду = =0

ствии с (2.2) при / f —0 решение в этих областях (области 2 и 4, рис. 5.7) может быть представлено в виде

u^^{W) + ^x)Ui^)+ 0^xyiw

u = UQ(W) + (-x)Ul(W)+O[(-x)2l W < Ws.J

Подставляя эти разложения в (2.1), (2.2), находим, что

%=%иL一("")'，方1 = W1-(瓦瓦儿 (2.4)

Из условия на внешней границе пограничного слоя и условия ^прилипания на поверхности тела следует^ что (7о(°°) = U0Q и 斤。 = 〃川 + %屮 + (% 一 电3)(2*)t屮2 +。(用)при у f (J；& 一

произвольная постоянная, которая характеризует величину трения на поверхности тела.

Подставляя теперь решение (2.3), (2.4) во второе уравнение системы (2.1), находим, что

(2.5)(2.5)? = 6(力)+ 爲(出)+。[(一切，/%=1, Y = G(x) + Y0^) + О [(-喇，U^. = 1.

(2.5)

(2.5)

Удовлетворяя краевому условию на поверхности тела, получаем

У0 = J 万「d可，G ⑷=0.

Функция G(/) в (2.5) остается произвольной. (Разложения для вертикальной составляющей вектора скорости находятся из третьего уравнения в (2.1) и в дальнейшем выписываться не будут.)

Качественный анализ, проведенный в предыдущем параграфе, показывает, что по мере приближения к точке Мура ——Ротта —

153

Сирса под действием неблагоприятного градиента давления у профиля скорости в пограничном слое появляется точка минимума (рис. 5.2, а), причем величина этого минимума стремится к нулю? при х -> —0. На это указывают также результаты численного решения. На рис. 5.8 представлены профили скорости в пограничном

Рис. 5.8. Профили скорости в пограничном слое. Численное решение Зубарева (1983); кривым 7 — 5 соответствуют значения X: 2,0; 2,2; 2,3; 2,4; 2,45

слое для различных значений 芻 полученные Зубаревым (1983)。 (Внешние краевые условия здесь определяются известным решением о безотрывном обтекании кругового цилиндра с нулевой циркуляцией, и поэтому % = 2sin(/+ Xs), х = Х — Xs、 OWXWn. Продольная координата особой точки Х = Xs = 2,479 и uw = 1.)

Появление минимума в профиле скорости, приходящем в сечение / = —0, означает, что вблизи линии тока 屮=屮 s величина продольной компоненты вектора скорости 乂 (力,屮)стремится к нулю. Поэтому можно предположить, что при У 叭 + 0

Uo = %(屮一中8尸 +。［(中一屮8)勺， (2.6) где 〃о и а ——положительные постоянные. Подставляя это. выражение в (2.4) и (2.3), замечаем, что при х —0 и 4r —屮$->+0 первый и второй члены разложения (2.3) становятся величинами одного порядка ири 14^ — Wsl = 0［{—xY/2a}. Следовательно, в окрестности линии тока 4r =屮$ лежит новая характерная область 3.

Поскольку в этой области 乂 (力,屮)должна стремиться к нулк> при х -> —0, представим решение в следующем виде:

4=(一/)/⑺+3(一/)也 刀=(中一叭)/(一办竺 (2.7)

Подставляя это выражение в (2.1) и исходя в первом уравнении из баланса инерционных членов и градиента давления (2.2), находим, что 0 = '/2. Из второго уравнения (2.1) после подстановки полученных выражений для 乂 (力,屮)следует, что при ж -> —0

У = g 3) + (-£)'瓦⑺ +。［ (-/) U

自=J //%% ? =贵-6 =与券. (2.8)

Как было показано в упомянутой выше работе Сычёва (см. также работу Сычёва, 1983) в области 3 решение описывается уравнениями невязкой жидкости; «вязкие» члены в уравнении (2.1) проявляются лишь в следующих членах разложения. В этом состоит важное отличие рассматриваемого особого решения от решения в окрестности точки нулевого поверхностного трения на неподвижной поверхности (см. § 3 гл. IV). Значения показателя степени а в (2.6), определяющие также характерный размер области 3, могут принимать следующие дискретные значения:

а= тг = 1, 2, 3, (2.9)

Это следует из решения задачи на собственные значения для «вязкого подслоя», где 14r — *1 =。[(—£)円，подробности которого здесь не приводятся, поскольку аналогичное рассмотрение будет дано в § 3 настоящей главы при изучении отрыва с само- мндуцированным градиентом давления.

Наиболее общий тип особенности, как мы увидим, соответствует наименьшему значению а=1. Решение для первых двух членов разложения в области 3 при этом в соответствии с (2.7), (2.8) имеет вид

"=(一况广/2% (n) + (一力)九(n) +。[(一力)3/2],

y = g⑺+瓦5) + (一/产瓦⑺+0[(一明， (2.10) Т1=(屮一Ув)/(—%)弋

ВД6

7о =(就限 + 2%)i/2, % =旬哦挤1 一口说/(3%),.7о =(就限 + 2%)i/2, % =旬哦挤1 一口说/(3%),.%後 + 2*.%後 + 2*.(2.11)(2.11)

7о =(就限 + 2%)i/2, % =旬哦挤1 一口说/(3%),.

7о =(就限 + 2%)i/2, % =旬哦挤1 一口说/(3%),.

%後 + 2*.

%後 + 2*.

(2.11)

(2.11)

Постоянная 〃【характеризует несимметрию решения относительно линии тока 屮=屮$.

Из сращивания этого решения с решением (2.3)——(2.5) для областей 2 и 4 находим, что функции G(/) н g(/) в (2.5) и (2.10) суть

G = — а/ In [(—力)Хо/(2^о)] + Ьо + о (1),

g = — (2〃о) 1 In [(— х) %о/(2ао)] + % +。(4),

а при 4r Ts — 0

尻=%(屮s ▼屮)+。[(屮s - 可再，(2.13)

爲=一妬 1 m (% -^) + bQ + O [(% — ¥)], 仇=const.

Таким образом, перед точкой Мура ——Ротта ——Сирса пограничный слой имеет трехслойную структуру (рис. 5.7). К поверхности тела прилегает область 4, которая сохраняет толщину пограничного слоя и над которой лежит нелинейная область 3, где состав-

155

ляющая вектора скорости 乂 (％,屮)стремится к нулю. Толщины этой области, а также основной части пограничного слоя, как видно из выражений (2.5), (2.10), (2.12), неограниченно возрастают по логарифмическому закону при % т—0, и, следователь-

но, вертикальная составляющая вектора скорости на внешней границе пограничного слоя ведет себя как Ке-1/2|^1~\ т. е. решение

Рис. 5.9. Минимальные значения скорости в пограничном слое на подвижной поверхности: штриховая линия ——по формуле (2.14); сплошная линия——численное решение Зубарева (1983)Рис. 5.9. Минимальные значения скорости в пограничном слое на подвижной поверхности: штриховая линия ——по формуле (2.14); сплошная линия——численное решение Зубарева (1983)имеет здесь более сильную особенность^ чем в окрестности точки нулевого ио- верхностного трения на неподвижной поверхности.

Рис. 5.9. Минимальные значения скорости в пограничном слое на подвижной поверхности: штриховая линия ——по формуле (2.14); сплошная линия——численное решение Зубарева (1983)

Рис. 5.9. Минимальные значения скорости в пограничном слое на подвижной поверхности: штриховая линия ——по формуле (2.14); сплошная линия——численное решение Зубарева (1983)

Минимальное значение скорости» согласно (2.10), (2.11), ведет себя при х f —0 следующим образом:

*k/) = (2餘产1/产+。(1/I).

' (2.14)

Эта зависимость находится в соответствии с результатами численных реше~ ний Вилльямса и Джонсона (1974а)” а также Зубарева (1983). На рис. 5.9 представлено ее сравнение с решением Зубарева при uw = 1.

Полученное выше решение содержит произвольные постоянные а。，а^ 仇》 Со, Ws, которые характеризуют прихо

дящий к сечению х = —0 профиль пограничного слоя; их значения

не могут быть найдены из локального анализа и определяются полным решением задачи (2.1).

Рассмотрим возможность продолжения решения через точку Мура ——Ротта ——Сирса, т. е. в область положительных значений 力.Если аналогично тому, как это уже неоднократно делалось раньше (см. § 1 гл. III и § 3 гл. IV), непрерывно продолжить решение для основной части пограничного слоя в область % > 0, то в соответствии с (2.2), (2.3) при х +0 (область 2', рис. 5.7) ре^ шение будет иметь вид

u = U0 (屮)+ 力U；(屮)+。(/2), U；= — 九°U尸 + {U.U^.(2.15>

Для рассматриваемого случая, когда а = 1, согласно (2.6), UQ == =a0(W - WS) + O[(W - ^s)2] при 屮 + Bs + 0. Тогда, как и в области 2 при ж < 0, разложение (2.15) становится несправедливым при 14r —屮$1 = 0(/"2) (область 3'). В этой области решение аналогично (2.10):

u =炉/2伙⑶ +。(/1/2), 自=(屮一屮s)//О. (2.16)

Подставляя это разложение в (2.1), (2.2), находим, что решение уравнения для 屮0(自),удовлетворяющее условиям сращивания с (2.15), имеет вид

% =(瓏2 _2% 严. (2.17>

При F V 2九о〃о это выражение становится мнимым. Таким образом, так же как и особое решение для пограничного слоя на неподвижной поверхности, полученное решение нельзя непрерывно продолжить через особую точку.

Из всех возможных особенностей мы рассмотрели пока лишь самую слабую, которая соответствует наименьшему значению а = 1 в (2.9). Остановимся теперь кратко на других ситуациях.

При целых значениях а > 1 решение аналогично рассмотренному, но имеет более сильную неустранимую особенность. Согласно (2.8) увеличение а соответствует уменьшению значений % что приводит к неограниченному росту толщины пограничного слоя, но уже по степенному закону; так при а = 2 значение у = —74у и поэтому в (2.5) G(x) = O(\x]~ia) при х —0. Однако такие особенности могут реализоваться лишь при условии, что приходящий в сечение / = —0 профиль скорости обладает меньшим произволом по сравнению со случаем, когда а = 1. Действительно, если а = 2, то это означает, что в разложениях (2.6), (2.13) постоянная 〃о, стоящая перед 丨 4f — 4rs丨,должна быть положена равной нулю; если а = 3 ——необходимо обращение в нуль также и постоянной перед 14f — 4fsi* и т. д. Значения постоянных, входящих в разложение в окрестности сечения / = —0, определяются из решения задачи (2.1) в целом и обращение какой-либо из них в нуль представляется исключительным. Такая ситуация в принципе возможна лишь при специальном подборе функций, определяющих внешние краевые условия в (2.1).

Полуцелые значения а соответствуют решению для пограничного слоя на поверхности, которая движется вверх по потоку (ww < 0). (Подробный анализ особенностей этого типа был дан Вилльямсом и Стюартсоном (1983), а также Эллиотом и др., 1983.) Уже наименьшее из них (а = 3/2) дает решение, в котором толщина пограничного слоя в соответствии с (2.8) увеличивается как |/|-"б при 力-> —0. Однако, как показали Ван Доммелен и Шен (1983а), помимо особенности этого типа при uw < 0 в точке Мура —Ротта — Сирса может возникать и более слабая неустранимая особенность. По-вцдимому, как и для пограничного слоя на поверхности, движущейся вниз по потоку, в общем случае должна реализоваться именно эта более слабая особенность.

Мы не будем останавливаться на подробном изложении этих вопросов, поскольку к настоящему времени не получено численных решений уравнений пограничного слоя с м® = const <0, в которых при заданном регулярном распределении давления возникали бы такие особенности. Основные трудности состоят в том, что решение в рассматриваемой области определяется в равной степени «начальными» условиями, поставленными как вверх, так и вниз по потоку от нее. Более подробное обсуждение этого дано в работе Черного (1974), посвященной исследованию пограничного слоя при постоянной скорости на его внешней границе, а также в обзоре Вилльямса (1977).

Заметим, что в окрестности точки Мура ——Ротта ——Сирса, кро- &е особых решений, уравнения пограничного слоя допускают также и регулярное представление. Однако оно является менее общим по сравнению с рассмотренными (Сычёв, 1983).

Особенность в автомодельных решениях. Аналогия между локальными свойствами течения в пограничном слое на подвижной поверхности и в нестационарном пограничном слое указывает на 笠о, что в обоих случаях точка Мура ——Ротта ——Сирса является особой. Об этом свидетельствуют также результаты численного решения, впервые полученные Телионисом, Сахалисом, Верле (1973) и Вилльямсом, Джонсоном (19746)). Рассмотренные выше особенности представляют собой частные случаи. Анализ особенности для общего случая в настоящее время отсутствует. Однако для течений, которые описываются автомодельными решениями уравнений нестационарного пограничного слоя, т. е. допускают переход к двум независимым переменным, такой анализ был проведен Вилльямсом и Стюартсоном (1983). В их работе и предшествовавшей ей работе Вилльямса (1982) была рассмотрена начальная стадия течения в окрестности клинообразной задней кромки профиля, который мгновенно приводится в движение из состояния покоя. Результаты этих исследований показали, что в плоскости автомодельных переменных при некотором значении одной из них решение имеет особенность, аналогичную рассмотренной выше. В общем случае, который, как и раньше, соответствует наиболее слабой особенности, имеет место логарифмическое расширение автомодельного пограничного слоя. Полученные численные решения хорошо согласуются с асимптотическими разложениями в окрестности особой точки.

Самоиндуцированный отрыв на подвижной поверхности

Теперь мы рассмотрим реальное течение около точки отрыва лограничного слоя, который развивается на поверхности, движущейся вниз по потоку с постоянной скоростью. Решение этой локальной задачи позволит нам, на основе описанной выше аналогии, подойти к анализу более сложного явления ——нестационарного течения вблизи движущейся точки отрыва.

Что касается течений на поверхности, движущейся вверх по лотоку, то, как уже отмечалось, соответствующая теория до настоящего времени не построена и по этой причине вопрос о справедливости критерия Мура ——Ротта ——Сирса для таких течений остается открытым.

Постановка задачи. До сих пор мы говорили в основном лишь о формальных свойствах решений уравнений пограничного слоя 五а подвижной поверхности, имея целью показать неустранимость

возникающих особенностей, а следовательно, и их нефизичность. Появление неустранимых особенностей всегда свидетельствует о несовместимости решения уравнений пограничного слоя с предписываемым внешним распределением давления и, как было показано в предыдущих главах, возникающее противоречие разрешается пересмотром решения внешней задачи.

Рассмотрим плоское стационарное течение около тела конеч« пых размеров в однородном набегающем потоке. Следуя основным положениям теории ламинарного отрыва, изложенной в гл. I, будем искать локальное предельное состояние поля течения при Re 8 в классе отрывных течений идеальной жидкости со свободными линиями тока.

Распределение давления вдоль нулевой линии тока в окрестности точки отрыва имеет при этом вид (см. § 1 гл. II и § 3 гл. I):

kf — о；kf — о；(3.1)(3.1)р。® =卜-阿 7 入巽（一） + 。［（一）吗, Аю， N > °,

kf — о；

kf — о；

(3.1)

(3.1)

а форма свободной линии тока при 力一> +0 есть

U = ys3 = g± 产/2 + о(况5/2).(3.2)

^00

Здесь и в дальнейшем используются прежние обозначения, а начало системы координат помещено в точку отхода свободной линии тока от поверхности тела; через р00 и UQQ =(1 — 2р00)1/2 обозначены давление и скорость на свободной линии тока. Кривизной поверхности тела для простоты изложения мы будем пренебрегать^ тем более, что ее влияние никак не сказывается на решении для главных членов асимптотических разложений.

При ламинарном отрыве от гладкой неподвижной поверхности значение постоянной к в (3.1), (3.2) (см. гл. I) стремится к нулю при Re -> 8, и поэтому решение для предельного состояния удовлетворяет условию Бриллюэна ——Билля о конечности кривизны свободной линии тока в точке отрыва. Движение поверхности обтекаемого тела вниз по потоку, как хорошо известно из многочисленных эспериментальных данных, приводит к смещению точки отрыва, что соответствует увеличению значения постоянной 及 (рис. 1.4). Это связано с тем, что в пограничном слое на движу- щейся поверхности продольная составляющая вектора скорости 乂 (“,屮)принимает конечные положительные значения (рис. 5.2а). Следовательно, для того чтобы произошел отрыв, т. е. в пограничном слое появилась бы точка, где 〃(力,Т) обращается в нуль^ необходим конечный перепад давления. Поэтому постоянная & в (3.1), (3.2) должна оставаться конечной, а не стремиться к нулю, при Re -> °©. Это исходное предположение было положено в основу асимптотической теории (Сычёв, 1979), к изложению которой мы теперь переходим.

Течение в пограничном слое перед точкой отрыва. Волизи поверхности тела перед точкой отрыва (力 < 0) течение в первом шриближенпи при Re f 8 описывается уравнениями пограничного ^слоя Прандтля, которые вместе с соответствующими рассматриваемому течению краевыми условиями имеют вид (2.1). Распределение давления при 6 T—0 дается выражением (3.1), и тогда для скорости на внешней границе пограничного слоя имеем

ие (浦=/。 + 系(一炉2 +。［(一切，*>0. (3.3) 00

Пограничный слой перед точкой отрыва находится под действием экстремально-неблагоприятного градиента давления (3.1). Качественное поведение течения в пограничном слое здесь будет та

ким же, как и перед точкойким же, как и перед точкойРис. 5.10. Асимптотическая структура течения в пограничном слое перед точкой отрываРис. 5.10. Асимптотическая структура течения в пограничном слое перед точкой отрываМура — Ротта — Сирса при регулярном распределении давления (§ 1), поэтому структура решения задачи (2.1), (3.1), (3.3) при х -> —0 вполне аналогична рассмотренной в § 2.

ким же, как и перед точкой

ким же, как и перед точкой

Рис. 5.10. Асимптотическая структура течения в пограничном слое перед точкой отрыва

Рис. 5.10. Асимптотическая структура течения в пограничном слое перед точкой отрыва

В основной части пограничного слоя (область 2, рис. 5.10) продольная составляющая вектора скорости есть величина порядка единицы, и решение здесь в соответствии с (3.1), (3.3) представимо при х ->

—0 в виде

〃=a(屮)+ (一£)"2a(可)+

+ 0(-垃 y = GQ) +

+ 匕(中)+0(一/产］.(3.4)

(2.1), (3.1), находим, что(2.1), (3.1), находим, чтоПодставляя эти разложения в

(2.1), (3.1), находим, что

(2.1), (3.1), находим, что

(3.5)(3.5)^=2^\ Уо = j U^dW;

(3.5)

(3.5)

функция G(n) остается пока произвольной. Из сращивания с областью внешнего потенциального потока следует, что Uo(8)= =Uo&. «Вязкие» члены уравнения пограничного слоя в этой области имеют более высокий порядок малости по сравнению с инерционными и градиентом давления, т. е. течение здесь локально невязкое.

Ключевую роль при анализе течения перед точкой отрыва играет рассмотрение области, лежащей в окрестности минимума профиля скорости, который, как мы уже видели, возникает в результате действия положительного градиента давления.

Появление минимума в и(х, У) приводит к тому, что при 讶-> —° вблизи некоторой линии тока 4f =屮 s > 0 разложение (3.4) становится несправедливым, поскольку величина продольной доставляющей вектора скорости здесь стремится к нулю, а не остается величиной порядка единицы. Действительно, если, как и

раньше предположить, что

UQ^aQ(W -屮5尸 +0[(屮一耳%尸](3.6)

при 4f f 4rls+ 0, то разложение (3.4), (3.5) теряет свою равномерную пригодность в области 3, где I 巾一4rsi = О[(—况产門.(Здесь 〃о и а — положительные постоянные.) Поэтому введем новую независимую переменную 刀=(屮一4rs)/(—/)"4a и, исходя, как обычно, из баланса инерционных членов с градиентом давления (3.1), будем искать решение в этой области в виде

〃=(—/)"%(3+。[(—/)"], л =(中一^s)/(-xy^ = O^,

(3.7)

считая пока п》°・ В результате подстановки этого разложения в (2.1), (3.1) находим, что «вязкие» члены в уравнении пограничного слоя имеют порядок (―力)匕 九=(3а —2)/4% в то время как инерционные члены и градиент давления имеют порядок (―力)-'/2; поэтому при %> —1/2 (а>2/5) они несущественны для определения коэффициента в главном члене разложения (3.7), т. е. течение здесь локально невязкое.

Положим а > 2/5 и произведем интегрирование уравнения, полученного подстановкой разложения (3.7) в (2.1), (3.1). В результате

/°=(〃*俨 + 鉄产.(3.8)

Из сращивания этого решения с (3.4) —- (3.6) находим, что а* =с^. Значение постоянной а остается произвольным и, следовательно, при 篁一> 0 решение (3.8) ведет себя, вообще говоря, нерегулярно.

Особенность, как это часто бывает, обусловлена потерей старшей производной в уравнении. Поэтому для устранения нерегулярности введем в рассмотрение область За, в которой уже в нулевом приближении существенны все члены уравнения пограничного слоя. Из сказанного выше следует, что в этой области 入=—1/2 и 14r — 4fsi = О[(—/)5/8]； тогда решение может быть представлено в виде

北=(一"电。信)+ (一/)3"g,⑴ + (-力)% (Ю+ 加(一£)円，

自=(屮—屮 s)/(—/)5/8,§ >1/4.(3.9)

Первые два члена этого разложения обусловлены соответствующими членами разложения (3.1) для давления, а третий ——это собственная функция с неизвестным пока показателем степени §・

Подставляя (3.9) в (2.1), (3.1), получаем для go(自)уравнение

go (gog；)' — 5/跳纟；+ i/届="•(3d。)

Для сращивания с решениями в соседних областях необходимо, чтобы функция go(自)при Igl -> оо росла не быстрее, чем некоторая степень 自.Решение уравнения (3.10), удовлетворяющее этим условиям, есть gQ = 2乃"* и оно является, по-видимому, единственным. Об этом прежде всего свидетельствуют результаты числен- 11 П./ред. В. В. Сычёва‘61

ного анализа этого уравнения. Кроме того, из (3.9) непосредственно следует, что ecnngo 声 0, то величина трения в области За неограниченно возрастает как |ж|~1/8 при х -> —0, а это противоречит исходным представлениям о характере течения.

Используя теперь это решение, получим для коэффициентов в других членах разложения (3.9) следующие уравнения:

gl — 16 炉/2 + 2川/2

息a = 0 (3 16*/2 十 8炉/2 邸

На решения этих уравнений должны быть наложены условия отсутствия экспоненциального роста при Igl -> оо. При этом нетривиальное решение второго уравнения (3.11) (уравнения Вебера) существует, если только В=(5〃一 2)/8, п = 0, 1, 2, ... и оно представляет собой полином Чебышева — Эрмита:

gb (Е)=。也⑴， Яп = (— 1)V2

己=4Л:1/4(2/5)1/2т, ср = const.

Поскольку однородная часть первого уравнения (3.11) есть также уравнение Вебера с § = 3/4, то его решение имеет вид: gi — =8论3/2/3. Производя теперь сращивание решений в областях 3 и За при п~> 0 目 三 f 8, получим, что а = (4^ + 1)/5; вспоминая, наконец, полученное выше выражение для 0, а также тот факт, что 0 > 1/4, получим

a = n/2, n = 1, 2, 3,・.. (3.12) Таким образом, мы нашли дискретный набор значений, которые может принимать постоянная а.

При рассмотрении пограничного слоя с регулярным градиентом давления, которым мы занимались в § 2 этой главы, было указана выражение (2.9). Оно получается тем же самым способом, что и выражение (3.12), и имеет тот же самый смысл. Поэтому течению в пограничном слое на поверхности, движущейся вниз по потоку, которое здесь рассматривается, соответствуют, как и раньше, только целые значения а. Однако при а = т, ?п = 1, 2, 3, .. . решение (3.8) регулярно при 刀 f 0 и имеет смысл при всех значениях т]. Что же касается области За, то она оказалась вырожденной, поскольку решение в ней представляет собой разложение решения (3.7), (3.8) при n f 0, переписанное через внутреннюю переменную 自=刀/ (―力)* q = (5a — 2)/8a. Введение этой области необходимо лишь для формального определения набора значений а.

Заметим, что если бы с самого начала мы положили, что в 而~ ласти 3 существенно действие вязких напряжений, т. е. a = 2/5, то тогда решение здесь имело бы вид (3.9). Поскольку g0 = 2ki/2^ то его невозможно было бы срастить с решением (3.4), (3.5) для основной части пограничного слоя.

162

Итак, в полученном решении для области 3 постоянная а может принимать целые положительные значения, и течение здесь является локально невязким.

Как и раньше (см. § 2 этой главы), наиболее общий случай соответствует наименьшему значению а = 1. Именно такое решение реализуется при х -> —0, если не делать какого-либо специального подбора функций, определяющих внешние краевые условия задачи (2.1).

Таким образом, при х -^ —0 в окрестности линии тока 4f =屮8 (область 3), где лежит точка минимума профиля скорости, на основании (3.7), (3.8) и всего сказанного решение имеет вид

"=(一况)"%5)+。［(一/产］, n =(屮一屮 8)/(f)+

/о =(喻f + 办严.(3.13)

Подставляя это решение во второе уравнение (2.1), получим

Y-g^ + hQ^) + O［^xn 瓦=壶1口［令鼻｝ (3.14)

Сращивая теперь решения для областей 2^3, имеем

U0 = a0 (屮一%) +。［(1一%户］，

爲=优「In (屮一屮6)+。［(T -屮s)］ при hWs + 0;(3.15)

g = G ⑺ + (4%)т In (— x) — (2〃о)т In (优；/矶

Из выражения (3.13) следует, что в пограничном слое лежит линия, на которой трение обращается в нуль:

m爲=(-"产7⑺+。［(一沙勺，то = /о/о =确1.

Для главных членов разложения эта линия совпадает с линией тока У = 4rs.

Ниже области 3 лежит часть пограничного слоя 4, прилегающая к движущейся поверхности тела. Здесь, как и в основной части пограничного слоя, продольная составляющая вектора скорости есть величина порядка единицы. Решение в этой области, которое удовлетворяет условию непротекания на поверхности тела (W =0), вполне аналогично (3.4), (3.5):

m =，(可) + (—%产2位尸(守)+0［(一况)］,

y = p。(屮)+。［(一 姗" pО= J 万「拽.(3/6)

Из сращивания его с решением (3.13), (3.14) для области 3 следует, что

瓦=旬(屮s 一屮)+。［(注一У)工

K = -a「In (屮s-B) + 拆 +。［(屮 s-屮)］

16316311*

163

163

при 4f f 4rs — 0,瓦=const;

g = - (4a。尸1口 (一 x) 一 (2a0)-1ln(^)+ b。 +。[(一 ^)1/2ln (一叫.

(3.17)

Последнее выражение вместе с (3.15) определяют вид искомой функции G(力)：

G = — (2〃о)т In (— x)—若 1 In (〃儲)+ bQ + О [(—力产2 In (—力)].

(3.18)

Действие особого градиента давления (3.1) при 力 f —0 приводит к тому, что течение в областях 2—4 становится локально невязким, и 1109ToMу для удовлетворения условию прилипания на поверхности тела необходимо, введение пристеночного подслоя 5, в котором существенно действие сил внутреннего трения. Исходя из баланса инерционных и «вязких» членов в уравнении пограничного слоя с градиентом давления, а также из условия, что на поверхности тела 〃(力,0)=〃^, представим решение в виде

U = Uw+^x) 0 E (一力)凡 &) + (一沙/2方2 ⑺ +

+ O[(-^)ln2(-^)], С =屮/(—力)。(3.19)

Появление в этом разложении промежуточного члена с F{ (^), как мы увидим, необходимо для выполнения краевых условий при С ^ =0 и С f 8.

Подставляя (3.19) в (2.1) и (3.1), получим

2〃比歹 1 — С/ + 歹 1 = 0,2〃跄歹2 — *2 + % = 2kuJ — 2F「(3.20)

Решение первого уравнения (уравнение Вебера), удовлетворяющее условию 7^1(0) = 0, имеет вид

Fi = с^, Ci = const.(3.21)

На решение второго уравнения в (3.20), помимо условия 歹2(0) = =0, должно быть наложено требование отсутствия экспоненциального роста при С f 8, необходимое для сращивания с (3.16). Такое решение существует при вполне определенном значении с〕 и может быть выписано в явном виде. В результате получаем

R = к/(冗城У% 歹2 = 2cle In ^ + c*C +。(1) при оо, c* = const.

(3.22)

Подставляя теперь решение для и{х^ В) во второе уравнение (2.1), находим, что в области 5

Y^^-xy^^ + i-x^n^H.^ + ^H^

+ О[(—/『У—力”

% = МО笺,H1 = -6也2/(2鳴)，h2 = 一 u^2 J F2d^.(,

о

Из сращивания решений в областях 4 H 5 следует, что 尻= ==uw + 2c1¥lnT + 0(W) при У-О.

Интересно отметить, что действие неблагоприятного градиента давления (3.1) приводит к появлению особенности в распределении поверхностного трения; из выражений (3.19), (3.21) следует, что t = 〃爲;_0 =内乂访 1口(一 ％) + О (1) при %f — 0.

Таким образом, проведенный анализ показывает, что при % + f —0 в пограничном слое можно выделить четыре характерные области (рис. 5.10). Это «вязкий» пристеночный подслой и примыкающая к нему область 4, которая сохраняет толщину исходного пограничного слоя. Над этой областью лежит область 3, где продольная составляющая вектора скорости и трение убывают как |富|'/4; течение здесь, будучи локально невязким, описывается нелинейным уравнением. Торможение жидкости в этой области, обусловленное действием положительного градиента давления (3.1), приводит к увеличению ее толщины, которое передается через основную часть пограничного слоя на его внешнюю границу. Это означает, что основной вклад в вытесняющее действие пограничного слоя создается течением в области 3, которую мы будем называть «нелинейной локально невязкой». Поскольку, согласно (3.4), (3.18), рост толщины пограничного слоя при х -> —0 происходит по логарифмическому закону, то на внешней границе пограничного слоя вертикальная составляющая вектора скорости и наклон линий тока неограниченно возрастают как Re-1/2I^I-1 при ж -> —0; следовательно, решение уравнений пограничного слоя имеет при 力=—0 более сильную особенность по сравнению с соответствующим решением для течения на неподвижной поверхности (Сычёв^ 1972; см. также § 4 гл. I).

Наиболее существенной отличительной чертой течений вблизи точек отрыва на подвижной и неподвижной поверхностях является то, что в первом случае основной вклад в вытесняющее действие пограничного слоя создается течением в нелинейной локально невязкой области, а не вязким пристеночным подслоем, который играет здесь второстепенную роль.

С учетом вытесняющего действия пограничного слоя разложение для комплексной скорости в области 1 внешнего потенциального течения вблизи точки отрыва имеет вид

〃一山=[%。一 i2kU/M + О (z)] +

+ Re-】/? [{iU..l2a^ 十 О (z~1/2 Inz)] + о(Не~1/2), z =力 + 切,

|z|-> 0.(3.24)

Здесь члены порядка единицы представляют решение для предельного состояния поля течения, и поэтому при arg z -> л и arg z О из него следуют соответственно выражения (3.3), (3.1) и (3.2). Члены порядка Re-1/2 обусловлены вытесняющим действием пограничного слоя, и вследствие этого при arg z л происходит сра- Щивание с полученным решением для уравнений пограничного 165

слоя при У f 8. (Многоточие в (3.24) означает, что здесь могут

появиться члены, вид которых находится из решения задачи для области взаимодействия.)

