Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Книга известного американского ученого Рональда Розенцвейга посвящена изложению основ нового направления в науке — физике и гидродинамике магнитных жидкостей. Прежде чем представить читателю книгу, целесообразно дать краткое представление о предмете, составляющем ее содержание,— о магнитных жидкостях.
Магнитных жидкостей в природе не существует — все известные жидкие и газообразные среды очень слабо взаимодействуют с магнитным полем. Тем не менее известны многочисленные примеры искусственно синтезированных жидких и дисперсных сред, взаимодействующих с магнитным полем из-за своей способности к намагничиванию. Получению таких сред, изучению их свойств и течений посвящено большое число исследований. Хорошо изучены амальгамы ферромагнитных металлов— растворы железа, кобальта и никеля в ртути, обладающие ферромагнитными свойствами. При малых концентрациях ферромагнитных частиц амальгамы представляют собой коллоидный раствор, величина намагниченности насыщения и магнитная восприимчивость которого пропорциональны концентрации частиц.
Известны работы по конструированию электромагнитных муфт и тормозов, принцип действия которых основан на свойствах жидкого или порошкообразного ферромагнитного наполнителя увеличивать под действием магнитного поля свою вязкость и «прилипать» к поверхностям магнитной системы. В качестве несущей жидкости использовалось минеральное или кремнийорганическое масло, в котором во взвешенном состоянии находились ферромагнитные частицы размером от 4 до 12 мкм в соотношении от 8 до 4 весовых частей железа на одну весовую часть жидкой фазы.
Основная причина, по которой амальгамы и взвеси не нашли применения в промышленности, заключается в их нестабильности— с течением времени ферромагнитные частицы выпадают в осадок. Так, срок службы ферромагнитных взвесей не превышает 100—150 часов; кроме того, даже в нерабочем состоянии муфты параметры взвеси со временем существенно изменяются.
Необходимо было создать жидкости, которые в течение долгого времени, порядка нескольких лет, сохраняли бы свои магнитные свойства, динамические и тепловые характеристики.
В разных странах специалисты различными путями пришли к созданию таких магнитных жидкостей. В США работы в этой области начались в начале шестидесятых годов в связи с выполнением программы полета к Луне и выходом человека на лунную поверхность. Одной из задач по обеспечению полета являлась задача о подаче топлива из баков ракеты в двигатели в условиях невесомости.
Была высказана идея сделать топливо намагничивающимся и управлять им с помощью неоднородного магнитного поля. В решении этой задачи самое непосредственное участие принимал автор данной книги Рональд Розенцвейг, который в настоящее время известен своими работами по получению новых типов магнитных жидкостей, исследованию их свойств и течений, применению магнитных жидкостей в технике, задачам управления динамикой псевдоожиженных слоев с помощью магнитного поля.
Синтезированные магнитные жидкости представляют собой коллоидный раствор мелких — порядка 100 ангстрем — ферромагнитных частиц в жидкости-носителе. Каждая частица покрыта слоем поверхностно-активного вещества, предохраняющего частицы от слипания, препятствуя утяжелению частиц и выпадению их в осадок. В качестве жидкости-носителя в зависимости от назначения магнитных жидкостей можно использовать керосин, различного типа углеводороды, воду, кровезаменители и т. д.
Прошло более двадцати пяти лет со дня получения стабильных магнитных жидкостей. За это время учеными многих стран написано несколько тысяч работ о свойствах магнитных жидкостей, их движении, о взаимодействии магнитных жидкостей с магнитным и электрическим полем, о применении магнитных жидкостей в технике, биологии и медицине; зарегистрированы тысячи авторских свидетельств и патентов об устройствах и приборах различного назначения с использованием магнитных жидкостей.
Широко ведутся работы по магнитным жидкостям в научноисследовательских институтах и университетах многих стран. Столь большой интерес к этой тематике связан с широкими возможностями использования этих жидкостей для разработок новых технологий, создания новых конструкций машин и приборов различного назначения.
В качестве примера такого типа устройств могут служить магнитожидкостные уплотнители — герметизирующие устройства. Представьте себе, что нужно вывести из кабины космиче-
ского корабля в космическое пространство вращающийся вал, к которому могут быть прикреплены различные приборы, например телескоп, фотоаппарат и т. д. В кабине корабля давление близко к атмосферному, снаружи корабля — разреженное пространство. Чтобы при вращении вала не было разгерметизации корабля, должна быть уплотняющая прокладка между валом и корпусом. Долгое время в качестве таких прокладок использовались специального типа резины, срок жизни которых при вращении вала ограничен. Использование магнитных жидкостей позволило продлить срок службы уплотнителей до нескольких лет. Идея состоит в следующем: вал делается магнитным, а между валом и корпусом помещается магнитная жидкость, которая удерживается магнитным полем и не вытекает при вращении вала. Такой уплотнитель позволяет держать перепад давления в несколько атмосфер. Область использования уплотнителей необычайно широка. Это — химическая технология, когда нужно вводить внутрь специального типа контейнеров, например, с агрессивными средами, вращающийся вал, на котором укреплены мешалки. Это — вычислительная техника; по существу, за рубежом в компьютерах не только высокого класса, но и бытового назначения стоит уплотнитель с магнитной жидкостью (в основном, уплотнители используются в системах ввода магнитных дисков памяти). Это — энергетика, где используются сверхпроводящие материалы и необходимо поддерживать низкое давление и т. д.
Другая область приложений — магнитная смазка, магнитная жидкость, сделанная на основе смазочных материалов. При этом достаточно подмагнитить смазываемый узел и смазка не будет вытекать.
Обычно, говоря о приложениях магнитных ждкостей, показывают простой эксперимент. В стакан с магнитной жидкостью погружено немагнитное тело, например золото, которое тяжелее жидкости и, разумеется, лежит на дне. Стакан внесен в неоднородное магнитное поле. Тяжелое тело всплывает на поверхность магнитной жидкости. Объяснение очень простое. Магнитное поле, действуя на магнитную жидкость, создает в ней дополнительное давление, неоднородное по высоте. В результате на тело в дополнение к силе Архимеда действует сила, пропорциональная градиенту магнитного поля и намагниченности жидкости и направленная из области более сильного магнитного поля в область, где поле меньше. Этот эффект используется в сепараторах, рабочей средой которых является магнитная жидкость. В таких сепараторах могут разделяться тела, отличающиеся друг от друга по плотности, например можно отделять золото от пустой породы, в ломе цветных металлов выделять отдельно медь, бронзу и т. д.
Перечень приложений магнитных жидкостей в технике и технологии огромен. Большинство из них, однако, находится в стадии лабораторных разработок. Безусловно, одним из самых замечательных приложений является применение магнитных жидкостей в медицине для направленного транспорта лекарств, приготовленных на их основе.
Не следует забывать, что часто на практике используются и среды реологически более сложные. Это могут быть магнитные гели, желе. Вязкость таких сред существенно зависит от величины и направления магнитного поля, а также от характера движения среды. При достаточно сильном магнитном поле такие среды могут приобретать свойства твердых тел.
Предлагаемая книга Р. Розенцвейга является первой вышедшей за рубежом монографией по магнитным жидкостям, области науки, которую Р. Розенцвейг называет феррогидродинамикой. В книге довольно четко обрисован предмет феррогидродинамики. Отмечается его отличие от электрогидродинамики и магнитной гидродинамики. Описаны способы получения магнитных жидкостей, обсуждаются их свойства, перечисляются некоторые их применения в технике. Приводятся основные сведения по электродинамике, теории магнетизма, гидродинамике и термодинамике.
Особое внимание уделяется построению математических моделей, описывающих взаимодействие сплошных сред с электромагнитным полем. Проводится мысль о многообразии явлений, происходящих при взаимодействии магнитной жидкости с магнитным полем, так что для их описания необходимы модели различного уровня сложности, учитывающие специфичные для данного явления эффекты.
Автор останавливается подробно на изучении различного типа неустойчивостей магнитных жидкостей, движения магнитных жидкостей в электромагнитных полях. На многочисленных примерах иллюстрируется применение современных методов математики: аналитических методов, методов численного моделирования для решения таких задач.
Есть в книге материалы по использованию методов феррогидродинамики для исследования процессов ожижения слоев магнитных частиц в магнитных полях. Эти частицы имеют размер 50—1000 микрон, много больший размера коллоидных частиц магнитной жидкости. В связи с этим возникает необходимость учета микроконвективного движения. Обсуждается, как использование магнитных частиц для образования ожиженных слоев в химических реакторах может улучшить технологические характеристики последних. И здесь приводятся примеры моделирования таких псевдоожиженных слоев.
Учитывая учебный характер книги, мы сочли целесообразным дополнить основной список литературы некоторыми монографиями и научными статьями советских авторов последних лет.
Книга будет полезна для подготовки научных работников, инженеров и студентов различных специальностей (прикладной математики, механики, физики, химии) к исследованиям в области магнитных жидкостей.
