Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ТЕОРИЯ СТРУЙ
М. И. ГУРЕВИЧ
Предварительные замечания 5
Обтекание криволинейных препятствий с отрывом струй. Существование и единственность решений 7
Задачи обтекания препятствий, связанные с произволом выбора точек схода свободных поверхностей 9
Нелинейные теории глиссирования и подводного крыла 10
Линеаризованная теория глиссирования 11
Линеаризованная теория движения тел под поверхностью жидкости . .13
Теория развитых кавитационных течений 15
Обтекание препятствий ограниченными потоками,' течение в каналах, решетки и другие задачи 17
Струйные течения, содержащие внутри себя вихри и неподвижные полости. Аппараты на воздушной подушке 20
Неустановившиеся течения 21
Пространственные течения 23
* Установившиеся струйные течения тяжелой жидкости. Капиллярные силы 25
Удар тела о поверхность несжимаемой жидкости 29
Газовые струи 33
Предварительные замечания
• Теория струй идеальной жидкости посвящена изучению течений, ограниченных частично твердыми стенками и частично свободными поверхностями, на которых давление р постоянно.
К 1917 г. теория струй насчитывала почти пятьдесят лет своего существования. Она была создана трудами крупнейших гидродинамиков — в первую очередь Г. Гельмгольца, Г. Кирхгофа, Дж. В. Стретта (лорда Рейли), Н. Е. Жуковского, С. А. Чаплыгина, Т. Леви-Чивиты, А. Билля и др. .
Теория струй содержала красивые математические решения широ： кого класса гидродинамических задач, однако считалось (например, В. Томсоном, Г. Ламбом), что единственно реальными приложениями теории струй являются решения задач об истечениях жидкости из сосудов. В подтверждение такого рода возражений против теории приводились некоторые экспериментальные данные, показывающие несовпадение теоретических расчетов с опытами. *
Основную причину несовпадения результатов теории струй с опытами видели в неустойчивости свободных поверхностей, приводящей к запол-
нению образующихся за телами зон «мертвой воды» вихрями. Только в тридцатых и сороковых годах, в значительной мере благодаря работам советских ученых по глиссированию и кавитации, было установлено, что свободные поверхности практически устойчивы и теория струй дает хорошие результаты в том случае, когда отношение плотности неподвижной среды за телом р' к плотности обтекающей тело жидкости р мало ) (число р'/р в упомянутых целях было введено А. Бетцем и Э. Петерсоном в 1931 г.). Впрочем, одновременно выяснилось, что существуют и случаи, когда р'/р не мало, а теория струй все же сообщает ценную информацию (см., например, § 3 и 4).
В классической теории струй рассматриваются плоские, установившиеся течения невесомой, несжимаемой жидкости. Задачи решаются в параметрической форме. Комплексный потенциал и?=屮十 h|)и комплексная скорость dw/dz (z = х ~\~ iy — комплексное переменное области течения) или ее логарифм (функция Жуковского) ищутся в функции параметрического комплексного переменного (назовем это переменное и), которое изменяется в некоторой простой канонической области (например, полукруг, полуплоскость, прямоугольник, кольцо и т. п.). Зная w и dw/dz в функции от м, можно рассчитать все силовые, кинематические и геометрические характеристики течения.
Так как границы области течения состоят из линий тока Im и?= =屮=const, то функция w (м) обычно находится легко. ♦
Условие постоянства давления, согласно интегралу Бернулли, равносильно условию постоянства модуля скорости. Отсюда нетрудно заключить, что если обтекаемое препятствие или стенки сосуда состоят из прямолинейных отрезков, то на частях границы области течения попеременно постоянны действительная или мнимая части функции Жуковского и последняя тоже может быть в явном виде найдена с помощью известных методов теории функций комплексного переменного.
В случае, если обтекаемде препятствие представляет собой криволинейную дугу заданной формы, нахождение функции Жуковского оказывается значительно более сложной задачей. А. Билля свел ее (в 1911 г.) к решению нелинейного интегро-дифференциального уравнения. Однако до начала двадцатых годов методы решения уравнения Билля разработаны не были.
В период, предшествующий обозреваемому, были сделаны некоторые шаги по снятию ограничений классической теории струй.
В отношении учета влияния на течение сил тяжести и поверхностного натяжения к 1917 г. было известно всего несколько точных решений (Н. Е. Жуковский, Н. В. Берви) случайных частных задач, таких, например, как течение тяжелой жидкости по дну непростой формы, волна с бесконечной прямолинейной границей, подтекающая под бесконечную наклонную стенку, или обтекание невесомой жидкостью газового пузыря с учетом сил поверхностного натяжения. По пространственным струйным течениям было известно принадлежащее Э. Трефтцу приближенное решение всего одной задачи об истечении осесимметричной струи из круглого отверстия в плоскости.
Решений задач о неустановившихся струйных течениях вовсе не существовало.
Вопрос о струйных течениях газа, выходящий за рамки настоящего обзора, посвященного в основном несжимаемой жидкости, освещен в § 11. Заметим здесь только, что основополагающая работа С. А. Чаплыгина «О газовых струях» была опубликована в 1902 г.
Обтекание криволинейных препятствий с отрывом струй.Существование и единственность решений
Первую задачу об обтекании с отрывом струй криволинейной дуги заданной формы — задачу об обтекании неограниченным потоком идеальной, невесомой, несжимаемой жидкости дуги окружности произвольного радиуса R (рис. 1) — решил А. И. Некрасов (1922). Он свел нахождение функции Жуковского к решению следующего интегрального уравнения, заменяющего интегро-дифференциальное уравнение Билля:
л/2tg 8-9
А(0) = — ^- j е-Ме) (1-1-2sine —cos2е) In 二。de. (2.1)
Здесь h (0) — некоторая вспомогательная функция, зная которую, можно эффективно найти функцию Жуковского, причем 0 — аргумент параметрического переменного и в точках полуокружности, на которую отображается обтекаемая дуга (вся область течения отображается на верхний полукруг единичного радиуса, см. рис. 1 и 2). В уравнение (2.1) входит
еще постоянный параметр 九，пропорциональный центральному углу дуги. При 九=0 дуга превращается в плоскую пластинку, функция h (0) обращается в нуль и функция Жуковского приобретает элементарный вид. Некрасов доказал, что при достаточно малых 九 уравнение (2.1) может быть решено методом последовательных приближений, причем решение его единственно. Для первого приближения Некрасов подробно рассчитал все характеристики течения.
В дальнейшем, под влиянием А. И. Некрасова, появился ряд работ, посвященных продолжению и обобщению его исследования (Н. С. Аржа- ников, Я. И. Секерж-Зенькович, Н. А. Слезкин, П. В. Мясников, С. В. Калинин). В этих работах были решены задачи об обтекарии дуг второго порядка, серии дуг кривых Рибокура и дуг с малой кривизной, удовлетворяющей условиям Коши — Липшица. Особо следует отметить, что для дуг, кривизна которых мала и является аналитической функцией,
я. И. Секерж-Зенькович (1937) доказал существование и единственность решения основного интегро-дифференциального уравнения задачи путем разложения решения в ряд по параметру, что оказалось несколько более эффективным, чем метод последовательных приближений.
Отмеченные результаты были обобщены и в другом направлении: Л. И. Седов (1938) вывел основную систему интегро-дифференциальных уравнений для случая произвольного числа криволинейных дуг.
Дальнейший важный шаг в исследовании струйных обтеканий криво- линейных препятствий был сделан Ж. Лере, привлекшим к исследованию вопроса функциональный анализ- В дальнейшем группа французских ученых, учеников Лере, про
вела много интересных и трудных исследований вопросов существования и единственности решений задач теории струй. В настоящее время методы функционального анализа широко проникли и в работы советских
ученых, исследующих различные схемы струйных течений. Этими вопросами занимаются в первую очередь казанские и сибирские ученые (П. П. Куфарев, 1952; А. В. Кузнецов, 1957—1959; В/ А. Штанько, 196 2—1966; В. Н. Монахов, 1964).
Основанием другому оригинальному направлению исследования вопросов существования и единственности решений задач теории струй послужила работа М. А. Лаврентьева о некоторых свойствах однолистных функций (1938) (см. также его работы за тот же год в «Докладах» Академии наук СССР), основанная на развитых им вариационных принципах (1934). Лаврентьевым были изучены функции, реализующие конформное отображение полуплоскости на области с одной бесконечно удаленной граничной точкой, и далее были даны приложения математических результатов к теории струй. Были доказаны существование и единственность решения струйной задачи об обтекании неограниченным потоком дужки, симметричной относительно оси у. При этом рассматривалась только одна половина течения. В качестве естественного обобщения исследовалась задача о срыве струи с препятствием для полуплоскости (рис. 3). Эта задача отличается от задачи о симметричном обтекании дужки только тем, что на струи не накладывается более условие, запрещающее им проникать в верхнюю полуплоскость. Кроме того, в задаче о симметричном обтекании рассматривается случай, когда струи соединяются на конечном расстоянии за дужкой. Относительно дужки требуется, чтобы она состояла из конечного числа дужек ограниченной кривизны, и предполагаетсят что любая прямая, перпендикулярная к оси абсцисс, пересекает обтекаемую дужку не более чем в двух точках или по вертикальному отрезку.
С помощью вариационных принципов М. А. Лаврентьевым был получен и ряд новых качественных результатов. Вариационные методы Лаврентьева были использованы в ряде зарубежных исследований по теории струй.
Казанскими гидромеханиками была поставлена так называемая обратная задача теории струй: скорость и на дуге задана в виде известной функции от дуговой абсциссы s, требуется найти струйное обтекание дуги и форму последней. Обратным задачам гидромеханики и, в частностит теории струй посвящены обстоятельная монографшт Г. Г. Тумашева
и М. Т. Нужина и четыре выпуска трудов специального семинара в Казанском университете (1964—1967). Отдельные обратные задачи теории струй решены в работах Г. Н. Пыхтеева (1955—1956).
Работы С. А. Чаплыгина (1935), Я. Р. Бермана (1949), И. М. Раппопорта (1950), Г. Н. Пыхтеева (1956), Л. И. Мальцева (1964—1966) также посвящены струйному обтеканию криволинейных препятствий неограниченным потоком или в канале. Основной целью авторов этих работ было развитие методов расчета сил и геометрических характеристик течения. В частности, Чаплыгин (1935) указывает на красивый результат, полученный им еще в 1910 г. При струйном обтекании препятствия по схеме Кирхгофа при наличии конечного сопротивления поверхности струй асимптотически приближаются к параболе, причем сопротивление обтекаемого препятствия X очень просто выражается через параметр асимптотической параболы:
Х = —(2.2) где и 8 — скорость набегающего потока в бесконечности.
В курсе теории крыла В. В. Голубева (1949) исследована картина течения в бесконечности при струйном обтекании препятствия.
Задачи обтекания препятствий, связанные с произволомвыбора точек схода свободных поверхностей
Рис.Рис.4.4.С математической точки зрения задача об обтекании контура с отрывом струй неоднозначна даже в случае простейшей схемы течения. На рис. 4 в качестве примера изображены различные возможные картины обтекания с отрывом струй круглого цилиндра.
Рис.
Рис.
4.
4.
Прежде всего, как показал еще С. А* Чаплыгин в 1899 г., любую критическую точку (например, точку О на рис. 4) можно заменить зоной постоянного давления. Постоянную скорость на границе этой зоны, а следовательно, и размеры зоны, можно в некоторых пределах задавать произвольно.
Предположим теперь, что точка О является обычной критической точкой. Произвол картины обтекания этим еще не исчерпывается. На контуре обтекаемой окружности можно выбрать две (даже несимметричные) точки 4 и 笈 и предположить, что поверхности струй отделяются от контура именно в этих точках. Со времени известной работы М. Бриллуена (1911) различают задачу об обтекании контура, когда сошедшие с концов дуги струи не пересекают контура (на рис. 4 дуги АВ, &% А2В^^ от задаг чи об обтекании дуги контура, когда струи, сошедшие с концов дуги, пересекают контур (дуга Л050 на рис. 4) и его за дугой пристроить нельзя. Очевидно, что ставить вопрос о единственности или неединственности решения имеет смысл только после того, как заданы либо точки отрыва, либо какие-то условия, определяющие их. Сам Бриллуен на основе физических соображений выдвинул требование, чтобы скорость внутри жидко^ сти и на обтекаемой дуге была всюду меньше постоянной скорости на
свободной поверхности ). В задаче об обтекании контура окружности этому условию на рис. 4 соответствует единственная дуга АВ.
В тридцатых годах была опубликована группа работ (С. А. Чаплыгина и А. Л. Лаврентьева, Я. И. Секерж-Зеньковича, В. М. Абрамова, Н. И. Ахиезера, И. М. Беленького и И. Е. Зеленского), посвященных обтеканию пластинок и решеток из пластинок при различных положениях точек отрыва струй. Несмотря на то, что при обтекании препятствий- воздухом течение в следе за ним существенно отличается от того, которое предполагается в теории струй (р'/р = 1 ——см. § 1), в работах С. А. Чаплыгина и А. Л. Лаврентьева и Я. И. Секерж-Зеньковича имеются интересные приложения к задаче о расчете сил, действующих на плоское крыло в воздухе.
Сведения о некоторых других работах по различным приложениям схем с отрывом струй в произвольных точках можно найти в книге М. И, Гуревича (1961).
Нелинейные теории глиссирования и подводного крыла
Физические вопросы глиссирования и движения подводного крыла рассматриваются в этом томе в статье Г. В. Логвиновича и Л. А. Эпштейна (стр. 50——54), а линеаризованным теориям глиссирования и подводного крыла посвящены следующие два параграфа настоящего обзора. Здесь будут рассмотрены только приложения теории струй невесомой жидкости к исследованию указанных вопросов.
Глиссированием называется такое движение тела по поверхности воды, при котором основной поддерживающей силой является гидродинамическая сила реакции отбрасываемой вниз воды. Принцип глиссирования используется при движении высокоскоростных судов сравнительно малого тоннажа и при взлете и посадке гидросамолетов.
Смоченная часть днища глиссирующего судна при движении представляет собой слабоискривленную поверхность, наклоненную к горизонту под малым углом а. Глиссирующая поверхность отбрасывает вперед и частично в стороны струи жидкости. Вязкость существенна в тонком пограничном слое и сказывается только на сопротивлении. Первой задачей теории глиссирования. было определение величины и точки приложения нормальной к плоской пластинке силы при большой скорости движения, когда силой тяжести' можно пренебречь (в последнем случае не обязательно предполагать, что а мало). Задача о глиссирующей поверхности является классическим примером случая, когда цлотность р‘ среды в зоне «мертвой воны》(воздух) много меньше плотности р в основном течении жидкости (вода). Обе среды не смешиваются, граничные условия на свободных поверхностях выполняются, и результаты, полученные с помощью теории струй, оказываются корректными.
Близкие группы задач были почти одновременно рассмотрены за рубежом Г. Вагнером и А. Э. Грином и, по идее Л. А. Люстерника и С. А. Чаплыгина, группой советских ученых.
На рис. 5 изображена схема обтекания глиссирующей пластинки бесконечно глубоким потоком невесомой жидкости. За смоченную длину условно принимается отрезок АВ (прямая СВ касается свободной поверх-
ности). Задача плоская, что соответствует пластинке бесконечной ширины. М. И. Гуревичем и А. Р. Янпольским (1933), М. И. Гуревичем (1935) и Н. К. Калининым (1938) были найдены равнодействующая нормального гидродинамического давления на пластинку и точка ее приложения при любом угле атаки.
В работах М. И. Гуревича и А. Р. Янпольского (1933) и Ю. С. Чаплыгина (1941) рассмотрена задача о глиссировании пластинки по поверхности жидкости конечной глубины. Фактически в этих работах была рассмотрена схема несколько более общая, чем схема рис. 5 (см. рис. 6).
В соответствии со схемой рис. 6 длина пластинки задается совершенно произвольно. Схему эту можно рассматривать как модель обтекания подводного крыла при нулевом числе кавитации (см. § 5). Е. А. Федоров (1967) исследовал по этой схеме движение под свободной поверхностью произвольного полигонального контура. .
М. И. Гуревич (1935) дал общее решение задачи о двух глиссирующих пластинках «тандема.
Интересная схема подводного крыла (рис. 7)рис 7
была рассмотрена Л. А. Эпштейном, Г. П. Че- репа-новым и А. В. Кузнецовым (1963) и
Т. Г. Спиридоновой (1964). Задача о крыле, расположенном в струе конечной толщины, решена А. В. Галаниным (1967). М. И. Гуревичем (1963, 1965) показано, что если приближенно заменить крыло точечным вихрем с циркуляцией Г, то крыло без полного нарушения картины обте^- кания не может подойти к свободной поверхности ближе, чем на расстояние 无mm = Г/(2лУоо), где Ug — скорость потока в бесконечности.
Линеаризованная теория глиссирования
В линеаризованной теории глиссирования все граничные условия сносятся на плоскость, совпадающую с невозмущенным уровнем жидкости. Наиболее существенные погрешности решения возникают при этом в малых областях у передних кромок глиссирующих поверхностей, где в действительности имеются тонкие брызго- вые струи. В линеаризованной теории последним соответствуют бесконечные скорости.
Согласно линеаризованной теории в области течения (нижнее полупространство) существует потенциал скоростей ф, удовлетворяющий уравнению Лапласа. На глиссирующей поверхности известна нормальная или, что эквивалентно, вертикальная скорость. В случае больших чисел Фруда, когда силой веса можно пренебречь, на горизонтальной поверхности перед глиссером ф — 0. За глиссером равна нулю частная производная потенциала скорости по времени d^jdt. Если в случае установившегося движения продолжить течение в верхнее полупространство, то окажется, что течение во всем пространстве представляет собой течение вокруг тонкого крыла. При этом подъемная сила глиссирующей поверхности равна половине подъемной силы тонкого крыла, а точки приложения этих сил совпадают. Поправка на* конечный размах, вводимая в теории тонкого крыла, полностью переносится и на подъемную силу глиссирующей поверхности (Л. И. Седов, 1937). Вообще всякое решение задачи
об установившемся обтекании тонкого крыла является одновременно решением задачи - о глиссирующей поверхности. Например, известная работа Н. Е. Кочина (1940) о крыле круговой формы в плане одновременно решает задачу и о круглой глиссирующей пластинке.
В случае неустановившегося движения положение осложняется. Крыло самолета имеет постоянную длину, а смоченная поверхность глиссера при неустановившемся движении меняется. Однако методы решения обеих задач и общий вид этих решений и в случае неустановившегося движения остаются близкими.
АУАУПоэтому, говоря о неустановившемся глиссировании, следует отметить работы о неустановившемся движении крыла М. В. Келдыша и М. А. Лаврентьева (1935) и Л. И. Седова (1935), а также немецкие рабо-
АУ
АУ
ООа万а万ты В. Бирнбаума и Г. Вагнера, которые оказали несомненное влияние на развитие теории неустановившегося глиссирования. Подробное изложение вопроса и библиографию можно ± найти в монографии Л. И. Седова (1950 и 1966).
О
О
а
万
а
万
Рис. 8. ~Рис. 8. ~Задача о колебаниях глиссирующей поверхности с переменной смоченной длиной была подробно исследована Л. И. Седовым (1935, 1936).
Рис. 8. ~
Рис. 8. ~
Линеаризованная плоская задача о движении глиссирующей поверхности после продолжения течения в верхнюю полуплоскость сводится к следующей. Вдоль действительной оси плоскости z имеется разрез от z = ——а ——sj до z = а (рис. 8). Требуется найти комплексный потенциал течения w (z) всюду вне разреза СВ. Вдоль части разреза 4® от ——а до а, соответствующей крылу (глиссирующей поверхности), известна нормальная скорость vn ^ 沙歹.Если обозначить через 〃2 и щ горизонтальные составляющие скорости на верхнем и нижнем берегах разреза соответственно, то 〃2 (s)— 二 乂1 (s), где s ——расстояние от точки С, в которой задняя кромка глиссирующей поверхности (крыла) находилась в начальный момент движения. Если вдоль части разреза С А (вихревой след за крылом) известна горизонтальная скорость и2 (花),то решение задачи имеет вид
где & = s ——§]——а. Различие между крылом и глиссирующей поверхностью состоит только в том, что для крыла а — const, а для глиссирующей поверхности величина а, равная половине длины смоченной поверхности, зависит от времени. Скорость 〃2 (s) находится из решения интегрального уравнения типа Вол^терра первого рода, получающегося из условия постоянства циркуляции вокруг разреза СВ. В случае глиссирующей поверхности вводятся дополнительные гипотезы о длине ее смоченной поверхности (см. Л. И. Седов, 1936; в этой работе, помимо задачи о колебаниях глиссирующей пластинки, решена задача о посадке на воду наклонной пластинки ——редана).
Новое исследование задачи о глиссировании и движении профиля со сбегающими вихрями дано в недавно опубликованной статье В. А. Ерошина (1967).
Задача о движении нескольких глиссирующих поверхностей, идущих одна за другой («тандем»), решена Л. И. Седовым (1937). Тогда же им дано решение задачи о движении глиссирующих поверхностей и крыльев при наличии в жидкости особенностей (вихрей, источников, мультиполей). Соответствующая задача о колебаниях крыльев《тандем» была решена М. Д. Xаскиндом (1958).
Математический аппарат, развитый для решения линеаризованной задачи о глиссировании, имеет широкое применение при решении плоских задач гидро- и аэродинамики. Речь идет об эффективном решении смешанной задачи для различных областей, когда на частях границы заданы попеременно действительная и мнимая части функции комплексного переменного. Для полуплоскости это решение дается формулой Келдыша — Седова (1937). К решению задачи для полуплоскости можно, с помощью конформного отображения, свести решение смешанной краевой задачи для любой односвязной области. Для непосредственного решения имеются эффективные формулы в случаях полосы, полуполосы и в двухсвязной области для кольца (см. монографию Л. И. Седова, 1950 и 1966). Имеются обобщения этих формул и для случаев периодических (Л. И. Седов, 1938) и двоякопериодических решеток (Л. И. Седов, 195 0 и 1966).
Возвращаясь к теории глиссирования, нужно в первую очередь указать, что линеаризация граничных условий позволила решить плоскую задачу о глиссировании
по поверхности тяжелой жидкости. В случае тяжелой жидкости линеаризованное граничное условие на свободной поверхности имеет вид
Re ("^+月3)=°， (5，2)
где w ——комплексный потенциал абсолютного движения жидкости, v = gal% g ——ускорение силы тяжести, а ——половина длины глиссирующей поверхности и v0 ——скорость ее движения. Граничное условие в виде (5.2) было получено М. В. Келдышем (1935), которому принадлежит и введение самой функции
/ (z) = ——[— jvip. (5.3)
Линеаризованная задача о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости была впервые правильно поставлена и решена Л. И. Седовым (1937). Им дан метод решения плоской задачи о глиссировании для любых чисел Фруда. Для больших значений числа Фруда получены асимптотические формулы для формы свободной поверхности и для гидродинамических сил, причем показано, что для больших чисел фруда влияние весомости жидкости несущественно. Особенностью решения задач с тяжелой жидкостью является то обстоятельство, что в соответствии с граничным условием (5.2) в верхнюю полуплоскость можно путем зеркального отображения продолжить функцию Келдыша / (z). Комплексный потенциал w (z) продолжается в верхнюю полуплоскость более сложным путем, и поэтому задача о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости больше не сводится к задаче о крыле. Числовые расчеты по методу Л. И. Седова были выполнены Ю. С. Чаплыгиным (1940)? Методом Л. И. Седова был решен также частный пример о глиссировании дужки круга (М. И. Гуревич, 1937). В дальнейшем задача о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости была решена методом Фурье Л. Н. Сретенским (1940) ) и методом решения интегрального уравнения путем разложения решения по малому параметру Н. Е. Кочиным (1938). Задачу о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости конечной глубины рассмотрел М. Д. Xаскинд (1943).
Близким по методу к группе работ по глиссированию является исследование М. Д. Xаскинда (1942) о колебаниях пластинки на поверхности тяжелой жидкости. Однако его нельзя непосредственно рассматривать как работу о глиссирующей пластинке, так как горизонтальная скорость пластинки предполагается малой, а смоченная длина при колебаниях постоянной. В последующей работе М. Д. Xаскинда (1955) скорость уже не является малой, но смоченная длина при колебаниях продолжает считаться постоянной.
Линеаризованная задача о стационарном глиссировании несущей поверхности произвольной формы по поверхности тяжелой жидкости была рассмотрена А. Н. Пан- ченковым (1965).
В случае узких глиссирующих поверхностей линеаризация перестает быть законной и приходится учитывать величины второго порядка по малому углу атаки. Картина течения в первом приближении имеет следующий вид. У передней кромки происходит «удар» о воду. На всей остальной части пластинки обтекание складывается из продольного невозмущенного течения и чисто поперечного возмущенного. течения. Задача эта была рассмотрена в Германии Г. Вагнером и в СССР Г. Е. Павленко (1932), а затем заново проанализирована М. И. Гуревичем (1940). .
В заключение параграфа следует отметить, что хотя в последние годы появление новых работ по теории глиссирования стало редкостью, но не все вопросы теории глиссирования можно считать изученными. Прежде всего это относится к определению смоченной длины,、особенно при неустановившемся глиссировании. Нельзя считать достаточно исследованным и глиссирование произвольной поверхности конечного размаха для случая тяжелой жидкости.
Линеаризованная теория движения телпод поверхностью жидкости
Первая теоретическая попытка изучения волнового сопротивления тел, движущихся под поверхностью жидкости, принадлежит Г. Ламбу, рассмотревшему задачи о движении под водой круглого цилиндра и шара путем замены их диполями.
Основы линеаризованной теории подводного крыла были заложены в работах М. В. Келдыша и М. А. Лаврентьева (1937) и Н. Е. Кочина (1937).
Келдыш и Лаврентьев рассмотрели плоскую задачу о подводном крыле для случая потока тяжелой жидкости неограниченной глубины, взяв граничное условие на свободной поверхности в линеаризованном виде (5.2). Граничное условие на крыле как всегда состояло в том, что на поверхности крыла нормальная скорость жидкости равна известной нормальной скорости соответствующего элемента поверхности. Ввиду линейности решение краевой задачи получалось путем суперпозиции комплексных потенциалов вихрей и источников.
Задача об обтекании вихря под свободной поверхностью тяжелой жидкости была решена Л. Н. Сретенским в 1933 г. и опубликована им в 1936 г. Однако М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев воспользовались принадлежащими Келдышу (1935) более простыми решениями задач о движущихся под поверхностью воды особенностях. Ими было получено основное интегральное уравнение для тонкого крыла, решение которого отыскивалось путем разложения в ряд по малому параметру 2а/6, где 2a 一 длина хорды крыла, а А — его погружение. Были получены также общие формулы для сил, действующих на крыло, и решены частные задачи о плоской пластинке, дужке круга и вытянутом эллипсе.
Метод Келдыша — Лаврентьева был применен А. И. Тихоновым для решения задачи о подводном крыле, движущемся в жидкости конечной глубины (1940).
В фундаментальной работе Н. Е. Кочина (1937) были изучены как плоская, так и пространственная задачи о движении подводных тел. Силы, действующие на тело, Н. Е. Кочин выразил через вспомогательные функции Н. В плоском случае
Я(Х) = j e~iKz^dz, . (6.1)
Ci
где X ——переменный параметр, С\ ——контур, окружающий крыло, и dw/dz ——комплексная скорость течения. При определении dw/dz^ помимо удовлетворения граничных условий, требуется удовлетворить и условию конечности скорости на задней кромке крыла. Это последнее требование привело Кочина к сложному уравнению для определения циркуляции вокруг крыла.
В пространственном случае Н является функцией двух параметров и выражается через интеграл по поверхности, окружающей подводное тело. Подынтегральная функция является известной функцией потенциала скоростей течения ф и его нормальной производной. '
Определение dwjdz в плоском и ф в пространственном случае производится с помощью решения интегрального уравнения. Хорошее первое приближение в плоском и пространственном случаях получается, если при определении Н взять потенциал скоростей обтекания того же тела неограниченным потоком.
Кочиным были рассмотрены примеры плоской пластинки при произвольном угле атаки, сферы и эллипсоида.
Идеи Н. Е. Кочина были использованы М. Д. Xаскиндом (1945) для решения задачи о движении тела под поверхностью жидкости конечной глубины как для плоского, так и для пространственного случая. Выразив силы, действующие на подводное тело, через функции Я, Xаскинд решил в качестве примеров в первом приближении Кочина задачи о круглом и эллиптическом цилиндре ио сфере. В 1956 г. Хаскинд рассмотрел подводное крыло конечного размаха в виде несущей линии, изогнутой в плоскости, перпендикулярной к набегающему потоку.
За последние годы суда на подводных крыльях получили широкое распространение как у нас, так и за границей. Естественно, что это обстоятельство вызвало новый интерес и к теории подводных крыльев. Теорией подводного крыла в течение последних десяти лет в СССР занимаются главным образом киевские и ленинградские гидромеханики.
По установившемуся движению подводного крыла можно отметить работы Г. А. Гошева (1962), Н. В. Курдюмовой (1961, 1962), А. Н. Панченкова (1961—1965), А. И. Юхименко (1965) и М. И. Френкеля (I960).
Здесь следует подчеркнуть, что наиболее практически и теоретически интересной задачей является задача о движении подводного крыла вблизи свободной поверх- ноети. Задачу эту сейчас еще нельзя считать окончательно разрешенной, и главная трудность, стоящая перед исследователями, очевидна: при приближений крыла к свободной поверхности линеаризация последней делается все более и более неточной и решение краевой задачи приходится проводить для области, форма которой заранее неизвестна.
Исследованию неустановившегося движения подводного крыла должно предшествовать изучение движения под поверхностью воды источника переменной интенсивности. Решение задачи о движении подводного пульсирующего источника было получено Л. Н. Сретенским (1949) и М. Д. Xаскиндом (1947).
Неустановившемуся движению подводного крыла были посвящены работы И. Т. Егорова (1962), который исследовал случай бесконечно больших чисел Фруда и А. Н. Шебалова (1962), изучавшего нестационарное движение плоского контура при условии, что вихревой след за крылом отсутствует.
Наконец, следует отметить работы по установившимся и неустановившимся движениям крыла в потоке жидкостей различных плотностей. Здесь нужно указать на работы Я. И. Войткунского (1959), В. С. Войцени (1959), И. И. Ефремова (1965), А. Б. Лотова (1963) и А. Н. Панченкова (1965). Следует также отметить книгу И. Т. Егорова и В. Т. Соколова (1965) и справочник Я. И. Войткунского, Р. Я. Першица и И. А. Титова (I960), где имеются материалы по теории подводных крыльев.
Теория развитых кавитационных течений
При достаточно больших местных скоростях, согласно интегралу Бернулли, в жидкости должны были бы появляться отрицательные давления. Вместо этого обычно в зонах больших скоростей наблюдается образование каверн, заполненных парами и газами. Это явление называется кавитацией.
Каверны в жидкости могут быть микроскопически малыми пузырь^ ками и могут во много раз превышать размеры обтекаемого тела. Этот последний режим называется режимом развитой кавитации, или отрыв~ ным кавитационным течением (в иностранной литературе распространен термин «суперкавитация)>). Работы по кавитации описаны частично в упо^ мянутой статье Г. В. Логвиновича и Л. А. Эпштейна (стр. 37——54). Здесь будут рассмотрены только приложения теории струй к отрывным кавитационным течениям.
Давление р° в каверне можно считать постоянным. Поэтому скорость и。на границе каверны при установившемся течении невесомой жидкости тоже можно считать постоянной (очень большие числа Фруда). Характерным параметром для кавитационного течения является число кавитации
где Рсо и Уоо — давление и скорость в набегающем потоке жидкости плотности р далеко впереди обтекаемого тела. В случае установившегося течения невесомой жидкости Q — i^lv^—1. Отрывные кавитационные течения, для исследования которых можно применять теорию струй, имеют место при малых Q》0. Случай Q = 0 соответствует обтеканию тела по схеме Кирхгофа (см. задачи § 2).
Так же как и явление глиссирования, явление развитой кавитации является классическим примером случая, когда параметр р'/р мал..Для кавитационных течений должно удовлетворяться условие М. Бриллуена (см. § 3), т* е. давление на поверхности каверны должно быть минималь' ным и поверхность каверны должна быть всюду направлена выпуклостью в сторону жидкости. При отличных от нуля числах кавитации каверна за телом имеет конечные размеры. Однако установившееся течение имеет место только впереди тела и вблизи него. В конце каверны и за ней течение имеет периодический характер, что свидетельствует о том, что характер замыкания каверны мало влияет на течение вблизи тела.
Для Q 声 0 было предложено несколько схем установившегося течения, в которых каверны заканчивались искусственными способами и моделировалось только течение вблизи тела. На рис. 9 изображены основные схемы установившегося кавитационного обтекания нормальной к потоку плоской пластинки АВ.
Схема 9, а была предложена Д. П. Рябушинским в 1920 г. и применена к изучению кавитации в 1932 г. Ф. Вайнигом. Схема 9, 6 с возвратной струйкой, уходящей на второй лист римановой поверхности, была предложена Д. А. Эфросом ) (1946, 1947).
Схема 9, в рассмотрена и рассчитана Н. Е. Жуковским еще в 1890 г., но не для задачи о кавитационном обтекании тела. Для реального следа за обтекаемой пластинкой она была предложена А. Рошко в 1954 г. В том же году Р. Эпплер применил аналогичную схему для уточненного расчета
пограничного слоя передней части круглого цилиндра. Интересно отметить, что и схема Эфроса была применена не только для задачи о кавитационном течении, но и для расчета обратных токов воздуха в связи с процессами турбулентного обмена за стабилизаторами пламени (Б. Г. Худенко, 1961).
Кавитационная схема с переменной скоростью на струях была предложена Л. И. Седовым.
Рис. 10.Рис. 10.Недавно А. В. Кузнецовым (1964) была выдвинута и несколько модифицированная схема Эфроса, в соответствии с которой жидкость не остается на втором листе римановой поверхности, а снова возвращается в основ-
Рис. 10.
Рис. 10.
ной поток.
Расчеты сопротивления по всем упомянутым схемам дают примерно одинаковые результаты (см. М. И. Гуревич, 1961； А. В. Кузнецов, 1964).
Расчеты сопротивления клина и симметричного криволинейного препятствия
при кавитационном обтекании имеются в работах М. И. Гуревича (1953) и Г. Н. Пыхтеева (1956).
Обобщение схем Эфроса и Рябушинского на случай обтекания несимметричного препятствия вызывает специфическую трудность, состоящую、 в том, что не существует физически обоснованной гипотезы, с помощью которой можно было бы выбрать циркуляцию вокруг каверны и обтекаемого контура. Для схемы Рябушинского эта трудность была недавно преодолена в работах А. Г. Терентьева (1964) формальным путем с помощью введения гипотезы центральной симметрии течения. В случае схемы Жуковского ——Рошко подобная трудность не возникает. По этой схеме как в СССР (Я. Р. Берман, 1962; А. Г. Терентьев, 1965), так и за рубежом (США, Япония) были проведены полезные расчеты. Однако следует отме-
тить, что при всем своем удобстве схема Жуковского — Рошко не позволяет вычислять длину каверны. А. В. Кузнецов и А. Г. Терентьев (1967) с помощью схемы, аналогичной схеме Д. А. Эфроса (рис. 10), исследовали случай частично кавитирующей пластинки, т. е. случай, когда каверна располагается над передней верхней частью профиля крыла ).
Обтекание препятствий ограниченными потоками,течение в каналах, решетки и другие задачи
Некоторые работы по ограниченным струйным течениям были отме
чены уже выше, и к ним мы еще вернемся.
Одним из первых примеров практического приложения теории струй советскими учеными можно считать попытку приложить ее к задаче о борьбе со снежными заносами. Основная идея активной снегоборьбы состоит в том, чтобы не препятствовать снегу подойти к впадине, по которой проходит железнодорожное полотно, а с помощью специальным образом расположенных щитов заставить метель переносить снег через эту впадину. Если в работах Н. Т. Швейковского (1931) и Н. А. Слезкина (1935) и не удалось дать технические рекомендации, основанные на точных
теоретических расчетах, то во всяком случае теоретический анализ явления в этих работах помог практикам в выработке такйх рекомендаций.
Ограниченные струйные течения имеют самые различные применения. Особенно важны задачи о гидродинамических решетках. G помощью решений этих задач рассчитываются
турбины, винты и компрессоры.
В монографиях Г. Ф. Проскуры (1954) и
Г. Ю. Степанова (1962) разобраны как теоре- тииесКий, так и практический аспекты вопроса.
Полное теоретическое решение задачи орис 仇
струйном обтекании решетки из плоских пластинок (рис. 11) было получено С. А. Чаплыгиным и А. П. Минаковым (1930) ). Новое решение этой задачи, расчеты и эксперименты к ней были впоследствии опубликованы А. Бетцем и Э. Петерсоном. В последней работе (изложение которой можно найти в книгах Г. Ф. Проскуры и М, И. Гуревича), как уже отмечалось в § 1, было введено число р7р.
■ Решение задачи об обтекании решетки из клиньев дано Н. В. Ламбиным (1944). Задача об обтекании решетки из плоских пластинок с произвольными точками отрыва струй разбиралась Н. И. Ахиезером (1934) и И. М. Беленьким и И. Е. Зеленским (1937).
Интегро-дифференциальное уравнение, к которому сводится решение задачи о струйном обтекании решетки, состоящей из криволинейных профилей произвольной формы, принадлежит Л. И. Седову (1938, 1939)/
Задача о струйном обтекании двухрядной решетки, состоящей из криволинейных профилей, была рассмотрена методом годографа Г. Ю. Степановым (1953).
Решение задачи о кавитационном обтекании решетки по схеме Эфроса было впервые получено под руководством Л. И. Седова А. А. Вейцманом.
Близкое к этому решение имеется и в книге М. И. Гуревича.
Симметричное обтекание контура в канале с прямолинейными параллельными стенками (рис. 12) ) после продолжения комплексного потенциала через стенки с помощью принципа зеркального отображения сводится к обтеканию решетки. Скорость набегающего потока в этом случае перпендикулярна к оси решетки. Иссле
дования струйного симметричного обтекания криволинейных препятствий в канале упоминались выше. К этому следует добавить статью М. И. Гуревича (1946), в которой рассматривалось обтекание в канале по схеме Эфроса нормальной к потоку плоской пластинки, и А. Г. Терен-
Обтекание в каналеОбтекание в каналетьева (1964), где имеется решение задачи об обтекании клина в канале по схеме Жуковского —Рошко.
Обтекание в канале
Обтекание в канале
Очень удобная для расчетов схема кавитационного обтекания профиля была предложена By Яо-цзу (J. Fluid Meeh., 1962, 13 : 2, 161—181): поверхности струй, сходящие с контура, переходят не на плоские пластинки, как в схеме Жуковского — Рошко, а на некоторые криволинейные пластинки, форма которых при желании может быть определена в процессе решения задачи. А. Г. Терентьев (1967) рассчитал по этой схеме косую решетку из плоских пластинок.
несимметричного препятствия соответствует нор
мальному к оси обтеканию решетки, состоящей из двух повторяющихся элементов (рис. 13). Обтекание наклонной пластинки в канале по схеме Жуковского — Рошко рассмотрено в упомянутой выше работе А. Г. Терентьева (1962).
Кавитационное обтекание пластинки в свободной струе с конечным расходом исследовано А. В. Кузнецовым (1962). Им же совместно с Р. 3. Губайдуллиной (1967) была решена задача о струйном обтекании пластинки при условии, что часть свободной поверхности прикрыта другой пластинкой.
На рис. 14 изображена картина истечения боковой струи из канала. Хотя решение этой задачи известно очень давно (см., например, в работах Н. Е. Жуковского), вследствие важности и разнообразия ее практических приложений к ней возвращались неоднократно (И. М. Коновалов, 1949；
С. Н. Нумеров и С. В. Першин, 1953; В. Н. Талиев, 1954, и др.). Прило- ■ жения этой задачи касались как водозабора из канала, так и специально вопросов вентиляции. Удовлетворительное совпадение с опытами в последнем случае имеет место, несмотря на то, что в случае истечения воздуха в воздух р7р = 1. Несколько более общая задача, когда боковая струя попадает в новый канал, рассмотрена М. С. Похсраряном и В. Г. Санояном (1957) и С. Садыковым (1962, 1963).
Н. Н. Иванов (1967) исследовал поведение струи, образующейся при истечении из двух каналов, сходящихся под прямым углом. Эта работа имеет непосредственное отношение к новой области техники — пневмонике (см. Л. А. Залманзон, 1967). Пневмоника посвящена приборам для числовых расчетов 出 логических схем управления, основанным на использовании элементов со струйками воздуха.
Плоская задача о втекании свободной струи во внутреннюю трубу из наружной разбиралась И. М. Коноваловым (1949), Г. Н. Пыхтеевым (I960) и А. А. Абдылдаевым (1962). Задача об отражении струи от перегородки решена МЧИ. Хмельником (1964). Г. Г. Тумашев (1966) рассмотрел задачу о растекании по плоскости струи, выходящей из канала со створками. Столкновение двух струй в канале рассмотрено В. П. Алексеевским (1958).
Теория струй использовалась также и для рационального выбора формы стенок конфузора (Н. Т. Назаров, 1956). Идея работы состояла в том, чтобы обеспечить на сужающейся части конфузора постоянную скорость, что предотвращает появление пристеночной кавитации.
Сведения о результатах работ М. Ю. Цейтлина и Е. А. Федорова о взаимном влиянии пластинок, обтекаемых с отрывом струй, и обтекании пластинки в присутствии стенки можно найти в гл. VI книги М. И. Гуревича (1961).
Легко видеть (рис. 15), что задача о симметричном обтекании двух пластинок или обтекании клина с отверстием сводится к обтеканию пластинки в присутствии стенки. Статья М. И. Гуревича (1965) содержит специальные замечания о сопротивлении клина с отверстием. Значительно более общая задача об обтекании по схеме Жуковского — Рошко клина с отверстием в канале была исследована А. Г. Терентьевым (1965).
М. Т. Бекулов (1965) решил новую для теории струй задачу об обтекании с отрывом струй проницаемого клина. При этом автор исходил из предположения, что нормальная скорость протекания жидкости сквозь стенки клина пропорциональна разности давлений перед клином и за ним, а коэффициент пропорциональности мал.''
В заключение параграфа остановимся еще на одном неожиданном примере применения теории струй.
В последнюю мировую войну получили распространение противотанковые кумулятивные заряды. Эти заряды имеют коническую металлическую оболочку. При взрыве ВВ вдоль металлической оболочки бежит детонационная волна, которая вызывает столкновение стенок оболочки. Под влиянием больших давлений металл при столкновении делается
жидким, тонкая жидкая струя (рис. 16) устремляется вперед с большой скоростью. Эта тонкая струйка металла отличается большой пробивной
Попытка учесть влияниеПопытка учесть влияниесилой. В обратную сторону отбрасывается «остаток». Для анализа плоского случая (клиновидная оболочка заряда) было предположено, что металл движется как идеальная несжимаемая жидкость и картина течения в основной своей части совпадает с картиной течения в плоской задаче о соударении струй. При этом часть характеристик явления оказалось возможным рассчитать с помощью общих законов сохранения массы и количества движения без применения высшей математики ).
Попытка учесть влияние
Попытка учесть влияние
При более глубоком проникновении в сущность проблемы возникает ряд интересных и трудных математических задач, поставленных М. А. Лаврентьевым в сороковых годах (1957). Независимо от Лаврентьева задача о кумулятивном заряде рассматривалась группой зарубежных ученых ).
нестационарности для подобных задач была
сделана Э. П. Борисовой, П. П. Корявовым и Н. Н. Моисеевым (1959),
которые дали приближенное решение автомодельной задачи о растекании жидкого конуса по твердой конической поверхности.
Другая попытка применить теорию струй к задаче о течении металла под влиянием больших давлений была сделана в статье В. В. Голубева и М. И. Хмельника (1962). .
Струйные течения, содержащие внутри себя вихрии неподвижные полости. Аппараты на воздушной подушке
Основы теории струйных течений, внутри которых имеются вихри, источники, стоки и мультиполи, были заложены Б. Гопкинсоном еще в 1898 г. В свое время эта теория не получила дальнейшего развития, и только сравнительно недавно, в связи с новыми приложениями, интерес к ней возобновился ).
Теория струйных течений с особенностями может быть применена к задаче об обтекании тела струей. Решение этой задачи полезно для внесения поправок в результаты экспериментов в аэродинамических и кавитационных трубах с открытыми рабочими частями. С этой точки зрения и следует оценивать работу А. А. Никольского (1944), в которой рассмотрен заменяющий крыло вихрь в свободной струе. Вихрем можно приближенно заменить также и подводное крыло, о чем было упомянуто выше.
Помещая вихрь за уступом дна, можно избежать, как показал Д. С. Цельник (1965), бесконечной скорости у вершины угла (рис. 17)
и приблизить картину обтекания порога к действительной. С помощью вихря можно уточнить и картину течения в теории струйной завесы аппарата на воздушной подушке (Д. С. Цельник, 1966).
М. А. Лаврентьевым (1962) были даны постановки задач об обтекании тела потоком несжимаемой жидкости с образованием замкнутых каверн за телом и струйного движения части массы тела при образовании воронки под действием взрыва на его поверхности. Решение соответствующих конкретных задач рассматривалось в работах В. М. Кузнецова (I960), Н. Н. Красовского, М. А. Лаврентьева и др. (1963), Г. Н. Пыхтеева (1963), А. Е. Хоперскова (1963), И. 3. Мази-
това (1964, 1966) и В. М. Багина ― (1964).к'
В 1966 г. советскими учеными было / 仔 \
рассмотрено несколько своеобразных|\
схем струйных течений. М. А. Лаврентьевым (1966) была исследована картинаРис. 17.
обтекания струей завихренной зоны и цилиндра с завихренной зоной за ним. Задача о симметричном обтекании струей конечной ширины круглого цилиндра и пластинки были решены М. И. Хмельником (1966). В. А. Штанько (1966) рассмотрел задачу об истечении свободной струи из источника, расположенного в середине дуги окружности. Ю. М. Курепанов (1966) решил задачу о симметричном струйном обтекании пластинки в присутствии диполя.
Струи воздуха, выходящие из аппарата на воздушной подушке, создают завесу, отделяющую зону повышенного давления под дном аппарата, от окружающего атмосферного воздуха. От теории требуется установить связь между мощностью, затрачиваемой на образование струй, давлением под днищем аппарата и шириной щели между ним и поверхностью земли.
Теория аппарата на воздушной подушке построена Г. Ю. Степановым (1963). Эта теория хорошо оправдывается на практике. В ней используется простое предположение о постоянстве давления под дном аппарата. Однако на практике под дном аппарата наблюдаются вихри. В упомянутой выше работе Д. С. Цельника (1966) была сделана попытка исследовать влияние вихрей под дном. Расчеты показали, что влияние это незначительно, и тем подтвердили законность основной схемы Г. Ю. Степанова.
Возмущение свободной поверхности тяжелой жидкости под действием струи исследовано в работах Г. Ю. Степанова (1965) и Д. С. 'Цельника (1966).
На зтом завершим обзор классической теории струй. Оценивая ее состояние, можно сказать, что методы классической теории струй разработаны достаточно полно и совершенно. Что же касается решения частных вопросов, то практика является неистощимым источником постановок новых задач. Приступим теперь к работам, в которых были сделаны попытки снять основные ограничения классической теории струй, состоявшие в том, что рассматривались только плоские установившиеся течения без учета сил тяжести и капиллярных сил (ср. § 1).
Не установившиеся течения
Несмотря на свою большую практическую важность, раздел о неуста- новившихся течениях является самым молодым разделом теории струй.
Решение первой задачи об обтекаемой ускоренным потоком пластинке, за которой располагается зона постоянного давления, было опубликовано
Т. Карманом в 1949 г. Это направление у нас не получило развития. Зато в СССР стали независимо разрабатывать теорию слабо возмущенных струйных течений. Что же касается задачи об ударе тел, обтекаемых с отрывом струй, то этим вопросом почти исключительно занимались советские ученые.
Пусть 力о = <Ро + h|)o — комплексный потенциал невозмущенного струйного обтекания контура и ip = (р + ^ ——комплексный потенциал течения, вызванного малыми возмущениями. Граничные условия сносятся на контур и на свободные поверхности невозмущенного течения. На свободной поверхности линеаризованное граничное условие имеет вид
喘=。（畿砌，S）
где 0О— угол вектора скорости с осью абсцисс в невозмущенном течении, и。一 скорость на свободной поверхности в невозмущенном течении, D 三 dldt + v^d/d^Q, t — время (граничное условие на свободной поверхности получается путем приравнивания нормальной скорости элемента контура нормальной скорости жидкости).
М. И. Гуревич и М. Д. Хаскинд (1953) дали постановку задачи и рассмотрели колебания плоской пластинки. Граничному условию (ЮЛ) путем пренебрежения некоторыми членами был придан простой вид, использование которого показало, что при колебаниях контура по свободной поверхности бегут волны.
В работах А. В. Кузнецова (1964) были получены общие формулы для сил, действующих на колеблющийся контур, а также рассмотрено симметричное неустановившееся возмущенное струйное течение в канале и решен ряд частных задач. Задача об ударе была получена Кузнецовым как частный случай задачи об импульсивном движении. В дальнейшем он, систематически пользуясь методами операционного исчисления, изучил задачи о колебаниях контура в струе конечной ширины (1966) и кратковременном неустановившемся движении контура, обтекаемого с отрывом струй (1967).
Постановка задачи об ударе контура, обтекаемого с отрывом струй, была дана М. И. Гуревичем (1952). Определение дополнительного течения, вызванного ударом, и коэффициентов присоединенных масс опиралось на следующие предпосылки: 1) форма свободной поверхности определялась из установившегося струйного обтекания контура ); 2) всюду на контуре задавалась нормальная скорость; 3) на свободной поверхности импульсивное давление, а вместе с ним и потенциал скоростей возмущенного течения полагались равными нулю. Была найдена присоединенная масса плоской пластинки, которая оказалась немного большей, чем присоединенная масса пластинки при ударе о горизонтальную поверхность жидкости (об ударе о поверхность жидкости см. § 13).
В работах Я. Р. Бермана (1956) и С. И. Пархомовского (1958—1965) был подробно исследован ряд конкретных задач об ударе контуров, обтекаемых с отрывом струй. В ряде случаев влияние формы свободной поверхности оказалось весьма значительным.
Важность изучения неустановившихся струйных течений очевидна. Но даже для слабо возмущенных течений удовлетворение усложненных граничных условий представляет значительные трудности. Недостаточно обследована и картина распространения возмущений. Несомненный инте
pec представляет дальнейшее исследование устойчивости струйных течений, начатое Дж. Л. Фоксом и Дж. В. Морганом (Quart. Appl. Math., 1954, 11 : 4, 439-456).
Что же касается произвольных неустановившихся струйных течений, то можно сказать, что задача эта математически еще не поставлена. Особую трудность представляет здесь то обстоятельство, что переменная форма свободной поверхности заранее неизвестна.
§ И. Пространственные течения
Исследование пространственных струйных течений представляет большие математические трудности и ограничивается изучением двух видов течений: осесимметричных и течений в тонких слоях жидкости.
Для осесимметричных струйных течений до сих пор не удалось создать математический аппарат, равноценный аппарату теории функций комплексного переменного. Авторы работ по осесимметричным струйным течениям либо ограничиваются довольно грубым приближенным численным решением задач, либо доказывают теоремы общего характера.
Начнем с приближенных методов. Большинство из них опирается на известный в гидродинамике прием, состоящий в распределении вдоль границ течений различных особенностей — вихрей источников, стоков и мультиполей — и последующем составлении интегральных уравнений для определения интенсивностей этих особенностей. Д. Саламатов (1959) под руководством Ф. И. Франкля рассмотрел задачу об истечении несжимаемой жидкости из осесимметричной воронки конической формы, определил вид свободной поверхности и распределение скоростей вдоль стенки воронки. Метод решения задачи состоял в замене границ течения непрерывно распределенными кольцевыми вихрями, причем на поверхности сосуда неизвестной являлась интенсивность вихрей, а на свободной поверхности — радиус вихревого кольца. Для определения этих величин по граничным условиям было составлено интегро-дифференциальное уравнение, которое было решено в отдельных точках методом последовательных приближений. В дальнейшем тот же метод был применен Д. Сала- матовым для нахождения сопротивления круглого конуса при струйном обтекании и сопротивления тела вращения при кавитационном обтекании.
В. Крылов (1963) для решения задачи об обтекании тела вращения по схеме Жуковского — Рошко использовал следующий комбинированный приближенный метод. Источники и стоки были распределены на поверхности тела, на поверхности цилиндра за телом и на оси вращения. Вариационные методы, разработанные американскими учеными для доказательства существования и единственности решения осесимметричной струйной задачи по схеме Рябушинского, были применены автором для вывода нелинейного интегро-дифференциального уравнения, к которому сводится решение задачи. Уравнение это решалось приближенно численными методами.
Следует отметить, что при сходе осесимметричной струи с кониче-- ской поверхности, так же как и при сходе плоской струи с пластинки, кривизна струи в точке сопряжения ее со стенкой бесконечна (М. И, Гуревич, 1967). Это обстоятельство может сказываться на точности расчетов, производимых с помощью указанных выше прямых числовых методов.
А. С. Аведиков (I960) привлек к приближенному решению осесимметричных задач теории струй метод годографа и исследовал истечение струи из конической воронки.
Интересный метод для решения осесимметричных струйных задач был применен П. Р. Гарабедяном (США). Идея метода заключается в следующем. Уравнение для потенциала скоростей
鍔 + 要+ 金=0,(11.1)
или для функции тока 屮
汲2十ар2 у ду '
при е — 0 и е = 1 обращается соответственно в уравнение плоского или осесимметричного течения. Поэтому решение задачи при е = 1 можно искать с помощью разложения решения в ряд по параметру е. Этот метод был применен в работах В. С. Иванова (1963—1965) для вычисления сопротивления круглого конуса при струйном обтекании и для вычисления коэффициента сжатия струи, вытекающей из бесконечной конусной воронки.
При исследовании осесимметричных струйных течений был получен один точный теоретический результат. В § 2 было отмечено, что в плоской задаче струи в бесконечности за препятствием расширяются по параболическому закону, причем сопротивление препятствия выражается через параметр параболы. М. И. Гуревичем (1947) было доказано ), что при струйном обтекании неограниченным потоком осесимметричного тела расстояние вдоль оси симметрии х при 6 f 8 связано с радиусом каверны у соотношением
,…-黑.,(И.З)
где постоянная С выражается через сопротивление обтекаемого препятствия X:.
。=(譌户
Закон (11.3) без установления связи (11.4) с сопротивлением был получен очень просто Г. В. Логвиновичем (1961 —1965). Анализ сопротивления и размеров каверны на основе общих законов механики был произведен Л. А. Эпштейном (1966). Неустановившиеся линеаризованные осесимметричные отрывные течения разобраны С. С. Григоряном (1959).
Можно надеяться, что быстрое развитие современного функционал» ного анализа и теории нелинейных интегральных и интегро-дифферен' циальных уравнений приведет к тому, что осесимметричные струйные задачи будут решаться более совершенными методами.
Теория произвольных пространственных струйных течений еще ждет своих создателей.
Исследование течений тонких слоев жидкостей развивалось в двух направлениях. Основу первого направления заложил Ф. И. Франкль (I960). Задача решается в криволинейных координатах (хи 力？) на поверхности. Если ф — потенциал скорости, р — плотность, R — толщина слоя жидкости, Нх и Н2 — коэффициенты Ламе, хх и х2 — главные кривизны
обтекаемой поверхности, то для разности между давлением р на обтекаемой поверхности и атмосферным давлением р0 имеем
?一m=0"囁~(誥)2+裔(患)2].(Й.5)
Конкретные расчеты течений проведены М. Ю. Абдылдаевым (1962).
А. П. Фроловым (1965) проведен учет влияния силы тяжести.
Другая постановка задачи дана О. В. Голубевой (1951), которая рассматривала случаи, когда можно с достаточной точностью считать, что
при данных б】,х2 давления по всей толщине слоя одинаковы. Конкретные задачи рассмотрены М- И- Хмельником (1959—1961) и К- Н. Быстровым (1953). М. И. Хмельник (1959) получил также новые схемы плоских течений несжимаемой жидкости (рис. 18). К. Н. Быстров (1953) изучил особенности, которые могут возникать в тонких слоях жидкости на твердой поверхности.
Установившиеся струйные течения тяжелой жидкости.Капиллярные силы
Если считать предметом изучения теории струй все течения со свободными поверхностями, то теорию волн тяжелой жидкости следовало бы считать частью теории струй. Однако по своему объему и по применяемым методам теория волн представляет собой самостоятельный раздел гидромеханики, отдельным вопросам которого посвящены в настоящем томе статьи Н. Н. Моисеева и С. С. Войта (стр. 55—84). В настоящем параграфе будут
разобраны только задачи, методы решения которых специфичны для теории струй.
Уравнение неразрывности и граничные условия на стенках в случае тяжелой жидкости таковы же, как и в случае невесомой жидкости. Отлично только граничное условие на свободных поверхностях. Пусть ось 力 горизонтальна, а ось у направлена вертикально вверх. Тогда, согласно интегралу Бернулли, граничное условие на свободной поверхности в случае тяжелой жидкости будет иметь вид
№ 十 2gp = const,(12.1)
где g — ускорение силы тяжести. Таким образом, скорость на свободной поверхности уже не является постоянной величиной и зависит от формы свободной поверхности, которая заранее неизвестна.
Как уже отмечалось в § 1, первые работы по теории струй тяжелой жидкости были посвящены нахождению отдельных точных решений. Новое направление в теории струй наметилось недавно, в пятидесятых годах, после иностранных работ Э. Марки и К- Воронца. Речь идет о приближенном учете влияния силы тяжести на струйные течения при больших скоростях (числах Фруда), причем за основные течения берутся решения задач теории струй невесомой жидкости (число Фруда бесконечно).
Впрочем, теперь уже ясно вырисовываются перспективы получения точных решений с помощью решения интегро-дифференциальных уравнений методом последовательных приближений или путем разложения решения по малому параметру. Впервые задача теории струй тяжелой жидкости была сведена к интегро-дифференциальному уравнению Н. А- Слезкиным (1935).
Характерными для выяснения общего положения вещей являются работы Г. Н. Пыхтеева (1966), в которых автор систематизировал задачи для следующих случаев:
жидкость невесома, силы поверхностного натяжения отсутствуют, твердые стенки имеют заданную произвольную форму;
жидкость тяжелая, силы поверхностного натяжения отсутствуют, стенки полигональны;
жидкость невесома, на свободных поверхностях действуют капиллярные силы, стенки полигональны.
Оказалось, что все эти задачи могут быть объединены в одну общую краевую задачу, сводящуюся к решению аналогичных интегро-дифференциальных уравнений, с тем различием, что в первой из упомянутых задач уравнения относятся к стенкам, а в двух остальных— —к свободным поверхностям.
0Преимущество приближенных
Рис. 19.методов состоит в том, что с их по
мощью удается получать решения задач, имеющих практический интерес. На рис. 19, а изображена схема истечения жидкости из-под щита. Требуется определить коэффициент сжатия струи.
Если бы жидкость была невесомой, то область изменения комплексной скорости течения dw/dz представляла собой четверть круга с радиусом I dw/dz I = и = const. В случае тяжелой жидкости скорость и согласно (12.1) меняется. Развивая идею Э. Марки, Г. И. Мелконян (1957) приближенно заменил область годографа четвертью эллипса (рис. 19, 6)
и после конформного отображения последнего на внутренность пря
моугольника решил задачу, построив в прямоугольнике комплексный потенциал течения методом особых точек. М- И. Гуревич и Г. Н. Пыхтеев (1957, I960) рассмотрели ту же задачу, развивая метод К. Воронца. Пусть комплексный потенциал течения w и функция Жуковского(о = In (dw/dz) определяются в некоторой канонической области переменного и. Из-за
Рис. 20. степенями 6 позволяет получитьРис. 20. степенями 6 позволяет получитьтождественности граничных условии функция w (м) будет одной и той же как для тяжелой, так и для невесомой жидкостей. Функция Жуковского представляется в виде(о =(о。+ 6(ох, где to。一 функция Жуковского для соответствующего течения невесомой жидкости, а 6 — постоянный малый параметр. Пренебрежение высшими
Рис. 20. степенями 6 позволяет получить
Рис. 20. степенями 6 позволяет получить
для (о】 линейную краевую задачу, которая легко решается.
Ряд работ был посвящен задаче о водосливе. Здесь прежде всего следует отметить работу Н. Е. Кочина (1938) о течении через уступ (рис. 20). Хотя метод, примененный Кочиным, и отличается от методов теории струй (задача полностью линеаризуется), но его анализ различных
Рис. 21.Рис. 21.режимов течения послужил отправным пунктом дальнейших исследований. Следующий шаг в исследовании несколько более общей задачи (рис. 21) был сделан Э. Дуйшеевым (1958—1962). Используя конформное отображение области на верхнюю полуплоскость, он получил из граничного условия (12.1) интегральное уравнение, которое решал путем разложения в ряд функции Жуковского. Уравнение при этом удовлетворялось в отдельных точках. Тот же метод удовлетворения интегрального уравнения в отдельных точках был употреблен Л. М. Котляром (1953—1964), исследовавшим влияние силы тяжести на кавитационное обтекание пластинки и на обтекание глиссирующей пластинки.
Рис. 21.
Рис. 21.
Течение, изображенное на рис. 21, с произвольно наклоненной задней стенкой было исследовано О. М- Киселевым (1964). Автор применил метод линеаризации граничного условия (12.1) — несколько менее жесткий, чем у Н. Е. Кочина,— и получил тонкий результат о колебании амплитуды волн за препятствием при монотонном изменении его
размеров.
Метод линеаризации применялся также О. М. Киселевым и Л. К. Га- деевой (1964) для изучения плоской задачи об истечении тяжелой жидкости из расширяющегося насадка и О. В. Троепольской (1963) для задачи о кавитационном обтекании' пластинки по схеме Рябушинского.
С. С. Торбунов (1966) рассмотрел задачу о кавитационном обтекании пластинки тяжелой жидкостью по схеме Жуковского — Рошко. Учет силы тяжести состоял в том, что скорости на струях, сходящих с верхней и нижней кромок наклонной пластинки, брались хотя и постоянными^ но разными. Далее, О. М. Киселев и О. В. Троепольская (1966) с помощью линеаризации граничных условий решили задачу об обтекании по схеме Эфроса потоком тяжелой жидкости дуги окружности с вертикальной и горизонтальной хордами. О. М. Киселев и Л. К. Гадеева (1967) исследовали усовершенствованным методом К. Воронца задачу об истечении струи тяжелой жидкости из щели между двумя вертикальными стенками. Задача
об обтекании пластинки с отрывом струй потоком тяжелой жидкости была решена Е. Г. Шешуковым (1966).
Приближенный метод решения группы задач о течении тяжелой жидкости по прямолинейному дну, образующему некоторые весьма частные углы с горизонтом, был предложен В. М. Багиным (1965, 1967). Ю. И. Петухов (1966) решил задачу о низком плоском фонтане тяжелой жидкости над горизонтальным дном. Им был использован приближенный метод конформного отображения близких областей М. А- Лаврентьева.
Приемы приближенной замены граничного условия (12.1), аналогичные приближенным методам замены уравнения состояния в газовой динамике, были предложены О. М- Киселевым (1963) при решении задачи о кавитационном обтекании пластинки потоком тяжелой жидкости по схеме Эфроса.
Метод разложения по малому параметру, представляющему собой величину, обратную числу Фруда, был применен О- М. Киселевым (1964) для решения задач об истечении струи из вертикальной стенки и о вихре в ограниченной массе тяжелой жидкости.
Дуйшеев (1966) рассмотрел задачу о водосливе с произвольными наклонными стенками (форма которых, однако, заранее не фиксирована) путем нахождения решения интегрального уравнения задачи методом последовательных приближений с доказательством сходимости процесса.
Изучение струйных течений с учетом сил поверхностного натяжения происходило параллельно изучению струйных течений тяжелой жидкости. Первое точцое решение (обтекание пузыря между параллельными стенками) было получено Н. Е. Жуковским в 1891 г., и только в последние годы появились приближенные решения и решения задач с помощью метода последовательных приближений, примененного к нелинейным интегро- дифференциальным уравнениям. В изучении струйных течений при наличии капиллярных сил следует отметить ведущую роль советских ученых.
Влияние капиллярных сил при постановке краевой задачи сказывается только на граничном условм ца свободной поверхности, которое в случае невесомой жидкости имеет вид
а^ = Р* 喲， (12.2) где а — коэффициент поверхностного натяжения, а остальные обозначения обычны.
Метод Жуковского для нахождения точных решений струйных задач при наличии капиллярных сил был несколько видоизменен О- М- Киселевым (1967), который получил ряд новых точных решений задач о газовых пузырях и струях при наличии прямолинейных стен. Однако это интересное исследование лежит несколько в стороне от остальных современных работ, описанных ниже.
Поправка, учитывающая влияние малого параметра а на коэффициент сжатия струи, вытекающей из отверстия в бесконечной стенке, была получена М. И. Гуревичем (1961).
Течение струи невесомой жидкости, подверженной действию сил поверхностного натяжения и текущей по полигональному дну, изучено О. М. Киселевым (1965) при помощи метода, вполне аналогичного тому, который он применил к изучению соответствующего течения тяжелой жидкости (1964).
Группа работ по струйным капиллярным течениям была выполнена в Киргизии. В этих работах с помощью теории нелинейных сингулярных
интегро-дифференциальных уравнений были рассмотрены задачи, когда одновременно действуют силы тяжести и силы поверхностного натяжения (Э. Дуйшеев, 1965, 1966). Д. Саламатов (1966) вычислил коэффициент сжатия осесимметричной струи, находящейся под действием сил поверхностного натяжения.
Приближенное решение задачи о движении осесимметричного газового пузыря было получено О- М- Киселевым (1963).
Дальнейшие поиски эффективных решений теории струй тяжелой жидкости и жидкости, подверженной действию капиллярных сил, связаны с одной специфической трудностью. Речь идет о том, что в этих случаях проблемы единственности решений оказываются значительно усложненными, не говоря уже о возможности появления гравитационных и капиллярных волн.
Рассмотрим, например, схему рис. 20 для тяжелой жидкости. В случае невесомой жидкости при заданной глубине набегающего потока 无 все линии тока будут одинаковы при любой скорости набегающего потока Ug. В случае тяжелой жидкости форма линий тока будет зависеть от безразмерного параметра 唸/ (g%), т. е. при заданном h — от скорости v^. Однако и это еще не определяет всего разнообразия картин течения. Можно показать (М. И. Гуревич и Г. Н. Пыхтеев, 1957; Э. Дуйшеев, 1962), что при одинаковых 无 и % в бесконечности вниз по течению могут быть три различные глубины.
§ 13, Удар тела о поверхность несжимаемой жидкости
Теория удара о воду тесно связана со многими задачами теории струй как по физическим объектам исследования, так и по применяемому математическому аппарату. Поэтому здесь дается краткий обзор развития теории удара.
Ударом называется предельный случай течения с резким скачкообразным изменением скоростей. Движение несжимаемой жидкости, возникающее из состояния покоя после удара, при отсутствии массовых импульсивных сил обладает потенциалом скоростей ф, который является гармонической функцией координат. Импульсивное давление pt связано с ф и плотностью р соотношением
Р 屮=—Р±・ (13-1) Поэтому па свободных поверхностях имеет место граничное условие ф = 0. На твердых стенках, как всегда, известна нормальная скорость.
Для практических целей наиболее важным результатом решения задачи об ударе является нахождение импульсивных давлений, действующих на тело. В соответствии с (13.1) для этого нужно найти ф, т. е. определить течение после удара. Суммарное воздействие жидкости на твердое тело выражается через присоединенные массы тела ).
Первая задача о вертикальном ударе наполовину погруженного плавающего шара была решена II. Е. Жуковским еще в 1883 г. »
В тридцатых годах московской школой гидродинамиков был проведен цикл работ по удару о воду (см. сборник статей М. А. Лаврентьева, М. В. Келдыша, А. И. Маркушевича, Л. И. Седова и А. Б. Лотова, 1935, и статью Л- И. Седова, 1934), В этих работах явление удара о воду было изучено с механической стороны. Были рассмотрены методы определения движения жидкости после удара и решен ряд частных задач.
Перечислим важнейшие результаты отдельных работ сборника. М. А. Лаврентьев и М- В. Келдыш свели общую задачу о жестком ударе о воду к задаче Гильберта и разработали метод ее решения. В частном случае удара п пластинок, расположенных вдоль горизонтальной оси, при условии, что нормальная скорость на каждой пластинке задается полиномом, было дано в явном виде эффективное решение задачи. Келдыш решпд задачу об ударе пластинки о поверхность воды, имеющей конечную глубину. А. И. Маркушевич рассчитал удар двух пластинок о поверхность жидкости
неограниченной глубины. Л. И. Седов решил задачу об ударе клина. А.Б. Лотов исследовал удар пластинки о поверхность жидкости, учитывая инерцию всех ее бесконечно малых элементов.
Перейдем теперь к работе Л. И. Седова, опубликованной в 1934 г. В этой работе была рассмотрена общая теория плоских и пространственных течений при ударе о воду. Условие 屮 = 0 на свободной поверхности позволило Седову зеркально продолжить течение в верхнее полупространство. Если ось у вертикальна, то это продолжение определяется соотношением
屮(х,锵 z)——屮 Q, —у, z).才 (13.2)
Соотношение (13.2) сводит задачу об ударе тела о воду к задаче о движении удвоенного тела в неограниченной жидкости. При этом вертикальному движению погруженного тела и вращеншо его относительно горизонтальной оси соответствует такое же движение его зеркального двойника. В случае горизонтального движения тела или его вращения вокруг вертикальной оси для получения течения во всем внешнем пространстве обе половинки тела должны соскальзывать друг с друга в обратном направлении.
Далее в работе Седова были рассмотрены главный вектор и главный момент импульсивных давлений. В плоском случае комплексный потенциал течения имеет представление
3=%叫+%32+电33, (13.3)
где Uq、Vo ——проекции скорости тела на оси координат, Q — угловая скорость и 必互=屮互 + »屮互・ Проекции импульса, подействовавшего на тело, и момент импульса выражаются через присоединенные массы р,^:
-/0=n21% + n22% + n235 } (13.4)
где
-" J 中'(13.5)
В (13.5) интегрирование производится по поверхности удвоенного тела и д^дп — нормальная производная (нормаль направлена внутрь жидкости). Аналогичные соотношения между главными вектором и моментом импульса и присоединенными массами имеют место и в пространственном случае. Так же как в классической теории движения тела в неограниченной жидкости, через присоединенные массы и скорости выражается и кинетическая энергия жидкости ).
В плоском случае задача нахождения ^д = Фд + 力屮互 сведена Л. И. Седовым к конформным отображениям.
В качестве примеров им были рассмотрены, во-первых, безотрывный удар плавающего эллипса и, во-вторых, горизонтальный удар плавающей пластинки. В случае безотрывного горизонтального удара симметричного тела на одной из его сторон появляются отрицательные давления, что физически невозможно. Поэтому Седов рассмотрел горизонтальный удар пластинки с отрывом (точка отрыва определялась из условия pt = 0).
Горизонтальный удар эллипса рассматривался В. В. Семеновым-Тяньшанским (1954). Полное теоретическое и экспериментальное решение задачи о горизонтальном ударе плавающего эллипса с отрывом было получено Н. А. Кудрявцевой (I960). ” Ряд частных задач об ударе о воду был решен различными авторами: удар пластинки о несжимаемую жидкость, заключенную в прямоугольном сосуде (см. Л. И. Седов, 1950 и 1966); удар пластинки о жидкость, наполняющую канал в форме полуцилиндра (М. И. Гуревич, 1939); удар частично погруженного круглого цилиндра (С. В. Фалькович и Н. К. Калинин, 1938); горизонтальный безотрывный удар вертикально плавающей пластинки в присутствии вертикальной стенки (М. И. Гуревич,
. Горизонтальный безотрывный удар погруженного эллипсоида и шара был подробно рассчитан Э. Л. Блохом (1953) и В. И. Моссаковским и В. Л. Рвачевым (1958), вертикальный удар диска при наличии дна был изучен И. И. Воровичем и В. И. Юдовичем (1957). Задача об ударе плавающего шара о жидкость конечной глубины была решена Л. С. Ворович (1966). В двух последних работах, помимо расчетной части, были доказаны существование и единственность решений.
Из сказанного выше следует, что нахождение присоединенных масс полностью обтекаемых тел фактически эквивалентно решеншо задачи о вертикальном ударе. Поэтому следует указать, что были найдены присоединенные массы следующих тел: присоединенная масса трех пластинок (В. Ф. Шушпанов — см. Р. Л. Крепе, 1939), шестиугольника (В. А. Соколов — см. И. С. Риман, Р. Л. Крепе, 1947), решетки из прямоугольников (М. И. Гуревич, 1940), эллиптической пластинки, как предельного случая эллипсоида (В. С. Ведров, 1932), погруженной сферы (Э. Л. Блох, 1955), погруженного эллипсоида и эллипсоида в присутствии стенки (В. С. Сабанеев, 1958, I960).
Обзор и анализ первых результатов теории удара о воду был дан Л. И. Седовым (1933).
Теория удара о воду была применена к расчету быстрого погружения (в частности, днища гидросамолета) в воду. Основная идея, принадлежащая Г. Вагнеру ), состоит в том, что непрерывное погружение поплавка заменяется непрерывной серией ударов о воду клина или пластинки. Этот приближенный метод дает хорошие практические результаты для клина с малым и большим углом килеватости.
Задача о погружении острого клина заданной массы была решена Л. И. Седовым (1935). А. С. Повицкий провел анализ метода Вагнера, решил частные задачи о падении клина и вогнутого днища и дал приложения теории удара о воду к расчету посадки гидросамолета (1935, 1939).
С ударом о воду тесно связано известное явление водяного рикошета. Водяной рикошет гидросамолетов при посадке на воду опасен при эскплуатации и рассматривается как крайне нежелательное явление. В артиллерии, наоборот, иногда намеренно производят стрельбу на рикошетах. Теория водяного рикошета, основанная на методах механического подобия, была дана Л. И. Седовым (1942). Им же теория механического подобия была систематически приложена к исследованию задач об ударе о воду.
Классической является задача о погружении клина в воду. Еще Г. Вагнер заметил, что картины течения при равномерном погружении подобны друг другу в различные моменты времени i и потенциал скоростей можно представить в виде (ZAMM, 1932, 12 : 4, 193—215)
学=四①(专，专)•
Если ввести новые независимые переменные 己=с/(и»), т| = у/(и»), то задача сведется к нахождению гармонической функции Ф (Е, п), в которую время явно не входит. На поверхности клина известна нормальная скорость жидкости, а на неизвестной свободной поверхности задаются условие постоянства давления и условие того, что частицы жидкости не могут покинуть свободную поверхность.
Основная трудность в решении краевой задачи для определения Ф (£ п) состоит в том, что форма свободной поверхности неизвестна. Если бы можно было, как в теории струй, найти две функции, выражающиеся через комплексный потенциал з и z, области изменения которых известны, то задача о погружении клина решалась бы с помощью конформных отображений. Одна такая функция была найдена Г. Вагнером:
Однако Вагнер ошибся, считая, что областью изменения h (z) при погружении клина является разомкнутый прямоугольный треугольник с вершиной, удаленной в бесконечность. Хан Ги Ман в диссертации, написанной под руководством Л. И. Седова (МГУ, 1957), показал, что областью изменения А является в этом случае равнобедренный прямоугольный треугольник конечных размеров.
Н. Н. Моисеев, Э. П. Борисова и П. П. Корявов (1959) решали эту задачу, задаваясь приближенной формой свободной поверхности, после чего все гидродинамические характеристики легко рассчитать. При этом авторы рассматривали несколько более общую задачу: твердый клин симметрично погружается в жидкость, которая в начальный
момент времени ± = 0 неподвижна и занимает внутренность угла 2P (рис. 22),
скорость погружения и зависит от времени по степенному закону и = с1У (сиу — постоянные). Задачей об ударе водяного клина о жесткий занимался также Ю. Л. Якимов (1957).
Наконец, 3. Н. Добровольской удалось (1965) с помощью функции Вагнера свести задачу о равномерном погружении клина к нелинейному сингулярному интегральному уравнению для вещественной функции. Оказалось, что это уравнение может быть численно проинтегрировано методом последовательных итераций, которые сходятся Уздесь в некотором асимптотическом смысле.
%*Это позволило Добровольской получить числен-
NLi/ное решение и проанализировать основные
ук旷особенности задачи (1966).
\#Во время транспортировки жидких грузов
N 〔Упри внезапном изменении скорости движения
%/происходит удар жидкости о стенку сосуда. Им
пульсивные давления выражаются через присоединенные массы жидкости. Аналогичные явления происходят при ударе жидкости о плотину при землетрясении. Постановка задачи об ударе
Рис. 22.жидкости, частично наполняющей сосуд, не от
личается от постановки задачи об ударе плавающего тела. На свободных поверхностях равен нулю потенциал скоростей, являющийся всюду внутри жидкости гармонической функцией координат, а на стенках сосуда всюду задается нормальная скорость.
Первая задача такого рода была решена в США в 1931 г. Г. М. Вестергардом. Им был рассмотрен удар жидкости о вертикальную плотину (бесконечно длинный сосуд). Плоская задача об ударе жидкости, наполняющей прямоугольный сосуд, была решена М. А. Лаврентьевым (1946). Расчеты по этой задаче были проведены Л. С. Ивановой (1953), которая рассмотрела также (1954——1963) случаи различных сосудов, частично прикрытых крышками. В отличие от Вестергарда, решавшего задачу с помощью рядов, Лаврентьев и затем Иванова пользовались эффективными методами теории функций комплексного переменного. Задачи об ударе жидкости, до половины наполняющей шар и эллипсоид, были решены Э. Л. Блохом в упомянутых выше работах.
Задача о направленном взрыве грунта, рассмотренная М. А. Лаврентьевым и его учениками В. М. Кузнецовым и Е. Н. Шером (I960) была сведена к задаче о движении несжимаемой жидкости. Постановка краевой задачи близка к постановкам задачи об ударе и к задачам теории струй (форма части границы заранее неизвестна). В. М. Кузнецов (I960) решил конкретную задачу о форме воронки выброса грунта при взрыве.
Удар несжимаемой капли об абсолютно твердую стенку рассмотрен М. И. Хмельником (1960—1962).、
Остановимся бегло на нескольких вопросах, строго говоря, выходящих из рамок обзора, но тесно связанных с теорией присоединенных масс, а следовательно, и с теорией удара о воду.
В числе сил, действующих на поверхности воды, входят силы, пропорциональные ускорениям. Соответствующие коэффициенты пропорциональности являются присоединенными массами плавающего тела. Экспериментальное определение присоединенных масс осуществляется с помощью принудительных колебаний плавающих тел. Далее, через присоединенные массы теория удара о воду связана и с теорией качки корабля. В работе М. Д• Хаскинда (1946) было показано, что если учитывать силу тяжести (в описанных выше работах жидкость считалась невесомой), то коэффициенты присоединенных масс будут зависеть от частоты колебаний.
На величинах присоединенных масс сказывается у егоугость колеблющегося тела. Задача о колебаниях у поверхности воды различным образом опертой упругой пластинки была рассмотрена А. С. Повицким (1958).
При больших скоростях движения ударяющихся о жидкость тел существенной может оказаться сжимаемость самой жидкости. Работы в этом направлении вследствие постоянного роста скоростей технических объектов имеют, по-видимому, перспективы. Задача о вертикальном ударе пластинки о поверхность сжимаемой жидкости была решена Л. А. Галиным (1947). За последние годы удару о сжимаемую жидкость и погружению в нее тонких тел посвящается все больше и больше работ. Не останавливаясь на этих вопросах, укажем только на авторов, занимающихся ими: А. Я. Сагомонян (1955 и сл.), А. Г. Б аг доев (1955 и сл.), В. А, Е рошин (1963, 1964), Е.①.Афанасьев (1964), В. Б. Поручиков (1964). Свойства присоединенных масс в сжимаемой жидкости были изучены М. Д. Xаскиндом (1946).
Газовые струи
В заключение укажем основные направления развития теории газовых струй в СССР.
Основа теории газовых струй была заложена в докторской диссертации С. А. Чаплыгина (1902), которая была полностью оценена только через 30 лет после ее опубликования. Методы С. А. Чаплыгина были использованы позже не только в теории газовых струй, но и в других разделах газовой динамики.
Для установившегося течения невязкого газа при адиабатических процессах уравнение Чаплыгина для функции тока 屮 может быть в плоскости годографа представлено в виде
烈_+代必L = o(14 1)
ad十八期 u,(丄q•丄丿
где 0 — угол вектора скорости с осью абсцисс,
o =(14.2)
—известная функция скорости у, Р = 1/(у — 1), 丫 一 показатель адиабаты, т =戌/卢max, Umax — максимально возможная скорость в газе, q — значение т на свободной поверхности,
К — I — (2Р +1) т(I*叶］-
Связь между физической плоскостью (力,у) и плоскостью годографа осуществляется с помощью соотношения
dz = dx~\~i dy = ^d(p 4-d^ ,(14.4)
где ф — потенциал скорости, плотность р — известная функция и, р0 — плотность при у — 0. Чаплыгин предложил точный и приближенный методы решения задач теории струй и дал классические примеры решения этих задач. Оба метода получили широкое развитие в работах советских и зарубежных ученых, причем приближенный метод оказался особенно существенным для развития газовой динамики в целом.
Обратимся сперва к точному методу. Частными решениями уравнения (14.1) являются функции
^п = Хпуп(Т)sin(2n0 4-an),(14.5)
где ап — постоянные, а уп (т) = F (an, bn, 2n + 1, т) — гипергеометрические ряды, причем 麻 + " = 2тг — р, 时匕几——§冷(2тг + 1). Решения задач теории газовых струй получаются в виде рядов по функциям i|)n.
Если стенки препятствия или стенки сосудов состоят из частей прямых и известно решение задачи для несжимаемой жидкости с той же конфигурацией прямолинейных стенок, то коэффициенты ряда, решающего задау чв случае газа, определяются очень просто. Чаплыгин решил задачи о струе, вытекающей из отверстия в прямолинейной границе, и о плАстинке, поставленной перпендикулярно к набегающей на нее струе конечной толщины.
Изучение задачи Чаплыгина об адиабатическом истечении совершенного газа из сосуда с прямолинейными стенками позволило Л. В. Овсян-
Механика в СССР, том 2
никову (1949) обнаружить замечательный факт. Оказывается, что когда давление на поверхности струи таково, что скорость на ней в точности равна скорости звука, то течение в струе выравнивается на конечном
расстоянии от отверстия, причем геометрическое место точек на различных линиях тока, в которых скорость газа достигает скорости звука, образует прямолинейный отрезок, расположенный перпендикулярно к струе. Более общий результат, когда связь между плотностью и давлением произвольна и струя вытекает из сосуда произвольной формы, получен Ю. В. Рудневым (I960).
В дальнейшем в течение долгого времени методом Чаплыгина была фактически решена только одна новая задача об истечении струи из отверстия между стенками, образующими между собой различные углы (см. курс Н. Е. Кочина, И. А. Кибеля и Н. В. Розе, а также Я. И. Секерж-Зень- кович, 1957; А. А. Арынов, 1958; Н. Н. Макеев, 1962).
Основным препятствием для решения новых задач послужило то обстоятельство, что в тех случаях, когда решение задачи определялось более чем одной характерной скоростью (см., например, рис. 23), ряды Чаплыгина уже не сходились во всей области
Iгодографа.,
— -」 Используя вторые решения гипергеомет-
*7*;—' рического уравнения, выраженные в форме
Г
Черри, и склеивая решения, полученные для
различных частей области годографа, С. В. Фаль-
Рнкович (1957) решил первую задачу с двумя
&”характерными скоростями (рис. 23). Усовер
шенствование метода Чаплыгина, предложенное
Фальковичем, оказалось плодотворным и позволило решить значительное количество задач теории газовых струй (С. К. Асланов и В. А. Лег- кова, 1959; В. И. Трошин, 1959; Ф. С. Владимиров, 1967).
Другой путь расширения области применения метода Чаплыгина, основанный на преобразований рядов Чаплыгина в определенные интегралы, был указан Л. Н. Сретенским (1958, 1959). Ряд частных за重q был решен Л. Н. Сретенским (1959) и Т. С. Соломаховой (1961—1963).
Г. С. Мавроди (1963) предложила пользоваться частными решениями уравнения (14.1), в которых вместо тригонометрической функции 0 входят показательные функции.
Ю. В. Руднев (1949—1960) для решения задачи о струйном обтекании решетки из плоских пластинок предложил метод, отличающийся от метода Чаплыгина. Этот метод основан на решении бесконечной последовательно
сти краевых задач.
Вопросами существования и единственности решений занимался В. Н. Монахов (1964, 1965).
Обратимся теперь к тому направлению теории газовых струй, которое берет свое начало от приближенного метода Чаплыгина. В случае произвольного баротропного процесса можно, пользуясь интегралом Бернулли, выразить К через р и р (см., например, монографию Л. И. Седова «Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики», 1950 и 1966). При этом, если задать К как функцию от р, то соответствующее выражение будет представлять собой уравнение состояния, связывающее р и р. Идея приближенного метода Чаплыгина и его видоизменений состоит в том, что К задается таким образом, чтобы уравнение Чаплыгина можно было заменить каким-нибудь более простым, а уравнение состояния р = / (р) мало отличалось в исследуемом диапазоне скоростей от уравнения
1, и С. А. Чаплыгин положил приближенно1, и С. А. Чаплыгин положил приближенно0 имеем £0 имеем £При М :丄bПри М :丄bадиабаты. Так как решения физически правильно поставленных задач должны обладать устойчивостью по отношению к задаваемым опытным законам, которые по существу своему могут быть только приближенными, то варьирование опытных законов для достижения математических выгод допустимо.
1, и С. А. Чаплыгин положил приближенно
1, и С. А. Чаплыгин положил приближенно
0 имеем £
0 имеем £
При М :丄b
При М :丄b
К в оК в отока тогда превращаетсятока тогда превращаетсяРис. 24.Рис. 24.соответствии с (14.1) функция
К в о
К в о
тока тогда превращается
тока тогда превращается
Рис. 24.
Рис. 24.
гармоническую функцию переменныхи 0, а комбинация 屮十冲 делается
P = Po + GPo —讐P = Po + GPo —讐(14.6)(14.6)функцией комплексного переменного о + 池 Уравнению состояния при этом можно придать вид
P = Po + GPo —讐
P = Po + GPo —讐
(14.6)
(14.6)
где % — скорость звука ]/dp/^p при М = 0.
Уравнение уравнениеУравнение уравнение(рис. 24) в точке, соответствующей М = 0.(рис. 24) в точке, соответствующей М = 0.представляет собой касательной к адиабате
Уравнение уравнение
Уравнение уравнение
(рис. 24) в точке, соответствующей М = 0.
(рис. 24) в точке, соответствующей М = 0.
состояния (14.6), называетсясостояния (14.6), называетсяуравнениеуравнениеГаз, для которого имеет место фиктивным газом Чаплыгина.
состояния (14.6), называется
состояния (14.6), называется
уравнение
уравнение
С. А. Чаплыгин рассмотрел задачу о струйном обтекании плоской пластинки, поставленной под произвольным углом к набегающему на нее потоку газа. Интегральное уравнение для криволинейной дуги и решение задачи об обтекании дуги круга были получены для газа Чаплыгина Н. А. Слезкиным (1935). Группа задач об истечении из различных сосудов была рассмотрена А. И. Бунимовичем (1951), который воспользовался слегка видоизмененным методом Чаплыгина, положив К равным Kg, т. е. значению К при числе Маха, соответствующем скорости набегающего потока ).
Нет, однако, необходимости заменять адиабату прямой линией. С помощью подбора подходящих кривых можно получить значительно лучшее приближение (например, касание более высокого порядка), чем с помощью прямой. .
Приближенный метод С. А. Чаплыгина был обобщен и на случай сверхзвуковых и смешанных течений. С математической точки, зрения установившиеся сверхзвуковые течения отличаются от дозвуковых главным образом тем, что первые описываются уравнениями гиперболического, а вторые — эллиптического типа. В соответствии с этим изучение дозвуковых течений сводится к краевым задачам теории функций комплексного переменного, в то время как уравнения волновые и типа Дарбу используются для изучения сверхзвуковых течений. Для сверхзвуковых режимов хорошие приближения были получены С. А. Христиановичем (1947). Г. А. Домбровскому (1955) удалось достигнуть третьего порядка касания аппроксимирующей кривой как для дозвуковых, так и для сверхзвуковых потоков. В качестве приложений Г. А. Домбровский рассматривал pa3A личные струйные задачи (1956).
Обобщениям- приближенного метода Чаплыгина было посвящено много работ как в СССР, так и за рубежом. В частности, кроме упомянутых авторов, следует отметить И. М. Юрьева, О. С. Воробьева и, особенно, Л. В. Овсянникова (I960), который проанализировал построение различ*-
ных аппроксимаций, исходя из групповых свойств уравнения Чаплыгина. Все эти исследования проводились не обязательно в связи с теорией газовых струй. Многие авторы имели в виду приложение своих результатов к широкому кругу вопросов газовой динамики. Поэтому, не останавливаясь более на этом вопросе, укажем только на книгу Г. А. Домбровского (1965), специально посвященную применению обобщенного метода Чаплыгина к газовой динамике и, в частности, к теории струй.
Наиболее трудными и с математической точки зрения интересными задачами являются задачи с переходом через скорость звука, когда в одних областях течения поток является сверхзвуковым, а в других — дозвуковым.
Одним из наиболее простых уравнений смешанного типа, на важность применения которого к решению газодинамических задач с переходом через скорость звука указал Ф. И. Франкль ) (1945), является уравнение Трикоми )
(14.7)(14.7)@3 尹w一 謚■十u 丽 一и,
(14.7)
(14.7)
Уравнение Чаплыгина (11.1) вырождается в уравнение Трикоми (14.7) при числе Маха М L
Аппроксимация с помощью уравнения Трикоми обеспечивает достаточно хорошие приближения только в области перехода через скорость звука (второй порядок касания с адиабатой в точке перехода). При больших сверхзвуковых и малых дозвуковых скоростях такие аппроксимации становятся неудовлетворительными. Случай струи, вытекающей со скоростью звука из отверстия между параллельными стенками, является, наоборот, прекрасным примером того, когда уравнение Трикоми должно
Рис. 25.Рис. 25.дать хорошие результаты. Эта задача была решена В. А. Скрипкиным (1955).
Рис. 25.
Рис. 25.
Для получения хороших аппроксимаций Л. И. Седов применил метод Фурье (1949). Он предложил также (1950) простую аппроксимацию для смешанных течений, состоящую в том, что адиабата в плоскости (р, 1/р) заменялась ломаной с изломом в точке перехода от дозвуковых скоростей к сверхзвуковым (рис. 25).
Г. И. Назаров (1955—1963) опубликовал серию работ, в которых
несколько видоизмененным методом Бергмана рассматривались различные струйные задачи. В этих работах также изучалась связь между методом Бергмана, точным методом Чаплыгина и различными аппроксимациями. В частности, Г. И. Назаров (1963) решил задачи о столкновении двух струй и истечении струи из насадка в магнитном поле, перпендикулярном к плоскости течения. Приложение видоизмененного Назаровым метода Бергмана к вихревому течению газа и к частным струйным задачам было дано В. М. Фоминым и Е. Г. Шешуковым (1966, 1967).
ГИДРОДИНАМИКА ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ В ВОДЕС БОЛЬШИМИ СКОРОСТЯМИ
3738404245505237384042455052Г. В. ЛОГВИНОВИЧ, Л. А. ЭПШТЕЙН
37
38
40
42
45
50
52
37
38
40
42
45
50
52
2 3 4 5 67-2 3 4 5 67-Введение
2 3 4 5 67-
2 3 4 5 67-
Возникновение и развитие кавитации Плоские течения с развитой кавитацией .... Пространственные течения с развитой кавитацией Удар тела о жидкость Глиссирование Подводные крылья
Введение
Движение тел с большой скоростью внутри жидкости или по ее поверхности связано с разрывом сплошности жидкости и образованием свободных границ. Сюда относится глиссирование и рикошеты, развитая кавитация и удар при входе в воду, а также движение подводных крыльев. Разделы гидромеханики, посвященные таким движениям, росли в связи с созданием различных быстроходных машин. Разработка глиссеров, гидросамолетов, крылатых кораблей и других машин породила многие идеи, которые развивались в научных исследованиях и стимулировали их.
Начала гидродинамики, послужившие основой для развития теории движения жидкостей с большими скоростями, можно отметить уже в работах Н. Е. Жуковского о струйных течениях и о волновом сопротивлении, а также в работах С. А. Чаплыгина по теории неустановившихся движений профиля крыла в плоскопараллельных потоках. В дальнейшем, начиная с 1932 г., теория неустановившихся движений жидкости и движений тел с большой скоростью в жидкости разрабатывалась в ЦАГИ, где и были заложены основы теории удара о воду, теории волнового сопротивления, теории глиссирования и подводного крыла.
В конце тридцатых годов состояние дела было следующим. Теория движения тел внутри жидкости успешно развивалась в рамках гидромеханики идеальной несжимаемой жидкости, решались точно уравнения движения при упрощенных граничных условиях для некоторых простых тел и простых случаев движения. В то же время инженеры испытывали модели действительных глиссеров и гидросамолетов, которые имели сложные криволинейные обводы, двигались в воде, обладающей вязкостью, и, естественно, не могло быть речи о точном гидродинамическом расчете. Устранению этого разрыва способствовала теория моделирования и подобия, основанная
на глубоких идеях теоретической гидродинамики и на анализе опытных данных. Эта теория была плодотворно и широко приложена на практике.
Все дальнейшее развитие гидродинамики, в сущности, было связано с совершенствованием теоретических моделей изучаемых явлений и методов их исследований. Например, для исследования глиссирования длинных тел в основу положена схема движения, элементами которой является струйное обтекание профиля, возникающее при его погружении через свободную поверхность. При изучении быстрого погружения тел в воду очень важно правильно смоделировать образование брызговых струй и каверны за телом. Для построения удовлетворительной схематической теории в ряде вопросов достаточно модели идеальной жидкости. Так обстоит дело при изучении многих основных задач об обтекании тел водой при наличии свободных поверхностей. При изучении начальной стадии кавитации для описания движения смеси воды и пузырьков газа в качестве одной из моделей применяется модель непрерывной жидкой сжимаемой среды.
Возникновение и развитие кавитации
Систематические научные исследования условий возникновения и развития кавитации были начаты в сороковых годах. В предшествующий период ученые и инженеры чисто экспериментально изучали влияние кавитации на работу конкретных объектов — гребных винтов, гидромашин и т. п. Начало было положено изучением физических процессов схлопывания и колебаний парогазовых кавитационных пузырьков (М. Корнфельд и Л. Я. Суворов, 1944). Была построена теория колебаний газового пузырька. В явлении образования пузырьков существенное значение имеет физическое свойство жидкости, по которому для разрыва ее сплошности необходимы, вообще говоря, значительные отрицательные давления. Это противоречит мнению, что разрыв в жидкости — кавитация возникает всегда при давлениях, близких к давлению насыщенных паров. Напряжения растяжения удавалось наблюдать .только в лабораторных условиях, когда малые объемы жидкости были предварительно подвергнуты специальной обработке и очистке. На практике причиной, вызывающей возникновение разрывов в реальных жидкостях, является присутствие посторонних частиц и бугорков шероховатости с адсорбированным на их поверхности слоем газа. Величина этих частиц должна быть достаточно большой, чтобы пренебречь силами поверхностного натяжения, препятствующего возникновению и росту пузырьков.
Проведенные микроскопические исследования воды в действительных условиях дали представление о количестве посторонних частиц, их форме и распределении по размерам (Л. А. Эпштейн, 1946). Величина частиц оказалась много меньше той, которая требовалась для объяснения отсутствия отрицательных давлений. Анализ первичного разрыва показал, что силы поверхностного натяжения не препятствуют, а способствуют появлению полостей на вогнутых участках несмачиваемых частиц. Дальнейшее расширение пузырьков связано с адсорбцией растворенных газов. Если газы не успевают выделиться, то должны иметь место отрицательные давления, которые в некоторых опытах не были обнаружены из-за неприспособленности аппаратуры. Специальными опытами было показано, что в обычной воде, движущейся со скоростями до 30 м/сек по трубке с местным сужением, существуют отрицательные давления до 4 атм. Оказалось, что в начальной стадии кавитационные и бескавитационные режимы самопроизвольно сменяют друг друга, причем чем больше величина отрицательного
давления, тем меньше время сушествования бескавитационных режимов. Было установлено, что специальными покрытиями можно отдалить возникновение кавитации. Развивалась теория одномерных кавитационных течений по трубке тока в предположении, что разрыв не обусловлен растворенными газами и возникает при некотором отрицательном давлении Р -< О (Л. А. Эпштейн, 1946). Течение в этом случае имеет вид серий плоских последовательных разрывов. Теория дает возможность подсчитать длину кавитационной области, частоту пульсаций, потери энергии при соударении и другие элементы течения. Для другого случая, когда кавитация обусловлена растворенными в жидкости газами и число ядер достаточно велико, чтобы обеспечить выделение их из раствора, предложена теория, рассматривающая жидкость с пузырьками как однородную сжимаемую среду, в которой плотность определяется давлением в соответствии
Рис. 1. Процесс образования и сжатия каверн при течении воды по трубке с пересжа- тием (съемки с частотой около 8000 кадров в секунду).
с законом Дальтона. Устанавливается, что началу кавитации соответствует граница перехода скорости через местную скорость звука, а концу — скачок уплотнения. Теория раскрывает причины отмеченной ранее Я. Аккеретом (Technische Mechanik und Thermodynamik, В. 1, 1930, S. 1—63) аналогии между кавитацией ц газовой динамикой, согласуется с опытами (Ф. Нумаши, Forsch. Geb. Ingenieurwesens, 1940, 11 : 6) по исследованию зависимости давления, при котором возникает кавитация, от количества растворенных газов, позволяет определить элементы течения в трубках с пересжатием и изменение подъемной силы крыла при наступлении кавитации. Высокочастотные съемки кавитации, проведенные с частотой до 15 000 кадров в секунду, позволили определить картину образования, развития и исчезновения разрывов в жидкости (рис. 1). Обработкой снимков установлено, что скорости сжатия каверн достигали 100 м!сек при скорости потока около 15 м/сек. Съемки показали, что режимы пузырчатой и пленочной кавитации могут самопроизвольно сменять друг друга в сотые доли секунды. Было показано, что для частиц воды в интервалах времени между разрывами имеют место значительные отрицательные давления (Л. А. Эпштейн, 1944—1947).
В начальной стадии развития кавитации, когда пузырьки находятся друг от друга на расстоянии, значительно превосходящем их размеры, существенную роль играет внутреннее радиальное движение жидкости около каждого пузырька. Многочисленные экспериментальные данные, полученные с помощью скоростной киносъемки, свидетельствуют о заметных скоростях радиальных потоков. Соображения об учете динамики роста пузырьков при теоретическом рассмотрении кавитации были положены в основу построения модели сплошной среды, учитывающей такое внутреннее двйжение жидкости относительно каждого кавитационного пузырька (Б. С. Когарко, 1961, 1964). Учет этого эффекта приводит к тому, что давление зависит не только от плотности среды, но и от ее индивидуальных
производных по времени. В рамках этой теории были решены задачи о кавитационном течении в трубке Вентури и о развитии кавитации вблизи неравномерно двигающегося поршйя.
Возникновение кавитации около плохообтекаемых тел тесно связано с процессами вихреобразования. Вопрос о кавитации в вихревых шнурах, сбегающих с подводного крыла конечного размаха, рассмотрен Л. А. Эпштейном (1958). Разрушение различных материалов от кавитационной эрозии и структура кавитационного потока рассматривались в работах К. К. Шальнева.
Плоские течения с развитой кавитацией
Развитой кавитацией называется такое течение, при котором за телом образуется стационарная или квазистационарная каверна, заполненная парами или газами (рис. 2).
Решение плоских задач для таких течений осуществляется с помощью известной схемы Кирхгофа и во многих случаях хорошо согласуется с опытом. Такие струйные движения изучались применительно ко многим практическим задачам. Важные работы об обтекании криволинейных профилей — дуги круга со срывом струй принадлежат А. И. Некрасову
Рис. 2. Фотография каверны, образованной при поддуве воздуха.
. В дальнейшем эти вопросы изучались в ряде работ Н. С. Аржани- кова (1928), Я. И. Секерж-Зеньковича (1934), П. В. Мясникова (1937), М. А. Лаврентьева (1938). Неоднозначность решения струйной задачи с застойной областью была изучена еще С. А. Чаплыгиным в 1899 г. Расчеты суперкавитирующих винтов, лопасти которых обтекались потоком со срывом струй, рассматривались В. Л. Поздюниным (1943—1944). Такие винты могут работать на повышенных оборотах, что может оказаться ценным с практической точки зрения.. -
Если для нулевого числа кавитации математическая модель кавитационного течения была ясна (схема Кирхгофа), то для течения с конечными числами кавитации долгое время существовали затруднения, так как не была известна схема, в которой можно было бы с помощью аппарата гидродинамики идеальной жидкости достаточно хорошо представлять область смыкания струй в конце каверны. В 1946 г. такая схема была предложена Д. А. Эфросом (рис. 3, а) и по ней были сделаны подробные расчеты течения (М. И. Гуревич, 1947),
Согласно схеме Эфроса границы каверны в ее концевой части поворачиваются и образуют струйку, которая при математической формулировке задачи отводится на второй лист римановой поверхности. Схема Эфроса отражает действительный физический эффект — тенденцию обра-
зования возвратного течения, присущую свободной каверне. В опытах обычно струйка Эфроса оказывается неустойчивой, попадает на границы каверны и разрушает их, что приводит к образованию брызг и пены в конце каверны. Помимо этой схемы, для решения струйных задач применяются другие модели течения, например, схема Рябушинского — Вай- нига (рис. 3, 6), когда замыканйе границ каверны производится на тело, являющееся зеркальным отображением обтекаемого тела, либо схема Жуковского — Рошко (рис. 3, е), при которой границы каверны, начиная
с ее миделя, замыкаются на плоских стенках, параллельных вектору скорости потока. Существенно, что течение на поверхности тела, профильс ее миделя, замыкаются на плоских стенках, параллельных вектору скорости потока. Существенно, что течение на поверхности тела, профильпередней части каверны и ее ширина слабо зависят от принятой схемы течения. В области смыкания струй в экспериментах течения Рябушинского — Вайнига и Жуковского — Рошко явно не реализуются, тогда как возвратная струя в свободной каверне получается. В этом смысле схема Эфроса представляется предпочтительной.Любопытны и интересны схемы обтепередней части каверны и ее ширина слабо зависят от принятой схемы течения. В области смыкания струй в экспериментах течения Рябушинского — Вайнига и Жуковского — Рошко явно не реализуются, тогда как возвратная струя в свободной каверне получается. В этом смысле схема Эфроса представляется предпочтительной.Любопытны и интересны схемы обтекания тел несжимаемой идеальной жидкостью с застойными областями на поверхности тел, ограниченными свободными границами, на которых давление задано и постоянно, но больше статического давления в бесконечности. Такими застойнымикания тел несжимаемой идеальной жидкостью с застойными областями на поверхности тел, ограниченными свободными границами, на которых давление задано и постоянно, но больше статического давления в бесконечности. Такими застойными3. Различные схемы кави-3. Различные схемы кави-00Рис.Рис.тационных течений (а ―■ схемаЭфроса; 6 — схема Рябушинско-го —Вейнига; а — схема Жу-ковского —Рошко).тационных течений (а ―■ схемаЭфроса; 6 — схема Рябушинско-го —Вейнига; а — схема Жу-ковского —Рошко).областями с точками возврата при разветвлении линий тока можно заменить критические точки на обтекаемом контуре по обычным схемам (С. А. Чаплыгин, 1899; Собр. соч., т. 2, 1948). Полный расчет задачи об обтекании плоской пластинки с образованием застойной области вместо критической точки на задней стороне пластинки дан Л. И. Седовым и А. Н. Чулановым (1936).С помощью перечисленных схем было решено значительное количество плоских задач о кавитационном обтекании тел. Обзор некоторых решений дается в книге М. И. Гуревича (1961) и в его статье в начале настояобластями с точками возврата при разветвлении линий тока можно заменить критические точки на обтекаемом контуре по обычным схемам (С. А. Чаплыгин, 1899; Собр. соч., т. 2, 1948). Полный расчет задачи об обтекании плоской пластинки с образованием застойной области вместо критической точки на задней стороне пластинки дан Л. И. Седовым и А. Н. Чулановым (1936).С помощью перечисленных схем было решено значительное количество плоских задач о кавитационном обтекании тел. Обзор некоторых решений дается в книге М. И. Гуревича (1961) и в его статье в начале настоя
с ее миделя, замыкаются на плоских стенках, параллельных вектору скорости потока. Существенно, что течение на поверхности тела, профиль
с ее миделя, замыкаются на плоских стенках, параллельных вектору скорости потока. Существенно, что течение на поверхности тела, профиль
передней части каверны и ее ширина слабо зависят от принятой схемы течения. В области смыкания струй в экспериментах течения Рябушинского — Вайнига и Жуковского — Рошко явно не реализуются, тогда как возвратная струя в свободной каверне получается. В этом смысле схема Эфроса представляется предпочтительной.
Любопытны и интересны схемы обте
передней части каверны и ее ширина слабо зависят от принятой схемы течения. В области смыкания струй в экспериментах течения Рябушинского — Вайнига и Жуковского — Рошко явно не реализуются, тогда как возвратная струя в свободной каверне получается. В этом смысле схема Эфроса представляется предпочтительной.
Любопытны и интересны схемы обте
кания тел несжимаемой идеальной жидкостью с застойными областями на поверхности тел, ограниченными свободными границами, на которых давление задано и постоянно, но больше статического давления в бесконечности. Такими застойными
кания тел несжимаемой идеальной жидкостью с застойными областями на поверхности тел, ограниченными свободными границами, на которых давление задано и постоянно, но больше статического давления в бесконечности. Такими застойными
3. Различные схемы кави-
3. Различные схемы кави-
0
0
Рис.
Рис.
тационных течений (а ―■ схемаЭфроса; 6 — схема Рябушинско-го —Вейнига; а — схема Жу-ковского —Рошко).
тационных течений (а ―■ схемаЭфроса; 6 — схема Рябушинско-го —Вейнига; а — схема Жу-ковского —Рошко).
областями с точками возврата при разветвлении линий тока можно заменить критические точки на обтекаемом контуре по обычным схемам (С. А. Чаплыгин, 1899; Собр. соч., т. 2, 1948). Полный расчет задачи об обтекании плоской пластинки с образованием застойной области вместо критической точки на задней стороне пластинки дан Л. И. Седовым и А. Н. Чулановым (1936).
С помощью перечисленных схем было решено значительное количество плоских задач о кавитационном обтекании тел. Обзор некоторых решений дается в книге М. И. Гуревича (1961) и в его статье в начале настоя
областями с точками возврата при разветвлении линий тока можно заменить критические точки на обтекаемом контуре по обычным схемам (С. А. Чаплыгин, 1899; Собр. соч., т. 2, 1948). Полный расчет задачи об обтекании плоской пластинки с образованием застойной области вместо критической точки на задней стороне пластинки дан Л. И. Седовым и А. Н. Чулановым (1936).
С помощью перечисленных схем было решено значительное количество плоских задач о кавитационном обтекании тел. Обзор некоторых решений дается в книге М. И. Гуревича (1961) и в его статье в начале настоя
щего тома.
Следует также отметить обширный класс линеаризованных задач, в которых граничные условия сносятся с границ каверны на ось и каверна в физической плоскости комплексного переменного представляет собой разрез. Направление исследования плоских кавитационных задач в линеаризованной постановке развивалось в США М. Тулиным (David Taylor Model Basin Rept, 1953, № 834; сб.: Приложения теории функций в механике сплошной среды, т. 2, М., 1965). В этой теории в месте смыкания каверны помещена особая точка, связанная с наличием в потоке внешней концентрированной точечной силы, действующей на жидкость и равной гидродинамической силе сопротивления профиля. Обычно в кавитационных струйных задачах передняя точка границы каверны фиксирована острой кромкой и каверна распространяется далеко за телом. В 1959—1960 гг. А. Н. Иванов развил линеаризованную теорию каверн, возникающих на телах криволинейных очертаний, причем каверна может заканчиваться как на профиле, так и за ним.•
Каверны в весомой жидкости, полученные с помощью поддува газа за насадок, расположенный на нижней поверхности горизонтальной
стенки, рассмотрены теоретически в линейной постановке и экспериментально А. А. Бутузовым (I960). С помощью системы таких искусственных небольших каверн можно снижать сопротивление плоскодонных барж при движении в воде даже с малыми скоростями.
Пространственные течения с развитой кавитацией
Течение с развитой кавитацией, аналогичное рассмотренному выше, возникает в потоке, если число кавитации делается весьма малым. В этом случае за телом образуется большая кавитационная полость, заполненная парами воды и газами. Давление в каверне весьма мало и близко к давлению водяных паров. При обычных условиях в воде паровая кавитация возникает при очень больших скоростях, которые трудно воспроизводить в лаборатории. Введение в каверну газа, например воздуха, позволяет получить малое число кавитации и развитую каверну при малых скоростях буксировки, легко осуществимых в лаборатории. Метод искусственной (газовой) кавитации позволил, в частности, измерить сопротивления различных тел — конусов, диска, шара и эллипсоидов при кавитационном режиме обтекания в опытовых бассейнах (Л. А. Эпштейн, 1948, 1949). Оказалось, что для диска и тупых конусов с ростом числа кавитации коэффициент сопротивления Сх возрастает приблизительно как Сх (1 + ст). Однако для острых тел подходит лучше формула С^ + о. Теоретическое исследование развитой кавитации в пространственных случаях шло главным образом по линии получения приближенных решений, согласующихся с физическим опытом. Изучение фотографий газовых каверн, применение теоремы о количестве движения и анализ осесимметричного кавитационного течения позволили сделать важный вывод о том, что сопротивление тела с каверной за ним, с точностью до поправочного множителя й, близкого к единице, равно произведению площади миделева сечения каверны на разность статическрго давления перед обтекаемым телом и давления в каверне. Это значит, что коэффициент сопротивления, отнесенный к ми- делеву сечению каверны, равен числу кавитации о. Полученный результат может служить теоретическим обоснованием возможности достижения весьма малого коэффициента сопротивления на больших скоростях для тела, тесно вписанного в каверну. Это очень важное обстоятельство впервые было отмечено в 1944 г. Д. А. Эфросом и затем развито рядом авторов.
Опыты показали, что передняя часть каверны обладает достаточно гладкими границами, тогда как в задней части ее имеется область существенно нестационарного движения, заполненная клокочущей пеной, уносящей отдельными сгустками поддуваемый в каверну воздух. При некоторых режимах в задней части каверны образуются два полых вихревых шнура, по которым из каверны уносится воздух. Теоретически была приближенно определена связь между интенсивностью циркуляции вокруг каверны, ее размерами и числом Фруда, а также были проведены измерения уноса газа. Из теоретической оценки полудлины каверны I в невесомой жидкости следует, что величина Zo почти постоянна для данного насадка. Приближенный расчет расширения каверны строится с помощью уравнения количества движения или уравнения энергии для радиального движения каждого поперечного жидкого сечения. Контуры каверн, вычисленные предложенным способом, хорошо совпадают с опытными данными (Г. В. Логвинович, 1954). Приближенная постановка задачи об отрывном обтекании тонкого осесимметричного тела методом источников и стоков рассмотрена также С. С. Григоряном (1959). С уменьшением числа кавита-
ции каверна увеличивается и в пределе переходит в полубесконечную, соответствующую нулевому числу кавитации. Оценка асимптотического закона расширения каверны на бесконечности (осесимметричное полутело конечного сопротивления) принадлежит М. И. Гуревичу (1947). Другой метод оценки бесконечной каверны, полученный из условия постоянства кинетической энергии на единицу длины каверны, дает аналогичный результат (Г. В. Логвинович, 1954).
«Принцип независимости расширения каверны» (Г. В. Логвинович, 1954) состоит в том, что каждое поперечное сечение каверны относительно неподвижной жидкости расширяется приблизительно независимо от последующего движения насадка. Закон'
расширения данного сеченияг
определяется размерами,1
формой и скоростью насадка при прохождении им данно
го сечения, а также разностью давлений в покоящейся жидкости и в каверне. При одинаковых начальных условиях для каждого фиксированного сечения нестационарной каверны закон расширения этого сечения
оказывается приближенно таким же, как и для стационарной каверны. Применение «принципа независимости» позволяет рассчитать каверну для криволинейного ускоренного и замедленного движения насадка в том случае, если ускорения и кривизна траектории невелики (рис. 4). Из «принципа независимости» получаются формулы для «всплываниям ка-оказывается приближенно таким же, как и для стационарной каверны. Применение «принципа независимости» позволяет рассчитать каверну для криволинейного ускоренного и замедленного движения насадка в том случае, если ускорения и кривизна траектории невелики (рис. 4). Из «принципа независимости» получаются формулы для «всплываниям ка-Рис, 4, Иллюстрация «принципа независимости» расширения каверны (при криволинейном равномерном движении диска контур каверны остается таким же, как и при прямолинейном движении в тех же условиях, но строится относительно криволинейной оси; если диск проходил плоскость /—Z с одинаковой скоростью при одинаковых числах кавитации, но с разными ускорениями, то расширение каверны в сечении / — 7 приблизительно одинаково; однако в ускоренном движении за то же время диск переместится дальше (7), чем при равномерном движении (2) или отрицательном ускорении (3)； в связи с этим при положительных ускорениях каверна уже, а при отрицательных — шире, чем при равномерном движении).
оказывается приближенно таким же, как и для стационарной каверны. Применение «принципа независимости» позволяет рассчитать каверну для криволинейного ускоренного и замедленного движения насадка в том случае, если ускорения и кривизна траектории невелики (рис. 4). Из «принципа независимости» получаются формулы для «всплываниям ка-
оказывается приближенно таким же, как и для стационарной каверны. Применение «принципа независимости» позволяет рассчитать каверну для криволинейного ускоренного и замедленного движения насадка в том случае, если ускорения и кривизна траектории невелики (рис. 4). Из «принципа независимости» получаются формулы для «всплываниям ка-
верны в весомой жидкости и
скоса каверны под действием подъемной силы; результаты расчетов по такой приближенной теории согласуются с опытами. Даны оценки для
«всплывания» каверны при ее рассмотрении как крыла малого удлинения (Л. А. Эпштейн, 1966).
Экспериментально и теоретическим анализом установлено, что в случае внезапной остановки тела каверна отрывается от тела и развивается независимо от него. При движении с кавитацией диска очень малой массы каверна стремится перейти к сферической форме. С переходом каверны к сферической форме соответствующая «присоединенная масса» возрастает пропорционально радиусу пузыря. Использование «принципа независимости расширения каверны» позволило изучить образование и развитие каверны во взволнованной жидкости (Г. В. Логвинович, 1964).
Существенно заметить, что все теоретические выводы касаются «гладкой каверны», которая, как показывают опыты, простирается только
примерно на 2/3 своей полной длины. Весомость жидкости, помимо упомянутого всплывания оказывает существенное влияние на форму поперечных сечений и на процесс уноса газа из каверны. Установлено, что в области кавитации, далекой от паровой, при постоянном поддуве с ростом скорости число кавитации сначала падает, достигает минимума и затем возрастает. Сохранив поддув и далее увеличивая скорость движения, в опыте можно заметить возрастание числа кавитации до максимума с последующим падением приблизительно вдоль кривой, соответствующей паровой кавитации. Увеличением поддува нельзя безгранично уменьшать число кавитации и увеличивать размеры каверны. Анализ и опыты показывают, что при малых числах Фруда число кавитации при неограниченном росте поддува стремится к пределу, примерно в 1,5 раза превосходящему минимальное число кавитации, равное квадрату обратного числа Фруда по диаметру каверны (Г. В. Логвинович, 1954). Экспериментальные исследования потери газа из каверны при различных числах Фруда опубликованы Л. А. Эпштейном, В. И. Блюминым и П. С. Стародубцевым (1961). Начало теоретических исследований уноса газа по вихревым шнурам было положено в работе Р. Н, Кокса и В. А, Клайдена (в сб.: Cavitation in hydrodynamics, London, 1956), а затем теория была развита Л. А. Эпштейном (1958) и А. Ф. Болотиным (1961). Оценку порционной потери газа выполнил В. В. Крылов (1961). Исследования потери газа в области, удаленной от паровой кавитации, показали, что секундный расход газа обратно пропорционален скорости, площади миделева сечения каверны и величине o3Fr4 — const. На очень больших скоростях, вблизи паровой кавитации, расход газа пропорционален скорости, площади миделева сечения каверны и величине опар/о — 1. Поскольку газ из каверны теряется в виде мелких пузырьков, он в следе весьма быстро приобретает температуру воды, и весь механизм уноса газа оказывается независимым от температуры поддуваемого газа (Г. В. Логвинович, 1965).
Вообще проблема потери газа из каверны еще далека от своего разрешения. Весь механизм уноса газа в сильной степени зависит от течения в конце каверны, на которое в свою очередь можно влиять различными внешними условиями. Представляет интерес изучение механизма уноса газа из каверны в случае, когда она замыкается на поверхности обтекаемого тела.
Существенным вопросом является исследование устойчивости кавитационных течений. Каверна весьма чувствительна к различным возмущениям. Исследование возмущения поперечного сечения горизонтальной каверны под действием весомости и подъемной силы показывает, что общее движение поперечного сечения порождает сложные колебательные деформации каверны. Порционная потеря газа порождает пульсации границ каверны и давления в ней. Струи поддува, будучи направленными на границы каверны под значительным углом, могут существенно их деформировать. Если каверна замыкается на поверхности какого-либо тела, то возникшее поле давлений существенно искажает первоначальный контур каверны.
Одним из основных вопросов при изучении развитой кавитации в гидродинамических трубах является установление соответствия между картинами течения, наблюдаемыми в трубе и в безграничном потоке. Определение влияния стенок сводится к установлению связи между основными характеристиками явления, т. е. числами кавитации, размерами каверн, коэффициентами сопротивления и т.п. для безграничного потока и потока в трубе.
Если для плоскопараллельных кавитационных течений имеется много работ, посвященных этому вопросу, в том числе содержащих точные решения, то получение аналогичных результатов в пространственном случае связано со значительными трудностями.
П. Карликовым и Г. И. Шоломовичем (1966) предложен приближенный метод, позволяющий установить соответствие между числами кавитации в безграничном потоке и в гидродинамической трубе с плоским или круглым рабочим участком, при которых каверны за одним и тем же насадком имеют одинаковые площади миделева сечения. Вопросы приближенного учета влияния стенок на поперечные размеры каверны и минимальное число кавитации рассмотрены также в работах Г. В. Логвиновича (1965) и Л. А. Эпштейна (1966).
Получение каверн в кавитационных трубах и опытовых бассейнах связано с существенным и трудно учитываемым искажением их формы — близость твердой стенки или свободной поверхности заметно влияет на форму каверны. В связи с этим постановка кавитационных опытов требует особой тщательности. Так, например, для получения каверны, по форме близкой к свободной, в кавитационной трубе с замкнутой рабочей частью рабочую часть оказалось необходимым профилировать по соответствующей поверхности тока, охватывающей свободную каверну. Интересные результаты получаются для каверн, образованных в свободных струях жидкости (Г. В. Логвинович, 1959, 1965).
Поскольку экспериментальное изучение пространственных кавитационных течений остается одним из очень важных способов исследования этого класса движений, вопросы методики испытаний в кавитационных трубах и опытовых бассейнах приобретают первостепенное значение.
Использование каверны для снижения сопротивления быстро движущихся в воде тел на первый план выдвигает проблемы пульсаций ее границ, взаимодействия с корпусом тела и уменьшения расхода газа на поддержание кавитации. Интересна проблема плавучести и подъемной силы тела-при наличии частично охватывающей его каверны. Интересны также проблемы формы и размеров каверны с учетом влияния силы тяжести, особенно при небольших значениях числа Фруда, и выяснение условий замыкания каверны с наименьшими потерями за телом или на поверхности тела.
Столь же важное значение имеют вопросы устойчивости установления режимов обтекания с образованием каверны и физическая проблема исследования шума, возникающего при кавитационном обтекании тел:
Стремление снизить силы, тормозящие движение тела, влетающего в воду, порождает интерес к способам удержания развитой каверны на значительном участке подводной траектории. Каверна может служить жидкой камерой для проведения различных реакций в химической промышленности и одновременно выполнять функции мощного конденсатора и растворителя газов. В связи с этим интересны режимы обтекания тел с кавернами не только в воде, но и в других жидкостях.
Удар тела о жидкость
Проблемы удара тела о жидкость делятся на две различные, но между собой тесно связанные части,— это удар плавающего в жидкости тела и удар тела, влетающего в покоящуюся жидкость. Начало теории удара плавающих тел можно отнести к работе Н. Е. Жуковскрго (1884; Поли, собр. соч., т. 3, 1936) об ударе двух шаров, из которых один плавает в жидкости. '
Рис. £ 5. Боковой горизонтальный удар полупогруженной вертикальной пластинки (свободная граница ВС образуется не от точки Л, а от точки В на задней стороне пластинки).Рис. £ 5. Боковой горизонтальный удар полупогруженной вертикальной пластинки (свободная граница ВС образуется не от точки Л, а от точки В на задней стороне пластинки).В случае удара тела, плавающего на поверхности идеальной несжимаемой жидкости, задача сводится к решению уравнения Лапласа для потенциала скоростей, когда на поверхности тела задана нормальная составляющая скорости, а на свободной поверхности задан потенциал, который остается неизменным в период удара. В этом случае движение жидкости непосредственно после удара однозначно определяется движением тела и верь эффект сводится к присоединенным массам (инерциям), добавляемым к массе тела. Общая задача об ударе твердого тела, плавающего на поверхности несжимаемой жидкости, была рассмотрена Л. И. Седовым (1933, 1934). Методы решения плоских задач на удар плавающих пластинок развиты М. В. Келдышем, М. А. Лаврентьевым (1935), Л. И. Седовым (1933). В тридцатых годах было решено большое число конкретных задач на удар одиночных и группы плавающих пластинок как для жидкости бесконечной глубины, так и в случае жидкости, заключенной в сосуды. Сотрудниками Л. И. Седова М. И. Гуревичем, И. С. Риманом и Р. Л. Крепе в ЦАГИ (1947) была предпринята обшир
Рис. £ 5. Боковой горизонтальный удар полупогруженной вертикальной пластинки (свободная граница ВС образуется не от точки Л, а от точки В на задней стороне пластинки).
Рис. £ 5. Боковой горизонтальный удар полупогруженной вертикальной пластинки (свободная граница ВС образуется не от точки Л, а от точки В на задней стороне пластинки).
ная работа по вычислению присоединенных масс различных тел, а также были разработаны экспериментальные методы их определения на основе метода малых колебаний. Сравнение теоретически вычисленных значений присоединенных масс с экспериментальными показало их хорошее совпадение.
Теоретическая постановка и решение задачи о боковом горизонтальном ударе вертикальной пластинки, полупогруженной в жидкость, принадлежат Л. И. Седову (1934); прл этом установлено, что на поверхности тела должна возникать зона отрыва жидкости от поверхности тела. Несколько неожиданным оказалось положение границы зоны отрыва жидкости на задней поверхности плоской пластинки — в плоской задаче ордината этой точки равна 0,92 глубины погружения пластинки (рис. 5). Аналогичным путем был рассчитан удар эллиптического цилиндра. Специальный эксперимент показал, что зона отрыва на эллиптическом цилиндре начинается на задней стороне и величина импульсивных сил находится в согласии с результатами теории (Н. А. Кудрявцева, I960). Развитие теоретических и экспериментальных методов определения присоединенных масс имело значение не только для расчета удара, но и позволило применить эти результаты к практическим расчетам неустановившихся движений тел в воде. Эти расчеты получили свое развитие в работах Л. И. Седова, К. К. Федяевского, М. Д. Хаскинда, И. С. Римана, Е. А. Федорова. Установлена связь между присоединенными массами и аэродинамическими коэффициентами для тела вращения; написаны уравнения движения тела в воде с учетом дополнительных возмущений в жидкости (Л. И. Седов, 1939; С. С. Григорян и Ю. Л. Якимов, 1965; М. Г, Щеглова, 1965),
Развитие гидроавиации и строительство глиссеров в двадцатых и тридцатых годах привели к важным исследованиям посадочного удара.
При погружении с большой скоростью клина, конуса или какого- либо другого тела поверхность жидкости вблизи смоченной границы тела
поднимается и сильно деформируется; у поверхности тела образуются мощные брызговые струи. Сила давления тела на жидкость существенно зависит от этих струй, не определяется однозначно присоединенной массой и в известной мере зависит от истории погружения. Простейшими задачами такого рода является погружение клина или конуса с постоянной скоростью, которые автомодельны. Анализ автомодельного погружения клина был дан Г. Вагнером (ZAMM, 1932, 12 : 4, 193—215), однако до конца решить эту задачу ему не удалось (она была решена позже 3. Н. Добровольской, 1965, 1966). Были предложены приближенные методы расчета сил при непрерывном погружении слабо искривленных профилей. Существо этого метода состояло в том, что течение жидкости, возбужденное погружающимся профилем, отождествлялось с течением, возбужденным ударом соответствующей пластинки. Переменная смоченная ширина профиля, равная ширине соответствующей пластинки, определялась в результате решения интегрального уравнения, которое получалось путем вычисления подъема свободной поверхности до точки соприкосновения с поверхностью профиля; сила давления профиля на жидкость определялась либо из теоремы импульсов, либо из интеграла давлений.
На основе развития этих идей А. С. Повицким (1935) были разработаны теоретические методы расчета посадочного удара гидросамолетов. Развитие теории и фактические данные испытаний моделей и натурных гидросамолетов позволили выработать методы расчета посадки гидросамолетов (Л. И. Седов, Н. Н. Подсевадов, И. П. Абрамов, А. С. Повицкий, А. И. Мартынов; см. «Справочник авиаконструктора», ЦАГИ, 1937). Опыты по удару о воду падающих клиньев и диска опубликованы Р. Л. Крепе в 1939 г. Однако обработка опытов показала, что присоединенная масса получается больше, чем для таких же плавающих тел. Удовлетворительного объяснения этому эффекту в то время не было найдено. Теория приближенного вычисления сил сопротивления при симметричном падении на воду конусов и других тел вращения с криволинейными образующими (например, шаров) разработана на основе дальнейшего развития приближенных методов расчета.
Анализ неравномерного симметричного погружения тел в жидкость показал, что импульс и кинетическая энергия, сообщенные телом жидкости, могут быть разделены на две части, из которых одна определяется движением жидкости в главной области, а другая — в области брызговых струй. Доля силы давления тела на жидко.сть, пропорциональная ускорению, определяется через присоединенную массу главной области. Другая доля силы, приближенно пропорциональная квадрату скорости погружения, определяется скоростью роста присоединенной массы главной области и потоком импульса в брызговые струи (Г. В. Логвинович, 1958-1961).
При равномерном погружении с большой скоростью конуса (рис. 6) или клина конечных размеров сначала сила давления на жидкость возрастает в соответствии с теорией автомодельного погружения. С достижением верхней кромкой тела области образования брызговых струй сила сопротивления начинает падать и постепенно переходит в кавитационное сопротивление. Приближенная оценка «переходного сопротивления» дана Г. В. Логвиновичем (1958).
С помощью пьезоэлектрической аппаратуры в ЦАГИ были проведены систематические экспериментальные исследования погружения различных тел в воду. Для таких тел, как конус и клин, было проведено
сравнёнме с теорией как для основной стадии погружения, так и для переходного процесса.
-Высокочастотная киносъемка падения тонкого, легкого диска на воду показала, что после удара при погружении диска в воду развивается почти
Рис. 6. [Последовательные стадии равномерного погружения конуса (Z — область поворота струй не дошла до основания конуса, сила давления на жидкость Р возрастает пропорционально Л2; // — переходный участок: область поворота брызговых струи сходит с кромок основания, сопротивление падает и асимптотически переходит к стационарному кавитационному сопротивлению —ZZZ).Рис. 6. [Последовательные стадии равномерного погружения конуса (Z — область поворота струй не дошла до основания конуса, сила давления на жидкость Р возрастает пропорционально Л2; // — переходный участок: область поворота брызговых струи сходит с кромок основания, сопротивление падает и асимптотически переходит к стационарному кавитационному сопротивлению —ZZZ).
Рис. 6. [Последовательные стадии равномерного погружения конуса (Z — область поворота струй не дошла до основания конуса, сила давления на жидкость Р возрастает пропорционально Л2; // — переходный участок: область поворота брызговых струи сходит с кромок основания, сопротивление падает и асимптотически переходит к стационарному кавитационному сопротивлению —ZZZ).
Рис. 6. [Последовательные стадии равномерного погружения конуса (Z — область поворота струй не дошла до основания конуса, сила давления на жидкость Р возрастает пропорционально Л2; // — переходный участок: область поворота брызговых струи сходит с кромок основания, сопротивление падает и асимптотически переходит к стационарному кавитационному сопротивлению —ZZZ).
Рис. 7. Течения, возникающие при непрерывных《слабых» ускорениях (а) и при ударе (6) диска, обтекаемого с развитой кавитацией.Рис. 7. Течения, возникающие при непрерывных《слабых» ускорениях (а) и при ударе (6) диска, обтекаемого с развитой кавитацией.
Рис. 7. Течения, возникающие при непрерывных《слабых» ускорениях (а) и при ударе (6) диска, обтекаемого с развитой кавитацией.
Рис. 7. Течения, возникающие при непрерывных《слабых» ускорениях (а) и при ударе (6) диска, обтекаемого с развитой кавитацией.
сферическая каверна с вертикальной кольцевой брызговой струей у краев
границы каверны вблизи приблизительно горизонтальной свободной
поверхности. Разрыва свободной поверхности и больших скоростей у кромок диска не наблюдается. Экспериментальные исследования движения с каверной дисков разных масс и теоретический анализ течения показали, что для удовлетворения уравнению движения следует допустить существование «кавитационной» присоединенной массы, которая приблизительно в два раза больше «ударной»
присоединенной массы плавающего диска (Г. В. Логвинович, 1954). Этот же результат был получен при непосредственном измерении сил, действующих на диск при его погружении в воду под различными углами (Ю. Ф. Журавлев, 1959). Исследование удара по пластинке, обтекаемой с отрывом струй, показало, что присоединенная масса остается почти такой же, как
и для пластинки, плавающей на горизонтальной поверхности, т. е. сама по себе форма свободной поверхности не имеет большого значения (М. И. Гуревич, 1952). .
Появление различных присоединенных масс при перманентном дви
жении с кавитацией и при ударе объясняется различием течений около диска в этих случаях (рис. 7). При ударе по диску линии тока добавоч-
ного течения замыкаются на границе каверны вблизи кромок диска, что обусловливает меньшую присоединенную массу, чем в случае перманентного ускорения, когда картина линий тока остается почти такой же, как и при стационарном движении.
На вычислительных машинах были произведены расчеты силы сопротивления погружающегося клина при приближенном задании формы свободной поверхности (Н. Н. Моисеев и П. П. Корявов, 1959). Изучение удара тела о поверхность с учетом сжимаемости жидкости показало, что в момент контакта с телом жидкость приобретает скорость, равную скорости тела Vo. По мере удаления акустической волны внутрь жидкости скорость тела V падает и определяется формулой
где
a = (l + N)务.
При этом для % —> оо можно пользоваться известной формулой, получаемой из теории неупругого удара 卩=几/ (1 + 卩)，где ц — отношение
Рис. 8. Последовательные стадии формирования каверны (о ——воздух устремляется в горловину каверны; 6— давление в ней понижается и происходит поверхностное смыкание каверны; а — глубинное замыкание: при дальнейшем погружении каверна пережимается еще раз).
присоединенной массы к массе тела. Энергия, уносимая акустической волной, не зависит от скорости звука и равна разности энергий системы «тело — жидкость» до и после удара (Г. В. Логвинович, 1956; И. Т. Егоров, 1956, 1957).
За телом, влетающим в воду с большой скоростью, после окончания переходного процесса развивается каверна. Первое время каверна сообщается с атмосферой и над свободной поверхностью поднимается кольцевая струя. Однако через некоторое время кольцевая струя пережимается вверху, и в каверну устремляется тонкая струйка, а каверна изолируется от атмосферы — происходит поверхностное замыкание. Через некоторое время каверна еще раз пережимается, и по мере погружения тела этот процесс повторяется; каверна сокращается и исчезает (рис. 8). 4 Механика в СССР, том 2
Развитие каверны за влетающими в воду телами изучалось многими авторами как у нас, так и за рубежом (см. Ю. Ф. Журавлев, 1966).
Большой, весьма сложной и интересной проблемой является изучение сил и течений, возникающих при несимметричном входе в воду тел вращения. Экспериментальные исследования сил с помощью тензометрических измерений и скоростные киносъемки позволяют изучить явление в каждом конкретном случае, однако до сих пор нет общей количественной теории.
Помимо изучения описанных выше задач, проблемы удара о воду очень важны также с точки зрения выработки форм тел и средств, обеспечивающих уменьшение сил сопротивления воды при входе в воду.
Глиссирование
Наблюдения и опытные факты, касающиеся глиссирования и рико- шетов по поверхности воды, известны с давних времен. В первых десятилетиях нашего века строились глиссеры и гидросамолеты, следовательнот разрабатывались обводы их корпусов и поплавков из стремления осуществить наилучшие условия глиссирования. Однако разработка теории глиссирования происходила позднее и началась, по существу, только в тридцатых год&х.
Ряд полезных соображений и материалов по расчету глиссирующего днища был изложен в работе Н. А. Соколова (1932).
Решение плоской задачи о стационарном глиссировании пластинки по поверхности невесомой жидкости опубликовано в 1933 г. в работе, выполненной под руководством С. А. Чаплыгина М. И. Гуревичем и А. Р. Янпольским. Решения основных задач нестационарного глиссирования в связи с теорией движения крыла со сбегающими вихрями, глиссирования по поверхности тяжелой жидкости и глиссирования на нескольких реданах были даны в цикле работ Л. И. Седова (1935—1937). (Необходимо также отметить работу Н. Е. Кочина, 1938.) В этих же работах получены основные данные о влиянии числа Фруда на глиссирование и，в частности, выяснены вопросы моделирования и характеристики устойчивости глиссирования. Задачи о глиссировании по поверхности тяжелой жидкости конечной глубины решены Ю. С. Чаплыгиным (1940, 1941) и М. Д. Хаскиндом (1943), причем Ю. С. Чаплыгиным произведены расчеты глиссирования плоской пластинки при любых значениях числа Фруда.
Глиссирование дужки круга с учетом эффектов весомости воды изучено М. И. Гуревичем (1937). Все основные результаты в теории глиссирования с учетом весомости воды получены в работах советских ученых. Экспериментальные исследования Л. А. Эпштейна (1940) показали, что подъемная сила глиссирующей пластинки обладает свойством гистерезиса. Суть этого явления проясняется в теоретических работах Л. И. Седова (1937) и состоит в том, что в момент касания воды задней кромкой движущейся пластинки подъемная сила почти скачком достигает некоторой положительной величины, а уже затем возрастает по мере 'погружения задней кромки. При уменьшении погружения подъемная сила сохраняется и тогда, когда задняя кромка оказывается выше невозмущенной свободной поверхности. Теоретическую оценку подпора и смоченной длины глиссирующей пластинки конечного размаха сделала М. Г. Щеглова (1959), исходя из вихревой схемы потока за пластинкой. Эффект гистерезиса приводит к рикошетам («барсу») даже при постоянном угле наклона и постоянной
скорости буксировки пластинки, обладающей свободой вертикального перемещения (Л. И. Седов, 1940).
С явлением неустойчивости приходится встречаться не только в случае пластинок, но и для реальных гидросамолетов. Явление неустойчивости глиссирования может послужить причиной аварий и катастроф. Эффективное решение этой проблемы было найдено на основе теоретикоэкспериментальных исследований и анализа с помощью теории размерности. В настоящее время зоны устойчивости могут быть предсказаны заранее (Л. И. Седов, Л. А. Эпштейн, 1936—1941).
Теоретические расчеты для подъемной силы килеватых профилированных днищ глиссеров и гидросамолетов методом плоских сечений были предложены Г. Е. Павленко (1932). Однако использование автором для расчета сил значений «ударных» присоединенных масс в ряде случаев не привело к согласию вычисленных и опытных значений подъемных сил. Это породило недоверие к «методу плоских сечений», который для расчета глиссирования долгое время не употреблялся. Позже было выяснено, что эти приемы связаны с существом возмущенного движения воды, и они получили в дальнейшем успешное развитие.
Систематические экспериментальные исследования глиссирования плоскокилеватых пластинок были проведены Л. И. Седовым и А. Н. Владимировым в гидроканале ЦАГИ (1941—1943). После обработки с применением теории размерности эти опыты позволили построить универсальную зависимость относительной нагрузки от угла атаки киля.
В пятидесятых годах в ЦАГИ была поставлена серия экспериментальных исследований по глиссированию килеватых пластинок как в условиях спокойной свободной поверхности (А. И. Тихонов и Г. К. Колосов, 1959), так и на волнах (В. А. Соколов и Э. В. Парышев, 1959). Испытания прозрачной килеватой пластинки с наклеенными на днище ворсинками позволили составить физическую схему течения и установить аналогию в распределении скоростей при глиссировании килеватой пластинки и при погружении клина. Для построения теории естественным оказалось применение гипотезы плоских сечений с использованием удельной силы из теории автомодельного погружения клина (вместо «ударной» присоединенной массы). Было обращено внимание на следующее обстоятельство. Все результаты теории погружения профиля в жидкость, в сущности, относятся к некоторому «жидкому слою», а при глиссировании под давлением глиссирующей поверхности каждый жидкий слой смещается вперед, и поэтому эффективная скорость погружения оказывается меньшей, чем геометрическая нормальная скорость. Учет «скорости смещения» слоев при использовании удельной силы в гипотезе плоских сёчений, полученной для погружающегося клина, позволил достигнуть очень хорошего совпадения экспериментальных и расчетных данных для плоскокилеватых пластинок.
На рис. 9 показано сравнение теоретической кривой, рассчитанной указанным методом, с экспериментальными точками, полученными Л. И. Седовым и А. Н, Владимировым (Г. В. Логвинович, 1962). Проблема * глиссирования килеватых пластинок рассматривалась также при нестационарном движении. В этом случае к силе, соответствующей стационарному глиссированию, добавлялись слагаемые с произведением присоединенной массы в каждом сечении на нормальное ускорение. В некоторых работах присоединенная масса определялась из формул для удара плавающего клина. Оказалось, что различные формулы приводят к близким результатам, если в расчетах использовать истинную смоченную ширину
(Г. К. Колосов, I960). Линейная теория крыла малого удлинения распро(Г. К. Колосов, I960). Линейная теория крыла малого удлинения распространена на случай глиссированиястранена на случай глиссирования〃勿° 20"3"〃勿° 20"3"Рис. 9, Схема глиссирования килеватой пластинки и сравнение результатов теории (/) и расчета без учета «продольного смещения» (//) с опытами Л. И. Седова и А. Н. Владимирова (Д — нагрузка, рС — скоростной напор).Рис. 9, Схема глиссирования килеватой пластинки и сравнение результатов теории (/) и расчета без учета «продольного смещения» (//) с опытами Л. И. Седова и А. Н. Владимирова (Д — нагрузка, рС — скоростной напор).ромбовидной пластинки. Результаты теории были проверены экспериментами. Теория глиссирования профилей на полной ширине была развита также А. И. Тихоновым и В. А. Соколовым (1959). Позднее, после подробного исследования нестационарного погружения тела в жидкость, было установлено различие между «кажущейся» присоединенной массой, определяющей сопротивление при равномерном погружении, и «ударной» присоединенной массой, определяющей силу, пропорциональную ускорению. Эти представления из теории погружения профилей, используемые в методе плоских сечении с учетом «продольного смещения», составляют основу современного подхода к расчету гидродинамических сил (Г. В. Логвинович, 1965). Систематические испытания, проведенные в ЦАГИ, показали, что выработанные методы расчета сил при глиссировании профилей удовлетворительно coz ласуются с экспериментальными результатами как при стационарном
(Г. К. Колосов, I960). Линейная теория крыла малого удлинения распро
(Г. К. Колосов, I960). Линейная теория крыла малого удлинения распро
странена на случай глиссирования
странена на случай глиссирования
〃勿° 20"3"
〃勿° 20"3"
Рис. 9, Схема глиссирования килеватой пластинки и сравнение результатов теории (/) и расчета без учета «продольного смещения» (//) с опытами Л. И. Седова и А. Н. Владимирова (Д — нагрузка, рС — скоростной напор).
Рис. 9, Схема глиссирования килеватой пластинки и сравнение результатов теории (/) и расчета без учета «продольного смещения» (//) с опытами Л. И. Седова и А. Н. Владимирова (Д — нагрузка, рС — скоростной напор).
движении, так и при рикошетах (Г. В. Логвинович, I960). Исследование проблем глиссирования применительно к конкретным катерам и гидросамолетам привело к выработке экспериментальной методики и получению обширных результатов.
Подводные крылья
Исследования подводных крыльев были начаты в ЦАГИ с начала тридцатых годов в связи со стремлением повысить гидродинамическое качество и улучшить мореходность судов. Развитие теории подводного крыла шло параллельно с экспериментальными исследованиями в гидроканале и различными экспериментами в натуре на опытных катерах. Получение эмпирических данных сопровождалось попытками построить приближенный метод расчета подводного крыла. Одной из первых в этом плане была работа А. Н. Владимирова (1937).
■ В 1936 г. в ЦАГИ состоялась конференция по теории волнового сопротивления. На этой конференции были доложены важные результаты по теории глиссирования (Л. И. Седов, Г. Е. Павленко), по волновому сопротивлению судов (М. В. Келдыш, Л. И. Седов, Л. Н. Сретенский), волновому сопротивлению тел, движущихся под поверхностью тяжелой жидкости (М. А. Лаврентьев, М. В. Келдыш, Н. Е. Кочин) и, в частности, работы по теоретическому решению плоской задачи о движении подводного крыла (М. А. Лаврентьев, М. В. Келдыш). Было установлено, что при большом погружении подводное крыло ведет себя так же, как крыло в воздухег но при приближении к свободной поверхности подъемная сила падает.
Этот эффект конструкторы пытались использовать для саморегулирования глубины хода крыльев у судов, и известно много попыток создания катеров на крыльях. В результате была выработана схема катера с плоскими малопогруженными крыльями сегментновидного профиля; эта схема принята конструктором Р. Е. Алексеевым (1957—1963) в известной серии крылатых кораблей типа «Ракета» и «Метеор».
Рис. 10. Схемы обтекания клиновидного крыла и пластинки с кавитацией (а — искривленный клин с каверной; 6 ——пластинка с каверной; к скелетной линии Л 5 применима теория крыла без кавитации).Рис. 10. Схемы обтекания клиновидного крыла и пластинки с кавитацией (а — искривленный клин с каверной; 6 ——пластинка с каверной; к скелетной линии Л 5 применима теория крыла без кавитации).Экспериментальные исследования позволили выяснить существенные особенности гидродинамики подводных крыльев. Так, например, было выяснено, что подводное крыло, движущееся вблизи поверхности, должно обладать острой передней кромкой. Крыло авиационного профиля в этих условиях непригодно, поскольку после кратковременного выхода на поверхность воды оно в дальнейшем некоторое время обтекается с отрывом струй и теряет значительную часть подъемной силы. Существенно, что в режиме саморегулирования глубины хода крыло погружено на малые доли хорды (% —嶋)и двигается при столь больших числах Фруда, что волновые процессы у поверхности крыла не имеют заметного значения. Однако свободная поверхность при этом уже сильно искривлена, и всякого рода линеаризация граничных условий при теоретическом изучении требует осторожности. Особенно это относится к крыльям, пересекающим свободную поверхность. Специальные опыты с крыльями показали, что с ростом скорости, еще до наступления паровой кавитации, по концевым вихревым шнурам с деформированной водной поверхности к профилю просасывается атмосферный воздух. В результате на верхней поверхности образуется каверна и подъемная сила крыла резко падает. В связи с этим было изучено полностью срывное крыло, обтекаемое по схеме Кирхгофа, которое обладало меньшим качеством, чем крыло при плавном обтекании, но было свободно от неожиданного изменения характеристик (Л. А. Эпштейн, 1952—1958). Влияние формы профиля на характеристики таких крыльев исследовал Г. М. Крюков (1962).
Рис. 10. Схемы обтекания клиновидного крыла и пластинки с кавитацией (а — искривленный клин с каверной; 6 ——пластинка с каверной; к скелетной линии Л 5 применима теория крыла без кавитации).
Рис. 10. Схемы обтекания клиновидного крыла и пластинки с кавитацией (а — искривленный клин с каверной; 6 ——пластинка с каверной; к скелетной линии Л 5 применима теория крыла без кавитации).
Стремление создать профиль подводного крыла, свободный от кавитации, привело К развитию идеи клиновидного профиля (рис. 10, а) (Г. В. Логвинович и Е. А. Федоров, 1954—1956). Суть дела заключается в следующем. На гранях симметричного клина, обтекаемого с каверной за ним (задача Бобылева), господствует положительное динамическое давление. Искривление оси клина приводит к уменьшению давлений на' выпуклой стороне и к повышению на вогнутой. Возникает подъемная сила, но если на выпуклой стороне искривленного клина давление остается положительным, кавитация там не возникает; выяснилось, что отгибы задних кромок способствуют затяжке возникновения кавитации на больших углах атаки.*
Теоретичесйие исследования показали, что клиновое крыло работает подобно обычному крылу в воздухе, но к обычно определяемому
сопротивлению добавляется сопротивление Бобылева — неискривленного клина. Было установлено, что при достаточно большом удлинении развивающаяся за клином каверна незначительно влияет на индуктивный скос потока. Показано, что гидродинамические характеристики клинового профиля с кавитацией определяются формулами Л. И. Седова, так же как и для профиля без кавитации. Оказалось, что во всех случаях твердую поверхность профиля, дополненную свободной струей до задней кромки (обтекание по схеме Кирхгофа), можно рассматривать как клиновой профиль и применять к нему теорию обычного крыла (рис. 10, 6). Тот факт, что пластинка, обтекаемая по схеме Кирхгофа, обладает по сравнению с профилем крыла в четыре раза меньшей производной подъемной силы по углу атаки, объясняется тем, что с возрастанием угла атаки пластинки границы каверны удаляются от пластинки и угол атаки средней линии меняется в четыре раза медленнее, чем угол атаки пластинки (Г. В. Логвинович, 1956). Обширные эксперименты с клиновыми крыльями, с одной стороны, показали совпадение результатов теории и- опытов, а с другой,——привели к дальнейшему развитию методов расчета крыльев различных конфигураций. В последнее время получены материалы по наклонным крыльям (В. И. Блюмин, 1962)' и подводным крыльям малого удлинения (П. С. Стародубцев, 1962). Экспериментально выяснено влияние свободной поверхности и дан приближенный расчет этого влияния (М. Г. Кулаев, 1962). Даны систематические экспериментальные материалы и предложены полуэмпирические методы расчета крыльев. В последнее время методами теории струй были получены точные решения о движении подводного крыла вблизи свободной поверхности невесомой жидкости (Л. А. Эпштейн и А. В. Кузнецов, 1963).
С практической точки зрения большой интерес представляют суда с автоматически управляемыми подводными крыльями. В принципе возможны различные системы управления подъемной силой при сохранении высокого гидродинамического качества. Дальнейшая разработка и изучение таких систем является одной из важных задач гидродинамики и автоматики.
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ГИДРОДИНАМИКИПОВЕРХНОСТНЫХ ВОЛН
Н. Н. МОИСЕЕВ
55586062656973765558606265697376Теория нелинейных гравитационных волн в однородной жидкости .. Теория волн в неоднородной и завихренной жидкости Проблемы неинфинитезимальной теории волп Стоячие волны Поверхностные явления■.
55
58
60
62
65
69
73
76
55
58
60
62
65
69
73
76
Волны в вязкой жидкости Поверхностные волны в тонких пленках Некоторые задачи обтекания
Теория поверхностных волн — это обширная область гидродинамики. Она содержит много разнообразных направлений по каждому из которых публикуется ежегодно много новых интересных исследований. Любая попытка описать все это в кратком обзоре, со всеми многочисленными ссылками, как это делалось в прежние времена, кажется теперь утопичной. Поэтому автор ограничил себя обсуждением только тех направлений, в развитии которых он сам принимал известное участие. Более того, и здесь изложение ограничивается только некоторыми вопросами, которые казались автору наиболее важными. Поэтому настоящая .статья носит очень субъективный характер и является не столько обзором работ по теории поверхностных волн, сколько изложением точки зрения автора на этот предмет.
•§ 1. Теория нелинейных гравитационных волн в однородной жидкости
Теория нелинейных гравитационных волн установившегося типа — это одна из традиционных областей исследований советских гидродинамиков. Начало этим исследованиям было положено замечательной работой А. И\ Некрасова (1921), который предложил процедуру, сводящую проблему нелинейных гравитационных волн периодического типа в жидкости бесконечной глубины к интегральному уравнению вида
》==財(力，ц), (1.1)
где Н ——некоторый нелинейный интегральный оператор (условимся его называть оператором Некрасова), а ц — параметр. Обозначим через L производную Фреше оператора Некрасова, а через 11n— собственные числа спектра оператора А. Оператор L оказывается самосопряженным и вполне
непрерывным в %，его спектр дискретен. Основной результат Некрасова теперь можно сформулировать следующим образом: для достаточно малых фиксированных значений 6 — ц ——цп (6 > 0) существует, и притом единственное, нетривиальное решение уравнения (1.1). Отсюда сразу получается следующий классический результат. На поверхности жидкости бесконечной глубины может существовать двухпараметрическое семейство волн достаточно малой амплитуды. Другими словами, если мы фиксируем длину волны 九 и ее амплитуду а, то на поверхности жидкости может существовать волна, скорость распространения которой с определяется единственным образом:
с = / (九，&)・ (1.2}
Для доказательства Некрасов разработал специальный вариант метода мажорант. В дальнейшем этот метод был им распространен на случай жидкости конечной глубины (1928).
Примерно в те же годы аналогичные результаты независимо ог А. И. Некрасова были получены Т. Леви-Чивитой (1925) и Д. Стройном (1926). Следует заметить, что их метод исследования отличался от метода Некрасова (см. А. И. Некрасов, 1951).
Результаты Леви-Чивиты и Стройка сформулированы также в несколько иных терминах, нежели результаты Некрасова. Это послужило поводом для того, чтобы высказать сомнение в справедливости теоремы Некрасова. В зарубежной печати по этой причине результаты Некрасова (и его приоритет в нелинейной теории волн) долгое время просто игнорировались. Однако впоследствии Я, И. Секерж-Зенькович предпринял тщательную проверку работы Некрасова. В результате были устранены некоторые несущественные неточности и справедливость теорем Некрасова стала бесспорной. В 1955 г. в виде отдельной монографии был опубликован усовершенствованный вариант этих исследований. Позднее во Франции Ж. Кравченко (Proc. 11th Intern. Congr. Appl. Meeh. (I960), 1962, p. 115—117) и П. Жоласом (Houille blanche, 1962, 17 : 5, 635—655 и 17 : 6, 758—769) было проведено подробное сопоставление результатов Леви- Чивиты и Некрасова, позволившее показать полную тождественность обеих теорий.
Начиная с пятидесятых годов и по настоящее время непрерывна появляются новые работы, которые содержат различные доказательства теоремы Некрасова. Эти работы используют новые методы, развитые за последние два десятилетия в функциональном анализе.
В Советском Союзе также была предпринята ревизия теории Некрасова. Н. Н. Моисеевым в 1957 г, было показано, что специальным выбором переменных задача о стационарных волнах может быть сведена к уравнению вида
х = \lBx9 (1.3) где В — оператор Ляпунова — Шмидта. Таким образом, было показансг что все известные результаты теории установившихся гравитационных волн периодического типа могут быть получены методами теории интегральных уравнений Ляпунова — Шмидта и теорема существования нелинейных волн не требует специальных доказательств — она является прямым следствием этой теории.
Редукция к интегральным уравнениям Ляпунова полезна и с прикладной точки зрения. Она позволяет для эффективного расчета нелинейных волн использовать хорошо разработанный метод Ляпунова. Оказа-
лось, в частности, что уравнение (1.2) — это следствие уравнения разветвления. Теория, развитая Н. Н. Моисеевым (1957), содержала также и качественно новые результаты. Используя методы теории возмущений йелинейных операторов, ему удалось исследовать возможные стационарные режимы обтекания волнистого дна. Эти результаты существенно отличались от ранее полученных Р. Жербером (J. math, pures et appl., 1955, 34 : 3, 185—299; русский перевод в сб.: Теория поверхностных волн, М., 1959), который рассматривал те же вопросы, используя методы Лере — Шаудера, но сумел доказать существование решений* задач обтекания только для достаточно больших значений числа Фруда. В работе Н. Н. Моисеева результаты получены для любых значений скорости, но для дна, имеющего волнообразную форму. Обнаружено, в частности, существование дискретного спектра чисел Фруда F「i，Fr2, . . ., обладающего тем свойством, что если для Fr € (F门，F ri+i) возможная форма обтекания имеет вид, изображенный на рис. 1, а, то для Fr С (Fr(-i, Fr；) форма свободной поверхности будет
иметь вид, изображенный -— /~
на рис. 1, б, и обратно.■~►—
Развитые теории пе- 勿勿勿勿勿 риодических волн сущест-〃〃/
венным образом исполь-)片)
зовали предположение о'丿
конечности длины волны4九.Рис. 1.
Предельный переход при 九一＞ 8 приводил к тривиальному результату: при 九一＞оо волновой режим течения имеет в качестве предельной формы равномерный поток. Однако уже со времен Дж. С. Рассела (1840) было известно существование уединенной волны, состоящей из одного-единственного горба и вырождающейся на бесконечности вверх и вниз по течению в равномерный поток. Таким образом, теорию волн Некрасова можно назвать теорией коротких
волн *— она не охватывала длинных волн, вырождающихся в уединенную.
Попытки доказательства существования решений уравнения гидродинамики типа уединенной волны долгое время успеха не имели. Наконец,, в 1942 г. М. А. Лаврентьев доказал теорему о существовании уединенной волны (этот результат в силу условий военного времени был опубликован только в 1947 г.). Это доказательство использовало вариационные методы теории конформных отображений, разработанные Лаврентьевым.
Позднее результаты М. А. Лаврентьева были получены К. Фридрих- сом и Д. X. Хайерсом (Comm. Pure and Appl. Math., 1954, 7 : 3, 517— 550). Эта работа, которая сыграла большую роль в последующих исследованиях, использовала общие методы функционального анализа. Ее авторам удалось получить в явном виде решение некоторой вырожденной задачи. После этого доказательство существования решения было получено методом сжатых отображений. Обе теории уединенной волны (Лаврентьева и Фридрихса) использовали аппарат, развитый их авторами для специальных целей — для исследования длинных волн,— и их теории не. содержали в себе результатов А. И. Некрасова. Поэтому возник вопрос о возможности построения единой теории волн любой длины, содержащей как предельный случай уединенную волну.
Первая попытка подобного рода была предпринята У. Литтманом (Comm. Pure and Appl. Math., 1957, 10 : 2, 241—269), который, используя метод Фридрихса, построил теорию периодических волн. Однако построенные им волны не содержали уединённой: при 九一＞ 8 течение
вырождалось в равномерное. Трудность задачи состоит в том, что число Fr = 1 является точкой ветвления. Если Fr < 1, то единственной предельной формой волны при 九一> 8 является равномерный поток; если Fr > 1, то существуют две предельные формы: равномерный поток и уединенная волна. Поэтому «единая» теория волн должна содержать оба предельных случая. Такая теория была построена А. М. Тер-Крикоровым (I960). Основной результат ее состоит в следующем: существуют такие числа а0 и 九°, что для всех а £ [0, а01 и всех 九 U [九°, оо] существует двухпараметрическое семейство установившихся волн периодического типа, вырождающихся в уединенную при 九一> 8 (здесь 九 длина волны, а а —— амплитуда). При заданной глубине канала скорость распространения волны однозначно определяется заданием ее длины 九 и амплитуды а. Доказательство этой теоремы потребовало существенно усовершенствовать метод Фридрихса.
§ 2. Теория волн в неоднородной и завихренной жидкости
Начало исследований в этой интересной и важной области гидродинамики следует отнести к работам Н. Е. Кочина (1928) и М. Л. Дюбрей- Жакотен (Rend. Accad. Lincei, 1932, 15 : 10, 814—819). В первой из этих работ были изучены волны, возникающие на поверхности раздела двух жидкостей. Используя переменные Леви-Чивиты, Н. Е. Кочин построил ряды, которые являются формальным решением исходной задачи, и методом мажорант доказал их сходимость.
М. Л. Дюбрей-Жакотен была первой, кто занялся систематическим изучением волн на поверхности тяжелой завихренной жидкости. В работе Дюбрей-Жакотен существенно использовался метод Леви-Чивиты. Ее теорема утверждает факт существования двухпараметрического семейства волн малой амплитуды в предположении, что интенсивность вихря / (2) является функцией, удовлетворяющей условию Гельдера и достаточно малой по абсолютной величине. Теория Дюбрей-Жакотен позволяла эффективно рассчитать первые приближения. В дальнейшем Ж. Кравченко и Р. Гуйон усовершенствовали метод Дюбрей-Жакотен. Гуйон развил теорию волн на поверхности завихренной жидкости в предположении, что распределение вихря / (屮)一произвольная кусочно-непрерывная функция (достаточно малая по абсолютной величине). Рациональный выбор переменных и удобная форма записи задачи позволили Гуйону разработать удобный метод для эффективного расчета волн.
Теории Дюбрей-Жакотен и Гуйона ——это теории возмущений равномерного потока. В то же время естественно не предполагать малости функции / (屮).Н. Н. Моисеев рассмотрел задачу без предположения о малости функции / (屮)，на которую накладывалось единственное условие —ее интегрируемость (I960). Эти результаты были получены весьма просто: удалось показать, что специальной заменой переменных задача может быть сведена к интегро-дифференциальным уравнениям типа Гам- мерштейна и основная теорема этой теории следует из общих фактов, установленных для уравнений этого типа. В другой работе Моисеев показал (I960), что на поверхности завихренной жидкости могут возникать также и уединенные волны. Этот факт был получен автором при помощи асимптотической теории и нуждался в обосновании. В дальнейшем эти исследования были продолжены А. М. Тер-Крикоровым (1961), который перенес на случай завихренной жидкости все свои результаты, относящиеся к потенциальному течению, и дал строгое доказательство существования
уединенной волны в завихренной жидкости. В результате этих исследований оказалось, что завихренность жидкости не создает никаких новых математических трудностей и не приводит к новым физическим явлениям. Влияние завихренности сказывается только на соотношении характеристик поверхностных волн. Так, например, критическое число Фруда в завихренной жидкости всегда меньше 1, независимо от знака вихря, причем это отличие тем больше, чем больше завихренность жидкости.
Значительно интереснее теория волн в неоднородной жидкости. Здесь мы уже сталкиваемся с качественно новыми явлениями. Среди них центральное место занимает проблема внутренних волн. Этот феномен состоит в возможности существования таких установившихся движений жидкости, при которых свободная поверхность практически является невозмущенной, а частицы жидкости, находящиеся в глубине, совершают колебания с большими амплитудами. Такое явление может существовать только в неоднородной жидкости.
В течение долгого времени исследования волн в неоднородной жидкости носили разрозненный характер. Было известно несколько результатов, относящихся к частным случаям, но все они были получены на «физическом» уровне строгости. Однако уже эти работы показали исключительное богатство физического содержания этой теории.
Впервые попытка построения строгой теории была предпринята А. М. Тер-Крикоровым (1963,1965). Прежде всего автор столкнулся с трудностью математической постановки задачи. В неоднородной жидкости надо задать распределение плотности. В зависимости от способа задания мы получаем, вообще говоря, разные математические задачи. Тер-Крикоров рассмотрел две постановки (А и В). В постановке А распределение плотности задавалось как функция ординаты у в некотором поперечном сечении канала. В постановке В плотность р задавалась вдоль линии тока. В обоих случаях автор построил нелинейные теории, описывающие волновые движения, близкие к равномерному потоку. Было показано, что существует счетное мнoжQCтвo критических скоростей распространения волн и в окрестности каждой из этих скоростей существует двухпараметрическое семейство волн, вырождающихся в уединенную при 九一＞ оо. Таким образом, в неоднородной жидкости возможно существование не одной уединенной волны, как в однородной жидкости, а счетного числа уединенных волн. Каждому типу уединенной волны соответствуют своя картина течения и структура линий тока. При стремлении распределения давлений к равномерному все формы течения жидкости вырождаются в равномерный поток, кроме одной, которая вырождается в уединенную волну. Теории Некрасова, Дюбрей-Жакотен и Кочина содержатся, как частный случай, в теории волн, развитой на основе постановки В,
Описанный цикл работ показывает, что возникновение уединенной волны не является уже столь исключительным свойством волн на поверхности тяжелой однородной жидкости: решения типа уединенных волн допускают краевые задачи теории гравитационных волн в условиях потенциальности течения, такие же решения существуют и в теории вихревых волн, наконец, волновые движения неоднородной жидкости также содержат счетное множество однопараметрических семейств решений типа уединенной волны. Все это позволяет думать, что решения типа уединенной волны характерны для широкого класса краевых задач теории эллиптических уравнений, значительно более широкого, чем краевые задачи теории волн. А. М. Тер-Крикоров и В. А. Треногин (1963) своими исследованиями подтвердили эту гипотезу. Им удалось описать широкий
класс граничных задач для эллиптических уравнений в полосе, допускающих решения типа уединенной волны. Заметим, что их теория является существенно нелинейной. При линеаризации задачи она утрачивает свои замечательные особенности ——никакого вырождения типа уединенной волны ее решения уже не допускают. В указанной работе развит также интересный метод построения асимптотических рядов, представляющих эти решения.
В первых двух параграфах настоящей статьи изложен взгляд на состояние дел в инфинитезимальной теории установившихся гравитационных волн. Обсуждение этой теории началось еще в XIX веке/Однако ее первый результат был получен только в 1921 г.— это знаменитая теорема Некрасова. С тех пор прошло почти 50 лет. Мне кажется, что основные вопросы, которые стояли перед ней,— вопросы существования решения, количества возможных решений, исследование множества бифуркационных значений параметров — в основном исчерпаны. Разумеетсяг можно заниматься усовершенствованием доказательств, видоизменением постановок — и это будет определенным вкладом в теоретическую гидродинамику. Но основное в этой теории уже понятно.
■ В последнее десятилетие накопление результатов шло особенно быстро. Это объясняется тем, что для развития теории был привлечен аппарат современного функционального анализа. Оказалось, напримерг что некоторые новые факты могут быть получены простой переформулировкой известных теорем нелинейного функционального анализа.
§ 3. Проблемы неинфинитезимальной теории волн
До сих пор мы говорили о таких теориях волн, которые описывают установившиеся движения жидкости (имеющей свободную границу), близкие к некоторому равномерному потоку. Другими словами, речь шла о волнах конечной, но достаточно малой амплитуды. Переход к задачам,
а и число Фруда Fr связаны одним соотношениема и число Фруда Fr связаны одним соотношениемв которых амплитуда волны не предполагается достаточно малой, рождает совершенно новые проблемы и требует, по-видимому, создания нового аппарата. Я попытаюсь описать ситуацию, которая здесь возникает на примере гравитационных волн в однородной незавихреннойг жидкости. В этом случае существует двухпараметрическое семейство решений. Длина волны 九，амплитуда
а и число Фруда Fr связаны одним соотношением
а и число Фруда Fr связаны одним соотношением
(34)(34)Ф (а,九，Fr) = 0・
(34)
(34)
Уравнение (3.1) описывает некоторую поверхность, изображенную на рис. 2. Эта поверхность пересекается с плоскостью а = 0 но линии Го. Уединенная волна служит ее границей в плоскости 九=8, а сверху она ограничена некоторой кривой Г. Что представляет собой эта кривая? Повседневная человеческая практика убеждает нас в том, что в природе не возникает очень крутых волн: если амплитуда волны достаточно великаг
то мы можем быть уверены, что ее длина также велика. Поэтому мы можем ожидать, что при известном соотношении параметров краевые задачи, которые оиисдгвают волновое движение жидкости, перестают иметь решение. Это означает, что крутые волны разрушаются. В связи с этим возникла гипотеза о существовании некоторой предельной волны. Этим термином стали называть волну такой амплитуды, которая при заданной длине максимальна. Первая работа, имевшая своей целью изучение подобных волн, была выполнена Дж. Г. Стоксом еще в XIX веке, и с тех пор лредельная волна носит название волны Стокса. Основное предположение Стокса — неаналитичность предельного решения: в момент разрушения в вершине волны должна образоваться угловая точка. Им было доказано, что если действительно предельная волна имеет угловую точку, то угол при вершине должен быть равен 120°, т. е. наклон волны не может быть более 30°. Заметим, что работа Стокса не решала проблемы, поскольку в ней изучались свойства волны Стокса, исходя из априорного лредположения о ее существовании. Долгое время работа Стокса была, по-видимому, единственной в неинфинитезимальной теории волн. Только б последнее десятилетие появилась работа Ю. П. Красовского, в которой ставится задача исследования теории нелинейных волн произвольной амплитуды (1961). Это исследование опирается на новые результаты в функциональном анализе и, прежде всего, на теорию положительных операторов М. А. Красносельского. Основной результат этого важного исследования состоит в доказательстве существования волн, крутизна которых не превосходит 3Q°. Этот результат является существенным продвижением в нелинейной теории волн, поскольку все предыдущие результаты относились к проблеме существования нелинейных волн конечной, но достаточно малой амплитуды. По существу, это ——первый строгий результат в нелокальной (неинфинитезимальной) теории волн.
Работа Ю. П. Красовского содержит еще ряд новых фактов и, в частности, ряд теорем «несуществования». Например, Красовским дано строгое доказательство невозможности существования в незавихренной однородной жидкости уединенных волн типа впадины. Далее, им показано, что в бесконечно глубокой жидкости не может существовать уединенная волна, в жидкости конечной глубины также не могут существовать уединенные волны, если только число Фруда меньше 1, и т. д. Работа Ю. П. Красовского является, бесспорно, важным вкладом в теорию волн. Во всяком случае, она наглядно продемонстрировала возможности новых методов анализа, не являющихся традиционными в гидродинамике. Однако вопрос о существовании предельной волны Стокса остается и по сей день открытым. Дело в том, что, по существу, методы, используемые Ю. П. Красовским, позволяют исследовать только аналитические решения, в то время как предельная волна, по-видимому, уже не будет аналитическим решением. Трудности исследования предельной волны связаны не только с ее неаналитичностью. При доказательстве теорем существования всегда важную роль играют априорные оценки решения. В задачах теории волн большое значение имеет априорная оценка снизу модуля ■ скорости частиц жидкости на свободной поверхности. В задаче о предельной волне не удается указать такое положительное число, которое ограничивало бы снизу величину модуля скорости, поскольку в вершине волны эта величина обращается в нуль.
Итак, центральный вопрос теории волн конечной амплитуды —— вопрос о существовании неаналитических решений. Значение этого вопро- ，са далеко выходит за пределы теории волн и даже гидродинамики. Это —
принципиальный вопрос нелинейного анализа. Его решение будет, безусловно, содействовать развитию функционального анализа.
Сделаем в заключение одно замечание. Нелинейная теория волн представляет собой, вообще говоря, математическую дисциплину, которая изучает некоторый конкретный класс краевых задач. Однако эти задачи возникли в физике, и поэтому они особенно интересны. Они очень просты в своей постановке и легко доступны математику, не занимающемуся специальными вопросами гидродинамики. Наконец, такого рода задачи существенно нелинейны и доставляют удачный объект отработки соответствующих методов анализа.
§ 4- Стоячие волны
До сих пор мы говорили об установившихся волнах, представляющих в основном математический интерес. Значительно большее прикладное значение имеет изучение неустановившегося волнового движения жидкости. Именно неустановившиеся проблемы являются основным объектом штурма специалистами, занимающимися волновыми движениями. Однако в этой области (если говорить о нелинейных задачах) строгие результаты практически отсутствуют.
Теория неустановившихся волновых движений обширна и имеет много интересных направлений. В настоящей статье я остановлюсь только на одной из групп задач этой теории ——на проблеме стоячих волн, составляющей один из больших разделов теории неустановившихся волн. Здесь возникает много интересных вопросов даже в линейной теории. Элементарными являются только задачи о волнах малой амплитуды над гладким горизонтальным дном или в цилиндрическом сосуде. В то же время существует большое число технических задач, требующих расчета стоячих волн на поверхности жидкости, заключенной в сосуд весьма сложной формы. Исторически первыми задачами подобного рода были задачи об озерных сейшах ——свободных колебаниях, возникающих в водоемах. Даже предположение малой глубины водоема не делает задачу доступной аналитическому исследованию. Возникающие краевые задачи остаются настолько сложными, что аналитическое решение для них получено только в исключительных случаях. Большое количество работ, многие из которых опубликованы в последнее время, посвящено различным численным аспектам теории сейшей. Теорией стоячих колебаний жидкости интересуются также инженеры, проектирующие порты и портовые сооружения. К числу задач теории стоячих волн, решение которых важно при проектировании порта, относится знаменитая проблема «тягуны^. Эта проблема сводится в конечном счете к определению точек, находящихся посредине между узлами. В этих точках горизонтальные перемещения воды наиболее значительны. Если около причала окажется такая точка и в этом месте расположится судно, то при возникновении стоячих волн оно начнет совершать большие горизонтальные перемещения колебательного характера. Все это будет сопровождаться ударами о причал и может привести к повреждению корпуса судна.
Наконец, в последние полтора десятилетия основным потребителем теории сделалась ракетная техника. Создание автоматов стабилизации и управления ракетами требует весьма точной информации о природе спектра возможных стоячих колебаний в баках ракет. С точки зрения чисто математической задача о свободных колебаниях очень проста. Она сводится
к операторному уравнению вида
х = КАх^ (4.1)
где А ——вполне непрерывный в £? самосопряженный оператор. Общие теоремы спектральной теории линейных операторов позволяют нам утверждать ее разрешимость для 九=九冷，гДе 九п——дискретная последовательность чисел, имеющая единственную предельную точку в бесконечности. Кратность собственных чисел К конечна, а система собственных функций полна в Л2. Редукция задачи о свободных колебаниях ограниченного объема жидкости к спектральной задаче вида (4.1) была дана Н. Н. Моисеевым (1953).
Итак, теория свободных колебаний жидкости с математической точки зрения совершенно элементарна: она полностью исчерпывается простей' шими фактами спектральной теории самосопряженных линейных операторов. Значительно более трудная и важная проблема — создание эффективных вычислительных методов расчета собственных частот и форм свободных колебаний жидкости в объемах произвольной формы. Эти методы должны удовлетворять ряду условий, основным из которых является обеспечение возможности унифицировать расчеты, поскольку в технике мы сталкиваемся с необходимостью проведения массовых расчетов. Таким образом, вычислительные методы в теории стоячих волн должны обладать высокой степенью стандартизации.
За последние десять лет в СССР, США и других странах появилось более 300 работ, посвященных указанным вопросам. Среди них подавляющее большинство посвящено той или другой модификации метода Ритца. Последний обладает рядом достоинств, связанных с его большой универсальностью: он применим практически ко всем задачам теории колебаний консервативных систем. По-видимому, впервые метод Ритца был применен и обоснован для решения нестационарных задач теории колебаний жидкости Н; Н. Моисеевым и А. А. Петровым. Сводка этих результатов содержится в недавно вышедшей их монографии (1965).
Ахиллесова пята метода Ритца — это необходимость иметь в своем распоряжении полную систему координатных функций. Эта трудность в значительной степени была преодолена А. А. Петровым, который разработал эффективный метод теории возмущений. Работа Петрова имеет большое практическое значение, поскольку она позволяет довольно простыми средствами, отправляясь от нескольких стандартных областей, строить приближенные решения для областей весьма сложной структуры, т. е. рассчитывать колебания жидкости в баках довольно сложной формы.
Метод Ритца является не единственным методом, который можно использовать для решения широкого класса задач. Сейчас разрабатываются новые подходы, которые, обладая по меньшей мере той же степенью универсальности, что и метод Ритца, имеют одновременно ряд новых достоинств. О некоторых из этих методов будет сказано в следующем параграфе.
До сих пор речь шла о линейных задачах теории стоячих волн, С прикладной точки зрения линейная теория представляет значительно больший интерес, нежели теория нелинейная. Причина этого обстоятельства состоит в том, что волн достаточно большой амплитуды не существует — они разрушаются. Поэтому, если явление происходит в таких условиях, когда разрушения волн нет, то это значит, что амплитуда? волн невелика и можно, не делая больших ошибок, использовать линейную теорию. Если амплитуда волн велика, то происходит непрерывное разрушение
волн. В этой ситуации вообще бессмысленно проводить исследование в рамках гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости. Разумеется, такие задачи представляют большой прикладной и теоретический интерес. Однако они нуждаются еще в создании надежных физических моделей, учитывающих потерю энергии при разрушении волн.
Итак, в прикладных проблемах линейные задачи теории стоячих волн представляют основной интерес. Тем не менее на ряд вопросов линейная теория ответить не может. Например, при настройке системы управления важно знать зависимость частоты колебаний от амплитуды. Иногда полезно знать (с высокой степенью точности) структуру волновой поверхности и т. д. Поэтому нелинейная теория представляет определенный интерес для практики. Однако, как мне кажется, наибольший интерес нелинейная теория стоячих волн имеет для математика. В теории установившихся волн проблема существования решений довольно элементарна. В теории стоячих волн дело обстоит значительно сложнее. Первая работа в этой области была сделана Я. И. Секерж-Зеньковичем (1957), который предложил процедуру последовательных приближений, позволяющую рассчитать нелинейные стоячие волны в безграничной жидкости. Эта задача дает ответ о характере нелинейных волн, возникающих в сосуде, ограниченном вертикальными стенками, в предположении, что глубина сосуда бесконечна. В начале пятидесятых годов ту же проблему для сосудов произвольной формы изучал Н. Н. Моисеев. Колеблющаяся жидкость рассматривалась как некоторая система Ляпунова счетного числа степеней свободы. Была развита теория, в рамках которой удалось рассмотреть как свободные, так и вынужденные колебания. Была построена полная аналогия с колебательной системой Ляпунова конечного числа степеней свободы и показано, что для того, чтобы провести все вычисления, достаточно уметь решать соответствующую линейную задачу. Разумеется, развитая теория позволяла изучать только такие волновые процессы, которые близки к тем, которые описываются линейной теорией. (Полное изложение этой теории нелинейных волн можно найти в монографии Н. Н. Моисеева и А. А. Петрова, 1965.)
Несмотря на то, что указанные теории (и подобные им) дают возможность понять некоторые особенности колебаний жидкости конечной амплитуды, они ни в коей мере не приближают нас к ответу на основной вопрос: существуют ли в ограниченном объеме жидкости периодические движения? Развитые теории носят весьма формальный характер. Они представляют решение в виде рядов того или другого типа, причем ни одному из авторов не удалось доказать их сходимость. Трудности доказательства упирались, прежде всего, в проблему малых делителей. Неудачи этих попыток убеждают в том, что построенные ряды могут служить только как вычислительная процедура и доказать их сходимость прямым путем очень трудно. Здесь нужны, по-видимому, совсем другие подходы. Одновременно возникает подозрение, что периодических движений в жидкости, заключенной в ограниченном сосуде, может и не быть вообще. Может быть, все те движения, которые мы называем стоячими волнами конечной амплитуды,——это некоторые почти-периодические решения? Все эти вопросы стоят на повестке дня, и ответа на н^х нет.
Проблема стоячих волн не исчерпывается перечисленными вопросами. Исключительный теоретический (и практический) интерес представляет, например, задача о составных волнах. Хорошо известно, что если происходит суперпозиция двух стоячих волн бесконечно малой ямплитуды, то рождается прогрессивная волна. Какова аналогия этому
явлению в нелинейной теории? Как вообще правильно сформулировать строгую гидродинамическую постановку задачи о составных волнах, являющихся результатом суперпозиции стоячих волн конечной амплитуды? В настоящее время существует довольно много работ, посвященных теории составных волн. Однако они не только являются чисто формальными исследованиями, но и не содержат строгих постановок соответствующих задач гидродинамики.
Поверхностные явления
Чрезвычайно сложные задачи гидродинамики возникают в тех случаях, когда жидкость приходится рассматривать в условиях слабых гравитационных полей. В этом случае необходимо учитывать действие сил поверхностного натяжения. Такие задачи возникают, прежде всего, в динамике космических аппаратов, которые могут нести на борту значительное количество жидкого груза. Но это не единственная область приложения подобной теории. Влияние поверхностного натяжения может быть существенно для исследования коротких волн. Эффект поверхностного натяжения резко возрастает при появлении на поверхности жидкости поверхностно-активных веществ. В последнее время техника ставит ряд задач о колебании объема жидкости, заключенной в мешок — гибкую оболочку. Наконец, теория волн с учетом сил поверхностного натяжения оказывается интересной для теории тонких струй. Сначала Плато, а затем Рейли показали, что силы поверхностного натяжения служат одной из причин неустойчивости струи — поверхностное натяжение разрывает струю на капли. Оказывается, что по поверхности тонкой струи, подверженной действию сил поверхностного натяжения, могут распространяться волны, и в том числе волна, имеющая единственный горб. Есть основания думать, что подобная форма струи более устойчива, чем обычная осесимметричная форма. Уже перечисленных фактов достаточно, чтобы удидеть то богатство физического содержания, которым обладает теория, изучающая роль поверхностных явлений.
В последние годы эта теория сделалась весьма актуальной. Оказалось, что ряд важных технических вопросов, прежде всего в космической технике, не может быть решен без учета поверхностных явлений. Это было одной из причин резкого увеличения количества исследований в этой области. Однако уже первые работы вскрыли ряд качественно новых трудностей, связанных с учетом сил поверхностного натяжения.
Исследование колебаний жидкости, подверженной силам поверхностного натяжения, было естественно начать с изучения волновых движений малой амплитуды, т. е. с построения инфинитезимальных теорий. При изучении чисто гравитационных волн этим термином обычно называют теории возмущений свободной поверхности, невозмущенная форма которой известна. В теории гравитационных волн она представляет собой горизонтальную плоскость (или сферу, если, например, речь идет о волнах на поверхности гравитирующей сферы). В рассматриваемой теории эта невозмущенная форма свободной поверхности заранее неизвестна, ее нужно определить. Таким образом, первым шагом в построении теории является разработка методов, позволяющих определить фигуру равновесия. В последние годы появились новые исследования, содержащие решение ряда задач гидростатики (см. монографию Н. »Н. Моисеева и В. В. Румянцева, 1965, и работы Н. Н. Моисеева, 1965). В частности, был разработан весьма универсальный прием, позволяющий рассчитать 5 Механика в СССР, том 2
форму свободной поверхности в том случае, когда роль капиллярных сил невелика (Н. Н. Моисеев и Ф. Л. Черноусько, 1965). В этой ситуации отличие свободной поверхности от горизонтальной заметно только вблизи стенок сосуда. Последнее обстоятельство позволяет развить методы, аналогичные методам теории пограничного слоя.
удовлетворятьудовлетворятьВсе работы, посвященные методам расчета фигуры равновесия (как классические, так и современные), относились к исследованию лишь некоторых специальных случаев. В то же время задачи, возникающие в технике, требовали разработки аппарата, который позволил бы иметь универсальную процедуру расчета фигуры равновесия жидкой массы для сосудов достаточно произвольной формы (заметим, что от решения этой задачи зависит, например, весь расчет центровки космической ракеты). Для решения подобных задач кажется естественным воспользоваться вариационным принципом. В самом деле, форма равновесия жидкости в сосуде (рис. 3) N такова, что суммарная потенциальная энергия силы ■ тяжести и поверхностной энергии минимальна. Потенциальная энергия n = J (S) определяется одной-един- ственной функцией ——формой свободной поверхности S. Функция, входящая в это выражение, должна яду условий: условию изопериметричности (постоянство
удовлетворять
удовлетворять
объема) и условиям трансверсальности (постоянство краевого угла). Первая рекомендация, когда ставится вопрос о разработке методов численного расчета,— это попытаться развить метод Ритца. Однако, помимо традиционной трудности, связанной с построением полной системы функций, мы здесь сталкиваемся еще с одной трудностью: задачи определения фигур равновесия существенно нелинейны. Следовательно, применение метода Ритца заменит исходящую задачу задачей нахождения решений системы нелинейных уравнений высокого порядка. Мы не имеем универсальной рецептуры решения таких задач. Поэтому метод Ритца также, по-видимому, может служить эффективным средством численного решения только в исключительных случаях.
В настоящее время обсуждаются различные подходы к численному решению вариационных задач; остановимся на одном из них (подробнее см. Н. Н. Моисеев, 1968). Ограничиваясь случаем плоской задачи, поясним идею на следующем примере. Пусть речь идет об отыскании функции "(%, р), доставляющей минимум функционалу
J (〃) = jJ (〃) = j尸(％, у, и, 〃х・ Uy) dx dy.
J (〃) = j
J (〃) = j
Заменим это выражение какой-либо конечноразностной аппроксимацией- Например, используя простейшую разностную схему, получим
丁 Р 订 /j一uij uij+l — uij、a A
J= $ 尸i(6, Z/力〃仃,女 » 顾 )AzAy.
Функционал J превращается после такой аппроксимации в функцию конечного числа переменных. Для отыскания минимума этой функции могут быть использованы различные приемы и, в частности, метод градиента. Заметим, что каждая из величин "订 входит только в три слагаемых. Это обстоятельство качественно упрощает процедуру решения, так
как даже при большом числе узлов сетки вычисление производных дЛди^ требует вычисления только трех слагаемых.
Такой подход носит совершенно универсальный характер. Он никак не связан с линеаризацией задачи. Уже предпринимались попытки использовать этот подход для отыскания фигур равновесия (А. А. Петров, Ф. Л. Черноусько), которые оказались весьма успешными.
Заметим, что этот подход может быть использован и для отыскания собственных чисел и главных форм колебаний в задачах, которые были описаны в предыдущем параграфе, поскольку задача отыскания собственного числа номера £ сводится к отысканию минимума функционала
左= min盘黑)
на множестве функций {&}, удовлетворяющих условиям (&,蚤)=1, (已力 Cj) = 0 при ; < f. Здесь 甘互 обозначает собственную функцию (форму свободной поверхности), соответствующую собственному числу 九丸，и
——оператор Неймана, примененный к g.
Итак, в задачах статики (задачах определения формы равновесия свободной поверхности) еще не созданы стандартные приемы численного расчета. Есть основания предполагать, что в качестве основы для создания таких методов может быть использована идея сведения задачи отыскания экстремума функционала к отысканию минимума функции конечного числа переменных, подобная той, которая была только что изложена. Уже первые опыты использования этой методики продемонстрировали весьма обнадеживающие перспективы.
При исследовании форм равновесия нас интересуют прежде всего устойчивые формы. Заметим, что, решив задачу об отыскании свободной поверхности, которой отвечает минимум потенциальной энергии, мы автоматически отбираем только устойчивые формы.
Предположим, наконец, что задача статики решена. Следующий этап исследования — это построение теории колебательных движений бесконечно малой амплитуды, происходящих в окрестности фигуры равновесия.
Предположим, что жидкость безгранична. Тогда мы имеем классическую задачу о капиллярно-гравитационных волнах. Она хорошо изучена. Во всех остальных случаях мы получаем новый класс задач. Так же как и в линейной теории гравитационных волн, основная проблема состоит в исследовании некоторой спектральной задачи для эллиптического оператора. Однако в отличие от теории гравитационных волн эти задачи имеют одну существенную особенность: краевые условия (условия на свободной границе) содержат некоторый эллиптический оператор второго порядка. Кроме того, добавляется еще одно граничное условие: требование постоянства краевого угла на контуре свободной поверхности.
Вопросы разрешимости задач о малых колебаниях впервые были рассмотрены Н. Н. Моисеевым (1962), который показал, что, несмотря на все перечисленные особенности, эти задачи в принципиальном отношении столь же элементарны, как и задачи о свободных колебаниях тяжелой жидкости в сосуде. Присутствие в граничных условиях оператора, который описывает действие поверхностных сил, не вносит принципиальных осложнений, поскольку задача остается самосопряженной. Таким образом, центральной проблемой теории малых колебаний объема жидкости, подверженной действию сил поверхностного натяжения, является проблема построения эффективных методов численного расчета.
В этом направлении сделано пока еще очень мало. Хорошо обследован только тот случай, когда относительная роль сил поверхностного натяжения мала. В этом случае эффект действия поверхностных сил можно изучать, используя методы теории пограничного слоя. Такое исследование было проведено Н. Н. Моисеевым и Ф. Л. Черноусько (1965). Удалось построить способ расчета собственных частот и форм главных колебаний жидкости, подверженной действию сил поверхностного натяжения, если только решена соответствующая задача для жидкости, которая не подвержена действию поверхностных сил.
Представляет известный методический интерес изучить особенности нелинейных волновых движений безграничной жидкости, подверженной действию поверхностных сил. Первые результаты здесь принадлежат Я. И. Секерж-Зеньковичу (1964), который показал, что теория капилляр
тационных полей.тационных полей.но-гравитационных волн содержит решение типа уединенной волны. Н. Н. Моисеев (1965) - изучал этот же вопрос методами асимптотики узких полос. Было показано, что в отличие от чисто гравитационных волн в теории капиллярно-гравитационных волн могут существовать решения не только типа уединенной волны ——горба, но и типа уединенной волны — впадины.
тационных полей.
тационных полей.
Перечисленные исследования относятся к одному из направлений динамики жидкости (имеющей свободную поверхность) в условиях слабых грави-
Постановки задач, которые рассматриваются в работах
этого направления, являются естественной переформулировкой задач
теории гравитационных волн на тот случай, когда роль сил поверхностного натяжения становится ощутимой. Это направление представляет определенный теоретический и прикладной интерес. В нем есть еще довольно много вопросов, которые могут быть предметом дальнейших исследований. Но наибольший научный (а возможно, и практический) интерес, по моему мнению, составляют те вопросы этой теории, которые не имеют аналогий в теории гравитационных волн. Изучение таких задач продвинуто очень слабо.
К числу таких вопросов, которые имеют качественно новое звучание, относится проблема миграции пузыря вследствие изменения направления инерционных (или гравитационных) сил. Рассмотрим контейнер космического аппарата, внутри которого находится вода (или горючее). Жидкость не целиком заполняет полость контейнера (рис, 4). Внутри жидкости образуется некоторый пузырь, занятый воздухом или парами жидкости (объем V на рис. 4). В условиях невесомости этот пузырь может располагаться внутри жидкости самым произвольным образом. Представим себе, что оболочка S получит некоторое ускорение 勿 которое будет изменяться по величине и направлению. Как будет двигаться пузырь? Этот вопрос очень важен, поскольку именно от его решения зави
сит проблема миграции центра инерции космического аппарата, а значит, и проблема его управления.
Первые простейшие задачи такого типа рассматривались Н. Н. Моисеевым (1962). Интересное исследование (содержащее также и метод расчета) того случая, когда объем пузыря очень мал, было проведено ф. Л. Черноусько (1964). В этом случае форму пузыря всегда мояшо считать сферической, что позволяет далеко продвинуть задачу изучения его
динамики.
С другой точки зрения эта проблема рассматривалась Ю. В. Пух- начевым (1968). В этой работе обстоятельно анализируются разнообразные варианты задач, в которых форма пузыря не очень сильно отклоняется от сферической (квазилинейная теория), изучаются возможные колебания свободной поверхности и ее деформация в зависимости от положения пузыря по отношению к стенкам контейнера, внутри которого происходит его движение. Перечисленные работы почти исчерпывают результаты, полученные в этом направлении, причем эти результаты не относятся еще к числу задач, представляющих основной прикладной интерес.
Представим себе, что вектор д может меняться довольно быстро. Тогда пузырь V будет также двигаться со значительными ускорениями. Его поверхность S будет претерпевать большие (отнюдь не квазилинейные) деформации. Может случиться, что пузырь начнет схлопываться — дробиться на части. Одновременно может идти и обратный процесс: два или несколько пузырей могут объединиться в один, и т. д. Результаты экспериментов, опубликованные в печати, показывают, что такая ситуация типична. Какой моделью она может быть описана? На какой основе должна быть создана теория, способная объяснить подобное движение пузырей? Разумеется, здесь пока не имеет смысла говорить о численных методах. Нужно создать некоторое глобальное описание процесса. Я думаю, что подобные модели нельзя строить на базе только одной теории несжимаемой жидкости. Кумулятивные эффекты в момент схлопывания пузыря могут оказаться весьма значительными, и в этот момент будет происходить изменение энтропии.
Я указал некоторые проблемы движения жидкости в условиях невесомости. Еще ряд задач был приведен в докладе Н. Н. Моисеева, А. Д. Мышкиса и А. А. Петрова на II Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике. Все эти проблемы ——большой практической значимости, и их решение может внести существенный вклад в развитие гидродинамики.
Волны В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
Теория волн в вязкой жидкости, по-видимому? только сейчас создается как самостоятельный и большой раздел гидродинамики. Первая задача теории волн, которая была решена для вязкой жидкости*,— это задача Л амба о затухании волн бесконечно малой амплитуды на поверхности бесконечно глубокой жидкости. Следующий шаг, также относящийся к восьмидесятым годам прошлого века, сделал А. Б. Бассет. Рассматривая задачу о малых колебаниях гравитирующей сферы вязкой жидкости, Бассет свел задачу к некоторому трансцендентному уравнению и рассмотрел предельный случай жидкости малой вязкости. Через 70 лет эту же задачу, только значительно менее полно, рассмотрел С. Чандрасекар. При этом никаких ссылок на работу Бассета им сделано не было. Более того, в последнее время имя первого автора этой задачи оказалось забы-. тым, и она стала называться задачей Чандрасекара.
Перед войной Л. Н. Сретенский опубликовал обширное исследование волн Коши ——Пуассона на поверхности вязкой и тяжелой жидкости (1941). Значение этой работы состояло не только в получении ряда интересных результатов физического характера. Еще в XIX .веке Г. Ламб обратил внимание на возможность представить поле скоростей в виде суперпозиции потенциального и «чисто соленоидального» полей. В работе
Сретенского эта точка зрения проводится последовательно, показана эффективность такого представления и дано его обоснование.
Долгое время никаких работ по теории колебаний вязкой жидкости в печати не появлялось. Однако в течение последних семи-восьми лет была опубликована серия работ, посвященных рассматриваемой проблеме. Для этого было много причин, и среди них немаловажную роль играли запросы ракетной техники и проблемы индуцирования ветром ветровых волн. Несмотря на то, что пока еще решены только частные задачи, уже сейчас четко различаются два направления в построении теории. Поясним это на одном примере. Наиболее простыми задачами теории волн являются задачи о свободных колебаниях бесконечно малой амплитуды. Этим термином принято называть задачу отыскания решения линеаризованных уравнений, имеющего вид
£Й0£①(g у, z). (6.1)
Поскольку рассматриваются линейные задачи, то представление (6.1) имеет смысл. Задача Ламба относилась именно к этому случаю. Функция Ф в общем случае является решением сложной краевой задачи, и никаких общих методов ее решения не существует. Заметим, что в ее граничные условия на свободной поверхности входит также и число(о. Таким образом, с математической точки зрения задача о свободных колебаниях —это некоторая спектральная задача теории несамосопряженных операторов.
Один из подходов для решения таких задач имеет своим истоком работу А. Б. Бассета. Представим себе, что все прочие граничные условия, кроме условий на свободной поверхности, допускают представление решения в виде агрегата, зависящего от некоторого количества параметров. Например, как следует из работы Бассета, колебание жидкости конечной постоянной 'глубины может быть описано некоторой комбинацией тригонометрических и гиперболических функций. У слов ие отсутствия нормальных напряжений на свободной границе дает некоторое трансцендентное уравнение, связывающее параметры волн и комплексное число (о. Определив корни этого трансцендентного уравнения, мы получаем возможность полностью рассчитать движение жидкости. Подобная схема используется в ряде работ. В качестве наиболее типичной для этого направления укажем работу И. П. Оборотова (I960), в которой исследуются стоячие волны на поверхности жидкости конечной глубины. Близкие по своему смыслу идеи лежат в основе работ А. К. Никитина и его учеников Р. А. Грунтфеста и С. А. Подрезова (1964). В последних работах решаются некоторые задачи типа Коши — Пуассона и вместо агрегата, зависящего от нескольких параметров, используется представление Фурье. Решение удается записать в явном виде в форме кратных интегралов Фурье, содержащих параметры. К этому же кругу идей относятся и многочисленные работы Л. В. Черкесова (1962 и др.), посвященные также проблеме возбуждения поверхностных волн. Итак, эта концепция, именуемая часто «точной теорией» волн в вязкой жидкости, сводит тем или иным способом задачу о линейных волнах к исследованию трансцендентных уравнений с комплексными корнями или вычислению кратных интегралов в комплексной области. По существу, имеет место некоторая переформулировка задачи, ибо непосредственно никакой информации из точного решения в форме интегралов для понимания физического содержания явления извлечь нельзя. Дальнейшее исследование, использующее найденные выражения, можно представить себе в двух
направлениях. Во-первых, можно провести изучение закономерностей распространения волн, используя современные вычислительные сред* 'Ства, и, во-вторых, провести аналитическое исследование, развивая те или иные асимптотические теории в предположении, что вязкость жид' кости мала.
Построение вычислительных алгоритмов, позволяющих рассчитывать волновые движения,— это важное направление, которое безусловно найдет себе применение в решении разнообразных проблем, и прежде всего геофизических. Поэтому имеет смысл попытаться использовать транс- дендентные уравнения и квадратуры, полученные при исследовании указанных задач для эффективного расчета параметров. Такая попытка была предпринята И. П. Оборотовым, которому удалось использовать найденное им уравнение частот и рассчитать ряд соотношений между параметрами волн. Однако пока это — единственное решение такого рода, а алгоритмов численного расчета для тех случаев, когда решение дается в форме кратных квадратур, еще нет вообще.
Как они будут строиться? По этому вопросу я могу высказать только некоторые предположения. Я не думаю, что численный расчет кратных квадратур (в комплексной области) является задачей более легкой, нежели численное решение исходной задачи. Точно так же вычисление корней трансцендентного уравнения иногда может оказаться делом более трудным, нежели анализ исходной задачи. Разумеется, всякие категорические суждения здесь абсолютно недопустимы. Всегда может оказаться, что существует некоторый класс частных задач, для которых подход поборников «точной теории» будет экономным способом получения числового результата. Но в одном я убежден: развитие вычислительного направления в теории вязких волн требует, прежде всего, проведения подробного исследования возможностей современных разностных методов.
В работах, о которых говорилось в этом разделе, основное внимание уделяется асимптотическому анализу. Другими словами, для исследования используется следующая схема. Решение исходной задачи сначала, путем довольно громоздких вычислений, представ ляется в виде кратного интеграла (который почему-то именуется точным решением), и затем строится его асимптотическое представление при v —> 0, которое иногда может быть выражено в виде явных формул. Но если выяснение особенностей течения при w《1 и есть главная цель исследования, то естественным образом возникает следующий вопрос: не проще ли сначала провести «асимптотическую обработку» исходной задачи? Это позволит сразу же качественно ее упростить. Для таких упрощенных задач удается иногда построить решение даже в явном виде. Разумеется, результат в обоих случаях будет один и тот же. Но во втором случае всю основную вычислительную работу мы будем вести уже с объектом значительно более простой природы, что позволит избежать большого количества ненужных вычислений. Современная техника исследования уравнений, содержащих малые параметры, дает возможность не только эффективно реализовать процесс построения асимптотики, но и провести анализ и доказать асимп-； тотический характер подобных формул. Один пример подобных доказательств дан П. С. Краснощековым. По-видимому, впервые такая точка зрения была высказана Н. Н. Моисеевым (1961). В основе метода, который был предложен в этой работе, лежали следующие простые соображения.
Всякое линеаризованное поле скоростей можно представить в виде суперпозиции потенциального и соленоидального. При некоторых условиях подобное представление единственно, причем соленоидальное поле
может быть описано уравнением теплопроводности
礬二心I). (6.2)
Если жидкость идеальна (v = 0), то 屮三 0 и поле скоростей будет потенциальным. При малых V вдали от границ области течение будет также близко к потенциальному. Вектор-функция 屮 будет компенсировать невязку граничных условий, которая возникает, если решение задачи о движении вязкой жидкости аппроксимировать потенциальным полем. Таким образом, функция 屮一это функция типа пограничного слоя. Для малых значений v методы построения асимптотики решений уравнения (6.2) хорошо известны. Функция 屮 при этом в явном виде выражается через свои граничные значения, которые в свою очередь содержат величины, определенные потенциальным полем. Эта процедура позволяет исключить соленоидальную составляющую поля скоростей и свести задачу исследования линеаризованных уравнений Навье — Стокса к исследованию некоторой несамосопряженной краевой задачи теории гармонических функций. Для подобной задачи решение в некоторых случаях, как уже говорилось, может быть получено уже в явном виде.
Процедура, схема которой была изложена, делает все исследования значительно менее трудоемкими и, следовательно, позволяет довести анализ до физически обозримых результатов, не закодировэнных громоздкими «точными» выражениями.
На этом пути был получен ряд результатов. Прежде всего, весьма элементарно были получены все известные результаты теории колебаний мало вязкой жидкости; одновременно удалось решить ряд новых задач. Н. Я. Багаевой и Н. Н. Моисеевым (1964) была решена задача о стоячих волнах между вертикальными стенками (рассматривались свободные и вынужденные колебания). С. И. Крушинская (1965) рассмотрела задачу о колебании жидкости в сосуде, стоящем на вибрирующей подставке. А. Г. Шмидт (1965) получил асимптотические решения задачи о гравитационных и капиллярных волнах на поверхности шарового слоя и на поверхности жидкости конечной глубины. Им же были рассмотрены задачи о волнах, возникающих под действием возмущений, в предположении, что жидкость подвержена также действию сил поверхностного натяжения. Благодаря простоте анализа, достигнутой методически правильным использов анием средств асимптотического анализа, автору удалось наглядно продемонстрировать влияние поверхностного натяжения на декремент затухания и форму волновой поверхности вязкой жидкости. Используя методы асимптотического анализа, Ф. Л. Чер- ноусько (1966) построил формулы, позволяющие рассчитать свободные колебания в вязкой жидкости, заключенной в сосуд произвольной формы, если только соответствующее решение для идеальной жидкости известно. Изложенные методы нашли также свое применение в динамике тела, содержащего вязкую жидкость (например, П. С. Краснощеков, 1963).
Мы видели, что все вопросы разрешимости задач теории линейных колебаний идеальной жидкости весьма элементарны и структура спектра может быть изучена с большой степенью подробности. В вязкой жидкости все указанные вопросы качественно сложнее, поскольку они сводятся к проблемам спектральной теории несамосопряженных операторов. В этой области пока еще очень мало результатов теоретического характера.
По-видимому, пока самый интересный результат здесь принадлежит С. Г. Крейну (1964). Им доказано, что вязкая жидкость, заключенная в сосуд, может иметь только конечное число колебательных степеней свободы. Все остальные степени свободы экспоненциально затухающие. Этот глубокий результат получен очень своеобразной техникой и, по-видимому, определит новое направление в исследованиях динамики тяжелой вязкой жидкости, имеющей св ободную поверхность.
Интересны по своему физическому содержанию задачи о волнах наИнтересны по своему физическому содержанию задачи о волнах наПоверхностные волны в тонких пленках
Интересны по своему физическому содержанию задачи о волнах на
Интересны по своему физическому содержанию задачи о волнах на
поверхности тонкого слоя вязкой жидкости. Типичным представителем
подобных задач является задача, решенная П. Л. Капицей (1948—1949).
Он исследовал малые возмущения в тонком слое вязкой жидкости, стекающей по вертикальной стенке.
Все подобные задачи имеют ряд интересных особенностей. Прежде всего, здесь естественным образом возникают новые постановки задач гидродинамической устойчивости. Обычно рассматриваются условия, при которых исчезает ламинарный характер течения жидкости и течение жидкости
становится турбулентным. В тонких плен
ках, ограниченных с одной стороны твердой стенкой, а с другой — свободной поверхностью, возможен иной тип потери устойчивости. Течение жидкости остается при этом ламинарным, а теряет устойчив ость св ободная поверхность. При числах Рейнольдса больше некоторого Re*, которое мы будем называть критическим, любое бесконечно малое возмущение качественно искажает невозмущенную форму свободной поверх
ности.
Интересная особенность задач гидродинамики пленок — неединственность их решений. Этот факт носит существенно нелинейный характер, он не может быть обнаружен в рамках квазилинейных теорий.
В конце пятидесятых годов началось интенсивное обсуждение проблемы катящихся волн. Содержание этого явления состоит в следующем. Предположим, что по наклонному лотку стекает слой жидкости, расход которой Q. Угол наклона лотка будем обозначать буквой а. Свободная поверхность в этих условиях предполагается плоской и параллельной дну лотка (начальное положение св ободной поверхности показано на рис. 5 пунктиром). Начнем постепенно увеличивать угол а (или расход Q). При определенном значении расхода Q = Q* такая форма течения перестает быть устойчивой и на поверхности воды появляются волны. Они-то и называются катящимися волнами. Попытки объяснить появление этих волн предпринимались неоднократно. При этом исследования велисЕ в двух направлениях.
Данная задача возникла в гидравлике, где традиционной моделью описания движения вязкой жидкости была модель феноменологической вязкости: .
(7.1>(7.1>需=一^Vp +初。,
(7.1>
(7.1>
где к — некоторый эмпирический коэффициент. Поэтому первые работы, посвященные исследованию катящихся волн, содержали попытку объяснить их появление в рамках теории феноменологической вязкости. Однако эта модель оказалась непригодной для изучения катящихся волн, поскольку уравнение (7.1) не содержит периодических решений. Далее для описания этого феномена были использованы возможные разрывные решения уравнения (7.1). Однако и это не давало вполне удовлетворительного результата, поскольку ряд величин (амплитуда, длина волны и т, д.) не могли быть определены. Для описания явления пришлось вводить несколько эмпирических величин.
Вторая попытка построения теории катящихся волн связана с использованием теории пограничного слоя. Если толщина слоя мала, то распределение скоростей в потоке по его сечению близко к тому, которое можно получить, считая, что движение жидкости описывается уравнением пограничного слоя. Представлялось более или менее очевидным, что этот факт служит достаточным основанием считать, что \^ 八夕]явление катящихся волн может быть понято
— 乙(?7, при помощи подобных рассмотрений. Однако — —*' и эта попытка оказалась неудачной, поскольку
公уравнения Прандтля также не содержат пе-
J@ риодических решений.
Стало очевидным, что описание явления Рис. 6.катящихся волн требует его изучения в рамках
уравнений Навье — Стокса, которые позволяют дать тонкое описание ситуации, возникающей на св ободной поверхности реальной жидкости. Такое изучение было предпринято Ю. IL Иваниловым (1961).
Нелинейная задача об установившихся волнах на поверхности вязкой жидкости в точной постановке относится к числу трансцендентно трудных. Поэтому было естественным воспользоваться одной важной особенностью этой задачи. Наблюдения явления катящихся волн показывают, что длина волны обычно оказывается значительно больше толщины слоя воды. Это обстоятельство и послужило исходным соображением для построения асимптотической теории. Для исследования задачи о катящихся волнах Ю. П. Иванилов использовал асимптотическую теорию узких полос. Эта теория имеет своим источником известные работы М. А. Лаврентьева по теории приближенных конформных отображений. В дальнейшем было показано, что формулы М. А. Лаврентьева — это первые члены некоторых асимптотических рядов, дающих решение соответствующих краевых задач, и была предложена методика их построения для широкого класса краевых задач уравнений эллиптического типа (основные результаты этой теории и библиографию можно найти у Н. Н. Моисеева, 1961). Асимптотические методы узких полос оказались весьма эффективным средством исследования разнообразных задач гидродинамики. С их помощью были построены наиболее простые из существующих теорий кноидальных волн как на поверхности потенциального потока (Н. Н. Моисеев и А. М. Тер- Крикоров, 1959), так и в завихренной жидкости. Они позволили установить неединственность решения некоторых задач обтекания (см. об этом в § 8), при их помощи были получены некоторые новые факты теории струй. Ю. П. Иванилов впервые применил эти методы в динамике вязкой жидкости.
Задача о катящихся волнах может быть сформулирована как задача о нахождении решения уравнений Навье — Стокса в полосе G (рис. 6), ограниченной снизу прямой у = 0, а сверху неизвестной свободной гра-
ницей у = g (%)・ При у = 0 должны быть выполнены два условия прили- лания, при у = g — три условия. Два из последних условий — динамические (на свободной поверхности касательные и нормальные напряжения отсутствуют), третье — кинематическое (свободная поверхность должна быть линией тока). Методы узких полос позволяют построить асимптотическое решение, которое заданной функции у = g (%) ставит в соответствие решение задачи о движении жидкости в полосе G при выполнении четырех условий: условия прилипания на дне, отсутствия касательных напряжений и кинематического условия. Поле скоростей в этом случае дается явным выражением, содержащим функцию ^ и ее производные. Подставляя это выражение в условие отсутствия нормальных напряжений, мы можем получить некоторое уравнение относительно неизвестной свободной поверхности. Итак, схема метода узких полос позволяет свести исходную задачу к исследованию обыкновенного дифференциального уравнения.
Ю. П. Иванилов показал, что это уравнение допускает однопараметрическое семейство периодических решений. 一 волны задана, то однозначно определяются ее амплитуда и скорость распространения. Эти решения и описывают катящиеся волны. Таким образом, Иваниловым впервые показано, что катящиеся волны (подчеркнем, волны конечной амплитуды в тяжелой вязкой жидкости) имеют совершенно иные свойства, нежели волны конечной амплитуды в идеальной жидкости.
В идеальной жидкости существует двухпараметрическое семейство волн. Катящиеся волны образуют однопараметрическое семейство. Уже из одного этого ясно, что все соотношения между параметрами этих волн будут другими.
Естественно, далее, поставить вопрос об устойчивости катящихся волн*. Ю. П. Иванилов и Л. В. Пашинина (1965) показали, что эти волны более устойчивы, нежели равномерный пуазейлев поток. Зависимость критического значения числа Рейнольдса от длины волны изображена на рис. 7. Разумеется, смысл имеет только та часть кривой, которая соответствует большим значениям длины волны 九,поскольку все эти результаты получены методами асимптотической теории. Аналогичные результаты были опубликованы Л. В. Пашининой (1966), которая изучала гидродинамику тонкой пленки, подверженной также действию касательных напряжений, приложенных к ее свободной поверхности.
Я остановился здесь только на тех работах, которые своей целью ставят изучение нелинейных задач. Линеаризовэнным задачам в проблеме устойчивости пуазейлевой формы течения в тонких пленках посвящено после работы П. Л. Капицы довольно много исследований (Л. Н. Маурин, В. С. Сорокин, А. А. Зайцев и др.). Они выйолнены с использованием традиционной техники теории малых возмущений и последующего анализа уравнений типа Орра — Зоммерфельда.•
Проблема динамики тонких слоев вязкой жидкости мне представляется интересной во многих отношениях. В этой области есть много задач, которые могли бы быть изучены уже разработанными методами. К числу подобных относятся, например, задача динамики тонких струй вязкой жидкости. Помадимому, очень интересным классом задач, для которых методы узких полос окажутся эффективными, будут задачи о движении тонких струй проводящей вязкой жидкости в магнитном поле.
Некоторые задачи обтекания
Задачи обтекания тела, движущегося под поверхностью тяжелой жидкости, чрезвычайно сложны. Даже в самой простейшей постановке, когда жидкость считается идеальной и несжимаемой и не возникает режима кавитации, трудности, которые связаны с исследованием этих задач в строгой нелинейной постановке, кажутся пока еще непреодолимыми.
В последние годы применение современных методов функционального анализа позволило далеко продвинуть математическое изучение моделей идеальных и вязких течений. Был доказан ряд теорем существования и единственности. Эти результаты относятся главным образом к тем задачам, в которых область фиксирована. Задачи со свободными границами значительно более трудны.
Мы видели, что методы современного функционального анализа использовались также и в задачах динамики жидкости со свободными границами. Однако достигнутые здесь успехи значительно более скромны. Они связаны исключительно с теорией ста- 八夕ционарных волн на поверхности пло
ского слоя жидкости. Поэтому, говоря о задачах обтекания, мы также будем иметь в виду только стационарные задачи и ограничимся рассмотрением только плоского случая. Уже 况 здесь будут видны все те трудности, с которыми придется столкнуться математику, когда он приступит к изучению проблемы.
Плоские задачи обтекания тела, движущегося под поверхностью жидкости (рис. 8)? довольно хорошо изучены в линейной постановке. Систематическое изучение этих задач было начато еще в предвоенные годы Н. Е. Кочиным, Л. Н. Сретенским, М. В. Келдышем и М. А. Лаврентьевым. В настоящее время эти задачи уже не представляют особого интереса： разработанные методы позволяют эффективно решать широкий круг задач, которые здесь возникают, и отвечать на те вопросы, которые ставит техника.
Совершенно иначе обстоит дело в нелинейной теории. По-видимому, первым результатом здесь следует считать работу А. М. Тер-Крикорова (1958), который доказал теорему существования и единственности обтекания вихря интенсивностью Г, находящегося под свободной поверхностью тяжелой жидкости конечной глубины. Число Фруда предполагалось большим 1, т. е. скорость больше критической (напомним, что критическим значением скорости называется величина /g%). Тер-Крикоров доказал, что существует одно и только одно решение задачи обтекания, при условии, что на бесконечности слева и справа поток является равномерным (нулевая асимптотика), которое при Г —> 0 вырождается в равномерный поток. Впоследствии эти результаты, относящиеся к вихрю, были перенесены; на задачи обтекания произвольного тела.
Итак, в этой теории были существенны два обстоятельства. Во-первых, скорость предполагалась достаточно большой (u>，g%) и, во-вторых, рассматривались только те течения, которые вырождались при Г = О в равномерный поток (вопрос о существовании других форм обтекания даже не ставился).
эти предположения.е> м班то могут существовать тяжелой жидкости, обладающего В первом случае — это обычный —это течение, у которого свободэти предположения.е> м班то могут существовать тяжелой жидкости, обладающего В первом случае — это обычный —это течение, у которого свободРассмотрим последовательно оба
эти предположения.
е> м班то могут существовать тяжелой жидкости, обладающего В первом случае — это обычный —это течение, у которого свобод
эти предположения.
е> м班то могут существовать тяжелой жидкости, обладающего В первом случае — это обычный —это течение, у которого свобод
Если скорость достаточно велика две формы установившегося течения нулевой асимптотикой при | х] —> оо. равномерный поток. Во втором случае
ная поверхность имеет форму уединенной волны. Поэтому, когда речь идет о задаче обтекания вихря, то естественно думать, что наряду с тем решением, которое было изучено А. М. Тер-Крикоровым (1958) может существовать и другое решение, которое при Г —> 0 вырождается в поток,
на поверхности которого существует уединенная волна. Такое решение впервые было обнаружено Н. Н. Моисеевым (1957), который изучал в приближенной постановке задачу обтекания бугра или впадины сверхкритическим потоком. Использование методов асимптотически узких полос
позволило свести задачу к исследованию одного уравнения второго поряд
ка вида
謳=斤8,外/3))(/(ж) -линия дна).
Показано, что это уравнение имеет два решения, обращающихся в нуль при 力一> 土 8； одно из этих решений вырождается в тривиальное при max I / Q) I т 0, а другое — в уединенную волну. На рис. 9 по-”
казаны эти два решения. На ' —一 —
夕Рис. 9.夕Рис. 9.рис. 9, а изображен поток, близкий к равномерному, а на рис. 9, 6 — близкий к уединенной волне. Используя те же методы, Н. Н. Моисеев и А. М. Тер-Крикоров (1958) показали, что подобная ситуация характерна не только для задач обтекания неровностей дна, но и для задач обтекания вихря и любого тела сверхкритическим потоком. Эти задачи всегда допускают два решения с нулевой асимптотикой при I х I —> оо. Заметим,
夕
Рис. 9.
夕
Рис. 9.
что этим решениям соответствуют совершенно разные характеристики. Например, подъемная сила подводного крыла будет в обоих случаях совершенно разной.
Указанные результаты не были достаточно строгими, поскольку факт неединственности был установлен на основе анализа некоторого приближенного решения. Однако они казались достаточно убедительнымиf чтобы поставить ряд исследований, имеющих своей целью их проверку. Прежде всего И. Г. Филипповым (I960) было предпринято исследование решения задачи обтекания вихря, которое при Г —> 0 вырождалось в поток, на поверхности которого находится уединенная волна. Им было дано строгое доказательство существования такого решения. Далее, поскольку было обнаружено новое явление, казалось важным найти экспериментальные подтверждения фактам, которые были установлены теоретически. Однако оказалось, что факт существования двух режимов обтекания при движении на мелководье (при скорости выше критической) известен. В пятидесятых годах его обнаружил экспериментально Г. И. Сухомел. Правда, его опыты относились к движению модели по поверхности
жидкости, и поэтому можно говорить только о качественном подтверждении теории.
Напомним, что задачи, о которых шла речь, носят существенна нелинейный характер. В линейной теории второй режим обтекания не может быть обнаружен.
Итак, в точной теории, описывающей обтекание при скоростях больше критической, имеются некоторые результаты, проливающие свет на ряд глубоких физических особенностей, которыми обладают эти течения. Что касается задач обтекания при скоростях меньше критической, то никаких строгих результатов здесь нет вообще.
Задачи о докритическом обтекании значительно сложнее тех, о которых шла речь выше. Эта сложность связана, прежде всего, с различным характером асимптотического поведения свободной границы при %—> + 8 и 力一> —оо. Естественно считать, что вверх по течению (при 6 f — оо) поток стремится к равномерному. Но в этом случае за телом обязательна образуются волны, принимающие при 6f 十 8 регулярный характер. Этот опытный факт легко следует из линейной теории, которая позволяет рассчитать эти волны в зависимости от параметров потока и характера обтекаемого тела. Каков характер асимптотического поведения течения при гг —> + 8, если рассматривать задачу в точной постановке,— на этот вопрос пока ответа нет. Таким образом, в настоящий момент не только нет никакой строгой теории докритического обтекания, но и сама постановка задачи не является вполне четкой. Эти проблемы кажутся очень привлекательными прежде всего с математической точки зрения. Здесь все исследования, начиная от выбора функциональных пространств и разработки аппарата, надо начинать сначала.
ТЕОРИЯ ПРИЛИВНЫХ волн
с. с войт
В основе исследований по теории приливов лежат уравнения, полученные П. С. Лапласом из линеаризованной системы уравнений гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости. Предполагая, что Земля имеет сферическую форму и покрыта океаном глубины h (9,屮),малой по сравнению со средним радиусом Земли г, а также используя обычное для теории длинных волн предположение о малости вертикальных ускорений частиц жидкости, Лаплас записал основные уравнения теории приливов в виде
雰—23°cose —— Z立， )
dtг1
* + 2(o〃cos8="V"&，⑴
dtr sin 0
@С I 1「@ (无usin0) J G(g 1 n I
где и и и — проекции скорости частиц жидкости соответственно на направление меридиана и круга широты, ф и 9 — долгота и дополнение широты места наблюдения,(о — угловая скорость вращения Земли, g = — Ф/g — высота статического прилива, определяемая потенциалом Ф возмущающих сил, g — возвышение возмущенной поверхности над уровнем поверхности относительного равновесия.
Упрощение задачи интегрирования системы уравнений Лапласа достигается при отыскании периодических решений этой системы, что и соответствует исследованию приливных волн.
Колебания, вызываемые приливообразующими силами Луны и Солнца, в силу линейности задачи могут быть представлены в виде суммы гармонических составляющих с периодами, определяемыми основными гармоническими составляющими приливообразующего потенциала. При этом обычно изучаются главные гармонические волны с периодами, близкими к полусуткам или суткам ).
При изучении свободных колебаний период является неизвестной величиной, подлежащей определению в процессе решения.
После исключения гармонических по времени множителей задача приводится к интегрированию уравнений в частных производных второго порядка эллиптического типа, причем при определении приливных колебаний в замкнутых бассейнах для этого уравнения приходится решать граничную задачу при условиях в точках сферического контура, связывающих нормальную и касательную производные искомого интеграла.
В достаточно общих предположениях А. Пуанкаре свел задачу теории приливов к интегральным уравнениям Фредгольма. Это направление исследований было существенно развито в трудах советских математиков, посвященных общим вопросам интегрирования уравнений в частных производных эллиптического типа.
Другое направление исследований основных уравнений теории приливов представлено главным образом трудами английских ученых В. Томсона, С. С. Хафа, Дж. Р. Голдсброу, Д. К. Колборна, Дж. Праудмана, А. Т. Дудсона и др. В этих работах делаются попытки изучения распространения приливных волн в бассейнах конкретных очертаний, схематически имитирующих те или иные бассейны Мирового океана. Подобный способ исследования, позволяющий выяснить общие физические закономерности явления, был широко развит в трудах советских ученых.
Л. Н. Сретенский (1947) исследовал приливы долгого периода и собственные колебания симметрического вида для шара, сплошь покрытого водой, и полярных бассейнов, ограниченных кругом широты различных угловых радиусов, при постоянных в каждом случае глубинах бассейнов. Одновременно им был дан способ определения таких глубин полярного бассейна, при которых наступает явление резонанса с полусуточной составляющей приливообразующей силы.
Эти же методы были использованы Ф. С. Рацер-Ивановой (1959) для изучения полусуточных и суточных приливов в полярных бассейнах. При этом удалось также определить глубины бассейнов, для которых имеет место резонанс с той или иной составляющей приливообразующего потенциала. Ею же (1965) изучались свободные колебания с периодами, большими 12 часов, в полярных морях при условии, что критическая параллель пересекает бассейн. В этом случае задача оказывается наиболее сложной, так как дифференциальное уравнение теории приливов имеет особые точки, положение которых заранее неизвестно.
Отказавшись от учета вращения Земли, Л. Н. Сретенский (1945) исследовал распространение полусуточных приливных волн в водном полушарии Земли, учитывая примерное расположение материков и систем островов. Решение получено им в виде рядов по сферическим функциям и на основании расчетов построена котидальная карта (карта линий равной фазы прилива).
Исследуя приливы в неоднородной жидкости в связи с образованием внутренних волн, Сретенский (1949) показал, что интегрирование уравнений распространения приливных волн в неоднородной жидкости, когда ее плотность испытывает резкое изменение при пересечении некоторой сферической поверхности, приводится к интегрированию уравнений теории приливов однородной жидкости. Им был выполнен подробный анализ характера симметричных относительно оси шара колебаний двухслойной жидкости, покрывающей сплошь вращающийся шар или находящейся в полярном море.
Задача об интегрировании основных уравнений теории приливов получает существенное упрощение в случае, когда горизонтальные размеры бассейнов относительно невелики и поэтому можно принять, что бассейн
плоский и вращается вокруг прямой, перпендикулярной к его невозму-щенной поверхности. Система уравнений Лапласа приводится тогда к виду雾一 2ow=_g备售一£),]
祭+ 2ош=—g显(.£),丨(2)
M _ d (无乂) d {hv) I齐=^dy~・ 丿
Здесь 2 su и 2 cow — составляющие ускорения силы Кориолиса соответственно по осям 力 и у, а в отличие От уравнений (1) через (о обозначена величина й sin 8, где Q — угловая скорость вращения Земли и 9 — средняя широта бассейна. Наконец, если принять глубину бассейна 九 постоянной и обозначить через о частоту колебаний уровня, которая предполагается заданной величиной при рассмотрении собственно приливов и величиной, подлежащей определению, при изучении свободных колебаний, то задача сводится к интегрированию одного уравнения в частных производных:
尹 z @2z O2-W
丽'+ /gh — z — 0(3)
при граничных условиях на контуре бассейна
打寡+2з祭=0.(4)
Изучение приливов при такой постановке задачи широко представлено как в отечественной, так и зарубежной литературе. П. Я. Полубариновой-Кочиной (1938) принадлежит решение об определении собственных колебаний жидкости в плоских бассейнах при наиболее общих предположениях о виде границы бассейна. Ею показано, что решение может быть осуществлено путем нахождения фундаментальных чисел и функций интегрального уравнения, ядро которого представляется через функцию Грина для соответствующей задачи Дирихле. Исследование интегральных уравнений выполнено Полубариновой-Кочиной с использованием разложений в ряды по степеням малого параметра, пропорционального угловой скорости вращения бассейна. Для конкретного случая прямоугольного бассейна ею проведен подробный аналитический анализ решения и вычислены первые члены рядов (1937). В. А. Яблоков (1944) построил котидальные карты и изучил особенности собственных колебаний в зависимости от соотношения между длинами сторон прямоугольного бассейна.
П. С. Линейкин (1937) изучил распространение приливных волн в круглом бассейне постоянной глубины с углублением или возвышением в центральной части бассейна. Исследована зависимость периодов собственных колебаний жидкости в таком бассейне от соотношения между геометрическими размерами его частей. Весьма общим результатом этой работы является вывод о местном характере резонанса. Оказывается, что* увеличение волн за счет резонанса с суточной составляющей приливообразующего потенциала в части бассейна не влечет за собой существенного увеличения амплитуд волн во всем бассейне. Таким образом не подтверждаются основные положения теории Р. Харриса, согласно которой доминирующим фактором в образовании прилива в океане является распространение приливных волн из районов, в которых благодаря резонансу зарождаются волны значительных амплитуд.
6 Механика в СССР, том 2
Л. Н. Сретенский (1937) изучил распространение полусуточных и суточных приливных волн в прямоугольном бассейне, вдоль одной из сторон которого поддерживаются гармонические колебания заданной амплитуды и периода. Это решение было исследовано в качестве схематизированной модели образования приливов Северного Ледовитого океана в результате вхождения в него приливных волн из Атлантического океана. Котидальные карты, построенные на основании результатов интегрирования уравнения (3), позволили автору провести анализ характера распространения приливных волн в бассейне и сделать, в частности, вывод о том, что волна суточного периода вызывает лишь стоячие колебания.
Особенности распространения приливных волн во вращающемся канале, в устье которого поддерживаются колебания полусуточного периода, были изучены также Сретенским (1937). Им было установлено, что в большей части канала гребни приливных волн перемещаются почти параллельно самим себе и лишь в меньшей части канала благодаря появлению амфидромических точек распространение приливных волн носит более сложный характер. Эти исследования были продолжены Т. Я. Се- керж-Зенькович (1957), изучившей распространение приливных волн в проливе, у обоих устьев которого задаются режимы колебания уровня. Ею же было исследовано распространение приливных волн в канале, глубина которого меняется от одного берега к другому (1956), и в случае, когда жидкость в канале состоит из двух слоев разной плотности (1959).
С. С. Войт (1958) изучил распространение приливных волн при выходе их из пролива в плоский вращающийся бассейн. Особое внимание было уделено исследованию краевых волн типа Кельвина, распространяющихся без затухания в одном из направлений границы бассейна. В частности, образованием краевых волн при выходе океанских приливных волн из Английского канала в Северное море можно объяснить большие значения амплитуд прилива вдоль северного поберея^ья Европы. В последующих работах Войт исследовал- явление образования краевых волн при резких изменениях глубины бассейна и при наличии границ (1959, I960).
При получении решений основных уравнений теории приливов точными методами гидродинамики встречаются большие математические трудности. В связи с этим уже при постановке задач подобного рода их приходится весьма схематизировать. Необходимость изучения приливных явлений для конкретных географических объектов вызвала широкое развитие расчетных методов, ставящих своей целью получение с возможно большой степенью точности и с экономной затратой труда приближенных решений основных уравнений теории приливов. При этом предпринимаются и попытки модификации основных уравнений Лапласа с целью приближенного учета придонного трения. Так, например, путем осреднения по глубине бассейна уравнений движения вязкой жидкости в основные уравнения теории приливов вводятся дополнительные слагаемые, учитывающие приливное трение, что в свою очередь требует введения новых гипотез о зависимости силы трения от скоростей приливо-отливных течений или их градиента и глубины бассейна.
Весьма плодотворной явилась идея В. Ганзена о применении численных методов интегрирования дифференциальных уравнений к конкретным задачам расчета приливов. .В качестве граничных условий в численных методах используются данные гармонического анализа наблюдения над уровнем моря для береговых пунктов. Эти же методы позволяют определять скорости приливо-отливных течений по акватории некоторого района,
если известны из наблюдений скорости приливо-отливных течений в точках «жидкого контура», ограничивающего данный район моря.
Разработка и применение численных методов расчета приливов в Советском Союзе начаты Г. В. Полукаровым (1956, 1959). Принципиальная основа его метода та же, что и метода Ганзена, однако техника выполнения расчетов, особенно при определении приливных течений, несколько отлична. Используется метод конечных разностей и методом итераций строится последовательность приближенных решений. Ряд расчетов, выполненных различными авторами для конкретных бассейнов, и последующее сравнение с наблюдениями показали вполне удовлетворительное совпадение рассчитанных и наблюденных значений приливных колебаний уровня и менее удовлетворительное совпадение характеристик приливных течений.
Трудность получения удовлетворительных результатов при расчете приливо-отливных течений, особенно в мелководных бассейнах, связана с необходимостью учета в этих случаях силы придонного трения, а при больших горизонтальных градиентах — скорости течения и бокового трения. Учет придонного трения необходим и при расчете приливов в широтах, где периоды приливных колебаний совпадают с периодами свободных инерционных колебаний.
В последние годы в работах А. И. Фельзенбаума, Л. А. Сгибневой, Б. А. Кагана и др. делаются попытки учета внутреннего трения во всей толще моря. Следуя Г. Свердрупу, авторы этих исследований вводят в уравнения движения слагаемые, учитывающие турбулентную вязкость.
Л. А. Сгибнева и А. И. Фельзенбаум (1965) указали метод решения системы уравнений теории длинных волн в предположении, что жидкость однородна и коэффициент вертикального обмена количеством движения не меняется с глубиной. В последующем А. И. Фельзенбаум и Э. Н. Михайлова рассмотрели также случай неоднородной жидкости (1966).
Б. А. Каган опубликовал ряд исследований (1965, 1966), в которых вводятся в рассмотрение турбулентный пограничный слой и находящийся над ним слой моря, на который непосредственное влияние вязкости не распространяется. В пределах пограничного слоя выделяется придонный подслой, в котором коэффициент тур бул ентности растет с высотой по линейному закону, а в остальной части пограничного слоя остается неизменным по высоте. Рассматривается также случай, когда турбулентный пограничный слой охватывает всю толщу моря. Для принятой автором модели океана постоянной глубины проводятся расчеты распределения скоростей приливных течений по вертикали.
Применение численного метода к расчету приливов приводит к решению краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка. Если объектом исследования является окраинное море, то часть его границы жидкая и, как правило, данных наблюдений в точках этой части границы или нет вовсе, или их недостаточно. Поэтому в этих случаях обычно прибегают к интерполяции или к другим недостаточно надежным способам задания граничных условий, что естественно сказывается на достоверности результатов всего расчета.
Дж. Праудман, основываясь на теореме- Грина, указал способ, поэко^ ляющий для незамкнутого бассейна постоянной глубины определять приливные характеристики на прямолинейной жидкой границе бассейна по известным колебаниям уровня в береговых пунктах. Л. А. Фейрберн, используя результаты Праудмана, рассчитал приливы на экваторе в Индийском океане, предполагая постоянной глубину его северной части.
Л. Н. Сретенский (1962) рассмотрел основы метода Праудмана — Фейрберна с точки зрения его практического применения. Он показал, что коэффициенты ряда Фурье, которым представляется возвышение, убывают с возрастанием номера, если взять точные значения гармонических постоянных в береговых пунктах. Если же, как неизбежно бывает на практике, используются приближенные значения гармонических постоянных, то члены соответствующего ряда Фурье, начиная с некоторого номера, будут возрастать, и поэтому применение данного метода не приведет к успеху.
Развитие расчетных методов изучения приливов имеет большие перспективы, особенно в связи с внедрением в повседневную практику исследований вычислительных машин и счетно-решающих устройств. Однако сами расчетные методы не являются средством анализа физической сущности процесса и могут дать лишь фактический материал для объяснения динамики приливов. Поэтому остается необходимость в использовании как общих теоретических схем анализа приливов, так и эмпирических методов, основанных на использовании данных наблюдений. Рассмотрение многочисленных и весьма полезных работ, выполненных океанографами, выходит за рамки настоящего обзора.
АЭРОДИНАМИКА УСТАНОВИВШЕГОСЯ ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ ПРИ ДОЗВУКОВЫХ СКОРОСТЯХ
А. А. НИКОЛЬСКИЙ, Я. М. СЕРЕБРИЙСКИЙ, В. В. СЫЧЕВ
5 9 28 Q8 8 9 9а5 9 28 Q8 8 9 9аОбтекание профилей при малых скоростях § 2. Обтекание тел вращения при малых скоростях § 3. Крыло конечного размаха при малых скоростях
5 9 28 Q
8 8 9 9а
5 9 28 Q
8 8 9 9а
Обтекание тел при дозвуковых скоростях (учет сжимаемости воздуха).. § 5. Течения с местными сверхзвуковыми зонами
Основоположниками теории обтекания аэродинамического профиля идеальной жидкостью являются выдающиеся русские ученые Н. Е. Жуковский и С. А. Чаплыгин ——создатели Центрального а^ро-гидродинамиче- ского института (ЦАГИ), где были сосредоточены главные усилия по развитию механики жидкости и газа в Советском Союзе, начиная с 1918 г. Являясь сотрудниками ЦАГИ, авторы сознают, что они, быть может, невольно уделили в данном обзоре больше внимания исследованиям, выполненным в этом институте.
Обзор не претендует на рассмотрение всех работ в области аэродинамики дозвуковой скорости. Авторы ограничились лишь теми из них, которые оказали более непосредственное влияние на развитие различных технических приложений, особенно в области авиационной техники. Следует также отметить, что здесь почти не затронуты вопросы нестационарной аэродинамики. Это же относится и к исследованиям течений несжимаемой и сжимаемой жидкости в каналах.
Обтекание профилей при малых скоростях
Одним из важных, ставшим теперь классическим, является раздел аэродинамики, изучающий обтекание профиля плоским потоком идеальной несжимаемой жидкости. Этот раздел имеет и первостепенное прикладное значение, являясь основой изучения дозвукового обтекания крыла и многих других вопросов гидро- и аэродинамики. Законы, характеризую-* щие обтекание профиля идеальной несжимаемой жидкостью, были установлены в получивших всеобщее признание работах Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина. Сюда, прежде всего, относятся теорема Жуковского о подъемной силе, связавшая величину подъемной силы с циркуляцией скорости вокруг профиля, и условие Чаплыгина — Жуковского, дающее возможность зафиксировать величину циркуляции, исходя из предположения о единственной физически возможной схеме безотрывного обтекания
профиля с конечной величиной скорости на его острой задней кромке. В трудах Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина, а также их учеников М. В. Келдыша, М. А. Лаврентьева, Л. И. Седова и др. были заложены математические основы построения плоских потоков идеальной несжимаемой жидкости. При этом получили широкое применение методы теории функций комплексного переменного и, в частности, метод конформных отображений. Этим методом были построены, прежде всего, так называемые теоретические профили, для которых с помощью простой отображающей функции удается точно рассчитать поле течения и с помощью формул Жуковского и Чаплыгина получить аналитическое выражение для подъемной силы и аэродинамического момента. Выбор подходящей отображающей функции позволяет получить контур с острой задней кромкой, форма которого сходна с профилями, используемыми на практике. Простейшим примером теоретического профиля является симметричный руль Жуковского, имеющий нулевой угол заострения задней кромки. Представляют интерес теоретические профили Чаплыгина, дающие возможность построить несимметричный контур с конечным углом заострения задней кромки. В дальнейшем за границей рядом ученых были предложены различные профили с точной отображающей функцией (профили Кармана ——Трефтца, профили Мизеса и др.). Л. А. Симоновым (1941) была предложена серия теоретических профилей в форме линейной комбинации нескольких простейших отображающих функций, связанных с основными геометрическими параметрами профиля: его толщиной, вогнутостью и т. д.
Большое значение для изучения плоских течений несжимаемой жидкости с помощью теории функций комплексного переменного сыграли монографии В. В. Голубева «Теория крыла аэроплана в плоскопараллельном потоке» (1927) и Л. И. Седова «Теория плоских течений идеальной жидкости» (1939). Л. И. Седов в этой монографии ввел в теорию обтекания тонкого профиля метод выделения особенностей на кромках профиля, позволивший ему найти в замкнутом виде решение задачи об отыскании интегральных характеристик тонкого профиля, подъемной силы, момента сил. Решение задачи обтекания профиля может быть получено также в виде рядов, составленных из фундаментальных функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа. Такое решение для симметричного профиля было получено Я. М. Серебрийским (1945), причем решение уравнения Лапласа находилось в Эллиптической системе координат в виде ряда для^потенциала скорости.
Новый этап в развитии теории был связан с необходимостью более глубокого и детального изучения обтекания используемых на практике профилей. Для ряда работ исходными в этом вопросе были зарубежные исследования Г. Глауерта, в основу которых была положена замена тонкого профиля вихревым слоем. При этом решение задачи обтекания было дано в тригонометрических рядах. В методе Я. М. Серебрийского (1944), основанном на работах Г. Глауерта, Т. Теодорсена и И. Гаррика, заданный профиль отображается на окружность в два этапа: сначала с помощью элементарной точной отображающей функции профиль преобразуется в кривую, близкую к окружности, а затем строится процесс последовательных приближений для преобразования кривой, близкой к окружности, в окружность. Предложенный процесс последовательных приближений сходится очень быстро и практически всегда достаточно одного приближения. В этом методе удобно выполнять различные местные деформации контура с помощью набора некоторых табулированных функций («горок»).
Ряд исследований был посвящен так называемой обратной задаче о построении профиля по заданному теоретическому распределению скоростей на его поверхности. Исходные предпосылки для решения обратной задачи были сформулированы немецким ученым В. Манглером. При решении обратной задачи используется связь между плоскостью годографа скорости и физической плоскостью течения. Трудности широкого практического применения обратной задачи связаны с тем, что произвольно заданному распределению скоростей не всегда соответствует контур, имеющий реальный смысл. Необходимо, во-первых, выполнить условие замкнутости контура и, во-вторых, избежать такого распределения скоростей, при котором получается самопересекающийся контур. В работе Л. А. Симонова (1947) приводится решение обратной задачи для профиля, близкого к данному. В ней задается деформация известной эпюры скоростей .теоретического профиля и находится соответствующее изменение контура. Формулы, приведенные в этой работе, могут быть использованы не только для решения обратной, но и для решения прямой задачи. В работе В. М. Шурыгина (1948) при произвольном предварительном задании распределения давления на поверхности искомого профиля предлагается приближенный прием коррекции этого распределения с целью устранения упомянутого выше самопересечения. Подробное рассмотрение обратных краевых задач для стационарных и нестационарных течений несжимаемой и сжимаемой жидкости, а также для других задач математической физики содержится в работе Г. Г. Тумашева и М. Т. Нужина (1955). (Первые публикации Тумашева по данному вопросу относятся к 1946 г.) Наряду с общей математической постановкой ряда обратных краевых задач в этой работе обсуждаются вопросы корректности и единственности их решения, формулируются условия, которые нужно наложить на заданное распределение скоростей для получения замкнутого контура, сопоставляются способы задания распределения скоростей по дуге искомого контура и по хордовой координате.
Приближенные методы расчета профилей в несжимаемой жидкости, методы учета сжимаемости при больших дозвуковых скоростях, методы расчета поверхностного трения наряду с сыгравшими особенно большую роль экспериментальными исследованиями обтекания профилей привели к созданию серий профилей ЦАГИ, нашедших широкое применение в отечественном самолетостроении (Ф. Г. Гласс, П. П. Красильщиков, Г. П. Свищев, Я. М. Серебрийский, Р. И. Штейнберг, А. К. Волков, К. С. Николаева, М. В. Рыжкова). Аналогичные исследования за границей привели к созданию широко известных серий профилей Clark, RAF, NACA и др.
Большое значение имеют задачи об обтекании плоским потоком многосвязных контуров, профилей с резкими местными изменениями контура и других сложных фигур. Эти задачи связаны с исследованиями механизации крыла, исследованиями обтекания компрессорных и турбинных решеток ), поправок на влияния границ потока и т. п. М. В. Келдышем было показано существование параболы метацентров у произвольной конечной системы профилей (1936). В работе С. А. Чаплыгина и Н. С. Ар- жаникова (1931) решается задача об обтекании плоской пластины с изломом, соответствующей тонкому профилю с простым закрылком. Ряд схематических задач об обтекании профиля со щелью, профиля с закрылком
и предкрылком, решеток профилей и т. д. решен в работах С. А. Чаплыгина, Л. И. Седова, В. В. Голубева и других ученых для многосвязных контуров, каждый из которых заменяется прямолинейным отрезком.
Широкое применение цифровых электронных вычислительных машин сделало целесообразным применение к задачам обтекания метода интегральных уравнений. В последние годы получают развитие численные методы построения течедий идеальной несжимаемой жидкости с помощью распределенных особенностей (вихрей, источников-стоков, диполей). Одним из преимуществ этих методов по сравнению с методами комплексного переменного является возможность их применения для построения не только плоских, но и пространственных течений. Эти методы опираются на хорошо разработанную в математике общую теорию потенциала. В 1932 г. П. А. Вальтер и М. А. Лаврентьев, пользуясь указанной общей теорией, получили интегральное уравнение относительно интенсивности распределения вихрей вдоль криволинейного контура и предложили метод последовательных приближений для его решения. В статье М. А. Лаврентьева, Я. И. Секерж-Зеньковича и В. М. Шепелева (1935) указанный способ применяется к построению обтекания бипланной системы, состоящей из двух бесконечно тонких искривленных дужек. Задача сводится к решению системы двух интегральных уравнений методом последовательных приближений и доказывается сходимость такого процесса. В последние годы развивались численные методы расчета произвольных систем тонких профилей. С. М. Белоцерковский (1965) использовал схему замены вихревого слоя (как стационарного, так и нестационарного) конечным числом дискретных вихрей, сведя задачу к решению системы алгебраических уравнений. В работах А. И. Смирнова (1951) и Г. А. Павловца (1966) используется схема непрерывного распределения вихрей и с помощью интерполяционных полиномов Мультхопа расчет также сводится к решению системы алгебраических уравнений.
Большой интерес в настоящее время представляет возможность применения метода вихревого слоя* к профилям конечной толщины.. При этом вихри распределяются по поверхности профиля и задача решается в точной постановке. Общая теория вопроса является непосредственным приложением математической теории потенциала; задача сводится к построению подходящих численных методов расчета. Наибольшее значение метод вихревого слоя приобрел в связи с новыми возможностями, которые дают ЭВМ. В частности, Г. А. Павловец (1966) разработал схему
численного расчета мы. В этой работе М. А. Лаврентьева нению Фредгольмачисленного расчета мы. В этой работе М. А. Лаврентьева нению Фредгольмаобтекания многосвязных контуров произвольной фор- метод вихревого слоя применяется в интерпретации (1932), когда задача сводится к интегральному урав- второго рода, выражающему обращение в нуль каса-
численного расчета мы. В этой работе М. А. Лаврентьева нению Фредгольма
численного расчета мы. В этой работе М. А. Лаврентьева нению Фредгольма
тельных скоростейтельных скоростейпотока с внутренней стороны замкнутого контура.
тельных скоростей
тельных скоростей
При построении численного метода для отыскания неизвестного распре
деления плотности вихревого слоя на всех контурах используется итерационный процесс решения системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Численный метод дает реальную возможность рассчитывать поле течения для таких сложных систем, как толстый профиль со щелевыми закрылками и предкрылками, механизированный профиль вблизи земли и т. п.
Одной из важных для практики многосвязных задач является задача об изменении аэродинамических характеристик профиля и крыла вблизи земли. В проведенных Я. М. Серебрийским (1936, 1939) экспериментальных исследованиях были выяснены некоторые особенности этого влияния.
На режимах максимального качества из-за влияния земли имеет место резкое увеличение аэродинамического качества, обусловленное ростом подъемной силы на нижней поверхности профиля, уменьшением индуктивного сопротивления и некоторым уменьшением сопротивления трения. На весьма малых углах атаки вблизи земли на профиль действует весьма значительная отрицательная подъемная сила, связанная с эффектом «трубки Вентури», образующейся между выпуклой нижней поверхностью профиля и землей.
В связи с ростом скоростей полета самолета широкое применение сейчас находят стреловидные крылья и крылья малого удлинения различной формы в плане. Условия обтекания профиля в сечении таких крыльев как при малых, так и при больших скоростях могут существенно отличаться от условия плоскопараллельного потока из-за пространственного характера течения. В ряде работ ЦАГИ были установлены основные закономерности перестройки обтекания профиля в системе стреловидных крыльев и крыльев малого удлинения. В. В. Струминским, Н. К. Лебедь и К. К. Костюком (1948) путем экспериментального исследования распределения давлений в различных сечениях стреловидных крыльев при малых скоростях было показано, что наиболее существенным изменениям, обусловленным трехмерным характером течения, подвергается обтекание профилей, установленных в корневых и концевых сечениях стреловидного крыла. В корневом сечении крыла с прямой стреловидностью область повышенных местных скоростей смещается вперед к носку профиля по сравнению с эпюрой скоростей такого же профиля в условиях плоскопараллельного обтекания; в концевом сечении происходит обратная перестройка, т. е. область повышенных местных скоростей смещается к задней кромке профиля. В срединных сечениях стреловидного полукрыла большого удлинения условия обтекания близки к условиям на скользящем крыле бесконечного удлинения. В работе Я. М. Серебрийского и М. В. Рыжковой (1951) с помощью метода источников и стоков проводится приводящее к тем же выводам, что и эксперимент, теоретическое исследование симметричного обтекания профиля в системе тонкого крыла произвольной формы в плане при обтекании его потоком идеальной несжимаемой жидкости. Учет пространственного обтекания стреловидного крыла приводит к необходимости применения профилей различной формы на отдельных участках крыла. Такие специальные профили создавались для корневых и концевых отсеков стреловидного крыла (Г. П. Свищев, Я. М. Серебрийский, К. С. Николаева, М. В. Рыжкова). Существенное изменение местных скоростей происходит и на крыльях малого удлинения. При уменьшении удлинения за счет пространственности обтекания уменьшаются возмущения на поверхности профиля, причем для малых удлинений это уменьшение возмущений может быть весьма существенным не только в концевых, но и в средних сечениях крыла.
Отмеченные работы и многочисленные экспериментальные исследования, проведенные в аэродинамических трубах, послужили основой для рациональной аэродинамической компоновки стреловидных крыльев и крыльев малого удлинения.
Обтекание тел вращения при малых скоростях
При рассмотрении установившегося обтекания тел вращения обычно выделяют продольное и поперечное обтекание, наложение которых дает возможность построить течение при любом угле атаки. Несмотря на то, что
при этом теоретическая подъемная сила равна нулю (а эксперимент дает подъемную силу, отличную от нуля), даже на довольно больших углах атаки (до 10°—20°) у тел вращения с сужающейся кормовой частью экспериментальное и расчетное распределения давлений существенно отличаются лишь на хвостовом участке тела. Это обстоятельство указывает на то, что эффекты, обусловленные вязкостью и отрывом потока, заметно проявляются лишь в кормовой части тела. Поэтому представляется целесообразным для подобных тел рассматривать обтекание при заданном угле атаки без подъемной силы как безотрывное по теории идеальной жидкости и дополнительно приближенно определять подъемную силу и изменение продольного момента, обусловленные действием вязкости и отрывом потока.
При исследовании обтекания тел вращения в идеальной жидкости применяются как методы, основанные на построении течения по особенностям, так и методы, использующие непосредственное разложение в ряд решения уравнения Лапласа.
Первые зарубежные работы по исследованию обтекания тел вращения принадлежат Г. Фурману (1912), М. Мунку (1924), Т. Карману (1927), И. Лотц (1931).
Наиболее простым способом решения задачи об обтекании тела вращения с помощью распределенных особенностей является распределение этих особенностей на оси вращения. Такой способ применим для тонких, плавных тел вращения, не имеющих резкого изменения кривизны обвода. Одно из первых в СССР исследований по применению этого метода содержится в работе Б. М. Земского (1938). Л. И. Седов (1940) упростил интегральное уравнение для определения интенсивности распределенных на оси вращения источников и стоков для случая, когда тело очень тонкое и поэтому радиальная координата поверхности тела мала по сравнению с осевой. В 1944 г. Г. И. Майкапар предложил при решении интегрального уравнения для продольного обтекания тела вращения использовать вместо неизвестной функции, дающей распределение источников и стоков, функцию, являющуюся ее интегралом. В работе Н. И. Шарохина (1948) рассматривается продольное и поперечное обтекание тела вращения. В качестве особенностей выбираются распределенные на оси вращения диполи; искомое распределение представляется в виде ряда Фурье.
Дальнейшие уточнения расчета обтекания требуют распределения особенностей по поверхности тела вращения. Задача для распределенных по поверхности источников и стоков сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода, вывод которого непосредственно следует из общей математической теории потенциала и дан, например, в работе Н. Я. Фабриканта (1937). Численный метод решения задачи, приспособленный к современным вычислительным машинам, имеется в работе Л. А. Маслова и И. Б. Федоровой (1965) и сводится к решению интегрального уравнения методом последовательных приближений. Л. А. Маслов (1965) обобщил его на случай произвольного движения тела вращения для расчета присоединенных масс. Задача может быть решена также, если в качестве распределенных особенностей выбрать не источники и стоки, а кольцевые вихри. В работе О. П. Сидорова (1958) приводится система интегральных уравнений для случая двухсвязной осесимметричной задачи.
Другой подход к построению обтекания тел вращения в несжимаемой жидкости связан с представлением решения уравнения Лапласа в форме ряда частных решений. Каждый член этого ряда является произведением функций Лежандра первого и второго рода. Для удлиненных тел вращения удобно использовать эллиптическую систему координат. В частности,
в разработанном Я. М. Серебрийским (1944) методе расчета обтекания тел вращения используется то обстоятельство, что для удлиненных тел одна из эллиптических координат мала и что при разложении функций Лежандра второго рода выделяется общий для них простой главный член разложения. Хорошую точность для плавных тел дает первое приближение. И. Б. Федоровой (1948) этот метод использован для приближенного решения обратной задачи о построении формы тела вращения по заданному распределению давления.
Методы решения задачи об обтекании удлиненных тел произвольного поперечного сечения сходны с методами, используемыми для тел вращения. Ф. И. Франкль и И. И. Этерман (1944) предложили метод расчета для тел, близких к удлиненным эллипсоидам вращения. На эллипсоиде вращения решается краевая задача с помощью обобщенных функций Лежандра (шаровых функций). Для поверхности более общего вида с резкими изменениями формы как продольных, так и поперечных сечений можно использовать распределение по поверхности особенностей. Краевая задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Для его решения в настоящее время с успехом используются быстродействующие вычислительные машины. В посвящённой этому вопросу работе Л. А. Маслова (1966) интегральное уравнение решается методом последовательных приближений и удается с хорошей точностью рассчитать тела сложной формы, такие как фюзеляжи самолетов и вертолетов с различными надстройками и т. п.
Важное значение для общей теории обтекания тел вращения имеют работы, посвященные исследованию произвольного (неустановившегося) движения таких тел. Л. И. Седов (1940) рассмотрел обтекание тела вращения в случае произвольного пространственного движения в покоящейся жидкости. Для этого случая им были даны формулы, выражающие силы и моменты, действующие на тело вращения, через присоединенные моменты инерции. Г. П. Свищев (1940) рассмотрел обтекание тел вращения в случае неустановившегося плоского движения в возмущенной жидкости. (Полученные в этой работе формулы для распределения поперечных нагрузок по длине тела вращения позволили уточнить силы, действующие на корпус дирижабля для ряда режимов, в первую очередь для стоянки на мачте в порывистый ветер.)
Для учета влияния вязкости и отрыва потока при определении суммарных аэродинамических характеристик тела вращения (подъемной силы и момента) используются различные приближенные приемы, основанные в значительной мере на обработке и обобщении результатов эксперимента. При малых углах атаки изменение коэффициента подъемной силы тела вращения можно принять линейным. Для этого случая К. К. Федяевский (1938) получил формулу для определения подъемной силы, исходя из эмпирического распределения завихренности в кормовой части тела вращения, которое было предложено Т. Карманом. По этой формуле тела вращения с заостренной кормовой частью имеют подъемную силу, примерно в три раза меньшую, чем крылья малого удлинения той же формы в плане. При систематическом экспериментальном исследовании аэродинамических характеристик тел вращения различной формы, проводившихся Н. Н. Фоминой (1935), была выявлена существенная нелинейность при изменении коэффициентов подъемной силы и момента по углу атаки. Для приближенного определения аэродинамических коэффициедтов на участке их нелинейного изменения используется схема П-образного вихря, расположенного в кормовой части тела вращения, предложенная в работе
Г. П. Свищева (1940). К. К. Федяевский (1947) разработал полуэмпириче- скую нелинейную теорию, основанную на выделении из суммарного продольного момента момента инерционной природы (выражающегося через присоединенные массы). Это позволило определить положение присоединенного вихря, которое на основании экспериментов принималось независимым от угла атаки. Располагая в центре присоединенного вихря один П-образный вихрь и определяя его циркуляцию из условия равенства нулю скорости в кормовой точке тела, автор получил формулы для определения подъемной силы, продольного момента и приращения сопротивления, вызванного углом атаки. Расчеты, проведенные по этим формулам, находятся в удовлетворительном согласии с экспериментом до углов атаки примерно 20°.
Крыло конечного размаха при малых скоростях
Теорию крыла конечного размаха позволило создать использование основополагающей теоремы Н. Е. Жуковского о связи подъемной силы с циркуляцией и модели течения с присоединенным вихрем, так что эта теория является логическим продолжением и развитием идей, составляющих фундамент теории крыла бесконечного размаха. В 1910 г. С. А. Чаплыгин в докладе на тему «Результаты теоретических исследований о движении аэропланов» сформулировал общие представления о вихревой системе крыла конечного размаха. В 1913 и 1914 гг. им были получены первые формулы для подъемной силы и индуктивного сопротивления. Они были доложены на третьем воздухоплавательном съезде в Петербурге. В дальнейшем основное распространение получила теория несущей линии, предложенная в Германии Л. Прандтлем для крыльев большого относительного удлинения. В рамках этой схемы было получено интегро-дифференциальное уравнение, связывающее изменение циркуляции и индуктивный скос потока. Задача свелась к отысканию различных приближенных методов его решения. В работе Б. Н. Юрьева (1926) был применен геометрический прием, в котором использовалось предположение о том, что распределение циркуляции близко к эллиптическому и что отклонения от этого распределения повторяют форму крыла в плане. Аналитические методы, применявшиеся на начальном этапе развития теории для получения приближенных решений, состояли в требовании удовлетворения основному уравнению в ограниченном числе точек по размаху. Так, в методе тригонометрических разложений В. В. Голубев (1931) заменил бесконечный тригонометрический ряд тригонометрическим многочленом, сведя бесконечную систему уравнений к конечной системе, в которой число неизвестных соответствует числу членов разложения циркуляции и числу точек на крыле. С целью более точного учета формы крыла в плане при ограниченном числе решаемых алгебраических уравнений Я. М. Серебрий- ский (1937) предложил для решения интегро-дифференциального уравнения использовать способ наименьших квадратов.
Эффективным для технических приложений и нашедшим широкое распространение оказался метод, являющийся развитием проведенных в Германии исследований И. Лотц, предложенный в работе.А, Б. Рисберга (1937), в котором закон распределения хорд представляется рядом Фурье. При этом нет необходимости удовлетворять уравнению в отдельных точках и форма крыла в плане учитывается лучше. Задача свелась к системам линейных алгебраических уравнений, распадающихся на нечетную (для симметричного распределения циркуляции) и четную (для антисим-
метричного распределения, например, в случае отклонения элеронов в противоположные стороны). Оказалось, что для практических целей достаточно было ограничиться системами, состоящими из четырех — восьми уравнений каждая. С помощью этого метода эффективно рассчитывалось распределение подъемной силы по размаху и суммарные аэродинамические характеристики крыльев большого удлинения различной формы в плане с различными законами изменения угла геометрической закрутки крыла по размаху. Задача о крыле с отклоненными элеронами была решена методом А. Б- Рисберга В. С. Полядским (1939). Эти работы были использованы для рациональной аэродинамической компоновки крыла с целью предотвращения срывов потока на концах крыла, появление которых является угрожающим с точки зрения безопасности полета самолета. Для устранения концевых срывов выбирались надлежащая форма крыла в плане, закон распределения угла геометрической закрутки по размаху и такой набор профилей различной формы по размаху крыла, при котором концевые сечения обладали бы запасом максимальной подъемной силы. Работы, связанные с рациональной аэродинамической компоновкой прямых крыльев большого удлинения, проводились Л. П- Красильщиковым, В. В. Струминским, А. А. Дородницыным, А. Б. Рисбергом, Б. Т. Горо- щенко, В. С. Полядскйм, Г. А. Юдиным и др.
В ряде случаев (например, при нелинейном законе изменения коэффициента подъемной силы сечения крыла по углам атаки) при решении интегро-дифференциального уравнения желательно применять метод последовательных приближений. Однако М. В. Келдыш показал, что процесс последовательных приближений расходится, если применять его к исходному сингулярному интегро-дифференциальному уравнению- В работах Г- И. Майкапара (1944) и Г. Ф. Бураго (1947) рассматриваются различные формы обращения интегро-дифференциального уравнения и сведения его к интегральному уравнению с интегрируемым ядром, при решении которого можно использовать метод последовательных приближений. В теории несущей линии был также получен ряд частных точных решений- Г. Ф. Бураго (1947) и И. Н. Векуа (1947) получили точные решения для закрученного эллиптического крыла и для некоторого класса крыльев, являющихся обобщением эллиптического, а Я. М. Серебрийский (1944) получил точные решения для эллиптического крыла при произвольной нелинейной зависимости коэффициента подъемной силы профиля от угла атаки.
Для практических расчетов крыльев по теории несущей линии Прандтля весьма существенным оказался интерполяционный метод, развитый в Германии Г. Мультхопом.
Теория несущей линии нашла применение и при решении ряда задач, относящихся к исследованиям прямого крыла конечного размаха вблизи земли, влияния упругости крыла на его аэродинамические характеристики и т. д.
В работе Ю. Л. Жилина (1964) определяется наивыгоднейшая форма крыла в плане вблизи земли. При малых расстояниях до земли форма крыла, имеющего наименьшее индуктивное сопротивление, существенно отличается от эллиптической в сторону более быстрого убывания хорды крыла по размаху. Взаимосвязь деформаций крыла и аэродинамической нагрузки привела к необходимости совместного решения задач аэродинамики и теории упругости. Я. М. Серебрийским (1937, 1939) было получено интегро-дифференциальное уравнение прямого удругого крыла, из решения которого была получена наивыгоднейшая, с точки зрения индуктивного сопротивления, форма в плане упругого крыла (отличаю-
щаяся от эллиптической). Для упругого крыла был разработан метод расчета скорости, при которой нарушается равновесие между упругими и аэродинамическими силами (скорости дивергенции). Теория упругого крыла позволяет рассчитать реверс элеронов, т. е. определить условие обращения в нуль момента крена за счет кручения крыла от дополнительных аэродинамических сил при отклонении элерона. При рассмотрении несимметричного нагружения крыла от элеронов было введено понятие дивергенции второго рода, соответствующей антисимметричному нарушению условий равновесия.
Дальнейшее развитие авиационной техники потребовало рассмотрения крыльев с формами в плане, отличными от формы прямого крыла большого удлинения. Теория прямой несущей линии, данная Л. Прандтлем, не позволяла рассматривать крылья произвольной формы в плане даже сравнительно большого удлинения. К даслу таких крыльев относятся стреловидные крылья. Причина состоит в том, что в этих случаях индуктивные скорости на несущей линии обращаются в бесконечность. А. А. Дородницын (1944) обобщил теорию на случай крыла с криволинейной несущей линией, показав, что для крыльев большого удлинения это обобщение может служить достаточно хорошим приближением к теории несущей поверхности. Отметив невозможность описания обтекания только с йомощью введения понятия постоянного по хорде индуктивного угла атаки, он предложил рассматривать индуктивные скорости не на самой несущей линии, где они бесконечны, а в ее окрестности. С помощью дополнительного потока с логарифмическим потенциалом, обтекающего сечения крыла, определяется циркуляция, обусловленная конечностью размаха и криволинейностью оси крыла, а также действующие на крыло силы и моменты.
Для практического определения аэродинамических характеристик стреловидных крыльев В. В. Струминским и Н. К. Лебедь (1952) также было применено видоизменение теории несущей нити. В основу были положены идеи приближенного расчета немецкого ученого И. Вайсзингера. Стреловидное крыло заменялось ими одной вихревой нитью, расположенной на линии 1/& хорд с циркуляцией переменной интенсивности по размаху. Предполагалось, что свободные вихри за крылом образуют плоскую вихревую пелену и что справедлива гипотеза плоских сечений. При решении задачи граничное условие удовлетворялось на линии 3/4 хорд. Полученное интегро-дифференциальное уравнение решалось методом разложения циркуляции в тригонометрический ряд. В результате был получен метод практического расчета распределения циркуляции по размаху стреловидного крыла и его суммарных аэродинамических характеристик с неотклоненными и отклоненными щитками и элеронами при дозвуковых скоростях.
Работы по рациональной аэродинамической компоновке стреловидных крыльев, широко применяемых в авиации, проводились В. В. Струминским, Н. К. Лебедь, К. К. Костюком, Ю. А. Гореловым, М. Н. Некрасовой, Г- А. Юдиным, Л. М. Домбровской и др. Они опирались на расчеты крыльев конечного размаха и многочисленные систематические испытания в аэродинамических трубах.
Переход к крыльям малого удлинения требовал перехода от теории несущей линии к теории несущей поверхности. Стоящими совершенно особо работами в этом направлении являются точные решения Н- Е. Кочина (1940) для круглого крыла и работы немецких ученых В. Киннера и К. Кринеса по теории круглого и эллиптического крыла.
Г. И. Майкапар (1947) применил предложенный еще Н. Е. Жуковским в вихревой теории винта метод выделения особенностей для вычисления скорости, индуцируемой вихревой поверхностью. П. И. Чушкин (1949) предложил метод расчета циркуляции для прямоугольных крыльев малого удлинения, в котором вихревая поверхность заменяется рядом вихревых нитей, равномерно распределенных по хорде, причем на линиях, находящихся посредине между вихревыми нитями, удовлетворяются граничные условия непротекания. Получаемые при этом интегро-дифференциальные уравнения решаются методом Мультхопа. Постоянные коэффициенты, входящие в полученные системы уравнений, оказываются зависящими от удлинения крыла. Для решения системы уравнений предлагается метод последовательных приближений. Результаты проведенных расчетов оказались в лучшем соответствии с экспериментом, чем результаты расчета по методу К. Вигардта, взятому за исходный П. И. Чушкиным. Г. А. Колесников (1949) распространил метод, использованный для прямоугольных крыльев, на случай расчета тонких крыльев малого удлинения произвольной формы в плане. Несущая поверхность заменялась им системой дискретных присоединенных вихрей переменной по длине интенсивности. Соответствующая система интегральных уравнений решалась путем введения интерполяционного полинома и удовлетворения граничному условию в конечном числе сечений. Сравнение результатов расчета с экспериментом показало, что вполне удовлетворительные результаты получаются уже при четырех присоединенных вихрях и 15 сечениях, в которых удовлетворяются граничные условия. Систематические расчеты но этому методу (с целью изучения влияния геометрических параметров крыльев на их аэродинамические характеристики) были выполнены Д. П. Гроссманом, Г. А. Колесниковым и Т. И. Окерблом (1951). Для исследования моментных характеристик крыла малого удлинения оказалось полезным введенное К. К. Федяевским (1949) понятие центра присоединенного вихря как центра давления, соответствующего чисто циркуляционному обтеканию крыла. Для тонкого квадратного крыла положение такого условного центраприсоединенного вихря значительно меньше зависит от изменения угла атаки, чем положение центра давления. Применительно к крыльям весьма малого удлинения произвольной формы в плане К. К. Федяевским (1963) было показано, что при изменении направления движения центр давления и центр присоединенного вихря меняются местами.
М. В. Рыжковой и Я. М. Серебрийским (1953) было выписано и подвергнуто расчетному анализу решение обратной задачи об определении формы несущей поверхности стреловидного крыла бесконечного размаха по заданному распределению подъемной силы. Характерной особенностью поверхности с равномерным распределением подъемной силы является крутка, увеличивающаяся вблизи корневого сечения крыла.
Для расчета характеристик крыльев малого удлинения по теории вихревой поверхности в линейной постановке широкое распространение получил метод, развитый в работах С. М. Белоцерковского (1955—1964).- Расчеты по этому методу производятся с помощью вычислительных машин. Несущая поверхность заменяется системой дискретных подковообразных вихрей, причем особенность этих подковообразных вихрей состоит в том, что Они могут быть «косыми», т. е. участок подковообразного вихря, являющийся элементом присоединенного вихря, может составлять некоторый угол с направлением набегающего потока. После удовлетворения граничным условиям расчет сводится к решению системы алгебраических
уравнений. Метод используется и для расчета характеристик крыльев при нестационарном движении. В работе Б. К. Скрипача (1962) приводятся данные, необходимые для расчета этим методом величины индуктивного сопротивления и подсасывающей силы для крыльев различной формы в плане. В работе С. М. Белоцерковского, Е. М. Моисеева и В. Г. Табачникова (1965) содержатся результаты систематических расчетов, проведенных для крыльев с различными стреловидностью, удлинением и сужением. Сравнение с опытами показало, что при малых углах атаки совпадение получается удовлетворительным. В настоящее время форма крыла сверхзвукового самолета существенно усложняется. Крыло малого удлинения может иметь изломы по передней и задней кромке, а й некоторых случаях — криволинейную переднюю кромку. В работе С. М. Белоцерковского (1966) предлагается приближенный метод расчета таких крыльев на основе теории вихревой поверхности. В работе Р. И. Штейнберга (1964) для крыльев малого удлинения сложной формы в плане приводятся приближенные формулы для расчета суммарных аэродинамических характеристик, а в работе Р. И. Штейнберга и В. А. Сочнева (1965) — для расчета распределения циркуляции по размаху. Эти работы базируются на теории Р. Джонса для крыла предельно малого удлинения.
С увеличением угла атаки аэродинамические характеристики крыла малого удлинения становятся нелинейными и линеаризованная теория плоской вихревой поверхности дает при углах атаки, представляющих реальный практический интерес, результаты, существенно расходящиеся с данными эксперимента. Нелинейность сказывается тем сильнее, чем меньше удлинение крыла. Нелинейность в протекании моментных характеристик оказывается более значительной, чем в изменении подъемной силы, что приводит, в частности, к смещению центра давления у крыла малого удлинения к задней кромке по мере роста угла атаки. Нелинейным характеристикам крыла малого удлинения была посвящена работа В. В. Голубева (1935), в которой делалась попытка учесть обтекание боковых кромок крыла с помощью представления о «поперечной циркуляции». Создание точной нелинейной теории крыла конечного размаха связано с большими трудностями, которые обусловлены существенным влиянием вязкости и отрыва на этих режимах. Поэтому для приближенных расчетов нелинейных характеристик обычно используются полуэмпирические методы, критерием применимости которых является согласие с результатами испытаний в некотором диапазоне геометрических параметров ^ таких как форма крыла в плане, угол атаки и т. п. В работе Г. Ф. Бураго (1944) вихревая поверхность заменяется одним несущим вихрем и граничные условия удовлетворяются по хорде в среднем. Угол скоса свободных вихрей принимается равным половине угла атаки; приводится приближенная формула для коэффициента подъемной силы, из которой следует его квадратичная зависимость от угла атаки для очень малых удлинений. Н. Н. По- ляхов и А. И. Пастухов (1959) дали возможность оценить не только подъемную силу, но и момент. У них крыло заменяется системой П-образных вихрей, причем угол скоса свободных вихрей цринимается равным углу атаки. С. Д. Ермоленко (I960) принял углы скоса П-образных вихрей на концах прямоугольного крыла равными индуктивным углам скоса потока от присоединенных и свободных вихрей. Метод обобщается им на случай крыла малого удлинения вблизи земли. К- К. Федяевский (1949) разработал приближенную теорию крыльев малого удлинения прямоугольной и эллиптической формы в плане, которая позволяет оценить не только подъемную силу и продольный момент, но также приращение
сопротивления, вызванное изменением угла атаки. В этой работе используется предположение о том, что вычисленное по линейной теории положение центра присоединенного вихря (т. е. центра давления при чисто циркуляционном обтекании крыла) не зависит от угла атаки. В центре присоединенного вихря располагается П-образный вихрь, интенсивность которого находится из удовлетворения условию Чаплыгина — Жуковского на задней кромке корневой хорды. Результаты расчета удовлетворительно согласуются с опытом до углов атаки 30—35°.
Н. Жигулев (1954) разработал схему крыла малого удлинения, в которой непрерывная вихревая пелена, сбегающая с передних кромок треугольного крыла или боковых кромок прямоугольного крыла, заменяется вертикально расположенной плоской вихревой поверхностью, так что за крвддом вихревая пелена имеет «желобообразную» форму. Интенсивность сбегающих с передних или боковых кромок вихрей определяется при этом из условия ограниченности скорости на передней или боковой кромке.
В ряде экспериментальных работ (К. К. Федяевский, Л. X. Блюмина и В. Н. Гребенников, 1964, и др.) используются различные физические методы для исследования картины течения около крыльев малых удлинений при больших углах атаки. Такие течения сопровождаются развитием и сворачиванием вихревой пелены, отходящей от крыла.
Теоретическому исследованию образования и развития спиральных поверхностей тангенциального разрыва около тел, обтекаемых идеальной жидкостью, посвящены работы А. А. Никольского (1957). Им получены ицтегро-диффёренциальные уравнения для автомодельных движений такого рода, получены законы подобия для обтекания тел с острыми ребрами П доказаны некоторые интегральные теоремы, касающиеся динамики таких движений.
К работам по теории крыла конечного размаха тесно примыкают исследования взаимодействия несущих поверхностей с телами вращения (интерференция). А. А. Дородницыным (1944) было предложено решение задачи об определении несущих свойств системы, состоящей из крыла большого удлинения и тонкого длинного фюзеляжа. Крыло заменялось несущей линией (пронизывающей фюзеляж) с переменной по размаху циркуляцией и сходящими с нее свободными вихрями, а фюзеляж — соответствующими особенностями, расположенными на оси. В. Ф. Лебедев (1958) обобщил метод А. А. Дородницына на случай стреловидного крыла и крыла малого удлинения с тонким фюзеляжем. В работе А. А. Никольского (1957) предложено правило расчета подъемной силы й индуктивного сопротивления и рассмотрены некоторые задачи оптимизации системы «крыло — фюзеляж» в случае, когда крыло мало возмущает осесимметричный поток вокруг фюзеляжа. Вихревые линии, сходящие с крыла, при этом криволинейны и расположены вдоль линий тока исходного осесимметричного потока около изолированного фюзеляжа. А. И. Голубинский (1961) разработал метод решения задачи для обтекания крыла с бесконечно длинным цилиндрическим фюзеляжем. При этом для крыла использовалась теория несущей поверхности, а на поверхности фюзеляжа удовлетворялись граничные условия и путем разложения в ряды с помощью цилиндрических функций решалась соответствующая краевая задача. Расчет и опыты показали, что если диаметр фюзеляжа сравним с размахом крыла, то аэродинамическая сила, возникающая вследствйе интерференции, получается того же порядка, что и сила, действующая на изолированные консоли крыла.
7 Механика в СССР, том 2,
Теория, аналогичная теории плоского крыла конечного размаха, используется и при рассмотрении обтекания таких тел, как кольцевое крыло. В работах С. М. Белоцерковского (1952, 1954) развивается теория кольцевого крыла как для схемы кольцевой несущей линии, так и для кольцевой несущей поверхности в случае кольцевого крыла малого удлинения. В теории кольцевой несущей линии задача приводится к интегро- дифференциальному уравнению. В теории кольцевой несущей поверхности разработаны методы численного рас хета.
Обтекание тел при дозвуковых скоростях(учет сясимаемости воздуха)
Проблема исследования течений сжимаемой жидкости приобрела большую актуальность в связи с ростом скоростей в авиации в конце тридцатых — начале сороковых годов. К этому времени уже был разработан ряд методов теоретического анализа этой проблемы： метод итераций, основанный на разложении решения в степенные ряды по квадрату числа Маха невозмущенного потока (Рейли — Янцен, 1913—1916)； теория тонкого тела, базирующаяся на линеаризации уравнений газовой динамики (Прандтль — Глауерт, 1926—1930); метод годографа скорости, основанный на линеаризации уравнений плоских течений газа путем преобразование их к переменным годографа (С. А. Чаплыгин, 1902). Эти методы и были положены в основу многочисленных исследований, посвященных изучению обтекания крыльев и тел при дозвуковых скоростях.
Важным достижением в этом направлении явилась работа М. В. Келдыша и ф. И. Франкля (1932), в которой была рассмотрена внешняя задача Неймана для нелинейных эллиптических уравнений с приложением к теории крыла. Используя метод последовательных приближений, подобный методу Рейли — Янцена, авторы доказали теорему существования решения задачи, дали доказательство справедливости теоремы Жуковского о подъемной силе для случая сжимаемого газа в той же формулировке, что и для несжимаемой жидкости (подъемная сила Р = рооЙооГ, где р^, % — величины плотности и скорости в набегающем потоке, Г — циркуляция; сопротивление равно нулю).
В это же время П. А. Вальтером (1932) было вычислено второе приближение в методе Рейли — Янцена для задачи обтекания профиля крыла. Однако громоздкость вычислений по этому методу делала его малопригодным для практического использования. Развитие теории пошло по другому пути, для которого отправным пунктом послужила система линейных уравнений в плоскости годографа скорости. Начало развитию этого направления и вообще развитию точной теории стационарных движений газа было положено еще С. А. Чаплыгиным в его диссертации «О газовых струях» (1902). В этой работе были решены некоторые задачи, явившиеся обобщением теории струйных течений Гельмгольца ——Кирхгофа на случай сжимаемой жидкости, а также предложен весьма простой приближенный метод интегрирования уравнений газовой динамики, основанный на аппроксимации точной адиабатической зависимости / = р (р) подходящим образом выбранной линейной зависимостью р =力十-В/p. Н. А. Слезкин (1935, 1937) рассмотрел в приближенной постановке Чаплыгина задачи о струйном и сплошном бесциркуляционных обтеканиях.
В конце тридцатых годов возникла практическая необходимость создания метода расчета распределения давления вдоль профиля крыла в дозвуковом потоке газа и, особенно, определения «критического» числа
Маха набегающего потока, соответствующего появлению на профиле точки со звуковой скоростью. Интерес к определению и изменению этого «критического» числа для профиля был связан с экспериментальным установлением того факта, что его превышение связано со значительным увеличением коэффициента сопротивления, обусловленного возникновением скачков уплотнения в местных сверхзвуковых зонах. Приближенные способы расчета были предложены С. А. Христиановичем (1940). Исходя из системы линейных уравнений Чаплыгина для потенциала скорости и функции тока в переменных годографа скорости, записанных в каноническом виде (Л. С. Лейбензон, 1935), Христианович развил метод последовательных приближений для решения задачи об обтекании профиля потоком идеального газа с дозвуковой скоростью. За первое приближение в работе было принято приближение, сводящее задачу об обтекании профиля газом к задаче об обтекании деформированного профиля несжимаемой жидкостью. Это первое приближение основывается на аппроксимации .переменного коэффициента К в системе уравнений плоскости годографа постоянным значением К» соответствующим условиям в набегающем потоке (в отличие от Kq = 1 у С, А, Чаплыгина). Следует заметить, что рассматриваемое Христиановичем решение задачи в первоначальной форме приводило к некоторым трудностям при определении деформированного профиля в случае циркуляционных течений (деформированный профиль содержал тонкие бесконечные «усы», уходящие от профиля на бесконечность). Первые строгие решения при линейной аппроксимации адиабаты были получены в 1947 г. в работах С. А. Христиановича и И. М. Юрьева и Л. И. Седова (за рубежом аналогичные решения были получены П. Жерменом и Ц. Ц. Линем).
Указанное выше первое приближение метода Христиановича при пренебрежении деформацией профиля содержало соответствующее правило пересчета распределения безразмерной скорости по профилю, получаемого при его обтекании потоком несжимаемой жидкости, на распределение этой скорости при обтекании профиля потоком сжимаемой жидкости ). Это правило сводило также задачу об определении критического числа при обтекании профиля газом к задаче об определении на нем минимального коэффициента давления при его обтекании несжимаемой жидкостью. Расчеты по учету сжимаемости воздуха в указанном выше упрощенном виде дали удовлетворительное совпадение с экспериментом и нашли в то время широкое применение при аэродинамическом проектировании профилей крыльев, предназначенных для полета с большими дозвуковыми скоростями. Подробные исследования влияния сжимаемости воздуха на аэродинамические характеристики профилей (на основе метода С. А. Христиановича) были вьшолнены В. С. По- лядским (1943).
В работах Г. А. Домбровского (1951—1964) были рассмотрены различные возможности более точной аппроксимации адиабатической зависимости давления от плотности, сводящие уравнения к интегрируемой форме, ■ и даны точные решения некоторых математически корректно поставлен^ ных задач.
Наряду с использованием уравнения газовой динамики в форме С- А. Чаплыгина в ряде работ использовалось также преобразование Лежандра. А. И. Некрасовым (1944) был разработан основанный на этом
преобразовании метод последовательных приближений и была приближенно решена задача обтекания кругового цилиндра. Л. К. Кудряшов (1947) применил этот метод к расчету обтекания эллипса. Метод последовательных приближений основывается на разложении решения в стеленной ряд по малому параметру, пропорциональному величине % (丫 一 —1) ML (丫 一 отношение удельных теплоемкостей газа), и таким образом сводит задачу первого приближения к задаче для несжимаемой жидкости. Важно отметить, что получение этого приближения для профиля заданной формы требует расчета обтекания несжимаемой жидкостью контура той же формы, что и исходный, а не деформированного контура.
Наряду с исследованиями плоских потенциальных течений сжимаемого газа в описываемый период времени был выполнен также ряд работ, посвященных исследований пространственных дозвуковых течений. Сюда относятся работы, связанные с аэродинамикой тел вращения и крыльев конечного размаха в дозвуковом потоке. С. А. Христиановичем (1940) было дано обобщение разработанного им метода на случай обтекания тела вращения, сводящее задачу к расчету некоторого фиктивного течения несжимаемой жидкости с последующим пересчетом скоростей и определением формы тела в физической плоскости. Этот метод получил свое дальнейшее развитие в работе И. И. Этермана (1947), где для случая эллипсоида вращения была доведена до конца задача первого приближения.
Большинство других работ, связанных с учетом сжимаемости в пространственных течениях, основывается на теории малых возмущений, обобщающей приближение Прандтля ——Глауерта и сводящей задачу к исследованию соответствующего аффино-подобного тела в несжимаемой жидкости. Из работ этого направления следует отметить проведенное Л. А. Симоновым и С. А. Христиановичем (1944) обобщение формулы Био — Савара на случай сжимаемого потока, позволившее весьма просто рассчитывать ивдуктивные скорости в любой точке пространства для вихревой системы крыла конечного размаха и винта с бесконечным числом лопастей.
Течения с местными сверхзвуковыми зонами
Е При числах Маха набегающего потока, больших «критического» Мкр, около обтекаемого тела развивается местная зона сверхзвуковых скоростей, которая обычно заканчивается скачком уплотнения. Скачок уплотнения, взаимодействуя с вязким пограничным слоем, во многих случаях вызывает отрыв потока от поверхности тела. Таким образом, при М > Мкр получаются дополнительные потери полного давления как в скачке уплотнения, так и в вызванной им зоне отрыва. Эти потери полного давления связаны с приростом сопротивления тела, который может быть весьма значительным. Попытка оценить порядок части сопротивления плоского профиля, связанной с потерями полного давления в скачке уплотнения при М > Мкр, была сделана Я. М. Серебрийским и С. А. Христиановичем (1944), получившими некоторую гипотетическую оценку роста волнового сопротивления. Была рассмотрена потеря количества движения в струйке газа, проходящей через прямой скачок уплотнения, при условии, что давление за скачком должно восстанавливаться до давления в набегающем потоке. Полученное выражение для волновых потерь в струйке было разложено в ряд по степеням (Mi — 1), где Mi — число Маха перед скачком. В связи с тем, что указанное разложение начинается с члена, пропорционального (Mi— I)3, Я. М. Серебрийским и С. А. Хри-
стиановичем было предложено при обработке экспериментальных исследований представлять прирост волнового сопротивления профилей в виде * (Moo - MJ Такая обработка экспериментов показала, что для некоторых профилей величина к не очень сильно зависит от числа Моо-
Большое влияние на подъемную силу и момент профиля оказывает упоминавшееся выше явление отрыва потока из-под скачков уплотнения, замыкающих сверхзвуковую зону. Подъемная сила и продольный момент профиля при закритических скоростях в некотором диапазоне чисел Моо резко уменьшаются (в ряде случаев изменяют знак); образуется так называемая «ложка». С дальнейшим ростом числа М оо несущие свойства профиля восстанавливаются. Эти явления были проанализированы и увязаны с получающейся в эксперименте картиной перемещения скачков и областей отрыва потока в работе Я. М. Серебрийского, В. Н. Арнольдова, М. В. Рыжковой и А. Я. Перельман (1954).
Некоторые особенности распределения местных скоростей и давлений были обнаружены С. А. Христиановичем, В. Г. Гальпериным, И. П. Горским и А. П. Ковалевым (1945, 1946) при экспериментальных исследованиях закритического обтекания профилей на распределение давления. Ими был установлен приближенный «закон стабилизации» местных чисел М на поверхности профиля, состоящий в том, что во многих случаях, начиная с некоторой дозвуковой скорости набегающего потока и вплоть до небольших сверхзвуковых скоростей, местные числа М на профиле в сверхзвуковой зоне (перед скачком уплотнения) остаются практически постоянными, не зависящими от скорости набегающего потока. Этот диапазон чисел Моо получается наиболее широким для тех профилей, которым соответствует достаточно равномерное распределение давления при малых числах Моо, без больших местных пиков разрежения. В этом случае «стабилизация» наступает, начиная с чисел М«>, лишь несколько превышающих МКр- В экспериментальных исследованиях Г. П. Свищева (1948), Г. П. Свищева и В. Т. Жданова (1949) было показано, что упоминавшееся выше распределение местных чисел М остается практически неизменным не только при изменении числа М набегающего потока, но и при отклонении руля, расположенного в задней части профиля, и поэтому при закритических скоростях эффективность руля уменьшается. При этом было выяснено, что увеличение диффузорности в хвостовой части профиля при отклонении руля способствует усилению отрывов из-под скачка и снижению эффективности органов управления.
Г. С. Бюшгенсом и А. Л. Райхом были исследованы на основе аэродинамического эксперимента вопросы потери устойчивости и управляемости самолета на околозвуковых скоростях (1947).
Остановимся здесь также на некоторых теоретических исследованиях обтекания плоских тел потоком при наличии местных сверхзвуковых зон.
С. А. Христианович исследовал (1941) особенности поведения плоского течения в окрестности линии перехода от дозвуковой к сверхзвуковой скорости.
Ф. И. Франкль (1944, 1945) обнаружил непосредственную связь плоских задач трансзвуковой аэродинамики с исследованиями итальянского математика Ф. Трикоми по теории линейных уравнений в частных производных второго порядка смешанного эллиптико-гиперболического типа. Франкль выяснил, что в окрестности скорости, равной скорости звука, уравнение Чаплыгина для функции тока в главном члене совпадает с уравнением Трикоми, что было положено в дальнейшем в основу многих важных исследований в СССР и за границей.
В. В. Татаренчик (1944) рассмотрел во всей области до- и сверхзвуковых скоростей частные решения уравнений Чаплыгина (когда переменные расщепляются) ,представляющие собой примеры бесскачкового течения с местной сверхзвуковой зоной. Однако этй течения соответствуют не обтеканию невозмущенным потоком плоских тел, а течению в криволинейных плоских каналах специального ；вида.
А. А. Никольский и Г. И. Таганов (1946), опираясь на доказанную ими теорему о монотонном изменении угла наклона вектора скорости на линии перехода через звуковую скорость, доказали также теоремы о том, что наличие прямолинейного или вогнутого в поток участка контура профиля в области местной сверхзвуковой зоны обязательно приводит к возникновению скачков уплотнения. Ими также были даны некоторые оценки изменения скорости на профиле в области местной сверхзвуковой зоны: было доказано, что на выпуклых в поток участках тела скорость не может возрастать с изменением угла наклона контура быстрее, чем при течении расширения Прандтля ——Майера, а на вогнутых в поток участках контура скорость обязательно падает быстрее, чем при течении сжатия в простой волне. Кроме того, было доказано, что если на некотором выпуклом в поток участке контура тела скорость падает быстрее, чем при соответствующем течении Прандтля — Майера, то характеристики второго семейства, начинающиеся в точках этого участка, приходят на скачок.
Для случая бесскачкового течения с местной сверхзвуковой зоной А. А. Никольский (1948) привел задачу о вариациях функции тока и потенциала скорости при малом изменении контура обтекаемого тела или числа Маха набегающего потока к краевой задаче Дирихле для одного и того же для всех задач линейного уравнения в частных производных второго порядка в переменных годографа скорости.
Ф. И. Франкль (1947) первый указал на возможность математической некорректности задачи об обтекании фиксированного тела с безударной (бесскачковой) местной сверхзвуковой зоной. Опираясь на теорему единственности решения обобщенной задачи Трикоми для уравнений типа уравнений Чаплыгина, он провел рассуждение, которое, не будучи доказательством, сделало в глазах специалистов его предположение о некорректности упомянутой выше задачи о бесскачковом течении весьма вероятным (это рассуждение Ф. И. Франкля получило в литературе название «аргумента Франкля»). Указанное рассуждение Ф. И. Франкля легло в основу последующего доказательства для течений, близких к заданному, теоремы о некорректности указанной выше краевой задачи безударного обтекания, выполненного в США К. Моравец.
Ф. И. Франклю принадлежит также постановка задачи о построении обтекания некоторых, заранее неизвестных профилей при наличии местной, сверхзвуковой зоны, заканчивающейся прямым (1956) или непрямым (1957) скачком уплотнения. Указанная постановка задачи сводится к заданию в плоскости годографа скорости данных, соответствующих некоторой обобщенной задаче Трикоми. В результате решения этой задачи должен отыскиваться и сам обтекаемый профиль. Указанные задачи получили название «ударных задач Франкля»; их приближенным аналитическим и численным решением для конкретных заданий исходных данных и анализом особенностей занимался ряд авторов (И. Бийбосунов, Ч. Дйка- ныбеков, В. Б. Виленчик, Э. Керимгазиев, И. Н. Ланин). Сам Франкль тоже посвятил ряд работ конкретным исследованиям в указанной области. Обзор и библиографию работ читатель найдет в монографии Р, Г. Баранцева «Лекции по трансзвуковой газодинамике» (1965).
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ РЕШЕТОК
Г. Ю. СТЕПАНОВ
Теория решеток в работах Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина ....104
Теория решеток из тонких профилей 111
Теория решеток из произвольных профилей 114
Решетки в плоском потоке сжимаемой и вязкой жидкости 126
Неустановившееся обтекание решеток 134
Пространственное течение в решетках 143
Теория решеток возникла из работ Н. Е, Жуковского и С. А. Чаплыгина, в которых исследовалось действие турбин, воздушных винтов и разрезных крыльев. Сначала рассматривались и излагались, главным образом в работах по аэродинамике, некоторые простые задачи плоского движения невязкой несжимаемой жидкости, обобщающие такие же задачи теории крыла. Одновременно и независимо от теории аэродинамических решеток развивалась гидравлическая (одномерная) теория турбин, начало которой было положено еще Л. Эйлером в 1754 г,, причем возникали и разрешались отдельные задачи теории решеток, а также вихревых течений, близкие к задачам теории винта. В сороковых годах в связи с появлением, исследованиями и разработкой авиационных газотурбинных двигателей началось интенсивное развитие теории решеток как базы современной теории компрессоров и турбин. Основные результаты были'получены школой Н. Е. Жуковского и С. А. Чаплыгина и связаны с Московским университетом, Центральным аэро-гидродинамическим институтом и Центральным институтом авиационного моторостроения (здесь следует еще упомянуть работы в области гидравлических и паровых турбин Ленинградского политехнического и Московского энергетического институтов, а также Центрального котлотурбинного института). На этом основном этапе развития теории гидродинамической решеткой стали называть любую находящуюся в потоке жидкости или газа кольцевую систему неподвижных или вращающихся лопастей турбомашины (гидравлической, паровой или газовой турбины, вентилятора, лопаточного компрессора или насоса). Определенная таким образом пространственная решетка включает, как различные частные случаи, одиночное крыло в безграничной жидкости, вблизи поверхности воды или земли; биплан и полиплан; гребной и воздушный винт; плоскую и прямую решетки; плоские, осесимметрдчные и пространственные трубы, каналы и сопла ——фактически почти все объекты исследования прикладной гидрогазодинамики. С теоретической точки зрения задачи обтекания решеток представляют собой нетривиальное
обобщение многих задач механики жидкости и газа, причем при их решении были разработаны некоторые специфические методы и получены новые результаты, имеющие иногда общий интерес.
В настоящее время теория решеток получила всеобщее признание и наряду с теорией крыла вошла в учебники по гидродинамике, по теории турбомашин и по прикладной гидрогазодинамике. Ее практическое значение продолжает возрастать в связи с непрерывно расширяющимся применением турбомашин и, в частности, с созданием мощных гидроэлектростанций ,тепловых и атомных силовых установок, авиационных, ракетных, стационарных и транспортных двигателей ——короче, в связи с применением турбомашин при получении почти всей доступной энергии.
Для современной теории решеток характерно усложнение моделей течения и свойств жидкости, использование ЭЦВМ, обсуждение вопросов разрешимости задач и устойчивости решений, применение современных методов экспериментальных исследований, В этой области работает много ученых и инженеров из научно-исследовательских учреждений и учебных заведений, имеющих отношение к турбомашйнам.
Хотя гидродинамическая теория решеток непосредственно связана с течением жидкости и газа в турбомашинах, представления этой теории, ее методы и результаты имеют приложения во всех задачах периодических структур в сплошных средах, например, в теории фильтрации, в акустике, теории упругости, электростатике, радиотехнике и других.
Основное содержание обзора охватывает период с 1917 по 1967 гг., однако в связи с фундаментальным значением для теории решеток ранних работ Н. Е. Жуковского и С. А, Чаплыгина обзор начинается с этих работ, причем здесь удается ввести почти все обозначения и понятия современной теории решеток и наметить основные направления ее последующего развития: от простейших задач обтекания решетки пластин, теории крыла и теории решеток из тонких профилей к законченной теории решеток из профилей произвольного вида в плоском установившемся потенциальном потоке несжимаемой жидкости с последующим учетом эффектов сжимаемости и вязкости. Обзор заканчивается двумя разделами, касающимися несколько более подробно современных проблем неустановившегося и пространственного обтекания решеток.
Теория решеток в работах Н. Е・ Жуковского и С. А. Чаплыгина
Наиболее известная модель потока невязкой несжимаемой жидкости через бесконечную плоскую решетку одинаковых профилей была введена Н. Е. Жуковским в 1890 г. при исследовании им действия турбин и затем использована в вихревой теории гребного винта (1912). Эта модель получается в плоскости развертки цилиндрического сечения турбомашины, если предположить, что движение жидкости происходит по поверхностям круговых цилиндров.
В работах по теории крыла и решетки профилей Н. Е. Жуковский и С. А, Чаплыгин систематически использовали аппарат теории функций комплексного переменного, дающий самое компактное и совершенное описание плоского потенциального потока.
Пусть решетка одинаковых и одинаково обтекаемых профилей располагается вдоль мнимой оси комплексного переменного z =力 4~ £р (рис, 1), Поток несжимаемой жидкости характеризуется комплексным потенциалом о?=屮 + 月屮 и комплексной скоростью и = % — £% = и ехр (—ш)= = dwldz^ являющимися аналитическими функциями z. В изображенном
сплошном циркуляционном течении область определения w (z) бесконечносвязна, функция и (z) периодична (с периодом 无)，а функция w (z) беско- нечнозначна. В бесконечности перед решеткой и за ней скорость имеетсплошном циркуляционном течении область определения w (z) бесконечносвязна, функция и (z) периодична (с периодом 无)，а функция w (z) беско- нечнозначна. В бесконечности перед решеткой и за ней скорость имеетразличные предельные—у2 ехр (—沁2)・Если применить к и деформировать контурразличные предельные—у2 ехр (—沁2)・Если применить к и деформировать контурзначения и (—оо) = % ехр (—а), и (4-оо)=значения и (—оо) = % ехр (—а), и (4-оо)=как показано на рис. 1,как показано на рис. 1,аналитической функции интегрирования Z,аналитической функции интегрирования Z,то получимто получим§ и (z) @z= — § vdz~\-v2it — si力=0§ и (z) @z= — § vdz~\-v2it — si力=0LLсс(контурные интегралы проходятся в положительном направлении). После разделения действительной и мнимой частей написанного равенства получаются условия отсутствия в потоке вихрей и источников：(и2y ”ig)" = Г, 内"—方"—Q‘ (U)(контурные интегралы проходятся в положительном направлении). После разделения действительной и мнимой частей написанного равенства получаются условия отсутствия в потоке вихрей и источников：(и2y ”ig)" = Г, 内"—方"—Q‘ (U)где Г =勺 vsds — циркуляция скорости вокруг профиля и Q ——объемный расход жидкости через слой жидкости единичной толщины в одном периоде решетки. В бесциркуляционном течении Г = 0 и и2y = %勿где Г =勺 vsds — циркуляция скорости вокруг профиля и Q ——объемный расход жидкости через слой жидкости единичной толщины в одном периоде решетки. В бесциркуляционном течении Г = 0 и и2y = %勿Рис. 1..Рис. 1..и ⑵ теорему Кошии ⑵ теорему КошиИз той же теоремы, примененной к функции у2 (z), и первой формулы С. А. Чаплыгина (1910) для комплексной силыИз той же теоремы, примененной к функции у2 (z), и первой формулы С. А. Чаплыгина (1910) для комплексной силы—4R — Rx — 2% 二 2—4R — Rx — 2% 二 2ФФ
сплошном циркуляционном течении область определения w (z) бесконечносвязна, функция и (z) периодична (с периодом 无)，а функция w (z) беско- нечнозначна. В бесконечности перед решеткой и за ней скорость имеет
сплошном циркуляционном течении область определения w (z) бесконечносвязна, функция и (z) периодична (с периодом 无)，а функция w (z) беско- нечнозначна. В бесконечности перед решеткой и за ней скорость имеет
различные предельные
—у2 ехр (—沁2)・
Если применить к и деформировать контур
различные предельные
—у2 ехр (—沁2)・
Если применить к и деформировать контур
значения и (—оо) = % ехр (—а), и (4-оо)=
значения и (—оо) = % ехр (—а), и (4-оо)=
как показано на рис. 1,
как показано на рис. 1,
аналитической функции интегрирования Z,
аналитической функции интегрирования Z,
то получим
то получим
§ и (z) @z= — § vdz~\-v2it — si力=0
§ и (z) @z= — § vdz~\-v2it — si力=0
L
L
с
с
(контурные интегралы проходятся в положительном направлении). После разделения действительной и мнимой частей написанного равенства получаются условия отсутствия в потоке вихрей и источников：
(и2y ”ig)" = Г, 内"—方"—Q‘ (U)
(контурные интегралы проходятся в положительном направлении). После разделения действительной и мнимой частей написанного равенства получаются условия отсутствия в потоке вихрей и источников：
(и2y ”ig)" = Г, 内"—方"—Q‘ (U)
где Г =勺 vsds — циркуляция скорости вокруг профиля и Q ——объемный расход жидкости через слой жидкости единичной толщины в одном периоде решетки. В бесциркуляционном течении Г = 0 и и2y = %勿
где Г =勺 vsds — циркуляция скорости вокруг профиля и Q ——объемный расход жидкости через слой жидкости единичной толщины в одном периоде решетки. В бесциркуляционном течении Г = 0 и и2y = %勿
Рис. 1..
Рис. 1..
и ⑵ теорему Коши
и ⑵ теорему Коши
Из той же теоремы, примененной к функции у2 (z), и первой формулы С. А. Чаплыгина (1910) для комплексной силы
Из той же теоремы, примененной к функции у2 (z), и первой формулы С. А. Чаплыгина (1910) для комплексной силы
—4
R — Rx — 2% 二 2
—4
R — Rx — 2% 二 2
Ф
Ф
действующей на единицу длины лопатки (р ——плотность жидкости), следует^ № (z) @z = - § 卢 dz +唠力—唯£ = 0,
откуда
Л^фП；ср(编,=包抖)Л^фП；ср(编,=包抖)(1.2)(1.2)
Л^фП；ср(编,=包抖)
Л^фП；ср(编,=包抖)
(1.2)
(1.2)
ИЛИ
Rx = рГ^ср g = 2 (У1 —讨)ph Ry — — pFucp% — — (^2у — yiy) pQ・
Формула (1.2) выражает теорему Н. Е. Жуковского о подъемной силе крыла, полученную в 1906 г. и распространенную им же в 1914 г. (путем применения теоремы о количестве движения) на случай решетки.
В 1890 г, Н. Е, Жуковский поставил и решил исторически первую задачу теории решеток о струйном обтекании решетки пластин. На рисг2 схематически изображено течение в физической плоскости z = х ~\~ iy и в сопутствующих ей. Решетка располагается в плоскости z с периодом it В критической точке S скорость и = 0. В точках 尸】и F2 (на кромках пластины) начинаются свободные струи с постоянной по модулю скоростью у = у2. В бесконечности за решеткой струи достигают предельного направления а — а2 и проходят на расстоянии at (измеряемом в направлении
периода решетки). Согласно уравнению неразрывности
内出方=(1 - 0) D2ж方=Q.(1*3)
В отличие от сплошного циркуляционного течения (рис. 1) область течения при струйном обтекании решетки односвязна, понятие циркуляции скорости вокруг профиля обычно не вводится, и соответственно
Рис, 2.Рис, 2.уу
Рис, 2.
Рис, 2.
у
у
комплексный потенциал течения w является однозначной функцией z. Проекции силы, действующей на профиль, определяются по теореме о количестве движения:
(丄4)(丄4)(方比一и】％) pQ = (Pi — △)力一Rx, (方少一D加 pQ - — Ry,
(丄4)
(丄4)
причем по интегралу Бернулли р】 ——р2 = х/2 р (и；——и；), и давление в «застойной» зоне между струями считается равным р2, В плоскости комплексного потенциала и?=屮 + ip получается ряд полубесконечных разрезов с выносом (с периодом г^), Область годографа скорости (ради наглядности вместо годографа комплексной скорости и = и ехр (——га) обычно изображается ее зеркальное отражение и ехр (га), совпадающее
со скоростью в физической плоскости) имеет вид полукруга, соответствующего одному периоду решетки. В точках, отвечающих бесконечности перед решеткой и за ней (и (——оо) = и】и и (4-оо) = у2), располагаются логарифмические особенности комплексного потенциала w (и), вихреисточник и сток с интенсивностями
Г1 + г^1= £加1 =加1 (sina + ^cos a),Q?= —Qi = Q・ (1.5)
Параметры потока должны удовлетворять условию совпадения критической точки dw/dv = 0 с точкой и = 0.
Развитый Н. Е. Жуковским метод решения задач теории струй заключается в построении функции
(О = 1п?-= —1п」- +运=(О (и)(1.6)
в полуплоскости параметрического переменного и, на которую отображается вся плоскость течения. После построения функций (о =(о (м) и w = и? (и) комплексная координата z плоскости течевЙЕя находится путем интегрирования：■
&=吧=丄eЗз)喫阪.(1.7)
В данном случае область годографа отображается на полуполосу а0 > > Im(о > «о — n. Re(о > 0 в плоскости функции Жуковского, а плоскость течения ——на верхнюю полуплоскость 1тм > 0 так, что бесконечность перед решеткой переходит в бесконечность полуплоскости и, а все образы пластин и границы струй располагаются вдоль действительной оси Im м = 0 с периодом п. Следует отметить, что вместо параметрического переменного и можно рассматривать J = exp 2Х (м — 丫)，и тогда одному периоду решетки будет соответствовать внутренность единичного круга )^ ) < 1, а вся область течения отобразится на бесконечнолистный круг с логарифмической точкой ветвления в С = 0 (z = —оо, и = Zoo), (Соответствие всех характерных точек показано на рис. 2, а ——е.)
Функции w (и) и (а (м) в рассматриваемой задаче находятся по формуле Шварца ——Кристоффеля или же строятся по особенностям; в данном случае
(1.8)
1 sin (и—у)、 /
变_ = Q(L9)
d" sin u l/si11 (u—Pi) sin (u—02)
Постоянные С* =——^/л, С2 =——]/"sin 0】sin 02 определяются дополнительно из условий соответствия плоскостей. Задание трех параметров Р17 Р2 и у с точностью до масштабов (力 и у2) определяет.все течение.
Н. Е. Жуковский в 1890 г. получил решение этой задачи для частного случая у = 0 (ах = О, Гх = 0); оно было завершено С. А. Чаплыгиным и А. П. Минаковым в 1930 г. при переиздании работы Жуковского. Решение этой задачи было получено затем вновь А. Бетцем и Э. Петерсоном (Ingr-Arch., 1931, 2 : 2, 190—211).
Следующую задачу — сплошного циркуляционного обтекания решетки пластин (рис. 3)——впервые полностью решили в 1914 г. С. А. Чаплыгин и, другим способом, Н. Е. Жуковский. За рубежом частнйй случай этой задачи (решетка без выноса) рассматривал В. Кутта (Sitzungsber. Bayer.
Akad. Wiss., Math.-phys. KL, 1911), а полное решение получил значительно позже Э. Кениг (ZAMM, 1922, 2 ; 6, 422—429).
Решетка пластин представляется рядом равных и параллельных разрезов, расположенных с периодом it в физической плоскости (рис. 3). Общие свойства потока устанавливаются формулами (1Л) и (1.2):
「=(U2y — U]y)方， Уix — ^2X? R = —фГуср.
Скорость в передней кромке пластины в общем случае бесконечна; задняя кромка пластины при подходящем выборе Г совпадает со второй критической точкой ^2，и тогда скорость в ней конечна. Плоскость комплексного
.Рис. 3.
потенциала однолистна и содержит полубесконечные разрезы, на берегах которых при ф >(ps2 потенциал скорости имеет разрыв на величину Г. Область годографа комплексной скорости и для одного периода решетки занимает полуплоскость; в точках и = и】и у = у2, соответствующих бесконечности перед решеткой и за ней, располагаются вихреисточник и вихресток с интенсивностями
1\,2 + 々1,2=土 珈3 2 (sinai,2+f cos%,2)・ (1/0)
Для построения потока через решетку пластин можно использовать отображение области течения с разрезами по линиям тока, проходящими от критических точек ^2, на полуплоскость параметрического переменного м, введенного Н. Е. Жуковским (см. рис, 2), однако при этом, в отличие от случая струйного течения, вместо простого условия Re(о — 0 на отрезках 尸1 尸2 в плоскости и необходимо удовлетворять значительно более сложному условию равенства (о в совпадающих точках заранее неизвестного разреза в плоскости z. Для устранения этой трудности С. А. Чаплыгин ввел такое отображение и~ и (z), что контуры всех профилей переходят последовательно в равные отрезки S*S岔；действительной оси (^^ =.2п), а бесконечно удаленные точки z = 士 8 — в точки и = tp ~\~ тшг (ттг = =0, 土 1, ±2, • . .), При этом отображении условие на разрезах выпол-
няется автоматически. Из соответствия особых точек и границ плоскостей 〃 и z следует*.
duj — sin (u — Xp) sin 3+5)，I '丿
или'
z = g (inCtg "；竺，+ ^2iaInCtg - j5 ) •(1.12)
На основе конформного отображения (1.12) С. А, Чаплыгин в 1914 г. дал полное решение задачи обтекания решетки пластин, а при переиздании
работы в 1933 г. дополнил функцию (1.12) свободными параметрами, обеспечивающими получение решеток из теоретических восьмипараметрических профилей.
Все последующие решения задачи обтекания решетки пластин, основанные на конформных отображениях, элементарно следуют из решения С・ А. Чаплыгина. Так, например, наиболее распространенное отображение внутренности единичного
круга из плоскости параметрического переменногоРис, &
J с симметрично рас-，
положенными точками ветвления g= ±д (см. рис. 3,8) получается из формул Чаплыгина простой подстановкой и =——г In & р = In д:
zz=-—-^arth -|- + ^2ia arth ^^ + const：
z
z
H. E. Жуковский в 1914 г. дал самое простое решение той же задачи. Прежде всего он рассмотрел частный случай решетки отрезков действительной оси у = 0,——1 +?n%V 6 Vl + mt л представил комплексную скорость как сумму трех скоростей, соответствующих продольному, поперечному и чисто циркуляцианному обтеканиям (рис, 4):
Ф)= q[ + 忆 + 分，
где
U[[ = U[[8 = const,
一 —sin xz
(1.13)(1.13)У1 = l；丄 8/ ПУ ，二：，’.
(1.13)
(1.13)
"|/sin x (г+ 1) sin х (z — 1)
——Гхcos xz
°2冗？ ]/sin 丸(z + 1) sin % G—，)
Формулы (1.13) пишутся по аналогии с формулами для обтекания одиночной пластины, в которые они переходят в предельном случае х = nit -> 0; их справедливость устанавливается непосредственной проверкой на
границах области. Интегрирование выражения и (z) дает
W (z) = UiiooZ 4- -^ arccos ^^ + -^ arcsin ^^ .(1.14)
Для конечности скорости в задних кромках z= l~]~mt необходимо соблюдение условия
и丄 8sinx + "^-cosM = 0;(1.15)
при этом
3值)=篇8 +包?1(1.16) ' /COS x r smx (z^-l)' 丿
Для решения задачи обтекания любой решетки пластин Н. Е. Жуковский использовал комплексный потенциал простого бесциркуляционного течения через решетку отрезков одной прямой w? (z) = w^ + ггц в качестве отображающей функции zr ~ w (z) и таким способом получил в плоскости 无(рис. 5) косую решетку горизонтальных пластин (установленных с выносом) с периодом Т = t (qg + и丄8)・ Отображающую функцию Жуковский задавал производной (что достаточно для вычисления у (z，)
dzt —. —sin
f =，[8 + D丄 8 “ 二='•二^=• ；(1.17)
-女Д/sin% (z 平 1) sin x^z —Г)
соответственно
-21 = У[/оо2 4--21 = У[/оо2 4-丄 arccosX丄 arccosXcos xzCOS Xcos xzCOS X{-const.{-const.(1.18)(1.18)
-21 = У[/оо2 4-
-21 = У[/оо2 4-
丄 arccosX
丄 arccosX
cos xz
COS X
cos xz
COS X
{-const.
{-const.
(1.18)
(1.18)
Длина пластин в косой решетке определяется разностью 々 в критических точках (Si и $2), координаты z которых находятся из уравнения dzr!dz = 0.
Решение задачи обтекания косой решетки (расположенной в плоскости /) получается в функции параметрического переменного z; явное решение
находится только для частного случая уд = 0, т. е. для решетки горизонтальных пластин, расположенных без выноса вдоль мнимой оси %; это решение можно получить из формул (1.13) —(1.16) заменой в них z на 兔，всех тригонометрических функций на гиперболические, и丄 на уц и обратно.
- К теории решеток непо-
Рис. 5*средственно примыкает ра
бота С. А. Чаплыгина, относящаяся к 1921 г., в которой было изучено обтекание разрезного крыла, состоящего из отрезков одной прямой или дуг окружности, и, в частности, было показано, что для такого крыла, как и для одиначного, существует парабола устойчивости (огибающая линий действия равнодействующих сил давления потока) при конечных скоростях на выходных кромках. (Существование параболы устойчивости для произвольной системы профилей было доказано М. В. Келдьппем в 1936. г.)
Итак, Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным были поставлены и решены первые задачи теории решеток и установлены общие свойства течения через решетки; в упомянутых, а также смежных работах по тео-
рии крыла и гидродинамике ими были указаны основные методы исследования, использовавшиеся отечественными и зарубежными учеными при последующем развитии теории решеток и в ее технических приложениях.
§ 2・ Теория решеток из тонких профилей
Крупный этап развития теории решеток заключается в распространении на них методов, развитых в двадцатых годах в теории обтекания тонких крыловых профилей. Эти методы возникли из представления о присоеди
ненных вихрях, распределенных вдоль хорд профилей, которое, по существу, было гидродинамической интерпретацией математических фактов и формул, известных из теории потенциала и теории функций комплексного переменного. Систематическое применение последней характерно для работ московской школы гидродинамиков (авторский обзор этих работ дали М. В. Келдьпп и Л. И. Седов в 1963 г.). Основные результаты в теории решеток из тонких профилей были получены Л. И. Седовым в 1935—1939 гг. Его метод решения задач теории тонкого крыла, удара о несжимаемую жидкость, глиссирования и других задач плоской гидродинамики заключается в систематическом использова
нии функций вида g (z) = И (z — &)]±'/2 X
X [П (z—%)]±〃2 для выделения особенностей в точках z^a^ z = %, соответствующих кромкам крыльев, н получения решений в виде квадратур в плоскости течения. Так были решены задачи обтекания тонких крыльев в решетке без выноса, решеток полипланов, близких к отрезкам одной прямой, двойных решеток таких полипланов, расположенных без
выноса через половину периода, двоякопериодических решеток с прямоугольником периодов (Л. И. Седов, 1939 и 1950).
В основном первом случае решетка тонких профилей, близких к решетке пластин с периодом ni, движется поступательно в плоскости z, причем вдали перед решеткой (z = оо) жидкость покоится (рис. 6). (Такая задача несущественно отличается от задачи обтекания неподвижной' решетки, рис. 1, однако имеет некоторые преимущества при распространении метода на случай нестационарного движения.) Величины комплексной скорости и (z) = dw/dz в линейной постановке теории тонкого крыла сносятся^ на разрезы (— @ V 6 V @, у = mni): и+ = и+ (%), у" = v~ (%), соответственно на верхних и нижних берегах разрезов.
Любая исчезающая при z =十 8 периодическая аналитическая функция F (z) выражается в области течения обобщенной формулой Коши
(2.0(2.0歹(Z)=嘉 § 歹 © [cth (C-2)+ 1]女,
(2.0
(2.0
в которой контур интегрирования L9 охватывающий точку z, может быть расширен до бесконечностей в пределах периода. Для F (z)=v (z) это дает а
G(z)=嘉)P(5)-^(5)Hcth(g-Z) + l] di. (2.2)
Формула (2.2) выражает комплексную скорость течения, вызванного движением решетки, через величину разрыва скоростей и+ — у" — —(丫 + + iq) на разрезах, и гидр о динамически соответствует наложению потока, вызванного вихреисточниками, распределенными вдоль всех отрезков —@V 6 V @, р = wzni, на однородный поток со скоростью
^8 ^^8 ^击J (Y+如成=击J (Y+如成=г2加г2加
^8 ^
^8 ^
击J (Y+如成=
击J (Y+如成=
г
2加
г
2加
При заданных распределениях у (х) и q (х) (удовлетворяющих некоторым дополнительным условиям) формула (2.2) непосредственно решает обратную задачу определения потока, вызванного решеткой теоретических профилей, и построения этих профилей (А. Ф. Лесохин и Л. А. Симонов, 1939).
Для более сложной прямой задачи теории решеток при известной форме профилей из условия их непроницаемости известны нормальные к контуру профилей слагающие скорости, которые в первом линейном приближении теории тонкого крыла задаются как мнимые части 亚(力) и Уу Q) функции и (z) на краях разрезов — @ V 6 V 以 В прямой задаче из формулы (2.2), примененной к краевым значениям и (z) на берегах разреза (или на контуре профиля) получается интегральное уравнение относительно неизвестной функции 丫 (％) = и^ — и^, равной разрыву касательных скоростей. В теории тонкого крыла было известно численное решение этого уравнения, основанное на представлении функции 丫(力) в виде ряда Фурье с выделенной особенностью на входной кромке (Г. Гла- уерт, Основы теории крыльев и винта, 1926; русский перевод: М.—Л., 1931). Л. И. Седов дал конечное решение прямой задачи в виде определённого интеграла. Для этого искомая функция и (z) разбивается на две части, симметричную и антисимметричную, и (z) = %(z) + %(z), удовлетворяющие на разрезах условиям
, и*寓=иg + и%);
_ ! _ . _ 1 _ (2.3) 诚"—u% 三彳(吟+ ％), u 厶=_"5加--2"("* 一喏)
Первая, симметричная, часть гидродинамически соответствует потоку от распределенных источников (д = 2吭)，а вторая, антисимметричная,— от вихрей (丫 = —2必).Функция % (z) непосредственно находится по формуле Коши (2.1). Для определения % (z) с учетом дополнительного условия конечности скорости на задних кромках (z = —а + fcnc£) вводится функция
^^ = ^^^- (2.4)
На берегах разрезов эта функция принимает чисто мнимые значения, отличающиеся только знаком, поэтому произведение 歹(z) = g (z)% (z) сразу находится по формуле Коши, причем % (z) получает необходимые
особенности, выделенные функцией g (z). Решение прямой задачи имеет вид а
B(z)= *J (%—吗)[cth(± — z) + l]贬 +
+ 而%Н (^+ 唠 g飞)[cth(E — z) + l]龙.(2.5)
К этому решению в общем случае добавляется комплексная скорость чисто циркуляционного течения
° 2加"|/sh (z -]- a) sh (z—а) , с произвольной дополнительной циркуляцией Г (причем скорость на задних кромках становится бесконечной).
Для решеток из бесконечно тонких профилей (дужек) и/ = и扌 и первый интеграл в формуле (2.5) исчезает； для решетки пластин, кроме того, Vy = Vy = const, второй интеграл берется и дает точное решение задачи обтекания решетки пластин без выноса. '
Аналогичные решения получены во всех других рассмотренных задачах. Для решетки профилей, близких к отрезкам действительной оси, ядро интегралов (2.5) заменяется на [ctg (С — z) — tg а] и в формулах (2.4) и (2.6) вместо гиперболических функций получаются тригонометрические； для двоякопериодических решеток в ядро и функцию g (z) входят соответственно ^Функции и「функции Вейерштрасса.
На основе полученных выражений скорости были даны общие формулы для сил и моментов, действующих на профиль. В случае косой решетки тонких профилей (установленных с выносом) рекомендованы конформное отображение (типа (1.18)) на решетку пластин без выноса в плоскости параметрического переменного z】= g и представление искомых функций рядами по степеням exp g. Указана возможность распространения метода на случаи наличия в потоке точечных особенностей типа диполей и вихре- источников, а также струйных и нестационарных течений (Л. И. Седов, 1938, 1939, 1950).
Примененный метод исследования имел большое принципиальное значение, будучи непосредственно связанным с полным решением Келдыша —Седова (1937) краевой задачи построения аналитической функции комплексного переменного, принимающей на отрезках, заполняющих границы полуплоскости (круга, полосы или кольца), заданные значения попеременно действительной и мнимой части функции. Аналогичный метод был использован при решении задач теории упругости и вошел в теорию сингулярных интегральных уравнений (см. монографии Н. И. Мусхели- швили, 1946 и 1962; С. Г. Михлина, 1949 и 1963; Ф. Д. Гахова, 1963).
Частные задачи теории решеток из тонких профилей решали Б. А. Майзель (1936), П. А. Вальтер (1938), И. М. Беленький и И. Е. Зеленский (1938, 1939) и др.
Рассматриваемая теория решеток из тонких профилей получила в тридцатых годах первые практические применения в расчетах гидротурбин (И. Н. Вознесенский и В. Ф. Пекин) и вентиляторов (К. А. Ушаков, 1936); затем она была использована при создании современной теории осевых компрессоров и насосов (Г. Ф. Проскура, 1934; Л. А. Симонов, 8 Механика, в СССР, том 2
1957; К. А. Ушаков и др., 1960; А. А. Ломакин, 1950). Несмотря на последующую разработку более общих методов, теория решеток из тонких профилей до последнего времени используется в исследованиях гидротурбин (А. Ю. Колтон и И. Э. Этинберг, 1958) ).
Теория решеток из произвольных профилей
Первые исследования касались наиболее простых объектов — решеток пластин и близких к ним. Однако профили лопаток турбомашин, в отличие от профилей крыльев и винтов, обычно сильно изогнуты, имеют значительную кривизну и работают в широком диапазоне изменения углов входа потока. Поэтому большие усилия были направлены на дальнейшее развитие теории решеток без существенных ограничений формы и условий обтекания профиля. Это развитие опиралось на результаты, достигнутые ранее в частном случае решеток из тонких слабо изогнутых профилей, и на методы, развитые в точной теории крыла произвольного профиля.
Работам отечественных ученых по теории крыла и решеток профилей в плоском потенциальном потоке свойственно систематическое применение методов теории функций комплексного переменного для выяснения общих свойств течения, его построения по особенностям непосредственно в физической плоскости и с использованием конформных отображений, представления аналитических функций, связанных с течением, в виде интегралов или рядов и, наконец, решения прямой и обратной задач обтекания решеток как основных краевых задач для этих функций в плоскости течения, в области годографа скорости или в канонических областях.
Основная прямая задача теории решеток заключается в построении течения через заданную решетку при заданных условиях обтекания; все остальные задачи, обычно более простые, в которых решетка заранее не задается, а получается в процессе решения, называют обратными задачами в широком смысле. К ним относятся, например, задачи построения сплошных или струйных течений через решетки пластин, кругов или специальных теоретических профилей, а также обратные задачи в более узком смысле — задачи построения решеток с заданным распределением скорости, удовлетворяющим определенным условиям и, в частностиг заданным на профиле.
В качестве аналитических функций использовались комплексный потенциал и?=屮 + 冲，комплексная скорость v = vx —加勿 ее логарифм In и = 1пу — га (или функция Жуковского (о = 皿&也))，функции конформного отображения области течения из физической плоскости с комплексной координатой z на канонические области в плоскости параметрического переменного м, g или Z (см. рис, 3 и 7). В качестве канонических областей чаще всего применялись полуплоскость, внешность или внутренность круга и внешность решетки пластин без выноса, а также полоса, кольцо и внешность решетки кругов.
Общие свойства течения через решетки совпадают с изученными в частном случае решетки пластин, что очевидно, если рассматривать конформные отображения заданных решеток на эквивалентные решетки пластин или канонические области, изображенные на рис. 3—5. Особенно важно свойство линейности задач определения функций w (z) и v (z), бла
годаря которому возможно конструирование сложных течений путем наложения более простых, элементарный пересчет распределения скорости при изменении условий обтекания и, в частности, существование линейных зависимостей относительной скорости на профиле и тангенса угла а2 выхода потока от тангенса угла % входа, а также циркуляции скорости от синуса угла атаки (Л. И. Седов, 1939, 1950; Н. Е. Кочин, 1944, 1949; Г. Ю. Степанов, 1953, 1962).
Основное интегральное представление периодических аналитических функций F (z) (ограниченных в бесконечности) дает интеграл Коши с распространением контура интегрирования на период решетки (как это было сделано на рис. 1):
歹⑵=詣§ ь ©cth%(C —z)女 + ь8. (3.1)
С
Здесь 尸8 = 1/2 IF (—oo) 十 F (+ 00)], 乂 = п/厶 решетка расположена вдоль мнимой оси с периодом Т = it. Формула (34) по существу совпадает с представлением (2.1) теории решеток из тонких профилей, отличаясь от него только более общим контуром интегрирования при переходе к профилю С.
На основе представления (3.1) Н. Е. Кочин (1941, 1947, 1949) решил прямую задачу теории решеток, применяя прием, развитый им в 1937 г. в теории волн. Для решения вводится функция (интегральное преобразование)
Н 也)=§ и (z) с""” @z, (3.2) с
относительно которой из формулы (3.1) при F (z) ~ v (z) с учетом условий обтекания профиля получается функциональное уравнение. После решения этого уравнения функция и (z) находится путем обращения преобразования (3.2). В качестве первого примера применения своего метода Кочин получил точное (в виде ряда) решение задачи обтекания решетки кругов и затем приближенное решение прямой задачи для произвольной решетки малой густоты (в предположении, что известно обтекание одиночного профиля той же решетки). При такой постановке задачи непосредственно выясняется изменение распределения скорости и ее циркуляции (Г = Н (0)) при переходе от одиночного профиля к решетке из тех-же профилей.
Представление (3.1) в применении к функциям w (z), и (z) или In и (z) на основном профиле решетки 厶 после отделения действительных и мнимых частей дает линейные интегральные уравнения относительно потенциала скорости ф, проекций ух, и“ или модуля скорости и как функций дуги профиля s. В случае решеток из тонких профилей эти уравнения имеют указанное в § 2 эффективное решение в виде квадратур; для профилей произвольного вида уравнения решаются численно, путем сведения к системе линейных уравнений или последовательными приближениями. Такой способ решения прямой задачи называется обычно вихревым методом в связи с гидродинамической интерпретацией представления (3.1) при F (z)= =и (z) и другим способом получения уравнений задачи в результате наложения однородного потока со скоростью % на поток от вихрей, распределенных по контурам профилей. Вихревой метод, как принципиально самый простой, получил широкое распространение и применялся как для одиночных профилей (П. А. Вальтер, 1922; М. А. Лаврентьев, 1932;
А. П. Мельников, 1936, 1949, и др・), так и для решеток из тонких дужек и из профилей конечной толщины (П. В. Мелентьев, 1939; А. Ф. Лесохин, 1940, 1946, 1953; В. В. Уваров, 1946; М. И. Жуковский, 1949, I960). В связи с большой трудоемкостью метода получение достаточно точных и систематических результатов стало возможным только при использовании современной вычислительной техники (ЭЦВМ). С. М. Белоцерковским, А. С. Гиневским и Я. Е. Полонским в 1962 г. были опубликованы расчеты (по способу дискретных вихрей) решеток из двухпараметрических дужек с максимальным прогибом до 30% и его положением на 30—50% хорды. На основании результатов этих расчетов были получены полезные интерполяционные формулы для основных гидродинамических параметров решеток используемых в осевых вентиляторах и компрессорах. Несколько позже вихревой метод был запрограммирован и применен в практических расчетах решеток паровых турбин и стационарных газотурбинных двигателей (М. И. Жуковский, Н. И. Дураков и О. И. Новикова, 1963; В. М. Зеленин и В. А. Шилов, 1963). В теоретическом отношении и для реализации численных методов важны вопросы разрешимости уравнений, сходимости последовательных приближений и оценки точности решений. В теории гидродинамических решеток эти вопросы изучены еще недостаточно； они более продвинуты в теории упругости в связи с близкими задачами о напряжениях в плоскости, ослабленной бесконечным рядом равных вырезов (Г. Н. Савин, 1939, 1951; С. Г. Михлин, 1949) и их двоякопериодической системой (Л. М. Куршин и Л. А. Фильштинский, 1961； Л. А. Филь- штинский, 1964),
В специальном случае круговых, вообще говоря, вращающихся решеток вихревой метод применялся после предварительного конформного отображения (П. В. Мелентьев, 1939; В. В. Уваров, 1946) и непосредственно в плоскости течения (В. П. Лукашевич, 1964, 1965).
Другой распространенный прием конформного отображения сводит прямую задачу обтекания решетки (рис. 7, а) к более изученной задаче течения в односвязной областл. Для этого применяется периодическая функция я чаще всего g = exp 2xz или g = cth xz. В получающейся области (рис. 7, 6) надо построить течения от особенностей — вихреисточника и вихрестока — с интенсивностями
1\,?2 + 迫1,2= 士 加
для чего необходимо решить интегральное уравнение или найти конформное отображение полученной области на каноническую. Последнее производится специальными методами, развитыми для одиночного профиля (Я. М. Серебрийский, 1944; Л. А. Симонов, 1945, 1947; С. Г. Нужин, 1947), или численно (Г. М. Голузин, 1947; П. В. Мелентьев, 1937; М. А. Лаврентьев, 1946; Л. В. Канторович и В. И. Крылов, 1941, 1949). Когда конформное отображение внешности решетки на каноническую область Z = Z (z) найдено или известно, скорость вычисляется дифференцированием: '
B(z)= ^"f， (3.3)
причем комплексный потенциал w = w (Z) легко строится в канонической области по особенностям.
Метод конформного отображения с помощью функции 已=cth xz и последующего численного отображения на круг в плоскости Z (рис. 7, 6) был основным для зарубежных исследований сороковых годов (А. Хауелл,
ARS Techn. Rept, 1941, № 5095; В. Траупель, Sulzer Techn. Rev., 1945, 1 : 1). Однако такая последовательность отображения для решеток большой густоты практически непригодна из-за очень неравномерного отображения'(| dZIdz I)и соответственно большой погрешности определения скоростей. Этот недостаток устраняется при использовании последовательности преобразований 竜=@ + bg с переходом точек 竜=±1 в центры кривизны кромок профиля и затем 柒=х-1 arcth ^; в результате получается простая овальная область (пунктир на рис. 7, а), близкая
к межлопаточному каналу. Затем эта область численно или с цомощью электрического моделирования (ЭГДА) отображается на окружность или полосу с меньшим колебанием | dZ/dz ] (Г. Ю. Степанов, 1962).
Для круговых решеток применяются преобразования zx — In z или 勺=z】/n (z = 0 в центре решетки, N — число профилей) и затем та же процедура, как и для обычных решеток (П. А. Вальтер, 1925; В. В. Уваров, 1946; Г. И. Майкапар, 1949, 1952); двухрядные решетки отображаются на кольцо или полосу с разрезом.
Метод ЭГДА широко использовался в отечественных и зарубежных работах. Он заменяет трудоемкие вычисления измерениями электрического потенциала на моделях из электролита или проводящей бумаги. До разработки достаточно эффективных численных методов и появления ЭЦВМ этот метод был единственным, практически пригодным для любых решеток. Наиболее целесообразные применения метода ЭГДА заключались в определении бесциркуляционного течения через заданную решетку для конформного отображения ее на эквивалентную решетку пластин или кругов (Л. А. Симонов, 1940; С. Ф. Абрамович, 1946) и позже в нахождении отображения внутренней области типа приведенных в плоскостях
g или & (рис. 7) или же годографа скорости на каноническую область. Самым простым и точным оказался метод «деления», который заключается в нахождении путем элементарных измерений на контуре модели точек, соответствующих последовательным делениям дуг окружности (в плоскости g на рис. 2, е) пополам (А. М. Люксембург, 1949; Г. Ю. Степанов, 1950, 1957). Изложение упомянутых и обзор некоторых других приложений метода ЭГДА имеются в работах И. М. Тетельбаума (1952), П. Ф. Фильчакова и В. И. Панчишина (1961), Г. Ю. Степанова (1962).
Все численные методы расчета обтекания заданных решеток из профилей произвольного вида трудоемки и, по существу, дают только приближенные решения частного характера. В связи с этим были рааработаны и получили известное распространение теоретические решетки из профилей специального вида, допускающие точные аналитические выражения гидродинамических функций течения.
Путем обобщения формулы Шварца — Кристоффеля на случай решетчатой области были построены решетки из симметричных четырехугольников (Э. Л. Блох, 1947) и из произвольных треугольников в прямой и в круговой решетках (Д. А. Войташевский, 1953, 1956). Этим же способом в принципе можно получить решетки из многоугольников с произвольным числом сторон (Л. И. Седов, 1950).