Окрестность точки z = 0, в которой члены O(Re-1/2/z) и O(zl/2) в (3.24) станут величинами одного порядка, т. е. |z| = O(Re~"3), представляет собой область взаимодействия. Наклон линий тока, обусловленный вытесняющим действием пограничного слоя, имеет

Рис. 5.11, Асимптотическая структура области взаимодействияРис. 5.11, Асимптотическая структура области взаимодействияздесь тот же порядок, что и наклон линий тока внешнего потенциального течения. Иначе говоря, при kl = O(Re~1/3) разложение (3.24) теряет свою равномерную пригодность, и уже в первом приближении распределение давления на поверхности тела дается не выражением (3.1), а должно определяться в процессе совместного рассмотрения течений в пограничном слое и вне его.

Рис. 5.11, Асимптотическая структура области взаимодействия

Рис. 5.11, Асимптотическая структура области взаимодействия

Течение в области взаимодействия. Определив характерный размер области взаимодействия, введем внутреннюю продольную переменную 力* = Re1/3^ =。(1) •

Рассматривая теперь решение (3.4), (3.5), (3.18), (3.1) уравнении пограничного слоя при 4r = 0(4) и 力 f —0 как внутренний предел внешнего асимптотического разложения, представим решение для основной части пограничного слоя (область 〃, р0c. 5.11) в области взаимодействия в следующем виде:

/ = Re-"力*, <ф = Re»2 屮，

'u^UQ (¥) + ReT/6q；(疗，Y) + 0(ReT/3 m r吐

у = (6a0)-1 Re-1/2 in Re + Re~1/2 у.(^*, ¥)+O(Re-2/3 In Re),(3-25)

p = pg + Re-1/6 p0(吟 屮)+。(Re-1/3 In Re).

Подставляя эти асимптотические разложения в исходные уравнения Навье — Стокса, получаем

静=0, Ро = Р* (讲)，(3.26)

U^-p^x^Uo1^ ^0 = G* ^) + Yq^ 匕=/跖乜艺

где G*(rr*) —- некоторая пока произвольная функция. Из сращивания с решением в области 2 следует, что при /來 + — оо

p*f-2k (-公)1/2, 0 = _ (2a0尸 In ［火(一况*)/寓 +bQ+o (1).

Увеличение толщины пограничного слоя при 力—0, определяемое выражениями (3.4) и (3.18), приводит к тому, что в области взаимодействия она становится величиной порядка Re-1/2 In Re.

166

В главном члене разложения поперечное изменение давления в основной части пограничного слоя отсутствует. Нетрудно убе* диться, что так же обстоит дело и в других областях пограничного слоя, и поэтому в дальнейшем разложения для давления выписываться не будут. Впервые поперечное изменение давления возникнет в третьем члене разложения (3.25), который имеет порядок Re_i/3.

В нижней части пограничного слоя (область IV), которая является продолжением области 4 и сохраняет толщину исходного пограничного слоя перед областью взаимодействия, решение аналогично (3.25), (3.26):

〃 = “(▽)+ Re-i/б万；(讲，屮)+。(В©-"? In Re),

B = Re」"2P。(屮)+O(Re"/3),(3.27)

万；=一 p*(/*)万「(屮)， 爲=j u-1^.

При /*-> —8 это решение сращивается с (3.16) и при 4r = О удовлетворяет условию непротекания на поверхности тепа.

Выражения (3.15),(3.17) для профиля скорости при

丨4r—屮s|f 0 показывают, что первый и второй члены разложений (3.25), (3.27) для продольной составляющей вектора скорости становятся величинами одного порядка при [Ч1* — ^Fsl = O(Re~1/12). Это означает, что вблизи линии тока U* = 4rs лежит новая характерная область медленных течений (область Ш), которая, очевидно, представляет собой продолжение области 3. Действительно, переходя в выражениях (3.13), (3.14), (3.18) к внутренним переменным

户=Re"怎 旷=Re"】？ ^ _Ws^(3.28)'

нетрудно видеть, что в области III решение может быть представлено в следующем виде:

〃 =Re~1/12W；(吟 哂 + О (Re"176),

У = (12〃0尸 Rei/2 In Re + R「/2K (n歩，叫 + 0 (电T^).(3,29)

В результате подстановки этих разложений вместе с (3.28) в исходные уравнения находим, что

^ + р^н^^ 啸諧(3.30)

Таким образом, в этой области течение локально невязкое и здесь справедлив интеграл Бернулли. Это связано с тем, что градиент давления (3.1) неограничено возрастает как 1^1 "1/2 при 力一f — 0 и, согласно (3.25), становится в области взаимодействия величиной порядка Re1/6, в то время как «вязкие» члены уравнения имеют здесь порядок Re_1/12.

Выражение для функции 〃*(旷)в (3.30) получается из сра- зцивания разложений (3.29) и (3.13):

Д* (屮*)=加屮*2/2 + 50, (3.31) где Во ——аддитивная постоянная, которая всегда может быть добавлена в функцию Бернулли.

Структура решения задачи в области взаимодействия суще- ственным образом зависит от того, равно 瓦 нулю или нет, по- зтому необходимо рассмотреть обе возможные ситуации.

Возникающая неединственность решения связана с тем, что течение в области III локально невязкое 口 вследствие этого вопрос о значении BQ есть по существу вопрос о выборе «схемы» течения.

Первоначально в упомянутой выше работе Сычёва (1979) было получено решение с 50 > 0 (при 50 < 0 решение становится мнимым) .Оказалось, что в этом случае внутри области III в некоторой точке происходит разветвление линии тока р* = 0 (рис. 5.12, а). За этой точкой лежит «застойная зона», в которой

Рис. 5.12. Схематическое изображение 3。> 0 血笈о = 0Рис. 5.12. Схематическое изображение 3。> 0 血笈о = 0течения в области взаимодействия притечения в области взаимодействия при

Рис. 5.12. Схематическое изображение 3。> 0 血笈о = 0

Рис. 5.12. Схематическое изображение 3。> 0 血笈о = 0

течения в области взаимодействия при

течения в области взаимодействия при

2*(%*) = 0, а линии тока 屮* = 0, охватывающие эту зону, есть линии разрыва, вдоль которых, согласно (3.30), (3.31), 〃: (％*, 0)= =(25о)"2. Иначе говоря, при 5° > 0 в области III получается течение со свободными линиями тока, наподобие течения по схеме Гельмгольца ——Кирхгофа. Минимальное значение, которое принимает здесь продольная составляющая 〃()(优*,屮*), равно (250)1/2, и поэтому в рассматриваемой области нет точки, где 〃:(比*,屮*) обращалась бы в нуль. Предполагалось (Сычёв, 1983), что обращение продольной составляющей вектора скорости в нуль и появление вледствие этого возвратного течения происходит во внутренней области, лежащей в окрестности точки ветвления линии тока

屮* = 0. (На рис. 5.12, а эта внутренняя область изображена в виде квадрата.) Однако попытки построить соответствующее решение оказались безуспешными. Причина этого заключается в следующем. Свободные линии тока на самом деле представляют собой тонкие слои смешения (заштрихованные области на рис. 5.12, а), которые своим эжектирующим действием вызывают медленное возвратное течение в «застойной зоне», так что в ней: и = О (Re-5/24)и р — “о =。(Re-5〃2). Поскольку слои смешения суть области очень большой завихренности (①=屮歹？=。(区^切％))， то в окрестности точки ветвления линии тока р* = 0, откуда этее слои берут свое начало, должна лежать область, которая являлась бы источником этой завихренности. Нереальность этой схемы течения обусловлена невозможностью объяснить причину появления внутри жидкости такой области, а следовательно, и причин зарождения вихревых слоев, развивающихся вдоль свободных линий тока. Альтернативой, указанной Ван Доммеленом и Шеном (19836), является требование положить Во = 0. В этом случае решение является гладким и соответствующее ему течение оказывается безотрывным внутри области взаимодействия (рис. 5.12,6).

Переходя к подробному описанию решения с 50 = 0, заметим, что в действительности (и это будет показано) отрыв происходит в области, лежащей на некотором расстоянии вниз по потоку от области взаимодействия.

Итак, положив 瓦=0, после подстановки (3.31) в (3.30) в последующего интегрирования получим

4 =(就产-2p*)叱 У： = g* (公)+ (2。。尸 1n(^^} (3.32)

Используя выражения (3.17), произведем сращивание решений (3.27) для области IV с решением (3.29), (3.32) при 4f f 4r^―仆 м p* — 8. В результате находим, что

g* = 一(2旬尸 In (一?*/2 圖 + 瓦.(3.33)

При 屮* -> 8 решение для области III сращивается с решением (3.25), (3.26) и при этом

G* = — (2〃°)т In (— р^12^) + g* g)・(3.34>

Выражения (3.33) и (3.34) определяют искомую функцию G* (力*):

б* =— 〃尸 In (一 p*) + 〃丁 In(2 加)+ &0.(3.35)

6*'=俨6*'=俨В полученном решении, как это непосредственно следует из (3.32), (3.35), вытесняющее действие (или, что то же самое, наклон линий тока)

6*'=俨

6*'=俨

(3.36)

создается медленным течением в нелинейной локально невязкой

± 63

области 111 и передается через основную часть пограничного слоя внешнему потоку.

Течение в областях II—IV (рис. 5.11) локально невязкое, и поэтому для удовлетворения условию прилипания на поверхности тела необходимо введение пристеночного слоя (область 7), в котором существенно действие вязких напряжений. Из разложения (3.19) следует, что при 力 + —0 функция тока Re"?屮 в вязком подслое меняется по закону \x\i/2, и поэтому в области взаимодействия, т. е. при lad = O(Re-"3),屮 становится величиной порядка Re-2/з. Мы не станем, однако, останавливаться на подробном анализе решения, поскольку, так же как и в пограничном слое прп х — —0, течение в этой области играет второстепенную роль в процессе взаимодействия. Заметим только, что это решение (обеспечивающее выполнение условий прилипания при 屮=0 и сращивания с решениями в областях 5 и IV) в силу линейности получаемых уравнений может быть выписано в явном виде (Сычёв, 1979, 1983).

Система соотношений, описывающая течение в пограничном слое области взаимодействия, не замкнута. Для ее замыкания и нахождения функции р*(/*), как это уже неоднократно делалось в предыдущих главах, рассмотрим область / внешнего потенциального течения, имеющую поперечный размер порядка продольного размера области взаимодействия, т. е. область, где становится несправедливым разложение (3.24).

Согласно (3.25) и (3.36) переменная часть давления :и вертикальная составляющая вектора скорости на внешней границе пограничного слоя суть величины порядка RL。Поэтому, вводя для рассматриваемой области переменные

^* = Ве4/Ч y* = Re。仇(3.37)

представим решение в виде

u^UQ0 + Re」％(吟 严)+ о (Re-V3 ln %,

и = Rei%吟(吟 严)+。(Re-из b Re)?(3.38)

P ^ Ao + Rei^ (* j) + О(Re-i/з in Re).

В результате подстановки этих разложений в уравнения Навье —- Стокса находим, что U； = — U^P^, а функции Р；(%*, у*) и U^{x^,y^ связаны между собой уравнениями Коши ——Римана. Следовательно,

W* (z*) = Р： + iU^t z* =状 + 妒(3.39)

является аналитической функцией. Из сращивания с решением в основной части пограничного слоя, на основании выражения 《3.36), получим

Im W* be = U^(x^)^ 一雾(3.40) ho

При 丨 z*| -> 8 решение в области I должно сращиваться с решением, описывающим течение в масштабах обтекаемого тела при |z|-> 0 (область 7). Поэтому, используя разложение (3.24), запишем:.

Ж* = Z2fe*1/2 + 认來处т/2 + %%济т + о (处Т/2), IZ* ] f ОО,

% = — U^j2aQ. (3.41)

При arg z* -> 乳 это разложение, как нетрудно видеть, обеспечивает сращивание с решением в пограничном слое перед областью взаимодействия. Полагая arg z* + 0 и используя (3.40), находим, что при 力* + 8

G*' = 2kU^x^2 + 入*С//%*】/? - (2〃0)-%*7 + О (状7/2), р*—°.

(3.42)

В разложении (3.41) помимо членов, входящих в (3.24), имеются члены, содержащие постоянную Z*. Их появление обусловлено неопределенностью в выборе начала продольной координаты в области взаимодействия. Значение Z* не может быть найдено из решения локальной задачи. Для определенности будем в дальнейшем полагать Z* = 0, имея в виду, что переход к решению с 九** * 0 осуществляется заменой переменной х на х —入*"一【Re~1/3.

Из решения краевой задачи (3.40), (3.41) для аналитической функции (3.39) следует (см. § 5 гл. I), что при у* = 0 действительная ее часть, которая, очевидно, определяет распределение давления в пограничном слое, связана с мнимой частью следую* щим интегралом:

UlQG^ = 2Ъ*1/20 (状)一*，[р* ⑴+ 2： ^)1/20( к)尬(3.43)

в смысле главного значения. Здесь 8(/*)——функция Хэвисайда. Это выражение замыкает систему соотношений (3.25) — (3.29), (3.32)——(3.35), которая описывает течение в области взаимодействия.

Уравнения (3.35), (3.43), служащие для определения G* (力*)' и р*(力*), содержат положительные постоянные а。,乃,U0Q. Однако с помощью преобразования

公=(М尸中曜p* = 2〃严(码^)2険,必)

G* = 2〃丁唱 + 〃「In 同з (№ооГ2/81 + %'

эти_ постоянные могут быть исключены, и тогда уравнения для G(X), Р(Х) принимают вид

G = _ % In (- Р),=х1/2е(X)J『⑴+ 二？Е 运

°°(3.45)

17[

Решение этих уравнений _находится численно. На рис. 5,13 представлен график функции Р(Х). Заметим, что решение задачи (3.39) — (3.41) может быть получено не только путем сведения ее к (3.45), но и с помощью разложения функции W*(z*) в ряд (Ван Доммелен и Шен, 19836).

Из уравнений (3.45) и разложения (3.42), с учетом преобразования (3.44), непосредственно следует, что при %* т оо

р* = — 2to*1/2 exp [— %力*з/2 + о (1)],

G* =%a)%*" 一(2a0尸 1口 片歩 -若11口 (加儲)+ b0 + о (1),(3・46)

Обратимся теперь к анализу полученного решения. В области медленного течения в пограничном слое (область III) 1 где 〃 = = 0(ReT/'2), профиль скорости имеет минимум при 屮=屮$ и, согласно (3.28), (3.29), * (3.32), %)(加*, 0) = (— 2р*)"2. Это в свою очередь означает, что 〃: (％*, 0) принимает всюду в области взаимодействия положительные значения, а при f 8, в соответ-

Рис. 5.13. Распределение давления в ©бласти взаимодействияРис. 5.13. Распределение давления в ©бласти взаимодействияствии с (3.46), эта функция экспоненциально стремится к нулю. Следовательно, при значении аддитивной постоянной б。в (3.31), равном нулю, получается гладкое решение, не содержащее точки обращения в нуль продольной составляющей вектора скорости.

Рис. 5.13. Распределение давления в ©бласти взаимодействия

Рис. 5.13. Распределение давления в ©бласти взаимодействия

Таким образом, в отличие от уже привычных ситуаций, с которыми мы имели дело в предыдущих главах, когда точка отрыва

находится в области взаимодействия, в рассматриваемом течении отрыва внутри области взаимодействия не происходит.

Это отличительное свойство механизма отрыва на подвижной поверхности объясняется тем, что. медленное течение внутри области взаимодействия, где можно было ожидать появления возвратного течения, является невязким. Отсутствие же действия сил внутреннего трения (в главных членах разложения) связано с тем, что эта область расположена не на поверхности тепа, а на рас

стоянии порядка толщины пограничного слоя.

Итак, несмотря на действие большого самоиндуцированного градиента давления {др/дх = O(Rei/6)), течение в области взаимодействия остается безотрывным. Взаимодействие приводит лишь к уменьшению продольной компоненты вектора скорости и заметному расширению пограничного слоя. Такой характер течения вблизи точки отрыва согласуется с результатами экспериментальных измерений профиля скорости, полученных Людвигом (1964) (см. рис. 5.6, а).

Течение за областью взаимодействия. Отрыв пограничного слоя. Торможение жидкости в центральной части пограничного слоя должно, очевидно, приводить к тому, что в некоторой точке, лежащей вниз по потоку от области взаимодействия, продольная составляющая вектора скорости в конце концов обратится в нуль, и за этой точкой будет лежать область возвратного течения. Ясно, что это должно происходить в той части пограничного слоя, которая является продолжением области III. (На рис. 5.14 она изображена в виде области В.)

Как мы видели при анализе решения в области 77/, действие вязких напряжений проявляется здесь лишь в следующих членах

Рис. 5.14. Асимптотическая структура течения в окрестности точки отрыва на подвижной поверхности

разложения. Поскольку градиент давления, согласно (3.46), экспоненциально стремится к нулю при 力* f 8, то следует ожидать, что в области 5 уже в нулевом приближении станет существенным действие сил внутреннего трения. (В этом можно убедиться и формально, рассмотрев следующие члены асимптотического разложения в области ///.)

Используя эти соображения, получим некоторые предварительные оценки для параметров течения, что позволит нам перейти к построению решения в области 5 и других областях, лежащих за областью взаимодействия.

Однако прежде сделаем одно небольшое замечание, касающееся метода сращиваемых асимптотических разложений.

Хорошо известно, что для сращивания асимптотических разложений, справедливых в областях их равномерной пригодности, необходимо существование областей перекрытия (Каплун, 1967). Как правило, при построении асимптотических разложений в качестве независимых переменных выбираются координаты, связанные с геометрией течения. Использование таких переменных в этой и предыдущих главах не приводило к трудностям при сращивании благодаря возможности вводить области перекрытия (хотя последнее специально не оговаривалось). В некоторых случаях характерные области не имеют между собой областей перекрытия в исходных переменных, но имеют их в некоторых других специально выбранных переменных. Это связано с тем, что в этих новых переменных характерные области оказываются шире, чем в исходных.

Такая ситуация, как мы увидим, как раз п возникает в рассматриваемом нами течении.

Возьмем вместо %* в качестве независимой переменной в области III функцию 卩*. Тогда асимптотическое разложение (3.46) примет вид

状(р*) = X* (х) = 丫丁2/3 (%2/з + ^ х~1/3 in X + 4 0о%т/з) +

+。(%73), % = 一1口(一Р*)，(3.47)

₽0 = 1п(2^1/3)

при р*—0 (% -> °°). Поскольку функция р*(/*) экспоненциально стремится к нулю при %* -> 財,то во введенной выше области 5 давление окажется по порядку величины меньшим по сравнению с его значением в области взаимодействия, т. е.

р* =而о = Re1/6 (р — р00).(3.48)

Здесь o = o(Re)—малый параметр, величина которого стремится к нулю при Re f 8, а р0 определяет распределение давления в области В. Параметр о (Re) характеризует отличие по порядку величины для давления в областях III и В.

Подставляя теперь (3.48) в (3.47), получаем, что в области В 富=ReT/з" = Ms。+ AZ (瓦)+ о (АЗ

А。= Re—i/з [(1口 尸严 + I (In In L) (In 尸尸3卜 (3.49) % = Re-“3 (In Di, s° =泞 2/3 =(幾户

Из сращивания функций £*(р*) и Х(р0) в областях III и В при р* —0 и /о т—оо следует, что

X g- So In (— PiPo) +。(1) при Ро f — ОО, 01 = (2田7隔/3.

(3.50)

Таким образом, область 8, в которой р — рОо есть величина порядка oRe-“* находится на расстоянии Aoso ^ O(Re-1/3) от начала координат (рис. 5.14) и, следовательно, области III и В не имеют между собой области перекрытия в исходных переменных.

Рассматривая теперь решение в области III при р* f —0 как внутренний предел внешнего асимптотического разложения и подставляя выражение (3.48) в (3.32), находим, что в области В

щ^О (а1/2), ^ = 0 (а1/2).(3.51}

Эти оценки, очевидно, обеспечивают баланс инерционных членов в уравнениях движения с градиентом давления, а также, как мы увидим, условия сращивания с основной и нижней частями пограничного слоя.

174

Используя выражения (3.28), (3.29) и полученные оценки (3.48), (3.49), (3.51) для параметров течения, можем представить решение в области В в исходных переменных в следующем виде:

况=&S。+ &Х,屮=RUWs + (?/2 Re-7/12千，

e=产 &t/气(X,沔 + 0^ мт］)

У = з(Re)+ ReT2K(X, Ф) +。(於宀)，,°

P = PQQ +о ReT/6/o (X,审)+ о (о Re~1/6).

Подставляя эти разложения в уравнения Навье ——Стокса и исходя на основании сказанного выше из баланса инерционных и «вязких» членов, приходим к уравнениям пограничного слоя Прандтля

Для малого параметра о (Re) при этом получается трансцендентное уравнение

о (In L)2/3 = Re-。(3.54)

Функция G(Re) из (3.52) остается пока произвольной, и для ее определения необходимо рассмотреть течение в области & которая является продолжением нижней части пограничного слоя (рис. 5.14).

Изменения давления, происходящие в области взаимодействия, не вносят изменений в профиль скорости в области IV. Поэтому в качестве главных членов_ разложения в области С будут сохраняться функции Uo(屮)и 匕(屮)из (3.27). Используя разложения (3.17) для этих функций при 4r 4fs— 0 и осуществляя сращивание с решением в области В, находим, что при 4r — оо

丸 f 一 旬毘 R) f 一 a「］口 (一可)+。(1),(3.55)

а также, что

G = Re-/2Ml2а°)- In(厂 Re)+ 几］. (3.56)

Заметим, что для удовлетворения условию прилипания на поверхности тела необходимо введение пристеночного слоя (область D), в котором проявляется действие вязких напряжений, но который, как и раньше, не оказывает влияния на течение в центральной части пограничного слоя. Более того, в области взаимодействия градиент давления при 8 стремится к нулю, и поэтому изменения давления вниз по потоку от нее не будут оказывать влияния (в главных членах) на течение в пристеночной области. Здесь и всюду ниже по потоку, вплоть до области / = 0(1), будет оставаться справедливым решение для области V при /* — °°, записанное в соответствующих переменных.

Для определения асимптотического поведения решения на внешней границе области В рассмотрим течение в верхней части пограничного слоя (область 4).

Взаимообусловленность наклона линий тока п изменений давления на внешней границе пограничного слоя в области взаимодействия уже не имеет места вне нее. Более того, экспоненциальное стремление к нулю градиента давления, сопровождаемое увеличением наклона линий тока в верхней части пограничного слоя при 力來 + оо (см. соответственно выражения (3.46) я (3.42)) приводит к тому, что вниз по потоку от области взаимодействия они становятся величинами разного порядка. Таким образом, в области / наклон линий тока полностью обусловлен течением в области взаимодействия и, следовательно, определяется выражениями (3.25), (3.26) при /*-> 8； изменения давления, происходящие здесь, не оказывают на него влияния. Формально это следует из справедливости разложения (3.24), которое определяет наклон линий тока на внешней границе пограничного слоя при значениях \z\ > O(Re-1/3). Поэтому, переписывая выражения (3.25), (3.26), (3.42) через переменную X из (3.52), имеем:

У = (6〃°)т In (a-6 Re) + ^ 享 х + 匕(屮)+ о

一若 1 In (若Y产加)+ % +。(1). (3.57)

В качестве главного члена разложения для профиля скорости здесь, как и в области С, сохраняется £/()(屮).Используя теперь выражения (3.15), произ1ведем сращивание решений в областях Л и 5. В результате, с учетом (3.56), будем иметь

^о - з可，У0->^11пT + |^Х + a^ln (加 *3优)+。⑴

〜(3.58)

при 出-> 8.

Для получения начального условия в области В изучим наведение решения уравнений (3.53) при X —8.

Из выражения (3.50) следует, что

〜3咨3

方0-> — 2许”3 exp (— 2丫/) при Xf — оо, % = —|—.(3.59)

Тогда для продольной составляющей вектора скорости, с учетом ее поведения (3.55), (3.58) при 丨屮| -> 8 или на основании интеграла Бернулли, справедливого вплоть до области В, решение может быть представлено в виде

К f exp (一厶X)篇(3, т = Ф exp (丫困.(3.60)

Подставляя это выражение вместе с (3.59) в (3.53) и производя интегриро1вание получающегося уравнения, находим

凡=(〃託2 + 4 许「/3)1/2.(3.61)

Из третьего уравнения (3.53) следует, что при Х->—00 решение для У0(Х W), удовлетворяющее условиям сращивания при \W\ -> 176

f 8, имеет вид

Yq f 丫i〃o 4 + % ⑴ +。(1),

(3.62>

Еще раз подчеркнем, что сращивание асимптотических разложений в областях III и В производится после указанного выше перехода к новым независимым переменным.

Согласно исходным представлениям о характере течения в рассматриваемой области В, при некотором значении X продольная составляющая вектора скорости обращается в нуль и происходит отрыв потока. Поэтому система краевых условий для области 5> как и в рассмотренных выше задачах об отрыве от неподвижной поверхности, должна быть дополнена условиями, поставленными вниз по потоку, т. е. при X f 8.

Асимптотическое разложение при X -> 8 может быть получена на основе тех же соображений, что и раньше (см. гл. I и II).

В верхней части рассматриваемой области при X -> 8 развивается подслой смешения, который отделяет основную часть пограничного слоя от зоны возвратного течения.

Решение для подслоя смешения будем искать в виде

/ = X/ (з) + о (Х>),% =可/*,(3.63>

где р, г —— некоторые постоянные. Подставляя это разложение в (3.53) и исходя из баланса «вязких» и инерционных членов, находим: р = 2г ——1. Из условия на внешней границе подслоя смешения известно, что и0 = 0(屮)при 4f -> °°,丛 поэтому р = г. Таким образом,

р = т=1.(3.64)

Уравнение для /+(п+), полученное подстановкой (3.63) в (3.53), принимает при этом вид

(/+/〔)' + П+4 一 /+ = 0・(3・65〉

Градиент давления не входит в уравнение для подслоя смешения, поскольку его величина, как мы увидим, стремится к нулк> при X + 8.〜〜

Из уравнения для 声о(Х,屮)в (3.53), в результате подстановки туда разложения (3.63), (3.64), следует, что

К =矶(n+) + g+ (X) + о(1),% = J 疔切必，(3.66>

где g+ (X)——произвольная функция.

Решение уравнения для /+(п+) должно удовлетворять условпк> (3.58), которое обеспечивает сращивание с основной частью пограничного слоя; в переменных X, п+ он° имеет вид

Д(оо) = а0.

‘2 п./ред. В. В. Сычёва‘77

Кроме того, должно быть выполнено обычное условие для слоя смешения: О。(X, ?o)f 0 при 匕—8. В переменных X, т)+ это условие записывается так:

/+ @) = 0, 由=const.

Решение уравнения (3.65), удовлетворяющее этим условия^!, может быть получено в явном виде:

/+ = 〃0(П+ +。0), Йо = —〃о・(3.67)

Единственность этого решения была доказана Диесперовым (1986).

Подставив выражение (3.67) в (3.66) и произведя сращивание с решением в основной части пограничного слоя, будем иметь

歹。=%*3a/x + ь尸 In X + 无+ (加)+

•+<b(^vJ/3A) + o(l), (3.68)

无+ = a/ In (n+ + а。)(X f oo).

Совершенно аналогично строится решение для подслоя смешения, который развивается вдоль линии тока 屮=0 в нижней части области В при X -> 8. В результате получаем

焉=x/_(n一) + 。(Х),忆=一茹 11nХ +无一 6一) +。(1);

〜/(3.69)

/一 =旬(n一 + 〃())，无_ = — 〃)In (т]_ + а。)， П-=—屮/X.

Зона возвратного течения, расположенная между подслоями смешения, согласно выражению (3.58) для Уо(Х,屮),расширяется при X -> 8 по линейному закону. Повторяя рассуждения из гл. I о том, что движение в этой зоне обуславлено эжектирующим дей^ ствием подслоев смешения, и учитывая при этом, что величина расхода жидкости через них растет также линейно при X -> °°, нетрудно получить

〃о = — ^о/Yi Н~ о (1)? Ро =—圆/(2丫；)+ о (1),

К = Т1Ж 一 丫河/就 + (2〃о)т m (〃冠/з/冷 +。(1).(3.70)

Таким образом, уравнения (3.53) вместе с выражениями (3.55), (3.58) — (3.64), (3.67) —(3.70) представляют собой краевую задачу, решение которой описывает течение в области В.

Эти соотношения содержат три произвольные (с точки зрения локального рассмотрения) постоянные a。, k, UQQ, Однако с помощью преобразования

Х = у/Х\ *=а°урК щ = ^U\

》о =暗рр, К = ^Yf + (2%т In (痂产/矶(3.71)

Yi =4需a ?。=粉

краевая задача приводится к виду, содержащему одну произвольную постоянную

(3.72>

Есл^ еще совершить транспозиционное преобразование Прандтля

y‘ = Z' + X‘，(3.73>

то задача становится симметричной относительно оси Z' = 0 п, еле— довательно, условия, поставленные при Z'-> ——8, могут быть заменены на обычные условия на оси симметрии:屮‘ =4^2= 0 прж Z' = 0. И, наконец, сдвиг начала системы координат

(3.74)(3.74)Х' = Х〃 +1п а*

(3.74)

(3.74)

позволяет исключить постоянную а*.

Итак, после преобразований (3.71) ——(3.74) краевая задача для: области В, записанная в переменных 女〃,Z', принимает вид

@屮@2¥dZ dXdZ@屮@2¥dZ dXdZ空02里空02里.dP 庐屮+忍F；.dP 庐屮+忍F；

@屮@2¥

dZ dXdZ

@屮@2¥

dZ dXdZ

空02里

空02里

.dP 庐屮

+忍F；

.dP 庐屮

+忍F；

при Z = 0:屮=—2 =、0; dZ

при Z -> 8 ： 4r exp (Z — X);

щшХ->—8：屮-2exp(-X)shZ, P->—2 exp(—2X); (3.75) при X 8： 4 f IX■①(2V),①=exp N — 1,

N = Z — X — \nX, N = O⑷；

▽ f—XS, S = Z/X, S = O(1), 一1/2.

(Здесь и ниже штрихи в обозначениях опущены.;

Условия на оси симметрии (Z = 0) указывают на то, что при фиксированных значениях X продольная составляющая вектора скорости 4rz принимает на ней минимальные значения. Это означает, что точка отрыва лежит на оси симметрии, и поэтому в ней выполняется условие Мура ——Ротта — Сирса

声=^ = U При А = AS, / =声=^ = U При А = AS, / =0.0.

声=^ = U При А = AS, / =

声=^ = U При А = AS, / =

0.

0.