В заключение хотелось бы поблагодарить автора за исправления, любезно присланные им для русского издания.
В. В. Г ого сов
Моей жене Рут за ее любовь, преданность и веселый характер
ПРЕДИСЛОВИЕ
Силы обыкновенного магнетизма, действующие на расстоянии, все еще являются чудом для всех. Удивление вызывают и картины текущей жидкости, наблюдаются ли они в океанском прибое или в чашке чая. Представьте себе тогда магнитные жидкости, в которых свойства магнетизма и текучести объединяются в одной среде. Такие жидкости демонстрируют новые и полезные качества. Надеюсь, что хотя бы часть очарования такой жидкости передана в этой книге.
Мои первоначальные исследования с сотрудниками возникли из некоторых технических замыслов и надежды, что добавление магнитного слагаемого, обусловленного взаимодействием среды с магнитным полем, в уравнение движения жидкости приведет к интересным и полезным следствиям. Эта надежда быстро осуществилась в реализации, как теоретической, так и практической, ряда новых типов стационарных течений в добавление к известным в гидродинамике. Впоследствии обнаружились более тонкие проявления магнетиков в жидкостях в виде поразительных явлений неустойчивости; некоторые из них приводят к спонтанной организации жидкости и появлению ненаблюдав- шихся ранее геометрических картин. Неожиданно оказалось, что магнитные поверхностные силы здесь играют ключевую роль. Другой большой класс явлений дают антисимметричные напряжения, возникающие из-за наличия в течениях жидкостей объемного магнитного момента сил наряду с объемной магнитной силой. Наиболее интересное развитие общих идей связано с явлениями, возникающими при течениях намагничивающихся дисперсных сред.
Феррогидродинамика — дисциплина на стыке наук, интересная с точки зрения физики и математики и имеющая приложения в трибологии, технике сепарации, разработке измерительных приборов, информационных дисплеях, печати, медицине и других областях. Так как специалисты из этих сфер деятельности имеют совершенно разную подготовку, то была сделана попытка написать достаточно самостоятельную книгу, чтобы она была доступной для инженеров, ученых и студентов многих направлений. Понятия теории магнетизма слабо затрагиваются в
современных учебных курсах, да и то чаще всего в качестве приложения к электростатике; силам поляризации уделяется еще меньшее внимание. Поэтому начальные главы содержат основы теории магнетизма и вводный материал по гидродинамике. Это закладывает основу для строгого описания распределения напряжений в магнитных жидкостях и формулировки уравнения движения в гл. 4, а затем и вывода граничных условий на поверхностях. Далее, в гл. 5 и 6 рассматривается ряд установившихся течений с особым вниманием к применению обобщенного уравнения Бернулли в качестве универсального метода решения, простого, но мощного по достигаемым результатам.
В гл. 7 рассматриваются основные течения с неустойчивостью; это более трудная тема, но оправдывающая затраченные на нее усилия. В последних главах затрагиваются другие сложные вопросы о течениях, в которых существенны антисимметричные напряжения, а также о явлениях, возникающих при течении намагничивающихся дисперсных сред, — предмете все больших приложений в технологии переработки химикалиев и ископаемого топлива. В этих вопросах состояние теоретического знания не столь совершенно, и были приложены усилия, чтобы выделить те разделы предмета, которые стоят на твердой почве, из множества результатов, имеющих предположительный статус.
На протяжении всей книги обсуждаются разные приложения феррогидродинамики, большей частью в тех местах, где эта тема может послужить иллюстрацией теоретических идей и где существенны как магнитные, так и текучие свойства.
Материал этой работы был изложен в курсе лекций, прочитанном в Университете шт. Миннесота в 1980 г., куда автор был приглашен в качестве профессора на факультет химического машиностроения и материаловедения. О. Базаран записал лекции и помог составить связный текст, который послужил отправным пунктом для этой книги. Его усилия и вклад в работу очень ценны. Я особенно благодарен Л. Скривену за приглашение в университет, помощь в работе, а также за многие стимулирующие дискуссии и X. Дэвису за поддержку и советы. Совместная работа с М. Цаном из Массачусетского технологического института была полна энтузиазма и очень плодотворна; я благодарен ему за чтение и комментирование всей рукописи.
Помощь в подготовке этой работы была оказана благодаря великодушию моего работодателя — фирмы Exxon Со. и ее научно-исследовательской организации. Поддержка Ф. Хоровитца была существенна. Я благодарен Каролин Дюпре за ее постоянную работу по перепечатке рукописи. Очень приятно было работать с сотрудниками издательства и Д. Транахом.
Сотрудничество со многими другими коллегами в течение ряда лет было обогащающим и доставляло много удовольствия. Упоминания многих из них встретятся в книге в ссылках на их опубликованные исследования. Наконец, отметим, что каждые три года проводятся международные конференции исключительно по вопросам данного предмета. Первая конференция, лекции повышенного уровня и семинар, организованные Б. М. Берковским, состоялась в Международном центре исследований по механике (CISM) в г. Удине, Италия. Вторая конференция состоялась в г. Орландо, шт. Флорида в 1980 г., а последняя — в университетском колледже Северного Уэльса в г. Бангоре в 1983 г. Ссылки на труды этих конференций можно найти в литературе, приведенной в конце книги. Четвертая конференция состоится в Японии в 1986 г. °.
Рональд Розенцвейг
1} IV Международная конференция по магнитным жидкостям состоялась с 28 июля по 1 августа 1986 г. в Японии в городах Токио и Синдай. Материалы конференции опубликованы в журнале Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 1987, vol. 65, № 2, 3. Очередная V Международная конференция будет проходить в СССР, в г. Риге в сентябре 1989 г. — Прим. ред.
Введение
До недавнего времени технические приложения гидродинамики ограничивались системами, в которых электрические и магнитные поля не играли роли. Однако взаимодействие электромагнитных полей с жидкостями и газами привлекает все большее внимание из-за многообещающих перспектив приложений в самых разных областях, таких, как управляемые термоядерные реакции, конструирование химических реакторов, медицина и высокоскоростная бесшумная печать. Исследования разных типов взаимодействия поля и жидкости можно разделить на три основных направления:
Электрогидродинамика (ЭГД)—раздел гидродинамики, в котором изучается взаимодействие электрического поля с жидкостями и газами.
Магнитная гидродинамика (МГД)—изучение взаимодействия магнитных полей с жидкими и газообразными электропроводными средами.
Феррогидродинамика (ФГД)—предмет этой книги, интерес к которому появился благодаря созданию в недавнее время магнитных жидкостей.
ПРЕДМЕТ ФЕРРОГИДРОДИНАМИКИ
В феррогидродинамике изучается механика движения жидкостей под действием больших сил магнитной поляризации. Значительная часть данной книги посвящена тому, чтобы дать представление об эффектах, к которым приводят эти силы. Разумно с самого начала подчеркнуть разницу между феррогидродинамикой и относительно хорошо известной магнитной гидродинамикой. В МГД на объем жидкости действует сила Лоренца, появляющаяся, когда электрический ток течет под углом к направлению приложенного магнитного поля. Однако в ФГД в жидкости необязательно течет электрический ток, обычно его и нет. Действующей силой в ФГД является поляризационная сила, которая возникает в намагничивающейся среде при наличии градиентов магнитного поля или поверхностей разрыва.
В ЭГД сила взаимодействия чаще всего обусловлена наличием свободных зарядов, на которые действуют электрические силы. Для сравнения укажем, что в ФГД свободный электрический заряд, как правило, отсутствует, а аналог электрического заряда— магнитный монополь — в природе не обнаружен. Однако между ЭГД и ФГД обнаруживается аналогия, если провести сравнение с поведением электрически поляризующихся жидкостей без свободных зарядов в градиентном электрическом поле. Здесь главное отличие от ФГД состоит в величине эффекта, который для электрически поляризующихся сред обычно намного меньше. В этой книге затрагивается исключительно ФГД; для читателя, интересующегося ЭГД и МГД, в конце этой главы указаны прекрасные руководства для начального ознакомления.
Феррогидродинамика начала развиваться в первой половине 1960-х гг.; исследования первоначально мотивировались задачей преобразования тепла в работу без механических движущихся частей. Однако с появлением коллоидных магнитных жидкостей (феррожидкостей) возникли идеи многих других применений этих чудесных жидкостей. Многие из этих идей связаны с возможностью прямого управления положением магнитной жидкости и контроля ее поведения при помощи магнитного поля. Пример такого управления показан на фотографии рис. 1.1.