Во многих теоретических исследованиях решетка кругов играет такую же роль, как круг в теории одиночного профиля, поэтому значительные усилия были направлены на расчет обтекания решетки кругов. Общий подход к решению задачи для произвольно расположенной конечной системы кругов указал Н. В. Ламбин (1934, 1939). Точное (в виде ряда) решение для решетки кругов дали Н. Е. Кочин (1941) и, другим способом, Г. С. Самойлович (1950). Расчеты распределения скорости вихревым методом выполнили Б. Л. Гинзбург (1950) и А. И. Борисенко (1955). Для построения теоретических решеток более удобны конечные выражения, соответствующие обтеканию решеток некоторых овалов, близких к кругам. Классический пример таких овалов, получающихся при наложении равномерного потока на решетку диполей, был улучшен путем замены точечного диполя распределенным вдоль некоторых отрезков оси решетки (Э. Л. Блох, 1947) и с добавкой еще одного точечного диполя в центре этого отрезка (Э. Л. Блох и А. С. Гиневский, 1949, 1953).
Широкие возможности получения теоретических решеток дали раз- лияные ； обобщения., теоретических профилей Жуковского и Чаплыгина. По методу Жуковского комплексный потенциал бесциркуляционного обтекания одиночного круга применяется как отображающая функция z = 50 = "器(3.4)
к некоторому контуру С в плоскости 告 охватывающему точку g = 0, обтекание которого wc = wc (g) известно или может быть легко найдено. Тогда в плоскости z получается теоретический профиль Сг (z% =z(g&)) с известным обтеканием и (z)=(加。/理)(@g/@z). Для получения одного из обобщений метода вместо круга берется решетка кругов или близких овалов, в качестве отображающей функции — комплексный потенциал ее бесциркуляционного обтекания
z = 0@ = g + /(0,(3.5)
а вместо контура С — решетка смещенных окружностей или овалов (С. Ф. Абрамович, 1950; Л. А. Дорфман, 1952; М. И. Жуковский, I960).
По методу Чаплыгина теоретические профили получаются в результате конформного отображения внешности круга из плоскости g преобразованием вида
Z = ： + /'(：), (3.6)
где аналитическая функция F (g) исчезает в бесконечности и содержит некоторое число свободных параметров, опредёляющих форму профиля; при 尸(С) = 1/g получается одиночная пластина. Сам С. А. Чаплыгин в 1933 г. указал путь получения решеток из теоретических восьмипараметрических профилей, обобщая функцию (1.12), отображающую полуплоскость на решетку пластин. Другое обобщение получается, если вместо 1/g взять аналогичную по гидродинамическому смыслу функцию / (С) из формулы (3.5):
7 + 歹(志). (3.7)
В качестве F бралась двухпараметрическая дробно-линейная функция, использованная Чаплыгиным для получения теоретических профилей, и некоторые ее обобщения (Э. Л. Блох, 1947, 1951; А. С. Гиневский, 1951； Е. И. Умнов, 1952; Э. Л. Блох и А. С. Гиневский, 1961), причем расчеты показали, что форма получающихся профилей (со средней линией, близкой к дуге окружности) слабо зависит от геометрических параметров решетки. Результаты этих расчетов наряду с численными исследованиями использовались при профилировании решеток вентиляторов и осевых компрессоров (А. С. Гиневский, 1953, 1961； С. А. Довжик, 1958; К. А. Ушаков и др., I960).
Много других примеров решеток из теоретических профилей доставляют, начиная с первого решения Н. Е. Жуковского, струйные течения, которые можно рассматривать как решетки полутел с отвердевшими струями, а также решетки, построенные с заданным распределением скоростей. По существу построения всегда известно отображение внешности этих решеток на каноническую область, и они имеют определенное распределение скорости при расчетных условиях обтекания, изменяя его лри любых других условиях согласно формуле (3.3). После разработки эффективных методов решения прямой и, особенно, обратных задач решетки теоретических профилей в значительной степени потеряли свое практическое значение, оставаясь, однако, эталонными для оценки точности приближенных и численных методов, а также для построения хорошего первого приближения или основной части отображающей функции при расчетах обтекания близких решеток (Л. А. Дорфман, 1962; Н. Н. Поляхов, 1952; В. П. Чепрасов, 1958, и др.).
Эффективное решение всех задач теории решеток можно получить с помощью второго общего представления периодической аналитической ограниченной в бесконечности функции F (z) в виде ряда по производным с th xz, которое следует из ее интегрального представления (3.1) (Г. С. Самойлович, 1950)：
尸(？)= 乂 2( ；)— c-(n+i)~^n cth 乂z + 尸g. (3・8) n—0
Этот ряд обобщает разложение по отрицательным степеням z аналитической функции вне одиночного профиля и совпадает с вырожденным случаем известного представления двоякопериодических функций через производные ^-функции Вейерштрасса, что является преимуществом ряда (3.8)
в отношении других возможных разложений, например, по степеням exp xz (Л. И. Седов, 1950) или степеням cth xz (Н. Н. Поляхов, 1959). В круге I z I V 力 функция F (z) разлагается в ряд Лорана, коэффициенты правильной части которого известным образом выражаются через коэффициенты его главной части (и ряда (3.8)):
ОО ОО ОО
〃z)=X^ + %+》z"》У；看线需 * . (3-9) n—1 тг=О &=п+工
где Bk 一 числа Бернулли (瓦=1,鬲=0,鬲=% • • .)•
Используя ряды (3.8) и (3.9), Г. С. Самойлович дал в 1949 г. простое точное решение задач обтекания решетки кругов и решетки из произвольных профилей в виде разложения функции, отображающей эквивалентную решетку кругов на заданную решетку, в постановке Н. Е. Кочина, т. е. считая известным отображение одиночного круга на ее профиль. Это решение в наиболее совершенной форме отвечает на вопрос о роли угла установки фиксированного профиля в решетке и ее густоты, а также построения теоретических решеток с любым числом параметров.
Представление комплексной скорости и (z) в виде ряда /(3.8) имеет ясную гидродинамическую интерпретацию как наложение скоростей однородного потока и решетки вихрей и мультиполей всех порядков. В частности, необходимое число первых членов разложения этой скорости в решении задачи обтекания решетки кругов соответствует решетке овалов, сколь угодно близких к кругам.
Результаты Г. С. Самойловича использовались для построения таблиц обтекания решетки кругов с контролируемой точностью в широком диапазоне густот (Е. И. Умнов, 1952) и в задаче обтекания решеток эллипсов (Д. А. Войташевский, 1953). Ряды (3.8) и (3.9) применялись в качестве аналитического аппарата при решении прямой и обратной задач в периодических решетчатых областях и, в частности, для численного отображения данной решетки на решетку кругов (Л. А. Дорфман, 1952) и построения решетки с распределением скорости, заданным на окружности в эквивалентной решетке кругов (Г. Ю. Степанов, 1953; М. И. Жуковскийт 1954). .
Струйные задачи проще в том отношении, что границы струй уходят в бесконечность, иначе говоря, бесконечно удаленная точка лежит на границе области, и все струйные течения эквивалентны друг другу и отображаются на одну и ту же каноническую область, например на круг без центра (см. рис. 2, ё).
Первое обобщение струйной задачи Жуковского — Чаплыгина дал в 1934 г. Н. И. Ахиезер, построивший обтекание решетки пластин (по схеме С. А. Чаплыгина — А. Л. Лаврентьева) со сходом струй с выходной: кромки 尸2 и некоторой точки за входной кромкой； на последней при этом скорость становится бесконечной, как и при сплошном обтекании. Затем было изучено обтекание конечной системы пластин по Той же схем。 (В. М. Абрамов, 1936), решетки со сходом струй в двух точках пластины (И. М. Беленький и И. Е. Зеленский, 1938), решетки из ломаных профиле宜， состоящих из отрезков двух прямых (Н. В. Ламбин, 1944). Во всех перечисленных примерах решение легко получается по методу годографа скорости, область которого имеет настолько простую форму, что комплексный потенциал в ней строится непосредственно или путем конформного отображения из канонической области. Метод годографа скорости оказался довольно эффективным средством решения обратных задач, причем не толь-
ко для струйных течений. Область годографа скорости задавалась достаточно простой формы, например, ограниченной окружностью или инверсией параболы (Л. А. Симонов, 1940, 1941), круговым сектором или скругленной луночкой (Г. Ю. Степанов, 1949, 1962) или, наконец, областыо более общего ви^а, которая затем отображалась на круг с помощью ЭГДА. В последнем случае представилось возможным обеспечить выполнение ряда требований к распределению скорости на профиле при расчетном режиме обтекания (ограничение максимальной скорости и градиентов давления) и построить решетки с практически важными свойствами в потока сжимаемой вязкой жидкости (Г. Ю. Степанов, 1950, 1962).
Годограф скорости струйного течения задается в форме некоторой области (рис. 8, а). Характерными параметрами являются углы входа
Рис. 8.Рис. 8.
Рис. 8.
Рис. 8.
и выхода 电 и &2 瓜 скорости на спинке и вогнутой поверхности профиля и+ и у", постоянные на некоторых участках. Затем изготовляется модель области в виде электролитической ванны, и по уже упоминавшемуся методу «деления» производится ее конформное отображение на круг (рис. 8, 6), причем длина разреза при и = и~ подбирается из условия совпадения критической точки (d(p/d9 = 0, 9 = 90) с точкой и = 0. После получения точечного соответствия окружности и контура годографа профиль решетки (рис. 8, в) строится путем графического или численного интегрирования:
(ро9о
где потенциал скорости на окружности
屮(0)=員nsin-|-(3.11}
(Г = и" sin %, Q = u# cos а1; 仇=п + 2%).
В результате построения известно соответствие контура профиля и окружности s = s(8), поэтому скорость обтекания и' при любых нерасчетных условиях выражается формулой (3.3)
Ю)=器*Ю)=器*sin Г±(0-0-)1sin Г±(0-0-)1
Ю)=器*
Ю)=器*
sin Г±(0-0-)1
sin Г±(0-0-)1
По описанному методу было построено несколько серий решеток в широком диапазоне изменения параметров ап 得 吟 ”，удовлетворяющих основным потребностям газотурбинных двигателей ). Развитый метод был затем обобщен на случаи неподвижных круговых и двухрядных решеток (Г. Ю. Степанов, 1953, 1962).
В числе струйных течений через решетки заслуживают упоминания несколько задач обтекания тел в каналах с параллельными стенками. Эти задачи в результате аналитического продолжения течения через стенки канала дают одновременно поперечное обтекание соответствующей решетки. Первое из таких решений принадлежит Н. Е. Жуковскому, который рассмотрел в 1890 г. своим методом струйное обтекание клина, симметрично расположенного между параллельными стенками, что соответствует решетке клиньев (симметричных ломаных профилей). Были решены аналогичные задачи обтекания плоской пластинки и клина по схеме Эфроса с возвратной струйкой, уходящей на другой лист плоскости течения (М. И. Гуревич, 1946, 1953), круга и эллипса (Я. Р. Берман, 1949), некоторых криволинейных дуг со специальным распределением скорости (Г. Н. Пыхтеев, 1955).
Из ряда специальных струйных схем и методов их исследования, описанных в обобщающей монографии М. И. Гуревича (1961) и в его обзоре в настоящем томе, к решеткам применялись только что упомянутая схема Эфроса, схема Жуковского — Рошко с выходом струй на жесткие прямые стенки и схема Чаплыгина — By Яо-цзу с переходом струй на эквидистантные линии тока (А. Г. Терентьев, 1967). Последняя схема получается из известной схемы С. А. Чаплыгина (1899) с ограниченной струйной зоной в окрестности задних критических точек на профилях, если не выполняется условие замкнутости течения в целом (u# cos 期 V и?力 cos 出).
Наиболее общее решение задач струйного обтекания произвольных систем кусочно-гладких контуров и решеток дал Л. И. Седов (1938, 1950), видоизменив метод Жуковского так, что в плоскости параметрического переменного и (см. рис. 2, а) задача сводится к смешанной краевой, решение которой находится из функционального уравнения относительно неизвестной функции а = а (м) (угла наклона касательной к контуру). Решение этого уравнения упрощается до квадратур, если обтекаемые контуры состоят из отрезков прямых (которым соответствует а = const), а также для обратной задачи, в которой задается функция у (и), и а (и) определяется с точностью до некоторых постоянных.
Все рассмотренные выше методы решения задач теории решеток в той или иной форме содержали решения линейных краевых задач (Дирихле, Неймана или смешанных) для гармонических функций, в большинстве случаев однородных или кусочно-однородных задач, причем, как правило, выбор искомой функции, вид канонической области и способы вычислений специально не обосновывались. Между тем именно от этой стороны вопроса зависят успех решения задач и эффективность результатов, что, в частности, наиболее ясно показали работы московской школы в задачах теории решеток из тонких профилей и струйных течений.
Хорошие результаты как в прямой, так и в обратной задачах дает решение неоднородной краевой задачи относительно функции Жуковского (или логарифма комплексной скорости) в полуплоскости, окружности или полосе. Для иллюстрации развитых методов ниже приведен простей
123123гидродинамическая теория решеток
123
123
ший пример ——решетка полутел — в физической плоскости и рассматривается функция In у (С) = In у — га в единичном круге в плоскости Z (рис. 8, 6) с переходом бесконечно удаленных точек z — ± оо соответственно в точки Z — 0 и Z — 1. Если известно соответствие границ профиля и окружности Z = ехр 也 s = s (9), то согласно интегралу Шварца в круге I Z I V 1
In旭j а(0)е +z ©0 (3.12)
м, в частности, на окружности
u (8)=5 eхр/ [ [a2) -a ⑼]ctg~^~^ @仆；(3.13)
b
аналогично
а ⑼+ 歳 j In 端 ctg^^d仇(ЗЛ4)
О
Квадратуры (3.13) и (3.14) эквивалентны пре дс та влениям функций In у (9) и а (9) сопряженными рядами Фурье. В центре круга
2Л
匕=exp g In и (9) @8,(3.15)
о
% = * j &(°)"°，(346)
о
Формулы (3.13) — (3.16) дают основу решения прямой и обратной задач для решетки полутел.
В прямой задаче известна функция a (s) (с разрывом на л в критической точке гладкого профиля). Угол входа © и относительная скорость на профиле выражаются соответственно интегралами (3.13) и (3.16), в которых функция а (8) = а (9 (s)) находится последовательными приближениями, исходя из сравнения потенциалов
中(8) 一中(备)=中(s),(3.17)
где ф (9) задается формулой (3.11) и(p(s)= f u(s)@s. Указанная процедура о
соответствует решению нелинейного интегро-дифференциального уравнения относительно а (8):
2Л
黑= ^к(а)[电(歳 j а(е)ае)—ctg^) х
О
2л
X ехр {嘉 J [а”) —а (9)] ctg^^do} , (3.18) О
в котором К (а) — da/ds — кривизна контура профиля, а —1 угол наклона касательной (под интегралом — угол наклона скорости). Это уравнение аналогично упомянутому выше функциональному уравнению струйной
задачи (Л. И. Седов, 1938, 1950) в предельном случае вырождения струй в бесконечно удаленную точку z = + 8. Опыт расчетов показал, что последовательные приближения хорошо сходятся, и описанный способ можно считать наиболее эффективным из известных; его мождо, в частности, использовать для проверки и уточнения различных приближенных решений (Л. А. Симонов, 1945, 1947; Г. Ю. Степанов, 1953, 1962).
Решение обратной задачи при распределении скорости и = и (s)* заданном на профиле, дается квадратурой (3.14), в которой функция и (0) = и (9 (s)) сразу находится из уравнения (3.17).
Подобные способы неоднократно предлагались и применялись как для решеток, так и для одиночных профилей. Интегралы типа входящих в формулы (3.13) и (3.14) вычислялись путем применения квадратурных формул, гармонического анализа и различных сопряженных функций (Л. А. Симонов, 1945, 1950, 1957; Я. М. Серебрийский, 1944; С. Г. Нужин, 1947; Г. Ю. Степанов, 1962). В зависимости от постановки задач возникают дополнительные трудности в связи с определением допустимых параметров задачи. Так, например, при решении обратной задачи распределение скорости и параметры потока на бесконечности не могут задаваться произвольно, они должны удовлетворять некоторым дополнительным условиям, эквивалентным условиям замкнутости и однолистности профилей решетки.
Специальное изложение теории обратных краевых задач с многочисленными гидродинамическими приложениями имеется в монографии С, Г. Нужина и Г, Г. Тумашева (1955, 1965). Обратные задачи решались для одиночного профиля (Л. А. Симонов, 1945; Г, Г, Тумашев, 1946; Г. И. Костычев, 1958), для решетки профилей при отображении на кольцо (Г. Г. Тумашев, 1949), на решетку пластин без выноса (Л. А. Дорфман, 1952) и на решетку кругов (Г. Ю. Степанов, 1953; М. И. Жуковский, 1954), для круговой решетки (В. В. Филиппов, 1952; Ю, Т. Борщевский, 1959), произвольной конечной системы профилей (Р. М. Насыров, 1953), трех- и многорядных решеток (А. М. Казбан, 1957, 1964), двух- и трехрядных решеток (Ф. М. Мухаметзянов, 1964).
Аналогично, как неоднородные краевые задачи, решаются вопросы о влиянии на потенциальный поток через решетки малых стационарных и нестационарных деформаций профилей, а также движения решеток, в том числе вращения круговых решеток.
Расчет влияния на поток малых деформаций контура профиля и стенок узкого канала был одним из важных вычислительных приложений вариационных методов теории конформных отображений, развитых М. А. Лаврентьевым в 1930—1946 гг. и применённых прежде всего к проблеме существования определенных классов волновых и струйных течений.
При малой стационарной деформации всех профилей в решетйе конформное соответствие границ профиля и канонической области, необходимое для вычисления интегралов в формулах типа (3.12) — (3.16), считается совпадающим с этим соответствием для недеформированного профиля, и в рассматриваемом выше примере малое смещение соответствующих точек на окружности Д9 вычисляется квадратурой как функция, сопряженная нормальной (радиальной) деформации Ар = An (dQ/ds) (An — нормальная деформация контура профиля). Иначе можно непосредственно пользоваться формулой (3.13) относительно малых приращений Аи и Да:
Ad (0)=聂 j fAa (今)—Да (9)] ctg -Ц^ d". (3.19} о
Но определению деформация профилей такова, что уточнения соответствия границ не требуется. Однако это уточнение можно делать для оценки точности результата или при решении прямой задачи обтекания решетки, близкой к заданной (теоретической) с известным отображением на каноническую область, которое берется в качестве первого приближения.
Задача о произвольной нестационарной деформации профилей или их движения при постоянной циркуляции в потенциальном потоке сводится к вычислению квадратурами типа (3.13) дополнительной касательной к контуру слагающей и$ скорости по ее заданной нормальной слагающей vn иж же к решению соответствующей неоднородной задачи относительно функции тока или потенциала течения «вытеснения». Первая задача такого рода — о плоском движении жидкости в треугольной полости вращающегося тела — была решена Н. Е. Жуковским в 1885 г. (эта задача имеет отношение к течению во вращающейся радиальной решетке с прямыми лопатками). Вращение одиночного тонкого профиля и двух профилей тандем было изучено Л. И. Седовым в 1935 г.; затем им же был дан общий подход к решению подобных задан в рамках теории тонкого профиля. Общие свойства потока через вращающуюся круговую решетку и, в частности, ее конформное отображение на прямую рассмотрел П. А. Вальтер в 1926 г. Основные задачи обтекания таких решеток решены Г. И. Майка- паром (1949, 1953, 1958, 1966), Л. А. Дорфманом (1956), Т. С. Соломаховой (1966). В относительном движении через вращающиеся решетки получается однородная задача для стационарного потока с постоянной завихренностью rot 0 = —2(о (s = const — угловая скорость вращения). Более сложная задача о течении с заданной (постоянной) завихренностью набегающего потока решалась для одиночного выступа плоской стенки (С. А. Чаплыгин, 1935), ограниченных вихревых областей в потенциальном потоке (М. А. Лаврентьев, 1959; М. А. Гольдштик, 1962), поперечного симметричного обтекания решетки кругов с «пилообразным» профилем скорости на входе (О. Н. Овчинников, 1961).
Произведенный обзор позволяет утверждать, что основная часть современной гидродинамической теории решеток ——теория решеток из произвольных профилей в плоском потенциальном потоке несжимаемой жидкости —была создана в нашей стране. Решения большинства задач были получены раньше или независимо от зарубежных работ, имели ясную практическую направленность и важные технические приложения.
К 1940 г. была создана теория решеток из тонких профилей, получены общие представления аналитических функций в решетчатой области, численно решены вихревым методом различные задачи, построен ряд новых примеров струйных течений, применен метод ЭГДА.
К 1950 г. построен и использован в практических целях обширный класс решеток из теоретических профилей, получены точные (в виде ряда) решения задач обтекания решетки кругов и решетки из произвольных профилей, рассмотрены все основные схемы струйных течений, предложен метод профилирования решеток по заданному годографу скорости с применением ЭГДА для конформного отображения, построены решения неко-； торых обратных и прямых задач как краевых в канонических областях. Все эти исследования были направлены на удовлетворение практических потребностей авиационного и энергетического турбостроения.
В последующие годы указанные методы получили дальнейшее развитие и многочисленные практические применения. Для ратеннн прямой задачи использовались вихревой метод с ЭЦВМ и метод конформных отображений с ЭГДА. Обратная задача — профилирования решеток —
решалась по методу годографа скорости и как краевая. Были рассмотрены также некоторые специальные вопросы теории решеток. Результаты теоретических исследований и расчетов широко использовались в промышленности и были обобщены в специальных монографиях (Л. И. Седов, 1939, 1950; Н. Е. Кочин, 1949; М. Е. Дейч и Г. С. Самойлович, 1959; М. И. Жуковский, 1960； Г. Ю. Степанов, 1962).
Решетки в плоском потоке сжимаемой и вязкой жидкости
Современные турбомашины обычно работают при ограниченных дозвуковых скоростях потока и с маловязкими жидкостями, поэтому эффекты сжимаемости и вязкости невелики, хотя на практике именно эти эффекты определяют технические характеристики турбомашин. В теории решеток, как и в теории крыла, учет сжимаемости и вязкости среды производится на основе общих методов гидродинамики, а также данных экспериментальных исследований.
Общие свойства плоского безвихревого потока газа через решетку зависят от характерного числа М = у/узв или приведенной скорости 九=у/укр (скорость звука %в = НуР/р, критическая скорость укр = =，2tp*/(y+ 1) р*, где р* и р* — давление и плотность изэнтропически заторможенного газа, у — показатель адиабаты).
Уравнение неразрывности (1.3) для общего случая струйного течения газа принимает вид
(1 —о)卩2办“力 (4.1) где по уравнению Бернулли
Сила R~ Rx — X%, действующая на единицу длины лопатки, определяется проще всего по теореме о количестве движения
(4.3)(4.3)р2у2х (1 —。)力一P1U旣=(pi —卩г) t — Ry,
(4.3)
(4.3)
P2y2x^2y (1 — O)力 一 Pl^ix^iyt = — Ry*
Для сплошного течения (о = 0) выражения Rx и Ry объединяются и дают точное обобщение теоремы Н. Е. Жуковского для профиля решетки в потоке газа (Л. И. Седов, 1948； Г. Ю. Степанов, 1949); в результате предельного перехода t f оо при Г — const из этого обобщения следует (для одиночного профиля)
R — фоо^ооГ.(4.4}
(Это распространение теоремы Жуковского на случай потока газа было впервые доказано для достаточно малых дозвуковых скоростей в 1934 г. М. В. Келдышем и Ф. И. Франклем.) Предлагались также различные приближенные выражения силы R, действующей на профиль в решетке, сохраняющие вид (4.4) (Б. С. Стечкин, 1947; Л. Г. Лойцянский, 1949; Э. М. Берзон, 1949).
Основной идеей теоретического исследования плоских потенциальных течений газа, реализованной С. А. Чаплыгиным в 1902 г., является переход
от нелинейных уравнений движения в плоскости течения
vx=.v cos а = *дхуу = у sin а =vx=.v cos а = *дхуу = у sin а =(4・5>(4・5>
vx=.v cos а = *дх
уу = у sin а =
vx=.v cos а = *дх
уу = у sin а =
(4・5>
(4・5>
к линейным уравнениям в плоскостик линейным уравнениям в плоскостив форме Л. С. Лейбензона (1935) имеют видв форме Л. С. Лейбензона (1935) имеют видгод огра фа скорости.год огра фа скорости.ПоследниеПоследние
к линейным уравнениям в плоскости
к линейным уравнениям в плоскости
в форме Л. С. Лейбензона (1935) имеют вид
в форме Л. С. Лейбензона (1935) имеют вид
год огра фа скорости.
год огра фа скорости.
Последние
Последние
需i左礬，需i左礬，5фds5фds—Е，—Е，(4.6)(4.6)
需i左礬，
需i左礬，
5фds
5фds
—Е，
—Е，
(4.6)
(4.6)
где К = (р*/р)2 (1 — М2) — функция С. А. Чаплыгина и 或=]/1—Wdvlv, В связи с тем, что уравнения (4.5) и (4.6) в результате предельного перехода при М f 0 превращаются в уравнения движения несжимаемой жидкости, а влияние сжимаемости газа на все параметры потока при малых дозвуковых скоростях невелико (имеет порядок М2), в большинстве теоретических исследований используются с о ответствующие течения несжимаемой жидкости вокруг неизменных (в качестве первого приближения) или деформированных профилей (П. А. Вальтер, 1932—1936; Н. А. Слезкин, 1934; С. А. Христианович, 1940; Л. И. Седов, 1946—1949).
На практике для одиночного профиля и затем для решетки профилей использовались различные приближенные формулы вида и = и (У, Mg) для «пересчета» скоростей V несжимаемой жидкости вокруг того же профиля (С. А. Христианович и Я. М. Серебрийский, 1942, 1944; В. С. Полянский， 1943; С. Г. Нужин, 1946; Г. Ф. Бураго, 1950, и др.). Для решетки профилей такой способ вообще мало пригоден. При малых скоростях для тонких слабо изогнутых профилей наиболее обоснована простейшая поправка Прандтля — Глауерта и=Т7|/1—ML. Соответственно вся теория решеток малой густоты из тонких профилей непосредственно распространяется на случай течения газа путем аффинного преобразования плоскости течения несжимаемой жидкости — растяжения в отношении 1/，1—М^> в направлении, перпендикулярном к средней скорости потока(000 = % 3 + г2)). Важно, что при этом изменяются шаг и угол выноса решетки.
Для решеток из профилей произвольного вида применяется приближенный метод С. А. Чаплыгина (1902), согласно которому действительная зависимость (4.2) плотности газа от скорости заменяется приближенной
р =一,(4.7)
T/1 + 4C2V
при которой К — 1 и уравнения в плоскости годографа в точности переходят в уравнения Коши — Римана. В формуле (4.7) имеется одна существенная произвольная постоянная С. При выборе С2 —1/[2 (丫 + 1)] действительная зависимость (4.2) аппроксимируется с точностью до членов порядка C4V; если С2 = 0,3, то погрешность приближенной зависимости (4.7) при 九 V 0,95 не превосходит 2%. Течению газа С. А. Чаплыгина в плоскости z со скоростью 九а можно поставить в соответствие некоторое фиктивное течение несжимаемой жидкости в плоскости g со скоростью Ае'а (九=и/%р, Л =卩/%р), причем
—А
Г，(4.8)
dz = dg-C2(Aeia)2dg.
Для газа Чаплыгина адиабата ppr = const заменяется прямой в координатах (р, р-') (поэтому метод называют также методом линейной аппроксимации адиабаты), и теорема Жуковского для решетки оказывается справедливой в ее обычной форме (4.4), если считать р-1 = й/2 (р；‘ + р"1) (Л. Г. Лойцянский, 1949).
Теория обтекания профиля в этом приближении для струйного и сплошного бесциркуляционного течения была развита Н. А. Слезкиным (1935, 1937) и за рубежом К. Якобом (С. г. Acad. Sci., 1936, 203 : 7, 423— 425), С. Цянем (J. Aeronaut. Sci., 1939, 6 : 10, 399—407) и др.; циркуляционные течения рассмотрели в 1940 г. С. А. Христианович и в 1946 г. Л. И. Седов, Ц. Линь (Quart. Appl. Math., 1946, 4 : 3, 291—297) и П. Жермен (С. г. Acad. ScL, 1946, 223 : 15, 532-534).
В результате развития этой теории все методы решения задач обтекания гидродинамических решеток несжимаемой жидкостью были обобщены, в приближенной постановке Чаплыгина, на случай дозвукового течения газа.
Прежде всего, любому струйному течению (или течению через решетку полутел), рассматриваемому в плоскости 备 согласно соотношениям (4.8) отвечает течение газа через деформированную решетку, имеющую другой лериод
Т^Т-С^^е^Т, (4.9)
другую толщину струй в бесконечности и другие скорости обтекания (Г. Ю. Степанов, 1949; Г. А. Бугаенко, 1949).
При построении решетки по заданному годографу скорости задается область годографа фиктивного течения несжимаемой жидкости V = Fe-ia, в ней определяется комплексный потенциал w = w (F), после чего границы течения газа находятся интегрированием по контуру годографа:
dz =决。粤=е*«(1 - С2A2)粵. (4.10)
В более сложном случае сплошного течения комплексный потенциал в концах векторов У4 и У2 имеет логарифмические особенности (вихре- источники в ихресток) с интенсивностями
(4/1)(4/1)Г1,2 + XQ1, 2 = ± 卜in %,2 + » P；j，COS a1( 2)U32九
(4/1)
(4/1)
Для получения физически реальных течений необходимо обеспечить совпадение критических точек dw/dV = 0 с точкой 卩=0, что достигается путем соответствующего выбора параметров потока или формы контура годографа. Таким образом, описанный в § 3 метод профилирования решеток распространяется на поток газа, причем в расчетных условиях обтекания обеспечивается ограничение скоростей на профиле дозвуковой Л V Лкр = =2/(1 + /1+ 4С2)(г. Ю. Степанов, 1949, 1962).
В случае сплошного циркуляционного течения через заданную решетку переход от течения несжимаемой жидкости к течению газа усложняется тем, что при этом согласно формуле (4.7) в плоскости газа течение получается неоднолистным, с различными периодами ^ и 72 в бесконечности перед решеткой и за ней, причем каждому обходу профиля соответствует смещение на вектор
T^^dz = T2-Tl = C2 [(Ajay — (Л2?а2)2] Т =T^^dz = T2-Tl = C2 [(Ajay — (Л2?а2)2] Т =2c22c2IVg 产 8.IVg 产 8.(4Л2)(4Л2)
T^^dz = T2-Tl = C2 [(Ajay — (Л2?а2)2] Т =
T^^dz = T2-Tl = C2 [(Ajay — (Л2?а2)2] Т =
2c2
2c2
IVg 产 8.
IVg 产 8.
(4Л2)
(4Л2)
Эта трудность, одинаковая для одиночною профиля и для решетки, была преодолена в сороковых годах несколькими авторами, предложившими различные приемы обеспечения замкнутости профилей в потоке газа. Все эти приемы, по существу, связаны с получением в плоскости фиктивного потока несжимаемой жидкости профилей, незамкнутых на вектор (—т).■
Л. И. Седов в 1946 г. дополнил функцию g = g (Z), отображающую внутренность круга из плоскости параметрического переменного Z (рис. 7, 8)на внешность теоретического профиля (и теоретической решетки профилей) членами вида —(т/2л^) 1ц (Z — Z^, благодаря которым в плоскости z течения газа получаются замкнутые профили, близкие к исходным теоретическим профилям в несжимаемой жидкости. За рубежом аналогичный прием построения решеток в потоке газа был использован позже Ц. Линем (J. Math, and Phys., 1949, 28 : 2, 117—130). Примеры построения решеток из теоретических профилей (типа Чаплыгина) дал А. И. Бунимович в 1950 г.
С. А. Христианович и И. М. Юрьев, развивая в 1947 г. первое приближение метода Христиановича (по существу совпадающее с приближенным методом С. А. Чаплыгина), обеспечили замкнутость теоретических профилей, изменив циркуляцию в области годографа. При этом критические точки перестают совпадать с точкой 卩=0 (скорость в них не обращается в нуль) и в их окрестности получаются характерные бесконечные《усы», уходящие на второй лист плоскости z. Для решетки такой способ означает изменение циркуляций вихреисточника и вихрестока согласно формуле (4.11).
Р. М. Федоров в 1951 г. по предложению Б. С. Стечкина применил конформное преобразование области годографа функцией 匕= =У/(1 — С2Л2), причем с точностью до малых порядка С4Л4 получаются замкнутые профили как в плоскости z, так и в плоскости вспомогательного потока несжимаемой ^идкости g* div/dV*, и верна формула перехода dz =女* + С2 A2 岱2以 dj * + е-2奴女*).
Все описанные выше приемы построения теоретических решеток были изучены и сравнены на одном примере решетки профилей, применяемых в турбинах (Г. Ю. Степанов, 1954, 1962)..
Просто, по существу путем применения формул (4.7)—(4.10), решаются обратные задачи построения решеток в потоке газа с заданным распределением скорости на контуре профиля или канонической области; большинство методов, описанных в § 3, было распространено на течение газа Чаплыгина, причем соответствуюище краевые задачи решались для скорости фиктивного потока несжимаемой жидкости и выполнялись условия замкнутости профилей в потоке газа (Г. Г. Тумашев, 1945, 1949, 1965; В. В. Филиппов, 1952; Г. Ю. Степанов, 1953, 1962; М. И. Жуковский, 1954, 1956; Л. А. Дорфман, 1954, 1955). За рубежом аналогичные методы были разработаны Дж. Дайтхиллом (ARC Repts and Memor., 1945, № 2104), Дж. Костелло (NACA Rept, 1950, № 978), Дж. Д. Станицем (NACA Rept, 1953, № 1115) и др.
Более сложная прямая задача обтекания решетки из заданных профилей сводится к решению функционального уравнения, аналогичного уравнению (3.18), причем учитывается связь между плоскостями z и & а также скоростями у и У (4.8); хорошее первое приближение дает решение этой задачи для несжимаемой жидкости. Соответствующие уравнения для 9 Механика в СССР, том 2
струйного и бесциркуляционного обтекания одиночного профиля были указаны Н. А, Слезкиным в 1934 г., а для циркуляционного течения вокруг одиночного профиля и решетки профилей — Л. И. Седовым в 1946 г. Примеры расчета обтекания заданных решеток были выполнены позже (Я. М. Котляр, 1954, 1955; Г. Ю. Степанов, 1953, 1962). Для простейшего примера обтекания решетки клиньев, схематизирующих угловые входные кромки, решение получается в явной форме и дает выражение расчетного угла атаки
а< — аср = arctg (署 tg % ).
Согласно этому выражению расчетный угол потока ап измеряемый от нормали к фронту решетки, превосходит средний угол кромок аср, причем разность этих углов возрастает с ростом угла при вершине у и числа М (Г. Ю. Степанов, 1962).
Основные результаты теории решеток в дозвуковом потоке газа были получены в приближенной постановке Чаплыгина при К = const. Ю. В. Руднев в 1949 г. обобщил точный метод Чаплыгина на случай произвольной зависимости р = р (р) и таких течений, комплексный потенциал которых имеет особенности внутри области годографа, рассмотрев в качестве примера струйное обтекание решетки пластин. Г. А. Домбровский в 1950 г. разработал метод, основанный на аппроксимации более высокого порядка, вида К = С、th&C2s G，С2 — произвольные постоянные) и решил этим методом большое число различных задач, в том числе струйного обтекания решетки пластин (1955, 1964).
Для решеток большой густоты практическое применение получили некоторые приближенные способы расчета течения в каналах, основанные главным образом на различных предположениях о форме и кривизне эквипотенциальных линий и линий тока (Г. Ю. Степанов, 1953, 1958, 1962; Г. С. Самойлович, 1954, 1959; М. И. Жуковский, I960). В сочетании с более точными расчетами обтекания входных и выходных кромок профилей эти способы дали в целом удовлетворительное приближенное решение прямой задачи, в принципе пригодное для любых околозвуковых и сверхзвуковых скоростей (при отсутствии скачков уплотнения).
Околозвуковые и смешанные течения в решетках специально не изучались. Следует отметить приближенное решение Ю. В. Руднева (1952)， относящееся к смешанному течению через симметричную решетку из ромбов, а также цикл работ Ф. И. Франкля и его сотрудников по околозвуковым течениям в каналах (см. обзор Р. Г. Баранцева, 1965).
Сверхзвуковые течения через решетки рассматривались в линейном приближении применительно к решетчатым крыльям (В. В. Келдыш, 1957), к профилям в стесненном потоке (М. Д. Хаскинд и В. С. Хоменко^ 1958), к решетке в коническом потоке (Н. В. Смирнов, 1961, 1962, 1966). Интерес к нелинейным задачам связан с проблемой сверхзвукового компрессора и так называемым расширением в косом срезе межлопаточных каналов решеток турбин. Известная возможность построения сложных сверхзвуковых течений путем «склеивания» более простых была использована для построения решеток с каналами постоянной ширины (М. Ф. Жуков, 1950) и турбинных решеток из кратчайших сопел с угловыми точками (Г. Ю. Степанов, 1953, 1962). Для наблюдающегося при сверхкритических перепадах давления отклонения газа в косом срезе турбинных решеток предлагались различные приближенные и полуэмпи- рические формулы. Наиболее известная из них следует из одномерного
уравнения неразрывностиуравнения неразрывности(4ЛЗ)(4ЛЗ)
уравнения неразрывности
уравнения неразрывности
(4ЛЗ)
(4ЛЗ)
1 а
COS Oto —/ og2 t
где а — ширина узкого сечения канала, о =卩浊工 pt — полное давление в сечении а, д2 = (р2У2)/(Р2кр^кр)» и величина о выбирается эмпирически.
Путем применения одномерных уравнений сохранения для угла отклонения невязкого газа за решеткой пластин была получена точная для данной модели формула (Г. Ю. Степанов, 1952)
tg 6 =汗；_р [/ (円卩 tg а/?十当(1 —卩)2 —占卩 tgaK] , (4.14)
где 6 &н &2, &н угол установки пластин, р — р2,ркр, Рнр — критическое давление в узком сечении. При найденном угле выхода а2 величина о находится из уравнения (4.13); условие о = 0mm определяет предел расширения в косом срезе. Формула (4.14) была распространена на случаи кромок конечной толщины с разрежением за ними, наличия трения в косом срезе и непрямых кромок (Г. Ю. Степанов, 1953, 1962; В. Л. Эпштейн, 1961; В. В. Гольцев, 1959, 1963).
В пятидесятых годах развернулась дискуссия по так называемому «направляющему» действию бесконечной решетки, оказываемому ею на набегающий сверхзвуковой поток. Эта дискуссия была основана на том очевидном теоретическом выводе, что сверхзвуковой поток перед решеткой пластин (при 力 cos 图 & %в) может иметь единственное направление, совпадающее с направлением пластин. Однако этот вывод противоречил экспериментальным данным, получаемым в турбомашинах. Противоречие было объяснено возникновением отрыва на входных кромках и соответствующей перестройкой сверхзвукового потока. Те же соображения, которые были применены для вывода формулы (4.14), позволили вычислить параметры потока, выравнившегося между пластинами после отрыва (Г. И. Таганов, 1952). При малых скоростях получается известная формула для коэффициента потерь кинетической энергии потока,, обтекающего решетку пластин с углом атаки 6:
(4.15)(4.15)Р1—Рк Sin2 6
(4.15)
(4.15)
За рубежом развитая теория потерь на входе в решетку появилась на несколько лет позже ). Аналогично были определены параметры потока, проходящего через перфорированную стенку, рассматриваемую как решетка отрезков одной прямой (Г. Л. Гродзовский, 1953), а также потери при течении через круговые решетки — неподвижные и вращающиеся (В. Т. Митрохин, 1958, 1960; Н. Б. Трайнер, 1967).
Многие авторы обсуждали возможности электрического моделирования течений газа, особенно целесообразного для уравнений вида (4.6) в области годографа скорости. Примеры осуществления этой аналогии в ванне переменной глубины (обратно пропорциональной /К), выполненные в 1949 г. А. М. Люксембургом, показали, что в реальных условиях аппаратурные погрешности моделирования не ниже принципиальных погрешностей приближенного метода Чаплыгина. Поэтому практическое применение моделирование получило только для конформного отображения
области годографа скорости V фиктивного потока на круг (Г. Ю. Степанов, 1950, 1962). .
Интересные возможности качественного исследования, особенно для сверхзвуковых скоростей, дала газогидравлическая аналогия между движением газа и тяжелой жидкости со свободной поверхностью* Эта аналогия, указанная HL Е. Жуковским в 1912 г., применялась для демонстрации различных сверхзвуковых течений, в том числе через ступень турбины при относительном движении решеток (Г.①.Камнев, 1957).
Вязкость жидкости в плоском потоке через решетку проявляется в образовании на профилях тонкого пограничного слоя, в отрыве потока, по крайней мере у выходной кромки, появлении за ней разрежения и выравнивании следов за решеткой. При этом возникают, обычно малые, изменения параметров основного потока по сравнению с определенными в идеальной модели невязкой жидкости. Эти изменения при одномерном рассмотрении потока характеризуются оценочными коэффициентами потерь 已，скорости (импульса) ф, расхода ц и энергии % которые входят в гидродинамический расчет турбомашины.
В однородном потоке
屮=屮=V^0V^0卩卩риР/0риР/0(4-16)(4-16)
屮=
屮=
V
^0
V
^0
卩
卩
ри
Р/0
ри
Р/0
(4-16)
(4-16)
(индекс «0» относится к параметрам идеального потока в рассматриваемом сечении). В неоднородном потоке связи между оценочными коэффициентами зависят еще от характеристики неравномерности поля скоростей. Перечисленные коэффициенты наряду с углом выхода 出 определяют основные параметры решетки и турбомашины; их измерение представляет собой основную цель экспериментальных исследований решеток.
В теорию течения вязкой жидкости через решетки входит расчет пограничного слоя на профиле, учет толщины выходных кромок и выравнивания потока за решеткой. Первые расчеты и измерения пограничного слоя на профилях решеток относятся к 1946 г. и принадлежат А. С. Зильберману и Н. М. Маркову. Л. Г. Лойцянский обобщил известный метод приближенного расчета профильного сопротивления крыла на случай решетки и выразил коэффициент потерь С через толщины 6炉 потери импульса в пограничном слое на выходных . кромках (в 1947 г. для несжимаемой жидкости и в 1949 г. для газа); Н. М-. Марков в 1947 г. предложил выражение коэффициента ^ через толщины дк** потери энергии. В случае решетки, однако, в отличие от одиночного профиля, оказалось возможным с помощью только уравнений сохранения более строго решить эту задачу и выразить
через известные параметры пограничного слоя в плоскости выходных кромок (ниже индекс «к») все параметры выравнившегося потока за решеткой (Г. Ю. Степанов, 1949, 1962):
吋 1 — С =吋 1 — С =咤 cos2 ак + ф2 Sin2 ак咤 cos2 ак + ф2 Sin2 акtga2 = -^-tgaK, △/= 广—工tga2 = -^-tgaK, △/= 广—工1-Др，工 2回((рк — Nh) cos2 ак + ркрб1-Др，工 2回((рк — Nh) cos2 ак + ркрб(4/7)(4/7)
吋 1 — С =
吋 1 — С =
咤 cos2 ак + ф2 Sin2 ак
咤 cos2 ак + ф2 Sin2 ак
tga2 = -^-tgaK, △/= 广—工
tga2 = -^-tgaK, △/= 广—工
1-Др，
工 2回((рк — Nh) cos2 ак + ркрб
1-Др，
工 2回((рк — Nh) cos2 ак + ркрб
(4/7)
(4/7)
В формулах (4.17)卩^ = 1 — о —酿/« cos ак),(рк = 1 —醴*/(卩工 cos ак), о = dl(t cos ак) — безразмерная толщина срывной зоны за кромкой (в направлении фронта решетки), р^р = 2 (рк —卩碇丿⑦口业机)^ —0,10 — безразмерное давление за кромками,発一суммы толщин вытеснения пограничного слоя с двух сторон выходной кромки, 6к* — то же в отношении
толщин потери идшульса. Аналогичные формулы были получены за рубежом позже и только в частном случае несжимаемой жидкости и бесконечно тонких выходных кромок (Г. Шлихтинг и Н. Шольц, Ingr-Arch., 1951， 19 : 1). ■
Для расчета развития следа за решеткой была применена теория свободной турбулентной струи, которая позволила оценить неравномерность потока в зависимости от расстояния за кромками и соответствующие средние параметры потока (Г. Ю. Степанов, 1953, 1962; Е. В. Солохина, 1957).
Коэффициент потерь для ориентировочных расчетов целесообразно разбить на две части: g = g^p + Стр. Первая часть, коэффициент потерь из-за конечной толщины выходных кромок, определяется полуэмпиричес- кими формулами, например, gKp = —〃кр。или ^кр — 0,18 dla, а вторая зависит только от трения на профиле, т. е. от параметров пограничного слоя. При полностью турбулентном слое в несжимаемой жидкости справедлива оценочная формула
в которой s — длина средней линии профиля, у+ и у" — некоторые средние скорости, соответственно на спинке и вогнутой поверхности профиля^ Re = v2tlv. В простейшем случае расчета пограничного слоя при Re = =105 + 107 (Л. Г. Лойцянский, 1941, 1957) С = 0,072, т = 0,-20 и п = =3,1. При развитой шероховатости поверхности профиля справедлива такая же формула, в которой вместо числа Re выступает относительная гладкость поверхности "А (Д — средняя квадратичная высота неровностей), и можно принимать С = 0,048, m = 0,25, п = 2 (К. К. Федяевский и Н. Н. Фомина, 1936, 1939). По более современным данным С = 0,032, m = 0,20 и 冷=2,25.
Для охлаждаемых лопаток турбин в пределах справедливости гипотезы Рейнольдса о подобии динамического и теплового пограничных слоев безразмерный коэффициент теплоотдачи в лопатку q = QHc^G (爲一％)1 (Q — поток тепла, ср — теплоемкость газа при постоянном давлении, G — расход газа, % — температура стенки) можно оценить по той же формуле (4.18) при С = 0,024, т = 0,167, п = 0,833 (Л. М. Зысина- Моложен, 1957; Г. Ю. Степанов и В. Л. Эпштейн, 1958, 1962). •
Многочисленные оценочные и более точные расчеты пограничного слоя и профильных потерь в различных условиях показали, в общем, удовлетворительное совпадение с экспериментальными данными при безотрывном обтекании (И. Л. Повх, 1950; Н. М. Марков, 1952, 1955; А. С. Гиневский, 1954; Л. М. Зысина-Моложен, 1955). Следует отметить применение в этих расчетах ЭЦВМ (В. М. Зеленин и В. А. Шилов, 1964). На основе полученных зависимостей производились обобщения опытных данных и совершенствование методики экспериментальных исследований плоских решеток. *
При нерасчетных углах входа, когда обтекание решеток происходит с отрывом потока на профиле, получили распространение полуэмпиричес- кие формулы; наиболее обоснованные из них имеют следующий вид:
E = (cosaz； [ sin(ai —aipac+coso^ ]2 【 十 q十 L coscos J
где A + В (cos СХ2/cos рас叮)* Cpacq, 4 (0,4 0,6)区 и C 0sl 0s3 (Г. Ю. Степанов, 1958); В = 0,058, С = 0,265 (В. Л. Эпштейн, 19 59).
К эффектам течения реальной жидкости относятся дополнительные потери в двухфазном потоке и выпадение второй фазы на лопатки. Эти эффекты, а также движение жидкой пленки по поверхности лопаток изучались в полуэмпирической трактовке применительно главным образом к течению влажного пара в турбинах (М. Д. Вайсман, 1953, 1967; Р. М. Яб- лоник, 1960; Э. И. Марчик и В. Л. Эпштейн, I960, 1965).
Для теоретического профилирования решеток в потоке вязкой жидкости использовались обратные методы и, особенно, метод годографа скорости, которые обеспечивают гидродинамически целесообразное распределение скорости невязкой жидкости — с о гр аниченными максимальными величинами скорости ®+) и при минимальном числе диффузорных участков (dp/ds < 0) с гарантированным безотрывным обтеканием, для чего должно быть (6/р) (dp/ds) = g < gKP. Было предложено профилировать эти участки с равновероятным отрывом (自=const V 自нр)； были поставлены и решены простейшие задачи построения оптимальных решеток с наименьшими профильными потерями, которые подтвердили ряд эмпирических правил построения профилей (Г. Ю. Степанов, 1950, 1958, 1962; М. Е. Дейч и Г. С. Самойлович, 1959; М. И. Жуковский, 1960; Е. А. Гукасова и др., I960).
Как уже указывалось, большую практическую роль играют экспериментальные исследования решеток. По-видимому, первые в мире опыты с моделями плоских решеток поставил в 1902 г. Н. Е. Жуковский в аэродинамической трубе Московского университета. Одновременно с развитием теории решеток, успехами конструирования и расчета турбомашин, а также ростом техники аэродинамического эксперимента развивались и совершенствовались методы экспериментального исследования решеток и возрастала практическая роль их результатов. В пятидесятых годах в нашей стране были созданы, в основном в научно-исследовательских институтах и на заводах авиационной промышленности и турбостроения, оригинальные конструкции установок, на которых были проведены важные исследования решеток, имевшие большое значение для авиационной и ракетной техники и для энергетики. Часть этих установок и исследований описана в обширной литературе, рассмотрение которой выходит за рамки настоящего обзора.
Разработанные методы учета эффектов сжимаемости и вязкости жидкости, а также результаты экспериментальных исследований завершали развитие рассмотренной выше теории решеток в плоском установившемся потоке и использовались в практических приложениях.
.кого завершения; найденные решения отдельных частных задач опираются 坦а идеи и методы нестационарной аэро- и гидродинамики, развитые в первой половине нашего века применительно к аналогичной задаче нестационарного обтекания крыла самолета, и на экспериментальные исследования.
Современная теория нестационарного обтекания крыльев и решеток использует упрощенные вихревые модели течения невязкой жидкости — по существу, идею Н. Е. Жуковского о присоединенных и свободных вихрях.
Первый фундаментальный результат в этой области принадлежит С А. Чаплыгину, давшему в 1926 г. общие выражения главного вектора и главного момента нестационарных сил, действующих на твердое тело в плоском потоке несжимаемой жидкости при постоянной циркуляции. .Л. И. Седов получил в 1935 г. аналогичные выражения в более общем случае произвольно изменяемого контура и при переменной циркуляции. В 1924—1929 гг. в работах Л. Прандтля, В. Бирнабаума, Г. Вагнера и Г. Глауерта были развиты приближенные вихревые теории неустано- вившегося движения тонкого крыла с линией разрыва скорости, вихревым следом, возникающим в связи с переменной циркуляцией скорости вокруг профиля при выполнении условия Жуковского — Чаплыгина на выходной кромке. Эффективное, в виде конечных формул, вычисление сил при малых гармонических колебаниях крыла было произведено в 1935 г. М* А. Лаврентьевым и М. В. Келдышем и другим способом Л. И. Седовым. А. И. Некрасов в монографии, относящейся к 1941 г. (опубликованной в 1947 г.), дал подробный обзор и обобщение теорий крыла в нестационарном потоке по советским и зарубежным работам, включая случаи крыла конечного размаха (Н. Е. Кочин, 1941), неоднородного набегающего потока, апериодического движения и сжимаемой среды. В 1947 г. были опубликованы новые и более совершенные решения задач о колебании тонкого крыла при дозвуковых (М. Д. Хаскинд) и сверхзвуковых скоростях (Е. А. Красильщикова, И. А. Паничкин, М. Д. Хаскинд и С. В. Фалькович, Л. А. Галин, 'М. И. Гуревич), в том числе впервые для крыльев конечного размаха различной формы в плане. Систематическое изложение линейной теории крыльев в сверхзвуковом нестационарном потоке имеется в монографии Е. А. Красильщиковой (1952).
Заслуживает специального упоминания созданная в первых из перечисленных выше работ сороковых годов теория образования тяги колеблющегося крыла (за счет подсасывающей силы), дополненная затем вычислением к. п. д. крыла (М. Д. Хаскинд, 1944) и тяги машущего крыла в связи с образованием за ним дорожки из дискретных вихрей (В. В. Голубев, 1944-1946, 1957).
Первые результаты в нестационарной теории решеток принадлежат .Л. И. Седову (1939, 1950), который указал общее решение задачи о произвольном синхронном движении профилей плоской решетки в безвихревом потоке несжимаемой жидкости, в точной постановке при постоянной циркуляции и в квазистационарной (без свободных вихрей) — при переменной циркуляции. В частности, он дал общие выражения присоединенных масс 九(В) профиля в решетке и привел результаты их вычисления .для решетки пластин с произвольным выносом. Самый простой вид эти выражения имеют в случаях решеток без выноса (§ = 0) и из отрезков ЮДНОЙ прямой (В = ^2 п)：
Позже были вычислены присоединенные массы решетки из прямоугольников и двухрядной решетки пластин (М. И. Гуревич, 1940, 1954). Аналогично в общей постановке решается и задача об ударе решетки при сплошном и струйном обтеканиях; так был рассмотрен удар решетки пластин при их симметричном кавитационном обтекании по схеме Д. А. Эфроса (С. И. Пархомовский, 1958). Следует отметить, что знание присоединенных масс позволяет просто решить акустическую задачу об отражении звука достаточно частой решеткой и получить известную формулу Г. Д. Малюжинца для коэффициента звукопроводности решетки (М. И. Гуревич, 1964).
На основе развитой общей теории все методы решения задач потенциального течения несжимаемой жидкости через решетки элементарно обобщаются на случай произвольного одинакового движения их профилей в безвихревом потоке. При этом вместо неподвижной или стационарно движущейся решетки рассматривается решетка с заданной на профиле в функции времени г нормальной скоростью и几=д&〕дп — и几(s, т) или
функцией тока 屮= I % (s, t)曲=屮(龜 т), причем решение соответствую
щих краевых задач единственно при постоянной циркуляции или в ква- зистационарной постановке (при фиксированной точке схода потока). Именно так решается уже упоминавшаяся задача обтекания вращающихся круговых решеток при постоянной угловой скорости. Если рассматриваются малые движения решеток в целом относительно их стационарного обтекания (считающегося известным), то задача еще упрощается и сводится^ в линейной постановке относительно дополнительных нестационарных скоростей и давлений, к вычислению квадратур в области течения или в плоскости параметрического переменного (в канонической области). В частности, все кинематические формулы теории решеток из тонких профилей непосредственно применимы при заданных функциях 唸=唠(х, т), Уу = и^ (%, т), определяемых не- только формой профилей, но и их нестационарным движением или деформацией («гипотеза динамической кривизны»). По существу, при этом в каждой фиксированный момент времени решается стационарная задача с определенным значением параметра т.
В основном случае установившихся гармонических колебаний зависимость граничных условий и всех нестационарных функций от времени выделяется в экспоненциальный множитель
歹(z, т)=歹(z)e'vT, F (z)-=F1(z) + jF2(z)f
где v — частота колебаний, / — вторая мнимая «временная» единицаг не взаимодействующая с «пространственной» мнимой единицей X, F (z)— комплексная (по /) амплитуда колебаний; при этом задача сводится к определению двух функций (尸л и 尸J комплексной (по i) переменной z* Профили в решетке могут колебаться синхронно, но с постоянным сдвигом фаз а между профилями. Тогда действует условие обобщенной периодичности F (z + imt. т) F (z + imt)'^ = Fo (z) e^+v^ 侬=士1, ±2, . ), (5.2}
где 尸° (z) — комплексная амплитуда, относящаяся к основному периоду (ттг = 0), и в интегральных представлениях аналитических функций течения через решетку ядро cthx (С — z) (х = п/力) заменяется на более- общее
(D(C —z, X, a)=(D(C —z, X, a)=(5.3>(5.3>shx(g—z)shx(g—z)ch 比(1 — a/冗) (С — z)—— 曾 sh 比(1 — а/л)隽一z)
(D(C —z, X, a)=
(D(C —z, X, a)=
(5.3>
(5.3>
shx(g—z)
shx(g—z)
содержащее те же особенности и удовлетворяющее условию (5.2) (Г. С. Самойлович, 1962). В частности, комплексная амплитуда дополнительной скорости, вызванной колебаниями профилей и исчезающей на бесконечности, получает представления
(5阕(5.5)(5阕(5.5)兀（Z）= 1V§B© ①隽一Z）女，
(5阕
(5.5)
(5阕
(5.5)
71= О
которые, очевидно, обобщают формулы (3.1) и (3.8) для 尸(z) = и (z) и переходят в них при а = 0* На основе представления вида (5.5) функции, конформно отображающей заданную решетку на эквивалентную решетку кругов, была решена квазистационарная задача обтекания плоской решетки произвольных профилей (Г. С. Самойлович, 1962) и вычислена дополнительная циркуляция для нискольких типичных турбинных решеток при произвольном сдвиге фаз колебаний соседних профилей (Г. С. Самойлович и Б. Э. Капелович, 1967).
Значительно более сложной является полная нестационарная задача, в которой надо учитывать свободные вихри, сходящие в поток. Как и в случае одиночного профиля, эта задача решается только в предположенииг что движение свободных вихрей известно (обычно считается, что оно совпадает с движением частиц на критической линии тока стационарного обтекания).
Прежде всего были изучены установившиеся колебания тонких профилей или пластин с прямым вихревым следом за ними. В соответствии с условием сохранения вихрей в следе за профилем (%》@, у = 0) распределены вихри с интенсивностью
Y(2, T)= Y(a, t')= ^票L=T，= -i^j-Ae~3V~1J~e^, t' = t —,
где U — постоянная скорость стационарного течения вдоль оси х, х = а соответствует выходной кромке профиля, Г (т) = Л exp /vr — циркуляция скорости вокруг него, определяемая условием Жуковского — Чаплыгина о конечной скорости при х = а.
Первые задачи были рассмотрены в начале пятидесятых годов Г. Зен- геном (ZAMP, 1953, 4 : 4, 267—2 97), Ф. Систо (J. Aeronaut. Sci., 1955, 22 : 5, 297—302), К. Никелем (Ingr-Arch., 1955, 23 : 3, 179—188) и др. Для решения использовались интегральные представления скорости на профиле вида (5.4) (в гидродинамической интерпретации — вихревой метод), при которых задача так или иначе сводится к решению интегрального уравнения относительно распределения вихрей (касательной скорости) на профиле или в следе. По найденному распределению вихрей нестационарные силы определяются путем непосредственного вычисления или путем применения общих теорем. Зарубежные авторы рассматривали задачи о колебании пластин в решетке при различных ограниченных постановках (большая густота, отсутствие выноса, синфазные колебания и т. п.), причем либо вообще избегали получения конкретных результатов, либо приводили лишь отдельные примеры и частные зависимости. *Первые систематические численные результаты в виде безразмерных коэффициентов сил и моментов, действующих на пластины в решетке при синфазных
поступательных и вращательных колебаниях в широком диапазоне густот, углов выноса и частот, были опубликованы С. М. Белоцерковским, А. С. Гиневским и Я- Е. Полонским в 1961 г. Эти результаты были получены самым простым методом дискретных вихррй.
Как и в стационарной задаче, кроме вихревого метода для решетки из тонких профилей существуют более совершенные аналитические представления искомых функций течения (Л. И. Седов, 1935—1939). Применения этих представлений для решетки пластин при установившихся синфазных колебаниях появились в 1958 г. в работах М. Д. Хаскинда и Т. К. Сиразетдинова и за рубежом — И. Л. Попеску (Comun. Acad. R. Р. Romine, 1958, 8 : 10, 1003—1009).
В двух работах (относящихся к 1956 г.) М. Д. Хаскинд, рассматривая решетку пластин с выносом, а также произвольную систему отрезков одной прямой, использует метод решения, развитый им ранее в задаче о колебании тонкого одиночного профиля в дозвуковом потоке газа (1947). Амплитудные значения комплексного потенциала возмущения разбиваются на две части: w (z) = w0 (z) + % (z); w0 (z) определяет бесциркуляционное обтекание решетки с заданной нормальной скоростью и几,a wx (z) соответствует решению однородной задачи циркуляционного обтекания неподвижной решетки в присутствии свободных вихрей. Для того чтобы найти wx (z), что представляет основную трудность, вводится аналитическая функция
/伊)=需 +(5.7)
^аналогичная функция была введена в 1935 г. М. В. Келдышем для решения плоских задач теории волн). В линейном приближении и при гармонических колебаниях для избыточного давления возмущения согласно уравнению Коши — Лагранжа получается
卩=Р° (需 + / 多屮)с"' = pOeAt Re(i) /(z),
лоэтому введенная функция / (z) с точностью до постоянного множителя равна амплитуде комплексного (по i) потенциала ускорений рассматриваемого течения. Действительная часть потенциала ускорений, как давление, непрерывна (и равна нулю) в следе, мнимая же часть (в линейном лриближении) известна на профиле. Таким образом, функции wQ (z) и / (z) выражаются квадратурами по формулам теории решеток из тонких профилей, w0 (z) — однозначно, а / (z) и соответственно wx (z) линейно зависят от циклических постоянных (циркуляций скорости), которые находятся из линейных уравнений, выражающих условия конечности dw/dz на выходных кромках профилей. Для системы отрезков одной прямой (полипла- иа «тандем») и решетки без выноса решение строится непосредственно в плоскости течения z, для решетки с выносом — в плоскости параметрического переменного м = и (и), соответствующего отображению данной решетки на решетку без выноса.
Указанные свойства потенциала ускорений делают возможным его лрименение для непосредственного решения нестационарных задач. Г. С. Самойлович в 1961 г. нашел этим методом присоединенные массы и распределение давлений в решетке пластин без выноса при произвольных формах их колебаний через одну, причем использовал ряды из функций типа комплексной скорости обтекания решеток пластин, а также (при син- гфазных колебания») интегральные формулы теории тонкого крыла.
Т. К. Сиразетдинов и И. Л. Попеску в 1958 г. обобщили метод -Л. И. Седова в задаче о нестационарном движении одиночного тонкого профиля в неподвижной жидкости на случай синфазных колебаний решетки из пластин без выноса с прямолинейным вихревым следом за ними, исходя из интегрального представления комплексной скорости возму- ацения
а
务(z，T)=( 2^&T)g(e[cth(E — z) + l]d± + 一а
+ J Y&t)g⑸[cth(± —z) + l]龙｝ , (5.8)
где g (z) = /sh (z — a)/sh (z+ а), период решетки t = п. Это представление автоматически, за счет свойств функции g(z), удовлетворяет условию Жуковского — Чаплыгина на выходных кромках z = —а+ 1тл и с учетом связи типа (5.6) между 丫 и и (%) приводит к интегральному уравнению относительно функции 丫 Q), которое для установившихся гармонических колебаний просто решается и позволяет выразить 丫 (х) и соответственно и (z) в квадратурах.
Представление (5.8) путем использования в ядре функции Ф (^ — z; а) 《5.3) обобщается на случай гармонических колебаний с постоянным сдвигом а фаз колебаний соседних профилей (Г. С. Самойлович, 1962), а при использовании разложения (5.5) и формул Чаплыгина — Седова дает возможность получить общие выражения комплексных амплитуд нестационарных сил и моментов в виде конечных формул (квадратур), каждый член которых имеет определенный гидродинамический смысл (В. П. Ва- хомчик, 1965, 1966). Такие выражения имеют некоторые вычислительные преимущества перед простейшим вихревым методом и, кроме того, позво- ляюх аналитически получить для предельных значений геометрических и кинематических параметров асимптотические результаты, которые, как правило, ускользают от численных расчетов.
Для решетки с углом выноса § 啜 0 функции g (z) и ①(g — z) можно обобщить путем введения комплексного параметра хх = х ехр (— ф) вместо х = n/力 однако в представлении типа (5.8) при этом сохраняется неизвестная функция Yi = и^ — Vx (равная нулю при § = 0), и оно дает только выделение особенностей и (z), что облегчает исследование и решение соответствующего интегрального уравнения.
В отличие от стационарной задачи получение систематических численных результатов в рассматриваемой нестационарной задаче весьма трудоемко и практически недостижимо без использования ЭЦВМ. С другой стороны, вычислительная техника позволяет реализовать некоторые специфические методы, использование которых для ручного счета было бы нецелесообразным, и, в частности, метод аэродинамической интерференции. В соответствии с этим методом потенциал скорости обтекания рассматриваем мой системы тел представляется в виде суммы потенциалов обтекания каждого из этих тел по отдельности, движущегося (и, вообще говоря, деформирующегося) по заданному закону, и дополнительных потенциалов, определяемых некоторыми дополнительными заранее неизвестными законами деформации, введение которых учитывает интерференцию тел. Для определения этих дополнительных деформаций используется условие непроницаемости тел, что дает систему уравнений, которые решаются методом
тригонометрических полиномов или методом коллокаций. Циркуляции вокруг тел определяются условием Жуковского — Чаплыгина; форма вихревых следов считается известной или входит в решение неявно, если используется потенциал ускорений (5.7) (Д. Н. Горелов, 1963, 1964).
Методом интерференции были изучены колебания биплана и профиля в потоке с различными (жесткими и свободными) границами (Д. Н. Горелов, 1964, 1965), а также поступательные и вращательные колебания пластин в решетке ——впервые в широком диапазоне изменения всех геометрических и кинематических параметров. (В последнем случае вместа решетки фактически бралась система из достаточно большого конечного числа профилей.) В связи с этим методом оказалось естественным находить коэффициенты влияния, определяющие нестационарные силы на одном профиле при малом движении (колебании) по заданному закону только одного другого тела (В. Б. Курзин, 1964; Д. Н. Горелов, 1964, 1965). В случае решетки коэффициенты влияния можно определять как коэффициенты Фурье в разложении безразмерных аэродинамических сил по углу сдвига фаз колебаний соседних профилей (В. Б. Курзин, 1964; Г. С. Самойлович и Б. Э. Капелович, 1967) и в любом случае — непосредственна по методу интерференции (Д. Н. Горелов, 1964, 1965). После того как найдены коэффициенты влияния, путем суперпозиции просто определяются нагрузки на профили, колеблющиеся с разными амплитудами и фазами, но с одинаковыми частотами и формами колебаний (ограничение одинаковых форм несущественно).
Задача о колебаниях произвольной решетки, как уже указывалось^ решается проще всего (квадратурой) в квазистационарной постановке^ т. е. без учета вихревых следов в потоке за профилями. Вычисления, выполненные для решетки пластин, показали, что такое рассмотрение практически допустимо (вихревые следы мало влияют) в решетках большой густоты, а также при малых частотах, если сдвиг фаз а * 0 (С. М. Белоцерковский и др., 1961； Г. С. Самойлович, 1962; Д. Н. Горелов, 1964). Аналогично можно решить эту задачу, еслн принять другую модель вихревого следа за профилями в виде бесконечного разреза известной формы (Г. Ю. Степанов, 1962), стационарного или деформирующегося в соответствии с колебанием профиля.
Решение полной нестационарной задачи для произвольной решетки в принципе возможно теми же методами, которые применялись для решетки пластин, а именно вихревым, потенциала ускорений и интерференции, причем вычисления усложняются необходимостью интегрировать по контуру профиля С, а не по отрезку прямой. При изучении этой задачи было установлено наличие эффекта конечного смещения профилей (помимо скорости этого смещения). Эффект конечного смещения впервые был оценен на примере решетки пластин, колеблющихся со сдвигом фаз при стационарном обтекании с немалым углом атаки (В. В. Мусатов, 1963). В квазистационарной постановке или при использовании модели с разрезами за профилями этот эффект находится как влияние малой деформации профиля в стационарном неоднородном потоке； в полной нестационарной постановка происходит соответствующее усложнение интегральных уравнений задачи (В. Э. Сарен, 1966). В. Б. Курзин в 1967 г. наметил новый подход к решению этой задачи с помощью метода «склеивания», согласно которому вся область течения через решетку делится на три подобласти: набегающего потока, межлопаточного канала и потока за решеткой; в каждой из подобластей решается соответствующая задача относительно потенциала скорости с учетом условий его непрерывности на границах между подобластями.
Этот подход заслуживает внимания, прежде всего, для густых решеток, когда достаточно рассматривать только межлопаточный канал с приближенными граничными условиями на входе и выходе и можно не учитывать наличия особенностей на кромках.
При колебаниях тел в потоке газа появляются существенные эффекта, связанные с конечной скоростью распространения возмущений. Согласно Прандтлю эта задача рассматривается, в линейном акустическом яхриближении, путем введения потенциала ускорений, непрерывного в области течения и удовлетворяющего волновому уравнению; определение нестационарных давлений на колеблющемся одиночном профиле лри дозвуковых скоростях сводится в этом приближении к решению интегрального уравнения Поссио с ядром, содержащим функции Ганзеля (см. А. И. Некрасов, 1947). В. Б. Курзин в 1962 г. обобщил уравнение Поссио на случай решетки пластин и в 1964 г. получил его приближенное численное решение методом коллокаций с распространением решения путем введения коэффициентов влияния на случай произвольных Колебаний пластин (1966). На примере решетки без выноса были показаны существенная зависимость нестационарных сил от числа М = Ulv^ стационарного потока и наличие явлений типа резонансов при частотах колебаний, кратных собственным частотам колебаний газа в межлопаточном канале решетки в продольном и поперечном направлениях, соответственно равных приближенно vx = лузв (1 — М?)/% и v2 — п^зв/么 Д. Н. Горелов в 1963 г. применил метод аэродинамической интерференции к более общей задаче дозвукового пространственного потока газа через прямую решетку пластин, колеблющихся между двумя параллельными плоскостями. При построении решения использовался потенциал скорости обтекания одиночной пластины в плоском потоке, выраженный М. Д. Хас- киндом (1947), по существу с помощью метода потенциала ускорений, в эллиптических координатах через функции Матье — Ганкеля. Бесконечная система уравнений, выражающая условия непроницаемости пластин, решалась методом коллокаций. Таким способом были проведены расчеты для плоского и пространственного потока (Д. Н. Горелов й Л. В. Доминас, 1966, 1967) и показана возможность автоколебаний лопатки с одной степенью свободы при околорезонансных режимах, -соответствующих, помимо указанных выше, собственным частотам колебаний газа вдоль образующих пространственных лопаток длиной h (между ограничивающими плоскостями) v3 = лузв//г, а также еще некоторым частотам v4, зависящим от угла выноса 0 и сдвига а фаз колебаний соседних лопаток. Последние частоты, зависящие от взаимодействия лопаток, совпадают с собственными значениями матриц линейных уравнений и физически трактуются авторами как наложение совпадающих по фазе возмущений от соседних лопаток. Эти частоты для плоского потока впервые и наиболее прямым способом были определены в 1967 г. Г- С. Самойловичем, который рассмотрел распространение волн вдоль оси решетки диполей, соответствующих действию сосредоточенных сил, и поведение потока вдали от решетки. В дозвуковом потоке (при М V 1)
V4 = ( + М sinp + /l-M2cos2p)学，
в сверхзвуковом (при 1 < М < 1/cos Р)
v4 = (М sin Р 士 /1— м2 cos2 Р)争.
(Вопрос о величинах сил в условиях резонансов разрешается с акустических позиций или путем специального асимптотического исследования.У В результате решения пространственной задачи были показаны допустимость гипотезы плоских сечений для несжимаемой жидкости и наличие существенных отклонений от плоского потока для газа пр理 любых реальных удлинениях лопаток.
Колебания решетки в сверхзвуковом потоке представляют более- простую задачу, решаемую общими методами, развитыми для произвольной системы крыльев конечного размаха (Е. А. Красильщикова, 1952). Конкретно были изучены, методом аэродинамической интерференции колебания решетки пластин без выноса при сдвиге фаз а = 0 и а = я (что схематизирует колебания одиночной пластины соответственно в свободной струе и между жесткими стенками) при сверх- и при околозвуковых скоростях ( Д. Н. Горелов, 1966).
Влияние вязкости при колебаниях решеток теоретически почта не изучалось и привлекалось только для схематического объяснения экспериментальных результатов (Г. С. Самойлович, 1963—1967; В. Н. Ершов, 1966). Это влияние приводит к появлению нестационарного («вращающегося») срыва потока, уменьшению, запаздыванию по фазе- и гистеризису нестационарных сил, особенно при высоких частотахг и к затуханию вихревых следов за решеткой.
Общая проблема аэроупругости лопаток турбомашин сводится к исследованию уравнений их движения, которые для линейной динамической системы с конечным числом степеней свободы можно записать, в виде матричного уравнения
AX + BX + CX = Ff(5.9)
в котором X — матрица обобщенных координат (деформаций), Л — масс, В — коэффициентов трения (демпфирования), С — упругости， F — возбуждающих сил. Механическая часть проблемы, касающаяся свободных колебаний без учета взаимодействия лопаток со средой, относительно проста и изучена достаточно подробно (например, для лопаток турбин, см. монографию А. В. Левина, 1953). В рассмотренных выше- гидроаэродинамических задачах движение лопаток X = X。ехр yvr считалось известным (X。一 матрица, задающая форму и сдвиги фаз колебаний) и определялись силы давления потока, зависящие от ускорения, скорости и смещения лопаток. По отношению ко всей проблеме в этих задачах уточняются матрицы коэффициентов уравнений (5.9) за счет присоединенных масс, аэродемпфирования, позиционных сил и дополнительных связей (аэродинамической интерференции колебаний). В результате становится возможным уточнить собственные частоты и формы колебаний лопаток, определить границы устойчивости и автоколебаний (флаттера). Появление последних определяется аэродинамическим взаимодействием различных форм колебаний одной лопатки (классический флаттер)， лопаток между собой (решетчатый флаттер), резонансами в газе, звуковым «запиранием» и, наконец, отрывом потока (срывной флаттер). При этом особенно важны силы, находящиеся в фазе (или в противофазе) со скоростью колебаний по каждой главной форме, в том числе силы аэродемпфирования, связанные со сходом в поток вихрей, излучением в газе и силами трения в вязкой жидкости (Г. С. Самойлович, 1962; Л. Е. Ольштейн и Р. А. Шипов, 1962—1967 и др.).
Для определения деформаций и динамических напряжений в лопатках необходимо знать возбуждающие силы F как явные периодические функ-
ции времени. Низкочастотные возбуждения зависят от свойств сети,, системы регулирования, характеристик турбомашин и режима их работы. Эти возбуждения изучались в одномерной (и квазистационарной по отношению к турбомашине) постановке методами теории нелинейных колебаний (В. В. Казакевич, 1959).
Высокочастотные возбуждения зависят от относительного движения решеток и других тел, находящихся в потоке, например крепежных элементов. Соответствующие силы связаны с неоднородностью потока и относительно просто находятся в квазистационарной постановке для потенциального обтекания решеток и других систем тел (Л. А. Дорфман, 1947; Г. Ю. Степанов, 1962; В. П- Вахомчик, 1962). Однако неоднородности в потенциальном потоке быстро затухают (для решеток как экспонента расстояния между ними) и, как правило, не могут быть основной причиной возбуждения. Главную роль играют вихревые следы в набегающем потоке, форма и интенсивность которых определяются вязкостью жидкости и турбулентностью потока. В пределах решетки эти следы допустимо' рассматривать как вихревые неоднородности в потоке невязкой жидкости. При малой неоднородности определение ее влияния сводится известным образом, как в задаче о крыле в вихревом «порыве», к учету дополнительной скорости деформации профиля в однородном потенциальном потоке (Г. С. Самойлович, 1961, 1962). При большой неоднородности и с учетом взаимодействия решеток эта задача очень сложна; известны некоторые экспериментальные исследования в квазистационарной постановке и одномерные оценки сил по максимуму.
В большинстве исследований рассматривались однородные решетки с одинаковыми условиями обтекания и возбуждения одинаковых лопаток. Проведенное изучение аэроупругости механически неоднородных кольцевых решеток (Л. Е. Ольштейн и Р. А. Шипов, 1962—1967; В. Б. Курзин, 1967) показало, что такие решетки динамически более устойчивы в потоке, чем однородные, имея, однако, более высокие вибрационные напряжения.
В целом в области теории нестационарного обтекания решеток в нашей стране были получены важные результаты, как йравило, опережающие аналогичные результаты в зарубежных исследованиях. В числе этих результатов разработка новых теоретических методов, получение систематических расчетных данных, установление новых эффектов и указание путей дальнейших исследований. В последние годы особенно интенсивные работы ведутся в Московском энергетическом институте и в Институте гидродинамики Сибирского отделения Академии наук СССР; по материалам этих работ подготовлены две специальные монографии (Г- С. Самойлович; Д. Н. Горелов, В. Б. Курзин и В. Э. Сарен).
§ 6・ Пространственное течение в решетках
Действительное течение в пространственных решетках^турбомашин существенно трехмерное и нестационарное. Исследование этого течения с учетом эффектов реального газа представляет собой основную современную проблему теории решеток, к необходимости решения которой подводят как общее развитие этой теории, так и ряд новых задач, возникающих при проектировании и использовании турбомашин. Только сложность непосредственного решения соответствующих задач заставляет обращаться к упрощенным моделям течения идеализированных жидкостей и с меньшим числом независимых переменных. Применение упрощенных моделей
Пространственных течений в теории турбомашин оправдано, впрочем^ еще и потому, что для практических целей обычно не нужна полная информация о всем поле потока и достаточны только общие характерные параметры, определение которых с удовлетворительной точностью производится на стационарных двумерных или даже одномерных моделях.
Такие модели успешно применял Н- Е. Жуковский, пользовавшийся гипотезой цилиндрических сечений для перехода к плоской решетке (1890, 1912——1914) и гипотезой присоединенных и свободных вихрей (1906) в своих исследованиях гребного винта и ветряка (1912—1915). В этих исследованиях Жуковский впервые, намного раньше зарубежных авторов, ввел вихревые модели винта с конечным и с бесконечным числом лопастей («вихревое донышко»), предложил лопасть постоянной циркуляции (винт «НЕЖ»), рассмотрел закрученные осесимметричные потоки за винтом, которые позже получили название «законов закрутки» с постоянным моментом количества движения (г% = const), постоянным углом потока (%/% = const), и типа твердого тела (%/г = const).
Вихревая теория винта явилась большим теоретическим достижением, позволившим существенно уточнить его теоретическую модель и обосновать распространенный гидравлический (одномерный) расчет винта ). 'Следует отметить, что исходная вихревая модель винта с конечным числом лопастей включала, как простой частный случай, вихревую модель крыла конечного размаха, предложенную почти одновременно С. А. Чаплыгиным, Ф. Ланчестером и Л- Прандтлем в 1911 г. В последующем развитии линейной теории крыла конечного размаха были получены важные результаты для несжимаемой жидкости и газа при дозвуковых скоростях «Н. Е. Кочин, 1941; В. В. Голубев, 1939—1947; В. В. Струминский, 1946— 1957; С. М. Б елоцерковский, 1955, 1965) и при сверхзвуковых скоростях (Е. А. Красильщикова, 1947—1952; С. В. Фалькович, 1947; М. И. Гуревич, 1947; Л. А. Галин, 1947).
Вихревая теория винта успешно разрабатывалась школой Н. Е. Жуковского и получила-многочисленные практические применения к воздушным и гребным винтам, ветродвигателям, вентиляторам и воздуходувкам (В. П- Ветчинкин и Н. Н. Поляхов, 1940; Л- А. Симонов и С. А. Христианович, 1944; Ф. И. Франкль, 1946; Б. Н. Юрьев, 1956, 1961； А. М. Басин и И. Я. Миниович, 1963). Непосредственное отношение к теории турбо машин имеет задача о винте в кольцевом насадке, предложенном в 1864 г. К. Ф. Бриксом (И. В. Остославский и В. Н. Матвеев^ 1935; М. Б. Масеев и М. Н. Веселовский, 1946). Для теории турбомашин интересна также работа Л. А. Симонова (1941), в которой вихревой метод построения лопасти в плоском потоке был распространен на случай радиальных вихрей между двумя соосными круговыми цилиндрами и была показана малая погрешность гипотезы цилиндрических сечений.
Таким образом, уже в работах Н« Е. Жуковского и его школы трехмерная задача теории турбомашин рассматривалась как две двумерные — задача среднего осесимметричного вихревого течения и задача потока через решетки в осесимметричном (в частности, цилиндрическом) сечении лопастей.
В области гидротурбин Г. Лоренц (Neue Theorie und Berechnung der Kreiselrader, 1906) гипотетически ввел вихревую осесимметричную модель течения через пространственную решетку из бесконечно большого числа
бесконечно тонких лопастей с распределенной (массовой) силой воздействия их на поток. На основе этой модели В. Бауерсфельд в 1907 г. решил обратную осесимметричную задачу построения лопасти радиально-осевой турбины для частного случая безвихревого меридианного потока г叫 0 = = 0. И. Н. Вознесенский в 1920—1935 гг. разработал более общий способ построения вихревого потока, который был использован при проектировании первых отечественных гидротурбин (И- Н. Вознесенский, 1952). Гидродинамические методы в гидромашиностроении получили в нашей стране первое систематическое изложение и развитие в курсах А. А. Сат- кевича (1929), И. Н. Вознесенского (1934), Г. Ф. Проскуры (1934).
В области паровых турбин и авиационных газотурбинных двигателей общепринятый одномерный расчет в послевоенные годы был дополнен уже упоминавшимися «законами закрутки» цилиндрического (и「= 0) осесимметричного потока газа с постоянным моментом количества движения = const (В. В. Уваров, 1945), постоянным углом потока %/% = =const, постоянным удельным расходом р% = const и другими (Б. С. Стечкин и др., 1956; Л- А. Симонов, 1957; Г. Ю. Степанов, 1958; Е. А. Гукасова и др., 1958; К. А. Ушаков и др., 1960; Г. Н. Абрамович, 1953; М. Е. Дейч, 1953; И. И. Кириллов, 1964), причем приближенно учитывались нецилиндрическая форма проточной части и переменные по радиусу полные давление и температура. Расчет осесимметричного заключенного потока в зазорах между неподвижными и вращающимися решетками позволил получить необходимые данные для профилирования лопаток по высоте и для определения общих показателей турбомашины. Так как последнее производится в рамках одномерной модели, то оказалось необходимым уточнение понятия идеального одномерного процесса и средних параметров в характерных сечениях потока (Г. Г. Черный, 1953, 1956; Л. И. Седов и Г. Г. Черный, 1954; Г. Н. Абрамович^ 1953).
Указанные необходимые дополнения и уточнения одномерных расчетов производились и реализовывались в конструкциях двигателей практически одновременно и независимо в отечественных и зарубежных работах.
В начале пятидесятых годов в США были опубликованы первые расчеты двумерных моделей пространственного потока невязкой сжимаемой жидкости через турбомашины (Ч. X. By, Trans. Amer. Soc. Meeh. Engnrs, 1952, 74 : 8, 1363—1380; Дж. Д. Станиц, там же, 74 : 4, 473—497). В аналогичных исследованиях, проводившихся в нашей стране, особое внимание было уделено принципиальной стороне вопроса, уточнению гидродинамической постановки задач, обоснованию упрощенных моделей и методов расчета. Для этого потребовалось применение общей теории вихревых движений газа (А. А. Фридман, 1921, 1932; Н. Е. Кочин и др., 1953) и, в частности, в системах с вращающимися связями (В. М* Астафьев, 1949), изучение геометрических свойств потока (С. С. Бюшгенс, 1948, 1951) и использование операции осреднения уравнений (Г. Ю. Степанов, 1952; Я. А. Сироткин, 1963，1967).
Для получения уравнений стационарного осесимметричного течения через турбомашину невязкого совершенного газа к общим уравнениям движения применяется линейное осреднение по окружности и по времени, что дает (все параметры и операторы — осредненные)
(6-1)(6-1)wXtyx^^VH — TVS — F+Ri,'v-(xpw) = J?2r р = ВрТ+ В3,
(6-1)
(6-1)
10 Механика в СССР, том 2
где помимо обычных обозначений приняты следующие: w — относительная скорость, г ~ w -\~ tt ~ -tv -\~ an X г — абсолютная скорость, ш = =const — угловая скорость вращения решетки, Н == J +1/2w2 — V2 吟 J = cpT — энтальпия, @Н = О, S — энтропия, dS = cvdplp — Q@p/p — =0. В результате осреднения в уравнения (6.1), в отличие от обычных уравнений осесимметричного потока, входят коэффициент % стеснения потока в окружном направлении лопатками конечной толщины, массовая распределенная сила F воздействия лопаток на поток, квадратичные пульсационные члены 豆，鼻 и *з — функции изменения параметрон потока в окружном направлении и по времени. Пульсационные члены исчезают в осесимметричном потоке и в модели с бесконечно большим числом лопаток. Система уравнений (6.1) замыкается соотношениями
V х F=0, V'W = 0,V х F=0, V'W = 0,(6-2)(6-2)
V х F=0, V'W = 0,
V х F=0, V'W = 0,
(6-2)
(6-2)
выражающими соответственно коллинеарность F и ортогональность 的 нормали V средней поверхности тока.
Для точного определения членов осреднения %, У? и формы средней: поверхности тока необходимо знать полное трехмерное нестационарное поле потока; однако практически, с точностью до членов порядка квадрата пульсаций (в окружном направлении и по времени), функции % и w определяются геометрическими параметрами межлопаточных каналов, а пульсационные члены R опускаются. (Такое обычно принимаемое упрощенно соответствует модели течения через турбомашину с бесконечно большим числом лопаток, толщина которых учитывается коэффициентом стеснения 0 V % V 丄)Для оценки погрешности упрощенной осесимметричной: модели и уточнения расчета можно использовать теорию двумерного обтекания решеток на осесимметричной поверхности тока и теорию вторичных течений.
Представляется также возможным учесть малые эффекты реального потока (вязкость, теплопроводность, фазовые переходы) путем феноменологического введения осесимметричных полей малых сил трения, источников тепла и массы с добавлением уравнений энергии @Н # 0), энтропии (dS * 0) и диффузии.
Для решения исходные уравнения записываются в меридианной плоскости в естественной (s, п) или фиксированной, например, цилиндрической (г, z) системах координат. В первом случае система координат заранее неизвестна и уравнения дополняются соотношением ортогональности
dKsdndKsdn需=仁十Кз需=仁十Кз(6.3)(6.3)
dKsdn
dKsdn
需=仁十Кз
需=仁十Кз
(6.3)
(6.3)
где Ks и Kn — кривизны соответственно линий тока s и нормальных к ним линий п, производные d/ds и d/dn берутся вдоль соответствующих линий, Кп = — d In (%rpum)/曲,Um — проекция скорости на меридианную плоскость (Г. Ю. Степанов, 1962).
Во втором случае, в фиксированной системе координат, система уравнений сводится либо к двум относительно проекций скорости на оси координат, либо к одному уравнению относительно функции тока в прямой задаче (Г. И. Майкапар, 1958; П. А. Романенко, 1959; Я. А. Сироткин, 1963—1967) или относительно функции 屮(г, z), определяющей среднюю поверхность тока в обратной задаче (И. Н. Вознесенский, 1952; Я. А. Сироткин, 1966). В частном случае несжимаемой жидкости
и в цилиндрической системе координат это уравнение принимает вид
—Г [ dz dz d「2\ dz dr 十 dr dz 丿 dr dz dr dr dz2 J —
=叫2需+ (Z，岩，碧，察，需)("『”外(6阁 В прямой задаче уравнение (6.4) имеет относительно функции 屮(г, z) эллиптический тип, в обратной задаче — гиперболический относительно функции ф (г, z). В свободном от решеток кольцевом канале получается эллиптическое уравнение обобщенного винтового движения (И. С. Гро- мека, 1882; О. Ф. Васильев, 1958)
*十什22 " 一Г叫 2 d^ b"丿I" 一 p十2丿.(6"
Аналогичное уравнение прямой задачи для сжимаемой жидкости эллиптично относительно гр при дозвуковых скоростях в меридианной плоскости % V %в (сверхзвуковые течения % > %в во внутренних задачах неустойчивы и, как правило, не реализуются). В связи с типом уравнения краевые условия ставятся на границах полосы, как для канала. На верхней и нижней границах задаются условия Дирихле, на входе и выходе ——косая производная (наклон линий тока). Область определения 屮 разделяется на подобласти трех видов: содержащие вращающиеся решетки, содержащие неподвижные решетки и свободные от них. На гра- 'ницах подобластей, вообще говоря, происходит конечный разрыв коэффициентов при старших производных, поэтому решение может существовать в классе обобщенных функций с интегрируемым квадратом. Итак, прямая осесимметричная задача сводится к смешанной краевой в односвязной области для квазилинейного эллиптического уравнения с конечным Числом линий разрыва коэффициентов. Для несжимаемой жидкости рассматриваемое уравнение (6.4) равномерно эллиптично, и вопросы существования и единственности его решения хорошо изучены (О. А. Ладыженская и Н. Н. Уральцева, 1964). Для сжимаемой жидкости это уравнение, как и все уравнения газовой динамики, эллиптично только на ограниченном вместе с первыми производными решении, и вопрос его однозначной разрешимости даже в более простых задачах остается открытым. По аналогии с теорией плоского дозвукового течения газа можно ожидать существования единственного решения при определенных ограничениях правой части уравнения или градиентов функций Н и S. Эти вопросы имеют не только принципиальное, но и непосредственное практическое значение, будучи связанными с устойчивостью закрученных течений и со сходимостью итерационных схем при нахождении численных решений.
Обратная осесимметричная задача в традиционной постановке Бауер- сфёльда — Вознесенского заключается в определении формы средней поверхности лопасти 屮=屮(г, z) при заданной функции тока 屮(г/ z) или заданном поле меридианных скоростей ym (г, z). Так как для этой задачи уравнение (6.4) (и аналогичное для течения сжимаемой жидкости) имеет гиперболический тип, то для него ставятся задачи Гурса и три смешанные, если только граница подобласти, содержащей решетку, не совпадает с линией параболического вырождения типа уравнения. Эта линия появляется при окружной проекции скорости %)= 0 仇=0 для неподвижной решетки), причем при переходе через линию вырождения 10*
в пределах решеток уравнение своего типа не меняет. Итак, для обратной задачи строится обычное решение, аналогичное классическому решению сверхзвуковых задач газовой динамики, с той разницей, что в окрестности линии параболического вырождения метод характеристик непосредственно неприменим и на границах подобластей, не содержащих решеток, решение должно сопрягаться с решением эллиптического уравнения (6.5) (Я. А. Сироткин, 1964, 1966).
Из вышеизложенного видно, что прямая и обратная задачи осред- ненного осесимметричного потока получили в нашей стране общую и в известном смысле завершенную постановку.
В пятидесятых годах решение прямой задачи начинает внедряться в практику расчета и проектирования турбомашин и получает многочисленные примеры применения. Решение задачи относительно составляющих скоростей производится обычно по методу прямых и сводится к последовательности краевых задач для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в естественной сетке с использованием кривизн (Г. Ю. Степанов, 1953, 1962) или в полуфиксированной и в фиксированной сетках (Л. А. Симонов, 1950, 1957; Я. А. Сироткин, 1959—1963； Н. И. Дураков и О. И. Новикова, 1963; М. И. Жуковский, 1967). Решение задачи относительно функции тока получается методом сеток (Г. И. Май- капар, 1958; Я. А. Сироткин, 1964) или вариационным методом Галеркина (П. А. Романенко, 1959). Во всех случаях из-за нелинейности задачи применяются последовательные приближения, причем их сходимость проверяется или достигается (путем выбора шагов сетки или весовых коэффициентов) с помощью численного эксперимента. Расчеты в общей постановке задачи оказываются весьма трудоемкими и ориентируются в основном на применение современных ЭЦВМ.
Решения обратных осесимметричных задач, после упоминавшихся выше работ И. Н. Вознесенского, только начинают появляться в приближенной и еще несовершенной постановке (И. Э. Этинберг, 1965; И* А. Оганесян, 1967).
В технической практике получили распространение различные, частично уже упоминавшиеся, приближенные способы решения осесимметричных задач, основанные на различных упрощающих предположениях и форме линий тока,— такие, например, как теория цилиндрической и конической ступеней в пределах зазоров между решетками (с учетом и без учета кривизны линий тока). Все эти способы содержатся как частные случаи в основных уравнениях осесимметричной задачи и ценою потери строгости постановки дают возможностк получения обозримых решений, не требующих применения ЭЦВМ (Г. Н. Абрамович, 1953; М. Е. Дейч и Г. С. Самойлович, 1959 и др.).
С другой стороны, заслуживают упоминания примеры построения пространственных (трехмерных) течений несжимаемой жидкости в турбомашине, ограниченной сферическими поверхностями (А. М. Гохман, 1954), и в межлопаточном канале (А. Ф. Макаров, 1967). Такие весьма трудоемкие расчеты имеют, однако, методическое значение для оценки точности упрощенных моделей.
Уравнения второй двумерной задачи — стационарного обтекания решеток на поверхности вращения в слое переменной толщины — получаются в результате осреднения общих уравнений по времени и поперек слоя, границы которого считаются совпадающими с поверхностями тока осесимметричного течения г = г (z). В отличие от уравнений первой — осесимметричной — задачи необходимы дополнительные предположения
о малости толщины h = h (х) слоя (по сравнению с г), а также о малости величин поперечной по отношению к слою проекции скорости и几 и градиентов всех функций поперек слоя (Г. Ю. Степанов, 1962; О. Ф. Васильев и Н. С. Хапилова, 1965). Для удобства изображения и расчетов целесообразно перейти от осесимметричной поверхности г = г (z) (drldz = tg 丫)
z
к плоскости ее конформного отображения ^ = j @z/(rcosY), у = tp, о
в котором любая решетка превращается в прямую, расположенную вдоль оси у. В результате осреднения и пренебрежения малыми пульсационными членами и поперечными скоростями уравнения движения сводятся к уравнениям неразрывности и вихрей в плоском слое переменной толщины относительно компонент относительной скорости wx =力仇， Wy = Mp：
О, 1О, 1(6.6)(6.6)д (ры) д (ри)дх 十 ду
О, 1
О, 1
(6.6)
(6.6)
диди
дхду
или к уравнению относительно функции тока 陋
与(工十齐(人=-Q,(6.7)
дх \ р дх ) 1 ду , \ р ду /，'/
где р =无(力)p (ip, x) — приведенная толщина слоя, р = р (力，力)— плотность газа, являющаяся известной функцией на поверхности Бернулли (Я = const, S = const), и = rwx = р^д^/ду, и = rwy = =—р~хд^!дхч Q = — 2(о戸 sin у,(o — угловая скорость вращения решетки.
Уравнение (6.7) эллиптично при дозвуковых скоростях (ipV%b), и постановка задач для него аналогична постановке задач дозвукового обтекания плоских решеток, соответствующих течению в цилиндрическом слое Постоянной толщины (гипотезе цилиндрических сечений): г = const (Y = 0)，无=const. Для численного решения уравнений (6.6) и (6.7) в принципе пригодны все методы, упоминавшиеся в связи с осесимметричной задачей, по отношению к которой эти уравнения представляют собой простой частный случай, с той разницей, что на границах полосы периода вне решетки ставятся условия периодичности течения и что в .окрестностях критических точек следует исключать особенности (совпадающие при ограниченных производных dhldx с соответствующими особенностями плоского потока несжимаемой жидкости).
В важном частном случае р = const и Q = 0 (второе несущественно) уравнения (6.6) и (6.7) становятся линейными и переходят в хорошо известные уравнения математической физики, описывающие движение электрического тока через проводящие поверхности произвольного вида (Н. А. Умов, 1875), течение несжимаемой жидкости в слое переменной толщины и ламинарную фильтрацию в неоднородных слоях (О. В. Голубева, 1950, 1953; П. Я. Полубаринова-Кочина, 1953), движение газН в плоскости годографа скорости (Л. С. Лейбензон, 1935), течение вязкой жидкости в подшипнике, напряженное состояние анизотропных валов и неоднородных пластинок. Математическая теория этих уравнений существенно развита в работах И. Н. Векуа, Л. Берса и А. Вайнштейна, М. А. Лаврентьева и Б. В. Шабата, С. Бергмана, Г. Н. ПоЛожего. Эффективные решения краевых задач для уравнений (6.6) и (6.7) представляются через аналитические (гармонические) функции и фундаментальные
частные решения, в гидродинамической интерпретации — путем наложения потенциалов основных элементарных течений типа изолированных источников, вихрей, диполей и мультиполей. Эти частные решения имеют известные выражения (обобщенные осесимметричные потенциалы): для степенных слоев 无=%71 в общем случае через функции Бесселя порядка 1/2 (п — 1), при целых четных п — через элементарные функции и при целых нечетных п — через эллиптические интегралы; для экспоненциальных слоев h = exp 力 и их линейных комбинаций, в том числе тригонометрических и гиперболических функций, решения выражаются через функции Макдоналда. (В газовой динамике были подробно изучены случаи 无=/К = %1/з и 无=th2 х.) Общая теория течений в таких слоях (применительно к теории фильтрации) развивается в последнее время в работах О. В. Голубевой и ее сотрудников (К. Н. Быстров, 1956—1966; Ю. А. Гладышев, 1961, 1964; В. А. Юрисов, 1964; Н. И. Гайдуков, 1966). В более общем случае решения рассматриваемых уравнейий имеют представления через ряды или интегралы, обобщающие соответствующие представления аналитических функций. Так, например, если записать первое из уравнений (6.6) в виде
ди , ди '5 In р5 In р
-^——h=д— U-^—^ %
дх дудхду
то эти уравнения можно рассматривать как систему Карлемана для обобщенной аналитической функции q{z) = и—ш (z = + iy) (И. Н. Векуа, 1959), которая для решетки получает представления
9侈)=击 § g(3)cth +(3-z)閣一击 J £ & +而一iQ)cth；(3-z)宠"％ (6-8)
g(z) = F(z)exp [—备 j j (cq + cq — iQ) -| cth ^ (? — z) dg dr}] ■(6-9)
s
В написанных формулах интегралы берутся по контуру С основного пр-офиля и по области S определения q в основном периоде решетки, с = — “2 9 In p/d% + 冶 In р/6р), Р (z) — произвольная аналитическая функция z.
С помощью указанных представлений методы расчета плоского потока (соответствующие с = 0) обобщаются на случай течения в слое переменной толщины несжимаемой жидкости, а также и газа (при дозвуковых скоростях), если использовать метод последовательных приближений типа Рейли — Янцена. Расчеты существенно усложняются из-за более сложного вида основных элементарных течений и необходимости вычислять интегралы по площади, поэтому известные работы ограничены общими обсуждениями применения метода особенностей в потоке несжимаемой жидкости (С. В. Валландер, 1958; А. М. Гохман и Е. В. Н. Рао, 1965) и решениями (вихревым методом) прямой и обратной задач в простейших случаях h ~ х (Л. А. Симонов, 1950, 1957) и 无=х~2 (Н. Г. Белехова, 1958; К. А. Киселев, 1958; Б. С. Раухман, 1965), а также построением элементарных течений от решетки источников в слое h = х2п (Ю. А. Гладышев, 1964) и решетки диполей в слое h = exp 卩力(В. А. Юрисов, 1964). Для расчета течений газа в пределах межлопаточных каналов развиты и практически применяются более простые численные и приближенные методы; из них самый простой основан на осреднении потока поперек канала (по у) и сведении задачи к одномерной (Г. Ю. Степанов, 1962;
Т. Митрохин, 1966). Упомянутые «каналовые» методы, помимо своей простоты, имеют еще то преимущество, что они без существенных затруднений распространяются на случаи непостоянных поперек канала величин заторможенных параметров и смешанных (до- и сверхзвуковых) течений.
В целом решение пространственной задачи как совокупности двух описанных двумерных задач в настоящее время существенно продвинуто •и дает достаточные основания для надежного расчета и проектирования турбомашин. Однако полное решение задачи требует учета всех отбрасываемых членов уравнений, в том числе поперечных слагающих скоростей, или, иначе говоря, оценки искажения осесимметричных поверхностей тока. Эта оценка может производиться либо путем решений полных уравнений у либо (что больше соответствует основной идее расчленения про- -странственной задачи на двумерные) путем рассмотрения третьей и последней задачи так называемых вторичных течений в поперечйых сечениях потока. Первое теоретическое объяснение вторичных течений как следствия поворота сохраняющихся вихревых линий было дано в 1914 г. Н. Е. Жуковским при рассмотрении им движения наносов на повороте реки. Вторичные течения изучались, кроме того, Н. Е. Жуковским и С. А. Чаплыгиным в потоке со свободными вихрями за винтом и за крылом конечного размаха, а также А. А. Фридманом, Н. Е. Кочиным и И. А. Кибелем в задачах динамической метеорологии. Теоретическое исследование вторичных течений в межлопаточных каналах турбомашин основывается на общих теоремах о движении вихрей. Наиболее существенные результаты были получены В. Р. Хауторном (Proc. Cambridge Phil. Soc., 1955, 51 : 4, 737—743). Основное уравнение для расчета вторичной завихренности вдоль линии тока в неподвижном канале может быть записано в форме
OV—I=2Ks dp* Y ds \ py / p*y &m где p* и p* — заторможенные параметры, Ks — геодезическая кривизна линии тока на поверхности Бернулли (/)* = const), производные d/ds и d/dn берутся соответственно вдоль линии тока и по нормали к поверхности Бернулли. Из уравнения (6.10) видно, что развитие вторичных течений в невязкой жидкости определяется только градиентом полного давления и кривизной линии тока. (В относительном движении во вращающемся канале к величинам Q$ добавляется еще проекция на линию тока относительного вихря —2б) Найденные величины Q$ определяют поле скоростей в поперечном сечении канала и соответственно искажение @ормы исходных осесимметричных поверхностей Бернулли, а также средних поверхностей тока (и, в частности, углов выхода потока из решеток).
Дальнейшее уточнение постановки и решения пространственной вадачи идет в направлении уточнения моделей течения с учетом эффектов реального газа, в первую очередь вязкости. Дело в том, что теория вторичных течений в невязкой жидкости качественно правильно описывает явление, однако не объясняет возникновение градиента полного давления в основном потоке и затухание вторичных течений, для чего необходимо учитывать влияние вязкости, не малое вблизи ограничивающих поверх* костей и в областях с большими градиентами полных давлений. Интересно отметить, что Н. Е. Жуковский в уже упомянутой работе (1914) дал теорию вторичных течений в вязкой жидкости в тонком слое, справедливую с точностью до малых второго порядка. В 1935 г.»П. А. Вальтер подробно исследовал развитое вторичное течение вязкой жидкости в изо- тнутой трубе круглого сечения. Турбулентные течения долгое время
не поддавались теоретическому исследованию и были предметом только экспериментального изучения. Ранние опытные данные о вторичных течениях в трубах и каналах в 1935 г. были обобщены Г. Н. Абрамовичем. Первые исследования вторичных течений в турбомашинах были связаны с определением вторичных потерь кинетической энергии (по сравнению с идеальным потоком). Одно из первых детальных экспериментальных исследований вторичных течений в решетках принадлежит М. Е. Дейчу, который в 1945 г. установил винтовой характер движения жидкости вблизи концов лопаток и зоны повышенных потерь, не зависящих от длины лопаток. В последующих многочисленных экспериментальных исследованиях уточнялась пространственная структура потока и исследовались зависимости коэффициента вторичных потерь в решетках от различных геометрических и гидродинамических параметров (Е. А. Гукасова, 1954, 1960, 1964; М. Е. Дейч и Г. С. Самойлович, 1959; Л. Г. Наумова и Г. Ю. Степанов, 1954, 1962; А. С. Гиневский и 'С. А. Довжик, 1959, 1961; А. В. Колесников, 1959, 1963). Теоретические исследования вторичных течений вязкой жидкости развивались в нашей стране в основном в направлении разработки и использования теории пространственного пограничного слоя вдоль линии пересечения двух плоскостей (Л. Г. Лой- цянский, 1941), при внешнем скосе потока (В. В. Струминский, 1946, 1956), на вращающихся телах (Л. А. Дорфман, 1956—1960), на неподвижной стенке при поперечном градиенте давления (Л. Г. Наумова, 1957; В. В. Богданова, 1960, 1965; В. Г. Павлов, 1961; Г. Ю. Степанов, 1958, 1962). Расчеты пространственного пограничного слоя на торцовых стенках межлопаточных каналов позволили удовлетворительно объяснить наблюдающиеся в экспериментах свойства вторичных течений и оценить величины вторичных потерь (Н. М. Марков, 1958; Г. Ю. Степанов, 1958, 1962; А. В. Колесников, 1964, и др.).
На основании приведенного обзора развитие гидродинамической теории решеток можно разбить на четыре основных этапа： (I) постановка и решение первых задач для решетки пластин; (II) разработка общей теории решеток из тонких профилей; (III) полное решение прямой и обратных задач в плоском потоке с последующим учетом сжимаемости и вязкости жидкости и их использование в практике расчета и профилирования решеток турбомашин; (IV) обращение к современным проблемам нестационарного и пространственного обтекания решеток.
На всех перечисленных этапах русские и советские ученые играли выдающуюся роль в постановке задач, их решении и приложениях. Проведенные исследования и достигнутые результаты отражены в обширной литературе, включающей специальные монографии, и воплощены в конструкциях газотурбинных и ракетных двигателей, в энергетических и вспомогательных турбомашинах.
Основными направлениями дальнейшего развития теории решеток можно считать, во-первых, усовершенствование и расширение практики применения известных методов и, во-вторых, разработку проблем нестационарного и пространственного течения в турбомашинах (включая проблему аэроупругости) с учетом свойств реальных жидкостей. Решение указанных проблем требует разработки новых моделей течения, широкого использования современной вычислительной техники и новых методов, экспериментальных исследований.
ТЕОРИЯ СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ ГАЗА
Г. Г ЧЕРНЫЙ
Введение. Первые исследования 153
Развитие линейной теории обтекания тел 156
Общие свойства течений. Точные решения задач обтекания тел 161
Течения, близкие к описываемым точными решениями 165
Методы численного решения задач сверхзвукового обтекания тел . . . .167
Вариационные задачи 178
Течения вдоль проницаемых поверхностей 181
Развитие теории гиперзвукового обтекания тел. . . .182
Введение. Стабилизация течений при больших сверхзвуковых скоростях 182
Обтекание тонких, заостренных впереди тел 183
Обтекание тонких, притупленных впереди тел 187
Тонкие тела под большими углами атаки 192
Теория сильно уплотненного (ударного) слоя 194
Использование интегральных соотношений в задаче обтекания притупленных впереди тел 198
Вариационные задачи гиперзвукового обтекания тел 201
Течения в соплах и в струях 2。3
Введение. Первые исследования
Теория сверхзвуковых течений газа развивается главным образом в связи с задачей о движении тел в газообразной среде со скоростью, превосходящей скорость звука в этой среде. Важным источником развития теории служит и задача об ускорении до сверхзвуковых скоростей газа в трубах и соплах, также в значительной мере связанная с проблемой сверхзвукового полета тел. Течения со сверхзвуковой скоростью возникают и при распространении по газу сильных ударных и взрывных волн. Однако, хотя соответствующие теоретические задачи имеют рад общих черт с задачами сверхзвукового полета тел, они обычно выделяются в самостоятельный раздел газовой динамики — теорию взрывных и ударных волн *).
Настоящий очерк посвящен описанию выполненных в СССР основных теоретических исследований стационарных сверхзвуковых течений газа в условиях, при которых роль процессов переноса и других отступлений от термодинамического равновесия настолько мала, что их влиянием на течение можно полностью пренебречь ). В очерке не рассмотрены
важные задачи дозвукового обтекания тел с образованием местных сверхзвуковых зон и задачи о переходе дозвуковых течений в сверхзвуковые в соплах. (Отметим лишь, что советским ученым принадлежат многие основополагающие работы в этих разделах газовой динамики ).
В начале тридцатых годов теоретические результаты, относящиеся к обтеканию тел газом со сверхзвуковой скоростью, были немногочисленны. К задачам сверхзвуковой аэродинамики начал применяться приближенный метод малых возмущений. Этот метод пригоден для изучения обтекания таких тел, у которых все элементы поверхности образуют малые углы с направлением движения тела: тонких заостренных впереди тел вращения и тонких крыльев с острой передней кромкой под малыми углами атаки, комбинаций фюзеляжа с крыльями и оперением и т. п.
В случаях, когда число Маха набегающего на тело потока М не очень близко к единице и не очень велико по сравнению с единицей, метод малых возмущений приводит к линейному уравнению для потенциала скорости возмущений <р. При установившемся обтекании это уравнение имеет следующий вид (в декартовых координатах, в которых скорость набегающего потока направлена по оси %):
(М2—1)賈—翼—要=0. (1.1)
В 1925 г. Я. Аккерет применил линейную теорию к установившемуся обтеканию тонкого профиля под малым углом атаки при сверхзвуковой скорости (Z. Flugtechn. und Motorluftschiffahrt, 1925, 16 : 3, 72—74). Эта теория, как оказалось, весьма проста и фактически исчерпывается формулой
р — Рд= У 9 ®,
согласно которой избыточное давление р ——р» действующее на элемент профиля, пропорционально углу 9 наклона этого элемента к направлению набегающего потока (pg и U^ — плотность и скорость набегающего потока).
Т. Карман и Н. Мур (Trans. Amer. Soc. Meeh. Engrs, 1932, 54 : 23, 303—ЗЮ) решили задачу о симметричном обтекании тела вращения, представив потенциал возмущений в виде интеграла от потенциала источников, непрерывно распределенных вдоль оси тела с мощностью, меняющейся таким образом, чтобы было удовлетворено условие обтекания тела.
В эти же годы начали развиваться и методы решения нелинейных уравнений газовой динамики при сверхзвуковой скорости установившегося движения.
Л. Прандтль и А. Буземан предложили (Stodola Festschrift, 1929) графо-аналитический метод расчета плоских установившихся потенциальных течений газа, основанный на существовании в этом случае у уравнений газовой динамики двух семейств действительных характеристик. Соотношения вдоль характеристик в плоскости годографа скорости для такого случая могут быть проинтегрированы в конечном виде, так что геометрические образы характеристик двух семейств образуют в этой плоскости фиксированную сетку, не зависящую от частного вида течения газа. Прандтль и Буземан дали также полезную геометрическую интерпретацию соотношений на скачке уплотнения в плоскости годографа,
построив семейство кривых — ударных поляр, каждая из которых представляет собой геометрическое место концов векторов скорости за скачком уплотнения при заданной величине скорости перед скачком.
В более ранней работе Т. Майера (Forschungsarb. VDI, 1908) были изучены сверхзвуковые течения, возникающие при обтекании стенки из двух прямолинейных участков с углом между ними, и исследованы -течения расширения, получившие впоследствии название течений Пранд- 'тля — Майера.
Экспериментальные исследования по сверхзвуковой аэродинамике 工о конца двадцатых годов были ограничены баллистическими опытами с целью получения законов сопротивления снарядов и пуль различной @ормы. Первые аэродинамические трубы для получения потоков газа <о сверхзвуковой скоростью для исследовательских целей начали создаваться в самом конце двадцатых и в начале тридцатых годов.
В СССР систематические исследования по сверхзвуковой аэродинамике стали проводиться с начала тридцатых годов. К этому времени улуч- <пение аэродинамики самолетов и значительный рост мощности авиационных двигателей привели к тому, что при обтекании некоторых частей -самолета относительная скорость воздуха достигла 150—200 м/сек, а скорость концов лопастей винта в воздухе приблизилась к скорости звука. Начались серьезные исследовательские работы в области ракетостроения. Перспективы применения ракетных двигателей на самолетах вселяли надежду на возможность их полетов со скоростями, превышающими скорость звука.
В 1931—1933 гг. в Центральном аэрогидродинамическом институте ^ЦАГИ) была построена первая в СССР аэродинамическая труба, в которой можно было получать сверхзвуковые течения газа ). Эта труба имела -сечение рабочей части 100 X 100 мм и сопло для получения потока с числом Маха М = 2,4.
Первые теоретические исследования сверхзвуковых течений газа ■в СССР были связаны с созданием методов расчета обтекания заостренных (впереди профилей и тел вращения с криволинейными образующими ® условиях, когда интенсивность возникающих скачков уплотнения позволяет пренебречь вихреобразованием в них. Ф. И. Франкль (1935) разработал метод характеристик для плоских установившихся вихре- ъых движений газа. Исследование таких течений он производил, используя уравнение для функции тока 屮
@勺2 1 дхду 1，
где коэффициенты зависят только от х, у, ^ и от первых производных 屮 по координатам. Так как энтропия газа за скачком представляет собой •функцию от 屮，зависящую от формы скачка, то в уравнение для ^ входит зта функция, определяемая в процессе решения задачи. За рубежом аналогичное преобразование уравнений произвел Л. Крокко (Rend. Accad. Lincei, cl. sci. fis., mat. e nat., 1936, 23 : 2, 115—124).■
В случае, рассмотренном Франклем, соотношения на характеристиках (не образуют, вообще говоря, интегрируемых комбинаций, и сетка характеристик в плоскости годографа (так же как и в плоскости течения) должна •строиться для каждого частного случая течения.
Аналогичное обобщение метода Прандтля — Буземана было дана И. А. Кибелем (1935), а за рубежом — А. Ферри (NACA Techn. Noter 1946, № 1135).
Ф. И. Франкль (1935) и И. А. Кибель (1935) независимо дали выражение для вихря скорости в установившемся течении через производные- по 屮 от полного теплосодержания и энтропии газа. Ф. И. Франкль (1934) обобщил также метод характеристик Прандтля — Буземана для случая безвихревого обтекания осесимметричных тел, используя длят описания движения уравнение для потенциала скорости.
Математическое обоснование разработанного метода характеристик было дано Ф. И. Франклем и Р. Н. Алексеевой (1934).
Развитые к середине тридцатых годов методы позволяли рассчитывать обтекание профилей и симметричное обтекание тел вращения при условии, что скорость движения газа во всей области течения сохраняется большей скорости звука.
Нелинейные задачи о трехмерных сверхзвуковых течениях около* тел и задачи о сверхзвуковом обтекании тел с возникновением зон. дозвуковых скоростей в то время еще не были серьезно поставлены, и эффективные методы их решения начали интенсивно разрабатываться после появления быстродействующих вычислительных средств, т. е. почти 20 лет спустя.
Аналитические методы расчета установившегося обтекания профилей сверхзвуковым потоком продолжали развиваться в направлении уточнения теории Аккерета. А. Буземан и О. Вальхнер (Forsch. Geb. Ingenieur- wesens, 1933, № 4) получили формулы для давления, действующего на профиль, с учетом вторых степеней угла наклона поверхности профиля к направлению набегающего потока. Согласно этим формулам давление, как и по формуле Аккерета, зависит только от местного значения угла наклона элемента поверхности. А. Е. Донов (1939) учел при определении давления, действующего на профиль, члены третьей и четвертой степеней по углу отклонения потока. Его формулы имеют важное отличие от формул, учитывающих более низкие степени этого угла, так как при учете членов третьей степени течение нельзя уже считать безвихревым; давление на поверхности профиля определяется при этом не только локальным значением угла наклона поверхности, а зависит и от формы участка профиля, расположенного выше по течению. 1 ,
Развитие линейной теории обтекания тел
Со второй половины тридцатых годов началось изучение трехмерных течений около тел, движущихся со сверхзвуковой скоростью. Это изучение в основном ограничивалось развитием линейной теории малых возмущений, т. е. теории решений уравнения (1.1).
С. С. Цянь (J. Aeronaut. Sci., 1938, 5 :12, 480—483), используя для представления потенциала распределение по оси тела источников и диполей, решил задачу об обтекании тонкого тела вращения под малым углом атаки. Ф. И. Франкль и Е. А. Карпович (1948), используя запаздывающие потенциалы, дали решение задачи об ускоренном движении тонкого тела вращения в осевом направлении.
Дальнейшее существенное продвижение в исследовании трехмерного сверхзвукового обтекания тел в рамках линейной теории связано с изучением конических течений газа. При рассмотрении стационарного сверхзвукового обтекания конического тела потоком, направленным вдоль оси%〉
волновое уравнение для определения продольной составляющей возмущения скорости и можно после введения переменных
р = /(М2-1)(丝丁)，9 = arctgJ привести к следующему виду:
Это уравнение было рассмотрено еще С. А. Чаплигиным (1902) в связи с задачей определения установившихся потенциальных плоских движений газа в пёременных годографа; он же указал, что это уравнение сводится к уравнению Лапласа в полярных координатах, если вместо р ввести переменную е по формуле (1 + е2) р = 2е.
Теория конических (однородных) решений волнового уравнения рассматривалась В. И. Смирновым и С. Л. Соболевым (1932), которые, независимо от Чаплыгина и другим путем, ввели то же преобразование, приводящее волновое уравнение в конических переменных к уравнению Лапласа. Решенная этим методом В. И. Смирновым (Курс высшей математики, т. 3, 1934) задача дифракции плоской волны эквивалентна задаче обтекания плоского прямоугольного крыла при достаточно большой сверхзвуковой скорости. На важность конических решений волнового уравнения для аэродинамических приложений указал в 1943 г. А. Буземан (Schriften Dtsch. Akad. Luftfahrtforsch., 1943, 78:3), который pac- -смотрел задачи о симметричном обтекании кругового конуса и об обтекании треугольного и прямоугольного плоских крыльев.
М. И, Гуревич (1946, 1947) подробно изучил обтекание плоского треугольного крыла, в общем случае несимметрично расположенного относительного набегающего потока, при следующих условиях: а) обе передние кромки находятся вне характеристического конуса, исходящего из вершины крыла, т. е. обе передние кромки сверхзвуковые; б) одна передняя кромка сверхзвуковая, вторая — дозвуковая; в) обе передние кромки дозвуковые, т. е. крыло целиком лежит внутри характеристического конуса. В том случае, когда острая передняя кромка крыла является дозвуковой, из решения Гуревича следует, что в силу сопротивления, действующую на крыло, входит, помимо интеграла от распределенного по плоскости крыла давления, еще приложенная к дозвуковой' кромке подсасывающая сила. Е. А. Карпович и ①.И. Франкль (1947) вычислили подсасывающую силу, действующую на острую дозвуковую кромку, с помощью теоремы количества движения, примененной к объему газа, ограниченному поверхностью конуса, охватывающего кромку.
Подсасывающая сила значительно уменьшает волновое сопротивление треугольного крыла. На рис. 1 приведены значения коэффициента сопротивления Сх такого крыла без учета (верхняя кривая) и с учетом (нижняя кривая) подсасывающей силы. Путем проведения широких экспериментальных исследований была достигнута практическая реализация полезного эффекта, связанного с наличием подсасывающей силы.
Приложения теории линеаризованных конических течений к расчету обтекания конических тел более сложной формы (фюзеляж с крылом, V-образное крыло и некоторые другие) были даны В. М. Шурыгиным ([1949] 1957). .
За рубежом теория конических течений и ее приложения к задачам -аэродинамики развивались рядом авторов, среди которых отметим
Р: Т. Джонса (NACA Techn. Note, 1946, № 1107), Г. Дж. Стюарта (Quarts Appl. Math., 1946, 4 : 3, 246—254), У. Д. Хейза (там же, 1946, 4 : 3, 227 — 232), а в более позднее время — П. Жермена (Rech, aeronaut., 194% № 7), Э. Карафоли (Aerodinamica vitezelor mari, Bucuresti, 1957) и др.
Использование конических (однородных) решений волнового урав^ нения позволяло рассмотреть лишь довольно ограниченный класс крыльев. Расчет сверхзвукового обтекания крыльев произвольной формы в плане" требовал создания гораздо более общей теории. В 1946—1947 гг. появилась серия работ советских авторов, в которых было осуществлено значительное
Рис. 1. Коэффициент сопротивления треугольного крыла (з — полуугол при вершине крыла; а — угол атаки крыла).Рис. 1. Коэффициент сопротивления треугольного крыла (з — полуугол при вершине крыла; а — угол атаки крыла).продвижение теории установившегося и не установившегося сверхзвукового обтекания крыльев конечного размаха. Одной из первых публикаций в этом направлении была работа Е. А. Красильщиковой (1947). Представив потенциал возмущений, возникающих при обтекайии крыла, мало отклоняющегося от плоскости Q, у)г в виде потенциала источников, распределенных по этой плоскости, Красиль- щикова дала в этой работе полное*
Рис. 1. Коэффициент сопротивления треугольного крыла (з — полуугол при вершине крыла; а — угол атаки крыла).
Рис. 1. Коэффициент сопротивления треугольного крыла (з — полуугол при вершине крыла; а — угол атаки крыла).
определения сил, действующихопределения сил, действующихрешение задачи пространственного обтекания крыла для случаев, в которых отсутствует так называемый «концевой эффект», т. е. в случае, когда потенциал в области, достаточной для на крыло, находится путем распреде
определения сил, действующих
определения сил, действующих
ления источников лишь по проекции поверхности крыла, где их интенсивность известна. •
Аналогичное исследование было выполнено Л. А. Галиным (1947). С. В. Фалькович (1947) для решения задачи обтекания крыла воспользовался потенциалом ускорения. При этом потенциал ускорения представляется в виде потенциала двойного слоя, расположенного на плоскости проекции крыла. Таким методом задачу трехмерного обтекания крыла впервые решал Г. Шлихтинг (Luftfahrt-Forschung, 1936, 13 :10, 320—335} для частного случая прямоугольного крыла; однако из-за ошибки в выкладках были получены неправильные окончательные формулы. С. В. Фаль* кович дал правильное решение для крыла трапециевидной формы.
В начале 1947 г. стали появляться работы, в которых предлагались, методы решения задач об установившемся и неустановившемся обтекании крыльев с учетом концевого эффекта применительно к различным частным видам форм крыла в плане.
М. Д. Хаскинд и С. В. Фалькович (1947) исследовали гармонические- колебания тонкого, слабо изогнутого, деформируемого треугольного крыла с дозвуковыми передними кромками. М. И. Гуревич (1954) уточнил исследование функции комплексного переменного, к нахождению которой сводится в этой задаче определение потенциала скорости. Метод. Хаскинда и Фальковича был распространен М. И. Гуревичем (1947} и на случай сверхзвуковых передних кромок крыла.
Л. А. Галин (1947) дал решение задачи об установившемся обтекании крыла прямоугольной формы в рядах. В этой же работе он свел задачу^
определения потенциала скорости для колеблющегося крыла к задаче установившегося обтекания и получил в рядах решение для колеблющегося крыла.
За рубежом в 1946—1947 гг. исследования пространственного обтекания крыльев развивались в работах А. Э. Паккета (J. Aeronaut. Sci., 1946, 13 : 9, 475—484), Т. Кармана (там же, 1947, 14 :7, 373—412; русский перевод: Т. Карман, Сверхзвуковая аэродинамика, М., 1948) и др. В этих работах было дано решение задач об установившемся симметричном обтекании крыльев ненулевой толщины при нулевом угле атаки. У таких крыльев концевой эффект отсутствует — движение воздуха с двух сторон крыла симметрично, и исследование вызываемых крылом возмущений потока воздуха не встречает математических трудностей.
Эффективное решение задач с учетом концевого эффекта об установившемся сверхзвуковом обтекании крыльев конечного размаха произвольной формы и об обтекании крыльев, совершающих гармонические колебания, было дано Е. А. Красильщиковой. Методы решения этих задач изложены ею в статьях (1947—1951), а затем в последовательном виде в монографии (1952).
При решении задачи о неустановившемся обтекании крыла потенциал скорости возмущений представляется в виде интеграла от потенциалов источников, распределенных в плоскости плана крыла (%, у)， Для определения потенциала скорости в некоторой точке пространства (%, у, z) область интегрирования в выражении для потенциала должна представлять часть плоскости (%, р), которая лежит внутри характеристического конуса с вершиной в точке (%, у, z), обращенного вверх по потоку. Если область интегрирования не выходит за пределы проекции крыла, то, как уже было сказано выше, формула для потенциала источников дает решение, так как распределение интенсивности источникок на крыле задается условиями задачи. Для того чтобы вычислить потенциал скорости в тех точках, для которых область интегрирования выходит за пределы крыла, нужно из граничных условий задачи определить всюду в области интегрирования нормальную к плоскости (%, z) составляющую скорости. Эта задача сводится к решению интегральных и интегро-дифференциальных уравнений с ядрами, вид которых зависит or характера добавочных неустановившихся движений крыла.
Для случая установившихся движений крыла путем перехода к характеристическим переменным для определения нормальной составляющей скорости в возмущенной области вне крыла Е. А. Красильщикова получила двумерное интегральное уравнение, которое ей удалось решить посредством двукратного применения формулы обращения интегрального уравнения Абеля.
Для тех точек пространства, для которых в область интегрирования попадает участок вихревой пелены, сходящей с крыла, Красильщикова нашла удобным строить решение для потенциала ускорения.
Метод Е. А. Красильщиковой определения нормальной производной потенциала в плоскости (%, у) при помощи интегральных уравнений* применим для крыла совершенно произвольного вида в плане. Например, контур крыла может не быть всюду выпуклым, крыло может иметь вырезы и т. п. Во всех случаях часть плоскости (%, у), где нужно определить нормальную производную потенциала, разбивается на соответствующие характерные области. Затем, последовательно двигаясь вниз по потоку от одной области к другой, путем использования краевых условий на плоскости (%, у) строятся интегральные или интегро-дифференциальные
(для неустановившихся движений) уравнения. Решения уравнений (в случае гармонических колебаний крыла) ищутся в рядах по степеням частоты колебаний крыла.
Определение коэффициентов разложения производится с помощью решения двумерных интегральных уравнений в каждой характерной области; эти двумерные уравнения преобразуются каждое к двум уравнениям Абеля с разными правыми частями в разных областях.
Таким образом, в работах Е. А. Красилыциковой было дано в квадратурах решение задачи об установившемся движении тонкого крыла произвольной формы и в виде ряда по степеням частоты колебаний (каждый член которого также определяется квадратурами) решение задачи о неуста- новившемся обтекании крыла, совершающего гармонические колебания.
Обобщение результатов на случай крыла ненулевой толщины несложно и также содержится в монографии Красильщиковой (1952). Пользуясь методом запаздывающих потенциалов источника, она рассмотрела также (1951) задачу для более общего вида сверхзвуковых неустановившихся движений крыла, чем гармонические колебания.
Применив метод интегральных уравнений, Б. И. Фридлендер (1962, 1964) решил задачу об установившемся и неустановившемся сверхзвуковом обтекании крестообразного крыла, когда условия обтекания заданы на двух планах крыла в плоскостях (х, у) и (%, z).
За рубежом работы, посвященные пространственным задачам теории крыла с учетом концевого эффекта, начали публиковаться лишь с 1949 г. Так, в работах Г. Н. Уорда (Quart. J. Meeh, and Appl. Math., 1949, 2 : 2, 136—152 и 2 : 3, 374—384) было дано решение задачи об установившемся обтекании крыла произвольной формы, но не слишком малого удлинения.
Быстрый прогресс, достигнутый в развитии линейной теории сверхзвукового обтекания крыльев конечного размаха, ясно виден из сравнения монографии А. И. Некрасова (1947) по теории нестационарных движений крыла и монографии Е. А. Красильщиковой (1952). В монографии А. И. Некрасова отмечается, что «две области последних исследований по нестационарной аэродинамике, именно, учет конечности размаха крыла и сжимаемости воздуха, представляют в настоящее время пограничную область между исследованным и неисследованным» и отсутствуют какие- либо сведения об имеющихся в этих областях результатах. В монографии Е. А. Красилыциковой, опубликованной на пять лет позже, а также в упоминавшихся выше статьях других авторов изложены результаты, освещающие все принципиальные вопросы соответствующей теории ).
Несмотря на значительные успехи линейной теории обтекания тел сверхзвуковым потоком, область ее применимости ограничена лишь сравнительно узким классом тел и условий их движения. Все элементы поверхности тел должны составлять малые углы с направлением набегающего потока, т. е. тела должны быть тонкими, с острыми передними концами; при этом ограничения на относительную толщину тел становятся все более серьезными по мере возрастания чисел Маха полета. Для многих важных классов тел (например, тел с затупленной головной частью) линейная теория при сверхзвуковой скорости вообще неприменима.
В связи с этим наряду с дальнейшим развитием линейной теории основные исследования в области сверхзвуковой аэродинамики в послед
ние два десятилетия были сосредоточены на нелинейных задачах обтекания тел с учетом образования вихрей в скачках уплотнения. В этих исследованиях можно выделить несколько важных направлений.
Охарактеризуем вкратце каждое из этих направлений.
Общие свойства течений. Точные решения задач обтекания тел
К первому направлению отнесем работы по качественному исследованию общих свойств сверхзвуковых течений с помощью точных уравнений движения, преобразованных к различным формам. К этому же направлению отнесем получение и исследование новых точных решений задач обтекания тел, в частности, с использованием свойств групповой инвариантности уравнений газовой динамики.
В уже упоминавшихся ранее работах Ф. И. Франкль (1935) и И. А. Кибель (1935) получили для плоских установившихся вихревых течений газа уравнение для функции тока и выразили в нем вихрь скорости через производные по функции тока от энтропии и полного теплосодержания. Используя это уравнение, Франкль разработал метод характеристик для плоских вихревых течений газа, возникающих при сверху звуковом обтекании тел.
И. А. Кибель (см. курс Н. Е. Кочина, И. А. Кибеля и Н. В. Розе, ч. 2), преобразуя уравнения плоского установившегося движения от переменных х, у к переменным х,屮，ввел функцию % (力，屮)такую, что ее частными производными являются давление и взятая с обратным знаком компонента скорости вдоль оси у. Для функции % получается одно уравнение, линейное относительно вторых производных.
Для плоских установившихся движений газа Л. И. Седов предложил использовать в качестве независимых переменных давление р и функцию тока i|), а в качестве искомой функции — угол 9 наклона вектора скорости к оси х. Для функции 9 (р,屮)также получается уравнение, линейное относительно ее вторых производных. Л. И. Седов (1950) и М. П. Михайлова (1949) рассмотрели решение задачи Коши для этого уравнения с помощью рядов различного вида и изучили его характеристики. Седов нашел точные решения уравнения для 9, в том числе решение, обобщающее решение Прандтля — Майера на некоторый класс вихревых течений, а также установил свойства монотонности изменения газодинамических параметров вдоль характерных линий в области течения; эти свойства обобщают аналогичные предложения для безвихревых течений, установленные А. А. Никольским и Г. И. Тагановым (1946). Седову удалось найти частные примеры точного решения задачи сверхзвукового обтекания тела со смешанным течением за скачком, но для неоднородного набегающего потока.
Качественному исследованию характера сверхзвуковых установившихся потенциальных течений газа посвящена работа С. А. Христиановича (1941). В этой работе рассмотрена четырехугольная область течения в плоскости годографа, ограниченная характеристиками двух семейств.- В зависимости от того, в какой из угловых точек этого четырехугольника потенциал <р имеет наименьшее значение, течение оказывается либо течением разрежения, в котором не могут возникать предельные линии (огибающие характеристик), либо течением сжатия, в котором возникновение таких линий возможно как огибающих каждого из двух семейств характеристик, либо смешацным течением, в котором предельные линии могут образоваться лишь для одного семейства характеристик.
И Механика в СССР, т м 2
Значительные результаты в исследовании плоских потенциальных установившихся движений газа были получены на основе обобщения метода Чаплыгина (перехода к переменным годографа в качестве независимых переменных). Уже в тридцатах годах были достигнуты хорошие результаты в применении приближенного метода Чаплыгина к задачам дозвукового обтекания тел. Приближенный метод Чаплыгина для расчета
адиабатических потенциальных движений газа, как известно, основан
на замене истинной адиабатической связи между давлением р и плотностью р линейной связью между р и 1/р. При этом уравнение для потенциала скорости ф или функции тока 屮 в специальным образом преобразованных
Рис. 2. Аппроксимация адиабаты при сверхзвуковой скорости потока (при М =1,58 адиабата и заменяющая ее пунктирная линия имеют третий порядок касания).Рис. 2. Аппроксимация адиабаты при сверхзвуковой скорости потока (при М =1,58 адиабата и заменяющая ее пунктирная линия имеют третий порядок касания).переменных годографа превращается в случае сверхзвуковых скоростей в волновое уравнение.
Рис. 2. Аппроксимация адиабаты при сверхзвуковой скорости потока (при М =1,58 адиабата и заменяющая ее пунктирная линия имеют третий порядок касания).
Рис. 2. Аппроксимация адиабаты при сверхзвуковой скорости потока (при М =1,58 адиабата и заменяющая ее пунктирная линия имеют третий порядок касания).
С. А. Христианович (1947} произвел аппроксимацию функции модуля скорости, входящей в преобразованные к характеристическим координатам в переменных годографа уравнения для <р и 屮， с помощью кусков парабол. Эта аппроксимация, по существу эквивалентная аппроксимации адиабаты, позволила свести уравнение для ф или для1|)к уравнению Дарбу, причем к тому его типу, который в общем случае интегрируется до конца. Христианович дал решение основных краевых задач га
зодинамики с использованием этого уравнения. Аппроксимация, введенная Христиановичем, пригодна для скоростей, не слишком близких к скорости звука и не слишком больших по сравнению с ней (в диапазоне чисел Маха от 1,05 до 3,5).
Аппроксимация функции модуля скорости в этих предельных случаях была рассмотрена С. В. Фальковичем (1947), работа которого освещена далее при изложении задач гиперзвукового обтекания тел.
Л. И. Седов (1949) поставил общую задачу о такой аппроксимации заданной физическими соотношениями связи между р и р, чтобы приближенная зависимость хорошо аппроксимировала точную в нужной области изменения давления и чтобы при этом уравнения для <р или 屮 имели вид, удобный для интегрирования. Эта идея в дальнейшем с успехом развивалась рядом авторов; наиболее полные и систематические результаты в этой области принадлежат Г. А. Домбровскому и опубликованы в его монографии (1964).
На рис. 2 показан пример введенной Г. А. Домбровским аппроксимации адиабатической связи между давлением и плотностью при сверхзвуковой скорости. Г. А. Домбровский, а также А. А. Гриб и А. Г. Рябинин (1955) дали при такой аппроксимации адиабаты достаточно простые решения всех основных краевых задач для плоских сверхзвуковых потенциальных течений газа. Кроме того, Домбровский рассмотрел ряд течений в соплах и струях, о которых будет сказано ниже.
Работы по плоским потенциальным движениям газа представляют, конечно^ лишь ограниченный интерес для приложений к задаче сверхзвукового обтекания тел, так как пренебрежение завихренностью течения
за головным скачком уплотнения ограничивает числа Маха набегающего потока значениями, лишь немного превышающими единицу.
Большой интерес представляет получение частных точных решении задач об обтекании тел однородным сверхзвуковым потоком с учетом возникающих интенсивных скачков уплотнения, а также других точных решений, которые могут быть использованы при построении течения около тел, помещенных в сверхзвуковой поток.
Для течений со скачками уплотнения, кроме задач обтекания клина с присоединенным к его вершине скачком и некоторых видов профилей с прямолинейным участком образующей у переднего конца (П. С. Эпштейн, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 19 31, 17:9, 532—547), до конца сороковых годов было известно лишь еще одно точное численное решение: симметричное обтекание круглого конуса с присоединенным скачком. Это решение удалось получить (Дж. И. Тейлор и Дж. В. Макколл, Proc. Roy. Soc. London, 1933, А139 : 838, 278—311; см. также собрание сочинений Тейлора, т. 3, 1963) благодаря тому, что в этом случае вследствие канонического характера течения уравнения осесимметричного обтекания с двумя независимыми переменными сводятся к обыкновенным уравнениям.
С. В. Валландер и независимо А. А. Никольский ([1949] 1957) рассмотрели пространственные установившиеся безвихревые течения газа, которые в плоскости годографа скорости изображаются кривой. Эти течения являются обобщением на трехмерный случай течений Прандтля — Майера и могут описывать обтекание твердой стенки, представляющей собой развертывающуюся поверхность. Их можно использовать для расчета сверхзвукового обтекания некоторых крыльев конечного размаха, подобно тому как поступательное течение за плоским скачком и течение Прандтля — Майера могут использоваться для расчета обтекания некоторых форм, профилей.
В другой работе А. А. Никольский исследовал ([1949] 1957) осесимметричные конические течения газа, при которых невозмущенный поступательный сверхзвуковой поток, начиная с некоторого конуса Маха с центром на оси симметрии, непрерывно разрежается. Найденные решения описывают сверхзвуковое течение вдоль полу бесконечного цилиндра, который, начиная с некоторого сечения, суживается по определенному закону. Контур обтекаемого тела не удается продолжить до оси симметрии, так как течение существует только вне некоторого предельного конуса. Тогда же Никольский показал ([1949] 1957), что и в общем случае обтекания остроконечного заднего конца тела вращения сверхзвуковое течение не может быть продолжено до оси симметрии, если телесный угол заднего острия тела не равен нулю.
В связи с задачей сверхзвукового обтекания тел горючей смесью с образованием детонационной головной волны С. С. Квашнйна и Г. Г. Черный (1959) и Г. Г. Черный (1966) изучили обтекание конуса с присоединенной детонационной головной волной. При достаточно больших углах конуса течение за пересжатой детонационной волной аналогично известному случаю обтекания конуса с адиабатическим скачком уплотнения. При уменьшении угла конуса волна детонации ослабевает и превращается в волну детонации Чепмена — Жуге. При дальнейшем： уменьшении угла конуса волна детонации не изменяется, но за ней возникает коническая волна разрежения. Эта волна разрежения отделяется от течения сжатия вблизи конуса скачком уплотнения,* интенсивность, которого при уменьшении угла конуса сначала растет, а затем вновь, уменьшается. В пределе, когда угол конуса обращается в нуль, скачок：
уплотнения исчезает, и возникшее течение можно рассматривать как сверхзвуковое обтекание поджигающего источника, от которого по газу распространяется детонационная волна.
Г. И. Майкапар (1959) и А. Л. Гонор (1964) построили точные решения задач о сверхзвуковом обтекании конических тел, имеющих звездообразное поперечное сечение, используя в качестве элементов течения поступательные потоки за плоскими скачками уплотнения. В случае решений Майкапара головной скачок представляет собой поверхность прямой пирамиды с основанием в виде правильного многоугольника. Линии тока, идущие от ребер пирамиды, образуют поверхность конического
рис. 3. Тела звездообразного поперечного сечения, обтекаемые сверхзвуковым потоком с образованием плоских скачков уплотнения (а —— решение Г. И< Майкапара;
6 — решение А. Л. Гонора).
тела звездообразного сечения, пример которого показан на рис. 3, 〃• Такое тело может иметь сопротивление, меньшее сопротивления круглого конуса с той же площадью основания. За рубежом аналогичные решения использовал для построения V- и W-образных крыльев Т. Р, Нонуейлер (J. Roy. Aeronaut. Soc., 1959, 63:585, 521—528).
\ Решение* А, Л. Гонора строится следующим образом. Выбирается число лучей звезды в поперечном сечении и задается угол наклона к направлению набегающего потока ребра, идущего от конца луча к вершине конического тела. Выбирается интенсивность плоского скачка, присоединенного к ребру； этим определяется угол поперечного сечения тела у конца луча. Скачки, идущие от двух смежных ребер, пересекаются; отраженные от линии пересечения скачки доходят до поверхности тела. При соответствующем изломе контура сечения в этом месте дальнейшее отражение не происходит. Пример тела, построенного Гонором, приведен на рис, 3, 6. Такое тело может иметь сопротивление, значительно меньшее сопротивления круглого конуса того же поперечного сечения.
Решения Г. И, Майкапара и А, Л, Гонора будут еще рассмотрены далее в связи с проблемой нахождения тел минимального сопротивления при гиперзвуковых скоростях.
Ряд авторов использовали точные решения задач о течениях за плоскими и за осесимметричными коническими скачками уплотнения для построения и других примеров обтекания тел различной формы с головными волнами, состоящими из плоских или конических участков. Так, Г. П, Свищев и Г. Т, Саядян (1948) применили решение задачи об обтекании круглого конуса для описания течений около специального класса тел вращения с внутренним каналом, Г. И, Майкапар (1967) построил
семейство неосесимметричных собой комбинацию вырезок из конического течения.
Рассматривая течение около клиновидного тела с образующей в виде ломаной линии из отрезков прямых, наклоненных под возрастающими углами к направлению набегающего потока, Г. И. Петров и Е, П. Ухов (1948) решили важную в прикладном отношении задачу о распределении углов наклона отрезков ломаной при заданном их числе, которое обеспе-
тел, течение около которых представляеттел, течение около которых представляетРис, 4. Максимальный коэффициент восстановления полного давления о в зависимости от числа Маха М набегающего потока и числа скачков т (за последним скачком М = 1).Рис, 4. Максимальный коэффициент восстановления полного давления о в зависимости от числа Маха М набегающего потока и числа скачков т (за последним скачком М = 1).чивает наименьшее падение полного давления набегающего потока в образующейся системе скачков уплотнения при условии, что последний
тел, течение около которых представляет
тел, течение около которых представляет
Рис, 4. Максимальный коэффициент восстановления полного давления о в зависимости от числа Маха М набегающего потока и числа скачков т (за последним скачком М = 1).
Рис, 4. Максимальный коэффициент восстановления полного давления о в зависимости от числа Маха М набегающего потока и числа скачков т (за последним скачком М = 1).
скачок в системе обладает заданными свойствами (например, скорость газа за ним точно равна скорости звука). На рис. 4 приведены значения коэффициента восстановления полного давления в оптимальной системе из т скачков при этом условии в зависимости от числа Маха набегающего потока (у = 1,4), Работа Г. И. Петрова и Е, П. Ухова лежит у истоков обширных расчетных и экспериментальных исследований течений газа в специаль
ных устройствах — воздухо-заборниках воздушно-реактивных двигателей и в диффузорах аэр одинамических труб,— предназначенных для эффективного торможения сверхзвукового потока до малых скоростей.
Течения, близкие к описываемым точными решениями
Второе важное направление исследования сверхзвукового обтекания тел с учетом скачков уплотнения связано с рассмотрением течений, близких к известным точным решениям задач обтекания клина и круглого конуса; сюда же можно отнести работы по уточнению линейной теории обтекания тел и распространения возмущений от них посредством учета членов более высокого порядка, а также работы, относящиеся к определению элементов течения за скачком уплотнения заданной формы,
Ф, И, Франкль (1939) рассмотрел установившиеся течения, близкие к симметричному обтеканию круглого конуса с присоединенным скачком, в двух случаях: для случая круглого конуса, установленного под малым углом атаки, и для случая симметричного обтекания тела вращения, образующая которого мало отличается от прямолинейной, причем уравнение ее задано в виде полинома.
За рубежом эти важные в практическом отношении задачи рассматривались К, Феррари (Atti R. Accad. sci, Torino (1936), 1937, 72: Al, 140— 163), P. Зауером (Luftfahrt-Forschung, 1942, 19:4, 148—152) и др.
Плоские вихревые течения, близкие к поступательному потоку, возникающие, например, при сверхзвуковом обтекании профиля, близкого к клину, рассмотрели различными методами А, А, Дородницын (1949) и Г. Г. Черный (1950), В этих работах получена, в частности, формула для распределения давления по поверхности профиля
[е‘® + 2 £ ^(к^,1[е‘® + 2 £ ^(к^,1
[е‘® + 2 £ ^(к^,1
[е‘® + 2 £ ^(к^,1
Рис. 5. Коэффициент отражения 九 возмущений от поверхности скачка уплотнения в зависимости от угла поворота 0 вектора скорости в скачке для разных чисел Маха М набегающего потока.Рис. 5. Коэффициент отражения 九 возмущений от поверхности скачка уплотнения в зависимости от угла поворота 0 вектора скорости в скачке для разных чисел Маха М набегающего потока.
Рис. 5. Коэффициент отражения 九 возмущений от поверхности скачка уплотнения в зависимости от угла поворота 0 вектора скорости в скачке для разных чисел Маха М набегающего потока.
Рис. 5. Коэффициент отражения 九 возмущений от поверхности скачка уплотнения в зависимости от угла поворота 0 вектора скорости в скачке для разных чисел Маха М набегающего потока.
где чертой сверху обозначены величины в потоке газа за невозмущенным скачком уплотнения, 8'— угол отклонения стенки профиля от прямолинейной, 九 ——коэффициент отражения возмущений от скачка уплотнения, кх — координата точки поверхности тела, возмущение из которой, отразившись раз от скачка, попадает на поверхность в точке с координатой х*
Г. Г. Черным (1950) были изучены свойства коэффициента отражения 九 в зависимости от числа Маха и интенсивности скачка уплотнения. На рис, 5 показаны значения 九 при разных значениях параметров (у = 1,4), При малых интенсивностях скачка, т, е, при малых значениях угла 9 поворота скорости в скачке величина 九 имеет порядок 92, что дает основание пренебрегать в таких случаях отражением возмущений от скачка уплотнения.
」Написанная выше формула для давления была получена за рубежом Чу Бо-де (J, Aeronaut. ScL, 1952, 19:7, 433-446). Дж. Лайтхилл(РЬП. Mag., 1949, 40:301, 214—226), Чу Бо-де и другие авторы изучали свойства коэффициента отражения.
В работе Г.「верного было изучено также обтекание клина (и тела, близкого к клину) |слабовозмущенным потоком и рассмотрены коэффициенты преломления возмущений на скачке уплотнения; в частности, вычислен коэффициент, характеризующий преобразование возмущений энтропии перед скачком (температурных неоднородностей) в возмущения давления (акустические возмущения) за скачком.
В этой же работе была вычислена первая вариация сопротивления клина при замене его близким контуром； условие обращения вариации в нуль совпадает с условием обращения в нуль коэффициента отражения 九.Таким образом, для каждого числа Маха существуют такие зна-
чения 9 (относительного удлинения тела), для которых клин является телом наименьшего сопротивления,
В ряде работ изучались локальные свойства течения за скачком уплотнения. А, А. Дородницын ([1949] 1957) вывел зависимость между кривизной линии скачка уплотнения в точке меридиональной плоскости осесимметричного потока и кривизной линии тока за ним в этой точке. Для плоских течений эта связь имеется в упоминавшихся ранее работах А, А. Дородницына и Г. Г. Черного.
# О. М. Белоцерковский (1957) установил, что угол между направлением звуковой линии и направлением скорости в точке за скачком уплотнения не зависит в плоском течении от кривизны скачка. Последнее свойство полезно при анализе качественной картины течения с отсоединенной головной волной.
М. Н. Коган и В, А. Попов (1951) исследовали течение вблизи острия тела вращения при симметричном его обтекании с присоединенным скачком уплотнения и составили таблицы зависимости кривизны скачка от кривизны контура тела,
Ю. Д. Шмыглевский (1950) рассмотрел сверхзвуковое потенциальное течение газа в окрестности точки излома образующей тела вращения, разлагая решение вблизи этой точки в полярных координатах по степеням расстояния от точки излома, а также представляя решения в виде рядов в характеристических переменных. Для тела вращения с головным конусом, имеющим излом образующей, и для хвостовой части в виде кругового цилиндра, переходящего после точки излома образующей в сужающуюся часть, Шмыглевский рассчитал и табулировал коэффициенты первых двух членов разложений после величин, соответствующих течению Прандтля — Майера,
Перечисленные работы давали, в частности, сведения, использованные при построении различных аппроксимационных формул для расчета сверхзвукового обтекания тел,
К этому направлению примыкает работа В. В. Сычева ([1952] 1957), в которой он рассмотрел течения около заостренных тел вращения при малых углах атаки. Используя метод малых возмущений, Сычев показал, что в первом приближении для описания трехмерного течения достаточно рассмотреть течения в двух половинах плоскости симметрии, причем для зтих течений удается получить замкнутые системы уравнений, сходные с уравнениями осесимметричного течения. Полученные системы могут решаться последовательными приближениями методом х ар а ктер исти к, причем при фактических расчетах методом характеристик использовался предложенный А, А, Дородницыным (1949) приближенный прием, о котором будет говориться ниже.
§ 5. Методы численного решения задач сверхзвукового обтекания тел
Появление быстродействующих вычислительных средств вызвало быстрое развитие третьего направления в нелинейной сверхзвуковой аэродинамике: разработку алгоритмов получения численных решений типичных задач сверхзвукового обтекания тел и течений внутри каналов с помощью электронных вычислительных машин. Основные усилия и основные достижения в этом направлении связаны с расчетом стационарного обтекания профилей и тел вращения методом .характеристик, £ решением двухмерной задачи обтекания тел с отсоединенной головной волной, с расчетом некоторых неосесимметричных конических течений;
в последнее время имеются достижения в решении задач трехмерного обтекания тел с отсоединенной волной и в разработке пространственного метода конечных разностей и его комбинаций с методом характеристик, а также в исследовании нестационарных течений, близких к симметричному стационарному обтеканию тел.
Еще до появления быстродействующих вычислительных средств имелись попытки видоизменить метод характеристик для двумерных течений так, чтобы облегчить и ускорить процесс вычислений при его использовании. В упомянутой уже работе А. А. Дородницын ([1949] 1957) yupd- стил вычисления в методе характеристик следующим образом. Записав соотношения вдоль характеристик одного из семейств, он предложил заменить неизвестную заранее подынтегральную величину аппроксимирующим выражением, а само уравнение характеристики также заменить простой аппроксимирующей формулой. Аппроксимирующие выражения Дородницын взял настолько простыми, чтобы для определения входящих в них параметров было достаточно условий на концах интервала интегрирования, т. е. на головном скачке или на заданной характеристике и на поверхности тела. При этом расчет становится довольно простым; точность расчета, как показало сравнение его результатов с точными решениями для конуса и для осесимметричного конического течения разрежения, найденного А. А. Никольским, оказывается вполне удовлетворительна.
Описанный подход, очевидно, содержит возможность дальнейшего уточнения путем выбора аппроксимирующих выражений с большим числом параметров и, соответственно, путем удовлетворения большего числа условий.
Появление электронных вычислительных машин позволило при решении двумерных задач приближенными методами многократно увеличить число узлов расчетной сетки и тем самым обеспечить требуемую- высокую точность расчетов.
Появилась также возможность включить в рассмотрение уравнения для описания равновесных и неравновесных физико-химических процессов, сопровождающих движение газа.
В начальный период применения вычислительных машин для расчетов методом характеристик использовались различные разработанные ранее варианты метода (например, метод Прандтля — Буземана, метод Франкля и др.). Все эти методы приводят к появлению в расчетных соотношениях тригонометрических функций, вычисление которых требует значительного времени. В 1959 г. Ф. Э. Элерс видоизменил метод характе* ристик (J. Soc. Industr. and Appl. Math., 1959, 7 :1, 85—100) посредством введения новых искомых переменных так, что при этом расчетные формулы не содержали уже тригонометрических функций. Идея Элерса была развита П. И. Чушкиным (I960), разработавшим на ее основе удобный рабочий метод вычислений. П. И. Чушкин и Н. П. Шулишнина (1961) провели серию расчетов сверхзвукового обтекания затупленных конусов с различными полууглами раствора и с разной формой затупления в широком диапазоне изменения числа Маха. Расчеты методом характеристик начинались от некоторого луча, лежащего в сверхзвуковой области. Начальные данные на этом луче были взяты из численного решения задачи об обтекании эллипсоидов разного удлинения, полученного О. М. Белоцерковским (1961) описанным ниже методом интегральных соотношений. На рис. 6, заимствованном из работы П. И. Чушкина (1962), представлена, зависимость коэффициента сопротивления конусов с разными полууглами
раствора и сферической головной частью от их длины при М — °°. Рабочая форма метода характеристик для расчета с помощью электронной вычислительной машины равновесных или замороженных (или частично равновесных, частично замороженных) течений газа с произвольными термодинамическими свойствами была разработана О. Н. Кацковой и А. Н. Крайко (1962) и И. Н. Наумовой (1963).
В ряде работ советских и зарубежных авторов метод характеристик
развивался для течений с конечной скоростью протекания физико-хими-
стоящее время опыт позво- 口 △什工工「
Рис. о. Коэффициент сопротивления конуса с лнет рассчитывать мето- сферической головной частью (① ——полуугол рас- дом характеристик на твора конуса; R — радиус сферического затупления)^ быстродействующих вычислительных машинах практически все важные случаи двумерного обтекания тел чисто сверхзвуковым потоком.
Менее продвинуто пока решение задач чисто сверхзвукового трехмерного обтекания тел даже в случае совершенного газа с постоянными теплоемкостями. Хотя принципиальные трудности применения метода характеристик для трехмерных течений отсутствуют, при практической: его реализации возникает ряд сложных проблем.
Метод характеристик имеет ряд преимуществ по сравнению с другими численными методами: основные уравнения значительно упрощаются на характеристических поверхностях, метод отличается математической строгостью (доказана сходимость метода и единственность решения). Эти обстоятельства обусловили широкое использование численного метода характеристик при решении двумерных задач для уравнений гиперболического типа. Применение метода к трехмерным задачам сильно затруднено сложным поведением характеристических поверхностей, что обусловливает трудности построения характеристической сетки, громоздким алгоритмом вычислений и сложностью программирования. В связи с этим метод характеристик в его чистом виде до настоящего времени применялся для расчетов трехмерных течений лишь в очень небольшом числе случаев. Для решения трехмерных задач сверхзвукового обтекания тел представляются более перспективными методы конечных разностей и смешанные методы (комбинации двумерного метода характеристик и метода конечных разностей по третьей переменной).
Рядом авторов предлагались различные схемы построения расчетной сетки в трехмерном методе характеристик.
Характеристики уравнений движения газа в пространстве впервые встречаются в диссертации А. В. Потапова (МВТУ, 1948). В зарубежных работах метод характеристик применялся для решения пространственных задач обтекания тел А. Ферри (NACA Techn. Note, 1946, № 1135),Н. Кобурном и Ч. Л. Долфом (Proc. Symp. Appl. Math. (1947), 1949, v. 1, 55— 66), К. Феррари (J. Aeronaut. Sci., 1949, 16 :7, 411—434), P. Зауером (ZAMM, 1950, 30 :11-12, 347—356). В большинстве этих зарубежных работ рассматривались потенциальные течения и расчетная сетка в пространстве строилась из двух семейств характеристических поверхностей, пересекающих характеристический конус. Некоторым недостатком такой «полухарактеристической» сетки является трудность обобщения на случай вихревого течения, когда на третьем семействе поверхностей не выполняется входящее в расчетную схему условие безвихренности.
Обстоятельное исследование метода характеристик для общего случая вихревых трехмерных течений было выполнено В. В. Русановым (1953) еще до появления возможности использования быстродействующих вычислительных машин. Русанов рассмотрел общие квазилинейные гиперболические системы уравнений и применил полученные результаты к произвольным неустановившимся и установившимся пространственным течениям газа. В последнем случае характеристическая сетка в пространстве строится из элементарных тетраэдров, гранями которых являются характеристические плоскости, подобно тому как в двумерных задачах сетка строится из треугольников. Русанов изложил способ расчета элементарных тетраэдров при решении задачи Коши, при расчете течений около стенки, около свободной поверхности или около ударной волны, а также привел примеры расчета течений по предложенной им схеме.
Как уже говорилось ранее, более удобным для расчета трехмерных сверхзвуковых течений около тел являются метод конечных разностей и его комбинация с двумерным методом характеристик.
К. И. Бабенко и Г. П. Воскресенский (1961) предложили метод решения конечноразностных уравнений, аппроксимирующих уравнения пространственного обтекания тела сверхзвуковым потоком газа. Этот метод, получивший название «метода прогонки», в дальнейшем был развит и обоснован в ряде работ, результаты которых изложены в монографии К. И. Бабенко, Г. П. Воскресенского, А. Н. Любимова и В. В. Русанова (1964).
Для решения задачи необходимо знать параметры течения в области между телом и волной на некоторой начальной плоскости (поверхности), в которой нормальная составляющая скорости должна быть сверхзвуковой. Для большинства тел, представляющих интерес в практических приложениях, такця плоскость существует. Если тело имеет затупленный передний конец, так что за скачком уплотнения в некоторой области скорость газа меньше скорости звука, то данные на начальной плоскости должны быть известны из решения задачи об обтекании затупленного переднего конца тела (см. ниже). Если же передний конец тела заострен и обтекается с присоединенным скачком уплотнения, то течение вблизи острия тела можно считать коническим и начальные данные брать из расчета этого двухмерного конического сечения. Оригинальный метод расчета неосесимметричного обтекания конических тел предложен в той же монографии К. И. Бабенко и др. (1964). Этот метод подсказан физическим содержанием задачи. При обтекании тела, отличающегося от бесконечного конуса только в некоторой окрестности вершины, течение на больших расстояниях от нее будет близко к коническому, хотя из-за сохра-
нения энтропии вдоль линии тока стремление к коническому течению будет происходить неравномерно, так как на самой поверхности тела энтропия будет сохранять те значения, которые возникли в результате обтекания носовой части тела. Поэтому можно считать, что решение, удовлетворяющее условиям на волне и на теле и принимающее произвольные значения в некотором начальном сечении, будет стремиться по мере удаления от начального сечения к решению задачи обтекания конуса, если поверхность тела коническая. Таким образом, ясно, как применить численный алгоритм, изложенный выше, к расчету конических течений. При некоторых заданных начальных условиях решение нужно продолжать по продольной координате до тех пор, пока в соответствующих авто* модельных переменных и с некоторой заданной точностью оно не перестанет изменяться. Нетрудно убедиться, что при применении конечноразностных уравнений на поверхности конуса установятся правильные значения энтропии.
Такой метод получения решения двумерных уравнений как предела решения трехмерных уравнений при стремлении значений дополнительной координаты к бесконечности назван «методом установления».
В монографии К. И. Бабенко и др. (1964) представлены в виде таблиц результаты систематических расчетов сверхзвукового обтекания круглых конусов под углами атаки. Эти таблицы, представляющие численное решение классической задачи сверхзвуковой аэродинамики, существенно превосходят по своим качествам широко распространенные таблицы неосесимметричного обтекания конусов 3. Копала (MIT Techn. Rept, 1947, № 3 и 1949, № 5), составленные на основании расчетов по методу Стоуна.
Метод конечных разностей применялся Д. А. Бабаевым (1962, 1963) для численного решения задачи об обтекании треугольного крыла при углах атаки, при которых скачок присоединен к кромкам крыла, так что течения с обеих его сторон могут изучаться независимо. Решение строится в конических координатах Т)= ylx и 甘=z/x, Бабаев произвел серию расчетов для разных значений угла при вершине крыла, числа Маха и угла атаки.
Важной задачей сверхзвуковой аэродинамики, привлекавшей длительное время серьезное внимание, но не находившей удовлетворительного решения до появления быстродействующих вычислительных машин, является задача об обтекании тел с отсоединенной головной ударной волной. Эта задача выходит за рамки собственно теории сверхзвуковых течений, так как течение за отсоединенной ударной волной имеет смешанный характер. Тем не менее она включена в настоящий обзор, так как без нее изложение теории сверхзвукового обтекания тел было бы весьма неполным.
С появлением быстродействующих вычислительных машин в течение более десяти лет велись интенсивные поиски численного решения задачи обтекания тел с отсоединенной головной волной и был предложен ряд достаточно эффективных методов расчета двумерных течений.
Трудность решения задачи об обтекании заданного тела с отсоединенной головной волной состоит в том, что течение между волной и телом является существенно нелинейным смешанным течением в области, одна из границ которой (ударная волна) заранее неизвестна. Неизвестно и положение предельной характеристики, которая имеет общую точку с звуковой линией. Расчет дозвуковой области течения и расчет сверхзвуковой области течения вплоть до предельной характеристики должны
производиться, очевидно, совместно. После получения решения в этой зоне смешанного течения дальнейшее продолжение течения в сверхзвуковой области может осуществляться методом характеристик или другими методами, рассмотренными выше.
В СССР большое распространение при решении двумерных задач получили методы, основанные на интегрировании уравнений движения в возмущенной области между скачком и телом по одной из переменных с последующей заменой подынтегральных величин аппроксимационными выражениями.
А. А. Дородницын (1958) предложил метод интегральных соотношений решения нелинейных задач гидроаэродинамики, хорошо приспособленный для машинных вычислений. Основная идея метода может быть проиллюстрирована на следующей системе дифференциальных уравнений в частных производных:
~Pi{x, у, щ, ..., %+击 Q№ У, Ml, •…，wn) = Ft (ж, у, %, ..., un).
Здесь Ui (i = 1, 2, . . ., n) — искомые функции от 力 и у, 尸方，0方，Ft — известные функции своих аргументов. Ищется решение этой системы в области, ограниченной прямыми 力=0,力=〃,р = 0и линией у = А (%)* Область делится на N криволинейных полос эквидистантными линиями У = Uh (* = N (力)[1 — (6 — 1)/%1, где A: = 1, 2, . . ., TV; после этого система уравнений интегрируется вдоль произвольной линии х = const от у = 0 до границы каждой полосы. Таким образом, получаются Nn независимых интегральных соотношений вида
萤 j рi dy _墻(Рi)h + (QM — (Q，=q = J Ftdy. a о 0
На каждой части границы требуется выполнение п граничных условий; если форма верхней части границы у = А (%) не задана, то на ней требуется выполнение n + 1 условия. Некоторые краевые условия могут иметь вид требования регулярности решения в точках границы.
Пусть теперь подынтегральное выражение, например Р^ аппроксимировано интерполяционным полиномом
Е= 2 От(х)ут.
7П=0
После интегрирования мы получим тогда систему Nn обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых искомыми функциями служат значения функций ип в точках интерполяции. Используя соответствующие условия при 力=0 и 力=@, путем интегрирования полученной системы находим искомое приближенное решение задачи.
Основной вопрос о необходимом числе полос N может быть решен лишь путем сравнения результатов, получаемых при возрастающем N.
А. А. Дородницын (1962) обобщил метод с целью повышения его точности при сохранении числа полос N. Обобщение состоит в предварительном почленном умножении исходных уравнений на произвольные кусочнонепрерывные функции от у*
Главное достоинство метода интегральных соотношений состоит в том, что при его использовании аппроксимируются подынтегральные выражения —этим уменьшается потеря точности. Кроме того, использование
уравнений в дивергентной форме (при соответствующем их выборе) приводит к автоматическому удовлетворению законов сохранения, так что
вычисления не теряют силы и при наличии разрывов.
К недостаткам метода относится то, что результаты его использования (при реальных значениях N) зависят от выбора системы координат, интерполяционных функций и тех величин, которые аппроксимируются этими функциями. Остается открытым и вопрос о сходимости метода ).
Метод интегральных соотношений был впервые применен к задачам сверхзвукового обтекания затупленного тела О. М. Белоцерковским
(1957, 1958).(1957, 1958).В задаче симметричного обтекания тела граничные условия изве
(1957, 1958).
(1957, 1958).
стны на поверхности тела у = О,
на линии симметрии ^ = 0 и нана линии симметрии ^ = 0 и наударной волне у = А (%), т. е. только на трех из четырех частей границы области. Этих условий недостаточно для определения единственного решения задачи. Физически очевидно, что так и должно быть, так как достаточность этих условий исключала бы влияние области, лежащей ниже по потоку, на область, расположенную выше по потоку. На самом деле это влияние проявляется в том, что получаемая система обыкновенных дифференциальных уравнений содержит в сверхзвуковой области вблизи звуковой линии особенности.
на линии симметрии ^ = 0 и на
на линии симметрии ^ = 0 и на
Требование регулярности решения
Рис. 7. Распределение давления по поверхности круглого цилиндра (7 — первое приближение; 2 ——второе приближение; 3 —— третье приближение) kРис. 7. Распределение давления по поверхности круглого цилиндра (7 — первое приближение; 2 ——второе приближение; 3 —— третье приближение) kпри прохождении этих особых точек дает необходимые дополнительные условия для нахождения единственного решения.
Рис. 7. Распределение давления по поверхности круглого цилиндра (7 — первое приближение; 2 ——второе приближение; 3 —— третье приближение) k
Рис. 7. Распределение давления по поверхности круглого цилиндра (7 — первое приближение; 2 ——второе приближение; 3 —— третье приближение) k
Возникающая граничная задача фактически решается следующим образом. В дополнение к имеющимся условиям
на линии симметрии задают значения скорости газа в точках пересечения этой линии с линиями у = р& (%) и расстояние А (0) от тела до ударной волны вдоль нее. Затем, решая с этими дополнительными условиями задачу Коши, подбирают их так, чтобы требуемая регулярность решения в особых точках была соблюдена. *
На рис. 7 показаны пример рассчитанного распределения давления по цилиндру при N = +, 2, 3 и сравнение его с экспериментальными данными при М = 3 (у = 1,4).
За десятилетие, прошедшее со времени опубликования О. М. Белоцерковским работы с первыми результатами расчета обтекания цилиндра, метод интегральных соотношений получил значительное развитие. Было произведено большое количество расчетов двумерного обтекания затупленных профилей и тел вращения различной формы (гладких, с разрывом' кривизны контура и с изломом контура). Рассматривались течения совершенного газа с постоянными теплоемкостями, течения с равновесным и неравновесным возбуждением внутренних степеней свободы, диссоциацией и ионизацией. Результаты этих работ изложены во многих статьях
ряда авторов, в обзорах О. М. Белоцерковского и П. И. Чушкина (1964, 1965) и в коллективной монографии О. М. Белоцерковского и др. (1966).
Наряду с изложенным методом интегральных соотношений в СССР развивались другие эффективные методы расчета сверхзвукового обтекания затупленных тел. Г. Ф. Теленин предложил в 1961 г. схему расчета, изложенную затем в совместных работах С. М. Гилинского, Г. Ф. Теленина и Г. П. Тинякова (1964), Г. Ф. Теленина и Г. П. Тинякова (1964). В схеме Теленина искомые величины аппроксимируются в направлении вдоль поверхности тела, а дифференциальные уравнения записываются по поперечной координате. Область между ударной волной и телом делится на полосы лучами, выходящими из центра, расположенного внутри тела, например вблизи центра кривизны тела в передней точке. В качестве независимых переменных используются полярный угол 9 и радиальное расстояние г, отнесенное к толщине слоя между телом и скачком уплотнения — т)« Искомые газодинамические функции представляются многочленами по 9 с коэффициентами, зависящими от 小 уравнение скачка "=% (9) также записывается в виде многочлена по 9. Значения коэффициентов представлений искомых функций линейным образом связаны со значениями этих функций на лучах. Подстановка многочленов в уравнения движения, записанные в координатах (9, г), приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям для определения газодинамических функций. Интегрирование этих уравнений выполняется по направлению от скачка к телу, причем параметры, определяющие форму скачка уплотнения, подбираются так, чтобы были удовлетворены условия обтекания тела.
Этим методом выполнены также обширные расчеты различных случаев обтекания тел.
При численном решении задачи несимметричного обтекания плоского контура методом интегральных соотношений возникают затруднения. В симметричной задаче граничными условиями для 3N дифференциальных уравнений^служат 27V условий симметрии течения на оси и N условий регулярности решения при прохождении^особых точек. При несимметричном обтекании решение должно удовлетворять N условиям регулярности с каждой стороны тела, что дает 27V условий. Однако 27V условий симметрии при этом отсутствуют, что требует в общем случае наложения дополнительно N условий для определения решения. До настоящего времени нет способа выбора этих условий для N > 1. При TV = 1 задача о несимметричном обтекании плоской пластины решена А. М. Базжиным (1963). А. Н. Минайлос (1964) применил метод интегральных соотношений для расчета^сверхзвукового обтекания затупленного тела вращения под углом атаки. При этом он использовал осесимметричную систему координат типа применяющейся в теории пограничного слоя. Записав уравнения в дивергентной форме, А. Н. Минайлос аппроксимирует входящие в эти уравнения величины, как это делается 陋 в стандартном методе О. М. Белоцерковского, полиномами по координате, нормальной телу; азимутальные же распределения параметров аппроксимируются рядами Фурье по полярному углу. В рядах Фурье, кроме постоянного члена, сохраняется лишь еще один член. При этом (ср. работу В. В. Сычева, [1952] 1957) достаточно рассмотреть уравнения только в плоскости симметрии течения. Принимается также N = 1, т. е. только одна полоса от поверхности тела до ударной волны. Таким путем задача сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений по координате вдоль поверхности тела. А. Н. Минайлос опробовал свой метод
на примере сферы и показал его удовлетворительную точность; далее им была решена задача о несимметричном обтекании круглого диска.
Увеличение числа полос при решении задачи о несимметричном обтекании тел методом интегральных соотношений оказалось практически
невыполнимым.
Метод Теленина легко обобщается на случай несимметричного обте
кания. В работе Г. Ф. Теленина и Г. П. Тинякова (1964) рассмотрена
задача несимметричного обтекания тела. Изменение параметров потока в азимутальном направлении представляется здесь в виде тригонометрических полиномов, в остальном сохраняется та же схема расчета, что и при симметричном обтекании. Результаты расчетов несимметричного обтекания эллипсоидов вращения находятся в весьма хорошем соответствии с данными экспериментов. На рис. 8 представлено такое сравнение для формы ударной волны.
В работе В. Б. Миносцева, Г. Ф. Теленина и Г. П. Тинякова (1967) исследованы примеры несимметричного обтекания тел с резко изменяющейся кривизной контура образующей. На рис. 9 показаны линии тока (сплошными линиями) и изобары (пунктиром) на поверхности тела «сегментальной» формы, обтекаемого при угле атаки а = 30° и М = оо; показаны также головная волна, звуковая линия (штрих-пунктиром) и йеко- торые изобары в плоскости симметрии течения.
Некоторым ограничением схемы Теленина является применение в ней исходных уравнений не в дивергентной форме, использование только сферической системы координат и представление параметров течения полиномами одного частного вида. Дж. Вальдман и Р. Ф. Пробстейн ) обобщили метод Теленина, устранив эти ограничения.
Описанный метод обладает определенными преимуществами перед методом интегральных соотношений в его оригинальной форме. Прежде всего, в нем исключается необходимость прохождения сквозь особые
кании эллипсоида (сравнение-кании эллипсоида (сравнение-расчета с экспериментом).расчета с экспериментом).точки при интегрировании,точки при интегрировании,поэтому в большинстве случаев (когда параметры потока меняются вдоль
кании эллипсоида (сравнение-
кании эллипсоида (сравнение-
расчета с экспериментом).
расчета с экспериментом).
точки при интегрировании,
точки при интегрировании,
тела достаточно гладко) метод менее трудоемок при сохранении той же точности, что и в методе интегральных соотношений. В методе Теленина- переход к более высоким приближениям не вызывает серьезных трудностей. Наконец, в этом методе детали течения в области перехода через
скорость звука не требуют предварительного исследования и получаются
из решения.
0. М. Б ел оцер ковский (1962) видоизменил основной метод интегральных соотношений, предложив производить аппроксимацию функций по направлению вдоль поверхности обтекаемого тела и вдоль этого направления разбивать область на полосы и проводить интегрирование уравнений. Результирующие обыкновенные дифференциальные уравнения будут при этом записываться по поперечной координате (как в методе Теленина), Поперечные полосы, разбивающие область течения,
WW22缈缈4545ОООО
W
W
2
2
缈
缈
45
45
О
О
О
О
Рис. 9. Несимметричное обтекание тела с сферической лобовойповерхностью и конической хвостовой частью.
О. М.^Белоцерковский рекомендует выбирать так, чтобы граница последней полосы совпадала с характеристикой, ограничивающей область влияния смешанного течения. М. М. Голомазов (1965) обобщил этот метод на случай несимметричного обтекания тел вращения. В продольном и азимутальном направлениях искомые функции представляются М. М. Голомазовым так же, как и в работе Г. Ф. Теленина и Г. П. Тинякова (1964), но в сверхзвуковой области вместо луча берется граничная характеристика области влияния. Для замыкания аппроксимирующей системы уравнений используется условие совместности вдоль этой характеристики. М. М. Голомазов рассчитал обтекание эллипсоида вращения под углом атаки.
Кроме задач обтекания затупленных тел с отсоединенной ударной волной, метод интегральных соотношений применялся для расчета двумерных конических течений: П. И. Чушкин и В. В. Щенников (I960) рассчитали течение около круглого конуса под углом атаки, А. П. Баз-
жин (1963) — течение около эллиптического конуса и плоской треугольной пластины под углом атаки.
Г. Г. Черный (1964, 1965) использовал интегральные соотношения для приближенного исследования течения около плоских крыльев произвольной формы при больших углах атаки, придав определяющим уравнениям при N = 1 вид уравнений, описывающих течение газа на плоскости крыла с дополнительным уравнением для определения толщины
Рис. 10. Различные режимы обтекания треугольного крыла.
слоя между крылом и ударной волной. С помощью этих уравнений Г. Г. Черный проанализировал возможные режимы симмметричного обтекания треугольного крыла во всем возможном диапазоне углов атаки от 0° до 180°. На рис. 10 приведены области существования различных режимов обтекания и изображены картины течения около крыла, соответствующие каждой области.
Остановимся еще на решении задач об обтекании тел горючим газом с образованием отсоединенной волны детонации. С. М. Гилинский, 3. Д. Запрянов и Г. Г. Черный (1966) и С. М. Гилинский и 3. Д. Запрянов (1967) дали решения задач об обтекании сферы и цилиндра с отсоединенной детонационной волной. Интересной новой особенностью обтекания тел с волной детонации оказалось то, что при обтекании плоских контуров волна детонации, постепенно ослабевая при удалении от Тела, в бесконечности переходит в волну Чепмена — Жуге； в случае же обтекания тела вращения переход сильной волны детонации в волну Чепмена — 12 Механика в СССР, том 2
Жуге происходит на конечном расстоянии от тела. Аналитическое доказательство этого факта дано В. А. Левиным и Г. Г. Черным (1967).
Другой подход к решению смешанной задачи сверхзвукового обтекания тел дан С. К. Годуновым, А. В. Забродиным и Г. П. Прокоповым (1961). В этом «методе установления» решение смешанной задачи о стационарном обтекании тела находится как предел гиперболической задачи неустановившегося обтекания этого тела. На двумерные плоские и осесимметричные течения обобщается метод решения задач о нестационарных одномерных движениях газа с разрывами, предложенный ранее С. К. Годуновым (1959). В методе установления уравнения плоского или осесимметричного неустановившегося движения в дивергентной форме записываются в виде интегралов по поверхности в трехмерном пространстве координат и времени. Такая форма записи в виде законов сохранения обеспечивает возможность рассмотрения течений со скачками уплотнения и другими разрывами. Далее в этом пространстве с учетом формы обтекаемого тела выбирается сетка и интегралы записываются в виде соответствующих сумм подынтегральных выражений в узлах этой сетки. Система координат не предполагается фиксированной. Интегралы, записанные для отдельной ячейки сетки, используются затем для получения разностных уравнений в подвижной координатной системе, причем в течение каждого шага по времени значения газодинамических величин на каждой границе ячейки считаются неизменными. Эта система конечноразностных уравнений, полученная из интегральных законов сохранения, служит аппр о ксимир ующей системой для точных дифференциальных уравнений.
С. К. Годунов, А. В. Забродин и Г. П. Прокопов (1961) применили этот метод для расчета обтекания сферы при М = 4иу = 1,4. В качестве начального состояния ими был взят поступательный поток; вычисления продолжались до тех пор, пока газодинамические параметры в поле течения не выходили на стационарные значения. Результаты расчета находятся в хорошем согласии с данными,.полученными другими методами, например методом О. М. Белоцерковского (1961).
Вариационные задачи
Еще одно направление развития аэродинамики сверхзвуковых скоростей связано с решением вариационных задач об определении формы тел, обладающих при различных дополнительных условиях наименьшим сопротивлением или наибольшим аэродинамическим качеством или еще каким- либо экстремальным свойством.
Теория экстремальных форм в аэродинамике берет свое начало еще от Исаака Ньютона, определившего форму тела наименьшего сопротивления в однородном потоке не взаимодействующих между собой частиц, соударяющихся с телом по закону абсолютно упругого или, наоборот, полностью непругого удара.
В современной аэродинамике начало решению экстремальных задач положил Т. Карман в своем докладе на конгрессе Вольта (1935; русский перевод в сб. «Газовая динамика», 1939), нашедший в рамках линейной теории обтекания тел форму головной части тела вращения, обладающего при заданных длине и площади концевого сечения* наименьшим сопротивлением. Отметим, что в рамках линейной теории обтекания профилей, когда давление определяется формулой Аккерета, вариационные задачи элементарны; в случае головной части заданного удлинения наименьшим
сопротивлением обладает клин, при задании относительного удлинения профиля наименьшее сопротивление будет иметь профиль ромбовидного сечения и т. п. Определенное практическое значение имеет решение в рамках этой теории задач о форме профилей, имеющих минимальное сопротивление при сложных дополнительных условиях: при заданной площади (что соответствует заданному объему крыла или заданной прочности на растяжение лопасти винта), при заданных геометрических величинах, характеризующих прочностные свойства крыла, и т. д. Такие задачи решались В. В. Келдыш, Я. М. Серебрийским и К. Е. Богословским и другими авторами. За рубежом аналогичные результаты получили Г. Другге (Aeronaut. Res. Inst. Sweden, 1949, Rept № 26), Д. P. Чепмен (NACA Rept, 1952, № 1063).
Уже для тел вращения в рамках линейной теории экстремальные задачи существенно усложняются. А. А. Никольский ([1950] 1957) рассмотрел задачу о теле вращения с протоком, обладающем наименьшим внешним сопротивлением при заданной длине и радиусах входного и выходного сечений. В своей работе он применил новый плодотворный подход к решению вариационных задач сверхзвукового обтекания тел. Вместо отыскания общего выражения, определяющего сопротивление тела по его форме, и его варьирования, Никольский при помощи уравнений количества движения и расхода получил выражение для сопротивления тела и для геометрических величин, характеризующих данные линейные размеры тела, в виде интегралов от значений газодинамических параметров на контрольном контуре, состоящем из головной волны и характеристической поверхности, проходящей через заднюю кромку вперед до пересечения с головной волной. Учитывая наличие соотношений между дифференциалами координат на замыкающей характеристике, получается определенная вариационная задача для нахождения распределения газодинамических параметров на этой хар актер истине. После решения этой задачи образующая тела находится стандартным приемом по условиям на головной волне и на замыкающей характеристике.
Подход А. А. Никольского послужил основой для рассмотрения ряда экстремальных задач в рамках линейной теории двумерных и пространственных течений. М. Н. Коган (1957) применил этот подход к решению задачи о крыле конечного размаха заданной формы в плане, имеющем максимальное аэродинамическое качество при заданной подъемной силе. Для крыла с прямой задней кромкой, нормальной набегающему потоку, М. Н. Коган привел вариационную задачу к краевой задаче для уравнения Лапласа. Такое приведение для произвольной задней кромки было сделано Ю. Л. Жилиным (1957). В. Н. Жигулев и Ю. Л. Жилин (1959) дали решение задачи о теле вращения с протоком, имеющем минимальное сопротивление при заданных объеме и радиусах входного и выходного сечений.
Решение вариационных задач сверхзвукового обтекания тел в нелинейной постановке развивалось по двум направлениям. Первое направление основано на использовании приближенных формул, выражающих давление на теле в простом виде через геометрические характеристики тела (подобно формуле Аккерета в линейной теории плоских течений). К таким формулам относятся формулы Ньютона и Буземана, использование которых оправдано в некоторых случаях течений с большой сверхзвуковой скоростью. Обсуждение соответствующих результатов читатель найдет в п. 8.7, посвященном большим сверхзвуковым скоростям. Второе направление, ограниченное пока рассмотрением лишь некоторых
частных классов задач о двумерном обтекании тел, основано на рассмотрении точных уравнений газовой динамики.
Как уже говорилось, в работе Г. Г. Черного (1950) было показано, что в плоском потоке среди головных частей тел с заданными длиной и концевым поперечным размером в отличие от результата, следующего из линейной теории, клин не обладает в общем случае наименьшим сопротивлением. Только при некотором соотношении между числом Маха набегающего потока и удлинением клин обеспечивает минимум сопротивления.
Для решения задачи о головной части профиля или тела вращения, имеющей минимальное сопротивление при произвольном задании длины и концевого поперечного размера Ю. Д. Шмыглевский (1958, I960) применил метод контрольного контура. Им были получены необходимые условия экстремума, из анализа которых следовало, что этим методом решение задачи можно найти лишь в некоторых частных случаях; в случае плоского течения эти частные решения соответствуют полученным Г. Г. Черным (1950).
Для тел с произвольным удлинением решить задачу с использованием метода контрольного контура не удается. Этот метод позволяет искать решение только среди гладких контуров. Кроме того, метод контрольного контура можно применять лишь тогда, когда задаваемые величины (изопериметрические условия) удается выразить через интегралы по контрольному контуру; в нелинейной постановке этого нельзя сделать, например, при задании объема тела или его боковой поверхности.
К. Г. Гудерлей и Дж. В. Армитедж предложили ) новый подход к решению вариационных задач газовой динамики, свободный от перечисленных ограничений. Этот подход, идея которого была также независимо высказана Т. К. Сиразетдиновым (1963), состоит в том, что экстремальная задача формулируется для интеграла от давлений, записанного непосредственно по контуру тела, при наличии связей между искомыми функциями в области влияния,контура в виде дифференциальных уравнений, описывающих движение газа. При составлении минимизируемого функционала эти связи учитываются введением соответствующих переменных множителей Лагранжа, так что функционал состоит из суммы интеграла, взятого вдоль искомого контура, и двойного интеграла, взятого по области влияния контура. Необходимые условия экстремума дают краевую задачу для системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с условиями на границе области влияния.
В работе А. Н. Крайко (1964) постановка вариационных задач обобщена на равновесные и неравновесные течения газа с произвольными термодинамическими свойствами. В этой же работе Крайко ввел в рассмотрение разрывные множители Лагранжа, установил, что линиями разрыва для них могут быть только характеристики уравнений газодинамики, и вывел условия для разрывов. А. Н. Крайко (1964) и В. М. Борисов (1965) в работе о системе тел с минимальным волновым сопротивлением привели примеры задач, в которых возникают разрывные множители Лагранжа.
Перечисленные исследования дали возможность рассмотреть задачу о нахождении тел с минимальным сопротивлением без ограничения на гладкость искомого контура и при общих изопериметрических условиях.
А. В. Шипилин (1966) показал, что при общих изопериметрических условиях гладкие контуры могут давать решение задачи лишь в частных случаях, полученных уже ранее Г. Г. Черным (1950) и Ю. Д. Шмыглевским (1958, I960). В общем случае контур может содержать бесконечное число изломов, сгущающихся к передней точке тела. А. В. Шипилин рассчитал примеры плоских контуров минимального сопротивления с заданным удлинением; с принятой точностью расчета контуры имеют один излом.
Течения вдоль проницаемых поверхностей
Остановимся еще на одном цикле исследований, посвященном изучению сверхзвуковых течений газа около проницаемых поверхностей. Задачи такого типа возникли в связи с использованием околозвуковых и сверхзвуковых аэродинамических труб с перфорированными стенками и с использованием парашютов при сверхзвуковой скорости. В СССР еще в 1947 г. было применено перфорирование стенок аэродинамической трубы для возможности испытания в ней моделей при околозвуковых и при малых сверхзвуковых скоростях. Г. П. Свищев предложил использовать сопла с перфорированными участками стенок для плавного изменения скорости сверхзвукового потока. Г. Л. Гродзовским и Г. П. Свищевым было экспериментально обнаружено, что перфорирование стенок цилиндрической трубы, окруженной камерой с постоянным давлением, оказывает выравнивающее действие на возмущения давления (и связанные с ними возмущения плотности и скорости) движущегося в трубе сверхзвукового потока ). Эти и другие экспериментальные исследования вызвали появление в 1949—1951 гг. серии теоретических работ, посвященных изучению течений около проницаемых границ и, в особенности, деталей сверхзвукового потока около плоской стенки, состоящей из поперечных или продольных полос, отделенных щелями, сквозь которые газ может вытекать в окружающее пространство (или втекать из этого пространства внутрь потока).
А. А. Никольский *) изучил такое течение в линейном приближении и на основе этого анализа получил осредненные краевые условия на перфорированной стенке (т. е. условия в случае, когда масштаб перфорации мал по сравнению с характерным масштабом течения).
Пользуясь осредненными краевыми условиями, Никольский рассмотрел задачу о сверхзвуковом двумерном течении газа в канале с параллельными пер фор ир ованными стенками и установил, что при реализации на перфорированной границе нужной линейной связи между компонентами скорости возмущений (т. е. связи между осредненными значениями расхода газа через границу и перепада давления на границе потока и в наружной камере) мод{но добиться полного выравнивания неравномерного безвихревого потока и ликвидации индукции аэродинамической трубы (т. е. взаимодействия модели со стенками трубы).
Изучению некоторых общих свойств течений у проницаемых границ посвящена работа X. А. Рахматулина (1950). '
Г. И. Таганов *) учел нелинейные эффекты, возникающие при обтекании сверхзвуковым потоком стенок с продольными или поперечными щелями. Он обратил, в частности, внимание на то, что течение у перфо-
рированной границы с поперечными щелями аналогично сверхзвуковому обтеканию решетки профилей. Им же, а также Г. Л. Гродзовским (1963) исследованы интересные особенности сверхзвукового обтекания плоских
Рис. 11. Сверхзвуковое обтекание решетки профилей с дозвуковой составляющей скорости по нормали к фронту решетки.Рис. 11. Сверхзвуковое обтекание решетки профилей с дозвуковой составляющей скорости по нормали к фронту решетки.решеток, составленных из профилей с заостренными передними кромками, в случае, когда составляющая скорости по нормали к фронту решетки меньше или равна скорости звука. На рис. 11 показан пример такого обтекания. За рубежом аналогичному исследованию были посвящены работы А. Кантровица (NACA Rept, 1950, № 974), К. Бридена (ZAMP, 1958, 9В:5-6, 132—161) и других авторов.
Рис. 11. Сверхзвуковое обтекание решетки профилей с дозвуковой составляющей скорости по нормали к фронту решетки.
Рис. 11. Сверхзвуковое обтекание решетки профилей с дозвуковой составляющей скорости по нормали к фронту решетки.
Сверхзвуковое обтекание решеток профилей при сверх
звуковой нормальной к фронту составляющей скорости при отсутствии интерференции между профилями, очевидно, не отличается (в области вблизи профилей) от обтекания одиночного профиля. Характеристики решеток при таком режиме обтекания и при наличии интерференции между профилями исследовались (в основном в рамках линейной теории) В. В. Келдыш.
Развитие теории гиперзвукового обтекания тел
Введение. Стабилизация течений при больших сверхзвуковых скоростях. До середины сороковых годов теоретические и экспериментальные работы по аэродинамике относились к скоростям полета, превышающим скорость звука не более чем в три-пять раз. Имелись лишь отдельные попытки изучения специфических свойств обтекания тел газом при скоростях, во много раз превосходящих скорость звука. Так, в работе П. С. Эпштейна (см. стр. 163) впервые была произведена оценка сопротивления тел при очень большой сверхзвуковой скорости с помощью методов сверхзвуковой аэродинамики. В этой же работе было обращено внимание на то, что картина движения тела в газе с очень большой сверхзвуковой скоростью близко напоминает рассматривавшуюся еще И. Ньютоном картину движения в сопротивляющейся среде, состоящей из отдельных, не взаимодействующих между собой частиц. Из рассуждений Ньютона вытекает, что давление, действующее на обращенный вперед элемент движущегося тела, пропорционально квадрату синуса угла встречи элемента с частицами среды. А. Буземан (Handworterbuch der Naturwissenschaften, Bd. 4, Jena, 1934) получил приближенную формулу для расчета давлений на поверхности головной части профилей и тел вращения, уточняющую формулу Ньютона путем учета центробежных сил в слое частиц, движущихся после неупругого соударения с телом вдоль его поверхности.
Эти попытки рассмотрения течений с очень большой сверхзвуковой скоростью были в то время далеки от практических приложений. Единственными объектами, движущимися в атмосфере со скоростями, значительно превышающими скорость артиллерийских снарядов, были тогда метеорные тела.
К середине сороковых годов положение начало изменяться. Обширные теоретические исследования, эксперименты в аэродинамических трубах и на летающих моделях привели к тому, что одна за другой стали находить решение основные проблемы полета управляемых летательных аппаратов со сверхзвуковой скоростью. На исходе второй мировой войны появились баллистические ракеты со скоростью, в пять-шесть раз большей скорости звука.
В последние десятилетия круг научных и технических проблем, требующих изучения явлений при движении тел в атмосфере со скоростями в 3—10 км/сек и более, значительно расширился. Созданы дальние баллистические ракеты, возвращающиеся космические аппараты, аппараты, входящие с космических траекторий в атмосферу других планет.
По этой причине возникло и начало интенсивно развиваться еще одно важное направление теоретической аэродинамики — теория гиперзвуковых течений.
В Советском Союзе начало теоретическому исследованию гиперзвуковых течений газа положили работы С. В. Фальковича (1947), А. А. Ильюшина ([1948] 1956), Г. М. Бам-Зеликовича, А. И. Бунимовича и М. П. Михайловой (1949), С. В. Валландера (1949).
За рубежом систематические исследования гиперзвуковых течений начались работами С. С. Цяня (J. Math, and Phys., 1946, 25 : 3, 247—251), У. Д. Хейза (Quart. Appl. Math., 1947, 5:1, 105—106), К. Осватича (ZAMP, 1951, 2:4, 249-264).
Важный результат, касающийся обтекания тел потоком с большой сверхзвуковой скоростью, был получен С. В. Валландером (1949). Как известно, задача обтекания тела сверхзвуковым потоком невязкого газа (газ предполагается совершенным с постоянными теплоемкостями) может быть сформулирована таким образом, что все определяющие зависимости будут содержать, помимо геометрических параметров, характеризующих форму тела, и отношения теплоемкостей у, лишь один безразмерный параметр — число Маха М набегающего потока. При этом число М входит лишь в краевые условия на головной волне, отделяющей возмущенную область от набегающего однородного потока. Если головная волна не содержит участков слабого разрыва, т. е. представляет собой скачок уплотнения, то в краевые условия на волне число М входит лишь в комбинациях вида 1+0 {[М2 cos2 (w,力)]-1}. Здесь cos (孔,z)—— косинус угла между нормалью к волне и направлением набегающего потока.
При больших значениях числа М на участках волны вблизи тела (где угол наклона поверхности скачка к направлению набегающего потока того же порядка, что и угол наклона поверхности тела) вторым слагаемым в этих комбинациях можно пренебречь по сравнению с первым. В этом случае течение вблизи тела будет определяться соотношениями, не содержащими числа М・
Таким образом, при достаточно больших значениях числа Маха набегающего потока картина течения перестает изменяться, значения скорости и плотности, отнесенные к их значениям в набегающем потоке,- и значения коэффициента давления стремятся к предельным значениям. Сформулированный результат можно назвать принципом стабилизации течений при больших сверхзвуковых скоростях.
За рубежом этот результат был получен в указанной выше работе К. Осватичем в 1950 г.
Обтекание тонких, заостренных впереди тел. С. В. Фалькович (1947) рассмотрел установившиеся плоские потенциальные течения газа.
Уравнения для потенциала скорости 屮 и функции тока 屮，записанные в переменных годографа, после введения вместо скорости V переменной z = (М2 — 1)т/2 были преобразованы им к следующему виду:
需=一(I +胪z2)E ("一 1)日(1 +z2) zK 票，
2-y
碧=_ (1 + h4^(1 + z2)T (胪一 1)-1 z匸7 翡，
где " = (丫 十 1)/(у — 1).
Эти уравнения при больших значениях числа Маха, т. е. при малых z, можно упростить, пренебрегая величиной z? по сравнению с единицей. После исключения потенциала ср упрощенное уравнение для функции тока в характеристических переменных 九 = 8 —— 仇2 — 1) z и 卩 = 6 十(胪 一 1) принимает вид
dXd[i' 2 (X -闻 I 3大 dji )一1
т. е. представляет собой уравнение Дарбу. При некоторых значениях у (в частности, при 丫 = 1,4) оно интегрируется в конечном виде.
Далее С. В. Фалькович рассмотрел тонкий, слабо изогнутый профиль с хордой Z и максимальной толщиной 6, обтекаемый под малым углом атаки поступательным потоком газа, имеющим вдали от профиля число Маха М 8. Полагая в уравнении для 屮
е = е*A, z=z*zg (zoo =(M^-i)_1/2), получаем
1小2 八尹屮題屮九2d屮
где К = (6/Z) ММ? 8 — 1 ^ (6/Z).M 8 — критерий подобия для гиперзвукового обтекания тонких тел, который был получен ранее, но более сложным путем, С. С. Цянем в цитированной выше работе. В этой работе Цянь установил аналогичный закон и для симметричного обтекания тел вращения.
При установлении закона подобия С. С. Цянь и С. В. Фалькович исходили из предположения о потенциальном характере течения около тонкого тела при гиперзвуковой скорости набегающего потока.
В краткой заметке, относящейся к 1947 г., У. Д. Хейз (см. ссылку на стр. 183) указал на эквивалентность задачи о гиперзвуковом обтекании тонкого тела и задачи о неустановившемся плоском движении газа, возникающем при расширении поршня соответствующей формы. Таким путем закон подобия Цяня был обобщен на случай обтекания тонких тел произвольного поперечного сечения со скачками уплотнения, вызывающими появление вихрей. Это обобщение имеет важное значение, так как при большой сверхзвуковой скорости нельзя пренебрегать вихреобразованием в скачках уплотнения.
А. А. Ильюшин ([1948] 1956) и Г. М. Бам-Зеликович, А. И. Бунимович и М. П. Михайлова (1949) детально обосновали эквивалентность гиперзвукового обтекания тонких тел и неустановившегося движения газа на плоскости.
Автор первой работы рассмотрел обтекание с большой сверхзвуковой скоростью V тел (названных им аэродинамически правильными), нормаль к поверхности которых отклоняется от плоскости, перпендикулярной к на-
правлению потока, на малый угол во всех точках поверхности, за исключением особых точек или линий. Учитывая граничное условие обтекания поверхности тела и используя соотношения на головном скачке уплотнения, можно получить оценки для величин составляющих скорости и, и, w и для других газодинамических параметров в возмущенной области течения, а также оценку для угла наклона головного скачка уплотнения; если М — число Маха набегающего потока, а т — характерное значение угла встречи набегающего потока с поверхностью тела, то
-〜心吉) ,簟〜l£f 〜Til, cos(w, x) •
Из анализа величины отдельных членов в уравнениях движения, в условиях на скачке и на поверхности тела, следует, что с точностью до величины т2 十 т/М по сравнению с единицей все эти соотношения после замены координаты х через Vt эквивалентны соотношениям, описывающим неустановившееся движение газа в плоскости, нормальной направлению движения тела. Это свойство гиперзвукового обтекания тонких тел было названо Ильюшиным законом плоских сечений. Он отметил, что закон плоских сечений будет иметь место и при неустановившемся движении, если на пути порядка размера тела его продольная скорость изменится на величину попядка не более т2У, а поперечные скорости будут по порядку не более тР
Описанная эквивалентность дала возможность А. А. Ильюшину использовать для ряда случаев гиперзвукового обтекания тел известные решения задач о неустановившихся движениях газа. Так, в линейном приближении он рассмотрел задачу о колебаниях профиля, об обтекании конуса и оживальных тел, об обтекании цилиндра, движущегося под углом атаки и вращающегося около поперечной оси. В нелинейной постановке были рассмотрены течение около клина, течение разрежения на верхней стороне профиля, обтекание конуса. Рассмотрена также новая задача об обтекании тонкого тела, близкого к клину.
В качестве одного из приложений описанной эквивалентности А. А. Ильюшин называет метод аффинной модели, основанный на подобии течений около аффинно-преобразованных тел с одинаковыми значениями параметра Мт.
В работе Г. М. Бам-Зеликовича, А. И. Бунимовича и М. П. Михайловой (1949), помимо доказательства эквивалентности задачи об обтекании тонкого тела с большой сверхзвуковой скоростью и задачи о нестационарном движении газа в пространстве, число измерений которого на единицу меньше, и обоснования соответствующего закона подобия, было произведено подробное сравнение результатов приближенной теории с точными формулами для клина и с результатами численного решения задачи об обтекании круглого конуса. При этом расчеты для конуса сравнивались с найденным Л. И. Седовым (1945) решением задачи о расширении цилиндрического поршня в покоящемся газе. Таким образом была установлена область возможного использования приближенной теории. На рис. 12 показано сравнение точных расчетов для конуса со значениями, полученными согласно асимптотической теории (пунктир; штрих-пунктирная кривая — результат линейной теории).
Подробному выводу законов подобия при гиперзвуковом обтекании тонких заостренных тел, которые могут совершать коле&ательные движения довольно общего вида, посвящена работа Г. Ф. Теленина (1956)» выполненная в 1953—1954 гг.
Результаты, полученные в работах А. А. Ильюшина (1948) и Г. М. Бам- Зеликовича и др. (1949), были опубликованы за рубежом позднее. Первые зарубежные работы с детальным обоснованием закона гиперзвукового подобия и с примерами его использования относятся к 1952—1954 гг. ).
Эквивалентность гиперзвукового обтекания тонких заостренных тел и нестационарных движений газа на плоскости дала возможность исполь-
Рис. 12. Давление на конусах (К = М tg со, со — угол полураствора конуса).Рис. 12. Давление на конусах (К = М tg со, со — угол полураствора конуса).зовать для аэродинамических приложений методы и результаты теории одномерных нестационарных движений газа, в частности, многие результаты теории одномерных автомодельных течений газа (естественно^ что для аэродинамических приложений могут быть использованы лишь результаты для течений с плоскими и с цилиндрическими волнами, соответствующие обтеканию профилей и симметричному обтеканию тел вращения). Простейшие примеры такого использования решений — для плоского и цилиндрического поршней, расширяющихся с постоянной скоростью,— имеются уже в работах А. А. Ильюшина и Г. М. Бам-Зели- ковича и др.
Рис. 12. Давление на конусах (К = М tg со, со — угол полураствора конуса).
Рис. 12. Давление на конусах (К = М tg со, со — угол полураствора конуса).
Н. Л. Крашенинникова (1955) рассмотрела задачу о расширении в покоящемся газе поршня с радиусом У?, зависящим от времени по степенному закону: R 〜％n+L Решение этой задачи автомодель- но, если пренебречь начальным давлением газа. Крашенинникова провела исследова
ние задачи для нескольких комбинаций тг и V (V = 1, 2, 3 для течений с плоскими, цилиндрическими и сферическими волнами) и установила, что решение с ударной волной, отделяющей покоящийся газ от области возмущенного .поршнем движения, существует не для всех комбинаций этих величин. Л. Г. Велеско, Г. Л. Гродзов- ский и Н. Л. Крашенинникова (1956) провели систематические расчеты
автомодельных течений, возникающих при расширении цилиндрического поршня для значений w от 0 до —0,35. Этим течениям эквивалентны симметричные течения около тел вращения степенной формы при числе Маха М = оо.
Задача об автомодельных движениях при расширении поршня рассматривалась также С. С. Григоряном (1958). Им было сформулировано утверждение, что эта задача имеет решение лишь для п > — v/(2 + v). Объяснение такого условия состоит в том, что при невыполнении неравенства работа, которую требуется затратить для приведения поршня в движение, должна быть бесконечно велика. При эквивалентном обтекании тела сопротивление его головной части равнялось бы бесконечности ).
Отметим здесь, что при w<0 условия эквивалентности, очевидно, нарушаются вблизи переднего конца тела, так как возмущения скорости потока в этой области не малы. Несмотря на это, эксперименты ) показали удовлетворич^льное согласие полученных данных о распределении давления по телу и о форме ударной волны с результатами расчета.
Обтекание тонких, притупленных впереди тел. Большое значение в теории одномерных автомодельных течений газа имеет решение задачи <)сильном взрыве. В этом решении, полученном впервые в аналитической форме Л. И. Седовым (1945), энергия газа в возмущенной области постоянна во времени, причем радиус возмущенной области растет пропорционально 方2/(叶2).
В соответствии с законом плоских сечений этому движению эквивалентно обтекание тонкой затупленной впереди пластины (при v = 1) или цилиндра с тупым торцом (при v — 2); энергия, вы де ляющаяс я при взрыве, эквивалентна сопротивлению затупленного переднего конца пластины или цилиндра. Указание на эквивалентность течения газа, возникающего при полете тела с большой сверхзвуковой скоростью, и течения, возникающего при сильном взрыве с цилиндрическими волнами, было сделано впервые О. В. Добровольским (1953) и С. Ч. Лином (J. Appl. Phys., 1954, 25 : 1, 54-57).
С. К. Чжен и А. Дж. Паллоне (J. Aeronaut. Sci., 1956, 23 : 7, 700—702) сравнили распределения давления и форму ударной волны, полученные в экспериментах при обтекании плоской пластины с тупой передней кромкой, с результатами, следующими из теории сильного взрыва. Сравнение показало удовлетворительное согласие опытных и расчетных данных.
Это обстоятельство дало возможность развить общую теорию гиперзвукового обтекания тонких, притупленных впереди тел. Такое обобщение теории имеет большое значение, так как в действительности передние кромки крыльев или передние концы корпусов летательных аппаратов не являются идеально острыми: при большой сверхзвуковой скорости полета тонкие передние концы тел неминуемо были бы разрушены из-за невозможности отвода через них больших количеств тепла, выделяющегося в потоке вблизи переднего конца тела. В то же время при таких скоростях малый размер затупленного переднего конца тела по сравнению с характерным продольным размером тела не может служить основанием для того, чтобы пренебречь влиянием затупления на течение в масштабах всего тела. Газ, сжатый до высоких давлений и нагретый до высокой температуры при прохождении им небольшого участка весьма интенсивной ударной волны перед затупленным передним концом тела, при дальнейшем движении вдоль тела сильно расширяется, образуя вблизи тела слой с малой плотностью, который может оказывать сильное влияние на все течение.
Если размер затупленной части тела весьма мал по сравнению с продольным размером тела, то можно рассчитывать получить хорошее приближение к описанию происходящих явлений, если пренебречь искажением формы тела вследствие затупления, но учесть действие последнего на поток, заменив его действием сосредоточенных сил, приложенных к потоку со стороны затупления. После этого использование закона эквивалентности приводит к задаче о неустановившемся движении газа на плоскости, вызываемом взрывом с последующим расширением поршня.
Нужно отметить, что вследствие нарушения вблизи переднего конца затупленных тонких тел условий, соблюдение которых необходимо для
эквивалентности гиперзвукового обтекания тел и нестационарных движений на плоскости, правильнее говорить не об эквивалентности гиперзвукового обтекания затупленного тонкого тела и течения, возникающего на плоскости при сосредоточенном взрыве с последующим расширением поршня, а об аналогии таких движений.
В такой постановке задача о гиперзвуковом обтекании тонких, затупленных впереди тел была сформулирована Г. Г. Черным (1957, 1958).
Кроме общей формулировки задачи, в этих работах были даны решения задач об обтекании затупленного тонкого клина и затупленного тонкого конуса и установлены параметры подобия, определяющие обтекание таких тел.
О методе решения этих задач будет сказано в дальнейшем при изложении вопроса об учете влияния высокоэнтропийного, слоя на обтекание тонких затупленных впереди тел.
Наиболее важным этапом в развитии приближенной теории гиперзвукового обтекания тонких затупленных тел, основанной на аналогии со взрывом, явилось установление соответствующего общего закона подо бия (Г. Г. Черный, 1959), т. е. выделение главных параметров, определяю щих поведение течения *).
Симметричному обтеканию профилей и тел вращения согласно аналогии со взрывом соответствует неустановившееся движение на плоскости, которое возникает, если в покоившемся первоначально газе с плотностью pt и давлением р* происходит взрыв с плотностью выделения энергии 应, сопровождаемый расширением поршня. В этом движении скорость газа и； его давление р и плотность р определяются параметрами рг, р^ у, Е、г, t и кинематическими постоянными 境工,...,風友,входящими в закон расширения поршня. Две из этих постоянных можно, не уменьшая общности^ принять за г0 и %* Параметры Е и р】можно заменить параметрами
Тогда в соотношениях
> =Р = Р1*Р，， Р = Р1Р'
безразмерные функции t/, рг и р‘ могут зависеть только от безразмерных комбинаций
Переходя в соответствии с аналогией этого течения и гиперзвукового обтекания тела к переменным, характеризующим такое обтекание, получаем следующий закон подобия.
При гиперзвуковом обтекании тонких, аффинно-подобных тел (длину тела считаем равной единице) с уравнением образующей Ф (г/т, £)= О и произвольной формой притупленного переднего конца (с малым характерным размером 砌 безразмерные величины
и и р р
имеют в соответственных точках (т. е. при равных r/t и £)одинаковые значения, если сохраняются значения параметров
?，k — Мт, 6 =e/"а (или 6 =2)•
При обтекании клина или круглого конуса закон расширения поршня определяется одной постоянной U = У tg(о с размерностью скорости. Система безразмерных определяющих параметров будет в этом случае следующей:
М tg(o.М tg(o.
М tg(o.
М tg(o.
Рис. 13. Распределения давления на затупленных конусах в переменных подобия.Рис. 13. Распределения давления на затупленных конусах в переменных подобия.
Рис. 13. Распределения давления на затупленных конусах в переменных подобия.
Рис. 13. Распределения давления на затупленных конусах в переменных подобия.
以 Rd
Если U = 0, т. е. если рассматривается обтекание затупленной пластины или продольное обтекание круглого цилиндра, то безразмерные •функции и/@, p/pi, p/pi зависят только от величин
/м" d 直мП
На рис. 13 представлены в параметрах подобия распределения давления при обтекании затупленных конусов, полученные при численном
решении задачи обтекания таких конусов *) для различных полууглов раствора конуса (о.
Детальное сопоставление результатов теории, основанной на аналогии со взрывом, с результатами более точных численных решений задач о гиперзвуковом обтекании тонких затупленных тел, а также с результатами экспериментов показало, что аналогия со взрывом правильно оценивает основные аэродинамические эффекты, воз- пикающие при малом затуплении переднего конца тонких тел. Эта теория позволила также
выделить в этом явлении наи
более существенные определяющие параметры, дав тем самым основу для разумного представления результатов теоретического и экспериментального исследования гиперзвукового обтекания тонких затупленных тел.
Вследствие того, что применимость аналогии со взрывом не могла быть оценена априори, теория, основанная на этой аналогии, в течение ряда лет была предметом оживленных дискуссий. В настоящее время общепризнано, что эта теория явилась важным и одним из наиболее эффективных разделов теоретической гиперзвуковой аэродинамики.
В количественном отношении при определении давления на поверхности тел теория не всегда дает достаточно точные результаты; естественно также, что теория в ряде случаев неправильно оценивает распределение скорости и энтропии вблизи поверхности тела. Эти дефекты теории обусловлены, как уже говорилось ранее, нарушением условий эквивалентности вблизи переднего затупленного конца тела.
Рис. 14. Форма тела вращения, соответствующего параболоидальной головной волне (7 ——головная волна г = ”2；г; 2 — поверхность тела по В. В. Сычеву).Рис. 14. Форма тела вращения, соответствующего параболоидальной головной волне (7 ——головная волна г = ”2；г; 2 — поверхность тела по В. В. Сычеву).В. В. Сычев (I960) рассмотрел задачу об обтекании гиперзвуковым потоком газа профилей и тел вращения, которым соответствует головной скачок со степенным уравнением образующей R& = С^-^. Если число Маха набегающего потока бесконечно велико, то согласно закону эквивалентности с нестационарным течением на плоскости такой форме скачка должно соответствовать тело с уравнением образующей Rw — При этом в случае, когда п—?—v/(v +2), отношение dС стремится к нулю, т. е. при фиксированной форме волны толщина тела стремится к нулю.
Рис. 14. Форма тела вращения, соответствующего параболоидальной головной волне (7 ——головная волна г = ”2；г; 2 — поверхность тела по В. В. Сычеву).
Рис. 14. Форма тела вращения, соответствующего параболоидальной головной волне (7 ——головная волна г = ”2；г; 2 — поверхность тела по В. В. Сычеву).
Из рассмотрения точных соотношений на головной волне В. В. Сычев получил следующие оценки для изменения функции тока 屮 и давления р поперек слоя с высокой энтро
пией вблизи поверхности тела на большом удалении от его переднего конца:
А” Ар г〜〜t.
Pw
Таким образом, для всех п, удовлетворяющих неравенству п> ——v/(v + 2), изменением давления и изменением функции тока поперек высокоэнтропийного слоя можно пренебречь, сохраняя ту же точность результата, что и в теории малых возмущений. Отсюда следует, что зависимость давления от функции тока, полученная на основе теории малых возмущений, будет справедливой всюду, кроме окрестности переднего конца тела.
Однако оценки толщины слоя с высокой энтропией показывают, что истинная толщина слоя с высокой энтропией может быть во много раз (по порядку величины в 1 + 2n/[yv (n +1)] раз) меньше толщины, определенной на основе закона плоских сечений. Таким образом, толщина тела, соответствующего заданному скачку степенной формы, может быть большей, чем это следует из теории малых возмущений. В частности, В. В. Сычев нашел форму тела (на некотором удалении от его переднего конца) для случая, когда скачок представляет собой параболоид вращения, т. е. V — 2, п = —й/2. Согласно закону плоских сечений этому случаю должно соответствовать тело нулевой толщины. В действительности же отношение RW!R^ радиуса тела к радиусу волны убывает медленно и даже на расстоянии от вершины волны, равном двадцати ее радиусам кривизны в вершине, это отношение равно примерно 0,6. Зависимость Rw/Rs от расстояния для этого случая изображена на рис. 14 (у —1,4)- Аналогичные оценки для случая у = 2,九 = ——0,35 (В. В. Сычев, 1962) показали, что в этом случае правильный учет слоя с высокой энтропией не дает заметного уточнения приближенного решения.
Для получения приближенного решения, равномерно аппроксимирующего точное решение вне и внутри слоя с высокой энтропией за скачками с образующей степенной формы, В. В. Сычев (1963) использовал метод Пуанкаре — Лайтхилла — Го.
Оценки и расчеты, аналогичные выполненным В. В. Сычевым, были опубликованы также в ряде зарубежных работ, из которых назовем работы С. К. Чжена (см. стр. 188), И. К. Якуры (в сборнике «Hypersonic flow research», Academic Press, 1962), Ж. П. Гиро и др. (в сборнике «Basic developments in fluid dynamics», v. 1, Academic Press, 1965).
Конечно, эти оценки не опровергают асимптотического характера теории, основанной на аналогии со взрывом, а лишь указывают на необходимость более отчетливой формулировки ее основных положений и на известную осторожность, которая необходима в ряде случаев при использовании ее результатов.
Нужно подчеркнуть (Г. Г. Черный, 1963), что теория относится лишь к таким телам, у которых всю поверхность можно разделить на малую переднюю притупленную часть, где углы между поверхностью и направлением набегающего потока порядка 1/2л, и остальную часть, где эти углы малы. Для таких тел область течения может быть разделена, как это делал В. В. Сычев, на «внутренний» слой, в котором плотность газа мала, и внешний возмущенный поток, в котором можно считать выполненным закон плоских сечений. Пренебрегая изменением давления поперек слоя и поперечной составляющей скорости в интеграле Бернулли по сравнению с продольной, найдем связь между координатой поверхности тела Rw и величинами на границе внутреннего слоя в виде
1 % 5旦
成=成=^cPc~ 1 ―7—C ——e Wc c J м(Рс) Pi
成=
成=
О
Если скачок вне высокоэнтропийного слоя имеет параболическую форму, то для описания потока вне этого слоя можно использовать решение задачи о взрыве.
Первое слагаемое в числителе выражения для 7?^ определяется этим решением и асимптотически стремится к константе. Если при вычислении второго слагаемого, которое зависит от формы скачка вблизи переднего конца тела, считать, как это делал В. В. Сычев (I960), что скачок и на этом участке параболический, то второе слагаемое асимптотически стремится к константе, не равной асимптотическому значению первого слагаемого. Так как при этом рс асимптотически меняется как %-2v/(*+2), то Rw 力2/〔(*+2)” — результат, следующий из работы В. В. Сычева (I960). Однако, меняя форму скачка в его головной части, мы тем самым можем менять асимптотическую форму тела и, в частности, можем даже, изменить его толщину по порядку величины, выбирая форму головной части скачка так, чтобы оба члена в числителе выражения для RZ асимптотически взаимно уничтожались. Таким образом, для нахождения течения, возникающего при Rw = const, достаточно ввести поправочные члены более высокого порядка к течению от взрыва. Фактические определение этих поправочных членов показывает, что асимптотическая форма ударной волны, соответствующей, например, обтеканию пластины толщиной @,
имеет вид (Ж. П. Гиро, см. ссылку на стр. 191)
*%（『）（孳尸*%（『）（孳尸{1 + %(?)。于(军)一5 f (Кп В)端 + …}
*%（『）（孳尸
*%（『）（孳尸
0
где Р — угол встречи ударной волны и набегающего потока.
Таким образом, выполненные исследования доказали асимптотический характер взрывной аналогии и позволили получить в простейших случаях следующие члены соответствующих асимптотических разложений. Влиянием этих членов и объясняются отступления от закона подобия при сравнении различных случаев расчета распределения давления и формы ударной волны, относящихся к одному и тому же набору критериев подобия (см.? например, рис. 13).
Тонкие тела под большими углами атаки. Еще одно важное обобщение закона подобия при гиперзвуковом обтекании тонких заострен- 〃一ных тел принадлежит В. В. Сычеву
/(I960).
При выводе закона плоских сече—нйй и закона подобия при гиперзву-
^^\^ковом обтекании тонких заостренных
V\впереди тел под малым углом атаки
\ \\используется то обстоятельство, что
\ \\в таких течениях возмущения скоро-
匕义css” \сти малы и возмущенная область со\ ^^ \средоточена вблизи поверхности тела.
\С увеличением угла атаки возмуще-
\ния перестают быть малыми и область
\\ возмущенного движения с подвет-
о ренной стороны расширяется. Тем не Рис. 15. Тонкое заостренное впереди менее можно обобщить результаты тело в гиперзвуковом потоке под баль- теории обтекания тонких заострен- шим углом атаки.ных тел и на случай больших углов
атаки, если все поперечные размеры тела имеют одинаковый порядок d и малы по сравнению с его длиной 厶 т. е. т = @/Z 《1. При этом по-прежнему считаем, что Мт 拄 1.
На стороне сжатия толщина слоя возмущенного движения имеет порядок толщины тела. На стороне разрежения область возмущенного движения простирается далеко от тела. При больших углах атаки, когда а》т, давление на наветренной стороне много больше, чем на подветренной, поэтому влияние на течение с наветренной стороны остальной части области возмущенного движения отсутствует. Если интересоваться только течением на стороне сжатия, то для этой области (рис. 15) можно ввести безразмерные координаты порядка единицы: 力=力厶 у = yd, z = zd.
Оценка порядков величин параметров течения из соотношений на скачке позволяет ввести безразмерные переменные
м=Рсо8а*м, v = V sin а*у? w~V sin a^w, p = p/Psin2 a •「， p = pm.
Преобразуя уравнения движения и граничные условия к новым переменным и пренебрегая величиной т2 по сравнению с единицей и с членами порядка т ctg а, получим приближенную систему соотношений, описывающих течение с наветренной стороны тела. Как и в теории малых возмущений, в этой системе соотношений компонента скорости и не входит
в уравнения для других переменных и может быть найдена после нахождения остальных величин с помощью интеграла Бернулли.
Если в упрощенных уравнениях заменить независимую переменную х переменной t по соотношению х Vt cos а, то эти уравнения и соответствующие граничные условия переходят в уравнения нестационарного движения в плоскости, нормальной к оси х и движущейся вдоль нее со скоростью V cos а. Таким образом, и в этом случае можно говорить о законе плоских сечений: перемещения частиц, вызываемые движущимся телом, происходят (с наветренной стороны) в плоскостях, нормальных к оси тела.
Из установленного свойства течений и из приближенных уравнений вытекает соответствующий закон подобия: течения около двух аффинноподобных тел подобны, если для них имеют одинаковые значения следующие критерии подобия:
А: = М sin а,б, = т ctg а.
На основе этого закона можно написать выражение, например, для коэффициента поперечной силы'
Cn = 2/2р]Р2 或 ~ sin? a’N (6，'с, ?)•
На рис. 16 приведены в переменных подобия данные о коэффициентах нормальной силы, действующей на треугольные крылья малого размаха
Рис. 16. Коэффициент нормальной силы для тонких конусов при больших углах атаки в переменных подобия.
и на тонкие конусы в гиперзвуковом потоке (у = 5/3); совпадение резуль-, татов для разных случаев обтекания весьма удовлетворительное.
При очень больших углах атаки (а》т) в дополнение к членам О (т2) можно пренебречь членами О (1/(М2 sin2 а)). В этом случае решение перестает зависеть от числа Маха набегающего потока, так что предельное состояние, соответствующее М = 8, наступает для тонкие тел, установленных под большим углом атаки, много раньше, чем в случае малых углов атаки.
13 Механика в СССР, том 2
При а》т параметр подобия 6,=工 ctg а становится малым и можно воспользоваться разложением решения по степеням кс, В частности, для коэффициента нормальной силы получим выражение
С n — sin? а * (С ng + С Nik)、
в котором CN0 и CN1 зависят только от формы тела (и от у). ■
Отметим еще, что при достаточно больших углах атаки (tg а》1> малое притупление переднего конца тела будет, очевидно, оказывать лишь, местное влияние на течение вблизи затупления и при определении интегральных характеристик обтекания этим влиянием можно пренебречь.
Теория сильно уплотненного (ударного) слоя. Существенный прогресс в развитии теории гиперзвукового обтекания тел и вообще- в теории движений газа с сильными ударными волнами связан с осознанием того обстоятельства, что во многих случаях течение газа за сильной ударной волной имеет характер течения в пограничном слое, т. е. масштаб- области основного изменения параметров течения в направлении по нормали к волне много меньше характерного размера вдоль волны (например, меньшего из ее радиусов кривизны). Это свойство течений за сильными ударными волнами обусловлено тем, что газ при прохождении его череа такую волну подвергается сильному уплотнению； с математической точки зрения это значит, что в задаче появляется малый параметр — характерное значение отношения плотности газа перед волной к плотности газа за ней ——и имеется возможность использовать для изучения течения за ударной волной асимптотические методы.
Основная идея метода была изложена Г. Г. Черным (1956) применительно к гиперзвуковому стационарному обтеканию профилей и тел вращения и к одномерным йестационарным течениям газа, которые в силу закона плоских сечений также могут служить для приближенного описания гиперзвукового обтекания тел. Теория сильно уплотненного пограничного слоя, называемая также рядом авторов теорией ударного слоя, за десятилетие, прошедшее со времени опубликования посвященных ей первых работ, интенсивно развевалась и явилась основным средством аналитического исследования и источником получения результатов о гиперзвуковых течениях невязкого газа около тел.
За рубежом первые работы по теории ударного слоя были опубликованы Н. К. Фриманом (J, Fluid Meeh., 1956, 1 : 4, 366—387), У, Д. Хейзом (см. книгу У. Д. Хейза и Р. Ф. Пробстейна, упомянутую на стр, 175), В. Честером (J. Fluid Meeh., 1956, 1 : 4, 353—365 и 1 : 5, 490—496) и другими авторами.
Рассмотрим основную идею метода на примере решения задачи об одномерном неустановившемся движении газа за ударной волной, распространяющейся заданным образом по покоящемуся газу.
Будем считать, что решение уравнений движения
3R — 1 ®R — nv—1 др д р —°
dm —p/jv—1 ' » — dm、 小看 p?—
зависит от малого параметра е, равного характерному значению отношения начальной плотности газа к плотности газа за волной, и представим это решение в виде
R =凡 + £区1 + * …，Р = Ро + £Pi + * Р = —- 4~ Pi + • • •
Последовательные члены этих рядов находятся посредством квадратур, причем входящие в них произвольные функции могут быть определены из условий на волне через заданную функцию Ro ⑴，описывающую закон
распространения волны. Если (для совершенного газа с постоянными теплоемкостями) за малый параметр е принять величину (丫 一 1)/(? + 1)， то первые члены рядов пр едставятся формулами
т,т,РоРо廟廟包包Pi = (u —1)"^ р『毕［簣+NPi = (u —1)"^ р『毕［簣+N娱⑴娱⑴禽(т)禽(т)4 , 2a。2' .2С。｛ I丿4 , 2a。2' .2С。｛ I丿^m^mЕсли задан закон движения поршня Rw (t), то функция Ro (т) выражается в первом приближении через Rw (т) следующим образом:凡一e^i (0, t) = Rw^Если задан закон движения поршня Rw (t), то функция Ro (т) выражается в первом приближении через Rw (т) следующим образом:凡一e^i (0, t) = Rw^или в явном видеили в явном виде11凡=Rw 1凡=Rw 1e福e福тт2 加22 加222
т,
т,
Ро
Ро
廟
廟
包
包
Pi = (u —1)"^ р『毕［簣+N
Pi = (u —1)"^ р『毕［簣+N
娱⑴
娱⑴
禽(т)
禽(т)
4 , 2a。2' .2
С。｛ I丿
4 , 2a。2' .2
С。｛ I丿
^m
^m
Если задан закон движения поршня Rw (t), то функция Ro (т) выражается в первом приближении через Rw (т) следующим образом:
凡一e^i (0, t) = Rw^
Если задан закон движения поршня Rw (t), то функция Ro (т) выражается в первом приближении через Rw (т) следующим образом:
凡一e^i (0, t) = Rw^
или в явном виде
или в явном виде
1
1
凡=Rw 1
凡=Rw 1
e
福
e
福
т
т
2 加2
2 加2
2
2
Выписанные формулыВыписанные формулыдают вдают вление решения задачи о поршне, при малых значениях е. Для случая, когда поршень расширяется по степенному закону с показателем п? на рис. 17 показано сравнение полученного по этим формулам решения для давления с точным численным решением (у = 1,4).Аналогичным образом были получены (Г. Г. Черный, 1956) в явном виде асимптотические формулы, дающие решение задач о стационарном обтекании профилей и тел вращения с присоединенным скачком уплотнения. Для этих случаев Г, Г. Черным (1959) приведены примеры решения ряда задач.Трудности исследования течений с отсоединенной головной вол-ление решения задачи о поршне, при малых значениях е. Для случая, когда поршень расширяется по степенному закону с показателем п? на рис. 17 показано сравнение полученного по этим формулам решения для давления с точным численным решением (у = 1,4).Аналогичным образом были получены (Г. Г. Черный, 1956) в явном виде асимптотические формулы, дающие решение задач о стационарном обтекании профилей и тел вращения с присоединенным скачком уплотнения. Для этих случаев Г, Г. Черным (1959) приведены примеры решения ряда задач.Трудности исследования течений с отсоединенной головной вол-явном виде асимптотическое представ-явном виде асимптотическое представ-Рис. 17. Отношение давления на поршне к давлению за ударной волной при расширении поршня по степенному закону (сравнение кривой приближенного решения с данными точных расчетов).Рис. 17. Отношение давления на поршне к давлению за ударной волной при расширении поршня по степенному закону (сравнение кривой приближенного решения с данными точных расчетов).ной связаны с тем обстоятельством, что вблизи передней критическойной связаны с тем обстоятельством, что вблизи передней критическойточки тела зависимость решения от еточки тела зависимость решения от еимеет неаналитический характер.13*имеет неаналитический характер.13*
Выписанные формулы
Выписанные формулы
дают в
дают в
ление решения задачи о поршне, при малых значениях е. Для случая, когда поршень расширяется по степенному закону с показателем п? на рис. 17 показано сравнение полученного по этим формулам решения для давления с точным численным решением (у = 1,4).
Аналогичным образом были получены (Г. Г. Черный, 1956) в явном виде асимптотические формулы, дающие решение задач о стационарном обтекании профилей и тел вращения с присоединенным скачком уплотнения. Для этих случаев Г, Г. Черным (1959) приведены примеры решения ряда задач.
Трудности исследования течений с отсоединенной головной вол-
ление решения задачи о поршне, при малых значениях е. Для случая, когда поршень расширяется по степенному закону с показателем п? на рис. 17 показано сравнение полученного по этим формулам решения для давления с точным численным решением (у = 1,4).
Аналогичным образом были получены (Г. Г. Черный, 1956) в явном виде асимптотические формулы, дающие решение задач о стационарном обтекании профилей и тел вращения с присоединенным скачком уплотнения. Для этих случаев Г, Г. Черным (1959) приведены примеры решения ряда задач.
Трудности исследования течений с отсоединенной головной вол-
явном виде асимптотическое представ-
явном виде асимптотическое представ-
Рис. 17. Отношение давления на поршне к давлению за ударной волной при расширении поршня по степенному закону (сравнение кривой приближенного решения с данными точных расчетов).
Рис. 17. Отношение давления на поршне к давлению за ударной волной при расширении поршня по степенному закону (сравнение кривой приближенного решения с данными точных расчетов).
ной связаны с тем обстоятельством, что вблизи передней критической
ной связаны с тем обстоятельством, что вблизи передней критической
точки тела зависимость решения от е
точки тела зависимость решения от е
имеет неаналитический характер.
13*
имеет неаналитический характер.
13*
Выяснению характера зависимости от е решения в этой области посвящено много работ, главным образом зарубежных авторов, начиная с цитировавшихся уже работ Н. К. Фримана и В. Честера (см. стр, 194). Наиболее полное исследование течения вблизи переднего конца тела дано в статье Б. М. Булаха (1964), а также в упоминавшейся уже книге У. Д. Хейза и Р. Ф. Пробстейна (см. стр. 175).
Б. М. Булах разбил область течения вблизи переднего конца тела в плоскости (力，屮)на три подобласти: окрестность поверхности тела, окрестность скачка уплотнения вблизи оси симметрии течения и остальную часть течения. Во всех этих подобластях решение ищется по степеням е1/2, но с разными независимыми переменными в каждой из областей. Полное решение задачи получается путем сопряжения этих трех решений, которые представляются в элементарном, хотя и громоздком виде. В частности, для расстояния А отхода волны от поверхности тела на оси симметрии Булах получил формулу
гдегде489 +10986 +10(1+26)国国489 +10986 +10(1+26)国国+。（£2,+。（£2,宀，宀，
где
где
489 +10986 +10(1+26)国国
489 +10986 +10(1+26)国国
+。（£2,
+。（£2,
宀，
宀，
凡 一 радиус кривизны тела в критической точке, штрихами у 凡 обозначены производные вдоль контура тела, Булах получил также в явном виде уравнение звуковой линии.
Аналитичность решения по 8 может нарушаться и в том случае, когда кривизна тела убывает недостаточно быстро по мере удаления вдоль его контура от передней Тоики. Возникающая здесь особенность изучена в ряде работ, изложение которых дано в той же книге У. Д. Хейза и Р. Ф, Пробстейна. •
Для некоторых важных случаев течений метод ударного слоя позволяет получить простые расчетное формулы. Так, для симметричного обтекания круглого конуса (v = 2) расчетные формулы в первом приближении столь же просты, как и в случае обтекания клина (при у = 1, т, е. для клина, эти формулы являются точными):
tgs = tg%工石：2 ^ = ^ (sin2p-^)+^-g-sin2p,
y + 1 十(7+1) m2 sin2 p ,
На рис. 18 приведены значения tg §/tg(o в зависимости от M sin(о для разных углов конуса, вычисленные по этим формулам, а также взятые из таблиц точного численного решения этой задачи (у = 1,4); совпадение результатов весьма хорошее.
Метод ударного слоя без существенных усложнений применим и к случаю термодинамически равновесных течений несовершенного газа, как это было показано Г. Г. Черным, Г. А, Любимовым (1959), а также рядом зарубежных авторов (см. книгу У. Д. Хейза и Р. Ф, Пробстейна).
Обобщение метода ударного слоя на случай конического течения
Рис. 18. Зависимость угла скачка уплотнения 0 от полуугла со обтекаемого конуса и числа Маха набегающего потока (1 — предельная кривая для очень тонких конусов kjk — = 3/1/2 (у + 1) + 1/而2； 2 ——по приближенной формуле; точные численные расчеты: а — со = 30°, 6 ——со = 20°, е ——со = 10°, а — з = 5°).
а — q； 2 — &).а — q； 2 — &).
а — q； 2 — &).
а — q； 2 — &).
При этом он ввел в качестве одной из независимых переменных функцию тока на единичной сфере; такая система переменных оказалась весьма удоб
ной при исследовании конических течений и в дальнейшем использовалась
рядом авторов. Гонор получил решения задач об обтекании круглого конуса под углом атаки, конуса эллиптического сечения и треугольного крыла при углах атаки, при которых скачок уплотнения присоединен к кромкам крыла. На рис. 19 дано сравнение решения Гонора (сплошные линии) для коэффициентов сопр отивления и подъемной силы крыла с экспериментальными данными (кружки и треугольники) и с результатами линейной теории (штрих-пунктир). В дальнейшем исследования по обтеканию конических тел были развиты за рубежом П. Лавалем (Rech, aeronaut.,
1959, № 73, 5—16; Rech, aerospatiale, 1963, № 97, 11—21), Ж. П. Гиро (там же, 1959, № 71, 11—28), Р. Э. Мельником и Р, А. Шеингом (в сб.: Hypersonic flow research, Academic Press, 1962) и др., а в СССР — Б, М. Булахом (1962), Я, Г. Сапунковым (1963, 1964). В работах А. Л. Гонора
решение было построено без учета возможного наличия вблизи поверхности конических тел тонкого слоя с большим поперечным градиентом энтропии. Толщина этого слоя имеет порядок exp (1/&). В связи с этим в последующих работах коническое течение разбивалось на две области: внешнее течение и энтропийный слой Я. Г. Сапункову (1964) удалось для круглого конуса под углом атаки получить единые выражения для параметров газа, равномерно аппроксимирующие решение всюду между поверхностью ударной волны и поверхностью конуса,
Г. И. Майкапар (1958) получил уравнения движения газа в бесконечно уплотненном слое при обтекании произвольной искривленной поверхности и дал выражение для давления, действующего на поверхность при таких условиях. За рубежом теория обтекания трехмерных тел гиперзвуковым потоком в предположении сильного уплотнения газа при прохождении им ударной волны развивалась У. Д. Хейзом (Ргос, 1st Intern. Congr. Aeronaut. Sci. (1958), 1959), Ж. П. Гиро (С. г. Acad. sci.? 1958, 247 : 9, 736—738; см. также ссылку на стр. 197), Н. К. Фриманом (1958).
С. С. Григорян и У Ван-и (I960) получили формулы для расчета обтекания заостренных осесимметричных тел под малым углом атаки.
Использование интегральных соотношений в задаче обтекания притупленных впереди тел. Теория ударного слоя сыграла важную роль в выяснении качественных особенностей гиперзвукового обтекания тонких тел с затупленным передним концом и в получении первых решений неавтомодельных задач об обтекании таких тел.
Прежде чем описать эти решения, остановимся на изложении приближенного метода интегральных соотношений, получившего значительное распространение при изучении гиперзвукового обтекания тонких тел и при решении других задач о течениях газа за сильными ударными волнами.
Рассмотрим движение в газе тела вращения или профиля со скоростью V. Выделив в пространстве слой единичной ширины, перпендикулярный к направлению движения тела, применим к объему газа, заключенному внутри этого слоя и ограниченному поверхностью тела и поверхностью ударной волны, законы сохранения массы, импульса и энергии. Для уравнения энергии, например, получим
E + K± = Eo + D+ ］р^ + р。］［一勺乎宀
Здесь Е — внутренняя энергия газа, Ео — ее начальное значение, К^ — кинетическая энергия газа, соответствующая поперечной составляющей скорости, D — работа, совершенная передним концом тела (до момента времени 幻，и и — продольная составляющая скорости в системе координат, связанной с телом. Если отбросить второй интеграл, в правой части, то это соотношение примет точно такой же вид, как и в случае нестационарного движения, возникающего при выделении энергии D и последующем расширении поршня. При выполнении закона плоских сечений последний интеграл равен нулю автоматически.
Аналогичным образом записываются уравнение импульсов и уравнение сохранения массы.
Полученные интегральные соотношения можно использовать для приближенного определения решения, аппроксимируя искомые функции некоторыми выражениями, содержащими параметры, и определяя эти параметры из интегральных соотношений.
Для случая, когда выполняется закон плоских сечений, т. е. для гиперзвукового обтекания тонких заостренных тел, Г. Г. Черный (I960, 1961), рассмотрел ряд вариантов метода интегральных соотношений. На рис. 20 показано сравнение результатов точных численных решений задачи обтекания тел степенной формы (расширения поршня по степенному закону) с результатами, полученными с помощью одного из простых методов интегральных соотношений (у = 1,4; е = % )• В этом методе распределения параметров за волной определяются по теории ударного слоя
Рис. 20. Решение задачи о расширении поршня методом интегральных соотношений.Рис. 20. Решение задачи о расширении поршня методом интегральных соотношений.течений разной размерности, хорошотечений разной размерности, хорошов зависимости от закона распространения волны, который б свою очередь находится из закона сохранения энергии в интегральной форме. Интересным результатом этого решения, а также решения задачи о взрыве явилось то, что отношение.объема внутри ударной волны к объему поршня, а также отношение давления газа на поршне к давлению за ударной волной суть функции одного только параметра n/[v (п + 1)], а не каждого из параметров п и v в отдельности. Этим устанавливается приближенное подобие
Рис. 20. Решение задачи о расширении поршня методом интегральных соотношений.
Рис. 20. Решение задачи о расширении поршня методом интегральных соотношений.
течений разной размерности, хорошо
течений разной размерности, хорошо
подтверждающееся сравнением с точными расчетами.
Метод интегральных соотношений в изложенной форме может быть применен и к расчету гиперзвуковых течений около тонких тел с малым затуплением переднего конца. Как уже говорилось, при обтекании таких тел вблизи поверхности тела образуется слой с высокой энтропией и малой плотйостью газа. В этом слое нарушается закон плоских сечений и тем
■самым нарушается предположение, приводящее к эквивалентности задачи обтекания и задачи нестационарного движения газа на плоскости. Однако при использовании описанного метода интегральных соотношений теми членами в них, которые связаны с наличием продольного движения газа в пространстве, можно пренебречь, так как они малы вследствие мадой мае- ©ы газа, протекающего в высокоэнтропийном слое. Внутреннюю же энергию газа, текущего в этом слое, нужно учитывать, так как толщина слоя ве мала. В этих предположениях Г. Г. Черный (1957) дал первые теоретические решения задач о неавтомодельном обтекании тел, рассмотрев обтекание тонкого клина и тонкого конуса с малым затуплением переднего конца. При решении этих задач, как уже говорилось ранее, были установлены законы подобия гиперзвукового обтекания затупленных клиньев и конусов. Было также установлено важное качественное отличие обтекания затупленных профилей и затупленных тел вращения. При обтекании профиля крыла малое затупление его кромки повышает давление на значительной части профиля, так что его сопротивление больше суммы сопро- тавления заостренного профиля и затупления. При обтекании тела вращения малое затупление переднего конца понижает давление на большом участке поверхности тела, так что его сопротивление меньше суммы сопротивления заостренного профиля и затупления. Более того; согласно при- ■6лишенной теории сопротивление очень тонкого затупленного конуса может быть даже несколько меньше сопротивления одного только острого
конуса. Результаты точного численного решения задачи при малых углах конуса не опровергают это утверждение.
На рис. 21 приведены в переменных подобия распределение давления на тонком затупленном клине и форма скачка уплотнения (Mg = 8, Y = 1,4), полученные Г. Г. Черным (1957).
В. В. Лунев (1959, 1964) и В. В. Лунев, И. Н. Мурзинов и О. Н. Оста
пович (I960) дали ряд обобщений и уточнений решения задачи об обтекании
а)〃
Рис. 21. Гиперзвуковое обтекание тонкого затупленного клина (а ——головная волна; 6 — сопротивление затупленного клина; пунктиром указана сумма отдельно взятых сопротивления затупления и боковой поверхности острого клина).
обтекания. Эти обобщения учитывают термодинамическое несовершенство газа, выясняют условия подобий в высокоэнтропийном слое, распространяют решение на случай отличных от нуля углов атаки.
Из решений Г. Г. Черного (1957) следуют как частные случаи решения задач о симметричном обтекании пластины с тупой передней кромкой: и длинного цилиндра с торцом, обращенным навстречу потоку. В. И. Хо- лявко (1962) этим же методом решил задачу для пластины под углом атаки.
В методе интегральных соотношений Г. Г. Черного (1957) параметром, характеризующим зависимость решения в движениях с плоскими, цилиндрическими (и сферическими) волнами от формы поперечного сечения тела (поршня), является площадь этого сечения. Это обстоятельство наталкивает на мысль предположить, что и в более общем случае площадь сечения： тела является основным определяющим параметром.
М. Д. Ладыженский (1961) рассмотрел тонкие трехмерные тела, имеющие осесимметричную и симметрично обтекаемую головную часть. Если такое тело целиком находится внутри высокоэнтропийного слоя, то согласно Ладыженскому можно пренебречь изменением давления в каждом сечении этого слоя и считать слой сжатого газа вблизи ударной волны осесимметричным. Таким образом, получаем гиперзвуковое правило площадейг согласно которому распределения давления по длине двух тел и форма скачка будут одинаковы, если сопротивление затупленных головных частей; обоих тел одинаково, если оба тела имеют одинаковые распределения площади поперечного сечения по длине и если тела целиком лежат внутри волны, идущей от головной части тела.
В дальнейших работах М. Д. Ладыженский (1961) распространил правило площадей на случай, когда тела могут иметь части, выступающие за пределы головной волны, вызванной затупленным передним концом тела, и уточнил это правило, приняв во внимание конечную толщину сильно сжатого слоя за ударной волной вне энтропийного слоя.
Правило площадей, очевидно, легко скомбинировать с законом подобия гиперзвукового обтекания тонких затупленных впереди тел.
Хотя модель потока около затупленного тела, состоящего,из весьма сильно уплотненного тонкого (в пределе беско耳ечно тонкого) слоя газа
за ударной волной и толстого высокоэнтропийного слоя с малой 15 плотностью (в пределе с нулевой плотностью) вблизи поверхности тела, является, конечно, довольно грубой, она позволила получить важные результаты качественного, % а в некоторых случаях и количественного характера.
На рис. 22 в переменных подобия иллюстрируется выполнение правила площадей для тел разного поперечного сечения (М = 18, Y = %)：
Находящееся внутри высокоэнтропийного слоя тело расположено как бы внутри каверны, окруженной слоем плотного газа. Таким образом, можно ожидать, что при наличии угла атаки зависимость поперечной силы от угла атаки будет слабой при малых его значениях и будет резко воз-
0&5步犷0&5步犷Рис. 22. Сопротивление тонких притупленных конусов с различным поперечные сечением в переменных подобия.Рис. 22. Сопротивление тонких притупленных конусов с различным поперечные сечением в переменных подобия.растать при соприкосновении заднего конца тела со слоем плотного газа на границе каверны. Это поведение качественно подтверждается экспериментами и результатами более точных расчетов.
0&5步犷
0&5步犷
Рис. 22. Сопротивление тонких притупленных конусов с различным поперечные сечением в переменных подобия.
Рис. 22. Сопротивление тонких притупленных конусов с различным поперечные сечением в переменных подобия.
А. Богачева и М. Д. Ладыженский (1962), основываясь на.работе М. Д. Ладыженского (1961), рассчитали обтекание тонких затупленных конусов эллиптического сечения в случае, когда кромки тела могут выхо* дить за пределы скачка, идущего от головного затупления.
В. Лунев (1965) решил задачу гиперзвукового обтекания треугольной пластины с притупленными кромками без угла атаки. Для получения результатов качественного характера и в обозримом виде Лунев принял простейшую двухслойную модель течения и использовал в расчетах метод интегральных соотношений. Для области, достаточно удаленной от передней кромки крыла, им найдены распределение давления по крылу, толщина высокоэнтропийного слоя и распределение средней скорости в нем/ В частности, вблизи плоскости симметрии крыла обнаружена область значительного понижения давления, которая наблюдается и в экспери
ментах.
7. Вариационные задачи гиперзвукового обтекания тел. Обратимся теперь к вариационным задачам гиперзвукового обтекания тел. Как уже говорилось ранее, кроме точной постановки этих задач, относящейся к любым сверхзвуковым скоростям, при гиперзвуковом обтекании тел
возможна иная, приближенная постановка, связанная с тем, что в предельном случае бесконечно сжатого ударного слоя давление на поверхности тела может быть выражено в явном виде через геометрические характеристики поверхности.
В случае двумерных течений газа такая формула была получена А. Буземаном еще в 1934 г. (см. ссылку на стр. 182), а для трехмерных течений —— У. Д. Хейзом, Ж. П, Гиро (см. ссылки на стр. 198) и Г. И. Майкапаром (1958). Более простой формулой для давления при гиперзвуковой скорости является формула Ньютона, согласно которой давление на элемент поверхности лобовой части тела пропорционально квадрату синуса угла встречи этого элемента с набегающим потоком. Формула Ньютона в применении к гиперзвуковым течениям газа имеет, по существу, эмпирический характер, но довольно хорошо оправдывается для широкого класса выпуклых тел с медленно меняющейся кривизной поверхности. Решение двумерных экстремальных задач аэродинамики с использованием формулы Ньютона не представляет значительных трудностей. Г. Л. Гродзовский (1957) дал ряд примеров использования этой формулы для решения экстремальных задач гиперзвуковой аэродинамики.
Более сложным является вопрос об определении тела минимального сопротивления при использовании формулы Буземана. А. Л. Гонор и Г. Г. Черный (1957) выразили сопротивление тела в виде интеграла
Рис. 23. Тела вращения наименьшего сопротивления в гицерзву- ковом потоке при законе давления Буземана (а — форма тел;6 — коэффициент сопротивления таких тел).Рис. 23. Тела вращения наименьшего сопротивления в гицерзву- ковом потоке при законе давления Буземана (а — форма тел;6 — коэффициент сопротивления таких тел).
Рис. 23. Тела вращения наименьшего сопротивления в гицерзву- ковом потоке при законе давления Буземана (а — форма тел;
6 — коэффициент сопротивления таких тел).
Рис. 23. Тела вращения наименьшего сопротивления в гицерзву- ковом потоке при законе давления Буземана (а — форма тел;
6 — коэффициент сопротивления таких тел).
ют функции, определяющей форму тела, и нашли экстремали соответствую' щего уравнения Эйлера, дающие форму тела минимального сопротивления. У. Д. Хейз (см. ссылку на стр. 198) указал, что это тело действительно является телом наименьшего сопротивления лишь при условии, что дви* жущийся вдоль тела слой бесконечно плотного газа поворачивается у заднего сечения тела до направления набегающего потока, что связано с возникновением в этом сечении бесконечных отрицательных давлений. Хейз сформулировал задачу о теле минимального сопротивления при условии неотрицательности давления на всем контуре и нашел ее решение (не вполне строгое) для плоского контура, оказавшегося состоящим из прямолинейного участка, сопровождаемого искривленным участком, яа котором давление равно нулю. А. Л. Гонор (I960) дал точное решение этой задачи для плоского и осесимметричного течений. На рис. 23 из статьи Г. Г. Черного и А. Л. Гонора (1965) приведены контуры оптимальных тел
вращения, а также коэффициенты сопротивления оптимальных тел по формулам Ньютона и Буземана.
Известно, что в сверхзвуковом потоке сопротивление тел некругового поперечного сечения, заполняющих определенную часть данного конечного объема, может быть меньше сопротивления соответствующего тела
вращения.
Об этом, в частности, свидетельствуют приведенные выше примеры пирамидальных тел, построенных Г. И. Майкапаром и А. Л. Гонором.
Поэтому имеет смысл постановка следующей вариационной задачи: найти коническое тело наимейьшего сопротивления ,вписанное в данный круговой конус и заполняющее определенную часть объема этого конуса (или такое, что его поверхность лежит между двумя соосными круговыми конусами). Можно ввести и более общий класс тел, имеющих подобные поперечные сечения с центром подобия на одной оси. Точное решение этой задачи весьма трудно и не получено. Постановка этой задачи при исполь-
зовании формулы была дана А. Л. и ее решение в работах А. Л. Г. Г. Черного
Рис. 24. Поперечное сечение тел наименьшего сопротивления в гиперзвуковом потоке при законе давления Ньютона.Рис. 24. Поперечное сечение тел наименьшего сопротивления в гиперзвуковом потоке при законе давления Ньютона.Ньютона Гонором, изложено Гонора и (1962) иНьютона Гонором, изложено Гонора и (1962) иА. Л. Гонора (1963). Найденные тела имеют звездообразйое попереч
Рис. 24. Поперечное сечение тел наименьшего сопротивления в гиперзвуковом потоке при законе давления Ньютона.
Рис. 24. Поперечное сечение тел наименьшего сопротивления в гиперзвуковом потоке при законе давления Ньютона.
Ньютона Гонором, изложено Гонора и (1962) и
Ньютона Гонором, изложено Гонора и (1962) и
ное сечение. На рис. 24 показана форма поперечного сечения для двух
таких тел.
Решение А. Л. Гонора (1963) не учитывало появления (в рамках теории Ньютона) сосредоточенных сил в угловых точках на вогнутых участках контура поперечного сечения тела. Сама возможность использования формулы Ньютона для расчета сопротивления тел полученной формы требовала подтверждения. По этому вопросу имела место дискуссия, результаты которой подведены Г. Г. Черным (1964). Выше уже говорилось, что А. Л. Гонор (1966) построил точные решения длй тел звездообразного сечения, обтекание которых в пределе при бесконечном уплотнении газа в ударном слое переходит в схему Ньютона с сосредоточенными силами в вогнутых острых углах. ,
Тела звездообразного сечения или V-образные крылья, образованные участком поверхности такого тела и меридианными сечениями, проходящими через два смежных ребра тела, могут иметь существенно меаьшее сопротивление, чем эквивалентные тела вращения или крылья с плоской срединной поверхностью ).
§ 9. Течения в соплах и в струях
Наряду с широкими исследованиями сверхзвуковых течений газа, связанными с задачей сверхзвукового обтекания тел, значительное число работ посвящено специфическим задачам о сверхзвуковых течениях газа во внутренних каналах газовых машин, в соплах и в струях.
Выше уже упоминались некоторые работы по изучению сверхзвуковых течений в решетках, связанные с задачей о сверхзвуковом течении газа в ступени компрессора.
Большой объем работ был выполнен по расчету сверхзвуковых течений в плоских и осесимметричных соплах, имеющих плоскую поверхность- перехода от дозвуковой скорости к сверхзвуковой. О. Н. Кацкова и Ю. Д. Шмыглевский (1957) рассчитали осесимметричное течение, возникающее при расширении газа от плоской поверхности перехода в вакуум. Решение в малой окрестности поверхности перехода строилось ими в вида рядов, в остальной части течения для его расчета использовался численный метод характеристик. Подробные результаты этих расчетов приведены： в работе упомянутых авторов (1962). Найденные поля течений могут быть- использованы непосредственно для построения сопел с неравномерным потоком в выходном сечении либо в качестве промежуточного участка между поверхностью перехода и «спрямляющим» течением, приводящим к равномерному распределению параметров газа при выходе его иа сопла. Разработанные в ряде работ О. Н. Кацковой, А. Н. Крайко к У. Г. Пирумора методы позволяют рассчитывать течения в плоских, круглых, кольцевых соплах с учетом термодинамического несовершенства газа, неравновесного характера течения, а также при наличии в газа частиц конденсированной фазы (А. Н. Крайко, Л. Е. Стернин).
Одновременно с постановкой вариационных задач о нахождении внешних обводов тела, обеспечивающих минимальное сопротивление, получили развитие исследования по определению формы сопел, дающих наибольшую тягу при некоторых заданных ограничениях. По постановка и по методам обе эти группы задач близки между собой.
Основные результаты в строгой теории нахождения оптимальной формы сопел принадлежат Ю. Д. Шмыглевскому, изложившему их в монографии (1963), Л. Е. Стернину (1958) и А. Н. Крайко (1963). За рубежом существенные результаты в этом направлении были получены Г. Гудер- леем и Э. Ханчем (Z. Flugwiss., 1955, 3 : 9, 305—313), Г. В. Рао (Jet Propulsion, 1958, 28 : 6, 377—382), Г. Гудерлеем и Дж. В. Армитеджем (см. ссылку на стр. 180).
Интересные результаты общего характера в теории гиперзвуковых течений газа, нашедшйе применение при исследовании течений в соплах и струях, были получены М. Д. Ладыженским (I960, 1962), который вывел упрощенную систему уравнений установившегося изоэнергетического гиперзвукового течения, пренебрегая местным значением величины 1/М2 по сравнению с единицей. Из этих уравнений, как частный случай при малом изменении направления скорости в поле течения, следуют уравнения теории гиперзвукового обтекания тонких тел. В общем случае Ладыженский рассмотрел задачу Коши для полученной им системы уравнений и показал, что при соблюдении некоторых условий область определения решения по начальным данным, заданным на конечном отрезке, становится бесконечной. При этом асимптотически течение стремится к течению от плоского или осесимметричного источника, но с переменной (в общем случае) интенсивностью от луча к лучу.
А. А. Никольский (1962) использовал полученные Л. И. Седовым (см. его монографию «Методы подобия и размерности в механике») решения задач об одномерных неустановившихся течениях при разлете и пульсациях газовых масс для построения изэнтропических стационарных гиперзвуковых течений газа в соплах и диффузорах. М. Д. Ладыженский (1965) рассмотрел в более общей постановке гиперзвуковые течения газа R плоских или осесимметричных расширяющихся соплах, контур стенки которых близок к параболе А>й степени. Им выяснены условия отрыва потока от стенки достаточно быстро расширяющегося сопла и условия •образования в сопле скачков уплотнения, а также показано, в частности, что наиболее быстрый разгон газа в сопле при гиперзвуковых скоростях осуществляется в течении от источника.
Ряд теоретических исследований посвящен задаче о струе газа, воз- ййкающей при выходе сверхзвукового потока из сопла в пространство, занятое неподвижным газом, или в спутный поток. Большая часть этих исследований связана с рассмотрением плоской однородной струи, выходящей в пространство с пониженным давлением.
Г. А. Домбровский (I960) в рамках своей приближенной теории (см. выше) дал решение задачи о течении в такой струе вплоть до места образования предельных линий. Одновременно В. А. Смирнов (I960) решил эту же задачу для гиперзвуковой струи, не усмотрев, однако, специфической для гиперзвуковой скорости возможности ухода в бесконечность крайних характеристик веера волн разрежения, образующихся у среза сопла, что качественно меняет картину течения. Сам факт неизбежного появления предельных линий в струе, т. е. невозможность потенциального непрерывного течения, был указан С. И. Похожаевым (1958). За рубежом этому вопросу были посвящены работы Д. С- Пека (Quart. J. Meeh, and Appl. Math., 1948, 1 : 1, 1—17), Дж. Дж. Махони и Р. Э. Мейера 《Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1956, A248 : 952, 467—515).
Г. А. Домбровский (1964) рассмотрел также сверхзвуковое истечение газа из симметричного расширяющегося сопла в случаях, когда давление выходящего газа у края сопла равно или больше давления в окружающем пространстве. В последнем случае им, в частности, установлено возникновение скачка уплотнения в области, начинающейся у края сопла непосредственно за идущей от этого края центрированной волной разрежения.
Многие другие теоретические исследования, посвященные задачам о струе, возникающей при выходе сверхзвукового потока из сопла в спутный поток или в пространство, занятое неподвижным газом, задачам о натекании сверхзвуковых струй на твердые преграды или о столкновении струй, а также задачам сверхзвукового обтекания «срывных» областей (донной области, углублений на поверхности тела, области отрыва перед телом с выдвинутой вперед иглой и т. д.)? связаны с учетом процессов смешения и в настоящем обзоре, несмотря на их важность, не рассматриваются ).
Оглядываясь на путь развития теории сверхзвуковых течений газа- за последние 30——35 лет, можно отчетливо видеть, как постепенно находили решение основные газодинамические задачи, возникавшие в связи с проблемой полета тел в атмосфере со сверхзвуковой, а затем и с гиперзвуковой скоростью.
Развитие теории сверхзвуковых течений невязкого газа происходило, конечно, не обособленно от развития других областей аэродинамики и от развития ряда смежных наук. Теория сверхзвуковых течений невязкого газа тесно связана с теорией пограничного слоя и с теорией турбулентных струй и следа за телом, она опирается на успехи экспериментальных исследований. Теория сверхзвукового обтекания тел явилась, одним из наиболее активных стимуляторов развития численных методов- решения задач механики и важной областью приложения этих методов.
Успехи теории сверхзвуковых течений газа в СССР отражены в замечательных достижениях советской ракетной и космической техники, использующей аппараты, летящие в воздухе со сверхзвуковой скоростькк и входящие с гиперзвуковой скоростью в атмосферу Земли (или другой планеты ——Венеры), и в развитии нашей авиации, давно перешагнувшей звуковой рубеж и вплотную приблизившейся к диапазону гиперзвуковых скоростей.
9 9 0 2 4о о 1 1 12 2 2 2 29 9 0 2 4о о 1 1 12 2 2 2 247922589011246880211122222^-зззя-3334422222222222222222247922589011246880211122222^-зззя-33344222222222222222222346 7922 34'7 894 3357 ^^^2424252525252525252626262626346 7922 34'7 894 3357 ^^^2424252525252525252626262626
9 9 0 2 4о о 1 1 1
2 2 2 2 2
9 9 0 2 4о о 1 1 1
2 2 2 2 2
479225890112468802
11122222^-зззя-33344
222222222222222222
479225890112468802
11122222^-зззя-33344
222222222222222222
346 7922 34'7 894 3357 ^^^2424252525252525252626262626
346 7922 34'7 894 3357 ^^^2424252525252525252626262626
УДАРНЫЕ ВОЛНЫ, СИЛЬНЫЕ ВЗРЫВЫ,ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ГАЗОВЫХ ТЕЧЕНИЯХ
Я.氏 ЗЕЛЬДОВИЧ, Ю. П. РАЙЗЕР
Теория структуры фронта ударных волн в газах
Ударные соотношения
Термодинамические функции газов и параметры за фронтом ....
Скачок уплотнения
Диффузия в ударной волне, распространяющейся по смеси
Ударная волна в газе с замедленным возбуждением некоторых степеней свободы:..
Ударная волна в плазме
Лучистый теплообмен в ударной волне
Изучение релаксационных процессов в газах
Получение ударных волн в лабораторных условиях
Колебательная релаксация
Диссоциация и химические реакции. Релаксация в воздухе
Ионизация
Излучение и поглощение света
Сильные взрывы в воздухе
Автомодельное движение при точечном взрыве•...,
Роль противодавления и стадия затухания
Свечение ударных волн и световые явления при сильных взрывах ..
Охлаждение воздуха излучением и «волна охлаждения»
Автомодельные газовые течения второго рода
Два типа автомодельных решений
Схождение, ударной волны к центру.•.
Захлопывание пустой сферической полости в жидкости
Распространение ударной во^ны по газу с плотностью, уменьшающейся по степенному закону
Движение газов под действием кратковременного удара
Сосредоточенный удар и《взрывы» метеоритов
Сильный взрыв и распространение ударных волн в экспоненциальной атмосфере
Тепловые волны
Ударные волны в твердых телах
Новые, динамические методы в физике высоких давлений
Экспериментальные методы определения параметров ударной волны
Ударные адиабаты и кривые холодной сжимаемости
Изэнтропическая сжимаемость сжатого вещества
Фазовые превращения и расщепление волн
Ударные волны в прозрачных телах и оптические явления
Устойчивость ударных волн
Механические эффекты, сопровождающие взаимодействие лазерного излучения с веществом
Газы
Непрозрачные мишени
Прозрачные твердые тела
Ударные волны, течения сплошной среды с их участием, разнообразные физические процессы в веществе, которое подверглось действию сильной ударной волны,——эти явления представляют большой научный и прикладной интерес. С ударными волнами мы встречаемся в таких практически важных процессах, как взрывы, движение в атмосфере тел со сверхзвуковыми скоростями, мощные электрические разряды, в астрофизических условиях и т. д. ,
Принципиальный интерес связан с необычным характером ударного сжатия вещества, которое происходит чрезвычайно быстро и, в отличие от изэнтропического, сопровождается резким возрастанием энтропии газа. В рамках гидродинамики идеальной жидкости, когда не учитываются диссипативные процессы (вязкость и теплопроводность), ударные волны появляются как поверхности математического разрыва в решениях дифференциальных уравнений. Гидродинамические величины по обе стороны разрыва связаны между собой и со скоростью распространения разрыва законами сохранения массы, импульса и энергии. При этом необратимость ударного сжатия и возрастание энтропии газа, протекающего через разрыв уплотнения, вытекают из этих законов. На самом деле во фронте ударной волны, который представляет собой, конечно, не разрыв, а тонкий переходный слой, протекают диссипативные процессы, о чем и свидетельствует факт возрастания энтропии. И действительно, в рамках гидродинамики вязкой жидкости разрывы исчезают и превращаются в слои резкого, но непрерывного изменения гидродинамических величин.
При рассмотрении общего гидродинамического процесса ударную волну вследствие относительной малости ширины ее фронта чаще всего можно заменить поверхностью разрыва и решать дифференциальные уравнения гидродинамики, поставив соответствующие граничные условия на поверхностях разрыва. Такое, чисто гидродинамическое, направление в теории ударных волн имеет огромное прикладное значение, и оно успешно развивается в Советском Союзе.
В настоящей статье, однакр, мы затронем вопросы гидродинамической теории течений с ударными волнами лишь в связи с рассмотрением автомодельных движений газа. Основной целью статьи является освещение другого, более физического, направления в теории ударных волн и гидродинамических течений. Это направление начало быстро развиваться лет двадцать тому назад в связи со становлением ракетной техники, изучением физики атомных взрывов и другими современными проблемами.
Для решения многих задач новой техники от науки потребовалось проникновение в область высоких параметров состояния вещества: больших концентраций энергии, высоких температур и давлений, больших скоростей. При высоких температурах в газах протекают различные физические и физико-химические процессы: возбуждение моле куля рных колебаний и диссоциация молекул, химические реакции, электронное возбуждение, ионизация атомов, излучение света. Высокие температуры достигаются в ударных волнах большой амплитуды, поэтому для современной механики и физики характерен интерес именно к сильным ударным волнам. Перечисленные выше процессы представляют интерес не только потому, что они, часто играя существенную роль в балансе энергии вещества, оказывают влияние на его движение.
Эти процессы определяют и физическое состояние вещества (химический состав, электрические и оптические свойства), приводят к свечению и многим важным оптическим эффектам. Изучение всех этих явлений составляет предмет нового направления в науке, в котором, тесно
переплетаются физика и механика и которое часто называют «физической газодинамикой» или «физикой газодинамических процессов».
Наряду с теорией широко развивается и экспериментальное исследование физических процессов в ударных волнах и при высоких температурах. Здесь особую роль играет такой важный инструмент для лабораторного получения сильных ударных волн и высоких температур, как ударная труба.
Последнее двадцатилетие ознаменовалось большими успехами в изучении распространения ударных волн в твердых телах и свойств конденсированного вещества при высоких давлениях. Были развиты методы получения ударных волн в твердых телах с давлениями в миллионы атмосфер и методы исследования динамических и физических свойств вещества при таких сверхвысоких давлениях. Эти достижения открыли новую страницу в физике твердого тела.
Большой интерес представляют также и новейшие исследования взаимодействия лазерного излучения с различными веществами, во многом тесно примыкающие к физическому направлению в механике.
В этой статье мы рассмотрим перечисленные вопросы, причем, в соответствии с назначением этого сборника, будем фиксировать внимание на работах советских авторов, которые занимают достойное место в мировой науке.
Надо сказать, что оригинальная литература по затрагиваемой здесь тематике огромна, и мы, естественно, не имеем возможности сколько- нибудь подробно разбирать или хотя бы перечислять все работы. Значительно более полный обзор и библиографию можно найти в монографиях Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера «Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений» (1963; изд. 2, 1966), Е. В. Сту- поченко, С. А. Лосева и А. И. Осипова «Релаксационные процессы в ударных волнах» (1965) и в обзоре Л. В. Альтшулера (1965) по ударным волнам в твердых телах.
Говоря о книгах, нельзя не упомянуть книгу Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица «Механика сплошных сред», которая является настольной для каждого, кто занимается ударными волнами и физической газодинамикой, а также тесно примыкающую к данной тематике монографию Л. И. Седова «Методы подобия и размерности в механике».
Первое систематическое изложение теории ударных волн и взрывных течений в физическом аспекте было дано в монографии Я. Б. Зельдовича «Теория ударных волн и введение в газодинамику» (1946).
Теория структуры фронта ударных волн в газах
Ударные соотношения. Будем называть фронтом ударной волны весь переходный слой, в котором происходит изменение состояния газа от термодинамически равновесного начального до термодинамически равновесного конечного *).
Рассмотрим прямую ударную волну, в которой скорость газа за фронтом направлена перпендикулярно к поверхности фронта. В системе координат, связанной с волной, скорость и^ плотность р1? давление рг и удельная внутренняя энергия 8г за фронтом связаны с величинами перед фронтом 询，р0, о。，80 законами сохранения массы импульса и энергии
*) Мы делаем эту оговорку, так как иногда фронтом называют только вязкий скачок уплотнения, исключая из фронта зону релаксации.
14 Механика в СССР, том 2
(так называемыми соотношениями Гюгоньо — Ранкина):
р1al =poUo・(1.1)
А + Pi 呜=Ро + Ро 琉，(1.2)
*一啬+等晋+尊。0・3)
Если вместо удельной внутренней энергии 8 ввести удельную энтальпию ц? = Е + р/р, то третье уравнение можно переписать в форме
力1 +W" = s(> +W~ •(1*4)
Скорость и0, с которой невозмущенный газ втекает в разрыв, численно равна скорости D распространения ударной волны по невозмущенному газу. Из первых двух уравнений следует важное соотношение
-. =?。十%少(1一^)■(1-5)
Если с помощью формул (1.1) и (1.2) исключить из соотношения (1.3) скорости uQ и из получим уравнение ударной адиабаты
El(Р1 卩 1) — % (Ah 匕)=讶(Р1 + Р。)(卩0 — 卩1)(1-6)
или, в другой форме, из (1.4),
力1(Р1,匕)一So(Ро,卩о) = 2(Pi — Ро)(匕 + 匕)，(1-7)
где V = 1/р ——удельный объем, a w (р. V)——термодинамические функции.
Уравнения сохранения (1.1) — (1.3) допускают существование разрывов двух типов, в одном из которых энтропия возрастает (как правило, ударная волна сжатия), а в другом ——уменьшается (как правило, «ударная волна» разрежения). В действительности, как следует из второго начала термодинамики, осуществляется только первый режим (это утверждение носит название теоремы Д. Цемплена).
Закономерности ударного сжатия, которые вытекают из уравнений сохранения и теоремы Цемплена, составляют содержание классической теории ударных волн. Подробное изложение этих закономерностей можно найти в упомянутых во введении книгах Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица, Я. Б. Зельдовича и Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера.
Для подавляющего большинства веществ энтропия увеличивается в ударной волне сжатия. Возможны, однако, редкие случаи, когда вещество обладает аномальными термодинамическими свойствами, а именно, когда существуют области объемов и давлений, в которых изэнтропы р (V) обладают аномальной выпуклостью (d2p/dV2)s V 0. В этом случае энтропия увеличивается не в ударной волне сжатия, а в разрыве разрежения. Аномальные свойства имеют твердые тела, обладающие способностью к полиморфным превращениям (см. п. 6.5). Что же касается газов, то, как показал Я. Б. Зельдович (1946), аномалии возникают в окрестности критической точки.
Термодинамические функции газов и параметры за фронтом. Если известны термодинамические свойства вещества, т. е. функция е = е (р, V), то три уравнения (1.1)——(1.3) дают возможность определить три неизвестных параметра газа 卩曾 р1? и】 за фронтом ударной волны,
которая распространяется по газу, находящемуся в заданном состоянии Ро，р0. При этом величина и。или скорость распространения волны D = =I и。I представляет собой независимую переменную, характеризующую амплитуду ударной волны ).
С помощью уравнения состояния р = р (р, 7) можно вычислить и температуру Т за фронтом.
В простейшем случае идеального газа с постоянной теплоемкостью и неизменным числом частиц, когда
£ =占严，Р = ^Р?， (1-8)
где y ——показатель адиабаты, R ——универсальная газовая постоянная, а р, — молекулярный вес, система уравнений (1.1)—(1.3), (1.8) разрешается в явном виде. Соответствующие формулы можно найти в упомянутых на предыдущей странице книгах.
Однако эти формулы, несмотря на их очевидную пользу, имеют все же весьма ограниченную применимость. Дело в том, что при высоких температурах, представляющих особый интерес, которые достигаются в сильных ударных волнах, теплоемкость и число частиц в газах отнюдь не являются постоянными. Так, при температурах около 1000° К и выше в молекулах возбуждаются колебания, и теплоемкость при таких температурах еще описывается квантовой формулой и зависит от температуры. При еще более высоких температурах, порядка нескольких тысяч градусов, происходит диссоциация молекул и протекают химические реакции, например реакция образования окиси азота в воздухе. При температурах порядка 10000° начинается ионизация атомов и молекул, при еще более высоких температурах протекает вторая и последующие ионизации с образованием многозарядных ионов. Все зти процессы приводят к зависимости теплоемкости и числа частиц в газе (т. е. среднего молекулярного веса частиц) от температуры и плотности (лишь в случае возбуждения колебаний число частиц остается неизменным и теплоемкость не зависит от плотности).
Таким образом, для теоретических расчетов газовых течений и ударных волн в условиях высоких температур необходимо прежде всего найти термодинамические функции газов.
В Советском Союзе сделано очень много для определения термодинамических функций газов при высоких температурах и в первую очередь важнейшего, с точки зрения практических приложений, газа ——воздуха. Расчеты ведутся обычно на основе метода статистических сумм с привлечением спектроскопических данных по параметрам и энергетическим уровням молекул и атомов. В качестве промежуточного этапа при расчетах термодинамических функций выступают расчеты равновесного химического и ионизационного состава газа.
Первые расчеты термодинамических функций воздуха в широком диапазоне плотностей и температур, в котором атомы многократно ионизованы, проделали В. В. Селиванов и И. Я. Шляпинтох (1958) (температуры от 20 000 до 500 000° К и плотности от 10-3 р0 до 10 р0, где р0— плотность воздуха при нормальных условиях). Они же рассчитали и параметры за фронтом ударной волны при температурах Тг до 500 000° К.
Подробнейшие и очень точные таблицы химического и ионизационного состава и термодинамических функций воздуха до температуры 20 000° К на основе детальных расчетов были составлены коллективом авторов под руководством А. С. Предводителева (2 тома, 1957 и 1959). Методика этих расчетов описана в работе Е. В. Ступоченко и др. (1959).
Параметры за фронтом ударной волны в воздухе при начальных давлениях от 10-5. до 1 атм и температурах за фронтом до 12000° К были рассчитаны И. Б. Рождественским (1959) и Н. Ф. Горбанем (1959); до скоростей 4,5 км/сек ——под руководством А. С. Предводителева (1962). Эти данные имеют большое значение для изучения гиперзвукового обтекания тел в атмосфере.
Наиболее полные (с точки зрения охваченного диапазона параметров). таблицы термодинамических функций и параметров за ударными волнами в воздухе были рассчитаны Н. М. Кузнецовым (1965). В этих таблицах представлены данные для интервала плотностей от 10~6 и до 10 атм (10-в атм соответствует высоте около 100 存九 над уровнем моря) и температур до 3 X 10е °К. В этих же таблицах приведены и результаты приближенных расчетов усредненных длин пробега излучения в воздухе при высоких температурах, очень важные для изучения эффектов, связанных с лучистым теплообменом.
В ряде работ рассчитывались параметры ударной волны в областях первой и второй ионизации и для других газов: аргона и водорода (В. А. Прокофьев, 1954), ксенона (С. Р. Холев, 1959) и др.
Вычисления термодинамических функций газов и параметров за фронтом ударной волны при температурах в десятки и сотни тысяч градусов, когда атомы многократно ионизованы, связаны с чрезвычайно громоздкими расчетами ионизационного равновесия. Такие расчеты в настоящее время, по существу, сделаны только для воздуха. Для практических целей желательно иметь простой способ, который позволял бы произвести быстрые приближенные расчеты для любого газа в широком интервале температур. Такой метод/ обеспечивающий вполне достаточную для многих целей точность, был предложен Ю. П. Райзером (1959).
Скачок уплотнения. Внутреннюю структуру скачка уплотнения, который в рамках гидродинамики идеальной жидкости заменяется разрывом, следует рассматривать на основе теории, учитывающей диссипативные процессы ——вязкость и теплопроводность. В качестве простейшей модели можно использовать уравнение движения вязкой жидкости Навье ——Стокса. Уравнения одномерного течения вязкого и теплопроводного газа ——течения, стационарного в системе координат, связанной с фронтом ударной волны,——имеют вид
^рд。，'
du . dp d 4 du n
P"击石可"岳' =°，(L9)
s dS 4 • / dud尸
где p,——коэффициент вязкости, S ——удельная энтропия,
p=-瓏(1-Ю)
——теплопроводностный поток энергии, х ——коэффициент теплопроводности. К системе (1.9) присоединяются граничные условия, выражающие
отсутствие градиентов перед и за фронтом волны (т. е. при 力=± оо). Преобразуя третье из уравнений (1.9) с помощью второго закона термодинамики Т dS = ds р dV = и? — &р/р и интегрируя уравнения, запишем первые интегралы системы:
(1.11)(1.11)ри = р0О,
(1.11)
(1.11)
Р + Р^2 1~ 罂=Ро + Ро》,
乂2 1/3 du \, Р2
0Г +砂(歹一n""石)=0。+ 丁 •
Здесь р, р, u, w ——функции текущей координаты х, константы интегрирования выражены через параметры начального состояния газа при х = — 8.
Если отнести уравнения (1.8) к точке 力=十 8 за фронтом волны (р (十8)= pi и т. д.), получим соотношения (1.1)——(1.4) на разрыве.
Полное аналитическое решение системы (1.8), дающее распределение величин в скачке уплотнения, удается получить только в случае ударной волны слабой интенсивности, когда р —— р°《 卩。.Это решение изложено в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица. Ширина скачка уплотнения оказывается равной примерно
(1.12)(1.12)2缶
(1.12)
(1.12)
где I ——длина пробега молекул, которой пропорциональны коэффициенты вязкости и теплопроводности.
В частном случае, когда число Прандтля Рг = цср/х = 3/4 (Ср— удельная теплоемкость при постоянном давлении), уравнение (1.11) можно решить аналитически и в общих предположениях (Р. Беккер, Z. Phys., 1922, 8 : 5, 321—362). Ширина фронта оказывается равной примерно
(1-13)(1-13)А 7 М
(1-13)
(1-13)
А/ ^ Iq М2_［，
где М = DIcq——число Маха ударной волны, с0——скорость звука в невозмущенном газе. В пределе слабой волны М —— 1《 1 формула (1.13) превращается в (1.12). •
запозданием.запозданием.Гидродинамическая теория структуры вязкого скачка уплотнения теряет смысл в случае ударных волн большой амплитуды, когда ширина скачка уплотнения достигает порядка длины пробега молекул. Сильный скачок уплотнения необходимо рассматривать на основе молекулярнокинетической теории газов, т. е. на основе кинетического уравнения Больцмана. И. Е. Тамм (1965) *) и независимо Г. М. Мот-Смит (Phys. Rev., 1951, 82 : 6, 885—892) построили приближенное решение кинетического уравнения для этого случая. Решение основано на представлении функции распределения в виде суперпозиции двух максвелловских распределений, соответствующих параметрам начального и конечного состояний, причем коэффициенты, определяющие вес той и другой функций, меняются вдоль координаты от 0 до 1. Они отыскиваются в ходе решения. Ширина скачка при неограниченном возрастании амплитуды волны р，р° стремится к определенному пределу и имеет, как и следовало ожидать из физических соображений, порядок длины пробега молекул. '
запозданием.
запозданием.
1・4・ Диффузия в ударной волне, распространяющейся по смеси. Во фронте ударной волны имеются большие градиенты термодинамических величин и, следовательно, возникают благоприятные условия для диффузии частиц и разделения смеси газов, если ударная волна распространяется по смеси. Задача о диффузии в ударной волне, распространяющейся ио бинарной смеси газов, рассматривалась С. П. Дьяковым (1954).①изи- чески ясно, что во фронте ударной волны происходит концентрирование легкого компонента смеси. Действительно, в нагретом газе за волной молекулы легкого компонента обладают большей тепловой скоростью, чем молекулы тяжелого, и потому они вырываются вперед (в системе координат, где невозмущенная смесь покоится) и несколько опережают молекулы тяжелого газа. Поэтому в передней части фронта ударной волны возникает повышенная концентрация легкого компонента.
Структура фронта описывается системой уравнений, аналогичной (1-11). Уравнения сохранения массы и импульса остаются без изменений, только 卩 теперь ——вязкость смеси. В уравнение энергии добавляется молекулярный поток тепла, связанный с диффузией и пропорциональный 耳инфузионному потоку частиц. И, наконец, к системе добавляется уравнение непрерывности (сохранения массы) одного из компонентов (скажем, легкого)
pau + Z = poaoZ), (1.14)
где а ——массовая концентрация легкого компонента, i ——диффузионный поток. С. П. Дьяков аналитически решил систему уравнений для случая
слабой ударно^ волны, когда можно произвести разложение всех величин. Полученные им профили плотности смеси и концентрации легкого компонента в волне показаны на рис. 1.
В достаточно сильной волне и при боль-
Рис. 1. Профили плотности р и концентрации а в ударной волне слабой интенсивности, распространяющейся по бинарной смеси газов.Рис. 1. Профили плотности р и концентрации а в ударной волне слабой интенсивности, распространяющейся по бинарной смеси газов.шом различии масс компонентов увеличение концентрации легкого компонента в фронте становится сравнимым с самой концентрацией.
Рис. 1. Профили плотности р и концентрации а в ударной волне слабой интенсивности, распространяющейся по бинарной смеси газов.
Рис. 1. Профили плотности р и концентрации а в ударной волне слабой интенсивности, распространяющейся по бинарной смеси газов.
Эффект разделения в смеси должен был бы быть особенно резко выраженным в случае плазмы, так как массы электронов и ионов различаются исключительно сильно. Однако
в плазме существенную роль играет электростатическое взаимодействие электронного и ионного компонентов смеси, которое в значительной степени сдерживает диффузию и разделение. Об эффектах в плазме см. п. 1.6.
Ударная волна в газе с замедленным возбуждением некоторых степеней свободы. Обычно в газе для возбуждения некоторых степеней свободы требуется очень много столкновений частиц, и установление термодинамического равновесия в этих степенях свободы происходит сравнительно медленно. Так, например, при температурах порядка тысячи —— двух тысяч градусов в молекулярном газе медленно возбуждаются колебания в молекулах. Между тем колебательная энергия в условиях термодинамического равновесия вносит существенный вклад в полный запас внутренней энергии газа и, следовательно, состояние возбуждения колебательных степеней свободы заметным образом сказывается на внутренней энергии газа и температуре. Вращения в молекулах при температурах
1000——2000° К, напротив, возбуждаются чрезвычайно быстро, за несколько столкновений, примерно так же быстро, как устанавливается максвелловское распределение в поступательных степенях свободы.
Возбуждение других степеней свободы например диссоциации молекул ) при температурах 1000——2000° , происходит еще медленнее, чем возбуждение колебаний, но равновесная степень диссоциации при таких температурах обычно столь мала, что вклад энергии диссоциации во внутреннюю энергию ничтожно мал и не влияет на температуру газа.
При более высоких температурах, скажем при температуре 〜5000° К, равновесная степень диссоциации в таких газах, как кислород, азот, воздух, значительна и от степени диссоциации сильно зависит внутренняя энергия. Диссоциация при таких температурах происходит довольно медленно, требуя многих столкновений молекул, и диссоциацию можно отнести к числу медленно возбуждаемых степеней свободы. При еще более высоких температурах, порядка 10 000° и выше, роль медленно возбуждаемых степеней свободы играет ионизация. В то же время диссоциация, а тем более возбуждение колебаний немногих недиссоциированных молекул, происходит очень быстро, и эти степени свободы можно отнести к легко возбуждаемым.
Наличие в газе степеней свободы с замедленным возбуждением существенным образом сказывается на структуре фронта ударной волны. Фронт, если под последним подразумевать весь переходный слой между начальным и конечным термодинамически равновесными состояниями газа, разделяется на две области: вязкий скачок уплотнения и растянутый релаксационный слой.
Сначала в газе, вступающем в ударную волну, происходит «возбуждение» поступательных степеней свободы, т. е. кинетическая энергия направленного движения молекул набегающего потока превращается в энергию хаотического движения, в тепло. Ширина этой зоны исчисляется одной или несколькими длинами свободного пробега молекул. Затем начинается распределение тепловой энергии по внутренним медленно возбуждаемым степеням свободы, и температура соответственно падает. Этот релаксационный слой, в котором состояние газа приближается к конечному, термодинамически равновесному, растягивается далеко за скачок уплотнения на расстояние, исчисляемое многими длинами свободного пробега молекул.
Вопрос о структуре фронта ударной волны в газе с замедленным возбуждением степеней свободы впервые был рассмотрен Я. Б. Зельдовичем (1945, 1946) на примерах обратимой химической реакции и возбуждения колебаний в молекулах. Этот анализ затем повторяется во всех последующих работах, посвященных релаксационному слою, число которых огромно, так как экспериментальное исследование релаксационного слоя в ударной волне стало впоследствии одним из важнейших методов изучения кинетики и измерения скоростей различных физических и физико-химических процессов (см. § 2). Анализ основан на том, что в растянутом релаксационном слое градиенты газодинамических величин малы, и распределение этих величин подчиняется уравнениям гидродинамики идеальной жидкости. Дифференциальные уравнения стационарного плоского течения в системе координат, связанной с фронтом, интегрируются и дают для текущих значений давления Х(х)? плотности р (х) и т. д. в релаксационном
слое алгебраические уравнения, в точности аналогичные уравнениям (1.1)—(1.5), связывающим начальное и конечное состояния. При этом константы интегрирования можно выразить как через параметры перед фронтом (индекс «О»), так и через параметры непосредственно за скачком уплотнения (штрихованные величины), так как соотношения справедливы и на скачке:
ри = р" = р0£>,
(1.15)(1.16)(1.15)(1.16)^4^422,I 械202s +丁 = So+~T,I 械202s +丁 = So+~T(1.17)(1.17)р^^ = рг + р”'2 = & 十 pg。2,
(1.15)
(1.16)
(1.15)
(1.16)
^4
^4
2
2
,I 械202
s +丁 = So+~T
,I 械202
s +丁 = So+~T
(1.17)
(1.17)
Изобразим на диаграмме р ния за скачком уплотнения, вИзобразим на диаграмме р ния за скачком уплотнения, вгазу с замедленным возбуждением части степеней свободы.газу с замедленным возбуждением части степеней свободы.力= %) +冬(1一書卜力= %) +冬(1一書卜(1.19)(1.19)
Изобразим на диаграмме р ния за скачком уплотнения, в
Изобразим на диаграмме р ния за скачком уплотнения, в
газу с замедленным возбуждением части степеней свободы.
газу с замедленным возбуждением части степеней свободы.
力= %) +冬(1一書卜
力= %) +冬(1一書卜
(1.19)
(1.19)
р = р^ + ^и^ ^-^=Po + PoD^l-^ .(1.18)
——V (рис. 2) ударные адиабаты состоя- котором медленно возбуждающиеся степени свободы еще не возбуждены (кривая 7), и конечного термодинамически равновесного состояния (кривая 2). Из уравнения (1.18) следует, что состояние газа сперва скачком переходит из начальной точки Л в точку за скачком уплотнения В, а затем стремится к конечной точке С вдоль прямой ВС, соответствующей релаксационному слою. При этом давление и плотность в слое, как видно из рис. 2, возрастают. Возрастание давления невелико, что следует из уравнения (1.18). В самом деле, в скачке уплотнения сильной ударной волны (а релаксация существенна именно в сильных ударных волнах) газ сжимается не менее чем в четыре раза (V7V0-^0,25). Конечное сжатие обычно порядка 10 (У1/Уо 冬 ^ 0,1); следовательно, давление в слое
изменяется процентов на пятнадцать.
Еще меньше изменение энтальпии в релаксационном слое. Из уравнений (1.17) и (1.15) видно, что
Но (7/70)2< (V7V0)2 < Vie, т. е. энтальпия возрастает всего на несколько процентов. Можно сказать, что релаксация происходит при почти постоянной энтальпии. Отсюда следует, что температура в слое может изменяться (уменьшаться) сильно — тем сильнее, чем большая часть первоначальной поступательной энергии перераспределяется между другими степенями свободы газа. Температура может уменьшаться в два- три раза, а плотность в слое заметно возрастает.
Общий характер распределений плотности, давления и температуры в ударной волне, распространяющейся по газу, в котором происходит релаксация в некоторых степенях свободы, показан на рис. 3. Для отыскания этих распределений необходимо записать выражение энтальпии и давления через параметры, характеризующие меру возбуждения релак-
сирующей степени свободы (например, степень диссоциации молекул) и добавить к уравнениям гидродинамики (1.15)——(1.17) соответствующие уравнения кинетики (например, уравнения кинетики диссоциации).
Такого типа расчеты выполнены многими авторами (отечественными и зарубежными) применительно к различным конкретным релаксационным процессам: возбуждению колебаний, диссоциации, химическим реакциям, ионизации. Основная трудность в этих расчетах заключается в том,, чтобы правильно описать кинетику релаксационных процессов, которые зачастую бывают весьма сложными и детальный механизм которых не всегда известен. Расчеты структуры релаксационного слоя представляют большой интерес, потому что, измеряя на опыте распределения величин в релаксационном слое (скажем, плотности, температуры или степени диссоциации) и сравнивая результаты измерений с соответствующими расчетами, можно
44X1* и Ax XX1* и Ax XРис. 3. Профили давления р, плотности р, скорости и и температуры Т во фронте ударной волны, распространяющейся по газу с замедленным возбуждением части степеней свободы (А/ ^Трелакс 一 ширина фронта).Рис. 3. Профили давления р, плотности р, скорости и и температуры Т во фронте ударной волны, распространяющейся по газу с замедленным возбуждением части степеней свободы (А/ ^Трелакс 一 ширина фронта).извлекать ценные сведения о кинетике перечисленных процессов и о скоростях соответствующих реакций.
4
4
X1* и Ax X
X1* и Ax X
Рис. 3. Профили давления р, плотности р, скорости и и температуры Т во фронте ударной волны, распространяющейся по газу с замедленным возбуждением части степеней свободы (А/ ^Трелакс 一 ширина фронта).
Рис. 3. Профили давления р, плотности р, скорости и и температуры Т во фронте ударной волны, распространяющейся по газу с замедленным возбуждением части степеней свободы (А/ ^Трелакс 一 ширина фронта).
Поскольку вопрос о релаксации в ударной волне тесно связан с экспериментом, мы продолжим его обсуждение в § 2, посвященном изучению релаксационных процессов в ударных трубах. Здесь же отметим, что в качественном отношении распределения газодинамических величин в релаксационном слое почти всегда бывают сходными с теми； которые изображены
в общем виде на рис. 3.
Следует отметить, что в слабых ударных волнах, когда скорость волны меньше скорости звука, соответствующей заморожены ости части степеней свободы, скачок уплотнения в волне отсутствует и в газе с самого начала происходит постепенное возбуждение замедленной части теплоемкости (Я. Б. Зельдович, 1945, 1946).
Ударная волна в плазме. Интересными особенностями обладает ударная волна, распространяющаяся по ионизованному газу. Эти особенности имеют в том числе и р ел а ксаци онную природу, но необычного типа ——
релаксируют температуры электронного и ионного газов, что связано с замедленным характером обмена энергии между электронами и тяжелыми частицами (ионами, атомами). Структуру фронта ударной волны в плазме рассматривали С. Б. Пикельнер (1954) (применительно к ударным волнам в межзвездном газе), Я. Б. Зельдович (1957), В. Д. Шафранов (1957), В. С. Имшенник (1962), а за рубежом Дж. Д. Джакс (J. Fluid. Meeh., 1957, 3 : 3, 275—285), Д. А. Тидман (Phys. Rev., 1958, 111 : 6； 1439——1446). В более поздних работах рассматривались поляризация плазмы в ударной волне и возникновение электростатических полей (О. У. Гринберг, X. К. Сен и И. М. Треве, Phys. Fluids, 1960, 3 : 3, 379— 386; М. И. Жафрен и Р. Ф. Пробстейн, ПМТФ, 1964, № 6, 6—22).
Максвелловские распределения в ионном и электронном Газах в отдельности устанавливаются быстро, за время порядка времени между «куло
новскими столкновениями» заряженных частиц, так что можно говорить
об ионной и электронной температурах 7» и Ге. Обмен энергией между этими двумя газами и, следовательно, выравнивание температур происходят сравнительно медленно, примерно в У М/т раз медленнее, чем устанавливается температура в ионном газе {М ——масса иона, т ——электрона), и в М/т раз медленнее, чем в электронном, если Tt ^ Те. В скачке уплотнения резко повышается только ионная температура. Кинетическая энергия направленного движения электронного газа, набегающего на ударную волну (в системе координат фронта), чрезвычайно мала вследствие малости электронной массы. Потому мала и тепловая энергия, приобретаемая электронами при скачкообразном превращении направленной кинетической энергии в тепло.
Таким образом, за скачком уплотнения возникает резкое различие температур, и в релаксационном слое происходит медленное выравнивание температур, приближение их к конечному равновесному значению. Ширина релаксационного слоя определяется характерным временем обмена энергией ^между двумя газами тег, которое пропорционально 7；". Обменный член в уравнении для электронной температуры определяется уравнением релаксации
/ dTe \ _:北一北
I dt /обм Pei ，
которое, так же как и величина Р^，впервые было выведено Л. Д. Ландау (1937) из кинетического уравнения Больцмана для заряженных частиц ). Ширина релаксационного слоя Ах имеет порядок «длины обмена»
А/ 〜u^xei 〜Dxei.
Помимо замедленного характера обмена энергией между электроПомимо замедленного характера обмена энергией между электронами и ионами, на структуру ударнойнами и ионами, на структуру ударнойРис. 4. Профили температур 北，А и плотности р для сильной ударной волны в плазме (электронная температура на скачке Те = = 0,93 А; ионные температуры перед и за скачком Тц = 0,16 Ti2 = 1,24 А; плотности перед и за скачком р01/р0 = 1,13,Р02/Р0 = 3,53).Рис. 4. Профили температур 北，А и плотности р для сильной ударной волны в плазме (электронная температура на скачке Те = = 0,93 А; ионные температуры перед и за скачком Тц = 0,16 Ti2 = 1,24 А; плотности перед и за скачком р01/р0 = 1,13,Р02/Р0 = 3,53).гретым на расстоянии порядка Dxei нагреваются перед скачком и ионы.гретым на расстоянии порядка Dxei нагреваются перед скачком и ионы.
Помимо замедленного характера обмена энергией между электро
Помимо замедленного характера обмена энергией между электро
нами и ионами, на структуру ударной
нами и ионами, на структуру ударной
Рис. 4. Профили температур 北，А и плотности р для сильной ударной волны в плазме (электронная температура на скачке Те = = 0,93 А; ионные температуры перед и за скачком Тц = 0,16 Ti2 = 1,24 А; плотности перед и за скачком р01/р0 = 1,13,
Р02/Р0 = 3,53).
Рис. 4. Профили температур 北，А и плотности р для сильной ударной волны в плазме (электронная температура на скачке Те = = 0,93 А; ионные температуры перед и за скачком Тц = 0,16 Ti2 = 1,24 А; плотности перед и за скачком р01/р0 = 1,13,
Р02/Р0 = 3,53).
гретым на расстоянии порядка Dxei нагреваются перед скачком и ионы.
гретым на расстоянии порядка Dxei нагреваются перед скачком и ионы.
волны в плазме существенным образом влияет электронная теплопроводность. Коэффициент электронной теплопроводности в УМIm раз больше коэффициента ионной теплопроводности, и если диссипативные процессы в ионном газе играют роль только в узком слое вязкого скачка уплотнения, то электронная теплопроводность действует на расстояниях, сравнимых с «длиной обмена» в релаксационной зоне. Кроме того, и это очень важно, поток тепла, переносимый повышенной электронной теплопроводностью ,опережает скачок уплотнения и электронный газ перед скачком оказывается про- Вследствие обмена несколько
Количественная теория структуры фронта ударной волны в плазме основана на гидродинамических уравнениях, которые отличаются от обычных тем, что уравнения энергии записываются отдельно для электронного и ионного газов с учетом обмена; кроме того, в уравнение электронной энергии добавляется член электронной теплопроводности. На рис. 4, заимствованном из работы В、Д. Шафранова (1957), приведены результаты расчета, сделанного им для сильной ударной волны в водородной плазме; показаны распределения плотности, электронной и ионной температур в волне. Электронная температура непрерывна на скачке уплотнения, так как по определению поток тепла электронов пропорционален dTJdx и, следовательно, разрыв в температуре сделал бы -поток бесконечным.
Лучистый теплообмен в ударной волне- Когда ударная волна распространяется по газу, занимающему достаточно большой объем (такой, что размеры нагретой области за волной велики по сравнению с длиной пробега излучения), тепловое излучение в объеме приходит в локальное термодинамическое равновесие с веществом. Излучение равновесно и за фронтом ударной волны. Плотность энергии и давление излучения резко зависят от температуры, пропорционально Г4, и становятся сравнимыми с энергией и давлением газа только при чрезвычайно высоких температурах (или очень малых плотностях газа), например, в воздухе нормальной плотности — при температуре 2,7 х 106 °К. Следовательно, в ударных волнах не чрезмерно большой амплитуды энергия и давление излучения практически не влияют на параметры за фронтом ударной волны, будучи малыми по сравнению с энергией и давлением газа.
Иной порядок имеет соотношение потоков энергии излучения и вещества, так как скорости ударных волн D обычно на несколько порядков меньше скорости света с Отношение потоков энергии излучения и вещества aZVOpe ~ (Оизл/ре) (с/0), грубо говоря, в c!D раз больше отношения плотностей энергии С/Изл/р& В воздухе нормальной плотности, например, потоки энергии становятся сравнимыми при температуре порядка 300 000°, когда плотность энергии излучения еще очень мала. Наличие потока лучистой энергии существенным образом сказывается на структуре фронта сильной ударной волны, так как во фронте происходит лучистый теплообмен. Поток излучения, естественно, направлен от областей с высокой температурой в область с низкой температурой, т. е. навстречу потоку вещества в системе координат, где волна покоится. Энергия газа через излучение перекачивается из областей за скачком уплотнения в область перед скачком. Это оказывается возможным, потому что холодный газ перед фронтом волны, как правило, непрозрачен для подавляющей части спектра частот, которые излучаются нагретым до высоких температур газом. Действительно, газы обычно бывают прозрачными лишь в видимой и, возможно, в прилегающих близкой ультрафиолетовой и инфракрасной частях спектра. Но при высоких температурах в десятки и сотни тысяч градусов излучаются главным образом' кванты в ультрафиолетовой области спектра, для которых газы совершенно непрозрачны,
-Вопрос о структуре фронта сильной ударной волны с учетом лучистого теплообмена, но без учета энергии и давления излучения, соответственно описанной выше картине, был впервые поставлен в работе В. А. Прокофьева (1954). Здесь была сформулирована математическая задача о структуре и записана основная система уравнений гидродинамики
и переноса излучения, причем последний' описывался известным из астрофизики дифференциальным уравнением второго порядка, которое приближенным образом учитывает угловое распределение излучения.
Работа В, А. Прокофьева сыграла значительную роль благодаря правильной постановке самой задачи; дальнейшее развитие эта задача получила позднее в работах Я. Б. Зельдовича (1957) и Ю. П. Райзера (1957),
В работе Я. Б. Зельдовича была качественно исследована система уравнений, а в работе Ю. П. Райзера были найдены приближенные аналитические решения уравнений и построены распределения величин во фронте волны, что позволило в наглядной форме пояснить физический смысл закономерностей.
Лучистый теплообмен разыгрывается на расстояниях, измеряемых длинами пробега излучения, которые обычно гораздо больше характерных длин для газовых процессов. Поэтому при рассмотрении структуры фронта можно исходить из уравнений гидродинамики идеальной жидкости, а скачок уплотнения рассматривать как математический разрыв, так же как и при изучении релаксационных процессов. Релаксацией для простоты также можно пренебречь и считать, что газ имеет постоянный показатель адиабаты, В этих предположениях уравнения гидродинамики для стационарного одномерного течения в волне в точности аналогичны уравнениям (1,15)—(1.18), с той лишь разницей, что в уравнении энергии добавляется член потока энергии излучения S и уравнение принимает форму
W + ~r + ^D=~ ■
Для описания переноса излучения, т. е. определения потока S, можно воспользоваться дифф уз ионным приближением, которое непринципиально отличается от приближения, использованного В. А. Прокофьевым, но несколько удобнее для вычислений. В этом приближении поток S и плотность энергии излучения U подчиняются системе двух уравнений
dS c(Up — U) ic dU dx — Z ， — 3~ dx，
где Vp = 4a T^lc — равновесная плотность, a l — средняя длина пробега излучения.
Решение системы уравнений гидродинамики и переноса излучения приводит к картине, которую лучше всего пояснить при помощи распределений температуры во фронте ударной волны, показанных на рис. 5, а и 5, 6. Первый случай (рис. 5, а) соответствует ударной волне не очень большой амплитуды. Поток излучения, равный примерно о 7：, где 7\— температура за фронтом, выходит с поверхности скачка и, поглощаясь в холодном газе перед фронтом, нагревает его. Температура газа, естественно, повышается по мере приближения к скачку. За скачком нагретый газ несколько охлаждается за счет потери энергии на излучение, и потому температура за скачком падает, приближаясь к равновесной.
При увеличении амплитуды волны поток о7：, выходящий из-за скачка, и температура прогревания непосредственно перед скачком Т _ быстро возрастают, и при некоторой амплитуде волны температура прогревания Т _ достигает величины конечной температуры Тъ Эта амплитуда, которую можно назвать критической, соответствует конечной темпера-
туре 7\, равной примерно 300 000°, если ударная, волна распространяется в воздухе нормальной плотности.
При амплитуде ударной волны выше критической температура Т — не возрастает выше Т^ но большая энергия потока излучения, выходящего с поверхности разрыва, затрачивается на прогревание более толстого слоя перед разрывом, как показано на рис. 56. При этом ширина
пика излучения за скачком уменьшается при возрастании амплитуды волны и оказывается меньше длины пробега излучения. В рамках приближения лучистой теплопроводности
Рис. 5. Профили температуры Т, плотности р и давления р во фронте ударной волны при учете лучистого теплообмена (а — для волны не слишком большой амплитуды; б — для волны очень большой амплитуды).Рис. 5. Профили температуры Т, плотности р и давления р во фронте ударной волны при учете лучистого теплообмена (а — для волны не слишком большой амплитуды; б — для волны очень большой амплитуды).
Рис. 5. Профили температуры Т, плотности р и давления р во фронте ударной волны при учете лучистого теплообмена (а — для волны не слишком большой амплитуды; б — для волны очень большой амплитуды).
Рис. 5. Профили температуры Т, плотности р и давления р во фронте ударной волны при учете лучистого теплообмена (а — для волны не слишком большой амплитуды; б — для волны очень большой амплитуды).
пик излучения «срезается» (пунктир на рис. 56), и мы приходим к так называемому изотермическому скачку, который рассматривается в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица.
Как было сказано выше, наличие одного лишь лучистого теплообмена не может привести к исчезновению вязкого скачка уплотнения и сглаживанию хода температуры и плотности газа. Положение, однако, меняется в случае, когда плотность энергии излучения оказывается достаточно большой по сравнению с энергией вещества. В этом случае вязкий скачок уплотнения исчезает и состояние газа, которое «подстраивается» к непрерывному распределению плотности излучения, также непрерывным образом переходит из начального перед фронтом в конечное за фронтом. Этот случай рассматривали С. 3. Беленький и позднее В. А. Белоконь (1959). Они нашли амплитуду волны, при которой происходит переход от разрывного решения к непрерывному. Так, при у = 5/3 переход осуществляется, если отношение давления излучения за фронтом к давлению ващества равно 4,45. При переходной амплитуде скорость газа за фронтом относительно фронта в точности равна изотермической скорости звука в конечном состоянии, а при больших амплитудах ударная волна, в отличие от обычного поведения, движется со сверхзвуковой скоростью относительно газа за фронтом. Распределение температуры и плотности в волне в этом случае показаны на рис. 6. *
В статье В. С. Имшенника (1962) задача о структуре фронта ударной волны с излучением решалась в более общем виде, чем в предшествующих
Рис. 6. Профили температуры Г, плотности газа р и потока излучения S в ударной волне с учетом энергии и давления излучения в случае, когда скачок отсутствует.Рис. 6. Профили температуры Г, плотности газа р и потока излучения S в ударной волне с учетом энергии и давления излучения в случае, когда скачок отсутствует.
Рис. 6. Профили температуры Г, плотности газа р и потока излучения S в ударной волне с учетом энергии и давления излучения в случае, когда скачок отсутствует.
Рис. 6. Профили температуры Г, плотности газа р и потока излучения S в ударной волне с учетом энергии и давления излучения в случае, когда скачок отсутствует.
работах; учитываются энергия и давление излучения и различие электронной и ионной температур, характерное для плазмы.
С. Имшенник и Ю. И. Морозов (1964) исследовали структуру фронта ударной волны с учетом переноса энергии и импульса излучением на основе уравнений радиационной гидродинамики, причем в релятивистском уравнении переноса излучения сохранены члены порядка и/с.
Изучение релаксационных процессов в газах
Получение ударных волн в лабораторных условиях- Основным современным инструментом для получения ударных волн в лабораторных условиях с целью изучения физико-химических процессов, протекающих в газах при высоких температурах, является ударная труба. Вообще говоря, существует много способов получения ударных волн, и многие из них были предложены еще давно, например взрывные способы. При взрывах детонационная волна выходит из заряда взрывчатого вещества на границу с исследуемым веществом, создавая в нем сильную ударную волну. Расчеты движе
ния разлетающихся продуктов детонации были сделаны Л. Д, Ландау и К. П, Станюковичем еще в 1945 г. (они подробно изложены в книге К. П. Станюковича, 1955).
Часто между зарядом и , исследуемым веществом ставят металлическую пластинку, которая разгоняется продуктами детонации и служит поршнем, толкающим ударную волну. Взрывные методы обычно применяют при изучении ударных волн в твердых телах (см. § 6); при исследовании газов они применяются реже.
Ударные волны получаются и при движении в газе тел со сверхзвуковой скоростью. Таким путем были достигнуты очень высокие температуры. Так, О. И. Лейпунский и Я. Б. Зельдович (1943) впервые наблюдали высокие температуры и свечение, достигнутые при движении пуль в ртутных парах.
Многообещающими являются методы, в которых используется эффект кумуляции ударных волн. А. Ф. Беляев (1940) проводил опыты по столкновению ударных волн от многих симметрично расположенных зарядов ВВ и получал таким образом давления, значительно превышающие давление в каждой из волн. Р. В. Перри и А. Кантровиц (J. Appl. Phys., 1951, 22 : 7, 878—886) достигали высоких температур благодаря кумулятивному эффекту в цилиндрической сходящейся волне.
Ударные волны возникают при искровых разрядах в газах. Теория развития канала искры, основанная на рассмотрении ударных гидродинамических процессов, была развита С. И. Драбкиной (1951).
Интересная установка для получения высоких температур была создана Ю. Н. Рябининым (1959). Летящим поршнем газ сжимался до давлений ^10 000 атм и адиабатически нагревался до Т7 ^ 9000°.
Ударные волны получают и наблюдают при электрических взрывах металлических проволочек в атмосфере какого-нибудь газа, при мощных
импульсных разрядах в сильно разреженных газах, в плане исследовании термоядерного синтеза и т. д. Однако систематические исследования
многочисленных процессов, протекающих в ударных волнах, проводятся главным образом на ударной трубе.
Предвестником современной ударной трубы послужила установка, примененная Я. Т. Гершаником, Я. Б. Зельдовичем и А. И. Розловским (1950) к изучению химических реакций. В этом устройстве в трубку с исследуемой смесью, находящейся под низким давлением, втекал атмосферный воздух при быстром изъятии пробки.
Принципиальная схема современной ударной трубы показана на рис. 7. Длинная (порядка нескольких метров, а иногда даже более десяти метров) труба круглого или прямоугольного сечения разделена диафрагмой на две части. В одну из них (камеру высокого давления) нагнетается рабочий газ до давлений в десятки и сотни атмосфер, в зависимости от прочности трубы и условий эксперимента. Вторая камера (низкого давления) наполняется исследуемым газом, обычно при давлениях от долей миллиметра ртутного столба до атмосферного. Ударная волна в исследуемом газе возникает при внезапном разрыве диафрагмы, когда сжатый газ устремляется в камеру низкого давления. Наблюдения за процессами ведут через окна, расположенные в конце трубы.
Представление о зависимости параметров ударной волны от начальных давлений и свойств газов можно получить из
Рис. 7. Действие ударной трубы (а — схема трубы перед работой; б — профиль давления перед разрывом диафрагмы； виг — профили давления и температуры в некоторый момент & после разрыва диафрагмы; 0 н е — профили давления и температуры в момент % после отражения ударной волны от закрытого конца трубы; все профили даны схематически, стрелки у скачков показывают направления распространения ударной волны, другие стрелки показывают направления движения газа).Рис. 7. Действие ударной трубы (а — схема трубы перед работой; б — профиль давления перед разрывом диафрагмы； виг — профили давления и температуры в некоторый момент & после разрыва диафрагмы; 0 н е — профили давления и температуры в момент % после отражения ударной волны от закрытого конца трубы; все профили даны схематически, стрелки у скачков показывают направления распространения ударной волны, другие стрелки показывают направления движения газа).рассмотрения задачи о распаде произволь
Рис. 7. Действие ударной трубы (а — схема трубы перед работой; б — профиль давления перед разрывом диафрагмы； виг — профили давления и температуры в некоторый момент & после разрыва диафрагмы; 0 н е — профили давления и температуры в момент % после отражения ударной волны от закрытого конца трубы; все профили даны схематически, стрелки у скачков показывают направления распространения ударной волны, другие стрелки показывают направления движения газа).
Рис. 7. Действие ударной трубы (а — схема трубы перед работой; б — профиль давления перед разрывом диафрагмы； виг — профили давления и температуры в некоторый момент & после разрыва диафрагмы; 0 н е — профили давления и температуры в момент % после отражения ударной волны от закрытого конца трубы; все профили даны схематически, стрелки у скачков показывают направления распространения ударной волны, другие стрелки показывают направления движения газа).
ного разрыва, которая впервые в общем виде была решена Н. Е. Кочиным (1926). Верхний предел температуры в ударной волне, который достигается при очень большом перепаде давлений, тем выше, чем выше температура рабочего газа, чем он легче и чем тяжелее исследуемый газ. Так, на хороших установках получают ударные волны с числами Маха порядка 20 и температурами в аргоне, ксеноне порядка 20 000°. Еще более высокие температуры достигаются в отраженной волне после отражения падающей волны от закрытого конца трубы. Для повышения эффективности ударной трубы часто используют в качестве рабочего газа взрывчатую гремучую смесь (чтобы повысить температуру рабочего газа).
Вопросам конструирования, техники эксплуатации и учета реальных эффектов течения в ударных трубах посвящена обширная литература ).
Основным достоинством ударной трубы является возможность получения стационарного потока с достаточной длительностью и хорошо контролируемыми параметрами. Однако возможности ударной трубы в отношении получения очень больших скоростей ударных волн и очень высоких температур ограничены (по-видимому, это — числа Маха 〜30— 40 в падающей волне).
Поэтому в последние десять лет разрабатывались и другие, новые принципы получения ударных волн. Большое распространение получили
при электрическомпри электрическомРис. 10. Схема трубки Холева и Полтавченко (электроды заштрихованы).Рис. 10. Схема трубки Холева и Полтавченко (электроды заштрихованы).
при электрическом
при электрическом
Рис. 10. Схема трубки Холева и Полтавченко (электроды заштрихованы).
Рис. 10. Схема трубки Холева и Полтавченко (электроды заштрихованы).
так называемые электромагнитные ударные трубки, в которых для создания интенсивных ударных волн используются эффекты нагревания газа разряде и ускорения его под действием магнитных сил. На рис. 8 и 9 показаны первые конструкции Р. Г. Фаулера (Р. Г. Фаулер и др., Phys. Rev., 1952, 88 : 1, 137—138) и А. Ч. Колба (Phys. Rev., 1957, 107 : 2, 345—390 и 107 : 4, 1197—1198). В трубке Фаулера электрический разряд используется только как средство нагревания газа, в трубке Колба плазма ускоряется за счет электромагнитного взаимодействия тока, текущего в разрядной части трубки, с возвратным током, текущим по шине. Колбом были получены скорость 90 км/сек и температура 120 000° в дейтерии.
По принципу магнитного поршня действует трубка, построенная С. Р- Холевым и Д. С. Полтавченко (I960) (рис. 10) (она имеет общие черты с трубкой Р. М. Патрика — Phys. Fluids, 1959, 2 : 6, 589—598). Разрядный ток течет в радиальном направлении между электродами, одним из которых служит стержень на оси, а другим — ци
линдр. Взаимодействие радиального тока с концентрическим магнитным полем создает силу, которая выталкивает и ускоряет плазму вдоль оси. По трубке распространяется ударная волна, а плазма отрывается от дна трубки под действием магнитного поля («магнитного цоршня»). В этой трубке были получены в воздухе число Маха 250, скорость ударной волны 80 км/сек, температура 130 000°. В настоящее время построено довольно много электромагнитных трубок различных конструкций. Хотя с их помощью получаются гораздо более высокие скорости и темпера-
туры, чем на обычной ударной трубе, с точки зрения возможности количественных экспериментов (скажем, измерений скоростей реакций ионизации) электромагнитные трубки сильно уступают обычным.
Появляются и другие, не электромагнитные устройства, где достигаются значительно более высокие интенсивности ударных волн, чем в обычной ударной трубе.♦
Рис. 11. Схема трубки Войтенко (2 — заряд В В; 2 — металлическая пластина; 3 — камера; 4 — рабочий газ; 5 — диафрагма; 6 — вакуумная трубка; размеры указаны в миллиметрах).Рис. 11. Схема трубки Войтенко (2 — заряд В В; 2 — металлическая пластина; 3 — камера; 4 — рабочий газ; 5 — диафрагма; 6 — вакуумная трубка; размеры указаны в миллиметрах).На рис. 11 показана конструкция, созданная А. Е. Войтенко (1964). Продуктами взрыва ВВ разгоняется пластина, которая сжимает газ (водород), находящийся в чашеобразном сосуде. Рабочий газ прорывает диафрагму и устремляется в трубку с исследуемым газом, где и создается очень мощная ударная волна. Эта конструкция использовалась в опытах А. Е. Войтенко, И. Ш. Моделя и И. С. Самоделова (1966) для изучения яркости очень сильных ударных волн в ксеноне и воздухе. В газах при начальном атмосферном давлении получались волны со скоростями более 40 км/сек.
Рис. 11. Схема трубки Войтенко (2 — заряд В В; 2 — металлическая пластина; 3 — камера; 4 — рабочий газ; 5 — диафрагма; 6 — вакуумная трубка; размеры указаны в миллиметрах).
Рис. 11. Схема трубки Войтенко (2 — заряд В В; 2 — металлическая пластина; 3 — камера; 4 — рабочий газ; 5 — диафрагма; 6 — вакуумная трубка; размеры указаны в миллиметрах).
В. А. Белоконь, А. И. Петрухин и В. А. Проскуряков (1965) получали очень высокие температуры в клиновидной полости, которой заканчивалась ударная труба. При вхождении ударной волны в полость происходят многократные маховские отражения и кумуляция энергии. На этой установке А. И. Петрухин и В. А. Проскуряков (1966) измеряли коэффициенты поглощения воздуха при высоких температурах.
2・2・ Колебательная релаксация. При температурах1000—3000° К
основным релаксационным процессом, который протекает довольно медленно и существенным образом влияет на температуру газа, является неравновесное возбуждение молекулярных колебаний.
Основы теории возбуждения колебаний в молекулах были заложены в классической работе Л. Д. Ландау и Э. Теллера (1936). Кинетическое уравнение, которым описывается процесс релаксации, составляется особенно просто в случае сравнительно низких температур, когда возбуждаются только первые колебательные состояния молекул (будем рассматривать двухатомные молекулы).
Пусть "°, "1 и " = "° 十 "1 — числа молекул в 1 см3 в основном состоянии, на первом колебательном уровне и полное, Тст— среднее время между газокинетическими столкновениями, а 卩叮 и p1Q— вероятности возбуждения колебаний и дезактивации возбужденной молекулы при столкновениях. Тогда
—•(2*1)
По принципу детального равновесия
PolП1 равновесноеР10п0 равновесноеPolП1 равновесноеР10п0 равновесное立(о Тт立(о Тт(2-2)(2-2)
PolП1 равновесное
Р10п0 равновесное
PolП1 равновесное
Р10п0 равновесное
立(о Тт
立(о Тт
(2-2)
(2-2)
15 Механика в СССР, том 2
где(о ——круговая частота колебаний. Поскольку при 场7《方со), "!равн《 《"о равн 0 "о равн ^ "，ТО
(2.3)(2.3)^П] П1 равн — niтст
(2.3)
(2.3)
^_ —~'— рю
Величина т, пропорциональная числу столкновений, необходимых для дезактивации молекулы 1//)10, представляет собой время релаксации. Если умножить уравнение (2.3) на Ясо, получим релаксационное уравнение для колебательной энергии в 1 см3 Е =力со"】：
d£ — £равн (?) — £
где
Еравн (?)=亢①"i равн (?)*
Уравнение типа (2.4) оказывается справедливым и в общем случае высоких температур, когда в газе присутствуют молекулы и в более высоких колебательных состояниях. Более точно время релаксации равно
т =т =九 со、］ к）」九 со、］ к）」(2.5)
т =
т =
九 со、］ к）」
九 со、］ к）」
Вероятность возбуждения молекулы при соударениях 卩仇，которая связана с вероятностью дезактивации piQ формулой (2.2) и, следовательно, согласно (2.5) определяет время релаксации, была вычислена Л. Д. Ландау и Э. Теллером путем квантовомеханического рассмотрения элементарного акта столкновения двухатомной молекулы с атомом. Матричный элемент взаимодействия вычислялся в квазиклассическом приближении. В результате получается формула для вероятности в зависимости от относительной скорости столкновения частиц. Затем эта вероятность усредняется с помощью максвелловского распределения частиц по скоростям.
Окончательно в предположении адиабатичности (медленности) столкновений, когда время взаимодействия сталкивающихся частиц гораздо больше периода молекулярных колебаний, получается
，(н ~ Рю ~ ехр，(н ~ Рю ~ ехр27 冗 2a20)2"]、I%]27 冗 2a20)2"]、I%]
，(н ~ Рю ~ ехр
，(н ~ Рю ~ ехр
27 冗 2a20)2"]、I%]
27 冗 2a20)2"]、I%]
где а — эффективный радиус действия молекулярных сил, а М ——приведенная масса сталкивающихся частиц.
Таким образом, для времени релаксации получается следующая характерная температурная зависимость:
т^т^Ае^т-1^,(2.6)
где & = const, а Л — медленная функция температуры. Многочисленные опыты, проведенные в ударных трубах, подтверждают эту зависимость. Что касается чисел, то при низких температурах для возбуждения колебаний нужно очень много столкновений, z = т/тст, при высоких — меньше. Например, в кислороде по данным эксперимента при Т = 288° z = 2,5 X X 107, при Т = 1200° — 5 х 104, при Т - 2400° — 4,5 X Ю3.
При высоких температурах существенную роль в процессе колебательной релаксации играет обмен энергией колебаний при столкновениях между молекулами. Кинетическая теория, учитывающая эти процессы
в наиболее полной форме, была развита А. И. Осиповым (I960). Согласно этой теории при столкновениях молекул могут происходить обмен энергией между поступательными и колебательными степенями свободы и обмен колебательными квантами, причем второй процесс имеет гораздо большую вероятность, чем первый. Поэтому в газе сравнительно быстро устанавливается больцмановское распределение молекул по колебательным уровням, соответствующее имеющемуся в каждый данный момент полному запасу колебательной энергии в газе, а выравнивание поступательной и колебательной температур, сопровождающее обмен энергией между этими степенями свободы, происходит сравнительно медленно.
Обмен колебательными квантами играет существенную роль в установлении колебательного равновесия в смеси газов. Так, например, в воздухе при температурах до ^ 4000° К колебания в азоте возбуждаются не за счет непосредственной передачи поступательной энергии в колебания, а за счет передачи колебательной энергии от молекул кислорода, которые возбуждаются скорее, чем азот. Это было убедительно доказано расчетами А. И. Осипова (I960) и впоследствии подтверждено на опыте.
Экспериментальному изучению колебательной релаксации посвящено много работ. Подавляющее большинство из них выполнено методом измерения дисперсии и поглощения ультразвука (дисперсия и аномальное поглощение возникают в области частот ультразвука, сравнимых с обратным временем релаксации) и на ударных трубах. Первый метод дает времена релаксации при невысоких (комнатных) температурах, второй — в широком интервале температур вплоть до десяти тысяч градусов.
Измерения времени релаксации с помощью ударных труб основаны на исследовании структуры релаксационного слоя за скачком уплотнения. Распределения газодинамических величин в слое определяются уравнениями газодинамики (1.12)—(1.14) (см. п. 1.5), которые решаются совместно с уравнением кинетики. Так, в случае колебательной релаксации кинетика описывается уравнением (2.4), причем полная внутренняя энергия 8 складывается из равновесной части 県ст + евращ ~ 5/2 NkT и неравновесной колебательной энергии ^од/р (на 1 а).
Решение уравнений показывает, что эффективная ширина релаксационного слоя равна примерно Ах ^ ит, где и — скорость за скачком (относительно фронта), а т — время релаксации, соответствующее некоторой средней температуре в слое. Задача, следовательно, сводится к экспериментальному определению ширины релаксационного слоя.
Отметим, что существуют и более точные методы, основанные на более детальном описании распределений в слое с переменным временем релаксации, учитывающие небольшое изменение температуры в слое и другие детали.
Обычно на опыте интерференционными методами определяют распределение плотности газа в релаксационном слое и тем самым ширину слоя Ах, а затем сравнивают измеренные величины с расчетными или сразу же оценивают время релаксации по формуле Ах 冬 их.
Ценные результаты были получены и методом измерения поглощения; света, развитым применительно к изучению релаксации в ударных волнах С. А. Лосевым (1958) и Н. А. Генераловым (1962). Через смотровые окна ударная труба насквозь просвечивается светом от постороннего источника и измеряется изменение во времени поглощения света, когда мимо окон проходит ударная волна с релаксационным слоем. Прглощательная способность в данном участке ультрафиолетового света, который и использовался для этой цели, зависит, во-первых, от числа молекул в 1 еле3 и,
во-вторых, от степени заселенности определенных колебательных уровней. Например, при 九=2245 А для кислорода холодный газ света не поглощает, поглощать могут лишь коле бате льно-в оз буж денные молекулы. Поэтому нарастание поглощения за скачком уплотнения определяется увеличением заселенности колебательных уровней в процессе возбуждения, а уменьшение поглощения в случае достаточно высоких температур связано с диссоциацией молекул. Таким методом С. А. Лосев и Н. А. Генералов измеряли время релаксации в кислороде и углекислом газе при температурах от 1000 до 7000° К.
В работах Н. А. Генералова и С. А. Лосева (1958—1963) получено много данных о колебательной и диссоциационной релаксации в кислороде и в воздухе. Более подробно с этими исследованиями можно познакомиться по книге Е. В. Ступоченко, С. А. Лосева и А. И. Осипова (1965). Там же дается подробная библиография работ советских и иностранных ученых.
2.3. Диссоциация л химические реакции. Релаксация в воздухе. Энергии диссоциации молекул U равны нескольким электроновольтам (у кислорода U = 5,11 as, у азота 9,74 эв, у окиси азота 6,5 as). Молекулы диссоциируют обычно при температурах выше 3000°, важных с практической точки зрения. Температуры в несколько тысяч градусов получаются при движении тел в атмосфере с гиперзвуковыми скоростями. Неравновесная диссоциация в воздухе (так же как и колебательная релаксация) существенным образом влияет на обтекание тела и теплообмен, и потому кинетика диссоциации, в особенности диссоциации компонентов воздуха, изучалась многими авторами.
Согласно классической теории молекулы диссоциируют при соударениях при условии, что суммарная энергия сталкивающихся частиц (поступательная, вращательная, колебательная) превышает энергию диссоциации. Теория столкновений приводит к следующей формуле для константы скорости диссоциации:
• и
(务)笃一(2・7)
(左d"?—— число актов диссоциации в 1 см3 за 1 сек, если " —— число молекул в 1 см3),
В этой формуле о — газокинетическое сечение, у — средняя скорость относительного движения, s ——число, характеризующее степень участия в диссоциации внутренних степеней свободы (s 〜3 для двухатомных молекул), Р — вероятность того, что при столкновении частиц с достаточной энергией действительно произойдет диссоциация. Число Р в этой теории не рассчитывается； его обычно определяют путем сравнения с формулой (2.7) измеренных на опыте скоростей kd-
Согласно современным представлениям основную роль в процессе диссоциации играет колебательная энергия молекул. Е. В. Ступоченко и А. И. Осипов (1958) показали, что вероятность диссоциации невозбужденной молекулы очень мала, даже если поступательная энергия сталкивающихся частиц достаточна для диссоциации. В действительности диссоциируют главным образом молекулы, пребывающие на очень высоких колебательных уровнях, близких к границе диссоциации. Поступательная энергия частиц при этом может и не очень сильно отличаться от средней тепловой. Если предполагать, что распределение молекул по колебательным уровням больцмановское, для скорости диссоциации получается та^же формула (2.7) с соответствующим значением s.
Однако это предположение не всегда оправдывается. Как показано в работе Е. В. Ступоченко и А. И. Осипова (1959), отвод молекул с высших уровней за счет диссоциации может сильно нарушать больцмановское распределение. При этом кинетика диссоциации должна рассматриваться одновременно с кинетикой колебательного возбуждения, причем скорость диссоциации определяется не скоростью распада возбужденных молекул, а более медленным процессом «подачи» молекул на высокие колебательные уровни. При обратном процессе рекомбинации атомов в молекулу энергия диссоциации превращается главным образом в энергию колебаний. Современная теория диссоциации молекул была развита в работах Е. В. Ступоченко и А. И. Осипова (она изложена в их совместной с С. А. Лосевым книге, 1965) и Е. Е. Никитина (1964). На опыте диссоциация изучалась в ударных трубах интерференционными методами и по поглощению света (последнее в работах С. А. Лосева, 1958; Н. А. Генералова и С. А. Лосева, I960).
В этих работах, а также и в других работах этих авторов, которые изложены в книге Е. В. Ступоченко и др. (1965), получены подробные данные о диссоциации в кислороде и воздухе до темпера/ур 〜10 000° К. (Библиографию многочисленных исследований диссоциации см. в той же книге).
В воздухе при температурах выше 2000° протекают реакции диссоциации молекул кислорода и азота и образования окиси азота. Последняя реакция является цепной и протекает по схеме
№ + О 一 NO + N
+
O2 + N 一 NO + OR；O2 二2 而—
Сделано много теоретических расчетов структуры релаксационного слоя в ударной волне в воздухе с учетом всех этих реакций, а также колебательной релаксации. Об этих работах см. в упомянутой книге Е. В. Ступоченко и др. Отметим здесь лишь приближенное аналитическое решение Н. М. Кузнецова (I960, 1962). Цепная реакция образования окиси азота из кислорода и азота при температурах в несколько тысяч градусов впервые была изучена теоретически и экспериментально в работе Я. Б. Зельдовича, П. Я. Садовникова и Д. А. Франк-Каменецкого (1947). Ими были выведены теоретические формулы для суммарных скоростей образования и распада окиси и на опыте измерены константы скорости. Опыты производились в бомбе, в которой взрывалась горючая смесь, содержащая азот и кислород. Количество образующейся окиси измерялось после охлаждения продуктов взрыва. Позднее кинетика образования окиси азота изучалась в ударной трубе (Г. С. Глик, Дж. Дж. Клейн и В. Сквайр, J. Ghem. Phys., 1957, 27 : 4, 850—857), причем полученные результаты хорошо согласуются с результатами первой работы.
2・4・ Ионизация- При температурах порядка 10 000° К и выше в газах происходит ионизация. Ионизационная релаксация в ударной волне также исследовалась с помощью ударных труб (правда, в меньшей степени, чем возбуждение колебаний и диссоциация). Проще всего для экспериментального изучения тяжелые одноатомные инертные газы — аргон, ксенон и др. Большинство работ посвящено аргону. Исследовалась также ионизация воздуха, что представляет значительный практический интерес.
Первое экспериментальное и теоретическое исследование ионизации в аргоне было проведено Г. Петче ком и С. Байроном (Ann. Phys., 1957, 1 : 3, 270—315; русский перевод в сб. «Ударные трубы», М., 1962). Они измеряли в ударной трубе время установления ионизационного равновесия за скачком уплотнения. Степень ионизации измерялась по интенсивности сплошного рекомбинационного спектра излучения и с помощью зондов. Были исследованы ударные волны с числами Маха от 10 до 20 и температурами непосредственно за скачком до 40 000° (равновесными — до 20 000°).
Основным механизмом ионизации является выбивание электронов из атомов электронным ударом. При этом электронный газ черпает свою энергию за счет обмена с ионно-атомным газом. Поскольку электроны затрачивают очень много энергии на ионизацию, электронная температура оказывается довольно низкой по сравнению с температурой тяжелых частиц. Основной вопрос, который так и остался нерешенным в этой работе, да и сейчас еще не вполне ясен,— это вопрос о механизме образования начальных затравочных электронов, с которых начинается электронная лавина. По этому поводу высказывался ряд предположений. Наиболее полное теоретическое исследование ионизации аргона в ударной волне было дано в работе Л. М. Бибермана и И. Т. Якубова (1963). Они пришли к выводу о том, что существенную роль в создании первичной ионизации играет возбуждение атомов перед фронтом ударной волны резонансным излучением, выходящим из нагретого газа за фронтом. В работе Н. М. Кузнецова (1964) рассматривается режим, в котором первичные электроны появляются за счет фотоионизации. Этот режим может осуществляться в достаточно сильных волнах.
Основным механизмом образования электронов в воздухе при низких температурах является реакция ассоциативной ионизации
N + O —> NO+十内
которая требует сравнительно 'малой энергии активации — всего 2,8 as (потенциал ионизации NO — 9,4as). Ионизация в воздухе изучалась экспериментально и теоретически (до скоростей волны 〜10 км/сек) в работе С. Ч. Лина и Дж. Д. Тира (Phys. Fluids, 1963, 6 : 3, 355—375; русский перевод: Вопр. ракеты： техн., 1964, № 5). Расчеты кинетики ионизации при скоростях ударной волны 9—15 км/сек были выполнены Л. М. Биберманом и И. Т. Якубовым (1965). При столь высоких скоростях и температурах ассоциативная ионизация дает только начальные электроны,.а затем развивается электронная лавина, как и в одноатомном газе.
2・5・ Излучение и поглощение света. Одно из наиболее характерных явлений, сопровождающих нагревание газа ударной волной до высоких температур,— это свечение газов. При высоких температурах газы, прозрачные в холодном состоянии, излучают и поглощают свет. Излучение нагретых газов в ударной трубе изучалось многими авторами. Особенно много работ посвящено исследованию оптических свойств воздуха. Излучение воздуха в ударной волне, образующейся при движении тела с очень большими скоростями в атмосфере, может давать существенный вклад в нагрев тела, и при достаточно больших скоростях радиационный нагрев оказывается больше аэродинамического. Значительных успехов в теоретическом изучении оптических свойств нагретого воздуха достигла советская школа, возглавляемая Л. М. Биберманом. Обзор работ Л. М. Бибермана и его сотрудников и библиография содержатся в статье Л. М. Бибермана, В. С. Воробьева, Г. Э. Нормана и И. Т. Якубова (1964).
§ 3・ Сильные взрывы в воздухе
Автомодельное движение при точечном взрыве. Изучение газодинамического движения и физических явлений, которые возникают при сильных взрывах в воздухе, началось в середине сороковых годов и представляет большой теоретический и практический интерес. Основополагающей в этой области явилась ставшая ныне классической работа Л. И. Седова (1946), который на основе развитой ил теории автомодельных движений решил идеализированную задачу о точечном взрыве. Остроумным способом, путем использования интеграла энергии, Л. И- Седову удалось найти точное аналитическое решение уравнений автомодельного движения. Задачей о сильном взрыве независимо занимались также К. П. Станюкович (диссертация) и Дж. И. Тейлор (Proc. Roy. Soc. London, 1950, A201 : 1065, 159—186; см. также его Sci. Papers, т. 3, 1963), которые сформулировали и исследовали уравнения, но не получили их аналитического решения.