В отличие от классической постановки задачи для уравнений пограничного слоя Прандтля, в (3.75) распределение давления Р(Х) должно находиться в процессе решения. Заданным здесь является вытесняющее действие 今(X) на внешней границе области В; согласно разложению при Z -> g в (3.75)

"愿（一農闕d

12*12*479

12*

12*

Решения краевых задач для уравнений Прандтля при заданной толщине вытеснения и обычных условиях прилипания на поверхности тела, как впервые показали Кэтирелл и Манглер (1966), ведут себя регулярно в точке нулевого поверхностного трения и, следовательно, могут описывать реальные течения с возвратными токами (Боголепов и Нейланд, 1971; Смит, 1976).

Решение рассматриваемой задачи (3.75) оказывается удивительно простым, оно выписывается в явном виде:

屮= 2exp(-X)shZ —Z, Р = —1/2-2 ехр(-2Х).

Из выражения для функции тока находится продольная координата точки отрыва Xs = In 2 и поле линий тока, представленное на рис. 5.15. (Соседние линии тока на этом рисунке построены с интервалом значений 屮，равным 0,5.)

Вниз по потоку от области, где происходит отрыв, оторвавшийся пограничный слой состоит из основной части п подслоя смешения

(области 4' и В+ на рис. 5.14), которые являются продолжением соответственно области Л и верхней части области 5. Минуя промежуточную область, в которой / = 0(Ао), эта оторвавшаяся часть переходит в обычный слой смешения, имеющий в масштабах тела, т. е. при 力=。(1), у = О(1), толщину исходного пограничного слоя. Форма линии тока, вдоль которой он развивается, определяется при х -> +0 выражением (3.2). Нижняя часть пограничного слоя, прилегающая к движущейся поверхности тела (области 5_, С\ 力')переходит при этом также в пограничный слой с толщиной порядка Re-1/2. Что касается области возвратного течения, то движение в ней вызывается эжектирующим действием слоя смешения и пристеночного слоя.

Проведенный выше анализ, касающийся течения за областью взаимодействия, был дан в работах Сычёва (1984, 1987).

• Асимптотичеокое решение уравнений Навье ——Стокса, описывающее течение в окрестности точки отрыва на подвижной поверхности, содержит ряд постоянных. Их значения могут быть определены из решения задачи отрывного обтекания в масштабах тела в целом, т. е. совместного решения следующих двух задач: задачи внешнего обтекания и задачи о расчете пограничного слоя на всей Поверхности тела вплоть до точки отрыва свободной линии тока. Положение последней при этом определяется из условия, что профиль приходящего к ней пограничного слоя является предотрыв- нь1м и имеет вид (3.4), (3.5), (3.13) — (3.23), т. е. здесь выполняется условие Мура — Ротта — Сирса. Тем самым, очевидно, определяются значения как постоянных а。, Ьо, с*,屮s, характеризующих этот профиль, так и постоянных A, p0Qi входящих в выражения (3.1), (3.3), поскольку последние определяются заданием положения точки схода свободной линии тока.

Заметим также, что по мере уменьшения величины скорости поверхности тела, как этого и следовало ожидать, мы приходим к течению в окрестности точки отрыва от неподвижной поверхности (Сычёв, 1972) (см. гл. I). Если через £〃^ обозначить скорость поверхности тела и считать, что 〃^ ——некоторая положительная постоянная, а 8 (Re)——малый параметр, величина которого стремится к нулю при Re + °°, то значение поютоянной А в (3.1), (3.2) стремится к нулю, как £”2. Эго означает, что локальное решение для предельного состояния поля течения при Re + 8, как и при отрыве от неподвижной поверхности, удовлетворяет условию Бриллюэна ——Билля о конечности кривизны свободной линии тока в точке отрыва.

При 8 > O(Re-'/8) решение имеет почти ту же структуру, что и при конечных значениях скорости поверхности тела. Различие заключается в том, что характерные области, изображенные на рис. 5.14, оказываются вложенными в область, где \х\ = О(83). Продольный размер области взаимодействия при этом будет \х\ = O(E‘/3Re-'/3), а переменная часть давления и продольная составляющая вектора скорости в нелинейной локально невязкой части области взаимодействия будут соответственно величинами O(82/3Re-1/6) и O(81/3Re~1/12). При 8 = Re-1/8, как нетрудно видеть, характерные значения как параметров течения, так и размеров областей, переходят в соответствующие значения трехслойной структуры ламинарного отрыва от неподвижной поверхности. Более подробное изложение этого предельного перехода содержится в упомянутых выше работах Сычёва (1979, 1983).

Разрушение следа. В заключение этого параграфа обратимся к рассмотрению разрушения симметричного следа, которое, как мы увидим, по существу не отличается от рассмотренного выше отрыва на подвижной поверхности.

Это явление наблюдается всякий раз, когда след за тонким телом, например за пластиной, установленной параллельно набегающему потоку, попадает под действие неблагоприятного градиента давления, который может создаваться присутствием в потоке друго'

181

го тела (рис. 5.16). Процесс разрушения всегда связан с тем, что действие положительного градиента давления приводит к интенсив-* ному замедлению движения жидкости во внутренней части следа, так что скорость течения в конце концов обращается в нуль в некоторой точке, расположенной на оси симметрии.

Трение на оси симметрии следа равно нулю, и поэтому в точке его разрушения, где скорость также обращается в нуль, будет выполняться условие Мура ——Ротта — Сирса. Вследствие этого после

Рис.пятствием по Чаплыгину (1899)Рис.пятствием по Чаплыгину (1899)незначительных упрощений решение для течения в окрестности точки отрыва на подвижной поверхности переходит в решение, которое описывает течение вблизи точки разрушения следа. Суть этих упрощений сводится к тому, что линия

Рис.

пятствием по Чаплыгину (1899)

Рис.

пятствием по Чаплыгину (1899)

Рис. 5.17. Картина разрушения следа согласно экспериментальным наблюдениям Верле (1971) при Re ^ 104Рис. 5.17. Картина разрушения следа согласно экспериментальным наблюдениям Верле (1971) при Re ^ 104нулевого трения, лежащая в пограничном слое перед точкой отрыва, становится осью симметрии. Перед точкой разрушения (力 + —0) в следе можно выделить две характерные области: основную его часть и прилегающую к оси симметрии нелинейную локально невязкую область. Решение в этих областях будет иметь вид (3.4), (3.5), (3.13) — (3.15), если в этих выражениях положить 4rs = =g(力) = 0. (В силу симметрии речь идет только о течении в верхней полуплоскости, а на оси следа, как обычно, p = y = O.) Таким образом, разрушению следа предшествует увеличение его поперечного размера по логарифмическому закону. Предельное состояние поля течения при Re оо описывается решением Чаплыгина (1899) об обтекании тела с каверной, имеющей впереди точку возврата (рис. 5.16).

Рис. 5.17. Картина разрушения следа согласно экспериментальным наблюдениям Верле (1971) при Re ^ 104

Рис. 5.17. Картина разрушения следа согласно экспериментальным наблюдениям Верле (1971) при Re ^ 104

Интересно отметить, что эффект расширения следа при его разрушении впервые был обнаружен опытным путем Верле (1971) с помощью визуализации течения. На рис. 5.17, заимствованном из этой работы, представлена наблюдавшаяся картина течения.

Решение задачи о разрушении следа содержится в работах Сы~ чёва (19786, 1983, 1984).

Отрыв нестационарного пограничного слоя

Если движение гладкого тела в пространстве, заполненном жидкостью, начинается из состояния покоя, то, как уже отмечалось в・ § 1 этой главы, поле течения в начальные моменты времени остается непрерывным и потенциальным. Отрыв потока происходит нз

сразу, а лишь через небольшое конечное время, после того как вблизи пожерхности произошло образование пограничного слоя. Поэтому, прежде чем переходить к анализу течения в окрестности точки отрыва, рассмотрим стадию течения, которая предшествует ее появлению.

Предотрывное течение нестационарного пограничного слоя. После начала движения тела в вязкой жидкости распределение давления дается решением задачи о его стационарном безотрывном обтекании (Блазиус, 1908). Классическим примером может служить течение около кругового цилиндра, который мгновенно приобретает некоторую конечную постоянную скорость. Уравнения для течения в нестационарном пограничном слое /вблйзи поверхности тела вместе с соответствующими начальными и граничными условиями имеют вид

ди ди ди &Ре d2M

(4.1)(4.1)孤而+卜赤+石=病，

(4.1)

(4.1)

U f Ue(X)При У ~> 8,力 > 0；

品 (% /，0)=?(方，0)= 北(力 0, y)=北(方，n，y)= 0 при 方 20;

и = Ue(x) при £= 0, У > 0;

Ue = 2 sin £, dpe/dx = —4 sin / cos /, 0 W / 0 n.

Здесь / = 0 и % = n — координаты передней и задней критических точек, EU^i力一 время; для других переменных сохранены прежние обозначения, а в качестве характерного размера тела L взят радиус цилиндра. Решение задачи (4.1), которое описывает начальную стадию течения (力一> +0), имеет вид

(4・2)(4・2)屮=2 円 2% £ f^n (%, !]),刀=Y^.

(4・2)

(4・2)

В результате подстановки (4.2) в (4.1) для функций срп (爲 п) получаются обыкновенные дифф ер енциальные уравнения по переменной % а / играет роль параметра; так, для главных членов разложения имеем

(4.3)(4.3)Фо =屮оо(П)，Ф1 = ^еФю(Л)-

(4.3)

(4.3)

Заметим, что функция 屮。(瑞 п) удовлетворяет уравнению теплопроводности, это означает, что главный член разложения (4.2) опп- бывает процесс вязкой диффузии.

Выражения для (рОо(^)風 屮ю(п) были найдены Блазиусом п оказалось, что в момент времени t = t0 = [2(1 + 4/Зл)]-1 = 0,3510 мз задней критической точки вдоль поверхности цилиндра начинает двигаться вверх по потоку точка нулевого трения. Коули (1983) бил вычислен пятьдесят одпн член разложения (4.2) и получено значение 力о = 0,32191989).

котором в решениикотором в решениискорости и завихренности в пограничном слое вблизи особой точки (Ван Доммелен и Шен, 1982)скорости и завихренности в пограничном слое вблизи особой точки (Ван Доммелен и Шен, 1982)ничного слоя при tничного слоя при t

котором в решении

котором в решении

скорости и завихренности в пограничном слое вблизи особой точки (Ван Доммелен и Шен, 1982)

скорости и завихренности в пограничном слое вблизи особой точки (Ван Доммелен и Шен, 1982)

ничного слоя при t

ничного слоя при t

Можно было бы ожидать, что при 力 f 8 решенпе задачи (4.1) выйдет на стационарный режим, однако этого не происходит, так как стационарного решения этой задачи не существует. Дело в том, что в решении стационарных уравнений пограничного слоя с распределением давления из (4.1) при х = х^ = 1,82298 (=104,45°) (Террилл, I960) поверхностное трение обращается в нуль и, как обычно, здесь возникает неустранимая особенность (см. гл. IV)， Возникает вопрос: существует ли конечный момент времени %, прп

задачи (4.1) возникает особенность? Ответ на него был дан Ван Доммеленом и Шеном (1980» 1982). На основе численного решения с использованием переменных Лагранжа в этих работах впервые было установлено, что при 力=% = 1,50225, / = д = 1,9368 (=110,97°) в пограничном слое возникает точка, в которой выполняется условие Мура — Ротта ——Сирса и в решении появляется особенность. На рис. 5.18 представлены графики профиля скорости и величины завихренности со = ди/dY, отнесенной к ее значению на поверхности тела в мо-

мент времени 力=1,4969 и /=111,04* т.

непосредственно перед тем, как появилась особенность.

Возникающая при t = ts особенность характеризуется неограниченным ростом толщины пограничного слоя: У =。[(力$ 力)一""] при 力一> 力s — 0 (Ван Доммелен и Шен, 1982). Это при- водит к тому, что в окрестности точки х = xs при I力——力si =0(Re~2/11) начинается процесс взаимодействия «локально невязкого» тече- ния в пограничном слое с внешним потенциальным потоком (Эллиот и др., 1983). Приведенная выше зависимость для толщины погра- 力6 — 0 прекрасно подтверждается численным

решением Ингэма (1984).

Причина возникновения особенности состоит в том, что засоренность, которая непрерывно зарождается на поверхности тела с, момента начала движения, не может, вообще говоря, оставаться в； области полностью присоединенного пограничного слоя в течение* бесконечно большого периода времени. Характер особенности — неограниченный рост толщины пограничного слоя при 力=/$， как раз и указывает на это. После ее появления, т. е. при t > tSb нестационарные эффекты, сосредоточенные прежде в пограничном слое, начнут проникать во внешнее потенциальное^ течение.

Таким образом, решение Ван Доммелена и Шена дает описание- реального течения вплоть до момента появления особенности. Зто. полностью соответствует соображениям, высказанным Тенпонисо/ и Сахалисом (1974) о том, что переход к отрывному режиму обте— 184

кания сопровождается появлением особенности в некоторый конечный момент времени.

Экспериментальные данные, дающие представление о характере течения при импульсивном движении цилиндра, хорошо согласуются с описанными выше результатами. Исследования Прандтля (1927), Хонджи и Танеда (1969), а также других авторов, основанные на визуальных наблюдениях, свидетельствуют, что сразу после начала движения получается картина безотрывного потенциального обтекания, и лишь в тонком пристеночном слое в окрестности задней критической точки появляется область возвратных токов. В дальнейшем с течением времени происходит увеличение поперечных размеров этой области и затем с паверхности тела сходит

Рис. 5.19. Положение точки нулевого трения на поверхности цилиндра: темные кружки — Ван Доммелен и Шен (1980); светлые кружки — Нагата и др. (1979) при Re = 600; сплошная линия ——Томан и Шевчик (1969) при Re = =2-Ю4; штриховая линия — Коллинз и Деннис (1973) при Re = =50

вихревой слой, который свертывается в два симметричных концентрированных вихря. Измерение давления на поверхности цилиндра, проведенное Швабе (1935), указывает, что в начальной стадии оно довольно близко к его распределению в (4.1).

Данные экспериментальных исследований (Нагата, Минами и Мурата (1979)), а также численных решений Томана, Шевчика (1969) и Коллинза, Денниса (1973) дают неплохое количественное согласование с результатами Ван Доммелена и Шена (1980). На рис. 5.19 приведены значения координаты точки нулевого поверхностного трения в различные моменты времени; как видно, с увеличением значений числа Рейнольдса решение уравнений Навье —— Стокса приближается к решению задачи (4.1).

И, наконец, момент возникновения особенности *в решении прекрасно совпадает с моментом перестройки возвратного течения, которая, согласно экспериментальным данным Буара и Кутансо (1980), для Re = 4750 происходит при 力=1,50 и сопровождается резким увеличением толщины пограничного слоя с образованием второй рециркуляционной зоны.

Заметим, что на появление особенностей указывают также результаты других работ, в которых были рассмотрены задачи с внезапно возникающим движением. Так, Ис и др. (1984) изучали течение около кругового цилиндра, который, начиная свое движение, одновременно приводится во вращение, а Кравцова п Рубан (1985)——когда он начинает совершать крутильные колебания.

В работе Чен Юн-мина (1983) было исследовано течение около цилиндра эллиптической формы под углом атаки и, наконец, Уолкером (1978) и Долигальским и Уолкером (1984) было рассмотрено решение для пограничного слоя, который индуцируется точечным вихрем, расположенным на некотором расстоянии от поверхности тела.

Течение в окрестности точки отрыва нестационарного пограничного слоя. Появление особенности в решении уравнений пограничного слоя при заданном регулярном распределении давления указывает прежде всего на то, что исходное предположение относительно предельного состояния поля течения при Re 8 становится несправедливым. Поэтому для задач об установившемся обтекании тел, как мы видели в предыдущих главах, предельное состояние следует искать в классе отрывных течений идеальной жидкости со свободными линиями тока. Подобная ситуация возникает и в случае, если течение нестационарно.

В рассмотренной задаче об импульсивном движении гладкого тела исходное предположение состояло в том, что в пределе при Re оо течение остается безотрывным, и, следовательно, в соответствии с классическим подходом Прандтля можно выделить две характерные области: внешнего потенциального течения и пристеночного пограничного слоя. Условие асимптотического сращивания решений в этих областях дает распределение скорости и давления на внешней границе пограничного слоя. Однако появление особенности в решении краевой задачи для уравнений Прандтля в некоторый момент времени 力=% свидетельствует о несовместимости этого решения с задаваемым распределением давления в последующие моменты.

Для описания течения при t> ts необходимо пересмотреть решение для его предельного состояния или, другими словами, отказаться от предположения о безотрывностп. В то же время, поскольку течение начинается из состояния покоя, то по теореме Лагранжа при Re = 8 оно должно оставаться безвихревым. Для того чтобы совместить в рамнах идеальной жидкости условие потенциальности с нарушением условия безотрывности, Гельмгольцем (1858), (1868) было введено понятие вихревой пелены или поверхности тангенциального разрыва, появление которой соответствует началу отрыва потока. В реальных течениях, согласно Прандтлю (1904, 1927), вихревая пелена представляет собой вязкое образование, т. е. это оторвавшийся от поверхности тела пограничный слой и его толщина уменьшается пропорционально Re-1/2 при Re f 8. Как уже отмечалось, многочисленные экспериментальные данные свидетельствуют, что вихршая пелена свертывается в виде спиралей.

Начало построению автомодельных решений, описывающих течения с вихревой пеленой, было положено в известных работах Прандтля (1924) и Кадена (1931). Общее уравнение, описывающее эволюцию вихревой пелены в идеальной жидкости, было выведено и исследовано Никольским (1957 а, б). (Для частного случая, когда 486

вихревая пелена имеет в каком-то направлении периодическую структуру, это уравнение несколько позже было дано Биркго- фом, 1962.)

Следует заметить, что весь дальнейший анализ формально не связан с рассмотренным выше течением с присоединенным пограничным слоем, поскольку процесс перехода от безотрывного режима обтекания к отрывному до настоящего времени не изучен. Последнее относится также и к установившимся течениям, где структура внешнего потенциального потока должна скачкообразно изменяться, когда характерный параметр задачи достигает своего критического значения (см. гл. IV).

Итак, переходя к анализу течения в окрестности точки отрыва

нестационарного пограничного слоя, сделаем следующее исходное предположение: будем искать предельное состояние при Re f 8 в классе отрывных потенциальных течений с вихревой пеленой. Заметим, что при рассмотрении установившихся движений в предыду-

дпдх главах предельное состояние искалось в классе отрывных течений со свободными линиями тока, которые, согласно Гельмгольцу, представляют собой простейший вид вихревой пелены.

Введем следующие обозначения для безразмерных переменных:

2 ——время, отнесенное к LU0; 。'/',。‘У ——оси декартовой пря

Рис. 5.20. Схема течения в окрестности точки схода вихревой пеленыРис. 5.20. Схема течения в окрестности точки схода вихревой пеленымоугольной системы координат, направленные вдоль поверхности тела и по нормали к ней; и' и р'——проекции вектора скорости на эти оси,屮'——функция тока и р'——давление. Для остальных размерных и безразмерных параметров сохраним прежние обозначения.

Рис. 5.20. Схема течения в окрестности точки схода вихревой пелены

Рис. 5.20. Схема течения в окрестности точки схода вихревой пелены

Рассмотрим предельное решение при

Re 8. Введем неинерциальную систему координат (рис. 5.20), оси которой Ох, Оу связаны с движущейся вдоль поверхности точкой отрыва. Если через £()(%)

обозначить положение этой точки в исходной системе координат

при Re = оо, то тогда, очевидно, можно записать:

(4.4)(4.4)/‘=力（力）+怎旷=弘

(4.4)

(4.4)

〃，=/（力）+ 五色 /，y）, pz = 0（% 居 y）.

Здесь и ниже точкой обозначается дифференцирование по 方.Решение, описывающее течение идеальной жидкости в окрестности точки схода вихревой пелены с гладкой поверхности, было получено А. А. Никольским и С. К. Бетяевым (Еетяев, 1980). В верхней части плоскости течения, т. е. над вихревой пеленой (область + на рис. 5.20), разложение для комплексной скорости имеет вид

(4.5)(4.5)и — iv = U一 i2kUojz"" +。(z),

(4.5)

(4.5)

z = x + iy, \z\ f 0,

где функции Uoo = Uoo(力)>0,乃=k(t)> 0 остаются произвольными, и их значения определяются из решения задачи в целом. Форма вихревой пелены при ж -> +0 определяется выражением

y =如(力力)=^+0(产2),"=3/2.(4.6)

Между поверхностью тела и вихревой пеленой, т. е. при / > 0 и 0<у < ys (область —) справедливо представление (iz|f 0)

辽一iv =— z + о (z),772° (力)= —;(4.7)

поэтому при “ f +0

" = MQx +。(力)， Mq =一卩十(~*(4.8)

Из выражений (4.6), (4.8) непосредственно следует, что движение жидкости в этой области обусловлено деформацией тангенциально^ го разрыва. Если же входящие в (4.5) — (4.8) функции времени за- меннтъ на постоянные, то эти разложения переходят в (3.24), (3.2) для стационарного течения в окрестности точки схода свободной линии тока, а область, где 0 V ^ V ^s при / > 0 становится застойной зоной.

Проведенный в предыдущем параграфе анализ показал, что отрыв пограничного слоя на поверхности, движущейся вниз по потоку с постоянной скоростью, происходит в области, которая лежит на некотором малом расстоянии (см. выражения (3.49)) от области взаимодействия. Учитывая это обстоятельство, для дальнейшего нам будет удобно заранее представить решение уравнений Навье —— Стокса в неинерциальной системе координат Оху в следующем： виде:

/，= /$(力，Re)+ /, yf =仏

涼= /$(力 Re)+〃(厶 /, % Re),(4.9〉

1/ = d(力 /, w Re),

// = —迄(力，Re)/ + p(力 /,弘 Re),

Xs ==力0($) + Ag (Re) $o(£),So($)>O.

Здесь So (力) и Ao (Re) — некоторые произвольные функции; относи^ тельно До будем полагать, что А。+ 0 при Re + 吗 и поэтому представление (4.9) переходит в (4.4).

Функции r, и, р н 北',р\ pf в (4.9) удовлетворяют системе полных уравнений Навье ——Стокса при отсутствии массовой силы; р —— это так называемое модифицированное давление, которое, помимо давления, включает в себя эффект действия массовой силы ——灭$% вызванной неинерциальностью системы координат. (В дальнейшем мы будем его называть просто давлением.)

188

Краевое условие прилипания на поверхности тела

uf = vf — 0 при『=О

в новой системе координат, в соответствии с (4.9), имеет вид

北=-爲(力，Re)=-由)(方)—до(Re)6。(方)=%乂力，Re),

d = 0 при у = 0' xQ ⑺ < 0.

Следовательно, мы приходим к рассмотрению течения на движущейся поверхности.

Решение задачи для внешнего потенциального потока определяет распределение скорости и давления на внешней границе нестационарного пограничного слоя, который развивается вдоль поверхности тела при xf < j：s(^ Re) (или ж < 0). Используя выражение (4.5) и интеграл Коши ——Лагранжа, находим, что при х + ——0

〃|и=о = Ue(t, х) = UQQ + ай//'(―片产2 +。[(一%)],

P lu=o = Pe (力，/) = Poo — 2乃(―片У’？ +。[(—力)],(4.10)

碧 L° ⑴，

где /?оо = Poo (0 определяется из решения задачи в целом.

Обращаясь к выражениям (4.10) и (3.1), (3.3), видим, что все отличие во внешних краевых условиях, а также и в условиях на поверхности тела для нестационарного пограничного слоя по сравнению с уже рассмотренным стационарным течением состоит в том, что Ug, к и Uw теперь являются функциями времени. Это, однако, не влияет на главные члены в асимптотическом разложении решения при / f —0, поскольку нестационарный член в уравнениях движения есть величина 0(1), в то время как инерционные члены и градиент давления — величины порядка (—x)~i/z. Следовательно, и в области взаимодействия, где градиент давления есть величина O(Re'/6), а нестационарный член по-прежнему есть величина 0(1), решение для главных членов разложения не будет претерпевать каких-либо изменений. Другими словами, на фоне большого самоиндуцированного градиента давления течение в области взаимодействия квазистационарно: входящие в решение постоянные а。, Ьо, с*, 4rs теперь зависят от времени как от параметра.

Решение (3.28), (3.29), (3.32), (3.33) для нелинейной локально невязкой области Ш, течение в которой создает основной вклад в вытесняющее действие пограничного слоя, приобретает в переменных /',沙'вид

疗 一 ％ ⑴=Re-i/з 讲，夕=(12%)т Ref/? In Re + Re~1/2 或 炉=Ref 匹+石⑴谪+ ReT】2旷色状,硝]+ 0(rL4), pf =网。(方)+ R「/6p*(% %*)+ O(Re-1/3 In Re);(4.11)

仪=(-2p*严2〃尸 sh [aQy^ — 〃og* (t,况*)], g* = _ (2*t In (— p*/2圖 + 仇，

где p* (方，/*) определяется из (3.44), (3.45).

Вниз по потоку ог области взаимодействия, согласно (3.46), градиент давления экспоненциально стремится к нулю. Следовательно, за этой областью условия квазистационарности течения будут нарушены. Нетрудно показать, что это происходит в области В (рис. 5.14), в которой становится существенным действие сил внутреннего трения и где, собственно, и лежит точка отрыва. Действительно, пусть в некоторой области 5, которая является продолжением локально невязкой области НЦ

р - Роо = о (Re) Re-1/6A.

Повторяя рассуждения предыдущего параграфа, получим, что в этой области справедливы представления (3.49)——(3.51), т. е. во введенных выше обозначениях (4.9)

/ 哂2 \ 2/3

% = %Х, 〃 = 0©/2ReT/P), s°«) = (域丿，(4.12)

а функции До (Re), A【(Re) и о (Re) связаны соотношениями (3.49). Потребуем теперь, чтобы в этой области нестационарный член в уравнении импульсов, который, согласно (4.12), есть величина O(o1/2Re-1/12), был величиной того же порядка, что инерционные члены и градиент давления, т. е.

* Re-vi2 = о Re-/6/A「

Тогда о = A；Re“* п, вспоминая выражение (3.49) для Дь мы приходим для о (Re) к трансцендентному уравнению (3.54), которое было получено из условия баланса градиента давления с «вязким» членом. Это означает, что нестационарность течения в главных членах разложения проявляется одновременно с действием вязкости.

Используя полученные оценки и учитывая, что область В, согласно (3.52), (3.56), лежит на расстоянии

Re-1/2[(12a0)-1ln(o-6 Re)+&0]

от нижней части пограничного слоя, а входящие в это выражение коэффициенты являются теперь функциями 工 решение можно ;представить в следующем виде:

/ = %Х, Y = a^(t) In (g-6Re) + &0 (t)Y,

屮=% ⑴ 一 & ["；(方)Ь (0- Re) + 60 (" X +

+ A黑(力 X,P) + o(AJ, (4.13)

u = ^ = a口0(九 X, y)+。(%),

р = Роо«) + А2о«,Х, Y) + o(^,

•где У = Rb/2弘 屮=Re1/2ij; и a； = (^^)-1. Подставляя эти разно- ：жения вместе с выражениями (3.49), (3.54) для До, Д1 и о в урав-

490

нения Навье ——Стокса (1.2) гл. I, приходим к уравнениям нестационарного пограничного слоя Прандтля:

咽瞋吸 ^Q^Q dPQ叫瑜。①

Тот факт, что расстояние между этой областью и областью взаимодействия также меняется во времени, был уже заранее учтен к (4.9) при введенип системы координат.

В областях Л и С (рис. 5.14), прилегающих к области В、в качестве главных членов разложения, как и в стационарном течении (см. предыдущий параграф), будут сохраняться профили скорости^ которые сформировались в пограничном слое в результате его- взаимодействия с внешним потоком; то же можно сказать и о пристеночном подслое (область D). Поэтому условия сращивания для области В при |У丨-> 8 останутся теми же, что и в случае стационарного течения. Используя выражения (3.58), (3.55), получим

可。f 底产"J2 exp ®" 一 |^)⑴ f 8),

屮 0-^exp (- aо"？) (yoo).

Вверх по потоку от области В остается в силе интеграл Бернулли, и поэтому из сращивания с решением (4.11) следует, что npir X f —8 (см. выражения (3.59) — (3.62))

&16R&16R%-» 2庐2s#〃「exp (—言 X卜h

&16R

&16R

户0 f - 2喲2 exp (-亲' X

Что касается условий вниз по потоку (X + 8), то по сравнению со стационарным случаем они претерпевают существенные изменения.

В установившихся течениях медленные возвратные токи за точкой отрыва обусловлены эжектирующим действием слоев смешения. Вследствие этого градиент давления (см. гл. I, II) вниз по потоку от точки отрыва стремится к нулю и не входит в уравнение, о пи* сывающее движение жидкости в вязких слоях смешения; переменная часть давления в масштабах тела, как мы видели, есть величина порядка Re-1. Если же течение нестационарно, то за точкой отрыва движение вызывается деформацией поверхности вихревой пелены. Соответствующее решение имеет вид (4.7), (4.8), т. е. переменная часть давления в масштабах тела есть уже величина порядка единицы и при х -> +0 (0 V у V у$)

Р = Роо + Р10%2 +。(力2)， Pl Q (力)=—^ 侪0 + К) •(447》

При этом независимо от того, каков показатель степени 模 в выражении (4.6), определяющем вытесняющее действие на внешней

границе пограничного слоя за точкой отрыва, градиент давления изменяется здесь линейно по продольной координате. Вследствие этого в рассматриваемой области 5 величина dPJдХ при Х-> 8 будет изменяться пропорционально X, и действие этого градиента давления будет проявляться уже в главных членах разложения прп X

Действительно, используя выражения (3,63), (3.64), (3.66), представим решение для верхнего подслоя прп X -> 8 в виде

6° = О)+&Х)+Х/+«,к)+о(Х),

^ = Y + g+ (力，X),豆=噌Х2 +。(x2).(4・18)

Тогда, после подстановки этих разложений вТогда, после подстановки этих разложений вdt 0口 +dt 0口 +2_/+2_/+方+方+所所Из сращивания с решением вии с (4.15)) следует, что/+ = ехр (ад+) +。(喧),Из сращивания с решением вии с (4.15)) следует, что/+ = ехр (ад+) +。(喧),4в4в+ %=области А прп+ %=области А прп(4.14), получим^+ _ d①+= ~dx~'(4.14), получим^+ _ d①+= ~dx~'r)+8 (вr)+8 (вГ] + т 8 ;Г] + т 8 ;(4.19)(4.19)соответст-соответст-

Тогда, после подстановки этих разложений в

Тогда, после подстановки этих разложений в

dt 0口 +

dt 0口 +

2

_/+

2

_/+

方+

方+

所

所

Из сращивания с решением вии с (4.15)) следует, что

/+ = ехр (ад+) +。(喧),

Из сращивания с решением вии с (4.15)) следует, что

/+ = ехр (ад+) +。(喧),

4

в

4

в

+ %=

области А прп

+ %=

области А прп

(4.14), получим

^+ _ d①+

= ~dx~'

(4.14), получим

^+ _ d①+

= ~dx~'

r)+8 (в

r)+8 (в

Г] + т 8 ;

Г] + т 8 ;

(4.19)

(4.19)

соответст-

соответст-

(4.20)(4.20)32aosо32aosо,-1 а】=—а。,-1 а】=—а。仪2 =。「In(AsJ/2a~2).仪2 =。「In(AsJ/2a~2).

(4.20)

(4.20)

3

2aosо

3

2aosо

,-1 а】=—а。

,-1 а】=—а。

仪2 =。「In(AsJ/2a~2).