Феррогидродинамика представляет интерес и сама по себе уже по причине уникальности жидкости с сильным магнитным взаимодействием. В результате действия внешних магнитных полей в магнитных жидкостях появляется целый ряд удивительных явлений. Сюда входит явление неустойчивости в ортогональном поле, которое приводит к образованию на поверхности жидкости картины из острых пиков; спонтанное образование в тонких слоях загадочных лабиринтных структур; появление во вращающихся полях объемных моментов сил и как следствие антисимметричных напряжений; необычная плавучесть тел, например самолевитация погруженного в жидкость магнита; увеличение конвективного охлаждения в магнитных жидкостях с зависимостью магнитного момента от температуры. Основная задача этой книги — дать хорошее понимание предмета феррогидродинамики на основе механики сплошной среды, дополненной, где это необходимо, микроскопическим рассмотрением.
Известные приложения магнитных жидкостей имеют широкий диапазон. В настоящее время производятся новые уплотнители валов без утечки, используемые в дисководах вычислительных машин (Bailey, 1983), в вакуумных камерах со сквозным питанием при производстве полупроводников и других устройствах (Moskowitz, 1975), а также уплотнители давления для компрессоров и воздуходувок (Rosensweig, 1979а). Именно капля магнитной жидкости сделала возможными эти устрой-
Рис. 1.1. Магнитная жидкость в прозрачной пробирке; ее положение и форма определяются полем постоянных магнитов вне пробирки. (С разрешения Рота (D. A. Roth).) На вставке разъясняются обозначения в «простейшем примере», рассматриваемом в разд. 1.6.
ства; без этой решающей капли они бы не работали. Уже производятся громкоговорители с жидким охлаждением, в которых небольшое количество магнитной жидкости отводит тепло от
катушек динамика (Hathaway, 1979). Это нововведение увеличивает мощность усилителя, которую катушки могут рассеять, и тем самым увеличивает максимальный уровень громкости динамика. Магнитным полем можно вести капельку магнитной жидкости внутри организма, приводя связанное с ней лекарство в нужное место (Morimoto et al., 1982); частица магнитной жидкости служит меткой при неповреждающих измерениях кровообращения (Newbower, 1972). С другой стороны, большие количества магнитной жидкости требуются для процессов сепарации флотацией, в которых используется искусственное увеличение удельного веса магнитной жидкости под действием магнитного поля (Rozensweig, 1979а). Продемонстрирована возможность разделения таким способом смеси металлического лома из титана, алюминия и цинка (Shimoiizaka et al., 1980; Fay, Quets, 1980), а также его пригодность для сортировки алмазов. Сейчас изучается одно особенно многообещающее приложение— использование чернил на магнитной жидкости для высокоскоростных, недорогих, бесшумных принтеров (Maruno et al., 1983). В одном варианте конструкции из маленького отверстия испускалось до 104 капелек в секунду, которые затем магнитным полем доводились до подложки, где формировали печатные знаки (Kuhn, Myers, 1979). К другим приложениям магнитных жидкостей относятся визуализация магнитных доменов в сплавах и кристаллах (Wolfe, North, 1974), производство магнитных энзимных материалов (Adelstein et at, 1979) и обездвижение микроорганизмов (Birnbaum, Larsson, 1982). Кроме того, большие и почти беспредельные области техники все еще открыты для поисков.
Укажем еще, что в намагничивающихся псевдоожиженных слоях оказалось возможным исключить гидродинамическую неустойчивость, которая приводила к появлению пузырьков (Ro- sensweig, 1979b). Получающиеся таким образом псевдоожиженные слои в отличие от обычных слоев совершенно не имеют возвратного перемешивания частиц и обходного прохода газа. Такие слои иллюстрируют новый тип контактора жидкость — твердые частицы, который сейчас интенсивно изучается для многих приложений, включая каталитические реакторы, процессы сепарации и выборочной фильтрации (Lucchesi et al., 1979). Псевдоожиженные слои из магнитных частиц ведут себя как некоторый новый тип магнитной жидкости.
Для понимания природы магнитных эффектов в разных магнитных жидкостях нужно иметь представление об объемных магнитных материалах, состоящих из большого числа доменов, и об однодоменных магнитных частицах. Поэтому в следующем разделе приводятся необходимые сведения о магнитных материалах. После этого будут приведены некоторые соотношения
из теории электромагнетизма и механики сплошной среды, которые будут основой для остальной части этой книги.
ФЕРРОМАГНИТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Ферромагнитные материалы состоят из доменов — областей, в которых магнитные моменты отдельных атомов ориентированы в одном фиксированном направлении. Существование доменов было впервые постулировано Пьером Вейсом в 1907 г. Доменная структура одного кристалла и поликристаллического
(а)(а)Рис. 1.2. Ферромагнитная доменная структура в одном кристалле (а), поли- кристаллическом материале (Ь) и однодоменной частице (с). Стенки кристаллов обозначены сплошными линиями, стенки доменов — штриховыми.Рис. 1.2. Ферромагнитная доменная структура в одном кристалле (а), поли- кристаллическом материале (Ь) и однодоменной частице (с). Стенки кристаллов обозначены сплошными линиями, стенки доменов — штриховыми.
(а)
(а)
Рис. 1.2. Ферромагнитная доменная структура в одном кристалле (а), поли- кристаллическом материале (Ь) и однодоменной частице (с). Стенки кристаллов обозначены сплошными линиями, стенки доменов — штриховыми.
Рис. 1.2. Ферромагнитная доменная структура в одном кристалле (а), поли- кристаллическом материале (Ь) и однодоменной частице (с). Стенки кристаллов обозначены сплошными линиями, стенки доменов — штриховыми.
материала изображена на рис. 1.2, где штриховые линии обозначают стенки доменов, а сплошные линии — границы кристаллов. Если говорить только по существу, то ферромагнитный материал разбивается на домены, чтобы минимизировать энергию поля, которая была бы очень большой, если материал был весь намагничен в одном направлении. Однако вещество не может делиться на домены бесконечно, так как для создания доменных стенок, разделяющих домены, требуется энергия. Доменная структура на рис. 1.2 показана очень упрощенно. В действительности изменение направления вектора магнитного момента постепенное и происходит на протяжении ~100 атомов.
Природа явления ферромагнетизма в целом теоретически не прояснилась полностью до 1928 г., когда Вернер Гейзенберг наконец не объяснил ее на основе только что разработанной квантовой механики. Согласно квантовой механике, молекулярное поле создается преимущественно магнитными моментами спинов. Гейзенберг показал, что при перемене расположения спинов соседних атомов с параллельной ориентации на антипа- раллельную происходит соответствующее изменение распределения электронного заряда в атомах, и электростатическая энергия системы становится другой. В некоторых случаях параллельная ориентация спинов энергетически более выгодна; это и
есть тот случай, который известен как ферромагнетизм. Подробное обсуждение теории магнетизма не входит в рамки этого введения; ограничимся простой сводкой некоторых нужных нам аспектов теории магнетизма. В табл. 1.1 для удобства собраны некоторые сведения, необходимые для понимания последующих разделов этой книги.
Таблица 1.1. Разные типы магнетизма. Коллоидные магнитные жидкости — суперпарамагнетики
ФерромагнетизмФерромагнетизм<ю о 3? О)о<ю о 3? О)оМагнитные моменты атомов направлены в одну сторонуМагнитные моменты атомов направлены в одну сторонуо» s а? о <ю о CD Оо» s а? о <ю о CD ОАнтиферромагнетизмАнтиферромагнетизмооНаправление магнитных моментов атомов чередуетсяНаправление магнитных моментов атомов чередуетсяооооsisiФерримагнетизмФерримагнетизмЧередование направления магнитных моментов атомов с неравной величинойЧередование направления магнитных моментов атомов с неравной величиной
Ферромагнетизм
Ферромагнетизм
<ю о 3? О)
о
<ю о 3? О)
о
Магнитные моменты атомов направлены в одну сторону
Магнитные моменты атомов направлены в одну сторону
о» s а? о <ю о CD О
о» s а? о <ю о CD О
Антиферромагнетизм
Антиферромагнетизм
о
о
Направление магнитных моментов атомов чередуется
Направление магнитных моментов атомов чередуется
о
о
о
о
si
si
Ферримагнетизм
Ферримагнетизм
Чередование направления магнитных моментов атомов с неравной величиной
Чередование направления магнитных моментов атомов с неравной величиной
Парамаг-Нет дальней корреляции; намагниченность направлена
<30 о<30 ооонетизмвдоль приложенного магнитного поля
<30 о
<30 о
о
о
Диамагне-Нет дальней корреляции; намагниченность направлена
тизмпротив магнитного поля
Свойство ферромагнетизма проявляют железо, никель, кобальт и многие их сплавы, некоторые редкоземельные элементы такие, как гадолиний, и некоторые интерметаллические соединения, такие, как золото — ванадий. Ферромагнитное упорядочение спинов исчезает при температуре Кюри 0. В антиферромагнитных материалах при любой температуре нет суммарного магнитного момента. Антиферромагнитное упорядочение исчезает
при температуре Нееля. Свойство антиферромагнетизма имеют MnO, FeO, NiO, FeCl2, MnSe и многие другие соединения. Суммарный магнитный момент ферримагнитных материалов меньше, чем у типичных ферромагнетиков. Ферримагнетизм проявляют ферриты с общей формулой MO-Fe2O3, где М заменяет Fe, Ni, Мп, Си, Mg. Наиболее хорошо известным ферритом является магнетит, имеющий состав Fe3O4 и кристаллизующийся в кубической системе. Дополнительные примеры ферримагнитных материалов дают гексагональные ферриты и гранаты — диэлектрики, кристаллизующиеся в кубической системе и состоящие из атомов железа, других металлов и атомов кислорода.