Пусть в газе плотности р0 в небольшом объеме за очень короткое время выделяется очень большая энергия Е — столь большая, что возникающее при этом давление, которое по порядку величины равно плотности энергии в начальном объеме, на много порядков больше начального давления в газе р0. От места энерговыделения по газу распространяется ударная волна. Если рассматривать ту стадию процесса, на которой ударная волна ушла далеко от начального объема, энерговыделение можно приближенно считать точечным и мгновенным. В то же время будем считать, что ударная волна ушла от точки взрыва не слишком далеко и давление за фронтом еще намного больше начального давления pQ. При этом можно пренебречь начальным давлением, положив его равным нулю. Кроме того, будем считать газ идеальным с постоянным показателем адиабаты у.
Движение газа определяется только двумя размерными параметрами: энергией взрыва Е и плотностью атмосферы р0. Из этих параметров нельзя составить масштабы с размерностями длины или времени. Следовательно, движение является автомодельным, т. е. зависит только от определенной комбинации координаты г (радиального расстояния от центра взрыва) и времени 九 Эта комбинация представляет собой единственную независимую безразмерную величину, которую можно составить из размерных величин (переменных г и 力 и параметров Е и р0). Автомодельной . переменной служит комбинация
广.(3.1)
Фронту ударной волны соответствует определенное значение переменной Eg, так что закон движения фронта R (Z) описывается формулой
2。图"上(3.2)
Скорость распространения волны равна
0 =筹=告^г母後广等驴(3)"五+(3・3)
Давление, плотность и массовая скорость за фронтом даются предельными формулами для сильной ударной волны:
■卩丄=彳上^主；Pc»' % =(3.4)
Давление изменяется с течением времени по закону 卩工 〜D2 〜t~Q^ 〜 〜7?-з Выведенные из размерностных соображений закономерности легко получить и исходя из простых физических оценок. К моменту t ударная волна достигает радиуса R и захватывает объем газа 4/3л7?3. Давление до порядку величины равно средней плотности энергии, т. е. р 〜刃/右久 Скорость фронта пропорциональна D 〜/р/р。〜/А7ро7?з Интегрируя уравнение dR/dt — D (7?), найдем с точностью до численного коэффициента закон движения волны (3.2).
Распределения давления, плотности и скорости газа по радиусу можно представить в форме
Р = Pi W X®, u = ul(t)u(^), Р = Р?(Е),(3.5)
Рис. 12. Профили давления p/pi, плотности р/р1? скорости и/щ и температуры 77 A Ддя сильного точечного взрыва в газе (у = 1,23).Рис. 12. Профили давления p/pi, плотности р/р1? скорости и/щ и температуры 77 A Ддя сильного точечного взрыва в газе (у = 1,23).где pi (Z), % (Z), Pi — величины на фронте, а р (自)，и (自)，р (占)—искомые безразмерные функции автомодельной переменной £ которую можно записать и в виде 自 ~ ^Qr/R. Последнее соотношение особенно наглядно демонстрирует автомодельность движения, показываяt что с течением времени распределения газодинамических величин не меняют своего характера, а растягиваются по радиусу, оставаясь подобными самим себе. Масштабы давления и скорости и】 уменьшаются с течением времени. Соотношение Pi 〜Е/R3 дает закон подобия для перехода от одних энергий взрыва к другим. Давление на фронте имеет заданную величину на расстояниях, пропорциональных Е'&、или в моменты времени, пропорциональные Е'/з.
Рис. 12. Профили давления p/pi, плотности р/р1? скорости и/щ и температуры 77 A Ддя сильного точечного взрыва в газе (у = 1,23).
Рис. 12. Профили давления p/pi, плотности р/р1? скорости и/щ и температуры 77 A Ддя сильного точечного взрыва в газе (у = 1,23).
Подставляя выражения (3.5) в уравнения газовой динамики, можно получить систему дифференциальных уравнений для функций р, и, р. Ход решения детально изложен в монографии Л. И. Седова «Методы подобия и размерное и в механике». Окончательные формулы можно найти и в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица. Мы здесь приведем лишь графики распределений газодинамических величин во взрывной волне (рис. 12). Характерно, что плотность газа
чрезвычайно резко падает от фронта волны к центру и почти вся масса сосредоточена в тонком слое около поверхности фронта.
3・2・ Роль противодавления и стадия затухания. Автомодельное решение теряет силу, когда давление за фронтом ударной волны становится сравнимым с начальным давлением газа 卩。,вернее, с величиной, на порядок большей, а именно [(у + 1)/(丫 一 1)1 р0. Процесс на этой поздней стадии взрыва уже не автомоделей, так как благодаря появлению нового размерного параметра р0 в задаче теперь имеются масштабы длины и времени. Масштабом длины служит радиус сферы, начальная энергия которой сравнима с энергией взрыва: г0 = (Е/ро)1^. Масштабом времени — время, в течение которого звук пробегает это расстояние: tQ = г0/с0, где с。= =(YPo/po)i/2. Так, например, при взрыве в воздухе нормальной плотности (Ро = 1,25 X 10~3 а/с%з, ро = 1 атм, cQ = 330 м/сек) для энергии Е = 1031 эрг (соответствующей примерно энергии, выделяющейся при взрыве 20 000 т тротила) г。= 1 км,力° = 3 сек.
При учете пр отив о давления задача о взрыве не автомодельна и описывается уравнениями в частных производных, которые можно решать только численными методами. Численное интегрирование на ЭЦВМ было проведено Д. Е. Охоцимским и др. (1957), которые составили подробные таблицы и графики распределений газодинамических величин на разные моменты времени. В сокращенном виде результаты этих расчетов приводятся также в четвертом и последующих изданиях книги Л. И. Седова (1957 и сл.). Расчеты взрыва с противодавлением проводились и за рубежом (Г. Голдстайн и Дж. Нейман, Comm. Pure and Ар pl. Math., 1955, 8 : 2, 327—353; Г. Л. Броуд, J. Appl. Phys., 1955, 26 : 6, 766—775).
Типичные распределения плотности, давления и скорости по радиусу на поздней стадии показаны на рис. 13. Для этих распределений характерно наличие так называемых положительной и отрицательной фаз давления.
Рис. 13. Профили давления р, плотности р и скорости и на поздней стадии взрыва, когда ударная волна становится слабой.Рис. 13. Профили давления р, плотности р и скорости и на поздней стадии взрыва, когда ударная волна становится слабой.Рис. 14. Конечные {t ->■ оо) распределения плотности р и температуры Т при сильном взрыве (в предположении адиабатичности процесса).Рис. 14. Конечные {t ->■ оо) распределения плотности р и температуры Т при сильном взрыве (в предположении адиабатичности процесса).
Рис. 13. Профили давления р, плотности р и скорости и на поздней стадии взрыва, когда ударная волна становится слабой.
Рис. 13. Профили давления р, плотности р и скорости и на поздней стадии взрыва, когда ударная волна становится слабой.
Рис. 14. Конечные {t ->■ оо) распределения плотности р и температуры Т при сильном взрыве (в предположении адиабатичности процесса).
Рис. 14. Конечные {t ->■ оо) распределения плотности р и температуры Т при сильном взрыве (в предположении адиабатичности процесса).
Вдали от фронта ударной волны в центральной области газ приходит в состояние покоя, давление здесь принимает исходное значение pQ. Плотность и температура, естественно, отличаются от начальных, так как энтропия газа возрастает при необратимом сжатии ударной волной. Конечные распределения температуры и плотности в центральной области показаны на рис. 14.
Через достаточно большое время амплитуда ударной волны падает настолько, что ударная волна постепенно вырождается в акустическую и распространяется со скоростью звука.
Предельные законы распространения взрывной волны на больших расстояниях были найдены Л. Д. Ландау (1945). Сзади, в области разрежения, также образуется разрыв. Ширина волны, которая состоит и? областей сгущения и разрежения (положительной и отрицательной фаз)т возрастает по мере удаления от точки взрыва пропорционально (In 7?/。尸/2, где а — постоянная размерности длины. Амплитуда волны (скачок скорости на фронте) убывает как 7?-1 (In RIcl)~1^. Большое практическое значение для расчета действия взрывных волн имеет* эмпирическая формула М. А. Садовского (1945), которая устанавливает зависимость избыточного давления на фронте Ар от комбинации ЕУз/Ц на больших
расстояниях от точки взрыва. Эта формула свидетельствует о том, что закон подобия Ар = / (А^/з/Т?) справедлив и на больших расстояниях, когда ударная волна слабая.
Свечение ударных волн и световые явления при сильных взрывах. В ударных волнах большой амплитуды и при сильных взрывах наблюдаются интересные оптические эффекты, связанные со свечением нагретого газа. Еще А. Мюраур и А. Мишель-Леви (С. г. Acad. Sci., 1934, v. 198, № 9, 16, 19 и 23) отметили, что свечение, наблюдаемое обычно при взрыв вах взрывчатых веществ, не связано с хемилюминесценцией реагирующего ВВ или тепловым излучением продуктов взрыва ——светится окружающий воздух, нагреткй ударной волной. Свечение газа в ударной волне наблюдалось и исследовалось многими авторами. Так, О. И. ' Лейпунский и Я. Б. Зельдович (1943) впервые наблюдали высокие температуры, достигнутые при движении пули в ртутных парах. Свечение при взрывах ВВ наблюдали Я. Б. Зельдович и К. И. Щелкин (1940). Р. Н. Холлиер и др. (Nature, 1953, 171 : 4348, 395——396) обнаружили свечение в отраженной волне в ударной трубе, наполненной ксеноном, Г. Петчек и др. (J. Appl. Phys., 1955, 26 : 1, 83—95) изучали свечение аргона в ударной трубе. За последние десять лет появилось большое число экспериментальных и теоретических работ, в которых изучается свечение газа в ударной трубе.
Мы здесь остановимся на вопросе о яркости фронта ударных волн большой амплитуды и оптических эффектах, наблюдаемых при сильном взрыве в воздухе.
Предположим, что размеры нагретой области за фронтом ударной волны велики, а температура за поверхностью фронта на протяжении оптически большого расстояния меняется мало и близка к температуре фронта 7\. Казалось бы, что в этом случае поверхность фронта должна светиться как абсолютно черное тело температуры 7\. Теория и опыт, однако, показывают, что это отнюдь не всегда так. В основе теории яркости фронта лежат представление о прогреве газа перед скачком уплотнения (см. п； 1.7) и экранировке высоконагретой области прогревным слоем (Я. Б. Зельдович, 1957； Ю. П. Райзер, 1957).
Известно, что коэффициент поглощения света в видимой области спектра xv чрезвычайно резко зависит от температуры в области температур порядка нескольких тысяч и десятков тысяч градусов. Он возрастает с ростом температуры по экспоненциальному закону ехр [—(/ — hv)/kТ], где I — потенциал ионизации атомов, a ^v — величина кванта. Пока температура за фронтом 7\ не очень высока и температура прогревания перед скачком уплотнения Т_ невелика, прогревной слой прозрачен для изучения, выходящего из-за фронта, и яркостная (эффективная) температура света совпадает с истинной температурой нагретого газа. Однако при температурах Тг порядка 70 000—90 000° (в воздухе нормальной плотности) температура прогревания достигает 10 000—20 000° и прогревной слой начинает сильно экранировать область за фронтом. Яркостная температура сначала отстает от роста температуры за фронтом, а при 7\ > > 90 000° начинает резко падать. При 7\ выше 100 000°, что соответствует скоростям фронта больше 40 км/сек, наступает почти полная экранировка и светится практически сам прогревной слой, причем даже при очень высоких температурах за фронтом (в сотни тысяч и миллионы градусов) экранировка не нарушается и светится передний край зоны прогревания. Предельная яркостная температура сколь угодно сильной ударной волны в воздухе равна примерно 20 000°. На рис. 15 показана расчетная
зависимость яркостной температуры от температуры за ударной волной для воздуха нормальной плотности (Ю. П. Райзер, 1957).
Существование максимальной и предельной яркостных температур сильных ударных волн было подтверждено и лабораторными эксперимен-
тами в ксеноне и воздухе (И. Ш. Модель, 1957; А. Е. Войтенко, И. Ш. Модель и И. С. Самоделов, 1966). В этих опытах при помощи высокоскоростной фотографии измерялась яркость сильных ударных волн, получаемых с помощью взрывов ВВ； в последней работе были достигнуты скорости ударной волны 43 км/сек.
Экспериментальные данные удовлетворительно согласуются с теорией.
При сильном взрыве в воздухе наблюдается любопытное явление, которое называется минимумом яркости огненного шара. Оно описано в американской книге «Действие атомного оружия» (1950; русский перевод со 2-го изд.: М., I960). При
Рис. 15. Зависимость яркостной температуры Т^ф поверхности фронта ударной волны в воздухе от истинной температуры 7\ за фронтом (для красного света).Рис. 15. Зависимость яркостной температуры Т^ф поверхности фронта ударной волны в воздухе от истинной температуры 7\ за фронтом (для красного света).распространении сферической взрывной волны поверхность фронта ударной волны ярко светится, образуя так называемый «огненный шар».
Рис. 15. Зависимость яркостной температуры Т^ф поверхности фронта ударной волны в воздухе от истинной температуры 7\ за фронтом (для красного света).
Рис. 15. Зависимость яркостной температуры Т^ф поверхности фронта ударной волны в воздухе от истинной температуры 7\ за фронтом (для красного света).
Яркость свечения уменьшается сЯркость свечения уменьшается сРис. 16. Зависимость радиуса /? (м) и температуры Т (°К) огненного шара от времени t (сек), начиная с момента взрыва.Рис. 16. Зависимость радиуса /? (м) и температуры Т (°К) огненного шара от времени t (сек), начиная с момента взрыва.течением времени по мере ослабления амплитуды волны и падения температуры за фронтом. Так происходит до температуры примерно 3000—2000 °К. Затем же яркость (или- яркостная температура излучения), пройдя ^через
Яркость свечения уменьшается с
Яркость свечения уменьшается с
Рис. 16. Зависимость радиуса /? (м) и температуры Т (°К) огненного шара от времени t (сек), начиная с момента взрыва.
Рис. 16. Зависимость радиуса /? (м) и температуры Т (°К) огненного шара от времени t (сек), начиная с момента взрыва.
914,4914,49Ш9ШРис. 17. Линии фронта ударной волны: (Уб), границы огненного шара (ОШ) и фронта волны охлаждения (ВО) на диаграмме г (м) — t (сек) (примерные масштабы относятся к энергии взрыва Е а 1021 эрг).Рис. 17. Линии фронта ударной волны: (Уб), границы огненного шара (ОШ) и фронта волны охлаждения (ВО) на диаграмме г (м) — t (сек) (примерные масштабы относятся к энергии взрыва Е а 1021 эрг).минимум, начинает возрастать, и огненный шар как бы снова разгорается. Яркость проходит через максимум и потом постепенно падает (рис. 16). В моменты, близкие к моменту минимума яркости, ударная волна отрывается от границы светящейся области и, будучи уже невидимой, уходит вперед (рис. 17) (в течение некоторого времени после отрыва ударную волну можно наблюдать благодаря рефракции солнечного света).
914,4
914,4
9Ш
9Ш
Рис. 17. Линии фронта ударной волны: (Уб), границы огненного шара (ОШ) и фронта волны охлаждения (ВО) на диаграмме г (м) — t (сек) (примерные масштабы относятся к энергии взрыва Е а 1021 эрг).
Рис. 17. Линии фронта ударной волны: (Уб), границы огненного шара (ОШ) и фронта волны охлаждения (ВО) на диаграмме г (м) — t (сек) (примерные масштабы относятся к энергии взрыва Е а 1021 эрг).
Природа минимума яркости огненного шара была выяснена Ю. П. Райзером (1958, 1959). При температурах порядка нескольких тысяч градусов свечение воздуха связано с молекулярным излучением двуокиси азота, которая образуется в небольшом количестве в нагретом воздухе (концентрация порядка 10~4). Благодаря образованию двуокиси ударная волна светится вплоть до температуры за фронтом Тг ^ 2000 °К, однако яркостная температура оказывается выше Т^ так как воздух за фронтом не вполне непрозрачен и частично пропускает высокотемпературное излучение,, выходящее из более глубоких и более высоко нагретых слоев (см. распределение температуры за фронтом взрывной волны на рис. 12).
Слои воздуха, нагреваемые ударной волной до температур Тг ниже 2000 °К, уже не светятся, так как в этих слоях не образуется окиси азота, из которой затем получается двуокись (отсюда отрыв ударной волны от границы огненного шара). Это связано с исключительно резкой температурной зависимостью скорости реакции окисления азота (кинетика этой реакции была детально исследована экспериментально в лабораторных условиях и теоретически Я. Б. Зельдовичем, П- Я. Садовниковым и Д. А. Фр анк- Каменецким, 1947; см. и. 2.3). Образовавшийся ранее слой двуокиси, по мере увлечения вперед вместе с волной, становится оптически все более тонким (из-за сферического фактора) и все более прозрачным для высокотемпературного излучения нагретых слоев. Это и ,ведет к «разгоранию» огненного шара. Яркостная температура огненного шара, однако, не поднимается выше примерно 10 000° (так как слои с такой температурой чрезвычайно сильно поглощают свет и полностью непрозрачны для излучения более глубоких слоев с более высокой температурой).
Охлаждение воздуха излучением и «волна охлаждения». В результате прохождения ударной волны сильного взрыва остается большой объем вздуха, нагретого до высоких температур в десятки и даже сотни тысяч градусов — тем более высоких, чем ближе к точке взрыва (см. рис. 14). Например, при взрыве с энергией 〜10 21 зра радиус нагретого объема имеет порядок сотни метров. Возникает вопрос, какова судьба остаточной энергии воздуха, необратимо нагретого ударной волной, и как остывает этот воздух (заметим, что остаточная энергия составляет заметную долю от полной энергии взрыва). Этот вопрос был рассмотрев: в работах Я. Б. Зельдовича, А. С. Компанейца и Ю. П. Райзера (1958).
Оценки показывают, что рассасывание энергии за счет молекулярной теплопроводности протекает очень медленно, относительно медленно происходят и конвективный подъем нагретого шара и перемешивание нагретого воздуха с окружающим холодным. Основную роль играет охлаждение воздуха за счет светового излучения, что оказывается возможным благодаря наличию прозрачного «окна» в спектре поглощения холодного воздуха —«окна», лежащего в видимой области спектра.
Характерной особенностью процесса высвечивания энергии из нагретого вздуха является его нестационарность, что отличает данный процесс от процесса свечения звезд. Благодаря чрезвычайно резкой зависимости коэффициента поглощения света воздухом от температуры xv ~ ~ ехр [—(/ —— hv)/kT]; излучает фактически весьма тонкий слой с температурой порядка 10 000 °К. Наружные слои с более низкими температурами прозрачны и не излучают; внутренние слои с более высокими температурами совершенно непрозрачны и не пропускают излучения на значительное расстояние. Поэтому в плавном сначала распределении температуры образуется «выемка» в области температуры «прозрачности»
Г2 ^ 10 000 °К (рис. 18). В дальнейшем эта выемка приобретает вид температурного уступа, который распространяется в глубь нагретого шара к центру. Один за другим слои вздуха охлаждаются от начальной температуры до температуры Т2 ^ 10 000°, после чего становятся прозрачными и перестают излучать.
Таким образом, воздух охлаждается в результате распространения по нему некоего узкого температурного уступа —«волны охлаждения»
Рис. 18. Возникновение уступа (волны охлаждения) из непрерывного распределения температуры и его распространение в покоящемся воздухе 血 V 产 Vt吟*Рис. 18. Возникновение уступа (волны охлаждения) из непрерывного распределения температуры и его распространение в покоящемся воздухе 血 V 产 Vt吟*Рис. 19. Возникновение и распространение волны охлаждения в разлетающемся и адиабатически охлаждающемся воздухе (% V，＜ 产 V 产)， отнесенное к лагранжевой координате.Рис. 19. Возникновение и распространение волны охлаждения в разлетающемся и адиабатически охлаждающемся воздухе (% V，＜ 产 V 产)， отнесенное к лагранжевой координате.
Рис. 18. Возникновение уступа (волны охлаждения) из непрерывного распределения температуры и его распространение в покоящемся воздухе 血 V 产 Vt吟*
Рис. 18. Возникновение уступа (волны охлаждения) из непрерывного распределения температуры и его распространение в покоящемся воздухе 血 V 产 Vt吟*
Рис. 19. Возникновение и распространение волны охлаждения в разлетающемся и адиабатически охлаждающемся воздухе (% V，＜ 产 V 产)， отнесенное к лагранжевой координате.
Рис. 19. Возникновение и распространение волны охлаждения в разлетающемся и адиабатически охлаждающемся воздухе (% V，＜ 产 V 产)， отнесенное к лагранжевой координате.
Рис. 20. Схематическое изображение профилей температуры Т и плотности р газа во фронте волны охлаждения (стрелка и показывает направление скорости воздуха, вте-» кающего в волну).Рис. 20. Схематическое изображение профилей температуры Т и плотности р газа во фронте волны охлаждения (стрелка и показывает направление скорости воздуха, вте-» кающего в волну).
Рис. 20. Схематическое изображение профилей температуры Т и плотности р газа во фронте волны охлаждения (стрелка и показывает направление скорости воздуха, вте-» кающего в волну).
Рис. 20. Схематическое изображение профилей температуры Т и плотности р газа во фронте волны охлаждения (стрелка и показывает направление скорости воздуха, вте-» кающего в волну).
Если учесть дополнительное охлаждение за счет не вполне прекратив
шегося адиабатического расширения, то последовательные распределения
температур приобретут вид, показанный на рис. 19.
Как показывают расчеты, волна охлаждения распространяется по воздуху с дозвуковой скоростью. Эта скорость определяется только уравнением энергетического баланса, которое остается от системы урав* нений сохранения, аналогичных соотношениям на фронте ударной волны. (Уравнение импульса сводится к условию равенства давлений по обе стороны волны.) Если и — скорость распространения волны по массе, Wi ——удельная энтальпия воздуха перед волной, a w2 — энтальпия охлажденного воздуха, pi — плотность перед волной и §2 —— поток излучения, выходящего с поверхности волны вовне, то уравнение энергии имеет вид
S2 = plv(wl — w^),w = w(T, р).
Зная температуру прозрачности Г2 ^ 10 000° и w2, можно вычислить ■скорость волны и в каждой точке и распределения р1? wr (^, р0, если известен поток излучения S?. .
Последнюю величину можно определить, рассматривая внутреннюю 『структуру фронта волны охлаждения (рис. 20). Оказывается, что излучает
всегда нижний край волны и 52 ^ 2оТ；, При атмосферном давленииt т. е. в самом конце взрывного процесса, скорость и имеет порядок одного или нескольких километров в секунду. С такой скоростью волна стягивается к центру, как бы срезая высокие температуры в центральной области до температуры прозрачности Z2 冬 10 000° (см. рис. 19 и 17). Если размеры нагретого тела R ~ 100 九,то при и 〜1 км/сек волна добегает до центра за 力 ~ 0,1 сек. За это время воздух охлаждается от температур в десятки и сотни тысяч градусов до 7\ ^ 10 000°. После этого воздух продолжает охлаждаться за счет излучения, но более медленно, причем вскоре объем становится прозрачным и излучение принимает объемный характер.I • ■
Автомодельные газовые течения второго рода
Два типа автомодельных решений. Существуют движения газа, отличительным свойством которых является внутреннее подобие. Такие движения называются автомодельными. Распределение по координате любой из газодинамических величин (скажем, давления) в автомодельном движении эволюционирует таким образом, что во времени изменяются только масштаб давления П и координатный масштаб области, охваченной движением Е, профиль же или распределение остается неизменным. Путем растяжения и сокращения масштабов давления и координаты можно добиться полного совпадения кривых р (г), отвечающих различным моментам времени. Типичным примером автомодельных движений может служить рассмотренная в п. 3.1 задача о сильном точечном взрыве.
Как показал Л. И. Седов, движение является автомодельным, если из параметров задачи нельзя составить масштабов длины или времени и, следовательно, координата г не может входить в рашение отдельно от времени; она входит только в комбинации со временем в виде безразмерной автомодельной переменной 自，составленной из г, ^ и размерных параметров.
Автомодельные рашения играют исключительно важную роль в газовой динамике, так как в одномерном случае система уравнений в частных производных сводится к системе о бы кнов енных уравнений.
Система может быть без труда решена численно (а иногда и аналитически) в отличие от уравнений в частных производных, даже численное решение которых часто представляет большие трудности.
Запишем уравнения газовой динамики для одномерных адиабатических течений:
d In рd In р, 1пр ., 1пр .ди дгди дг
d In р
d In р
, 1пр .
, 1пр .
ди дг
ди дг
(4.1)(4.1)ди , ди . 1 др с
(4.1)
(4.1)
鼻 In рр-т + W In pp-T = 0.
Здесь число v — 1,2,3 для плоского, цилиндрического и сферического случаев соответственно. Представим решение уравнений в виде произведения масштабных функций, зависящих от времени, на новые неизвестные функции автомодельной переменной 自—r!R, где R = R (力)一 переменная длина, свойственная данной задаче (например, координата фронта ударной волны). Выбирая в качестве основных масштабы длины R
и плотности ро, напишем
p = pQR^n (g), p = pog(y, u^Rv(^)(4.2)
(масштаб давления 口 =卩0左2)
Подставим выражения (4.2) в уравнения (4.1) и положим
7? = 4 ро =及*(4.3)
где Л, Б, а, р — константы (если масштаб плотности постоянный, то р = 0). При этом переменные разделяются, и мы получаем систему обыкновенных уравнений для новых функций — представителей л;(自)， g(W), и ⑸：
小 + (и—自)(In g)f + (v — 1) -|- =1~ ,工'u + ("—自)房+ g = 0,，(4.4)
2(a —叱 В(1—у) + (—у(in ngf )，= 0.
Аналогично преобразуются граничные и начальные условия. Таким образом, все масштабы в автомодельном движении зависят от времени или координаты R по степенным законам (например, р 〜力6+2(«—〔)冗〜 〜R[B+2 (a—〔)]/仪冗)，а автомодельная переменная имеет вид
自二齐意.他.5)
Как заметил К. П. Станюкович (1955), кроме степенной, возможна и экспоненциальная автомодельность, при которой 自 = rl^A'^1). Однако в большинстве практически интересных задач автомодельность имеет степенной характер.
Известны два существенно различных типа автомодельных решений. Решения первого рода обладают тем свойством, что показатель автомодельности а, а вместе с ним и показатели степеней при t или R во всех масштабах определяются из соображений размерности или законов сохранения. В задачах этого типа всегда имеются два параметра с независимой размерностью. Из них можно составить параметр Л, размерность которого не содержит символа массы, а содержит только символы длины и времени. С помощью этого параметра и можно построить безразмерную комбинацию 自=rlAta — автомодельную переменную. Размерность параметра Л — см^сек~а немедленно определяет показатель автомодельности а. Зная а, можно интегрировать и систему (4.4).
Автомодельные движения первого рода были впервые детально исследованы Л. И. Седовым *), который, исходя из соображений размерности, построил общую теорию таких движений и решил много конкретных практически важных задач. Типичным примером движений первого рода является задача о сильном взрыве, в которой имеется два размерных параметра: энергия взрыва Е г^с^^сек^ и плотность газа р0 г/cj^^ тан что Л = (£7po)i/5 см^сек^^,自=г/^/ро)1/5^2/6, а = 2/5.
Здесь будет рассмотрена только теория автомодельных течений второго рода, в исследовании которых заслуга также во многом принадлежит советским авторам. В этих задачах показатель а нельзя найти из сообра-
жений размерности или законов сохранения. Показатель определяется в ходе решения дифференциальных уравнений (4.4) как собственное число задачи, при котором только и можно удовлетворить граничным условиям. В исходных условиях задач второго рода имеется только один размерный параметр, причем он содержит символ массы, и отсутствует второй, с помощью которого можно было бы составить параметр Л. Это и лишает нас возможности найти показатель а без решения уравнений. Конечно, задачам второго рода также свойствен некий размерный параметр Л см^секГ^^ в противном случае невозможно было бы составить безразмерную комбинацию 自=г/А ^а. Однако размерность этого параметра не диктуется условиями задачи, а сама находится из решения уравнений. Численное значение параметра Л нельзя найти из уравнений автомодельного движения. Его можно определить, только зная, как автомодельное движение возникло из общего, неавтомодельного. Ниже будут рассмотрены конкретные задачи движений второго рода.
Схождение ударной волны к центру. Эта интересная и практически важная задача — первая из решенных автомодельных задач второго рода — была независимо сформулирована и решена Г. Гудерлеем (Luft- fahrt-Forschung, 1942, 19 : 9, 302—312) и Л. Д. Ландау и К. П. Станюковичем. Последняя работа впервые была изложена в книге К. П. Станюковича (1955). Представим себе, что по газу постоянной начальной плотности ро и нулевого давления к центру сходится сферически-симметричная ударная волна. Причины ее возникновения роли не играют (например, это мог быть поршень, который толкнул газ внутрь, сообщив ему некоторую энергию). По мере приближения волны к центру происходит концентрирование энергии в области фронта (кумуляция) и ударная волна усиливается. В моменты, близкие к моменту фокусировки, движение в окрестности фронта как бы «забывает» о начальных условиях и выходит за некий предельный режим, который является автомодельным, так как в задаче при этом нет характерного параметра длины или времени. Более того, движение, очевидно, должно относиться ко второму роду, так как размерный параметр в задаче только один — плотность р0.
На самом деле предельное движение не полностью «забывает» о начальных условиях. Оно забывает о форме начального движения, но выбирает из всей многообразной информации, представляемой начальными условиями, единственное число Л — то самое, которое входит в автомодельную переменную и которое характеризует интенсивность начального толчка.
За начало отсчета времени 力=0 в этой задаче удобно принять момент фокусировки, когда радиус фронта ударной волны 7? = 0. В связи с этим определение (4.5) переменной 自 приходится несколько изменить, положив
e = /( 一力)\e = /( 一力)\S 2 4(Т)аS 2 4(Т)а
e = /( 一力)\
e = /( 一力)\
S 2 4(Т)а
S 2 4(Т)а
Формально решение охватывает все пространство, так что —оо v V%W°, R《r V. оо, 1《自＜8, однако фактически автомодельное решение справедливо лишь в области с радиусом порядка Е, а на больших расстояниях как-то смыкается с решением полной неавтомодельной задачи.
Ход решения и исследование уравнений, типичные для любых автомодельных задач второго рода, подробно описаны в книге Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера (1963 и 1966), причем последовательность рассуждений там основана на рациональной системе изложения, предложенной
Н. А. Поповым. Мы здесь не будем воспроизводить этот довольно длинный процесс, а отметим лишь основные особенности, свойственные автомодельным движениям второго рода.
Система трех уравнений (4.4) сводится к одному нелинейному дифференциальному уравнению типа dZ/dV = А3 (Z,卩)/А】(Z, V), алгебраическому соотношению и квадратуре. Здесь Z и V — новые функции — представители квадрата скорости звука с* = yp/Q и скорости, определенные через старые функции л, g, и и автомодельную переменную 自 формулами Z = с^ул/др, у — au/自，a Aj и А3 — функции, которые определяются некоторыми детерминантами.
Рис. 21. Диаграмма г—J для процесса схождения ударной волны к центру (§=1 — линия фронта ударной волны, Е = Eq — —§0-линия; проведено несколько характеристик семейств С^ и С_).Рис. 21. Диаграмма г—J для процесса схождения ударной волны к центру (§=1 — линия фронта ударной волны, Е = Eq — —§0-линия; проведено несколько характеристик семейств С^ и С_).Выражения для давления, плотности и скорости на фронте ударной волны через скорость фронта R определяют граничные значения Z (1), V (1) при 自 = 1. Из условия ограниченности газодинамических величин на любом конечном радиусе в момент фокусировки 力=0 следует, что Z (оо) = 0,卩(оо) ~ 0. Таким образом, мы получаем одно дифференциальное уравнение, причем интегральная кривая должна проходить^ через две заданные точки, что возможно лишь при избранном значении параметра а, входящего в уравнение. Уравнение, как показывает исследование, имеет особую точку, где А1 = 0иАз = 0, и истинная интегральная кривая, выходящая из точки, соответствующей фронту, непременно должна пройти через особую точку для того, чтобы достичь точки, соответствующей бесконечности. Условие прохождения интегральной кривой через особую точку и определяет показатель автомодельности а.
Рис. 21. Диаграмма г—J для процесса схождения ударной волны к центру (§=1 — линия фронта ударной волны, Е = Eq — —§0-линия; проведено несколько характеристик семейств С^ и С_).
Рис. 21. Диаграмма г—J для процесса схождения ударной волны к центру (§=1 — линия фронта ударной волны, Е = Eq — —§0-линия; проведено несколько характеристик семейств С^ и С_).
Особой точке Vo, — ^0 на плоскости г, I соответствует так называемая g0~линияГ = Ц R = Iq А (―力产. Она
показана на рис. 21, где проведена также линия фронта ударной волны ^0 = 1 и характеристики С+ и О_. ^0-линия обладает важным свойством; она является С _~харак- теристикой и ограничивает область влияния. Состояние движения в данный
момент времени в тех точках, которые лежат правее 自о-линии (на расстояниях от фронта ударной волны г > г。= 7?(力)^0), никак уже не повлияет на движение ударной волны. Влияние оказывает только область, заключенная между ^-линией и (自 = 1)~линией фронта.
Практически решение уравнения и показатель автомодельности находят методом попыток: задаются значениями а и численно интегрируют уравнение Z (V), добиваясь, чтобы интегральная кривая прошла через особую точку. Л. Д. Ландау и К. П. Станюкович указали приближенный метод, с помощью которого можно найти значение а, весьма близкое к фактическому. Это значение было ими использовано для первой попытки и затем уточнено. После того как найдены а и функция Z (У), отыскание всех функций-представителей в зависимости от 自 не составляет труда. Таким путем в работах JL Д. Ландау и К, П, Станюковича и Г. Гудерлея было найдено значение а — 0,717 для показателя адиабаты у = 7/5. Кроме того, в первой работе было найдено, что a f 1 при у f 1, и получено а = =0,638 для значения у = 3, которое соответствует приближенному опцса- 16 Механика в СССР, том 2
нию уравнения состояния конденсированных веществ (Л. Д. Ландау и К. П. Станюкович, 1945).
Законы изменения радиуса и скорости фронта и давления за фронтом при у = 7/5 таковы: R ^ \ t |0»717, А ~ | 力 |*0»283 ~ 区-。声95,丛〜| 力［-о,566 〜 五"°>79 Распределения скорости и давления по радиусу на разные
Рис. 22・ Распределения давления Р (в произвольных единицах) и скорости и (км/сен) по радиусу г (см) в разные моменты времени t (10-5 сек) при схождении ударной волны к центру (丫 = %).Рис. 22・ Распределения давления Р (в произвольных единицах) и скорости и (км/сен) по радиусу г (см) в разные моменты времени t (10-5 сек) при схождении ударной волны к центру (丫 = %)./5 показаны на рис. 22, взятом из книги К. П. Станюковича (1955). В момент фокусировки давление и температура на фронте становятся бесконечными; плотность остается конечной, на фронте волны она равна ((Y + 1)/(Y — 1)】Ро・
Рис. 22・ Распределения давления Р (в произвольных единицах) и скорости и (км/сен) по радиусу г (см) в разные моменты времени t (10-5 сек) при схождении ударной волны к центру (丫 = %).
Рис. 22・ Распределения давления Р (в произвольных единицах) и скорости и (км/сен) по радиусу г (см) в разные моменты времени t (10-5 сек) при схождении ударной волны к центру (丫 = %).
После момента фокусировки отраженная от центра ударная волна распространяется по газу, движущемуся ей навстречу к центру. Движение в этой стадии также автомодельно, причем показатель а остается прежним; радиус фронта теперь R ta (t> 0). Плотность газа за фронтом отраженной волны при у = ‘厶 в 23 раза больше плотности за фронтом падающей волны (pi = 6р0) и равна р； = 137,5 р0.
Схождение к оси цилиндрической ударной волны рассматривали Е. И. За- бабахиниМ. Н. Нечаев (1957) и Я. Е. Зель* дович (1957) (в акустическом приближении)* 4・3・ Захлопывание пустой сфериче* ской полости в жидкости. С процессом схождения ударной волны к центру имеет ряд общих черт процесс захлопывания
пузырьков в жидкости. Припузырьков в жидкости. Призахлопывании также происходит кон
пузырьков в жидкости. При
пузырьков в жидкости. При
центрирование энергии, и скорость движения границы жидкости и давление нарастают при уменьшении радиуса, достигая в момент фокусировки больших значений. После схлопывания в центральной области образуется пик давления и от центра распространяется ударная волна.
Задачу о движении жидкости при захлопывании пузырька решал еще Дж. В. Рейли (Phil. Mag., 1917,34 : 200, 94—98), который считал жидкость невязкой и несжимаемой; пузырек считался пустым (давление на границе равно нулю). Предельное движение, когда радиус пузырька становится гораздо меньше начального, сводится к автомодельному, однако это — автомодельность первого рода, так как в задаче имеются параметры: полная энергия Е и плотность р. Радиус цузырька R 〜(£7p)i/5 (—力)％, Я ~ (一力)-3/5.
С учетом сжимаемости задачу о захлопывании пузырька в воде решал К. Хантер (J. Fluid Meeh., 1960, 8 : 2, 241—263). Уравнение состояния
воды принималось в форме, аналогичной уравнению состояния газа при адиабатическом процессе р ~ В (р/ро)^ с у = 7. Величина В считалась постоянной, т. е. течение — изэнтропическим. Хантер рассматривал автомодельное движение (нет начального радиуса); задача относится ко второму роду. Показатель а в законе захлопывания R ~ (—力)а показался равным а = 0,555 для у = 7.
Исследование автомодельных задач о сходящейся ударной волне и о захлопывающейся полости в жидкости, проведенное Я. М. Кажданом и др. (1956), показало, что не при всех показателях адиабаты у решения
единственно. (Результаты этой работы изложены в обзоре К. В. Брушлин- ского и Я. М. Каждана, 1963, посвященном математическим аспектам автомодельных задач второго рода.) Решение единственно при 1 < у < 1,87 в задаче о сходящейся волне и при у > 8,47 — в задаче о захлопывающейся полости. При у > 1,87 в первом случае и 1 < у < 8,47 — во втором каждому значению у соответствует целый интервал значений показателя автомодельности, и им отвечают, вообще говоря, неаналитические решения, имеющие разрыв на ^0-линии. Они не имеют физического смысла, и их следует отбросить. Однако при каждом у существует и серия аналитических решений. Надо полагать, что из них осуществляется только одно решение, соответствующее наибольшему значению показателя автомодельности.
К интересным закономерностям при рассмотрении задачи о захлопывании сферической полости с заданным начальным радиусом R@ приводит учет вязкости жидкости (Е. И. Забабахин, I960). Характер движения зависит от числа Рейнольдса Re — (Eo/w),р°/р, где v — кинематическая вязкость, ро — давление на бесконечности. Если число Рейнольдса больше некоторого критического значения Re* (малая вязкость), то скорость границы 7? неограниченно возрастает при 7? -> 0 по такому же закону, как и в задаче Рейли: R \ t\ 一今/5 〜7?з/% но с меньшим значением коэффициента пропорциональности вследствие диссипации части энергии. Если же Re V Re* (большая вязкость), захлопывание происходит медленно, за бесконечное время, и кумуляции энергии нет. При Re = Re* пузырек захлопывается за конечное время, но скорость R растет слабее, чем/?-1.
Численное интегрирование дало Re* = 8,4. Например, в воде (” = =0,01 cj^/сек, р = 1 а/с九% 卩。=1 атм) критический начальный радиус Е： = 0,8 X 10~4 см. Следовательно, вязкость влияет на захлопывание только чрезвычайно маленьких пузырьков.
Распространение ударной волны по газу с плотностью, уменьшающейся по степенному закону. Плоскую задачу с фиксированной границей газа рассматривали Г. М. Гандельман и Д. А. Франк-Каменецкий (1956). Л. И. Седов (195 6, 1957) и И. М. Яворская (1956) рассматривали сферическую детонационную волну, причем автомодельное движение относилось к первому роду. Первая из упомянутых задач представляет собой идеализированную модель процесса выхода ударной волны на поверхность звезды, так как вблизи поверхности плотность звезды спадает по степенному закону типа р00 = Ьх^ (Ь, 6 — const), где1 координата х отсчитывается от поверхности вглубь (плоская задача). Распространение ударной волны по газу с падающей плотностью сопровождается кумуляцией энергии, что представляет большой интерес для астрофизики и проблемы возникновения космических лучей.
Предельное движение в окрестности фронта ударной волны, так же как и в задаче о схождении волны к центру, «забывает» о начальных условиях и является автомодельным. В задаче имеется только один размерный параметр Ь, так что автомодельность — второго рода. В качестве масштаба плотности ро здесь следует принять плотность невозмущенного газа перед фронтом ударной волны р0 = р00 (X) = ЬХ§, где X ——координата фронта, причем X = А (——力)仪,если волна* выходит на поверхность в момент 力=0. Задача решается вполне аналогично задаче о схождении ударной волны. В работе Г. М. Гандельмана и Д. А. Франк-Каменецкого найдено, что а = 0,590 при 6 = 3,25 и у = 5/3. Распределения плотности давления и скорости показаны на рис. 23. В отличие от задачи о фокусировке волны,
давление здесь падает при X f 0. Однако плотность энергии и температура неограниченно возрастают. После выхода ударной волны на поверхность
Рис. 23. Профили плотности р, давления р и скорости и при выходе ударной волны на поверхность звезды (У 0 — до выхода; £ = 0 — момент выхода; £ > 0 — после выхода).Рис. 23. Профили плотности р, давления р и скорости и при выходе ударной волны на поверхность звезды (У 0 — до выхода; £ = 0 — момент выхода; £ > 0 — после выхода).начинается истечение нагретого газа в пустоту, которое также автомодельно (но ударной волны теперь нет; показатель а тот же). Впоследствии задача была решена также А. Сакураи (Comm. Pure and Appl. Math., 1960, 13 : 3, 353—370), который нашел значения а для нескольких у и 8.
Рис. 23. Профили плотности р, давления р и скорости и при выходе ударной волны на поверхность звезды (У 0 — до выхода; £ = 0 — момент выхода; £ > 0 — после выхода).
Рис. 23. Профили плотности р, давления р и скорости и при выходе ударной волны на поверхность звезды (У 0 — до выхода; £ = 0 — момент выхода; £ > 0 — после выхода).
Движение газа под действием кратковременного удара. Представим себе полупространство х > 0, з анятое идеальным газом с постоянной плотностью р0 и нулевым давлением. Полупространство 力 V 0 — пустое. Пусть, начиная с момента 力=0, на наружную поверхность газа действует кратковременный импульс давления 卩口 (力), -например, газу дан толчок поршнем или в тонком поверхностном слое происходит энерговыделение. Иными словами, на поверхность в течение времени порядка 工 действует давление порядка П, так что р^ (^) = И /(〃项 где функция / характеризует форму импульса.
От поверхности по газу распространяется ударная волна, которая затухает с течением времени, а газ, нагретый волной, истекает в пустоту. Распределения давления плотности и скорости газа по координате имеют вид, показанный на рис. 24. Требуется найти предельное движение» соответствующее ^/т —> оо. Очевидно, в этой стадии движение 《забывает» о деталях начального толчка и является автомодельным.
Эта задача была поставленаг и исследована в работе Я. Б. Зельдовича
(1956), где были выяснены физические особенности возникающего движения
о кратковременном ударе.о кратковременном ударе.и особенности математического решения, свойственные вообще автомодельным движениям второго рода. Исследование уравнений и численное интегрирование были проведены В. Б. Адамским (1956). А. И. Жуков и Я. М. Каждая (1956), В. Хефеле (Z. Naturforsch., 1955, 10а : 12, 1006—1027) и С. Хернер (там же, 1955, 10а : 9-10, 687—692) нашли аналитическое решение для одного частного случая (у = 7/5). Последние две работы являются развитием статьи К. Вейцзеккера (там же, 1954, 9а : 4, 269—275), в которой ставился вопрос о пределах, изменения показателя автомодельности при плоских движениях. Однако в работах Вейцзеккера, Хефеле и Хернера не был выяснен физический смысл полученного формальным
о кратковременном ударе.
о кратковременном ударе.
путем решения.
На конкретном примере описанной задачи в работе Я. Б. Зельдовича было выяснено, почему показатель автомодельности в задачах второго рода
нельзя определить из законов сохранения, как это делается в задачах первого рода. *
Составим выражения для полных энергии Е и импульса газа I и прет образуем их с помощью автомодельного представления функций (4.2) (в соответствии с плоским характером движения будем обозначать координату фронта через X вместо 7?). Получим
CO 1
j pud/ = p()Mx j gu就"
В силу законов сохранения множители, стоящие перед интегралами, следовало бы считать не зависящими от времени.
Но тогда из первого уравнения немедленно следует, что X 〜 尸％ и а = 2/3, а из второго X 〜 产及 и а = ^厶"Взятые вместе эти условия противоречат друг другу, и создается впечатление, что законы сохранения энергии и импульса не могут выполняться одновременно, т. е. задача не имеет автомодельного решения.
Разрешение этого парадокса заключается в том, что автомодельность относится ко второму роду, причем энергия в автомодельном движении бесконечна, а импульс равен нулю. При этом множители перед бесконечным и нулевым интегралами, естественно, нельзя уже считать постоянными. Как показывает рассмотрение баланса энергии и импульса газа, заключённого между фронтом ударной волны и поверхностью, на которой массовая скорость равна нулю и меняет знак, энергия этой массы уменьшается с течением времени (она вытекает в сторону пустоты), а импульс растет (одновременно растет и компенсирующий его импульс той массы, которая движется в сторону пустоты). Отсюда следует, что показатель а заключен между значениями 丄/之 и 2/3, соответствующими сохранению полного импульса и полной энергии (ударная волна затухает скорее, чем в задаче о сильном взрыве).
Показателю автомодельности а соответствует размерность параметра Л в законе движения ударной волны X = Л^а, равная [А] см^сек^. Постоянная Л определяется начальным толчком и по порядку величины равна следующей комбинации из трех характерных масштабов:
Численный коэффициент (точное значение Л) зависит от формы импульса давления, т. е. функции / (i/т). Для существования предельного решения нужно, чтобы произведение П^т1-01 оставалось конечным в пределе при т —> О, П —> оо； иными словами, при устремлении т к нулю давление, «поршня» П должно расти как П 〜т~2(1_а)-> оо. Но при этом условии импульс, сообщенный газу «поршнем», /〜口工〜工2仪-工+о, а энергия Е ~ ГГ (IT/pJ/zt 〜ga-2 f оо ((U/p0)i/2 — масштаб начальной скорости газа). Энергия оказывается бесконечной из-за бесконечности скорости разлета границы газа в пустоту. Импульс же равен нулю из-зд полной компенсации односторонних импульсов тех масс, которые движутся в сторону ударной волны и в сторону пустоты. На самом деле, разумеется, полная энергия конечна, так как конечна скорость разлета границы газа в цусто-
ту, которая имеет порядок (П/р。)％. Это означает просто, что автомодельное решение справедливо не всюду. Оно не описывает движения той массы газа Tn。, которая подвергалась действию начального удара (тп。〜 〜ро (H/po)i/2 т) и несет в себе отпечаток начальных условий. Однако в пределе при Их -> оо эта масса становится исчезающе малой по сравнению со всей массой газа М = j р охваченной движением, так что здесь нет противоречия с общей тенденцией выхода неавтомодельного движения на автомодельный режим, •
По счастливой случайности уравнения автомодельного движения с граничными условиями, соответствующими задаче о кратковременном ударе (на фронте ударной волны при 自=1 выполняются известные соотношения, на границе с пустотой при 自=——оо давление равно нулю), допускают точное аналитическое решение при у = 7/5, Это решение имеет вид
п = *(5 — 4 旷 *
0 = -|~(2自一 1),
g = 6(5 — 4E)j/2,
причем показатель автомодельности а = 3/5.
Для этого решения характерны линейная зависимость скорости по эйлеровской координате х или 自 и линейная зависимость давления по лагранжевой координате тп = j р dx или 刀 = т/М、
В упомянутой работе А. И* Жукова и Я, М. Каждана было проведено численное интегрирование уравнений в частных производных при определенной форме начального импульса и показано* как движение выходит на автомодельный режим,
В, Б, Адамский и Н, А, Попов (1959) рассмотрели задачу более общую, чем задача о кратковременном ударе, В этой задаче газ граничит не с пустотой, а с поршнем, давление на котором спадает по степенному закону. Ими показано, что при достаточно быстром законе падения давления наличие поршня не влияет на распространение ударной волны. Задачу об автомодельном движении газа под действием поршня, давление на котором меняется по степенному закону, рассматривала также Н. Л, Крашенинникова (1955). “
Сосредоточенный удар и «взрывы» метеоритов. Сферическим аналогом плоского движения газа при кратковременном ударе по поверхности является движение, возникающее при взрыве на поверхности газа, граничащего с пустотой (сосредоточенный удар). Закономерности возникающего движения были рассмотрены в работе Ю. П. Райзера (1963), От места взрыва распространяется ударная волна, поверхность которой образует нечто вроде чаши, а из «отверстия» чаши нагретый газ вытекает в пустоту, как показано на рис. 25. Где-то внутри чаши проходит поверхность, на которой меняется направление скорости. Отток газа в пустоту ослабляет ударную волну по сравнению с законом затухания, соответствующим взрыву в однородной атмосфере, и, следовательно, в законе падения давления р 〜М~п (где М — масса газа, охваченного движением), n > 1. Оказывается, что, как в и плоском случае, давление падает медленнее, чем при
Рис, 25" Поле скоростей при сосредоточенном ударе.Рис, 25" Поле скоростей при сосредоточенном ударе.-сохранении одностороннего импульса, и п < 2. Предельное движение газа автомодельно, однако течение двумерно и уравнения автомодельного движения записываются в частных производных, что делает их несравненно сложнее, чем в однородном случае. Ю. П. Райзер построил приближенное -аналитическое решение для одного избранного значения показателя адйа- баты, которое соответствует аналитическому решению для у = 7/5 в плоском случае. Оказывается, что при у = 1,205 п = 1,07, В случае нитевого удара (цилиндрический случай) п = 1,14 при у = 1,266,
Рис, 25" Поле скоростей при сосредоточенном ударе.
Рис, 25" Поле скоростей при сосредоточенном ударе.
Характерным примером «сосредоточенного удара»、может служить процесс, протекающий при падении на поверхность планет метеоритов со скоростями порядка нескольких десятков или сотни километров в секунду. При ударе кинетическая энергия метеорита превращается во внутреннюю, и эта энергия столь велика, что вещество за распространяющейся ■в грунте ударной волной ведет себя как газ. Испаренное и нагретое вещество грунта расширяется так же, как в пустоте, даже при наличии атмосферы у планеты. По- степенно ударная волна затухает и пере
стает испарять грунт, В результате образуется воронка. Процесс «взрыва» метеорита впервые рассматривал >К. П, Станюкович (1936, 1947, 1950, I960) в связи с проблемой образования кратеров на Луне, Станюкович оценивал испаренную массу, считая, что ударная волна затухает так же, как и при взрыве в однородной атмосфере, т, е, полагая р 〜ИМ. Как следует из предыдущего, такие оценки вполне законны. Аналогичные эффекты возникают и при ударах микрометеоритов о поверхность искусственных -спутников Земли (К, П. Станюкович, I960).
Расширяющиеся пары частйчно конденсируются во время разлета, и в облаке паров появляются маленькие частицы конденсата. Кинетика конденсации и размеры частиц рассчитывались Ю. П. Райзером (1959). Возможно этот процесс является одним из механизмов образования космической пыли, В работе М. А. Лаврентьева (1959) удар быстрого тела о поверхность жидкости рассмотрен в другом крайнем предположении о несжимаемости жидкости.
Отметим также работу А, С, Компанейца (1956) о сильном взрыве в пластической уплотняющейся среде с постоянным уплотнением на фронте ударной волны,
Сильный взрыв и распространение ударных волн в экспоненциальной атмосфере. Атмосфера Земли не является однородной и плотность воздуха уменьшается с высотой. Приближенно это уменьшение можно описать барометрической формулой р0 = р00 ехр (——无/А), где р00 —— плотность на уровне моря, а А — так называемая высота стандартной атмосферы, которая у поверхности Земли равна 8,5 先加.Если энергия взрыва Е .достаточно велика или плотность в точке взрыва рс достаточно мала, ударная волна, еще будучи очень сильной, проходит большие расстояния, превышающие А, и тогда на газодинамическом процессе существенным образом сказывается неоднородность атмосферы. Движение теперь двумерно и неавтомодельно, так что решение полной задачи представляет очень «большие трудности. Однако закономерности распространения фронта
ударной волны можно приближенно найти, полагая, что вся масса воздуха во взрывной волне собрана в тонкий слой около фронта (такое приближение
Рис, 26" Разрез поверхностей фронта ударной волны при сильном взрыве на большой высоте вертикальной плоскостью, проходящей через точку взрыва (указаны последовательные мо-Рис, 26" Разрез поверхностей фронта ударной волны при сильном взрыве на большой высоте вертикальной плоскостью, проходящей через точку взрыва (указаны последовательные мо-дает хорошее совпадение с точным решением в случае однородной атмосферы).
Рис, 26" Разрез поверхностей фронта ударной волны при сильном взрыве на большой высоте вертикальной плоскостью, проходящей через точку взрыва (указаны последовательные мо-
Рис, 26" Разрез поверхностей фронта ударной волны при сильном взрыве на большой высоте вертикальной плоскостью, проходящей через точку взрыва (указаны последовательные мо-
В описанной постановке сильный взрыв- в экспоненциальной атмосфере с нулевым давлением был рассмотрен А, С, Компанейцем (1956)" Решение было уточнено в работе Э, И. Андрианкина, А, М. Когана, А, С, Компаней- ца и В, П, Крайнова (1962), Поправки к решению для однородной атмосферы, соответствующие малой неоднородности, вычислялись В. ГЕ Карликовым (1955, 1959, I960), а также Э, И. Андрианкиным (1956, 1958), Эволюция формы поверхности фронта при сильной неоднородности показана на рис. 26. Ударная волна быстрее всего затухает при движении вниз, в сторону увеличения плотности. Характерно, что вверх сильная ударная волна ускоряется до беско-
менты времени; на отрезке А нечной скорости и за конечное время уходит плотность атмосферы ме- на бесконечность, как бы прорывая атмосферу, '* Время прорыва т = const (卩。厶5/刃尸/\ при
чем численный коэффициент равен 24 при у = 1,2. В отличие от
взрыва в однородной атмосфере давление во внутренней полости, ограниченной ударной волной, падает гораздо быстрее, чем давление на фронте, и движение вертикально вниз вдоль линии, проходящей через центр
взрыва, имеет много общего с движением при кратковременном ударе. Поэтому для описания движения вниз имеет смысл рассмотреть задачу
Рис, 27, Распределения скорости и, давления р и плотности р в пространстве за ударной волной.Рис, 27, Распределения скорости и, давления р и плотности р в пространстве за ударной волной.о кратковременном ударе и распространении ударной волны в сторону повышения плотности в случае экспоненциальной атмосферы (Ю. П. Райзер, 1963). Эта задача также автомо- дельна и принадлежит ко второму роду, однако автомодельность здесь имеет совершенно необычный характер, так как в задаче имеется масштаб длины А, который и является единственным (начальная плотность р0 = =const • ехр (力/ А)); константа не может служить масштабом плотности, так как она неопределенна), Скорость фронта ударной волны равна D = =文=аА" и координата фронта X = аА In ^ + const.
Рис, 27, Распределения скорости и, давления р и плотности р в пространстве за ударной волной.
Рис, 27, Распределения скорости и, давления р и плотности р в пространстве за ударной волной.
Автомодельной переменной служит безразмерное расстояние, отсчи* тываемое от фронта 自=(X —— 力)/А. На рис. 27 приведены распределения давления, плотности и скорости в пространстве за ударной волной для у = 1,25 (показатель автомодельности прк этом а = 1,345).
Аналогично можно рассмотреть автомодельную задачу о распространении ударной волны в сторону экспоненциального уменьшения плотности. (Ю, П. Райзер, 1964), Здесь имеется некоторая аналогия с движением в случае степенной атмосферы (см, п, 4,4),
Интересно, что к моменту ^ == 0 выхода ударной волны на границу атмосферы, где плотность равна нулю, распределение плотности в пространстве совпадает с исходным, т, е, начальная атмосфера как целое сдви
Рис, 28" Распределения скорости и, давления р и плотности，в пространстве при дв咿ении ударной волны вверх (сплошные кривые относятся к у = 1,2, пунктирные —к у = 5/з).Рис, 28" Распределения скорости и, давления р и плотности，в пространстве при дв咿ении ударной волны вверх (сплошные кривые относятся к у = 1,2, пунктирные —к у = 5/з).гается вверх на определенное расстояние. На рис. 28 показаны распределения для у = 1,2; при этом показатель а в законе X = аА/| i I равен а = 6,48. Сдвиг атмосферы к моменту выхода равен 7,50А.
Рис, 28" Распределения скорости и, давления р и плотности，в пространстве при дв咿ении ударной волны вверх (сплошные кривые относятся к у = 1,2, пунктирные —к у = 5/з).
Рис, 28" Распределения скорости и, давления р и плотности，в пространстве при дв咿ении ударной волны вверх (сплошные кривые относятся к у = 1,2, пунктирные —к у = 5/з).
Дальнейшее истечение газа в пустоту также автомодельно. Неопределенные константы, входящие в автомодельные решения, можно приближенно выразить через параметры s взрыва. При этом для времени прорыва атмосферы* получается значение, близко совпадающее со значением А, С. Компанейца, Надо сказать, чбо движение газа вверх не будет неограниченным, как следует из решения модельной задачи. На ионизованный вслед-
ствие нагревания ударной волны газ будет оказывать тормозящее влияние магнитное поле Земли. Задача о расширении ионизованного газового
облака взрыва в магнитном поле Земли была рассмотрена в работе Ю, П. Райзера (1963).
Тепловые волны
Если тело нагрето неравномерно или в нем происходит выделение энергии, появляется поток тепла, переносимый путем теплопроводности. Теплопроводность способствует распространению энергии и выравниванию температуры. Наряду с градиентами температуры возникают и градиенты давления, и вещество переходит в движение. Во многих случаях гидродинамический перенос энергии преобладает над теплопроводностным. Например, в газах при нек слишком высоких температурах обычная молекулярная теплопроводность играет небольшую роль по сравнению с гидродинамическим переносом энергии.
Однако при температурах в десятки и сотни тысяч градусов появляется иной механизм переноса тепла ——лучистая теплопроводность, который во многих случаях приводит к более быстрому распространению энергии, чем гидродинамика, из-за того, что скорость света гораздо больше скоростей движения вещества. Отличительной чертой лучистой теплопроводности является резкое возрастание коэффициента теплопроводности с температурой, благодаря чему уравнение теплопроводности, в отличие от обычного, становится нелинейным (заметим, что электронная теплопроводность также нелинейна и растет при увеличении температуры). Как известно, поток тепла при лучистой теплопроводности равен *
8=—告 grad %, % =響， (5.1)
где Up ——плотность энергии равновесного излучения, I ——средняя длина пробега излучения, с — скорость света. Обычно длина пробега зависит от температуры, причем эту зависимость можно аппроксимировать степенной функцией 2 =/7叱 где число m 1,5 —- 3,5, Таким образом, коэффициент теплопроводности х в законе 8 =——х grad Т очень быстро^
Рис, 29. Распространение тепла бт мгновенного плоского источника при линейной теплопроводности (加 v<产 < 尸').Рис, 29. Распространение тепла бт мгновенного плоского источника при линейной теплопроводности (加 v<产 < 尸').Характерным свойством линейной теплопроводности (п = 0, % = =а = const) является мгновенная передача теплового возмущения на все пространство. Если в первоначально холодном веществе в плоскости х = 0 в момент 力=0 произошло энерговыделение g эрг/см2, то в любой момент 方 > 0 температура равна нулю только на бесконечности. Распределение температуры (рис. 29) дается известным решением линейного урав-Характерным свойством линейной теплопроводности (п = 0, % = =а = const) является мгновенная передача теплового возмущения на все пространство. Если в первоначально холодном веществе в плоскости х = 0 в момент 力=0 произошло энерговыделение g эрг/см2, то в любой момент 方 > 0 температура равна нулю только на бесконечности. Распределение температуры (рис. 29) дается известным решением линейного урав-нения теплопроводностинения теплопроводностиХ2”4冗"Х2”4冗"j T dx、j T dx、(5.3)(5.3)
Рис, 29. Распространение тепла бт мгновенного плоского источника при линейной теплопроводности (加 v
<产 < 尸').
Рис, 29. Распространение тепла бт мгновенного плоского источника при линейной теплопроводности (加 v
<产 < 尸').
Характерным свойством линейной теплопроводности (п = 0, % = =а = const) является мгновенная передача теплового возмущения на все пространство. Если в первоначально холодном веществе в плоскости х = 0 в момент 力=0 произошло энерговыделение g эрг/см2, то в любой момент 方 > 0 температура равна нулю только на бесконечности. Распределение температуры (рис. 29) дается известным решением линейного урав-
Характерным свойством линейной теплопроводности (п = 0, % = =а = const) является мгновенная передача теплового возмущения на все пространство. Если в первоначально холодном веществе в плоскости х = 0 в момент 力=0 произошло энерговыделение g эрг/см2, то в любой момент 方 > 0 температура равна нулю только на бесконечности. Распределение температуры (рис. 29) дается известным решением линейного урав-
нения теплопроводности
нения теплопроводности
Х2
”4冗"
Х2
”4冗"
j T dx、
j T dx、
(5.3)
(5.3)
растет с температурой: х = ^l^cAT71 = ВТп, где 孔=тп + 3 ^ 4,5 亡 6,5, Если считать для простоты теплоемкость единицы объема газа cD постоянной； получим нелинейное уравнение теплопроводности в виде
^uadivCTgradD + g, (5.2) где а = В& (величина % = аТп есть температуропроводность), q = W/分， W — энерговыделение от источников в эрг/см^сек.
Нелинейная теплопроводность существенным образом отличается от линейной. Нелинейную теплопроводность впервые рассматривали Я. Б, Зельдович и А. С, Компанеец (1950), которые, в частности, нашли точное решение задачи о распространении тепла от мгновенного плоского источника.
^скоростью, и существует резкая^скоростью, и существует резкаяРис. 30. Распространение тепловой волны от мгновенного плоского источника при нелинейной теплопроводности. (/' V 乃 V 尸')•Рис. 30. Распространение тепловой волны от мгновенного плоского источника при нелинейной теплопроводности. (/' V 乃 V 尸')•
^скоростью, и существует резкая
^скоростью, и существует резкая
Рис. 30. Распространение тепловой волны от мгновенного плоского источника при нелинейной теплопроводности. (/' V 乃 V 尸')•
Рис. 30. Распространение тепловой волны от мгновенного плоского источника при нелинейной теплопроводности. (/' V 乃 V 尸')•
При нелинейной теплопроводности тепло распространяется с конечной
граница, отделяющая нагретую область от холодной, до которой еще не дошло тепловое возмущение. Тепло распространяется от источника в виде волны ——тепловой волны. Распределение температуры в тепловой волне имеет вид, показанный на рис. 30. Скорость фронта волны определяется путем решения уравнения (5・2)・
Задача о распространении тепла от плоского мгновенного источника, как и в случае линейной теплопроводности, автомодельна (если проводить аналогию с газодинамикой, то это —— автомодельность первого рода). В за
даче имеется только два размерных параметра: а см2/(сек-градп) и Q град *см. Из них и независимых переменных х и t можно составить единственную безразмерную комбинацию ^ — х (〃Q")T/(n+2), которая и является автомодельной переменной. Закон движения фронта тепловой волны есть
1
(5-4)(5-4)芻=氐(aQ")而声, хде число ^о определяется в ходе решения.
(5-4)
(5-4)
Решение уравнения (5.2) с д = 0 следует искать в форме
?（小）=（与卢〃自）.?（小）=（与卢〃自）.(5.5)(5.5)В результате интегрирования получающегося из (5.2) нелинейногоВ результате интегрирования получающегося из (5.2) нелинейногодифференциального энергии f Tdx = Qдифференциального энергии f Tdx = Qуравнения для / (^) с учетом уравнения сохраненияуравнения для / (^) с учетом уравнения сохраненияили "⑸源=1 получаетсяили "⑸源=1 получается11пп帚咼行「一（春）т при W4垣帚咼行「一（春）т при W4垣/偌)=0 при Е》&,/偌)=0 при Е》&,(" + 2)1+"21-"11n (4~十4~)(" + 2)1+"21-"11n (4~十4~)1_ п+21_ п+2(5-6)(5-6)пn冗0пn冗0F)F)
?（小）=（与卢〃自）.
?（小）=（与卢〃自）.
(5.5)
(5.5)
В результате интегрирования получающегося из (5.2) нелинейного
В результате интегрирования получающегося из (5.2) нелинейного
дифференциального энергии f Tdx = Q
дифференциального энергии f Tdx = Q
уравнения для / (^) с учетом уравнения сохранения
уравнения для / (^) с учетом уравнения сохранения
или "⑸源=1 получается
или "⑸源=1 получается
1
1
п
п
帚咼行「一（春）т при W4垣
帚咼行「一（春）т при W4垣
/偌)=0 при Е》&,
/偌)=0 при Е》&,
(" + 2)1+"21-"11n (4~十4~)
(" + 2)1+"21-"11n (4~十4~)
1_ п+2
1_ п+2
(5-6)
(5-6)
п
n冗0
п
n冗0
F)
F)
где Г ——гамма-функция.
Можно оценить, при каких условиях теплопроводностный механизм распространения тепла будет важнее гидродинамического. Для этого надо сравнить скорость распространения тепловой волны dX^dt со ско
ростью распространения ударной волны, которая имеет порядок скорости
звука в нагретой области. Такое сравнение показывает, что при достаточно высоких температурах тепловая волна идет скорее ударной и, следовательно, преобладает теплопроводностный механизм. Например, в воздухе нормальной плотности это происходит при температурах выше 300 000 °К.
Аналогично предыдущему решается и сферическая задача о распространении тепла от точечного источника (это было впервые сделано С. 3. Беленьким). Р. М. Зайдель и К. А. Семендяев (I960) нашли решение для Тепловой волны, сходящейся к центру.
Рис. 31. Решение типа диполя.Рис. 31. Решение типа диполя.Интересно, что к нелинейному уравнению (5.2) приводит и рассмотрение процесса фильтрации (движение политропического газа в пористой среде). Вопросы фильтрации изучал Г. И. Баренблатт (1952), который независимо решил уравнение для случая сферического точечного источника.
Рис. 31. Решение типа диполя.
Рис. 31. Решение типа диполя.
Отметим работы Э. И. Андрианкина и О С. Рыжова (1957) и Р. М. Зайделя, О. С. Рыжова и Э. И. Андрианкина (1957), в которых рассматривается тепловая волна, близкая к сферической, и Э. И. Андрианкина (1958), где сферическая тепловая волна рассматривается с учетом энергии излучения.
Представляет интерес задача о распространении тепла при быстром выделе-
нии энергии в тонком поверхностном слое у границы вещества с пустотой; тепло при этом частично распространяется в вещество, а частично вытекает через поверхность, так что в задаче нет интеграла энергии. В этом случае, однако, сохраняется «момент» температуры (Г. И. Барен- блатт, 1964) и имеется интеграл момента j хТ (х,方)dx = const. Задача о
автомодельна, она была решена в работе Г. И. Баренблатта и Я. Б. Зельдовича (1957) применительно к процессу фильтрации (рис. 31).
В работе Я. Б. Зельдовича и Г. И. Баренблатта (1958) исследовался вопрос о выходе неавтомодельного распространения тепла на автомодельный режим в плоской задаче нелинейной теплопроводности и о наилучшем описании неавтомодельного процесса автомодельным решением.
Отметим работу А. С. Компанейца и Е. Я. Ланцбурга (1961, 1962),- в которой ставится вопрос о переносе тепла неравновесным излучением,, и работу И. В. Немчинова (I960), который исследовал задачи переноса тепла излучением с учетом движения среды.
Ударные волны в твердых телах
Новые, динамические методы в физике высоких давлений. Изучение законов распространения ударных волн в конденсированных средах (в металлах, в воде и т. д.) имеет большое теоретическое и практическое значение, в частности, для понимания и расчета взрывных явлений. Теоретическая обработка результатов этих исследований дает ценные сведения об уравнении состояния твердых и жидких тел в области высоких давлений,, которые нужны для решения ряда проблем физики твердого тела, геофизики, астрофизики и т. д. В отличие от газов теоретическое описание термодинамических свойств твердых и жидких тел представляет очень сложную задачу. Поэтому особо важную роль здесь приобретают экспериментальные методы исследования. До недавнего времени физика высоких давлений: ограничивалась изучением вещества, сжатого в статических условиях, в пьезометрах различной конструкции. Таким путем, однако, невозможно без строительства огромных установок сжать вещество до давлений выше ста тысяч атмосфер и обеспечить условия для надежных измерений. Между тем для современных науки и техники интерес представляют давления в сотни тысяч и миллионы атмосфер.
В послевоенные годы в СССР и за рубежом были предложены новые динамические методы осуществления высоких давлений и сжатий, основанные на использовании мощных ударных волн. Были получены и исследованы ударные волны в металлах и других конденсированных телах с давлением в сотни тысяч и миллионы атмосфер. В СССР новые методы были развиты в работах Л. В. Альтшулера, С. Б. Кормера, К. К. Крупны- кова, Б. Н. Леденева, А. А. Бакановой, М. В. Синицына, А. И. Фунтикова, В. И. Жучихина и др., начатых в 1947 г. и опубликованных в 1958——1960 гг. В этих работах впервые были представлены результаты исследования рекордных в то время давлений в пять миллионов атмосфер. Близкие в в некоторых отношениях исследования (с волнами небольшой интенсивности) были поставлены Ф. А. Баумом, К. П. Станюковичем и Б. И. Шехте- ром (1959).
Параллельно динамические методы развивали и американские авторы: Дж. М. Уолш, Р. Г. Кристиан, М. Д. Меллори, Р. В. Горансон, Д. Банкрофт, Р. Дж. Маккуин, С. П. Марш и др. ).
Чрезвычайно малая длительность ударных нагрузок потребовала разработки новых методов измерений и создания аппаратуры, позволяющих определять физические величины в условиях высокоскоростного процесса. Большой вклад в это направление внесли В. А. Цукерман, Г. Я. Шнирман, А. С. Дубовик, П. В. Кевлишвили, Е. К. Завойский и др.
Как известно, энергия и давление в конденсированных телах имеют .двоякую природу и складываются из упругих и тепловых составляющих. Привлечение некоторых теоретических представлений о структуре термодинамических функций дало возможность извлечь из результатов динамических экспериментов ценные сведения о сжимаемости твердых тел, зависимости упругого давления от плотности. Именно эта функция составляет основу для описания поведения твердых тел при высоких давлениях. Большую роль при этом сыграло изучение ударных волн в пористых металлах. Ниже мы остановимся на основных результатах этих экспериментальных и теоретических исследований.
Экспериментальные методы определения параметров ударной волны. Запишем ударные соотношения для сильной волны (р。= 0), введя в них массовую скорость сжатого вещества в лабораторной системе коор- .динат и — D — Ui； в качестве уравнения энергии возьмем уравнение ударной адиабаты (индекс «1» опустим):
D
V
丄丿
Du
(6-2)
е — q =
石Р（又一Q・
(6.3)
Если измерить на опыте, скажем, скорости 刀 и и, то с помощью уравнений (6.1) и (6.2), можно определить давление й объем, а затем по уравнению (6.3) — внутреннюю энергию за фронтом ударной волны. Таким образом, задача отыскания всех механических параметров ударной волны сводится к экспериментальному определению каких-либо двух из них (например, кинематических параметров — скоростей D и и}.
Скорость фронта D измерить сравнительно легко; для этого нужно зарегистрировать моменты прохождения волны через известные координатные точки. Массовую скорость измерить значительно труднее, поэтому для отыскания второго параметра прибегают к различным косвенным методам, привлекав для этой цели те или иные механические соображения. .
Экспериментальные методы исследования сжимаемости твердых тел и измерения параметров фронта были предложены и разработаны Л. В. Альтшулером, К. К. Крупниковым, Б. Н. Леденевым и А. А. Бакановой (1958—1960) и американскими авторами Дж. М. Уолшем, Р. Г. Кристианом и др. (последними ——за исключением метода «торможения»). Мысль об использовании измерения кинематических параметров, независимо от указанных исследований, развивалась также в работах Ф. А. Баума, К. П. Станюковича и Б. И. Шехтера (1959).
В работах Л. В. Альтшулера и др. описаны три метода измерения параметров ударной волны. .
Метод «откола», основанный на измерении скорости движения сво」 бодной границы образца, разгружающегося после выхода на поверхность ударной волны. Здесь применяется правило удвоения скоростей, согласно которому скорость движения границы вдвое больше массовой скорости в ударной волне и.
Принципиальная схема опыта показана на рис. 32. Моменты прохождения через заданные точки ударной волны и свободной границы регистрировались электроконтактными датчиками (электроконтактный метод
измерения скоростей был предложен В. А. Цукерманом и К. К. Крупни- ковым в 1947 г.).
Метод откола имеет ограниченную применимость, так как при очен—
больших давлениях или в случае пористых тел нарушается правило удвое
ния скоростей.
Метод торможения в принципе является абсолютно точным и все
объемлющим. Пластина из исследуемого вещества разгоняется с помощью
ввввМеталлМеталл44заряда ВВ и ударяет по другой покоящейся пластине, сделанной из того же самого материала. После соударения пластин по ним распространяются ударные волны, совершенно одинаковые по амплитуде, в силу идентичности материалов пластин； поэтому массовая скорость в мишени и равна половине скорости ударника (w ——и = и, и = 1/2i^) ^ задача сводится к измерению скорости ударной волны в. мишени D и скорости полета ударника w. Скорости измеряются электроконтактньгм методом. Мишень может быть сделана и из другого материала, но в этом случае ударная адиабата его должна быть известна, так как теперь w — и ^ и. В разработке метода торможения принимал участие Г. М. Ган- дельман.
вв
вв
Металл
Металл
4
4
Рис. 32. Схема опыта 3. Метод отражения основан на использовании1 в методе «откола». закономерностей распада произвольного разрыва, возникающего при отражении ударной волны от границы двух сред. Метод обладает в сравнении с предыдущими тем
преимуществом, что здесь не нужно измерять массовую скорость; однако 「для метода необходимо иметь эталонное
Рис. 33. Схема опыта с отражением.Рис. 33. Схема опыта с отражением.вещество с известным уравнением состояния. Схема опыта показана на рис. 33, где А ——эталонное, а В ——исследуемое вещество. Электроконтактным методом регистрируются скорости ударной волны в образцах Б и А (последняя равна скорости волны в пластине 4), а затем с помощью диаграммы «давление ——
Рис. 33. Схема опыта с отражением.
Рис. 33. Схема опыта с отражением.
массовая скорость» находят точки, отвечающие состояниям в ударных волнах в А и Б, причем в зависимости от соотношения «жесткостей- материалов А и В отраженная от В волна в пластине А является либо- ударной, либо волной разрежения.
3. Ударные адиабаты и кривые холодной сжимаемости. Описанными выше методами были сняты ударные адиабаты многих металлов, ионных кристаллов типа NaGl, воды и других веществ. В качестве примера на рис. 34 приведены ударные адиабаты свинца и меди до давлений 4х 105 атм. там же показаны и кривые холодного сжатия (см. ниже).
Как уже отмечалось выше, давление и внутреннюю энергию твердого
тела можно представить в виде сумм упругих и тепловых составляющих (индексы «х» и《7» соответственно):
(6.4)(6.4)Р = Рх + Pt, Е = Еде + Ет,
(6.4)
(6.4)
где рх и 8Х зависят только от удельного объема V (плотности р = 1/Q； при этом рх =——d^JdV. При не слишком высоких температурах тепловое движение в теле сводится к малым колебаниям атомов около положений.
равновесия и £丁 = с^Т = 3NkT, где с» ——удельная теплоемкость, a N —— число атомов в грамме. С помощью термодинамического тождества
адиабатыадиабаты34. Ударные34. УдарныеРис.Рис.РН (Ю12 бар) и кривые холодного сжатия рх (101а бар) меди ⑺ и свинца (2).РН (Ю12 бар) и кривые холодного сжатия рх (101а бар) меди ⑺ и свинца (2).каккак
адиабаты
адиабаты
34. Ударные
34. Ударные
Рис.
Рис.
РН (Ю12 бар) и кривые холодного сжатия рх (101а бар) меди ⑺ и свинца (2).
РН (Ю12 бар) и кривые холодного сжатия рх (101а бар) меди ⑺ и свинца (2).
как
как
которому упругие члены удовлетворяют автоматически, получается выражение для теплового давления:
^г=Г(У)^ = Г(У)^,(6.6}
где Г (V)——так называемый коэффициент Грюнайзена. В случае малых колебаний коэффициент Г связан с функцией упругого давления формулой
门Q=一等一^(龄)：(霊)，(6.7)
которая была выведена независимо Дж. К. Слейтером (Introduction to chemical physics, McGraw-Hill, 1939) и Л. Д. Ландау и К. П. Станюковичем (1945). Для большинства твердых тел при нормальной плотности Г 〜 1,5 十 2,5.
При высоких температурах порядка 10 000 °К и выше становится существенным тепловое возбуждение электронов в металлах и к энергии и давлению следует добавить еще и электронные составляющие 8е и ре. Они также связаны термодинамическим тождеством (6.5), которое дает ре = Ге8е/У. Например, для свободного электронного газа % = “В??, где р = р0 (7/70)2/з и Ге = 2/ з
В результате детального анализа температурного поведения электронов в металлах, основанного на статистических моделях атомной ячейки по Томасу ——Ферми и Томасу —— Ферми ——Дираку с привлечением позднейших теоретических результатов, С. Б. Кормер установил, что при Т V 30 000 十 50 000 °К в реальных металлах электронную теплоемкость с достаточной точностью можно считать
и в модели свободных электронов, а коэффициент Ге следует принять равным не 2/3, а 力・ При этом согласно (6.5) р = р0 (VIV^^^
Измеренные на опыте зависимости р (V) и е (V) вдоль ударной адиабаты в совокупности с описанными выше представлениями термодинамических функций р (V, 7), 8 (V, Т) и формулой Слейтера—Ландау (6.7) *) дают возможность путем численного интегрирования уравнений определить кривую холодной сжимаемости 卩代(Q, температуру и все другие параметры за ударной волной. Таким путем были найдены кривые рх (V), изображенные на рис. 34.
Возможно также использование интерполяционных формул, напримерг аппроксимация функции рх (V) степенным рядом, с последующим определением неизвестных коэффициентов при помощи данных эксперимента (С. Б. Кормер и В. Д. Урлин, 1960; С. Б. Кормер, В. Д. Урлин и Л. Т. Попова, 1961).”
Большое значение для определения термодинамических функций имеет измерение ударной адиабаты пористых металлов. Оно сужает круг при-
Рис. 35. Диаграмма р — V для ударного сжатия пористого вещества (ри — ударная адиабата пористого тела; рс — ударная адиабата сплошного тела;网一кривая
влекаемых теоретических представлении -и позволяет обойтись без чисто теорети
ческой формулы (6.7). Дело в том, что при сжатии пористого тела до определенного объемаУ величина изменения объема V— Уо от первоначального Уо зависит от начальной степени пористости. При одинаковой плотности в конечном состоянии (предполагается, что в ударной волне пустоты полностью «выбираются» и вещество становится сплошным) упругие энергия и давление также одинаковы. В то же время произведенная над телом работа, зависящая от величины изменения объема, для
тел с разной пористостью различной. Следовательно,
оказывается различны
ХОЛОДНОГО
сжатия сплошного тела).
и тепловые составляющие энергии и давления в конечном состоянии. Эти соображения иллюстрируются диаграммой р ——V (рис. 35), на которой показаны ударные адиабаты сплошного и пористого вещества. Здесь Уоо ——начальный удельный объем
вещества,давлении
Уо ——удельный объем сплошного вещества при нормальном (Уоо/Уо = " 一 степень пористости). Согласно (6.3) приращение
внутренней энергии определяется площадью заштрихованного треугольника, причем площадь £氐 в обоих случаях одинакова, а 8Т у пористого тела больше.
При не слишком высоких температурах, когда электронными членами можно пренебречь, коэффициент Грюнайзена Г (V) можно определить эскпериментально, сжимая сплошное и пористые вещества до одних и тех же объемов и пользуясь общим соот-
Рис. 36. Аномальный ход ударной адиабаты при высокой пористости вещества (обозначения те- же, что и на рис. 35).
ношением
1 — Деу — 1 £цор (V) — еспл (^)
I1 V^Pt V 尸nop (U)—尸сил ")
(6.8)
Таким путем были получены термодинамические функции железа и других металлов. Широкое экспериментальное исследование пористых металлов было впервые поставлено К. К. Крупниковым, М. И. Бражник и В. П. Крупниковой (работа опубликована в 1962 г.). При этом был подтвержден теоретический вывод о том, что в случае очень высоких начальных пористостей вещество в ударной волне не дожимается даже до нормальной плотности сплошного вещества и ударные адиабаты имеют вид, показанный на рис. 36.
Большое число пористых металлов было исследовано С. Б. Кордером, А. И. Фунтиковым, В. Д. Урлиным и А. Н. Колесниковой (1962).
В работах советских авторов были детально изучены ударные волны в ионных кристаллах NaGl, KG1, GsJ, LiF, КВг, NaJ. В первых работах Л. В. Альтшулера, М. Н. Павловского, Л. В. Кулешовой и Г. В. Симакова (I960, 1963) были получены динамические адиабаты до давлений 106 атм. Давления в несколько миллионов атмосфер в сплошных и пористых образцах ионных кристаллов были исследованы в] работах С. Б. Кормера, М. В. Синицына, А. И. Фунтикова, В. Д. Урлина и А. В. Блинова (1964), М. Н. Павловского, В. Я. Ващенко и Г. В. Симакова (1965) (GsJ). Эти исследования позволили уточнить константу в выражении для парного потенциала междуионного взаимодействия, который | представляется в виде суммы потенциала кулоновского притяжения и экспоненциального борн- майеровского потенциала отталкивания, а также дали ценные сведения о термодинамических свойствах йонных кристаллов при высоких темпе*
ратурах.
4. Изэнтропическая сжимаемость сжатого вещества. Значительный
интерес представляет экспериментальное определение скорости звука
Рис. 37. Схема опыта с боковой разгрузкой.Рис. 37. Схема опыта с боковой разгрузкой.(изэнтропической сжимаемости) в сжатом веществе. Эти данные важны и для геофизики, так как в глубоких слоях земли вещество находится в сжатом состоянии. Me- тоды измерения скорости звука за фронтом ударной волны были разработаны в 1948 —— 1958 гг. Л. В. Альтшулером, С. Б. Кормером, М. И. Бражник, Л. А. Владимировым, М. П. Сперанской и А. И. Фунтиковым (I960).
Рис. 37. Схема опыта с боковой разгрузкой.
Рис. 37. Схема опыта с боковой разгрузкой.
поверхность образца неповерхность образца неВ одном из методов (боковой разгрузке) ударному сжатию подвергается цилиндрический образец ступенчатой формы (рис. 37). После прохождения фронта ударной волны через .угол О начинается боковая разгрузка, возмущения от которой догоняют фронт и ослабляют ударную волну. При этом скорость фронта на периферийном участке уменьшается и ударная волна выходит на
поверхность образца не
поверхность образца не
одновременно во всех точках (на периферии ——позднее). Разгружающееся после выхода ударной волны вещество ударяет о плексигласовую пластину 〃,и в ней появляется свечение, которое регистрируется фотографически, причем в периферийных слоях, где удар происходит позднее, свечение начинается позднее. Зная разновременность засветки разных мест пленки на фоторазвертке и геометрию опыта, можно определить скорость звука. При исследовании металлов оказалось, что граница между невозмущенными и возмущенными разгрузкой слоями свободной поверхности нечеткая, как если бы более близкие к центру слои были разгружены слабее, чем периферийные. Эт о явление было истолковано
авторами как результат существования двух волн разрежения, распро-^ страняющихся с разными скоростями： «упругой» волны и «пластической» (см. следующий параграф), причем к основному ослаблению ударной волны приводит пластическая волна.
Чтобы избавиться от этого эффекта и определить «пластическую» скорость, которая и представляет основной интерес, был разработан другой метод ——догоняющей разгрузки (в своей первоначальной *форме он был предложен Е. И. Забабахиным). Разогнанная пластина ударяет по мишени,
17 Механика в СССР, том 2
с догоняющей разгрузкой (от точки соударения。по мишени М и ударс догоняющей разгрузкой (от точки соударения。по мишени М и ударнику У распространяются ударные волны О% и ОВ\*нику У распространяются ударные волны О% и ОВ\*сделанной из того же материала, и по обоим образцам распространяется ударная волна. Волну в мишени впоследствии догоняет волна разгрузки, распространяющаяся от свободной поверхности ударника (рис. 38), Регистрируя траекторию ударной волны в мишени до и после начала ослабления ее разгрузкой, путем соответствующего расчета можно найти пластическую скорость звука. Измерения показали, что, например, в железе при давлений 3,5 X 106 атм и сжатии 1,65 скорость звука равна 9,5 км/сек, тогда как при нормальных условиях она равна 5,7 км/сек.
с догоняющей разгрузкой (от точки соударения。по мишени М и удар
с догоняющей разгрузкой (от точки соударения。по мишени М и удар
нику У распространяются ударные волны О% и ОВ\*
нику У распространяются ударные волны О% и ОВ\*
65 Фазовые превращения и расщепление волн. При давлениях порядка сотен тысяч атмосфер в ряде веществ происходят фазовые переходы
Рис, 39* Изэнтропа (обычная адиабата) вещества, испытывающего полиморфное превращение (а — при.отличной от нуля температуре Т > 0; 6 — при абсолютном нуле Г = 0)*Рис, 39* Изэнтропа (обычная адиабата) вещества, испытывающего полиморфное превращение (а — при.отличной от нуля температуре Т > 0; 6 — при абсолютном нуле Г = 0)*из одной кристаллической модификации в другую, так называемые полиморфные превращения. Эти переходы сопровождаются изменениями объема и выделением или поглощением скрытой теплоты, Изэнтропа и ударная адиабата такого вещества в области перехода имеют аномальный ход (рис, 39), что приводит к интересным особенностям при распространении ударных волн. Эти явления рассматривались теоретически (главным образом качественно) и наблюдались экспериментально в железе и висмуте в работах Д, Банкрофта, Э, Петерсона и С. Миншалла (J, Appl. Phys,, 1956, 27 : 3, 291-298), Р. Э. Даффа и С. Миншалла (Phys, Rev,, 1957, 108 : 5, 1207—1212), В. Э, Драммонда (J, Appl. Phys,, 1957, 28 : 9, 998——1001), При распространении ударной волны в веществе, способном к полиморфному превращению, в определенном интервале амплитуд происходит расщепление волны на две. Это иллюстрируется рис, 40, на котором показана ударная адиабата с соответствующими прямыми, определяющими скорость волн, и рис, 41, где изображена двухволновая структура. Вторая волна несколько размыта в соответствии с конечностью скорости релаксации фазового перехода (положение здесь аналогично ударной волне в газе с замедленным возбуждением некоторых степеней свободы).
Рис, 39* Изэнтропа (обычная адиабата) вещества, испытывающего полиморфное превращение (а — при.отличной от нуля температуре Т > 0; 6 — при абсолютном нуле Г = 0)*
Рис, 39* Изэнтропа (обычная адиабата) вещества, испытывающего полиморфное превращение (а — при.отличной от нуля температуре Т > 0; 6 — при абсолютном нуле Г = 0)*
Были обнаружены фазовые переходы в мраморе (А, Н, Дремин и Г. А. Ададуров, 1959), в парафине (А, Н. Дремина, I960). С. А. Новиков, И. И. Дивнов и А. Г. Иванов (1964) экспериментально зафиксировали двухволновую структуру ударной волны в железе, где фазовый переход происходит при давлении 130 000 а/п九,и зарегистрировали размытие второй волны. Время фазового перехода a-железа в новую фазу оказалось равным 2 X 10-7 сек.
Двухволновой характер структуры ударной волны в веществах, испьь тывающих полиморфные превращения, во многом аналогичен расщепле-
нию волн в упруго-пластической среде, когда впереди бежит упругая вол
на с давлением, соответствующим переходу материала в пластическое состояние, а за нею следует пластическая волна. Вопросы распространения волн сжатия и разрежения в упруго-пластической среде с нелинейной зависимостью между напряжением и деформацией подробно исследовал X. А. Рахматулин. Подробные сведения и библиографию можно найти в обзоре X. А. Рахматулина и Г. С. Шапиро (1955).
Исследование фазовых превращений в железе привело А. Г. Иванова, С, А. Новикова и Ю. И, Тарасова (1961, 1962) к экспериментальному открытию ударных волн разрежения, которые возникают при обратном превра-
Рис. 40. Диаграмма р — Р, иллюстрирующая расщепление ударной волны.Рис. 40. Диаграмма р — Р, иллюстрирующая расщепление ударной волны.Рис, 41. Профиль давления в случае расщепления ударной волньг в две.Рис, 41. Профиль давления в случае расщепления ударной волньг в две.щении разгружающегося металла в исходную фазу (как известно, ударные волны разрежения возможны при наличии на ударной адиабате участков с аномальным ходом).
Рис. 40. Диаграмма р — Р, иллюстрирующая расщепление ударной волны.
Рис. 40. Диаграмма р — Р, иллюстрирующая расщепление ударной волны.
Рис, 41. Профиль давления в случае расщепления ударной волньг в две.
Рис, 41. Профиль давления в случае расщепления ударной волньг в две.
При достаточно высоких давлениях в ударной волне происходит другой фазовый переход ——плавление твердого тела. Вопросы плавления в ударной волне изучались теоретически в работах В. Д. Урлина и А, А: Иванова (1963), Н. М. Кузнецова (1964, 1965), В. Д. Урлина (1965)- Плавление и жидкая фаза в ионных кристаллах при больших давлениях исследовалась в уже цитированной работе С. Б. Кормера, М. В. Синицына и др. (1964).
При высоких температурах, которые достигаются в ударных волнахт резко возрастает электропроводность ионных кристаллов, которая измерялась в работе Л* В, Альтшулера и др* (I960)* Увеличение проводимости на много порядков у продуктов взрыва и некоторых органических соединений при прохождении детонационных и ударных волн обнаружили А, А, Бриш, М. С. Тарасов и В. А, Цукерман (1959).
Ударные волны в прозрачных телах и оптические явления. Интересные возможности открывает изучение ударных волн в прозрачных твердых и жидких средах, так как прозрачность тела позволяет применять оптические методы исследований. Экспериментальные методы, изложенные в п, 6,2, позволяют измерять механические параметры в ударной волне, но для определения температуры (или, скажем, энтропии) необходимо привлекать теоретические представления, В случае прозрачных тел температуру за фронтом волны можно измерить оптическим путем. Такие измерения в плексигласе были сделаны в работе Я, Б, Зельдовича, С. Б, Кормера, М. В, Синицына и А. И, Куряпина (1958), в которой измерялась яркость поверхности фронта ударной волны с давлением 2 X 106 атм и сжатием 2,7. Температура Ъказалась равной примерно 10 000——11 000° К, причем эта величина согласуется с теоретической оценкой
сделанной в разумных предположениях о балансе внутренней энергии (здесь существенна диссоциация молекул).
С. Б. Кормер, М. В, Синицын, Г. А. Кириллов и В. Д, Урлин (1965) таким же способом измеряли температуры за фронтом ударных волн в ионных кристаллах NaCl и КС1 до давлений 0,8 X 106 атм и температур 5500° К, На опыте были определены кривые плавления: зависимость температуры плавления от давления. Оказалось, что последняя при давлениях порядка 0,5 X 106 атм возрастает до 4000° К, т. е. в четыре раза.
Представляется очень заманчивой попытка оптических измерений температуры в непрозрачных телах (металлах) в момент выхода очень мощной ударной волны на свободную поверхность. Однако при ближайшем рассмотрении оказывается, что такая попытка обречена на неудачу. Прибор регистрирует свечение разгружающегося вещества. Соответствующие опыты по изучению свечения паров в волне разгрузки были поставлены С, Б, Кор- мером, М. В, Синицыным и А. И, Куряпиным, а теория явлений при выходе мощной ударной волны на свободную поверхность и последующей разгрузке (превращение твердого вещества в пар, изменение яркостной температуры свечения со временем) была дана Я, Б, Зельдовичем и Ю. П. Райзером (1958).
Следует отметить, что в принципе существует возможность экспериментального определения энтропии в ударной волне (и температуры), если измерить на опыте механические величины (например, плотность и давление в газовой фазе) в волне разгрузки. Это связано с изэнтроцич- ностью разгрузки, благодаря чему измерение энтропии в газовой фазе дает непосредственно и энтропию в ударной волне. В работе Я, Б. Зельдовича (1957), где отмечена указанная возможность, показано, как можно при этом вычислить температуру в ударной волне.
Сильные ударные волны можно использовать для измерения показателя преломления в сжатом веществе. Для этой цели можно воспользоваться измерениями отражения света от поверхности фронта волны. Ширина фронта гораздо меньше длина волны света, и благодаря этому поверхность фронта отражает как граница двух сред. Коэффициент отражения определяется через показатели преломления сред по формулам Френеля.
Подобные опыты были поставлены Я, Б, Зельдовичем, С, Б. Корме- ром, М. В, Синицыным и К, Б. Юшко (1961) в воде и плексигласе. Пучок света падал -наклонно на свободную поверхность образца, в котором рас- пространялась*параллельно поверхности ударная волна. Отраженный луч регистрировался при помощи фоторазвертки, интенсивность отраженного света измерялась фотометрически. Показатель преломления в сжатом веществе определялся не только по отражению света, но и геометрическим путем, так как возникали лучи, отраженные от фронта ударной волны и от свободной границы, которые давали на фоторазвертке сдвинутые полоски.
Аналогичным методом С, Б, Кормер, К, Б, Юшко и Г, В, Кришкевич (1966) измерили зависимость показателя преломления от плотности в твердой и жидкой фазах сжатых ионных кристаллов.
В работе С. Б, Кормера, М, В, Синицына, Г. А. Кириллова и Л, Т, Поповой (1965) были измерены коэффициенты поглощения света в сжатом и нагретом ударной волной кристалле NaCl. Для этого была использована методика, ранее примененная И, Ш, Моделем (1957) к газам. Опыты показали, что при повышении температуры (и давления) прозрачность кристалла резко падает; при р — 0,79 X 106 атм и 7 = 4850° К коэффициент
поглощения равен 10——12 Нем. что на два порядка больше поглощения в нормальных условиях, В этой работе обсуждается механизм поглощения и электропроводности ионных кристаллов при высоких давлениях и температурах. Предполагается, что в ударной волне диэлектрический кристалл NaCl переводится в полупроводниковое состояние: в процессе пластической деформации в нем появляются донорные уровни, а появление электронов в зоне проводимости, ответстеенных за поглощение света и проводимость, происходит в результате теплового возбуждения электронов, занимающих эти донорные уровни.
§ 7. Устойчивость ударных волн
Один из аргументов, свидетельствующих о невозможности существования ударных волн разрежения в веществе с нормальными термодинамическими свойствами, базируется на анализе устойчивости разрыва по отношению к малому одномерному перемещению в направлении движения волны (Л, Д, Ландау и Е. М. Лифшиц, 1954). При этом оказывается, что ударная волна сжатия устойчива, а уд арная волна разрежения неустойчива. Естественно возникает вопрос： а как обстоит дело с устойчивостью ударной волны по отношению к неодномерным возмущениям, например по отношению к малым искривлениям в среднем плоской поверхности фронта? *
Этот вопрос был впервые исследован С, П. Дьяковым (1954). Пусть плоскость фронта ударной волны совпадает с координатной плоскостью (у, z), а направление движения ——с осью х. Рассмотрим идеальный скачок уплотнения, помещенный в плоскости 力=0. Течение по обе стороны разрыва постоянно в пространстве и во времени. Наложим на него малые возмущения, Они описываются линеаризованными уравнениями газовой динамики. Не ограничивая общности, можно разложить возмущение в интеграл Фурье по переменным у и z и рассматривать решения вида / (х, i). exp [i (куу + kzz)]. Можно, далее, повернуть систему координат вдоль оси х так, чтобы рассматривать двумерное возмущение вида / (х,力)exp (Шуу). Благодаря постоянству среднего течения по обе стороны разрыва в пространстве и во времени в решении можно выделить временной множитель exp Q九 В результате получается система уравнений в обыкновенных производных с постоянными коэффициентами с определенными граничными условиями на разрыве, из которой вытекает характеристическое уравнение для Q (способ преобразования уравнений к наиболее удобному виду указал Дьякову Л. Д, Ландау). В работе С, П, Дьякова показано, что в зависимости от формы ударной адиабаты возможны три случая:
ударная волна неустойчива (Re Q > 0);
от фронта волны в сторону сжатого газа излучаются звуковые волны (Re Q = 0, Im Q抬0);
ударная волна устойчива.
При реально встречающихся типах уравнения состояния веществ ударные волны всегда устойчивы, В частном случае идеального газа с показателем адиабаты у = 7/5 Н. К, Фриман (Proc. Roy, Soc. London, 1955, А228 : 1174, 341——362) исследовал затухание возмущений в случае устойчивой ударной волны, порождаемой поршнем со слабо искривленной поверхностью. Оказалось, что возмущения, осциллируя, затухают асимптотически по степенному закону i-a. Для сильной ударней волны а = “2, при отличном от нуля начальном давлении а = 3/2，
По предложению А. Д. Сахарова Р, М. Зайдель (1956) получил аналогичные результаты для газа, заполняющего бесконечное пространство, с произвольным показателем адиабаты.
Иным способом исследовал устойчивость ударных волн С, В. Иорданский (1957), который получил критерии устойчивости, несколько отличающиеся от результатов С, П. Дьякова. К аналогичным выводам независимо пришел и Р. М. Зайдель (1957). В, М, Конторович (1957) объяснил причину имевшихся расхождений и подтвердил правильность результатов С, В, Иорданского.
Задача Фримана об искривленном поршне решалась Р. М. Зайделем (I960) ) методом «гиперболических координат». Этим методом удалось решить еще ряд аналогичных задач (Г, А. Гришина, Р. М. Зайдель и О, М. Зотова, 1955; Р, М, Зайдель, 1967),
Рис, 42, Схема опыта А, Д* Сахарова и др, по исследованию устойчивости ударных волн.Рис, 42, Схема опыта А, Д* Сахарова и др, по исследованию устойчивости ударных волн.Большой интерес представляет экспериментальная проверка теоретических заключений об устойчивости ударных волн. Соответствующий эксперимент описан в работе А. Д. Сахарова, Р. М. Зайделя, В, Н. Минеева и А. Г, Олейника (1964), Плоская ударная волна, возникающая от детонации взрывчатого вещества (рис. 42), проходила из диска со специально изготовленной синусоидальной неровностью поверхности в клин из того же материала. По выходе из клина волна входит в зазор между клином и прозрачной пластиной из оргстекла и
Рис, 42, Схема опыта А, Д* Сахарова и др, по исследованию устойчивости ударных волн.
Рис, 42, Схема опыта А, Д* Сахарова и др, по исследованию устойчивости ударных волн.
регистрируется скоростным фоторегистратором. Используя систему щелей, перпендикулярных к направлению скоса клина, можно в одном опыте зарегистрировать возмущение на несколько последовательных моментов времени. Результаты опыта сопоставлялись с теоретическим расчетом, выполненным для данной системы.
Среди экспериментов были такие, которые отличались лишь подобным изменением всех размеров системы. Отнесенные к безразмерным переменным, кривые развития возмущений в этих опытах отличались друг от друга, что нельзя было объяснить иначе, как влиянием вязкости. По сдвигу кривых оказалось возможным определять коэффициент вязкости вещества, сжатого и нагретого ударной волной. Расчет влияния вязкости и теплопроводности на затухание возмущений был сделан Р, М. Зайделем (1967).
В экспериментах по измерению вязкости алюминия и хлористого натрия, сжатых ударной волной, В. Н. Минеев и Е. В. Савинов (1967) обнаружили при малых изменениях давления резкое уменьшение влияния геометрии (подобного преобразования системы) на кривую затухания возмущений. Это связано с плавлением вещества, при котором происходит резкое уменьшение вязкости. Полученная в этих опытах зависимость вязкости от давления и температуры позволила объяснить наблюдавшееся
в опытах Я, Б, Зельдовича, С. Б, Кормера, М. В, Синицына и К, Б, Юшко (1966) аномально слабое отражение света от фронта ударной волны.
Мы не касаемся здесь вопросов устойчивости детонации и горения, освещенных в обзоре К. И, Щелкина (стр. 343——422).
§' 8. Механические эффекты, сопровождающие взаимодействиелазерного излучения с веществом
В самые последние годы открылась новая область исследований экспериментальных и теоретических, в которой тесно переплетаются физические и механические (чаще гидродинамические) представления и которую с полным основанием можно отнести к рассматриваемому в этом обзоре направлению. Мы имеем в виду физические и, в особенности, механические эффекты, возникающие при взаимодействии интенсивных лазерных лучей с различными веществами: газами, непрозрачными твердыми телами и прозрачными твердыми и жидкими средами. Остановимся здесь коротко на результатах исследований советских авторов в этой области.
Газы. Большинство газов прозрачно для видимого излучения, и при не слишком большой интенсивности лазерные лучи проходят через них без видимых эффектов. Однако при очень больших интенсивностях, которые на опыте достигаются при фокусировании линзой световых лучей так называемых гигантских импульсов, в газе в области фокуса- происходит пробой, т. е. развивается бурная ионизация и образуется плазма. Так, например, в воздухе пробой получается при энергии в импульсе около 1 дж (длительность гигантского импульса составляет обычно 30 X 10~9 се砌, т. е. при мощности 冬 10 Мет. При радиусе кружка фокусировки 冬 10-2 см это соответствует плотности потока лучистой энергии в фокусе ^10п^т/сл€2 и напряженности электрического поля в световой волне 5 X 106 в 1см.
Под действием поля излучения в области фокуса развивается электронная лавина и возникает значительная ионизация. Теория лавины была развита в работах Я. Б. Зельдовича и Ю. П. Райзера (1964), Г. А. Аскарьяна и М. С. Рабиновича (1965), Д. Д. Рютова (1964) и других авторов.
Краткое изложение теории и эксперимента и библиографию можно найти в обзорной статье Ю. П. Райзера (1965). •
Опыты показали, что плазма, образующаяся в области фокуса еще до окончания лазерного импульса, очень сильно поглощает лазерное излучение и здесь возникают чрезвычайно высокие температуры. Измерение интенсивности рентгеновского излучения, которое испускается из области фокуса, дало возможность установить, что здесь развиваются температуры в сотни тысяч, почти миллион градусов (С, Л, Мандельштам, П. П. Пашинин, А. М. Прохоров, Ю. П. Райзер и Н. К. Суходрев, 1965). На опыте было также обнаружено по допплеровскому смещению рассеянного излучения (впервые ——С. А. Рамсденом и В. Э, Дейвисом, Phys. Rev, Letters, 1964, 13 : 7, 227——229), что область плазмы движется навстречу лазерному лучу со скоростью «100 км/сек,
В работе Р. В. Амбарцумяна, Н. Г. Басова, В. А. Бойко, В. С. Зуева, О, Н, Крохина, П. Г. Крюкова, Ю. В. Сенатского и Ю, Ю. Стойлова (1965) этот эффект был зарегистрирован особенно наглядно путем покадровой высокоскоростной съемки процесса.
Первое предположение о механизме этого явления было сделано С. А. Рамсденом и П. Савичем (Nature, 1964, 203 : 4951, 1217—1219),
которые провели аналогию между процессом поглощения света плазмой и детонацией взрывчатых веществ. Слой плазмы поглощает лазерное излучение, нагревается до высокой температуры и посылает навстречу лучу удар-
Рис, 43, Схема светового канала в области фокуса.Рис, 43, Схема светового канала в области фокуса.ную волну, которая в свою очередь нагревает и ионизует газ и делает его поглощающим (рис. 43), Таким образом, здесь, как и в детонации, инициатором энерговыделения является ударная волна и слой, в котором происходит тепловыделение (от поглощения света), бежит вместе с ударной волной. Рамсден и Са
Рис, 43, Схема светового канала в области фокуса.
Рис, 43, Схема светового канала в области фокуса.
вич правильно и в соответствии с опытом оценили скорость распространения «детонационной волны»,
но не решили вопроса о температуре нагревания газа.
Общий анализ, объяснение наблюдаемого на опыте физического процесса, который возникает при поглощении лазерного луча в обла-
Рис, 44. Ударная адиабата волны поглощения.Рис, 44. Ударная адиабата волны поглощения.сти фокуса, и вычисление температуры были даны Ю, П. Райзером (1965), который рассмотрел наряду с гидродинамическим («детонационным») и другие возможные механизмы распространения волны, построил общую схему волны поглощения света и нагревания газа и вывел «ударную адиабату» такой волны (рис. 44), Гидродинамический механизм соответствует «точке Жуге» J этой адиабаты и минимальной скорости распространения волны (переход О — А — J). Возможны и другие механизмы распространения: нагрев и ионизация газа перед фронтом тепловым излучением, выходящим из высокотемпературной области за волной, или
Рис, 44. Ударная адиабата волны поглощения.
Рис, 44. Ударная адиабата волны поглощения.
возникновение последовательных пробоев под действием самого лазерного луча. Механизм последовательных пробоев обсуждался также в цитированной работе Р. В. Амбарцумяна и др. (1965),
В случае, если эти механизмы действуют более эффективно, чем гидродинамические (а такие условия встречаются на опыте)., возникает режим «вынужденной детонации», который распространяется со скоростью, превышающей «нормальную скорость детонации» (переход。——С),
Скорость волны поглощения D и температура нагревания газа за фронтом Т (вернее, удельная внутренняя энергия е(7)) подчиняются уравнению сохранения энергии, которое в приближенной форме, независимо от меха
низма распространения волны, записывается очень просто:
Роое(л = д
где ро ——начальная плотность газа, а I ——плотность потока лазерного излучения,
В случае «детонационного» механизма е 〜Z)2 H。〜(//р。)】％. Использование уравнений энергетического баланса позволило правильно оценить температуру нагревания газа в соответствии с измерениями С. Л, Мандель-
штама и др. (1965) и оценить возможности достижения очень высоких температур в опытах подобного рода.
После окончания лазерного импульса и энерговыделения в газе нагретая область становится источником общей взрывной волны, которая распространяется от области, где произошло энерговыделение. Процесс на этой стадии весьма сходен с процессом сильного взрыва, который рассматривался в § 3 (в частности, как и при крупномасштабных взрывах, образуется огненный шар). Описанная стадия изучалась экспериментально С. Л. Мандельштамом, П. П. Пашининым, А. В. Прохиндеевым, А. М. Прохоровым и Н. К. Суходревом (1964). Плазменное облако взрыва исследовалось микроволновым методом в работе Г, А, Аскарьяна, М, С. Рабиновича, М. М, Савченко и А. Д, Смирновой (1965), Те же авторы исследовали и 《взрыв», произведенный в присутствии внешнего магнитного поля (1965), Наблюдаемые магнитные эффекты были ранее предсказаны Г, А. Аскарьяном и М. С. Рабиновичем (1965).
Непрозрачные мишени. Взрывные явления и высокие температуры получаются и при воздействии достаточно интенсивных лазерных лучей на поверхности непрозрачных тел (например, металлов). В этом случае нет порога для поглощения, как в прозрачных телах; свет поглощается при любой интенсивности, однако очень высокие температуры возникают, естественно, только при достаточно мощных импульсах (и при фокусировании излучения на поверхность). Явление имеет взрывной характер. Некоторое количество материала мишени превращается в плазму и разлетается с большой начальной скоростью. Если мишень помещена в вакуум, плазма разгоняется до весьма больших скоростей порядка сотен км/сек. Сказанное относится к гигантским лазерным импульсам. Несколько иначе протекает процесс при воздействии на мишени пучков лазеров, работающих в режиме свободной генерации (длительности 〜10"3 сек). Для опытов такого рода характерна возможность выделения в мишени очень больших энергий порядка 1000 дж (в отличие от гигантских импульсов, в которых энергия обычно не превышает величины 〜10 dg*
Подробное экспериментальное и теоретическое исследование воздейст- вйя на непрозрачные мишени негигантских импульсов было проведено в работе С. И, Анисимова, А. М. Бонч-Бруевича, М. А. Ельяшевича, Я. А, Имаса, Н, А, Павленко и Г, С. Романова (1966). В опытах луч генератора на неодимовом стекле с энергией до 300 дж фокусировался на мишени, изготовленные из различных металлов. Процесс испарения металла и развития в нем лунки фотографировался высокоскоростной камерой со скоростью 100 000 кадров в секунду. Для того чтобы сделать процесс видимым, луч фокусировался на границу между металлической и прозрачной стеклянной пластинками, а съемка производилась сбоку через стекло. Измерялся также импульс отдачи, передаваемый мишени и возникающий при разлете испаренного металла. (Отметим, что на реактивный эффект испарения и связанное с ним резкое увеличение передачи импульса мишени обратили внимание Г. А, Аскарьян и Е. М. Мороз (1963); этот эффект совершенно аналогичен тому, который возникает при «взрыве» метеоритов после удара о поверхности; см. п. 4.6). -
При воздействии света на мишень в последней образуется лунка (кратер), которая все углубляется во время импульса, а испаренное вещество вытекает сначала в виде облака, а потом в виде узкой струи (из глубины). В цитированной работе получен большой экспериментальный материал. Теория образования лунки основана на рассмотрении теплопро- водностной задачи с учетом затрат энергии на испарение. В стационарном
режиме количество энергии, которое подводится ко. дну лунки светом, затрачивается на испарение вещества и нагрев его до соответствующей температуры 7*. При этом скорость движения «дна» и, которая определяет и скорость превращения металла в пар, связана с подводимой плотностью потока энергий q уравнением энергетического баланса
о (pc?* + pU) = q,
где с и U ——удельные теплоемкость и теплота испарения, р ——плотность. Температура 7*, отнюдь не равная температуре кипения, но имеющая порядок этой температуры, определяется тем условием, что скорость испарения с поверхности при этой температуре, которая пропорциональна ехр (— U/RT*), должна обеспечить скорость движения границы разрушения ，
Описанный тепловой механизм разрушения справедлив при не слишком больших потоках энергии д. При больших потоках (которые имеют место, например, в случае гигантских импульсов) данная масса металла поглощает энергию, значительно превышающую теплоту испарения, и нагревается до высоких температур. Явление при этом имеет общие черты с детонацией взрывчатых веществ, и здесь вступают в силу гидродинамические эффекты.
Процессы такого типа в идеализированной постановке исследовались в работе Ю. В. Афанасьева, В. М. Кроля, О. Н. Крохина и И, В, Немчинова (1966). Они рассматривали движение поглощающего свет газа, который вначале занимал полупространство, граничащее с вакуумом, если на поверхность падает поток лучистой энергии. Поглощая излучение, газ становится более прозрачным, так как поглощение уменьшается при повышении температуры и свет проникает в более глубокие слои. Нагретый газ разлетается в сторону пустоты. Фронт волны прогревания при этом движется внутрь газа по определенному временному закону, и при некоторых предположениях задача оказывается автомодельной. Решение автомодельных уравнений дает количество «испарейной» массы, ее начальную температуру и плотность.
К этой работе тесно примыкают теоретические расчеты разлета плоского слоя при постепенном выделении в нем энергии (И, В. Немчинов, 1961) и разлета постепенно подогреваемой массы газа (И. В. Немчинов, 1964). А. А. Калмыков, В, Н. Кондратьев и И. В. Немчинов (1966) рассмотрели разлет мгновенно нагретого у поверхности вещества и вычислили передаваемый телу импульс в зависимости от уравнения состояния вещества. Сопоставляя эти расчеты с результатами опытов по воздействию лазерного излучения на мишени, можно делать заключение об уравнении состояния вещества в малоисследованной области параметров.
Воздействие мощного гигантского импульса на мишень и образование плазменного факела подробно исследовали Н, Г, Басов, В, А, Бойко, В, А. Дементьев, О. Н. Крохин и Г. В. Склизков (1966). Луч генератора на неодимовом стекле, дающего мощность до 200 Мет, фокусировался на поверхность углеродной мишени, помещенной в вакуум. Регистрировалась скорость разлета первоначально нагретой плазмы. Это было сделано с помощью зондов, помещенных на разных расстояниях. Скорости достигали величины порядка 100 км/сек. Процесс также фотографировался при помощи высокоскоростной аппаратуры; измерялось и пропускание света в разных местах факела. Был сделан газодинамический расчет движения плазменного факела с учетом переменности его массы, которая нарастает с течением времени за счет испарения все новых и новых слоев мише-
Рис. 45. Разрушение прозрачных полимеров под действием лазерного излучения.Рис. 45. Разрушение прозрачных полимеров под действием лазерного излучения.ответственныответственныинтенсивныеинтенсивные
Рис. 45. Разрушение прозрачных полимеров под действием лазерного излучения.
Рис. 45. Разрушение прозрачных полимеров под действием лазерного излучения.
ответственны
ответственны
интенсивные
интенсивные
ни. Было получено согласие теоретических и экспериментальных ре
зультатов.
Было бы очень заманчивым нагреть с помощью лазерного импульса маленькую частицу гидрида лития или дейтерия до столь высоких температур, чтобы в частице началась термоядерная реакция. Для этого нужны температуры выше примерно десяти миллионов градусов. Оценки нагрева
ния с учетом гидродинамического разлета вещества потерь на излучение и других процессов были сделаны Н, Г, Басовым и О* Н, Крохиным (1964), Согласно этим оценкам необходимы мощности выше 104 Мет.
8*3. Прозрачные твердые тела. Большой интерес представляет иссле
дование механических разрушений, которые возникают в прозрачных
телах (стеклах, кварце, плексигласе и др,) при фокусировании внутрь лазерных пучков.
Опыт показывает, что при достаточной интенсивности излучения в теле возникают различного рода разрушения: либо сплошное месиво мельчайших трещинок и область мелкораздробленного вещества, как в случае гигантских импульсов, либо большие, красивые, закономерно расположенные дискообразные трещины, как при свободной генерации (рис. 45). Разрушение в прозрачных телах, так же как и разрушение непрозрачных мишеней, наблюдалось уже многими авторами и за рубежом, и в Советском Союзе, и мы не будем перечислять все эти работы, тем более, что почти все они пока имеют эмпирический характер. Надо сказать, что теория этих явлений, в отличие от случая непрозрачных тел, находится в самом начальном состоянии и наблюдаемые явления еще не получили объяснения.
Существуют различные точки зрения по поводу возможного механизма разру
шений. Одни авторы счи
тают, что за разрушения
гиперзвуковые волны, возникающие при вынужденном. мандельштам- бриллуеновском рассеянии лазерного излучения, другие отдают пред- почтейие тепловым механизмам (в теле образуются очаги высокой
температуры за счет поглощения излучения). Высказывались предположения о термоупругом происхождении трещин.
Подробное экспериментальное исследование разрушений в плексигласе, полистироле и других материалах было проведено в работе Б. М, Ашкинадзе, В. И, Владимирова, В. А, Лихачева, С. М, Рывкина, В. М, Салманова и И. Д, Ярошецкого (1966), Ими был получен большой экспериментальный материал, исследованы зависимости размеров, характера области разрушений от энергии лазерного импульса и другие закономерности, Авторы стоят на точке зрения гиперзвуковой природы разрушений, которая нам, однако, представляется мало обоснованной, В работе Г. И. Баренблатта, Н, Н, Всеволодова, Л, И. Миркина, Н. Ф. Пилипецкого и Ю, П. Райзера (1967) было обнаружено, что в плексигласе и полистироле под действием лазерного импульса образуются газовые пузырьки. Газ под большим давлением расширяется и расклинивает материал. Этот механизм имеет, так сказать, тепловую природу. Очень интересные наблюдения были сделаны Д, И. Машем, В. В, Морозовым, В. С. Старуно- вым, Е. В. Тигановым и И. Л. Фабелинским (1965), изучавшими вынужденное мандельштам-бриллуеновское рассеяние в кварце при низких температурах, Оказалось, что характер разрушений существенным образом меняется при переходе от обычных температур к гелиевым.
Не останавливаясь подробнее на вопросе о разрушении прозрачных диэлектриков, отметим лишь, что здесь имеется очень много еще непонятного и открывается большое и интересное поле для исследований.
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВЗРЫВНЫХ ВОЛН
Е. ГУБКИН
1, Задача о сильном взрыве 271
2, Асимптотический закон затухания ударных волн на больших расстояниях от места их возникновения 280
3. Взрывы химических взрывчатых веществ 285
4, Энергия взрывных волн 293
5・ Некоторые особенности распространения взрывных волн в плотных средах 301
6, Взаимодействия ударных волн 305
Взрывные волны представляют собой движение среды, которое возникает в результате внезапного освобождения энергии, заключенной первоначально в небольшом объеме. Существует довольно широкий круг явлений, сопровождающихся образованием взрывных волн. Взрывные волны образуются, например, при электрических разрядах в газах и жидкостях 耳 фокусировке лазерного излучения, при падении на поверхность Земли крупных метеоритов и извержениях вулканов, при вспышках нових и сверхновых звезд и хромосферных вспышках на Солнце, Мощными источниками взрывных волн являются ядерные взрывы и взрывы химических взрывчатых веществ, В настоящее время взрывчатые вещества широко используются в научных исследованиях и в промышленности, Взрывные волны служат источником информации о строении атмосферы и внутреннем строении Земли, Благодаря применению взрывчатых веществ достигнуты значительные успехи в изучении свойств газов, жидкостей и твердых тел при высоких давлениях и температурах. Взрывы используются для разведки и вскрытия месторождений полезных ископаемых, при строительстве плотин и водоемов, для штамповки и сваривания металлов,
В настоящем обзоре обсуждаются основные особенности гидродинамического течения среды, сопровождающего взрыв. Движение среды, возникающее в результате взрыва, описывается системой уравнений гидродинамики, соответствующие решения которой определяют в каждой точке пространства скорость, давление (или внутренние напряжения) и плотность среды как функции времени. Уравнения гидродинамики описывают термодинамически неравновесную среду, Распространение взрывной волны сопровождается повышением энтропии среды, поэтому при описании течения необходимо учитывать процессы, приводящие к диссипации механической энергии.
В газах и жидкостях в большинстве важных случаев движение таково, что указанная диссипация энергии происходит в основном лишь в очень узких зонах, в которых состояние среды претерпевает резкие изменения.
При анализе движения среды такие зоны рассматриваются просто как разрывы — ударные волны. Повышение энтропии и связанная с этим диссипация механической энергии определяются амплитудой ударной волны и не зависят от деталей неравновесного процесса перехода в ударной волне. Это обстоятельство значительно облегчает формулировку и решение уравнений движения, так как в этом случае можно взять за основу уравнения гидродинамики идеальной жидкости,
Одним из мощных методов исследования гидродинамических движений является метод подобия. Применение этого метода основано на том, что уравнения гидродинамики идеальной жидкости не содержат каких-либо характерных постоянных с размерностью длины или времени, Масштаб движения в каждом конкретном случае задается начальным распределением, которое предполагается известным заранеё. Таким образом, имеется возможность для пересчета движений различного масштаба посредством преобразования подобия, сохраняющего неизменными уравнения движения. Это обстоятельство широко используется в экспериментальной практике, когда необходимо воспроизвести явление большого масштаба в лабораторных условиях. Метод подобия эффективно применяется и для интегрирования дифференциальных уравнений движения. Часто оказывается возможным выбрать начальное распределение таким образом, чтобы последующие распределения в различные моменты времени были подобны друг другу. Такое движение называют автомодельным. Автомодельность движения дает возможность уменьшить число независимых переменных, что значительно упрощает проблему отыскания решения, а в некоторых случаях позволяет получить решение задачи в аналитической форме,
Автомодельные решения обладают весьма важным свойством. Это свойство заключается в том, что, как правило, автомодельные решения описывают предельное распределение, к которому стремятся с течением времени функции, характеризующие возмущенное движение среды для довольно широкого класса начальных условий. Решения уравнений гидродинамики имеют тенденцию к постепенному утрачиванию зависимости от многочисленных деталей в начальных условиях, поэтому предельные решения представляют особый интерес,
Широкое распространение получили методы приближенного решения гидродинамических задач, В основе этих методов лежат упрощенные системы уравнений, решения которых в своей главной части близки к решениям точных уравнений для специально выбранных условий движения. Упомянем также эффективное использование традиционных соображений симметрии, которые значительно упрощают исследование многих практических вопросов,
В настоящее время значительных успехов достигла вычислительная техника, В связи с этим успешно развиваются методы численного интегрирования уравнений движения. Решение многих практических задач оказалось возможным лишь благодаря применению быстродействующих вычислительных машин.
Наибольшие трудности возникают при описании взрывных волн в твердых средах. При очень высоких давлениях механические свойства твердых тел можно уподобить свойствам жидкостей, Однако подобная идеализация при описании волн конечной амплитуды в твердых средах не всегда может быть приемлемой, Свойства разрушенной твердой среды и механизм поглощения энергии в ней еще в значительной мере неясны. Это обстоятельство затрудняет явную формулировку уравнений движения, В задачах о распространении взрывных волн в твердых средах часто вводятся дополнитель-
ные предположения, основанные на некоторых эмпирических соотношениях или аналогиях, область применимости которых оказывается весьма неопределенной, При решении практических задач, связанных с неупругим поведением твердой среды, интуиция специалистов явно недостаточна, поэтому тщательный анализ экспериментальных наблюдений и постановка новых экспериментов являются неотъемлемой частью исследований в этой области механики, как и в любой другой области развивающейся науки, Разумеется, что прогресс в изучении неупругих свойств и разрушения твердых тел зависит от усилий специалистов многих научных направлений, а исследование взрывных волн является частью этих усилий,
§ 1. Задача о сильном взрыве
Одной из наиболее фундаментальных задач теории распространения взрывных волн является задача о сильном взрыве, исследованию и решению которой мы обязаны Л, И. Седову (1946) ), Проблема состоит в том, чтобы определить течение первоначально однородного газа после мгновенного выделения энергии в фиксированной точке пространства. Точка, в которой выделилась энергия, берется в качестве центра симметрии.
Обозначим давление, плотность и радиальную компоненту скорости газа, которые являются функциями расстояния г до центра и времени t, соответственно через р, р, и и будем искать решение системы уравнений, выражающих законы сохранения массы, импульса и энергии для сферически симметричного движения сжимаемого газа:
十/亲(W)= o, •
dv . dv . др n/л л\
г r dr ' dr J/
+рМ4* + е + §]=0. I
Здесь Е = р/[р(у—1)]——внутренняя энергия идеального газа с постоянным отношением удельных теплоемкостей Ср/ср = у. Искомое решение должно удовлетворять начальным (力=0) условиям
р = 0, р = р(ь и = 0(1.2)
и условию постоянства полной энергии возмущенного движения при 力＞0
J ^ре +^~) 4лг2 dr ^= Ео = const.(1.3)
о
В правой части третьего уравнения системы (1,1) опущена 6-функция (точнее, Е08 (力)6 ⑺)，отвечающая мгновенному точечному источнику энергии, которая учтена эквивалентным условием сохранения энергии (1.3). В каждый фиксированный момент времени возмущенная область занимает конечный объем, который ограничен поверхностью расходящейся сферической ударной волны, поэтому интеграл в условии (1,3) фактически берется в конечных пределах от г = 0 до г =左(力)，где R (力)一радиус
ударного фронта, На ударном фронте выполняются обычные соотношения, связывающие давление ръ плотность р】и скорость газа рг на внутренней стороне разрыва со скоростью D ударной волны:
Решение сформулированной задачи обладает важным свойством по отношению к преобразованию подобия. Это свойство заключается в том, что при любом § > О
Р（г，^ = -^Р（Г^ ' 于）'
р 亿'）= Р （^7Г ' у）'
°（г，力）= ^7г"俞，Т）•
Для любого фиксированного момента времени t можно положить § =力 так что
Р^ 力）=合？（仑，1）（仑），
p（r, t） = p （Ft，i） = g（Fr）'
№ z）= -^r^（-^r> ^^т^（V7T）•
Отсюда видно, что движение автомодельно, т. е, распределения р, р, v в разные моменты времени t подобны друг другу, Это обстоятельство дает возможность свести задачу к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений для функций /, g, h одной независимой переменной 自—г/力2/5. Фронту ударной волны соответствует некоторое постоянное значение 自=自。,так что радиус фронта расширяется по закону R （力）= =自0#/5, откуда имеем скорость ударной волны
о=^—4 ^~3/5=4 歐 еТ"・
Давление, плотность и скорость газа на фронте ударной волны опреде ляются по формулам
П — 8Po 二2 尸6/5^Po £5 D-3
^~25（y + ljSo — 25（y+，）£Q，
Pi= PoPi= Poy + 1y + 1%%444 p5/a 斤一 з/а —5«3 £。4 p5/a 斤一 з/а —5«3 £。
Pi= Po
Pi= Po
y + 1
y + 1
%
%
4
4
4 p5/a 斤一 з/а —5«3 £。
4 p5/a 斤一 з/а —5«3 £。
Искомое автомодельное распределение отвечает течению с постоянной энергией, поэтому величина энергии внутри сферы радиуса г =自户/5 является функцией одной только 自.Таким образом, энергия внутри любой сферы, расширяющейся по закону 自=const, не зависит от времени, так что
Е产/5
4- J 3+珠）4綻否=0.о
Произведя дифференцирование и сводя интегрирование по объему к интегрированию по поверхности при помощи третьего уравнения исходной системы, получим интеграл уравнения энергии, удовлетворяющий условиям задачи, в алгебраической форме:
(ре+啰)4統暂十=4统pо(与+叶目.
Используя этот интеграл, можно проинтегрировать два других дифференциальных уравнения, предварительно преобразовав их к функциям /, g, h одной независимой переменной 自.Решение задачи получается в аналитической форме. Постоянная ^0, соответствующая фронту ударной волны, определена условием (1,3), Численное значение /р。/% зависит только от величины у (см, таблицу 1).
Таблица 1
Y
1,1
1,2
1,3
1,4
5/3
2
3
普р0
0,2924
0,5815
0,8744
1,175
2,026
3,205
7,546
Ре
0,4590
0,4236
0,3927
0,3655
0,3062
0,2508
0,1479
石
0,0833
0,1412
0,1840
0,2188
0,2921
0,3311
0,4095
В книге Л, И, Седова «Методы подобия и размерности в механике» (1957), а также в работе В. П. Коробейникова, П. И. Чушкина и К, В. Ша- роватовой (1963) имеются подробные таблицы и графики распределений
давления, плотности и скорости газа для сферического, цилиндрического и плоского вариантов этой задачи при различных значениях постоянной у. На рис, 1 представлены распределения р/рг,加以 и р/р* в функции r/R =自/尿 для у = 1,25. При г/Е f 0 отношение давлений р/рг стремится к постоянному пределу р/Рз зависящему от величины у (см. таблицу 1), a v〕v工 и р/р】 стремятся к нулю по закону
ззПлотность очень быстро убывает к центру, Почти вся масса вовлеченного в движение газа сосредоточена в узком шаровом слое, прилегающем к поверхности ударного фронта. При распространении сильных взрывных волн
з
з
Рис, 1, Автомодельные распределения по г скорости газа (7), давления (2) и плотности (3) для у = 1,25.Рис, 1, Автомодельные распределения по г скорости газа (7), давления (2) и плотности (3) для у = 1,25.в газах такое распределение массы является типичный, поскольку уплотнение вещества на фронте ударной волны, которое определяется величиной (у + 1)/(丫 一 1), практически оказывается довольно высоким.
Рис, 1, Автомодельные распределения по г скорости газа (7), давления (2) и плотности (3) для у = 1,25.
Рис, 1, Автомодельные распределения по г скорости газа (7), давления (2) и плотности (3) для у = 1,25.
18 Механика в СССР, том 2
Это обстоятельство служит основой для простой приближенной теории распространения взрывной волны (Г. Г. Черный, 1957), в которой 丫 一 1 рассматривается как малый J параметр. Предельное представление течения газа заключается в том, что масса М (Е) = % лр0/?3, равномерно распределенная на поверхности сферы радиуса Е, движется под действием давле
(Y —1)矶4(Y —1)矶4ния внутри «пустой» сферы:
(Y —1)矶
4
(Y —1)矶
4
Простое интегрирование уравнения движения
4 (MD) = D 爲(MD) = 4ne2及
приводит к результату
П2 _ 3 (丫一1)
—~2npMз- •
Давление р】на фронте ударной волны определяется выражением
D — 0 П2_ 3(Y —1)々)
科 一 p“ 一 2费3.
Давление рс в центре равно, таким образом, половине давления р* на ударном фронте. Кинетическая энергия Ек = % МА составляет малую долю энергии взрыва, равную (у — 1) Е& Изменение радиуса ударной волны со временем определяется уравнением D (Е) = dR/dt, откуда
Е = #5,
гдегде鼠р。矶鼠р。矶圖尹= 2,99(f.圖尹= 2,99(f.
где
где
鼠р。矶
鼠р。矶
圖尹= 2,99(f.
圖尹= 2,99(f.
Сравнивая результаты приближенного вычисления с точными значениями величин, приведенных в, таблице 1, отмечаем удовлетворительную согласованность между ними при малых значениях параметра (у — 1), Аналогичное приближенное описание течения было использовано А, С, Компанейцем (I960) в задаче о сильном взрыве в неоднородной атмосфере (см, также работу Э. И. Андрианкина, А, М. Когана, А, С, Компа- нейца и В. П, Крайнова, 1962),
Химические реакции, которые происходят в газе при высокой температуре, изменяют состав газа. Условия термодинамического равновесия позволяют выра&ить внутреннюю энергию 8 как функцию двух термодинамических величин р и р. Эта зависимость оказывается более сложной, чем та, которая была принята в вышеизложенной теории. Тем не менее часто оказывается возможным использовать выражение для внутренней энергии газа в форме 8 =卩/[(丫 一 1) pl с надлежащим образом выбранным средним значением величины у, которая принимается постоянной в рассматриваемом движении. При этом у, разумеется, не будет равна отношению теплоемкостей газа, а определяется как результат интерполяции зависимости е = е 伪，р). Н. М. Кузнецовым (1965) составлены подробные таблицы термодинамических функций и ударных адиабат воздуха в интервале абсолютной температуры от двухсот до трех миллионов градусов и плотности воздуха от 1О-6ро до 30р0, где р0 — плотность воздуха при нормальных условиях. Эти таблицы могут быть использованы, в частности, для выбора у в рассматриваемом диапазоне изменения термодинамических параметров.
На рис, 2 в координатах «давление — удельный объем» приведены изэнтропы воздуха и ударная адиабата, отвечающая начальному состояниюНа рис, 2 в координатах «давление — удельный объем» приведены изэнтропы воздуха и ударная адиабата, отвечающая начальному состояниюРо = 1,29 X 10-3 а/с九з и о。= 1 кЕ[с證. Некоторые численные значения энтропии, давления и плотности воздуха даны в таблице 2,
На рис, 2 в координатах «давление — удельный объем» приведены изэнтропы воздуха и ударная адиабата, отвечающая начальному состоянию
На рис, 2 в координатах «давление — удельный объем» приведены изэнтропы воздуха и ударная адиабата, отвечающая начальному состоянию
Возможность описания движения среды при сильном взрыве посредством автомодельного распределения не ограничивается случаем газа с постоянным у. Движение будет автомодельным и для более общих уравнений состояния среды, имеющих специальный вид (Л. И. Седов, 1957; Г. М, Бам-Зели- кович, 1949; Н, Н, Кочина и Н. С, Мельникова, 1958; Ю, Л. Якимов, 1959). Поскольку автомодельность движения связана с существованием преобразования подобия, сохраняющего , неизменными уравнения движения (1.1) и условия (1,2), (1.3), необходимо, чтобы выражение для внутренней энергии среды е (р, р) не приводило к появлению
Рис. 2. Ударная адиабата и изэнтропы воздуха (р — кГ/см2).Рис. 2. Ударная адиабата и изэнтропы воздуха (р — кГ/см2).дополнительного независимого условия, которому должны подчиняться параметры преобразования. Очевидно, что это возможно, когда 8 (Ар, р) = =А е (р, р) при любом А > 0, т, е, при условии, что уравнение состояния
Рис. 2. Ударная адиабата и изэнтропы воздуха (р — кГ/см2).
Рис. 2. Ударная адиабата и изэнтропы воздуха (р — кГ/см2).
имеет вид
£（Р，Р）=РР.（Р）,
где ф (р) — произвольная функция плотности р.
•Другая возможность осуществляется при течении несжимаемой жидкости, когда внутренняя энергия вообще не входит в уравнения движения.
Таблица 2
Энтропия воздуха
S,
■ араб
Давление на ударном фронте Pi, 笈Г/см2
Относительная плотность на ударном фронте Р1/Р0
Давление при нормальной плотности (р = ро), кГ/cmZ
Относительный объем при р = Р0 V/Vq
6,77
1
1
1
1
7,30
17,0
4,48
2,10
1,70
52,7
6,34
4,86
3,28
161
8,70
12,0
7,48
11
605
11,37
34,5
19,1
13
1 300
11,87
62,3
35,1
15
2 460
10,87
123
51,6
17
4 450
10,04
211
83,2
20
8 880
9,17
463
126
23
15 800
8,90
851
194
29
39 000
8,51
2 070
457
38
105 000
6,86
5 630
955
47
278 000
6,64
18 700
1640
56
587 000
6,96
39 000
♦ 2 520
63
986 000
5,54
.60000
3 460
IS*
Решение, описывающее движение несжимаемой жидкости при сильном взрыве, можно получить посредством предельного перехода у f оо из решения для идеального газа. При этом ударная волна исчезает, а возмущенная область простирается до бесконечности,
Для описания свойств жидкостей и твердых тел при высоких давлениях часто используется интерполяционное уравнение состояния в виде
е(Р, Р) = % (Р) + 謠у ,
где 80 (р) и / (р) — функции, зависящие только от плотности р, По мере увеличения амплитуды ударной волны плотность вещества стремится к конечному пределу, в то время как температура неограниченно возрастает ,При таких условиях тепловая энергия и давление, обусловленное тепловым движением молекул, могут значительно превышать упругую энергию и упругую часть давления. В этом случае можно взять за основу предельное выражение для внутренней энергии среды
8 (р, О)=广厂,山 〃 Р/(Р)
в котором не учитываются упругие слагаемые в энергии и в давлении, т, е. как раз в такой форме, которая допускает автомодельное решение. Примером использования уравнения состояния такого вида может служить задача о сильном взрыве в воде, рассмотренная С. И. Анисимовым и Н, М. Кузнецовым (1961). На рис, 3 представлена функция / (р), которая была принята для расчета течения. Энергия и давление пропорциональны температуре, а теплоемкость воды при постоянном объеме принята равной
Рис. 3. График 'функции / (р) в урав- Рис, 4. Автомодельные распределения нении состояния воды (р — е/с*・ по г скорости (7), давления (2) и плотности (3) при сильном взрыве в воде.Рис. 3. График 'функции / (р) в урав- Рис, 4. Автомодельные распределения нении состояния воды (р — е/с*・ по г скорости (7), давления (2) и плотности (3) при сильном взрыве в воде.
Рис. 3. График 'функции / (р) в урав- Рис, 4. Автомодельные распределения нении состояния воды (р — е/с*・ по г скорости (7), давления (2) и плотности (3) при сильном взрыве в воде.
Рис. 3. График 'функции / (р) в урав- Рис, 4. Автомодельные распределения нении состояния воды (р — е/с*・ по г скорости (7), давления (2) и плотности (3) при сильном взрыве в воде.
0,66 кал/{г-град). На рис. 4 приведены автомодельные распределения скорости (2), давления (2) и плотности (3). Значение постоянной ^р0/Е0, определяющей закон движения фронта ударной волны R =自^方色 равно 1,87. При р > 2 функция / (р) практически постоянна и равна 1,1, поэтому давление р。плотность р】и скорость вещества v* на фронте ударной волны выражаются через скорость фронта по таким же формулам, как и в газе с у = 2,1. Плотйость вещества на фронте ударной волны равна 2,8 р0, Лри такой плотности воды упругое давление составляет примерно
400 000 龙 17c九2. Тот факт, что в изложенном решении упругое давление предполагается пренебрежимо малой величиной, в значительной мере сужает возможности описания реального течения посредством автомодельных распределений.
Рассмотрим теперь вопрос о размерах первоначальной области, из которой развивается гидродинамическое движение газа при сильном взрыве. В условиях, когда первоначальная концентрация энергии очень велика, основным фактором в передаче энергии окружающей среде является излучение ). Коротковолновое излучение, выходящее из нагретой области, интенсивно поглощается в окружающем холодном газе. Поглощенное излучение нагревает газ до высокой температуры Т, как что он в свою очередь начинает излучать, нагревая следующий слой. Эффективный коэффициент теплопроводности при таком процессе передачи энергии оказывается чрезвычайно высоким. Это обстоятельство приводит к довольно быстрому расширению нагретой области газа. При этом практически можно пренебречь гидр одинамическим движением и рассматривать процесс передачи энергии в неподвижной среде с постоянной плотностью р0.
Распространение энергии при указанных выше условиях можно описать посредством решения нелинейного уравнения теплопроводности
.^(Po£)= div(%grad7).
Коэффициент лучистой теплопроводности х определяется выражением
где о = 5,67 х IO-' г/се^град^ ——постоянная Стефана — Больцмана, 2 = 2 (Т, ро) — средняя длина пробега излучения. Поскольку плотность газа считается постоянной, тепловая энергия 8 однозначно связана с температурой соотношением de — ср (7) dT. Уравнение теплопроводности сводится к уравнению для одной функции 8. Это уравнение при сферически симметричном распределении 8 (г,力)имеет вид
Функцию % (е) = м/(р0%) удобно аппроксимировать степенной зависимостью *(8)= ае",
где а и " — постоянные. Такая зависимость отражает реальное значительное увеличение коэффициента теплопр оводности с повышением температуры. Значение " = 4,5 является подходящей величиной показателя степени для воздуха в рассматриваемом диапазоне температур, причем при Т = =1 000 000° К и ро = 1,29 X 10 ~3 а/с九з, е = 1,58 х 1014 эрг/г, Z = 14 сл^ % = 1,5 X 1010 см2/сек. Величина % изменяется обратно пропорционально примерно третьей степени р0. Указанные численные значения величин заимствованы из таблиц Н. М. Кузнецова (1965), Имея в виду эту степенную зависимость для %(8), можно найти решение нелинейного уравнения (1.4), отвечающее мгновенному точечному источнику энергии (Я. Б. Зельдович, А. С. Компанеец, 1950). Искомое распределение должно удовлетворять начальному условию
8 = 0 при £ = 0, г > 0
и условию сохранения полной энергии при 力>0
4лр0 j 旷2 dr^= Eq.о
Распределение е(г, £), удовлетворяющее этим условиям, автомодельно. Действительно, при любом р>0
8 亿 U = рЗ/(Зп+2) £ (pl/(3n+2) ' у) •
Полагая р= £, имеем
6 *)=工荻Зп*Е鼠 ( #/(Зп+2)，］)=耳両г旷 尸 匕£/(3n+2))'
Проблема, таким образом, сводится к отысканию функции F (Е) одной независимой переменной 自=г/*/ <3п+2). Интегрирование обыкновенного дифференциального уравнения, которому удовлетворяет F (自)，приводит к результату
"(自)=［2。(3也 + 2)］阳一f广 nРй 0VEVE。，
b(S = 0при 自>无.
Постоянная интегрирования 自。определена условием сохранения энергии
Зп+2' J_
% = 4呐氐"［况(3:+2)］"⑺，
В ⑺=j (1 — С?产可2 d2 =，
3(4,5) = 0,257.
Полученное автомодельное решение, которое описывает тепловую волну, распространяющуюся из центра, представляет почти равномерное распределение 8 внутри сферы радиуса R = Ео"/(Зп+2)с очень резким спаданием к нулю около ее внешней границы. Тепловая энергия 8С в центре в зависимости от радиуса фронта R определяется выражением
8с Е) = 4лр0/?зв (п) *
Скорость тепловой волны довольно быстро падает с увеличением радиуса фронта:
dR _ 期+21 _ 2 Х(ес)
一曲一3n + 2 岳京” —.
приводит к следующей величине:
R* = 35 (風)4/1з (6。)"/^ (метров), где 刃()一энергия взрыва, выраженная в единицах 4,2 X 1032 зра, а р0 — плотность воздуха в единицах нормальной плотности f,29 X 10-3 а/с九з. При Ео = I и ро = 1 Е* = 35 九,а температура в центре составляет величину около 1 500 000°. Таким образом, необходима чрезвычайно высокая концентрация энергии, чтобы существовала стадия тепловой волны. Подробное изложение затронутых здесь вопросов переноса энергии излучением содержится в монографии Я. Б. Зельдовича и Ю, П. Райзера (1966),
Решение задачи о сильном взрыве описывает движение окружающего газа, когда масса, охваченная взрывной волной, заметно превышает первоначальную массу, которой передается освобожденная при взрыве энергия Ео.
Другое ограничение применимости теории содержится в начальном условии: ро = 0 при 力=0. В реальных условиях внешнее атмосферное давление не равно нулю, поэтому теорию следует считать применимой до тех пор, пока давление рг на фронте ударной волны намного превышает начальное давление pQ. Поскольку амплитуда волны с течением времени убывает, необходимо дополнительно исследовать проблему распространения взрывной волны на той стадии, когда ее амплитуда стала достаточно малой, и определить закон затухания при 力 f 8.
Теория сильного взрыва весьма точно отражает движение воздуха при ядерном взрыве в атмосфере. Сравнение с экспериментальными измерениями радиуса ударной волны, приведенное в работе Дж. Тейлора {Proc. Roy. Soc. London, 1950, 201 :1065, 175—186; см. также его Sci. Papers, т. 3, 1963), показывает хорошее согласие с теоретической зависимостью R 〜 力"/в, на основании которой производится вычисление энергии взрыва Eq, Электрический разряд в газах с достаточно коротким временем выделения энергии представляет другой пример успешного применения теории сильного взрыва для описания движения среды. Подробное сравнение результатов теории с экспериментальными измерениями плотности, полученными посредством интерферометра, описаны в работе Г. Г. Долгова и С, Л. Мандельштамма (1953).
Взрывы химических взрывчатых веществ сопровождаются образованием продуктов реакции, представляющих собой газ, плотность которого примерно в тысячу раз превышает плотность воздуха при нормальных условиях. На каждый килограмм образующихся газов освобождается примерно 4,2 X 1013 зра энергии. Для описания движения воздуха при взрыве химического взрывчатого вещества изложенную теорию можно было бы применить на той стадии, когда масса охваченного взрывной волной воздуха значительно превысила массу взрывчатого вещества (килограмм воздуха при нормальных условиях занимает объем сферы радиусом 57 сл£). При таких условиях давление на фронте ударной волны должно быть значительно меньше величины 0,157 Е^В3 = 36 кГ!cj^ (при 丫 = 1,4).. Другое условие, которое заключается в том, что давление рг должно значительно превышать атмосферное давление 卩。= 1 кГ/с,м^, фактически исключает возможность удовлетворительного описания движения воздуха при взрыве химических взрывчатых веществ посредством распределений, полученных в задаче о сильном взрыве. При таких условиях изложенная теория позволяет лишь грубо оценить давление на фронте ударной волны в небольшом интервале расстояний R.
Дальнейшее развитие теории сильного взрыва состоит в исследовании течений газа, близких к автомодельному. Отклонения от автомодельного решения рассматриваются как малые возмущения функций, которые удовлетворяют линейной системе дифференциальных уравнений. Таким способом можно учесть небольшие отклонения от сферической симметрии течения или небольшую неоднородность в распределении начальной плотности ро (В. П, Карликов, 1955, 1959, I960; Э. И. Андрианкин, 1956, 1958). i* fc
В диссертации Н, С. Мельниковой (МГУ, 1953; см. также «Методы подобия и размерности в механике» Л. И. Седова и А, Сакураи, J. Phys. Soc. Japan, 1953, 8 : 5 и 1954, 9 : 2) методом малых возмущений рассчитаны поправки к автомодельному решению, учитывающие внешнее атмосферное- давление р0 на той стадии, пока амплитуда фронта достаточно велика. Укажем также, что автомодельное решение может быть получено в средег в которой начальная плотность р0 изменяется в зависимости от расстояния г до центра по степенному закону (Л. И. Седов, 1957),
Асимптотический закон затухания ударных волнна больших расстояниях от места их возникновения
На достаточно большом расстоянии от источника взрывной волны давление в возмущенной области лишь незначительно отличается от атмосферного давления р0. Для отыскания закона убывания амплитуды ударной волны при 力 f 8 можно ограничиться приближенным исследованием уравнений движения. Теоретическое описание волн малой амплитуды (т, е. звуковых волн), как правило, основывается на линейной системе уравнений, которая получается после исключения из уравнений движения членов, содержащих произведения малых вариаций величин, характеризующих возмущенное движение среды, В линейной теории скорость распространения возмущений, независимо от амплитуды, равна невозмущенной скорости звука с0. Ударный фронт также распространяется со скоростью с。, поскольку разрыв можно в этом случае рассматривать просто как предел непрерывного распределения. Поверхность ударного фронта совпадает с характеристической поверхностью линейной системы уравнений. Следовательно, в линейном приближении амплитуда ударной волны не зависит от течения позади нее и определяется состоянием среды перед ударным фронтом и геометрическими свойствами рассматриваемой задачи.
В действительности, однако, скорость распространения малых возмущений отличается от скорости звука с。в невозмущенной среде. Это небольшое различие такого же порядка, как и амплитуда возмущения. Ударный фронт распространяется по среде со сверхзвуковой скоростью, в то время как позади фронта скорость распространения возмущений превышает скорость ударной волны. Это обстоятельство приводит к нелинейному искажению профиля волны и влиянию течения позади ударного фронта на его амплитуду.
Таким образом, теория, основанная на линейной системе уравнений, будет приводить к решениям, близким к решениям точных уравнений при таких условиях, когда указанные выше нелинейные искажения волны незначительны. Всегда, однако, можно указать достаточно большой интервал времени распространения t, когда линейная теория станет неприемлемой, поскольку нелинейные искажения нарастают со временем, Если через 九 обозначить характерную длину, на которой изменяются функции, описывающие возмущенное движение среды, то для применимости линей-
ной теории, необходимо, чтобы выполнялось условие vt《 九，где скорость среды V соответствует по порядку величины различию в скоростях распространения возмущений.
В качестве простого примера рассмотрим плоскую волну, бегущую в направлении оси х. В линейной теории распространение такой волны описывается функциями вида / (х — с0£), так что волна перемещается как целое на расстояние, пропорциональное времени t, не изменяя своей формы. Более точное исследование задачи о распространении плоской волны, основанное на нелинейной теории, приводит, однако, к качественно другим результатам, В той области движения, где происходит сжатие газа, возникает ударная волна, а область расширения газа постепенно растягивается, утрачивая с течением времени свою первоначальную форму. На достаточно большом расстоянии волна приобретает характерную форму треугольника, независимо от ее первоначальной формы, а амплитуда ударной волны убывает обратно пропорционально Ух.
Исследование плоских волн значительно облегчается благодаря использованию точного решения нелинейных уравнений в виде простой волны Римана, бегущей в одном направлении. Точные решения такого типа в случае пространственного нестационарного движения отсутствуют. Поэтому для отыскания правильного закона затухания сферических ударных волн на больших расстояниях необходимо исходить из дифференциальных уравнений движения сжимаемого газа. При этом процедура линеаризации уравнений не может быть использована.
Характеристическая форма уравнений движения является наиболее естественной и эффективной для исследования рассматриваемой проблемы. Уравнения, описывающие сферически симметричное движение газа, в характеристической форме имеют вид
вдоль
dx = (y -\- с) dt
(0十),
вдоль
dx = (р — с)成
(U)，
вдоль
dx=^v dt
(О •
dp,72исdr
上 + 而=
pc11；+。г
dp而—2ucdr
pc—V —。г
dp = c?dp
Пусть в некоторый момент времени возмущение в основном сосредоточено внутри шарового слоя толщиной порядка 九.С течением времени характерная протяженность возмущенной области 九 будет изменяться. Однако эти изменения происходят со скоростою порядка амплитуды возмущения (р), в то время как радиус R фронта волны увеличивается со скоростью порядка скорости звука в среде, Поэтому при Е f 8 отношение 九/发 будет стремиться к нулю.
Таким образом, при исследовании затухания волн на достаточно больших расстояниях от места их возникновения, условия р — 《卩① (р — Ро《 Ро,沙《 ％) и А《 Е позволяют считать произведения указанных малых величин малыми более высокого порядка по сравнению с самими этими величинами. Ниже будет получено приближенное решение, учитывающее главные члены возмущения, в то время как малые более высокого порядка будут отброшены.
Перейдем теперь к интегрированию исходной системы уравнений, имея в виду рисходящуюся сферическую волну. Уравнения в характеристической форме содержат соотношения по трем неэквивалбйтным направлениям, Характеристики С_ и Со пересекают возмущенную область так, что вариации давления, плотности и скорости газа вдоль этих направлений
отличны от нуля лишь на малом, по сравнению с Е, интервале порядка 九，в то время как С ^.-характеристики, образуя область распространения расходящейся волны, в течение длительного времени остаются в возмущенной зоне. Уравнение на С0-характеристике после интегрирования дает обычное адиабатическое соотношение между вариациями плотности и давления:
Р—Ро = *(Р — Ро) +。((Р — А»))
При интегрировании уравнения на С_-характеристиках правая часть приводит к возникновению лишь малых членов более высокого порядка, чем само возмущение, так как интервал интегрирования (там, где скорость газа и заметно отлична от нуля) порядка 九《г. После интегрирования получаем
Р — Ро= PoQD +。((р — Ро)2) +о (X {р— Ро)).
Таким образом, если в полученных выражениях сохранить лишь старп!ие члены, отбросив малы。более высокого порядка, то мы получим такие же соотношения между функциями, как и в плоской звуковой волне. Наличие разрывов в течении не изменяет полученных результатов, так как соотношения между функциями на разрывах с указанной точностью совпадают с полученными выше соотношениями.
Используя полученную связь между р — р0 и р, уравнение на С+- характеристике с той же точностью можно свести к одной неизвестной функции и получить после интегрирования результат
Р — ，
где а — постоянная интегрирования, которая определяется для каждой С ^.-характеристики соответствующим значением давления при г = г。. Таким образом, произведение (р —р。)г сохраняется на С+-характери- стике.
В отличие от линейной теорти скорость распространения и + % отвечающая характеристикам С+, зависит от амплитуды. Ограничимся в разложении величины и + с членом первого порядка:
V с = cQ[i А {р—Ро)],
謁(參)
где вторая производная удельного объема V при постоянной энтропии предполагается положительной. Для идеального газа, например, 工 =(丫 + 1)/(2р()с；). Уравнение С+~характеристик, следовательно, можно переписать в виде
u drг
(2.1)(2.1)После интегрирования этого уравнения по г получим решение с0£ = г — г0 — Ла In ^- + / (а),
(2.1)
(2.1)
где / (а) — произвольная функция а. Вид этой функции устанавливается заданной зависимостью давления на начальной сфере радиуса г0 как функции времени t. Приближенное решение (2,1), зависящее от одной произвольной функции, представляет собой. простую волну, аналогичную :волне Римана при одномерном течении газа. Первый член в правой части
лолученного решения связан с перемещением волны как целого, второй же член определяет изменение со временем ее формы, Подчеркнем, что в сферической волне нелинейные искажения нарастают пропорционально In г, т, е. гораздо слабее, чем в плоской волне, для которой соответствующий член пропорционален пройденному пути.
Определим закон изменения давления на фронте ударной волны. Движение ударной волны (г = R) определяется уравнением
(2.2)(2.2)q"^" = 1 —^"/ 3- р0)= 1 —^"/ 方•
(2.2)
(2.2)
帀ронта t = t (А) и дифференциальное ударной волны:帀ронта t = t (А) и дифференциальное ударной волны:Это уравнение следует из соотношения между скоростью ударной волны и давлением на ударном фронте, если в разложении ограничиться членом первого порядка. Линия фронта пересекает С+~характеристики на плоско- ■сти (г,力)，так что а на ударной волне изменяется в зависимости от радиуса фронта R. Дифференцируя полученное решение (2.1) по а вдоль пути
帀ронта t = t (А) и дифференциальное ударной волны:
帀ронта t = t (А) и дифференциальное ударной волны:
подставляя вместо dt/dR выражение из (2.2), получим уравнение, определяющее изменение а на фронте
После интегрирования этого уравнения получим закон изменения a на фронте ударной волны
9】 К 1a2 ш — = —г9】 К 1a2 ш — = —гa备电a备电(2.3)(2.3)
9】 К 1
a2 ш — = —г
9】 К 1
a2 ш — = —г
a备电
a备电
(2.3)
(2.3)
где а0 соответствует значению а при
Изменение а на фронте зависит от первоначальной формы волны / (а). Однако при Е f 8 а -^ 0, так что интеграл, стоящий в правой части (2.3), стремится к постоянному значению. Эта постоянная пропорциональна первоначальному импульсу давления в фазе сжатия на сфере радиуса г0. Форма волны при этом стремится к треугольной,
Таким образом, на достаточно большом расстоянии от источника амплитуда ударной волны будет затухать по закону (Л, Д, Ландау, 1946)
Pi ~ Po =■
Соответственно время т+ действия фазы сжатия и импульс 厶 выражаются формулами
%工+ = /а /1п 备， q/+ = ^ /а?帯.
По сравнению с акустическим законом 1/7? полученный асимптотический закон затухания амплитуды ударной волны содержит допо л ните льный множитель, который свидетельствует о том, что реально амплитуда убывает несколько быстрее.'
Изложенный выше метод, по существу, эквивалентен методу геометрической акустики (九《Е), который, однако, применяется к нелинейным уравнениям. Различие состоит в том, что в нелинейной проблеме учитывает- ■ ся различие в скоростях распространения. Этот метод может быть эффективно применен для исследования распространения волн в более общем случае, когда течение не обладает высокой симметрией или когда
распро ст ранение ударных волн происходит в неоднородной среде (К, Е. Губкин, 1958, 1961).
Сферическая волна небольшой амплитуды должна непременно содержать фазу сжатия (р — ^0 > 0) и фазу разрежения (р — р0 < 0), так чтобы полный импульс равнялся нулю. Это требование (которое является следствием закона сохранения массы) вытекает, однако, из более точного рассмотрения и не содержится в теории геометрической акустики (как линейной, так и нелинейной), использующей такие же соотношения между функциями, как и в плоской звуковой волне.
Геометрическая акустика с достаточной точностью описывает ту область возмущенного движения, где сосредоточена основная часть механической энергии волны, пропорциональной квадрату амплитуды. При движении ударной волны вследствие повышения энтропии механическая энергия возмущенного движения уменьшается. Нелинейные искажения формы волны, обусловленные различием скоростей распространения,
и скорости газа для различных радиусов R фронта распределение плотности газа ударной волны (у = 1,4).при точечном взрыве (у = 1,4).
Необходимо также подчеркнуть, что полученную формулу для амплитуды ударной волны нельзя рассматривать как наименее быстро убывающий по R член некоторого асимптотического ряда. Из предыдущего вывода следует, что закон изменения амплитуды ударной волны зависит от вида функции / (а), характеризующей начальное распределение, и лишь при /? —> оо этот закон по R универсален, а зависимость от начального распределения сводится к фиксированию двух постоянных (а и Е)
Д: Е. Охоцимский, И. Л, Кондрашева, 3. П, Власова и Р. К. Казакова (1957) произвели численный расчет движения газа при точечном взрыве с учетом начального давления pQ ). Начиная от автомодельного распреде-
ления, отвечающего ударной волне большой амплитуды, расчет был доведен до той стадии распространения, когда перепад давления р* ——р0 на фронте составлял несколько тысячных долей атмосферного давления р0. На рис. 5 (для у = 1,4) приведены заимствованные из этой работы распределения по г давления и скорости газа для нескольких значений радиуса фронта ударной волны R. На рис. 6 дано предельное (力 f оо) распределение плотности газа в зависимости от расстояния до' центра. По результатам указанного численного расчета для коэффициентов в асимптотических формулах Ландау получаем
а = 0,345 尻/3?汽 ％ = 0,695 Е，3р”з. .
Взрывы химических взрывчатых веществ
Рассмотрим некоторые особенности гидродинамического течения, которое является следствием химического превращения взрывчатого вещества. При определенных условиях химическая реакция распространяется по взрывчатому веществу в виде волн. Как правило, скорость реакции в таких волнах настолько велика, что зона, в которой осуществляется химическое правращение, оказывается достаточно тонкой. Это обстоятельство позволяет схематизировать движение, заменив разрывом область перехода, в которой происходит интенсивное химическое превращение. Условия стационарности такого разрыва дают возможность выразить давление, плотность и скорость вещества на внутренней стороне разрыва, где химическая реакция практически закончилась, через скорость распространения фронта при заданных значениях указанных величин в исходном состоянии. Однако вопрос о скорости распространения фронта химической реакции может быть решен лишь после детального исследования механизма возбуждения реакции.
Наиболее типичны два способа передачи энергии в веществе. Первый способ обусловлен молекулярными процессами переноса (теплопровод- .ность)', второй ——распространением гидродинамических возмущений (ударная волна), В соответствии с указанными способами передачи энергии, различают два типа волн химической реакции — горение и детонацию. Волны горения, распространение которых обусловлено сравнительно медленными молекулярными процессами переноса, движутся со скоростью гораздо меньшей, чем скорость звука в веществе, и не сопровождаются значительными изменениями давления. В волнах детонации, которые распространяются по веществу со сверхзвуковой скоростью, химическая реакция возбуждается ударной волной.
Рассмотрим вначале более детально вопрос об определении скорости, с которой распространяется фронт горения. Звуковые возмущения, опережающие фронт, не изменяют состояние исходного взрывчатого вещества настолько, чтобы вызвать в нем заметную химическую реакцию. При изучении процессов подобных горению естественно рассматривать течение с постоянным давлением и принять в качестве подходящей модели
уравнение диффузии с источником:
警"备+%)• (з-D
Функция "(力，t) описывает распределение температуры в случае, когда движение волны горения определяется процессом передачи тепла, либо конденсацию, когда движение волны определяется диффузией конечного продукта, ускоряющего химическую реакцию. Не ограничивая общности, можно считать, что п (力,力)изменяется в интервале 0<n< 1, п — 0 соответствует исходному состоянию среды, а п — 1 — конечному состоянию, когда химическая реакция полностью закончилась. Функция q ("), описывающая источник, пропорциональна скорости химической реакции, причем g (0) = g (1) = 0, а при значениях " между нулем и единицей q (") > 0.
Будем искать такое распределение "(力,£), которое отвечает перемещению волны горения как целого справа налево с постоянной скоростью и. В этом случае " зависит от одной переменной ^ = х + и£, а уравнение для " (Е) приобретает вид
Введ^ новую функцию у (") = dn唾, получаем для нее уравнение первого порядка
%黑=第—0 5). (3.2)
Искомое решение должно удовлетворять двум условиям: у = 0 при " = О и " = 1. Таким образом, задача является переопределенной и, вообще говоря, нельзя найти при произвольном значении и такую интегральную кривую, которая бы проходила через обе указанные точки. Однако можно подобрать такое значение параметра и, чтобы оба условия были удовлетворены.
В исследуемом интервале Осn< 1 производная dy/dn положительна, если иу > q (") или у V 0・ Внутри области, ограниченной осью у = 0 н кривой иу ~ q ("), производная dyldn отрицательна. Через особую точку " = 1，у = 0 проходят две интегральные кривые соответственно с положительным и отрицательным значением производной dyldn! Интегральная кривая, имеющая положительный наклон в указанной точке, не представляет интереса, так как на ней везде dyldn > 0 и, следовательно, она не может пройти через точку " = 0, у = 0. Поэтому из двух кривыхт проходящих через точку п = 1, у = 0, выбираем интегральную кривуют имеющую отрицательный наклон. Указанная интегральная кривая достигает максимума на пересечении с кривой иу (") = g (") и далее (с уменьшением ")приближается к оси у = 0. Подбирая соответствующее значение и, можно добиться того, чтобы эта интегральная кривая пересекла ось у = 0 в точке " = 0. Это значение и отвечает скорости распространения волны. "
Рассмотрим два предельных случая. Для теплового механизма распространения волны горения, при котором движение обусловлено передачей тепла, выделившегося в результате химической реакции, характерна чрезвычайно резкая зависимость скорости химической реакции от температуры, функция q (п), характеризующая источник тепловыделения, практически отлична от нуля лишь на небольшом интервале п вблизи
значения " = 1. При1 таких условиях вполне уместно рассмотреть предельный случай, когда
g(") = const • 6 (" — 1).
Уравнение (3.2) в этом случае легко интегрируется. При п < 1 имеем
так что, когда п —» 1 (слева), у —» у^ — u/D. Интегрирование уравненияDy dy = иу dn — q (n) dn
по бесконечно малому интервалу, включающему точку " = 1, где у изменяется от у = % до у = 0, дает
—-^ Оу； = — j g (г，) dn.О
U =U =q (") dn. оq (") dn. оОтсюда получаем выражение для скорости волны горения (Я. Б. Зельдович, 1938)
U =
U =
q (") dn. о
q (") dn. о
Другой случай, характерный для цепных процессов, подробно исследован в работе А. Н. Колмогорова, Н. С. Пискунова и И. Г. Петровского (1937). Функция д("), характеризующая интенсивность источника, имеет конечную производную в точке " = 0 и подчинена при " > 0 условию
"0‘ (0) > 0 (孔).(3.3)，
Из уравнения (3.2) после простого разложения получаем, что наклон интегральных кривых в точке " = 0，у = 0 определяется выражением
一 м土 Vu2—4Р/ (0) qr (0)
При 毋》4D q' (0) точка n = 0, у ~ 0 является особой точкой, через которую проходит бесчисленное множество интегральных кривых. С уменьшением "интересующая нас интегральная кривая, выходящая из точки "=1，у = 0, пересекает кривую иу = q (")，на которой достигается максимум у. Далее эта интегральная кривая непременно проходит через точку п — 0, у = 0，поскольку невозможно ее пересечение с прямой у ~ к _п при у > 0, так как в точке пересечения разность
dy _。也q'(O)一g (也)
dnyD
должна была бы быть отрицательной, что противоречит условию (3.3)*
Таким образом, при u?》4D q" (0) всегда существует решение уравнения (3.2), удовлетворяющее условию у = 0 в обеих точках " = 0 и " = 1「 Можно показать, однако, что распространению волны горения по первоначально однородному веществу всегда отвечает минимальная из возможных скоростей
u = J/4Z)/ (0).
В этом можно убедиться, исследуя процесс выхода решений уравнения (3.1) на стационарный режим. Пусть в начальный момент времени (力= 0)
функция "(力，0) отлична от нуля лишь на конечном интервале А%, где она принимает значения 0 V " V 1・ Сравним это начальное распределение с распределением "】,отвечающим стационарному режиму с минимальной скоростью. Посредством конечного сдвига расп ре делёния пг можно добиться того, чтобы при £ = 0 было всюду "1 (力，0) > "(力，0). Свойство решений уравнения (3.1) таково, что если в. некоторый момент времени одно решение " этого уравнения всюду меньше другого решения п1? то "(力，£) нигде не может превысить /г工(х, i) в любой последующий момент времени. Действительно, в точке, где /г и % оказались бы равными, разность пг — п была бы минимальна и
-~(ni — n} = D-^-r(nl — n)>0, откуда следует сделанное утверждение.
Если взрывчатое • вещество подвергается достаточно мощному механическому воздействию, в нем возникает ударная волна. Изменение термодинамического состояния за фронтом сильной ударной волны приводит к быстрому химическому превращению вещества, охваченного движением. В результате такого воздействия развивается процесс детонации, представляющий собой волну, в которой химическая реакция возбуждается ударным фронтом. В настоящее время, однако, отсутствует надежная теория, которая позволяла бы количественно рассчитать минимальную интенсивность и характер воздействия, необходимого для возникновения волны детонации, исходя из химической природы взрывчатого вещества, параметров, характеризующих его начальное состояние, геометрических форм и размеров. Основные трудности связаны с выбором функций, описывающих состояние и скорость химической реакции в реальных системах, имеющих, как правило, довольно сложную молекулярную структуру. Гидродинамическая часть указанной проблемы не представляется столь значительной, если иметь в виду современные методы численного решения с применением электронно-вычислительных машин.
Волны детонации распространяются по веществу со сверхзвуковой скоростью, в то время как скорость среды за фронтом волны относительно фронта дозвуковая. Таким образом, течение позади фронта детонации влияет на амплитуду волны и ее скорость. Это влияние распространяется до тех пор, пока не установится режим, при котором скорость фронта принимает минимальное из возможных значений, удовлетворяющих условиям стационарности фронта. Скорость волны детонации относительно вещества за фронтом, отвечающая указанному режиму распространения (процесс Чепмена — Жуге), равна скорости звука, т. е. поверхность фронта детонации с внутренней стороны совпадает с характеристикой системы дифференциальных уравнений движения, отделяющей фронт волйы от течения позади него. Если рассматривать зону, где протекает химическая реакция, как область конечной ширины, то указанная характеристика представляет собой огибающую характеристик одного семейства.
Важным случаем течения газа является течение, возникающее в результате возбуждения в небольшом объеме волны детонации, которая распространяется по взрывчатому веществу во всех направлениях от места ее возникновения. Схематизация этой проблемы естественно приводит к рассмотрению сферически симметричного движения газа внутри области, ограниченной сферическим фронтом детонации, которая возникла в центре и распространяется по однородному взрывчатому веществу с постоянной скоростью (О. Е. Власов, 1937; Я. Б. Зельдович, 1942). Волна детонации
рассматривается как разрыв, при переходе через который на единицу массы вещества мгновенно выделяется заданное количество энергии. Благодаря постоянству скорости волны детонации энтропия вовлеченного в движение газа приобретает постоянное значение. Задача сводится к отысканию двух функций, в качестве которых удобно выбрать скорость газа V (г,力)и скорость звука с (г,力)，описывающих изэнтропическое течение. Уравнение изэнтропы вида р = const -р7 с постоянным показателем у можно использовать не только для описания движения разреженного газа. Как показано в работе Л. Д. Ландау и К. П. Станюковича (1945), для газов с высокой плотностью, которые образуются при детонации твердого взрывчатого вещества, также может быть использована изэнтропа этого вида с показателем у = 3. В основе этого вывода лежит экспериментально наблюдаемая линейная зависймость скорости детонации от начальной плотности ро взрывчатого вещества. Сформулированная выше задача о сферическом течении газа при детонации, возникающей в точке, автомо- дельна. Искомое распределение может быть представлено функциями одной независимой переменной 自=rlt. Движению фронта волны отвечает посто-1 янное значение ^0, равное заданной скорости волны детонации. Согласно законам сохранения и условию Чепмена — Жуге, искомые функции приобретают на внутренней стороне фронта детонации постоянные значения % =玩/(丫 + 1) и с2 =占0丫/(丫 + !)• В центре симметрии, очевидно, скорость газа и должна обращаться в нуль. После исключения из двух дифференциальных уравнений переменной 自 задача сводится к численному решению одного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, устанавливающего связь между двумя искомыми функциями, и последующим квадратурам.
Рис. 7. Автомодельные распределения по г скорости газа (7), давления (2) и плотности (3) при сферической детонации (у = 3).Рис. 7. Автомодельные распределения по г скорости газа (7), давления (2) и плотности (3) при сферической детонации (у = 3).ина зоны химической пеакпии.ина зоны химической пеакпии.Характерной особенностью описываемого течения является существование внутренней сферы, расширяющейся с постоянной скоростью, в пределах которой газ неподвижен, а скорость звука, давление, плотность и другие термодинамические параметры постоянны. В области, примыкающей непосредственно к фронту волны； функции изменяются довольно резко, причем на самом фронте R =自粒 производные функцийt описывающих движение, обращаются в бесконечность. На рис. 7 приведены распределения скорости и давления при сферической детонации для у = 3. Полученные таким способом распределения являются асимптотическими и описывают течение г когда 力 f 8, поскольку в реальных условиях зона химического превращения имеет конечную ширину. Очевидно, что сферическая расходимость течения приведет к снижению скорости волны по сравнению с ее предельным значением 氐 на величину порядка 6/Е, где 6 — шг
Рис. 7. Автомодельные распределения по г скорости газа (7), давления (2) и плотности (3) при сферической детонации (у = 3).
Рис. 7. Автомодельные распределения по г скорости газа (7), давления (2) и плотности (3) при сферической детонации (у = 3).
ина зоны химической пеакпии.
ина зоны химической пеакпии.
Сферическая детонация с конечной шириной зоны химической реакции еще не получила, однако, точного теоретического описания. Наибольшие различия в скорости волны должны наблюдаться вблизи центра, где 6 〜Е. Вместе с этим в указанной области скорость волны и, в равной 19 Механика в СССР, том 2
мере, все течение в целом будут определяться мощностью инициирующего воздействия.
В связи с описанной выше задачей о сферической детонации укажем, что автомодельные решения могут быть получены и для детонации, распространяющейся по взрывчатому веществу с переменной по г начальной плотностью (Л. И. Седов, 1956; И. М. Яворская, 1956).
После того как фронт детонации достиг границы взрывчатого вещества, образовавшийся плотный газ с высоким давлением воздействует на окружающую среду, создавая в ней взрывную волну. Давление в ударной волне определяется как результат распада состояния, в котором движущиеся продукты химической реакции с высоким давлением оказались^ в контакте с окружающей средой.
По продуктам детонации от места первоначального контакта распространяется волна обратного направления, за которой давление р и скорость^ газа и выравниваются с давлением и скоростью среды за ударной волной. Величина давления в -ударной волне, таким образом, зависит от свойств- окружающей среды и состояния про-
、Таблица 3 дуктов детонации. В зависимости от
Среда
Плотность среды, а/смЗ
Давление в ударной волне, кз/cjw2
Воздух
0,00129
650
Вода
1,00
140 000
Кварц
2,65
240 000
Медь
8,90
350 000
того, расположена ли точка на плоскости (р, р), соответствующая давлению 卩2 и скорости газа % за фронтом детонации, выше или ниже кривой 卩工=卩工(％), выражающей связь этих величин за фронтом ударной волны в среде, давление рг в ударной волне- будет ниже или выше, чем давление- в продуктах детонации р2. В соответст
вии с этим по продуктам детонации в обратном направлении будет распространяться либо волна разрежения, в которой давление понижается изэнтропически от р? до 卩工，либо ударная волна. Для иллюстрации сказанного в таблице 3 приведены результаты расчета давления в ударной волне, образующейся в различных средах при взрыве тротила с плотностью 1,62 2/已九3 伪2 = 210 000 кГ1с^\ % = 1800 м/сек).
Как видно из приведенной таблицы, продукты детонации с одним и тем
же давлением р2 создают ударные волны в различных средах, существенна раз личающиеся по амплитуде. Это различие в основном определяется отношением плотностей продуктов детонации и окружающей среды. При; взрыве в воздухе давление в ударной волне гораздо ниже, чем давление- в продуктах детонации, поскольку воздух с низкой плотностью не оказывает существенного сдерживающего действия на расширяющиеся газообразные продукты детонации.
Рассмотрим более подробно распространение сферических взрывных волн в воздухе.
Одна из особенностей сферического течения состоит в том, что в расширяющихся продуктах детонации возникает вторичная ударная волна, обращенная к центру. Вторичная ударная волна образуется на задней границе волны расширения, движущейся к центру по продуктам химической реакции. Через определенный промежуток времени эта ударная волна отражается в центре и, как результат этого отражения, образуется вторая расходящаяся ударная волна.
Причины, приводящие к возникновению ударной волны, обращенной к центру, заключаются в следующем. Течение, которое возникает при распаде первоначального состояния, содержит обращенную к центру
Рис. 8. Диаграмма г — t течения, возникающего при взрыве химического взрывчатого вещества в воздухе (ударные волны: 1 — отраженная от центра, 2 — обращенная к центру, 3 — расходящаяся; 4 — фронт детонации; 5 — контактный разрыв; 6 — область волны разрежения).Рис. 8. Диаграмма г — t течения, возникающего при взрыве химического взрывчатого вещества в воздухе (ударные волны: 1 — отраженная от центра, 2 — обращенная к центру, 3 — расходящаяся; 4 — фронт детонации; 5 — контактный разрыв; 6 — область волны разрежения).
Рис. 8. Диаграмма г — t течения, возникающего при взрыве химического взрывчатого вещества в воздухе (ударные волны: 1 — отраженная от центра, 2 — обращенная к центру, 3 — расходящаяся; 4 — фронт детонации; 5 — контактный разрыв; 6 — область волны разрежения).
Рис. 8. Диаграмма г — t течения, возникающего при взрыве химического взрывчатого вещества в воздухе (ударные волны: 1 — отраженная от центра, 2 — обращенная к центру, 3 — расходящаяся; 4 — фронт детонации; 5 — контактный разрыв; 6 — область волны разрежения).
центрированную в точке г ^ Ro простую волну разрежения, зону постоянного течения продуктов взрыва за волной разрежения, отделенную поверхностью контактного разрыва от постоянного течения воздуха за фронтом расходящейся ударной волны (рис. 8). Однако течение указанного типа не удовлетворяет уравнениям сферически симметричного движения, поэтому такое описание можно считать приемлемым до тех пор, пока рассматриваемое движение сосредоточено в достаточно узком сферическом слое вблизи г = Кд. Из-за сферической расходимости продукты детонации за волной разрежения с течением времени испытывают дополнительное адиабатическое расширение, в результате которого давление понижается, а скорость газа несколько увеличивается. С другой стороны, за фронтом воздушной ударной волны снижение давления приводит и к уменьшению скорости воздуха в соответствии с условиями на ударной волне. Таким образом, вызванные сферической расходимостью дополнительные изменения течения в областях по обе стороны контактного разрыва имеют противоположные тенденции. В результате тонкий слой воздуха, сжатого в ударной волне, вызывает торможение находящихся с ним в контакте продуктов взрыва, благодаря чему и возникает обращенная к центру ударная волна. Аналитическое исследование этой проблемы, основанное на разложениях функций в степенные ряды, показывает, что вторичная волна образуется в момент распада
разрыва в начальных условиях, а ее амплитуда, начиная с нуля, с течением времени постепенно увеличивается (см. Ф. Дж. Берри и М. Холт, Proc. Roy. Soc. London, 1954, А224 : 1157, 236—251).
Проблема отражения в центре сходящейся ударной волны была решена Г. Гудерлеем (Luftfahrt-Forschung, 1942, 19 : 9, 302—312) для идеального газа с у = 1,4.
Один из полученных при этом результатов состоит в том, что давление за отраженной ударной волной в 26 раз превышает давление в приходящей к центру ударной волне, достигающей в центре бесконечной интенсивности. В основе исследования лежит возможность описания течения вблизи центра посредством автомодельного распределения, в котором, однако, показатель " в автомодельной переменной t/rn не может быть заранее определен на основании соображений размерности. Требуется предварительный анализ интегральных кривых обыкновенного дифференциального уравнения, к которому сводится рассматриваемая проблема. Значение показателя " определяется условием, при котором интегральная кривая этого уравнения, содержащего п в качестве параметра, соединяет две фиксированные точки и при этом проходит .определенным образом через заданную особую точку.
пывания ударной волны, в то время как при других значениях "производные от функций, описывающих движение, терпят разрыв на этой характеристике. Таким образом, естественное физическое условие непрерывности производных позволяет получить единственное решение задачи о сходящейся волне при любых значениях у.Рассмотрим теперь распространение воздушной взрывной волны в более поздние моменты времени, когда масса вовлеченного в движение воздуха превысила массу взрывчатого вещества. Закономерности распространения волн на этой стадии были изучены в работах М. А. Садовскогопывания ударной волны, в то время как при других значениях "производные от функций, описывающих движение, терпят разрыв на этой характеристике. Таким образом, естественное физическое условие непрерывности производных позволяет получить единственное решение задачи о сходящейся волне при любых значениях у.Рассмотрим теперь распространение воздушной взрывной волны в более поздние моменты времени, когда масса вовлеченного в движение воздуха превысила массу взрывчатого вещества. Закономерности распространения волн на этой стадии были изучены в работах М. А. СадовскогоВзрывчатое веществоПЛОТНОСТЬ р взрывчатого вещества, а/смЗТеплота взрыва, ккал/кгТротил0,7<р<1,65550+340рГексоген ....0,5<р<1,801090 + 180рТетрил 0,7<р<1,68590 + 340рТэн1,651390Нитроглицерин1,61470Азид свинца ..3,5360Гремучая ртуть3,7741。Аммотол 80/201,25380(смесь 80% по . весу аммиачной селитры и 20%990тротила) ...1,3Аммотол 40/60..0,91,559801000ТГ 50/50 (смесь 50% тротила и114050% гексогена)1,680,91030Взрывчатое веществоПЛОТНОСТЬ р взрывчатого вещества, а/смЗТеплота взрыва, ккал/кгТротил0,7<р<1,65550+340рГексоген ....0,5<р<1,801090 + 180рТетрил 0,7<р<1,68590 + 340рТэн1,651390Нитроглицерин1,61470Азид свинца ..3,5360Гремучая ртуть3,7741。Аммотол 80/201,25380(смесь 80% по . весу аммиачной селитры и 20%990тротила) ...1,3Аммотол 40/60..0,91,559801000ТГ 50/50 (смесь 50% тротила и114050% гексогена)1,680,91030Таблица 4Таблица 4
пывания ударной волны, в то время как при других значениях "производные от функций, описывающих движение, терпят разрыв на этой характеристике. Таким образом, естественное физическое условие непрерывности производных позволяет получить единственное решение задачи о сходящейся волне при любых значениях у.
Рассмотрим теперь распространение воздушной взрывной волны в более поздние моменты времени, когда масса вовлеченного в движение воздуха превысила массу взрывчатого вещества. Закономерности распространения волн на этой стадии были изучены в работах М. А. Садовского
пывания ударной волны, в то время как при других значениях "производные от функций, описывающих движение, терпят разрыв на этой характеристике. Таким образом, естественное физическое условие непрерывности производных позволяет получить единственное решение задачи о сходящейся волне при любых значениях у.
Рассмотрим теперь распространение воздушной взрывной волны в более поздние моменты времени, когда масса вовлеченного в движение воздуха превысила массу взрывчатого вещества. Закономерности распространения волн на этой стадии были изучены в работах М. А. Садовского
Взрывчатое вещество
ПЛОТНОСТЬ р взрывчатого вещества, а/смЗ
Теплота взрыва, ккал/кг
Тротил
0,7<р<1,65
550+340р
Гексоген ....
0,5<р<1,80
1090 + 180р
Тетрил
0,7<р<1,68
590 + 340р
Тэн
1,65
1390
Нитроглицерин
1,6
1470
Азид свинца ..
3,5
360
Гремучая ртуть
3,77
41。
Аммотол 80/20
1,25
380
(смесь 80% по . весу аммиачной селитры и 20%
990
тротила) ...
1,3
Аммотол 40/60..
0,9
1,55
980
1000
ТГ 50/50 (смесь 50% тротила и
1140
50% гексогена)
1,68
0,9
1030
Взрывчатое вещество
ПЛОТНОСТЬ р взрывчатого вещества, а/смЗ
Теплота взрыва, ккал/кг
Тротил
0,7<р<1,65
550+340р
Гексоген ....
0,5<р<1,80
1090 + 180р
Тетрил
0,7<р<1,68
590 + 340р
Тэн
1,65
1390
Нитроглицерин
1,6
1470
Азид свинца ..
3,5
360
Гремучая ртуть
3,77
41。
Аммотол 80/20
1,25
380
(смесь 80% по . весу аммиачной селитры и 20%
990
тротила) ...
1,3
Аммотол 40/60..
0,9
1,55
980
1000
ТГ 50/50 (смесь 50% тротила и
1140
50% гексогена)
1,68
0,9
1030
Таблица 4
Таблица 4
Исчерпывающее исследование рассматриваемого вопроса для всевозможных значений у дано в обзорной статье К. В. Брушлинского и Я. М. Каждана (1963). В этой работе показано, что решение задачи о сходящейся ударной волне существует при любых у, но для у >1,87 значение показателя автомодельности " определяется неоднозначно. Существует конечный интервал значений " при у > 1,87, которые удовлетворяют условиям задачи. Однако единственное значение " приводит к непрерывным производным на характеристике, приходящей в центр в момент схло-
и суммированы в его обзорной статье (М. А. Садовский, 1952). Основные результаты этих исследований можно сформулировать следующим образом. При взрывах взрывчатых веществ различного химического состава и разной плотности движение воздуха имеет тенденцию к довольно быстрому утрачиванию особенностей, вызванных различием основных параметров в начальном распределении. В результате взрывные волны в своей главной части оказываются подобными друг другу. Естественный масштаб движения определяется энергией Ео, освободившейся при взрыве, и не зависит от других параметров начального распределения. В интервале 0,1 < (/?! — Ро)/ро < Ю давление 卩工 на фронте ударной волны может быть рассчитано по интерполяционной формуле М. А. Садовского
Р^Р、= °> 234 Е，№ + 0,227 瑰富上 + О' 167 將.
В таблице 4 приведены удельные теплоты взрыва для различных взрывчатых веществ, взятые из работ А. Я. Апина, А. Ф. Беляева и Г. С. Сосновой (1953), А. Я. Апина и Ю. А. Лебедева (1957, 1963), А. Я. Апина, Н. Ф. Белиной и Ю. А. Лебедева (1962).
В заключение этого раздела отметим работу Г. Л. Броуда (Phys. Fluids, 1959, 2 : 2, 217—229), в которой подробно описаны результаты числен耳ого расчета взрывной волны в воздухе, возникающей при детонации химического взрывчатого вещества.
§ 4. Энергия взрывных волн
Закон сохранения энергии имеет первостепениое значение для движения среды при взрыве. Однако, поскольку в процессе рапространения взрывной волны термодинамическое состояние среды изменяется, не менее важным является вопрос о качестве энергии, связанной со вторым законом термодинамики. Взрывная волна представляет существенно неравновесное состояние среды, поэтому распространение волны сопровождается увеличением энтропии S. Среда, охваченная гидродинамическим движением, постепенно утрачивает способность к совершению механической работы. При t f 8 макроскопическое движение затухает и вся энергия Е^ выделившаяся при взрыве, затрачивается на переход среды в новое состояние равновесия. Однако для каждого конечного момента времени t величина утраченной необратимым образом энергии Q составляет некоторую часть от EQt Энеригию волны Ег составляет кинетическая энергия среды и часть внутренней энергии, равной максимальной работе, которая может быть использована на создание гидродинамических возмущений при переходе из данного неравновесного состояния в состояние механического равновесия. Производимая работа максимальна, если процесс перехода происходит при постоянной энтропии. Величины Q и Ег подчиняются условию баланса
Q+E，= Еу
Следует подчеркнуть, что на гидродинамическое движение расходуется лишь часть всей работы, которая при этом совершается. Действительно, в конечном состоянии среда оказывается, вообще говоря, деформированной по сравнению с ее исходным состоянием, поэтому, помимо увеличения тепловой энергии среды, производится определенная работа на указанную деформацию (в газах и жидкостях эта деформация сводится к измёнению объема).
Для иллюстрации рассмотрим простой пример. Пусть в первоначально однородном газе, заполняющем безграничное пространство, конечная масса, заключенная внутри объема 匕，мгновенно получает (за счет внешнего источника) энергию Ео в виде тепловой энергии. Таким способом рассматриваемая часть газа переходит ИЗ ИСХОДНОГО СОСТОЯНИЯ(Ро，匕)в состояние (ри 匕)с более высоким давлением 卩工， которое соответствует увеличению внутренней энергии 8 (ри 匕)一8 Оз。，匕)=Eq, В результате равновесие в газе нарушается. Определим часть энергии, которая использована при этом на создание взрывной волны. Вычисление энергии
Рис, 9. Диаграмма р ~~ V (заштрихованная площадь представляет работу, которая затрачивается на создание гидродинамического теченияРис, 9. Диаграмма р ~~ V (заштрихованная площадь представляет работу, которая затрачивается на создание гидродинамического теченияволны 五'「как указывалось выше, связано с рассмотрением процесса изэнтропического перехода из данного неравновесного состояния в состояние механического равновесия. В данном случае состояние равновесия фиксируется значением давления, равного атмосферному давлению pQ, Обозначим через У2 объем рассматриваемой массы газа после изэнтропического расширения до атмосферного давления р0 (рис. 9). Внутренняя энергия
Рис, 9. Диаграмма р ~~ V (заштрихованная площадь представляет работу, которая затрачивается на создание гидродинамического течения
Рис, 9. Диаграмма р ~~ V (заштрихованная площадь представляет работу, которая затрачивается на создание гидродинамического течения
В ЭТОМ СОСТОЯНИИ（Ро，У2）
е（^0, ^2）= е（^о,匕）+%—，卩幽，
где интеграл представляет работу при изэнтропическом переходе из （Ри 匕）в （pg, V2）- С другой стороны, количество тепла Q, которое необходимо затратить на переход из исходного состояния газа 储。，匕）в конечное ⑸，卩2）, при котором не возникает гидродинамических возмущений в окружающей среде （т, е. при постоянном давлении р°）, составляет величину
Q = E（Po, %） — е（Ро,匕）+ Ро （卩2 —卩i）・
Избыток энергии Ег = Ео—Q расходуется на создание возмущении. Таким образом, энергия волны определяется выражением
Г2
Ег =^ （р — pg） ЗУ （при S = const）, Г1
в котором не содержится работа против атмосферного давления. Эта формула непрерывным образом переходит в формулу для энергии звуковых волн, когда амплитуда возмущения мала и изэнтропа может быть заменена малым отрезком касательной:
Е，= （А — Ро） （% —匕）при Pi — Po 0.
Велична ?, вычисленная по начальному распределению, естественно характеризует максимальную способность к созданию гидродинамического возмущения. Поскольку реальный процесс распространения волны не является изэнтропическим, энергия волны Ег будет непрерывно уменьшаться с течением времени, а величина Q, характеризующая в указанном смысле потерю энергии, будет соответственно увеличиваться.
При разделении энергии Ёо на две части ? и /） нет необходимости определять энергию волны по отношению к состоянию полного термодинамического равновесия. Процесс перехода осуществляется через ряд неравноценных по времени этапов. Элемент среды, вовлеченный в движение взрывной волной, сравнительно быстро приходит в состояние механического равновесия, в котором его движение практически прекращается. Последующий процесс выравнивания температуры, которая оказалась различной в разных точках среды, происходит, однако, настолько медленно, что интенсивность излучаемых при этом волн ничтожно мала. Таким образом, естественно определять энергию волны по отношению к состоянию механического равновесия с неравномерным конечным распределением температуры. Более того, в некоторых случаях целесообразно определить энергию волны по отношению к состоянию определенного вида гидродинамического течения. Например, так отделяется энергия взрывной волны от энергии несжимаемого потока при взрыве в жидкостях. Другой пример такого течения представляет конвективное движение нагретого воздуха в поле тяжести при взрыве в атмосфере.
Произведем расчет энергии сферической взрывной волны, распространяющейся в однородном газе ）.
Элемент массы газа dm = pQ^tR^ dR, который первоначально находился в сферическом слое на расстоянии R от центра в невозмущенном состоянии с давлением р° и температурой 7°, увлекается в движение взрывной полной, после чего снова приходит к атмосферному давлению р。. Температура же Т2 в конечном состоянии оказывается выше температуры То.
Поскольку давление в исходном и конечном состояниях одинаково, потеря энергии волны на единицу массы газа определяется разностью ：энтальпий этих состояний
0(Ро, ?2)—0(Ро, *)•
Вычисление конечного состояния облегчается тем обстоятельством, fto энтропия газа изменяется лишь на фронте ударной волны, оставаясь постоянной в области непрерывного течения. Температура Г2 может быть гвыражена через давление рг = рг (7?) на ударном фронте. Для идеального -газа с постоянной теплоемкостью
S (72, р0)-S(7(h ро) = еp (т2—北)，
1
7 _ 7 /p1)3(Y —今p1 +(y +今P0
2 叭石丿(Y+l)a +(Y — l"o '
Расчет потери энергии на нагревание газа сводится, таким образом, ж вычислению интеграла по R вдоль пути фронта ударной волны:
Q(E)= f【力(丁2, ^о) —^(^о, Po)]po^R2dR.
В таблице 5 приведены результаты расчета энергии взрывной волны Е = % — Q как функции радиуса R ударного фронта в идеальном газе 《постоянным^отношением удельных теплоемкостей у = 1,4. При вычислении Е1 использованы результаты численного решения задачи о точечном взрыве с учетом противодавления (Д. Е. Охоцимский, И- Л. Кондрашева, .3. П. Власова и Р. К. Казакова, 1957). Величины радиусов ударной волны, приведенные в этой таблице, даны в метрах для энергии взрыва Ео = 4,2 X
X Ю19 зра и атмосферного давления 卩。=1 кГ/см?. Для других значений указанных параметров радиусы R пересчитываются пропорционально 《刃。//)。)"?. Когда амплитуда ударной волны достаточно велика, pr (Е)— =0,157 E0R~3,
? = 2,27 (峻产.
На больших расстояниях от центра взрыва амплитуда волны становится малой, в результате чего диссипация энергии на таких расстояниях .происходит довольно медленно. Повышение энтропии 3工——S。в слабой ударной волне, а следовательно, и разность Z2 一 北 составляют величину третьего порядка по отношению к амплитуде:
為(31 -凡)=姦(4^)s(PlPo)、
Энергия волны ? на больших расстояниях составляет малую долю *от общей энергии^взрыва Ео, которая пропорциональна квадрату амплитуды：亠
Е，⑺= Т (р —Ро)2 或，
Росо J
где интегрирование производится по всему времени т, в течение которого р — р0 отлично от нуля. Используя асимптотические формулы Ландау, получим в результате, что уменьшение энергии волны на больших расстояниях происходит по закону
Е‘Е‘/In伞/In伞
Е‘
Е‘
/In伞
/In伞
Сравним энергию воздушных взрывных волн, произведенных взрываСравним энергию воздушных взрывных волн, произведенных взрывами различного типа. Когда масса тельно превышает массу газов,ми различного типа. Когда масса тельно превышает массу газов,Рис. 10. Энергия волны как функция давления на фронте ударной волны (7 — точечный взрыв в воздухе с учетом реального уравнения состояния； 2 — точечный взрыв в идеальном газе с y — 1,4; 3 — взрыв химического взрывчатого вещества).Рис. 10. Энергия волны как функция давления на фронте ударной волны (7 — точечный взрыв в воздухе с учетом реального уравнения состояния； 2 — точечный взрыв в идеальном газе с y — 1,4; 3 — взрыв химического взрывчатого вещества).
Сравним энергию воздушных взрывных волн, произведенных взрыва
Сравним энергию воздушных взрывных волн, произведенных взрыва
ми различного типа. Когда масса тельно превышает массу газов,
ми различного типа. Когда масса тельно превышает массу газов,
Рис. 10. Энергия волны как функция давления на фронте ударной волны (7 — точечный взрыв в воздухе с учетом реального уравнения состояния； 2 — точечный взрыв в идеальном газе с y — 1,4; 3 — взрыв химического взрывчатого вещества).
Рис. 10. Энергия волны как функция давления на фронте ударной волны (7 — точечный взрыв в воздухе с учетом реального уравнения состояния； 2 — точечный взрыв в идеальном газе с y — 1,4; 3 — взрыв химического взрывчатого вещества).
Чрезвычайно медленный закон убывания энергии слабой волны позволяет практически считать ее постоянной в довольно широком интервале расстояний.
Таблица 5
R, м
Pi — Ро
РО
竺 Eq
■100%
R, м
Р1 — PQ
PO
而"。。%
0
100
100
7,7
39
5
54 000
94
200
1,46
2t
10
6 700
89
300
0,66
16
20
840
80
500
0,28
12
30
247
73
1000
0,10
10
50
55
60
3 600
0,020
8
70
20,4
50
10 000
0,0062
7
вовлеченного в движение воздуха значи- образующихся при взрыве, взрывные волны оказываются практически подобными друг другу (М. А. Садовский, 1952). Движение воздуха на этой стадии определяется механической энергией Е二 которой обладает взрывная волна. Это обстоятельств о позволяет описывать- взрывные волны посредством одного параметра, характеризующего источник волны и пропорционального энергии взрыва Eq. Энтропия воздуха является монотонно возрастающей функцией: давления на ударном фронте, поэтому различие в потерях энергии для источников разного типа непосредственна связано с амплитудой ударного фронта на ранней стадии распространения. При взрыве химического взрывчатого вещества давление в воздушной ударной волне вблизи заряда составляет величину порядка нескольких сотен атмосфер. При ядерном взрыве движение воздуха описывается решением Л. И. Седова. Давление в ударной волне на та
ком же расстоянии от центра превышает указанную величину примерно- в 100 раз. Таким образом, распространение взрывной волны при ядерном взрыве связано с большими потерями энергии на начальной стадии распространения, чем при взрыве химического взрывчатого вещества. Разумеется^
при количественном сравнении необходимо учитывать реальное уравнение состояния воздуха. Вследствие того, что теплоемкость воздуха в конечном (сильно нагретом) состоянии оказывается выше, чем это предполагалось- при вычислении таблицы 5, действительные потери энергии вблизи очага взрыва будут несколько большими. Так, например, энергия волны на большом расстоянии от центра точечного взрыва с учетом реального уравнения состояния воздуха составляет 5% энергии взрыва EQ вместо 7%, приведенных в таблице 5. На рис. 10 приведены результаты расчета энергии, воздушных взрывных волн Е1 как функции давления на ударном фронте. Кривая 1 на этом рисунке соответствует точечному взрыву с учетом реального уравнения состояния воздуха, кривая 3 — взрыву химического- взрывчатого вещества. Для сравнения приведена кривая 2, отвечающая, энергии волны при точечном взрыве в идеальном газе с постоянным отношением удельных теплоемкостей у = 1,4.
В области, где наблюдается подобие взрывных волн (рг/р0 < Ю)г энергия волны при взрыве химического взрывчатого вещества вдвое- превышает энергию волны при ядерном взрыве.
Сферический объем нагретого воздуха, образовавшийся в результате взрыва в атмосфере, поднимается в поле тяжести. Это движение является источником дополнительных возмущений, возникающих в атмосфере.- Оценим энергию звуковых волн, которая излучается благодаря движению нагретой сферы. Скорость подъема и можно определить по формуле* (Р. М. Дейвис и Дж. И. Тейлор, Proc. Roy. Soc. London, 1950, А200 :1062, 375—390; см. также собрание сочинений Тейлора, т, 3, 1963〉
где а ——радиус поднимающейся сферы, g ——ускорение силы тяжести. Радиус шара а оцениваем по величине объема АР, который вытесняется, при взрыве:
з Y Ро Y Ро
Если принять, что шар мгновенно приобретает скорость и, то энергия Ег излучаемых при этом звуковых волн
Введя характерную высоту изотермической атмосферы Н = Ро/р*^ получим для относительной доли излучаемой энергии следующее выра- жеиие:
Е' у — 1 а否力、9Y 万•
Отсюда видно, что даже для очень мощных взрывов (а/Н 〜0,1 при EQ 〜 〜 1022 зра) относительная доля энергии звуковых волн, излучаемой, в результате движения нагретой сферы, пренебрежимо мала, по сравнению- с той долей энергии, которую уносит на большие расстояния взрывная волна *).
_ *) Аналогичный вывод содержится в работе Дж. Н- Ханта, Р. Палмера и В. Пенни (Phil. Trans. Roy. Soc, London, 1960, A252 : 1011, 275—315), где производилась оценка, амплитуды волн.
Рис. И. Форма волны на расстоянии 9 км от места взрыва химического взрывчатого вещества с энергией Ео = 4,2 X X 1019эрг (избыточное давление на фронте (pi — р0)/р0 = 0,0077).Рис. И. Форма волны на расстоянии 9 км от места взрыва химического взрывчатого вещества с энергией Ео = 4,2 X X 1019эрг (избыточное давление на фронте (pi — р0)/р0 = 0,0077).Рис. 12. Экспериментальные записи давления в волне, полученные К. И. Балашовым на очень больших расстояниях (а — 5000 км； б — И 500 км) от места взрыва с энергией Ео 〜10аз эрг (Ар — дин/см2, t — мин).Рис. 12. Экспериментальные записи давления в волне, полученные К. И. Балашовым на очень больших расстояниях (а — 5000 км； б — И 500 км) от места взрыва с энергией Ео 〜10аз эрг (Ар — дин/см2, t — мин).
Рис. И. Форма волны на расстоянии 9 км от места взрыва химического взрывчатого вещества с энергией Ео = 4,2 X X 1019эрг (избыточное давление на фронте (pi — р0)/р0 = 0,0077).
Рис. И. Форма волны на расстоянии 9 км от места взрыва химического взрывчатого вещества с энергией Ео = 4,2 X X 1019эрг (избыточное давление на фронте (pi — р0)/р0 = 0,0077).
Рис. 12. Экспериментальные записи давления в волне, полученные К. И. Балашовым на очень больших расстояниях (а — 5000 км； б — И 500 км) от места взрыва с энергией Ео 〜10аз эрг (Ар — дин/см2, t — мин).
Рис. 12. Экспериментальные записи давления в волне, полученные К. И. Балашовым на очень больших расстояниях (а — 5000 км； б — И 500 км) от места взрыва с энергией Ео 〜10аз эрг (Ар — дин/см2, t — мин).
Волны, вызванные мощными взрывами в атмосфере, при распространении на очень большие расстояния постепенно утрачивают характерную форму, которая изображена на рис. 11, и превращаются в длинную последовательность колебаний (рис. 12), Указанные изменения формы волны связаны с неоднородностью атмосферы. Наиболее существенными на этой
стадии распространения являются процессы дисперсии и поглощения, зависящие о*г частоты з звуковых волн. В связи с этим важной является не только величина энергии волны ?, но и ее распределение по частотам.
Спектральное разложение функции р ——рд = Ар (力 R) имеет вид
Ар (力 Е)= £г J 方(з，R) ds,р (ю, Е)= J Ар (力 R) dt.
Распределение энергии волны в зависимости от частоты ю определяется квадратом модуля |р(з, R) |2 фурье-амплитуды:
— ОО0
Результат расчета амплитуды ] р (ю) ] представлен на рис. 13, где -частота выражена числом колебаний в секунду ^2 ю/л для взрыва хими- веского взрывчатого вещества с энергией 刃。= 4,2 X 1019 зра и р。= =1 атм. На рисунке 11 изображена форма волны, которая была
принята для расчета спектра. Избыточное давление (рг ——Ро)/ро на ударном фронте составляет 0,0077 (R = Q км для указанных величин Ео и о。). Нелинейные искажения формы волны пренебрежимо малы для
столь малой амплитуды. Основная часть (около 80%) энергии волны сосредоточена в полосе периодов 2л/ю от 1 сек до 10 сек. Максимум спектрального распределения отвечает периоду т0 = 2,3 сек. Для других значений Ео и pQ периоды пересчитываются пропорционально {EQlp^^. При малых частотах (ю《2冗/% имеем разложениестоль малой амплитуды. Основная часть (около 80%) энергии волны сосредоточена в полосе периодов 2л/ю от 1 сек до 10 сек. Максимум спектрального распределения отвечает периоду т0 = 2,3 сек. Для других значений Ео и pQ периоды пересчитываются пропорционально {EQlp^^. При малых частотах (ю《2冗/% имеем разложение-{-ОО十8/
столь малой амплитуды. Основная часть (около 80%) энергии волны сосредоточена в полосе периодов 2л/ю от 1 сек до 10 сек. Максимум спектрального распределения отвечает периоду т0 = 2,3 сек. Для других значений Ео и pQ периоды пересчитываются пропорционально {EQlp^^. При малых частотах (ю《2冗/% имеем разложение
столь малой амплитуды. Основная часть (около 80%) энергии волны сосредоточена в полосе периодов 2л/ю от 1 сек до 10 сек. Максимум спектрального распределения отвечает периоду т0 = 2,3 сек. Для других значений Ео и pQ периоды пересчитываются пропорционально {EQlp^^. При малых частотах (ю《2冗/% имеем разложение
J Ар (友 R) d®* dt = — is J e® f Ар(У, R)dt‘ dt = —oo—oo—oo
-{-oo t
=—血 J J Ap(，Л) dtr dt-\-0 (ю2).
акустическими выражениями давления и скоакустическими выражениями давления и скоВоспользовавшись обычными
акустическими выражениями давления и ско
акустическими выражениями давления и ско
АР= -Р。而АР= -Р。而рости газа через потенциал, получим
АР= -Р。而
АР= -Р。而
+8 t+8-!-OO
J J AP&，R)dfdt=—^- J <pd』p抠 J °山=喘,
при взрыве,при взрыве,где объем воздуха, вытесняемого
при взрыве,
при взрыве,
Y /оY /оYYТаким образом, амплитуда низкочастотныхТаким образом, амплитуда низкочастотныхколебаний пропорциональнаколебаний пропорциональнаэнергии взрыва 矶.Разложение для больших частот (ю》2л/т0) имеет видР(з, Е)=—胃+ °энергии взрыва 矶.Разложение для больших частот (ю》2л/т0) имеет видР(з, Е)=—胃+ °
Y /о
Y /о
Y
Y
Таким образом, амплитуда низкочастотных
Таким образом, амплитуда низкочастотных
колебаний пропорциональна
колебаний пропорциональна
энергии взрыва 矶.
Разложение для больших частот (ю》2л/т0) имеет видР(з, Е)=—胃+ °
энергии взрыва 矶.
Разложение для больших частот (ю》2л/т0) имеет видР(з, Е)=—胃+ °
Рис. 13. Распределение спектральной амплитуды по частоте (численные значения частоты(o/(2jr) 1/сек соответствуют 百q=4,2 X 1019 spа при взрыве химического взрывчатого вещества).Рис. 13. Распределение спектральной амплитуды по частоте (численные значения частоты(o/(2jr) 1/сек соответствуют 百q=4,2 X 1019 spа при взрыве химического взрывчатого вещества).
Рис. 13. Распределение спектральной амплитуды по частоте (численные значения частоты(o/(2jr) 1/сек соответствуют 百q=4,2 X 1019 spа при взрыве химического взрывчатого вещества).
Рис. 13. Распределение спектральной амплитуды по частоте (численные значения частоты(o/(2jr) 1/сек соответствуют 百q=4,2 X 1019 spа при взрыве химического взрывчатого вещества).
Избыточное давление р* ——р° на фронте ударной волны пропорционально £*з, поэтому амплитуда высокочастотных колебаний пропорцио-
нальйа 刃，з. Максимум спектрального {распределения, очевидно, пропорционален ^/з.
Действие вязкости и теплопроводности приводит к дополнительному экспоненциальному затуханию амплитуды периодических колебаний пропорционально ехр (—АЕ). Коэффициент поглощения к пропорционален квадрату частоты и определяется известной формулой (см., например, Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, 1953)
где V — кинематическая вязкость. X = 0,733 V — температуропроводность воздуха. Численное значение вязкости воздуха V ~ 0,15 сМкек настолько мало, что приводит к ничтожно малому эффекту поглощения волн с пе-
риодом порядка одной секунды. Однако реальная атмосфера находится в состоянии турбулентного движения. Явления переноса в турбулентном
в книге А. X. Хргиана в турбулентной атмосферев книге А. X. Хргиана в турбулентной атмосфередавления на расдавления на рас矶 ^ 1023 зра, полученная矶 ^ 1023 зра, полученнаястоянии 11 500 км от взрыва с энергиейстоянии 11 500 км от взрыва с энергиейРис. 14. Вероятность I (с) регистрации колебаний давления ниже заданного уровня, который фиксируется значением коэффициента с в формуле Ар = с E?3/r .Рис. 14. Вероятность I (с) регистрации колебаний давления ниже заданного уровня, который фиксируется значением коэффициента с в формуле Ар = с E?3/r .клонения как случайные, то на основанииклонения как случайные, то на основании
в книге А. X. Хргиана в турбулентной атмосфере
в книге А. X. Хргиана в турбулентной атмосфере
давления на рас
давления на рас
矶 ^ 1023 зра, полученная
矶 ^ 1023 зра, полученная
стоянии 11 500 км от взрыва с энергией
стоянии 11 500 км от взрыва с энергией
Рис. 14. Вероятность I (с) регистрации колебаний давления ниже заданного уровня, который фиксируется значением коэффициента с в формуле Ар = с E?3/r .
Рис. 14. Вероятность I (с) регистрации колебаний давления ниже заданного уровня, который фиксируется значением коэффициента с в формуле Ар = с E?3/r .
клонения как случайные, то на основании
клонения как случайные, то на основании
потоке более интенсивны по сравнению с молекулярными. Диссипацию энергии в турбулентном потоке приближенно можно характеризовать эффективным коэффициентом «турбулетной вязкости» vT. По
экспериментальным данным, приведенным (1958) эффективный коэффициент переноса
составляет величинусоставляет величину(4 + 8) X 104 cj^lceK. Если воспользоваться для
составляет величину
составляет величину
качественной оценки средним значением vT = 6 X 104 см2/сек в приведенной выше формуле, то для колебаний с периодом 2,3 сек характерная длина 1/А составит примерно 1000 км. Поэтому для взрывов с энергией Eq = 4,2 х 1019 зра на расстояниях в несколько тысяч километров можно ожидать заметного поглощения волны. Для EQ = 4,2 х 1022 эрг максимум амплитуды соответствует периоду т0 ~ 23 сек, а длина поглощения Цк увеличивается в 100 раз, так что волна при таких мощных взрывах не будет испытывать существенного поглощения в основной части спектра на расстояниях, измеряемых десятками тысяч километров.
В работе Л. М. Бреховских (I960) подчеркнута весьма важная рольу которую играют при распространении волн на большие расстояния естественные волноводы, существующие в атмосфере вокруг слоев с минимальной температурой воздуха.
Зависимость групповой скорости от частоты для первой нормальной волны, рассчитанная теоретическим путем, имеет минимум. Эта зависимость служит основой для качественного объяснения специфической формы колебаний давления воздуха в волне на очень большом расстоя-
нии от места взрыва.
На рис. 12 приведена экспериментальная запись
К. И. Балашовым. В передней части волны наблюдаются низкочастотные колебания, распространяющиеся g наибольшей скоростью, затем происходит наложение относительно низких и высоких частот, имеющих одинаковую скорость распространения. Движение заканчивается колебаниями с частотой, отвечающей минимальной скорости распространения.
Непрерывно изменяющиеся атмосферные условия могут привести к значительным отклонениям амплитуды колебаний давления на достаточно большом фиксированном расстоянии R для одной и той же энергии взрыва 矶. Если рассматривать эти от- статистической обработки экс
периментальных измерений может быть получено распределение, которое будет характеризовать вероятность наблюдения амплитуды в заданном интервале значений. В качестве примера приведем здесь результаты такой обработки, представленные Г. Брауном по данным 254 измерений
(рис. 14) )• Вариации максимальной амплитуды колебаний давления л волне на больших расстояниях от места взрыва связываются с вариацией коэфиициента с в формуле
а? = e 筈.
Если обозначить через w (с) de вероятность того, что значение коэффициента с находится внутри интервала de, то вероятность обнаружения величины с ниже заданного уровня с】 определится интегралом
ci/ (q) = j w(c) de.
. о 1
Численные значения коэффициента с на рис. 14 отвечают энергии взрыва Ео, выраженной в единицах 4,2 X 1019 эрг, расстояниям R в 1000 км, Ар — в динах на квадратный сантиметр.
Некоторые особенности распространения взрывных волнв плотных средах
Воздействие мощной ударной волны, возникающей в результате ^взрыва в жидкостях и твердых средах, сопровождается значительным изменением термодинамического состояния вещества. Сильное повыше- лие энтропии S на ударном фронте может привести при последующем изэнтропическом расширении к образованию двухфазных состояний _и даже полному испарению вещества, если оно подверглось воздействию ударной волны достаточно большой амплитуды. Процесс испарения, свя- -занный с распространением сильных ударщдх волн, удобно интерпретировать на диаграмме р — V.
На рис. 15 изображены ударная адиабата и изэнтропы воды. Пунктирная кривая отделяет область существования двух фаз: жидкость —— пар. Указанные кривые построены на основании интерполяционного уравнения состояния воды, составленного Н. М. Кузнецовым (1961), и таблиц М. П. Вукаловича (1955). Ударная адиабата исходит из начальной точки pQ = 1 кГ/см, Ро= 1 cj^/г и при достаточно больших давлениях асимптотически приближается к предельному значению удельного объема 0,355 см3/?. Если вода подвергается сжатию в ударной волне, амплитуда которой не превышает 84 000 кГ1с^у то при последующем изэнтропическом расширении до начального уровня давления р°= 1 кгГ!с^ состояние воды -остается жидким. При давлении в ударной волне 84 000 кПс^ (V\ = =0,628 с九з/е) энтропия S достигает величины 0,31 кал!г-градкоторая -соответствует температуре кипения (99,1° С) при р° = 1 кГ/cj^. Вследствие того, что коэффициент теплового расширения воды сравнительно мал, эта изэнтропа проходит весьма близко к ударной адиабате и на рис. 15 не проведена. Для больших значений давления на ударном фронте изэнтропы пересекают кривую фазового равновесия и в результате происходит частичное испарение воды. Образование пара ведет к значительному увеличению адиабатической сжимаемости среды, благодаря чему происхо- „дит резкий излом изэнтроп при переходе через кривую фазового равновесия из области жидкого состояния. При повышении амплитуды ударной волны увеличивается количество испаренного вещества. Изэнтропа,
в пар после изэнтропическогов пар после изэнтропическогоРис. 15. Ударная адиабата и изэнтропы воды (пунктирная кривая отделяет область существования двух фаз; р — кГ"黯、 Р —■ см3/г)-Рис. 15. Ударная адиабата и изэнтропы воды (пунктирная кривая отделяет область существования двух фаз; р — кГ"黯、 Р —■ см3/г)-
в пар после изэнтропического
в пар после изэнтропического
Рис. 15. Ударная адиабата и изэнтропы воды (пунктирная кривая отделяет область существования двух фаз; р — кГ"黯、 Р —■ см3/г)-
Рис. 15. Ударная адиабата и изэнтропы воды (пунктирная кривая отделяет область существования двух фаз; р — кГ"黯、 Р —■ см3/г)-
соответствующая давлению в ударной волне 400 000 кГ/см2 (S = —1,05 кал/г-град, УА = 0,461 с№/г), проходит через критическую точку (К) и при давлении 1 кГ/см^ 51 % массы воды оказывается испарениым. Если давление в ударной волне достигает 1 320 000 кГ1с^ (S = = 1,76 кал!г-град, 卩工= 0,391 已九⑶/?), вода полностью превращается
расширения до начального уровня 夕°. Наконец, при давлениях r ударной волне, превышающих 1 320 000 кПс^у переход в газообразное состояние происходит непрерывным образом, минуя область двухфазного состояния. Процесс испарения жидкостей и твердых сред, сопровождающий распространение сильных ударных волн, качественно сходен с описанным выше процессом испарения воды. Следует также отметить, что при распространении ударных волн в тверных средах в соответствующем диапазоне амплитуд происходит плавление- вещества.
Наибольшие трудности в теоретическом описании взрывных волн связаны с проблемой движения твердой среды, которая разрушается в результате мощного взрывного нагружения. В настоящее время отсутствуют достаточна надежные представления о макро- 4 скопических свойствах разрушенной твердой среды, которые позволили бы явно сформулировать, уравнения движения. Одна из возможностей описания неупругого поведения среды содержится в предположении, что среда находится в
некотором предельном состоянии, в котором главные значения тензора напряжений связаны между собой универсальной зависимостою. Подробное исследование механического движения среды, характеризуемой свойствами такого рода, содержится в работах А. С. Компанейца (1956)^ Э. И. Андрианкина и В. П. Корявова (1959), Е. Е. Ловецкого (1958, 1959),, Н. В. Зволинского (I960), С. С. Григоряна (1964), Н. В. Зволинского,. Б. М. Малышева и Г. С. Шапиро (1966) *). В качестве иллюстрации рассмотрим здесь задачу о распространении взрывной волны в пластически уплотняющейся среде, исследованную А. С. Компанейцем (1956). В этой
*) Исследование различных практических вопросов, связанных с промышленным использованием подземных взрывов, содержится в работах М- А. Лаврентьева^ В. М. Кузнецова и Е. Н. Шера (1961), Г. И. Покровского и Г. М. Ляхова (19.62), М. М. Докучаева, В. Н. Родионова и А. Н. Ромашова (1963), Г. М. Ляхова (1964). В диссертации А. А. Дерибаса (1968) подробно описаны вопросы сварки, штамповки и обработки металлов взрывом.
задаче предельное состояние, которое достигается за фронтом сферической ударной волны, определяется условием
К — О? = А + 權(Ог + 2о)К — О? = А + 權(Ог + 2о)(5.1)(5.1)
К — О? = А + 權(Ог + 2о)
К — О? = А + 權(Ог + 2о)
(5.1)
(5.1)
где о「，Од, о(р = Од —— главные значения тензора напряжений, а А и m —— постоянные величины. Это условие характеризует предполагаемые свойства среды; максимальные касательные напряжения зависят линейным образом от давления в среде. Уравнение сферического течения имеет вид.
加. dvРн+р”н=н加. dvРн+р”н=н2 (%—Og)2 (%—Og)
加. dv
Рн+р”н=н
加. dv
Рн+р”н=н
2 (%—Og)
2 (%—Og)
В рассматриваемой задаче, кроме того, предполагается, что среда испытывает на ударном фронте постоянное уплотнение, причем плотность- среды р после сжатия на фронте остается постоянной в процессе дальнейшего течения. Уравнение непрерывности, следовательно, сводится к
尸亲(也=0•
Движение среды является результатом действия давления газа, заполняющего сферическую полость. Давление р внутри полости связывается с ее объемом V посредством обычного политропического соотношения pV^ = const. Предполагаемое постоянство плотности р в возмущенной области дает возможность непосредственно связать радиус полости с радиусом R ударной волны. Уравнения движения легко интегрируются. Задача сводится в результате к решению обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка для 五(方)после использования условия р =——Or на границе полости и соотношений на фронте ударной волны；
Один из результатов, полученных А. С. Компанейцем, состоит в том, что за конечное время амплитуда ударной волны падает до нуля, после чего течение среды прекращается. Давление в полости в конечном состоянии сдерживается внутренними напряжениями в уплотненной среде. Анализ конечного равновесного состояния, проведенный автором рассматриваемой работы, приводит к условиям: А V 0,權 > 0 в принятом выше соотношении между напряжениями (5.1).
В работе В. Н. Родионова, А. Н. Ромашова и А. П. Сухотина (1958) сделана попытка применить аналогичные, по существу, соображения к анализу движения, возникающего при взрыве в песке. На основании экспериментальных наблюдений указанные авторы пришли к выводу, что механические свойства песка можно характеризовать, в какой-то мере, предельным соотношением вида (5.1) ск = 0ит = 1/3 (ае = 0,4 о「). Следует подчеркнуть, что изложенная выше теория распространения пластической волны, помимо предположения относительно связи между напряжениями, опирается также на предположение о необратимом уплотнении вещества, которое значительно сужает возможности приложения теории к описанию движения твердых сред. ,
При попытках более полного описания движения твердой среды под действием взрыва можно ввести в рассмотрение несколько зон, разделенных подвижными сферическими поверхностями, на которых напряжения
достигают определенного предела. При достаточно высоких давлениях твердое вещество рассматривается как жидкость и описывается уравне- иием состояния вида
е 3 р) = е0 (р) + -^- •
Функции плотности 80(р) и / (р) подбираются на основе экспериментальных измерений ударной адиабаты и изотермической сжимаемости. В зоне с более низкими давлениями р, в которой касательные напряжения ■сравнимы по величине с р, сферическое течение описывается посредством условия пластичности, устанавливающего связь между главными значениями напряжений о「и ад. Вариации плотности вещества в этой зоне незначительны, поэтому такие изменения можно связать с давлением 1/3 (<у「+ 2а 9), используя обычный модуль всестороннего сжатия. Наконец, внешняя зона, где напряжения не достигают соответствующего предела, описывается уравнениями теории упругости.
В работе С. Д. Викторова, А. П. Сухотина и В. Н. Родионова (1967) получены весьма четкие экспериментальные результаты о влиянии предела упругости твердого материала на параметры упругой волны. Небольшие сферические заряды взрывчатого вещества взрывались в блоках из чистого алюминия и сплавов алюминия. В опытах регистрировалась ■скорость движения свободной поверхности металлического блока как функции времени. Один из полученных при этом результатов состоит в том, что преобладающий период упругой волны в чистом алюминии (предел упругости о при растяжении 450 кГ/см2) оказывается примерно в 2,5 раза больше, чем в закаленном сплаве алюминия (а* = 2950 кГ!с^).
Зона разрушенной твердой среды играет весьма важную роль в образовании низкочастотных сейсмических волн, возникающих при подземных взрывах. Это обстоятельство было подчеркнуто Г. Бете и А. Латте- ром (1959). Преобладающий период колебаний в сейсмических волнах на больших расстояниях значительно превышает продолжительность т упругого импульса вблизи от *центра взрыва. Этот факт свидетельствует о том, что колебания высокой частоты поглощаются в земной коре. Простое вычисление для сферической упругой волны (аналогичное тому, которое было приведено в § 4 настоящего обзора *) показывает, что амплитуда низкой частоты (ю《 2冗/工) пропорциональна объему АР среды, который вытесняется при взрыве. Экспериментально измеренное в упругой зоне остаточное смещение Аг = 15 см на расстоянии R = 110 м от центра взрыва «Рейнер» с EQ = 7,2 X Ю19 зра (Г. В. Джонсон и др., J. Geophys. Res., 1959, 64:10, 1457—1470; русский перевод в сборнике «Подземные ядерные взрывы», М., 1962) приводит к величине 入卩 = =4冗/?2八厂内 23 000 九з (эта величина примерно равна объему образовавшейся полости). Если бы при взрыве среда деформировалась по законам теории упругости, то значение АР определялось бы простой формулой
А展3(『)е
где 卩——модуль сдвига. Вычисленное таким способом АР ^810 № при у = 1,3,卩=2 X Ю10 Винк雜,Eq = 7,2 х 1019 зра, т. е. почти в 30 раз меньше экспериментально измеренного А匕 Упругие напряжения в значительной степени сдерживают давление взрыва, в то время как в разрушенном состоянии среда не способна удержать высокое давление,
в результате чего в реальных условиях сила воздействия на твердую породу, окружающую разрушенную зону, оказывается более значительной.
Изучение механизма диссипации энергии упругих волн в твердых телах составляет одну из интереснейших проблем механики сплошной среды. В большинстве практически важных случаев твердые тела имеют зернистую структуру, т. е. представляют собой систему, состоящую из объектов макроскопических размеров. При распространении достаточно длинных волн, в которых характерный размер возмущенной области намного больше размеров отдельных частей, составляющих твердое тело, среда может рассматриваться в среднем как однородная. Диссипация энергии усредненного движения в такой среде будет происходить на «макроскопическом уровне», поэтому традиционные представления, основанные на молекулярном перемешивании, не могут быть в этом случае непосредственно использованы. В связи с этим изучение конкретных механических моделей различных сред представляет несомненный интерес (Л. Кнопов и Г. Макдоналд, J. Geophys. Res., 1960, 65 : 7, 2191—2197). Лишь после тщательного анализа механизма диссипации энергии станет возможной формулировка физически обоснованных уравнений движения, описывающих распространение волн в твердых телах.
Многочисленные экспериментальные данные (Л. Кнопов и Г. Макдоналд, Rev. Mod. Phys., 1958, 30 : 4, 1178—1192) по поглощению упругих волн в твердых средах свидетельствуют о том, что коэффициент затухания
I Е |/2刃 пропорционален частоте з (здесь | Е | ——среднее значение диссипации энергии, Е —— полная энергия упругой волны). Указанная зависимость наблюдается в довольно широком диапазоне частот： примерно от 10-2 до 106 колебаний в секунду.
Взаимодействия ударных волн
Препятствия, встречающиеся на пути ударной волны, вызывают процессы отражения и дифракции. Характер отражения ударной волны от поверхности жесткой стенки существенно
Рис. 16. Полутеневая фотография регулярного отражения ударной волны (падающая волна движется справа налево).Рис. 16. Полутеневая фотография регулярного отражения ударной волны (падающая волна движется справа налево).зависит от угла падения и амплитуды волны. Если угол а между фронтом волны и стенкой не слишком велик, осуществляется регулярное отражение, при котором отраженная волна возникает в точке пересечения падающей волны с отражающей поверхностью (рис. 16). Процесс регулярного отражения имеет локальный характер. Отраженная ударная волна в точке пересечения ее с поверхностью стенки изменяет направление потока так, что течение становится параллельным стенке. Отражение такого типа может существовать лишь при углах падения а. меньших предельного значения а*. Когда а > а*, процесс отражения качественно изменяется. Характерная особенность нелинейного взаимодействия ударных волн при достаточно больших углах заключается в том, что отражен-
Рис. 16. Полутеневая фотография регулярного отражения ударной волны (падающая волна движется справа налево).
Рис. 16. Полутеневая фотография регулярного отражения ударной волны (падающая волна движется справа налево).
ная волна, возникшая в предыдущие моменты
времени, в последующем изменяет течение за падающей волной еще до того момента, когда падающий фронт достигнет отражающей
20 Механика в СССР, том 2
поверхности. В результате отраженный фронт пересекается с падающим фронтом на некотором расстоянии от стенки, а точка пересечения соеди
няется со стенкой третьей ударной волной, распространяющейся вдоль стенки,— нерегулярное или маховское отражение (рис. 17). Тангенциаль
ный разрыв, исходящий из точки пересечения трех ударных волн, отде-
Рис. 17. Полутеневая фотография нерегулярного отражения ударной волны (падающий фронт движется справа налево).Рис. 17. Полутеневая фотография нерегулярного отражения ударной волны (падающий фронт движется справа налево).ляет область течения, в которой газ претерпел двукратное ударное сжатие, от области однократного сжатия позади третьей ударной волны.
Рис. 17. Полутеневая фотография нерегулярного отражения ударной волны (падающий фронт движется справа налево).
Рис. 17. Полутеневая фотография нерегулярного отражения ударной волны (падающий фронт движется справа налево).
ное давление в отраженной волне, отнесенное к избыточному давлениюное давление в отраженной волне, отнесенное к избыточному давлениюПростая теория регулярного отражения, основанная на соотношениях Гюгоньо для ударных волн, дает возможность выразить па^ раметры отраженной волны (в малой окрестности точки пересечения ударного фронта со стенкой) как функции угла падения а и амплитуды падающей волны, а также значение предельного угла а. В таблице 6 приведены результаты расчета в идеальном газе с у = 1,4 угла отражения р и давления р2 в отраженной волне для различных амплитуд падающей волны ро【р* и углов падения а (каждая тройка чисел, приведенных в таблице, при фиксированном p0/pi означает соответственно а, § (в градусах) и (р2 — Ро)/(Р1 — Ро) — избыточ-
ное давление в отраженной волне, отнесенное к избыточному давлению
ное давление в отраженной волне, отнесенное к избыточному давлению
в падающей волне; последние числа в каждой строке отвечают предельному углу а = aj.
Экспериментально измеренные значения предельного угла оказываются несколько большими по сравнению с вычисленными на основе упомянутой простой теории *). Это различие для воздушных ударных волн составляет величину примерно от одного до трех градусов (для слабых ударных волн обнаруживается наибольшее различие).
Регулярное отражение наблюдается, таким образом, в большем
интервале углов а, чем это предсказывается теорией, использующей лишь соотношения на разрывах. В настоящее время, однако, не существует теории, объясняющей это различие.
Расчет течений газа, возникающих при взаимодействиях ударных волн, представляет одну из труднейших проблем прикладной математики. Решение многих задач, включающих нерегулярное отражение ударных волн, оказалось возможным благодаря применению быстродействующих вычислительных машин. Успехи, достигнутые в этой области, можно проиллюстрировать на примере работы В. В. Русанова (1961). В этой работе произведены численные расчеты весьма сложного течения газа, которое возникает в результате отражения и дифракции ударных волн на твердых препятствиях различной формы.
Возможно аналитическое решение проблемы, когда течение в возмущенной области описывается линейной теорией звука. Таким способом может быть решена задача отражения и дифракции плоской звуковой волны от угла, образованного двумя пересекающимися твердыми пло-
Таблица 6
Ро
Угол падения а в градусах； угол отражения В в градусах; относительный перепад давления в отраженной волне (Рг — Ро)/(Р1 — Ро)
0
10
3,43
7,837
20
7,51
7,376
30
13,53
6,730
37
21,51
6,380
39 26,22
6,463
39,97
32,97
6,983
0,1
0
0 5,375
10
4,22 5,353
20
9,24 5,041
30 16,62
4,718
35 22,77
4,618
39 33,51
4,905
39,29
37,47
5,200
0,2
0
0 4,182
10 4,98 4,127
20 10,83
3,976
30 '
19,26
3,795
35 26,03
3,768
39
37,24
4,067
39,32
41,55
4,346
.0,3
3,500
10 5,69 3,463
20 : 12,31
3,365
30
21,48
3,258
37
32,37
3,309
39
38,22
3,461
39,90
45,43
3,844
0,4
3,059
10
6,38 3,034
20 13,68
2,969
30 23,34
2,904
37
33,84
2,954
40
41,87
3,139
40,95
49,28
3,516
0,5
0
0
2,750
15 10,83
2,713
30 24,92
2,651
37
34,83
2,690
41
43,88
2,856
42 47,80
2,993
42,53
53,18
3,289
0,6
0
0 2,522
15 11,76
2,497
30
26,25
2,459
39
38,79
2,517
43
47,57
2,678
44
51,00
2,792
44,78
57,28
3,131
0,7
0
0 2,346
15 12,63
2,331
30
27,40
2,308
40 40,60
2,355
45
49,57
2,488
-4755,15
2,653
47,97
61,75
3,023
0,8
0
0 2,207
15
13,47 .2,198
30
28,32
2,186
"40 40,21
2,211
48
52,31
2,333
52
61,79
2,617
52,74 .66,90
2,960
0,9
0
0 2,094
15
14,25 2,090
30 29,24
2,085
45
45,96
2,113
55
59,33
2,237
60 69,06
2,558
60,82
73,54
2,944
скостями (С. Л. Соболев, 1934). Другой пример применения теории малых возмущений представляет маховское отражение ударной волны произвольной амплитуды, когда направление движения ударной волны почти параллельно отражающей поверхности (Г. Ф. Лудлоф, Adv. Appl. Meeh：, v. 3, 1953; русский перевод в сб.: Проблемы, механики, 1955). В этом случае вариации давления газа в возмущенной области предполагаются малыми по сравнению с' избыточным давлением рг ——р° за фронтом падающей ударной волны. Поэтому результаты, полученные в двух указанных выше примерах взаимодействия ударных волн, не перекрываются между собой при (рг — f 0.
Описание процесса отражения ударных волн небольшой амплитуды посредством решения линейных уравнений невозможно в том случае, когда направление движения волны образует малый угол 0 (0 = х/2 л ——а) с отражающей поверхностью. В линейной теории ударный фронт рассматривается как огибающая поверхность звуковых возмущений, распространяющихся с постоянной скоростью звука %. Однако если принять во внимание тот факт, что возмущения позади ударного фронта распространяются со скоростью, превышающей скорость фронта, то поверхность ударной волны окажется возмущенной внутри конуса с величиной угла 0О, пропорционального квадратному корню из амплитуды волны:
仇=/仇=/(Y+1)(P1—Ро)(Y+1)(P1—Ро)
仇=/
仇=/
(Y+1)(P1—Ро)
(Y+1)(P1—Ро)
нийна фронт ударной волны(УФ— ударный фронт).нийна фронт ударной волны(УФ— ударный фронт).д-1д-1
нийна фронт ударной волны(УФ— ударный фронт).
нийна фронт ударной волны(УФ— ударный фронт).
д-1
д-1
(рис. 18). Таким образом, при углах (0 〜0О процедура линеаризации
упомянутые выше возможности использования линейных уравнений соответствуют либо 0》0О, либо 9《В。)* Рассмотрим простую теорию нерегулярного отражения слабых ударных волн, которая основана на упрощающем предположении (Дж. Б. Уитем, J. Fluid Meeh.., 1957, 2 : 2, 145-171).
Пусть течение зависит от двух пространственных декартовых координат (х, у) и времени 九 Для каждого фиксированного момента времени ударный фронт изображается линией на плоскости (х, у). Введем криволинейную ортогональную систему координат (а, £), в которой координатные линии t = const совпадают с линиями фронта в различные фиксиро- вднные моменты времени. Координатные линии а = const определим как ортого
нальные фронту ударной волны траектории (лучи). Элемент длины вдоль линий а = const равен g dt, где q —— скорость ударной волны. Соответственно элемент длины вдоль линий t = const равен Sda, где S представляет собой «площадь» поперечного сечения двумерной трубки, образованной двумя близкими лучами а и а + da. Скорость ударной
волны q зависит от амплитуды:
где невозмущенная скорость звука с。принята за единицу. Искривление лучей и, следовательно, изменения 5 связаны с неравномерным распределением давления на ударном фронте. Введем угол 0 = 0 (а,方)между направлением луча (а = const) и осью х декартовой системы координат. Вычисляя дивергенции единичных векторов, направленных вдоль координатных линий, получим уравнения, которые являются простым следствием введенной системы координат:
@8 3sо 50 dq@8 3sо 50 dq(6.1)(6.1)
@8 3sо 50 dq
@8 3sо 50 dq
(6.1)
(6.1)
Эти два уравнения дополняются соотношением между амплитудой волны и S
2s 需+(f 嗡=0,2s 需+(f 嗡=0,(6-2)(6-2)
2s 需+(f 嗡=0,
2s 需+(f 嗡=0,
(6-2)
(6-2)
выражающим тот факт, что величина (д ——4) /S сохраняется вдоль луча а = const. Указанное соотношение, строго говоря, имеет место лишь в линейном приближении и не учитывает влияния течения позади ударного фронта на его амплитуду. Однако в тех случаях, когда S существенно изменяется, дополнительное изменение амплитуды волны, обусловленное влиянием течения позади фронта, незначительно по сравнению с геометрическим фактором，S. Например, для волны треугольной формы величина (д ——4)/S на ударном фронте изменяется пропорционально множителю
(J 备+
где интеграл берется вдоль луча.
Простая система уравнений (6.1)——(6.2) представляет собой модель, содержащую основные качественные особенности нелинейного взаимодействия ударных волн. Вместе с тем эта теория дает удовлетворительные количественные результаты и поэтому может служить основой для практических расчетов. Система уравнений (6.1) —— (6.2) аналогична уравнениям одномерного движения сжимаемого газа. Важным классом решений этой системы являются простые волны. Простая волна, например, описывает изменение амплитуды первоначально плоской ударной волны, распространяющейся вдоль искривляющейся стенки. Решение типа простой волны, зависящее от одной произвольной функции, имеет вид
2 /2(дТ)-0 = 2 1/2 (…),(?-1)]/5 = (%-!) УЛ.
Постоянные величины qQ и SQ определяются начальными условиями, а произвольная функция / ——граничным условием 0 = 0 (i) на поверхности искривляющейся стенки (а = 0). Давление на ударной волне в зависимости от угла выражается простой формулой:
△р = А〃 (1+^)2,
где Api ——давление в падающей волне, а
е* = 2 )/2(*_ 1)= / 空耳萨砲.
Заметим, что V2 冗——0* = а* совпадает с предельным углом для ударных волн небольшой амплитуды. Вычисленные по этой формуле давления удовлетворительно согласуются с экспериментальными измерениями давления при маховском отражении ударных волн небольшой амплитуды. Приведем пример, в котором можно применить полученные результаты. При распространении ударных волн в атмосфере угол между направлением движения волны и поверхностью Земли может изменяться в результате изменения скорости звука с。(z) и скорости ветра U (z) с высотой z.
Например, при движении ударной волны в направлении ветра, скорость U которого достаточно быстро возрастает с высотой z, так что & (с。+ U)/dz > 0,. фронт волны постепенно наклоняется на угол
0 ^0 ^1212d& + U)上dz *d& + U)上dz *
0 ^
0 ^
1
2
1
2
d& + U)上
dz *
d& + U)上
dz *
Рис. 19. Схема возникновения отрыва при взаимодействии ударной волны с пограничным слоем на твердой поверхности (УФ — ударный фронт, ПС — пограничный слой).Рис. 19. Схема возникновения отрыва при взаимодействии ударной волны с пограничным слоем на твердой поверхности (УФ — ударный фронт, ПС — пограничный слой).В результате возникает маховское отражение от поверхности Земли. Хотя в указанном примере изменение угла наклона ударной волны невелико (& (с。+ U)/dz 〜10-3 сек^1), это небольшое отклонение может привести к заметному изменению давления в ударной волне. Таким образом, маховское отражение можно приближенно рассматривать как результат сгущения； лучей, которое происходит вблизи отражающей поверхности. В связи с аналогией между уравнениями (6.1) —/6.2) и уравнениями одномерного сжимаемого газа методы исследования в обоих случаях аналогичны.
Рис. 19. Схема возникновения отрыва при взаимодействии ударной волны с пограничным слоем на твердой поверхности (УФ — ударный фронт, ПС — пограничный слой).
Рис. 19. Схема возникновения отрыва при взаимодействии ударной волны с пограничным слоем на твердой поверхности (УФ — ударный фронт, ПС — пограничный слой).
Весьма интересный вид взаимодействия возникает при движении параллель-
йо твердой поверхности светящегося фронта сильной ударной волны в газе. На первый взгляд распространение ударной волны при указанных условиях не должно сопровождаться появлением заметных возмущений в течении. Однако в Действительности это не так. Достаточно интенсивное световое излучение, исходящее с поверхности фронта, частично поглощается твердой стенкой впереди ударной волны. В результате около твердой поверхности образуется тонкий слой нагретого газа. Наличие нагретого слоя приводит к возмущению всего течения в целом: впереди прямого ударного фронта, распространяющегося вдоль твердой поверхности, появляется косой фронт сильного возмущения, который охватывает постепенно расширяющуюся область перед ударной волной. Указанный эффект наблюдается в ударных трубах (Р. Шреффлер и Р. Кристиан, J. Appl. Phys., 1954т 25 : 3, 324—331) и при мощных взрывах вблизи поверхности Земли ). М. А. Садовский и А. И. Коротков обнаружили аналогичный эффект в опытах с ударными волнами умеренной амплитуды, создавая нагретый слой на твердой поверхности за счет посторон-
него источника.
Объяснение описанного выше явления было предложено Г. И. Тагановым в докладе на I Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике в 1960 г. Основная идея состоит в аналогии этого эффекта с явлением отрыва вязкого пограничного слоя.
Рассмотрим стационарный поток газа, включающий прямой фронт ударной волны. Если такое течение примыкает к неподвижной твердой
поверхности, расположенной параллельно набегающему потоку газа, то вблизи этой поверхности возникает вязкий пограничный слой, внутри которого скорость газа непрерывно падает до нуля (пересечение ударной воПны с поверхностью твердой стенки становится невозможным, поскольку в слое конечной толщины около стенки течение в набегающем потоке становится дозвуковым). Давление, которое достигается при полном торможении потока, уменьшается с уменьшением числа Маха, равного отношению скорости газа к скорости звука. В потоке газа около твердой поверхности всегда имеется слой, в котором давление торможения оказывается меньше, чем давление за фронтом ударной волны. Таким образом, поток в тонком слое вблизи поверхности не может проникнуть в область за ударной волной. В результате возникает возвратное течение из области высокого давления и развивается явление отрыва (рис. 19).
При распространении ударной волны по неподвижному газу вдоль твердой поверхности вязкий пограничный слой впереди фронта отсутствует. Однако при условиях, когда на твердой поверхности впереди ударного фронта имеется слой нагретого газа (в течении относительно фронта), давление торможения потока в нагретом слое уменьшается вследствие увеличения скорости звука. При достаточно высокой температуре в нагретом слое, когда давление торможения оказывается ниже давления за фронтом ударной волны, возникает явление отрыва, аналогично тому, как это происходит при взаимодействии ударной волны с вязким пограничным слоем. Отметим, что температура в нагретом слое, необходимая для возникновения отрыва, уменьшается по мере увеличения амплитуды ударной волны.
333333333333333333333333333333
333333333333333
333333333333333
ЯВЛЕНИЯ НЕОГРАНИЧЕННОЙ КУМУЛЯЦИИ
Е. Л\ ЗАБАБАХИН
Введение*
Кумулятивные струи
Сферический пузырек в несжимаемой жидкости
Невязкая жидкость
Вязкая жидкость
Сферический пузырек в сжимаемой жидкости
Сходящиеся ударные и детонационные волны
Ударные волны
Детонационные волны
Сходящаяся ударная волна в теплопроводном газе
Ударные электромагнитные волны и их кумуляция
Акустические цилиндрические ударные волны
Стационарная неограниченная кумуляция
Кумуляция несходящейся ударной волны
Некоторые новые задачи
Сходящиеся ударные волны в веществе с фазовым переходом ...
1(X2. Несимметричная фокусировка
Ударные электромагнитные волны в веществе
Гипотеза о неустойчивости кумуляции
Введение
Явления неограниченной кумуляции, т. е. процессы, в которых в каком-то виде происходит концентрация энергии, и притом неограниченно сильно, представляют очевидный интерес для физиков. Неограниченная кумуляция свойственна, как правило, лишь непрерывным средам и в решениях соответствующих задач возникает иногда как следствие идеализации при их постановке (например, предположения о несжимаемости жидкости). Но есть много случаев, в которых это не так, т. е. кумуляция сохраняется и при максимально полном учете всех физических сво^йств (сжимаемости, теплопроводности и т. д.). Вопрос о том, чем же она ограничивается, в конце концов, в этих случаях, ясен не вполне.
Изучение кумуляции представляет интерес как теоретический, так и практический. Теоретически интересны нахождение наиболее сильной кумуляции и изучение вопроса о ее ограничении. Логика такой задачи неизбежно выводит за рамки исходной ее постановки, т. е. приводит к изучению явлений, находящихся на стыках науки и представляющих интерес уже по одной этой причине. Прикладной интерес связан с возможностью реализации экстремальных состояний вещества и электромаг-
нитного поля (достижение высоких давлений, температур, напряженностей полей).
Изученные явления неограниченной кумуляции весьма разнообразны. В большинстве случаев она связана со сходящимся симметричным движением к точке или к оси и является импульсной, т. е. приводит к расходимости плотности энергии лишь в один момент и в одной точке (например, в фокусе сферической сходящейся ударной волны) или на линии. Позже был найден пример стационарной кумуляции, в котором расходимость существует не в один момент, а все время, но фокус при этом перемещается в пространстве (сходящаяся коническая ударная электромагнитная волна).
Была также построена и рассчитана система, в которой кумуляция происходит в одномерном движении и не связан^ со схождением к точке или оси (плоская ударная волна в слоистой системе). В этом случае расходимость достигается также на один момент, но уже в целой плоскости. Наконец, известен пример явления, в котором расходимость достигается в некотором пространстве (но, конечно, не одновременно во всех его точках). Это происходит при отражении от цри сходящейся цилиндрической ударной электромагнитной волны.
Разнообразны и формы концентрации энергии: в ударных волнах —— высокое давление и температура при ограниченной плотности, в схлопывающемся пузырьке ——высокая плотность при ограниченной температуре, в электромагнитных волнах —— неограниченные магнитная и электрическая напряженности.
Цель настоящего обзора ——познакомить читателя с теми явлениями неограниченной кумуляции, для которых соответствующая математическая задача была поставлена и точно решена, т. е. со случаями, описанными предельными решениями. В постановке и решении таких задач большая роль принадлежит советским исследователям.
Перечень изученных случаев, несомненно, будет расти, но уже сейчас можно поставить общий для всех них вопрос: нет ли общей причины, в конце концов, ограничивающей рост плотности энергии в таких явлениях? Этот вопрос особенно обострился после того, как в результате учета сил диссипации (а в некоторых случаях это удалось сделать) было обнаружено, что они сами по себе безусловного ограничения кумуляции не дают. К более подробной постановке этого вопроса мы вернемся позже, а пока отметим, что сколько-нибудь общего ответа на него еще нет и потому существует почва для гипотез.
Исторически первые примеры неограниченной кумуляции были обнаружены в механике, и там они наиболее многочисленны, но позже они появились и в электродинамике. Ввиду большого сходства этих задач в обзоре затронуты оба случачая, хотя второй и выходит за рамки механики.
Кумулятивные струи
Теория образования кумулятивных струй и их действия, предложенная М. А. Лаврентьевым и Г. И. Покровским (около 1944 г.), просто и наглядно объясняет главные черты этого явления. Струя образуется при косом столкновении пластин, показанном на рис. 1, а. Авторы теории выбрали удачное и простое приближение, сделавшее все расчеты элементарными： материал пластин считается несжимаемой жидкостью. Во многих случаях такое приближение оказывается хорошим. Например, для железных пластин, летящих со скоростью 现口 = 4 км]сек： давление
при соударении по порядку величины равно рис (р —— плотность, с = =5 км/сек — скорость звука в железе), т. е. р 〜8 X 105 X 5 X Ю5 = = 4 X 1011 бар = 0,4 млн. атм, что сильно превосходит прочность
и позволяет считать пластины жидкими. С другой стороны, изменение плотности железа при этом еще невелико, Ар/р мр/рс? 现口/已= = 0,2, т. е. его действительно можно считать несжимаемым.
В системе координат, связанной с точкой О, течение стационарно, схема его показана на рис. 1, 6. Здесь пластины, как и струи, движутся вдоль своих плоскостей и разветвляются на две части —вправо и влево (их называют струей и молотом). Скорость пластины % = =现口 ctg а.
Рис. 1. Схема образования кумулятивной струи (а — в лабораторных координатах； б — в координатах, связанных с точкой О; течение стационарно).Рис. 1. Схема образования кумулятивной струи (а — в лабораторных координатах； б — в координатах, связанных с точкой О; течение стационарно).и 2, удаленныхи 2, удаленныхот зоны столкновения:от зоны столкновения:Ясно, что скорости всех трех струй равны, что следует, например, из уравнения Бернулли для сечений 1
Рис. 1. Схема образования кумулятивной струи (а — в лабораторных координатах； б — в координатах, связанных с точкой О; течение стационарно).
Рис. 1. Схема образования кумулятивной струи (а — в лабораторных координатах； б — в координатах, связанных с точкой О; течение стационарно).
и 2, удаленных
и 2, удаленных
от зоны столкновения:
от зоны столкновения:
Вдали от точки О р* = ^2 = 0, т. е. w2 = 如工,а также и w3 = w*・ Отсюда видно также, что полная длина струи равна длине пластины (тоже для длины молота).
Перейдя обратно в лабораторную систему координат, т. е. прибавив к w скорость точки О, равную un/sin а, находим скорость струи
_e口 I 北口 一 _14-c°s a
с 一 tg a 十 sin a — n sin a
При малом угле столкновения а скорость струи сколь угодно велика.
Найдем далее сечение струи и долю уходящей в нее массы. Условия сохранения массы и горизоктальной составляющей импульса соответственно дают
Sji = Sc-{- SM,
где Sn, 50 и Sm ——сечения пластины, струи и молота, и
—5П^2 cos a = 5即2 — Sm^,
откуда и получаем долю массы, идущей в струю:
Sc — 1 —cos a
При малых a эта доля сколь угодно мала, однако именно струя уносит основную часть энергии пластины. В самом деле, единица длины пластины дает единицу длины струи, первая несет энергию 豆口 = V2 р5п^п,
вторая —耳=% p5cuc, отношение их
Ес 1 + cos а石=-2
т. е. доля энергии, унесенной струей, действительно стремится к едини-
Рис. 2. Схема регулярного столкновения (Z — несжатое вещество; II — вещество, сжатое ударными волнами ОА^ И0人).Рис. 2. Схема регулярного столкновения (Z — несжатое вещество; II — вещество, сжатое ударными волнами ОА^ И0人).це при малмх а, и концентрация энергии в объеме струи при этом сколько угодно велика. Эта расходимость есть, однако, лишь следствие идеализации в задаче, в действительности при малых а из-за сжимаемости струи не образуется вообще, а устанавливается так называемый регулярный режим столкновения пластин, показанный на рис. 2. От точки столкновения О идут ударные волны сжатия ОАг и ОА^ давление за ними конечно и неограниченной кумуляции нет.
Рис. 2. Схема регулярного столкновения (Z — несжатое вещество; II — вещество, сжатое ударными волнами ОА^ И0人).
Рис. 2. Схема регулярного столкновения (Z — несжатое вещество; II — вещество, сжатое ударными волнами ОА^ И0人).
Предположение о несжимаемости позволяет также просто описать пробивное действие кумулятивных струй, в частности, делает
понятным, что узкиепонятным, что узкиеI взрывом кумулятивного снаряда, а имеют чисто гидродинамическоеI взрывом кумулятивного снаряда, а имеют чисто гидродинамическоеи глубокие пробоины в броне не «прожигаются»
понятным, что узкие
понятным, что узкие
I взрывом кумулятивного снаряда, а имеют чисто гидродинамическое
I взрывом кумулятивного снаряда, а имеют чисто гидродинамическое
происх ождение.
Сферический пузырек в несжимаемой жидкости
Невязкая жидкость. Задачу о схлопывании пузырька в идеальной жидкости (несжимаемой и невязкой) рассмотрел в 1917 г. Рейли (Rayleigh). Вероятно, это — первый изученный пример неограниченной кумуляции. Пусть в жидкости образована пустая сферическая полость, которая в дальнейшем может заполняться под действием окружающего давления. Движение сферически симметрично, скорости на разных расстояниях от границы связаны соотношением
иг2 = щг1
(единицей отмечены величины на поверхности пузырька). Кинетическая энергия движения'
Е— J 4лг2dr р -— = 2л；т；р・
Она равна работе внешнего давления р0, под действием которого пузырек уменьшил объем от Уо до V (радиус от а до г), т. е. величине р0 4/3 л (а3 ——г；)・ Сравнивая их, получаем
,.2 2P аЗ — Г；
При А 一 0 скорость неограниченно растет
/碧寻=今 0 = const).
Давление на внутренней поверхности пузырька равно нулю, но вблизи нее в жидкости оно может быть большим. Убедимся в этом, рассматривая стадию фокусировки пузырька (q《а).
Уравнение Эйлера в нашем случае имеет вид
ди , ди , i др с .而万н=°・
Подставив в него и = Uir；/r2 = 4 /г^ (/)/г2, получаем
V dr ^U1\ 2r2 十開丿，
Интегрируя обе части по г от поверхности пузырька наружу, получаем давление
?=粤[?一件门.
Эта величина имеет максимум при r/rt = 2а/з, при этом
Ртахп^рм； ИЛИ等=嘉(勻?
Например, для сантиметрового пузырька с р0 = 1 атм при г = 0,1 мм Ртах = 150 000 атм.
Перед фокусировкой давление растет неограниченно и на движение сильно влияет сжимаемость жидкости, а также ее вязкость. Оба фактора
сдвига при схлопывании пузырька (жидкая линии АВА переходит в AiOAi, 180° — в 0°).сдвига при схлопывании пузырька (жидкая линии АВА переходит в AiOAi, 180° — в 0°).пузырька имеют видпузырька имеют видуменьшают достигаемое давление, и представляет интерес выяснить, не делают ли они вообще кумуляцию ограниченной.
сдвига при схлопывании пузырька (жидкая линии АВА переходит в AiOAi, 180° — в 0°).
сдвига при схлопывании пузырька (жидкая линии АВА переходит в AiOAi, 180° — в 0°).
пузырька имеют вид
пузырька имеют вид
Вязкая жидкость. Вязкость может сильно повлиять на движение, так как при схлопывании пузырька в жидкости происходят очень сильные сдвиговые деформации. «Жидкая линия» АВА на рис. 3, касающаяся поверхности пузырька, при фокусировке превращается в AfiAv в середине ее образуется излом и даже точка возврата, т. е. происходит неограниченно сильный сдвиг (угол 180° переходит в 0°). Для случая постоянной вязкости задачу о движении удалось рассмотреть до конца автору (I960).
Уравнения Навье ——Стокса для движения
ди , 2и ди . ди , i др с, дг 1 г ' 。力 I cfr р dr
0ГГ = —р + 2т] ди/дг, то0ГГ = —р + 2т] ди/дг, тоа так кака так какВязкость в написанные уравнения не вогйла (она представлена слагаемым т] (grad div и ——rot rot w), которое в нашем случае равно нулю, так как div и = 0 (жидкость несжимаема) и rot 〃 = 0 (движение сферически симметрично)), но она входит в граничные условия. На поверхности пузырька нормальное напряжение агг отсутствует (граница с вакуумом),
0ГГ = —р + 2т] ди/дг, то
0ГГ = —р + 2т] ди/дг, то
а так как
а так как
仍=2п (•£■)] •
Второе граничное условие: р ~ р0 при г = оо. Как и для невязкой жидкости, и (г, i) = игг^/г2. Подставив это в уравнение Эйлера и интегрируя его по г от гг до оо с учетом граничных условий, после упрощений получаем
醤 +含+ ”о,(3.1)
где V—кинематическая вязкость.
Введем безразмерные переменные: число Рейнольдса
a = (q/a)Re и р (ct) =1^pj^lu^ Тогда вместо (3.1) получаем
и начальное условиеи начальное условие(3.2)(3.2)嘉=之僚+0+告)
и начальное условие
и начальное условие
(3.2)
(3.2)
际可=0 W(a) = 0).
Рис. 4. Интегральные кривые задачи о пузырьке в вязкой жидкости (04 — сепаратриса, жирные линии — изоклины 0 и оо, тонкие линии — интегральные кривые).Рис. 4. Интегральные кривые задачи о пузырьке в вязкой жидкости (04 — сепаратриса, жирные линии — изоклины 0 и оо, тонкие линии — интегральные кривые).Уравнение имеет семейство решений р (а), зависящее от параметра Re； одно из них с Re = оо (v = 0) совпадает с найденным Рейли, для которого вблизи фокусировки р 〜а3/2. .Начало координат (а = 0, р = 0) есть сложная особая точка уравнения (3.2), она показана на рис. 4.
Рис. 4. Интегральные кривые задачи о пузырьке в вязкой жидкости (04 — сепаратриса, жирные линии — изоклины 0 и оо, тонкие линии — интегральные кривые).
Рис. 4. Интегральные кривые задачи о пузырьке в вязкой жидкости (04 — сепаратриса, жирные линии — изоклины 0 и оо, тонкие линии — интегральные кривые).
Среди кривых, выходящих из начала координат, только одна имеет конечный наклон %, определяемый подстановкой р = %а в (3.2) при a f 0. Подстановка дает % =——1/8. Эта линия (сепаратриса) показана штрих-пункти- ром О А. Изоклина нулей проходит ниже, начальный наклон ее ——3/8.
Выше О А интегральные кривые образуют узел, где р ^ а3/2, ниже — седло, причем р f —4/а или
T—苟 АРо(3.3)
(то и другое проверяется подстановкой в (工 2) при a f 0).
Решению задачи отвечает та кривая, которая приходит в точку, соответствующую начальному условию, т. е. а = Re, 1/р = 0. При разных Re решения могут принадлежать к разным семействам： в случае принадлежности к узлу они соответствуют неограниченному возрастанию скорости как
а-3/2, в случае седла — замедленному движению пузырька со скоростью 〜а, в результате которого заполнение его достигается лишь за неограниченное время. В этом случае скорость его не зависит от начальных размеров, т. е. движение «не помнит» начальных условий, что видно из (3.3). Сепаратриса ОА отвечает промежуточному случаю, соответствующее число Рейнольдса является критическим, оно разграничивает два существенно различных класса движений. Его можно определить, продолжив сепаратрису вправо до 1/р = 0, где а = Re. Построение это, выполненное путем численного интегрирования, дает ReKp = 8,4.
При заданных р, р и w можно говорить о критическом радиусе пузырька акр = 8,4 V |/^р/р. При а V 〃кр пузырек заполняется медленно, кумуляция устраняется вязкостью, при а > 〃кр вблизи фокуса скорость неограниченно растет по тому же закону, что и без вязкости, т. е. % = =const г^^, но с меньшим значением постоянного множителя. Схема
.обрих случаев движения показана на рис. 5. Практически критический.обрих случаев движения показана на рис. 5. Практически критическийрадиус 〃кр весьма мал, т. е. вязкость устраняет кумуляцию только в очень
.обрих случаев движения показана на рис. 5. Практически критический
.обрих случаев движения показана на рис. 5. Практически критический
маленьких пузырьках; например, при Ро = 4 атм для воды (V = 0,01, р = 1) он равен 0,8 мк, для глицерина (v = 6,8, р = 0,8) — 0,5 мм.
Описанный пример интересен тем, что последовательный учет диссипации не устраняет в нем неограниченной кумуляции.
Схлопывание пузырьков может представлять практический интерес, так как это явление считается
Рис. 5. Схлопывание пузырька в вязкой жидкости (малые пузырьки с а V акр заполняются асимптотически, большие — за конечное время с неограниченной скоростью перед фокусом).Рис. 5. Схлопывание пузырька в вязкой жидкости (малые пузырьки с а V акр заполняются асимптотически, большие — за конечное время с неограниченной скоростью перед фокусом).одной из причин быстрого
Рис. 5. Схлопывание пузырька в вязкой жидкости (малые пузырьки с а V акр заполняются асимптотически, большие — за конечное время с неограниченной скоростью перед фокусом).
Рис. 5. Схлопывание пузырька в вязкой жидкости (малые пузырьки с а V акр заполняются асимптотически, большие — за конечное время с неограниченной скоростью перед фокусом).
износа лопастей гребных винтов и гидротурбин, работающих с кавитацией (схлопывание пузырьков на металлической поверхности интенсивно ее разрушает).
Реальная картина схлопывания может быть значительно сложнее описанной как за счет сжимаемости (это будет описано ниже), так и за счет заполнения пузырька паром, который при сжатии может не полностью конденсироваться, т. е. сжиматься и разогреваться. Наиболее сильно
осложнить явление может неустойчивость формы пузырька.осложнить явление может неустойчивость формы пузырька.Сферический пузырек в сжимаемой жидкости
осложнить явление может неустойчивость формы пузырька.
осложнить явление может неустойчивость формы пузырька.
Задача о схлопывании полости в сжимаемой жидкости оказалась во многих отношениях сложной и интересной и в течение нескольких лет она привлекает внимание советских и зарубежных механиков. В первую очередь было интересно узнать, как выглядит кумуляция в задаче без такой сильной идеализации, как предположение о неся^имаемости, остается ли она бесконечной и каков порядок этой бесконечности. Если факт кумуляции можно было предугадать (и решение подтвердило его), то другой факт был неожиданным ——предельных решений оказалось много и возник вопрос о выборе главного из них. Вопрос этот не вполне решен и сейчас.
Среди исследований в этой области выделяется работа К. П. Станюковича (1945), в которой им был открыт новый тип автомодельных решений, характерный для явлений кумуляции и определяемый характером особых точек уравнений задачи. Решение этого же вида имеет и задача о пузырьке в сжимаемой жидкости. Эту задачу на автомодельность нового типа рассмотрим подробнее, хотя исторически она первой не была (задача об ударной волне несколько сложнее). Общие соображения о возможных типах автомодельных решений высказали Я. Б. Зельдович и Ю. П. Райзер в известной их книге «Физика ударных волн» (1963).
В постановке задачи о пузырьке большую роль сыграли работы Я. Б. Зельдовича и К. А. Семендяева, множественность решений нашел в 1952 г. И. М. Гельфанд, фактические решения и их анализ выполнили О. В. Локуциевский, А. И. Жуков, В. Ф. Дьяченко, Л. А. Гусаров,
Я. М. Каждая, Г. Б. Алалыкин, Б. 3. Оссерович, С. К. Годунов, К. В. Брушлинский, К. А. Багриновский и др. Систематизированное изложение дано позже в статье Я. М. Каждана и К. В. Брушлинского (1963). Из зарубежных авторов отметим К. Хантера (J. Fluid Meeh., 4960, 8 : 2, 241——263), также нашедшего путь решения задачи и описавшего его для частного случая.
' Изложим эту интересную задачу для кубического уравнения состояния жидкости р = 4рЗ (4 = const), при котором выкладки несколько упрощаются.
Скорость звука в этом случае пропорциональна плотности, с = = Vdp/dp = р/34, поэтому уравнения движения можно представить в виде дс . де . ди .с
-ZT-+U —+с —н=dt dr * dr * г '
ди Ам дс с
7Г + М^+С1Г = °-
Вводя инварианты Римана а=и + с и р = и ——с,
получаем
да . да . а2 — р2 八、
ар , й ара2_ра п
dt +Р 打2rJ
>(4.1)
Нас интересует предельное решение для стадии фокусировки, ищем его в автомодельной форме
а(小) = £а⑶，P(r, f) = ^b^,
где 三=£/№ и i ——время, отсчитанное от фокусировки (до схлопывания i < 0), А ——постоянное число, заранее неизвестное.
На поверхности пузырька ^ = const и t = const •№, откуда и 〜iM-1, т. е. если А > 1, то перед фокусировкой u f 8 и кумуляция неограниченна.
Подставив выражения для а и р в (4.1), получаем
^< ®笹^< ®笹За2_2fca —&2
^< ®笹
^< ®笹
3#—2 私—a2
=(&2)
что послечто посленанадругое сводится к одному уравнению:
что после
что после
на
на
db1—а 3^2—2儿。—а?〃 q.
石"=丁丁 за2—2^^ ** J)
Линии 三=const образуют семейство, показанное на рис. 6, вдоль каждой из них а и & постоянны.
Выясним граничные условия, т. е. найдем значения а и & на свободной границе и для момента фокусировки. Имеем
Гг а-Ь
на свободной границе с = 0 и и = г/(Ai), т. е. а = & = 1； в момент фокусировки t = 0, но и и с ограничены при г 声 0, т. е. а = b = 0. Таким образом, в плоскости (а, &) надо найти интегральную кривую, соединяющую точки А (1,1) и F (0,0).
На рис. 7 показаны плоскость (а, Ь) и изоклины нулей и бескоцеч- ностей (прямые и гиперболы), пересечения которых указывают положения особых точек. А и F ——особые точки. А —седло, из которого можно выйти либо по биссектрисе а = b (тривиальное решение с = 0), либо
по нормали к ней. Нас интересует дикритический узел. Ясно, что между А и D интересующая нас интегральная кривая пересечь линию b = 4 не может, это может произойти лишь
ветвь, идущая вверх (с>0) •尸一ветвь, идущая вверх (с>0) •尸一Рис. 7. Плоскость автомодельных функций для пузырька в сжимаемой жидкости (жирные линии — изоклины 0 и оо； Л соответствует свободной границе, F — фокусировке; искомая кривая соединяет эти точки).Рис. 7. Плоскость автомодельных функций для пузырька в сжимаемой жидкости (жирные линии — изоклины 0 и оо； Л соответствует свободной границе, F — фокусировке; искомая кривая соединяет эти точки).Рис. 6. Автомодельное схлопывание пузырька в сжимаемой жидкости (。一 фокус; кривые изображают линии 己=const; ОА соответствует свободной поверхности).Рис. 6. Автомодельное схлопывание пузырька в сжимаемой жидкости (。一 фокус; кривые изображают линии 己=const; ОА соответствует свободной поверхности).при наличии особой точки D на пересечении горизацтали b = 4 с гиперболой, существующей лишь при А< 1,5. С другой стороны, ясно, что А> 1 (свободная граница движется не замедленно), таким образом можно утверждать, что А заключено в пределах от 1 до 1,5.
ветвь, идущая вверх (с>0) •尸一
ветвь, идущая вверх (с>0) •尸一
Рис. 7. Плоскость автомодельных функций для пузырька в сжимаемой жидкости (жирные линии — изоклины 0 и оо； Л соответствует свободной границе, F — фокусировке; искомая кривая соединяет эти точки).
Рис. 7. Плоскость автомодельных функций для пузырька в сжимаемой жидкости (жирные линии — изоклины 0 и оо； Л соответствует свободной границе, F — фокусировке; искомая кривая соединяет эти точки).
Рис. 6. Автомодельное схлопывание пузырька в сжимаемой жидкости (。一 фокус; кривые изображают линии 己=const; ОА соответствует свободной поверхности).
Рис. 6. Автомодельное схлопывание пузырька в сжимаемой жидкости (。一 фокус; кривые изображают линии 己=const; ОА соответствует свободной поверхности).
Исследуем характер особой точки D. Разложив числитель и знаменатель (4.3) вблизи D по х = а —例 иу = Ь —坛，после упрощений получаем
知_力1/3-2儿 + y(由-3) _mх -(- ку
同—4—3儿 i—~ '
Если производная dy/dx имеет в особой точке определенное значение q, то т^-пд “ sq *
Это уравнение относительно q имеет действительные корни (т. е. особая точка D является узлом) при n2 Т- 47ns > 0, или
(*-3)2 + 4 р^З^ 4—31丄竺竺》0)
что дает А》4,407.
При k V 1,407 D — фокус (д — комплексное), кривая накручивается на него и в сторону F пройти не может (рис. 8, а). При А > 1,407 точка D есть обычный узел, имеющий два направления, общее и особое, по которому проходит только одна кривая. Нетрудно видеть*, что наклон ее больше, чем для входящего в узел пучка. При А 1,407 интегральная 21 Механика в СССР, том 2
кривая, идущая из Л в узел D, принадлежит к нижней части основного пучка, т. е. до входа в D пересекает линию & = 1 (рис. 8, 6). Служить решением она не может, так как нарушается однозначность зависимости Ь от ^, что видно из второго уравнения (4.2). При дальнейшем увеличении к узел D скользит влево, особая кривая (пунктир на рис. 8) перемещается 我се ближе к Л и, наконец, проходит через эту точку (рис. 8, е)：
Рис. 8. Выбор показателя автомодельности к из условий прохождения особой точки (пунктиром указана особая линия узла D).Рис. 8. Выбор показателя автомодельности к из условий прохождения особой точки (пунктиром указана особая линия узла D).
Рис. 8. Выбор показателя автомодельности к из условий прохождения особой точки (пунктиром указана особая линия узла D).
Рис. 8. Выбор показателя автомодельности к из условий прохождения особой точки (пунктиром указана особая линия узла D).
Это происходит при к = 1,411 (определено методом попыток с помощью численного интегрирования (4.3)). Интегральная кривая плавно проходит через D сверху 聘из, и при этом она всюду аналитична. Дальше она попадает в дикритический узел F (0, 0), т. е. кривая является решением, и притом аналитическим. Зная ее, можно численно интегрировать (4.2) и найти зависимость' а и & от В и далее аир, или и и е, от г It и 三・
При любом большем А (но меньшем, чем 1,5) в узле D найдется кривая, приходящая из Л (она принадлежит к верхней части основного пучка узла /))• Продолжение ее вниз попадает в F, т. е. кривая также является решением. Однако оказывается, что, вообще говоря, в этом случае в окрестности D она неразложима в степенной ряд, т. е. решение не является аналитическим. Таких решений континуум (при любом А в интервале 1,411 V А V 4,5), больше того, при каждом к решение не одно, а их множество： при фиксированном А вниз от D можно идти не по одной кривой, а по любой из числа тех, что приходят в F (рис. 8, г).
Я. М. Каждая показал, что условие аналитичности вьшолнено и для некоторых избранных значений А в этом интервале, ближайшее из них — А = 1,437.
Решение с к = 1,411 остается выделенным как обладающее наименьшим А, т. е. наименьшим показателем кумуляции.
Таким образом, обнаружено множество предельных решений, полностью удовлетворяющих уравнениям, т. е. описывающих . некоторые случаи движения, по крайней мере с искусственно подобранными началь-
ными условиями (а именно, соответствующими самому решению). На какую из асимптотик выходят движения с произвольными начальными условиями — ясно не вполне. По-видимому, выделенными будут аналитические решения (гипотеза Гельфанда); численные расчеты указывают, что реализуется асимптотика с наименьшим показателем кумуляции.
Описанное решение подтвердило наличие неограниченной кумуляции и в сжимаемой жидкости, т. е. это есть действительно свойство явления, а не случайное следствие идеализации постановки задачи.
Вид кумуляции, естественно, отличается от того, что было в несжимаемой жидкости, расходятся скорость и плотность: и 〜1/г0»411 и р 〜 〜l/r0，'11, поведение же температуры может быть различным. Если вещество ——газ, имевший начальную температуру, то в фокусе расходится и температура (адиабатическое сжатие), если же температура была нулевой (давление обусловлено только упругостью), то она и остается нулевой вплоть до фокусировки.
Степень кумуляции А для разных веществ (разных показателей 丫 в уравнении р = /р^) различна, но факт кумуляции сохраняется всюду. Это видно из следующих результатов решения (для разных у), заимствованных из статьи К. В. Брупглинского и Я. М. Каждана (1963):
Y
1
5/3
2
3
7
ОО
厶
1
1,064
1,176
1,411
1,801
2,5
§ 5・ Сходящиеся ударные и детонационные волны
Ударные волны. Сходящиеся ударные волны подробно изучены теоретически и во многих случаях обнаружена неограниченная кумуляция. По этим вопросам опубликовано много работ, асимптотика для детонационной волны перед фокусировкой была впервые изучена Л. Д. Ландау и К. П. Станюковичем и описана последним в его докторской диссертации, а также в статье (1945) и в книге (1955). Интенсивность волны оказалась неограниченно растущей, откуда видно, что взрывчатые свойства материала перестают играть роль (концентрация энергии в волне сильно превосходит калорийность взрывчатки) и, следовательно, решение описывает сходящиеся волны не только детонационные, но и ударные. Эти работы положили начало изучению нового класса движений, для которых показатели степени в решениях вытекают не из размерностей определяющих величин, как, например, в широко известном решении Л. И. Седова (1944), а из условий прохождения особых точек дифференциальных уравнений задачи. Это же обстоятельство было обнаружено и описано Г. Гудерлеем (Luftfahrt-Forschung, 1942,19 : 9, 302—312), работа которого стала известна у нас лишь через несколько лет после войны. В дальнейшем было поставлено и решено множество подобных задач, одна из которых подробно описана в § 4 настоящего обзора (сферический пузырек в сжимаемой жидкости).
Прежде чем описывать результаты решения, напомним, что слабая ударная волна (акустическая волна) при сферическом схождении усиливается по закону р 〜1/г независимо от уравнения состояйия ващества. Таким образом, факт усиления слабой волны при схождении тривиален, однако он еще ничего не говорит о поведении волны перед центром. Как
21收
ударной волны (4。一ударной волны (4。一схо-схо-Y — 1 будет сказаноY — 1 будет сказанодящаяся волна, 己=дящаяся волна, 己=Рис. 9. Фокусировка автомодельной сходящейсяРис. 9. Фокусировка автомодельной сходящейсяОВ — волна, отраженная отцентра,己=己2； пунктиромуказано движение частицыгаза).ОВ — волна, отраженная отцентра,己=己2； пунктиромуказано движение частицыгаза).
ударной волны (4。一
ударной волны (4。一
схо-
схо-
Y — 1 будет сказано
Y — 1 будет сказано
дящаяся волна, 己=
дящаяся волна, 己=
Рис. 9. Фокусировка автомодельной сходящейся
Рис. 9. Фокусировка автомодельной сходящейся
ОВ — волна, отраженная отцентра,己=己2； пунктиромуказано движение частицыгаза).
ОВ — волна, отраженная отцентра,己=己2； пунктиромуказано движение частицыгаза).
показало исследование, кумуляция там оказывается неограниченной, но для разных веществ различной.
В задаче об ударной волне в стадии фокусировки решение ищется в автомодельной форме
p = p。3 隽)，и = ^u^),? ь黑■尸(自)，
где
Вещество считается идеальным газом (холодным перед фронтом) с показателем адиабаты у. На фронте волны, где 三=const, получаем р = const, 〃〜l/^-1 и р〜4/产1》.
Ход решения здесь вполне аналогичен описанному (пожалуй, несколько сложнее), поэтому мы не излагаем его, а приводим лишь результаты, подробно описанные и систематизированные в упоминавшейся статье К. В. Брушлинского и Н・ М. Каждана (1963):
Y
1
5/3
2
3
ОО
^пр
1
1
1,452
1,451
1,499
1,500
1,571
1,588
1,700
1,83
Во всех случаях кумуляция оказывается неограниченной (о случае
ниже), но характер ее иной, чем в схлопывающемся пузырьке. В момент фокусировки плотность ограничена, но расходятся температура и давление.
Общая картина фокусировки волны показана на рис. 9. За отраженной волной частицы идут от центра, в каждой из них давление конечно и со временем уменьшается； уменьшается и температура, но в центре она остается бесконечной.
Фокусировка волны описывается автомодельным решением и в том случае, когда плотность газа перед волной не постоянна, а распределена по степенному закону р0 〜rn. В случае убывания плотности к центру при схождении волны действуют противоположные факторы — рост давления на волне, связанный
с ее схождением, и убывание из-за перехода в менее плотную среду. При " = 0 давление растет, при больших " оно заведомо убывает. Ясно, что при некотором ">0 эти два фактора могут быть уравновешены и давление на волне будет постоянным. Как оказывается, в этом случае за отраженной волной наступает покой, т. е. достигнутое там состояние (в том числе и
7 = 8 в центре) сохраняется, по крайней мере до прихода сигнала разрежения с поверхности системы (не описываемого автомодельным реше-
нием). Схема такого движения показана на рис. 10. При у — 5/3 это соответствует р0 〜г1»647, при этом )
加=1 + 智11= 1,823.
Рис. 10. Сходящаяся волна с постоянным давлением (за отраженной волной ——покой).Рис. 10. Сходящаяся волна с постоянным давлением (за отраженной волной ——покой).Отметим, что этот случай неограниченной кумуляции энергии не дает： давление всюду конечно, т. е. конечна и объемная плотность энергии, хотя температура в центре и расходится, т. е. удельная энергия на единицу массы сколь угодно велика.
Рис. 10. Сходящаяся волна с постоянным давлением (за отраженной волной ——покой).
Рис. 10. Сходящаяся волна с постоянным давлением (за отраженной волной ——покой).
Если в начале р0 〜 严, но давление газа конечно, то температура в центре расходится до начала движения (например, это может быть след происшедшей фокусировки). В этом случае сходящаяся волна может как усиливаться (р/ро увеличивается), так и ослабевать (р/ро 1), т. е. выходить на режим либо сильной, либо акустической волны. Этот вопрос подробно изучил Ф. Л. Черноусько (I960), который установил, что сходящаяся сферическая волна в этом случае вырождается в акустическую при " > 2,
и плоская — прии плоская — приРешение задач о доемко, и естественнойРешение задач о доемко, и естественнойцилиндрическая — при п > 1 "> 0・
и плоская — при
и плоская — при
Решение задач о доемко, и естественной
Решение задач о доемко, и естественной
сходящихся волнах тру-била попытка упростить
его за счет приближения. Это удалось сделать
Р. Ф. Чиснеллу (J. Fluid Meeh., 1957, 2: 3, 286—298), применившему так называемое каналовое приближение, в котором изменение давления на фронте определяется лишь его кривизной (сужением мысленного канала, образованного его нормалями). Последовательно применяя это приближение к случаю переменной плотности перед фронтом, Ю. С. Вахрамеев (1965) получил приближенную формулу для показателя автомодельности и показал, что она фактически очень точна благодаря удачному обстоятельству — исчезновению ее поправочных членов в практически важной области. Это приближение позволило ему исследовать устойчивость волн к малым возмущениям и получить важный вывод о том, что чем сильнее кумуляция, тем сильнее и неустойчивость.
п 2 —V? (^ — 1)п 2 —V? (^ — 1)7 d .V—1^Р=1+2 fe+17 d .V—1^Р=1+2 fe+1Для степенного распределения начальной плотности холодного газа показатель автомодельности описывается приближенной формулой
п 2 —V? (^ — 1)
п 2 —V? (^ — 1)
7 d .V—1
^Р=1+2 fe+1
7 d .V—1
^Р=1+2 fe+1
Y 1/y(I)
где V = случаевгде V = случаев1, 2 или 3 для плоского, цилиндрического и сферического соответственно и h — уплотнение в ударной волне (h =
где V = случаев
где V = случаев
=(Y + 1)/(у ——1) в холодном идеальном газе).
Вычисленные по формуле Ацр для иллюстрации вписаны в таблицу на стр. 324 наряду с точными.
Заметим, что сходящаяся в точку волна не обязательно должна быть сферически симметричной, а фокусировка может быть и более сложной. Один из таких случаев — волна в форме многогранника, в вершинах
и ребрах которого могут возникать волны Маха (《тритоки») с большим давлением. Разрастаясь, они смыкаются между собой и образуют новый многогранник, он порождает новые «тришоки^ с еще большим давлением и т. д. В таком процессе, по крайней мере в некоторых случаях, форма меняется периодически, например, для волны в форме квадратной призмы. Давления в Соответствующие моменты (например, моменты смыкания «тришоков») будут связаны степенным законом с размером волны, как и для цилиндрической волны, но с другим показателем степени. Некоторые случаи такого Движения изучили экспериментально и теоретически В. А. Белоконь, А. И. Петрухин и В. А. Проскуряков (1965), развившие идею Г. И. Покровского о кумуляции сильной ударной волны при ее вхождении в клиновидную полость. Аналогичные задачи изучал А. Е. Вой- тенко.
Не следует думать, что задачи с заранее неопределенными показателями степеней обязательно соответствуют явлениям неограниченной кумуляции. В качестве примера опишем задачу о выходе ударной волны на границу атмосферы с вакуумом, рассмотренную Г. М, Гандельманом и Д. А. Франк-Каменецким (1956). Уравнения для ударной волны, параллельной границе и идущей к ней, допускают автомодельные решения, которые приходится искать тем же приемом (анализом особых точек). Из решения видно, что давление на фронте волны уменьшается по степенному закону р 〜俨侬—расстояние от границы атмосферы), но скорость ее неограниченно растет, т. е. кумуляции энергии нет, но температура на фронте волны стремится к бесконечности.
Явление, похожее на описанное, может иметь место в звезде, если в результате каких-либо процессов возникает ударная волна, идущая из ее глубин наружу. Распределению плотности вблизи границы р0 〜 х13^ для гара с 丫 = 5/§ соответствуют давление на приближающейся к ней ударной волне р 〜 х1»86 и температура Т 〜 1/х1»39.
Другим примером может служить задача Я. Б. Зельдовича (1956) и В. Б. Адамского (1956) о коротком ударе по поверхности покоящегося холодного газа.
Если ударная волна в газе вызвана движением поршня в его сторону, то при замедленном движении поршня она будет затухать и тем сильнее, чем быстрее поршень тормозится. Однако даже сколь угодно короткому удару соответствует конечная скорость затухания волны, точнее, даже в этом случае она затухает по закону р 〜l/xm, где m ——конечное число. Все решение и это число также находятся из анализа особых точек (?п = 1,333 при 丫 — 7/5).
Возвращаясь к сходящимся волнам, заметим, что особый случай представляет волна детонационная, которая з начале схождения (определяющем тенденцию ее поведения в дальнейшем) не соответствует ни одному из предельных случаев сильной или слабой волны и должна быть рассмотрена отдельно.
Детонационные волны. Детонационная волна, т. е. ударная волна, на фронте которой выделяется энергия, имеет вполне определенную амплитуду, соответствующую калорийности взрывчатки (нормальная волна). На фронте такой волны звук движется со скоростью фронта, т. е. и + с =刀 (условие Жуге), чему соответствует минимальная скорость волны, совместимая с уравнениями сохранения. Однако это справедливо лишь для расходящихся и плоских волн, а для сходящихся это оказалось не так: по мере схождения давление на фронте такой волны растет, условие Жуге нарушается и звук может догонять фронт (и + с > D).
В отличие от нормальной такую волну иногда называют пересжатой. Возможность самопроизвольного пересжатия волны в литературе по детонации обычно не обсуждалась, и теоретическое обнаружение ее вызывало сначала удивление и даже недоверие.
Сходящуюся детонационную волну для случая цилиндра рассмотрел Я. Б. Зельдович (1959). Мы ограничимся описанием начала процесса, достаточного, чтобы установить факт самопроизвольного пересжатия.
Используем кубическое уравнение состояния продуктов взрыва и рассмотрим случай сферы, уравнения движения для которого (4.1) мы уже вывели. Напомним, что уравнение р = /р" вблизи состояния на фронте нормальной волны (рн)卩口) описывает любые процессы (ударное и адиабатическое сжатие продуктов взрыва и повышение давления на детонационной волне).
Пусть сферическая волна инициирована на радиусе R и движется внутрь, а продукты взрыва свободно разлетаются наружу. В начальный момент волна нормальная и на ее фронте
D 3 п 4
^h -工, % = 2厶， Ph =з р0,
«н ~ ^н 十 ％ = ~2~ , Рн = ^н Сн = D -
(р0—плотность взрывчатки). Найдем скорость роста давления на фронте такой волны в начальный момент, т. е. вычислим dp!dr. Так как 卩〜<?з 〜(а—р)з, то
d ( р、& / & — §、33 (а — §)2 / detd§ \
前 \~F7 丿—疗 l «н —рн / — (а二 Вн№ \ dr~dr / т
откуда получаем, что в начале
dp _ 2PH /加 dp \ dr —刀 I dr dr / Покажем, что da!dr — 0;
da — da dp dr 一 dp dr，что после подстановкиda — da dp dr 一 dp dr，что после подстановки器=^=专(-M不+/紛, р = /рЗ дает
da — da dp dr 一 dp dr，
что после подстановки
da — da dp dr 一 dp dr，
что после подстановки
Зр — 2Po )2 "|/疝(р — ро)丿Зр — 2Po )2 "|/疝(р — ро)丿
Зр — 2Po )
2 "|/疝(р — ро)丿
Зр — 2Po )
2 "|/疝(р — ро)丿
р на фронте волныр на фронте волныПри р = рн = &/з Ро получаем da/dp — 0, т. е.' вначале da/dr — 0 и dP = —2PH d§ dr — D dr *
р на фронте волны
р на фронте волны
Вычислим dp/dr (производная берется от значения по координате фронта):
里=里丄工如_ = 空丄丄/ _b里丄坛空、_里dr — dr ' D dt — 5r ' Z) \ P &r 十 2r )—刁г
Вначале второй член равен §l&DlR, в первом—неопределенность. Раскроем ее:
Р=一0+ 患（Г一е）,备=一n
邓一 少邓一 少Величину Зр/Зг найдем, считая распределение р по г таким же, как за плоской волной, т. е.
邓一 少
邓一 少
Тогда
祁 D L一少+義(Г一区))3 4 _ 祁3少
откуда
d§ — 3 D т. е.
d ?3 ?h
Таким образом, dp/dr < 0, т. е. при уменьшении радиуса волны давление на ней растет и она становится пересжатой. Причиной усиления волны можно считать ее кривизну и сокращение поверхности фронта со временем.
Так же ведет себя и цилиндрическая волна, но скорость роста ее давления вдвое меньше, чем в сфере, в соответствии с вдвое меньшей средней кривизной. Вообще формула (5.1) справедлива для любой сходящейся волны, инициированной на искривленной поверхности, если под г понимать средний радиус ее кривизны.
Сходящаяся ударная волна в теплопроводном газе. Одним из активных механизмов диссипации энергии в сходящейся волне, по-ви- димому, будет теплопроводность, так как вблизи фокуса возникает неограниченный температурный градиент. Отток тепла заведомо уменьшит температуру центра, и следует еще выяснить, не разрушит ли он неограниченную кумуляцию вообще. Рассмотрим это в обычном приближении, когда за перенос тепла ответственно излучение, но плотность его энергии еще много меньше, чем у газа, и можно пользоваться уравнением состояния идеального газа. Это сделано в статье автора и В. А. Симоненко (1965).
Вследствие теплопроводности впереди основного фронта волны появляется зона прогрева. Вычислим ее ширину сначала для плоской стационарной волны, считая газ настолько горячим, что свободный пробег излучения I в нем ограничен лишь комптоновским рассеянием, т. е. полагая I = £р()/р, где L = const.
у Считаем, что излучение находится всюду в равновесии с веществом и^она прогрева много больше пробега. В системе координат, связанной с фронтом, уравнения сохранения имеют вид
рм = Ро0, р + рм2=ро°2,рм [岑+ ^=^]+w + q = _£^1,
где поток тепла
Q =Q =Ic d I 4оТ& \ 3 da I с )Ic d I 4оТ& \ 3 da I с )
Q =
Q =
Ic d I 4оТ& \ 3 da I с )
Ic d I 4оТ& \ 3 da I с )
dr dxdr dx———1T 8 (『十2 + И 1 (Y + 1)2———1T 8 (『十2 + И 1 (Y + 1)2
dr dx
dr dx
———1
T 8 (『十2 + И 1 (Y + 1)2
———1
T 8 (『十2 + И 1 (Y + 1)2
(с — скорость света). Из этих уравнений dT/dx ?можно выразить через Т. Проделав это, получаем
(5.2)
где x = T/TKi Гк — конечная температура за волной, „256(Y-1)4 £0少5
(Е — универсальная газовая постоянная). В зоне прогрева т изменяется от 0 до 1； из уравнений можно получить, что при этом р/р0 увеличивается от 1 до 〃岂(у + 1) и далее скачком до (丫 + 丄)/(丫 一 1).
Проинтегрировав (5.2) по т от 0 до 1, найдем полную ширину S зоны прогрева перед скачком уплотнения; S = 3 J (丫) (J = 4,07 и S = =0,007 LgD5]®R&) при y = %). Схемы распределения 7 (%) и р Q) в вол-
не с теплопроводностью показаны на рис. 11. В зоне прогрева газ не только нагревается, но и приходит в движение и сжимается.
Рис. 12. Сходящаяся ударная волна в теплопроводном газе (линии АВ и СЕ соответствуют фронту тепловой волны и скачку уплотнения).Рис. 12. Сходящаяся ударная волна в теплопроводном газе (линии АВ и СЕ соответствуют фронту тепловой волны и скачку уплотнения).Ширина зоны S тем больше, чем больше D. Поэтому » сходящейся волне, скорость которой растет, быстро увеличивается
Рис. 12. Сходящаяся ударная волна в теплопроводном газе (линии АВ и СЕ соответствуют фронту тепловой волны и скачку уплотнения).
Рис. 12. Сходящаяся ударная волна в теплопроводном газе (линии АВ и СЕ соответствуют фронту тепловой волны и скачку уплотнения).
0
Рис. И. Структура фронта плоской ударной волны в теплопроводном газе (перед скачком уплотнения фронт тепловой волны и зона прогрева S),
и ширина зоны, и фронт ее фокусирует до основной волны (точка Б на рис. 12). Это будет характерным моментом прекращения степенного роста температуры, а достигнутая к этому моменту температура будет порядка максимальной температуры всего процесса.
В сходящейся волне D = лМ-1, где Л характеризует силу волны (скорость ее на единичном радиусе). Характерный размер волны г。определим из условия, что S порядка г0. Тогда
/ l0Л5 \ 5月一4
Температура на фронте Т 〜D^IR, в сходящейся волне Т ^ A2/(R^h~^); подставляя сюда % вместо г, получаем выражение для максимальной температуры процесса
=const.[(鲁广1)*1/2广\ ■
В частности, при у = 5/3 имеем к~ 1,452 и
?max = Const-(鏡)°' ^ ДО,723^0,614.
Здесь постоянный коэффициент — безразмерное число порядка единицы, для определения которого надо получить решение задачи хотя бы для одного случая (например, численно).
Таким образом, достигаемая температура оказывается конечной, но чем сильнее волна (чем больше Л), тем выше и достигаемая температура, т. е. теплопроводность не устанавливает предела ни температуре фокусировки, ни коэффициенту увеличения температуры при кумуляции (отношению достигнутой температуры к исходной волне). За первой волной АБ идет вторая СЕ (рис. 12), представляющая собой скачок уплотнения. При фокусировке его процесс изотермичен. Качественный характер его асимптотики перед фокусировкой нетрудно установить. Скачок не может неограниченно затухать, так как слабая ударная волна должна усиливаться как 1/г; интенсивность его не может идти и к конечному пределу, так как соответствующее автомодельное решение уравнениям движения не удовлетворяет. Остается одна возможность ——неограниченное усиление. Таким образом кумуляция сохраняется и при участии теплопроводности, но она видоизменяется: вместо Tf 8 и р f const имеем 7 f const и pf 8. Плотность энергии остается бесконечно большой.
§ 6. Ударные электромагнитные волны и их кумуляция
Говоря об электромагнитных волнах, часто имеют в виду только
колебательные процессы,колебательные процессы,но легко видеть, что эти волны могут быть
колебательные процессы,
колебательные процессы,
также ударными и не иметь характера колебаний вообще. Такая волна возникает, например, при внезапном .начале движения проводника в магнитном поле поперек силовых линий, как показано на рис. 13. В момент начала движения из Л в поле идет волна со скоростью с и через единицу времени поле Но, занимавшее пространство с, окажется сжатым до размера с — и, а напряженность его увеличится до Н1 = Hq d(c — и). От Hq до Н工 напряженность растет скачком на фронте волны, здесь же скачком возникает электрическое поле Е = —Н* 亠 Hq = Hq ulc.
Возникновение и кумуляция таких волн
Рис, 13. Образование удар- рассмотрены автором и М. Н. Нечаевым (1957). ной электромагнитной вол- Внезапно толкнуть поверхность проводника ны при внезапном начале может обычная ударная волна, выходящая из движения п^р^вокннка в его глубины на поверхность. Такой толчок, *однако, не будет совсем внезапным, так как
в проводнике в магнитном поле фронт ударной волны сопровождает опережающее его электромагнитное возмущение АЯ = % (6 — 1) с—#/£ (jj аналогично для Е), где 6 — pjp° — сжатие материала в ударной волне, х — расстояние от фронта, I — =(с2 —刀2)/(4冗九刀)—масштаб зоны размытия, D —скорость волны,九一проводимость перед волной. При выходе волны на границу с вакуумом скорость фронта увеличивается от 刀 до с и опережение I превращается в £ = cUD = с (巒一Z>2)/(4nW2).
Для сильной волйы в меди (D = 10 км/сек) получаем L = 3,7 см (九=5,8 X 1017 сек^^ при увеличении проводимости размытие уменьшается и для той же меди, охлажденной до 20° К, получаем L = 0,2 мм. Таким образом, и в вакууме фронт волны может быть довольно узким
и его удобно рассматривать как математический разрыв.
Если поверхность волны плоская, то она р аспр о стр аняется с пос
тоянной амплитудой, так как энергия, заключенная в прифронтовом слое Ах, переносится вместе с ним и объемная плотность ее сохраняется
(возмущения поля за волной идут с той же скоростью с, не догоняют фронта и не могут на него повлиять). Если поверхность искривлена, то в силу тех же причин плотность энергии и амплитуда изменяются. Простейший пример сходящейся волны —цилиндрическая с магнитным полем, параллельным оси. Здесь плотность энергии растет как 1/г, а амплитуда как 1/，г.
Таким образом, мы убедились, что ударная электромагнитная волна способна к неограниченной кумуляции, причем полученный закон роста амплитуды не встречает никаких ^нтзических ограничений до тех пор, пока справедливы уравнения Максвелла.
В описанном явлении оказалась и другая неожиданная особенность, не обнаруживающаяся столь наглядно и полученная лишь при решении уравнений. Остановимся на этом подробнее.
Рассмотрим сходящуюся в вакууме цилиндрическую волну в стадии фокусировки, т. е. будем искать автомодельное решение. Схема явления
Рис. 14. Цилиндрическая ударная электромагнитная волна (на сходящейся волне АО поле усиливается как 1/Уй на отраженной волне ОВ — логарифмическая расходимость при всех г).Рис. 14. Цилиндрическая ударная электромагнитная волна (на сходящейся волне АО поле усиливается как 1/Уй на отраженной волне ОВ — логарифмическая расходимость при всех г).показана на рис. 14, где АО и ОВ — сходящаяся и отраженная волны, AFB — закон движения цилиндрического поршня, сжимающего поле.
Рис. 14. Цилиндрическая ударная электромагнитная волна (на сходящейся волне АО поле усиливается как 1/Уй на отраженной волне ОВ — логарифмическая расходимость при всех г).
Рис. 14. Цилиндрическая ударная электромагнитная волна (на сходящейся волне АО поле усиливается как 1/Уй на отраженной волне ОВ — логарифмическая расходимость при всех г).
1 дЕ _ дН с at — dr1 дЕ _ дН с at — dr1 дН1 дН1 8(rE)7 dr1 8(rE)7 drУравнения Максвелла для этого случая имеют вид
1 дЕ _ дН с at — dr
1 дЕ _ дН с at — dr
1 дН
1 дН
1 8(rE)
7 dr
1 8(rE)
7 dr
Здесь Н параллельно оси цилиндра, Е ——циркулярное. Исключая Н или Е из зт$х уравнений, соответственно получаем
с2 dt2 5г [_ г dr J —
И.
1 a2H1 д / дН \ п
Автомодельное решение будем искать в виде
Е =亂/子 е(т),8 = & +幽,/*h0
где т = ct/r, £ — время, отсчитанное от фокусировки, g0 и ®^0 — амплитуды фронта на радиусе г0. На фронте т = —1 и е (—1) = h (—1) = 1. Подстановка автомодельных формул в уравнение дает
2〃(1 — т2)_2те' + ^е = 0, h" (l-r2) — 2xhf— ^ = 0.
Находя решение в виде рядов по степеням 1十工 для —1 <т < 1 (между* падающей и отраженной волнами), получаем ,
1
似7吋]3
о.
Для области за отраженной водной (1 <т < оо) используем дополнительно условия конечности 豆 и А на оси при 力声 0, а также сохранения Е—Н при переходе через фронт отраженной волны. Находя решение в этой области в виде ряда по степеням 1/т, получаем
е") =е") =(2俨2(2俨2(4 也+ 1)Н(4 也+ 1)Н112^пп! (п + 1)!彳豌"'2^пп! (п + 1)!彳豌"'
е") =
е") =
(2俨2
(2俨2
(4 也+ 1)Н
(4 也+ 1)Н
1
1
2^пп! (п + 1)!彳豌"'
2^пп! (п + 1)!彳豌"'
5/冲+0瑞霜击］.
1
При т —»1 все эти ряды расходятся, т. е. на фронте отраженной волны поля неограниченно велики. Асимптотические выражения для них вблизи таковы:
4-1
е 〜k In 11 —т | + 0,17,无〜——In 11 —т |+ 1,10.
Графики зависимостей е и h от т показаны на рис. 15.
Отметим, что если цилиндрический поршень внезапно начинает рас
ширяться, а не сжиматься (т. е. порождает волну разрежения), то далее амплитуда волны ведет себя так же и вблизи фокусировки описывается тем же решением.
Таким образом, оказывается, что амплитуда отраженной волны неограниченно велика не только на оси цилиндра, но и во всех точках пространства (в разные моменты времени). Это явление было первым примером такого рода, и оно казалось параДЪксаль- ным и даже ошибочным до тех пор, пока не удалось эту задачу решить другим путем. Рассматривая цилиндрическую волну как суперпозицию плоских, Я. Б. Зельдович (1957) построил семейство автомодельных решений
Рис. 15. Автомодельное решение для сходя- для сходящихся волн, среди ко- щейся цилиндрической ударной волны поля. торых было и решение для ударной волны. Для каждой из составляющих плоских волн прохождение ：оси не обладает ни физическими, ни формальными особенностями и поэтому не следует опасаться связанной с этим возможности ошибиться. Суммирование этих волн привело
к расходимости на фронте отраженной от оси волны, т. е. подтвердило казавшийся неожиданным результат.
Заметим, что обнаруженная особенность не связана исключительно с электромагнитной природой волны, а специфична для цилиндрической формы: уравнение для Н есть просто волновое уравнение, к которому сводится также и задача о слабой ударной волне в веществе или акустической волне (именно это явление и рассматривал Я. Б. Зельдович), однако
здесь уравнения правильны лишь для малых амплитуд.
Схождение электромагнитной волны трудно воспроизвести в опыте ввиду чрезвычайных требований к точности формы порождающей ее ударной волны в проводнике, и мы остановились на ней столь подробно лишь из-за ее принципиальных особенностей, иллюстрирующих разнообразие форм неограниченной кумуляции.
§ 7. Акустические цилиндрические ударные волны
Акустические движения описываются волновым уравнением
1 @2孤获服1 @2孤获服■р А〃 = О,■р А〃 = О,
1 @2孤获服
1 @2孤获服
■р А〃 = О,
■р А〃 = О,
где и ——массовая скорость.
В твердом теле волны могут быть как продольными, так и поперечными и для каждый из них скорость звука с имеет свое значение (q или Ci).
В случае цилиндрической симметрии движения может быть три типа акустических волн: продольные (сжатия и разрежения) и два типа поперечных —осевое (〃 параллельно оси цилиндра) и азимутальные (и нормально оси). В каждом случае волны могут быть ударными. Как обычно, нас интересуют поведение таких сходящихся волн при их фокусировке и описывающее их автомодельное решение.
Выпишем волновые уравнения для всех трех типов волн. Раскрывая А〃, для продольных волн получаем
1 д^и 8「1 @(ГЕ)] _ л不 ~W ~~дг[Т ~дг~」=U
1 @2e1 d / ди \ _ 0с? 8力2г др V 5г / —1 @2e1 d / ди \ _ 0с? 8力2г др V 5г / —для поперечных осевых волн
1 @2e1 d / ди \ _ 0
с? 8力2г др V 5г / —
1 @2e1 d / ди \ _ 0
с? 8力2г др V 5г / —
и для азимутальных
В первом и третьем случаях уравнения одинаковы (различаются лишь с) и они совпадают с уравнением для электрической напряженности Е
из предыдущего п軍аграфа, второе совпадает с уравнением для магнитной напряженное™ Н. Совпадают и их автомодельные решения, поэтому их нет надобности воспроизводить. Во всех случаях амплитуда сходящейся ударной волны растет как 1/ рТи на отраженной от оси волне она остает
ся неограниченной на конечном расстоянии от оси. Поведение скорости в других точках плоскости (г,力)характеризуется величинами е (т) и /г (т), описанными в предыдущем параграфе (рис. 15).
Отметим, что. физические ограничения для амплитуды различных волн различны: по мере усиления сходящейся волны сжатия закон ее роста изменяется, отступая от акустического ), Усиление же других волн будет ограничивать прочность среды (для поперечных волн — на срез, для волн разрежения — на разрыв). Там, где напряжения превзойдут прочность, произойдет разрыв и возникнет кольцевая трещина.
§ 8. Стационарная неограниченная кумуляция
Все описанные примеры неограниченной кумуляции относятся к слу
чаям нестационарных движении, в которых расходимость плотности дости
гается в точке (сферическая кумуляция) или на линии (цилиндрическая кумуляция) лишь на один момент. Однако из следующего примера будет,
Рис. 16. Коническая ударная электромагнитная волна (на сходящейся волне поле усиливается как l/1/r； на отраженной волне—ло- гарифмиче ск ая расходимость при всех г).Рис. 16. Коническая ударная электромагнитная волна (на сходящейся волне поле усиливается как l/1/r； на отраженной волне—ло- гарифмиче ск ая расходимость при всех г).видно, что это условие необязательно и в принципе неограниченная кумуляция может быть стационарной, т. е. в какой-то точке потока плотность энергии может поддерживаться неограниченно большой все время. Пример такого явления построен автором и Б. П. Мордвиновым (1965).
Рис. 16. Коническая ударная электромагнитная волна (на сходящейся волне поле усиливается как l/1/r； на отраженной волне—ло- гарифмиче ск ая расходимость при всех г).
Рис. 16. Коническая ударная электромагнитная волна (на сходящейся волне поле усиливается как l/1/r； на отраженной волне—ло- гарифмиче ск ая расходимость при всех г).
На первый взгляд кажется, что для построения такого примера достаточно рассмотреть сходящуюся коническую ударную волну, в вершине которой можно ожидать неограниченной амплитуды. Однако этого не происходит из-за того, что усиление волны по мере приближения ее к оси сопровождается увеличением
ее скорости, в результате чего конус притупляется и вместо заостренной вершины образуется участок волны, нормальный к оси и движущийся с конечной скоростью (фазовой скоростью процесса), т. е. несущий конечное давление.
Для акустической волны, движущейся с постоянной скоростью, этого препятствия нет,
однако решение для нее вблизи оси физически противоречиво и потому неправильно: частицы движутся быстрее толкнувшей их волны и пересекают ось конуса, что противоречит свойству сплошности среды.
Эти затруднения отпадают, если обратиться к электромагнитной ударной волне, скорость которой всегда равна с и действительно не зави
сит от амплитуды.
Пусть внутри цилиндрической полости в проводнике есть продольное магнитное поле ^0, а из проводника на поверхность полости выходит
коническая сходящаяся ударная волна, толкающая поверхность внутрь, причем место выхода ударной волны перемещается со ^сверхсветовой скоростью D. К оси пойдет сходящаяся ударная электромагнитная волна. Схема этого явления показана на рис. 16. Магнитное поле имеет на этот раз две компоненты Нх и Нг, электрическое — по-прежнему только £ф. Они зависят только от г и х + /)£ и уравнения Максвелла принимают вид
-^(£ф-МНг) = 0,-^(£ф-МНг) = 0,礬+? + м*о,礬+? + м*о,关（%一М/）=*譬+牛十*=0,
-^(£ф-МНг) = 0,
-^(£ф-МНг) = 0,
礬+? + м*о,
礬+? + м*о,
где М ~ Die = 1/sin 0. Исключая £ф, получаем
(Mf 甯-鍋；#]=。，
(М2—1)*—；4■(号)"
Эти уравнения полностью совпадают с уравнениями, описывающими цилиндрическую волну (нестационарную), рассмотренную в § 6, с той только разницей, что роль Н, Е и t теперь играют Нх, НГ1 ]/М2——1 и 力/(с/М? — 1). Таким образом, одна задача свелась к другой, и мы можем воспользоваться уже найденным автомодельным решением для окрестности фокуса, переписав его применительно к обозначениям новой задачи:
Нх =瓦)+ J/ — hx (т),
瓦•=%Г///4T)，
где т = х/(г /М? — 1), HQx и HQr — компоненты амплитуды волны на радиусе Е・ Функции hr (т) и hx (т) совпадают соответственно с h (т)且 е (т) из § 6, показанными на рис. 15. (Из уравнений следует также, что % = =МЯг и НОх/НОг = - /М^-Г)
Таким образом, амплитуда волны по мере приближения к оси растет как 1/ /г и в вершине конуса действительно стационарно поддерживается неограниченная кумуляция. Напомним, что е и h расходятся при т 1, т. е. для конической волны, как и для цилиндрической, на отраженной волне неограниченная амплитуда сохраняется и на конечном расстоянии от оси и, следовательно, это свойство специфично не только для цилиндрической волны, как казалось сначала. *
Заметим, что для сверхсветовой скорости вершины конуса притупления ее не произойдет и для ударной волны в веществе, так как нормальная скорость ее не может превосходить с； в этом случае также возможна стационарная неограниченная кумуляция (это замечание принадлежит Л. И. Шибаршову),
* § 9. Кумуляция несходящейся ударной волны
Во всех рассмотренных случаях неограниченная кумуляция возникала при центростремительном движении вещества или волны поля к точке или к оси. Однако сходящийся характер движения для кумуляции оказался лишь благоприятным, но не обязательным, что стало видно из примера неограниченной кумуляции в плоской ударной волне, построенного автором (1965). Этот пример имеет принципиальный интерес (к тому же он не столь отвлечен, как случай волн поля), поэтому опишем его подробнее.
В системе чередующихся плоских слоев из легкого и тяжелого веществ рассмотрим движение волны с фронтом, параллельным слоям. Имея в виду случай неограниченного усиления ударной волны, будем считать оба вещества идеальными газами, до сжатия холодными, с у = =5/3. Если толщины тяжелых слоев между собой равны (то же для легких слоев), т. е. система лериодическая, то в ней может идти ударная волна с периодически меняющимся давлением на фронте, например, под действием равномерно движущегося поршня. (Очевидно, что периодичность установится не сразу, а лишь вдали от поршня.) Характер такого движения показан на рис. 17. Давление на фронте меняется периодически, испытывая скачки на границах слоев и в местах, где *его догоняют вторичные ударные волны — результаты отражений от границ слоев.
Рис. 17. Установившаяся ударная волна в периодической слоистой системе (р — давление на фронте волны). 、Рис. 17. Установившаяся ударная волна в периодической слоистой системе (р — давление на фронте волны). 、Рис. 18. Автомодельная слоеная система с убывающими толщинами слоев (а = 0 — предел системы).Рис. 18. Автомодельная слоеная система с убывающими толщинами слоев (а = 0 — предел системы).
Рис. 17. Установившаяся ударная волна в периодической слоистой системе (р — давление на фронте волны). 、
Рис. 17. Установившаяся ударная волна в периодической слоистой системе (р — давление на фронте волны). 、
Рис. 18. Автомодельная слоеная система с убывающими толщинами слоев (а = 0 — предел системы).
Рис. 18. Автомодельная слоеная система с убывающими толщинами слоев (а = 0 — предел системы).
Если легкие слои много легче тяжелых, то они сильно сжимаются и движе- ние^будет отчасти похоже на ряд соударений тяжелых слоев через упругие прокладки. Если каждый следующий тяжелый слой сделать тоньше пре
дыдущего (то же для легких слоев), то при ударе он может получить большую скорость, следующему слою он передаст еще большую скорость ит. д., т. е. ударная волна будет усиливаться. Это произойдет, однако, лишь в случае, если потери энергии при ударе на нагревание и остаточную кинетическую энергию слоев будут невелики, т. е. эти качественные рассуждения позволяют лишь предполагать усиление волны в некоторых случаях, доказать же его можно лишь прямым расчетом. Такие расчеты проделали А. А. Буна- тян, Л. А. Бунатян и позже В. Ф. Куропа-
тенко, но прежде, чем касаться результатов, необходимо ознакомиться с общим характером движения волны в системе с убывающими толщинами слоев.
Установив постоянное отношение толщин двух соседних тяжелых слоев и такое же отношение для легких слоев, получим систему, показанную на рис. 18. Относительные толщины всех тяжелых слоев одинаковы
曇=% = const,
для легких — 8Л = const. Край системы нахо
дится при х = 0, число слоев до него бесконечно велико; волна движется
в сторону этого края. Система автомодельна, при изменении всех ее
размеров в (1 —坛)(1 — ел) раз она совпадает с исходной.
Аналогичные автомодельные системы можно строить не только из пар слоев, но и из троек, четверок и т, д., а также из непрерывно повторяющихся профилей плотности, например, вида
р = / + 8 sin In 2
или более общего вида
р =犷(А + В sin In 吟
Периодичность давления на фронте волны в таких системах Сопровождается его общим изменением в одинаковое, число раз на каждой паре слоев (или на каждом периоде) и для соответствующих значений 力,например на правых границах тяжелых слоев, оно будет следовать степенной формуле
Р
Рис. 20. Пример поведения давления на фронте усиливающейся периодической автомодельной волны-Рис. 20. Пример поведения давления на фронте усиливающейся периодической автомодельной волны-Рис. 19. Периодическая автомодельная волна в системе с убывающими тол* щинами слоев.Рис. 19. Периодическая автомодельная волна в системе с убывающими тол* щинами слоев.
Рис. 20. Пример поведения давления на фронте усиливающейся периодической автомодельной волны-
Рис. 20. Пример поведения давления на фронте усиливающейся периодической автомодельной волны-
Рис. 19. Периодическая автомодельная волна в системе с убывающими тол* щинами слоев.
Рис. 19. Периодическая автомодельная волна в системе с убывающими тол* щинами слоев.
Для других соответствующих х (например, средин легких слоев) степень п будет та же, но число а — другим.
Характер движения в такой системе показан на рис. 19 и 20. Оно может быть автомодельным, но существенно более сложным, чем для однородной среды: распределения р (力)(а также р (力)и др,) будут подобны друг другу не для всех моментов времени, а лишь для соответствующих,— например, для моментов входов волны в тяжелые слои 左 и £2,— т. е. мы встречаемся с автомодельностью нового типа, а именно с автомодельностью периодической. Теперь для описания всего решения необходим не один профиль р (%), а все профили для целого периода, т. е. надо знать р как функцию не одной, а двух переменных на целом участке плоскости
(х, £), например, отмеченном горизонтальной штриховкой на рис. 19. Поэтому задача не сводится к функции одного аргумента и обыкновенным дифференциальным уравнениям и неизбежно
приходится искать решение уравнений в частных производных. Его можно найти численно, рассчитывая движение волны через много слоев, при котором и вырабатывается автомодельность, признаком которой служит появление повторяющихся профилей на кривой «1п р ——In 力》. Общий наклон ее даст показатель ".
В принципе не исключено появление решения с периодом, соответствующим не одному периоду системы, а двум, трем и т. д. Нетрудно указать верхний предел показателя кумуляции п. Если бы энергия от слоя к слою передавалась целиком, то плотность ее была бы обратно пропорциональна расстоянию от края х, т. е・ Е 〜р 〜Их. Таким образом, верхний предел для " в плоской волне есть единица (для неслоеной однородной системы " = 0).
Вернемся к результату расчетов. Как и следовало ожидать, лучите других оказалась система с сильным различием плотностей тяжелых и легких слоев (рт/ рл = 25). Относительные толщины слоев были выбраны &г = 0,1 и ел = 0,2. Было рассчитано движение волны через 12 пар слоев и прослежено установление периодической автомодельности. Волна действительно вышла на режим неограниченного усиления с показателем
"冬 0,23.
Таким образом, был найден пример неограниченной кумуляции при 22 Механика в СССР, том 2
одномерном движении, т. е. без симметричного схождения к центру или к оси.
Отметим, наконец, еще одно особое свойство автомодельных систем с размельчающимися слоями. Мы доказали, что. волна усиливается в некоторых системах из холодных газов. То же справедливо для сильной волны в конденсированных веществах, которые в сильной волне ведут себя как газы, но для слабой волны режим в них может быть другим. В самом деле, если слои конденсированы и могут проводить звук, то первая волна в них, если она слабая, будет и дальше ослабевать в конечное число раз на каждой паре слоев (после каждой пары отражений давление на фронте уменьшается, а вторичные волны, движущиеся .на этот раз, как и первый фронт, со скоростью звука, не догоняют его). В этом случае первая волна неограниченно затухает.
Таким образом, для системы из конденсированных слоев существует критическая сила начальной волны, волна слабее критической неограниченно затухает, сильнее ——неограниченно усиливается.
Некоторые новые задачи
В рассматриваемой области можно указать несколько новых задач, решение которых еще не получено, но может представлять интерес. Обратим внимание, что почти в каждом из описанных случаев неограниченной кумуляции обнаруживалось какое-нибудь качественно новое свойство, и нет основания думать, что этот поток новостей иссяк.
Сходящиеся ударные волны в веществе с фазовым переходом. Ударное сжатие вещества с фазовым переходом может обладать качественной особенностью: если давление выше необходимого для начала перехода.
ЛЛРис. 21. Ударное сжатие с фазовым переходом (случай двух волно во й конф игура- ции; АВ — первая, обычная ударная волна; BF — вторая ударная волна, с фазовым переходом).Рис. 21. Ударное сжатие с фазовым переходом (случай двух волно во й конф игура- ции; АВ — первая, обычная ударная волна; BF — вторая ударная волна, с фазовым переходом).Рис. 22. Сходящаяся волна в веществе с фазовым переходом (ВМ — первая волна постоянной амплитуды; BN — ударная волна фазового перехода).Рис. 22. Сходящаяся волна в веществе с фазовым переходом (ВМ — первая волна постоянной амплитуды; BN — ударная волна фазового перехода).
Л
Л
Рис. 21. Ударное сжатие с фазовым переходом (случай двух волно во й конф игура- ции; АВ — первая, обычная ударная волна; BF — вторая ударная волна, с фазовым переходом).
Рис. 21. Ударное сжатие с фазовым переходом (случай двух волно во й конф игура- ции; АВ — первая, обычная ударная волна; BF — вторая ударная волна, с фазовым переходом).
Рис. 22. Сходящаяся волна в веществе с фазовым переходом (ВМ — первая волна постоянной амплитуды; BN — ударная волна фазового перехода).
Рис. 22. Сходящаяся волна в веществе с фазовым переходом (ВМ — первая волна постоянной амплитуды; BN — ударная волна фазового перехода).
а сам переход выражен ярко (фазы сильно различаются по плотности), то вместо одной ударной волны могут образоваться две, идущие друг за другом. В первой волне происходит обычное ударное сжатие из Л в 5 (рис. 21), во второй ——сжатие с фазовым переходом из 8 в 尸.Кривая BF не служит продолжением АВ^ а является другой ударной адиабатой с исходным состоянием В.
Очевидно, что две волны будут лишь в тех случаях, когда вторая медленнее первой, т. е. BF лежит ниже луча АВ, и если фазовый переход безынерционен или путь волны много больше зоны релаксации.
Это явление впервые описали Д. Банкрофт, Э. Л. Петерсон и С. Мин- шалл (J. Appl. Phys., 1956, 27 : 3, 291——298). В состоянии В есть две скорости звука — разрежение идет быстро (соответствует крутому спуску кривой), волны сжатия ——медленно (верхняя пологая ее часть).
Если сходящаяся ударная волна в процессе усиления достигает р^， то далее она раздваивается, как показано на рис. 22. Первая волна ВМ будет иметь фиксированную амплитуду р^, что, возможно, сохранится до фокусировки, и тогда это будет первым примером фокусировки волны конечной (не расходящейся) амплитуды. Может быть, представятся разные случаи для разных характеристик фазовых переходов (например, разницы плотностей фаз) и других условий задачи.
Волна фазового перехода BN, по-видимому, перейдет в режим обычного усиления.
Несимметричная фокусировка. Во всех рассмотренных случаях фокусировка была симметричной, но, возможно, для неограниченной кумуляции это условие не обязательно. В принципе пример такого движения можно построить, начиная с произвольного «фокусировочного» состояния с достигнутой неограниченной кумуляцией и ведя расчет назад по времени. Однако найденные так начальные условия, как правило, не соответствуют реальным движениям. Например, таким образом можно получить схлопывание пузырька в несжимаемой жидкости с мгновенным распределением скоростей не типа 1/г2, а типа 1/г, что при расчете вспять приведет к утрате сплошности жидкости и появлению в ней 《пористости».
Пример несимметричной фокусировки для схлопывания пузырька или волны в сжимаемой жидкости пока не построен, но он интересен хотя бы тем, что мог бы дать представление о той несимметрии начальных условий, которая искажает фокусировку, но еще не устраняет факта неограниченной кумуляции.
Ударные электромагнитные волны в веществе. Ударные электромагнитные волны могут быть не только в вакууме, но и в веществе. Если электромагнитные «константы^ вещества 8 и р, зависят от силы поля, то скорости распространения электромагнитных сигналов разной силы различны. В результате одни волны могут догонять другие и, как в газодинамике, в волне с плавным профилем может самопроизвольно возникать разрыв, т. е. ударная электромагнитная волна.
Этот интересный физический объект и его теорию описали А. В. Гапонов и Г. И. Фрейдман (1959, I960), указавшие также, что впервые этот эффект отметил и использовал И. Г. Катаев.
Появляются сообщения о работах за границей, например, Дж. Розена (Phys. Rev., 1965, 139:2А, 539—543), рассмотревшего конкретный вид нелинейных электрических свойств.
Следует ожидать, что такая ударная волна, будучи цилиндрической и сходящейся, перед фокусировкой будет неограниченно усиливаться, т. е. факт разрывности волны, видимо, открывает принципиальную возможность ее неограниченного усиления. Физической особенностью этого предполагаемого случая кумуляции будет появление очень сильного поля внутри вещества, что может представлять интерес для разнообразных приложений.
§ И. Гипотеза о неустойчивости кумуляции
Вопрос о том, чем ограничивается кумуляция, возникает каждый раз, когда максимально полный учет физических факторов при постановке задачи все же приводит к расходимости в ее решении. Например, даже неспециалисту интересно, действительно ли при схлопывании воронки в воде от удара камня в фокусе реализуются условия «звездной материи», как иногда пишут популярные журналы. Или, реализуется ли коллапс звезды каждый раз, когда это предписано макроскопическими параметрами (масса, плотность, температура звезды), или «попытка» может быть неудачной из-за несимметрии в начале процесса и потребуется ее повторение?
В большинстве случаев есть очевидное ограничение со стороны атомизма,——например, при схлопывании пузырька жидкость перестает вести себя как сплошная среда, когда он становится по размеру сравним с атомом. Однако количественно этот предел очень далек. Так, для сантиметрового пузырька в воде при р° = 1 атм он достигает и 〜109 см/сек. Но и этот предел можно превзойти, увеличивая начальный размер пузырька или р0.
Ограничений можно было ждать со стороны диссипации, но там, где влияние ее удалось рассмотреть, этого не произошло (по крайней мере в некоторых случаях), т. е. факт неограниченной кумуляции сохранился. Это прослежено на примере влияния вязкости на схлопывание пузырька в несжимаемой жидкости (§ 3) и теплопроводности на сходящуюся ударную волну (§ 5). Таким образом, вопрос об ограничении кумуляции остается открытым. В связи с этим автором (1965) была высказана гипотеза, что всякая неограниченная кумуляция неустойчива и, более того, что неустойчивость не просто видоизменяет ее, но и устраняет вообще (из неограниченной делает ограниченной).
Это предположение не пр.отиворечит ни одному известному факту, и заманчиво было бы его доказать или опровергнуть примером. Пожалуй, опровергнуть было бы даже интереснее, если вообще уместны какие-то пожелания в адрес законов природы.
Для мотивировки (не доказательства!) гипотезы можно указать примеры разрушения кумуляции сколь угодно малыми возмущениями,
Сходящиеся волны постоянной скорости. Сюда относятся ударные электромагнитные волны в вакууме и акустические волны сжатия и сдвига; расходимость в их фокусе связана с одновременностью прихода туда фронта со всех сторон, что особенно ясно из представления сходящейся волны как суперпозиции плоских волн, использованного Я. Б. Зельдовичем (1957). Если симметрия волны нарушена, то при постоянстве ее скорости это неизбежно расстраивает фокусировку, время встречи волн из нулевого становится конечным, амплитуда не обращается в бесконечность. Таким образом, асимметрия волны в этих случаях устраняет неограниченную кумуляцию.
Схождение жидкой цилиндрической оболочки. Рассмотрим оболочку из несжимаемой жидкости, движущуюся к оси. Возмущение ——медленное вращение ее вокруг той же оси. Сначала оболочка тонкая, при схождении она утолщается, вращение ее внутренних слоев усиливается и их центробежная сила ограничивает схождение. Определим влияние возмущения на максимальную скорость, достигаемуто 田о всем процессе.
В момент остановки схождения остается только окружная скорость, распределенная как 1/г, и кинетическая энергия единицы длины
Е = яри2r2 In А，
где Е и г ——наружный и внутренний радиусы цилиндра, и ——окружная скорость на внутренней поверхности, являющаяся максимальной во всем процессе. Нетрудно вычислить, что момент количества движения
Q = тги, где т — масса единицы длины.
Из этих условий получаем формулу для максимальной скорости
При любом конечном возмущении Q величина и конечна, но она тем больше, чем меньше Q (т. е. чем больше энергии сообщено в виде вращения, тем меньше ее максимальная концентрация во всем процессе). В этом примере дополнительная степень свободы (вращение), будучи возбуждена сколь угодно слабо, постепенно отнимает всю энергию основного движения (схождения) и ограничивает кумуляцию. При разлете энергия вновь переходит к радиальному движению.
Коллапс вселенной. Известно, что решение уравнений общей теории относительности, описывающих вселенную, указывало на возможность ее коллапса. Однако Е. М. Лифшиц, И. М. Халатников и В. В. Судаков в серии статей (1960—1963) показали, что этот результат связан с предположением о первоначально симметричном строении вселенной и что при начальной несимметрии коллапса, вообще говоря, не будет； малые возмущения расстраивают картину «фокусировки» и делают кумуляцию ограниченной и в этом случае.
Сл-едует отметить, что неустойчивость коллапсов звезд менее очевидна, чем в изученных случаях более простых явлений, в которых движение к фокусу предписывается лишь начальными условиями, В случае же звезды имеется дополнительно постоянная тенденция к ее уплотнению в силу тяготения. Впрочем, рассматриваемый вопрос служит предметом специальных глубоких исследований и явно выходит за пределы компетенции автора.
Сходящиеся ударные- волны. Как упоминалось в п, 5.1, Ю. С. Вахрамеев в 1965 г. приближенным исследованием установил, что чем сильнее кумуляция, тем она неустойчивее к малым возмущениям. Это говорит в пользу гипотезы, хотя не доказывает ее даже для этих случаев, так как рост малых возмущений разрушает основной режим явления, но еще не исключает неограниченной кумуляции- в какой-то иной форме.
Таким образом, во всех исследованных случаях устойчивости не оказалось: малые возмущения растут, большие (где их удалось проследить) устраняют неограниченную кумуляцию вообще.
Примеров неограниченной кумуляции обнаружено и изучено много и число их растет,——теперь наиболее интересным вопросом в этой области стало не просто накопление фактов, но и их обобщение. Автору представляется, что наиболее интересным является вопрос об ограничении кумуляции, а именно доказательство или опровержение общности их неустойчивости.
Если это свойство общее, то и доказательство его должно быть общим, не зависящим от конкретного вида уравнений задачи (электро- или газодинамика, разные конфигурации и уравнения состояния), что может служить указанием для тех, кто пожелает заняться этой задачей.
В пользу предположения о неустойчивости говорит то, что фокусировка является состоянием исключительным, выделенным наличием особенности, и поэтому множество фокусировочных состояний, видимо, в каком-то смысле беднее множества начальных состояний. Тогда произвольное начальное состояние, вообще говоря, к фокусировке не приведет, т. е. кумуляцию действительно устраняют любые произвольные возмущения, в том числе и малые.
Это соображение интуитивно, да еще относится к области множеств, где интуиция обманывала в, казалось бы, очевидных вещах. Оно не имеет доказательной силы и высказано лишь ввиду нескрываемого желания автора «заразить» читателя этой интересной задачей.
ТЕОРИЯ ГОРЕНИЯ И ДЕТОНАЦИИ
Я. Я. ЩЕЛКИН )
Тепловой взрыв 344
Нестационарная теория Н. Н. Семенова 344
Стационарная теория теплового взрыва 348
«Адиабатический» тепловой взрыв 352
Медленное горение 355
.1. Нормальное горение газов 354
Турбулентное горение газов'. .367
Неустойчивость нормального горения 363
Термодинамическая теория детонации 373
Законы сохранения 370
Обоснование правила отбора 384
Неустойчивость плоской газовой детонации 384
5d. Неустойчивость к искривлениям зоны горения 388
Одномерная неустойчивость детонации 381
Спиновая и пульсирующая детонации 395
Детонация в шероховатых трубах 392
Распад произвольного теплового разрыва 409
Обобщенная адиабата Гюгоньо. Двойные нестационарные разрывы . .404
Высокочастотные вибрации. Ускоряющиеся пламена 414
ЮЛ. Высокочастотные вибрации 419
Ускоряющиеся пламена 415
Переход^медленного горенияв детонацию 421
Научная школа Советского Союза, занимающаяся исследованием горения и детонации газов, твердых топлив и конденсированных взрывчатых веществ, заняла, начиная с двадцатых годов нашего века, ведущее положение в мировой науке. Особенно большую роль сыграла в прогрессе физики и химии горения и взрыва школа Н. Н. Семенова, связавшая в двадцатых и тридцатых годах процессы горения и взрыва с кинетикой химических реакций.
Наука о горении испытала новый сильный взлет в сороковых и пятидесятых годах, когда она сомкнулась с аэро- и газодинамикой. Взаимодей-. ствие горения с течением газа и ударными волнами, особенно с течением газа, вызываемым самим горением, привело к пониманию многих явлений, характерных для горения в технических устройствах и существенных для техники взрывобезопасности.
В настоящее время благодаря усилиям многочисленной и очень квалифицированной группы исследователей в Советском Союзе накоплен огромный запас экспериментальных данных во всех областях науки о горении и детонации газовых и конденсированных систем. Этот запас информации уже сейчас позволяет решать сложные технические задачи, возникающие в связи с развитием новейшей техники (реактивной, ракетной), энергетики, взрывного дела, техники взрывобезопасности.
Обобщение накопленного экспериментального материала привело в Советском Союзе к созданию последовательной системы взглядов на процессы горения и взрыва. Однако не по всем вопросам теории достигнуто единодушие и не все отрасли науки о горении достигли состояния, позволяющего построить количественную математическую теорию. Такая теория, особенно применительно к горению смесевых твердых топлив, воспламенению при детонации твердых взрывчатых веществ, чувствительности этих веществ к удару и пр., находится в стадии разработки.
В этом обзоре приводятся лишь основные результаты исследований по теории горения и детонации, которые приобрели более или менее строгую количественную формулировку. Многие из них проверены на эксперименте, остальные, по мнению автора, хорошо обоснованы логически. Из теоретических исследований в обзор, из-за недостатка места, не вошли исследования воспламенения газа искрой, факелом, теория высокочастотных пульсаций в реальном жидкостном ракетном двигателе, теория высокочастотных пульсаций при горении твердых топлив и др. Не попали в него некоторые незавершенные исследования.
Тепловой взрыв
Нестационарная теория Н. Н. Семенова. Задача о тепловом взрыве была впервые решена Н. Н. Семеновым (1928) простейшим способом и представляет собой классический пример физического подхода к очень сложному явлению природы.
Горючий газ, температура которого ниже некоторого критического значения, способен находиться в нагретом состоянии, не взрываясь, сколь угодно долго. Но достаточно увеличить его температуру очень немного, лишь так, чтобы она превысила критическое значение, газ очень быстро воспламеняется. До работы Н. Н. Семенова полагали, что критическая температура (температура воспламенения) является неким внутренним свойством горючей смеси, не зависящим от аппаратурных условий. Теорию воспламенения (а также распространения пламени) строили, полагая зависимость скорости химической реакции от температуры разрывной: ниже температуры воспламенения реакция вовсе не идет, выше ——протекает очень быстро. Такого рода представления существовали, несмотря на то, что уже давно был известен закон Аррениуса, выражающий непрерывную зависимость скорости химической реакции от температуры.
Н. Н. Семенову первому удалось определить критические условия, пользуясь непрерывной зависимостью скорости реакции от температуры. Температура воспламенения в новой теории оказалась величиной, зависящей от аппаратурных условий. Критические условия возникновения взрыва приобрели очень четкий и ясный физический смысл.
Рассмотрим газ (или жидкость), способный к химической реакции и заключенный в объем V, поверхность которого S. В системе идет хими-
Рис. 1. К нестационарной теории теплового взрыва (I — кривая теплоприхода вследствие химической реакции; II — кривая теплоотвода через стенки реакционного сосуда).Рис. 1. К нестационарной теории теплового взрыва (I — кривая теплоприхода вследствие химической реакции; II — кривая теплоотвода через стенки реакционного сосуда).первой и второй производными,первой и второй производными,
Рис. 1. К нестационарной теории теплового взрыва (I — кривая теплоприхода вследствие химической реакции; II — кривая теплоотвода через стенки реакционного сосуда).
Рис. 1. К нестационарной теории теплового взрыва (I — кривая теплоприхода вследствие химической реакции; II — кривая теплоотвода через стенки реакционного сосуда).
первой и второй производными,
первой и второй производными,
ческая реакция, зависящая от температуры, согласно закону Аррениуса:
w = Ce 叫
Здесь w ——количество прореагировавшего вещества, выраженное, напри* мер, в г-молях в единицу времени на единицу массы, Е —— энергия акти* вации, Т ——температура, R ——газовая постоянная, С ——постоянная (пред экспоне нт). Исходная теория строилась для реакции нулевого порядка, поскольку в о силаменение происходит при очень малой глубине выгорания и порядок реакции мало влияет на критические условия. Обобщение теории на реакции более высоких порядков не составляет труда.
Одновременно с выделением' тепла происходит теплоотвод через стенки сосуда. В результате для изменения температуры во времени спра* ведливо уравнение (нестационарная задача)
(1-1)(1-1)附 _ CQe" RT _ а(7—7о) Sdt — риpc Р
(1-1)
(1-1)
где Q ——тепловой эффект реакции на единицу объема, р ——плотность вещества, с ——его теплоемкость на единицу массы, а ——коэффициент теплоотдачи, То ——температура на
ружной поверхности стенок сосуда.