仪2 =。「In(AsJ/2a~2).

g+ = —a()X + & In X + a2?

Используя теперь второе уравнение в (4.19), находим

(4.21)(4.21)Ф+ = — а0Х2/2 + ОС]Х In X + (а2 — aj X.

(4.21)

(4.21)

Аналогично строится решение для нижнего подслоя. Оно имеет вид:

* =①一 (％ X) — X/一 (^ ^)+о(Х),

гр = —У + g_ (厶 X); Ф- = — atX In X + а£

2卢/a3/—九定+ %=^'(422)2卢/a3/—九定+ %=^'(422)門一

2卢/a3/

—九定+ %=^'(422)

2卢/a3/

—九定+ %=^'(422)

g- = 一 & I" X； dtdx\_ +

/_ = exp (〃0刀_) + 0(тД) при n_f 8.

На внутренних границах этих слоев, т. е. при т]+ f —°°, т)_ f —°°, как это обычно имеет место при выходе из пограничного слоя, завихренность должна стремиться к нулю, и поэтому

df,df

(4.23)(4.23)誌f%⑴，十9

(4.23)

(4.23)

Тогда из (4.19), (4.21), (4.22) следует, что

/?4- = й— = % (力),期 + 就 + % = 0.(4.24)

Область В, как это непосредственно видно из выражений (4.15), расширяется при X f 8 ио линейному закону. Коэффициент про- 192

порциональности этого расширения а。= 3/ (2&s°) является, очевидно, функцией времени, и его изменения приводят к возникновению движения жидкости между верхним и нижним подслоями при X f 8. Исходя из выражения для давления в (4.18), можем представить решение здесь в виде

% = X2区⑴三 + о/), W = У/Х = 0(1),伍 25)

戸° = % (方)X2/2 +о(Х2).丿

Подставляя эти разложения в (4.14), находим, что

力 о + 及 + % = 0,(4.26)

а из сращивания с решениями для подслоев следует

(427)(427)% = & =—党.

(427)

(427)

Итак (4.14) — (4.16), (4.18) — (4.27) представляют собой краевую задачу, решение которой описывает течение в окрестности точки отрыва, движущейся вверх по потоку. Если входящие в эти выражения функции времени а。,瓦,к, U0Q положить постоянными, то после преобразований (3.71) — (3.74) мы приходим к задаче (3.75).

Вниз по потоку от области В верхний п нижний подслои, минуя промежуточную область, в которой /'—£()«) = О (А。) (рис. 5.14), сливаются соответственно с основной и нижней частями пограничного слоя. При этом они переходят в оторвавшийся и прилегающий к поверхности тела пограничные слои с толщинами порядка Re-"?, в которых существенны нестационарность и градиент давления. Решение для области потенциального течения, лежащей между подслоями, переходит при этом в решение (4.7), (4.8), (4.17).

Если через X = s【(％) обозначить продольную координату точки отрыва, лежащей внутри области В, то в соответствии с критерием Мура — Ротта — Сирса в этой точке

〃о = "^" = (方)， 吃声=°， (4.28)

Таким образом, на основании выражений (4.9), (4.28) получим, что точка отрыва движется относительно поверхности обтекаемого тела со скоростью

us(t, Re)=倉⑴ + MR (0 + А瓜⑴ + о (A J (4.29)

где So (力)определяется выражением (4.12).

Полученное локальное решение, как мы видим, содержит произвольные функции времени. Эта функции могут быть определены из совместного решения уравнения Никольского (1957а) для внешнего потенциального обтекания с уравнениями для нестационарного пограничного слоя Правдтля, развивающегося вдоль поверхности тела. Положение точки отрыва в масштабах тела (%' = /()(") находится из условия, что в ней выполняется условие Мура ——Рот-

13 п./ред. В. В. Сычёва (93

та — Сирса. При этом будут определены функции 寿(方)，瓦(方),。*(力)， 4r&(方),характеризующие профиль пограничного слоя при х' = /(%)—0, а также значения 优о"), “о(力)и k(t), входящие в разложение для решения во внешней области в акрестности точки отрыва. И наконец, функция н (力)в (4.28), (4.29) может быть определена 血з решения краевой задачи для области В. Точка нулевого поверхностного трения находится на конечном расстоянии вверх

55Рис. 5.21. Профили скорости в пограничном слое вблизи точки отрыва на поверхности, движущейся вниз по потоку, и соответствующие им профили скорости в нестационарном пограничном слоеРис. 5.21. Профили скорости в пограничном слое вблизи точки отрыва на поверхности, движущейся вниз по потоку, и соответствующие им профили скорости в нестационарном пограничном слое

5

5

Рис. 5.21. Профили скорости в пограничном слое вблизи точки отрыва на поверхности, движущейся вниз по потоку, и соответствующие им профили скорости в нестационарном пограничном слое

Рис. 5.21. Профили скорости в пограничном слое вблизи точки отрыва на поверхности, движущейся вниз по потоку, и соответствующие им профили скорости в нестационарном пограничном слое

ственного поведения теченияственного поведения теченияРис. 5.22. Картина течения вблизи точки схода вихревой пеленыРис. 5.22. Картина течения вблизи точки схода вихревой пелены

ственного поведения течения

ственного поведения течения

Рис. 5.22. Картина течения вблизи точки схода вихревой пелены

Рис. 5.22. Картина течения вблизи точки схода вихревой пелены

по потоку от точки отрыва. Величина этого расстояния зависит от t и будет определяться из решения уравнений пограничного слоя при х V&«).

В заключение сделаем небольшое замечание относительно каче

в окрестности движущейся вверх по потоку точки отрыва.

В основе проведенного анализа лежала идея об аналогии явлений нестационарного отрыва и отрыва на подвижной поверхности. Одно из исходных условий состояло в том, что в системе координат, движущейся вместе с точкой отрыва, продольная составляющая вектора скорости на внешней границе пограничного слоя

и на поверхности тела принимает положительные значения: U00(t) > О и uw(t, Re)=—企0(力)+О(Ао),企0(力)V0. В то же время не накладывалось никаких ограничений на отношение между Uw(t) и хо(0. Профили скорости в пограничном слое в системе координат, свя-

занной с движущейся точкой отрыва для случаев, когда Uoo (力)> >—晶(力)и Uoo(力)V —出式力)，представлены на рис. 5.2,а) и 5.21, а). Соответствующие им профили для нестационарного пограничного слоя в исходной системе координат, связанной с поверхностью тела, изображены на рис. 5.2, 6) и 5.21, б). Ясно, что при U00(t)< v——±o«) всюду в пограничном слое и на его внешней границе продольная составляющая вектора скорости принимает отрицательные значения. Качественная картина, соответствующая нестационарному течению с переменой знака на внешней границе пограничного слоя в окрестности точки отрыва, дана на рис. 5.22.

Глава VI

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЙ

ЗА ТУПЫМИ ТЕЛАМИ

История вопроса

Мы посвятим эту главу анализу одной из фундаментальных проблем гидродинамики ——установлению предельного состояния стационарного поля течения за телом конечных размеров при числе Рейнольдса Re — 8 в условиях, когда его безотрывное обтекание невозможно, например за тупым телом наподобие кругового цилиндра или пластины, поставленной перпендикулярно набегающему потоку. Хотя в действительности такие течения становятся нестационарными уже при числах Рейнольдса порядка 101 ——10； а при дальнейшем увеличении числа Рейнольдса переходят в турбулентное состояние, решение этой задачи представляет большой

УУпопоРис. 6.1. Обтекание тела схеме Кирхгофа (1869)Рис. 6.1. Обтекание тела схеме Кирхгофа (1869)принципиальный интерес. Кроме того, можно предполагать, что такое решение могло бы дать возможность исследования течений жидкости при умеренных числах Рейнольдса, когда еще сохраняется установившийся режим течения, но становятся уже неприменимыми методы теории медленных движений (Re < 1).

У

У

по

по

Рис. 6.1. Обтекание тела схеме Кирхгофа (1869)

Рис. 6.1. Обтекание тела схеме Кирхгофа (1869)

Существует несколько точек зрения по поводу возможного решения этой

проблемы. Согласно первой из них, высказанной еще Прандтлем (1931) и развитой Сквайром (1934) и Имаи (1953, 19576), предельной формой течения при Re + 8 является классическая схема Кирхгофа (1869) со свободными линиями тока и застойной зоной, простирающейся до бесконечности и асимптотически расширяющейся по параболическому закону (рис. 6.1). Эта схема была подвергнута серьезной критике как по причине плохого количественного соответствия результатам эксперимента (при измерениях сопротивления тел), так и по некоторым принципиальным соображениям. Так, по мнению Бэтчелора (19566), наиболее серьезные трудности, препятствующие реализации схемы Кирхгофа, связаны с «открытой» формой застойной зоны, так как это приводит 196

к невозможности непрерывного изменения течения при непрерывном изменении числа Рейнольдса от малых значений, когда след замкнут, к большим. Кроме того, как отмечено в работе Бэтчелора, маловероятной представляется столь большая неоднородность течения на бесконечности, как это следует из модели Кирхгофа.

Вместо этой схемы Бэтчелором (19566) была предложена схема течения с замкнутой областью рециркуляционного движения жидкости за телом (рис. 6.2). Предполагая размеры этой области и характерную скорость движения в ней конечными, он пришел к выводу о нулевом сопротивлении тела в пределе при числе Рейнольдса Re f 8. При этом движение в зоне рециркуляции является в пределе невязким вихревым течением с замкнутыми линиями тока и (в плоском случае) постоянной завих

ренностью (Прандтль, 1904； Рис. 6.2. Модель Бэтчелора (19566) Бэтчелор, 1956а). Вдоль разделительной линии тока в общем случае имеет место разрыв тангенциальной составляющей вектора скорости, а следовательно, и постоянной Бернулли. Следствием этого является форма рециркуляционной зоны, имеющей на заднем конце заострение в виде точки

возврата.

В известном смысле обобщением схемы Бэтчелора можно считать схему течения, предложенную Лаврентьевым (1962). Ее отличие состоит главным образом в допущении существования застой

ных зон внутри замкнутой области следа (£】и £2 на рис. 6.3). При этом течение между линиями тока, ограничивающими эти зо

ны, и внешней границей рециркуляционной зоны может быть как

必必вихревым, так и безвихревым. Ввиду того, что размеры замкнутого следа за телом, как и в схеме Бэтчелора, остаются конечными при Re f 8, сопротивление тела будет в пределе также равно

必

必

нулю.

Рис. 6.3. Модель Лаврентьева (1962) Рассматривая схемы, предло

женные для описания поля течения за тупыми телами, можно было бы указать и на более ранние попытки построения течений с замкнутыми линиями тока, имитирующими отрывное обтекание. Наиболее известными из них являются модели Жуковского (1907) и Фёппля (1913). Однако эти схемы не могут рассматриваться как предельные состояния течений вязкой жидкости при Re -> 8 хотя бы потому, что они включают в себя завихренность, сосредоточенную в виде особенностей (точечные вихри).

Мы оставляем также в стороне различные схемы течений идеальной жидкости со свободными линиями тока и застойными зонами, давление в которых меньше давления на бесконечности, так

как все они неизбежно связаны с теми или иными способами искусственного «замыкания» каверн (см., например, Гуревич, 1979; Гогиш, Нейланд и Степанов, 1975; By, 1972).

Итак, единственным кандидатом на схему предельного состояния течения вязкой жидкости за тупым телом при Re -> оо, свободным от внутренних противоречий и приводящим к ненулевому значению коэффициента сопротивления, является модель Кирхгофа. Поэтому необходимо вернуться к более детальному ее рассмотрев нию. Как уже говорилось, основные возражения против этой модели связаны с представлениями о неправдоподобности существования «открытого следа», простирающегося за телом до бесконечности. Однако такая интерпретация решения Кирхгофа в свете современных представлений о природе асимптотических решений не является правомерной. В самом деле, если мы предположим, что зона рециркуляционного течения за телом является замкнутой, но ее протяженность и ширина монотонно возрастают с ростом числа Рейнольдса, то при Re -^ °° они могут стать сколь угодно большими по сравнению с размерами тела, так что в масштабах последнего поле течения будет стремиться к течению по схеме Кирхгофа. Таким образом, рассматривая решение уравнений Навье ——Стокса для глобального течения за телом конечных размеров при Re -> о°, следует исходить из существования различных характерных мао штабов, один из которых это характерный размер тела ), а два других характеризуют безразмерные длину 纟 и ширину 各 замкнутой зоны рециркуляционного течения в следе за ним. Именно такой подход к анализу рассматриваемой проблемы при условии, что 勿/2-> 0 при Re +8, был осуществлен в работе Сычёва (1967) и подробно рассматривается ниже (§ 2—5).

Заметим, что на возможность течения, в котором замкнутая зона отрыва удлиняется пропорционально числу Re, впервые указал Имаи (19576), хотя соответствующего решения им построено не было. В своем предположении о линейном росте замкнутого следа за телом он исходил из аналогии с течением ib канале с подвижными стенками и неподвижной преградой, которое на расстояниях порядка Re от препятствия превращается в одномерное течение Пуазейля.

Наконец, остановимся на теоретических моделях течений, в которых условие 3)JSS -> 0 не выполняется и предполагается, что как длина, так и ширина рециркуляционной зоны отрыва за телом увеличиваются с ростом числа Рейнольдса по одинаковому (линейному) закону. К их числу относится модель Таганова (1970) и недавно предложенные модели Смита (1985) и Перегрина (1985). В работе Таганова постулируется отсутствие слоя смешения потоков разной скорости (в пределе — тангенциального разрьвва) на границе рециркуляционной зоны; в работах Смита и Перегрина предполагается, что слой смешения (в пределе ——тангенциальный разрыв) при Re -> 8 сохраняется. Соответственно сопротивление

тела при Re + 8 в первом случае должно стремиться к нулю как Re-1, а во втором случае — к конечному значению. По поводу этих схем следует заметить, что они находятся в противоречии с известными результатами исследований асимптотического поведения решений уравнений Навье ——Стокса на больших расстояниях от обтекаемого тела. В самом деле, согласно известному принципу Лагерстрома——Каплуна (см., например, Лагерстром, 1964), если рассмотреть поле течения около тела в масштабах с переменными (富/Re ^/Rea) = 0(1), то при любом о > 0 и Re f 8 тело будет стягиваться в точку, не способную возмущать поток *). Это и означает, что относительная толщина рециркуляционной зоны отрыва 勿/2 должна стремиться к нулю при Re f 吗 и не может оставаться величиной порядка единицы. По существу принцип Лагерстрома ——Каплуна обосновывает решение Осеена, как представляющее асимптотическое состояние поля течения на больших расстояниях от тела при любых значениях числа Рейнольдса (см. Ван Дайк, 1964; Лагерстром, 1964).

Обращаясь к экспериментальным исследованиям, имеющим отношение к рассматриваемой проблеме, следует прежде всего указать на трудности, связанные с реализацией стационарного режима течения за плохообтекаемыми телами. Наиболее успешными с этой точки зрения являются экспериментальные иоследования Гроува, Шейра, Петерсена и Акривоса (1964) и Акривоса, Лила, Сноудена и Пана (1968). Они были специально предприняты с целью установления основных закономерностей и тенденций изменения с рос- том числа Рейнольдса некоторых важных параметров отрывных течений около тупых тел. Основная часть экспериментов проводилась с круговыми цилиндрами, течение за которыми удавалось сохранять стационарным вплоть до чисел Рейнольдса порядка 100 (а с использованием разделительных пластин —— до 300). Основной результат этих опытов заключался в установлении отчетливо выраженной линейной зависимости длины замкнутого следа за телом от числа Рейнольдса. В то же время ширина следа возрастала значительно медленнее, оставаясь, по наблюдениям авторов, в исследованном диапазоне чисел Re порядка размеров тела. Коэффициент давления в донной области цилиндра сравнительно рано (при Re ^ 30) устанавливался практически постоянным и равным приблизительно ——0,45. Наконец, следует отметить выявленную в опытах сильную зависимость параметров течения от коэффициента блокирования потока, т. е. отношения диаметра цилиндра к поперечному размеру рабочей части экспериментальной установки. (О причинах этого эффекта см. § 4 этой главы.)

На основе экстраполяции описанных экспериментальных наблюдений Акривос, Сноуден, Гроув и Петерсен (1965) предложили теоретическую схему течения при Re f 8 c замкнутым следом конеч-

ной ширины, удлиняющимся пропорционально числу Рейнольдса. Течение в следе при таких предположениях оказывается вязким, даже при Re f °°, а полный перепад давления конечным и равномерно распределенным вдоль всего следа. (Последнее следует из условия баланса градиента давления с «вязкими» и инерционными членами уравнения движения.) Однако, как было указано Бэтчелором (замечание которого помещено в статье авторов), такая картина течения не может быть согласована с внешним по отношению к следу невязким потоком, поскольку в невязком потоке (обтекающем след как тонкое тело относительной толщины порядка Re-1) давление должно восстанавливаться до значения соответствующего невозмущенному потоку уже на расстояниях порядка ширины следа Таким образом, теоретическая модель Акривоса и др. является внутренне противоречивой. В то же время полученные этими авторами экспериментальные результаты являются важными для сопоставления с любой теорией, претендующей на роль асимптотической.

Сравнительно новым направлением исследования отрывных течений за плохообтекаемыми телами является использование численных методов интегрирования полных уравнений Навье ——Стокса. Хотя проблеме совершенствования таких методов в последнее время уделяется очень большое внимание, надежные количественные данные (для случая несжимаемой жидкости) пока получены лишь в довольно ограниченном диапазоне чисел Рейнольдса. Так,

Рис. 6.4. Коэффициент сопротивления кругового цилиндра по Форнбергу (1980)

в работе Денниса и Ченга (1970) рассчитано обтекание кругового цилиндра в диапазоне чисел Рейнольдса до 100. Форнберг (1980) для той же задачи получил п(жа непревзойденные по объему информации и точности результаты при числах Рейнольдса до 300. Попытка получения стационарных решений при больших числах Рейнольдса оказалась безуспешной *).

Упомянутые работы подтвердили линейный закон роста длины замкнутого следа с увеличением числа Рейнольдса, а работа Форн- берга, кроме того, содержит достаточно убедительное свидетельство, что коэффициент сопротивления кругового цилиндра асимптотически приближается к величине 0,50, соответствующей решению Бродецкого (1923), полученному по схеме Кирхгофа (см. рис. 6.4, заимствованный из этой работы).

В дальнейшем мы увидим, что результаты как экспериментальных, так и численных исследований находятся в хорошем соответствии с результатами расчетов, основанных на асимптотической теории отрывного течения, предложенной в работе Сычёва (1967).

Постановка задачи. Исходные предположения и оценки

Приступая к анализу задачи о предельной форме отрывного течения за тупым телом при числе Рейнольдса Re -> 8, мы начнем с рассмотрения исходных предположений, которые будут положены в основу всего дальнейшего исследования.

Будем рассматривать плоское стационарное течение около тела, помещенного в однородный поток несжимаемой жидкости. Для удобства положим, что обтекаемое тело является симметричным относительно оси, параллельной вектору скорости невозмущенного потока. Во всех соотношениях будем использовать безразмерные переменные. С этой целью в качестве масштабов для измерения независимых переменных, компонентов вектора скорости и перепада давления выберем соответственно характерный размер тела L, величину скорости невозмущенного потока U^ и удвоенный скоростной напор pU^o. Число Рейнольдса задачи определим как

где у ——кинематическая вязкость среды.

В качестве главного (и в конечном счете единственного) исходного предположения о предельном состоянии течения примем, что коэффициент сопротивления тела при Re -> 8 будет стремиться к ненулевому значению. Это предположение в наибольшей степени соответствует многочисленным экспериментальным наблюдениям и результатам численных расчетов. Оно было положено в основу уже упомянутой выше асимптотической теории обтекания тупых тел при больших числах Рейнольдса, предложенной Сьпёвым (1967). В нашем дальнейшем изложении мы будем следовать ходу рассуждений этой работы.

Начнем с инспекционного анализа задачи. Прежде всего покажем, что из предположения о конечности сопротивления тела при Re -> 8 следует замкнутость зоны отрыва, а также то, что ее протяженность, отнесенная к характерному размеру тела, возрастает с ростом числа Re по линейному закону. G этой целью рассмотрим

схему течения, изображенную на рис. 6.5. Область рециркуляционного течения III за телом в общем случае отделяется от внешнего потенциального потока I вязким слоем смешения II、поперек которого скорость меняется от малых значений, свойственных движению жидкости в зоне отрыва,^ до значений порядка скорости невозмущенного потока.

Для рассмотрения течения в слое смешения II введем криволинейную ортогональную систему координат Osn с осью Os, направленной вдоль разделительной (нулевой) линии тока 权=0. Полагая

Re Lo

Рис. 6.5. Схема течения за тупым телом при большом числе Рейнольдса (Сычёв, 1967)

начало координат расположенным в некоторой точке поверхности тела, мы можем (пользуясь обычными оценками теории пограничного слоя) получить для безразмерной толщины вязкого слоя смешения б при s》£, что 8 = 0 i[(5/Re)i/2]. Отсюда следует, что безразмерная толщина слоя смешения становится величиной порядка единицы, когда протяженность границы зоны отрыва 2 становится величиной порядка Re. При этом необходимость смьжания (замкнутость) зоны отрыва на таких расстояниях за телом является простым следствием отсутствия (в этой зоне) источников или стоков жидкости. Но если при 必= O(Re) толщина слоя смешения 6 = 0(1), то такую же толщину будет иметь и дальний след (77, на рис. 6.5), образующийся при смыкании слоев смешения и состоящий из частиц жидкости, движущихся вне разделительных линий тока (при zz > 0). Поскольку на основании теоремы количества движения сопротивление тела прямо пропорционально дефициту количества движения в следе, то и коэффициент сопротивления будет при этом стремиться к конечному пределу. Если бы протяженность замкнутого следа за телом с ростом числа Re возрастала быстрее или медленнее, чем по линейному закону, то сопротивление тела соответственно стремилось бы к бесконечности или к нулю. Таким образом, условие конечности сопротивления тела при Re 8 определяет (по порядку величины) протяженность границы замкнутой зоны отрыва.

Весьма важным для дальнейшего анализа задачи является определение формы замкнутого следа и в первую очередь оценка по- 202

перечного размера этой области 疊. Отношение 史叵、как уже говорилось, должно стремиться к нулю при Re — °°. Тогда предельный переход Re ~> 8 при фиксированных значениях переменных a/Re, y/Re (т. е. в масштабе длины замкнутого следа) переводит реальное тело в точку, замкнутый след — в конечный отрезок оси О/, а потенциальное течение вне него ——в невозмущенный поток. Декартову прямоугольную систему координат Оху^ связанную с осью симметрии течения у = 0 и: началом, расположенным внутри или на поверхности тела (рис. 6.5), будем использовать для исследования движения жидкости в следе. Безразмерные составляющие вектора скорости в этой системе координат обозначим через 辽 и и, а коэффициент давления ——через 2P.

Пусть

^ = E(Re) — 0, Re->oo.(2.1)

Тогда на основании теории малых возмущений внешнего потенциального потока р = О(&) на поверхности замкнутой зоны отрыва на всем ее протяжении, т. е. при X = Re-‘力=0(1). Для течения внутри этой зоны, где У =(е Re)"1 у — 0(1), на основании уравнения неразрывности имеем, что v/u = 0(e). Если теперь воспользоваться уравнением количества движения ) в проекции на ось Оу. то, введя в него полученные оценки (и используя очевидное мажо

駕《徘RL),駕《徘RL),рантное условие ограниченности продольной составляющей вектора

駕《徘RL),

駕《徘RL),

т. е. отт. е. отскорости 辽)，нетрудно установить, что

т. е. от

т. е. от

носительный поперечный перепад давления Ар/р《О(Е), и им можно пренебречь. Итак, во всей области рециркуляционного течения давление р является (в первом приближении) функцией только X и имеет величину порядка е. Из этого следует, что характер

ная скорость рециркуляционного движения жидкости в замкнутом следе должна также стремиться к нулю. Тогда эта область в пределе будет застойной, а это означает, что непосредственно за телом в области с характерными размерами порядка его размеров, в пределе будет иметь место течение Кирхгофа.

Важно подчеркнуть, что такое предельное состояние потока (со свободными линиями тока и от/крытым следом) следует рассматривать здесь как локальный предел, справедливый лишь в области (%, у) =0(1), а не как предельное состояние для всего поля течения вплоть до бесконечности. Такая интерпретация схемы Кирхгофа, как уже говорилось, не приводит к нарушению естественных условий затухания возмущений на бесконечности.

Асимптотическая форма свободных линий тока в течении по схеме Кирхгофа, как известно, является параболической: у 〜У况 при %f 8； тогда на основании условия сращивания решения для области (力，У)=。(£) при /->8 с решением для области (X, У) = 0(]) при X -> 0, нетрудно установить, что введенный выше

малый параметр (2.1) будет 8 (Re) = Re-1/2. Отсюда следует, что в замкнутом следе давление р, а также отношение поперечной и продольной составляющих вектора скорости будут также порядка Re-1/2. Остается определить порядок величины какой-либо из этих составляющих. Это нетрудно сделать, воспользовавшись следующим соображением. Индуцируемая слоем смешения II нормальная составляющая вектора скорости (как это следует из обычных оценок теории пограничного слоя) пропорциональна (sRe)-"?, так что на расстояниях х = О (Re) за телом она будет величиной порядка Re-1. Именно эту оценку и следует принять для поперечной составляющей вектора скорости v в замкнутой области следа Ш, так как только в этом случае течение здесь будет определяться эжек- тирующими свойствами слоя смешения, и мы получим необходимое соответствие с результатами исследования течения в отрывной области непосредственно за точкой отрыва (гл. I). Итак, для составляющих вектора скорости в замкнутой области следа получаем: 〃 = O(Re-"2), V = О (Re-1). Если теперь подставить полученные оценки для всех переменных в первое из уравнений количества движения (1.2) (в проекции на ось О/), то нетрудно установить, что для баланса инерционных членов и градиента давления в замкнутом следе необходимо, чтобы переменная часть коэффициента давления была порядка Re-1; в то же время его полная величина, как мы видели,— порядка Re-1/2. Этот результат сразу позволяет сделать вывод о форме замкнутой области рециркуляционного течения. Для того чтобы при ее обтекании внешним невязким потоком (как тонкого тела с относительной толщиной порядка Re~1/2) коэффициент давления 2р в первом приближении имел постоянное значение, необходимо, чтобы граница этой области имела в первом приближении эллиптическую форму. В самом деле, из теории тонкого профиля в несжимаемой жидкости известно, что лишь при обтекании тонкого эллипса переменная часть коэффициента давления на его поверхности имеет второй порядок малости (Ван Дайк, 1964).

Таким образом, обозначая через Lo = RL① и Do = Re-1/2^> соответственно длину и ширину области замкнутого следа в плоскости переменных * У, мы можем записать уравнение ее границы в виде

У 〜凡(Х) = А[(Х/£°) (1 - Шо)]1/2. (2.2) Коэффициент давления первого приближения будет при этом равен —2^e~i/2D0/LQ.

Этим закончим инспекционный анализ задачи и перейдем к более подробному ее рассмотрению путем построения соответствующих асимптотических разложений для различных областей течения.

Течение в слое смешения и зоне отрыва

Анализ течения начнем с рассмотрения слоя смешения, отделяющего замкнутую область отрыва (замкнутый след) от внешнего потенциального потока. На расстояниях порядка Re вниз по по- 204

току от тела, толщина слоя смешения будет конечной, так что безразмерные независимые переменные порядка единицы могут быть определены здесь соотношениями

S = RLs, N = n, (3.1)

где 5, п ——введенные ранее безразмерные криволинейные ортогональные координаты, связанные с разделительной линией тока (" = 0). В качестве безразмерных искомых функций будем рассматривать функцию тока 屮 и давление р, которые в соответствии с оценками предыдущего параграфа представим в виде следующих асимптотических разложений:

屮=业(S, N) + Re-'/?也(S, N) + …，

p = Re-1/2p0 + Re-九(S, N) + … ；

Подставляя (3.1), (3.2) в исходную систему уравнений Навье — Стокса ), получим для функции po(S, N) уравнение пограничного слоя смешения без градиента давления:

dN dS dN dS 小炉—ON3dN dS dN dS 小炉—ON3Po = const.Po = const.(3.3)(3.3)

dN dS dN dS 小炉—ON3

dN dS dN dS 小炉—ON3

Po = const.

Po = const.

(3.3)

(3.3)

些屮00，з屯@N %些屮00，з屯@N %При Re -> 8 внешний потенциальный поток стремится к невозмущенному, а скорость течения жидкости в зоне отрыва ——к нулю. Поэтому краевые условия для этого уравнения имеют вид

些

屮00，

з屯

@N %

些

屮00，

з屯

@N %

Nf 8、

(3.4)(3.4)^ = 0,

(3.4)

(3.4)

Ntoo.

Начальную толщину слоя смешения (при S + 0) в первом приближении следует полагать равной нулю, поскольку при Re S = = 0(1), т. е. непосредственно за телом (в области порядка его размеров), она является величиной порядка Re-1/2.

Но тогда решение задачи (3.3), (3.4) описывается хорошо известным автомодельным решением:

取=8/2% 5), ^ = N/S^(3.5)

и подстановка (3.5) в (3.3), (3.4) приводит задачу о течении в слое смешения к следующей:

2% + /о/о = О,

/о (°°) = 1? /о (0) = 0’ /о (— °°)=。・

Численное решение (3.6) позволяет определить асимптотическое значение функции тока (Локк, 1951):

СоKoS'/2, KQ = 1,2386 при N —8,(3.7)

а также безразмерное трение на разделительной линии тока 取

=0:

|n=o|n=o= §т/2#(0),/；(0) = 0,1996.= §т/2#(0),/；(0) = 0,1996.(3.8)(3.8)

|n=o

|n=o

= §т/2#(0),/；(0) = 0,1996.

= §т/2#(0),/；(0) = 0,1996.

(3.8)

(3.8)

Эти результаты нам понадобятся в дальнейшем.

Рассмотрим теперь течение в замкнутой зоне отрыва. Согласно результатам анализа §2, в качестве независимых переменных порядка единицы для этой области следует принять

(3.9)(3.9)X = Re-名 y = ReT/2%

(3.9)

(3.9)

а искомые функции течения можно представить в виде следующих асимптотических разложений:

(3.10)(3.10)屮= 4%(X,门+氏-0明啰，y)+..., р = Re—2A + Re-Ti(X, У)+...,

(3.10)

(3.10)

причем, как было установлено, Ро следует полагать постоянной величиной, равной

(3.11)(3.11)Pq = Ро = —DqILq.

(3.11)

(3.11)

Подставляя (3.9), (3.10) в исходную систему уравнений Навье —— Стокса, получим для функций первого приближения уравнения вида

(3.12)(3.12)不屮 /屮a4r 巒乎 苏不Р

(3.12)

(3.12)

dY aXdY дХ #у2 十 ах ， dY

Таким образом, течение в замкнутом следе является в первом приближении невязким течением с продольным градиентом давления.

Интегралом (3.12) будет

^（争了+尸］啰）=%（屮。），^（争了+尸］啰）=%（屮。），(3.13)(3.13)

^（争了+尸］啰）=%（屮。），

^（争了+尸］啰）=%（屮。），

(3.13)

(3.13)

причем функция Но (屮°) является произвольной и должна определяться из граничных условий.