Свойство парамагнетизма связано с тенденцией молекулярных магнитных моментов вещества выстроиться вдоль приложенного магнитного поля, но при отсутствии их дальней корреляции. Это свойство имеют жидкий кислород, растворы солей редкоземельных элементов, ферромагнетики при температуре выше точки Кюри и многие другие вещества. Диамагнетизм — наиболее слабое магнитное свойство, проявляющееся заметно только у веществ с заполненными электронными оболочками. Диамагнитны инертные газы, многие металлы, большинство неметаллов и многие органические соединения. Коллоидная магнитная жидкость состоит из совокупности ферро- или ферримагнитных однодоменных частиц при отсутствии дальней корреляции между частицами. Результирующее поведение называется суперпарамагнетизмом и во всем подобно парамагнетизму, за исключением того, что намагниченность в малых и умеренных полях значительно больше. Уравнения, описывающие суперпарамагнетизм, выводятся в гл. 2.
МАГНИТНЫЕ ЖИДКОСТИ
В ФГД имеют дело с несколькими типами магнитных жидкостей; основным типом является коллоидная магнитная жидкость. Коллоидами называются суспензии очень мелких частиц в сплошной среде, в том числе и такие суспензии, которые медленно расслаиваются. Однако истинная магнитная жидкость не расслаивается, хотя в длительно действующем поле сил (гравитационных или магнитных) может установиться слабый градиент концентрации. Магнитные жидкости состоят из мелких (3—15 нм) твердых магнитных однодоменных частиц, покрытых молекулярным слоем диспергирующего вещества и взвешенных в жидкости-носителе (рис. 1.3). Броуновское тепловое движение поддерживает взвешенность частиц, а молекулярные покрытия предохраняют частицы от слипания друг с другом.
Напомним, что броуновское движение названо по имени ботаника Роберта Броуна. В 1827 г. он обнаружил непрестанное
Рис. 1.3. Схематическое изображение однодоменных магнитных частиц с оболочками в коллоидной магнитной жидкости. Соударения частиц с правильно подобранными оболочками упруги.Рис. 1.3. Схематическое изображение однодоменных магнитных частиц с оболочками в коллоидной магнитной жидкости. Соударения частиц с правильно подобранными оболочками упруги.случайное движение мелких частиц в воде, которое можно наблюдать под микроскопом. Альберт Эйнштейн в 1905 г. разработал теорию броуновского движения, исходя из предположения, что поступательная кинетическая энергия делится поровну между частицами и молекулами окружающей жидкости. Сравнение результатов теории с экспериментальными данными дало наиболее раннее и прямое экспериментальное свидетельство существования атомов.
Рис. 1.3. Схематическое изображение однодоменных магнитных частиц с оболочками в коллоидной магнитной жидкости. Соударения частиц с правильно подобранными оболочками упруги.
Рис. 1.3. Схематическое изображение однодоменных магнитных частиц с оболочками в коллоидной магнитной жидкости. Соударения частиц с правильно подобранными оболочками упруги.
Коллоидные магнитные жидкости должны быть синтезированы, так как в природе они не найдены. Они также сильно отличаются по своим свойствам от «магнитных жидкостей» для зажимных устройств и тормозов, разработанных в конце 1940-х гг. Жидкости зажимных устройств, являющиеся суспензиями в масле железных частиц микронного или большего размера, затвердевают в присутствии приложенного магнитного поля. Для сравнения укажем, что коллоидные магнитные жидкости сохраняют текучесть даже в самых сильных приложенных магнитных полях. В ти
пичной магнитной жидкости содержится 1023 частиц на кубический метр, и она непрозрачна для видимого света.
Недавно появились успешные попытки использовать парамагнитные растворы солей редкоземельных элементов в качестве магнитных жидкостей; для таких систем, дисперсных на молекулярном уровне, требуются относительно сильные магнитные поля, чтобы возникли заметные эффекты. Некоторые чистые вещества, такие, как жидкий кислород, сильно притягиваются к магниту и ведут себя подобно магнитной жидкости; однако использование их на сегодняшний день затруднено, так как они существуют только при криогенных температурах. Более новое развитие общих идей связано с изучением намагничивающихся псевдоожиженных магнитных частиц — направлением, выросшим из ФГД и использующим ряд тех же самых подходов. В отличие от обычных магнитных жидкостей такие псевдоожиженные системы могут быть сухими и тем не менее вести себя во многих отношениях подобно жидкости.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ФЕРРОМАГНЕТИЗМАИ ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ
Определение поля
Если магнит опустить в магнитную жидкость, то жидкость прилипает к нему наподобие железных опилок, особенно к некоторым местам, называемым полюсами, обычно расположенными у концов магнита. Понятие полюсов полезно для практики, хотя в природе изолированные полюса неизвестны. Шарль Кулон в 1785 г. экспериментально показал, что одноименные полюса отталкиваются, а разноименные притягиваются с силой, пропорциональной произведению интенсивностей полюсов и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Для точечных магнитных полюсов интенсивности р и р\ находящихся в вакууме на расстоянии г друг от друга, величина этой силы равна рр'/(4лр0^2), а направление силы совпадает с линией, соединяющей полюсы. Если р' — единичный северный полюс, то сила, действующая на него, определяется как напряженность магнитного поля Н. Таким образом, магнитное поле вокруг единичного полюса р имеет вид
=(i.i)
4лц0г2 4лц0г3х 7
где г-—вектор, направленный от полюса р к полюсу р', а г = г/г — единичный вектор с направлением г °.
Величина коэффициента пропорциональности 1/(4лр0) в уравнении (1.1) зависит от используемой системы единиц. В этой книге будет использоваться система единиц СИ, основные единицы которой взяты из рациональной системы единиц МКСА: расстояния измеряются в метрах (м), масса — в килограммах (кг), время — в секундах (с) и электрический ток — в амперах (А). Прилагательное «рациональная» используется из-за того, что множитель 4л искусственно внесен в коэффициент пропорциональности закона Кулона. Это приводит к исчезновению множителя 4л в других, более часто используемых уравнениях, которые будут введены позже, — уравнениях Максвелла. Напряженность магнитного поля Н измеряется в амперах на метр (А/м). Параметр р0 называется магнитной проницаемостью вакуума и имеет величину цо = 4л-1О“7 Гн-м-1, где Гн означает генри. Сила в уравнении (1.1) измеряется в ньютонах (Н).
Понятие магнитного поля Н позволяет упростить детальное описание внешних условий. Так, вместо того чтобы говорить,
1} В уравнении, которое определяет какую-либо величину, используется знак =.
что в данном эксперименте измерение проводилось на таком-то расстоянии и в таком-то направлении относительно магнита, изготовленного по таким-то спецификациям, можно просто сказать, что прибор помещался в такую-то точку поля Н.
В системе СИ поле магнитной индукции В (в теслах) определяется так, что в вакууме В = р^Н. Согласно закону Фарадея, скорость изменения во времени поля индукции имеет очень важное значение при определении напряжений в контурах — этот вопрос будет дальше рассматриваться в связи с уравнениями Максвелла. Из уравнения (1.1) и определения В следует, что поле магнитной индукции вокруг полюса, имеющего интенсивность р в единицах СИ, определяется формулой В = =р/(4лг2). Величина поля В может рассматриваться как плотность числа линий поля индукции. В однородном поле индукции
^ Н
Рис. 1.4. Брусок ферромагнетика с узким поперечным зазором.
единичной величины, как говорят, одна линия (вебер, обозначаемый Вб) приходится на квадратный метр перпендикулярной поверхности. Поэтому единица индукции В есть вебер на квадратный метр (Вб/м2), которая также называется тесла (Тл). Соответствующие единицы для параметра цо — тесла-метры на ампер (Тл-м/А),а для интенсивности полюсов — тесла на квадратный метр (Тл/м2). Сферу, окружающую точечный полюс р, пересекает полное число линий ср = 4лг2В = р; поэтому из полюса интенсивностью в одну единицу СИ исходит одна линия магнитной индукции.