В начальный момент второй член правой части (1.1) равен нулю (Т = То), первый член положителен, положительна и производная dTIdt. С повышением температуры второй член растет быстрее первого, производная достигает нуля, в сосуде устанавливается постоянная температура, возникает стационарный процесс, продолжающийся до тех пор, пока скорость его не начинает уменьшаться вследствие выгорания вещества. Во втором случае, когда первый член всегда остается больше второго, производная dTIdt всегда положительна, реакция непрерывно ускоряется, происходит тепловой взрыв.
Если изобразить оба члена графически как функцию температуры (рис. 1), то первый член (теплопри- ход) представляет собой кривую с
имеющими положительное значение, второй член (теплоотвод)——прямую. Прямая может пересекать кривую в двух точках. Нижняя точка пересечения соответствует устойчивому стационарному процессу. Вторая точка пересечения соответствует неустойчивому стационарному процессу: небольшое повышение температуры приводит к переходу стационарного процесса в самоускоряющийся. Если прямая не пересейает кривую, происходит прогрессивное разогревание вещества и возникает тепловой
взрыв.
Критическим условием самовоспламенения служит условие касания прямой и кривой, оно отделяет стационарные режимы от теплового взрыва. В точке касания (при критической температуре Гк) производные от обоих членов правой части (1.1) равны. В ней равны и оба члена правой части (1.1):
CQ e 一aSЬ RT% e — ，
CQ(％—To) sq 3)
pc fpc V *〈•丿
Критический разогрев (57 = 7\ ——7°) можно найти, разделив (1.3) на (1.2):
6Т = Тк — Т尸半、噜.(1.4)
В (1.4) учтено, что разогрев мал по сравнению с начальной температурой. Воспользовавшись (1.4), запишем экспоненту в (1,2) и (1,3) в виде
J^ = e R?。("譬)=ее-鳥J^ = e R?。("譬)=ее-鳥(1.5)(1.5)
J^ = e R?。("譬)=ее-鳥
J^ = e R?。("譬)=ее-鳥
(1.5)
(1.5)
Подставляя (1.5) и (1.4) в (1.3) (или (1.2)), найдем критерий теплового в о спламенения, впервые полученный Н, Н. Семеновым：
CQe V Е古t隋CQe V Е古t隋1.1.(1.6)(1.6)
CQe V Е
古t隋
CQe V Е
古t隋
1.
1.
(1.6)
(1.6)
Критерий (1.6), если отношение El{RT^) достаточно велико, растет по мере увеличения начальной температуры Т” Соответственно наиболее сильным фактором, увеличивающим возможность теплового взрыва, служит повышение начальной температуры.
Для определения величины EI{RT), начиная с которой критерий (1.6) увеличивается с повышением начальной температуры 7°, вводят обозначение х — E!{RТ) и исследуют функцию температуры, входящую в (1.6). Оказывается, что функция температуры / (化)убывает с ростом х (растет с увеличением температуры 7), если х > 2. В самом деле,
А ^е~х) = же-ж (2 - ж) < 0 при с >2.
Условие E/(R Т) > 2 всегда соблюдается в химических реакциях горения и взрыва, для которых характерна экспоненциальная зависимость скорости реакции (тепловыделения) от температуры. Показатель экспоненты, определяемый энергией активации, обычно достаточно велик. Например, при энергии активации в 30 ккал/молъ условие £7(7?7) > 2 сохраняется вплоть до начальной температуры в 7500° К. Запас этот, очевидно, очень велик.
В теории Н. Н. Семенова не рассматривался детальный механизм теплоотдачи. В изложенном виде теория без каких-либо оговорок применима к одному из предельных случаев, в котором температура распределена по сосуду равномерно, градиент температуры сосредоточен на стенке и теплоотдача определяется коэффициентом теплопроводности стенки и ее толщиной. Критические условия (1.6) зависят от свойств материала и толщины стенки сосуда. Другой.предельный случай, в котором теплоот-
дача определяется теплопроводностью реагирующего вещества, рассмотрен Д. А. Франк-Каменецким (1939) и будет описан ниже.
Тепловая теория взрыва Н. Н. Семенова неоднократно сопоставлялась с экспериментом. Одна из последних и наиболее точных ее проверок сделана Ф. И. Дубовицким, В. В. Барзыкиным и А. Г. Мержановым (I960) на примере теплового взрыва динитроксидиэтилнитрамина (дина). Равномерное распределение температуры по массе реагирующего вещества достигалось сильным перемешиванием. Осуществлялась чисто конвективная теплопередача по веществу. В работе использовались экспериментальные данные по термическому разложению дины, полученные Ф. И. Дубовицким, Ю. И. Рубцовым, В. В. Барзыкиным и Г. Б. Манели- сом (I960), согласно которым разложение протекает по реакции первого порядка со следующими константами：
45 000
翁=3,8 X Ю^Г k (1 一 叫去(1.7)
(Г] — глубина разложения).
При разложении жидких взрывчатых веществ, если оно протекает достаточно медленно, газообразные продукты реакции удаляются из реагирующего вещества и скорость тепловыделения на единицу объема, как это показали А. Г. Мержанов и Ф. И. Дубовицкий (1959), зависит от глубины разложения:'
患，(1・8)
где р, = Г——VOCT/V0 ——глубина изменений объема при полном разложении (для дины она равна 0,95).
Тепловыделение при разложении дины, если положить р, = 1 и подставить (1.7) в (1.8), происходит по закону нулевого порядка:.
_ 45 000
3,8 х 10*8Qe rt кал/(г сек).
В критической точке, когда температура Т ^Тк = Т0-\- RTyE^ экспонента, подобно (1.5), разлагается и закон тепловыделения приобретает вид
—45 О。。q = 3,8 X 10'8Qee RTq .
Определив экспериментально коэффициент теплоотдачи в условиях, близких к условиям опытов, по термическому разложению дины (он совпал с вычисленным по формуле а = 九/&, где 入 —— теплопроводность стекла,
Таблица 1
Сопоставление те пловой теории взрыва Н. Н. Семенова с экспериментом
Диаметр сосуда (заряда), см
Коэффициент теплоотдачи, кал
Отношение длины к диаметру
Масса, 0
к
RT^/E
расчет
опыт
расчет
опыт
см^град ■ сек
6,2
0,0115
259
152
152
7,95
4,9
0,012
264
154
153
8,05
3,75
0,0105
110
156
158
,8,1
3,65
0,0115
105
157
159
8,15
10
3,2
0,0135
72
160
162
8,25
9
d ——толщина стенки), Ф. И. Дубовицкий, В. В. Барзыкин и А. Г. Мержанов нашли по формуле Семенова (1.6) критическую температуру, при которой возникает взрыв в сосудах различного диаметра, и сравнили ее- с измеренной на опыте. Кроме того, они вычислили и сравнили с экспериментом критический разогрев RT^E (см. (1.4)). Результаты приведены в таблице 1, из которой видно, что экспериментальные данные хорошо совпадают с вычисленными по теории Семенова.
Стационарная теория теплового взрыва. Руководствуясь общими представлениями тепловой теории взрыва Н. Н. Семенова, Д. А. Франк- Каменецкий (1939) рассмотрел второй предельный случай, в котором теплоотдача определяется теплопроводностью (кондукцией) реагирующего вещества. В общем виде эта задача впервые была поставлена Т. А. Конто- ровой и О. М. Тодесом (1933).
В случае кондуктивного теплоотвода распределение температуры по сосуду неравномерно: у стенок она минимальна, в центре сосуда максимальна. При химической реакции, протекающей в стационарных условиях, распределение температуры сохраняется постоянным. Условия, при которых невозможно стационарное распределение температуры, эквивалентны условиям теплового взрыва. Задача и состоит в определении этих условий.
Теория Франк-Каменецкого построена с учетом трех допущений: 1) предвзрывной разогрев считается, как и в теории Семенова, малым по сравнению с температурой стенок сосуда; 2) скорость реакции зависит от температуры, тоже как в теории Семенова, по закону Аррениуса ехр [—E/(RT)], а всеми остальными зависимостями (выгорание, зависимость предэкспонента от температуры и т. п.) пренебрегают; 3) теплопроводность стенки считается бесконечно большой ——она не лимитирует теплоотдачу. Первое и второе условия справедливы при достаточно большом значении экспоненты EI{RT), что практически всегда имеет место в реакциях горения и взрыва.
Задачу теплового воспламенения с кондуктивным теплоотводом Д. А. Франк-Каменецкий решил для сферического и цилиндрического сосудов, а также для сосуда с плоскопараллельными стенками. В последнем случае задача решается точно, хотя ее практическое значение меньше значения двух первых задач.
(1-9)(1-9)Уравнение теплопроводности для сферически симметричной стационарной задачи с распределенными источниками тепла имеет вид
(1-9)
(1-9)
dr2 ' r dr —%
(г ——текущий радиус, 九 ——теплопроводность реагирующего вещества; остальные обозначения объяснены выше).
Полагая, что воспламенение происходит при небольшом повышении температуры по сравнению с температурой стенки (57 = 7 — 70 V 北)一 первое условие теории, представим скорость реакции в виде
ЕЕЕ
(1.10)(1.10)必=%-班=Се" R(Tq+6t)_ Се~ 京^决.
(1.10)
(1.10)
Вводя, кроме безразмерной переменной 0 = EbT/^RT^^ вторую безразмерную переменную — г/р, где р ——радиус сосуда, приведем уравнение (1.9) к виду
(1.11)(1.11)d20 . 2 d0 q °—+ __=_рее.
(1.11)
(1.11)
Здесь
*Е
к"?爲(1.12)
——безразмерный параметр. Далее задача состоит в отыскании того значения параметра р (критического значения), при котором уже невозможно решение уравнения (1.11), описывающего стационарный случай, с граничными условиями
患=0приЕ = о,
0 = 0при自=(•
Зная критическое значение р, отделяющее стационарные решения ют не стаци о нар ных, находят, подставляя его в (1.12), критерий возникновения теплового взрыва.
Для приближенного определения критического значения параметра р Д. А. Франк-Каменецкий воспользовался интересным приемом. Сначала, введя новые переменные
2=自/评，у=%一“(1.13)
где 0ц ——значение 0 в центре сосуда, он преобразовал (1.11) к виду, не содержащему параметров:
d%2 ' x dx 一
Рис. 2. К стационарной теории теплового взрыва (для сферического сосуда параметр § достигает максимума при 0Ц = 1,60).Рис. 2. К стационарной теории теплового взрыва (для сферического сосуда параметр § достигает максимума при 0Ц = 1,60).Затем он численно проинтегрировал (1.14) при начальных условиях 力=0 при у = у' = 0 и нашёл связь между у и х. Далее, задавая различные значения 0Ц у стенки сосуда (там 皆=0, у = % и g = 1), он по величине х, соответствующей заданному У, находил параметр 0, для которого согласно (1.13) имеем
Рис. 2. К стационарной теории теплового взрыва (для сферического сосуда параметр § достигает максимума при 0Ц = 1,60).
Рис. 2. К стационарной теории теплового взрыва (для сферического сосуда параметр § достигает максимума при 0Ц = 1,60).
р = х2е0ц.
Вычисления для разных 0Ц показали, что для сферического сосуда при 0ц — 1,60 величина 0 переходит через максимум, в котором она равна 3,32 (рис. 2). Следовательно, •стационарное распределение температуры в реагирующей смеси, помещенной в сферический сосуд,
возможно лишь при р, не превышающем 3,32. При более высоких значениях параметра р стационарных решений уравнения (1.11) н^ существует. Условие теплового взрыва в сферическом сосуде при кондуктивной теплоотдаче, следовательно, записывается, согласно (1.12), в виде
♦ Е
%2爲〔丽= 3,32.(1.15)
Максимальный предвзрывной разогрев в сферическом сосуде определяется значением 0, при котором р переходит через максимум:
% =爲留=1,60,
илиилиMuTh-MmISO 誓.MuTh-MmISO 誓.(1-16)(1-16)
или
или
MuTh-MmISO 誓.
MuTh-MmISO 誓.
(1-16)
(1-16)
Для цилиндрического сосуда бесконечной длины задача решается точно так же, как и для сферического. Максимальная величина параметра р в этом случае равна 2 при значении 0Ц на оси сосуда 1,37. Соответственно условие теплового взрыва в цилиндрическом сосуде бесконечной длины имеет вид
CQ 2 ЕТ"Р ~Rfl еCQ 2 ЕТ"Р ~Rfl е皿=2.皿=2.(1-17)(1-17)
CQ 2 Е
Т"Р ~Rfl е
CQ 2 Е
Т"Р ~Rfl е
皿=2.
皿=2.
(1-17)
(1-17)
Максимальный резогрев на оси сосуда составляет
67 = 7口一北=1,37 登.67 = 7口一北=1,37 登.(1.18)(1.18)
67 = 7口一北=1,37 登.
67 = 7口一北=1,37 登.
(1.18)
(1.18)
Для плоскопараллельного сосуда задача решается аналитически (уравнение теплопроводности интегрируется в квадратурах). Вычисление параметра р приводит к критическому значению 0,88. Соответственно критерий теплового взрыва имеет вид
(1.19)(1.20)(1.19)(1.20)筝 Р?鳥 е「а = 0,88, а максимальный разогрев
(1.19)
(1.20)
(1.19)
(1.20)
»Т2
Впоследствии аналитически была решена задача и для цилиндрического сосуда. Критерий взрыва точно совпал с (1.17).
Д. А. Франк-Каменецкий сравнивает критерии теплового воспламенения (1.15), (1.17) и (1.19) с «критерием Семенова (1.6):
К такому же виду приводятся критерии Франка-Каменецкого, если в них ввести эффективную теплоотдачу, равную
для сферического сосуда
%由= 6,0^,(1.21)
для цилиндрического сосуда
аэф=5,4|(1.22)
и для плоскопараллельного
а》巾= 4,8^.(1-23)
Вид критерия для кондуктивной теплоотдачи совпадает, с точностью до численных множителей, с видом критерия для чисто конвективной теплоотдачи. Это позволяет стационарную теорию Франк-Каменецкого применять к нестационарным задачам, для которых получен критерий Семенова.
Теория теплового взрыва с кондуктивной теплоотдачей сравнивалась с экспериментом в нескольких случаях. Воспользовавшись данными Райса и Аллена (1935) по кинетике распада азометана, Д. А. Франк-Каменецкий вычислил температуру воспламенения для этой реакции при различных давлениях. Исходными для расчета были следующие данные: тепловой эффект реакции Q = 43 000 кал/молъ, энергия активации Е = 51 200 кал/молъ, теплоемкость при постоянном объеме с^ = =25,7 кал!(град • моль), коэффициент теплопроводности паров азометана 九=10~4 кал/(град• сек •«).
Распад азометана происходит по реакции первого порядка, скорость реакции (см. (1.10)), следовательно, пропорциональна концентрации азометана а:
Е _ 51 200— 1,5 X 1015е 区丁 а.
Концентрация в молях на 1 с№ равна а = р/(ЕТ). Выражая давление в мм. рт. ст., а Е —в см• атм/(град• моль), получим формулу для скоро
сти реакции, содержащую давление:
51 200■
х 1；б1 х Ю-5^-.
В критическое условие (1.15), таким образом, вводится давление азометана. Чем выше давление, тем должна быть ниже температура воспламенения. При расчете температуры воспламенения пренебрегали выгоранием
Давление,
Температура Т, °К
мм pm. ст.
расчет
эксперимент
191
614
102
620
67
55
38
31
28
22,5
18
Таблица 2Таблица 2Температура воспламенения при различных давлениях в сферическом сосуде радиуса 3,6 елеТемпература воспламенения при различных давлениях в сферическом сосуде радиуса 3,6 елеазометана в течение периода индукции. Вычисленные и измеренные температуры воспламенения при различных давлениях в сферическом сосуде радиуса 3,6 см приведены в таблице 2.
Таблица 2
Таблица 2
Температура воспламенения при различных давлениях в сферическом сосуде радиуса 3,6 еле
Температура воспламенения при различных давлениях в сферическом сосуде радиуса 3,6 еле
Расчеты, как видно из таблицы 2, хорошо совпадают с опытом. Совпадение между вычисленными и измеренными температурами воспламенения при различных давлениях получилось и для реакции распада метилнитрата (2GH3ONO2-GH3OH + GH2O + 2NO2), идущей тоже по первому порядку. Расчеты для реакции окисления сероводорода (2H2S + 3O2 = 2Н2О + 2SO2), протекающей по второму порядку, также совпали с экспериментальными данными.
Распад закиси азота (2N?O = 2N? + О2) происходит с небольшим тепловым эффектом (Q = 19 500 кал/моль), и в этой реакции не наблюдали теплового воспламенения. Согласно теории (критерий (1.15) или (1.17)) при малом тепловом эффекте реакции тепловой взрыв должен происходить при более высоких температурах, чем в реакциях с большим тепловым эффектом. Д. А. Франк-Каменецкий, пользуясь литературными данными, предвычислил для определенных условий опыта температуры воспламе
нения в реакции распада закиси азота при нескольких давлениях. Я. Б. Зельдович и В. И. Яковлев (1938) экспериментально проверили предсказания Франк-Каменецкого, оказавшиеся, как это видно из таблицы 3, очень точными.
Экспериментальная проверка тепловой теории взрыва производиласьЭкспериментальная проверка тепловой теории взрыва производиласьи на примере других реакций. Ви на примере других реакций. Вбольшинстве случаев наблюдалось хоро-большинстве случаев наблюдалось хоро-Таблица 3Таблица 3Температура воспламененияпри распаде закиси азотаТемпература воспламененияпри распаде закиси азотаДавление, мм pm. ст.Температура То, °Красчетэксперимент170125512853301175119559011101100Давление, мм pm. ст.Температура То, °Красчетэксперимент170125512853301175119559011101100терного времени теплоотдачи t = d2/x, где d —— характерныйтерного времени теплоотдачи t = d2/x, где d —— характерныйшее совпадение с опытом. Расхождение между теорией и опытом объяснялось или неточными кинетическими данными, или тем, что в опытах теплоотвод не был чисто кондуктивным.Теперь следует остановиться еще на одном направлении в исследовании теории теплового воспламенения, начало которому положил О. М. Тодес (1933).1.3. «Адиабатический» тепловой взрыв. Если характерное время реакции (например, время увеличения ее в е раз) значительно меньше харак- (для кондуктивной теплоотдачи ——это размер сосуда, % ——температуропроводшее совпадение с опытом. Расхождение между теорией и опытом объяснялось или неточными кинетическими данными, или тем, что в опытах теплоотвод не был чисто кондуктивным.Теперь следует остановиться еще на одном направлении в исследовании теории теплового воспламенения, начало которому положил О. М. Тодес (1933).1.3. «Адиабатический» тепловой взрыв. Если характерное время реакции (например, время увеличения ее в е раз) значительно меньше харак- (для кондуктивной теплоотдачи ——это размер сосуда, % ——температуропроводность), то теплоотводом допустимо пренебречь по сравнению с теплопри- ходом. Такой случай может осуществиться при большой начальной скорости реакции, например, при высокой температуре, далеко в глубине области воспламенения вещества. Рассматривать реакцию нулевого порядка, как это делалось выше ((1-1) и (1.10)), в этом случае не имеет особого интереса. Для такой реакции всегда будет наблюдаться тепловойность), то теплоотводом допустимо пренебречь по сравнению с теплопри- ходом. Такой случай может осуществиться при большой начальной скорости реакции, например, при высокой температуре, далеко в глубине области воспламенения вещества. Рассматривать реакцию нулевого порядка, как это делалось выше ((1-1) и (1.10)), в этом случае не имеет особого интереса. Для такой реакции всегда будет наблюдаться тепловой
Экспериментальная проверка тепловой теории взрыва производилась
Экспериментальная проверка тепловой теории взрыва производилась
и на примере других реакций. В
и на примере других реакций. В
большинстве случаев наблюдалось хоро-
большинстве случаев наблюдалось хоро-
Таблица 3
Таблица 3
Температура воспламененияпри распаде закиси азота
Температура воспламененияпри распаде закиси азота
Давление, мм pm. ст.
Температура То, °К
расчет
эксперимент
170
1255
1285
330
1175
1195
590
1110
1100
Давление, мм pm. ст.
Температура То, °К
расчет
эксперимент
170
1255
1285
330
1175
1195
590
1110
1100
терного времени теплоотдачи t = d2/x, где d —— характерный
терного времени теплоотдачи t = d2/x, где d —— характерный
шее совпадение с опытом. Расхождение между теорией и опытом объяснялось или неточными кинетическими данными, или тем, что в опытах теплоотвод не был чисто кондуктивным.
Теперь следует остановиться еще на одном направлении в исследовании теории теплового воспламенения, начало которому положил О. М. Тодес (1933).
1.3. «Адиабатический» тепловой взрыв. Если характерное время реакции (например, время увеличения ее в е раз) значительно меньше харак- (для кондуктивной теплоотдачи ——это размер сосуда, % ——температуропровод
шее совпадение с опытом. Расхождение между теорией и опытом объяснялось или неточными кинетическими данными, или тем, что в опытах теплоотвод не был чисто кондуктивным.
Теперь следует остановиться еще на одном направлении в исследовании теории теплового воспламенения, начало которому положил О. М. Тодес (1933).
1.3. «Адиабатический» тепловой взрыв. Если характерное время реакции (например, время увеличения ее в е раз) значительно меньше харак- (для кондуктивной теплоотдачи ——это размер сосуда, % ——температуропровод
ность), то теплоотводом допустимо пренебречь по сравнению с теплопри- ходом. Такой случай может осуществиться при большой начальной скорости реакции, например, при высокой температуре, далеко в глубине области воспламенения вещества. Рассматривать реакцию нулевого порядка, как это делалось выше ((1-1) и (1.10)), в этом случае не имеет особого интереса. Для такой реакции всегда будет наблюдаться тепловой
ность), то теплоотводом допустимо пренебречь по сравнению с теплопри- ходом. Такой случай может осуществиться при большой начальной скорости реакции, например, при высокой температуре, далеко в глубине области воспламенения вещества. Рассматривать реакцию нулевого порядка, как это делалось выше ((1-1) и (1.10)), в этом случае не имеет особого интереса. Для такой реакции всегда будет наблюдаться тепловой
взрыв, поскольку ее скорость не зависит от концентрации исходного вещества. Скорость реакции будет непрерывно увеличиваться, пока не прореагирует все вещество. Иной результат может получиться для реакции первого и второго порядка. Скорость этих реакций, возрастающая с увеличением темцературы, уменьшается по мере выгорания вещества. Здесь могут наблюдаться различные случаи. Если зависимость от температуры слабая, то по мере выгорания скорость реакции может уменьшаться и теплового взрыва не произойдет. Возникновение теплового взрыва в подобного рода условиях исследовал О. М. Тодес (1933).
Уравнение скорости химической реакции, протекающей по второму порядку, и уравнение теплоприхода имеют для адиабатического взрыва вид
瓷=0%-5^(a一*,(1.24)
号=Q^,(1・25)
при начальных условиях " (0) = 0, 7 (0) = Т& Здесь п ——число молей вновь образующегося вещества в единице объема, а ——начальная концен-' трация исходного вещества, с ——теплоемкость, Q ——тепловой эффект реакции на моль.
Интегрирование (1.25) дает
7 = ?。+与.(1-26)
Подставляя (1.26) в (1.24), получим
黑= С〃(а — *е 皿+女^.(1.27)
В (1.27) первый множитель (а ——п)2 по мере протекания реакции уменьшается, второй множитель (экспонента) растет. В зависимости от преобладания того или другого множителя скорость реакции будет или спадать со временем или возрастать. Во втором случае будет иметь место адиабатический взрыв.
Для решения уравнения (1.27) ввиду сравнительной сложности выкладок переходят к безразмерным обозначениям
z =爵，t == C〃窈，a =病，g淡•(1.28)
Тогда (1.27) принимает вид
宾= (E — z)2〕帀，(1.29)
Интегрируя (1.29), получим
(1.30)
о
Этот интеграл приводится к интегральному логарифму：
t =乔'eb{[^_Ei(“] —[普一Ei(叨} ,(1.31)
где
У2 =У2 =а(А z)M»(l；z)，а(А z)M»(l；z)，Ei ⑺=)mEi ⑺=)m
У2 =
У2 =
а(А z)
M»(l；z)，
а(А z)
M»(l；z)，
Ei ⑺=)m
Ei ⑺=)m
По формуле (1.31) вычисляют, задавая различные значения переменной z, изменяющейся от 0 до 自，безразмерное время, соответствующее задаваемым величинам безразмерной глубины превращения z. Пользуясь формулой (1.29), тоже по задаваемой величине z, вычисляют скорость реакции, которая соответствует времени т, найденному по тому же значению z. Задача определения скорости реакции для различных моментов времени и характера изменения скорости реакции в зависимости от времени решается, таким образом, полно. •
Для исследования кривой «скорость реакции— время» продифференцируем (Д .29) по безразмерному времени. Полагая dztdx = W, получим
ЛГ^_42z2_
dr dz dr dz (14-2)2 i n \1j \/
Помня, что для z справедливо неравенство
0昊У,
найдем условие существования максимума на кривой «скорость реакции —— время»: он существует, если > 2.
Когда а冒 V 2, скорость реакции плавно уменьшается со временем. Воспламенение, как указал О. М. Тодес, приобретает взрывной характер, если на крииой появляются два перегиба, указывающих на резкое возрастание скорости реакции в какой-то момент процесса.•
Исследование производной выражения (1.32) по т (второй производной (1. 9) по времени) приводит к следующему критерию возникновения 23 Механика в СССР, том 2
взрыва:взрыва:
взрыва:
взрыва:
(1.33)(1.33)戸2a + l/a2 + a
(1.33)
(1.33)
д》a值二0—
переходящему для случая, когда а велико по сравнению с единицей, в
(1.34)(1.34)戏>3,
(1.34)
(1.34)
или
aQ ЕaQ ЕсТ。RTqсТ。RTq>3.>3.
aQ Е
aQ Е
сТ。RTq
сТ。RTq
>3.
>3.
Адиабатический мономолекулярный взрыв, для которого
(1.35)
происходит (на кривой «скорость реакции ——время» появляются перегибы) согласно вычислениям О. М. Тодеса при условии
啟 >1,7.(1.36)
Максимум на кривой «скорость реакции — время» появляются для такой реакции, когда
秋>1.(1.37)
Критерии (1.34) и (1.36) выполняются практически всегда. Это видно после подстановки в них значений 自 и а. Взрыв может выродиться в реакцию, скорость которой более или менее плавно уменьшается со временем, лишь в некоторых очень специфических случаях. Например, в смеси с весьма малым или слишком большим содержанием горючей компоненты, когда она очень быстро приводится к исключительно высокой начальной температуре. Экспериментально вырождение адиабатического взрыва, например, при понижении начальной температуры до некоторой критической или при небольшом изменении состава горючей смеси в реакцию, протекающую плавно, без точек перегиба на кривой «скорость — время», или непрерывно уменьшающуюся во времени, пока не наблюдалось. Положение осложняется еще и тем, что при плавном уменьшении скорости реакции она протекает сравнительно медленно и процесс может оказаться неадиабатическим, станет недопустимым пренебрежение теплоотводом. Тем не менее теоретическое исследование адиабатического взрыва имеет существенное значение для углубления представлений о тепловом взрыве.
Рассмотренные выше три случая теплового взрыва не исчерпывают, разумеется, все возможные случаи. В описанных теориях рассматривалась относительно простая химическая кинетика, не учитывающая выгорание и каталитические эффекты. Температура стенок сосуда, в котором происходит самовоспламенение, считалась постоянной. В дальнейшем теория теплового взрыва, в которой принимались во внимание эффекты, не учитываемые в изложенных выше теориях, разрабатывалась в Советском Союзе на основе исходных идей Н. Н. Семенова, а также Д. А. Франк-Каменецкого и О. М. Тодеса, Ф. И. Дубовицким, А. Г. Мержановым, О. М. Тодесом и их сотрудниками. Кинетика разложения конденсированных взрывчатых веществ исследовалась А. И. Сербиновым (1959).
Химическая реакция в определенных условиях протекает по цепному механизму. Активные центры, ведущие цепную реакцию, рождаются
обычно в объеме реагирующего вещества. Гибнут они как на поверхности реакционного сосуда, так и в объеме, например, вступив в реакцию. Если скорость рождения активных центров превышает скорость их гибели, возникает цепной взрыв. Теория цепного взрыва разработана Н. Н. Семеновым (1930), описание ее выходит за рамки настоящего обзора.
Медленное горение
2Л, Нормальное горение газов. Нормальным, или фундаментальным, горением называют, следуя В. А. Михельсону (Уч. зап. Моск, ун-та, отд. физ.-мат., 1890, № 10), плоское пламя, распространяющееся в спокойном газе или ламинарном потоке при помощи теплопроводности, нагревающей несгоревший газ, и диффузии, поставляющей в него химически активные частицы из горящего слоя. Скорость распространения нормального горения в заранее приготовленной однородной горючей смеси (эту скорость называют также нормальной скоростью пламени) определяется как величиной коэффициентов температуропроводности и диффузии, так и скоростью химической реакции.
Соображения размерности позволяют четко представить явления, лежащие в основе распространения горения с нормальной скоростью.
Время т химической реакции из анализа размерности равно времени t, необходимому для одного столкновения между молекулами, умноженному на среднее число " соударений, приходящееся на один акт химической реакции: т =力".Число ", как это очевидно, обратно пропорционально вероятности химической реакции. Принимая время между соударениями равным отношению длины свободного пробега Z к средней скорости молекул с (эта величина близка к скорости звука), найдем для времени химической реакции
т~п.(2.1)
Ширина зоны химической реакции по порядку величины равна произведению времени химической реакции на скорость пламени:
九=Зн = % ? wH.(2.2)
Вместе с тем ширина зоны химической реакции составляет, тоже из анализа размерности, некую долю общей ширины прогретой области перед фронтом пламени, распространяющимся со скоростью ин:
.(2-3)
Здесь x/uh ——ширина прогретой области (х ——коэффициент температуропроводности), а В V 1.
Соотношение (2.3) получают также из решения уравнения теплопроводности для стационарного случая.
Фронт горения совмещают с плоскостью у — z так, чтобы несгоревший газ втекал во фронт со скоростью v = | ин |. Уравнение теплопроводности для этого случая имеет вид
Его решение при граничных условиях
Т = Т^ при 2=0； Т = Tq при 2 = + 8
(71 — температура горения, 7° — начальная температура несгорающего газа) с учетом того, что р = | ин |, имеет вид
Отсюда видно, что температура перед фронтом горения понижается в е раз на расстоянии 九=%/%• Эту величину принимают за зону прогрева газа. Зона горения составляет некую долю 0 от зоны прогрева и, следовательно, определяется формулой (2.3).
Сопоставляя (2.2) и (2.3) и вспоминая, что коэффициент температуропроводности % = 1/з%с, получим для нормальной скорости пламени соотношение
где ф < 1.
Нормальная скорость пламени, как это видно из (2.4), пропорциональна скорости звука, но значительно меньше ее, поскольку число столкновений п, необходимое для одного акта химической реакции, обычно составляет величину порядка 104—105.
При помощи (2.4) и (2.2) находят ширину зоны химической реакции — ширину фронта пламени:
九=(р，"2.(2.5)
Она пропорциональна длине свободного пробега, но во много раз больше ее.
Теория распространения нормального горения, теперь уже общепринятая, принадлежит Я. Б. Зельдовичу и Д. А. Франк-Каменецкому (1938).
Уравнение теплопроводности для одномерной нестационарной задачи распространения реакции горения записывается в виде
дт , ат а …/о
еpр而十 Сpр"石毎+歹・(26)
Здесь Ср — теплоемкость, р — плотность, | и | — скорость пламени,刀一 коэффициент теплопроводности, F — количество тепла, выделяющееся вследствие химической реакции в единицу времени в единице объема газа.
При горении изменяются концентрации исходных веществ и продуктов горения. Исходные вещества диффундируют в зону пламени, продукты сгорания ——из зоны горения в исходный таз. Скорость химической реакции и, следовательно, скорость тепловыделения зависят от концентрации исходных продуктов и продуктов горения. Поэтому совместно с уравнением (2.6), строго говоря, должны решаться и уравнения диффузии (хотя бы без учета термодиффузии) для каждого из веществ, участвующих в химическом превращении:
察+ 备0彦+机，(2.7)
где а» —— концентрация }й компоненты, Mi —— количество i-ro газа, выделяющееся (поглощающееся) вследствие химической реакции в единице объема за единицу времени..
3 Нетрудно видеть, что если для каждой компоненты
то уравнения (2.6) и (2.7) тождественны. При этом поле температур совпадает с полем концентраций:
(2.9)(2.9)T一Tq ― a - aо _ 6 —方 0?1 一 Tо a1-a0 6丄一&o
(2.9)
(2.9)
(а° и &0 ——концентрации исходных веществ, 7° ——начальная температура, 。1，瓦，Тг — конечные концентрации и температура, а, &, Т — текущие значения тех же величин).
В этом легко убедиться, вводя в уравнения (2.6) и (2.7) новые переменные
00Т—ТоТ—То
0
0
Т—То
Т—То
Тогда дифференциальные уравнения и граничные условия в задачах о теплопроводности и диффузии полностью совпадают и задача сводится к решению одного уравнения теплопроводности (2.6). Условием законности такого упрощения, как говорилось, является равенство коэффициента температуропроводности смеси во* всем интервале температур коэффициентам диффузии каждой из компонент, участвующих в реакции (2.8). Эта задача называется задачей о тепловом распространении пламени.
Рассматривая лишь недостающую компоненту, определяющую тепловыделение, и умножая обе стороны (2.9) на ср, условие подобия (2.9) можно переписать в виде
叩(7 — ?о) = ср С。(а0 — а).
Но ср(7\ ——T^laQ = Q есть тепловой эффект реакции, приходящийся на единицу концентрации недостающего вещества. Поэтому ср (7 ——7°) + + Qa = Qoq. Первый член левой части этого равенства —— количество тепла, -выделившееся в результате реакции в некоей промежуточной ее стадии (при температуре 7); второй член — количество неизрасходованной химической энергии. Следовательно, подобие поля температуры полю концентрации эквивалентно условию сохранения в зоне горения суммы физического тепла и химической энергии. Свойства смеси в зоне горения изменяются, как при адиабатическом протекании реакции. Однако эта особенность исчезает, как только нарушается подобие поля температуры полю концентраций (коэффициент температуропроводности перестает быть равным коэффициенту диффузии). При этом возникают новые явления, например диффузионная неустойчивость фронта нормального горения.
Уравнение (2.6) нелинейно, поскольку член F (теплоприход) обычно зависит от температуры экспоненциально. Более того, уравнение (2.6) формально не имеет стационарного решения, поскольку (тоже формально) скорость химической реакции нигде в пространстве не обращается в нуль.
Авторы теории теплового распространения пламени, в отличие от своих предшественников в этой области науки, пошли на физически ясные упрощения, не потеряв при этом главных черт химического процесса. Вместо обычной линеаризации уравнения (2.6) они, рассматривая стационарную задачу dT/dt = 0, обратили внимание на то, что зона реакции в пламени очень узка. Реакция благодаря экспоненциальной зависимости от температуры проходит при температуре, близкой к температуре горения. Поэтому масса газа в зоне реакций мала по сравнению
с массой газа, прогреваемой теплопроводностью. Это соображение позволило пренебречь членом c^udTjdx в зоне реакции, и уравнение (2.6) чрезвычайно упростилось:
4^ + ^ = °-(2」。)
Уравнение (2.10) с помощью подстановки у = dT/dx легко интегрируется в квадратурах, если предположить, что теплопроводность не зависит от температуры:.
Учитывая граничное условие (поток тепла при температуре горения равен нулю)
黑=0 при ? =
определим пределы интегрирования в выражении под корнем:
тт
т
т
Но, поскольку реакция идет только вблизи температуры горения, вклад в тепловыделение реакции при температурах, заметно меньших температуры горения, невелик и интегрирование можно вести от начальной температуры 7°:
(2」1)
Го
Полный поток тепла из зоны горения составляет ——т] dT/dx и в то же время upQ (здесь Q — тепловой эффект реакции сгорания на единицу массы смеси). Поэтому запишем (2.11) в виде
幽.幽.ТоТо11откуда найдем нормальную скорость пламени
幽.
幽.
То
То
1
1
(2.12)
Я. Б. Зельдович и Д. А. Франк-Каменецкий рассмотрели различные случаи протекания химической реакции в пламени. Если реакция имеет нулевой порядок, т. е. ее скорость не зависит от концентрации реагирующего вещества а, то daldt =——С ехр [——_Е7(Е7)]; здесь Е ——энергия активации, С ——предэкспонент и формула для скорости пламени в результате приближенного интегрирования в (2.12) приобретает вид
(2.13)(2.13)и- 2rle "t -急
(2.13)
(2.13)
U~ У QPo^o E '■
При выводе формулы (2.13) вводится новая переменная 9 = 7\ ——Т <^Т0 и предполагается, что реакция начинается от температуры воспламенения Тъ,
близкой к 7\. Тогда
ЕЕ % Е Ас ЕЕ А
j 6~成成=J e一就齐而(й=e-帀J e~^ dO =今^ e一行a一J鸣Ь).
Q■
Полагая, что Qb = T^ ——Ть имеет тот же порядок, что и Е彗/Е (или несколько более высокий), пренебрежем членом ехр [—笈9〃(匕勿；)]・ В результате
I е RTdT = ~^~e 区九・ о
Подставляя это выражение в (2.12) и учитывая константу скорости реакции С, получим (2.13). Для реакции первого порядка
da dtda dtС'е』аС'е』а
da dt
da dt
С'е』а
С'е』а
и формула для скорости пламени имеет вид
м =м =2忙2忙(А —7°) I Е(А —7°) I ЕRTI \2 -Т еRTI \2 -Т еЕйт1фЕйт1ф(2-14)(2-14)
м =
м =
2忙
2忙
(А —7°) I Е
(А —7°) I Е
RTI \2 -
Т е
RTI \2 -
Т е
Ейт1ф
Ейт1ф
(2-14)
(2-14)
Для реакции второго порядка
При выводе формул (2.14) и (2.15) под интеграл в (2.12) подставляются соответственные выражения для скорости реакции. Интегрирование (2.12) производится с учетом того, что поле концентраций подобно полю температуры (2.9). Это позволяет в выражениях для скорости реакции перейти от концентраций к температурам.
Во всех случаях (2.13) —— (2.15) тепловой эффект реакции находится под корнем в знаменателе. Но из этого вовсе не следует, что скорость пламени уменьшается с увеличением теплового эффекта. Максимальная температура в зоне горения 7\ увеличивается с ростом теплового эффекта. Тепловой эффект в скрытом виде находится в показателе экспоненциальной функции, стоящей в числителе. В результате всегда с увеличением теплового эффекта реакции нормальная скорость пламени увеличивается.
Максимальная температура пламени достигается при заданной начальной температуре и давлении, когда состав смеси близок к стехиометрическому (при коэффициенте избытка воздуха, близком к 0,8—0,9). Этому составу соответствует и максимальная нормальная скорость пламени. Обогащение и обеднение смеси горючей компонентой понижает температуру пламени и в соответствии с теорией нормального горения сильно уменьшает нормальную скорость пламени.
Нормальная скорость пламени, как это видно из (2.13) —— (2.15), при заданной концентрации горючей компоненты (точнее, недостающей компоненты) зависит от начального давления газа согласно закону
1
W〜卩2 (2.16)
("——порядок реакции). Пользуясь этим соотношением, можно, если нет лучшего способа, оценить суммарный порядок химической реакции при температуре, близкой к температуре горения. При этом надо иметкв виду, что соотношение (2.16) перестает быть справедливым в случае сильной диссоциации продуктов горения. В этом случае с повышением давления диссоциация уменьшается, температура горения растет и зависимость скорости пламени от давления оказывается более сильной, чем это следует из (2.16).
Количественную зависимость нормальной скорости от начальной температуры газа предсказать трудно, поскольку от начальной температуры зависит температура горения. Ясно только, что с повышением начальной температуры нормальная скорость увеличивается. Обычно пользуются экспериментальными зависимостями, наиболее общепринятая из которых принадлежит А. Пассауеру (ин 〜7^).
Теория теплового нормального распространения пламени сравнивалась с экспериментом в нескольких случаях. Первое сопоставление теории с опытом принадлежит А. Ф. Беляеву (1940), воспользовавшемуся для этого как своими опытными данными, так и результатами измерений А. Я. Апина и К. К. Андреева. Еще раньше (1938) А. Ф. Беляев показал, что горение легко кипящих взрывчатых веществ происходит в газовой фазе.. Типичным в этом отношении является нитрогликоль, полное разложение которого происходит по формуле
02H4(ONO2)2 = 2(О2 + 2Н2О + № + 1600 кал/г.
Однако при горении в газовой фазе над мениском жидкого нитрогликоля разложение оказывается неполным и протекает приблизительно по уравнению
C2H4(ONO2)2 = 2NO + 1,7GO + 1,7Н2О + 0,ЗН2 + 460 кал/г.
Эта стадия осуществляется во фронте нормального пламени, непосредственно вблизи жидкой фазы, отделенном от нее темной зоной. Догорание продуктов неполного разложения происходит позже, спустя значительное время после их образования в нормальном пламени.
Сделав несколько разумных предположений, А. Ф. Беляев вычислил по теории теплового распространения, пользуясь значением нормальной скорости, взятым из эксперимента,- энергию активации реакции разложения нитрогликоля, оказавшуюся равной 35 000 кал/моль. Эта величина совпала с цифрой, найденной А. Я. Апиным с помощью кинетического метода. Однако А. Я. Апин работал при значительно более низких температур ах, чем температура сгорания, при которой идет реакция в пламени, и совпадение могло оказаться случайным. Поэтому А. Ф. Беляев непосредственно определил энергию активации реакции разложения нитрогликоля при температуре, близкой к температуре горения. Для этого он воспользовался значениями скорости пламени при различной начальной температуре, от которой зависит температура горения. Энергия активации оказалась равной 36 000—37 000 кал!моль. Теория с точностью до сделанных при ее проверке предположений хорошо совпала с экспериментом.
Одна из последних по времени проверок теории сделана на интересном в техническом отношении веществе Р. Марреем и А. Холлом (Trans. Faraday Soc., 1951, 47 : 7, 743——751), которые вычислили нормальную скорость распространения пламени при разложении гидразина N?甘&, воспользовавшись мономолекулярным законом с константой
60 000
С-4х 1012е —~丄сек '
полученной М. Шварцем (1949) для интервала температур 620—780° С и давления в несколько миллиметров ртути. Вычисления дали величину 111 см]сек. Измеренная ими же скорость оказалась равной 200 см]сек* Согласие можно считать удовлетворительным, если учесть, что измерение кинетики химической реакции проводилось при температуре, значительно меньшей температуры, при которой она идет в пламени.
Теория теплового распространения пламени усовершенствовалась. Н. Н. Семеновым (1940), Я. Б. Зельдовичем и Н. Н. Семеновым (1940) и Я. Б. Зельдовичем (1948). Учитывалось неравенство коэффициента диффузии и коэффициента температуропроводности, вносились поправки на изменение числа молекул в результате химической реакции. Однако основная физическая картина явления в этих работах сохранялась той же, какой она была принята первоначально.
Эти работы вызвали большое количество теоретических исследований, уточняющих различные стороны процесса теплового, а также диффузионного и цепного распространения пламени. Подробный разбор и оценку этих исследований можно найти у Д. А. Франк-Каменецкого (1967), там же содержится подробная библиография по вопросам теории распространения пламени. Однако, рассматривая все работы по теории распространения пламени, следует учесть, что измерить скорость пламени значительно легче, чем найти исходные физические (теплопроводность, коэффициент диффузии) и реакционно-кинетические (энергия активации, порядок реакции и т. п.) данные, необходимые для вычисления скорости пламени. Наибольшую ценность поэтому представляют те работы, которые- позволяют ясно описать физическую картину распространения горения.
Существует несколько методов экспериментального определения нормальной скорости пламени： в бунзеновской горелке, в мыльном пузыре, в бомбе постоянного объема, в трубе при равномерном распространении горения в ней. Л. Н. Хитрин тщательно сравнил их и определил точность, а также границы применения каждого из них (ссылки см. в книгв Л. Н. Хитрина «Физика горения и взрыва», 1957).
Для ознакомления с порядком величин значения максимальнойс нормальной скорости пламени в некоторых газовых смесях приведены в таблице 4.
Нормальная скорость пламени, как это видно из теории, а также- из измерений различными методами, является одной из главных физикохимических констант горючей газовой смеси.
Фронт нормального горения представляет собой тепловой разрыв с небольшим перепадом давления. Вообразим плоское нормальное пламя покоящимся. Несгоревший газ втекает в зону горения со скоростыо I Иц I, продукты сгорания, согласно закону сохранения массы, истекают из нее со скоростью и — инр0/р, где р0 и р — плотности несгоревшего газа и продуктов сгорания. *
На фронте горения вследствие законов сохранения массы, импульса и энергии возникает перепад давления, величина которого для случая
Таблица 4
Максимальная нормальная скорость пламени при давлении1 аша и температуре 18—20 ℃
Горючее вещество
Максимальная нормальная скорость, м/сеп
% горючего в смеси
с максимальной скоростью горения
в стехиометрической смеси
Кислородные смеси
Ацетилен
10； 11
32,5； 55
28,6
Водород
10
—
66,7
Бутан
4,8
13,3
13,3
Окись углерода ..
1,03
68
66,7
Воздушные смеси
Водород ..
2,67
42
29,5
Ацетилен
1,31
.Ю
7,7
Этилен
0,63
7,0
6,5
Сероуглерод ....
0,485
8,2
6,5
Пропилен
0,435
4,8
4,5
Окись углерода 4+ 1,2% Н2О ...
0,415
53
29,5
Бензол+ 0,5% На ■
0,385
3,0
Этиловый эфир...
0,375
4,5
Метан
0,370
10,5
Циклогексан ....
0,350
2,5
S
н. Пентан
0,350
2,9
н. Гексан
0,320
2,5
Ацетон
0,318
6,8
5,8
血《с。определяется выражением
Р — Ро= ~^卩改(~^) — —PoQM\(2/7)
Здесь cQ — скорость звука в несгоревшей смеси,
L备(2・®
——отношение теплового эффекта реакции сгорания к начальной, внутренней энергии газа, М ——число Маха нормального пламени, т. е. отношение нормальной скорости к скорости звука в несгоревшей газовой смеси.
Перепад давления на фронте нормального пламени оказывается очень малым. Так, например, для воздушной смеси пентана ин — 0,35 м/сек9 с。= 340 м/сек, М — Ю*3,, 2=7, разность давления по обе стороны зоны нормального пламени
p - рО=- Po2M2 = - 7 乂 10-60010-5吊.
При атмосферном давлении перепад на фронте пламени в этом случае составляет около 0,1 мм вод. ст, В кислородных смесях он приблизительно на один-два порядка выше, но и там остается очень малым.
Теория нормального горения конденсированных взрывчатых веществ и твердых топлив пока находится в стадии разработки. Фундаментальные идеи и экспериментальные результаты в этой области принадлежат К. К. Андрееву, А. Ф. Беляеву, О. И. Лейпунскому, П. Ф. Похилу.
К. К. Андреев (1959) выдвинул идею, согласно которой массовая скорость горения существенно возрастает при проникновении горения в глубину взрывчатого вещества. При этом вещество разрушается и из него вылетают мелкие частицы, сгорающие в газовом пламени. С таким механизмом увеличения скорости горения, по мнению К. К. Андреева, связан переход горения в детонацию в конденсированных взрывчатых веществах. А. Ф. Беляев (1940) выдвинул и экспериментально обосновал идею о том, что медленное горение жидких и легкоплавких (точнее, легкокипящих) взрывчатых веществ происходит в газовой фазе. Эта идея позволила' применить к горению указанных веществ описанную выше теорию нормального горения газов.
К. К. Андреев (1945) обнаружил, что при горении жидких взрывчатых веществ ■с увеличением давления (т. е. скорости горения) поверхность горения перестает быть длоской и турбулизуется, вследствие чего скорость горения существенно увеличивается. Теория этого явления была ранее развита Л. Д. Ландау (см. § 3). А. Д. Марголин, В. М. Маргулис и П. Ф. Похил (1968) получили в критериальной форме зависимость скорости горения жидких взрывчатых веществ в турбулентном режиме от давления. А. Ф. Беляев и Н. Н. Бахман (1959) обнаружили и изучили горение вдоль границы полупространств горючего и окислителя.
Стационарное и нестационарное горение пороха было рассмотрено Я. Б. Зельдовичем (1942). Теория стационарного горения основывается на вышеупомянутых экспериментальных результатах А. Ф. Беляева, но вместо испарения фигурируют разложение и газификация пороха под воздействием потока тепла из газовой фазы, %・ е из пламени сгорающих продуктов газификации. Применение к распространению пламени в продуктах газификации изложенной выше теории нормального горения газов с учетом того, что волна прогрева перед фронтом пламени распространяется 'также и в порохе, позволило получить выражения для стационарной скорости горения пороха и размеров и времен релаксации характерных слоев: тепловых слоев пороха •и газа и слоя релаксации в газе. Новым по сравнению с теорией скорости нормального горения газов здесь является наличие теплового слоя пороха с размером и временем релаксации, превышающими газовые. Зависимость скорости горения пороха отражает зависимость скорости газовых реакций от давления и температуры газов.
Теория нестационарного горения пороха охватывает широкий круг явлений, связанных с проблемой чувствительности скорости горения к быстрым изменениям определяющих параметров, т. е. происходящим за время меньше одного из времен тепловой релаксации слоев распространяющейся тепловой волны. Существенным является то, что время релаксации теплового слоя пороха на несколько порядков больше времен релаксации газовых слоев (в соответствии с отношением плотности пороха к плотности газа). Это приводит к тому, что при быстрых изменениях давления и других параметров размеры слоев и градиенты температур в газовой фазе практически мгновенно следуют за изменениями параметров, в то время как тепловой слой пороха и градиенты температуры в нем еще не изменились. Тем самым нарущается -стационарное распределение температур и стационарные значения потоков тепла, переходящих из газовых слоев в тепловой слой пороха. Это приводит к временному перегреву или охлаждению слоев, т. е. к нестационарной скорости горения в течение времени релаксации теплового слоя пороха. Теория, в частности, приводит к следующим выводам： при быстрых подъеме или спаде давления скорости горения вначале соответственно больше или меньше, чем стационарные скорости при новых давлениях； при достаточно быстром спаде давления порох затухает вследствие охлаждения поверхностного слоя пороха; при горении в полузамкнутом объеме и в случае, когда время релаксации теплового слоя пороха больше, чем время истечения газов из полузамкнутого объема, возникает неустойчивость горения и порох затухает *).
О. И. Лейпунский (1945) впервые установил факт, имеющий принципиальное значение для теории горения твердых топлив,——так называемое «раздувание». Горение ускоряется, если его продукты имеют составляющую скорости, параллельную поверхности горения. Впоследствии этот вид горения стали называть «эрозионным». П. Ф. Похил (1953) раскрыл механизм горения коллоидных порохов (на примере пироксили-
нового, нитроглицеринового и динитродиэтиленового). Тщательными экспериментами П. Ф. Похил показал существование нескольких стадий в горении пороха. В поверхностном слое (около 5% толщины нагретого слоя) происходит уетойчивая экзотермическая реакция с выделением 60—80 кал!г тепла, ч*го составляет величину порядка 5—10% от всей теплопроизводительности пороха. В результате экзотермической реакции на поверхности пороха образуется «кипящий слой», в котором под влиянием г азовыделения образуются, растут и лопаются пузырьки жидкой фазы. Вещество диспергирует, образуется дымогазовая смесь, которая догорает над поверхностью пороха в двух трудноразделимых стадиях, В первой происходит преимущественно гетерогенное горение частиц, образующих дымовую фазу, во второй же ——горение газовой фазы. Понижая начальное давление, стадии можно разделить, а при очень низком давлении горение дымогазовой фазы можно вообще исключить (порох горит только в конденсированной фазе).
Известны теоретические исследования горения конденсированных взрывчатых веществ и твердых топлив Я. Б. Зельдовича (1^42), Б. В. Новожилова (1961—1962), Н. Н. Бахмана (1959), С. С. Новикова и Ю. С. Рязанцева (1964——1965), В. Б. Либровича (1962), А. Г. Истратова и В. Б. Либ- ровича (1964), А. Д. Марголина (1961), А. Д. Марголина и П. Ф. Похила (1963) и др. В этих работах последовательно рассматриваются различные аспекты проблемы распространения нормального горения в конденсированной фазе. Однако теоретически пока не удается описать все особенности сгорания взрывчатых систем и, тем более, смесевых твердых топлив. Теория удовлетворительно согласуется с экспериментом в настоящее время лишь для легко испаряющихся взрывчатых веществ. В целом в этой- области науки эксперимент значительно опережает теорию.
2.2. Турбулентное горение газов. Скорость и механизм горения газа в турбулентном потоке' зависят от соотношения масштабов и времен, характерных для турбулентности и нормального пламени. Согласна Г. Дамкелеру (Z. Electrochem. . und angew. phys. Ghem., 1940, 46： 11, 601—626) могут иметь место два случая. В первом масштаб турбулентности мал по сравнению с шириной зоны нормального 'пламени, во втором он велик по отношению к ней. В первом случае турбулентность усиливает тепло- и массообмен внутри зоны нормального горения и скорость турбулентного пламени можно записать в виде
У/^4^ = "н/1 +要. '(2.19) Здесь 乂 ——температуропроводность газа, хт ——коэффициент турбулентного обмена, по порядку величины равный произведению масштаба турбулентности I на среднюю квадратичную скорость турбулентных пульсаций р\
Когда хт》х, (2.19) можно представить в виде
ит«р /告入， (2.20)
где постоянная р меньше единицы, если под шириной нормального пламени подразумевать только ту часть прогретой зоны, в которой происходит интенсивная химическая реакция.
Ширину зоны турбулентного горения для случая малых масштабов, турбулентности можно представить в виде
入Т 〜/線(2.21>
Скорость турбулентного горения и ширина его зоны зависят от масштаба турбулентности в рассматриваемом случае одинаковым образом.
Случай малого масштаба турбулентности, вероятно, имеет небольшое практическое значение, коль скоро ему соответствуют масштабы, меньшие долей миллиметра. Осуществляются они, например, при горении факела над трубой диаметром порядка 1 мм.
Во втором случае, когда масштаб турбулентности велик по сравнению с шириной зоны нормального горения, турбулентность искривляет поверхность нормального пламени и, согласно принципу Михельсона, увеличивает скорость распространения горения. Г. Дамкелер (1940) для этого случая и для - сильной турбулентности (и‘》ин) получил пропорциональность турбулентной скорости пламени скорости турбулентных пульсаций.
К. И. Щелкин (1943), развивая идеи Дамкелера, выдвинул представление о зоне турбулентного горения (случай и'》ин) как о широкой области, в которой объемы (моли) несгоревшего газа, окруженные продуктами горейия, дробятся турбулентными пульсациями и сгорают с поверхности с нормальной скоростью пламени. Эта модель впоследствии получила название «модели горения с поверхности» (или модели «поверхностного» горения) в турбулентном потоке.
Оценки поверхности горения в такой модели приводят к скорости турбулентного горения, выражаемой соотношением
uT ин ^/ 1 + В(~^~) ,(2.22)
где 5 — постоянная порядка единицы.
При и'》Uh (2.22) переходит в
% 〜К(2.23)
что совпадает с результатом Дамкелера для сильной турбулентности.
Случай крупномасштабной турбулентности может быть рассмотрен исходя из других представлений (см., например, К. И. Щелкин и Я. К. Трошин, 1963). Перенос горения крупномасштабными турбулентными пульсациями в принципе отличается от переноса горения при помощи турбулентного тепло- и массообмена. Перенос горения имеет не диффузионный, а эстафетный характер. Пламя, перемещаемое турбулентной пульсацией, оставляет в любом месте, где есть горючая смесь, новый фронт горения. Языки пламени, проникнув благодаря турбулентным пульсациям в несгоревшую смесь, поджигают ее и оставляют в несгоревшей смеси, независимо от дальнейшей судьбы элемента газа, участвовавтего в турбулентной пульсации, очаги горения, образующие новый фронт горения. Эстафетный характер передачи горения при крупномасштабной турбулентности приводит к зависимости турбулентной скорости пламени от средней квадратичной скорости пульсаций вида
uT uh + p\(2.24)
Эстафетный характер передачи горения может и не осуществляться, если скорость пульсаций «слишком велика» по сравнению с нормальной скоростью пламени. Это соображение приводит к необходимости деления ■случая крупномасштабной турбулентности на две части〉в зависимости от отношения характерного времени турбулентности к характерному времени нормального горения. Если характерное время турбулентности
больше характерного времени нормального пламени
♦ >☆'(2.25》
ИЛИ
(2・26》
то возможна эстафетная передача горения. В противоположном случае в свежей смеси, соприкасающейся с турбулентной пульсацией, вынесшей вперед участок нормального фронта, новый фронт может и не образоваться. Начавшееся горение затухнет, свежая смесь несколько разбавится продуктами горения, температура ее соответственно повысится.
В случае
Т<£(2・27>
разбавление свежей смеси продуктами горения будет значительным и турбулентное горение по характеру приблизится к «объемному». Этот случай: близок к описываемому формулами (2.19) и (2.20). Такую модель для крупномасштабной турбулентности рассматривал Е. С. Щетинков (ссылки см. в его работе 1965 г.).
Соотношение (2.25), как критерий перехода от «поверхностной» к «объемной» модели турбулентного горения, впервые, во всяком случае в советской литературе, ввел А. В. Талантов (I960).
Статистический подход к теории турбулентного горения развивал А. Г. Прудников (см. сб. «Горение в турбулентном потоке», 1959).
Сопоставление (2.22) и (2.24) с экспериментом показывает, что при р\ сравнимых с ин, турбулентная скорость в 3—4 раза больше, чем эта следует из теории. М. А. Ривин предположил в связи с этим расхождением, что скорость распространения турбулентного горения определяется не средней квадратичной скоростью пульсаций, а максимальной, котораяг примерно в 3,5 раза выше средней. Более оригинальный выход нашли Б. Карловиц, Д. Деннистон и Ф. Уэллс (J. Ghem. Phys., 1951, 19 : 5f 541—547), предложившие учитывать турбулентность, генерируемую пламенем. Дополнительная турбулентность, возникающая в результате расширения продуктов сгорания, согласно оценке этих авторов, составляет 嗚=囁％ ]/； — *•(2.28>
(здесь о — увеличение объема при горении). Если исходной изотермической турбулентности нет и 现丁 = 乂山 не возникает и турбулентность, генерируемая пламенем. С учетом последней турбулентная скорость пламени определяется соотношением, предложенным Л. С. Козаченко (1959):■
Мт = " + 〃н + \^ /1—^ ин-(2.29)
При относительно сильной турбулентности (现丁》wH) соотношение (2.29> переходит в
匹 =。' +(陽+ 1)мh.(2.30)
При р*》％ (2.24) превращается в (2.22): ит 〜и'.
Измерения турбулентной скорости пламени, проведенные Л. С. Козаченко (I960), хорошо описываются соотношением (2.28).
Существование турбулентности, генерируемой пламенем, было впервые экспериментально обнаружено И. Л. Кузнецовым, Г. Р. Барановой, Ю. В. Игнатенко и А. М. Троханом (1966). Эта турбулентность регистрируется в зоне горения и быстро затухает в продуктах сгорания. Количественно величина турбулентных пульсаций, генерируемых пламенем, согласно цитированной работе не точно совпадает с предсказаниями теории. Однако качественно эффект не вызывает сомнения. Следует иметь в виду, что цитированная работа является первой в этой области и, вероятно, будет уточняться.
Опыты И. Л. Кузнецова, Г. Р. Барановой, Ю. В. Игнатенко и А. М. Трохана, в которых обнаружена турбулентность, генерируемая турбулентным пламенем, подтверждают «поверхностную» модель турбулентного горения. Лишь в случае справедливости этой модели горение генерирует дополнительную турбулентность. При объемной модели такого эффекта быть не должно.
Следует сказать, что «поверхностная», как и всякая иная, модель является неким приближением, строго говоря, конечно, не осуществляющимся в зоне турбулентного горения. Согласно А. М. Климову (1963) зона нормального горения в турбулентном пламени растягивается или сжимается. Могут существовать условия, при которых в турбулентном пламени вообще исчезает понятие о нормальной скорости горения в применении к сгоранию отдельных «молей» газа. Тем не менее «поверхностная» модель оказалась полезной в применении к теории горения вообще и теории горения в технических устройствах в частности. Например, на ее основе создана теория горения в прямоточном воздушно-реактивном двигателе (С. М. Ильяшенко и А . В. Талантов, 1964; А. В. Талантов, 1958). '
Интересное экспериментальное исследование турбулентного горения при пониженных давлениях, существенное для теории горения в воздушно-реактивных двигателях, принадлежит В. Е. Дорошенко и А. И. Никитскому (1956). '
Выше рассматривалось влияние на горение турбулентности, заранее созданной в горючей газовой смеси. Такого рода турбулентность имеет место в различного рода топочных устройствах. Возникает она и при распространении горения в трубах. Дело в том, что горение благодаря большому увеличению объема продуктов сгорания по сравнению с объемом исходного газа вызывает движение последнего и турбулизацию его от стенок. Однако нормальное пламя способно турбулизоваться и в отсутствие стенок вследствие его внутренней гидродинамической неустойчивости, теоретически обнаруженной Л.. Д. Ландау (1944). Это явление описывается в следующем параграфе.
Неустойчивость нормального горения
Крупный шаг в теории горения сделал Л. Д. Л-андау (1944), рассмотревший задачу об устойчивости нормального пламени. Изложим эту фундаментальную работу подробнее.
Пусть плоскость фронта нормального горения совмещается (при 2 = 0) с плоскостью yz. Поток несгоревшего газа, находящегося в( области отрицательных 2, втекает во фронт со скоростью их, равной нормальной скорости пламени. Сгоревший газ, находящийся в области положительных 2,
течет вдоль координаты 冗 согласно закону сохранения массы со скоростью и2 = ^iPi/Рг» где pi и Р2 — плотность исходного и сгоревшего газов.
На движение с постоянной скоростью накладывается возмущение, периодически изменяющееся во времени и по координате у. Для составляющих скорости несгоревшего газа после введения возмущения будем иметь
(3.1)(3.1)(3.2)(3.2)^1Х = U] + U]x, Wjy = U]y, U]z — О
(3.1)
(3.1)
(3.2)
(3.2)
Давление несгоревшего газа составляет
А +А
(штрихом обозначено возмущение). Скорость и давление продуктов сгорания запишутся точно так же, но с индексом 2 вместо 1.•
Подставляя (3.1) и (3.2) в уравнения гидродинамики несжимаемого газа
div « = 0,察+ (〃▽)"=—广夕,
получим следующие уравнения ний виде:получим следующие уравнения ний виде:ДЛЯ W^x,ДЛЯ W^x,u；y, р\ в удобном для вычисле-u；y, р\ в удобном для вычисле-
получим следующие уравнения ний виде:
получим следующие уравнения ний виде:
ДЛЯ W^x,
ДЛЯ W^x,
u；y, р\ в удобном для вычисле-
u；y, р\ в удобном для вычисле-
(3.3)(3.4)(3.5)(3.3)(3.4)(3.5)=0,
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
дх 1 оу
1а"
dt 十 дх 一piдх，
а吗？ , а%?,,1дР\
~дГ^~~дГ 177"^ *
Аналогичным способом получаются три точно таких же уравнения для возмущений в продуктах сгорания и^ и/, р；.
,Из уравнений (3.3)—(3.5) можно получить очень простое уравнение для возмущения давления. Для этого достаточно продифференцировать (3.4) по 瑞 а (3.5) по у, заменить в (3.4) ди1Х1дх на —ди^/ду согласно (3.3) л сложить продифференцированные уравнения:
■^^+■^■=0, или Ау = 0.(3.6)
Таким же способом получается уравнение Лапласа для возмущения давления продуктов сгорания.
Теперь остается узнать, решая уравнения (3.3)—(3.6) для исходного газа и такие же уравнения для продуктов сгорания, как будут изменяться со временем возмущения u；^, и；^, р[, и^ и；у, р；. Если они увеличиваются, то движение неустойчиво.
Решение, как всегда при анализе малых возмущений, ищут в виде экспоненты. Для несгоревшего газа уравнениям (3.3) — (3.6) удовлетворяют решения'
и\х = Л ехр (iky -\-кх—而力)，(3.7)
吗у = iA exp (iky + kx—心力)，(3.8)
p； = 21Pl (-^——％) exp (iky + kx —心力)；(3.9)
для продуктов сгорания —
^2x = В exp (iky — kx —血力)+ C exp^2x = В exp (iky — kx —血力)+ C exp% =0分=% =0分=-iB exp (iky - kx -方3力)-iB exp (iky - kx -方3力)-Bp2(我 + 哈)-Bp2(我 + 哈)急Cexp（i初一心力+ *力），急Cexp（i初一心力+ *力），exp (iky - kx —心力).exp (iky - kx —心力).(3.10)(3-И)(3.12)(3.10)(3-И)(3.12)
^2x = В exp (iky — kx —血力)+ C exp
^2x = В exp (iky — kx —血力)+ C exp
% =
0分=
% =
0分=
-iB exp (iky - kx -方3力)
-iB exp (iky - kx -方3力)
-Bp2(我 + 哈)
-Bp2(我 + 哈)
急Cexp（i初一心力+ *力），
急Cexp（i初一心力+ *力），
exp (iky - kx —心力).
exp (iky - kx —心力).
(3.10)
(3-И)
(3.12)
(3.10)
(3-И)
(3.12)
В справедливости решений убеждаются подстановкой их в уравнения. Интересна одна особенность. Решения для сгоревшего газа содержат член, в который входит множитель ехр (гюх/и2). Для несгоревшего газа аналогичного члена нет. Дело в том, что суждение о росте или затухании возмущений во времени получают по знаку мнимой части ю. Пусть ю = а + Ф- Тогда действительная часть з характеризует колебания возмущений во времеци, а мнимая — их рост или затухание. Если мнимая часть положительна, то exp (ii^xlu^ = е(—px/u2) и возмущения в несгоревшем газе, для которого х < 0, при стремлении ］力 | -> оо неограниченно возрастают. Такого вида решение поэтому, как не имеющее физического смысла, отбрасывается. Для продуктов сгорания, для которых 力 > 0, решение (для х -> 8)стремится к нулю. Их принимают во внимание. “
Теперь следует исключить из решений (3.7)—(3.12) постоянные А, В, С и найти условия совместности решений. Для этого пользуются условиями, существующими на границе между сгоревшим и несгоревшим газами.
Во-первых, это условие непрерывности переменной части давления P； = R・ (3-13)
Во-вторых, условие непрерывности касательной составляющей скорости wiy + ui^ = w2y + w2 -||- •(3.14)
Здесь E——смещение поверхности фронта пламени (поверхности разрыва) вдоль оси х.
И, наконец, условие неизменности нормальной скорости пламени относительно разрыва
明工一鲁=以一*=0,(3.15)
дающее два уравнения.
Для замыкания системы уравнений, определяющих условия, связывающие возмущения на границе, необходимо задаться законом изменения смещения Е по координате у и времени 力 который принимается в виде
Е = Z)exp (iky —心力)(3.16)
Уравнения (3.13)—(3.15) позволяют исключить из решений (3.7)—— (3.12) и (3.16) постоянные А, В, С и D и аайти условие совместности решений. При вычислениях надо помнить, что поток вещества при переходе через границу сохраняется, т. е. u1p1 = и2р2.
В результате вычислений получим условие совместности
Q2 (14丄 + t^2)+ 2Q"%IZ2 + А?%%(U| — %) = 0(3.17)
(здесь введено обозначение Q=——i(n).
Рассматривая корни квадратного уравнения (3.17)
q — 2诲m丄m2 土 ~^^k^u^ -|- ^tk^uiU2 (w1 -呜)
2 ("1 + "2)
24 механика в СССР, тоы 2
можно видеть, что при и2 > иг существуют решения с положительными Q. Но это условие всегда выполняется при нормальном горении. Положительным Q, как это следует из формул (3.7)—(3.12), соответствует неограниченное возрастание возмущений во времени. Поэтому нормальное пламя, согласно изложенной теории, принадлежащей Л. Д. Ландау, всегда неустойчиво к малым возмущениям.
В теории Л. Д- Ландау фронт пламени рассматривалея как тепловой разрыв, не имеющий ширины. В действительности зона горения имеет конечные размеры и, следовательно, длина волны возмущения, для которой применима теория неустойчив ости, должна превышать ширину зоны горения.
Условие возникновения неустойчивости поэтому можно записать в виде
или -
Ren = ^〉l・ (3.18)
Когда безразмерный критерий (3.18), напоминающий по виду критерий Рейнольдса, превышает величину порядка единицы, плоская зона нормального горения перестает существовать, пламя автотурбулизуется-
Впервые неустойчивость нормального пламени наблюдали на опыте Я. Б. Зельдович и А. И- Розловский (1947). Они воспламеняли в центре стальной бомбы диаметром 150 九九,снабженной окном для фотографирования пламени, смесь из 56,6% водорода, 41,1% кислорода и 2,0% сероуглерода. В то время как при начальном атмосферном давлении пламя доходило до стенок бомбы, не меняя характера распространения, при увеличенном давлении его скорость на некотором расстоянии от стенок скачком возрастала и горение переходило в детонацию. Переход происходил при значении величины Ren = (2 4- 5) -105. Зельдович и Розловский полагали, что переход горения в детонацию обязан возникновению неустойчивости нормального горения- Неожиданно большое значение критерия (105 вместо 1) указывает на более высокую устойчивость нормального горения по сравнению с предсказываемой теоретически. Пламя оказывается устойчивым по отношению к возмущениям, по длине превышающим на четыре-пять порядков ширину зоны горения, оно теряет устойчивость лишь по отношению к сравнительно длинноволновым возмущениям.
В описанных опытах не было исключено действие на фронт пламени стенок камеры. Слабые возмущения (в том числе и слабые ударные волны), отражаясь от стенок камеры и встречаясь с пламенем, могут с ним взаимодействовать. Заранее нельзя сказать, стабилизируют они горение или увеличивают его неустойчивость.
Влияние стенок камеры практически полностью было устранено в опытах X. А. Ракиповой, Я. К. Трошина и автора этой статьи, проведенных с ацетилено-кислородными смесями, заключенными в мыльный пузырь и поджигаемыми в центре раскаленной спиралью (1947). Фотографии сферического пламени через узкую щель в экране, отделяющем мыльный пузырь от фоторегистра, указывают на постепенное увеличение скорости распространения пламени, начиная с момента, когда критерий Ren достигает величины (3 + 6) X 104. В работе были зарегистрированы искривления фронта пламени, указывающие на его автотурбулизацвю и появляющиеся после увеличения Ren до того же значения (3+6) X 104.
В дальнейшем возникновение и рост неустойчив ости изучались тепле- ровским методом. При значениях критерия Ren> превышающих 104 для ацетилено-кислородных смесей и 0,7 X 104 для смесей саратовского газа с кислородом, на фронте пламени появляются увеличивающиеся по высоте возмущения — волнистые неоднородности.
Автотурбулизация нормального горения наблюдалась и в работе группы авторов, руководимой Ю. X. Шауловым (К. А. Кашкарлы и др., 1955). Результаты этой работы совпадают с описанными выше.
Устойчивость нормального пламени по отношению к сравнительно коротковолновым возмущениям, обнаруженная на опыте и противоречащая теории, требует рассмотрения стабилизирующих эффектов, не учитываемых в теории Ландау.
Одним из стабилизирующих факторов (на это указали в первой экспериментальной работе Я. Б. Зельдович и А. И. Розловский) может оказаться влияние кривизны на тепловой поток, повышающее скорость нормального горения у вогнутой поверхности и понижающее ее у выпуклой. Так, вершина бунзеновского пламени всегда закруглена, потому что скорость вогнутого пламени больше скорости плоского. Возмущения на плоском пламени по этой причине выравниваются: пламя у отстающих (вогнутых) участков распространяется быстрее (у выпуклых — медленнее), чем плоское. Влияние кривизны на скорость пламени может стабилизировать горение по отношению к возмущениям примерно на порядок более длинным, чем ширина зоны прогрева. Это повышает критерий (3.18) приблизительно до 10. Однако повышение на порядок не устраняет трудности. Расхождение между экспериментальным и теоретическим значением критерия остается большим, примерно в три порядка.
Рис. 3. Уменьшение амплитуды начального искривления пламени от Л до А* благодаря выравнивающему действию распространения пламени (эффект Гюйгенса),Рис. 3. Уменьшение амплитуды начального искривления пламени от Л до А* благодаря выравнивающему действию распространения пламени (эффект Гюйгенса),Влияние вязкости на течение газа тоже, вероятно, стабилизирует горение, причем сильнее при коротковолновых возмущениях, чем при длинноволновых. Однако расхождение между экспериментом и теорией на несколько порядков трудно приписать столь слабому стабилизирующему эффекту.
Рис. 3. Уменьшение амплитуды начального искривления пламени от Л до А* благодаря выравнивающему действию распространения пламени (эффект Гюйгенса),
Рис. 3. Уменьшение амплитуды начального искривления пламени от Л до А* благодаря выравнивающему действию распространения пламени (эффект Гюйгенса),
Нормальное распространение обладает стабилизирующим действием.
Горение быстрее «поедает» газ перед вогнутыми участками зоны горения； нежели перед выпуклыми. Рассмотрим искривление фронта пламени не поддерживаемое (не восстанавливаемое) внешней причиной (рис. 3). Применяя к горению принцип Гюйгенса, легко убедиться, что заданное возмущение самопроизвольно уменьшается. Особенно быстро уменьшается
амплитуда возмущения в момент появления особенности О на поверхности фронта. С течением времени скорость уменьшения амплитуды падает и асимптотически приближается к нулю. Между прочим, очень медленное выравнивание возмущения на последней стадии приводит к интересному явлению. На сферическом пл амени можно часто наблюдатЁ структуру, напоминающую поверхность футбольного мяча. Возмущения на поверхности пламени, когда оно устойчиво, быстро уменьшаются на начальной
стадии выравнивания и очень медленно —— на последней. Поэтому следы возмущений очень долго сохраняются на поверхности пламени.
Приведенные выше качественные рассуждения о стабилизирующем действии распространения горения требуют для убедительности количественных оценок. Строгое решение задачи поэтому представляет значительный интерес.
Устойчивость нормального пламени при здачениях критерия (3.18) меньше 104 вызвала появление нескольких теоретических исследований. Р. М- Зайдель (1962), а затем С. К. Асланов (1965) рассматривали более сложные условия на границе, чем те, которыми пользовался Л. Д. Ландау. А. Г. Истратов и В. Б. Либрович (1966) показали, что в сферическом пламени рост возмущений происходит медленнее, чем в плоском. В последнем длина волны возмущения 厶 не изменяется по мере распространения пламени и размер возмущения Е экспоненциально зависит от координаты 您］dx = 自/厶).В сферическом пламени длина волны возмущения вследствие растяжения пламени увеличивается пропорционально пути, пройденному фронтом, и величина возмущения изменяется по степенному закону (d^/dx = а&/%)・ Обнаруженное обстоятельство может повысить стабильность сферического пламени по сравнению с плоским, пока радиус его кривизны относительно мал.
Кроме гидродинамической неустойчивости нормального пламени, описанной выше, может иметь место неустойчивость диффузионного происхождения, на возможность которой указал Я. Б. Зельдович (1944). Если коэффициент диффузии недостающей компоненты горючей смеси превышает коэффициент температуропроводности, то у предела распространения пламени возникает диффузионное горение： фронт пламени покоится (или почти покоится), горючая компонента притекает к нему из несгоревшего газа благодаря диффузии. При этом скорость пламени вблизи выпуклостей фронта увеличивается по сравнению со скоростью в плоском фронте, а вблизи вогнутостей уменьшается. Влияние искривления фронта на скорость пламени меняет знак по сравнению со случаем, когда коэффициенты диффузии и температуропроводности равны или близки друг к другу. Дело в том, что при диффузионном горении приток горючей компоненты (которой не хватает) больше у выпуклых участков фронта (диффузия к фронту идет из большого объема) и меньше у вогнутых, по сравнению со случаем плоского пламени. Поэтому в тех местах, где образовались случайные выпуклости, пламя распространяется быстрее, оно вытягивается вперед. Горение подвигается по несгоревшей смеси в виде отдельных колпачков или шариков. Неустойчивость такого рода в чистом виде впервые наблюдал В. И. Кокочашвили (1951) в смеси водорода с бромом (35——40%Н2 и 65——70% Вг) при давлении 200 мм pm. cm. в случае распространения пламени сверху вниз.
Сплошной фронт горения при такого рода неустойчивости не образуется, потому что газ между шариками (колпачками) сильно обедняется водородом. Предел распространения пламени оказывается шире предела распространения сплошным фронтом. Пламя благодаря концентрации горения в отдельных зонах (диффузия собирает горючий материал из окружающего пространства) распространяется при составах, находящихся за пределами распространения сплошным фронтом.
Вследствие неустойчивости нижний предел распространения пламени ^ смесях, содержащих водород, ниже, когда пламя движется снизу вверх, по сравнению со случаем распространения сверху вниз. Колпачки или шарики увлекаются вверх конвекцией. При движении сверху вниз конвек-
ции нет, возможности распространения от этого уменьшаются. Диффузионное горение и связанная с ним неустойчивость наблюдается не только в смесях, содержащих водород. В смесях, содержащих большое количество тяжелого флегматизатора, молекулярный вес которого значительно больше молекулярного веса кислорода и горючих веществ (четыреххлористый углерод С С14 в смеси окиси углерода с кислородом), коэффициент диффузии горючей компоненты (или окислителя) значительно выше температуропроводности смеси. В таких смесях тоже наблюдаются диффузионное горение и связанная с ним неустойчивость плоского пламени.
Термодинамическая теория детонации
4Д. Законы сохранения. Детонацией называют горение, распространяющееся в газах в широких трубах с постоянной сверхзвуковой скоростью, вполне определенной для каждой горючей смеси. Например, скорость детонации в смеси водорода с кислородом (везде стехиометрический состав) равна, при начальном давлении 1 ата и температуре 20° С, 2800 м!сек\ для метана с кислородом — 2320 м!сек\ для пентана С5Н12 с воздухом ——1710 м/сек. В конденсированных взрывчатых веществах скорость детонации достигает 8——9 км/сек. Детонационное горение всегда сопровождается сильным увеличением давления и значительным повышением плотности продуктов сгорания по сравнению с плотностью исходной горючей смеси. Продукты горения в детонационной волне движутся в ту же сторону, куда распространяется детонация. В противоположность детонации, медленное горение (например, нормальное горение, о котором говорилось выше) сопровождается понижением давления и плотности в зоне сгорания, продукты горения движутся в нем в сторону, противоположную движению фронта пламени./
Термодинамическую теорию детонации, основанную на теории ударных волн, создали В. А. Михельсон (1893), Д. Л. Чепмен (1899) и Э. Жуге (1904)： Выбирая систему координат, в которой плоский фронт детонационной волны покоится, обозначая величины, относящиеся к несгоревшему газу, индексом «0» и оставляя без индексов величины, характеризующие продукты сгорания, запишем условия непрерывности потоков вещества, импульса и энергии при переходе через фронт детонации в виде
(4.1)(4.2)(4.3)(4.1)(4.2)(4.3)Uq U .
(4.1)
(4.2)
(4.3)
(4.1)
(4.2)
(4.3)
Po + i2vo=p + i2v,% +产等=8+产告
Здесь и — удельный объем, и—скорость газа относительно разрыва, р — давление, Н — энтальпия, j ——поток массы на единицу сечения фронта в единицу времени.
Из (4.1) получим значения скоростей
询=/%,(4.4)
q =(4.5)
Для потока массы из (4.2) следует
产=$(46)
С помощью (4.6) значения скоростей газа относительно фронта (4.4) и (4.5) записываются в виде
uQ~ D =^vQ^ ^J： ,(4.7)
…/書(4.8)
В координатах, связанных с несгоревшим газом, скорость детонации равна J Uq |. Скорость вещества в этих же координатах (относительно стенок трубы, в которой по покоящемуся газу распространяется детонация) равна разности скоростей (4.7) и (4.8)
ТУ= (%_!；) /^^ = У(Р- Ре) (% - D).(4.9)
Соотношения (4.4)—(4.9) получены из законов сохранения потока вещества и импульса, при выводе их не применялся закон сохранения потока энергии, поэтому они справедливы как для ударной, так и для детонационной волн. Поскольку обычно детонационная волна представляется в виде ударной волны, в которой происходит химическая реакция сгорания, то эти соотношения справедливы и для всех промежуточных состояний между ударной волной, где еще не началась реакция, и детонацией, во фронте которой выделилась вся теплота сгорания.
Связь между давлением и удельным объемом в детонационной волне, входящими в (4.7) и (4.8), получают из (4.3). Учитывая (4.6), из (4.3) получим
Hq — 8 = »(р — pi (% 十 р).(4.10)
Но поскольку Н = Е + ри, где Е — внутренняя энергия, из (4.10) окончательно найдем
% —刃+ "^(Ро』Р)(% — и) = 0.(4.11)
Для ударных волн уравнение (4.10) или (4.11) получено В- Ранкином (1870) и А- Гюгоньо (1889), его называют также ударной адиабатой Гюгоньо, оно связывает при заданных р0 и и。давление газа, сжатого ударной волной, с его удельным объемом. В детонации оно связывает давление продуктов сгорания в детонационной волне с их удельным объемом. Уравнение Гюгоньо для детонации отличается от уравнения Гюгоньо для ударной волны тем, что при детонации внутренняя энергия исходного газа содержит теплоту сгорания, в то время как сжатие в ударной волне происходит без выделения тепла-
Ниже уравнение (4.11) рассматривается для идеального газа, для которого можно принять.
E° = Q + C% = Q +产4，
где Q — теплота сгорания на единицу массы, приведенная к абсолютному нулю. Полагая число частиц не изменяющи мся при сгорании, а теплоемкость постоянной, из (4.11) получим
%ри — %оРо% — р% + pQv 一 2Q = 0,(4.12)
где % = (у + 1)/(у — 1).
Вводя безразмерные переменные зт = р/р0, о = р/р0 и вспоминая, что уоРоио = с；, из (4.12) можно вывести очень удобную в обращении и наглядную форму уравнения Гюгоньо:
(4-13)(4-13)(4.14)(4.14)" e 丄 2y。0
(4-13)
(4-13)
(4.14)
(4.14)
При Q = 0 для ударной волны уравнение (4.13) переходит в
Вводя безразмерный тепловой эффект
Q Q (*、Q
как отношение теплового эффекта к внутренней энергии Ео — cvT0 исходного газа, (4.13) можно преобразовать в
,2
Уравнения (4.7) и (4.9) фронтом в лабораторной покоятся) приобретают вУравнения (4.7) и (4.9) фронтом в лабораторной покоятся) приобретают вдля скорости детонации и скорости газа за ее системе координат (труба и несгоревший газ безразмерной форме (где IVI =u0/c0) вид
Уравнения (4.7) и (4.9) фронтом в лабораторной покоятся) приобретают в
Уравнения (4.7) и (4.9) фронтом в лабораторной покоятся) приобретают в
ллм = /^1м = /^1(4.16)(4.16)W 〃、J 1 冗一1W 〃、J 1 冗一1(4.17)(4.17)
л
л
м = /^1
м = /^1
(4.16)
(4.16)
W 〃、J 1 冗一1
W 〃、J 1 冗一1
(4.17)
(4.17)
Рис. 4. Кривые Гюгоньо (Я — для ударных волн, Г — для волн горения)-Рис. 4. Кривые Гюгоньо (Я — для ударных волн, Г — для волн горения)-
Рис. 4. Кривые Гюгоньо (Я — для ударных волн, Г — для волн горения)-
Рис. 4. Кривые Гюгоньо (Я — для ударных волн, Г — для волн горения)-
Для вычисления четырех неизвестных величин (давление детонации л, удельный объем продуктов сгорания о, скорость детонации М и скорость
газа Wlc^) имеется три уравнения (4.15)—(4.17). Недостающее четвертое уравнение, необходимое для вычисления единственного значения скорости волны, наблюдающегося на опыте, и соответствующих ему величин зт, о, М, W/cQ<l носит название Чепмена — Жуге.
До описания условия Чепмена —Жуге полезно рассмотреть график адиабаты Гюгоньо для детонационной волны (4.15) и сравнить его с адиабатой Гюгоньо для ударной волны (4.14) (рис- 4).
Адиабата Гюгоньо (4.15) (для детонации) представлена кривой Г. Собственно детонацию описывает
ее ветвь, лежащая выше точки D.
Участок от 刀 до 刃 не отвечает каким-либо реальным режимам распространения, поскольку ему, согласно (4.7) и (4.8), соответствуют мнимые скорости волны и движения газа за ее фронтом. Участок ниже точки Е относится к горению, распространяющемуся с постоянной дозвуковой
скоростью, сопровождающемуся понижением давления и расширением продуктов сгорания (а не сжатием их, как это имеет^место в детонации). В отличие от детонации такое горение называют дефлаграцией. При дефлаграции продукты сгорания, согласно (4.17) и (4.16), движутся в сторону, противоположную движению фронта горения. (При детонации а < 1 и (4.16) и (4.17) имеют одинаковые знаки, при дефлаграции о > 1 и знаки этих выражений противоположны.)
Все режимы, все состояния, лежащие на верхней и нижней ветвях кривой Гюгоньо, и соответственно все скорости, вычисленные по этим состояниям с помощью (4.16), допустимы законами сохранения. Скорость волны определяется наклоном к оси абсцисс прямой, проходящей через исходную точку А (начальное состояние зт = о = 1) и через точку на кривой Гюгоньо. Например, детонация с давлением и удельным объемом, отвечающим точке &, распространяется со скоростью
Величина тангенса равнаВеличина тангенса равнам=//м=//
Величина тангенса равна
Величина тангенса равна
м=//
м=//
Из точки А, характеризующей начальное состояние, можно пров.ести к адиабате Гюгоньо Г две касательные АВ и AF. Все детонации, состояния которых лежат на адиабате Гюгоньо выше точки касания В, называют сильными (или пересжатыми), а ниже ее — слабыми (или недосжатыми). Соответственно дефлаграции, описываемые участком EF, называют слабыми, а участком, лежащим ниже точки касания 尸,一сильными. Точка касания В соответствует минимально возможной скорости детонации, точка F — максимально возможной скорости дефлаграции.
При уменьшении теплового эффекта реакции сгорания кривая Гюгоньо приближается к кривой Н* для ударной волны и в пределе, когда Q = О, сливается с нею. С уменьшением теплового эффекта минимальная скорость детонации уменьшается, максимальная скорость дефлаграции увеличивается, в пределе (g = Q = 0) они обе становятся равными скорости звука в исходном газе.
Согласно Чепмену и Жуге единственная, наблюдающаяся на опыте скорость самопроизвольно распространяющейся детонации соответствует точке касания В. При сильных детонациях, как это легко доказывается, скорость звука в продуктах сгорания выше скорости фронта детонации относительно этих продуктов. Поэтому возмущения (например, всегда * имеющиеся за фронтом волны разрежения) настигают фронт и уменьшают в нем давление. Сильная детонация самопроизвольно ослабляется, пока ее давление не достигнет точки В. В этой точке (точке Чепмена — Жуге) скорость звука относительно газа точно равна скорости фронта относительно сгоревшего газа. Поэтому возмущения (разрежения) не настигают фронт горения и детонация способна распространяться сколь угодно долго, не затухая.
(4.18)(4.18)Условие Чепмена — Жуге, эквивалентное условию равенства скорости звука в продуктах сгорания скорости сгоревшего газа относительно фронта волны, записывается в виде равенства между наклоном касательной, проведенной из начальной точки к кривой Гюгоньо, и производной dpldu, взятой по изэнтропе Пуассона, проходящей через адиабату Гюгоньо в точке касания:
(4.18)
(4.18)
% — v r V
или в безразмерном виде
Л - 1Л - 1(4.19)(4.19)
Л - 1
Л - 1
(4.19)
(4.19)
Умножая (4.18) на №, получим
№№?一р0 =?一р0 =歴・歴・
№
№
?一р0 =
?一р0 =
歴・
歴・
Слева, согласно (4.8),——квадрат скорости сгоревшего газа относительно фронта, справа ——квадрат скорости звука в продуктах сгорания： и2 = с2? что и требовалось доказать.
Уравнение (4.19) вместе с (4.15) — (4.18) составляет полную систему, позволяющую вычислить единственное значение скорости самопроизвольно распространяющейся детонации. Оно отбирает из бесконечного количества возможных значений скорости одно, соответствующее самопроизвольно движущейся волне. Его поэтому называют правилом отбора.
Из уравнений (4.15), (4.16) и (4.19) легко получить значение скорости детонации Чепмена — Жуге
+g 土 出 / (y 一 2%一e,(4.20> которое при R)= Y сильно упрощается:
M2=(l + *g)士/然炉 + 2*公(4.21)
Приближенно, когда g》l,
M2«^ti?.(4.22}
Из условия Чепмена — Жуге (4.19) легко получить предельную плотность продуктов сгорания для детонации Чепмена — Жуге. Плотность-
p. = . 1 = (Y + 1)冗一1
при 冗一> оо стремится к
1 — Y + 11 — Y + 1YY(4.23}(4.23}что дает для двухатомногочто дает для двухатомногоПредельная волны, согласноПредельная волны, согласноплотностьплотность(4.15) составляет(4.15) составляетгаза 15/7 и для одноатомного 13/5.для сильной детонации, как и дляJ ударнойгаза 15/7 и для одноатомного 13/5.для сильной детонации, как и дляJ ударной
1 — Y + 1
1 — Y + 1
Y
Y
(4.23}
(4.23}
что дает для двухатомного
что дает для двухатомного
Предельная волны, согласно
Предельная волны, согласно
плотность
плотность
(4.15) составляет
(4.15) составляет
газа 15/7 и для одноатомного 13/5.
для сильной детонации, как и дляJ ударной
газа 15/7 и для одноатомного 13/5.
для сильной детонации, как и дляJ ударной
10口10口
1
0口
1
0口
(4.24}
что дает для двухатомного газа 6 и для одноатомного —4.
При выводе уравнений детонации в газах (4.15)——(4.17) и (4.19} было принято уравнение состояния идеального газа
(4・25)(4・25)w = НТ»
(4・25)
(4・25)
Для вычисления скорости и других характеристик детонации в конденсированных взрывчатых веществах пользуются исходными соотношениями (4.7)——(4.10), (4.18) и добавляют уравнение состояния для заданной системы, определяемое эмпирически.
Во многих практических случаях вполне достаточно оказывается уравнения состояния, выведенного из чисто теоретических соображений Л. Д. Ландау и К. П. Станюковичем (1945). Продукты горения конденсированных взрывчатых веществ имеют более высокую плотность, чем плотность твердого тела, состоящего из тех же атомов (исходное вещество). На этом основании Ландау и Станюкович приняли состояние продуктов взрыва подобным состоянию вещества в кристаллической решетке твердого тела, в котором преобладающая часть энергии заключена в энергии упругого взаимодействия атомов и молекул, тепловая же энергия колебаний молекул и атомов невелика по сравнению с упругой. Соответственно упругое давление преобладает над тепловым. Из этих соображений было получено очень простое уравнение состояния
р = ВрЗ.(4.26)
Я. Б. Зельдович и А. С. Компанеец (1955) получили уравнение (4,26) и определили константу В, основываясь на экспериментально наблюдаемой приблизительной пропорциональности между скоростью детонации и начальной плотностью взрывчатого вещества (D ^ Хр0). Для плотностей в пределах от 1 до 1,6 elcj^ во многих случаях экспериментальная константа 4 = 4,5 X 105 смКг^сек).
Предполагая также, что плотность продуктов сгорания пропорциональна начальной плотности (р = /гр0), и пренебрегая pQ, получим из (4.7) ? ="萨。2 =也二产。2 =屋果或= /2gp3(4.27)
и окончательно р = 8рЗ. Здесь Б — A2 (h ——1)//г£ Константу h находят из условия, что самоподдерживающаяся детонация распространяется с минимальной скоростью. Из (4.27) следует
£)2 _ РР _ § р4 .
(Р —Ро) Роро(р —Ро) •.
Отсюда для плотности р, при которой D минимально, будем иметь
"(。2) — Зрз (Зр—4р0) _ °
dpРо(р —Ро)2'
Следовательно,
Р = 4/з Ро И 无=4/з-
(4.28)
Из (4.27) получим
1 Р=ЕРо》，
(4.29)
а из (4.9)
w= (1__^)4=".
(4.30)
Если известна скорость детонации, то все характеристики волны определяются исключительно просто. Так, для взрывчатого вещества со скоростью детонации 8000 м/сек и начальной плотностью 1,6 г/с№ найдем р = 2,13 2/已九3, р — 260 X 103 кг/см2, W = 2000 м/сек.
Уравнение состояния для продуктов сгорания типичных взрывчатых веществ (тротил, гексоген) и начальных плотностей в пределах от 1 до 1,7 a/cjR приобретает вид
р кг/см2 = 2 х 104 (р г/см3)3. (4.31)
Во многих взрывчатых веществах, кроме детонации, распространяющейся с большой скоростью (порядка 6—8 км/сек)^ наблюдается детонация с малой скоростью, порядка 2 и менее км/сек. Так, в нитроглицерине, в котором большая скорость равна 7650 м]сек, малая скорость составляет примерно 2 км/сек. В нем наблюдается неустойчивая детонация, движущаяся с еще меньшей скоростью, порядка 800—1000 м/сек. В тонком (около 4 мм) плоском слое прессованных твердых взрывчатых веществ, по данным В. К. Боболева и А. В. Дубовика (1965), малая скорость составляет в гексогене (плотность 1,67 2/已九3)700 м/сек, в тэне (плотность 1,68 г/с№)— 700—800 м/сек, в тетриле (плотность 1,63 г/см3) — 300 м/сек. Малая скорость детонации исследовалась в Советском Союзе Ю. Б, Харитоном и С. Б. Ратнером (1943), Р. X. Курбангалиной (1947), И. М・ Воскобойниковым, А. В. Дубовиком и В. К. Боболевым (1965, 1966) и др.
По мнению В. К. Боболева и А. В. Дубовика (1966), при распространении детонации с малой скоростью по пористому твердому взрывчатому веществу в нем происходит сравнительно медленное горение взрывчатого вещества с поверхности пор, которое резко замедляется в момент разлета взрывчатого вещества. В результате тепловыделение в детонационной волне оказывается незначительным и скорость волны Соответственно малой.
По мнению тех же авторов, в нитроглицерине детонация с малой скоростью распространяется аналогичным способом — горение в ее фронте происходит на поверхности кавитационных пор, которые могут образовываться двумя способами. Если заряд заключен в жесткую оболочку, скорость звука в которой больше 2 км/сек (больше скорости звука в нитроглицерине 1500 м/сек), то ударная волна, идущая по оболочке, опережает фронт детонации и, разгружаясь в нитроглицерин, создает в нем кавитационные поры, подготавливая тем самым условия для медленного горения во фронте детонации. Если же оболочка настолько тонка или не обладает необходимой жесткостью, что по ней не распространяется опережающая ударная волна, то малая скорость детонации будет всегда меньше скорости звука в невозмущенном нитроглицерине. Кавитации в этом случае образуются вследствие распространения по невозмущенному нитроглицерину слабой ударной волны, имеющей скорость, близкую к скорости звука в нем. Малая скорость детонации, будучи меньше скорости звука в невозмущенном веществе, имеет скорость более высокую или равную скорости звука в веществе, имеюшем кавитационные поры. Она составляет примерно 800—— 1000 м^сек^ .
Большое практическое и теоретическое значение имеют исследования возбуждения взрыва и оценка чувствительности взрывчатых веществ. Новое направление в этой области обосновано в работах Г- Т. Афанасьева, В. К. Боболева и Л, Г- Болховитинова (I960), в которых при оценке чувствительности ВВ учитывается как нагрев при пластической деформации ВВ, так и значение критического диаметра распространения детонации.
Возможность распространения детонации в газовой смеси и взрывчатых веществах существенна для техники взрывобезопасности. С. М. Ко- гарко (1958) впервые доказал возможность распространения детонации в метано-воздушных смесях, встречающихся в каменноугольных шахтах и считавшихся до этого неспособными поддерживать детонацию. Ранее детонация исследовалась в узких трубах, зажигание производилось сравнительно слабым источником. Отсюда и возникло заблуждение о детонационной безопасности этих смесей.
Рассмотрим теперь вкратце сильную и слабую детонации. Сильная детонация, как уже говорилось, не способна самопроизвольно распространяться, не затухая. Из бесконечного количества возможных скоростей распространения сильных детонаций нельзя выбрать какую-либо характерную скорость. Однако ее можно совершенно произвольно задать, например, толкая с определенной скоростью продукты сгорания при помощи поршня. Тогда, согласно (4.17), скорость продуктов детонации оказывается вполне определенной. Равенство скорости продуктов сгорания скорости поршня явится в данном случае условием отбора. Отбор, конечно, здесь произвольный. Количество уравнений становится равным числу неизвестных, задача точно решается.
Поршень, перемещающийся за детонацией со скоростью движения продуктов сгорания, не позволяет образоваться за фронтом детонации разрежению, ослабляющему сильную детонацию, и последняя способна распространяться с постоянной скоростью. Если скорость поршня увеличивается, то сильная детодация распространяется с ускорением, давление в ней возрастает.
Слабая детонация тоже не может распространяться самопроизвольно. Для нее тоже не существует внутреннего, определяемого физикой явления, условия отбора единственного значения скорости. Термодинамически возможны все состояния, лежащие на нижнем отрезке детонационной ветви кривой Гюгоньо (на участке BD). Но слабую детонацию можно осуществить путем искусственного зажигания посторонним источником (но не ударной волной) смеси с заданной скоростью. Например, если горение возникает под действием освещения, то, перемещая луч света по трубе с заданной скоростью, можно получить слабую детонацию. Предельно слабая детонация распространяется с бесконечной скоростью (точка D на рис. 5), продукты сгорания в ней покоятся относительно стенок трубы. Предельно слабая детонация соответствует воспламенению газа при постоянном объеме. Ее можно получить, например, освещая одновременно всю трубу, содержащую газ, воспламеняющийся под действием света. Слабую детонацию, конечно, в некотором приближении, можно осуществить с помощью искр, последовательно включаемых и поджигающих смесь с заданной скоростью.
Обоснование правила отбора. Возвращаясь к правилу отбора^ следует подчеркнуть, что его обоснование, сделанное Д. Л. Чепменом и Э. Жуге, оставалось неполным, пока не была доказана неосуществимость слабых детонаций. В общем случае, как это было показано выше, слабыв детонации осуществимы. Неосуществимы они при конкретном механизме распространения детонации с помощью воспламенения газа в ударной волне. Но именно этим единственным способом распространяется самопод- держивающаяся детонация.
В детонации газ из начального состояния А (рис. 5) скачком переходит в состояние С на ударной адиабате. Такой переход связан с тем, что время химической реакции на несколько порядков больше времени сжатия в ударной волне и фронт ударного сжатия поэтому отделен от фронта воспламенения. Поскольку они движутся! с одинаковой скоростью, их состояния, согласно формуле
Р = Ро + /2：(% —。)， (4.32)
полученной из (4.6), лежат на одной прямой в плоскости р — v. Это условие впервые было получено В. А. Михельсоном (1893). Ударный фронт
Рис. 5. Детонационная ветвь кривой Гюгоньо.Рис. 5. Детонационная ветвь кривой Гюгоньо.
Рис. 5. Детонационная ветвь кривой Гюгоньо.
Рис. 5. Детонационная ветвь кривой Гюгоньо.
поэтому имеет давление и удельный объем, соответствующие точке пересечения С прямой Михельсона (4.32) с адиабатой Гюгоньо для ударной волны. После окончания химической реакции состояние продуктов реакции характеризуется точкой пересечения В той же прямой с адиабатой Гюгоньо для детонации. Все промежуточные состояния лежат на отрезке СВ, поскольку все элементы комплекса, состоящего из ударной волны и зоны горения, распространяются с одинаковой скоростью. При сильной
детонации газ из начального состояния А скачком попадает в точку Ci и затем опускается в точку 8], лежащую на участке сильных детонаций.
Я- Б- Зельдович связывает невозможность слабых детонаций с тем, что для перехода газа из точки В、, лежащей на ветви сильных детонаций, в точку В^ находящуюся на ветви слабых детонаций, состояние газа должно пройти по линии В'В? через зону, соответствующую более высоким тепловым эффектам реакции, чем те, для которых построена адиабата Гюгоньо, соответствующая данной смеси. Иными словами, между точками 鬲 и 邑 находится энергетический барьер, для преодоления которого в газе нет необходимого запаса тепла. Поэтому состояние 方2, слабая детонация,
не оауществляется. Это доказательство справедливо только в том слу
чае, когда скорость химической реакции положительна вдоль прямой Михельсона.
В общем случае это предположение может и не осуществляться. Например, состояния, лежащие на нижней ветви кривой Гюгоньо, могут осуществляться (Я. Б. Зельдович и С. Б. Ратнер, 1941) при специфическом протекании реакции, когда она сначала проходит экзотермически, а на последней стадии эндотермически. В момент перехода скорость реакции меняет знак. В этом случае тепловыделение в результате реакции переходит через максимум. Этому максимальному тепловыделению соответствует адиабата Гюгоньо, лежащая выше адиабаты, отвечающей конечному выделению тепла. Максимальному тепловому эффекту реакции соответствует некая скорость детонации Чепмена ——Жуге (состояние 53 на рис. 5), более высокая, чем скорость детонации Чепмена — Жуге для конечного тепловыделения. После окончания эндотермической реакции состояние продуктов сгорания, если нет потерь, перейдет в точку В2 на адиабату Гюгоньо для конечного тепловыделения. Таким образом, за фронтом детонации Чепмена — Жуге для максимального тепловыделения будут наблюдаться состояния 方2, отвечающие слабой детонации, если рассматривать конечный тепловой эффект. Эндотермическая стадия реакции эквивалентна неким потерям, происходящим за плоскостью Чепмена — Жуге В3 и поэтому не влияющим на скорость детонации. В целом такую детонацию, конечно, нельзя назвать слабой детонацией.
Рис. 6. Кривые Гюгоньо (Я — для исходного СОСТОЯНИЯ С], Г — для исходного состояния Л; кривые Я и / всегда пересекаются в точках, лежащих на прямой, соединяющей исходные состояния С】и Л).Рис. 6. Кривые Гюгоньо (Я — для исходного СОСТОЯНИЯ С], Г — для исходного состояния Л; кривые Я и / всегда пересекаются в точках, лежащих на прямой, соединяющей исходные состояния С】и Л).
Рис. 6. Кривые Гюгоньо (Я — для исходного СОСТОЯНИЯ С], Г — для исходного состояния Л; кривые Я и / всегда пересекаются в точках, лежащих на прямой, соединяющей исходные состояния С】и Л).
Рис. 6. Кривые Гюгоньо (Я — для исходного СОСТОЯНИЯ С], Г — для исходного состояния Л; кривые Я и / всегда пересекаются в точках, лежащих на прямой, соединяющей исходные состояния С】и Л).
Г. Н. Абрамович и Л. А. Вулис (1946) показали невозможность пере* хода состояний продуктов сгорания из точки Чепмена — Жуге (точка В на рис. 5) на ветвь слабых детонаций по адиабате Гюгоньо. В точке В скорость газа относительно фронта равна скорости звука. Увеличение скорости сверх скорости звука в трубе постоянного сечения (потерями пренебрегают) возможно лишь, если от газа отнимают тепло (тепловоз сопло). Но все точки адиабаты Гюгоньо соответствуют одному и тому жв тепловому эффекту. Поэтому переход из 5 в 52 по адиабате Гюгоньо невозможен. Этот вывод Абрамовича и Вулиса сделан без учета изменения энтропии вдоль адиабаты Гюгоньо, Но он остается справедливым и даже
усиливается после учета такого изменения.
При этом надо иметь в виду, что если впереди фронта горения в детона
ции идет ударная волна (в самоподдерживающейся детонации, как уже-
говорилось, это всегда так), то фронт горения по отношению к состоянию в ударной волне является дефлаграцией. Иными словами, продукты сгорания, если за ис* ходное состояние взять газ А, лежат на детонационном участке адиабаты Гюгоньо, если же за исходное состояние взять сжатый газ С, то- они находятся на дефлаграционном участке кривой Гюгоньо. Можно показать, что энтропия вдоль кривой Гюгоньо (рис. 6) в точке Чепмена — Жуге для детонации имеет минимум, в точке же Чепмена — Жуге для дефлаграции она переходит череа
максимум. Поэтому, если применять рассуждение Абрамовича и Вулиса к дефлаграционной ветви кривой Гюгоньо с исходным состоя
нием С (рис. 6), как, строго говоря, и надо поступать, то переход из точки В в точку С связан с уменьшением энтропии. Поэтому он запрещен термодинамически.
Уравнения Гюгоньо для исходных состояний А и С (рис. 6), будучи различными, обладают интересным свойством. Для каждой из скоростей, характеризуемых данной прямой Михельсона (4.6), адиабата Гюгоньо для исходного состояния А (детонационная ветвь) пересекается с адиабатой Гюгоньо для исходного состояния С (дефлаграционная ветвь) в тех же точках В* и 52, в которых они пересекаются с прямой Михельсона (4.6). Это свойство сохраняется при любом наклоне прямой Ми
хельсона.
Рассмотрим его доказательство для точки Вг. Поскольку точки С1? Вги А лежат на прямой Михельсона, то для них справедливо соотношение (4.6). Поток массы для всех точек одинаков. Уравнения (4.1)——(4.3), выраженные через поток массы /, для ударной и детонационной адиабат имеют
вид (индекс у ^ далее опущен)
(4.33>(4.33>(4.34).(4.34).Ра + ^а^Рс+]2^с,
(4.33>
(4.33>
(4.34).
(4.34).
.НА+^]^=НС+^]Ы；
рА^А = рВ^В ~ j,
РА + /3уА = Рв + 73уВ?
На + ~]^^Нв + ^]^.
Левые части у них одинаковы. Приравняв правые, получим уравнение Гюгоньо для исходного состояния
Рс^с = Рв^в = j, )
Pc + i2vo = Рв + ]2ив, I (4.35} Яс + |72рЬ = Яв + |М. J
Точка В на кривой Гюгоньо с исходным состоянием С (здесь это — дефлаграционная ветвь) принадлежит прямой Михельсона и кривой Гюгоньа (детонационной ее ветви) для исходного состояния А. Аналогичным способом это свойство доказывается и для точки 方2・
Многие годы в зарубежной литературе, вплоть до 1948 г. (Р. Курант и К. Фридрихе) и даже позже, предполагалось, что дефлаграция — очень редкое явление. Она осуществляется только при нормальном распространении пламени. Детонация же — явление распространенное. В результате более подробного исследования самораспространяющейся детонации выяснилось, что, строго говоря, это вовсе не детонация, а дефлаграция, распространяющаяся в едином комплексе с ударной волной вслед за последней. Вычисление состояния продуктов сгорания по детонационной ветви кривой? Гюгоньо возможно лишь благодаря описанному выше свойству (пересечение адиабат для исходных состояний X и С в тех же точках, где они пересекаются с прямой Михельсона), справедливому только в случае распространения ударной волны и зоны горения с одинаковой скоростью относительно газа 4. Однако существуют режимы горения, при которых комплекс из ударной волны и зоны горения по мере распространения расходится. Состояния С и В в нем не лежат на одной прямой (двойные нестационарные разрывы ——Я. К. Трошин, 1955). Для таких комплексов состояние продуктов горения описывается только дефлаграционной ветвью адиабаты Гюгоньо с исходным состоянием С.
В заключение кратко рассмотрим дефлаграционную ветвь кривой Гюгоньо (рис. 7). Слабые дефлаграции (участок EF) осуществляются (помимо горения в детонационной волне) при медленном горении. Нормальное горение термодинамически является дефлаграцией. Скорость его, как было видно в § 2, служит физико-химической константой смеси. Состояние продуктов нормального горения близко к точке Е. Приближенно дефлаграцией (или детонацией) можно считать и горение в ракетном двигателе (Ю. Н. Денисов, Я. К. Трошин и К. И. Щелкин, 1959), скорость которого зависит от степени турбулентности или от скорости смешения горючего с окислителем. В двигателе, как и в других технических устройствахг скорость дефлаграции определяется конструктивными соображениями.
Скорость слабой дефлаграции при заданном тепловом эффекте, как уже говорилось, может принимать любые значения от нуля до скорости дефлаграции Чепмена ——Жуге. Перепад давления на ее фронте при заданном тепловом эффекте зависит, естественно, от скорости. Полагая у постоянным и одинаковым для исходного газа и продуктов сгорания, в случае идеального газа легко получим соотношение
" =击(1+加)+赤/(m2—1)一刈/赫， (4.36) переходящее для М < 1 в
(4.37)(4.37)Л=1—^М2-
(4.37)
(4.37)
Соотношение (4*36) применимо только к слабым дефлаграциям. Для сильных дефлаграций перед корнем должен быть взят знак «——».
Сильные дефлаграции, описываемые участком кривой Гюгоньо правее
точки 4, абсолютно запрещены термодинамически (К. И. Щелкин, 1961).
В точке 4 пересекается адиабата Пуассона, проходящая через исходное состояние 7, с адиабатой Гюгоньо. Следовательно, энтропия всех состояний, лежащих на адиабате Гюгоньо правее 4, меньше энтропии исходного состояния 2. Осуществление сильных дефлаграций, лежащих левее точки 4, зависит от механизма тепловыделения. Переход состояния из исходной точки 1 скачком на этот участок сильных дефлаграций, если такие процессы найдутся в природе, тер
модинамически ничем не запрещен. Возможность медленного перехода из точки 1 в точку 3, как и в рассматриваемом выше случае слабых детонаций, зависит от характера протекания реакции.
联 Неустойчивость плоской газовой детонации
5」・ Неустойчивость к искривлениям зоны горения. Задача об устойчивости плоской детонации рассмотрена К. И. Щелкиным (1959). Неустойчивости в детонации связаны с экспоненциальной зависимостью времени химической реакции от температуры. Небольшое увеличение (уменьшение) температуры несгоревшего газа в детонации приводит к резкому сокращению (увеличению) времени от начала сжатия в волне до момента воспламенения газа в ней. С этим явлением связаны как неустойчивость детонации к искривлениям фронта воспламенения, рассматриваемая в этом разделе, так и неустойчивость к одномерным возмущениям, которой посвящен следующий раздел.
Рассмотрим сначала детонацию Чепмена ——Жуге. Комплекс, составляющий детонацию, изображен в разрезе на рис. 8. Здесь фронт ударного сжатия — СС、зона воспламенения—BFGFB, она искажена возмущением FGF, которое на рисунке, для наглядности, сильно преувеличено. В дей-
ствительности, разумеется, начальное возмущение плоского фронта должно быть бесконечно малым. Искривление FGF может появиться, например, вследствие небольшой неоднородности состава смеси, приводящей к уменьшению периода индукции воспламенения в зоне Си увеличению его в районе F. Выше линии BFGFB газ сжат до давления рс, ниже — до рв (см. рис. 8). В плоской волне перепад давления от рс до рв, каким он показан на рис. 9, сохраняется сколь угодно долго: он удовлетворяет законам
Рис. 8. Схема малого возмущения зоны воспламенения в детонации 尸G尸 (на рисунке сильно преувеличено; снизу, на разрезах, виден распад возмущения в направлении, поперечном к движению детонации).Рис. 8. Схема малого возмущения зоны воспламенения в детонации 尸G尸 (на рисунке сильно преувеличено; снизу, на разрезах, виден распад возмущения в направлении, поперечном к движению детонации).сохранения и условию равенства скоростей движения фронта ударной «олны и зоны горения. Но в неплоской волне разрыв давления неустойчив в поперечном направлении (вправо и влево на рис. 8). Он не уравновешен и распадается, как это показано на разрезах, помещенных снизу от линии BFGFB. Давление в области F при этом падает, в G —— растет. Это очень существенная деталь, поэтому повторим сказанное еще раз иными словами. Перепад давления от Рс М Рв вдоль оси х устойчив. Однако возмущение FGF
Рис. 8. Схема малого возмущения зоны воспламенения в детонации 尸G尸 (на рисунке сильно преувеличено; снизу, на разрезах, виден распад возмущения в направлении, поперечном к движению детонации).
Рис. 8. Схема малого возмущения зоны воспламенения в детонации 尸G尸 (на рисунке сильно преувеличено; снизу, на разрезах, виден распад возмущения в направлении, поперечном к движению детонации).
Рис. 9. Схематическое распределение давления в детонации, рассматриваемой как комплекс из ударной волны и зоны воспламенения.Рис. 9. Схематическое распределение давления в детонации, рассматриваемой как комплекс из ударной волны и зоны воспламенения.создает неустойчивые разрывы (скачки) давления, перпендикулярные к направлению движения фронта детонации. Ничто не мешает этим скачкам распадаться. Более того, они обязаны распадаться, как распадается произвольный разрыв давления, вызванный в газе любым способом.
Рис. 9. Схематическое распределение давления в детонации, рассматриваемой как комплекс из ударной волны и зоны воспламенения.
Рис. 9. Схематическое распределение давления в детонации, рассматриваемой как комплекс из ударной волны и зоны воспламенения.
Итак, в зоне G давление продуктов реакции повышается, детонация в районе G оказывается пересжатой, условие Жуге здесь нарушается. Вперед от зоны G к ударному фронту СС идет волна сжатия, период индукции в этой области уменьшается, газ воспламеняется быстрее и точка G приближается к фронту СС. В зонах FF давление вследствие расширения падает, газ охлаждается, период индукции увеличивается, точки FF отходят еще дальше от ударного фронта СС. В итоге возмущение'FGF, возникнув, усиливается. В этом и заключается неустойчивость плоского комплекса, состоящего из ударной волны и следующей за ней плоской зоны воспламенения.
25 Механика в СССР, том 2
Коль скоро в газе, сжатом ударной волной, скорость звука всегда больше скорости фронта относительно сжатого газа, возмущения зоны горения вызывают возмущения ударного фронта СС. Ударный фронт (это нетрудно видеть) неустойчив, когда возмущения зоны горения по размеру порядка или больше ширины зоны воспламенения (九 на рис. 8). Возмущения менее протяженные, чем ширина зоны, усредняются (давление- в них выравнивается) до их прихода к ударному фронту.
Описанный качественный механизм неустойчивости позволяет найти количественный критерий ее возникновения. В него войдет энергия акти* вации реакции воспламенения Е. Ясно, что чем сильнее зависит период, индукции воспламенения от температуры (чем выше энергия активации)г тем неустойчивее детонация. Изменение давления в зонах расширения и сжатия (尸 и G), приводящее соответственно к охлаждению и нагреванию- несгоревшего газа, тем больше воздействует на время химической реакции (на положение точек F и G рис. 8), чем сильнее скорость реакции зависит от температуры. ”
Для вывода критерия необходимо учесть еще одно обстоятельство. Давление в зоне 尸，по размеру равной А, выравнивается (зона разгружается} за время порядка х/2 九/с (здесь с ——скорость звука в ударно сжатом газе области F. Время пребывания ударно сжатого газа в зоне 尸 размером 九 имеет порядок 九/(刀——W). Но в ударной волне всегда с > D ——W, тем более в ней справедливо неравенство 2c > D —— W; поэтому 】"九/eV <M(D 一 W).
Время выравнивания давления в поперечном направлении всегда меньше времени пребывания возмущения во фронте детонации (меньше времени жизни возмущения). Поэтому период индукции всегда «успевает» принять значение, соответствующее давлению, пониженному или повышенному вследствие распада поперечного разрыва. Вернее, период индукции успевает принять значение, соответствующее той температуре, которая установится после сжатия газа в области G и его расширения в области F. Поэтому можно не рассматривать изменение возмущения во времениг достаточно учитывать лишь изменение скорости химической реакции в зависимости от изменения температуры, вызываемого сжатием или расширением газа в начальном возмущении.
В результате можно сформулировать следующий ко личественный критерий потери устойчивости: если адиабатическое расширение газа из зоны F в область G, понизив температуру газа, увеличит задержку воспламенения на величину порядка самой задержки или больше ее, то- произ вольное начальное возмущение (искривление) фронта пламени будет возрастать, плоская детонация потеряет устойчивость. Пренебрегая зависимостью времени реакции от давления (плотности), получаем критерий неустойчивости плоской детонации
制 (5.1>
где т ——время химической реакции, Т ——температура несгоревшего газа в зоне возмущения после расширения.
Время химической реакции (величина, обратная ее скорости) пропорционально exp [E/(RT)]:
р 〜exp (爲)• (5.2}
Из (5.1) и (5.2) получается критерий
倉(j^)》1，(5.3)
Вблизи точки Е газ, давление которого до возмущения было равно рс, расширится адиабатически до давления рв・ Поэтому (5.3) можно переписать как
备口-(需)(5.4)
Критерий (5.3)——(5.4) несколько огрублен. Как сообщил автору С. К. Асланов, учет при выводе критерия (5.3) производных более высокого порядка, чем первый, приводит к значению критерия
倉口一(裳)’］》1п2 = 0,693.
Однако, поскольку вся теория неустойчивости носит физический характер и не является строго математической, в дальнейшем будет применяться критерий неустойчивости плоской детонации в форме (5.3) или (5；4).
Оценки критерия (5.4) для различных смесей, правда, не очень точные, поскольку энергия активации Е при высоких температурах известна неточно, указывают на неустойчивость плоской детонации практически во всех газовых смесях, в которых она наблюдается.
Физический анализ, во спро из веденный выше, дал повод к нескольким более обстоятельным математическим исследованиям неу сто йчиво сти плоской детонации. ，
Р. М. Зайдель (I960) получил критерий не у сто йчиво сти в виде ： e、(m+ 3) (m+1 + "m + 1) /e： c\
RTC > 2(х + 2) ・ (丿
Здесь К ——температура сжатого ударной волной, но еще несгоревшего газа (в зоне С, рис. 8), % = (у + 1)/(丫 —— 1)，Y —— отношение теплоемкостей. Этот критерий, подтверждая общий вывод о неустойчивости плоской детонации, нельзя считать строгим. Он применим к некоему предельному случаю, который в принципе не реализуется.
Задачу о неустойчивости плоской детонации численными методами решал В. В. Пухначев (1963). Он тоже получил неустойчивость во всех случаях, за исключением распространения волны в узких трубах, в которой она может оказаться устойчивой.
Математическую задачу об устойчивости плоской детонации рассматривал С. К. Асланов (1965). Он получил критерий неустойчивости, бли&кий к (5.4). Численные расчеты по критерию Асланова хорошо совпадают с результатами, полученными с помощью (5.4).
Критерий (5.4) применялся также к оценке пределов устойчивости сильной детонации и слабой дефлаграции (К. И. Щел кин, 1959). Особенно интересен случай слабой дефлаграции. Он позволяет оценить границу устойчивого горения в техническом устройстве, например в гипотетической камере ракетного двигателя, работающего в режиме индукции. Под режимом индукции здесь понимается горение, при котором прогретый газ воспламеняется после истечения периода индукции химической реакции, зависящей от температуры по закону Аррениуса. Критерий, который будет
388388К. и. ЩЕЛКИН
388
388
сейчас получен, конечно, неприменим к распространению горения теплопроводностью (нормальное горение) или турбулентностью (турбулентное горение). Он неприменим вообще к любому типу фронтального распространения пламени.
Для слабой дефлаграции, если взять за исходное состояние газа точку 1 (рис. 7),отношение давления продуктов сгорания к давлению исходного газа не очень сильно отличается от единицы, и выражение (5.4) можно разложить в ряд:
机」出号=爲［」(止2产］=彳爲(修)•(5.6)
Для дефлаграции безразмерная разность давления, если учесть (4.28) и положить М《1, составит
Рис. 10. Возникновение двух ударных волн С и 3，при сокращении периода задержки воспламенения во фронте детонации на бт.Рис. 10. Возникновение двух ударных волн С и 3，при сокращении периода задержки воспламенения во фронте детонации на бт.правленная к передней границеправленная к передней границе
Рис. 10. Возникновение двух ударных волн С и 3，при сокращении периода задержки воспламенения во фронте детонации на бт.
Рис. 10. Возникновение двух ударных волн С и 3，при сокращении периода задержки воспламенения во фронте детонации на бт.
правленная к передней границе
правленная к передней границе
С учетом этого критерий неустойчивости слабой дефлаграции принимает очень простой вид
〒鳥 дм».(5.7)
Этот же критерий можно применить и для сильной детонации, но при этом следует принимать за исходное состояние газ, сжатый в ударной волне, движущейся со скоростью сильной детонации. Все величины 7, q и М надо относить к этому газу.
Одномерная неустойчивость детонации. Детонация, как это качественно показали Р. М. Зайдель и Я. Б. Зельдович (1964), неустойчива
по отношению к одномерным возмущениям.
Детонация в модели Зельдовича —— Неймана, как уже говорилось, представляет собой дефлаграцию Чепмена —— Жуге, распространяющуюся по ударно сжатому газу —— ударной волне (рис. 10, а).
В установившемся режиме сжатый газ воспламеняется через время т после поступления в ударный фронт. Этому времени соответствует скорость распространения горения, равная скорости течения несгоревшего газа и противоположная ей по знаку: фронт горения В остается неподвижным по отношению к фронту ударного сжатия АС. Пусть теперь по какой-нибудь случайной причине время химической реакции сократится на некоторую малую величину. Фронт пламени при этом сместится в сторону ударного фронта, появится составляющая скорости пламени, на- ударной волны. Условия на границе
«несгоревший газ ——продукты сгорания» перестанут удовлетворять условию Чепмена ——Жуге. Новый разрыв распадется на две ударные волны, одна (С，) пойдет по ударно сжатому газу, другая (Вг)——по продуктам
горения (рис. 10, 6). Если прирост скорости относительно большой, то между ударными волнами в рассматриваемом случае появится волна разрежения GK (рис. 10, б). Но пока возмущение мало, волной GK можно пренебречь.
Комплекс из зоны горения и распространяющейся перед ним ударной волны называют двойным нестационарным разрывом. Скорость волн, скорость и состояние газа во всех зонах двойного нестационарного разрыва можно легко вычислить.
Ударная волна С', появившаяся в результате сокращения времени химической реакции, дополнительно нагревает газ, время химической реакции от этого сокращается еще больше, по газу идет новая ударная волна, которая еще сильнее сокращает время химической реакции, и т. д. Возмущение (ускорение горения), возникнув, будет прогрессивно возрастать. Когда возмущение достигнет исходного ударного фронта АС, назад по сжатому газу пойдет волна разрежения, давление на фронте резко упадет и детонация вследствие очень сильной зависимости времени реакции от температуры (давления ударно сжатого газа) может затухнуть.
Критерий неустойчивости детонации к одномерным возмущениям совпадает с условием потери устойчивости плоской детонации по отношению к искривлениям фронта горения, введенным Р. М. Зайделем (5.5).
Критерий (5.5) обладает тем недостатком, что он не зависит ни от отношения скоростей звука в сгоревшем и несгоревшем газе, ни от теплового эффекта горения, от которых, при прочих равных условиях, зависит интенсивность ударной волны, идущей по несгоревшему газу ).
Задача об одномерной неустойчивости детонации решалась по той же схеме К. И. Щелкиным (1965). Это решение воспроизводится ниже.
В детонации Чепмена —— Жуге зона воспламенения покоится по отношению к ударному фронту. Поэтому скорость распространения пламени равна и противоположна по знаку скорости течения сжатого несгоревшего газа (и ———иуд). Расстояние от ударного фронта до зоны воспламенения 九 — цт, где р —— задержка воспламенения.
В невозмущенной волне за произвольный промежуток времени сгорает объем газа, отнесенный к единице поверхности фронта, равный V = wt Если время задержки воспламенения по случайной причине за промежуток времени t сократится на 6т, фронт пламени приблизится к ударному фронту на расстояние АХ — и 6т и объем газа, сгоревший за тот же промежуток времени, станет равным Vf = ut -{- ибт. Отношение объемов газа, сгоревших за одно и то же время, равно отношению скоростей распространения пламени
V и 1 т
Поскольку промежуток времени t произвольный, будем считать его равным т. Тогда, учитывая знаки, можно написать
= (5.8)
Применяя соотношение (5.8), надо иметь в виду, что Au ——средний по интервалу времени т безразмерный прирост скорости пламени. Если
в следующем интервале времени, равном т, период индукции сократится еще на 6т, то фронт пламени придвинется к ударному фронту еще на и'бр. Иначе говоря, чтобы сохранилась новая скорость пламени, период задержки воспламенения должен непрерывно сокращаться. Если же он, сократившись один раз на величину 6т, останется равным т ——6т, зона горения установится на новом расстоянии 九——u6p от ударного фронта. Пламя относительно ударного фронта снова будет покоиться.
Безразмерный перепад давления в ударной волне, идущей по несгоревшему газу и обязанный малому приросту скорости пламени, определяется, согласно К. И. Щел кину (1959), выражением
Ар == 47 Ам. (5.9)
Здесь р‘ ——давление в ударной волне, р ——давление в газе, по которому идет ударная волна, с и с「——скорость звука в несгоревшем и сгоревшем газе соответственно, q — отношение теплового эффекта сгорания к внутренней энергии несгоревшего газа, М ——отношение скорости пламени к скорости звука в несгоревшем газе.
Дальнейшая судьба начального возмущения (по времени 6т и длине ибр) зависит от того, каким окажется обратное влияние ударной волны (5.9) на период задержки воспламенения и соответственно на скорость пламени, определенную выражением (5.8). Если ударная волна за время, не превышающее т, сократит период задержки на величину, превышающую 6т, начальное возмущение возрастет. Если же ударная волна сократит задержку воспламенения меньше чем на 6т, начальное возмущение уменьшится. Стало быть, для выяснения условия роста начального возмущения надо найти зависимость изменения периода задержки воспламенения (относительного изменения скорости пламени) от относительного перепада давления в ударной волне.
Время химической реакции зависит от температуры (ср. (5.2)) следующим образом:
ПоэтомуПоэтомуии(5.10)(5.10)тт(5.И)(5.И)
Поэтому
Поэтому
и
и
(5.10)
(5.10)
т
т
(5.И)
(5.И)
Полагая сжатие в ударной волне адиабатическим, получим
结一『鳥口一华）号结一『鳥口一华）号(5.12)(5.12)
结一『鳥口一华）号
结一『鳥口一华）号
(5.12)
(5.12)
и, разлагая (5.12) в ряд и ограничиваясь линейным членом, найдем
卜u ==卜р.(5.13)
Условие неустойчивости запишется в виде
嚮 I.(5.14)
d^u |5.9dA〃|5.13'/
Следовательно,критерий возникновенияодномерной неустойчивости
детонации примет форму
彳倉鹏 (5.15)
Критерий (5.15) практически всегда превышает единицу. Плоская волна поэтому неустойчива и по отношению к одномерным возмущениям. Если ее и удастся наблюдать, то лишь в специальных случаях, когда энергия активации при высоких температурах оказывается настолько малой, что критерии (5.4) и (5.15) становятся меньше единицы.
Спиновая и пульсирующая детонации
Детонацию с ударной волной перед зоной горения, условия- неустойчивости которой рассмотрены в предыдущем параграфе, называют детонацией Зельдовича —Неймана). Дж. Нейман (1942, США) предложил ее двумя годами позже Зельдовича (1940). Еще через год подобную схему опубликовал В. Деринг (1943). По весьма понятной причине работы Неймана и Деринга долго не были известны в СССР, как и работа Зельдовича за рубежом. Почти 20 лет эта модель считалась для детонации основной, хотя и не единственной. Еще в 1926 г. К. Кемпбелл и Д. Вудхед в Англии открыли так называемую спиновую детонацию —— детонационный спин. Они показали, что в гладкой трубе при составах смеси с большим избытком или недостатком горючей компоненты зона горения явно не плоская. Горение в виде ядра движется вперед со скоростью детонации и одновременно вращается вокруг оси трубы. От ядра пламя, уже на некотором удалении от фронта, распространяется на все сечение трубы.
Скорость спиновой детонации вдоль оси трубы (скорость движения процесса в целом), несмотря на явно трехмерную структуру ее фронта, точно совпадает со скоростью детонации в той же смеси, вычисленной по классической одномерной теории.
Спиновая детонация, не укладывающаяся в модель Зельдовича —— Неймана, много лет рассматривалась как исключительное явление, характерное лишь для некоторых газовых смесей, например, для окиси углерода с кислородом. Затем X. А. Ракипова, Я. К. Трошин и К. И. Щелкин (1947) показали, что детонационный спин возникает всегда и во всех смесях вблизи пределов распространения детонации, каким бы способом они ни достигались (уменьшением диаметра трубы, понижением начального давления или изменением концентрации горючей компоненты).
После длительных и очень трудных поисков К. И. Щелкину (1945) и Я. Б. Зельдовичу (1945) удалось выяснить, что спин имеет газодинамическую природу и представляет собой косую пересжатую детонацию, распространяющуюся с постоянной скоростью вдоль стенок трубы по спирали. Горение в спиновой детонации, как выяснилось, начинается за фронтом LM тройной маховской конфигурации (рис. 11). Волна LC этой же конфигурации представляет собой прямой ударный фронт, характеристики которого можно вычислить по теории Зельдовича ——Неймана.
На этом не истощилась способность детонации преподносить исследователям сюрпризы. Б. В. Войцеховский (1957), Б. В. Войцеховский, В. В. Митрофанов и М. Е. Топчиян (1962) и.М. Е. Топчиян (1962) после тщательного исследования фронта спиновой детонации и измерения
давления в различных его зонах обнаружили (по крайней мере при некоторых условиях) структуру спина значительно более сложную, чем счита
лось ранее. В частности, они зарегистрировали значительно более высокие
давления, чем рассчитанные по старой схеме (см. рис. 11). Они зарегистрировали угол наклона зоны горения в ядре спина к сечению трубы, равный 75°. Здесь тоже возникло противоречие с теорией, поскольку согласно теории этот угол не может быть больше 45°. Для получения соответствия расчетов с опытом в лаборатории Войцеховского была построена новая
структура спина. Грубо говоря, ядро спина по этой гипотезе состоит из двух тройных конфигураций. Кроме конфигурации, представленной
6)6)〃丿〃丿Рис. И. Тройная маховская конфигурация (излом) в случае пересечения двух ударных волн CL и LM (а) и пересечения ударной волны с детонацией (б).Рис. И. Тройная маховская конфигурация (излом) в случае пересечения двух ударных волн CL и LM (а) и пересечения ударной волны с детонацией (б).на рис. 11, при спине по сжатому газу 2 распространяется еще одна такая же конфигурация и горение происходит в двух косых волнах; в «старой» волне LM и в «поперечной» волне, идущей по газу 2 (на рис, 11 она не показана). Более значительная по массе часть газа сгорает в «поперечной» волне второй конфигурации.
6)
6)
〃丿
〃丿
Рис. И. Тройная маховская конфигурация (излом) в случае пересечения двух ударных волн CL и LM (а) и пересечения ударной волны с детонацией (б).
Рис. И. Тройная маховская конфигурация (излом) в случае пересечения двух ударных волн CL и LM (а) и пересечения ударной волны с детонацией (б).
Еще первые исследователи спиновой детонации заметили, что по мере
удаления по составу от пределов рас-
пространения детонации число ядер спина увеличивается, спин становится многоголовым. Затем детонация переходит в «нормальную», как думали, плоскую,
многоголовой и «нормальной» детонациимногоголовой и «нормальной» детонациисредствами, позволяющимисредствами, позволяющимиЮ. Н. Денисов и Я. К. Трошин (1959, I960) предприняли исследование
многоголовой и «нормальной» детонации
многоголовой и «нормальной» детонации
средствами, позволяющими
средствами, позволяющими
обнаружить неоднородности во фронте детонации, значительно мень
шие по размерам, чем это могли сделать раньше. Выяснилось, что не только спиновая (одно- и многоголовая), но и «нормальная» детонация в действительности имеет трехмерную структуру, В связи с первыми опытами Денисова и Трошина было предпринято описанное выше исследование устойчивости плоской детонации в модели Зельдовича—Неймана.
Неоднородности во фронте детонации, ранее считавшемся плоским, обнаружены Денисовым и Трошиным так называемым следовым методом. Это — простая и вместе с тем тонкая методика. Боковая поверхность трубы, а также пластинки, устанавливаемой в торце трубы
перпендикулярно к направлению движения волны, покрываются по специальной технологии тонким слоем сажи. Детонация, ее сложная структура, скользя вдоль поверхности трубы или ударяясь о пластинку
в ее торце, оставляет четкие отпечатки, позволяющие измерить размеры неоднородностей и расшифровать их структуру.
Неоднородности во фронте «нормальной^ детонации обнаружены также Б. В. Войцеховским, Б. Е. Котовым, В. В. Митрофановым и М, Е. Топчияном (1958) фотографическим способом. Эти авторы, фотографируя так называемым компенсационным методом поверхность детонационного фронта, обнаружили на нем неоднородности свечения, указывающие на трехмерную структуру зоны воспламенения. Неоднородности во фронте «плоской» детонации подробно исследовались в советских и зарубежных лабораториях. Из зарубежных исследований особенно интересна работа Д. Уайта (1961), изучавшего структуру детонации в смеси 2Н2 + О? + СО интерференционным методом. Уайт неизменно
сложной структурыJСсложной структурыJС〃а)〃а)Рис. 12. Схема изломов ударного фронта детонации (% б — без горения непосредственно за изломом; е, а — с горением).Рис. 12. Схема изломов ударного фронта детонации (% б — без горения непосредственно за изломом; е, а — с горением).
сложной структуры
JС
сложной структуры
JС
〃а)
〃а)
Рис. 12. Схема изломов ударного фронта детонации (% б — без горения непосредственно за изломом; е, а — с горением).
Рис. 12. Схема изломов ударного фронта детонации (% б — без горения непосредственно за изломом; е, а — с горением).
обнаруживал сильную турбулентность позади зоны реакции. Это служит еще одним независимым доказательств детонации. Пульсирующую детонацию, как была названа детонация с многочисленными неоднородностями во фронте, теперь можно выделить в самостоятельный вид горения： это — потерявшая устойчивость плоская волна в модели Зельдовича ——Неймана, Спиновая детонация оказалась предельным случаем пульсирующей, она возникает, когда на сечении трубы размещается лишь одна неоднородность.
Структура неоднородностей при пульсирующей детонации, как показывают эксперименты и сопоставленные с ними газодинамические расчеты, выглядит следующим образом. От пересжатых участков (G на рис, 8) к ударному фронту приходят волны сжатия и вызывают на его поверх^ ности возмущения двух типов: излом — пересечение двух ударных волн (рис, 11, а и 12, а) и пересечение ударной волны с косой детонационной (рис, 11, б и 12, 6). Справа на рис. 12 показаны упрощенные схемы соответствующих изломов, это — известные маховские тройные конфигурации, поддающиеся точному газодина^- мическолгу расчету. Линией LM отмечены
«ножки» или «маховские диски» тройных конфигураций. Угол % существенно различен ё конфигурациях обоих типов.”
В случае пересечения ударной волны с детонационной (рис, 12, а) он заметно меньше, чем при пересечении двух ударных волн. По отпечаткам на боковой стенке трубы можно проследить за движением точки L (рис. 12) и измерить угол х. Измерения и сопоставления их с расчетом конфигураций обоих типов показывают, что в большинстве случаев при пульсирующей детонации возникают возмущения типа, изображенного на рис, 12, а, б. Их на фронте много. Сталкиваясь, они создают зоны повышенного давления и температуры, в которых воспламеняется газ. Встречаясь с пластинкой, перпендикулярной к движению фронта, конфигурации оставляют на ней отпечатки, по которым можно измерить размеры неоднородностей. Любопытно, что средний размер ячейки пропорционален времени химической реакции в модели Зельдовича—-Неймана. Модель оставляет о себе своеобразное напоминание. И это не случайно. Несмотря на неустойчивость, на этой модели основывается существование пульсирующей детонации. Неустойчивость не разрушает детонацию с ударнЛн волной впереди зоны горения, она только придает волне более сложную трехмерную структуру.
Средний размер неоднородностей уменьшается с повышением начального давления смеси. Это связано с некоторым возрастанием скорости детонации при повышении начального давления, приводящем к увеличению температуры ударно сжатого газа и сокращению времени химической реакции.
На рис. 13 показано изменение скорости детонации и температуры ударно сжатого газа в смеси 2H2 + О2 в зависи-
Рис. 13. Зависимость скорости детонации D (м/сек) и температуры Г2 (°К) за ударным фронтом от начального давления р^ (мм рт. ст.) смеси 2Н2 + О2 (диаметр трубы 16 мм).
мости от начального давления. Зависимость среднего размера неоднородности Ау от времени химической реакции т выражается следующим соотношением, справедливым, вероятно, с точностью до s постоянного коэффициента порядка единицы (Б, П. Волин, Г. И, Филатов, Я. К, Трошин, К. И. Щелкин, I960):
〜(Y — 1)2t7)
(Y + "4一/m)
(6-1)
Пользуясь формулой (6.1), можно экспериментально определять время химической реакции в модели Зельдовича ——Неймана. Таким способом А. И. Сербинов, Я. К.
Трошин и К. И. Щ ел кин (1962) измерили температурный коэффициент (видимая энергия активации) реакции воспламенения бензола с кисло-
Рис. 14. Температурная зависимость запаздывания воспламенения бензоло-кислородной смеси в детонационной волне 1g т сек — 103/Т °К (видимая энергия активации в этих условиях равна 37 ккал/моль).
родом, который в области температуры, видной на рис. 14, оказался равным 37 ккал/молъ.
Иногда некоторые из крупных ячеек (неоднородностей) заполнены на порядок меньшими по размеру неоднородностями (Ю. Н. Денисов и Я. К. Трошин, 1959； К. И. Щелкин, 1965). Можно думать, что в некоторых случаях пересжатая детонация, существующая в пределах одной крупномасштабной ячейки, может в свою очередь оказаться неустойчивой, несмотря на то, что критерий (5.7) для пересжатой детонации меньше, чем критерий неустойчивости детонации Чепмена — Жуге (5.4),
Вследствие более высокой температуры в ударном фронте пересжатой (сильной) детонации по сравнению с детонацией Чепмена —Жуге размер ячеек при потере устойчивости оказывается значительно меньшим, чем в детонации Чепмена — Жуге. Так возникает тонкая структура в пульсирующей детонации. Тонкая структура зарегистрирована теми же авторами и ^спиновой детонации.
После открытия пульсирующей детонации в газах начались усиленные
поиски аналогичной структуры детонации в конденсированных взрывча
тых веществах.
А. Н. Дремин, Г. А. Ададуров и О. К. Розанов (I960) в результате кропотливых исследований обнаружили неоднородную, очень регуляр-
ную структуру фронта детонации в нитрометане (жидкость), разбавленном ацетоном. Затем пульсирующая детонация была найдена еще в нескольких жидких взрывчатых веществах ).
Поиски пульсирующей детонации в твердых взрывчатых веществах успеха не имели. Неоднородности в структуре твердых взрывчатых веществ практически всегда больше неоднородностей, связанных с неустойчивостью плоского фронта детонации. Поэтому, вероятно, газодинамические неоднородности в твердых веществах и не проявляются. В них, проще говоря, яет плоского фронта детонации. Воспламенение при детонации твердых взрывчатых веществ происходит, по-видимому, по механизму, близкому к предложенному А. Я. Апиным (1945). В поисках объяснения сильного различия детонационной способности монокристаллических и прессованных веществ (сильное различие предельных диаметров) Апин первый выдвинул гипотезу о трехмерной неоднородной структуре фронта «плоской» детонации. По этой гипотезе фронт детонации подобен щетке, состоящей из тонких кумулятивных струй, образующихся вследствие неоднородной структуры взрывчатого вещества и поджигающих взрывчатое вещество в отдельных точках.
Детонация в шероховатых трубах
Впервые детонацию в шероховатых трубах исследовал К. И. Щелкин {1940). Детонация вызывалась в металлической трубе и перепускалась в стеклянную, длиной около 2,5 м. Во второй половине стеклянной трубы помещалась проволочная спираль, прилегающая к стенке. Распространение детонации фотографировалось на движущуюся пленку. На одной и той же фотографии получались отпечатки распространения детонации и в гладкой и в шероховатой частях трубы. Отношение скоростей детонации измерялось с точностью около одного процента, абсолютная скорость —с точностью 2—3%. Некоторые результаты измерений приведены в таблицах 5 и 6. По мере приближения смеси к пределу детонации отношение скорости детонации в шероховатой трубе к скорости в гладкой уменьшается и может достичь 40%. Так, для смеси 2,32% этана и 76,8% кислорода в шероховатых трубах при различных начальных давлениях получены следующие результаты,
В шероховатой трубе горение способно распространяться с постоянной сверхзвуковой скоростью (но значительно меньшей расчетной Скорости детонации) при тех составах, при которых детонация в гладких трубах вообще на распространяется. Так, в гладкой трубе верхний предел детонации паров этилового эфира с воздухом лежит между 4,5 и 4,6% эфира в воздухе, В 4,5% смеси в гладкой трубе детонация идет со скоростью 1713 м/сек. В смеси, содержащей 4,6% эфира, детонация вовсе не распространяется. В шероховатой трубе (диаметр 16—18 лш, шероховатость создавалась проволокой диаметром 1,5 мм, свернутой в спираль с шагом 2,5 витка на 1 см, прилегающей к стенкам трубы) предел распространения режима горения со сверхзвуковой постоянной скоростью лежит между 4,8 и 5,2% эфира в воздухе. При концентрации в 4,8% эфира и давлении 760 мм рт. ст. скорость в шероховатой трубе равна 706 м!сек, при давлении 900 мм рт. ст. она составляет 920 м/сек.
Табл ица 5-
Влияние шероховатости на скорость детонации в газовых смесях
Модель детонации Зельдовича — Неймана не согласовывалась с опытами по детонации в шероховатых трубах. Дело в том, что согласно этой модели скорость детонации на пределах ее распространения (пределыМодель детонации Зельдовича — Неймана не согласовывалась с опытами по детонации в шероховатых трубах. Дело в том, что согласно этой модели скорость детонации на пределах ее распространения (пределыТаблица 6Влияние начального давления *на отношение скоростей детонациив шероховатой и гладкой трубах(в %)Таблица 6Влияние начального давления *на отношение скоростей детонациив шероховатой и гладкой трубах(в %)0,20 0,31 0,43 0,950,20 0,31 0,43 0,950,13 0,310,13 0,31Начальное давление, мм рт. стп.7605003002002г = 7,0 мм756761806661—72595240696558482「= 4,5 мм848471756556—Начальное давление, мм рт. стп.7605003002002г = 7,0 мм756761806661—72595240696558482「= 4,5 мм848471756556—5,93,97 2,28 2,305,93,97 2,28 2,306,825,776,825,77достигаются уменьшением диаметра трубы или понижением давления смеси) может быть ниже скорости детонации без потерь лишь на величину порядка (RT/E) D, малую по сравнению с D. Предел детонации, теория которого в этой модели разработана Я. Б. Зельдовичем (1955), связан с потерями на теплоотдачу и трение- у стенки трубы. Потери уменьшают скорость волны. Во фронте ударной волны, предшествующей зоне горения и детонации, снижается температура. Вследствие этого уменьшается скорость реакции и возрастает время, в течение которого идут потери, и т, д. Температура сжатого и несгоревшега газа в детонационной волне примерно* пропорциональна квадрату скорости детонации. Время же химической реак-достигаются уменьшением диаметра трубы или понижением давления смеси) может быть ниже скорости детонации без потерь лишь на величину порядка (RT/E) D, малую по сравнению с D. Предел детонации, теория которого в этой модели разработана Я. Б. Зельдовичем (1955), связан с потерями на теплоотдачу и трение- у стенки трубы. Потери уменьшают скорость волны. Во фронте ударной волны, предшествующей зоне горения и детонации, снижается температура. Вследствие этого уменьшается скорость реакции и возрастает время, в течение которого идут потери, и т, д. Температура сжатого и несгоревшега газа в детонационной волне примерно* пропорциональна квадрату скорости детонации. Время же химической реак-ции в модели Зельдовича — Неймана зависит от этой температуры экспоненциально, с большой величиной экспоненциального множителя. Поэтому малое падение скорости вследствие потерь, сопровождаясь относительно небольшим снижением температуры сжатого, но не сгоревшегоции в модели Зельдовича — Неймана зависит от этой температуры экспоненциально, с большой величиной экспоненциального множителя. Поэтому малое падение скорости вследствие потерь, сопровождаясь относительно небольшим снижением температуры сжатого, но не сгоревшего
Модель детонации Зельдовича — Неймана не согласовывалась с опытами по детонации в шероховатых трубах. Дело в том, что согласно этой модели скорость детонации на пределах ее распространения (пределы
Модель детонации Зельдовича — Неймана не согласовывалась с опытами по детонации в шероховатых трубах. Дело в том, что согласно этой модели скорость детонации на пределах ее распространения (пределы
Таблица 6
Влияние начального давления *на отношение скоростей детонациив шероховатой и гладкой трубах(в %)
Таблица 6
Влияние начального давления *на отношение скоростей детонациив шероховатой и гладкой трубах(в %)
0,20 0,31 0,43 0,95
0,20 0,31 0,43 0,95
0,13 0,31
0,13 0,31
Начальное давление, мм рт. стп.
760
500
300
200
2г = 7,0 мм
75
67
61
80
66
61
—
72
59
52
40
69
65
58
48
2「= 4,5 мм
84
84
71
75
65
56
—
Начальное давление, мм рт. стп.
760
500
300
200
2г = 7,0 мм
75
67
61
80
66
61
—
72
59
52
40
69
65
58
48
2「= 4,5 мм
84
84
71
75
65
56
—
5,9
3,97 2,28 2,30
5,9
3,97 2,28 2,30
6,82
5,77
6,82
5,77
достигаются уменьшением диаметра трубы или понижением давления смеси) может быть ниже скорости детонации без потерь лишь на величину порядка (RT/E) D, малую по сравнению с D. Предел детонации, теория которого в этой модели разработана Я. Б. Зельдовичем (1955), связан с потерями на теплоотдачу и трение- у стенки трубы. Потери уменьшают скорость волны. Во фронте ударной волны, предшествующей зоне горения и детонации, снижается температура. Вследствие этого уменьшается скорость реакции и возрастает время, в течение которого идут потери, и т, д. Температура сжатого и несгоревшега газа в детонационной волне примерно* пропорциональна квадрату скорости детонации. Время же химической реак-
достигаются уменьшением диаметра трубы или понижением давления смеси) может быть ниже скорости детонации без потерь лишь на величину порядка (RT/E) D, малую по сравнению с D. Предел детонации, теория которого в этой модели разработана Я. Б. Зельдовичем (1955), связан с потерями на теплоотдачу и трение- у стенки трубы. Потери уменьшают скорость волны. Во фронте ударной волны, предшествующей зоне горения и детонации, снижается температура. Вследствие этого уменьшается скорость реакции и возрастает время, в течение которого идут потери, и т, д. Температура сжатого и несгоревшега газа в детонационной волне примерно* пропорциональна квадрату скорости детонации. Время же химической реак-
ции в модели Зельдовича — Неймана зависит от этой температуры экспоненциально, с большой величиной экспоненциального множителя. Поэтому малое падение скорости вследствие потерь, сопровождаясь относительно небольшим снижением температуры сжатого, но не сгоревшего
ции в модели Зельдовича — Неймана зависит от этой температуры экспоненциально, с большой величиной экспоненциального множителя. Поэтому малое падение скорости вследствие потерь, сопровождаясь относительно небольшим снижением температуры сжатого, но не сгоревшего
Смесь
Диаметр трубы, мм
d
п
м/сек
м/сек
%/%，％
С2Н4 + ЗО2
18
0,16
3,99
2380
2380
100,0
e2H4+ 1,702
18
0,16
3,99
2870
2870
100,0
e2H4 +。2
18
0,14
3,99
2900
2590
89,3
2,1h2 上。2
18
0,17
2,36
3025
2740
90,6
2Н2+О2
18
0,17
2,6
2740
2400
87,6
2H2 + О2 .
10
0,25
3,6
2767
2362
85,5
0,43
2,4
2820
1608
57,0
2H2 +02
7
0,20
5,1
2856
2330
81,7
0,29
3,9
2820
2170
77,0
0,43
3,2
2795
1859
66,5
0,61
2,4
2741
1804
65,7
2,07H2 + O2
4,5
0,13
6,6
2915
2842
97,6
0,31
5,0
2940
1760
59,9
0,44
——
2974
1685
56,7
C2H6 + 3,5O2
10
0,20
4,2
2110
1872
88,7
0,30
2050
1755
85,7
0,43
2,4
2142
1478
68,8
(d/r — отношение диаметра проволоки, создающей шероховатость, к радиусу трубы; п—количество витков спирали на 1 см длины трубы; Dr—скорость детонации в гладкой части трубы; Dm — скорость детонации в шероховатой части трубы)
газа, приводит к большому увеличению времени реакции и связанному с этим временем возрастанию потерь. Предел наступает очень резко при малом уменьшении скорости волны.
Пульсирующая и спиновая детонации, появляющиеся в результате неустойчивости детонации в модели Зельдовича — Неймана, несмотря на качественно новый способ воспламенения в неоднородностях на фронте детонации, мало что меняют в описанном выше механизме предела детонации, Предел здесь связывается с исчезновением спина. Но этот подход скорее дает способ вычисления предела, нежели новое его физическое толкование, существенно отличное от разработанного для детонации в модели Зельдовича — Неймана.
Дело в том, что, как уже говорилось, спин исчезает, когда ширина зоны химической реакции в модели Зельдовича — Неймана начинает существенно превышать диаметр трубы. Таким образом, время реакции, характерное для модели Зельдовича — Неймана, и здесь в неявном виде входит в определения предела. Предел наступает, когда ширина зоны {величина, пропорциональная времени) становится сравнимой с диаметром трубы. Далее сильная зависимость времени реакции от скорости волны завершает работу. Предел наступает очень быстро. Допустимое падение скорости на пределе и в этом случае окажется, вероятно, порядка (R TIE) D、т, е. очень небольшим.
Для объяснения возможности распространения детонации в шероховатых трубах со сравнительно весьма малой скоростью возникла необходимость в новом механизме воспламенения во фронте детонации, Я. Б, Зельдович (1944) предположил, что в шероховатых трубах происходит локальное воспламенение газа в местах отражения ударной волны от шероховатости. Температура в отраженной волне значительно выше, чем в падающей. Возникнув у шероховатости, горение затем сравнительно медленно распространяется на все сечение трубы. Фронт пламени при детонации в шероховатых трубах имеет приблизительно форму вогнутого и достаточно растянутого конуса. Он обладает значительной протяженностью, на которой и происходят потери, снижающие скорость волны.
Говоря современным языком, шероховатость играет для воспламенения ту же роль, что и газодинамические неоднородности при пульсирующей и спиновой детонациях. К. И. Щелкин (1949) показал, что спиновая детонация, переходя в шероховатую трубу с малым шагом спирали, теряет характерную спиновую структуру. Помещая в трубу спирали с разным, но достаточно большим шагом, можно произвольно изменять частоту спина, вызывать характерную для него волнистость фронта и полосатую структуру послесвечения, теперь уже связанные с шагом спирали. Эти явления в шероховатой трубе возникают в результате движения по спирали искусственной зоны воспламенения, возникающей в результате столкновения ударной волны со спиральной шероховатостью. Так удается имитировать естественную газодинамическую конфигурацию, служащую источником воспламенения газа в спиновой детонации, В шероховатой трубе этот источник значительно стабильнее, чем в спиновой и пульсирующей детонации, поскольку его существование связано с температурой в отраженной волне, значительно более высокой по сравнению с температурой в прямой волне, которая определяет масштаб и существование неоднородностей при спиновой и пульсирующей детонации.
Однако возможен и другой механизм распространения детонации в шероховатых трубах. В них при движении ударной волны возникает очень сильная турбулентность. Горение благодаря турбулентности,
а также неоднородному распределению скоростей по сечению трубы может следовать за ударным фронтом с постоянной скоростью.
Оба рассмотренных выше механизма распространения детонации в шероховатых трубах позволяют ей приближаться к пределу со значительно меньшими скоростями, чем в модели Зельдовича ——Неймана, Понижение скорости распространения детонации в шероховатых трубах связаног как уже говорилось, с потерями на теплоотдачу и трение у стенки.
Общая задача о детонации с потерями поставлена Я, Б. Зельдовичем и А, С. Компанейцем (1955). Правда, в этой задаче за характерное времяг в течение которого происходят потери, принималось время химической реакции, которое, как уже говорилось, благодаря сильной зависимости скорости реакции от температуры очень быстро растет с уменьшением скорости детонации. Поэтому в общем виде задача решается лишь качественно и только для модели детонации Зельдовича ——Неймана.
Задачу о распространении детонации в шероховатых трубах решил, приближенно считая .ее одномерной, С. С. Рыбанин (1966). При этом предполагалось, что воспламенение происходит у стенок мгновенно и затем горение распространяется на все сечение трубы, а после смыкания фронта горения в середине трубы течение в ней становится одномерным.
Уравнения сохранения массы, импульса и энергии с учетом потерь на теплоотдачу и трение для идеального газа имеют вид
р0м0 = ри=/,(7.1)
Р +汽=Ро +产必+ J噌彰，(7-2)
0.
罔+等=猾+岑+ Q-j贺彰+。/噌2互(7.3)
о0
Здесь W — скорость газа относительно стенок трубы, сх — коэффициент трения, а — коэффициент теплоотдачи, R — радиус трубы, АТ — разность температур потока и стенок трубы, х — расстояние от фронта волны. Индекс 《0» относится к начальному состоянию газа. Поскольку при принятом механизме горения течение газа по трубе неоднородно, все величины в (7,1) — (7.3) осреднены по сечению трубы.
Последний член в (7,2) характеризует потери импульса, пдследние два члена в (7.3) — потери тепла в стенке и потери энергии на трение. Интегрирование производится по глубине зоны горения, начиная от ударного фронта. •
Выделение тепла в отличие от всех рассматривавшихся ранее задач о распространении детонации с потерями происходит не в результате химической реакции, протекающей по закону Аррениуса, а связано с турбулентным выгоранием смеси и выражается приближенно законом
Q=Qn[i(T)}Q=Qn[i(T)}(7-4)(7-4)
Q=Qn[i(T)}
Q=Qn[i(T)}
(7-4)
(7-4)
где Мц — нормальная скорость пламени, I — масштаб турбулентностит Qn — тепловой эффект реакции, Q — количество тепла, выделившееся к моменту времени 九
Из уравнений (7,1)—(7,3) находится отношение скоростей
〃0〃01 + ?М2(1 + |)±ул1 + ?М2(1 + |)±ул(у + 1)М2(у + 1)М2(7.5)(7.5)
〃0
〃0
1 + ?М2(1 + |)±ул
1 + ?М2(1 + |)±ул
(у + 1)М2
(у + 1)М2
(7.5)
(7.5)
где
Л =(м2-1)2 + 2M2 (Y +M2)g + YM空2 + 2 (屮—1)削|4_2俨丁"》о,
2
М2 =也 е =2
и Q выражается соотношением (7.4). Для простоты Q полагается постоянной и М2 ^> 1.
Величина А изменяется, при заданном М2, в зависимости от ^ и имеет минимум при 自=£• При А = 0 скорость потока газа равна скорости звука (и2 = урр), В то же время условия 4 = 0 и dAld^ = 0 определяют минимальную скорость детонации. Поэтому скорость детонации Чепмена —Жуге находится из условия А = 0 при 自=自*, т, е, в точке, где dAldW = 0.
Для определения параметров детонации в шероховатых трубах необходимо решить систему уравнений (7.1)——(7.3) при условии, что 自 = 自*, когда А = 0.
С, С. Рыбанин решает задачу приближенно. Для этого 自 представляется в виде двух интегралов： '
Е = -Д- { J JpW2 dc+ J ApW2 dz} •(7.6>
В первом интеграле здесь делается замена переменных dx = (u/up) dr、 где Up — скорость распространения горения на расстоянии г от оси трубы, а во втором — dx = и dt, В предположении, что сх и ир постоянны и в зоне горения ри = Ром。, из (7.6) следует
以Т闺(切⑺+4底(7.7)
Далее рассматриваются два крайних случая.
Е/мр 《Z/uh, т. е. время распространения горения от стенок трубы до оси E/up намного меньше времени горения моля газа Ии^. Первым интегралом в (7.7) в этом случае можно пренебречь. Поскольку при 方=О чистая ударная волна WluQ = 2/(у + 1), а при t = t* из (7.5) следует
2L = lzzlk
то второй интеграл (7.7) оценивается по значениям функции на краях интервала интегрирования в предположении, что w/u0 является линейной функцией 力友.В результате для £ получается соотношение
t」%e0厶(修e卷 -- 4Ye*+7)/7 只、
% _ 而声戸 -(' . °)
К. И. ЩЕЛКИНК. И. ЩЕЛКИН"2 (Yf Qn"2 (Yf Qn0,52.0,52.(7.13)(7.13)
К. И. ЩЕЛКИН
К. И. ЩЕЛКИН
"2 (Yf Qn
"2 (Yf Qn
0,52.
0,52.
(7.13)
(7.13)
Из уравнения (7.8) и условия, что 4=0 и dA/d^ = 0 при 自=&
следует
a y 咤 * + 2[1 + (у2—i)q]r + i
■и炉，
(7.9)
m，5 - 3[Y2自* + 1 +(Y2-1)Q] (1-?晶)2
■(lf)2，
(7.10)
R。, 5 — gi%(Y?肾一绚& + 7)
(7.И)
400
где
2 (Y2-1)0□Jc" "2 m-1) 0rl
喻 '3(v + l)2 ^н-ff
Из (7.9)—(7.11) можно, зная коэффициенты теплоотдачи и трения, а также, разумеется, исходные характеристики смеси, вычислить скорость детонации Чепмена — Жуге в шероховатой трубе и все остальные ее параметры.
Особый интерес представляет принципиальный вопрос о том, до какого предела может снижаться скорость детонации в шероховатой трубе, не затухая? Эта величина находится из предельного значения ^. Если значение Ct больше некоторой величины 之工 > 已口, то система (7.9)—(7.11) решения не имеет. Физически предельное значение скорости W соответствует таким потерям, при которых газ относительно стенок трубы полностью затормаживается •(忆=0). При этом 短=1/% q = 1. Тогда из (7.9) следует
"2(咨_ 1) 0rl 12dHi+(y-1)"Q]
Если положить Q = 0 и у = 1,2, то
Для другого предельного случая (Z/uH《R/u^) горение в трубе имеет вид конуса, поскольку пламя от стенок к оси трубы распространяется значительно медленнее, чем сгорает единичный моль. Пренебрегая вторым интегралом в (7.6) и считая W/uQ линейной функцией r/Е, здесь можно получить уравнение
(7-14)(7-14)%e0 (y2盛一绚己* + 7)~双Y+ 1)2 Ер.—
(7-14)
(7-14)
Вместе с условием 4 = 0 и dA/d^ = 0 при 自=自* оно позволяет получить следующие формулы для вычисления параметров детонации в шероховатой трубе:
頂"2[1 + M—1)q】 Ji頂"2[1 + M—1)q】 Ji1—(1—0)31—(1—0)3(7.15)(7.15)
頂"2[1 + M—1)q】 Ji
頂"2[1 + M—1)q】 Ji
1—(1—0)3
1—(1—0)3
(7.15)
(7.15)
(7-16)(7-16)9。，59。，5矗（合盛一4Y長+ 7）矗（合盛一4Y長+ 7）(7-17)(7-17)
(7-16)
(7-16)
9。，5
9。，5
矗（合盛一4Y長+ 7）
矗（合盛一4Y長+ 7）
(7-17)
(7-17)
1,5 一氢[Y2及 + 1 + (Y2+1)0](1一Y及)2
_(1一吊，
где
5一 3(旧1)2 恤
Соотношения (7.15) и (7.16) ничем не отличаются от (7.9) и (7.10). Предельная скорость детонации и предельные потери в этом случае точно такие же, как и в первом случае.
При сопоставлении теории с опытом следует иметь в виду, что выражение У2 (у2 — 1) Qn, вообще говоря, не равно, как это можно думать (ср. (4.22)), скорости детонации в гладкой трубе. В шероховатой трубе скорость детонации ниже, чем в гладкой, поэтому вследствие уменьшенной диссоциации в шероховатой трубе может выделяться более высокая теплота сгорания. Но в шероховатой трубе газ нагревается трением о стенку. Это увеличивает диссоциацию й уменьшает Q^. В результате практически довольно точно можно полагать
К2 (у2—1)<2п
Из соотношения (7.13) видно, что если пренебречь теплоотдачей, скорость детонации в шероховатой трубе может, при предельно сильной
шероховатости, составить примерно 50 % от скорости в гладкой трубе. На опыте наблюдаются скорости, равные 40% от скорости в гладкой трубе (см. таблицу 6). Вероятно, в рамках изложенной теории некоторую роль играет и теплоотдача в стенки трубы (величину Q в (7.12), может быть, нельзая считать равной нулю).
С. С. Рыбанин, пользуясь второй моделью (〃Uh《K’Up), рассчитал скорость детонации в шероховатых трубах для ряда смесей. Коэффициент трения сх вычислялся по литературным данным с точностью до постоянной величины, которая определялась из о: лентного горения определялась
Рис. 15. Зависимость безразмерной скорости детонации и* — и0^1Д/2 (у2 ——1) g в шероховатой трубе от коэффициента сопротивления = cx"|/2 (丫2 — 1) q/Up (2 — теоретический расчет; экспериментальные точки построены на основании опытов К. И. Шелкина для смесей водорода и этана с кислородом).Рис. 15. Зависимость безразмерной скорости детонации и* — и0^1Д/2 (у2 ——1) g в шероховатой трубе от коэффициента сопротивления = cx"|/2 (丫2 — 1) q/Up (2 — теоретический расчет; экспериментальные точки построены на основании опытов К. И. Шелкина для смесей водорода и этана с кислородом).ITOB по детонации. Скорость турбу- )эмпирической формуле, взятой изITOB по детонации. Скорость турбу- )эмпирической формуле, взятой изэкспериментального исследования турбулентного распространения горения (Л. С. Козаченко, I960), при этом принималось 〃н 〜У2.
Рис. 15. Зависимость безразмерной скорости детонации и* — и0^1Д/2 (у2 ——1) g в шероховатой трубе от коэффициента сопротивления = cx"|/2 (丫2 — 1) q/Up (2 — теоретический расчет; экспериментальные точки построены на основании опытов К. И. Шелкина для смесей водорода и этана с кислородом).
Рис. 15. Зависимость безразмерной скорости детонации и* — и0^1Д/2 (у2 ——1) g в шероховатой трубе от коэффициента сопротивления = cx"|/2 (丫2 — 1) q/Up (2 — теоретический расчет; экспериментальные точки построены на основании опытов К. И. Шелкина для смесей водорода и этана с кислородом).
ITOB по детонации. Скорость турбу- )эмпирической формуле, взятой из
ITOB по детонации. Скорость турбу- )эмпирической формуле, взятой из
На рис. 15 и 16 линиями показаны расчетные значения безразмерной скорости детонации в шероховатых трубах для разных • шероховатостей (которые выражены через коэффициент сопротивления сх). Точками нанесены экспериментальные данные как К. И. Щелкина (1940), так и П. Лаффита (1947),
Рис. 16. Зависимость безразмерной скорости детонации и* в шероховатой трубе от коэффициента сопротивления с* (2 ——теоретический расчет; экспериментальные точки построены по данным опытов П. Лаффита для смесей ацетилена и пропана с кислородом).Рис. 16. Зависимость безразмерной скорости детонации и* в шероховатой трубе от коэффициента сопротивления с* (2 ——теоретический расчет; экспериментальные точки построены по данным опытов П. Лаффита для смесей ацетилена и пропана с кислородом).производившего аналогичные опыты во Франции. Несмотря на значительный разброс экспериментальных точек, теория хорошо следует экспериментальным данным.
Рис. 16. Зависимость безразмерной скорости детонации и* в шероховатой трубе от коэффициента сопротивления с* (2 ——теоретический расчет; экспериментальные точки построены по данным опытов П. Лаффита для смесей ацетилена и пропана с кислородом).
Рис. 16. Зависимость безразмерной скорости детонации и* в шероховатой трубе от коэффициента сопротивления с* (2 ——теоретический расчет; экспериментальные точки построены по данным опытов П. Лаффита для смесей ацетилена и пропана с кислородом).
Детонация в шероховатых трубах представляет собой типичный пример неклассической детонации в том смысле, что в ее распространение
принципиальную роль играют потери на трение и теплоотдачу и выделение
26 Механика в СССР, том 2
тепла в ней происходит не по классическому механизму течения химической реакции, зависящей от температуры по закону Аррениуса, а благодаря распространению пламени по ударно сжатому газу. Однако конкретный механизм горения при детонации в шероховатых трубах должен быть выяс
нен экспериментально.
Кроме детонации в шероховатых трубах известны и другие примеры неклассической детонации. Так, детонация способна распространяться в трубах, покрытых изнутри маслом, графитом и другими горючими, но нелетучими (или малолетучими) материалами и заполненных чистым кислородом или воздухом. Это — так называемая гетерогенная детонация, распространение которой сопровождается регулярными взрывами, происходящими далеко за передним ударным фронтом (Я. К. Трошин и В. Ф. Комов, 1965). Теории распространения такой детонации не суще
ствует.
Типичным примером неклассической детонации можно назвать детонацию в поршневом бензиновом двигателе внутреннего сгорания. Большие заслуги в исследовании этого явления имеет А. С. Соколик (ссылки см. в его книге «Самовоспламенение, пламя и детонация в газах», I960), выявивший условия возникновения и особенности распространения этого типа детонации, а также предложивший меры ее подавления.
Б. В. Войцеховский (1959) осуществил так называемую стационарную вращающуюся детонацию. Кольцевой канал заполнялся горючей смесью, втекавшей в него радиально. Продукты горения вытекали из него также по радиусу. Детонация распространялась по каналу. Пока она проходила полную окружность, продукты горения успевали покинуть кольцевой канал и уступить место свежей смеси. Если продукты сгорания вытекали значительно быстрее, чем детонация обходила окружность, возникали два (или больше) фронта детонации. Распространение детонации в канале имеет ряд особенностей, в частности способность к саморегулированию,
4которые были замечены Б. В. Войцеховским. Ма'тематцческая теория распространения такой дето
4%%毎 р卩м44%%毎 р卩м4Рис. 17. К теории распада произвольного разрывает (плоскость разделяет газы 2 и 4, обладающие различными давлением р, удельным объемом 内 молекулярным весом М и скоростью движения и).все величины по обеРис. 17. К теории распада произвольного разрывает (плоскость разделяет газы 2 и 4, обладающие различными давлением р, удельным объемом 内 молекулярным весом М и скоростью движения и).все величины по обенации пока не разработана.
4%%毎 р卩м4
4%%毎 р卩м4
Рис. 17. К теории распада произвольного разрывает (плоскость разделяет газы 2 и 4, обладающие различными давлением р, удельным объемом 内 молекулярным весом М и скоростью движения и).
все величины по обе
Рис. 17. К теории распада произвольного разрывает (плоскость разделяет газы 2 и 4, обладающие различными давлением р, удельным объемом 内 молекулярным весом М и скоростью движения и).
все величины по обе
Распад произвольного теплового разрыва
Распад обыкновенного (не теплового) произвольного разрыва подробно рассмотрен Н. Е. Кочиным (1926). Пусть два газа разделены плоскостью Л (рис. 17) и первый газ обладает давлением pi，удельным объемом %, молекулярным весом Мх и скоростью движения uv а второй газ — Р4，у4, М&, и» Индекс «4» поставлен, как будет видно ниже, для удобства. Плоскость Л в общем случае представляет собой произвольный разрыв всех величин, характеризующих газы. Такой разрыв способен распространяться как целое, если плоскости Л удовлетворяют уравнениям ударной
волны (4.14), (4.16) и (4.17) или уравнениям волны разрежения. Но в общем случае он будет распадаться. Из величин, характеризующих газы 2 и 4, нельзя составить величину размерности длины или времени; изменение всей картины движения будет поэтому зависеть только от величины размерности скорости. Возникшее движение, следовательно, бу
дет автомодельным.
В плоскости Л в зависимости от начальных условий могут возникнуть волна разрежения и ударная волна, две ударные волны или две волны разрежения. Всегда обе волны движутся в разные стороны от плоскости А: в каждую сторону распространяется только одна волна. Если это ударная волна, то она движется относительно сжатого в ней газа со скоростью, меньшей скорости звука. Поэтому за фронтом ударной волны не может появиться ни ударная волна, ни волна разрежения, возникшие одновременно с первой, поскольку скорость одной больше, а второй равна скорости звука. Если первой волной является волна разрежения, то за ее фронтом не может быть ударной волны, возникшей вместе с первой волной, поскольку скорость ударной волны всегда больше скорости звука, с которой движется фронт волны разрежения. Не может за волной разрежения возникнуть и вторая волна разрежения, коль скоро появление новых волн после распада разрыва требует величины размерности времени, которой в задаче нет.
Для вычисления параметров ударной волны существуют три уравнения (4.14), (4.16) и (4.17), которые удобно записать в размерной форме:
——
Ph%
(8.1)
D = vtl/ ■空一"，
(8.2)
叩=1/(Pk—Pi)(Vi — Vk)
(8.3)
(индекс i относится к исходному газу, индекс к — к сжатому). Эти уравнения применимы, конечно, только к идеальному газу.
Для вычисления параметров волны разрежения решают уравнения гидродинамики. Подстановка в них переменной | = x/t сводит уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям. В результате получим уравнение сплошности
("一自)崇二贵(8图
и уравнение движения
(D黑T需，m)
к которым еще надо добавить уравнение изэнтропического сжатия
pyv = const.(8.6)
Из (8.4) и (8.5) найдем
(〃一目2需=察，
откуда следует
(8・7)
где с — скорость звука, полученная с помощью (8.6).
Нетривиальным решением уравнения (8.7) будет
(一)2 3,■
или
= и ± с.(8.8)
404404К. и. ЩЕЛКИН
404
404
Если волна разрежения распространяется в сторону роста координаты х (она идет по газу I, рис. 17), то принимается во внимание верхний знак в (8.8), если в сторону отрицательных ж (движется по газу 2, рис. 17), то — нижний.
Рассматривая движение волны разрежения по газу 4 (нижний знак в (8.8)), получим из (8.4) и (8.8)
—〃=J~^ap.(8.9)
Вспоминая, что
2
煮=(£Г，(8的
запишем
Подставляя последнее выражение в (8.9), найдем скорость течения, вызы- ваемую волной разрежения
2 f п 2 /、
LI J . L“
В случае распространения волны разрежения в сторону положитель- ных х скорость газа
2 /、
Поскольку всегда Ch V с» (после расширения газа его температура умень- шается), для скорости течения можно написать
士 〃= Y二T(clcQ・(8.11)
Знак «4-» относится к распространению волны в сторону отрицательных ж (газ при этом течет в положительном направлении оси 办
Разность скоростей, с которой движется передняя и задняя границы волны разрежения, составляет
^D = Ci — ck + u= ；±； (q —伞)=кА&
Поэтому ширина волны разрежения Дж линейно растет со временем：
А% = хАс£・(8.12)
Плотность в волне разрежения можно вычислить по следующей формуле, полученной с помощью (8Л0) и (8.11)：
2
р = М1—尸.(8.13)
Давление в ней найдется по соотношению
p = "(1_石±*)鍔.(8.14)
Из (8.15), между прочим, вытекает зависимость
…含巾一借)立
Отсюда следует, что скорость истечения газа в вакуум (р丸=0)
2
В итоге для вычисления четырех параметров ударной волны D, W, р, у имеется три уравнения ((8.1) — (8.3)) и для вычисления четырех параметров волны разрежения с, и, р, р — также три уравнения ((8.11), (8.13) и (8.14)), а всего шесть уравнений с восемью неизвестными. Два недостающих уравнения получают из условия на границе между газами 2 и 4, на которой должны быть равны скорость течения газа и давление: 恥工叩з,(8.15)
■ = Рз・(8.16)
Индексом «2» обозначено состояние за волной, идущей по газу 7, индексом 《3》——состояние за волной, распространяющейся по газу 4.
Задача таким образом, сводится к подбору двух волн, идущих от плоскости Л (рис. 17) в разные стороны и удовлетворяющих восьми уравнениям. Это могут быть как уравнения для двух ударных волн или волн разрежения, так и для одной ударной волны и одной волны разрежения. Во всех случаях к ним прибавляются два условия на границе ((8.15) и (8.16)), где возникает контактный (тангенциальный) разрыв. При равенстве на нем давления и скорости (нормальной составляющей скорости) газа плотность и температура, а также тангенциальная составляющая скорости могут по обе стороны разрыва быть различны. В общем случае, когда тангенциальные составляющие скорости не равны нулю и по обе стороны разрыва не одинаковы, тангенциальный разрыв неустойчив. Но при расчетах распада разрыва такая неустойчивость н© принимается во внимание. Это допустимо и физически: скорость фронта волны обычно велика по сравнению с тангенциальными скоростями на разрыве, масштаб длины, на которой размывается тангенциальный разрыв, поэтому мал по сравнению с расстоянием, на которое за равное время распространяются волны от плоскости произвольного разрыва. Задача о распаде произвольного разрыва обычно решается последовательными приближениями вручную или на электронной вычислительной машине.
Теорию распада произвольного разрыва впервые применили к задачам воспламенения газа Я. Б. Зельдович и К. И. Щелкин (1940). В частности, ими была рассмотрена задача о воспламёнении водорода при разрыве водородных резервуаров или при внезапном выпуске его из них.
А. А. Гриб (1944), используя наряду с другими приемами теорию распада произвольного разрыва, решил задачу о распространении плоской ударной волны при взрыве у твердой стенки и задачу о влиянии места инициирования на параметры воздушной ударной волны при детонации газов.
Плоскость произвольного разрыва может отделять продукты сгорания от горючего газа. Горение при этом распространяется по горючему газу в виде детонации или дефлаграции. Такого рода произвольные разрывы называют тепловыми произвольными разрывами (впервые они ра(> смотрены Г, М. Бам-Зеликовичем, 1949).
Основное содержание работы Г. М. Бам-Зеликовича излагается ниже. При этом применяется более современная терминология, не влияющая, конечно, на количественные результаты.
Рассмотрим сначала распространение по горючему газу дефлаграции. Здесь возможны два случая: распространение слабой дефлаграции и дефлаграции Чепмена ——Жуге. Сильная дефлаграция, как термодинамически неосуществимая при горении, не рассматривается.
При распаде теплового разрыва по продуктам сгорания, находящимся за плоскостью Л (рис. 17) (пусть теперь это будет газ 5), идет, как и раньше, только одна волна ——это или волна разрежения, или ударная волна. По горючему газу теперь уже может распространяться две волны — дефлаграция и ударная волна или дефлаграция вместе с волной разрежения впереди нее. Слабая дефлаграция распространяется всегда со скоростью меньше скорости звука, поэтому она может, возникнув одновременно с ударной волной (волной разрежения) в плоскости Л, распространяться затем вслед за ней. За фронтом слабой дефлаграции невозможно существование ни волны разрежения, ни ударной волны, поскольку фронт дефлаграции распространяется относительно продуктов сгорания, находящихся за ним, со скоростью меньше скорости звука, а любое возмущение движется по меньшей мере со скоростью звука.
Для вычисления состояния газа и его скорости за фронтом дефлаграции, как и самой скорости дефлаграции, имеется три уравнения. Два уравнения совпадают с (8.2) и (8.3). Третье уравнение ——адиабата Гюгоньо —— отличается от (8.1) членом, содержащим тепловой эффект горения. Это —— уравнение (4.15), которое в размерной форме имеет вид
Назовем в рассматриваемом случае несгоревший газ справа от плоскости А, в момент распада разрыва, газом 7, газ за фронтом первой волны, движущейся по газу 1 (это ударная волна или волна разрежения),——Назовем в рассматриваемом случае несгоревший газ справа от плоскости А, в момент распада разрыва, газом 7, газ за фронтом первой волны, движущейся по газу 1 (это ударная волна или волна разрежения),——Рис. 18. Изображение распада произвольного теплового разрыва в плоскости х —— 力(％ ——начальное положение разрыва; OD —— ударная волна —— волна разрежения; ОВ ——дефлаграция; 04’ 一 движение контактного разрыва； ОС ——ударная волна ——волна разрежения).Рис. 18. Изображение распада произвольного теплового разрыва в плоскости х —— 力(％ ——начальное положение разрыва; OD —— ударная волна —— волна разрежения; ОВ ——дефлаграция; 04’ 一 движение контактного разрыва； ОС ——ударная волна ——волна разрежения).газом 2* По нему движется дефлаграция. Газу за фронтом дефлаграции придадим индекс «3». Продукты горения, находящиеся левее плоскости А, обозначены индексом «5», газ за волной, идущей по ним (это ударная волна или волна разрежения),— индексом «4». На границе между газом Зии газом 4 должно, какгазом 2* По нему движется дефлаграция. Газу за фронтом дефлаграции придадим индекс «3». Продукты горения, находящиеся левее плоскости А, обозначены индексом «5», газ за волной, идущей по ним (это ударная волна или волна разрежения),— индексом «4». На границе между газом Зии газом 4 должно, каклаграцией возникает три волны: и третья, движущаяся полаграцией возникает три волны: и третья, движущаяся пои раньше, выполняться условие равенства давления и нормальной составляющей скорости:Рз = Р《， (8.18)w3 =恥. (8.19)Всего, таким образом, при распаде теплового разрыва со слабой деф- две, идущие по несгоревшему газу,и раньше, выполняться условие равенства давления и нормальной составляющей скорости:Рз = Р《， (8.18)w3 =恥. (8.19)Всего, таким образом, при распаде теплового разрыва со слабой деф- две, идущие по несгоревшему газу,продуктам горения (левее плоскости Л, рис. 18).продуктам горения (левее плоскости Л, рис. 18).(8.17)
Назовем в рассматриваемом случае несгоревший газ справа от плоскости А, в момент распада разрыва, газом 7, газ за фронтом первой волны, движущейся по газу 1 (это ударная волна или волна разрежения),——
Назовем в рассматриваемом случае несгоревший газ справа от плоскости А, в момент распада разрыва, газом 7, газ за фронтом первой волны, движущейся по газу 1 (это ударная волна или волна разрежения),——
Рис. 18. Изображение распада произвольного теплового разрыва в плоскости х —— 力(％ ——начальное положение разрыва; OD —— ударная волна —— волна разрежения; ОВ ——дефлаграция; 04’ 一 движение контактного разрыва； ОС ——ударная волна ——волна разрежения).
Рис. 18. Изображение распада произвольного теплового разрыва в плоскости х —— 力(％ ——начальное положение разрыва; OD —— ударная волна —— волна разрежения; ОВ ——дефлаграция; 04’ 一 движение контактного разрыва； ОС ——ударная волна ——волна разрежения).
газом 2* По нему движется дефлаграция. Газу за фронтом дефлаграции придадим индекс «3». Продукты горения, находящиеся левее плоскости А, обозначены индексом «5», газ за волной, идущей по ним (это ударная волна или волна разрежения),— индексом «4». На границе между газом Зии газом 4 должно, как
газом 2* По нему движется дефлаграция. Газу за фронтом дефлаграции придадим индекс «3». Продукты горения, находящиеся левее плоскости А, обозначены индексом «5», газ за волной, идущей по ним (это ударная волна или волна разрежения),— индексом «4». На границе между газом Зии газом 4 должно, как
лаграцией возникает три волны: и третья, движущаяся по
лаграцией возникает три волны: и третья, движущаяся по
и раньше, выполняться условие равенства давления и нормальной составляющей скорости:
Рз = Р《， (8.18)
w3 =恥. (8.19)
Всего, таким образом, при распаде теплового разрыва со слабой деф- две, идущие по несгоревшему газу,
и раньше, выполняться условие равенства давления и нормальной составляющей скорости:
Рз = Р《， (8.18)
w3 =恥. (8.19)
Всего, таким образом, при распаде теплового разрыва со слабой деф- две, идущие по несгоревшему газу,
продуктам горения (левее плоскости Л, рис. 18).
продуктам горения (левее плоскости Л, рис. 18).
Для вычисления 12 величин, характеризующих состояние газа, его скорость и скорость фронта в различных зонах D12, W2, Р2,叁，°2з，叩3, Рз，^з，叱，Р4，^4 есть 11 уравнений: шесть уравнений, описывающих распространение волн по газам 2 и 5 (для ударных волн — это (8.1), (8.2) и (8.3); для волн разрежения ——(8.11), (8.13) и (8.14)), три уравнения для дефлаграции ((8.17), (8.2) и (8.3)) и условия на границе ((8.18) и (8.19))^ Уравнений ——на одно меньше числа неизвестных. Скорость дефлаграции £>23 обычно задается и число неизвестных уменьшается до 11. Задача, таким образом, сводится к решению системы из 11 нелинейных алгебраических уравнений с 11 неизвестными. Исходные данные, характеризующие газы 1 и 5, известны, хотя и задаются совершенно произвольно. В результате расчета движение во всех зонах полностью определяется начальными данными.
В зависимости от начальных условий (состояние и скорость газов 1 и 5 схемы 1——4 на рис. 19) возможны четыре случая: 1) перед дефлаграцией идет ударная волна, по газу 5 ——волна разрежения; 2) перед дефлаграцией идет ударная волна, по газу 5 ——тоже ударная волна; 3) перед дефлаграцией идет волна разрежения, по газу 5 ——ударная волна; 4) перед дефлаграцией идет волна разрежения, по газу 5 ——волна разрежения. Г. М. Бам-Зеликович вывел условия, при которых осуществляется тот или иной режим (здесь эти условия не воспроизводятся). Практически оказывается проще каждый раз перед выбором системы уравнений физически анализировать конкретную задачу. После этого становится ясной качественная картина распада разрыва и выбор уравнений не составляет труда.
Во втором случае (распространение дефлаграции Чепмена — Жуге) вычисления более громоздки. Дело в том, что фронт дефлаграции Чепмена ——Жуге движется относительно продуктов сгорания, находящихся непосредственно за ним (относительно газа 2), со скоростью звука. Поэтому за фронтом дефлаграции в этом случае возможно появление еще одной волны — волны разрежения. В сторону несгоревшего газа при этом распространяются три волны: ударная волна (или волна разрежения), дефлаграция Чепмена — Жуге и волна разрежения. Соответственно число неизвестных увеличивается на три (не на четыре, а на три, поскольку известно, что фронт волны разрежения, распространяясь со скоростью звука по продуктам сгорания дефлаграции, покоится относительно фронта последней). Добавляются и три уравнения ((8.11), (8.13) и (8.14)), которые надо применять, считая за исходный газ продукты горения дефлаграции Чепмена ——Жуге. Всего в задаче 14 неизвестных и 14 уравнений для их определения.
Задача о распаде произвольного теплового разрыва с детонацией тоже известна в двух вариантах. Детонация может быть сильной и детонацией Чепмена —— Жуге. Задача о распаде разрыва с сильной детонацией ничем не отличается от задачи о распаде обыкновенного разрыва. По несгоревшему газу в этом случае может идти только одна волна, поскольку фронт сильной детонации распространяется относительно продуктов сгорания за ним со скоростью меньше скорости звука. За ним не может существовать какая-либо волна, поскольку любая из них движется со скоростью не меньше скорости звука. По сгоревшему газу, левее плоскости А, тоже может идти только одна волна. Следовательно, для расчета распада такого произвольного теплового уравнения надо решить систему из восьми уравнений с восемью неизвестными： три уравнения для детонации ((8.2), (8.3) и (8.17)), три уравнения для ударной волны ((8.1), (8.2) и (8.3)) [или
три уравнения для волны разрежения ((8.11), (8.13) и (8.14))], а также два условия на границе ((8.15) и (8.16)).
При распространении детонации Чепмена — Жуге скорость ее фронта относительно продуктов сгорания равна скорости звука, поэтому за фронтом детонации Чепмена — Жуге возможно распространение волны разрежения .Но скорость ее фронта известна, она равна скорости газа за фронтом детонации. По сравнению с предыдущим случаем число неизвестных
Рис. 19. Все возможные случаи распада произвольного теплового разрыва по Г. М. Бам-Зеликовичу (слева без волны разрежения за фронтом горения — слабая дефлаграция и сильная детонация; справа с волной разрежения ——дефлаграция и детонация Чепмена — Жуге; случаи 1 — 4 относятся к дефлаграции, 5 м 6 — к детонации).Рис. 19. Все возможные случаи распада произвольного теплового разрыва по Г. М. Бам-Зеликовичу (слева без волны разрежения за фронтом горения — слабая дефлаграция и сильная детонация; справа с волной разрежения ——дефлаграция и детонация Чепмена — Жуге; случаи 1 — 4 относятся к дефлаграции, 5 м 6 — к детонации).
Рис. 19. Все возможные случаи распада произвольного теплового разрыва по Г. М. Бам-Зеликовичу (слева без волны разрежения за фронтом горения — слабая дефлаграция и сильная детонация; справа с волной разрежения ——дефлаграция и детонация Чепмена — Жуге; случаи 1 — 4 относятся к дефлаграции, 5 м 6 — к детонации).
Рис. 19. Все возможные случаи распада произвольного теплового разрыва по Г. М. Бам-Зеликовичу (слева без волны разрежения за фронтом горения — слабая дефлаграция и сильная детонация; справа с волной разрежения ——дефлаграция и детонация Чепмена — Жуге; случаи 1 — 4 относятся к дефлаграции, 5 м 6 — к детонации).
и число уравнений увеличивается на три. Задача, таким образом, сводится к решению 11 уравнений с 11 неизвестными. Г. М. Бам-Зеликович вывел условия, при которых осуществляется тот или иной случай (здесь эти условия также не приводятся). Практически в каждом конкретном случае легко определить качественно, какого вида ожидается картина распада, и по этой картине подобрать систему уравнений.
На рис. 19 приведены схемы всех возможных случаев распада произвольного теплового разрыва, принадлежащие Г. М. Бам-Зеликовичу.
При рассмотрении картины распада произвольного теплового разрыва надо иметь в виду, что она чисто газо-термодинамическая, но не физическая. В ней не рассматривается обратная связь между скоростью распространений дефлаграции и скоростью и состоянием газа, по которому она
распространяется. В действительности движение газа влияет на скорость распространения горения. Возникает обратная связь: движение изменяет скорость дефлаграции. В задаче появляется величина размерности времени или длины, и движение перестает быть автомодельным. Некоторые случаи обратной связи и условий возникновения вибрационного горения рассмотрены К. И. Щелкиным (1959), условия ускорения горения в трубах изучались К. И. Щелкиным и Я. К. Трошиным (1963).
В общей задаче о нестационарном распространении горения (ускорение горения, высокочастотные пульсации) большое значение имеют так называемые нестационарные двойные разрывы (понятие тоже газо-термодинамическое), которые описываются в следующем параграфе.
Обобщенная адиабата Гюгоньо. Двойные нестационарные разрывы
Все режимы равномерного распространения горения со скоростями, лежащими между дефлаграцией Чепмена ——Жуге и детонацией Чепмена —— Жуге, запрещены законами сохранения. Для воздушных смесей углеводородов эта область, если рассматривать детонацию без потерь, простирается примерно от 50 м/сек до 1700 м/сек. Но скорость движения пламени относительно газа, определяемая физико-химическими свойствами смеси, турбулентностью и распределением скоростей по сечению трубы, может оказаться выше скорости дефлаграции Чепмена — Жуге. Распространение горения относительно исходного газа с постоянной скоростью, превьппающей скорость дефлаграции Чепмена — Жуге в нем, оказывается возможным, как показывает газо-термодинамический анализ, при одном дополнительном условии: перед зоной горения должна распространяться ударная волна. Эта волна должна быть такой, чтобы заданная скорость пламени относительно частиц газа в ней оказалась как раз равной скорости дефлаграции Чепмена — Жуге, если за исходное состояние взять газ, сжатый в ударной волне.
.Физика этого явления такова. Ударная волна, повышая температуру и скорость звука газа, делает возможными более высокие скорости дефлаграции. С повышением температуры и скорости звука абсолютное значение скорости дефлаграции Чепмена — Жуге возрастает. Поэтому скорости, запрещенные относительно невозмущенного газа, становятся возможными относительно газа, сжатого в ударной волне. .
Распространение горения с равномерной скоростью в комплексе с ударной волной впереди зоны пламени называют двойным нестационарным разрывом. Нестационарен он в том смысле, что фронт пламени движется медленнее ударной волны и со временем расстояние между фронтом ударной волны и горением увеличивается, комплекс расползается. В общем случае горение в двойном нестационарном разрыве может быть не только дефлаграцией Чепмена — Жуге, но и слабой дефлаграцией. Движение в двойном нестационарном разрыве автомодельно и соответствует, в зависимости от начальных условий, случаям 2, 2а, 2 и 2а, рассмотренным в предыдущем параграфе (см. рис. 19).
Двойные нестационарные разрывы, имеющие большое значение в теории нестационарного горения, подробно исследовал Я. К. Трошин (1956) ). Их исследованию предшествовал вывод обобщенного уравнения Гюгоньо (Я. К. Трошин, 1955).
Обобщенное уравнение Гюг оньо. Обозначим несгоревший газ перед ударной волной в двойном нестационарном комплексе индексом «1», газ, сжатый в ударной волне,——индексом «2» и продукты горення дефлаграции ——индексом «3». Тогда уравнение Гюгоньо для дефлаграции можно записать в виде
Обозначая отношение давления в ударной волне, предшествующей дефлаграции, в двойном нестационарном комплексе к давлению невозмущенного газа 1 через ц = Р2仇 и выражая плотность газа 2 через 卩 с помощью соотношения
p2 _ ^1 _ 冲 + 1
Я. К. Трошин исключил из (9.1) удельный объем у2. В результате было получено уравнение, связывающее давление с удельным объемом продуктов сгорания в двойном нестационарном разрыве с состоянием невозмущенного газа 1. Давление ударной волны входит в это выражение в виде параметра. Это уравнение, названное обобщенным уравнением Гюгоньо, имеет вид
(km+ 1 ) I 2I к + М 丿十 Y —1(km+ 1 ) I 2I к + М 丿十 Y —1КОзКОз(9.3)(9.3)
(km+ 1 ) I 2
I к + М 丿十 Y —1
(km+ 1 ) I 2
I к + М 丿十 Y —1
КОз
КОз
(9.3)
(9.3)
где
， Оз =岩，网=乂2 = 乂3 = К = -~-7- •
PiY — 1
Когда ударной волны нет (卩=1), уравнение (9.3) переходит в обыкновенное уравнение Гюгоньо. При выводе (9.3) принималось постоянным число молей при сгорании газа, а отношение теплоемкостей у считалось неизменным как при сжатии в ударной волне, так и при сгорании.
Уравнение (9.3) справедливо для любой дефлаграции (и слабой, и Чепмена — Жуге).
Рассмотрим график обобщенной адиабаты Гюгоньо для дефлаграции Чепмена — Жуге. При этом в двойном нестационарном разрыве, как это очевидно, скорость продуктов сгорания относительно фронта дефлаграции равна скорости звука, каковой бы ни была интенсивность ударной волны. Для построения этого графика следует брать исходное состояние на ударной адиабате постепенно, идя вверх по ней (Г на рис. 20), строить для заданного теплового эффекта для каждой исходной точки свою адиабату Гюгоньо (9.1) и находить на ней точку Чепмена ——Жуге (проводя касательную из исходного состояния к соответствующей кривой Гюгоньо). Перебрав последовательно все состояния от точки Л до точки С на ударной адиабате в качестве исходных и отметив на диаграмме р — у все точки Чемпена — Жуге соответствующих адиабат Гюгоньо, мы получим кривую FG^GGzNDiB, которую впервые примерно таким способом, как это только что было описано, построил А. К. Оппенгейм (США) (^-кривая).
Эту же кривую можно построить более просто с помощью уравнения (9.3). Для этого необходимо, задаваясь последовательно различнылш зна-
чениями 卩，построить по уравнению (9.3) серию кривых в плоскости р — у и провести их огибающую. Это и будет график обобщенной адиабаты Гюгоньо для случая дефлаграции Чепмена ——Жуге (для случая течения
продуктов сгорания с критической звуковой скоростью относительно
фронта).
Кривая FGfiGND^B в точках F и 5 пересекается с обычной адиаба
той Гюгоньо, но не переходит в нее. С адиабатой Гюгоньо она имеет лишь
две общие точки. Поэтому ее не очень логично называть графиком обобщенной адиабаты Гюгоньо. Правильнее было бы ее назвать ^-кривой Оппенгейма, как это сделал Я. К. Трошин. С другой стороны, уравнение (9.3) описывает не только состояния, лежащие на кривой Оппенгейма, оно применимо и к слабым дефлаграциям. Лишь при 卩=1 оно переходит в обычное уравнение Гюгоньо. Его физический смысл более широк, чем смысл уравнения Гюгоньо. Дело в том, что уравнение Гюгоньо — уравнение кривой, оно связывает две переменные; обобщенная адиабата ——уравнение поверхности, она связывает три переменные л, а и р,. Эта поверхность с одной стороны ограничена ^-кривой, а с другой ——адиабатой Гюгоньо. Для построения кривых в этой области необходимо еще одно условие, связывающее давление в ударной волне 卩 с удельным объемом продуктов сгорания а. При построении ^-кривой этим условием
вых, построенных по обобщеннойвых, построенных по обобщеннойадиабате Гюгоньо (кривая FGiGG2NDiB — ^-кривая).адиабате Гюгоньо (кривая FGiGG2NDiB — ^-кривая).было .предельное условие —— условие Чепмена — Жуге. Поэтому критические режимы всегда находятся на ^-кривой, и только на ней. До- критические режимы (слабая дефлаграция) будут располагаться между ^-кривой и обычной адиабатой Гюгоньо, на разных (в зависимости от граничных условий) связывающих р, и а линиях, проходящих через эту зону. Уравнение (9.3) было бы справедливо называть уравнением Трошина. .
вых, построенных по обобщенной
вых, построенных по обобщенной
адиабате Гюгоньо (кривая FGiGG2NDiB — ^-кривая).
адиабате Гюгоньо (кривая FGiGG2NDiB — ^-кривая).
Для примера опишем два подкритических режима распространения горения в комплексе с ударной волной — два примера распространения двойного нестационарного разрыва. Это — распространение горения от открытого и закрытого концов бесконечно длинной трубы.
Пусть обычная очень медленная дефлаграция распространяется от открытого конца в глубь трубы. Строго говоря, такого распространения быть не может, поскольку на фронте дефлаграции всегда есть перепад давления. Поэтому по трубе даже при очень слабой дефлаграции всегда идет ударная волна, поджимающая газовую смесь, перепад на ее фронте опре-. деляется уравнением (2.17). Но пренебрежем этой разностью давления и зададимся условием на открытом конце трубы р? = р】(или л3 = 1). В уравнении (9.3) останутся две переменные 卩 и а3. Придавая различные значения давлению в ударной волне 卩，можно найти различные значения удельного объема продуктов сгорания в двойном нестационарном разрыве при докритической дефлаграции, распространяющейся от открытого конца трубы. Эти удельные объемы лежат на горизонтальной прямой EG,
соединяющей адиабату Гюгоньо с ^-кривой. Задание различных значений давления 卩 эквивалентно заданию все более высоких скоростей распространения дефлаграции по частицам газа, начиная от скорости, определяемой точкой Е. В точке G состояние таково, что скорость дефлаграции по частицам становится скоростью дефлаграции Чепмена ——Жуге и задание давления за ее фронтом теряет всякий смысл: при дефлаграции Чепмена —Жуге скорость продуктов сгорания относительно фронта пламени равна скорости звука и возмущения от открытого конца трубы уже не достигают фронта дефлаграции, за которым восстанавливается критическое истечение. Поэтому, начиная от точки G, кривая при дальнейшем увеличении давления 卩(скорости дефлаграции по частицам) идет вверх по ^-кривой.
При движении дефлаграции от закрытого конца трубы дополнительным условием, с помощью которого можно исключить одну из переменных в уравнении (9.3), служит условие равенства нулю скорости продуктов сгорания относительно стенки трубы. С учетом этого условия получают кривую EN для докритических режимов. В точке N наступает критический режим и дальнейшее увеличение скорости дефлаграции по частицам (давления в ударной волне) приводит к движению точки, описывающей состояние продуктов сгорания, вверх по ^-кривой. Варьируя начальные условия, можно заполнить кривыми, описывающими состояние продуктов сгорания, всю область, лежащую между адиабатой Гюгоньо и ^-кривой. Прямая /G], например, соответствует условию истечения продуктов сгорания в объем , в котором поддерживается постоянное, но пониженное давление.
Кривая F^Gz соответствует случаю, когда вначале осуществляется стационарная дефлаграция, описываемая точкой 尸工 на адиабате Гюгоньот и продукты реакции вытекают через критическое сопло, сечение которого меньше сечения трубы. При повышении скорости дефлаграции по частицам в этом случае постоянным будет сохраняться число Маха для продуктов сгорания.
Увеличение скорости пламени приводит к повьппению давления и плотности продуктов сгорания. По мере увеличения скорости пламени и давления в ударной волне точка, описывающая состояние продуктов реакции такой дефлаграции, перемещается вверх по кривой Ffi^ Достигнув точки N, описывающей дефлаграцию Чепмена ——Жуге, она далее поднимается по ^-кривой. .
Заполнить область, лежащую вьппе кривой EN (треугольник ENB), можно, сжимая поршнем продукты сгорания дефлаграции (например, вдвигая в трубу поршень).
До сих пор речь шла только об изображении тех или иных двойных нестационарных разрывов на плоскости р — у. Для каждого из состояний продуктов сгорания, описываемого точкой в плоскости р — у, не представляет принципиальной трудности рассчитать всю картину движений двойного нестационарного разрыва. Для этого надо найти по исходному состоянию несгоревшего газа и теплоте горения, а также по граничному условию для продуктов горения восемь неизвестных Dy, Wy, /?2, z^nOg,恥，Рз, ^з* Здесь Dy — скорость фронта ударной волны относительно невозмущенного газа, Wy ——скорость движения газа за фронтом ударной волны, Dg — скорость дефлаграции относительно газа в ударной волне, Wg —— скорость продуктов сгорания относительно сжатого газа. Для вычисления значений последних двух скоростей относительно стенок трубы необходимо к ним Прибавить скорость газа в ударной волне Wy.
Вычисления можно вести с помощью методов, описанных в предыдущем параграфе. Можно несколько упростить вычисления, воспользовавшись уравнением Трошина (9.3). Принципиально простые, эти вычисления практически оказываются довольно громоздкими. На графиках рис. 21—24 нанесены результаты некоторых расчетов, проведенных Я. К. Трошиным для ряда конкретных случаев. Обозначения даны на рисунках.
РисЛ21. Зависимость величин, характеризующих режимы нестационарного критического горения (дефлаграция Чепмена —?Жуге) при зажигании у закрытого конца трубы, от безразмерной скорости пламени по частицам стехиометрической метано-кисло родной смеси (丫。/党=44,5; 7 = 1,31; Р — скорость фронта ударной волны, предшествующей зоне горения; U — скорость фронта пламени относительно стенки трубы; W — скорость ударносжатого газа; 我；——непосредственно за фронтом пламени).РисЛ21. Зависимость величин, характеризующих режимы нестационарного критического горения (дефлаграция Чепмена —?Жуге) при зажигании у закрытого конца трубы, от безразмерной скорости пламени по частицам стехиометрической метано-кисло родной смеси (丫。/党=44,5; 7 = 1,31; Р — скорость фронта ударной волны, предшествующей зоне горения; U — скорость фронта пламени относительно стенки трубы; W — скорость ударносжатого газа; 我；——непосредственно за фронтом пламени).Рис. 22. Зависимость давления в ударной волне 卩,давления п； и плотности / продуктов реакции от безразмерной скорости пламени в критическом режиме (дефлаграция Чепмена ——Жуге) в стехиометрической метано-кислородной смеси.Рис. 22. Зависимость давления в ударной волне 卩,давления п； и плотности / продуктов реакции от безразмерной скорости пламени в критическом режиме (дефлаграция Чепмена ——Жуге) в стехиометрической метано-кислородной смеси.
РисЛ21. Зависимость величин, характеризующих режимы нестационарного критического горения (дефлаграция Чепмена —?Жуге) при зажигании у закрытого конца трубы, от безразмерной скорости пламени по частицам стехиометрической метано-кисло родной смеси (丫。/党=44,5; 7 = 1,31; Р — скорость фронта ударной волны, предшествующей зоне горения; U — скорость фронта пламени относительно стенки трубы; W — скорость ударносжатого газа; 我；——непосредственно за фронтом пламени).
РисЛ21. Зависимость величин, характеризующих режимы нестационарного критического горения (дефлаграция Чепмена —?Жуге) при зажигании у закрытого конца трубы, от безразмерной скорости пламени по частицам стехиометрической метано-кисло родной смеси (丫。/党=44,5; 7 = 1,31; Р — скорость фронта ударной волны, предшествующей зоне горения; U — скорость фронта пламени относительно стенки трубы; W — скорость ударносжатого газа; 我；——непосредственно за фронтом пламени).
Рис. 22. Зависимость давления в ударной волне 卩,давления п； и плотности / продуктов реакции от безразмерной скорости пламени в критическом режиме (дефлаграция Чепмена ——Жуге) в стехиометрической метано-кислородной смеси.
Рис. 22. Зависимость давления в ударной волне 卩,давления п； и плотности / продуктов реакции от безразмерной скорости пламени в критическом режиме (дефлаграция Чепмена ——Жуге) в стехиометрической метано-кислородной смеси.
Результаты, описанные как в этом, так и в предыдущем параграфе, имеют чисто газо-термодинамический характер. В них рассматривалось то или иное движение, возникшее при задании или при изменении скорости распространения пламени. Скорость пламени всегда считалась заданной относительно газа, по которому оно распространяется. Не принималась во внимание обратная зависимость скорости пламени от состояния газа, по которому оно распространяется, и от скорости его течения. В действительности всегда существует обратная связь. Изменение движения газа перед фронтом горения, его турбулизация, а также изменение распределения скоростей по сечению сосуда всегда влияют на скорость пламени. В результате горение становится нестационарным. В зависимости от условий возникают ускоряющиеся пламена, появляются высокочастотные пульсации и т. д. Двойные нестационарные разрывы являются элементом картины движения и в этих случаях. Они существенны для вычисления результатов, к которым приводит то или иное изменение скорости пламени относительно газа. В настоящее время благодаря существованию теории распада произвольного теплового разрыва и теории двойных нестационарных разрывов вычисления такой зависимости проводятся строго. Обратная
связь, т. е. зависимость скорости пламени от условий движения, определяется со значительно большим трудом и менее точно и строго. Это объясняется значительно большей сложностью явления. Но тем
Рис. 23. Зависимость величин ,характеризующих режимы нестационарного горения при зажигании у открытого конца трубы, от безразмерной скорости пламени по частицам стехиометрической метанокислородной смеси С?。/% = 44,5; у = 1,31; обозначения те же, что и на рис. 21).Рис. 23. Зависимость величин ,характеризующих режимы нестационарного горения при зажигании у открытого конца трубы, от безразмерной скорости пламени по частицам стехиометрической метанокислородной смеси С?。/% = 44,5; у = 1,31; обозначения те же, что и на рис. 21).Рис. 24. Зависимость давления в ударной волне, давления к плотности продуктов сгорания при нестационарных режимах горения в открытой трубе от безразмерной скорости пламени по частицам стехиометрической метано-кислородной смеси (обозначения те же, что и на рис. 22).Рис. 24. Зависимость давления в ударной волне, давления к плотности продуктов сгорания при нестационарных режимах горения в открытой трубе от безразмерной скорости пламени по частицам стехиометрической метано-кислородной смеси (обозначения те же, что и на рис. 22).
Рис. 23. Зависимость величин ,характеризующих режимы нестационарного горения при зажигании у открытого конца трубы, от безразмерной скорости пламени по частицам стехиометрической метанокислородной смеси С?。/% = 44,5; у = 1,31; обозначения те же, что и на рис. 21).
Рис. 23. Зависимость величин ,характеризующих режимы нестационарного горения при зажигании у открытого конца трубы, от безразмерной скорости пламени по частицам стехиометрической метанокислородной смеси С?。/% = 44,5; у = 1,31; обозначения те же, что и на рис. 21).
Рис. 24. Зависимость давления в ударной волне, давления к плотности продуктов сгорания при нестационарных режимах горения в открытой трубе от безразмерной скорости пламени по частицам стехиометрической метано-кислородной смеси (обозначения те же, что и на рис. 22).
Рис. 24. Зависимость давления в ударной волне, давления к плотности продуктов сгорания при нестационарных режимах горения в открытой трубе от безразмерной скорости пламени по частицам стехиометрической метано-кислородной смеси (обозначения те же, что и на рис. 22).
не менее в результате работ, сделанных за последние годы, удалось продвинуться и в этом направлении. Некоторые результаты, касающиеся ускоряющихся пламен и высокочастотных вибраций, проводятся в следующем параграфе.
Высокочастотные вибрации. Ускоряющиеся пламена
Высокочастотные вибрации. Задача о возникновении высокочастотных вибраций в камерах сгорания неоднократно решалась в акустическом приближении. В камерах сгорания возможен довольно сильный фон постоянных, неусиливающихся колебаний, не причиняющих механических повреждений камере и не ухудшающих показатели ее работы. Вредными оказываются колебания давления сравнительно большой амплитуды. Поэтому необходимо изучить взаимодействие с зоной горения именно этих колебаний. Газодинамическую задачу об усилении слабых ударных волн в зоне турбулентного пламени решал К. И. Щелкин (1959).
Вообразим покоящуюся дефлаграцию, представляющую эону горения в модели камеры сгорания. Ширина зоны горения принимается малой по сравнению с размерами камеры. Обозначим газ перед невозмущенной зоной горения индексом «1», продукты сгорания ——индексом 《5». Для
перепада давления на фронте дефлаграции имеем
Р5 = 匕
卜2备
1
(10.1)
Скорость несгоревшегося газа относительно фронта пламени равна | и151. Для 〃£5 справедливо соотношение
1一生
(10.2)
Скорость продуктов сгорания 〃5 относительно фронта и стенок камеры составляет
"5 = "吟
(10.3)
Уравнения (10.1)—(10.3) уже приводились в § 4. Все величины, входящие в них, в дальнейшем считаются известными.
Задача о возникновении пульсаций сводится к отысканию условий, при которых слабая ударная волна усиливается фронтом горения. Если
такое усиление существует, то любая случайная ударная волна будет возрастать по амплитуде, в камере сгорания возникнут опасные пульсации давления. Для определения этих условий необходимо знать, во-первых, зависимость перепада давления в ударной волне, в двойном нестационарном разрыве, от увеличения скорости пламени относительно частиц газа. Во-вторых, надо знать обратную связь, т. е. уметь оценить то приращение скорости горения, которое появляется при движении ударной волны с заданным перепадом давления через фронт горения.
Найдем сначала первую зависимость. Пусть скорость дефлаграции, по пока неизвестной причине, внезапно повысится до величины щ^. Тогда, как это было видно в § 8 и 9, возникнет
俨
Рис. 25. шего от
Распад разрыва, возник- увеличения скорости пла-
мени по частицам в слабой дефла
грации
(Z — несгоревший газ;
5 —- продукты сгорания стационарной слабой дефлаграции; 2 и 4 ——газ в ударных волнах, возникших при увеличении скорости пламени; 3 — продукты сгорания за фронтом дефлаграции после распада разрыва),
двойной нестационарный разрыв,
по газу 1 пойдет ударная волна с давлением р2 (рис. 25). Дефлаграция с увеличенной скоростью и23 будет распространяться уже по сжатому газу 2. Давление и удельный объем за фронтом новой дефлаграции теперь
уже будут Трошина)
определяться обобщенным уравнением Гюгоньо (уравнением
рз —
2Q
P1Z
嚐用）-
h门Щ
I х+ц / ц J
(10.4)
Для скорости пламени и23 относительно газа 2 (теперь она больше скорости газа V = —u15) имеем следующее уравнение, аналогичное (10.2):
红1
吗3 = 一及 厂 Р2&.(10.5)
Скорость пламени (оно перемещается против потока) относительно стенок, камеры
『=卩一咽.
Давление, плотность и скорость газа в ударной волне связаны известными уравнениями:
Ж = (^-1)Г-.~Т” • (10.7)
Вследствие распада произвольного теплового разрыва, возникшего в результате возрастания скорости пламени, по газу 5 пойдет ударная волна (давление и удельный объем за ее фронтом — р4,以).На границе между газами 3 и 4 возникает контактный разрыв, по обе стороны которого давление равно (/?з = р&) и одинаковы скорости движения газа.
Для упрощения дальнейших вычислений ударная волна полагается слабой (адиабатической), а также принимается, что скорость звука в газах 3 и 4 одинакова. Тогда граничное условие позади двойного нестационарного разрыва упрощается и принимает вид
^23 (-^- — + V — W = ui5 -^-Ч& — &) (10.8)
(здесь с5 и с3 — скорости звука в газах 5 и 3 соответственно).
Пять уравнений (10.4)—(10.8) содержат пять неизвестных рз，г；з, р2, 少2，W. Скорость дефлаграции 〃^ принимается за параметр и система уравнений полностью решается. Задавая различные значения параметра 〃2з, можно получить связь между 〃^ и р2, т. е. связь между скоростью дефлаграции и давлением в ударной волне, возникающей в результате превышения скорости дефлаграции над ее исходным значением и15:
Р2 = /(〃23)・(10-9)
Введем следующие обозначения и примем, что
用产=aР《1, -詳 = a"《1,1.(10.10)
Найти связь между Ар и Ди в общем виде трудно, поскольку получается очень сложное соотношение, не поддающееся обозрению. Поэтому найдем ее для случая слабой ударной волны, для которого пригодно условие (10.8). Положим
上=^L = Mvi, 一厂4八万=工V1； (io.li)
d = YPM, cl = yp5v5,色=丫卩3力.'(10.12)
Решая уравнения (10.4)—(10.8) с учетом (10.10)—(10.12), получим зависимость безразмерного перепада давления в возникшей ударной волне от безразмерного прироста скорости пламени А〃，вызвавшего появление ударной волны:
^Р-^^^и'(10.13)
Здесь, как и в § 4,
——отношение теплового эффекта к внутренней энергии исходного газа* Соотношение (10.13) в сделанных предположениях выведено совершенно строго.
Теперь предстоит найти обратную связь, т. е, зависимость увеличения скорости пламени Ди от интенсивности падающей на пламя ударной волны Ар. В общем виде такую связь найти нельзя, поскольку возможны, в зависимости от конкретных условий, различные механизмы горения и соответственно различные виды обратной связи.
Для горения заранее перемешанной смеси в турбулентном потоке с крупномасштабной турбулентностью эта связь имеет вид
.А〃 = ―4(10.14)
Соотношение (10.14) выведено в предположении, что прирост скорости пламени пропорционален поперечным составляющим потока газа, появляющимся при пересечении ударной волной зоны турбулентного горения. При выводе уравнения (10.14) принималось, что ударная волна, подходящая к пламени со стороны свежего газа, изменяет скорость горения так же, как и волна, подходящая к зоне горения со стороны продуктов горения (в действительности результат действия этих волн несколько различен). Это обстоятельство вводит некоторую ошибку, не превышающую 20%.
Критерий усиления ударных волн можно ввести из следующего соображения. Колебания всегда будут усиливаться (ударная волна возрастает по амплитуде), если перепад давления в родившейся волне больше перепада давления в волне, падающей на фронт горения и увеличивающей в нем скорость пламени. Это условие записывается в виде
Для зоны турбулентного горения этот критерий, если пренебречь затуханием ударной волны и потерями при отражении ее от стенок камеры, принимает, после подстановки в (10.15) выражений (10.13) и (10.14), форму
—(10.16)
Полагая, что
(■J)2 3g и g》i，
критерий (10.16) можно привести к следующему очень простому виду:
—―0- >1.(10.17)
27 Механика в СССР, том 2
Чем меньше у и чем выше тепловой эффект реакции горения, тем вероятнее возникновение вибраций в камере сгорания.
Если принять у = 1,35, то критерий (10,16) достигает единицы уже при д^7. Это означает, что в сделанных предположениях к вибрационному горению способна практически любая горючая смесь и единственным средством устранения пульсаций может быть демпфирование ударной волны. Однако существуют факторы, не учитывающиеся при выводе критерия. Ширина зоны горения считалась малой по сравнению с размерами камеры, не учитывалась форма последней и пр. Особенно большую ошибку, вероятно, вносит неточный количественный учет обратной связи, которая может оказаться значительно слабее, чем в (10.13). Все это может повлиять на абсолютное значение критерия усиления слабых ударных волн.
Теперь полезно рассмотреть нелинейные эффекты, которые, как эта будет видно ниже, имеют очень существенное значение для появления высокочастотных вибраций в камерах сгорания.
При рассмотрении нелинейных эффектов уравнения (10.4)—(10.7) остаются прежними, но приближение (10.8) в качестве граничного условия не годится. Зместо последнего следует пользоваться полной системой уравнений.
(10,18)(10.19>(10.20}(10,18)(10.19>(10.20}Уравнение Гюгоньо для ударной волны, идущей по газу 5, запишется в виде
(10,18)
(10.19>
(10.20}
(10,18)
(10.19>
(10.20}
Р5 „л '
X1
Скорость газа в ударной волне относительно газа 5
% = [(Р4 — Р5)(% —以)
На контактном разрыве
/. Рз = р&・
Равенство скоростей на контактном разрыве записывается в виде
V + u3 — W2 = W^ + u5.(10.21)
Итак, для определения восьми величин р2» %，叩2, Рз, %，Р&，方，Ж4 имеется восемь уравнений (10.4)—(10.7) и (10.17)—(10.21) и задача решается полностью. Задавая различные значения скорости дефлаграции и23, принимаемой в задаче за параметр, можно получить соответствующие значения давления в ударной волне, возникающей вследствие превышения скорости дефлаграции 〃23 над скоростью в стационарном режиме и15. Аналитически эта задача не решается. На рис, 26 приведены графики кривых Ар = / (А〃)， построенных по результатам расчета на ЭЦВМ для двух режимов (кривая /): для исходной дефлаграции, имеющей скорость, равную 0,1 скорости дефлаграции Чепмена ——Жуге, и для дефлаграции Чепмена — Жуге. Во втором случае при расчете следует принимать во внимание волну разрежения, которая возникает за фронтом дефлаграции, между ним и контактным разрывом, отделяющим газ 4 от газа 3.
Построив на том же графике прямые II t соответствующие обратной связи
А“ = 〃Ар), можно увидеть очень интересный эффект, характерный только для нелинейной задачи. Ударные волны, меньшие по амплитуде давления некото-
рого критического значения (случай М15 = 0,1 Мж), не усиливаются зоной горения, они затухают или сохраняют свою амплитуду. Ударная же волна, давление в которой оказывается больше критического, усиливается пламенем. Соответственно камера сгорания может работать устойчиво, без высокочастотных колебаний, до тех пор, пока в ней по какой-либо причине не возникает сильная волна с давлением, превышающим критическое давление. После этого она входит в пульсационный режим. По мере форсирования двигателя (приближение стационарной дефлаграции к дефлаграции Чепмена ——Жуге) возможности устойчивого режима уменьшаются.
Рис. 26. К нелинейной теории пульсаций в камерах сгорания (/ ——зависимости перепада давления в ударной волне ——волне давления ——от скорости пламени; II ——зависимости скорость пламени от перепада давления в ударной волне ——волне давления).
Высокочастотные вибрации в реальных камерах сгорания могут оказаться значительно более сложным процессом, чем это следует из приведенных выше модельных вычислений, В реальной ракетной камере, как, например, указывает Б. В, Раушенбах (1961), образуется стоячая поперечная волна давления. В такой камере возможны различные виды обратной связи. В частности, скорость сгорания может определяться скоростью испарения и смешения топлива, а не нормальной или турбулентной скоростью пламени. Поэтому в каждом отдельном случае процесс возникновения высокочастотных вибраций должен анализироваться с учетом специфических условий, характерных для данной камеры.
У окоряющиеся пламена. Газодинамическая задача об условиях ускорения пламени при распространении его как от открытого, так и от закрытого концов трубы рассмотрена К. И, Щелкиным и Я- К. Трошиным (1963), При решении этой задачи сделаны следующие предположения: труба считалась полубесконечной, пренебрегалось потерями на теплоотдачу и трение, скорость пламени принималась пропорциональной произведению скорости движения газа на число Кармана (турбулентное горение при крупномасштабной турбулентности), учитывался эффект влияния раопределения скоростей газа на скорость пламени, впервые отмеченный Я. Б. Зельдовичем (1944) (величина этого эффекта определялась множителем С, который задавался в виде параметра).
Для распространения пламени от закрытого конца трубы граничным условием будет равенство нулю скорости продуктов сгорания. Действуя по методике, аналогичной примененной при выводе критерия (10.16), можно получить критерий ускорения горения при распространении ила- мени от открытого конца трубы в виде
^(М + СК)》1；(10,22)
для воздушных смесей первый член в скобках здесь всегда заметно меньше второго и критерий приобретает совсем простой вид
у^СК>1.(10.23)
Здесь М ——отношение нормальной скорости пламени к скорости звука в невозмущенном несгоревшем газе, С — отношение величины макро- поверхностй пламени к площади сечения трубы, К — число Кармана (отношение средней квадратичной скорости турбулентных пульсаций к скорости движения газа).
Таблица 7
Минимальные значения С, обеспечииающие прогрессииное ускорение пламени в трубе при зажигании у закрытого конца трубы
Горючая смесь .
Q
М
С
e2H2 +02 2H2+02 CH4+2O2 6,3% сн4 + -J-93,7% воздуха
24,2
8,96
13,8
9,35
0,0317
0,0194 0,0102 0,000036
0,42(1) 2,74 1,7 2,98
В таблице 7 приведены минимальные значения величины С, которые обеспечивают выполнение критерия (10.22); горение ускоряется при числе Кармана, равном 0,05 для некоторых горючих смесей.
Число Кармана, равное 0,05, характерно для гладкой трубы. Из таблицы видно, что ускорение происходит при сравнительно небольших искривлениях макроповерхности горения. В шероховатой трубе число Кармана примерно вдвое выше, чем в гладкой. Поэтому в шероховатой трубе ускорение горения при зажигании закрытого конца трубы редко требует увеличения макроповерхности пламени. Это означает, что в шероховатой трубе ускорение возникает особенно легко. Последнее хорошо подтверждается опытами.
Для случая зажигания у открытого конца трубы в качестве граничного условия принимается равенство давления продуктов сгорания давлению атмосферы. Критерий ускорения в этом случае имеет вид
у?МСК>1. ' (10.24)
Величина критерия (10.24) для гладкой трубы практически никогда не достигает единицы. Это означает, что в гладкой трубе нельзя получить ускоряющееся горение при зажигании у открытого конца трубы без учета сопротивления трубы течению продуктов сгорания. По мере удаления
фронта горения от открытого конца трубы сопротивление растет и ускорение, в конце концов, становится возможным. Ускорение горения при зажигании у открытого конца трубы можно получить искусственно, увеличивая сопротивление истечению продуктов сгорания при, помощи диафрагмы или спирали из проволоки, размещаемых у открытого конца трубы. Ускорение горения и переход его в детонацию при этом значительно облегчаются.
Переход медленного горения в детонацию. Критерии (10.22) и (10.24) можно считать критериями перехода горения в детонацию. Правда, может случиться, что смесь, в которой пламя ускоряется, не способна детонировать. Поэтому эти критерии, если речь идет о детонации в гладких трубах, следует рассматривать вместе с критерием, характеризующим реакционно-кинетические свойства смеси. Таким критерием может служить неравенство, полученное из формулы (6.1), в которой вместо размера неоднородности при пульсирующей детонации подставляется диаметр трубы:
d<^rD,磐 >1・ (10.25)
Физически (10.25) означает, что предел детонации (невозможность ее распространения) наступает, когда на сечении трубы перестает размещаться даже одна неоднородность, ведущая процесс детонации.
Для оценки расстояния от закрытого конца трубы до сечения, в котором возникает детонация, необходимо найти величину размерности времени (или длины). К. И. Щелкин (1939, 1953, 1955) предположил, что ускорение горения в трубе обязано развитию в ней перед зоной горения турбулентности, которая, повышая скорость пламени, приводит к появлению волн сжатия перед его фронтом (по современной терминологии, ударных волн в двойных нестационарных разрывах). Эти волны, кумулируясь перед фронтом горения, вызывают ударную волну, инициирующую детонацию. Время развития турбулентности, по порядку величины равное
t = ~ (Ю.26)
(где г/ — средняя квадратичная скорость турбулентных пульсаций, d — диаметр трубы), может служить характерным временем для оценки расстояния, на котором возникает детонация при зажигании смеси у закрытого конца трубы.
С3н + 8КГГ) — С〃нСК2%2С3н + 8КГГ) — С〃нСК2%2(10.27)(10.27)- Ускорение пламени по порядку величины составляет для турбулентного горения с крупномасштабной турбулентностью
С3н + 8КГГ) — С〃нСК2%2
С3н + 8КГГ) — С〃нСК2%2
(10.27)
(10.27)
d
У
Здесь W — скорость течения несгоревшего газа перед фронтом пламени, 5 — постоянная, по порядку величины равная единице.
С помощью (10.26) и (10.27), а также учитывая, что в начале горения
W = С (а — 1) 〃н.
можно получить расстояние от торца трубы до места возникновения детонации (с точностью до постоянной величины порядка единицы):
СЗК2(о —1)2 嘴•СЗК2(о —1)2 嘴•(10.28)(10.28)
СЗК2(о —1)2 嘴•
СЗК2(о —1)2 嘴•
(10.28)
(10.28)
(10.29)(10.29)Время развития детонации имееу порядок
(10.29)
(10.29)
СЗК2(от)2 咤'
Расстояние от конца трубы (от зажигания) до места возникновения детонации очень чувствительно к величине нормальной скорости пламени 〃н, числу Кармана и величине макроповерхности горения С, определяемой профилем скоростей. Поскольку последняя величина может изменяться в процессе ускорения, формулы (10.28) и (10.29) точно не проверены экспериментально. Однако качественно они очень хорошо соответствуют эксперименту. При прочих одинаковых условиях расстояние до места возникновения детонации пропорционально диаметру трубы. Оно сильно сокращается с увеличением шероховатости трубы (увеличение числа Кармана), нормальной скорости и пр.
МЕХАНИКА РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА И ПЛАЗМЫИ МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА
М. Я. КОГАН, В. П. КОРОБЕЙНИКОВ, А. Г. КУЛИКОВСКИЙ,Т. А. ЛЮБИМОВ
§ 1. Динамика разреженных газов 423
毛 2. Динамика плазмы. Магнитная гидродинамика 433
Уравнения 433
Магнитогидродинамические течения и ударные волны;.436
Магнитогидродинамические течения в каналах 441
Нестационарные магнитогидродинамические течения 451
Устойчивость магнитогидродинамических течений 454
§ 1. Динамика разреженных газов
Динамика разреженных газов исследует движение газов с молеку- лярно-*кинетической точки зрения. Она решает две основные задачи: задачу получения макроскопических (гидродинамических) уравнений и всех входящих в них коэффициентов переноса, исходя из известных законов взаимодействия молекул, и задачу исследования течений газов в условиях, когда гидродинамическое описание газа уже незаконно.
Первая задача относится к течениям, близким к локально равновесным, вторая — к течениям, в которых газ находится в состояниях/ далеких от равновесия.
Гидродинамические уравнения могут быть получены и из макроскопических (феномено логичес ких) соображений; связи между коэффициентами переноса могут быть установлены с помощью теоремы Онзагера термодинамики необратимых процессов, а величины их получены экспериментально. Однако во многих случаях (например, при высоких температурах) экспериментальное определение коэффициентов переноса оказывается более сложным, чем определение свойств молекул, необходимых _для получения этих коэффициентов из кинетических соображещ!Й.
В последние годы возникает все больше проблем, связанных с движениями газов, для решения которых непригодны методы обычной газовой динамики. Такие проблемы возникают, например, при исследовании движений тел в верхних слоях атмосферы, при исследовании течений газов 卫 вакуумных аппаратах, при анализе ультразвуковых колебаний и т. д. Движения газов в этих задачах не описываются уравнениями Навье — еСтокса, и поэтому здесь необходимо прибегать к кинетическому описанию.
При кинетическом описании движения газа возникают три задачи: задача определения взаимодействия молекул между собой, задача взаимодействия молекул с граничными поверхностями и задача, описания движений молекул. Ниже мы касаемся только последней задачи, считая, что первые две решены. К счастью, эти две задачи могут действительно быть отделены и решены независимо ),
Основным уравнением динамики разреженных газов является кинетическое уравнение Больцмана
潛=*+e:啬=j(乃;一济)gb曲风陶=
= I(t,黑，l) = Ii(t, ас, |) — /(«, «, §厶(厶贫，I), (1-1) где t — время,况一радиус-вектор в физическом пространстве, | — скорость молекул, g = £ — g — относительная скорость молекул, Ъ — прицельное расстояние и / (力 况，|) — функция распределения молекул.
Наглядный вывод кинетического уравнения, данный еще Л. Больцманом, физически весьма прозрачен. Однако для строгого обоснования сделанных предположений и определения области применимости уравнения необходимо связать его с общими принципами статистической механики. Основополагающими в этом направлении являются классические работы Н, Н. Боголюбова (1946). Этому вопросу посвящен также ряд работ, выполненных в разных странах, в том числе работы Ю. Л. Климонтовича (1957), М, А, Леонтовича (1935), В. В. Струминского (1965—1967) и др. ). В последних работах проводится общий анализ цепочки уравнений Боголюбова.
Принципиальным является наличие ряда существенно различных временных и пространственных масштабов. В уравнение Лиувилля или в эквивалентную ему цепочку уравнений Боголюбова входят d- и %-мас- штабы (масштабы порядка эффективного диаметра молекул d или времени столкновения тс и длины пробега % или времени между столкновениями т) и вириальный коэффициент £ 亍 nd3, где п — числовая плотность молекул. Кроме того, начальные и граничные условия конкретной задачи вводят L-масштаб (характерную длину течения L и характерное время Т).
Показано, что уравнение Больцмана может быть получено из уравнения Лиувилля, если: а) £》d вс 7》％, б) вириальный коэффициент £ = nd3 -> 0 при Ln^ = L]X = Kn"1 = const (入》d в силу того, что % 〜d/Q, в) выполняется условие молекулярного хаоса в %-масштабе
尸2«,д,尤2, £, 1г)=Л G，д, £)芻(力比2,駿， (1-2) где 歹2 ——двухчастичная функция распределения, г) в(7-масштабе s-частичные функции распределения зависят лишь от взаимного расположения s-молекул, но не зависят от их смещения на расстояние порядка с? (или тс).
Условия а) и г) всегда выполняются, так как обычно интересуются явлениями с характерными размерами, много большими размеров моле-
ку л. Условие б) требует, чтобы объем, занятый молекулами, был много меньше объема, занятого газом. Это условие выполняется вплоть до весьма высоких давлений, порядка десятков и сотен атмосфер. На практике, по-видимому, также никогда не наблюдалось отклонения от молекулярного хаоса. Более того, доказано, что условие хаоса сохраняется, если оно выполняется в начальный момент и не нарушается граничными условиями, Однако вопрос об установлении хаоса, если он каким-то образом нарушен в начальный момент, еще до конца не прояснен. Впрочем, физически такие нарушения представляются маловероятными (см, Г. Гред, J, Chem, Phys,, I960, 33 : 5, 1342—1348), и практически можно считать его всегда выполненным. Во всяком случае не обнаружено противоречий между выводами, полученными из уравнения Больцмана, и экспериментальными фактами для не слишком плотных газов (£《1),
Уравнение Больцмана является сложным нелинейным интегро-дифференциальным уравнением. Теоремы существования решений для полного нелинейного уравнения доказаны лишь для пространственно-однородного случая. Более полно исследованы свойства линеаризованного уравнения. Исследования линеаризованного уравнения, начатые еще Д, Гильбертом, продолжены Т, Карлеманом, Г, Гредом, А, А, Арсеньевым и другими,
В работе А. А. Арсеньева (1965) для доказательства существования решения пространственно-неоднородной задачи с начальными условиями для линеаризованного уравнения использован метод Фурье. Исследование корней дисперсионного уравнения позволило не только доказать существование решения задачи для достаточно жестких молекул (потенциал взаимодействия которых спадает быстрее, чем г-4), но и установить некоторые асимптотические свойства решений при 力 f 8 и при малых числах Кнудсена.
Задача с граничными условиями почти не изучена.
Отсутствие доказательств теорем существования и единственности для полного уравнения Больцмана не послужило, однако, препятствием для еро применения при решении практических задач.
Если в уравнении Больцмана перейти к безразмерным переменным, отнеся /, ас и I соответственно к характерным времени Т, длине L течения и скорости молекул, то в уравнение войдет число Кнудсена, равное отношению длины (времени) пробега к характерной длине (характерному времени) течения:
Наибольшее число результатов получено для асимптотических режимов, когда Кп —0 и Кп —> оо.
При малых числах Кнудсена решение ищется в виде ряда
/ =卅 + €片+… (e=Kn). (1.4)
Для линеаризованного уравнения в упомянутых выше работах Г, Гре- да и А. А. Арсеньева доказана асимптотическая сходимость ряда (1.4)- при g -> 0 к решению уравнения Больцмана во внутренних точках течения (т. е. при 〃£ оо) для задачи с начальными условиями в безграничной области. Для полного нелинейного уравнения и для задач с граничными условиями аналогичные доказательства отсутствуют. Лишь некоторые качественные указания на асимптотическую сходимость ряда (1.4) во- внутренних точках течения для этих задач можно извлечь из анализа, проведенного для нелинейного модельного уравнения (см., например—
М. Н. Коган, 1958, 1967)
先=4儿仇T)，%=儿(磊广eхp ｛一寿传一可｝ , (1.5) где /0 — распределение Максвелла, п^ и ^ Т — числовая плотность, скорость и температура газа, А — константа, зависящая от закона взаимодей- •ствия молекул. Этот анализ показывает, что решение модельного уравнения (1.5) стремится к решению (1.4) при удалении от границ на расстояния, много большие длины пробега 入.
Подставляя ряд (1.4) в уравнение Больцмана и приравнивая коэффициенты при равных степенях G получают рекуррентную систему уравнений для определения /(°), /°)и т. д. При построении решения методом Энскога「Чепмена /<°)= /0, функция )выражается через производные от гидродинамических величин п, ад и Г и т. д. Зная функции /(”), можно выписать любые гидродинамические (макроскопические) величины; в частности, это позволяет выразить тензор напряжений и вектор потока тепйа через п, ип Т п их производные. Заменяя в общих уравнениях сохранения тензор напряжений и вектор потока тепла через гидродинамические величины, при оставлении в ряде (1.4) одного члена получим уравнения Эйлера, при двух — уравнения Навье—Стокса, при трех—уравнения Барнетта и т. д. *). Важно отметить, что кинетическая теория позволяет не только найти связи между тензором напряжения и вектором потока тепла и производными от гидродинамических величин, но и выразить входящие в эти связи коэффициенты пропорциональности (коэффициенты переноса) через известные свойства молекул. Этот метод используется для ■определения коэффициентов вязкости, теплопроводности и других переносных свойств газов и газовых смесей в широком диапазоне давлений и температур, для которых чрезвычайно трудно получить экспериментальные значения.
Метод Чепмена — Энскога применим также к газам с внутренними степенями свободы (см., например. С. В. Валландер и Е. А. Нагнибеда, 1963; С. В/Валландер, И. А. Егорова и М. А. Рыдалевская, 1965; В. Н. Жигулев, 1963; М. Н. Коган, 1965, 1967; Е. В. Самуйлов, 1959, и др.). Рассматривая внутренние степени свободы квантовомеханически, можно представить газ со структурными молекулами как смесь газов, молекулы каждого из которых находятся в определенном квантовом состоянии. Переход из одного квантового состояния в другое равносилён химической реакции компонент. Разные степени свободы возбуждаются по-разному (различные вероятности переходов и характерные времена релаксации). Поэтому в уравнения Больцмана для функции распределения /")для молекул в V -м состоянии входит несколько характерных параметров = у/Т (у — время релаксации):
^ = -L^I +-L^I+...(v=l,2,(1.6)
Обычно наиболее легко (наименьшее £) молекулы обмениваются поступательной энергией. Пусть этому процессу соответствует & Для того чтобы кинетическое описание с помощью системы (1.6) могло быть приближенно заменено гидродинамическим (уравнениями Навье — Стокса), необходимо иметь Q《｛. Параметры & при % > 1, соответствующие возбуждению вращательных, колебательных и электронных уровней, могут быть как
больше, так и меньше единицы (ноА Ci)- При С； = 1 релаксирует t-й вид внутренней энергии; степени свободы, для которых £才》1, заморожены. Для одного и того же газа в зависимости от процесса (характерного времени течения) значения & различны. В соответствии с этим уравнения Навье — Стокса для различных процессов имеют различный вид. Более того, коэффициенты переноса также различны для различных процессов, а не являются, как это часто считают, для данного газа универсальными функциями состояния (функциями от р и Г).
Интересно отметить, что для энергии релаксирующей степени свободы обычно применяемое релаксационное уравнение вида (Л. Д. Ландау и Э. Теллер, 1936)
где е° (п, 7) — равновесное значение и т (n, Т) — время релаксации, имеет место лишь при весьма специальных предположениях о вероятностях перехода. В общем же случае могут быть получены лишь уравнения для определения чисел заполнения nv. .
Интересно отметить также, что при наличии двух внутренних степеней свободы, когда одна из них (например, колебания) релаксирует, а другая (например, вращения) находится в равновесии с поступательными степенями свободы, в выражение для тензора напряжений наряду с членами, зависящими от градиентов скоростей, и обычным давлением входит еще скалярное (так называемое «релаксационное») давление (М. Н. Коган, 1965, 1967; Л. И. Мандельштам и М. А. Леонтович, 1937), связанное с релаксацией внутренних степеней свободы.
Заметим, что для газа с внутренними степенями свободы входящая в уравнения Навье — Стокса температура не является в общем случае мерой поступательной энергии молекул.
Равенство вероятностей прямых и обратных процессов при квантово- механияеском описании внутренних степеней свободы симметризует интеграл столкновений и поэтому квантовомеханический подход удобен для общих исследований. Однако для получения численных результатов необходимо знать все вероятности переходов (дифференциальные сечения столкновений), определение которых представляет самостоятельную сложную и далеко не решенную проблему. Поэтому фактическое вычисление коэффициентов переноса пока удается провести лишь для весьма схематизированных молекул. В тех случаях, когда время возбуждения внутренних степеней свободы много больше времени возбуждения поступательных степеней,' удается выразить коэффициенты переноса для равновесного и релаксирующего газа с внутренними степенями свободы с приемлемой точностью через известные коэффициенты одноатомного газа (В. С. Галкин и М. Н. Коган, 1968). С другой стороны, известно, что процесс столкновений молекул при не слишком низкой температуре удовлетворительно описывается классической механикой. Но при классическом описании симметрия прямых и обратных процессов нарушается, интеграл столкновений, а с ним и все исследование существенно усложняются. Однако для определения коэффициентов переноса можно пойти другим путем, минуя непосредственное использование уравнения Больцмана (В. И. Власов, С. Л. Горелов и М. Н. Коган, 1968). Макроскопические связи тензора напряжений и вектора потока тепла с гидродинамическими •величинами можно получить, например, с помощью теории необратимых процессов или с помощью вариационных принципов, предложенных Л, И. Седовым
(1965, 1966). В эти связи входят неизвестные коэффициенты переноса.. Для их определения рассматриваются простейшие одномерные течения (подобные тем, которые создаются при экспериментальном определении коэффициентов переноса), которые рассчитываются методом статистическо- кого моделирования (методом Монте-Карло). По существу, этот математический эксперимент равносилен решению уравнения Больцмана, но мы не пользуемся им, а разыгрываем сами элементарные процессы (пробеги пробной молекулы и ее столкновения с полевыми молекулами), приводящие к уравнению Больцмана, Возникающие здесь трудности, связанные с близостью функции распределения к равновесной (появление малых разностей больших величин), удается обойти, и поэтому метод представляется весьма перспективным при современной вычислительной технике. Метод: применим также к любым задачам, в которых уравнение Больцмана может быть линеаризовано относительно некоторого равновесного состояния.
Как отмечалось выше, решение уравнения Больцмана стремится при € -> 0 к решению уравнений Навье — Стокса во внутренних точках течения. Вблизи границ всегда имеется слой Кнудсена толщиной порядка длины пробега, в котором течение может быть описано лишь с помощью- уравнения Больцмана. На стенке имеются некоторые микроскопические граничные условия для функции распределения (вероятности отражения молекул). Решая уравнение Больцмана в слое Кнудсена с этими условиями, получают некоторые фиктивные макроскопические условия на стенке (условия скольжения) ), такие, что вне слоя Кнудсена решения уравнений Навье — Стокса с этими условиями отличаются на величину порядка Са от решений уравнения Больцмана. Внутри же слоя Кнудсена скорость и температура, определяемые с помощью уравнений Навье — Стокса с условиями скольжения, отличаются от истинных на величину порядка £. Скачок скоростей и температур на стенке пропорционален длине пробега и градиентам скоростей и температур по нормали к стенке. При больших числах Рейнольдса и малых числах Кнудсена обычная теория пограничного слоя Прандтля дает для трения и теплопередачи значения порядка Re"1/2. Учет скольжения и температурного скачка вводит поправки порядка 1/Re- Анализ течения в пограничном слое с учетом условий скольжения на пластине проведен в работах В, П. Шидловского (1958), А. И. Бунимовича (1959), В. П. Мясникова (1959). Показано, что наличие скольжения и температурного скачка не меняет теплопередачу и трение. При наличии положительного градиента давления трение возрастает и падает в противоположном случае (В. С. Галкин и М. Д. Ладыженский, 1964).
Скольжение в пограничном слое проявляется на тонких телах при «горячей» стенке, т. е. когда температура стенки Tw соизмерима с температурой торможения Го. На тупых телах скольжение становится заметным лишь при столь малых числах Рейнольдса, когда уравнения пограничного слоя уже неприменимы. При гиперзвуковом обтекании тонких тел и наличии сильного взаимодействия скольжение оказывает влияние, многа меньшее влияния взаимодействия (см., например, В. С. Галкин, 1963). Более существенное влияние скольжение оказывает на течение в соплах, предназначенных для создания гиперзвуковых потоков разреженнога газа. Если температура стенки сопла Tw 〜7°, то скольжение оказывает более сильное влияние, чем поперечная кривизна. Наличие скольжения мало меняет профиль гидродинамических величин в пограничном слое,
яо приводит к смещению эффективной стенки, что при течении в сопле при малых числах Рейнольдса ведет к существенному изменению эффективного сечения сопла.
При дальнейшем уменьшении чисел Рейнольдса (при увеличении чисел Кнудсена) на тонких телах уравнения пограничного слоя теряют силу вместе с уравнениями Навье — Стокса.
На тупых телах вслед за областью применимости уравнений пограничного слоя со слабым взаимодействием имеется область применимости уравнений Навье — Стокса с условиями скольжения на стенке.
Небольшой опыт построения численных решений уравнений Навье — Стокса для задачи о гиперзвуковом обтекании цилиндра и сферы (В, С, Го- риславский и А. И, Толстых, 1967； Б, М. Павлов 1967, 1968; А. И. Толстых, 1966) оставляет определенные надежды на получение правдоподобных результатов с помощью этих уравнений и при числах Кнудсена, для которых они, строго говоря, уже неприменимы. Интересно отметить, что на современном уровне развития вычислительной техники часто оказывается предпочтительнее решать уравнения Навье — Стокса (или несколько упрощенные, так называемые «комбинированные», уравнения, содержащие все члены, описывающие как невязкое течение, так и течение в пограничном слое) во всей области течения и в тех случаях, когда еще справедлива концепция пограничного слоя. Это позволяет избежать сложной склейки пограничного слоя с невязким течением.
Интересно одно точное решение уравнений Навье ——Стокса,, показывающее новые возможности получения гипёрзвуковых потоков разреженного газа (В. Н. Гусев, 1968). Это — вязкое течение в сферическом стоке. Сказалось, что при определенных условиях течение переходит через звуковую линию и доходит до некоторой предельной сферы, на которой температура и давление стремятся к нулю, а скорость — к конечной величине. Вблизи этой поверхности число Маха и длина пробега стремятся к бесконечности. Течение можно представить создаваемым сферической криогенной панелью, совпадающей с предельной сферой. Строго говоря, вблизи предельной сферы уравнения Навье — Стокса теряют силу и необходим кинетический анализ течения. Известно, что при создании потоков разреженных газов с помощью сопел получению изэнтропического ядра препятствует быстрое нарастание пограничного слоя, обусловленное так называемой «поперечной» вязкостью. В течении от источника или стока проявляется «продольная вязкость», связанная с диссипативными процессами, вызванными сильными продольными градиентами. Сравнение навье-стоксовского анализа для вязкого источника, вытекающего в вакуум (М. Д. Ладыженский, 1962), с соответствующим кинетическим решением ) показало, что уравнения Навье — Стокса завышают влияние диссипативных процессов. Возможно, что аналогичное положение имеет место и в данном случае. Ответ на этот вопрос должно дать решение уравнения Больцмана для этой задачи.
Вообще говоря, при увеличении чисел Кнудсена, когда уравнения Навье — Стокса уже несправедливы, можно воспользоваться уравнениями Барнетта, получившимися в методе Энскога ——Чепмена при оставлении трех членов ряда (1.4). Однако сложность этих уравнений не*оставляет
больших надежд на их эффективное использование. Кроме того, асимптотический характер сходимости ряда (1.4) к решению уравнения Еольцмана позволяет с уверенностью утверждать лишь, что удержание лишнего члена ряда улучшает точность при Кп -> 0, т. е. в той области, где хороши и уравнения Навье — Стокса, но не позволяет надеяться в общем случае на улучшение решения при заданном числе Кнудсена, хотя для некоторых вырожденных точных решений (В. С. Галкин, 1964) уравнения Еарнетта позволили продвинуться в область больших чисел Кнудсена.
Таким образом, при увеличении чисел Кнудсена приходится обращаться к решению гораздо более сложного, чем уравнения гидродинамики, кинетического уравнения Больцмана.
Имеется лишь небольшое число точных решений уравнения Больцмана. Практически наиболее интересными являются так называемые однородные решения (В. С. Галкин, 1958, 1966; А, А. Никольский, 1963, 1§@5), описывающие течения с градиентами гидродинамических величин при: наличии диссипативных процессов (интеграл столкновений отличен от нуля). На этих решениях можно проверять различные приближенные методы. В работах А. А. Никольского дан интересный пример течения, в котором газ не стремится к максвелловскому равновесию за бесконечное время.
Для решения уравнения Больцмана при не малых числах Кнудсена предложено значительное число приближенных и численных методов.
Грубо приближенные методы можно разбить на две группы. К первой: группе относятся методы, в которых приближенно заменяют искомую функцию распределения, ко второй — методы, в которых аппроксимируют- (упрощают) интеграл столкновений, заменяют уравнение Еольцмана модельными уравнениями, К первой группе относятся, прежде всего, моментные методы, когда функцию распределения аппроксимируют той или иной зависимостью от скоростей молекул g с некоторым числом неизвестных макроскопических параметров, для которых соответствующее число макроскопических уравнений получают последовательным умножением уравнения Больцмана на весовые функции и интегрированием по скоростям молекул. В качестве весовых функций, как правило, выбираются пять сумматорных инвариантов столкновения молекул и некоторое число дополнительных функций. В соответствии с этим обычно получают- систему уравнений более сложную, чем уравнения Навье — Стокса. Поэтому до сих пор решаются главным образом одномерные задачи о структуре ударных волн, течении Куэтта и т. п. (см., например, С. П. Баканов, и Б. В. Дерябин, 1961; В. Д. Перминов, 1969). В методе моментов имеется определенный произвол как в выборе аппроксимирующей функции, так и в выборе весовых функций. Последний произвол отсутствует в вариационном методе, предложенном И. Г. Таммом (1965) *). Очевидно, что функционал
Z=备+鲁备—7(/，/)了也恋 положителен и обращается в нуль, если функция удовлетворяет уравнению Больцмана. Выбрав аппроксимирующую функцию, можно определить- входящие в нее макроскопические параметры так, чтобы первая вариация функционала % обращалась в нуль. Этот метод И. Е. Тамм применив для исследования структуры ударной волны, приняв аппроксимирующук>
функцию в виде суммы двух максвелловских распределений
/ = ® ⑺厶 +九%
где индексы «1» и «2» относятся соответственно к параметрам потока до и после волны *).
Часто уравнение Больцмана удобнее записывать в одной из интегральных форм (см,, например, С. В. Валландер, I960, 1963)
/ (力%，W) = / (方0,%一W (方一方0), W) + j / (s,%一W (方一s), I) dst
«о
t
/& 况，§=/(%,宓一W« —扣)，I)exp { — j 厶® 冗一g« —s), §ds} +
+ j li (T> 冗一g (力一七)，W) exp { — j ?2 (s，冗一W (力一s), g) ds } dr
и соответственно получать интегральные уравнения для моментов (Р, Г, Баранцев, 1963; М, Н, Коган, 1963; Б. В, Куксенко, 1963). Одно из основных удобств интегральных форм состоит в том, что в них естественным образом входят граничные условия. Интегральные формы уравнения Больцмана удобны также для метода последовательных приближений (Е, В, Алексеева и Р. Г, Баранцев, 1963; А, В, Белова, 1963; С, В. Вал- ландер, 1963),
В последние годы большое распространение получили различные формы метода статистических испытаний (Монте-Карло), Метод состоит в моделировании на ЭВМ элементарных процессов и статистических гипотез, лежащих в основе вывода уравнения Больцмана. В различных вариантах метода применяются различные способы разыгрывания пробегов и столкновения молекул. Естественно, это требует большого объема вычислений. Но основная трудность при реализации метода на современных ЭВМ — это большая потребная память для запоминания функции распределения. Если по каждой пространственной и скоростной координате запоминать лишь по 10 чисел, то в трехмерной задаче нужна память порядка 106, В. И, Власов (1966) предложил метод статистического запоминания функции, позволяющий запоминать в каждой пространственной ячейке лишь по нескольку скоростей молекул, что делает потребную память приемлемой.
Иной подход для экономии памяти предложен Ф. Г. Черемисиным (1967). По существу, это — метод последовательных приближений, в котором взятие многомерных интегралов заменено статистическим разыгрыванием ветвящегося процесса столкновения молекул. В этом методе не нужно запоминать функцию распределения и потребная память минимальна: память разменена на объем вычислений. Этими методами пока реализованы решения лишь для одномерных задач. Двух- и трехмерные задачи решены главным образом для свободномолекулярных (Кп оо) и близких к ним (Кп》1) течений.
Следует оговориться, что число Кнудсена является достаточным критерием для определения режима течения лишь при числах Маха М К L
При гиперзвуковых скоростях (М》1) критерии подобия существенным образом зависят от формы обтекаемых тел и законов взаимодействия молекул между собой и с поверхностями тел (М, Н, Коган, 1962, 1967). В этом случае в течении нет одной характерной длины пробега и необходимо различать часто существенно отличающиеся друг от друга (в М или М2 раз) длины пробега отдельных групп молекул (набегающих на отраженные, отраженных на набегающие и т. п.). Для того чтобы течение ■было свободномолекулярным или близким к нему, необходимо потребовать, чтобы минимальная из длин пробега была много больше характерного размера тела.
В зависимости от указанных выше условий течение при М —> 8 может •стремиться к течению сплошной среды при сколь угодно малой плотности набегающего потока и, наоборот, к свободномолекулярному при сколь угодно большой плотности.
При свободномолекулярном обтекании выпуклых тел каждый элемент тела обтекается независимо один от другого. Задача определения аэродинамических характеристик сводится к суммированию сравнительно просто рассчитываемых характеристик элементарны^ площадок поверхности тела.
Расчет обтекания вогнутых тел или групп тел значительно сложнее, так как молекулы, отраженные одними элементами тела, попадают на другие его элементы. Задача сводится к сложным интегральным уравнениям (см., например, А. И. Бунимович, 1966). Выписывание и решение их для сложных тел весьма трудоемко. Для весьма сложных тел эффективным -оказался метод Монте-Карло (В. А. Перепухов, 1968), в котором на ЭВМ последовательно разыгрываются пролеты отдельной молекулы и ее столкновения со стенками. Метод удобен также для расчета вакуумных аппаратов.
По существу ту же, но для очень сложного тела задачу представляет анализ взаимодействия молекул с шероховатыми поверхностями (общую постановку задачи см. в работе Р. Г. Баранцева, 1965). Для решения зтой задачи также оказался весьма эффективным метод Монте-Карло, в котором случайным образом разыгрываются не только пролеты молекул, но и сама поверхность тела (А. И. Ерофеев, 1967). Этим методом вперьые решена задача о немалой шероховатости.
Расчет течений, близких к свободномолекулярным, требует учета интеграла столкновений, и это существенно усложняет задачу (Е. В. Алексеева и Р. Г. Баранцев, 1963). При гиперзвуковых скоростях удовлетворительную точность обеспечивает учет лишь первых столкновений отраженных и набегающих молекул. В этой постановке удается получить интересные общие качественные закономерности и сформулировать теорему обратимости течений (М, Н. Коган, 1962), получить аналитическое решение задачи об отекании прямоугольных пластинок (О. Г. Фридлендер, 1963) и даже решить простейшие задачи об оптимальных формах (М. Н. Коган, О. Г. Фридлендер и Г. Е. Царькова, 1968). Для более сложных тел приходится прибегать к численным методам. Наибольшее число результатов здесь опять получено методом Монте-Карло (М. Н. Коган и Л. М. Дегтярев, 1965; В. А. Перепухов, 1961, 1967). Интересно отметить немонотонный характер аэродинамических характеристик ряда тел. Так, сопротивление пластинки и тонкого конуса при нулевом угле атаки и подъемная сила конуса становятся при уменьшении чисел Кп больше, чем в свободномолекулярном потоке, и уже затем падают к их значениям в сплошной среде.
Как уже отмечалось, течение можно считать близким к свободномолекулярному, если минимальная длина пробега много больше, чем характерный размер тела. Однако оказывается, что существуют течения, не удовлетворяющие этому требованию, которые все же могут быть рассчитаны в рамках теории первых столкновений. К числу таких течений относится течение в молекулярном пограничном слое (М. Н. Коган, 1962,1967). Такое течение возникает, например, у плоской пластинки, установленной параллельно потоку при М》Kn》1. Отраженные от пластинки молекулы имею г длину пробега на набегающих молекулах в М раз меньшую, чем в набегающем потоке (%«,), и в Kn/М раз меньшую длины пластинки £• В результате около пластинки образуется уплотненный слой толщиной 厶 kn/M, в котором плотность в М/Kn раз больше, чем в набегающем потоке. Несмотря на все это, молекулы испытывают около пластинки лишь по одному столкновению, так как после столкновения эффективная длина пробега молекул возрастает примерно в М раз (явление «перерождения» молекул) и второе столкновение молекулы испытывают на расстоянии порядка 入оо》£. В режиме молекулярного пограничного слоя сопротивление пластинки в М/Kn раз, а давление в М2/Кп раз больше, чем в свободномолекулярном режиме.
■ Расчеты, полученные по теории первых столкновений, позволяют отойти от предельного случая свободномолекулярных течений настолько, что в ряде случаев их удается стыковать с имеющимися экспериментальными данными и таким образом перекрыть весь диапазон течений от сплошной среды до свободномолекулярных течений,
§ 2・ Динамика плазмы. Магнитная гидродинамика
Динамика плазмы занимается изучением движений ионизованных газов в электрических и магнитных полях. Динамика плазмы находит все большее число приложений в астро- и геофизике, в проблеме термоядерных реакций, в задаче прямого преобразования тепловой энергии в электрическую, для получения высокоскоростных газовых струй в плазменных и ионных реактивных двигателях и аэродинамических трубах, при создании плазматронов для химического синтеза, сварки и резки металлов и т. д, С течениями плазмы мы сталкиваемся при движении спутников в ионосфере и при входе аппаратов в атмосферу с космическими скоростями.
Во многих случаях оказывается возможным рассматривать плазму как сплошную среду. Такое приближение, являющееся, по существу, соединением газодинамики с теорией электромагнетизма, принято называть магнитной гидро- или газодинамикой (МГД), Магнитогидродинамическому описанию поддаются также движения электропроводных жидкостей в электромагнитном поле, часто встречающиеся в технических приложениях,
В данном обзоре невозможно остановиться на всех вопросах динамики плазмы, возникающих в связи с перечисленными проблемами. Ниже рассмотрены лишь вопросы, наиболее близкие механике, к решению которых могут быть привлечены образы и методы газодинамики,
Уравнения. Поведение плазмы описывается системой кинетических уравнений Больцмана для каждой из компонент плазмы (электронов а = е, ионов а = г и нейтралов а — п):
条备+亳?>< 8］备=以， (2.D 28 Механика в СССР, том 2
где fa — функция распределения частиц сорта а, Е п В ——сглаженные макроскопические электрическое и магнитное поля, Са — интеграл столкновений, представляющий собой сумму интегралов столкновений, определяющих взаимодействие частиц сорта а с частицами других сортов.
Взаимодействие заряженных частиц в плазме описывается фоккер- планковским столкновительным членом в форме Л, Д, Ландау (1937), так как в этом случае превалируют дальние слабые взаимодействия, а не сильные парные столкновения, описываемые столкновительным членом больцмановского типа. Однако для не очень плотной плазмы часто пользуются столкновительным членом больцмановского типа, так как при соответствующем обрезании пределов интегрирования получаются те же результаты, что и при использовании уравнения Ландау.
Для плотной плазмы могут быть применены представления сплошной среды. Соответствующие уравнения гидродинамического приближения получаются из кинетических уравнений либо методами типа Чепмена — Эн- скога (см., например, С. И. Брагинский, 1957, 1963; Г, С, Бисноватый- Коган, 1964), либо методом Греда (В, М. Жданов, 1962; М. Я. Алиевский и В. М. Жданов, 1963). По сравнению с нейтральным газом плазма характеризуется рядом дополните л ьных безразмерных параметров, среди которых отметим произведение ларморовской частоты на время между столкновениями, отношение дебаевского радиуса экранирования к характерному размеру течения, отношение индуцированного магнитного поля к приложенному ,характеризуемое магнитным числом Рейнольдса Rem，отношение пондероморотных сил к инерционным, отношение магнитного давления к гидродинамическому. В зависимости от значений этих параметров для конкретной задачи уравнения принимают различный вид (см,, например В, Б. Баранов, 1962; Э. Г. Сахновский, 1964; М, Я. Алиевский, В. М. Жданов и В. А, Полянский, 1964; В, В, Гогосов, 1964).
В настоящее время расчеты течений плотной низкотемпературной плазмы осуществляются в основном на основе следующей модели, не учитывающей поляризации и намагничения среды:
备+ pdiv 厂=0,(2.2)
Р~аГ= — grad/? + —Jx B+divT,(2.3)
P%警+ pdivP = diva + O)+祟/2S= 4^-) >(24)
div 丑=0, rot^B = T-仇(2,5)
rot^-—-丄，(2.6)
c dt'7
Здесь члены div t в (2,3) и Ф в (2.4) определяют соответственно вязкие силы и вязкую диссипацию, член div q определяет перенос энергии теплопроводностью, Эти члены имеют тот же вид, что и в обычной газодинамике, с коэффициентами вязкости и теплопроводности, соответствующими данному состоянию плазмы, рассматриваемой как смесь электронов, ионов и нейтронов. Обычно ионизация сравнительно мало изменяет вязкость газа, в то время как большая подвижность электронов приводит к существенному увеличению теплопроводности. Уравнения (2,2)—(2.4) отличаются от уравнений газодинамики нейтрального газа лишь наличием пондеро- моторной силы (J X В)1с и джоулевой диссипации 产/о (о = о (р, 7)—
электропроводность, vm — магнитная вязкость). Эти уравнения связываются с уравнениями Максвелла (2,5) и (2,6) при помощи одной из форм обобщенного закона Ома (см., например, Г. А, Любимов, 1961). Наиболее простая из них следующая:
J = o (^Х-^ FXB). (2.7)
Эта форма закона Ома не учитывает ларморовского вращения и дрейфа электронов (о)е%《1). При учете ларморовского вращения электронов (токов Холла) закон Ома принимает более сложную форму:
J+-^-jxB = O(Ex±VxB). (2.8)
Такая модель пдазмы учитывает анизотропию проводимости. При больших магнитных полях и в разреженной плазме необходимо учитывать анизотропию и других переносных свойств, и система уравнений еще усложняется (см., например, В. Б. Баранов, 1964; Э. Г. Сахновский, 1964), Так как электроны более подвижны, чем другие частицы, и с трудом отдают приобретенную энергию более тяжелым частицам, то температура электронов часто существенно отличается от температуры ионов и нейтронов. В этом случае приходится от «одножидкостной» модели переходить к «многожидкостной», записывая уравнения для каждой из компонент плазмы в отдельности, учитывая еще взаимодействие через электрические и магнитные поля и взаимное «трение» и вводя свою температуру для каждой из компонент («двухтемпературная» модель). Уравнения, описывающие плазму, еще более усложняются, когда необходимо учитывать химические реакции, неравновесные процессы, излучение и т. д.
Гидродинамические модели плазмы, как и нейтрального газа, справедливы при малых числах Кнудсена, т. е, в течениях, в которых определяющую роль играют столкновения частиц. Однако уравнения магнитной гидродинамики оказываются справедливыми и для сильно разреженной плазмы, без столкновений, если она движется в направлении, перпендикулярном к магнитному полю (Г. Чу, М. Голдбергер и Ф. Лоу, Proc, Roy, Soc, London, 1956, A236 : 1204, 112—118).
* Указанные случаи далеко не исчерпывают всех возможных моделей плазмы. Здесь невозможно дать их сколько-нибудь полный обзор. Но уже из сказанного видно, что в каждой конкретной задаче нужно с большой осторожностью подходить к выбору модели плазмы и уравнений, описывающих ее движение. Процесс обоснования уравнений для различных задач еще не закончен. Работы в этом направлении должны привести к созданию рабочих моделей, учитывающих наиболее важные физические эффекты. Весьма полезными в этом отношении представляются общие методы построения механических моделей, развиваемые Л, И, Седовым (1962, 1965, 1966).
В связи с получением уравнений, особый интерес представляет экспериментальное изучение различных физических и физико-химических параметров плазмы, в частности, коэффициентов переноса, так как их расчет не может быть произведен в настоящее время с достаточной точностью, Существующие в этом направлении работы относятся в основном к исследованию электропроводности плазмы.
Формулировка граничных условий для основной системы уравнений на твердых поверхностях, ограничивающих поток плазмы, в ркде случаев приводит к необходимости теоретического и экспериментального исследования физических процессов, происходящих на границе раздела «плазма—
28*
твердое тело». Примерами задач, в которых обычные механические и электродинамические граничные условия недостаточны для формулировки задачи, могут служить задачи о расчете течения многотемпературной плазмы или задачи о течении в каналах при наличии электродов, через которые протекают большие токи (Г. А. Любимов, 1963). В обоих указанных примерах граничные условия на обтекаемой поверхности зависят от физических свойств материала, из которого изготовлена эта поверхность, и не могут быть сформулированы без детального изучения процессов взаимодействия частиц плазмы с поверхностью твердого тела и физических процессов вблизи нее. Весьма немногочисленные примеры расчетов и экспериментальные данные (Г. А, Любимов, 1965) показывают, что физические свойства граничных поверхностей могут существенно влиять на характеристики потока .(в частности, на течение в канале МГД-устройств). Это делает весьма ^актуальной задачу получения граничных условий с учетом сложного характера взаимодействия потока плазмы с поверхностью твердого тела.
2・2・ Магнитогидродинамические течения и ударные волны ). Многие важные результаты, показывающие особенности течений плазмы, получены на простейшей модели, использующей закон Ома в форме (2,7). Исключая плотность тока J из уравнений (2.3), (2.4) и (2,7) с помощью (2.5), получим, .что в уравнения гидродинамики, кроме обычных гидродинамических величин, входит лишь магнитное поле (отсюда и название «магнитная гидродинамика»). Для определения магнитного поля имеем
div 丑=О
и уравнение индукции магнитного поля, получаемое из (2,6) путем исключения электрического поля с помощью закона Ома (2.7):
== rot (F X В) — rot (vm rot В).(2.9)
В рамках этой модели проанализированы многие течения, изученные ранее в обычной гидро- и газодинамике, В некоторых случаях, например, при движении бесконечнопроводящего газа в магнитном поле, перпендикулярном к плоскости течения (Г, С, Голицын, 1958; С. А, Каплан и К. П, Станюкович, 1954; С, И, Сыроватский, 1957), или при движении несжимаемой плазмы или электропроводной жидкости вдоль магнитного поля (V II Н) (см., например. В, Д. Шафранов, 1957; С, И. Сыроватский, 1957, С, А, Регирер, I960) преобразованием переменных уравнений МГД просто сводятся『к уравнениям обычной гидродинамики.
Для идеальной среды (без вязкости, теплопроводности и с бесконечной электропроводностью, т, е, при магнитном числе Рейнольдса Rem — =pVL/vm — оо) исследованы звуковые волны, слабые разрывы (см., например, В, Н, Жигулев, 1959), простые волны (см, Д, И, Ахиезер, Г, Я. Любарский и Р. В, Половин, 1959; С. А, Каплан и К. П, Станюкович, 1954; А, Г, Куликовский, 1958; Р. В, Половин, I960) и сильные разрывы. Значения гидродинамических величин и магнитного поля по обеим сторонам сильного разрыва связаны обобщенными соотношениями Гюгоньо (условия сохранения массы, импульса и энергии, а также непрерывности тангенциальной составляющей электрического поля и нормальной составляющей магнитного поля). Основное отличие от ударных волн обычной
газодинамики состоит в том, что в МГД-волне текут токи, на которые действуют пбндеромоторные силы, и в переносе энергии участвует поток электромагнитной энергии, определяемый вектором Пойнтинга (см. Л, Д. Ландау и Е, М, Лифшиц, 1957). Как и в обычной газодинамике ударные МГД-волны с возрастанием энтропии являются волнами сжатия (С. В, Иорданский, 1958; Г. Я. Любарский и Р, В, Половин, 1958), Соотношения в ударных волнах значительно сложнее обычных соотношений Гюгоньо, и определение условий за волной по условиям до волны становится далеко не тривиальным.
Оказывается, что можно ввести некоторую величину, характеризующую интенсивность волны, и через нее явным образом выразить все параметры за волной и ее скорость. Возможность такого разрешения условий на ударных волнах позволила провести их полное исследование ), Однако при расчете течений обычно неудобно пользоваться параметром, определяющим интенсивность волны (зависящим от комбинации перепада давлений и магнитных полей). Удобнее, как и в обычной газодинамике, иметь возможность определять параметры потока за волной по параметрам до волны и одному из параметров за волной, например, по углу поворота потока, т. е, необходимо иметь ударные поляры. Такие поляры построены как в плоскости годографа скорости, так и в плоскости годографа магнитного поля (М, Н, Коган, 1959, I960, 1962), Интересно отметить, что в МГД ударные волны могут существовать при дозвуковых скоростях. При этом повороту потока на положительный угол соответствуют ударные волны, наклоненные вверх по потоку. Отметим также, что в отличие от обычной газодинамики в МГД ударные волны могут возникать на выпуклых углах и в ударных волнах может увеличиваться скорость потока (М, Н, Коган, 1959, I960),
Условия Гюгоньо являются необходимыми, но не достаточными. Известно, что в обычной газодинамике все ударные волны сжатия, удовлетворяющие условиям Гюгоньо, эволюционны и имеют структуру, В МГД это не так. Условия эволюционности для МГД-волн впервые получены в работах А, И, Ахиезера, Г. Я. Любарского и Р. В. Половина (1958) и С, И. Сыроватского (1958),
Эволюционными являются волны, удовлетворяющие следующим условиям: медленные волны
。一,上4%《4h，w2V。一,2；(2-10)
быстрые волны
。十,1《%,412 V u2V。十,2，(2.11)
Здесь и и Лп — нормальная к волне составляющая скорости потока и скорости Альфвена / =丑/匕£р,
吸=百［42 + 遊 士 >(/2 +02)2 — 402mL(2,12)
。=/кр/р — скорость звука, индексы «1» и «2» относятся к состояниям
до и после волны соответственно. Анализ ударных поляр (М, Н, Коган, 1960, 1962) показал, что далеко не все ударные волны, удовлетворяющие условиям Гюгоньо, эволюционны, Эволюционны только волны, в которых касательная составляющая магнитного поля при переходе через волну не меняет знака, В тех случаях, когда одним и тем же условиям до волны соответствует несколько (два или три) возможных режимов за волной, эволюционным оказывается лишь один из них.
Вообще говоря, не очевидно, что все эволюционные волны имеют структуру. Структура МГД-волн в частных случаях рассматривалась в ряде работ (см., например, А, Г. Куликовский и Г, А, Любимов, 1959, 1961; Е, П. Сиротина л С, И. Сыроватский, I960). Исследование для произвольного закона диссипации энергии дано П, Жерменом (ONERA puBL, 1959, № 97) и А, Г, Куликовским (1962). Показано, что эволюционные ударные волны имеют структуру при произвольной зависимости диссипативных коэффициентов от параметров потока, т, е, существует непрерывное решение уравнений магнитной гидродинамики, описывающее стационарное одномерное течение вязкого теплопроводного конечнопроводящего газа, обращающееся при удалении вверх и вниз по течению в однородные потоки, параметры которых связаны соотношениями на ударной волне. Заметим, что в случае медленных ударных волн существование структуры доказано лишь для волн малой, но конечной интенсивности. В случае неэволюционных ударных волн всегда можно подобрать диссипативные коэффициенты так, что решение, представляющее структуру, отсутствует.
Изучены также свойства МГД-разрывов, на которых происходит выделение или поглощение энергии. Эти поверхности моделируют узкие зоны, в которых протекают химические реакции, диссипация, ионизация и т, д. Как и в обычной газовой динамике, возможны поверхности двух типов: детонации и горения. Свойства и эволюционность таких разрывов в рамках идеальной магнитной гидродинамика исследованы как для малого магнитного поля и малой величины выделяющейся (поглощающейся) энергии (см., например, В, П. Демуцкий и Р. В. Половин, 1961), так и для произвольной величины магнитного поля и выделяющейся энергии (А, А. Бармин, 1961, 1962).
Показано, что существуют два эволюционных разрыва типа детонации (быстрый и медленный), соответствующих быстрой и медленной ударной волне. Кроме того, имеются четыре эволюционных разрыва типа горения:
быстрый сверхальфвеновский (их >。+,工，％+, 2 V 〃2)，
медленный сверхальфвеновский (Аг V u1V a^.t » 4? V 〃2 V &+, 2)， быстрый доальфвеновский (а_, 1 < ux < Alt а_, 2 V 〃2 V %2)， медленный доальфвеновский (ux V。一」，〃2 V。~, 2)-
Возможна также детонация в режиме Чепмена ——Жуге, когда скорость продуктов реакции относительно разрыва равна скорости распространения малых магнитогидродинамических возмущений.
Весьма интересны МГД-волны, ионизующие газ, в которых электропроводность газа меняется от нуля до бесконечности (разрыв со скачком проводимости).
Такие разрывы для случая, когда магнитное поле параллельно фронту волны, рассмотрены в работах А, Г. Куликовского и Г. А, Любимова (1959), В этих работах впервые было теоретически показано, что ионизующая ударная волна излучает впереди себя электромагнитную волну, меняющую начальное электромагнитное поле. Позднее эта электромагнитная волна была обнаружена экспериментально, Было показано также, что, кроме обычных условий, вытекающих из законов сохранения и непре-
рывности касательной составляющей электромагнитного поля, необходимо использовать еще одно дополнительное соотношение, следующее из рассмотрения структуры таких разрывов. Это соотношение было получено для предельных значений отношения диссипативных коэффициентов. Дополнительные соотношения обеспечивают эволюционность волн и возможность однозначного решения задачи.
Ударная волна с «временной» ионизацией (электропроводность до и после волны равна нулю, достигая максимума внутри волны) исследована Ю, Л, Жилиным (1962).
* Ионизующие ударные волны при произвольной ориентации магнитного поля рассмотрены А. А, Барминым и А, Г. Куликовским (1968), которые показали, что число дополнительных соотношений, вытекающих из структуры волны, может достигать трех и зависит от соотношения между скоростями газа и скоростями малых возмущений до и после разрыва.
Изучение свойств звуковых и ударных МГД-волн позволило приступить к изучению МГД-течений.
Естественно было ожидать, что наиболее отчетливые качественно новые по сравнению с обычной газодинамикой эффекты должны возникать при большой электропроводности, т. е, при больших магнитных числах Рейнольдса. Обычная газовая динамика (Rem = 0) и идеальная МГД (Re7n = °°) являются двумя предельными случаями, между которыми лежат все реальные МГД-течения.
Задача обтекания тел идеальной плазмой при наличии магнитного поля на бесконечности рассмотрена в работах М. Н. Когана (1959—1961). В отличие от обычной газодинамики МГД-уравнения идеальной плазмы обладают в общем случае четырьмя характеристиками. В соответствии с этим имеются гиперболические течения с четырьмя действительными характеристиками и эллиптико-гиперболические течения с двумя действительными и двумя мнимыми характеристиками. Если магнитное поле на бесконечности параллельно скорости набегающего потока, то В^ V во всем течении. В этом случае две характеристики сливаются с линией тока и имеются гиперболические и эллиптические области. Интересно отметить, что течение может быть гиперболическим при дозвуковых скоростях и эллиптическим при сверхзвуковых. Наиболее своеобразны течения в дозвуковых гиперболических областях. Здесь ударные волны и волны разрежения типа Прандтля ——Майера могут уходить вверх по потоку от обтекаемого тела (М. Н, Коган, 1959, I960) ).
Эллиптико-гиперболические течения обладают свойствами как эллиптических, так и гиперболических течении. В линейном случае решение представляется в виде суммы затухающего на бесконечности гладкого решения уравнения Лапласа и незатухающего разрывного (ударные волны) решения волнового уравнения (М, Н. Коган, I960). Имеется несколько эллиптических областей течений. Лишь в одном из них течения качественно подобны дозвуковым течениям обычной газовой динамики. В других эллиптических течениях либо возмущенная скорость, либо возмущенное полное давление (гидродинамическое и магнитное) имеют знак, противоположный тому, который они имеют в дозвуковых течениях обычной газодинамики (М. Н, Коган, 1959), В соответствии с наличием большого числа различных областей течений имеется и большое число типов
смешанных МГД-течений, исследование которых начато М. Н, Коганом (1961).
Своеобразен и характер распространения следов или вихревых пелен, уходящих от тела, обтекаемого идеальной плазмой в присутствии магнитного поля.
Оказывается, что вязкие следы ) и вихри (М. Н, Коган, 1961) могут уходить вверх по потоку. Уход следов вниз по потоку в обычной гидродинамике можно объяснить, опираясь на теорему Томсона о сохранении циркуляции скорости по замкнутому контуру. Однако в МГД эта теорема справедлива лишь, когда rot (rot Л X 公)= 0 (С, А. Каплан, 1954; В, Н. Жигулев, 1959), Для малых возмущений и идеальной несжимаемой среды доказан аналог теоремы Томсона (М, Н, Коган, 1961), согласно которому в общем случае сохраняется циркуляция вектора 卩干/ по контуру, движущемуся со скоростью ，土 / . Следовательно, комбинация тока и вихря может переноситься не только вверх по потоку, но и вбок, в зависимости, от величины магнитного поля. При этом в общем случае образуются два следа, идущих в разные стороны.
Изучение описанных течений позволяет выяснить свойства течений при больших магнитных числах Рейнольдса, когда магнитное поле уже имеется в течении. Некоторые свойства таких течений (например, распространение возмущений вверх по потоку — см. В, А, Рыков, 1965) обнаруживаются уже при числах Rem 1.
В то же время с точки зрения ряда приложений интересна другая постановка задачи: проводящая жидкость или газ обтекает намагниченное тело. Газ может быть ионизованным уже на бесконечности или ионизоваться в ударных волнах вблизи обтекаемого тела. Исследование течений в такой постановке для идеальной жидкости начато А. Г, Куликовским (1957). Если приводимость бесконечна, то магнитное поле не может проникнуть в жидкость и около тела образуется «каверна» (А, Г. Куликовский, 1957; В, Н, Жигулев, 1959), что позволяет с помощью магнитного поля отжать течение от обтекаемого тела.
Отметим, что магнитное поле не проникает в набегающий бесконечно- проводящий поток и не возмущает его лишь в том случае, когда магнитное поле на бесконечности отсутствует. Если же на бесконечности имеется магнитное поле, то плазма не экранирует намагниченные тела (токи). Глубина проникновения в поток возмущений, вызванных внешним магнитным полем, тем больше, чем больше магнитное поле в набегающем потоке. При большом магнитном числе Маха Мд (отношении скорости набегающего потока к скорости Альфвена) область проникновения возмущений магнитного поля ограничена тонким пограничным слоем. Этот пограничный слой возникает в идеальной среде и в отличие от пограничных слоев, обусловленных диссипативными процессами, описывается уравнениями гиперболического типа (М, Н. Коган, I960),
Если магнитное число Рейнольдса велико (Rem》1), но не бесконечно, то линии раздела между магнитным полем и жидкостью размываются и превращаются в пограничные сло^. Изучение таких пограничных слоев начато в работах В, Н, Жигулева (1959, I960). Математические трудности, возникающие при исследовании этих пограничных слоев, настолько велики, что даже для автомодельных случаев не удается без дальнейших упрощений получить обозримые результаты.
При конечных магнитных числах Рейнольдса исследование обтекания намагниченных тел существенно усложняется. При малых Rem вновь появляются упрощения, связанные с возможностью пренебречь индуцированным магнитным полем. Как и можно было ожидать, течения получаются качественно подобные течениям обычной газодинамики. Пондеромоторные силы приводят к дополнительному затормаживанию потока и сопротивление тел увеличивается. При достаточно больших магнитных полях можно добиться отрыва потока (см,, например, М. Д, Ладыженский, 1959, 1962),
2・3・ Магнитогидродинамические течения в каналах. При движении электропроводных жидкостей или газов по трубам и каналам в присутствии внешнего электромагнитного поля возникает ряд механических эффектов, связанных с динамическим и тепловым воздействием на поток протекающих в движущейся среде токов. Техническое использование этих эффектов привело к созданию ряда МГД-устройств.
Магнитогидродинамические устройства по принципу их действия условно можно разделить на две группы, К одной группе относятся устройства, использующие энергию внешнего электромагнитного поля, преобразуя ее в механическую и тепловую энергию движущейся среды, К этой группе устройств относятся различного рода ускорители плазмы, электромагнитные насосы для жидких металлов, а также некоторые приборы, предназначенные для экспериментов физического характера (электромагнитные ударные и аэродинамические трубы, гомополярники и т, д,)-
К другой группе МГД-устройств относятся устройства, преобразующие механическую энергию движущейся среды в энергию электромагнитного поля, которая либо используется непосредственно (МГД-генерато- ры), либо служит для различного рода измерений (расходомеры, измерители скорости потока и т, д,).
Исследование МГД-течений в каналах представляет интерес не только в связи с задачами чисто прикладного характера, но и с точки зрения изучения некоторых общих закономерностей влияния электромагнитного поля на движение электропроводящей среды (влияние магнитного поля на структуру турбулентности и на течение в пограничных слоях, закономерности распространения возмущений, влияние электромагнитного поля на устойчивость течения и т, д.). Для всех этих вопросов МГД- течения в каналах являются не только удобной моделью теоретического исследования, но и средством их экспериментального изучения.
Изучение МГД-течений в каналах началось, по существу, в тридцатых годах теоретическими и экспериментальными работами Ю. Гартмана (Kgl, danske vid, selskab., mat,-fys. medd., 1937, 15 : 6-7), но особенно бурно эта область магнитной гидродинамики развивалась в последние 10——15 лет в связи с возникновением технической возможности использования низкотемпературной плазмы в качестве рабочего тела в МГД-устройствах,
Наиболее полное развитие получила в настоящее время теория ламинарных магнитогидродинамических течений несжимаемой жидкости. Развитие теоретических и экспериментальных работ в этом направлении связано не только с упрощением математической формулировки задачи, но и с непосредственным использованием результатов такого ■ исследования в ряде задач прикладного характера. В этой области получены как решения многих конкретных задач, так и ряд достиженийsпринципиального характера, касающихся постановок задач и их общего исследования *).
Если канал представляет собой цилиндрическую трубу, ось которой направлена вдоль оси 方，и если скорость жидкости имеет только одну компоненту и не меняется вдоль оси 方(0 = 〃(у, z) &), то такое течение называется развившимся. Анализ системы уравнений магнитной гидродинамики показал, что развившиеся магнитогидродинамические течения могут существовать только при определенной конфигурации магнитного поля (С, А, Регирер, 1962), При некоторых предположениях довольно общего характера система уравнений магнитной гидродинамики, описывающая ламинарные развившиеся течения несжимаемой изотропно проводящей жидкости, разделяется на уравнения для распределения поперечного магнитного поля
div 丑丄=0, rot 丑丄=О, -Вj_ = Вуеу -[- Bzez (2.13) и линейную систему уравнений для скорости, давления и продольной компоненты магнитного поля
(2.14)(2.14)■^■ = т]А〃+ 去;В丄 Y&, J?丄Y〃= —v„ABh,
(2.14)
(2.14)
Y丄"=言(电Y)电，P = P +黑，Y丄= %* + ez^■
Определенная замена переменных и введение новых неизвестных функций *) позволяет привести систему (2.14) к системе уравнений с постоянными коэффициентами вида
М + а翁= g(O (a = const,八=矗十毒).
Естественными граничными условиями для системы уравнений (2.14) являются условия прилипания для скорости u = uw — 0 и условие непрерывности нормальной составляющей магнитного поля 丑於 и касательной составляющей электрического поля Е< на поверхности трубы. Отсюда следует, вообще говоря, что система (2.14) не может решаться независимо от электродинамической задачи вне трубы. В некоторых случаях эти две задачи могут быть разделены (см., например, С. А. Регирер, 1966).
Простейшее решение системы (2,14), описывающее плоское течение между двумя непроводящими плоскостями в однородном поперечном поле (задача Гартмана), было построено Гартманом.
Решение задачи о развившемся течении в прямоугольном канале в однородном поперечном поле, параллельном одной из стенок, зависит от электропроводности стенок канала. Если все стенки канала обладают нулевой или бесконечной электропроводностью, то такое решение получается в виде тригонометрических рядов ), Таким же образом может быть решена задача и в том случае, когда стенки канала, параллельные полю,—— изоляторы, а две другие стенки ——идеальные проводники. В том случае, когда параллельные полю стенки —— идеальные проводники, а две другие стенки — изоляторы (конфигурация канала, наиболее интересная с точки зрения приложений к теории МГД——устройств), задача пока не решена точно. Получено лишь приближенное решение этой задачи при больших числах Гартмана На = (В°£/с) /о/тр
Получены точные решения задач о течении в круглых трубах в однородном поперечном поле, а также точные решения, описывающие течение
в трубах эллиптического сечения, в круглой трубе в магнитном поле диполя и в плоской трубе при наличии разрыва в проводимости стенок (Я.С. Уфлянд, 1960; А. Е. Якубенко, 1961,1963). Указанные точные решения позволили установить качественные особенности влияния поперечного магнитного поля на течение в каналах. Характерной особенностью такого рода течений являются увеличение скорости в пристеночных областях (по сравнению со случаем отсутствия магнитного поля) и образование особых пограничных слоев, толщина которых определяется числом Гартмана. Эта особенность течения позволила развить специальные методы решения подобных задач при больших значениях числа Гартмана (см., например, Дж. А. Шерклиф, J. Fluid Meeh., 1962, 13 : 4, 513—518; ；В. Э.? Вильямс, там же, 1963, 16 : 2, 262—268; Г. А. Гринберг, 1962, 1964).
Система уравнений (2.13) и (2.14), дополненная уравнением энергии p% "票=松7十①(2.15) может служить для описания свободноконвективных движений жидкости в вертикальных каналах в поле сил тяжести, если аналогично обычной гидродинамике учесть в первом из уравнений (2.14) член ——p§Tg, характеризующий эффект термического расширения жидкости.
В тех случаях, когда можно пренебречь вязкой диссипацией (Ф = 0) и диссипацией энергии за счет индуцированных токов (;2/о = 0) и, кроме того, вертикальный температурный градиент постоянен (дТ1дх = Л), а токи, текущие в жидкости за счет внешних источников, отсутствуют, задача упрощается, так как уравнение (2.15) становится линейным. В этой постановке решены задачи (С. А. Регирер, 1959, 1962; Г. 3. Гершуни и Е. М. Жуховицкий, 1958) о конвективных течениях в плоском канале за счет продольного (Л ^= 0) и поперечного градиентов температуры при наличии однородного поперечного магнитного поля, а также задачи о течении в плоском и круглом каналах при наличии внешнего продольного тока 仇=const). Интересно, что при Л=0и7Л^=0в круглом канале за счет появления азимутальной компоненты магнитного поля нарушается симметрия конвективного движения.
Решения, описывающие развившдеся течения в каналах, не учитывают возмущений, связанных с начальным сечением канала и ограниченностью области, в которой задается магнитное поле. В связи с этим большое внимание уделялось задачам о развитии течения в каналах. Эти задачи, исследование которых было начато Дж. А, Шерклифом (Proc, Cambridge Phil. Soc., 1956, 52 : 3, 573—583), имеют целью оценить длину «начального участка», т. е. области изменения профиля скорости после входа потока в канал или в область неоднородного магнитного поля. Вне «начального участка» течение описывается уравнениями развившегося течения.
Постановка задачи о развитии течения при Rem《 1 0 методы ее решения аналогичны обычной гидродинамике.
Необходимо отметить, что длина начального участка £, рассчитанная различными методами (методом линеаризации, методом Шлихтинга или методом интегральных соотношений), оказывается различной, что в известной мере связано с определением понятия длины начального участка.
Исследование развития течения в плоском канале в однородном магнитном поле, когда стенки канала —— проводники или изоляторы, в случае однородного потока на входе в канал показало, что £ 〜。Re/Ha2 (а ——ширина канала, Re ——число Рейнольдса, На ——число Гартмана), т. е. длина начального участка монотонно падает с ростом числа Гартмана
(см. упомянутую работу Дж. А. Шерклифа, а также А. Е. Якубенко, 1963). Если профиль скорости на входе параболический, то изменение длины начального участка с ростом числа Гартмана носит немонотонный характер (С. А. Регирер, 1962). Длина начального участка зависит также от ориентации внешнего магнитного поля. Например, сильное продольное поло увеличивает длину начального участка (С. А. Регирер, 1966).
Предположение о плоском характере течения сильно упрощает решение задачи о развитии течения, так как при этом считают Е = const. Однако вблизи начального сечения даже в случае плоского течения электрическое поле нельзя считать постоянным, причем распределение электрического поля зависит от того, какому реальному течению в канале прямоугольного сечения соответствует рассматриваемое плоское приближение.
Отсюда следует, что даже для решения плоской задачи о развитии течения, не говоря уже о задачах развития течения в прямогольных и круглых каналах, необходимо дополнить систему уравнений уравнением для электрического поля. При этом задача сильно усложняется. Такого рода задачи мало исследованы. Асимптотические оценки показывают, что для прямоугольных и круглых каналов 七〜。Re/Ha, т. е. существенно отличается от результатов плоской теории при Е = const.
Новые качественные эффекты обнаружены при исследовании развившихся нестационарных магнитогидродинамических течений (Я. С. Уфлянд и И. Б. Чекмарев, 1959, I960). Основной особенностью нестационарных задач является необходимость совместного решения уравнений магнитной гидродинамики внутри канала и уравнений электродинамики вне его. Полученная система уравнений решается обычно при помощи преобразования Лапласа по времени. Точные решения нестационарных задач о течении в плоском канале в однородном поперечном магнитном поле были получены как для случая переменного градиента давления др/дх = Р (£), так и для случая подвижных границ канала uw = uw (力).Рассмотрена также аналогичная задача для течения в трубе прямоугольного сечения.
Интересной особенностью нестационарных переходных течений, возникающих при мгновенном изменении градиента давления или скорости- стенок канала, является их немонотонность, причем амплитуда и частота возникающих колебаний возрастают с ростом числа Гартмана. Если «вынуждающие силы» (например, градиент давления) меняются периодически, то в некоторых случаях возникают резонансные явления (И. Б. Чекмарев, 1961, 1962).
Указанные исследования позволили определить множество принципиальных качественных эффектов, связанных с взаимодействием движущейся в канале среды с электромагнитным полем, и оценить работоспособность различных МГД-устройств. Экспериментальные исследования, проведенные в этой области, особенно работы, проведенные в Институте физики Академии наук Латвийской ССР, привели к созданию промышленных электромагнитных насосов для жидкого металла и ряда измерительных устройств. ,
Одной из наиболее интересных задач в области изучения ламинарных движений несжимаемой жидкости в каналах в настоящее время является исследование движений анизотропнопроводящих сред, а также сред, свойства которых зависят от величины магнитного поля. Анизотропия проводимости приводит к появлению новых качественных эффектов. В частности, наличие продольных токов в канале приводит к появлению электромагнитных сил в поперечном сечении канала, которые, по-видимому, вызыва-
ют течения, аналогичные вторичным течениям в искривленных каналах при отсутствии поля. Исследование такого рода течений, кроме самостоятельного интереса, позволит приближенно оценить влияние этого эффекта на течение сжимаемой анизотропнопроводящей среды в каналах.
Система уравнений, учитывающая в той или иной степени анизотропию свойств переноса, оказывается довольно сложной. В связи с этим существующие в настоящее время решения этой системы относятся в основном к простейшим течениям типа Гартмана или Куэтта.
В меньшей степени (по сравнению с течениями несжимаемой жидкости) исследованы магнитогидродинамические течения электропроводного газа в каналах, хотя именно эти задачи представляют в настоящее время наибольший интерес с точки зрения приложений. Этот интерес объясняется в. основном перспективностью использования низкотемпературной плазмы в качестве рабочего тела различных МГД-устройств.
Трудности, возникающие в связи с исследованием течений плазмы, носят не только математический характер. Развитие представлений о свойствах низкотемпературной плазмы на основе экспериментальных и теоретических исследований физического характера непрерывно ставит перед механической теорией новые усложненные постановки задач (учет анизотропии проводимости и других свойств переноса, различия в температурах ■ компонент, различных химических реакций, излучения, учет эффектов, связанных с взаимодействием плазмы с твердыми стенками канала, и т.д.). Новые постанови задач приводят к необходимости усовершенствования основной системы магнитогидродинамических уравнений и граничных условий.
Существующие результаты в области исследования МГД-течений газа в каналах на основе простейших моделей четко делятся на две основные группы по величине характеризующего задачу магнитного числа Рейнольдса (Rem《1 0 Re 》1). К первой группе относятся в основном задачи о течении плазмы в канале МГД-генератора, причем условие Rem《1 пазводяет пренебречь в этих задачах компонентой магнитного поля, индуцируемой токами, текущими в плазме. Ко второй группе относятся ускорительные течения, в которых индуцируемые магнитные поля играют основную роль.
Качественное влияние магнитогидродинамических эффектов на течение электропроводного газа в канале МГД-устройства было исследовано на основе гидравлического (одномерного) приближения. Исследования в этом направлении, начатые работой Э. Л. Реслера и В. Р. Сирса (J. Aeronaut. Sci., 1958, 25 : 4, 235—245), весьма многочисленны и содержат результаты расчетов массы конкретных частных примеров. С принципиальной стороны расчет отдельных примеров на базе гидравлической теории не представляет труда, так как сводится к решению задачи Коши или в крайнем случае к двухточечной краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. С другой стороны, получение выводов общего характера из этой массы примеров весьма затруднительно. Гораздо больший интерес представляет решение различных вариационных задач на основе гидравлического приближения с целью определения оптимальных в определенном смысле режимов течения. Четкая постановка вариационной задачи в связи с течением в канале МГД-генератора дана А. Н. Крайко и Ф. А. Слободкиной (1965). Нужно отметить, что с математической точки зрения решение вариационной задачи имеет, ту же сложность, что и расчет отдельных примеров на базе гидравлического приближения.
Гидравлический подход к расчету течения в канале связан с определенным мысленным осреднением параметров потока в плоскости поперечного сечения канала. Отсюда следует, что ряд эффектов (концевые эффекты, связанные со входом и выходом газа из магнитного поля или из электродной зоны; неоднородности в распределении полей и токов, вызванные неоднородным распределением электропроводности; вторичные течения, вызванные электромагнитными силами, действующими в плоскости поперечного сечения канала и т. д.), связанных с неоднородным распределением параметров по сечению, не может быть рассчитан или оценен в рамках гидравлического приближения.
Кроме того, известно (см. Л. И. Седов и Г. Г. Черный, 1954), что в рамках любого гидравлического приближения, особенно при использовании однородного (в плоскости поперечного сечения) по всем параметрам канонического потока, нельзя описать в ряде случаев все интересные с практической точки зрения характеристики действительного неравномерного потока. Это обстоятельство при расчете магнитогидродинамических течений в каналах может оказаться особенно существенным из-за того, что электропроводность сильно зависит от температуры и существенные средние характеристики (электрическое поле, э. д. с, мощность на внешней нагрузке и т. д.) определяются средней скоростью потока (Г. А. Любимов, I960).
В связи с такого рода ограниченностью гидравлического подхода представляют интерес унификация гидравлических методов расчета, разработка гидравлических методов, использующих неоднородные канонические потоки, и, наконец, экспериментальная проверка результатов гидравлического расчета. ,
Ограниченность гидравлического подхода делает особенно актуальной задачу расчета пространственных (неодномерных) магнитогидродинамических течений в каналах. Математические трудности, возникающие при расчете таких течений, чрезвычайно велики, поэтому решения этой задачи даже в рамках модели идеальной (невязкой, нетеплопроводной) среды практически отсутствуют. Отдельные точные решения относятся только к течениям хорошо проводящих сред (Rem》!)• В связи с этим в настоящее время широко разрабатываются различные приближенные методы расчета таких течений.
При построении приближенных методов используются условия малости отдельных определяющих задачу параметров (магнитного числа Рейнольдса, параметра взаимодействия) или соображения физического характера, связанные с особенностями специальных классов течений. Естественно, что при этом приближенные методы расчета генераторных и ускорительных течений оказываются различными. Существенный вклад в разработку приближенных методов расчета пространственных течений в каналах МГД-устройств внесен советскими учеными, которым принадлежат в этой области основные результаты. Остановимся подробнее на некоторых наиболее перспективных приближенных методах.
В задачах о течениях в канале МГД-генератора Rem《1, 0 поэтому в этих задачах естественно пренебрегать индуцированными магнитными полями. При этом магнитное поле в области течения можно считать заданным и безвихревым, а электрические токи находить из закона Ома. Анализ возможных упрощений широкого класса задач на основе предположения о малости магнитного числа Рейнольдса дан С. И. Брагинским (1959).
Для расчета различных характеристик МГД-генератора (суммарная джоулева диссипация, перетекание тока вдоль диэлектрических стенок;
взаимодействие двух рядом находящихся электродов, соединенных на разные нагрузки, и т. д.) необходимо знать распределение электрического поля в канале. В том случае, когда скорость газа в канале известна, знания электрического поля достаточно для вычисления распределения токов из закона Ома. Если распределение скоростей задано на основе дополнительных соображений (например, параметр магнитогидродинамического взаимодействия мал), то задача определения электрического поля в канале МГД-генератора или другого устройства отделяется от задачи о расчете течения газа (А. Б. Ватажин и С. А. Регирер, 1962, 1965).
При этом электродинамическая задача сводится к решению уравнения Пуассона, которое в случе о = const имеет вид
А(р = ^ В rot г (2.16) с естественными граничными условиями для потенциала на электродах (ф = ф0) и изолирующих стенках (d^ldn = 0).
Аналогичный подход к расчету подобных задач развивался параллельно за рубежом.
Если рассматривать канал прямоугольного сечения, причем магнитное поле считать параллельным одной из сторон канала, то, осредняя величины, входящие в (2.16), по направлению магнитного поля, можно получить двумерный аналог уравнения (2.16). Решение этого двумерного уравнения может описывать в среднем неоднородные распределения электрического поля и токов в плоскости*, перпендикулярной к внешнему магнитному полю. Эффекты, связанные с неоднородностью полей в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, иногда называют продольными краевыми эффектами.
Исследования продольных краевых эффектов, связанных с вихревыми токами, возникающими при входе потока в неоднородное магнитное поле, и с растеканием тока вблизи концов электрода МГД-генератора, позволили (А. Б. Ватажин, 1962) оценить влияние продольных краевых эффектов на суммарные характеристики МГД-устройства. В частности, было установлено, что с точки зрения джоулевых потерь выгоднее иметь магнитное поле, имеющее большую протяженность, чем электроды МГД-генератора. Исследовалась задача о взаимодействии двух пар симметрично расположенных электродов, нагруженных на различные внешние сопротивления (Е. К. Холщевникова, 1964). Аналогичная задача решена также для произвольной системы электродов (И. М. Толмач и Н. Н. Ясницкая, 1965).
Если параметры потока не меняются в направлении течения или используется осреднение вдоль канала, то уравнение (2.16) приводится к двумерному уравнению в плоскости поперечного сечения канала. В такой постановке может быть исследован вопрос о влиянии перетекания тока вдоль пограничных слоев и по «изолирующим» стенкам МГД-устройства на его суммарные характеристики —«поперечные краевые эффекты». При такого рода исследованиях, как и при исследовании продольных краевых эффектов, часто пользуются «модельными» профилями скорости. Исследование распределения потенциала в плоскости поперечного сечения канала имеет также большое значение для теории МГД-расходомеров.
Исследование трехмерного распределения токов в канале на основе уравнения (2.16) наталкивается на большие математические трудности. Решение уравнения (2.16), записанное в виде двойной бесконечной суммы, для каналов прямоугольного сечения с непроводящими стенками позволило оценить оптимальную длину «выноса» магнитного поля за электродную
зону МГД-генератора. Существование такой оптимальной длины связано с тем, что уменьшение джоулевой диссипации за счет продольного краевого эффекта компенсируется при большой длине выноса поля вредным действием поперечного краевого эффекта (А. Б. Ватажин и С. А. Регирер, 1965; А. Е. Якубенко, 1964).
Рассматриваемый метод расчета электрических полей обобщается довольно просто на случай течения анизотропнопроводящих сред (см., например, А. Б. Ватажин, 1963).
При малости параметра магнитогидродинамического взаимодействия результаты, полученные на основе указанного выше метода расчета, можно рассматривать как первое приближение в расчете течения в канале. Зная распределение токов в канале, можно ставить задачу о влиянии этих токов на гидродинамику потока. При этом необходимо рассчитать течение в канале в заданном поле электромагнитных сил. Первые подходы к решению подобных задач, в которых в линейном приближении рассчитывается течение несжимаемой жидкости (Дж. У. Саттон и А. В. Карлсон, J. Fluid Meeh., 1961, 11 : 1, 121 —132) и газа (А. А. Бармин, А. Г. Куликовский и Л. Ф. Лобанова, 1965), относятся к полю сил, возникающих вблизи конца полубес- конечного электрода. Отметим, что информация о распределении поля токов в канале может оказаться очень полезной при разработке гидравлических методов расчета на основе неоднородных канонических потоков (Л. Ф. Лобанова, 1964).
Представляется весьма желательным развитие и распространение данного метода расчета эле кт ричес ких полей на течения сред с усложненными физическими свойствами и при более сложных граничных условиях, учитывающих физические процессы близи ограничивающих поток поверхностей. Первая работа в этом направлении (А. Б. Ватажин, 1966), в которой исследуется задача о продольном краевом эффекте для пары электродов канала МГД-генератора при постоянном магнитном поле с учетом усложненного граничного условия на электроде (Г. А. Любимов, 1965), показывает, что учет реальных свойств поверхности электрода может привести к существенным количественным поправкам при расчете суммарных характеристик МГД-генератора.
Расчет течения в канале МГД-ускорителя существенно отличается от расчета генераторных течений тем, что в интересной с практической точки зрения области значений параметров Rem ~ 1 0, следовательно, магнитное поле либо существенно изменяется (ускорители на внешнем поле) токами, текущими в плазме, либо целиком определяется ими (ускорители на собственных полях). Кроме того, на длине ускорителя существенно изменяются гидродинамические параметры потока, так что значения характерных параметров на входе и выходе из ускорителя могут оказаться различными. Все это сильно усложняет решение задачи даже в рамках простейших моделей сред (изотропно- и анизотропнопроводящий газ), не говоря уже о том, что именно при расчете ускорительных течений при высоких значениях температуры, скорости, плотности тока и т. д. наиболее актуально использование усложненных моделей сред, учитывающих в той или иной степени сложные процессы, происходящие при ускорении плазмы до очень больших скоростей.
Наиболее эффективный и обоснованный с механической точки зрения метод расчета пространственных ускорительных течений развит в связи с исследованием той области ускорительного течения, в которой электромагнитные силы намного превосходят градиент газодинамического давления (основной участок ускорителя). Обоснование данного подхода и опре-
деление области параметров, в которой такой подход возможен, дано Г. М. Бам-Зеликовичем (1964, 1966).
Если изменение импульса газа за счет изменения давления несущественно и если электропроводность среды постоянна, то задача расчета течения сильно упрощается, так как уравнения импульсов и неразрывности отделяются от уравнения энергии и могут решаться независимо.
Указанный подход и в гидравлическом приближении позволяет сильно упростить задачу и получить простым путем некоторые общие интересные для практики выводы. При расчете"пространственных (плоских) течений на основе этого метода удалось. выяснить ряд качественных особенностей течения, например, образование сильной ударной волны вблизи одного из электродов ускорителя при ускорении анизотропнопроводящей среды, образование ударных волн на входе из коаксиального ускорителя, закономерности «выноса» тока и т. д. Качественные выводы, полученные при таком подходе, согласуются в общих чертах с имеющимися экспериментальными данными (о каком-либо точном экспериментальном подтверждении теории пока трудно говорить в силу «грубости» проводимых экспериментов).
В целом указанный метод приближенного расчета представляется весьма перспективным, и его дальнейшее развитие с целью приложения к более сложным ускорительным течениям представляется весьма желательным.
В тех случаях, когда скорость газа в ускорителе далека от максимальной, возможны приближенные постановки задач, аналогичные описанным выше методам расчета генераторных течений. Когда напряжение, индуцируемое движением газа в магнитном поле, много меньше приложенного напряжения, задача расчета поля токов и электромагнитного поля может быть отделена от гидродинамической задачи (Г. А. Любимов, 1962). Гидродинамическая задача может решаться после определения поля токов как задача о течении газа в заданном поле сил. Данный подход не получил еще широкого развития.
Наконец, ряд существенных Сведений относительно ускорительных течений в удлиненных каналах может быть получен, если считать проводимость среды достаточно высокой (А. И. Морозов и Л. С. Соловьев, 1964; Л. М. Алексеева и Л. С. Соловьев, 1964) или считать, что линии тока жидкости ортогональны линиям электрического тока (А. И. Морозов и Л.С. Соловьев, 1964). Под термином «удлиненный» канал в данном случае понима- мается то, что параметры потока слабо меняются либо в плоскости поперечного сечения, либо по длине канала.
Несмотря на большой прогресс в области расчета пространственных ускорительных течений, решение этой задачи в настоящее время еще далеко от завершения.
Наличие в плазме при ее движении в электромагнитном поле многих диссипативных механизмов (вязкость, электропроводность, трение между компонентами, обмен энергией между компонентами в многотемпературной плазме и т. д.) приводит к тому, что в различных условиях в потоке могут образовываться пограничные слои разного рода. Сравнительная толщина этих слоев определяется отношением соответствующих безразмерных параметров типа чисел Рейнольдса.
Исследование течений в пограничных слоях может оказаться полезным для расчета трения и теплообмена на сменках канала МГД-устройст- ва, если его длина невелика.
29 Механика в СССР, том 2
В течениях с малыми магнитными числами Рейнольдса (Rem V 1) возможно (при Re》1) образование вязких магнитогидродинамических пограничных слоев, в пределах которых магнитное поле фактически не меняется. Течение в такого рода вязких пограничных слоях характеризуется тем, что электрические силы существенно влияют на течение.
Изучение вязких магнитогидродинамических пограничных слоев началось в пятидесятых годах в связи с исследованием возможностей управления течением в пограничном слое на аппарате, входящем в. атмосферу с большой скоростью (В. Дж. Россоу, NACA Techn. Note, 1957, № 3971). Для этой задачи характерен ряд упрощений постановки задачи (в частности, электрическое поле 历=0), приводящих к системе уравнений, наиболее исследованной в настоящее время (см. обзор Г. А. Любимова, 1965). С другой стороны, современные задачи, связанные с исследованием пограничных слоев на стенках МГД-устройств, характеризуются гораздо более сложными магнитогидродинамическими условиями. Постановка задачи о вязком магнитогидродинамическом пограничном слое при Rem《1 в электрическое поле произвольной конфигурации и ее обобщение на случай течений анизотропнопроводящих сред даны в работах Г. А. Любимова (1962) и В. Б. Баранова, Г. А. Любимова и Ху Юй-инь (1963). Существенные усложнения постановки задачи о пограничном слое на холодном электроде и связанные с этим качественные выводы получены позже Г. А. Любимовым (1964).
Характерной особенностью постановки задачи о течении в пограничных слоях в условиях, близких к условиям течения в канале МГД-устрой- ства, является ее неавтомодельность. Кроме того, решение задачи существенно осложняется тем, что получение решения для течения во внешней к пограничному слою невязкой области само по себе представляет значительные математические трудности.
Указанными математическими трудностями объясняется тот факт, что до последнего времени в литературе существовали лишь отдельные решения задач о пограничных слоях на стенках канала МГД-устройства, полученные при ряде искусственных предположений, позволяющих свести задачу к локально автомодельной (Дж. Керреброк, J. Aerospace Sci., 1961, 28 : 8, 631—644; Дж. Керреброк и Ф. Хоул, AIAA Journal, 1964, 2 : 3, 461—469), или приближенные решения, полученные методом разложения по параметру магнитогидродинамического взаимодействия (А. Л. Генкин, 1965; В. Б. Баранов, Г. А. Любимов и Ху Юй-инь, 1963). Первые точные решения неавтомодельной задачи о пограничных слоях на электроде и изолированной стенке МГД-генератора были получены численным путем (В. М. Пасконов и А. Е. Якубенко, 1966; Л. Ф. Лобанова, 1967). .
Получение отдельных точных решений имеет большое значение не только само по себе, цо также для создания различного рода приближенных методов расчета вязкого магнитогидродинамического пограничного слоя. В связи с рядом специфических особенностей магнитогидродинамического пограничного слоя, обнаруженных при приближенных и точных расчетах (возможная немонотонность профилей скорости и температуры, резкий прогрев газа вблизи стенки электрода за счет интенсивного тепловыделения, действие существенных продольных электромагнитных сил и т. д.), перенос существующих приближенных методов расчета пограничного слоя на задачи МГД, а также создание новых приближенных методов нуждаются в дополнительном обосновании и опробовании на точных решениях. Создание приближенных методов расчета задач магнито-
гидродинамического пограничного слоя представляет собой одну из актуальных задач ближайшего будущего.
Другой задачей в области теории магнитогидродинамического пограничного слоя, представляющей очень большой интерес, является задача о создании методов расчета и фактическом исследовании пограничных слоев, образующихся на стенках МГД-устройств при течении газа с усложненными физическими свойствами (разные температуры компонент, неравновесный характер электропроводности и т. д.). Учет всех этих явлений в рамках теории пограничного слоя и выяснение связанных с ними качественных эффектов представляют большой интерес для практических приложений.
Задача расчета магнитогидродинамических пограничных слоев, кроме самостоятельного интереса, представляет большой интерес с точки зрения усовершенствования гидравлических методов расчета, учитывающих трение и теплообмен на стенках канала. В настоящее время для гидравлических расчетов пользуются коэффициентами трения и теплообмена, взятыми из обычной газовой динамики. В то же время ясно, что магнитогидродинамические эффекты в ряде случаев могут оказывать существенное влияние на эти величины (см,, например, В. М. Пасконов и А. Е. Якубенко, 1966; Л. Ф, Лобанова, 1967).
Создание приближенных методов расчета магнитогидродинамических течений в каналах и течений в пограничных слоях встречает существенные трудности в связи с чрезвычайно малым количеством экспериментальных данных и их невысокой точностью. Экспериментальное исследование МГД- течений плазмы наталкивается на существенные трудности — как технические (отсутствие жаростойких материалов, сложность получения достаточно однородных потоков плазмы и т. д.), так и методические (отсутствие в ряде случаев надежных методов измерения параметров низкотемпературной плазмы). Существующие в настоящее время экспериментальные данные позволяют, как правило, судить только об суммарных характеристиках МГД-устройств и не могут служить для проверки более тонких теоретических выводов.
Необходимо признать, что без существенного прогресса в области экспериментального исследования низкотемпературной плазмы дальнейшее теоретическое исследование ряда задач магнитной гидродинамики может оказаться бессмысленным. С другой стороны, очевидно, что экспериментальные исследования поставят перед магнитогидродинамической теорией новые задачи, о которых в настоящее время можно только догадываться.
Нестационарные магнитогидродинамические течения. Советскими учеными сделан большой вклад в развитие теории нестационарных движений электропроводного газа при наличии электромагнитных полей, сопровождающихся ударными волнами. Исследованные здесь задачи относятся в основном к одномерным движениям газа с цилиндрическими и плоскими ударными волнами. Рассмотрение пространственных нестационарных задач еще только начинается. Это обусловлено значительными математическими трудностями при исследовании уравнений и решениями соответствующих граничных задач для магнитной г идр о динамики.
Излагая результаты советских авторов, рассмотрим последовательно (А) задачи для течений с малыми магнитными числами Рейнольдса Rem» (Б) течения с конечными числами Rem и (В) течения с большими числами Rem- При этом остановимся лишь на теоретических работах по нестационарным задачам. Значительные достижения советских ученых имеются и в области
29代
экспериментальных исследований (например, относящиеся к импульсным разрядам в газах), но здесь они не рассматриваются.
Течения газа в предположении малости магнитных чисел Рейнольдса. Если Rem《 1, то, как отмечалось выше, можно пренебречь влиянием течения на электромагнитное поле. Для таких течений уравнения движения электропроводного газа отличаются от соответствующих уравнений газовой динамики лишь дополнительными членами в уравнении импульсов (учитывается влияние электромагнитной силы) и в уравнении для изменения энтропии (учитывается джоулева диссипация).
До настоящего времени здесь подробно рассмотрены лишь одномерные автомодельные задачи о движении газа при плоском и цилиндрическом взрыве (В. П. Коробейников и Е. В. Рязанов, 1962, 1964). Рассматривались также некоторые вопросы движения поршня в газе (И. П. Малышев, 1961) и вопросы затухания ударных волн на больших расстояниях от места из возникновения (А. А. Луговцов, 1966). С учетом известной аналогии между стационарными гиперзвуковыми течениями около тонких тел и течениями газа при взрыве и движении поршня (см., например, Г. Г. Черный, 1959), результаты вышеупомянутых исследований могут быть использованы для качественного и приближенного количественного описания обтекания тел гиперзвуковым потоком электропроводного газа при наличии магнитного поля. Из возникающих здесь и еще не решенных полностью простейших задач можно отметить следующие:
неавтомодельные одномерные задачи о взрыве, в том числе с учетом заданного электрического поля;
автомодельные задачи о движении сферического поршня или о точечном (сферическом) взрыве при магнитных полях, обеспечивающих осевую симметрию течения;
задачи о взаимодействии и отражении ударных волн с учетом влияния магнитных полей;
квазиодномерные нестационарные МГД-течения газа в каналах.
Б. Течение газа при конечных магнитных числах Рейнольдса. Если магнитные числа Рейнольдса Rem имеют порядок единицы, то в нестационарных задачах, как правило, нужно учитывать как влияние поля на движение, так и влияние движения на поле. Задач, решенных для этого класса течений, очень мало. В предположении слабых магнитных полей была рассмотрена задача о цилиндрическом точечном взрыве в газе (В. П. Коробейников, 1962). В этой работе указан приближенный метод нахождения распределения магнитного поля как в области внутри фронта ударной волны, так и вне ее в предположении, что начальное магнитное поле постоянно. Проводилось также исследование автомодельной задачи о цилиндрическом взрыве в газе при начальном кольцевом поле % 〜1/г (В. П. Коробейников и Е. В. Рязанов, 1962, 1964). Автомодельные задачи о течении газа под влиянием движения поршня рассмотрены П. П. Волосевичем (1966), принявшим проводимость газа зависящей от температуры и плотности и учитывавшим влияние теплопроводности на течение. При исследовании этих задач широко использовались численные методы.
Задача о плоском и цилиндрическом поршне в среде с конечной проводимостью исследовалась Г. А. Скуридиным и К. П. Станюковичем (I960), Л. Б. Левитиным и К. П. Станюковичем (I960), Л. Б. Левитиным, М. И. Киселевым и К. П. Станюковичем (1962). .
Ими был разработан специальный приближенный метод решения, основанный на аппроксимации скорости газа простыми функциями, зависящими от времени и координаты. Численное решение задачи о сжатии
газового цилиндра дано также С. И. Брагинским Л. И. М. Гельфандом и Р. П. Федоренко (1958). Здесь для интегрирования системы уравнений магнитной гидродинамики при движениях плазмы, обладающих цилиндрической симметрией, с учетом переменной конечной проводимости был применен метод конечных разностей с введением искусственной вязкости.
Приближенное решение задачи о сжатии газового цилиндра током было дано Г. А. Любимовым (1958). В. П. Карликов и В.П. Коробейников (1962) дали решение автомодельной задачи о движении плоского поршня в газе конечной электропроводности, когда проводимость среды переменна (о 2 1/%, х — расстояние от начального положения поршня). В этой задаче учитывались полные уравнения Максвелла (с токами смещения).
Исследования нестационарных течений с конечными числами Rem представляют большой интерес для различных прикладных вопросов, например, для импульсных МГД-генераторов, для получения высоких температур при фокусировании лазерного луча, при исследовании электрических разрядов. Задачи о таких течениях нуждаются в дальнейшей теоретической и экспериментальной разработке.
Распространение ударных волн в газе при бесконечной проводимости. Если числа Rem велики (Rem》1), то при решении задач можно считать проводимость бесконечной. Задачи этого типа имеют различные приложения в астрофизике, при исследовании явлений в верхних слоях атмосферы и других вопросах.
В настоящее время для течений с бесконечной проводимостью достаточно подробно рассмотрен класс автомодельных решений и решений, предельных к автомодельным (Ф. А. Баум, С. А. Каплан и К. П. Станюкович, 1958; В. П. Коробейников, 1958; Н. Н. Кочина, 1959; Д. В. Шарика- дзе, 1959).
Для случая, когда поле параллельно фронту волны, были решены автомодельные задачи о движении цилиндрического и плоского поршня в газе без учета вязкости и теплопроводности (В. П. Коробейников, 1958; В. П. Коробейников и Е. В. Рязанов, I960).
Исследовалась автомодельная задача о цилиндрическом точечном взрыве, когда начальное поле есть поле линейного тока (% 〜 1/г) ). Вопросы приложения к теории взрыва решений уравнений МГД, предельных к автомодельным, рассмотрены в упомянутой выше работе Н. Н. Кочиной (1959). Одномерные задачи о плоском и цилиндрическом взрыве при однородном начальном магнитном поле изучались В. П. Коробейниковым (1965, 1966). Для решения этих задач были развиты численные и приближенные методы.
Если начальное магнитное поле слабое, то в первом приближении можно не учитывать влияния поля на движение среды, а рассматривать лишь вопрос о деформации магнитного пЪля. В случае бесконечной проводимости деформация слабого поля определяется из условия вмороженности достаточно просто (см. В. Ц. Коробейников, 1964). Подробно изучен точечный сферический взрыв в слабых однородных полях (В. П. Коробейников и В. П. Карликов, 1960; В. П. Коробейников и Е. В. Рязанов, 1964). Учет влияния магнитного поля на движение может быть осуществлен в этих задачах с использованием линеаризации по некоторому малому параметру, исчезающему вместе с величиной интенсивности поля.
Можно также рассмотреть другой предельный класс течений, а именно затухание Слабых ударных МГД-волн при их распространении в бесконеч- непроводящей среде. Вопросы затухания слабых волн изучались В. П. Коробейниковым (1966).
Одной из интересных в принципиальном отношении задач является задача о движении плоского поршня с постоянной скоростью при наклонном поле. Исследованию этой задачи посвящен ряд работ советских авторов (см., например, Г. Я. Любарский и Р. В. Половин, 1959; И. А. Ахие- зер и Р. В. Половин, 1960; Р. В. Половин, 1960; А. А. Бармин и В. В. Го- госов, 1960; В. В. Гогосов, I960). В этих работах был проведен подробный качественный анализ возникающих при движении поршня течений и даны количественные характеристики движения газа в ряде случаев задания начальных параметров. Было также начато изучение автомодельных задач о движении поршня в бесконечнопроводящем теплопроводном газе (П. П. Волосевич и Е. И. Леванов, 1965, 1966).
Некоторые вопросы движения поршня в газе с приложениями к теории сжатия бесконечно проводящего плазменного столба током были рассмотрены В. П. Коробейниковым и Е. В. Рязановым (I960) и В. С. Ткаличем (1962); к этому же кругу вопросов примыкают исследования Г. С. Голи- цыйа (1959).
Решена задача о распаде произвольного разрыва, которая ставится следующим образом: определить движение среды, если в начальный момент времени параметры среды терпят произвольный разрыв на плоскости 方=0. Эта задача рассматривалась как в случае адйабатических ударных волн, так и при наличии поверхностей с выделением (поглощением) энергии. В общем случае задача решена В. В. Гогосовым (1961) для поверхностей разрыва без выделения или поглощения энергии и А, А, Барминым (1964) для случая с выделением энергии.
На основании решения задачи о распаде произвольного разрыва рао смотрены частные случаи: взаимодействие магнитогидродинамических волн и вращательных рызрывов между собой и с контактными разрывами, расщепление неэволюционных ударных волн (В. В. Гогосов, 1961, 1962). Были рассмотрены некоторые нестационарные задачи с ударными волнами, ионизующими газ (см. выше), в предположении нулевой проводимости перед ударной волной и бесконечной проводимости за ней (А. Г. Куликовский и Г. А, Любимов, 1959; В. П. Коробейников и В. П. Карликов, 1960, 1961). Здесь учитывалась излученная вперед электромагнитная волна.
Из задач, которые требуют дальнейшей разработки, следует особо отметить пространственные задачи о распространении ударных волн, возникающих при взрывах, детонации газообразных и твердых ВВ, и вопросы движения газов с учетом взаимодействия магнито гидродинамических ударных волн между собой и с различными преградами.
Устойчивость магнитогидродинамических течении. Вопрос об устойчивости течений имеет большое значение как с теоретической, так и с практической точки зрения. Потеря устойчивости течением жидкости или газа может приводить к переходу ламинарного течения в турбулентное. Исследование закономерностей этого перехода представляет заманчивую проблему для теоретического изучения. Результаты, полученные в теории утойчивости магнитогидродинамических течений, имеют непосредственные приложения, так как они указывают на невозможность реализации некоторых ламинарных течений вследствие их неустойчивости, а также на средства, при помощи которых эти течения могут быть стабилизированы (например, магнитные поля той или иной конфигурации), Существенный
вклад в развитие теории устойчивости МГД-течений внесен советскими учеными.
Ниже будут рассмотрены некоторые проблемы устойчивости МГД- течений, а также устойчивости поверхностей разрыва .в магнитной гидродинамике. Устойчивость будет рассматриваться с гидродинамической (а не кинетической) точки зрения. Многочисленные виды кинетической неустойчивости, имеющие место в разреженной плазме, описаны в обзорах А, Б, Михайловского (1963), Б. Б. Кадомцева (1964), А, А, Веденова, Е. П. Велихова и Р. 3. Сагдеева (1961), В. П/ Силина и А. А. Рухадзе (1964). Обзор работ по устойчивости равновесных конфигураций плазмы содержится в работах Б. Б. Кадомцева (1963, 1964),
Ниже будут рассмотрены следующие вопросы, (А) устойчивость параллельных течений, (Б) устойчивость течений между вращающимися цилиндрами, (В) перегревная неустойчивость, возникающая при протекании электрического тока вследствие увеличения проводимости с ростом температуры, (Г) устойчивость квазиодномерных течений газа и (Д) устойчивость разрывов в магнитной гидродинамике,
Устойчивость течений несжимаемой жидкости с параллельными линиями тока. Устойчивости параллельных течений посвящено много работ (см,, например, обзор С. А. Регирера, 1966), Рассматривались задачи об устойчивости течений несжимаемой жидкости между покоящимися стенками под действием градиента давления (течения Пуазейля и Гартмана), течения между параллельными стенками, когда одна из них движется (течение Куэтта), и некоторых других течений.
В невозмущенном течении полагалось 笫 = U (Z) е2, а магнитное поле в различных задачах предполагалось ориентированным различным образом (и, вообще говоря, зависящим от z). Вязкость и проводимость принимались изотропными и постоянными, а в качестве граничных условий для скорости, которые должны выполняться на стенках, принимались условия прилипания и непротекания.
Граничные условия для магнитного поля используются в основном в двух формах: для бесконечнопроводящих и непроводящих стенок, В первом случае — это условие непрерывности касательной составляющей электрического поля, из которого следует постоянство во времени нормальной составляющей магнитного поля при склеивании с решением внешней задачи для магнитного поля, которое обычно считается квазистатичес- ким. В случае областей, неограниченных по z (как, например, в задаче о свободном пограничном слое и затопленной струе), выставляется требование о стремлении к нулю всех возмущений при z f 8.
Зависимость всех возмущений от %, у и % задается в виде exp Z (кхх + + к2y — з%), а зависимость их от z определяется из решения возникающей при этом краевой задачи. Система уравнений в случае произвольного магнитного поля и конечных значений числа Рейнольдса Re, магнитного числа Рейнольдса Rem и числа Гартмана На сводится к системе шестого порядка, состоящей из двух уравнений. Собственная частота находится как собственное значение рассматриваемой краевой задачи, причем со зависит от 乃「乃2, Re, Rem，На. Как обычно, целью работ по гидр одинамиче - ской теории устойчивости является нахождение границы устойчивости, т. е. поверхности Im з = 0 в пространстве переменных 瓦，乃2* Re, Rem， На. Результаты представляются часто в виде семейства «нейтральных» кривых Imco (& Re) = 0 на плоскости & Re, причем остальные переменные (乃2，Rem и На) рассматриваются в качестве параметров семейства, В ряде случаев можно уменьшить число параметров, от которых зависят
нейтральные краевые, воспользовавшись утверждениями, аналогичными теореме Сквайра. При произвольном невозмущенном магнитном поле рассматриваемая краевая задача такова, что критерий нейтральной устойчивости Im со — 0 д@я косого возмущения с волновым вектором кгех + ^2еу совпадает с критерием нейтральной устойчивости для возмущения с волновым вектором в течении с тем же профилем невозмущенной скорости, меньшими числами Re и Rem, получаемыми из исходных путем умножения на 自沙储 +磕 и соответствующим образом подобранным магнитным полем (см. П. Т. Вулер, Phys. Fluids, 1961, 4 :1, 24—27).
В случаях, когда приложенное извне магнитное поле (поле без индуцированной части) является либо продольным, либо перпендикулярным к стенкам, теорема Сквайра верна в обычной ее форме, т, е. наиболее опасными возмущениями являются продольные ).
При исследовании устойчивости магнито гидродинамических плоскопараллельных течений при малых и конечных Rem примейяются те же методы, что и в гидродинамике (построение асимптотических решений при Re》1). Обобщение теории на случай больших Re^, когда в потоке возникает несколько критических точек, произведено Е. П, Велиховым (1959). - Магнитное поле оказывает влияние на устойчивость течений двумя способами. Во-первых, оно непосредственно влияет на поведение возмущений гидродинамических величин и, во-вторых, оно может изменить то течение, которое исследуется на устойчивость.
Как правило, наложение магнитного поля приводит к стабилизации течений. Дестабилизация плоскопараллельных течений обнаружена в двух случаях： для течения Куэтта и для течения слоя тяжелой жидкости по наклонной плоскости в присутствии магнитного поля.
Как известно, в обычной гидродинамике течение Куэтта устойчиво. При наложении поперечного магнитного поля, как впервые показано в работе К, Б, Павлова (1962), течение Куэтта при Re >100 и умеренных значениях числа Гартмана может стать неустойчивым. Дестабилизация течения Куэтта связана, по-видимому, с изменением невозмущенного профиля скорости. В работе Т. Какутани (J. Phys, Soc. Japan, 1964, 19 : 6, 1041—1057) показано, что при Re7n《 1 течение Куэтта остается устойчивым при значениях чисел Гартмана, меньших 3,91, для любых чисел Рейнольдса, При На>3,91 условием устойчивости является Re<ReKp(Ha), причем ReKp (На) при увеличении На сначала убывает от бесконечности до некоторого минимального значения, а затем снова неограниченно растет при На f 8.
При течении слоя тяжелой жидкости по наклонной плоскости, как показано Ю, П. Ладиковым (1966), наличие поля В = Вхех + 5гег (ось х параллельна скорости, ось z перпендикулярна наклонной плоскости и направлена вверх) приводит к стабилизации при BXBZ < 0 и к усилению неустойчивости при BXBZ > 0.
К плоскопараллельным течениям, которые становятся более устойчивыми при наложении магнитного поля, относится течение между двумя неподвижными параллельными плоскостями под действием градиента давления в продольном и поперечном магнитных полях (течения Пуазейля и Гартмана). Оба эти течения исследованы на устойчивость во всем диапазоне магнитных чисел Рейнольдса: при Rem *С 1 в цитированных выше
работах Дж, Т. Стюарта и Р. К. Локка, при Rem 2 1 в работах Ю, А. Тарасова (1959) и К. Б. Павлова и Ю. А. Тарасова (I960) и при Rem》1 в работах Е. П. Велихова (1959) и Б. А. Тверского (1962).
Наиболее интересным выводом является вывод о наличии критического значения числа Альфвена А = U』U = H/(|/4:npU), зависящего от Rem — такого, что при А > АКр течение Пуазейля становится устойчивым при любых числах Рейнольдса (Е. П, Велихов, 1959; Ю, А, Тарасов, 1959).
В работе Ю, А. Тарасова построена зависимость АКр (Rem) при фиксированных значениях Rem и А, а в случае Rem《1 — при фиксированном значении q — к ARem (乃一волновое число). Нейтральные кривые на плоскости (Ze, Re) представляют собой замкнутые линии, стягивающиеся к некоторой точке, соответственно, при A f АКр или при дт дкр. Замкнутость или разомкнутость нейтральных кривых на плоскости (Zc, Re) зависит, разумеется, от тех параметров, которые считаются при этом постоянными.
В случае, когда магнитное поле перпендикулярно к стенкам канала (течение Гартмана), влияние магнитного поля на устойчивость проявляется главным образом через изменение невозмущенного профиля скорости, а непосредственным влиянием магнитного поля на поведение возмущений часто можно пренебречь (см. цитированную работу Р. К. Локка), При Rem《 1 поперечное поле оказывает на течение гораздо более сильное стабилизирующее действие, чем продольное, В работе К. Б, Павлова и Ю, А, Тарасова (I960) показано, чтЪ все результаты, полученные в предположении Rem《l，остаются справедливыми для всех Rem，если Rem《 Re. Рассмотрена неустойчивость струйных течений, вызываемая гравитацией или магнитным полем тока, текущего вдоль струи (Е, Г. Лари- онцев, 1965).
Б, Устойчивость течений между цилиндрами. Задаче об устойчивости течений проводящей жидкости между цилиндрами также посвящено большое количество работ. При этом рассматривались задачи с осевым, азимутальным, винтовым и радиальным магнитным полем. Движение жидкости может вызываться вращением цилиндров или градиентом давления в осевом или в азимутальном направлении.