Одно из таких условий получается путем сращивания в областях замкнутого следа и слоя смешения. Установим связь между независимыми переменными S^ N и X, У. Из геометрических соображений с учетом (2.2) ясно, что

(3.14)'(3.14)'S = X+O(ReT), Re-vW = Y-Fq(X) + O (Re-1/2).

(3.14)'

(3.14)'

Тогда, приравнивая предельные выражения для функции тока (3.7) в вязком слое смешения при Re -> оо и фиксированном значении Y — Fq (X) (т. е. при N-> —оо) и в рециркуляционной области при Re f 8 口 фиксированном N (т. е. при Y = Fo (X)) получим

(3.15)：(3.15)：明[X, Fq(X)] = -K0X^

(3.15)：

(3.15)：

Другим (очевидным) краевым условием в плоскости симметрии течения будет

叫(X, 0)=0. (3.16)

Что касается функции Pt (X), то для ее определения необходимо решение задачи внешнего потенциального обтекания замкнутой области следа во втором приближении, включающем учет вытесняющего влияния слоев смешения и ламинарного следа за этой областью (при Х>£о). Получение такого решения представляет большие математические трудности. Поэтому мы ограничимся приведенными выше результатами.

Суммируя их, прежде всего отметим, что рассмотренное рециркуляционное течение в замкнутом следе оказывается течением, при котором все линии тока частично располагаются в вязком слое смешения. Этим оно существенно отличается от течения Прандтля ——Бэтчелора и потому не является течением с постоянной завихренностью. По мере продвижения вниз по потоку все большее число линий тока вливается в вязкий слой смешения, так что при X = £о расход жидкости в этом слое (при 2V V 0) соответствует всей массе, участвующей в рециркуляционном движении, и зона отрыва смыкается.

Особенности течения в зоне смыкания слоев смешения будут отдельно рассмотрены в § 5, а теперь обратимся к анализу течения в передней части замкнутого следа и рассмотрим возможность сращивания локальных асимптотических разложений для этой области с глобальным решением. Для этого прежде всего необходимо исследовать поведение последнего при X -> 0. Граничное условие (3.15) указывает на его особый характер в окрестности точки X = Y = 0. Учитывая, что форма границы следа (2.2) имеет здесь вид

Y = Dq(Шо)1/2 + ..., Xf О, (3.17) а также то, что единственной комбинацией независимых переменных, не изменяющей своего порядка при переходе в область порядка размеров тела (瑞 у) =。(1), является

九=у/Х"2 =力疗 ％ (3.18) естественно представить функции первого приближения в (3.10) при X f 0 в виде

% = Х'/2у。。(А) + ・• •, в = Ро +..・ (3.19)

Подстановка этих выражений в уравнения (3.12), вследствие ограниченности градиента давления Р； (X) при X -> 0, приводит к уравнению %)= 0, решение которого с учетом (3.16) будет

4%。= 4。九. (3.20)

Таким образом, по мере приближения к телу течение в замкнутом следе приближается к однородному потоку с постоянной скоростью Ло, которая, очевидно, должна быть отрицательной, так

(3.21)(3.21)этой к те-этой к те-области чениюобласти чениюдолжно стремитьсядолжно стремитьсяКирхгофа с постояннымКирхгофа с постояннымдавлением на границедавлением на границезоны,торойзоны,торойасимптотическаяасимптотическаязастойной форма ко-застойной форма ко-(рис. 6.6):(рис. 6.6):является параболическойявляется параболическойУ = а。/"? + ...У = а。/"? + ...片f 8.片f 8.(3.23)(3.23)(3.24)(3.24)(3.25)(3.25)

(3.21)

(3.21)

этой к те-

этой к те-

области чению

области чению

должно стремиться

должно стремиться

Кирхгофа с постоянным

Кирхгофа с постоянным

давлением на границе

давлением на границе

зоны,торой

зоны,торой

асимптотическая

асимптотическая

застойной форма ко-

застойной форма ко-

(рис. 6.6):

(рис. 6.6):

является параболической

является параболической

У = а。/"? + ...

У = а。/"? + ...

片f 8.

片f 8.

(3.23)

(3.23)

(3.24)

(3.24)

(3.25)

(3.25)

как жидкость в рассматриваемой области не может двигаться в положительном направлении оси Ох. В самом деле, согласно полученному решению (3.19), (3.20) функция тока на границе следа (3.17) будет принимать значение 41G = J^^A^Dq/L^2. из сопоставления которого с условием (3.15) находим, что

4 =-招乙产/。0.

Полученные результаты определяют внутренний предел (X f 0) внешнего асимптотического разложения для решения в следе за телом и, таким образом (на основе принципа сращивания),——

внешний предел (% + 8)внутреннего асимптотического разложения для решения в области поряд

ка размеров тела ⑶ У)= | В пределе Re -^ ^ течение в

Рис. 6.6. Течение в ближнем следе

за тупым телом (3.22)

Учитывая это обстоятельство, а также вид асимптотических разложений (3.10) и (3.19), можно предположить, что для области ближнего следа справедливо асимптотическое представление функций течения гр и /? в виде

гр = Ве-1/2Ф0(^ В)+•…，

р = Ке-1/2Л + Re/ (力，В) + …

При этом необходимо принять, что

Pq — Pq — —DqZLq、

т. e. переменная часть давления должна быть величиной порядка Re-i. На возможность решения такого типа указывают следующие соображения. В слое смешения 2 на рис. 6.6, отделяющем область течения в ближнем следе 3 от внешнего потенциального потока 2, продольный градиент давления в первом приближении будет отсутствовать, и потому течение здесь будет описываться системой соотношений, аналогичных (3.3), (3.4)), для получения которой следует в качестве независимых переменных порядка единицы принять

s, N = Re1/2n,

а искомые функции представить в виде

•ф = Re~1/2$0(5,户)+..., jP = Re-"2》o(s,余)+ …(3.26)

Однако существенным отличием этого течения от рассмотренного выше течения в слое смешения замкнутого следа будет наличие поперечного перепада давления за счет действия центробежных сил. В самом деле, подставляя (3.25), (3.26) во второе из уравнений системы (1.2) гл. I, получим

где х(5)= 0(1) — безразмерная кривизна свободной линии тока в течении Кирхгофа. Таким образом, для достижения постоянства давления (с точностью до членов порядка Re~1/2) во внутренней области течения (при N -> —оо) необходимо такое расположение разделительной линии тока (N = 0) в слое смешения, которое (в первом приближении) обеспечило бы изменение коэффициента давления на внешней границе слоя смешения (при 2V сю), в точности компенсируемое действием центробежных сил. Существование решения такого типа было показано в работе Имаи (19576).

При 5 -> оо (/->8)кривизна x(s) будет стремиться к нулю как s-3/2, и поперечный перепад давления — исчезать. Толщина слоя смешения увеличивается при этом по закону 况”？ так же, как и ширина ближнего следа. Отсюда следует, что внешний потенциальный поток будет стремиться к течению около параболы, а коэффициент давления в слое смешения ——к постоянному значению. Этим значением будет (3.24), поскольку скорость невозмущенного потока, в котором помещена парабола, в соответствии с известным результатом асимптотической теории тонкого профиля (Ван Дайк, 1964) следует полагать равной не U^, a。8 (1 ；区味”力。/〃) • Этот результат отчетливо показывает, что лишь рассмотрение течения Кирхгофа как локального предела приводит к появлению члена порядка Re-i/2 в асимптотическом представлении коэффициента давления в следе за телом. Рассмотрение этого предела как «глобального» привело бы к выводу о величине коэффициента давления в следе порядка Re~\ что как раз и имеет место в работе Имаи (19576).

Мы не будем здесь рассматривать более высокие приближения в разложении решения для замкнутого следа (3.19) при X -> О или поведение функций (3.23) при 啰一>■ 8. Заметим только, что поскольку главные члены последних могут быть представлены в виде

то =炉/2 电 00(九)+ …， Л=Л0+.^

при / -> 8, то сращивание асимптотических разложений (3.10) и (3.23) будет обеспечено, если

209209麓0=%0,倉=е。.

209

209

14 п./ред. В. В. Сычёва

Сопротивление тела и параметры зоны отрыва

Из теории струйных течений идеальной жидкости со свободными линиями тока хорошо известно, что асимптотическая форма свободных линий тока при а -> 8 связана с сопротивлением тела. Эта связь определяется зависимостью коэффициента 寿 в выражении (3.22) от коэффициента сопротивления с。, вычисленного по теории Кирхгофа, и имеет вид (см., например, Гуревич, 1979)

“о = "|/(2/эт) с2co.(4.1)

Сравнивая асимптотическое выражение (3.22) с выражением (3.17) для границы замкнутого следа при 2fo 近 пользуясь принципом сращивания, получаем, что “о = D^Lq. и потому

Dq/^Lq = У (2/л) Сао*•(4.2)

Таким образом, мы получаем одно из соотношений, связывающих предельное значение коэффициента сопротивления тела с геометрическими параметрами зоны отрыва. Другое соотношение можно получить из следующих соображений. На основании теоремы количества движения сопротивление тела равно дефициту потока импульса в дальнем следе при X > 厶).С другой стороны, величина этого дефицита в пределе Re -> 8 должна быть равна сумме интегралов сил трения вдоль разделительных линий тока У = 土凡(X), поскольку вклад в нее поверхностных сил давления, обусловленных вытесняющим действием слоев смешения и дальнего следа, будет исчезающе малым (порядка Re-1/2).

Тогда, пользуясь полученным выше решением (3.8) для слоя смешения, можно написать следующее выражение для предельного значения коэффициента сопротивления *):

Lo

%。= 4 J %dS = 8 М2 力(0) = 1,6 pz；(4.3)

о

В итоге соотношения (4.3), (4.2) и (3.11) позволяют записать окончательные формулы для определения геометрических параметров и коэффициента давления рециркуляционной зоны в виде

"1 = £° = 0,39%,勿 Re~1/2 = 4 = 0,50或化

%。= 2 Re~1/2 Г。= 一 2,55%i/2 Re~1/2,出分

т. е. выразить их в первом приближении через коэффициент со- лротивления тела по теории Кирхгофа.

Результаты описанной асимптотической теории (Сычёв, 1967), как это было впервые показано в работе Смита (1979а), находятся в хорошем соответствии с имеющимися экспериментальными данными Гроува, Шейра, Петерсена и Акривоса (1964) и Акри-

воса, Лила, Сноудена и Пана (1968), а также численными расчетами на основе полных уравнений Навье ——Стокса, выполненными в работах Денниса и Ченга (1970) для случая кругового цилиндра. Это сопоставление может быть дополнено результатами расчетов Форнберга (1980), доведенных до числа Re = 300. В качестве

Рис. 6.7. Зависимость длины замкнутой зоны отрыва от числа Re: сплошная линия —асимптотическая теория; светлые квадраты — результаты численных расчетов Денниса и Ченга (1970); светлые кружки — Форнберга (1980); темные кружки — экспериментальные данные Акривоса и др. (1968).

Рис. 6.8. Зависимость ширины замкнутой зоны отрыва от числа Re: сплошная линия — асимптотическая теория; светлые квадраты —результаты численных расчетов Денниса и Ченга (1970); светлые кружки — Форнберга (1980); темные кружки — экспериментальные данные Гроува и др. (1964)

примера на рис. 6.7, 6.8, 6.9 приведены соответствующие зависимости для длины, ширины замкнутой зоны отрыва и коэффициента давления за круговым цилиндром в функции числа Re = U^d/v (d ——диаметр цилиндра). Сплошные кривые соответствуют асимптотической теории и построены по формулам (4.4) при значении коэффициента сопротивления cXq = 0,50, соответствующем обтеканию цилиндра по схеме Кирхгофа с гладким отрывом (Бродецкий,

21121114*

211

211

. Как видно, наилучшее соответствие между асимптотической теорией, данными эксперимента и численными расчетами имеет место для коэффициента давления за телом. Значительно большее различие наблюдается при сопоставлении данных для геометрических параметров зоны отрыва. Это можно объяснить тем, что даже незначительное смещение разделительной линии тока в области смыкания следа приводит к существенному изменению его длины, а следовательно, и ширины.

В работе Акривоса и др. (1968) указывается, что значительное влияние на все течение оказывают стенки рабочей части аэродинамической трубы, в которой помещается исследуемый круговой дилиндр, даже в том случае, если его диаметр весьма мал по сравнению с шириной канала. Это обстоятельство легко объяснить с

Рис. 6.9. Зависимость коэффициента давления за круговым цилиндром от числа Re: сплошная линия — асимптотическая теория; светлые квадраты ——результаты численных расчетов Денниса и Ченга (1970); светлые кружки — Форн- берга (1980); темные кружки —экспериментальные данные Гроува и др. (1964)

точки зрения рассмотренной нами асимптотической теории, согласно которой с ростом числа Рейнольдса ширина замкнутого следа за телом должна расти как Rei/2. Это приводит к тому, что уже при числе Re = 100 замкнутый след будет на порядок толще обтекаемого тела; соответственно возрастет и влияние стенок трубы. По-видимому, этот эффект, стесняющий развитие зоны отрыва, привел авторов к уже упоминавшемуся в § 1 выводу о том, что ширина зоны отрыва за телом с ростом числа Рейнольдса остается порядка размеров тела.

Смыкание зоны отрыва и нестационарность

До сих пор ничего не говорилось о течении в области смыкания зоны отрыва при X = Re-‘力-> £°. Слои смешения приобретают здесь толщину порядка размеров тела и, сливаясь, образуют сложное вихревое течение. Так как внешний потенциальный поток, обтекающий замкнутую зону отрыва, как тонкий профиль эллиптической формы, имеет при X = LQ точку торможения, то безразмерное давление р восстанавливается здесь до значений порядка единицы. Это означает, что перепад давления в области смыкания следа будет порядка единицы. Но тогда того же порядка бу-

Рис. 6.10. Начальный профиль «возвратной струи»Рис. 6.10. Начальный профиль «возвратной струи»

Рис. 6.10. Начальный профиль «возвратной струи»

Рис. 6.10. Начальный профиль «возвратной струи»

дут здесь и изменения безразмерных составляющих вектора скорости (辽,р). Отсюда следует, что течение в области смыкания слоев смешения, где

|Ж| = I% —纟 I =0(1), 叨=\у\ =0(1), (5.1)

может рассматриваться как локально невязкое.

Из жидкости, приносимой внутренними областями слоев смешения (где 屮0 V 0), казалось бы должно при этом формироваться возвратное течение в виде струи. Это следует из уравнения Бернул

ли для струек тока, принадлежащих указанным областям. В самом деле, поскольку при 充-> —8 поперечный градиент давления в зоне отрыва стремится к нулю, то значение скорости каждой частицы жидкости после поворота ее движения на обратное будет стремиться к значению скорости до поворота. Тогда из условий сращивания локального решения для области смыкания при 比 f — g с глобальным решением для области замкнутого следа при X f Lq — U получим, что в масштабах последней начальный профиль скорости воз-

вратной струи будет состоять из перевернутых профилей скорости внутренних частей слоев смешения при 5 == Ло (рис. 6.10). Поэтому

и начальный импульс струи будет равен суммарному импульсу течения в этих областях при X = Ло; с помощью решения (3.5), (3.6) он может быть выражен в виде

о

(5.2)(5.2)/° = 2 也 f foM d^

(5.2)

(5.2)

Так как ширина возвратной струи на всем протяжении замкнутой зоны отрыва будет оставаться порядка размеров тела, то этот импульс будет переноситься в область (况,у) =0(1), расположенную непосредственно за телом. Это обстоятельство вносит противоречие в рассматриваемую асимптотическую теорию течения, так как не соответствует схеме Кирхгофа с застойной зоной за телом. Это противоречие было, в частности, отмечено в работе Месситера (1975). Однако более детальное исследование показывает, что существует возможность его устранения (Сычёв, 1982).

Рассмотрим баланс внешних сил, приложенных к границам объема жидкости, циркулирующей в замкнутой зоне отрыва, в проекции на направление невозмущенного потока при Re+8. Та-

кими силами являются интегралы напряжений трения вдоль разделительных линий тока и интеграл составляющих сил давления (в проекции на ось Ох) по замкнутому контуру, ограничивающе- му область отрыва (но не охватывающему тело!). Сумма этих противоположно направленных сил должна равняться нулю, т. е.

'о

2 J %dS = (^)pdy.(5.3)

о

Заметим, что главный вклад (порядка единицы, при Re-> 8)в продольную составляющую интеграла сил давления ^ pdy вносит область смыкания зоны отрыва (徧 歹)=。(1), где давление восстанавливается до величины порядка единицы. Сумма интегралов

Lo напряжений трения вдоль разделительных линий тока 2 J т0^5, о

с одной стороны, как уже отмечалось (см. (4.3)), равна безразмерному сопротивлению тела (%о/2). С другой стороны, интегралы сил трения на разделительных линиях тока определяют импульсы движения жидкости во внутренних областях слоев смешения при X =厶)，т. е. должно иметь место равенство

/° = 2〕t°dS,(5.4)

о

где /0 определяется интегралом (5.2). На основании (5.3) и (5.4J получаем, что

(^)pdy = IQ.(5.5)

Это означает, что интеграл сил давления имеет величину, которая необходима для поглощения количества движения, приносимого внутренними областями слоев смешения, но в два раза меньшую той, которая необходима для их отбрасывания и образования возвратной струи.

Таким образом, анализ условий равновесия объема жидкости, медленно рециркулирующей в зоне отрыва (замкнутом следе), показывает, что образование возвратной струи невозможно. Жидкость, приносимая внутренними частями слоев смешения, будет как бы останавливаться силами, связанными с восстановлением давления в области смыкания зоны отрыва. Но это в свою очередь означает, что стационарное движение в области (Ж,歹)=0(1) невозможно. В таком случае неправомерным становится и рассуждение, основанное на использовании интеграла Бернулли, а следовательно, снимается и описанное выше противоречие. Нестацио- нарность локального течения в области смыкания слоев смешения, по-видимому, следует интерпретировать как хаотическое движение, связанное с интенсивным перемешиванием жидкости и сопутствующей ему сильной диссипацией кинетической энергии. Эту ло- 214

сальную нестационарность течения можно в известной мере уподобить явлениям, происходящим в области смыкания каверны при движении тела в капельной жидкости при малых числах кавитации. Так же, как и в этом последнем случае, справедливость полученных выше результатов асимптотического анализа глобальной картины стационарного течения при этом не нарушается, поскольку детали течения в области смыкания замкнутого следа не оказывают заметного влияния на поле течения в целом. Это обстоятельство оправдывает использование и таких моделей отрывных течений, как модель Рябушинского (1920), предложенная для этих целей Рошко (1967).

В заключение заметим, что проведенный анализ отрывного течения за тупым телом указывает на возможность возникновения нестационарности течения при стационарных граничных условиях ле вследствие его гидродинамической неустойчивости, а по причине отсутствия стационарных решений уравнений Навье ——Стокса при Re -> 8. Сказанное относится к решениям, удовлетворяющим принципу Лагерстрома — Каплуна (см. стр. 199), т. е. не исключает возможности существования «патологических» стационарных решений, не удовлетворяющих этому принципу.

Переход к тонкому телу

Рис. 6.11. Течение около профиля по схеме КирхгофаРис. 6.11. Течение около профиля по схеме КирхгофаЗаключительный раздел этой главы мы посвятим рассмотрению режимов отрывного обтекания, переходных от только что рассмотренного течения за плохообтекаемым телом (относительная толщина которого остается конечной при Re-> 8)к течению за тонким телом с локальной зоной отрыва в окрестности задней кромки, рассмотренным в гл. IIL Изучению этих промежуточных ре

Рис. 6.11. Течение около профиля по схеме Кирхгофа

Рис. 6.11. Течение около профиля по схеме Кирхгофа

жимов была посвящена работа Ченга и Смита (1982), на которую в значительной мере опирается наше изложение ).

Пусть в безграничном однородном потоке жидкости установлено симметричное препятствие (профиль) под нулевым углом атаки. Выберем декартову прямоугольную систему координат Оху^ на-

чало которой совпадает с перед

ней кромкой профиля, а продольная ось направлена вниз по потоку (рис. 6.11). Зададим форму профиля (его верхнюю поверхность) соотношением у = й/(ж), 0W/W1, и будем считать, что 无 + 0 при

Re -> 8. Для продольной, поперечной составляющих вектора скорости и давления примем соответственно обозначения м, d п р. (Как и прежде, введенные переменные являются безразмерными; в ка-

честве характерной скорости взята скорость однородного набегающего потока, а характерной длины ——хорда профиля.)

Если относительная толщина профиля остается конечной при сколь угодно больших числах Рейнольдса, то, как было показано в предыдущих параграфах, потенциальное течение около профиля в главном приближении определяется решением задачи Кирхгофа. Можно предположить, что схема Кирхгофа пригодна не только при % = О(1), но и при меньших (но не слишком малых) толщинах профиля. Как мы увидим, диапазон изменения параметра ft, где выполняется это предположение, зависит от формы обтекаемого тела.

При условии fe < 1 задача Кирхгофа может быть решена в рамках линейной теории. Для этого представим функции течения в виде

乂 = 1 + ТШ] (% у)+ …,V = hvY (% у)+..., р =无Pi(£, у)+ ... (6.1)

Подстановка (6.1) в уравнения Навье — Стокса показывает, что искомые функции удовлетворяют системе линеаризованных уравнений Эйлера, из которой следует, что pi + ivt ——аналитическая функция в верхней полуплоскости комплексного переменного z = x + iy. В силу условия непротекания на твердой границе и постоянства давления на свободной линии тока

内(£, 0)= О内伍 0) = /'(£)■(怎 0)= 0内(£, 0)= О内伍 0) = /'(£)■(怎 0)= 0при £ V 0, при Q < х ^ xSt при X》£s,при £ V 0, при Q < х ^ xSt при X》£s,(6・2)(6・2)

内(£, 0)= О

内伍 0) = /'(£)

■(怎 0)= 0

内(£, 0)= О

内伍 0) = /'(£)

■(怎 0)= 0

при £ V 0, при Q < х ^ xSt при X》£s,

при £ V 0, при Q < х ^ xSt при X》£s,

(6・2)

(6・2)

где xs ——положение точки отхода свободной линии тока.

Кроме того, функция 〃 + ivr обращается в нуль в бесконечно удаленной точке и ограничена в точке ж = ж5, у = 0 (рис. 6.11).

Решение смешанной краевой задачи (6.2) дается формулой Келдыша и Седова (1937). В частности, распределение давления на поверхности профиля при 0 V 富 V /^ имеет вид

Pi (%，°)=Pi (%，°)=(6.3)(6.3)m到一力,产 （方）成

Pi (%，°)=

Pi (%，°)=

(6.3)

(6.3)

冗 f ]/%s -火力一9

Интеграл (6.3) понимается в смысле главного значения.

Как видим, решение задачи Кирхгофа в линейном приближении, как и в более общем нелинейном случае, содержит неопределенную константу —- координату точки отхода свободной линии тока 力=xs. Устранение этой неопределенности производится по-разному для различных классов профилей.

Рассмотрим вначале, следуя Месситеру (1979), простейший пример профиля с изломом поверхности ——треугольный профиль, /(%) = %, 0&/W1. В связи с тем, что в угловой точке контура тела неизбежен отрыв пограничного слоя, в соотношении (6.3) 216

нужно положить xs ~ 1. Теперь можно установить пределы применимости полученного решения. Для этого заметим, что в соответствии с (4.4) рециркуляционная зона имеет длину порядка c^.Re, где сх — коэффициент сопротивления обтекаемого тела, а теория Кирхгофа справедлива лишь при условии, что длина этой зоны велика по сравнению с характерным размером профиля, т. е. при сх》Re~i/2. Сопротивление профиля можно определить, вычисляя сумму действующих на него поверхностных сил. Вклад сил трения, приложенных к твердой поверхности, в величину сх имеет как всегда порядок O(Re-1/2). Интеграл сил давления находится из (6.1) и (6.3); в результате оказывается, что

с* = h2cxi + .... 论 f О, As

(6.4)(6.4)=「『⑺ dt

(6.4)

(6.4)

Для профиля треугольной формы /'(%)=!, cxl= 8/л. Отсюда и из полученного выше неравенства следует, что схема Кирхгофа применима в диапазоне толщин Re-1/4《 论 & 1.

Если h == O(Re_i/4), то длина зоны отрыва оказывается величиной одного порядка с длиной хорды профиля. Потенциальные течения такого типа при условии постоянства давления в области отрыва описываются известной схемой Чаплыгина (1899).

Опираясь на соображения оценочного характера, Месситер (1979) установил, что в диапазоне толщин Re-5/8 < й < Re"1/4 зона отрыва имеет протяженность O(h • Re1/4). Таким образом, при Л ~ Re-5/8 зона возвратных течений оказывается локализованной в вязком подслое области взаимодействия в окрестности задней кромки профиля.

Вернемся к соотношению (6.3) и рассмотрим обтекание профиля гладкой формы. Для того, чтобы определить положение точки отрыва и тем самым устранить имеющийся в решении произвол, мы воспользуемся одним из основных результатов гл. I. Изучение локальной структуры течения в окрестности точки отрыва пограничного слоя показало, что на поверхности гладкого тела перед точкой отрыва давление представляется в виде

р = — Re~1/16aao/8^s9/16 厂期一力 + ..., Ref 8,

爆一力 f + 0, а = 0,42, а。= 0,3321 (6.5) (коэффициент здесь записан с учетом того, что пограничный слой на тонком профиле в главном приближении описывается решением Блазиуса).

Решение (6.3) в точке отрыва также имеет особенность. Вычисляя предельное значение интеграла при х -^ xs — Q и вспоми-

ная исходный вид разложения (6.1), можно получить, что

无一aO, 况 s —况-> + 0. (6.6》

Сравним теперь выражения (6.5) и (6.6), полагая, что точка отрыва находится на конечном расстоянии от передней кромки (£$ 〜1). Если h > Re_i/16T то коэффициент при особом члене в (6.6) следует положить равным нулю. По существу это означает^ что в рассматриваемом приближении в точке схода свободной линии тока выполняется условие Бриллюэна ——Билля. Условие отсутствия особенности в решении (6.3) дает уравнение для определения абсциссы точки отрыва ,

c ⑴ 一 （叼）J （旳一力严c ⑴ 一 （叼）J （旳一力严dt — 2广(%s)吗"2dt — 2广(%s)吗"2=0.=0.(6・7)(6・7)

c ⑴ 一 （叼）

J （旳一力严

c ⑴ 一 （叼）

J （旳一力严

dt — 2广(%s)吗"2

dt — 2广(%s)吗"2

=0.

=0.

(6・7)

(6・7)

Если h — Re~1/16Ai и hi = 0(1), то условие Бриллюэна — Билля не выполняется; координата xs должна быть найдена из уравнения

С Г W-f Ы』依二*2С Г W-f Ы』依二*2dt - 2广的)市1/2 = m眾市9/16位1.dt - 2广的)市1/2 = m眾市9/16位1.(6.8)(6.8)

С Г W-f Ы

』依二*2

С Г W-f Ы

』依二*2

dt - 2广的)市1/2 = m眾市9/16位1.

dt - 2广的)市1/2 = m眾市9/16位1.

(6.8)

(6.8)

Ввиду того, что уравнение (6.7) представляет собой предельную форму (6.8) при больших значениях 无"мы будем в дальней^ шем анализировать это последнее более общее уравнение.

Рис. 6.12. Зависимость координаты точки отрыва xs п коэффициента сопротивления с%】 от параметра толщины 无I для профиля с клиновидными кромками; штриховые линии — предельные значения при h\ -> f ОО

Рассмотрим профиль с клиновидными передней п задней кромками: 〃/)=с(£ —炉)，О W £ W 1. Уравнение (6.8) принимает вид 2瓦 с^"б (4z?s — 1) = пае#.

Зависимость координаты точки отрыва и величины сх1 от параметра толщины hi показана на рис. 6.12 для с = 2. При больших 九i положение точки отрыва определяется условием Бриллюэна ——Билля (т. е. из уравнения (6.7)). Уменьшение толщины профиля со-

провождается смещением точки отрыва в направлении задней кромки и одновременным снижением сопротивления профиля. При достижении критической толщины hlc = 0,048 коэффициент ех1 об

ращается в нуль.

Согласно представлениям Ченга и Смита (1982), перестройка течения при дальнейшем уменьшении толщины профиля выглядит следующим образом. Вместе с уменьшением & происходит резкое сокращение размеров рециркуляционной зоны и давление в ней растет. При 加с > ^1 =。(£) размеры области отрыва становятся сравнимы с соответствующими размерами профиля, и для коэффициента сопротивления профиля име-

ет место оценка с* = Рис. 6.13.①орма свободных линий тока при =О (Re- / ). Структура различных значениях параметра толщины течения в масштабах про

филя при Ль близких к 无【с, показана на рис. 6.13.

На более тонком профиле (h <С Re-1/16) область отрыва окружает заднюю кромку и имеет протяженность порядка fe2Re1/8, так что при h = O(Re-1/4) масштабы зоны отрыва по порядку величин ны совпадают с соответствующими масштабами области взаимо-

действия (см. § 2 гл. III).

Рассмотренный пример показывает, что на гладком профиле с толщиной h == O(Re-1/16) точка отрыва смещается вниз по потоку

от точки Бриллюэна ——Билля на расстояния, сравнимые с хордой

профиля. Следствием такого смещения точки отрыва является перестройка глобальной картины отрывного течения. Напомним, что для профиля с точкой излома контура схема Кирхгофа пригодна в гораздо более широком диа* пазоне изменения па*

Рис. 6.14. Положение точки отрыва на профилях растра h, с точкой возврата в задней кромкеВ тех случаях, ког

да кромки профиля отличаются от клиновидных, решение уравнения (6.8) может иметь некоторые особые свойства.

Так, была обнаружена неоднозначность в определении положения точки отрыва на профилях с задней кромкой, имеющей заострение в виде точки возврата. Два примера таких решений показа-

Рис. 6.15. Схематическое изображение зависимости положения точки отрыва от толщины профиляРис. 6.15. Схематическое изображение зависимости положения точки отрыва от толщины профиляшением h точка схода свободнойшением h точка схода свободной%s =%s =4%"(%).4%"(%).h 1 + ...,h —> О,h 1 + ...,h —> О,

Рис. 6.15. Схематическое изображение зависимости положения точки отрыва от толщины профиля

Рис. 6.15. Схематическое изображение зависимости положения точки отрыва от толщины профиля

шением h точка схода свободной

шением h точка схода свободной

%s =

%s =

4%"(%).

4%"(%).

h 1 + ...,h —> О,

h 1 + ...,h —> О,

ны на рис. 6.14. Кривая 1 соответствует профилю с заостренным носком: f(x)=^ CiX(i — ^)2, Ci = 27/4. Штриховой линией показано предельное положение точки отрыва при 场】》1. Кривая 2 построена для профиля со__ скругленной передней кромкой: /(/)= ==с2х1/2(1 — ^)2, 02 = 5^5/8. Здесь, помимо диапазона неединственности решения, обнаруживается еще одно интересное свойство: при больших значениях 无】точка отрыва оказывается вблизи передней кромки профиля.