Величина намагниченности М характеризует интенсивность поляризации намагниченного вещества. Если магнитные полюсы интенсивностью р в единицах СИ равномерно располагаются на площади а (м2), то величина намагниченности Af ^ р/(ац0) = = Ps/po, где р$— поверхностная плотность магнитных полюсов. Рассмотрим брусок ферромагнетика с очень узкой щелью, перпендикулярной направлению его намагниченности, как изображено на рис. 1.4. На обеих сторонах щели появляются магнитные полюсы, поэтому поле в зазоре является суперпозицией полей, создаваемых северными полюсами на левой стороне щели, и полей от южных полюсов на противоположной стороне щели. Так как каждый северный единичный полюс испускает одну ли-
нию индукции, то единицу площади поперечного зазора пересекает по соображениям симметрии р/Ъа линий индукции от северных полюсов, а также р^а линий от южных полюсов; в итоге р/а = p0Af линий индукции. Кроме того, намагничивающее поле Н бруска дает дополнительный вклад рюН в поле индукции в зазоре, поэтому полная индукция дается формулой В = р0(/7 + М); если узкую щель закрыть, сдвинув бруски, то индукция В остается той же самой. Линии индукции В непрерывны, нигде не обрываются, исходят из северного конца бруска и входят в южный конец; внутри бруска поле индукции В направлено от южного конца к северному.
Специалисты часто работают в системе единиц СГС, в которой коэффициент 4лро в уравнении (1.1) равен единице, расстояние г измеряется в сантиметрах, а сила — в динах (дин). Таким образом, магнитный полюс имеет интенсивность единица в системе СГС, если он в вакууме отталкивается с силой в 1 дину от точно такого же полюса, расположенного на расстоянии в 1 см. В каждой точке магнитного поля в вакууме можно ввести силу как силу в динах, действующую на единичный северный полюс, помещенный в эту точку; такая сила называется напряженностью магнитного поля Н (в эрстедах, обозначаемых Э). Связывая одну силовую линию поля (максвелл, обозначаемый Мкс), пересекающую перпендикулярно единичную площадку (см2) с напряженностью магнитного поля в одну единицу, получим из уравнения (1.1), что магнитный полюс в одну единицу СГС испускает 4л силовых линий. Величина намагниченности здесь равна 1 = р)а, где а — площадь в квадратных сантиметрах. Поле в узком зазоре однородно намагниченного бруска ферромагнетика определяется из соображений симметрии и равно В = //+4л/, где величина 4л/ = М известна как внутренняя составляющая магнитной индукции. Таким образом, В = // + М, где В и М принято выражать в гауссах (Гс). В вакууме в системе единиц СГС индукция В (Гс) численно равна напряженности поля Н (Э). Так как в литературе постоянно приходится встречаться с единицами СГС, так же как и с единицами СИ, то необходимо знать обе эти системы единиц. Единица магнитной индукции в системе СИ — вебер на квадратный метр, или тесла, равна 104 Гс. Для сравнения укажем, что напряженность магнитного поля Земли в среднем около 0,7 Гс.
В этом разделе В, Н и М вводились как скалярные величины. В общем эти параметры имеют не только величину, но и направление, т. е. они являются векторами. Так, В есть модуль вектора В, Н — модуль вектора Н, a Af — модуль вектора М. Эти векторы связаны соотношением
(1.2)(1.2)В = р0(Н + М).
(1.2)
(1.2)
Например, индукция В постоянного магнита с намагниченностью М, помещенного во внешнее поле Н, направленное под углом к намагниченности М, определяется по уравнению (1.2) как соответствующая векторная сумма.
Брусок, изображенный на рис. 1.4, является двухполюсником, или диполем. В любом намагничивающемся дипольном веществе число северных полюсов равно числу южных полюсов. Рассмотрим некоторые свойства простого диполя.
Поле от дипольного источника
Рис. 1.5. К выводу поля в точке Р, создаваемого магнитным полем; ad —Рис. 1.5. К выводу поля в точке Р, создаваемого магнитным полем; ad —Два разноименных точечных полюса, равные по величине и находящиеся на небольшом расстоянии друг от друга, образуют магнитный диполь. Так, диполем является маленький
Рис. 1.5. К выводу поля в точке Р, создаваемого магнитным полем; ad —
Рис. 1.5. К выводу поля в точке Р, создаваемого магнитным полем; ad —
площадь поперечного сечения.
объем поляризующегося вещества с практически постоянной намагниченностью: на концах объема появляются полюсы с поверхностной плотностью ±ps (рис. 1.5). Обозначим направление и длину маленького объема через d.
(1.3)(1.3)Магнитное поле в произвольной точке Р можно найти при помощи закона Кулона и предположения о суперпозиции полей. В результате получим
(1.3)
(1.3)
П (Г) =I— Н— I ,4лц0 <^ г2 /
где Г] = d/2 -f- г, a r2 = — d/2 + г. Это соотношение справедливо для любого промежутка d, но нам нужно хорошее приближение поля для случая, когда промежуток d мал по срав-
нению с г. Если d < г, хорошие приближения для гх и г2 даются формулами
гх « г + (d/2) cos 0, г2 « г — (d/2) cos 0.(1.4)
По формуле бинома имеем
Сили 2 ~ (r±4COs6) 3=Г-з(1 ±^COS0)
^г"3(1 Т^-созб),(1.5)
«^^-й^К-т-^С1 -^cose)+
+ (-4+r)(1+#cos0)]-<L6>
После приведения подобных членов получим
"•r>“^t-d + 3Coser-i,(1.7)
где d —единичный вектор d/d. Так как d-r = cosO, р5 = р0М и V = add, то можно выписать следующий результат:
^-«-j4r[-d + 3(d-r)r].(1.8)
М 4лг3 i 1'' J'
Таким образом, поле точечного диполя спадает с расстоянием как 1/г3 и, следовательно, имеет меньшую сферу действия, чем поле точечного полюса, спадающего с расстоянием 1/г2 по закону Кулона.
Можно показать, что однородно намагниченный шар создает вокруг себя поле, в точности такое же, как и точечный диполь с таким же полным магнитным моментом, помещенный в центр шара. Из уравнения (1.8) легко видеть, что поле на северном полюсе шара направлено противоположно полю на экваторе; причем поле на полюсе в два раза больше поля на экваторе.
Магнитная сила и момент, действующие на вещество с диполями
Получим теперь общее выражение для магнитной силы, действующей на намагниченное тело. Отметим сразу же, что этот вывод ничего не скажет о распределении напряжений внутри тела. Определение распределения напряжений — значительно более трудная задача, требующая термодинамического рассмотрения; к этому вопросу мы вернемся в гл. 4.
Рассмотрим сначала изолированный маленький цилиндрический объем магнитно-поляризованного вещества с осью d.
Рис. 1.6. К выводу силы в градиентном поле и магнитного момента силы, действующих на малый элемент магнитно-поляризованного вещества.
параллельной вектору намагниченности М (рис. 1.6). Элемент помещается во внешнее неоднородное поле Но, и на концах элемента с поперечной площадью ad появляется равное число полюсов с плотностью ps = МюА1 и противоположной полярностью. Объем 6V элемента равен add. Приложенное поле Но может рассматриваться как сила, действующая на единичный прлюс; следовательно, сила, действующая на элемент объема, равна
— HoP$#d + (Но + 6Н0) psad = бНор^, (1-9)
где 6Н0 — изменение поля Но вдоль направления d. Поэтому 6H0 = (d V)H0 =(d/M)(M-V)H0, а плотность силы Кельвина дается формулой
Плотность силы = р0(М • V) Но. (1.10)
Отметим, что здесь р0М есть вектор магнитного момента единицы объема, так как по определению дипольного момента m m = p^d = VL0Madd,(1.11)
a add — объем элемента.
Момент сил 6Т, действующий на малый объем магнитно-поляризованного вещества в магнитном поле, можно также найти при помощи рис. 1.6 для случая пространственно однородного внешнего поля, т. е. для которого 6Н0 = 0. Складывая моменты
сил относительно начала системы координат О, рассчитанные по радиус-векторам ri южного конца элемента и г2 =Г] + d северного конца элемента, получим
ST = psad (— rt X Но + r2 X Но) = psadd X Но.
Так как p^d = ц0М SV, то момент сил, действующий на единицу объема, дается выражением
Плотность момента сил = р0М X Но;(1.12)*
это выражение не зависит от выбора начала системы координат.
Заметим, что для «мягких» магнитных материалов намагниченность М параллельна полю Но. Намагниченность насыщения чисто ферромагнитного образца есть намагниченность домена
Рис. 1.7. Типичные кривые намагничивания для мягких (а) и твердых (Ь) магнитных материалов.Рис. 1.7. Типичные кривые намагничивания для мягких (а) и твердых (Ь) магнитных материалов.
Рис. 1.7. Типичные кривые намагничивания для мягких (а) и твердых (Ь) магнитных материалов.
Рис. 1.7. Типичные кривые намагничивания для мягких (а) и твердых (Ь) магнитных материалов.