Во всех решенных задачах этого типа предполагалось, что переход к неустойчивости происходит через ①=0 и что соответствующее возмущение не зависит от угловой координаты. Оба эти предположения упрощают решение задач, однако их справедливость является открытым вопросом. При сделанных предположениях возникающая краевая задача решалась в подавляющем большинстве случаев (за редким исключением, когда задача допускает точное решение) методом Бубнова — Галеркина или его модификацией (когда разлагают в ряд только одну неизвестную функцию, а остальные находят из решения получившихся при этом уравнений). Часто для упрощения задачи предполагают, что расстояние между цилиндрами мало по сравнению с их радиусами.
Наиболее просто влияет на устойчивость движения жидкости, вызванного вращением цилиндров, магнитное поле, параллельное оси, когда магнитное число Прандтля Prm = ”凡皿《 丄 Критическое число Тейлора- при этом является функцией только числа Гартмана На, и при малом расстоянии между цилиндрами эта функция монотонно возрастает при увеличении числа Гартмана ).
В случае бесконечнопроводящей жидкости, рассмотренном Е. П. Велиховым (1959), влияние осевого магнитного поля Bz проявляется более сложно. Сильное поле подавляет неустойчивость, а слабое — приводит к некоторой дестабилизации. При этом критерий нейтральной устойчивости при 52 -> 0 не переходит в критерий, соответствующий полному отсутствию магнитного поля. Объяснение этого парадокса связано с предполот жением о бесконечной проводимости жидкости.
Позднее было проведено исследование устойчивости при конечных значениях магнитного числа Прандтля и подтверждена правильность этого вывода. Было показано (У. Г. Курцвег, J. Fluid Meeh,, 1963, 17:1, 61—74), что увеличение проводимости жидкости приводит к усилению устойчивости, если магнитное поле достаточно сильное, и к ослаблению устойчивости, если магнитное поле слабое.
Азимутальное магнитное поле может оказывать на течение как стабилизирующее, так и дестабилизирующее действие. Оно создается током, текущим в осевом направлении в жидкости и внутри внутреннего цилиндра. При бесконечной проводимости жидкости плотность электрического тока в жидкости в невозмущенном состоянии является произвольной функцией радиуса. В Этом случае найдены достаточные критерии (см, работу Е. П. Велихова, 1959, и цитированную монографию С. Чандрасекара) для устойчивости течения идеальной жидкости между цилиндрами в азимутальном поле.
В случае конечной проводимости жидкости плотность электрического тока, текущего в жидкости в невозмущенном состоянии, постоянна. Если проводимость стенок бесконечна, эта плотность тока равна нулю. Когда стенки цилиндров непроводящие, задача об устойчивости течения, вызываемого вращением цилиндров близких радиусов, сводится к соответствующей гидродинамической задаче путем пересчета (К, Гото, J. Phys. Soc. Japan, 1962, 17 : 6, 1053—1061). При этом магнитное поле оказывает дестабилизирующее действие на течение и равновесие жидкости, если —dlR、V V J/(nZ?i70) V 1 (d — расстояние между цилиндрами, Дх — радиус внутреннего цилиндра, /0 ——плотность тока в жидкости, J — осевой ток, текущий во внутреннем цилиндре), и стабилизирующее действие в остальных случаях. Если расстояние между цилиндрами не мало, то качественные выводы об устойчивости течения остаются теми же. Когда стенки цилиндров — идеальные проводники, то ток, пропускаемый внутри цилиндров вдоль оси, оказывает стабилизирующее действие (см. Ф. Н. Эдмондс, Phys. Fluids, 1958, 1 :1, 30—41, и цитиррванную статью В. Г. Курцвега).
Еще раз заметим, что все выводы об устойчивости магнитогидродинамических течений между цилиндрами сделаны в предположении, что возмущения не зависят от угла и что переход к неустойчивости происходит через (о = 0. Установление границ применимости этих предположений и рассмотрение произвольных возмущений остаются важной нерешенной задачей.
Перегревная неустойчивость. Перегревная неустойчивость возникает при пропускании электрического тока через среду. Если проводимость среды растет с температурой, то увеличение температуры в некоторой области вызывает увеличение электрического тока, протекающего через эту область, и дальнейшее увеличение температуры. Наиболее просто поведение таких возмущений может быть рассмотрено на однородном фоне, как это сделано в работах Е. П. Велихова (1963), Б. Б. Кадомцева (1963) и Ю. В- Савочкина (1964, 1965). При этом возмущения могут быть взяты в виде синусоидальных волн, причем рассматриваемый механизм приводит
к росту не только энтропийных волн, но л волн сжатия. Изучению устойчивости однородного состояния посвящена также работа Б. В. Елисеева (1964).
Большой интерес представляет изучение устойчивости стационарного распределения температуры в газе при пропускании электрического тока, когда отвод выделяющегося джоулева тепла обеспечивается теплопроводностью. При этом, по-видимому, наиболее неустойчивые возмущения должны иметь характерный размер порядка длины, характеризующей неоднородность в распределении невозмущенной температуры, так как возмущения меньшего масштаба будут сильнее подавляться теплопроводностью. Это заключение подтвердилось в двух частных случаях, рассмотренных в работе А. Г. Куликовского и С. А, Регирера (1965).
Поведение возмущений может рассматриваться также на однородном нестационарном фоне (невозмущенная температура является функцией времени) или на фоне стационарного течения газа, как это делалось в работах, посвященных изучению устойчивости одномерных течений в каналах (см. ниже),
В целом перегревная неустойчивость изучена недостаточно, и ее подобное изучение является актуальной проблемой.
Г. Устойчивость одномерных течений. Очень часто расчет различных магнито гидродинамических устройств проводят с использованием одномерной теории. Расчет устойчивости течений естественно проводить также с использованием одномерной теории. При этом очевидно, что отсутствие неустойчивости, получающееся при расчете по одномерной схеме, не гарантирует отсутствия неустойчивости в реальном двумерном или трехмерном течении, так как неустойчивость может появляться вследствие наличия каких-либо особенностей, не учитываемых одномерной теорией. Наоборот, неустойчивость одномерной схемы свидетельствует, по-видимо- му, о неустойчивости реального течения, хотя каких-либо точных утверждений на этот счет в литературе не имеется.
В работах, посвященных изучению устойчивости одномерных течений, фактически изучается усиление возмущений при прохождении ими каналов МГД-устройств. Наиболее аккуратно вопрос об усилении возмущений рассмотрен Е. В. Артюшковьш й А. И. Морозовым (1964). Магнитные силовые линии принимались ими прямолинейными и перпендикулярными к скорости, что позволило использовать уравнение индукции для магнитного поля и свести силовое воздействие магнитного поля на поток к градиенту магнитного давления. В ряде интересных случаев прямолинейность магнитных силовых линий может нарушаться и для выяснения устойчивости таких течений требуются дополнительные исследования.
Заметим, что для полного исследования устойчивости течения необходимо рассмотреть краевую задачу для линеаризованных уравнений с граничными условиями на концах магнитогидродинамического канала, выражающими, например, условие отсутствия возмущений, приходящих к концам канала из областей, расположенных вверх и вниз по потоку.
В ряде работ рассматривается изменение крутизны переднего фронта нелинейной волны при ее движении по магнитогидродинамическому каналу —явление, аналогичное опрокидыванию волны Римана (см., например, С. Дж. Рубин, AIAA Journal, 1965, 3:2, 277—283),
Д. Устойчивость разрывов в магнитной гидродинамике. В настоящее время исследована устойчивость контактного разрыва, ког^а он разделяет жидкости разных плотностей в поле тяжести, тангенциального разрыва и альфвеновского разрыва в несжимаемой жидкости.
Магнитное поле оказывает стабилизирующее действие на неустойчивость горизонтальной поверхности, разделяющей жидкости разной плотности в поле тяжести (или другой массовой силы) ), Однако полная стабилизация не достигается, так как при любой проводимости (проводимость может быть бесконечной) и напряженности магнитного поля возмущения с достаточно большой длиной волны растут со временем.
Тангенциальный разрыв в невязкой идеально проводящей жидкости, как показано С. И, Сыроватским (1953), может быть стабилизирован достаточно сильным магнитным полем. Если проводимость жидкости конечна, то тангенциальный разрыв неустойчив, однако при достаточно сильном магнитном поле скорость роста возмущений убывает с ростом проводимости (Д. Д. Маллик, J. Fluid Meeh,, 1963, 16 : 2,187—196).
Альфвеновский разрыв в несжимаемой жидкости не является неустойчивым (С. И, Сыроватский, 1953; Д, Г. Майкел, Mathematika, 1961, 8: 2； 133—141). Он нейтрально устойчив по отношению к малым альфвеновским возмущениям, движущимся по жидкости в том же направлении, что и разрыв.
Наклонные ударные волны и вращательный разрыв в идеально проводящем газе в настоящее время не исследованы на устойчивость.
Исследованы эволюционность этих разрывов (см. выше) и устойчивость (относительно произвольных возмущений) некоторых частных видов ударных волн, а именно ударных волн с магнитным полем, параллельным или перпендикулярным к фронту волны (в последнем случае предполагается, что магнитное поле непрерывно) (К, С, Гарднер и М. Д. Крускал, Phys. Fluids, 1964, 7:5, 700-706).
МЕХАНИКА ТУРБУЛЕНТНОСТИ
А. С. МОНИН. 4 М. ЯГЛОМ
§ 1, Статистическое описание турбулентности 462
§ 2. Полуэмпирические теории турбулентности 468
§ 3. Изотропная турбулентность 480
§ 4. Локально изотропная турбулентность 490
Турбулентность — это явление, наблюдаемое в очень многих течениях жидкостей и газов как в природе, так и в технических устройствах и заключающееся в наличии беспорядочных пульсаций (т. е. крайне нерегулярных изменений в пространстве и во времени) скорости, давления, температуры и других гидродинамических характеристик этих течений.
Турбулентные течения отличаются от ламинарных гораздо большей способностью к переносу количества движения, тепла, пассивных примесей, взвешенных в потоке частиц； поэтому они характеризуются повышенным воздействием на обтекаемые жидкостью твердые тела и ускоренным распространением химических реакций (в частности, горения). Благодаря наличию внутренних неоднородностей турбулентные течения способны рассеивать проходящие сквозь жидкость или газ звуковые и электромагнитные волны и вызывать флуктуации их амплитуд и фаз. По этим причинам знание закономерностей турбулентных движений оказывается необходимым во многих отраслях науки и техники — в метеорологии, океанологии, гидрологии, астрофизике, прикладной гидроаэродинамике, гидравлике, технике радиосвязи, гидроакустике, баллистике и т. д.
Турбулентные течения представляют большой интерес и с чисто теоре-' тической точки зрения, как примеры нелинейных механических систем с очень большим числом степеней свободы.
Материалы, относящиеся к вопросу о развитии механики турбулентности в трудах советских ученых, крайне обширны и разнообразны; достаточно указать, что не претендующая на полноту (и примерно в половине вопросов доведенная лишь до 1964 г.) библиография основных работ по механике турбулентности, приложенная в двухтомной монографии А. С. Монина и А. М. Яглома (1965, .1967), содержит более 300 названий работ советских авторов. В настоящем обзоре мы не имеем возможности охватить такое количество работ; поэтому мы ограничимся здесь лишь рассмотрением основных математических методов и физических процессов, важных для изучения течений с развитой турбулентностью, характеризуемых достаточно большим числом Рейнольдса (значительно превосходящим критическое значение этого числа, при котором происходит переход от
ламинарного режима к турбулентному). Тем самым мы полностью опускаем важную область исследований по проблеме гидродинамической устойчивости и возникновения турбулентности. Мы не будем рассматривать и многочисленные работы прикладного характера о турбулентных пограничных слоях, турбулентных струях, влиянии турбулентности на теплообмен и массообмен, химических реакциях и горении при наличии турбулентности, а также работы о расчетных методах механики-турбулентности; по поводу части этих вопросов мы отсылаем читателя к опубликованным в настоящем томе обзорам Л. Г. Лойцянского и Г. Н. Абрамовича с авторами.
В заключение этого краткого введения отметим, что механика турбулентности получила в нашей стране за годы советской власти мощные импульсы к развитию благодаря совместным усилиям многих выдающихся ученных различных специальностей, среди которых в первую очередь следует выделить математика А. Н. Колмогорова, гидромехаников М. Д. Миллионщикова и Л. И. Седова, физиков А. А. Фридмана и Л. Д. Ландау, геофизика А. М. Обухова.
Статистическое описание турбулентности
Говоря о турбулентности, мы все время будем исходить из того, что индив ид у а л ьные реализации турбулентных течений, несмотря на их крайнюю нерегулярность, в пр инципе описываются обычными дифференциальными уравнениями макроскопической гидромеханики. Действительно, в обычных условиях из-за действия вязкости пространственные масштабы и периоды турбулентных неоднородностей всегда превосходят на несколько периодов масштабы и периоды молекулярных флуктуаций (так как турбулентным неоднородностям слишком малых размеров отвечали бы очень большие градиенты скорости и вследствие слишком больших затрат энергии на преодоление сил вязкости такие движения не могли бы существовать). Поэтому естественно думать, что при описании турбулентности молекулярные флуктуации можно никак не учитывать.
В то же время практически индивидуальное описание турбулентных течений при помощи решения дифференциальных уравнений гидромеханики неосуществимо из-за крайней нерегулярности этих течений и их сильной зависимости от мельчайших деталей начальных и краевых условий, которые никогда не бывают известны с достаточной полнотой. Целесообразным и практически возможным представляется лишь статистическое описание турбулентных течений, опирающееся на изучение их средних характеристик. ,
Необходимость использования при изучении турбулентности какой-то операции осреднения, позволяющей переходить от крайне неупорядоченных и резко изменчивых индивидуальных значений гидродинамических полей к гораздо более плавным средним значениям, была ясна уже основоположнику современной теории турбулентности О. Рейнольдсу. В своей классической работе «On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination*of the criterion» (Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1895, A186 :1, 123—164; русский перевод в сб.: Проблемы турбулентности, М.— Л., 1936) он предложил разбить поле скорости и (х,力 турбулентного течения на среднюю скорость и (х, %), определяемую при помощи осреднения значений и (х, %) по некоторому интервалу времени, и пульсационную скорость uf = и — и л рассмотреть динамические уравнения для средней скорости (называемые в настоящее время уравнениями Рейнольд-
са), которые получаются при помощи осреднения всех членов обычных уравнений гидромеханики (см. ниже уравнения (1.3)). Любопытно, что хотя сам Рейнольдс использовал только простейшее временное осреднение, он одновременно указал и общие условия, которым только и должна удовлетворять операция осреднения (нетривиальный вопрос о том, в какой мере этим условиям удовлетворяет временное осреднение, в работе Рейнольдса не обсуждался). Тем самым Рейнольдс открыл путь для большого числа специальных исследований, посвященных вопросу о том, какие методы осреднения можно, а какие нельзя применять в теории турбулентности； одно из самых детальных среди них было выполнено А. А. Изаксоном, (1929). Позже в этой связи появился ряд чисто математических работ зарубежных авторов (Г. Биркгофа, Ж. Кампе-де-Ферье и др) посвященных изучению общих «операций осреднения», точно удовлетворяющих указанным Рейнольдсом условиям; ссылки на некоторые из них можно найти в книге А. С. Монина и А. М. Яглома (1965). Однако 'указанные работы уже не нашли применения в теории турбулентности, так как ко времени их появления стало ясно, что вопрос о смысле операции осреднения целесообразно решать совсем иначе.
А именно, как было разъяснено в работах А. Н. Колмогорова и его учеников (первой среди которых была сыгравшая большую роль заметка М. Д. Миллиошцикова (1939)) и в появившихся примерно в то же время работах школы Кампе-де-Ферье ), вместо рассмотрения каких-то специальных операций осреднения, применяемых к индивидуальному полю скорости ад (х, %), гораздо удобнее рассматривать сразу ансамбль всевозможных турбулентных течений, допустимых при фиксированных внешних условиях. При этом все средние значения можно понимать как теоретико- верояткостные средние по статистическому ансамблю аналогичных течений, находящихся в макроскопически одинаковых внешних условиях, а поле скорости и другие гидродинамические поля рассматривать как случайные поля в смысле, принятом в современной теории вероятностей. Такой подход позволяет широко использовать в теории турбулентности достигший большого развития аналитический аппарат теории случайных полей (в частности, спектральную теорию случайных процессов и полей, о которой еще будет идти речь ниже); в то же время серьезные трудности, связанные с проверкой справедливости условий Рейнольдса, здесь снимаются, так как теоретико-вероятностное осреднение автоматически удовлетворяет всем этим условиям. Правда, для возможности сопоставления результатов теории с экспериментальными результатами теперь надо еще принять эргодическую гипотезу, утверждающую, что те или иные эмпирические средние (обычно средние по времени или по пространству) при увеличении периода осреднения сходятся к теоретическим «средним по ансамблю возможных течений», но такое положение дел вообще характерно для всей статистической механики, и с этим уж ничего сделать нельзя.
Проблему полного статистического описдния турбулентности (коротко называемую иногда просто проблемой турбулентности} мы можем теперь сформулировать как проблему нахождения распределения вероятностей Р (d(o) на фазовом пространстве турбулентного потока Q = —{(о}, точками (о которого являются совокупности полей гидродинамических элементов (т. е. значений трех компонент скорости, давления и других интересующих нас гидродинамических величин в различных точках пространства х и в разные моменты времени %), удовлетворяющие
уравнениям гидромеханики, надлежащим краевым условиям на границах потока и (в случае неустановившихся течений) начальным условиям. При некоторых общих предположениях нахождение распределения вероятности Р (d(o) в функциональном пространстве Q может быть сведено к нахождению совокупности всех моментов
В}*.. .Зп (МI, ..., Мп)=闷1 (М[) ... и^п (М几)(1*1)
для значений м『互(Мд) = ujk (xfe,力左)всевозможных гидродинамических элементов м?左 на любых конечных наборах точек Мк =(為左,力左)пространства-времени (черта сверху здесь и всюду далее служит символом вероятностного осреднения). В число упомянутых выше общих предположений, при которых проблема турбулентности сводится к нахождению всевозможных моментов (1.1), входит, конечно, и предположение о существовании всех этйх моментов.
Идея о том, что теоретико-вероятностные моменты гидродинамических полей (1.1) должны быть признаны основными характеристиками турбулентного движения, т. е. фактически формулировка проблемы турбулент- вости в терминах моментов, была высказана впервые советскими учеными А. А. Фридманом и Л. В. Келлером. В их совместном докладе на Первом междунардном конгрессе по прикладной механике в Делфте (Л. В. Келлер и А. А. Фридман, 1924; см. также более подробное изложение в статье Л. В. Келлера, 1925) была предложена обширная программа объединения статистических и динамических методов исследования турбулентных течений, опирающегося на рассмотрение динамических (эволюционных) уравнений для моментов (1.1). Эти динамические уравнения получаются, если составить производную по времени от момента (1.1) и подставить в нее выражения для производных по времени от отдельных гидродинамических величин, вытекающие из уравнений гидромеханики. Фридман и Келлер ограничились лишь уравнениями для вторых двухточечных моментов Bfj (Mq AG), но при этом они рассмотрели сразу общий случай сжимаемой жидкости. В частном же случае* вязкой несжимаемой жидкости динамические уравнения для n-точечного момента n-го порядка поля скорости 5扛.… % (Ml，. . ., Мп) = В^ • . . (宓1，左,..•,宓几,厶)(где теперь уже индексы jk пробегают лишь три значения 1,2 и 3, отвечающих трем компонентам скорости) при различных точках хх, и различных моментах времени 左,...,tn имеют вид
——@矶口 5乙—九—I”咻+1 — 3几(M[, . . ., M^-i，М^’ М^, М^^ч • • • ? MQ 十
X 5%* •产映+r •(M1，…，М/гт，М, М, Mk+i4 • • • » мтг),(1.2)
где М = (х, %),方左а — это а-я координата точки 宓左,a A-1 (xfe,宓)— интегральный оператор (х — переменная интегрирования), обратный оператору Лапласа А第左 и возникающий из членов динамических уравнений, содержащих давление (по повторяющимся греческим индексам здесь и всюду далее подразумевается суммирование от 1 до 3). Для таких же моментов, но с одинаковыми временными аргументами 厶 = ... = 厶 = & динамические уравнения получаются суммированием уравнений (1.2)
по всем к с учетом справедливого в этом случае равенства 2 dB/dtk = =dB/dt.
Работа Л. В. Келлера и А. А. Фридмана (1924), ставшая теперь классической, была крупнейшим достижением в развитии теории турбулентности после работ О. Рейнольдса. Уравнения Фридмана — Келлера для моментов стали основой очень большого числа работ по теории турбулентности на многие годы вперед.
,Отметим, что система уравнений Фридмана — Келлера (1.2) бесконечна. причем любая конечная ее подсистема незамкнута, т. е. содержит больше неизвестных, чем имеется уравнений в этой подсистеме. Это обстоятельство является прямым следствием нелинейности уравнений гидромеханики, приводящей к тому, что в уравнениях для моментов n-го порядка всегда возникают моменты (п + 1)-го порядка.
Выпишем для наглядности простейшие из уравнений Фридмана — Келлера. В случае п = 1 уравнения (1.2) принимают вид
後—叫阳(尤，f) = _ 萨 Uj (x, 7) ua (ж, t) +
十八一1（非，"）瓦方諄yua（", 上）邺（非'，f）.、（1.3）
Уравнения (1.3) — это уже упоминавшиеся выше динамические уравнения для средней скорости, которые были впервые получены еще Рейнольдсом. Полагая здесь uj = uj -\- uj, где и； — пульсация скорости, и пользуясь формулой uaup = иаи^ + м；%, мы убедимся, что в уравнениях Рейнольдса (1.3), кроме осредненной скорости и；, фигурируют еще новые неизвестные 吟“^ (величины 七仪廿=—pu^up называются напряжениями Рейнольдса). Из-за появления этих новых неизвестных система уравнений (1.3) (вместе с осредненным уравнением неразрывности диа (х, f)ldxa = 0) оказывается незамкнутой, причем ясно, что пренебрежение указанными новыми неизвестными недопустимо, так как оно означало бы, что наличие турбулентности совсем не учитывается.
В случае п = 2 при 厶=%2 = % уравнения (1.2) принимают вид
[/ — W (/ + А,2)] Ви(М^ М2)= — 謚瓦
—^7 B*ja (Ml，М2, М2) + L (囂 1，宓)成 d1r0 01rz 瓦Bj (M, M, М2) +
一#3
+ A (囂2,宓)成畸■石 5沁В (M[, М, М),(1.4)
где опять М = (х, %). Здесь, кроме вторых моментов В^, фигурируют еще новые неизвестные — двухточечные третьи моменты, учет которых, таким образом, оказывается необходимым для описания эволюции вторых моментов. Выпишем еще уравнения Фридмана ——Келлера для одноточечных вторых моментов пульсаций скорости
(—1/р) f = * (宓，0 щ (宓，力)=В и (М, М)—加(M)uj(M).
Эти уравнения оказываются сложнее уравнений (1.4), описывающих двухточечные вторые моменты. Нам будет удобно записать уравнения для
30 Механика в СССР, том 2
одноточечных вторых моментов? в следующем виде:
一^^京7 [_"i"3"a + 山"；"2 十 万(P"， 6加 + P"沁以)一(山 нa+ и"％)]=
=而77+爲7?十更p，=而77+爲7?十更p，дх/ 1 dxiдх/ 1 dxi
=而77+爲7?十更p，
=而77+爲7?十更p，
дх/ 1 dxi
дх/ 1 dxi
где fi ——введенные в целях большей общности компоненты действующих на жидкость объемных внешних сил (отнесенных к единице массы), а 0订= —V {дщ!дх] + Ам//。％?) — тензор вязких напряжений. Слагаемые, содержащие р‘，/£ вс о自 а также третьи моменты щщи^ непосредственно не выражаются через м? и щщ и поэтому являются для системы уравнений (1.3} и (1.5) «лишними» неизвестными, из-за наличия которых эта система оказывается незамкнутой.
Поскольку уравнения Фридмана — Келлера оказываются всегда незамкнутыми, естественно возникает проблема замыкания уравнений для моментов. Этой проблеме посвящалась и посвящается значительная часть теоретических работ по динамике турбулентных течений, и хотя полностью преодолеть встречающиеся здесь трудности пока так и не удалось, некоторые из предложенных приближенных методов замыкания все же -оказались весьма полезными (см., в частности, § 3, посвященный теории изотропной турбулентности). Однако наиболее важные. и практически ценные результаты в теории турбулентности были получены на двух обходных направлениях, одно из которых связано с описанием крупномасштабных компонент турбулентности (масштабы которых сравнимы с характерным масштабом течения в целом) при помощи так называемых полуэмпирических методов, а второе — с описанием мелкомасштабныт компонент (с масштабами, много меньшими масштаба течения в целом} на основе применения некоторых естественных гипотез подобия. Основное различие в поведении этих двух типов компонент турбулентности состоит в том, что крупномасштабные возмущения существенно зависят от геометрии потока и характера внешних воздействий, в то время как режим мелкомасштабных возмущений оказывается в значительной степени имеющим универсальный характер. Подробному разбору развития двух указанных направлений в теории турбулентности будут посвящены § 2 и 4 настоящего обзора.
Остановимся теперь вкратце на некоторых других формулировках проблемы турбулентности, эквивалентных ее формулировке в терминах моментов гидродинамических полей, предложенной А. А. Фридманом и Л. В. Келлером. Как мы уже знаем, проблема турбулентности состоит в нахождении распределения вероятностей P(d(o) на функциональном пространстве Q = {<о} полей гидродинамических элементов. В случае конечномерного пространства Q для задания распределения вероятностей в прикладных задачах обычно используется либо плотность вероятности (описывающая вероятность попадания в фиксированный элемент объема рассматриваемого пространства), либо же характеристическая функция — преобразования Фурье от соответствующей плотности вероятности. Для бесконечномерного пространства Q не существует простого понятия элемента объема и поэтому нельзя говорить о плотности вероятности; однако аналог характеристической функции здесь тем не менее может быть опреде-
лен. Таким аналогом является так называемый характеристический функционал, впервые рассмотренный А. Н. Колмогоровым (1935) для распределения вероятностей в произвольном банаховом пространстве (частным случаем которого является наше пространство Q совокупностей нескольких функций от точки М)； этот функционал является наиболее компактным описанием распределения вероятностей в бесконечномерных пространствах. Для случайного векторного поля и (М) характеристический функционал определяется формулой
Ф [0 (М)] = exp |t J и (М) 0 (М) AM J , (1.6)
где 0 (М)——векторная неслучайная функция, являющаяся аргументом функционала, иб = иа0а, а интегрирование по dM распространено на всю область определения поля w (М). В применении к полю скорости и (х, %) интегрирование в (1.6) можно распространить на весь пространственновременной объем, занятый жидкостью (тогда функционал (1.6) будет называться пространственно-временным), или же только на объем пространства, заполненный жидкостью в фиксированный момент времени t (при использовании в (1.6) лишь функциональных аргументов частного вида 0 (х, У) = 8 (х) 6 (f — %); тогда функционал (1.6) будет иметь вид Ф [0 (х); t] и будет называться пространственным).
Формулировка проблемы турбулентности для несжимаемой жидкости как задачи об определении характеристического функционала поля скорости 〃 (х, %) принадлежит Э. Хопфу (J. Rational Meeh, and Anal., 1952, 1 :1, 87—123), в работе которого из уравнений Навье — Стокса было выведено динамическое уравнение для пространственного характеристического функционала Ф [0 (х); Н, имеющее вид
赛=,切3(非){力設."+必}刀①. (1.7)
Здесь 0 (х) — соленоидальная компонента векторного поля 0 (х), от которой на самом деле только и зависит функционал Ф вследствие несжимаемости жидкости (приводящей к соленоидальности поля скорости), а 2)= н D (х) = {4 (熏)，D2 (х), D3 (宓)} — векторный оператор вариационного дифференцирования функционала Ф [0 (宓)；t] по компонентам 0г (х) (Z=l, 2, 3) его функционального аргумента. Аналогично может быть выведено динамическое уравнение и для пространственно-временного характеристического функционала Ф [0 (囂，％)], которое имеет вид
(4 -必"尸=i ® — X 箱)^g^ (7 = 1，2, 3). (1.8)
Это уравнение является наиболее полной и наиболее компактной формой записи уравнений турбулентного движения. Замечательной его особенностью является линейность (эта особенность присуща и уравнениям Фридмана —Келлера). Таким образом, в то время как эволюция индивидуальных полей скорости и (х, %) описывается нелинейными уравнениями гидро-г динамики, задача изучения эволюции соответствующих распределений вероятностей в функциональном пространстве Q оказывается линейной задачей, откуда вытекает ряд радикальных математических упрощений (включая принцип суперпозиции, позволяющий искать нужное решение уравнения (1.8) в виде суперпозиции тех или иных частных решений). ■ Уравнения (1.7) или (1.8) замкнуты — в них входит только один неизвестный функционал. Однако избавление от проблемы замыкания
достигается здесь недешево, а именно за счет перехода от системы неизвестных функций к неизвестному функционалу и от уравнений е частных производных к уравнению с вариационными производными. Общих математических методов решения уравнений в вариационных производных пока еще не создано, и отсутствуют даже теоремы об условиях существования и единственности решений таких уравнений (здесь механика предъявляет важный заказ математике); поэтому получение конкретных выводов из функциональной формулировки проблемы турбулентности еще остается делом будущего. Пока только первые шаги в этом направлении сделаны в нескольких работах на эту тему советских и зарубежных авторов (в частности, в статье Е. А. Новикова (1964); см. также гл. 10 книги А. С. Монина и А. М. Яглома (1967), содержащую систематическое изложение идей и результатов, связанных с функциональной формулировкой проблемы турбулентности).
Промежуточный между заданием всех моментов (1.1) и заданием характеристического функционала (1.6) способ формулировки проблемы турбулентности, т. е. полного статистического описания случайного поля скорости 孤(М), заключается в задании всех конечномертх распределений вероятностей для значений uk = w (М左)этого поля на всевозможных конечных наборах точек М1? . . ., М九.Такие распределения уже можно характеризовать соответствующими плотностями вероятности рм工…м^ (〃口 ..孤几).В случае поля скорости w (х, %) в несжимаемой жидкости динамические уравнения для указанных плотностей вероятности, вытекающие из уравнений Навье — Стокса, имеют вид (А, С. Монин, 1967)
(■^ + Ufta d^7)PMi.-.MntUi, . . . , Wn)=
=一謚[ат(队'尤)呪Д 瓯 § "BWPM1.. .MnM (Wi，...,un, u)du +
十vE (磔，尤)^^ j uapM1.. ,MnM (w4, .un, u) dw] ,(1.9)
где M = (x,力左),a E (xfe,冗) 一 оператор замены 囂 на 宓左；все точки х1? . . . , хп и все моменты времени 厶,• • ., % здесь предполагаются различными. Для плотностей вероятности в фиксированный момент времени (при 厶=•..=灰=%) динамические уравнения получаются из (1.9) при помощи суммирования по всем к с учетом соотношения 2 匂"@% = h
= dp/dt. Уравнения (1.9), как и уравнения Фридмана — Келлера для моментов, линейны, но незамкнуты: в уравнениях для n-точечных распределений вероятности фигурируют также и (п + 1)-точечные распределения. Бесконечная система уравнений (1.9) в некоторой мере аналогична известной цепочке уравнений Н. Н, Боголюбова для многочастичных функций распределения в кинетической теории газов; методы ее решения пока остаются неразработанными.
Полуэмпирические теории турбулентности
Расчеты сопротивления и теплообмена при турбулентном обтекании твердых тел жидкостью или газом, столь важные для многих задач техники, требуют описания крупномасштабных компонент турбулентности, так как именно эти компоненты вносят основной вклад в передачу через турбулентную среду количества движения и тепла. Решение ряда конкретных практических задач потребовало проведения большого коли-
чества измерений крупномасштабных характеристик турбулентности (главным образом первых и одноточечных вторых моментов) в трубах, каналах, пограничных слоях, струях, следах за твердыми телами и других видах течений, встречающихся в технике. На основе результатов этих измерений были построены различные, так называемые полуэмпирические теории турбулентности, основывающиеся на тех или иных гипотезах о виде «лишних» неизвестных в уравнениях для моментов, подсказываемых более или менее правдоподобными физическими соображениями и приводящих к формулам с параметрами, подлежащими эмпирическому определению.
Простейшие из полуэмпирических гипотез касаются вида напряжений Рейнольдса т^ = —рг^м}, являющихся «лишними» неизвестными в уравнениях Рейнольдса (1.3). Вид этих неизвестных (т, е. их зависимость от пространственных координат и времени), по-видимому, должен в значительной мере определяться крупномасштабными особенностями течения, т. е. в первую очередь полем средней скорости и. При определении общего характера зависимости т^ от w можно опереться на внешнюю аналогию между беспорядочными турбулентными пульсациями и «молекулярным хаосом» и попытаться использовать методы кинетической теории газов. Поскольку в кинетической теории газов очень большую роль играет понятие средней длины свободного пробега молекул 乳，в теории турбулентности при таком подходе прежде всего вводится понятие пути перемешиваг ния Z (независимо друг от друга предложенное двумя создателями полу- эмпирического подхода к исследованию турбулентности Дж. Тейлором и Л, Прандтлем), определяемого как среднее расстояние, проходимое отдельным турбулентным образованием (《молем» жидкости), прежде чем оно окончательно перемешается с окружающей средой и потеряет свою индивидуальность. Другим важным понятием кинетической теории газов является понятие средней скорости движения молекул Ът* в полуэмпириче- ской теории турбулентности ему соответствует понятие интенсивности турбулентности }2 — средней кинетической энергии турбулентного движения единицы массы жидкости. Наконец, ньютоновой гипотезе о линейности зависимости между вязким тензором напряжений сг^ и тензором скоростей деформации dujdxj + dujldxi (причем коэффициентом пропорциональности в этой зависимости является коэффициент вязкости р,〜pZ^%) в по- луэмпирической теории турбулентности Прандтля отвечает гипотеза о линейности зависимости между напряжениями Рейнольдса и скоростями деформации осредненного течения.
В частности, для случая плоскопараллельного осредненного течения с \u\ = u(z) последняя гипотеза принимает вид т; =—pufwf = pKdu/dz, где z — поперечная координата, и1 и wf — пульсации скорости вдоль осей Ох (параллельной w) й Oz, а коэффициент пропорциональности рК 〜plb имеет смысл коэффициента турбулентной вязкости. Если, снова следуя Прандтлю, положить здесь Ъ ^ l\ du/dz\, то получится, что К = 1^\ du/dz | и т pl^\duldz\dHldz. В полуэмпирической теории Тейлора для К принимается то же выражение, но характерным свойством турбулентных образований, сохраняющимся при их перемещении на расстояние порядка Z, считается не их скорость (или количество движения), а завихренность, откуда для т получается соотношение dxldz = pKa^UlB产、 .
Определение величины Z в указанных теориях требует привлечения каких-то дополнительных соображений. Для этого может быть использована, например, гипотеза автомодельности крупномасштабных характе-
ристик турбулентности T. Кармана, рациональное зерно которой заключается в предположении о возможности ввести в окрестности каждой точки MQ такие масштабы длины Z (М。)и скорости Ъ (М。)，что определенные с помощью этих масштабов безразмерные статистические характеристики крупномасштабных компонент турбулентности будут одинаковыми для всех точек Мо функциями от безразмерных галилеевых координат [х — xQ — и (MJ'(力 — 力o)]/Z (MJ. В применении к случаю стационарного плоскопараллельного осредненного течения (со средней скоростью й= й (z)) гипотезу Кармана можно, следуя Л. Г, Лойцянскому (1935), сильно ослабить, потребовав лишь наличия приближенной автомодельности поля средней скорости; а именно, достаточно потребовать, чтобы существовал масштаб Z = Z (z) такой, что 位(z) — й(20)]/[й (и0 十 Z) — й (z。)]= —/ ((и — zJ/Z) при Zq^z^Zq + I с точностью до малых третьего порядка относительно (z — zJ/Z. Отсюда уже для Z легко получается формула Кармана Z = —к (du/dz)/(d2u/dz2), где к — const.
В случае стратифицированной по плотности жидкости (скажем, в случае плоскопараллельных течений с отличными от нуля вертикальными градиентами средних скорости и температуры) положение осложняется, так как здесь характерный масштаб возмущений Z = Z(z) (путь перемешивания полуэмпирической теории), очевидно, должен зависеть от степени устойчивости расслоения, т. е. от профиля плотности р = p(z). Общий подход к анализу турбулентности в таких течениях будет указан ниже; пока же мы заметим только, что, как показали С, С. Зилитинкевич и Д. Л, Лайхт- ман (1965), в этом случае неплохого согласия с эмпирическими данными можно добиться, определив Z (z) при помощи следующего обобщения классической формулы Кармана:
где g — ускорение силы тяжести, а хх и а — числовые постоянные,
Одним из важнейших достижений полуэмпирической теории турбулентности явилось установление логарифмического закона для профиля средней скорости й (z) плоскопараллельного турбулентного течения около стенки (но на таком расстоянии от нее, на котором молекулярная вязкость уже оказывается пренебрежимо малой по сравнению с турбулентной вязкостью). Этот закон имеет вид
u(z) = -^ (In и + const), (2.2) где 〃* — так называемая динамическая скорость или «скорость трения», определяемая по напряжению трения у стенки т0 (равному величине —puzip\ где uz и w* — пульсации горизонтальной и вертикальной скорости в произвольной точке области применения формулы (2,2)) с помощью соотнои^н^я 〃* =(То/p)1/2, а х — числовая постоянная (та же, что и в формуле Кармана для Z, указанной выше), именуемая постоянной Кармана и приблизительно равная 0,4. Формула (2.2) была впервые получена в начале тридцатых годов Т. Карманом н Л, Прандтлем с помощью двух разных полуэмпирических гипотез; после этого она была проверена на материале специально поставленных измерений И, Никурадзе в Германии, а также и большим числом ученых в других странах (среди которых стоит специально отметить Г. А. Гуржиенко (1938)) и прекрасно подтвердилась. Универсальный характер результата (2.2), справедливого для очень
широкого класса турбулентных течений в каналах, трубах, гидравлических лотках и многочисленных природных движений в атмосфере, реках и морях, привлек к нему внимание и заставил многих авторов снова и снова возвращаться к его выводу. Из опубликованных в этом направлении исследований отметим, в частности, интересную работу А. А. Изаксона (1937), в которой была предпринята попытка нового обоснования логарифмического закона. Основная идея его вывода состоит в объединении вместе двух известных общих закономерностей течений в каналах или трубах, вытекающих из соображений размерности и подобия. Первая из этих закономерностей относится к «пристеночной области» течения, в которой профиль скорости й (z) должен определяться лишь коэффициентом молекулярной вязкости v, напряжением трения на стенке т0 и плотностью р (причем последние две величины, естественно, могут входить лишь в комбинации и* = (т0/р)1/2); она гласит, что й (z)/毎=九(叫z/w), где 九一некоторая универсальная функция. Вторая же закономерность относится к далекому от стенки «ядру течения», где при достаточно большом числе Рейнольдса уже не должна сказываться молекулярная вязкость, а изменение средней скорости с изменением расстояния от оси канала или трубы должно зависеть только от 觇* и характерного поперечного масштаба течения Н; согласно этой второй закономерности в турбулентном ядре [й0 — й (z)]/s* = /2 (и/Я), где 觇。—максимальная скорость на оси, а /2 — еще одна универсальная функция. Изаксон показал, что если только области применимости выписанных выше «пристеночного закона» и «закона дефекта скорости», справедливого для ядра течения, перекрываются между собой, то в области действия обоих законов обе функции /1 и /2 обязательно должны быть логарифмическими, т. е. должен выполняться логарифмический закон (2.2). Последнее рассуждение позже было развито (и применено для вывода общего закона сопротивления в трубах и каналах) К. Милликеном (Proc. 5th Intern. Congr. Appl. Meeh. (1938), 1939, 386—392) и P. Мизесом (Th. von Karman anniversary volume, Pasadena, 1941, p. 317—327) и вошло в ряд широко известных книг по механике турбулентности (в частности, в книгу А. Таунсенда «Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом^ 1956; русский перевод: М., 1959).
Еще более простой вывод логарифмического закона для профиля скорости, восходящий также к основным идеям Прандтля и Кармана, основан на использовании соображений размерности. Он заключается в том, что в области течения, не слишком близкой ни к стенке, ни к оси канала или трубы (или вообще части течения, в которой вертикальный поток импульса уже нельзя считать постоянным), изменение средней скорости с изменением z должно определяться единственным размерным параметром и* (равным потоку импульса через единицу массы жидкости). Отсюда вытекает, что duldz 〜ujz, откуда и следует сразу логарифмический закон (2.2).
Непосредственно около самой стенки (ниже области применимости логарифмического закона) располагается так называемый «вязкий подслой», в котором на течение уже существенно влияет молекулярная вязкость V. В течение длительного времени среди исследователей турбулентности было распространено представление о том, что в этом подслое турбулентные пульсации вообще отсутствуют (в связи с чем он даже часто назывался «ламинарным подслоем»); в разрушении этого представления значительную роль сыграли советские ученые Л. Д. Ландау и В. Г. Левич. Исследованию закономерностей турбулентности в пределах
вязкого подслоя, играющих существенную роль в важных щроцессах турбулентной теплопередачи и массоперёдачи от стенки при больших числах ПрандтЛя и Шмидта, посвящены работы В. Г. Левина (1951, 1959), Л. Г. Лойцянского (1958, 1960, 1962) и других ученых; подробнее об этом говорится в опубликованной в этом томе статье Л. Г. Лойцянского с соавторами (см. стр. 535).
Аналогичные соображения подобия еще раньше были использованы Я. Б. Зельдовичем (1937) для вывода автомодельных законов, описывающих вертикальные конвективные турбулентные струи над нагретым точечным или цилиндрическим телом. В отличие от обычных (не конвективных) струй, для которых основным определяющим параметром является поток количества движения, для конвективных струй определяющими параметрами будут поток тепла Q и параметр плавучести gP，где g — ускорение силы тяжести, ар — коэффициент теплового расширения жидкости (в случае идеального газа равный 1/Г0, где Го средняя температура). Например, для конвективной струи над точечным источником тепла Q = Срр J ^ TTr dS, где ср и р ——удельная теплоемкость и плотность жидкости, а интеграл распространен на все сечение струи; следовательнот профили осредненной скорости й (г) и температуры Т (г) в сечении трубы на расстоянии z от точечного источника будут иметь вид
灭r) = (gp产焉广⑺，T(r) = (g^ 嶋广，5/叭(9 , (2.3) где 九 и /2 — универсальные функции. Аналогичные формулы были выписаны и для струй над нагретыми цилиндрами (здесь роль Q играет поток тепла Q】，приходящийся на единицу длины цилиндра). Любопытно, что подобный же, опирающийся только на соображения подобия и размерностей, вывод автомодельных законов для обычных (не конвективных) струй был сформулирован значительно позднее указанной работы Зельдовича. Еще позже было отмечено, что те же соображения могут быть применены и к лагранжевым характеристикам турбулентности и использованы для определения автомодельных законов, описывающих изменение статистических характеристик скорости фиксированной жидкой частицы и распределение вдоль и поперек струи примеси от помещенного в струк> точечного или линейного источника (А. М. Яглом, 1965).
Кроме конвекции над нагретым точечным или цилиндрическим телом целесообразно рассмотреть также конвекцию над нагретой плоскостью. Такая конвекция или, общее говоря, турбулентные течения над нагретой или охлажденной плоскостью, создающей термическую (т. е. плотностную) стратификацию, представляют очень большой интерес для геофизики, так как они во многих случаях являются хорошей моделью движений воздуха в приземном или в приводном слое атмосферы и течений воды в верхнем или придонном слое океана. Для описания стратифицированных плоскопараллельных турбулентных течений советскими учеными (А. М. Обухов, 1946; А. С. Монин, 1950; А. С. Монин и А. М. Обухов, 1953, 1954) была разработана теория подобия, исходящая из того, что все характеристики этих течений, не испытывающие непосредственного влияния молекулярной вязкости и теплопроводности, могут зависеть лишь от трех размерных параметров — скорости трения и* (т. е. турбулентного потока импульса), приходящегося на единицу площади турбулентного потока тепла q = cppiv,Tf (входящего в большинство формул в комбинации q/cpp) и параметра плавучести gP・ Из этих параметров, очевидно, можно составить
масштабы длины L, скорости U и температуры Т* по формулам
(2.4)
где х ——безразмерная постоянная Кармана, введение которой упрощает ряд формул.
Естественно ожидать, что определенные с помощью этих масштабов безразмерные характеристики стратифицированных течений в условиях стационарного и однородного по горизонтали режима будут универсальными. Это относится, прежде всего, к осредненным профилям скорости ветра и температуры, которые должны иметь следующий вид:
"⑸）一ю"⑸）一юg/乂矛&)-歹GOg/乂矛&)-歹GO= МК）Т⑺’）=九传）一3佇），丿= МК）Т⑺’）=九传）一3佇），丿(2.5>(2.5>
"⑸）一ю
"⑸）一ю
g/乂
矛&)-歹GO
g/乂
矛&)-歹GO
= МК）Т⑺’）
=九传）一3佇），丿
= МК）Т⑺’）
=九传）一3佇），丿
(2.5>
(2.5>
где, как обычно, / и fx — некоторые универсальные функции.
В пределе при g f 0 (случай безразличной стратификации) из формул (2.5) и других формул теории подобия должны выпасть как параметр 〃Срр, так и параметр плавучести gP・ Для профиля скорости в этом пределе должен получиться логарифмический закон (2.2). Поскольку | £ | f 8 при g f 0, т. е. С = z!L f 0, функция / (之)в первой из формул (2.5) при малых I С I должна асимптотически приближаться к In ^. В другом предельном случае q f оо (сильная неустойчивость) L f —0 и ^ = zIL f f —оо. Этот же предел достигается и при м* f 0; поэтому соответствующий предельный режим будет описывать свободную термическую конвекцию под нагретой плоскостью при отсутствии горизонтальной скорости и параметр % здесь должен выпасть из формул теории подобия/ При этом в частности, функция % (С) во второй из формул (2.5) должна быть асимптотически пропорциональной | &「片 и профиль температуры будет описываться формулой .
7(z) = T8 + a(gp)-% (焉)％z-%, (2.6) вполне аналогичной формуле (2.4) для распределения температуры на оси трехмерной конвективной струи (при г = 0).
Наконец, в пределе при дт—оо (сильная устойчивость), когда £т+0 и С = z/£f 8, можно думать, что крупномасштабная турбулентность будет вырождаться вследствие слишком больших затрат энергии на работу против архимедовых сил, так что турбулентность в целом будет иметь локальный. характер и ее локальные характеристики перестанут зависеть от расстояния z до подстилающей поверхности. В этом случае высота z должна выпадать из формул теории подобия для локальных характеристик турбулентности. Это относится, в частности, к градиенту скорости ветра du/dz, который, таким образом, должен приближаться к некоторому постоянному значению. Для самого же профиля скорости отсюда' получается линейный закон:
m(z) = G '£‘* z +const. (2.7)
Предсказания теории подобия как о существовании универсальных функций / (С) и 厶(^), описывающих осредненные профили скорости и температуры в стратифицированных плоскопараллельных течениях.
так и об асимптотическом поведении этих функций при безразличной стратификации, сильной неустойчивости и сильной устойчивости хорошо подтвердились многочисленными эмпирическими данными советских и
Рис. 1. Эмпирический график функции / (白),определяющий профиль средней скорости в турбулентном пограничном слое термически стратифицированной жидкости (ординаты кривых на рисунке пропорциональны: 7 — In | g*| + const; 2 — | 白 |-1/з + const;3 — С + const).Рис. 1. Эмпирический график функции / (白),определяющий профиль средней скорости в турбулентном пограничном слое термически стратифицированной жидкости (ординаты кривых на рисунке пропорциональны: 7 — In | g*| + const; 2 — | 白 |-1/з + const;3 — С + const).
Рис. 1. Эмпирический график функции / (白),определяющий профиль средней скорости в турбулентном пограничном слое термически стратифицированной жидкости (ординаты кривых на рисунке пропорциональны: 7 — In | g*| + const; 2 — | 白 |-1/з + const;
3 — С + const).
Рис. 1. Эмпирический график функции / (白),определяющий профиль средней скорости в турбулентном пограничном слое термически стратифицированной жидкости (ординаты кривых на рисунке пропорциональны: 7 — In | g*| + const; 2 — | 白 |-1/з + const;
3 — С + const).
зарубежных авторов. В качестве примера на рис. 1 и 2 приводятся эмпирические графики функций /(0 и 厶(С), построенные А. С. Гурвичем
Рис. 2. Эмпирический ^график функции 厶(七)，определяющей профиль средней температуры в турбулентном пограничном слое термически стратифицированной жидкости (обозначения те же, что и на рис. 1).Рис. 2. Эмпирический ^график функции 厶(七)，определяющей профиль средней температуры в турбулентном пограничном слое термически стратифицированной жидкости (обозначения те же, что и на рис. 1).
Рис. 2. Эмпирический ^график функции 厶(七)，определяющей профиль средней температуры в турбулентном пограничном слое термически стратифицированной жидкости (обозначения те же, что и на рис. 1).
Рис. 2. Эмпирический ^график функции 厶(七)，определяющей профиль средней температуры в турбулентном пограничном слое термически стратифицированной жидкости (обозначения те же, что и на рис. 1).
(1965) по данным измерений профилей скорости ветра и температуры в приземном слое воздуха, сопровождающихся пульсационными измерениями турбулентного напряжения трения т и потока тепла д.
Приведенные соображения подобия применимы, разумеется, не только к случаю термической стратификации, но и к турбулентным течениям при наличии плотностной стратификации, создаваемой любыми другими причинами (например, вертикальным градиентом солености в * море), Выражения (2,4) для масштабов £ 0 Т* в таком случае, естественно, заменяются выражениями
т РО喝 с — 两 外 xgp з
(здесь p0——средняя плотность, a p* — масштаб плотности, входящий, например, в универсальную формулу р (г2) — р (与)=р索[“便2/£)—九(々/£)] для профиля средней плотности).
В ряде работ советских авторов (см., в частности, А. С, Монин, 1958, 1959, 1962; А. М. Обухов, 1960; А. С. Гурвич, 1960, 1962; А. М. Яглом, 1965) те же соображения подобия были применены не только к профилям средних скорости ветра и температуры (или плотности), но и к разнообразным другим статистическим характеристикам турбулентности в стратифицированной среде — к дисперсиям и одноточечным третьим моментам пульсаций трех компонент скорости и температура, коэффициентам корреляции между пульсациями различных гидродинамических элементогв, пространственным и временным спектрам пульсаций, лагранжевым характеристикам турбулентности, описывающим турбулентную диффузию примесей, и т. д. Для всех этих величин соответствующие безразмерные характеристики (приведенные к безразмерному виду с помощью деления на соответствующую комбинацию масштабов (2.4)) зависят универсальным образом лишь от небольшого числа безразмерных аргументов (например, и/?/磯=屮(z/£), где 屮(С) —универсальная функция одного переменного).
Остановимся еще на формулах, касающихся вектора турбулентного потока тепла q — cppurТ1 (т. е. фактически потока массы g=〃p') в турбулентной среде при наличии вертикальной термической (или плотностной) стратификации. В силу осредненного уравнения теплопроводности вертикальная компонента этого потока q% = q = cppwf Tf в рассматриваемом нами случае однородного по горизонтали и стационарного режима без каких-либо объемных источников или стоков тепла будет постоянной и по горизонтали, и по высоте (в реальных условиях приземного или приводного слоя воздуха указанные условия, обеспечивающие постоянство 必 ~ 9，обычно неплохо выполняются вплоть до высот порядка десятков метров). Поперечная горизонтальная компонента 仙=cppv/T/ потока тепла g должна быть равна нулю вследствие симметрии статистических^ характеристик турбулентности относительно направления средней скорости 孤.Но продольная компонента qx — cppufT\ вообще говоря, не обязана обращаться в нуль, и для нее из теории подобия получается соотношение qx/q =屮(z/£), где 屮(С) — универсальная функция (причем можно ожидать, что 屮(之)V 0 при всех 备 так как качественные соображения типа тех, которые лежат в основе полуэмпирической теории турбулентного переноса Прандтля, приводят к выводу, что g > 0 и q先之 0 при ^Г/^и< 0 и gVO, g先 >0 при @77@z>0). Эти предсказания были недавно подтверждены одновременными прямыми измерениями величин q = = cppwfTf и ^х = cppurTf в приземном слое воздуха над степью, выполненными С. Л. Зубковским и Л. Р. Цвангом (1966); найденные ими значения отношения qjq при различных неустойчивых стратификациях приводят к значения^ функции 屮(之)при 之 V 0, представленным на рис. 3. -Любопытно, что если исходить йсз обычной для полуэмпирической теории турбулентности гипотезы о линейной связи между g и градиентом средней температуры VT вида qt = —cppKiadT/dxa, где &仪 — тензор коэффициентов турбулентной диффузии, то в условиях однородного по горизонтали режима мы будем иметь соотношения q = — cppKzzdT/dz, qx = ——cppKxzdTldz, которые означают, что данные рис. 3 никак не совместимы с допущением о диагональности тензора Kia в системе координат Oxyz (в частности, при нейтральной стратификации L — сх> и Kxz = =屮Kzz согласно данным рис. 3 более чем в три раза превосходит Kzz по абсолютной величине).
Изложенная в настоящем пункте теория подобия является в настоящее время общепринятой основой для описания турбулентности в плоскопараллельных течениях стратифицированной жидкости (см. в этой связи, например, недавние книги Дж. Ламли и Г. Пановского «Структура атмосферной турбулентности», 1964 (русский перевод: М., 1966) и О. Филлипса «Динамика верхнего слоя океана», 1967 (русский перевод： М., 1969)). Подробное изложение этой теории и сопоставление ее выводов с имею-
Рис. 3. Зависимость отношения qjq от С = z/厶 по экспериментальным данным.Рис. 3. Зависимость отношения qjq от С = z/厶 по экспериментальным данным.щимися экспериментальными, данными можно найти в книге А. С. Монина и А. М. Яглома (1965).
Рис. 3. Зависимость отношения qjq от С = z/厶 по экспериментальным данным.
Рис. 3. Зависимость отношения qjq от С = z/厶 по экспериментальным данным.
исходя из соображений размерностиисходя из соображений размерностиГипотезы подобия позволяют естественным образом классифицировать данные о характеристиках турбулентности при разных условиях, причем наибольшую долю изменчивости этих характеристик во многих случаях удается связать с изменчивостью соответствующих характерных масштабов и лишь небольшая ее доля остается связанной с непостоянством входящих в формулы подобия безразмерных универсальных функций. Однакот и подобия, удается установить.
исходя из соображений размерности
исходя из соображений размерности
и то лишь иногда, только асимптотический вид некоторых из универсальных функций в случаях, когда те или иные из определяющих параметров в каком-то пределе становятся несущественными и режим турбулентности оказывается автомодельным (например, в предельных случаях нейтральной стратификации и свободной конвекции). Вообще же для определения вида универсальных функций приходится привлекать дополнительные гипотезы и развивать более детальные полуэмпирические тео
рии турбулентности. На некоторых из таких теорий мы теперь и остано
вимся.
Прежде всего здесь следует упомянуть попытку А. Н. Колмогорова (1942) построить полную систему уравнений турбулентного движения^ в которой турбулентность, кроме среднего поля скорости 孤(宓，力)， характеризуется еще только двумя функциями от координат и времени — кинетической энергией турбулентности (в единице массы) Ь? = х/2 (м'2 十 + z/2 + ц/2)и масштабом турбулентности Z (в случае температурнонеоднородной среды к величинам % " ® Z следует, конечно, добавить еще среднее поле температуры Т (х, t) и интенсивность пульсаций температуры ат = Т'2) Несколько позже аналогичная идея была высказана Л. Прандтлем (Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-phys. KI., 1945, 6—19; см. также его Ges. Abhandl., t. 2, 1961); она перекликается с упоминавшейся выше гипотезой автомодельности крупномасштабных компонент турбулентности Т. Кармана, неплохо оправдавшей себя в применении к изо* тропной турбулентности, которую мы вскоре рассмотрим.
А. Н. Колмогоров предложил использовать для определения вели* чин w, Ь2 и Z уравнения Рейнольдса (1.3) с добавлением к ним, во-первыхт уравнения для энергии турбулентности, получаемого из (1.5) суммированием по Z =九 которое в случае стационарного и однородного по
горизонтали плоскопараллельного течения имеет вид
(2・9)
(где е — скорость диссипации турбулентной энергии), и, во-вторых, некоторого дополнительного уравнения для Z. При этом для фигурирующих здесь моментов пульсаций применялись полуэмпирические «диффузионные» формулы типа ufwf = —К дй/dz, а коэффициенты диффузии и величина е выражались через b 0 Z с помощью соображений размерности (т. е. «читалось, что К 〜 lb к е 〜 63/Z).
Общий подход, вкратце намеченный А. Н. Колмогоровым, был применен к решению конкретных задач, в частности, в работе А. С. Монина (1950), посвященной турбулентности в планетарном пограничном слое атмосферы («слое трения» толщиной порядка 1—2 花％), в котором под действием силы Кориолиса происходит вращение ветра с высотой; в этом слое к трем размерным параметрам и^, qlcpp и gP，существенным для приземного слоя, приходится добавить еще по крайней мере параметр Кориолиса f = 2<о sin 屮 (где <о — угловая скорость вращения Земли, 屮 一 широта точки наблюдения). Идеи этой работы были развиты в последующих исследованиях ее автора, Д. Л. Лайхтмана, С. С. Зилитинкевича и некоторых других ученых (см. обзор С. С. Зилитинкевича, Д. Л. Лайхт- мана и А. С. Монина, 1966). Родственные идеи были применены также Г. И. Баренблаттом (1953, 1955) к исследованию турбулентности в потоках, несущих взвешенные частицы.
Специальные полуэмпирические гипотезы, в той или иной мере опирающиеся на уравнение баланса энергии турбулентности (2.9) и формулы Колмогорова К 〜lb, е 〜63/Z, использовались также в целом ряде работ советских и зарубежных авторов для приближенного определения универсальных функций в формулах (2.5) и родственных им (но относящихся к другим статистическим характеристикам турбулентности). Так, например, А. М. Обухов (1946) пренебрег в уравнении (2.9) последним слагаемым в левой части, описывающим эффект вертикальной диффузии турбулентных вихрей, и принял, что urwr = —K@B/@z, Tfwr = —aKdT/dz, где К = lb и I = hz. Отсюда он получил результат, эквивалентный следующему алгебраическому уравнению для функции 屮(之)=工尸(° = (kz/mJ дй/dz (где 之=z/£):
Ф4 —о^Ф3—1 = 0. (2.10)
Это уравнение позже иначе обосновывалось и подробно исследовалось в серии работ зарубежных авторов (Т. Эллисон, Г. Ямамото, Г. Пановский, У. Селлерс, К. Пристли и др.; ссылки на эти работы имеются в книге А. С. Монина и А. М. Яглома, 1965). Если же при том же пренебрежении диффузионным слагаемым в (2.9) положить Z = kz%(z/£) (где функция % (С) подлежит определению исходя из эмпирических данных) и учесть вклад в плотностную стратификацию не только температуры, но и влажности воздуха, а также эффект лучистого теплообмена, то уравнение (2.9) приведется к более общему, чем (2.10), виду
(Р4 一女中3 * 一 %一4 = 0, (2.11) 、 9т 十
где qT и ^л — турбулентный и лучистый вертикальные потоки тепла, & = ХЕ ——турбулентный поток скрытой теплоты (Е — турбулентный поток влаги,必一скрытая теплота испарения) и, наконец, а =
=(Дп/Дв—1) CpTJ £ (причем Дп и RB — газовые постоянные водяного пара и сухого воздуха) — близкая к постоянной величина (А. С. Монин, 1967). Один конкретный вид функции % (之)дается гипотезой С. С. Зилитинкевича и Д. Л. Лайхтмана (1965) (см. равенство (2.1)); если снова пренебречь- эффектом диффузии вихрей, то этой гипотезе будет отвечать вполне определенный вид универсальных функций f (^) и ф (之)=之尸化).
В ряде работ советских и зарубежных авторов развивались также еще более детальные полуэмпирические теории турбулентности, основывающиеся на использовании не только уравнения энергии турбулентности (2.9), но и всех уравнений (1.5) для одноточечных вторых моментов, а иногда также и уравнений для моментов более высокого порядка. Так, в цикле работ Б. И. Давыдова (1958, 1959, 1962) использовались все уравнения (1.5), подвергнутые некоторым упрощениям, из которых главным было описание членов с пульсациями давления формулой
专(号_+号) = -e1 姦(加 汕,一ё(3"-^瓦小灯),(2.12) где q — эмпирическая постоянная, а 5叮一добавочный безразмерный тензор, выражающийся через среднюю скорость и напряжения Рейнольдса и описывающий анизотропию пульсаций скорости около твердых стенок (более простые формулы такого рода для членов с пульсациями давления предлагались и ранее). Слагаемые с третьими моментами в уравнениях (1.5) Б. И. Давыдов сохранял и привлекал для их определения уравнения Фридмана — Келлера для одноточечных третьих моментов, подвергнутые еще более серьезным упрощениям. Окончательно эти упрощенные уравнения для третьих моментов вместе с уравнениями Рейнольдса и уравнениями (1.5) образовали систему из 23 уравнений, содержащую также четыре числовых коэффициента, определяемых по эмпирическим данным.
Несколько более простая полуэмпирическая теория была построена А. С. Мониным (1965) для турбулентности в пограничном слое атмосферы. Эта теория основывается на уравнениях Рейнольдса и уравнениях (1,5), причем в последних пренебрегается третьими моментами и принимаются гипотезы А. Н. Колмогорова и формулы типа (2,12) для ряда членов. В результате удается определить все одноточечные вторые моменты пульсаций скорости ветра и температуры (включая и упоминавшиеся выше горизонтальные компоненты турбулентного потока тепла) и получить ряд допускающих сопоставление с данными наблюдений следствий. Так, например, горизонтальные векторы с компонентами (тх2, ту2)г (дй/dz. dv/dz) и (^х, qy) оказываются параллельными, что, в частности^ дает обоснование широко употребляемым формулам тх2 = рК дй/dz, xyz = =рК dv/dz. Для отношения коэффициентов обмена для тепла m для количества движения а = КТ1К в приземном слое воздуха получается формула вида а ^ const•用т, где rWT — коэффициент корреляции между и/ и Т'・ Введя безразмерную комплексную функцию т (占)=(тХ2 + iTyz)/(pi^} (где 己=杉/乂叫，a f — параметр Кориолиса) и так называемое динамическое число Ричардсона
Ср йи ' dv '
коэффициент обмена для количества движения удается выразить в виде К — xu^L Rf I т |2, а для функции т (5) получается уравнение
Rf| 评證=№， (2.13)
где 卩=nuJfL — безразмерный параметр, характеризующий стратификацию пограничного слоя атмосферы.
• 2・6・ Методы полуэмпирической теории турбулентности находят широкое применение при описании турбулентной диффузии примесей, т. е. процесса переноса примесей жидкими частицами в турбулентном потоке. Под описанием турбулентной диффузии следует понимать статистическое описание поля концентрации примеси при тех или иных начальных и краевых условиях, включающих и задание всех источников примеси. Поле концентрации 8 (х, t) будет, вообще говоря, неоднородным, и его математическое ожидание — средняя концентрация 8 (х, t) будет некоторой функцией от 宓 в［厶 определение которой является важнейшей (хотя и не единственной) задачей теории турбулентной диффузии. Для ее решения используется осредненное уравнение переноса, которое в случае несжимаемой жидкости и в пренебрежении молекулярной диффузией имеет вид
Приняв здесь для турбулентного потока примеси полуэмпирическую формулу 叫8，= —Kiad^!dxa и как-то задав коэффициенты турбулентной диффузии Кц、мы получим для определения поля 8 (х, t) так называемое полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии.
Способам выбора коэффициентов турбулентной диффузии для конкретных задач и методам решения соответствующих полуэмпирических уравнений турбулентной диффузии посвящалось очень большое количество работ советских и зарубежных авторов. Большая часть из них касается плоскопараллельных течений, в которых обычно коэффициенты К厅 можно считать функциями одной лишь вертикальной координаты z. Одной из первых работ, в которой полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии применялось к решению метеорологических задач (касающихся приземного слоя воздуха), была работа А. А. Дородницына (1941), предположившего, что К (z) 〜 1 — exp (—z/£). Позже Д. Л. Лайхтман (1944, 1947 и др.) широко использовал допущение о том, что в приземном слое атмосферы профиль ветра й (z) и коэффициенты турбулентной диффузии можно аппроксимировать степенными функциями от высоты z. Укажем также на обширную работу по полуэмпирической теории турбулентной диффузии А. С. Монина (1956), в которой устанавливается статистический смысл полуэмпирического уравнения диффузии (являющегося фактически дифференциальным аналогом разностного уравнения, правильно описывающего эволюцию последовательности координат диффундирующей частицы в дискретные моменты времени, разделенные интервалами, превышающими характерный лагранжев масштаб времени) и даются формулировки и методы решения основных задач для этого уравнения.
Отметим, что в силу общих свойств уравнении в частных производных параболического типа распространение примеси в пространстве, описываемое параболическим полуэмпирическим уравнением диффузии, происходит бесконечно быстро. Последний факт можно связать, также с тем, что параболическое полуэмпирическое уравнение соответствует представлению о диффузии как о марковском случайном процессе в пространстве
координат x (в соответствии с общей теорией А. Н, Колмогорова (1931, 1933) марковских диффузионных процессов), а при марковском случайном блуждании частиц их мгновенная скорость всегда оказывается бесконечной (ибо марковская схема описывает предельный случай блуждания безынерционных частиц нулевой массы). Такое бесконечно быстрое распространение характерно, однако, не только для турбулентной диффузии, но и для любой диффузии, описываемой диффузионными уравнениями параболического типа. В применении к молекулярной диффузии (и диффузии фотонов в оптике) рядом ученых (первым среди них, по-ви- димому, был известный физик-теоретик В. А. Фок, 1926; аналогичные идеи затем развивались также Б. И. Давыдовым, 1935, С. Голдстейном, Quart. J. Meeh, and Appl. Math., 1954, 4:1, 129—156, и др.) были предложены уточнения обычной теории, учитывающие конечные скорости распространения частиц и приводящие в итоге к замене параболического диффузионного уравнения некоторым уравнением гиперболического типа. В применении к турбулентной диффузии аналогичная более точная полуэмпири- ческая теория была развита А. С. Мониным (1955, 1956), предположившим, что марковским процессом является эволюция во времени не просто координаты диффундирующей частицы, но совокупности координаты и направления движения (причем само движение происходит с конечной скоростью). При этом в одномерном случае диффузия будет описываться уже не параболическим, а гиперболическим (так называемым телеграфным) уравнением, в случае однородной турбулентности имеющим вид где w — средний модуль скорости, а ——частота изменений направления движения частиц; аналогом коэффициента турбулентной диффузии здесь является величина К =讲⑵.
Изотропная турбулентность
В связи со сложностью турбулентных течений общего вида большую ценность для изучения многих вопросов представляет геометрически простейший пример турбулентного движения, а именно, случай так называемой однородной и изотропной турбулентности (впервые рассмотренный Дж. Тейлором в 1935 г.). Этот случай соответствует турбулентности в безграничном пространстве, у которой распределения вероятностей для значений гидродинамических полей в любой конечной группе пространственно-временных точек (Xfe, 加)(乃 = 1,...,孔) инвариантны относительно всех ортогональных преобразований (параллельных переносов, вращений и отражений) системы пространственных координат (т. е., иначе говоря, не меняются при всех переносах, вращениях и отражениях выбранной группы точек). В силу указанных условий инвариантности структура статистических моментов (1.1) и вид уравнений Фридмана — Келлера для моментов (1.2) в случае однородной и изотропной турбулентности (которую для краткости далее мы называем просто изотропной) оказываются наиболее простыми (хотя уравнения для моментов все равно остаются незамкнутыми). Поэтому модель изотропной турбулентности наиболее удобна для отработки различных приближенных приемов замыкания уравнений турбулентного движения и изучения всевозможных следствий из той или иной точной или приближенной теории. В то же время оказывается, что идеализированная модель изотропной турбулентности является
во многих отношениях приемлемым приближением к реальной турбулентности в центральной части аэродинамической трубы за турбулизи- рующей решеткой; отсюда вытекает возможность экспериментальной проверки многих выводов теории изотропной турбулентности.
Нетрудно показать, что в случае изотропной турбулентности в несжимаемой жидкости тензор двухточечных вторых моментов В»式戸,力)=м； (х,力)м； (х + г, t) полностью выражается через одну скалярную функцию BLL (г, t) = м£ (х,力)м£ (х + г, t) (где “工一компонента пульсационной скорости в направлении вектора г), а тензор двухточечных третьих моментов 5г；Д (г,力)=以(х,力)щ (ас,力)иЦ (ас 4-г,力 выражается через единственную скалярную функцию BLLt ь (г,力)= =ui? (х, t) uL (x + r,力).В то же время в такой турбулентности поле< скорости не коррелирует с полем давления (и вообще с любым скалярным \ полем), так что последние два слагаемых в уравнениях (1.4) для двухточечных вторых моментов обращаются в нуль. Исходя отсюда, можно показать, что шесть уравнений (1.4), отвечающих различным парам (Z, /), могут быть приведены к одному единственному скалярному уравнению, имеющему вид
^<^=後 + 今 K，b(r，0 + 2v^^](3.1)
(так называемое уравнение Кармана — Хоуарта ).
При исследовании изотропной турбулентности советскими учеными был получен ряд выдающихся результатов. Так, Л. Г. Лойцянский (1939) с помощью уравнения (3.1) установил, что интеграл
Л= j 产Bll (г, t) dr(3.2)
является инвариантом (т. е. не меняется со временем), если только этот интеграл сходится, а третий момент BLLt 工(г, t) стремится к нулю при
8 быстрее, чем Этот результат сыграл большую роль в развитии теории изотропной турбулентности (причем за величиной Л прочно закрепилось название «инвариант или интеграл Лойцянского») и послужил основой многих последующих работ, включая сюда и некоторые работы последнего времени ). В дальнейшем А. Н. Колмогоров показал, что если воспользоваться спектральной теорией однородных и изотропных случайных полей и перейти от корреляционных функций к распределению кинетической энергии турбулентности по спектру волновых чисел к, то величина Л оказывается совпадающей (с точностью до постоянного множителя VsJt) со значением в точке к = 0 четвертой производной от спектральной плотности кинетической энергии Е (Л), т. е. что Л = =х/8 ztd^E (Zc)/dZc4 j丸=0 (см. А. М. Яглом, 4948). Этот вывод (к которому немного, позже независимо пришли также Дж. Батчелор в Англии и Линь Цзя-цзяо в США) позволил дать простое физическое истолкование результату Лойцянского. Еще одно физическое истолкование того же результата
опирается на установленную Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем (1944, 1953) тесную связь интеграла Л со средним моментом количества движения турбулентного течения, приходящимся на единицу массы жидкости (точная формулировка утверждения о существовании такой связи может быть найдена в книге А. С. Монина и А. М. Яглома, 1967).
Существование отличного от нуля (и неизменного во времени) конечного интеграла Лойцянского Л налагает, как оказалось, жесткие ограничения на эволюцию изотропной турбулентности. Рассмотрим сперва простейший случай заключительного периода вырождения изотропной турбулентности, когда турбулентность является уже настолько слабой, что в уравнении Кармана — Хоуарта (3.1) можно пренебречь третьими моментами 瓦工，工(几 0 (общее решение получающегося при этом условии уравнения относительно BLL (г,力)было впервые указано М. Д. Миллион- щиковым, 1939). Как показали независимо друг от друга Л. Г. Лойцян- сквй (1939) и М. Д. Миллионщиков (1939), в таком случае допущение о существовании в какой-то момент времени отличного от нуля интеграла Лойцянского Л позволяет однозначно определить ход последующей автомодельной эволюции рассматриваемой турбулентности (т. е. такой эволюции, при которой форма статистических характеристик турбулентности остается неизменной, а меняются только характерные масштабы длины 1 = 1 (%) и скорости b = b «))• А именно, при автомодельной эволюции турбулентности с пренебрежимо малыми третьими моментами и 0 < Л < оо зависимость функции BLL (г,力)от г в［力 описывается формулой
贝工…寸就中#^' (3.3) так что здесь
ь")~［贝工(0,疔/2~«一%厂"，l(t)^t-t0. (3.4)
Более того, закон вырождения (3.3), который при условии О V А V 8 получается из уравнения (3.1) с 瓦工，工(г,力)=0 в случае начальных условий «типа источника» (т. е. отвечает очень мелкомасштабной начальной турбулентности), оказывается справедливым асимптотически (т. е. для больших t —力о) при любых начальных условиях (относящихся к моменту 力о, принадлежащему заключительному периоду вырождения) с конечным Л. В дальнейшем специальные измерения А. Таунсенда *) действительно показали, что формулы (3.3) и (3.4) достаточно хорошо оправдываются для турбулентности в центральной части аэродинамической трубы за мелкой сеткой и на большом расстоянии от нее (т. е. в условиях очень сильного вырождения). .
Перейдем теперь к другому крайнему случаю — случаю развитой турбулентности, характеризующейся достаточно большим значением числа Рейнольдса Re. В этом случае естественно предположить, что при всех не слишком малых г (скажем, при г > 小，где 小 много меньше типичного масштаба турбулентности £) в уравнении Кармана — Хоуарта (3.1) можно опустить слагаемые, описывающие действие молекулярной вязкости (т. е. содержащие множителем коэффициент v или, в безразмерной форме, коэффициент Re-1)- Если, далее, принять еще гипотезу об автомодель-
ности вырождения, согласно которой функции BLL (г, t) и _В工工，工(г, t) должны иметь вид
BLL (г, 0 =匕2 ⑴ / (向)， 瓦工,工(г，£)=所(О М而)(3.5)
(где за b (力)снова можно принять величиву [5工工(0,力)]" =(比”)'")，то из существования конечного (но не нулевого) инвариантна Л будут вытекать формулы
b⑺ 〜(方一方0)-%,I⑴ 〜(方一 //7(3.6)
впервые полученные А. Н. Колмогоровым (1941) ).
Наконец, в общем случае, когда в уравнении Кармана — Хоуарта (3.1) учитываются все слагаемые, возможные автомодельные режимы эволюции изотропной турбулентности (для которых выполняются формулы (3.5)) были все подробно изучены Л> И. Седовым (1944, 1951). С этой целью он подставил формулы (3.5) в (3.1) и показал, что полученное уравнение может иметь физически осмысленное решение с отличной от нуля функцией Л лишь при условии, что функции dl2(f)/dt и bZ или обе являются постоянными (не меняются во времени), или же удовлетворяют соотношению dP/dt — c/Z + с2 c постоянными q и с2- В первом случае, очевидно,
22(*)〜方-GbЬ2(方)〜(方-"尸，(3.7)
oo ''
причем легко видеть, что интеграл Лойцянского Л =匕2%5『^у(^)^ о
здесь никак не может быть постоянным и таким, что 0 < Л < °°- Во втором случае решение уравнения Кармана — Хоуарта оказывается зависящим лишь от выбора некоторых двух числовых коэффициентов аир； при этом независимо от значения р значениям а > % отвечают решения с Д = 0, значениям а V % — решения с Л = оо, а при а 三 ％ интеграл 衣 оказывается конечным, но не постоянным (поскольку в этом случае 5工工，工(А 力)при гт 8 оказывается убывающим точно как г-4, т. е. не выполняются условия постоянства Л, указанные в работе Лойцян- ского). Таким образом, исследование Л. И. Седова показало, что существование конечного и не меняющегося во времени интеграла Л является довольно редким обстоятельство (оно не имеет места ни для какого автомодельного режима вырождения с отличными от нуля третьими моментами), и, кроме того, при этом впервые была установлена возможность ситуаций, в которых Л конечно, но не является инвариантом.
Разумеется, отказ от допущения о существовании конечного инварианта Лойцянского резко увеличивает число возможных решений
и в крайних случаях очень малого Re (отвечающего заключительному режиму вырождения, когда можно пренебречь третьими моментами), и очень большого Re- В первом из этих случаев еще Карманом и Хоуартом (в работе, цитированной в сноске на стр. 481) было найдено однопараметрическое семейство автомодельных режимов вырождения, описываемых формулой
(3・8)
где 0 < а < оо, а М — символ вырожденной гипергеометрической функции (в частном случае а = 5/2 формула (3.8) обращается в (3.3)). Все эти режимы аналогичны тому, который описывается формулой (3.3), в том отношении, что они содержат только один параметр С, могущий зависеть от начальных условий. В дальнейшем Л. И. Седов (1944, 1951) показал, что верно и обратное утверждение: предположив, что начальные условия сказываются на асимптотическом поведении функции BLL (г, t) при t —力0 f 8 лишь посредством некоторого постоянного (размерного) множителя, мы обязательно придем к решению вида (3.8). При этом Седов также отметил, что если а = % 十 s, где s > 0 — целое, то решение (3.8) будет отвечать начальным значениям «типа источника» (т. е. случаю очень мелкомасштабной начальной турбулентности) и задаваться простыми явными формулами (получающимися с помощью s-кратного дифференцирования формулы (3.3) по 力).Эти решения характеризуются тем, что для них интеграл (3.2) обращается в нуль, но отличен от нуля (и является инвариантом) интеграл As = j t^^Bll (г, £) dr (в то время как все интегралы о
Лр, где р = 1, . . ., s — 1, также обращаются в нуль). Нетрудно показать, ЗДо указанные решения JI. И. Седова отвечают начальной спектральной плотности кинетической энергии Е (",力о), разлагающейся в окрестности нуля в степенной ряд, начивающийся со слагаемого порядка 乃&+2$, и описывают асимптотический режим вырождения для начального спектра такого вида. Общее же решение (3.8) соответствует случаю начального спектра Е (Л,力°), ведущего себя в окрестности нулевой точки как 乃2。-- и при этом условии описывает асимптотическое поведение решения соответствующей задачи с начальными условиями для уравнения Кармана — Хоуарта с равными нулю третьими моментами (А. М. Яглом, 1948).
В случае развитой турбулентности с очень большим Re общему автомодельному решению (изученному еще Карманом в работе, указанной в ссылке на стр. 481) соответствует закон вырождения вида
Ь ⑺〜« -加T/3+D,Z⑺〜(上_力产/3+1),(3.9)
содержащий неопределенный числовой коэффициент 乃 > 0. При этом только в случае 乃 = % (отвечающем формулам Колмогорова (3.6)) интеграл Л может быть конечным и постоянным во времени (см. Седов, 1951).
В дальнейшем Дж. Батчелор и И. Праудман (Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1956, A248 : 949, 369—405) показали, что обнаруженный Л； И. Седовым случай, в котором интеграл Лойцянского Л конечен, но меняется во времени, вовсе не является редким исключением, а, наоборот, в определенном смысле соответствует наиболее общей ситуации. А именно, эти авторы рассмотрели однородную (но даже не обязательно изотропную) турбулентность в безграничном пространстве, в которой в начальный момент времени t tQ функции BLL (г,力о) и BLL) ь (г,力о) (определяе-
мые в неизотропном случае с помощью осреднения по сфере зависящих от направления вектора г функций BLL (^,力о) и BLLj ь (г,力о)), а также и все остальные семиинварианты поля скорости очень быстро (скажем, экспоненциально) убывают с ростом г. С помощью уравнений гидродинамики они доказали, что в несжимаемой жидкости влияние пульсаций давления приводит к тому, что в таком случае во все последующие моменты времени 力 > % функция BLLtL (г,力)окажется уже убывающей при г т 8 только как г-* Что же касается функции BLl (г,力)，то йс она при t > t0 также будет убывать лишь как конечная степень г, но все же достаточно быстро, чтобы интеграл Л оказался конечным (и отличным от нуля). Однако, поскольку BLl,l (г, 0~г-4 при больших г, этот интеграл меняется со временем (по крайней мере до тех пор, пока нелинейные члены уравнений гидродинамики, порождающие содержащие Bll,l(А 力)члены в уравнении Кармана — Хоуарта, остаются существенными). Впрочем, еще позже Ф. Сафман (в работах, указанных на стр. 481) привел соображения в пользу того, что общим случаем однородной турбулентности следует считать как раз тот, в котором в начальный момент времени 力о функция BLl (г,力о) убывает при г f 8 всего лишь как г-3. В таком случае этот порядок убывания будет сохраняться и при 力 > /о (так что Л — °° при всех 力)，автомодельному вырождению развитой турбулентности с большим Re будут отвечать формулы (3.9) с к = %, а в течении заключительного периода вырождения энергия турбулентности будет убывать как (力 ——^)-3/2 (вместо пропорционального (t —力о)-'% затухания, отвечающего формулам (3.4)).
В силу незамкнутости системы уравнений для моментов поля скорости изотропной турбулентности большой интерес представляют методы приближенного замыкания этой системы. Среди таких методов больше всего внимания привлек предложенный М. Д. Миллионщиковым (1941) метод, опирающийся на «гипотезу квазинормальности», согласно которой четвертые моменты поля скорости выражаются через вторые моменты с помощью формулы
U^UzU^U^ = U^U2 "з“4 + “1“3 ^2M4 + "丄以 ％“3, (3.10) справедливой для многомерного нормального распределения вероятностей (под м「％, М3 и м& здесь понимаются пульсации скорости в различных точках; позже та же гипотеза применялась и к пульсациям других гидродинамических полей). Гипотеза Миллионщикова (3.10) родственна приближенным предположениям, используемым в других разделах физики (например, предложенному Дж. Г. Кирквудом «суперпозиционному приближению» в кинетической теории газов, позволяющему выразить трехчастичные функции распределения че{)ез двух- и одночастичные, или методу Тамма — Данкова в квантовой теории поля, позволяющему замкнуть бесконечную систему уравнений для амплитуд, соответствующих состояниям с фиксированным числом «свободных частиц»). Практически эквивалентное ей допущение (но формально более ограничительное и менее удобное для использования) было позже независимо предложено также известным физиком-теоретиком В. Гейзенбергом (Z. Phys., 1948, 124: 7-12, 628—657).
В то время, когда М. Д. Миллионщиков впервые выдвинул свою гипотезу, не имелось никаких эмпирических данных, позволяющих ее проверить и оценить ее точность. Поскольку даже и сам теоретико-вероятностный подход к турбулентным пульсациям, лежащий в основе «квазинормального приближения», не был известен до работы Миллионщикова (1939), то неудивительно, что до 1941 г. встречались лишь предложения об исполь-
зовянии частных равенств типа (3.10), но с дополнительным множителем % в правой части (А. А. Изаксон, 1930; Чжоу Пэй-юань ). В дальнейшем М. С. Уберои (J. Aeronaut. Sci., 1953, 20:3, 197—204, и 1954, 21:2, 142; NACA Techn. Note, 1954, № 3116) произвел экспериментальную проверку гипотезы Миллионщикова (3.10), специально измерив для этой цели ряд
W 第 0,6W 第 0,6〃 / N ' 3 4 5 3〃 / N ' 3 4 5 3Рис. 4. Проверка гипотезы М. Д. Миллион； щикова на материале измерений пульсаций скорости в аэродинамической трубе за решеткой (кружками отмечены результаты измерений четвертого момента 林%(力)м£(力 + r)/uf, а крестиками — данные расчета этого момента по измеренным значениям вторых моментов с помощью гипотезы Миллионщикова; г — см)・Рис. 4. Проверка гипотезы М. Д. Миллион； щикова на материале измерений пульсаций скорости в аэродинамической трубе за решеткой (кружками отмечены результаты измерений четвертого момента 林%(力)м£(力 + r)/uf, а крестиками — данные расчета этого момента по измеренным значениям вторых моментов с помощью гипотезы Миллионщикова; г — см)・этом еще будет сказано в следующемэтом еще будет сказано в следующемвторых и четвертых моментов поля скорости в турбулентном потоке за решеткой в аэродинамической трубе. Результаты этой проверки (один из которых приведен на рис. 4) показали, что гипотеза (3.10) выполняется с высокой степенью точности. Надо, однако, иметь в виду, что данные Уберои в йсновном определяются крупномасштабными компонентами турбулентности, вносящими главный вклад в энергию турбулентных пульсаций; в применении же к мелкомасштабным компонентам турбулентности (о которых, впрочем, и не шла речь в работах Миллион- тцикова) эта гипотеза, по-видимо- му, имеет значительно меньшую точность (немного подробнее об параграфе). Что же касается до
W 第 0,6
W 第 0,6
〃 / N ' 3 4 5 3
〃 / N ' 3 4 5 3
Рис. 4. Проверка гипотезы М. Д. Миллион； щикова на материале измерений пульсаций скорости в аэродинамической трубе за решеткой (кружками отмечены результаты измерений четвертого момента 林%(力)м£(力 + r)/uf, а крестиками — данные расчета этого момента по измеренным значениям вторых моментов с помощью гипотезы Миллионщикова; г — см)・
Рис. 4. Проверка гипотезы М. Д. Миллион； щикова на материале измерений пульсаций скорости в аэродинамической трубе за решеткой (кружками отмечены результаты измерений четвертого момента 林%(力)м£(力 + r)/uf, а крестиками — данные расчета этого момента по измеренным значениям вторых моментов с помощью гипотезы Миллионщикова; г — см)・
этом еще будет сказано в следующем
этом еще будет сказано в следующем
гипотезы, отличающейся от (3.10) множителем %, то она вообще непригодна для описания турбулентности.
Простейшие применения гипотезы Миллионщикова относятся к расчету статистических характеристик полей давления и ускорения в турбулентных потоках. Так, В. Гейзенберг в 1948 г-, (в работе, цитированной на стр. 485) использовал эквивалентное этой гипотезе допущение (вместе с некоторыми другими более специальными гипотезами) для расчета среднего квадрата градиента давления (определяемого, впрочем, мелкомасштабными пульсациями, для которых указанная гипотеза имеет небольшую точность). А. М. Обухов (1949) применил гипотезу Миллионщикова к расчету структурной функции давления 0Pp (「) = [р (宓 + 竽)一р (х)]2 в инерционном интервале значений г (о котором еще будет речь ниже) и получил следующий очень простой результат:
(З.И)(З.И)0Pp 6=р2[0н(Г)]2,
(З.И)
(З.И)
где
% &)一网(宓+竽)一旧宓)]2.
А. М. Яглом (1949) с помощью той же гипотезы рассчитал средний квадрат ускорения жидких частиц в турбулентном потоке; при этом он установил, что ускорение определяется в основном пульсирующими градиентами давления (вклад сил вязкого трения оказывается относительно небольшим) и может принимать очень большие значения (среднеквадратичное значение
ускорения в реальных турбулентных течениях в ряде случаев заметно превосходит ускорение силы тяжести g). Результаты вычисления полной структурной функции поля давления при всех г и корреляционного тензора поля ускорения приведены в работе А. М. Обухова и А. М. Яглома (1951). Позже аналогичные исследования (также опирающиеся на гипотезу Миллионщикова) были выполнены Дж. Батчелором ) и Г. С. Голицыным (1962, 1963).
Первоначально М. Д. Миллионщиков выдвинул гипотезу (3.10) с целью подстановки ее в динамические уравнения для третьих моментов изотропной турбулентности (содержащие также и четвертые моменты); при этом система уравнений для вторых и для третьих моментов оказывается уже замкнутой и может решаться при тех или иных начальных условиях. Намеченная в работах Миллионщикова программа построения замкнутой системы уравнений изотропной турбулентности была наиболее аккуратно реализована в работах И. Праудмана и В. Рида (Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1954, A247 :926, 163—189) и T. Тацуми (Proc. 4th Japan Congr. Appl. Alech., 1955, 307—311; Proc. Roy. Soc. London, 1957, A239 :1216, 16— 45; Actes 9e Congr. intern, mec. appl., 1957, v. 3, 396—404). Полученные в этих работах результаты показывают, что применение гипотезы (3.10) к относительно небольшим промежуткам времени приводит к разумным следствиям, согласующимся с тем, чего следовало ожидать. Однако более детальные численные расчеты, выполненные И. Огура (Phys. Fluids, 1962, 5 : 4, 395—401; J. Geophys. Res., 1962, 67 : 8, 3143—3149; J. Fluid Meeh., 1963, 16 : 1, 33—40), приводят к выводу, что по крайней мере в некоторых случаях (относящихся, впрочем, к весьма специальным начальным условиям, далеким от условий в реальной турбулентности) предположение о справедливости гипотезы (3.10) в течение длительного промежутка времени может привести к физически нереальным результатам. Одна из возможностей преодоления этой трудности заключается в замене в таких случаях гипотезы Миллионщикова (3.10) более сложной гипотезой того же типа, согласно которой в нуль обращаются какие-то семиинварианты более высокого порядка поля скорости (гипотеза (3.10), как легко видеть, означает, что равными нулю считаются семиинварианты четвертого порядка). Подобное предположение применялось, в частности, в работе Э. М. Хазен (1963), посвященной одной специальной задаче о возникновении турбулентности. - -
Заметим еще, что в работах М. Д. Миллионщикова (1939, 1941) (так же, впрочем, как и в первых работах Л. В. Келлера и А. А. Фридмана, о которых говорилось в § 1 настоящего обзора) рассматривались сразу уравнения для наиболее общих пространственно-временных корреляционных функций, относящихся к двум моментам времени. В частности, Миллионщи- ковым (1939) было показано, что в случае заключительного периода вырождения (когда можно уже пренебречь третьими моментами) уравнение для пространственно-временной функции BLl (А 左，力2)= / (贫；左)К.(宓+ 九彳2) не отличается от уравнения для чисто пространственной функции BLL (「,％(左 + 力2), % (左 + 力2))・ При наличии же отличных от нуля третьих моментов ситуация оказывается заметно более сложной; хотя в этом случае динамические уравнения для вторых моментов также могут быть использованы для получения одного уравнения с одной неизвестной
функцией (см. M. H. Репников, 1967), но получающееся уравнение здесь является уже дифференциально-функциональным и не поддается решению. Применение же к пространственно-временным корреляционным функциям гипотезы Миллионщикова приводит к сложным уравнениям высокого порядка ), из которых до сих пор не было получено никаких следствий, допускающих экспериментальную проверку.
Советскими учеными выполнен также ряд исследований изотропной турбулентности в сжимаемой жидкости. Как уже отмечалось выше, общий случай турбулентности в сжимаемой среде впервые рассматривался еще в работах Л. В. Келлера и А. А. Фридмана (1924) и Л. В. Келлера (1925). Далее следует отметить рабо-^у И. А. Кибеля (1945), рассмотревшего случай такой турбулентности в сжимаемой жидкости, при которой распределения вероятностей пульсаций инвариантны относительно произвольных сдвигов в горизонтальном направлении и вращений или отражений относительно вертикальной оси ；(с целью применения полученных результатов к турбулентности в атмосфере вблизи Земли). В этой работе были выведены динамические уравнения для вторых моментов гидродинамических полей рассматриваемой турбулентности (в предположении о пренебрежимой малости третьих моментов). Попутно здесь же были выведены общие формулы, описывающие спектральное разложение корреляционных функций произвольной турбулентности, изотропной лишь в горизонтальных плоскостях (более общие формулы того же типа, применимые при наличии более или менее произвольных условий симметрии турбулентности, позже рассматривались А. М. Ягломом, 1962, 1963).
Исследование полностью изотропной турбулентности в сжимаемой среде было выполнено А. М. Ягломом (1948). В этом исследовании также использовалось лишь линейное приближение, соответствующее пренебрежению третьими моментами. С помощью линеаризованных уравнений гидромеханики было показано, что в рассматриваемом приближении все течения среды (как турбулентные, так и ламинарные) распадаются на не взаимодействующие между собой несжимаемые вихревые движения и чисто потенциальные движения, причем последние в свою очередь распадаются на очень слабо связанные друг с другом (а именно так, что соответствующая «константа взаимодействия» имеет порядок отношения средней длины свободного пробега молекул к длине волны возмущения) акустические (звуковые) волны и энтропийные (тепловые) волны. Из полученных результатов вытекает, в частности, чтц линейное приближение в случае сжимаемой жидкости имеет более широкую область применимости, чем в обычном несжимаемом случае, поскольку в применении к потенциальной компоненте движения оно должно быть почти всегда применимо, если только жидкость является слабо сжимаемой (ибо при этом интенсивность потенциальной компоненты обычно относительно мала).
Итак, потенциальная компонента движения сжимаемой среды в линейном приближении складывается из неподвижных, затухающих под действием молекулярной теплопроводности волн поля температуры (с которыми связаны основные пульсации энтропии) и быстро распространяющихся (и также слегка затухающих из-за наличия вязкости и теплопровод
ности) звуковых волн. Для получения изотропной турбулентности надо только, чтобы обе совокупности волн были изотропно распределены в пространстве. Для того чтобы выяснить асимптотическое поведение при 力 f оо решений соответствующей системы линейных уравнений для вторых моментов полей скорости, давления (или плотности) и температуры (или энтропии), целесообразно прежде всего исследовать вопрос о функционалах от вторых моментов, остающихся неизменными в ходе эволюции (т. е. являющихся инвариантами движения). Такое исследование было выполнено К. А. Ситниковым (1958), указавшим, что для изотропной турбулентности в сжимаемой жидкости существуют четыре йезависимых инварианта, в качестве которых можно принять интегралы по г2 dr от моментов
5рр (г") = p‘(宓，方)p (宓+九方),
BLL (r, t) + 2BNN (г, t)=uL (х, 0u£(x + r,力) + 2м"(宓，/)м"(宓+竽，力)，
Bee (几 t)=er(X,方)e'(宓+九方)，5pe (爲 0 = P/ (^，t)er (х+ г, t).
где р‘，Г, uL и uN — пульсации плотности массы, плотности энергии и компонент скорости в направлении вектора г и в каком-то перпендикулярном к г направлении. Эти инварианту тесно связаны с физическими законами сохранения массы, импульса и энергии (закон сохранения момента количества движения здесь не приводит к появлению новых инвариантов; ср. А. С. Монин и А. М. Яглом, 1967), причем в отличие от ситуации^ касающейся интеграла Лойцянского (3.2) в несжимаемом случае, в сжимаемой жидкости все указанные инварианты, как правило, оказываются конечными и отличными от нуля. Асимптотическое поведение при 力 f оо всех моментов второго порядка гидродинамических полей изотропной турбулентности в сжимаемой жидкости можно далее описать с помощью некоторых родственных (3.3) формул, содержащих коэффициенты, выражающиеся через упомянутые четыре инварианта (К. А. Ситников, 1958； см. также А. С. Монин и А. М. Яглом, 1967).
Выше мы вкратце изложили основные факты, касающиеся изотропной турбулентности в сжимаемой жидкости, рассматриваемой в рамках линейного приближения. В следующем приближении теории возмущений возникают новые физические эффекты — порождение вихревых движений, звука и пульсаций энтропии за счет билинейных и квадратичных взаимодействий решений линеаризованных уравнений друг с другом. Налболее важными из этих эффектов, специфическими для сжимаемой жидкости^ являются порождение звука вихревой турбулентностью и рассеяние звука на неоднородностях полей скорости и Температуры. Основные работы по генерации звука турбулентностью выполнены Дж. Лайтхиллом ), исходившим из уравнения
—^5 С2 ДР = т
где P — нор мир ованные (безразмерные) пульсации давления акустического происхождения, с — скорость звука, иа — соленоидальная компонента скорости. Из (3.12) видно, что при отсутствии стенок излучение звука имеет квадрупольный характер; поэтому интенсивность излучения должна
(3.13)(3.13)быть весьма мала. Полная энергия 緑 излучаемая единицей массы турбулентной среды за единицу времени и получаемая делением интеграла по излучающему объему от плотности потока энергии / = с3рР2 на массу этого объема жидкости, оказывается равной
(3.13)
(3.13)
宮=口 Т^Г = а#М%
где U — характерная величина пульсаций скорости, Z — масштаб турбулентности, е 〜 U^!l — скорость диссипации энергии, М Ulc — число Маха турбулентности, а 0 % — числовые постоянные, которые по полученной при помощи гипотезы Миллионщикова оценке И. Праудмана (Proc. Roy. Soc. London, 1952, A214 :1116, 119—132) имеют порядок нескольких десятков. Множитель М5 в (3.13) показывает, что в случае дозвуковых турбулентных течений с М V 1 энергия, излучаемая в виде звука, обычно составляет лишь небольшую долю энергии, затрачиваемой на преодоление молекулярной вязкости. Если ввести «эффективную температуру турбулентности» Тэ 〜 Z72, то закон излучения звука турбулентностью (3.13) примет, вид 宮 〜Т* аналогичный известному закону Стефана — Больцмана для теплового излучения. К результату (3.13) яримыкают результаты В. И. Кляцкина (1966), установившего, в частности, что излучение звука парой вихревых колец также пропорционально М§, так что этот закон, возможно, вообще свойствен излучению звука различными гидродинамическими системами. Этой же теме посвящен ряд экспериментальных и теоретических работ, в которых исследуются «гидродинамические шумы», возникающие в тех или иных конкретных турбулентных потоках, представляющих интерес для технических приложений (например, работа Е. В. Власова и А. Г. Мунина, 1964); обзору прикладных работ советских авторов по указанному вопросу посвящена заметная часть монографии В. С. Петровского (1966).
Что же касается эффекта рассеяния звука турбулентностью, то этот эффект относится к весьма ширркой. но относительно специальной области флуктуационных явлений, возникающих при распространении звуковых и электромагнитных волн в турбулентных средах. Указанная область важна для многих приложений и заслуживает специального рассмотрения; однако в целом она относится скорее к физике, чем к механике, и поэтому в настоящем обзоре затрагиваться почти не будет. Здесь мы отметим только, что и в эту область большой вклад внесли советские ученые и, прежде всего, А. М. Обухов, Д. И. Блохинцев и В. И. Татарский (см., например,* обширную монографию В. И. Татарского, 1967, содержащую подробную библиографию).
§ 4. Локально изотропная турбулентность
В развитии механики турбулентности за последние четверть века очень большую роль сыграли две небольшие статьи А. Н. Колмогорова (1941), посвященные формулировке общих законов, определяющих статистический режим мелкомасштабных пульсаций любой турбулентности с достаточно большим числом Рейнольдса. В этих статьях, в частности, было разъяснено, что понятие изотропной турбулентности, привлекшее так много внимания исследователей из-за своей простоты, но фактически представляющие собой идеализированную модель, применимую (да и то лишь приближенно) только к некоторым специальным течениям, не имеющим практического значения, на самом деле после небольшого видоизме-
нения оказывается весьма важным для описания многих реальных турбулентных потоков.
Общие представления о мелкомасштабной структуре турбулентности с очень большим числом Рейнольдса, из которых исходил А. Н. Колмогоров, в чисто качественной форме высказывались еще в двадцатых годах этого столетия английским ученым Л. Ф. Ричардсоном. Основным из них является представление о развитой турбулентности с большим Re = = ULiv (где L ^ U — типичные масштабы длины и скорости течения в целом) как о иерархии «вихрей» (т. е. возмущений или неоднородностей) разных порядков, отличающихся характерными масштабами и скоростями. Неустойчивость течения с большим Re приводит к порождению лишь наиболее крупных турбулентных возмущений («вихрей первого порядка», имеющих характерный масштаб Zx и характерную скорость 以)，заимствую щих свою энергию непосредственно из осредненного течения. Масштабы 乙 и 以 меньше, чем L и, соответственно, U, но при большом Re = ULN число Рейнольдса Rei — v©Jn «вихрей первого порядка» также велико (превосходит критическое значение Re“，при котором течение теряет устойчивость); поэтому «вихри первого порядка» тоже распадаются, порождая «вихри второго порядка» (с маштабами Z2 и у2)» которым они передают свою энергию. Далее, если Re достаточно велико, то и Re?= =y2^/v > Re”，и т. д.; в результате возникает своеобразный «каскадный процесс», в котором «вихри и-го порядка» (с типичным масштабом длины J и типичной скоростью уп) распадаются, порождая вихри (孔十 1)-го порядка. При этом энергия крупномасштабных движений последовательно передается движениям все меньших и меньших масштабов; до тех пор, пока Ren = 〃％ 2几 /v остается много большим ReCr? эта передача энергии не сопровождается заметными потерями на преодоление сил вязкого трения (так как при Re》Re” молекулярной вязкостью можно пренебречь), но при достижении некоторого «минимального» масштаба Z^ =入， при котором Rew имеет порядок Re“，роль трения становится значительной л постепенно мелкомасштабные движения становятся устойчивыми, и их энергия не передается еще меньшим движениям, а рассеивается, переходя в теплоту. 、
А. Н. Колмогоров заметил прежде всего, что вследствие хаотичности процесса передачи энергии от крупномасштабных движений к мелкомасштабным ориентирующее влияние осредненного течения, т. е. геометрии всего потока в целом, должно все более и более ослабляться при переходе ко все более и более мелкомасштабным движениям. Поэтому статистический режим достаточно мелкомасштабных пульсаций в любой турбулентности с достаточно большим числом Рейнольдса должен быть практически однородным и изотропным, или, иными словами, реальная турбулентность с очень большим Re должна быть локально однородной и локально изотропной, Понятие локально изотропной турбулентности как раз и является тем видоизменением понятия изотропной турбулентности, которое важно для многих реальных приложений.
Более того, естественно также думать, что характерные периоды пульсаций разных порядков будут тем меньше, чем выше их порядок, и в случае пульсаций достаточно высокого порядка эти периоды будут много меньше времени заметного изменения среднего течения. Следовательно, режим таких пульсаций будет практически стационарным в течение промежутков времени, содержащих много соответствующих* периодов.
Таким образом, степени свободы турбулентного течения с очень большим Re, отвечающие пульсациям с достаточно малыми масштабами, будут
находиться в состоянии подвижного статистического равновесия, не зависящего от конкретных особенностей крупномасштабного течения. Роль осредненного течения в формировании этого состояния ограничивается порождением некоторого среднего притока энергии ? от крупномасштабных движений, равного средней диссипации энергии под действием вязкости (сосредоточенной главным образом в области самых мелких пульсаций с маштабами порядка %).
Для количественной формулировки изложенных соображений надо, прежде всего, выделить характеристики движения, определяемые одними лишь мелкомасштабными пульсациями. В качестве таких характеристик А. Н. Колмогоров избрал статистические характеристики относительных скоростей жидких частиц в достаточно малом объеме пространства-времени (движущемся как целое со скоростью w (х0, А)) условно выбранного центра (х0,方о) этого объема), т. е. разностей v (г, т) = w (宓，力)一и (х0,力J при достаточно малых значениях \r\=\x — xQ — и (х0, ^0)(力—力о) | и 111 = I 力 ——% |・ Для них Колмогоровым была высказана следующая первая гипотеза подобия*, распределение вероятностей любого конечного набора величин V (rh, t丸)с достаточно малыми \ Tk \ и \ xk \ должно быть стационарным (не зависящим от выбора начала отсчета 10 на оси времени), однородным (не зависящим от х0), изотропным (инвариантным относительно любых вращений и отражений е пространстве векторов г) и должно однозначно определяться параметрами е и v.
Интервал масштабов турбулентных неоднородностей, много меньших L, описываемый этой гипотезой, часто называют равновесным интервалом^ так как здесь режим компонент турбулентности характеризуется подвижным статистическим равновесием между силами инерции и силами вязкости. Поскольку масштаб % турбулентных неоднородностей, для которых впервые становится существенной роль молекулярной вязкости, принадлежит к этому интервалу, а потому определяется параметрами е и V, из соображений размерности следует, что % 〜£-〃4М/4 Так как % вообще определяется лишь с точностью до порядка величины, то можно считать, что % — e-1/4V3/4； этот масштаб называется в настоящее время колмогоровским микромасштабом турбулентности. Из параметров е и v можно сое工а” вить также масштаб скорости (ev)1/4; вследствие первой гипотезы подобия можно утверждать, например, что определенная на стр. 486 продольная структурная функция поля скорости Dll (г) должна иметь вид
DLl (г) = №(*+?，，б) — ®,(芻切2 = (ev)1/2 屮(£)， ■ (4.1) где 屮(占)—некоторая универсальная функция.
Выше уже отмечалось, что вязкость v может непосредственно сказываться лишь на режиме неоднородностей с масштабами порядка 入；режим же неоднородностей со значительно большими масштабами от v зависеть не должен. Для таких неоднородностей А. Н. Колмогоровым высказана следующая вторая гипотеза подобия: распределение вероятностей величин 0 (竽丸,т) с достаточно малыми \ rh \ и | т^ |, но в то же время с большими по сравнению с % значениями | г^ | и | rh —才)| (乃 * Z), не должно зависеть от V и, следовательно, должно однозначно определяться параметром е.
,Та часть равновесного интервала масштабов, для которой справедлива вторая гипотеза подобия Колмогорова, обычно именуется инерционным интервалом^ так как здесь режим компонент турбулентности полностью определяется действием сил инерции. В этом интервале, например, из выражения (4.1) для структурной функции поля скорости должен выпасть
параметр v, откуда следует, что 屮(占)〜 守片，т. е. что это выражение должно принять вид
厶工⑺=e (⑺2/3d》r》九)，(4.2)
где С — универсальная числовая постоянная. Формула (4.2), указанная А. Н. Колмогоровым (1941), выражает так называемый закон двух третей, являющийся одним из наиболее важных общих законов мелкомасштабных турбулентных движений жидкостей и газов. Аналогично этому для продольной структурной функции третьего порядка DLLL (г)= =Ее (х+ г, 0 — uL (ху 力)]з при £》г》九 получается формула
Dlll (И = ^?(4.3)
где D —— еще одна универсальная постоянная.
Во второй работе А. Н. Колмогорова (1941) общий анализ свойств турбулентности с очень большим Re, опирающийся на применение гипотез подобия, был дополнен соображениями, использующими конкретный вид дифференциальных уравнений гидромеханики. В результате было показано, что функции Dll (г) и Dlll (г) в равновесном интервале значений г должны быть связаны следующим динамическим уравнением:
6 V 叱；(г) — Dlll ⑺=A er.(4.4)
Отсюда, в частности, вытекает, что DLLl ⑺ 二一％£「при г》入，т. е. что в формуле (4.3) D -- —4/5. После этого коэффициент С формулы (4.2) может быть выражен через значение асимметрии продольной разности скоростей S = Dlll (г) D£j (г) (постоянное в инерционном интервале значений г) по формуле С = (—5/4 5)-2/з. Уравнение (4.4) было выведено Колмогоровым из уравнения Кармана — Хоуарта (3.1) в предположении, что рассматриваемая турбулентность является не только локально изотропной, но и просто изотропной; это законно, так кМ^заКономерности локальной структуры должны быть одними и теми же для всех крупномасштабных движений с достаточно большим Re. Более общий вывод этого же уравнения, пригодный для произвольной локально изотропной турбулентности, был указан значительно позднее (А. С. Монин, 1959).
Параллельно с работами А. Н. Колмогорова его учеником А. М. Обуховым (1941) был предложен другой подход к исследованию турбулентности при очень больших значениях Re, опирающийся на спектральную теорию случайных полей и использующий в качестве основной статистической характеристики турбулентности спектральную плотность кинетической энергии Е (A, t) (где к 一 волновое число). При этом Обуховым из уравнений гидродинамики было выведено уравнение
-^ E(kr, f)dk'=W[k, 0-2v J к'2Е{к', 0 dk',(4.5)
hh
где функция W (Zc, t) описывает перенос энергии от крупномасштабных компонент турбулентности (с волновыми числами, меньшими А) к мелкомасштабным компонентам (с волновыми числами, большими А). В равновесном интервале значений к левой частью (4.5) можно пренебречь в силу квазистационарности статистического режима рассматриваемых
пульсаций; поэтому здесь
W(k) = 2v J k'2E(k')dk', где 2v ( k^E (z) dk' = e. (4.6)
Равенство (4.6) представляет собой еще одну форму основного уравнения (4.4); однако для строгого доказательства их эквивалентности нужно воспользоваться спектральной теорией локально изотропных случайных полей, развитой позже (А. М. Яглом, 1957).
Неизвестную функцию W (А) А. М. Обухов предложил представить в виде произведения «напряжений Рейнольдса мелкомасштабных компонент турбулентности» на «среднеквадратичный градиент скорости крупномасштабных компонент». Это модельное представление является вполне точным только в инерционном интервале волновых чисел, где оно приводит к результату, следующему и из одних только соображений размерности; оно оказалось первым в длинной последовательности нестрогих модельных формул для W (А), предлагавшихся в дальнейшем рядом зарубежных ученых (см. А. С. Монин и А. М. Яглом, 1967, § 17). Указанное представление позволило Обухову получить для инерционного интервала значений к результат
Е (*) = А^к-Ъ,3 3《а《；)， (4.7) выражающий так называемый закон пяти третей для спектра локально изотропной турбулонтности. В послевоенные годы к этому очень важному закону независимо пришли также некоторые крупные зарубежные физики (В. Гейзенберг, Л. Онзагер и К. Вейцзеккер *)). Закон (4.7) на самом деле точно эквивалентен закону двух третей (4.2); воспользовавшись спектральной теорией локально изотропных случайных полей, легко показать, что Л — 55 С / [27 Г (%)] ^% с. Заметим еще, что в формуле (4.7) под Е (А) можно также понимать не трехмерный спектр формул (4.5) и (4.6), а более просто измеряемый продольный или поперечный одномерный спектр, определяемый с помощью применения обобщенного преобразования Фурье к функции одного переменного м； (^х, 0, 0) (—оо V 力工 V оо), или же м； (0,力2, 0) (—оо V 力2 V оо); в этом случае коэффициент Л оказывается равным 2С,/[ЗГ(1/3)] ^ V4 С (для продольного одномерного спектра) или ЗСДЭЦ1^)] ^ V3 С (для поперечного одномерного спектра).
Уравнения (4.4) и (4.6) оба содержат по две неизвестные функции, т. е. являются незамкнутыми. Одним из методов замыкания уравнения (4.6.) является использование той или ивой модельной формулы, позволяющей выразить W (Л) через Е (Л); этот метод, впервые примененный А. М. Обуховым (1941), позже, как уже отмечалось выше, широко приме' нялся такжЬ во многих работах других авторов. Обухов (1949) с целью замыкания уравнения (4.4) предложил также значительно более простой прием, опирающийся на гипотезу о постоянстве асимметрии S = DLll (г) DE?" (г) на всем равновесном интервале значений г; хотя, как показал Г. С. Голицын (I960), указанная гипотеза и не может быть совершенно точной, ее точность, по-видимому, вполне достаточна для многих приложений. Зная функцию DLL (г) (или Е (А)) и приняв какое-то предположение о связи четвертых моментов поля скоростей со вторыми, можно
рассчитать для произвольной локально изотропной турбулентности также структурную функцию поля давления и корреляционную функцию поля ускорения, определяемые одними лишь пульсациями из равновесного интервала (о подобных расчетах советских авторов, опирающихся на гипотезу М. Д. Миллионщикова, мы уже говорили на стр. 486—487 в связи с теорией изотропной турбулентности).
При изучении ст^тистиче с кой структуры наиболее мелкомасштабных пульсаций с масштабами Z《入=g-1/^3^ (или, что то же самое, асимптотического поведения спектра турбулентности £ (А) в крайней коротковолновой области к》入-1, в которой основную роль играют силы вязкого тренид) можно воспользоваться уравнениями гидромеханики, линеаризованными относительно небольших отклонений реального поля скорости % (х, %) от линейного поля щ (宓‘% %) + (力丸—力俨)dut (ac(0>, i)/fe^\ Такой подход впервые был использован А. Таунсендом (Proc. Roy. Soc, London, 1951, A208 : 1095, 534—542), принявшим, однако, при этом ряд дополнительных гипотез, не являющихся достаточно обоснованными; позже более последовательно он применялся в работах Дж. Батчелора и его сотрудников (J. Fluid Meeh., 1959, 5 : 1,113—139) к исследованию структуры в области наименьших масштабов поля температуры (или концентрации перемешиваемой турбулентностью примеси, не оказывающей влияния на движение) в двух крайних случаях — очень большого или же очень малого числа Прандтля (или Шмидта). Наиболее аккуратное и детальное использование указанного подхода, опирающееся лишь на некоторые предположения физического характера, кажущиеся весьма правдоподобными, принадлежит Е. А, Новикову (1961),. который ^рассмотрел как случай поля скорости, так и случай поля температуры (или концентрации пассивной примеси) при произвольном числе Рг (или Sc)* В частности, в применении к полю скорости Новиков получил следующую асимптотическую формулу для спектра Е (к):
Е (*) = Ле2/з*-5/з (*%)₽ е-«<^)2 при 砍》1, (4.8) где а > 0 и р — числовые постоянные, причем а>]/3 (и, по-видимому, а < 2 |/3) и — д/3 Ср《8/з (и, пб-видимому, р < 2/3).
В работах А. М. Обухова (1941) соображения подобия и размерности были применены к выводу еще одного важного результата, касающегося мелкомаепггабной турбулентности. А именно, Обухов рассмотрел задачу об относительной диффузии (относительно центра облака) облака частиц диаметра Z, малого по сравнению с типичным масштабом L турбулентного течения в целом. При этом для эффективного коэффициента турбулентной диффузии такого облака К (Z) в инерционном интервале £》Z》入 Обуховым была получена формула .
К (Z) = ае-1/з2*з ' . (4.9) (где а — числовой коэффициент порядка единицы), теоретически объясняющая эмпирический «Закон четырех третей» % (Z)〜Z’/з, открытый Л. Ф. Ричардсоном (Proc. Roy. Soc. London, 1926, AllO: 756, 709—737) за много лет до того на обширном материале разнородных наблюдений, охватывающем область масштабов Z, меняющихся почти на 10 порядков.
Закон четырех третей (4.9) позволяет определить изменение во времени среднего диаметра Z диффундирующего облака примеси, причем полученный результат хорошо согласуется с данными многочисленных экспериментов, проводившихся как в лабораторных условиях, так и в атмосфере и океане. Этот закон не позволяет, однако, найти распределение концен-
трации внутри облака; для последней цели ёго надо дополнить еще какими- то более специальными гипотезами. Ряд подобных гипотез предлагался в работах советских и зарубежных авторов. Мы здесь упомянем из них работы А* С. Монина (1955, 1956), опирающиеся на допущение о том, что семейство операторов, описывающих изменение во времени поля концентрации примеси, образует полугруппу; работу А. М. Обухова (1959), пр ед л ожившег о, что движение диффундирующих частиц представляет собой марковский процесс в шестимерном фазовом пространстве координат и скоростей, й работы Р, В. Озмидова (1958, I960), предложившего описывать относительную диффузию облака примеси (относительно его центра тяжести) с помощью обычного параболического уравнения диффузии с коэффициентом (4.9).
Выше, говоря об исследовании структуры поля скоростей в области наименьших масштабов Z《 入，мы упоминали также некоторые работы, посвященные исследованию подобной же «сверхтонкой структуры» поля 8 (х, %) температуры или концентрации пассивной (не влияющей на динамику) примеси, перемешиваемой турбулентным течением. Однако вклад советских ученых в изучение структуры указанного поля вовсе це ограничивается лишь вопросом о деталях структуры в крайней области предельно малых масштабов. Первое исследование структуры поля пульсаций температуры 8’ в случае турбулентности с достаточно большими числами Рейнольдса Re = UL/v и Пекле Ре = UL"x (где L^ — типичный масштаб неоднородностей осредненного поля температуры 8 (х, %), а % — коэффициент молекулярной температуропроводности) принадлежит А. М. Обухову (1949), указавшему, что к возмущениям поля 8 из «равновесного интервала масштабов» I《min (L, £仆)также должна быть применима первая гипотеза подобия Колмогорова, в формулировке которой только надо еще добавить к числу оп ре де ляющих параметров наряду с е и v среднюю скорость выравнивания температурных неоднородностей N = =% “8)2 и коэффициент %. Отсюда для структурной функции температуры D^ (г) при г《min (L, £仆)получается формула
где h (^, n) — универсальная функция двух переменных. В области достаточно больших масштабов Z》шах (%, %^), где 入з = g-V4^3/4 (на так называемом инер ционно-конвективмм интервале), параметры v и % перестают быть существенными и структура поля 8 (х, %) определяется только двумя параметрами 7V и е; следовательно, при min (L, £仔)》г》max (%,入仔) структурная функция температуры должна иметь вид
'Dw (г) = С①Nb'E円з. (4.11)
Формула (4.11) выражает «закон двух третей» А. М. Обухова для температурного поля (его спектральный аналог — «закон пяти третей» для спектра температуры, имеющий вид равенства 后仆仆(А) = Л^е-1^ А-5/з5 был позже указан С. Коренным, J. Appl. Phys., 1951, 22:4, 469—473). А. М. Яглом (1949) с помощью уравнения теплопроводности (или диффузии) получил динамическое уравнение для структурной функции D^ (г) поля температуры (или концентрации произвольной пассивной примеси)
2х^^-^(П=4^г, (4.12)
аналогичное уравнению (4.4) для структурной функции поля скорости; здесь。工^ (г)=［电(宓 + г, %)—也(х, 9H8 (х + г, %) — 8 (х,切2 — смешанная структурная третьего порядка функция полей и (х, %) и 8 (叫 ％). Из уравнения (4.12), в частности, вытекает, что в инерционноконвективном интервале DL^ (г) = —4/37Vr; для структурной функции D^ (г) отсюда снова получается закон двух третей (4.11), где коэффициент С仆 может быть просто выражен через • постоянные
s = Dlll (г) D寸'т н F = Dlw (г) D^ (г)。誌(г).
В случае температурно-стратифицированной жидкости, находящейся в поле тяжести, температуру уже нельзя считать пассивной субстанцией, так как пульсации температуры здесь влияют на динамику через посредство архимедовых сил. А. М. Обухов (1959) указал, что в таких условиях к числу параметров, влияющих на структуру поля температуры 8 (х, %), следует добавить еще параметр плавучести gP・ Отсюда вытекает, что архимедовы силы будут влиять на структуру поля температуры лишь в области масштабов, превосходящих или совпадающих по порядку величины с масштабом
■ L^ = ^N-z/i(g^-3li (4.13)
(этот масштаб, независимо от Обухова, был введен также Р. Болджиано, J. Geophys. Res., 1959, 64 :12, 2226—2229). Если £樂 V min (L, £仆)(что справедливо в приземном слое атмосферы начиная с высот порядка нескольких десятков метров), то закон двух третей (4.11) следует заменить более общим законом
%»(Г) = C"N宀产М (丟)， (4.14)
где / (&) — еще одна универсальная функция (для нее / (0) = 1 и она может, вообще говоря, зависеть от угла между вектором г и вертикалью); тольКо при г《& формула (4.14) переходит в старую формулу (4.11). Теоретическое определение функции / (自)требует привлечения каких-то дополнительных полуэмпирических гипотез; один вариант таких гипотез был предложен А. С. Мониным (1962), применившим их для расчета спектров пульсаций скорости и температуры в термически стратифицированной жидкости. .
4・4・ В тот период, когда А. Н. Колмогоров и А. М. Обухов впервые сформулировали общую теорию локальной структуры развитой турбулентности с достаточно болыним Re и получили исходя отсюда конкретные результаты (4.1), (4.3) (4.7) и др., не было почти никаких экспериментальных данных, позволяющих проверить все эти законы *). Аналогичным образом и результаты Обухова (4.10) и (4.11), касающиеся структуры поля температуры, также вначале имели характер теоретических предсказанийг не опирающихся ни на какие экспериментальные данные.
Первые измерения, специально ставившие своей целью проверку закона двух третей для поля скорости, были начаты под руководством' А. М. Обухова еще в 1941 г., но они были прекращены из-за начавшейся
*) По-видимому, единственным исключением в этом отношении являлись данные о структуре ветра и приземном слое атмосферы, приведенные в малцизвестной статье К. Гедеке (Ann. Hydrogr., 1935, № 10, 400—410) и впервые привлеченные для проверки выводов теории локально изотропной турбулентности А. М. Обуховым лишь в 1949 г.
32 Механика в СССР, том 2
войны и позволили получить только некоторые сугубо предварительные результаты (А. М. Обухов, 1942). После войны Обухов вернулся к прерванным исследованиям и опубликовал данные термоанемометрических измерений структурных функций скорости ветра в приземном слое атмосферы, вполне удовлетворительно согласующиеся с теоретическим законом двух третей и позволяющие также оценить (правда, еще с небольшой точ* ностью) значение коэффициента С в этом законе (А. М. Обухов, 1951).
Вслед за тем многочисленные эмпирические
■ф (sz/2n〃)в■ф (sz/2n〃)вприземном слоеприземном слоевоздуха z = 1воздуха z = 1z = 4 м； 2 —z = 4 м； 2 —м； 3— (М)т/з).м； 3— (М)т/з).данные, подтверждающие справедливость законов двух третей и пяти третей для пульсаций скорости ветра в атмосфере, были опубликованы рядом советских и зарубежных исследователей. Из этих данных мы упомянем здесь измерения частотных спектров (сводящихся к одномерным пространственным спектрам в направлении среднего ветра с помощью применения известной гипотезы Дж. Тейлора о замороженной турбулентности) пульсаций вертикальной и горизонтальной компонент скорости, выполненные А. С. Гурвичем (I960, 1962) и С. Л. Зубковским (1962, 1963) при помощи акустического анемометра, и термоанемометрические измерения спектров пульсаций скорости ветра на больших высотах, выполненные Г. Н. Шур ом (1962, 1964). Данные о частотных спектрах скорости в приземном слое атмосферы, полученные А. С. Гурвичем и С. Л. Зубковским, в соответствии с рекомендациями теории подобия характеристик: турбулентности в стратифицированной жид-
■ф (sz/2n〃)в
■ф (sz/2n〃)в
приземном слое
приземном слое
воздуха z = 1
воздуха z = 1
z = 4 м； 2 —
z = 4 м； 2 —
м； 3— (М)т/з).
м； 3— (М)т/з).
кости,кости,которой говорилось • в § 2 настоящего обзора (см. также
кости,
кости,
А. С. Монин, 1958), обрабатывались по формуле
Е(з) =喳•屮(坐，Ri) , (4.15)
где Ri = 儀/Т) {dTldzjl^duldzf1 — безразмерное число Ричардсона, характеризующее условия стратификации. В качестве примера получающихся результатов мы приводим на рис. 5 график А. С. Гурвича безразмерной спектральной функции 屮(<oz金，RI) пульсаций вертикальной скорости при Rj = — 0,09, показывающий как пользу применения теории подобия (позволяющей свести на одну гладкую кривую результаты ря4a измерений при различных скоростях ветра и на двух разных высотах), так и выполнение закона пяти третей (4.7) для значительного интервала безразмерных волновых чисел £2 = cos/u = kz.
Окончательным торжеством теории Колмогорова явились результаты тонких измерений одномерных продольных спектров скорости на большом интервале значений к (включающем и интервал диссипации, соответствующий возмущениям скорости, с которыми связана основная часть диссипации энергии), выполненных в 1962—1965 гг. рядом зарубежных ученых при помощи особенно малоинерционных и точных термоанемометров в нескольких различных типах природных и искусственных турбулентных
течений ). Эти результаты оказались очень хорошо согласующимися друг с другом и прекрасно подтвердили существование универсального статистического режима, не зависящего от особенностей осредненного течения и описываемого первой и второй гипотезами подобия Колмогорова-
Рис. 6. Безразмерный спектр пульсаций продольной компоненты скорости Е 依)/(£谑)'/4 до данным измерений в приливном течении в океане, в приводном слое воздуха и в пограничном слое на стенке аэродинамической трубы (2 — океан; 2 — атмосфера; 3 — аэродинамическая труба; 4 — А：т/з).
В качестве примера на рис. 6 приведен безразмерный продольный спектр скорости 屮 1 (乃入)=(ev5)-1/ Е 佔) (где под Е (А) теперь понимается одномерный продольный спектр) по данным измерений X. Л. Грантаг Р. В. Стюарта и А. Моильета в приливном течении в Тихом океане (вблизи западного берега Канады), С. Понда, Р. В. Стюарта и Р. В,<Берлинга в атмосфере над поверхностью моря и В. А. Сандборна и Р. Д. Маршалла в пограничном слое на стенке большой аэродинамической трубы с рабочей； частью квадратного сечения. Согласие данных, относящихся к трем совершенно различным типам турбулентных течений, как мы видим, оказывается превосходным и убедительно свидетельствует в пользу существования универсальной функции 屮工(А%), предсказываемого первой гипотезой подобия, причем при не слишком больших к спектр Е (А) очень хорошо описывается законом пяти третей (4.7), вытекающим из второй гипотезы. Для
рив. 7. Безразмерный спектр пульсаций температуры 屮в (wz/2nu)вприземном слое воздуха (2 — z = 1 м； 2 — z = =2 *; 3 — (юг/й)"5/з).рив. 7. Безразмерный спектр пульсаций температуры 屮в (wz/2nu)вприземном слое воздуха (2 — z = 1 м； 2 — z = =2 *; 3 — (юг/й)"5/з).
рив. 7. Безразмерный спектр пульсаций температуры 屮в (wz/2nu)в
приземном слое воздуха (2 — z = 1 м； 2 — z = =2 *; 3 — (юг/й)"5/з).
рив. 7. Безразмерный спектр пульсаций температуры 屮в (wz/2nu)в
приземном слое воздуха (2 — z = 1 м； 2 — z = =2 *; 3 — (юг/й)"5/з).
универсального коэффициента С в законе двух третей (4.2) (однозначно связанного и с коэффициентом Л в законе пяти третей для спектра) данные
последних лет дают значение С ^ 2, точность которого, по-видимому, не ниже, чем 10—15%; приведенная оценка значения С вполне удовлетворительно согласуется также и с результатами более ранних измерений А. С. Гурвича (I960) и С. Л. Зубковского (1962). Зная значение С, по измеренным значениям структурной функции (хотя бы при одном г) или спектра (хотя бы при одном А) можно однозначно определить скорость диссипации энергии е; именно таким образом в последнее время было получено очень много данных о значениях е в земной атмосфере (С. Л. Зубковский, 1963; Б. М. Копров, 1965; Б. М. Копров и Л. Р. Цванг, 1966 и др.).
Измерения структурной функции поля температуры в атмосфере вблизи Земли, подтвердившие справедливость теоретического закона двух третей (4.11), впервые были выполнены 'С. И. Кречмером (1952) и (в гораздо большем объеме) В. И. Татарским (1956); позже аналогичные изме
рения неоднократно производились также и зарубежными исследователями. Эквивалентный закону (4.11) закон пяти третей для спектра температуры впервые был проверен Л. Р. Цвангом (I960, 1963), набравшим большой материал измерений частотных спектров температуры 后仆今(А) в атмосфере на
различных высотах и при различных условиях стратификации. *В качестве примера на рис. 7 приведен один из результатов Цванга, касающийся
значений безразмерной функции.
屮仆(coz/м, Ri) = М(Т%尸 ％仆(<О), где T\ = z dT/dz
(ср, аналогичную формулу (4,15) для спектра скорости) на высотах 1 м и 4 ле над землей, полученных с помощью осреднения данных ряда измерений при примерно одинаковой термической стратификации (отвечающей значению Rj ^： —0,12); как мы видим, согласие с теоретическим законом пяти третей здесь оказывается весьма хорошим. Очень хорошо согласующиеся с законом пяти третей спектры температуры были получены также А. С, Гурвичем иТ. И. Кравченко (1962) и некоторыми зарубежными исследователями (см., например, указанные в сноске на стр. 499 работы С. Понда, С. Д. Смита, П, Ф. Хемблина и Р. В. Берлинга или К. Г. Гибсона и В. Г. Шварца, в первой из которых описываются измерения в воздухе над морем, а во второй——в турбулентном течении воды за решеткой в гидродинамической трубе). Пропорциональные к~5^ участки были обнаружены и Л, Г. Елагиной (1963), выполнившей ряд измерений спектров пульсаций абсолютной влажности (т. е. концентрации водяного пара) в атмосфере, а также некоторыми зарубежными авторами, измерявшими спектры пульсаций концентрации примеси в турбулентных течениях в лаборатории *), Наконец, закон пяти третей хорошо подтверждается и для спектров пуль-
*) См. указанную в сноске на стр. 499 работу К. Г. Гибсона и В, Г. Шварца, а также статью Г, А. Беккера, X. К. Хоттела и Г. К. Вильямса (J. Fluid Mech.r
саций показателя преломления радиоволн в атмосфере, представляющих собой фактически линейную комбинацию пульсаций температуры и влажности; сводку относящихся сюда экспериментальных данных можно найти в монографии В. И. Татарского (1967). Таким образом, имеющиеся данные с полной убедительностью свидетельствуют, что законы двух третей и пяти третей действительно с большой точностью оправдываются также и для пульсаций температуры или концентрации пассивной примеси. Однако эти данные все же недостаточны для надежного определения числовых значений коэффициентов в указанных законах, хотя две лучшие из возможных в настоящее время оценок коэффициента С^. одна из которых опирается на экспериментальные данные Л. Р. Цванга (см. А. С, Гурвич и С. Л, - Зубковский, 1966), а вторая ——на данные измерений К. Г. Гибсона и В. JT. Шварца, хорошо согласуются друг с другом и обе указывают, что 3.
Подчеркнем теперь, что гипотезы подобия Колмогорова опираются на простые и наглядные качественные соображения физического характера, но они не могут быть аналитически выведены из общих законов механики и с этой точки зрения не являются вполне строгими. Более того, еще в самом начале развития теории локально изотропной турбулентности Л. Д. Ландау отметим, что указанные гипотезы и не могут быть абсолютно точными, так как они постулируют, что распределения вероятностей для разностей 0 (г, т)=孤(х0 + t*, i0 + ^)—— 孤(宓о,力о) зависят лишь от среднего значения скорости диссипации энергии е = х/2 v S (ди^дх) 十 dujldx^ (эту величину мы выше обозначали просто символом е), в то время как на самом деле на мелкомасштабной структуре должны как-то сказываться и статистические свойства случайного поля е (х,力)，определяемые уже особенностями крупномасштабного движения. Это замечание Ландау вошло (в качестве подстрочного примечания) в книгу Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица (1944, 1953), но оно впервые привлекло внимание лишь когда А. Н. Колмогоров (1962) и А. М. Обухов (1962) разъяснили его более подробно и одновременно наметили путь, позволяющий уточнить предложенную в 1941 г, теорию локально изотропной трубулентности и оценить (по крайней мере в принципе) порядок поправок к ней, вытекающих из учета изменчивости поля диссипации е (宓，力).
Предложенное в 1962 г. уточнение заключается, грубо говоря, в том, что универсальными (и обладающими свойствами, указанными в первойГ и второй гипотезах подобия) теперь полагаются лишь условные распределения вероятностей для относительных скоростей w (г, т) при условии, что скорость диссипации энергии имеет фиксированное значение; безусловные же распределения вероятностей, получаемые при помощи интегрирования условных распределений с весом, равным плотности вероятности для е, уже могут через эту плотность зависеть и от характеристик крупномасштабного движения. Такая формулировка, конечно, также не является вполне аккуратной, так как скорость диссипации энергии е = е (х, ^)—— это не одна случайная величина, а случайное поле, зависящее от точки (х, %) пространства-времени. Поэтому А. Н. Колмогоров и А. М. Обухов предложили при рассмотрении, например, распределений вероятностей для векторов 0 (竽丸,0) (А = 1, 2, . . ., п) учитывать в качестве первого приближения (уже заметно уточняющего первоначальную теорию, имевшую дело лишь со средним «по ансамблю» значением е) только значение £г = (1/匕)J е (х,力о) d宓，осредненное ио объему наименьшего шара Угт
содержащего п + 1 точек х^.宓o + 竽工,...,х0 + гп (буквой г здесь обозначен диаметр шара 匕).В таком случае условное среднее значение любых функций от векторов w (竽丸,0) при фиксированном ег будет описываться обычными формулами теории локально изотропной турбулентности; в частности, условное среднее значение квадрата разности uL (х0 + г, i0)—— — Ml (宓о, %) при условии, что значение ег фиксировано и что г》％•= ■ = б-：%”'/% будет зависеть лишь от г и ег и задаваться обычной формулой (4.2) (т. е. законом двух третей), где только е теперь надо заменить на ег. Безусловное же среднее значение этого квадрата разности (т. е, функция Dll (「))согласно новым предположениям уже может зависеть от распределения вероятностей для ег и через него от особенностей осредненного течения (от его геометрии и числа Рейнольдса).
Относительно величины ег А. Н. Колмогоров и А. М. Обухов предположили (в соответствии с представлениями, развивавшимися в сороковых годах Л. Д. Ландау), что эта величина имеет логарифмически нормальное распределение с дисперсией логарифма вида
喩ег ="3 办 + ”11^ , (4.16)
где L ——внешний масштаб турбулентности (т. е. характерный масштаб осредненного течения),卩—постоянная, а Л (х, %), вообще говоря, зависит от характеристик крупномасштабных движений. Такое предположение может быть естественно объяснено, исходя из допущения об автомодельности каскадного процесса дробления вихрей в развитой турбулентности, причем мерой «числа каскадов» между вихрями масштабов £ в［厶 служит In (£/r) (А. М. Яглом, 1966). Исходя из этого, Колмогоров (1962) получил для продольной структурной функции формулу вида
%(г) = С@г)"з 传尸丝 (4.17)
где С теперь уже может слегка зависеть от крупномасштабной структуры турбулентности. Для оценки параметра 卩 можно воспользоваться данными измерений пульсаций величин (3切/。力尸 вс (duldxf1 (где unw —— горизонтальная и вертикальная компоненты скорости, а ^—горизонтальная координата) ,родственных скорости диссипации энергии. Такие измерения были выполнены в нижнем слое воздуха А. С, Гурвичем и С, Л, Зубковским (1963) и повторены затем (с использованием значительно более тонкой и малоинерционной аппаратуры) С, Пондом и Р. В, Стюартом (ИАН СССР, физ. атмосф, и океана, 1965, 1 : 9, 914—919). Согласно полученным ^данным спектр пульсаций (@力/@%)2 и (ди/дх)2 (а следовательно, по-видимому, и спектр £ЕЕ (А) пульсаций е) в инерционном интервале волновых чисел примерно пропорционален А-0*6. С целью объяснения последнего результата Е. А, Новиков и Р. Стюарт (1964) и Е. А. Новиков (1965, 1966) рассмотрели несколько различных моделей распределения вероятностей поля е (宓，％) (учитывающих чрезвычайно важное свойство резкой перемежаемости мелкомасштабной турбулентности, наблюдающееся во всех течениях с большим Re). Тот же результат, однако, можно объяснить и исходя из наиболее естественного допущения (согласующегося с экспериментальными данными, о которых будет идти речь ниже) о логарифмически нормальном распределении величины 力，причем формула (4.16) для дисперсии величины In ег приводит к соотношению £ЕЕ (А) 〜 〜 乃-1+必(А. М, Яглом, 1966). В силу экспериментальных результатов Гурвича ——Зубковского и Понда ——Стюарта последнее соотношение заставляет считать, что 卩 0,4; в таком случае из (4.17) вытекает, что
влияние флуктуаций скорости диссипации энергии должно повышать показатель степени в формуле для функции DLl ⑺ в инерционном интервале на величину порядка 0,04—0,05 (а показатель степени в формуле для спектра Е (%) в инерционном интервале соответственно понижать примерно на 0,04—0,05). Столь малые отклонения значений показателя сте- лени в экспериментальных законах от «теоретических» значений 2/3 и—5/3, очевидно, лежат за пределами доступной в настоящее время точности измерений; поэтому выводы уточненной теории Колмогорова ——Обухова
Рис. 8. Эмпирические значения распределения вероятностей Р (當)=Р ｛己 V 當｝ для величины 占=(А Г)2/(Д Г)2 — нормированного квадрата разности температур в двух точках на расстоянии 2 см»Рис. 8. Эмпирические значения распределения вероятностей Р (當)=Р ｛己 V 當｝ для величины 占=(А Г)2/(Д Г)2 — нормированного квадрата разности температур в двух точках на расстоянии 2 см»нисколько не противоречат достигнутому в последние годы прекрасному подтверждению законов двух третей и пяти третей экспериментальными данными. Точно так же и зависимость коэффициентов в указанных законах ют крупномасштабных особенностей течения (в первую очередь от числ^ Рейнольдса) в основном описывается множителем L~^^ 〜(Re)~g/9
Рис. 8. Эмпирические значения распределения вероятностей Р (當)=Р ｛己 V 當｝ для величины 占=(А Г)2/(Д Г)2 — нормированного квадрата разности температур в двух точках на расстоянии 2 см»
Рис. 8. Эмпирические значения распределения вероятностей Р (當)=Р ｛己 V 當｝ для величины 占=(А Г)2/(Д Г)2 — нормированного квадрата разности температур в двух точках на расстоянии 2 см»
(Re)-0,06 в правой части формулы (4,17); такая зависимость слишком слаба, чтобы проявляться на экспериментальных данных, что и объясняет «универсальность» полученных эмпирических оценок коэффициентов С и Л.
Отметим еще, что соображения, приводящие к логарифмически нормальному распределению величины ег, могут быть использованы для доказательства того, что распределение вероятностей широкого класса неотрицательных характеристик тур булентности, определяемых возмущениями из «интервала равновесия» старой теории Колмогорова (типа, например, квадратов производных некоторого порядка гидродинамических полей или модулей разностей значений таких полей на расстоянии г《£), также является логарифмически нормальным с дисперсией логарифма порядка log (£/г) (для величин, определяемых возмущениями масштаба г $ 兀)или log (£/%) (А. М. Яглом, 1966; А, С. Гурвич и А, М. Яглом, 1967), Для проверки последнего вывода А. С. Гурвич (1966, 1967; см. также А. С. Гурвич и А. М. Яглом, 1967) записал на ленту пульсации разности температуры в двух близких точках и осредненных по небольшому объему производных температуры и вертикальной скорости в атмосфере вблизи Земли и рассчитал по полученным записям эмпирические распределения вероятностей для квадратов записанных величин. Оказалось, что эмпирические распределения вероятностей во всех случаях близки к логарифмически нормальным распределениям (см., например, рис. 8, на котором два эмпирических распределения вероятностей для квадрата разности температур в двух точках на расстоянии 2 см друг от друга представлены в системе координат, в которой прямым линиям отвечает логарифмически нормальное распределение). Эти экспериментальные результаты можно рассматривать как первое подтверждение справедливости рассуждений, приводящих к формулам (4.16) и (4.17); они позволяют в какой-то степени понять механизм, обусловливающий резкую перемежаемость мелкомасштабной турбулентности.
В заключение настоящего обзора остановимся еще вкратце на на двух довольно важных специальных вопросах, для которых выше не нашлось места. Первым из них является вопрос о приложении теории турбулентного перемешивания пассивных примесей к описанию флуктуаций магнитного поля и плотности электронов в проводящих средах. Этому весьма важному вопросу посвящен ряд работ, одной из первых среди которых была работа Дж. Батчелора (Proc. Roy. Soc. London, 1950, A201 :1066, 405——416), установившего, что в хорошо проводящей среде турбулентность может генерировать интенсивные мелкомасштабные флуктуации магнитного поля (вследствие растяжения «замороженных» в жидкости магнитных силовых линий при турбулентных движениях среды). В СССР этими вопросами занимались А. Г. Куликовский (1955), Г. С. Голицын (I960), Е. А. Новиков (I960, 1961) и некоторые другие авторы. В работе А. Г. Куликовского изучалось вырождение пульсаций скорости и напряженности магнитного поля в случае изотропной турбулентности в идеально проводящей жидкости. В работах Г. С. Голицына и Е. А. Новикова рассматривалась слабо проводящая среда, находящаяся в относительно слабом внешнем магнитном поле. В этом случае возникающая при движениях среды сила Лоренца, действующая на носителей тока, также невелика и ее влиянием на движения среды можно в первом приближении пренебречь, т. е. считать динамику заданной. Турбулентные движения среды будут индуцировать в проводящей жидкости случайные токи, магнитное поле будет флуктуировать около своего среднего значения, а плотность электрического заряда ——около нуля (так что в среднем среда останется электрически нейтральной). Согласно Г. С, Голицыну пространственный спектр пульсаций плотности тока оказывается пропорциональным спектру поля скорости, но с множителем, зависящим от угла 0 между направлениями волнового вектора к и внешнего магнитного поля (так что поле случайных токов здесь однородно, но не изотропно, а только осесимметрично). Спектр флуктуаций магнитного поля, рассматривавшийся Г. С. Голицыным (I960) и Е. А. Новиковым (I960) также оказывается зависящим от того же угла 0 и при фиксированном направлении к пропорционален спектру скорости, деленному на квадрат волнового числа. Наконец, спектр флуктуаций электронной плотности, изученный Е. А. Новиковым (1961), складывается из двух членов, первый из которых обусловлен турбулентным перемешиванием среды и совпадает с обычным выражением для спектра пульсаций концентрации пассивной примеси, а второй (играющий основную роль в области очень малых масштабов) описывает пульсации электронной плотности, индуцированные внешним магнитным нолем, и является анизотропным (зависящим от угла 0).
К исследованиям турбулентности в проводящих средах примыкают также исследования турбулентности в плазме, крайне бурно развивающиеся в последние годы в связи с работами по осуществлению управляемых термоядерных реакций. Число статей советских авторов о турбулентной плазме непрерывно растет начиная с начала шестидесятых годов и к настоящему времени насчитывает уже много десятков； обобщающую сводку результатов по теории «слабо турбулентной» плазмы, полученных к 1964 г., можно найти в монографической статье Б, Б. Кадомцева (1964).
Вторым вопросом, который мы упомянем в заключение настоящего обзора, является вопрос об интересном эффекте, тесно связанном с механизмом диссипации энергии в турбулентном потоке, который в некоторых работах именуется «эффектом Томса», по имени американского ученого Р. Томса, впервые наблюдавшего его в 1948 г. Этот эффект заключается
в заметном ослаблении турбулентности (обнаруживаемом, например, по резкому падению сопротивления турбулентному течению в трубе} при растворении в жидкости ничтожного количества некоторых полимеров (так, при растворении в воде полиоксиэтилена в концентрации 3 X 10'5" сопротивление при течении раствора в трубе уменьшается почти втрое). Указанный эффект кажется парадоксальным, потому что ни плотностьг ни молекулярную вязкость жидкости такое ничтожное количество примеси практически совершенно не меняет. В СССР, как и за рубежом, его изучением занимались многие исследователи- Некоторые теоретические соображения, касающиеся вырождения турбулентности в аномальных средах со свойствами, близкими к тем, которые наблюдаются у слабых растворов полимеров, можно найти, например, в работах В. А. Городцова (1967).
Разумеется, помимо двух упомянутых в настоящем пункте вопросов, имеется еще много других связанных с механикой турбулентности вопросов, о которых мы выше не упоминали. Мы сознаем, что наш обзор, безусловно, в какой-то степени является субъективным — наши личные научные интересы не могли не отразиться на его содержании. Учитывая г однако, что его объем и так оказался больше, чем нам бы хотелось, мы ограничиваемся изложенным.
ДИНАМИКА ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ,ТЕОРИЯ ЛАМИНАРНЫХ И ТУРБУЛЕНТНЫХ
ПОГРАНИЧНЫХ СЛОЕВ
Ю. В. ЛАПИН, Л. Г. ЛОЙЦЯНСКИЙ. Ю. 〃• ЛУНЬКИН.
В. Я. НЕЙЛАНД. В. В. СЫЧЕВ. Г. А. ТИРСКИЙ )(под общей редакцией Л. Г. Л0ЙЦЯНСК0ГО)
1.2.3.1.2.3.7^0^7^0^750750509微縱齡509微縱齡Введение
1.
2.
3.
1.
2.
3.
7^0^
7^0^
7
50
7
50
509微縱齡
509微縱齡
Основные проблемы динамики вязкой жидкости при малых и средних числах Рейнольдса
Динамика вязкой жидкости при больших рейнольдсовых числах. Ламинарный пограничный слой в несжимаемой жидкости Ламинарный пограничный слой в сверхзвуковых и гиперзвуковых потоках Взаимодействие ламинарного пограничного слоя с внешним невязким гипсфзвуковым потоком
Турбулентный пограничный слой в потоках жидкостей и газов Исследования течений с зонами отрыва Проблема теплозащиты поверхности тела в гиперзвуковом потоке ....
Введение
Целью настоящего очерка является описание современного состояния общей динамики и термодинамики вязких жидкостей и газов, а также важнейших ее прикладных разделов ——таких, как теории пограничного слоя и его взаимодействия с внешним невязким потоком, образования срывных зон вблизи поверхности тела, тепломассопереноса и теплозащиты поверхностей тел в гиперзвуковых потоках. По возможности, в очерке намечаются направления дальнейших исследований, отвечающих ближайшим задачам, этого важного раздела гидрогазодинамики.
Предметом динамики вязких жидкостей и газов являются, с одной стороны, поддающиеся строгому математическому анализу, детерминированные ламинарные движения, с другой,—— требующие принципиально других, статистических подходов, недетерминированные, турбулентные движения. И в том и в другом случае наряду с динамическими возникают тесно с ними связанные термодинамические вопросы тепломассопереноса (молекулярного в ламинарном движении и молярного в турбулентном), а также разнообразные другие физические вопросы, связанные с физикохимическими превращениями, излучением, электромагнитными взаимо-
действиями. Своеобразие содержания и методологии учения о турбулентных движениях жидкостей и газов привело к необходимости выделения в настоящем сборнике специальной статьи, посвященной «проблеме турбулентности» (см. стр. 461—505); некоторые частные вопросы этой проблемы будут затронуты и в настоящем очерке, главным образом в связи с теорией турбулентного пограничного слоя.
Теория ламинарных движений вязкой жидкости уже в первой четверти двадцатого века достигла значительного совершенства. Были найдены разнообразные точные решения уравнений Навье ——Стокса, разработаны методы приближенного интегрирования этих уравнений: путем «линеаризации» при малых значениях числа Рейнольдса и разыскания асимптотических решений при больших значениях этого числа. К решениям наиболее трудных, атносящихся к средним значениям рей- нольдсовых чисел задач исследователи приближались как со стороны малых, так и со стороны больших рейнольдсовых чисел. В первом случае шли по пути увеличения числа членов в разложениях по положительные степеням рейнольдсова числа, являющегося в задачах этого рода характерным малым параметром, а в последнее время стали непосредственно пользоваться численными (машинными) методами интегрирования точных,, иногда несколько упрощенных уравнений Навье ——Стокса. Во втором случае, исходя из известного факта, что прандтлевы уравнения пограничного слоя являются лишь «первым» приближением в методе разложения решеций уравнений Навье —— Стокса по степеням величины, обратной корню квадратному из рейнольдсова числа, начали учитывать следующие члены разложения. Современному состоянию этой области динамики вязкой жидкости посвящены § 2 и 3.
В настоящее время в связи с возросшим интересом к сверхзвуковым и, особенно, гиперзвуковым движениям интенсивное развитие получила аэротермодинамика пограничного слоя в потоке однородного, термодинамически равновесного газа, а в самое последнее время и в неравновесном, релаксирующем газе (§ 4).
Особенности движений вязкого газа при больших значениях числа Маха тесно связали теорию ламинарного пограничного слоя в прандтле- вом и высших приближениях с общими вопросами динамики идеального газа, что привело к созданию теории взаимодействия вязкого газа с внешним невязким потоком, более общей, чем обычная, основанная на собственно теории ламинарного пограничного слоя (§ 5).
Развитие теории турбулентного пограничного слоя во многом идет параллельно с развитием теории ламинарного слоя. Особенно это относится к наиболее важным для современной техники вопросам турбулентных движений газов с очень большими скоростями. В связи с этим было сочтено целесообразным поместить в настоящий обзор параграф (§ 6), содержащий краткий очерк состояния и перспектив ближайшего развития,теории турбулентного пограничного слоя в потоках жидкостей и газов.
Большое значение для приложений имеют в настоящее время одинаково относящиеся как к ламинарным, так и к турбулентным пограничным слоям вопросы образования замкнутых или разомкнутых отрывных областей и тесно с ними связанное учение о донном давлении в кормовой части плохо обтекаемого тела (§ 7).
В заключительном параграфе обзора (§ 8) освещаются результаты последних исследований явлений разрушения твердых поверхностей в высокотемпературных гиперзвуковых пограничных слоях и использования уноса вещества с поверхности тела для искусственного ее охлаждения.
Историю развития отдельных этапов рассматриваемой в настоящем обзоре области механики жидкостей и газов можно найти как в ряде недавно появившихся монографий ), так и в более старых учебных руководствах и монографиях ). Некоторые детали, относящиеся специально к советским работам, можно найти в юбилейных сборниках《Меха- лика в СССР за XV лет» (1932) и «Механика в СССР за 30 лет» (1950).
Основные проблемы динамики вязкой жидкостипри малых и средних числах Рейнольдса
Начиная с пятидесятых годов нашего столетия, в связи с появлением возможности использования быстродействующих электронно-счет- лых машин, по-новому встал вопрос о строгих численных решениях уравнений Навье ——Стокса. В первую очередь были проведены численные расчеты стационарного и нестационарного обтекания кругового цилиндра, сферы и пластины. Вместе с тем были продолжены поиски аналитических решений линеаризованных уравнений Навье —— Стокса, относящихся к так называемым «медленным» движениям вязкой жидкости.
Проблема движения вязкой жидкости вблизи плохо обтекаемого тела представляет одну из наиболее сложных и до сих пор нерешенных проблем нелинейной механики жидкости. Роль конвективных членов, представляющих нелинейность в уравнениях Навье —— Стокса, в создании зон замкнутых обратных токов, в явлении неустойчивости этих зон, начиная с некоторого критического рейнольдсова числа обтекания тела, отрыва их ют тела и схода в область следа будет, вероятно, еще долго привлекать внимание исследователей. Велико прикладное значение этой проблемы. Такие важные технические задачи, как автоколебания цилиндрических тел в равномерных однородных потоках жидкостей и газов, звучание струн в потоках (эоловы тоны), использование обратных токов в следе за телом для стабилизации пламени в камерах горения, и ряд других близких по своей гидр одинамиче ск ой сущности проблем упираются в необходимость изучения динамических явлений в кормовой области плохо обтекаемых тел. Основная проблема сопротивления движению тел плохо обтекаемой формы в жидкостях и газах при малых и средних значениях рейнольдсовых чисел также остается до сих пор нерешенной.
На смену получившим в свое время широкую известность и ставшим уже классическими методу Озеена и другим приближенным методам (С, Голдстейн, И. Имаи, С. Каплун ) и др.) пришли точные численные решения на электронно-вычислительных машинах.
Для задачи обтекания кругового цилиндра такого рода расчеты были выполнены рядом зарубежных ученых в 1953—1959 гг. Результаты численных решений совпали с известной экспериментальной картиной: образования в следе за цилиндром и сферой пары замкнутых зон обратных («вторичных») течений, обычно неточно именуемых «вихрями». Было показано, что продольные размеры этих зон растут с рейнольдсовым числом, в то время как поперечные почти от него не зависят. Наряду с чисто динамическими были рассмотрены и тепловые задачи. Особый интерес представляет та часть этой общей проблемы, которая относится к потере устойчивости симметричного обтекания тела и переходу к нестационарной картине поочередного отделения зон замкнутых обратных течений от поверхности тела и сворачивания их в вихри. В этом смысле большой интерес представил недавний доклад Дж. Фромма, сделанный им на симпозиуме по гидродинамике в Польше в 1965 г, (Fluid dynamics transactions, v. 3, Warszawa, 1967, 169——191). Этот доклад, так же как и предыдущая работа Фромма, был посвящен исследованиям в области дийамики вязкой жидкости при малых и средних рейнольдсовых числах. Было изучено нестационарное обтекание плоской пластинки, расположенной перпендикулярно к потоку. Электронная вычислительная машина выдавала рассчитанные картины линий тока и траекторий в последовательные моменты времени. Составленный по этим отдельным кадрам фильм был продемонстрирован на симпозиуме и показал отчетливуи> картину развития явлений в следе за пластинкой. Отметим, что определенные расчетным путем сопротивление пластинки, влияние на сопротивление ширины потока, распределения продольных скоростей в следе за пластинкой оказались при этом хорошо совпадающими с соответствующими экспериментальными результатами. Замечательно, что машинные расчеты позволили вполне удовлетворительно определить число Струхала образования сходящих с пластинки «вихрей» и даже зависимость этого числа от числа Рейнольдса, Таким образом, точное решение уравнений Навье — Стокса на электр онно-вычислительных машинах становится практическим методом исследования движений вязких жидкостей? при малых и средних значениях рейнольдсовых чисел.
Аналогичным путем могут решаться не только динамические, но и тепловые задачи. Так, Дж. Фромм (Phys. Fluids, 1965, 8:10, 1757—1769) провел численное интегрирование уравнений движения и переноса тепла для плоской задачи о потере устойчивости в слое вязкой жидкости, подогреваемой снизу, при наличии сил тяжести. В широком диапазоне чисел Рейли (от критического до 107) были исследованы два основных случая движения： со свободной поверхностью и при наличии сверху твердой стенки. В первом случае решение могло быть сравнено с более ранними расчетами, во втором — с опытными материалами. Результаты получились весьма многообещающими. В цитированной статье приведено большое число графиков линий тока, изотерм и кривых одинаковой завихренности, теоретически доказывающих целлюлярное (ячеистое) (Строение возникающих после потери устойчивости потоков, впервые обнаруженное в опытах А. Бенара, относящихся еще к 1900 г., и получившее свое объяснение в трудах Рейли. Проведенные на электронно-вычислительной машине расчеты позволили также получить хорошо совпадающие с опытными кривые зависимости теплоотдачи (числа Нуссельта) от определяющего критерия Рейли. Это служит новым подтверждением мощи метода численного интегрирования уравнений динамики и термодинамики вязкой жидкости и выдвигает перед исследователями новые задачи.
Задачц симметричного обтекадия круглого цилиндра вязкой электропроводящей жидкостью при малых числах Рейнольдса и наличии поперечного магнитного поля была рассмотрена теоретически сотрудниками Физического института Академии наук Латвийской ССР X. Э. Калисом, А. Б. Цинобером, А. Г. Штерном и Э. В. Щербининым (1965), исследовавшими влияние поперечного магнитного поля на характер обтекания цилиндра, в частности, на развитие ламинарного следа за ним.
Советские исследования по динамике вязкой жидкости при малых и средних значениях чисел Рейнольдса относятся главным образом к внутренним задачам： движениям между вращающимися цилиндрами, гидро- газодинамической теории подшипников и подвесов, движениям в каналах с плоскопараллельными стенками при наличии внезапного расширения сечения канала и углублений в его стенках, к задачам распространения вязких струй в пространстве, затопленном той же жидкостью, а также к задачам тепловой конвекции. При решении этих задач использовались как разнообразные аналитические методы (разложения в ряды по малым параметрам, асимптотические разложения), так и приемы непосредственного интегрирования уравнений на ЭЦВМ.
Вместо простейшего плоского кругового движения вязкой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами при повышении рейнольдсова числа, как известно, образуется последовательность «переходных» ламинарных движений, от известного тейлоровского, с характерными для него- поперечными вторичными движениями, до граничащего с развитым турбулентным движением, но еще ламинарного «спирального^ движения. Вопрос о теоретическом изучении этой заполняющей переход от ламинарного режима к турбулентному последовательности движений представляет значительный интерес и заслуживает постановки систематических исследований.
Точные решения уравнений Навье ——Стокса для плоской неизотермической задачи о движении вязкой жидкости и газа вокруг вращающегося цилиндра в безграничном пространстве и в полости между двумя вращающимися цилиндрами бесконечной длины были впервые даны Л. Г. Степанянцем (1953). Появление электронно-вычислительных машин открыло возможность численного изучения более сложных, неплоских движений вязкой жидкости между вращающимися цилиндрами. Из работ этого вычислительного направления отметим исследования Н. П. Жидкова, А. А. Корнейчука, А. Л. Крылова и С. Б. Мосчинской (1962), в которых получено численное решение уравнений Навье ——Стокса для случаяг когда движение вязкой жидкости зависит от расстояния до общей оси вращения цилиндров и от азимута, и А. Л. Крылова и Е. К. Произволо- вой (1963), где найдено решение аналогичной задачи, зависящее от того же расстояния и координаты, параллельной оси цилиндров. Л, А. Дорфман и Ю. Б. Романенко (1966) также численным методом рассмотрели движение в неподвижном стакане, доверху заполненном вязкой жидкостьюг приводимой в движение вращающейся крышкой, соприкасающейся с жидкостью. И в этом случае обнаружено наличие зон вторичных течений в виде замкнутых линий тока, расположенных в меридиональных плоскостях (рис. 1).
Более доступными для вычислений являются линеаризованные задачи движения вязких жидкостей и газов в тонких зазорах между цилиндрическими, сферическими или коническими неподвижными или вращающимися поверхностями, в общей своей совокупности образующие современную теорию жидкостных или газовых подшипников и подвесов, В связи
с разнообразными техническими применениями, особенно в области использования «газовой смазки», представляющей большие выгоды благодаря малому трению и возможности использования ее при низких температурах, современная теория подшипников и подвесов является весьма
Рис. 1. Линии тока 屮° = -ф/(й)5)3 = const меридионального течения для различных о!ношений радиуса-сосуда А к его глубине S (Re = 53w/v = =144,①‘ 一угловая скорость вращения диска).
развитым разделом прикладной гидродинамики, а относящаяся к ней литература крайне обширна. Остановимся лишь на нескольких наиболее принципиальных проблемных вопросах общетеоретического характера.
С математической стороны вопрос сводится к интегрированию известного уравнения Рейнольдса, выводимого из линеаризованных уравнений Навье — Стокса путем их осреднения по нормальным сечениям зазора между поверхностями.
Такое решение задачи о сферическом подшипнике с несжимаемой изотермической смазкой было дано Л. Г. Лойцянским (1956). Им было рассмотрено наиболее общее решение, соответствующее произвольному
вращательному и поступательному движению внутренней сферы. Были указаны замкнутые векторные выражения для главного вектора и главного момента сил давления жидкости в зазоре на поверхности сфер. Теория подвеса сферы в сферической чаше с несжимаемой и сжимаемой смазкой в случае одного отверстия поддува и только вертикального смещения сферы была опубликована Л. Г. Лойцянским (1957), а затем расширена на более общий случай Л. Г. Лойцянским и Л. Г. Степанянцем (1958). .
Из теоретических исследований, сыгравших за последнее время большую роль в развитии теории самоподдерживающихся цилиндрических подшипников, надлежит особо выделить доклад Г. Элрода и А. Бург- дорфера на Первом международном симпозиуме по газовым подшипникам (1968), в котором были даны исчерпывающие данные по решению плоской задачи газовой смазки подшипников бесконечной длины и уста- нов ле но точное, широко известное в настоящее время интегральное условие, выполнение которого лежит в основе всех расчетов газовых подшипников; это условие пришло на смену более раннему приближенному условию Харрисона, которое, как показал С. А. Шенберг (1953), также давало сравнительно неплохие результаты.
Среди точных решений уравнений газовой смазки интерес представляют случай линейной зависимости толщины смазочного слоя от продольной координаты, а также задача о нестационарном движении вязкой несжимаемой жидкости в смазочном слое, подробно изученная Л. М. Си- муни (1964), установившим границы возможности применимости в теории нестационарной смазки представления о «квазистационарности» вращения.
Проблема газовой смазки требует своего дальнейшего развития как в математическом, так и физическом аспекте. К новым вопросам гидро- газодинамической теории смазки следует отнести физические исследования явлений, происходящих в очень тонких слоях газа или жидкостных пленках, когда в расчетах становится уже необходимым учитывать влияние молекулярных процессов. Увеличение угловых скоростей вала поставило на очередь необходимость изучения не только ламинарных, но и турбулентных течений в зазорах подшипников и подвесов. Этот вопрос уже имеет некоторую литературу, относящуюся к самому последнему времени ), но нуждается в дальнейшем развитии.
Теория цилиндрического газового подвеса была развита в ряде работ Я. М. Котляра (1958—1960), который занимался как методами интегрирования уравнения Рейнольдса в обычных условиях жидкой и газовой смазки, так и разработкой приближенных практических методов расчета газовых подвесов при наличии точечных источников поддува.
Учету влияния инерционных членов в уравнении Навье — Стокса был в последнее время посвящен ряд работ Л. Г. Степанянца (1958). В этом вопросе еще многое нуждается в изучении и доведении до практических методов расчета.
Развитие методов численного интегрирования полных уравнений Навье — Стокса позволило изучить многие вопросы, связанные со стационарными и нестационарными течениями вязкой жидкости по трубам и каналам при малых и средних значениях рейнольдсовых чисел, до того не поддававшимися теоретическому анализу. Так, удалось рассмотреть задачу об устанавливающемся во времени движении вязкой жидкости
в плоском канале с параллельными стенками при произвольно заданном профиле скоростей в некотором начальном сечении трубы (Л. М. Симуни, 1965). При этом был изучен процесс превращения этого течения в установившееся пуазейлево течение.
При рассмотрении численного решения задачи о движении вязкой жидкости в прямоугольной пазухе CDEF (рис. 2), вызываемом продольным движением твердой стенки ЛЯ, Л. М. Симуни (1965) обнаружил
Рис. 2. Вторичное течение в прямоугольной пазухе по Л. М. Симуни.
образование в пазухе двух зон замкнутых вторичных движений с указанными на рисунке направлениями вращений. Аналогичные зоны образуются и в том случае, если стенка АН совпадает с линией BCFG (Л. М. Симуни, 1964). В той же работе рассмотрено нестационарное движение вязкой жидкости в канале с внезапным расширением, причем жидкость приводится в движение скольжением противоположной стенки с некоторой устанавливающейся во времени скоростью. Вычисления выполнялись на машине для ряда значений р^йнольдсовых чисел. При этом было обнаружено, что продольный размер области замкнутого вторичного течения за уступом растет с рейнольдсовым числом, в то время как поперечный размер практически сохраняется. Отсюда можно заключить, что расстояние от сечения канала, в котором происходят внезапное расширение и отрыв потока с уступа, до того сечения, где сошедшая со стенки канала линия тока вновь присоединяется к стенке канала, также возрастает с рейнольдсовым числом. Эта линия тока, играющая роль «сепаратрисы», отделяющей зону замкнутых линий тока (отрывную зону) от проходящего мимо нее потока, также поддается численному расчету на машине.
О некоторых интуитивно не предугадываемых явлениях в потоках вязкой жидкости можно судить по примеру вынужденного движения вязкой жидкости внутри острого угла. Эта задача в линеаризованной постановке («медленное» движение) была решена Г- К. Моффатом (J. Fluid Meeh., 1964, 18 ： 1, 1—18). В предположении, что вне угла имеется некоторое вынуждающее движение, автору удалось показать, что вся внутренность угла (рис. 3) расслаивается на зоны замкнутых линий тока, убывающих по размерам и по скоростям обращения (отмеченным на рис. 3 в некоторых условных единицах) при приближении к вершине угла. Это интересное явление, вероятно, трудно было бы наблюдать на опыте, так как скорости в зонах по мере приближения их к вершине угла резко убывают (скорость в каждой последующей зоне на три порядка меньше,
чем в предыдущей). В цитированной работе рассмотрено большое число аналогичных задач как с твердыми границами, так и со свободными поверхностями; кроме того, исследовано влияние электропроводимости
Рис. 3. Замкнутые течения вязкой жидкости внутри угла по Г. К. Моффату.Рис. 3. Замкнутые течения вязкой жидкости внутри угла по Г. К. Моффату.жидкости на описанное явление при наличии электрического тока по ограничивающим жидкость твердым стенкам. Аналогичная задача для полукруглого выреза в плоской границе потока была исследована ранее Л. Г. Сте- панянцем (1961), также в линеаризованной постановке. Можно думать, что наблю-
Рис. 3. Замкнутые течения вязкой жидкости внутри угла по Г. К. Моффату.
Рис. 3. Замкнутые течения вязкой жидкости внутри угла по Г. К. Моффату.
даемая на рис. 2 в случае
прямоугольного выреза асимметрия расположения зон объясняется учетом эффекта нелинейности. Приведенные примеры показывают большие
возможности, открываемые современными машинными вычислениями
для исследования сложных, часто не поддающихся эксперименту, течений вязких жидкостей при сравнительно небольших рейнольдоовых
числах.
Описание явлений, связанных с распространением струй в вязкой жидкости, требует также точного решения нелинейных уравнений Навье — Стокса. При этом приходится иметь в виду, что эти явления устойчивы лишь при сравнительно небольших значениях числа Рейнольдса. Н. А. Слезкин (1934), по-видимому, впервые обратил внимание на существование группы точных «автомодельных» решений уравнений Навье — Стокса, которую в дальнейшем Л. Д. Ландау (1944) истолковал как распространение «затопленной» струи в безграничной области пространства, заполненного той же вязкой жидкостью. Ландау показал связь этого точного решения с известным уже к тому времени решением задачи о круглой струе в приближении теории пограничного слоя, т. е. при больших значениях рейнольдсова числа. Более общее, неавтомодельное решение было позже получено В. И. Яцеевым (1950) и интерпретировано Ю. Б. Ру- мером (1952) как решение задачи о струе, бьющей из источника с заданным конечным значением секундного объемного расхода.
Дальнейшее развитие этого вопроса привело к обобщению рассматриваемого движения на случай закрученной струи, характеризуемой не только своим начальным количеством движения, но и начальным моментом количеств движения. Это обобщение было произведено в приближении пограничного слоя Л. Г. Лойцянским (1953).
Точные решения уравнений Навье — Стокса имеют в этой проблеме значительное преимущество перед соответствующими решениями в приближении пограничного слоя, так как они описывают движение во всей безграничной области течения и позволяют тем самым рассмотреть движение вязкой жидкости вокруг и вдали от струи (явление эжекции), в та- время как решение пограничного слоя дает картину движения только» в самой струе. В этом отношении особый интерес представляет полученное Л. М. Симуни (1966) точное решение уравнений Навье — Стокса ддя： бесконечного ряда плоских струй, бьющих из отверстий, равномерно рас-, положенных вдоль бесконечной прямой линии. Проведенное им для этого случая численное решение уравнений Навье — Стокса позволило получить полную картину движения вязкой жидкости во всей полуплоскости
как в самих струях, так и между ними (рис,- 4). В частности, были получены расчетным путем парные зоны замкнутых обратных движений, расположенные между струями вблизи твердой стенки. Так же как и в предыдущих примерах, продольные размеры этих зон оказались растущими с рейнольдсовым числом, в то время как поперечные их размеры, естественно, сохраняли свою величину. Несомненный интерес представило бы численное решение аналогичной пространственной задачи. К сожалению,
Рис. 4. Схема зоны обратных течений при наличии бесконечного ряда плоскопараллельных струй (7 — точка торможения в межструйных областях; 2 ——граница зоны обратных течений).
пространственные задачи все еще плохо поддаются численному решению на электронных вычислительных машинах. Ожидают еще своего решения задачи разнообразного взаимодействия струй вязких жидкостей и газов с набегающими на них потоками, сложения встречающихся струй, удара струй по поверхности, особенно, еще в совершенно неисследованных случаях пространственных потоков.
К числу других перспективных вопросов динамики вязких жидкостей можно отнести важную, с теоретической и практической стороны группу задач о доведении вязкой жидкости, находящейся в полостях движущегося твердого тела, и ее взаимодействии с телом (см. гл. VIII монографии Н. Н. Моисеева и В. В. Румянцева, 1965). Эта задача для малых рейнольдсовых чисел изучалась в последнее время Б. Н. Румянцевым (1964) и Ф. Л. Черноусько (1965) в связи с вопросами устойчивости гироскопа с эллипсоидальной полостью, заполненной вязкой жидкостью.
Чтобы к этому вопросу в дальнейшем не возвращаться, укажем, что случай больших рейнольдсовых чисел (но таких, при которых движение еще сохраняет свой ламинарный характер) представляет особенные трудности. Для больших рейнольдсовых чисел Н. Н. Моисеев (1961, 1963), Н. Я. Багаева и Н. Н. Моисеев (1964) и П. С. Краснощеков (1963), используя линеаризованные нестационарные уравнения Навье — Стокса, нашли асимптотические их решения и таким путем исследовали ряд задач, связанных с колебаниями вязкой жидкости в сосудах. Последний из перечисленных авторов рассмотрел задачу о движении по эллиптической орбите спутника, внутри которого имеется сферическая полость с вязкой жидкостью, и показал, что наличие вязкости приводит к скруглению орбиты.
Еще очень мало сделано для решения проблемы силового взаимодействия вязкой жидкости с телом, поверхность которого может заданным наперед образом или в результате взаимодействия с жидкостью деформироваться. Сюда должна быть в первую очередь отнесена поднятая в свое
время Дж. Тейлором (Proc. Roy. Soc. London, 1951, A209:1099, 447— 461; 1952, A211:1105, 225—239) проблема продвижения микроорганизмов сквозь вязкую жидкость. С механической точки зрения речь идет об образовании пропульсивной силы на нити или цилиндрической поверхности, совершающих волновые движения в вязкой жидкости. Дж. Лайтхмлл (Comm. Pure and Appl. Math., 1952, 5 : 2, 109—118) рассмотрел ту же задачу для сферы, поверхность которой совершает волновые смещения относительно своей равновесной формы, и нашел такие типы этих смещений, которые приводят к появлению пропульсивной силы. При этом удается определить выражение для соответствующей этой пропульсивной силе скорости продвижения сферы сквозь вязкую жидкость; что касается ускорений, то они в этой линейной теории предполагаются пренебрежимо малыми.
К области гидроаэроупругости относятся пока еще мало изученные задачи нестационарного, в частности пульсирующего, движения вязкой жидкости при малых рейнольдсовых числах сквозь трубки с упругими стенками (проблема движения крови по сосудам), обтекания тел с упругой поверхностью и другие аналогичные задачи.
Наконец, в заключение хочется отметить крайнюю ограниченность наших знаний о движении с малыми рейнольдсовыми числами многокомпонентных и многофазных вязких^кидкостей и газов: движений жидкостей с пузырьками газа и, наоборот, газов со взвешенными в них каплями жидкости. Даже взятые сами по себе элементарные процессы трения, тепло- и массопереноса вблизи поверхности раздела двух различных вязких жидкостей или вязкой жидкости и газа до сих пор еще мало исследованы как с теоретической, так и с экспериментальной стороны. Важность этих процессов для современной химической технологии, теории горения и взрывов, а также многочисленных других проблем техники очевидна. Существующее положение заставляет пользоваться пока разнообразными, чисто эмпирическими рекомендациями.
Динамика вязкой жидкости при больших рейнольдсовых числах.Ламинарный пограничный слой в несжимаемой жидкости
В настоящем параграфе под «большими» числами Рейнольдса понимаются такие ограниченные сверху их значения, когда повсюду на поверхности тела и в следе за ним движение еще сохраняет свой ламинарный характер. На известных кривых сопротивления цилиндра или шара это соответствует первому участку постоянства коэффициента сопротивления, ограниченному слева областью спадания кривой при средних значениях рейнольдсовых чисел, а справа началом спада кривой сопротивления, обусловленным возникновением и дальнейшим развитием явления перехода ламинарного движения в турбулентное.
При рассмотрении обтекания тел вязкой жидкостью в интервале больших рейнольдсовых чисел возникают две совершенно различные по сложности задачи. Первая из них относится к случаю, когда погранич-； ный слой настолько тонок, что его влиянием на внешний поток, принимаемый приближенно безвихревым, можно или пренебречь, или приближенно оценить его при помощи простой, указанной уже давно Л. Прандтлем поправки к теоретическому распределению давлений по поверхности тела (Л. Г. Лойцянский, 1947). В этом случае распределение скоростей на внешней границе пограничного слоя можно рассчитать по теории идеальной жидкости почти до самой задней кромки тела. Такое взаимо-
действие пограничного слоя с внешним потоком называют «слабым». Противоположный случай представляют《плохо обтекаемые» тела, на которых пограничный слой в кормовой области становится по порядку толщины сравнимым с толщиной самого тела, а затем отрывается от поверхности тела, образуя в кормовой части тела зоны обратных токов, приводящих к очень сложной вихревой структуре в области следа за телом. В этом случае влияние пограничного слоя приводит к радикальному изменению не только количественной, но и качественной картины внешнего потока. Такое взаимодействие пограничного слоя с внешним потоком называют «сильным».
Слабое взаимодействие (тонкие, хорошо обтекаемые тела при больших рейнольдсовых числах) в настоящее время хорошо изучено, так как представляет, если не достаточно строго, то во всяком случае четко поставленную задачу. Совершенно иначе обстоит дело с задачей о сильном взаимодействии. Необходимость совместного интегрирования разных по математическому характеру уравнений (Эйлера, Прандтля, Навье — Стокса) в граничащих друг с другом областях движения жидкости (внешний поток, пограничный слой, след), а затем «сшивания» этих решений приводят к значительным вычислительным трудностям, в первую очередь относящимся к установлению приемлемых условий на границах «сшивания» решений.
Большой научный и практический интерес имеют исследования срыв- ных зон, образующихся за линиями (точками — в плоском потоке) отрыва пограничного слоя. В некоторых случаях, в зависимости от формы поверхности тела и характера взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком, оторвавшийся слой может примкнуть обратно к поверхности тела, образуя замкнутую отрывную зону, в других — сорваться окончательно с поверхности тела, создав за кормой тела область «следа». Условия образования той или другой из указанных форм движения, а также структуры «попятных» вторичных течений в них до сих пор еще не изучены и составляют предмет новых изысканий.
.Особое внимание этот вопрос привлекает в связи с развитием отрывных течений и следов в гиперзвуковых потоках (донное давление за кормовым срезом снаряда, след за ракетой, вошедшей в плотные слои атмосферы, и др.). Этим вопросам посвящен специальный параграф (§ 7) настоящего обзора. В настоящем параграфе удовольствуемся рассмотрением некоторых сравнительно новых результатов, относящихся к течениям несжимаемой жидкости.
В отличие от более старых теорий «исчезающей вязкости», сводивших при предельном переходе числа Рейнольдса Re к бесконечности всю область следа к бесконечно тонкой области, новые теории значительно ближе подходят к действительной картине течения. Так, одна из последних схем обтекания кругового цилиндра (А. Акривос, Д. Д. Сноуден, А. С. Гроув и Э. Э. Петерсен, J. Fluid Meeh., 1965, 21 : 4, 737—761), изображенная на рис. 5, предполагает поперечный размер области следа конечным, несколько превосходящим диаметр цилиндра, а продольный размер пропорциональным числу Re； скорости внутри этой области принимаются обратно пропорциональными Re. Эта схема приводит при Ref оо к классической отрывной схеме Кирхгофа. Результаты применения указанной схемы дали удовлетворительное совпадение с опытами по распределению давления и теплоотдачи по поверхности цилиндра. В частности, был теоретически подтвержден известный опытный факт независимости от рейнольд- сова числа местного числа Нуссельта на поверхности тела в отрывной
области. Идя по тому же пути, удалось получить распределение давления по поверхности тела, близкое к экспериментальному, что закладывает основу возможности решения до сих пор остававшихся в стороне от теоретических исследований задач о сопротивлении плохо обтекаемых тел при больших числах Рейнольдса.
Однако упомянутая только что схема не является единственно возможной. Существуют и другие схемы течения вязкой жидкости в отрывной области. Так, например, К. Стюартсон (Fluid dynamics transactions, v. 3,
Рис. 5. Схема обтекания кругового цилиндра по А. Акривосу и др. (2 — точка торможения в следе; 2 — граница зоны следа; оторвавшаяся в точке S линия тока).
Warszawa, 1967, 127—146) рассматривает течение (рис. 6) с несколькими точками разветвления обратного потока и несколькими точками отрыва его с поверхности тела в кормовой области течения. Согласно этой схеме по обе стороны от центральной линии тока на поверхности тела в области
Рис. 6. Схема обтекания кругового цилиндра по К. Стюартсону (2 — граница зоны следа; 5曾 §2，§з — точки отрыва; Л2? <з，力4 — критические точки разветвления обратных течений).
попятных движений создаются новые пограничные слои, которые также отрываются от поверхности тела в кормовой части и служат причиной расслоения следа на отдельные, уходящие в бесконечность или где-то вдалеке замыкающиеся области течений. Метод расчета такого рода взаимодействующих пограничных слоев пока еще не разработан и требует, согласно теории параболических уравнений, задания «истории» потоков, приходящих из области следа. Такая картина следа, по мнению Стюартсона, близко подходит к действительно наблюдаемой на опыте. Дальнейшая разработка вопросов этого рода и, особенно, постановка, учитывающая нестационарность процесса отрыва, представляют большой интерес и заслуживают пристального изучения в самое ближайшее время. При рассмотрении всевозможных схем кормовых течений за плохо обтекаемыми телами не следует пренебрегать и более старыми схемами отрывных движений, а также упрощенной схемой двух сосредоточенных в кормовой области фиксированных вихрей, выдвинутой в свое время А. Фепплем.
Большую сложность представляет собой изучение *аналитической особенности решений уравнений пограничного слоя вблизи точки отрыва. В цитированном выше докладе К. Стюартсона отмечается интересный
факт наличия этой особенности при заданном наперед распределении скорости на внешней границе и исчезновения ее при учете обратного влияния пограничного слоя на распределение внешней скорости. Было замечено, что особенность исчезает, если оторвавшийся пограничный слой вновь прилипает к поверхности тела, образуя замкнутую область кругового течения. Дис ку тируе тс я в настоящее время также вопрос о влиянии на особенность в точке отрыва теплового потока. Аналогичная дискуссия ведется по вопросу о влиянии на особенность в точке отрыва подвода или отвода жидкости к пограничному слою. Существует мнение (К. Стюартсон, 1965), что по численным решениям на электронно-вычислительных машинах судить о существовании или отсутствии такого рода особенности вообще нельзя.
Выяснение математического характера особенности в точке отрыва, так же как и в других особых точках пограничного слоя, представляет собой не только интересную теоретическую задачу, но имеет и большое практическое значение, так как возможность выделения особенности приводит к упрощению и уточнению расчетных методов, причем это в одинаковой степени относится как к применению рядов или последовательных приближений, сходимость, а следовательно, и эффективность которых резко убывает вблизи особой точки, так и к пользованию численными машинными методами.
Вопрос о расчете ламинарного пограничного слоя в конкретных условиях заданного двумерного (плоского или осесимметричного) обтекания не представляет в настоящее время особых трудностей. Уже разработаны и с успехом применяются программы машинного счета для ламинарных пограничных слоев как в несжимаемой жидкости, так и в однородных и неоднородных газах. Дальнейшее свое развитие получили различные точные и приближенные аналитические методы. Довольствуясь в настоящем параграфе лишь случаем физически однородных жидкостей, отметим прежде всего появление новых точных решений уравнений ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости.
После появления исследования В. М. Фокнера (ARC Repts & Memo., 1937, № 1884), посвященного точным решениям для потоков в пограничных слоях, близких к автомодельным, и использовавшего в качестве метода построения этих решений разложения в ряды по степеням продольной координаты и их одночленным комбинациям с последовательными производными от скорости на внешней границе пограничного слоя, теория ламинарного пограничного слоя обогатилась рядом работ того же, по существу, направления, но отличающихся своеобразием выбора параметров, по степеням которых ведутся разложения в ряды. Среди этих работ наиболее интересными по своей законченности являются исследования Г. Гертлера (ZAMM, 1952, 32:8-9, 270—271; J. Math, and Meeh., 1957, 6 :1,1—66), а у нас в Союзе В. Я. Шкадова (1959, 1962) и Л. Г. Лой- цянского (1964).
Г. Гертлер в качестве переменных, по степеням которых ведутся разложения, ввел параметры, учитывающие влияние внешней скорости на границе пограничного слоя как дифференциально, так и интегрально. Параметры, предложенные В. Я. Шкадовым, находятся в аналитической связи с параметрами Фокнера. Метод был применен как для несжимаемой жидкости, так и для высокоскоростного потока газа. Параметры, предложенные Л. Г. Лойцянским, дифференциальные по внешнему виду, содержат местную толщину потери импульса в пограничном слое и тем самым учитывают интегрально историю потока в сечениях пограничного
слоя, расположенных вверх по течению. Первый из этих параметров совпадает с принятым в современных однопараметрических методах обобщенным параметром К. Польгаузена, второй аналогичен параметру И. Тани (J. Phys. Soc. Japan, 1949, 4: 3, 149—154). Сходимость рядов, расположенных по степеням любых из только что указанных параметров, обеспечивается лишь при достаточно малых значениях этих параметров, что соответствует движению, близкому к автомодельному, и исчезает при приближении к особой точке уравнений пограничного слоя — точке отрыва слоя. Изучение аналитических особенностей этих рядов, выделение регулярной части и, что особо важно для практических применений, оценка быстроты сходимости получаемых при этом рядов представляют обширное поле для новых, полезных для дальнейшего исследований. Наряду с применениями рядов широкое употребление получили в настоящее время также методы последовательных приближений, основанные на расчленении уравнений и составлении интегралов упрощенных линейных уравнений.
Дальнейшим развитием приближенных аналитических методов явилось исследование Л. Г. Лойцянского (1965), выдвинувшего идею переведения параметров ламинарного пограничного слоя (в частности, только что выше упомянутых) в число независимых переменных для преобразованных дифференциальных уравнений. Такое преобразование позволяет получить уравнения ламинарного пограничного слоя в «универсальном» виде, одинаковом для всех частных заданий распределения продольной скорости на внешней границе слоя. Характерной особенностью этих универсальных уравнений является то, что последовательные «отрезки» этих уравнений, содержащие только один, два, три и т. д. параметра, пр ив о- дят соответственно к однопараметрическому, двухпараметрическому и вообще многопараметрическим решениям, учитывающим последовательно влияние только уклона кривой внешней скорости, затем уклона и кривизны этой кривой и далее более детальные геометрические ее свойства. Рационально обоснованным с этой точки зрения оказывается однопараметрический метод Л. X оу а рта (Proc. Roy. Soc. London, 1938, Al 64: 919, 547—579), использующий класс точных решений с линейным распределением скорости на внешней границе (второй и все следующие параметры равны нулю). Вместе с тем указывается рационально обоснованный путь построения следующих (двухпараметрического и многопараметрических) приближений. Было рассчитано некоторое, промежуточное между однопараметрическим и двухпараметрическим «локально-двухпараметрическое» приближение, представляющее решение универсального двухпараметрического уравнения, в котором сохранен второй параметр, но опущены производные по этому параметру. В этом смысле известное приближенное однопараметрическое решение Н. Е. Кочина и Л. Г. Лойцянского (1942) может рассматриваться как «локально-однопараметрическое» решение универсальных уравнений ламинарного пограничного слоя. График на рис. 7 показывает сравнение кривых зависимости приведенного коэффициента местного трения 之=(Z7/6**) (ди/ду)у==0 от первых двух параметров 九=Ur 6**2/v и /2 = UUf, (6**2/v)2, вычисленных согласно «локально-двухпараметрическому» решению, со старым приближением К, Польгаузена, «локально-однопараметрическим» решением Кочина — Лойцянского и однопараметрическим решением Хоуарта. Как можно заключить из графика, старый польгаузеновский метод более пригоден при /2 V °, что соответствует UU! < 0, т. е. выпуклым кривым распределения внешней скорости U (力)，а «локально-однопараметрический»
(Кочин — Лойцянский)——положительным значениям /2, т. е. вогнутым кривым U (力).
В настоящее время уже рассчитано на электронно-вычислительной машине двухпараметрическое приближение и проверено отличие его от «локально-двухпараметрического». По-видимому, полное двухпараметрическое решение окажется достаточным для большинства практических
Рис. 7. Зависимость приведенного коэффициента местного трения С от параметров пограничного слоя /^ и /2 («локальнодвухпараметрическое» приближение: 2〃一力=—0,05; 26 —力= =-0,}0； ?6 - % = -0,12; 2?-%=—0,14; Id -%=—。，6； le —■ /2 = —'OjlSj 7ж — /2—0,2(); 1з ■—/2—0,22; приближб-
ние Польгаузена — 2; однопараметрическое приближение: За 一 ％ = 0 (Л. Хоуарт)； 36 —■ /2 = 0,005; Зв — /2 ~ 0,011; Зг —■ /2 = 0,018； 3d —■ /2 = 0,026； Зе — % = 0,036； Зж —■ /2 = =0,046; «локально-однопараметрическое» приближение — 4).
применений. Эта мысль находит себе оправдание в том общеизвестном факте, что для сравнительно гладких распределений внешней скорости уже однопараметрическоё приближение можно считать вполне удовлетворительным.
К числу еще недостаточно исследованных областей теории ламинарного пограничного слоя в несжимаемой жидкости следует отнести прежде всего пространственные, существенно трехразмерные задачи, с большим трудом поддающиеся не только приближенным аналитическим методам, но и численным машинным расчетам. Многое еще необходимо сделать в области нестационарных задач теории пограничного слоя. Почти ничего еще не сделано в теории нестационарного распространения струй и образования следов за хорошо обтекаемыми телами.
Особую сложность представляют задачи динамики многокомпонентных смесей вязких жидкостей, а также многофазных смесей жидкостей, газов и твердых частиц даже в упрощенной постановке этих задач без учета сжимаемости сред. В этих случаях много неясностей заключается до сих пор в поведении вязких жидкостей и газов вблизи поверхности раздела фаз и в установлении соответствующих этим явлениям граничных условий.
Наряду с чисто динамической, конечно, должна рассматриваться еще и термодинамическая сторона явлений, заключающаяся в процессах теп- ломассопереноса, сопровождающих движения жидкостей и газов.
Теория пограничного слоя уже заняла свое место в магнитной гидродинамике. Наличие взаимодействия проводящей жидкости или ионизованного газа (плазмы) с заданным внешним магнитным полем не вносит особых трудностей в решение задач теории пограничного слоя. Так же как и в общей динамике жидкости и газа, вопрос усложняется в тех случаях, когда магнитное поле йаперед не задано и для его определения возникает необходимость проводить совместное интегрирование уравнений пограничного слоя и уравнений Максвелла при наличии усложненных граничных условий, проводимости и магнитной проницаемости стенок. Существующие исследования связаны главным образом с запросами техники магнитных генераторов электрического тока и магнитогидродинамических двигателей. Ряд исследований посвящен изучению влияния магнитного поля на обтекание тел проводящей жидкостью (уменьшение области возвратных течений за линией отрыва) и на распространение затопленных струй. Некоторые сведения о пограничном слое в магнитной гидродинамике будут даны в специальной статье настоящего сборника, посвященной проблемам магнитной гидродинамики и механики плазмы и разреженного газа (см. стр. 423—460).
В настоящее время существуют исследования по теории пограничного слоя в неньютоновских жидкостях, но пока они носят формальный характер простого переноса методов пограничного слоя в эту новую область механики жидкостей. Вопросы как общей динамики неньютоновских жидкостей, так и ее приложений в теории пограничного слоя не освещены в настоящем .обзоре.
§ 4・ Ламинарный пограничный слой в сверхзвуковых и гиперзвуковых потоках
Увеличение скоростей летательных аппаратов от небольших дозвуковых скоростей до сравнительно умеренных сверхзвуковых скоростей привело к необходимости учета влияния сжимаемости газа и зависимости коэффициентов переноса (коэффициентов вязкости, теплопроводности) от температуры. Удельная теплоемкость газа при этом может еще рассматриваться как постоянная, не зависящая от температуры. Дальнейший рост скоростей сопровождается таким увеличением температуры газа, что наряду с переменностью плотности и коэффициентов переноса приходится уже учитывать зависимость удельной теплоемкости от температуры.
Переход к гиперзвуковым скоростям вызывает столь значительное повышение температуры газа, что в нем начинают протекать процессы возбуждения колебаний молекул, диссоциации, ионизации и излучения, которые в зависимости от скорости реакций могут быть равновесными или неравновесными.
Возникшие из-за сжимаемости газа и переменности термодинамических и газокинетических свойств трудности связаны прежде всего с необходимостью установления наиболее близких к действительности и в то же время достаточно простых для использования зависимостей коэффициентов удельной теплоемкости, вязкости, теп лопр ов одности (а для смесей газов — и диффузии) от температуры. Вместе с тем решение совокупности уравнений неразрывности, переноса импульса и тепловой энергии,
уравнения состояния (а для смесей газов — еще уравнений диффузии) и необходимость, кроме того, удовлетворения начальным и граничным условиям, представили сложную вычислительную задачу, потребовавшую в начальный период различных приближенных приемов, а в последнее время использования электронно-вычислительной техники.
Большое значение как для упрощения вычислений, так и для уяснения сущности явлений приобрели дифференциальные преобразования уравнений к новым переменным. Эти преобразования сблизили уравнения ламинарного пограничного слоя в газе с соответствующими уравнениями для несжимаемой жидкости.
Первым по времени и наиболее фундаментальным по значению явилось известное преобразование А. А. Дородницына (1942). При некоторых ограничениях (число Прандтля равно еданице, поверхность тела теплоизолирована) уравнения ламинарного пограничного слоя в газе могут быть полностью сведены к уравнениям в несжимаемой жидкости. Важную роль в теоретических исследованиях ламинарного пограничного слоя в газовых потоках (больших скоростей сыграло также преобразование переменных, предложенное Л. Хоуартом (Proc. Roy. Soc. London, 1948, A194 :1036, 16-42). ,
Методы расчета ламинарного пограничного слоя в однородном газе при наличии Произвольного распределения давления во внешнем потоке были предложены рядом советских и зарубежных ученых сразу же после появления преобразования А. А. Дородницына. Простейший приближенный метод для случая теплоизолированной поверхности крылового профиля при числе Прандтля, равном единице, и сравнительно невысоких значениях числа Маха был предложен А. А. Дородницыным и Л. Г. Лой- цянским (1945).
Метод расчета, относящийся к случаю течения однородного газа при произвольном распределении скорости внешнего потока и наличии теплообмена между газом и стенкой, был вскоре разработан, но опубликован значительно позднее А. А. Дородницыным (1957). Среди многих работ на ту же тему укажем исследование В. С. Авдуевского и Р, М. Копят- кевича (I960) и обзорный доклад Г. И. Петрова (1962), представленный Первому Всесоюзному съезду по теоретической и прикладной механике (Москва, I960). Из работ зарубежных авторов наибольшую известность приобрела работа К. Б. Коэна и Э. Решотко (NACA Rept, 1956, № 1293, 1294).
Этот период развития теории ламинарного пограничного слоя в однородном газовом потоке подробно освещен в ранее цитированных монографиях Л. Г. Лойцянского и К. Стюартсона.
Несколько особое место в этой области теории ламинарного пограничного слоя в газовом потоке занимают новые исследования, использующие разложения в степенные ряды по специально выбранным параметрам (В. Я, Шкадов, 1963) и параметрические решения универсальных уравнений пограничного слоя, о которых уже была речь в § 3 (Л. Г. Лой- цянский, 1965). Универсальные уравнения ламинарного пограничного слоя в однородном газе для общего случая теплопередающей поверхности тела с произвольным распределением скорости внешнего потока и при любом числе Прандтля были составлены С. М. Капустинеким (1965). Тем же автором (1966) получены однопараметрическое и «локально-двухпараметрическое» приближения решений системы универсальных уравн<в- ний и на частном примере показано отличие этих решений от менее точного («локально-однопараметрического») решения К. Б. Коэна и Э. Решот-
ко. На рис. 8 это различие показано для иллюстрации на примере расположения точки отрыва при разных значениях числа Маха. На рис. 9 приведено сравнение решения Коэна и Решотко с решением Капустян- ского для некоторого приведенного коэффициента теплопередачи к поверхности тела.
Наряду с аналитическими методами в последние годы получили широкое развитие и численные методы решения задач ламинарного пограничного слоя. Здесь отметим прежде всего работу А. А. Дородницына
Рис. 9. Распределение приведенного коэффициента теплоотдачи (пунктир — по К. Б. Коэну и Э. Решотко, сплошная линия ——по С. М. Капустянскому； 1 — Tw = 1045 °К, Mg = 5; 2 — ?黄=1465 °К, Mg = 6,08).Рис. 9. Распределение приведенного коэффициента теплоотдачи (пунктир — по К. Б. Коэну и Э. Решотко, сплошная линия ——по С. М. Капустянскому； 1 — Tw = 1045 °К, Mg = 5; 2 — ?黄=1465 °К, Mg = 6,08).Рис. 8. Расположение точки отрыва для внешней скорости (пунктир — по К. Б. Коэну и Э： Решотко, сплошная линия — по С. М. Ка- пустянскому； 1 — Tw = 1045 °К;
Рис. 9. Распределение приведенного коэффициента теплоотдачи (пунктир — по К. Б. Коэну и Э. Решотко, сплошная линия ——по С. М. Капустянскому； 1 — Tw = 1045 °К, Mg = 5; 2 — ?黄=1465 °К, Mg = 6,08).
Рис. 9. Распределение приведенного коэффициента теплоотдачи (пунктир — по К. Б. Коэну и Э. Решотко, сплошная линия ——по С. М. Капустянскому； 1 — Tw = 1045 °К, Mg = 5; 2 — ?黄=1465 °К, Mg = 6,08).
.2 — Tw = 1465 °К).
(I960), который предложил новый приближенный метод решения уравнений параболического типа, в том числе и уравнений ламинарного пограничного слоя как в несжимаемой жидкости, так и в газе. Этот метод в настоящее время широко применяется для разнообразных аналитических решений, а также используется как основа для программирования расчетов на электронно-вычислительных машинах.
Непосредственно вопросами программирования занимался В. М. Пас- конов (1963), предложивший стандартную программу для расчета конкретных задач теории ламинарного пограничного слоя. Конечноразностный метод применяли также И, Ю, Браиловская и Л. А, Чудов (1962), Задачи пограничного слоя в газе при больших сверхзвуковых и гиперзвуковых скоростях решали численными методами Ю, Н, Павловский (1962, 1964), Т. С. Варжанская, Е. И. Оброскова и Б. Н. Старова (1963). Пограничный слой на слабо волнистой стенке численным методом изучали В. М. Пасконов и И. П, Сопруненко (1963). Метод конечных разностей для задач нестационарного пограничного слоя применяли В. М. Пасконов и Н. В. Рабинькина (1965). П. П, Корявов (1961) аналогичными методами рассмотрел движения вязкого газа в высокотемпературных струях. Численными методами расчета ламинарных пограничных слоев в несжимаемой жидкости и в газе при наличии отсоса или вдува занимался Лю Шень-цюань (1962).
Особое внимание исследователей привлекают в последнее время проблемы, возникающие при движении в пограничном слое многокомпонентных реагирующих смесей газов при больших сверхзвуковых скоростях, когда в результате сильного разогрева имеют место возбуждение внутренних степеней свободы молекул газа, его диссоциация, ионизация и излучение.
Если время возбуждения этих процессов много меньше характерного времени течения, то пограничный слой можно считать термодинамически равновесным.
Равновесный пограничный слой был наиболее обстоятельно исследован для двух частных случаев — на плоской пластине (при нулевом градиенте давления) и в окрестности критической точки тупоносых тел, причем наибольшее практическое значение и^еет последний случай, так как в окрестности критической точки обычно возникают наибольшие потоки тепла.
Не касаясь проблем, связанных с взаимодействием химически реагирующего пограничного слоя с поверхностью обтекаемого тела, имеющих первостепенное значение для расчета теплозащиты космических аппаратов, рассмотрим лишь основные результаты исследований характеристик стационарного пограничного слоя при гиперзвуковых скоростях на твердой непроницаемой и неразрушаемой стенке. Проблемам теплозащиты в настоящем очерке посвящается отдельный параграф (§ 8).
При изучении влияния равновесных термохимических реакций на характеристики пограничного слоя выявилось два подхода. Первый и» них является, по существу, феноменологическим. Второй, охватывающий значительно более широкий круг явлений, в том числе неравновесные (релаксационные) процессы в газах, является методом кинетической теории газов (в дальнейшем для краткости будем называть этот метод кинетическим).
Феноменологический метод, основывающийся на классических законах механики и термодинамики, а также законах Ньютона, Фурье и Фика, оказывается достаточным для описания большого количества газодинамических явлений. При этом коэффициенты переноса, зависящие от молекулярных свойств газа, входят в феноменологическую теорию как известные наперед константы или функции состояния, которые не могут быть вычислены теоретически, а должны определяться из опыта. При применении феноменологического метода к изучению равновесных термохимических процессов, протекающих в газовых смесях при высоких темпера' турах, далеко не всегда имеются необходимые опытные данные по коэффициентам переноса при таких температурах. Эти данные приходится в таких случаях получать путем расчета кинетическим методом. Это обстоятельство, однако, не меняет феноменологической сущности метода, проявляющейся главным образом через форму дифференциальных уравнений, которая в этом случае совпадает с формой уравнений для однородного газа.
Кинетический метод позволяет определять коэффициенты переноса как функции температуры газовой смеси, молекулярных весов компонент смеси и некоторых параметров, описывающих поле межмолекулярных сил, а также составлять макроскопические уравнения движения рассматриваемого газа.
Из общих уравнений, описывающих движение и процессы переноса в многокомпонентной смеси реагирующих газов, при обычных предположениях получаются уравнения пограничного слоя.
Кинетический метод позволяет принципиально рассчитать любой возможный случай движения многокомпонентной реагирующей смеси газов при высоких температурах. Основные трудности, возникающие при проведении практических расчетов, обусловливаются отсутствием или неполным знанием различных молекулярных параметров,— таких, например, как потенциалы взаимодействия (электронов с атомами, электронов с молекулами и т. д.), которые необходимы при расчете коэффициентов переноса,— а в случае учета излучения отсутствием спектральных данных.
В качестве примера использования феноменологического метода можно указать на работу Л. Мура (J. Aeronaut. Sci., 1952, 19 : 8, 505—518; русский перевод в сб. перев. «Механика», 1953, № 5), в которой, по-види- мому, впервые было исследовано влияние равновесной диссоциации на характеристики ламинарного пограничного слоя плоской пластинки. Исследование Мура охватило диапазон чисел Маха от 1 до 20. Уравнения ламинарного пограничного слоя преобразовывались так, чтобы их можно было решать на моделирующих счетных машинах и использовать экспериментальные данные об изменении свойств воздуха с температурой. При температурах более высоких, чем те, для которых в то время имелись данные, изменения свойств воздуха рассчитывались на основе кинетической теории. Было обнаружено, что учет переменности теплоемкости газа с температурой приводит к значительному уменьшению теплопередачи и мало сказывается на коэффициенте сопротивления.
Численное решение задачи о теплообмене и трении на плоской пластинке при наличии равновесной диссоциации и в замороженном потоке было получено в работе В. П. Мотулевича и Г. П. Малышева (1961). При расчетах использовались табулированные свойства воздуха в диапазоне температур от 200° до 8000° К при двух значениях давления (1 и ОД атм).
Проведенные исследования показали, что диссоциация молекул приводит к существенному уменьшению максимальной температуры в пограничном слое по сравнению с замороженным течением и слабо влияет на сопротивление пластинки. Что касается теплообмена, то это влияние также оказывается слабым до тех пор, пока температура поверхности не достигнет значений, при которых имеет место, диссоциация.
Важную роль в исследованиях течений равновесно дисс оциир ов ан - ного газа сыграла модель идеально диссоциирующего газа, предложенная Дж. Лайтхиллом (J. Fluid Meeh., 1957, 2 :1, 1—32; русский перевод: Вопр. ракетн. техн., 1957, № 5), впоследствии обобщенная на случай неравновесной диссоциации.
Большое количество теоретических и экспериментальных работ было посвящено исследованию характеристик ламинарного пограничного слоя в окрестности критической точки тупоносого тела. Рядом авторов ) были предложены приближенные формулы, позволяющие рассчитать тепловой поток в окрестности критической точки в зависимости от условий во внешнем потоке и вблизи стенки. Наиболее широкую известность получила формула Фея и Ридделла, выведенная на основании анализа численных расчетов в предположении, что числа Прандтля Рг и Льюиса Le постоянны. Эта формула имеет вид
3°，76Pi(色—陽)(*)1M [pm 階)s「U +(Le。》1)第],
где qw — тепловой поток в точке торможения, h — энтальпия, р — плотность, 卩一коэффициент динамической вязкости, и — скорость,无* — средняя энергия диссоциации атомов, умноженная на массовую концентрацию атомов во внешнем потоке (индексы: е — условия в невозмущенном потоке, w — стенка, s — точка торможения в набегающем потоке).
В более строгих исследованиях учитывалась переменность чисел Прандтля и Льюиса в пограничном слое, а коэффициенты переноса и термодинамические функции воздуха вычислялась в процессе решения уравнений как функции температуры и местного состава газа.
Случай равновесной диссоциации в пограничном слое газа при произвольном распределении скорости на внешней границе пограничного слоя по методу универсальных уравнений был рассмотрен Н. В. Кривцовой (1966).
Влияние каталитической способности поверхности носовой части тела, обтекаемой замороженным потоком, было исследовано Р. Гулардом (Jet Propulsion, 1958, 28:11, 737—745; русскир перевод: Вопр. ракетн. техн., 1959, № 5), применившим для этой цели уравнение баланса потока массы атомов на стенку и каталитической их абсорбции на стенке, пропорциональной первой степени концентрации атомов на стенке.
Подробное, изложение некоторых из перечисутенных результатов можно найти в монографиях Л. Г. Лойцянского «Ламинарный пограничный слой» (1962) и В. Дорранса «Гиперзвуковые течения вязкого газа» (1962; русский перевод: М., 1966), а также в работе Б. В. Алексеева (1967).
Если время возбуждения внутренних степеней свободы, диссоциации или ионизации газа сравнимо с характерным временем обтекания, то необходимо рассматривать влияние самих релаксационных процессов на течение в пограничном слое.
Строго говоря, для описания неравновесных течений надо пользоваться некоторыми обобщенными уравнениями сплошной среды, полученными на основе системы кинетических уравнений Больцмана с учетом релаксационных процессов. Схема вывода таких уравнений приводится С. В. Валландером и Е. А. Нагнибеда (1963), С. В. Валландером, И. А. Егоровой и М. А. Рыдалевской (1964), В. Н. Жигулевым (1964), М. Н. Коганом (1965).
Однако трудности при построении таких уравнений привели к тому, что для описания неравновесных течений пользуются обычной системой уравнений пограничного слоя, учитывая в них релаксационные эффекты в коэффициентах вязкости и теплопроводности. При этом изменение концентраций и внутренних энергий отдельных компонент описывается системой диффузионно-релаксационных уравнений.
Значительные трудности возникают также при постановке гранйчных условий на обтекаемой поверхности.
В отличие от чисто гомогенных реакций в самом потоке, на поверхности определяющими являются гетерогенные реакции, рассмотрение которых гораздо сложнее. Подробный обзор современного состояния вопроса о кинетике гетерогенных реакций на каталитических поверхностях содержится в статье Д. Рознера (AIAA Journal, 1964, 2 :4, 593—610; русский перевод: Ракетн. техн, и космонавтика, 1964, № 4).
Наиболее подробно исследована диссоциационная релаксация в пограничном слое. При этом всегда предполагалось, что колебательные степени свободы находятся в состоянии равновесия. Такое предположение значительно упрощает решение задачи.
В действительности процессы колебательной и диссоциационной релаксации тесно связаны друг с другом. Термодинамическое состояние колебательных степеней свободы определяет скорости химических реакций, а последние в свою очередь влияют на изменение средней колебательной энергии.
Вывод уравнений ламинарного пограничного слоя с учетом одновременного протекания колебательной и диссоциационной релаксации для двухатомного газа дан Ю. П. Лунькиным и С. Б. Колешко (1966)； лозднее (1967) этими же авторами получены уравнения и для многокомпонентной смеси.
Среди первых работ, посвященных исследованию неравновесного обтекания затупленных тел, следует отметить уже цитированную выше работу Дж. Фея и Ф. Ридделлагв которой наряду с решениями для замороженного (каталитическая и некаталитическая поверхности) и равновесного (каталитическая поверхность) течений получено решение и для неравновесного (конечная скорость рекомбинации) пограничного слоя. Найдено, что для некаталитической поверхности тепловой поток в «замороженном» пограничном слое значительно меньше, чем в равновесном.
Дальнейшее исследование уравнений неравновесного пограничного слоя шло как по пути построения различных приближенных решений, предложенных В. П. Стуловым (1961), Ю. П. Лунькиным и Янь Си-цинем (1963), Л. А, Ладновой (1964), так и по пути разработок точных численных схем решений. В этом направлении следует отметить работы А. А. Дород- ьицына (1957), И. Ю. Браиловской и Л. А. Чудова (1962), А. И. Толстых {1966). При этом, как отмечает ряд авторов, все эти схемы требуют большого машинного времени.
Широкое использование численных методов позволило получить много интересных результатов.
Так А. Паллоне (J. Aerospace ScL, 1961, 28:6, 449—456) рассмотрел mho го ко мпо нентный пограничный слой на конусе, помещенном в воздушный петой, в котором протекают реакции диссоциации и ионизации. Поверхность предполагалась холодной и «абсолютно» каталитической. Было найдено, что при неравновесном течении на каталитической поверхности основную роль в распределеции концентраций всех компонент играет диффузия, при этом, если одна из компонент является преобладающей, то можно пользоваться моделью бинарной смеси. ■
Расчет пограничного слоя при одновременном протекании колебательной и диссоциационной релаксации приведен в работе Ю. П. Лунькина и С. Б. Колешко (1966). Рассмотрено обтекание пластинки чистым двухатомным газом. В этой работе решение ищется в виде рядов по параметру релаксации (отношение времени релаксации к характерному времени течения) вблизи равновесного и «замороженного» состояния. Найдено, что при колебательно-диссоциационной релаксации течение более неравновесно ,чем только при диссоциационной релаксации. Для теплоизолированной пластинки профили газодинамических величин оказываются более чувствительными к изменению параметра релаксации, чем в случае пластинки с заданной температурой.
Как видно из сказанного, изучецие неравновесных процессов в вязком газе находится еще в начальной стадии. Для детального понимания физической сущности неравновесных процессов необходимо преодолеть, как это уже отмечалось выше, значительные трудности. На пути преодоления этих трудностей предстоит еще многое сделать. Конечной целью ближайших исследований должно явиться использование результатов 34 Механика в СССР, том 2
статистической механики и квантовой теории как основных источников составления рациональной системы уравнений и граничных условий теории неравновесных аэротермодинамических процессов в вязких газахг движущихся с гиперзвуковыми скоростями.
Наряду с указанным углублением в физическую сущность явлений релаксации предстоит еще преодолеть трудности перехода от простейших автомодельных задач к более общим, соответствующим обтеканию тел произвольной формы и, особенно, пространственным трехразмерным потокам.
Взаимодействие ламинарного пограничного слояс внешним невязким гиперзвуковым потоком
В безотрывных течениях около тел при больших числах Рейнольдса и умеренных числах Маха вязкость и теплопроводность газа обычно играют существенную роль лишь в узких областях ударных волн и пограничного слоя, оставляя поле течения вне этих зон практически невязким и не подверженным их влиянию. Это дает возможность разделить задачу обтекания тел на две самостоятельные части: определение «внешнего» поля течения на основе уравнений движения невязкого газа и расчет течения в пограничном слое с известным продольным градиентом давления. Однако такая картина течения может перестать соответствовать действительности при уменьшении числа Рейнольдса, а также при больших сверхзвуковых скоростях, когда число Маха невозмущенного потока Ms》1・ Это прежде- всего связано с тем, что оба эти эффекта приводят к возрастанию толщины пограничного слоя: в первом случае из-за увеличения относительной роли сил трения, во втором случае из-за интенсивного роста температур и уменьшения плотности газа в пограничном слое. В результате этого возрастает вытесняющее воздействие пограничного слоя на внешний поток, а на поверхности тела реализуется новое распределение давления, которое в свою очередь оказывает влияние на течение внутри пограничного слоя. Описанное явление обычно называется взаимодействием пограничного' слоя с внешним невязким потоком.
Помимо такого взаимодействия через давление, могут иметь месте и другие явления, обусловленные возросшей толщиной пограничного слоя. Так, например, при расчете пограничного слоя на тонких телах может стать существенным учет поперечной кривизны их поверхности; если внешний поток является сильно завихренным (как, например, при обтекании затупленных тел), это может привести к эффекту так называемого вихревого взаимодействия, связанному с учетом изменения продольной скорости на внешней границе пограничного слоя и т. п.
При исследовании всех этих явлений пограничный слой можно полагать ламинарным, поскольку они имеют место при относительно малых числах Рейнольдса и больших числах Маха.
Ниже будут рассмотрены результаты (в основном отечественных} исследований, проведенных в указанных областях в течение последних 10—15 лет. Первые основополагающие работы по вопросам взаимодействия пограничного слоя с невязким гиперзвуковым потоком были связаны с анализом плоских и осесимметричных течений около тонких заостренных тел. В этом случае удается достаточно просто выделить параметры, управляющие течением, и установить соответствующие законы подобия. Как известно, фундаментальным параметром подобия для тонких аффинно-подобных тел в невязком гиперзвуковом потоке совершенного
газа является параметр К = М а>т, где т — относительная толщина тела. Подобие течений в условиях взаимодействия пограничного слоя с внешним потоком сохранится только в том случае, если, помимо параметра К, будет фиксировано отношение толщины пограничного слоя к толщине тела. Как было впервые показано в работе В. В. Лунева (1959), это условие выполняется (для совершенного газа) при сохранении, постоянства параметров %= СМ«/ИRe» и to = TWITQ. В первом из этих параметров Res— число Рейнольдса, подсчитанное по длине тела и условиям в невоз* мущенном потоке (Re<« = psUs厶/卩8), C — константа пропорциональности в законе линейной зависимостм коэффициента вязкости от температуры (卩/卩8 = CT/Tg); второй параметр представляет собой отношение температуры поверхности тела к температуре торможения. Этот закон подобия был в дальнейшем обобщен на случай степенной зависимости вязкости от температуры, а также на случай реального газа с переменными теплоемкостями.
Рассмотрим некоторые важные частные случаи* Если поверхность тела является теплоизолированной (случай, близкий к условиям эксперимента в аэродинамических трубах) или абсолютно холодной (случай, близкий к условиям реальных движений в атмосфере), то течение перестает зависеть от параметра(о и единственным параметром вязкого взаимодействия остается %. Именно его величина определяет интенсивность взаимодействия, т. е. степень влияния пограничного слоя на распределение давления по поверхности тела.
При умеренных гиперзвуковых скоростях (К《1) вс больших числах Re« этот параметр мал (%《1) 0 распределение давления по поверхности тела мало отличается от исходного, соответствующего обтеканию тела невязким газом. Это ——случай так называемого слабого взаимодействия* Его исследование является наиболее простым. Математически решение для слабого взаимодействия может быть построено в виде разложения по положительным степеням малого параметра %, причем исходным (%->0) является классическое приближение, когда взаимодействие вообще отсутствует. В такой постановке был решен широкий круг задач обтекания различных тел. Обзор работ этого направления можно найти в монографиях У. Хейза и Р. Пробстейна «Теория гиперзвуковых течений» (1959; русский перевод: М., 1962) и В. П. Шидловского (1965); из отдельных работ укажем на статьи В. В. Лунева (1959) и В. С. Николаева (1962).
Другим предельным случаем является течение при числе Маха Mg->8・ При сколь угодно большом, но фиксированном числе Re«> параметр % также неограниченно возрастает и эффекты взаимодействия становятся наибольшими. Это — случай так называемого сильного взаимодействия, когда толщина пограничного слоя сравнима или превосходит толщину обтекаемого тела. Малым параметром, по которому обычно строится асимптотическое разложение для этого случая, является 1/у, причем исходным должно служить предельное решение, полученное при М8foо на основе совместного рассмотрения течения в пограничном слое и внешнем потоке. В ряде случаев это решение оказывается автомодельным. К их числу относится задача обтекания полубесконечной пластины, а также задача обтекания тонкого тела вращения степенной формы г 〜 z3/', рассмотренная в работе В. В. Лунева (I960). В условиях сильного взаимодействия может стать существенным учет скольжения газа и скачка температуры на поверхности тела, так как эти эффекты пропорциональны величине PCMJMRes, которая в этом случае, как показано в монографии В. П. Шидловского (1965), может быть уже не
малой. Их изучению посвящены работы В. С. Галкина (1964) и В. П. Шид- ловского (1958, 1961). Из других исследований, заключающих решения различных задач теории сильного взаимодействия в плоских и осесимметричных течениях, отметим работы В. С. Галкина (1961), А. А. Богачевой и В* С. Галкина (1962), Г. А* Кулонена (1958).
Во всех цитированных работах задача о сильном взаимодействии рассматривается в первом приближении, т* е*, по существу, анализируется лишь главный член асимптотического разложения уравнений Навье —— Стокса по параметру 1/%?е8 (при М8f 8)・ Попытка учета следующих членов такого разложения (совместных с условиями применимости модели сплошной среды) была недавно предпринята в работе Н* С. Матвеевой и В. В. Сычева (1965),
Весьма важные и интересные результаты были получены при исследовании влияния вязкости в некоторых случаях трехмерных течений газа. Так, в работах М. Д* Ладыженского (1964, 1965) был впервые исследован случай вязкого обтекания треугольной пластины при нулевом угле атаки и было показано, что в условиях сильного взаимодействия в пограничном слое пластины возникают ицтенсивные поперечные токи, направленные к ее плоскости симметрии. «Скопление» масс газа в этой области приводит к образованию «жидкого тела» и связанному с этим образованию вторичных ударных волн.
В другой работе М. Д. Ладыженского (1963) было обнаружено, что при обтекании тонких тел вращения под малыми углами атаки эффект сильного взаимодействия приводит к исчезновению поперечных сил и моментов* Это объясняется тем, что в пограничном слое вследствие исчезающе малой плотности не могут возникать сбалансированные инерционными силами азимутальные градиенты давления* В результате тело как бы поворачивается внутри толстого пограничного слоя, оставляя форму его внешней границы осесимметричной.
Все перечисленные исследования в основном относились к задачам обтекания тонких заостренных тел в условиях слабого или сильного взаимодействия. Несколько более сложными для аналитического исследования являются такие промежуточные режимы взаимодействия, которые не могут рассматриваться как сильные или слабые (% 〜1), а также случаи обтекания нетонких заостренных тел. Практически в этих случаях приходится использовать различные приближенные методы расчета пограничного слоя и внешнего потока. Из работ этого направления следует отметить, помимо общего исследования В. В. Лунева (1959), уже, цитированную выше работу В* С. Николаева (1962), а также интересные экспериментальные исследования обтекания тел различных конфигураций, выполненные В* Н. Гусевым, Т. В* Климовой, А. С* Королевым, С* Г. Крюковой и В. С. Николаевым (1965) и В. С. Галкиным, В. Н. Гусевым, Т. В. Климовой (1965) в аэродинамической трубе малой плотности.
На рис. 10 в качестве примера приведено, заимствованное из работы В. С. Галкина и др. (1965) сравнение теоретических (по В. С. Николаеву, 1962) и э кспериментальных данных для величины сопротивления конуса в сверхзвуковом потоке с малыми числами Рейнольдса. Эти данные приведены в виде зависимостей с^/02 — F (02 /Re。)，где 0 ——угол полу раствора конуса, Reo = PsUs厶/卩о, а 卩о— коэффициент вязкости при температуре торможения. Заметим, что с точностью до постоянного множителя 02/Reo ~ К^!ъ что соответствует закону подобия В. В. Лунева (1959), Как видно из приведенного сравнения, теория взаимодействия обеспе-
чивает вполне удовлетворительный учет эффектов вязкости даже при весьма малых числах Re».
Значительно более сложной в теоретическом отношении является задача о вязком гиперзвуковом течении газа около тонкого, но затупленного тела. В этом случае пограничный слой на его поверхности развивается в условиях больших поперечных градиентов энтропии (а следовательно, скорости и температуры), обусловленных действием затупления
Рис. 10. Сравнение теоретических и экспериментальных данных для величины коэффициента сопротивления конуса в сверхзвуковом потоке с малыми числами Рейнольдса,
на внешний поток (энтропийный слой). Вытесняющее воздействие пограничного слоя будет при этом сильно изменяться с изменением относительного' расстояния от передней затупленной кромки тела. Иными словами, здесь могут одновременно иметь место все режимы взаимодействия от слабого (вблизи переднего конца тела) до сильного. Задача ата характерна еще и тем, что сильная завихренность потока вне пограничного слоя делает существенным учет вихревого взаимодействия, что значительно осложняет проблему сращивания решений для пограничного слоя и внешнего потока. Сказанным объясняется то, что первые работы, посвященные проблеме обтекания тонких затупленных тел вязким гиперзвуковым потоком, носили весьма приближенный характер: для упрощения задачи в них применялась довольно грубая схематизация течения в ударном и энтропийном слоях (И. Н. Мурзинов, 1961), а соответствующие законы подобия, строго говоря, не могли быть распространены на все поля течения (В, В. Лунев, 1961),
Влияние завихренности внешнего потока на характер течения в пограничном слое изучалось как в связи с рассматриваемой задачей о тонком затупленном теле, так и в более общих случаях (И. В. Петухов и А. Л. Анкудинов, 1961),
В последние годы была также предпринята попытка более строгого анализа обратной задачи о течении газа за ударной волной заданной формы (соответствующей вязкому обтеканию некоторого тонкого затупленного тела, контур которого определялся в процессе решения). В, С. Николаевым (1961) в такой постановке были исследованы различные режимы осесимметричного течения за параболическим скачком уплотнения.
По-видимому, плодотворной является также идея интегрирования системы уравнений, включающей все члены, необходимые для правильного описания как внешнего невязкого потока (включая течение в высокоэнтропийном слое), так и течения в пограничном слое. Такой подход полностью исключает уже отмеченную выше трудность, связанную со сращиванием решений в различных областях потока.
Все упомянутые исследования относятся к анализу поля течения на расстояниях, достаточно больших по сравнению с размером затупления переднего конца тела. Исследование течения в окрестности затупления представляет собой совершенно иную проблему и связано с изучением обтекания сильно затупленного тела при относительно малых числах Рейнольдса. Поскольку обтекание тупого тела сопровождается образованием весьма интенсивных ударных волн, то уже при сравнительно неболь» ших гиперзвуковых скоростях с большой точностью выполняется принцип независимости течения от числа Маха (В, В, Сычев, 1961), Это позволяет несколько упростить исходйые соотношения и выявить основной параметр взаимодействия. Для совершенного газа и степенной зависимости коэффициента вязкости от температуры 卩/卩8 = С (T/Tg” таким, параметром является величина е = %СМ 2>^Re», где в качестве характерной длины при определении числа Re» принят характерный размер тела. С другой стороны, величина е2 имеет порядок отношения средней длины свободного пробега (для условий за прямым скачком уплотнения) к размеру тела, откуда следует, что условием применимости уравнений сплошной среды является малость величины е (е《1), Таким образом, в этом случае естественно искать решение в виде асимптотических разложений по параметру е,
М. Ван-Дайк (в сб. «Hypersonic flow research», 1962) использует с этой целью метод внутренних и внешних асимптотических разложений, позволяющий точно сформулировать условия сращивания функций, описывающих течение в пограничном слое и внешнем невязком потоке. Первым приближением является при этом классическая задача обтекания тела без учета взаимодействия. Второе приближение учитывает вытесняющее воздействие и все вторичные эффекты в пограничном слое. Строго говоря, это приближение исчерпывает ту точность, с которой задача может быть решена на основе уравнений Навье — Стокса, поскольку следующие члены разложений уже имеют порядок величин, учитываемых в уравнениях Барнетта, Тем не менее некоторые численные расчеты указывают на то, что использование более полных уравнений (включающих ряд таких членов) практически позволяет существенно продвинуться в область режимов, промежуточных между течениями сплошной среды и разреженного газа. Это обстоятельство, вызвало в последние годы большой интерес к проблеме решения различных задач на основе уравнений Навье — Стокса или их упрощенных аналогов. Из работ этого направления, помимо статьи С. Чжена (IAS Paper, 1963, № 63—92), содержащей подробный обзор иностранных работ, следует указать на исследования В, П. Шидловского (1962), И. Н. Мурзинова (1962, 1963), а также работы А. И. Толстых (1964, 1966), в которых сделана попытка численного решения системы уравнений, наиболее близкой к полной системе уравнений Навье — Стокса. Развитие численных методов и совершенствование ЭЦВМ позволяют рассчитывать на достаточно полное исследование этой сложной проблемы уже в ближайшие годы. Однако следует иметь в виду, что здесь встречаются трудности не только вычислительного характера. Дело в том, что постановка любой задачи обтекания в рамках полных
уравнений Навье ——Стокса требует задания граничных условий «всюду» на бесконечности, в том числе и в области следа. Исследование асимптотического поведения решения в этой области оказывается достаточно про- -стым лишь для предельного случая течения при Msf 8, когда имеет место аналогия с нестационарной задачей о сильном взрыве в вязком теплопроводном газе (В. В. Сычев, 1961, 1965). Другим обстоятельством, облегчающим решение любой задачи обтекания при M^f °°, является пространственная ограниченность области возмущенного движения, отделенной в этом случае от невозмущенного потока поверхностью фронта (В. В. Сычев, 1961). Таким образом, исследование этого предельного случая течения может служить первым шагом в решении задачи обтекания тела яа основе полных уравнений Навье —— Стокса.
Турбулентный пограничный слой в потоках жидкостей и газов
Проблема турбулентного пограничного слоя приобрела к настоящему времени благодаря все возрастающему ее прикладному значению большую актуальность.
Основная задача теории турбулентного пограничного слоя (создание обоснованных методов расчета сопротивления трения, теплоотдачи и переноса вещества с поверхности тел) осталась неизменной, однако круг технических проблем, подлежащих разрешению, неизмеримо расширился и включает в настоящее время ряд проблем, стоящих, в частности, перед лдерной энергетикой и ракетной техникой.
Несмотря на наличие некоторых успехов в разработке методов расчета турбулентного пограничного слоя, приходится, к сожалению, отметить, нто в теоретическом плане проблема турбулентного пограничного слоя 《как и проблема турбулентности вообще) все еще остается далекой от своего разрешения. Необычайная сложность механизма турбулентности не позволила до настоящего времени создать сколько-нибудь рациональную теорию, .с помощью которой можно было бы рассчитывать турбулентный пограничный слой. Существующие статистические, в частности, спектральные методы еще не дошли до такой степени разработанности, чтобы можно было их применять для расчета турбулентного пограничного слоя «см. статью А. С. Монина и А. М. Яглома «Механика турбулентности» в настоящем томе, стр. 461—505).
В основе наиболее употребительных в теории турбулентного пограничного слоя полуэмпирических теорий лежит допущение об их дифференциальной сущности, заключающейся в том, что механизм чисто турбулентного (молярного) переноса количества движения полностью определяется заданием местных значений производных от осредненных скоростей по поперечной к направлению потока координате и физических констант жидкости. Величина самой осредненной скорости движения жидкости в рассматриваемой точке установившегося потока, как скорость поступательного равномерного движения системы координат, которую можно мысленно связать с рассматриваемым движущимся слоем, не может иметь влияния на механизм турбулентного переноса. Кроме того, обычно предполагается, что в достаточном удалении от твердой поверхности молярный обмен настолько превалирует над молекулярным, что можно пренебречь обычной вязкостью и теплопроводностью по сравнению с их турбулентными аналогами.
Для расчета «пристеночной» турбулентности приходится дополнительно использовать представление о ламинарном подслое как области
чисто молекулярного обмена, расположенной непосредственно вблизи твердой поверхности и резко отличающейся по механизму обмена от граничащего с ней «турбулентного ядра» потока с характерным для него чисто молярным перемешиванием. Т. Карман при исследовании теплопере- носа в пристеночной области ввел промежуточную «буферную» областьг отобрав для нее более половины старого ламинарного подслоя и часть. турбулбитного ядра. Сравнение «трехслойной» теории Кармана с опытными данными показало преимущество этой теории перед «двухслойной^ теорией Прандтля ——Тейлора. Если формула Прандтля ——Тейлора уже при значениях числа Прандтля порядка двух дала заметные отклонения от опытных данных, то формула Кармана оказалась применимой вплоть до чисел Прандтля порядка десяти-пятнадцати.
Как показало последующее развитие теории и эксперимента, причиной расхождения теории Кармана с опытными данными при Рг > 15 являлось пренебрежение в теории Кармана наличием в пристеночной области турбулентных пульсаций, которые вследствие малой молекулярной теплопроводности жидкости, несмотря на свою малость, играют существенную роль в механизме переноса тепла. В. Г. Левич (1943) пришел к выводу, что коэффициент турбулентного перемешивания должен при приближении к стенке убывать по закону четвертой степени расстояния от стенки. Обширные опытные данные по тепло- и массопереносу подтвердили справедливость этого закона.
В работах Л. Г. Лойцянского (1960, 1962) гипотеза локальности? турбулентного переноса, лежащая в основе полуэмпирической теории Прандтля ——Кармана, была распространена на случай, когда молекулярные и молярные процессы количественно сравнимы друг с другом во всей области течения и пренебрегать их взаимодействием нельзя. Таким образом была установлена возможность построения теории турбулентнога переноса, не связанной с разбивкой потока на дискретные слои.
Сравнение результатов расчета тепло- и массообмена по теории Л. Г. Лойцянского с имеющимися опытными данными показало хорошее совпадение теории с экспериментом.
Большой практический интерес, главным образом в связи с потребностями атомной энергетики, представляют процессы переноса тепла и вещества в турбулентном пограничном слое при очень малых значениях чисел Прандтля и Шмидта, что соответствует таким носителям тепла, как жидкие металлы и сильно ионизованные газы. По этому вопросу имеется обширная литература, относящаяся главным образом к экспериментальным исследованиям. Систематическое изложение результатов, получен* ных в этой области до 1955——1956 гг., содержится в монографии С. С. Кутателадзе и др. (1958).
В настоящее время одним из наиболее серьезных аспектов проблемы расчета тепло- и массообмена при течении жидкостей с очень малымк числами Прандтля и Шмидта является необходимость учета влияния на тепло- и массообмен возникающих при движении в трубах на контактных поверхностях тонких пленок, главным образом окислов.
Внимание исследователей продолжает до сих пор привлекать проблема расчета турбулентного пограничного слоя в несжимаемой жидкости： при наличии произвольного распределения продольной скорости на внешней границе слоя, включая наиболее трудную часть этой проблемы —— определение точки (в пространственном потоке — линии) отрыва. В основе- принятых методов наряду с применением полуэмпирической теории турбулентности Прандтля — Кармана лежит использование интегральных
соотношений (сохранения массы, импульса, энергии), выводимых из осред- ненных уравнений турбулентного движения и тепломассопереноса путем интегрирования их поперек пограничного слоя. Число неизвестных величин, содержащихся в этих интегральных соотношениях, обычно превосходит число уравнений, а все попытки уменьшить число неизвестных путем использования дополнительных уравнений (в частности, уравнений,, выведенных из статистической теории турбулентности) пока еще не получили достаточного развития. Чтобы сделать задачу определенной, предпочитают привлекать дополнительные экспериментальные материалы, что придает существующим методам расчета турбулентного пограничного слоя эмпирическую окраску.
Основное значение в этих методах приобретает прежде всего выбор семейств профилей скорости, температур, или концентраций, которые- могли бы быть использованы для подстановки в интегральные соотношения вместо действительных, остающихся неизвестными. При современном, состоянии теории уже сам этот выбор представляет трудную задачу. Так, для задания поля скоростей широко пользуются соображениями подобия и размерности, выбирают для профилей скорости в сечениях пограничного слоя одночленные степенные формулы с показателем степени и коэффициентом, зависящими от параметра, равного отношению- величин толщины вытеснения к толщине потери импульса, и аналогичные по типу формулы для коэффициента сопротивления. Иногда для той же цели используют логарифмическую формулу распределения скоростей и логарифмический закон сопротивления. Существуют методы, основанные на компоновке профиля скорости из трех частей: внутренней (пристеночной) ,не зависящей от наличия перепада давления вне слоя, переходной и внешней, выбранных путем модификации профилей скоростей в аэродинамическом следе за телом, а иногда только из внутренней и внешней.
Только что указанный параметр наряду с рейнольдсовым числом, построенным по толщине потери импульса, и параметром местной относительной шероховатости поверхности иногда вводится в эмпирическую формулу местного напряжения трения. Учет местного напряжения трения на поверхности тела позволяет получить семейства профилей скорости, лучше выражающие особенности пристеночной области. К такому типу относятся эмпирические формулы для безразмерного «дефекта» скорости^ отнесенного к «динамической скорости». В этих формулах в качества параметров используются отношения интегралов от степеней безразмерного дефекта скорости по сечению слоя, играющие ту же роль, что и ране。 упомянутое отношение толщин вытеснения и потери импульса.
Для задания распределения напряжения трения внутри пограничного слоя многие авторы непосредственно пользовались безразмерными формулами, представляющими турбулентный аналог ламинарного распределения трения. Как показали сравнения с экспериментальными данными, такой простой перенос формул ламинарного слоя в турбулентнук> область не всегда себя оправдывает. Наличие ламинарного подслоя приводит к формуле распределения напряжения трения по сечению турбулентного пограничного слоя, содержащей наряду с основным параметром турбулентного слоя и его производную по продольной координате, местный коэффициент трения на стенке и безразмерную осредненную скорость. Были также попытки составления дифференциальных уравнений, но основанных на каких-либо полуэмпирических соображениях или на теоремах сохранения, а представляющих просто результаты обработки
экспериментов. Можно было бы указать около двух десятков форм такого рода эмпирических дифференциальных уравнений, предложенных для турбулентного пограничного слоя в несжимаемой жидкости различными -авторами за последние 20 лет.
Только в самое последнее время появились попытки использования экспериментальных материалов по статистическому изучению внутренней структуры турбулентного потока в пограничном слое. В частности, на -основании статистической обработки этих материалов стараются установить связь между величинами, выражающими диссипацию энергии турбулентных пульсаций, ее конвективный перенос и другие локальные статистические осредненные характеристики микроструктуры турбулентного пограничного слоя, с его макрохарактеристиками. Эти дополнительные связвс должны в какой-то мере заменить недостающие уравнения турбулентного пограничного слоя и сделать методы его расчета более убедительными. Сейчас еще трудно говорить о результатах этого направления, но сами по себе исследования, обращающиеся в глубь явлений, происходящих в турбулентном пограничном слое, и объединяющие полуэмпири- ческие методы со статистическими, являются многообещающими.
Обзор довоенных приближенных методов расчета турбулентного лограничного слоя, основанных на применении интегрального соотношения импульсов и использовании степенных или логарифмических профилей скорости в сечениях пограничного слоя, можно найти в монографиях -Л. Г. Лойцянского (1941) и Г. Шлихтинга (см. ссылку на стр. 509).
В дальнейшем появился ряд методов расчета турбулентного пограничного слоя в несжимаемой жидкости, как, например, методы Л. Е. Кали- хмана (1943), А. П. Мельникова (1944), Л. Г. Лойцянского (1945), Л. М. Зысиной-Моложен (1952), К. К. Федяевского и А. С. Гиневского 《1957) и др. Однако можно заметить, что во всех этих работах наиболее трудная задача ——определение точки (линии) отрыва турбулентного лограничного слоя ——остается до сих пор мало разработанной. Обзор более поздних, главным о6раз、м зарубежных, работ можно найти в специальных статьях Ю. Ротта и Г. Шубауера и Ч. Чженя ).
Конечно, наибольший интерес и внимание исследователей и инженеров в последние годы привлекают проблемы, связанные с движениями в турбулентном пограничном слое однородных и неоднородных газов с большими, особенно гиперзвуковыми, скоростями. В этих случаях, как и в ламинарном пограничном слое, в зонах высоких температур существенную роль могут играть различные физико-химические процессы, такие как диссоциация молекул, химические реакции между молекулами и атомами, ионизация и т. д. Кроме того, в некоторых случаях необходимо учитывать процессы, происходящие на поверхности тела, например, оплавлецие и испарение (сублимация) поверхностного слоя, каталитические реакции на стенке, вдув инородных газов сквозь пористую стенку 乎 т. п. Для описания, хотя и неполного, процессов турбулентного переноса, сопровождающихся столь сложными физико-химическими явлениями, оказывается необходимым использовать существенно более сложную, чем для течений несжимаемойжидкости, систему уравнений, включающую уравнение неразрывности для смеси газов, уравнения неразрыв-
жости для каждой компоненты, уравнение движения, уравнение переноса энергии и уравнение состояния, причем вывод этих уравнений производится с помощью хорошо известных приемов осреднения (см., например, А. С. Монин, А. М. Яглом, 1965) системы уравнений переноса в многокомпонентной смеси реагирующих газов.
Следует отметить, что при йыводе уравнения переноса энергии в исходном уравнении обычно опускают член в выражении вектора плотности потока энергии, характеризующий перенос энергии посредством диффузионного термоэффекта (эффект Дюфура). Кроме того, в процессе осреднения во всей системе пренебрегают членами, содержащими тройные произведения пульсационных величин, и пульсациями вязкости, теплопроводности и диффузии по сравнению с их осредненными значениями.
Последнее упрощение обусловливается тем обстоятельством, что в турбулентных потоках молекулярные свойства среды играют существенную роль лишь в пристеночной области, где пульсации резко затухают.
Использование полученной таким образом системы уравнений осред- ненного турбулентного движения многокомпонентной реагирующей смеси газов не представляется возможным без некоторых упрощений, обоснованность которых далеко не является очевидной. Более того, основываясь на том, что наши знания о природе и характере турбулентности не позволяют оценить в настоящее время вклад в процессы турбулентного переноса членов уравнений, содержащих пульсации плотности, этими членами в уравнениях пренебрегают. Таким образом, даже сам по себе вопрос об установлении основной системы уравнении динамики и термодинамики турбулентного движения многокомпонентной смеси газов (а следовательно, в частном случае соответствующих уравнений для турбулентного пограничного слоя) до сих пор продолжает быть предметом исследований. А. Фавр (С. г. Acad, sci., 1958, 246:18-20, 2576—2579, 2723-2725, 2839-2842, 246 : 23, 3216-3219; J. тёс., 1965, 4:3-4,361421) цровел анализ возможных форм уравнений турбулентного движения однородного газа, задаваясь различными определениями осредненных кинематических, динамических и термодинамических характеристик и соответствующих им пульсационных величин.
Уравнения турбулентного пограничного слоя для многокомпонентной «меси реагирующих газов можно найти, например, в уже цитированной выше монографии В. Дорранса. Эта система уравнений, так же как и более простая система уравнений турбулентного пограничного слоя в несжимаемой однороднай жидкости, является незамкнутой. Действительно, кроме обычных неизвестных (скорости, давления, плотности, темпера- 殳уры или энтальпии, концентраций), число которых соответствует числу уравнений, в ней содержатся еще неизвестные коэффициенты турбулентного переноса (коэффициенты турбулентной вязкости, теплопроводности и диффузии). В настоящее время едва ли не единственно возможным путем «замыкания» системы уравнений турбулентного пограничного слоя в многокомпонентной смеси реагирующих газов является путь обобщения. ■существующих полуэмпирических теорий турбулентности в несжимаемой жидкости на случаи течения, в которых необходимо учитывать влияние •факторов сжимаемости, тепло- и массообмена, химических реакций и т. д-, и еще, конечно, использования известных аналогий Рейнольдса. При таком обобщении вид формул полуэмпирических теорий турбулентности полностью сохраняется и только плотность считается переменной величиной» зависящей от давления и температуры.
Следует отметить, что полуэмпирический характер существующих методов расчета турбулентного пограничного слоя в смеси реагирующих газов проявляется и в том, что сама система уравнений, по существу,, никогда непосредственно не интегрируется, а используется лишь для: установления приближенных связей между полями скоростей, энтальпий: и концентраций. При этом профили скоростей в сечениях слоя находятся из полуэмпирических формул и некоторых дополнительных допущений: о характере распределения напряжений трения поперек пограничного слоя. Местное трение на поверхности тела определяется с помощью интегрального соотношения импульсов, а тепловой поток и поток массы — с помощью аналогий Рейнольдса.
Согласно этим аналогиям принимается, что коэффициенты турбулентного переноса импульса, тепла и вещества имеют одинаковое значение. Количественно этот факт выражается в равенстве единице турбулентных аналогов чисел Прандтля и Льюиса. Немногочисленные опытные данные о величине этих чисел показывают, что в течениях типа пограничного' слоя вблизи твердой поверхности турбулентные числа Прандтля и Льюиса действительно близки к единице; в Турбулентных струйных течениях турбулентное число Льюиса также близко к единице, а турбулентное число Прандтля меняется в пределах 0,5—0,7.
Обращаясь к наиболее простому случаю движения однородного газа в турбулентном пограничном слое при больших до- и сверхзвуковых скоростях, заметим, что малая обоснованность указанных выше допущений, принятых при выводе - основных уравнений, заставила многих исследователей сосредоточить свое внимание на случае продольного обтекания гладкой пластины. Этим объясняется сравнительно обширная литература в этой частной области. В соответствии с существом основных предпосылок, используемых различными авторами, можно выделить- три сложившихся к настоящему времени направления.
Первое из них основывается на непосредственном применении формул полуэмпирических теорий турбулентности несжимаемой жидкости Прандтля и Кармана при изучении движения газа с большими скоростями. В большинстве работ этого направления используется еще дополнительное допущение о том, что касательное напряжение в пограничном слое постоянно во всем сечении слоя и равно своему значению на стенке.
Работой, положившей начало разработке полуэмпирических методов первого направления, является получившая широкую известность у нас и за рубежом работа советских ученых Ф. И. Франкля и В. В. Войшеля (1937). В этой работе авторы встали на путь непосредственного применения метода Кармана. По тому же пути, спустя почти четверть века, пошел Р. Вилсон (J. Aeronaut. Sci., 1950, 17 : 9, 585—594), рассмотревший обтекание теплоизолированной пластины, и Э. Р. Ван-Дрист (там же 1951, 18:3, 145—160; русский перевод в сб. перев. «Механика», 1952,. № 1), который в случае наличия теплоотдачи с поверхности пластины использовал метод Прандтля.
В дальнейшем как в нашей стране (Л. Е. Калихман, 1954; И. П. Гинзбург и А. А. Шемец, 1960; С. С. Кутателадзе и А. И. Леонтьев, 1962; Л. Г. Лойцянский и Ю. В. Лапин, 1961; И. П. Гинзбург и И. В. Корнева, 1965), так и за рубежом ) появилось большое количество работ того же направления. Сравнение различных методов расчета с имеющимися
■опытными данными, проведенное Д. Сполдингом и С. Чи (J. Fluid Meeh., 1964, 18:1, 117—143; русский перевод в сб. перев. «Механика», 1964, ■№ 6), показало, что наиболее точными методами расчета первого направления являются методы Р. Вилсона, Э. Р. Ван-Дриста, С. С. Кутателадзе и А. И. Леонтьева.
Для методов второго, по существу эмпирического, направления является характерным использование степенного профиля скорости» позволяющего получить степенную зависимость коэффициента трения ■от числа Рейнольдса. При течении с большими скоростями, кроме числа Рейнольдса, на показатель степени оказывают влияние еще число Маха и температурный фактор, что делает эти методы расчета турбулентного пограничного слоя в газе удовлетворительными лишь в сравнительно ■ограниченном диапазоне изменения указанных параметров (обзор работ второго направления с обширной библиографией см. в ранее цитированной статье Д. Сполдинга и С. Чи).
Наконец, в третьем, наиболее простом и также эмпирическом направлении, получившем развитие главным образом в ранних работах (сравнительно небольшие числа Маха и отклонения температуры поверхности ■от равновесной), принималось, что температура в пограничном слое постоянна и равна некоторой «определяющей» температуре. Тем самым расчет турбулентного пограничного слоя в газе сводился к расчету турбулентного пограничного слоя в несжимаемой жидкости при некотором среднем значении плотности. Начало методам подобного рода было положено Т. Карманом в 1935 г., который принял в качестве определяющей температуру стенки. К настоящему времени различными авторами предложено большое количество эмпирических формул для определяющей температуры, однако все они приводят к удовлетворительным результатам лишь в сравнительно узком диапазоне изменения чисел Маха и температурного фактора. К той же категории эмпирических методов следует отнести метод Л. В. Козлова (1963), который на основе обработки опытных данных по трению на плоской пластине предложил новую эмпирическую формулу для расчета трения.
Наличие в пограничном слое продольного перепада давления и, особенно, положительного перепада, приводящего к сильному утолщению слоя, а иногда и отрыву его от поверхности тела, значительно усложняет задачу расчета турбулентного пограничного слоя в газовом потоке. К решению линейных уравнений, приближенно выражающих интегральные соотношения импульса и энергии, и последующему переходу по вспомогательным таблицам и графикам от найденных функций к искомым характеристикам пограничного слоя (трению и теплообмену) приводит метод, предложенный Л. Е. Калихманом (1956). Метод расчета пространственного турбулентного пограничного слоя в газе был опубликован В. С. Авдуевским (1962). Простой метод последовательных приближений для решения тех же задач, но при умеренных перепадах давления был дан Ю. В. Лапиным (1961). Специально явлению отрыва турбулентного пограничного слоя в газовом потоке была посвящена более ранняя работа Г. М. Бам-Зеликовича (1954).
Метод последовательных приближений для расчета турбулентного пограничного слоя телпоизолированного крыла или тела осевой симметрии, основывающийся на использовании полуэмпирической формулы Прандтля, был предложен И. П. Гинзбургом и Г. В. Кочерыженровым (1961), а впоследствии обобщен теми же авторами (1963) на случай течения с теплоотдачей.
Вопрос об экспериментальном определении поверхностного трения в турбулентном пограничном слое в газе долгое время являлся одной и^ наиболее актуальных тем для исследования. Большинство результатов в этой области было получено в период после 1950 г. Следует отметитьг что имеющиеся в настоящее время опытные данные являются далека не исчерпывающими, что особенно относится к данным по измерению профилей скорости в пограничном слое.
В ряде американских работ исследовался турбулентный погранич ный слой при больших скоростях на теплоизолированных поверхностях (пластина, конус) *) и на поверхностях с теплообменом ). Ко второму кругу вопросов относится также работа Л. В. Козлова (1963). Перечисленные исследования охватывают диапазон чисел Маха от больших дозвуковых скоростей до- М = Ю.
Анализ результатов измерений профилей скорости в этом диапазоне скоростей и при различных значениях фактора теплообмена показал г что в ламинарном подслое профиль скоростей, построенный в так называемых универсальных координатах, удовлетворительно описывается линейной зависимостью, а в турбулентном ядре в тех же координатах является логарифмическим. Сравнение характера профилей скорости при больших числах Маха с профилем скоростей в несжимаемой жидкости обнаружило уменьшение размера переходной (буферной) области между ламинарным подслоем и турбулентным ядром при увеличении числа Маха. Так, при М = 9 буферная область почти полностью вырождается и переход от ламинарного подслоя к турбулентному ядру носит резкий характер.
Другой важной особенностью профилей скорости при больших числах Маха является увеличение толщины ламинарного подслоя с ростом числа Маха. Если в несжимаемой жидкости толщина ламинарного подслоя не превышает 2—3% от толщины всего пограничного слоя, то при1 М = 9 толщина подслоя может составлять около 30% от полной толщиньг пограничного слоя. .
Опытные данные разных авторов, определявших величину универ* сальной координаты на границе ламинарного подслоя, недостаточны для того, чтобы судить о количественном влиянии тех или иных факторов на величину этого параметра. Этим объясняется то обстоятельство, что почти во всех существующих теориях турбулентного пограничного слоя в газе безразмерная толщина подслоя принимается равной ее значению^ в несжимаемой жидкости.
Торможение воздуха при гиперзвуковой скорости в ударной волне или пограничном слое сопровождается связанным с поглощением тепла процессом диссоциации молекул кислорода и азота. Образовавшиеся npir диссоциации атомы переносятся благодаря диффузии к поверхности телаг где рекомбинируют с выделением тепла. Этот эффект особенно существен при наличии каталитической способности поверхности тела к рекомбинации.
Так же как и в ламинарном пограничном слое, исследование движе* ния диссоциированного газа в турбулентном пограничном слое во многих случаях затруднено отсутствием достаточных сведений по кинетике про- теканйя реакций диссоциации или рекомбинации. Одной из важнейших проблем теории турбулентного пограничного слоя в настоящее время является проблема расчета сопротивления и теплообмена в общем случае неравновесной диссоциации газа. Наиболее просты для исследования два крайних случая, соответствующих равновесному и замороженному состоянию газа. 、
Случай равновесной диссоциации в турбулентном пограничном слое плоской пластины был рассмотрен С. И. Костериным и Ю. А. Кошмаро* вым (I960). В основу исследования были положены модель идеально диссоциирующего газа, предложенная Дж. Лайтхиллом (см. ссылку на стр. 527), и полуэмпирическая теория турбулентности Прандтля. Числа Прандтля, Шмидта и их турбулентные аналоги предполагались равными единице. Более общий случай равновесной диссоциации при числах Прандтля и Шмидта, отличных от единицы, исследовался в работах И. П. Гинзбурга (1961) и Ю. В. Лапина (1962), причем в первой из них для расчета трения использовалась полуэмпирическая формула Прандтля, а во второй — формула Кармана.
Приближенный способ расчета поверхностного трения и теплоотдачи в турбулентном пограничном слое на плоской пластине в случае замороженного состояния газа был предложен В. Доррансом (ARS Journal, 1961г 31 :1,61—70; русский перевод: Вопр. ракетн. техн., 1961, № 12). Е» работа Дорранса воздух рассматривался как бинарная смесь атомарных и моле* кулярных компонент; коэффициент трения определялся на основе полу- эмпирической теории Прандтля. Выражение для энтальпии газа как функции концентрации атомов и температуры было получено в предположении, что атомы обладают только поступательными степенями свободы^ а молекулы — поступательными и вращательными; энергия, приходя* щаяся ла колебательные степени свободы молекул, не учитывалась.
В работе Ю. В. Лапина и Г. П. Сергеева (1964) также рассматривался замороженный турбулентный пограничный слой на плоской пластине. Однако в отличие от работы В. Дорранса в основу исследования была положена модель идеально диссоциирующего газа Дж. Лайтхилла. Молекулы такого газа предполагаются постоянно возбужденными но колебательным степеням свободы на величину, равную половине «классического» возбуждения колебаний молекул. Такая модель газа при высоких температурах более близка к реальным газам, чем модель, исполь* зованная Доррансом. '
Исследование замороженного турбулентного пограничного слоя на основе предельных законов трения проведено С. С. Кутателадзе и А. И. Леонтьевым (1964). Расчеты, выполненные различными авторами, показывают, что в случае замороженного течения коэффициенты трения отличаются от коэффициентов трения, рассчитанных для тех же условий, но при отсутствии диссоциации, не более чем на 20—30%. В случае равновесной диссоциации это отличие может достигать 40——50%.
Ю. В. Лапин (1965) распространил результаты, полученные им с Г. П. Сергеевым (1964), на случай течения в замороженном турбулентном слое вблизи каталитической пластины при произвольной скорости рекомбинации. В этой работе наличие химических процессов каталитической абсорбции учитывалось посредством граничного условия для концентрации атомов на стенке, причем предполагалось, что каталитическая
реакция имеет первый порядок. В результате было получено простое выражение для теплового потока на стенке при произвольной скорости каталитической рекомбинации. Проведенные расчеты показали, что каталитическая способность стенки оказывает весьма сильное влияние на величину теплового потока.
Расчет теплоотдачи от неравновесного турбулентного пограничного слоя к каталитической поверхности был произведен в работе Н. Кулгейна (AIAA Journal, 1965,3 : 2, 230—236; русский перевод: Ракетн. техн, и космонавтика, 1965, № 2), при этом неравновесный характер диссоциации учитывался только в ламинарном подслое, а в турбулентном ядре течение лредполагалось замороженным. С помощью цифровой вычислительной машины были проведены расчеты теплоотдачи для различных условий течения во внешнем потоке и на стенке. Результаты расчетов позволили установить влияние различных параметров на теплоотдачу.
Метод расчета турбулентного пограничного слоя на плоской каталитической пластине при наличии неравновесной диссоциации во всем слое .предложен Ю. В. Лапиным (1967). Хорошая сходимость этого метода ■обусловливалась тем обстоятельством, что учет влияния неравновесности процесса диссоциации на трение и теплообмен сводился к нахождению .небольших поправок к распределению тех же величин в равновесном или замороженном потоке.
Экспериментальное исследование теплопередачи в турбулентном диссоциирующем пограничном слое на модели цилиндра со сферической головкой в условиях, моделирующих скорости полета до 6500 м!сек^ было проведено П. Роузом, Р. Пробстейном и М. Адамсом (J. Aero/Space Sci., 1958, 25 :12, 751—760; русский перевод в сб. перев. «Механика», 1959, № 4).
Специальная проблема пограничного слоя на пористой поверхности с подачей или отсосом сквозь нее жидкости или газа зародилась уже давно в связи главным образом с такими задачами управления пограничным слоем, как уменьшение. сопротивления трения, увеличение коэффициента максимальной подъемной силы и некоторыми другими, в частности, устойчивостью и управляемостью самолета. Эти эффекты достигались обычно за счет затягивания ламинарного участка пограничного слоя или, наоборот, искусственной турбулизации его. Обзор результатов, достигнутых в этой области, молено, например, найти в последнем (пятом) издании упомянутой выше (стр. 509) монографии Г. Шлихтинга. В последнее время применительно к водным потокам предлагаются методы уменьшения сопротивления обтекаемых тел в каналах при помощи ввода в поток спецйальных полимерных примесей (в очень малой концентрации) либо мелких пузырей воздуха (газа).
Однако наиболее важные приложения относятся к использованию испаряющихся жидкостей или непосредственно газов и паров в пограничный слой на летательных аппаратах, совершающих движения Ъо сверх- ц гиперзвуковыми скоростями, в целях охлаждения поверхности этих аппаратов и пр едотвращения их разрушения.
Исследование турбулентного пограничного слоя в сверхзвуковом потоке газа при наличии подачи сквозь стенку вещества с теми же свойствами, что и газ в набегающем потоке, было проведено в работе В. Дорранса и Ф. Дора (J. Aeronaut. Sci., 1954, 21 ： 6, 404—410; русский перевод в сб. перев. «Механика», 1955, № 3), причем профиль скоростей в сечениях пограничного слоя определялся на основе полуэмпирической теории Прандтля, а напряжение трения в сечениях пограничного слоя выра-
жалось линейной функцией продольной скорости. Л. Е. Калихман (1955) решал ту. же задачу для несжимаемой жидкости в предположении отсутствия ламинарного подслоя.
Метод расчета турбулентного пограничного слоя при наличии ввода в пограничный слой инородного вещества и сублимации поверхности тела был разработан В. П. Мотулевичем (I960—1963).
■ Полуэмпирический метод Кармана для аналогичной задачи как в отсутствии, так и при наличии химического взаимодействия между вводимым в пограничный слой веществом и газом основного потока применил Ю, В. Лапин .(I960, 1961). Было показано, что при вдуве в пограничный слой легких газов (водород, гелий) числа Прандтля и Шмидта в ламинарном подслое могут существенно отличаться от единицы. Неучет этого обстоятельства не приводит к существенной ошибке в расчете трения, но может привести к значительной неточности в расчете теплообмена между газом и стенкой. При рассмотрении химического взаимодействия предполагалось, что скорость химической реакции бесконечно велика по сравнению со скоростью диффузии; это позволило считать зону реакции (фронт пламени) бесконечно тонкой поверхностью по сравнению с толщиной пограничного слоя. Обобщение на случай сублимирующей поверхности, так же как и в работе В. П. Мотулевича (1962), было обосновано Ю. В. Лапиным (1964) предположением о том, что механизм переноса импульса, тепла и вещества в пограничном слое при подаче вещества сквозь пористую поверхность или при наличии сублимации одинаков. Отличие их заключается лишь в определении концентрации вводимого вещества на охлаждаемой поверхности (произвольной на пористой поверхности и зависящей от физических свойств поверхности, ее температуры и теплоты сублимации в случае разрушающейся (сублимирующей) поверхности).
Вопрос о влиянии чисел Прандтля и Льюиса на трение плоской пластины при наличии вдува сквозь пористую стенку инертного по отношению к「азу основного потока вещества рассматривался И. IL Гинзбургом, Г. В. Кочерыженковым ® Н, g. Мордвиновой (1964).
Систематические экспериментальные исследования турбулентного пограничного слоя при наличии вдува через пористую стенку в широком диапазоне изменения различных параметров (расхода и свойств подаваемого охладителя, чисел Маха, Рейнольдса, температурного фактора и др.) провел В. П. Мугалев (1959, 1960, 1964). В результате был получен большой комплекс качественных и количественных сведений о структуре турбулентного пограничного слоя и теплообмене на пористой пластине. В частности, было показано, что при небольшой интенсивности вдува профили скоростей имеют степенной характер, а при сильном вдуве —— струйный характер с явно выраженной точкой перегиба. Был выявлен «эффект отдувания» пограничного слоя от пористой стенки, существенно отличающийся от эффекта оттеснения пограничного слоя при отрыве на непроницаемой стенке. Другой важный вывод состоял в том, что критериальные зависимости теплообмена от вдувания не зависят от изменения числа Маха.
Исследование рассматриваемой проблемы на основе так называемых «предельных», т. е. относящихся к бесконечно большим значениям числа Рейнольдса, законов трения и теплообмена было дано С, С. Кутателадзе и А. И. Леонтьевым (1962—1964).
Подробный обзор состояния рассматриваемой проблемы и эмпирический метод расчета тепло- и массообмена в турбулентном пограничном 35 Механика в СССР, том 2
слое плоской пластины при вдуве инертных и химически активных веществ- можно найти в работе Д. Б. Сполдинга и др. (в сб.： Supersonic flow, chemical processes and radiative transfer. Pergamon Press, 1964, 211—276), а такжа в статье П. Н. Романенко и др. (1965).
Вопрос о тепловой защите при помощи специальных разрушающихся покрытий изложен в заключительном параграфе нашего обзора.
Специфические особенности рассматриваемой проблемы при наличии горения здесь не рассматриваются.
Исследования течений с зонами отрыва
Обтекание тела газом или жидкостью может сопровождаться отрывом йотока от поверхности тела и образованием зоны возвратных течений. На тонких телах с гладким контуром отрыв обычно происходит вблизи кормовой части. Существование изломов контура или местных больших положительных градиентов давления приводит к появлению срывной зоны на боковой поверхности, а иногда даже непосредственно около передней кромки тела. Отрыв потока от обтекаемой поверхности может вызвать существенное изменение распределения сил давления и трения, а также тепловых потоков. Поэтому исследование срывных течений имеет важное принципиальное и практическое значение.
Методы расчета срывных течений развиты значительно слабее, чем методы расчета безотрывных течений вязкой жидкости. Для тех и других течений главное значение имеют три направления теоретических исследований： построение упрощенных моделей срывных течений, получение точных асимптотических решений уравнений Навье — Стокса при больших (или малых) значениях числа Re, разработка точных численных методов решения краевых задач с использованием современной вычислительной техники.
Асимптотические решения уравнений Навье — Стокса при больших значениях числа Re и безотрывном обтекании тел вблизи поверхности описываются уравнениями пограничного слоя Прандтля. Асимптотическая теория зон отрыва, как уже указывалось в § 3, находится еще в стадии зарождения. С помощью вычислительных машин получены точные решения лишь для нескольких простейших типов течений при малых значениях рейнольдсовых чисел, о чем была речь в § 2.
Рпс, 11； Сверхзвуковое обтекание плоской ступеньки.Рпс, 11； Сверхзвуковое обтекание плоской ступеньки.Отсутствие асимптотической теории и точных решений привело к широкому использованию приближенных, эмпирических и полуэмпирических методов. Наиболее полные исследования проведены для сверхзвуковых течений с ламинарными и турбулентными срывными зонами больших, по сравнению с толщиной пограничного слоя в точке отрыва, размеров. Пример течения этого типа показан на рис. 11. Пограничный слой отрывается от поверхности тела в точке А и дает начало зоне смешения, разви
Рпс, 11； Сверхзвуковое обтекание плоской ступеньки.
Рпс, 11； Сверхзвуковое обтекание плоской ступеньки.
вающейся в®ль линии АВ и располагающейся между невязким сверхзвуковым потоком и. областью «заторможенного газа», прилегающей
к поверхности тела. В точке 5 происходят присоединение потока к поверхности тела 履 разветвление зоны смешения частью в срывную зону АОВ, частью в прилипший к поверхности пограничный слой за точкой В. В значительной части срывной зоны скоростные напоры невелики. Поэтому вдоль границы этой зоны Л 5 давление остается почти постоянным, а область резкого возрастания давления локализуется около точки присоединения. Процесс смешения сопровождается подсасыванием газа из срывной зоны в зону смешения. Вблизи точки присоединения сверхзвуковой поток и внешняя часть зоны смешения проходят через течение сжатия. Часть газа из зоны смешения, имеющая малые скоростные напоры, не может проникнуть в область с повышенным давлением и отбрасывается обратно в срывную зону. Таким образом, при стационарном течении количество газа в срывной зоне сохраняется постоянным. На этих основных свойствах развитых срывных зон и основаны модели течений, используемые в большинстве работ.
Во многих случаях положение точки отрыва заранее известно (как это имеет место, например, для течения, схема которого показана на рис. И). При построении модели течения предполагается, что во всей области АОВ давление постоянно, а размерами областей отрыва и присоединения, в которых происходит резкое изменение давления, можно пренебречь. Если известны точка отрыва и величина давления в области «заторможенного газа», то все характеристики невязкого сверхзвукового потока можно определить. При фиксированной точке отрыва для определения решения используется условие сохранения массы в срывной зоне. Масса газа,, подсасываемого в зону смешения, приравнивается массе газа, отбрасываемого из области присоединения обратно в срывную зону. 一
Для определения массы газа, подсасываемого в зону смешения, используются решения задачи о смешении равномерного потока с покоящимся газом, заполняющим пространство. Для ламинарной зоны смешения в сжимаемом совершенном газе эта задача решена Д. Чепменом (NACA Rept, 1950, № 958), а в работе Ю. Г. Елькина, В. Я. Нейланда и Л. А. Соколова (1963) получено решение с учетом диссоциации воздуха. Г. Корст (J. Appl. Meeh., 1956, 23 : 4, 593—600) получил решение линеаризованных уравнений с учетом начальной толщины зоны смешения (неавтомодельное решение) и сжимаемости. В дальнейшем автомодельные решения нелинейных уравнений с учетом сжимаемости и теплообмена получены В. Я. Нейландом (1964) при числе Прандтля, равном единице, а Ю. А. Демьяновым и В. Н. Шманенковым (1965) — для значений того же числа 0,5, 0,75 и 1. В работах Ю. А. Демьянова и В. Н. Щманенкова (I960), а также В. Я- Нейланда и Г. И. Таганова (1962) исследовались потоки, включающие область возвратных течений, конфигурация которых аналогична передним срывным зонам. Оказалось, что существование области возвратных течений слабо влияет на характеристики газа вблизи линии тока, проходящей через точку отрыва (разделяющая линия тока).
Для определения количества газа, отбрасываемого в окрестности точки присоединения 5 обратно - в срывную зону, обычно используется условие, предложенное Г. Корстом и Д. Чепменом. Согласно этому условию в критическую точку 5 приходит та струйка тока зоны смешения, на которой давление торможения газа равно статическому давлению в невязком потоке после поворота в области присоединения. По существу, предполагается, что благодаря наличию больших градиентов давления вблизи точки 5 действием сил вязкости и турбулентным трением в окрестности этой точки можно пренебречь* В более поздних исследованиях, первое
из которых выполнено Дж. ф. Нешем (ARC Repts & Memo., 1963, № 3344), показано, что использование этого условия для турбулентного течения приводит к существенным погрешностям. Однако использование формулы
Рис. 12. Зависимость донного давления р& от давления р' и числа Маха М' за точкой присоединения пограничного слоя.
Корста — Чепмена позволило получить качественно правильное описание характеристик срывных зон и для турбулентного течения. Для ламинарных течений совпадение с экспериментальными данными является вполне удовлетворительным. На рис. 12 показано сравнение расчетов по теоретической формуле Корста — Чепмена
5d — давление в области отрыва, рг и М‘一 давление и число Маха в сверхзвуковом потоке за точкой присоединения, и — отношение скорости на, разделяющей линии тока в зоне смешения к скорости на ее внешней границе непосредственно перед областью присоединения) с экспериментальными данными для ламинарных зон смешения. Что касается случая турбулентных зон смешения, то, как об этом можно судить по рис. 13, формула Корста не учитывает влияния толщины потери импульса перед точкой отрыва. Расчет по Дж. ф. Нешу (с экспериментальной поправкой к условию Корста) приводит к лучшему совпадению с опытными данными, но все же некоторые экспериментальные точки почти на 70% отличаются от кривой Неша. Можно заметить, что качественный характер кривых удовлетворителен. Как показали последние экспериментальные исследования П. Каррье (Fluid dynamics transactions, v. 3, Warszawa, 1967, 147—168), угол присоединения потока 屮，удовлетворяющий ранее указанному условию Корста — Чепмена, оказывается значительно меньшим, чем опытные его значения (рис. 14).
Использование условия сохранения массы в срывной зоне с фиксированной точкой отрыва позволило определить конфигурацию и рассчитать характеристики течений со срывными зонами при обтекании тел раз-
личной формы. А. В. Минятов (1961) и Р. К. Тагиров (1961, 1963) провели расчет донного давления за уступами (рис. 11) для двумерных осесимметричных течений.. 、
В работах Е. Н. Бондарева и М. Я. Юделовича (I960), Ю. Г. Елькина, В. Я. Нейланда и Л. А. Соколова (1963), В. Я. Нейланда (1963), В. Я. Ней- Ланда и Л. А. Соколова (1964) проведено исследование донного давления
Рис. 13. Зависимость донного давления р& от толщины потери импульса 6** перед точкой отрыва турбулентного пограничного слоя при М = 2，包一 высота ступеньки).…Рис. 13. Зависимость донного давления р& от толщины потери импульса 6** перед точкой отрыва турбулентного пограничного слоя при М = 2，包一 высота ступеньки).…
Рис. 13. Зависимость донного давления р& от толщины потери импульса 6** перед точкой отрыва турбулентного пограничного слоя при М = 2，包一 высота ступеньки).…
Рис. 13. Зависимость донного давления р& от толщины потери импульса 6** перед точкой отрыва турбулентного пограничного слоя при М = 2，包一 высота ступеньки).…
Рис. 14. Зависимость угла 屮 присоединения потоку от числа Маха М] (2 — двумерное течение; 2 ―• при-* соединение на конусе; 3 — присоединениё на внутренней стенке цилиндра; 4 ——расчет по формуле Корста — Чепмена).Рис. 14. Зависимость угла 屮 присоединения потоку от числа Маха М] (2 — двумерное течение; 2 ―• при-* соединение на конусе; 3 — присоединениё на внутренней стенке цилиндра; 4 ——расчет по формуле Корста — Чепмена).
Рис. 14. Зависимость угла 屮 присоединения потоку от числа Маха М] (2 — двумерное течение; 2 ―• при-* соединение на конусе; 3 — присоединениё на внутренней стенке цилиндра; 4 ——расчет по формуле Корста — Чепмена).
Рис. 14. Зависимость угла 屮 присоединения потоку от числа Маха М] (2 — двумерное течение; 2 ―• при-* соединение на конусе; 3 — присоединениё на внутренней стенке цилиндра; 4 ——расчет по формуле Корста — Чепмена).
за телами простой формы, причем в первых двух было показано, что при достаточно большом гиперзвуковом числе Маха М отношение донного
давления за клином к давлению в набегающем невозмущенном потоке
возрастает. В работе Ю. Г. Елькина и др. (1963) указывается, что известный гиперзвуковой принцип стабилизации течения при М f 8, который изложен, например, в монографии Г. Г. Черного (1959), в рамках принятой модели течения в срывной зоне оказывается справедливым и для гиперзвуковых течений со срывными эонами. Там же показано, что для тонких клиньев донное давление оказывается зависящим от известного параметра подобий М 叫
где т — безразмерная тол
щина клина. В. Я. Нейланд (1963) и В. Я. Нейланд с Л. А. Соколов вым (1964), обобщили эти результаты на течение за клином и пластиной, обтекаемыми под углом атаки. Показано, что при достаточно большом числе Маха на подветренной стороне тела образуется срывная зона.
Рис. 15. Течение перед телом с тупой передней кромкой с искусственно образованной срывной зоной.Рис. 15. Течение перед телом с тупой передней кромкой с искусственно образованной срывной зоной.начинающаяся от передней кромки тела и омывающая всю подветренную сторону тела. Отношение давления в этой зоне к давлению в набегающем невозмущенном потоке возрастает как М2.-
Рис. 15. Течение перед телом с тупой передней кромкой с искусственно образованной срывной зоной.
Рис. 15. Течение перед телом с тупой передней кромкой с искусственно образованной срывной зоной.
Образование искусственно, вызванной срывной зоны перед телом с тупой передней кромкой (рис. 15) приводит к резкому уменьшению лобового сопротивления, а иногда и тепловых потоков. Решение задач о конфигурации ламинарных и турбулентных передних срывных зон при симметричном и несимметричном сверхзвуковом обтекании тел с вынесенными вверх по потоку иглами приведено в работах В. Я. Нейланда и Г. И. Таганова (1963), В. Я. Нейланда (1964), Ю. А. Демьянова и В. Н. Шманенкова (1965).
кого типа показана накого типа показана наБолее сложным является расчет течений, для которых положение точки отрыва не является заранее известным. Схема течения тарис. 16. Этому вопросу были посвящены иссле
кого типа показана на
кого типа показана на
дования В. Я. Нейланда (1965) и М. Я. Юделовича (1965). Кроме указанных выше допущений, принимаемых обычно при построении течения
с известным положением точки отрыва, приходится дополнительно использовать соотношение между характеристиками пограничного слоя в точке отрыва и амплитудой скачка уплотнения, зарождающегося вблизи точки отрыва. Такое соотношение получают обычно из экспериментальных данных с
привлечением соображений Т|&ории подобия. Однако, как показали Ю. Г. Елькин и В. Я. Нейланд (1965), аналогичное соотношение можно получить и без использования экспериментальных данных, прямо из результатов расчета.
: Необходимое соотношение может быть представлено, например, в следующей удобной форме, предложенной в работе Дж. Эрдоса и А. Паллоне (Proc. Heat Transf. and Fluid Meeh. Inst., 1962, 239—254)
Cp^AViy^-, MP 福ZT,
где Cp = 2 (p ——Ро)/(р()м：) — коэффициент давления в точке отрыва или в срывной зоне, а нулевым индексом отмечены значения переменных в области, лежащей непосредственно перед точкой отрыва. Значения Л равны 0,81 и 1,47 в точке отрыва и срывной зоне при*ламинарном течении или 4,22 и 6,00 — при турбулентном течении соответственно. Множитель 士 равея отношению значений коэффициентов давления ср, вычисленных по точной и по линейной теории при данной величине угла отрыва. При небольших; сверхзвуковых значениях числа Мо множитель ± практически равен единице.
Рис. 17. Зависимость коэффициента давления в точке отрыва ср от числа Маха Мо в точке, расположенной непосредственно перед точкой отрыва, при различных рейнольдсовых числах в точке перехода (7 — Не = 1000； 2 — Re = 20 000).Рис. 17. Зависимость коэффициента давления в точке отрыва ср от числа Маха Мо в точке, расположенной непосредственно перед точкой отрыва, при различных рейнольдсовых числах в точке перехода (7 — Не = 1000； 2 — Re = 20 000).На рис. 17 приведено сравнение экспериментальных, данных для отрыва ламинарного пограничного слоя в сверхзвуковых течениях около вогнутого угла, ступеньки и при падении скачка уплотнения на пластину, собранных в статье Дж. Эрдоса и А. Паллоне, с результатами расчетов по только что приведенной формуле. Кроме того, нанесены чисто расчетные результаты, полученные в исследовании Ю. Г. Елькина и В. Я. Нейланда (1965) при различных значениях числа Ree» определенного по толщине пограничного слоя в начале возмущенной области. Расчет в последней работе проведен с помощью электронной вычислительной машины. Совпадение приведенных данных являетсяудовлетворительным.»
Рис. 17. Зависимость коэффициента давления в точке отрыва ср от числа Маха Мо в точке, расположенной непосредственно перед точкой отрыва, при различных рейнольдсовых числах в точке перехода (7 — Не = 1000； 2 — Re = 20 000).
Рис. 17. Зависимость коэффициента давления в точке отрыва ср от числа Маха Мо в точке, расположенной непосредственно перед точкой отрыва, при различных рейнольдсовых числах в точке перехода (7 — Не = 1000； 2 — Re = 20 000).
Использование соотношений в точках отрыва и присоединения позволяет выделить единственное решение, т. е. найти точку отрыва и давление в зоне отрыва. В качестве примера применения этого метода В. Я. Нейланд (1965) провел расчет характеристик ламинарных срывных зон при обтекании острого угла сверхзвуковым потоком. М. Я. Юделовичем (1965) найдено донное давление за сферой.
Использование рассматривае
модели течения позволиломодели течения позволилоЮ. Г. Елькину и др. (1963) и Ю. Г. Елькину и В. Я. Нейланду (1965) юценить суммарные потоки тепла к участку поверхности тела, омываемому .ламинарной, а Р. К. Тагирову (1963) — и турбулентной зоной отрыва. Следует заметить, что для ламинарных срывных зон применение данной модели и закона сохранения энергии внутри зоны приводит к выводам, хорошо согласующимся с результатами эксперимента.
модели течения позволило
модели течения позволило
Е. Н. Бондарев (1963) на основании рассматриваемой модели течения в срывной зоне Их допущения о том, что наиболее медленным- процессом при установлении стационарного течения в донной области является турбулентное смешение, развил метод оценки времени установления стационарного течения в донной турбулентной срывной зоне. Полученные результаты по порядку величин близки к экспериментальным .данным.
Основное допущение, используемое при расчете «больших» срывных -зон (постоянная величина давления в области «заторможенного» газа и в зоне смешения), совершенно непримиримо с исследованиями небольших зон отрыва, размер которых составляет несколько толщин пограничного слоя в точке отрыва. Срывная зона такого типа возникает в сверхзвуковом потоке при относительно небольшой величине возмущения, вызывающего отрыв пограничного слоя. Для расчета распределения харак- т'еристик в этом случае используются интегральные соотношения погра- иичного слоя, при пользовании однопараметрическими семействами про- «филей скорости и энтальпии. При расчете сверхзвуковой невязкой области
течения Ю. Г. Елькин и В. Я. Нейланд (1965) учитывали толщину вытеснения пограничного слоя. При этом получается система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, для которой одно из граничных условий задается в области, лежащей за точкой присоединения потока. В начальном сечении недостающее условие приходится подбирать так, чтобы удовлетворить условию, заданному в области, лежащей вниз но потоку от точки присоединения. Это обстоятельство отражает свойство потока, включающего срывную зону, передавать возмущение вверх но течению. При использовании метода удается рассчитать минимальную амплитуду возмущения, вызывающего отрыв ламинарного пограничного слоя, а также распределение давления и других параметров при небольших размерах зоны. С ростом амплитуды возмущения (угла поворота стенки, перепада давлений в ударной волне и т. п.) размер зоны отрыва растет, причем образуется зона с почти постоянным давлением. В этих условиях использование уравнений пограничного слоя приводит к большим количественным погрешностям.
Проблема теплозащиты поверхности тела в гиперзвуковом потоке-
Вход космических аппаратов в плотные слои атмосферы Земли или других планет солнечной системы со скоростью порядка десятка и более километров в секунду сопровождается, как известно, интенсивным конвективным и радиационным нагревом обтекаемых поверхностей и, кроме- того, чисто механическим воздействием потока на тело. Естественным продолжением этой проблемы на еще большие скорости входа (от 11 до 72 км/сек) является изучение нагрева и разрушения метеоритов, т. е. тел значительной массы (до 107 тп), влетающих в атмосферу планет.
Если тело движется в воздухе с числами М > 1 и если соответствующая длина свободного пробега между столкновениями молекул одного- порядка или меньше характерного размера тела (высота примерно меньше 90—100 км), то перед ним формируется ударная волна. Если окружающая среда представляет собой плазму, подобную плазме ионосферы или космоса, и если тело имеет поверхностный заряд, то длиной свободного пробега будет дебаевская длина, которая в ионосфере может иметь порядок нескольких сантиметров. Поэтому при сверхзвуковом движении аппаратоя могут возникать условия для формирования электрогидродинамической ударной волны.
Равновесная температура за ударной волной при скоростях входа, до 11 км/сек достигает порядка 10 000—15 000° К, а давление торможения, может меняться от величин порядка миллионных долей до сотен атмосфер. В этих условиях, как уже указывалось в предыдущих параграфах обзора,, приходится иметь дело с явлениями возбуждения колебательных степеней; свободы (М ^ 5—7), диссоциацией (М ^ 7 —25), ионизацией (М》12)' и излучением в газе. Процессы возбуждения внутренних степеней свободы,, как правило, не вносят существенного вклада в коэффициенты давления, сопротивления и теплопередачи (менее 5—10%). Процессы диссоциации и ионизации за счет повышенной подвижности атомов к поверхности тела (в полтора раза выше, чем молекулы воздуха) и электронов (примерно в два с половиной раза выше, с учетом эффекта амбиполярной диффузии, чем молекулы воздуха) заметно увеличивают (до 20% при диссоциации? и до 30—40% при ионизации) конвективный поток тепла.
При входе метеоритов температуры на фронте ударной волны достигают десятков и сотен тысяч градусов и происходит, как правило, много-
кратная ионизация набегающего потока. При этом существенной особенностью течения является возникновение неравновесной области за фронтом ударной волны, где газ приобретает свойства плазмы, а возникающее рекомбинационное излучение оказывает существенное влияние на структуру волны.
Поверхность тела обтекается, таким образом, раскаленным газом, представляющим многокомпонентную, способную к свечению «холодную» плазму, находящуюся в условиях отсутствия заметных внешних электрических и магнитных полей.
Некоторое развитие этих вопросов можно найти в помещенном в настоящем томе обзоре, посвященном проблемам магнитной гидродинамики и разреженных газов (стр. 423—460).
К перечисленным в §§ 4 и 6 настоящего обзора литературным источникам можно добавить еще специальна посвященные вопросам конвективного и радиационного теплопереноса в условиях возврата летательного аппарата в плотные слои атмосферы советские работы А. Н. Румынского (1961), Л. М. Бибермана, В. С. Воробьева, Г. Э. Нормана, И. Т. Якубова (1964), Г. А. Тирского (1965) и зарубежные — Дж. Фея, Н. Кемпа, М. Камака и Р. Фейнберга (J. Fluid Meeh., 1965, 21 : 4, 659—688; русский перевод: Вопр. ракетн. техн., 1966, № 4), Р. Нерема й Дж. Стикфорда (AIAA Journal, 1964, 2:6, 1156—1158).
Среди многочисленных способов теплозащиты (поглощение тепла материалами с высокой теплоемкостью или жидкими веществами; использование для оболочки аппарата материалов с высокой излучательной способностью при высоких температурах, например оксидные покрытия; теплоизоляция, т. е. использование материалов с низкой теплопроводностью или создание между внешней и внутренней обшивками слоистопористого теплоизолирующего набора; принудительное охлаждение путем подвода испаряющихся жидкостей или легких газов Н2, Не) теплозащита гиперзвуковых аппаратов (при максимальных тепловых потоках) с по； мощью уноса массы специально для этого предназначенных покрытий является наиболее эффективной в весовом и конструктивном отношениях. Аналогичные способы теплозащиты находят применение в соплах ракетных двигателей (см. обзор «Пластмассы в ракетной технике» в сборнике «Вопросы ракетной техники», 1961, № 7). В современной промышленной аэродинамике также встречаются задачи, связанные с уносом массы, например, обгорание электродных поверхностей при сильных дуговых разряда* в потоке газа.
Тепловые воздействия сильной ударной волны, движущейся вдоль поверхности тела, также могут привести к уносу массы с поверхности. Это явление отчасти наблюдается в ударных трубах (см. А. Гейдон и И. Герл, Ударная труба в химической физике высоких температур, 1963; русский перевод: М., 1966).
В качестве теплозащитных покрытий нашли широкое применение конструктивные пластики на основе термореактивных фенольноформаль- дегидных и эпоксидных смол (см., например, обзор «Пластмассы — наиболее теплостойкий материал при очень высоких температурах» в сборнике «Вопросы ракетной техники», 1960, № 4). В качестве армирующих смолу наполнителей применяются: текстолит, стеклотекстолит (см. Я. Л. Шугал и В. В. Барановский, 1933), асбест, кремний, нейлон, терилен, рэйон и тугоплавкие о кислы магния, алюминия и др. Замена органических смол кремнийорганичеевдми во многих случаях улучшает теплозащитные характеристики материалов и их технологичность. '
При обтекании раскаленным газом теплозащитных покрытий происходит разрушение их, представляющее собой сложный физико-химический процесс подповерхностного разложения связки и гетерогенного горения пиролитического графита, образующегося в результате пиролиза смолы, испарения и выкрашивания наполнителя (Ю. В. Полежаев, 1964; Н. А. Анфимов, 1962; Г. А. Тирский, 1964). При более высоких температурах стенки может происходить течение расплавленного наполнителя, «ели содержание его в композиции превышает 50—60%. При этом наполнитель, как правило, при течении уносит с собой значительную часть продуктов разложения связки.
В последнее время повысился интерес к материалам, разлагающимся при низких температурах порядка 600—1000° К (тефлон, капрон, полиэтилен, органическое стекло, капрон-фенол). При разложении этих покрытий в пограничный слой вдуваются смеси газов, содержащие компоненты с большими и малыми молекулярными весами (водород, метан, этилен, ацетилен и др.). Для защиты стенок камер сгорания крупногабаритных двигателей на твердом топливе применяются резины с кварцевым наполнителем или армированные тканями.
Число применяемых и, в особенности, перспективных теплозащитных покрытий чрезвычайно велико (до сотни композиций). Однако при всем их многообразии можно заметить, что разрушение теплозащитных материалов при аэродинамическом нагреве происходит за счет следующих физико-химических процессов: подповерхностного пиролиза связки (сложный пластик типа текстолита), деполимеризации (тефлон, капрон), испарения, сублимации, горения, плавления, эрозии. В большинстве случаев за определенную скорость разрушения конструкционного пластика (когда содержание смолы достигает половины или более) принимается скорость горения коксового остатка связующей смолы. Однако при наличии большого процентного содержания кварцевого наполнителя (более •60%) в схеме разрушения дополнительно учитывают унос массы в жидкой фазе. ■
К настоящему времени основные теоретические результаты по расчету скорости уноса массы и температуры стенки получены на основании решений приближенных или численных соответствующих уравнений и граничных условий для пограничного слоя в пр ед пол оже нии, что все физико-химические процессы происходят на поверхности тела и заморожены внутри пограничного слоя. Кроме ранее цитированных работ Л. Лиса и Дж. Фея и Ф. Ридделла укажем на. несколько более поздние советские исследования в том же йаправлении В. В. Щенникова (1961) и Г. А. Тирского (1961). В работе В. В. Щенникова приведен пример численного решения равновесного горения графита в чистом кислороде. При наличии только реакций диссоциации за ударной волной схема замороженного течения в пограничном слое и равновесных реакций на стенке дает малое различие в уносе ^массы и температуре поверхности от схемы равновесного течеИЙЯ**ЁЮють до стенки, если в пограничный юлой не поступает большого количества легкого газа, резко изменяющего параметры потока поперек пограничного слоя. Например, для текстолита массовая концентрация паров Н2 на стенке меньше 0,01 и уносы массы в рамках этих схем мало отличаются друг от друга.
Ко直е^ной целью теоретй^ёбких исследований данной проблемы, основанных на решении сложных уравнений многокомпонентного диссоциированного и ионизованного погранитаого слоя совместно с уравнениями движения жидкой пленки или твердой фазы, является определение
скорости уноса массы и температуры поверхности и тела. Однако при окончательной обработке теоретических или экспериментальных результатов вместо скорости уноса массы широко используют понятие эффективной эпитальпии разрушения Н哪. Величина Н哪 определяется как отношение теплового потока qw без учета излучения к неразрушающейся поверхности, температура которой совпадает с температурой фронта разрушения, к полной массовой скорости уноса pjD, где р^ — плотность материала тела, D — нормальная к поверхности тела скорость движения фронта разрушения. Для простейших материалов (а иногда и сложных теплозащитных покрытий) На少 слабо зависит от некоторых определяющих параметров задачи (например, статического давления, кривизны поверхности в данной точке поверхности тела), и поэтому ее часто используют в практических расчетах.
При наличии произвольного числа гетерогенных химических реакций между продуктами возгонки тепл оз ащитног о покрытия и набегающим потоком, а также возможного уноса материала в жидкой фазе, если таковая имеется, выражение для ЯЭф в любой точке поверхности может быть получено из условия сохранения энергии на фронте разрушения с использованием линейной аппроксимации убывания теплового потока в зависимости от вдува в виде
^-^эN—N@
А+噌 Е (九一?…)}/ 2 (с?ад一 噌)<?"8[А/+ 2 7^-("е -"加<?力
L」A"o Qw
Здесь Г = (pu) 1y/pi。— степень газификации (отношение уноса массы в газообразной фазе к полному уносу массы; для материалов, разрушающихся без образования жидкой фазы, Г = 1), А — суммарная теплота фазового перехода покрытия из конденсированного состояния в газообразное при Т = TW1 с^} — эффективная теплоемкость покрытия, включающая теплоты разложения его в конденсированной фазе при нагреве от начальной температуры T.g до температуры поверхности Тw; величина Е находится из решения уравнений движений жидкой пленки и равна единице для материалов, разрушающихся без образования жидкой пленки, например текстолита, и слабо отличается от единицы (0,93 W 笈《1) для материалов типа кварцевого стекла или для пластиков (стеклотекстолит), разрушающихся с образованием жидкой пленки )..
Стоящая в числителе выражения Яэ$ сумма 2(%黄——國〉)Qh дает суммарную теплоту гетерогенных реакций на фронте разрушения; здесь ckw — массовая концентрация продуктов реакций, с^> — концентрация этих же комио^^т, вдуваемых в пограничный слой в результате разложения покрытия в конденсированной фазе, т. е. с女加 一 с^> — добавочная концентрация Zc-й компоненты, возникающая за счет гетерогенных реакций,
N — N® — число реакций, N — число компонент, N^ — число химических элементов, Qk — теплота Zc-й реакции на 1 е образовавшегося продукта (эта суммарная теплота слабо зависит от условий полета). Последний член в числителе выражения Яэф представляет известный эффект блокировки от вдува в пограничный слой (Р = N* (29/тпу)а, где 0,6 V V 7V\ V 0,72, 0,24 V а V 0,4; более детальное рассмотрение значений 0 для окрестности критической точки приведено в обзоре В. П. Мугалева, 1965).
Разность АЯТ определяется как Н『一hw = Не — hd — hw, где Не — энтальпия торможения, hd — энергия диссоциации внешнего потока, hw — энтальпия на стенке; chlc^ — отношение коэффициента массо- обмена Zc-й компоненты к коэффициенту теплообмена разрушающейся поверхности. С использованием обобщенной аналогии между тепло- и массообменом в многокомпонентном пограничном слое в окрестности критической точки (Г. А. Тирский, 1964) и на поверхности тела (Б. И. Резников и Г. А. Тирский, 1964) отношение с左/с^т* = £^, где показатель к меняется от 0,6 при отсутствии вдува до 2 при вдуве, близком к отрыву пограничного слоя (для практических расчетов вполне удовлетворительно полагать к = 1). Способ вычисления обобщенных чисел Льюиса — Семенова Lk рс^Д^/Х д^я многокомпонентных смесей дан Г. А. Тирским (1964). При вдувании смесей из двухатомных молекул типа СО, CN, содержащих в небольшом количестве легкие (Н2) и тяжелые (СО2, SiO, SiO2, Si2C, SiC2) компоненты, можно полагать LA = 1,4 (Л =0, N, С), выражения для Lk молекулярных компонент приведены у Г. А. Тирского (1964).
Разность АН。 определяется как Не ——hw + (七幺^ — 1) ^ = Не —— ——hw + 0,22 无&； qr ——радиационный поток без учета взаимодействия радиационного потока к телу с парами, вдуваемыми в пограничный слой； £О夕％ — радиационный поток от поверхности тела. В общем случае для вычисления На巾 по указанной формуле необходимо знание Тw и вычисление которых может быть произведено с привлечением законов сохранения химических элементов и кинетики горения на стенке и обобщенной аналогии между коэффициентами массообмена (Г. А. Тирский, 1964). В бинарной постановке это сделано, в частности, в цитированном выше обзоре С. Скалы. Степень газификации Г для стеклопластиков или для кварца равна единице при 7黄 G 2000—2200 °К и меньше единицы при Тw》2200 °К. Для произвольных материалов, разрушающихся с образованием жидкой пленки, Г зависит от отношения вязкости и плотности набегающего потока к вязкости и плотности пленки, от давления торможения и энтальпии торможения (см. работы, указанные в примечании на стр. 555). Для данного материала Г уменьшается с увеличением давления торможения и увеличивается с увеличением энтальпии торможения.
Для простейших материалов (кварца, графита, тефлона, фенольного нейлона) выражение для Нъ^ может быть значительно упрощено за счет явного вычисления суммы в числителе формулы для ЯЭф из законов сохранения химических элементов. Для этих материалов значение Н哪 приведено в обзоре М. Адамса (ARS Journal, 1959, 29 : 9, 625—632); там же приведены результаты сравнения с экспериментом.
Наибольшую сложность при вычислении На巾 представляют армированные неорганическим наполнителем пластмассы, так как здесь, как правило, неизвестны доля испарения наполнителя, вид и степень протека-
ния реакций, вязкость наполнителя, смешанного с частицами и парами разлагающейся связки, степень черноты е, коксовое число. Поэтому применение расчетных формул для уноса массы и температуры поверхности для сложных материалов упирается в фундаментальные экспериментальные определения вышеуказанных величин. При этом следует отметить, что эти величины сами зависят от характера и степени аэродинамического нагрева.
В конечном итоге, например, для возвращающихся спутников минимальным уносом обладает графит, затем идут кварцеподобные материалы, армированные пластики, тефлон, однако для окончательного выбора тепл оз ащитног о материала наряду с величиной Яэф 血 рает роль и теплопроводность этого материала. Высокая теплопроводность графита является одной из причин, п© которой он не применяется в качестве теплозащитного покрытия.
Распространение формулы для На巾 на области, удаленные от критической точки, и, что особенно важно, на турбулентное течение приводит к изменению величины р, изменению обобщенной аналогии между тепло- и массообменом ). Каких-либо обобщенных зависимостей для произвольных градиентов давления и других определяющих параметров здесь не получено. Впрочем, для ламинарного режима в силу принципа локальной автомодельности, указанного Л. Лисом, формула для На巾 указанного выше вида используется для расчетов и для точек поверхности, далеких от критической точки. Однако недавние численные расчеты многокомпонентного пограничного слоя на теле вращения, выполненные В. М. Овсянниковым, показали, что коэффициенты массообмена некоторых компонент существенно зависят от скорости изменения их концентраций вдоль поверхности тела. Для таких компонент принцип локальной автомодельности не выполняется. Поэтому, если такая компонента вносит -существенный вклад в тепловой баланс, то На巾 может стать заметно зависящей от точки на поверхности тела.
Елли теплота нагрева тела от 丁…до Tw мала по сравнению с тепло- •тами испарения, теплотами горения и эффектом вдува, т. е. второй член в числителе формулы для На巾 мал по сравнению с другими, то На巾 можно рассчитывать по той же формуле и для нестационарных условий полета. Однако при низких тепловых нагрузках и большом времени полета унос массы необходимо рассчитывать с учетом нестационарного процесса рас- лространения тепла, особенно для стекловидных материалов.
В работах Э. В. Адамса (J. Aerospace Sci., 1960, 27:7, 549—550; 27 :10, 791—792) показано, что температура поверхности Tw и унос массы, вычисленные в предположении квазистационарности и с учетом нестацио- нарности, близки только вдали от экстремума тепловой нагрузки.
Время выхода на стационарный режим плавления стекловидных материалов и характер их разрушения во время переходного режима изучались Е. М. Шаховым (1962), Ю. В. Полежаевым (1963, 1964) и Б. И. Резниковым (1964). Расчет профиля температуры в твердой фазе при нестационарных условиях полета требует, как правило, решения нестационарного уравнения теплопроводности с учетом конечности протекания скоростей
химических реакций разложения связки. Течение в пограничном слое можно считать квазистацирдарным. .
Влияние на унос массы радиационного излучения и поглощения рассматривалось В. Я. Нейландом (1961, 1962) и А. Н. Румынским (1962). Однако для решения этого вопроса в окончательном виде не хватает количественных данных по излучательным свойствам многих газообразных продуктов разложения пластиков..
Отметим еще основные направления современных исследований по теплозащите с помощью уносимых покрытий^ связанные с повьппением скорости входа в атмосферы планет. При скоростях выше 11 км/сек начинают играть существенную роль процессы ионизации, излучения и поглощения энергии,' которые на сильно затупленных телах могут существенно превышать конвективные потоки, поскольку ^конв 〜 后-'% ^рад 〜 Rn (0,6 < n < 1), где R — радаус притупления.
Важное значение при этом приобретает взаимодействие между кон- ‘ вективным и радиационным тепловым потоками. Это взаимодействие становится существенным при появлении, в результате разрушения теплозащитного покрытия, таких газов, как SiO, SiO2, Si2C, SiC2, HCN, H2O, CO2. Здесь в первую очередь стоит проблема изучения излучательных спектральных свойств инородных колшонент. Достаточно надежные данные по этому вопросу имеются для диссоциированного воздуха в работе Л. М. Бибермана и др. (1964). В связи с взаимодействием конвективного и радиационного потоков становится важным оптимальный выбор формы гиперзвукового аппарата.
Большой интерес представляет исследование термически неравновесного пограничного слоя, в особенности, при малой плотности газа и высоких его температурах порядка 12 000° К, когда рекомбинационное излучение может стать для некоторых газов больше, чем в случае термического равновесия.
Расчет уноса массы при наличии ионизации будет давать, по-видимо- му, заметное расхождение в случае равновесного и замороженного течения на каталитической поверхности. На это указывает различие в тепловых потоках в этих случаях при скоростях входа порядка 15 км/сек (см. ранее цитированную работу Дж. Фея, Н. Кемпа, М. Камака и Р. Фейнберга).
При скоростях входа в несколько десятков километров в секунду важным становится изучение процессов излучения и диффузии при наличии многократной ионизации.
Вопрос перехода пограничного слоя от ламинарного к турбулентному .режиму заслуживает большого внимания при расчете входа в атмосферу больших аппаратов, поскольку теплоотвод и, следовательно, вес теплозащиты в сильной степени зависят от состояния пограничного слоя при гиперзвуковых скоростях. Этот вопрос за последнее время не продвинулся сколько-нибудь существенно. Вообще можно заметить, что, несмотря на наличие нескольких работ по теплозащите в условиях турбулентного пограничного слоя ), этот вопрос нуждается в большем внимании и дальнейшем развитии. Совершенно недостаточно работ по многокомпонентному турбулентному пограничному слою.
При полете с большой скоростью может значительно измениться форма тела и, следовательно, баллистические его коэффициенты, что в свою
очередь влияет на аэродинамический нагрев и унос массы. Такая взаимосвязь усложняет решение уравнений движения и уноса массы.
Решение задач уноса массы при движении тела с большой скоростью в режиме свободномолекулярного обтекания заслуживает особенного внимания. При больших аэродинамических нагревах, когда вес уносимого покрытия составляет значительную долю веса аппарата, детальное знание механизма разрушения и теплофизических констант материала становится очень важным. Поэтому воспроизведение в лабораториях процесса разрушения сложных покрытий в условиях, максимально близких к натурным, представляет одно из главных направлений экспериментальных исследований. Определение теплофизических характеристик обугливающихся пластиков в условиях многократного нагрева (рикошетирующая траектория входа) также важно. Необходимы исследования по созданию новых более ^теплостойких и тепл оз ащитных материалов.
Указанные направления исследований, безусловно, можно было бы продолжить, однако и из сказанного выше следует, что проблема тепловой защиты в ближайшие годы в связи с освоением космического пространства будет интенсивно развиваться.
ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ (ЧИСЛЕННЫЙ)КРАТКОСРОЧНЫЙ ПРОГНОЗ погоды
Я. Л. КИБЕЛЬ
1 2 5 8 2 4 ю6 6667785 5 5 5 5 5 乐1 2 5 8 2 4 ю6 6667785 5 5 5 5 5 乐Введение
1 2 5 8 2 4 ю6 666778
5 5 5 5 5 5 乐
1 2 5 8 2 4 ю6 666778
5 5 5 5 5 5 乐
Первая прогностическая модель
Баротропная модель
Бароклинная квазигеострофическая модель ..
Прогноз осадков. Неадиабатические влияния
Полные уравнения
Вопросы мезометеорологии. Заключение ...
Введение
Первые советские работы по гидродинамическому краткосрочному прогнозу погоды были выполнены в тридцатых годах в отделе Главной геофизической обсерватории, организованном А. А. Фридманом и находившемся в течение долгого времени под руководством Н. Е. Кочина. В послевоенные годы работы по гидродинамическому краткосрочному прогнозу погоды велись в Центральном институте прогнозов, Вычислительяом метеорологическом центре (впоследствии Мировом метеорологическом центре, а затем Гидрометеорологическом центре СССР), Геофизическом институте (впоследствии Институте физики атмосферы) Академии наук СССР, Институте прикладной геофизики, Институте Арктики и Антарктики и многих других научных учреждениях.
Краткосрочный прогноз погоды с помощью решения уравнений гидродинамики требует, в отличие от многих других задач гидродинамики (обтекание крыла, ракеты и др) умения получить решение в весьма общих предположениях о характере движения. При решении задачи прогноза мы не можем, например, ограничиваться рассмотрением плоского случая; проблема наша нестационарна; начальные условия, вообще говоря, произвольные и т. д. Однако решение самой общей системы уравнений гидромеханики представляет непреодолимые трудности. Необходимо было начинать с упрощений, но таких, которые все же позволяли бы вести рассуждения в достаточно общей форме.
Уже в первые десятилетия советскими специалистами по динамической метеорологии был выполнен ряд первоклассных исследований, выдвинувших их на передовые позиции в мировой науке. Одним из таких исследований был классический труд Н, Е. Кочина, посвященный*фронтальному циклогенезу (1931). Чтобы изучить общий случай образования циклона из фронтальной волны, Кочин ввел ряд смелых упрощений — он ечитал, ■ 36 Механика в СССР, том 2
что массы воздуха по обе стороны от поверхности раздела обладают каждая своей постоянной плотностью и что только длинные волны представляют интерес, так что можно пренебречь вертикальными ускорениями и пользоваться уравнением статики. Эти два момента — квазинесжимаемость и квазистатичность — были широко использованы далее в работах по краткосрочному прогнозу. Интересно отметить, что были попытки построения алгоритма прогноза непосредственно с помощью модели циклогенеза Кочина; затруднение заключалось в необходимости обобщить схему Кочина на нелинейный случай. Эта задача оказалась в то время, до появления ЭВМ, слишком трудной; далее построения соответствующих нелинейных уравнений и описания вида характеристических поверхностей дело не пошло.
Первые доведенные до конца попытки создания гидродинамических методов краткосрочного прогноза (1940) отправлялись от хорошо известного метеорологам факта близости ветра к геострофическому и применяли условие квазигеострофичности Понадобилось затем 15 лет, чтобы от квазистатических, квазигеострофилеских моделей метеорологи перешли к моделям квазистатическим, но полным, в которых ветер заранее не принимается квазигеострофическим, а квазигеострофичность решения получается сама собой в результате интегрирования уравнений гидродинамики. Еще 10 лет оказалось нужным для того, чтобы внедрить в практику краткосрочных прогнозов решения полных квазистатических уравнений гидродинамики. И уже совсем недавно в литературе появились первые работы, в которых устраняется ограничение квазистатичности,— это прогностические работы с учетом явлений мезомасштабов.
Наше описание работ, выполненных в СССР за 50 лет, начнем с квази- геострофических моделей.
Первая прогностическая модель
В самой первой модели (И. А. Кибель, 1940) процесс принимался адиабатическим (никакие виды притоков тепла не учитывались, не учитывалась также и вязкость). Предполагалось, что учет теплопроводности и вязкости может быть сделан в виде поправок в пограничном слое атмосферы близ Земли. Земля предполагалась плоской, принято было условие квазистатичности.
1 dp 7р дх 1，—a勿,P匆1 dpp dz g*1 dp 7р дх 1，—a勿,P匆1 dpp dz g*(2.1)(2.1)(2.2)(2.2)В этих предположениях ураьнения движения (по отношению к системе координат х, у, z, вращающейся вместе с Землей — оси 方，у расположены .в горизонтальной плоскости, а ось z направлена вертикально вверх — с началом координат в точке, для которой дается прогноз) можно записать в виде *)
1 dp 7
р дх 1，
—a勿,
P匆
1 dp
p dz g*
1 dp 7
р дх 1，
—a勿,
P匆
1 dp
p dz g*
(2.1)
(2.1)
(2.2)
(2.2)
dt
dv _ dt
0 =0 =(2.3)
0 =
0 =
Здесь и, р, w — составляющие скоростей по осям х, у, z, t — время, р— давление, р — плотность, g — ускорение силы тяжести, I — параметр Кориолиса： I = 2<о sin ф (<о — угловая скорость вращения Земли,屮—широта места).
Уравнение неразрывности
(2-4)(2.5)(2-4)(2.5)丄 我丄 即15 丄 一dt + дх十勿十dz
(2-4)
(2.5)
(2-4)
(2.5)
условие адиабатичности
dT и-IT dt x p dt —
(7 — температура, x — отношение теплоемкостей) и уравнение состояния
(2.6)(2.6)р= RpT
(2.6)
(2.6)
(R — газовая постоянная) замыкают систему (шесть уравнений и шесть функций).
Введем безразмерные величины, принимая
u=Uu, u = Uu, w^Ww, t = t*, x~Lx, y = £y, z = Hz,
где U, W,力о, L, Н — характерные скорости, время, длина и высота соответственно. Если принять U = Lltq, W ^Н/t^ то можно записать уравнения (2.2) и (2.1) в виде
1 дрZpU ду1 дрZpU ду而ZF17十瓦'而ZF17十瓦'1 ! dv ^ — dv . ~~ dv , — dv \/ ди— ди . ди . ~ ди \一(京 + "£+"尸+昨)•\。‘ дх ду dz /1 ! dv ^ — dv . ~~ dv , — dv \/ ди— ди . ди . ~ ди \一(京 + "£+"尸+昨)•\。‘ дх ду dz /
1 др
ZpU ду
1 др
ZpU ду
而ZF17十瓦'
而ZF17十瓦'
1 ! dv ^ — dv . ~~ dv , — dv \
/ ди— ди . ди . ~ ди \
一(京 + "£+"尸+昨)•
\。‘ дх ду dz /
1 ! dv ^ — dv . ~~ dv , — dv \
/ ди— ди . ди . ~ ди \
一(京 + "£+"尸+昨)•
\。‘ дх ду dz /
Обозначим l/(Z^o) через e; при характерном времени tQ^ 105 сек, 2 =Обозначим l/(Z^o) через e; при характерном времени tQ^ 105 сек, 2 ==IO"4 i/сек (средние широты) имеем=IO"4 i/сек (средние широты) имеемпо степеням е,по степеням е,е ^ 0,1. Отыскивая и, и в виде рядае ^ 0,1. Отыскивая и, и в виде рядаполучимМ Ug —|- £U■/ —|-...,получимМ Ug —|- £U■/ —|-...,U =： иg + £U‘ + ・..，U =： иg + £U‘ + ・..，
Обозначим l/(Z^o) через e; при характерном времени tQ^ 105 сек, 2 =
Обозначим l/(Z^o) через e; при характерном времени tQ^ 105 сек, 2 =
=IO"4 i/сек (средние широты) имеем
=IO"4 i/сек (средние широты) имеем
по степеням е,
по степеням е,
е ^ 0,1. Отыскивая и, и в виде ряда
е ^ 0,1. Отыскивая и, и в виде ряда
получим
М Ug —|- £U■/ —|-...,
получим
М Ug —|- £U■/ —|-...,
U =： иg + £U‘ + ・..，
U =： иg + £U‘ + ・..，
гдегдем产м产1 дрIpU ду '1 дрIpU ду 'UgUg1 дрZpt7 дх *1 дрZpt7 дх *Тогда согласноТогда согласно(2.4)(2.4)dpwdzdpwdz(дх(дхтак что (еслитак что (еслиотвлечься от малого числа dp/dt) члены в выраженияхотвлечься от малого числа dp/dt) члены в выраженияхдля м, V при первых степенях е недля м, V при первых степенях е несодержат w. Ограничиваясь первымисодержат w. Ограничиваясь первымистепенями £ и возвращаясь к размерным величинам, получимстепенями £ и возвращаясь к размерным величинам, получимU^=Ug-\-Ur,U^=Ug-\-Ur,v^vg^v^v^vg^v^гдегде(2・7)(2・7)
где
где
м产
м产
1 др
IpU ду '
1 др
IpU ду '
Ug
Ug
1 др
Zpt7 дх *
1 др
Zpt7 дх *
Тогда согласно
Тогда согласно
(2.4)
(2.4)
dpwdz
dpwdz
(дх
(дх
так что (если
так что (если
отвлечься от малого числа dp/dt) члены в выражениях
отвлечься от малого числа dp/dt) члены в выражениях
для м, V при первых степенях е не
для м, V при первых степенях е не
содержат w. Ограничиваясь первыми
содержат w. Ограничиваясь первыми
степенями £ и возвращаясь к размерным величинам, получим
степенями £ и возвращаясь к размерным величинам, получим
U^=Ug-\-Ur,
U^=Ug-\-Ur,
v^vg^v^
v^vg^v^
где
где
(2・7)
(2・7)
1 др& Zp ду1 др& Zp ду
1 др
& Zp ду
1 др
& Zp ду
1 др
% =兩毎，
dug
dus
笹+勿
Вертикальная скорость найдется из (2.4) и (2.3), если использовать в качестве краевого условия обращение в нуль w при z = 0 (горы не рассматриваются в этой первой модели):
j (響 + 符)豫一響).(2.8)
о
Мы можем теперь ввести полученные и, v, w в уравнение (2・5), которое предварительно удобно записать, используя (2.3), в виде
-［雾+ 3； + "')岩 +(% + 吟筆］+(2，9)
(Y — средний температурный градиент, 丫仪 =［(х — 1)/х］ g/R).
Заменим еще плотность в (2.3) и (2・7) согласно уравнению состояния (2・6), а в уравнений (2・8) возьмем в качестве р стандартное значение. Тогда (2.9) и (2.3) будут содержать только две функции р и Т, прогноз которых и надо дать; зная р а Т, определим согласно (2.7) и и у, согласно (2.8) w и, если это требуется, найдем из (2・6) плотность. Прогноз всех метеоэлемедтов будет, таким образом, осуществлен.
Системы (2.3) и (2.9) содержат одно дифференцирование по z; следовательно, должно быть построено одно краевое условие по высоте (по горизонтали краевые условия в этой первой работе о прогнозе не ставились). В качестве такого условия было выбрано непроникновение частиц воздуха через тропопаузу, которое записывалось в виде
(子)+ 他 + 优)(■£)+ 仇 + 吟傷)zf = °'(2•1。)
где h — высота тропопаузы.
Для приближенного решения уравнений (2・3) и (2・9) при краевом условии (2.10) был выбран следующий путь. Из (2.3) и (2・6) р определялось квадратурой через Т:
Р = Р№0 ,(2.11)
где po(%, у, 0 — подлежащее определению давление на уровне моря. Далее, принималось, что температура всегда может быть представлена в виде
Т = То(%, у,力)一W(2.12)
(Y = const), так что согласно (2.11)
p = ро (^ y,方)口 一 ?0(乙,万］。(2/3)
Конечно, с помощью (2.12) и (2.13), вообще говоря, удовлетворить уравнению (2.9) нельзя. Поэтому уравнение (2.9) удовлетворялось лишь в среднем: уравнение (2.9) интегрировалось но z от 0 до 无，в подынтегральное выражение вводились /? и Гиз (2.13) и (2.12) и выполнялись квадратуры по z. К полученному таким образом соотношению, связывающему производные от ро и То (сами значения То, р()там, где они входят как коэффициенты, считались постоянными), прибавлялось уравнение (2.10) с уче-
том (2.12) и (2.13), в результате чего получалось два окончательных уравнения для определения двух функций pQ и То・ Эти уравнения имеют следующий вид:
■^■― — а(^о? Ро) +。1 ^^ +。2 (Ро, АТо)+аз(То, Аро) +
+ 3, Аа)^-^^, ATo) + a[(To,礬)芻+(%，曾)需]'(2・伍) 礬Р(Т°, р°)(2.15) *)
(а, ^, аь к — постоянные). Для решения системы был предложен метод последовательных приближений. В качестве первого приближения оставлялся только первый член в правой части (2.14). Тогда из (2.14) й (2.15) следует, что функция 0 = аТо + 闻。не зависит от времени и что прогноз можно осуществить, перемещая То, р()вдоль линий 0 = const с соответствующей скоростью. Так как линии 0 = const приближенно совпадают с изогипсами уровня 500 %6, то речь шла о переносе наземного давления вдоль линий АТ500, которые в первом приближении оказались стационарными. Поправки на второе приближение (и, в частности, вычисления изменений 0) проводились локально.
Параллельно с испытаниями описанной здесь прогностической схемы были проведены некоторые ее видоизменения. Одни авторы заменяли краевое условие (2.15) (Б. Д・ Успенский, 1945, и др.), другие удовлетворяли уравнению (2・9) не в среднем, а для одной какой-либо точки (Н. И. Булеев, 1949). Однако структура прогностических формул (2.14) и (2.15) при этом сохранялась и лишь коэффициенты 出，乃 изменялись от схемы к схеме.
Баротропная модель
В конце сороковых годов первая прогностическая схема была отодвинута на задний план моделью среднего уровня, или, как впоследствии ее стали называть, баротропной моделью. В этой модели краткосрочный прогноз дается лишь для одного уровня атмосферы; движение предполагается соленоидальным.、
Задача сводится к совместному решению двух уравнений для определения двух функций ip и Я (функция тока и высоты АТ500 или АТ700): уравнения переноса вихря )
甯+仲公屮)+в碧=0(3.1)
(0 = d〃dy, ось у направлена по меридиану на север) и уравнения
баланса )
gAETAWT謂—2(崂,絹).(3.2)
В большинстве советских работ по краткосрочному прогнозу приближенно принималось, что
gH 七 Zip,(3.3)
и уравнение (ЗЛ) записывалось в виде )94
А需=# М) — р 一4н.(3.4)
Последнее соотношение можно рассматривать как уравнение Пуассона по отношению к dHIdt. Применяя теорему о среднем значении для определения dH/dt в точке Мо, мы можем приближенно распространить интеграл только на круг радиуса г0 с центром в Мо, принимая, что величина производной dHIdt в точках окружности этого круга много раз переходит через нуль. Тогда
察弋盘 Н In(3.5)
Если теперь вынести среднее значение Лдн из-под знака интеграла и приближенно приписать это среднее значение значению в точке М^ мы придем к соотношению
(察)м°= а К(""")+。黑］(3・6)
(а = 1/4「о)・ Это соотношение было использовано для построения следующего графического метода прогноза на среднем уровне (Н. И. Булеев, 1950). Введем функцию
В = а^^Н + ЪН^^у^ ,(3.7)
где Ъ — постоянная, которая подбирается так, чтобы В приближенно сохранялось постоянным. Тогда d^ldt = (Я, 5), т・ е・ величина 屮 переносится вдоль В со скоростями ив = —дВ/ду, ив = дВ/дх. Успех этого простого приема зависит в большой степени от выбора 5 ). Формула (3.6) давала простой перенос Н вдоль линий В = const. При закрепленных В формула не может дать изменения Н в местах экстремумов, не может дать эволюции высотных центров. Качество таких графических прогнозов поэтому, как правило, не превышает качества синоптических прогнозов высотных полей. Более богатая по содержанию схема (3.5) учитывает «дисперсию» волн при распределении амплитуд Н среднего уровня. Первые
прогнозы по соответствующей формуле были осуществлены на ЭВМ «БЭСМ» (С・ Л・ Белоусов, 1954). При прогнозе, который давался шагами по времени, (dH/dt)0 представлялось в виде
(案)二》几(46，(3.8)
s=0
где (4ah)s — значения 4AH в точках, окружающих точку s = 0, а Ь§ — веса (С. Л. Белоусов принимает N = 8); что же до значений (Лдн)в? то они вычислялись по формуле, в которой АН заменялось конечноразностным выражением：
(\Н)Ма^^(Н-Нм^(3.9)
где Н = ХД (Нг + Я + H,,r + Hrfff) (Н「・・・ берутся в вершинах квадрата со стороной dj, тогда
(4h)s=(E, Ь), где Ъ = ±Н-^у.(3.10)
Комбинируя (3.8) и (3.9), получим
~^~= —(“АН)о +备』^8 (^4дн)5-(3*11)
s=0
Формулы (3・8) и (ЗЛ1) позволяют на каждом шаге предсказать Я и 6. Чтобы уменьшить на каждом шаге по времени размеры области, для которой дается прогноз, было принято, что за границами интересующей нас области (на расстоянии d0 от границы) предсказываемые величины Н и b не меняются.,
Для выбора наилучших вариантов шагов по времени и по координатам (выбор d0) было взято одно известное точное решение уравнения (3.4) (полученное Е. Н. Блиновой, 1946) и с ним произведен численный эксперимент.
Краткосрочный прогноз с помощью модели среднего уровня, хотя и не давал решающего преимущества по качеству в сравнении с синоптическими прогнозами, был важным этапом развития численных методов: на примере этого прогноза были отработаны вычислительные алгоритмы, многие из которых были применены впоследствии в пространственных (бароклинных) моделях. Так, например, первые попытки учесть при шагах по времени нелинейные члены имплицитно (т・ е. записывая их в будущий момент) относились к уравнению (3.4) (В・ IL Садоков, I960) *)・
§ 4・ Бароклинная квазигеострофическая модель
В самом начале пятидесятых годов одновременно в нескольких странах началось наступление на бароклинную (пространственную) квази- геострофическую задачу! К этому времени стала общепринятой запись квазистатической системы в переменных х, у, р,力 *).
Квазистатическая и квазигеострофическая системы сводятся к двум
уравнениям для определения функций Н и <о = (1/Р) dp/dt (Р — стан-
дартное давление на уровне моря):
а дН%2 ds%；1、
、F—g &，(4」>
• aqat「g s= g 之厶「，（4-2）
где
4 =%(Н, АН)+0 ~, 4= — -(н,雯),
『君， c^ = aRTm,a="宁嵐(勺。,1)
(ym, Tm — средние величины у и Т соответственно). При этом вертикальная скорость w находится через Н и <о по формуле **)
■ Исключая (о из (4Д) и (4.2), получим одно прогностическое уравнение ***) для Н:
(含+急2詛粤V(4冏
Исключая дН/дТ, получим одно диагностическое (не содержащее производных по времени) уравнение для <о：
(-Ja +宙亲)Snfs/r + w 伊争。(4•5)
Ветер геострофичен, температура определяется из диагностического уравнения
7=—萼絹•(46)
*) Переход от переменных х, ^, z, i к переменным 力,у, р 力 предложен был одновременно и независимо Н・ И. Булеевым (1950) и в Швеции А・ Элиассеном (1949).
**) Система эта получится, если, перейдя сперва к переменным 力,у, р,厶 провести затем разложение в ряд по степеням е = l/(loio)(互一характерное время, Zo — параметр Кориолиса для центра данного района) так, как это было сделано в работе И・ А. Кибеля (1940). Из других способов обработки квазистатических уравнений упомянем способ В. В. Быкова (1962), в котором разложение по е доводится до степеней е2, и способ А・ С・ Монина (1961), ориентирующийся на построение квазисоленои- дальной модели.
***) Уравнение (4.4) может быть записано в виде
9L g /тт г сГ g2 Ao尸 2 @〃°2p
而+ 丁(豆 £) = 0,где L = ^~ \Н +
(величина L переносится без изменения по горизонтали со скоростью геострофического- ветра). Это соотношение было выведено впервые в работе Е. Н・ Блиновой (1956), посвя* щенной долгосрочному гидродинамическому прогнозу.
Так как сюда входит лишь одна производная по времени, требуется лишь одно начальное условие. Естественно принять (H)t=o = Н° (ж, у, р), где Н° ——известная функция от координат.
Для решения уравнения (4.4) ставится одно краевое условие по ^ Если земля горизонтальна, мы должны написать (ip)£==1 = 0, и тогда согласно (4.3) получим связь между <о и Н при ^ = 1. Заменяя <о согласно (4.2), получим )
(尹О9票=陪 при『1(4.7)
и условие на верхней границе атмосферы )
•黑— ° п₽и С"(48)
Прежде чем осуществить прогноз с помощью (4.4) (этот прогноз должен осуществляться шагами по времени), нужно научиться обращать оператор, стоящий слева в (44), с использованием (4・7)・ Это было сделано в общем виде Н・ И・ Булеевым и Г. И・ Марчуком (1951) ), которые получили следующее соотношение:
1 +81 +8
G^ = * Ш G&M加智—％ J 仃 GTATd^d^dZ\ (4.9) 0 —оо0 —оо
где''
Gk 爲｛"On 备，rD+^Lj®「A，G「= Y翁,
/ I 、一(亨-a) a (* 、 (号一а)a
Xa(a, %)=G(a, 〃)+—e 1 \e a (a, r^da,
a
/•； = [(—"产 + ①一旷)2]嬴，a (a, r^ = ^=^e-^a^.
В первые части (4.9) входит (через Лй и Ат) лишь одна функция Н. Таким обрйзом (4.9) позволяет осуществить прогноз шагами по времени, если только известно начальное поле Н° во всем пространстве.
Интегралы в (4.9) берутся по бесконечной области; если пределы по 之 естественны, то этого нельзя сказать про интегрирование по горизонтали. Так как Gq и Gt затухают при г。т 8, казалось, что решения (4.9) кладут конец дискуссии о том, какие условия следует ставить при краткосрочном прогнозе на «боковых» краях рассматриваемой области. При практическом^ счете интегралы по %’，уг распространялись на круг радиуса г0 порядка
1000 км. Однако Gq и G『затухают очень медленно; отбрасывая значения интегралов, распространенных на точки, находящиеся вне круга радиуса г。，мы отбрасываем произведения малой величины на большую площадь; ошибка может оказаться значительной. Более того, когда решения типа (4.9) были записаны для случая сферической Земли (а Земля действительно есть сфера, а не бесконечная плоскость!), оказалось, что функции Gq, Gt затухают еще медленнее. Возможность прогноза по (4.9) и вытекающим из (4.9) формулам с интегралом, распространенным на круг радиуса г0, может быть обоснована, по-видимому, лишь с помощью теоремы о среднем, аналогичной той, что была применена при решении уравнения Пуассона в баротропной модели.
Прогнозы по (4.9) давались шагами по времени, причем предварительно интеграл по 之 расписывался так или иначе (по способу трапеций, например) в зависимости от числа слоев, на которые атмосфера разбивалась по высоте.
Были подготовлены рабочие схемы и получены (на ЭВМ) примеры прогнозов для двух уровней (С. А. Машкович, 1955), для трех и четырех уровней (С・ Л・ Белоусов, 1955) и др. Оперативные испытания трехуровенной модели (прогноз АТ850, АТ500 и АТ300) (IL К. Душкин и Е・ Г. Ломоносов 1958, 1963; С・ Л・ Белоусов, 1963), в которых наряду с интеграцией по площади г<г0 учитывались и поправки на интеграл, взятый по кругу радиуса г0, дали впервые результаты, превышающие по качеству синоптические высотные прогнозы, и были внедрены в оперативную практику составления аэрологических карт в Центральном институте прогнозов (Москва) и других прогностических организациях.
Формула (4.9) позволяла найти Н в последующие моменты времени, если Н известно в начальный момент. Соотношение типа (4.9) было подготовлено и для диагностического уравнения (4.5)； оно позволяет, как только известно Н, найти <о (например, можно найти <о в начальный момент через начальное Н。)，а также и саму вертикальную скорость.
Выпишем здесь формулы для вертикальной скорости ip, являющиеся следствием уравнений (4.4), (4.5) и (4・3):
1 +8 1 十8
ag"备 J J J G^Aadx^ dyr d^ + ^ J J J CwATd^dy^\ (4.10) 0 一oo 0 —oo
где
21/W L21/W L[4 (Aa”—a*[4 (Aa”—a*
21/W L
21/W L
[4 (Aa”—a*
[4 (Aa”—a*
Эта формула носит диагностический характер. Она позволяет в каждый момент времени (например, в начальный) вычислить распределение w, как только известно распределение Н (через Лй и Ат).
Значительное число работ было посвящено прогнозу непосредственно ветра. Так как Лй и Лт, входящие в правую часть (4.9), содержат только производные от Н по х и у, то правая часть (4.9) может быть без труда представлена только через составляющие геострофического ветра ug, vgt Достаточно теперь продифференцировать (4.9) по у и по % соответственно
и мы получим формулы, позволяющие предсказать (шагами по времени) Mg, vg по одним их начальным значениям. Если использовать еще формулу (2.7), мы получим возможность находить агеострофические составляющие ветра иг, г/ (отклонения ветра от геострофического) через ug и vg. Отсюда выросла схема прогноза, получившая в советской литературе название «агеострофической» (М・ И・ Юдин, 1957; К. В・ Пятыгина, 1961, 1963 и др・)・
Методика прогноза с использованием функций Грина была развита и широко применена в СССР. За рубежом использование уравнений (4Л) — (4.2) с целью прогноза пошло по иному пути. Зарубежные метеорологи расписывали (4Л) и (4.2) прежде всего по отдельным уровням & заменяя производные по《конечными разностями и затем решая систему соответствующих уравнений для значений Н и <о тех или иных уровней. Советским метеорологам также принадлежит ряд схем непосредственного решения системы (4Д) — (4.2)・ Принципиально новым по сравнению с тем, что было сделано за рубежом, было при этом расписание зависимости искомых функций от высоты £ Еще в первой работе по краткосрочному прогнозу выбиралась стандартная зависимость искомых функций от 之 (политропная модель). Позже была выдвинута идея разложения Н в ряд по ортогональным функциям, зависящим заданным образом от давления, с коэффициентами — искомыми функциями от 方，у,力 значения которых известны при 力=0.
В качестве ортогональных функций применяются либо собственные функции некоторых операторов, входящих в левую часть (4.4), при соответствующих краевых условиях (С・ В・ Немчинов, 1959, 1961, и др.), либо так называемые эмпирические ортогональные функции (Н・ А・ Багров, 1958; А・ М・ Обухов, 1960; Л・ В. Руховец, 1962, 1963, и др・)・
В обоих случаях Н ищется для каких-либо отдельных уровней, причем уравнения (4.4) (вместе с условием (4.5)) обрабатываются так, чтобы получить уравнения в нужном числе, содержащие Н только для этих уровней (запись в конечных разностях, квадратуры по и т. п.). Так (4.4) и (4.5) заменяются системой вида
△響+2a"粤=力(%=1, 2, ...,N).(4.11)
Эта система канонизируется, если заменить dH^dt линейными комбинациями X左 вида
=』％沮警’(4」2)
где xif k находятся из системы однородных уравнений
3 aij^tk — ^k^jk~O (/ = 1, 2, .. ., TV),после того как 九左 будут найдены как N корней векового уравнения
.
@21，&2 九左，• • • n。 (к = 1, 2, •・..，TV)•
Итак, вместо (4.11) будем иметь
N
АХ& +飢爲=2产就(乃=1, 2, ..TV).
Другой вид обработки уравнений заключается в использовании естественных ортогональных функпди 屮％ (С), записанных на уровнях 之阮(к = =1, 2,・・.,N). Здесь
Нк = 2 @i (%，У» 0 Фг (Sfe)
Вид q)z 也左)определяется на основании обработки прежних эмпирических данных из условия минимума
[五欠一 2 6MpM点)]2 = min(4=1, 2, ...,N)
(черта означает осреднение по всем данным прежних наблюдений). При этом 屮£ (之左) находятся из системы однородных линейных уравнений
N
2 ^ki^i (Sj)=兀屮z (逗) (乃=1, 2,・・・，TV),
где Вм = HkHh a %/ находятся из соответствующего векового уравнения. Таким образом, задача может быть сведена к определению параметров а” которые удовлетворяют уравнениям, полученным из (4.4) *). Оправдание введения q)j заключается в том, что при этом удается описать Н с помошью малого количества членов (практически с помощью первых трех а；, остальные пренебрежимо малы). Аналогичное положение имеет место и для представления на основе (4.12) значений dHk/dt через Xfe (обращение (4.12)).
Нужно, конечно, помнить, что речь идет об адиабатических моделях, если говорить о (4.12), и что определение производится обычно с помощью тех уровней, для которых применимость адиабатической модели наиболее оправдана. ,
Прогноз осадков. Неадиабатические влияния
Краткосрочный прогноз погоды нельзя представить без прогноза осадков. Термодинамика перехода водяных паров в жидкую или твердую фазу, а также термодинамика обратных переходов были детально изучены еще в двадцатых годах этого столетия. Для количественного прогноза осадков не хватало умения предсказать количественно, как влажность будет переноситься. Для этого прежде всего надо было научиться предсказывать вертикальные токи.
Синоптических способов предсказания вертикальных токов не существовало. Более того, вертикальные скорости не могли быть, вообще говоря, получены из наблюдений — они составляют, как правило, тысячные
доли от горизонтальной составляющей ветра и выделены быть не могут Тут-то на помощь и пришла динамическая метеорология: гидродинамические способы расчета и прогноза вертикальной скорости, о которых мы упоминали в предыдущем разделе.
' Первым вопросами теории расчета специально вертикальной скорости занялся советский метеоролог А. Ф. Дюбюк (1947).
Пока не были выведены диагностические уравнения типа (4.4), для определения вертикальной скорости приходилось пользоваться либо уравнением переноса вихря, либо уравнением притока тепла. В обоих случаях для вычислений производных по времени, входящих в эти уравнения, использовались предсказанные ио синоптическому (или иному) способу карты. В разработке практического применения методики прогноза вертикальных токов и осадков участвовали многие советские метеорологи (Е. М. Орлова, 1949; Н・ И. Булеев и Н. В・ Лебедева, 1952; Г. И・ Морской, 1954; А・ А・ Бачурина, 1955; Л. Т. Матвеев, 1955; А. И. Бурцев, 1958, и др.).
Кроме притока тепла от конденсации, который имеет место только там, где есть облачность, в атмосфере действует всегда и везде приток тепла от турбулентной теплопроводности и излучения. Принято считать, однако, что в вопросах краткосрочного прогноза эти притоки тепла важны лишь внутри пограничных слоев у цоверхности земли. Советские метеорологи внесли существенный вклад в теорию атмосферных пограничных слоев. Из непосредственно прогностических приложений теории пограничного слоя упомянем сперва работу А. Ф. Дюбюка (1947), который вывел формулу для расчета вертикальных скоростей, возникающих за ©дет турбулентной вязкости, на внешних пределах пограничного слоя *)・ Принято считать, что изменение ветра и температуры внутри слоя можно найти, после того как вне пограничного слоя соответствующее изменение предсказано с помощью одной из адиабатических теорий. Характерным примером расчетов внутри слоя служат теория вращения ветра с высотой в пограничном слое (работы Е. Н. Блиновой, 1936; М・ И・ Юдина, 1938; Д. Л・ Лайхтмана, 1941, и др., где распределение турбулентной вязкости по высоте задавалось по тому или иному закону; работы А. С・ Монина, 1948; Д・ Л・ Лайхтмана и С・ С, Зилитинкевича, 1965, и др・,в которых распределение коэффициента турбулентности определялось одновременно с определением ветра на основе полуэмпирической теории), а также теория суточного хода температур (работы А. А・ Дородницына, 1940; М・ Е. Швеца, 1943, и др・)・ Следует отметить, что рассмотрение адиабатических движений, даже «подправленных» на пограничных слоях,— это специфика только краткосрочного прогноза. Такие явления, как различие температурных изменений с высотой в тропосфере и стратосфере, наличие квазистационарных, для данного сезона, центров действия (Исландский циклон и др.) и т. п., не могут быть объяснены в рамках адиабатических теорий. Эти явления образуют своеобразный фон, на котором протекают процессы, описываемые в краткосрочном прогнозе. Количественная теория этого фона является частью гидродинамической теории долгосрочного прогноза и климата, в которых советская метеорология достигла
особенно ощутимых результатов и лидировала все эти годы ). Изложение этих результатов выходит за рамки тематики данного обзора^ посвященного специально краткосрочному прогнозу с помощью гидродинамики.