Причины смещения точки отрыва в окрестность носка профиля обсуждались в работе Тимошина (1985). Оказалось, что этим явлением управляют незначительные на первый взгляд детали формы передней части тела. Допустим, что при ^-> + 0 /(^)= =施丿° + 4%" + ..., где &о > 0, уо > 0,匕 > у。и bi — некоторые по-

стоянные. Еслп 丫。> 1/2 (нулевой радиус кривизны передней кромки) или у。= 1/2, но Bi > 0, то точка отрыва остается на конечном расстоянии от носка профиля. Анализ течения в этих случаях укладывается в изложенную выше схему. Но еслп 汽=1/2 и &i < О, то уже нельзя считать, что при малых h величина xs = O (1). На рис. 6.15 показан качественный вид кривых xs(h) для таких профилей. Эти кривые начинаются из точки Бриллюэна ——Билля на профиле толщиной 无〜1. С умень- линии тока смещается в переднюю

кромку по закону

где

Можно показать, что g(x)> 0, если н > 1/2.

Описанная выше закономерность сохраняет вид вплоть до толщин h — О(rL), В=(32 厶— 15)-* где точка отрыва находится ближе всего к передней кромке: xs = O(Re_₽). Из последней области кривая 力6(场)по закону

16 几嘲& ］丽？ 匕 ％g(Yj

(无Re]/i6严电+

попадает в область h ~ Re-"* 力$ 〜1, где решение определяется уравнением (6.8). Как видно из рис. 6.15, при 1/2 < 71 < 15/16 зависимость положения точки отрыва от толщины профиля имеет немонотонный характер и, следовательно, решение в некотором диапазоне толщин оказывается неединственным.

Отдельные замечания относительно положения точки схода свободной линии тока на сильно затупленных профилях (О V 丫。V V 1/2) имеются в указанных работах, однако детальное исследование этого вопроса в настоящее время еще отсутствует.

Изложенные выше результаты могут быть обобщены на несимметричный класс течений. Первые шаги в этом направлении были сделаны независимо в работах Ченга (1984) и Храброва (1985), где рассматривались течения около профилей с толщиной порядка Re—/* установленных в потоке под углом атаки того же порядка малости. Если положение точки отрыва в симметричной задаче определяется уравнением (6.8) (схема Кирхгофа), то в случае несимметричного обтекания получена система из двух уравнений для координат точек отрыва на верхней и нижней поверхностях профиля. Численное решение этой системы показало, в частности, что для симметричного профиля с параболическим носком и точкой возврата в задней кромке существует несимметричное решение даже при нулевом угле атаки. По-видимому, это связано с неединственностью решения симметричной задачи.

Глава VII

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

ТЕОРИИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ

ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

Постановка задачи

В предыдущих разделах было показано, что одним из центральных моментов в изучении отрывных течений является рассмотрение области взаимодействия пограничного слоя с внешним невязким потоком. Уравнения движения, описывающие течение в вязком подслое этой области, являются нелинейными, и их решение не может быть получено в общем случае в явном аналитическом виде. В данной главе будут рассмотрены некоторые численные методы решения уравнений для области взаимодействия, которые использовались при проведении конкретных расчетов в гл. I—III.

Интересно отметить, что, несмотря на разнообразие ситуаций, приводящих к данному типу взаимодействия, формулировка задачи для области взаимодействия оказывается в известной мере универсальной. В двумерном стационарном случае постановка задачи выглядит следующим образом.

Течение в вязком подслое описывается уравнениями Прандтля ди , ди dp , д2и ди , dv л

〃筋+。茹=一謂+犷 芯+而=°・ (")

Распределение давления р(х) вдоль области взаимодействия заранее неизвестно и должно определяться через условие взаимодействия, выражающее связь между давлением и вытесняющим действием вязкого подслоя. Для потока несжимаемой жидкости эта связь может быть записана, например, в виде интеграла (гл. II § 3)

(1.2)

ИЛИ

если функции p и G + F' равны нулю при / = ±8.

В этой главе для простоты записи используются обозначения, несколько отличающиеся от использованных ранее в гл. I—Ш.

Граничные условия ставятся следующим образом. Уравнения Прандтля являются уравнениями параболического типа. Поэтому для решения этих уравнений в традиционной постановке задачи требуется задание профиля продольной составляющей вектора скорости щ(у) в некотором начальном сечении вязкого подслоя, а также выполнение некоторых краевых условий при у = 0 и при В f 8. Начальный профиль скорости получается из условий сращивания с решением для области, лежащей перед областью взаимодействия, а краевое условие, необходимое при у + 8, из условий сращивания с решением для области, находящейся над вязким подслоем (основная часть пограничного слоя).

Решение для продольной составляющей вектора скорости должно удовлетворять краевым условиям:

м = у + …при х f —8,(1.3)

и = у + ... при у -> 8.(1.4)

На контуре обтекаемого тела используются условия прилипания вязкой жидкости к твердой стенке

北=d = 0 при у = 0.(1.5)

Однако, кроме перечисленных, необходимо поставить дополнительное краевое условие, определяющее структуру течения при / f 8. Дело в том, что решение задачи о взаимодействии с традиционными краевыми условиями не является единственным. В частности, задача об отрыве от гладкой поверхности (歹(/)=0), кроме искомого решения, имеет еще и тривиальное (и = у, d = 0), которое соответствует безотрывному обтеканию рассматриваемого участка твердой поверхности. Вид краевого условия, определяющего асимптотический профиль скорости в области возвратного течения, дан в § 6 гл. I.

Рассматривая течения с локальными зонами отрыва, заметим, что градиент давления стремится к нулю при / + 8. Поэтому основной член в асимптотическом разложении решения (1.1) при / f 8 для течения около точки слабого излома поверхности имеет вид

乂 = у + ... при 宅-> 8.(1.6)

Аналогом этого условия для случая течения около задней кромки тонкого профиля (§ 1 гл. III) оказывается решение Гольдштейна (1930)

и = xi/3f(yx~i/3)+ ... при 力-> 8.(1.7)

В дальнейшем будут изложены конечно-разностные методы решения системы (1.1)——(1.7) для потока несжимаемой жидкости, когда взаимодействие пограничного слоя с внешним невязким потоком описывается интегральным соотношением (1.2). Заметим,

223

однако, что все нижеизложенные методы после несложной модификации можно также использовать для решения сверхзвуковых и трансзвуковых задач, поскольку их отличие от рассматриваемой задачи состоит лишь в других соотношениях между функциями р ж G + F\ описывающих взаимодействие.

Методы, использующие явную схему аппроксимации условия взаимодействия

Традиционным методом решения уравнений Прандтля при заданном распределении давления является маршевый метод. В этом методе пограничный слой рассчитывается шаг за шагом путем перехода от одной линии х = const к другой, расположенной ниже по потоку. В задаче о свободном взаимодействии давление вдоль вязкого слоя не является заранее заданным, а находится в процессе решения, исходя из условия (1.2). Это условие носит интегральный характер и связывает давление в каждой точке области взаимодействия с вытесняющим действием всего вязкого слоя. Поэтому численное решение задачи о взаимодействии для течений несжимаемой жидкости не может быть получено с помощью обычного маршевого метода, а требует проведения глобальных итераций для всего поля течения.

Одним из наиболее часто применяемых итерационных методов является метод Джоба и Бюргграфа (1974). Рассмотрим применен ние этого метода для расчета течения в окрестности задней кромки пластины при симметричном обтекании потоком несжимаемой жидкости (см. § 1 гл. III).

Заметим, что асимптотическое разложение решения системы (1.1) — (1.7) на внешней границе вязкого слоя имеет вид

и = у + А(х) + .,. при у f 8. (2.1)

Поэтому G = — /'(£), и, поскольку Ь(£)= 0, условие взаимодействия можно записать через функцию Л (富)в виде

&g)=U皆风 (2・2)

Итерационный процесс строится следующим образом. Пусть известно приближенное распределение Ап{х) функции 4(富)вдоль области взаимодействия на п-й итерации, найденное из предыдущей итерации или взятое в качестве нулевого приближения. Тогда можно найти численное решение системы (1.1) с краевыми условиями (1.3) —(£.5) по данному распределению Ап(х).

Найденное из этого решения распределение давления подставляется в условие взаимодействия (2.2), и находится новое приближение 4"+，(£) для функции /(£). Далее итерационный процесс повторяется.

Решение системы уравнений (1.1) по заданному распределению 4^(%) осуществляется с помощью маршевого метода путем пере- 224

хода шаг за шагом от одной линии х = const к другой с использованием конечно-разностной схемы Крэнка — Никольсона (1947). Она имеет вид (рпс. 7.1)

("7金 一味 1/)(丐/一 %1$)丄， 丄 ) ， V

2Л 12一)=

=—仍—о,5 + у (^yyU3,h + ^yyUj-l,h)十。。力2, A^2), (2.3)

!一°包气产0,5/_1 +О(А/2, Ау2) = 0,!一°包气产0,5/_1 +О(А/2, Ау2) = 0,匕,А + 匕/] - %T,k -勺一1/-T J

!一°包气产0,5/_1 +О(А/2, Ау2) = 0,

!一°包气产0,5/_1 +О(А/2, Ау2) = 0,

/ = 2,・・，М к = 2,M — 1, где

2M2M、 厶y/j,亙=、 厶y/j,亙=专加+1-2匕/+勺/T专加+1-2匕/+勺/TЗдесь (Ar, Ay)——шаг разностной сетки вЗдесь (Ar, Ay)——шаг разностной сетки в%,h = 〃（Nj,勿），%,h = 〃（Nj,勿），а /% ук ——координатыа /% ук ——координатынаправлении осей (/, у),направлении осей (/, у),узла сетки, N 酬 М — максимальные значения / и А:.На внешней границе расчетной области слева задается начальный профиль продольной составляющей вектора скоростиузла сетки, N 酬 М — максимальные значения / и А:.На внешней границе расчетной области слева задается начальный профиль продольной составляющей вектора скорости〃1, h =玖・На пластине используются условия прилипания〃1, h =玖・На пластине используются условия прилипания怨怨以 1 =内一0,5, 1 =0,◎ W 网p,где % — точка задней кромки, а以 1 =内一0,5, 1 =0,◎ W 网p,где % — точка задней кромки, аза задней кромкой симметрии потока丐,2—&U„—岡=^-0,5,1за задней кромкой симметрии потока丐,2—&U„—岡=^-0,5,1пластины ——пластины ——(2.4)в следеусловия(2.4)в следеусловия0.0.(2.5)(2.5)

2M

2M

、 厶y/j,亙=

、 厶y/j,亙=

专加+1-2匕/+勺/T

专加+1-2匕/+勺/T

Здесь (Ar, Ay)——шаг разностной сетки в

Здесь (Ar, Ay)——шаг разностной сетки в

%,h = 〃（Nj,勿），

%,h = 〃（Nj,勿），

а /% ук ——координаты

а /% ук ——координаты

направлении осей (/, у),

направлении осей (/, у),

узла сетки, N 酬 М — максимальные значения / и А:.

На внешней границе расчетной области слева задается начальный профиль продольной составляющей вектора скорости

узла сетки, N 酬 М — максимальные значения / и А:.

На внешней границе расчетной области слева задается начальный профиль продольной составляющей вектора скорости

〃1, h =玖・

На пластине используются условия прилипания

〃1, h =玖・

На пластине используются условия прилипания

怨

怨

以 1 =内一0,5, 1 =0,◎ W 网p,

где % — точка задней кромки, а

以 1 =内一0,5, 1 =0,◎ W 网p,

где % — точка задней кромки, а

за задней кромкой симметрии потока

丐,2—&U„

—岡=^-0,5,1

за задней кромкой симметрии потока

丐,2—&U„

—岡=^-0,5,1

пластины ——

пластины ——

(2.4)

в следеусловия

(2.4)

в следеусловия

0.

0.

(2.5)

(2.5)

Вдалеке от поверхности ней границе расчетной условие (1.4)х = 1.zВдалеке от поверхности ней границе расчетной условие (1.4)х = 1.zпластины наверх- области ставитсяпластины наверх- области ставится(2.6)(2.6)Рис. 7.1. Шаблон, используемый в разностной схеме Крэнка — НикольсонаРис. 7.1. Шаблон, используемый в разностной схеме Крэнка — Никольсона

Вдалеке от поверхности ней границе расчетной условие (1.4)

х = 1.z

Вдалеке от поверхности ней границе расчетной условие (1.4)

х = 1.z

пластины наверх- области ставится

пластины наверх- области ставится

(2.6)

(2.6)

Рис. 7.1. Шаблон, используемый в разностной схеме Крэнка — Никольсона

Рис. 7.1. Шаблон, используемый в разностной схеме Крэнка — Никольсона

Решение системы уравнений (2.3) с краевыми условиями (2.4)—— (2.6) относительно 北j,» на каждой вертикальной линии осуществляется итерационным методом с помощью предварительной линеаризации нелинейных членов уравнения. В результате получается система линейных алгебраических уравнений для узловых значений продольной составляющей вектора скорости на линии х =力力 решение которой может быть найдено, например, методом прогонки (Годунов и Рябенький, 1977). При этом градиент давле-

15 П./ред. В. В. Сычёва 225

ния подбирается таким образом, чтобы значение скорости на верхней границе расчетной сетки удовлетворяло условию (2.1)

(2.7)(2.7)Щ, м = Ум + /"(力j) •

(2.7)

(2.7)

Если это соотношение не выполняется, то значение градиента давления исправляется по формуле

2一0,5 =仍一0,5 + (近砂~~

где dA/dp' = du^ M/dpf при у = ум. Первоначально уравнения (1.1) дифференцировались по g = р'⑺,чтобы получить дифференциальное уравнение относительно du/dpf. Это уравнение затем численно интегрировалось поперек вязкого слоя для определения dujt M/dpf. Однако в ходе численного расчета было получено, что эта величина приблизительно равна 0,2 для всех х. Она и использовалась в дальнейших расчетах без решения дифференциального уравнения относительно du/dpf.

Исправленное значение ^-o.s снова подставляется в уравнения (2.3), и цикл на шаге продолжается. После нескольких таких итераций, когда получена сходимость решения уравнений (2.3) с необходимой точностью и выполнено краевое условие (2.7), происходит переход на следующую расчетную линию х = ж5+1.

Таким образом, в результате решения уравнений для вязкого подслоя по заданному распределению /"(力)определяется функция ?'(/), а распределение давления р(/) находится с помощью интегрирования этой функции

p⑺=F (%) + J Р'(/)点.

Производная /'(/) может быть вычислена по известному распределению давления с помощью соотношения (2.2). При этом область интегрирования разбивается на три зоны:

ООXN~

— ОО—ОООС]*N

Первый и третий интегралы вычисляются с использованием основных членов асимптотических разложений для давления соответственно при t — —8 и 力—8, второй интеграл ——с помощью конечных разностей (методом трапеций). Входящая в этот интеграл особенность вблизи точки 力=/ раскрывается путем выделения отрезка интегрирования 片牙,片 + 宣・ При интегрировании по этому отрезку значение сингулярного интеграла с точностью до малых второго порядка получается равным р'(/)А/.

Далее находится функция Л (力):

/(/) = <(/) +『 Af(t)dt.

Постоянные р(Zi) и /(/， вычисляются с использованием основных членов асимптотических разложений для давления и функции Л (第)на минус бесконечности. Соответствующие асимптотические выражения для / (力)и р (力)определяются из условий сращивания с решением для областей, лежащих справа и слева от области взаимодействия.

Сходимость изложенного итерационного процесса достигается с помощью применения к функции Л (%) нижней релаксации

An+i ==гА+(1-г)Ап

с достаточно малым значением релаксационного параметра г.

Результаты численного расчета показывают, что для сходимости итерационного процесса необходимо, чтобы величина релаксационного параметра была меньше 0,3. Наиболее быстро итерационный процесс сходится, когда величина г = 0,2. При таком значении релаксационного параметра требуется около 20 итераций для получения сходимости решения задачи с точностью порядка 10~4.

Аналогичный подход использовался в работе Чау и Мельника (1976) для изучения течения около задней кромки пластины, расположенной под малым углом атаки к набегающему потоку. В этом случае симметрия течения относительно плоскости пластины отсутствует. Поэтому вязкий слой должен рассчитываться по обе стороны пластины. Исследование проведено до такого значения угла атаки, при котором на одной из поверхностей пластины появляется отрыв потока.

В работе Смита (1977) тот же итерационный метод использовался для изучения ламинарного отрыва потока несжимаемой жидкости от гладкой поверхности (см. гл. I). Заметим, что отрыв потока характеризуется появлением в вязком слое области возвратного течения, в котором и < Q. Согласно известному свойству параболических уравнений в каждой точке этой области (ж-коор- динату этой точки обозначим через 况丁) решение системы (1.1) оказывается зависимым от распределения гидродинамических функций при х > 爲.Это означает, что маршевый метод, по которому осуществляется расчет пограничного слоя в направлении роста координаты /, не удовлетворяет условию Куранта ——Фрпдрихса ——Леви, необходимому для устойчивого численного метода (см., например, Годунов и Рябенький, 1977). Для устранения неустойчивости при маршевом расчете уравнений вязкого подслоя по заданному распределению А (/) на каждой итерации Смитом во всей области возвратного течения (^ < 0) использовалось урезанное уравнение импульсов с отброшенным конвективным членом 〃林 (аппроксимация Рейнер п Флюгге-Лотц, 1968). Оказалось, что птерацион- 15*227

ный процесс сходится только при одном значении параметра а, входящего в систему, эквивалентную (7.3) гл. I: а = 0,44. Это и позволило сделать вывод о единственности решения исходной

задачи.

Плодотворное влияние на развитие численных методов решения задачи о взаимодействии оказала идея (позаимствованная из расчетов трансзвуковых течений (Мурман п Коул, 1970)) об использовании в релаксационном (итерационном) процессе переменного шаблона в соответствии с изменением по полю течения направления распространения возмущений. Согласно этой идее способ аппроксимации производной по координате х в уравнении импульсов (1.1) зависит от знака стоящего перед этой производной коэффициента и является различным в прямом и возвратном течениях. Впервые такой подход применили к решению уравнений пограничного слоя Клайнберг, Стегер (1974) и Картер (1974). Эти работы были посвящены решению некоторых обратных задач — пограничный слой рассчитывал по заданному распределению трения на стенке или по заданному распределению функции Л (/).

Метод решения уравнений со взаимодействием для несжимаемой жидкости, впервые позволивший рассчитывать течения с отрывом потока, был предложен Рубаном (19766). Этот метод использовался для решения задачи о возникновении ламинарного отрыва при обтекании малого излома поверхности. В нем соединены идеи расчета уравнений вязкого подслоя по заданному распределению 4(/) и использования переменного шаблона при аппроксимации производной по продольной координате в уравнении импульса в зависимости от знака, стоящей перед производной функции и.

Для реализации метода более удобной оказалась запись системы уравнений (1.1) в переменных завихренности со = ди/ду и функции тока 屮.Для ее получения достаточно продифференцировать

уравнениеуравнениеимпульса по координате ^ и учесть уравнение нераз

уравнение

уравнение

рывности

ииdcoдхdcoдх++гдегде帥一 ду，帥一 ду，舛дх舛дх歩屮ay歩屮ay(2.8)(2.8)

и

и

dcoдх

dcoдх

+

+

где

где

帥

一 ду，

帥

一 ду，

舛

дх

舛

дх

歩屮

ay

歩屮

ay

(2.8)

(2.8)

(1.1) при у = 0, получим кра-(1.1) при у = 0, получим кра-следующим образом, пзавихренности д,^следующим образом, пзавихренности д,^(2.10)Пустьв точ-(2.10)Пустьв точ-

(1.1) при у = 0, получим кра-

(1.1) при у = 0, получим кра-

следующим образом, п

завихренности д,^

следующим образом, п

завихренности д,^

(2.10)

Пусть

в точ-

(2.10)

Пусть

в точ-

Функция тока при этом удовлетворяет граничным условиям

屮 ~ "^" = 0 при У = 0.(2.9)

Рассматривая уравнение импульсов евое условие

dp

Итерационный процесс строится известны значенпя функции 4? и

ках расчетной сетки на n-й итерации, полученные из предыдущей итерации или взятые в качестве нулевого приближения. Тогда соотношения (2.8), (2.9) позволяют вычислить распределение функции тока р вдоль каждой расчетной линии х = ©. После этого составляющие скорости %, v могут быть найдены (там, где это требуется) с помощью дифференцирования функции тока по координатам X и у.

Улучшенное приближение для завихренности д 卜 находится по заданному распределению /；, но, в отличие от метода Джоба и Бюргграфа (1974), уравнения для вязкого подслоя решаются не

Рис. 7.2. Схема аппроксимации и граничные условия для уравнений вязкого подслояРис. 7.2. Схема аппроксимации и граничные условия для уравнений вязкого подслоя

Рис. 7.2. Схема аппроксимации и граничные условия для уравнений вязкого подслоя

Рис. 7.2. Схема аппроксимации и граничные условия для уравнений вязкого подслоя

маршевым, а релаксационным способом. Используемая конечноразностная схема имеет следующий вид (рис. 7.2):

%（需l+以止/•=

*+1一2% + 用Т*+1一2% + 用Т+ О(А* а©.+ О(А* а©./ = 2,..・，М к = 2,М—1./ = 2,..・，М к = 2,М—1.(2.11)(2.11)

*+1一2% + 用Т

*+1一2% + 用Т

+ О(А* а©.

+ О(А* а©.

/ = 2,..・，М к = 2,М—1.

/ = 2,..・，М к = 2,М—1.

(2.11)

(2.11)

При этом производная д^\дх представляется левосторонней разностью в точках с положительными значениями продольной составляющей скорости и (схема а) и правосторонней разностью там, где 辽 V 0 (схема 6):

（出V（дх厶，自（出V（дх厶，自嗚＞0,嗚＞0,工*』+ 2"

（出V

（дх厶，自

（出V

（дх厶，自

嗚＞0,

嗚＞0,

一 3s% + 4sJL/ 吗+2/+00硝.

На левой границе расчетной области задается начальный профиль завихренности

а на ее верхней границе условие

3), м = 1 •(2.12)

Решение системы линейных алгебраических уравнений (2.11) для узловых значений завихренности 3工卜 на j-й вертикали осуществляется с использованием метода прогонки, который можно записать в следующем виде:

叫,卜=兄电,+ 5丸，^ = 2, ..., М,(2.13)

где Ям = О, SM = 1, что следует из условия (2.12), a Rk п Sk определяются по рекуррентным формулам

о _ — ckgdk + ahSk+^

f =—勿十〃Ea+J= bh + akRh^

。1 b 23I。1 b 23I

。1 b 23I

。1 b 23I

При этом трение на стенке g, i должно быть таким, чтобы значение продольной составляющей вектора скорости на верхней границе расчетной сетки удовлетворяло условию

玲,м = Ум + /『•(2.14)

Для этого на каждой линии х = /北 кроме прогонки для завихренности, используется прогонка для продольной составляющей скорости и

из,卜=Egs, k + "屉 ^ = 1, • • •? М.(2.15)

Из условия (2.14) следует, что

Ем = 0, Нм = Ум + ^ •

Коэффициенты Eh и Нк определяются из уравнения для м:

uj,k = m)/一1 + •^■(g/ + g/-1).

Подставляя в это равенство 网卜 из (2.15) и используя формулу

(2.13) для 3),冷 получим рекуррентные формулы для определения Eh и Hh:

Ek-i = / (以 -等)-等,

=% + 5月 ^Eh —絆).

На поверхности тела должно выполняться условие прилипания, поэтому uj)t = 0,以,следовательно,

① з 1 = —HJE「

Зная распределение трения на стенке, с помощью соотношения

найдем новое приближение для распределения завихренности во всем поле течения.

Градиент давления находится после этого с помощью соотношения (2.10), а новое распределение функции /(/) определяется из условия взаимодействия, представленного в виде

4〃(纪)一g 当也(.2.16)

При этом значения функции /(力),соответствующие минимальному и максимальному значениям 力北 находятся из условий (1.3) и

Сходимость метода достигается, как и прежде, с помощью применения нижней релаксации для функции Л (力)：

/?+i =r4 + (1 -r)/? ?

при достаточно малом значении релаксационного параметра г = =0,05.

Неявные разностные схемы

Вышеизложенные численные методы используют явную схему аппроксимации условия взаимодействия ——новое приближение для функции /?+1 определяется только через распределение давления 書, полученное на предыдущем итерационном слое. Рассмотрим теперь методы решения с неявной схемой аппроксимации условия взаимодействия. В этих методах определение функции Л^+1 происходит одновременно с расчетом значений давления на (п + 1)-м слое.

Использование неявной аппроксимации увеличивает устойчивость разностной схемы, что позволяет рассчитывать течения в большем диапазоне изменения параметров потока. При этом, что также немаловажно, существенно возрастает скорость сходимости итерационного процесса. Впервые идея неявной аппроксимации условия взаимодействия была использована при решении задач со сверхзвуковым внешним потоком (Нейланд, 1969; Верле, Ватса, 1974; Енсон, Бюргграф, Риззетта, 1975; Вилльямс, 1975; Рубан, 1978). Для несжимаемой жидкости такие методы были разработаны значительно позже.

В методе, предложенном Наполитано, Верле и Дэвисом (1979) для расчета течений около небольших препятствий, решение стационарных уравнений получается как предел решения некоторых нестационарных уравнений. Авторы используют не точный вид нестационарных уравнений Прандтля, а некоторый их аналог. Для

231

добавляется частная произ-добавляется частная произ-этого в левую часть уравнений (1.1) водная по времени функции Л (/, t)

добавляется частная произ-

добавляется частная произ-

дА , ди , ди dp , д2и

亦+ m石+ "苟=一毎+彳・(34)

Численный метод строится следующим образом. Пусть нам известно некоторое распределение функций течения на п-м временном слое. Используя два полушага по времени, найдем новое приближение для искомых функций. На первом полушаге Д^/2, значения функций на котором обозначим верхним индексом *, уравнение (3.1) аппроксимируется такими конечно-разностными уравнениями:

(4 —禺)+ I 涼 М 啦一吗Г缶У —+

,(/，产"篇+i -匕/T 一产匕一i/+i一勺一i/—1 1 I

+ 2 gw+) +

+ 傕):一""二需土"" =。，(3D)

/ = 2, ..M 乃=2, ...,〃一 1,

】ae Y = 1,心/> 0; 丫 = 0, Ujih < 0.“

Здесь также используется переменный шаблон по продольной координате при аппроксимации конвективного члена и —. Причем в области возвратного течения вместо величины 〃；+i,k берется величина Uj+i,k^ полученная на старом временном слое. Уравнение неразрывности аппроксимируется, как и в схеме Крэнка ——Никольсона:

吟/ -吟T乩 + 4fe-i -丄 寸*一吟 J + 片一1,& 一寸一1/-1. 0

京十2A/_ @

(3.3)

Система нелинейных уравнений (3.2) — (3.3) совместно с краевыми условиями (2.4), (2.6), (2.7) относительно неизвестных Ujihi} 巧,左，/； решается обычным маршевым методом. Решение находится последовательно на каждой вертикальной линии.

На следующем полушаге, используя полученное промежуточное решение, находится новое приближение для функций 4(/，и 題(/，. Конечно-разностная схема, аппроксимирующая уравнение (3.1), записывается в виде

^(4九+1 一 Л*) + {ийx + vuy — иу^ = _ ^^—,

что дает формально второй порядок точности по At 232

Из этого уравнения вычитанием (3.2) можно получить более простое выражение

(3.4)(3.4)Р^1-^-^ (染+i — 24* + £),入=^⑥

(3.4)

(3.4)

Чтобы определить неизвестные j>x+1 и Ап+\ воспользуемся условием взаимодействия (2.16). Для аппроксимации этого уравнения используется неявная схема

е p产阳'Е —小е p产阳'Е —小晦晦

е p产阳'Е —小

е p产阳'Е —小

晦

晦

Подставляя в это выражение р/， из предыдущей формулы, получим интегральное уравнение относительно

оо

/爲一2/产+/^1 =丄少星®竺 丄j川+i -24* + " *，.

(3.5)

Заметим, что р{ есть известная функция во всех точках области интегрирования. Поэтому первый интеграл в уравнении (3.5) мо- ясет быть вычислен. Под знаком второго интеграла стоят известные функции Ап, Л* и неизвестная An+i.

Решение системы интегральных соотношений (3.5) относительно неизвестных Л^+1 осуществляется итерационным способом. Из правой части уравнения (3.5), после того как интегралы аппроксимированы конечными суммами, элементы 厶露】Л^+1 и /；£ переносятся в левую часть уравнения. Оставшиеся члены в правой части уравнения

4 * /2 = 1,..・，j — 2, j + 2, ..., TV

заменяются на их значения, полученные из предыдущего итерационного приближения для An+l. На границах расчетной сетки используются условия (1.3) и (1.6). Методом прогонки решаются полученные трехточечные разностные уравнения и определяется новое приближение функции An+i.

Сходимость такого внутреннего итерационного процесса достигается с помощью применения нижней релаксации для функции 4"+| при достаточно малом значении релаксационного параметра г = 0,2. Определив таким образом неизвестные 4"+1(%力 и соответственно из формулы (3.4) р^+1 (力j)g переходим на новый временной слой.

Как показали результаты расчетов безотрывных течений, численный метод сходится наиболее быстро, если величина А力=2. При появлении отрыва потока скорость сходимости и устойчивость метода уменьшаются. Чтобы избежать расходимости нестационарного процесса, необходимо уменьшить А力 до 0,3.

Идея неявной аппроксимации условия взаимодействия используется также в методе, разработанном Королёвым (1980а). В этом методе решаются нестационарные уравнения Прандтля, записанные в переменных завихренности и функции тока. Основная идея метода заключается в следующем: при решении уравнений пограничного слоя значение завихренности на стенке подбирается так, чтобы получаемое решение удовлетворяло неявным образом условию взаимодействия на каждом временном слое.

Пусть известно некоторое распределение завихренности ①^在 на тг-м временном слое. Тогда соотношения (2.9) позволяют вычислить распределение функции тока 屮 вдоль каждой расчетной линии х = xh а составляющие скорости 乂差友 и и* могут быть найдены с помощью дифференцирования р по координатам хну.

Определение завихренности 3?卡'на новом (тг+1)-м временном слое осуществляется с использованием следующей конечно-разностной схемы (Рубан, 1978):

,、九+1，、九,、n也1 + 1以2,、九+1，、九,、n也1 + 1以2一 со：一 со：А/А/Лз九+1 _з九+1$+1哦1也工4Лз九+1 _з九+1$+1哦1也工42毗—咽Л2毗—咽Л旷旷7 = 2,N,加=2,M-1,)7 = 2,N,加=2,M-1,)

,、九+1，、九,、n

也1 + 1以2

,、九+1，、九,、n

也1 + 1以2

一 со：

一 со：

А/

А/

Лз九+1 _з九+1

$+1哦1也工4

Лз九+1 _з九+1

$+1哦1也工4

2毗—咽Л

2毗—咽Л

旷

旷

7 = 2,N,加=2,M-1,)

7 = 2,N,加=2,M-1,)

(3.6)

где

s = sign 痂s = sign 痂Z = sign 哦Z = sign 哦

s = sign 痂

s = sign 痂

Z = sign 哦

Z = sign 哦

Здесь д^/дх аппроксимируется в зависимости от знака u^k левосторонней, если и%》0, или правосторонней, если w^ V 0, разностью, а д^/ду ——соответственно нижней или верхней в зависимости от знака z?J\. В результате получаем систему уравнений на каждой вертикали j = const относительно ①;/f

ak^,k+i + 匕左①笈 1 + %①笈三 1 + dk = 0, к = 2, .. ., М — 1,

(3.7)

где ak, by ck и dk находятся из (3.6).