материала Md. Кривые намагничивания магнитно-мягких и маг- нитно-«твердых» материалов совершенно разные, как показано на рис. 1.7. Поведение намагниченности, изображенное на рис. 1.7(b), известно как явление гистерезиса. Величина Мг называется остаточной намагниченностью, а величина Нс — коэрцитивной силой материала. Постоянные магниты изготовляют из магнитно-твердых материалов, поэтому они сохраняют магнитный момент после исчезновения приложенного поля.
Для мягких материалов плотность силы по уравнению (1.10) сводится к выражению p0AlV/70. Это упрощение требует использования уравнений Максвелла и проводится в разд. 4.3. Поэтому работа, рассчитанная на единицу объема, при перемещении ds материала имеет величину р,оМ^Но) -ds, которая также может быть записана в виде ц0ЛМЯ0.
Задача на смекалку. Даны два металлических бруска одинакового внешнего вида: один — магнит, а второй — мягкое железо; как определить, какой брусок чем является, не привлекая: никакого дополнительного оборудования?
Энергия взаимодействия двух диполей
Как показывает уравнение (1.10), сила, отнесенная к единице, объема, действующая на элементарный объем вещества с диполями во внешнем магнитном поле Но, равна р0(М-V)H0; с учетом определения момента m по (1.11) полная сила равна
F = (m V)H0.(1.13)
При помощи векторного тождества выражение (т • V) Но можно переписать в виде
(mV) Но = V (m • Но) — Но • Vm — m X (V X Но) — Но X (V X m).
(1.14)
Для постоянного момента m это выражение упрощается к виду (ш • V) Но = V(m • Но) - m X (V X Но). (1.15)
В отсутствие электрических токов величина V X Но тождественно равна нулю (см. гл. 3); поэтому для диполя с постоянным
Рис. 1.8. Взаимодействие двух точечных диполей с произвольной ориентацией магнитных моментов.
моментом m силу F можно получить из энергии Eh по формуле
F = -VEh,(1.16)
где
= —(т-Н0).(1.17)
В результате выражение (1.17) дает величину энергии точечного диполя с постоянным моментом m в приложенном поле Но как функцию его ориентации и положения.
Теперь мы можем рассмотреть энергию взаимодействия двух точечных диполей, показанных на рис. 1.8. Представим, что, например, диполь 1 рассматривается как источник магнитного поля, в котором находится диполь 2; согласно выражению (1.8), поле имеет вид
Но (г) = -^- [- d, + 3 (d. • ?) ?]. (1.18)
Подставив в уравнение (1.17) выражение для поля (1.18) и магнитный момент ш2 = ц0М2И2 = р0М272с12, получим искомое выражение для энергии взаимодействия двух точечных диполей:
^--iiil^^^ (1.19)
Р 1 Гт1 ,т2dd4лцо L г3Р 1 Гт1 ,т2dd4лцо L г3где энергия Edd — частная форма энергии Ен и может быть также записана в эквивалентном виде:
Р 1 Гт1 ,т2
dd4лцо L г3
Р 1 Гт1 ,т2
dd4лцо L г3
—-^-(т, • г) (т2 • г)].(1.20)
Это выражение будет дальше использоваться для оценки устойчивости коллоидов магнитных частиц в жидкостях-носителях.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГИДРОДИНАМИКИ
Слово «флюид» (fluid) означает как жидкость, так и газ. Физические характеристики идеальных газов можно получить на молекулярном уровне при помощи кинетической теории газов, однако общая кинетическая теория жидкостей пока не разработана. Можно было бы думать, что для технологических целей нужно развивать механику жидкостей и газов как два разных предмета, но в этом нет необходимости. Действительно, рассматривая общий флюид как однородную субстанцию или континуум и привлекая общие законы сохранения массы, импульса и энергии, можно дать описание многих течений с высокой точностью.
Будем полагать, что читатель знаком с основами элементарной гидродинамики. Например, в покоящейся жидкости давление в каждой точке одинаково по всем направлениям, а сдвиговые напряжения отсутствуют. Существование сдвиговых напряжений в движущейся жидкости обусловлено вязкостью среды. Также экспериментально установлено, что на границе жидкости с телом нет скольжения. Однако развита очень обширная теория для описания течений идеальных или невязких жидкостей, в которой влиянием вязкости полностью пренебрегается. Далее в книге будет видно, что введение магнитной силы
модифицирует основы гидростатики интересным и полезным для практики образом и расширяет рамки применимости теории невязких жидкостей. Как несколько более сложные случаи будут рассмотрены также течения, где существенны как намагниченность, так и вязкие эффекты.
Как обычно в механике континуума, для описания движения жидкости необходимо ввести некоторые математические величины. Принято определять фиксированную точку течения координатами радиус-вектора х, у, z. Компоненты скорости vx, v#, v^ вдоль осей х, у, z соответственно являются функциями координат х, у, г и в общем случае времени /:
Ух = Ух U, У, 2, t),
Ув = Уд(Х, у. Z, <У(1.21)
у г = уг U, у, г, ty
Векторные величины позволяют записать эти соотношения более коротко. Если v — вектор скорости с компонентами vx, vy> vz, а г — радиус-вектор с компонентами х, у, 2, то
v = f(r, /).(1.22)
Так как скорость v непрерывно распределена в пространстве^ как и векторы В, Н и М, то можно говорить о поле скоростей v.
Уравнение неразрывности
Полезно провести систему линий, касательных в каждой точке к вектору скорости. Эти линии известны как линии тока. По определению никакой поток жидкости не пересекает линию
Рис. 1.9. Совокупность линий тока, образующих трубку тока.
тока. Линии тока, проходящие через замкнутую кривую, образуют трубку тока (рис. 1.9); если эта кривая выбрана достаточно маленькой, то скорость может считаться однородной в любом поперечном сечении трубки тока. Закон сохранения массы требует, чтобы вдоль трубки тока имело место равенство
pav = const, (1.23)
где р — плотность жидкости, а — площадь поперечного сечения трубки тока и v=|v|— величина скорости жидкости. Однако для анализа нам требуется более общее уравнение, выражающее закон сохранения массы, — дифференциальное уравнение неразрывности. Линии тока поля скорости аналогичны линиям магнитного поля В: масса сохраняется вдоль трубки тока в поле скоростей, как сохраняется магнитный поток в магнитном поле. В действительности аналогия исторически возникла в обратном порядке.
При выводе уравнения неразрывности, так же как и дифференциального уравнения, описывающего динамику движения жидкости, можно пользоваться различными системами координат: неподвижной в пространстве или движущейся вместе с жидкостью. Эти два подхода известны как способы описания Эйлера и Лагранжа соответственно; в этой книге используются оба способа. При выводе можно выбирать малый (дифференциальный) или макроскопический (интегральный) контрольный объем. Чтобы проиллюстрировать оба способа описания, проведем вывод уравнения неразрывности разными способами.
Дифференциальная формулировка Эйлера. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед со сторонами длиной dx, dy, dz в
Рис. 1.10. Эйлеров дифференциальный контрольный объем.Рис. 1.10. Эйлеров дифференциальный контрольный объем.
Рис. 1.10. Эйлеров дифференциальный контрольный объем.
Рис. 1.10. Эйлеров дифференциальный контрольный объем.
некоторой прямоугольной системе координат (рис. 1.10). Рассмотрим грань ABCD. Расход массы жидкости сквозь эту грань внутрь элемента объема равен произведению ее площади dydz на среднее значение плотности и скорости вдоль оси х: рих. Средний поток массы может вычисляться по значению в центре грани, равному
рОхрОхдрихдхдрихдхdxdx
рОх
рОх
дрихдх
дрихдх
dx
dx
Поэтому скорость притока массы внутрь элемента объема через грань ABCD равна
а скорость оттока массы через грань EFGH равна
Аналогичные выражения можно выписать для притоков массы через грани ABGF и ADEF и для оттоков массы через грани CDEH и CBGH.
Скорость изменения массы внутри элемента объема равняется
-~- (р dx dy dz) = -|~ dxdydz.(1.24)
Применяя закон сохранения массы, т. е. требуя, чтобы сумма скоростей притоков массы минус скорости оттоков массы равнялась скорости изменения массы, получим
дрУх , дриу , дри2dp
дх + ду + dzdt ’
или в векторной записи
-^-+ V . (pv) = 0;(1.26)
это уравнение и есть уравнение неразрывности гидродинамики. Для несжимаемой жидкости, как, например, магнитной жидкости, в качестве прекрасного приближения можно принять, как это обычно и делается, что р постоянно, и уравнение неразрывности сводится к уравнению
V v = 0. (1.27)
Этот способ вывода на основе дифференциального эйлерова контрольного объема используется в разд. 1.7, чтобы приравнять дивергенцию тензора поверхностных напряжений к объемной силе, связанной с распределением напряжений.
Способ вывода уравнения неразрывности непосредственно из соответствующим образом введенного определения производной можно найти в работе Берда, Стюарта и Лайтфута (Bird, Stewart, Lightfoot, 1960).