Полные уравнения
В середине пятидесятых годов, когда стали получаться первые ощутимые результаты в реализации прогнозов с помощью квазистатической и квазигеострофической (адиабатической) модели, когда прогнозы на ЭВМ
оказались, наконец, превышающими по качеству прогнозы синоптические и можно было надеяться, что путь к внедрению численных методов в практику краткосрочного прогноза погоды открыт,— уже в этот период триумфа квазигеострофического приближения необходимость и точность-
его начали ставиться под сомнение.
Основой для такого сомнения послужили, в частности, результаты, полученные при изучении механизма приспособления ветра к геострофическому. Чтобы выяснить этот механизм, следовало обратиться к полным уравнениям гидромеханики (в упрощениях квазистатичности, но не квазигеострофичности) .Мы запишем их так：
ди @〃ди @〃1и= —м1и= —мди дхди дхdv , дН评十g ~Wdv , дН评十g ~Wlulu-u-udv dxdv dx.52Я \ _ 力.52Я \ _ 力du J dv . 5ю曲十冇十就du J dv . 5ю曲十冇十就о,о,gfgf毋〃毋〃Ao= —gC (мAo= —gC (м@2〃дх dg@2〃дх dg(6.1)(6.2)(6・3>(6 •分(6.1)(6.2)(6・3>(6 •分
ди @〃
ди @〃
1и= —м
1и= —м
ди дх
ди дх
dv , дН评十g ~W
dv , дН评十g ~W
lu
lu
-u
-u
dv dx
dv dx
.52Я \ _ 力
.52Я \ _ 力
du J dv . 5ю曲十冇十就
du J dv . 5ю曲十冇十就
о,
о,
gf
gf
毋〃
毋〃
Ao= —gC (м
Ao= —gC (м
@2〃дх dg
@2〃дх dg
(6.1)
(6.2)
(6・3>
(6 •分
(6.1)
(6.2)
(6・3>
(6 •分
Их следует решать при краевых условиях
号黑二°吨0 °，I
g (专十°0等=一"優十a)祭 W(z)警三j(6.5).
— /л при ^ = 1 *j
Уравнения содержат четыре искомые функции и, и, <о, Н и три дифференцирования по времени (уравнение (6・3) связывает м, и и <о в любой момент времени — это диагностическое уравнение). Таким образом, мы можем считать, что в начальный момент три функции u, р, Н имеют произвольные значения, и, поставив задачу Коши, попытаться определить, как ведут себя м, р, Н дальше; в частности, интересно установить, почему функции и и р, заданные в начале произвольными, оказываются затем близкими к геострофическим (м ^ иё, и ^ @), что имеет место в природе..
Задача о приспособлении движения к геострофическому была поставлена шведским метеорологом Россби в конце тридцатых годов; ему же принадлежит и первое, упрощенное ее решение. Упрощения России заключались, во-первых, в том, что движение представлялось в виде-
малых возмущений покоя, так что уравнения можно было линеаризовать; во-вторых, параметр Кориолиса Z считался постоянным; в-третьих, поверхность земли, над которой движение происходит, считалась бесконечно простирающейся горизонтальной плоскостью. Кроме того, Россби проанализировал лишь баротропные уравнения. Постановка задачи была значительно расширена и углублена в трудах советских метеорологов (А. М. Обухов, 1949; И. А. Кибель, 1955; А・ С. Монин, 1958, и др.). Однако при всех обобщениях (произвольные начальные данные, бароклинность и пр.) метеорологи продолжали принимать три упомянутых упрощения Россби: линеаризацию, постоянство Z, бесконечное распространение по горизонтали.
По-видимому, эти-то упрощения и привели к парадоксальному результату. Движение действительно приспособляется к геострофическому, но при этом процесс стационирует, эволюция исчезает, погода перестает меняться *)・
Можно было предположить, что эволюция метеорологических элементов, характерная для погоды, может быть получена только путем учета одного из трех отброшенных факторов, а скорее всего, путем учета всех этих факторов сразу. Таким образом, для полного решения вопроса о приспособлении движения к геострофическому следовало обратиться к полной нелинейной системе (6.1) — (6.4). Но эта же система, если бы удалось ее решить, могла послужить и для прогноза погоды. Правильное ее решение должно само собой привести к квазигеострофичности; нет необходимости упрощать уравнения (строить «фильтрующие» уравнения, т. е. пр опускающие несущественные для задачи решения) из боязни получить иначе решения, не имеющие характера погоды, которые могут гипертрофироваться в процессе счета (неустойчивость счета, неточность начальных данных и др・)・
Обращаясь для прогноза к полной системе уравнений (6.1)——(6.4) (за рубежом эта система называется системой «примитивных» уравнений, т. е. первоначальных, не упрощенных за счет требований геострофичности), советские метеорологи предложили вначале способ решения задачи шагами по времени, близкий к тому, который применялся в квазигеостро- фической системе, но навеянйый решением линейной бароклинной задачи на приспособление ветра к геострофическому (И. А. Кибель, 1955, 1958, 1960； В・ П. Садоков и С. В. Немчинов, 1961).
*) Это стационарное решение может быть легко получено заранее, без вычисления промежуточных положений. Линеаризуя (6.1)—(6.4), получим сперва из (6.1) и (6.2) @Ар/@ 力 + Z А(р = 0, d^ldt + g АЯ — I А-ф, где *ф, <р — функция тока и потенциал скоростей для горизонтального движения. При этом согласно (6.4) и (6.3) имеем d/@C i^d^Hld^dt}=(巒/g)A(p・ Исключая из первого и третьего уравнений <р и интегрируя по времени полученное выражение, придем к соотношению, которое должно выполняться для любого момента времени:
i (芋得)+普а屮=备(у熒)+*a屮
(屮°, 〃° ——начальные значения -ф, Я). С другой стороны, при стационировании $А(р/@力一> 0 и, если обозначить через 左8 и @8 значения этих функций при 力一> 8, получим g АЯоо = I Афоо, так что
靑传号f) +备M8=書卜2费)+ (备+a)五8+备А唄.
Это уравнение для Н^ следует решать при краевом условии ——следствии (6・5): (@/@С + а)(Яоо —— Я0) = 0・ Так как операторы, входящие в уравнение и краевые условия, совпадают с операторами (4.4) и (4.7), решение может быть сразу выписано по аналогии с (4.9).
Аналогом уравнения (4.4) будет теперь
[-^(^+i)<^+4
（5矗+1）雯-*m+攀），（6®
где
D.
B^-u^+v
о 5А(р
甯+ G饗+ A2屮+也+粤糸一需贵，
嗡+石要+（新+儔y + 2瑞襲
+眦+毎而+再代.
Чтобы от dH/dt, вия (6.5).
получить аналог формулы (4.9), следует обернуть оператор
стоящий в левой части (6.6), при выполнении краевого усло-
Результаты записываются в виде
g£g_=广a j^T+aW 関+ ，勺(2, у,爲
(6-7)
где
0 r^2/aRTmi
о о疟2 причем
+ J J JGo (ZA屮。一g\H°) dxr dyr d?—
0 『这2 VaRTmt
招品-翁希依+给4T 砌…a"},
G = ^^(j+7 詣)
：Ттп(1')2
О
a=ln
I 5(r, a, t — У), Go=(G)，=o,
/%2 + 4- aM '
C=-^U备 JJ jWd"M 犷+
+ j j j (必屮。-g\H° - въ) м d对 ay],
2] l/"~r2Z2~~2宀小^RT^^2] l/"~r2Z2~~2宀小^RT^^1 ^京再1 ^京再
2] l/"~r2Z2~~
2宀小^RT^^
2] l/"~r2Z2~~
2宀小^RT^^
1 ^京再
1 ^京再
(ф°,屮。，Н。一 начальные значения соответствующих функций). Формула (6.7), в отличие от своего квазигеострофического аналога (4.9), содержит зависящие от времени функции Грина G и М. Зависимость эта связана с волновым характером уравнений: область действия G распространяется со скоростью 2 у aRTm (^200 м/сек)——верхняя граница для «внутренних гравитационных волн»; область действия М распространяется со скоростью У ДГт/(1 — а) (аЗОО м/сек) — «внешние гравитационные волны» ). При 力 т 8 функция S переходит в функцию а из (4.9)), a G переходит в Gq・ Заметим, что второй член правой части (6.7) исчезнет, если в краевом условии (6.5) пренебречь членом, содержащим малый параметр а (это эквивалентно условию <о = 0 при ^ = 1 вместо условия ip = 0 при С = 1) ).
• Выпишем еще выражение для w (аналог формулы (4.10)) для случая полных уравнений:'
ag投=备{备i Jj_ 等A喊改 必+
0 pM^T^t
1
+ J J J醬 3屮° - gA〃°)dx，dy，婚一
0 r<2 ^aRTm t
-J,J J_ [?G 品一嘉g*r(0G +欝)一器％ W，dy"7}.
0 r<2 冗^
(6.8)
Внешние гравитационные волны здесь не проявляются. При £ —> 8 и если положить Дф° = 0, 2厶屮° = g^HQ и заменить Вй на Лд (считая эти величины не зависящими от времени), получим вместо (6.8) вновь формулу (4Д0) для вертикальной скорости.
так что S переходит в о.
***) Если мы потребуем при 白=0 обращения в нуль самой температуры (т・ е. величины ^52Я/5 J @$), а не только внутренней энергии (т・ е・ величины 0中田3匸 @力), то (6・7) придется изменить, отбросив член с С и поставив в качестве *нижнего предела интеграла в правой части 0 вместо 1. Здесь^снова выпадают внешние гравитационные волны.
37 Механика в СССР, том 2
Здание этих свойств функций Грина пригодилось в дальнейшем при выборе шагов по времени при прогностическом решении полных уравнений: в то время как в геострофических моделях можно было принимать шаги по времени в 3 часа, теперь, даже при отбрасывании внешних гравитационных волн (<о — 0 при С = 1), шаги по времени приходится брать от 30 до 60 м, а при точном краевом условии ——в пределах 10——15 м. Для уверенности в математической устойчивости счета советские метеорологи впервые применили имплицитную запись всех линейных членов; если при этом нелинейные части записать эксплицитно, то мы получим практически конечноразностную запись решений типа (6・7)・
Принципиально говоря, уравнение (6.7), если к нему прибавить аналогичные выражения для d^ldt и 6屮/6力，может быть использовано при прогнозе непосредственно. На деле реализованы были другие схемы, в которых система (6.1)——(6.4) записывалась сперва для тех или иных конкретных уровней & а затем уже на каждом шаге по времени осуществлялось определение Н,屮，屮 в зависимости от 力 и у.
Первой схемой решения полных уравнений при реальных начальных данных, прошедшей оперативные испытания, была двухуровенная схема (С. А. Бортников, 1960, 1963). Здесь прогноз давался для АТ700 и АТ300, производные заменялись конечными разностями, все линейные члены записывались имплицитно при шагах по времени, задача сводилась к решению одного уравнения Пуассона и одного уравнения Гельмгольца, решение находилось с помощью функций Грина, прогноз давали на 24 часа.
Следующей по сложности реализованной схемой была трехуровенная модель (В. М. Кадышников, 1963, 1965) для прогноза ATI ООО, АТ500, АТ300. Для расписывания по высоте здесь применен был метод интегральных соотношений, линейные члены снова писались имплицитно, система уравнений Гельмгольца, полученная при этом, канонизировалась и решалась итерационным методом.
Эти первые две схемы после массовых оперативных испытаний начали применяться в ежедневной оперативной работе (Гидрометеорологический центр СССР, 1965). На тренировочном симпозиуме по численному краткосрочному прогнозу, проведенном Всемирной метеорологической организацией в Москве в ноябре ——декабре 1965 г., советские оперативные прогнозы по полным уравнениям вывешивались для сравнения ежедневно. Тогда это были первые в мировой практике и единственные оперативные прогнозы с помощью полных уравнений.
Прогнозы с помощью квазигеострофических моделей получили права гражданства после того, как они в оперативных условиях оказались по качеству выше синоптических. Прогнозы с помощью полных уравнений получили признание после того, как они при массовых испытаниях оказались по качеству выше квазигеострофических. Квазигеострофические модели выполнили свою роль и оказались в какой-то мере исчерпанными. Первый успех в использовании полных уравнений дал толчок к большому, все возраставшему потоку исследований. Наряду с задачами, носившими характер конкретных обобщений, где можно было использовать опыт реализации квазигеострофических моделей (учет орографии, учет кривизны Земли, прогноз непосредственно ветра, поправки на пограничный слой и мн・ др・), которые привлекли в первую очередь внимание метеорологов, появились новые, прежде не возникавшие проблемы. Назовем некоторые из них.
Проблема выбора алгоритмов счета, устойчивого по отношению к нелинейным членам. Эта проблема возникает в связи со спецификой
вхождения нелинейных членов в полные уравнения. Советские метеорологи, применив достижения отечественной математики к своим задачам, дали ряд устойчивых схем.
В первую очередь укажем так называемый метод «расщепления» (Г. И・ Марчук, 1964, 1965), сводящий задачу прогноза к ряду элементарных алгоритмов (решение ряда одноразмерных задач), который носит универсальный характер и может быть применен при дальнейшем расширении физической постановки задачи. Назовем также метод, основанный на удовлетворении уравнений на каждом шаге «в среднем» с одновременным локальным решением точных нелинейных, но одноразмерных уравнений (С・ К. Годунов, 1959； В. В. Быков, 1965).
Проблема выбора краевых условий по (方,у) при прогнозе по ограниченной площади. Эта проблема не возникает в квазигеострофической схеме, где «возмущения» распространяются вместе с потоком (т. е. со скоростью порядка 10 м/сек) и где поэтому искажение условий на «боковой стенке» приводит к искажению решения лишь в небольшой полосе у границы.
При решении полных уравнений математическая постановка, корректная в квазигеострофическом случае (заключающаяся в том, что на границах задается постоянное Н там, где воздух входит в интересующую прогнозиста область, и Н определяется там, где воздух выходит), остается корректной вновь, но теперь физически неверные условия (закрепление Н в местах входа потока) могут дать искажения в большой области (практически во всем районе прогноза). Выход удалось найти в использовании новых краевых условий (Д・ Я・ Прессман, 1966)——того типа, который давно уже был разработан в советских исследованиях по долгосрочному гидродинамическому прогнозу, где тщательный выбор краевых условий (условий на экваторе, например) был всегда решающим.
3・ Проблема начальных данных. Если в квазигеострофическом случае задача решалась просто —— достаточно было знать начальное поле геопотенциала Н,——то теперь ставится задача определения движения по заданному начальному полю трех величин щ у, Н. Техническая трудность, связанная с увеличением втрое объема начальной информации, может быть преодолена, как это было сделано советскими метеорологами в первых примерах прогноза с помощью полного начального ветра и Н. Возникает вопрос, какая точность начальных полей требуется для получения прогноза заданной точности. Можно ли, например, в начальный момент принять в качестве и, у составляющие геострофического ветра и с какими ошибками придется в этом случае иметь дело при прогнозе? ). В линейной теории приспособления движения к геострофическому результирующее движение выражается через начальные значения Н° и 泅 но эти выражения не содержат ф° (см. подстрочное примечание на стр. 575). Отражает ли это то, что имеет место в нелинейном случае, и означает ли, что мы можем считать, без ущерба для точности, начальный ветер соленоидальным?
Эти и подобные вопросы, связанные с решением полной системы уравнений гидродинамики, находят живой отклик во всех новых исследованиях по теории гидродинамического краткосрочного прогноза погоды. .
§ 7. Вопросы мезометеорологии. Заключение
На пороге второго пятидесятилетия советская наука о гидродинамическом краткосрочном прогнозе погоды наметила подход к новой задаче, которая по трудности превосходит то, с чем приходилось сталкиваться до сих пор. Речь идет о локальном прогнозе погоды. Если прежде можнй было говорить о сравнении с синоптическими методами прогноза, то теперь мы вступили в область, где одна только гидродинамика может дать решение. В самом деле, не существует синоптических методов прогноза пятнистости осадков над городом, над пересеченной местностью, локальных прогнозов в горах и т・ п. Здесь уже нельзя ограничиваться квазистатиче- скими моделями (не говоря уже о квазигеострофических); впервые приходится иметь дело с полными уравнениями гидродинамики с учетом вертикальных ускорений. Здесь характерными горизонтальными размерами будут 1——2 км, а не 1000 км, как это было до сих пор в задачах прогноза.
Мы можем рассматривать локальные движения как «возмущения» (нелинейные), наложенные на некоторый погодный «фон». Этот фон можно предсказывать с помощью уравнений (6Л)——(6.4), но для исследования возмущений должны служить другие уравнения. Здесь можно воспользоваться достаточно общей системой, которая получится из совокупности уравнений гидродинамики путем упрощений теории конвекции.
Орографические возмущения ——одни из главных. Отвлекаясь на первых порах от турбулентной теплопроводности и вязкости, можно записать нашу систему в следующем виде, удобном для исследования влияния орографии：
票+ М 缪 + 粤一5 = !\+ 2 三 &, (7.1)
dxi dxi 1@Z[dxl@% 1 Hz】 i' V /
許+ M 許 + 誹+Zf 碧一+驚 f (7.2)
(7.3)
■(7.4)
(7-5) Здесь %] = xlL, Ух = уЩ 勿=(z — %)/Н, где 怎弘 z — размерные координаты, z = Zq (xt у) уравнение поверхности Земли в данном районе, £ и Н — характерные горизонтальные и вертикальные размеры соответственно, ось X направлена вдоль среднего по высоте ветра фона, 友 =(U/£)力 где t ——размерное время, U ——произвольная скорость, М = UJU, где U]——характерная средняя скорость для горизонтального ветра движения фона,必=3U, v工=ulU, з = — (pJU) ® —Txu — Г2у), где м, у, w — размерные скорости, Гх = д么"dx, Г2 = (б^/бу)「工—— безразмерная приведенная плотность (р】=рстанд/ро，где р0 — стандарт-
нан плотность на уровне моря： р0 = 0,0013 е/с№), т = р^, п = р】％, Ф = р，/(ро〃2), /?' — размерное отклонение давления от его стандартного значения, ^ = gHp口"kTgUb、где 7' — отклонение температуры от ее стандартного значения, Тт ——средняя температура воздуха, g — ускорение силы тяжести, Zx = (ijU) Z, где I — параметр Кориолиса, наконец,
衣2, о衣2, о冷2 £(Ya —Y)m冷2 £(Ya —Y)m(7.6)(7.6)
衣2, о
衣2, о
冷2 £(Ya —Y)m
冷2 £(Ya —Y)m
(7.6)
(7.6)
Выбранная здесь система координат такова, что при z = 0 мы имеем <о=0； кроме того, при z т оо, когда рх = 0, мы будем требовать также равенства <о нулю. Здесь могут быть вновь построены аналоги уравнений (4.4) и (4.5) и могут быть обращены соответствующие операторы. Нам придется теперь строцть решецие с помощью функции Грина вида
.thai=D(zi+z；) J ЙТ/е J °.thai=D(zi+z；) J ЙТ/е J °储一由）XX Jo （м片戸 + a： X储一由）XX Jo （м片戸 + a： Xdt[阳,dt[阳,(7-7)(7-7)
.th
ai=D(zi+z；) J ЙТ/е J °
.th
ai=D(zi+z；) J ЙТ/е J °
储一由）X
X Jo （м片戸 + a： X
储一由）X
X Jo （м片戸 + a： X
dt[阳,
dt[阳,
(7-7)
(7-7)
гдегдеai=D (zi—z；) ai=D (zi+z；)ai=D (zi—z；) ai=D (zi+z；)j备人（/W^! /岑7）阳.j备人（/W^! /岑7）阳.
где
где
ai=D (zi—z；) ai=D (zi+z；)
ai=D (zi—z；) ai=D (zi+z；)
j备人（/W^! /岑7）阳.
j备人（/W^! /岑7）阳.
* =「： +甯，^^-Mt'.-x'^ + ^-y'^.
Мы вернемся к случаю квазистатичности, если характерные горизонтальные размеры значительно больше вертикальных; если, например, высота 反^ 10 км, а характерная горизонтальная длина L ^ 1000 км, то е = 0,0001, и практически можно положить в (7.3) е = 0. Это и есть условие квазистатичности, применяемое всегда при прогнозе как по квази* геострофическим, так и по полным уравнениям. При е -> 0 мы получим из (7.7)
Если положить затем величину М, входящую r q, равной нулю, мы вернемся к функции Грина, участвующей в формуле (6.7) *)・
*) Действительно, если вспомнить, что z~(BTm/g) In (1/^) и что
D24)2 = ^用丁 ％(Z —吟2 = £® 丁 ？)些(In £ Y =卅％ In 工
a Q2 ^S1 _p 2^)2 = (aRTm/U2) In [£/(CC')l, то мы увидим, что G окажется пропорциональным величине
二 f2。(/薪W 哗5
0
Достаточно затем сделать замену переменных, полагая (aRTm”)—?—а = Х2, и мы получим
ш告”麻 J V12+a I У aRT7n
Полученное выражение сходно с тем, что входит в (6・7) (см. определение функции S из (6.7) с заменой стоящей в 6 величины 】/& на а; эта замена произошла за счет незначительного упрощения, принятого при выводе (7・3))・
В задачах мезометеорологии следует считать 8 = 1. В то же время е‘ может быть отброшено (фильтрация акустических волн в уравнении (7.4)), и также может быть отброшено Z；・ В таком случае нам придется иметь дело с функцией Грина (см・ (7・7))
G =G =…+z J小 c"。（费）因必…+z J小 c"。（费）因必(7-8)(7-8)
G =
G =
…+z J小 c"。（费）因必
…+z J小 c"。（费）因必
(7-8)
(7-8)
и стоящих неподвижно, несмотряи стоящих неподвижно, несмотря
и стоящих неподвижно, несмотря
и стоящих неподвижно, несмотря
где
R^ = (x-Mt-X'^ + (y-yy + ^
Характер влияния, выражаемый формулой (7.8), резко отличается от характера действия функций Грина (4.10) или (6.7). При закрепленном z с ростом t функция (7.8) будет изображать ,возмущения, которые j распространяются все дальше от точки 3，У，z‘)вдоль основного потока, оставляя за собой стационирующие, «застывшие» волны. Волны эти несколько напоминают корабельные волны из классической задачи гидромеханики (хотя, в отличие от поверх-
постных корабельных волн, мы имеем в атмосфере волны пространственные). Таким образом, основной поток под, влиянием орографии (наличие последней описывается главным образом членами с C3 и С5 в уравнениях (7.1) — (7.5)) претерпевает возмущения, дающие периодические (по пространству) подъемы или опускания воздуха. При подъеме частицы воздуха происходит адиабатическое охлаждение и возможна конденсация влажности, переносимой вместе с частицей. Поэтому в местах подъема можно наблюдать облака. Особенно ярко это будет проявляться при обтекании не отдельной горы, а ка
кого-либо горного хребта. С подветренной стороны хребта можно ожидать появления гряд облаков, расположенных параллельно хребту на наличие ветра (А. А. Дородни
цын, 1938, 1950). Расстояние между отдельными грядами облаков должно иметь на некотором удалении от хребта величину порядка 2л/О. Приведенный здесь фотоснимок получен с советского,спутника «Космос-144» (март 1967 г.), когда он пролетал над западными районами США. Отчетливо видны гряды облаков указанного выше происхождения, появляющиеся с подветренной стороны хребтов Сьерра-Невада и Берегового. Различные «длины» волн согласуются с различными скоростями ветра U工 в обоих районах.
Мы видим, как сложны атмосферные процессы, если говорить о мезомасштабах, возникающие за счет одной лишь орографии.
Если прибавить еще, что турбулентная конвекция и турбулентная теплопроводность играют важную роль в мезопроцессах, таких как бризо- вые ветры, горно-долинные ветры, ветры склонов и др., если вспомнить, что только еще начала создаваться гидродинамическая .теория облака, а построение гидродинамической теории возникновения облачных систем только еще ставится,—— станет понятным, какой размах исследований предстоит в задаче о гидродинамическом мезомасштабном прогнозе. Само собой ясно, что только широкое использование новых ЭВМ позволит вплотную подойти к этим задачам, в которых должны будут сочетаться самые тонкие математические методы с наиболее полной гидродинамической постановкой.
Впереди —— синтез всех описанных выше исследований в целях разработки, с помощью численных методов, задачи управления погодой.
s5-92,245-8u1*27°'u5u355-&13;4 888 99999QOQ112 2233333444s5-92,245-8u1*27°'u5u355-&13;4 888 99999QOQ112 2233333444
s5-92,245-8u1*27°'u5u355-&13;4 888 99999QOQ112 2233333444
s5-92,245-8u1*27°'u5u355-&13;4 888 99999QOQ112 2233333444
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВВ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ
Г. К. МИХАЙЛОВ, В. Н. НИКОЛАЕВСКИЙ )
Введение
LL Общий исторический очерк
Основные представления теории фильтрации однородной жидкости § 2. Уравнения движения однородной жидкости в деформируемой пористой среде Уравнения движения
Волновые процессы
Консолидация земляных масс
Упругий режим фильтрации
Движение грунтовых вод
Плоское установившееся движение (метод конформных отображений)
Плоское установившееся движение (продолжение)
Приближенные методы расчета установившегося движения
Неустановившееся движение грунтовых вод
Движение нефти и газа
Основные задачи фильтрации нефти
Движение газа
Движение в неоднородных и трещиноватых пористых средах ....
Нелинейные эффекты при движении однородной жидкости
Движение смеси жидкостей и газов
Уравнения движения
Движение двухфазной жидкости
Движение газированной жидкости .
Движение газоконденсатных смесей
Процессы перемешивания (конвективная диффузия и теплоперенос)
ведение
Общий исторический очерк. Основы гидродинамики пористых: сред восходят к работам французских инженеров А. Дарси и Ж. Дюпюи, относящимся к середине прошлого века и связанным с развитием исследований в области водоснабжения и гидротехники. Дарси, используя многочисленные наблюдения на песчаных фильтрах водоочистных сооружений г. Дижона, установил (1856) пропорциональность скорости фильтрации воды d = Q/Q градиенту напора ——J : у = KJ ——соотношение, получившее' позже название закона Дарси (коэффициент пропорциональности К, имеющий размерность скорости, называют коэффициентом фильтрации). Тогда же (1863) Ж. Дюпюи развил гидравлическую (квази- одномерную) теорию установившегося напорного и безнапордого течения:
грунтовых вод. Последующее исследование плоских (плановых) задач установившегося напорного и безнапорного движения грунтовых вод путем ■сведения их к решению уравнения Лапласа (для напора или, соответственно, квадрата напора) связано в конце XIX и начале XX века главным образом с трудами австрийского ученого Ф. Форхгеймера (1886 и сл.). Адекватная гидравлическая теория неустановившегося движения грунтовых вод была развита во Франции Ж. Буссинеском (1903, 1904).
Общие уравнения течения несжимаемой однородной жидкости в жесткой пористой среде рассмотрел в 1888 г. Н. Е. Жуковский (ЖРФХО, ч, физ., 1889, 21:1; Поли. собр. соч., т. 7, 1937). Он использовал для их вывода уравнения Эйлера, выписанные относительно осредненной скорости течения в поровых каналах, добавив в них вместо сил вязкого трения объемную силу сопротивления, пропорциональную согласно закону Дарси -скорости течения. Развернутый анализ основ теории движения грунтовых вод и закона Дарси был дан в самом конце XIX века американским гидрогеологом Ч. Сликтером (XIX Ann. Rept, U.S. Geol. Survey, 1899), которого Л. С. Лейбензон назвал «отцом теории фильтрации». Сликтер, в частности, связал коэффициент фильтрации грунта К с вязкостью фильтрующейся жидкости |1, пористостью и характерным диаметром частиц грунта d: К &2/卩 (имеющая размерность площади величина к = 宜卩/у получила впоследствии название коэффициента проницаемости), начал изучение геометрии порового пространства. К его работам восходит моделирование реального грунта «фиктивным» грунтом, состоящим из правильно уложенных сферических частиц, с последующим переходом к «идеальному» грунту, представляющему собой простую систему капиллярных трубок.
Одновременно с развитием математического аппарата расчетов течения грунтовых вод начал подвергаться критическому анализу и сам закон Дарси. Появились предложения заменить линейный закон у = KJ более общим степенным законом типа у = KJn с n < 1 (К. Кребер, 1884) или двучленным законом типа J ~ ну + Ьу2 (Ф, Форхгеймер, 1901) ). Вместе с тем предпринимались попытки установить пределы применимости закона Дарси, что само по себе более или менее условно, поскольку (как ■было окончательно установлено впоследствии) не существует «критического» числа Рейнольдса, характеризующего нарушение закона Дарси, а отклонения от него развиваются постепенно.
Уравнения движения несжимаемой жидкости в пористой среде были обобщены в двадцатых годах Л. С. Лейбензоном на течения газа, для которых им был получен ряд важных решений.
Принципиальное развитие математической ^теории плоского движения несжимаемой жидкости (грунтовых вод) в пористых средах было осуществлено в 1922 г. Н. Н. Павловским, систематически использовавшим для решения разнообразных задач методы теории конформных отображений (формулу Кристоффеля — Шварца). Дальнейшее успешное применение методов теории функций к плоским задачам о движении грунтовых вод было развито в тридцатых и, частично, в сороковых годах (Б. Б. Девисон, В. В. Ведерников, Н. Н. Павловский, В. И. Аравин, П. Я. Полубаринова-Кочина, В. К. Ризенкампф, С. Н. Нумеров и др.). С сороковых годов
в СССР получили широкое развитие также методы расчета нефтегазовых задач подземной гидродинамики ) (Б. Б. Лапук, И. А. Чарный, В. Н. Щелкачев и др.). Несколько позже, главным образом в пятидесятых годах, были разработаны эффективные методы приближенного решения задач неустановившейся фильтрации (П. Я. Полубаринова-Кочина, В. Н. Щелкачев, С. Н. Нумеров, Н. Н. Веригин, И. А. Чарный, Г. И. Ба- ренблатт и др.).
Учет деформаций скелета пористой среды проводился первоначально лишь в рамках теории консолидации (К. Терцаги, Н. М. Герсеванов). Общие уравнения движения жидкости в сжимаемой среде были выписаны Я. И. Френкелем (1944). и тщательнб проанализированы позже В. Н. Николаевским (1963, 1964). Частные подходы к учету слабой сжимаемости фильтрующейся жидкости и скелета были независимо развиты в так называемой теории «упругого режима» фильтрации, основные уравнения которой были даны в гидрогеологической трактовке Ч. Э. Джейкобом ^1940), а применительно к задачам нефтяной подземной гидравлики В. Н. Щелкачевым (1946 и сл.).
Теория движения многофазных жидкостей была заложена в тридцатых годах в США. На основании экспериментальных исследований Р. Д. Викоф и X. Г. Ботсет ввели понятие фазовой проницаемости (1936), < помощью которого М. Мускат и М. Мерес построили тогда же общую теорию раздельного движения многофазных смесей в пористой среде. Несколько позже (1940) М. К. Леверет ввел в гидродинамические расчеты разность фазовых давлений (капиллярное давление) как функцию фазовой насыщенности. Существенный результат был получен С. Э. Бакли и М. К. Леверетом (1941), установившими образование скачков насыщенности при движении смеси. В последующие годы это направление подземной гидродинамики успешно развивалось и в СССР.
Своеобразным разделом теории движения смесей жидкостей и газов можно считать теорию движения влаги в пористой среде при неполном 《но значительном) ее насыщении. Интерес к этого рода задачам возник главным образом в связи с задачами сельскохозяйственного почвоведения. Зто направление представлено в Советском Союзе единичными работами. Близкий по существу круг исследований, связанный с изучением другого класса физико-химических процессов (сушка и др.), ведется А. В. Лыковым и его сотрудниками. Самостоятельной областью исследований является изучение физико-химических процессов при движении жидкости 田 тонких слоях. Работы в этой области широко развернуты в нашей ■стране в течение нескольких десятилетий (Б. В. Дерягин и др).
В последние годы, начиная с работы X. А. Рахматулина (1956), намечается все более глубокое внедрение в теорию движения жидкостей и газов в пористой среде общих методов механики сплошных гетерогенных сред. Особое практическое значение это направление имеет при анализе перекрестных эффектов в процессах переноса: при фильтрации многокомпонентных (в том числе реагирующих) смесей, распространении ударных ■волн, при детонации и горении в пористых средах, в задачах термодиф- -фузии и т. п. ).
Вопросам теории движения жидкости и газа в пористой среде посвящена в Советском Союзе обширная, в том числе монографическая литература. Среди наиболее значительных книг, сыгравших видную роль в развитии теории движения грунтовых вод и подземной гидродинамики, отметим следующие монографии и учебные пособия ):
Н. Н. Павловский «Теория движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями и ее основные приложения» (1922; Собр. соч.г 工 2, 1956);
Л. С. Лейбензон «Подземная гидравлика воды, нефти и газа» (1934； Собр. тр., т. 2, 1953);*
Б. Б. Девисон «Движение грунтовых вод» (в сб.: Некоторые новые вопросы механики сплошной среды, 1938);
Б. К. Ризенкампф «Гидравлика грунтовых вод» (Уч. зап. Саратовск. ун-та, сер. физ.-мат., 1938—1940);
В. В. Ведерников «Теория фильтрации и ее применение в области ирригации и дренажа» (1939);
П. Крылов и др. «Научные основы разработки нефтяных месторождений» (1948);
Б. Б. Лапук «Теоретические основы разработки месторождений природных газов» (1948);
Н. Щелкачев и Б. Б. Лапук «Подземная гидродинамика» (1949);
Я. Полубаринова-Кочина «Теория движения грунтовых вод» (1952);
И. Аравин и С. Н. Нумеров «Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде» (1953);
И. А. Чарный «Основы подземной гидравлики» (1956).
Некоторым современным проблемам подземной гидродинамики посвящена книга «Влияние свойств горных пород на движение в них жидкости» (1962), написанная А. Баном, А. Ф. Богомоловой, В. А. Максимовым^ В, Н. Николаевским, В. Г. Оганджанянцем и В. М. Рыжиком.
Наконец, отметим сводную монографию «Развитие исследований по теории фильтрации в СССР (1917—1967)» под общей редакцией П. Я. Полубариновой-Кочиной, С. Н. Нумерова, И. А. Чарногои др. (1969),
В последующем изложении авторы стремились проанализировать, главным образом принципиальные вопросы теории движения жидкости и газа в пористых средах. Во второй половине настоящего параграфа освещены некоторые общие представления о движении однородной жидкости в пористой среде, связанные с законом Дарси, Далее рассмотренье общие уравнения движения однородной жидкости в деформируемых средах (§ 2), затем дан краткий обзор методов исследования задач гидродинамики грунтовых вод (§ 3), нефти и газа (§ 4); в заключение излагаются вопросы движения в пористой среде смесей жидкости и газа (§ 5). Сравнительно слабо отражены в обзоре исследования отдельных ' конкретных задач.
В настоящем обзоре отсутствуют подробные библиографические ссылки, а упоминаются преимущественно работы, более близкие интересам авторов. В связи с этим авторы приносят извинения тем лицам, работы которых по той или иной причине не упомянуты в обзоре. Читатель найдет
«более полную библиографию в последней из указанных выше монографий л в четвертом томе настоящего сборника.
За ряд полезных замечаний по тексту различных разделов обзора -авторы выражают благодарность Ю. П. Борисову, С. Н. Закирову, Г. А. Зотову, А. К. Курбанову, В. П. Пилатовскому, М. Д. Розенбергу и Г. П. Цыбульскому, которые не несут, конечно, ответственности за весь обзор в целом.
Основные представления теории фильтрации однородной жидкости. В математической теории движения жидкости и газа в пористых средах уравнения движения выписываются для элементарного макрообъе-1 ма, включающего в себя множество заполненных жидкостью поровых каналов. Поэтому в уравнениях фигурируют осредненные величины '{например, средняя скорость и движения жидких частиц, среднее поровое давление р).
Уравнения движения однородной жидкости в пористой среде получаются наиболее просто из уравнений Эйлера при добавлении в них эквивалентной вязкому трению объемной силы сопротивления, пропорциональной средней скорости w (Н. Е. Жуковский, 1889). При этом уравнения движения сводятся (для недеформируемой пористой среды в пренебрежении инерционными силами) к общепринятой дифференциальной формулировке закона Дарси
"曰- т"曰- т—grad р.—grad р.(1-1)(1-1)
"曰- т
"曰- т
—grad р.
—grad р.
(1-1)
(1-1)
"Здесь V — скорость фильтрации, т — пористость среды, к — коэффициент проницаемости ),卩一вязкость жидкости.
При отказе от линейного закона Дарси зависимость объемной силы сопротивления от средней скорости может быть принята и более сложной. Однако само введение осредненных величин в качестве характеристик движения и гипотеза об объемном характере вязких сил воздействия пористой среды на поток фи л ьт р ующейся жидкости являются фундаментальными положениями теории фильтрации. Для анализа их справедливости и теоретических оценок физических параметров, входящих в выражения законов фильтрации, использовались разнообразные модели пористой среды ——полностью детерминированные или же требующие статистических методов исследования ). 、
В более ранних работах строились модели исключительно первого рода. Были предложены различные способы перехода от реального грунта к идеальному и выведены соответствующие формулы для коэффициента фильтрации (проницаемости) в зависимости от пористости и других характеристик грунта (типа формулы Козени — Кармана и др.) (см. Л. С. Лей- бензон, цит. соч., 1934; А. Бан и др., цит^ соч., 1962). Модели подобного типа пригодны для оценки порядка параметров, фигурирующих в осредненных уравнениях движения; в прошлом их анализу и развитию придавалось большое значение.
Усовершенствование простейших детерминированных моделей с целью учета неупорядоченности реальных сред связано с предположением о случайном распределении одного или нескольких параметров модели (например,
диаметра капилляров или сферических частиц), что требует привлечения статистических методов. Во многих работах предлагалось моделировать пористые среды в виде ансамбля капилляров случайного диаметра (см., например, Э. Чайлдс и Н. Коллис-Джордж, Proc. Roy. Soc. London, 1950, !А201:1066, 392—405; И. Фатт, J. Petrol. TechnoL, July 1956; E. M. Минский, 1958; А. Бан и др., цит. соч., 1962). Подобного рода усложнение модели фиктивного грунта позволяет, например, использовать для определения проницаемости данные ситового анализа сыпучих естественных сред ——кривые гранулометрического состава (М. И. ' Вайнерг 1965). Адекватной математической моделью пористых сред с хаотической внутренней структурой являются поля случайных величин).
При не слишком больших и не слишком малых скоростях фильтрации: теоретические модели и эксперименты приводят к линейному закону Дарси. Проверке и исследованию пределов его применимости посвящена множество работ, начиная с восьмидесятых годов прошлого века (такиа работы продолжают публиковаться и в наши дни) ).
В процессе исследований было выявлено несколько причин нарушения закона Дарси. Наиболее подробно изучены отклонения, связанные' с ростом числа Рейнольдса и определяемые проявлением инерционных сил. Важное значение имели, в частности, известные опыты Дж. Фенчера^ Дж. Льюиса и К. Барнза (1933; русский перевод: Баку —— М., 1934). В последующем подобные опыты проводились неоднократно для различных сред. В более старых работах обработка экспериментов велась по аналогии с трубной гидравликой, причем предлагались различные варианты выбора характерной внутренней длины и скорости при определении числа Рейнольдса (см. М. Мускат, цит. соч., 1937; И. А. Чарный, цит. соч.,. 1956). Физические условия микроструктуры фильтрационного потока^ наиболее полно отражает следующая формула для числа Рейнольдса, предложенная М. Д. Миллионщиковым (диссертация, 1944):
Ref” g
(р ——плотность жидкости).
Цель многочисленных экспериментальных исследований первоначально состояла в построении универсальной кривой зависимости гидравлического сопротивления пористой среды от числа Рейнольдса. Однако построить такую универсальную кривую практически не удалось, что связано с различием у разных сред микрогеометрии порового пространства и отсутствием достаточно четких числовых характеристик этой геометрии. Безразмерные кривые гидравлического сопротивления для различных сред совпадают только при выполнении подобия микрогеометрии «в среднем» (А. Бан и др., цит. соч., 1962). Обработка экспериментальных данных по формуле
gradp= — 〃Re)±。 (1-3)
показала, что безразмерная функция сопротивления / (Re) перестает быть постоянной, т. е. закон Дарси нарушается, для сцементированных
591591Движение жидкостей и газов в пористых средах
591
591
пород при Re ^ 0,2 -4- 2 (согласно опытам Фенчера, Льюиса и Барнза) и для засыпок сфер при Re = 3 -~ 6 (согласно опытам Н. М. Жаворонкова, М. Э. Аэрова и Н. Н. Умника, 1949). При больших числах Рейнольдса выполняется квадратичный закон /(Re) = CRe (иногда называемый законом Шези — Краснопольского).
В области нелинейного закона (1.3) исследовались главным образом две традиционные формы аналитического представления: степенная формула
gradp= —ARen~ (1・分
и двучленная .
grad р= ——$0 —р_Ви0. (1.5)
Вторая из них допускает простую физическую интерпретацию (см., например, Е. М. Минский, 1958) (подчеркнем, что коэффициент В — независимый параметр внутренней геометрии среды).
С другой стороны, имеются восходящие еще к Ф. X. Кингу (1899)1 указания на отклонения от закона Дарси при малых скоростях фильтрации. Эти отклонения часто связывают с так называемым «начальным (предельным) градиентом» давления ——％ (или напора), до достижения которого жидкость в порах практически или полностью неподвижна. В предположении о существовании начального градиента закон фильтрации может быть представлен в виде
0 三 ти =0 三 ти =—3radp・(l—価%订)при IgradpA。，、出 6》 0 при I grad р|<г0-
0 三 ти =
0 三 ти =
Сведения о наличии заметного начального градиента при фильтрации воды, в том числе и в не слишком мелкозернистой среде, встречаются в литературе сравнительно давно (см., например, Л В. Казанская, 1931; Т. Н* Пузыревская, 1931). Этим сведениям противоречат данные других опытов по изучению фильтрации воды в песках, позволяющие считать сообщения о наличии начального градиента при фильтрации чистой воды в недеформи- руемой (поверхностно неактивной) пористой среде основанными, по крайней мере в значительном ряде случаев, на нечистоте экспериментов *). Отдельно следует рассматривать сведения о начальном градиенте при фильтрации воды в глинах (см., например, С. А. Роза, 1953), где его природа может быть связана со сложными физико-химическими изменениями тонких минеральных частиц; однако и в этом случае вопрос о начальном градиенте до конца не изучен.
Отклонения от закона Дарси при малых скоростях фильтрации (и, в частности, явления, сходные с наличием начального градиента) отмечались также при изучении филцтрйции неоднородных жидкостей и жидкостей сложного состава, в том числе некоторых нефтей (М. М. Куса- ков, П. А. Ребиндер и К. Е. Зинченко, 1940; Ф. А. Требин, 1945, и др.). В этом случае рассматриваемые явления связаны главным образом с физико-химическими особенностями самой фильтрующейся жидкости.
Опыты показывают, кроме того, что при фильтрации разных жидкостей и газов коэффициент проницаемости среды (в зоне справедливости закона Дарси) может оказаться различным, что, казалось бы, противоречит гипотезе о том, что проницаемость является характеристикой только самой пористой среды. Наибольшие различия наблюдаются при сравнении фильтрации газа и вязких жидкостей. Причины этих отклонений связаны с особенностям и микроструктуры течения, но не имеют единого общепринятого объяснения.
Другим типом отклонений от закона Дарси являются отклонения, связанные с нарушением микростационарности потока (т. е. пуазейлева течения в порах), которые проявляются при чрезвычайно быстрых механических процессах, например при распространении звуковых волн больших частот. Оценка подобных отклонений возможна с применением капиллярных моделей среды (см. М. Д. Био, J. Acoust. Soc. Amer., 1956, 28 : 2, 168—178; П, П, Золотарев, 1964).
Отметим, наконец, еще отклонения от закона Дарси при фильтрации газа в мелкопористых средах, связанные с эффектом его «проскальзывания» (X. Адзуми, Bull. Chem. Soc. Japan, 1937, 12 : 6, 304—312; Л. Дж. Клинкенберг, А. Р. I. Drill Prod. Pract., 1941, 200—220; Б. В. Дерягин, 1946 и сл., и др.). Для описания молекулярного и переходного режима фильтрации газов развиты самостоятельные модели и подходы.
Уравнения движения однородной жидкостив деформируемой пористой среде
Уравнения движения. Полная система динамических уравнений движения произвольной насыщенной пористой среды была составлена первоначально Я. И. Френкелем (1944). В основу им были положены уравнения движения твердой и жидкой фаз, уравнение неразрывности для жидкости, уравнения упругих связей деформаций твердой фазы с напряжениями, а также некоторое замыкающее соотношение для пористости. В результате у Френкеля фигурировали пять параметров упругих связей: два модуля упругой объемной сжимаемости твердой фазы (скелета среды и материала частиц), сжимаемость жидкости, модуль поперечного сдвига скелета среды и некоторый дополнительный параметр замыкающего соотношения для пористости. Л. Я. Косачевский (1959), воспользовавшись вслед за М. А. Био условием существования упругого потенциала рассматриваемой среды, выразил дополнительный параметр Френкеля через остальные четыре.
В. Н. Николаевский (1962, 1963) записал уравнения движения насыщенной пористой среды в виде совокупности уравнений импульса для всей •среды в целом и для жидкости и уравнений баланса массы для твердой и жидкой фаз. Лине а риз ов анные (относительно состояния покоя и^и установившегося фильтрационного течения) уравнения движения были замкнуты им с помощью обобщенного закона Гука, связывающего эффективные напряжения ), поровое давление и деформации твердой фазы. В последнем использовалось предположение об аддитивности деформаций переупаковки твердых, как бы несжимаемых, частиц скелета среды и деформаций гидростатического расширения (сжатия) этих частиц под действием
порового давления. Полученная система линейных уравнений имеет вид (1-Мо) (р；禦一р；禦)—^L — ^m^ — m^ (^_и.)
+ [加(Pi — Рг) — (1 —恤)(Р1 — Р2)] gi = 0» (2.1)
P2 ~^ + ~0~ + "7" ^0 (1—飞)仞t — "i) + P2gi = 0,(2.2)
等+整察一p，a—恤)需—a一人)緩=0,(2.3)
雾Р2m 霹+ 加0^- = 0：(9Z = oil +022 + ^33),(2.4)
Mj=(l —人))&e6tj + 2九2&/ +Pi箔p5j) (^ = ^11 + ^22 + ^33)»(2.5)
где 7\j = о右 一 PM — суммарные напряжения, 必 一 эффективные напряжения, р — поровое давление, т — пористость, р】，р2 — плотности, Ри Р2 — сжимаемости, щ, Wi — средние (истинные) скорости смещения твердой и жидкой фаз,卩 ——вязкость жидкости, а/(1 ——/л。) = к ——проницаемость, gt ——ускорение силы тяжести; (1 —— 恤)％, (1 ——m^j X2 ——первый и второй коэффициенты Ламе, 銘 =(1 — ??z0) (% 十 2/3 ^2) (индекс «0» относится к состоянию отсчета, величины без индексов — малые возмущения).
Приведенная система уравнений эквивалентна системе Я. И» Френкеля (1944), если заменить его соотношение для пористости линеаризованным уравнением неразрывности твердой фазы (2.3). Формула, выражающая дополнительный параметр Френкеля через коэффициенты сжимаемости фаз и коэффициенты Ламе (определяющие упругую переупаковку), совпадает с выражением, полученным другим методом Л. Я. Косачевским (1959). Уравнения (2.3)——(2.5) эквивалентны определяющим соотношениям М. А. Био (J. Acoust. Soc. Amer., 1956, 28 : 2, 168—178), если параметры в последних интерпретировать согласно исследованию и. Геертс- ма и Д. К. Смита (Geophysics, 1961, 26:2, 169—181).
П. П. Золотарев (1965) дополнил систему динамических уравнений упругого деформирования, введя в рассмотрение линейные уравнения баланса тепла в фазах (с учетом межфазового теплообмена, пропорционального, согласно Л. И. Рубинштейну (1948), разности фазовых температур) и термоупругие деформации жидкости и твердых частиц. При введении последних им был использован упомянутый выше принцип аддитивности деформаций. Термодинамический анализ упругого деформирования в насыщенных пористых средах выполнен в работе П. П. Золотарева и В. Н. Николаевского (1966), где были сформулированы уравнения притока тепла в фазах и для нелинейного случая. При этом была введена гипотеза о характере осредненной рабрты*сил, действующих на границе между твердой и жидкой фазами (независимая от гипотезы Жуковского об осредненных силах межфазового взаимодействия); принцип Онзагера оказывается эквивалентным, в частности, законам Дарси *) и межфазового теплообмена, а линеаризация приводит к указанной системе линейных уравнений термоупругого деформирования. Была дана также оценка условий внутрифазовой микростационарности.,
Механическую классификацию горных пород разумно проводить по величине е = Pi箔，равной отношению сжимаемости материала частиц твердой фазы рх к сжимаемости скелета среды в целом 1/^Г, иредставлен-
ного конгломератом таких частиц, и отражающей степень сцементирован- ности горной породы. В случае мягких горных пород е <^ 1 и отношение е играет роль малого параметра. Аяализ экспериментальных исследований сжимаемости образцов типичных нефтеносных песчаников (Д. А. Антонов, 1957; И. Фатт, J. Appl. Meeh., 1959, 26 : 2, 295—297; В. М. Добрынин, 1965) показал, что этому случаю отвечают значения е = 0,3 -ь-0,4 ).
Волновые процессы. Я. И. Френкель (1944), рассматривая плоские монохроматические сейсмические волны в насыщенной пористой среде, установил существование двух типов продольных волн и отметил чрезвычайно быстрое затухание волн второго типа. Для анализа волн первого типа Френкель использовал разложение в ряды по параметру, являющемуся отношением некоторого характерного времени затухания к периоду колебания в волне, т. е. ограничился анализом случая малых частот. Френкель рассмотрел также характер затухания поперечных волн малых частот. Аналогичный анализ для варианта сферической симметрии на основе уравнений Френкеля был выполнен в работе О. Я. Шехтер (1950). 、
Затухание сейсмических волн й насыщенных горных породах определяется относительным движением вязкой жидкости и твердых частиц скелета среды (фильтрацией), но в волнах первого и второго типа это затухание определяется по-разному, что было отмечено в работах Я. И. Френкеля (1944) и О. Я. Шехтер (1950). В связи с этим отметим, что в продольной волне первого типа твердые частицы и жидкость смещаются в одном направлении, а во второй волне — в противоположных (М. А. Био, цит. соч., 1956). В мягких грунтах (е《1) продольные волны первого типа характеризуются (с точностью до е-малого порядка) равенством фазовых давлений и описываются (В. Н. Николаевский, 1964) линеаризованной системой уравнений взаимопроникающего движения двух сплошных баротропных сред, предложенной X. А. Рахматулиным (1956). Эти волны распространяются подобно акустическим волнам в релаксирующей жидкости, причем природа релаксации кроется в различии инерционных свойств фаз. То же относится и к поперечным волнам. Замороженное состояние в продольных волнах характеризуется равенством массовых скоростей фаз, а равновесное ——равенством объемных скоростей, поскольку фильтрационные силы пропорциональны относительной объемной скорости (В. Н. Николаевский, 1966). Характерное время релаксации зависит от вязкости и проницаемости среды и для водонасыщенных песков имеет порядок 10~3——10~5 сек.
Волновые процессы в водонасыщенных грунтах в предположении о тождественной равновесности системы (т. е. в пренебрежении фильтрационными эффектами) изучались Г. М. Ляховым (1959). Рассмотренная им задача о сейсмических волнах в грунте с малым содержание^ воздушных пузырьков была обобщена с учетом как инерционной релаксации, так и релаксации, связанной с выравниванием фазовых температур (П. П. Золотарев, В. Н. Николаевский и В. П. Степанов, 1966). Здесь же приведено краткое изложение результатов исследования особенностей распространения сейсмических волн в термоактивйых средах при произвольном значении параметра е.
Термические эффекты заметны при насыщении пористой среды неде- газированной нефтью и существенны для решения проблемы прямых
сейсмических поисков нефтегазовых месторождений (М. Ф. Мирчинк и др., 1961). Однако авторы указанной работы в своих расчетах пользовались моделью М. А. Исаковича (1948) и ее некоторыми видоизменениями (В. С. Нестеров, 1959, и др.), которые, хотя и учитывают указанный эффект, но неадекватны насыщенной пористой среде в условиях возможной фильтрации жидкости.
Волновые процессы в средах на основе уравнений X. А. Рахматулина рассматривались в работах Я. 3. Клеймана (1958, 1959), А. Г. Баг- доева (1961)； замыкающие систему Рахматулина в небаротропных случаях уравнения энергии обсуждались в статье В. И. Марона и В. А. Медведева (1963). Результаты Клеймана (1958) для балансовых соотношений на сильных разрывах, однако, соответствуют уравнениям движения Н. А. Слезкина (1951, 1952) и применимы только для многокомпонентных смесей. Водонасыщенные грунты являются, напротив, примером многофазных (гетерогенных) сред; соответствующая им структура фронта сильной ударной волны на основе уравнений Рахматулина рассматривалась В. Н. Николаевским (1966).
В связи с теоретическим изучением волновых процессов можно указать и на результаты собственно геофизических наблюдений за сейсмическими продольными и поперечными волнами, проводившихся как в натуре, так и в лабораторном эксперименте (Н. В. Царева, 1956; И. С. Берзон, Ю. И. Васильев и С. П. Стародубровская, 1959; А. Л. Левшин, 1961; Ф. М. Ляховицкий, I960). Рассматривались также некоторые теоретические схемы механизма деформации в первой продольной волне (И. С. Бер- зон, Ю. И. Васильев и С. П. Стародубровская, 1959; см. также В. Н. Коб- ранова, 1962).
Волна второго типа (более медленная) в мягких грунтах представляет собой волну переупаковки практически несжимаемых твердых частиц и является предметом исследования теории уплотнения (консолидации) грунтовых масс. В сцементированных насыщенных пористых средах дефор* мации переупаковки и гидростатического сжатия частиц сближаются по величине и трудности аналитического исследования задачи возрастают. Оказывается, что дисперсия скорости звука в первой продольной волне, связанная с фильтрационными перетоками, с ростом сцементированности среды уменьшается, тогда как дисперсия звука из-за межфазового теплообмена остается заметной (П. П. Золотарев, 1965).
В работах О. Я. Шехтер (1950), М. Ф. Мирчинка и др. (1961) рассматривались задачи о поверхностных волнах. Л. Я. Косачевский (1959, 1961) рассмотрел ряд задач отражения сейсмических волн от границы раздела в насыщенных пористых средах. Эти исследования были продолжены В. П. Степановым (1965, 1966).
Консолидация земляных м&с£ Волна второго типа в мягком грунте в одномерном случае описывается телеграфным уравнением; ее фронт размывается практически мгновенно и соответственно телеграфное уравнение заменяется уравнением Фурье. В условиях длительного приложения нагрузки и возможности оттока жидкости из системы достигаемые при этом деформации скелета среды весьма существенны.
Характеризующая этот процесс система уравнений одномерной консолидации была впервые сформулирована К. Терцаги (Строительная механика грунтов, 1925; русский перевод： М,— Л., 1933). В предположении о несжимаемости материала фаз («принцип несжимаемости грунтовой массы Терцаги», по терминологии Н. М. Герсеванова, 1933), выполнении закона Дарси и связи эффективных (фиктивных) напряжений с прираще- 38*
ниями пористости Терцаги свел задачи теории консолидации к линейному уравнению Фурье относительно напора жидкости (избыточного давления). Им же и О. К. Фрелихом были решены (в рядах) задачи об одномерном уплотнении грунта конечной (1925) и бесконечной (1936) глубины.
Н. М. Герсеванов (1933, 1937) уточнил анализ К. Терцаги, обобщив закон Дарси на случай относительного движения жидкой и твердой фаз среды и подробно рассмотрел одномерную задачу. Специфика постановки задач консолидации состоит в изменении начального условия ——приложенная нагрузка уравновешивается мгновенно возросшим поровым давлением (К. Терцаги, цит. соч., 1925). Попытки объяснения этого эффекта были предприняты В. А. Флориным (1953) и Н. Н. Веригиным (1961). Сохранение малых инерционных членов в уравнениях одномерного движения грунта позволяет проследить за процессом мгновенного изменения порового давления в грунте неограниченной глубины, определяемым более быстрой волной давления ——волной первого типа (В. Н. Николаевский, 1962, 1964).
Отметим здесь полученные решения задач разбухания глинистого слоя конечной и неограниченной мощности (С. А. Роза, 1937) и консолидации слоя, мощность которого растет во времени (М. В. Малышев, 1959).
Для рассмотрения задач неодномерной консолидации К. Терцаги (цит. соч., 1925) формально пользовался также уравнением Фурье (неодномерным). Н. М. Герсеванов (1933, 1937) для зт®х же целей предложил использовать уравнение сплошности среды в целом (при несжимаемости материала обеих фаз), уравнения равновесия скелета грунта, обобщенный закон Дарси и связь пористости со средним эффективным напряжением (касательные напряжения оставались не определенными).
Уравнения неодномерной консолидации рассматривались В. А. Флориным (1938, 1948); итог этих работ был подведен в двух его монографиях (1948, 1961). При формулировке своей модели Флорин предпринял попытки учета изменений проницаемости и наличия начального градиента давления, структурной прочности и. ползучести скелета грунта в ходе процесса консолидации. Соответственные обобщения были внесены в формулировку уравнений неразрывности фаз, закона фильтрации и в используемую Флориным определяющую связь пористости со средним эффективным напряжением 6’ (для замыкания системы уравнений необходимо определить связь приращения 8’ и порового давления р).
Строгая постановка требует введения уравнений равновесия (уравнений (2.1) и (2.2) без инерционных членов), уравнений баланса масс (2.3), (2.4) и замыкающих связей деформаций скелета среды с напряжениями и поровым давлением (2.5). При этом гипотеза о характере изменения пористости становится излишней ——величина т определяется из уравнений неразрывности для твердой фазы. Предельный переход в результирующей системе уравнений (2.1)——(2.5) к случаю мягких грунтов (© « 1) дает в пренебрежении инерционными силами для описания волны второго типа систему уравнений неоднородной консолидации Био (цит. соч., 1941). Для ее решения ^необходимо обобщить методы решения аналогичных задач классической теории упругости.
В целях упрощения В. А. Флорин принял следующую гипотезу： в любой момент времени 力》0 распределение суммарных напряжений в грунте таково же, как и при равновесии в обычном упругом теле (и совпадает с напряженным состоянием среды в конце реального процесса уплотнения) ,но в ходе процесса уплотнения по мере оттока жидкости происходит перераспределение нормальных напряжений между фазами ——поровое
давление уменьшается, а среднее сжимающее эффективное напряжение возрастает; в начальный момент R = 0) в среде существует стационарное распределение давления (удовлетворяющее уравнению V2p = 0). Однако анализ волнового процесса (В. Н. Николаевский, 1965) показывает, что на самом деле при приложении нагрузки в Полностью водонасыщенном грунте мгновенно (по сравнению с характерными временами консолидации) распространяется волна порового давления, тогда как деформации сдвига происходят частично за фронтом несколько более медленной эквиволюминальной волны, а частично с объемными деформациями за фронтом второго типа (т. е. в ходе процесса консолидации). Соответственно уравнение консолидации будет иметь вид”
分以=謁” Р修=金)，(2f)
в то время как согласно Флорину
что приводит к потере ряда решений.
С использованием гипотезы Флорина были рассмотрены задачи определения напоров в воде и напряжений в скелете уплотняющегося грунта при воздействии на поверхности полуплоскости и полупространства сосредоточенной силы (В. Г. Короткий, 1951, 1955), определения напоров в полупространстве, находящемся под действием нагрузки произвольного вида, распределенной в пределах некоторой области на границе (Н. Н. Веригин, 1965), а также были разработаны методы численного интегрирования (В. А. Флорин, 1947).
В точной постановке задачи проще решать в перемещениях — при этом не требуется переопределения начального напряженного состояния, для них оказывается достаточным условие М. А. Био (цит. соч., 1941) нулевых смещений в начальный момент времени (справедливое с точностью до е-малых величин для мягких сред). Некоторые задачи теории консолидации в перемещениях были рассмотрены В. 3. Партоном (1965).
Если отток избытка жидкости из порового пространства невозможен или же на всех границах нагрузка передается только через • жидкость, то объемные деформации переупаковки незначительны, а выход фильтрационного потока на напорный установившийся режим (ср. В. А. Флорин, 1951; Н. Н. Веригин, 1961) описывается уравнением релаксирующей волны давления (см. п. 2.2).
Попытки анализа эффекта разжижения водонасыщенных песков? связанного с нарушениями сплошности скелета среды, предпринимались В. А. Флориным (1950), Н. Н. Масловым (1954), П. Л. Ивановым (1956, 1962, 1965).
При анализе консолидации глинистых грунтов оказалось необходимым рассматривать эффект ползучести скелета среды. Приближенный учет влияния ползучести скелета грунта состоит в разделении процесса консолидации на «первичную» и «вторичную» консолидацию (М. Н. Грльд- штейн, 1952)： под «вторичной» консолидацией подразумевается процесс, при котором происходит вязкое течение самого скелета грунта. В. А. Флорин (1953) в рамках своей модели также учитывал появление ползучести скелета в ходе процесса консолидации (см. также 3. Г. Тер-Мартиросян и Н. А. Цытович, 1965; А. Л. Гольдин, 1964; Ю. К. Зарецкий, 1967).
Экспериментальные исследования (В. А. Флорин, 1951, и др.) показали, что в начальный момент сжатия вся нагрузка уравновешивается поровым давлением только у полностью водонасыщенных недоуплотнен- ных грунтов. Отклонения в опытах определяются наличием газа и ползучести скелета среды. Наблюдаемое возрастание избыточного порового давления до некоторого максимума и последующий его спад до нуля (вместо непрерывного уменьшения от начального значения) связываются также с реологическими свойствами скелета грунта и с присутствием газа (3. Г. Тер-Мартиросян и Н. А. Цытович, 1965).
В заключение отметим работы, в которых рассматривалась консолидация оттаивающих грунтов (Н. А. Цытович, 1941; Н. А. Цытович, Ю. К. Зарецкий и др., 1965). Реологии мерзлых грунтов посвящен, б частности, ряд работ С. С. Вялова (1959 и сл.).
Исследованиями различных задач деформации насыщенных грунтов занимались, помимо упомянутых выше, также М. Ю. Абелев, С. С. Бабицкая, П. О. Бойченко, В. Г. Булычев, А. Л. Гольдин, Л. В. Горелик, Я. Л. Коган, М. В. Малышев, Я. А. Мачерет, С. Р. Месчян, Б. М. Нуллер, В. М. Павилонский, С. А. Роза, Г. М. Фельдман и др.
Упругий режим фильтрации. Интуитивные представления о процессе, сопутствующем и регулирующем движение жидкости в глубинных коллекторах, были высказаны в середине двадцатых годов И. Н. Стрижовым. Названный «упруго-грузовым режимом» нефтяного пласта, этот процесс включал сжатие пласта при отборах жидкости (газа) под воздействием веса лежащих выше пород, уменьшение (в значительной степени необратимое) пористости и проницаемости (И. Н. Стрижов и И. Е. Хода- нович, 1946).
Построение математической модели, адекватной представлениям И. Н. Стрижова, позволило в последующем оправдать и дать границы применимости гипотезы о математической аналогии потока жидкости в артезианских пластах и потока тепла в твердых телах для нестационарного случая (Ч. Сликтер, 1899; Ч. В. Тейс, Trans. Amer. Geophys. Union, 1935, 16 : 2, 519—524).
Первоначально считалось, что горная порода несжимаема, а плотность р жидкости ——экспоненциальная функция давления. В этом случае нестационарная напорная фильтрация жидкости в глубинных пластах описывается (см., например, М. Мускат, цит. соч., 1937) уравнением Фурье относительно плотности：
需=肃外，Р = Ро*(г。). (2.8)
Сопоставление решений уравнения (2.8) с наблюдаемыми в натуре данными выявило их качественное согласие, однако для количественного соответствия приходилось вводить предположение о сверхсжимаемости пластовой воды, т. е. на порядок завышать значение сжимаемости жидкости р. Объяснению этого эффекта была посвящена работа Ч. Э. Джейкоба (Trans. Amer. Geophys. Union, 1940, 7 : 2, 574—586), в которой была предложена первая математическая модель, отражающая ряд черт упругого режима фильтрации. Развивая применительно к насыщенным пластам горных пород представления теории Терцаги уплотнения мягких грунтов, Джейкоб принял, что роль уплотняющей внешней нагрузки играет неизменное вертикальное горное давление Tz, уравновешенное напряжением в скелете среды oz и поровым давлением р. Поэтому изменение порового давления приводит к пропорциональному изменению напряжений doz =
=—a dp, что связано с изменением пористости и мощности пласта. Результирующим оказывается линейное уравнение Фурье относительно давления：
^ = KV2P (2.9)
(при выводе уравнения (2.9) Джейкоб пренебрегал деформациями в плоскости пласта и сжимаемостью материала зерен твердой фазы).
Позднее уравнение (2.9) было получено в работах В. Н. Щелкачева (1946, 1948, 1959) из уравнения неразрывности для жидкости и закона Дарси, в предположении о линейных связях пористости пласта и плотности твердых и жидких частиц с поровым давлением. Уравнение (2.9) было названо Щелкачевым уравнением пьезопроводности, постоянная х — коэффициентом пьезопроводности.
Рассматривая деформации нефтяных коллекторов, Г. В. Исаков (1948) принял, что деформаций в плоскости пласта нет, а его вертикальная деформация ег есть функция порового давления е = / (р), причем вид этой функции определяется комплексом пластовых условий: залеганием пласта, размерами и упругими константами лежащей над пластом толщи. Исаков полагал, что необратимая усадка пласта связана с падением среднепластового давления в ходе отбора жидкости и необратимые деформации определяются не коэффициентом сжимаемости, входящим в величину к в уравнении (2.9), а другим большим параметром сжимаемости ).
Г. И. Баренблатт и А. П. Крылов (1955) предложили расчетную схему упруго-пластического режима фильтрации, согласно которой изменение давления в пласте описывается уравнением (2.9), но значение коэффициента пьезопроводности при снижении порового давления (Xj = const) отлично от его значения (乂云=const) при восстановлении давления. При выборе исходных уравнений процесса, как и в работах Ч. Э. Джейкоба и Г. В. Исакова, ими было принято предположение о постоянстве внешнего давления на кровле пласта, но в отличие от этих работ такому предположению была поставлена в соответствие гипотеза о неизменности суммарного напряженного состояния системы «жидкость — пористая среда». По аналогии с гипотезой В. А. Флорина (1948, 1961) о напряженном состоянии уплотняемой грунтовой массы, здесь пренебрегается без необходимого анализа перераспределением касательных напряжений и считается, что изменение давления компенсируется изменением нормальных напряжений в скелете среды. Как и в модели уплотнения грунта Терцаги ——Герсеванова, определяющее соотношение задается для пористости среды, которая предполагается зависящей от фиктивного (эффективного) напряжения и давления жидкости: первая зависимость является необратимой и определяет пластические эффекты. В этой постановке была рассмотрена задача о восстановлении давления в скважине при упруго-пластическом режиме фильтрации; принятые при числовых оценках характерные значения параметров соответствовали слабо сцементированным горным породам.
Полный анализ условий упругого режима 巾®ль工рацвда требует учета деформации окружающих горных пород (попытка подобного анализа была
предпринята Ю. IL Желтовым, 1962, В. М. Шестаковым, 1962, и В. П. Степановым, 1965) и применения общей системы уравнений упругого деформирования насыщенной пористой среды. Упрощающая гипотеза Джейкоба —— Исакова и гипотеза Баренблатта — Крылова (в ее непротиворечивой формулировке о постоянстве трех главных компонент тензора суммарных напряжений) сводят общую систему (2.1) ——(2.5) к уравнению (2.9), но с различными численными значениями 乂. Заметим, что с точки зрения общей теории деформирования обычные предположения, принимаемые при выводе уравнения (2.9), о пренебрежении смещениями твердой фазы в законе Дарси и сохранении скорости объемных изменений твердой фазы в уравнении неразрывности (В. Н. Щелкачев, 1946) оправданы только для сильно сцементированных пористых сред (П. П. Золотарев и В. Н. Николаевский, 1965).
Термические эффекты в пласте при упругом режиме фильтрации рассматривались Э. Б. Чекалюком (1961—1964). Обоснованность использованных Э. Б. Чекалюком уравнений энергии была подтверждена позже П. П. Золотаревым и В. Н. Николаевским (1966).
В ряде работ (см., например, И. А. Чарный, 1948; Э. Б. Чекалюк, 1948; М. И. Швидлер, 1958； В. П. Степанов, 1966) предпринимались попытки формального учета инерционных свойств жидкости, фильтрующейся при упругом режиме. При этом уравнение Фурье заменяется на телеграфное уравнение, однако вносимые при этом поправки к основным решениям незначительны.
Обсуждению физических сторон упругих эффектов при отборе жидкости из пластов посвящены многочисленные работы инженеров-нефтяников и геологов, на которых здесь невозможно остановиться подробнее (см., например, книгу Ф. И. Котяхова, 1956).
Движение грунтовых вод
Движение грунтовых вод. не отличается принципиально от других движений несжимаемой жидкости в пористых средах. Выделение в обзоре раздела, посвященного грунтовым водам, объясняется отчасти традицией, а также определенной спецификой краевых задач безнапорного движения грунтовых вод. Основные же гидрогеологические задачи напорного притока к скважинам и неустановившегося движения грунтовых вод общи в равной мере, в их математической постановке, и подземной гидродинамике нефти и газа.
Как уже было сказано во введении, исследования движения грунтовых вод в гидравлической (квазиодномерной) постановке восходят к работам Ж. Дюпюи (1863). Анализ установившегося неравномерного (плавно изменяющегося} течения грунтовых вод со свободной поверхностью по наклонному водоупору и составление таблиц для его расчета Согласно формулам Дюпюи были осуществлены Н. Н. Павловским (1930—1932). Попытки модификации такого расчета применительно к резко изменяющемуся течению по водоупору при больших уклонах поверхности грунтовых вод были предприняты Н. М. Победоносцевым (1918) и К. А. Михайловым (диссертация 1943, 1965), которые ввели в расчет в качестве осред- ненного пути потока соответствующую длину свободной поверхности (вместо расстояния вдоль водоупора, как это делается обычно) ).
Ф= j (z —九)К (z) dz, оФ= j (z —九)К (z) dz, оЭффективное обобщение теории Дюпюи — Форхгеймера на слоистые грунты с зависящим от вертикальной координаты (z) коэффициентом фильтрации К (z) было произведено Н. К. Гиринским (1946), который ввел функцию
Ф= j (z —九)К (z) dz, о
Ф= j (z —九)К (z) dz, о
(3.1}
где Л (%, у)——напор, Н ——глубина грунтовых вод или мощность напорного пласта. При этом для фильтрационного расхода имеют место соотношения qx = дФ/дх, qy = дФ!ду (в случае К = const для безнапорного течения Ф = — % 左力?)•
Другой тип вертикальной неоднородности, когда хорошо проницаемые слои перемежаются со слабо проницаемыми прослойками, был последовательно рассмотрен А. Н. Мятиевым (1946, 1947) и Н. К. Гиринским (1947). Они осредняли движение в хорошо проницаемых слоях обычным образом по высоте, а в прослойках учитывали лишь поперечные перетоки жидкости между слоями. Ряд задач в этой постановке был исследован затем также Т. И. Матвеенко, П. Я. Полубариновой-Кочиной, С. Т. Рыбаковой, В. Н. Эмихом и другими. Погрешности, вносимые в решение задач за счет приближенной постановки Мятиева — Гиринского, были изучены С. Н. Нумеровым и Р. М. Барсегяном (1965).
Наиболее характерными для теории движения грунтовых вод с точки зрения используемых математических методов являются плоские задачи установившейся безнапорной фильтрации, не имеющие в большинства аналогов в подземной гидродинамике нефти й газа. С рассмотрения плоских установившихся движений грунтовых вод и начинается далее этот параграф обзора.
Плоское установившееся движение (метод конформных отобрание- ний). Следующее закону Дарси движение несжимаемой жидкости в однородной недеформируемой пористой среде описывается уравнением Лапласа для потенциала скорости фильтрации
Ф= —К 伐十У)+ constФ= —К 伐十У)+ const(3-2>(3-2>
Ф= —К 伐十У)+ const
Ф= —К 伐十У)+ const
(3-2>
(3-2>
(здесь р ——давление в потоке, 丫 ——удельный вес жидкости, у ——направленная вверх вертикальная координата) или напора Л = p/丫 十 у. В связи с этим для исследования плоских задач теории движения грунтовых воя широко применяются хорошо разработанные методы теории аналитических функций.
Рассмотрим, как более общие, задачи о движении грунтовых воя в вертикальной плоскости. Пусть z = % + iy ——комплексная координата области движения, / = ф 4" ^ ——комплексный потенциал течения. Кроме того, введем функцию G = / ——iKz, которую будем называть функцией Жуковского. Будем предполагать, что на свободной поверхности происходит, вообще говоря, приток жидкости с постоянной интенсивностью 8 ■ на единицу длины горизонтальной проекции свободной поверхности (при отсутствии инфильтрации 8 = 0, при £ V 0 происходит отток (испа* рение) жидкости).
Обычно задачи плоского движений грунтовых вод схематизируют^ принимая область движения ограниченной ломаным контуром и линией свободной поверхности. Б. Б. Девисон (1932) показал, что на плоскости комплексной скорости фильтрации w = df!dz^= и —— iv (или сопряженного
с ней годографа скорости s = и + 力и) линия свободной поверхности описывается дугой симметричной относительно оси и окружности, проходящей (при 8 = 0) через точки s = 0 и и? = iK. Позже (1936) Девисон обобщил этот результат на случай £ 考 0, показав, что при этом окружность остается симметричной относительно оси р, но проходит через точки и? = Z& к и? = iK. Таким образом, на плоскости годографа скорости фильтрации область течения для задач рассматриваемого типа представляет собой круговой многоугольник, так как она ограничена дугами окружности и прямолинейными отрезками. В частности：
прямолинейные эквипотенциали изображаются отрезками прямых, проходящих через начало координат и перпендикулярных к эквипотен- циалям на плоскости z;
прямолинейные линии тока изображаются отрезками прямых, проходящих через начало координат и параллельных линиям тока на плоскости z;
прямолинейные участки высачивания (линии равного давления )) изображаются отрезками прямых, проходящих через точку w — 1К и перпендикулярных к соответствующим прямым на плоскости z (Б. Б. Девисон, 1932, 1936);
свободные поверхности изображаются дугами симметричных относительно оси р окружностей, проходящих через точки и? = iK и и? = i& (ш = 0 при 8 = 0).
Рассмотрим сначала простейшие задачи, когда решение может быть получено непосредственно с помощью конформных отображений. Это имеет место, если все дуги (отрезки) контура области течения на плоскости годографа скорости (или их продолжения) пересекаются в некоторой общей точке Wq = u0 —汕；решение в этом случае может быть получено с помощью конформного отображения многоугольников (Б. Б. Девисон, 1938, 1940； Б. К. Ризенкампф, 1938). Область течения оказывается при, этом многоугольной на плоскостях комплексных переменных Fq = f — wQz и dz/dFо = H(w — So). Получив (с помощью формулы Кристоффеля — Шварца) отображения областей 尸о и dz/d尸о на каноническую область вспомогательной комплексной переменной С, решение задачи можно представить в следующей форме:
Z=J 鳥(0 甯典，/ = gz@十凡(9 (3.3) ИЛИ (при 20=00)
z = z@,餐 j*@ 甯典. (3.4)
Б. Б. Девисон и Б. К. Ризенкампф указали, что решение может быть получено и без дополнительной квадратуры, ес'ли имеются две общие точки пересечения дуг (отрезков) контура области движения w± ^ Uj ——г^ и 〃2 = 〃2 — ^2* В этом случае решение получается непосредственным конформным отображением многоугольных областей % = f — w-^z и F2 = = f —— 必2纟 на каноническую область С.
В случае отсутствия у дуг (отрезков) контура области годографа скорости общей точки решение прямой задачи, вообще говоря, не может быть получено с помощью стандартного применения метода конформных отображений.
Для удобства анализа плоских задач теории движения грунтовых вод приведем их классификацию, заимствованную в основном у Б. К- Ризен- кампфа (1938) и С. Н. Нумерова (1953) (см. Г. К. Михайлов, 1959).
Рассматриваемые задачи, область течения в которых ограничена ломаным контуром и свободной поверхностью, разбиваются в прямой постановке по способам решения на три больших класса：
задачи, требующие для их решения только одного взаимного конформного отображения для двух многоугольников (или, соответственно, двух отображений при помощи формулы Кристоффеля ——Шварца на вспомогательную полуплоскость);
задачи, требующие для их решения наряду с конформным отображением двух многоугольников последующего взятия квадратуры вида (3.3) или (3.4);
задачи, не решаемые, вообще говоря, непосредственно при помощи метода конформных отображений.
При этом способы решения задач второго класса, связанные с преобразованием области годографа скорости, естественно назвать способами годографа скорости.
Очевидно, что типичными точками взаимного пересечения дуг (отрезков) контура области годографа скорости являются точки и? = оо (для двух прямых), и? ~ 0 и и? = iK. Соответственно этому существует по три основных типа задач двух первых классов. В первом классе это — задачи, дуги контура области годографа скорости в которых имеют следующие пары общих точек взаимного пересечения： 1) w; = оо и w; = 0; 2)- w; = оо и и? = ХК; 3) s = 0 и s = iK. (Последний тип естественно обобщается при наличии инфильтрации (испарения) на пару общих точек пересечения дуг контура области годографа скорости и? = is и и? = iK; при этом область изменения функции /е = / ——Zez оказывается заданным многоугольником.) Во втором классе к основным типам задач относятся задачи, дуги контура области годографа скорости у которых имеют следующие общиеф точки взаимного пересечения: 4) s = оо; 5) s = 0; 6) w = iK.
Таковы шесть указанных Б. К. Ризенкампфом основных ^ипов задач, релтение которых может быть получено при помощи метода конформных отображений. Для задач каждого из этих типов вид области движения заранее известен на плоскостях двух комплексных переменных.
Воспроизведем здесь заимствованную (с небольшими изменениями) у Б. К. Ризенкампфа классификационную таблицу. В последнем столбце
Таблица
Типы задач
Границы, которые может иметь поток
Плоскости, на которых определена область движения
свободные поверхности
прямые линии тока и зквипо- тенциали
горизонтальные экви- потенп^йали и вертикальные линии тока
прямолинейные негоризонтальные участки высачивания
+
2, /； W
—
—
+
Z, G； W
十
/(/е), G； w
—
+
+
Z, W—[ш]
+
+
—
九 ш —[1/ш]
+
+
G, ш— [1/(ш— сЛГ)]
таблицы для задач второго класса указана в квадратных скобках функция комплексной скорости w, на плоскости которой область движения представляется в задачах с ломаными контурами и свободными поверхностями в виде прямолинейного многоугольника.
К седьмому типу задач Б. К. Ризенкампф отнес задачи, форма области движения в которых известна только на плоскости годографа скорости：
Рассмотрим кратко каждый из первых шести основных типов задач, указав отдельные работы, в которых такого рода задачи исследовались.
К первому типу относятся все задачи напорного движения под гидротехническими сооружениями и напорного притока к дренам, общий- метод решения которых ) разработан Н. Н. Павловским (1922).
Большое количество задач напорной фильтрации в вертикальной плоскости было исследовано М. И. Базановым, В. В. Ведерниковым, Н. Н. Веригиным, Н. К. Гиринским, Б. Б. Девисоном, Е. А. Замариным, Н. Б. Ильинским, В. С. Козловым, Н. Т. Мелещенко, С. Н. Нумеровым, Н. Н. Павловским, П. Ф. Фильчаковым и другими авторами.
К этому же типу задач могут быть отнесены, по существу, и задачи напорной фильтрации в горизонтальной плоскости. Характерным для них является, как правило, наличие в области течения источников и стоков, имитирующих скважины. Кроме того, к уравнению Лапласа сводятся в постановке Дюпюи — Форхгеймера и плановые задачи безнапорной фильтрации, которые также в большинстве могут быть соотнесены по математической их постановке рассматриваемому типу задач. Разнообразные плоские задачи о притоке к системам точечных скважин рассматривались С. Ф. Аверьяновым, Ф. М. Бочевером, Н. Н. Веригиным, С. Н. Нуме- ровым, А* В. Романовым, А. Л. Хейном, И. .А. Чарным и др. Решения многих из этих задач в равной мере используются как в гидрогеологии, так и в гидродинамике нефтяных пластов (см. п. 4.1). Специфические для плановой безнапорной фильтрации грунтовых вод задачи притока к котлованам и обходной фильтрации вблизи гидротехнических сооружений изучали В. И. Аравин,①.М. Бочевер, В. П. Недр ига и др.
Ко второму типу относится незначительное количество задач. Примером этого типа может служить задача о притоке грунтовых вод к ряду узких вертикальных канав при затоплении горизонтальной поверхности и отсутствии водоупора, решенная при помощи отображения полуполос на плоскостях z и G В)В. Ведерниковым (1939).
К третьему типу относится широкий круг задач безнапорного движения грунтовых вод с горизонтальными эквипотенциалями и вертикальными линиями тока (приток к горизонтальным щелям, истечение из мелких водоемов). Способ решения задач этого типа восходит к одной Посмертно опубликованной работе Н. Е. Жуковского (1923), в которой им была введена так называемая функция Жуковского G — f ——tKz ). Последовательное рассмотрение подобных задач ) было предпринято В. В. Ведерниковым (1934, 1935, 1939) и Н. Н. Павловским (1935, 1936) с В. И. Аравиным (1935—1937).
Многочисленные задачи этого типа были решены, в частности, Л. Д. Аптекарем, В. И. Аравиным, В. В. Ведерниковым, А. П. Вощини-
ным, Ф. Б. Нельсоном-Скорняковым, С. Н. Нумеровым, Н. Н. Павловским.
Обобщение метода решения задач третьего типа для случая постоянной инфильтрации (испарения) на свободной поверхности можно усмотреть еще у Б. Б. Девисона (1938) и Б. К. Ризенкампфа (1938). В более четкой форме оно проведено С. Н. Нумеровым (1948).
Пример задач четвертого типа был рассмотрен впервые, если не считать работы Ч. Сликтера, Ф. Б. Нельсоном-Скорняковым (1936) (фильтрация в симметричном треугольном «ядре» с прямым углом при вершине). Узкий круг задач этого типа ограничивается в основном задачами фильтрации в «ядрах» земляных плотин и при дренаже без свободной поверхности {Б. Б. Девисон, Г. К. Михайлов, Ф. Б. Нельсон-Скорняков и др.).
К пятому типу относйтся многочисленные задачи безнапорной •фильтрации без негоризонтальных участков высачивания. Способы решения этих задач ) были развиты В. В. Ведерниковым (1935, 1936) и Н. Н. Павловским (1937).
Ряд задач этого типа был рассмотрен Л. Д. Аптекарем, В. В. Ведерниковым, Н. Н. Веригиным, А. А. Грибом, Б. Б. Девисоном, В. С. Козловым, Н. Т. Мелещенко, А. М. Мхитаряном, Ф. Б. Нельсоном-Скорняковым, С. Н. Нумеровым, Н. Н. Павловским, П. Я. Полубариновой-Кочиной, Б. К. Ризенкампфом, Ю. Д. Соколовым, Е. Д. Хомовской, а также другими авторами.
Следует заметить, что задачи этого типа можно решить также при наличии на контуре области движения участков, отграничивающих ее от покоящейся тяжелой жидкости ). Как показала П. Я. Полубаринова-Кочина (1940), на участках границ этого вида годограф скорости очерчивает дуги окружности, проходящей через начало координат и имеющей центр в точке
i4" (^_1) , (3.5)
где pi и р2 —— плотности, соответственно, фильтрующейся и покоящейся жидкости. (В задачах пятого типа всегда 8 = 0.)
К шестому типу относятся также многочисленные задачи безнапорной фильтрации с горизонтальными эквипотенциалями, вертикальными линиями тока и прямолинейными участками высачивания. Способ решения этих задач ) был рассмотрен в работах В. В. Ведерникова (1936— 1937). Решение ряда задач шестого типа можно найти в работах М. И. Базанова, В. В. Ведерникова, Н. Н. Веригина, Б. Б. Девисона, Г. К. Михайлова, Н. Н. Павловского и других авторов. Следует отметить, что в задачах шестого типа достаточно, чтобы интенсивность инфильтрации (испарения) на свободной поверхности £ была лишь кусочно-постоянной функцией вдоль свободной поверхности. Это »обстоятельство было использовано
Н. Н. Веригиным (1949, 1950) при решении задач о движении грунтовых вод при местной усиленной инфильтрации.
Все задачи первого класса являются, кроме того, частными случаями задач второго класса. Соотношение между задачами различных типов изображено на заимствованной у Б. К. Ризен- кампфа диаграмме, на которой стрелками указан (/ )переход от частных к 0олее общим типам задач
厂、J(ем. рисунок).
(5 ]工 4 ) Надо заметить, что первоначально отдельные
задачи первого класса решались при помощи спо-
I7 у Г Iсоба годографа скорости, т. е. с взятием одной
Д-^ ^Т^ Х^ч лишней квадратуры. Такие примеры можно найти (3) J (2)в работах В. В. Ведерникова (1939),' Б. Б. Деви- ^^^^Л-^^^ сона (1938), Б. К. Ризенкампфа (1938) и др.
(6 )Помимо указанных основных типов задач, имеются
х^/- еще зетыре следующих частных случая, в которых реше
ние может быть получено методом конформных отображений (случаи А и Б являются при этом частными вариантами задач типа 4 и 6 соответственно).
А (первый класс). Границы области фильтрации состоят только из взаимно перпендикулярных эквипотенциален и линий тока и из параллельных участков высачи- вания (свободная поверхность отсутствует). На плоскости годографа скорости область движения ограничена отрезками двух прямых. Задачи этого типа немногочисленны.
Б (первый класс). Границы области фильтрации состоят только из параллельных негоризонтальных участков высачивания и свободной поверхности с произвольной постоянной величиной е. На существование этого типа задач указал Б. К. Ризенкампф.
В (первый класс). Границы области фильтрации состоят только из взаимно пер- пендину ля рных эквипотенциалей и линий тока и из свободной поверхности с произвольной величиной е. Примеры задач этого типа для движения грунтовых вод с горизонтальным водоупором и испарением со свободной поверхности были рассмотрены впервые Б. Б. Девисоном (1938—1940) и Б. К. Ризенкампфом (1938). Девисон использовал при этом взаимное конформное отображение областей функций )
/ —Д/ ^е天 z и / +Д/—гК z, а Б. К. Ризенкампф решал задачу способом годографа скорости с взятием лишней квадратуры..
Г (второй класс). Контур области движения на плоскости годографа скорости состоит из дуг окружности, соответствующих свободной поверхности и направленных под фиксированным (зависящим от е) углом отрезков двух пересекающихся на этой окружности прямых, соответствующих системе взаимно перпендикулярных эквипотенциалей и линий тока и параллельных участков высачивания. Угол между обеими прямыми равен прямому при е = 0. На существование задач этого типа указано в диссертации С. Н. Нумерова (1954).
Таковы задачи, предполагающие, что область движения ограничена лишь ломаными (эквипотенциалями, линиями тока и участками высачивания) и свободными поверхностями. При произвольном задании области движения на плоскости z сохраняет полный смысл разделение задач на первые шесть общих типов, когда контур области движения известен на каких-либо двух плоскостях. При этом можно считать, что взаимное конформное отображение двух произвольных областей может быть всегда выполнено точно или приближенно при помощи какого-либо из известных способов, в том числе путем решения соответствующей краевой задачи.
Следует отметить, что основные типы задач допускают также полу- обратный метод решения, когда на одной или на двух вспомогательных плоскостях часть контура области движения задается искусственно ири
помощи какого-либо математического соотношения, связывающего неизвестные функции. В результате этого получается строгое решение некоторой задачи, граничные условия которой на исследуемой плоскости (обычно на плоскости z) отыскиваются из самого решения (в частности, часть контуров области движения оказывается, как правило, криволинейной). Такой метод позволяет часто получать удобные оценки для более сложных задач.
Полуобратный метод был первоначально применен в задачах третьего типа, связанных с исследованиями фильтрации из каналов и притока к дренам. При этом форма канала (или дрены) задавалась на плоскости функции Жуковского полуокружностью, полуэллипсом, ломаной линией (В. В. Ведерников, 1934; В. И. Аравин, 1936; Н. Н. Павловский, 1936, и др.). Из решения находилась реальная форма канала на плоскости z.
Широко распространено наложение на напорные откосы плотин (каналов) условия 屮 ——Кх — const, позволяющего построить область изменения функции Жуковского. В этом случае откос, очевидно, также оказывается криволинейным. Для каналов это условие было использовано первоначально В. В. Ведерниковым (1934), для плотин ——С. Н. Нумеро- Вым (1940), а впоследствии широко использовалось Ф. Б. Нельсоном- Скорняковым (1949), который применял его и к откосам дренажных призм (1944). В. В. Ведерников (1945) определял форму напорного откоса земляной плотины из предположения, что он изображается на плоскости функции Жуковского наклонным отрезком. Ф. Б. Нельсон-Скорняков применял также и более сложные способы задания напорного откоса плотин на плоскости функции Жуковского, позволявшие, однако, получать решение задачи в замкнутом виде (1955).
А. П. Вощинин (1939) и С. Н. Нумеров (1940) предложили вводить искусственный криволинейный водоупор, определяемый условием ф + Ку = const, которое позволяет и здесь построить область изменения функции Жуковского.
В одной из задач третьего типа В. И. Аравин (1935) использовал задание части границ области движения на обеих рассматриваемых плоскостях (/ и G). Отметим также примененное В. И. Аравиным (1940) искусственное задание части контура области / при решении одной задачи первого типа, связанной с изучением напорного движения под флютбетом при неравномерном распределении давлений по .дну бьефов.
При решении задач второго класса также возможно применение полуобратного метода. Так, Ф. Б. Нельсон-Скорняков (1937) использовал для построения напорного откоса плотины в задаче пятого типа задание соответствующего участка контура области годографа скорости в виде подходящей дуги окружности, проходящей через начало координат. Б. Б. Девисон (1938) указал, что наложение условия 屮 ——Кх = const на напорный откос эквивалентно заданию его на области годографа скорости дугой окружности, являющейся продолжением дуги свободной поверхности, т. е. эквивалентно применению полуобратного метода в задачах шестого типа. Другой пример приложения полуобратного метода к задаче, шестого типа можно найти у В. С. Козлова (1940).
Своеобразный вариант полу обратного метода был предложен для одной задачи шестого типа Н. Н. Павловским (М. И. Базанов, 1938), рассматривавшим симметричный приток к криволинейному осушительному каналу. При этом форма канала была определена на. области годографа скорости дугой окружности, не проходящей через точки и? = 0 и и? = iK. Однако вся область годографа скорости представляла круговую
луночку, которую было легко отобразить на полуплоскость области функции Жуковского. Подобное обобщение задач второго класса, когда многоугольник получается из области годографа скорости не стандартным, указанным в приведенной выше таблице, преобразованием, возможно, вообще говоря, и в задачах других типов.
Говоря об искусственном введении различных границ области движения, упомянем также часто используемую возможность замены любой зквипотенциали или линии тока в каждом решении напорным откосом или водоупором. Этот прием широко распространен при изучении притока к дренам, когда они заменяются в расчетной схеме точечным стоком и затем очерчиваются по подходящей эквипотенциали. Подобные «производные» схемы движения были рассмотрены также, например, в задаче о движении грунтовых вод по горизонтальному водоупору Н. Н. Павловским (1937). Ф. Б. Нельсон-Скорняков (1940) специально ввел для возможности получения криволинейного водоупора в задачах третьего типа уходящий вниз на бесконечность вертикальный разрез на плоскости z. Аналогичные приемы часто применялись и в задачах фильтрации в горизонтальной плоскости (например в работах И. А. Чарного).、
Заканчивая обзор применений метода конформных отображений при решении задач движения грунтовых вод в вертикальной плоскости, следует отметить, что при более сложных граничных условиях и сравнительно простых областях движения иногда оказывается возможным введение других вспомогательных функций, области изменения которых заранее известны. Примером такой задачи, не укладывающейся непосредственно в приведенную классификацию, является исследованная Н. Н. Веригиным (1949) задача о притоке к дрене в полуплоскости, ограниченной тонким горизонтальным малопроницаемым слоем с постоянным напором на его кровле. В этом случае на действительной оси полуплоскости z выполняется условие вида —dq)/dy = а(р + b (a,匕 ——const). Решение при этом получается отображением области изменения функции Z df/dz + а/ + 匕 на полуплоскость z с разрезом.
Отметим еще возможность применения метода конформных отображений к некоторым задачам с учетом заданного потенциала внешних сил (Г. К. Михайлов, 1962, 1967).
Несмотря на обилие задач, решенных с помощью метода конформных отображений, метод этот принципиально ограничен в своих возможностях. Кроме того, осуществление конформных отображений многоугольников с большим числом сторон (необходимое для решения более сложных задач) упирается в практические трудности, в частности, в трудности определения координат угловых точек на вспомогательной плоскости, видящих в формулу Кристоффеля 一 Шварца. Поэтому в тридцатых годах были развиты также иные метода решения задач плоской фильтрации, основанные на более тонком применении аппарата теории аналитических функций ).
Плоское установившееся движение (продолжение). В 1932 г. Б. Б. Девисон и позже Г. Гамель (ZAMM, 1934, 14: 3, 129—157) предложили метод решения задач плоского безнапорного движения грунтовых вод путем сведения их, с использованием функции In (dz/ds), к задаче Дирихле в области комплексной скорости. С помощью этого метода Девисон и Гамель построили решение для прямоугольной перемычки. Численные расчеты по этому решению оказались громоздкими, и лишь ограниченное число примеров было просчитано в разное время различными авторами ).
Метод Девисона — Гамеля не получил в последующем дальнейшего развития из-за сложности реализации конформного отображения кругового многоугольника области комплексной скорости на вспомогательную каноническую область.
Более эффективным оказалось непосредственное применение к задачам фильтрации аналитической теории линейных дифференциальных уравнений класса Фукса. Основанный на этом метод был развит, по предложению Н. Е. Кочина, П. Я. Полубариновой-Кочиной (1938—1942).
Сущность метода Полубариновой-Кочиной заключается в следующем. Пусть круговой "-угольник области комплексной скорости и? будет отображен на вспомогательную каноническую область 之(полуплоскость) и вершины многоугольника А, В, • • . с углами ла, л§,・..переходят в точки а,仇.・・ контура области g (вещественной оси вспомогательной плоскости). Тогда комплексная скорость w может быть представлена в виде отношения линейно независимых решений обыкновенного линейного дифференциального уравнения вида
У一（貝卡JУ一（貝卡Jy，丄 s's" (g -%)(g -n)… y _ ny，丄 s's" (g -%)(g -n)… y _ n(3.6)(3.6)
У一（貝卡J
У一（貝卡J
y，丄 s's" (g -%)(g -n)… y _ n
y，丄 s's" (g -%)(g -n)… y _ n
(3.6)
(3.6)
где 冗(о/ — со")——угол при вершине многоугольника, переходящей в бесконечно удаленную точку плоскости $ (а + р + . . . + со7 +(off == =w — 2), а %, [л, . . .— так называемые акцессорные параметры, появляющиеся при п > 3). Если найти два линейно независимых решения уравнения (3.6) U (Q и V (С), то
(3.7)(3.7)df _MU(^ + NV(^
(3.7)
(3.7)
где M, N、Р в Q — подходящие постоянные. Искомые величины df/d^ и dz/dg могут быть тогда записаны в виде
(3.8)(3.9)(3.8)(3.9)-|- = Ф(：) (MU + NV),^<^^{PU + QV),
(3.8)
(3.9)
(3.8)
(3.9)
где функция Ф (g) представима в виде
①(0 =售一。)队鱼一匕凡
причем показатели p, g,.・.определяются из рассмотрения граничных условий на прилегающих к соответствующим вершинам участках контура и принятой схемы течения в окрестности этих вершин. Дополнительный анализ характеристических показателей в регулярных особых точках был проведен Б. К. Ризенкампфом (1940) и в диссертации С. Н. Нумерова
(1954), а также в работах Ж. Кравченко с соавторами (Houille blanche, 1955, 10:1, 47-62; 10:4, 533-542).
Метод Полубариновой-Кочиной оказался эффективным в случае- п= 3. Ею были, в частности, построены решения для задач о фильтрации через прямоугольную перемычку и через трапецеидальную перемычку с вертикальным напорным откосом (последнее в случае произвольной интенсивности испарения 8 = const), а также проведены численные- расчеты для первой из указанных задач. Случай притока к наклонному откосу из бесконечности во второй задаче был исследован С. В. Фальковичем (диссертация,, 1941, 1947). Подробный анализ второй задачи был дан позже Г. К. Михайловым (1951—1953).
Впоследствии ряд задач был решен с помощью метода Полубариновой-Кочиной В. А. Васильевым, Г. К. Михайловым, В. Н. Эмихом и др.
Весьма общий подход к решению плоских задач теории движения грунтовых вод был развит в цикле работ С. Н. Нумерова (1939 и сл.), который сводил гидродинамические задачи к соответствующим смешанным краевым задачам для полуплоскости и строил их решения с помощью интегралов типа Коши. Этот метод приложим к задачам, область движения для которых заранее известна на плоскости комплексного потенциала f или функции Жуковского G. Впоследствии (1953, 1954) Нумеров обобщил свой подход применительно к задачам, область движения для которых заранее не известна ни на одной из этих плоскостей. При этом задачи сводятся к фредгольмовым интегральным уравнениям второго рода (вообще говоря, сингулярным).
С помощью метода смешанных краевых задач С. Н. Нумеров решил и исследовал ряд практически интересных задач о фильтрации в плотинах, притоке к дренажу, фильтрации из каналов и водохранилищ. При этом Нумеров искусно пользовался разложениями специальных функций в ряды, что позволило ему в большинстве случаев представить решения в широком диапазоне изменения параметров в удобном для расчетов виде.
Для достаточно сложных. задач (в том числе и решаемых непосредственно методом конформных отображений) метод Нумерова оказалсяг по-видимому, наиболее эффективным. /
В последние годы оживился интерес к общим математическим исследованиям гидродинамических (в том числе и фильтрационных) задач для областей с заранее неизвестными границами на основе методов, хороша разработанных в последние десятилетия главным образом в школах ф. Д. Гахова и Н. И. Мусхелишвили. Сошлемся, в частности, на работы В. Н. Монахова и Г. Н. Пыхтеева. Однако пока эти общие исследования не привели еще к практическому решению нового круга зада%
Своеобразный цикл задач теории движения грунтовых вод представляют собой обратные задачи отыскания подземного профиля плотины по каким-либо заданным на нем условиям. Математическому исследованию этих задач посвящен цикл работ, выполненных главным образом в казанской школе *) (М. Т. Нужин, Н. Б. Ильинский и др.).
Особняком стоит группа частных строгих результатов, относящихся к определению величины фильтрационного расхода при безнапорном течении грунтовых вод. Как известно, гидравлическое рассмотрение неравномерного течения грунтовых вод вдоль горизонтального водоупора.
приводит к следующей формуле Дюпюи для фильтрационного расхода: д=£%3, (3.10)
где Hi и Я2 — глубины потока в двух сечениях, находящихся на расстоянии L одно от другого. Эта же формула определяет в квазиодномерной постановке фильтрационный расход через прямоугольную перемычку ширины L с глубинами воды в бьефах Нг и Н?. Из строгого решения Девисона — Гамеля и Полубариновой-Кочиной для прямоугольной перемычки формула (ЗЛО) явным образом получена не была. Однако И. А. Парному удалось доказать ее строгость с помощью оригинального косвенного приема (1951). Он рассмотрел величину
Н(к)
『九(ж, у) dy,
где 九(％, у)=—— 屮/衣一напор в потоке, и путем ее дифференцирования по %, как по параметру, непосредственно пришел к формуле (3.10) ). Результат для однородной прямоугольной перемычки был им обобщен позже (1953) на произвольное течение с постоянным расходом между двумя вертикальными сечениями, когда заранее известна площадь Q области течения на плоскости (ф, у): при этом q = QIL. С другой стороны, формула Дюпюи — Чарного (ЗЛО) была обобщена применительно к вертикально неоднородной прямоугольной перемычке (С. Н. Нумеров, 1953; И. А. Чар- ный, 1953) и для случая испарения (инфильтрации) произвольной интенсивности е (%) на свободной поверхности (С. Н. Нумеров, 1953) )•
Реальные грунты в большинстве случаев анизотропны и неоднородны. Однако учет этих особенностей в инженерной практике весьма сложен, причем возникающие затруднения имеют двоякий характер: с одной стороны, весьма сложно установить действительное распределение свойств грунта в пласте, а с другой стороны, как правило, невозможно дать строгий математический анализ течения в пласте с заданной переменной проницаемостью ). Поэтому на практике характеристики пластов всегда сильно схематизируют.
В простейшем случае однородной анизотропии грунта расчет фильтрации легко сводится, с помощью подходящего афинного преобразования области течения, к расчету течения в изотропном грунте. Более общий случай неоднородно изотропных слоистых , грунтов рассмотрен В. И. Аравиным (1937, 1940).
Первые подходы к расчету фильтрации в кусочно-однородном (слоистом) грунте были предприняты еще Ж. Дюпюи, который рассмотрел одномерную фильтрацию вдоль и поперек напластования слоистого грунта.
Однако строгий учет неоднородности грунта в двумерных задачах представляет, вообще говоря, большие трудности. Постановка этих задач была осуществлена лишь в тридцатых годах. Отметим здесь, в частности, задачу о напорной фильтрации под плотиной в двухслойном (и многослойном) основании, которой был посвящен цикл исследований в сороковых годах (П. Я. Полубаринова-Кочина, М. А. Лаврентьев, Б. К・ Ризен- кампф, Н. К. Калинин и др.)； для решения были привлечены метод линейных дифференциальных уравнений и метод распределения вихревой пелены по границам области и на линии раздела слоев (для отыскания требующегося распределения интенсивности вихрей при этом получаются фредгольмовы интегральные уравнения). '
Укажем еще здесь решенную Н. К. Калининым (1952) задачу о фильтрации через бесконечный двухслойный клин, с одной стороны которого вода стоит на уровне его вершины, а другая сторона представляет собой участок высачивания.
Другой тип неоднородности представляют собой грунты, коэффициент фильтрации которых К изменяется в области фильтрации непрерывно. Для этого типа неоднородности удалось построить решения ряда задач в различных частных предположениях о характере функции К (%, у). Например, были рассмотрены задачи для случая, когда，衣(％, у) является гармонической функцией (Г. С. Салехов, Г. Г. Тумашев, К. А. Чар- ЛЫЙ /И др.).
Одновременно с разработкой методов расчета движения грунтовых вод, следующих закону Дарси, развивались и простейшие расчеты нелинейной фильтрации грунтовых вод. Такие расчеты легко выполняются для одномерных течений, когда закон фильтрации не влияет на картину течения, а определяет лишь величину общего гидравлического сопротивления в потоке. Соответствующие решения для ряда задач, в том числе для осесимметричного притока к совершенной артезианской скважине, выписывались многократно разными исследователями в предположении о степенном, двучленном и квадратичном законе фильтрации. Принципиальные трудности возникают при переходе к двумерным течениям. Первый подход к расчету плоских задач установившейся нелинейной фильтрации был предложен С. А. Христиановичем (1940), который записал общие уравнения течения (для произвольного закона фильтрации), приняв за независимые переменные напор и функцию тока, в результате чего уравнения приняли форму уравнений Чаплыгина для сжимаемого потока. В. В. Соколовский (1949) ввел один искусственный частный закон фильтрации, при котором расчет плоского течения сводится к построению и педрсчету соответствующего течения, следующего закону Дарси.
В самое последнее время (1966 и сл.) появилась серия работ, посвященная изучению плоских задач нелинейной фильтрации с начальным градиентом (М. Г. Алишаев, В. М. Ентов и др.), в основу которых положены преобразование уравнений движения к переменным годографа (модуль скорости и угол ее наклона) и последующее их решение. Такой подход дал возможность исследовать ряд задач и определить для них форму и размеры «застойной» области, обязанной своим происхождением начальному градиенту.
Приближенные методы расчета установившегося движения. Исторически первым приближенным аналитическим методом решения задач движения грунтовых вод был метод фрагментов. Сущность его заключается в том, что плоская область движения разделяется на ряд простых подобластей (фрагментов), границы между которыми условно при-
нимаются за эквипотенциали или линии тока. Вводя в расчет неизвестные напоры (потенциалы) на дополнительных эквипотенциалях и фильтрационные расходы в каждом фрагменте и выписав отдельно решения для каждого фрагмента, легко получить систему уравнений для определения всех введенных неизвестных и общего фильтрационного расхода (для следующих закону Дарси напорных движений грунтовых вод эта система уравнений оказывается линейной). После того как определены общий фильтрационный расход и вспомогательные неизвестные, все характеристики течения в любой точке могут быть определены на основании локального рассмотрения отдельных фрагментов.
Метод фрагментов был первоначально развит Н. Н. Павловским применительно к гидравлическому исследованию фильтрации в земляных плотинах (1931), а затем широко использовался в самых разнообразных задачах теории движения грунтовых вод ). При этом составляющие элемент общего исследования решения для отдельных фрагментов брались либо в точном виде (там, где они имелись), либо для их получения в свою очередь применялись те или иные приближенные подходы.
Искусственное введение в схему расчета дополнительных эквипотенциален и линий тока может существенно исказить решение. К сожалению, ошибки, вносимые фрагментированием в общее решение, не поддаются математическим оценкам. Единственным строгим результатом здесь является доказанное Б. Б. Девисоном (1937) положение о том, что введение искусственных эквипотенциален в схему напорного потока грунтовых вод увеличивает (не уменьшает), а введение дополнительных линий тока уменьшает (не увеличивает) общий фильтрационный расход ).
В большинстве реальных схем плоского движения грунтовых вод производится последовательное фрагментирование потока, т. е. такое фрагментирование, при котором поток грунтовых вод последовательно проходит через все фрагменты. При этом общий фильтрационный расход оказывается основной характеристикой, определяющей картину движения во всех частях потока, и движение в окрестности отдельных точек можно изучать 上 масштабе фильтрационного расхода локально, без учета граничных условий на достаточно далеко расположенных участках контура области движенйя. Последнее обстоятельство, вытекающее прямо из допущений метода фрагментов, является, однако, значительно более общим, чем сам метод фрагментов. Первоначально внимание на него было обращено в связи с расчетами притока грунтовых вод к низовому откосу плотин. Графоаналитические, аналоговые и отдельные строгие исследования показали, что величина смоченной части низового откоса (при заданном его наклоне) практически пропорциональна фильтрационному расходу и только через этот расход зависит от конструкции верховой части плотины.
Идеи локального рассмотрения характерных областей потока грунтовых вод и построения на этой основе самостоятельного общего метода приближенного расчета нашли завершение в работах С. Н. Нумерова (1951—1955). Развитый С. Н. Нумеровым метод асимптотических решений (или метод фильтрационных сопротивлений) предполагает предварительное исследование типовых схем резко изменяющейся фильтрации с
простейшими краевыми условиями на бесконечности и заключается в разбиении всей подлежащей изучению области течения на отдельные зоны резко изменяющейся фильтрации с независимым построением кривых распределения напоров или свободной поверхности для каждой такой фильтра зоны. Совпадение кривых для двух смежных зон резко изменяющейся ции в промежуточной «асти является при этом критерием точности положенной в основу расчета предпосылки о возможности разбиения всей области течения на отдельные независимые зоны.
С. Н. Нумеров исследовал ряд типовых схем резко изменяющейся фильтрации и разработал подробно общую методику расчетов. Для каждой схемы построены асимптотические кривые (прямые для напорной фильтрации в полосообразной зоне, параболы для безнапорной фильтрации по горизонтальному водоупору), к которым стремятся кривые распределения напоров или свободной поверхности при удалении в бесконечность, а также поправки второго приближения, описывающие отклонения действительных кривых от асимптотических в характерных частях зоны резко изменяющейся фильтрации. Первоначальное определение общего фильтрационного расхода при рассмотрении задач напорной фильтрации проводится по асимптотическим кривым с учетом «дополнительных фильтрационных сопротивлений» в зонах резко изменяющейся фильтрации, измеряемых разностями напоров на условной оси зоны, вычисленных по асимптотам справа и слева от этой оси.
Метод асимптотических решений оказался весьма эффективным для широкого круга задач гидротехнического расчета.
К приближенным методам решения краевых задач, теории движения грунтовых вод могут быть отнесены различные приемы получения оценок, основанные на изучении поведения решения при вариации граничных условий. Все эти приемы можно объединить под общим названием метода мажорантных схем^ поскольку в конечном итоге они сводятся к построению вспомогательных (упрощенных) схем, отличных от рассматриваемой и мажорирующих те или иные. параметры искомого решения )• Опирающиеся на теорию аналитических функций соображения о влиянии вариации области течения на решение были первоначально высказаны М. А. Лаврентьевым (1946). Затем это направление было широко развито, в том числе применительно к разнообразным задачам теории фильтрации, Г. Н. Положим (1952 и сл.), которому принадлежит и ряд относящихся сюда общих теорем (о движении граничных точек отображаемых областей, о сохранении области и соответствии границ для некоторых эллиптических систем и др・)・ Основные работы по исследованию конкретных эадач теории напорного и безнапорного движения грунтовых вод с помощью метода мажорантных схем были выполнены киевской школой (В. Е. Шаманский, И. И. Ляшко, Н. А. Пахарева, В. И. Лаврик, А. А. Глущенко и др.).
Своеобразным вариантом метода мажорантных схем является использование модели предельной анизотропии грунта (Г. К. Михайлов, 1953). Вместо изотропного грунта с коэффициентом фильтрации К будем рассматривать слоистый анизотропный грунт, одна из главных осей анизотропии которого с коэффициентом фильтрации К вдоль нее направлена по характерному направлению потока (например, вдоль водоупора).
Введем два случая предельной анизотропии, когда коэффициент фильтрации поперек характерного направления потока (вдоль второй главной •оси анизотропии) обращается в нуль или в бесконечность. Первому случаю предельной анизотропии отвечает течение по фиксированным трубкам тока, а второму — течение с осреднением напоров поперек характерного ‘направления потока. В простейшем случае безнапорного течения по горизонтальному водоупору первому случаю предельной анизотропии соответствует течение с горизонтальными струйками, а второму — квазиодно- мерная схема Дюпюи (с коэффициентом фильтрации Л). Г. К. Михайлов показал на ряде примеров, что при разумном выборе схемы течения параметры потока в изотропном грунте лежат между величинами тех же пара- .метров потока в случаях предельной анизотропии. Последние же вычис- .ляются, как правило, без затруднений и оказываются часто имеющими -близкие значения. Так, было показано, что в ряде задач фильтрационные расходы в обоих случаях предельной анизотропии разнятся лишь на величину порядка 10%. Следует при этом заметить, что использование модели предельной анизотропии грунта не ограничивается кругом установивпшх- вя течений, следующих закону Дарси, а распространяется как на неуста- 阻овившиеся течения, так и на фильтрацию по нелинейным законам 密).
Методы фрагментов, асимптотических решений и мажорантных схем представляют собой по существу своему приближенные методы. Помимо ■этого, имеются методы, связанные с приближенной реализацией принципиально строгих математических решений. К таковым относится метод последовательных конформных отображений (П. Ф. Фильчаков, 1955 ：и сл.). Первоначально этот метод развивался, как собственно приближенный метод, применительно к гидротехническому расчету многошпунтовых ллотин на бесконечном проницаемом основании. В этом варианте он известен как метод последовательного отображения шпунтов. Суть его заключается в единообразном последовательном отображении полуплоскости с одним нормальным разрезом на полуплоскость без разреза с исключением каждый раз одного шпунта и сведением в итоге фильтрации под многошпунтовым флютбетом к простейшим задачам обтекания плоского @лют6ета (Н. Т. Мелещенко, 1940) **). Сформулированный таким образом метод является приближенным в силу того, что при каждом элементарном отображении все нормальные разрезы на плоскости искривляются, а затем -заменяются снова осредненными нормальными разрезами.
Метод последовательного отображения шпунтов был обобщен впоследствии на фильтрацию под тонкими флютбетами на основании конечной .глубины (С. Н. Нумеров, 1953) и получи^ широкое развитие в работах П.①.Фильчакова (1951 и сл.).
В 1955——1956 it. П. Ф. Фильчаков предложил общий и математически •строгий метод последовательных конформных отображений^ дающий возможность отобразить любую односвязную область на полуплоскость путем последовательности некоторых элементарных отображений. В этом □методе нашел свое завершение метод последовательного отображения шпунтов. Позже (1957 и сл.) П. Ф. Фильчаков] и егоь последователи
*) Ограниченность оценок, получаемых с помощью модели предельной анизотропии, заключается в том, что они имеют смысл только применительно к «разумно выбранным» схемам, а это предполагает известные требования к интуиции при постановке задачи.
**) Идея метода последовательного отображения шпунтов • высказывалась, ло-видимому, впервые М* А* Лаврентьевым в тридцатых годах* В частном виде он был использован В. С. Козловым (1940, 1941).
(В. М. Головань, П. А. Рудченко, Ф. П. Яремчук, В. И. Лаврикг А. Я. Олейник и др.) применили метод последовательных конформных отображений также к широкому кругу задач безнапорной фильтрации.
Приближенное решение задач теории фильтрации может быть получено и непосредственно путем конечноразностного моделирования соответствующей краевой задачи. Однако до последнего времени прямые численные методы мало применялись в СССР при расчетах установившегося движения грунтовых вод. Только в последние годы интерес к ним возродился в связи с общим вниманием, которое уделяется теперь внедрению численных методов в гидродинамику. В частности, надо отметить развитый Г. Н. Положим для решения конечноразностных моделей краевых задач метод суммарных представлений и Р-трансформаций (I960—1962)) получивший широкое применение в теории движения грунтовых вод (главным образом в работах киевской школы).
Наряду с перечисленными аналитическими методами приближенного решения краевых задач теории фильтрации широко используется их моделирование с помощью электрогидродинамической аналогии (ЭГДА). Метод ЭГДА был предложен применительно к задачам плоского напорного движения грунтовых вод под гидротехническими сооружениями Н. Н. Павловским (1922). В дальнейшем он получил всестороннее развитие- и разнообразные приложения, став к настоящему времени универсальным (если отвлечься от его точности) средством приближенного расчета движения грунтовых вод. Методом ЭГДА решаются теперь задачи напорной и безнапорной, плоской и пространственной, установившейся и неустановив- шейся фильтрации в однородной и неоднородной среде, в том числе гидрогеологические задачи регионального движения грунтовых вод. Из более ранних, относящихся к тридцатым годам, отметим здесь посвященные методу ЭГДА работы А. В. Осокина, В. Г. Глушкова, В. И. Давидовича, С. М. Проскурникова, Б. Ф. Рельтова. В последующем большой вклад в развитие и распространение метода был внесен Н・ И. Дружининым и П. Ф. Фильчаковым.
Значительно меньшее распространение до последнего времени имело в фильтрационных расчетах электромоделирование задач теории движения грунтовых вод на сеточных электроинтеграторах.
В заключение укажем еще на один старый метод приближенного расчета плоских задач теории фильтрации ——графо-аналитический способ построения (изотермических) гидродинамических сеток течения (Е. А. За- марин, Н. К. Гиринский и др.). Широко распространенный в тридцатых годах, метод этот особенно прост для случая движения грунтовых вод в однородной среде и дает вполне удовлетворительные для практики результаты при расчетах как напорной, так и безнапорной фильтрации 密).
По существу, в разделе, посвященном приближенным методам расчета установившегося движения грунтовых вод, следовало бы остановиться
*) Для расчета безнапорной фильтрации удобнее строить сетку не непосредственно в физической области течения (которая заранее неизвестна), а в соответствующей области годографа скорости фильтрации, возвращаясь затем в область течения с помощью элементарного численного интегрирования. Прием этот был предложен в Германии Ф. Вайнигом и А. Шильдсом (1935) и развит М. Брайтенедером (1942). Точность результатов при пересчете с сетки, построенной в области годографа, резко возрастает. Так, Брайтенедер получил для неизвестной в то время величины безразмерного отношения участка высачивания к фильтрационному расходу в достаточно широкой прямоугольной перемычке значение 0,744 вместо точного 0,7425. В прочем г описанный прием не получил распространения, и можно указать лишь на единичные способы его использования (Г. К. Михайлов, 1956)；
и на расчетах безнапорного притока воды к скважинам ), поскольку строгие методы расчетов здесь вообще отсутствуют. Однако, с одной стороны, практическим вопросам расчетов водозабора из скважин посвящена колоссальная специальная литература, а с другой стороны, трудно выделить достаточно общие (хотя бы и приближенные) методы расчета притока к скважинам в условиях безнапорного течения. Поэтому соответствующий круг вопросов здесь не затрагивается вовсе. Упомянем только ряд авторов, работы которых посвящены общим вопросам гидрогеологических изысканий и притоку к скважинам и другим подземным водозаборам： частично еще к довоенным годам относятся работы С. К. Абрамова》 М. Е. Альтовского, Н. Н. Биндемана, Н. Н. Веригина, Г. Н. Каленского, К. И. Кусакина, Н. М. Победоносцева, а к более поздним ——В. Д. Бабушкина, ①.М. Бочевера, И. В. Гармонова, Н. К. Гиринского, П. Я. Полубариновой-Кочиной, И. А. Чарного, В. М. Шестакова и многих других.
Неустановившееся движение грунтовых вод. При исследовании задач неустановившегося движения грунтовых вод обычно сразу пренебрегают инерционными членами, что существенно упрощает постановку задачи. В этих условиях гидравлическая теория квазиодномерного течения грунтовых вод по водоупору была развита Ж. Буссинеском, который получил носягцее его имя уравнение (С. г. Acad, sci., 1903, 136:25, 1511 —— 1517)
加穿= ^［£(н+4)给］十备［£(Н+4)警］(3.11)
для глубины потока Н (здесь Н§ ——глубина расположения водоупора под уровенной плоскостью, m ——коэффициент водоотдачи, или недостаток водонасыщения грунта). Для случая горизонтального водоупора и однородного грунта уравнение (3.11) принимает вид
需孑吟(嚟Ж (吗)к(3-12)
Уравнение Буссинеска нелинейно и строгое его решение получить в общем случае не удается. Самому Буссинеску удалоеь найти с помощью метода разделения переменных лишь одно автомодельное решение уравнения (3.12).
Дальнейший прогресс в отыскании точных решений уравнения Буссинеска относится к пятидесятым годам, когда внимание к нему было привлечено также в связи с изучением задач движения газа в пористой среде. Как было отмечено еще Л. С. Лейбензоном, уравнение (3.12) совпадает с уравнением изотермического движения газа (см. стр. 626), если заменить в последнем давление в газе на глубину потока Н. Отсылая поэтому читателя, во избежание больших повторений, к общему рассмотрению вопроса в п. 4.2, остановимся здесь подробнее 斗ишь на некоторых, преимущественно более ранних исследованиях уравнения Буссинеска применительно к задачам распространения грунтовых вод.
Отсутствие прямых методов решения краевых задач для уравнения Буссинеска повлекло развитие разнообразных приближенных методов решения соответствующих задач теории движения грунтовых вод. Первым по времени и простейшим из них является метод последовательной смены стационарных состояний. Этот метод заключается в том, что течение в каждый момент времени рассматривается как установившееся, вводится
подходящий, зависящий от времени параметр (расход или характерный размер изменяющейся во времени области движения) и для его отыскания составляется с помощью общего уравнения баланса дополнительная зависимость. Идеи метода последовательной смены стационарных состояний некоторые авторы усматривают еще у К. Э. Лембке (Инженер, 1886, 1:2; Ж. Мин-ва путей сообщ., 1887, № 17——19). Однако в чистом виде примеры его применения можно найти лишь значительно позже (И. Шовгенив, Г1дравл1ка п!дземних вод, Прага, 1929). Впоследствии этот метод получил широкое применение в задачах нефтяной гидравлики (см., в частности, И. А. Чарный, 1949).
Д₽У^М способом получения приближенных решений уравнения Буссинеска является его линеаризация, сводящая задачу к решению хорошо изученного уравнения теплопроводности. Простейшая линеаризация производится путем осреднения в уравнении (3.12) величины Я, стоящей множителем перед дШдх и дН!ду\ в результате уравнение (3.12) лринимает вид
^ = ^н^н- (3-13)
Однако при этом из решения линеаризованного уравнения не следует в пределе решение для установившегося течения. Для того чтобы последнее имело место, достаточно перейти к уравнению для квадрата глубин и после этого осреднить величину Н, стоящую множителем перед дИ21dx и дН2!ду\ в результате уравнение (3.12) принимает вид
礬=4%户中. (3.14)
Этот последний способ линеаризации был впервые использован применительно к задачам теории движения грунтовых вод, по-видимому, в диссертации Н. А. Багрова (1938) *). Однако широкое применение он получил лишь в независимо от того развитых работах Н. Н. Веригина (1949 и сл.). Линеаризация уравнения Буссинеска первоначально применялась к ква- зиодномерным задачам движения грунтовых вод, а затем и к двумерным (плановым) задачам.
Заметим, что приближенные методы решения уравнения Буссинеска обобщаются и на некоторые случаи задания инфильтрации (испарения) на свободной поверхности.
Тщательное исследование уравнения Вуссинеска в строгой постановке для случая внезапного подъема уровня на краю полубесконечного горизонтального массива грунта было предпринято с помощью разложений в ряды П. Я. Полубариновой-Кочиной (1948 и сл.), которая изучила также задачу о распространении языка грунтовых вод по сухому водоупору (1952). Г. И. Баренблатт построил и подробно проанализировал ряд других автомодельных решений для одномерного (линейного и осесимметричного) течения грунтовых вод (см. п, 4.2). Впоследствии были построены и некоторые двумерные (плановые) автомодельные течения грунтовых вод 《В. Ф. Баклановская и А. Н. Гаипова, 1966).
Большую трудность для исследования представляют неустановив- лшеся течения грунтовых вод со свободной поверхностью, когда задачу
приходится рассматривать как существенно неодномерную. В этом случае ха свободной поверхности надо удовлетворить сложному нелинейному условию
雰苫罟7[(芻)”+(瑞门" (3.15)
В простейшем приближении при небольших возмущениях свободной ловерхности нелинейный член в этом условии отбрасывается и краевое условие сносится на невозмущенную поверхность, что позволяет сравнительно легко получать необходимые решения (Л. А. Галин, Н. Н. Кочина, JB, К. Кузьмина и др.). Более строгие решения плоских задач получаются путем конформного отображения изменяющейся области течения на вспомогательную каноническую область (Ю. П. Виноградов, Л. А. Галин, Н. К. Калинин, П. Я. Полубаринова-Кочина и др.). Эти решения близки но методу их получения к соответствующим решениям задачи о стягива- :нии контура нефтеносности (см. п. 4.1),
Точное решение для неустановившегося течения в вертикальной плоскости со свободной поверхностью удалось построить только для частных случаев (3. Г. Кучеренко, 1955).
Помимо разнообразных аналитических методов расчета неустановившегося движения грунтовых вод, получили распространение (особенно в последние годы) численные методы, - основанные по преимуществу на конечноразностных аппроксимациях уравнений движения. Из более ранних относящихся сюда работ назовем исследования Г. Н. Каменского, В. С. Козлова, П. А. Киселева, А. В. Лебедева, А. И. Михальцевич. В шестидесятых годах численные методы получили развитие в киевской школе (В. Р・ Булдей, В・ ①.Демченко, В. Е・ Шаманский). Из работ этого периода отметим здесь еще исследования Ф. Б. Абуталиева, В. Ф. Бакла- новской, В. Б. Георгиевского, А. С. Новика, Л. М. Плешаковой, В. Г« Пряжинской, С. Т・ Рыбаковой, В. С. Усенко, В. С. Храбровицкого, В. Н. Эмиха.
Ряд приближенных (в том числе аналоговых) методов, используемых для исследования как установившихся, так и неустановившихся движений грунтовых вод, упомянут в предыдущем разделе параграфа (п. 3.3)* Здесь остановимся вкратце еще на двух аналоговых методах. Для моделирования неустановившихся движений грунтовых вод применяется так называемый гидравлический интегратор (системы В. С. Лукьянова, 1937), состоящий из гидравлической сети с присоединенными в узлах емкостями. Гидравлические интеграторы использовались, начиная с конца тридцатых годов, в институте «Водгео», а затем получили применение и в других местах (М. А. Вевиоровская, Г. Н. Каменский, Т. С. Каранфилов, В. С. Лукьянов и др.).
Другим аналоговым устройством, удобным для исследования плоских задач (установившейся и неустановившейся) безнапорной фильтрации, является так называемый щелевой лоток (лоток Хиле-Шоу). Он устроен на основе аналогии плоского течения грунтовых вод с течением вязкой жидкости в тонкой щели. Первые применения щелевого лотка к исследованию движения грунтовых вод относятся еще к двадцатым годам (Е. А. За- марин). Впоследствии теория моделирования фильтрации на щелевых лотках была продвинута В. И. Аравиным (1938). Д. А「 Эфрос (1956) и В. И. Аравий (1959) применили щелевой лоток также для моделирования осесимметричных задач.
§ 4. Движение нефти и газа
Основные задачи фильтрации нефти ). Плоские установившиеся фильтрационные течения (при жестком водонапорном режиме) описываются, согласно уравнению (2.9), уравнением Лапласа. Основной круг относящихся сюда задач фильтрации нефти ——это задачи о притоке к точечным скважинам, решаемые по преимуществу методом суперпозиции стоков (см. также стр. 604). Впервые в СССР задачи взаимодействия скважин были широко рассмотрены В. Н. Щелкачевым и Г. Б. Пыхачевым (1939). Ряд. задач о притоке к эксцентрично расположенной скважине, системе кольцевых батарей скважин в круговом пласте и рядам скважин в полосообразной залежи был исследован К. А. Чарным (1944). Им же дано простое приближенное решение задачи о притоке к скважине в эллиптическом пласте (1945), ранее решенной в строгой постановке П. Я. Полубариновой- Кочиной (1943). Отметим рассмотренные В. П. Пилатовским задачи о взаимодействии эллиптических конфокальных батарей скважин (1955» 1966).
Рассматривая задачи плоского фильтрационного течения в пластег В. П. Пилатовский (1956, 1966) применил метод вычисления контурных интегралов от выражений, связанных с комплексным потенциалом, что позволило вычислять среднепластовое давление, расход жидкости и дебиты скважин в общем случае. Им же были рассмотрены задачи фильтрации в тонком коническом пласте (В. П. Пилатовский, 1952——1954, 1966) > и изучено влияние инородных включений вблизи скважин на их дебит (1953, 1954).
Методы математической схематизации реальных пластов и расчеты фильтрационных потоков при различных системах расстановки скважин, применявшиеся при практическом проектировании, изложены в монографии А. П. Крылова и др. (1948). Позднее Ю. П. Борисов (1951) предложил метод расчета течения жидкости между рядами (батареями) скважин, основанный на выделении (и раздельном вычислении) внешнего и внутреннего фильтрационных сопротивлений потоку (т. е. между контурбм питания и линией ряда и от этой линии к отдельным скважинам). Последующие проверки (см., например, В. Н. Донецкий, 1959) показали высокую точность метода фильтрационных сопротивлений, и в настоящее время он стал основным в проектировании разработки месторождений (А. П. Крылов и др., 1962).
Л. С. Лейбензону (1934) принадлежит постановка задачи о перемещении границы раздела между двумя жидкостями, движение каждой из которых в своей области описывается уравнением Лапласа (на границе задаются условия равенства потоков и давлений). Одномерные задачи о движении границы раздела рассматривались В. Н. Щелкачевым (1944); К. А. Парным (1948) был предложен приближенный способ решения неддномерной задачи, основанной на введении жестких трубок тока. В точной постановке задача вытеснения при нулевой вязкости одной из жидкостей рассматривалась П. Я. Полубариновой-Кочиной (1945, 1949), Л. А. Галиным (1945, 1951), П. П. Куфаревым (1947, 1948, 1950) и др., которые использовали конформные преобразования области течения.
Г. С. Салехов (1954, 1955) сформулировал постановку и указал пути решения задач управления движением контуров нефтеносности (КН), которые ставятся следующим образом： определить такие оптимальные способы размещения и эксплуатации скважин на данном месторождении, которые в пределах практически возможной их вариации наилучшим образом обеспечивали бы желаемый закон стягивания КН. Был исследован ряд задач управления движением контуров нефтеносности (главным образом казанскими учеными). Отметим, в частности, исследования одножидкостной системы (без учета различия вязкости нефти и воды): круговые КН при водонапорном режиме (Г. С. Салехов и В. Д. Чугунов, 1955), прямолинейные КН (Б. А. Сейфуллина, 1955), с учетом непроницаемых границ (В・ Ю・ Ким, 1955), незвездные КН при непрерывном и дискретном задании отборов (Г. IL Цыбульский, 1956, 1957), а также при- упругом режиме (В. Д. Чугунов, 1955； В. Л. Данилов и В. Д. Чугунов, 1957). Уточнения за счет различия вязкостей проводились В. Л. Даниловым (1955), а непорншевого характера вытеснения —— С. Ф. Коротковым (1957). Г. С. Салехов (1955) и В. Л. Данилов (1956) рассмотрели задачу одновременного управления несколькими КН. Оценка погрешности приближенных решений исследовалась Г. П. Цыбульским (1957, 1959), В. Ю. Кимом (1959).
Г. Г. Тумашевым для решения плостфй задачи вытеснения был использован метод потенциала двойного слоя (1953). В развитие этого метода В. Л. Данилов (1956, 1957) получил интегро-дифференциальное уравнение относительно функции, определяющей подвижную границу. Позднее ■были выполнены примерные расчеты на ЭВМ (в частности, задача о стягивании первоначально кругового контура к эксцентрично расположенной скважине была решена В. Л. Даниловым и В. В. Скворцовым, 1959).
П. Пилатовский (1958). свел плоскую задачу расчета фильтрационного потока в неоднородном пласте к системе функциональных уравнений, использовав понятие интеграла типа Коши. Был предложен алгоритм числового решения и показана применимость этих уравнений в различных случаях, причем было проведено сопоставление с аналогичными интегро-дифференциальными уравнениями движения границ раздела жидкости, полученными с помощью логарифмического потенциала (В. П. Пилатовский, 1966).
При рассмотрении неоднородных потоков существенно оценивать устойчивость процессов вытеснения. В. П. Пилатовский (1951, 1956, 1958) развил гидродинамические методы оценки устойчивости на примерах простейших течений в плоском и коническом пластах. При неустойчивом процессе вытеснения образуются прорывы менее вязкой жидкости (языки обводнения в нефтенасыщенных пластах). Особенно четко за ними можно проследить при моделировании неоднородного течения на щелевом лотке.
Условия подобия при моделировании на электролитических моделях потоков с перемещающейся границей раздела двух различных вязких жидкостей уточнялись в работе Г< П. Цыбульского (1962).
Был предложен графо-аналитический способ решения задачи о перемещении границы раздела в однородном (Н. Ф, Иванов, 1955) и неоднородном (Н. Ф< Иванов и В. Д. Чугунов, 1956) пласте.
Различные задачи о поршневом вытеснении рассматривались также в работах Н・ Н. Барановской, В. Я. Булыгина, А. М・ Власова^ К. Н. Джалилова, Е. Э. Казарновской, В. А. Карпычева, Л. Г. Когана》 Н. С. Пискунова, М. Н. Тихова, Д. А. Эфроса и др.
Перемещение водонефтеносного контакта в наклонных пластах рассматривалось В・ Н. Щелкачевым (1949), И. А. Чарным (1950), А. М. Пир- вердяном (1952), В. А. Карпычевым (1959).
Задача об отборе нефти из залежи с заданным числом скважин за минимальное время впервые ставилась А. И. Крыловым и М. М. Глогов- ским и была подробно изучена И. А. Чарным (1945), М・ Д. Розенбергом (1951) и Ю. П. Борисовым (1951, 1956). При этом оказалось необходимым отыскивать минимум некоторых сложных функционалов. С расширением областей приложения ЭВМ эти задачи стали решаться в более полной технико-экономической постановке (А・ IL Крылов, Ю. IL Борисов и др” 1966).
Пространственные задачи стационарной фильтрации рассматривались главным образом в связи с оценкой дополнительных фильтрационных сопротивлений из-за несовершенства скважин по степени (Б. И. Сегал, 1946, 1952; М・ М. Глоговский, 1950; К. А. Чарный, 1953; А. X. Мирза- джанзаде и др., 1957; А・ М. Пирвердян, 1957, 1958, и др.) и характеру (А. Л・ Хейн, 1953, и др.) вскрытия пласта. И. А. Чарный (1953) предложил для решения соответствующих задач со смешанными граничными условиями приближенный метод «средневзвешенного потенциала» (в развитие этого метода был выполнен дополнительно анализ ряда частных задача Я. И. Алихашкин, 1957; К. Н. Кочина, 1957, и др.).
Широко использовавшиеся оценки дополнительных фильтрационных сопротивлений были выполнены также на электрических моделях В. И. Щуровым (см. А. П・ Крылов и др., 1948, 1962). Была составлена таблица поправок на несовершенство скважин (Ф* М* Бочевер и Н* Н. Веригин, 1962).
Распределение потенциала в окрестности скважины существенно также для задачи о подъеме конуса подошвенной воды (движении границы раздела «нефть ——вода» в поле тяжести). Если считать, что отклонения поверхности от плоской границы не возмущают поле потенциала скорости в нефтяной части пласта, то удается определить завышенное значение предельного стационарного безводного дебита (М・ Мускат и Р. Д・ Викофу 1935) и найти верхнюю и нижнюю оценку этого дебита (И. А. Чарный^ 1953; А. К. Курбанов, 1958). Подробный анализ задачи о стационарном конусе в этой постановке дан А. П. Телковым и Ю. И. Сткляниным (1965) (отметим также работы Д. А. Эфроса, 1956, и Н. С. Пискунова, 1957). Задача о стационарном конусе при учете возмущений поля потенциала из-за смещений поверхности подошвенной воды рассматривалась Б. Б. Ла- пуком, А・ Л. Брудно и Б. Е・ Сомовым (1961). Способ определения максимального безводного дебита газовых скважин предлагался Б. Б. Лапуком и С・ Н. Кружковым (1961). В ряде работ (А. К. Курбанов и IL Б. Садчиков, 1962; Б. Е. Лапук и др., 1963; А. П. Телков и Ю. И. Стклянин, 1965, и др.) в связи с проблемой конусообразования рассматривалась задача
о выборе оптимального участка перфорирования колонны скважины. Отметим также работу Г. С. Салехова, В. Л. Данилова, Н.①.Иванова и А. Н. Хованского (1954) по проблеме обводнения скважин подошвенной водой, а также решения Н.①.Иванова (1955), М. Л. Сургучева (1958, 1959), П. М. Шульги (1959). Метод жестких трубок тока здесь использовал Н. С. Пискунов (1959).
Задача о кинематике образования (или осадки) конуса рассматривалась М. Д. Миллионтциковым (1948), а затем В. А. Карпычевым (1959, 1962), М. И. Швидлером и К. В. Гомоновой (1961). Для анализа этой задачи привлекались методы моделирования, в том числе плоского течения на щелевых лотках (Д. А. Эфрос и Р. А. Аллахвердиева, 1956； Г. П. Цыбульский и Ю. А. Теплов, 1959； П. Б. Садчиков, 1963).
Приток жидкости к наклонным и горизонтальным скважинам рассматривался В. И. Щуровым (1952), И. А. Чарным (1953), П. Я. Полубари- новой-Кочиной (1956, 1957), А. М・ Пирвердяном (1956), В. II. Меркуловым (1958, I960), Ю. П. Борисовым, В. П. Пилатовским и В. П. Табаковым (1960-1964).
При решении задач неустановившегося движения в условиях упругого (водонапорного) режима фильтрации однородной жидкости используются методы, обычные для теории теплопроводности.
При расчетах потоков в пласте в целом скважины моделируются точечными источниками. В простейших случаях при работе небольшого числа скважин задача об их суммарном воздействии решается при помощи принципа суперпозиции 密).Задача о неустановившейся фильтрации к цепочке скважин в полосообразйом пласте рассматривалась С・ Н. Нумеровым? (1958); неустановившийся приток жидкости к системе круговых батарей и прямолинейных рядов скважин при переменном дебите изучал: Ю. П. Борисов (1956). В дальнейшем использованный им метод фильтрационных сопротивлений (внешние сопротивления потоку жидкости зависят от времени, внутренние ——соответствуют стационарному течению) применялся М. К. Швидлером (1957) и М. Г. Сухаревым (1959). При задании давлений (и вычислении дебитов системы скважин) задачи усложняются； методы их решения предложены М. Д. Розенбергом (1952) и В И. Пилатовским (1956). Качественное обсуждение с числовыми примерами эффектов взаимодействия скважин дано В. Н. Щелкачевым (1948, 1959).
Задача о фильтрации жидкости к скважине (кольцевой галерее) конеч* ного радиуса решается распределением точечных стоков с зависящим от времени дебитом вдоль окружности (И. А. Чарный, 1948). Расчет отбора жидкости из центральной скважины в конечном круговом пласте проведен К. А. Царевичем и И. Ф. Курановым (1956).
Для упрощения числовых расчетов плоской, линейной и радиальной нестационарной фильтрации широко Применялся метод последовательной смены стационарных состояний (И. А. Чарный, 1949). А. М. Пирвердян (1950) предложил задавать эпюру давлений в возмущенной зоне при прямолинейном течении в виде параболы.
Следуя идее С. А. Христиановича, Г. И. Баренблатт (1954) при анализе неустановившейся фильтрации в конечном пласте применил метод моментных соотношений, подобный развитым в теории пограничного слоя. При этом получается последовательность уравнений, решение
которых приближается к точному решению при возрастании числа используемых уравнений. В первом приближении этот процесс совпадает с методом последовательной смены стационарных состояний.
Задача о периодическом (синусоидальном) возбуждении скважины,] вскрывающей упругий пласт, рассматривалась Э. Б. Чекалюком (1947).
Для практического использования решений задач режима фильтрации необходимо предварительное определение параметров плйста. Основным источником таких данных в настоящее время служат различные методы испытания скважин на приток. Одним из пионеров исследования работы скважин с целью изучения состояния пласта был В. П. Яковлев (1934, 1936, 1937).
При исследовании скважины на стационарный приток данные об установившемся режиме работы скважины интерпретируются на основе формулы Дюпюи (А. И. Крылов и др., 1962). Отклонения от соответствующей линейной связи дебита с забойным давлением связывают с цеустано- вившимися процессами (В. Н. Щелкачев и К. М・ Донцов, 1945), с наруше- лием закона Дарси при больших числах Рейнольдса (В. Н. Щелкачев и Б. Б. Лапук, 1948； Б. С. Чернов, М・ Н. Базлов и А. И. Жуков, I960), а при относительно больших депрессиях с нелинейно-упругими эффектами зависимости проницаемости от давления (см. А. Бан и др., 1962； см. подробнее п. 4.4). Использование соотношения типа формулы Дюпюи требует априорного знания величины радиуса «контура питания», на котором давление практически равно пластовому. Согласно представлениям об упругом режиме работы пласта этот контур смещается с изменением времени, хотя для приближенных оценок небольшие изменения его положения можно не учитывать (так как радиус входит в формулу для дебита под знаком логарифма). Однако в ряде случаев необходим более строгий анализ, например при исследовании малопроницаемых пластов. Обсуждение понятия о контуре питания можно найти в книге В. Н. Щел- качева (1959) и, например, в ряде статей Г. А. Зотова (1966).,
Основным способом исследования скважин при неустановившемся режиме является прослеживание за ходом восстановления давления в скважине после ее внезапной остановки. Наиболее проста обработка кривых восстановления давления согласно «методу касательной» (см., например, И. А. Чарный, 1955), существенно использующему представление опытных данных в полулогарифмической системе коордцдат (Ар —— ——In %). Весьма часто на натурных кривых при этом не удается выделить необходимый прямолинейный асимптотический участок, что, как правило, связывают с немгновенным прекращением притока в скважину. Были предложены разнообразные методы обработки, позволяющие учесть этот эффект, как, например, дифференциальные методы учета переменного притока И. А. Чарного и И. Д. Умрихина (1957), Ю. П. Борисова (1959) и интегральные методы Г. К. Баренблатта, Ю. П. Борисова и др. (1957), И. А. Чарного и И. Д. Умрихина (1957), Э. Б. Чекалюка (1958), метод поправочного коэффициента Ф. А. Требина и Г. В. Щербакова (1958). Влияние конечного расстояния до границ пласта и непроницаемых сбросов на процесс восстановления давления в скважине анализировался И. А. Чарным (1955), Г. И. Баренблаттом и В. А. Максимовым (1958), Ю. П. Борисовым и С. Г. Каменецким (1959), В. А. Максимовым (1959), С. Н. Бузиновым, И. Д・ Умрихиным и В. Н・ Эйхманом (1952) (см. также А. Бан и др., 1962). Восстановление давления в скважине с песчаной пробкой на забое рассматривалось С. Н. Бузиновым (1956).
Не исключено, что трудности. обработки промысловых данных во многих случаях связаны с прогибами кровли (подошвы) пласта, отклонениями от линейно-упругого режима из-за изменений параметров пласта с давлением, трещиноватостью и неоднородностью пласта, аномальными свойствами жидкости и т. д. Для выявления подлинных свойств нефтеводосодержащего пласта в этих сложных случаях необходимо совместное проведение различных методов испытания скважин.
При применении метода гидропрослушивания (пьезоразведки) пласта изменяют режим работы одной из скважин и замеряют изменение давления в другой скважине. Ю. П. Борисов и В. IL Яковлев (1957) предложили для обработки замеров использовать эталонную кривую. Различные аналитические методы обработки изложены в книге С. Н. Бузинова и Л. Д. Умрихина (1964), где описаны также методы исследования пласта при гармоническом и произвольном изменении режима возмущающей скважины, в том числе с учетом неоднородности пласта, конечного расстояния до его границы (см. также Н. Н. Непримеров и А. Г. Шарагин, 1961).
Постановка задачи о поршневом вытеснении одной жидкости другою при упругом режиме фильтрации принадлежит Н. Н. Веригину, который рассмотрел автомодельную радиальную задачу (1952) и плоскую одномерную задачу (1958). Обобщение этих автомодельных решений на случай пласта со степенным законом распределения проницаемости было проведено Т. Д. Дадашевой (I960), М. Т. Абасовым и С, К. Алекперовым (1964). Положение границы раздела между жидкостями в вертикальном сечении пласта исследуется обычно (И. А. Чарный, 1954; А, М. Пирвердян, 1956) на основе схемы предельной анизотропии (Г. К. Михайлов, 1953). Так, например, некоторые задачи о притоке жидкости к скважинам при наличии подошвенной воды или газовой шапки были рассмотрены Ю. А. Тепловым (1960—1962).
При практическом прослеживании перемещений границ раздела в плоскости пласта, а также для оценки осредненной упругоемкости и гидропроводности отдельных его областей применяются карты изобар (А. П. Крылой, В. Н. Васильевский и И. Д. Умрихин, 1956; Ю. IL Борисов и В. С. Орлов, 1957； В. Н. Васильевский, Э. Л. Лейбин и В. С. Орлов, 1959).
Вопросам интерпретации испытарий и исследования работы скважин посвящена громадная литература. Кроме упомянутых выше авторов, работающих в этом направлении, отметим здесь еще только ряд работ И, Д, Амелина, Г, Л. Говоровой, С. Г. Каменецкого, Р. И. Медведского, И. М, Муравьева, Н. М. Победоносцева, Г. П. Цыбульского.
Для расчетов фильтрационных потоков в пластах с учетом их реальной геометрии и неоднородности при стационарном водонапорном и упругом режиме фильтрации широко используется метод электрического сеточного моделирования (С. А, Гершгорин, 1929; Ю, Г, Толстов, 1942; П, М. Белаш, 1947; см. также монографию А. И. Крылова и др., 1948), развивавшийся также Л, И. Гутенмахером, Л, А. Сергеевым, М. М. Максимовым и др.
Численные методы расчетов приобрели особое значение (и, в частности, для решения задач оптимизации) в связи с внедрением ЭВМ. Они широко применялись М. Г. Алишаевым, Г. Г. Вахитовым,,Л. И. Гутен- махером,- В. Л. Даниловым, Н. Г. Егоровым, А. В. Росляковым, Г. С. Салеховым, В. В. Скворцовым, Г. И. Цыбульским, А. Н. Чекалиным» В. Д. Чугуновым, М. И. Швидлером и многими другими. , 40 Механика в СССР, том 2
Движение газа. Уравнение фильтрации газа в не деформируемой пористой среде было получено Л. С. Лейбензоном (1929) для политропических условий течения и имеет вид
■|^ = adiv(pgradp), р = /р", (4.1>
а = й/(т[л), п ——показатель политропы (в изотермических условиях п = 1). Спдаведливость уравнения (4.1) была подтверждена экспериментальными работами И. П. Москалькова (1930) и Д. С. Вилькера (1935). В. Б. Лапук (1940), рассматривая фильтрацию газа как процесс, происходящий в условиях постоянной энтальпии, показал справедливость, предположения об изотермичности основных процессов, происходящих в пористых средах.
Для построения решений нелинейного уравнения (4.1) были развиты, различные приближенные методы.
Метод линеаризации сводит уравнение (4.1) к классическому уравнению теплопроводности. Так, при решении задачи об истощении линейного пласта конечных размеров Л. С. Лейбензон предложил《мето用 последовательных приближений», первое из которых соответствовало решению уравнения
祭=%3))户0 (4.2)；
для функции
р=А^аР=^Р^,
где г。— начальное пластовое давление. Замена уравнения (4.1) на (4,2} известна в литературе как линеаризация Лейбензона. Другой прием линеаризации, предложенный Лейбензоном для конечного пласта, основан на изменении масштаба времени
m=%血)户0， T=j禽或， (4.3方 о
где приближение связано с заменой давления р (力,力)в подынтегральном? выражении либо на контурное давление рк «), либо на рср {^) —— среднее давление, определяемое методом материального баланса. Линеаризации (4.3) использовалась для построения решений задачи фильтрации газа на электроинтеграторах (П. М. Белаш, A. JL Гофлин и Э. Чен-син9 1961;. Н. Г. Степанов и Ю. В. Фрумсон, 1964). Б. Б. Лапук (1947) показал, что Рср можно считать с практической точностью равным контурному давлению рк； это существенно упрощает проведение расчетов.
И. А. Чарный (1951) предложил аппроксимировать плотность реального газа экспоненциальной функцией, в результате чего уравнение (4.1} становится линейным (позднее такая линеаризация использовалась во- Франции А. У пером).
Метод последовательной смены стационарных состояний применительно к уравнению (4.1) развивался в работах И. А. Чарного (1948〉 и Б. Б. Лапука (В. Н, Щелкачев и Б. Б. Лапук, 1949).
Метод осреднения производной "。времени был предложен в гидродинамической теории смазки Н. А. Слезкиным и С. М. Таргом (1946卜 а в теории фильтрации Ю, Д? Соколовым (1952) и Г. IL Гусейновым (1956). Позднее И. Г. Портнов (I960) развил более точный прием локального
осредйейия производной по времени, сведя тем самым задачу к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Число этих уравнений соответствует числу интервалов осреднения.
Метод моментных соотношений, введенный ранее в теории упругого режима фильтрации жидкости был применен для расчета движения газа Лан Чжан-сином (1961). Впоследствии этот метод эффективно применялся Г. А. Зотовым и др.
Метод малого параметра^ использованный для' расчета безнапорной фильтрации грунтовых вод П. Я. Полубариновой-Кочиной (1952), был развит применительно к уравнению (4.4) в работе С. Н. Бузинова и И. Д. Умрихина (1964).
Расчеты по методам 2——4 осложняются необходимостью численного интегрирования при нахождении среднепластового давления, от которого параметрически зависит мгновенное распределение давления. В связи с этим Г. А. Зотовым (Г. А. Зотов и А. С. Малых, 1965) была предложена замена (/?ср)2 ^ (р2)ср, что позволило устранить трудности численного интегрирования.
В случае автомодельных фильтрационных течений удается построить точные решения уравнения (4,1). Так, Л. С. Лейбензон в 1945 г. указал на наличие автомодельных решений уравнения (4.1) вида Р — Р (|), g 三 力L% где a = a (") и a = 1厶 при " = 1. IL Я. Полубаринова-Кочина (1948) исследовала (прибегнув к разложениям в ряды) нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение, к которому сводится построение указанного автомодельного решения (плоский одномерный поток, п = 1). Построение с помощью ЭВМ численных решений обыкновенного уравнения для основных автомодельных задач (пуск точечной скважины с постоянным во времени дебитом и галереи с постоянным давлением) было выполнено для случаев w — 1 (Дж. С. Ароновский и Р. Дженкинс, 1954; Г. И. Баренблатт и Н. П. Трифонов, 1956) и w = 0, 1, 9, 99 (В. Н. Николаевский, А. Т. Горбунов, В. П. Степанов и А. Б, Товбис, 1965). Это позволило проверить точность различных методов линеаризации и других способов приближенного решения для бесконечного пласта (в частности, были показаны практически исчерпывающая точность линеаризации Лейбензона и применимость метода моментных соотношений). Численные построения автомодельных решений подтвердили допустимость обычного математического моделирования отбирающих скважин в виде точечных стоков при построении решений в области 力 > 0, г》％, где гс ——радиус скважины (при реальных значениях безразмерного дебита физически неоправданные отрицательные давления достигаются только в области 0<г<гс).
Автомодельные задачи в случае степенного роста давления и дебита были рассмотрены Г. И. Баренблаттом (1952).
На наличие автомодельных решений вида
Р ~ / (С) exp (а^), с = % ехр (“)
для неустановившихся фильтрационных течений газа указал К. П. Станюкович (подобные решения были известны ранее в теории пограничного слоя). Качественное их исследование применительно к задачам об экспоненциальном возрастании во времени граничных .возмущений давления и разъяснение их смысла как предельных автомодельных задач обычного степенного типа были проведены Г. И. Баренблаттом (1952). Впрочем, А. М. Пирвердян (1956) показал, что при выполнении некоторой 40*
подстановки для получения этих решении достаточно воспользоваться обычными методами теории подобия ).
Приближенные методы построения решения задач, использующие автомодельные решения, развивались Г. И. Баренблаттом (1954) и А. М. Пир- вердяном (I960). Были рассмотрены также решения типа бегущих волн (Г. И. Баренблатт, 1953) и задачи об асимптотическом распределении давления (плоская одномерная задача) при ограниченном начальном возмущении (Г. И. Баренблатт и Я. Б. Зельдович, 1957, 1958).
Применение быстродействующих цифровых вычислительных машин для расчета нестационарной фильтрации газа в замкнутом круговом пласте впервые было осуществлено Дж. Г. Брюсом, Д. В. Писманом, Г. Г. Рач- фордом и Дж. Д. Райсом (1953). Анализ этого решения был выполнен Е. М. Минским (I960). В работах Б. Б. Лапука, А. Л. Лунца и Ф. А. Тре- бина (1961) и Е. М. Минского и А. С. Малыха (1961) было проведено дальнейшее исследование этой модельной задачи на ЭВМ. Б. Б. Лапуком и Л. А. Владимировым^ (1963) была решена задача о притоке газа к галерее в круговом пласте; приток газа к системам батарей рассматривался Б. Б. Лапуком, Э. Б. Абуталиевым и Л. А. Владимировым (1964), приток газа к центральной скважине и концейтрической к ней батарее —— Г. А. Зотовым и А. С. Малыхом (1965). Основной качественный результат этих решений состоит в том, что в начальный период после пуска скважины (батареи) изменение забойного давления происходит как бы в бесконечном пласте (первая фаза истощения пласта), а в последующем вокруг скважин (батарей) образуются постоянные зоны дренирования, объемы которых пропорциональны дебиту (отбору при переменном дебите) этих скважин (вторая фаза).
Таким образом, проведенные на ЭВМ расчеты обосновывают применение при обработке данных испытания газовых скважин (в зависимости от времени их проведения) как нестационарных, так и стационарных аналитических решений. Эти расчеты показали также, что на первой фазе истощения пласта достаточно пользоваться линеаризованным по Л・ С. Лейбензону уравнением^ (4.2).
В настоящее время используются различные методы обработки данных испытания скважин на нестационарный приток. Метод обработки кривых нарастания давления был предложен И. А. Чарным (1955). В работе Е. М. Минского, Ю. IL Коротаева и Г. А. Зотова (1959) развит способ учета отклонения от закона Дарси из-за инерционных потерь в призабойной зоне. Метод обработки кривых стабилизации давления был впервые предложен Е・ Б. Лапуком и В. А. Евдокимовой (1950) для пуска скважины с постоянным дебитом. Последнее условие оказалось практически нереализуемым, в связи с чем метод был обобщен на случай переменного дебита. Для обработки данных работы скважины на второй фазе предложен метод интерпретации кривых стабилизации давления (Г. А. Зотов, 1965), использующий моментные соотношения.
Помимо указанных, широко используется также метод установившихся отборов, подробно описанный в книге Э. Л. Роулинса и М. А. Шел- хардта «Испытание газовых скважин» (1935; русский перевод: М.—Л., 1947). Совершенствование метода было связано с учетом различных факторов в уравнении стационарного притока газа к скважине. Первоначальная
классическая формула притока (аналог формулы Дюпюи), соответствующая идеальным условиям (Л. С. Лейбензон, 1934; М. Мускат, 1937), видоизменялась на случай инерционных отклонений по двучленной формуле (И. А. Чарный, 1950; Е. М. Минский, 1954) и по степенной формуле (Б. Б. Лапук и В. А. Евдокимова, 1951). Учет зависимости вязкости и сжимаемости газа от давления был выполнен Б. Б. Лапу- ком (1948), Г. А. Зотовым (1961), С. С. Гацулаевым (1963).
При обычной классической интерпретации формулы стационарного притока к скважине все входящие в нее величины (забойное и контурное давление, дебит и радиус контура) считаются постоянными. При этом для вычисления, например, дебита задаются забойным давлением, а контурное давление и его радиус остаются, строго говоря, неопределенными. В работах Г. А. Зотова и А. С. Малыха (1965, 1966) стационарному притоку к скважине ставится в соответствие квазистационарное решение для второй фазы фильтрации. Это решение принимает вид формулы Дюцюи, если взять вместо радиуса контура питания половину расстояния до границы зоны дренирования. Эту величину они называют «приведенным радиусом». При этом постоянной будет разность квадратов забойного давления и давления на границе дренирования А/?2, и расчет сводится к построению связи Q ~ Q (Д/?2). В связи с тем, что для малопроницаемых коллекторов период выхода на вторую фазу течения велик, был разработан специальный экспресс-метод определения параметров пласта.
Для скважин, работающих при относительно больших депрессиях, оказалось необходимым учесть зависимость параметров пласта от давления, и были развиты соответствующие методы совместной обработки результатов стационарных и нестационарных исследований газовых скважин (А. Бан, К. С. Басниев, В. Н. Николаевский и Г. П. Цыбульский). Ими, в частности, был применен метод линеаризации (4.3) с использованием забойного давления вместо среднего.
Для расчетов работы системы произвольно расположенных скважин Б. Е： Лапуком (1948) была предложена следующая расчетная схематизация. Методом материального баланса рассчитываются изменения среднего пластового давления; это давление считается контурным для отдельной скважины.
Такой способ расчета дает хорошие результаты при равномерном распределении дебита по площади пласта. В работе Ю. П. Коротаева и Г. А, Зотова (I960) была дана сводка с о отв етств ующих формул для различных граничных условий на забоях скважин. Если из-за неравномерного размещения скважин в пласте образуется значительная депрес- сионная воронка пластового давления, то прибегают К расчетной методике, предложенной Е. М. Минским и А. С. Малыхом (1963). В этой методике используется идея Л. С. Лейбензона о введении в уравнение фильтрации газа распределенных стоков, причем давление в уравнении понимается как пластовое для окрестности отдельной скважины. Решение строится методом осреднения производной по времени. Приближенная замена- квадрата среднего давления на средний квадрат давления снова существенно упрощает расчеты и вносит весьма малые погрешности.
Методика численного интегрирования на ЭВМ двумерных задач неустановивтлейся фильтрации реального газа в неоднородных по коллекторским свойствам пластах рассмотрена в работах Н. X. Гарифуллиной, С. Н. Закирова и Б. Б. Лапука (1963), Е. М. Минского и А. С. Малыха (1966). Приближенный метод решения подобных задач на электрических моделях предлагается в работе С. Н. Закирова и А. Н・ Тимашева
. При этом для линеаризации исходного нелинейного дифференциального уравнения вводятся функция типа функции Лейбензона и новая временная переменная типа (4.3)..
При упруго-водонапорном режиме среднее давление в пласте, а следовательно, и эпюра пластового давления определяются с учетом вторжения воды согласно работам И. А・ Чарного (1950), Ф. Г. Темнела (1957), И. А. Чарного и Н. М. Мухитдинова (1962). Автомодельные задачи о вытеснении газа водой были рассмотрены А. X. Мирзаджанзаде и В. В. Мустафаевым (1958) и М. В. Филиновым (I960). Основная проблема этого направления исследований состоит в учете прорыва контурной воды по высокопроницаемым прослоям или же в виде площадных языков и преждевременном обводнении газовых скважин.
Задачами вытеснения газа водой занимался Б. Б. Л any к (1949), нефти газом ——М. М. Глоговский и М. Д. Розенберг (1956) и др.Расчеты вытеснения газа водой и воды газом особое значение имеют для проектирования подземных газовых хранилищ в водоносных пластах. Автомодельное решение (М. В. Филинов, I960) подтверждает, что при нагнетании газа в водоносный пласт давление в газовой зоне в каждый момент времени практически постоянно. Это физически понятное положение было использовано для развития приближенного метода расчета нагнетания газа в водоносные пласты (М. В. Филинов и И. А. Чарный, 1959). Задачи исследования.газоводоносных пластов приведены в книге С. Н. Бузинова и И. Д. Умрихина (1964).
При расчетах газового хранилища в слабонаклонных и горизонтальных водоносных пластах особое значение имеет учет воздействия силы тяжести. Подробный анализ продвижения границы раздела в не слишком мощном пористом пласте был выполнен И. А. Чарным (1959), который использовал схему предельно анизотропной пористой среды, а также указал способ учета непоршневого вытеснения (эффектов фильтрации двухфазных жидкостей). К настоящему времени гидродинамические методы проектирования подземных хранилищ газа хорошо развиты и широко применяются на практике (А. Л. Хейн, 1961; см. также книгу И. А. Чарного, Д. К. Астрахани и др. «Хранение газа в горизонтальных и пологозале- гающих пластах» (М・, 1968)).
Автомодельные задачи о нагнетании газа в водоносный неоднородный по проницаемости пласт (отборе газа из пласта) рассматривались в предположении о поршневом вытеснении С. И. Алекперовым (1964) и М. В. Филиновым (1965), а в рамках двухфазной теории фильтрации ——В. А. То- мельгасом и М. В. Филиновым (1966).,
Приближенный метод решения двумерных задач с подвижной границей раздела «газ ——вода» методом электроаналогии предложен в работах С. Н. Закирова и А. Н. Тимашева (1966, 1967). Методика применима для случая как идеального, так и реального газа. Для решения задачи вводятся функция типа функции Лейбензона и временная переменная типа (4.3). Для сопряжения дифференциальных уравнений неустановив- шейся фильтрации газа и воды используется аппроксимация вводимой функции и временной переменной линейными функциями.
Отметим отдельно ряд задач о фильтрации газа в угольном пласте вблизи движущегося забоя (П. Я. Полубаринова-Кочина, 1953; Г. Н. Пых- теев, 1955; С. В. Кузнецов, 1961; С. Н. Осипов и Б. П. Пясецкий, 1966); подобные расчеты связаны, в частности, с проблемой внезапного выделения газа с выбросом угля (см. А. А- Никольский, 1953; С. А. Христианович, 1953).
Движение в неоднородных и трещиноватых пористых средах. Реальные пористые среды часто содержат инородные включения или же wx параметры распределены в пространстве существенно неоднородным образом. Наиболыпий интерес здесь представляют исследования течений в средах, детали строения которых или априори неизвестны, или действительно характеризуются хаотичностью распределения по про- ■странству. '
Впервые анализ фильтрационных потоков в средах со случайным изменением параметров проводился Ю. П. Борисовым (1959) и М. М. Саттаровым (I960). Эти авторы моделировали поток набором трубок тока, проницаемость которых была распределена по случайному закону. М. И. Швидлер (1963) ввел проницаемость среды как случайную функцию координат и развил методы оценки средних и дисперсий для дебитов галерей и скважий и давления в одномерном и плоском случае. При этом были использованы методы теории возмущений и методы статистических испытаний (метод Монте-Карло). В. В. Скворцов (1964) рассмотрел задачу об отборах жидкости из полосообразного пласта при случайном распределении в нем непроницаемых включений.
Не останавливаясь на большом числе исследований потоков в средах с детерминированными неоднородностями ), укажем только на важный случай слоистой неоднородности, который математически моделируется набором плоских течений с перетоками между пластами (см. стр. 601). Заметим, что в природных условиях взаимодействие работающих пластов может обусловливаться также механизмом их совместных деформаций.
Часто пористне насыщенные Горные породы содержат крупные пустоты ——трещины или каверны. Если рассматривать области течений, масштаб которых гораздо болыпЬ характерных размеров и пор и пустот ), то систему пустот допустимо считать сплошной и ф ор му лир ов ать для нее (как и для системы пор) дифференциальные уравнения фильтрации жидкости. Г. И. Баренблатт и Ю. П. Желтов (I960) предложили применить в этом случае систему уравнений
朴、=5 警一也4 吻乂山？2=甯 + ^^, (4.4))
где 乂 = 友2(卩卩),т = 卩卩/a; р「р2 —— давления; £］卩,卩 —— эффективная сжимаемость в элементарном объеме,友,е?友—проницаемость, соответственно, системы пустот и пористых блоков； а —— мера интенсивности перетоков между системами.
Для анализа неустановившихся процессов в трещиновато-пористых породах, где система пустот (трещин) обладает неизмеримо большей проницаемостью (е2《1) и неизмеримо меныпей емкостью (%《1), нежели
система блоков, было предложено пользоваться усеченной системой уравнений, получаемых из (4.4) отбрасыванием членов с малыми коэффициентами. Оценка порядка производных в отбрасываемых членах (Э. А. Бондарев и В. Н. Николаевский, 1966) показывает, что усеченные уравнения применимы в областях движения Т 〜弋,厶〜 〜/乂т, где изменение порового давления и давления в трещинах —— величины одного порядка (здесь Т и 厶一характерные время и линейный масштаб процесса). В непосредственной близости от возмущающей границы (Т 〜 q 厶密〜 /吻乂工)，гДе изменения порового давления гораздо больше, необходим учет малой проницаемости блоков и уравнение системы (4.4) сводится к следующему：
e2乂口?2 =等+^?2・ (4.5)
В зоне основного фильтрационного течения (厶〜/хт) в начальный момент времени (Т()〜 е^е) происходят гораздо большие возмущения давления в трещинах; поэтому здесь необходим учет малой емкости системы трещин и уравнение системы (4.4) сводится к следующему：
. (4.6)
Асимптотики решения уравнений (4.5) по координате и (4.6) по времени определяют изменения граничных и начальных условий при замене полной системы на усеченную ® = ©2 = °)・ Проведено соответствующее сопоставление решений систем (4.4), (4.5) и (4.6) для плоской линейной, а затем и для осесимметричной (Э. А. Авакян, 1967) задач фильтрации в трещиновато-пористых средах. '
Изменения граничных условий можно получить также путем иссле丁 дования соотношений на разрывах, соответствующих усеченной системе уравнений. Это было выполнено в математически аналогичных задачах И. В. Немчиновым (I960) и 3.. А. Бондаревым и В. Н. Николаевским (1962). При исследовании скачков собственно в задачах фильтрации в трещиновато-пористых средах Г. И. Баренблатт, Ю. П. Желтов и И. Н. Кочина (I960) рассмотрели не усеченную систему, а следующее из нее уравнение относительно давления в трещинах р± 、
嚮=хт备(W前+加. (4.7)
и получили, что начальный разрыв давления р± затухает по экспоненциальному закону со временем. П. П. Золотарев (1963) показал, что это исследование уравнения (4.7) не эквивалентно полному анализу усеченной системы уравнений (из которой следует (ср. уравнение (4.5)) экспоненциальное затухание скачка давлений р2 в блоках) )•
Ю. П. Желтов (1966) привел решение усеченной системы для замкнутого пласта. Э. А. Авакян (1967) провела подробный анализ задачи осесимметричной фильтрации в рамках полной системы уравнений (см. также В. С. Кутляров, 1967).
Течение в трещиновато-пористых средах характеризуется запаздыванием (по сравнению с обычной пористой средой) из-за конечной скорости
перетока жидкости из блоков в трещины. Метод определения характерного времени запаздывания т по кривым восстановления давления был предложен А. Баном (1962); он основан на независимом нахождении проницаемости трещин по индикаторным линиям скважин.
Ю. П. Желтов и П. П. Золотарев (1962) предложили уравнения фильтрации газа в трещиновато-пористых средах, задав переток в виде g 〜(p： 一龙).
Позднее (Г. И. Баренблатт, 1964) это построение было обобщено на случай реального газа:
g ~ [戶 3)—戶 С?2)],р (■) = ! р 伪)dp.
Различные аспекты фильтрации в трещиновато-пористых средах освещены также в ряде работ А. Г. Ковалева, Ф. И. Котяхова, В. Н. Майде- бора, В. П. Пилатовского, А. А. Трофимука, Б. В. Шалимова, М. И. Швидлера, Ю. М. Шехтмана и др.
Нелинейные эффекты при движении однородной жидкости. Экспериментальные исследования образцов насыщенных горных пород (Д. А. Антонов, 1957; Н. С. Гудок и М. М. Кусаков, 1958; Д. В. Кутовая, 1962; В. М. Добрынин, 1965) выявили существенно нелинейный характер зависимости деформаций скелета сцементированной породы (и ее пористости) от больших изменений напряженного состояния. Известны попытки учета нелинейного характера пористости в уравнении пьезопроводности (А. Н. Хованский, 1953). Однако определяющие отклонения от линейной теории упругого режима связаны с изменениями проницаемости, сопутствующими указанным деформациям. Эти изменения проницаемости особенно веники в трещиновато-пористых средах. В связи с этим была развита схема нелинейно-упругого режима фильтрации, учитывающая отклонения от линейной связи «пористость —— пластовое давление» и сопутствующие изменения проницаемости. При этом сначала (А. Бан, К. С. Басниев и В. Н. Николаевский, 1961) использовалось приближение экспериментальных зависимостей степенными рядами. Результирующие уравнения были выписаны и для случаев фильтрации капельной жидкости в пористых (или чисто трещиноватых) и трещиновато-пористых пластах и фильтрации газа в пористых (чисто трещиноватых) пластах. Были построены стационарные решения (А. Бан и др., 1961, 1962), соответствующим образом обобщающие формулу Дюпюи. Полученные формулы использовались для обработки индикаторных линий скважин, т. е. зависимостей «дебит— пластовая депрессия», получаемых при исследовании скважин на установившийся приток (А. Бан и др., 1961; К. С. Басниев, 1964).
Представлению экспериментальных данных о физических свойствах пласта жидкости экспоненциальными формулами соответствует вариант теории нелинейно-упругого режима фильтрации (В. Н. Николаевский, 1961; А. Бан и др., 1962), при котором уравнение принимает вид уравнения политропической фильтрации газа：
岑~ = 1)2勺2屮у,ф — ^З (Р-Ро),(4・8)
где у = а/0, р0 ——начальное пластовое давление, а ——модуль 'относительного изменения фильтрационного сопротивления пласта,卩——модуль относительного изменения емкости пласта. Согласно известным экспери-
ментальным зависимостям (см. А. Бан и др., 1962) отношение a/卩 может достигать значения у = 10. Если же пользоваться модельным представлением трепщноватой среды в виде набора отдельных трещин *) (А. А. Краснопольский, 1912; Г. М. Ломизе, 1951; Ф. И. Котяхов, 1957, и др.) и вычислить изменение гидравлического сопротивления пуазейлеву течению в прямолинейной идеальной трещине (щели) при изменениях ее раскрытия, то получится оценка у ^ 3. Подобные расчеты были использованы для построения уравнения неустановивтлейся фильтрации для чисто-трещиноватых пород в работах Д. Н. Кузьмичева (1961) и Ю. П. Желтова (1961).
Тождественность уравнения (4.8) уравнению политропической фильтрации газа позволяет пользоваться известными решениями (с заменой давления на функцию ф (р) и соответствующей заменой выражений для расходов). Линеаризация уравнения (4.8) по методу Лейбензона приводит к уравнению фильтрации «сверхсжимаемой» жидкости (2.8) американских авторов (с заменой фиктивной плотности через функцию 屮卩(р)= =ехр а (р ——г。)). Линеаризация Лейбензона практически пригодна для всех значений у> 1 при исследовании течений в неограниченных пластах (или в первой фазе течения в замкнутых пластах).
Используя решения линеаризованного уравнения, весьма просто расшифровать данные о восстановлении давления в скважинах (В. Н. Николаевский, 1961; А. Т. Горбунов и В. Н. Николаевский, 1964)・ При этом, однако, для предварительного определения параметра а нужно иметь данные об установившемся притоке к скважине. Поэтому был также предложен простой графоаналитический метод нахождения величины а по индикаторной линии. Этот прием был распространен на случай обработки индикаторных линий скважин, вскрывающих газовый пласт с меняющейся (при изменениях пластового давления) проницаемостью (К. С. Басниев, 1964), а также был предложен близкий по идее графоаналитический метод обработки кривых восстановления давления- в высокопроницаемых пластах.
Обработка данных промысловых испытаний показала, что порядок параметра а во многих пластах близок к замеряемым в лаборатории модулям изменения проницаемости трещиноватых образцов, т. е. а ^ а 10~2 Матм. Был также приведен пример согласованности структурной карты реального трещиновато-пористого пласта с картой вычисленных значений параметра. Позднее А. Т. Горбунов (1967) предложил обобщение формулы для стационарного притока к скважине на случай "учета нелинейно-упругих. и инерционных эффектов.
Эффект изменения проницаемости с давлением, таким образом, наиболее существен для трещин, определяющих основные фильтрационные свойства трещиновато-пористых пород. В связи с этим была рассмотрена схема поэтапного уравновешивания горного давления давлением в трещинах и поровым давлением (А. Бан и др., 1961) и отмечена (А. Бан и др., 1962) связанная с этим несимметрия системы уравнений нелинейно-упругого режима фильтрации в средах с двойной пористостью.
Учет нелинейно-упругих эффектов при фильтрации в трещиноватопористых средах связан в основном с зависимостью проницаемости трещин от давления в трещинах и нелинейной зависимостью емкости блоков от порового давления. Емкость блоков, вообще говоря, зависит от давления в трещинах, однако пренебрежение этим обстоятельством (что приводит
攀)Изменение проницаемости модели «фиктивного грунта» под воздействием внешней нагрузки рассматривалось в работах С. В. Кузнецова (1961)<
к симметричной системе уравнений), равно как и неучет изменений проницаемости блоков в коэффициенте интенсивности перетока (между системами блоков и трещин), позволяет получить относительно простую систему уравнений нелинейно-упругого режима в трещиновато-пористых средах при экспоненциальных законах изменения проницаемости и пористости с давлением (Э. А. Авакян, А. Т. Горбунов и В Н. Николаевский). Если пренебречь в системе уравнений фильтрационным Потоком по системе блоков и емкостью трещин (о границах применимости подобной упрощенной системы см. в п. 4.3), то получаемые уравнения дапускают весьма -эффективную линеаризацию, при которой сохраняются неизменными члены, определяющие стационарные решения и интенсивность перетока жидкости, а постоянным принимается коэффициент перед производными по времени. Оказывается, что при этом учет нелинейно-упругих коэффициентов сводится к замейе в решениях, полученных по линейной теории, давлений в блоках и трещинах на некоторые функции от этих величин.
При упруго-пластическом режиме фильтрации, особенно в слабо вцементированных коллекторах, изменения (в значительной степени необратимые) проницаемости должны быть весьма заметными. В сцементированных породах соответствующие процессы осложняются наличием некоторого порогового напряженного состояния, до достижения которого деформации пористой среды обратимы (упруги), а после ——упруго-пластичны. Первая попытка рассмотрения нестационарных потоков в глубинных породах f обладающих такими свойствами, была предпринята Э. А. Авакян и А. Т. Горбуновым.
Нелинейные эффекты в фильтрационных потоках, связанные с аномальными свойствами (структурированием) жидкости, рассматривались В. М. Битовым (1964) и М. Г. Алишаевым (1966). Решена автомодельная задача о плоско-радиальной фильтрации (В. М. Ентов и М. Г. Сухарев, 1965). -
Течения нефти, вязкость которой меняется с давлением (и температурой), рассматривались в ряде работ и могут быть включены в теорию нелинейно-упругого режима фильтрации, так же как и в случае газа；
§ 5. Движение смеси жидкостей и газов
Уравнения движения. При формулировке математической теории фильтрации смеси жидкостей фундаментальными понятиями являются известные термодинамические понятия фазы и компоненты. Фазы различны по своему агрегатному состоянию или же по компонентному составу. Принимается, что движение каждой из фаз в пористой среде характеризуется средней фазовой скоростью, плотностью и давлением, а ее содержание в поровом пространстве среды ——фазовой насыщенностью (относительным объемным содержанием). Для характеристики раздельного движения фаз в тридцатых годах было предложено обобщение закона Дарси в предположении о равенстве фазовых давлений (М. Мускат и М. Мерес, Physics, 1936, 7 : 9, 346—363); несколько позднее было введено понятие капиллярного давления рс (разницы фазовых давлений) как функции фазовой насыщенности (М. К- Леверет, Petrol. Technol., 1940, 3 : 3), В итоге закон движения неоднофазной смеси может быть записан в виде обобщенного закона Дарси
Здесь 0t ——скорость фильтрации Z-й фазы,戈 ——насыщенность ею порового пространства, % (%) — ее относительная проницаемость, р» — фазовое давление, 丫订 卩》——удельный вес и вязкость фазы, z ——направленная вверх вертикальная координата,
pi — P2 = Pc(s) = a |/-^-J(s, 0), (5.2>
где 仃 ——поверхностное натяжение, J (s, 0)——безразмерная функция (Леверета) насыщенности и краевого угла смачивания 0, определяемая внутренней структурой среды. Эксперименты Р. Д. Викофа и X. Г. Б ответа (Physics, 1936, 7 :9, 325——345) показали, что фазовые проницаемости определяются главным образом насыщенностью и могут рассматриваться как определенные нелинейные функции насыщенности.
Полная система уравнений движения смеси жидкостей состоит из урав- ^ений (5Л) — (5.2) и уравнений неразрывности.
Система уравнений фильтрации газированной жидкости (уравнение (5.1) для фазовых скоростей при р» = р/ (X, / = 1, 2) и уравнение баланса для компонент с учетом различных скоростей) была выписана М. Мускатом и М. Мересом (цит. соч.).
Обобщение на случай фильтрации трехфазной смеси («нефть + вода + + газ» или «газированная жидкость + вода») было выполнено М. К. Ле- веретом и В. Б. Льюисом (Petrol. Technol., 1940, 3 : 2) t).
Д. А. Эфрос (1963) проанализировал исходные положения этой теории и, в частности, экспериментально показал различие фазовых проницаемо- стей для системы «газ + жидкость» при выделении газа из жидкости и при внешнем введении свободного газа. Возможное объяснение этого явления связано с различием распределения газовой фазы по поровому пространству в указанных случаях (эффект диспергированной насыщенности).
Объяснению характера кривых фазовых проницаемостей посвящеа ряд работ, использующих различные модельные представления. М. И. Вайнер (1963, 1966) предложил обобщенную статистическую модель, характеристикой которой служит гидравлический радиус микроэлемента среды (закон распределения его связывается с гранулометрическим составом среды). Эта модель обобщает предлагавшиеся ранее для двухфазного течения модели в виде системы капилляров переменного диаметра (А. М. Пир- вердян, 1954), системы пересекающихся капилляров (В. М. Шаховкин； 1956) и известную модель капиллярных сеток Ц. Фата (J. Petrol. Technol.r 1956, 8:7). Обобщенная статистическая модель объясняет наблюдаемый гистерезис функции J (s, 9) также эффектом диспергированной фазы. Другое объяснение гистерезиса кривой капиллярного давления, связанное с понятием устойчивости (неустойчивости) равновесия системы, дано М. М. Кусаковым и Д. Н. Некрасовым (1958, I960).
Д. А. Эфрос и В. П. Оноприенко (1958) показали, что перепад давления и скорость движения (и вязкость) не влияют на фазовые проницаемости среды при обычных малых скоростях фильтрационного потока. Наблюдаемая при малых проницаемостях зависимость относительных проницаемо-
*) Теория фильтрации смесей, предложенная Л. С. Лейбензоном (1934, 1941) применительно к расчету движения газированной жидкости, была сформулирована в предположении о равенстве средних скоростей движения жидкой и газовой фаз (движение выделившегося из раствора газа рассматривалось как движение компоненты). Эксперимент, однако, подтвердил различие фазовых скоростей, в связи с чем и в СССР дальнейшее развитие работ по этой проблеме проводилось в рамках теории неоднородных жидкостей, использующей понятие обобщенного закона Дарси.
<?тей от соотношения вязкостей (А. С. Оде, J. PetroL TechnoL, 1959,11 :12; А. Е. Евгеньев, 1965) связана с наличием в порах, заполненных одной из фаз, пленок другой фазы. В связи с этим необходимо подчеркнуть, что соотношения (5.1) и (5.2) соответствуют предположению, что в поровых каналах происходит поршневое замещение фаз и основное сопротивление определяется трением жидкости о твердую фазу.
Обобщение приведенной схемы на общий случай фильтрации многофазной и многокомпонентной смеси, проходящей в условиях локального термодинамического равновесия, было выполнено в работах Ю. П. Желтова и М. Д. Розенберга (1962), В. Н. Николаевского (1963). Соответствующие уравнения (для двухфазной смеси) баланса масс компонент в системе в целом имеют вид
(5.3)(5.3)备 m [р^ + ри (1 — s) g" + div (p厶n+ pug^n) = 0,
(5.3)
(5.3)
где lh и gh — массовые концентрации кй компоненты (к ~ 1,... ..宜 ——1), К ——число компонент в смеси соответственно в первой (I) и во второй (II) фазах. Согласно правилу фаз Гиббса концентрации lk4 gk определяются (при локальном термодинамическом равновесии) К ——/+ + 2 параметрами (/ ——число фаз): температурой, давлением и К ——/ независимыми концентрациями 々.Эти связи для реальных многокомпонентных смесей измеряются э кспериментально и являются условиями равенства химических потенциалов соответствующих компонент в фазах. Часто их представляют в виде g"Zh = R^ (р, Т, &), где функции Rh——константы равновесия (коэффициенты распределения),
При быстрых изменениях в фильтрационном потоке локальное термодинамическое равновесие не успевает установиться. В этом случае уравнение баланса масс компонент составляется для каждой из фаз в отдельности {К. С. Басниев, Г. Р. Гуревич и В. Н. Николаевский, 1964, 1965; А. К. Курбанов, М. Д. Розенберг, Ю. П. Желтов и Г. Ю. Шовкринский, 1964) ц для двухфазного потока имеем
(5・4)(5・4)-^- m (pislk) + div (pjZftVi) + qk = 0, '
(5・4)
(5・4)
亲加(puSgft) + div (pii^Vii) — g^ = 0,
где qh — интенсивность обмена массой й-й компоненты между фазами, зависящая от состава фаз, давления и температуры. Величину qk следует определять экспериментально (она аналогична используемой в физикохимических расчетах скорости реакции). В простейшем случае можно принять
弥 ~ 2 а丸m (gm — Rmln^^
как это предлагалось в первой из двух указанных работ. Применение методов термодинамики необратимых процессов приводит к связям вида
弥〜X Mm (фтп — фтп1),
где q)mI и q)mII ——химические потенциалы m-й компоненты в первой и второй фазах. Частный вариант такого определения (при акт = 0, к =^= т) предлагался А. К. Курбановым, М・ Д. Розенбергом и др. (1964).
Фильтрация взаимнонерастворимых жидкостей описывается системой уравнений (5Л) и (5.4) при qk = 0, 2丸=const, gh = const. Полностью- взаимнорастворимые жидкости характеризуются условием Rh = 1 (т. е. 2丸=gh в условиях термодинамического равновесия). В уравнениях (5.1)г (5.4) соответственно используется предположение, что приведенные в соприкосновение полностью взаимнорастворимые жидкости из-за конечной скорости выравнивания их составов в первые мгновения (замороженное состояние) и до тех пор пока не наступит термодинамическое равновесие- образуют неоднофазную систему (К. С. Басниев, Г. Р. Гуревич и В. Н. Николаевский, 1965). Существенно, что на границе их раздела действуют поверхностные силы. В условиях пористой среды это приводит к затухающим во времени капиллярным эффектам (М. Л. Миркин, 1965).
Широко применяемая в наши дни теория фильтрации газированной жидкости получается из системы (5.1), (5.3) при I = К ~ 2,夕工=夕口, g2 = 1, где индексом 友=2 обозначена газовая компонента.
Отметим здесь, что уравнения фильтрации многофазных жидкостей обобщаются и на случай упругого режима.
Для описания фильтрации многофазных жидкостей в трещиноватопористых средах уравнение баланса каждой из фаз формулируется отдельно для трещин и блоков (В. М. Рыжик, 1964； А. А. Боксерман, Ю. И. Желтов и А. А. Кочешков, 1964), причем вводятся насыщенности sx, s® для трещин и блоков, а фазовые проницаемости для трещин задаются гипотетически. Система уравнений имеет при этом вид
加1 "十 divq 十 g = 0,
(5.5>(5.5>—«1 号• +div02—д = о,一弦 祟 一д = 0.
(5.5>
(5.5>
При решении конкретных задач с помощью этой системы уравнений определяющим является задание интенсивности перетока д. В. М・ Рыжик (1964) для интенсивности q предлагал формулу q = а[^ (近)一sj х X Ф(5Ь 卩1/卩2)，】не 〃 — некоторая постоянная величина, характеризующая капиллярные силы (вид функции 4r (sj определяет равновесное распределение насыщенности в системе).
А. А. Боксерман, Ю. И. Желтов и А. А. Кочешков (1964) задавала величину q как функцию разности текущего времени t и времени прохождения фронта вытесняющей (смачивающей) жидкости 0:
q 〜/, …l .
И ^^0(£j, *2, *3)
Последнее соответствует зависимости от времени скорости пропитки бесконечного пористого образца (А. Бан и др., 1962). Расчетные схемы фильтрации типа (5.5) в последнее время применялись для анализа упруго-капиллярных эффектов при циклическом нагнетании воды и отбора в трещиноватых и неоднородных пластах. -
Движение двухфазной жидкости. Наиболее подробно изучены одномерные нестационарные задачи фильтрации несжимаемых взаимнонерастворимых жидкостей. При заданном суммарном расходе q (^)*жидкости
ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ В ПОРИСТЫХ СРЕДАХ 639 система уравнений сводится к одному квазилинейному уравнению
\ J т дх I m L 、/ 卩2 J
+ a2^[SQ)f2(s)b(s)J(s)/=0 (逹=尚/». (5.6)) относительно насыщенности s. Здесь S (力) —— поперечное сечение- потока, F (s) = fi/(fi + p-2/2/p-i) — так называемая функция распределения, а— угол наклона пласта. Решения уравнения (5.6) строятся, как правило, методом характеристик. Из числа первых относящихся к этому вопросу работ отметим, в частности, статьи А. М. Пирвердяна (1952), С* Н. Бузи- нова и И. А. Чарного (1957), В. А. Карпычева (1959).
При построении решений уравнения (5.6) существенна возможная неоднозначность распределения насыщенностей. Обнаружив это обстоятельство, С. 3. Бакли и М. К. Леверет объяснили математическую неоднозначность решения образованием скачка насыщенности вследствие нелинейности функции F (s) (Petrol. TechnoL, 1941, 4:3). На скачке, заменяющем фронт в схеме «поршневого» вытеснения, выполняются балансовые соотношения (сохранение масс каждой из фаз). При решении существенно условие равенства скорости распространения Скачка насыщенности и скорости характеристики в области непрерывного решения. Исследование скачка насыщенности при учете силы тяжести проведено С. Н. Бузиновым и И. А. Чарным (1957), ими же был разработан случай постоянных значений насыщенности по обе стороны от разрыва. Ю・ И. Стклянин и В. А. То- мельгас (1966) рассматривали соотношения на разрыве для сжимаемых жидкостей. Уравнение Бакли ——Леверета (в частности, при q = const) допускает автомодельные решения (зависящие от переменной 自=力/力, что было использовано Д. А. Эфросом (1956, 1963) (см. также С. А. Кун дин и И. Ф. Куранов, 1960； А. Л. Хейн, С. Н. Бузинов и IL Я. Алтухов, 1961) для развития метода экспериментального нахождения функции F (s) и фазовых- проницаемостей.
Задача нахождения перепада давления Ар (力 по заданному q «) приводит к решению интегро-дифференциального уравнения (В. И. Пилатов- ский, 1959). Ряд работ посвящен одномерной задаче вытеснения в отсутствие гравитации при заданном перепаде давления и постоянной начальной насыщенности (А. М. Пирвердян, 1952; В. П. Пилатовский, 1959; И. А. Чарный, 1963).
Выбор граничных условий при фильтрации двухфазной жидкости нетривиален и составляет основную трудность построения решения для конечных областей течения. Если на «входе» задается либо соотношение расходов фаз, либо величина насыщенности (чаще всего задается условие отсутствия потока вытесняемой фазы), то задание связанного с двухфаз- ностью потока дополнительного условия на «выходе» (из пористой среды) определяется капиллярными силами. Различные варианты выбора условия на «выходе» проанализировали А. К. Курбанов и И. Ф. Куранов (1964).
Учет капиллярных сил необходим также для исследования ширины зоны скачка насыщенности. Для этого строится решение уравнения (5.6) типа «бегущей волны», зависящее от переменной С = % —— ut. Соответствующее стационарное решение (В. М・ Рыжик, И. А. Чарный и Чэнь Чжуц- сян, 1961) определяет «стабилизированную зону», исследованную ранее
Дж. Джонсом-Паррой и Дж. Колхауном (J. Petrol. TechnoL, 1953, 5 :12) и др. (см. А. Бан и др., 1962), т. е. структуру скачка насыщенности. На асимптотике решение для стабилизированной зоны сливается с решениями, построенными в пренебрежении капиллярными силами.
Для уравнения (5.6) были исследовацы автомодельные решения, зависящие от переменной 自=力//1 и существующие при отсутствии гравитации. Простейшее такое решение при g = 0 описывает процесс противоточной капиллярной пропитки пористой среды (В. М. Рыжик, 1960; В. А. Заболотская, Ш. Я. Коджаев и А. А. Кочешков, 1965). Отметим полученное при этом заключение о пропорциональности расхода одной из фаз величине 力一汽.Линейная автомодельная задача при q =q^ |/it рассматривалась И. Ф. Рахимкуловым и М. И. Швидлером (1962) и В. М. Рыжиком (диссертация, 1962), осесимметричная задача ——Чэнь Чжун-сяном (1963), который строил решение для случая нагнетания воды в нефтенасыщенный пласт через скважину бесконечно малого диаметра.
Решение задачи о противоточной капилярной пропитке использовалось для изучения нефтеотдачи трещиноватых дгород на основе идеализированной ее модели (А. Бан и др., 1962) и при определении осредненной интенсивности перетока в трещиновато-пористых средах (см. п. 5.1). Исследования капиллярной пропитки применительно к процессу вытеснения воды газом проводились В, Н. Мартосом и В. М. Рыжиком (1967).
Имеется также численное решение неавтомодельной линейной задачи при q = const и а 声 0 (А. К. Курбанов и И.①.Куранов, 1964).
Несколько отличное направление по изучению капиллярной пропитки (основанное на анализе течения в отдельных капиллярах) развивалось в работах Б. В. Дерягина и М. А. Альтшулера (1962, 1964) и др.
С. Н. Бузинов (1957) рассмотрел стационарные течения в условиях неподвижности одной из фаз. Задача при этом сводится к нахождению решения уравнения Лапласа относительно некоторой функции от капиллярного давления, что позволяет исследовать, в частности, зависимость остаточной нефтенасыщенности《для гидрофобных пористых сред) от скорости движения воды.
Нестационарные неодномерные течения гораздо сложнее; для их расчета были предложены приближенные приемы, сводящие задачу к одномерной, Так, Д. А. Эфрос (1958, 1963) развил для случая двухфазного течения метод жестких трубок тока, определяемых предварительно согласно теории потенциального течения однородной жидкости. Этим методом были рассмотрены различные задачи плоского течения в пласте, вскрытом системой скважин.
Плоские нестационарные движения двухфазной смеси в поле силы тяжести рассматривались в условиях предельной анизотропии (см. стр. 614); был изучен ряд задач вытеснения нефти водой (А. М. Пирвердян, 1952; В. Н. Щелкачев, 1953; И. А. Чарный, 1954; С. В. Сафронов, 1958; Д. А. Эфрос, 1958;' А. К. Курбанов и А. X. Фаткуллинт 1962)и воды газом (И. А. Чарный, 1959). В. Г. Оганджанянц и И. И. Егорова (I960; см. также А. Бан и др,, 1962) экспериментально показали, что при наличии пропластков различной проницаемости существенны перетоки жидкости между слоями из-за действия капиллярных сил, которые могут приводить к образованию стационарного фронта вытеснения в пласте. В упрощающем предположении предельной анизотропии, когда проницаемость по вертикали бесконечно велика, был проведен теоретический анализ этого течения без учета гравитации (В. М. Рыжик, I960), а затем и с ее учетом (А. К. Курбанов и И. Ф. Куранов, 1965).
Совместное движение трехфазных взаимнонерастворимых жидкостей в одномерном случае требует изучения системы квазилинейных уравнений в частных производных (первого порядка ——в отсутствие капиллярных сил). Анализ такого нестационарного течения был выполнен И. А. Чарным и Ю. И. Сткляниным (I960), которые использовали метод характеристик.
В некоторых работах предпринимались попытки применить теорию фильтрации двухфазной смеси для Изучения движения грунтовых вод при неполном насыщении грунта (И. И. Кулабухова и И. Я. Полубаринова- Кочина, 1959; И. А. Чарный и Чэнь Чжун-сян, I960). Однако процессы перераспределения влаги в грунтах осложняются сопутствующими процессами испарения и переноса влаги в виде пара (см., например, монографию С. В. Нерпина и А. Ф. Чудновского, 4957). Для описания подобных явлений развита феноменологическая теория массопереноса (см., например, А. В. Лыков, 1956, 1963; А. Ф. Чудновский, 1954, 1962), основанная на введении некоторого обобщенного диффузионного потенциала, С направлением ряда зарубежных исследований, посвященных движению влаги в неполностью насыщенной среде, можно ознакомиться по обзору Дж, Р, Филипа «Теория инфильтрации» в сборнике «Advances in hydroscience» (vol. 5, 1969, p. 215-296).
Значительное число работ посвящено проблемам моделирования и подобия фильтрации двухфазных смесей (см., например, Д. А. Эфрос, 1949; Ф. А. Требин и Д. А. Эфрос, 1955; С. Н. Бузинов, 1958;』. А. Эфрос, 1963). Моделирование процессов, происходящих в природных условиях, оказывается приближенным. Это связано с независимостью изменения про- лицаемости среды к (［友］=L2) от изменений квадрата внешних масштабов областей движения. Обзор экспериментальных работ по двухфазной фильтрации можно найти в ряде книг (А. Бан и др., 1962; Д. А, Эфрос, 1963; сборник «Развитие исследований по теории фильтрации в СССР», 1969).
В последнее время особое значение приобрело экспериментальное изучение двухфазных потоков в трещиновато-пористых средах (А. Бан и др., 1962;. Д. Ш. Везиров и В. М. Рыжик, 1964; Е. С. Ромм, 1966). Отметим, в частности, работу А. Т. Горбунова (1962), сопоставившего нефтеотдачу пористого образца до и после создания в нем системы трещин при режимах растворенного газа и вытеснения нефти водой. Исследования в этой области представляют интерес также в связи с задачами прогнозирования интенсификации добычи нефти путем применения мощных подземных взрывов.
Движение газированной жидкости. В первоначальном варианте уравнения фильтрации газированной жидкости основывались на идеализированной модели газированной нефти： идеальный газ растворяется в жидкости по линейному закону Генри. В работах М. Д. Розенберга (1954) и Л. А. Зиновьевой (1954) была показана необходимость учёта в фильтрационных расчетах реальных свойств системы (нелинейная растворимость, зависимость вязкости от давления и т. д・).
У становившиеся фильтрационные течения газированной жидкости были рассмотрены впервые С. А. Христиановичем (1941), который показал, что вдоль линии тока выполняется условие постоянства газонефтяного фактора ——отношения потоков масс компонент (газа и нефти). Это условие однозначным образ0fM связывает насыщенность с давлением и сводит задачу к уравнению Лапласа относительно некоторой функции Н (р), которая получила позднее наименование функции Христиановича, Б. Б. Лапук (1941), воспользовавшись методом Христиановича, рассмотрел задачу о стационарном режиме работы скважины. Впоследствии были выполнены дальнейшие упрощения расчетов и метод был распространен на случай 41 Механика в СССР, том 2
учета реальных свойств жидкости и пласта (И. А. Чарный, 1948; Л. А. Зиновьева, 1954; Л. А. Зиновьева и А. А. Боксерман, 1961, и др.).
М. Д. Миллионщиков (1949) обратил внимание на тот факт, что в условиях неподвижности выделившегося газа (в силу свойств фазовых прони- цаемостей это имеет место при газонасыщенности, меныпей некоторого критического значения) установившийся режим фильтрации газированной жидкости не может реализоваться.
Уравнения неустановившейся фильтрации газированной жидкости допускают автомодельные решения (М. Д. Розенберг, 1952, 1953). Пример численного построения такого решения для внезапного пуска галереиг вскрывающей плоский неограниченный пласт, был вьшолнен Н. Г. Егоровым и М. Д. Розенбергом (1963), а для осесимметричной задачи —— В. А. Томельгасом (1965).
В основной же массе задачи неустановившейся фильтрации газированной жидкости решались приближенными методами. К. А. Царевич (1947), применив метод последовательной смены стационарных состоянийг рассмотрел плоско-радиальную фильтрацию в замкнутом пласте во второй фазе движения, когда на контуре пласта происходит снижение давления и на каждом этапе применим метод Кристиановича, Анализ справедливости этого положения проведен М. М. Глоговским и М. Д. Розенбергом (1952). Заметим, что в методе смены стационарных состояний здесь используется обыкновенное дифференциальное уравнение, решение которого определяет связь контурных значений давления и насыщенности (К. А. Царевич, 1947; М. Д. Розенберг, 1952; Н. А. Черепахин и Сюй Мин-ин, 1959; М. Т. Абасов, 1961). Здесь также существен учет реальных свойств газированной жидкости.
Для решения того же круга задач предлагались другие приближенные методы： метод конечных разностей (В. А. Архангельский, 1954)； метод осреднения производной по времени (М. М. Глоговский, 1959); метод последовательных приближений, с доказательством сходимости процесса (3. И. Халилов, 1954), .
Предпринимались попытки развить методы линеаризации уравнений неустановившейся фильтрации газированной жидкости, допускающие интерпретацию кривых восстановления давления (А . А. Боксерман^ ф. Я. Зазовский и С. Г. Каменецкий, 1963). В. А. Архангельский (1953—— 1955) рассмотрел задачу взаимодействия скважины и пласта, работающих на режиме растворенного газа.
Большое число работ посвящено расчетам смешанных фильтрационных течений, характеризуемых переходом однофазного потока в поток газированной жидкости (см., например, Ю. П. Борисов и М. Д. Розенберг, 1958; А. А. Боксерман, 1959 и сл.) ),
Близкие, но более сложные задачи возникают при расчетах процессов- вытеснения газированной жидкости водой (что требует, строго говоря, анализа уравнений трехфазной неустановившейся фильтрации) или газом (из газовой шапки). Для их решения используются приближенные приемы, основанные на введении средних по областям величин, применении метода последовательной смены стационарных состояний, жестких трубок тока и т. п. Характерным является введение подвижных границ, разделяющих зоны, где реализуется поток газированной жидкости (исследуемый мето
дами смены стационарных состояний), и зоны однофазного течения. В этом направлении проведено много исследований (см., например, М. Д, Розенберг и М. М, Глоговский, 1951, 1952; М. Д. Розенберг, 1957; Ю. П, Борисов, 1958; М. Т. Абасов и К. Н. Джалилов, 1960; Г П. Гусейнов, 1961; А. П. Крылов и др,, 1962).
Кроме упомянутых выше авторов, различными задачами фильтрации газированной нефти занимались И. Д. Амелин, Д. А. Антонов, А. В. Афанасьева, Г. А, Бабалян, В. М. Барышев, А. Т. Горбунов, Г. В. Кляровский, С. А. Кун дин, А. М. Пирвердян, А. Н. Снарский, В. Ф. Усенко, М. В. Филинов, И. А. Чарный, Э. Б. Чекалюк, Н. А. Черепахин, М. И. Швидлер, В. Ф. Шерстняков, Д. А. Эфрос и др.
Движение газоконденсатных смесей. Первоначально предпринимались попытки описания фильтрации газоконденсатных углеводородных смесей в рамках, теории фильтрации идеального газа или газированной жидкости (А. X. Мирзаджанзаде и др,, 1962). В настоящее время течения газоконденсатных смесей анализируются с позиций общей теории движения многокомпонентных неоднофазных систем.
Основными практическими задачами расчета являются учет влияния выпадающей в призабойной зоне жидкой фазы на показатели работающей газовой скважины и создание методов разработки газоконденсатных месторождений, снижающих выпадение в пористой среде конденсата. Сложность расчетов связана с необходимостью моделирования реальной многокомпонентной смеси условной бинарной (В. Князев и С. Навиль, Rev. Inst, frang. petrol., 1962, 17 : 5, 623—634;面.Т. Абасов и Ф. Г. Гасанов, 1963) или трехкомпонентной системой.
При моделировании смеси бинарной системой все ее физические свойства зависят только от давления и температуры; использование трехкомпонентной модели смеси позволяет учесть изменения и химического состава, существенные при разработке месторождений методом рециркуляции сухого газа. Обзор работ, посвященных этим вопросам применительно к фильтрации газоконденсатной смеси, можно найти, например, в книге В. Н. Николаевского и др, (1968——см. стр. 648). На примере трехкомпонентной смеси методом материального баланса была проведена оценка различных вариантов процессов рециркуляции на газоконденсатном месторождении.
Аналогично рассмотрены среднепластовые характеристики истощения залежей летучих углеводородных смесей (М. Д. Розенберг,' Г. Ю* Шовкринский и др., 1966).
У становившееся течение газоконденсатной смеси возможно лишь в непосредственной близости от забоя скважины, где движутся обе фазы. Для трехкомпонентной смеси соответствующие расчеты были выполнены с введением функции Христиановича (М. Д. Розенберг и др,, 1964). В связи с тем, что в области пласта, где жидкая фаза неподвижна, установившееся течение невозможно, В. Н. Николаевским были предложены квазиста- ционарные решения, согласно которым распределения давления и концентраций стационарны, а насыщенность в каждой точке зависит также и от времени (идет испарение в проходящий газовый поток или конденсация). В силу свойств фазовой проницаемости для газа (亢(s) ^ 1 при /п (s) = 0) система уравнений (5.3) при этом разделяется; в такой постановке выполнен ряд примерных расчетов для трехкомпонентной смеси.
Для автомодельной задачи о мгновенном пуске скважины в газоконденсатном пласте численные решения построил Б. Е. Сомов (1967). Расчеты показали, что в области предполагаемого существования квазистацио-
举
парного решения давление распределяется по логарифмическому закону (это характерно для указанного приближенного решения； см. Г. Р. Гуревич, 1966),
В последнее время Е. Ф, Афанасьевым, В. Н. Николаевским и Б, Е. Сомовым была исследована задача о вытеснении газоконденсатной смеси сухим газом применительно к процессу рециркуляции; при этом оказалось необходимым строить разрывные решения, вводя скачки концентрации, Построение сводного графика изменений дополнительного параметра Ci с давлением показывает, что для грубого расчета процессов фильтрации при истощении можно считать зависимость с； (р) однозначной функцией давления, определяемой в ходе дифференциальной конденсации смеси (см. книгу В. Н. Николаевского и др,, 1968).
В работе А. К. Курбанова, М. Д. Розенберга и др. (1965) были сопоставлены течения в условиях равновесного и неизменного «замороженного» составов фаз, что дало некоторую оценку влияния термодинамиче- кой неравновесности на процесс фильтрации многокомпонентной смеси.
Экспериментальное исследование сопротивления пористой среды потоку газоконденсатной смеси проводилось 3. С. Алиевым и Ю.П. Коротаевым (1965). Некоторые расчеты, связанные с плоско-радиальной фильтрацией бинарной газоконденсатной смеси, проведены 3. М. Ахмедовым (1964), М. Т. Абасовым, Ф. Г. Гасановым и ①.Г. Оруджалиевым (1966).
Различными аспектами ^состояния и фильтрации газоконденсатных смесей занимались также А. С. Беликовский, Н. М. Гулиева, Д, X. Исмаилов, А. Г. Ковалев, Н. X. Магеррамов, Ю. Т. Мамедов, Е. М. Минский, В. И. Мотяков, В. В. Мустафаев, Е. И. Петрушевский, 3. М. Рамазанова, М. С. Разамат, 3. С. Садых-Заде, Г. С. Степанова, Н. А. Тривус и др.
Весьма близки к проблемам течения газоконденсатных смесей задачи расчета вытеснения нефти газом высокого давления. Этим задачам посвящен ряд работ Р. Г. Аллахвердиева, А. В. Афанасьевой, М. М. Бондаревой, А. С. Беликовского, Н. М. Дегтярева, Т. IL Жузе, IL И. Забродина, С. Л. Закса, В. П. Карпова, Л: Г. Когана, М. 3. Корнаева, С. А. Кундина, А. Ю. Намиота, Н. Л. Раковского, М. Д. Розенберга, В. И. Сергиевича, И. Н. Стрижова, Н. И. Суворова, В. П. Терзи, Г. Ю, Шовкринского и др/
Процессы перемешивания (конвективная диффузия и теплопере- нос). С хаотичностью внутреннего строения естественных пористых сред связано наличие больших флуктуаций параметров течения в точках порового пространства относительно их средних значений (М, Э. Аэров и Н. Н. Умник, 1950). Флуктуации определяют механизм дополнительного пульсационного переноса вещества (пульсационный перенос импульса несуществен в большинстве реальных фильтрационных течений вследствие малости характерных чисел Рейнольдса микропотоков). Впервые роль флуктуации в образовании переходной зоны при продвижении фронта газа в зернистой среде рассмотрел, по-видимому, Л. В. Радушкевич (1947). Отметив [беспорядочность укладки зерен как причину эффекта «гранулирования» фронта, он предложил для нахождения концентрации внедряютцегося раза использовать уравнение диффузии, чем в значительной степени предвосхитил более поздние исследования А. Шейдегг^ра,
В последующем рассмотрение эффекта конвективно-диффузионного перемешивания привело к уточнению первоначальных оценок процесса переноса в потоке однородной жидкости, проводившихся в рамках теории молекулярной диффузии (А, Н. Патрашев и Н. X, Арутюнян, 1941; С, Н. Нумеров и А. Н. Патрашев, 1947; Н. Н. Веригин, 1953 и сл.). На необходимость подобных уточнений указывали результаты^ксперименталь-
ных работ (В. А. Баум, 1953; М. Э. Аэров и Н. Н. Умник, 1954), согласно которым эффективный коэффициент диффузии в фильтрационном потоке зависит от скорости потока и по величине больше молекулярного коэффициента диффузии Dq на несколько порядков. В этих работах высказывалось качественное предположение о сходстве процесса перемешивания с турбулентной диффузией в свободном потоке жидкости. В 1954 г, А. Шейдеггер (см. А. Шейдеггер, Физика течения жидкостей через пористые среды, 1957; русский перевод: М” I960) на основе аналогии движения отдельной частицы в системе микропотоков пористой среды с броуновским случайным блужданием нашел, что вероятность попадания частиц с (力户,力)в точку с координатами д в момент времени t (или концентрация меченых частиц) удовлетворяет уравнению диффузии .
祭=div (D grad с) —и grad с. (5.7)
Шейдеггер. считал, что коэффициент D связан со средней скоростью 〃 либо линейной, либо квадратичной зависимостью.
Последующие исследования были посвящены как обоснованию использования уравнения диффузионного типа, так и анализу возможных связей коэффициента диффузии с осредненными параметрами потока. С этой целью рассматривались различные капиллярные модели среды со случайной ориентировкой капилляра в пространстве (Г. Жосселен-^е-Йонг, Trans, Amer. Geophys. Union, 1958, 39:1, 67—74; Ф. Дж. Сафман, J. Fluid Meeh., 1959, 6 : 3, 321——349 и 1960, 7 : 2,194——208) или же со случайно распределенным диаметром капилляра. Было также предложено математически характеризовать кинематику микропотоков в пористой среде путем введения локального тензора, случайным образом преобразующего среднюю скорость течения в локальную. Если учесть, что конвективная диффузия определяется только микрокинематикой фильтрационного течения, то из анализа размерностей и геометрических соображений (В. Н. Николаевский, 1959) следует, что в областях предельной автомодельности по числу Рейнольдса тензор коэффициента диффузии Дг； определяется вектором средней скорости
A" = Q"hz 普， (5.8)
где Qtjhz = Х26ij8ki + (А】一入2)6th6〃 в случае изотропной пористой среды, параметры рассеивания ^ и Х2 определяются моментами поля локального тензора среды. Для вывода соотношения (5.8) можно также воспользоваться соображениями об инвариантных свойствах случайного поля локальных скоростей (А. Бан и др., 1962, стр, 260).
Уравнение конвективной диффузии в неоднородном фильтрационном течении имеет простой вид, если за независимые переменные принять потенциал ф и функцию тока 屮(В. Н. Николаевский, I960):
祭="2 ［人击("篇+*2靑("釣-記I • (5.9)
В реальных условиях параллельно с конвективным перемешиванием жидкости происходит процесс молекулярной диффузии.. В зависимости от величины средней скорости (числа Рейнольдса и числа Пекле при внутреннем масштабе среды %) выделяется пять характерных интервалов перемешивания (А. Бан и др,, 1962). В интервале I Крайне малых скоростей (ud《Dj перемешивание чисто молекулярное; в интервале II малых
скоростей (ud 〜До) имеет место корреляция молекулярного и конвективного перемешивания и выполняется закон Дарси (X；——функции числа Пекле); в интервале III значительных скоростей (и/》厶。)выполняется закон Дарси (А,——постоянные пористые среды); следующий интервал IV характеризуется отклонениями от закона Дарси (Xf =入方(Re))； в последнем интервале V (Re > ReKp) выполняется квадратичный закон фильтрации. Интервалы III и V представляют собой области предельной автомодельности по числу Рейнольдса (Хг —— постоянные),
М. Э. Аэров и Н. Н. Умник (1954) экспериментально изучали интервал II, Чжоу Чень-сюнь (1961) — интервалы II и III, В. А. Баум (1953)— интервалы IV и V. Наличие интервалов I——III хорошо иллюстрируют опытные данные, приведенные, например, на рис. 8.2 книги Р. Коллинза «Течение жидкостей через пористые материалы» (1961; русский перевод: М., 1964). В опытах Э. А. Бондарева и А. Р. Шкирич (1965) для потока в песке были измерены одновременно значения параметров А】и Х2 при скоростях, соответствующих интервалу III (^ = 0,127 см = 14,3 Х2).
Исследование процесса перемешивания фильтрационного потока имеет значение для интерпретации наблюдений за перемещениями меченых частиц в подземных потоках (см., например,①.П. Саваренский, 1935; В. И. Бреслав, Г, А. Мелик-Шахназаров и И. М. Таксар, 1955; Я. Б. Финкельштейн и дрм 1957, а также книгу Э. В. Соколовского «Применение радиоактивных изотопов для контроля за разработкой нефтяных месторождений», 1968). При проведении опытов в нефтяных пластах (Ф, А. Алексеев и др,, 1958) оказалась существенной роль реальной неоднородности пласта (А. Бан и дрм 1962). В. М. Шестаков высказал предположение, что вызываемое этим макроперемешивание также может описываться диффузионным уравнением (1961). Отметим опыты по изучению фильтрационного перемешивания с помощью радиационных методов (П. И. Забродин и др;, 1961 и ел)
Рассматривалась задача определения направления и величины скорости плоского подземного потока по переносу импульса индикатора； приближенное решение для' плоско-радиальной фильтрации было дано Э. А. Бондаревым и В. Н. Николаевским (1961). Ряд решений (прй постоянном коэффициенте диффузии) предлагался Е. В. Теслюком, Г, Ф. Тре- биным и Ю. М. Островским (1963), а также В. И. Абрамовой и Г. IL Цыбульским (1962). Последние авторы выполнили с помощью ЭВМ также анализ постановки линейных и плоско-радиальных краевых задач; позже ими было дано точное аналитическое решение (операционным методом) для плоско-радиальной задачи конвективной диффузии.
Реальные меченые частицы адсорбируются на стенках поровых каналов. Задача адсорбции из газового потока в пренебрежении эффектом диффузии сводится к решению гиперболической системы уравнений (А. Н. Тихонов, А. А. Жуховицкий и Я. Л. Забежинский, 1946; А. А. Самарский и С. Б. Фомин/ 1958). Конечная скорость адсорбции определяет запаздывание процесса. Уравнения переноса при изотерме Генри и при учете диффузии оказываются подобными уравнениям фильтрации однородной жидкости в трещиноватых пластах; разрывы в количестве адсорбированных частиц затухают во времени по экспоненциальному закону (Э. А. Бондарев и В. Н. Николаевский, 1962). Ряд относящихся сюда задач исследован Э. А. Бондаревым (1965) и М. И. Швидлером (1965). Имеются работы по диффузионному извлечению веществ из пористых сред Г. А. Аксельруд, 1959; Г. А. Бабалян и др., 1961; Б. В. Дерягин и М. А. Альтшулер, 1962, и др.)..
В. Г. Левич, С. И. Кучанов, В. С. Маркин, Л. М. Письман и Ю. А. Чизмаджев (1966) рассматривали влияние застойных зон на конвективную дисперсию в некоторой проточноячеистой модели пористой среды. Это влияние, пр-видимому, полностью аналогично эффекту адсорбции на стенках поровых каналов; оно обусловливает появление и развитие (по мере переноса) асимметрии первоначально симметричного импульса индикатора. В. С. Кутляров (1967) при рассмотрении процесса конвективной диффузии в трещиновато-пористых средах пришел, в частности, также к системе уравнений, подобной уравнениям диффузии при учете адсорбции.
Использование уравнения диффузионного типа для анализа перемешивания взаимнорастворимых, но динамически неоднородных жидкостей допустимо при выполнений условий локального термодинамического равновесия. Попытки такого рода предпринимались как для целей предварительных расчетных оценок эффективности вытеснения ) нефти растворителем (В. Н. Николаевский и М. Д. Розенберг, 1959, и др.), так и при интерпретации опытных данных по взаимнорастворимому вытеснению (IL И. Забродин, Н. Л. Раковский и М. Д. Розенберг, 1961； М. И. Миркин, 1965). Если локальное термодинамическое равновесие не успевает установиться, то диффузионное перемешивание следует рассматривать в каждой из сосуществующих фаз в отдельности.
Укажем здесь еще на диффузионные процессы, связанные с проблемами геохимической миграции. В этой связи следует упомянуть, в частности, работы П. Л. Антонова и Ю. И. Стклянина (см. также монографию В. С. Голубева и А. А. Гарибянца «Гетерогенные процессы геохимической миграции» (М., 1968)).
Важную роль процессы переноса играют в задачах изучения солевого режима на поливных землях (С. Ф. Аверьянов, А. Т. Морозов и др.).
Разнообразные задачи диффузии в фи л ьтр ационн ых потоках рассмотрены также в ряде работ С. П. Албу ла, М. Г. Алишаева, В. Л. Анохина, Ф,. М. Бочевера, Н. И. Гамаюнова, И, Ф, Глумова, Н. С. Гудок, М. И. Миркина, В. Г. Огаджанянца, А. Е. Орадовской, В. В. Рачинского, Л. М. Середняцкого, М. П. Чиркина, Н. В. Чураева, Б. С. Шержукова и др.
Модель процесса тепяопереноса в гетерогенной среде была предложена Л. И. Рубинштейном (1948). Согласно этой модели пространство среды занято взаимнопроникающими континуумами, причем интенсивность межфазового теплообмена пропорциональна разности фазовых температур в рассматриваемой точке среды. Хотя при переносе тепла в пористой среде эффект дополнительного пульсационного (конвективного) перемешивания также имеет место ), он не приводит к изменению порядка эффективного коэффициента теплопроводности (В. М. Ентов, 1965).
Прикладные задачи теплопереноса в пористых средах связаны с процессами сушки (А. В. Лыков и Ю. А. Михайлов, 1963), химической технологии, металлургии, теплового режима почв (А. Ф, Чудновский, 1954) и т. д.
В нефтедобывающей промышленности большую роль играют процессы нагнетания жидкого теплоносителя (горячей воды) в пласт (см. Э. Б. Че- калюк, К. А. Оганов, Е. А. Степанчиков и А. Н. Снарский, 1954). Соответствующая задача о теплопереносе рассматривалась И. А. Чарным
(1953), который пренебрегал теплообменом между пластом и окружающими пласт породами, а также теплопроводностью вдоль пласта. Как и Л. И. Рубинштейн, он считал интенсивность теплоотдачи в скелет породы пропорциональной разности фазовых температур. Выполненный расчет показал, что при характерных временах фильтрации температуры фаз практически равны (что не имеет места при динамических процессах——см. стр. 594). Основная оценка эффективности нагнетания горячей жидкости связана с оценкой потерь тепла из-за оттока его в окружающие горные породы. Теоретический анализ течения в плоском однородном пласте был выполнен Г. А. Ловерье (Appl. Sci. Res., 1955, А5 : 2-3, 145——150), соответствующий эксперимент поставил Г. Е. Малофеев (1959). Радиальная задача подробно рассматривалась Л. И. Рубинштейном (I960, 1961), М. А. Пудовкиным (1961), А. А. Аббасовым (1966). Были также выполнены оценки повышения нефтеотдачи пласта за счет снижения вязкости с температурой. Следует заметить, что для ряда технических приложений важны и аналогичные расчеты охлаждения пласта, происходящего при нагнетании холодной воды.
Задачам теплопереноса в фильтрационном потоке посвящен также ряд работ Н. А. Авдонина, М. Я. Антимирова, Н. А. Багрова, Н. Н. Веригина, Б. Б. Лапука, А. И. Сергеева, Е. В. Теслюка, А. Б. Шейнмана и др. Специально, вопросам термодинамического состояния пласта посвящена монография Э. Б. Чекалюка (1965).
К явлениям переноса динамически нейтральных частиц примыкают процессы кольматации (засорения) и суффозии (вымыва) мелких твердых частиц в пористой среде (А. Н. Патрашев, 1935——1938; Н. М. Бочков г 1936; В. С. Истомина, 1948, Д. М. Минц 1949； Ю. М. Шехтман, 1949 и сл.； Н. Н. Веригин, 1964, и др.), изучаемые, в частности, в связи с задачами расчета фильтров.
В заключение отметим, что подробный разбор многих вопросов г относящихся к настоящему параграфу, содержится в недавно вышедших книгах В. Н. Николаевского, @・ А. Бондарева, М. И. Миркина, Г. С. Степановой и В. П. Терзи «Движение углеводородных смесей в пористой среде» (1968) и М. Д. Розенберга, С. А. К ундина, А. К. Курбанова, Н. И. Суворова и Г. Ю. Шовкринского «Фильтрация газированной жидкости и других многокомпонентных смесей в нефтяных пластах» (1969).
022924466778890122344455556666 6 6-6666777 7 7 7 7 7666666&866666666666666022924466778890122344455556666 6 6-6666777 7 7 7 7 7666666&866666666666666767777808181818283838688909166666666666666767777808181818283838688909166666666666666
0229244667788901223444
55556666 6 6-6666777 7 7 7 7 7666666&866666666666666
0229244667788901223444
55556666 6 6-6666777 7 7 7 7 7666666&866666666666666
7677778081818182838386889091
66666666666666
7677778081818182838386889091
66666666666666
СВОЙСТВА КВАНТОВОЙ жидкости
Л. АНДРОНИКАШВИЛИ, К. Н. ЗИНОВЬЕВА,Ю. Г. МАМАЛАДЗЕ, Л. П. ПИТАЕВСКИЙ )
Основные направления развития исследований квантовых жидкостей ..
Основные положения теории сверхтекучести
Динамика сверхтекучей жидкости
2*2. Квантованные вихри в сверхтекучей жидкости
Сверхтекучесть разреженного бозе-газа
Течение сверхтекучей жидкости
Течение в узких щелях и капиллярах
Течение гелия II в широких щелях и в больших объемах
Течение пленки
Колебательные движения гелия II
Аксиальные колебания твердой поверхности в гелии II
Колебания стопки
Колебания единичного диска
Измерение плотности нормальной компоненты
Измерение вязкости нормальной компоненты
Закритические колебания
Вращение гелия II
В ступите льные замечания
Исследование вихревой структуры вращающегося гелия II
Вертикальные колебания цилиндра
Аксиальные колебания цилиндра
Аксиальные колебания диска
Вертикальные колебания цилиндра над аксиально колеблющимсяt диском
Коллективизация вихревых колебаний
Релаксационные явления
Фазовый переход во вращающемся жидком гелии
Уплотнение вращающегося гелия II
Устойчивость вращения гелия II между коаксиальными цилиндрами
Ирротационные области
Персистирующие круговые потоки сверхтекучей компоненты ...
Феноменологическая теория сверхтекучести вблизи Х-точки
Уравнение равновесия
Полная система уравнений.
Вращение гелия II
Максимальная и критическая скорости
Течение сверхтекучей компоненты в узких щелях
Рис. 1. Диаграмма состояния гелия (р, атм； Т, °К)： в области Не I жидкий гелий не обладает свойством сверхтекучести, характеризующим только низкотемпературную модификацию Не II; граница между двумя фазами жидкости Не I и Не II называется Х-линией, а точки на этой линии —— Х-точками (при различных давлениях).Рис. 1. Диаграмма состояния гелия (р, атм； Т, °К)： в области Не I жидкий гелий не обладает свойством сверхтекучести, характеризующим только низкотемпературную модификацию Не II; граница между двумя фазами жидкости Не I и Не II называется Х-линией, а точки на этой линии —— Х-точками (при различных давлениях).
Рис. 1. Диаграмма состояния гелия (р, атм； Т, °К)： в области Не I жидкий гелий не обладает свойством сверхтекучести, характеризующим только низкотемпературную модификацию Не II; граница между двумя фазами жидкости Не I и Не II называется Х-линией, а точки на этой линии —— Х-точками (при различных давлениях).
Рис. 1. Диаграмма состояния гелия (р, атм； Т, °К)： в области Не I жидкий гелий не обладает свойством сверхтекучести, характеризующим только низкотемпературную модификацию Не II; граница между двумя фазами жидкости Не I и Не II называется Х-линией, а точки на этой линии —— Х-точками (при различных давлениях).
Проникновение сверхтекучести в «нормальную» область 692
Аналог постоянного тока Джозефсона в гелии II 693
Переоценка «араметров феноменологической теории сверхтекучести 695
Легкий изотоп гелия (Не3) и жидкие растворы изотопов гелия (Не3—Не4) 696
Теория ферми-жидкости 696
Основные положения теории растворов Не3 — Не4 698
Кривые равновесия «пар — жидкость» 700
Температурная зависимость плотности, Х-линия и кривая расслоения 700
Фазовая диаграмма смесей Не3 — Не4 702
Кинетические коэффициенты: вязкость, теплопроводность, диффузия 703
Распространение первого и второго звука в смесях; влияние примесей на скорость переноса гелия по пленке 704
Осмотическое давление, теплота растворения и их практическое использование для получения сверхнизких температур 705
§ 1. Основные направления развития исследованииквантовых жидкостей
Квантовые свойства жидкости (жидкого гелия) были открыты прежде всего в исследованиях по гидродинамике. Основы квантовой гидродинамики были заложены советскими учеными, работы которых послужили
фундаментом для развития этой науки во всех странах мира. Основное
открытие в этой области было сделано П. Л. Капицей (1938), установившим фундаментальный факт, что гелий течет через щели и тонкие капилляры так, как если бы его вязкость была равна нулю. Между тем жидкий гелий проявляет наличие вязкости порядка 10 мкпуаз в экспериментах, в которых наблюдалось затухание колебаний погруженных в него твердых тел.
Обнаруженное явление П. Л. Капица назвал сверхтекучестью. Следует заметить, что сверхтекучесть охватывает не всю область температур и давлений, при которых существует жидкий гелий. Так,
например, при давлении насыщенных паров явление сверхтекучести исчезает при нагревании гелия выше 2,17 °К (рис. 1). Эти эксперименты Капицы, а также последующие его опыты, которые будут описаны в § 3, послужили основой для теории, созданной Л. Д. Ландау и удостоенной Нобелевской премии за 1962 г.
Теория Л. Д. Ландау (1941,1944, 1947) объяснила не только эксперименты Капи
цы, но также ряд других явлений, происходящих в гелии II, которые были известны науке еще до открытия сверхтекучести. Среди этих явлений следует отметить аномально большую ^теплоемкость гелия II,
меняющуюся скачком в точке фазового перехода; так называемый термомеханический эффект, заключающийся в том, что разность температур создает заметную разность уровней в двух сосудах, соединенных тонким капилляром; движение тонкой пленки гелия II, обволакивающей стенки сосуда выше уровня жидкости в нем. Кроме того, теория Ландау предсказала ряд совершенно новых явлений, которые были действительно обнару-
жены в основном советскими физиками (В. П. Пешков, 1944； Э. Л. Андро- никашвили, 1946).
Работы П. Л. Капицы (см. § 3), Л. Д. Ландау (см. § 2), В. П. Пешкова (см. § 4), И. М. Халатникова (см. § 2) и Э. Л. Андроникашвили (см. § 4) на долгие годы определили направление исследований свойств гелия II как в СССР, так и во всех низкотемпературных школах других стран мира.
Существенно новое направление исследований возникло в связи с изучением свойств смесей изотопов гелия: тяжелого изотопа с атомным весом 4 (для которого и характерно явление сверхтекучести) и легкого изотопа с атомным весом 3 (который, будучи ожиженным, не переходит в сверхтекучее состояние вплоть до температур порядка тысячных градуса Кельвина).
Здесь следует отметить определяющие- работы Л. Д. Ландау и И. Я. Померанчука (1948) и И. Я. Померанчука (1949), которые появились почти одновременно с первыми экспериментами, проведенными за границей. Экспериментальные исследования впоследствии развивались и в Советском Союзе — в Харьковской и Московской школах,— в которых подробно исследовались многие свойства растворов Не3—Не4 (Б. Г. Лазарев, Б. Н. Есельсон, Н. Г. Березняк и др. в Харькове; В. Л. Пешков, К. Н. Зиновьева и др. в Москве). Эти исследования описаны в § 7.
Экспериментальные исследования чистого изотопа Не3 в Советском Союзе долго отставали от теории, в которой имелись значительные достижения, в то время как за границей наблюдалась обратная картина. В 1950 г. И. Я. Померанчук теоретически предсказал так называемый померанчук-эффект, экспериментально обнаруженный впоследствии в США.
Широкую известность получила теория ферми-жидкости Л. Д. Ландау (1956). В этой теории был предсказан ряд новых явлений, в том числе существование так называемого нулевого звука, который после упорных поисков во многих лабораториях мира был, наконец, обнаружен американскими учеными.
Создание теории сверхпроводимости стимулировало дальнейшее развитие теории Не3. В работе Л. П. Питаевского (1959) была предсказана сверхтекучесть Не3 при сверхнизких температурах. В 1964 г. В. П. Пешков сообщил об открытии им этого явления.
Мощный толчок получило развитие квантовой гидродинамики после того, как известным американским теоретиком Р. Ф. Фейнманом было высказано предположение о возможности возникновения в сверхтекучей жидкости своеобразных вихрей. Их наличие обеспечивает соблюдение одного из основных требований теории Ландау о потенциальности течения сверхтекучей компоненты (оно нарушается только на самих вихревых линиях). С другой стороны, эти вихри определяют взаимодействие сверхтекучей компоненты с нормальной компонентой и твердыми поверхностями. Эта теория создала новое научное направление и позволила заново рассмотреть и объяснить явления, казавшиеся ранее противоречащими теории Ландау. Выполненные в Советском Союзе в этом направлении работы по гидродинамике вращающегося гелия II (И. Л. Бекаревич, И. М. Халатников, Э. Л. Андроникашвили, Ю. Г. Мамаладзе, Дж. С. Цакадзе, Г. А. Гамцемлидзе. С. Г. Матинян, Р. А. Баблидзе) и течению сквозь тонкие капилляры (В, П. Пешков, В. К. Ткаченко) внесли*значительный вклад в обоснование квантовой гидродинамики. В особенности это
относится к изучению вращения гелия II, так как около половины общего количества работ, выполненных в этом направлении, выполнено в Советском Союзе (см. § 5).
Значительно отстают советские ученые в исследованиях свойств гелия II методом рассеянных нейтронов. Поразительно красивые эксперименты, проведенные в США, Канаде и Швеции, с исключительной точностью подтвердили основные положения теории Ландау и константы, получающиеся из этой теории.
Одновременно с теорией Ландау в Советском Союзе начала развиваться микроскопическая теория слабо взаимодействующего бозе-газаг обоснованная в работах Н. Н. Боголюбова (1947). Эта теория привела к лучшему пониманию явлений, происходящих в гелии II (см. § 2).
Советские теоретики уделили много внимания построению феноменологической теории гелия II (см. § 6). Следует заметить, что в этом направлении советская теоретическая школа занимает передовые позиции (В. Л. Гинзбург, Л- П. Питаевский, Ю. Г. Мамаладзе, О. Д. Чейшвили).
Основные положения теории сверхтекучести
Динамика сверхтекучей жидкости. Согласно классической статистической механике при абсолютном нуле температур всякое движение в системе молекул прекращается. Поэтому в классической статистике все- тела при абсолютном нуле должны были бы быть твердыми кристаллами. Не так обстоит дело в квантовой статистике. В силу принципа неопределенности даже при нуле температур молекулы жидкости должны обладать кинетической энергией, по порядку величины равной (на одну молекулу)
票产， (2.1)
где 方=1,054 X 10~27 эрг'сек — постоянная Планка, m — масса молекулы, N — число молекул в единице объема, так что NTs — среднее расстояние между молекулами. Наличие таких «нулевых колебаний» препятствует отвердеванию жидкости. Поэтому жидкость, масса молекул которой достаточно мала, а взаимодействие между молекулами достаточно слабо, может остаться жидкой даже при абсолютном нуле температур. Фактически при абсолютном нуле существуют две жидкости — два изотопа гелия. Это — жидкий Не4 и жидкий Не3. При Г = 0 они затвердевают лишь при повышенном давлении — Не4 при 25 атм и Не3 примерно при 30 атм. Поскольку, как уже говорилось, само существование таких незамерзающих жидкостей связано с квантовыми эффектами, они представляют собой уникальные объекты, в которых квантовые эффекты проявляются макроскопически. Особенно интересен в этом отношении жид- ■ кий Не4, который допускает макроскопическое описание с помощью своеобразных уравнений гидродинамики и при определенных условиях ведет себя как идеальная жидкость, лишенная вязкости.
Способность жидкого Не4 течь без вязкости была открыта П. Л. Капицей (1938) и получила название сверхтекучести. Сверхтекучестью обладает лишь одна из фаз жидкого Не4 — гелий II, в которую он переходит при температурах ниже Т = 2,17° К (Х-точка). При температурах выше Х-точки жидкий гелий является обыкновенной жидкостью.
Объяснение явления сверхтекучести и полная его макроскопическая теория были даны в 1941 г. Л. Д. Ландау. Основное состояние системы
атомов жидкого Не4 с макроскопической точки зрения соответствует жидкости, покоящейся при абсолютном нуле температур. К этому основному состоянию примыкают состояния, соответствующие движению жидкости с малыми скоростями. В отличие от обычной жидкости такое движение здесь может быть лишь потенциальным. Действительно, при вихревом движении частицы жидкости совершали бы в некоторой системе отсчета вращательное движение. Вращательное движение в квантовой механике квантуется. Поэтому состояния вихревого движения должны быть отделены от основного энергетической щелью и не могут осуществляться при движении жидкости с малыми скоростями. Но уже отсюда ясно, что наша система не может обладать обычной вязкостью. При наличии вязкости движение, потенциальное в некоторый момент времени, потеряло бы свою потенциальность в дальнейшем, что невозможно. Поэтому из потенциальности течения гелия II следует его сверхтекучесть. Движение гелия II не сопровождается диссипацией кинетической энергии жидкости, переходом ее в тепло. Для того чтобы понять микроскопическую причину этого факта, необходимо подробно познакомиться с характером возбужденных состояний в сверхтекучем гелии.
Согласно квантовой механике всякое возбужденное состояние жидкости можно описать с помощью так называемых «элементарных возбуждений». Основное состояние жидкости обладает импульсом, равным нулю. Если мы теперь переведем систему в возбужденное состояние с некоторым импульсом @, то для этого потребуется некоторая энергия. Эта энергия не произвольна. Минимальная энергия £ (&), которая необходима, чтобы сообщить системе импульс р, называется энергией элементарного возбуждения. Состояние жидкости, имеющее импульср и энергию £(#), можно рассматривать как состояние, в котором в жидкости существует одно возбуждение —«квазичастица» с импульсом р и энергией £ (р). Все остальные возбужденные состояния, достаточно близкие к основному, можно рассматривать как совокупность нескольких таких возбуждений с различными импульсами. Функция 8 (&) — спектр элементарных возбуждений —дает, таким образом, полное энергетическое описание возбужденных состояний )• Вид функции 8 (&) для жидкого Не4 можно выяснить теоретически лишь в пределе р О* В этом пределе колебания жидкости сводятся к обычному звуку, частота которого Q связана с волновым вектором к соотношением Q = ки、、где иг — скорость звука, обычным образом выражаемая через сжимаемость жидкости (для Не4 иг = 240 м/се左). В квантовой механике этой формуле соответствует закон дисперсии элементарных возбуждений
8 ~ (2.2)
Вся кривая 8 (р) для Не4 была определена экспериментально с помощью неупругого рассеяния нейтронов в этой жидкости. Ее вид показан на рис. 2. При температуре, отличной от абсолютного нуля, в жидкости имеется газ таких возбуждений, причем их распределение по импульсам дается функцией распределения Бозе — Эйнштейна
畐加'九(Р)= )0>)偿；7_]. (2.3)
Здесь dN — число возбуждений в интервале импульсов ^р = dpxdpydpz^ кв — постоянная Больцмана. Все термодинамические функции жидкости (например, теплоемкость) можно определить теперь как термодинамические функции идеального бозе*газа с законом дисперсии, даваемым кривой рис. 2.
Фактически для вычисления всех этих функций существенны лишь возбуждения с минимальными возможными энергиями, т. е. возбуждения
с малыми р или с импульсами вблизи минимума кривой. Первые имеют закон дисперсии (2.2) и называются фононами. Закон дисперсии вторых можно приближенно представить в виде
где М% = 8,6 °К, pj方=1,8 X 108 см」，m* = Ю""24 с. Эти возбуждения называют ротонами. Следует отметить, что вид кривой е (р) и значения параметров А, р0, * были установлены Ландау на основе анализа экспериментальных данных еще до того, как были произведены непосредственные измерения 8 (р).
При энергии £ = 2А спектр возбуждений делается неустойчивым. Возбуждение с энергией 2А и импульсом р = Pc V 2Po может распасться на два возбуждения с энергиями А каждое и импульсами, равными по величине р0 и направленными под углом друг к другу. Как показал Л. П. Питаевский (1959), кривая вблизи точки е — 2А определяется формулой
е = 2А — ае рс-р, т. е. имеет горизонтальную касательную бесконечного порядка и далее не продолжается. Точка 8 — 2А является, таким образом, точкой окончания спектра.
Вернемся теперь к объяснению явления сверхтекучести. Представим себе гелий, текущий по капилляру, при абсолютном нуле температур. Диссипация энергии жидкости означала бы, что в жидкости при течении рождаются элементарные возбуждения,— именно в этом состоит микроскопическая картина нагревания жидкости. Пусть в жидкости родилось одно элементарное возбуждение. Энергия жидкости в системе отсчета, где она покоится, будет тогда равна
М = % + £(Р),(24)
где р — импульс родившегося возбуждения, Eq — энергия основного состояния жидкости. Перейдем теперь в неподвижную систему отсчета, связанную с капилляром. Если скорость движения жидкости ⑦,то энергия в новой системе отсчета будет )
e2 =当+仅01+粤(2，5)
(М — полная масса жидкости, pt ——импульс жидкости в первой системе отсчета). Подставляя (2.4) в (2.5) и учитывая, что р^ =р, находим
马=局 + ^^+ e(/?)+@ •也(2.6)
Но диссипация энергии означает трение о стенки капилляра и, следовательно, замедление течения жидкости. Поэтому энергия жидкости при рождении возбуждения должна уменьшаться. Это означает, что возбуждения будут рождаться только, если
e+0•⑦ V。(2.7)
(Е0~,{-1/2Ми2 есть энергия жидкости без возбуждений в неподвижной системе координат). Учитывая, что
& + @ •⑦=& + pv COS0,
где 0 — угол между р и ”, находим, что возбуждения могут рождаться лишь при условии
Обозначим через (e//?)min минимальное значение е/р на кривой £(р)・ Если(£/p)min отлично от нуля, при всех скоростях движения, когда диссипация энергии в жидкости при течении не будет происходить и жидкость будет течь как идеальная. Фактически минимальное значение (£/p)min на кривой рис. 2 имеет величину
Ukp=(且)60 м/сек.
у \ Р / min Ро
(Реально сверхтекучесть в гелии нарушается при значительно меныпих скоростях движения. Это связано с возможностью рождения возбуждений с большими импульсами ——вихревых колец, о которых будет сказано в дальнейшем.)
Мы видим, что сверхтекучесть жидкого Не4 связана со свойствами его энергетического спектра — конечностью величины (8//?)miu.
При температурах, отличных от абсолютного нуля, в гелии имеются элементарные возбуждения. Это не меняет проведенных рассуждений —
при условии (2.8) новые возбуждения не могут рождаться и в гелии может происходить сверхтекучее движение без диссипации энергии. В этом движении, однако, будет участвовать лишь часть массы жидкости. Остальная масса будет связана с движением элементарных возбуждений. Элементарные возбуждения образуют в жидкости газ, по своим свойствам мало отличающийся от обычного г豆за* В частности, частицы этого газа могут сталкиваться со стенками и Передавать им импульс. Поэтому движение газа возбуждений отнюдь не является сверхтекучим и этот газ обладает конечной вязкостью. Сверхтекучий гелий, таким образом, одновременно участвует в двух движениях — недиссипативном сверхтекучем и нормальном, каждое из которых характеризуется своей скоростью. Для гидродинамического описания движения гелия нужно поэтому задать две скорости —сверхтекучую vs и нормальную vn. Соотвественно увеличивается и число уравнений. Поток массы в жидкости, т. е. плотность ее импульса, также можно разделить на нормальную и сверхтекучую часть и представить в виде
«/= Р$ 爲 + рп■伪и (2.9)
где рп — плотность массы, связанной с нормальным движением (плотность нормальной части), а р$ = р — р^ — плотность сверхтекучей части (р — полная плотность жидкости).
Для вычисления рп необходимо записать функцию распределения элементарных возбуждений при наличии vn и ⑦$. Как видно из (2.6), роль энергии элементарного возбуждения при наличии движения играет величина &+@。⑦,причем по смыслу вывода под ⑦ следует понимать скорость сверхтекучей части относительно возбуждения, т. е. величину v~vs — &n (это особенно легко понять, если заметить, что в равновесии возбуждения должны покоиться относительно капилляра, а ⑦ есть скорость в системе отсчета, где капилляр покоится). Таким образом, функция распределения возбуждений с учетом vn и vs должна отличаться от (2.3) заменой 8 на £ + @・3$ —富儿)：
"С₽) = "[£+@* (爲一稀)】• (2.10)
Если теперь положить и$ = 0, то суммарный импульс элементарных возбуждений должен равняться pnvn. Таким образом,
Р〃0П= ]%(е—#・0〃)^р, (2.11)
что и определяет плотность нормальной части рп. Если скорость vn мала, можно разложить правую часть по vn и проинтегрировать по углам. В результате получаем
pn=• (2/2)
Плотность рп является новой термодинамической характеристикой сверхтекучей жидкости. В пределе малых скоростей она является функцией от температуры Т и давления Р, в общем же случае зависит еще от (vn — vs)2. Термодинамическое тождество для плотности энергии жидкости в системе отсчета, где покоится сверхтекучая часть, можно записать в виде
dE = T dS + iidp-\-(vn — vs)• d [pn (伪i —终)], (2.13) где S плотность энтропии в жидкости,卩一химический потенциал. При р九=0 это тождество переходит в обычное выражение для дифференциала энергии.
Полную систему уравнений гидродинамики для сверхтекучей жидкости можно однозначно получить, используя законы сохранения энергии и импульса и требуя, чтобы входящие в уравнения величины имели правильные законы преобразования при переходе от одной системы отсчета к другой (Л. Д. Ландау, 1941; И. М. Халатников, 1952, 1956, 1965).
Уравнение для скорости сверхтекучего движения имеет вид
劈■ + V(^ + n)=0..(2.14)
Оно, в частности, выражает потенциальность сверхтекучего течения, о чем говорилось в начале статьи. Это уравнение дополняется уравнением непрерывности
# + divJ=0,(2.15)
где поток массы уже определен формулой (2.9), и уравнением закона сохранения импульса
dxh
Тензор потока импульса И»丸 также естественным образом делится на части, «вязанные с нормальным и сверхтекучим движением:
П/= Ps^si^sft + Pn^ni^nk + 夕 6 组.(2.17)
Давление Р выражается через другие термодинамические величины фор* мулой
Р= -E + TS + pn(vn^vs)\(2.18)
Последним уравнением является уравнение непрерывности для энтропии 礬 + div (Sex) = 0.(2.19)
Мы видим, что энтропия переносится лишь нормальной частью.
. Уравнения (2.14)—(2.19) выписаны в пренебрежении всеми диссипативными членами. Между тем, несмотря на отсутствие вязкости у сверхтекучей части, в гелии II, разумеется, может происходить диссипация энергии, связанная с вязкостью нормальной части и с различными релаксационными процессами. Учет диссипации сводится к замене правой части уравнения (2.14) на
装 div琢 + 备 div [р$ (% — %)]・(2.20)
В поток импульса И泳 добавляются члены
—Пл (•^' + -^ — 4 &А div 0“)—帆 G div Q (爲—0〃)] + $2 div 琢｝.
a.(2.21)
Здесь 刀九一первая вязкость нормальной части, ^, g2Hgз ——коэффициенты второй вязкости, связанные с релаксационными процессами. Первая же вязкость сверхтекучей части, как и должно быть, отсутствует. В правую часть уравнения непрерывности энтропии (2.19) добавляется диссипативная функция
А =备(div 0〃)2 + 备｛div [ps (爲—物力户 + 2% div 0n div [p$ (% —少)]+
+ 4^" ("^ + "^- 4也a div0〃) 2 + “ ^Д ,(2.22)
42 Механика в СССР, том 2
где х — коэффициент теплопроводности нормальной части. На кинетические коэффициенты 刀九,乂 и g наложены неравенства, обеспечивающие положительность Е:
ть>0, ：2>0, ：3>0, х>0,空》泳 з・
Граничные условия для сверхтекучей жидкости на поверхности твердого тела (например, на стенке капилляра) носят особенно простой характер, когда отсутствует теплопередача между твердым телом и жидкостью. В этом случае на поверхности скорость нормальной компоненты в системе отсчета, где тело покоится, должна равняться нулю, как и для всякой вязкой жидкости. Кроме того, должна равняться нулю и перпендикулярная к поверхности компонента скорости сверхтекучей части. Если же между телом и жидкостью имеется теплопередача, то на поверхности может происходить превращение нормальной части в сверхтекучую и перпендикулярные компоненты vn и vs не будут равны нулю. Должна быть равна нулю лишь перпендикулярная к поверхности компонента потока j. Температура поверхности в этом случае отличается от температуры прилегающего слоя жидкости — возникает обнаруженный П. Л. Капицей (1941) температурный скачок, пропорциональный потоку тепла через границу.
Уравнения (2.14)—(2.19) гораздо сложнее уравнений гидродинамики обычной жидкости. Поэтому естественно, что описываемые ими движения весьма разнообразны. В частности, вместо звука, распространяющего с я в обычной жидкости, в гелии II существует две ветви малых колебаний —— первый и второй звук. Для исследования звуковых колебаний линеаризуем уравнения (2.14)—(2.19), пренебрегая членами, квадратичными по скоростям. В результате имеем
арdtарdt卜 divj = О,卜 divj = О,а%况а%况卜 Vr = О,卜 Vr = О,无-+ S div vn = 0.无-+ S div vn = 0.(2.23>(2.23>
ар
dt
ар
dt
卜 divj = О,
卜 divj = О,
а%
况
а%
况
卜 Vr = О,
卜 Vr = О,
无-+ S div vn = 0.
无-+ S div vn = 0.
(2.23>
(2.23>
Если исключить из (2.23) J, vn и rs, получаем систему 吗 др 毋(S/p) — R更 A7
которая вместе с термодинамическими тождествами описывает распространение звука. Переходя в этих уравнениях к переменным Pf и Т1 — отклонениям давления и температуры от равновесных значений — и полагая
Р\ Т1 ос exp [/ (кх — Q/)],
приведем систему к виду
(Q2歙—胪)尸+器Q2『=0,
> QW + 傷 ® -穿胪"=0, О•
Условие совместности этой системы приводится к биквадратному уравнению для определения скорости распространения звука, которому можно придать вид
〃f [⑶。+ ^。2闺」十争2傷)。備),"(2附
Реально в гелии во всем температурном интервале ниже Х-точки коэффициент теплового расширения очень мал и им можно пренебречь. В этом приближении (2.24) дает простые выражения для скоростей звука
Первый корень иг соответствует обычному звуку, в сверхтекучей жидкости его называют первым. Второй описывает распространение незатухающих колебаний температуры — второй звук. При низких температурах его можно наглядно представлять себе как звук, распространяющийся в газе возбуждений. .
М. Лифшиц (1944) рассчитал излучение первого и второго звука различными способами. Оказалось, что второй звук эффективно излучается нагревателями с переменной температурой. С помощью такого рода излучателей второй звук был открыт В. П. Пешковым (1944, 1946).
Как и в обычной гидродинамике, уравнения динамики сверхтекучей жидкости допускают решения с разрывами. Кроме обычных ударных волн , здесь существуют, однако, разрывы и другого типа — тепловые, в которых имеется скачок температуры, не сопровождаемый в первом приближении скачком давления. Такие разрывы образуются сами собой при распространении второго звука большой интенсивности, подобно тому как ударные волны образуются при распространении обычного звука (И. М. Халатников, 1952). .
Квантованные вихри в сверхтекучей жидкости. Как уже говорилось, при достаточно малых скоростях движение сверхтекучей части является потенциальным. Это. означает, в частности, что сверхтекучая часть жидкости, помещенной во вращающийся вокруг своей оси цилиндр, при достаточно малой угловой скорости вращения будет оставаться в покое. С увеличением угловой скорости вращения такое состояние делается, однако, термодинамически невыгодным. Дело в том, что во вращающейся вместе с цилиндром системе отсчета должен иметь минимум термодинамический потенциал
& =总一厶叫，■ (2.25)
где о)о — угловая скорость вращения,立一момент количества движения в неподвижной системе отсчета, а Е — энергия в той же системе отсчета. Отсюда ясно, что состояние с L = 0 делается с увеличением ①。все более невыгодным по сравнению с состояниями с Z・s()> 0. Поэтому, в конце концов, сверхтекучая часть придет во вращение, причем вращение будет происходить вокруг оси цилиндра. В силу квантового характера движения жидкости при этом вращении для атомов гелия должно выполняться правило квантования Бора (Л. Онзагер, Nuovo cimento, 1949, 6 : Supl.2, 249—287; P. Ф. Фейнман, Progr. in low temperature phys., 1955, v. 1, ch. 2)
^ p.dr = m ^ vs-dr = 2nhn (" = 0, 1, 2,...),
так что скорость движения сверхтекучей части будет определяться формулой
Vg =,
8 mr ，
где г — расстояние от оси вращеция. Можно сказать, что на оси вращевгия образуется вихревая нить с циркуляцией скорости 2冗方"/тп. При этом,
как легко понять, термодинамически выгодно лишь рождение нитей с " = 1. Нетрудно определить угловую скорость вращения, при которой образуется вихревая нить. Действительно, энергия на единицу длины цилиндра, связанная с вращением жидкости вокруг нити, равна
(2.26)(2.26)
(2.26)
(2.26)
где R — радиус сосуда, а а0 — некоторое расстояние (порядка атомного), на котором приходится обрезать расходящийся интеграл в (2.26). Точное значение а0 можно выяснить то.г >ко на модели. С другой стороны, момент импульса жидкости на единицу длины равен nps (方‘旳)7?2 в результате, если
8о>®кр = -^г1嗯， (2.26，)
то добавка к энергии Е оказывается отрицательной и появление вихревой нити становится термодинамически выгодным (Р. Г. Архипов, 1957).
Если (Оо》①кр, то вихревые нити равномерно распределяются по площади цилиндра, причем число их таково, что циркуляция скорости по любому достаточно большому контуру оказывается в среднем такой же, как если бы жидкость вращалась как целое с угловой скоростью(о0. Иными словами, (2nh/ni)Ns = 2(o()S, где N$ — число вихревых нитей, S — площадь, охватываемая контуром. Таким образом, число нитей на единицу поверхности равно；
N 尸曙.(2.27)
При этом, в отличие от обычной жидкости, течение остается потенциальным везде, кроме осей нитей.
Наличие вихревых нитей приводит к нарушению сверхтекучести. Дело в том, что возбуждения, образующие нормальную часть жидкости, могут рассеиваться нитями м передавать им свой импульс. Это приводит к появлению силы трения между нормальной и сверхтекучей частью, так что движение сверхтекучей части начинает сопровождаться диссипацией энергии. Уравнения движения сверхтекучей жидкости при наличии вихрей были наиболее общим образом сформулированы И. Л. Бекаревичем и И. М. Халатниковым (1961). В этих уравнениях наличие вихрей учитывается введением среднего ротора скорости сверхтекучей части, определяемого из условия
rot vs-dS =① vs • dr.
где интегралы берутся по участку жидкости, содержащему большое число вихрей. Изменения по сравнению с безвихревыми уравнениями (2.14) —(2.19) сводятся к добавлению к правой части (2.14) силы
У = —^-(□ X rot (^v) 一(1 + aps)❿ X [⑦л — 2% —~rot (Aw)]—
—₽psv X {s X [琢靑rot(Aw)]} +
+ YPq{s•[物一然一*rot (入w)]卜(2.28)
Здесь а, В и у — безразмерные коэффициенты, характеризующие силу трения. В (2.28) и далее использованы обозначения
S = (rot %)叩， V = ®® -入=1/2Ps(^M) m (й/а0),
Z? —среднее расстояние между вихрями. К тензору потока импульса (2.17) добавляется член, описывающий натяжение вихрей:
九（①济丸九（①济丸(0(0(2.29)(2.29)
九（①济丸
九（①济丸
(0
(0
(2.29)
(2.29)
Наконец, в правой части уравнения непрерывности для [энтропии появляется связанная с взаимным трением диссипативная функция
А= —ps[/>+8X(0n — 0s)]・[0s — 0n+*rot(Av)].(2.30)
Кроме того, возникает дополнительное граничное условие, описывающее закрепление вихрей на пересекающей их твердой поверхности:
(咏 一 ％)才=〃N X (» X w) — 底》x v,(2.30')
где vL и &(j — скорости вихрей и поверхности, N—орт нормали поверхности, а и а‘ 一коэффициенты скольжения, индекс t обозначает касательную к поверхности составляющую вектора. Вместе с равенством
s X (爆一攻)一/=0
граничное условие (2.30,) определяет касательную к поверхности составляющую скорости сверхтекучей компоненты.
Кроме прямолинейных вихревых нитей, образующихся при стационарном вращении гелия, при течении гелия могут образовываться и замкнутые кольца. В простейшем случае кругового кольца его энергия равна
Е = 2%А》п*・(2.31)
Кроме того, вихревое кольцо обладает импульсом
p = 2吟)廿 占.(2.32)
Таким образом, вихревые кольца можно рассматривать как своеобразные элементарные возбуждения с законом дисперсии
Е(Р)М # (為万In (丿芋j(2.33)
(разумеется, формула (2.33) годится только для макроскопических вихревых колец и теряет смысл при переходе к атомным размерам). Применяя к этим возбуждениям критерий Ландау (2.8), получаем критическую скорость для рождения кольца радиуса R
%р = 3]1п 許.(2.34)
Мы видим, что критическая скорость тем меньше, чем больше радиуе кольца. Конечность критической скорости при течении гелия через капилляры объясняется тем, что в капиллярах могут, по-видимому, образовываться только вихри с размерами, не превышающими радиус капилляра. Формула (2.34) дает при этом правильную оценку критической скорости, если под R понимать радиус капилляра.
Сверхтекучесть разреженного бозе-газа* Изложенная в предыдущих разделах теория сверхтекучести, хотя и дает последовательное описание свойств жидкого гелия, не является микроскопической теорией в полном смысле слова. Так, например, оказывается невозможным строго вычислить энергетический спектр гелия, оказывается неопределенным параметр обрезания а0, входящий в выражение для энергии вихревой нити. Наконец, в теории явным образом не фигурирует характер статистики, которой подчиняются частицы жидкости. Однако сверхтекучим является лишь жидкий Не4, атомы которого подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна. Не3, подчиняющийся статистике Ферми, при тех же температурах несверхтекуч. Между тем построение микроскопической теории жидкого гелия при реальных значениях его характеристик наталкивается на большие трудности, так как в теории отсутствует малый параметр, который позволил бы упростить задачу. Поэтому представляет интерес рассмотреть модель, в которой микроскопическое исследование может быть доведено до конца. Такой моделью является модель разреженного бозе-газа, в котором среднее расстояние между атомами много больше их размеров. Эта модель была подробно изучена Н. Н. Боголюбовым (1947). Заранее ясно, что в исследуемой модели взаимодействие между атомами должно иметь характер отталкивания (в противном случае газ сконденсировался бы в жидкость и перестал быть разреженным).
Для описания системы мы воспользуемся представлением вторичного квантования. Уравнение для г|)-операторов атомов газа имеет вид нелинейного уравнения Шредингера
'力崂^A2+J "%°(П—»*) 2+ (%') 2 (%) 2 ⑺ (2.35)
(屮+ и 2 — операторы рождения и уничтожения атомов). По предположению радиус действия потенциала взаимодействия между атомами U (?\ — г) много меньше расстояния между частицами. В этом случае можно вынести г|)-операторы из-под знака интеграла по d3^ и уравнение примет вид
睛若=-亲А屮+帥+2" (8=)。"r)， (2.36)
В отсутствие взаимодействия при абсолютном нуле температур все атомы газа находились бы в основном состоянии с импульсами, равными нулю. Иными словами, распределение частиц по импульсам имело бы 6-образный характер. Основное положение теории Боголюбова состоит в том, что такой 6-функционный член в распределении по импульсам имеется и при наличии взаимодействия, так что при слабом взаимодействии большая часть частиц находится строго в состоянии с равным нулю импульсом и лишь небольшая — в состояниях с отличными от нуля импульсами. Это приводит к тому, что те части г|)-операторов, которые соответствуют уничтожению и рождению частиц с равными нулю импульсами, оказываются просто классическими .функциями координат и времени, подобно тому как при большом числе фотонов операторы электромагнитного поля превращаются просто в классические амплитуды поля. Некоммутативность операторов при большом числе бозонов в одном состоянии оказывается несущественной. В соответствии с этим можно разделить г|)-оператор на две части, выделив из него классическую функцию 4f (г,力,описывающую частицы, находящиеся в состоянии с р = 0, или, как говорят, в конденсате:
(2・36‘)(2・36‘)2=a+ 6.
(2・36‘)
(2・36‘)
Такое разделение оператора 屮 имеет смысл для любой бозе-системы ниже точки Х-перехода. В Х-точке классическая часть Т, которую называют волновой функцией конденсата, обращается в нуль. Специфика системы со слабым взаимодействием которую мы рассматриваем в этом разделе, состоит в том, что в ней при температурах, не слишком близких к Х-точке, операторная часть мала. Производя разложение по степеням 0, получаем в нулевом приближении следующее уравнение для 4f:
z九響=一泉А▽十8|▽『也(2-37)
Функцию Т можно представить в виде
где фаза ф, как можно показать, связана со скоростью сверхтекучей части vs обычным квантовомеханическим соотношением 瑞=(A/m)V(p. Величина же п0 = |Т|2 определяет плотность. Уравнение (2.37) допускает решение вида 4f ос ехр (—力卩力),где величина 卩,как можно показать, имеет смысл химического потенциала газа. В результате получаем окончательно
—寨 AV —NV + g|V124r = 0.(2.38)
Если в газе отсутствуют вихревые нити, Т от координат не зависит. В этом случае (2.38) сводится к соотношению, связывающему 卩 с плотностью п0:
Уравнение (2.38) позволяет, однако, полностью рассмотреть и вихревую нить (Л. П. Питаевский, 1961). Вихревой нити соответствует решение, обладающее симметрией относительно некоторой оси. Переходя к цилиндрическим координатам г, q>, г и полагая
a=J^exp ["屮一卩5 5 (F3 小=77当
'『。丿У 2gnom
получаем для 2r уравнение
на рис. 3. Отметим, что в разреженном газе характерная холщина вихревой нити г。оказывается большой по сравнению с межатомными расстояниями, т. е. в этой модели нить оказывается макроскопическим образованием. Полученное решение позволяет с нелогарифмической точностью
вычислить энергию вихревой нити. Вычисления дают
Е = М囱 In 空里.(2.40)
Сравнение этой формулы с (2.26) определяет смысл параметра обрезания «о для данной модели.
Выделим теперь в уравнении (2.36) члены первого порядка по 0. Получаем
iH ^-=-^-A0 + 2g|Y|20 + Y20+.(2.41)
Соответствующее уравнение для 0+ имеет вид
-£% 警=_^,Д0+ + 2gI YI20+ + Y*20.(2.41'>
Операторные уравнения (2.41)—(2.41/) определяют энергетический спектр системы. Для его нахождения достаточно вспомнить, что уровни энергии всякой линейной квантовомеханической системы определяются собственными частотами соответствующей классической задачи. Поэтому для определения энергетического спектра достаточно найти собственные частоты системы (2.41)—(2.4Г), считая 0 и 0+ классическими функциями координат. Полагая
8 о^ eе(论，T_at)-2ut0+ q^ *(论屮"-£2t)+2以,
(напоминаем, что 4foe е^汕*), получаем уравнения
(2.42)(2.42)Q°=警 8+g|"e+gVg
(2.42)
(2.42)
—Q8+ = ^8+ + g| 呼2 8+ + gV*28.
Приравнивая нулю определитель системы, находим связь между Кик. Эту связь для энергии 8 = ЙЙ. и импульса р=无友 можно записать в виде
£(?)= /増加+ 儔 у.(2.43)
При малых р спектр сводится к фононному(8 = 〃山,〃i 三 /g"()/7n) и, следовательно, удовлетворяет условию сверх-текучести Ландау. Таким образом, разреженный бозе-газ действительно является примером сверхтекучей системы. Дальнейшее развитие изложенной схемы позволяет вывести на этой модели всю систему уравнений гидродинамики сверхтекучей жидкости (Н. Н. Боголюбов, 1963).
Течение сверхтекучей жидкости
Течение в узких щелях и капиллярах. Основополагающий эксперимент, в котором было открыто явление сверхтекучести, был произведен П. Л. Капицей (1938), который наблюдал течение гелия II, происходившее под действием силы тяжести сквозь плоскую щель, образованную двумя пришлифованными друг к другу кварцевыми пластинками. В этом эксперименте было установлено, что при движении гелия сквозь щель его вязкость во всяком случае меньше 10~9 "уаз・
Второй основополагающий эксперимент был также произведен П. Л. Капицей (1941). При этом течение гелия через узкую щель регулировалось выделением тепла по одну сторону узкой щели, соединяющей два
объема гелия II. Было установлено, что энтропия сверхтекучей части гелия II равна нулю, а ее вязкость не превышает 10~п пуаз. Равенства нулю энтропии и вязкости и является причиной того, что все процессы, протекающие в сверхтекучей компоненте гелия II, термодинамически обратимы, если не превзойдена критическая скорость, которую мы теперь связываем с эффектами вихреобразования. Кстати сказать, этот эксперимент Капицы был первым, в котором была определена критическая скорость сверхтекучей компоненты. Она оказалась порядка 20——150 см/сек в зависимости от ширины щели и температуры.
Эти эксперименты важны и тем, что в них впервые была измерена энтропия нормальной компоненты гелия II, которая меняется в зависимости от температуры в полном соответствии с теорией Ландау. Одновременно П. Л. Капица произвел подробное изучение термомеханического эффекта, и обратного ему механокалориметрического эффекта.
Впоследствии движение гелия II через тонкие капилляры подробно изучалось многими авторами в разных странах. Эти эксперименты имели две модификации: течение сверхтекучей компоненты навстречу теплу в условиях неподвижности нормальной компоненты и встречное течение компонент ——сверхтекучей к источнику тепла и нормальной от него. Однако, коль скоро эти эксперименты долгое время не связывались с теорией Ландау, они носили в основном чисто эмпирический характер. Впервые теорию Ландау к встречному движению нормальной и сверхтекучей компонент в капиллярах применил Э. Л. Андроникашвили (1949), который показал, что в капиллярах шириной порядка 10 卩 течение нормальной компоненты имеет пуазейлев характер и температурная зависимость вязкости нормальной компоненты в докритическом режиме точно следует характеру этой кривой, измеренной по затуханию колебаний диска (см. § 4). В щелях меныпей ширины начинают сказываться явления проскальзывания. Мы переходим в кнудсенову область, в которой пробег тепловых возбуждений становится сравнимым (в особенности при низких температурах) с поперечными размерами щелей и капилляров. Было показана также, что по достижении критической скорости движение гелия II может быть описано эффективным значением вязкости, превышающим значение этой величины в докритическом режиме.
Толчком для дальнейшего изучения движения гелия сквозь тонкие капилляры послужила теория Р. Фейнмана (см. п.2.2), на основе которой было поставлено много экспериментов. К сожалению, большинство этих экспериментов было поставлено за пределами СССР. Основной их целью было выяснение характера вихреобразования при переходе через критическую скорость, законов движения вихрей и их распада. Были открыты явления гистерезиса критической скорости, связанные с наличием возрастающего и, соответственно, убывающего потока тепла.
Однако, несмотря на многочисленность и важность этих экспериментов, основной вопрос ——что является критической скоростью вихреобразования? —— оставался открытым. Действительно, квантовая турбулентность может наступать при достижении критического значения скорости сверхтекучей компоненты относительно стенки сосуда pSKp или относительно нормальной компоненты (и$ — рп)кр. В. П. Пешков и В. Б. Стрюков (1961) доказали экспериментально, что критическим является значе*
Интересна также работа В. П. Пешкова и В. К. Ткаиенко (1961). в которой было непосредственно наблюдено движение вихревого фронта в длинном капилляре.
Течение гелия II в широких щелях и в больших объемах. Встречное движение сверхтекучей и нормальной компонент в большом объеме гелия II изучено в работах П. Г. Стрелкова (1940), наблюдавшего специфический радиометрический эффект в гелии II. Специфика этого эффекта заключается в том, что при переходе через 入-точку он меняет знак. В гелии II освещаемый диск не притягивается к лучу света, как в обычных жидкостях и в гелии I, а отталкивается им. Это явление связано с тем, что, хотя надвигающаяся на освещаемое крылышко крутильных весов сверхтекучая масса и обтекает его потенциально, не оказывая давления, однако нормальная компонента (тепловые возбуждения), зарождающаяся на нагретой поверхности и удаляющаяся от нее, оказывает на крылышко реактивное действие.
Особенно принципиальное значение имеют опыты П. Л. Капицы (1941), в которых он наблюдал встречное движение нормальной и сверхтекучей компонент сквозь широкие капилляры. Им было подробно изучено реактивное действие струи нормальной компоненты, установлен факт потенциального обтекания твердых тел сверхтекучим потоком, изучена топография затопленной струи нормальной компоненты, вытекающей из капилляра под влиянием выделяемого тепла. Так как все эти опыты были поставлены в условиях, когда внутри некоторого объема, соединяемого с гелиевой ванной с помощью капилляра, выделяется заметное количество тепла, а по концам капилляра измеряемая разность температур отсутствует, то сохранение формы струи тепловых возбуждений, наблюдавшееся Капицей на довольно больших расстояниях от сопла капилляра, свидетельствует о том, что внутри сверхтекучей жидкости инерционность распространения тепла не маскируется диссипативными процессами.
Следует заметить, что описываемые эксперименты П. Л. Капицы были произведены до того, как появилась теория Л. Д. Ландау, и их первоначальная трактовка заметно отличалась от современной.
Казалось бы, что наличие в гелии II специфического конвекционного механизма теплопередачи, объясняемого встречным движением сверхтекучей и нормальной компонент, должно было бы обеспечить отсутствие температурных градиентов на границе твердого тела, рассеивающего тепло. Однако П. Л. Капица (1941) обнаружил температурные скачки вблизи нагретых поверхностей, погруженных в гелий II. Впоследствии это явление было более подробно изучено Э. Л. Андроникашвилй и Г, Г. Мирской (1955), которые показали, что в тонких пристенных слоях градиент температуры может достигать 2000 град/см и что скачок температуры вдали от Х-точки пропорционален 1/ТЗ. Этому явлению, получившему название скачка Капицы, посвящено большое количество работ, проведенных в различных странах. Теория этого явления дана И. М. Ха- латниковым (1952) (см. также И. Л. Бекаревич и И. М. Халатников, I960), который показал, что решающим фактором является акустическая жесткость материала тепловыделяющего тела (произведение плотности на скорость звука). Именно соотношение между акустическими жесткостями твердого тела и жидкого гелия определяет выход фононов из нагретого тела в гелий II.
Течение пленки. Еще в 1936 г. было замечено (Б. В. Роллен, Actes 7е Congr. froid, 1936, v. 1), что гелий II образует тонкие пленки, покрывающие любые твердые поверхности, выступающие над уровнем жидкости. Удивительным свойством этих пленок является та скорость, с которой жидкость перетекает по ним в направлении против градиента давления
и в направлении, совпадающем с направлением градиента темпера- •туры.
Чтобы определить линейную скорость передвижения жидкости вдоль пленки по объемной скорости перетекания, естественно, необходимо было знать толщину пленки. Один из методов ее измерения был предложен А. К. Кикоиным и Б. Г. Лазаревым (1939), которые определяли толщину пленки по объему жидкости, необходимому для покрытия пленкой большой поверхности. В результате этого и других экспериментов, проведенных в разных странах, установлено, что пленка имеет толщину порядка 3 X 10~6 см (около 100 атомных слоев), а скорость течения по ней сверхтекучей жидкости порядка 20 см/сек. В связи с малым значением толщины пленки вязкость нормальной компоненты препятствует ее движению вдоль поверхности. Таким образом, тепловые возбуждения как бы закреплены на стенке и сверхтекучая компонента течет мимо них.
В другом эксперименте А. К. Кикоина и Б. Г. Лазарева (1938) был обнаружен очень интенсивный теплообмен, осуществляемый гелиевой пленкой.
Изучением свойств гелиевых пленок занимался также П. Г. Стрелков (1940). Один из его экспериментов является весьма наглядной демонстрацией механизма сверхтекучего течения по пленке. В этом эксперименте гелий II натекал на ленточку, связанную с чувствительными пружинными весами и подогреваемую световым лучом. При этом ленточка выталкивалась из жидкости, что объясняется отсутствием взаимодействия между твердой поверхностью и сверхтекучей компонентой до того, как она, нагревшись, не превратится в нормальную.
Теоретическое рассмотрение условий равновесия для пленки на вертикальной поверхности твердого тела было выполнено Я. И. Френкелем 《1940).
В работе Б. Н. Есельсона и Б. Г. Лазарева (1952) была обнаружена зависимость скорости вытекания гелия II по пленке из пробирки, поднятой над уровнем ванны, от того, каким образом была заполнена пробирка. Скорость вытекания сильно йовышалась, если пробирка заполнялась путем резкого погружения (турбулентное натекание). В дальнейшем развитие этих экспериментов (Дж. Ф. Аллен, в сб.: Liquid helium, Academic Press, 1963) привело к созданию модели, согласно которой течение сверхтекучей жидкости по пленке осуществляется цепочкой вихревых нитей Онза- тера ——Фейнмана, выстроенной параллельно друг к другу и перпендикулярно к направлению течения.
§ 4・ Колебательные движения гелия II
Аксиальные колебания твердой поверхности в гелии II. Гидродинамические задачи об аксиальных колебаниях диска или стопки дисков в гелии II решены в работах Э. Л. Андроникашвили (1946, 1948, см. также 1958) в связи с проведенными им измерениями плотности и вязкости нормальной компоненты. Решение системы (2.14)—(2.22) сводится в этом случае к решению уравнений Навье ——Стокса при граничных условиях и「= % = 0, р(р = Zaq)or exp (za/). Оно показывает, что колебания генерируют в нормальной компоненте обычные вязкие волны (ср. Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, 1953): *
и” = ^nz = 0, рпСр = г (Aeihz+iat + BeTkz+M) ； (4.1)
где и九г, рПф, и九z — компоненты скорости жидкости в цилиндрических координатах г, ф, z, & = £2 + 方丫 ——комплексная частота колебаний, й ——частота, у ——коэффициент затухания, % ——время, к ——комплексное волновое число:
А2= -i^-(1т%〉0, v〃 = ^) .(4.2)
Сверхтекучая компонента при этом остается неподвижной.
Глубина проникновения вязкой волны X и ее длина L определяются формулами (у《R)
/萼，(4.3)
Если диски составляют стопку и отделены друг от друга на расстояние а (по оси z), то
]—e-iha1 — €iha
/=必学。「迎」』；，b=-以中0 /а二е-Ха -仏%)
Если же диск колеблется в неограниченной жидкости, то
Л = гафо» 3 = 0.(4.5)
Частота Q и затухание у колебаний диска (стопки) определяются фор-
мулами
Q2—л。)』—-磊，&б)
Im М〃 八
Y k 2Q/WM，&7)
где Qo и Yo — значения R и у при колебаниях в вакууме, I——момент инерции колеблющегося тела, М ——момент силы, действующей на диск вследствие его взаимодействия с жидкостью:
М = \rSMdS, (4.8)
S ——поверхность тела, N——орт ее внешней (по отношению к жидкости) нормали, И/ — тензор потока импульса (см. формулы (2.17) и (2.21)).
Колебания стопки. Если 入《а, то стопка практически полностью вовлекает нормальную компоненту. При этом у у。и
Q2一窿^ 一如嘲竺竺，(4.9)
期—Q2）儼崎一映Q2 -期—Q2）儼崎一映Q2 -(4.10)(4.10)откуда можно определить рп:
期—Q2）儼
崎一映Q2 -
期—Q2）儼
崎一映Q2 -
(4.10)
(4.10)
Рп
Колебания единичного диска. Если А заметно больше расстояния от диска до ближайшей твердой поверхности, то
Q2T—(y - Yo)2= 一鸟里 /吗吗Q2T—(y - Yo)2= 一鸟里 /吗吗Y—7oY—7o冗足 ~2J~冗足 ~2J~(4.11)(4」2)(4.11)(4」2)
Q2T—(y - Yo)2= 一鸟里 /吗吗
Q2T—(y - Yo)2= 一鸟里 /吗吗
Y—7o
Y—7o
冗足 ~2J~
冗足 ~2J~
(4.11)
(4」2)
(4.11)
(4」2)
Если диск к тому же достаточно «тяжелый», чтобы не чувствовать изменения периода, связанного с температурной зависимостью количества
Рис. 4. Температурная зависимость плотности нормальной компоненты* (Рл/рх.,% — Т, °К; 1 — экспериментальные данные Э. Л. Андроникашвили; 2 — В, П. Пепгкова).Рис. 4. Температурная зависимость плотности нормальной компоненты* (Рл/рх.,% — Т, °К; 1 — экспериментальные данные Э. Л. Андроникашвили; 2 — В, П. Пепгкова).
Рис. 4. Температурная зависимость плотности нормальной компоненты* (Рл/рх.,% — Т, °К; 1 — экспериментальные данные Э. Л. Андроникашвили; 2 — В, П. Пепгкова).
Рис. 4. Температурная зависимость плотности нормальной компоненты* (Рл/рх.,% — Т, °К; 1 — экспериментальные данные Э. Л. Андроникашвили; 2 — В, П. Пепгкова).
вовлекаемой жидкости, то й ^ Qo и формула (4,12) разрешает определить т|п:
Лп - л2>ЙРп *
Измерение плотности нормальной комповевты. При изменении температуры меняется плотность нормальной компоненты, т. е. меняется количество жидкости, вовлекаемой в колебания стопки дисков, погруженной в гелий IL Это обстоятельство использовал Э. Л. Андроникашвили (1946, 1948) в эксперименте, результаты которого явились одним из первых подтверждений теории Ландау. Была построена установка, в которой исследовались колебания ажурной системы из 100 дисков, выполненных из алюминиевой фольги толщиной 0,001 см, нанизанных на общую ось и отделенных друг от друга на 0,02 см. Строгая параллельность дисков стопки обеспечивалась рифлением на них выпуклостей соответствующих размеров. Стопка, заключенная в тонкостенное ведерко, подвешивалась к упругой нити и период ее колебаний измерялся обычным методом зеркальца и шкалы.
Л, Андроникашвили использовал формулу (4.10), в которую были введены поправки, учитывающие вовлечение жидкости стенками ведерка:
(4.14)(4.14)р* _ 価—Q2） й2 1 + 4 （3+万）再一価一微）0 i+m击+备），
(4.14)
(4.14)
здесь Н — высота ведерка и 7? — его радиус. Результаты эксперимента показаны на рис. 4.
Та же самая величина может быть определена по скорости второго звука (2.24'), что и было сделано В, П. Пешковым (1946). В приборе Пешкова электрический нагреватель имитировал плоскость, температура которой менялась по гармоническому закону. На некотором расстоянии от нагревателя находился термометр сопротивления, который мог чувствовать колебания температуры, сопровождающие волну второго звука. Устанавливая в цилиндрическом резонаторе резонансную частоту, В. П. Пешков определял длину волны второго звука, а следовательно, и ее скорость.
Распространение в гелии II температурных волн, в которых происходят встречные колебания сверхтекучей и нормальной компонент (или, что то же самое, звук распространяется по газу тепловых возбуждений), было предсказано до Л. Д. Ландау и другими учеными (см. Л. Тисса, Nature, 1938, 141 :3 57 7, р. 913; С. г. Acad. Sci., 1938,
207 : 22,1035——1037 и 207:24, 1186——1189). Однако эти предсказания исходили из неудовлетворительных физических представлений и приводили к выводам, отличным от результатов Ландау, относящихся к низким
Рис. 5. Температурная зависимость вязкости нормальной компоненты (т), Ю'5 пуаз} 2 — теоретическая кривая; 2 — данные Э. Л. Андронйка- швили; 3 — данные других экспериментов, проведенных методом колеблющейся поверхности; 4 — вращающийся вискозиметр; 5 — затухание второго звука по даннымК. Н. Зиновьевой).Рис. 5. Температурная зависимость вязкости нормальной компоненты (т), Ю'5 пуаз} 2 — теоретическая кривая; 2 — данные Э. Л. Андронйка- швили; 3 — данные других экспериментов, проведенных методом колеблющейся поверхности; 4 — вращающийся вискозиметр; 5 — затухание второго звука по даннымК. Н. Зиновьевой).гдегдеПп— л2Л«йрпПп— л2Л«йрп(4.15}(4.15}К =К =11乙丄2d , 2九『，乙丄2d , 2九『，(4.16>(4.16>независимость вязкости отнезависимость вязкости от
Рис. 5. Температурная зависимость вязкости нормальной компоненты (т), Ю'5 пуаз} 2 — теоретическая кривая; 2 — данные Э. Л. Андронйка- швили; 3 — данные других экспериментов, проведенных методом колеблющейся поверхности; 4 — вращающийся вискозиметр; 5 — затухание второго звука по данным
К. Н. Зиновьевой).
Рис. 5. Температурная зависимость вязкости нормальной компоненты (т), Ю'5 пуаз} 2 — теоретическая кривая; 2 — данные Э. Л. Андронйка- швили; 3 — данные других экспериментов, проведенных методом колеблющейся поверхности; 4 — вращающийся вискозиметр; 5 — затухание второго звука по данным
К. Н. Зиновьевой).
где
где
Пп— л2Л«йрп
Пп— л2Л«йрп
(4.15}
(4.15}
К =
К =
1
1
乙丄2d , 2九『，
乙丄2d , 2九『，
(4.16>
(4.16>
независимость вязкости от
независимость вязкости от
Температурам, Для проверки теории Ландау было принципиальна важным наблюдение вблизи 1° К минимума на кривой температурной зависимости скорости второго звука. Этот минимум действительно был обнаружен В, П. Пешковым (1948), Впоследствии в ряде стран была произведено измерение скорости второго звука в широком температурном интервале. Все эти данные подтвердили теорию Ландау.
Зная скорость второго звука, энтропию, которая была измерена в экспериментах Капицы (1941), а также теплоемкость гелия II, В. П. Пеш- ков (1946) определил температурную зависимость нормальной компонен
ты, которая в пределах точности эксперимента совпала с данными Э. Л. Андроникашвили (рис, 4).
Измерение вязкости нормальвой компоненты. С целью измерения вязкости нормальной компоненты Э. JL Андроникашвили (1948) использовал формулу (4,13), в которую были введены поправки на крае-
вые эффекты, связанные с наличием у диска боковой поверхности и《угла» между торцовыми и боковой поверхностями:
d ——толщина диска,入 ——глубина проникновения. Такое выражение для К было получено Л. Д. Ландау (опубликовано в статье Э. Л. Андр оник ашвил и в 1948 г.). Впоследствии оно было проверено экспериментально на примере воды в работе Г. А. Гамцемлидзе (1955).
Результаты эксперимента Э. Л. Андроникашвили представлены на рис, 5, Они были впоследствии подтверждены во многих странах (Бельгия, Англия, Канада) экспериментами с использованием метода колеблющейся поверхности в широком интервале частот от десятых долей герца до мегагерц.
Характер этой кривой легко может быть понят на основании аналогии с поведением вязкости в газах, в которых вязкость пропорциональна плотности рассеивающих центров и длине свободного пробега между ними. В идеальном газе плотность пропорциональна давлению, а длина свободного пробега обратно пропорциональна ему. Это создает давления, пока длина пробега меньше раз-
меров сосуда. В жидком гелии плотность ротонов и длина ротон- ротонного пробега задаются температурой и в этом смысле можно было бы ожидать отсутствия температурной зависимости у вязкости, определяемой ротон-ротонным взаимодействием. Однако наличие второго типа возбуждений вносит существенную поправку в эти рассуждения. При низких температурах преобладает ротон-фононное рассеяние, а произв е-
дение свободного пробега ротонов и плотности фононов растет с уменьшением температуры.
Увеличение вязкости при приближении к Х-точке связано с тем, что идеальный газ тепловых возбуждений по мере увеличения его плотности постепенно приобретает свойства реального газа (в котором нельзя пренебречь взаимодействием).
Сечение р от он-p отонн ог о рассеяния было наДдено Э. Л. Андроникашвили на основании его экспериментов по определению вязкости. Оно оказалось порядка 10"14 сл^. Выяснилось также, что между ротонами при их достаточной концентрации возникают силы отталкивания.
Теория вязкости гелия II, развитая Л. Д. Ландау й И. М. Халатни- ковым (1948) (см. также И. М. Халатников, 1952, 1956), приводит к результатам, также показанным на рис. 5.
Затухание второго звука в тонких резонаторах может дать интересные сведения и о вязких свойствах нормальной компоненты. Соответствующие эксперименты были проведены К. Н. Зиновьевой (1956), которая показала, что, хотя низкотемпературная ветвь и растет при уменьшении температуры, однако не так быстро, как это было получено Э. Л. Андроникашвили и другими в экспериментах с колеблющимся диском. Эти данные согласуются с экспериментами с вращающимся вискозиметром (А. К. Холлис Халлет, Proc. Cambridge Phil. Soc., 1953, A49 : 4, 717—727; В. Дж. Хейккила и А. К. Холлис Халлет, Canad. J. Phys., 1955, 3§：8, 420-435) (рис. 5). .
Разница в поведении вязкости в экспериментах различных типов представляет собой и сегодня один из серьезных парадоксов теории сверхтекучести.
В связи с этим В. Л, Гинзбургом (1955) была высказана идея о том, что в экспериментах с колеблющимся диском наблюдается дополнительное затухание, связанное с возникновением в момент начала движения диска поверхностей разрыва тангенциальной компоненты ⑦$, поверхностная энергия которых (〜10~з Эрг1С^) должна была проявиться в виде своего. рода сухого трения.
Однако тонкими экспериментами Г. А. Гамцемлидзе (1957, 1958} доказал, что сухое трение отсутствует, а точность измерения разрешала сделать вывод об отсутствии поверхностной энергии с точностью до 10-9 spzlcW. Этот эксперимент стимулировал впоследствии работу В. Л. Гинзбурга и Л. П. Питаевского (1958), в которой заложены основы феноменологической теории сверхтекучести (см. § 6).
Закритические колебания. В экспериментах Э. Л. Андроникашвили, описанных в предыдущих разделах, характер колебаний как стопки дисков, так и единичного диска не зависел от амплитуды колебаний. В дальнейшем было замечено (А, К. Холлис Халлет, Proc, Phys. Soc. London, 1950, A63: 372, 1367——1368), что увеличение амплитуды колебаний приводит к зависимости их частоты от амплитуды и что при этом возникает дополнительное затухание колебаний, пропорциональное плотности сверхтекучей компоненты. Результаты этих экспериментов были истолкованы как доказательство вовлечения сверхтекучей компоненты в колебания относительно малой амплитуды, т. е. в движение со скоростью, гораздо меныпей критической скорости Ландау. Эти исследования получили дальнейшее развитие в работе Г. А. Гамцемлидзе (1959), который установил, что критическое значение характерно для произведения р$谚(а не р$谑,как считалось прежде) и что экспериментальные значения критической скорости в сильной степени зависят от чистоты
поверхности, причем наличие неоднородностей с размерами порядка d и с концентрацией с приводит к уменьшению эффективной критической скорости в соответствии с полуэмпирической формулой
^KP = ^(l + 5,5d/c).
Ясное истолкование этих экспериментов стало возможно на основании теории Онзагера 一 Фейнмана, сущность которой описана в п. 2.2. Смысл критических явлений при больших амплитудах колебаний заключается в образовании квантованных вихрей.
Ю. Г. Мамаладзе (I960) показал, что основные особенности критических явлений в колебательных экспериментах соответствуют выводам из теории размерностей, построенной на основании величин, характеризующих вихри Онзагера ——Фейнмана. В другой работе Ю. Г. Мамаладзе (1957, 1959) было показано, что в колебательных экспериментах измеряется не непосредственно критическая скорость вихреобразования, а ее эффективная величина ркэ , завышенная в соответствии с формулой
%р = %а cos —g-,
где 0 ——период, а т — время релаксации. Численная обработка имевшихся экспериментальных данных позволила получить времена релаксации порядка 1 сек. Эти соображения были подтверждены в опытах Р. А. Баблидзе (1962), который наблюдал возникновение и распад вихрей при вынужденных колебаниях, происходивших с различной частотой и различной амплитудой при разных температурах. Подтвердились эти выводы и в экспериментах зарубежных ученых (Р. Д. Тейлор и Дж. Г. Деш, Proc. 5th Intern. Conf. Low Temperature Phys, and Chem. (1957), 1958, 164—168). Множитель cos (лт/0) искажает истинную зависимость критической скорости от периода колебаний. Перейдя с его учетом от ркэ к ркр, можно убедиться, что критическая скорость колебаний тяжелого диска от периода не зависит, а в случае стопки легких дисков или тонкостенной сферы наблюдается зависимость вида и^ ос О"1/2.
Изменение глубины проникновения вязкой волны, связанное с возникновением вихрей в пристенной области, было изучено в работе Э. Л. Андроникашвили, Г. А. Гамцемлидзе и Ш. А. Джапаридзе (1966), которые определили глубину проникновения закритического режима колебаний в сверхтекучую жидкость. ■
Обзор работ о колебательных явлениях в гелии II показывает, что советские ученые внесли в Зту область исследований фундаментальный вклад.
Вращения гелия II
ГТ 评 5・1・ Вступительные замечания. В соответствии с теорией Ландау, с одной стороны, и с теорией Онзагера ——Фейнмана, с другой, могут наблюдаться три типа вращения. Одно из них, вращение нормальной компоненты при неподвижной сверхтекучей, может наблюдаться только при очень малых угловых скоростях (формула (2.26') дает (окр 〜10~3 Нсек при R 〜1 см). Второй тип вращения, обусловленный системой вихревых нитей, реализуется в обычных условиях. Третьим типом движения является потенциальное вращение сверхтекучей компоненты, происходящее в отсутствие вихревых нитей и реализуемое в так называемых ирротационных областях (см. ниже). Большинство исследований как в СССР, так и за рубе-
жом посвящено второму типу вращения. Ниже будут опйсаны также работы, посвященные третьему типу движения (см. п. 5.11).
5・2・ Исследование вихревой структуры вращающегося гелия П. Еще в 1948 г. Э. Л. Андроникашвили заметил, что если судить по глубине мениска гелия II, то он представляется вращающимся Как целое (см. также Э. Л. Андроникашвили и И. П. Каверкин, 1955). Как уже отмечалось в п. 2.2, это обстоятельство связано с имитацией классического вращения (% =①广),осуществляемой наличием большого числа вихрей (2.27). При этом rot ⑦$ = 0 почти везде (кроме вихревых линий, на которых rot ⑦$ = оо), но ротор средней скорости отличен от нуля (см. также и. 6.3). Поскольку распределение cKdpocTeH во вращающейся сверхтекучей компоненте только в среднем совпадает с классическим, а в деталях
сильно отличается от него, вращающийся гелий II во многих отношениях сильно отличается от вращающейся вязкой жидкости. Прежде всего это касается ■его упругих свойств. Вихревые нити, пронизывающие жидкость параллельно оси вращения, уподЪбляют вращающийся гелий II железобетону с предварительно напряженной арматурой, и эта жидкость проявляет упругость на сдвиг (кручение относительно оси вращения). Этот факт был установлен Э, Л, -Андроникашвили и Дж. С, Цакадзе (1958). Непосредственным следст- ви:ем наличия ориентированной системы вихрей является анизотропия диссипативных процессов во вращающемся гелии II, которая проявляется при наблюдении колебаний
Рис. 6, Затухание колебаний различных тел в классической и квантовой вращающейся жидкости в зависимости от соотношения частот колебания Q и вращения (оо (а — вертикальные колебания цилиндра; 6 — аксиальные колебания цилиндра; g — аксиальные колебания диска; г — вертикальные колебания цилиндра над аксиально колеблющимся диском).*Рис. 6, Затухание колебаний различных тел в классической и квантовой вращающейся жидкости в зависимости от соотношения частот колебания Q и вращения (оо (а — вертикальные колебания цилиндра; 6 — аксиальные колебания цилиндра; g — аксиальные колебания диска; г — вертикальные колебания цилиндра над аксиально колеблющимся диском).*погруженных в него твер
Рис. 6, Затухание колебаний различных тел в классической и квантовой вращающейся жидкости в зависимости от соотношения частот колебания Q и вращения (оо (а — вертикальные колебания цилиндра; 6 — аксиальные колебания цилиндра; g — аксиальные колебания диска; г — вертикальные колебания цилиндра над аксиально колеблющимся диском).*
Рис. 6, Затухание колебаний различных тел в классической и квантовой вращающейся жидкости в зависимости от соотношения частот колебания Q и вращения (оо (а — вертикальные колебания цилиндра; 6 — аксиальные колебания цилиндра; g — аксиальные колебания диска; г — вертикальные колебания цилиндра над аксиально колеблющимся диском).*
дых тел. Эти явления, к описанию которых мы приступаем, подробно изложены в обзорах Э. Л. Андроникашвили, Ю. Г. Мамаладзе, С, Г, Ма- тиияна и Дж. С. Цакадзе (1961), Э. Л. Андроникашвили и Ю. Г. Мама- ладзе (1966, 1967)
Рис. 6 дает наглядную картину разницы между вращающимися классической и квантовой жидкостью, обнаруженной в подобных экспериментах, В первом столбце этого рисунка показаны колеблющиеся во вращающемся гелии тела и направления их колебаний, во втором столбце ——
зависимость логарифмического декремента затухдния от скорости вращения для классической жидкости (вода, гелий I), в третьем ——та же зависимость для гелия II.
Рассмотрим несколько подробнее каждый из экспериментов, изображенных на рис. 6.
Вертикальные колебания цилиндра. Пусть цилиндрическая； поверхность, ось которой совпадает с осью вращения гелия II, вращается совместно с жидкостью и одновременно колеблется в ней в вертикальном направлении. В классической жидкости такое движение возбудит цилиндрическую поперечную вязкую волну с глубиной проникновения и длиной волны, определяемыми формулой (4.3). Характер колебаний цилиндра не зависит при этом от скорости вращения. Аналогичная волна возникает ■ в таких условиях и в нормальной компоненте гелия II, однако ее параметры могут как не зависеть, так и зависеть от скорости вращения, в зависимости от того, взаимодействует ли с вихрями нормальная компонента, колеблющаяся вдоль них, т. е. в зависимости от того, равен нулю или отличен от него коэффициент у в формуле (2.28). Ю. Г. Мамаладзе (I960〉 показал *), что при у — 0 колебания будут протекать так же, как и в классической жидкостит а при у =# 0 должно наблюдаться линейное возрастание затухания со скоростью вращения (в связи с увеличением числа вихрей согласно формуле (2.27)). Поэтому эксперимент Дж. С. Цакадзе (1962), показавший отсутствие зависимости затухания от скорости вращения, следует рассматривать как доказательство равенства у = 0 (см.” однако, п. 5.6). Вертикальные колебания цилиндра в классической жидкости наблюдали Дж. С. Цакадзе и К. Б. Месоед (1962).
Аксиальные колебания цилиндра* Пусть теперь цилиндрическая поверхность, вращаясь вокруг общей с жидкостью оси, колеблется не вдоль, а вокруг этой оси. В таком случае в классической жидкости характер возникающей в ней цилиндрической поперечной вязкой волны вновь не зависит от скорости вращения. Но аналогичная волна в нормальной компоненте гелия II взаимодействует *с вихрями сверхтекучей компоненты, поскольку в ней жидкость движется поперек вихрей. В связи с формулой: (2.27) это взаимодействие тем сильнее, чем больше скорость вращения (см. формулу (2.28)). Ю. Г. Мамаладзе и С. Г. Матинян (I960) показали, что это приводит к линейному росту затухания колебаний диска со скоростью вращения. Выведенная ими формула находится в полном количественном согласии с экспериментом Дж. С. Цакадзе и И. М. Чхеидзе (I960) (а в случае классической жидкости ——с уже упоминавшейся работой Дж. С. Цакадзе и К. Б. Месоед, 1962).
Аксиальные колебания диска. Наиболее интересен случай аксиальных колебаний диска (также участвующего во вращении жидкости). Даже в классической жидкости такие колебания проявляют нетривиальные особенности, исследованные в работах Ю. Г. Мамаладзе и С. Г. Ма- тиняна (I960), Ю. Г. Мамаладзе, К. Б. Месоед и Дж. С： Цакадзе (1964),. Ю. Г. Мамаладзе (1964). Эти особенности связаны с тем, что плоская поперечная вязкая волна, генерируемая колеблющимся диском, может быть разложена на две волны с противоположной круговой поляризацией. Поскольку два направления круговой поляризации различно относятся к направлению вращения, две упомянутые волны приобретают различный
закон дисперсии, отличный от формулы (4.2):
(5.1)(5.1)依±)2= 一2包士 2叱
(5.1)
(5.1)
V
Следовательно, различны также глубины проникновения и длины волны «+» и «—».
В нормальной компоненте вращающегося гелия II эти обстоятельства дополнительно усложняются взаимным трением со сверхтекучей компонентой. Однако основным фактором, определяющим характер колебаний диска во вращающемся гелии II и его резкое отличие от колебаний в классической жидкости (см. рис. 6), являются волны, возникающие в самой сверхтекучей компоненте. Это ——упругие поперечные волны, генерируемые на вихревых линиях, присосавшихся к поверхности диска, колебаниями диска, которые направлены перпендикулярно к вихрям. Они также подразделяются на две простые волны с взаимно противоположной круговой поляризацией и с различными законами дисперсии, приводящими к различным выражениям для глубин проникновения и длин волн. Интенсивность этих волн, т. е. интенсивность взаимодействия колеблющегося диска со сверхтекучей компонентой гелия II, зависит от взаимного трения и особенно сильно от коэффициента скольжения вихрей вдоль поверхности диска (см. формулу (2.30'))・ Однако в любом реальном случае характер колебаний диска во вращающемся гелии II определяется в основном его взаимодействием со сверхтекучей компонентой. Поэтому имеет смысл, не приводя громоздких полных формул *), ограничиться сводкой следующих приближенных равенств, справедливых лишь при пренебрежении взаимным трением и скольжением (и при：?《| Й — 2(i>0 |)：
底土)2 _ _ ％ ◎ ± 2聞底土)2 _ _ ％ ◎ ± 2聞丛士"=干丛士"=干Q 土 2(do、Q 土 2(do、觴±)=嘉忘^=/觴±)=嘉忘^=/2vn2vnI ◎ 士 2(do I 'I ◎ 士 2(do I '区+> = oо ,区+> = oо ,Q + 2tt)0 'Q + 2tt)0 '(2g <R),(2g <R),(2s。> Q),(2s。> Q),
底土)2 _ _ ％ ◎ ± 2聞
底土)2 _ _ ％ ◎ ± 2聞
丛士"=干
丛士"=干
Q 土 2(do、
Q 土 2(do、
觴±)=嘉忘^=/
觴±)=嘉忘^=/
2vn
2vn
I ◎ 士 2(do I '
I ◎ 士 2(do I '
区+> = oо ,
区+> = oо ,
Q + 2tt)0 '
Q + 2tt)0 '
(2g <R),
(2g <R),
(2s。> Q),
(2s。> Q),
C2T = J^[ — /吩(/jTT^+i/ir-喻 +
+ /% ps -^^ /R + 2(o()](2(t>o < R),(5.9)
+ /%р$~^^ (/Q + 2(d()十，2(i)0 —(2o)o〉R),(5.10)
(2(oo<Q), (5.11)
7 - Yo= 号 J/^n (pR + 2铀 +/2o)0 - R) (2(0О>f2) (5.12)
Величина vs = е/(р8Г), где £ — энергия единицы длины вихря (его натяжение), а Г = 2冗无/тп ——циркуляция (см. п. 2.2), являясь, по сути дела, упругой константой вихря, играет тем не менее роль своего рода «кинематической вязкости сверхтекучей компоненты». Это легко заметить, сравнив только что приведенные формулы (5.2)—(5.12) друг с другом^ а также с формулами (4.2), (4.3), (4,11) и (4.12). '
В этой связи интересно заметить, что вклад сверхтекучей компоненты в затухание колебаний (второй член формулы (5.11)) обусловлен своеобразным упругим механизмом диссипации энергии диска. Эта энергия уносится на бесконечность волнами, бегущими по вихрю (Ю. Г. Мамаладзе, 1960; более подробное рассмотрение механизма взаимодействия можно найти в обзорах, цитированных в п. 5.2, и в статьях Ю. Г. Мамаладзе и С. Г. Матиняна, 1961, и Ю. Г. Мамаладзе, 1965).
Согласно формуле (5.7) глубина проникновения А；т ОдНОй из со. ставляющих упругой вихревой волны бесконечно велика. Учет взаимного трения делает эту величину конечной (конечны в реальных условиях и длины волны L^^). Тем не менее глубина проникновения 入!" при 2(оо <； V R практически всегда больше остальных трех глубин проникновения. В зависимости от расстояния между колеблющимся диском и ближайшей к нему поверхностью (дно, крышка, свободная поверхность, другой диск и т. д.) могут осуществляться либо условия «неограниченной» жидкости, когда справедливы формулы (5.9)——(5.12) *), либо условия, в которых возможна интерференция бегущих от диска и отраженных ^^^волн. В последнем случае возможно образование стоячих волн. В работе Э. Л. Андроникашвили и Дж. С. Цакадзе (1959) наблюдалось периодическое изменение затухания колебаний диска в связи с изменением расстояния между ними и свободной поверхностью жидкости. Эти данные позволили измерить длину волны и по первой из формул (5.7) оценить параметр vs (% 〜8 X 10-4 cj^/сек). Впоследствии 3. Ш. Надирашвили и Дж- С. Цакадзе (1966) исследовали аналогичные резонансные явления при колебаниях диска между двумя плоскостями, расстояние между которыми можно менять по желанию экспериментаторов. В этих экспериментах было получено значение vs = (8,83 士 0,25) X 10一& cj^/сек. 、
Вертикальные колебания цилиндра над аксиально колеблющимся диском. Последний эксперимент на рис. 6 посвящен измерению затухания вертикальных колебаний цилиндра над аксиально колеблющимся
диском (Дж. С. Цакадзе, 1963). В п. 5.3 отмечалось, что затухание вертикально колеблющегося цилиндра не зависит от скорости вращения в связи с отсутствием взаимного трения между вихрем и текущей вдоль него нормальной компонентой. При наличии под цилиндром колеблющегося диска ситуация меняется. Вихри искривлены бегущей по ним волной (в пределах глубины проникновения 入!一＞) и направление колебаний увлекаемой цилиндром нормальной компоненты уже не является направлением вдоль вихрей. Возникают взаимное трение и зависимость затухания от скорости вращения. Но это означает, что и в отсутствие вынужденных колебаний вихрей эффективный коэффициент взаимного трения может быть отличным от нуля в связи с нулевыми или тепловыми колебаниями вихревых нитей.
Коллективизация вихревых колебании. Максимум затухания аксиально колеблющегося диска и излом скоростной зависимости затухания цилиндра, вертикально колеблющегося над диском, приходятся на одну и ту же скорость вращения(о0. Эта скорость не зависит от температуры жидкости, а отношение (oo/Q (где Q ——частота колебаний диска, т. е. частота бегущей по вихрю волны) всегда равно величине порядка 0,1. При (Оо/R 〜0,1 происходят и другие характерные явления, часть которых будет описана ниже. , 、
Особая роль скорости вращения(оо определяется тем, что при соо = соо происходит коллективизация вихревых колебаний. При меныпих скоростях вращения расстояние между вихрями, равное согласно (2.27) величине |Ллй/(7п(оо)т превышает эффективный радиус JwJ(R ——2(оо), в пределах которого сверхтекучая компонента участвует в колебаниях вихря *). В таких условиях каждый вихрь колеблется независимо от другого. Скорость со。, при которой эффективные радиусы вихрей начинают перекрываться, определяется равенством
т. e.
萼=1^七尸。，2，(5/3)
в полном согласии с экспериментальными данными. Если ①。＞ ①。,то колебания одного вихря возбуждают колебания другого, и наоборот —— колеблющийся вихрь тормозит вовлечение другого вихря в колебания твердой поверхности, на которой он закреплен. Поэтому в точке(оо =①。 усиливается скольжение вихрей вдоль колеблющейся твердой поверхности. Это и приводит к падению затухания колебаний диска и к уменьшению наклона кривой скоростной зависимости затухания вертикальных колебаний цилиндра, протекающих над колеблющимся диском (рис. 6).
Релаксационные явления. Гелий I в гидродинамическом отношении является обычной классической жидкостью. В равномерно вращающемся сосуде он вращается как целое. Для гелия II равновесным является более сложный характер вращения. Как уже неоднократно отмечалось, только его нормальная компонента вращается как целое,
а сверхтекучая вращается вокруг отдельных вихревых нитей, вращающихся в свою очередь вместе с сосудом и нормальной компонентой. Что происходит ;при фазовом превращении Hei ——Не II, протекающем в условиях вращения? Ответу на этот вопрос были посвящены экспериментальные исследования|Э. Л. Андроникашвили, Р. А. Баблидзе и Дж. С. Цакадзе (1962, 1966). Они показали, что равновесная система вихрей в гелии II образуется с заметным опозданием, достигающим в определенных условиях 103 сек. Зависимость времени релаксации от скорости вращения имеет вид
т==тоехр j ,(5.14)
где а = 1,18 1/сек, а т0 зависит от конечной температуры (минимальная температура, при которой еще наблюдалась задержка в вихреобразова- нии, имеет порядок 2,12° К).
В этих экспериментах, основанных на использовании второго звука было показано также, что образованию равновесной системы вихрей предшествует стадия образования вихревых зародышей, в которой гелий II обладает изотропной неоднородностью ). Увеличение т при уменьшении (оОт описываемое формулой (5.14), объясняется, очевидно, тем обстоятельством, что чем меньше число образуемых вихрей, тем дольше приходится диффундировать зародышам до образования равновесной системы вихревых линий, выстроенных вдоль оси вращения.
Если гелий I, находящийся в равномерно вращающемся сосуде, не находится в тепловом ^равновесии, а интенсивно охлаждается путем откачки его паров, то вращение как целого уже не является для него равновесным. В таких условиях гелий Г кипит и в нем образуется макроскопический, видимый невооруженным глазом вихрь, извивающийся в области оси вращения. При охлаждении ниже 入-точки этот вихрь должен исчезнуть путем распада на микроскопические квантованные вихри. Однако, как показали эксперименты Дж. С. Цакадзе (1963, 1964), и в этом случае имеется [довольно длительная* задержка в образовании равновесной ситуации. Центральный макроскопический вихрь сохраняется и в гелии II (где он наблюдался ранее Э. Л. Андроникашвили и И. П. Каверкиным, 1955).
При обратном переходе Не II ——Не I, протекающем в условиях вращения, тоже отмечаются релаксационные явления задержки в исчезновении вихревой структуры и в переходе к вращению как целого. Прежде всего об этом можно судить по форме мениска жидкости. Дело в том, что при больших [скоростях ^вращения (порядка 10 рад/сек) мениск вращающегося гелия не совсем *гочно совпадает с классическим пароболоидом, а имеет небольшое коническое углубление по оси вращения (Э. Л. Андроникашвили и И. П. Каверкин, 1955). В упомянутых выше работах Дж. С. Цакадзе (посвященных центральному микроскопическому вихрю) наблюдалось сохранение такого углубления после перехода Не II ——Не I вплоть до температуры 3° К. С другой стороны, М. П. Кемоклидзе и Ю. Г. Мамаладзе (1964) показали, что образование такого углубления является результатом наличия системы квантованных вихревых нитей.
При более низких .скоростях вращения между вращающимися гелием II и гелием I нет визуально наблюдаемого различия. Однако временное сохранение системы вихрей в гелии I было обнаружено в эксиеримен-
нах Э. Л. Андроникашвили, Г. В. Гуджабидзе и Дж. С. Цакадзе (1964, 1966), в которых был использован метод аксиальных колебаний диска, участвующего во вращении жидкости. Как уже отмечалось в п. 5.5, затухание таких колебаний в гелии II превышает их затухание в гелии I на некоторую величину, обусловленную в основном утечкой энергии диска по упругой вихревой волне (см. формулу (5.11) и интерпретацию ее второго члена в п. 5.5). В описываемых экспериментах Э. Л. Андроника- 'Швили и др. обнаружилось, что это дополнительное затухание полностью сохраняется и после перехода Не II ——Не I (в условиях вращения). Переход от затухания, соответствующего наличию только вязкого механизма диссипации энергии, протекает в три стадии. За стадией неизменности затухания (сохранение вихрей) следует стадия быстрого падения затухания (отрыв вихрей, в формуле (5.11) сохраняется только первый член), а затем затухание плавно возрастает и достигает равновесного значения (в первом члене формулы (5.11) происходит увеличение эффективной плотности жидкости, участвующей в вязком взаимодействии -с вихрем, от значения рп, имевшегося в момент начала нагрева, до полной плотности р при конечной температуре). Максимальная температура, лри которой наблюдались такие релаксационные процессы, равна 2,27 °К. Время релаксации зависит также от соотношения скорости вращения и частоты колебаний. Оно максимально (〜18 мин} при(оо/й ~ 0,1, т. е.
、ИР且①0 ①0・
Аналогичные явления наблюдали Г. В. Гуджабидзе и Дж. С.. Цакадзе - (1966) при изменении температуры вращающегося гелия II (без перехода через Х-точку). И в этом случае в момент коллективизации вихревых колебаний ((оо =(оо) время релаксации достигает максимального значения (〜40 мин).
Р. А. Баблидзе (1965) и Г. А. Гамцемлидзе, Ш. А. Джапаридзе и К. А. Туркадзе (1966) изучали распад Вихрей после остановки вращающегося сосуда. В обоих экспериментах было показано, что в процессе распада число вихрей уменьшается по экспоненциальному закону. Период полураспада вихрей оказался величиной порядка минуты. В опытах Г. А. Гамцемлидзе и др., проведенных методом колеблющегося диска (Р. А. Баблидзе использовал метод второго звука), вновь проявился эффект коллективизации вихревых колебаний. Оказалось, что прекращение коллективизации, наступающее с уменьшением числа вихрей, приводит к уменьшению периода их полураспада (от значения порядка 70 сек до значения порядка 55 сек).
Интересно заметить, что времена релаксации, связанные с образованием (см. ниже) или исчезновением вихрей при изменении скорости вращения, в несколько раз меньше времен релаксации, связанных с изменением температуры равномерно вращающегося гелия. Это, очевидно,—— результат турбулентного движения нормальной компоненты, возникающего в первом случае и отсутствующего во втором. Классическая турбу- .лентность способствует развитию «квантовой турбулентности» и в свою очередь тормозится ею. Это особенно ясно видно при визуальном наблюдении мениска гелия II, приводимого во вращение (Э. Л. Андроника- швили и И. П. Каверкин, 1955). В отличие от мениска классической жидкости, практически одновременно с началом вращения принимающего параболоидную форму и впоследствии только углубляющегося, мениск гелия II довольно долго остается в средней своей части i/лоским. Изгиб мениска начинается у стенки вращающегося сосуда и постепенно рас- лпространяется к оси вращения, отражая образование вихрей в перифери-
ческой чабти сосуда и их продвижение в среднюю часть. Исследования Дж. С. Цакадзе (1964), Дж. С. Цакадзе и Л. В. Черемисиной (1966) показали, что процесс углубления мениска вращающегося гелия II отличен от аналогичного процесса в классических жидкостях (вода, Не I) как по количественным, так и по качественным характеристикам. В частности, при различных скоростях вращения и радиусах сосуда время развития равновесного мениска зависит универсальным образом в случае гелия II от произведения (о()Е, а в случае классических жидкостей —— от отношения a)QlH.
Фазовый переход во вращающемся жидком гелии. В предыдущем разделе были описаны явления длительных задержек в формировании равновесного для данной фазы гидродинамического состояния при переходе Не I ——Не II (и обратно) в условиях вращения. С другой стороны,, известно, что фазовым переходом второго рода, каковым является переход. Не I ——Не II, несвойственны явления перегрева или переохлаждения, часто сопровождающие фазовые переходы первого рода. Поэтому были предприняты прямые термодинамические исследования с целью выяснения вопроса о том, не меняется ли род фазового превращения в жидком гелии в условиях его вращения.
Прежде всего в экспериментах Л- А. Замтарадзе и Дж. С. Цакадзе (1964), Р. А. Баблидзе, Дж. С. Цакадзе и Г. В. Чанишвили (1964) была показано, что Х-точки неподвижного вращающегося гелия( неразличимы с точностью до 5 X 10-4 °К. Впоследствии выяснилось, что теоретически ожидаемый сдвиг Х-точки в результате вращения не может быть обнаружен при такой точности эксперимента (см. п. 6.2 и 6.7).
В качестве физической величины, измерение которой могло бы непосредственно определить род фазового превращения в жидком гелии, Э. Л. Андроникашвили и Дж. С. Цакадзе (1965, 1966) избрали плотность, жидкости. Плотность является первой производной термодинамического потенциала, и поэтому на кривой температурной зависимости плотности в точке фазового превращения имеется разрыв при переходах первого- рода и излом при переходах второго рода. Весьма точные измерения плотности, проведенные методом вращающегося пикнометра, показали, что плотность вращающегося жидкого гелия испытывает при 2,172 °К явно выраженный скачок на 0,02% своей величины (при ①。=30 Нсек) *). Точнее, скачок имеется на графике температурной зависимости плотности только в том случае, когда каждая точка графика является результатом равновесного измерения. В таком случае в гелии II наблюдается уплотнение жидкости в результате вращения, а в гелии I такой эффект отсутствует. Если же производить измерения в процессе нагрева вращающегося гелия,, то скачок плотности не наблюдается. Он сменяется обычным для Х-точки изломом, после чего жидкость остается уплотненной и в состоянии гелия I.
Эти исследования привели их авторов (Э. Л. Андроникашвили, 1966) к точке зрения, согласно которой во вращающемся гелии Х-точка (в которой исчезает или возникает сверхтекучесть и которая является точкой несмещающегося и не испытывающего никаких релаксационных задержек фазового перехода второго рода) совмещается с рядом фазовых переходов первого рода, связанных с исчезновением? (или образованием) квантованных вихревых нитей (ср. п. 6.2). Последние переходы легко перегреваются или переохлаждаются.
Уплотнение вращающегося гелия IL Уплотнение гелия II в результате вращения, упомянутое в предыдущем разделе, описывается эмпирической формулой
牛=a0沪 (5.15).
Зависящий от температуры коэффициент С (Т) возрастает при охлаждении жидкого гелия. Например, при скорости вращения ①。=30 Нсек относительное уплотнение Др/р меняется от величины порядка 4 X 10-4 при Т = 1,42° К до Др/р ^ 2 X 10-4 при Т《2,17 °К. Эти величины, которые могли быть измерены только в таких прецизионных экспериментах, как цитированные в п. 5.9 опыты Э. Л. Андроникашвили и Дж. С. Цакад- зе, тем не менее оказались слишком большими с точки зрения теории явления. Их нельзя объяснить сжатием жидкости центробежным давлением. Соответствующий эффект был бы на два порядка меньше наблюденного, несмотря на довольно большую сжимаемость гелия II. Предположение о том, что вращающийся гелий II имеет еще большую сжимаемость,, опровергнуто в специально поставленном эксперименте Р. А. Баблидзе- и Н. С. Гаврилиди (1966). Попытки *построить квантовую теорию этого- явления до сих пор не увенчались успехом. Э. Л. Андроникашвили (1966) высказал гипотезу, согласно которой уплотнение вращающегося гелия II связано с пространственной ориентацией ротонов в поле скоростей вращающегося гелия II, однако, по-видимому, и этот эффект недостаточно велик.
Устойчивость вращения гелия II между коаксиальными цилиндрами. Пусть гелий II помещен между двумя коаксиальными цилиндрами с радиусами Rr и Т?2, которые вращаются с угловыми скоростями ①。^ и (оо2. Тогда решение системы уравнений гидродинамики вращающегося гелия II показывает, что радиальные и вертикальные составляющие средних скоростей обеих компонент жидкости равны нулю, а их средние1 скорости вращения равны друг другу и определяются той же формулой,, которая справедлива для классической вязкой жидкости:
7,①02段一的4稣- ((0(и - й)02)玛成1 公4A*
Устойчивость этого решения была изучена в теоретической работе- Ю. Г. Мамаладзе и С. Г. Матиняна (1963), которые рассмотрели случай низких температур, когда всю жидкость можно считать сверхтекучейг (pn《ps, р$ р). В таком случае, а также при & —区1《1/2 (& + 区2) условие устойчивости решения (5.16) имеет вид
①02結-①仇蜀〉—2'冗21Vs区：t区:• (5.17》
Сравнение этого выражения с известным условием Рейли ①閱区；— ①例区：> > 0, справедливым для классической идеальной жидкости, указывает на стабилизирующую роль упругих вихрей, пронизывающих вращающуюся сверхтекучую жидкость. Формула хорошо согласуется с экспериментальными данными, полученными в США (см. Р. Дж. Доннелли, Phys. Rev. Letters, 1959, 3 ： И, 506—508; следует заметить, что экспериментальные данные этой работы не согласуются с теорией, развитой С. Чандрасекаром и Р. Дж. Доннелли, Proc. Roy. Soc. London, 1957, A241 : 1224, 9——36, в которой использовалась неполная система гидродинамических уравнений, не учитывающая упругость вихрей).
Ирротационные области. Если гелий II находится в зазоре между цилиндрами, вращающимися с одинаковой скоростью (оо, то
теория (минимизация свободной энергии) предсказывает нарушение однородного распределения вихрей с плотностью, определяемой формулой (2.27). Вблизи от поверхностей обоих цилиндров должны образовываться области, где вихри отсутствуют, а сверхтекучая компонента вращается потенциально по закону 以 = Г/(2лг) с циркуляцией Г, много большей кванта 2цК!т. Теории таких областей посвящены, в частности, работы М. П. Кемоклидзе и И. М. Халатникова (1964) и И. М. Халатни- кова (1965). .
В статье М. П. Кемоклидзе и Ю. Г. Мамаладзе (1964) показано, что ирротационная область должна образовываться и в односвязном объеме вращающегося гелия II, вокруг единичного вихря, расположенного вдоль оси вращения.
Экспериментальное подтверждение этих предсказаний найдено в экспериментах Дж. С. Цакадзе (1964)
Персистирующие круговые потоки сверхтекучей компоненты. Хорошо известно, что в сверхпроводящем кольце электрический ток яе испытывает никакого затухания неограниченно долго после выключения источника. Казалось бы, сверхтекучая компонента, не обладающая вязкостью, тоже могла бы неограниченно долго вращаться после прекращения вращения сосуда. Первая попытка обнаружить такой персистирующий ток сверхтекучей жидкости была предпринята Э. Л. Андроника- швили (1952), однако результат его эксперимента бы力 отрицательным.
В 1952 г. имелись весьма скудные сведения о вращении гелия II. В настоящее время причина отрицательного результата эксперимента Андр он икашв ил и вполне ясна. Дело в том, что до остановки сосуда он вращался со скоростью порядка 3 Нсек, при которой согласно формуле (2.27) образуется около 6000 вихрей на 1 的.см. После остановки сосуда эти вихри тормозят движение сверхтекучей компоненты, осуществляя взаимное трение между нею и тормозящейся нормальной компонентой. Ясно, что персистирующий ток сверхтекучей жидкости можно сформировать только в таких условиях, когда число вихрей в сосуде до его остановки невелико (тогда сверхтекучая компонента сможет сохранить часть момента количества движения к концу процесса распада вихрей), или еще лучше, если вращающийся сосуд вообще не содержит вихревых нитей, т. е. ирротационная область (см. п. 5.12) распространяется на весь сосуд.
Впоследствии персистирующие токи были обнаружены в работах английских и американских физиков *) и дальнейшее развитие этих работ привело к созданию сверхтекучих гироскопов ), в которых сверхтекучая компонента вращается по закону vs = Г/(2лг). При изменении температуры гироскопа в пределах Т V Т九 момент количества движения меняется обратимым образом пропорционально ps (в связи с сохранением циркуляции). Это обстоятельство позволило установить закон зависимости Ps от температуры в окрестности Х-точки )
-^ = 1,44(П-7)2/з- (5.18)
Значение этой формулы для теории сверхтекучести обсуждается в п. 6.8.
Феноменологическая теория сверхтекучести вблизи 1-точки
Уравнение равновесия. Изложенная в § 2 теория, основанная на картине слабо взаимодействующих элементарных возбуждений, оказывается недостаточной в непосредственной близости к Х-точке. По мере приближения к этой точке число элементарных возбуждений увеличивается, а их длина свободного пробега уменьшается. Это приводит к уменьшению времени жизни возбуждения. Время жизни возбуждения т связано с неопределенностью в его энергии соотношением As 〜й/т. В конце концов, неопределенность в энергии делается порядка самой энергии возбуждения 8 и само понятие энергетического спектра теряет смысл. Соответственно теряет смысл и формула (2.12), связывающая рп с энергией возбуждения. Теория сверхтекучести в этой области температур должна строиться аналогично общей теории фазовых переходов второго рода, разработанной Л. Д. Ландау в 1937 г. (см., например, Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, 1964). Основным в этой теории является введение параметра перехода т], который равен нулю выше точки перехода и отличен от нуля ниже. Вблизи точки перехода параметр т] мал и в теории Ландау все термодинамические величины разлагаются в ряды по этому параметру. Здесь существенно, что вблизи точки перехода время релаксации лараметра 刀,т.е. время, за которое этот параметр принимает равновесное значение, оказывается очень большим — большим, чем все другие времена релаксации в системе. Поэтому, задавая значения т) в каждой точке системы, можно описывать даже неравновесные состояния. При этом должно существовать дополнительное уравнение, описывающее приближение т] к его равновесному значению.
В теории взаимодействующих бозе-частиц естественным параметром фазового перехода является конденсатная функция 呼 введенная в п. 2.3. Именно эта величина обращается в нуль в точке перехода. С другой стороны, обращается в этой точке в нуль и плотность сверхтекучей части ps.. В настоящее время отсутствует строгая теория Х-перехода в гелии, которая позволила бы связать ps в точке перехода с "°. При построении простой феноменологической теории сверхтекучести вблизи точки перехода естественно предположить, что эти величины обращаются в нуль по одному и тому же закону, т. е. пропорциональны. В этом случае удобно ввести вместо 4f феноменологическую волновую функцию 屮 сверхтекучей части (В. Л. Гинзбург и Л. П. Питаевский, 1958):
^=/Дт=/¥^(6 ⑴
Из (6.1) видно, что,
Ps = Tn|2F. 0s = ^-Im (V In 2).(6.2)
Введенная таким образом функция 屮(равно как и основная идея излагаемой теории) аналогична волновой функции сверхпроводящих электронов в теории сверхпроводимости В. Л. Гинзбурга и Л. Д. Ландау (1950).
Прежде всего мы изложим теорию для случая, когда все величины не зависят от времени, а нормальную компоненту можно считать покоящейся. В этом случае термодинамический потенциал единицы объема жидкости, ограничиваясь первым членом разложения по градиентам ”, зиожно записать в виде
•尸=崇“咽? +芻(Р7，а*(6・3)
Коэффициент при |V2F подобран таким образом, чтобы при ps = const этот член переходил правильное выражение для кинетической энергии сверхтекучей части 1/2ps 若.Разумеется, это условие не может однозначно определить коэффициент при (V рф |2)2. Записывая (6.3), мы предположим, однако, что 2 входит в 尸 в виде единой функции комплексного переменного.
Полный термодинамический потенциал запишется в виде j 尸 dP. Уравнение для 屮 получается из условия минимума этой величины в состоянии равновесия. Варьируя по 屮*, получаем :уравнение
一(6出
Граничное условие для 屮 на поверхности жидкости имеет вид
2 = 0.](6.5)
Для дальнейшего существен конкретный вид функции 凡.Как и в обычной теории фазовых переходов второго рода, мы разложим bs по степеням параметра | 屮 |2:
岂= /\(P7) — a|W|2 + g|2|4.(6.6)
Следует отметить, что возможность такого разложения отнюдь не является очевидной- Точка перехода является особой точкой для термодинамических функций вещества, и разложение, вероятно, идет по каким-то дробным степеням | 屮 |2. Тем не менее ввиду отсутствия в настоящее время полной теории фазовых переходов второго рода мы будем пользоваться разложением (6.6) как дающим качественно правильное описание явлений вблизи точки перехода.
В точке перехода а (Р, Т^ — 0; разлагая по Т — 7\, получим
а=(备)％(? — %)=/(?—)•
В пространственно-однородном случае в равновесии
(а；)2Дср = СрП — ср1 — 7л р^ г Отсюда(а；)2Дср = СрП — ср1 — 7л р^ г Отсюдаd^ = 0,隔 12=集十=a* -Q ,
(а；)2
Дср = СрП — ср1 — 7л р^ г Отсюда
(а；)2
Дср = СрП — ср1 — 7л р^ г Отсюда
(Дср — скачок теплоемкости в точке перехода).
Принимая ориентировочно
=0,7 г^град^-слт3,=0,7 г^град^-слт3,Дср = 1,0 X 107 эрг-град~г-см~3,
=0,7 г^град^-слт3,
=0,7 г^град^-слт3,
получаем
с^ 比 4,5 X 10"17 эрг/град, 阮弋 4х10"40 зре・(^、(6.7)
Подставляя (6.6) в (6.4), получаем уравнение для 屮
為2
—&TA^~a^ + PI^I2^ = 0-(6-8)
Мы видим, что в рассматриваемом приближении уравнение для 屮 вблизи Х-точки совпадает, за исключением смысла коэффициентов^ с
685685Свойства квантовой жидкости
685
685
уравнением (2.38) в бозе-газе. Введя безразмерные переменные
业=0, 1=业=0, 1=V2moiV2moi(6-9)(6-9)
业=0, 1=
业=0, 1=
V2moi
V2moi
(6-9)
(6-9)
.можно записать.можно записать(6.10)(6.10)уравнение в виде
.можно записать
.можно записать
(6.10)
(6.10)
А帥о = ("I 2о |2 — 1) 2о・
Уравнение (6.10) позволяет рассмотреть вихревую нить в гелии вблизи Х-точки. Решение можно сразу получить, используя формальное ■ сходство уравнений (6:8) и (2.38). Распределение г|)0 в окрестности нити дается функцией, изображенной на рис. 3 (там она обозначалась через 屮广)， •.только теперь r0 = I.
Используя чйслённое значение а, получаем
(6.11)(6.11)4 X IO-8
(6.11)
(6.11)
Для того чтобы была применима излагаемая теория, использующая первый ★лен разложения по градиентам ”, необходимо, чтобы выполнялось нера- .венетво
Z》а 比 3 义 10"8 см.
Другой интересный результатт следующий йз теории,—— это сдвиг 2-точки для гелия, находящегося в тонкой щели или капилляре. Рассмотрим гелий в щели и направим ось 自 перпендикулярно к щели. В этом случае можно считать, что 屮о вещественно и зависит только от &・ Уравнение (6Л0) принимает вид
醬=(耽一1)业 (6.12)
с граничными условиями
2 = 0g Е = о, Е = &
где d ——толщина щели. Решение уравнения (6.10) с такими граничными условиями имеет вид
1/2 1/2
J 5 J У(1 —И2)(1—№2)= 6'
Ф = arcsin 虫"，Ф = arcsin 虫"，用一万，用一万，
Ф = arcsin 虫"，
Ф = arcsin 虫"，
用一万，
用一万，
a^i-yT^2C 哈1 + 匕一20,
где С определяется уравнением
d 1/2亓d 1/2亓"传d）三毕K传）"传d）三毕K传）
d 1/2
亓
d 1/2
亓
"传d）三毕K传）
"传d）三毕K传）
При этом, начиная с некоторого значения толщины пленки d = dc, не существует решения с “о * 0， т. е. пленка перестает быть сверхтекучей.
(6.13)(6.13)Для нахождения &с достаточно заметить, что полный эллиптический интеграл К (а/b) достигает своего минимального значения % н при dlb = 0. Отсюда
(6.13)
(6.13)
dc = nl = —~ — “у 2ma
Это означает, что температура перехода в пленке ниже, чем в случае больших объемов гелия. Соответствующее изменение находим из (6.13), которое можно рассматривать как уравнение для определения Тк при данной толщине d. Окончательно
(6.14)-(6.14)-a以2%22 X 10-w
(6.14)-
(6.14)-
°'九=_2rna收^苏
Полная система уравнений. Перейдем к построению более общих уравнений, пригодных для описания поведения гелия вблизи Х-точки в нестационарном случае (Л. П. Питаевский, 1958). В последующее изложение внесены изменения в соответствии с результатами М. П. Кемоклидзе (1965). Прежде всего получим уравнение для равновесного значения 屮 при условии, что нормальная часть жидкости движется со скоростью vn. Для этого нужно подобрать подходящий термодинамический потенциал, варьируя который по 屮* при постоянных vn и р, можно получить уравнение для ”・
Для нахождения этого потенциала учтем, что энергия единицы объема жидкости, согласно (2.6), составляет
(6.15)(6.15)Е = —2—F ^s ■ pn (^п —⑦б) + %,
(6.15)
(6.15)
где Eg — энергия в системе координат, где покоится сверхтекучая часть. Дифференцируя (6.15) с учетом (2.13) получаем
&Е = (「九％ + р$%) ■ dvs +&Е = (「九％ + р$%) ■ dvs +
&Е = (「九％ + р$%) ■ dvs +
&Е = (「九％ + р$%) ■ dvs +
富=百一Pn @71 一⑦s)■琢,富=百一Pn @71 一⑦s)■琢,TOTOИз этой формулы видно, что если ввести потенциал 宮，определенный равенством
富=百一Pn @71 一⑦s)■琢,
富=百一Pn @71 一⑦s)■琢,
TO
TO
d卷=(pnt*n + ps然)""％ — Pn (琢一％) ■ dvn ++ N)“P + T "S■
Таким образом,宮 и есть искомый потенциал в переменных ⑦§,券九，р и S~ Учитывая, что из (2.13) с точностью до членов (⑦九—力§)2 следует
находим окончательно для 宮
p吗1
宮=*巨一十рП (或一然产+&(6Л6)
Переходя к описанию системы с помощью гр-функции, заменим pf на 无2|V%j2/7n2 и (%—%)2 на I %V%—X?n%|2/7n2, где % = ］口 j：
富=礬1 V芥-鳥8-б12|2)1 %V%17ngi2+&
Варьируя теперь j 宮 dP no 屮*, получаем искомое уравнение равновесия, при наличии ⑦九：
—兽戢+嘉W加+小物)2一等誓diV0" + n(盡).8 = 0.(6.17)
При ⑦九=0 это уравнение эквивалентно (6.4). Отметим, что действитель* ная и мнимая части уравнения (6.17) имеют существенно различный смысл.
Действительно, вычитая из (647) комплексно сопряженное уравнение,, получаем просто
div(pn£% + ps ⑦ §) = 0,
т. е. уравнение непрерывности в стационарном случае. Действительная же часть (6.17) представляет собой уравнение для определения равновесной величины 2 ).
Переходя к выводу нестационарного уравнения для ”, отметим, что в основе всей излагаемой схемы лежит предположение, что состояние системы в какой-то момент времени полностью определяется заданием термодинамических переменных р, vn и г|)в некоторый момент времени. В частности, теми же величинами должна определяться и производная d^ldt. Учитывая это, запишем уравнение для 屮 в виде, аналогичном уравнению Шредингера в квантовой механике：
访若=(/一齿)2,(6.18)
где А и В — некоторые нелинейные эрмитовы операторы, действующие на г|х Необходимость наличия неэрмитовой части —IB в правой стороне (6,8‘)связана с релаксацией р$. Действительно, при 力=0 из (648‘) обычным образом следовало бы
'备 J Ps^ = O,
т. е. обычный закон сохранения для ps. Однако такое равенство могло бы выполняться лишь при отсутствии релаксации, которая и заключается в том, что ps превращается в рп до тех пор, пока не примет своего равновесного значения. Что касается оператора Л, то его вид можно определить из условия выполнения законов сохранения, галилеевой инвариантности и требования, чтобы в отсутствие релаксации для ps было справедливо уравнение непрерывности вида
零+ divps0e = O.