Условие устойчивости разностной схемы (3.6) имеет вид

АУАУ

АУ

АУ

Решение системы (3.7) может быть найдено методом прогонки. Полагая, что выполнено условие

磁片=It

из уравнения (3.7) можно получить прогоночные коэффициен- 234

ты 自 и qh:

hi = 0, Qm — 1,

"% +'%+階丸+1'

по которым определяются значения ①?,t^：

З我 1 =坛唠之 1 + 0色，k = 2, M - 1.(3.8)

Остается определить распределение завихренности ①若'на стенке. Уравнение (3.8) показывает, что 笳^] линейно зависит от ①抬* а следовательно, линейно зависит от з；? и значение скорости u^V на верхней границе

球診=現3；才+邑，(3.9)

где Rj и Sj находятся по формулам

М—1

^j =岑~ + £ ^т^Уч т~2

М-1

邑・=唠龙+ ± ^т^У]

т=2

ат и 0m определяются из рекуррентных соотношений

^m n1 ^m—ihm + ^m«^m n1 ^m—ihm + ^m«

^m n1 ^m—ihm + ^m«

^m n1 ^m—ihm + ^m«

При у = 0 должно быть выполнено условие (2.10) /也严_吗尹一①势1 —(乙-1)喷产+ %

Так как на верхней границе значение продольной составляющей вектора скорости должно удовлетворять соотношению

^м1 = Ум + 禺+1,

то из этого соотношения, а также из (3.9) и (3.10) легко получить, что величина ^j+1 связана с градиентом давления линейным соотношением

(3.11)(3.11)有+1 = ?•(黑):1+叱・

(3.11)

(3.11)

Величины Dj и ①)определяются по формулам

Q = %ТТ ①尸Sl?m-1^

Чтобы найти Лп+\ dpn+i/dx, воспользуемся условием взаимодействия, которое запишем в виде

(3.12)

Проинтегрировав второй и третий интегралы, воспользовавшись асимптотическим поведением для р, получим на отрезке (力匕 /n) следующую задачу для определения неизвестных р；+), А?*'。Имеется интегральное соотношение

XN

器=1 J -СЭ-您 + G(4，*(3.13)

X1

в узлах сетки из (3.11) дана линейная зависимость между значениями 4m и {dpldx^1^

п краевые условия

卩(力1) = 〃， (3.15)

/(%i) = 4. (3.16)

Постоянные ?i 目 /【вычисляются с использованием основных членов асимптотических разложений для давления и функции Л (/) при / f —8. Функция G(/i, /n,力) представляет три последних члена в (3.12).

Эта задача решается релаксационным способом. Взяв некоторые распределения 卩?十‘ и 4；+' (например, из zz-го временного слоя) и подставив 卩?+i в правую часть соотношения (3.13), получим из этого соотношения и условия (3.16) другое распределение Aj. Новое приближение Л^+1 берется в виде нижней релаксации

^ = А}г+(1^г)^.

Из этого распределения Л^+1 с помощью соотношений (3.14) и (3.15) получаем новое приближение для 夕加 Процесс повторяется до тех пор, пока он не сойдется с нужной степенью точности. Здесь г —— релаксационный параметр.

Таким образом, получив новое распределение 4?十\ можно с помощью соотношения (3.9) найти величину ①；/М что позволяет определить новое распределение завихренности 唠*, удовлетворяющее условию взаимодействия. Затем осуществляется переход на новый временной слой.

В некоторых задачах, например в задаче о течении в окрестности задней кромки тонкого профиля, краевое условие 比(％, 0) = О может меняться на другое: со(宓，0) = 0 при 瑞 больших некоторого /щ)・ В этом случае, используя (3.8), можно сразу получить распределение завихренности 碱^丄 при / > 力即,а следовательно, найти связь между неизвестным распределением скорости на оси следа 〃/} и функцией Л (х):

驾+1 =崂倉 + %, 4 = 2 (%•4P'I 一 1) Ay・(3.17)

Градиент давления будет определяться из выражения

(dp叫学一О (喷匕у _(碎耳)2吗”% \ de J. А沙 2A力 Ai

Решение системы уравнений (3.13)——(3.18) находится так же, как и в предыдущем случае, релаксационным способом. Однако теперь при ж > жкр из уравнения (3.17) через приближение для Л^+1 определяется u^t1, а из уравнений (3.18) —{dp/dx)^1 目 находится распределение давления, которое затем подставляется в интегральное соотношение (3.13) для определения нового приближения А；+1.

После того как решение для 厶；十1 и р；*' найдено, через соотношение (3.9) находим со}£ при х ^ жкр, а из соотношения (3.17) находим ujj1 при х > ^кр. Это позволяет определить новое распределение завихренности и функцию тока во всем поле течения, выполнив при этом условие взаимодействия.

Изложенный метод позволил построить численное решение для области взаимодействия в задаче о ламинарном отрыве от гладкой поверхности потока несжимаемой жидкости (рис. 1.8) и в задаче о течении в окрестности задней кромки тонкого эллиптического профиля (рис. 3.14).

Как показали результаты этих расчетов, для сходимости итерационного процесса необходимо, чтобы величина релаксационного параметра была не более 0,04. Величина шага по времени А方 существенно зависит от используемой сетки и решаемой задачи.

Этот численный метод может быть использован и для решения нестационарных задач со взаимодействием и отрывом. Некоторые другие модификации численных методов с неявной схемой аппроксимации условия взаимодействия можно найти в работах Велдмана (1981), Ван Доммелена и Шена (19836), Бюргграфа и Дака (1982).

Полностью неявная схема

Пусть у нас имеется двумерная расчетная сетка размерности (N ХМ), в каждом узле которой требуется найти одно неизвестное значение. Тогда размер вектора неизвестных будет (NXM). Запишем систему конечно-разностных уравнений, определяющих реше-

237

ние задачи, в следующем виде:

(4・1)(4・1)5(屮)="

(4・1)

(4・1)

где 屮=• • • — вектор неизвестных размерности (^ X М), В (ф)——нелинейный оператор, действующий на ф. Любой двухслойный итерационный процесс решения задачи (4.1) можно записать в виде

Cn^^ + B^ = f. ；(4.2)

Из общей теории итерационных методов известно (Самарский и Николаев, 1978), что если оператор С есть производная Гато оператора В в точке ф•

e=*(屮)，

то при некоторых дополнительных предположениях о гладкости оператора Вг (ф) итерационный процесс

夕(d)*二® + 5(d) = /(4.3)

имеет более высокую скорость сходимости, чем скорость сходимости геометрической прогрессии, которая характерна для ранее изложен

ных методов.

При тп = 1 итерационный процесс (4.3) называется методом Ньютона — Канторовича.

Однако при стандартном обращении матрицы 5'(屮)потребуется порядка О(ЛГ%з) арифметических операций. В данном случае применяется более экономный метод обращения матрицы В\ основанный на использовании специального вида решаемых уравнений и позволяющий снизить количество арифметических операций до величины порядка О (NX (№ + №)).

Основные идеи этого метода, разработанного Г. Л. Королевым, изложим на примере численного решения задачи об обтекании задней кромки пластины, расположенной под малым углом атаки к набегающему потоку (см. гл. III, § 3).

Задача для области взаимодействия выглядит следующим об-

разом:диразом:ди, ди+ "再=, ди+ "再=dp д2иdp д2иди历+ди历+方⑷方⑷Рв (/), /н(»Рв (/), /н(»Z/>0, У о,Z/>0, У о,北(力，0) = d(/, 0) = о北(力，0) = d(/, 0) = опри / W 0,при / W 0,(4・4)(4.5)(4・4)(4.5)

разом:

ди

разом:

ди

, ди

+ "再=

, ди

+ "再=

dp д2и

dp д2и

ди

历+

ди

历+

方⑷

方⑷

Рв (/), /н(»

Рв (/), /н(»

Z/>0, У о,

Z/>0, У о,

北(力，0) = d(/, 0) = о

北(力，0) = d(/, 0) = о

при / W 0,

при / W 0,

(4・4)

(4.5)

(4・4)

(4.5)

(4・6)(4・6)(4.7)(4.7)

(4・6)

(4・6)

(4.7)

(4.7)

〃=历丨+ …при / f -oo,

ди/ду = 1 + ... при у8,

ди/ду = -1 при yf-8,(4.8)

Рв(/) = —а伉 I"? + 41/|т/2 + • •. при —8,(4.9)

Рн(/) = а1/卩％ — ml/L" +・・.при х -> —оо?(4.10)

где Рв(/) и рн (^) — распределение давления на верхней и нижней полуплоскостях рассматриваемой области, а константа А, характеризующая интегральное влияние вытесняющего действия области взаимодействия, должна определяться из решения задачи.

Связь между давлением и наклоном толщины вытеснения выражается формулой тонкого профиля (см. гл. Ш)

⑺=,& £ = 4Зн(*

(4.11)

4 ® =］血器=3 * 各9 一：1""(一)dt + ^1/2 я(* 一 004 —-"

(4.12)

Н(х)——функция Хэвисайда.

Кроме того, должно быть выполнено условие равенства давлений за задней кромкой

夕 в(/) = 〃н(/),/>0.(4.13)

Прежде чем приступить к численному решению поставленной задачи, сделаем следующее преобразование координат:

z = 4,/W0;

z = 4-6⑺，/ >0,

где

0(^)= % (4 ⑺一4(力))—% (人⑼ 一 4(0)).(4.14)

В этом случае нулевая линия тока при 3 f g асимптотически приближается к прямой z = const.

Если вместо функции d ввести функцию v = v — Q^, то вид системы (4.4) — (4.10) после преобразования координат не изменится; только вместо координаты у надо формально поставить z, а вместо и поставить 万.Вид условия взаимодействия при / W 0 остается прежним, у просто заменяется на z. При / >0 из (4.11), (4.12), переходя к переменным /, z, получим

limZ-»+oolimZ-»+oo=lim=limди 1°ди 1°рB (力)+ рh ⑴2 (方—X)рB (力)+ рh ⑴2 (方—X)dt.dt.(4.15)(4.15)

lim

Z-»+oo

lim

Z-»+oo

=lim

=lim

ди 1°

ди 1°

рB (力)+ рh ⑴

2 (方—X)

рB (力)+ рh ⑴

2 (方—X)

dt.

dt.

(4.15)

(4.15)

Введем равномерную сетку (力厶 z^. Минимальные и максимальные значения j 且 к обозначим соответственно через ^ и М. Положение задней кромки пластины определим через координаты xNE = 0, Zme = 0.

Предполагая, что левая граница расчетной сетки достаточно удалена от задней кромки, краевое условие (4.6) запишем в виде

厶,h = El —=0.(4.16)

На верхней и нижней границах расчетной сетки поставим условия (4.7) и (4.8):

4,i =4,i =4,м =4,м =4匕.2一匕.3一34,1Л n2Az—.4匕.2一匕.3一34,1Л n2Az—.,3,3(4.17)(4.17)

4,i =

4,i =

4,м =

4,м =

4匕.2一匕.3一34,1Л n

2Az—.

4匕.2一匕.3一34,1Л n

2Az—.

,3

,3

(4.17)

(4.17)

Первое уравнение из (4.4) будем аппроксимировать конечно-разностной схемой второго порядка точности в области прямого течения (схема Крэнка — Никольсона) и первого порядка точности по △力 в области отрыва потока '

=户它—""";f +上产（储"儈+厶z〃j/） +

+ 匕 А；"' —I"(入zz〃)/ + %zz味ie) = 0,

_ 一(4.18)

匕/ 十力/-1 -匕一1/ - "MI/-1 丄巧一0,5)- ^-0.5Л-1 n I— и,

2AzAz

s= sign(s/ + %一1出).

На пластине ставятся условия прилипания

(4.19)(4.19)Lj, ME =色，ME = 0, 〃j-o,5, ME =0, j W NE.

(4.19)

(4.19)

Бесконечная область интегрирования в уравнениях (4.11), (4.12), (4.15) разбивается на три интервала от —оо до 力匕 от Xi до xN и от xN до 8. Вне отрезка [/“ /n] интегралы вычисляются с использованием основных членов асимптотического разложения для давления на минус и плюс бесконечности, а внутри отрезка [力匕 xN] аппроксимируются конечными суммами с выделением особенности в точке t = Xj：

Qj = —^Д^~~Е (aj,sPn,s + Pj,spB,.s) —Gj (g,瓦，力1，力№)= 0,

s=l

Qj+N =”A"/fE 3 + N,sPh,s + ^j+N,sPB,s)—

S=1

Gj+N (/厶 ％,力 1，力n) = °, j = 2, ..., N,(4.20)

Ph, s = Ph (%s) , Pb, s = Pb (&) •

Здесь a；, $, ^, s —- коэффициенты, с помощью которых происходит ап- 240

проксимация интегралов конечными суммами на отрезке (&,力穴), Gj учитывает вычисленные интегралы вне отрезка.

Краевые условия (4.9), (4.10), (4.13) запишем в виде

Qi = 〃в, 1 + cd/」"？一 6il^il"1/2 = 0,

Qn+、= ра1/」'/2 + Ь」©|т/2 = 0,(4.21)

QzN + l =卩Н, NE+I — Рв, NE+1-1 = 0,Z = 1, N NE + 1.

Полученную систему нелинейных алгебраических уравнений будем решать методом Ньютона ——Канторовича с использованием матричной прогонки для обращения матрицы Якоби на каждой итерации.

Введем векторы U) и Р размерности соответственно М и 3N-N石+ 1:——

一一

力,i力,iPb,N %, I

力,i

力,i

U)=U)=匕/匕/из,миз,мР =Р =—Ph,NиNE + I,ME—Ph,NиNE + I,ME

U)=

U)=

匕/

匕/

из,м

из,м

Р =

Р =

—Ph,N

и

NE + I,ME

—Ph,N

и

NE + I,ME

VN,ME bl

Тогда систему соотношений (4.16) — (4.19) можно записать в более компактном виде:

L = "(□) = 0, L = Lj(U„ Uj+b Uj_, Р) = 0,(4.22)

L; = 4/ ,

где Ljh = 0 — соответствующее конечно-разностное уравнение в 4-й точке на j-й вертикали. В соотношениях (4.22) предполагается, что вертикальная составляющая вектора скорости ^_015,丸 уже выражена через векторы и^_1? U), Р с помощью интегрирования уравнения неразрывности.

Пусть у нас имеется некоторое приближение для векторов U?, Р" на /г-н итерации. Для того чтобы найти улучшенное приближение этих векторов, введем соответствующие векторы поправок ДЩ ДР и перепишем систему уравнений (4.22) в виде

GL；@Lj@L；

AU* + 甄А口 + 在 AU— +

+ 奈 АР + L? (U/, U3, и%】，卩豆)=0,(4.23)

241241設 AU] + L?(U?) = 0,(4.24)

241

241

16 П./ред. В. В. Сычёва

где матрицы Якоби, умножаемые на векторы поправок, определяются по формулам

左=1, • . М, 7П = 1,左=1, • . М, 7П = 1,NP = 3N-NE + i.NP = 3N-NE + i.

左=1, • . М, 7П = 1,

左=1, • . М, 7П = 1,

NP = 3N-NE + i.

NP = 3N-NE + i.

Решение задачи (4.23)——(4.24) будем искать в виде

(4.25)(4.25)AUj = R/Uj+]+WjAP + Zj,j = 2, ..., М

(4.25)

(4.25)

где R), Wj — матрицы размерности MXМ и MXNP、a Z； — вектор размерности М.•

Из формулы (4.25) и уравнений системы (4.23) для 2 W j W N находятся (как и в случае обычной прогонки) рекуррентные соотношения для вычисления матриц R；, W； и векторов Z,

* - в一‘B =可+而二Ri

z,——BT(L? + 亳 zR.

Из (4.24) и (4.25) для у = 1 находятся начальные значенияИз (4.24) и (4.25) для у = 1 находятся начальные значения

Из (4.24) и (4.25) для у = 1 находятся начальные значения

Из (4.24) и (4.25) для у = 1 находятся начальные значения

позволяющие начать счет по рекуррентным соотношениям. Для того чтобы определить неизвестный вектор ДР, воспользуемся условием свободного взаимодействия (4.20), которое совместно с краевыми условиями (4.21) можно записать как

Q (и】，...，и», Р) = • с • = о.

Из этой системы уравнений получим

(4・26)(4・26)£崙 AU/+ 第 АР+ Qn(Ui, ..., U?, Р) = 0,

(4・26)

(4・26)

где матрицы AQ/dUz и AQ/AP определяются по формулам

型_ _ /忆]dQ/忆1

s = 1, ..NP^ к = 1, ..M, т = 1£ 19l NP^

Полученную систему уравнений (4.26) запишем в другом виде:

Е ^" AU% + TjAUj + Н/АР + Sj = 0.(4.27)

Из формулы (4.25) и уравнения (4.27) для 1 W/W2V находятся рекуррентные соотношения для вычисления матриц Т；, Н; и вектора Sj：

T3=謂q+匕一*)一g

H = Hj—i + Tj—iWjf S, = Sr + T—Zj—i.

Из уравнений (4.26) и (4.27) для j = 1 находим начальные значения Г, Н], S]：

Т，=誹，Н|=翡，S] = Q\

позволяющие начать счет по рекуррентным соотношениям. Для / = 7V получим

Tn+iAUn+i + Hjv+1 ДР + Sjv+1 = 0.

Вектор Un на правой границе расчетной области определяется только в точках 〃n，丸》0. Профиль возвратного течения (uNik< 0), если таковой имеется, должен задаваться при у = ^ в качестве граничного условия. Поэтому матрица RN = 0, следовательно,

Tjv+1 AUjv+1 = TjyRjvAUjv+1 = 0.

Определив ДР из уравнения

Hn+iAP + Sn+i = о,

находим по рекуррентной формуле (4.25) все значения AU?. Новое приближение для векторов Uj, Р берется в виде

и?+1 = и? + диь Р^+1 = рп + ДР.

Обычно требуется около пяти итераций для получения сходимости решения с точностью порядка 10-6.

Нами был рассмотрен ряд численных методов для решения задач с вязким взаимодействием. Перед исследователем, который собирается пользоваться этими методами, встает вопрос об оценке этих методов применительно к интересующим его задачам. Хотя большинство методов разрабатывались авторами для решения какой-либо конкретной задачи, в целом, основываясь на полученных результатах, можно отметить следующее.

Наиболее эффективны методы, использующие неявные схемы аппроксимации условия взаимодействия. Они более устойчивы и позволяют достичь более быстрой сходимости по сравнению с явными схемами.

Для расчета течений, где твердая поверхность является одной из границ расчетной сетки, лучше использовать методы для реше- 46*243

ния уравнений, записанных в переменных завихренности и функции тока. При одной и той же организации итерационного процесса они требуют для сходимости меньшего числа итераций, чем методы решения уравнений, записанных в переменных мни. Эти же методы лучше использовать и для решения задач в окрестности задних кромок профилей при симметричном обтекании потоком жидкости.

Заметим, однако, что решение задач с разрывом граничных условий и отсутствием симметрии потока (например, обтекание задней кромки профиля под углом атаки), как правило, проводится в переменных 北 и D, что связано с более простым видом программ, создаваемых для решения задач в этих переменных по сравнению с программами для решения задач в переменных со и ip.

Необходимо сделать еще одно замечание. Все изложенные выше численные методы дают сходящееся решение задач со стационарными краевыми условиями лишь в определенном диапазоне изменения параметров задачи. При выходе из этого диапазона итерационный процесс не сходится. Основная причина чаще всего заключается в возникновении неустойчивости разностной схемы. Применение методов с неявной схемой (аппроксимации условия взаимодействия) в некоторых случаях позволяет продвинуться в сторону расширения этого диапазона. Другим возможным источником отсутствия итерационной сходимости может также служить использование переменного шаблона при аппроксимации производной по продольной координате. В работе Наполитано, Верле и Дэвиса (1979) отмечалось это явление в области присоединения оторвавшегося потока. Кроме того, не исключена возможность, что стационарное решение может существовать лишь при единственном значении параметра, как, на-' пример, в задаче о ламинарном отрыве от гладкой поверхности (гл. I, § 7) или только в ограниченном интервале (см. задачу об отрыве на передней кромке гл. IV, § 5).

Заметим в заключение, что математические проблемы существования и единственности рассматриваемых уравнений до сих пор не решены как для самих дифференциальных уравнений, так и для их конечно-разностных аналогов. Поэтому при численном решении в большей степени приходится полагаться на результаты расчетов, чем на строгую математическую теорию.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Адамсон, Месситер (Adamson Т. С. Jr., М е s s i t е г A. F.)

1980. Analysis of two-dimensional interactions between shock waves and boundary layers/Ann. Rev. Fluid Meeh.— V. 12. — P. 103—138.

Аккерберг (Ackerberg R. C.)

Boundary-layer separation at a free streamline. Part 1. Two-dimensional flow/J. Fluid Meeh.— V. 44, pt. 2.—P. 211—225.

Boundary-layer separation at a free streamline. Part 2. Numerical results/!. Fluid Meeh.— V. 46, pt. 4.—P. 727—736.

Boundary-layer separation at a free streamline. Part 3. Axisymmetric flow and the flow downstream of separation/J. Fluid Meeh.— V. 59, pt. 4.— P. 645-663.

А к p и в о с, Лил, Сноуден, Пан (А с г i v о s A., Leal L. G., Snowden D. D., Pan F.)

1968. Further experiments on steady separated flows past bluff objects/!. Fluid Meeh.- V. 34, pt. 1.- P. 25-48.

А к p и в о с, Сноуден, Гроув, Петерсен (А с г iv о s A., Snowden D. D., Grove A. S., Petersen E. E.)

1965. The steady separated flow past a circular cylinder at large Reynolds num- bers/J. Fluid Mech.-V. 21, pt. 4.-P. 737-760.

Ахенбах (A c h e n b a c h E.)

Distribution of local pressure and skin friction around a circular cylinder in cross-flow up to Re = 5 X 106/J. Fluid Meeh.— V. 34, pt. 4.— P. 625— 639.

Б e т я e в С. K.

1980. Эволюция вихревых пелен/ Диналтика сплошной среды со свободными поверхностями.— Чебоксары: Чувашский гос. ун-т.— С. 27—38.

Б и р кг о ф (Birkhoff G.)

1962. Helmholtz and Taylor instability/Pro c. Symposia in Appl. Math.—V. 13.— P. 55-76.

Б и p к г оф, Сарантонелло (Birkhoff G., Zarantonello E. H.)

1957. Jets, wakes, and cavities.— New York: Academic Press Inc. (Pyc. nep.: Струи, следы и каверны.——М.: Мир, 1964.)

Блазиус (Blasius Н.)

1908. Grenzschichten in Fliissigkeiten mit kleiner Reibung/Z. Math. Phys.一 Bd. 56, H. 1,— S. 1—37.

Боголепов В. В.

1985. О структуре течения в окрестности задней кромки пластины/Ж. прикл. мех. техн, физ.— № 3.— С. 95—99.

Боголепов В. В., Н ейл ан д В. Я.

1971. Обтекание малых неровностей на поверхности тела сверхзвуковым потоком вязкого газа/Тр. ЦАГИ.— Вьш. 1363.

Браун, Даниэльс (Brown S. R, Daniels Р. G.).

1975. On the viscous flow about the trailing edge of a rapidly oscillating pla- te#J. Fluid Meeh.—V. 67, pt. 4.—P. 743—761.

Браун, Стюартсоп (Brown S. N., Stewartson K.)

Laminar separation/Ann. Rev. Fluid Meeh.— V. 1.— P. 45—72.

Trailing-edge stall/J. Fluid Meeh.— V. 42. pt. 3.—P. 561—584.

Wake curvature and the Kutta condition in laminar flow/Aeronaut. Quart.— V. 26, pt. 4.— P. 275-280.

On an integral equation of marginal separation/ SIAM J. Appl. Math.— V. 43, № 5.— P. 1119-1126.

Бриллюэн (Brillouin M.)

1911. Les surfaces de glissement d'Helmholtz et la resistance des fluides/Ann. Chim. Phys. 8е ser.— T. 23.— P. 145-230.

Бродецкий (Brodetsky S.)

1923. Discontinuous fluid motion past circular and elliptic cylinders/Proc. Roy. Soc. London. Ser. A.- V. 102, № 718.— P. 542-553.

Б у ap, К утанс о (В о uard R., Coutanceau M.)

1980. The early stage of development of the wake behind an impulsively started cylinder for 40 < Re < 104/J- Fluid Meeh — V. 101, pt. 3 — P. 583— 607.

Бэтчелор (Batchelor G. K.)

1956a. On steady laminar flow with closed streamlines at large Reynolds num- ber/J. Fluid Meeh.- V. 1, pt. 2.- P. 177-190.

19566. A proposal concerning laminar wakes behind bluff bodies at large Reynolds number/J. Fluid Mech.— V. 1, pt. 4.— P. 388—398.

Бюргграф, Дак (Burggraf О. R., Duck P. W.)

1982. Spectral computation of triple-deck flows/Numerical and Physical Aspects of Aerodynamic Flows/ed. T. Cebeci.— New York: Springer-Verlag.— P. 145—158.

Ван Дайк (Van Dyke M. D.)

1956. Second-order subsonic airfoil theory including edge effects.— NACA Rep. 1274.

1964. Perturbation methods in fluid mechanics.— New York: Academic Press. (Рус. пер.: Методы возмущений в механике жидкости.— М.: Мир, 1967.)

1967. Survey of higher-order boundary-layer theory.— SUDAAR № 326, Dept, of Aeronautics and Astronautics, Stanford Univ.

Ван д e В у pe н, Диикстра (van de V о о ren A. L, Dijkstra D.)

1970. The Navier-Stokes solution for laminar flow past a semi-infinite flat plate/J. Eng. Math.— V. 4, № 1.— P. 9—27.

Ван Домм e л e н, Шен (van Dommelen L. L., Shen S. F.)

1980. The spontaneous generation of the singularity in a separating laminar boundary layer/J. Comput. Phys — V. 38, № 2.— P. 125—140.

1982. The genesis of separation/Numerical and Physical Aspects of Aerodynamic Flows/ed. T. Cebeci.— New York: Springer-Verlag.— P. 293—311.

1983a. Boundary layer separation singularities for an upstream moving wall/ Acta Meeh.— V. 49, № 3—4.— P. 241—254.

19836. An unsteady interactive separation process#AIAA J.—V. 21, № 3.— P. 358-362.

Interactive separation from a fixed wall/Numerical and Physical Aspects of Aerodynamic Flows П/ed. T. Cebeci.— New York: Springer-Verlag.— P. 393-402.

В a p т и, К ю p p ь e (Var ty R. L., Currie I. G.)

Measurements near a laminar separation point/J. Fluid Meeh.— V. 438.— P. i一19.

Вейль \Weyl H.)

On the differential equations of the simplest boundary — layer problems〃 Ann. Math. 2 ser.— V. 43, № 2.— P. 381—407.

В e л д м а н (V e 1 d m a n A. E. P.)

Boundary layer flow past a finite flat plate.— Rijksuniv. Groningen.

1981. New, quasi-simultaneous method to calculate interacting boundary lay- ers〃AIAA J.- V. 19, № 1.- P. 79-85.

В e л д м а н, Ван д e В у p e н (V e 1 d m a n A. E. P., van d e V о о r e n A. I.) 1975. Drag of a finite flat plate/Lecture Notes in Phys.— V. 35.— P. 423—430.

Верле (W er 1 ё H.)

1971. Sur Feclatement des tourbillons/^ONERA Note Tech.— № 175.

Верле, В а т с a (W е г 1 е М. J., V a t s а V. N.)

1974. New method for supersonic boundary-layer separation/AIAA J.— V. 12. № 11.— P. 1491—1497.

Верле, Дэвис (W e г 1 e M. J., Davis R. T.)

1972. Incompressible laminar boundary layers on a parabola at angle of attack: a study of the separation point/Trans. AS ME. Ser. E, J. Appl. Meeh.— V. 39, № 1.— P. 7—12.

Вилльямс (Williams J. C.)

Incompressible boundary-layer separation/Ann. Rev. Fluid Meeh.— V. 9.— P. 113-144..

Flow development in the vicinity of the sharp trailing edge on bodies impulsively set into motion/J. Fluid Meeh.— V. 115.— P. 27—37.

Вилльямс, Джонсон (Wi 11 iams J. C., Johnson W. D.)

1974a. Note on unsteady boundary-layer separation/AIAA J.— V. 12, № 10.— P. 1427—1429.

19746. Semisimilar solutions to unsteady boundary-layer flows including sepa- ration〃AIAA J- V. 12, № 10.- P. 1388—1393.

Вилльямс, Стюартсон (Wi 11 iams J. C., Stewartson K.)

Flow development in the vicinity of the sharp trailing edge on bodies impulsively set into motion. Part 2〃J. Fluid Meeh.— V. 131.— P. 177—194. Вилльямс (Williams P»G.)

A reverse flow computation in the theory of self — induced separation/ Lecture Notes in Phys.— V. 35.— P. 445—451.

Билля (V ill at H.)

Sur la validite des solutions de certains problemes d,hydrodynamiquey/J. Math. Pures Appl. 6е ser.— T. 10, fasc. 3.— P. 231—290.

By (Wu T. Y.)

1972. Cavity and wake flows /Ann. Rev. Fluid Meeh.— V. 4.— P. 243—284.

Г а б утти (Gabutti В.)

On the equation of similar profiles/Z. angew. Math. Phys.— V. 35, № 3.— P. 265—281.

Гельмгольц (H.elmholtz H.)

Uber Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welche den Wirbel- bewegungen entsprechen/J. reine angew. Math.— Bd. 55, H. 1.— S. 25—55.

Uber discontinuirliche Fliissigkeits — Bewegungen/Monatsbericht d. Akad. d. Wiss. Berlin.— April.— S. 215—228.、

Го (Kuo Y. H.)

On the flow of an incompressible viscous fluid past a flat plate at moderate Reynolds numbers，J. Math. Phys.— V. 32, № 2—3.— P. 83—101.

Г о г иш Л. В., Нейл анд В. Я., Степанов Г. iEO.

Теория двумерных отрывных течений/Итоги науки и техники. Гидромеханика.— Т. 8.— С. 5—73.

Годунов С. К., Рябенький В. С.

Разностные схемы.— М.: Наука.

Гольдштейн (Goldstein S.)

Concerning some solutions of the boundary layer equations in hydrodynamics/Proc. Camb. Phil. Soc.— V. 26, pt. 1.—P. 1—30.

On laminar boundary-layer flow near a position of separation/Quart. J. Meeh. Appl. Math.L V. 1, pt. 1 — P. 43—69.

Гроув, Ш e й p, Петерсен, А к p и в о c (Grove A. S., S h ai г F. H., Petersen E. E., Acriv о s A.)

An experimental investigation of the steady separated flow past a circular cylinder/J. Fluid Meeh.— V. 19, pt. 1.— P. 60—80.

Гуревич AL И.

Теория струй идеальной жидкости.— М.: Наука.

Даниэльс (Daniels Р. G.)