Интегральная формулировка Эйлера. Начав все заново, рассмотрим фиксированный в пространстве контрольный объем макроскопического размера произвольной формы, изображен-
ный на рис. 1.11. Жидкость втекает в объем и вытекает из него через точки поверхности. Элемент поверхности, обозначенный dS, имеет площадь величиной dS, т. е. модуль вектора dS, и направление вдоль внешней нормали к поверхности. Компонента скорости v, параллельная вектору dS, уносит жидкость из объема V. Следовательно,
Поток массы из объема V = pv • dS. (1.28)
Полная масса в объеме V = ^pdV.(1.29)
v
Следовательно,
A^pdV = ^dV = - jpv-dS. (1.30) VVs
Элемент поверхности dS = ndS, где n — единичный вектор внешней нормали. Поэтому интеграл по поверхности, содержащийся в уравнении (1.30), можно преобразовать по теореме Гаусса к интегралу по заключенному в ней объему:
Jpv-ndS= ^ V-^v)dV. (1.31) 3V
Из соотношений (1.30) и (1.31) следует
^dV + jv-(pvW = 0.
VV
(1.32)
Рис. 1.11. Эйлеров интегральный контрольный объем.Рис. 1.11. Эйлеров интегральный контрольный объем.A + v.(pv) = 0,A + v.(pv) = 0,(1.33)(1.33)Так как это соотношение должно выполняться для любой среды, положения, формы и размера объема, то знаки интегралов могут быть отброшены; в результате получается уравнение
Рис. 1.11. Эйлеров интегральный контрольный объем.
Рис. 1.11. Эйлеров интегральный контрольный объем.
A + v.(pv) = 0,
A + v.(pv) = 0,
(1.33)
(1.33)
которое и есть уравнение неразрывности, ранее полученное в виде (1.26).
Формулировка Лагранжа. В формулировке Лагранжа контрольный объем содержит постояную массу жидкости; при движении объема вместе с жидкостью его размер и форма ме-
няются. Для интегрального объема жидкости закон сохранения массы формулируется в виде
^$Р^ = 0,(1.34)
V
где D/Di обозначает материальную (или индивидуальную) производную при постоянных вмороженных в среду координатах, т. е. изменение со временем в движущейся индивидуальной частице среды. Рассматриваемое здесь уравнение можно преобразовать и получить результат в формулировке Эйлера. Такое преобразование проводится в гл. 8 при помощи теоремы переноса Рейнольдса.
Материальная производная
Природа материальной производной требует дальнейшего обсуждения. Пусть f = f(x, у, z, t)—некоторое поле скалярной величины, например плотности или магнитной проницаемости жидкости. Из математического анализа известно, что за время dt изменение функции f будет равно
df .. . df . t df . t df .df = -~-dt + dx + dy + dz,* dt 1 dx ' dy y ' dz 9
где все производные берутся в координатах Эйлера; например, d/dt вычисляется при постоянных х, у, z, а д/дх— при постоянных /, у, z.
Разделим изменение df на dt; в результате получим df df . df dx - df dy . df dz dtdt ' dx dt ' dy dt ' dz dt *
Величина df/dt есть изменение величины f в системе координат, движущейся относительно эйлеровой со скоростью v(dxldt, dy/dt, dz/dty Если система координат движется вместе с жидкостью (лагранжева система координат), тс в этом частном, но очень важном случае dx/dt— компонента скорости vx жидкости, dy/dt = vy и dz/dt = v2. При этом производная по времени d/dt обозначается через D/Dt. Поэтому в векторной форме последнее уравнение записывается в виде
^-=4 + v-Vf-(4- + v.v)f,(1.35)
так что
4-4+v-v(ив)
есть оператор, представляющий материальную производную (во вмороженной в среду системе координат). Слагаемое v- vf
выражает тот факт, что в независящем от времени поле скалярной величины Д когда f зависит только от пространственных координат, имеется изменение f в движущейся индивидуальной частице из-за изменения при течении положения в пространстве этой частицы жидкости. Слагаемое df/dt— эйлерова производная, вычисляемая в фиксированной точке пространства.
ОБОБЩЕННОЕ УРАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Выведем теперь хорошо известное уравнение Бернулли в обобщенной формулировке, учитывающей влияние магнитных сил. Результат относится к идеализированному случаю течения невязкой жидкости или жидкости без трения вдоль трубки тока.
Рис. 1.12. К выводу обобщенного уравнения Бернулли.
Хотя вывод здесь нестрогий, а результат неполный, некоторое улучшение понимания сути дела оправдывает затраченные усилия.
Пусть s — расстояние вдоль направления трубки тока, и— скорость элемента жидкости и h — высота по вертикали относительно некоторого фиксированного уровня отсчета (рис. 1.12). Рассмотрим элемент жидкости со значением длины ds в данный момент времени и массы pads, движущийся вдоль трубки тока. Для установившегося течения (d/dt = 0), согласно уравнению (1.35), в котором f = и, x = s и dx/dt = и, ускорение элемента есть vdv/ds; уравнение движения, выражающее закон Ньютона, можно сформулировать в виде
pa dsv ^- = — а ^ ds — pa dsg sin а + р0М -^- a ds; (1.37) здесь слева (масса X ускорение), слагаемые справа означают силу давления, силу тяжести и магнитную силу соответственно.
Некоторую неуверенность в этом соотношении вызывает выражение для магнитной силы, которая была выведена для всего тела; здесь она записана в применении к частице объема. Кроме того, при выводе магнитной силы использовалось внешнее поле Hq, тогда как здесь записано истинное поле Н — поле, измененное наличием жидкости. Сокращая общий множитель ads и учитывая, что sin а = dh/ds, перепишем уравнение в виде
dp , du , dh ,, dH A
—+ py—+pg—-^-^ = 0.(1.38)
Это есть обобщенное уравнение Бернулли в дифференциальной форме без ограничения о постоянстве плотности. Интегрируя уравнение (1.38) вдоль трубки тока от сечения 1 до сечения 2, получим
с dpи^ — и\г М
\^ + -2-^-\-gUi2-hv)-tio\ — dH = O. (1.39) 11
Если магнитные жидкости предполагаются несжимаемыми, то р постоянно и обобщенное уравнение Бернулли представляется в виде
2Нх
икГ
Pi + Р + Pghi — Ио J М dH =
о
2Н,
= Р2 + р-^ + Р£А2-Ро1 MdH. (1.40) о
Размерность каждого слагаемого — размерность энергии на единицу объема (Н-м-м-3) или давления ^
На первый взгляд может показаться, что уравнение Бернулли имеет очень ограниченное применение в случаях, когда эффекты вязкости относительно неважны. Однако для немагнитных течений это уравнение имеет удивительно широкие приложения, например, в теории датчиков скорости — таких, как трубка Вентури, датчик с отверстием с острой кромкой и трубка Пито — и при определении силы реакции, действующей на изгиб горизонтальной трубы или в течении через каскад вентиляторов. Если, кроме того, заметить, что каждая комбинация магнитного слагаемого с известным слагаемым в интеграле Бернулли описывает новый класс течений жидкости, можно получить некоторое представление о том богатстве, которое магниты приносят в гидродинамику.
’) Величина ц0 имеет одинаковое численное значение в единицах генри на метр (Гн*м-1), тесла-метр на ампер (Тл*м*А-1), ньютон на квадратный ампер (Н-А“2) или кг*м*с“2*А“2 и м2*Тл2*Н“1.
Простейший пример. На вставке рис. 1.1 изображена прозрачная цилиндрическая пробирка с прослойкой магнитной жидкости между двумя несмешивающимися прозрачными жидкостями с приблизительно такой же плотностью. Постоянные магниты у противоположных стенок пробирки удерживают магнитную жидкость и формируют ее верхнюю и нижнюю поверхности раздела. Проанализируем форму мениска при помощи обобщенного уравнения Бернулли.
Анализ. Выберем любые две точки на поверхности раздела и назовем их точками 1 и 2. Уравнение Бернулли (1.40) можно применить к жидкости с любой стороны мениска. Со стороны прозрачной жидкости имеем
Vl = V2 = 0> M!=A12 = 0,
Pi + pghi = p2 + pgh2.(1.41)
Co стороны магнитной жидкости получим
Ui = и2 = 0,
нхнг
Рх + Pg^ — Ро ^ MdH = p2-V pgh2 — Ио ^ М dH. (1.42) оо
ИИРис. 1.13. Капелька магнитной жидкости под действием однородного магнитного поля вытягивается.Рис. 1.13. Капелька магнитной жидкости под действием однородного магнитного поля вытягивается.Вычитая уравнение (1.41) из (1.42) и перегруппировывая слагаемые, находим !)
И
И
Рис. 1.13. Капелька магнитной жидкости под действием однородного магнитного поля вытягивается.
Рис. 1.13. Капелька магнитной жидкости под действием однородного магнитного поля вытягивается.