При этом, как оказывается,
/=_费a +叫備)…+(務)•
Что касается антиэрмитовой части t月,то она, как уже говорилось, описывает приближение к равновесию и должна быть равна нулю в состоянии равновесия, т. е. когда равна нулю левая сторона (6.17) — точнее, вещественная часть этого выражения. Поэтому В можно записать в виде-
-崇山年+ Y)户+"(亲)},.
где Л — некоторый безразмерный коэффициентt пропорциональный обратному времени релаксации параметра ps.
Окончательно получаем уравнение для 屮 в следующем виде:
一込[―£▽(%+%*)+* [乎▽(%-%*)+"，％『一 -£-[V(% + %*)l2 + m^]}^ (6.18)
Комплексное уравнение (6.18) представляет собой фактически два уравнения: уравнение для скорости сверхтекучей части, заменяющее уравнение (2.14), и дополнительное уравнение для параметра ps. Кроме этого уравнения, полная система содержит также уравнения законов сохранения (2.15) и (2.16). При этом, однако, связанные со сверхтекучей частью члены в потоках J и И睛 выражаются через 屮：
Л= 号(”vw*—W*v”),Л= 号(”vw*—W*v”),丄1話5 =石石（丽丽丄1話5 =石石（丽丽也旦_ 叫* _ *322)'dxi дх^ 屮 dXi дх^ 屮 дх/, дх^ /也旦_ 叫* _ *322)'dxi дх^ 屮 dXi дх^ 屮 дх/, дх^ /(6.19)(6.19)
Л= 号(”vw*—W*v”),
Л= 号(”vw*—W*v”),
丄1話5 =石石（丽丽
丄1話5 =石石（丽丽
也旦_ 叫* _ *322)
'dxi дх^ 屮 dXi дх^ 屮 дх/, дх^ /
也旦_ 叫* _ *322)
'dxi дх^ 屮 dXi дх^ 屮 дх/, дх^ /
(6.19)
(6.19)
Наконец, в правой части (2.19) появляется член, связанный с диссипацией энергии при приближении ps к равновесному значению:'
Йв = ^|Бг|)р.(6.20)
В пределе малых градиентов pSl когда специфические квантовые члены в выражении (6.3) малы, можно заменить операторы —(，方/砌 V, действующие на 屮 в (6.18) — (6.20), на ⑦$・ В таком «квазиклассическом» приближении уравнения (6.18) — (6.20) приобретают вид
^+v (4+^+0 =°-[
零+ divpm=一某冲押+(器)],(6.21) &=¥[T+儘)『丿
В применении к проблеме распространения звука уравне^я (6.21) приводят к дополнительному поглощению, которое при малых частотах звука возрастает при приближении к Х-точке по закону (7\ — Т)~1. Этот эффект был впервые объяснен Л. Д. Ландау и И. М. Халатнико- вым (1954)..
Вращение гелия П. Стационарное вращение гелия II рассмотрено в работе Л. В. Кикнадзе, Ю. Г. Мамаладзе и О. Д. ЧейшвиЛи (1965). При таком движении полная система уравнений феноменологической теории сводится к требованиям отсутствия градиента температуры и стационарности распределения всех физических величин во вращающейся системе отсчета, а также к уравнению равновесия, приниманйцему вид
(词 + 5 X г)2 业一业 +1 业 I2 2о = 0.(6.22)
Расстояния и волновая функция здесь (и до конца этого раздела) измеряются в единицах, определенных формулами (6.9), а угловая скорость (0о — в единицах 2а/%8,6 X 1010 (Т^ — Т) 1/сек (ср. п. 6.8). В случае
неограниченной жидкости можно показать, что это уравнение не имеет ненулевых решений, если угловая скорость соо превышает предел (о2 =
=0,5. Следовательно, при такой скорости вращающийся гелий II переходит в нормальное состояние. Переходя к размерной записи угловой скорости в системе CGS°K, замечаем, что .этот переход совершается со следующим сдвигом Х-точки (см., однако, п. 6.8):
6ГА= -2,Зх1О-ий)о- (6.23)
При (i)o —>(о2 решение уравнения (6.22) обращается в нуль непрерывным образом.
Уравнение (6.22) имеет решения, описывающие наличие в жидкости двумерных решеток вихрей. Кикнадзе, Мамаладзе и Чейшвили рассмотрели решетки с квадратной и треугольной симметрией. Например, для второй из них при coo《о)2 °ни получили
少=& eхp [一^»(3： + 2的)0 X
X (^士^工卜冲｛г« (КЗ л)1/2 (г/ + Уо) — у [ж + ж0 — « (КЗ л)1/2]2 J- , (6.24) где Со — нормировочный множитель (обращающийся в нуль вместе с (о2 — со。), ％о и у。一 произвольные числа, благодаря наличию которых решетка произвольно смещена относительно начала координат, зафиксированного на оси вращения нормальной компоненты, 2г и S2 — суммы по всем четным и нечетным п соответственно.
Анализ выражения (6.24) показывает, что сверхтекучая компонента совершает сложные движения, различные .в разных областях пространства. Вихревые точки (в которых 屮о = 0) вращаются вместе с нормальной компонентой, а сверхтекучая компонента совершает в их окрестности вра^ щение вокруг отдельных вихрей. Вращаются вместе с нормальной компонентой и центры правильных треугольников, образуемых соседними вихревыми точками. В этих центрах | г|)0 | = max, а сверхтекучая компонента вращается в их окрестности вокруг оси вращения нормальной компоненты с постоянной линейной (а не угловой!) скоростью- Такое движение является суммой совместного с центром вращения жидкости вокруг оси % = у = =0 и обратного вращения вокруг центра с угловой скоростью —①。 (действительно,(в0 х г —(в0 X (г — гс) = 5 X гс).
Использовав аналогию между вихревыми решетками во вращающемся гелии II и вихревыми решетками А. А. Абрикосова (1957) в сверхпроводниках, можно заключить, что решетка с треугольной симметрией, описываемая формулой (6.24), является энергетически наиболее выгодной среди всех решеток с элементарной ячейкой в виде параллелограмма.
Способность двумерных вихревых решеток вращаться как целое была подтверждена также в работе В. К. Ткаченко (1965). Хотя Ткаченко рассматривал не вихри гелия II, а линейные («точечные») вихри в классической идеальной несжимаемой жидкости, мы все-таки упомянули здесь о его результатах, чтобы более не возвращаться к этому вопросу. В. К- Ткаченко (1966) показал также, что квадратная вихревая решетка является неустойчивой, а треугольная устойчива.
Феноменологическая теория вращения гелия II в сосуде конечного размера рассматривалась Л. В. Кикнадзе и Ю. Г. Мамаладзе, результаты которых изложены в обзоре Э. Л. Андроникашвили и Ю. Г. Мамаладзе (1966). Была определена зависимость от радиуса сосуда той угловой скорости, при которой происходит переход в нормальное состояние (и которая стремится к(о2 при 7?т 8, т・ е. при RU 》1). Показано, что образование и исчезновение вихрей сопровождается скачкообразным изменением 44 Механика в СССР* том 2
волновой функции и первых производных свободной энергии (фазовый: переход первого рода).
Максимальная и критическая скорости. Из уравнения (6.17) (см. подстрочное примечание к этому уравнению) следует, что в неограниченном по объему гелии II плотность сверхтекучей компоненты определяется скоростью ее движения относительно нормальной компоненты:
产=1业12 = 1一讲(6.25)
(скорость измеряется в единицах h/(ml), /2 — в единицах а/p). Поэтому максимальным, совместимым со сверхтекучестью значением и является единица: рт = 1 (Л. П. Питаевский, 1958; такой же результат был получен еще до создания феноменологической теории сверхтекучести И. М. Лифшицем и М. И. Кагановым, 1953). При и = и7n сверхтекучесть исчезает путем плавного обращения ps в нуль.
Однако, как было замечено Юг Г. Мамаладзе и О. Д. Чейшвили: (1966), трудно представить себе эксперимент, в котором регулируется скорость V и измеряется ps. Обычно регулируется не скорость, а поток жидкости, плотность которого j = /2р в рассматриваемом случае составляет
/=(!-”)〃(6.26)
Поток максимален при значении и
睜% =谪，(6.27)
которое называется критическим. При р = рс, / = Утах = 7с» где
7с =_^~ ■(6・28>
Не трудно показать, что при / >/с уравнение (6.17) вообще не имеет ненулевых положительных решений относительно /, в то время как при: j = jc имеем
& = ■!・(6.29)-
Таким образом, плавное увеличение потока должно привести к внезапному срыву сверхтекучести при критическом (а не максимальном) значении скорости и,, причем плотность сверхтекучей компоненты обращается в нуль скачком (Ю. Г. Мамаладзе и О. Д. Чейшвили, 1966).
Аналогичные результаты были получены Мамаладзе и Чейшвили при рассмотрении течения сверхтекучей жидкости в плоской щели с неподвижной нормальной компонентой, когда v = vs и;
*=1-器(6.30)
(6 = d/Z), что приводит к следующему обобщению формулы (6.13):
(6.31).
В случае особо узкой щели (6 > б —л > 0) Мамаладзе и Чейшвили: получили соотношения
(Т) 嗚，(6.32)>
九=奇(一書)"3字，(6-33>
九«一需)cos2 普，(6.34>
где ось у направлена поперек щели, стенкам которой соответствуют значения у = ± V26.
Подобные формулы, получены и для движения сверхтекучей компоненты в пористой среде, узость каналов которой предотвращает движение нормальной компоненты:
元=(6.35)
(6.36)(6.36)我等叫
(6.36)
(6.36)
(6.37)
где черточка сверху обозначает усреднение по объему, содержащему много пор, а2 ^ 1 — 6д/62, 6 — поперечный размер пор, 6С — его критическое значение (л для плоской и 2,4 для цилиндрической щели), b — объем пор в единице объема пористой среды, с — численный множитель порядка единицы, определяемый формой сечения каналов (с =产/(У2)?, для узких плоских щелей с ^ 3/2, для узких цилиндрических каналов с ^ 2,1, с —> 1 при 6 —> оо.
В заключение отметим, что значению рт = 1 в используемых нами единицах соответствует в системе CGS°K скорость порядка = 3,7 X X 103 (71%— Г)"% При температурах порядка 0—2 °К это довольно большая величина, порядка десятков метров в секунду, сравнимая с критической скоростью Ландау, равной 60 м/сек (см. п. 2.1). Тогда велика и скорость и,, в связи с чем критические явления, описанные в этом разделе, предваряются явлениями вихреобразования (см. п. 2.2, 3.1 и 4.6), протекающими при меньших критических скоростях. Однако при 7% или при уменьшении ширины щели (пор) рс -> 0 и в таких условиях можно было бы осуществить эксперименты по наблюдению явлений срыва сверхтекучести в связи с движением сверхтекучей компоненты.
6*5・ Течение сверхтекучей компоненты в узких щелях. Такое течение рассмотрено в работах Ю. Г. -Мамаладзе и О. Д. Чейшвили (1966, 1967), часть результатов которых уже приводилась в п. 6.4.
Для бесконечной (в направлениях % и z) плоской щели, которая ограничена плоскостями у = ±'/26 и в которой сверхтекучая компонента течет вдоль оси %, а нормальная неподвижна, распределение плотности.сверхтекучей компоненты поперек щели описывается формулой
f =(等—力,产岛衣］，(6.38)
где sn — эллиптический синус, u = k, а /0 = / (х, 0, 2)= /^^ определяется равенством
，=尸 二 К ( /,(6.39)
где К — полный эллиптический интеграл первого рода.
В случае экстремально узких щелей (6 拄冗)эти формулы дают
尸《4(iT)cos*(6.40户
Аналогичная формула с заменой cos (:пу/6) на Jo (7oi"E) имеется в случае* цилиндрического капилляра с радиусом R (Jo — функция Бесселя 701 — ее первый корень).
В случае щели конечной (но большой) длины (вдоль оси х) приближенным решением уравнения (6.17) является функция вида
к %® cos*(6.41)
где 厶(％)—медленно меняющаяся функция своего аргумента, удовлетворяющая уравнению
需% —= )(6-42)
Замечательным следствием этого уравнения является возможность существования сверхтекучего потока не только при 6 > 6с, но и при 6《6с, когда в бесконечно длинной щели сверхтекучесть вообще отсутствовала бы (даже в неподвижной жидкости). Формально это связано с наличием в уравнении (6.42) члена d^Jd", обращающегося в нуль для бесконечной (по длине) щели. Физически же этот факт объясняется влиЯ' нием, которое оказывают на жидкий гелий в щели с подкритическими размерами прилегающие к щели извне объемы сверхтекучего гелия. Вопрос об этом влиянии рассмотрен подробнее в п. 6.6.
Проникновение сверхтекучести в «нормальную» область. Жидкий гелий, размещенный в пространстве с произвольно меняющимися внешними условиями, составляет единую систему, и его состояние определяется единой волновой функцией (непрерывной и имеющей непрерывные первые производные). В связи с этим различные части этой системы оказывают друг на друга определенное влияние, в результате которого состояние жидкого гелия*в некоторой области пространства не может быть определено только условиями в рассматриваемой области, а зависит также от состояния жидкости в других областях (от существующих в них условий). Примером такой (квантовомеханической) взаимной обусловленности состояний жидкого гелия в различных областях является воздействие большого объема гелия на примыкающую к нему жидкость, находящуюся в узкой щели.
Пусть неподвижный жидкий гелий заполняет полупространство % V О и полубесконечную узкую тцель, уходящую в %-> + оо・ Пренебрегая краевыми эффектами (существенными только в области % ^ 0), распределение плотности сверхтекучей компоненты в щели можно описать формулой (6.41), где fi (%) определяется уравнением (6.42). Если 6 拄冗,то уравнение (6.42) имеет следующее решение:
九=(1—器)cth (/1—筈 金 + const) .(6.43)
Сравнивая формулу (6.43) с формулой (6.40), нетрудно заметить, что глубина проникновения влияния большого объема гелия II на гелий, заключенный в щели, является величиной порядка (1—л2/62) -1/2. При б -> л эта величина неограниченно возрастает и f * 0 во всей щели, несмотря на то, что щель имеет критический размер. Тогда в глубине щели / 〜：1/%・
Даже при 6 V 冗 уравнение (6.42) имеет ненулевое решение вида
g(6.44)
sh(K 器貝叶const)
В таком случае в глубине щели / ос ехр (—pM/辞—1 %)•
Ю. Г. Мамаладзе и О. Д. Чейшвили (1965—1967) детально рассмотрели подобные явления взаимного влияния «свободного» объема гелия II и гелия, заполняющего пористое вещество с каналами поперечного размера 6. Усреднив свободную энергию гелия в пористом веществе по объему, содержащему много пор, они получили (и решили при различных граничных условиях) уравнение
Ag+&2g — g3 一 皆=о, (6.45) где g = V予,J = j, а значение символов а, Ь, с объяснено в связи с формулами (6.35)—(6.37). Уравнение (6.45) является обобщением уравнения (6.17) при ^九=0 на случай пористой среды, а уравнение (6.42) является его частным случаем при b = 1, с = 3/2 (g = Д/]/2, J = % jmax)・ Формально уравнение (6.42) переходит в уравнение вида (6.45) при замене коэффициента 3/4 на с, в связи с чем решение одного из этих уравнений определяет также решение второго. Однако при рассмотрении усредненных решений для случая пористой среды задача упрощается ввиду отсутствия трудностей, связанных с учетом краевых эффектов у входа в щель. Требуется только соблюдение условий гладкого сшивания решений в «свободном» объеме гелия Н(а = Ь = с = 1)ив пористой среде. Например, если «свободным» является полупространство я： < 0, а пористая среда занимает полупространство % > 0, то при / = 0 и а2 > 0 имеем
Так же как и в случае единичной щели, здесь отмечается неограниченное возрастание проникновения влияния «свободного» объема в узкие поры с приближением размера пор к критическим (6 -> 6С, 1/а -> оо).
Другие примеры проникновения сверхтекучести в «нормальную» область рассмотрены в работах Л. В. Кикнадзе, Ю. Г. Мамаладзе и О. Д. Чейшвили (1966, 1967).
Аналог постоянного тока Джозефсона в гелии П. В теории сверх~ проводимости хорошо известно явление, когда ток, не встречая сопротивления, течет через нормальный металл (и даже изолятор), помещенный между двумя сверхпроводящими образцами. Оно именуется эффектом постоянного тока Джозефсона и объясняется проникновением сверхпроводимости в несверхпроводящую среду, аналогичным описанным в п. 6.6 явлениям. Поэтому ясно, что и жидкий гелий может протекать сверхтекучим образом сквозь узкую щель или пористую среду с подкритическими размерами (6《冗),если только к этим «нормальным» объемам примыкает достаточно большой объем сверхтекучего гелия.
Ю. Г. Мамаладзе и О. Д. Чейшвили (1966, 1967) предсказали этот эффект, рассмотрев пористую перегородку толщины 2d, разделяющую два полубесконечных объема гелия: х v —@ и % > @. Распределение плотности сверхтекучей компоненты описывается в этом случае
следующими несколько громоздкими выражениями: g(—%) = gQ),
при %>d
［当進»〕j｛（5（i）+
(6.47)
(6.48)
при
о<ж<rf, g= (go—-^а2)2—-у-青=(分—о-)'》。，g-》°
при
(*)"% =壶尸卜resin
QV%<C@, G<0*
g2—g1
，g2 —g^ +。-
、"2 /g+-g-、1/2、
/ 1 t分一丿丿1
(6.49)
32 .
P^* g^ +
Ь”、1/2、三））;
(6.50)
при этом
(^-^) lgW(^-i)^ =
={т(g3 — ^0)[g》+ (g；—
г 1 . 2ср
t+tcos т
при
gio =•
з + 3 cos 3
при
0
при
где gs, gd и g0 — значения функции g при ственно:
2, <
4 一
*)處+^备r，
%=8, z = d и % = 0
0《J2《泉、
4 一27
2 一
p
3
b
ф
йт+
2
IJ V
h 2一。
——2 就 J /|\ ^^2 1-4 一-
2一瀋
3 -2
b
1 -2
я 2
-)2 2一。 2统
(6.51)
соответ-
(6.52)
俗
Формулы (6.47)—(6.54) описывают функцию, практически постоянную во всем свободном объеме/и имеющую минимум в середине перегородки (% = 0). Эта функция исчезает (срыв сверхтекучести) при следующих критических значениях тока и минимальной плотности g° (d》1, I 〃 |《I)：
欧内备①+S+悪Гь
3以4 )8/2晒1：
(6.55)
(6.56)
В частности, при а = 0 (т. е. при 6 = 6С)
^0С~
144c2d6
"1/贏2ь
(6.57)
(6.58)
Таким образом, критическое значение тока действительно может быть отличным от нуля (т. е. сверхтекучее течение возможно) при 6<；6С.
В заключение отметим, что все явления, связанные с проникновением ■сверхтекучести в «нормальную» жидкость, описанные в п. 6.6 и 6.7, требуют для своего обнаружения применения чрезвычайно тонкой экспериментальной методики. Подобные эксперименты пока еще не проведены.
измерению плотности сверхтекучей5.13 (формула (5.18)), противоречатизмерению плотности сверхтекучей5.13 (формула (5.18)), противоречатПереоценка параметров феноменологической теории сверхтеку-
измерению плотности сверхтекучей
5.13 (формула (5.18)), противоречат
измерению плотности сверхтекучей
5.13 (формула (5.18)), противоречат
чести. Недавние эксперименты по компоненты, описанные в конце п. выражению
Ps = -J-Ps = -J-(Л-П,(Л-П,
Ps = -J-
Ps = -J-
(Л-П,
(Л-П,
полученному в п. 6.1. В связи с этим Ю. Г. Мамаладзе (1967) отметил, что сам по себе этот факт еще не является признаком неправильности разложения (6.6), использованного при построении феноменологической теории сверхтекучести. Оказалось, что можно удовлетворить современным -экспериментальным данным, сохранив разложение (6.6) и выразив коэф- -фициенты аир через плотность сверхтекучей компоненты и разность удельных теплоемкостей в сверхтекучем и нормальном состояниях ), подобно тому как это было сделано в п. 6.1《когда использовались ныне устаревшие данные). Полученные таким образом выражения
^ =等=1,44(7\ _ 7)2/3,
Ac = g 景儲)=5‘20x Uj^
лриводят к следующей переоценке величин а, 0, Z, рт и(о2: а = 1,11 X 10-16 (П-Т)"/з эрг,'
0 = 3,52 х 10-39(?入-?产 叩? 0tз,
(6.59)(6.59)Z =■—■ = 2,73 X 10-8 (以一г)-% см, 0m=备=5,8><103(?久一？)2/3 盡， 呗=尹 1,06 X 10U (T\ — T)4噥.
(6.59)
(6.59)
Следует подчеркнуть, что при этом остаются в силе все результаты теории, записанные в безразмерном виде при помощи единиц, определенных через аир (см. формулу (6.9)). В частности, безразмерная критическая ширина щели остается равной 6С = л, безразмерная максимальная скорость % = 1, максимальная безразмерная угловая скорость со2 = =1/2 и т. д. Однако при переходе к размерной записи результатов меняются не только их численные значения, но и характер полученных закономерностей, что связано с изменением показателей степени в формулах (6.59) по сравнению с ранее применявшимися выражениями.
В частности, формулы (6.14) и (6.23) для сдвига X-точки в узкой щели и во вращающемся сосуде видоизменяются следующим образом：
6П=-5,4Х «Г。喈а (6.61)
Сравнение с экспериментом, возможное в настоящее время только для первой из этих формул, показывает лучшее согласие теории с экспериментальными данными, чем при использовании формулы (6.14).
§ 7. Легкий изотоп гелия (Не3)и жидкие растворы изотопов гелия (Не3—Не4)
Теория ферми-жидкости. Вторая квантовая жидкость — жидкий Не3 по своим свойствам не имеет ничего общего с жидким Не4. В частности, при всех достигнутых до сих пор температурах он не является сверхтекучим. Теория, описывающая свойства Не3,— теория ферми-жидкости — была создана Л. Д. Ландау в 1956 г.
С точки зрения энергетического спектра совокупность атомов Не事 аналогична электронам в металле. Свойства этого спектра проще всего понять, если представить себе, что при абсолютном нуле температург когда жидкость находится в основном состоянии, в ней имеются элементарные возбуждения, которые заполняют в импульсном пространстве сферу с радиусом р§ = (SnW)1/3^, где N — число атомов гелия в единице объема. .
Возбужденные состояния отличаются от основного тем, что часть, возбуждений приобретает импульсы большие, чем р0, и покидают ферми- сферу. Внутри ферми-сферы при этом образуются пустые места («дырки»).
Взаимодействие между возбуждениями проявляется в том, что энергия жидкости не равна сумме энергий возбуждения — она является функционалом от функции распределения этих возбуждений по импульсам. Энергия элементарного возбуждения связана с изменением энергии единицы объема жидкости формулой
6e = \8面м⑺綜. (7.1)
Здесь 6" (&) — изменение функции распределения элементарных возбуждений. Формула (7.1) имеет простой физический смысл. Пусть изменение функции распределения сводится к добавлению одного возбуждения с импульсом р. Тогда из (7.1) следует, что 6£* = е (р). Таким образом, в теории ферми-жидкости энергия элементарного возбуждения определяется как изменение энергии жидкости при добавлении одного возбуждения. Отношение р,* величины р к скорости возбуждения и = д"др называется эффективной массой возбуждения. Она определяет теплоемкость жидкости при низких температурах：
Для жидкого Не3 р,* =2,4/Пз, где т3 — масса атома Не3.^Энергия элементарного возбуждения £ также зависит от распределения по импульсам остальных возбуждений. Изменение 8 при изменении п можно представить в виде
* ⑨)=j 〃然 #')6%(#')^^ • (7.2}
Функция ，(&,&'), описывающая взаимодействие между возбуждениями, играет основную роль в теории. При этом, поскольку во всех наблюдаемых эффектах существенны лишь возбуждения, находящиеся вблизи поверхности сферы, т. е. с импульсами, близкими к р(), фактически всегда можно положить \р I = I #' I = г。и считать, что / зависит только от угла 0 между р и pf : f = f (0).
Через функцию / выражается эффективная масса 卩*. Чтобы получить это соотношение, нужно использовать равенство потока элементарных возбуждений плотности потока импульса:
С 况 d3p f d3p
Варьируя это соотношение по ", легко получаем
* =靑一綜"cos8d(cos8)・(7・3>
Сжимаемость жидкости также выражается через /:
亲=磊+諡(爲门cos8)dcos8.(7阁
Измерения теплоемкости и сжимаемости позволяют поэтому оценить величину /. Если приближенно представить / в виде
/=喘?4几 +几 cos①,/=喘?4几 +几 cos①,(7・5>(7・5>
/=喘?4几 +几 cos①,
/=喘?4几 +几 cos①,
(7・5>
(7・5>
то, как оказывается, ,
Fo ^ 10, Л ^6. (7.6)
Своеобразными особенностями обладает распространение звука в ферми* жидкости. Обычный звук может распространяться в жидкости лишь при условии Q《W, где v — эффективное число соударений элементарных возбуждений. Поскольку в ферми-жидкости v = а Г2, то при достаточнонизких температурах затухание звука резко возрастает и звук перестает распространяться. Л. Д. Ландау показал, однако, что при выполнении обратного условия Q》w в ферми-жидкости могут распространяться колебания особого рода — нулевой звук (ранее возможность таких колебаний в ферми-газе со слабым взаимодействием между атомами была установлена В. П. Силиным, 1952). Скорость этого звука не выражается через сжимаемость жидкости, как для обычного звука, а определяется кинетическим уравнением для функции распределения элементарных возбуждений. Введя обозначение 刀=uju, где 办工一скорость звука, это уравнение можно для простейшего случая, когда функция / не зависит от 0(F* = 0), записать в виде
21n 碧—1=齐 (7.7)
Недавние исследования (В, Р. Абель, А. К. Андерсон и Дж. Ч. Уитлиг 10th Intern. Conf. Low Temperature Phys., 1966) показали, что нулевой звук действительно существует в Не3. Скорость его, вычисленная с помощью значений /, приведенных в (7.6), оказывается в прекрасном согласии с теорией.
Интересно отметить, что описанные свойства Не3 должны измениться при очень низких температурах. Как показал Л. П. Питаевский (1959), лри понижении температуры в Не3 рано или поздно должен произойти
фазовый переход, аналогичный фазовому переходу металла в сверхпроводящее состояние. Ниже температуры этого перехода Не3 будет сверхтекуч подобно Не4. В настоящее время, однако, неизвестно, находится ли переход в области температур, которые могут быть достигнуты экспериментально.
Основные положения теории растворов Не3—Не4. Добавление в жидкий гелий II даже небольших количеств примеси Не3 существенным образом меняет его термодинамические свойства, особенно в области 五изких температур. ,
Как уже говорилось в § 2, в чистом Не4 все термодинамические функции определяются поведением газа элементарных возбуждений — фононов и ротонов, точнее, зависимостью их энергий от импульса. При добавлении в Не4 атомов Не3 к газу фононов протонов добавляется еще один сорт элементарных возбуждений, связанных с атомами примеси. Как показали Л. Д. Ландау и И. Я. Померанчук (1948), примесные возбуждения взаимодействуют с фононами протонами, увлекаясь их движением, и не взаимодействуют со сверхтекучей частью жидкости.
Таким образом, примеси входят в нормальную компоненту жидкости, и при очень низких температурах, когда число фононов и ротонов резко падает, их вклад в термодинамические функции становится основным. Неудивительно поэтому, что свойства даже слабых растворов Не3—Не4 сильно отличаются от свойств чистого Не4 и в ряде случаев приобретают свои особенности.
Влияние примесей на термодинамические свойства гелия II было рассмотрено И. Я. Померанчуком (1949). В частности, им было показано, что нормальная компонента плотности раствора pn = Pno + Pnt существенным образом зависит от вида энергетического спектра примесных возбуждений (здесь рп0 — плотность нормальной компоненты чистого телия II, рп/ ——добавка к ней, обусловленная наличием примесей).
Если энергетический спектр примесных возбуждений имеет вид
•1。+慕， (7.8)
где £*()— нулевая энергия, а т* — эффективная масса примеси, то вклад лримесей рп» в рп не зависит от температуры и равен произведению числа возбуждений на их эффективную массу:
(7.9)
Здесь р — плотность жидкости, т3 — масса атома Не3, Хв — весовая концентрация раствора.
В дальнейшем указанный вид спектра был подтвержден экспериментально измерениями плотности нормальной компоненты растворов как непосредственно, по колебаниям стопки дисков (Н. Г. Березняк и Б. Н. Есельсон, 1956; В. Н. Григорьев, Б. Н. Есельсон, В. П. Мальханов и В. И. Соболев, 1966； аналогичные эксперименты производились и за границей: Дж. Р. Пеллам, Phys. Rev., 1955, 99 : 4, 1327—1328, Дж. Г. Деш и Р. Д. Тейлор, Phys. Rev., 1957, 107 : 5, 1228—1237), так и из опытов ио определению скорости второго звука в растворах. Опыты подтвердили независимость рп» от температуры в широком интервале температур {1,2° — 7\) и концентраций (0—27%) и позволили вычислить эффективную массу примесей. По последним данным
тп* = (2,38 土 0,04) m3.
Таким образом, с классической точки зрения частица примеси как бы увлекает своим движением некоторую долю сверхтекучей жидкости.
Теория Померанчука рассматривает слабые растворы Не3 — Не4. Пря малых концентрациях раствора атомы Не3 двигаются в сверхтекучей жидкости как свободные частицы, практически не взаимодействуя друг с другом. При достаточно низких температурах, когда число фононов и ротонов резко падает, примеси Не3 двигаются в Не4 как в вакууме, соударяясь друг с другом. Только при более высоких температурах становится заметным их рассеяние на фононах и ротонах. При этом, как показал И. Я. Померанчук (1949), для концентраций X > 10~5 рассеяние на фононах роли не играет, так как pn0 > pnz при температурах Т> 0,6 °К, т. е. при температурах, соответствующих ротонной области.
В этйх условиях, при не слишком низких температурах, Не3 в растворе можно рассматривать как идеальный одноатомный газ, подчиняющийся классической статистике Больцмана. При этом легко рассчитываются все термодинамические функции (энтропия, теплоемкость, нормальная плотность и др.)—в основном как добавки, обусловленные примесными возбуждениями, к соответствующим функциям чистого гелия IL Так, например, энтропия и теплоемкость, согласно вычислениям И. Я. Померанчука, выражаются формулами
S = S№MXE [(舒)(鑑广 + 打 (7.Ю) c = cQ + ^NQXkB.(7.11)
Здесь So и c0 — энтропия и теплоемкость чистого гелия II, N^ — число частиц в 1 см3 Не4, X ——молярная концентрация Не3. При достаточно низких температурах, когда плотность фононов и ротонов становится исчезающе малой и с0 обращается в нуль, теплоемкость растворов перестает зависеть от температуры и равна постоянной теплоемкости идеального- одноатомного газа 3/2 N^XkB.
Добавки к термодинамическим функциям из-за примесей могут быть, однако, в ряде случаев весьма существенными и в корне менять характер зависимости функций. Так, существенным образом меняется температурная зависимость скорости второго звука в растворах, содержащих даже незначительное количество примесей Не3 (И. Я. Померанчук, 1949; И. М. Халатников, 1951).
Необходимо также отметить, что слабые раствори Не3 — Не4 можно рассматривать как идеальные лишь в первом приближении. Опыт показывает, что в действительности даже сильно разбавленные растворы обнаруживают отклонение от идеальности, что проявляется в ряде свойств сме- «ей, как, например, в кривых равновесия «жидкость ——пар», в плотности и т. д..
Теория слабых растворов, развитая И. Я. Померанчуком, перестает выполняться при очень низких температурах, когда наступает вырождение примесного газа (То 石 0,1 °К).
В условиях вырождения поведение раствора описывается уже не классическими, а квантовыми законами, при этом необходимо учитывать взаимодействие частиц примесей друг с другом. Слабые растворы Не3 ——Не4 в области полного вырождения представляют собой квантовые ферми- жидкости. Их термодинамические функции будут подчиняться статистике Ферми, и в какой-то мере они будут аналогичны термодинамическим функциям чистого Не3..
Рис. 7. Кривые равновесия «жидкость — пар» смеси изотопов гелия по данным Б. Н. Есельсона и Н. Г. Березняк (Р, лм pm. cm.— X).Рис. 7. Кривые равновесия «жидкость — пар» смеси изотопов гелия по данным Б. Н. Есельсона и Н. Г. Березняк (Р, лм pm. cm.— X).
Рис. 7. Кривые равновесия «жидкость — пар» смеси изотопов гелия по данным Б. Н. Есельсона и Н. Г. Березняк (Р, лм pm. cm.— X).
Рис. 7. Кривые равновесия «жидкость — пар» смеси изотопов гелия по данным Б. Н. Есельсона и Н. Г. Березняк (Р, лм pm. cm.— X).
Однако температуры полного вырождения для слабых растворов- очень низки, гораздо ниже, чем у чистого Не3.
Ниже мы кратко остановимся на основных свойствах растворов при: температурах Т > То.
Кривые равновесия «пар ——жидкость». Диаграммы состояния «жидкость — пар» смесей Не3 — Не4 изучались многими авторами.
Наиболее полные данные были получены в Харькове (Б. Н. Есель- сон, Б. Г. Лазарев и Н. Е. Алексеевский, 1950; Б. Н. Есельсон и Н. Г. Березняк, 1954, 1956; Б. Н. Есельсон, 1954) и в США (Г. С. Соммерс, Phys. Rev., 1952， 88 : 1, 113—127; Т. Р. Робертс и С. Г. Си- доряк, Phys. Rev., I960, 118 : 4, 901—912). Метод состоял в определении точек росье смесей заданных концентраций при различных температурах. ТГаким образом были: получены кривые конденсации. Для снятия кривых точек кипения определялась температурная зависимость упругости пара растворов с различным содержанием Не3. Кривыа равновесия для сильно концентрированных растворов были изучены В. П. Пешковым и В. Н. Качинским (1956). Типичные кривые равновесия «пар — жидкость» в координатах Р, X (Т = const) представлены на рис. 7.
Как и для многих классических жидкостей, растворяющихся друг в друге в любых концентрациях, диаграммы состояния раствора Не3 — Не4 имеют вид сигар, ограниченных сверху кривой, составленной из точек ки- цения, а снизу кривой, составленной иа точек росы. Как и обычно, состояния вне сигары однофазные и являются состояниями либо жидкости, либо пара, а точкам внутри сигары соответствуют (по «правилу рычага») двухфазные состояния — смеси жидкости и
пара. Несмотря на внешнее сходство диаграмм состояния растворов классических и квантовых жидкостей, последние обнаруживают заметное отклонение от идеальности, т. е. от законов Рауля и Генри, причем это отклонение тем больше, чем ниже температура.
Температурная , зависимость плотности, 1-линия и кривая расслоения. Измерения плотности растворов с содержанием Не3 от 0 до 100% в интервале температур 1,3—3,7° К были проведены Т. П. Птухой (1958} методом пикнометра (см. также Э. Ч. Керр, Phys. Rev. Letters, 1964, 12 : 8, 185-187).
Зависимость плотности от температуры в растворах аналогична такой зависимости в чистом Не4. Однако излом, соответствующий Х-точке в Не4г в растворах сглаживается с увеличением концентрации.
Экспериментальные значения плотности всюду превышают теоретические значения, вычисленные в предположении аддитивности молярных объемов для идеальных растворов：
乙= хм+(1 —хм 暝.
(7-12).
Это означает, что в растворе существует более плотная упаковка атомов в сравнении с чистыми изотопами, приводящая к уменьшению парциаль- 五ых молярных объемов Не3 и Не4,
Из объемного сжатия растворов следует, что смешение Не3 и Не4 должно сопровождаться эффектом охлаждения, так как работа сжатия совершается за счет внутренней энергии жидкости. Последнее, как мы увидим ниже, подтверждается экспериментально.
Как было показано в работе Б. Н. Есельсона, М. И. Каганова и И. М. Лифшица (1957), в растворах Не3—Не4 переход из Не I в Не II остается фазовым переходом второго рода. При этом должны иметь место скачок производной по температуре от давления Р при переходе через А-точку
температуре от коэффициента распределе-температуре от коэффициента распределе-А等=(爲一X爾常謂 (7.13)
температуре от коэффициента распределе-
температуре от коэффициента распределе-
л скачок производной по лия Хп/Хж
A1rA1r(7-14)(7-14)
A1r
A1r
(7-14)
(7-14)
Здесь АС? — скачок молярной теплоемкости раствора в Х-точке. Наличие изломов на кривых Р (Т) и XJX^ (Т) в 7\ подтверждается на опыте.
При переходе через Х-точку, как показано в той же работе, должны также иметь место скачок теплоты смешения (количества тепла, поглощающегося при переходе моля Не3 из чистого вещества в раствор)
Л?з=-(1-Хж)ДСр^А (7.15) и скачок теплоты испарения .
(需)(7/6)
Экспериментальному определению Х-точек смесей посвящено множество работ, выполненных разными методами, в том числе исследования Б. Н. Есельсона, Б. Г. Лазарева и И. М. Лифшица (1950), Б. Н. Есель- сона, В. Г. Иванцова и А. Д. Швеца (1962), Т. П. Птухи (1958), К. Н. Зиновьевой и В. П. Пешкова (1959).
Как было показано в США (У. К. Волтере и Дж. М. Фейрбенк, Phys. Rev., 1956, 103 : 1, 262—263), взаимное растворение Не3 и Не4 в любых пропорциях имеет место лишь выше Тк = 0,88° К. При температурах Т V Т左 растворение Не3 ограничено, что приводит к расслоению жидкости на две фазы: нижнюю (тяжелую, богатую Не4) и верхнюю (легкую, богатую Не3).
В опытах В. П. Пешкова и К. Н, Зиновьевой (1957) (см. также К. Н. Зиновьева и В，П. Пешков, 1959) удалось визуально наблюдать расслоение раствора на две фазы. Проведенные этими же авторами измерения кривой расслоения методом визуального наблюдения хорошо совпали с данными других работ.
На рис. 8 наряду с Tmin 且 Т〃 представлена кривая расслоения растворов при давлении насыщенных паров по данным разлйчных работ. Состояния внутри кривой расслоения являются двухфазными. Концентрация фаз при температуре Т v Т尼 определяется абсциссами точек
Рис. 8. Диаграмма состояния смеси изотопов гелия (Т — X) при давлении насыщенного пара.Рис. 8. Диаграмма состояния смеси изотопов гелия (Т — X) при давлении насыщенного пара.
Рис. 8. Диаграмма состояния смеси изотопов гелия (Т — X) при давлении насыщенного пара.
Рис. 8. Диаграмма состояния смеси изотопов гелия (Т — X) при давлении насыщенного пара.
пересечения горизонтальной прямой Т = const с кривой расслоения, а относительные количества обеих фаз при исходной концентрации X определяются известным «правилом рычага».
В теоретической работе Д. Г. Саникидзе (1962) было показано, что Х-линия и кривая расслоения должны пересекаться под некоторым углом в случае, если особенность термодинамического потенциала в Х-точке сводится к конечному скачку его вторых производных. Если же в Z-точке вторые производные термодинамического потенциала имеют логарифмическую особенность, Аг линия касается кривой расслоения. Поскольку детально изучить окрестность этой особой точки на опыте пока не удалось, вопрос о характере особенности остается открытым.
Большой интерес представляет также поведение раствора вблизи абсолютного нуля. Важно знать, расслаивается жидкость при Г = 0 на чистые компоненты или существует некоторая ограниченная их растворимость. Исходя из теории слабых растворов изотопов И. Я. Померанчука (1949) и В. Н. Жаркова и В. П. Силина (1959) г можно показать (Д. О. Эдвардс и Дж. Г. Да унт, Phys. Rev., 1961, 124 : 3, 640 — 642), что правая ветвь кривой расслоения асимптотически стремится к оси ординат при Т f 0 таким образом, что практически при Т ^ 0,2 °К верхняя фаза содержит один Не3 (при Т = 0,2 °К X 尸 0,3%, а при Т = 0,1 °К X = 0,003%). Что касается левой ветви кривой, то теория Л. Д. Ландау и И. Я. Померанчука (1943) считает в принципе возможной некоторую ограниченнук> растворимость Не3 в Не4 даже при Г = 0. Эксперименты, проведенные недавно в США, подтверждают эту возможность. При Т = 0 °К Не3 может растворяться в Не4 без расслоения вплоть до концентраций X = 6%.
Отметим, что ход кривой расслоения вблизи Т = 0 со стороны слабых растворов Не3 — Не4 имеет важное практическое значение. Конечная растворимость изотопов при Т = 0 позволяет получать сверхнизкие температуры (〜 10-3 °К) в холодильной машине, использующей поглощение тепла при растворении Не3 в Не4 (см. п. 7.8).
Фазовая диаграмма смесей Не3 — Не4. Особенности в поведении смесей Не3 — Не4 при повышенных давлениях изучались экспериментально в работах К. Н. Зиновьевой и В. П. Пешкова (1959), Н. Г. Березняк, И. В. Богоявленского и Б. Н. Есельсона (1962, 1963), К. Н. Зиновьевой; (1963), И. В. Богоявленского, Н. Г. Березняк и Б. Н. Есельсона (1964), Н. Г. Березняк и И. В. Богоявленского (1966) и теоретически в работе И. М. Лифшица и Д. Г. Саникидзе (1958). Диаграмма состояния растворов в координатах Р, Т, X оказалась весьма сложной. В ней отражены особенности в поведении чистых изотопов: полиморфные переходы в твердой фазе, существование минимума на кривой плавления Не3, а также и Не4, Z-линия в жидких растворах и расслоение в жидкой и твердой фазах ниже соответствующей критической температуры.
Рис. 9. Диаграмма состояния при давлении Р = 23 атм по данным К. Н. Зиновьевой (Т, °К — X,%).Рис. 9. Диаграмма состояния при давлении Р = 23 атм по данным К. Н. Зиновьевой (Т, °К — X,%).возбуждений второй меха-возбуждений второй меха-
Рис. 9. Диаграмма состояния при давлении Р = 23 атм по данным К. Н. Зиновьевой (Т, °К — X,%).
Рис. 9. Диаграмма состояния при давлении Р = 23 атм по данным К. Н. Зиновьевой (Т, °К — X,%).
возбуждений второй меха-
возбуждений второй меха-
Следует подчеркнуть, что, как и чистые изотопы, смеси затвердевают даже при температуре абсолютного нуля лишь под давлением, намного превосходящим давление насыщенных паров, хотя и несколько раньше, чем чистые изотопы. Кривые затвердевания были получены в только что цитировавшихся работах Зиновьевой и Есельсона и др. Характерным
для них на (Р, Г)-диаграмме являются, во- первых, наличие минимума на всех кривых, включая и чистый Не4, а во-вторых, существование расслоения в жидкой смеси также и при повышенных давлениях.
Следует заметить, что в растворах наряду с кривыми затвердевания (появление первого кристалла) * существуют также кривые плавления (появление первой капли жидкости). Обе серии кривых смещены друг относительно Друга.
Полное представление о состоянии смесей может быть получено лишь из рассмотрения фазовых поверхностей в координатах Р, Т, X или совокупности сечений этих поверхностей плоскостями
Р = const или Т = const.
На рис. 9 представлена фазовая диаграмма растворов для давления Р = 23 ашм.
Кинетические коэффициенты: вязкость, теплопроводность, диффузия. Кинетические процессы в растворах осуществляются тепловыми
и примесными возбуждениями. Сталкиваясь друг с другом, фононы, ротоны и примеси переносят энергию и импульс. Рассмотрим каждый из коэффициентов в отдельности.
Вязкость. Теория вязкости слабых растворов (X f 10-4) была построена В. Н. Жарковым (1957). Вязкость раствора складывается из трех частей: ротонной, фононной и примесной. Поскольку вклад примесных возбуждений существен лишь при низких температурах, кривые зависимости вязкости от температуры должны быть аналогичны 刀(Т) для чистого Не4 в области высоких температур и сильно отличаться в области, где PnZ》Рп о-
Теоретические значения вязкости, рассчитанные по формулам Жаркова хорошо согласуются с экспериментальными данными, полученными при Т > 1 °К (Ф. А. Стаас, К. В. Таконис и К. Фоккенс, Physica, I960, 26 : 9, 669-686).
Теплопроводность. Механизмы переноса тепла в сверхтекучем растворе теоретически рассмотрены И. М. Халатниковым и В. Н. Жарковым (1957) и подробно изучены экспериментально Т. П. Пту- хой (I960, 1961). И в теории, и в эксперименте рассмотрены лишь слабые растворы с концентрацией 10~4—10-2, где примесные возбуждения можно рассматривать как идеальный газ.
Перенос тепла в растворах осуществляется двойным механизмом：
первый механизм — макроскопическое движение тепловых с коэффициентом макроскопической теплопроводности хт,
низм — обычная теплопроводность в газе тепловых возбуждений х, обусловленная диффузией элементарных возбуждений.
В соответствии с теорией Халатникова и Жаркова полный поток тепла связан с градиентом температуры соотношением
(7.17)
где р — плотность раствора, о。一 энтропия единицы массы чистого Не4, D — коэффициент диффузии примесей, рп и рп0 — плотность нормальной компоненты соответственно в растворе и чистом Не4. Коэффициент пропорциональности между потоком тепла и градиентом температуры равен эффективной теплопроводности раствора
= + k="кт + h- (7/8)
Макроскопическая теплопроводность хт убывает с числом тепловых возбуждений (рп»《 рпо) и, следовательно, будет падать с понижением температуры.
Истинная теплопроводность х растет с увеличением длины пробега фононов и, следовательно, будет увеличиваться с убыванием Т. Очевидно, когда доли тепловой энергии, переносимые этими двумя механизмами, сравняются, на кривой зависимости хэф от Т должен наблюдаться минимум.
Введение примесей уменьшает длину свободного пробега тепловых возбуждений и потому теплопроводность 乂@巾 с увеличением концентрации Не3 падает. Экспериментальные данные, полученные Птухой для хЭф, хорошо согласуются с теоретическими кривыми Халатникова и Жаркова.
Величина истинной теплопроводности х для очень слабых растворов по измерениям Птухи практически совпадает с коэффициентом теплопроводности чистого Не4, найденным из объемного поглощения второго звука К. Н. Зиновьевой (1953, 1956). С ростом концентрации примесей истинная теплопроводность 乂 падает за счет уменьшения длины свободного пробега.
Диффузия. Из температурной зависимости хт по формуле (7.13) нетрудно рассчитать коэффициент диффузии D. Такие вычисления были проведены Т. П. Птухой для интервала температур от 1,2 °К до Х-точки. В этой области диффузия определяется рассеянием примесей на ротонах (pj1t《 рпр). Так как число ротонов экспоненциально падает, а длина пробега I ^ р-соответственно возрастает, то коэффициент диффузии с понижением температуры должен расти экспоненциально.
Расчеты Птухи подтвердили указанную зависимость： D экспоненциально растет от 1 X 10-4 с^сек в Х-точке до 50 X 10-4 с^/сек при 1,2 °К. Эти данные в свою очередь хорошо согласуются с результатами экспериментов, проведенных одновременно в США.
Распространен ие первого и второго звука в смесях; влияние примесеи на скорость переноса гелия по пленке. Задача о распространении первого и второго звука в гелии П, содержащем примесь, была рассмотрена И. Я. Померанчуком (1949). Им было показано, что скорость первого^звука имеет обычный вид щ — у дР1др и мало меняется с добавлением небольших количеств примесей Не3. Влияние примесей на распространение второго звука, напротив, аномально велико. Выражение для скорости второго звука и2 в слабых растворах имеет вид
^L(^Y-k-^l (7」9)
С понижением температуры от Х-точки м2 в слабых растворах сначала растет быстрее, чем в чистом гелии, достигает максимума и далее стремится к нулю при Т f 0 вместо постоянного предела 办J，3 в чистом гелии.
В области очень низких температур, когда рп^》рп0, второй звук распространяется только по примесям и его скорость равна скорости звука в одноатомном газе с эффективной массой m*: м2 = ©I^kTIm *)^2. Как видно из приведенной формулы, при низких температурах скорость второго звука не зависит от концентрации и пропорциональна У^. Предсказание Померанчука дало толчок развитию экспериментальных исследований в ряде зарубежных лабораторий, в которых оно было подтверждено с большой точностью. Вычисленные из этих измерений значения эффективной массы т* совпадают со значениями т*, полученными в измерениях рп/р методом колебаний стопки дисков Андроникашвили.
Для растворов с концентрацией Х>6% кривая температурной зависимости скорости второго звука обрывается при некотором конечном значении, соответствующем температуре расслоения раствора Тр.
Распространение обычного звука в специфических условиях, когда нормальная компонента полностью заторможена (сеть очень узких каналов), получило название четвертого звука. Для слабых растворов выражение для скорости четвертого звука было получено в теоретической работе Д. Г. Саникидзе и Д. М. Черниковой (1964). Это выражение полностью подтвердилось опытами Б. Н. Есельсона, Н. Е. Дюмина, Э. Я. Рудавского и И. А. Сербина (1966).
Влияние примесей на скорость переноса гелия по пленке изучалось в работе Б. Н. Есельсона, А. Д. Швец и Р, А. Баблидзе (1958) для малых концентраций Не3. Опыты проводились вблизи Х-точки, где скорость переноса мала, с тем чтобы избежать перепада осмотического давления в сообщающихся сосудах, которое может возникнуть при больших скоростях переноса.
Оказалось, что в растворах скорость переноса по пленке падает с увеличением концентрации Не3 пр опорционально уменьшению плотности сверхтекучей компоненты Zpjp, где Л = 3,2 X 10-5 сз^Ксм-сек). В дальнейшем аналогичные опыты были продолжены и за границей.
Осмотическое давление, теплота растворения и их практическое использование для получения сверхнизких температур* Если два раствора Не3 — Не4 различной концентрации отделены друг от друга полупрдницае- мой перегородкой, то между двумя жидкостями возникает осмотическое давление: уровень жидкости будет выше там, где концентрация Не3 больше.
В качестве полупроницаемой перегородки можно использовать тонкую щель, проницаемую для сверхтекучего Не4 и непроницаемую для Не3. В том случае, когда с одной стороны находится чистый Не4, а с другой — раствор, осмотическое давление есть не что иное, как давление, производимое в растворе атомами Не3.
Очень слабый раствор (X f 0) можно рассматривать как идеальный газ, давление которого определится законом В ант-Гоффа
и =聆 (7.20)
где R — газовая постоянная, V — объем раствора. Элементарный подсчет показывает, что осмотическое давление в растворе Не3 — Не4 чрезвычайно велико. Так, для Х^1%иТ 〜1哝 П = 200 см Не. При столь больших давлениях обычный способ измерения осмотического давления
45 Механика в СССР, том 2
Рис. 10. П ринципиа льна я схема холодильной машины, основанной на рас- £% творении и диффузии Не3 в Не4.Рис. 10. П ринципиа льна я схема холодильной машины, основанной на рас- £% творении и диффузии Не3 в Не4.
Рис. 10. П ринципиа льна я схема холодильной машины, основанной на рас- £% творении и диффузии Не3 в Не4.
Рис. 10. П ринципиа льна я схема холодильной машины, основанной на рас- £% творении и диффузии Не3 в Не4.
по разности уровней становится практически невозможным. Поэтому обычно осмотическое давление в растворах Не3 — Не4 измеряют, определяя давление термомеханического эффекта в чистом Не4 (при выделении в нем тепла), необходимое для уравновешивания осмотического давления в растворе:
(7.21)(7.21)П — pS АТ.
(7.21)
(7.21)
Измерениями, проведенными в Англии и в Голландии (Г. Лондонт Г. Р. Кларк и Э. Мендоза, Phys. Rev., 1962,128 : 5,1992—2005; Д.Г. Н. Ван^ синк и К. В. Таконис, Physica, 1957, 23 ; 2, 125—139) было показано,, что с точностью до нескольких процентов осмотическое давление в слабых растворах (Х&4%) подчиняется закону В ант-Гоффа.
Кроме того, из этих же измерений следовало, что осмотическое давление П столь велико по сравнению с давлением пара (П/р = 1011 для X 〜 〜1 % и Т = 0,1 °К), что оно может быть весьма эффективно использовано для получения холода при адиабатическом разбавлении раствора Не4. Впервые эта идея была высказана Г. Лондоном (Proc. Intern. Conf. Low Temperature Phys., 1951, 157—100). Явление аналогично адиабатическому расширению газа. Поскольку энтропия Не4 при низких температурах практически равна нулю, слабый раствор Не3—Не4 будет вести себя как
газ, т. е. будет охлаждаться при адиабатическом расширении Не3 в Не4 под действием осмотического давления.
Второй весьма эффективный источник холода —— растворение Не* в Не4. При растворении Не3 в Не' атомы Не3 как бы переходят из жидкого состояния в газообразное, где взаимодействие между атомами Не* ничтожно мало. При таком переходе для преодоления сил сцепления атомов жидкости и увеличения объема от Уж до V газа необходимо затратить работу, численно равную теплоте растворения Q.
Наглядный физический смысл приобретает теплота растворения при очень низких температурах, когда в растворах существуют две фазы: верхняя — практически чистый Не3 — и нижняя ——слабый раствор (X 〜5%). В зтом случае переход Не3 из верхней фазы (жидкость) в
нижнюю (газ) аналогичен испарению и должен сЪпровождаться поглощением телла. Осмотическое давление в растворе при этом аналогично упру
гости пара над жидкостью.
В уже цитировавшёйся работе Лондона, Кларка и Мендозы было предложено использовать эффекты охлаждения при растворении и адиабатическом расширении Не3 в Не4 для получения сверхнизких температур. В ряде лабораторий мира были построены циклические машины такого типа. Наиболее эффективной из них оказалась машина Б. С. Неганова, Н. С. Борисова и М. Ю. Либурга (1966), позволяющая получать
Т = 0,03 °К ). Принципиальная схема ступени охлаждения этой машины изображена на рис. 10. Она состоит из ванны испарения А, содержащей слабый раствор (X 〜1%) при температуре Т л; 0,6 °К, и ванны растворения 月，содержащей двухфазный раствор при очень низкой температуре (0,03—0,1 °К). Граница между фазами (4) изображена пунктирной линией.
Принцип работы машины сводится к следующему. Мощным диффузионным и форвакуумным насосами откачивается пар из ванны испарения А. При этом происходит естественное разделение изотопов, так как при низкой температуре в паре содержится практически чистый Не3. С выхода насосов Не3, охлажденный предварительно в ванне Не4, поступает в змеевик 3, расположенный на дне ванны Л, и далее по трубке теплообменника 2 входит в верхнюю фазу ванны растворения В. На границе расслоения 4 происходит испарение Не3 из верхней фазы в нижнюю, сопровождающееся поглощением тепла. Под действием градиента концентрации в растворе возникает поток диффузии Не3 из ванны 3 (Хаб%) в ванну Л (X ~ 1 %) по трубке теплообменника 7, сопровождающийся охлаждением вследствие адиабатического расширения Не3. Холод при расширении Не3 используется в теплообменнике на охлаждение потока Не3, идущего в ванну растворения.
Эффективность работы машины зависит от скорости циркуляции Q молъ/сек Не3 в системе. Эта эффективность определяется производительностью насосов и качеством теплообменника. При идеальном теплообменнике без учета паразитных теплопритоков холодопроизводительность установки W = qQ em, где q — теплота растворения Не3. По расчетам В. П. Пешкова (1966) машина такого типа могла бы обеспечить охлаждение до 0,001 °К.
ГИДРАВЛИКА
О. Ф. ВАСИЛЬЕВ, В. М. ЛЯТХЕР *)
Введение 710
Развитие представлений о сопротивлении (потери механической энергии при движении жидкости в трубопроводах и открытых каналах) 712
Установившиеся потоки жидкости в трубопроводах и открытых руслах; потоки с переменным расходом по длине 717
Неустановившиеся течения жидкости 720
Неустановившиеся течения в напорных системах (гидравлический удар и уравнительные резервуары)'. .720
Неустановившиеся течения в открытых руслах и каналах . . . .725
Кинематическая структура и гидравлическое сопротивление неуста- новившихся потоков . . .730
Нестационарные задачи гидравлики судоходных сооружений (шлюзов и судоподъемников) 731
У станов ившиеся и неустановившиеся течения газа в длинных трубопроводах (газопроводах) 732
Установившиеся течения 733
Неустановившиеся изотермическиетечения 735
Неустановившиеся неизотермическиетечения 737
*) Предлагаемый обзор не следует рассматривать как исчерпывающее изложение всех направлений развития гидравлики в СССР. Стремясь дать характеристику современного состояния исследований, авторы уделили основное внимание в обзоре работам, формировавшим наиболее актуальные направления исследований в течение последних 15—20 лет (тем более, что предшествующему периоду развития гидравлики посвящен обзор И. А. Чарного в сборнике «Механика в СССР за тридцать лет》).
В отборе и изложении материала не могли не проявиться личные интересы и оценки авторов. Ясно, что в связи с этим часть выводов обзора или полнота изложения тех или иных разделов может представиться дискуссионной. Не исключено, что в обзоре могут быть и некоторые неточности или пробелы. Составители обзора заранее приносят свои извинения читателям и тем авторам, работы которых не нашли отражения в настоящем обзоре.
§ 1, 5, 9 и 11 обзора написаны О. Ф. Васильевым, § 3 и 4 — им же совместно с Н. А. Притвиц (в составлении п. 4.1 и 4.4 принял участие А. А. Атавин), § 2, 6, 8, 10, 12 и 13 написаны В. М. Лятхером, § 7 — упомянутыми авторами совместно с М. Ф. Склад- невым； окончательная редакция всего обзора принадлежит О. Ф. Васильеву. Большую помощь при составлении обзора оказали сотрудники лаборатории прикладной гидродинамики Института гидродинамики Сибирского отделения АН СССР, которым составители за это весьма признательны.
Авторы приносят благодарность также А. Г. Аверкиеву, А. Д. Альтшулю, Т. Г. Войничу-Сяноженцкому, Ф. Г. Гунько, Ю. П. Гупало, М. А. Дементьеву, И. В. Егиазарову, Н. А. Картвелишвили, Н. А. Михайловой, А. *Н. Рахманову, И. Л. Розовскому, М. Э. Факторовичу, Н. Н. Федорову, Б. А. Фидману, А. П. Юфину и другим лицам за полезные замечания и указания, позволившие существенно улучшить некоторые разделы обзора.
Учет многокомпонентности состава газовых смесей и фазовых переходов 738
Гидравлика гидротехнических сооружений 740
Пропускная способность отверстий гидротехнических сооружений740
Гидравлический прыжок и гашение энергии в гидросооружениях741
Потоки с высокими скоростями (аэрация, волнообразование, кавитация) 743
Силовое воздействие потока на границы (пульсация давления, явления г идроупруг ости) 747
Двумерные («плановые») задачи гидравлики открытых русел 750
Турбулентность руслового потока 753
Взвесенесущие и газожидкостные потоки, гидротранспорт 756
Общие вопросы теории взвесенесущих потоков 756
Наносонесущие русловые потоки 764
Взвесенесущие потоки высокой концентрации (гидротранспорт) . .767
Экспериментальные методы исследования взвесенесущих потоков 770
Газожидкостные потоки 772
Течения в деформируемых руслах 774
Движение жидкости на повороте русла и поперечная циркуляция в русловых потоках 779
. Течение неоднородных по плотности потоков (стратифицированные потоки) 784
13.Моделированиегидравлических явлений 786
Введение
Современная гидравлика является одной из прикладных отраслей гидромеханики в широком смысле этого слова. Развитие гидравлики определялось исторически потребностями ряда отраслей промышленного производства и техники, в первую очередь таких, как гидротехника, водоснабжение, машиностроение, теплоэнергетика, горное дело, нефтяная и газовая промышленность. Это в большой мере и предопределило содер-. жание данного раздела гидромеханики и особенности его методов.
В конце XIX — начале XX столетия в связи с ускорением промышленного развития России, повлекшим за собой и более быстрое развитие русской высшей технической школы, оживились исследования также и в области гидравлики. В этот период в высшей технической школе начали деятельность в области гидравлики профессора Б. А. Бахметев, А. Я. Милович, И. И. Куколевский, И. Г. Есьман, В. И. Чарномский и другие. Отдельным проблемам гидравлики посвящали свои исследования видные русские механики — профессора Н. Е. Жуковский и И. С. Громека. В этот же период в стране появились первые исследовательские гидравлические лаборатории.
После Великой Октябрьской социалистической революции бурное развитие народного хозяйства страны, осуществление Ленинского плана электрификации страны (ГОЭЛРО), стройки довоенных пятилеток послужили стимулом для интенсивного развития гидравлических исследований в стране, привели к созданию специальных научно-исследовательских учреждений с хорошей для своего времени лабораторной базой.
Строительство крупных гидроэлектростанций на реках Волхове, Днепре, Свири, Верхней Волге,-ряде рек Кавказа и Средней Азии, сооружение значительного числа тепловых электростанций со сложными системами водоснабжения, крупные ирригационные работы в республиках Закавказья и Средней Азии, создание новых водных путей сообщения, нужды водоснабжения, теплоснабжения и газоснабжения новых про- мьппленных предприятий и городов выдвинули перед советскими гидравликами ряд неотложных задач, новых проблем.
В этот период наибольшее внимание в гидравлике уделялось таким проблемам, как гидравлические сопротивления при движении жидкостей по трубам и каналам, неравномерное и неустановившееся движение воды в открытых руслах, неустановившееся движение в напорных системах, сопряжение бьефов гидротехнических сооружений, движение наносов в реках и каналах, деформации речных русел, гидравлический и термический режимы прудов-охладителей, градирен, брызгальных бассейнов, движение грунтовых вод. Значительное внимание было уделено развитию теории моделирования гидравлических явлений. '
В послевоенный период масштабы промышленного развития и строительства в СССР еще более возросли. Были сооружены крупнейшие гидростанции на Волге, ряд гидростанций на Днепре, Каме, Ангаре, Иртыше, Оби, Волго-Донской и Волго-Балтийский водные пути, крупнейшие оросительные системы, в том числе Большой Каракумский канал. Завершено сооружение гиганта гидроэнергетики — Братской ГЭС на реке Ангаре, близится к концу строительство другого гиганта — Красноярской ГЭС на реке Енисее, строятся такие мощные гидростанции, как Нурек- ская, Ингурская, Усть-Илимская, Токтогульская, Чарвакская, Зейская. Началось строительство крупнейшего гидроузла —— Саяно-Шушенского.
В связи с широким развертыванием строительства крупных и, особенно, высоконапорных гидроузлов перед советскими гидравликами встали новые проблемы, связанные с проектированием и строительством плотин и водопропускных сооружений, работающих в условиях больших расходов, напоров и скоростей, а поэтому и значительных динамических воздействий потока, иногда сопровождающихся кавитационными явлениями. По-новому пришлось решать также многие вопросы при проектировании судопропускных сооружений таких гидроузлов, причем в ряде случаев было решено применить уникальные по размерам судоподъемники.
Развитие ряда отраслей промышленности и теплоэнергетики (в частности, строительство крупнейших тепловых электростанций) потребовало создания специальных гидроузлов и сооружений для нужд промышленного водоснабжения и водоохлаждения. Это привело к быстрому развитию работ в области промышленной гидравлики.
Широкое распространение в гидротехническом и транспортном строительстве, горном деле получила гидромеханизация земляных работ, а также гмдродобыча и гидротранспорт угля. В связи с этим проблема гидротранспорта и другие гидравлические задачи, связанные с гидромеханизацией, вызвали большое число исследований.
Последние десятилетия знаменательны стремительным ростом нефтяной и газовой пр омытленн ости страны, интенсивным проектированием и строительством крупнейших нефте- и газопроводов (в частности, таких, как нефтепроводы Туймазы — Уфа — Омск — Красноярск — Иркутск и «Дружбам из районов Татарской АССР до Полыни, ГДР, Чехословакии и Венгрии, магистральные газопроводы Дашава — Киев — Москва, Ставрополь — Москва, Дашава — Минск — Ленинград, Бухара — Урал, Березов — Игрим — Серов — Нижний Тагил, а также новые системы газопроводов Средняя Азия — Центр, Западная Сибирь ——Европейская часть СССР). Это послужило мощным толчком для развития исследований по нефтяной гидравлике. Большую актуальность приобрели задачи по движению газа в магистральных газопроводах.
Характерной особенностью развития гидравлики в цашей стране в советский период является постепенно происходящее сближение этой прикладной отрасли гидромеханики с общими (фундаментальными)
разделами гидромеханики и механики вообще, а также с другими ответвлениями гидромеханики — теорией турбулентности, теорией пограничного слоя, теорией двухкомпонентных потоков, реологией, газодинамикой, теорией волн.
Как в《старых» отделах гидравлики, так и в тех, которые оформились, по существу, лишь в последние десятилетия (например, неустано- вившиеся течения в открытых руслах, взвесенесущие потоки), находят все более широкое применение теоретические методы исследования, свойственные и другим разделам гидромеханики. С другой стороны, значительная часть экспериментальных методов, применяемых в современной гидроаэродинамике, зародилась в прежней гидравлике, когда экспериментальный метод исследования вообще рассматривался как отличительная особенность последней. В силу всех этих обстоятельств отличием данного отдела гидромеханики от других все в большей мере становится не столько метод решения задач, сколько их круг (течения в трубопроводах, руслах и каналах, в инженерных сооружениях и т. Д.).
Ниже дается краткая характеристика основных направлений исследований в области гидравлики в СССР, связанных главным образом с гидротехническими приложениями.
Развитие представлений о сопротивлении(потери механической энергии при движении жидкостив трубопроводах и открытых каналах)
Учение о гидравлических сопротивлениях является одной из наиболее древних и традиционных областей гидравлики. Со времен первых измерений скорости потока и напора (или гидравлического уклона) при движении жидкости в трубах и открытых каналах известно, что потери напора (механической энергии потока) находятся в сложной связи со скоростью течения. Хотя характер этой связи был в значительной мере разъяснен еще в восьмидесятых годах прошлого столетия О. Рейнольдсом, все же вплоть до тридцатых годов нашего столетия систематических представлений обо всем комплексе факторов, определяющих гидравлические сопротивления, не было. Как известно, важную роль здесь сыграли исследования геттингенской гидродинамической школы, возглавлявшейся Л. Прандтлем.
Уже в первые годы после революции, в двадцатых годах, в нашей стране уделялось большое внимание проблеме гидравлических сопротивлений. .
Один из выдающихся советских гидравликов — Н. Н. Павловский критически проанализировал собранный им обширный экспериментальный материал по движению воды в открытых руслах и предложил в 1925 г. формулу для определения коэффициента Шези С, остающуюся и до сегодняшнего дня одной из лучших (для квадратичной области сопротивлений).
В тот же период развернулись также большие работы по изучению сопротивлений при движении нефти и нефтепродуктов в тру бопр ов одах ). В конце двадцатых годов их возглавили Л. С. Лейбензон и В. С. Яблонский ).
В дальнейшем исследования по гидравлическим сопротивлениям развернулись в СССР еще шире и прежде всего в связи с задачами, возникшими при проектировании в одопр ов одн о-канализационных, теплофикационных и газопроводных систем.
С некоторой степенью условности эти исследования можно расчленить на три группы:
изучение так называемых «местных» гидравлических сопротивлений;
изучение сопротивлений по длине при равномерном движении жидкостей, сводящееся, по существу, к установлению зависимости приведенного коэффициента сопротивления по длине 入 от различных факторов;
изучение механизма потерь энергии в потоке, что должно быть физическим базисом для надлежащего решения первых двух вопросов.
Определение коэффициентов местных сопротивлений издавна основывается, с одной стороны, на использовании экспериментальных данных об изменении энергии потока и, с другой стороны (в тех случаях, когда это возможно), на применении теоремы о количестве движения.
Систематические исследования местных сопротивлений были проведены И. Е. Идельчиком (1954, I960). Он значительно расширил класс задач о местных гидравлических сопротивлениях, характеризуемых наличием отрывных течений, которые при достаточно больших числах Рейнольдса могут быть довольно просто решены по обобщенной схеме Борда (для этого необходимо интуитивно или из опыта задать распределение скоростей и давлений в умело выбранных контрольных сечениях). В некоторых случаях (при сужении потока и наличии фиксированных точек отрыва) распределение скоростей или давлений в одном из контрольных сечений удается рассчитать с помощью теории струй идеальной жидкости.
Одним из недостатков решений, получаемых таким путем, является невозможность учета влияния числа Рейнольдса на коэффициент местного сопротивления. Материалы, собранные и полученные А. Д. Альтшулем (1962), свидетельствуют о том, что это влияние может быть существенным. Согласно опытным данным значение числа Рейнольдса, отвечающее началу автомодельной области, обычно тем ниже, чем больше значение коэффициента сопротивления. В частности, в схемах с отрывом потока автомодельность наступает при сравнительно малых числах Рейнольдса (экспериментальный материал, подтверждающий это, можно найти в книге А. П. Юфина, 1965).
Определение коэффициентов местных сопр отив лений значительно осложняется в случаях, когда эти сопротивления сильно зависят от сопротивления трения об ограничивающие поток стенки или дно. Такие трудности встречаются, например, при расчете длинных диффузоров.
Вопросу о сопротивлениях по длине и коэффициентах 入 или С = —/8g/A посвящено очень большое количество работ. Не будем касаться более ранних из них, указанных в обзоре И. А. Чарного (1950). Дальнейшие работы в этой области нашли отражение в монографиях Ф. А. Шевелева (1953,1954), И. Е. Идельчика (1954), А. П. Зегжды (1957), А.Д.Альтшуля (1963), А. Д. Альтшуля и В. И. Калицуна (1964), справочниках. И. Е. Идельчика (I960) и П. Г. Киселева (1961), а также в ряде курсов гидравлики и технической гидромеханики, в частности, в курсах И. И. Агроскина, Г. Т. Дмитриева и Ф. И. Пикалова (1964), А. Д. Альтшуля и П. Г. Киселева (1965), Н. 3. Френкеля (1956), Р. Р. Чугаева (1963), В. С. Яблонского (1961). Сведения о гидравлических сопротивлениях в трубах из различных материалов собраны в книгах А. С. Цейтлина (1963) и М. М. Сапожникова (1964).
К настоящему времени в практику инженерных расчетов прочно вошли представления о переходной и квадратичной (автомодельной) областях сопротивлений с соответствующими способами расчета. Наибольшее распространение получили логарифмические формулы, включающие относительную высоту выступов шероховатости, а для переходной области и число Рейнольдса. А. Д. Альтшуль (1952, 1958) на основе полуэмпи- рической теории турбулентности получил формулы для коэффициента гидравлического трения и профиля скоростей в трубах, действительные во всей области турбулентного течения. Отметим также формулы И. А. Исаева, Н. 3. Френкеля и П. И. Кудрявцева для труб.
Обстоятельное исследование сопротивления открытых каналов было проведено А. П. Зегждой (1938). Для коэффициента Шези при движении в открытых руслах И. И. Агроскин (1949), М. А. Мостков (1949) и В. Н. Гончаров (1954) предложили логарифмические формулы, действительные в квадратичной области сопротивления. И. И. Агроскин связал при этом ■относительную высоту выступов шероховатости с гидравлическим радиусом и коэффициентом групповой шероховатости ", по которому накоплено много опытных данных (И. И. Агроскин и др., 1964; Н. Н. Кременецкий, 1952; С. X. Абальянц, I960). Формула, предложенная А. Д. Альтшулем (1956), учитывает влияние на коэффициент Шези, кроме гидравлического радиуса и шероховатости, также и уклона дна русла. Вопрос о сопротивлении движению воды в земляных каналах большого сечения рассмотрен в работах М. М. Дидковского и И. А. Родионова (1955, 1956).
Как известно, формулы полуэмпирической теории турбулентности, для распределения скоростей и сопротивления содержат эмпирический параметр, называемый «константой^ Кармана. Г. В. Железняков (1950) и К. В. Гришанин (1962) предложили для лучшего согласования с экспериментальными данными считать параметр Кармана несколько изменяющимся в зависимости от относительной шероховатости русла или трубы.
Анализ опубликованных результатов приводит к выводу, что к настоящему времени задачу определения гидравлического сопротивления круглых труб и широких каналов при напорном движении однофазных (однокомпонентных) потоков в практическом плане можно считать в значительной мере решенной. Имеются надежные полуэмпирические методы, позволяющие учесть форму и величину шероховатости новых труб при разной технологии их изготовления, влияние стыков между трубами, изменение шероховатости в процессе эксплуатации. Учет этих факторов стал возможен лишь после накопления достаточно большого экспериментального материала, который был получен усилиями многих исследователей. В частности, могут быть отмечены обстоятельные экспериментальные исследования Г. А. Мурина (1948, 1951), И. А. Исаева (1951), Ф. А, Шевелева (1953), В. С. Яблонского (1957), И. Е. Идельчика (I960), М. А. Мосткова (1963), А. Д. Альтшуля и В. И. Калицуна (1964), М. М. Сапожникова (1964), И. Е. Ходановича и Г. Э. Одишария (1967). В настоящее время может быть поставлена задача построения методики расчета гидравлических сопротивлений круглых труб и широких напорных каналов. опирающейся непосредственно на параметры объективного описания физической шероховатости стенок (без проведения гидравлических испытаний). Имеется пример определения коэффициента шероховатости на основе обработки записей профилографом фактических неровностей обтекаемой поверхности (В. Р. Лозанский, 1958).
Несколько иначе обстоит дело с изучением гидравлических сопротивлений труб некруглого сечения. А. М. Обухов (1942), исходя из условий локального подобия турбулентных процессов в различных точках потока жидкости, предложил общий прием определения масштаба турбулентности («длины пути перемешивания») для потоков с поперечным сечением, представляющим произвольную односвязную область. Использование этого приема позволяет рассчитывать распределение скоростей в потоках с любым поперечным сечением. Работа А. М. Обухова до недавнего времени оставалась незамеченной гидравликами, предлагавшими для разных форм сечения потока разные и логически менее обоснованные пути обобщения схемы Прандтля (таково, например, предложение В. Н. Гончарова, 1954).
В последнее время появились работы, в которых намечен более общий подход к данной проблеме. Так, Н. И. Булеев (1962) предложил кинетическую модель механизма турбулентного обмена в потоках жидкости и на ее основе рассчитал поля скорости в каналах со сложными формами поперечного сечения ). .
Экспериментальные исследования течения в каналах со сложным поперечным сечением приводят к заключению, что традиционное использование гидравлического радиуса в качестве определяющей линейной характеристики сечения не всегда дает удовлетворительные результаты. Например, согласно известным опытам А. Базена сопротивление канала прямоугольного сечения примерно на 15% больше сопротивления канала полукруглого сечения при одинаковом гидравлическом радиусе и шероховатости границ потока ). Сведения о влиянии формы сечения канала имеются также в работах К. И. Арсенишвили (1963), А. А. Маастика (1963), В. Н. Козина (1965).
Наличие свободной поверхности потока вводит в число возможных ■определяющих переменных критерий Фруда.
Еще в тридцатых годах опытами А. П. Зегжды (1938, 1957) было установлено, что при равномерно-зернистой шероховатости дна закономерности изменения коэффициента X в зависимости от числа Рейнольдса в безнапорном спокойном потоке таковы же, что и в напорном потоке. Этот результат был подтвержден И. К. Никитиным (1963).
При числах Фруда, приближающихся к единице и больших единицы, судя по имеющимся данным, начинает проявляться влияние этого критерия. Впервые на это обратил внимание, по-видимому, Э. Линдквист (Теки, tidskr., 1925, № 30, 34 и 43).
В 1940 г. С. А. Егоров опубликовал результаты систематических опытов в малом лотке сечением 3,1 X 8 см? при числах Рейнольдса VRIv от 1000 до 16 000 и числах Фруда Fr = VlYgH примерно от 0,5 до 3,2. Егоров пришел к выводу, что коэффициент гидравлического трения имеет максимум при Fr ^ 2. Относительная величина максимума (в долях значения 入 при малых числах Фруда) по его данным уменьшается с увеличением числа Рейнольдса. Впоследствии эксперименты такого типа неоднократно повторялись в СССР и за рубежом. Однако различные* авторы приходили к разным выводам. Например, X. Рауз, Г. Колозеус и Дж. Давидян (Hydr. Res., 1963, 1:1), В. Н. Козин (1963) и ряд других
авторов наблюдали монотонное увеличение коэффициента % с ростом числа Фруда (при Fr >1) .Напротив, А. А. Маастик (1963) и Г. Дж. Трейси и К. Лестер (U. S. Geol. Water-Supply Paper, 1961, № 1592А) не обнаружили отклонений, превышающих ошибки измерений, в коэффициентах сопротивления при разных числах Фруда. При этом параметры потока варьировались в достаточно широком диапазоне. Например, в опытах Трейси и Лестера числа Рейнольдса изменялись от 36 X 103 до 700 X 103, а числа Фруда — от 0,18 до 3,96. Некоторые данные по сопротивлению бурных потоков опубликованы О. М. Айвазяном (1964) и, без указаний на влияние числа Фруда, А. М. Мухамедовым (1965) и А. Ю. Умаровым (1965). Следует отметить, что Анализ явлений в открытых потоках при больших числах Фруда часто встречает принципиальную трудность, связанную с неустойчивостью течения, образованием волн и общей перестройкой потока (см. п. 6.2). Изменение сопротивления здесь может быть связано с эффектами нестационарности движения (см. п. 4.3).
В последние годы А. Д. Альтшулем, Ю. П. Титовым и другими ставятся систематические эксперименты с каналами некруглого (например, треугольного) поперечного сечения, в которых можно получить устойчивый поток при больших числах Фруда. Имеются попытки теоретического объяснения возможного влияния критерия Фруда (первая такая попытка принадлежит, по-видимому, С. А. Егорову, 1940). В целом же вопрос о влиянии числа Фруда еще нельзы считать достаточно изученным.
Изучение механизма потерь энергии в турбулентном потоке, естественно, связано с изучением структуры самого турбулентного течения в трубах и каналах. Известно, что особое значение имеет структура потока в пристенной области. Структура пристенной области исследовалась кино- и фотометодами Б. А. Фидманом (1953), И. К. Никитиным (1963, 1965) и В. С. Нищуком (1965).
Интересные опыты по изучению влияния центробежных сил на гидравлические сопротивления во вращающихся трубах были поставлены В. И. Кравцовым (1948) и В： М. Касьяновым (1953).
Уравнения баланса энергии турбулентности, позволяющие количественно оценить роль процессов обмена и диссипации в общем процессе передачи энергии от осредненного движения к турбулентности и далее в тепло, впервые были привлечены к анализу поля осредненных скоростей А. Н. Колмогоровым (1942, 1946) и В. Г. Невзглядовым (1945, 1959). К настоящему времени в гидродинамике детально изучены отдельные составляющие уравнения баланса энергии турбулентности для течений в круглых трубах, широких каналах и в пограничном слое ). Важные измерения, объясняющие механизм «местных» потерь энергии при внезапном расширении потока, проведены Б. А. Фидманом (1953, 1958).
Измерения Е. М. Минского (1952) и Э. В. Залуцкого (1966) дают представление о распределении скорости генерации энергии турбулентности по сечению неравномерного безотрывного потока. Измерения турбулентных напряжений, выполненные А. Н. Шабриным (1963, 1964), позволяют оценить особенности передачи энергии от осредненного течения к турбулентности в неустановившемся потоке (подробнее об этом говорится в п. 4.3).
Как известно, передача энергии от осредненного течения к турбулентности происходит под действием турбулентных напряжений и пред-
ставлена в уравнении баланса энергии в виде члена putuj (dUildxj). Значительная доля генерируемой таким путем энергии турбулентности тут же диссипирует в тепло; меньшая часть переносится в другие зоны движения. Механизм диссипации энергии турбулентности при больших числах Рейнольдса представляется как непрерывная передача энергии от более крупных вихрей к более мелким вплоть до вихрей порядка внутреннего масштаба турбулентности, на уровне которых посредством обычного механизма вязкого трения в основном и происходит превращение механической энергии в тепло (Л. Ричардсон).
Использование уравнения баланса энергии турбулентности с сохранением только существенных членов, а также привлечение идей теории локально изотропной турбулентности открывает реальные возможности для феноменологического замыкания системы уравнений турбулентного потока. Таким путем с введением некоторых дополнительных предположений В. Г. Невзглядовым (1945) и В. Б. Левиным (1964) были рассчитаны распределения осредненных скоростей и других характеристик турбулентного течения в круглой трубе, а В. Б. Левиным — также и в плоском канале. Следует упомянуть здесь и работу Т. Г. Войнича-Сяноженцкого (I960).
Изучение структуры турбулентности на участках повышенной скорости диссипации энергии особенно целесообразно в связи с поиском новых путей управления сопротивлением.
Особый интерес представляет экспериментальное установление спектральных характеристик турбулентности, позволяющих оценить распределение энергии и скорости, диссипации энергии по волновым числам или частотам спектра, оценить характерные масштабы турбулентности. Данные о спектрах турбулентности в настоящее время имеются лишь для некоторых частных случаев движения (см. § 8).
. § 3. У становившиеся потоки жидкости в трубопроводах и открытых руслах; потоки с переменным расходом по длине
Важной технической проблемой гидравлики, возникающей в связи с задачами в одоснабжения, теплофикации, газоснабжения и вентиляции, является расчет сложных гидравлических систем. Еще в довоенное время широкое распространение получил разработанный М. М. Андрияшевым (1932), В. Г. Лобачевым (1934) и несколько позднее в США X. Кроссом так называемый «увязочный» метод расчета стационарных режимов работы кольцевых трубопроводных сетей. Другие довоенные работы по вопросам гидравлического и технико-экономического расчетов сложных водопроводных и теплофикационных систем освещены в обзоре И. А. Чарного (1950).
В связи с вычислительными трудностями, возникавшими при применении существовавших расчетных методов к проектируемым техническим системам, к концу сороковых годов появились специальные аналоговые устройства для расчета сложных гидравлических сетей (Л. Ф. Мошнин, 1950; В. Я. Хасилев, 1950).
С появлением цифровых ЭВМ, открывающих широкие возможности для решения подобного рода задач, центр внимания был перенесен на разработку способов их использования (Н. У. Койда и др.). Применение ЭВМ для решения более сложных задач по гидравлическим сетям начало все в большей мере вскрывать ограниченность ранее разработанных
расчетных методов, выявило ряд присущих им существенных недостатков. Стал необходим принципиальный анализ математических основ методов- расчета сложных гидравлических систем. Такое фундаментальное исследование недавно выполнено В. Я. Хасилевым (1964—1966). Построенная им теория гидравлических цепей опирается на современный аппарат матричной алгебры и последние достижения в области вычислительной математики, в том числе и методы нелинейного (динамического) программирования для расчета и оптимизации гидравлических систем.
Перейдем теперь к рассмотрению установившегося движения в открытых потоках. Одной из основных задач гидравлики русел и каналов является разработка методов расчета установившегося неравномерного движения жидкости.
Рациональным во многих случаях методом расчета неравномерных потоков в призматических руслах оказался предложенный в 1912 г. метод Б. А. Бахметева. В послереволюционное время для этой, же цели был предложен ряд других способов (Н. Н. Павловский, 1924; И. И. Леви, 1928; А. Н. Рахманов, 1931; Р. Р. Чугаев, 1931; К. А. Михайлов, 1932; М. Д. Чертоусов, 1934; И. И. Агроскин, 1944, и др.). Подобно этому метод расчета неравномерных ротоков в непризматических руслах, предложенный в 1914 г. В. И. Чарномским, был дополнен в советское время способами И. И. Леви (1925), И. И. Вейца (1935), М. Д. Чертоусова (1946), Ф. Г. Гунько (1951), Т. Г. Войнича-Сяноженцкого (1953). Частный случай движения с постоянной глубиной рассмотрели И. И. Леви (1925), М. Д. Чертоусов (1934), И. И. Агроскин (1940). В. Б. Дульнев (1954) выполнил анализ возможных форм свободной поверхности потока в непризматических руслах.
Методы построения кривых свободной поверхности при неравномерном движении воды в естественных руслах были разработаны А. Н. Рахмановым (1930), Н. М. Вернадским (1933), Н. Н. Павловским (1936,. 1937) и др.
Исследование форм свободной поверхности при установившемся движении в безнапорных закрытых водоводах при различных сочетаниях уклонов и глубин были выполнены М. Э. Факторовичем (1945, 1947)* и М. А. Мостковым (1951). Последним составлены таблицы для соответствующих расчетов, в том числе для туннелей некруглого сечения. Специальные методы построения кривых свободной поверхности в трубах круглого сечения предложили А. И. Островский (1955) и И. В. Журавель (1959).
Известной особенностью равномерного движения жидкости в безнапорных закрытых водоводах являются переход кривой расхода через максимум при частичном наполнении сечения и существование зоны двузначных глубин. Наличие такой зоны является общепризнанным и подтверждено тщательными экспериментами А. Г. Чанишвили (1947 1954, 1957), хотя отдельные авторы (например, А. С. Мейеров, 1953; Н. Ф. Федоров, 1956) получили опытные данные, противоречащие этому положению.
Более подробный обзор способов приближенного интегрирования уравнений неравномерного движения можно найти в курсах гидравлики М. Д. Чертоусова (1962), И. И. Агроскина, Г. Т. Дмитриева и Ф. И. Пикалова (1964), А. И. Богомолова и К. А. Михайлова (1965), в справочнике П. Г. Киселева (1961). Ряд номографических методов, в частностиг для расчета кривых подпора и спада в горизонтальных трапецеидальных каналах, разработан Г. С. Хованским (1956).
В теории неравномерного движения в открытых руслах представляет принципиальный и практический интерес направление исследований, связанное с выходом за рамки предположений теории плавно изменяющегося движения жидкости, т. е. с отказом от пренебрежения кривизной линий тока или от допущения о гидростатичности распределения давлений по поперечному сечению. В свое время этот вопрос был довольно подробно рассмотрен Ж. Буссинеском. Тем не менее интерес к нему не пропал. Некоторые исследования в этом направлении выполнены в сороковых и пятидесятых годах Г. И. Сухомелом, И. Л. Розовским, В. В. Смысловым, а йозднее И. А. Шеренковым (1966). Однако здесь еще нет обобщающих результатов, которые нашли бы отражение в практике инженерных расчетов.
Некоторое, вполне естественное усложнение расчетов неравномерного движения при принятии во внимание кривизны струй потока в настоящее время не должно представлять существенных затруднений,, если иметь в виду применение численных методов решения и ЭВМ. Поставленный вопрос важен и в теории неустановившихся движений в открытых руслах, в связи с чем мы вернемся к нему в п. 4.2.
Новое явление, сопровождающее движение воды в руслах с поймами, исследовано Г. В. Железняковым (1950, 1961, 1965). Оказывается, что взаимодействие руслового и пойменного потоков может приводить к заметному уменьшению пропускной способности основного русла. Это было подтверждено данными полевых измерений (Д. Е. Скородумов, I960), опытами на крупномасштабных моделях (С. И. Агасиева и А. Ш. Барекян, 1960, 1961), а также обстоятельными лабораторными экспериментами И. П. Спицына (1962, 1964). Физическое объяснение эффекта дано В. Н. Гончаровым (1962). Последний связал его с дополнительными потерями энергии в потоке в результате поперечного массообмена между руслом и поймой, которые должны быть особенно существенными при высоких градиентах продольных скоростей в поперечном направлении.
Подробное исследование потоков в руслах с поймами выполнено в последние годы Д. Е. Скородумовым (1965). Однако надежные методы расчета, учитывающие снижение пропускной способности главного русла в результате взаимодействия с пойменным потоком, до сих пор отсутствуют. (Заметим, что в зарубежной литературе первое описание явления массообмена между главным руслом и поймой появилось в 1964 г.: Р. Селлин, Houille blanche, 1964, 19 : 7, 7 93—802.)
Отдельное направление в исследованиях неравномерного движения жидкости посвящено потокам с переменным вдоль пути расходом. Краткий обзор развития гидравлики потоков с переменным расходом имеется в монографиях Г. А. Петрова ) (1951, 1964).
На явления, сопровождающие движение потока с переменным расходом, впервые обратил внимание Н. Г. Малишевский (1927, 1931). Производя опыты с дырчатыми трубами, он установил, что в конце трубы при движении с непрерывной раздачей происходит восстановление пьезометрического напора. В. М. Маккавеев (1928) составил уравнение движения струйки с переменным расходом, использовав уравнения Мещерского для движения точки переменной массы. Уравнение для целого потока с переменным расходом вывел Я. Т. Ненько (1937), который применил его для расчета дырчатых трубопроводов с непрерывной раздачей расхода вдоль пути. И. М. Коновалов (1937) получил независимо аналогичное уравнение и использовал его для расчетов движения жидкости в трубопроводах и каналах. Вывод основного уравнения потока с переменным расходом на основе энергетических соображений дан А. Н. Патрашевым (1940), который рассмотрел также формы кривых свободной поверхности таких потоков в призматических прямоугольных каналах.
Некоторые случаи движения открытого потока с переменным расходом рассмотрены В. Б. Дульневым (1955), Т. Г. Войничем-Сяноженцким (I960) и Б. Т. Емцевым (1965).
Расчеты потоков с переменным расходом широко применяются при проектировании боковых и траншейных водосбросов. Возникающие при этом специфические задачи рассмотрены С. И. Агасиевой (1956), П. Г. Киселевым (1957), Т. Г. Войнич-Сяноженцким (1958) и К. И. Долматовым (1962, 1963).
Изменение расхода вдоль пути может быть использовано для гашения энергии на быстротоках и в нижних бьефах гидросооружений. Конструктивные формы и расчетные схемы для таких устройств предложены Г. А. Петровым (1940, 1951, 1964), М. Э. Факторовичем (1952, 1956, 1958, 1961), Б. Т. Емцевым (1964,1965) и др. В последние годы вопросы гашения энергии при непрерывном присоединении расхода вдоль пути (в основном вопросы о расчетной оценке эффекта гашения и о выборе наиболее рационального и эффективного режима сопряжения) стали предметом дискуссии на страницах журнала «Гидротехническое строительство» (М. Ф. Складней, 1966).
Различного рода вопросы гидравлики расчета напорных водоводов с переменным расходом получили решение в ряде работ (В. М. Маккавеев и И. М. Коновалов, 1940; Г. А. Петров, 1951, 1964; М. Э. Факторович, 1953; В. А. Архангельский, 1959; В. Б. Дульнев, 1959; А. И. Егоров, 1960; Ш. М. Квинтрадзе, 1962).
Отметим здесь также экспериментальные исследования винтообразного потока с переменным расходом в промывных устройствах гидротехнических сооружений, выполненные А. И. Ары ков ой в 1956——1960 гг.
Неустановившиеся течения жидкости
Неустановившиеся течения в напорных системах (гидравлический удар и уравнительные резервуары). Явление гидравлического удара уже давно привлекает внимание исследователей. Первыми работами по теории гидравлического удара были исследования И. С. Громеки ), который дал строгое изложение основ волнообразного движения жидкости в упругих трубах с учетом инерции оболочки и сил сопротивления, и клас-
сическая работа Н. Е. Жуковского ), в которой составлены дифференциальные уравнения и дано общее решение задачи о напорном неустановив- шемся движении идеальной упругой жидкости в круглой цилиндрической трубе с упругими стенками. Разработанный Жуковским метод оказался весьма плодотворным и открыл пути для дальнейших широких обобщений. Из зарубежных исследований отметим известные работы итальянца Л. Ал лиев и (1903 и 1913). Так называемые локальные методы, берущие свое начало от «цепных» уравнений Аллиеви, широко применялись в начале тридцатых годов как при решении* задач для простых трубопроводов, так и при разработке приближенвдх методов расчета сложных сетей (М. А. Мостков, Н. М. Щапов, А. А. Морозов и др.— см. М. А. Мостков, 1954).
После работы С. А. Xристиановича (1938), в которой для расчета неустановившихся потоков в открытых руслах был развит метод характеристик, усиливается интерес к более общим и точным методам расчета гидравлического удара (Н. Т. Мелещенко, 1941; М. А. Мостков, 1944, 1952; К. Г. Асатур, 1950, 1958).
Предложенные О. Шнидером (1935) так называемые сопряженные уравнения гидравлического удара (представляющие собой не что иное, как интегралы уравнений характеристик гиперболической системы уравнений гидравлического удара) послужили основой вычислительных алгоритмов для систем любой сложности. Один из них был предложен М. А. Мостковым в серии работ, обобщенных в его совместной с А. А. Башкировым монографии (1952), другой ——Н. А. Картвелишвили (1948, 1951). Эти алгоритмы оказались очень удобными для реализации на ЭВМ.
Наряду с этим развивалось и другое направление — уравнения гидравлического удара упрощались с целью облегчения их интегрирования. В частности, исключением конвективных членов и линеаризацией члена, отражающего сопротивления, система уравнений гидроудара приводилась к телеграфному уравнению, решение которого разработано весьма подробно. Из исследований, относящихся к этому направлению, отметим работы И. Б. Соколовского (1950), А. И. Лурье (1950), Ю. Н. Гризодуба (1950), И. А. Чарного (1951, 1962), Д. Н. Смирнова и Л. Б. Зубова (1962, 1963).
А. А. Гриб (1952), Д. М. Волков и И. П. Гинзбург (1952), Д. М. Волков (1953), И. П. Гинзбург и А. А. Гриб (1954), а затем Ф. С. Чуриков (1964) получили точные решения линеаризованных уравнений гидравлик ческого удара в некоторых специальных случаях для трубопроводов с непрерывно изменяющимися по длине диаметром и толщиной стенки;
Задача о периодических колебаниях давления в трубопроводах и их системах благодаря исследованиям Ю. Н. Гризодуба (1950), Н. А. Карт- велишвили (1951), И. А. Чарного (1951) и Н. П. Белика (1965) может считаться в основном решенной, по крайней мере для сйстем цилиндрических труб без трения и при линейном трении (Н. А. Картвелишвили, 1961).
Много работ посвящено изучению явления гидроудара в различных специфических условиях. Отметим книги А. А. Сурина (1946), А. Е. Жму- дя (1953) и Л. М. Тарко (1963). Исследованию устойчивости систем регулирования с учетом явления гидравлического удара посвящены работы А. И. Лурье и А. И. Чекмарева, А. А. Соколова, И. П. Кабакова. В работе И. И. Куколевского (1949) дан систематизированный обзор ряда применений графического метода расчета гидроудара в турбинных* и насосных
установках. Анализ удара в гидромашинном оборудовании был предметом работ, проведенных Н. А. Картвелишвили, который разработал теорию предельных значений гидравлического удара в сложных трубопроводах (1951), что позволило в общем виде поставить задачу о минимизации веса трубопровода (1959). Картвелишвили (1951) провел также общий анализ неустановившегося режима в гидроэнергетической системе с учетом электрических явлений, возникающих при регулировании агрегата. Некоторые задачи теории гидравлического удара в связи с вопросами регулирования турбин гидроэлектростанций были рассмотрены в работах Г. И. Кривченко (1951). Среди задач, не решенных до настоящего времени, можно отметить задачу о гидравлическом ударе в отсасывающих трубах турбин.
В связи с нестабильностью реальных законов закрытия запорных органов трубопроводов (регулирующих органов турбин) в последние годы Н. А. Картвелишвили, И. А. Чернятин и Г. Е. Автономов (1963—1967) при рассмотрении неустановившихся явлений в трубопроводах перешли к применению вероятностных (статистических) принципов расчета и на этой основе начали изучение вопросов надежности трубопроводов.
Изучению гидравлического удара в напорной системе, имеющей уравнительный резервуар, посвящены работы многих исследователей, в том числе И. В. Егиазарова, М. А. Мосткова, Н. А. Картвелишвили, Н. Ф. Манджавидзе, Г. И. Кривченко, В. М. Клабукова, Н. А. Палиш- кина, А. Д. Гиргидова. Ими рассмотрен, в частности, случай уравнительного резервуара с дополнительным сопротивлением, которое увеличивает как проникновение («проскок») ударных волн в деривацию, так и удар в турбинных трубопроводах.
Гидравлический удар в трубах некругового сечения был рассмотрен Г. И. Двухшерстовым (1948).
В работах А. С. Балуевой (1956), И. П. Гинзбурга (1956) и Р. Ф. Громовой (1958, 1959) были начаты исследования гидравлического удара в условиях, когда материал. стенок трубы или жидкость не являются линейно-упругими (в частности, в трубах из упруго-вязких и релаксирующих материалов). Это приводит не только к количественным, но и к качественным отличиям от картины процесса, полученной на основе классической теории линейно-упругого удара.
Многие исследования посвящены изучению влияния воздушных и твердых включений на величину гидравлического удара, а также возникновению гидравлического удара при нарушении сплошности потока.
Вопрос о гидравлическом ударе при движении в трубах гидросмесей с твердой взвесью исследовался В. О. Токмаджяном (I960), А. Г. Джвар- шейшвили и Г. И. Кирмелашвили (1965), а при движении газо-жидкостных смесей — Г. Я. Гигиберия (I960) и В. Н. Дегтяревым (1963). В работах Г. П. Мамрадзе (1953), Г. Я. Гигиберия (1956), Ю. С. Молочникова (1964), Л. Б. Бунятяна (1964) рассматривалось влияние сосредоточенных воздушных включений на работу напорных водоводов.
Гидравлическому удару, сопровождающемуся разрывом сплошности потока, посвящены исследования А. Ф. Мостовского (1929), Д. Н. Смирнова (1954) и Г. И. Кирмелашвили (1964). Вынужденные разрывные колебания в трубопроводах при возникновении кавитационных явлений изучал М. С. Натанзон (1965).
Все же существующие представления о физике образования газовых полостей при разрыве сплошности течения в условиях колебаний в трубо-
проводах и о влиянии газовых включений на неустановившееся движение нельзя признать достаточно полными.
Вопрос о влиянии неравномерного распределения скорости по сечению трубы на величину гидравлического удара, несмотря на исследования Л. С. Лейбензона, И. Ф. Ливурдова, В. Н. Евреинова, Р. К. Амирад- жиби и других авторов, также остается открытым.
Недостаточно изученным является и вопрос о сопротивлении трения при гидравлическом ударе. Эксперименты, выполненные многими исследователями, приводят к выводу, что величина потерь напора при ударе в существенной степени отличается от той, что имеет место при установившемся движении. Подробнее об этом будет сказано ниже.
Теория уравнительных резервуаров посвящена исследованию медленных колебаний уровня воды в резервуарах и расходов в напорных деривационных сооружениях, совершающихся в основном после того, как закончился процесс открытия или закрытия регулирующих органов турбин.
Вообще говоря, эти колебания могут быть описаны уравнениями гидравлического удара и исследованы вместе с ним как единая общая задача о неустановившемся режиме гидравлической системы. Анализируя влияние на колебания в уравнительных резервуарах и напорных деривационных туннелях упругости воды и стенок сооружений, инерции жидкой массы, заключенной в резервуаре, и конечного времени регулирования гидроагрегата, Н. А. Картвелишвили (1952) пришел к выводу, что учет этих факторов уточняет расчет уравнительных резервуаров не более чем на 1 %. Поэтому при рассмотрении медленных колебаний жидких масс в уравнительном резервуаре удобно считать, что регулирующие органы турбины закрываются или открываются мгновенно, упругостью же воды и стенок сооружений можно пренебречь. В этом случае уравнения колебаний жидкости представляют собой уравнения одномерного неустановив- шегося движения несжимаемой жидкости в напорных каналах с абсолютно не/ijB山армируемыми стенками. Такие уравнения, в общем случае неразрешимые в квадратурах, могут быть проинтегрированы численно (или графически) для любых типов и систем резервуаров. Существенную роль в этих процессах играют гидравлические сопротивления, проявляющиеся нелинейным образом. Подробнее некоторые детали расчета были рассмотрены Н. А. Картвелишвили (1959, 1967).
Графо-аналитические методы расчета колебаний уровня в уравнительных резервуарах излагаются во многих специальных курсах и справочниках.
И А. Чернятин в своих многочисленных публикациях дал формулы для определения максимального подъема и максимального падения уровня воды в цилиндрическом резервуаре, а также времени наступления этих пиков при различных режимах работы ГЭС. Эти формулы получены в результате обработки большого количества расчетов, выполненных путем численного интегрирования уравнений колебания жидких масс с привлечением теории подобия.
В случае полного сброса нагрузки ГЭС с мгновенным прекращением подачи воды, к турбинам существует первый интеграл уравнений колебания жидких масс, что позволяет определить последовательные экстремумы уровня жидкости в резервуаре. Первые такие решения были получены уже давно (Ф. Пражиль, Schweizerische Bauzeitung, 1908, ,22 :25). Для нецилиндрических резервуаров в общем случае и для пневматических резервуаров решение было получено Н. А. Картвелишвили (1953).
На основе приближенного интегрирования уравнений колебаний масс методом малого параметра Н. А. Картвелишвили (1948) получил формулу для определения максимального падения уровня в цилиндрическом резервуаре при набросе нагрузки, учитывающую, что после наброса нагрузки остается постоянным не расход турбин ГЭС, как это обычно предполагается, а их мощность. Развивая эту работу, Н. Ф. Манджавидзе (1955) получила формулы для амплитуды колебаний уровня в резервуаре с сопротивлением.
Анализу нелинейных колебаний масс в напорной системе ГЭС посвящены также теоретические и экспериментальные исследования Г. Н. Гва- завы, Н. А. Канделаки, Н. Б. Кереселидзе и др. (1958, 1961, 1962).
Заметим, что советским работам по гидравлическому удару и колебаниям жидких масс посвящены обзорные статьи М. А. Мосткова (1954) и Н. А. Картвелишвили (1961), использованные при написании настоящего обзора.
Первым исследованием устойчивости стационарных режимов ГЭС с уравнительными резервуарами была известная работа Д. Тома (1910). Однако исследования в этой области достигли интенсивного развития как у нас, так и за рубежом лишь в последнее время (с начала пятидесятых годов). Ведущая роль в них принадлежит Н. А. Картвелишвили, Г. В. Ароновичу и Я. К. Любимцеву. Этими вопросами занимались также И. П. Андреева, В. Л. Куперман, Ю. А. Симонов-Емельянов, А. Л. Можевитинов, Н. Ф. Манджавидзе и др.
Основные результаты исследования по устойчивости стационарных режимов ГЭС с уравнительными резервуарами подробно излагаются в обзорных статьях Н. А. Картвелишвили (1958) и И. А. Чернятина (1963). Кроме того, Г. В. Аронович, Л. Н. Белюстина, Н. А. Картвелишвили и Я. К. Любимцев (1963, 1968) в совместных работах привели основные итоги своих исследований в рассматриваемой здесь области.
Опираясь на теорию дифференциальных уравнений с малыми множителями при производных, Н. А. Картвелишвили (1958, 1963) показал, что анализ устойчивости гидравлических режимов ГЭС как в малом, так и в большом может выполняться независимо от анализа динамики регулирования скорости турбин и электромеханических переходных процессов в электросистеме на основании предположения, что нагрузки между агрегатами энергосистемы распределяются в соответствии со статическими характеристиками регуляторов. Обычная для исследований устойчивости (начиная с работы Тома) гипотеза идеальных регуляторов, согласно которой регуляторы турбин поддерживают их мощность в точном соответствии с электрической нагрузкой, есть частный случай этого положения, отвечающий изолированной работе ГЭС или ее работе в системе, но при условии, что хотя бы на одном из ее агрегатов настройка регулятора скорости близка к астатической.
Отсюда следует, что устойчивость стационарных режимов ГЭС может быть достигнута не традиционным превышением площади горизонтального сечения уравнительного резервуара над некоторой критической величиной (в условиях, когда выполняется гипотеза идеальных регуляторов, это ——единственный путь достижения устойчивости), а соответствующим подбором остаточных неравномерностей регулирования агрегатов данной ГЭС и других электростанций системы. В работе Д. А. Догонадзе и Н. А. Картвелишвили (1965) показано, что этот вывод распространяется и на ГЭС со сложными напорными системами и несколькими уравнительными резервуарами.
, Состояние данного вопроса сейчас таково, что наиболее важные специфические для гидроэлектростанций с уравнительными резервуарами задачи устойчивости либо уже решены, либо (в сложных специальных случаях) могут быть решены при помощи хорошо разработанных приемов линейной теории колебаний (при исследовании устойчивости «в малом») и получившей развитие, в работах Я. К. Любимцева методики выявления достаточных условий устойчивости «в большом» на основании теорем Ляпунова. Здесь, как и в теории гидравлического удара, существенным и еще нерешенным является вопрос о законе гидравлических сопротивлений при неустановившемся режиме.
И. В. Егиазаровым (1953, 1958) были разработаны основы гидравлического моделирования неустановившегося движения в напорных системах. Полученные критерии подобия приводят практически к необходимости искажения геометрических масштабов при моделировании, а скорость волны удара должна быть в десятки раз меньше, чем в натуре. Егиазаров предложил применять для снижения скорости ударной волны промышленные металлические трубы с проложенным внутри тонкостенным резиновым шлангом, надутым воздухом. Правомочность этой приближенной методики моделирования гидравлического удара была доказана экспериментально Б. Л. Буниатяном и 3. А. Зоряном (1956) и теоретически И. В. Егиазаровым, Н. А. Картвелишвили и А. А. Первозванским (1957).
Неу становившиеся течения в открытых руслах, и каналах. По- прежнему актуальной проблемой гидравлики открытых потоков остается проблемна неустановившихся движений. К этой проблеме относятся такие важные задачи, как задача о паводках на реках, задача о суточном и недельном регулировании производительности, а отсюда и расходов ГЭС, задача о волне излива при прорыве плотины.
Дифференциальные уравнения неустановившихся движений в открытых руслах в рамках одномерной нелинейной теории длинных волн были даны еще в 1871 г. Сен-Венаном. Ж. Буссинеск предложил несколько более точные уравнения для плоского движения (приближенно учитывающие вертикальную составляющую ускорения движения). Однако в дальнейшем внимание исследователей было сосредоточено почти исключительно на анализе и решении уравнений Сен-Венана.
Наиболее развитой к настоящему времени можно считать одномерную теорию неустановившихся течений без разрывов, т. е. течений, не сопровождающихся образованием прерывных волн (сюда относится задача о природном паводке). Такого типа движения жидкости описываются классическими уравнениями Сен-Венана. В довоенный период советскими гидравликами был разработан ряд приближенных, в большинстве своем графоаналитических, методов решения уравнений Сен-Венана (Н. М. Вернадский, 1933; И. В. Егиазаров, 1937; В. А. Архангельский, 1947, и др.), среди которых особого упоминания заслуживают метод мгновенных режимов, связанный с именем Н. М. Вернадского и развитый В. А. Архангельским и Я. Д. Гильденблатом. Для решения практических задач расчета неустановившихся течений в руслах рек в тридцатых-сороковых годах большое значение имели работы А. Н. Рахманова (1941, 1946).
С. А. Христианович (1936, 1938) разработал способ решения уравнений Сен-Венана с помощью метода характеристик. Применительно к расчету неустановившегося движения в открытых руслах этот ме!од был развит затем в работах В. В. Ведерникова (1946), В. А. Архангельского (1947), Н. Т. Мелещенко и М. С. Якубова (1948). Н. Т. Мелещенко разра-
ботал также метод волн малой амплитуды (1940). Обзор большей части названных методов можно найти в работе Н. Н. Петруничева (I960).
В последние годы основным направлением исследований в области расчета неустановившегося движения является разработка численных методов расчета, удобных при использовании ЭВМ.
Первые машинные алгоритмы для решения уравнений Сен-Венана были связаны с переработкой приемов и методов, применявшихся при ручных расчетах. Программирование расчетов неустановившихся открытых потоков по методу характеристик было выполнено для электронных цифровых машин в Государственном гидрологическом институте (М. С. Грушевский, 1962, 1964), во Всесоюзном научно-исследовательском институте гидротехники (Р. Е. Гельфанд, 1962; Е. К. Трифонов, 1963) и в других организациях. Надо сказать, что применение метода характеристик для сложных по форме русел (особенно речных) связано со значительными трудностями и ведет к неоправданно большому объему вычислений.
В «Гидропроекте» (Б. Л. Историк, 1964) с 1960 г. расчеты, неустановившегося движения воды в бьефах ГЭС при суточном регулировании выполняются на ЭВМ по методу мгновенных режимов. В основе этого алгоритма при его создании лежал ряд графических построений, поэтому разработка программ по этому методу довольно сложна.
К настоящему времени появились новые методы численного решения уравнений Сен-Венана. В отличие от метода характеристик их можно назвать методами сеток (строго говоря, к ним относится и метод «мгновенных режимов»),
、Программирование расчетов неустановившегося движения по явным разностным сеточным схемам выполнялось в Центральном институте прогнозов (Г. IL Калинин и Л. С. Кучмент, 1963; Е. IL Чемеренко, 1965; В. И. Корень, 1965). Недостаток явных разностных схем, как и метода характеристик, заключается в сравнительно больших затратах машинного времени.
В Институте гидродинамики Сибирского отделения Академии наук СССР разработана неявная разностная сеточная схема, позволяющая вести вычисления с большим шагом по времени (О.①.Васильев, С. К. Годунов и др., 1963; О.①.Васильев, Т. А. Темноева и С. М. Шугрин, 1965; О.①.Васильев и др., 1965). Это особенно существенно для расчетов паводков в крупных реках, когда продолжительность рассчитываемого процесса порой исчисляется неделями. Составленная программа была широко использована в Государственном гидрологическом институте М. С. Грушевским и его сотрудниками (1965, 1966) для численных экспериментов и расчетов реальных объектов. С. М. Шугриным (1966) предложена разностная схема, позволяющая производить расчеты неустановившегося движения в сложных системах русел.
Задача с условиями периодичности вместо начальных условий, встречающаяся при рассмотрении режимов суточного и недельного регулирования ГЭС, допускает иной подход — применение прямых вариационных методов (в частности, метода Бубнова — Галеркина), осуществленное Н. А. .Картвелишвили (1961, 1968).
Решение уравнений Сен-Венана методом прямых с использованием цифровой ЭВМ было предложено Б. М. Будаком и др. (1963). Этот же метод применен в приближенной постановке для аналоговых машин (Н. И. Челноковым (1962) и В. И. Обрезковым (1963).
Способы применения аналоговых машин для расчета неустановившихся движений в открытых руслах разрабатываются также в Централь-
ном институте прогнозов (Г. П. Калинин, IL И. Милюков и Н. С. Нечаева, 1960; Л. С. Кучмент и др., 1963). Заметим, однако, что используемый при этом метод основывается, по сути дела, не на гидравлических, а на эмпирических гидрологических соотношениях, установленных ранее Г. П. Калининым и П. И. Милюковым.
Ряд приближенных методов расчета неустановившегося движения (способы А. П. Браславского, Б. О. Егизаряна, Б. М. Лося и др.) рассмотрен в работе Л. С. Кучмента (1965).
Для усовершенствования методов расчета неустановившегося движения в естественных руслах нужны подробные данные натурных наблюдений. Долгое время основным таким материалом были исследования неустановившегося движения в нижнем бьефе Иваньковской ГЭС, проведенные «Гидропроектом» в 1939—1940 гг. и опубликованные в 1948 г. (Я. Д. Гильденблат и др.). В последние годы весьма обстоятельные натурные исследования выполнены Государственным гидрологическим институтом на реках Тверце, Оредежи и Свири (см. книги под редакцией Н. Е. Кондратьева и В. А. Урываева, 1961, 1963; М. С. Грушевский и Н. Н. Федоров, 1965). Обширные исследования неустановившегося движения ниже гидроэлектростанций проведены в Институте гидромеханики Академии наук УССР; отметим, в частности, лабораторные и натурные исследования переформирования русел рек ниже ГЭС (И. Л. Розовский, Е. В. Еременко и В. А. Базилевич, 1967).'
Переход к изучению неустановившихся течений в руслах при наличии разрывов (прерывных волн) вызывает, естественно, новые трудности. Поэтому первые работы в этом направлении были связаны с рядом весьма серьезных упрощающих допущений.
Развитие метода Христиановича применительно к расчету прерывной волны в призматическом русле было осуществлено Н. Т. Мелещенко и М. С. Якубовым в 1940 г. (опубликовано в 1948 г.). Авторами предложен приближенный метод с построением сетки характеристик, в котором для упрощения практических расчетов принято допущение о малости высоты волны. Развитию метода характеристик для расчета движения прерывных волн посвящена также работа Е. К. Трифонова (1955). Метод мгновенных режимов применил к расчету распространения прерывных волн В. А. Архангельский (1947). Зависимости для расчета прерывной волны малой высоты рассмотрены О. Ф. Васильевым (1958)..
С появлением цифровых ЭВМ возникли новые возможности и для расчета прерывных волн. Первые работы в этом направлении были предприняты американскими и французскими гидравликами.
В последние годы О. Ф. Васильевым, М. Т. Гладышевым и В. Г. Судо- бичером, опиравшимися на численные методы расчета ударных волн в газовой динамике, предложенные G. К. Годуновым, разработан метод расчета движения прерывных волн в непризматических руслах с учетом трения. Развитый ими численный способ расчета основан на представлении уравнений Сен-Венана в так называемой форме законов сохранения и использовании разностной схемы с пересчетом. Это позволяет решать- задачи о движении прерывной волны без выделения разрыва. Для расчета распространения прерывной волны с выделением разрыва теми же авторами применена подвижная сетка, которая строится в хц)оцессе расчета.
Одной из наиболее сложных задач неустановившегося движения в открытых руслах является задача о волновом движении, возникающем
при разрушении плотины.
В тридцатых и сороковых годах был предложен ряд упрощенных и приближенных методов расчета волн прорыва. Одной из первых попыток решения задачи о прорыве плотины была работа Б. В. Проскурякова (1934), в которой использован предложенный Н. М. Вернадским метод мгновенных режимов. Более детально задачу о разрушении плотины для случая мокрого русла рассмотрел С. А. Христианович (1938). Им было дано решение для случая горизонтального русла «обобщенного параболического^ сечения без учета сил сопротивления и указан путь решения (методом характеристик) с учетом сил сопротивления. Приближенный метод для расчета волны прорыва предложил В. А. Архангельский (1947). “
Применение цифровых ЭВМ позволяет решать задачу о прорыве плотины в довольно точной постановке. Первые результаты работы в этом направлении содержатся в публикациях (О. Ф. Васильев и др., 1965), посвященных численным методам расчета прерывных волн.
Другой задачей, связанной с расчетом волнового движения, возникающего после разрушения плотины, является задача о распространении волны по сухому руслу. Учет трения о ложе потока здесь является особо существенным.
Одна из первых попыток подвергнуть теоретическому анализу это сложное явление принадлежит В. М. Маккавееву (В. М. Маккавеев и И. М. Коновалов, 1940), который предложил схему плоской «квазиста- ционарной» волны, перемещающейся, по предположению автора, с постоянной скоростью и без изменения формы в широком канале.
В начале пятидесятых годов Дж. Б. Уитемом и Р. Ф. Дресслером (США) при рассмотрении задачи о разрушении плотины с излив ом в сухое русло на основе уравнений мелкой воды были предложены специальные способы учета трения. Новая и более простая, чем две предыдущие, математическая постановка задачи о движении волны по сухому руслу недавно предложена С. М. Шугриным (О. Ф. Васильев, 1965). Так же как и в работах К. Монтуори (Италия), Шугрин полагает уравнения Сен-Вена- на справедливыми для в&近 области течения, а граничные условия на фронте волны получаются приравниванием скорости распространения фронта и скорости течения вблизи головы волны. Расчеты, проведенные В. Г. Судобичером в такой постановке разностным методом с применением подвижной сетки, показали удовлетворительное согласие с экспериментальными результатами (В. Г. Судобичер и С. М. Шугрин, 1968).
Экспериментальное изучение волн перемещения началось в СССР в тридцатых годах. В этот период обстоятельные исследования были поставлены во Всесоюзном научно-исследовательском институте гидротехники И. В. Егиазаровым и его сотрудниками. Изучались распространение отрицательных и положительных волн (И. В. Егиазаров, 1931, 1933, 1937, 1940) и движение волны по сухому руслу (Е. К. Трифонов, 1933). Опыты с целью исследования скоростного поля прерывной волны были поставлены В. В. Ведерниковым и В. А. Архангельским (В. В. Ведерников, 1947) и Е. В. Еременко (1966). Распространение волны по сухому руслу исследовали экспериментально И. М. Волков (1958) и Р. Р. Абду- раупов (1961).
Проблеме неустановившегося движения в открытых руслах уделяется и в последние годы большое внимание, о чем свидетельствует состав докладов двух всесоюзных совещаний, посвященных большей частью неустановившимся открытым потокам (см. Н. А. Притвиц, 1964, 1967； Г. П. Скребков, 1964).
Однако, несмотря на достигнутые в этой области успехи, ряд задач здесь остается нерешенным, некоторым направлениям исследований уделяется мало внимания. Так, по существу, отсутствуют надежные методы, позволяющие рассчитывать движение паводкового потока при выходе воды на пойму. Методы расчета распространения прерывных волн в руслах сложного очертания, особенно естественных, нуждаются в дальнейшем усовершенствовании. Относительно слабо развивается теория неустано- вившихся потоков в размываемых руслах (подробнее об этом направлении исследований сказано в § 10).
При практических расчетах падодков и других неустановившихся течений в реках почти всегда приходится сталкиваться с недостатком первичной информации о гидравлических характеристиках русла. В этом плане весьма интересным было бы развитие идеи Н. А. Картвелишвили (1961, 1968) о способе .получения этих данных путем минимизации некоторого функционала, вытекающего из основных гидравлических уравнений, на основе наблюдений за колебаниями уровней по длине рассматриваемого участка водотока и изменением расхода в начальном его сечении.
Для решения задач о неустановившихся движениях в руслах сложного очертания необходимо развитие теории длинных волн в двумерной постановке с учетом сил трения (плановая задача гидравлики открытых русел — см. § 7). Переход к решению задач в такой постановке представляется тем более уместным в настоящее время, что современные численные методы и новые ЭВМ позволят уже в ближайшие годы реализовать решение многих важных задач этого класса.
Следует сказать, однако, что и одномерную постановку нельзя считать исчерпанной. Так, до последнего времени недостаточное внимание уделялось развитлю теории неустановившихся течений в открытых руслах в приближении Буссинеска, которое может быть названо вторым приближением теории длинных волн (если первым считать приближение Сен- Венанд). Из немногочисленных работ, выполненных в этом направлении в СССР, отметим лишь статью Н. А. Картвелишвили (1958), в которой гидравлические уравнения неустановившегося движения в русле выводятся из гидродинамических уравнений Рейнольдса без введения гипотезы о гидростатическом распределении давлений, а также статью Т. Г. Войнича-Сяноженцкого (1965), в которой аналогичные уравнения выводятся из гидродинамических уравнений турбулентного движения, предложенных А. Н. Колмогоровым (1942). В то же время теория Буссинеска, опубликованная в его знаменитом трактате в 1877 г., и последующие работы, развивающие ее, позволили понять некоторые волновые явления в потоках и открытых руслах, необъяснимые в рамках теории Сен-Венана. В качестве одного из наиболее характерных явлений подобного рода укажем явление образования вторичных волн (ондуляций) у фронта прерывной волны при относительно малых высотах последней. Благодаря работам Ж. Буссинеска и его последователей ) стало ясно, что вертикальное ускорение, возникающее благодаря кривизне линий тока, составляет основу подобных явлений. В таких течениях линии тока имеют столь значительную кривизну, что течение не может считаться плавно изменяющимся. Вертикальные ускорения уже не являются
пренебрежимо малыми по сравнению с ускорением силы тяжести. Поэтому и распределение давления по поперечному сечению более не является гидростатическим. Для учета вертикальной составляющей ускорения требуется в свою очередь учет вертикальной составляющей скорости. Строго говоря, сказанное здесь полностью применимо лишь для плоскопараллельных течений. В более общем случае, например при течении в трапецеидальном канале, требуется учет всех трех составляющих скорости.
Переход от приближения Сен-Венана к приближению Буссинеска и введение в рассмотрение вертикальных составляющих ускорения, даже в предложенной Ж. Буссинеском упрощенной форме, открывают новые возможности изучения процесса не установившегося движения, позволяют описать дополнительные эффекты, в частности, ондуляции. Для некоторых задач (например, расчета ондуляций в руслах сложного очертания) переход к двумерной («плановой») постановке задач целесообразно осуществить совместно с учетом вертикальных составляющих ускорения. Наконец, должны быть продолжены исследования влияния нестационар- ности и неравномерности течения на кинематические характеристики потока и проявление скл сопротивления.
Кинематическая структура и гидравлическое сопротивление неу становившихся потоков. Практику интересуют главным образом гидравлические сопротивления, но они тесно связаны со скоростной структурой потока. Оба эти вопроса являются одними из наиболее актуальных, а вместе с тем и сложных при изучении неустановившихся течений.
Если решение задачи о кинематике и сопротивлении неустановившихся ламинарных потоков не встречает принципиальных затруднений и для некоторых типов течений в трубах было достигнуто еще И. С. Гро- мекой ), то этого нельзя сказать о неустановившихся турбулентных течениях. Результаты в этой области пока во многом противоречивы.
Естественно, что изучение турбулентных неустановившихся движений началось прежде всего экспериментальными методами. Относительно полное освещение советских исследований в этой области можно найти в книге И. Л. Розовского, Е. В. Еременко и В. А. Базилевича (1967) ).
Экспериментальные и теоретические исследования сопротивлений при неустановившемся движении жидкости в трубах проводились Н. А. Пан- чуриным (1952—1964) ), который пришел к заключению, что сопротивления по длине при ускоренном движении -больше, а при замедленном движении, наоборот, меньше, чем при соответствующем установившемся ).,
Скоростная структура не установившегося открытого потока изучалась Г. Ф. Федоровым (I960), А. Н. Шабриным (1963—1965) и Н. Н. Федоровым (1965). Г. Ф. Федоров нашел, что при ускоренном движении придонные скорости увеличиваются быстрее, чем поверхностные. Но экспериментальные данные А. Н. Шабрина расходятся с этим заключением.
Теоретическое исследование влияния нестационарности на касательное напряжение и профиль скорости плоского открытого потока было проведено О.①.Васильевым и В. И. Квоном (1966, 1967) с применением методов теории пограничного слоя. Показано, в частности, что при сильно ускоренных движениях возможно смещение максимума скорости внутрь потока. Вместе с тем качественный анализ, выполненный О.①.Васильевым и В. И. Квоном, показал, что напряжение трения на дне открытого потока при ускоренном движении больше, а при замедленном меньше, чем при равномерном установившемся. (Полученное соотношение для напряжения трения на дне применено В. И. Квоном (1966) в задаче об изливе воды в сухое русло.) Подобные же качественные результаты аналогичным путем получены одновременно К. В. Гришаниным (1967).
В опытах А. Н. Шабрина (1964) зафиксированы увеличение турбулентных напряжений в начальных фазах замедленного движения и их уменьшение в начальных фазах ускоренного движения (при мало изменяющемся распределении осредненной скорости по глубине). Отсюда автор заключает, что при ускоренном движении происходит уменьшение затрат энергии на потери, связанные с турбулентностью, а при замедленном — увеличение.
Из сказанного здесь вытекает очевидный вывод, что исследование потерь энергии при нестационарных режимах должно быть продолжено, и притом следует уделить большее внимание выяснению механизма потерь. На наш взгляд эта работа должна быть осуществлена прежде всего применительно к плоским и осесимметричным напорным течениям. Лишь после этого имеет смысл широко развертывать исследования по потокам со свободными поверхностями.
Нестационарные задачи гидравлики судоходных сооружений (шлюзов и судоподъемников). Исследование гидравлических процессов в судоходных сооружениях относится к числу наиболее сложных проблем гидравлики неустановившихся потоков. Основными задачами гидравлики судоходных шлюзов являются: установление режимов наполнения и опорожнения камер шлюзов, обеспечение безопасных условий отстоя судов в камерах и подходных каналах.
Гидравлическими исследованиями систем питания шлюзов в разное время занимались В. М. Маккавеев, И. М. Коновалов, Б. Д. Качановский (1951/, А. В. Михайлов, Н. А. Семенов, В. Ф. Тейтельман и другие исследователи. Вопросы гидравлических расчетов как головных, так и распределительных систем питания шлюзов в связи с изучением условий отстоя шлюзующихся судов обстоятельно рассмотрены в работах А. В. Михайлова (1951, 1959, 1963, 1965). Задача о силовом воздействии потока на учаленное судно в камере или канале шлюза приводится им к решению уравнений неустановившегося движения воды в канале переменной глубины. .
Существенно более строгая постановка задачи о волновых процессах в камерах и каналах шлюзов, а также об определении усилий, действующих на учаленное шлюзуемое судно, на основе более точного учета его колебаний была предложена О. Ф. Васильевым (1958, 1959, 1961).
В связи с проектированием и строительством новых сооружений была значительно усовершенствована методика моделирования шлюзов, проведены многочисленные лабораторные и натурные исследования. Этим вопросам были посвящены, в частности, исследования Н% А. Семанова (1965), В. А. Кякка (1963), а также Г. Ф. Онипченко (1964) и А. Д. Халтурина (1965).
В настоящее время на многих крупных гидроузлах страны в качестве судоходных сооружений проектируются наклонные судоподъемники. Теория нестационарных гидродинамических процессов, сопровождающих работу таких судоподъемников, была разработана О. Ф. Васильевым (1958—1962) путем синтеза теории длинных волн в открытых руслах и приближенной теории продольной качки корабля.
Эта теория была развита в дальнейшем и распространена на нелинейные шлюзовые задачи в совместных работах О- Ф. Васильева и А. А. Атавина (1964—1966), причем в их исследованиях впервые рассмотрены динамические усилия в причальных тросах судов, возникающие при продольных перемещениях последних. Разработаны численные методы решения задач о связанных колебаниях воды и судна в каналах и камерах судоходных сооружений. При построении теории рассмотрены также гидродинамические эффекты, сопровождающие колебания судна в камере (О. Ф. Васильев, 1961; А. А. Атавин и В. П. Сапцин, 1966).
В конце пятидесятых и в начале шестидесятых годов были проведены также обширные экспериментальные исследования на моделях наклонных судоподъемников Братского и Красноярского гидроузлов (О. Ф. Васильев с соавторами, 1962, 1964, 1966).
Построенная к настоящему времени приближенная теория нестационарных процессов в шлюзах и судоподъемниках позволяет при применении численных методов и ЭВМ эффективно решать многие сложные задачи, традиционным путем решения которых является метод лабораторного моделирования. Вместе с тем необходимо дальнейшее развитие и усовершенствование этой теории в целях разработки методов расчета динамических нагрузок в швартовых при учалке судов, анализа волновых процессов в межкамерных и подходных каналах шлюзов и судоподъемников и решения других задач. Главным образом с принципиальной точки зрения представляет интерес разработка трехмерной («гидродинамической») теории связанных колебаний воды и судна в камере судоходного сооружения. Отметим также, что до .сих пор остаются неуясненными важные методические вопросы лабораторного моделирования динамических нагрузок в швартовых.
Установившиеся и неустановившиеся течения газав длинных трубопроводах (газопроводах)
Современная техника, в частности газовая промышленность, выдвигает такой комплекс вопросов, связанный с движением газа в трубах, который требует, во-первых, весьма общей постановки самой задачи о движении сжимаемой среды в трубопроводах и сопутствующих этому термодинамических эффектах и, во-вторых, разработки соответствующих методов решения задачи. Достижения одномерной газотермодинамики, связанные с расчетом потоков газа в трубах, хорошо представлены в монографиях К. И. Страховича (1937), С. А. Xристиановича, В. Г- Гальперина, М. Д. Миллионщикова и Л. А. Симонова (1948), Л. А. Вулиса (1950), Г. Н. Абрамовича (1951), И. П. Гинзбурга (1958), И. А. Чарного (1951, 1961), а также в работах И. Е. Ходановича и других авторов.
Много работ посвящено разработке приближенных методов решения таких задач при сильной схематизации реальной физической картины движения газа в трубопроводах.
При расчетах движения газа в газопроводах приходится рассматривать как установившиеся, так и неустановившиеся движения газа. Типич-
ной зоной неустан овившихся движений являются участки протяженного магистрального газопровода, примыкающие к его концу, где находится обычно большое количество потребителей, расходующих газ неравномерно во времени (особенно ярки суточные колебания потребления).
Как известно, технические расчеты движения газа в трубах стремятся проводить для упрощения в предположениях либо адиабатичности, либо изотермичности процесса. В реальных условиях движение газа по трубопроводу происходит с теплообменом с окружающей средой и при этом температура газа по длине трубы не остается постоянной. Однако для газопроводов большой протяженности режим движения газа более близок к изотермическому, чем к адиабатическому. Поэтому в инженерных расчетах считают, что движение газа в магистральных трубопроводах —изотермическое,, а температура газа принимается равной температуре грунта на глубине заложения трубы.
В проектировании магистральных газопроводов большой протяженности определяющее значение имеет вопрос об установившемся движении газового потока.
У становившиеся течения. У становившемуся одномерному движению газа по трубам посвящено большое количество работ. Весьма полное изложение данной темы и краткий обзор более ранних работ можно найти в книге И. А. Чарного (1961). Во многих публикациях по этому вопросу предлагаются приближенные аналитические и численные способы решения задач, основанные на тех или иных допущениях..
Как отмечал И. А. Чарный (1961), одни из первых или даже первые обстоятельные исследования задачи принадлежат К. И. Страховичу (1937). В них были сформулированы основные уравнения с учетом трения, теплообмена, реальных свойств газа и намечены пути решения ряда задач этого раздела газовой динамики.
В качестве одной из первых советских работ в данной области, вызванных начавшимся в СССР строительством дальних газопроводов, назовем также .работу С. А. Христиановича, Ф. А. Требина и В. И. Черникина (1945), посвященную изотермическому течению газа. Неизотермическое течение газа в трубе в широком диапазоне скоростей при наличии трения и конвективного теплообмена рассматривалось в ряде исследований, начиная с работ К. И. Страховича (1937). Отметим книгу И. П. Гинзбурга (1958), а также статьи П. В. Дворниченко (1952), С. В. Романенко (1953), Г. Л. Гродзовского (1958), И. И. Межирова (1958), Н. М. Белянина (1964), в которых изучается течение идеального газа. Энтропийный анализ течения без теплообмена и изотермического течения в трубе выполнен в работе А. Ф. Гандельсмана (1963). Первыми отечественными работами по транспорту газа в газопроводах, посвященными практическому учету неизотермичности течения газа вследствие теплообмена с внешней средой, являются работы В. С. Яблонского и В- Д. Белоусова (1953, 1959).
Более общий, чем в предыдущих исследованиях, подход к расчету неустановившегося одномерного неизотермического движения газа (или сжимаемой жидкости) в трубах без фазовых превращений был предложен в исследованиях И. А. Чарного (1961), который рассмотрел эту задачу при произвольном виде уравнения состояния газа с учетом теплообмена с внешней средой, а также весомости газа. Им же был подробно рассмотрен эффект Джоуля — Томсона для газа, следующего уравнению состояния Ван-дер-Ваальса, в частном случае адиабатического движения по теплоизолированной трубе.
В связи с потребностями быстро развивающейся газовой промышленности страны с конца пятидесятых годов были развернуты исследования по уточнению и усовершенствованию методов практического расчета газопроводов. При этом большое внимание было уделено изучению гидравлических сопротивлений в газопроводах. Проводились исследования по влиянию теплообмена между потоками и окружающей средой, проявлению эффекта jДжоуля — Томсона при движении реальных газов. Рассмотрено влияние весомости газа при движении по негоризонтальным трубопроводам. Начаты исследования по учету влияния конденсации углеводородов и воды при изменении термодинамических условий в процессе движения газовой смеси по трубопроводу.
К числу первых из многочисленной серии исследований, посвященных разработке уточненных методов расчета газопроводов, относятся работы И. Е. Ходановича и В- А. Мамаева (1959, I960), Г. В. Пономарева и Л. Н. Дягилева (I960, 1961).
При движении реального газа в газопроводе, погруженном в грунт, температура газа снижается вследствие теплообмена с внешней средой и термодинамической неидеальности газа. Снижение температуры существенно зависит от полного коэффициента теплопередачи от газа к окружающему грунту. При высоких значениях чисел Рейнольдса, характерных для условий работы магистральных газопроводов, теплообмен фактически определяется теплопроводностью грунта.
Некоторые оценки, связанные с тепловым расчетом потока в газопроводе, были*даны Г. В. Пономаревым и Л. Н. Дягилевым (1961).
Приближенные решения задачи о неизотермическом течении реального газа в газопроводе с учетом теплообмена с внешней средой при некоторых допущениях даны в исследованиях Б. В. Шалимова (1963) и 3- Т. Галиуллина, Б. Л. Кривошеина и И. Е- Ходановича (1964, 1965). В этих работах поправка на неидеальность газа вводилась методом малого параметра (методом Пуанкаре), а уравнение состояния бралось в форме Бертло; теплообмен между потоком газа и окружающим грунтом определялся по формуле Ньютона. Показано, что благодаря проявлению эффекта Джоуля ——Томсона при движении реального газа его температура может оказаться ниже температуры окружающего грунта, что согласуется с наблю
дениями.
Исследованиями изотермического и неизотермического течений реального газа по газопроводам занимался также Э. А. Оруджалиев (1958-1961).
В работах 3. Т. Галиуллина, В. И. Черникина и С. А. Бобровского (1959, 1962) было рассмотрено влияние весомости газа при сложном профиле трассы газопровода на пропускную способность последнего. Более тщательный анализ влияния геодезических отметок трубопровода при движении реального газа дан Б. Л. Кривошеиным (1965).
Т. Галиуллин, Б. Л. Кривошеин, И. Е. Ходанович и В. И. Черни- кин (1965, 1967) рассмотрели вопрос о тепловой интерференции многониточных газопроводов (ранее для нефтепроводов этот вопрос был исследован В. И. Черникиным).
Наиболее полный в сравнении с другими исследованиями анализ неизотермического течения реального газа в системе «пласт — скважина —газосборная сеть» дан в работе Ю. П. Коротаева, Б. Л. Кривошеина и 3. Т. Галиуллина (1967).
Анализ влияния теплообмена с внешней средой при транспорте реального газа в надземных газопроводах в местностях с суровыми
климатическими условиями дан в недавней работе И. Е. Ходановича, Е. Л. Кривошеина, С. 3. Шаверневой (1967).
Задача об изотермическом движении идеального газа по трубе с фильтрующими (пористыми) стенками впервые рассматривалась Л. С. Лей- бензоном (1927), а позже 3. Т- Галиуллиным (1959) и им же совместно с В. И. Черникиным (1961). В работе И. Е. Ходановича, 3. Т. Галиуллина и Б. Л. Кривошеина (1964) та же задача при некоторых практически несущественных допущениях решается для неизотермического течения реального газа.
Неустановившиеся изотермические течения. При транспорте газа по магистральным газопроводам наблюдается резкое колебание потребления газа не только в различные времена года, но и в различные часы суток. Эти колебания расхода газа и создают условия нестационарного течения газа по магистральному газопроводу, которое описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. С неустановившимися течениями газа по трубопроводам приходится иметь дело и в других эксплуатационных случаях. Особенно резко выражены неустановившиеся движения в аварийных ситуациях.
Нестационарые задачи были подробно изучены в случаях изотермического течения. В большинстве работ по дозвуковому движению газа в газопроводах при малых числах Маха конвективным инерционным членом в динамическом уравнении пренебрегают. Однако и в этом приближении нелинейная система основных дифференциальных уравнений одномерного движения оказывается гиперболической. По-видимому, И. А. Чарным (1951, 1961) впервые было предложено для дальнейшего упрощения задачи при рассмотрении медленно изменяющихся во времени движений газа отбрасывать также и локальный инерционный член динамического уравнения. В этом приближении задача становится параболической, хотя, вообще говоря, сохраняет нелинейный характер. И для того, и для другого приближений Чарным были предложены различные способы .линеаризации уравнений (в некоторых случаях задача сводится к уравнению теплопроводности). Им же были даны решения некоторых типичных задач в линейной постановке ).
А. М. Левин (1953) применил для решения нелинейной задачи без учета инерционных членов так называемый метод мгновенных режимов, разработанный ранее В. А. Архангельским (1947) для решения аналогичных задач гидравлики открытых русел (см. § 4).
В работах ①.Г. Темпеля и И. Е. Ходановича (1956, 1961) для упрощения задачи был применен метод осреднения производной по времени, позволяющий сводить задачи к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
Приближенные аналитические решения различных задач об изотермических нестационарных движениях газа по трубам были даны также многими другими исследователями (О. А. Синельникова, 1958; В. И. Городецкий, 1959; И； Е. Ходанович и В. А. Мамаев, 1959, 1960; 3. Т. Галиуллин, В. И. Черникин и A. DL Асатурян, 1960, 1961; Л. А. Мовсесян, 1960, 1961; Г. А. Бабаджанян, 1961; М. Я・ Гинзбург, 1962; Д. Б. Баяса- нов, 1964, и др.). В некоторых из этих работ для простейших случаев были найдены автомодельные решения (И. Е. Ходанович и Ф. Г. Темпель,
1959; А. Ш. Асатурян, 3. Т. Галиуллин и В. И. Черникин, 1961; 3. Т. Галиуллин, 1967). М. Г. Сухарев (1967) рассмотрел инвариантные решения приближенных уравнений движения жидкости и газа в трубах. Решения некоторых инженерных задач в линейной постановке в последние годы даны также М. А. Жидковой, Б. Л. Кривошеиным, М. Н. Абдуллаевым и другими авторами. Отметим, в частности, работу 3. Т. ■ Галиуллина, В. А. Трохина, Е. Л. Кривошеина и И. Е. Ходановича (1967), в которой в указанной постановке решена задача о нестационарном движении газа в кольцевом газопроводе высокого давления. О. Ф. Малаховой, М. А. Гу- сейн-Заде и С. А. Бобровским (1967) также в линейной постановке рассмотрена задача о продувке газопровода с определением движения точки контакта между воздухом и газом.
Надо сказать, что проектирование газопроводов связано с большим объемом гидравлических расчетов. В настоящее время сложность этих расчетов значительно возросла, особенно при рассмотрении нестационарных режимов в связи со строительством многониточных газопроводных систем, включающих компрессорные стайции, усложнением технологических схем газопроводов и компрессорных станций и объединением в кольцевые системы источников и Потребителей газа для обеспечения равномерного суточного газораспределения.
Ввиду того, что возможности аналитических методов сильно* ограничены при решении практических задач даже в приближенной постановке, уже к концу пятидесятых годов назрел вопрос об использовании ЭВМ, а также о примененик методов моделирования газопроводов и их систем на аналоговых устройствах. Остановимся сначала на работах по использованию цифровых ЭВМ.
Первые публикации в СССР по этому вопросу появились в начале шестидесятых годов. В них неустановившееся изотермическое движение газа по газопроводу рассматривалось в приближенных постановках. Группой авторов во главе с И. Е. Ходановичем (1961) были выполнены на ЭВМ расчеты в линейной постановке с использованием явной конечноразностной схемы. Несколько более интересны в этом отношении работы Е. М. Минского, Ю. И. Максимова и А. С. Малых (1961, 1962), которые рассмотрели задачу в нелинейной постановке, но тоже без учета сил инерции. Первоначально этими авторами была также применена явная разностная схема, которая обладала некоторыми недостатками (один из них — свойственное всем явным разностным схемам жесткое ограничение шага по времени). Ф. Б. Абуталиев и А. К. Жолдасов (1963), рассматривая задачу в той же постановке, предпочли использовать неявную конечноразностную схему. В своих последующих работах Ю. И. Максимов и Е. М. Минский (1964—1966) также перешли к применению неявного разностного метода, однако ограничились рассмотрением задач в прежней упрощенной физической постановке.
Значительные работы были проведены в нашей стране по созданию специальных электрических аналогойых устройств для моделирования как неустаиовившихся, так и установившихся режимов работы газопроводов и их систем.
Аналогия между уравнениями дозвукового изотермического движения газа (или сжимаемой жидкости) по трубе при малых числах Маха и уравнениями распространения электрического тока по кабелю («телеграфными» уравнениями) отмечена, например, в книге И. А. Чарного (1951). Одна из первых электрических моделей для воспроизведения неустаиовившихся изотермических движений газа в магистральном газо-
проводе была разработана И. Е. Ходановичем и Ф. Г. Темпелем (1959) *). М. А. Жидковой (I960—1962) та же задача была рассмотрена в более широкой технической постановке — с целью моделирования сложных систем газопроводов, включающих газокомпрессорные станции. В этих работах рассматривался вопрос о моделировании на основе линеаризованных уравнений без учета инерционных членов. Вопрос об электрическом моделировании газопроводов на основе нелинеаризованных уравнений (также без инерционных членов) изучался М. Я. Гинзбургом (1962).
Электрическое моделирование пульсирующих газовых потоков в системе трубопроводов компрессорной станции магистрального газопровода ■осуществлялось С. А. Хачатуряном (I960). Вопрос об электрическом моделировании пульсирующих потоков газа в газопроводах, возникающих при работе поршневых нагнетательных установок, рассматривался также в работах А. А. Козобкова, А. С. Мессермана и С. А. Хачатуряна (1963, 1964, 1967).
Некоторые результаты исследования аварийных режимов газопроводов на линейной электромодели освещены в статье И. Е. Ходановича, М. А. Жидковой и др. (1967). Метод электромоделирования потоков газа в приложении к анализу стационарных режимов работы сложных трубопроводных систем реализован ①.Г. Темпелем, А. В. Ивановым и В. А. Васильевым (1965).
Метод электродинамического моделирования применялся также Д. Б. Баясановым (1964) при изучении схем автоматического управления в газопроводных системах с компрессорными станциями. В его книге дается довольно подробный анализ трудностей, возникающих при реализации этого метода.
Принципиальным недостатком метода электромоделирования потоков в газопроводах является значительное число существенных с физической точки зрения допущений, которые приходится вводить для того, чтобы привести уравнения газодинамики к виду, идентичному с уравнениями электродинамики. Одно из таких допущений — предположение об изо- термичности течения. По-видимому, от большей части этих допущений отказаться при создании аналоговых устройств невозможно, а поэтому роль цифровых ЭВМ в решении указанных задач в дальнейшем будет возрастать.
Неустановившиеся неизотермические течения. Применение цифровых ЭВМ делает возможным решение задач по расчету нестационарных неизотермических процессов с учетом ряда других физических факторов. Такого рода задачи представляют значительный практический интерес для анализа нестационарных эксплуатационных и аварийных режимов работы газовых скважин, промысловых и магистральных газопроводов, особенно в районах крайнего севера.
Надо сказать, что средства современной вычислительной математики и электронно-вычислительной техники дают возможность решать указанные задачи в постановке, обеспечивающей совместный учет всех практически важных физических факторов, многие из которых в инженерном деле до сих пор часто не принимаются во внимание или учитываются разрозненно.
Одними из первых публикаций по этой проблеме явились коллективные статьи Б. Л. Кривошеина, Е. М. Минского, В. И. Радченко, Л. Е. Хо-
♦J В этой работе и в более ранней работе ①.Г. Темпеля (1956) был рассмотрен также вопрос о физическом моделировании изотермических потоков в трубах на основе приближенных уравнений.
47 Механика в СССР, том 2 . '
дановича и М. Г. Хубларяна (1967), в которых рассматривалось движение- реального газа. Для упрощения решения задач авторы пренебрегли в динамическом уравнении как конвективным, так и локальным ускорением частиц, а также высотой положения. В результате принятых допущений общие дифференциальные уравнения движения были приведены к системе квазилинейных уравнений параболического типа. Для численного решения этих уравнений авторы применили явную конечноразностную схему, которая, по их мнению, достаточно эффективна при решении конкретных задач. Закон теплообмена с окружающим грунтом был принят в форме Ньютона. При этом процесс распространения тепла в грунте трактовался как квазистационарный, а температура грунта принималась постоянной в рассматриваемом интервале времени.
Описанным здесь способом были решены нестационарные задачи о пусковом режиме участка газопровода после включения компрессорной станции и о стабилизации температур и давлений в остановленном газо
проводе.
В последние годы исследования в указанной области проводятся также О.①.Васильевым и А.①.Воеводиным (1968). Рассматривается общий случай неустановившегося одномерного движения весомого сжимаемого газа по трубе с учетом тепло- и массообмена с внешней средойг а также реальных термодинамических свойств газа. Задача ставится таким образом, чтобы можно было охватить как медленно протекающие нестационарные процессы, обусловленные, например, суточной неравномерностью потребления газа из газопроводной линии, так и быстро протекающие процессы в трубах, связанные с появлением разрывов искомых функций в случае образования ударных волн.
Для решения задач применяются неявные разностные схемы； для рассмотрения медленно протекающих во времени процессов без разрывов ——однослойная схема, а для рассмотрения течений с разрывами и быстро протекающих процессов — двухслойная схема. Разработаны методы расчета потоков газа как в одиночных трубопроводах, так и в сложных системах трубопроводов (разветвленных и кольцевых).
Учет многокомпонентности состава газовых смесей и фазовых переходов. Актуальной проблемой газотермодинамики газопроводов в настоящее время является разработка теории и методов расчета движения природных газов, представляющих собой с физической точки зрения газовые смеси, с учетом фазовых переходов. При определенных термодинамических условиях, складывающихся в процессе охлаждения газа,, в газопроводе возможно выпадение жидкого конденсата, а при наличии также и свободной влаги —— образование отложений кристаллов углеводородных гидратов на внутренних стенках труб. Эти явления значительно- осложняют эксплуатацию газопроводов.
Предсказание возможности выпадения конденсата или образования гидратов в газопроводе, а также зон, в которых могут иметь место зтн явления, требует, конечно, достаточно надежного расчета всей газотермодинамической картины в трубопроводе с учетом трения, нестационарно^ сти и неизотермичности процесса, обусловленной в большой мере теплообменом с внешней средой, а при более тонком подходе к проблеме — и многокомпонентности состава природных газов, т. е. раздельного рассмотрения термодинамического состояния каждой фракции. Фазовые превращения оказывают обратное влияние на температурный и гидравлический режимы в газопроводе, и оценка этого влияния также важна для полного представления о газотермодинамическом процессе в нем. Учет
указанных явлений важен для правильного выбора режима работы газопроводов и находящихся на них компрессорных станций. Особенно важен учет этих обстоятельств при проектировании и эксплуатации газопроводов в районах с суровыми климатическими условиями и, в частности, в северных районах страны, где при наличии вечной мерзлоты будет все шире развиваться строительство надземных трубопроводов, влекущее за собой наиболее резкие проявления процесса теплообмена с внешней средой, быструю смену температуры газа внутри трубопровода при изменении внешних условий и т. д.
Первые шаги в изучении этих вопросов уже сделаны. Б. В. Шалимов и И. Е. Ходанович (1964) исследовали установившееся неизотермическое течение смеси реальных газов в газопроводе с учетом фазовых превращений отдельных компонент смеси (в предположёнйи равновесности этого процесса). Теплообмен между потоком в трубопроводе и окружающей средой учитывался по формуле Ньютона, и считалось, что образующиеся при фазовых переходах частицы жидкости движутся со скоростью газа, а их выпадения из газового потока не происходит (целесообразность введения последнего допущения представляется спорной при рассмотрении течений в длинных газопроводах).
В работе Б. В. Шалимова и Б. Л. Кривошеина (1964) рассмотрено проявление эффекта Джоуля — Томсона в смеси реальных газов также с учетом фазовых переходов отдельных компонент смеси, Зтот термодинамический эффект существен для расчетов дросселирования, сопровождающегося резким снижением давления в потоке.
Приближенный аналитический метод определения зоны гидратообра- зования в магистральном газопроводе был предложен 3. Т. Галиуллиным, Е. Л. Кривошеиным и Г. Г. Кременсковым (1967), которые учитывали особенности течения реального газа, теплообмен и технологически© особенности работы газопроводов. Однако задача решалась ими в предположении стационарности течения и без учета многокомпонентнссти состава природного газа (без дифференцированного анализа изменений термодинамического состояния отдельных фракций). Принятие во внимание последнего обстоятельства, очевидно, является делом будущего.
Если в случае появления отложения гидратов на стенках трубопровода может возникнуть задача об учете сужения поперечного сечения однофазного потока, то в случае выпадения жидкого конденсата мы сталкиваемся с новым классом явлений ——движением двухфазных (газожидкостных) систем. В таких случаях на характер движения и гидравлические сопротивления большое влияние оказывает профиль трассы трубопровода. Это объясняется накоплением жидкости в пониженных местах, а также образованием «газовых подушек» в повышенных местах по трассе трубопровода. В определенных условиях возможен вынос скоплений газа и жидкости, соответственно, из нисходящих и восходящих участков трассы. В некоторых случаях в трубопроводе развиваются колебательные движения. Подробнее об исследованиях по движению газожидкостных смесей (в частности, применительно к нефтегазовому делу) говорится в § 9.
Авторы не имели возможности осветить в обзоре сколько-нибудь подробно большие исследования, проведенные в СССР по гидравлике трубопроводов, предназначенных для транспорта нефти и жидких нефтепродуктов, в том числе при перекачке с подогревом. Как известно, пионерные работы в этой области принадлежат В. Г. Шухову. Широкие научные исследования в этой области были проведены в советское время Л. С. Лейбензоном 47*
и его учениками И. А，Исаевым, А. А. Померанцевым, В. Л. Черникиным, ГГ П. Шумиловым, В. С. Яблонским и др. Представление о современном состоянии этой области гидравлики можно получить по монографиям В. И. Черникина и 3. Т. Галиуллина (1958, 1964), а также по статьям В. И- Черникина, А. И. Казубова и С. Г. Щербакова, опубликованным в последние годы.
Гидравлика гидротехнических сооружений
Задачи гидравлики гидротехнических сооружений давно привлекали внимание отечественных ученых. Им посвящено большое число исследований, которые в значительной мере нашли отражение в обзоре И. И. Леви (1965). Рассмотрим здесь некоторые основные направления исследований.
Пропускная способность отверстий гидротехнических сооружений. Вопрос о пропускной способности отверстий гидротехнических сооружений является одним из основных для гидротехники. В этой области за долгую историю развития гидравлики было накоплено много опытных данных, которые требовали систематизации и анализа. В тридцатых годах Н. Н. Павловский обобщил накопленный к тому времени материал. Его обширный «Гидравлический справочник», изданный в 1937 г., содержит систематизированные сведения и указания по данному и многим другим основным вопросам гидравлики гидротехнических сооружений. Результаты последующих исследований нашли довольно полное отражение в курсах гидравлики Л. Л. Ат^оскина, Г. Т. Дмитриева и ①.И. Пикалова (1964), М. Д. Чертоусова (1962), Р. Р. Чугаева (1963), а также в справочнике по гидравлическим расчетам IL Г. Киселева (1961).
Пропускная способность водосливных плотин различного профиля была одним из основных вопросов этих исследований и к настоящему времени изучена сравнительно хорошо. Истечению через водосливы с порогом криволинейного профиля посвящены, в частности, работы Г. Т. Дмитриева (1932) ), А. С. Офицерова (1935), А. Р. Березинского (1950, 1965), Ф. И. Пикалова (1954) и В. А. Солнышкова (I960). Исследования подобных же водосливов с вакуумным профилем, обладающих повышенной пропускной способностью, начатые в тридцатых годах С. А. Егоровым и А. Н. Ахутиным, в дальнейшем были существенно развиты Н. П. Розановым (1950, 1958).
Продолжались также исследования по уяснению особенностей истечения через водослив с широким порогом и уточнению методики расчета. Здесь отметим работы Д. И. Кумина, Г. И. Сухомела и И. Л. Розовского (1949), М. Д. Чертоусова (1950, 1955, 1962), Р. Р. Чугаева (1952, 1963), В. В. Смыслова (1956), А. П. Исаева (1962), И. И. Агроскина (1963). Имеется также.ряд работ, в которых рассматриваются условия пропуска воды через косо расположенные и боковые водосливы (В. С. Истомина, 1934; С. С. Руднев, 1941; С. И. Агасиева, 1956; А. И. Чавтораев, 1958; Г. А. Симонян, 1960, 1962, 1963; К. И. Долматов, 1963).
А. С. Офицеровым (1940), Е. А. Замариным (1947), В. Г. Рыльковым (1957), Н. IL Розановым (1958) и Н. А. Петровым (1959) на основе экспериментальных данных рассмотрено влияние бокового сжатия струи, формы устоев и быков на пропускную способность водослива. Попытка применить теорему количества движения для определения коэффициента сжатия при истечении через неподтопленное водосливное отверстие содер-
жится в работе В. П. Зверкова (1951). Боковое сжатие особенно существенно влияет на пропускную способность подтопленных водосливов т мостовых пролетов, русел, стесненных перемычками. Экспериментальные данные и полуэмпирические методы расчета для этих случаев рассмотрены в специальных руководствах по расчету мостовых переходов (Е. В. Болдаков и О. В. Андреев, 1956; О. В. Андреев, I960); обширный материал собран в работах И. В. Лебедева (I960) и А. М. Латышенкова (I960, 1965).
Получены экспериментальные данные о влиянии кривизны водосливов в плане, в частности рекомендации по расчету кольцевых водосливов (Н. Л. Ролле, 1949, 1956; М. А. Кочегура, 1954; Г. М. Звягин, 1962; К). Г. Полубояринов, 1962, 1964; И. Л. Розовский и П. К. Цветков, 1962; Н. И. Романько, 1963; Г. Н. Сурьянинов, 1963). Р. С. Гальпериным (1963) приведены лабораторные данные о пропускной способности плотин со специальной формой гребня, отвечающей условиям пропуска расходов в период строительства гидроузла (штрабленые профили).
Расчеты пропускной способности при истечении из-под плоского щита были проведены В. В. Ведерниковым, который использовал решение Н. Е. Жуковского для струи невесомой жидкости. Учету влияния весомости жидкости при истечении из-под щита посвящены работы Г. И. Мелконяна (1957), М. И. Гуревича и Г. Н. Пыхтеева (I960), Э. В. Дуйшеева (1962). В работах Ф. И. Пикалова (1949) и И. П. Мартынова (1959) рассмотрены особенности истечения из-под щита в случае его расположения на гребне водослива. Расчет сжатия струи, вытекающей из-под щита, криволинейного в плане, дан О. Ф. Васильевым (1956).
В настоящее время задачу исследования пропускной способности неподтопленных водосливов гидравлическими методами можно считать решенной, хотя, конечно, все увеличивающееся разнообразие встречающихся в практике форм водосливов требует постоянной систематизации и обобщения новых опытных данных, получаемых при испытаниях этих форм.
Большего внимания заслуживает приложение гидромеханических методов к теории водослива. Попытку построить гидромеханическую теорию водослива (в рамках теории плоских потоков весомой идеальной жидкости), пользуясь аналитическими методами, предпринял Э. В. Дуй- шеев (1958). В последние годы начато применение численных методов к решению задач о водосливах в рамках теории плоских потенциальных потоков (В. В. Смыслов, 1959; А. Д. Петраш, 1966; С. Н. Антонцев и др., 1966) ).
В гидравлических исследованиях значительное внимание уделялось изучению пропускной способности сифонов, дюкеров, глубинных водосбросов. Работы этого направления здесь не рассматриваются.
Гидравлический прыжок и гашение энергии в гидросооружениях. Проблема сопряжения бьефов и гашения избыточной энергии потока в гидротехнических сооружениях до сего времени остается одной из главных в гидравлике. Естественно, что в СССР ей также посвящены многочисленные исследования.
Наряду с развитием теории данного и поверхностного гидравлического прыжка и исследованием работы гасителей энергии «классического^ типа (водобойных колодцев и водобойных стенок) разрабатывались и другие способы гашения энергии, в том числе с использованием пирсов (гасителей энергии на водобое), путем отброса струи при помощи трамплина
(носка), путем использования эффекта соударения струй. Большое внимание уделяется изучению характеристик турбулентности потока и его силового воздействия на конструкции (об этом подробнее см. в п. 6.4.)
Начиная с Б. А. Бахметева, установившего связь между прыжковой функцией и удельной энергией сечения, гидравлическим прыжком занимались многие ученые нашей страны. Подробный обзор результатов исследований и практические рекомендации по расчету гидравлического прыжка в различных условиях имеются в курсах гидравлики М. Д. Чертоусова (1962) и И. И. Агроскина, Г. Т. Дмитриева и Ф. И. Пикалова (1964).
Наиболее хорошо изучен совершенный гидравлический прыжок в призматическом прямоугольном русле. Относительно хуже изученным остается прыжок-волна, хотя в последнее время внимание к нему усилилось (В. В. Смыслов, 1959, 1964; В. Б. Дульнев, 1961； А. И. Модзалевский, 1963). Особенности гидравлического прыжка в трапецеидальном канале были исследованы Е. В. Еременко (I960).
Пространственный гидравлический прыжок для случая внезапного расширения русла (в одномерной постановке) рассматривался М. 3. Абрамовым (1940), И. И. Леви (1947), Д. И. Куминым (1950), А. И. Шварцем (1952) и другими исследователями. Гидравлический прыжок в плавно расширяющемся русле рассматривался Л. А. Машковичем (1949), П. К. Цветковым (1952), Ф. И. Пикаловым (1954), О. Ф. Васильевым (1956, 1958). Формула для длины пространственного гидравлического прыжка в плавно расширяющемся русле предложена О. Ф. Васильевым (1956, 1958).
Своеобразной формой гидравлического прыжка является косой прыжок, который рассмотрен, в частности, в работах Н. Т. Мелещенко (1948), Г. И. Сухомела (1949) и Б. Т. Емцева (1964, 1967). Гидравлический прыжок в аэрированном потоке рассматривался Т. Г. Войничем-Сяноженц- ким, В. Г. Ломтатидзе и Г. Н. Гвазавой (1965).
По-видимому, близко к завершению построение рациональных методов расчета распределения продольных скоростей и глубин в прыжке, в той или иной мере опирающихся на полуэмпирические теории турбулентных струй в ограниченном объеме (И. И. Леви, 1963; И. М. Коновалов, В. В. Б аланин и В. М. Селезнев, 1962; М. А. Михалев, 1965). Имеются некоторые сведения о кинематических характеристиках турбулентности в прыжке и за ним, которые касаются главным образом среднеквадратичных значений пульсаций скорости и турбулентных напряжений (работы Д. И. Кумина, И. И. Леви и его учеников). Экспериментальные данные о спектральных характеристиках пульсаций скорости в прыжке отсутствуют. Получение таких данных составляет важную задачу ближайшего времени.
Хотя инженеров интересует в первую очередь воздействие потока на дно, специальные исследования структуры придонного слоя в прыжке не проводились. Разработка методов расчета и исследования придонного пограничного слоя в прыжке тем более необходимы, что имеются данные многих экспериментаторов о заметном влиянии шероховатости дна на характеристики прыжка и глубину размыва за креплением (М. С. Вызго, 1962, 1963; Ю. М. Кузьминов, 1963； А. Н. Рахманов, 1964).
В - нижнем бьефе плотин при донном режиме сопряжения обычно создаются водобойные колодцы (стенки), специальные гасители энергии потока в виде пирсов, шашек и так называемых растекателей. Методы расчета водобойных колодцев, стенок (а отчасти и других гасителей энергии) рассмотрены в работах Н. Н. Павловского, М. Д. Чертоусова,
Р. Р. Чугаева, Д. И. Кумина, А. Н. Рахманова, ф. Г. Гунько, А. А. Угин- чуса, Л. С. Башкировой, А. С. Образовского и многих других. В частности, в работах Ф. Г. Гунько (1957, 1966) значительное внимание уделено исследованию гидравлических режимов в нижних бьефах многопролетных плотин при маневрировании затворами и выбору рациональных типов гасителей энергии, обеспечивающих благоприятные условия сопряжения •бьефов при неравномерных открытиях пролетов плотины. Большой экспериментальный материал об эффективности различных гасителей энергии собран М. С. Вызго (1966).
Качественные представления о механизме потерь энергии и роли гасителей в нижнем бьефе развиты Д. И. Куминым (1949, 1951) и И. И. Ле- ^и (1955). Однако общие методы расчета гасителей энергии до сих пор разработаны недостаточно. Отсутствуют также количественные данные о составляющих уравнения баланса энергии турбулентности, .о форме спектров кинематических характеристик турбулентности потока в нижнем -бьефе и о влиянии гасителей на распределение энергии в спектре.
В зависимости от конструкции водосброса, соотношения между напором, расходом и глубиной за сооружением в нижнем бьефе могут установиться донный, поверхностный или какой-либо из переходных режимов сопряжения бьефов. Существование поверхностного режима при сопряжении водосливной плотины с дном нижнего бьефа при помощи вертикального уступа (носка) впервые было установлено А. А. Сабанеевым 《1929). К настоящему времени в результате целого ряда исследований получена детальная классификация и изучены условия существования различных режимов сопряжения за уступом. Здесь можно указать работы И. И. Леви (1932, 1947, 1955), М. Д. Чертоусова (1947, 1962), Д. И. Кумина (1948), Ф. Г. Гунько (1948, 1958), С. М. Слисского (1952, 1958, I960), Н. Н. Беляшевского (1953, 1959, 1961), Т. Н. Астафичевой (1954), М. Ф. Складнева (1956) и Г. П. Скребкова (1961). Режимы потока за совмещенными гидроэлектростанциями подробно изучены С. М. Слисским (1958, -1964), П. К. Цветковым и Н. В. Малюком (1964, 1965) и другими авторами. *
Весьма актуальную в настоящее время задачу представляет исследование особенностей сопряжения бьефов при отбросе свободной струи с помощью трамплина (носка) за плотиной или консольным водосбросом. Этой задаче посвящены, в частности, работы В. Б. Дульнева (1950), М. Ф. Складнева и Л. Л. Бердникова (1962, 1963), М. А. Михалева (1963), Г. М. Звягина (1963).
Обширные исследования режимов сопряжения бьефов за .плотинами в пространственных условиях, в том числе и при неравномерном распределении расходов по фронту, выполнены Ф. Г. Гунько (1948—1966).
Приемы расчета характеристик осредненного течения и кинетической энергии турбулентности в нижних бьефах с использованием ЭВМ разрабатывались А. Н. Ширшовым (I960, 1965). Эти расчеты опираются на уравнения феноменологической теории турбулентного движения жидкости с использованием гипотезы о постоянстве (по сечению потока) коэффициентов, входящих в эти уравнения.
Гашению энергии в водосбросных сооружениях путем соударения •струй посвящены работы Г. А. Петрова и М. Э. Факторовича.
Потоки с высокими скоростями (аэрация, волнообразование, жавитация). В последние годы в связи с расширением строительства тидросооружений с большими напорами интенсивно развиваются исследования открытых водных потоков с относительно высокими скоростями
(до 20—30 м/сек, а иногда и больше). Одной из особенностей таких потоков является возникновение аэрации — захвата воздуха потоком. Существует несколько точек зрения на механизм возникновения аэрации. П. А. Войнович и А. И- Шварц (1946) и Т. Г. Войнич-Сяноженцкий (I960, 1963) считают появление аэрации в открытом потоке результатом потери устойчивости свободной поверхности. Ряд иностранных исследователей (Ж. Халь- брон, М. Хино, А. Андерсен) связывают условия возникновения аэрации непосредственно с большой интенсивностью турбулентных пульсаций в высокоскоростном потоке около его свободной поверхности (эта точка зрения подтверждается наблюдениями Н. Б. Исаченко, 1963, Г. П. Скреб- кова и др., 1966).
В настоящее время для развития теории возникновения аэрации в открытом потоке требуется углубление представлений о турбулентности открытого потока и накопление сведений о статистических характеристиках турбулентных пульсаций в слое у свободной поверхности воды.
Следующими вопросами теории аэрированных потоков являются вопросы о свойствах уже сформировавшегося (развитого) аэрированного потокаг а также о закономерностях его формирования на начальном участке. Последний вопрос (так же как и само возникновение аэрации), как известно, связан с выходом т урб у лен тн ог о пограничного слоя к свободной поверхности потока (работы С. Л. Холла, Д. Г. Хикокса, Ж. М. Хальброна).
Хотя определению степени воздухонасыщения открытого потока G развитым процессом аэрации, его глубины и скорости посвящена довольно много работ (из числа последних назовем работы Е. К. Рабко- вой, 1950; М. Р. Разумовской, 1957； О. В. Морина, 1959; Н. Б. Исаченко, 1961, 1963, 1965; В. П. Деянова, 1962), все же этот вопрос далек от удовлетворительного решения и требует еще серьезных как теоретических, так и экспериментальных (особенно крупномасштабных) исследований.
В. С. Синельщиковыми (1966, 1967) рассмотрены задачи о распределении концентрации воздушных пузырьков и скорости жидкости в аэрированном* потоке при постоянном значении кинематических коэффициентов, турбулентной диффузии и вязкости. Экспериментальные исследования аэрированного потока в натурных условиях проведены О. Ф. Васильевым Г. П. Скребковым, Н. Б. Исаченко и В. С. Синельщиковым (1965). Расчет шахтного водосброса с аэрацией потока по его длине рассматривался О. Ф. Васильевым и В. И. Букреевым (1963).
Влияние аэрации на условия гашения энергии в нижнем бье^е рассматривали В. Г. Соколов (1952), В. Е. Русаков (1959), В. С. Перехваль- ский (I960), И. А. Каменев (1964), А. С. Офицеров (1965) и А. Г. Чани- швили (1965). Метод расчета сопряженных глубин в аэрированном потоке предложен Т. Г. Войничем-Сяноженцким и др. (1965).
При движении воды с большими скоростями в широких каналах с относительно гладким дном во многих случаях проявляется своеобразная форма потери устойчивости течения, приводящая к образованию так называемых катящихся волн. Это явление уже давно и неоднократно- наблюдалось на быстротоках. Простое сравнение (в натуре и на моделях) условий появления и отсутствия катящихся волн привело инженеров к выводу, что возникновению волн способствуют распластанность сечения потока, большой уклон (более 0,02), большая длина быстротока, относительно невысокий коэффициент шероховатости облицовки.
В. Ведерников (1945—1947) впервые объяснил теоретически это явление, выполнив исследование устойчивости установившегося движе-
ния в открытом русле. Опираясь на классические уравнения Сен-Вена- на и анализируя особенности развития волновых возмущений, Ведерников получил критерий устойчивости равномерного течения, названный впоследствии в мировой литературе его именем. Он показал, что нарушение этого критерия устойчивости может произойти у турбулентного потока при довольно значительных числах Фруда, соответствующих бурному (сверхкритическому в обычном смысле) течению, и связано с нарастанием волновых возмущений. Поэтому новое состояние потока Ведерников назвал сверхбурным или волновым.
Позже (1954) критерий Ведерникова был получен другим методом японским гидравликом И. Ивасой, который принял во внимание также неравномерность распределения скорости по сечению потока.
В целях уточнения и более надежного обоснования критериев устойчивости установившегося течения в открытом русле Н. А. Картвелишвили (1955, 1958, 1968) и Т. Г. Войнич-Сяноженцкий (I960, 1963, 1965) предприняли исследования, направленные на обобщение и уточнение основных уравнений неустановившегося одномерного движения в открытом русле как в случае неаэрированного, так и в случае аэрированного потоков. Взяв за основу разные по форме гидродинамические уравнения турбулентного движения и введя ряд различных гипотез физического характера, они предложили новые уравнения одномерного неустановившегося движения в открытом русле, которые можно рассматривать как некоторое обобщенйе уравнений Сен-Венана и Буссинеска (см. п. 4.2). '
Выполнив затем анализ устойчивости равномерного течения методом малых возмущений на основе полученных уравнений, Картвелишвили: и Войнич-Сяноженцкий получили новые критерии устойчивости, включающие, в частности, коэффициент количества движения для турбулентного потока. Впоследствии Т. Г. Войничем-Сяноженцким (1963) и Е. П. Федоровым (1963) было обнаружено, что это уточнение является очень существенным: введение - корректива количества движения, вычисляемого с ориентировочным ) учетом пульсаций скорости, привело к резкому улучшению соответствия теоретических оценок устойчивости течения данным натурных наблюдений. Что же касается эффектов, обусловленных учетом вертикальных составляющих ускорений (кривизны линий тока), то анализ, выполненный Картвелишвили (1958), привел его к качественному заключению, что учет этих эффектов во всяком случае не смягчает условия устойчивости. В более явном виде этот вопрос был изучен Войничем-Сяноженцким (1965). Его анализ и оценки показали, что влияние указанных эффектов на устойчивость течений в практических условиях очень невелико.
Н. А. Картвелишвили (1955) и Т. Г. Войнич-Сяноженцкий рассмотрели также влияние аэрации открытого потока на его устойчивость прк равномерном движении. Картвелишвили установил, что если вместо расхода воды ввести расход водовоздушной смеси, то для аэрированных потоков практически можно пользоваться тем же критерием устойчи-« вости, что и для неаэрированных. Войнич-Сяноженцкий пришел к выводу, что слабо аэрированный равномерный поток менее устойчив, чем
неаэрированный, а при больших степенях аэрации вероятность потери устойчивости движения меньше, чем для неаэрированного потока ).
Роль неравномерности течения в рассматриваемом явлении до послед- лего времени была изучена в значительно меныпей степени, хотя она и изучалась еще В. В. Ведерниковым (1946), а позже Р. М. Киладзе (1963). Недавно этот вопрос был обстоятельно исследован Т. Г. Войничем-Сяно- .женцким. Заметим здесь, что попытка обобщения критериев волнообразования в бурных потоках жидкости содержалась также в работе Г. В. Мес- хи (1962).
Систематические натурные исследования явления волнообразования на быстротоке выполнены Е. П. Федоровым (1954, 1956, 1963).
Теоретическое исследование процесса движения катящихся волн в прямоугольном канале выполнено А. М. Мхитаряном (1958, 1959), который основывался на теории Р. Дресслера ). Известно, что нелинейные уравнения Сен-Венана не допускают непрерывных периодических по длине канала решений. В теории Дресслера построено периодическое разрывное решение уравнений Сен-Венана. А. М. Мхитаряном получено и подробно рассмотрено (с сопоставлением с экспериментами и натурными наблюдениями) однопараметрическое решение задачи с длиной волны в качестве параметра.
В связи с задачей о катящихся волнах представляет интерес найденное Ю. П. Иваниловым (I960, 1961) периодическое решение уравнений Навье — Стокса для открытого потока на наклонном дне. Этот подход, использующий асимптотические методы теории волн., по-видимому, может послужить основой для разработки новых методов расчета катящихся волн в каналах после накопления необходимых эмпирических данных о коэффициенте турбулентной вязкости, характерном для таких потоков.
Статистический характер процесса движения был экспериментально установлен и изучен А. О. Гамбаряном и Н. Н. Маиляном (1958, 1959, 1963). В опытах фиксировались высота, период и длина волн. Было установлено, что параметры изменяются от волны к волне, следуя гауссовому закону распределения. Корреляция между параметрами смежных волн по абсолютной величине меньше 0,1 (А. О. Гамбарян, 1963). Эти сведения целесообразно использовать для расчета спектральных характеристик катящихся волн.
На основе лабораторных и натурных данных, а также теоретического анализа рядом авторов рассматривался вопрос о формах поперечных •сечений каналов, обеспечивающих устойчивость течения и отсутствие катящихся волн (Е. П. Федоров, 1956； М. Р. Разумовская, 1957; Н. А. Картвелишвили, 1960; А. О. Гамбарян, 1963).
Воздействие высокоскоростного потока на элементы гидросооружений нередко приводит к появлению кавитации и кавитационных разрушений обтекаемых поверхностей. Исследования кавитационных явлений в гидросооружениях проводятся в двух направлениях:
изучение условий возникновения кавитации,
' оценка эрозионного действия кавитации и поиск материалов, способных выдерживать кавитационное воздействие с минимальными разрушениями.
Условия возникновения кавитации экспериментально изучались для различных конструкций затворов и затворных камер (Р. С. Гальперин и Г. Н. Цедров, 1965; Г. Н. Цедров, 1967) и для разных конструкций гасителей энергии на водобое (Н. П. Розанов, 1959, 1963; А. Ф. Бурков, 1963; Г. А. Юдицкий, 1964, 1965). В работах Н. П. Розанова и др. (1965) и Г. А. Воробьева (1965) изложены первые результаты исследования условий возникновения кавитации на границе равномерного потока при различных высоте и форме выступов шероховатости. Трудности в изучении условий возникновения кавитации в значительной мере связаны с недостаточной определенностью критериев появления кавитации. Для практических оценок опасности кавитации важно знать продолжительность пони- :жения давления ниже давления насыщенных паров, которая достаточна для возникновения кавитации и существенного развития ее эрозионного воздействия.
В последние годы в гидротехнике усилилась тенденция допускать •существование зон кавитации в потоке. В частности, получают распространение суперкавитирующие гасители энергии на водобое; на основе натурных наблюдений обсуждается вопрос о допустимости кавитации в затворах (Г. Н. Цедров, 1967). В связи с этим значительный интерес приобретает задача о потерях энергии и пропускной способности гидротехнического сооружения при кавитации (Л. Г. Петросян, 1962; В. С. Ни- щук, 1965), о динамическом воздействии кавитирующего потока на элементы сооружений ). .
Актуальным остается поиск кавитационно-стойких покрытий для гидросооружений. Возникновение кавитационной эрозии, как известно, не имеет общепринятого объяснения (К. К. Шальнев, 1958, 1963, 1967). Однако экспериментальным путем уже установлены некоторые общие пути повышения кавитационной стойкости материалов (Ц. Г. Гинзбург и А. М. Чистяков, 1959; К. К. Шальнев, 1961). В частности, установлено резкое повышение кавитационной стойкости материалов при уменьшении их модуля упругости (В. И. Сахаров, 1966). В настоящее время уже получены кавитационно-стойкие материалы, которые, судя по лабораторным испытаниям, могут быть применены для облицовки элементов гидротехнических сооружений.
4. Силовое воздействие потока на границы (пульсация давления, явления г идроупруг ост и). Силовое воздействие потока на твердую границу можно представить слагающимся из осредненной (в вероятностном смысле) и пульсационной составляющих. Осредненная нагрузка во многих случаях сравнительно легко определяется с использованием уравнения Бернулли, интегральной теоремы количества движения или непосредственно на основе простых лабораторных опытов. Определение осредненных нагрузок тем или иным способом в настоящее время не вызывает особых затруднений. Более сложно оценить пульсационную составляющую.
Пульсация давления на границе потока является пространственновременным случайным процессом. Такое представление применительно к задачам гидротехники впервые использовано С. П. Божичем (1959). Для описания случайного процесса очень важно определить ту минимальную информацию, которая необходима для практических целей инженерного расчета конструкций под действием пульсации давления. Такой
информацией являются сведения о пространственно-временных корреляциях между пульсациями давления в отдельных точках границы потока (и, в частности, автокорреляционные функции пульсаций в точках) и одномерных функциях распределения вероятностей пульсаций в этих точках (В, М. Лятхер, 1963, 1966, 1968). Имея эти сведения, можно рассчитать эквивалентную пульсационную нагрузку или опрокидывающий момент т действующий на элемент конструкции, вероятное экстремальное загруже- ние конструкции и т. д. В последние годы поставлены систематические опыты, позволяющие получить необходимую информацию для основных схем течений в гидросооружениях, при которых наблюдается значительная динамическая нагрузка.
Сравнительно подробно изучена пульсация давления под гидравлическим прыжком при наличии гасителей (С. П. Божич, 1961; В. М. Лятхер и Н. В. Халтурина, 1962; Л. С. Максимов, 1962; В. М. Лятхер и др.,- 1963; В. М. Лятхер и Г. А. Юдицкий, 1965), детальные исследования пространственно-временных корреляций пульсации давления на дно в средней части гидравлического прыжка на гладком водобое выполнены В. И. Букреевым и О. Ф. Васильевым (1965—1967). Некоторые данные о структуре пульсаций давления на дно за совмещенными гидростанциями при поверхностном режиме сопряжения бьефов опубликованы Н. В. Халтуриной и Н. Н. Гинтовт (1966), А. И. Модзалевским и М. А. Даниловым (1966). Экспериментальные данные о статистических характеристиках пульсации давления в напорных водосбросах приведены в статьях В. М. Лятхера и Л. В. Смирнова (1966, 1967) и Э. Г. Донченко (1963). Измерения статистических параметров нагрузок на элемент гасителя: энергии специальной формы выполнены Л. В. Мошковым (1963).
Работы раннего периода отличались более узкой направленностью —— в опытах фиксировались только размах и некоторая «ведущая» частота колебаний давления в отдельной точке (М. С. Фомичев, Н. А. Преображенский, Д. И. Кумин, Г. А. Юдицкий, Н. П. Розанов, Д. Б. Полукай- тис, А. С. Абелев) или те же параметры для некоторой суммарной характеристики пульсационного воздействия на элемент конструкции в целом (Г, А. Паушкин, Г. А. Юдицкий, А. С. Абелев, А. И. Антипов, П. И. Гордиенко, Н. Н. Беляшевский).
В исследованиях этого направления было рассмотрено много схем,. отвечающих частным условиям пропуска воды через сооружения. Например, систематические измерения Г. А. Юдицкого (1957, 1958, 1960, 1963) дают сведения о размахе вертикальных и горизонтальных пульсационных сил, действующих на плиты водобоя и рисбермы в донном режиме за плотиной при различных относительных размерах плит и различных параметрах сбрасываемого потока. А. С. Абелев (1958, 1961) подробно изучил размахи пульсационных нагрузок на затворы в различных положениях. Очевидно, результаты, получаемые таким путем, могут быть использованы только для определенной расчетной схемы (именно для той, которая имелась в виду при постановке измерений).
Несмотря на то, что в последние годы выполнена большая работа по изучению статистических характеристик пульсации давления на поверхностях гидросооружений, эти исследования должны быть продолжены и расширены, так как именно они дают ясное представление об особенностях гидродинамических нагрузок на элементы гидросооружений.
Среди экспериментальных подходов к изучению силового воздействия потока на конструкцию особое место принадлежит методам воспроизведения на моделях напряженного состояния конструкций под действием
гидродинамических нагрузок (В. М. Лятхер, 1963, 1965; Л. В. Мошков и П. Е. Лысенко, 1963). Эти методы обедняют информацию о структуре воздействия (в сравнении с тем, что можно получить при исследовании случайных полей пульсации давления), однако взамен появляются уверенность в правильности воспроизведения самих нагрузок (с учетом тидроупругих эффектов, резонанса, автоколебаний и т. д.) и возможность фиксировать именно те интегральные характеристики реакции конструкции, которые впоследствии закладываются в ее инженерный расчет (на прочность или устойчивость).
Первое исследование связи пульсации давления с кинематической структурой потока принадлежит Ю. Д. Городкову (1940), указавшему на большую роль размеров площадки осреднения и давшему структурную формулу для амплитуды пульсации давления на границе равномерного потока. Феноменологический анализ связи пульсации давления и скорости дал Д. И. Кумин (1956,1959), который предложил раздельно рассматривать составляющие пульсации давления, связанные с турбулентной структурой и с наличием волн на свободной поверхности потока. К. В. Гришанин (1963, 1965) вычислил параметры пульсации давления на дно для некоторой условной модели вихревой дорожки в потенциальном потоке.
Более строгая постановка задачи о расчете связи между пульсацией давления на дно и пульсацией скорости в потоке дана в работах В. М. Лятхера (1965—1968). В них построен общий алгоритм расчета пространственно-временных спектров пульсаций давления на границе потока по заданному полю осредненной скорости и спектральным характеристикам пульсаций скорости. Выполненный. В. М. Лятхером (1965, 1967, 1968) анализ позволяет представить пульсацию давления на границе потока в виде суммы трех компонент： турбулентной, волновой и вибрационной (связанной с подвижностью границ). В определенных условиях эти компоненты пульсации давления оказываются взаимосвязанными и не могут, рассматриваться изолированно. Однако такие случаи (изучаемые, в частности, при исследовании явлений гидроупругости) встречаются сравцительно редко (Л. А. Гончаров и Л. С. Максимов, 1963; М. А. Павли- хина, 1965; В. М. Лятхер, 1965). В обычных условиях отдельные компоненты пульсации давления могут рассматриваться самостоятельно.
Расчет турбулентной составляющей давления выполнен для случаев равномерного плоского безнапорного потока (В. М. Лятхер, 1967)', течения при внезапном увеличении глубины (В. М. Лятхер, 1966) и течения в безнапорном водосбросе с отрывом (В. М. Лятхер и Л. В. Смирнов, 1967). Основные затруднения в расчетах связаны с недостаточной изученностью пространственно-временных корреляций пульсаций скорости.
Волновая составляющая пульсации давления рассчитывается с использованием элементарной теории малых волн (В. М. Лятхер и др., 1963).
Вибрационная составляющая может быть определена обычными методами, применяемыми при вычислении «присоединенных» масс (И. С. Риман и Р. Л. Крепе, 1947; П. П. Кульмач, 1963; С. Г. Шульман, 1965; Л. В. Мошков, 1965, 1967; И. С. Шейнин, 1966, 1967).
Условия взаимодействия компонент (в частности, влияние турбулентности на величину «присоединенной» массы, влияние волн на интенсивность и спектры пульсаций, гидроупругое искажение спектра турбулентных пульсаций давления, вызываемое вибрацией границ) .представляют собой сложные вопросы, рассмотрение которых находится еще в начальной стадии и составляет важную задачу дальнейших исследований.
Двумерные («плановые») задачи гидравлики открытых русел
В ряде случаев одномерная постановка задач о течениях в открытых руслах оказывается недостаточной. Возможны два способа перехода к двумерным постановкам таких задач. Первым является гидродинамическое рассмотрение плоских задач о потоках со свободной поверхностью, когда движение рассматривается в вертикальной плоскости.
Однако переход к двумерной схематизации открытого потока часто бывает целесообразно осуществить иным путем. Нередко для вполне удовлетворительного описания руслового потока достаточно отказаться от осреднения скорости по всей площади поперечного сечения и ввести осреднение по глубине потока. Рельеф дна и его шероховатость могут быть при этом достаточно произвольными. Такой подход приводит к новому специальному классу двумерных задач об открытых русловых потоках, называемых «плановыми» задачами гидравлики открытых русел.
Для плановых задач характерно большое отношение ширины потока к его глубине. Обычно существенную роль играют силы трения о дно,, однако во многих случаях значительное влияние оказывают также силы трения, проявляющиеся при взаимодействии между отдельными струями потока в плане. В существующей теории при рассмотрении плановых течений вводят дополнительное предположение о гидр ост ат ичн ост и распределения давления по глубине, хотя отказ от этого допущения привел бы во многих случаях к значительно более полному представлению об особенностях таких течений.
Областью практического применения гидравлической теории двумерных плановых потоков являются расчеты движения воды в нижних бьефах гидроузлов г в в од охран илищах и прудах-охладителях г при стеснении русла перемычками и мостовыми опорами и т. д.
Теория нестационарных плановых течений в открытых руслах, по существу, совпадает с двумерной теорией длинных волн (или мелкой воды), областью приложений которой являются, например, задачи о приливных течениях, о волнах цунами. Однако в гидравлических задачах роль нелинейных членов, как правило, гораздо более существенна, и поэтому линеаризация уравнений, часто применяемая в задачах океанологии, здесь возможна гораздо реже.
Развитие теории двумерных плановых открытых потоков началось- применительно к задачам о спокойных (докритических) течениях в речных руслах.
В начале тридцатых годов Н. М. Вернадским (1931, 1933) впервые был предложен теоретический метод решения плановой задачи речной^ гидравлики. Основным допущением Н. М. Вернадского было предположение о компланарности векторов скорости для точек, лежащих на одной вертикали. Это дало ему возможность построить для установившегося движения «план течения» в криволинейной ортогональной системе координат, включающей поверхности тока. Два динамических уравнения при этом определяют продольный и поперечный уклоны свободной поверхности для каждой ячейки^ образуемой такой криволинейной сеткой. Сам способ расчета оказывается достаточно громоздким — отыскание картины течения приходится производить методом последовательных приближений. •
Отметим, что Н. М. Вернадским была сделана попытка учета влияния водоворотных зон на расширение транзитной струи, однако в практиче-
ских расчетных рекомендациях по построению планов течений учитывались лишь силы трения о дно.
В последующие годы метод Вернадского нашел дальнейшее развитие в работах Б. В. Проскурякова, Ю. Ф. Прокофьевой и В. И. Новоторцева (1935), А. В. Караушева (1938), А. В. Безызвестных (1959) и других исследователей.
Иная формулировка основных дифференциальных уравнений плановой задачи гидравлики открытых потоков была дана в 1940 г. Н. Т. Меле- щенко, который при рассмотрении установившегося течения по горизонтальному плоскому дну использовал обычные прямолинейные координаты. Поскольку основные приложения его работы относятся к задачам о бурных (сверхкритических) течениях, мы вернемся к ней ниже при рассмотрении таких течений. Здесь отметим лишь, что С. Н. Нумеровым (1950) на основе уравнений Мелещенко был исследован вопрос о построении двумерной картины спокойных (докритических) течений в случаях малых диссипативных членов г либо малых инерционных членов в уравнениях движения.
Одной из наиболее важных для гидротехники задач гидравликк является задача о внезапном плановом расширении потока, происходящем, в частности, в нижних бьефах гидроузлов, при входе в водоемы- охладители и т. д. Вопрос о взаимодействии образующихся при этом водоворотных областей с основным («транзитным») потоком очень сложен и, по существу, еще не разрешен до конца. Здесь используется ряд приближенных схем явления, основанных на тех или иных допущениях. Развитие теории плановых двумерных течений с целью решения этой^ задачи можно найти в ряде работ И. И. Леви (1951, 1955, 1957, 1964)г где он предложил метод решения плановой задачи с введением в расчет касательных напряжений на боковых поверхностях струй. Эти напряжения в соответствии с экспериментальными данными А. Г. Соловьевой были приняты пропорциональными градиенту осредненной по глубине местной скорости.
Зту же задачу о расширении открытого потока в плане И. М. Коновалов (1939, 1952) рассматривал как задачу о движении турбулентной струи в ограниченном пространстве. Предложенная Коноваловым схема решения плановой задачи нашла развитие в работах его учеников： (В. В. Баланин, А. Н. Кащеев, В. С. Перехвальский, В. М. Селезнев). Методы теории турбулентных струй для- расчета планового расширения потока в ограниченном пространстве были применены также В. М. Быковым (1957, 1959) и И. В. Лебедевым (I960, 1963), которые в отличие от Коновалова учитывали и влияние трения о дно.
Г. В. Востржел (1961) разработал рекомендации по построению планов течений в пределах больших водных акваторий при значительных степенях расширения потока и, в частности, для водохранилищ-охладителей тепловых электростанций.
Расширение потока в плане и по глубине, происходящее в нижнем бьефе гидротехнических сооружений (например, за отверстиями плотин), может сопровождаться образованием так называемых сбойных течений. Это явление характеризуется резким искривлением оси входящей в нижний бьеф струи ) и сжатием потока со значительным увеличением удельных расходов на единицу ширины, приводящим к размывам дна. Увеличение глубины в зоне размыва влечет за собой дальнейшее увеличение
удельных расходов, способствующее еще большему размыву. Это явление впервые было замечено и рассмотрено И. П. Линчевским (1934) и Н. Н. Павловским (1935).
Сбойным течениям посвящены теоретические и экспериментальные исследования И. И. Леви, К. И. Российского, А. Н. Рахманова, Ф. Г. Гунько, Н. Г. Позней и других авторов. И. И. Леви (1953,1955,1963) и А. С. Об- разовским (1959) на основе уравнения количества движения предложены соотношения, позволяющие оценить увеличение удельных расходов. К. И. Российским и 3. Ф. Карпычевой (1959) предпринята попытка теоретического расчета поля скоростей при внезапном увеличении глубины и ширины потока. Обширные экспериментальные исследования планового расширения потока в гидротехнических сооружениях проведены А. Г. Аверкиевым, Г. В. Востржелом, Ф. Г. Гунько, Г. Н. Лапшиным, А. Н. Рахмановым, Е. К. Трубиной и др.
В некоторых экспериментальных работах наблюдалось «блуждание» струи поперек нижнего бьефа, что является интересным и мало исследованным проявлением гидродинамической неустойчивости.
Применительно к бурным потокам двумерная теория начала разрабатываться в тридцатых и сороковых годах Н. Т. Мелещенко, Н. Е. Кондратьевым и Г. И. Сухомелом. Первыми отечественными публикациями, содержащими предложения по расчету двумерных бурных течений, были статьи Н. Е. Кондратьева (1940) и Г. И. Сухомела (1944). Результаты исследований Н. Т. Мелещенко после его гибели в годы Великой Отечественной войны были подготовлены к печати С. Н. Нумеровым в 1948 г. Эта работа явилась первым систематическим изложением основ теории двумерных бурных потоков. В ней, так же как и в вышедших позже статье и книге Г. И. Сухомела (1948, 1949), рассматривались безвихревые потоки в горизонтальном русле при отсутствии сил сопротивления, что позволило использовать газогидравлическую аналогию. С. Н. Нумеров (1948, 1949) распространил развитый Н. Т. Мелещенко метод расчета по характеристикам на случай вихревого движения и дал численный метод, позволяющий учитывать влияние сил трения о -дно.
Плановой задаче гидравлики открытого потока посвящен также ряд работ Ф. И. Франкля (1953, 1954, 1956). Им рассмотрены, в частности, задачи об обтекании клина, выпуклого угла, бокового водозабора из канала со сверхкритическим потоком, а также показан способ применения метода характеристик к установившимся сверхкритическим плановым течениям в каналах с произвольной формой дна и с счетом трения о дно.
Детальное теоретическое и экспериментальное исследование планового растекания бурного потока выполнено И. А. Шеренковым (1957, 1958, 1961). А. Д. Гиргидов (1965) предложил метод расчета формы дна двумерного потока в сужениях из условия постоянства глубины. Систематическое изложение современного состояния двумерной теории бурных потоков можно найти в книге Б. Т. Емцева (1967), содержащей также некоторые точные решения и способы построения приближенных решений многих задач, представляющих интерес для гидротехники.
В отдельное направление выделились исследования двумерных бурных потоков применительно к расчетам рассеивающих трамплинов водосбросных сооружений. Начало работам в этом направлении положила уже упоминавшаяся статья Н. Е. Кондратьева (1940). Полученные на этом пути результаты критически рассмотрены и обобщены в работах Л. И. Высоцкдго (1963, 1965, 1968). Расчету рассеивающих трамплинов и виражей посвящены работы А. А. Турсунова (1961, 1966).
Разработке методов теории расчета двумерных плановых течений (как сверхкритических, так и докритических) в последнее время уделяется все большее внимание и в нашей стране, и за рубежом. Применение численных методов и ЭВМ значительно расширяет возможности достаточно полного и точного решения задач этого типа, в том числе нестационарных, хотя здесь и предстоит еще большая работа. Вместе с тем требуется существенное усовершенствование имеющихся представлений о некоторых физических аспектах теории таких течений. Это относится, в частности, к вопросу о проявлении сил турбулентного трения при образовании водоворотных зон. Большого внимания требуют проявления гидр о дин амиче- ской не устойчив ости при образовании сбойных течений.
Следует ожидать быстрого развития методов расчета сверхкритических двумерных потоков. Есть основания полагать, что в недалеком будущем теория управления бурными потоками в водосбросных сооружениях достигнет высокой степени совершенства и будет принята на вооружение инженерами-проектантами.
Постепенно растут возможности для развития рациональной теории нестационарных двумерных плановых течений в руслах с деформируемым (размываемым) ложем.
Очень большое практическое значение имеет создание теории плановых течений при наличии плотностной стратификации применительно к решению инженерных задач о сбросе сточных и отработанных вод промышленных предприятий, о работе водоемов-охладителей тепловых и атомных электростанций. Последняя проблема особенно актуальна и потому, что возможности физического моделирования гидротермических явлений сильно ограничены в принципиальном отношении (см. также § 12 и 13). В этой связи, а также в связи с некоторыми другими техническими приложениями требуется создание теории двумерных «плановых» течений в стратифицированных по плотности водоемах с учетом тепло- и массообмена с внешней средой. Важным является также вопрос о гидродинамических характеристиках потока на участке сопряжения сбросной струи с основным потоком и их влиянии на процессы теплообмена, происходящие в этой зоне.
Турбулентность руслового потока
Первые исследования турбулентности в русловых потоках были поставлены в связи с оценкой точности измерения осредненных скоростей гидрометрическими вертушками. Измерения, выполненные Н. Н. Соколовым и М. М. Мусселиусом в 1909—1910 гг., показали, в частности, что амплитуды пульсаций скорости увеличиваются по направлению к дну потока ).
Систематические экспериментальные исследования структуры турбулентности русловых потоков были начаты в двадцатых годах в Кучинской лаборатории М. А. Великановым (1929) и А. П. Зегждой, выполнившими измерения продольных пульсационных составляющих скорости с помо-* щью вертушек. Позже такие исследования были продолжены Е. М. Минским, применившим в 1934 г. для этих целей специально сконструированную микровертушку.
В тридцатых и сороковых годах обстоятельные вертупгечные измерения пульсации скоростей в речных потоках, а также в «лабораторных
условиях были проведены в Государственном гидрологическом институте' О. К. Блумберг, В. М. Сокольниковым, А. В. Караушевым и С. В.(Козля- ниновым (см. А. В. Караушев, I960). -
Одним из первых направлений теоретических исследований советских гидравликов по турбулентности руслового потока является так называемая диффузионная теория турбулентности, развитая В. М. Мак- кавеевым (1931, 1933, 1940, 1952, 1963). В основе теории лежат идеи турбулентного переноса количества движения, тепла и субстанций, выдвинутые в 1915—1925 гг. Дж. Тейлором и В. Шмидтом, а по своему существу восходящие еще к мемуару Ж. Буссинеска, опубликованному в 1877 г.
С появлением этой теории и развитием представлений о механизме- транспорта наносов усилился интерес к исследованию вертикальных пульсационных составляющих скорости, для чего применялись методыг основанные на регистрации диффузии примесей (А. Н. Гостунский, 1935; О. К. Блумберг, 1936; С. Ф. Савельев, 1938).
В конце тридцатых и в сороковых годах для исследования поля скоростей турбулентного потока начали применяться также методы визуализации потока специальными частицами — индикаторами в сочетании с кино- и фотометодами фиксации перемещения индикаторов внутри потока (Е. М. Минский и Б. А. Фидман, 1940; Б. А. Фидман, 1948; Н. П. Зрелов,. 1949). Отметим также, что еще до войны был создан первый отечественный термогидрометр для исследования пульсаций скорости водного потока (С. С. Чугунов, 1940).
Существенное развитие указанных выше экспериментальных методов： регистрации турбулентности, а также термоанемометрических методов измерения воздушных потоков (Ю. Г. Захаров и Е. М. Минский, 1938; Ю. Г. Захаров, 1946) позволило к пятидесятым годам выяснить основные закономерности распределения среднеквадратичных значений пульсационных скоростей (стандартов пульсаций скорости) и их корреляционных моментов по глубине равномерного потока (Е. М. Минский, 1952). В дальнейшем детальные исследования структуры турбулентности равномерных потоков и, особенно, пристенного слоя были выполнены Б. А. Фид- маном (1948, 1950, I960) и И. К. Никитиным (1959, 1963).
Распределение средне кв адр атичных значений пульсаций скорости в потоках над сильно шероховатым дном исследовалось В. С. Кнорозом (1965) и А. Ю. Умаровым (1965). В опытах В. С. Кнороза на дне потока устанавливались неподвижные рифели, воспроизводящие форму песчаных гряд.
В результате экспериментальных исследований установлено, что распределение по поперечному сечению потока стандартов пульсаций скорости, отнесенных к динамической скорости, в гладких и шероховатых руслах отличается мало и практически не зависит от числа Рейнольдса.
В работах Б. А. Фидмана (1953) и И. К. Никитина (1963), помимо сведений об одноточечных корреляционных моментах пульсаций, были получены и первые экспериментальные данные о продольных (пространственных) спектрах турбулентных пульсаций. Б. А. Фидман (1953) указал: на существенное различие лагранжевых и эйлеровых корреляционных функций продольных пульсаций. В этой же работе обращено внимание на наличие низкочастотной составляющей турбулентности руслового потока.
Измерения, проведенные на реках (Д. И. Гринвальд, 1962, 1963, 1965; Н. Г. Позняя и Б. М. Егидис, 1964; Н. Н. Федоров и Н. П. П1аршуковаг
1964) также указали на наличие локального максимума спектральной плотности продольных пульсаций скорости в области низких частот. Важная роль низкочастотной части спектра турбулентности в формировании речных русел неоднократно подчеркивалась М. А. Великановым (1948, 1954, 1955). Исследования по формированию песчаных гряд в равномерном потоке подтвердили это положение (Н. А. Михайлова, 1952; Н. А. Михайлова и И. Б. Найденова, 1953).
М. А. Великанов предложил понятие «структурной» (периодической) составляющей турбулентности, играющей, по его мнению, основную роль в формировании турбулентного трения и переносе наносов (1944, 1946). Представление о наличии «структурной» составляющей турбулентности использовалось и в теоретических моделях диффузионной теории, развиваемых В. М. Маккавеевым (1931, 1940, 1963), А. В. Караушевым (1955) и К- В. Гришаниным (1962, 1964). Основные результаты работ этой шкалы заключаются в определении коэффициента турбулентного обмена и разработке способов расчета распределения осредненных скоростей и процессов перемешивания в турбулентных потоках.
В экспериментальных исследованиях турбулентности неравномерных потоков основное внимание уделялось изучению распределений одноточечных корреляционных моментов пульсаций. Были изучены течения в диффузорах (Е. М. Минский, 1952; Э. В. Залуцкий, 1966) и конфузорах (Э. В. Залуцкий, 1965), в случае внезапного увеличения глубины потока (Б. А. Фидман, 1953, 1958, I960). В исследованиях Б. А. Фидмана и Э. В. Залуцкого были оценены отдельные составляющие уравнения баланса энергии турбулентности. Б. А. Фидманом на основе опытных данных была указана возможность передачи энергии от пульсационного движения к осредненному (1958).
Изучение турбулентности неустановившихся потоков было предпринято А. Н. Шабриным (см, п, 4.3).
Благодаря созданию сравнительно простых динамических датчиков пульсаций скорости (Д. И. Кумин, 1949; Б. М. Егидис, 1961, 1965; М. А. Михалев, 1963) существенно пополнились представления об интенсивности низкочастотных составляющих турбулентных пульсаций скорости в потоках в условиях, характерных для гидротехнических сооружений. Д. И. Кумин (1949, 1954) первый получил данные об амплитудах пульсации скорости в гидравлическом прыжке. М. М. Дидковский и Н. Г. Позняя (1963, 1965), Л. Н. Александров (1963) и М. А. Михалев (1964) исследовали случай расширения потока в плане. Оценке пульсационных и максимальных значений мгновенных скоростей в потоках за гидротехническими сооружениями посвящено также много других экспериментальных работ. Эти результаты собраны в статье К. И. Рос- синского (1956) и в книгах Н. Н. Беляшевского, Н. Г. Пивовара и А. Я. Олейника (1961), И. Л. Розовского и П. К. Цветкова (1962), В. М. Лятхера (1968). Там же можно найти библиографию других работ по этому вопросу.е
К настоящему времени накоплено много фактов, свидетельствующих* о большом влиянии взвешенных частиц на структуру турбулентности руслового потока. Результаты работ в этой области рассмотрены в книге Н. А. Михайловой (1966), а также в § 9 настоящего обзора.
Своеобразные задачи исследования русловой турбулентности возникают в связи с проблемой прогноза и предотвращения размывов русла непосредственно за гидротехническими сооружениями. При изучении этой проблемы требуется разработать, в частности, способы оценки условий 48*
устойчивости (неразмываемости) грунта под действием потока с заданными характеристиками турбулентности. При определении окончательной формы русла за сооружениями существенно знать, как скоро она будет достигнута.
Осредненные скорости и хар актеристики турбулентности (чаще всего — размах пульсаций скорости или давления в яме размыва) изу- пены для многих конкретных схем сопряжений бьефов (обзор можно найти в книге В. М. Лятхера, 1968). Результаты таких исследований обычно сводятся к оценке фактической максимальной мгновенной придонной скорости и сравнению ее с таковой в равномерном потоке за сооружением. Более детальное изучение показывает, что задание максимальной придонной скорости не достаточно для оценки размывающего действия потока: устойчивость грунта существенно зависит от соотношения между пульсационными и осредненными скоростями (В. А. Базилевич, 1961, 1963) и от спектральных характеристик пульсаций скорости и давления.
Взвесенесущие и газожидкостные потоки, гидротранспорт
Общие вопросы теории взвесейесущих потоков. Первой в историческом плане попыткой построения гидродинамической теории движения наносов в русловом потоке является диффузионная теория взвешивания, развитая В. М. Маккавеевым в 1931 г. Об идейных корнях этой, часто применяемой и в настоящее время, теории говорилось выше (§ 8). В дальнейшем различные варианты диффузионной теории движения взве- шеных наносов в водном потоке появились практически одновременно как у нас в стране, так и за рубежом. Отметим здесь работы американских исследователей М. П. ОтБрайена(1933) и X. Рауза (1937, 1938) и советских исследователей М. А. Великанова (1938) и А. В. Караушева (1951, I960).
Принципиальным недостатком диффузионной теории является то, что она рассматривает взвешенные частицы как чисто пассивную субстанцию, переносимую потоком, но не оказывающую обратного воздействия на поток несущей жидкости. Естественно поэтому, что при относительно большой концентрации частиц взвеси диффузионная теория не согласуется с экспериментом. Это побудило М. А. Великанова (1944, 1948, 1951) выдвинуть так называемую гравитационную теорию взвешивания, которая представляет собой первую попытку учета обратного воздействия взвешенных частиц на несущий поток. Новая теория послужила поводом для оживленной дискуссии и критики в научной печати в 1951—1955 гг. (отметим, в частности, публикацию А. Н. Колмогорова, 1954) *).
Примерно к этому же периоду времени относятся попытки построить гидродинамические основы теории двухфазных потоков, предпринятые С. Г. Телетовым (1945, 1958) и Н. А. Слезкиным (1952).
Определенный шаг в построении теории многокомпонентных потоков был сделан в работах Ф. И. Франкля (1953—1960) и Г. И. Баренблатта (1953, 1955). Их исследования, содержащие значительно более глубокий и обоснованный подход к механизму турбулентного движения двухкомпонентной среды, оказали наибольшее влияние на последующие работы в этой области. Вместе с тем методы теоретического описания механизма двухкомпонентного течения у того и другого автора неодинаковы и пред
ставляют два типичных и существенно отличающихся друг от друга направления в теории двухкомпонентных течений. Если Франкль развил «покомпонентный» метод описания движения такой среды, последовательно применив основные принципы механики сплошной среды по отдельности к каждой из двух компонент движущейся среды, то Баренблатт, исходя, по существу, из тех же представлений, свел задачу к описанию движения некоторой фиктивной неоднородной по плотности жидкости.
Ф. И. Франкль построил систему гидродинамических уравнений турбулентного взвесенесущего потока, составив отдельно для каждой из двух компонент потока следующие уравнения: уравнения неразрывности и динамические уравнения, уравнения энергии осредненного движения, уравнения энергии пульсационного движения, а также термодинамические уравнения. Поскольку целью было описание турбулентного движения двухкомпонентной смеси, Франкль применил операцию четырехмерного (пространственно-временного) осреднения, при этом осреднение было проведено отдельно по каждой из двух долей элементарного объема смеси — по доле объема, занятой жидкостью, и по доле объема, занятой твердыми частицами. Это позволило построить непрерывную модель дискретной среды. Хотя, подобно уравнениям О. Рейнольдса для однокомпонентного турбулентного потока, полученная система уравнений и оказалась незамкнутой, все же предложенный Франклем метод вывода уравнений турбулентного двухкомпонентного потока является, пожалуй, наиболее строгим из известных. Поэтому полученные им уравнения многие авторы рассматривают как заманчивую отправную базу для дальнейшего развития теории взвесенесущих турбулентных потоков.
Один из способов приближенного (полуэмпирического) замыкания системы уравнений был предложен самим Ф. И. Франклем (1955), однако принятые при этом допущения привели его фактически к диффузионной теории.
Упомянем здесь также некоторые работы последователей теории Ф. И： Франкля. Опираясь на метод осреднения, использованный Франклем, и стремясь выделить пульсации концентрации взвеси (точнее, корреляционные моменты между пульсациями концентрации и скоростей), А. К. Дюнин (1963,1965) предложил несколько иной (на наш взгляд, менее ясный) способ осреднения и затем распространил его на случай многофазного течения. Возможность дальнейшего обобщения уравнений Франкля была указана Б. А. Фидманом (1965), предложившим применить вероятностное осреднение, отражающее особенности пульсационного спектра осредняемой величины.
Наряду с раздельным (покомпонентным) рассмотрением движений жидкости и взвешенных частиц возможно, как сказано выше, и изучение динамики смеси в целом. Преимущество такого способа состоит в возможности исключить формально силу в займ одейств ия между частицами и жидкостью (она становится внутренней силой системы). Вкратце, путь построения теории такого типа состоит в следующем.
Попарное сложение уравнений потока массы и потока импульса, написанных первоначально для каждой из двух компонент среды по отдельности, и введение плотности и массовой скорости смеси, отнесенных к элементарному объему пространства, позволяет получить уравнения, которые характеризуют движение двухкомпонентной среды как некоторого фиктивного неоднородного по плотности континуума. Затем, при переходе к рассмотрению турбулентного движения такой среды, к полученным таким образом уравнениям применяется операция осреднения
и они дополняются уравнением баланса пульсационной энергии. В процессе реализации такого подхода Г. И. Баренблатт использовал некоторые идеи А. Н. Колмогорова (1,942) о балансе турбулентной энергии потока, получившие развитие и применение в различных задачах турбулентного двшкения однородных и термически расслоенных жидкостей (А. М. Обухов, 1946; А. С. Монин, 1950). Основным физическим предположением рассматриваемой теории является допущение о малости размеров взвешенных частиц (по сравнению с характерным масштабом турбулентности), позволяющее считать, что они образуют как бы непрерывно распределенную в несущей жидкости примесь.
На основе полученной в итоге Системы уравнений Г- И. Баренблатт подробно рассмотрел два частных случая взвесенесущих турбулентных течений (в том числе равномерный плоский поток в открытом канале). При этом для замыкания системы им были привлечены дополнительные связи в виде гипотезы А. Н. Колмогорова (1942) и приняты некоторые допущения, свойственные обычной полуэмпирической теории турбулентности. На основе построенной таким образом теории были также указаны критерии для определения области применимости диффузионной теории.
Еще одно направление в построении теории многофазных потоков представлено в работах X. А. Рахматулина (1956) и его последователей. Рахматулин предложил рассматривать движение смеси как взаимопроникающее движение нескольких континуумов (фаз) с введением для каждой фазы своих полей скоростей, давлений, осредненных плотностей, концентраций и т. д. Уравнения движения записываются отдельно для каждой фазы, причем силовое взаимодействие между компонентами учитывается введением сил в заимодействия, которые для всей системы являются внутренними. Таким образом, в некоторых отношениях модель Рахматулина сходна с моделью Франкля. Учениками Рахматулина были проведены, в частности, исследования ламинарных многокомпонентных течений (о результатах этих работ можно судить по книге Д. Ф. Файзуллаева, 1966). Новый вывод уравнений движения дв у хек ор остн ой и двухтемпературной сплошной среды со взвешенными частицами (или каплями) при наличии фазовых превращений предложил недавно Р. И. Нигмату- лин (1967). Однако особенности турбулентного движения двух- и многофазных систем в работах Рахматулина и его последователей не рассматриваются.
М. Д. Кисловская (1957, 1958) приближенно рассмотрела роль сил взаимодействия между компонентами течения, приняв во внимание силу линейного сопротивления и силу избыточного перепада давления. Она составила также энергетические уравнения для жидкой и твердой компонент смеси по отдельности.
Задача практического приложения теории Франкля к открытому наносонесущему потоку явилась предметом работ В. Г. Санояна и А. К. Ананяна (I960) и А. К. Ананяна и Э. Т. Джрбашяна (1965). Авторы стремились замкнуть систему основных дифференциальных уравнений для частного случая плоского равномерного движения, вводя некоторые допущения и дополнительные связи на основе экспериментальных данных. Подобная же проблема рассматривалась в статьях О. Г. Натишвили (1965, 1966).
Отметим также, что в пятидесятых годах А. Н. Гостунским и С. X. Абальянцем были опубликованы работы, в которых предлагаются другие, в некоторых отношениях своеобразные, попытки построения полуэмпирических теорий взвешивания наносов, однако гипотезы и допу-
щения, вводимые ими при построении этих теорий, носят весьма условный характер.
М. А. Дементьев (1948, 1963, 1964), О. М. Тодес (1962) и В. С. Синель- >щиков (1966) развивали представления о процессе взвешивания частиц в турбулентном потоке, во многом сходные с теорией броуновского движения взвеси ).
Для разработки теории переноса частиц турбулентным потоком представляют интерес выполненные М. А. Великановым (1952,1955), М. Д. Хас- киндом (1956) и Н. Л. Гранат (I960—1965) работы по движению твердой частицы в пульсирующем потоке вязкой жидкости, а также исследование Э. Т. Джрбашяна (1963) об относительной скорости частиц в турбулентном потоке.
Вопрос о движении частиц, взвешенных в турбулентном потоке, рассматривался также в статьях В. Г. Левина и С. И. Кучанова (1967). Введя ряд упрощающих предположений, авторы свели уравнение Корзина — Ламли (1956) для движения одиночной частицы в турбулентном потоке к обыкновенному линейному дифференциальному уравнению для относительной скорости частицы (без учета силы тяжести) и затем нашли корреляционную функцию относительного движения частицы в турбу- рентном потоке ). -
Исследование показало, что если частицы взвешены в газовом потоке, а их размеры не слишком малы (так что период крупномасштабных пульсаций мал по сравнению с характерным временем увлечения частиц потоком —периодом релаксации увлечения), то средняя квадратичная скорость относительного движения частиц совпадает со средней квадратичной скоростью турбулентных пульсаций газа. Частица обладает столь большой инерционностью, что пульсации даже самых крупных масштабов практически не успевают привести ее в движение. Такая частица почти «неподвижна» и обтекается пульсациями всех масштабов.
Если же достаточно мелкие частицы взвешены в жидкости, то соотношение между указанными характерными временами обратное и сред
няя квадратичная скорость относительного движения частицы всегда намного меньше скорости турбулентных пульсаций среды.
С. И. К у чанов и В. Г. Левич оценили также величину дополнительной диссипации энергии, обусловленной наличием в турбулентном потоке взвешенных частиц, и пришли к заключению, что благодаря практически полному увлечению частиц жидкостью «инерционная» диссипация в жидкости мала в отличие от случая движения частиц в газе..
В 1944—1946 гг. В. Ванони (США) экспериментально обнаружил, исследуя взвесенесущий поток в открытом канале, что наличие в потоке взвешенных песчаных частиц приводит к уменьшению так называемой универсальной константы Кармана для распределения скорости и снижению коэффициента сопротивления в сравнении с соответствующим потоком однородной жидкости. Из этого Ванони заключил, что взвешенные частицы уменьшают диссипацию энергии, и тогда же выдвинул гипотезу, что это уменьшение вызвано гашением турбулентности. Однакб
обосновать эту гипотезу он не мог, так как в то время не было возможности измерить турбулентность.
Результаты Ванони были подтверждены в последние 10—20 лет многими другими экспериментаторами как за рубежом, так и в нашей стране.
Г. И. Баренблатт (1955) на основе предложенных им уравнений турбулентного взвесенесущего потока дал анализ причин уменьшения «константы» Кармана, а также качественное объяснение наблюдавшегося падения коэффициента сопротивления во взвесенесущем потоке. Тем самым теоретически было учтено влияние взвеси на поток несущей жидкости и указаны условия, при которых это влияние становится существенным, а также показано, что в определенных условиях наличие частиц в потоке приводит к подавлению турбулентности и снижению потерь энергии в потоке.
На основе экспериментальных данных к заключению о том, что наличие в потоке твердых частиц уменьшает степень его турбулентности? пришел и А. П. Юфин (1950) при исследованиях гидротранспорта в трубах.
Вопрос о влиянии взвеси на кинематические и динамические характеристики потока рассматривался также в книгах А. К. Дюнина, Ю. Т. Борщевского и Н. А. Яковлева (1965), Н. А. Михайловой (1966) и в работах В. С. Кнороза (1949), М. А. Дементьева (1959), Т. А. Немсадзе (I960), И. В. Филимоновой (1961), И. В. Виноградовой (1962, 1963), Э. Т. Джрба- шяна и Д. М. Оганесяна (1963), Ю. Т. Борщевского (1965).
Рассмотренные выше теоретические и экспериментальные работы относятся, как правило, к потокам в горизонтальных (или почти горизонтальных) каналах и трубах. В своих заключениях большинство исследователей сходится на том, что наличие в потоке тяжелой взвеси в этом случае влечет за собой подавление турбулентности. Действительно, несовпадение локальных скоростей жидкой среды и твердых дискретных частиц, обладающих большей плотцостью (а следовательно, и большей инертностью и весом), обусловливает появление сил сопротивления при движении частиц относительно жидкости. Это и ведет к дополнительной диссипации энергии флуктуаций и гашению турбулентности.
Однако, как заметили Ю. А. Буевич и Ю. П. Гупало (1965), при несовпадении осредненных скоростей среды и частиц, последние могут оказывать также дестабилизирующее влияние на поток, способствуя переносу энергии от осредненного движения к пульсационному. Такое явление обнаружено Ю. В. Желтовым (1958, I960) в опытах с нисходящим потоком воды с твердой взвесью в вертикальных трубах. Наличие тяжелой примеси приводит в этом случае к более ранней турбулизацик потока и более интенсивному росту турбулентных пульсаций. Теоретический анализ этого явления дан Ю. П. Гупало (1960).
По-видимому, несовпадение продольных осредненных скоростей жидкости и дискретных твердых частиц может приводить в некоторых случаях к усилению турбулентных пульсаций и при движении в горизонтальных каналах и трубах, особенно тогда, когда ложе и стенки потока вызывают заметное тормозящее действие в отношении влекомых потоком частиц (например, при «сальтирующем» движении частиц в потоке на размываемом ложе). По-видимому, на это указывают результаты опытов Н. А. Михайловой с «подвижной шероховатостью».
Н. А. Михайлова (1953, 1958, 1966) при помощи метода киносъемки осуществила тщательное исследование распределения взвешенных наносов»
а также продольных осредненных и пульсационных скоростей в открытом потоке в лотке. Опыты проводились с однородными по крупности песками. Анализируя влияниё насыщения потока наносами на распределение продольных осредненных и пульсационных скоростей, Михайлова пришла к заключению, что эти кинематические характеристики потока не различаются для чистого потока и потока, транспортирующего наносы, в случае дна, устланного закрепленными (наклеенными) песчинками (сравнивалось отношение местной скорости к средней по вертикали). Если же дно было покрыто слоем незакрепленного песка («подвижная шероховатость»), то профили осредненной скорости различались, причем наблюдалось относительное уменьшение скорости в придонной области. Еще более интересно то, что в последнем случае происходило заметное увеличение относительных продольных пульсаций скорости (отношения среднеквадратичного значения продольной пульсационной скорости к средней по вертикали) ).
Возможно, на тот же эффект воздействия взвеси на турбулентность потока косвенно указывают результаты опытов В. И. Виноградовой (1963), наблюдавшей уменьшение «постоянной» Кармана с ростом концентрации взвеси в лотках с гладким дном и обратное явление в лотках с сильно шероховатым дном. Н. А. Силин, В. ф. Очеретько и И. А. Пи- щенко (1965) также высказывают мнение, что при определенных условиях введение в поток твердых частиц может давать обратный эффект, т. е. приводить к увеличению турбулентности.
В докладе на Симпозиуме по проблемам турбулентных течений (Киев, 16—22 июня 1967 г.) Н. А. Силин и В. ф. Очеретько, опираясь на опытные данные о течении гидросмеси высокой концентрации в горизонтальной трубе, полученные при использовании метода оптической однородности сред ), утверждали, что энергия турбулентных пульсаций во взве- сенесущих потоках больше, чем в потоке однородной жидкости, объясняя это значительным возрастанием продольной и слабым уменьшением вертикальной составляющей пульсации скорости при нагрузке потока взвесью.
В противоположность этому М. В. Печенкин (1967), использовавший тот же метод оптической однородности, на основе своих опытных данных по течению гидросмеси в горизонтальной трубе утверждал, что с ростом локальной концентрации взвешенных частиц происходит уменьшение относительных турбулентных флуктуаций как вертикальной, так и продольной скоростей (при этом сравнивались среднеквадратичные значения пульсационных скоростей, отнесенные к соответствующей динамической скорости).
Как видно отсюда, в отношении влияния взвешенных частиц на турбулентность потока у наших экспериментаторов (и даже работающих с использованием одного и того же, притом весьма мощного, метода) в настоящее время нет единства мнений. Здесь необходима еще тщательная работа, в особенности по сопоставлению методики и условий проведения опытов и анализу их результатов. Имеющиеся результаты о турбулентности взвесенесутцих потоков почти не освещают картины непосредственно в придонном слое потока.
Интересные выводы о влиянии взвеси на спектр турбулентности недавно получены Ю. А. Буевичем и Ю. П. Гупало (1965) в результате теоретического исследования процесса затухания изотропной турбулентности при наличии взвешенных частиц. Анализ полученных динамических уравнений для корреляций скорости жидкости и взвешенных в ней мелких частиц свидетельствует, что в конечном периоде вырождения изотропной турбулентности наличие взвешенных частиц не только приводит к более быстрому (экспоненциальному) затуханию флуктуаций, но в случае конечных значений отношения плотностей жидкости и материала частиц обусловливает также заметное искажение энергетического спектра ■турбулентности по сравнению со случаем однородной жидкости. Оказывается, что эффект наличия взвешенных частиц наиболее существен в диапазоне малых волновых чисел. Авторы отметили, что, вопреки распространенным априорным утверждениям ), именно в этой области волновых чисел и происходит наиболее значительное искажение спектра, указывающее на то, что частицы способствуют искажению в первую очередь крупных, а не мелких вихрей.
Эти выводы согласуются с экспериментальными данными В. И. Виноградовой (1963). Измерения мгновенных значений продольной составляющей скорости в открытом взвесенесущем потоке, выполненные Виноградовой прибором, позволявшим регистрировать только низ к оча ст отные пульсации, привели ее к заключению, что с увеличением «нагрузки» потока взвесью максимум кривой частотного спектра турбулентных пульсаций смещается в сторону более высоких частот. Из этого можно заключить, что присутствие в потоке твердых частиц способствует распаду крупных турбулентных образований (вихрей) на более мелкие, чему, по-видпмому, должно сопутствовать также уменьшение амплитуды пульсаций.
Для сравнения приведем здесь некоторые интересные результаты, полученные в последнее время в данной области зарубежными исследователями.
Выше были упомянуты широко известные экспериментальные исследования В. Ванони, проведенные в сороковых годах. В шестидесятых годах за ними последовал в США новый цикл работ по взвесенесущим турбулентным потокам, причем в качестве отправной работы этой серии исследований, пожалуй, можно назвать весьма интересную работу X. Эла- ты и А. Иппена (1961). Эти исследователи поставили эксперименты по изучению влияния нейтральных по плавучести твердых частиц различной крупности на турбулентное течение жидкости в открытом канале. Практически одновременно Дж. У. Дейли и Т. К. Чу (1961) применили этот же метод к турбулентному напорному течению в трубе. Авторы обоих исследований на основе измерений интенсивности продольных турбулентных пульсаций при помощи специальной трубки полного напора, использованной в качестве датчика турбулентности ), пришли к заключению, что интенсивность турбулентности возрастает с увеличением концентрации взвеси. Были отмечены также некоторые изменения в профилях осреднен-
ной скорости ) и заметное уменьшение «постоянной» Кармана с увеличением концентрации частиц.
За этими работами последовал ряд других экспериментальных работ, уточняющих отдельные стороны названных исследований. Дж. У. Дейли (1964, 1966), при участии Р. Л. Хардисона и П. Р. Робертса, подтвердил эти результаты для мелких частиц, но при этом были выявлены противоположные тенденции во влиянии относительно крупных частиц на характеристики осредненного течения. Основные заключения Дейли и его коллег по опытам со взвесями сферических частиц нейтральной плавучести таковы: .
коэффициенты сопротивления для таких взвесей больше, чем для чистой жидкости, и возрастают с концентрацией, причем значения коэффициентов сопротивления для взвесей крупных частиц лежат между значениями таковых для чистой жидкости и для взвеси мелких частиц;
профиль скорости в случае крупных частиц взвеси «полнее», чем для чистой жидкости, а в случае мелких частиц ——«острее»;
«константа» Кармана уменьшается с ростом концентрации для мелкой взвеси, но возрастает для крупной.
В одной из последних работ по этому вопросу ) замечены некоторые новые тонкие эффекты влияния взвеси на сопротивление, хотя прежние выводы в основном остаются в силе. Авторы работы считают, что влияние частиц на поток сказывается главным образом посредством перестройки тонкого вязкого подслоя вблизи стенки. Отсюда, по их мнению, проистекает сравнительно меныпее влияние более крупных частиц на сопротивление.
Таким образом, американскими исследователями было показано, ито плотность (а тем самым также инертность и весомость) частиц взвеси не является единственным фактором, который влияет на диссипацию энергии в двухкомпонентном потоке. Из опытов со взвешенными частицами нейтральной плавучести можно заключить, что такие частицы отнюдь не гасят турбулентности, но, очевидно, меняют ее структуру, и это изменение ведет даже к возрастанию интенсивности турбулентности и сопротивления.
К сожалению, все заключения об изменении интенсивности турбулентности сделаны в рассмотренных работах лишь на основании измерения ее продольной составляющей. Для измерения поперечных •составляющих пульсационных скоростей не найдено надлежащего метода, и этот вопрос остается открытым.
Первая попытка теоретически осмыслить эти экспериментальные результаты содержится в серии работ японского исследователя М. Хино 0 963, 1965). Отправляясь от экспериментальных результатов К. Элаты и А. Иппена и теоретического анализа баланса турбулентной энергии, данного Т. Карманом в 1937 г. для однофазного течения, М. Хино составил уравнение баланса турбулентной энергии для равномерного плоского взвесенесущего потока. Для определения влияния градиента плотности •смеси на турбулентное перемешивание он ввел дополнительно полуэмпи- рическое уравнение «баланса турбулентных ускорений». В отличие от Г. И. Баренблаттав диссипативный член уравнения баланса турбулентной
энергии Хино ввел коэффициент, учитывающий концентрацию взвеси. На этой основе ему удалось получить ряд интересных физических заключений о влияни взвеси на турбулентность потока.
9・2・ Наносонесущие русловые потоки* Для правильного понимание особенностей движения наносов в потоках, разработки теории русловых процессов и теории гидротранспортирования материалов в промышленных условиях важное значение имеют установление различных форм движения наносов (и вообще твердых частиц примеси) в потоке, изучение характера взаимодействия турбулентного потока с его ложем. К настоящему времени в результате многочисленных наблюдений за движением наносов сложилось представление о трех формах их перемещения в потоке. Движение наиболее мелких наносов обусловлено процессом турбулентной диффузии (взвешенные наносы). В то же время более крупные частицы, наносов движутся скачкообразно в придонной области потока («сальти- рующие» наносы). Наконец, наиболее крупные частицы наносов лишь перекатываются по ложу потока. Подобное разделение наносов сделана в работах М. А. Великанова (1963) и Н. А. Михайловой (1966). А. В. Ка- раушевым (I960) предложена подобная же классификация наносов по соотношению между гидравлической крупностью и вертикальной составляющей пульсационной скорости потока. Наносы, движение которых происходит во второй и третьей из указанных форм, часто называются донными или влекомыми.
Описать теоретически движение взвешенных наносов были призванье диффузионная и гравитационная теории взвешивания, о которых говорилось выше.
Выполненные Н. А. Михайловой и В. И. Виноградовой на основе данных о распределении мутности по глубице потока проверки диффузионной и гравитационной теорий взвешивания показали, что диффузионная теория, несмотря на присущие ей ограничения, дает удовлетворительное согласие с экспериментом (по крайней мере в случае малого- насыщения потока мелкими частицами). Вместе с тем выявилось существенное несогласие с экспериментом гравитационной теории М. А. Великанова.
Теоретическое описание движения сальтирующих наносов впервые- было дано Г. А. Эйнштейном (США, 1941, 1950), предложившим статистическую теорию скачкообразного процесса движения частиц, завершенную* построением формулы для расхода твердых частиц. Вскоре после появ* ления теория Эйнштейна (1941) была подвергнута критическому разбору М. А. Великановым (1945, 1948, 1955, 1958, 1962), который выдвинул существенно видоизмененный вариант этой статистической теории, пересмотрев некоторые ее основные положения. Экспериментальное исследование скачкообразного движения наносов с целью установить распределение длин и высот скачков было выполнено Н. А. Михайловой (1962г 1966).
Теория Великанова получила недавно некоторое экспериментальное- подтверждение в работе Э. Т. Джрбашяна (1965). Все же ряд положений современной статистической теории движения сальтирующих наносов, предложенной в трудах Эйнштейна и Великанова, нуждается в уточнении и дальнейшем развитии.
В практических приложениях важное значение имеет определение* транспортирующей способности потока. Из работ этого направления выделим исследования, выполненные В. Н. Гончаровым, И. В. Егиазаровым и И. И. Леви.
В. Н. Гончаровым (1938, 1954) и И. И. Леви (1938, 1948, 1954) были выдвинуты полуэмпирические теории движения наносов, влекомых в придонной области потока. Предложенные ими расчетные формулы нашли широкое практическое применение. Заметим, однако, что некоторые теоретические представления В. Н. Гончарова о структуре турбулентности руслового потока и механизме переноса наносов из придонной области в основную толщу потока являются спорными.
С конца сороковых годов ведет разработку физической теории транспортирующей способности потока И. В. Егиазаров. Выполнив критический анализ теории Эйнштейна, он пошел в разработке теории по несколько иному пути. После анализа многочисленных опытных данных и сопоставления их с теоретическими результатами Эйнштейна он предложил на основе теории подобия и размерностей критериальные зависимо- -сти, определяющие условия транспорта наносов потоками различной мутности для однородных по крупности наносов. В последние годы исследования И. В. Егиазарова (1963—1965) были посвящены разработке теории, учитывающей влияние неоднородности состава смеси наносов и само- ютмостки русла на движение и расход наносов *).
Отметим здесь также одну работу Д. И. Кумина (1959), в которой рассматривается влияние макротурбулентности потока на расход донных наносов.
Специфическим для потоков со взвешенными наносами является -случай, когда взвесь представлена особо мелкими глинистыми (или или- -стыми) частицами. С. X. Абальянц (I960) наблюдал случаи уменьшения гидравлического сопротивления натурных земляных каналов при транспортировании такой взвеси. Однако, на наш взгляд, механизм снижения сопротивления в подобных случаях должен отличаться от того, который наблюдался и исследовался в упоминавшихся выше работах В. Ванони и Г. И. Баренблаттом. Здесь могут проявляться аномальные (неньютоновские) свойства вязкости суспензии, особенно в придонном слое потока.. .
Одной из важных гидродинамических характеристик твердых частиц, переносимых потоком, является их гидравлическая крупность (скорость свободного равномерного гравитационного осаждения частиц в покоящейся воде). Задача о скорости падения частиц в жидкости имеет долгую историю исследований. Первая работа здесь принадлежит еще Дж. Г. Стоксу (1851). В СССР обширные исследования гидравлической крупности •одиночных частиц были выполнены А. П. Зегждой (1934), Б. В. Архангельским (1935), Г. Н. Лапшиным и В. Н. Гончаровым (1938, 1954). Ими даны обобщающие таблицы и формулы, широко используемые в настоящее время.
Некоторое уточнение таблиц Г. Н. Гончарова и В. Н. Лапшина было -сделано А. В. Караушевым (I960), который, однако, считал, что их все еще нельзя полагать вполне разработанными. Требует особого внимания исследование влияния формы частиц. Некоторые исследования в этих направлениях проведены Д. Я. Соколовым (1945), В. В. Романовским (1966) и другими авторами, но эти исследования нуждаются в продол- ■ жении.
Особый интерес представляет случай стесненного осаждения частиц, когда сказывается влияние концентрации взвеси. Этот вопрос изучали
Д. М. Минц (1952), А. М. Гаспарян и А. А. Заминян (1958—1964), М. А. Дементьев (1962) и другие авторы. Свободное и стесненное падение твердых частиц различной формы исследовалось также Ю. А. Марковым и А. Е. Смолдыревым (1961). Все же, несмотря на довольно большое число проведенных работ, для разъяснения эффектов, возникающих при стесненном осаждении частиц, требуются еще значительные исследования.
Другой важной гидравлической характеристикой наносов является так называемая начальная скорость влечения (скорость трогания частиц), называемая иногда также размывающей скоростью. Этот вопрос для несвязных грунтов изучался многими исследователями (М. А. Великанов и Н. М. Бочков, 1931; В. Н. Гончаров, 1938; И. И. Леви, 1938, 1948,. 1957; В. С. Кнороз, 1953, 1958, 1962; Б. А. Фидман, 1954; Г. И. Шамов> 1954 ), и др.). На основе экспериментальных данных, а в некоторых случаях и с привлечением соображений полуэмпирической теории, они предложили ряд формул для размывающей скорости. Развивая исследования А. Шильдса (Германия, 1936), Б. А. Фидман нашел, в частности, что важной характеристикой начала влечения наносов служит критическая «динамическая» скорость.
Вопрос о размывающих скоростях для связных грунтов, естественно, значительно более сложен. Долгое время он решался инженерами чисто эмпирически. Однако к концу пятидесятых годов Ц. Е. Мирцхулавой была выдвинута теоретическая схема, описывающая механизм размыва связных грунтов.
Тонкими экспериментальными исследованиями установлено также влияние взвешенных коллоидных частиц на пульсацию скоростей в потоке и его размывающую способность. Оказалось, что наличие коллоидной взвеси в потоке приводит к уменьшению его размывающей способности.
Механизм транспорта наносов водным потоком на размываемом ложе теснейшим образом связан с процессом эрозии дна, образованием и движением песчаных рифелей и гряд на дне. Эти явления свойственны перемещению наносов как в речных потоках и каналах, так и в прибрежной зоне морей, озер и водохранилищ. Существенно, что форма и размеры песчаных волн главным образом и определяют гидродинамическое сопротивление поверхности русла (шероховатость дна потока).
Как известно, первые попытки описать теоретически явление образования песчаных волн на ложе потока были предприняты за рубежом Ф. М. Экснером в 1925 г. и Г. Полна в 1937 г. Однако обе эти теории не дают ответа на вопрос о причинах возникновения песчаных волн. М. А. Великанов (1955) выдвинул новую теорию, согласно которой причиной образования песчаных волн является турбулентность потока, или, говоря более конкретно, низкочастотные пульсации скорости ).
Из большого числа экспериментальных работ, посвященных процессу грядообразования, назовем прежде всего исследования, выполненные Е. М. Минским (1935), Г. Н. Лапшиным (1938) ), В. Ф. Пушкаревым (1948), Г. И. Шамовым (1954), К. И. Российским и И. А. Кузьминым (1947,
1^50, 1957, 1958), а также обстоятельные эксперименты Н. А. Михайловой (I960, 1966), выполненные в пятидесятых и шестидесятых годах. Первое из этих исследований было основано на опытах с воздушным потоком в аэродинамической трубе, остальные — на наблюдениях в открытых водных потоках. В работе К. И. Российского и И. А. Кузьмина (1950) рассматривалась, в частности, связь между различными формами песчаных волн и гидравлическими параметрами потока, а также крупностью донных наносов.
Значительным вкладом в изучение механизма взаимодействия между потоками и его песчаным ложем являются обширные экспериментальные исследования В. С. Кнороза (1949—1962) и Н. С. Знаменской (1956— 1967). В этих работах дается классификация форм песчаных гряд, изучаются особенности транспорта наносов и потери энергии в потоке (гидравлические сопротивления) при наличии донных гряд, рассматривается процесс перемещения песчаных гряд.
Упомянем также исследования К, П. Месхели (1957, 1959, 1963) по движению песчаных гряд в открытом потоке. А. П. Юфин (1950) исследовал движение песчаных волн в напорном потоке гидросмеси.
Недавно теоретическое исследование устойчивости размываемого дна открытого водного потока выполнено Н. Б. Кереселидзе (1967). В качестве исходной была взята система гидравлических уравнений не у стан ов ив ше- гося движения взвесенесущего потока на размываемом ложе. Анализ устойчивости выполнен методом малых возмущений, причем в одном случае периодические по длине возмущения накладывались только на поверхность ложа потока, а в другом — также и на свободную поверхность. При некоторых предположениях физического характера получены критерии устойчивости ложа (критерии грядообразования) для обоих случаев.
К указанным выше исследованиям явлений в придонной области руслового водного потока на размываемом песчаном ложе примыкают некоторые исследования аналогичных явлений и, в частности, донного рельефа в прибрежной зоне под воздействием поверхностных волн (П. А. Волков, В. П. Зенкович, В. В. Лонгинов, Б. А. Шуляк), а также работы по переносу сыпучих материалов (песка и снега) ветровым потоком (П. А. Волков, А. К. Дюнин, А. И. Знаменский).
Отметим здесь, что обширные экспериментальные и теоретические исследования процесса образования и развития донных гряд и дюн на песчаном ложе водного и воздушного потоков выполнены в последние годы за рубежом Р. А. Багнолдом (1953), Дж. Ф. Кеннеди (1963— 1968), Д. Б. Симонсом, Э. В. Ричардсоном и К. Ф. Нордином (1965), А. Дж. Рейнольдсом (1965), Ф. Энгелундом и Э. Хансеном (1966) и другими учеными.
Взвесенесущие потоки высокой концентрации (гидротранспорт). Выделение данного пункта в самостоятельный является довольно условным, однако учитывая большое практическое значение проблем гидротранспорта и их сложность, рассмотрим положение в данной области отдельно.
Уже в предвоенное время, а особенно после войны в нашей стране развернулись многочисленные исследования по гидротранспорту, стимулом для которых послужило широкое внедрение методов гидромеханизации и гидравлического транспорта различных материалов в строительстве, горном деле и других отраслях промышленности. Характерной чертой рассматриваемых взвесенесутцих потоков является относительно
высокая, редко встречающаяся в природе, концентрация транспортируемых потоком частиц, а часто и большая их крупность.
В связи с возникшими практическими нуждами изучались следующие
основные вопросы:.
потери напора при напорном гидротранспорте в горизонтальных трубах;
потери напора при движении пульпы в открытых каналах;
потери напора при гидротранспортировании материалов в вертикальных (или сильно наклоненных) трубах;
критическая скорость при движении гидросмесей и гидротранспорт в частично заиленных трубопроводах;
движение вязко-пластических масс (глинистых, меловых и других растворов);
гидравлический удар в пульпопроводах.
Как отметил И. А. Чарный (1950), первые в России исследования движения водопесчаной смеси в трубах были выполнены Г. К. Мерчингом (1909). В советское время исследования процесса движения гидросмесей в трубопроводах и возникающих при этом потерь напора широко развернулись во второй половине тридцатых годов (А. П. Палчевский, В. С. Кно- роз, А. Н. Климентов, А. Е. Иванов, А. П. Юфин).
Для разграничения различных режимов движения гидросмесей в 1937 г. В. С. Кнорозом (1941, 1949) было применено понятие «критической скорости» гидросмеси. Так была названа минимальная средняя
скорость гидросмеси, при которой твердый материал, заключенный в потоке, полностью перемещается во взвешенном состоянии ). Опытные данные привели к заключению, что потери напора в турбопроводах (выраженные через высоту столба гидросмеси) при движении в них гидросмесей типа водопесчаных со скоростью, равной или большей критической, с достаточной для практики точностью могут определяться по обычным фор
мулам гидравлики, применяемым для расчета потоков жидкости в трубах (другими словами, коэффициент потерь напора 入 остается при выполнении указанного условия практически тем же) ). К аналогичному заключению пришел В. С. Кнороз (1951) в результате исследования безнапорного движения водопесчаных гидросмесей в лотках.
Видимо, для уточнения понятия критической скорости А. П. Юфин (1950, 1965) называет так скорость, при которой твердые частицы начинают выпадать на дно. А. П. Юфин наряду с Г. Н. Роером и А. Н. Климентовым является одним из первых наших исследователей, обративших внимание на отличие «действительного» объемного веса гидросмеси, движущейся в трубе, от так называемого «расходного» объемного веса гидросмеси, который получаем, например, путем измерения объемного веса смеси, поступающей в какую-либо емкость из трубы. Это отличие объясняется в основном разницей в средних скоростях движения твердых частиц и несущей жидкости в трубе, обусловленной главным образом различием в распределении их осредненных скоростей и непостоянством концентрации взвеси по поперечному сечению трубы. Отсюда происходит и различие
между «действительной» и «расходной» концентрациями взвеси, или консистенциями гидросмеси («действительная» больше «расходной»). Некоторую роль здесь может играть также, особенность механизма турбулентного движения суспензий, подмеченная К. К. Орловым и Б. А. Фидманом (1950), в силу которой тяжелые взвешенные частицы в среднем отстают от переносящей их жидкости даже в случае, когда мгновенные продольные скорости обеих фаз одинаковы.
А. П. Юфиным было выполнено также одно из первых исследований движения гидросмесей в вертикальных трубах.
В дальнейшем вопрос о напорном гидротранспорте различных материалов изучался многими другими исследователями (М. А. Дементьев, 1952; П. Д. Евдокимов, 1952; С. И. Горюнов, 1955; В. В. Трайнис, 1956, 1960; Н. А. Силин и С. Г. Коберник, 1961; А. Е. Смолдырев, Л. С. Живо- товский, Б. И. Карлин, И. Г. Хаскельберг и др.). В экспериментальной работе Б. М. Левина и др. (1963) был рассмотрен вопрос о потерях напора при гидротранспорте по трубам микрозернистого материала. А. Е. Смол- дыревым и Л. А. Архиповой (1963) экспериментальным путем было исследовано влияние дисперсности состава угля на потери напора при напорном гидротранспорте (в частности, при высоких концентрациях).
Из работ последних лет по движению гидросмесей в вертикальных трубах отметим исследования Ю. В. Желтова (1958, I960), экспериментально обнаружившего своеобразное влияние твердых частиц на переход ламинарного режима течения в турбулентный, работы А. П. Юфина и Н. Т. Беловой (1963), А. И. Борисова (1963), а также теоретический анализ распределения твердых частиц в вертикальном турбулентном потоке жидкости, выполненный Б. А. Фидманом (1963).
Подвергался дальнейшему обсуждению и анализу вопрос о критической скорости (В. М. Карасик, 1959, 1964).
Соотношение между действительной и расходной консистенциями гидросмеси при движении в трубах быдо подробно исследовано Н. А. Силиным, Л. А. Пищенко и В. Ф. Очеретько (1964).
Нередко при гидротранспорте приходится иметь дело с мелкодисперсными материалами, обладающими специфическими физическими и физикохимическими свойствами. При разбавлении в воде эти материалы образуют вязко-пластические (структурные) среды (глинистые, цементные и меловые растворы, илистые, торфяные, тонкодиспергированные угольные гидромассы и т. п.), не подчиняющиеся закону трения Ньютона.
Аномальность в поведении этих сред заключается в основном в том, что вязкость оказывается функцией градиента скорости. Законы движения такого рода сред являются предметом реологии. Коснемся здесь только работ, непосредственно связанных с проблемой гидротранспорта.
Еще в начале и середине тридцатых годов появились первые исследования по гидравлике глинистых растворов, вызванные потребностями развития нефтебуровой, техники (К. А. Царевич, Р. И. Шищенко, Б. Д. Бакланов, П. П. Шумилов и др.). Из послевоенных работ по течению суспензий глины в трубах отметим исследования А. X. Мирзаджан- заде (1959, 1966), Б. С. Филатова (1954) и А. П. Юфина (1950, 1959, 1965), который рассмотрел также особенности движения песчано-глинистых гидросмесей. (Обзор работ по гидродинамике глинистых и цементных растворов был дан Р. С. Гурбановым и А. X. Мирзаджанзаде, 1968.) М. П. Воларовичем и его школой изучены закономерности движения 49 Механика в СССР, том 2
торфяных гидромасс, а также ряд более общих проблем движения вязкопластических сред. Особенности движения по трубам меловых растворов были исследованы И. Г. Булиной и Ю. М. Петровым. Аналогичные исследования для илистых пульп были выполнены Н. М. Москалевым, а для тонкодиспергированных угольных гидросмесей — Э. Г. Кшондзером^ А. Е. Смолдыревым и В. В. Трайнисом (1966).
Завершая этим краткий обзор исследований в области гидротранспорта ), отметим, что к настоящему времени в области гидротранспорта по трубам накоплен большой экспериментальный материал, предложено много эмпирических способов расчета. В последнее время ведется работа по обобщению этих материалов и методов расчета в виде технических условий и норм по расчету гидротранспорта.
Экспериментальные методы исследования взвесенесущих потоков. Уже из сказанного выше видно, сколь большую роль играют экспериментальные методы в рассматриваемой, весьма сложной для развития теории, области гидродинамики. Физический эксперимент имеет здесь, первостепенное значение. Развитие теоретических представлений в этой области в значительной мере сдерживалось развитием экспериментальной техники. В то же время нельзя не сказать о больших принципиальных и технических трудностях, которые приходится преодолевать экспериментаторам при изучении тонких и сложных явлений, связанных с движением двухкомпонентных систем вообще и в придонной области деформируемого русла в особенности.
Коснемся здесь лишь некоторых экспериментальных методов из числа тех, которые нашли применение в советских лабораториях в послевоенные годы.
Одной из первых и главных задач, которая возникает перед экспериментатором при исследовании потока, несущего взвесь, является изучение распределения концентрации частиц и скоростей как несущей, так и несомой компонент потока.
Для измерения распределения концентрации взвешенных частиц в открытом потоке еще до войны К. К. Орловым (1940) был предложен оригинальный батометр, основанный на принципе отсасывания струйки потока. А. П. Юфин (1950) перестроил конструкцию прибора Орлова в целях приспособления его к измерению напорных потоков гидросмеск (трубка Орлова — Юфина). Близкий по идее прибор для измерения полей концентрации взвеси в напорных потоках был сконструирован В. С. Кно- розом (1948) и применен в лабораторной практике. Подобные батометры применялись в лабораторных условиях также Б. М. Левиным и Н. А. Михайловой (I960), В. И. Виноградовой (1962) и другими. Эти приборы применяются в лабораториях до настоящего времени.
Для измерения скоростей наносонесущего потока в пятидесятых и шестидесятых годах отдельными исследователями применялись термо- гидр ометрические приборы, по принципу действия аналогичные термоанемометрам (В. Г. Савин и В. П. Петров), а также приборы, основанные на использовании тензометрической техники (М. М. Дидковский, Н. Г. Поз- няя и Б. М. Егидис, 1961; В. И. Виноградова, 1963).
Наиболее полноценные опытные данные о величине концентрации взвеси, а также кинематической структуре потока можно получить с помощью фото- и кинометодов. При этом весьма эффективным является
способ наблюдения в «темном поле» с применением так называемого «светового ножа», что может быть достигнуто либо щелевым освещением, либо более тонкими оптическими средствами с применением для фокусировки цилиндрических линз. В настоящее время для освещения применяются импульсные источники света, что особенно удобно при съемке на неподвижную пленку. Такого типа методы с успехом применяются также при исследовании турбулентности однокомпонентных потоков (см. § 8).
Наиболее у аким местом при использовании методов визуализации для количественных измерений является в настоящее время большая трудоемкость обработки материала, получаемого в экспериментах. В этой связи большой интерес представляет новая техника автоматизации обработки результатов измерений параметров, движения отдельных частиц взвеси, применяемая В. В. Орловым, Е. М. Хабахпашевой и др. (1966—— 1968).
Для исследования взвесенесущих потоков киносъемка по предложению М. А. Великанова и А. П. Юфина впервые была применена Н. А. Михайловой в 1947 г. В дальнейшем кинометод широко применялся как ею (1952, 1959, 1966), так и другими экспериментаторами (М. В. Печенкин, 1959—1964; Э. Т. Джрбашян, 1960, 1963; П. Е. Мирцхулава, I960).
При большой насыщенности потока взвесью частицы начинают затенять друг друга (экранирующий эффект) и применение кино- и фотометодов для обычных сочетаний жидкости с твердыми частицами становится невозможным. Этот дефект метода является особенно досадным из-за того, что мы сталкиваемся с ним в наиболее интересных с научной и практической точек зрения случаях (в обычных условиях эффект экранирования препятствует изучению движения наносов в придонном слое, в технических же условиях при изучении гидротранспорта материалов с высокими к он систен циями гидросмеси область проявления эффекта экранирования становится тем более значительной).
Сказанное дает основание оценить как крупное принципиальное достижение предложенный М. В. Печенкиным (1961——1964) метод оптической однородности. Суть этого метода заключается в применении в качестве несущей жидкости и взвеси прозрачных материалов, обладающих одинаковым показателем преломления, что позволяет в принципе обойти затруднения, вызываемые затенением при значительных к он центр ациях. При этом измерение скоростей движения и концентраций частиц взвеси производится при помощи фото- и киносъемки, для чего определенное количество частиц взвеси той же геометрической и гидравлической крупности берется непрозрачной. Движение несущей жидкости визуализируется путем введения частиц-индикаторов нейтральной плавучести. В качестве несущей жидкости Печен кин использовал раствор нафталина в скипидаре, материалом для частиц взвеси служило оптическое стекло или пластмасса. Отметим, что в последнее время метод оптической однородности был применен также В. Ф. Очеретько (1966).
Для определения мутности потока получил применение и фотоэлектрический метод, основанный на измерении ослабления светового луча при его прохождении через смесь жидкости с частицами взвеси. Этот метод был предложен Н. Н. Калитиным в 1923——1924 гг., но практически долго не применялся. По-видимому, первым серьезным исследованием с применением этого метода в лабораторных условиях была работа Э.* Дж. Ричардсона (1937) (см. Н. А. Михайлова, 1966). В пятидесятых годах в работах М. М. Архангельского и Л. А. Букиной было дано детальное физической
обоснование метода. Ими же и В. Г. Савиным в те же годы были созданы фотоэлектрические приборы для измерения мутности в натурных условиях. В лабораторных условиях этот метод применялся В. П. Петровым и 3. Й. Котовой (1957), Э. Т. Джрбашяном (1961). К. В. Разумихина и А. В. Караушев (1963) провели лабораторные и натурные испытания фотоэлектрического прибора.
М. М. Архангельским, Е. Г. Кардашем (1959), К. А. Черноскутовым (1959) и другими экспериментаторами были разработаны также способы применения гамма-излучения для измерения концентрадии взвесей в потоках. Этот метод с успехом применялся и для исследования потоков газожидкостных (в частности, пароводяных) смесей как в трубах, так и в открытых каналах.
Различные методы исследования распределения концентрации и ос- редненных скоростей потоков гидросмесей в трубах (включая рентгеновский) сопоставлены И. И. Булдаковым (1966). В его работах приводятся также результаты измерений.
Более полную информацию по многим из затронутых здесь вопросов можно найти в недавно вышедшей книге Н. А. Михайловой (1966). Появление этой работы существенным образом облегчило написание данного раздела обзора.
Даже данный здесь краткий анализ показывает, что возможности лабораторного и натурного эксперимента за последние годы намного возросли в связи с развитием новых методов и техники исследований. Хотя, безусловно, в развитии методов и техники не следует останавливаться на достигнутом, стоит отметить вместе с тем, что в настоящее время большее внимание должно быть уделено реализации этих в о зможн остей в целях глубокого физического изучения спорных и нерешенных проблем теории многокомпонентных потоков.
Газожидкостные потоки. Совместное движение капельной жидкости и газа (или пара) представляет большой практический интерес в связи с важными приложениями в тепловой и атомной энергетике, в нефтегазовом деле, в гидротехнике и других областях. Этим объясняется повышенный интерес к данной проблеме в последние десятилетия и, особенно, в последние 15——20 лет.
Очень часто жидкость и газ при их совместном движении по трубе либо, по тому или иному каналу образуют двухфазную или двухкомпонентную смесь, в которой в одном случае основной компонентой является жидкость, содержащая в себе пузырьки газа, в другом случае — газ, несущий капли жидкости. По сути дела, потоки таких газожидкостных систем ■относятся к тому же классу явлений, что и рассмотренные выше потоки жидкости с твердыми частицами. Все эти случаи движения являются предметом теории многокомпонентных потоков, об основах которой говорилось выше.
Принципиальным отличием движения газожидкостных смесей от движения обычных смесей жидкости или газа с твердыми частицами является то, что взвешенные элементы в газожидкостных потоках в процессе движения обычно меняют свою форму, а часто и размер, например при разделении или слияйии отдельных пузырей и капель. Усложняет явления и то, что течение среды теперь происходит в обеих фазах, в том -числе во «взвешенных» элементах. Специфическим является также про- .явление эффекта поверхностного натяжения на границе компонент. Поэтому изучение движения отдельных пузырей и капель является в зна- едхельной мере самостоятельным вопросом.
Так же как и в случае в звесенесущих потоков с твердой несомой компонентой, одним из главных вопросов, который возникает в практике при рассмотрении потоков газожидкостных смесей, является вопрос о потерях напора (давления) при движении таких смесей по трубам (или каналам). Однако в случае газожидкостных потоков этот вопрос становится существенно сложнее, так как термодинамические факторы выступают здесь на первый план. Определяющее значение имеют, в частности, теплообмен с внешней средой и фазовые переходы.
В связи с неопределенностью геометрии границы раздела между фазами специфическими для теории газожидкостных потоков являются вопросы о режимах (формах) совместного движения жидкой и газообразной сред в трубах и об устойчивости этих режимов течения.
Основная масса исследований по газожидкостным потокам связана с задачами теплофизики. Поэтому мы не будем пытаться анализировать множество работ в этой области и ограничимся упоминанием лишь некоторых из них ——преимущественно тех, в которых преобладает гидродинамический аспект проблемы.
Комплекс вопросов гидравлики газожидкостных систем рассмотрен в монографии С. С. Кутателадзе и М. А. Стыриковича (1958), в которой в значительной степени были подытожены предшествующие исследования в этой области. Отметим также более ранние публикации С. С. Кутателадзе (1946, 1947), С. И. Костерина (1949) и Л. Ю. Красяковой (1952) по движению двухфазного потока в трубах, а также исследования Д. Ф. Петерсона и А. А. Арманда.
Ряд вопросов гидродинамики газожидкостных сред и, в частности, о движении капель и пузырьков в жидкой среде^и механизме их дробления изложен в кни1« В. Г. Левина (1959).
Гидродинамике системы пузырей в жидкости малой вязкости посвящена статья А. М. Головина, В. Г. Левина и В. В. Толмачева (1966), где рассмотрена задача обтекания совокупности конечного числа одинаковых сферических пузырей умеренных размеров, упорядоченно расположенных в пространстве. Здесь показано, что скорость подъема системы пузырей зависит не только от их объемной концентрации, но и от конфигурации всей всплывающей совокупности пузырей. Рассмотрен, в частности, случай всплывания пузырей в вертикальной цилиндрической колонке. .
И. Ильичев и Г. Г. Неуймин (1965) дали теоретический анализ и привели результаты экспериментального исследования распределения размеров газовых пузырьков в турбулизированной среде жидкости. Авторы пришли к заключению, что закон распределения диаметров пузырьков является логарифмически-нормальным.
Режимы течения газожидкостной смеси в трубах были предметом работ М. А. Молочина (1954, 1956), Б. И. Шейнина и А. К. Катаржиса (1959), С. С. Кутателадзе и Ю. Л. Сорокина (1961), А. И. Гужова и В. Г. Титова (1964) и других исследователей. Вопрос о потерях напора при движении смеси в горизонтальных трубах изучали, помимо большинства из упомянутых авторов, Н. И. Семенов (1955), С. И. К остер ин и Б. И. Шейнин (1958), В. С. Яблонский, Г. Г. Корнилов и А. С. Свиридова (1963, 1964) и другие специалисты.
Пожалуй, не меньший интерес вызывает задача о движении газожидкостной смеси в вертикальной трубе. Это объясняется в большой мере тем, что наряду с теплофизическими проблемами исследования по данной задаче уже давно стимулировались необходимостью разработки и совер-
шенствования теории эр-газлифтов. Из публикаций последних лет в этой ■области отметим здесь работу Ю. Л. Сорокина (1963) по устойчивости режимов движения, а также работы В. А. Архангельского (1955, 1958, 1962), Г. Е. Холодовского (1957), Б. К. Козлова (1954, 1959), В. А. Локшина и А. Л. Шварца (1959), С. И. К остер ина, В. В. Полякова, Н. И. Семенова и А. А. Точигина (1961, 1962), Е. М. Новохацкого (1961), М. М. Пржиялковского и И. Н. Петровой (1961), Р. С. Андриасова и В. А. Сахарова (1965, 1966).
-Транспортированию по трубопроводам нефтегазовых и газоконденсатных смесей специально посвящены работы И. Е. Ходановича, В. А- Мамаева и Г. Э. Одишария (1959——1967), Ю. П. Коротаева (1958, 1965, 1967), Ю. Н. Васильева и Д. Аузбаева (1963) и других авторов. Теоретический анализ движения газоконденсатной смеси в вертикальной трубе содержат работы Э. С. Садых-Заде, К. В. Виноградова и ф. Т. Агаева (1964, 1966).
К указанным здесь исследованиям примыкают работы А. К. Галлямова (1966) по совместному движению газа и жидкости в «рельефном» трубопроводе. Им была выполнена эксперимёнтальная проверка метода расчета потерь напора в таких трубопроводах, предложенного И. А. Чарным.
Отметим также работы Н. И. Семенова (1959) и В. Г. Титова (1961), посвященные исследованию пульсации давления при течении газожидкостных смесей в трубах, а также работу А. А. Бриксмана (1959), в которой рассматривается вопрос о скорости звука в газожидкостных средах.
Особую проблему представляет движение водовоздушных смесей (аэрированных потоков), возникающих в результате самопроизвольного захвата воздуха при больших скоростях течения воды в открытых каналах, на водосливах и в других гидротехнических ^сооружениях. Этот вопрос рассмотрен в п. 6.3.
Течения в деформируемых руслах
С некоторой степенью условности можно назвать три типа процессов, ■объединяемых одним понятием «деформация русла».
Естественные (квазистационарные, или просто русловые) процессы на реках, обусловленные подвижностью материала, слагающего дно и берега реки, а также наличием в потоке влекомых и взвешенных наносов. Эти процессы связаны с мгновенными, сезонными или многолетними вариациями водного и твердого стока. Сюда относятся процессы меандрирования русла, размыва берегов и т. д. Эти процессы существуют в том или ином виде в любой реке и в любом необлицованном канале (постройка гидросооружений в конечном итоге лишь как-то изменяет эти процессы).
. Нестационарные процессы общего размыва или общего заиления русла, связанные с изменением естественного, квазистационарного режима реки или режима работы канала ). К этому же типу можно отнести процессы в отстойниках, а также явления при намыве тела плотины методом гидромеханизации.
Процессы местного размыва, вызываемые локальным воздействием потока (струи) на дно и берега за гидротехническим сооружением. Такие
процессы связаны с повышением скоростей и интенсивности турбулентно- оти при стеснении русла реки (канала) сооружениями или при падении отброшенной сооружением струи, либо с местным нарушением баланса наносов.
Учение о русловом процессе составляет обширный раздел гидрологии, в котором рассматривается совместное действие большого числа различных природных факторов. Гидрологический аспект проблемы хорошо представлен в работах М. А. Великанова (1954, 1955, 1958, 1964), К. И. Российского и И. А. Кузьмина (1950, 1958 и др.) ).
Современные средства гидромеханики и гидравлики позволяют строить упрощенные схемы русловых процессов второго и третьего типов либо привлекаются для решения частных вопросов, возникающих при рассмотрении механизма руслового потока.
К таким «частным» вопросам относятся изучение течений на повороте русла, описание механизма поперечного транспорта наносов в реке под действием поперечной циркуляции и др. (см. § 11). Достаточно развитые качественные представления о русловых процессах в настоящее время создают благоприятные условия для значительно более широкого использования методов гидромеханики в анализе не только частных явлений, но и общих закономерностей русловых процессов.
Расчеты нестационарных процессов общего размыва или общего заиления бьефов обычно проводятся на основе уравнения баланса твердого стока (уравнения деформаций русла) и связей между транспортирующей способностью потока и его динамическими и кинематическими характеристиками ——уклоном, глубиной, скоростью течения. Большую роль в создании методов расчета таких процессов сыграли работы Н. М. Вернадского и И. И. Леви (1941), начатые ими еще в тридцатых годах и являющиеся пионерными в данной области. Обобщение результатов этих исследований можно найти в монографиях Леви (1948, 1955, 1957). Этот вопрос рассматривался также рядом других авторов (М. А. Великанов, 4 955, 1058; Г. И. Шамов, 1939, 1954; С. Т. Алтунин, 1958; М. А. Мостков, 1958; О. Ф. Васильев, 1958; М. Э. Факторович, 1965, 1967, и др.).
При расчетах нестационарных процессов деформаций дна потока по методу баланса твердого стока количество транспортируемого материала оценивается по формулам для транспортирующей способности потока или тке по эквивалентным им формулам для «критической» мутности. И те, й другие зависимости характеризуют, по сути дела, предельную транспортирующую способность потока в условиях установившегося равномерного движения, когда устанавливается статистическое равновесие между количеством частиц, выпадающих на дно и поднимаемых потоком со дна. Такое состояние движения взвесенесущего потока можно назвать «равновесным». К настоящему времени предложено много зависимостей эмпирического и полуэмпирического происхождения для оценки транспортирующей способности или «критической» мутности (С. X. Абальянц, 1957, В. Н. Гончаров, 1954; И. В. Егиазаров, 1956, 1963; Е. А. Замарин, 1951; И. И. Леви, 1948, 1957, и др.). Однако в процессе размыва или осаждения наносов «равновесный» характер процесса транспорта наносов в той или иной степени нарушается. Правда, в случае медленно разви-
вающихся по длине и вО времени процессов размыва-осаждения состояние движения взвесенесущего потока может оставаться близким к «равновесному», но в случае быстрых изменений предположение о «равновесности» будет неверным. Для преодоления этого принципиального затруднения пока что предложены лишь некоторые эмпирические приемы (К. И. Российский и И. А. Кузьмин, 1964).
Гидромеханическое решение задачи о транспортирующей способности потока в условиях «неравновесного» движения в настоящее время строится на базе диффузионной теории движения наносов (К. И. Российский и И. А. Кузьмин, 1958; А. В. Караушев, I960). Однако и на пути применения диффузионной теории имеются некоторые существенные препятствия. Помимо трудностей определения «коэффициента диффузии», принципиальные осложнения возникают при формулировке краевых условий у дна потока. Для расшифровки коэффициентов, входящих в эти условия, также необходимо углубленное изучение механизма «захвата» частиц дном и взвешивания частиц потоком в условиях осаждения или размыва.
При размыве несвязных разнородных по крупности грунтов явление размыва и взвешивания наносов осложняется также образованием «естественной отмостки» (или «самоотмостки») русла из крупных фракций. Учету этого явления в практических задачах в пятидесятых ——начале шестидесятых годов было уделено большое внимание во многих публикациях, начиная с работ К. И. Российского и И. А. Кузьмина, получивших развитие в исследованиях В. С. Кнороза (1962).
Исследование переформирдвания продольного профиля реки при понижении отметки базиса эрозии выполнено А. К. Ананяном (1959, I960, 1962). Особенности переформирования русла реки в нижнем бьефе ГЭС в условиях неустановившегося течения при суточном регулировании режима работы ГЭС были изучены И. Л. Розовским, Е. В. Еременко и В. А. Базилевичем (1967) на основе лабораторных и натурных данных. Вопросы формирования русел рек рассматривались также в работах Ю. А. Ибад-заде и др.
При построении одномерных схем для описания движения транспортирующего наносы потока на деформируемом ложе распределение наносов по глубине потока во внимание обычно не принимается. Однако в некоторых случаях при рассмотрении явлений «локального» характера, например при расчете гидротехнических отстойников и водозаборных сооружений, учет распределения наносов по глубине потока является существенным. Примеры такого рода задач можно найти в работах М. А. Великанова (1936), А. П. Зегжды (1947), А. С. Офицерова (1947), В. М. Лятхера и А. М. Прудовского (1963), А. Г. Аверкиева и др. (1968).
Задачам о переформировании речных русел при изменении естественного режима реки близка по своему характеру задача о формировании намываемых откосов при возведении земляных сооружений методом гидромеханизации. Впервые в сороковых годах задачу о намыве плотины рассмотрел Е. А. Гаврашенко, результаты которого были опубликованы в 1950 г. Исследование Гаврашенко опирается на решение системы, состоящей из уравнений баланса твердого материала и транспортирующей способности потока. В этой же постановке некоторые задачи о намыве были решены П. Я. По л у барин ов ой-К очин ой (1953). Более полно в одномерной постановке эта задача была рассмотрена О. Ф. Васильевым (1958). Однако при проектировании намыва плотин главный интерес представляет нз столько форма профиля намываемого открса, сколько плотность грунта.
отлагающегося при намыве, и в связи с этим ——фракционный состав грунта откоса. Обстоятельные исследования этих вопросов выполнены В. А. Мелентьевым (1952—1960), И. Я. Русиновым (1955—1958), Г. М. За- дворным (1956, 1958), И. А. Шнеером (1958—4964).
Расчеты общих и местных деформаций русла тесно связаны с определением неразмывающих скоростей потока для данного грунта. В условиях равномерного потока начало размыва несвязного грунта определяется отношением среднего касательного напряжения у дна т0 — р〃： и силы веса, удерживающей частицу на дне yd (1 ——у0/у) (Б. А. Фидман, 1950; И. К. Никитин, 1963). Значение предельного соотношения to/Iyd (1 — Yb/?)] зависит от формы чаетиц и плотности их укладки. Многие авторы считают, что это отношение зависит и от значения локального числа Рейнольдса u^d/v. Касательное напряжение у дна т0 или динамическая скорость 〃* могут быть сравнительно просто связаны с «придонной скоростью», фиксируемой на определенном расстоянии от дна (см., например, И. К. Никитин, 1963). Соотношение между «придонной» скоростью и скоростью, осредненной по глубине, зависит от относительной шероховатости русла, изменяющейся с изменением глубины потока. Это обстоятельство нашло отражение в том, что многочисленные эмпирические и полу- эмпирические формулы связывают среднюю по глубине скорость, отвечающую началу движения частиц (неразмывающую скорость), не только с параметрами частиц, но и с абсолютной глубиной потока (С. X. Абальянц, 1957; И. И. Леви, 1955; В. Н. Гончаров, 1954, и др.).
Д. И. Кумин (1954) одним из первых указал на то, что устойчивость частиц дна связана не только с донной скоростью, осредненной во времени, но и с пульсациями скорости в придонных слоях. По мнению Кумина, размывающее воздействие потока определяется максимальной мгновенной придонной скоростью и не зависит от того, является поток равномерным или неравномерным. Это предположение хорошо подтверждается опытными данными в условиях, когда интенсивность тур булентн ости в придонных слоях относительно невысока. При высокой интенсивности турбулентности устойчивость частиц зависит уже не только от максимальной мгновенной скорости у дна, но и от характеристик пульсационной составляющей скорости. В. А. Базилевич (1963) экспериментально обнаружил эту особенность. .
Условия начала размыва в глинистых связных грунтах детально изучены Ц. Е. Мирцхулавой (1959, 1960, 1966). Им выполнена большая экспериментальная работа по изучению физической картины разрушения глинистых грунтов и установлено, что разрушение грунта происходит в результате развития усталостных явлений на его поверхности. Мирцху- лава предложил расчет размывающих и неразмывающих скоростей выполнять по предельным состояниям. Такой метод впервые позволяет оценивать сопротивление связного грунта размыву на основе физико-механических соображений. Ц. Е. Мирцхулава и Р. Г. Данелия (1963) обнаружили важный факт влияния абсолютного давления в потоке на величину неразмывающей скорости.
Надо полагать, что условия устойчивости связного грунта в не меньшей степени зависят от турбулентных пульсаций характеристик потока в придонной области. Размыв в связном глинистом и, особенно, в скальном грунте зависит не только от параметров пульсаций скорости, но и от параметров пульсации давления. Эти обстоятельства детально еще не исследовались, однако имеющиеся практические рекомендации, опирающиеся на довольно грубые модели явлений и некоторые данные натурных
наблюдений, свидетельствуют в пользу этого предпо ложения. М. С. Выз- го (1940, 1954, 1956, I960) и некоторые его последователи полагают, что размыв в связном грунте заканчивается в основном в связи с затоплением падающей струи. В модели Г. А. Юдицкого (1961, 1963) механизм размыва связного (скального) грунта принимается таким же, как и для несвязного грунта с крупностью частиц, равной средней крупности отдельностей грунта. В схеме Ц. Е. Мирцхулавы (1964) учитываются связи между отдельностями скалы и рассматривается характерная осред- ненная придонная скорость потока, однако все параметры динамического {пульсационного) воздействия потока скрыты в эмпирическом коэффициенте.
Процессы местного размыва определяются не только сопротивляемостью грунта и структурой потока в зоне размыва. При размывах в несвяз- лых грунтах большое значение имеет количество наносов в потоке на подходе к яме размыва. Обмен наносами между дном и потоком приводит к уменьшению местного размыва по сравнению с размывом потоком чистой воды. (Соответствующиё опытные данные и ссылки приведены в книге М. С. Вызго, 1966.) •
Роль взвешенных наносов йри размыве связных пород недостаточно изучена. Физические соображения и отдельные данные натурных наблюдений говорят о том, что крупные частицы в потоке могут существенно ускорить размыв связного грунта за счет абразивных воздействий (Т. X. Ахмедов, 1963).
Своеобразным примером потока в деформируемых руслах является течение над отсыпью из камня или бетонных массивов, формирующееся лри подаче этих материалов в текущую воду для преграждения (перекрытия) русла реки.
Комплексная проблема перекрытия русла каменной наброской поставлена и в значительной мере разработана С. В. Избашем и его школой (С. В. Избаш, 1932—1965; И. В. Лебедев, 1954—1965; Б. Т. Емцев, 4 954; X. Ю. Халдре, 1959, и др.). В результате исследований созданы удобные инженерные методы комплексного расчета различных схем перекрытия русел (обзор результатов и некоторые новые предложения даны в статье С В. Избаша, И. В. Лебедева, П. М. Слисского, 1965).
Среди методов перекрытия русел крупных рек с размываемым ложем чаще всего применяется фронтальное перекрытие наброской из крупных материалов (камня или бетонных массивов) на предварительно подготовленный каменный банкет. При этом материал подается равномерно по ширине русла. Детальный анализ устойчивости ёанкета и формирования отсыпи в этих условиях выполнен Н. В. Халтуриной (1958——1961), разработавшей, в частности, метод выбора крупности тетраэдров или кубов, обеспечивающих наиболее компактную форму банкета. Халтурина (1958) подметила важный факт зависимости осредненной характеристики устойчивости частиц от темпа подачи материала (на единицу площади).
В последние годы в гидротехнической практике распространился «пионерный» метод перекрытия русла, при котором материал, формирующий преграду, подается с берега сосредоточенно. Гидравлический расчет пионерного перекрытия русла связан с проблемой оценки устойчивости материала на откосе и, особенно, на дне потока ——в зоне вертикальных вихрей на границе раздела между транзитным потоком и водоворотными зонами. Построение физически обоснованного метода расчета здесь станет возможным по мере изучения характеристик тур булентн ости в придонном слое у границы транзитного потока. С другой стороны, накопленный
экспериментальный материал, связывающий осредненные параметры потока в проране с фактической крупностью устойчивого материала (И. М. Че- кунаев, 1959; И. В. Лебедев, 1961; А. П. Войнович, 1961, 1963), дает основу для эмпирической оценки суммарного эффекта снижения устойчивости материала и позволяет выполнять приближенные практические расчеты.
Для перекрытия рек с небольшими скоростями течения и малыми конечными перепадами на отводном тракте применяют подачу материала способом гидромеханизации. Имеются расчетные приемы оценки параметров этого процесса (М. Д. Me ламут, 1955, 1961; Е. JL Иоршп и В. А. Мелентьев, 1958; К. П. Копиевский, 1961; А. М. Царевский и др., 1956).
Движение жидкости на повороте руслаи поперечная циркуляция в русловых потоках
Характерным свойством естественных водных потоков является извилистость их русла. Издавна особенности структуры течения, размывов ложа, движения наносов и их отложения, формы свободной поверхности потока на закруглениях русел привлекали внимание гидравликов.
Важнейшей особенностью структуры течения на изгибе потока является возникновение здесь поперечной циркуляции («вторичного течения»), появление которой во многом предопределяет остальные особенности руслового потока на изгибе. Как известно, первые попытки теоретически изучить движение потока на изгибе русла принадлежат еще Дж. Томсону, Ж. Буссинеску и Н. Е. Жуковскому. Интересное экспериментальное исследование квдематики открытого потока на повороте было выполнено А. Я. Миловичем (Бюлл. Политехи, об-ва, 1914, № 10). С течением времени интерес к этой задаче не ослабевал, причем особенно много исследований появилось в тридцатых ——пятидесятых годах. Укажем на работы М. А. Дементьева (1930), В. М. Маккавеева (1933, 1938, 1940,1947,1948), М. В. Потапова (1936), А. В. Караушева (1950), М. П. Кожевникова (1946, 1949), И. В. Боголюбовой (1944). Особо можно выделить обстоятельные исследования, проведенные в 1948——1954 гг. И. Л. Розовским (1957) и гГримерно в этот же период А. К. Ананяном (1957). Отметим также работы Л. А. Оганесяна (1952, 1953), О. Л. Юшманова (1953), Н. Н. Федорова (1959), В. М. Лятхера и А. М. Прудовского (1959).
Задача о движении потока на изгибе русла является типичной трехмерной задачей гидродинамики. Если учесть еще и то, что поток в русле, как правило, является турбулентным, становится ясной чрезвычайная сложность данного процесса.
Естественно поэтому, что выполненные к настоящему времени теоретические исследования основаны фактически на весьма грубой схематизации явления, касающейся как геометрической постановки задачи, так и учета турбулентности. Как правило, рассматривается циркуляционное движение в канале с постоянным радиусом изгиба, а распределение скоростей в каждом поперечном сечении предполагается одинаковым (схема «установившейся» поперечной циркуляции), т. е. задача сводится к осесимметричной. Тем самым исключается из рассмотрения интереснейший вопрос о развитии циркуляции при входе на изогнутый участок русла.
Болыпинство авторов при этом задает заранее то или иное распределение продольных скоростей. Тогда задача сводится лишь к вычислению поперечных скоростей. К тому же русло считается «широким», т. е. отношение ширины к глубине предполагается столь большим, что в средней
части поперечного сечения вертикальной составляющей скорости можно пренебречь.
«Установившееся» вдоль изогнутого «широкого» русла циркуляцион* ное течение при заданном распределении продольных скоростей и постоянном коэффициенте турбулентной вязкости было рассмотрено впервые в работах В. М. Маккавеева, развитых затем А. В. Караушевым. Более полный анализ движения на изгибе потока впоследствии был выполнен в работах И. Л. Розовского и А. К. Ананяна. .
А. К. Ананян (1957, 1958) исследовал движение при различных законах распределения продольной скорости как при постоянном, так и при переменном значениях коэффициента турбулентной вязкости в водоводах круглого, прямоугольного и треугольного сечений. Он предпринял попытку рассмотреть и вопрос о развитии поперечной циркуляции на повороте, но сам признал условность сделанных при этом предположений.
И. Л. Розовский (1957, 1958) задал логарифмическое распределение продольных скоростей (по вертикали) и соответствующее ему переменное по глубине распределение коэффициента турбулентной вязкости. Вместе с тем он проанализировал решение задачи о поперечных составляющих скорости на изгибе широкого турбулентного потока при задании других законов распределения продольных скоростей и соответствующих им распределений коэффициентов турбулентного обмена. Розовский (1957, I960) более обстоятельно, чем другие авторы, изучил вопросы, связанные с трехмерностью течения на закруглении руслового потока, однако и его анализ является весьма приближенным и направлен, как правило, на изучение каждой из особенностей кинематики такого потока по отдельности. Им рассмотрены, в частности, развитие поперечной циркуляции на изгибе потока и распределение продольных скоростей в зоне изгиба.
Среди других вопросов, изученных И. Л. Розовским и А. К. Ананяном, можно отметить также анализ влияния ширины потока на характер распределения Поперечных составляющих скорости.
Вопрос о затухании поперечной циркуляции на прямолинейном участке русла в приближенной постановке рассмотрен рядом авторов, в том числе А. К. Ананяном (1957), М. С. Похсраряном (1958, 1959), И. Л. Розовским и О. Я. Гаркави (1962).
О. Ф. Васильев (1958) решил задачу об осесимметричном однородном винтовом потоке невязкой жидкости в изогнутом русле прямоугольного поперечного сечения (в предположении горизонтальности свободной поверхности). Его исследование показало, что даже в потоке невязкой жидкости появление поперечной циркуляции приводит к нарушению «закона площадей» для потока, взятого в целом. Однако в осесимметричном невязком потоке существуют поверхности (к ним относится и контур потока, включающий свободную поверхность), на Которых закон площадей выполняется.
Многими из перечисленных выше авторов были предприняты серьезные экспериментальные исследования кинематики потока на закруглении.
Со времени сообщения А. Я. Миловича о его опытах по движению поплавков на поверхности открытого потока жидкости в изогнутом лотке прямоугольного сечения (1912) внимание многих исследователей привлекал вопрос: подчиняется ли распределение продольных скоростей на повороте закону площадей ? В 1936 г. этот вопрос исследовал (также в прямоугольном лотке) Н. Ф. Данелия, который пришел к выводу, что
распределение скоростей по ширине лотка подчиняется в пределах большей части поворота закону площадей. В 1940—1941 гг. М： П. Кожевников (1946, 1949) выполнил довольно обстоятельное лабораторное исследование кинематики потока на повороте русла. На основании своих экспериментов в лотках с различной формой поперечного сечения он заключил, что закон площадей в точности не выдерживается даже для лотка прямоугольного поперечного сечения и полностью нарушается в лотках трапецеидального и треугольного сечений. Распределение продольных скоростей по ширине потока, как показали эксперименты Кожевникова, в большой мере зависит от формы поперечного сечения потока, и, следовательно, ошибочно искать общую закономерность для распределения продольных скоростей без учета формы поперечного сечения. К такому же выводу пришел позднее И. Л. Розовский, который, как уже отмечено, выполнил и теоретический анализ этого вопроса.
В 1948―1950 гг. И. Л. Розовским (1957) были поставлены весьма детальные эксперименты по движению потока на повороте русла, причем в опытах изменялись форма русла, углы поворота, глубина наполнения русла, шероховатость дна и другие параметры. Определялись как продольные, так и поперечные составляющие скорости, исследовался рельеф свободной поверхности. Опыты, выполненные в лотках прямоугольного и полигонального сечений, изогнутых в плане под углом 180° и 90°, с жестким и размываемым ложем, привели Розовского к выводу, что линия максимумов 'продольной составляющей скорости в начале закругления отклоняется к выпуклому берегу. Затем в пределах закругления происходит постепенное переформирование поля скоростей, причем линия максимальных скоростей перемещается к вогнутому берегу, пересекая ось лотка. Особенно резко это перераспределение скоростей обнаруживается на выходе из закругления. Поперечная циркуляция в виде одного винта, охватывающего практически все сечение лотка с направлением вращения, соответствующим классической схеме, наблюдалась во всех опытах. Лишь * в некоторых опытах в непосредственной близости от вогнутой стенки был отмечен незначительный винт с обратным направлением вращения.
Экспериментальные исследования в лотках с несколькими последовательными поворотами в плане (имитация излучин) с целью изучения взаимного влияния поворотов также производились неоднократно. .Отметим опыты И. М. Коновалова и Б. Е. Романенко (В. М. Маккавеев, 1938), Н. И. Маккавеева и Б. Е. Романенко (1941)/ М. П. Кожевникова (1940, 1941), А. И. Фидмана (1949), А. К. Ананяна (1957).
Спорный в некоторых отношениях теоретический анализ явлений, возникающих при изгибе открытого потока, дается в монографии В. Н. Гончарова (1962). Вместе с тем им приводятся экспериментальные данные по движению на изгибах русел, в том числе на сложных изп бах, состоящих из нескольких последовательных поворотов разных знаков, в частности, при затоплении поймы.
Были осуществлены также детальные натурные исследования кинематики потока на излучинах рек. На небольшой реке Юляйоки такие исследования были проведены И. В. Боголюбовой и О. В. Макриновой в 1946 г. под руководством А. В. Караушева. В 1951—1952 гг. под руководством И. Л. Розовского существенно более крупные работы были проверены на реках Десна и Сновь. Еще один пример приводит н своей работе Н. Н. Федоров (1959). Все эти исследования показали наличие четко выра- тженной поперечной циркуляции на излучинах рек.
Обстоятельный обзор исследований руслового потока на закруглении и формирования излучин рек с библиографией работ по этому вопросу составлен Н. Н. Федоровым (1959). (Этот обзор местами использован при написании данного раздела.)
Условия движения на повороте в зависимости от сопротивления трения и относительной ширины потока исследованы экспериментально в работе В. М. Лятхера и А. М. Прудовского (1959). Из последних работ по исследованию распределения продольных скоростей на изгибе русла отметим статью Р. Ш. Соломоняна (1964).
Как уже было сказано, кинематические особенности течения на повороте русла во многом предопределяют характер деформаций русла на этом участке. Большинство исследований имело конечной целью именно объяснение механизма деформации русла на повороте (размывов и отложений грунта). Не будем перечислять здесь многочисленные работы, в которых трактуется этот вопрос, и упомянем лишь одну из самых последних —статью И. А. Кузьмина (1964), в которой дается объяснение различий в форме размывов на поворотах русел, сложенных несвязными и связными грунтами.
Для понимания процессов, происходящих в естественных руслах, некоторый интерес представляет поперечная циркуляция, возникающая в открытом потоке под действием кориолисова ускорения вследствие вращения Земли. Приближенное теоретическое рассмотрение этого вопроса выполнено В. М. Маккавеевым (1940) и М. В. Потаповым (1950, 1951).
В 1932 г. В. М. Потапов экспериментально доказал возможность превращения обычного параллельноструйного движения воды в открытом русле в винтообразное движение путем установки в потоке простейших неподвижных струенаправляющих щитов и показал решающее влияние такого искусственно созданного течения на характер движения донных наносов и на процессы формирования самого русла. К этому периоду относится написание первой, работы Потапова о методе искусственной поперечной циркуляции и его практическом применении (1936). В результате исследований М. В. Потапова (1944, 1947, 1948) и его последователей в тридцатых и сороковых годах были разработаны специальные конструкции струенаправляющих систем для искусственного возбуждения поперечной циркуляции в потоке в целях управления движением наносов в русле, увеличения взвешивающей и транспортирующей способности потока, вызывания или предотвращения размывов русла в определенных местах.
Оригинальный метод регулирования русловых потоков, предложенный Потаповым и связанный с активным вмешательством в природу потока и преобразованием ее в нужном для практики направлении, может быть по праву отнесен к числу выдающихся достижений советской гидротехники ).
В 1947 г. М. В. Потапов дал одно из первых теоретических исследоват ний, посвященных переносу взвешенных наносов циркуляционным потоком. Вопросу о повышении взвешивающей и транспортирующей способности потока методом искусственной поперечной циркуляции, помимо
собственных работ Потапова, посвящены также исследования его учеников Ф. С. Салахова и X. Ш. Шапиро. В дальнейшем теоретическое исследование переноса взвешенных наносов циркуляционным потоком было предпринято А. К. Ананяном (1957) и И. Л. Розовским (1963).
Теоретическому исследованию винтовых и циркуляционных потоков жидкости, помимо упомянутых, была посвящена часть других публикаций М. В. Потапова, а также работы А. Я. Миловича, А. А. Саткевича, С. С. Бюшгенса, Н. И. Алексеева, Г. С. Попова, Б. А. Пышкина, М. Г. Старостина. Перечень и критический анализ этих работ можно найти в публикациях О. Ф. Васильева (1952, 1958).
Работы О. Ф. Васильева (1955, 1958) также посвящены теории винтовых и циркуляционных потоков, причем автор дал в них подробный разбор диссертации И. С. Громеки «Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости» (1881), в которой впервые рассматривался указанный класс движений жидкости. Васильевым предложен метод линеаризации основных уравнений двухпараметрических вихревых и винтовых потоков, которые в общем случае являются нелинейными эллиптическими уравнениями. Им подробно рассмотрены винтовые и циркуляционные потоки невязкой жидкости в призматическом русле, а также некоторые случаи осесимметричных винтовых потоков.
Из других теоретических работ по циркуляционным потокам отметим исследования М. А. Гольдштика (1958, 1959).
Сравнительно недавно появились попытки применения теории циркуляционных потоков к расчету русловых деформаций. Так, И. Л. Розовским (1955—1957, I960) рассмотрены вопросы о неразмывающих скоростях, транспортирующей способности потока и устойчивой форме русла на повороте. Последний вопрос изучался также М. А. Мостковым (1954, 1959) и А. В. Караушевым (I960). Экспериментальные исследования особенностей движения потока и размывов на повороте русла, дно которого сложено из несвязных грунтов, выполнили Т. М. Амброладзе (1965) и ф. .В. Саплюков (1967).
Надо сказать, что теория циркуляционных потоков, имеющая большое практическое значение, до сего времени остается одним из сравнительно мало разработанных разделов гидромеханики. Несмотря на то, что этой проблеме посвящено много работ как отечественных, так и зарубежных исследователей, имеющиеся в этой области теоретические, сведения пока лишь в очень небольшой мере могут удовлетворить потребности практики.
В настоящее время имеются довольно полные представления лишь о движении невязких циркуляционных потоков. Хотя многое сделано в последнее время и по изучению циркуляционных потоков вязкой жидкости, все же надо сказать, что здесь наши знания еще невелики. Поэтому основное внимание в этой области гидродинамики должно быть уделено изучению роли вязкости и тур булентности, процессу затухания циркуляции и происходящему при этом общему переформированию потока по длине. Не менее важно изучение причин возникновения и способов возбуждения циркуляции (закрутки) потока.
Следует иметь в виду, что, помимо чисто гидротехнических приложений, теория циркуляционных потоков является базой для решения многих других технических проблем, например, в области турбомашин ,гидро- и аэроциклонов, вихревых камер; она находит применение и при изучении вихревых процессов в камерах сгорания некоторых типов.
Течение неоднородных по плотности потоков(стратифицированные потоки)
С течениями жидкостей, неоднородных по плотности, приходится сталкиваться во многих важных прикладных задачах. К ним относятся гидродинамические явления, возникающие при охлаждении - нагретой воды в водоемах-охладителях тепловых и атомных электростанций, распространение струй отработанных промышленных и сточных вод, сбрасываемых в большие бассейны (например, в озера и водохранилища), движение пресной и соленой воды в предустьевых участках рек, донные течения воды, насыщенной мелкой фракционной взвесью, в водохранилищах («мутьевые» течения) и т. п.
Часто разноплотностной поток характеризуется наличием более или менее четкой границы раздела между слоями различной плотности. При устойчивой стратификации в таком потоке имеет, место своеобразное распределение скоростей: на границе слоев, где имеется большой градиент плотности, обычно наблюдается и большой градиент продольной скорости, связанный с понижением в этой зоне турбулентных напряжений благодаря проявлению архимедовой силы.
Одной из основных задач расчета разноплотностных потоков является определение условий их устойчивости. Этот вопрос рассматривался в литературе для различных схем расслоения — непрерывное расслоение и расслоение со скачками плотности. В большей степени изучена вторая схема, причем вопрос об устойчивости здесь исследовался в двух, несколько различающихся постановках: классической является задача об устойчивости границы раздела двух движущихся слоев неодинаковой плотности; однако возможен и другой, «гидравлический» подход, когда рассматривается устойчивость движения одного (или каждого) из слоев в целом (по схеме, аналогичной схеме В. В. Ведерникова в гидравлической теории устойчивости течения в открытом канале). В первой постановке задача изучена детально для, различных условий в слоях и на границе раздела. В гораздо меньшей степени исследован вопрос об устойчивости в «гидравлической» постановке, хотя здесь, видимо, с успехом могли бы быть использованы те же методы, которые были применены В. В. Ведерниковым и его последователями.
Имеются полуэмпирические соотношения, связывающие условия существования плотностного течения с модифицированным (плотностным) числом Фр уда (И. И. Леви, В. М. Лятхер, К. Я. Кинд).
Выполненные исследования относятся в основном к схеме «плоской задачи» и плавно изменяющегося (по длине) течения в каждом из слоев. Устойчивость плотностных течений в пространственных условиях изучалась лишь в отдельных экспериментах (Г. В. Востржел и Н. А. Черткова, 1965; В. М. Лятхер, 1963). В практических расчетах бывает важно уметь оценить условия образования (или сохранения) плотностного течения в местах резкого изменения течения, например у донных (или поверхностных) водозаборов, когда нужно забрать воду только из тяжелых (или только из легких) слоев. Имеется много иностранных работ, содержащих сведения о границах устойчивой стратификации для тех или иных частных схем сооружений,— их обзор можно найти у И. И. Леви (1958, 1959, 1965), К. Я. Кинд (1961, 1964), Н. П. Кулеша (1959), А. И. Пеховича (1962), И. И. Макарова (1968). В Советском Союзе эти исследования в последние годы начаты во ВНИИ Гидротехники, Ленинградском политехническом институте и в Южном отделении института «ОРГРЭС» (Львов).
Накопление и обобщение экспериментальных данных, разработка методов расчета, а также конструктивных схем сооружений, работа которых связана с проявлениями стратификации, составляют важную задачу дальнейших исследований.
Гидравлический расчет установившихся и неустановившихся плавно изменяющихся плотностных течений был разработан И. И. Леви (1958— 1960, 1965). Н. П. Кулеш (1959, I960) провел лабораторное исследование мутьевых потоков, образующихся в водохранилищах.
Необходимые для гидравлического расчета характеристики трения на поверхности раздела слоев в последние годы оценены по данным экспериментов в нескольких работах. К. Я. Кинд (1961, 1964) и А. Г. Аверкиев (1965) изучали коэффициент гидравлического сопротивления 入 при движении потока «легкой» жидкости над неподвижной тяжелой жидкостью примерно такой же вязкости. Согласно выводам К. Я. Кинд, при числах Рейнольдса vh/v > 20 000 (для верхнего слоя) коэффициент 入 остается постоянным и равен 0,004—0,006, независимо от разности плотностей и других параметров потока. И. И. Леви и Н. П. Кулеш (1959) изучали суммарный коэффициент гидравлического трения для донного плотностного потока, включающий эффект трения о дно. Вычисленный авторами коэффициент гидравлического трения, учитывающий только напряжения у поверхности раздела, имеет тот же порядок (0,003—0,004), что и измеренный К. Я. Кинд.
Несмотря на сходство результатов, эти данные, по-видимому, все же нельзя считать окончательными. Детальный анализ экспериментальных результатов, представленных в упомянутых работах, приводит к выводу, подсказываемому физическими соображениями: коэффициент гидравлического трения зависит от относительной разности плотностей (быть может, от модифицированного числа Фруда или от числа Ричардсона). Например, по данным К. Я. Кинд (1964), коэффициент 入 при △р/р = 0,05 систематически (в среднем на 30—40%) меньше, чем при △р/р — 0,02.
Изучение турбулентного трения на границе слоев различной плотности в более широком диапазоне изменения Др/р при различных условиях движения в слоях представляет большой интерес.
Очевидно также, что трение на границе должно зависеть от условий движения в обоих соприкасающихся слоях. В частности, с изменением параметров турбулентности в одном из слоев (например, за счет расширения потока в плане) могут измениться и напряжения на границе раздела.
Изложенные соображения заставляют с осторожностью относиться к попыткам построения методов расчета плана течений в стратифицированных водоемах по схемам, разработанным для потоков однородной жидкости в водоемах с шероховатым дном.
К настоящему времени накоплен значительный практический опыт исследования стратифицированных течений в натуре и на моделях для различных конкретных схем водозаборов и прудов-охладителей (В. М. Лятхер и А. М. Прудовский, 1963; Г. В. Востржел и Н. А. Черткова, 1965; Е. К. Трубина, 1968). Этот опыт свидетельствует о большой важности учета плотностных явлений. Как выяснилось, учет этих явлений имеет решающее значение в таких задачах, как выбор взаимного размещения водозабора и водосброса для тепловых эл^ктростанций, оценка величины максимального отбора свежей воды из реки, определение охлаждающей способности водохранилища и т. п. Между тем еще совсем 50 Механика в СССР, том 2
недавно считалось возможным решать такие задачи на основе обычных представлений гидравлики однородных потоков^
Вместе с тем к настоящему времени стало ясно, что физическое моделирование гидротермических явлений в водоемах-охладителях сталкивается с принципиальными физическими и большими техническими трудностями. Поэтому разработка методов математического моделирования этих явлений при помощи ЭВМ является сейчас чрезвычайно актуальной задачей. Для ее решения требуются уточнение физических представлений о структуре потока в зоне водосброса, надлежащая математическая постановка задачи и разработка численного метода решения. Рациональная постановка задачи возможна по крайней мере в двух вариантах： 1) плановая двухслойная схема (теплый слой воды над холодным со скачком температуры и плотности), 2) плановая схема с непрерывным распределением температуры и плотности по вертикали. При этом ряд параметров, входящих в дифференциальные уравнения рассматриваемых процессов, может быть установлен на основе физических экспериментов, воспроизводящих возникающие здесь отдельные явления.
§ 1Д. Моделирование гидравлических явлений *
В настоящее время моделирование остается главным приемом решения гидравлических задач при проектировании ответственных гидротехнических объектов.
Гидравлическое моделирование опирается на общие законы теории подобия, развитые и конкретизированные в книгах М. В. Кирпйчева и А. А. Гухмана (1931), М. В. Кирпичева (1933), С. В. Из баша (1938), А. П. Зегжды (1938) и, в более строгом гидродинамическом аспекте, в монографиях Л. Г. Лойцянского (1941) и Л. И. Седова (1944, 1965). В книге И. И. Леви (I960) изложены основные достижения в области гидравлического моделирования. Там же приведена подробная библиография.
В ряде книг по теории подобия и моделирования подробно рассмотрены отдельные специальные приемы гидравлического моделирования. Кроме упомянутых работ С. В. Из баша, А. П. Зегжды и И. И. Леви, здесь могут быть названы книги Л. С. Эйгенсона (1954), Л. М. Ногида (1959), И. Л. Повха (1959), А. Б. Резнякова (1959).
При моделировании приходится сталкиваться с двумя главными трудностями. Первая из них связана с установлением системы определяющих критериев подобия, вторая — с невозможностью одновременного удовлетворения всем критериям подобия при изменении масштаба явления.
Принципиальные затруднения в построении полной системы определяющих критериев возникают при изучении статистических характеристик тур булентности, аэрации потоков, размыва русел, сложенных связными грунтами, и в некоторых других задачах, причём причина этого в значительной мере кроется в недостаточной изученности самих физических явлений (в частности, процессов, происходящих на границах потока), в отсутствии замкнутых систем уравнений, описывающих эти явления.
Так, например, при выборе критериев моделирования размывов в связных грунтах не всегда ясно, какой из параметров, характеризующих «связность» грунта, должен быть принят во внимание. Ц. Е. Мирцху- лава (1959, 1967) показал, что для глинистых грунтов таким параметром лучше всего считать сцепление. Одцако для скальных грунтов, может быть, более правильно считать главной одну из характеристик трещиноватости
или показатели усталостной прочности скалы. Имеются даже предложения моделировать размыв скалы по критерию, включающему характеристику истираемости скалы (Т. X. Ахмедов, 1963).
Ввиду того, что полная система определяющих критериев, как правило, несовместна, при моделировании в таких случаях возникает задача отыскания областей автомодельности по тем или иным критериям. Границы автомодельности, очевидно, зависят от исследуемой задачи. При изучении, например, распределения осредненных скоростей на пространственных моделях гидроузлов результаты практически перестают зависеть от числа Рейнольдса при значениях Re = 成/v > (20 4- 30) X 103. Коэффициент расхода водослива более чувствителен к влиянию числа Рейнольдса. Автомодельность наступает здесь лишь при Re > (40 4- 60) X X 103 (Н. П. Розанов, 1940; Н. А. Петров, 1963).
Поскольку при моделировании реальных гидр одинамических процессов всегда приходится- иметь дело с потоками вязкой жидкости, исследование роли и влияния числа Рейнольдса при моделировании имеет особое значение. Важен также и связанный с этим вопрос о воспроизведении на модели шероховатости стенок. Подобие шероховатостей в равномерном потоке обеспечивается сохранением в натуре и на модели неизменным отношения динамической скорости и и средней скорости и (%/и =丿入/8 = idem). Экспериментально было показано, что выполнение этого условия обеспечивает подобие распределения скоростей в равномерном турбулентном потоке независимо от числа Рейнольдса (А. Д. Альтшуль, 1959). Условие 入 = idem принимают в качестве условия подобия шероховатостей и в неравномерных потоках.
Условия автомодельности по критерию Рейнольдса в задачах, где требуется оценка осредненных параметров течения, достаточно подробно изучены для основных геометрических схем. Условия автомодельности высших моментов турбулентных пульсаций в гидравлике начали изучать лишь в последние годы, главным образом применительно к задачам оценки пульсации давления на границе потока. В настоящее время установлено, что низкочастотная часть спектра пульсаций и дисперсия пульсации давления в явлениях типа гидравлического прыжка почти не зависят от числа Рейнольдса, во всяком случае при значениях этого числа, изменяющихся в диапазоне от (2 -=- 5) X 103 до (2 + 5) X 105 (Д. И. Кумин и др., 1954; А. С. Абелев, 1959; В. И. Букреев и О. Ф. Васильев, 1965). Недостаточно изучены характеристики турбулентности в зонах отрыва при больших скоростях.
В задачах со свободными границами определяющими становятся критерии Фруда, Эйлера, Вебера. Изучение области независимости от критерия Фруда в гидравлике связано с появлением и развитием метода напорного моделирования безнапорных потоков *). Было установлено, что критерий Фруда малосуществен, если форма свободной поверхности потока может быть задана. Например, во многих случаях при малых числах Фруда свободная поверхность заведомо мало отличается от плоскости и безразмерные параметры потока не зависят от числа Фруда (А. Г. Аверкиев, 1952, 1954, 1957; В. М. Лятхер и А. М. Прудовский, 1959; И. Л. Розовский и Е. В. Еременко, 1962).
Критерий Эйлера, как определяющий в задачах гидравлики, существен только при моделировании кавитации (число кавитации). В явлениях кавитации, так же как и при волновых исследованиях, существенным может быть и влияние числа Вебера. Автомодельность по этому критерию достигается только при достаточно больших масштабах модели (И. И. Леви, I960).
Еще сложнее положение вещей с удовлетворением системы определяющих критериев подобия при моделировании открытых потоков с большими скоростями, когда в натурных условиях возникает явление аэрации. Здесь необходимо осуществить подобие сил тяжести, поверхностного натяжения, не оставив без внимания и то обстоятельство, что явление аэрации порождается турбулентностью потока. Однако совместно удовлетворить критериям Фруда и Вебера практически невозможно. В результате оказывается невозможным точное моделирование явления аэрации открытых потоков.
Велики трудности, связанные и с моделированием движения водовоздушных смесей в напорных системах. И здесь относительная величина параметров аэрации (например, отношения расхода воздуха, захваченного потоком, к расходу воды) изменяется с изменением масштаба модели (А. Г. Чаншпвили, 1962, 1963).
Воспроизведение подобных геометрических форм при модельном решении трехмерных задач обычно считается обязательным. При решении задач, которые по своему характеру могут достаточно хорошо быть описаны в одно- и двумерной (плановой) постановках, во многих случаях оказывается возможным, а обычно и необходимым, искажение геометрических форм (введение различных линейных масштабов). Вопрос о допустимости геометрического искажения широко обсуждался в гидротехнической литературе (А. Г. Аверкиев, 1954, 1957; А. В. Безызвестных, 1961; Г. В. Востржел, 1961; Н. П. Гиляров, 1953; А. Ф. Кудряшов, 1951; Б. П. Куколевский, 1959; Г. Н. Лапшин, 1960, и др.). В настоящее время установлено, что при решении, на моделях одномерной и плановой задач гидравлики спокойного потока укрупнение вертикального масштаба по отношению к плановому допустимо, а в некоторых случаях и необходимо. Условие сохранения относительной шероховатости в данном случае для широких русел заменяется требованиям KB/h = idem, где В — ширина русла 5 (В. М. Маккавеев, 1953, И. В. Лебедев, 1959; В. М. Лятхер и А. М. Прудовский, 1959; И. И. Леви, 1960; Е. В. Еременко и И. Л. Розовский, 1962).
Моделирование движения взвесей (наносов) и русловых процессов осложняется необходимостью специального подбора материала ложа и крупности его частиц. Методы моделирования руслового процесса различны в зависимости от типа руслового процесса и конкретной задачи исследования. Например, при оценке условия начала или прекращения размыва несвязного грунта дополнительным критерием подобия будет ■соотношение между фактической и и неразмывающей и。скоростями в потоке. Этот критерий определяет, в частности, условие прекращения размыва (р/р0^1)- Такое условие является основой расчетно-экспериментального метода оценки местных размывов путем искусственной деформации русла на моделях ).
При моделировании транспорта наносов появляются дополнительные критерии (И. И. Леви, I960).
Особые трудности при моделировании русловых процессов возникают с обеспечением подобия микроформ на дне и сопротивления русла.
Исследования полных условий моделирования руслового процесса и ясная оценка областей автомодельности по всем критериям в гидродинамической постановке в настоящее время еще далеки от завершения. Однако некоторые частные случаи, относящиеся преимущественно к плавно изменяющимся потокам, рассмотрены уже достаточно подробно (Б. А. Фид- ман, 195& И. И. Леви, 1958, 1960; А. К. Ананян, 1952, 1966). Экспериментально выяснена роль таких критериев, как число Фруда (gd) и число Рейнольдса v^d/v для частиц у дна, параметра взвешивания w]u*、 где w — гидравлическая крупность частиц, а и* — динамическая скорость (В. С. Кнороз, 1951； И. К. Никитин, 1963).
Наряду с гидродинамическим подходом в практике моделирования руслового процесса широко применяется эвристический подход, опирающийся на те или иные морфометрические соотношения и некоторые интегральные одноразмерные связи и условия сохранения. Примерами такого подхода являются метод «натурального моделирования» М. А- Великанова (1955, 1958), метод О. В. Андреева и И. А. Ярославцева (1958) и другие *). Судя по сопоставлениям с данными натурных наблюдений, эти методы во многих случаях дают правдоподобные результаты. Оценка границ и условий применимости этих методов составляет задачу дальнейших исследований. ^^
Особое место принадлежит поиску принципиально новых методов моделирования руслового процесса. Одно из перспективных направлений связано с применением водяных размываемых напорных моделей, воспроизводящих безнапорный поток с малыми числами Фруда.
Относительно более просто моделировать потоки, подвижность границ которых связана с их упругостью. Правила гидравлического моделирований с учетом упругости, инерционности и демпфирующих свойств границ рассмотрены, например, в работах В. М. Лятхера (1963), Л. В. Мошкова и П. Е. Лысенко (1963). Осуществление этих правил и внедрение методов экспериментальной оценки динамических деформаций упругих границ под действием гидродинамической нагрузки стали возможными после создания серии искусственных материалов с нужными -свойствами (В. М. Лятхер, 1965; Н. А. Шашкина и др., 1966).
Своеобразные проблемы возникают при моделировании волновых воздействий на гидросооружения. Принципиальные затруднения связаны с необходимостью воспроизведения на модели спектра волн. Открытым остается вопрос о моделировании ударных нагрузок от разбивающихся волн. Дополнительные трудности связаны здесь с большой ролью захвата воздуха в момент разрушения волны, влиянием сжимаемости жидкости и жесткости границ. Вопрос о моделировании сжимаемости жидкости* и жесткости границ важен и при моделировании гидравлического удара, о чем сказано в п. 4.1.
В последние годы в связи с ростом мощности тепловых и атомных электростанций резко усилился интерес к проблемам моделирования неизотермических водных потоков, в частности, моделирования течений в водохранилищах-охладителях, течений в районе водозаборов и т. п.
Основные задачи исследований связаны здесь с изучением роли модифицированного числа Фруда (аналог числа Ричардсона), критерия Рейнольдса, шероховатости дна водоема. Остро стоит здесь вопрос с выбором и удовлетворением основных критериев подобия, а также вопрос о геометрическом искажении масштабов модели (Г. В. Вострясел и Н. А. Черткова, 1965). Большие практические затруднения связаны с воспроизведением на модели дрейфовых течений, а также теплообмена с воздушной средой, обусловленных ветром. Условия модедируемости неизотермических водных потоков и правила пересчета модельных результатов на натуру рассматривались в работах А. Г. Аверкиева, А..В. Безызвестных, Г. В. Востржела, Б. В. Проскурякова.
С учетом необходимости удовлетворения, наряду с чисто гидравлическими, дополнительных требований, связанных с моделированием процессов испарения, теплоотдачи в атмосферу и грунт и важностью надлежащего учета ветрового воздействия, практическое моделирование на гидравлических (физических) моделях комплекса физических процессов, протекающих в водохранилищах-охладителях, оказывается чрезвычайно сложным. В настоящее время перспективным путем решения такого рода задач пр ед став ляется переход к математическому моделир ов анию возникающих здесь явлений при помощи ЭВМ (см. также § 7 и 12).
ПРОМЫШЛЕННАЯ АЭРОДИНАМИКА
Г. Н. АБРАМОВИЧ, Я. В. БРУСИЛОВСКИЙ, Л. С. ГИНЕВСКИЙ,Т. С. СОЛОМ АХОВ А, К. К. ФЕДЯЕВСКИЙ
91920410SS7788 888891920410SS7788 8888Исследования по аэродинамике каналов
91920410SS
7788 8888
91920410SS
7788 8888
Изотермические течения несжимаемой жидкости
Течения в каналах сжимаемого газа с теплообменом
Турбулентные струи § 3. Нестационарные аэродинамические нагрузки, действующие на цилиндрические конструкции
Аэродинамика вентиляторов
Аэродинамика осевых вентиляторов;.
Аэродинамика центробежйых вентиляторов/ .
Успехи аэродинамики, связанные с возникновением и развитием авиации, оказали существенное влияние на смежные области гидромеханики (гидравлику трубопроводов, аэродинамику лопаточных машин, теорию турбулентных струй и др.), имеющие большое значение во многих областях техники (вентиляция, энергетика, турбомашиностроение, транспорт, строительное дело и т. п.).
Совокупность вопросов аэродинамики, с которыми приходится сталкиваться в различных объектах техники (кроме авиационной^ морской и гидротехнической), принято называть промышленной аэродинамикой.
Ввиду большого разнообразия тем промышленной аэродинамики мы остановимся лишь на главных из них, к которым отнесем аэродинамику каналов (§ 1), струй (§ 2) и вентиляторов (§ 4). При исследовании струй и течений в каналах используются в значительной мере методы теории пограничного слоя. Однако специфические особенности теоретических методов и большой самостоятельный экспериментальный материал заставили выделить вопросы аэродинамики каналов и струй в самостоятельные разделы промышленной аэродинамики.
В обзор включен также раздел о нестационарных аэродинамических нагрузках, действующих на цилиндрические тела (§ 3). Эта проблема в последние годы приобрела большой практический интерес в связи со строительством высотных зданий и сооружений.
Исследования по аэродинамике каналов
Проблема перемещения различных жидкостей и газов по трубопроводам и каналам представляет собой одну из важнейших в гидравлике и промьппленной аэродинамике. Трудно назвать отрасль современной техники, в которой вопросы внутренней аэродинамики не играли бы
решающей роли в обеспечении эффективности тех или иных процессов и технологических операций. Именно поэтому литература по аэродинамике каналов является практически необъятной и включает в себя как теоретические и тонкие физические экспериментальные исследования, так и исследование аэродинамических и тепловых характеристик технических устройств, промьппленных аппаратов и их элементов.
Несмотря на достаточно высокий теоретический уровень гидравлики в дореволюционной России, исследование проблем гидравлического сопротивления носило резко выраженный эмпирический характер и было весьма далеко от теоретической гидродинамики. Лишь после того, как в начале нашего столетия были сформулированы основные предпосылки теории пограничного слоя, изучение закономерностей течения вязких жидкостей и газов в каналах обрело научный фундамент. Значительная роль в развитии гидравлики и инженерной гидравлики вязкой жидкости принадлежит Н. Е. Жуковскому, Н. Н. Павловскому и Л. С. Лейбензону.
Исследования по аэродинамике каналов в нашей стране приобрели особенно широкий размах в советское время. Эти исследования были, в частности, вызваны созданием экспериментальной базы советской авиационной науки 一 строительством аэродинамических труб. Именно проектирование и наладка аэродинамических труб дали толчок к постановке и проведению ряда фундаментальных исследований течения воздуха в каналах простых и сложных конфигураций. Интересно отметить, что весь первый выпуск «Трудов» ЦАГИ (1925 г.) посвящен исследованию течения газа и вязкой жидкости в каналах (две статьи Н. Е. Жуковского и статья Н. Г. Ченцова с предисловием С. А. Чаплыгина).
Поскольку на течение жидкостей и газов в каналах решающее влияние оказывает вязкость среды, то теоретические исследования здесь в основном базируются на использовании методов гидродинамики вязкой жидкости и, в частности, гидр один амики пограничного слоя. Именно успехи в развитии теории пограничного слоя — ламинарного и турбулентного —позволили получить ряд важнейших результатов в области аэродинамики каналов.
Изложим вкратце основные результаты научных исследований советских ученых по аэродинамике каналов применительно к изотермическому течению несжимаемой жидкости и неизотермическому течению газов и несжимаемой жидкости.
Изотермические течения несжимаемой жидкости. Остановимся прежде всего на изотермическом течении несжимаемой жидкости в каналах с прямой осью. Указанные течения могут быть условно подразделены на три основные простейшие схемы: прямолинейное стабилизированное течение в каналах постоянного поперечного сечения, стабилизированное течение в расширяюгцихся или сужающихся каналах и течение в начальных участках каналов, т. е. при наличии потенциального ядра. Условность такого разделения связана с тем, что в одном и том же канале может быть осуществлен переход от одной схемы к другой (например, за начальным участком происходит смыкание пограничных слоев и течение становится стабилизированным).
Прямолинейное стабилизированное течение в каналах постоянного поперечного сечения. Такое течение, как известно, устанавливается на достаточно большом удалении от входа в трубопровод. Наибольшее число работ посвящено теоретическим и экспериментальным исследованиям течения в плоских, круглых и кольцевых трубах. ,
Следует отметить весьма тщательные экспериментальные исследования характеристик турбулентнЬго течения в гладких трубах, выполненные Г. А. Гуржиенко (1936, 1938), а также теоретические исследования турбулентного течения в трубах, основанные на использовании полуэмпи- рических теорий турбулентности Прандтля——Кармана (Г. А. Гуржиенкот 1936; Л. Г. Лойцянский, 1936, 1941 и др.) или же теории А. Н. Колмогорова, в которой используется уравнение баланса пульсационной энергии (В. Б. Левин, 1964).
После работы И. Никурадзе, посвященной экспериментальному исследованию турбулентного течения в трубах с зернистой шероховатостью, в нашей стране были проведены экспериментальные и теоретические исследования турбулентного течения в шероховатых трубах для широкого класса шероховатостей (неравномерная шероховатость, металлические новые трубы с технической шер охов атостью, промышлейные трубопроводы и т. п.). Результаты соответствующих экспериментальных исследований изложены в работе К. К. Федяевского и Н. Н. Фоминой (1940), а так相е в монографиях А. П. Зегжды (1957), А, Д. Альтшуля (1962) и И. Е. Идельчика (1954). Теоретическое исследование структуры формул для распределения скорости в трубах с различными геометрическими параметрами шер охов атости было выполнено Л. Г. Лойцянским (1936) с помощью аппарата теории подобия.
Исследования турбулентного течения в гладких и шероховатых трубах во многом способствовали развитию полуэмпирических теорий турбулентности и их многочисленных приложений. Характеристики течений в шероховатых трубах были использованы К. К. Федяевским (1936) при исследовании влияния шероховатости поверхности на сопротивление в задачах внешней аэродинамики.
Аэродинамические характеристики трубы кольцевого поперечного сечения занимают промежуточное положение между соответствующими характеристиками плоских и круглых труб. Течение в кольцевых трубах было 'исследовано на базе полуэмпирической теории тур булентн ogth Прандтля при различных предположениях о распределении пути смешения по радиусу А. С. Гиневским и Е. Е. Солодкиным (1961), С. И. Косте- риным и Ю. П. Финатьевым (1964) и Е. Е. Лемеховым (1966). Было показано, что профили скорости вблизи выпуклой поверхности являются более наполненными, чем вблизи вогнутой поверхности, максимум скорости располагается ближе к выпуклой поверхности. При этом в предельных случаях плоского и круглого каналов гидравлическое сопротивление различается всего на 5—7 % (в- зависимости от числа Рейнольдса) т в то время как для ламинарного течения при всех числах Рейнольдса гидравлическое сопротивление плоского канала в 1,5 раза превышает сопротивление круглого канала.
В последние годы внимание уделяется исследованию стабилизированного турбулентного движения в трубах сложного поперечного сечения (прямоугольного, треугольного и т. п.). Теоретическое исследование такого рода ламинарного течения было опубликовано Л. С. Лейбензоном ■ еще в 1931 г. В 1936 г. В. А. Гавриленко и Н. Н. Павловский построили приближенный инженерный метод расчета распределения осредненных скоростей в каналах сложного поперечного сечения, ограниченного любым многоугольным контуром. Результаты их расчета оказались в удовлетворительном соответствии с экспериментальными иссл ед ов ан иями И. Никурадзе для прямоугольных, треугольных и трапециевидных труб.
Создание более точных методов расчета турбулентного течения в каналах сложного поперечного сечения потребовало внести некоторые усовершенствования в полуэмпирическую теорию турбулентности. Так, А. М. Обуховым (1942) на базе условий локального подобия турбулентных процессов в различных областях потока жидкости был предложен общий метод определения масштаба турбулентности для течений в каналах, ■ имеющих сечение в виде произвольной односвязной области. При этом на базе гипотезы локального подобия показано, что безразмерные масштабы при вынужденных течениях жидкости в закрытых каналах сохраняются при конформных преобразованиях.
Н. И. Булеевым (1962, 1965) построена трехмерная модель турбулентного обмена в каналах произвольного сечения, причем использованная им длина пути смешения в различных точках поперечного сечения канала оказалась близкой к соответствующему масштабу А. М. Обухова. При этом, естественно, путь смешения оказывается зависящим не только от расстояния от стенки, но и от взаимного расположения стенок.
Масштаб тур бул ентности I в произвольной точке М поперечного сечения D канала определяется формулой
D
где 入一расстояние от точки М до стенки канала в направлении w, С — константа. Для случая круглой трубы определенная таким образом функция I (г) с точностью до постоянного множителя практически тождественна с длиной пути смешения, введенной Л. Прандтлем и вычисленной И. Никурадзе по экспериментально измеренным профилям скорости в трубе.
Расчет поля скорости в канале с произвольным поперечным сечением сводится к решению нелинейного двумерного уравнения диффузии, для чего используются конечноразностные методы. На основе этого метода были рассчитаны коэффициенты гидравлического сопротивления и изотахи в канале с прямоугольным сечением и в ячейке треугольной решетки стержней, причем результаты расчета удовлетворительно согласуются с данными эксперимента.
Более простые и оперативные приближенные методы расчета такого рода течений были в последние годы предложены М. X. Ибрагимовым, В. И. Субботиным и др. (1966), Ю. П. Шлыковым и С. Н. Царевским- Дякиным (1966) и др. Аналогичные расчетно-теоретические исследования за рубежом были выполнены Р. Дж. Дейслером и М. Ф. Тейлором (1959).
Опубликованы также результаты соответствующих экспериментальных исследований (некруглые трубы: Л. И. Кудряшев и А. С. Фрейдин, 1959; пучок стержней: В. И. Субботин и др., 1960; каналы прямоугольного сечения： С. С. Золотов, 1966). Проведенные исследования, в частности, показали, что используемое в практических расчетах каналов сложного сечения понятие эквивалентного диаметра d@ = 4尸/口，где F — площадь поперечного сечения и П — смоченный периметр канала, дает удовлетворительный результат далеко не во всех случаях. Приближенная качественная оценка возможности использования эквивалентного диаметра при оценке гидравлического сопротивления каналов сложного сечения дана К. Д. Воскресенским (1961). Из этих оценок становится ясным, почему использование понятия эквивалентного диаметра не дает удовлетвори-
тельного результата для стабилизированного ламинарного течения и вместе с тем обеспечивает приемлемую точность при исследовании тур булентного течения в трубах кольцевого, прямоугольного и других сечений.
Стабилизированное течение в расширяющихся и сужающихся каналах. Такое течение устанавливается в расширяющемся или сужающемся канале, присоединенном к длинному трубопроводу. Расчет его существенно упрощается в случае плоского или осесимметричного канала с прямыми стенками. Известно точное решение уравнений Навье — Стокса для плоского ламинарного течения внутри двугранного угла (Г. Гамель). Аналогичное решение со отв етств ую щей осесимметричной задачи (течение внутри конуса или между двумя конусами) было получено Н. А. Слезкиным (1935).
В 1933 г. П. А. Вальтер получил линеаризованное решение о стабилизированном ламинарном течении вязкой жидкости в слабо расширяющемся коническом диффузоре с очень малым углом раскрытия.
Для ламинарного течения в двугранном угле имеет место полное подобие во всех поперечных сечениях, т. е. все линии тока являются прямыми, исходящими из вершины двугранного угла (автомодельное течение). Оказалось, что гидродинамически возможно и турбулентное радиальное стабилизированное течение с подобными профилями скорости во всех поперечных сечениях. В действительности радиальное течение в плоском диффузоре может реализоваться лишь на некотором расстоянии от входного сечения. Экспериментальное исследование такого течения было выполнено за рубежом Ф. Денхом, И. Никурадзе, а в последние годы Дж. Рутеником и С. Коренном; теоретическое исследование такого течения в диффузорах на базе полуэлширической теории турбулентности было выполнено за рубежом В. Саблевским и в СССР Е. Е. Солодкиным и А. С. Гиневским (1958).
Интегральное соотношение количества движения для стабилизированного плоского течения с сомкнувшимися пограничными слоями (26 =•无，Л — ширина канала), как известно, имеет вид
若十普(2/* + 产)一偿十急黑)『也 d.D
тде щ — скорость на оси. Если для внешнего потока справедливо уравнение Бернулли, то третий член в левой части (1.1) обращается в- нуль. Если течение является автомодельным (радиальное течение), соотношение (1.1) приводится к виду
(1-2)(1-2)
(1-2)
(1-2)
Здесь
"dpр 嗝 dx，"dpр 嗝 dx，Н = 丁，Н = 丁，
"dp
р 嗝 dx，
"dp
р 嗝 dx，
Н = 丁，
Н = 丁，
6* и 6**— соответственно толщина вытеснения и толщина потери импульса, а ■— угол раскрытия. Из (1.2) при а = 0 получаем известное соотношение для стабилизированного течения в плоской трубе 入‘ =—су. Соотношение (1.2) в сочетании с соответствующим семейством профилей скорости и законом сопротивления дает полное решение задачи. В частности, коэффициент потерь полного давления (потери полного давления единицы объема жидкости, осредненные по расходу и отнесенные к
динамическому давлению средней скорости во входном сечении канала} на каком-либо участке канала со степенью расширения п (отношение площадей выхода и входа) оказывается равным
营悟，厶(1.3}
причем 4*** = 6***/6 и 甘8, равно как и все другие безразмерные характеристики, зависят от числа Рейнольдса и единственного геометрического параметра — угла раскрытия (здесь 6***— толщина потери энергии). При вполне определенном значении этого угла поверхностное трение на стенках равно нулю, течение находится в предотрывном состоянии и коэффициент gg приобретает максимальное значение.
При теоретическом исследовании стабилизированного турбулентного течения в конических диффузорах с малыми углами раскрытия также исходят из гипотезы радиальности течения (Г. А. Гуржиенко, 1939; К. В. Гришанин, 1955); аналогичное исследование за рубежом проведена Б. С. Стратфордом. Следует, однако, отметить, что, в отличие от соответствующего течения в плоском диффузоре, радиальное течение в коническом диффузоре или конфузоре оказывается гидродинамически невозможным, поскольку здесь не могут быть выполнены одновременно условия постоянства расхода (Q 〜 崂lm) и числа Рейнольдса (Re =『^〃"屮)вдоль диффузора. Несмотря на это, на участках конического диффузора с малым углом раскрытия небольшой протяженности Г. А. Гуржиенко получил удовлетворительное согласие теории, основанной на гипотезе радиальности, с проведенными им же весьма тщательными измерениями (1939).
Задача о развитии произвольного начального профиля скорости в канале постоянного поперечного сечения, а также в плоском и коническом диффузоре при ламинарном течении жидкости решалась С. М. Тар- гом (1951) на основе использования приближенных уравнений движения с частичным учетом инерционных членов; аналогичное исследование несколько иным методом было выполнено О. Н. Овчинниковым (1955).
Течения в начальных участках каналов. Указанная схема течения имеет место от входного сечения до сечения, где смыкаются пограничные слои. Для решения задачи в такой постановке широко используются методы теории пограничного слоя. Здесь выполнено большое количество работ, посвященных приближенному расчету ламинарного и турбулентного течений в начальных участках плоских, круглых и кольцевых каналов, а также в плоских и осесимметричных диффузорах и конфузорах.
Первые решения задачи о начальном участке плоской и круглой труб (участке гидродинамической стабилизации) при ламинарном течении в пограничном слое получены Л. Шиллером и Г. Шлихтингом. Аналогичное приближенное решение применительно к начальному участку плоской трубы несколько иным методом было получено Л. С. Лейбензоном (1931) и применительно к начальному участку трубы прямоугольного сечения Ф. И. Франклем (1934).
Систематическое исследование аэродинамических характеристик начальных участков плоских и осесимметричных каналов при турбулентном режиме течения в пограничном слое выполнено А. С. Гиневским и Е. Е. Солодкиным (1956—1965). В указанных работах, помимо вычисления профилей скорости в поперечных сечениях канала и других характеристик пограничного слоя, выполнены расчеты коэффициента потерь
полного давленияполного давления
полного давления
полного давления
(1-4)(1-4)д***д***
(1-4)
(1-4)
哀(1 二®3 — а」А»з *
Здесь Д*** и Д* представляют собой отношение площади (толщины) потери энергии и площади (толщины) вытеснения к площади поперечного сечения канала, п — степень расширения канала и индекс «1» соответствует входному сечению канала. Таким образом, коэффициент потерь полного давления в канале выражается через значения параметров пограничного слоя в его крайних сечениях.
В результате систематических расчетов были определены зависимо- -сти коэффициента потерь плоских и конических каналов с прямыми стенками от степени расширения и угла раскрытия. В частности, было показано, что в безотрывных диффузорах заданной длины коэффициент потерь уменьшается с ростом угла раскрытия до тех пор, пока в выходном сечении не возникнет отрыв пограничного слоя*
Изменение потерь в диффузоре в основном связано с положением точки отрыва по длине диффузора. Г. М. Бам-Зеликовичу (1954) принадлежит несколько иная трактовка этого вопроса. Полагая, что в диффузоре с прямыми стенками отрыв пограничного слоя всегда возникает во входном сечении, он объясняет разницу в потерях в диффузорах с различными углами раскрытия не различным расположением зоны отрыва по длине диффузора, а различными условиями смешения оторвавшегося пограничного слоя и основного потока.
При расчете течения в осесимметричных каналах в тех случаях, когда толщина пограничного слоя становится соизмеримой с радиусом поперечного сечения, в упомянутых выше работах было учтено влияние поперечной кривизны поверхности на форму профиля скорости и закон сопротивления. Применительно к начальному участку круглой трубы это позволило получить гораздо лучшее совпадение с экспе- рименуом, нежели известные решения Г. Лацко и В. Саблевского, использовавших соответственно степенной и логарифмический профили скорости. Так, например, при числе Red = 105 длина начального участка согласно Лацко равна 12d, согласно Саблевскому 19,3d, согласно решению с учетом влияния поперечной кривизны 35d. Экспериментальное значение длины начального участка составляет около 50d. Можно получить еще лучшее совпадение расчета и эксперимента, если учесть, что во входном участке трубы пограничный слой сначала является ламинарным, а затем переходит в турбулентный (Л. И. Кудряшев и Г. В. Филиппов, 1958, 1959).
С помощью методов теории пограничного слоя применительно к диффузорным и конфузорным каналам решаются как прямая задача (определение характеристик течения в канале заданной геометрии), так и обратная задача (определение геометрии канала и характеристик течения по заданному распределению давления вдоль оси канала). При решении прямой задачи в ряде случаев необходим учет обратного влияния пограничного слоя на распределение скорости в ядре потока^ для чего используется либо метод последовательных приближений, либо совместно решаются уравнения количества движения и расхода, что приводит к интегро-дифференциальному уравнению (А. Ш. Дорфман, 1966). На основе расчета ламинарного пограничного слоя в плоских диффузорах по однопараметрическому методу в последней работе было показано, что независимо от угла раскрытия и степени расширения при всех числах
Рейнольдса в отрывном сечении коэффициент давления практически постоянен и равен
(Ротр — Pl) / (у р〃；) = 03
А. П. Быркином и И. И. Межировым (1967) на основе анализа уравнений ламинарного пограничного слоя сформулировано правило подобия, согласно которому все безразмерные характеристики ламинарного течения в канале определяются его законом площадей
"=m 彘)， U5)
где 力 и у^— продольный и поперечный размеры канала, L — характерный линейный размер и Re = щЫу — число Рейнольдса, определенное по характерной скорости щ во входном сечении. Этому уравнению соответствует семейство контуров, у которых при изменении числа Re абсциссы xIL изменяются прямо пропорционально числу Re, а ординаты ywIL не изменяются. В сходственных сечениях различных каналов одного семейства, характеризуемых условием 力/(£ Re) — const, продольный градиент давления изменяется обратно пропорционально числу Re, величины c/Re, профили скорости, безразмерные условные толщины 6*/Л, 6**/А и 6***/£ не изменяются.
Исследования последних лет позволили значительно развить численные методы решений дифференциальных уравнений в частных производных. На основе этих методов и использования ЭЦВМ удалось получить решение уравнений Навье — Стокса для некоторых простейших случаев и, в частности, для начального участка плоской трубы (Л. М. Симуни, 1965; Н. И. Булеев и Г. И. Тимухин, 1967). Полученные первые результаты существенно расширяют возможности теории и вместе с тем указывают на некоторую ограниченность приближения теории пограничного слоя. Например, в отличие от того, что дают уравнения пограничного слоя, из решения уравнений Навье — Стокса может быть получено поле давлений; далее из этого решения следует, что вблизи входного участка скорость в поперечных сечениях принимает максимальное значение не на оси канала и т. д.
Было проведено также большое число экспериментальных исследований, имевших целью либо накопление данных о гидравлическом сопро^ тивлении Каналов различной формы (см. монографии И. Е. Идельчика, 1954； А. Д. Альтшуля, 1962, и др.), либо изучение структуры пограничного слоя в каналах с положительным и отрицательным градиентом давления (Н. М・ Марков, 1955, и др.), либо, наконец, изучение влияния начальной неравномерности (О. Н. Овчинников, 1955; И. Е. Идельчик, 1954) и начальной тур булентн ости потока (В. К- Мигай, 1966; И. Т. Швец, Е. П. Дыбан и др., I960) на характеристики течения в каналах и трубах. Одно из первых исследований структуры потока в плоском диффузоре было проведено А. Н. Ведерниковым еще в 1926 г. А. И. Лашков (1962) на основе экспериментального исследования серии конических диффузоров установил, что при больших углах раскрытия возможна реализация режима течения, характеризуемого кризисом сопротивления, подобно тому как это имеет место для плохо обтекаемых тел. Аналогичный результат ранее был получен И. Е. Идельчиком при исследовании течений в ко； ленах (1953).
Исследования течений в конфузорных каналах-соплах аэродинамических труб и коллекторах выполнены Г. Н. Абрамовичем (1935),. И. Е. Идельчиком (1935) и В. И. Ханжонковым (1953).