Viscous mixing at a trailing edge/Quart. J. Meeh. Appl. Math.— V. 30, pt. 3.— P* 319—342.

Д e П ни с, Данвуди (Dennis S. C. R., Dunwoody J.).

The steady flow of a viscous fluid past a flat plate/J. Fluid Meeh.— V. 24, pt. 3.— P. 577—595.

Деннис, Ченг (Dennis S. С. R., Chang G -Z.)

Numerical integration of the Navier-Stokes equations for steady two-dimensional flow / Phys. Fluids.— V. 12, № 12, Suppl. II. — P. 88—93.

Numerical solutions for steady flow past a circular cylinder at Reynolds numbers up to 100/J. Fluid Meeh.— V. 42, pt. 3.— P. 471—489.

Джоб, Бюргграф (Jobe С. E., Burggraf О. R.)

The numerical solution of the asymptotic equations of trailing edge flow/Proc. Roy. Soc. London. Ser. A.— V. 340, № 1620.— P. 91—111.

Джонс (Jones В. M.)

Stalling/J. Roy. Aeronaut. Soc.— V. 38, № 285.— P. 753—770. Диесперов В. Н.

О существовании и единственности автомодельных решений, описывающих течение в слоях смешения/Докл. АН СССР.— Т. 275. № 6.— С. 1341—1346.

Исследование автомодельных решений, описывающих течения в слоях смешения / Прикл. мат. мех.— Т. 50, вып. 3.— С. 403—414.

Диикстра (Dijkstra D.)

The solution of the Navier—Stokes equations near the trailing edge of a flat plate.— Rijksuniv. Groningen.

Димопоулос, Ханратти (Dimopoulos H. G., Hanratty T. J.)

Velocity gradients at the wall for flow around a cylinder for Reynolds numbers between 60 and 360/J. Fluid Meeh.— V. 33, pt. 2.— P. 303—319.

Долигальскпй, Уолкер (D о 1 i g a 1 s ki T. L., Walker J. D. A.)

1984. The boundary layer induced by a convected two-dimensional vortex^

J. Fluid Meeh.— V. 139.— P 1—28.'

E нс он, Бюргграф, Риззетта (Jenson R., Burggraf O. R., Riz- z e 11 a D. P.)

Asymptotic solution for supersonic viscous flow past a compression corner/Lecture Notes in Phys — V. 35 — P. 218—224.

Ермак Ю. H.

Обтекание передней закругленной кромки тонкого профиля вязким не- сжимаелтым потоком/Тр. ЦАГИ.— Вып. 1141.

Жук В. И., Рыжов О. С.

Свободное взаимодействие и устойчивость пограничного слоя в несжимаемой жидкости/Докл. АН СССР.— Т. 253, № 6.— С. 1326—1329.

Жуковский Н. Е.

О присоединенных вихрях/Тр. Отделения физ. наук Общества Любит. Естествозн.— Т. 13, вып. 2.— С. 12—25.

1910. Uber die Konturen der Tragflaclien der Drachenflieger/Z. Flugtechn. u. Motorluftschiff.— Jahrg. 1, H. 22.— S. 281—284.

Заметаев В. Б.

Существование и неединственность локальных зон отрыва в вязких струях/Изв. АН СССР, МЖГ.— № 1.— С. 38—45.

Зубарев В. М.

Пограничный слой на подвижной поверхности цилиндра/Изв. АН СССР, МЖГ,— № 6,— С. 38—42.”

Зубцов А. В.

1985. Отрыв ламинарного пограничного слоя от плоской поверхности/ Уч. зап. ЦАГИ.— Т. 16, № 5.—С. 108—110.

И м а и (Imai I.)

1953. Discontinuous potential flow as the limiting form of the viscous flow for vanishing viscosity/J. Phys. Soc. Japan.— V. 8, № 3.— P. 399—402.

1957a. Second approximation to the laminar boundary-layer flow over a flat plate/J. Aeronaut. Sci.— V. 24, № 2「P. 155—156.

19576. Theory of bluff bodies/Tech. Note BN-104, Inst. Fluid Dyn. and Appl. Math., Univ. Maryland.

И н г э м (Ingham D. B.)

Unsteady separation/J. Comput. Phys.— V. 53, № 1.— P. 90—99. Иошизава (Yoshizawa A.)

1970. Laminar viscous flow past a semi-infinite flat plate/J. Phys. Soc. Japan.— V. 28, № 3.- P. 776-779.

И с, Уолкер, Долигальскпй (Есе М. С., Walker J. D. A Do- ligalski Т. L.)"

The boundary layer on an impulsively started rotating and translatinff cylinder/Phys. Fluids.— V. 27, № 5.—P. 1077—1089.

Каден (Ka d e n H.)

Aufwicklung einer unstabiien Unstetigkeitsflaclie#Ing.— Arch.— Bd 2 H. 2.- S. 140-168.•'

Каплун (Kaplun S.)

Fluid mechanics and singular perturbations/P. A. Lagerstrom, L. N. Howard, C. S. Liu, eds.— New York: Academic Press.

Каррьер, Линь (Carrier G. F., L i n С. C.)

On the nature of the boundary layer near the leading edge of a flat pla- te/Quart. Appl. Math.—V. 6, № 1>—P. 63—68.

Картер (Carter J. E.)

Solutions for laminar boundary layers with separation and reattachment# AIAA Paper № 74—583.

Качанов )Ю. С., Козлов В. В., Левченко В. Я.

Возникновение турбулентности в пограничном слое.— Новосибирск: Наука.

Келдыш М. В., Седов Л. И.

1937. Эффективное решение некоторых краевых задач для гармонических функций/Докл. АН СССР — Т. 16, № 1 — С. 7—10.

Кирхгоф (Kirchhoff G.)

1869. Zur Theorie freier Fliissigkeitsstrahlen/J. reine angew. Math.— Bd. 70, H. 4.— S. 289—298.

Клайнберг, Ст e г ep (Klineberg J. M., Steger J. L.)

1974. On laminar boundary-layer separation/AIAA Paper № 74—94.

Коллинз, Деннис (Collins W. M., Dennis S. C. R.)

1973. Flow past an impulsively started circular cylinder/J. Fluid Meeh.— V. 60, pt. 1.— P. 105—127.

Королев Г. Л.

1980a. Численное решение асимптотической задачи об отрыве ламинарного пограничного слоя от гладкой поверхности/Уч. зап. ЦАГИ.— Т. 11, № 2.— С. 27-36.

19806. К асимптотической теории течения вблизи задней кромки эллиптического профиля/Уч. зап. ЦАГИ.——Т. И, № 4.— С. 8—16.

Коромила с, Телионис (К о г от i 1 a s С. A., Telionis D. Р.) 1980. Unsteady laminar separation: an experimental study/J. Fluid Meeh.— V. 97, pt. 2 — P. 347—384.

Коул (Cole J. D.)

1968. Perturbation methods in applied mathematics.— Waltham (Mass.): Blaisdell Publ. Co. (Рус. пер.: Методы возмущений в прикладной математике.— М.: Мир, 1972.)

Коули (Cowley S. J.),

Computer extension and analytic continuation of Blasius' expansion for impulsive flow past a circular cylinder/J. Fluid. Meeh.— V. 135.— P. 389-405.

Кравцова M. А., Рубан А. И.

О нестационарном пограничном слое на поперечно обтекаемом цилиндре, совершающем вращательные колебания/Уч. зап. ЦАГИ.— Т. 16, № 6.— С. 99-102.

Крайтон (С г i g h t о n D. G.)

The Kutta condition in unsteady flow/Ann. Rev. Fluid Meeh.— V. 47.— P. 411—445.

Крэнк, Никольсон (Crank J., Nicolson P.).

A practical method for numerical evaluation of solutions of partial diiie- rential equations of the heat-conduction type/Proc. Camb. Phil. Soc.— V. 43, pt. 1.— P. 50—67.

Курьянов А. И.т Столяров Г. И., Штейнберг Р. И.

1979. О гистерезисе аэродинамических характеристик/Уч. зап. ЦАГИ.——L № 3.— С. 12—15.

Кутта (Kutta W. M.)

Auftriebskrafte in stromenden Fliissigkeiten/Illustr. Аёгоп. Mittheilun- gen.— 6. Jahrg., H., 3.— S. 133—135.

Кэтирелл, M анг л ep (Catherall D., Mangier K. W.)

The integration of the two-dimensional laminar boundary-layer equations past the point of vanishing skin friction/J. Fluid Meeh.—V. 26, pt 1.— P. 163—182.

Лаврентьев M. A.

Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа.— М.: АН СССР.

Лагерстром (Lagerstrom Р. А.)

Laminar flow theory/High Speed Aerodynamics and Jet Propulsion.— V. 4; Theory of Laminar Flows/ed. F. K. Moore.— London: Oxford Univ. Press.— P. 20—285.

Solutions of the Navier-Stokes equation at large Reynolds number/SIAM J. Appl. Math.— V. 28, № 1.— P. 202—214.

Лагерстром, Кастен (Lagerstrom P. A., Casten R. G.)

Basic concepts underlying singular perturbation techniques/SIAM Rev.— V. 14, № Is— P. 63—120.

Ландау Л. Д., Лифшиц E. M.

Механика сплошных сред.— М.: Гостехиздат.

Лойцянекий Л. Г.

1962. Лалтинарный пограничный слой.— М.: Физматгиз.

Локк (Lock R. С.)

The velocity distribution in the laminar boundary layer between parallel streams/Quart. J. Meeh. Appl. Math.— V. 4, pt. 1,— P. 42—63.

Людвиг (Ludwig G. R.)

An experimental investigation of laminar separation from a moving wall.— AIAA Preprint № 64—6.

Маклеод (McLeod J. B.)

The existence and uniqueness of a similarity solution arising from separation at a free stream line/Quart. J. Math. Oxford. 2 ser.— V. 23, № 89.— P. 63—77.

Месситер (Messiter A. F.)*

Boundary-layer flow near the trailing edge of a flat plate/SIAM J. Appl. Math.— V.伤，№ t— P. 241—257.

Laminar separation — a local asymptotic flow description for constant pressure downstream/AGARD Conf Proc. № 168, Flow Separation, paper № 4, 10 p.

Boundary-layer separation /Proc. 8th US Nall. Congr. Appl. Meeh.— P. 157—179; Western Periodicals, North Hollywood, California.

Boundary-layer interaction theory/Trans. ASME, J. Appl. Meeh.— V. 50, № 4b.— P. 1104—1113.

Месситер, Г у (M es s itler A. F., Д u J. J.)

Laminar boundary layer at a discontinuity in wall curvature/Quart. Appl. Math.— V. 33, № 2.— P. 175—181.

Месситер, Л инан (Messiter А/F” Lin an A.)

The vertical plate in laminar free convection: effects of leading and trailing edges and discontinuous temperature/Z. angew. Math. Phys.— V. 27, fasc. 5.— P. 633—651.

Мизес (Mises R. v.)

Bemerkungen zur Hydrodynamik〃Z. angew. Math. Meeh.— Bd. 7, H. 6.— S. 425-431.

Михайлов В. В.

Об асимптотике нейтральных кривых линейной задачи устойчивости ламинарного пограничного слоя/Изв. АН СССР, МЖГ.— № 5 — С. 39—46. М у р (Moore F. К.)

On the separation of the unsteady laminar boundary layer/Boundary Layer Research/ed. H. Gortler.— Berlin: Springer-Verlag.— P. 296—311.

Мурман, Коул (M u r m a n E. M., Cole J. D.)

1970. Calculation of plane steady transonic flows.— AIAA Paper № 70—188.

Мусхелишвили Н. И.

1968. Сингулярные интегральные уравнения — М.: Наука.

Н а г а т а, Мина м и, Мурата (Nagata Н., Minami К., Murata Y.) 1979. Initial flow past an impulsively started circular cylinder “Bull. JSME.— V. 22, № 166.— P. 512—520.

Наполитано, Верле, Дэвис (Napolitano M., We г 1 e M. J., Davis R. T.)

Numerical technique for the triple-deck problem/AI A A J.— V. 17, № 7.— P. 699-705.

H e й л а н д В. Я

К теории отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом по- токе/Изв. АН СССР, МЖГ.— № 4.— С. 53—57.

Течение за точкой отрыва пограничного слоя в сверхзвуковом потоке/ Изв. АН СССР, МЖГ.- № 3.- С. 19-25.

1974. Асимптотические задачи теории вязких сверхзвуковых течений/Тр. ЦАГИ.- Вып. 1529.

Асимптотическая теория отрыва и взаимодействия пограничного слоя со сверхзвуковым потоком газа/Усп. мех.— Т. 4, вып. 2.— С. 3—62. Н е й л а н д В. Я., Сычёв В. В.

Асимптотические решения уравнений Навье ——Стокса в областях с большими локальными возмущениями/Изв. АН СССР, МЖГ.— № 4.— С. 43-49.

Н и к к е л ь (Nickel К.)

1958. Einige Eigenschaften von Losungen der Prandtlschen Grenzschicht-Diffe- rentialgleichungen/Arch. Rational Meeh. Anal.— V. 2, № 1.— P. 1—31. Никольский A. A.

1957a. О «второй» форме движения идеальной жидкости около обтекаемого тела (исследование отрывных вихревых потоков) /Докл. АН СССР.— Т. 116, № 2.- С. 193-196.

О силовом воздействии «второй» формы гидродинамического движения на плоские тела (динамика плоских отрывных потоков) /Докл. АН СССР.- Т. 116, № 3.- С. 365-368.

Н и ш и о к а, М и я д ж и (Nishioka М., Miyagi Т.)

Measurements of velocity distributions in the laminar wake of a flat plate，J. Fluid Mech.-V» 84, pt. 4.- P. 705-715.

Олейник О. A.

О системе уравнений теории пограничного слоя/Ж. вычисл. мат. мат. физ.- Т. 3, № 3.- С. 489-507.

Перегрин (Peregrine D. Н.)

A note on the steady high-Reynolds-number flow about a circular cylin- der/J. Fluid Meeh.- V. 157.- P. 493—500.

Прандтль (Prandtl L.)

Uber Fliissigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung/Verh. d. III. Intern. Math.-Kongr., Heidelberg, 1904. Leipzig: Teubner, 1905.— S. 484—491.

Uber die Entsteliung von Wirbeln in der idealen Fliissigkeit, mit Anwen- dung auf die Tragfliigeltlieorie and andere Aufgaben/Vortrage a. d. Geb. d. Hydro-u. Aerodynamik (hrsg. v. Th. v. Karman u. T. Levi-Civita).— Berlin: Springer.— S. 18—33.

The generation of vortices in fluids of small viscosity/J. Roy. Aeronaut. Soc.- V. 31, № 200.— P. 720—741.

Proc. 3rd Intern. Congr. Appl. Mech.，Stockholm, 1930.— Stockholm: Ab. Sveriges Litogr. Tryckerier.— V. 1.— P. 41—42.

The mechanics of viscous fluids/Aerodynamic Theory/ed. W. F. Durand.— V. 3.— P. 34—208.— Berlin: Springer.

Zur Berechnung der GrenzschiclitenЦZ. angew. Math. Meeh.— Bd. 18, H. 1.- S. 77-82.

Райли, Стюартсон (Riley N., Stewartson K.)

Trailing edge flows/J. Fluid Meeh.— V. 39, pt. 1.— P. 193—207.

Pe й Hep, Флюгге-Лотц (Re у hne г T. A., Fliigge-Lotz I.)

The interaction of a shock wave with a laminar boundary layer/Ini. J. Non-Linear Meeh.— V. 3, № 2.— P, 173—199.

Розепхед (Rosenhead L., ed.)

1963. Laminar boundary layers.— Oxford: Clarendon Press.

Pott (Rott N.)

Unsteady viscous flow in the vicinity of a stagnation point/Quart. AppL Math.— V. 13, № 4.— P. 444—451.

P о ш к о (R о s h k о A.)

A review of concepts in separated flow/Canadian Congr. Appl. Meeh., Proc.— V. 3.- P. 81-115, Univ. Toronto.

Рубан А. И.

О ламинарном отрыве от точки излома твердой поверхности/Уч. зап, ЦАГИ,- Т. 5, № 2.- С. 44-54.

. Численный 工ето工 решения задачи о свободном взаимодействии/Уч. зап. ЦАГИ,- Т. 7, № 2.- С. 45-51.。

К теории ламинарного отрыва жидкости от точки излома твердой по- верхности/Уч. зап. ЦАГИ.— Т. 7, № 4 — С. 18—28.

К асимптотической теории течения вблизи задней кромки тонкого профиля/Уч. зап. ЦАГИ,— Т. 8” № 1.— С. 6—11.

Численное решение локальной асимптотической задачи о нестационарном отрыве ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке / Ж. вычисл. мат. мат. физ.— Т. 18, № 5.— С. 1253—1265.

Особое решение уравнений пограничного слоя, непрерывно продолжи- мое через точку пулевого поверхностного трения/Изв. АН СССР, МЖГ.- № 6.- С. 42-52.

1982а. Асимптотическая теория коротких зон отрыва на передней кромке тонкого профиля/Изв. АН СССР, МЖГ.— № 1 — С. 42—51.

Об устойчивости предотрывного пограничного слоя на передней кромке тонкого профиля/Изв. АН СССР, МЖГ.— № 6.— С. 55—63.

О генерации волн Толлмина — Шлихтипга звуком/Изв. АН СССР, МЖГ,— № 5.- С. 44-52.

On Tollmien — Schlichting wave generation by sound/Laminar-Turbulent Transition/ed. V. V. Kozlov.— Berlin: Springer-Verlag.— P. 313—320.

Рубан А. И., Сычёв В. В.

Асимптотическая теория отрыва ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости/Усп. мех.— Т. 2, вып. 4.— С. 57—95.

Рыжов О. С.

Stability and separation of viscous flows /Laminar-Turbulent Transition/ /ed. V. V. Kozlov.— Berlin: Springer-Verlag.— P. 337—347.

Рыжов, Смит (Ryzhov О. S>, Smith F. T.)

Short-length instabilities, breakdown and initial value problems in dynamic stall/Mathematika.— V. 31, pt. 2, № 62.— P. 163—177.

Рыжов О. С., Терентьев Е. Д.

О нестационарном пограничном слое с самоиндуцированным давлением / Прикл. мат. мех,— Т. 41, вып. 6.—С. 1007—1023.

1986. О переходном режиме, характеризующем запуск вибратора в дозвуковом пограничном слое на пластинке/ Прикл. мат. мех.— Т. 50, вып. 6.— С. 974-986.

Рябушинский Д. П.

1920. On steady fluid motions with free surfaces/Proc. London Math. Soc。 Ser. 2.- V. 19, pt. 3.- P. 206-215.

Самарский А. А., Николаев E. C.

Методы решения сеточных уравнений.— М.: Наука.

Седов Л. И.

1966. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики.— М.: Наука.

Сирс (Sears W. R.)

1956. Some recent developments in airfoil theory/J. Aeronaut. Sci.— V. 23, № 5.

Сирс, Телионис (Sears W§R., Te 1 i о nis D. P.)

Boundary-layer separation in unsteady flow /SIAM J. Appl. Math.— V. 28, № L— P. 215-235.

Сквайр (Squire H. B.)

On the laminar flow of a viscous fluid with vanishing viscosity/Phil. Mag. Ser. 7.— V. 17, № 116,— P. 1150—1160.，

Смит (Smith F. T.)

Flow through constricted ur dilated pipes and channels: part 1 /Quart L Meeh. Appl. Math.— V. 29, pt. 3.— P. 343—364.

The laminar separation of an incompressible fluid streaming past a smooth surface/Proc. Roy. Soc. London. Ser. A.— V. 356, № 1687.— P. 443-463.

1979a. Laminar flow of an incompressible fluid past a bluff body: the separation, reattachment, eddy properties and drag J J. Fluid Meeh.— V. 92, pt。£— P. 171-205.

On the non-parallel flow stability of the Blasius boundary layer/Proce Roy. Soc. London. Ser. A.— V. 366, № 1724— P. 91—109.

1982a. On the high Reynolds number theory of laminar flows/IMA J. AppL Math.— V. 28, № 3.— P. 207—281.

19826. Concerning dynamic stall/Aeronaut. Quart— V. 33, pt. 4.— P. 331—352.

Interacting flow theory and trailing edge separation — no stall/J. Fluid. Meeh.— V. 131.— P. 219—249.

A structure for laminar flow past a bluff body at high Reynolds num- ber/J. Fluid Meeh — V. 155.^- P. 175—191.

Смит, Дак (Smith F. T., Duck R. W.)

Separation of jets or thermal boundary layers from a wall/Quart. J。 Meeh. Appl. Math.— V.. 30, pt. 2 — P. 143—156.

Смит, M e p к и н (Smith F. T., M e r k i n J. H.)

Triple-deck solutions for subsonic flow past humps, steps, concave or convex corners and wedged trailing edges/Int. J. Comput. Fluids.— V. 10, № I.— P. 7-25.

Стюартсон (Stewartson K.)

On Goldstein's theory bf laminar separation /Quart. J. Mecli. Appl. Math. — V. 11, pt. 4.- P. 399—410.

On the flow near the trailing edge of a flat plate II/Mathematika.— V. 16? pt. 1, № 31.— P. 106—121.

1970a. On laminar boundary layers near corners/Quart. J. Meeh. Appl. Math.— V. 23, pt. 2l P. 137-152.

Is the singularity at separation removable?/!. Fluid Meeh.— V. 44, pt. 2.— P. 347—364.

On laminar boundary layers near corners. Corrections and an additionЦ Quart. J. Meeh. Appl. Math.— V. 24, pt.( 3.— P. 387—389.

Multistructured boundary layers on flat plates and related bodies/Adv. Appl. Meeh.— V. 14.— P. 145—239.

High Reynolds-number flows/Lecture Notes in Math.— V. 771.— P. 505— 518.

D'Alembert's paradox/SIAM Rev.— V. 23, № 3.— P. 308—343. Стюартсон, Вилльямс (Stewartson К., Williams P. G.)

1969. Self-induced separation/Proc. Roy. Soc. London. Ser. A.— V. 312, № 1509.— P. 181-206.

Стюартсон, Смит, Kayne (Stewartson K., Smith F. T., Кa- u p s K.)

Marginal separation/Stud. Appl. Math.— V. 67, № 1.— P. 45—61. Сычёв В. В.

Об установившемся ламинарном течении жидкости за тупым телом при большом числе Рейнольдса: Доклад на VIII Симп. по современным проблемам механики жидкостей и газов; Тарда, Польша.

1972. О ламинарном отрыве/Изв. АН СССР. МЖГ.— № 3.— С. 47—59.

,1978а. Отрыв пограничного слоя от плоской поверхности /Уч. зап. ЦАГИ.— Т. 9, № 3.— С. 20—29.

1982. Асимптотическая теория отрывных течений /Изв. АН СССР. МЖГ.— № 2.- С. 20-30.

Сычёв Вик. В.

19786.0 разрушении плоского лалшнарного следа/Уч. зап. ЦАГИ.——Т. 9, № 6.— С. 9—16.

Асимптотическая теория нестационарного отрыва/Изв. АН СССР. МЖГ.- № 6.- С. 21-32.

О некоторых особенностях в решениях уравнений пограничного слоя на подвижной поверхности/ Прикл. мат. мех.— Т. 44, вьш. 5.— С. 831.

Теория нестационарного отрыва пограничного слоя и разрушения сле- да/Усп. мех.— Т. 6, вып. 1/2.— С. 13—51.

К асимптотической теории ламинарного отрыва на подвижной поверхности/Прикл. мат. мех.— Т. 48, вып. 2.— С. 247—253.

Аналитическое решение задачи о течении в окрестности точки отрыва пограничного слоя на подвижной поверхности/Прикл. мат. мех.— Т. 51, вып. 2.— С. 360—362.

Та г а н о в Г. И.

О предельных течениях вязкой жидкости со стационарными срывными зонами при Re-^ оо/Уч. зап. ЦАГИ.— Т. 1, № 3.— С. 1—14.

Тани (Tani I.)

Low-speed flows involving bubble separations /Progr. Aeronaut. Sci.— V. 5•— P. 70-103.

Телионис (Te 1 i о nis D. P.)

1981. Unsteady viscous flows.— New York: Springer-Verlag.

Телионис, Верле (Tie 1 i о n i s D. P., W e r 1 e M. J.)

Boundary-layer separation from downstream moving boundaries/Trans. ASME. Ser. E, J. Appl. Meeh.- V. 40, № 2.- P. 369-374.

Телионис, C a x а л и c (1 e 1 i о n i s D. P., T s a h a 1 i s D. Th.)

Unsteady laminar separation over impulsively moved cylinders /Acta Astronaut.- V. 1, № 11/12.— P. 1487-1505.

Те л и о П и с, C a x а л и с, Верле (Т е 1 i о n i s D. Р., Т s a li а 1 i s D. Th., AV e r 1 e M. J.)

Numerical investigation of unsteady boundary-layer separation/Phys. Fluids.- V. 16, № 7.l P. 968-973.

Терентьев E. Д.

198t. Линейная задача о вибраторе в дозвуковом пограничном слое/Прикл. мат. мех.— Т. 45, вып. 6.—С. 1049—1055.

Линейная задача о вибраторе, совершающем гармонические колебания па закритических частотах в дозвуковом пограничном слое/Прикл. мат. мех.— Т. 48, вып. 2,— С. 264—272.

Linear problem on vibrator on a flat plate in subsonic boundary layer/ Laminar-Turbulent Transition/ed. V. V. Kozlov.— Berlin: Springer-Ver- lag.- P. 303-311.

Террилл (Terrill R. M.)

Laminar boundary-layer flow near separation with and without suction/ Phil. Trans. Roy. Soc. London. Ser. A.— V. 253, № 1022.— P. 55—100.

Тимошин С. H.

Отрывное обтекание тонкого профиля с параболической передней кромкой при больших числах Рейнольдса/Уч. зап. ЦАГИ.— Т. 16, № 2.— С. 24—32.

Томан, Шевчик (Т h о man D. С», Szewczyk А. А.)

Time-dependent viscous flow over a circular cylinder/Phys. Fluids.— V. 12, № 12, Suppl. IL- P. 76-86.

Уолкер (Walker J. D. A.)

The boundary layer due to rectilinear vortex/Proc. Roy. Soc. London. Ser. А,- V. 359, № 1697,- P. 167—188.

Уорд (Ward J. W.)

The behaviour and effects of laminar separation bubbles on aerofoils in incompressible flow/J. Roy. Aeronaut. Soc.— V. 67, № 636.— P. 783—790. Ф ё п п л ь (F б p p 1 L.)

Wirbelbewegung hinter einem Kreiszylinder/ Sitzungsb. d. Bayer. Akad. d. Wiss., Math.— phys. KI.— H. 1.— S. 1—17.

Фомина И. Г.

К асимптотической теории обтекания угловых точек контура твердого тела/Уч. зап. ЦАГИ.— Т. 14, № 5.—С. 31—38.

Форнберг (F о г nb ег g В.)

A numerical study of steady viscous flow past a circular cylinder/J. Fluid Meeh.- V. 98, pt. 4- P. 819-855.

Хартри (Hartree D. R.)

A solution of the laminar boundary-layer equation for retarded flow/ Aeronaut. Res. Coun. Rep. and Memor — № 2425 (issued 1949).

Хонджи, Танеда (H о nj i H., Tan® da S.)

Unsteady flow past a circular cylinder/J. Phys. Soc. Japan.— V. 27, № 6.- P. 1668-1677.

Хоуэрт (Howarth L.)

On the solution of the laminar boundary layer equations/Proc. Roy. Soc. London. Ser. A.—V. 164, № 919.—P. 547—579.

Храбров A. H.

Неединственность ламинарного отрывпого обтекания профиля под углом атаки в схеме Кирхгофа. ^Уч. зап. ЦАГИ.— Т. 16, № 5.—С. 1—9. Чаплыгин С. А.

К вопросу о струях в несжимаемой жидкостиу/Тр. Отделения физ. паук Общества Любит. Естествозн.— Т. 10, вып. 1 — С. 35—40.

О давлении плоскопараллельного потока на преграждающие тела (к теории аэроплана).— М.: Типогр. Импер. Моск. Унив.

Чау, Мельник (Chow R., Melnik R. Е.)

Numerical solutions of the triple-deck equations for laminar trailing-edge stall/Lecture Notes in Phys.—V, 59.— P. 135—144.

Ченг (Cheng H. K.)

Laminar separation from airfoils beyond trailing-edge stall.— AI A A Paper —84—1612.

Ченг, Смит (Cheng Н> К., Smith F. T.)

The influence of airfoil thickness and Reynolds number on separation/ Z. angew. Math. Phys.— V. 33, № 2.— P. 151—180.

Чен Ю ii - ми ii (Chen Yunming)

The Lagrangian boundary layer equation and the unsteady separation of the elliptic cylinder at angle of attack/Acta Meeh. Sinica.—№ 6。一 P. 571-578.,

Черный Г. Г.

Пограничный слой на движущейся поверхности: Сб. работ, посвящен- ный 60-летию В. Н. Челомея «Избранные проблемы прикладной механики».— М.: ВИНИТИ.— С. 709-719.

Швабе (Schwabe М.)

Uber Druckermittlung in der nichtstationaren ebenen Stromung/Ing.— Arch.- Bd. 6, H, 1.- S. 34-50.

Шен (Shen S. F.)

Unsteady separation according to the boundary-layer equation/Adv. Appl. Meeh.- V. 18.— P. 177—220.

Шидловский В. П.

Структура течения вязкой жидкости вблизи кромки вращающегося диска/Прикл. мат. мех.— Т. 41, вып. 3.— С. 464—472.

Ш л и х т и н г Г.

1974. Теория пограничного слоя.— М.: Наука.

Э л п, X э р р и н г (Ely W. L., Herring R. N.)

Laminar leading edge stall prediction for thin airfoils.— AIAA Paper — 78一］222

Эллиот, Смит, Коули (Elliott J. W., Smith F. T., Cowley S. J.) 1983. Breakdown of boundary layers: (i) on moving surfaces; (ii) in semi-similar unsteady flow; (iii) in fully unsteady flow/Geophys. Astrophys. Fluid Dyn.~ V. 25, № 1 + 2.— P. 77—138.

Владимир Васильевич Сычёв

Анатолий Иванович Рубан

Виктор Владимирович Сычёв

Георгий Львович Королёв

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ОТРЫВНЫХ ТЕЧЕНИЙ

Редактор И. М. Бокова

Художественный редактор Т. II. Колъченко

Технический редактор Е. В. Морозова

Корректоры: О. А. Сигал, М. Л. Медведская, О. М. Березина

ИБ № 12998

Сдано 28.08.86. Подписано 10.04.87. Т-10307. «Формат 60X90/16. Бумага кн.-журнальная. Гарнитура обыкновенная. Печать высокая. Усл. печ. л. 16. Усл. кр.-отт. 16. Уч.-изд. л. 17,25。 Тираж 2340 экз. Заказ № 359. Цена 2 р. 90 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука» Главная редакция физико-математической литературы

117071 Москва, Ленинский проспект, 15

4-я типография издательства «Наука» 630077 Новосибирск, 77, Станиславского, 25

*) В краевом условии (3.28) оставлен лишь главный член разложения V* при ж* -^— оо, поскольку второй его член однозначно определяется из реше* ния самой задачи (3.31).

*) Для профиля с параболической формой носовой части U。= 1,286, 入 о = 0,024.

9*131