Были исследования течения в каналах и трубах с проницаемыми стенками, В гидравлической постановке движение жидкости в трубопроводах с изменением расхода вдоль пути изучалось рядом авторов. Сводное изложение основных результатов этих исследований содержится в монографии Г. А. Петрова (1951). В последнее время появились работы, где эта же задача решается на основе уравнений Навье — Стокса или же в приближении пограничного слоя (С. А. Регирер, 1960; П. Н. Романенко, 1964； В. И. Ягодкин, 1961, 1964； Г. А. Бабаджанян, 1965, и др.). Экспериментальное исследование течения в каналах с проницаемыми стенками выполнено И. С. Коченовым и др. (1965). ■
При исследовании отрывных течений в каналах значение экспериментальных исследований становится особенно существенным. Для расчета таких течений обычно используются наиболее простые методы, основанные на одномерной модели течения и обобщении опытных данных. Так, для плоских и осесимметричных диффузоров с прямолинейными образующими потери полного давления приближенно определяются как часть потерь на удар：
А?0 = 0) 当("1 - "2)2 (1.6>
(здесь р — ПЛОТНОСТЬ ЖИДКОСТИ,办I и м2— скорости во входном и выходном сечениях диффузора). Коэффициент полноты удара ф, согласно опытным данным, зависит в основном от угла раскрытия диффузора а. Тогда безразмерный коэффициент потерь полного давления
A普=(1一；)2中3). (1.7}
Исходя из упрощенной модели смешения, Г. М, Бам-Зеликович определил расчетным путем зависимость 屮(а) для некоторого диапазона углов раскрытия диффузора. В работах Г. Н. Абрамовича и его сотрудников (I960, 1961) для расчета характеристик потока в канале с внезапным расширением были с успехом использованы методы теории свободных струй. В этих же работах сддержится обширный экспериментальные материал о таких течениях.
В последнее время внимание многих авторов привлекает задача численного решения полных уравнений Навье — Стокса, в частности, для течений, носящих отрывной характер. Так, Л. М. Симуни (1964) было получено решение задачи о течении в прямоугольном углубленииt а также в канале с внезапным расширением и внезапным сужением. При этом определены поля скоростей, давлений и конфигурации зоны замкнутого циркуляционного течения. Значение таких работ состоит прежде всего в том, что они дают представление о характере явления, а это может быть использовано при построении приближенных расчетных схем для случая турбулентного течения.
Большое количество работ было посвящено изучению течений в искривленных каналах. Теоретические исследования таких течений были главным образом посвящены йзучёнию вторичных течений * Пространственное ламинарное течение в прямоугольном канале малой высоты было исследовано еще Н. Е. Жуковским. В дальнейшем исследования таких
течений в искривленных каналах различной формы были продолжены в работах П. А. Вальтера (1935), Л. Г. Наумовой (1957) и др.
Оценка влияния продольной кривизны поверхности на потери давления в искривленном канале сделана Г. И. Майкапаром (1964). Исследуя одномерное течение вязкой жидкости между двумя цилицдряческими поверхностями и предположив, что окружная скорость является функцией лишь цилиндрической координаты, он показал, что, несмотря на значительное различие в напряжении трения на обеих стенках, кривизна канала практически не влияет на потери давления.
Известны также попытки рассчитать пространственный турбулентный пограничный слой на торцовой стенке криволинейного канала прямоугольного сечения (Г. Ю. Степанов и Л. Г. Наумова, 1962; Н. М. Марков, 1955; А. В. Колесников, 1964). Экспериментальное исследование структуры потока в таких каналах, показавшее образование вблизи торцовых стенок парного вихревого течения, выполнено М* Е. Дейчем (1945) и Е. А. Гукасовой (1954)* Многочисленные экспериментальные исследования колен позволили выявить зависимость их гидравлического сопротивления от геометрических параметров колена, шероховатости поверхности и числа Рейнольдса (см. монографию И. Е. Идельчика, 1954).
Во многих случаях представляет интерес изучение параметров закрученного потока в осесимметричном канале. Гидродинамика вихревых течений явилась предметом многочисленных экспериментальных и теоретических исследований, что объясняется большим распространением таких течений в природе и их широким использованием в разнообразных технических устройствах (вихревые эжекторы, форсунки, циклоны и т. п.). Затухание закрученного потока в трубопроводе изучалось Б. А. Пыш- киным (1947), Г. Г. Черным (1956), М. Г. Дубинским (1954, 1956), О. Н. Овчинниковым (1958), М. А. Гольдштиком (1958, 1959) и др.； в ряде работ исследовались вихревые аппараты или вихревые камеры (М. Г. Дубинский, 1955; М・.А・ Гольдштик, А. И. Леонтьев и И. И. Палеев, 1961； Д. Н. Ляховский, 1955), вихревые форсунки (Г. Н. Абрамович, 1944; А. В. Колесников, 1966, и др.). Влияние закрутки потока на эффективность криволинейного диффузора изучалось В. Н. Амелюш- киным и М. П. Уманским (1963) и другими исследователями. Наконец, следует особо отметить теоретические и экспериментальные исследования советскими учеными открытого в 1933 г. Ж. Ранком эффекта температурного разделения газов (В. П. Алексеев и В. С. Мартыновский, 1953, 1956; Г. Л. Гродзовский и Ю. Е. Кузнецов, 1954; М. Г. Дубинский, 1955; Л. А. Вулис, 1957; И. А. Чарный, 1962, и др.).
Были также выполнены экспериментальные и теоретические исследования течения газа во вращающихся каналах (Р. Г. Перельман и В. И. Поли- ковский, 1958; И. М. Коршин, 1961). Такого рода течения представляют интерес в связи с необходимостью интенсификации теплообмена в малогабаритных теплообменниках, при проектировании реактивного привода несущего винта вертолета и т* п.
Многочисленные работы советских ученых посвящены изысканию способов активного воздействия на характеристики течения в каналах. Указанные методы воздействия можно условно разделить на геометрические, аэродинамические и физические.
К геометрическим способам воздействия относятся： установка продольных перегородок в диффузорах с большими углами раскрытия, что приводит к устранению отрыва потока и уменьшению гидравлических
потерь (И. Е* Идельчик, 1958); установка плоских экранов перпендикулярно к направлению потока на некотором оптимальном расстоянии от выходного сечения диффузора с большим углом раскрытия (В. И. Ханжон- ков, 1947), что обеспечивает значительное снижение гидравлических потерь. Существенное снижение гидравлических потерь в диффузорах с большими значениями углов раскрытия и степени расширения может быть достигнуто путем использования оребренной поверхности (В. К. Мигай, I960).
Эффективность коротких диффузоров с большими углами раскрытия может быть повышена установкой п^)пендикулярно к оси перфорированных пластин (Н. Н. Веревкин и А. И. Лашков, 1956). Известны также попытки воздействия на течение в диффузоре путем установки сетки в его выходном сечении (К. А. Ушаков, 1935; К* Е. Идельчик, 1948)*
Много внимания уделялось также изысканию оптимальных законов изменения проходных сечений плоских и осесимметричных диффузоров. Некоторые результаты этих исследований изложены в монографии И. Е. Идельчика (1954). В тридцатых годах Л. F* Лойцянский предложил выбирать закон изменения проходных сечений диффузора из условия, что во всех его сечениях пограничный слой находится в предотрывном состоянии. Позднее аналогичное по существу предложение было сформулировано К* К. Федя^вским, который исходил из полученного им приближенного критерия отрыва турбулентного пограничного слоя*
Г. М* Бам-Зеликовичем (1954) получено выражение для закона изменения проходных сечений плоского диффузора с предотрывным турулент- ным пограничным слоем. Расчет геометрических и аэродинамических характеристик начального и основного участков плоских и осесимметричных диффузоров с предотрывным состоянием турбулентного пограничного слоя выполнен А. С. Гиневским и Л, А. Бычковой (1967). Из этих расчетов, в частности, следует существенное отличие законов изменения лроходных сечений плоских и осесимметричных предотрывных диффузоров и их зависимость от начальной толщины предотрывного слоя во входном сечении. В то же время за участком смыкания пограничных слоев (основной участок) как для плоских, так и осесимметричных предотрывных диффузоров образующие являются прямолинейнымй. В экспериментальных условиях предотрывное течение в диффузорной области впервые было реализовано Б. С. Стратфордом в 1959 г.
' Для уменьшения гидравлических потерь в изогнутых каналах и поворотных коленах аэродинамических труб, а также для упорядочения в них потока по предложению Л. Прандтля устанавливаются поворотные лопатки. Изысканию оптимальных геометрических соотношений поворотных решеток с профилированными и листовыми лопатками постоянного и переменного шага посвящены работы К. К. Баулина и И. Е. Идельчика (1934), В. И. Ханжонкова и В. Н. Талиева (1947), Е. Я. Юдина (1956) и др.
К числу геометрических методов воздействия можно отнести также установку сеток или хонейкомбов в канале с целью упорядочения потока или же создания требуемого профиля скорости. Определение геометрических параметров сетки, обеспечивающих получение заданной деформации профиля скорости, представляет собой интересную гидродинамическую задачу. Ее решению посвящены исследования Г. И. Таганова (1947), И. С. Римана (1962) и И. Е. Идельчика (1964). Г. И. Таганову, в частности, принадлежит изящное решение задачи для простейшего случая ступенча- 51 Механика в СССР, том 2
того профиля скорости. Из элементарных гидравлических соотношений: для случая небольшой начальной неравномерности в канале постоянного- сечения им получена формула
"2 = |^"力 (1*8)
связывающая скорости до сетки и за ней с коэффициентом сопротивления & Отсюда следует (и это подтверждается экспериментом), что при g = 2、 сетка позволяет получить практически равномерный профиль скорости. Исследования Г. И. Таганова были продолжены И. С. Риманом и И. Е. Идельчиком для более общего случая переменного по сечению сопротивления сетки, которая устанавливается в расширяющемся или сужающемся канале. Разработанная ими методика расчета позволяет в широких пределах деформировать начальный профиль скорости в канале* К* Е. Идельчик на основе экспериментального исследования объяснил существенное различие механизма растекания потока около сетки и хоней- комба (1964).
Изучению влияния сеток на затухание турбулентности потока в соплах аэродинамических труб посвящены исследования Е. М. Минского (1946)* “
В ряде работ активное воздействие на течение в каналах носит аэродинамический характер. Сюда относится, прежде всего, отсасывание пограничного слоя для предотвращения отрыва в диффузоре, предложенное еще Л. Прандтлем. Одно из первых исследований подобного рода в нашей стране выполнено К* ①* Евдокимовым применительно к диффузорам аэродинамических труб (1940). В последнее время интересные результаты в этом направлении применительно к кольцевым диффузорам получены А. Ш. Дорфманом, Н. К* Польским и М* И. Сайковским (1961). На затягивание отрыва потока в диффузорах можно также оказать воздействие с помощью тангенциального вдува или же путем создания соответствующего неравномерного начального профиля скорости.
В последние годы интерес исследователей привлекают физические методы воздействия на пограничный слой в каналах, имеющие целью устранение или затягивание отрыва, уменьшение гидравлического сопротивления на режимах безотрывного обтекания путем ламинаризации течения, интенсификацию турбулентного перемешивания и теплообмена. Упомянем здесь, в частности, исследования предотвращения потери устойчивости потока с помощью упругих покрытий стенок канала (А. И. Короткий, 1965), уменьшения гидравлического сопротивления в канале путем введения в поток жидкости полимерных добавок, влияния ультразвука (А. П. Третьяков и Чэн Хуа-дин, I960) или вибраций (В. Н. Евреинов, 1962; С. И. Сергеев и Г. А. Хотина, 1965) на гидравлическое сопротивление и теплообмен.
Интересные экспериментальные7 исследования в этом направлении выполнили Б. М. Галицейский, Ю. И. Данилов, Г. А. Дрейцер, Э. К. Калинин и В. К. Кошкин (1966, 1967), установившие, что резонансные пульсации давления теплоносителя в трубе существенно влияют на теплоотдачу вблизи пучностей скорости стоячей волны.
Течения в криволинейных каналах сложного профиля. Исследования течений в каналах со сложной пространственной конфигурацией (напорные патрубки турбо машин, входные патрубки, сложные отводы и т* п.) производятся в основном экспериментальным путем, иногда в комплексе с элементами, установленными;
перед патрубком и за ним (С. А. Довжик, А. С. Гиневский и А. И. Морозов, 1955, 1961; М. Е. Дейч и А. Е. Зарянкин, 1963—1966).
Для приближенной оценки гидравлического сопротивления диффузорных каналов сложной формы в ряде случаев используется понятие так называемого эквивалентного конического диффузора, у которого осевая длина, площади входного и выходного сечений равны соответствующим параметрам исходного диффузорного канала. Несмотря на очевидную приближенность такого приема, использование двух геометрических параметров эквивалентного диффузора (угла раскрытия и степени расширения) оказалось плодотворным и находит применение в инженерных расчетах и при анализе эффективности различных каналов.
Недостатки этого метода становятся особенно очевидными в случае диффузоров с сильно искривленными стенками или осью, поскольку два параметра эквивалентного диффузора не могут учесть влияния искривления потока на его суммарные характеристики. Этот недостаток в какой- то мере устраняется применительно к напорным патрубкам и радиальнокольцевым диффузорам, если использовать, как это сделано в работе А. Ш. Дорфмана, М. М. Назарчука, Н. И. Польского и М. И. Сайков- ского (I960), понятие локального угла раскрытия криволинейного диффузора (введенное В. Альбрингом в 1956 г.)
tg2 = TT石。 (丄9)
Метод расчета криволинейных диффузоров, основанный на введении локального угла раскрытия, позволяет учесть влияние формы образующих диффузора на величину потерь. Для этого на основании (1.6) записывается выражение потерь в элементарном коническом диффузоре длиной 滋：dpQ = <рр (〃 一 и, du (соответствующий коэффициент потерь равен @С = 2(р (0) (1 — /-1)尸忆/, / = FIF]. Интегрирование последнего выражения вдоль диффузора дает приближенное выражение для коэффициента потерь в криволинейном диффузоре со степенью расширения
之=2 J(1—/т)/т(р(е)ь. (1.Ю)
На основе последней формулы А. Ш. Дорфманом и М. И. Сайковским (1963) решена задача об определении формы диффузора, который при заданных длине и степени расширения имеет наименьшие потери. Согласно их расчетам, наименьшими потерями из всех диффузоров с прямой осью обладает ступенчатый диффузор, состоящий из плавного участка с постоянным углом раскрытия и внезапного расширения. Этот результат согласуется с аналогичными данными И. Е. Идельчика (1947), которые были получены несколько иным путем. Использование понятия локального угла раскрытия оказывается весьма удобным при построении закона изменения проходных сечений диффузора сложной формы.
Несколько особняком стоит исследование конфузорных входные патрубков турбо машин и других входных устройств подобного рода. Здесь основной задачей при проектировании является обеспечение достаточной равномерности потока в выходном сечении патрубка, что достигается соответствующим выбором его геометрии, а также установкой разделительных перегородок для обеспечения симметрии потока или же разрушения образующейся крутки (Л. П. Соколовский, 1950; 3. А. Лаптева и В. Б. Таушканов, 1960; М. И. Сайковский и др., 1965).
Заслуживает также внимания теоретическое исследование вихревого потока идеальной жидкости в осесимметричных каналах, позволяющее выявить ряд характерных особенностей реального течения в осесимметричных каналах и турбомашинах (Я* А. Сироткин, 1961, и др.).
Исследованию так называемых местных сопротивлений (входные устройства, плавное и внезапное изменение сечения канала, отводы, тройники, крестовины, колена, сетки, лабиринты, вентили, клапаны, выходные устройства и т. п.) посвящено огромное количество работ гидравликов и аэродинамиков. Материал этот во многих отношениях противоречив. В связи с этим возникает важная практическая задача проверки, систематизации и обобщения известных результатов эксперимента.
Первая попытка классифицировать местные аэродинамические сопротивления и собрать воедино наиболее достоверные результаты экспериментального исследования была предпринята Г. Н. Абрамовичем в 1935 г. В дальнейшем был издан ряд справочников гидравлических сопротивлений. Наибольшей полнотой отличается справочник К* Е. Идельчика (I960), широко используемый как в нашей стране, так и за рубежом.
Здесь следует отметить исследования по аэродинамике промышленных аппаратов, включающие вопросы подвода, отвода и равномерной раздачи потока как по сечению самих аппаратов, так и по отдельным параллельно работающим аппаратам. Указанные исследования во многом способствуют повышению эффективности разнообразных устройств и технологических процессов. Компоновка промышленных аппаратов во многих случаях требует комплексной проработки, так как они нередко объединяют и вентиляторную установку, и систему каналов сложной формы, и участки струйного течения. Изложение широкого круга относящихся сюда вопросов содержится в монографии И. Е. Идельчика (1964).
1.2. Течения в каналах сжимаемого газа с теплообменом. Во многих практически важных случаях представляет интерес знание характеристик течения жидкости или газа в каналах с большими скоростями и при больших различиях температуры протекающего газа и стенок канала. Эта задача издавна привлекала внимание исследователей. Достаточно сослаться на исследования Л. С. Лейбензона о движении подогретой вязкой жидкости в трубопроводе, который решил указанную задачу с учетом зависимости коэффициента вязкости от температуры еще в 1922 г.
Необходимо, однако, отметить, что наиболее интенсивные исследО' вания в указанном направлении относятся к последним двум десятилетиям. Вследствие сложности задачи в первую очередь был подробно изучен простейший случай одномерного течения, когда изменение параметров потока поперек канала не учитывается. Наличие вязкости и теплопроводности среды учитывается при этом приближенно: сопротивление движению в суммарном виде — введением работы трения, а теплопроводность в поперечном потоку направлении — введением суммарного закона теплообмена со стенками. Для сравнительно длинных каналов со слабо изменяющимся в направлении потока поперечным сечением, особенно при турбулентном режиме течения, одномерная теория дает результаты, удовлетворительно согласующиеся с действительностью.
Наиболее интересные результаты в области газодинамики одномер ных течений были опубликованы в сороковых и пятидесятых годах. Здесь следует, прежде всего, назвать исследования С. А. Христиановича и 而J Д. Миллионщикова (1945), Г. Н. Абрамовича (1944 —1946), Л. А. Вулиса (1947), Б. М. Киселева (1947), И. И. Межирова (1958^
1962), Г. Л* Гродзовского (1958), С. В. Романенко (1953, 1954) и многих других.
Остановимся прежде всего на выводах принципиального значения. Так, Г. Н. Абрамович в 1944 г. впервые показал, что подогрев движущегося по каналу газа обусловливает возникновение потерь полного давления. При этом поток, имеющий любую начальную скорость, можно за счет соответствующего подогрева довести до критической скорости, но никаким подогревом поток в трубе постоянного сечения нельзя перевести в сверхзвуковую область. Это явление получило название теплового кризиса. Л. А. Вулисом (1947) было установлено общее соотношение для изменения параметров потока в канале при наличии геометрического, теплового, расходного, механического воздействий и при воздействии трением. Согласно этому соотношению, получившему название условия обращения воздействий, характер влияния отдельных воздействий на газовое течение противоположен при до- и сверхзвуковых скоростях.
В дальнейшем исследования одномерных течений с трением и теплообменом были продолжены в направлении учета реальных свойств газа, переменных тепловые потоков вдоль канала, диссоци ации и ионизации газа и т. п. (Л. А. Вулис, 1950; И. И. Межиров, 1961; А. И. Леонтьев, 1958; И. И. Суксов, 1962, и мн. др.). Исследования советских ученых в области одномерных газовых течений подробно излагаются в монографиях по газовой динамике F* Н. Абрамовича (1953), Л. А. Вулиса (1950), А. А. Гухмана и Н. В. Илюхина (1954), М. Е. Дейча (1953), И. П. Гинзбурга (1958) и др.
Отличительной особенностью исследований советских ученых в области одномерных газовых течений является последовательное использование так называемых газодинамических функций, что существенно упрощает решение многих задач.
Результаты этих исследований находят широкое применение в практике, в частности, при расчете сверхзвуковых аэродинамических труб, газотурбинных двигателей, эжекторов и многих других устройств. Методы одномерной газодинамики были с успехом применены С. А* Христиановичем (1944, 1946) при расчете эжекторов высокого давления, О. В. Лыжи- ным (1965) при расчете дроссельных устройств, предназначенных для регулирования расхода газа, Г. Ю* Степановым (1953), М. Я. Юделовичем и Л. П. Волковой (1958) для приближенного расчета потерь на - удар в ступенчатых трубах при до- й сверхзвуковых отношениях давления.
Вместе с тем во многих случаях проявляется ограниченность одномерных теорий, поскольку в действительности течение в канале является двумерным, а в отдельных случаях и трехмерным. Так, в рамках одномерной теории нельзя учесть деформацию профиля скорости вдоль потока, отрыв потока и т. п. Одномерная теория становится неприменимой даже в трубе постоянного сечения при околозвуковых скоростях, где отличительной стороной процесса являются существенная деформация профиля скорости, отрицательный градиент давления и, как возможное следствие этого, вырождение турбулентности.
Указанные обстоятельства обусловили развитие исследований, в которых учитывается неодномерный характер течейия в каналах. Это, прежде всего, теоретические исследования неизотермического течения в канале постоянного сечения сжимаемого газа при ламинарном и турбулентном режимах. Для таких стабилизированных течений в плоских и круглых трубах И. П. Гинзбург (1958) и Е. Е. Лемехов (1957) вычислили коэффициенты неравномерности кинетической энергии и количества
движения в поперечных сечениях трубы, а также средние по сечению значения плотности и температуры в частном случае отсутствия теплопередачи от потока к стенке и равенства единице молекулярного и турбулентного чисел Прандтля. В некоторых работах (Н. А. Слезкин, 1959) исследование ламинарного течения вязкого газа проводилось на основе приближенного учета инерционных членов в уравнениях движения.
Наиболее простой приближенный способ расчета аэродинамических характеристик неизотермического течения жидкости и газа в каналах основан на использовании так называемой определяющей температуры,' которая часто принимается равной полусумме температур газа и стенки. Указанный способ позволяет производить приближенный пересчет характеристик изотермического течения в каналах на более общий случай неизотермического течения.
В обзоре экспериментальных и теоретических исследований неизотермических течений жидкостей и газов в каналах необходимо, прежде всего, указать, что одним из серьезных достижений в этой области следует считать развитие теории подобия (Л. И. Седов, 1943 —— 1967; А. А. Гух- ман, 1963).
В ряде случаев обработка данных экспериментального исследования трения и теплообмена в каналах или же получение некоторых обобщенных зависимостей производятся на основе теории локального моделирования, идеи которой изложены в работах В. М. Иевлева (1952). Согласно этой теории коэффициенты трения и теплообмена можно определять из интегральных соотношений импульса и энергии, если на основании обобщения опытных данных установлены законы сопр отивления и теплообмена (А. И. Леонтьев и В. К. Федоров, 1961, 1963, и др.).
Теоретические и экспериментальные исследования течений газа в каналах, учитывающие существенную неравномерность параметров потока в поперечных сечениях, потребовали разработки научно-обоснованных приемов осреднения неравномерных потоков. В этом направлении был выполнен ряд работ. В наиболее законченном виде проблема осреднения освещена Л. И. Седовым и Г. Г. Черным (1954). Применительно к течениям в каналах параметры осредненного потока должны правильно характеризовать расход газа через поперечные сечения, поток полного теплосодержания — для вычисления подвода энергии — и поток энтропии —для вычисления потерь полного давления. Упомянутыми авторами рассмотрены различные способы осреднения применительно к конкретным условиям работы разнообразных устройств, причем показано, что при осреднении часть свойств потока неизбежно утрачивается и при неправильном выборе осредняемых величин осредненное течение может оказаться гидродинамически невозможным. В практических расчетах введение осредненных параметров неравномерного течения позволяет использовать соотношения одномерной газодинамики. ，
Для расчета стабилизированного неизотермического ламинарного и турбулентного течений жидкости и газа в трубопроводах различного поперечного сечения (плоских, круглых, кольцевых и т. д.) широко используются методы теории пограничного слоя. В некоторых типах ядер- ных реакторов в качестве тепловыделяющих элементов используются круглые стержни, расположенные в виде пучка и омываемые снаружи продольным потоком жидкости.
В связи с этим потребовалось построить приближенные теории, позволяющие рассчитать профили скорости и температуры, гидравлическое сопротивление и теплообмен в каналах сложной формы. Такого рода при-
ближенные теории были созданы Н. К* Булеевым (1962, 1964), М. X* Ибрагимовым, В. И. Субботиным и др. (1966), Ю. П. Шлыковым и др. (1966)* Расчеты стабилизированного неизотермического течения газа в плоских и осесимметричных каналах выполнены в работах Б. А* Жесткова (1953), Б. С. Петухова и Л. И. Ройзена (1965), М* М. Назарчука (1963), X* А* Бар- лыбаева (1963) и мн. “р* Изложение ряда результатов в этой области содержится в монографиях М* А. Михеева (1947), С. С. Кутателадзе (1962), В. С. Жуковского (I960), К* Д* Воскресенского (1961) и др.
Расчет вторичного течения в турбулентном стабилизированном потоке жидкости внутри канала квадратного сечения выполнен В. С. Петрищевым и Г. И. Сабелевым, исходившими из уравнений Рейнольдса и некоторых обобщенных экспериментальных, зависимостей (1967). Знание ком- лонент скорости вторичного течения вдоль двух направлений и коэффициентов турбулентного переноса тепла вдоль этих же направлений позволило -авторам поставить задачу о расчете поля температуры в турбулентном потоке жидкости в квадратном канале с учетом анизотропии процессов переноса и вторичных течений. Результаты такого расчета удовлетворительно согласуются с опытными данными.
В результате проведенных экспериментальных исследований накоплен обширный опытный материал, охватывающий многие практически важные и интересные случаи теплообмена с самыми различными жидкостями и газами при малых и больших скоростях.
Здесь следует отметить исследования характеристик течения газа в каналах при околозвуковых и сверхзвуковых скоростях (исследования А. А. Гухмана, Е* С* Петухова и их сотрудников, 1958—1966), исследования гидравлического сопротивления и теплоотдачи при больших температурных напорах (Б. В. Дядякин и В. Л. Лельчук, 1959； В. Л. Лельчук и Г. И. Елфимов, 1964;苴* 血* Белянин, 1964, и др.).
Особенно важны и интересны исследования гидравлического сопротивления и теплоотдачи при течении в трубопроводах высокотемпературных теплоносителей — жидких металлов. Экспериментальные исследования таких течений, начатые М. А* Стыриковичем и И. Е. Семенкове- ром в сороковых годах, были затем продолжены В* И. Субботиным, В. М. Боришанским, Е* С* Петуховым, С* С* Кутателадзе, К. Д. Воскресенским (1955—1967) и многими другими исследователями.
В ряде работ советских ученых (В. Г. Левич, 1952; В* М. Боришан- ский и др., 1961; С. К* Костерин и А. Д. Магомедов 1958; Б. С* Петухов и Ф. Ф. Цветков, 1961, и др.) выполнены теоретические исследования гидравлического сопротивления и теплообмена при стабилизированном течении в каналах жидкостей с очень малыми (жидкие металлы) и очень большими (сильно вязкие жидкости) числами Прандтля. Особенностью этих течений является существенное различие эффективных толщин динамического и теплового слоев, которое должно быть учтено в расчете.
В последние годы возрос интерес к вопросам теплообмена и гидравлического сопротивления при ламинарном течении жидкостей в каналах, что обусловлено потребностями практики, в частности, расчетом таких теплообменных систем, в которых ламинарная форма движения жидкости оказывается преобладающей. Это связано с более широким использованием в технике газов высокой температуры и, следовательно, повышенной вязкости и сильно вязких жидкостей. Полученные в этом направлении результаты суммируются в монографии Е* С. Петухова (1967)*
При расчете Гидравлического сопротивления и теплообмена в некруг- -лых трубах также используется понятие эквивалентного диаметра.
В упомянутой выше монографии К. Д. Воскресенского приводятся соответствующие оценки пределов применимости эквивалентного диаметра, причем показано, что с ростом чисел Рейнольдса и Прандтля область применения эквивалентного диаметра заметно расширяется.
Наряду со стабилизированным течением изучалось течение вязкого сжимаемого газа в каналах при наличии изэнтропического ядра. Расчет потерь полного давления в таких каналах (так же как и в случае изотермического течения несжимаемой жидкости) сводится к определению параметров цограничного слоя в их крайних сечениях. Так, при дозвуковых скоростях, отсутствии теплообмена между стенками канала и газом и равенстве турбулентного и молекулярного чисел Прандтля единице коэффициент потерь в канале с равномерным распределением скорости на входе выражается формулой (А. С. Гиневский, 1956)
где pi и ря — плотность газа во входном сечении и в изэнтропическом ядре выходного сечения канала* Аналогичные по структуре формулы используются при расчете потерь давления в криволинейных межлопаточных каналах компрессорных и турбинных решеток профилей (Л* Г. Лойцянский, 1949; Г. Ю* Степанов, 1949; Н. М. Марков, 1955; С. А. Довжик, 1958).
Остановимся на некоторых результатах исследования участков гидродинамической и тепловой стабилизации течений в каналах. Весьма подробное изучение ламинарного и турбулентного течения совершенного газа в начальном участке круглой трубы при до- и сверхзвуковых скоростях проведено Е* А. Жестковым (1953) при ряде предположений: теплообмен между стенками и газом отсутствует, молекулярное и турбулентное числа Прандтля равны единице, профили скорости в переменных Дородницына задаются в виде некоторых универсальных зависимостей.
Для плоского и осесимметричного слабо расширяющихся каналов с нулевым градиентом давления Е. Е. Солодкиным и А. С. Гиневским (1964) в случае турбулентного пограничного слоя решение получено при более общих предположениях (наличие теплообмена, причем температура стенок постоянна, молекулярное и турбулентное числа Прандтля отличны от единицы). Ими был рассчитан коэффициент потерь полного давления, причем оказалось, что этот коэффициент при дозвуковых скоростях практически не зависит от числа Маха и определяется главным образом значением температурного фактора.
Исследованию неизотермического течения жидкостей и газов в начальных участках труб посвящены работы М. А. Михеева, С. С* Филимонова, Б. А. Хрусталева (I960), П. Н. Романенко и Н* В. Крыловой (1965), Э. А* Сидорова (1959) и др. Экспериментальное исследование конвективного теплообмена в начальном участке трубы в широком диапазоне чисел Маха выполнено А* К* Леонтьевым и В・ К* Федоровым (1966).
Интересные и важные для практики расчеты коэффициента восстановления полного давления в соплах гиперзвуковых аэродинамических труб с характерным для них толстым пограничным слоем проведены И. И. Межировым (1965). Сформулированное выше правило подобия было обобщено А. II* Быркиным. и И. И. Межировым на случай ламинарного течения в канале с произвольными значениями скорости, коэффициента вязкости, температуры и теплосс(д;ержания. И здесь для семейства контуров.
заданного уравнением (1.5), согласно правилу подобия
令R6=屮(彘)，爲=屮他)，
где Re = р^Е/Мь Мо— характерное число Маха в сечении канала. При этом
巧Re = А (Мо),戸/£ = % Q/£Re), 6*Re/x = /3 (М。)* -
В случае больших сверхзвуковых скоростей в сопле это правило подобия переходит в соответствующее правило, установленное ранее Ю. Л* Жилиным применительно к тонким гиперзвуковым соплам (1963).
Много внимания уделялось также накоплению опытных данных по гидравлическому сопротивлению и теплообмену в диффузорах и конфузорах. Так, первое по времени исследование потерь полного давления в конических диффузорах при больших дозвуковых скоростях выполнено- К. С Сцилардом (1938). В 1964 г* А* И. Лашковым опубликованы результаты экспериментального исследования влияния сжимаемости газа на сопротивление выхлопных диффузоров. Были также исследованы структура динамического и теплового пограничных слоев в дозвуковых диффузорах и конфузорах (П. Н* Романенко и др., 1963), конвективный теплообмен в сверхзвуковых соплах (Е. У. Репик и В. Е. Чекалин, 1962) и многие другие вопросы гидравлического сопротивления и теплообмена.
Здесь следует также отметить теоретические исследования восстановления полного давления в сверхзвуковых диффузорах, начатые К. Осва- тичем в Германии и Г. И. Петровым и Е. П. Уховым (1947) в нашей стране. Эти исследования показали возможность существенного снижения потерь давления путем перехода от торможения потока в одном прямом скачке к многоскачковому торможению с помощью систем косых скачков. В дальнейшем эти исследования были продолжены во многих работах советских ученых применительно к расчетным и нерасчетным режимам работы таких диффузоров.
Было проведено также изучение течений неньютоновских жидкостей в каналах. Первые исследования такого рода применительно к теченик> нефти вблизи температуры застывания были выполнены Л* С* Лейбензо- ном в 1931 г* В последние годы бурное развитие химической промышлен^ ности обусловило значительное расширение и углубление этих исследо-^ ваний.
В заключение отметим исследования советских ученых в обласЫ неустаиовившихся движений вязкого сжимаемого газа в трубопроводах. Эти исследования стимулировались главным образом сооружением магистральных нефтегазоводопроводов высокого давления. Исследования напорных неустаиовившихся движений в каналах имеют давние традиции в нашей стране. Достаточно сослаться на классические исследования Н* Е. Жуковского, И. С* Громеки, Л. С* Лейбензона. В настоящее время, главным образом благодаря трудам советских гидравликов, создана хорошо разработанная теория напорного неустановившегося движения газа в каналах, принципиально позволяющая решать широкий круг задач одномерного течения реальной жидкости в трубопроводах.
За последние годы значительно возрос интерес к процессам теплообмена и гидравлического сопротивления, происходящим при нестационарном течении теплоносителей и нестационарных условиях теплой од-
вода к ним (В* Д. Виленский, 1966). Краткая характеристика относящихся сюда теоретических и методических вопросов содержится в двух обзорных статьях Э. К. Калинина (1966, 1967).
При исследовании нестационарного течения в трубах обычно принимается, что коэффициент трения изменяется квазистационарно. Однако теоретические и экспериментальные исследования, выполненные в последние годы, показывают, что коэффициент гидравлического сопротивления в резко нестационарном режиме существенно отличается от своего ква- зистационарного значения (Л* К* Кудряшев и В* А. Церерин, 1961, 1963; Н. А. Панчурин, 1961, 1964; К* С. Коченов и Ю. Н. Кузнецов, 1965; Л. Л. Калишевский и С. В. Селиковкин, 1967)* В последней из упомянутых работ указаны предельные значения приближенных критериев подобия, при превышении которых можно пренебречь эффектами нестационарно- сти для случаев, когда течение зависит от вязкости жидкости (трубопровод —критерий подобия имеет вид (v/V3) dVIdt) и когда такая зависимость практически отсутствует (диафрагма — критерий подобия (d/72) dV/d(), Интересно отметить, что аналогичное положение имеет место в задачах внешней аэродинамики при обтекании удобообтекаемого тела и плохо обтекаемого тела — диска (А* С* Гиневский и К* К* Федяевский, 1959).
Известны также экспериментальные исследования нестационарного конвективного теплообмена в каналах (опыты Е* М* Галицейского, Т* А* Дрейцера, В* Г. Изосимова, Э. К* Калинина н В. К. Кошкина, 1966).
Теоретические исследования нестационарного конвективного теплообмена и гидродинамики в каналах даже для ламинарного течения в силу большой сложности задачи являются приближенными и носят в основном качественный характер. Еще меньше надежных результатов для турбулентного течения в каналах (здесь расчеты базируются на теории подобия или же полуэмпирической теории нестационарного турбулентного пограничного слоя). Что касается упомянутых выше экспериментальных исследований, то они, по существу, находятся в начальной стадии.
§ 2. Турбулентные струи
В различных машинах, аппаратах и системах приходится иметь дело с тур булентными струями, которые возникают при наличии тангенциальных разрывов скорости, температуры или концентрации какого-либо вещества в потоках жидкости (или газа)* Изучение свойств таких потоков вначале ограничивалось случаем затопленной струи (вытекающей в покоящуюся среду).
Первое экспериментальное исследование затопленной турбулентной струи было выполнено в 1913 г* русским инженером В* А* Слесаревым, который исследовал направленную вертикально вниз со скоростью около 16 м/сек струю подогретого воздуха (АТ。= 80°) и изучал глубину внедрения ее в неподвижный более холодный воздух. Скорость воздуха на оси струи измерялась анемометром, а температура — воздушным термометром; глубина внедрения оказалась равной
无=。，707 需盒 (2.1)
(здесь uQ— скор ость истечения,北一абсолютная температура окружающего воздуха, А То— избыточная температура в начальном сечении струи, g — ускорение силы тяжести).
Структура этой формулы была заимствована из теоретической работы И* F* Есьмана, посвященной расчету траектории струи горячих газов в пламенной печи (1910)* Детальное экспериментальное изучение полей скорости в изотермической затопленной воздушной струе круглого сечения было выполнено в 1915 г, Т* Трюпелем и в 1921 г* В. Циммом* Однако эти авторы еще не пытались как-либо обобщить результаты эксперимента. Впервые аналитическую (гиперболическую) зависимость между безразмерной скоростью на оси затопленной струи и безразмерным расстоянием от начального сечения получил на основе .собственных экспериментов в 1918 г. А* Я* Милович: '
警=6 粤(2.2)
{здесь ит—скорость на оси на расстоянии ж от начального сечения диаметром d。, 口。一 скорость истечения). Эта формула справедлива при N > 6&)*
Свойства плоской затопленной воздушной струи (вытекающей из отверстия в стенке, имеющего форму очень вытянутого прямоугольника) впервые исследовал экспериментально в 1929 г* Г.①* Проскура и более детально в 1934 г* 3* Фертман.
В 1933 г* опубликована работа В* А* Тур куса, в которой измерены лоля скорости в затопленных струях воздуха, вытекающих из каналов прямоугольного сечения с отношением сторон от 1 : 1 до 1 : 20.
Указанные работы выявили характер распределения скоростей в поперечных сечениях и по оси в затопленных турбулентных струях и показали, что при выборе соответствующих масштабов для скорости и линейного размера удается получить универсальные зависимости безразмерной скорости от безразмерного расстояния, несколько изменяющиеся при изменении формы начального поперечного сечения струи для профиля осевой скорости и единые — для профилей скорости в поперечных сечениях. ' Однако, будучи чисто эмпирическими, эти исследования не обладали ни полнотой, ни общностью. Появившаяся в 1925 г* полуэмпири- ческая теория свободной турбулентности Л. Прандтля, использующая гипотезу поперечного переноса импульса с постоянным путем смешения, почти десять лет оставалась вне поля зрения специалистов по струям. .Между тем уже в 1926 г* В. Толлмин, основываясь на теории Прандтля, решил три задачи о турбулентных струях для идеализированных схем: .1) пограничный слой плоскопараллельной (полубесконечной) струи, 2) плоскопараллельная турбулентная струя, вытекающая из бесконечного тонкого отверстия (линейный источник) с бесконечной скоростью; нулевым расходом и конечным импульсом,
осесимметричная струя, вытекающая из тонкого отверстия при тех же начальных условиях.
Профили скорости и очертания границ струи во всех трех задачах получились близкими к экспериментальным. Причиной, затруднявшей использование теории Прандтля — Толлмина в аэродинамическом расчете струй, было то, что реальные стрз^ вытекают с конечной скоростью из отверстий конечного сечения, а в теории Толлмина рассматривались струи, вытекающие из отверстий бесконечно малой площади с бесконечно большой скоростью. Это противоречие было устранено в теории струй Г. Н* Абрамовича (1936), в которой предложена схема струи, состоящей из начального и основного участков: в начальном участке имеется ядро постоянной скорости и постепенно расширяющаяся зона смешения (стр йный
пограничный слой), которая к концу начального участка простирается до оси струи («съедает» ядро); за начальным участком следует основной участок, где зоны смешения занимают все сечение, а скорость на оси с удалением от начального сечения постепенно убывает. При такок схеме струи для расчета пограничного слоя начального участка используются результаты первой из указанных выше задач Толлмина, а для расчета основного участка в зависимости от формы струи — результаты второй или третьей задач Толлмина. Сращивание двух решений производится в так называемом переходном сечении, начиная от которого скорость на оси убывает. В дальнейшем Г. Н* Абрамович уточнил схему струи, введя дополнительно переходный участок, который расположен между начальным и основным участками (1956); все принятые до последнего времени методы расчета струй исходили либо из первоначальной, либо из этой уточненной схемы.
В изотермических струях, а также при наличии примесей возникает необходимость определения профилей температуры и концентрации примеси. Если считать механизм переноса тепла и примеси подобным механизму переноса импульса и допустить, что путь смешения для всех субстанций один и тот же, то соответствующее развитие теории свободной турбулентности Л* Прандтля (1925) приводит к подобию полей безразмерных значений скорости, избыточной температуры и концентрации. Этот результат не подтверждается опытными данными, из которых следуетг что профили температуры и концентрации подобны между собой, но являются более наполненными, чем профиль скорости.
Дж* Тейлор (1932) устранил противоречие между опытом и теориейt приняв в качестве основной переносимой субстанции (в динамической задаче) завихренность (вместо импульса) и сохранив условие постоянства пути смешения в каждом поперечном сечении струи; он получил следующую связь между скоростью, избыточной температурой и концентрацией примеси в поперечном сечении основного участка:
(/)‘=栗=兽 (6 = 0,5), (2，3>
где u, AT, Ay — скорость, избыточные значения температуры и концентрации (по сравнению с их значениями в окружающей среде) в произвольной точке данного сечения, ит, АТт, Ахто — то же на оси сечения.
В пограничном слое начального участка по Дж. Тейлору получается линейное распределение температуры и концентрации. Профили же скорости в начальном и в основном участках струи как по Дж* Тейлору, так и по Л. Прандтлю описываются одними и теми же закономерностями. Многочисленные эксперименты (Г. Рейхардт, 1942) показали, что в плоской струе соотношения (2*3) подтверждаются, а в осесимметричной струе профили температуры и концентрации близки между собой и отличаются от профиля скорости, но оказываются менее наполненными, чем этого требует теория Тейлора (§ ^ 0,7 + 0,8)* С. Голдстейн в 1943 г* модифицировал теорию Тейлора применительно к осесимметричной задаче и улучшил соответствие опытных и теоретических профилей; получившееся при этом очень громоздкое решение задачи не нашло применения в практике. Заметим, что теорию Прандтля можно привести к хорошему соответствию с результатами эксперимента, если предположить, что путь смешения для переноса импульса I отличается от пути смешения для переноса тепла 1Т и примеси 量* В частности, при 1^ — 1т — 22 из теории Прандтля получается зависимость (2*3) для основного участка и линей-
ные профили температуры и концентрации в пограничном слое начального участка (Е. Е, Солодкин, 1962)*
Е. Я. Трубников в 1938 г. и независимо от него Л. Прандтль в 1942 г* лредложили новую теорию свободной турбулентности, которая отличается ■от описанной выше тем, что вместо постоянства пути смешения в сечении струи принято постоянство коэффициента турбулентной вязкости, Г. Гертлер (1942), основываясь на этой теории, решил заново первую и вторую задачи В. Толлмина/ и если последний исходил из предположения о струе конечной толщины, то Гертлер получил асимптотические профили скорости (струя бесконечной толщины); аналогичный результат можно получить и для осесимметричной задачи Толлмина, причем в последнем случае профиль скорости в турбулентной струе оказывается таким же, как и в ламинарной струе, а коэффициент турбулентной вязкости для всего основного участка струи имеет постоянное значение. В настоящее время некоторые авторы (А* Ферри и др.) строят расчет струи непосредственно на основе гипотезы постоянной турбулентной вязкости для каждого сечения струи.
Получила распространение, особенно в работах Л. А* Вулиса (1965) и его сотрудников, еще одна теория свободной тур булентности, предложенная Г. Рейхардтом в 1942「*, в которой предполагается, что поперечный перенос импульса пропорционален поперечному градиенту продольной составляющей импульса. Профили скорости в теории Рейхардта имеют также асимптотический вид и близки к гертлеровским/Г. Е* Сквайр и Дж* Троунсер в 1944 г. представили профиль скорости в виде косинусоиды. А. С* Гиневский в 1959 г* применил к турбулентной струе и следу за телом известное из теории пограничного слоя изображение напряжения трения в виде полинома, коэффициенты которого определяются с помощью граничных условий на оси и на краях струи и дифференциального уравнения движения; подстановка этого полинома в формулу турбулентного трения Прандтля позволяет получить профиль скорости
1-6唄+ 8т)3 一 3限(т]=等)*
JL М* Свейн в 1929 г* и Г, Шлихтинг в 1930 г* распространили на случай следа за телом теорию свободной турбулентности Прандтля и вывели для профиля избыточной скорости в поперечном -сечении следа формулу Ам = (1 —唄，5)2 = 1— 2唄，5 + 倘 применяемую в теории струй под названием профиля Шлихтинга*
Все указанные профили скорости близки между собой и удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными, ввиду чего с равным успехом можно пользоваться любым из них или даже заимствовать универсальное распределение скорости непосредственно из опытных данных*
В настоящее время в методе расчета струй, рекомендуемом Г. Н. Абрамовичем (I960), используется профиль скорости Шлихтинга, в методе В* Я* Бородачева — профиль Сквайра и Троунсера, в методе А* С..Гинев- ского — профиль, найденный им самим, в методах И. А. Шепелева (1961) и Л* А* Вулиса (1965) — профиль Рейхардта и т. п.
После того как тот или иной профиль скорости в поперечном сечении струи выбран, можно, пользуясь зависимостью типа (2.3), получить профиль избыточной температуры и весовой концентрации примеси. Эксперименты показывают, что все упомянутые профили справедливы не только
в затопленной струе, но и при наличии спутного потока (Г. Н. Абрамович, 1956)*
Расчет изменения параметров по длине струи производится с учетом сохранения суммарных величин импульса, избыточного теплосодержания и запаса примеси. Однако для того чтобы сделать систему уравнений замкнутой, нужно прибегнуть еще к какому-либо дополнительному условию. ,
Г. Н. Абрамович в 1956 г. предложил использовать во всех случаях в качестве такого условия идею Л. Прандтля о пропорциона льносъи толщины струи отношению поперечной пульсации скорости к среднему значению местной скорости (db/dx 〜| 房 |/ ] 口 ], | 房 | 〜2 duldy) и получил отсюда следующее уравнение развития струи:
(здесь ит—скорость на оси струи, 口口一скорость спутного потока).
Величина средней; скорости определяется из следующего соотношения:
“СР =々一-.(2.5＞
\ Ро
Сопоставление с опытными данными показывает,叮严 выражения (2.4) и (2.5) удовлетворительно описывают форму границы струи как в несжимаемой жидкости, так и в газе. Если отношение плотностей в струе (рт) и в окружающей среде (рн) находится в диапазоне 0,3＜；рн/рт＜；3, то выражение (2.5) можно заменить упрощенным:
Рт + Рн —
а для несжимаемой жидкости.(тг = pH/pm= 1)
〃ср ~ ~2 (〃т + 〃я).'
В последнем случае закон нарастания толщины струи имеет особенно простую форму:
= . (2.6) dx ит + ин \ /
В ряде экспериментальных работ показано, что при пользовании уравнениями (2*4) и (2.6), независимо от степени сжимаемости жидкости (при 0,3 &т?之 3) и отношения скоростей в струе и окружающей среде (т = —uH/wm)j эмпирическую постоянную можно во всех случаях заменить одним и тем же числом: для основного участка с — 0,22, для начального участка с = 0,27*
В работах В. Я* Бородачева и Г. Б. Сквайра и Дж. Троунсера (1944) для замыкания системы уравнений вместо (2*4) используется уравнение сохранения импульса, которое один раз записывается для полной струи； а второй раз (дополнительное уравнение) для центральной зоны, ограниченной поверхностью с половинным значением скорости и = 2/2 (ит + + 〃н), где напряжение турбулентного трения задается формулой Прандтля т = р/ (du/dy)2. А* С. Гиневский для этой цели применяет условие на оси струи или интегральное соотношение энергии (1966). О. В. Яков
левский показал (1964), что методы расчета струй В* Я* Бородачева и А. С* Гиневского можно свести к методу Г. Н* Абрамовича.
В последние годы значительное внимание уделяется расчету турбулентных неизотермических струй, а также струй переменного состава. Так, задача о смешении двух полубесконечных потоков различной температуры решалась F・ Н* Абрамовичем (I960), IL II* Корявовым (1964), И. П. Гинзбургом и К* М* Шляхтиной (I960), М. П. Тетериным (1964). Применительно к начальному и основному участкам струй переменной плотности в спутном потоке разрабатывались интегральные методы расчета. Здесь, помимо метода Г. Н. Абрамовича, следует отметить обобщение метода Г. Б. Сквайра и Дж. Троунсера, произведенное В. Я. Бородаче- вим, а также обобщение «метода полиномов» и метода интегральных соотношений В. В. Голубева, выполненное А. С. Гиневским (1962, 1966). В последнее время в работах А. Г. Прудникова и его сотрудников (1962,. 1966) на основе статистических представлений разрабатываются методы расчета динамических и диффузионных характеристик струи. Г. Н、 Абра- мбвичем (I960) для начального участка струи, а А. С. Гиневским и Л. Н. Ухановой для начального и основного участка струи и следа за телом (1959, 1966) разработаны методы расчета, учитывающие наличие продольного градиента давления.
Большое число работ посвящено исследованию так называемых пристеночных или полуограниченных турбулентных струй. Здесь следует прежде всего Ьтметить методы расчета таких струй Н. И. Акатнова (1958, 1961), F* Н. Абрамовича и И. П. Смирновой (I960); экспериментальное исследование таких струй выполнено Л* А* Вулисом и его сотрудниками (1957—1964). Расчеты по методу Г. Н. Абрамовича (I960) удовлетворительно согласуются с опытными данными Э. Фертмана и Б. А. Жесткова и др. (I960). До настоящего времени отсутствует сколько-нибудь эффективный метод расчета полуограниченных струй в спутном потоке с продольным градиентом давления.
Следует отметить, что метод расчета струй с помощью «полинома трения» А. С. Гиневского, не дающий особых преимуществ применительно к изобарическим струям, становится предпочтительным при расчете струи, стелящейся по стенке в потоке с градиентом давления (сдув пограничного слоя, струйная тепловая защита и т. п.), так как позволяет учесть влияние градиента давления на форму профиля скорости в поперечном сечении. * '
Наиболее трудным для теоретического исследования является переходный участок струи, так как на нем происходят перестройка профиля скорости и деформация боковой границы струи. Приближенное определение длины и очертаний переходного участка предложено Г. Н. Абрамовичем (1956); более совершенный метод расчета изменения всех параметров струи на протяжении переходного участка разработал А. С. Гиневский (1966).
Особняком стоит способ расчета струй Л. А. Вулиса, в котором, в отличие от описанных выше методов, исходя из приближенных представлений, задается закон изменения скорости по длине струи, а профили скорости в поперечных сечениях получаются непрерывно деформирующимися от начального сечения до основного участка (1957—1965).
Родственный прием для расчета непрерывно изменяющейся формы затопленной струи с произвольным начальным сечением разработан И. А. Шепелевым и Н. А. Гельман (1966)； эксперименты В. А. ^уркуса {1933) подтверждают возможность такого расчета.
Значительное число работ посвящено исследованию влияния воздействия различных начальных параметров на характеристики струи. Так, в работах Л. Г. Лойцянского и его сотрудников (1953, 1966) исследовано влияние начальной крутки на характеристики струи, Г. Н. Абрамовичем разработан приближенный метод учета влияния начальной неравномерности потока на характеристики струи в спутном потоке (I960). Экспериментальное исследование характеристик струи при различной начальной неравномерности потока выполнено Е. И. Поляковым 《4960)*
В последние годы при экспериментальном исследовании струйных течений измерение осредненных параметров течения обычно сопровождается измерением их пульсационных характеристик. Это позволяет глубже понять закономерности изменения параметров струйного течения. Изучение микроструктуры свободных турбулентных потоков, начатое в сороковых годах за рубежом А* Таунсендом, С. Коренном, Г. Липманом и Дж. Лауфером, было затем продолжено в нашей стране F* С. Антоновой (I960), В. П. Солнцевым (1961), Е* В. Власовым (1965) нЛ. И. Илизаровой (1966). Д* Н. Ляховским (1965) исследовано влияние закрутки потока на характеристики пульсационного течения в осесимметричной закрученной турбулентной струе.
Исследование характеристик турбулентности вблизи края затопленной струи имеет тот недостаток, что здесь весьма велики уровни турбулентности, а это ставит под сомнение точность измерений, которые осуществляются с помощью термоанемометров.. Приобретает интерес исследование микроструктуры потока в турбулентных следах, а также в спутных струях. Весьма интересные результаты применительно к турбулентным следам за цилиндрическими телами в условиях безградиентного и градиентного спутных потоков получены Ю. Г. Захаровым и Л. Н. Уханойои (1959, 4966)* А. С. Гиневский и Л. И. Илизарова исследовали микроструктуру турбулентной струи в спутном потоке (1966).
Исследования микроструктуры турбулентных струйных течений оказываются чрезвычайно полезными для объяснения механизма турбулентного смешения, а также для оценки точности основных предпосылок полу- эмпирических теорий тур булентности. Исследование пульсационных характеристик турбулентных струй представляет и непосредственный практический интерес. В частности, согласно теории Дж. Лайтхилла акустические характеристики турбулентных струй выражаются через тензор турбулентных напряжений. Основываясь на этой теории, А. Г. Му- нин (1962) и Е. В. Власов (1965) разработали метод расчета акустических характеристик затопленных турбулентных струй (звуковая мощность, спектр и т. д.), причем первый использовал соотношения полуэмпири- ческой теории турбулентности Прандтля, а второй — определенные из эксперимента универсальные зависимости для нормальных и касательных рейнольдсовых напряжений. Здесь следует также упомянуть исследования вихревого шума, который генерируется в спутной струе за плохо обтекаемыми телами* Вихревой шум вращающихся и невращающихся стержней исследовали Е. Я. Юдин (1944) и Д, И, Блохинцев (1945).
Изложение современного состояния проблемы шума турбулентных потоков содержится в монографиях Л. К. Зарембо и В. А. Красильникова (1966) и В. С. Петровского (1966)*
При решении ряда практических задач требуется определить течение вне турбулентных струй, которое обусловлено их эжектирующим действием. Впервые такая задача в предположении, что течение вне струи
является безвихревым, была решена Л. Д. Ландау (1953) применительно к осесимметричной затопленной струе и В* В* Павловским (1958) применительно к плоской струе. Аналогичное решение несколько иным методом для плоских и осесимметричных турбулентных струй было получено Дж* Тейлором (1958). Указанные решения были обобщены О. В. Яковлевским и А* А* Секундовым (1964) и А. С. Гиневским (1966) на случай истечения круглой струи, ограниченной конической поверхностью, и плоской струи, s ограниченной двугранным углом. При этом предполагалось в соответствии с данными эксперимента, что эжектирующее действие струи остается одинаковым в ограниченном и неограниченном пространстве. В последней из упомянутых работ получено решение о подтеканиях к круглой струе, ограниченной осесимметричной криволинейной поверхностью, а также указано выражение для функции тока, описывающей безвихревое течение вне осесимметричной струи в спутном потоке. Аналогичное решение для эжекционного течения вне осесимметричной струи в спутном потоке при некоторых дополнительных допущениях было ранее получено Г. Б. Сквайром и Дж. Троунсером (1944).
В последние годы проведен ряд исследований, имеющих целью направленное активное воздействие на аэродинамические характеристики турбулентных струй. Такое воздействие может быть, прежде всего, достигнуто за счет изменения начальной турбулентности потока, причем увеличение начальной турбулентности приводит к укорочению начального участка; если 80 20%, начальный участок практически отсутствует, и резкое падение скорости начинается непосредственно у среза сопла (А. С. Гинев- ский и К. А. Почкина, 1967). Аналогичные результаты получаются и для плоской турбулентной струи (Ю* А. Шербина, 1961).
Л* А. Вулисом и его сотрудниками (1966) было показано, что можно существенным образом интенсифицировать перемешивание в струе за счет возбуждения в трубопроводе пульсаций заданной частоты. При этом результаты опытов поддаются простому обобщению при помощи числа Струхала. Достоинством такого рода пульсатора является возможность плавного регулирования наложенной частоты.
В самое последнее время Е. В. Власовым и А. С. Гиневским (1967) было обнаружено, что можно заметно изменить аэродинамические характеристики струи путем акустического воздействия. За счет соответствующего выбора частоты и интенсивности звуковых колебаний удается как интенсифицировать турбулентное смешение, так и, наоборот, при определенных условиях несколько его ослабить, т. е. либо уменьшать, либо увеличивать дальнобойность струи.
Ввиду большого разнообразия встречающихся на практике струйных течений мы остановимся лишь на некоторых основных типах таких течений.
Вентиляционные струи и воздушные фонтаны. В вентиляционной практике приходится иметь дело главным образом с затопленной струей. Если вентиляционная струя распространяется в относительно большом помещении и имеет почти такую же температуру, как окружающая среда, то расчет поля скорости в ней ведется как в турбулентной затопленной изотермической струе. В этом случае, как показывают опыты, в основном участке струи течение идентично линейному (для плоской струи) или точечному (для осесимметричной струи) источнику В. Толлмина, берущему начало в центре отверстия, из которого струя выходит; боковой угол раскрытия в основном участке струи а может быть определен из равенства tg а = 0,22*
52 Механика в СССР, том 2
Изменение скорости по оси струи круглого сечения отвечает гиперболической зависимости
〃т = 6,5〃о 鸟
(здесь / — расстояние от начала струи, d。一ее начальный диаметр)； по оси плоской струи
ит = 1,5иоу%
(无о — высота (малая ось) начального сечения). Зона / < 6,5 do (для плоского случая / < 7,5 无о) заменяется совокупностью начального и переходного участков, о которых говорилось выше. В тех случаях, когда вентиляционная струя имеет температуру, отличную от господствующей в окружающем ее воздухе, она подвержена воздействию гравитационных сил и называется воздушным фонтаном. Когда первоначальное направление фонтана вертикально, гравитационные силы, вызванные разностью удельных весов воздуха внутри и вне фонтана, постепенно тормозят или ускоряют его (в зависимости от взаимного направления гравитационной силы и начального импульса); если же первоначальное направление фонтана отличается от вертикального, то его ось изгибается в направлении действия гравитационной силы.
Дальнобойность вертикального фонтана конечна, если направление первоначального импульса противоположно направлению гравитационной сиды; такого рода фонтан теплого воздуха, направленный вертикально вниз, впервые изучал на опыте В. А. Слесарев (1913), о работе которого говорилось выше.
Приближенный расчет траектории воздушного потока в покоящемся воздухе иной плотности впервые произвели В. В. Батурин и И. А. Шепелев в 1934 г. Применив теорию турбулентной струи, Г. Н. Абрамович в 1936 г. разработал метод расчета формы оси фонтана, искривленного гравитационными силами. В дальнейшем Г. Н. Абрамович и И. А. Шепелев публиковали работы на эту тему несколько раз (1936—1959). В хорошем соответствии с экспериментальными данными С. Н. Сыркина и Д. Н. Ляховского (1938) находится формула оси струи И. А. Шепелева (1959)
艺=訐8? 土柒/^(謊К]аr, (2.7)
где 丫 —— начальный угол наклона струи к горизонтали, /, у —— горизонтальная и вертикальная координаты точки оси (начало координат лежит в центре выходного отверстия), Т。，Тн — абсолютные температуры в начале струи и в окружающем воздухе, с, к — коэффициенты, учитывающие степень турбулентности и неравномерность поля скорости в начальном сечении струи, Аг — g]/^ (П — Тн)/(破Тн) — число Архимеда, FQ —. площадь начального сечения струи.
Интересный проект вентиляции помещения с помощью воздушного фонтана осуществлен по предложению И. А. Шепелева (автор проекта В. Н. Иванов) в большом выставочном павильоне в Сокольниках (г. Москва). Схема воздушных потоков, образованных таким фонтаном, изображена на рис. 1. Каждая из струй наружного воздуха подается наклонно к горизонту из щелевого отверстия в воздухопроводе, проложенном вдоль стены павильона. Изогнутая гравитационными силами и подо-
гретая за счет теплообмена с окружающим воздухом струя опускается в «рабочую» зону павильона, создавая в ней заданные условия комфорта для посетителей.
В вентиляционной практике встречаются веерные струи, теоретическими и экспериментальными исследованиями которых занимались Ю. Б. Румер (1945), Дж. Л. Тьюв (1953), Г. Н. Абрамович (I960, 1967), И. А, Шепелев (1961), Л. Г. Лойцянский (1953), Г. Л. Гродзовский (1951), А. С. Гиневский (1962, 1966), О. В. Яковлевский и С. Ю. Крашенинников (1966) и др. В частности, А. С. Гиневский показал, что характеристики
Рис. 1. Схема воздушных потоков при вентиляции фонтаном в большом выставочном павильоне в Сокольниках (г. Москва).
истекающих из кольцевого сопла расходящихся и сходящихся веерных струй могут быть получены элементарным пересчетом характеристик плоской затопленной струи. Веерная струя образуется при натекании обычной осесимметричной струи на стенку, установленную под прямым углом к оси струи.'
Всевозможные типы вентиляционных струй описаны в книгах В. В. Батурина (1956, 1963), И. А. Шепелева (1950, 1961), В. Н. Талие- ва (1964) и С. Е. Бутакова (1949).
Б. Струи в энергетических установках. В котельных топках, камерах сгорания газотурбинных установок, камерах смешения эжекторов, -аэродинамических трубах, испытательных установках различного типа двигателей приходится иметь дело с турбулентными струями разных видов.*
Часто встречаются газовые или жидкостные струи, вытекающие в поток газа под некоторым углом к нему. Поведение турбулентной плоской струи в поперечном потоке изучали В. В. Батурин и И. А. Шепелев (1936), Г. Н. Абрамович (1936. I960), Ю. В. Иванов (1953), С. В. Вах- ламов (1964), В. М. Эльтерман (1961) и др. Каждый из упомянутых исследователей получил в соответствии со своими экспериментальными данными те или иные эмпирические или полуэмпирические формулы .для изогнутой оси плоской Струи в поперечном потоке («воздушной завесе》). В последнее время Т. А. Гиршович (1966) удалось найти решение задачи о такой струе в приближенной гидродинамической постановке； это решение дает возможность построить не только ось струй, но также поле скоростей и границы турбулентной струи в функции отношения скоростей -в невозмущенном потоке и начальном сечении струи, причем результаты расчета и эксперимента удовлетворительно согласуются. ,
Экспериментальные исследования осесимметричной струи в поперечном потоке воздуха опубликованы Ю. В. Ивановым (1952) и Г. С. Шан- 52*
доровым (1957)； оба автора предложили эмпирические формулы для оси струи. Очень интересен результат Г. С、Шандорова, который показал, что форма оси струи определяется отношением скоростных напоров во внешнем потоке и в начальном сечении струи. Это обобщение, позволяющее распространить все теоретические и экспериментальные данные, полученные для несжимаемой жидкости, на случай разных плотностей в струе и в потоке, широко используется на практике. Полуэмпириче- ские методы определения формы оси струи, вытекающей из круглого отверстия в поперечный поток, предложены М. С. Волынским и Г. Н. Абрамовичем. Весьма простой способ учета влияния конечных размеров канала, в который из бокового отверстия поступает струя, на форму ее границ указал В. Я. Безменов (I960); он состоит в том, что скорость набегающего потока заменяется средней скоростью, полученной от смешения струи с потоком. Значительные экспериментальные исследования в этой области подытожены в монографии Ю. В. Иванова (1959).
Растекание турбулентной струи в потоке или неподвижной среде, ограниченных твердыми стенками, с которым часто встречаются в различных промышленных, энергетических и испытательных устройствах, обладает рядом особенностей, зависящих от формы стенок, направления струи и отношения скоростей в устье струи и во взаимодействующем с ней потоке.
Применительно к эжекторам, в которых направления смешивающихся струй одинаковы, теоретическое решение задачи было предложено А. Я. Черкезом (1953). Несколько иные пути решения этой задачи реализованы в работах О. В. Яковлевского (1961), вкоторый впервые рассмотрел камеру смешения переменного сечения. Результаты всех этих работ находятся в удовлетворительном соответствии с опытными данными.
Очень простой приближенный способ расчета струи, возникающей во внезапно расширяющемся канале (при нулевой эжекции), разработали И. А. Шепелев и М. Д. Тарнопольский (1966); в нем используется универсальный профиль скорости и делается предположение, что во всех точках каждого сечения струи скорость отличается от таковой в соответствующем сечении затопленной струи на постоянную величину, которая получается из условия неразрывности. Опытные данные подтверждают результаты такого упрощенного расчета, позволяющего определить скорости как вблизи оси струи, так и в зоне обратных токов.
Более детальная теория зоны обратных токов турбулентной струи дана в работе Г. Н, Абрамовича (1957), предложившего также струйные методы расчета гидравлических сопротивлений в каналах трубчатых теплообменников и в лабиринтных уплотнениях гидравлических и воздуходувных машин (1936). '
В устройствах для сдува пограничного слоя, системах струйной защиты стенок от газового потока высокой температуры и т. п. встречаются полу ограниченные турбулентные струи (стелющиеся по стенке и одним боком соприкасающиеся с потоком газа иной ск()рости). Полуэмпири- ческий метод расчета изобарической турбулентности полуограниченной (пристенной) струи разработан Г. Н. Абрамовичем и И. П. Смирновой (I960)..
В вентиляционной и теплотехнической практике встречаются струц. конвективного происхождения (стелющаяся вдоль вертикальной подогретой стенки, поднимающаяся от нагретой горизонтальной поверхности и т・ и.). Теория такого рода струй впервые была предложена Я. Б. З^ль-
довичем (1937), который развил теорию турбулентного источника В. Толл- мина, введя дополнительно в уравнение движения гравитационный член* Интегральный метод расчета восходящей конвективной струи круглого и прямоугольного сечений дан в монографии Г. Н. Абрамовича (I960)* Упрощенный метод расчета конвективных струй разработал И. А. Шепелев (1963); он же предложил простой способ расчета конвективной струи, возникающей около вертикальной нагретой стенки, показав при этом, что пристенным пограничным слоем в первом приближении Можно пренебречь* Экспериментальное исследование смешения параллельных струй, вытекающих из насадков, между которыми открыт (или закрыт) просос воздуха, провели Л. А. Жукова, И. С. Макаров и Б. Г. Худенко (1966); Б. Г. Худенко предложил (1966) интересное обобщение опытных данных, из которого следует, что поля скорости в зоне смешения можно получить из суперпозиции местных значений импульса отдельных струй，
Взаимодействию струй, встречающихся под углом, посвящевы работы И. С. Макарова и Б. Г. Худенко (1965), В. А. Кириллова и Б. Г. Худенко (1965).
Неоднородные, высокотемпературные и сверхзвуковые турбулентные струи. В последнее время в связи с созданием всевозможных специальных устройств развиваются исследования турбулентных струй «холодной» плотной плазмы, которая представляет собой диссоциированный и ионизованный газ (воздух, водяной пар или инертный газ, иногда с примесью паров какого-либо из щелочных металлов, имеющих пониженные значения потенциалов ионизации) с температурой от нескольких тысяч до 20— 30 тысяч градусов.
Эксперименты показывают (Г. Н. Абрамович, В. И. Бакулевт В. А. Голубев, Г. Г. Смолин, 1964, 1966), что весьма высокотемпературная струя плазмы подчиняется примерно тем же закономерностям, что и обычные турбулентные струи (профили скорости и температуры в поперечных сечениях выражаются указанными выше универсальными зависимостями; толщина плазменной струи может быть найдена из формул (2.4) — (2.6); изменение скорости по оси плазменной струи следует определять с помощью закона сохранения суммарного импульса и т. п.). Только при давлениях в несколько десятков атмосфер и при температурах порядка 10 000° и выше следует дополнительно учитывать отвод тепла от струи плазмы с лучеиспусканием, что нарушает обычное для струи условие сохранения суммарной величины теплосодержания.
Теоретическое исследование пограничного слоя турбулентной плазменной струи, выполненное В. А. Голубевым (1961), потребовало применения уравнения состояния, отличного от уравнения Клапейрона; автор использовал степенную зависимость плотности от энтальпии (при постоянном давлении)
const
где показатель степени 乃 зависит от рода газа и уровня температуры в плазме и подбирается с помощью термодинамических таблиц. Остальные уравнения системы — это дифференциальные уравнения движения и энергии, в которых молекулярные члены опущены, а напряжения трения и тепловые потоки выражены в соответствии с гипотезой постоянного поперек струи пути смешения Прандтля.
Расчетные и экспериментальные профили температуры, найденные В. А. Голубевым для избыточной температуры в ядре плазменной струи
около 17 000 ℃, хорошо согласуются между собой, а толщина пограничного слоя плазменной струи получается на 20—30% больше, чем по теоретическому расчету, в котором принято то же значение константы турбулентности, что и в случае струи несжимаемой жидкости (а = 0,09).
Результаты экспериментального исследования основного участка осесимметричной струи воздушной плазмы, с температурой в начальном сечении около 4000 ℃, распространяющейся в воздухе нормальной температуры, проведенного В. Я. Безменовым и В. С. Борисовым (1961), близки к данным описанного выше интегрального метода расчета струи.
Использование в ряде установок криогенных струй обусловило необходимость проведения соответствующих теоретических и экспериментальных исследований. В. И. Бакулевым разработана полуэмпири- ческая теория струи реального газа (кислород, азот или любой другой газ, находящийся при температурах, близких к температуре конденсации), для которой автор подобрал трехчленное уравнение состояния (типа уравнения Ван-дер-Ваальса), пригодное в диапазоне от температуры конденсации до нескольких сотен градусов Цельсия. При этом система уравнения движения и энергии решается методом Бубнова — Галеркина. В результате В. И. Бакулев получил (1961, 1964) теоретические профили температуры, плотности и скорости в начальном участке и различных сечениях основного участка криогенной струи.
Экспериментальные исследования струи жидкого азота, распространяющейся при закритическом давлении в среде газообразного азота, опубликованные в статье Г. Н. Абрамовича, В. И. Бакулева, И. С. Макарова и Б. Г. Худенко (1966), подтверждают полуэмпирическую теорию В. И. Бакулева (при таком же значении константы турбулентности, как в несжимаемой жидкости): экспериментальные и теоретические профили скоростного напора и температуры в поперечных сечениях и вдоль оси соответственно близки мажду собой (при значении турбулентного числа Прандтля Рг = 0,87). Исходя из этих экспериментов, можно сделать вывод, что при закритических давлениях струя жидкого азота распространяется в газообразном азоте как газовая струя (без образования капель).
Исследование плазменных и криогенных струй существенно расширило диапазон отношения плотностей тг = рн/рт (в окружающей среде и в струе), в котором применимы опытные представления полуэмпирических теорий турбулентности и следует лишь подбирать новые уравнения состояния. В указанных работах параметр п изменялся от 0,03 до 300, т. е. в 10 000 раз. В последнее время в связи с работами по созданию камер сгорания диффузионного типа усилился интерес к неоднородным турбулентным струям, возникающим при смешении потоков разных газов, например воздуха с водородом.
Серьезные экспериментальные исследования неоднородных струй опубликованы в 1962—1966 гг. в США сотрудниками Нью-Йоркского университета и Бруклинского политехнического института, работающими под руководством А. Ферри. Проводившиеся в этом направлении в СССР， исследования под руководством Г. Н. Абрамовича (1966) позволили дополнительно выяснить ряд важных особенностей неоднородных струй (универсальность полей скорости, температуры, концентрации; неодинаковость динамической, тепловой и диффузионной толщин струи; наличие степенной зависимости скорости, температуры и концентрации на оси струи от безразмерного расстояния до начала основного участка струи и др.), причем показано, что некоторые зависимости, найденные указанными американскими исследовате лями, пригодны лишь в узком диапа-
зоне отношения скоростей или только в тех условиях, в которых велся эксперимент (наличие свободной границы струи и т. п.).
Надежного и простого метода расчета неоднородных турбулентных ■струй пока не предложено; необходимо дальнейшее накопление экспериментальных данных.
Несколько особняком стоит задача о развитии сверхзвуковой турбулентной струи. На так называемом расчетном режиме (при равенстве давления в струе ра и во внешней среде ?н) сверхзвуковая струя ведет себя так же, как и дозвуковая струя переменной плотности (Г. Н. Абрамович, 1966), но на нерасчетном режиме (ра 抬？н) в начальном (так называемом «газодинамическом») участке струи возникают сложные сочетания слСтем ударных волн и течений расширения, которые вызывают существенную деформацию границ струи, полей скорости и давления. Изу- ченик? газодинамического участка нерасчетной сверхзвуковой струи, особенно в случае избыточного давления в начальном сечении (ра > /?н), посвящено множество работ. Одна из первых статей этого направления опубликована Дж. Винклером (1948). В статье Э. С. Лава (1959) дан -большой экспериментальный материал и на основе расчетов, проведенных методом характеристик, предложен упрощенный метод определения границы газодинамического участка нерасчетной сверхзвуковой струи. Цзян Чже-синь (1961) провел под руководством Г. Н. Абрамовича экспериментальное исследование нерасчетных струй, применив количествен- иую обработку шлиренфотографий и обобщив свои данные и результаты работы Э. С・| Лава, уточнил формулы для расчета газодинамического участка вплоть до построения поля скорости в сечении за замыкающей этот участок системой скачков уплотнения. Начиная от этого сечения, сверхзвуковую струю можно считать изобарической. Цзян Чже-синь разработал метод расчета сверхзвуковой струи и для изобарической ее части, включая основной участок, где устанавливается обычный для струи симметричный профиль скорости; сопоставление с опытными данными автора, а также с экспериментами Б. А. Жесткова, М. М. Максимова и др. (I960), дает удовлетворительные результаты. Остроумный и простой метод расчета газодинамического участка струи, сводящий задачу к одномерной, разработан А. Я. Черкезом (1962). Подробные -сведения о сверхзвуковых струях можно почерпнуть из книги И. П. Гинзбурга (1966).
В настоящее время ведется значительное количество экспериментальных работ по струям как в СССР, так и за границей. Сводное изложение лаиболее существенных результатов в области аэродинамики турбулентных струй содержится в монографиях Г. Н. Абрамовича (I960) и Л. А. Вулиса и В. П. Кашкарова (1965).
§ 3. Нестационарные аэродинамические нагрузки, действующиена цилиндрические конструкции
Поскольку все конструкции, подверженные воздействию ветра, при ^наличии слабого демпфирования самой конструкции, под влиянием возмущений начинают колебаться, весьма существенно изучение аэродинамических нагрузок, сопутствующих этим колебаниям.
Большинство современных высотных конструкций представляет собой плохо обтекаемые тела, а поэтому теоретическое определений суммарных -аэродинамических нагрузок в настоящее время невозможно и приходится в значительной степени опираться на результаты экспериментов.
Исключением являются аэр одинамические нагрузки чисто инерционной природы, которые могут быть изучены теоретическими методами классической гидр одинамики.
Наиболее часто высотные конструкции представляют собой круглые цилиндры. Поэтому начнем наш обзор с работ, посвященных изучению аэродинамических нагрузок, действующих на неподвижный цилиндр, на свободно колеблющийся цилиндр и, наконец, на вынужденно колеб' лющийся цилиндр.
Неподвижный цилиндр. На докризисных режимах обтекания неподвижного цилиндра закон частоты срыва вихрей хорошо изучен, срыв вихрей носит периодический характер и соответствует постоянству числа Струхала
Sh=^^0,2 (3.1)
(здесь п — частота срыва вихрей, d — диаметр цилиндра, V — скорость набегающего потока).
Большой экспериментальный материал, подтверждающий этот закон, был получен Г. И. Петровым и Р. И. Штейнбергом (1940) различными
Рис. 2. Экспериментальные данные о частоте срыва вихрей с неподвижного цилиндра (1 — Г. И. Петров и Р. И. Штейнберг； 2 — К. К.①едяевскиЛ и Л. X. Блюмина； 3 — Л. X. Блюмина и М. Н. Виноградов; 4 — М.①.Барштейн; 5 — Э. Бленк; 6 — Э.①.Релф и JI.①.Симонс; 7 — Н. К. Делани и Н. Е. Соренсен; 8 — А. Рошко).Рис. 2. Экспериментальные данные о частоте срыва вихрей с неподвижного цилиндра (1 — Г. И. Петров и Р. И. Штейнберг； 2 — К. К.①едяевскиЛ и Л. X. Блюмина； 3 — Л. X. Блюмина и М. Н. Виноградов; 4 — М.①.Барштейн; 5 — Э. Бленк; 6 — Э.①.Релф и JI.①.Симонс; 7 — Н. К. Делани и Н. Е. Соренсен; 8 — А. Рошко).было выполнено К. К. Федяевекимбыло выполнено К. К. Федяевекимэкспер иментальными методами, использующими малоинерционные измерители давления и скорости (рис. 2). Этим исследованием было установлено, что образование регулярной вихревой системы начинается не сразу за местом отрыва пограничного слоя, а на некотором расстоянии от него.
Рис. 2. Экспериментальные данные о частоте срыва вихрей с неподвижного цилиндра (1 — Г. И. Петров и Р. И. Штейнберг； 2 — К. К.①едяевскиЛ и Л. X. Блюмина； 3 — Л. X. Блюмина и М. Н. Виноградов; 4 — М.①.Барштейн; 5 — Э. Бленк; 6 — Э.①.Релф и JI.①.Симонс; 7 — Н. К. Делани и Н. Е. Соренсен; 8 — А. Рошко).
Рис. 2. Экспериментальные данные о частоте срыва вихрей с неподвижного цилиндра (1 — Г. И. Петров и Р. И. Штейнберг； 2 — К. К.①едяевскиЛ и Л. X. Блюмина； 3 — Л. X. Блюмина и М. Н. Виноградов; 4 — М.①.Барштейн; 5 — Э. Бленк; 6 — Э.①.Релф и JI.①.Симонс; 7 — Н. К. Делани и Н. Е. Соренсен; 8 — А. Рошко).
было выполнено К. К. Федяевеким
было выполнено К. К. Федяевеким
При числах Re > Ю5 опыты Э. Ф. Релфа и Л. Ф. Симмонса указывали на значительное увеличение чисел Струхала. По поводу этих экспериментов Г. И. Петров. и Р. И. Штейнберг высказали мнение, что экспериментальные точки, лежащие в правой части кривой Релфа, некорректны в связи с примененным способом измерений пульсаций.
В связи со значительным разбросом в экспериментальных значениях чисел Струхала, полученных разными методами по измерениям в следе на закрйзисных числах Рейнольдса (см. рис. 2), представляло интерес определение чисел Струхала по замерам мгновенного распределения давления непосредственно на поверхности цилиндра. Такое исследование и Л. X. Блюминой (1967). Объек
тами исследования были два цилиндра, на торцах которых были укреплены шайбы. Опыты проводились в сравнительно малотурбулентном
потоке (8 = 0,2%) в диапазоне чисел Рейнольдса 0,11 X 106С •<Re<l,55xlO6.
Результаты исследования пульсаций давления на закризисном режиме в различных точках поверхности цилиндра показали, что колебания основной частоты пульсаций давления, вызванные периодическим срывом вихрей и соответствующие значению Sh 0,21, воспринимают не все точки поверхности цилиндра, а только точки, расположенные до места отрыва турбулентного пограничного слоя. Точки, расположенные на цилиндре за местом отрыва пограничного слоя, вследствие сильного турбулентного перемешивания воспринимают не одно периодическое колебание, а беспорядочные колебания с целым спектром частот. Этим, по-ви- димому, и объясняется утверждение многих авторов, измерявших пульсации в следе, о том, что при закритических числах Рейнольдса исчезают всякие регулярные периодические пульсации в следе за круглым цилиндром.
Интересно отметить, что кинематические числа Струхала Sh】，под-, считанные по частоте 北1 колебаний дымовых труб мартеновских цехов во время ветрового резонанса, зафиксированного М. Ф. Барштейном, достаточно хорошо соответствуют условию постоянства Shi =北回卩 ^ 0,2.
Для определения амплитудных значений коэффициента поперечной силы, действующей на цилиндр в результате периодического срыва вихрей, были рассчитаны среднеквадратичные значения разностей давлений в пиках и впадинах пульсаций давления, замеренных в данной точке за одну секунду. При этом на закризисных режимах для расчета амплитуды поперечной силы были взяты только точки, расположенные до отрыва турбулентного слоя, так как за отрывом, как это было указано выше, невозможно выделить колебания одной основной частоты. Давления в точках, р асп о ложенных за отрывом турбулентного пограничного слоя, не могут существенно повлиять на величину амплитуды поперечной сипи, поскольку проекция «отрывной частиц поверхности цилиндра на плоскость, параллельную скорости набегающего потока, невелика.
Полученные К. К. Федяевским и Л. X. Блюминой амплитудные значения! поперечной сипи, определенные интегрированием пульсаций давления до точки отрыва турбулентного пограничного слоя, хорошо согласуются со значениями, полученными в США Ю. Ч. Фыном (I960) на закризисных режимах.
Б. Свободно колеблющийся цилиндр. Долгое время считали, что свободное колебание цилиндра вызывается пульсациями давления, связанными с вихревой дорожкой Бенара — Кармана, т. е. предполагали, что колебание цилиндра вызывается внешней периодической силой (подобной той, которая действует на неподвижный цилиндр).
Однако, как показывают опыты, частоты колебаний цилиндра в потоке воздуха не зависят от скорости потока — цилиндр колеблется с собственными частотами. Из этого следует, что нельзя рассматривать воздействие вихрей как внешнюю периодическую силу, возникающую независимо от колебаний цилиндра и действующую даже в случае прекращения колебания. Колебания цилиндра сами влияют на образование вихрей, на их частоту и интенсивность, что и обусловливает наличие колебаний с собственной частотой.
Таким образом, наряду с попеременным вихреобразовцнием, играющим в явлениях поперечных колебаний цилиндра важную роль, следует предположить, что существует и обратная связь, вызванная влиянием
колебаний цилиндра на процесс образования и срыва вихрей. Это значит, что механизм колебаний цилиндра в потоке воздуха имеет в основном автоколебательный характер.
Согласно современным представлениям, вихревой след непосредственно за колеблющимся цилиндром совершает колебания большой алшлитуды. При таких условиях теоретическое определение значений поперечных аэродинамических сил становится весьма затруднительным и задача должна решаться главным образом экспериментальным путем. При этом наиболее целесообразно исследовать мгновенное распределение давления, поскольку такая методика дает возможность изучить физику обтекания модели и получить распределенные и суммарные аэродинамические характеристики.
Первое экспериментальное исследование распределения давления по к олеблющемуся цилиндру было проведено Д. С. Вилькером, С. Г. Поповым и Г. А. Савицким (1951); при этом перед колеблющимся цилиндром ставился «возбудитель» колебаний в виде неподвижного стержня круглого сечения, имевшего диаметр, в 10 раз меньший, нежели диаметр колеблющегося цилиндра. Распределение давления измерялось на батарейных U-образных спиртовых манометрах. В замеренное распределение давления вносились поправки на трение, инерцию воздуха в шлангах и спирта в трубках манометров. Во всех опытах цилиндр колебался с собственной частотой. Зависимость коэффициента поперечной силы по фазе имела гармонический характер.
Исследования свободно колеблющихся цилиндров в широком диапазоне чисел Рейнольдса были опубликованы Л. X. Блюминой и Ю. Г. Захаровым (1954) и М. Ф. Барштейном (1957).
В качестве объектов исследования были взяты два круглых цилиндра. Первый цилиндр мог колебаться в плоскости, перпендикулярной к направлению потока. Это ограничение не могло существенным образом повлиять на результаты исследования, так как сооружения башенного типа колеблются в основном поперек ветрового потока. Второй цилиндр мог совершать как продольные, так и поперечные колебания.
Все эксперименты, проведенные на обоих цилиндрах, показали, что колебания цилиндров происходили с частотой, равной частоте собственных колебаний системы. На рис. 3 даны результаты обработки записи колебаний одного из цилиндров в зависимости от числа Re для трех исследованных частот его колебания. По оси ординат отложены значения амплитуд колебаний, отнесенные к диаметру цилиндра. На этом графике отчетливо выражено резкое уменьшение амплитуды поперечных колебаний в области падения лобового сопротивления (Re ^ 0,40 X 106). На рис.4 приведены результаты обработки записи колебаний другого цилиндра для различных режимов обтекания, включая режим ветрового резонанса. Левая часть кривой при Re — (0,34 + 0,43) X 106 соответствует области падения лобового сопротивления цилиндра (кризису обтекания), высшая точка соответствует ветровому резонансу (Sh ^ 0,2). Как видно из диаграммы, до ветрового резонанса амплитуда поперечных колебаний цилиндра с увеличением числа Re быстро возрастает.
На рис, 4 показаны также значения амплитуд- продольных колебаний цилиндра, записанных на осциллограмме синхронно с поперечными. Сопоставляя кривые зависимости амплитуды колебаний от числа Re для поперечных и продольных колебаний, можно видеть, что при кризисе обтекания амплитуды поперечных и продольных колебаний очень малы, а при полностью турбулентном обтекании и при ветровом резонансе
амплитуды поперечных колебаний значительно больше амплитуд продольных колебаний.
Интегрирование мгновенного распределения давления показало, что максимальное амплитудное значение коэффициента поперечной силы соответствует ветровому резонансу, достигая в верхних сечениях цилиндра значения 0,25.
Автоколебания цилиндра и тела с цилиндрической поверхностью были изучены С. П. Стрелковым. В 1939 г. им было обнаружено возбу
Рис. 3. Амплитуды колебаний свободно колеблющегося цилиндра (1 ——п = 1,1 2"； 2 — 7i —■ 2 ,G 24； 3 — 71 —■ 3,3 ?4)•Рис. 3. Амплитуды колебаний свободно колеблющегося цилиндра (1 ——п = 1,1 2"； 2 — 7i —■ 2 ,G 24； 3 — 71 —■ 3,3 ?4)•ждение упруго-закрепленного цилиндра, объясняющееся зависимостью аэродинамических сил от положения оси цилиндра относительно струи. Цилиндр радиусом 5—10 мм и длиной 100—150 мм помещался
Рис. 3. Амплитуды колебаний свободно колеблющегося цилиндра (1 ——п = 1,1 2"； 2 — 7i —■ 2 ,G 24； 3 — 71 —■ 3,3 ?4)•
Рис. 3. Амплитуды колебаний свободно колеблющегося цилиндра (1 ——п = 1,1 2"； 2 — 7i —■ 2 ,G 24； 3 — 71 —■ 3,3 ?4)•
Рис. 4. Свободные колебания цилиндра при различных режимах обтекания (поперечные колебания: 1 — тг = 4,0 24； 2 — п = 5,5 24； продольные колебания: 3 — п = 6,7 24； 4 — 7i = 7,0 а"； 5 ——ветровой резонанс).Рис. 4. Свободные колебания цилиндра при различных режимах обтекания (поперечные колебания: 1 — тг = 4,0 24； 2 — п = 5,5 24； продольные колебания: 3 — п = 6,7 24； 4 — 7i = 7,0 а"； 5 ——ветровой резонанс).в пограничный слой свободной воздушной струи. Колебания происходили с частотой, близкой к одной из собственных частот системы, причем точки оси цилиндра описывали при колебаниях кривую, близкую к эллипсу.
Рис. 4. Свободные колебания цилиндра при различных режимах обтекания (поперечные колебания: 1 — тг = 4,0 24； 2 — п = 5,5 24； продольные колебания: 3 — п = 6,7 24； 4 — 7i = 7,0 а"； 5 ——ветровой резонанс).
Рис. 4. Свободные колебания цилиндра при различных режимах обтекания (поперечные колебания: 1 — тг = 4,0 24； 2 — п = 5,5 24； продольные колебания: 3 — п = 6,7 24； 4 — 7i = 7,0 а"； 5 ——ветровой резонанс).
В 1947 г. С. П. Стрелков исследовал возбуждения угловых колебаний, вызванных наличием периодического срыва вихрей с упруго-закрепленного тела с цилиндрической поверхностью, помещенного в пограничный слой свободной струи открытой части аэродинамической трубы эллиптического сечения 600 X 1200 мм. Колебания возбуждались при режимах, на которых производная позиционного аэродинамического момента по углу атаки отрицательна.
В работе дано физическое объяснение механизма самовозбуждения колебаний, исходя из гипотезы запаздывания аэродинамических сил. Колебания происходили с частотой, близкой к собственной и немного уменьшающейся с ростом скорости потока (несмотря на то, чтб частота схода вихрей с колеблющейся поверхности увеличивается с увеличением
скорости потока). Существенное значение имеет движение границы отрыва- потока по исследованной цилиндрической поверхности при наличии колебаний. Поэтому фиксация границы отрыва с помощью прикрепленного к поверхности шнура устраняет автоколебания.
Вынужденно колеблющийся цилиндр. Следует признать, что физика поперечных свободных колебаний круглого цилиндра изучена еще недостаточно. Объясняется это тем, что ясная картина обтекания колеблющегося цилиндра наблюдается либо при скоростях ветра, соответствующих установившимся автоколебаниям цилиндра, когда частота срывающихся вихрей совпадает с собственной частотой, либо при тех скоростях ветра, при которых цилиндр можно считать неподвижным. При промежуточных скоростях ветра не наблюдается упорядоченного обтекания, так как сами колебания имеют неустановив- шийся характер.
В связи с вышеуказанным ряд исследователей перешел к изучению обтекания цилиндров, вынужденно колеблющихся поперек потока, полагая, что полученные результаты могут быть использованы для расчетов не только вынужденно колеблющихся цилиндров, но и колеблющихся свободно.
Л. П. Смирнов и М. А. Павлихина (1958) провели экспериментальное исследование структуры потока за круглыми цилиндрами, совершав-
Рис. 5. Зависимость частоты срыва вихрей от частоты вынужденных колебаний цилиндра (1 ——d = 41 лл； 2 — d = 66,5 мм)^Рис. 5. Зависимость частоты срыва вихрей от частоты вынужденных колебаний цилиндра (1 ——d = 41 лл； 2 — d = 66,5 мм)^шими вынужденные возвратно-поступательные колебания в направлении, перпендикулярном к оси гидродинамического канала при числах Рейнольдса (0,4 + —1,0)Х 104. Использованный в экспериментах способ визуализации (предложенный Д. С. Вилькером) путем электролиза воды позволил изучить обтекание цилиндра на некоторой глубине под свободной поверхностью. В результате обработки большого числа фотоснимков была установлена зависимость частоты срыва вихрей от частоты колебаний цилиндра. Эта
Рис. 5. Зависимость частоты срыва вихрей от частоты вынужденных колебаний цилиндра (1 —
—d = 41 лл； 2 — d = 66,5 мм)^
Рис. 5. Зависимость частоты срыва вихрей от частоты вынужденных колебаний цилиндра (1 —
—d = 41 лл； 2 — d = 66,5 мм)^
зависимость, представленная на рис. 5, показывает для обоих испытанных цилиндров наличие участка, для которого Sh = Shi，т. е. наличие области《захвата» частот сбегающих вихрей частотами колеблющегося цилиндра. Согласно рис. 5 пр отяженность этого участка определяется следующими значениями чисел Струхала: 0,15 < ShiV 0,21.
Л. П. Смирнов и М. А. Павлихина полагают, что область захвата,
выявленная в экспериментах с цилиндром, совершающим вынужденные колебания, будет существовать также при возникновении автоколебаний цилиндра. Область захвата в диапазоне 0,KShi<0,28 при числах Рейнольдса Re — (0,11 1,55) X 106 была обнаружена JI. X. Блюминой и К. К. Федяевским (1967) путем измерения пульсаций давления на поверхности цилиндра, совершающего вынужденные колебания.
А. Н. Луговцев (1963) произвел исследование аэродинамических поперечных сил, действующих на принудительно колеблющиеся поперек потока аэродинамической трубы цилиндры различных диаметров длиной 1200 мм* При этом были достигнуты числа Рейнольдса 1,8 х 106. Измерение аэродинамических сил производилось осциллографическим путем с помощью приемников давления, равномерно установленных по периметру центрального сечения цилиндров. При обработке осциллограмм ограничивались определением переменных давлений, изменяющихся с частотой колебаний цилиндра.
. На каждом режиме обтекания (Re — const, Sh】=const) были получены зависимости амплитуды поперечной силы Y = / (а), где а — амплитуда колебания.
Амплитуда поперечной силы оказалась существенно зависящей от амплитуды колебаний и аппроксимировалась А. Н. Луговцевым в виде
Су = А^ + 儿。? + 4・
Поскольку в проведенных экспериментах сдвиг фазы не определялся, а принимался равным х/2 冗，выражение для поперечной аэродинамической силы предлагалось в следующем виде:
У = 2 рР2d (4。$ + 4。2 + 4) COS pt,
где p — круговая частота вынужденных колебаний. Луговцев предлагает использовать полученное выражение для расчета колебаний типа «ветровой резонанс》*
И. Девнин (1967) определял поперечную силу для области «захвата» на жестком цилиндре, совершавшем возвратно-поступательные колебания с заданной частотой и амплитудой. Круглый цилиндр диаметром ■0,3 м и длиной 3 м испытывался в опытовом бассейне. Замер поперечной гидродинамической силы производился тензометрическим методом, а также путем интегрирования распределения давлений, замеренных в среднем -сечении по длине цилиндра безынерционным тензометрическим датчиком давления. Для определения частоты отрыва вихрей в следе за цилиндром устанавливался датчик давления, который мог перемещаться с помощью координатника как по длине, так и по ширине цилиндра. Число Рейнольдса при испытаниях менялось в пределах от 1,7 X 105 до 105, кинематическое число Струхала в пределах 0,05—0,6 и относительная ампли- •туда 5 = a/d в пределах от нуля до 0,65. Полученные значения коэффициентов амплитуд поперечных сил су Девнин считает независимыми от чисел Рейнольдса и представляет в виде зависимости су от произведения a Sh；・ При значениях d Sh： V 0,02 эта зависимость может быть принята „линейной. ■
Единственная компонента поперечной аэродинамической силы при поперечных колебаниях круглого цилиндра, которая может быть в настоящее время теоретически определена вполне корректно,— это компонента инерционной природы. М. А. Павлихина (1965) подробно рассмотрела неустановившееся движение идеальной несжимаемой жидкости при поперечных относительно набегающего потока вынужденных колебаниях цилиндра в предположении потенциальности и плавности его обтекания.
Импульсное воздействие шквала также может быть оценено путем рассмотрения компонент аэродинамической силы инерционной природы. К. К. Федяевский и С. М. Белоцерковский (1954) рассмотрели обтекание ：цилиндрического тела поступательным плоскопараллельным потоком
идеальной несжимаемой жидкости. В предположении, что воздух, охваченный шквалом, движется как твердое тело, т. е. характеризуя шквал одним только вектором скорости, который со временем изменяется как по величине, так и по направлению, они получили выражения для сил инерционной природы, действующих на цилиндрическое тело. Было показано, .что импульсы сил инерционной природы, действующих на цилиндрические тела, не зависят ни от закона нарастания скорости ветра, 且и от угловых скоростей шквала, ни от времени нарастания порыва.
Величина импульса поперечной аэродинамической силы, действующей на круглый цилиндр, составляет
/у= —2р喈 Н(叭sinotK —%sin«o),
где Н — высота ц^лийдра, 70 и 卩冗—начальная и конечная скорость ветра, а。и а& — начальный и конечный углы, которые составляют эти скорости с направлением продольной оси.
Выше рассматривались аэродинамические поперечные силы, вызванные периодическим срывом вихрей, при обтекании круглого цилиндра.
В случае обтекания элементов конструкций, обладающих в неподвижном состоянии аэр о див амичес кой подъемной силой, появляются поперечные аэродинамические силы, вызванные обтеканием элемента конструкции на закритических углах атаки и раскачивающие его. Эти силы при известных условиях могут вызвать потерю аэродинамического демпфирования. Условие потери аэродинамического демпфирования при поперечных колебаниях в связи с исследованием галопирования линий электропередач было указано Дж. П. Ден-Гартогом.
Л. X. Блюмина и К, К. Федяевский (1966) исследовали условияг при которых теряется аэродинамическое демпфирование элементов конструкций, совершающих угловые колебания. Это условие может быть, записано следующим образом:
-G)a=o(%)3+ 厶 sina<0.
Здесь mz — производная коэффициента момента по безразмерной углововг скорости Sz，с?——производная коэффициента подъемной силы по углу атаки а, к — константа, определяемая коэффициентом нормальной силы при угле атаки 90° и геометрическими размерами элемента.
Данные экспериментов, проведенных в аэродинамической труб® методом малых свободных колебаний со стержнем, имеющим профиль, в виде равнобокого уголка, дают удовлетворительное совпадение с результатами расчетов по вышеприведенной формуле. Были обнаружены две области потери аэродинамического демпфирования при углах атаки, на которых производная 虚 V 0 и достаточно велика по абсолютной? величине.
Аэродинамика вентиляторов
Во всех областях современной техники непрерывно возрастает число машин и технологических установок, неотъемлемой частью которых является вентилятор. Вентиляторы, работающие только с электроприводом, потребляют примерно 8% всей вырабатываемой в СССР электроэнергии. Ежегодно выпускается несколько сотен тысяч вентиляторов.
—80—85%. За последние 20 лет они—80—85%. За последние 20 лет ониРис. 6. Схема одноступенчатого осевого вентилятора, состоящего из направляющего аппарата (五N), рабочего колеса 伍) и спрямляющего аппарата (СЛ).Рис. 6. Схема одноступенчатого осевого вентилятора, состоящего из направляющего аппарата (五N), рабочего колеса 伍) и спрямляющего аппарата (СЛ).осевые и центробежные вентиляторыосевые и центробежные вентиляторы
—80—85%. За последние 20 лет они
—80—85%. За последние 20 лет они
Рис. 6. Схема одноступенчатого осевого вентилятора, состоящего из направляющего аппарата (五N), рабочего колеса 伍) и спрямляющего аппарата (СЛ).
Рис. 6. Схема одноступенчатого осевого вентилятора, состоящего из направляющего аппарата (五N), рабочего колеса 伍) и спрямляющего аппарата (СЛ).
осевые и центробежные вентиляторы
осевые и центробежные вентиляторы
Их экономичность, технологичность конструкции, габариты и вес имеют большое народнохозяйственное значение. Все эти свойства во многом определяются аэродинамической схемой вентилятора (рис. 6): геометрией его； лопаток, их числом, количеством рабочих колес, неподвижных
лопаточных венцов—аппаратов и их взаимным расположением.
Каждой аэродинамической схеме соответствует присущая ей типовая аэродинамическая характеристика (рис. 7), не зависящая ) от размеров и скорости вращения геометрически подобных вентиляторов.
Максимальные полные кпд современных вентиляторов достигают
90%, а статические кпд установок увеличились на 10—15 %, Коэффициенты давления осевых вентиляторов выросли в два-три раза. Расширилась область применения вентиляторов.
Аэродинамика вентиляторов является частью механики жидкости; ее предметом являются теоретические и экспериментальные исследования, на основе которых разрабатывается и совершенствуется аэр од инамический расчет вентилятора, выявляются его свойства на нерасчетных режимах и в нерасчетных условиях, а также способы управления этими свойствами.
Вентиляторы бывают осевые, центробежные (радиальные), диаметральные, вихревые, дисковые. По аэроданамике рабочих процессов они совершенно различны. Наиболее полно развиты аэродинамический расчет осевых вентиляторов, который вначале был непосредственно связан с аэродинамикой крыла и винта, а также расчет центробежных вентиляторов.
Сначала в Советском Союзе
выпускались по зарубежным образцам. В 1926—1929 гг. К. К. Баулиным и К. А. Ушаковым были разработаны осевые вентиляторы серии ЦАГИ.
Результаты, полученные в первые годы отечественных исследований по вентиляторам, позволили разработать большое количество разнообразных по своему назначению аэродинамических схем осевых и центробеж
ных вентиляторов, в которых остро нуждалась развивающаяся промышленность.
Оригинальный ряд осевых вентиляторов «У» и «В», выпускавшихся большими сериями, был создан в ЦАГИ А. Г. Бычковым. Различные типы центробежных вентиляторов были разработаны в ЦАГИ А. Г. Бычковым, М. И, Невельсоном, И. Л. Локшиным и др.; в Институте горной
механики в Киеве и в Донецком политехническом институте В. С. Паком, В. С. Дулиным и др., для теплоэнергетики — в Московском отделении ЦКТИ И. М. Готгельфом и др., осевые вентиляторы для горнорудной промышленности, метрополитена, конденсаторных паровозов, тепловозов, аэродинамических труб и др. были созданы под руководством К. А. Ушакова и Е. Я. Юдина.
Рис. 7. Типовая аэродинамическая характеристика осевого вентилятора — регулирование поворотом лопаток рабочего колеса (жирной линией *и точкой обозначены характеристика при расчетном угле установки и расчетная точка).
В последние годы, используя разработанный в СССР аэродинамический расчет, в ЦАГИ, Институте горной механики, Московском отделении Центрального котлотурбинного института, «Донгипроуглемаше» и других организациях созданы: современные высокоэффективные аэродинамические схемы регулируемых осевых и центробежных вентиляторов для энергоблоков мощностью 300, 500 и 800 Мвт^ потребляющих при кпд установки 85% от 3000 до 8000 кет на каждом блоке; схемы новых вентиляторов для главного проветривания шахт и рудников со статическим кпд 82 — 86% и диаметром до 5,0 九；схемы реверсивных вентиляторов для метрополитена; аэродинамические схемы гигантских вентиляторов диаметром до 20 м для градирен предприятий большой химии; схемы вентиляторов для систем охлаждения вертолетов, микровентиляторов для систем охлаждения космических аппаратов диаметром- порядка 100 мм^ потребляющих единицы ватт мощности; схемы малошумных вентиялторов для кондиционеров; много аэродинамических схем специальных вентиляторов разного типа, по которым проектные институты, конструкторские бюро и заводы разработали-их конструкции. Эти аэродинамические схемы созданы под руководством К. А. Ушакова, Г. А. Бабака, И. В. Брусиловского, В. В. Пака, С.*Н* Постоловекогог И. А. Раскина и др.
・ Аэродинамика осевых вентиляторов. Основы современной аэродинамики вентиляторов, как и всех лопаточных машин, заложены в работах Н. Е. Жуковского. Еще в 1890 г. им была выдвинута гипотеза цилиндрических сечений, согласно которой обтеканию кольцевой решетки соответствует обтекание бесконечной плоской решетки таких же профилей. Вместе с вытекающим отсюда принципом независимости работы элементарных кольцевых решеток эта гипотеза и сейчас сохраняет свое значение.
Теорема о подъемной силе, доказанная Н. Е. Жуковским для профиля в 1906 г. и для решетки профилей в 1913 г., вместе с разработанной им вихревой теорией осевой лопаточной машины (1912—1918 гг.)
GGРис. 8. Треугольники скоростей и сил в решетке профилей (G — циркуляционная сила Жуковского; Fa — осевая сила сопротивления; У, X ~ силы из разложения, принятого для одиночного профиля)*Рис. 8. Треугольники скоростей и сил в решетке профилей (G — циркуляционная сила Жуковского; Fa — осевая сила сопротивления; У, X ~ силы из разложения, принятого для одиночного профиля)*позволили рассчитывать силу воздействия решетки профилей на поток и увязывать между собой работу элементарных решеток, расположенных на разных радиусах. Последнее достигалось заданием закона изменения по радиусу циркуляции вокруг профиля, обусловливающей возникновение подъемной силы и однозначно определяемой в соответствии с постулатом Чаплыгина — Жуковского. Жуковский предложил принимать циркуляцию и осевую скорость потока постоянными по радиусу. Это условие соответствовало радиальному равновесию иде*
G
G
Рис. 8. Треугольники скоростей и сил в решетке профилей (G — циркуляционная сила Жуковского; Fa — осевая сила сопротивления; У, X ~ силы из разложения, принятого для одиночного профиля)*
Рис. 8. Треугольники скоростей и сил в решетке профилей (G — циркуляционная сила Жуковского; Fa — осевая сила сопротивления; У, X ~ силы из разложения, принятого для одиночного профиля)*
альной жидкости в цилиндрической проточной части и позволяло определять треугольники скоростей вдсУль лопаток (рис. 8). Рассчитанные таким образом лопатки винтов и вентиляторов получили название «НЕЖ».
Созданная Н. Е. Жуковским схема рабочего процесса на расчетном режиме лопаточной машины в главном отражает действительные явления и
потому не претерпела существенных изменений и до настоящего времени.
Теорема Жуковского для решетки профилей, обтекаемой вязкой жидкостью, в наиболее строгом виде была доказана Л. Г. Лойцянским (1947). Он показал, что на профиль в решетке действуют циркуляционная сила Жуковского и осевая сила сопротивления (см. рис. 8), нормальйая фронту решетки.
Допустимость использования гипотезы цилиндрических сечений была обоснована в теоретической работе Л. А. Симонова (1941) и в экспериментальных исследованиях осевых турбомашин с дренированными лопатками, проведенных за рубежом Дж. Р. Веске (1944) и др. и в СССР Г. И. Майкапаром (1947), М. А. Каспаровым (1948), Э. Л. Блохом it С. А. Довжиком (1948) и др.
Строгое обоснование условий подобия и использования отвлеченных, безразмерных коэффициентов при рассмотрении процессов и характеристик моделей и натурных турбомашин дано Л. И. Седовым (1954).
Многочисленные экспериментальные исследования потока за лопаточными венцами моделей многоканальными пневмозондами показали, что условие постоянства циркуляции и осевых скоростей на определенных
участках нарушается из-за наличия естественных границ потока, а также в связи с наличием радиального зазора между лопатками и корпусом, лопатками и втулкой (у поворотных лопаток).
53 Механика в СССР, том 2
Экспериментальные исследования потерь давления и характеристик кольцевых решеток у лопаточных аппаратов и рабочих колес в относительном движении, проведенные К. А. Ушаковым, И. В. Брусиловским (1958), С. А. Довжиком и А. С. Гиневским (1959, 1961), А. В. Колесниковым (1959) и др., выявили пространственный характер течения, структуру неравномерности распределения потерь давления за лопаточными венцами по радиусу и по шагу решетки (рис. 9), наличие вторичных
Рис. 9. Распределение потерь давления во вращающемся лопаточном венце по измерениям в относительном движении (АН，= Аро/(рм2), ，《 = 0,45).
течений, весьма значительную зависимость характеристики кольцевой решетки от ее положения по длине лопатки (рис. 10). Вопросы методики аэродинамических исследований вентиляторов разрабатывались К. А. Ушаковым и М. Я. Гембаржевским (1935), И. О. Керстеном (1964) и др.
В лопаточных венцах течение имеет пр остр анственный характер, что вызывается влиянием вязкости и переменной циркуляцией по длине лопаток.
Из-за вязкости осесимметричный поток, входящий в лопаточный венец, перестает быть таковым при выходе из него — обстоятельство, которое только в самое последнее время начинает учитываться при расчете течения. Осевая асимметрия потока вызывает нестационарное обтекание последующих лопаточных венцов. Этому сложному явлению посвящен ряд зарубежных работ, а также работы Г. С. Самойловича (1961), Д. Н. Горелова (1963) и др.
На нерасчетных режимах работы происходит перестроение потока: при расходах, больших расчетного, поток за рабочим колесом отжимается к его втулке, а при расходах, меньших расчетного, наоборот, отжимается к его периферии — к корпусу вентилятора. Течение перестраивается
в основном в пределах лопаточного венца, пространственность обтекания лопаток становится еще более резко выраженной.
С уменьшением расхода во всех сечениях лопатки происходит увеличение угла атаки. Уменьшение толщины пограничного слоя на прикор- йевой части лопаток, происходящее под действием центробежных сил,
Рис. 10. Кпд кольцевых решеток вращающегося венца по измерениям в относительном движении (1 ——привтулочная решетка; 2 — на среднем радиусе; 3 — периферийная решетка; радиальный зазор у корпуса 1%, у втулки — 0,7% длины лопатки).Рис. 10. Кпд кольцевых решеток вращающегося венца по измерениям в относительном движении (1 ——привтулочная решетка; 2 — на среднем радиусе; 3 — периферийная решетка; радиальный зазор у корпуса 1%, у втулки — 0,7% длины лопатки).
Рис. 10. Кпд кольцевых решеток вращающегося венца по измерениям в относительном движении (1 ——привтулочная решетка; 2 — на среднем радиусе; 3 — периферийная решетка; радиальный зазор у корпуса 1%, у втулки — 0,7% длины лопатки).
Рис. 10. Кпд кольцевых решеток вращающегося венца по измерениям в относительном движении (1 ——привтулочная решетка; 2 — на среднем радиусе; 3 — периферийная решетка; радиальный зазор у корпуса 1%, у втулки — 0,7% длины лопатки).
приводит к увеличению критического угла атаки в этих сечениях лопатки (экспериментально впервые установлено Г. И. Майкапаром, 1947). Движение пограничного слоя в направлении периферии и его набухание здесь вместе со сложными явлениями интерференции пограничных слоев движущейся лопатки и корпуса приводят при некотором критическом угле атаки к срыву потока с концов лопатки, образованию максимума давления на характеристике вентилятора с последующей «впадиной» или разрывом характеристик при малых расходах. Как показывают исследования, проведенные за рубежом Т. Юра и В. Ранни (1954) и в нашей стране Л. Е. Ольштейном и Е. А. Локштановым (1952——1967), Г. С. Самойловичем (1959—1962), В. Н. Ершовым (1959—1966), В. С. Князевым (1950—1967) и др., при этом возникают вращающиеся относительно рабочего колеса срывные зоны, вызывающие нестационарное обтекание лопаток. Отмеченные выше явления протекают по-разному в зависимости от аэродинамической схемы вентилятора.
По своим схемам вентиляторы подразделяются на одноступенчатые (《R》，《R + С/》，ША + R》，《НА + 左十 СЛ» — см. рис. 6) и двухступенчатые ,в том числе встречного вращения. Вентиляторы трехи четырехступенчатые применяются редко.
Особенностью вентиляторов является широкий и непрерывно расширяющийся диапазон схем и расчетных параметров ступени: коэффициенты осевой скорости са — са1и и теоретического давления И* = =Ят/(р〃2) (и — окружная скорость вентилятора, р — плотность среды) изменяются в пределах 0,15—0,6 и 0,02—0,6, соответственно, а относительный диаметр втулки d = d/D — в пределах 0,3—0,8. Это связано с условиями работы вентилятора и его назначением, которые могут быть весьма разнообразны. Часто значительная доля динамического давления
вентилятора, которое само по себе составляет не менее 25—30% полного давления, не может быть использована, что приводит к необходимости (с целью уменьшения потерь давления и повышения кпд) принимать малые расчетные значения коэффициента осевой скорости и применять специальные выходные диффузоры. С другой стороны, окружные скорости вентиляторов в большинстве случаев ограничены, что приводит к необходимости иметь высокие значения коэффициента давления. Всегда желательное уменьшение габаритов и веса заставляет выбирать достаточно малый относительный диаметр втулки. Все эти особенности вместе приводят к высокой, а часто к весьма высокой аэродинамической нагружен- ности вентилятора: большим углам поворота потока в решетках при относительно малых углах его входа, большим значениям произведения хсу густоты решетки х = bit (см. рис. 10) и коэффициента подъемной силы Су, значительному торможению потока в решетках.
Вентилятор、рассчитывается на одну точку его будущей характеристики (расчетный режим). Однако с развитием методики расчета, наряду с расширением области расчетных точек и типов аэродинамических схем, уточнением расчета, повышением кпд, стало возможным обеспечить получение характеристики определенной формы, заданных регулировочных свойств при повороте лопаток вентилятора, эффективности реверсирования потока, т. е. в широких пределах влиять на аэродинамические показатели вентилятора на нерасчетных режимах его работы. На стадии аэродинамического расчета можно выявить целесообразность применения той или иной схемы вентилятора, влиять на его габариты и вес.
Методы аэродинамического расчета. Под аэродинамическим расчетом вентилятора понимается расчет всей его геометрии —— аэродинамической схемы, обеспечивающей получение расчетных производительности и давления (обратная задача расчета). Поверочный расчет, т. е. расчет аэродинамической характеристики по данной геометрии, в том числе при нерасчетных углах установки лопаток, при регулировании (прямая задача расчета), рассмотрен ниже.
По мере накопления данных в отношении аэродинамических, конструктивных и эксплуатационных свойств осевых вентиляторов различных схем аэродинамический расчет все более разделяется на две основные части: выбор расчетных параметров и профилирование. Под выбором расчетных параметров понимается определение коэффициентов осевой скорости, теоретического давления, циркуляций лопаточных венцов, относительного диаметра втулки и аэродинамической схемы; под профилированием — выбор густоты решетки, углов атаки, числа лопаток, определение углов установки и кривизны профилей.
Выбор расчетных параметров и аэродинамической схемы. Н. Е. Жуковский и В. П. Ветчинкин (1912— 1918) определяли величину потребной циркуляции через силу тяги, а последняя вычислялась по расчетному давлению, вентилятора. Коэффициент осевой скорости выбирался таким, чтобы кпд вентилятора получался максимальным. В выражение для кпд была введена инварианта, определяемая расчетными давлением, производительностью и диаметром вентилятора. Величина инварианты и максимальный кпд однозначно определяли оптимальную величину коэффициента осевой скорости. Инварианта соответствует общепринятому в настоящее время коэффици^ енту диаметра, понятие которого используется, в частности, для выбора аэродинамической схемы вентилятора по типовым характеристикам. Величина коэффициента диаметра остается неизменной для сколь угодно
большого числа различных аэродинамических схем вентиляторов, рабочая точка характеристики которых удовлетворяет расчетному режиму при данном диаметре. Лучшим будет тот вентилятор, который имеет в этой точке наибольший кпд и приемлемую окружную скорость.
Следует отметить, что величина обратного аэродинамического качества, которая принималась Н. Е. Жуковским для расчета кпд, была значительно большей, чем для одиночных профилей. Этим в какой-то мере учитывались реальные условия работы лопаток вентилятора.
Относительный диаметр втулки определялся из условия равенства скорости закручивания потока и окружной скорости лопатки у втулки.
Необходимость повышения расчетного коэффициента давления привела к увеличению густоты решетки и относительного диаметра втулки, к необходимости устанавливать спрямляющий аппарат для преобразования кинетической энергии скорости закручивания в статическое давление.
Метод расчета вентилятора, разработанный В. И. Поликовским (1933—1936), был построен на основе теории винта Г. X. Сабинина — Б. Н. Юрьева (1911 г.).
Метод К. А. Ушакова (1936, 1938) был разработан, исходя из того, что вентилятор предназначен для получения определенного перепада давлений. Величина расчетной циркуляции находилась из уравнения, справедливого для идеальной жидкости, но через величину расчетного давления, увеличенного против заданного за счет потерь трения, в зазоре и влияния решетки. Через расчетную циркуляцию по формуле вихревой теории опредялялась потребляемая вентилятором мощность. По величине мощности находилась скорость закручивания на внешнем радиусе, и далее кинематика потока определялась из условия радиального равновесия закрученного потока идеальной жидкости при постоянной осевой скорости. Коэффициент осевой скорости предлагалось выбирать в пределах 0,25—0,35 с тем, чтобы получить достаточно высокий статический кпд вентилятора, хотя и отмечалось, что при больших значениях коэффициента осевой скорости полный кпд увеличивается. Величина относительного диаметра втулки оценивалась по расчетному коэффициенту циркуляции. Спрямляющий аппарат рассчитывался на величину циркуляции скорости закручивания потока за рабочим колесом (взятой с обратным знаком).
К. А. Ушаков показал (1936), что в идеальной жидкости и при постоянной циркуляции по радиусу динамическое давление вентилятора, определенное по скорости закручивания за выходным лопаточным венцом, равно динамическому давлению, вычисленному по этой скорости на внешнем радиусе.
На основании работы К. К. Баулина (1944), которая позволяла определять по заданным значениям коэффициентов давления и производительности расчетные величины циркуляции и теоретического давления (схема физического процесса, как у К. А. Ушакова) для ступеней различных схем, Е. Я. Юдин и И. С. Елин (1946) построили обобщающий график, по которому при известной для расчетного режима быстр сходности и принятому значению произведения из густоты решетки и коэффициента подъемной силы у втулки находились оптимальные расчетные значения коэффициентов давления и производительности, кпд и относительного диаметра втулки. В этой же работе были получены графики для опреде ления расчетных параметров вентиляторов, работающих в установках с потерей определенной части динамического давления. Быстроходность вентилятора однозначно определяется давлением, производительностью
и угловой скоростью и не зависит от его диаметра и скорости вращения. Понятие быстроходности широко используется при подборе аэродинамических схем вентиляторов по их типовым характеристикам, когда заданной является угловая скорость. Характерной является величина быстроходности, соответствующая режиму максимального кпд.
В последующие годы на формирование аэродинамического расчета вентилятора оказывали влияние работы по компрессорам Б. С. Стечкина (1947), С. А. Довжика, (1947), М. Г. Дубинского (1947), Л. Е. Ольштейна (1948), Л. А. Симонова (1950), Г. Ю. Степанова (1957), К. В. Холщев- никова (1949) и др.
Широко развернувшиеся в пятидесятых годах исследования течений и потерь давления в плоских и кольцевых решетках и в турбомашинах позволили при определении расчетных параметров, а также при построении расчетной характеристики приводить все потери давления в лопаточном венце к решетке на среднем радиусе, а при расчете кинематики потока учитывать, при необходимости, распределение потерь давления по длине лопатки.
Метод выбора расчетных параметров для осевых одноступенчатых вентиляторов известных схем, многоступенчатых и встречного вращения, а также для установок с этими вентиляторами, в которых часть динамического давления теряется, был предложен И. В. Брусиловским (1958). Было показано, что при данных значениях обратного аэродинамического качества лопаточных венцов, фиксированных значениях коэффициента теоретического давления и относительного диаметра втулки кпд является функцией коэффициента осевой скорости и двух параметров, один из которых характеризует закрученность потока перед рабочим колесом по отношению к закручиванию потока в колесе, а другой характеризует величину остаточной закрутки за спрямляющим аппаратом по отношению к скорости закручивания перед ним.
Величине максимального кпд, кроме оптимальной величины осевой скорости, соответствуют также• оптимальные значения остаточной крутки потока за вентилятором. Например, для вентилятора, состоящего из направляющего аппарата и колеса (схема《НА + К》)，ее величина составляет 30—50% скорости закручивания в рабочем колесе. При этом кпд возрастает на 3—8% по сравнению со случаем осевого выхода потока из колеса. Существование оптимальной остаточной закрученности потока за вентилятором обусловлено в основном тем, что уменьшение потерь давления в лопаточных венцах (при фиксированных значениях % и %) превосходит до известного предела увеличение потерь за счет остаточной крутки.
Кпд вентиляторной установки является еще и функцией коэффициента потерь давления в ее элементах (входном устройстве, диффузоре и т. п.). Оптимальная величина коэффициента осевой скорости установки существенно меньше, чем для самого вентилятора, а максимум кпд по этому параметру значительно более резко выражен.
Из конструктивно-технологических соображений бывает желательно отступить от аэродинамически оптимальных параметров. Разработанная аналитическая оценка уменьшения кпд при таких отступлениях позволяет делать при проектировании технико-экономический расчет.
Решен долго рассматривавшийся в литературе вопрос сравнения по кпд двух схем вентиляторов:《К + С/》и《ЯЛ + К». Было показано (И. В. Брусиловский, 1958,1962), что схема《方 +。4》обладает более высоким кпд при оптимальных расчетных параметрах для каждой схемы.
При выборе параметров, отличных от оптимальных, разница в кпд еще более возрастает, особенно при уменьшении расчетного коэффициента осевой скорости, и может достигнуть десяти и более процентов. Главная причина этого лежит в больших скоростях течения (а потому в больших потерях давления) в рабочем колесе схемы ША + R》. Несколько меньшие
потери в конфузорном направляющем аппарате, чем в диффузорном спрямляющем, не могут изменить положения, так как сами по себе потери в аппаратах сравнительно невелики.
Вентиляторы встречного вращения, состоящие только из двух рабочих колес без направляющих аппаратов, в ряде случаев представляют существенный интерес. Например ,когда требуется глубокое регулирование по скоростям вращения, эффективное число Рейнольдса у такого вентилятора уменьшается в значительно меньшей степени, чем у двух-ступе^нча- того вентилятора с аппаратами, в которых скорости течения меньше. Это приводит к сохранению кпд в более широком диапазоне скоростей вращения (А. П. Арцы- ков, 1955). Исследования вентиляторов встречного вращения проводились также Г. М. Водяником Конструйивное выполнение таю
Рис. 11. Влияние противосрывного устройства (сепаратора) на аэродинамическую характеристику (1 — рабочее колесо； 2 — сепаратор; а — с сепаратором, 6 — без сепаратора).Рис. 11. Влияние противосрывного устройства (сепаратора) на аэродинамическую характеристику (1 — рабочее колесо； 2 — сепаратор; а — с сепаратором, 6 — без сепаратора).(I960), Ю. А. Соколовым (1958) и др.:х вентиляторов может вызвать труд(I960), Ю. А. Соколовым (1958) и др.:х вентиляторов может вызвать трудности, связанные с приводом, что также отражается на их эксплуатационных свойствах — шум их больше. Другим примером целесообразности применения вентиляторов встречного вращения является случай, когда необходимо кратковременное реверсирование воздушной струи: оно осуществляется только обращением направления вращения колес, в то время как у обычных вентиляторов при этом необходимо иметь еще специальные механизмы для поворота лопаток. Аэродинамически реверсирование также более эффективно у вентиляторов встречного вращения. При равных расчетных значениях коэффициентов осевой скорости и теоретического давления максимальный коэффициент давления у вентилятора встречного вращения может быть больше из-за того, что первое рабочее колесо служит как бы сепаратором (см. ниже и рис. 11) и способствует затягиванию отрыва потока во втором колесе. Максимальный кпд таких вентиляторов такой же, как у обычных двухступенчатых вентиляторов: уменьшение потерь давления за счет отсутствия аппаратов компенсируется увеличением потерь за счет больших скоростей течения во втором колесе. При малых значениях расчетного коэффициента осевой скорости вентиляторы встречного вращения имеют даже несколько меньший кпд.
Рис. 11. Влияние противосрывного устройства (сепаратора) на аэродинамическую характеристику (1 — рабочее колесо； 2 — сепаратор; а — с сепаратором, 6 — без сепаратора).
Рис. 11. Влияние противосрывного устройства (сепаратора) на аэродинамическую характеристику (1 — рабочее колесо； 2 — сепаратор; а — с сепаратором, 6 — без сепаратора).
(I960), Ю. А. Соколовым (1958) и др.
:х вентиляторов может вызвать труд
(I960), Ю. А. Соколовым (1958) и др.
:х вентиляторов может вызвать труд
Большое значение имеет выбор предельных значений параметров для расчетного режима, при которых течение еще практически безотрывно. Имеются в виду максимальный коэффициент теоретического давления при различных коэффициентах осевой скорости, в том числе при очень
малых его значениях, и минимальное значение относительного диаметра втулки в разных схемах. От решения этого вопроса зависят, в частности, максимально достижимые значения коэффициенту давления и статического кпд одноступенчатых вентиляторов.
Применение вентиляторов в аппаратах, движущихся на воздушной подушке (для создания самой подушки), выдвигает особые требования к вентилятору (К. П. Вашкевич, 1965; В. И. Ханжонков, 1965) и требует учета движения аппарата при выборе расчетных параметров (К. А. Ушаков и А. Р. Бушель, 1965). Намечается применение вентиляторов вместо винтов для получения горизонтальной силы тяги таких аппаратов (ради ограничения габаритов и для обеспечения устойчивости движения аппаратов).
В отличие от свободного воздушного винта вентилятор-движитель из-за потерь в его канале и возможного неполного использования кинетической энергии скорости движения имеет максимальный внешний кпд, меньший единицы. Это -приводит к существованию оптимальных диаметра вентилятора-движителя и отношения площадей выхода струи из сопла движителя и проточной части вентилятора, а также оптимальных расчетных параметров вентилятора.
При уменьшении диаметра вентилятора против оптимального (который часто оказывается сравнительно большим), например, вдвое увеличение потребляемой движителем мощности может достигнуть 20%, изменяются расчетные параметры и усложняется схема вентилятора. При больших значениях коэффициента тяги и небольших коэффициентах потерь давления в канале вентилятор-движитель по удельной тяге превосходит свободный винт. При; работе на месте вентилятор-движитель всегда имеет преимущество по удельной тяге.
Расчет кинематики потока и профилирование лопаток. Выбранные расчетные параметры однозначно определяют кинематику потока в межвенцовых зазорах только при постоянных циркуляции и осевой скорости по радиусу.
В зависимости от принимаемого закона изменения циркуляции изменяется и расчетное распределение осевых скоростей. При этом течение в пределах лопаточного венца обычно перестает быть цилиндрическим (плоским по Жуковскому) и становится пространственным.
Исследования пространственного течения с переменной циркуляцией по радиусу широко отражены в работах по осевым компрессорам и турбинам. Одной из главных целей этих исследований является получение в условиях сжимаемого газа такого распределения скоростей по радиусу, которое отдаляло бы наступление волнового кризиса.
Для осевых вентиляторов (в условиях практически несжимаемой жидкости) переход к переменной циркуляции может вызываться стремлением получить более благоприятное распределение по радиусу углов поворота потока и его торможения, особенно при выполнении вентиляторов с малым относительным диаметром втулки и высоким коэффициентом давления. Это дает возможность в ряде случаев уменьшить габариты машины, упростить конфигурацию лопаток, а также избежать перехода к схеме с большим числом ступеней.
При расчете течения с переменной циркуляцией в цилиндрической проточной части вентилятора, осевые зазоры между лопаточными венцами которого сравнительно велики, меридиональной кривизной линий тока часто можно пренебречь, так как ее учет не приводит в этом случае
к необходимому уточнению. При расчете треугольников скоростей радиусы входа линий тока на лопатку и выхода определяются с помощью соответствующих уравнений расхода.
Введение в уравнения движения потока переменного распределения потерь давления в лопаточных венцах по радиусу и профиля скоростей перед вентилятором, выполненное И. В. Брусиловским (1959), В. С. Бек- невым (1961) и др., позволяет приблизиться к реальному процессу и повысить кпд вентилятора.
Вопросом, требующим дальнейшей проработки, является расчет распределения потерь по длине лопаток рабочих колес и аппаратов. Для рабочих колес необходимо накопление экспериментального материала по потерям, измеренным в относительном движении (рис. 9).
Профилирование имеет своей основной целью найти такую геометрию лопаток, которая обеспечивала бы получение рассчитанных треугольников скоростей, т. е. расчетных теоретического давления и расхода, с наибольшим кпд. .
До конца сороковых годов профилирование лопаток в основном производилось на базе экспериментальных характеристик одиночного профиля. По режиму максимального качества выбирались угол атаки и величина Су, после чего находились угол установки профиля и произведение из числа лопаток и хорды на каждом радиусе. По мере увеличения расчетного давления и увеличения углов поворота потока в решетке профиль стали изгибать, приспосабливая его к работе в искривленном потоке (К. А. Ушаков, 1936, и др.). В случае очень больших поворотов потока использовалась канальная теория, которой предложил пользоваться еще Н. Е. Жуковский, без учета или с эмпирической поправкой на «отставание» потока из-за конечного числа лопаток.
Дальнейшее развитие аэродинамики осевых лопаточных машин все настоятельнее требовало перехода к использованию характеристик решеток профилей, и такой переход был совершен в конце сороковых годов. В настоящее время при профилировании используются как теоретические, так и систематизированные экспериментальные характеристики плоских решеток профилей.
Работы Н. Е. Жуковского (1890) и С. А. Чаплыгина (1914) по теории решеток и решетчатого крыла легли в основу современной теории решеток, представленной многочисленными работами советских ученых. •
Испытания решеток профилей впервые были проведены Н. Е. Жуковским в 1902 г. Систематические испытания плоских решеток и их обобщение выполнены А. Р. Хауеллом (1944). Им было введено понятие номинального отклонения потока в решетке, составляющего 80% максимального отклонения, при котором в решетке происходит развитый срыв потока. Для режима номинального отклонения, который рекомендовалось принимать за расчетный, выбирались густота решетки и угол атаки, находилось отставание потока при выходе из решетки, что давало возможность определить угол установки и кривизну профиля. Этот метод был развит и дополнен Л. Е. Ольштейном и В. Г. Процеровым (1948), К. В. Холщевниковым (1949). Из последних работ по систематическому испытанию плоских решеток и их обобщению необходимо отметить работу, выполненную в США Дж. Эмери и др. (1958), и работы А. И. Бунимовича с А. А. Святогоровым и А. П. Комарова, опуб ли к ованные 1967 г. ■
Однако ни теоретические, ни экспериментальные характеристики плоских решеток не могут полностью решить задачу профилирования. Прежде всего это объясняется тем, что густота решетки, угол установки
и кривизна профилей еще не характеризуют всех свойств решетки в условиях турбомашины. Это главным образом относится к таким ее важнейшим свойствам, как максимальное отклонение потока (или, что то же, (S)max), угол атаки, соответствующий минимуму потерь давления, и сама величина этих потерь. Эти свойства зависят от положения решетки по радиусу (см. рис. 10), а также от того, какому лопаточному венцу эта решетка принадлежит — вращающемуся рабочему колесу или аппарату.
Кроме того, определение кривизны и угла установки профилей в методе, основанном на испытании решеток, построено на использовании эмпирических коэффициентов и дает хорошие результаты в пределах параметров испытанных решеток. Этих недостатков лишен метод, построенный на теоретических характеристиках решеток, обтекаемых потенциальным потоком, но он требует введения поправки на вязкость потока.
В связи с весьма широким диапазоном параметров решеток осевых вентиляторов в ЦАГИ и в ряде других организаций для определения угла установки и кривизны профилей их лопаток используются теоретические характеристики решеток, а густота решетки и угол атаки выбираются на основании обобщенных результатов испытаний плоских решеток и кольцевых решеток турбомашин в относительном движении при помощи аппаратуры, вращающейся вместе с рабочим колесом.
Я. Юдиным (1947) было предложено производить определение угла установки и кривизны профилей лопаток вентилятора исходя из теории, разработанной Ф. Вайнигом (1936) для слабо изогнутых круговых дужек при безударном входе. Е. Я. Юдиным (1947) была также предпринята оригинальная попытка введения поправки на вязкость непосредственно в угол выхода потока из решетки, а не через отношение коэффициентов подъемной силы или циркуляций для вязкого и идеального течений, как это обычно делается.
А. С. Гиневским (1951) были рассчитаны теоретические характеристики решеток телесных профилей в широком диапазоне изменения их параметров, позволяющие определять их суммарные аэродинамические характеристики при произвольном угле атаки. Эти характеристики были использованы для систематических расчетов, которые позволили для достаточно густых решеток (т > 1,3) при углах выноса 伝 < 40°, когда угол выхода потока 鶴 не зависит от угла входа 僞，получить следующую интерполяционную формулу для определения 伝：
6 = (8:一若"8(23+9。)。十耨 Рг — 1,365 4-0,28т 4-0,0057% '
где а】и с — угол атаки и относительная толщина профиля. Относительная вогнутость профиля / определяется из геометрической связи
arctg 2/ = у (明—рг — %).
Метод профилирования лопаток компрессора, основанный на использовании этих характеристик предложен С. А. Довжиком (1958). Аналогичный метод принят и при профилировании лопаток осевых вентиляторов. Используются также теоретические характеристики решеток тонких профилей, полученные С. М. Белоцерковским, А. С. Гиневским и Я. Е. Полонским (1962). '
Рекомендации по учету вязкости, выбору густоты решетки и угла атаки окончательно еще не сложились. Выбор числа лопаток при данной густоте решетки сводится к выбору хорды лопатки или ее удлинения.
При этом существенно изменяется и форма межлопаточного канала, его диффузорность. Этому вопросу посвящены работы К. А. Ушакова (1958), А. В. Колесникова (1963) и др. Обычно у вентиляторов выбирают число лопаток таким, чтобы удлинение составляло 0,8—1,2. Влияние удлинения на характеристику исследовано А. Д. Гегиным (1967).
Оригинальная идея уменьшения диффузорности межлопаточных каналов выс о к онаг р уженных решеток была выдвинута К. А. Ушаковым (1949). Им было предложено утолщение задней кромки лопаток, переменное по ее длине. При этом потери в таком межлопаточном канале оказывались в ряде случаев меньшими, чем в межлопаточном канале обычной формы, за счет устранения отрыва потока.
Уменьшение диффузорности достигается также особым профилированием канала ——меридиональным ускорением потока в проточной части вентилятора главным образом за счет конической втулки в рабочем колесе, что позволяет уменьшить потери давления, а также получить практически безотрывное течение в большом диапазоне режимов при высоких коэффициентах давления. При этом рабочее колесо или становится активным и статическое давление в нем не повышается (схема Шихта), или остается реактивным. В последнем случае меридиональное ускорение меньше и может быть достигнуто не за счет значительного увеличения диаметра втулки на выходе, а за счет некоторого ее уменьшения на входе.
Срыв на лопатках отдаляется до больших значений аэродинамической нагрузки, если использовать эффект щелевого закрылка. При этом аэродинамическое качество не только не уменьшается, но даже возрастает, что приводит к увеличению кпд. Это было показано в США X. Шитсом (1956), а также А. И. Луговским и В. Г. Бедимом (1964) в СССР на разработанных ими вентиляторах. Однако вентиляторы с такими лопатками обладают некоторыми эксплуатационными особенностями, связанными с формой характеристики, и имеют повышенный критерий шумности.
Расчет аэродинамической характеристики. Аэродинамическая характеристика может быть рассчитана по известной геометрии вентилятора. При этом получают изменение мощности, давления и кпд в функции производительности в области рабочих режимов.
Расчет характеристики, построенный на результатах испытаний одиночного профиля, был опубликован Э. Э. Струве в 1936 г. В дальнейшем появляются способы расчета, основанные на статистической обработке характеристик ступеней определенного класса, позволяющие получить характеристику, если известен режим максимального кпд. Эти методы не учитывают геометрию лопаточных венцов (за исключением относительного диаметра втулки) и потому имеют ограниченное применение.
С развитием методов исследования, широко использующих теорети- ческйе и экспериментальные характеристики плоских решеток, результаты изучения структуры потерь давления и характеристик кольцевых решеток лопаточных венцов турбомашин, стал возможен и иной подход к расчету характеристики вентилятора.
В способе, предложенном С. А. Довжиком и А. С. Гиневским (1961), мощностная характеристика рассчитывается на основании данных теории потенциального обтекания решеток с поправкой на влияние вязкости. Потери давления для удобства их оценки и расчета разделяются на профильные, связанные с геометрическими параметрами решетки црофилей и углом атаки, и вторичные, связанные с течением на втулке и корпусе, т. е. на тех поверхностях в пределах лопаточного венца, которые не участвуют в передаче энергии потоку. Кроме того, при расчете потерь
в рабочем колесе отдельно учитываются потери давления, связанные с зазором между лопатками и корпусом. Вторичные потери разделяют также на концевые, связанные с трением на поверхностях втулки и корпуса, и вихревые, связанные с вихреобразованием в пограничном слое этих поверхностей. Все потери условно связывают с параметрами решетки и потока на среднем радиусе.
Расчет составляющих потерь был предложен А. Р. Хауеллом (1944), уточнялся Б. Эккертом (1953) и др., а также Г. Ю. Степановым (1957) и др. Структура формул для расчета потерь давления и их эмпирические коэффициенты были уточнены на основании исследований, проведенных в относительном движении С. А. Довжиком, А. С. Гиневским, А. В. Колесниковым и др.
Влиянию радиального зазора между лопатками и корпусом у осевых вентиляторов всегда уделялось большое внимание. Вентиляторы, в отличие от компрессоров, часто выполняются с относительно большими зазорами. Следует отметить работу А. В. Колесникова (I960) по влиянию зазора на аэродинамическую характеристику. Потери в зазоре зависят от его величины по отношенйю к длине лопатки и от параметра, характеризующего отношение прироста статического давления в рабочем колесе к динамическому давлению осевой скорости. Из-за резкого увеличения потерь давления в области зазора происходит не только уменьшение давления и кпд вентилятора, но и более раннее наступление срыва потока, что приводит к сужению области рабочих режимов.
При аэродинамическом расчете и расчете характеристики, как правило, предполагается, что число Рейнольдса, подсчитанное по хорде профиля лопатки колеса и средней скорости относительного потока на среднем радиусе, достаточно велико и соответствует случаю, когда потери давления практически перестают от него зависеть. Работа вентилятора происходит при переменном числе Рейнольдса, и в том числе при малых его значениях. В других случаях вентилятор работает только при малых числах Рейнольдса.
Влиянию числа Рейнольдса на характеристики турбомашин и плоских решеток профилей посвящено много работ. Однако наиболее надежными по своим результатам следует считать те, в которых изменение числа Рейнольдса происходит за счет изменения скорости потока и плотности среды. К таким относятся исследования плоских решеток и ступени компрессора. Можно считать установленным, что для вентиляторов, состоящих только из рабочего колеса, число Рейнольдса, начиная с которого кпд практически не изменяется, составляет (1,5+2,0) X 105. Особо существенным влияние числа Рейнольдса становится при его значениях ниже 0,5 х 105. Оно влияет не только на максимальный кпд и давление на этом режиме, но и на нерасчетных режимах: характеристика давления в ряде случаев становится круче, а разрыв характеристики начинается при меньших коэффициентах расхода или даже исчезает вовсе, превращаясь в плавную впадину. С уменьшением числа Рейнольдса примерно с 3 X 105 до 0.5 X 105 происходит также некоторое уменьшение потребляемой мощности, что связано с уменьшением отклонения потока в решетках.
Лопаточное регулирование. Получение хар актеристики заданной формы. Часто коэффициент сопротивления сетей, на которые работает вентилятор, изменяется таким образом, что необходимо лопаточное регулирование. Полуэмпирический способ расчета регулировочных характеристик при изменении угла установки лопаток рабочего колеса по известной геометрии лопаточных
венцов и исходной (расчетной или экспериментальной) характеристике на расчетном угле установки предложен И. В. Брусиловским (I960), При этом использованы экспериментально установленные обобщенные зависимости, дающие возможность при нерасчетных углах установки в диапазоне от 4-10° до —25° от расчетного определять угол атаки на входе и угол отставания потока на режиме максимального кпд, а также угол отставания и величину максимального кпд и кпд на других режимах.
Особенности регулирования различных схем вентиляторов поворотом лопаток рабочего колеса и направляющего аппарата на основании приближенного теоретического анализа и экспериментальных данных выявлены А. Маккоем и А- Хупером (1954), И. В. Брусиловским (I960, 1962) и др. В ряде случаев режимы работы должны изменяться так, что возможно обойтись без лопаточного регулирования вентилятора, если его аэродинамическая характеристика имеет определенную форму.
Влияние расчетных параметров на наклон характеристики при достаточно густых решетках анализировалось М. М. Бабковой (1957). Влияние величины относительного диаметра втулки было исследовано А. С. Гиневским (1958). Им было теоретически и экспериментально показано, что при лопатках, рассчитанных на постоянную циркуляцию по радиусу, увеличение втулки за счет исключения прикорневых сечений лопатки приводит к увеличению наклона характеристики, а за счет исключения периферийных сечений,— наоборот, к уменьшению наклона теоретической характеристики в расчетной точке. • .
Форму кривых давления и мощности, во-первых, определяет наклон теоретической характеристики, который, как показал И. В. Брусиловский (1966), полностью определяется расчетными значениями коэффициентов теоретического давления (%%, осевой скорости (%%, относительным диаметром втулки d и известным коэффициентом решетки Л (tg 仔2 = / tg"i + 5) и не зависит от типа аэродинамической схемы вентилятора, реактивности его рабочего колеса или закрутки потока перед ним. Три йз этих величин характеризуют параметр наклона
(1 否)(爲)p
2 \ (1 — Л) г3 dr
В расчетной точке приВ расчетной точке примаксимальном кпд в ней наклон кривой давления
В расчетной точке при
В расчетной точке при
dHdHdQdQ（1 一加）豆p加Qp（1 一加）豆p加Qp（0=（1一圆）%）.（0=（1一圆）%）.
dH
dH
dQ
dQ
（1 一加）豆p加Qp
（1 一加）豆p加Qp
（0=（1一圆）%）.
（0=（1一圆）%）.
Мощностные характеристики одноступенчатых осевых вентиляторов различных схем («Zf + СА^, 陋厶 + 片》и т. д.) в области режимов безотрывного течения описьтваются уравнением
二= 一 (1一加)q2 I QNp _-
При 乃=0,5 максимум мощности будет всегда на расчетном режиме независимо от величины расчетного коэффициента расхода. При к V 0,5 этот максимум будет левее расчетного режима, а при 乃 > 0,5 — правее. При к》1 потребляемая вентилятором мощность будет непрерывно возрастать с увеличением расхода. Турбинный режим вентилятора наступает при са = (%%/(1 — *)■
Форму кривой давления, во-вторых, определяет профилирование. При выборе, например, повышенных отрицательных расчетных углов атаки, при прочих равных условиях, кривая становится более крутой, максимум давления возрастает. Выбор повышенной густоты решетки приводит качественно к таким же результатам. На форму кривой давления можно также влиять выбором аэродинамической схемы.
Реверсирование. Параллельная и последовательная работа. Шум. При протекании ряда технологических процессов необходимо осуществлять реверсирование воздушной струи. Если потребная производительность и сопротивление сети в обоих направлениях одинаковы, то вентилятор должен иметь при обоих направлениях вращения одинаковую характеристику. Для таких целей Э. Э. Струве и Н. В. Сурновым (1935) были разработаны аэродинамические схемы реверсивных вентиляторов, имеющих крученую лопатку с симметричным профилем. Оригинальный реверсивный вентилятор предложен А. Г. Бычковым (1940). У этого вентилятора лопатки имели обычный крыловой профиль, но были установлены через одну так, что при обоих напрявлениях течения половина лопаток всегда оказывалась установленной, как при нормальной работе.
Для случаев, когда характеристики при реверсировании могут отличаться от характеристик при нормальном движении воздушного потока, Е. Я. Юдиным (1947) были рассмотрены и экспериментально исследованы различные схемы реверсивных -вентиляторов, состоящих из рабочего колеса и спрямляющего аппарата, и произведена их оценка.
Вопросы расчета вентиляторов, наиболее пригодных для эффективного реверсирования потока, рассмотрены Е. М. Левиным (1962).
Параллельная работа нескольких вентиляторов изучена в ряде исследований В. С. Пака (1947), А. А. Дзидзигури (1954) и др. Особо следует отметить исследование вопросов устойчивости работы при параллельном включении вентиляторов, проведенное А- А. Дзидзигури и Т. И. Матика- швили (1965).
В двух- и трехступенчатом вентиляторе его ступени работают последовательно? Потребляемые ими мощности и их полные давления суммируются при данной производительности, характеристика становится более крутой. При практически том же полном кпд многоступенчатого вентилятора, что и у одноступенчатого, его статический кпд значительно возрастает. Из-за искажения поля скоростей перед ступенями, следующими за первой, полного суммирования характеристик отдельных ступеней может и не произойти. Из-за появляющейся окружной неравномерности рабочие колеса этих ступеней работают в нестационарном потоке.
Последовательным соединением нескольких ступеней или вентиляторов, имеющих разные характеристики, можно значительно изменять форму суммарной характеристики.
Обстоятельному исследованию причин возникновения шума в вентиляторах, влиянию на шум различных параметров вентиляторов и его расчету, а также расчету глушителей шума различных типов посвящены монографии Е. Я. Юдина и его сотрудников (1958, 1964).
Аэродинамический шум вентилятора, связанный с процессами, происходящими в его проточной части, зависит от аэродинамической схемы вентилятора, положения рабочей точки на его типовой характеристике, величин давления Н и производительности Q. Первые два фактора определяют критерий шумности £, который находится экспериментально для каждой
аэродинамической схемы. Уровень силы шума L=L + 251g Н-[~ 10 IgQ+18・ Последние факторы связаны через коэффициенты давления и производительности, характерные для данного типа вентилятора, с его окружной скоростью и диаметром.
Из двух вентиляторов одинакового диаметра, развивающих равные давления при равных производительностях, но имеющих разные окружные скорости и, следовательно, разные аэродинамические схемы, значительно большим уровнем шума может обладать вентилятор и с меньшей окружной скоростью. Это произойдет из-за неблагоприятного критерия шумности. Помимо уровня громкости шума, важное значение имеет его частотный спектр.
Аэродинамика входных и выходных элементов. Влияние радиальной и окружной неравно мерности потока. Как правило, вентилятор соединяется с сетью при помощи специальных входных конфузорных устройств и выходных диффузорных патрубков, часто сложной конфигурации из-за ограниченности габаритов и особых компоновочных условий. Эти элементы вместе с вентилятором составляют вентиляторную установку. Потери давления в этих элементах, течение в которых зависит от скоростей течения, принятых в вентиляторе, весьма существенно влияют на кпд вентиляторной установки. От структуры потока, особенно во входных элементах, часто зависит надежность работы вентилятора. Отработке таких элементов (входных патрубков, диффузоров и др.), обладающих минимальными потерями и габаритами, посвящены работы многих авторов (см* § 1).
Вопросы влияния радиальной и окружной неравномерности потока перед вентилятором на его аэродинамическую характеристику и структуру потока между лопаточными венцами исследованы в работе А” С. Ги- невского и А. И. Морозова (1962). Окружная неравномерность потока в значительно меньшей степени затухает в лопаточных венцах, чем радиальная В обоих случаях происходят снижение кпд и смещение срыв- ного режима, В работе предложена приближенная формула для расчета теоретического давления при окружной неравномерности входящего потока.
Окружная неравномерность потока на входе в рабочее колесо практически всегда имеет место и вызывается опорами, несимметричными входными патрубками, лопатками аппарата и др. Это вызывает нестационарное обтекание лопаток вращающегося рабочего колеса, которое может привести к их усталостному разрушению.
Способам выравнивания окружной неравномерности посвящены работы А” Г. Кукинова (1964), С” И. Гинзбурга (1966) и др.
Помпаж, Вращающийся срыв. Способы выравнивания характеристики. При помпаже и вращающемся срыве имеет место нестационарное обтекание лопаток вентилятора, которое может стать опасным для его прочности.
Прежде полагалось, что работа в точках характеристики, где dH/dQ > > 0, недопустима из-за опасности возникновения помпажа. При этом сеть и ее свойства не рассматривались. Затем условие возникновения помпажа было уточнено: он может возникнуть, если в рабочей точке наклон характеристики вентилятора и наклон характеристики сети подчиняются условию (dH/dQ)c — (dH/dQ)B <^ 0, Однако последнее является, как это в дальнейшем выяснилось, только условием статической неустойчивости режима работы вентилятора, которое не учитывает колебательных, акустических свойств присоединенной к вентилятору сети.
Условие колебательной неустойчивости 力(訪^j@ - 3反/&Q)b V 0 учитывает еще инерционные и податливые свойства сети, характеризуемые величинами £ и С. Но и последнее условие не учитывает нелинейности характеристик вентилятора и сети.
Явления помпажа в СССР исследованы В, В. Казакевичем (1959), В. А” Боднером (I960), Л. Е. Ольштейном и Е. А. Локштановым (1966), А” А. Дзидзигури и Т. И” Матикашвили (1965) и др.
При сетях небольшого протяжения колебательную систему можно представить в виде механической цепи из элементов с сосредоточенными параметрами, имитирующих различные элементы сети; при этом проверка устойчивости работы вентилятора в сети упрощается. Однако в случаях протяженных и разветвленных сетей необходимо учитывать волновой характер колебаний. Получаемые для таких систем характеристические уравнения трансцендентны и проверка устойчивости производится только численными частотными методами теории автоматического регулирования или же электрическим моделированием (Т. И. Матикашвили, 1966).
Использование энергетического метода, основанного на рассмотрении обмена энергией между элементами системы «вентилятор — сеть» при возникновении колебаний в потоке, позволило Л. Е, Ольштейну и Е” А. Локштанову (1966) предложить для расширения правой рабочей части характеристики в сторону меньших производительностей специальное дополнительное сопротивление (последовательно с основным) для рассеивания в нем энергии возникшего колебательного процесса. Для тех же целей ими предлагается также введение демпфирующего устройства параллельно с основным сопротивлением, которое автоматически включается в работу только при возникновении полшажа и не оказывает влияния при устойчивых режимах работы.
Другой причиной возникновения нестационарного обтекания лопаток с нарушением осевой симметрии потока является вращающийся срыв: устойчивая срывная зона (одна или несколько) вращается вместе с рабочим колесом с угловой скоростью s = s/Q (Q — угловая скорость колеса). Образование вращающегося срыва связано с работой лопаток на закритических, срывных углах атаки в левой ветви характеристики. Теоретические и экспериментальные исследования этого весьма сложного явления и способов борьбы с ним проводились за рубежом Т. Юра и В. Ранни (1954) и др,, а в СССР Л. Е. Ольштейном (1952—1967), Г. С. Самойловичем (1959—1962), К, А” Ушаковым (1952—1962) и их сотрудниками, В. С. Князевым (1955—1967), В. Н” Ершовым (1959—1966) и др.
Необходимая для определения частоты возмущений, приводящей к резонансным разрушениям, скорость распространения срывных зон может быть в ряде случаев определена по приближенной полуэмпириче- ской формуле, предложенной Г, А” Борисовым, Е, А” Локштановым и Л. Е. Ольштейном:
1 + 0,00351 + 0,0035(1+砌(2 一2на)(1+砌(2 一2на)口一团2口一团21 +位на + 0,035 言^1 +位на + 0,035 言^
1 + 0,0035
1 + 0,0035
(1+砌(2 一2на)
(1+砌(2 一2на)
口一团2
口一团2
1 +位на + 0,035 言^
1 +位на + 0,035 言^
Здесь гна— число направляющих аппаратов, Ъ — отношение хорд лопаток аппарата и колеса.
Для существенного расширения области устойчивости применяются устройства, предотвращающие или локализующие срывные явления на лопатках таким образом, что ликвидируется либо отодвигается в зону меньших производительностей впадина или разрыв характеристики. К таким устройствам, в частности, относятся сепаратор (К. А. Ушаков и Л. Е* Оль- штейн, 1950) (рис. 11), отделительное кольцо (С. К. Иванов, 1961) и др.
Аэродинамика осевых вентиляторов на различных этапах ее развития была предметом ряда обобщающих работ, зарубежных (К. Келлер, 1936; Б. Экк, 1957; Б. Эккерт, 1953, и др.) и отечественных (К. А. Ушаков, 1936; В. И. Полякове кий, 1934; К. А. Ушаков, И. В. Брусиловский и А. Р. Бушель, I960).
Происходит дальнейшее совершенствование методов аэродинамических исследований и расчетов, которые позволят создать еще более эффективные вентиляторы, обладающие заданными свойствами в непрерывно расширяющемся диапазоне потребных параметров.
Аэродинамика центробежных вентиляторов. Основным элементом центробежного вентилятора является вращающееся колесо, которое
Рис. 12. Аэродинамическая схема центробежного вентилятора.Рис. 12. Аэродинамическая схема центробежного вентилятора.
Рис. 12. Аэродинамическая схема центробежного вентилятора.
Рис. 12. Аэродинамическая схема центробежного вентилятора.
в сечении плоскостью, перпендикулярной к оси вращения, представляет круговую решетку профилей. Подвод воздуха к рабочему колесу осуществляется с помощью входного патрубка, имеющего форму цилиндра или более сложного тела вращения (рис. 12). Воздух, выходящий из рабочего колеса, поступает в спиральный корпус с радиальными сечениями в виде прямоугольника, обечайка которого очерчивается по кривой, близкой к логарифмической спирали. Корпус служит для преобразования части динамического давления выходящего из колеса потока в статическое, а также для отвода воздуха в определенном направлении.
Первые исследования по теории центробежных вентиляторов в нашей стране были проведены М. М. Федоровым (1910—1930). В его работах предлагалась методика выбора центробежных турбомашин при помощи безразмерных характеристик, приводились формулы для определения наивыгоднейшего диаметра рабочего колеса； исследовалась совместная работа нескольких вентиляторов. Теоретические исследования центробежных турбомашин в тридцатых годах были проведены также Г.①.Проскурой и К. И. Страховичем.
Большой вклад в развитие аэродинамики центробежных вентиляторов был внесен систематическими исследованиями, проводившимися в ЦАГИ, начиная с 1929 г. В 1930—1933 гг. В. И. Поликовским была раз- 54 механика в GGGP, том 2
работана полуэмпирическая методика расчета центробежных вентиляторов, которая была основана на результатах аэродинамических испытаний большой серии машин, отличающихся геометрическими параметрами.
Проведенные в последующие годы В. И. Поликовским (1935—1937} иМ. И. Невельсоном (1937,1946) теоретические и, в основном, экспериментальные исследования позволили установить более строгие зависимости между различными аэродинашческими параметрами потока в проточной части вентилятора и уточнить значения отдельных коэффициентов в расчетных формулах. Был создан метод расчета центробежных вентиляторов, который давал надежные результаты для широкого класса распространенных в то время центробежных машин. Он получил в литературе- название «метода ЦАГИ» и был опубликован М. И. Невельсоном в 1954 г. В результате проведенных исследований было установлено, что в межлопаточных каналах рабочих колес с загнутыми вперед лопатками, вогнутость которых обращена в сторону вращения колеса, возникают сильна развитые отрывные вторичные течения, которые приводят к большим гидравлическим потерям в рабочем колесе. У колес с лопатками, загнутыми назад, течение в межлопаточных каналах на режимах, близких к режиму максимального значения кпд Птах, почти безотрывное, что приводит к уменьшению потерь давления в колесе и увеличению кпд центробежной ступени й целом. Поэтому в конце сороковых начале пятидесятых годов вентиляторы с такими лопатками, у которых величина т]тах достигала 80%, начинают широко использоваться взамен вентиляторов с лопатками, загнутыми вперед, имевших распространение в тридцатых годах, у которых величина т]тах не превышала 70%.
Дальнейшие систематические исследования рабочего процесса в центробежной ступени подготовили следующий шаг по усовершенствованик? аэродинамических схем центробежных вентиляторов.Было установлено, что при увеличении диффузорности кольцевого канала, в котором осуществляется подвод воздуха к лопаткам колеса, т. е. при увеличении ширины колеса, в случае загнутых назад лопаток улучшаются условия обтекания круговой решетки. Местоположение точки отрыва пограничного слоя от переднего диска колеса смещается при этом вниз по потоку за счет естественного подсоса через соплообразную кольцевую щель между рабочим колесом и входным патрубком. На основе этих и других исследований в пятидесятых и шестидесятых годах в нашей стране и за рубежом были разработаны новые схемы центробежных вентиляторов с сильно загнутыми назад листовыми и профильными лопатками с высокими кпд, достигающими 85—89%.
В эти годы были опубликованы работы С. И. Циткина (1953), Э. Э. Струве и др. (1955), А. Г. Бычкова (1958) и др., в которых обобщались результаты проведенных исследований.
Центробежные вентиляторы относятся к классу лопаточных турбомашин, в который входят также центробежные компрессоры и насосы. Общность рабочих процессов, происходящих в этих турбомашинах, а также близость их принципиальных аэр о динамических схем позволяют использовать при анализе работы и расчете характеристик центробежных вентиляторов результаты соответствующих исследований компрессоров и насосов.
Большие научно-исследовательские работы по центробежным насосам проводились в ряде институтов. Основные результаты этих исследований изложены в обобщающих работах А. А. Ломакина (1950), Ю. С. Подо- буева и К. П. Селезнева (1957), В. Ф. Риса (1964), И. И. Кириллова (1964), С. П. Лившица (1966).
Основные задачи исследований в области аэродинамики центробежных вентиляторов состоят в изучении реального течения среды, возникающего в их проточной части, а также в разработке прямого и обратного методов расчета вентиляторов. Необходимо отметить, что в центробежных вентиляторах, несмотря на относительную простоту их аэродинамических схем, происходит сложный физический процесс, обусловленный пространственным характером течения с развитыми отрывными зонами, а также взаимным влиянием вращающихся и неподвижных элементов вентилятора на возникающее в них течение. Поэтому разработка расчета и усовершенствование схем вентиляторов приводят к решению целого ряда сложных аэродинамических задач, некоторые из которых и до настоящего времени не решены полностью.
Рассмотрим процессы, происходящие в отдельных элементах центробежного вентилятора: в рабочем колесе, спиральном корпусе, входном патрубке и др.— и отметим основные результаты исследований.
Течение в рабочем колесе. Во вращающемся колесе осуществляется передача энергии протекающему в нем воздуху от привода вентилятора. Основное уравнение лопаточных машин, полученное Эйлером, позволяет свести задачу определения давления, создаваемого колесом, к определению приращения момента количества движения потока в колесе, т. е. свести динамическую задачу к кинематической. Однако это уравнение не устанавливает связи между формой, размерами колеса и создаваемым им приращением момента количества движения потока.
Первые попытки установить эту связь для центробежных гидравлических машин были предприняты еще в XVIII веке Л. Эйлером. Им была создана элементарная струйная .теория центробежного колеса. При этом предполагалось, что течение в рабочем колесе является осесимметричным, а направление потока при выходе из колеса, во вращающейся вместе с колесом системе координат совпадает с направлением выходных участков лопаток. Струйная теория ввиду исключительной простоты и сейчас используется с поправкой на конечное число лопаток для расчета колес с достаточно большой густотой решетки.
В действительности же течение в колесе не может быть осесимметричным, поскольку для передачи момента протекающей среде давление, а следовательно, и скорости по обе стороны лопатки колеса не могут быть одинаковыми, что приводит к неравномерности потока по шагу межлопаточного канала и тем самым к некоторому отставанию потока, выходящего из рабочего колеса, от направления выходных участков лопаток. Это подтверждается систематическими экспериментальными исследованиями структуры и параметров двумерного течения в рабочем колесе центробежной ступени, проводившимися А. Д. Тарасовым (1956),В- А. Красильниковым (I960), И. Л. Локшиным (1963), с помощью вращающихся вместе с колесом пневмометрических насадков. В работах этих авторов было установлено, что картина течения в рабочем колесе зависит от его ширины, типа лопаток и режима работы. Обнаружены вторичные течения, связанные с наличием отрывных зон в межлопаточных каналах, которые возникают, в частности, при больших значениях углов атаки, а для колес с загнутыми вперед лопатками, отличающихся большой кривизной межлопаточного канала, и при малых углах атаки.
В современных схемах высокоэкономичных центробежных вентиляторов, в которых применяются колеса большой ширины； с коническим передним диском, с небольшим числом загнутых назад лопаток, сплавным поворотным участком при входе, на режимах,. близких к безударному,.
54*
в межлопаточных каналах наблюдается почти безотрывное течение. При расчете двумерного течения в таких колесах в последние годы стала использоваться теория вращающихся круговых решеток.
Впервые попытка применить гидродинамическую теорию круговых решеток к расчету вращающихся колес и неподвижных напрявляющих аппаратов турбомашин принадлежит IL А. Вальтеру (1925, 1926). Он распространил теорему Н. Е. Жуковского о подъемной силе для изолированного профиля и профиля в прямой решетке на случай круговых решеток. Кроме того, им была установлена аналогия между течениями в прямой и круговой решетках, получающихся друг из друга конформным отображением соответствующих плоскостей,
В 1939 г. П. В. Мелентьев предложил метод расчета круговой вращающейся решетки, который впоследствии стал называться вихревым. Лопатки решетки заменяются при этом системами особенностей (вихрей, источников и стоков). Задача определения циркуляции вокруг профилей решетки сводится к решению некоторого интегрального уравнения.
В пятидесятых и шестидесятых годах было выполнено большое число работ по расчету течения несжимаемой и невязкой жидкости в круговых неподвижных и вращающихся решетках профилей. Дальнейшее развитие вихревого, или интегрального, метода предложено В. П. Лукашевичем (1965), Н. Н. Поляховым и А. П. Черняк (1952), А. М. Супо- ницким (1957). Расчет круговых решеток с помощью конформного отображения области вне решетки на более простую каноническую область предложен в работах Л. И. Седова (1939), Г. И. Майкапара (1949), Г. Ю. Степанова (1962), Д. А. Войташевского (1953, 1968), Л. А. Дорфмана (1956), Т. С. Соломаховой (1966), Г. II. Таушканова (1959).
Необходимо отметить, что практически эти методы расчета круговых решеток ввиду сложности и громоздкости необходимых вычислений стали использоваться при проектировании центробежных машин лишь в последние годы благодаря применению машинного счета. Составлены программы и проведены массовые расчеты для нескольких серий круговых вращающихся решеток с различными геометрическими параметрами. На режимах, соответствующих безотрывному обтеканию решетки, получено удовлетворительное совпадение (рис. 13) расчетных и экспериментальных характеристик Нт (Q) для ряда распространенных в настоящее время рабочих колес с загнутыми назад лопатками.
Дальнейшее теоретическое исследование течения в рабочем колесе центробежной ступени приводит к сложной задаче определения трехмерного неустановившегося течения в пространственной круговой решетке конечной ширины с учетом формы переднего и заднего дисков колеса. Решение этой задачи приводится в работах С. В. Валландера (1958), Г. Ю. Степанова (1962), А.①.Макарова (1967), Я. А. Сироткина (1959, 1967) и др. К числу нерешенных на сегодняшний день вопросов следует также отнести вопрос о расчете пограничного слоя, образующегося на лопастях пространственной круговой вращающейся решетке рабочего колеса.
Течение в о входных и выходных элементах. Длительное время предполагалось, что рабочее колесо является элементом, полностью определяющим работу центробежной ступени, и вопросам проектирования других элементов уделялось мало внимания. Первые экспериментальные исследования течения в спиральных корпусах центробежных вентиляторов были выполнены в тридцатых годах JB. И. Поликовским и Г. Н. Абрамовичем. В послевоенные годы боль-
шое внимание уделяется изучению влияния отвода и, в первую очередь, спирального корпуса на работу ступени в целом. Рекомендации по выбору оптимальных размеров корпуса и по расчету потерь
давления в нем приводятся в работах П. И. Диманта (1953), А. Н. Машина (1953), Г. А. Иванова (1955), М. В. Пальшина (1956), В. М. Коваленко (I960), М. Т. Столярского (1965), Г. В. Иванова (1966).
Было установлено, что спиральный корпус, в свою очередь оказывает влияние на работу колеса. Даже при оптимальных размерах корпуса при пр оизводительности вентилятора, отличающейся от номинальной (режим Птах), происходит неравномерная по периметру работа колеса, что приводит к возникновению неустановившегося относительного
Рис. 13. Расчетная и экспериментальная характеристики круговой вращающейся решетки (? — расчет; 2 — эксперимент).Рис. 13. Расчетная и экспериментальная характеристики круговой вращающейся решетки (? — расчет; 2 — эксперимент).течения в его межлопаточных каналах. В корпусе образуются так называемые «присо-
Рис. 13. Расчетная и экспериментальная характеристики круговой вращающейся решетки (? — расчет; 2 — эксперимент).
Рис. 13. Расчетная и экспериментальная характеристики круговой вращающейся решетки (? — расчет; 2 — эксперимент).
единенные» или «рециркулиру
ющие» массы воздуха. При этом номинальный режим работы ступени в целом определяется в основном формой и размерами спирального
корпуса.
Вместо спирального корпуса центробежного вентилятора используются также неподвижный радиальный безлопаточный или лопаточный диффузоры, устанавливаемые непосредственно за рабочим колесом. Первые исследования характера потока в таком отводе и влияния его геометрических параметров на характеристику вентилятора были выполнены В. И. Поликовским, М. И. Невельсоном (1935) и С. А. Довжиком (1937). В работах С. П. Лившица (1962), А. Н. Шерстюка (1966), Г. Н. Дена (1962) проведены дальнейшие экспериментальные и теоретические исследования, направленные на определение оптимальной формы радиальных безлопаточных диффузоров для одноступенчатых центробежных нагнетателей. Исследованию радиальных лопаточных диффузоров посвящены также работы И. Л. Локшина, Т. С. Соломаховой (1962), Г. Н. Дена (1966) и др.
В ряде случаев применяются? радиальные диффузоры особой формы в виде кольцевого поворотного канала с размещенными на поворотном участке лопатками сложной формы. Центробежные вентиляторы в компоновке с такими отводами называются прямоточными, так как выход потока из вентилятора осуществляется в осевом направлении по кольцу или по кругу. Впервые прямоточный центробежный вентилятор был построен и испытан в ЦАГИ в 1933 г. В пятидесятых годах аэродинамические схемы таких вентиляторов были разработаны И. В. Брусиловским и Е. Я. Юдиным.
На входе в рабочее колесо вентилятора устанавливается входной патрубок, форма которого может быть разнообразной. Исследования по влиянию формы входных патрубков на а эр одина миче с кие характерно-
тики центробежных вентиляторов были проведены в 1955 г. К. В. Чебы- шовой. Вопрос о выборе оптимального диаметра входа До в вентилятор в зависимости от его производительности Q и давления Н решен А. Г. Бычковым (1962) с помощью статистического анализа имеющихся экспериментальных данных для большого числа вентиляторов различных типов. ,
При работе вентилятора в сети иногда перед ним устанавливаются устройства в виде входных коробок, колен, тройников и др. Основные требования, предъявляемые при выборе оптимальной формы и размеров таких устройств, сводятся к минимальным значениям гидравлических потерь в самих устройствах и к обеспечению равномерного поля скоростей при входе в колесо вентилятора.
Исследования по влиянию формы входных патрубков и входных коробок на аэродинамическую характеристику вентиляторов разных типов изложены подробно в монографии М. И. Невельсона (1954). Некоторые рекомендации по выполнению входных элементов с минимальными потерями в них даны Л. А. Рихтером (1962). Подробные экспериментальные исследования входных коробок центробежных вентиляторов были выполнены Ф. Г. Галимзяновым (1963). Выбору входных устройств для вентиляторов двустороннего всасывания посвящены работы И. Л. Локшина, К. В. Чебышовой (1962), В. А. Стешенко (1965).
Если выходное сечение вентилятора меньше сечения воздухопровода, то для уменьшения гидравлических потерь при выходе из вентилятора за ним устанавливается диффузор. Работы Г. Н. Абрамовича, В. И. По- ликовского (1937), Э. Э. Струве (1935), М. Я. Гембаржевского (1953) показали, что поле скоростей на выходе из центробежного вентилятора является неравномерным на всех режимах его работы. Поэтому в таком диффузоре потери давления превышают потери давления в аналогичном изолированном диффузоре с равномерным полем скоростей на входе.^ Исследованию потерь давления в диффузорах различных типов, установленных за центробежными вентиляторами, посвящена. работа И. Л. Локшина и А. X. Газирбековой (1955).
Расчет аэродинамической характеристики. Основная задача аэродинамического расчета состоит в определении геометрических параметров вентилятора, обеспечивающего заданные давление Н и производительность Q при каких-либо дополнительных условиях, указанных в задании, например, при возможно более высоком кпд или при минимальных габаритах. Современное состояние аэродинамики центробежных вентиляторов, у которых геометрические, а следовательно, и а эр одинамические параметры меняются в очень широких диапазонах, не позволяет провести полный расчет вентилятора с достаточной степенью точности. Для выбора основных геометрических параметров обычно используются эмпирические зависимости, приведенные в работах И. Л. Локшина (1957), Г. А. Бабака (1965), В. В. Пака (1963), которые устанавливают связь между геометрическими и а эр о динамическими параметрами центробежных вентиляторов. Эти зависимости были получены в результате систематических исследований и на основе статистического анализа накопленных за многие годы экспериментальных данных. После выбора геометрических параметров вентилятора производится так называемый поверочный расчет рабочего режима или рабочего участка аэродинамической характеристики. В случае значительного отклонения расчетного режима от заданной рабочей точки несколько изменяется схема вентилятора и вновь выполняется поверочный расчет.
При этом определяются суммарные аэродинамические параметры вентилятора: полное и статическое давления и потребляемая мощность для заданного значения производительности.
Основной величиной, определяющей аэродинамические параметры вентилятора (создаваемое давление Н и потребляемую при этом мощность JV), является величина теоретического давления Ят. В начале XX века, когда в теории центробежных лопаточных машин господствовала одномерная струйная теория, теоретическое давление определялось фактически для идеализированного рабочего колеса с бесконечно большим числом бесконечно тонких лопаток (办".Однако, начиная с двадцатых годов, были предприняты попытки учесть при расчете величины % конечное число лопаток колес вентиляторов. В нашей стране и за рубежом в этот период были предложены эмпирические формулы, устанавливающие связь между величиной теоретического давления колеса с бесконечно большим и конечным числом лопаток. Эти формулы были получены на основе некоторых допущений о реальном характере потока в рабочем колесе. В методе ЦАГИ, например, предполагалось, что вследствие наличия развитых вихревых зон для колес с загнутыми назад и радиальными лопатками при положительных углах атаки (малых производительностях) не происходит раздиффузоривания потока, и поэтому относительные -скорости при входе в диффузорные межлопаточцые каналы и выходе из них равны друг другу.
Однако, как показали исследования потока в межлопаточных каналах рабочих колес центробежной ступени, интенсивно проводившиеся различными авторами в последние десятилетия, упрощенные схемы течения в колесе не подтвердились для ряда центробежных вентиляторов. Это привело к тому, что расчетные характеристики таких колес, полученные по предлагаемым формулам, значительно отличались от экспериментальных, а для колес с сильно загнутыми назад лопатками теоретическое давление вообще нельзя рассчитать по этим формулам. Возникла необходи- люсть дальнейшего уточнения расчета величины
В 1963 г. для расчета теоретического давления нешироких рабочих колес с лопатками произвольной формы были предложены И. Л. Локшиным эмпирические формулы, полученные в результате соответствующей обработки большого числа экспериментальных данных. В этих формулах, которые обеспечивают хорошую сходимость расчетных и экспериментальных значений 五丁， учитывается степень неравномерности потока при выходе из рабочего колеса, а также его отставание по отношению к выходным участкам лопаток. Для колес с загнутыми назад лопатками теоретическое давление достаточно надежно определяется с помощью теории круговых вращающихся решеток.
Полное давление (рис. 14), создаваемое вентилятором, определяется как разность между теоретическим давлением и потерями давления во всех его элементах： Н ~ Нт — 2 АЯ/.Вычисление потерь давления производится, как это принято в теории турбомашин, по отдельным составляющим. При этом учитываются потери при повороте потока в колесе из осевого направления в радиальное, потери в межлопаточных каналах колеса и в спиральном корпусе, потери «на удар» при выходе из потока колеса в корпус и из выходного течения корпуса. Значения коэффициентов всех этих составляющих потерь определяются экспериментально.
Особую сложность представляет вычисление потерь давления во вращающихся межлопаточных каналах рабочего колеса. Приближенный
способ расчета потерь давления в рабочем колесе был предложен И. Л. Локшиным (1963). На основе анализа экспериментальных данных для большого числа рабочих колес было установлено, что коэффициент этих потерь Ur зависит главным образом от угла раскрытия у分 круглого прямого диффузора, эквивалентного по длине и по площа
дям входа и выхода диффузорной части межлопаточного канала колеса, т. е. так же, как для лопаточных венцов осевых турбомашин, при этом
А^к = 0,5^^, 0 = 0,14 [1 + 0,01 (哺一 3)2], где 恭1 — относительная скорость при входе на лопатки колеса, причем площадь- входа определяется по фактической площади входа потока в межлопаточный канал с учетом^ угла атаки. В дальнейших экспериментальных исследованиях по определению потерь давления в колесе необходимо установить зависимость коэффициента потерь давления не только от угла раскрытия эквивалентного диффузораг но и от степени диффузорности, а также от кривизны межлопаточного канала.
'н ' Величина теоретического давления
Рис. 14. Аэродинамическая характеристика центробежного вентилятора с загнутыми назад лопатками (7—идеальная; ^—реальная).Рис. 14. Аэродинамическая характеристика центробежного вентилятора с загнутыми назад лопатками (7—идеальная; ^—реальная).№=h，9+aqg+n—\n,№=h，9+aqg+n—\n,% служит также исходной величиной для определения мощности N, потребляемой вентилятором (см. рис. 14). При этом
Рис. 14. Аэродинамическая характеристика центробежного вентилятора с загнутыми назад лопатками (7—идеальная; ^—реальная).
Рис. 14. Аэродинамическая характеристика центробежного вентилятора с загнутыми назад лопатками (7—идеальная; ^—реальная).
№=h，9+aqg+n—\n,
№=h，9+aqg+n—\n,
где Q — производительность вентилятора, AQ? — производительность вентилятора за счет перетекания воздуха через зазор между рабочим колесом и входным патрубком, N=.— потери мощности на трение дисков, N?— гидр авлическая мощность.
Первые экспериментальные исследования лабиринтных уплотнений разных типов и мощности, расходуемой на вращение дисков, были выполнены в ЦАГИ еще в тридцатых годах. Вопросы, связанные с расчетом величин А& и 7Уд, подробно изложены в монографии М. И. Невельсона (1954). Анализ существующих методов определения величины ТУд и сравнение расчетных данных с экспериментальными приводятся в работе А. Г. Бычкова (1963).
Для повышения эффективности работы вентилятора при изменении параметров сети возникает необходимость регулирования работы вентиляторов, т. е. изменения его давления и производительности. Простейшими способами регулирования являются изменение скорости вращения рабочего колеса или дросселирование проходных сечений воздуховодов. Более эффективное регулирование обеспечивается, однако, применением специальных направляющих аппаратов разных типов, устанавливаемых перед входом в рабочее колесо и обеспечивающих подкрутку потока. Обзор существующих регулирующих устройств и оценка их эффективности приведены в монографии М. И. Невельсона. В. М. Коваленко и К. В. Чебышова (1959) разработали полуэмпирический метод приближенного расчета характеристик центробежного вентилятора при регулировании его работы осевым напрявляющим аппаратом. В ряде случаев
предлагается осуществлять регулирование работы вентилятора путем изменения проходных сечений колеса или спирального корпуса.
В последние годы проводятся большие исследовательские работы по повышению эффективности регулирования работы вентиляторов с лопатками, загнутыми назад, с помощью поворота всей лопатки рабочего колеса
или ее части — закрылка, т. е. изменением рабочего колеса. При разработке удовлетворительной конструкции механизма поворота этот способ регулирования может быть широко использован.
Специальные аэродинамические схемы. Для пневматического транспортирования волокнистых материалов были предложены в 1957 г. А. Г. Бычковым аэродинамические схемы так называемых пылевых вентиляторов. Рабочие элементы этих вентиляторов имеют более простую форму, при которой устраняется опасность застревания транспортируемых материалов в рабочем колесе и корпусе. Первые исследования особенностей работы вентиляторов для пневмотранспорта были произведены еще в тридцатых годах М. П. Калинушкиным.
Большой интерес представляют разработанные в шестидесятых годах А. Г. Бычковым и А. Г. Коровкиным (1962, 1965), аэродинамические схемы диаметральных вентиляторов с многолопаточными и упрощенными направляющими аппаратами. Впервые диаметральный вентилятор был создай во Франции в 1892 т. П. Мортье. Большая работа по усо-
аэродинамической схемыаэродинамической схемыРис. 15. Аэродинамическая схема диаметрального вентилятора.Рис. 15. Аэродинамическая схема диаметрального вентилятора.вершенствованию схем современных диаметральных вентиляторов была проведена за рубежом Б. Экком, Р. Кестером и Н. Лайнгом. Особенностью этих схем является широкое рабочее колесо барабанного типа с большим
аэродинамической схемы
аэродинамической схемы
Рис. 15. Аэродинамическая схема диаметрального вентилятора.
Рис. 15. Аэродинамическая схема диаметрального вентилятора.
относительным диаметром входа и лопатками, загнутыми вперед, через которое благодаря особой форме корпуса и наличию неподвижного аппарата внутри колеса осуществляется двукратное прохождение воздуха почти в диаметральном направлении (рис. 15). Это приводит к значительному увеличению коэффициентов давления таких вентиляторов по сравнению с центробежными. Увеличение ширины рабочего колеса позво
ляет также значительно увеличивать производительность вентиляторов. Однако благодаря ярко выраженному неустановившемуся относительному течению в межлопаточных каналах колеса и наличию стабилизированного вихря, занимающего значительную область, в проточной части вентилятора возникают большие гидравлические потери, которые обусловливают невысокие значения кпд (Птах《0,6). Несмотря на это, диаметральные вентиляторы находят все более широкое применение в различных отраслях промышленности. Теоретическое исследование течения в проточной части диаметральных вентиляторов представляет большие трудности.
К центробежвым турбомашинам можно отнести такй<е так на
зываемые дисковые насосы, вентиляторы и компрессоры, в которых рабочее колесо представляет собой пакет дисков, вернее колец, рас-
положенных на небольшом расстоянии друг от друга. Передача энергии лотоку воздуха в таком колесе производится не с помощью лопаток, а$ силами трения в развитом турбулентном течении между вращающимися дисками.
Методика экспериментального исследования, Вместе с развитием и совершенствованием а эр одинамичес ких схем вентиляторов разных типов развивалась и совершенствовалась методика их экспериментального исследования. До пятидесятых годов основной метод экспериментального исследования моделей центробежных вентиляторов состоял в определении суммарных аэродинамических характеристик. Большая работа по разработке аппаратуры и лабораторной и заводской методик проведения аэродинамических испытаний была проведена М. Я. Гембаржевским (1935, 1953), А. Г. Бычковым и И. О. Керстеном (1964) и др. Один из упрощенных методов экспериментального определения характеристик вентиляторов, так называемый метод реакций, разработан С. Е. Бутаковым (1959). Однако такие методы экспериментального исследования, основанные на получении суммарных характеристик, не позволяли оценить эффективность работы отдельных элементов ступени и тем самым наметить правильные пути совершенствования аэродинамических схем. Используемые в то время методы визуального исследования потока с помощью шелковинок и дыма давали лишь качественную картину течения в отдельных элементах проточной части вентиляторов. Для исследования реального физического процесса, происходящего в различных элементах ступени, этих данных было недостаточно.
В связи с этим, начиная с пятидесятых годов, широко используются новые методы экспериментального исследования центробежных ступеней. Измерение параметров потока реального течения в межлопаточных кана^ лах рабочего колеса производится с помощью вращающихся вместе с колесом пневмометрических насадков, что позволяет исследовать степень неравномерности потока по шагу и ширине межлопаточного канала, определить наличие и размеры вихревых зон и оценить потери давления в различных элементах ступени. Этот метод исследования параметров потока в относительном движении является перепективным и у% пешно применяется в ряде научно-исследовательских институтов. Для выяснения сущности физического процесса, происходящего в рабочем колесе, используются также современные методы визуализации, которые позволяют получать не только качественную картину потока, но и производить количественные оценки. С. Н. Постоловским (I960) разработан интересный метод визуализации, основанный на фотографировании вращающимся вместе с колесом аппаратом пузырьков азота, находящихся в потоке жидкости.
Экспериментальному определению шума центробежных вентиляторов и выяснению зависимости их акустических характеристик от геометрических параметров вентилятора посвящены работы Е. Я. Юдина (1958) и др.
Успехи, достигнутые в экспериментальном и теоретическом исследованиях физического процесса, происходящего в центробежной ступени, и в усовершенствовании метода расчета центробежных вентиляторов/ позволили в последние годы провести большую работу по созданию новых высокоэкономичных аэродинамических схем центробежных турбомашин-
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абальянц С. X. 714, 758, 775, 777
Абасов М. Т. 625, 631, 642—644
Аббасов А. А. 648
Абдуллаев М. Н. 736
Абдураупов Р. Р. 728
Абдылдаев А. А. 19
Абдылдаев М. Ю. 25
Абелев А. С. 748, 787
Абелев М. Ю. 598
Абель В. Р. (AbelW. R.) 697
Абрамов В. М. 10, 120
Абрамов И. П. 47
Абрамов М. 3. 742
Абрамов С. К. 617
Абрамова В. И. 646
Абрамович Г. Н. 145, 148, 152, 205, 382, 462, 732, 799, 800, 804. 805, 811- 816, 818-823, 852, 854
Абрамович С.①.117, 118
Абуталиев ①.Б. 619
Абуталиев Э. Б. 628
Авакян Э. А. 632, 635
Авдонин Н. А. 648
Авдуевский В. С. 524, 541, 557
Аведиков А. С. 23
Аверкиев А. Г. 709, 752, 776, 785, 787, 788, 790
Аверьянов С. ф. 604, 647
Автономов Г. Е. 722
Агаев ①.Т. 774
Агасиева С. И. 719, 720, 740
Агроскин И. И. 713, 714, 740, 741
Ададуров Г. А. 258, 394
Адамс М. К. (Adams М. С.) 544, 555, 556
Адамс Э. В. (Adams Е. W.) 557
Адамская И. А. 325
Адамский В. Е. 244, 246
Адзуми X. (Adzumi Н.) 592
Айвазян О. М. 716
Акатнов Н. И. 815
Аккерет Я. (Ackeret J.) 39, 154, 156, 178, 179
Акривос A. (Acrivos А.) 518, 519
Аксельруд Г. А. 646
Албул С. П. 647
Алекперов С. И. 625, 630,
631
Александров Л. Н. 755
Алексеев Б. В.
528
Алексеев В. П.
800
Алексеев Р. Е.
53
Алексеев Ф. А.
646
Алексеева Е. В
.431, 432
Алексеева Л. М.
449
Алексеева Р. Н.
155, 156
Алексеевский В.
П. 19
Алексеевский Н. Алиев 3. С. 644
Е. 700
Алиевский М. Я. 434
Алихашкин Я. И. 622
Алишаев М. Г. 612, 625, 635, 647
Аллахвердиева Р. А. (Р. Г.) 623, 644
Аллен А. О. (Allen А. О.) 351
Аллен Дж.①.(Allen J. F.) 667
Аллиеви Л. (Allievi L.) 721
Алтунин С. T. 775
Алтухов П. Я* 639
Альбринг В. (Albring W.) 803 .
Альтовский М. Е. 617
Альтшулер Л. В. 209, 252, 253, 255, 257, 259, 306
Альтшулер М. А. 640, 646
Альтшуль А. Д. 709, 713.
714, 716, 787, 793, 798
Амбарцумян Р. В. 263, 264
Амброладзе Т. А. 783
Амелин И. Д. 625, 643
Амелюшкин В. Н. 800
Амираджиби Р. К. 723
Ананян А. К. 758, 776, 779-781, 783, 789
Андерсон А. К. (Anderson А. С.) 697
Андреев И. П. 724
Андреев К. К. 360, 362, 363
Андреев О. В. 741, 789
Андрианкин Э. И. 248, 251. 274, 280, 302
Андриасов Р. С. 774
Андрияшев М. М. 717
Андроникашвили Э. Л. 649, 651, 665—667, 669—673, 675, 676, 678—682, 689, 705
Анисимов С. И. 265, 276
Анкудинов А. Л. 533
Анохин В. Л. 647
Антимиров М. Я. 648
Антипов А. И. 748
Антонов Д. А. 594, 633, 643
Антонов П. Л. 647
Антонова Г. С. 816
Антонцев С. Н. 741
Анфимов Н. А. 554, 557
Апин А. Я. 292, 360, 395
Аптекарь Л. Д. 604, 605
Апштёйн Э. 3. 555
Аравин В. И. 586. 588, 604, 607, 611, 619
Аржаников Н. С. 7, 40, 87
Арманд А. А. 773
Армитедж Дж. В. (Armitage J. V.) 180, 204
Арнольдов В. Н. 101
Аронович Г. В. 724
Ароновский Дж. С. (Aronofsky J. S.) 627
Аррениус С. A. (Arrhenius S. А.) 344, 345, 348, 387, 398, 402
Арсенишвили К. И. 715
Арсеньев А. А. 425
Артюшков Е. В. 459
Арутюнян Н. X. 644
Архангельский В. А. 642, 720, 725, 727, 728, 735, 765, 774
Архангельский М. М. 771, 772
Архипов В. Н. 169
Архипов Р. Г. 660
Архипова Л. А. 769
Арцыков А. П. 839
Арыкова А. И. 720
Арынов А. А. 34
Асатур К. Г. 721
Асатурян А. *Ш. 735, 736
Аскарьян Г. А. 263, 265
Асланов С. К. 34, 3 72, 387
Астафичева Т- Н. 743
Астафьев В. М. 145
Астрахан Д. И. 630
Атавин А. А. 709, 732
Аузбаев Д. 774
Афанасьев Г. Т. 379
Афанасьев Е. ф. 32, 599, 644
Афанасьев Ю. В. 266
Афанасьева А. В. 643, 644
Ахиезер, А. И. 436, 437
Ахиезер И. А. 454
Ахиезер Н. И. 10, 17, 120
Ахмедов 3. М. 644
Ахмедов Т. X. 778, 787
Ахутин А. Н. 740
Ашкинадзе Б. М. 268
Аэров М. Э. 591, 644—646
Бабаев Д. А. 171
Бабаджанян Г. А. 735, 799
Бабак Г. А. 832, 854
Бабалян Г. А. 643, 646
Бабанлы В. Ю. 631
Бабенко К. И. 170, 171, 285
Бабицкая С. С. 598
Бабкова М. М. 845
Баблидзе Р. А. 651, 672, 678, 680, 705
Еабуппшн В. Д. 617
Багаева Н. Я. 72, 516
Багдоев А. Г. 32, 595
Багин В. М. 21, 28
Багнолд Р. A. (Bag- nold R. А.) 767
Багриновский К- А. 320
Багров Н. А. 571, 618, 648
Базанов М. И. 604, 605, 607
Базен A. (Bazin Н.) 715
Базжин А. М. 174, 176
Базилевич В. А. 727, 730, 756, 776, 777
Базлов М. Н. 624
Байрон С. (Byron S.) 230
Баканов С. П. 430
Баканова А. А. 252, 253, 306
Бакланов Б. Д. 769
Баклановская В. ①.618, 619
Бакли С. Э. (Buckley S. Е.) 587, 639
Бакулев В. И. 821, 822
Б аланин В. В. 742, 751
Балашов К. И. 298, 300
Балуева А. С. 722
Бам-Зеликович Г. М. 183— 186, 275, .405—408, 449, 541, 797, 799, 801
Бан A. (Ban А.) 588—590, 624, 629 , 633, 634 , 638, 640, 641, 645, 646
Банкрофт Д. (Bancroft D.)
252, 258, 339
Баранов В. Б. 434, 435, 450
Баранова Г. Р. 367
Барановская Н. Н. 622
Барановский В. В. 553
Баранцев Р. Г. 102, 130, 424, 431, 432
Барекян А. Ш. 719
Баренблатт Г. И. 251, 252, 477, 587, 599, 600, 618, 623, 624, 628, 631—633, 756—758, 760, 763, 765
Барзыкин В. В. 347, 348
Барлыбаев X. А. 807
Бармин А. А. 436—439, 448, 454
Барнетт Д. (Burnett D.) 426, 429, 430, 534
Барнз К. Б. (Barnes К. В.) 590, 591
Барсегян Р. М. 601
Барштейн М. Ф. 826
Барышев В. М. 643
Басин А. М. 144
Басниев К. С. 594, 629, 633, 634, 637, 638
Басов Н. Г. 263, 266, 267
Бассет А. Б. (Basset А. В.) 69, 70
Батурин В. В. 818, 819
Батчелор Дж. К. (Batchelor G. К.) 481, 482, 484, 487, 495, 504
Бауерсфельд В. (Bauersfeld
W.) 145, 147
Баулин К. К. 801, 831, 837
Баум В. А. 645, 646
Баум Ф- А. 252, 253, 453
Бахман Н. Н. 363, 364
Бахметев Б. А. 710, 71& 742
Бачурина А. А. 573
Башкиров А. А. 721
Башкирова JI. С. 743
Баясанов Д. Б. 735, 737
Бедим В. Г. 843
Безменов В. Я. 820, 822
Безызвестных А. В. 751, 788, 790
Бейзер Дж. (Bazer J.) 437
Бекаревич И. Л. 651, 660, 666
Беккер Г. A. (Becker Н. А.) 500
Беккер Р. (Becker R.) 213
Бекнев В. С. 841
Бекулов М. Т. 19
Белаш П. М. 625, 626
Беленький И. М. 10,17, ИЗ, 120
Беленький С. 3. 221, 251
Белехова Н. Г. 150
Белик Н. П. 721
Белова А. В. 431
Белова Н. Т. 769
Белоконь В. А. 221, 225, 326
Белоусов В. Д. 733
Белоусов С. Л. 567, 570
Белоцерковский О. М. 167, 168, 173, 174, 176, 178
Белоцерковский С. М. 88r 95, 96, 98, 116, 138, 140г 144, 829, 842
Белюстина Л. Н. 724
Беляев А. Ф. 222, 292k 360, 362, 363
Белянин Н. М. 733, 807
Беляшевский Н. Н. 743г 748, 755
Бенар A. (Benard Н.) 510г 825”
Бенджамин Т. Б. (Benjamia
Т. В.) 729
Бендт ①.Дж. (Bendt Ph. JJ 682
Берви Н. В. 6
Бергман С. (Bergman S.) 36, 149
Бердников Л. Л. 743
Березинский А. Р. 740
Березняк Н. Г. 651, 700, 70Z
Берзон И. С. 595
Берзон Э. М. 126
Бердинг Р. В. (Burling：
R. W.) 499, 500
Берман Я. Р. 9, 16, 22, 122
Вернадский Н. М. 718, 725, 728, 750, 751, 775
Берри ①.Дж. (Berry F. J.> 291
Берс Л. (Bers L.) 149
Бертло М. (Berthelot М.) 734
Бете Г. A. (Bethe Н. А.) 304, 555
Бетц A. (Betz А.) 6, 17, 107
Биберман Л. М. 230, 533广 558
Бийбосунов И. 102
Билибин В. В. 620
Биндеман Н. Н. 617
Био Ж. Б. (Biot J. В.) 100-
Био М. A. (Biot М. А.) 592—594, 596, 597
Биркгоф Г. (Birkhoff - G.) 20, 463
Бирнбаум В. (Birnbaum W)
Бисноватый-Коган Г. С.
434
Близняк Е. В. 774
Б л икни У. (Bleakney WJ 306
Блинов А. В. 257
Блинова Е. Н. 566, 568, 573, 574
Блох Э. Л. 31, 32, 118, 119, 833
Блохинцев Д. И. 490, 816
Блумберг О. К- 754
Блюмин В. И. 44, 54
Блюмина Л. X- 97, 824— 826, 828, 830
Боболев В. К. 379
Бобровский С. А. 734, 736
Бобылев Д. К. 53, 54
Богачева А. А. 201, 532
Богданова В. В. 152 Боголюбов Н. Н. 424, 467, 652, 662, 664
Боголюбова И. В. 779, 781
Богомолов А. И. 718 Богомолова А. Ф. 588 Богословский К. Е. 179 Богоявленский И. В. 702 Боднер В. А. 848
Божич С. П. 747, 748
Бозе Ш. Н. (Bose S. N.) 662
Бойко В. А. 263, 266
Бойченко П. О. 598
Боксерман А. А. 638, 642
Болдаков Е. В. 741
Болджиано Р. (Bolgiano R.) 497
Болин Б. (Bolin В.) 566 Болотин А.①.44 Болховитинов Л. Г. 379 Больцман Л. (Boltzmann
L.) 213, 218, 228, 277, 424—428, 430, 431, 433, 490, 654, 699
Большаков В. А. 730
Бондарев Е. Н. 549, 551
Бондарев Э. А. 632, 646, 648
Бондарева М. М. 644 Бондаренко Н.①.591 Бонч-Бруевич А. М. 265 Бор Н. (Bohr N・)659 Борда Ж. Ш. (Borda J.
Ch.) 713
Борисенко А. И. 118
Борисов А. И. 769
Борисов В. М. 180
Борисов В. С. 822
Борисов Г. А. 848
Борисов Н» С. 706
Борисов Ю. П. 589, 620, 622—625, 631, 642, 643
Борисова Э. П. 20, 31
Боршпанский В. М. 807 Бородачей В. Я. 813—815 Бортников С. А. 578 Борщевский Ю. Т. 124, 760 Ботсет X. Г. (Botset Н. G.) 587, 636
Бочевер Ф. М. 604, 617, 622, 647
Бочков Н. М. 648, 766
Брагинский С. И. 434, 446, 453
Бражник М. И. 256, 257
Браиловская И. Ю. 525, 529 Брайтоне дер М. (Breitenoe- der М.) 616
Браславский А. П. 727 -
Браун Г. (Brown Н.) 300
Бреслав В. И. 646
Бреховских Л. М. 300
Бриден К. (Brieden К.) 182
Брике К. ф. 144
Бриксман А. А. 774
Бриллуен М. (Brillouin М.) 9, 10, 15
Бриш А. А. 259
Броуд Г. Л. (Brode Н. L.) 233, 284, 292
Брудно А. Л. 622
Брук Дж- В. (Brook J. W.) 429
Брусиловский И. В. 832, 834, 838, 841, 845, 849, 853
Брушлинский К. В. 243, 292, 320, 323
Брюс Дж. Г. (Bruce J. Н.) 628
Бубнов И. Г. 457, 726, 822
Бугаенко Г. А. 128
Будак Б. М. 726
Буевич Ю. А. 590, 759, 760, 762
Буземан A. (Busemann А.) 154, 156, 157, 168, 179, 182, 202, 203
Бузинов С. Н. 624, 625, 627, 630, 639—641
Букина Л. А. 771
Букреев В. И. 744, 748, 787
Булах Б. М. 196, 197
Булдаков И、 И. 772
Булдей В. Р. 619
Булеев Н. И. 565, 566, 568, 569, 573, 715, 794, 798, 807
Булина И. Г. 770
Булыгин В. Я. 622
Булычев В. Г. 598
Бунатян А. А. 336
Бунатян Л. А. 336
Буниатян Б. Л. 725
Бунимович А. И. 35, 129, 183-185,. 428, 432, 841
Бунятян Л. Б. 722
Бураго Г.①.93, 96, 127
Бургдорфер A. (Burgdor- fer А.) 513
Бурков А. Ф. 747
Бурцев А. И. 573
Буссинеск Ж. (Boussinesq
J.) 586, 617, 618, 719, 729, 730, 745, 754, 779
Бутаков С. Е. 819, 858
Бутузов А. А. 42
Бушель А. Р. 840, 849
Быков В. В. • 565, 568, 579
Быков В. М. 751
Быркин А. П. 798, 808
Быстров К. Н. 25, 150, 620
Бычков А. Г. 831, 846, 850, 854, 856—858
Бычкова Л. А. 801
Бюшгенс Г. С. 101
Бюшгенс С. С. 145, 783
Вагнер Г. (Wagner Н.) 10, 12, 13, 31, 32, 47, 135
Вайнен В. ф. (Vinen W. F.) 673
Вайнер М. И. 590, 636
Вайниг ①.(Weinig F.) 16, 41, 616, 842.
Вайнштейн A. (Weinstein А.) 149
Вайсзингер И. (Weissinger J.) 94.
Вайсман М. Д. 134
В алландер С. В. 150, 163, 183, 426, 431, 528, 852 Вальдман Дж. Д. (Waldman G. D.) 175
Вальтер П. А. 88, 98, ИЗ, 115, 117, 125, 127, 151, 795, 800, 852
Вальхнер О* (Walchner О.) 156
В ан-Дайк М. (Van Dyke М.) 186, 534
Ван-дер-Ваальс И. Д. (Van der Waals J. D.) 733, 822 Ван-Дрист Э. P. (Van-Dri- est E. R.) 540, 541
Ванони В. A. (Vanoni V. A.)
759, 760, 762, 765
Вансинк Д. Г. H. (Wansink
H. N.) 706
Вант-Гофф Я. Г. (Van't
Hoff J. H.) 705, 706
Варжанская T. C. 525
Васильев В. A. 610, 737
Васильев О.①.147, 149, 709, 726-729, 731, 732, 738, 741, 742, 744, 748, 775, 776, 780, 783, 787
Васильев Ю. Н. 595, 774
Васильевский В. Н. 625
Ватажин А. Б. 447, 448
Вахитов Г. Г. 625
Вахламов С. В. 819
Вахомчик В. П. 139, 143
Вахрамеев Ю. С. 325, 341
Вашингтон М. (Washington М.) 169
Вашкевич К. П. 840
Ващенко В. Я. 257
Вевиоровская М. А. 619
Веденов А. А. 424, 455
Ведерников А. Н. 798
Ведерников В. В. 586, 588, 604—607, 725, 728, 741, 744—746, 784
Ведров В. С. 31
Везиров Д. Ш. 641
Вейц И. И. 718.
Вейцзеккер К. Ф* (Weizsaecker С. F.) 244, 494
Вейцман А. А. 18
Векуа И. Н. 93, 149, 150
Велеско Л. Г. 186
Великанов М. А. 753, 755,
759, 764, 766, 771, 775, 776, 789
Беликовский А. С. 644
Велина Н.①.‘292
Велихов Е. П. 424, 455— 458
Вентури Дж. Б. (Venturi G. В.) 40, 89
Вентцель Т. Д. 628
Веревкин Н. Н. 801
Веригин Н. Н. 587, 596, 597, 604—606, 608, 617, 618, 622, 625, 644, 648
Веселовский М. Н. 144
Веске Дж. Р. (Weske J. R.) 833
Вестергард Г. М. (Wester- gaard Н. М.) 32
Ветчинкин В. П. 144, 836
Вигардт К. (Wieghardt К.)
Викоф Р. Д. (Wyckoff R. D.) ■ 587, 622, 636
Викторов С. Д. 304
Виленский В. Д. 810
Виленчик В. Б. 102
Виллис Д. Р. (Willis D. R.) 429
-Билля A. (Villat Н.) 5—7
Вилсон Р. Э. (Wilson R. Е.) 540—542
Вилькер Д. С. 626, 826, 828
Вильямс В. Э. (Williams
W. Е.) 443..
Вильямс Г. К. (Williams
G. С. ) 500
Вив клер Дж. (Winckler J.) 823
Винклер Э. М- (Winkler
М.) 542
Виноградов К. В. 774
Виноградов Ю. П. 619
Виноградова В. И. 760—
2, 764, 770
Владимиров А. Н. 51, 52
Владимиров В. И. 268
Владимиров Л. А. 257, 628
Владимиров Ф. С. 34
Власов А. М. 622
Власов В. И. 427, 428, 431
Власов Е. В. 490, 816, 817
Власов О. Е. 288
Власова 3. П. 284, 295
Водяник Г. М. 839
Воеводин А. ф. 738
Вознесенский И. Н. ИЗ, 145—148
Войнич-Сяноженцкий Т- Г. 709, 717, 718, 720, 729, 742, 744—746
Войнович А. П. 779
Войнович П. А. 744
Войт С. С. 25, 82
Войташевский Д. А. 118, 120 852
Войтенко А. Е. 225, 235, 326
Войткунский Я. И. 15
Войценя В. С. 15
Войцеховский Б. В. 391, 392, 402
Войгпель В. В. 540
Воларович М. П. 769
Волин Б. П. 394
Волков А. К- 87
Волков Д. М. 721
Волков И. М. 728
Волков П. А. 767
Волкова Л. П. 805
Волосевич П. П. 452, 454
Волынский М. С. 820
Воробьев В. С. 230, 553
Воробьев Г. А. 747
Воробьев О. С. 35
Ворович И. И. 31
Ворович Л. С. 31
Воронец К. (Voronjec К.) 26, 27
Воскобойников И. М. 379
Воскресенский Г. П. 170
Воскресенский К. Д. 794, 807, 808
Востржел Г. В. 751, 752, 784, 785, 788, 790
Вющинин А. П. 604, 607, 610
Всеволодов Н. Н. 268
By Я. Ц. (Wu Т. Y.-T.)
By Ч. X. (Wu Ch. Н.) 145
Вудхед Д. У. (Woodhead
D. W.) 391
Вукалович М. П. 301
Вулер П. Т. (Wooler Р. Т.) 456
Вулис Л. А. 382, 732? 800,
804, 805, 813, 815, 817,
Вызго М. С. 742, 743, 778
Высоцкий Л. И. 752
Вялов С. С. 598
Гаврашенко Е. А. 776
Гавриленко В. А. 793
Гадеева Л. К. 27
Газирбекова А. X. 854
Газли К. (Gazley С.) 558
Гаипова А. Н. 618
Гайдуков Н. И. 150
Галанин А. В. 11
Галеркин Б. Г. 148, 457, 726, 822
Галимзянов Ф. Г. 854
Галин Л. А. 32, 135, 144, 158, 619, 621
Галиуллин 3. Т. 734—736, 739, 740
Галицейский Б. М. 802, 810
Галкин В. С. 427, 428, 430, 532
Гальперин В. Г. 101, 155, 732
Гальперин Р. С. 741, 747
Галюн Н. С. 169
Гамаюнов Н. И. 647
Гамбарян А. О. 746
Гамель Б. Б. (Hamel В. В.) 429
Гамель Г. (Hamel G.) 609, 611, 795
Гамцемлидзе Г. А. 651, 670, 671
Гандельман Г. М 243, 254, 326, 409
Гандельсман А. ф. 733
Ганзен В. (Hansen W.) 82, 83
Гапонов А. В. 339
Гарабедян П. Р. (Garabe- dian Р. R.) 24
Гарднер К. С. (Gardner
С. S.) 460
Гарибянц А. А. 647
Гарифуллина Н. X. 629
Гаркави О. Я. 780
Гармонов И. В. 617
Гаррик И. Э. (Garrick I. Е.} 86
Гартман Ю. (Hartmann J.}
441, 442, 445, 455, 456
Гасанов ①.Г. 643, 644
Гаспарян А. М- 766
Гахов ①.Д. ИЗ, 610
Гацулаев С. С. 629
Гвазава Г. Н. 724, 742
Гегин А. Д. 843
Гедеке К- (Goedecke К.) 497
Геертсма И. (Geertsma J. 593
Гейдон А. Г. (Gaydon A. G.) 553
Гейзенберг В. (Heisenberg W.) 485, 486, 494
Гельман Н. А. 815
Гельмгольц Г. (Helmholtz.
Н.) 5, 98
Гельфанд И. М. 319, 323,453
Гельфант Р. Е. 726
Гембаржевский М. Я. 834, 854, 858
Генералой Н. А. 227—229
Генкин А. Л. 450
Генри В. (Henry W.) 641, 646, 700
Георгиевский В. Б. 619
Герл И. Р. (Hurle I. R.) 553
Герсеванов Н. М. 587,
595, 596, 599
Гертлер Г. (Goertier Н.) 520, 813
Герчинский Р. (Herczynski R.) 593
Гершаник Я. Т. 223
Гершгорин С. А. 625
Гершуни Г. 3. 443
Гессельберг Т. (Hesselberg-
Т.) 562
Гиббс Дж. В. (Gibbs J. W.) 637
Гибсон К. Г. (Gibson С. Н.) 499—501
Гибсон М. М. (Gibson М. М). 499
Гигиберия Г. Я. 722
Гидальго Г. (Hidalgo Н.)
558
Гилинский С. М. 174, 177
Гильберт Д. (Hilbert D.) 29, 425
Гильденблат Я. Д. 725, 727
Гиляров Н. П. 788
Гиматудинов Ш. К. 631
Гиневский А. С. 116, 118, 119, 133, 138, 452, 793, 795—797, 801, 803, 808, 810, 813-817, 819, 833, 834, 842-845, 847
Гинзбург Б. Л. 118
Гинзбург В. Л. 652, 671, 683
Гинзбург И. П. 540, 541, 543, 545, 721, 722, 732, 733, 805, 815, 823
Гинзбург М. Я. 735, 737
Гинзбург С. И. 847
Гинзбург Ц. Г. 747
Гинтовт Н. Н. 748
Гиргидов А. Д. 722, 752
Гиринский Н. К. 601, 604, 616, 617, 631
Гиро Ж. П. (Guiraud J, Р.) 191, 192, 197, 198, 202
Гиршович Т. А. 819
Гладышев М. Т. 727
Тладытев Ю. А. 150
Гласс Ф. Г. 87
Глауерт Г. (Glauert Н.) 86, 98, 100, 112. 127, 135
Глик Г. С. (Glick Н. S.) 229 Глогов^кий М. М. 622, 630, 642, 643
Глумов И. Ф. 647
Глушков В. Г. 616
Глущенко А. А. 614
Го Юн-хуай (Kuo Y. Н.) 191
Говорова Г. Л. 625
Гогосов В. В. 434, 436, 454
Годунов С. К. 178, 320, 579, 726, 727
Голдбергер М. Л. (Goldberger
М. L.) 435
Голдсброу Дж. Р. (Golds- brough G. R.) 80
Голдсворси Ф. A. (Goldsworthy F. А.) 186
Голдстайн Г. (Goldstine Н.) 233, 284
Голдстейн С. (Goldstein S.) 480, 509, 812
Голицын Г. С. 436, 454, 487, 494, 504
Головань В. М. 616
Головин А. М. 773
Голомазов М. М. 176
Голубев В. А. 821
Голубев В. В. 9, 20, 86, 88, 92, 96, 135, 144, 815
Голубев В. С. 647
Голубева О. В. 25, 149, 150, 620
Голубинский А. И. 97
Голузин Г. М. 116
Гольдин А. Л. 597, 598
Гольдштейн М. М. 597
Гольдштик М. А. 125, 783, 800
Гольцев В. В. 131
Гомонова К. В. 623
Гонор А. Л. 164, 197, 202, 203
Гончаров В. Н. 714, 719, 764—767, 775, 777, 781
Гончаров Л. А. 749
Гопкинсон Б. (Hopkinson
В.) 20
Горансон Р. В. (Goranson
R. W.) 252
Горбань Н.①* 212
Горбунов А. Т. 594, 627, 631, 634, 635, 641, 643
Гордиенко П. И. 748
Горелик Л. В. 598
Горелов Д. Н. 140, 141, 143, 834
Горелов С. Л. 427, 428
Горелов Ю. А. 94
Гориславский В. С. 429
Городков Ю. Д. 749
Городцов В. А. 505
Горощенко Б. Т. 93
Горский И. П. 101
Горюнов С. И. 769
Гостунский А. Н. 754
Готгельф И. М. 832
Гото К. (Gotoh К.) 458
Гофлин А. Л. 626
Гохман А. М. 148, 150
Гошев Г. А. 14
Гранат Н. Л. 759
Грант X. Л. (Grant Н. L.) 499
Гребенников В. Н. 97
Гред Г. (Grad Н.) 425, 434
Грейфингер К. (Greifinger С.) 453
Гриб А. А. 162, 391, 405, 605, 721
Григорьев В. Н. 698
Григорян С. С. 24, 42, 46, 186, 198, 302
Гризодуб Ю. Н. 721
Грин А. Э. (Green А. Е.) 10
Грин Дж. (Green G.) 83
Гринберг Г. А. 443
Гринберг О. У. ((Greenberg
О. W.) 217
Гринвальд Д. И. 754
Гришанин К. В. 714, 731, 749, 755, 766, 796
Гришина Г. А. 262
Гродзовский Г. Л. 131, 181, 182, 186, 202, 733, 800, 805, 819
Громека И. С. 147, 710, 720, 730, 783, 809
Громова Р. ф. 722
Гросс Дж.①.(Gross J. F.) 558
Гроссман Д. П. 95
Гроув Э. С. (Grove A. S.) 518
Грунфест Р. А. 70
Грушевский М. С. 726, 727
Грюнайзен Э. (Gnieneisen
Е.) 255, 256
Губайдуллина Р. 3. 18
Губкин А. А. 306
Губкин И. М. 620
Губкин К. Е. 153, 284
Гудерлей К. Г. (Guderley К. G.) 180, 204, 240, 241, 291, 323
Гуджабидзе Г. В. 679
Гудок Н. С. 633, 647
Гужов А. И. 773
Гуйон Р. (Gouyon R.) 58,
Гук Р. (Hooke R.) 592
Гукасова Е. А. 134, 145, 152, 800
Гулард Р. (Goulard R.) 528,
Гулиева Н. М. 644
Гунько Ф. 709, 718, 743, 752
Гупало Ю. П. 709, 760, 762
Гурбанов Р. С. 769
Гурвич А. С. 474, 475, 498, 500—503
Гуревич Г. Р. 637, 638, 644
Гуревич М. И. 10, И, 13, 16—19, 22—24, 27—31, 40, 41, 43, 46, 48, 50, 122, 135, 136, 144, 157, 158. 741
Гуржиенко Г. А. 470, 793, 796
Гуров К. П. 424
Гусаров Л. А. 319
Гусев В. Н. 429, 532
Гусейн-заде М. А. 631, 736
Гусейнов Г. П. 626, 643
Гутенмахер Л. И. 625
Гухман А. А. 786, 805—
807
Гюгоньо A. (Hugoniot Н.) 210, 306, 343, 374—376, 380—384, 406, 410—412, 415, 437, 438
Гюйгенс X. (Huygens Ch.) 371
Гюнтер Э. (Guenther Е.) 609
Давидович В. И. 616
Давидян Дж. (Davidian J.) 715
Давыдов Б. И. 478, 480
Дагдейл Дж. С. (Dugdale
J. S.) 255
Дадашева Т. Д. 625, 631
Дальтон Дж. (Dalton J.) 39
Дамкелер Г. (Damkoehler
G.) 364, 365
Данелия Н.①.780 父 р^
Данелия Р. Г. 777"
Данилов В. Л. 621, 623, 625
Данилов М. А. 748
Данилов Ю. И. 802
Данков 485
Дарси A. (Darcy Н.) 585, 586, 588—593, 596, 599, 600, 612, 613, 615, 624, 628, 635, 636, 646
Дау нт Дж. Г. (Daunt J. G.) 702
Дафф Р. Э. (Duff R. Е.) 258
Дворниченко П. В. 733
Двухшерстов Г. И. 722
Девисон Б. Б. (Davison В.) 586, 588, 589, 601, 602, 604—607, 609—611, 613
Девнин С. И. 829
Дегтярев В. Н. 432, 722
Дегтярев Н. М. 644
Дейвис В. Э. (Davies
W. Е. R.) 263
Дейвис Р. М. (Davies R. М.) 297
Дейли Дж. У. (Daily J. W.) 730, 762, 763-
Дейсслер Р. Дж. (Deissler R. G.) 794
.Дейч М. Е. 126, 134, 145, 148, 152, 800, 803, 805
Дементьев В. А. 266
Дементьев М. А. 709, 759, 760, 766, 769, 779
Демуцкий В. П. 438
Демченко В.①.619
Демьянов Ю. А. 547, 550
Ден Г. Н. 853
Ден-Гартог Дж. П. (Den
Hartog J. Р.) 830
Денисов Ю. Н. 383, 392, 394
Денисон М. Р. (Denison М. R.) 558
Деннистон Д. В. (Denniston D. W.) 366
Денх ①.(Doench F.) 795
Депати Д. (Depatie D.) 682
Дерибас А. А. 302
Деринг В. (Doering W.) 391
Дерягин Б. В. 430, 587, 592, 640, 646
Деш Дж. Г. (Dash J. G.) 672, 698
Деянов В. П. 744
Джакс Дж. Д. (Jukes J. D.) 217
Джалилов К.Н. 622, 631, 643
Джаныбеков Ч. 102
Джапаридзе Ш. А. 673
Джваршейшвили А. Г. 722
Джевецкий С. К. 144
Джейкоб Ч. Э. (Jacob Ch.
Е.) 587, 598—600
Джейн П. (Jain Р. С.) 488
Дженкинс Р. (Jenkins R.) 627
Джонс Р. Т・(Jones R. Т.) 96, 158•
Джонс-Парра Дж. (Jones- Parra J.) 640
Джонсон Дж. В. (Johnson G. W.) 304
Джоуль Дж. (Joule J. Р.) 733, 734, 739
Джрбашян Э. Т. 758—760, 764, 771, 772
Дзидзигури А. А. 846, 848
Дивнов И. И. 258
Дидковский М. М. 714, 755, 770
Димант П. И. 853
Дирак П. (Dirac Р. А. М.) 255
Дмитриев Г. Т. 713, 718, 740, 741
Добер A. (Daubert А.) 729 Добровольская 3. Н. 32, 47 Добровольский О. В. 187 Добрынин В. М. 594, 633 Довжик С. А. 119, 152, 800, 803, 808, 833, 834, 838, 842-844, 853
Догонадзе Д. А. 724
Докучаев М. М. 302
Долгов Г. Г. 279
Долешал Ш. (Doleschall S.) 735
Долматов К. И. 720, 740
Долф Ч. Л. (Dolph Ch. L.) 170
Домбровская Л. М. 94
Домбровский Г. А. 35, 36, 99, 130, 162, 205
Доминас Л. В. 141
Донецкий В. Н. 620
Доннелли Р. Дж. (Donnelly R. J. ) 681
Донов А. Е. 156
Донцов К. М. 624
Донченко Э. Г. 748
Дор ф.,Дж. (Dore F. J.) 544
Дородницын А. А. 93, 94, 97, 166—168, 172, 479, 524, 529, 573, 582, 808
Дорошенко В, Е. 367
Дорранс В. Г. (Dorrance
W. Н.) 528, 539, 543, 544
Дорфман А. Ш. 797, 802, 803
Дорфман Л. А. 118—120, 124, 125, 129, 143, 152, 511, 852
Драбкина С. И. 222
Драммонд В. Э. (Drummond
W. Е.) 258
Дрейцер Г. А. 802, 810
Дремин А. Н- 258, 394
Дресслер Р. Ф. (Dressier
R. F.) 728, 746
Другге Г. (Drugge G.) 179
Дружинин Н. И. 616
Дубинский М. Г. 800, 838
Дубовик А. В. 379
Дубовик А. С. 252
Дубовицкий Ф- И. 347, 348, 354
Дуд сон А. Т. (Doodson А. Т.) 80
Дуйшеев Э. В. 27—29, 741
Дулин В. С. 832
Дульнев В. Б. 718, 720, 741, 743
Думитреску Д. (Dumitrescu
D.) 741
Дураков Н. И. 116, 148
Душкин П. К. 570
Дыбан Е. П. 798
Дьяков С. П. 214, 261, 262
Дьяченко В. ф. 319
Дюбрей-Жакотен М. Л.
(Dubreil-J acotin М. L.) 58, 59
Дюбюк А.①.573
Дюмин Н. Е. 705
Дюнин А. К. 757, 760, 767
Дюпюи Ж. (Dupuit J.) 585, 600, 601, 604, 611, 615, 624, 629. 633
Дюфур Л. (Dufour L.) 539
Дягилев Л. Н. 734
Дядякин Б. В. 807
Евгеньев А. Е. 637
Евдокимов И. ф. 802
Евдокимов П. Д. 769
Евдокимова В. А. 628, 629
Евреинов В. Н. 723, 802
Егиазаров И. В. 709, 722, 725, 728, 764, 765, 775
Егидис Б. М. 754, 755, 770
Егизарян Б. О. 727
Егоров А. И. 720
Егоров И. Т- 15, 49
Егоров Н. Г. 625, 642
Егоров С. А. 715, 716, 740
Егорова И. А. 426, 528
Егорова И. И. 640
Елагина Л. Г. 500
Елин И. С. 837
Елисеев Б. В. 459
Елфимов Г. И. 807
Елькин Ю. Г. 547, 549—552
Ельяшевич М. А. 265
Емцев Б. Т- 720, 742, 752,
Ентов В. М. 612, 631, 635, 647
Еременко Е. В. 727, 728, 730, 741, 776, 787, 788
Ермоленко С. Д. 96
Ерофеев А. И. 424, 428, 432
Ерошин В. А. 12, 32
Ершов В. Н. 835, 848
Есельсон Б. Н. 651, 667, 698, 700—703, 705
Есьман И. Г. 710, 811
Ефремов И. И. 15
Жаворонков Н. М. 591
Жарков В. Н. 702—704
Жафрен М. И. (Jaffrin
М. Y.) 217
Жданов В. М. 434
Жданов В. Т.. 101
Железняков Г. В. 714, 719
3амарин Е. А. 604,
616,
Иванов В. Н. 818
Желтов Ю. В. 760, 769
619, 740, 775
Заминян А. А. 766
Иванов В. С. 24
Желтов Ю. П. 600, 631 —
Иванов Г. А. 853
634, 637, 638
Замтарадзе Л. А. 680
Иванов Г. В. 853
Жербер Р. (Gerber R.) 57
Запрянов 3. Д. 177
Иванов Н. Н. 19
Жермен П. (Germain Р.)
Зарембо Л. К. 816
Иванов Н. ф. 622, 623
99, 128, 158, 438
Зарецкий Ю. К. 597,
598
Иванов П. Л. 597
Жестков Б. А. 807, 808, 815,
Зарянкин А. Е. 803
Иванов С. К. 849
823
Зауер Р. (Sauer R.) 166, 170
Иванов Ю. В. 819, 820
Животовский Л. С. 769
Захаров Ю. Г. 754, 816, 826
Иванова В. А. 20
Жигулев В. Н. 97, 179, 426,
Зверков В、П. 741
Иванова Л. С. 32
436, 440, 528
Зволинский Н. В. 302
Иванцов В. Г. 701
Жидков Н. П. 511
Звягин Г. М. 741, 743
Иваса И. (Iwasa Y.) 745
Игнатенко Ю. В. 367
Жидкова М. А. 736, 737
Зегясда А. П. 713—715,
Жилин Ю. Л. 93, 179,
753, 765, 776, 786,
793
Идельчик И. Е. 713, 714,
439, 809
Зеленин В. М. 116, 133
793, 798—804
Жмудь А. Е. 721
Зеленский И. Е. 10,
17,
Иевлев В. М. 806
Жолас П. (Jolas Р.) 56
‘ ИЗ, 120
Изаксон А. А. 463, 471 486
Избаш С. В. 778, 786 '
Изосимов В. Г. 810
Жолдасов А. К. 736
Зельдович Я. Е* 153,
209,
Жосселен-де-Йонг Г. (Josse
210, 215, 217, 218,
223,
lin de Jong G.) 645
229, 234, 236, 240,
242,
Илизарова Л. И. 816
Жуге Э. (Jouguet Е.) 163, 177, 178, 264, 288, 289. 326, 373, 380, 385, 391
244, 250, 252, 259,
260,
Ильин А. М. 628
263, 279, 287, 288,
319,
Ильинский Н. Б. 604, 610
323, 326, 327, 332,
333,
Ильичев В. И. 773
Жузе Т. П. 644
340, 351, .356, 358,
361,
Ильюшин А* А. 183—186
Жуков А. И. 244, 246, 319,
363, 364, 370—372,
378,
Ильяшенко С. М. 367
• 624
Жуков М.①.130
381, 388, 391—394, 396—
Илюхин Н. В. 805
398, 405, 409, 419,
472,
Имаи И. (Imai I.) 509
Имас Я. А. 265
Жукова Л. А. 821
628, 820
Жуковский В. С. 807
Земский Б. М. 90
Имшенник В. С. 217 221,
Жуковский М. И. 116, 118,
Зенген Г. (Soehngen Н.)
Зенкович В. П. 767
1 137
222
124, 126, 129,130, 134,148
Иорданский С. В. 262, 437, 678
Жуковский Н. Е. 5—7,
Зилитинкевич С. С.
470,
16-19, 23, 27-30, 37,
477, 478, 573
Иориш Е. Л. 779
-41, 45, 85, 86^ 92, 95, 97,
Зильберман А. С. 132
Иосинобу X. (Yosinobu Н.)
98, 103, 105, 107—110,
Зиновьева К. Н. 649,
651,
440k丿
114, 118—120, 122, 125,
671, 701—704
Иоффе А. Я. 631
126, 128, *132, 134, 135,
Зиновьева Л. А. 641,
642
Иппен А. Т. (Ippen А. Т.) 762, 763
137, 139, 140, 144, 151,
Зинченко К. Е. 591
586, 589, 593, 601, 604,
Знаменская Н. С. 767
Исаев И. А. 714, 740
607, 608, 610, 710, 721,
Знаменский А. И. 767
Исаков Г* В. 599, 600
741, 779, 792, 799, 809,
Золотарев П. П. 592—595,
Исакович М. А. 595
833, 836, 837, 840, 841,
600, 632, 633, 647
Исаченко Н. Б. 744.
852
Золотов С. С. 794
Исмаилов Д. X. 644
Журавель И. В. 718
Зоммерфельд A. (Sommer-
Истомина В. С. 648, 740
Журавлев К). Ф. 48, 50
feld А.) 75
Историк Б. Л. 726
Жуховицкий А. А. 646
Зорян 3. А. 725
Истратов А. Г. 364, 372
Жуховицкий Е. М. 443
Зотов Г. А. 589, 594,
624,
Жучихин В. И. 252
627—629
Кабаков И. П. 721
Забабахин Е. И. 242, 243,
Зотова О. М. 262
Зрелов Н. ГГ. 754
Каверкин И. П. 673, 678, 679
257
Зубковский С. Л. 475,
498,
Каган Б. А. 83
Забежинскии Я. Л. 646
500—502
Каганов М. И. 701
Заболотская В. А. 640
Зубов Л. Б. 721
Кадомцев Б. Б. 455, 458.
Забродин А. В. 178
Зуев В. С. 263
504
Забродин П. И. 644, 646, 647
Зысина-Моложен Л.
М.
Кадышников В. М. 578
Завойский Е. К. 252
133
Каждая Я. М. 242—244,
Задворный Г. М. 777
3азовский ф. Я. 642
Ибад'заде Ю- А. 776
246, 292, 320, 323
Казакевич В. В. 143, 848
Казакова Р. К. 295
Зайдель Р. М. 251, 262, 372,
Ибрагимов М. X. 794.
,807
387, 389
Иванилов Ю. П. 74, 75, 746
Казанская Л. В. 591
Зайцев А. А. 75
Иванов А. А. 259
Казарновская Б. 3. 622
Закиров С. Н. 589, 629,630
Иванов А. В. 737
Казбан А. М* 124
Закс С. Л. 644
Иванов А. Г. 258, 259
Казубов А. И. 740
Залманзон Л. А. 19
Залуцкий Э. В. 716, 755
Иванов А. Е. 768
Иванов А. Н, 41
Какутани Т. (Kakutani Т.) 456
55 Механика в СССР, том 2
Калашников А. С. 628
Калинин Г. П. 726, 727
Калинин Н. К- И, 30, 612, 619
Калинин С. В. 7
Калинин Э. К. 802, 810
К алииушкин М. П. 857
Калис X. Э. 511
Калитин Н. Н. 771
Калихман Л. Е. 540, 541, 545
Калицун В. И. 713, 714
Калишевский Л. Л. 810
Калмыков А. А. 266
Камак М. (Camac М.) 553, 558
Каменев И. А. 744
Каменецкий С. Г. 624, 625 642
Каменский Г. Н. "617, 619
Камзолов В. Н. 169
Камнев Г. Ф. 132,
Кампе-де~Ферье Ж. (Катрё
de Feriet J*) 643
Камынин Л. И. 628
Канделаки Н. А. 724
Канторович Л. В. 116
Кантровиц A. (Kantrowitz
А.) 182, 222
Капелович Б. Э. 137, 140
Капио Р. (Capiaux R.) 169
Капица П. Л- 73, 75, 650—
652, 658, 664—666, 670
Каплан С. А. 436, 440, 453
Каплун С. (Kaplun S.) 509 Капустянский С. М・ 524, 525
Каранфилов Т. С. 619
Карасик В. М. 769
Караушев А. В. 751, 754— 756, 764—766, 772, 776, 779—781, 783^
Карафоли Э. (Carafoli Е.)
Кардаш Е. Г. 772
Кареселидзе Н. Б. 724, 767
Карлеман Т. (Carleman Т.) 150, 425
Карликов В. П- 45, 248, 280, 453, 454
Карлин Б. И. 769 .
Карловиц Е. (Karlovitz В.) 366
Карлсон А. В. (Carlson A. W.) 448,
Карман Т. (Karman Т.) 22, 86, 90, 91, 99, 154, 159,178,470,471,473,
481—485,493,536,
541,543,545,714,
793,825
Карман ①.К- (Carman Ph.
С.) 589
Карпов В. П. 644
Карпович Е. А. 156, 157
Карпычев В. А. 622, 623, 639
Карпычева 3. Ф. 752
Каррье П. (Carriere Р.) 548
Картвелишвили Н. А. 709, 7 21—726, 7 29, 745, 7 46
Каспаров М. А. 833
Касьянов В. М. 716
Катаев И. Г. 339
Катаржис А. К. 773
Кацкова О. Н. 169, 204
Качановский Б. Д. 731
Качинский В. Н. 700
Кашкарлы К. А. 371
Кашкаров В. П. 823
Кащеев А. Н. 751
Квашнина С. С. 163
Квинтрадзе Ш. Н. 720
Квон В. И. 731
Келдыш В. В. 130, 179, 182
Келдыш М* В. 12—14, 29, 46, 52, 76, 86, 87, 93, 98, 110, 111, ИЗ, 126, 135, 138
Келлер К. (Keller К.) 849
Келлер Л- В. 464—467, 478, 480, 487, 488
Кемоклидзе М. П. 678, 682, 686
Кемп Н. Г. (Kemp N. Н.) 553, 558
Кемпбелл К. (Campbell С.) 391
Кениг Э. (Koenig Е.) 108
Кеннеди Дж. Ф. (Kennedy
J. F.) 763, 767
Керимгазиев Э. 102
Керр Э. Ч. (Кегг Е. Ch.) 700
Керреброк Дж. Л. (Кегге- brock J. L.) 450
Керстен.И. О. 834, 858
Кестер Р. (Coester R.) 857
Кестер Р. Г. (Kester R. Н.) 542
Кибель И. А. 34, 151, 156, 161, 203, 481, 509, 562, 568, 575
Кикнадзе Л. В. 688, 689, 693
Кикоин А. К. 667
Киладзе Р. М. 746
Ким В. Ю. 621, 631
Кинг Ф. X. (King F. Н.) 591
Кинд К- Я- 784, 785
Киннер В. (Kinner W.) 94
Кириллов В. А. 821
Кириллов Г. А. 260
Кириллов И. И. 145, 850
Кирквуд Дж. Г. (Kirkwood
J. G.) 485
Кирмелашвили Г. И. 722
Кирпичев М- В. 786
Кирхгоф Г. (Kirchhoff G.) 5, 9, 15, 17, 30, 40, 53, 54, 98, 518
Киселев Б. М* 804
Киселев К. А. 150
Киселев М$И. 452
Киселев О. М. 27—29
Киселев П. А. 619
Киселев П. Г. 713, 718, 720>
740
Кисловская М. Д. 758
Клабуков В. М. 722
Клайден В. A. (Clayden
W. А.) 44
Кларк Г. Р. (Clarke G. R》 706
Клейман Я. 3.595
Клейн Дж. Дж. (Klein J・ J・> 229
Климентич Ю. В. 787
Климентов А. Н. 768
Климов А. М. 367
Климова Т. В. 532
Климонтович Ю. Л. 424
Клинкенберг Л. Дж- (Klin- kenberg L. J.) 592
Клоу Дж. Р. (Clow J. R.) 68Z
Кляровский Г. В. 643
Кляцкин В. И. 490
Кнопов Л、(Knopoff L) 305-
Кнороз В. С. 754, 760, 766—768, 770, 776, 78a
Кнудсен М. (Knudsen М・”)・ 428
Князев В. (Kniazeff V.) 64$
Князев В. С. 835, 848
Коберник С. Г. 769
Кобранова В. Н. 595
Кобурн Н. (Coburn N.) 170
Ковалев А. Г. 633, 634
Ковалев А.- П. 101
Ковалева В. ф. 631
Коваленко В. М. 853, 858
Коган А. М. 248, 274
Коган Л. Г. 622, 623, 644
Коган М. Н. 167, 179(.
424, 426—428, 431—433& 437—440, 528
Коган Я. Л. 598
Когарко Б. С. 39
Когарко С. М. 379
Коджаев Ш. Я. 640
Кожевников А, С. 719
Кожевников М. П. 779, 78t
Козаченко Л. С. 366, 367f 401
Козени И. (Kozeny J.) 589
Козин В. Н. 715
Козлов Б. К. 774
Козлов В. С. 604, 605t. 607, 615, 619
Козлов Л. В. 541, 542
Козлянин С- В. 754
Козобков А. А. 737
Койда Н. У. 717
Кокочашвили В. И. 372
Кокс Р. Н. (Сох R・ N.) 44
Колб А. Ч. (Kolb A. Ch.) 224
Колборн Д. К- (Colborne
D. С.) 80
Колесников А. В. 152, 800, 834, 843, 844
Колесников Г. А. 95
Колесникова А. Н. 256
Колешко С. Б. 529
Коллинз Р. Э. (Collins
R. Е.) 646
Коллис-Джордж Н. (Collis-George N.) 590
Колмогоров А. Н. 287, 462, 463, 467, 476—478, 480, 481, 483, 484, 490—493, 496—499, 501—503, 716, 729, 756, 758
Колозеус Г. Дж. (Kolose- us Н. J.) 715
Колосов Г. К. 51, 52
Колтон А. Ю. 114
Колхаун Дж. (Calhoun
J. С.) 640
Комаров А. П. 841
Комов В.①.402
Компанеец А. С. 236, 247— 250, 252, 274, 277, 302, 303, 378, 398, 409
Кондратьев В. Н. 266
Кондратьев Н. Е. 727, 752, 775
Кондрашева И. Л. 284, 295
Коновалов И. М. 18, 19, 720, 728, 731, 741,751, 781
Константинеску В. Н.
(Constantinescu V. N.) 513
Конт-Белло Ж. (Comte- Bellot G.) 483
Конторова Т- А. 348
Конторович В. М. 262
Копал 3. (Kopal Z.) 171
Копиевский К. П. 779
Копров Б. М. 500
Копяткевич .Р. М. 524
Корень В. И. 726
Коркеги Р. Г. (Korkegi
R. Н.) 542
Кормер С. Б. 252, 255— 257, 259, 260, 263, 306, 395
Корнаев М. 3. 644
Корнева И. В. 540
Корнейчук А. А. 511
Корнилов Г, Г. 773
Корнфельд М. О. 38
Коробейников В. П. 273, 285, 452-454
Коровкин А. Г. 857
Королев А. С. 532
Коротаев Ю. П. 628, 629, 644, 734, 774
Короткий А. И. 802
Короткий В. Г. 597
Коротков С. Ф. 621
Корсин С. (Corrsin S.) 483, 496, 759, 795, 816
Корст Г. Г. (Korst Н. Н.) 547, 548
Коршин И. М. 800
Корявов В. П. 302
Корявов П. П. 20, 31, 49, 525, 815
Косачевский Л. Я. 592, 593, 595
Костелло Дж. Р. (Costello G. R.) 129.
Костерив С. И. 543, 773, 774, 793, 807
Костычев Г. И. 124
Костюк К. К. 89, 94
Косыгин А. И. 620
Котляр Л. М. 27
Котляр Я. М. 130, 513
Котов Б. Е. 392
Котова 3. Н. 772
Котяхов Ф. И. 600, 631, 633
Коул Дж. Д. (Cole J. D.)
Коулс Д. (Coles D.) 542
Кочегура М. А. 741
Коченов И. С. 799, 810
Кочерыженков Г. В. 541, 545
Кочешков А. А. 638, 640
Кочин Н. Е. 12—14, 27, 34, 50, 52, 58, 59, 76, 94, 115,118,120,126,135,
145,151,161,223,
402,509,521,522,561,
562, 609
Кочина И. Н. 622, 632
Кочина Н. Н. 275, 453, 619
Коши О. Л. (Cauchy A. L.) 69 Кошкин В. К. 802, 810
Кошмаров Ю. А. 543
Коэн К. Б. (Cohen С. В.) 524, 525
Кравцов В. И. 716
Кравченко Ж. (Kravtchenko J.) 56, 58, 610
Кравченко Т. И. 500
Крайко А. Н. 169, 180, 204, 445
Крайнов В. П. 248, 274
Крамер Дж. Дж. (Kramer
J. J.) 131
Красильников В. А. 816, 851
Красильщиков П. П. 87, 93
Красильщикова Е. А. 135, 144, 158—160
Краснопольский А. А. 591, 634
Красносельский М. А. 61 Краснощеков П. С. 71, 72, 516
Красовский Н. Н. 21
Красовский Ю. П. 61
Красякова Л. Ю. 773
Крашенинников С. Ю. 819
Крашенинникова Н. Л. 186, 246
Кребер К. (КгоеЬег С.) 586
Крейн С. Г. 73
Кременецкий Н. Н. 714
Кременсков Г. Г. 739
Крепе Р. Л. 30, 31, 46, 47, 749
Кречмер С. И. 500
Кривошеин Б. Л. 734—737, 739
Кривцова Н. В. 528
Кривченко Г. И. 722
Кривее К. (Krienes К.) 94
Кристиан Р. Г. (Christian
R. Н.) 252, 253, 310
Кришкевич Г. В. 260
Крокко Л. (Crocco L.) 155
Кроль В. М. 266
Кросс X. (Cross Н.) 717
Крохин О. Н. 263, 266, 267
Кружков С. Н. 622
Крупников К. К. 252—254, 256
Крупникова В. П. 256
Крускал М. Д. (Kruskal
М. D.) 460
Крупгинская С. И. 72
Крылов А. Л. 511
Крылов А. П. 587, 588,
600, 620, 622, 624, 625, 643
Крылов В. В. 23, 44
Крылов В. И. 116
Крылова Н. В. 808
Крюков Г. М. 53
Крюков П. Г. 263
Крюкова С. Г. 532
Кубота Т. (Kubota Т.) 186
Кудрявцев П. И. 714
Кудрявцева Н. А. 30, 46
Кудряшев Л. И, 794, 797, 810
Кудряшов А. Ф. 788
Кудряшов Л. К. 100
КузнецовТА. В. 8, И, 16—
.22, 54
Кузнецов}В. М. 21, 32
Кузнецов И. Л. 367
Кузнецов Н. М. 212, 229,
259, 274, 276, 277, 301, 302
Кузнецов С. В. 630, 634
Кузнецов Ю. Е. 800
Кузнецов Ю. Н. 810
Кузьмин И. А. 766, 767,
775, 776, 782, 788
Кузьмина В. К. 619
Кузьминов Ю. М. 742
Кузьмичев Д. Н. 634
Кукинов А. Г. 847
Куколевский Б. П. 788
Куколевский И. И. 710, 721
Куксенко Б. В. 431
Кулабухова И. И. 641
Кулаев М. Г. 54
Кулгейн Н. Дж. (Kulgein
N. G.) 544
Кулеш Н. П. 784, 785
Кулешова Л. В. 257
Куликовский А. Г. 436—
448, 454； 459, 504
Кулонен Г. А. 532
Кульман Г. Г. 155
Кульмач П. П- 749
Кумин Д. И. 740, 742, 743, 748, 749, 755, 765, 777, 787
К ундин С. А. 639, 643, 644,
648
Ламе Г. (Lame G.) 24, 593
Ламли Дж. Л. (Lumley J. L.) 476, 481, 759
Лан Чжан-син 627
Куперман В. Л. 724
Куранов И. ф. 623, 639, 640
Курант Р. (Courant R.) 383
Курбангалина Р. X. 379
Курбанов А. К. 589, 622,
637, 639, 640, 644, 648
Курдюмова Н. В. 14
Курепанов Ю. М. 21
Курзин В. Б. 140, 141, 143
Куропатенко В- Ф. 336
Курцвег У. Г. (Kurzweg и. Н.) 458
Куршин Л. М. 116
Куряпин А. И. 259, 260
Кусакин И. П- 617
Кусаков М. М. 591, 633, 636
Кутателадзе С. С. 536, 540, 541, 543, 545, 773, 807
Кутляров В. С- 632, 647
Кутовая Д. В. 633
Кутта В. М. (Kutta W. М.) 107
Ландау Л.
213, 226, 255, 296,
218, 232,
261,
299,
370—372,
437, 502, 657, 672, 698, Ланин
462,
515,
д.
221,
233, 283, 323, 378, 471,
209, 210,
222, 225, 240—242,
285,
363, 427,
482,
650—652,
289, 367, 434, 501, 654,
661, 664—667, 669—
683, 688, 691, 696—
702, 817
И. Н.
102
Ланцбург Е. Я. 252
Ланчестер ①.В. (Lanche-
ster F. W.)
144
Лапин Ю. В. 507, 540, 541, 543—545, 558
Лаплас П. С. (Laplace Р. S.)
79, 81, 82
Лаптева 3. А. 803.
Лапук Б. Б. 587, 588, 622, 624,626, 628—630, 641,648
Лапшин Г. Н. 752, 765, 766,
Куфарев П. П. 8, 621
Кучанов С. И. 647, 759
Кучеренко Э. Г. 619
Кучмент Л. С. 726, 727
Куэтт М. (Couette М.) 430, 445, 455, 456
Кшондзер Э. Г. 770
Кякк В. А. 731
Лав Э. С. (Love Е. S.) 823 Лаваль П. (LavaljP.) 197 Лаврентьев А. Л. 10, 120 Лаврентьев М. А. 8, 12一
14, 20, 21, 28, 29, 32, 40,
46, 52, 57, 74, 76, 86, 88, 115, 116, 124, 125, 135, 149, 247, 302, 314, 612, 614, 615
Лаврик В. И. 614, 616
Лагранж Ж. Л- (Lagrange
J. L.) 138, 180
Ладиков Ю. П. 456
Ладнова Л. А. 529
Ладыженская О- А. 147
Ладыженский М- Д- 200, 201, 204, 205, 428, 429, 441, 532
Лазарев Б. Г. 651, 667, 700, 701
Лаинг Н. (Laing N.). 857
Лайтхилл М. Дж. (Lighthill М. J.) 129, 166, 191, 426, 489, 516, 527, 543, 729, 816
Лайхтман Д. Л. 470, 477— 479, 573
Ламб Г. (Lamb Н.) 5, 13, 69, 70
Ламбин Н. В. 17, 118, 120
788
Ларионцев Е. Г. 457
Латтер А. Л. (Latter A. L.)
304
Латышенков А. М. 741
Лауфер Дж. (Laufer J.) 816
Лаффит П. (Laffitte Р.) 401
Лацко Г. (Latzko Н.) 797
Лашков А. И. 798, 801, 809
Лебедев А. В. 619
Лебедев В. Ф- 97
Лебедев И. В. 741, 751, 778, 779
Лебедев Ю- А. 292
Лебедева Н- В. 573
Лебедь Н. К. 89, 94
Леванов Е. И. 454
Леверет М- К. (Leverett
М. С.) 587, 635, 636, 639 Леви И. И. 718, 740, 742, 743, 751, 752, 764—766, 775,777,784-786,788,789
Левин А. М. 735
Левин Б. М・ 769, 770
ЛевинВ.А.178
ЛевинВ.Б.717,793
ЛевинЕ.М.846.
Левинсон Н. (Levinson N.)
24
Левитин Л. Б. 452
Левич В. Г. 471, 472, 536, 647, 759, 773, 807.
Леви-Чивита Т- (Levi-
Civita Т.) 5, 56, 58
Левшин А. Л. 595
Легкова В. А. 34
Леденев Б. Н. 252, 253
Лейбензон Л. С. 99, 127, 149, 586, ,588, 589, 617,
618, 620, 621, 626—630. 634, 636, 712, 7 23, 7 35, 739, 792, 793, 796, 804, 809
Лейбин Э. Л. 625
Лейн С. Т- (Lane С. Т-) 682
Лейпунский О. И. 222, 234, 362, 363
Лельчук В. Л. 807
Лембке К. Э. 618
Лемехов Е. Е. 793, 805
Леонас В. Б. 424
Леонов А. И. 590
Леонтович М・ А. 424, 427
Леонтьев А. И. 540, 541, 543, 545, 800, 805, 806, 808
Лере Ж. (Leray J.) 8, 57 Лесохин А. Ф. 112, 116
Лестер К. М. (Lester С. М.) 716
Либрович В. Б. 364, 372
Либург М. Ю. 706
Ливурдов И.①.723
Лившиц С. П. 850, 853
Лийв У. Р. 730
Лин С. Ч. (Lin S. С.) 187, 230
Линдквист Э- (Lindquist Е.) 715
Линдтроп Н. Т. 620
Линейкин П. С. 81
Линчевский И. П. 752
Линь Ц. Ц. (Lin С. С.) 99, 128, 129, 481
Липман Г. В. (Liepmann Н. W.) 816
Лис В. Дж. (Leas W- J.) 639
Лис Л. (Lees L.) 186, 527, 554, 557
Литтман У. (Littman W.) 57
Лифшиц Е. М. 209, 210, 213, 221, 232, 261, 299, 341, 437, 482, 501, 659, 683
Лифшиц И. М. 690, 701, 702
Лихачев В. А. 268
Лобанова Л. Ф. 448, 450, 451
Лобачев В. Г. 717
Лобб Р. К- (Lobb R. К-) 542
Ловерье Г. A. (Lauwerier Н. А.) 648
Ловецкий Е. Е. 302
Логвинович Г. В. 10, 15, 24, 42—45, 47—49, 5 2—54
Лозанский В. Р. 714
Лойцянский Л. Г. 126, 128, 132, 133, 152, 153, 462, 470, 472, 481—484, 507, 508, 512, 513, 515, 546, 520—522, 524, 528, 536, 538, 540, 786, 793, 801, 808, 816, 819, 833
Локк Р. К. (Lock R. С.) 456, 457
И. 736Н. Г. 720Д. (MallickЕ. 648627—629, 736М. 302П. 527П. 452В. 596, 598И. 736Н. Г. 720Д. (MallickЕ. 648627—629, 736М. 302П. 527П. 452В. 596, 598Мальханов В. П. 698Мальханов В. П. 698
И. 736
Н. Г. 720
Д. (Mallick
Е. 648
627—629, 736
М. 302
П. 527
П. 452
В. 596, 598
И. 736
Н. Г. 720
Д. (Mallick
Е. 648
627—629, 736
М. 302
П. 527
П. 452
В. 596, 598
Мальханов В. П. 698
Мальханов В. П. 698
Локуциевский О. В. 319
Локшин В. А. 774
Локшин И. Л. 831, 851, 853—856
Локштанов Е. А. 835, 848
Ломакин А. А. 114, 850
Ломизе Г. М- 631 634
Ломоносов Е. Г. 570
Ломтатидзе В. Г. 742
Лонгинов В. В. 767
Лондон Г. (London Н.) 706
Лоренц Г. (Lorenz Н.) 144
Лоренц Г. A. (Lorentz Н. А.) 504
Лосев С. А. 209, 223, 227— 229
Лось Б. М. 727
Лотов А. Б. 15, 29, 30
Лотц И.(①лютте-Лотк И.) (Fluegge-Lotz I.) 90, 92
Лоу ф. Э. (Low F. Е.) 435
Луговский А. И. 843
Луговцев А. Н. 829
Луговцов А. А. 452
Лудлоф Г. Ф. (Ludloff
Н. F.) 307
Лукашевич В. П. 116, 8寧
Лукьянов В. С. 619
Лунев В. В. 200, 201, 531 — 533
Лунц А. Л. 628
Лунькин Ю. П. 507, 529
Лурье А. И. 721
Лыков А. В. 587, 641, 647
Лысенко П. Е. 749, 789
Льюис В. Б. (Lewis W. В.) 636'
Льюис Дж- A. (Lewis J. А.) 590, 591
Лю Шень-цюань 525
Любарский Г. Я. 436, 437, 454
Любимов А. Н. 170
Любимов Г. А. 196, 435— 438, 446, 448—450, 453, 454
Любимцев Я. К- 724, 725
Людевиг М. (Ludewig М.) 131
Люксембург А. М. 118, 131
Люстерник Л. А. 10
Ляпунов А. М. 56, 64, 725
Лятхер В. М. 709, 748, 749, 755, 756, 776, 779, 782, 784, 785, 787—789
Ляхов Г. М- 302, 594
Ляховицкий Ф. М. 595
Ляховский Д. Н. 800, 816
Ляшко И. И. 614
Маастик А. А. 715, 716
Мавроди Г. С. 34
Магеррамов Н. X. 644
Магомедов А. Д. 807
Мазитов И. 3. 21
Маилян Н. Н. 746
Майдебор В. Н. 633
Майер Т- (Meyer Т.) 102, 155, 161, 163, 167, 439
Майзель Б. А. 113
Майк ап ар Г. И. 90, 93, 95, 117, 125, 146, 148, 164, 165, 198, 202, 203, 800, 833, 835, 852
Майкел Д. Г. (Michael D. Н.) 456, 460
Макаров А.①.148, 852
Макаров И. И. 784
Макаров И. С. 821
Макдоналд Г. (MacDonald G.) 305
Макдоналд Г. М. (Mac
Donald Н. М.) 150
Макдоналд Д. (McDonald D.) 255
Макеев Н. Н. 34
Маккавеев В. М. 720, 728, 731, 754-756, 775, 779— 782, 787
Маккавеев Н. И. 775
Маккой A. (McCoy A. W-) 845
Макколл Дж. В. (Maccoll
J. W.) 163
Маккуин Р. Дж. (McQueen R. G.) 252
Макринова О. В. 781
Максвелл Дж. (Maxwell J.)
331, 334, 426, 435, 453, 523
Максимов В. А. 588, 624
Максимов Л. С. 748, 794
Максимов М. М- 625
Максимов Ю Малишевский Мал лик Д.
D.) 460 Малофеев Г. Малых А. С. Малышев Б. Малышев Г. Малышев И. Малышев М.
Мальцев Л. И. 9
Малюжинец Г. Д. 136
Малюк Н. В. 743
Мамаев В. А. 734, 735, 774
Мамаладзе Ю. Г. 649, 651, 652, 672—675, 682, 688— 691, 693, 695
Мамедов К). Т- 644
Мамрадзе Г. П. 722
Манглер В. (Mangier W-) 87
Мандельштам Л. И. 427
Мандельштам С. Л. 263—— 265, 279
Манджавидзе Н. Ф. 722, 724
Мане лис Г. Б. 347
Марво П. (Marvaud Р.) 729
Марголин А. Д. 363, 364
Маргулис В. М. 363
Марки Э. (Marchi Е.) 26
Маркин В. С. 647
Марков Н. М. 132, 133, 152, 798, 800, 808
Марков Ю. А. 766
Маркушевич А. И. 29
Марон В. И. 595
Маррей Р. (Murray R. С.) 361
Мартинелли Э- A. (Martinelli Е. А.) 304
Мартос В. Н. 640
Мартынов А. И. 47
Мартынов И. П. 741
Мартыновский В. С. 800
Марчик Э. И. 134
Марчук Г. И. 569, 579
Марш С. П. (Marsh S. Р.) 252
Маршалл Р. Д. (Marshall
R. D.) 499
Масеев М. Б. 144
Маслов Л. А. 90. 91
Маслов Н. Н. 597'
Массон Д. Дж. (Masson
J.) 558
Матвеев В. Н. 144
Матвеев Л. Т- 573
Матвеева Н. С. 532
Матвеенко Т- И. 601
Матикашвили Т- И. 846, 848
Матинян С. Г. 651, 673— 676, 781
М аттинг ①.В. (Matting
W.) 542
Маурин Л. Н. 75
Мах Э. (Mach Е.) 163, 326
Махони Дж. Дж. (Mahony
J.) 205
Мачерет Я. А. 598
Маш Д. И. 268
Машин А. Н. 853
Машкович Л. А. 742
Машкович С. А. 570
Медведев В. А. 595
Медведский Р. И- 625
Межиров И. И. 733, 798, 804, 805, 808
Мейер Р. Э. (Meyer R. Е.) 205
Меламут М. Д. 779
Мелентьев В. А. 777, 779
Мелентьев П. В. 116, 852
Мелещенко Н. Т- 604, 605, 615, 721, 725, 727, 742, 751, 752
Me лик-Ш ахназ аров Г. А. 646
Мелконян Г. И. 26, 741
Меллори М. Д. (Mallory
М. D.) 252
Мельник Р. Э. (Melnik
Е.) 197,
Мельников А. П. 116
Мельникова Н. С- 275, 280, 285
Мендоза Э. (Mendoza Е.) 706
Мовсесян Л. А. 735Мовсесян Л. А. 735Модзалевский А. И. 741, 748Модзалевский А. И. 741, 748Моильет A. (Moilliet А.) 499Моисеев Е. М. 96Моильет A. (Moilliet А.) 499Моисеев Е. М. 96Моравец К. С. (MorawetzС. S.) 102Морган Дж. В. (MorganG. W.) 23Моравец К. С. (MorawetzС. S.) 102Морган Дж. В. (MorganG. W.) 23459,459,857857
Мовсесян Л. А. 735
Мовсесян Л. А. 735
Модзалевский А. И. 741, 748
Модзалевский А. И. 741, 748
Моильет A. (Moilliet А.) 499
Моисеев Е. М. 96
Моильет A. (Moilliet А.) 499
Моисеев Е. М. 96
Моравец К. С. (Morawetz
С. S.) 102
Морган Дж. В. (Morgan
G. W.) 23
Моравец К. С. (Morawetz
С. S.) 102
Морган Дж. В. (Morgan
G. W.) 23
459,
459,
857
857
Мерес М. В. (Meres М. W.) 587, 635, 636
Мержанов А. Г. 347, 348, 354
Меркулов В. П. 623
Мерчинг Г. К. 768
Месоед К. Б. 674, 675
Мессерман А. С. 737
Месхели К. П. 767
Месхи Г. В. 746
Месчян С. Р. 598
Мещерский И. В. 720
Мигай В. К. 798, 801
Миеле А. (Miele А.) 180
Мизес Р. (Mises R.) 86, 471
Милликен К. Б. (Millikan
В.) 471
Миллионщиков М. Д. 462, 463, 482, 485—488, 490, 495, 590, 623, 642, 732, 804
Миловин А. Я. 710, 779, 780, 783, 811
Милюков П. И. 727
Минайлос А. Н. 174
Минаков А. П. 17, 107
Минеев В. Н. 262
Миниович И. Я. 144
Миносцев В. Б. 175
Минский Е. М. 590, 591, 628, 629, 644, 716, 736, 737, 753—755, 766. 802
Минц Д. М. 648, 766
Миншалл С. (Minshall S.) 258, 339
Минятов А. В. 549
Мирзаджанзаде А. X. 622, 630, 643, 769
Миркин Л. И. 268
Миркин М. И. 638, 647, 648
Мирская Г. Г. 666
Мирцхулава Ц. Е. 766, 771, 777, 778, 786
Мирчинк М. ф. 595
Митрофанов В. В. 391, 392
Митрохин В. Т. 131, 151
Михайлов А. В. 731
■Михайлов Г. К- 585, 603, 605, 608, 610, 614—616, 625
Михайлов К- А. 600, 718
Михайлов Ю. А. 647
Михайлова М. П. 161, 183—
Михайлова Н. А. 709, 755, 760, 761, 764, 767, 770— 772
Михайлова Э. Н. 83
Михайловский А. Б. 455
Михалев М. А. 742, 743, 755
Михальцевич А. И. 619
Михеев М. А. 807, 808
Михельсон В. А. 355, 365, 373, 380—383
Михлин С. Г. ИЗ, 116
Мишель-Леви A. (Michel-
Levy А.) 234
Модель И. Ш. 225, 235, 260
Можевитинов А. Л. 724
Моисеев Н. Н. 20, 25, 31, 49, 56—58, 63—69, 71, 72, 74, 77, 515
Мологин М. А. 773
Молочников Ю. С. 722
Монахов В. Н. 8, 34, 610
Монин А. С. 461, 463, 472, 475—480, 482, 488, 489, 493, 494, 496—498, 535, 539, 566, 568, 575, 577, 758
Монтуори К. (Montuori С.) ■ 728
Мордвинов Б. П. 334
Мордвинова Н. И. 545
Морин О. В. 744
Мороз Е. М. 265
Морозов А. А. 721
Морозов А. И. 449, 803, 847
Морозов А. Т. 647
Морозов В. В. 268
Морозов Ю. И. 222
Морской Г. И. 573
Мортье П. (Mortier. Р.)
Москалев Н. М. 770
Москальков И. П. 626
Мостков М. А. 714, 718, 721, 722, 724, 775
Мостовский А. Ф. 722
Мосчинская С. Б. 511
Мот-Смит Г. М., (Mott-Smith
Н. м.) 213, 431
Мотулевич В. П. 527, 545
Мотяков В. И. 644
Моффат Г. К. (Moffatt
Н. к.) 514
Мошков Л. В. 748, 749, 789
Мошнин Л. Ф. 717
Мугалев В. П. 545, 556
Мультхоп Г. (Multhopp Н.) 88, 93, 95
Мунин А. Г. 490, 816
Мунк М- (Munk М.) 90
Мур Л. Л. (Moore L. L.) 527
Мур Н. Б. (Moore N. В.) 154
Муравьев И. М. 625
Мурзинов И. Н. 200, 533, 534
Мурин Г. А. 714
Мусаелян Ш. А. 569
Мусатов В. В. 140
Мускат М. (Muskat М.) 587, 588, 590, 598, 609, 622,'629, 635, 636
Мусселиус М. М. 753
Мустафаев В. В. 630, 644
Мусхелишвили Н. И. ИЗ, 610
Мухамедов А. М. 716
Мухаметзянов ①.М. 124
Мухитдинов Н. М. 630
Мхитарян А. М. 605, 746
Мышкис А. Д. 69
Мюр аур A. (Muraour Н.) 234
Мясников В. П. 428, 759
Мясников П. В. 7, 40
Мятиев А. Н. 601, 631
Навиль С. (Naville S.) 643
Нагнибеда Е. А. 426, 528
Надирашвили 3. Ш. 676
Назаров Г. И. 36
Назаров Н. Т. 19
Назарчук М. М. 802, 807
Найденова И. Б. 755
Намиот А. Ю. 644
Насыров Р. М. 124
Натанзон М. С. 722
Натишвили О. Г. 746, 758
Наумова И. Н. 169
Наумова Л. Г. 152, 800
Невельсон М. И. 831, 850, 853, 854, 856
Невзглядов В. Г. 716, 717
Неганов Б. С. 706, 707
Недрига В. П. 604
Нейланд В. Я. 507, 547, 549, 550-552, 558
Нейман Дж. (Neumann J.) 233, 284, 388, 391—393, 396—398
Некрасов А. И. 7, 40, 55— 57, 59, 60, 99, 135, 141. 160
Некрасов Д. Н. 636
Некрасова М. Н. 94
Нельсон-Скорняков Ф. Б.
605, 607, 608
Немсадзе Т. А. 760
Немчинов И. В. 252, 266, 632
Немчинов С. В. 571, 575
Ненько Я. Т. 720
Непримеров Н. Н. 625 ,
Нерем Р. М. (Nerem R. М.) 553
Нерпин С. В. 641
Нестеров В. С. 595
Неуймин Г. Г. 773
Нечаев М. Н. 242
Нечаева Н. С. 727
Неш Дж. Ф. (Nash J. F.) 548
Нигматулин Р. И. 758
Никель К. (Nickel К.) 137
Никитин А. К. 70
Никитин Е. Е. 229
Никитин И. К. 715, 716, 754, 777, 789
Никитин П. И. 620
Никитский А. И. 367 Николаев В. М. 620 Николаев В. С. 531—533 Николаева К. С. 87, 89 Николаевский В. Н. 585, 587, 588, 592—597, 599, 600, 627, 629, 632—635, 637, 638, 643—648
^Никольский А. А. 20, 97,・ 102, 161, 163, 168, 179, 181, 205, 430, 630
Никурадзе И. (Nikuradse J). 470, 793—795
Нихолм Дж. Р. (Nyholm J. R.) 542
Нищук В. С. 716, 747
Новик А. С. 619
Новиков Е. А. 468, 495, 502 Новиков С. А. 258, 259 'Новиков С. С. 364 -Новикова О. И. [16, 148 Новожилов Б. В. 364 "Новоторцев В. И. 751 Новохацкий Е. М. 774 Ногид Л. М. 786 Нонуейлер Т. Р. Ф. (Nonweiler Т. R. F.) 164
^Нордин К. Ф. (Nordin С. F.) 76；
【Норман Г. Э. 230, 553
Нужин М. Т. 9, 87, 610 йужин С. Г. 116, 124, 127 Нуллер Б. М. 598 Нумаши Ф. (Numachi F.) 39
Нумеров С. Н. 19, 586— 588, 601,・603—607, 609— 611, 613—615, 623, 644, 751, 752
Ньютон И. (Newton I.) 178, 179, 182, 202, 203, 525, 738, 769
Оборотов И. П. 70, 71 Юбразовский А. С. 743, 752
Обрайен М. П. (O'Brien М. Р.) 756
Обрезков В. И. 726
Юброскова Е. И. 525, 557
Обухов А. М. 462, 472, 475, 477, 486, 487, 490, 493—498, 501, 502, 566, 569, 571, 575, 715, 758, 794
Овсянников В. М. 557
Овсянников Л. В. 33, 35 Овчинников О- Н. 125, 796, 798, 800
Юганджанянц В. Г. 588, 640, 647
Оганесян/Д. М- 760 Оганесян И. А. 148 Оганесян Л. А. 779 Оганов К. А. 647 Югура И. (Ogura Y.) 487
Одишария Г. Э. 714, 774
Озеен К. В. (Oseen С. W.) 509
Озмидов Р. В. 496
Окерблом Т. И. 95
Олейник А. Я. 262, 616, 755
Олейник О. А. 628
Ольштейн Л. Е. 143, 835, 838, 841, 848, 849
Ом Г. С. (Ohm G. S.) 435, 436, 446, 447
Оман Р. A. (Oman R. А.) 429
Онзагер Л. (Onsager L.) 423, 494, 593, 659, 667, 672
Онипченко Г. Ф. 731
Оноприенко В. П. 636
Онуфриев А. Т- 715
Оппенгейм А. К. (Oppenheim А. К.) 410, 411
Орадовская А. Е. 647
Орлов В. В. 771
Орлов В. С. 625
Орлов К- К. 769, 770
Орлова Е. М. 573
Орр В. М. (Огг W. М.) 75
Оруджалиев ф. Г. 644
Оруджалиев Э. А. 734
Осватич К. (Oswatitsch К.) 183, 809
Осипов А. И. 209, 223, 227— 229
Осипов С. Н. 630
Осокцн А. В. 616
Оссерович Б. 3. 320
Остапович О. Н. 200
Остословский И. В. 144
Островский А. И. 718 g
Островский Ю. М. 646
Осятинский С. Д. 631
Офицеров А. С. 740, 744, 7 74
Охоцимский Д. Е. 233, 284, 295
Очеретько В. Ф. 761, 769, 771
Павилонский В. М. 598
Павленко Г. Е. 13, 51, 52
Павленко Н. А. 265
ПавлихинаПавлихинаМ. А. 749, 828,М. А. 749, 828,829ПавловПавловПавлов829ПавловПавловПавловБ.В. к.Б.В. к.М. 429
Павлихина
Павлихина
М. А. 749, 828,
М. А. 749, 828,
829ПавловПавловПавлов
829ПавловПавловПавлов
Б.
В. к.
Б.
В. к.
Г. 152
Б. 456, 457
Павловец Г. А.Павловец Г. А.Павловский Павловский Павловский 588, 600, 608, 613, 740, 742, ПавловскийПавловский Павловский Павловский 588, 600, 608, 613, 740, 742, Павловскийв. м. н.604,616,752,в. м. н.604,616,752,88 В.
Павловец Г. А.
Павловец Г. А.
Павловский Павловский Павловский 588, 600, 608, 613, 740, 742, Павловский
Павловский Павловский Павловский 588, 600, 608, 613, 740, 742, Павловский
в. м. н.
604,616,752,
в. м. н.
604,616,752,
Н.
Н.
605,
712,
792,
Ю. Н. 525Ю. Н. 525817 257586, 607, 718,793817 257586, 607, 718,793Пак В. В. 832, 854
Ю. Н. 525
Ю. Н. 525
817 257
586, 607, 718,
793
817 257
586, 607, 718,
793
Пак В. С. 832, 846
Панкет А. Э. (Puckett А. Е.)
159
Палеев И. И. 800
Палишкин Н. А. 722
Паллоне А. Дж. (Pallone
A. J.) 187, 5 29, 550, 551
Палмер Р. (Palmer R.) 297
Палчевский А. П. 768
Пальшин М. В. 853
Паничкин И. А. 135
Пановский Г. A. (Panof- sky Н. А.) 476, 477
Пантелопулос И. (Pantelo- pulos I.) 765
Панчев С. 488
Панченков А. Н. 13—15
Панчишин В. И. 118 '
Панчурин Н. А. 730, 810
Партон В. 3. 597
Пархомовский С. И. 22, 436
Парыш^в Э. В. 51
Пасконов В. М. 450, 451, 525
Пассауер A. (Passauer А.) 360
Пастухов А. И. 96
Патрашев А. Н. 644, 648, 720.
Патрик Р. М. (Patrick
R. М.) 224
Паушкин Г. А. 748
Пахарева Н. А. 614
Пашинин П. П. 263, 265
Пашинина Л. В. 75
Пек Д. С. (Pack D. С.) 205
Пекин В. Ф. ИЗ
Пеллам Дж. Р. (Pell ат
J. R.) 698
Пенни В. (Penney W.) 297
Первозванский А. А. 725
Перегрин Д. X. (Peregrine
Н.) 729
Перельман А. Я. 101
Перельман Р. Г. 800
Перепухов В. А. 428, 432
Перехвальский В. С. 744, 751
Перминов В. Д. 430
Перник А. Д. 747
Перри Р. В. (Perry R. W-) 222
Перш Дж. (Persh J.) 542
Першин С. В. 19
Першиц Р. Я. 15
Петерсен Э. Э. (Petersen
Е.) 518
Петерсон Д. Ф. 773
Петерсон Э. (Petersohn Е.)
17, 107
Петерсон Э. Л. (Peterson
Е. L.) 258, 339
Петраш А. Д. 741
Петрищев В. О. 807
Петров А. А. 63, 64, 67, 69
Петров В. П. 770, 772
Петров Г. А. 719, 720, 743
799
Петров 1\ И. 165, 524, 557, 809, 824
Петров Н. А. 740, 787
Петров Ю. М. 770
Петрова И. Н. 774
Петровский В. С. 490, 816
Петровский И. Г. 287
Петросян Л. Г. 747
Петрунин А. П. 306
Петруничев Н. Н. 726
Петрухин А. И. 225, 326
Петрзтпевский Е. И. 644
Петухов Б. С. 807
Петухов И. В. 533
Петухов Ю. И. 28
Петчек Г. Э. (Petschek
Н. Е.) 230, 234
Пехович А. И. 784
Печенкин М. В. 761, 771
Пешков В. П. 651, 659,
665,669, 670, 700—702, 707
Пивовар Н. Г. 755
Пикалов Ф. И. 713, 718, 740, 741
Пикельнер С. Б. 217
Пилатовский В. П. 589, 620, 621, 623, 631, 633, 639
Пилипецкий Н. Ф. 268
Пирвердян А. М. 622, 623, 625, 627, 628, 636, 639, 640, 643
Пирумов У. Г. 169, 204
Пискунов Н.С. 287, 622,623
Писман Д. В. (Peaceman
W.) 628
Письман Л. М. 647
Питаевский Л. П. 649, 651, 654, 663, 671, 683, 686, 690, 697
Пито A. (Pitot Н.) 762
Пищенко И. А. 761, 769
Планк М. (Planck М.) 652
Плато Ж* (Plateau L) 65
Плешакова Л. М. 619
Победоносцев Н. М. 600, 617, 625
Повало-Швейковский Н. Т. 766
Повицкий А. С. 31, 32, 47
Повх И. Л. 133, 786
Подобуев Ю. С. 850
Подрезов С. А. 70
Подсевалов Н. Н. 47
Поздюнин В. Л. 40
Позиненко Б. В. 631
Позняя Н. Г. 752, 754, 755, 770
Пойнтинг Дж. Г. (Роуп- ting J. Н.) 437
Покровский Г. И. 302, 314, 326
Полежаев Ю. В. 554, 557
Полна Г. (Polya G.) 766
Поликовский В. И. 800, 837 , 849 , 850, 852— 854
Половин Р. В. 436—438, 454
Положий Г. Н. 149, 614,616 Полонский Я- Е. 116, 138, 842
Полтавченко Д. С. 224
Полубаринова-Кочина
П. Я. 81, 149, 586— 588, 601, 605，609—612, 617—621, 623, 627, 630, 631, 641, 776
Полубояринов Ю. Г. 741
Полукайтис Д. Б. 748
Полукаров Г. В. 83
Польгаузен К. (Pohlhau- sen К.) 521, 522
Польский Н. И. 802, 803 Полядский В. С. 93, 99, 127 Поляков В. В. 774
Поляков Е. И. 816
Полянский В. А. 434
Поляков Н. Н. 96, 119, 120, 144, 852
Померанцев А. А. 740
Померанчук И. Я. 651, 698, 699, 702, 704, 705
Понд С. (Pond S.) 499, 500, 502
Пономарев Г. В. 737 ~
Попеску И. Л. (Popescu
L.) 138, 139
Попов В. А. 167
Попов Г. С. 783
Попов И. В. 775
Попов Н. А. 241, 246
Попов С. Г. 826
Попова Л. Т. 255, 260
Портнов И. Г. 626
Поручиков В. Б. 32
Поссио К. (Possio С.) 141
Постоловский С. Н. 832, 858
Потапов А. В. 170
Потапов М. В. 779, 782, 783 Похил П* Ф. 362—364 Похожаев С. И. 205
Похсрарян М. С. 19, 780
Почкина К. А. 817
Пояркова К. Д. 620
Пражиль ①.(PrWKl FC 723 Прандтль Л. (Prandtl L.) 74, 92—94, 98, 100, 102, 127, 135, 141, 144, 154— 156,161,163,167,168,
458,467,470,471,
517,518,536,540,
543,712,793,794,
802, 811.-814, 816, 821, 822
Праудман Дж. (Proudman J.) 80, 83, 84
Праудман И. (Proudman I.) 484, 487, 490
Предводителей А. С. 212 Преображенский Н. А. 748 Прессман Д. Я. 579
Пржиялковский М. М. 774
Пристли К. (Priestley
Н. В.) 477
Притвиц Н. А. 709, 728
Пробстейн Р. ф. (Prob- stein R. F.) 175, 194r 196, 217, 531, 544
Произволова Е. К. 511
Прокопов Г. П. 178
Прокофьев В. А. 212, 219f 220
Прокофьева Ю. Ф. 751
Проскура Г. ф. 17, 113г 145, 811, 8c
Проскурников С. М. 61 &
Проскуряков Б. В. 728, 751, 790
Проскуряков В. А. 225, 326
Прохиндеев А. В. 265
Прохоров А. М. 263, 265
Процеров В. Г. 841
Прудников А. Г. 366
Прудовский А. М. 776, 779, 782, 785, 787, 78&
Пряжинская В. Г. 619
Птуха Т. П. 700, 701, 704
Пуазейль Ж. Л. (Poiseuille
J. L.) 455, 457
Пуанкаре A. (Poincare Н) 80, 191, 426, 734
Пуассон С. Д. (Poisson
S. D.) 69, 70, 447, 566, 570
Пудовкин М. А. 648
Пузанов A. (Puzanov А) 729
Пузыревская Т. Н. 591
Пухначев В. В. 387
Пухначев Ю. В. 69
Пушкарев В. Ф. 766
Пыхачев Г. Б. 620
Пыхтеев Г. Н. 9, 16, 19,.
26. 27, 29, 2 22, 610, 630, 741
Пышкин Е. А. 783, 800
Пярнпуу А. А. 424
Пясецкий Е. П. 630
Пятыгина К. В. 572
Рабинович М. С. 263, 265*
Рабинькина Н. В. 525
Рабкова Е. К. 744
Радузпкевич Л. В. 644
Радченко В. П. 737
Разамат М. С. 644
Разумихина К. В. 772
Разумовская М. Р. 744, 746；
Райзер Ю. IL 153, 209, 210, 212, 220, 234—236, 240, 246—249, 260, 263, 264, 279, 319
Райс Дж* Д. (Rice J. D.) 62&
Райс О. К. (Rice О. К.) 351
Райх А. Л. 101
Ракипова X. А. 370, 391
Раковский Н. Л. 644, 647
Рамазанова 3. М- 644
Рамсден С. A. (Ramsden
S. А.) 263, 264
Ранк Ж. (Ranque G.) 800
Ранкин В. (Rankine W. J.) 210, 374
Ранни В. (Rannie W.) 835, 848
Рао Г. В. (Rao G. V. R.) 204
Рао Е. В. Н. (Rao Е. V. N.) 150
Рапопорт Л. A. (Rapoport
L. А.) 639
Раппопорт И. М. 9
Раскин И. А. 832
Рассел Дж. С. (Russell
J. S.) 57
Ратнер С. Б. 379, 381
Рауз X. (Rouse Н.) 715, 756
Рауль Ф. М. (Raoult F. М.) 700
Раухман Б. С. 150
Раушенбах Б. В. 419
Рахимкулов И. Ф. 640
Рахманов А. Н. 709, 718, 725, 742, 743, 752
Рахматулин X. А. 181, 259, 587, 594, 595, 758
Рацер-Иванова Ф. С. 80
Рачинский В. В. 647
Рачфорд Г. Г. (Rachford
Н. Н.) 628
Рвачев В. Л. 31
Ребиндер П. А. 591
Ревюз Ж. (Revuz J.) 122
Регирер С. А. 436, 441 — 444, 447/ 448, 455, 459, 799
Резников Б. И. 556, 557
Резников А. Б. 786
Рейли (Стретт Дж. В.) (Lord Rayleigh, Strutt
J. W.) 5, 65, 98, 150, 242, 243, 316, 510, 681
Рейнольдс А. Дж. (Reynolds A. J.) 767
Рейнольдс О. (Reynolds О.) 133, 462, 463, 465, 469, 476, 494, 512, 539, 540, 712, 729, 757, 807
Рейхардт Г. (Reichardt H.) 812, 813
Релф Э. Ф. (Relf Е. F.) 824
Рельтов Б. Ф. 616
Репик Е. У. 809
Репников М. Н. 488
Реппи Дж- Д. (Reppy J. D.) 682
Реслер Э. Л. (Resler Е. L.) 445
Решотко Э. (Reshotko Е.) 524, 525
Ривии М. А. 366
Рид В. X. (Reid W. Н.) 487
Ридделл Ф. Р. (Riddell
F. R.) 527, 529, 554
Ризенкампф Б. К. 586, 588, 589, 602—606, 609, 612
Риман Б. (Riemann В.) 281, 282, 459
Риман И. С. 30, 31, 46, 7 49 , 801, 802
Рис В. Ф. 850
Рисберг А. Б. 92, 93
Ритц В. (Ritz W.) 63, 66
Рихтер Л. А. 854
Ричардсон Л. Ф. (Richardson L. F.) 495, 717
Ричардсон Э. В. (Richardson Е. V) 767.
Ричардсон Э. Дж. (Richardson Е. G.) 771
Робертс П. Р. (Roberts
Р. R.) 763
Робертс Т. Р. (Roberts
Т. R.) 700
Родионов В. Н. 302—304
Родионов И. А. 714
Роер Г. Н. 768
Рождественский И. Б. 212
Роза С. А. 591, 596, 598
Розанов Н. П. 740, 747, 748, 787
Розанов О. К. 394
Розанцева В. В,. 20
Розе Н. В. 34, 161, 509
Розен Дж. (Rosen G.) 339
Розенберг М. Д. 589, 622, 623, 630, 637, 641—644, 647, 648
Розенхед Л. (Rosenhead L.) 509
Розловский А. И. 223, 370, 371
Рознер Д. Э. (Rosner D. Е.)
Розовский И. Л. 709, 719, 727, 730, 740, 741, 755, 776, 779—781, 783, 787
Ролле Н. Л. 741Роллен Б. В. (Rollin В. V.)666Романенко П. А. 146, 148Романенко П. Н. 546, 799,808, 809Романенко С. В. 733, 805Романенко Ю. Б. 5flРоманов А. В. 604Романов Г. С. 265Романовский В. В. 765Романько Н. И. 741Ромашов А. Н. 302, 303Ромм Е. С. 631, 632, 641Росляков А. В. 625Россби К. Г. (Rossby С. G.)574, 575Российский К. И. 752, 755,766, 767, 774, 775, 776Россоу В. Дж. (RossowV. J.) 450Ролле Н. Л. 741Роллен Б. В. (Rollin В. V.)666Романенко П. А. 146, 148Романенко П. Н. 546, 799,808, 809Романенко С. В. 733, 805Романенко Ю. Б. 5flРоманов А. В. 604Романов Г. С. 265Романовский В. В. 765Романько Н. И. 741Ромашов А. Н. 302, 303Ромм Е. С. 631, 632, 641Росляков А. В. 625Россби К. Г. (Rossby С. G.)574, 575Российский К. И. 752, 755,766, 767, 774, 775, 776Россоу В. Дж. (RossowV. J.) 450Ройзен Л. И. 807
Ролле Н. Л. 741
Роллен Б. В. (Rollin В. V.)
666
Романенко П. А. 146, 148
Романенко П. Н. 546, 799,
808, 809
Романенко С. В. 733, 805
Романенко Ю. Б. 5fl
Романов А. В. 604
Романов Г. С. 265
Романовский В. В. 765
Романько Н. И. 741
Ромашов А. Н. 302, 303
Ромм Е. С. 631, 632, 641
Росляков А. В. 625
Россби К. Г. (Rossby С. G.)
574, 575
Российский К. И. 752, 755,
766, 767, 774, 775, 776
Россоу В. Дж. (Rossow
V. J.) 450
Ролле Н. Л. 741
Роллен Б. В. (Rollin В. V.)
666
Романенко П. А. 146, 148
Романенко П. Н. 546, 799,
808, 809
Романенко С. В. 733, 805
Романенко Ю. Б. 5fl
Романов А. В. 604
Романов Г. С. 265
Романовский В. В. 765
Романько Н. И. 741
Ромашов А. Н. 302, 303
Ромм Е. С. 631, 632, 641
Росляков А. В. 625
Россби К. Г. (Rossby С. G.)
574, 575
Российский К. И. 752, 755,
766, 767, 774, 775, 776
Россоу В. Дж. (Rossow
V. J.) 450
Ротта Ю. К. (Rotta J. С.)1
Роуз П. Г. (Rose Р. Н.) 544
Роулинс Э. Л. (Rawlins
Е. L.) 628
Рошко A. (Roshko А.) 16— 19, 23, 27, 41, 122
Рубин С. Дж. (Rubin S. G・)， 459
Рубинштейн Л. И. 593,、 631, 647, 648
Рубцов Ю. И. 347
Рудавский Э. Я. 705
Руднев С. С. 740
Руднев Ю. В. 34, 130
Рудченко П. А. 616
Румер Ю. Б. 515, 819
Румынский А. Н. 553, 558-
Румянцев Б. Н. 516
Румянцев В. В. 65, 516-
Русаков В. Е. 744
Русанов В. В. 170, 285, 306
Русинов И. Я. 777
Рутеник Дж. Р. (Rutenik
J. R.) 795
Рухадзе А. А. 455
Руховец Л. В. 571
Рыбакова С. Т. 601, 619'
Рыбанин С. С. 398, 399, 401
Рывкин С. М. 268
Рыдалевская М. А. 426
Рыжик В. М. 588? 638— 641
Рыжкова М・ В. 87, 89, 95,- 101.
Рыжов О. С. 156, 251
Рыжов Ю. А. 424
Рыков В. А. 440
Рыльков В. Г. 740
Рютов Д. Д. 263
Рябинин А. Г. 162
Рябинин Ю. Н. 222
Рябушинский Д. П. (Ria- bouchinsky D. Р.) 16, 23, 27, 41
Рязанов Е. В. 285, 452— 454
Рязанцев Ю* С. 343, 364
Сабанеев А. А. 743
Сабанеев В. С. 31
Сабелев Г. И. 807
Сабинин Г. X. 837
Саблевский В. (Szablew- ski W.) 795, 797
Савар Ф. (Savart F.) 10О
Саваренский Ф. П. 646
Савельев С. Ф. 754
Савин В. Г. 770, 772
Савин Г. Н. 116
Савинов Е*. В. 262
Савицкий Г. А. 826
Савич П. (Savic Р.) 263, 264
Савочкин Ю. В. 458
Савченко М- М. 265
Сагдеев Р. 3. 424, 455
Садовников П. Я. 229, 236
СадовскийШ. А. 233, 292, 296, 310
Садоков В. П. 567, 569, 575
〜уцисии JD. 11. и
Садчиков П. Б.
622, 623
Садыков С. 19 Садых-заде Э. С. 644, •Сайковский М- И. 802, Сакураи A. (Sakurai 244, 280
Саламатов Д. 23, 29
■Салахов Ф. С. 783
774
803 А.)
Сейфуллина Б. А. 621
Секерж-Зенькович Т. Я. 82
Секерж-Зенькович Я. И. 7,
8, 10, 34,40, 56, 64, 68, 88
Секундов А. А. 817
Селезнев В. М. 742, 751
Селезнев К. П. 850
Селиванов В. В. 211
Селиховкин С. В. 810
Селлерс У. Д. (Sellers
^Салехов Г.
625
С. 612, 621, 623,
W. D.)丸477
Селлин Р. (Sellin R. Н. J.) 719
■Салманов
Самарский Самоделов
В. М. 268
А. А. 646
Семанов^Н. А. 731
Семендяев К. А. 251,
Семенковер И. Е. 807
Семенов Н.
И. 773,
319
774
И. С. 225, 235
■Самойлович Г. С. 118—120, 126, 130, 134, 137—143, 148, 152, 834, 835, 848 Семенов-Тяньшанский В. В.
(Самуилов Е. В. 426
Семенов Н. Н. 343—348, 350, 354, 355, 361, 556
Сиротина Е. П. 438
Сироткин Я. А. 145, 146, 148, 804, 852
Сирс В. Р. (Sears W. R.) 445
Систо ф. (Sisto F.) 137
Ситников К. А. 489
Скала С. М. (Scala S. М.) 555, 556
Сквайр В. (Squire W.) 229
Сквайр Г. Б. (Squire Н. В.) 456, 813, 814, 817
Скворцов В. В. 621, 625, 631
Складнев М. Ф. 709, 720, 743
Склизков Г. В. 266
Скородумов Д. Е. 719
Скребков Г. П. 728, 743,
744
Сандборн В. A. (Sandborn V. А.) 499
30
Сен X. К- (Sen Н. К.) 217
■Саникидзе Д. Г. 702, Саноян В. Г. 19, 758
705
Саплюков ф.
В. 783
Сапожников М. М. 713, 714
Сапунков Я. Г. 197, 198
Сапцин В. П. 732
Сарантонелло Э. Г. (Za- rantonello Е. Н.) 20
Сарен В. Э. 140, 143
Саткевич А. А. 145, 783
Сенатский
Сен-Венан nant А.) 746
Ю. В. 263
A. (Saint-Ve- 725—730, 745,
Саттаров М. М. 631
Саттон Дж. У.丿(Sutton
Ga W.) 448.
Сафман Ф. Дж. (Saffman
Ph. G.) 481, 484, 645
Сафрай В. М. 590
Сафронов С. В. 640
Сахаров А.
Сахаров В.
Сахаров В. Сахновский Саядян Г.
дА. И.
262
774
747
Э. Т. 434, Т. 165
435
Свейн Л. М. (Swain L.M.) 813
Свердруп Г. (Sverdrup Н.) 83
Свиридова А. С. 773
Свищев Г. П. 87, 89, 91, 92, 101, 165, 181
Святогоров А. А. 841
Сгибнева Л. А. 83
Сегал Б. И. 622
Седов Л. И. 8, 11—13, 16— 18, 29—31, 34, 36, 41, 46, 47, 50—52, 54, 86, 88, 90, 91, 99, 111—113, 115, 118, 120, 122, 124, 126—
Сербин И. А. 705
Сербинов А. И. 354, 394
Сергеев А. И. 648
Сергеев Г』П. 543
Сергеев Л. А. 625
Сергеев С. И. 802
Сергиевич В. И. 644
Серебрийский Я. М- 86— 89, 91—93, 95, 100 101, 116, 124, 127, 179 '
Середняцкий Л. М. 647
Серр Ф.. (Serre F.) 729
Сидоров О. П. 90
Сидоров Э. А. 808
Сидоряк С. Дж. (Sydoriak
S. G.) 700
Силин В. П. 455, 697, 702
Силин Н. А. 761, 769
Симаков Г. В. 257
Симмонс Л. Ф. (Simmons
L. F.) 824
Симоненко В. А. 328
Симонов Л. А. 86, 87, 100, 112, ИЗ, 116, 117, 121, 124, 144, 145, 148, 150, 732, 833,4 838
Симонов-Емельянов Ю. А. 724亠
Симонс Д. Б. (Simons D. В.) 767
Скрипач Б. К- 96
Скрипкин В. А. 36
Скуридин Г. А. 452
Слезкин Н. А. 7, 17, 26, 35, 98, 127, 128, 130, 509, 515, 595, 626, 756, 795, 806
Слейтер Дж. К. (Slater
J. С.) 255
Слесарев В. А. 810, 818
Сликтер Ч. С. (Slichter
Ch. S.) 586, 598
Слисский П. М. 778
Слисский С. М. 743
Слободкина Смирнов А. Смирнов В. Смирнов В. Смирнов Д. Смирнов Л. Смирнов Л. Смирнов Н.
Ф. А. 445
И. 88
А. 205
И. 157
Н. 721, 722
В. 748, 749
П. 828
В. 130
Смирнова А. Д. 265
Смирнова И. П. 820
Смит Д. К. (Smit D. С.) 593
Смит С. Д. (Smith S. D-) 499, 500
Смолдырев А. Е. 766, 769, 770
Смолин Г. Г. 821
Смыслов В. В. 719, 740, 741
Снарский А. Н. 643, 647
Сноуден Д. Д. (Snowden
D. D.) 518
Соболев В. И. 698
130, 135, 138, 139, 145, 161,16 2,185,187,203, 205,
209, 243, 280, 323, 483, $52
231—233,
271, 285, 427, 484,
273, 290, 435, 786,
238,
275,
296,
446,
806,
239, 279, 310, 462, 833,
Симонян Г. А. 740
Симуни Л. М. 513—515, 798, 799
Синельникова О. А. 735
Синельщиков В. С. 744, 759
Синицын М. В. 252, 257, 259, 260, 263
Сиразетдцнов Т. К. 138, 139, 180
Соболев С.
Соколик А.
Соколов А.
Соколов В.
Соколов В.
Соколов В. Соколов^Д. Соколов Л. Соколов Н.
Л. 157, 307
С. 402
А. 721
А. 31, 51, 52
Г. 744
Т. 15
Я. 765
А. 547, 549
А. 50
Соколов ；Н. Н. 753
Соколов Ю. А. 839
■Соколов Ю. Д- 605, 626 Соколовский В. В. 612 Соколовский И. Б. 721 Соколовский Л. П. 803 Соколовский Э. В. 646 Сокольников В. М. 754
*Солнцев В. П. 816
Солнышков В. А. 740
Соловьев Л. С. 449
Соловьева А. Г. 751
Солодкин Е. Е. 793, 795, 808
Соломахова Т. С. 34, 125, 852, 853
Соломонян Р. Ш. 782 Солохина Е. В. 133 Соммер С. К. (Sommer
S. С.) 542
Соммерс Г. С. (Sommers Н. S.) 700
•Сомов Б. Е. 622, 643, 644
■Сопруненко И. П. 525
Сорокин В. С- 75
-Сорокин Ю. Л. 773, 774
•Соснова Г. С. 292
<очнев В. А. 96
Сперанская М. П- 257 ■Спиридонова Т. Г. И
Спитцер Л. (Spitzer L.) 218
Спицын И. П. 719
Сполдинг Д. Б. (Spalding
В.) 541, 545
Спорышев В. С. 631
Сретенский Л. Н. 13, 14, 34, 52, 69, 70, 76, 80, 82
Сгаас Ф. A. (Staas F. А.) 703
Станиц Дж. Д. (Stanitz J. D.) 129, 131, 145
Станюкович К. П. 222, 231, 239—242, 247, 252, 253, 255, 289, 319, 323, 378, 436, 452, 453, 627
Старова Е. Н. 525
Стародубровская С. П. 595
Стародубцев П. С. 44, 54
Старостин М. Г. 783
Старунов В. С. 268
Степанов В. П. 594, 595, 600, 627
Степанов Г. Ю. 17, 18, 21, 115, 117, 118, 120—122, 124, 126, 128—134, 140, 143, 145, 146, 148—150, 152, 800, 805, 808, 838, 844, 852
Степанов Н. Г. 626
Степанова Г. С. 644, 648
Степанчиков Е. А. 647
Степаняны Л. Г. 511, 513, 515
Стернин Л. Е- 204
■Стефан И. (Stefan J.) 277, 490 X
Стечкин Б. С. 126, 129, 145, ' 838
Стешенко В. А. 854
Стик форд Дж. Г. (Stickford G. Н.) 553
Стклянин Ю. И. 622, 639, 641, 647
Стойлов Ю. Ю. 263
Стокер Дж. Дж. (Stoker
J.) 746
Стокс Дж. Г. (Stokes G. G.) 61, 765
Столярский М. Т. 853
Стоун А. Г. (Stone А. Н.) 171
Стратфорд Б. С. (Stratford В. S.) 796, 801
Страхович К- И. 509, 732, 733, 849
Стрелков П. Г. 666, 667
Стрелков С. П. 827
Стрелков Ф. С. (Strelkoff
Т. S.) 741
Стриженов Д. С. 424
Стрижов И. Н. 598, 620, 644
Стройк Д. Я. (Struik D. J.) 56
Струве Э. Э. 843, 846, 850, 854
Струминский В. В. 89, 93, 94, 144, 152, 426
Стрюков В. Б. 665
Стулов В. П. 529
Ступоченко Е. В. 209, 212, 223, 228, 229
Стырикович М. А. 773, 807
Стюарт Г. Дж. (Stewart
J.) 158
Стюарт Дж. Т. (Stuart J. Т.) 456, 457
Стюарт Р. В. (Stewart R. W.) 499, 502
Стюартсон К- (Stewartson
К.) 509, 519, 520, 524
Су С. Л. (Soo S. L.) 759
Субботин В. И. 794, 807
Суворов Л. Я. 38
Суворов Н. И. 644, 648
Судобичер В. Г. 727, 728
Суксов И. И. 805
Супоницкий А. М. 852
Сургучев М.' Л. 623, 631
Сурин А. А. 721
Сурнов Н. В. 846
Сурьянинов Г. Н. 741
Сухарев М. Г. 623, 635, 736
Суходрев Н. К. 263, 265
Сухомел Г. И. 77, 719, 740, 742, 752
Сухотин А. П. 303, 304
Сцилард К. С. 809
Сыркин С. Н. 818
Сыроватский С. И. 436— 438, 460
Сычев В. В. 167, 174, 190—
507, 532, 534, 535
Сюй Мин-ин 642
Табаков В. П. 623
Табачников В. Г. 96
Таганов Г. И. 102, 131, 161, 181, 310, 547, 550, 801, 802
Тагиров Р. К. 549, 551
Таконис К. В. (Taconis
К. W.) 703, 706
Таксар И. М. 646
Талантов А. В. 366, 367 ,
Талиев В. Н. 801•
Тамм И. Е. 213, 430, 485
Тани И. (Tani I.) 521
Тарасов А. Д. 851
Тарасов М. С. 259
Тарасов Ю. А. 457
Тарасов Ю. И. 259
Тарг С. М. 626, 796
Тарко Л. М. 721
Тарнопольский М- Д. 820
Татаренчик В. В. 102
Татарский В. И. 490, 500, 501
Тауб А. X. (Taub А. Н.) 306
Таундсенд A. A. (Townsend
А. А.) 471, 482, 495, 816
Таушканов Г. П. 852
Таушканова В. Б. 803
Тацуми Т. (Tatsumi Т.) 487
Тверской Б. А. 457
Тейлор Дж. И. (Taylor G. I.) 163, 231, 271, 279, 294, 297, 457, 469, 480, 498, 517, 536, 754, 812, 817
Тейлор М. Ф. (Taylor М. F.) 794
Тейлор Р. Д. (Taylor R. D.) 672, 698
Тейс Ч. В. (Theis Ch. V.) 598—
Тейтельман В. Ф. 731
Теленин Г. Ф. 174—176, 185
Телетов С. Г. '756
Телков А. П. 622
Теллер Э. (Teller Е.) 225, 226, 304, 427
Темноева Т. А. 726
Темпель ①.Г. 630, 735, 737
Теодорсен Т. (Theodorsen Т.) 86
Теплов Ю. А. 623, 625
Терентьев А. Г. 16—19, 122
Терзи В. П. 644, 648
Тер-Крикоров А. М. 58, 59, 74, 76, 77
Тер-Мартиросян 3. Г. 597, 598
Терцаги К. (Terzaghi К.) 587, 592, 595, 596, 599
Теслюк Е. В. * 646, 648
Тет П. Г. (Tait Р. G.) 30
Тетельбаум И. М- 118
Тиганов Е- В. 268
Филимонов С. С. 808Филимонов С. С. 808И. В. 760И. В. 760ФилимоноваФилимоноваГ. 77М. (Phillips-Ф. 118, 604гГ. 77М. (Phillips-Ф. 118, 604г
Филимонов С. С. 808
Филимонов С. С. 808
И. В. 760
И. В. 760
Филимонова
Филимонова
Г. 77
М. (Phillips-
Ф. 118, 604г
Г. 77
М. (Phillips-
Ф. 118, 604г
Тидман Д. A. (Tidman
D. А.) 217
Тимашев А. Н. 629, 630
Тимухин Г. И. 798
Тиняков Г. П. 174—176
Тир Дж. Д. (Теаге J. D). 230
Тирский Г. А. 507, 553— 557
Тисса Л. (Tisza L.) 669
Титов В. Г. 773, 774
Титов И. А. 15
Титов Ю. П. 716
Тихов М. Н. 622
Тихонов А. И. 14, 51, 52
Тихонов А. Н. 646
Ткалич В. С. 454
Ткаченко В. К. 651, 665
Товбис А. Б. 627
Тодес О. М. 348, 353, 354, 759
Токмаджян В. О. 722
То л л мин В. (Tollmien W.) 811—813, 817
Толмач И. М. 447
Толмачев В. В. 773
Толстов Ю. Г. 625
Толстых А. И. 429, 529, 534
Тома Д. (Thoma D.) 724
Томас А. Г. (Thomas A. G.) 542
Томас Л. X. (Thomas L. Н.) 255
Томельгас В. А. 630, 639, 642
Томс Б. A. (Toms В. А.) 504, 505
Томсон В. (лорд Кельвин) (Thomson W., Lord Kelvin) 5, 30, 80, 82, 440, 677, 733, 734. 739
Томсон Дж. (Thomson J.) 779
Топчиян М. Е. 391, 392
Торбунов С. С. 27
Точигин А. А. 774
Трайнер Б. Н. 131
Трайнис В. В. 769, 770
Траупель В. (Traupel W.) 117
Требин Г. Ф. 646
Требин Ф. А. 591, 624, 628, 641, 733
Треве И. М・(Treve Y. М・) 217
Трейси Г. Дж. (Tracy Н. J.) 716
Тревогин В. А. 59
Третьяков А. П. 802
Трефтц Э. (Trefftz Е.) 6, 86
Кивус Н. А. 644
Трикоми Ф. (Tricomi F.) 36, 101, 102
Трифонов Е. К. 726—728
Трифонов Н. П. 627
Троепольская О. В. 27
Троунсер Дж. (Trouncer J.)
813, 814, 817
Трофимук А. А. 633
Трохан А. М. 367
Трохин В. А. 736
Трошин В. И. 34
Трошин Я. К. 365, 370, 383, 391, 392, 394, 409— 411, 413, 415, 419
Трубина Е. К. 752, 785
Трюпель Т. (Truepel Т.) 811
Тулин М. П. (Tulin М. Р.)
41
Тумашев Г. Г. 8, 19, 87, 124, 129, 612, 621
Туркус В. А. 811
Турсунов А. А. 752
Тьюв Дж. Л. (Tuve G. L.)
819
У Ван-и 198
Уайт Д. Р. (White D. R.) 392
Уберои М- С. (Uberoi М. S.) 486
Уваров В. В. 116, 117, 145
Угинчус А. А. 743
Уитем Дж. Б. (Whitham
G. В.) 308, 728
Уитли Дж. Ч. (Wheatley
J. Ch.) 697
Уманский М. П. 800
Умаров А. Ю. 716, 754
Умник Н. Н. 591, 644—646
Умнав Е. И. 119, 120
Умов Н. А. 149
Умрихин И. Д. 624, 625, 627, 630
Уолтерс Дж. К. (Walters G. К.) 701
Уолш Дж. М. (Walsh J. М.) 252, 253
Уорд Г. Н. (Ward G. N・) 160
Упер A. (Houpeurt А.) 626
Уральцева Н. Н. 147
Урлин В. Д. 255—257, 259, 260
Урываев В. А. 727
Усенко В. С. ■ 619
Усенко В. Ф. 643
Успенский Б. Д. 565
Уфлянд Я. С. 442—444
Уханова Л. Н. 816
Ухов Е. П. 165, 809
Ушаков К. А. 113, 114, 119, 145, 801, 831, 832, 834, 837, 840, 841, 843, 848, 849
Уэллс Ф. Э. (Wells F. Е.) 366
Фабелинский И. Л. 268
Фабрикант Н. Я. 90
Фавр A. (Favre А.) 539
Файзуллаев Д. Ф. 758
Факторович М. Э. 709, 718沪 720, 743, 775
Фалькович С. В. 30, 34尸 135, 144, 158, 162, 183г 184, 610
Фаткуллин А. X. 640
Фатт И. (Fatt I.) 590, 594,. 636
Фаулер Р. Г. (Fowler R. G) 224
Федоренко Р. П. 453
Федоров В. К. 806, 80&
ФедоровГ.Ф.730
ФедоровЕ.А.19, 46,53-
ФедоровЕ.П.745,746
ФедоровМ.М. 849
Федоров Н. Н. 709, 727, 730, 754, 779, 781, 78%
Федоров Н. Ф. 718
Федоров Р. М. 129
Федорова И. Б. 90, 91
Федяевский К. К. 46, 91г 92, 95—97, 133, 793, 804, 810, 824, 825, 828—830
Фей Дж. A. (Fay J. А)
527, 529, 553, 554, 55&
Фейнберг Р. М. (Feinberg R. М.) 553, 558
Фейнман Р. Ф. (Feynman^
R. Ph.) 651, 659, 665, 667, 672
Фейрбенк В. М- (Fairbank
W. М.) 695, 701
Фейрберн Л. A. (Fairbairn*
L. А.) 83, 84
Фельдман Г. М. 598
Фельзенбаум А. И. 83
Фенчер Дж. Г. (Fancher
G. Н.) 590, 591
Феппль A. (Foeppl А.) 51》
Ферми 3. (Fermi Е.) 255, 662, 697, 699
Феррари К. (Ferrari С) 166, 170
Ферри A. (Ferri А.) 156, 170, 813, 822
Фертман Э. (Foerthmann Е.> 811, 815
Фидман А. И. 753, 781
Фидман Б. А. 709, 716, 754, 755, 757, 766, 769,.
777, 781, 789
Фик A. (Fick А.) 526
Филатов Б. С. 769
Филинов М. В. 630, 643
Филип Дж. Р. (Philip J. R) 641
Филиппов В. В. 124, 129
Филиппов И.
Филлипс О.
О. М.) 476 Фильчаков П.
615, 616
•Фильштинский Л. А. 116
•ФИпатьев Ю. П. 793
Финкельштейн Я. Б. 646
Флорин В. А. 596—599
Фок В. А. 480
•Фоккенс К. (Fokkens К.) 703
*Фокнер В. М. (Falkner V. М.) .520
•Фокс Д№・ Л. (Fox J. L.) 23
Фомин В. М. 36
Фомин С. Б. 646
Фомина Н. Н. 91, 133, 793
Фомичев М. С. 748
Форхгеймер Ф. (Forchhei- mer Ph.) 586, 601, 604
Л1)ранк-Каменецкий Д. А. :229, 236, 243, 326, 347— 349,351,354,356,358,361
Франкль Ф. И. 23, 24, 36, 91. 98, 101, 102, 126, 130, 144, 155—(57, 161, 165, 168, 540, 752, 756—75,8
Фредгольм Э. И. (Fredholm Е. I:) 80, 88, 90, 91
Фрейдин А. С. 794
Фрейдман Г. И. 339
■Фрелих О. К. 596
■Френкель М. И. 14
-Френкель Н. 3. 713, 714
^Френкель Я. И. 587, 592— 594
■Фреше М. (Fr6chet М.) 55
Фридлендер Б. И. 160
Фридлендер О. Г. 432
Фридман А. А. 145, 151, 462, 464—467, 478, 480, 487, 48& 561, 562•
©ридрихс К. (Friedrichs К.) 57, 58, 383
■Фриман Н. К. (Freeman N. С.) 194, 196, 198, 261, 262
■Фролов А. П. 25
-Фромм Дж. Э. (Fromm
J. Е.) 510
Фруд В. (Froude W.) 787
Фрумсон Ю. В. 626
Фунтиков А. И. 252, 256, 257, 306
Фурман Г. (Fuhrmann G.) 90
Фурье Ж. (Fourier J.) 526
Фын Ю. Ч. (Fung Y. Ch.) 825
■Фьертофт Р. (Fjertoft R'.) 566
Хабахпашева Е. М. 771
Хазен Э. М. 487
Хайерс Д. X. (Hyers D. Н.) 57
Хакешмидт М. (Наске- schmidt М.) 122
'Халатников И. М. 341, 651, 657, 659, 660, 666, 671, 、682, 688, 699, 704
Халилов 3. И. 642
Халтурин А. Д. 731, 788
Халтурина Н. В. 748, 778
Хальброн Ж. М. (Halb- ronn G. М.) 744
Хан Ги Мая 31
Ханжонков В. И. 799, 801, 840
Хансен Э. (Hansen Е.) 767
Хант Дж. Н. (Hunt J. N.) 297
Хантер К. (Hanter С.) 242, 320
Ханч Э. (Hantsch Е.) 204
Хапилова Н. С. 149
Хардисон Р. Л. (Hardison R. L.) 763
Харитон Ю. Б. 379
Харрис Р. A. (Harris R. А.) 81
Харрисон В. Дж. (Harrison W. J.) 513
Хартнет Дж. П. (Hartnett
J. Р.) 558
Хасилев В. Я. 717, 718
Хаскельберг И. Г. 769
Xаскинд М. Д. 1^—14, 22, 32, 46, 50, 130, 135, 138, 141, 158, 759
Хауелл А; Р. (Howell A. R.) 116, 841, 844
Xауторн В. Р. (Hawthorne
W. R.) 151
Хаф С. С. (Hough S. S.) 80
Хачатурян С. А. 737
Хейз У. Д. (Hayes W. D.) 158, 175, 183, 184, 194, 196, 198, 202, 531
Хейккила У. Дж. (Heikkila W. L) 671
Хейн А. Л. 604, 622, 630, 639
Хемблин П. Ф. (Hamblin Р. F.) 499, 500
Хернер С. (Ноегпег S.) 244
Хефеле В. (Haefele W.) 244
Хикокс Г. (Hickox G. Н.) 744
Хиле-Шоу Г. С. (Hele-Shaw
Н. S.) 619
Хилл Ф. К. (Hill F. К.) 542
Хино М. (Hino М.) 744, 763, 764
Хинце И. О. (Hinze J. О.) 762
Хитрив Л. Н. 361
Хмельний М. И. 19—21, 25, 32
Хованский А. Н. 623, 633
Хованский Г. С. 718
Ходанович И. Е. 598, 714, 732, 734—737, 739, 774
Холев С. Р. 212, 224
Холл А. Р. (Hall A. R.) 361
Холл Г. Э. (Hall Н. Е.) 673, 682
Холл С. Л. (Hall S. L.) 744
Холлиер Р. Н. (Hollyer R. N.) 234
Холлис Халлет А. К.
(Hallet А. С. Hollis) 671
Холодовский Г. Е. 774
Холт М. (Holt М.) 291
Холщевников К. В. 838, 841
Холщевникова Е. К. 447
Холявко В. И. 200
Хоменко В. С. 130
Хомовская Е. Д. 605
Хоперсков А. Е. 21
Хопф Э. (Hopf Е.) 467
Хорошко К. С. 169
Хотина Г. А. 802
Хоттел X. К. (Hottel Н. С.) 500
Хоуарт Л. (Howarth L.) 481—485, 493, 521, 522, 524
Хоул Ф. (Hole F.) 450
Храбровицкий В. С. 619
Хргиан А. X. 300 .
Христианович С. А. 35, 99—101, 127—129, 144. 161, 162, 612, 623, 630, 641—643, 721, 725, 728, 732, 733, 804, 805
Хрусталев Б. А. 808
Ху Юй-инь 450
Хубларян М. Г. 738
Худенко Б. Г. 16, 821
Хупер А. В. (Hooper А. V.) 845
Хуснутдинова Н. В. 628
Цакадзе Дж. С. 651, 673— 682
Царева Н. В. 595
Царевич К. А. 623, 642, 769
Царевский А. М. 779
Царевский-Дякин С. Н.
794
Царькова Г. Е. 432
Цванг Л. Р. 475, 500, 501
Цветков П. К. 741—743, 755
Цветков Ф. Ф. 807
Цедров Г. Н. 747
Цейтлин А. С. 713
Цейтлин М. Ю. 19
Цельник Д. С. 20, 21
Цемплен Д. (Zempin G.) 210
Цецерин В. А. 810
Цзян Чже-синь 823
Цимм В. (Zimm W.) 811
Цинобер А. Б. 511
Циткин С. И. 850
Цукерман В. А. 252, 254, 259
Черкесов Л. В. 70Черникин В. И. 733—735, 740Черникова Д. М. 705Чернов Б. С. 624Чернолоскутов К. А. 772Черноусько Ф. Л. 66— 68, 72, 325, 516Черный Г. Г. 145, 163, 166,167,477,178,180,181,188,191,194—196,199,200,202,203,274,446,452,549,800,806Черняк А. П. 852Чернятин И. А. 722—724Черри Т. М. (Cherry Т. М.) 34Черткова Н. А. 784, 785, 790Чертоусов М. Д. 718, 740— 743Честер В. (Chester W.) 194, 196Четин Ф. Е. 620Чжен С. К. (Cheng Н. К») 187, 188, 191, 429, 534Чжень Ч. М. (Tchen Ch. М.) 538, 759Чжоу П. Ю. (Chou Р. Y.) 486Чжоу Чень-сюнь 646Чи С. В. (Chi S. W.) 541Чизмаджев Ю. А. 647Чиркин М. П. 647Чиенелл Р. Ф. (ChisnellR. F.) 325Чистяков А. М. 747Чоу В. Т. (Chow V. Т.) 715Чу Б. Д. (Chu В. Т.) 166Чу Г. Ф. (Chew G. F.) 435Чу Т. К. (Chu Т. К.) 762 Чугаев Р. Р. 713, 718, 740, 743Чугунов В. Д. 621, 622, 625Чугунов С. С- 754Чудновский А. Ф. 641, 647Чуланов А. Н. 41Чураев Н. В. 647Чуриков Ф. С. 721Чушкин П. И. 95, 168, 174, 176, 189, 273Чхеидзе И. М. 674Чэн Ху а-дин 802Чэнь Чжун-сян 639—641Шабат Б. В. 149Шабрин А. Н. 716, 730, 731, 755Шавернева С. 3. 735Шалимов Б. В. 633, 734, 739Шальнев К. К. 40, 747Шаманский В. Е. 614, 619Шамов Г. И. 766, 775Шандоров Г. С. 819, 820Черкесов Л. В. 70Черникин В. И. 733—735, 740Черникова Д. М. 705Чернов Б. С. 624Чернолоскутов К. А. 772Черноусько Ф. Л. 66— 68, 72, 325, 516Черный Г. Г. 145, 163, 166,167,477,178,180,181,188,191,194—196,199,200,202,203,274,446,452,549,800,806Черняк А. П. 852Чернятин И. А. 722—724Черри Т. М. (Cherry Т. М.) 34Черткова Н. А. 784, 785, 790Чертоусов М. Д. 718, 740— 743Честер В. (Chester W.) 194, 196Четин Ф. Е. 620Чжен С. К. (Cheng Н. К») 187, 188, 191, 429, 534Чжень Ч. М. (Tchen Ch. М.) 538, 759Чжоу П. Ю. (Chou Р. Y.) 486Чжоу Чень-сюнь 646Чи С. В. (Chi S. W.) 541Чизмаджев Ю. А. 647Чиркин М. П. 647Чиенелл Р. Ф. (ChisnellR. F.) 325Чистяков А. М. 747Чоу В. Т. (Chow V. Т.) 715Чу Б. Д. (Chu В. Т.) 166Чу Г. Ф. (Chew G. F.) 435Чу Т. К. (Chu Т. К.) 762 Чугаев Р. Р. 713, 718, 740, 743Чугунов В. Д. 621, 622, 625Чугунов С. С- 754Чудновский А. Ф. 641, 647Чуланов А. Н. 41Чураев Н. В. 647Чуриков Ф. С. 721Чушкин П. И. 95, 168, 174, 176, 189, 273Чхеидзе И. М. 674Чэн Ху а-дин 802Чэнь Чжун-сян 639—641Шабат Б. В. 149Шабрин А. Н. 716, 730, 731, 755Шавернева С. 3. 735Шалимов Б. В. 633, 734, 739Шальнев К. К. 40, 747Шаманский В. Е. 614, 619Шамов Г. И. 766, 775Шандоров Г. С. 819, 820Шанъгин С. Н. 620Шанъгин С. Н. 620Шаховкин В. М. 636Шашкина Н. А. 789Шварц А. И. 742, 744Шварц В. Г. (Schwarz:W. Н.) 499-501Шварц М. (Szwarc М.) 361'Швейковский • Н. Т. 17Шаховкин В. М. 636Шашкина Н. А. 789Шварц А. И. 742, 744Шварц В. Г. (Schwarz:W. Н.) 499-501Шварц М. (Szwarc М.) 361'Швейковский • Н. Т. 17Швец А., Швец И. Т Швец М『Е Швидлер ^625, 631, 646Швец А., Швец И. Т Швец М『Е Швидлер ^625, 631, 646
Черкесов Л. В. 70
Черникин В. И. 733—735, 740
Черникова Д. М. 705
Чернов Б. С. 624
Чернолоскутов К. А. 772
Черноусько Ф. Л. 66— 68, 72, 325, 516
Черный Г. Г. 145, 163, 166,167,477,178,180,
181,188,191,194—196,
199,200,202,203,274,
446,452,549,800,806
Черняк А. П. 852
Чернятин И. А. 722—724
Черри Т. М. (Cherry Т. М.) 34
Черткова Н. А. 784, 785, 790
Чертоусов М. Д. 718, 740— 743
Честер В. (Chester W.) 194, 196
Четин Ф. Е. 620
Чжен С. К. (Cheng Н. К») 187, 188, 191, 429, 534
Чжень Ч. М. (Tchen Ch. М.) 538, 759
Чжоу П. Ю. (Chou Р. Y.) 486
Чжоу Чень-сюнь 646
Чи С. В. (Chi S. W.) 541
Чизмаджев Ю. А. 647
Чиркин М. П. 647
Чиенелл Р. Ф. (Chisnell
R. F.) 325
Чистяков А. М. 747
Чоу В. Т. (Chow V. Т.) 715
Чу Б. Д. (Chu В. Т.) 166
Чу Г. Ф. (Chew G. F.) 435
Чу Т. К. (Chu Т. К.) 762 Чугаев Р. Р. 713, 718, 740, 743
Чугунов В. Д. 621, 622, 625
Чугунов С. С- 754
Чудновский А. Ф. 641, 647
Чуланов А. Н. 41
Чураев Н. В. 647
Чуриков Ф. С. 721
Чушкин П. И. 95, 168, 174, 176, 189, 273
Чхеидзе И. М. 674
Чэн Ху а-дин 802
Чэнь Чжун-сян 639—641
Шабат Б. В. 149
Шабрин А. Н. 716, 730, 731, 755
Шавернева С. 3. 735
Шалимов Б. В. 633, 734, 739
Шальнев К. К. 40, 747
Шаманский В. Е. 614, 619
Шамов Г. И. 766, 775
Шандоров Г. С. 819, 820
Черкесов Л. В. 70
Черникин В. И. 733—735, 740
Черникова Д. М. 705
Чернов Б. С. 624
Чернолоскутов К. А. 772
Черноусько Ф. Л. 66— 68, 72, 325, 516
Черный Г. Г. 145, 163, 166,167,477,178,180,
181,188,191,194—196,
199,200,202,203,274,
446,452,549,800,806
Черняк А. П. 852
Чернятин И. А. 722—724
Черри Т. М. (Cherry Т. М.) 34
Черткова Н. А. 784, 785, 790
Чертоусов М. Д. 718, 740— 743
Честер В. (Chester W.) 194, 196
Четин Ф. Е. 620
Чжен С. К. (Cheng Н. К») 187, 188, 191, 429, 534
Чжень Ч. М. (Tchen Ch. М.) 538, 759
Чжоу П. Ю. (Chou Р. Y.) 486
Чжоу Чень-сюнь 646
Чи С. В. (Chi S. W.) 541
Чизмаджев Ю. А. 647
Чиркин М. П. 647
Чиенелл Р. Ф. (Chisnell
R. F.) 325
Чистяков А. М. 747
Чоу В. Т. (Chow V. Т.) 715
Чу Б. Д. (Chu В. Т.) 166
Чу Г. Ф. (Chew G. F.) 435
Чу Т. К. (Chu Т. К.) 762 Чугаев Р. Р. 713, 718, 740, 743
Чугунов В. Д. 621, 622, 625
Чугунов С. С- 754
Чудновский А. Ф. 641, 647
Чуланов А. Н. 41
Чураев Н. В. 647
Чуриков Ф. С. 721
Чушкин П. И. 95, 168, 174, 176, 189, 273
Чхеидзе И. М. 674
Чэн Ху а-дин 802
Чэнь Чжун-сян 639—641
Шабат Б. В. 149
Шабрин А. Н. 716, 730, 731, 755
Шавернева С. 3. 735
Шалимов Б. В. 633, 734, 739
Шальнев К. К. 40, 747
Шаманский В. Е. 614, 619
Шамов Г. И. 766, 775
Шандоров Г. С. 819, 820
Шанъгин С. Н. 620
Шанъгин С. Н. 620
Шаховкин В. М. 636
Шашкина Н. А. 789
Шварц А. И. 742, 744
Шварц В. Г. (Schwarz:
W. Н.) 499-501
Шварц М. (Szwarc М.) 361'
Швейковский • Н. Т. 17
Шаховкин В. М. 636
Шашкина Н. А. 789
Шварц А. И. 742, 744
Шварц В. Г. (Schwarz:
W. Н.) 499-501
Шварц М. (Szwarc М.) 361'
Швейковский • Н. Т. 17
Швец А., Швец И. Т Швец М『Е Швидлер ^
625, 631, 646
Швец А., Швец И. Т Швец М『Е Швидлер ^
625, 631, 646
Цыбульский Г. П. 589, 621 — 623, 625, 629, 646
Цытович Н. А. 597, 598 Цянь Сюе-сень (Tsien Н. S.) 99, 128, 156, 183, 184
Чавтораев А. И. 740 Чайлдс Э. К. (Childs Е. С.) 590
Чандрасекар С. (Chandrasekhar S.) 69, 457, 458, 460, 488, 681
Чанишвили А. Г. 718, 744, 788
Чанишвили Г. В. 680
Чао Б. Ц. (Chao В. Т.) 759 Чаплыгин С. А. 5, 7, 9, 10, 17, 30, 33—37, 40, 41, 50, 85—88, 92, 97, 99, 101—105, 107—1ЮГ 118— 120, 122, 125—131, 135, 137, 139, 140, 144, 151, 157, 162, 612, 792, 833, 841
Чаплыгин Ю. С. 11, 13, 50
Чарни Дж. Г. (Charney J. G.) 566
Чарномский В. И. 710, 718
Чарноцкий С. И. 620
Чарный И.А.587,588,
590,600,604,608,611,
612,617,618,620—626,
628—631, 639—643, 647, 709,712,713,717,721,
732,733,735,736,800
Чарыгин М. М. 620
Чебышова К. В. 854, 856
Чейшвили О. Д. 652, 688—— 691, 693
Чекалин А. Н. 625
Чекалин В. Е. 809
Чекалюк Э. Б. 600, 624, 643, 647, 648
Чекмарев И. Б. 721 Чекунаев И. М- 779 Челноков Н. И- 726 Чен-син Э. 626
Ченцов Н. Г. 792
Чепмен Д. Л. (Chapman D. L.) 163, 177, 288, 289, 373, 375—377, 380—382, 384, 388, 389, 394, 399, 400, 406—413, 419, 438
Чепмен Д. Р. (Chapman D. R.) 179, 542, 547, 548
Чепмен С. (Chapman S.) 426, 429, 434
Чепмен Т. Дж. (Chapman Т. G.) 609
Чепрасов В. П. 119
Череменко Е. П. 726
Черемисин Ф. Г. 431 Черемисина Л. В. 680 Черепанов Г. П. 11 Черепахин^Н. А. 642, 643 Черкез А「Н. 820
Шапиро Г. С. 259, 302
Шапиро X. Ш. 783
Шарагин А. Г. 625
Шарикадзе Д. В. 453
ПГароватова К. В. 27В
Шарохин Н. И. 90
Шаршукова Н. П. 754
Шаудер Ю. П. (Schauder
J. Р.) 57.
Шаулов Ю. X. 371
Шафалович А. В. 753
Шафранов В. Д. 217, 21%
436
Шахов Е. М. 557
.701, 705
798
573
И. 600, 623х
633, 640, 643财
Шебалов А. Н. 15
Шевелев Ф. А. 713, 714
Шези A. (ChSzyA.) 591, 712*
714
Шеинг Р. A. (Scheuing-
R. А.) 197
Шейдеггер A. (Scheidegger-
А. Е.) 587, 644, 645
Шейнин Б. И. 773，
Шейнин И. С. 749
Шейнман А. Б. 648
Шелхардт М. A. (Schell-
hardt М. А.) 628
Шемец А. А. 540
Шенберг С. А. 513
Шепелев В. М. 88
Шепелев И. А. 813, 818——
821
Щер Е. Н. 32, 302
Шеренков И. А. 719, 752：
Шержуков Б. С. 647
Шерклиф Дж. A. (Sher— cliff J. А.) 442—444
Шерстняков В. Ф. 643
Шерстюк А. Н. 853
Шестаков В. М. 600, 617,.
• 646
Шехтер Б. И. 252, 253
Шехтер О. Я. 594, 595
Шехтман Ю. М. 631, 633,.
648
Шешуков Е. Г. 28, 36
Шибаршов Л. И. 335 Шидловский В. П. 531, 532,.
534
Шиллер Л. (Schiller L.»
796
Шилов В. А. 116, 133
391, 394, 395, 397, 401,391, 394, 395, 397, 401,405, 409, 414, 419,405, 409, 414, 419,В. 176,В. 624Г. 740А. 817511336 622, 623В. 176,В. 624Г. 740А. 817511336 622, 623421554421554
391, 394, 395, 397, 401,
391, 394, 395, 397, 401,
405, 409, 414, 419,
405, 409, 414, 419,
В. 176,
В. 624
Г. 740
А. 817
511
336 622, 623
В. 176,
В. 624
Г. 740
А. 817
511
336 622, 623
421
554
421
554
Шильдс A. (Shields А.) 616, 766
Шипилин А. В. 180, 181
Шипов Р. А. 143
Ширшов А. Н. 743
Шитс X. (Scheets Н.) 843
Шищенко Р. И. 769
Шкадов В. Я. 520, 524
Шкирич А. Р. 646
Шлихтинг Г. (Schlichting Н.) 114, 133, 158, 443, 509, 538, 544, 796, 813
Шлыков Ю. П. 794, 807
Шляпинтох И. Я. 211
Шманенков В. Н. 547, 550
Шмидт А. Г. 72
Шмидт В. (Schmidt W.) 754
Шмыглевский Ю. Д. 167, 180, 181, 204
Шмыгля П. Т. 631
Шнеер И. А. 777
Шнидер О. (Schnyder О.) 721
Шноль Э. Э. 285
Шовгенив И. 618
Шовкринский Г. Ю. 637, ,643, 644, 648
Шоломович Г. И. 45
Шольц Н. (Scholz N.) 114, 133厶
Шорт Б. Дж. (Short]B. J.) 6 542
Шредингер Э. (Schroedin- ger Е.) 662, 687
Шреффлер Р. Дж. (Shreffler
R. G.) 310
Штанька В. А. 8, 21
Штейнберг Р. И. 87, 96, 824
Штерн/А. Г. 511
Шубауер Г. Б. (Schubauer
В.) 538
Шугал Я. Л. 553
Шугрин С. М. 726, 728
Шулишнина Н. П. 168, 189
Шульга П. М. 623
Шульман С. Г. 749
Шуляк Б. А. 767
Шумилов П. П. 740, 769
Шур Г. Н. 498
Шурыгин В. М. 87, 157
Шухов В. Г. 712, 739
Шушпанов В. Ф. 31
Щапов Н. М. 721
Щеглова М. Г. 46, 50
Щелкачев В. Н. 587, 588, 599, 600, 620—624, 626, 640
Щелкин К. И. 234, 263, 365, 383, 384, 387, 389—
Щенников В. Щербаков Г. Щербаков С. Щербина Ю. Щербинин Э. Щетинков Е. Щуров В. И.
Эдвардс Д. О. (Edwards D. О.) 702
Эдвардс Р. X. (Edwards
R. Н.) 429
Эдмондс Ф. Н. (Edmonds
F. N.) 458
Эйгенсон Л. С. 786
Эйлер Л. (Euler L.) 103, 202, 317, 426, 518, 586, 589, 787, 788,. 851
Эйнштейн A. (Einstein А.) 662..
Эйнштейн Г. A. (Einstein
А.) 764, 765
Эйхман В. Н. 624
Экк Б. (Еск В.) 849, 857
Эккерт Б. (Eckert В.) 844, 849
Экснер Ф. М. (Exner F. М.) 766
Злата X. (Elata Ch.) 762
Элерс Ф. Э. (Ehlers F. Е.) 168
Элиассен A. (Eliassen А.) 568
Эллисон Т. Г. (Ellison т. Н.) 477
Элрод Г. (Elrod Н. G) 513
Эльтерман В. М. 819
Эмери Дж. (Emery J. С.) 841
Эмих В. Н. 601, 610, 619
Энгелунд Ф. (Engelund F.) 767
Энског Д. (Enskog D.) 426, 429, 434
Эпплер Р. (Eppler R.) 16
Эпштейн В. Л. 131, 133, 134
Эпштейн Л. А. 10, 11, 15, 24, 38—40, 42—45, 50, 51, 53,；54.
Эпштейн П. С. (Epstein
Р. S.) 163, 182
Эрдос Дж. (Erdos J.) 550, 551
Эриксон ВЛ Б. (Ericson W. В.) 437
Этерман И. И- 91, 100
Этинберг И. Э. 114, 148
Эфрос Д. А. 16—18, 28, 40—42, 122, 136, 619, 622, 623, 636, 639—641, 643
Юделович М. Я. 549—551, 805
Юдин Г. А. 93, 94
Юдин Е. Я. 801, 816, 832,. 837, 842, 846, 853. 858
Юдин М. И. 562, 566, 569,. 571, 573
Юдицкий Г. А. 747, 748,. 778
Юдович В. И. 31
Юра Т. (Jura Т.) 835, 848'
Юрисов В. А. 150
Юрьев Б. Н. 92, 144-, 837
Юрьев И. М. 35, 99, 129 Юфин А. П. 709, 713, 760, .767—771
Юхименко А. И. 14
Юшко К. Б. 263, 360
Юшманов Q. Л. 779
Яблоков В. А. 81
Яблоник Р. М. 134
Яблонский В. С. 712—714,. 733, 740, 773
Яворская И. М. 243, 290
Яглом А. М. 461, 463, 468, 472, 475—477, 481, 482, 484, 486—489, 494, 496, 502, 503, 535
Ягодкин В. И. 799
Якимов Ю. Л. 32, 46, 275”
Якоб К. (lacob С.) 128
Яковлев В. П. 624, 625
Яковлев Н. А. 760
Яковлевский О. В. 817,. 819, 820
Якубенко А. Е. 442—444, 448, 450, 451
Якубов И. Т. 230, 553
Якубов М. С. 725, 727
Якура И. К. (Yakura J. К.) 191
Ямамото Г. (Yamamoto G.) 477
Янпольский А. Р. 11, 50j
Янцен О. (Janzen О.) 98» 150
Янь Си-цинь 529
Яремчук Ф. П. 616
Ярославцев И. А. 789
Ярошецкии И. Д. 268
Ясницкий Н. Н. 447
Яцеев В. И. 515
СОДЕРЖАНИЕ
^Теория струй (М. И. Гуревич} 5
Гидродинамика движения тел в воде с большими скоростями (Г. 5. Логвинович^
Л. А. Эпштейн) 37
Некоторые вопросы гидродинамики поверхностных волн (Н. Н* Моисеев) . . .55
Теория приливных волн (С. С. Войт) 79
Аэродинамика установившегося обтекания тел при дозвуковых скоростях
(Л. Л. Никольский^ #• М. Серебрийский, В. В. Сычев) 85
Гидродинамическая теория решеток (Г. Ю. Степанов) 103
Теория сверхзвуковых течений газа '(『. Г. Черный) 153
Ударные волны, сильные взрывы, физические процессы в газовых течениях (W. Б. Зельдович^ Ю. П. Райзер) 207
Распространение взрывных волн (2f. Е. Губкин) 269
Явления неограниченной кумуляции (£. И. Забабахин) 313
Теория горения и детонации (Л*. Я. Щелкин) 343
JVtexаника разреженного газа и плазмы и магнитная гидродинамикаи(М. Я. Коган,
В. 〃. Коробейникову А. Г. Куликовский^『• А. Любимов) 423
Механика турбулентности (Л. С. Монин, А. М. Яглом) 461
Динамика вязких жидкостей и газов, теория ламинарных и турбулентных пограничных слоев (Ю. В. Лапин； 〃・ Г, Лойцянский^ Ю, П, Лунькин；
3. Я. Нейланд^ В. 3. Сычев, Г. Л. Тирский) 507
Гидродинамический (численный) краткосрочный прогноз погоды (必.Л. К ибелъ) 561 .Движение жидкостей и газов в пористых средах (Г. К. Михайлову В. Н. Нико
лаевский) 585
■Свойства квантовой жидкости (3・ 〃・ Андроникашвили^ К. Н, Зиновьева^
Ю. Г. Мамаладзе^ 〃• П・ Питаевскии} 649
Гидравлика (О・ @. Васильеву В. М. Плткер) 709
Промышленная аэродинамика (Г. Я. Абрамович^ 必.В. Брусиловский^ А. С. Ги-
невский, Т. С. Солом ахова ^ &. &• Федяевскии) 791
Именной указатель 859
§ 5. Неустановившееся обтекание решеток
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
НАЦИОНАЛЬНЫЙ КОМИТЕТ СССРПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ И ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКЕ
МЕХАНИКАвСССР
ЛЕТЛЕТ
ЛЕТ
ЛЕТ
В ЧЕТЫРЕХ ТОМАХ
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Л. И. СЕДОВА (главный редактор), Я. Б. ЗЕЛЬДОВИЧА,
А. Ю. ИШЛИНСКОГО, М. А. ЛАВРЕНТЬЕВА, Г. К. МИХАЙЛОВА,Н. И. МУСХЕЛИШВИЛИ и Г. Г. ЧЕРНОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
МЕХАНИКАвСССР
ТОМ 2
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИИ ГАЗА
ИЗДАТЕЛЬСТВО《НАУКА»
531
M 55
УДК 531/534
МЕХАНИКА В СССРЗА ПЯТЬДЕСЯТ ЛЕТ
ТОМ 1
ОБЩАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА
ТОМ 2
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
ТОМ 3
МЕХАНИКА ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
ТОМ 4
БИБЛИОГРАФИЯ
МЕХАНИКА В СССР ЗА ПЯТЬДЕСЯТ ЛЕТтом 2Механика жидкости и газа
М., 1970 г., 880 стр. с илл.Редактор Г. Я, МихайловТехн, редактор И. Ш・ АксельродКорректор И. Е. Румянцева
* * *
Сдано в набор 21/V 1970 г. Подписано к печати 17/XI 1970 г. Бумага 70x1081/16. Физ. печ. л. 55・ Условн. печ» л. 77. Уч.-изд. л. 74,19. Тираж 5500 экз. Т-15500. Цена книги
5 р. 45 к. Заказ № 364* * *Издательство «Наука»Главная редакция физико-математической литературы.Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
* * *
Московская типография № 16 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР.Москва, Трехпрудный пер., 9.
2«3
ТоГто