я2
$ MdH = 0.(1.43)
Их
Так как величина намагниченности принимает только положительные значения, то уравнение (1.43) может выполняться, лишь когда значения поля одинаковы
НХ = Н2.(1.44)
Это означает, что в рассматриваемом здесь приближении
мениск следует вдоль поверхности постоянной величины магнитного поля. Магнитная жидкость ведет себя словно новый гауссметр.
Задача, удовлетворяющая условиям уравнения Бернулли, но не решаемая здесь с его помощью, иллюстрируется рис. 1.13.
!) При этом существенным предположением является равенство давлений Р\ и р2 в магнитной и обычной жидкостях. В общем случае это неверно (см. гл. 5).—Прим. ред.
Сферическая капелька магнитной жидкости под действием приложенного однородного магнитного поля вытягивается вдоль направления поля. Объяснение этого явления требует более глубокого анализа гл. 5, в которой рассматриваются магнитные и поверхностные силы, появляющиеся на поверхности разрыва.
ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ И ЕГО ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Понятие напряжения и его тензорное представление вводится в магнетиках точно так же, как и в гидродинамике. Рассмотрим произвольный объем V, ограниченный поверхностью S (рис. 1.14). Пусть Af— равнодействующая сил, действующих
Рис. 1.14. К определению вектора напряжения.
через элемент поверхности AS с одной ее стороны на среду с другой ее стороны. Ясно, что сила Af зависит как от величины AS, так и от вектора п — единичной внешней нормали к площадке AS. Средняя поверхностная сила или сила, отнесенная к единице площади AS, дается выражением Af/AS. Согласно принципу напряжений Коши, это отношение стремится к определенному пределу di/dS при AS-^О в точке Р с радиус-вектором г. Это выражает принятую в механике точку зрения континуума и принимается как математически ожидаемое значение. Величина d\/dS называется вектором напряжения tn(r):
limdf ^(r).(L45)
AS-> До aS
Следует помнить, что вектор напряжения, действующий на элемент поверхности, меняется в жидкости от точки к точке, а также зависит от ориентации элементарной площадки. Вектор напряжения также часто называют вектором натяжения^.
!) В отечественной литературе используются термины «силы внутренних напряжений» и «тензор напряжений». — Прим. ред.
Чтобы описать напряженное состояние в данной точке Р, достаточно знать векторы напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках в точке Р^. Если эти три площадки
Рис. 1.15. Кубик, введенныйРис. 1.15. Кубик, введенныйдля определения компонент напряжений.для определения компонент напряжений.
Рис. 1.15. Кубик, введенный
Рис. 1.15. Кубик, введенный
для определения компонент напряжений.
для определения компонент напряжений.
лежат в координатных плоскостях декартовой системы координат, то для векторов напряжения, согласно рис. 1.15, имеем разложения
tx = Txxi + Tx;i + TX2k,(1.46а)
^ = 7^1 + 7^ + ^,(1.46b)
t2 = T2xi + T2yHT22k1(1.46с)
где Тхх — компонента вдоль оси х вектора напряжения, действующего на элементарную площадку с единичной нормалью i; Тух — компонента вдоль оси х вектора напряжения, действующего на элементарную площадку с единичной нормалью j, и т. д. Общее правило: компонента Tij представляет собой компоненту вектора напряжения вдоль /*-й оси системы координат, действующего на элементарную площадку с внешней нормалью, параллельной i-и оси.
Вектор напряжения tn, как определено выше, есть сила, рассчитанная на единицу площади, действующая со стороны +п элементарной площадки на вещество со стороны —п этой площадки. Также t(-n) — сила, действующая на вещество у стороны +п поверхности со стороны —п. Из третьего или из второго
1} Это утверждение доказывается в разд. 8.2.
закона Ньютона для элемента поверхности dS (пренебрежимо малой массы) следует
tn=-t(_rt).(1.47)
Теперь рассмотрим контрольный объем в виде тетраэдра, изображенный на рис. 1.16. Применяя второй закон Ньютона, получим
"3^^" ~ Пх^~х) + ау^-у^ + azV-z^ + ^tn, (1-48)
где v — скорость жидкости, р—-плотность жидкости, а аХ) аи> аг — площади граней, перпендикулярных осям х, у, z соответ-
Рис. 1.16. Тетраэдр, используемый при выводе выражения для диадика напряжений.
ственно. Разделив уравнение (1.48) на а, устремив h к нулю и используя уравнение (1.47), получим
t„ = ^tx + ^ty+-^tz.(1.49)
Очевидна справедливость соотношений (см. рис. 1.16)
а,.а_
-^ = ni, -^ = n-j, -^ = n k;(1.50)
а’аах '
с учетом этих соотношений уравнение (1.49) приводится к виду
1„ = п.(Их + ^ + ки(1.51)
Выражение в скобках есть диадик и называется диадиком напряжений или тензором напряжений Т:
Т = Их + ^ + к12.(1.52)
Подставив соотношения (1.46) в определение (1.52), получим развернутую форму записи тензора напряжений
Т = ТХХИ + Тхуij + Tx2ik + ^ Ji ь Туди -+ T^Jk 4- T2Xk\ +
+ T2yk] + Т22кк. (1.53)
Таким образом, описать напряженное состояние в точке среды вовсе не так безнадежно трудно; для этого нужно всего лишь девять чисел.
Введя тензор Т в уравнение (1.51), получим компактное выражение для вектора напряжения в символической записи 1}
t„ = n.T.(1.54)
Покажем, что для любого тензора Т выполняется равенство п • Т = Тт п, где Тт — транспонированный тензор.
п • Т = Тт • п — постановка вопроса в символической записи;
пкек • Тме{е}- = Tjieiei • пкек — покомпонентная запись;
^i^i/e/^ T^e^i — уничтожение ортогональных векторов;
n^^ej = Tijejrti — перестановка немых индексов;
п • Т = Тт • п — что и требовалось доказать.
Заметим, что только когда тензор Т симметричен, можно писать п • Т = Т • п.
Сила, определяемая тензором напряжений
Как следует из уравнения (1.54), вектор напряжения tn, действующий на любую элементарную площадку dS, получается сверткой единичной нормали п к площадке dS с тензором напряжений Т, т. е. n-Т. Суммируя векторы напряжения, действующие на дифференциальные элементы поверхности, по всей поверхности тела, находим полную поверхностную силу, действующую на тело:
F = $t„dS = $n • TdS.(1.55)
ss
Полная сила, действующая на тело, представляется следующим выражением, которое получается в результате преобразования последнего интеграла в уравнении (1.55) по теореме о дивергенции для тензора:
F = J V • Т dV.(1.56)
v
!) В приложении 1 дана сводка формул в символической записи.
Поэтому подынтегральное выражение V T может рассматриваться как выражение для плотности силы, или силы на единицу объема f; это выражение компактно записывается в виде
f = V Т.f = V Т.(1.57)
f = V Т.
f = V Т.
Полученное выражение для плотности силы f, определяемой тензором напряжений, является столь важным результатом, что мы выведем его еще раз, используя дифференциальную формулировку Эйлера. Рассмотрим снова «кубик» с напряжениями на рис. 1.15 и запись векторов напряжений в виде разложений (1.46). На каждой стороне кубика для компонент напряжения можно записать следующие выражения. Для грани с нормалью i компонента напряжения вдоль оси х равна Тхх. Для противоположной грани с нормалью — i компонента напряжения вдоль оси х есть Тхх + (дТхх1дх) (— дх), где бх — длина стороны кубика вдоль оси х. Аналогично для грани с нормалью j компонента напряжения вдоль оси х равна Тух> а такая же компонента для противоположной грани равна ТуХ + (дТух1ду) (— бу). Соответствующее выражение для грани с нормалью к есть Т2Х + (dT2Xfdz) (— 62). Грань с нормалью i имеет площадь бу 62; поэтому сила, определяемая напряжениями на этой и противоположной гранях, дается выражением
{ Тхх - [гхх + ^ (- бх) ]} dz/dz = ^ 617,
где 6У = бх бу 62 — объем кубика жидкости. Аналогичные вклады от граней с нормалями j и к суть {дТух1ду) 6У и ^dT2X/dz)dV соответственно. Поэтому сумма всех сил, действующих на всю поверхность кубика вдоль оси х, представляется в виде
/ дТ_дТит дТ_ \
i Н^ + -^ + -^МбУ.\ дхду1 dz )
Выписав аналогичные выражения для сил, действующих вдоль осей у и г, найдем выражение для вектора плотности силы f, действующей на кубик,
е ( ^ТххдТ дТ \/ дТ дТ дТ \
»-№ + тг+т)' + № + ^ + ттЧ1 +
+(-^-++4pCk. <L58>
\ дх 1 ду dz J v 7
Правая часть этого уравнения в точности совпадает с правой частью уравнения (1.57) в декартовой системе координат, т. е. f = V Т.
ДОБАВЛЕНИЕ. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДИПОЛЬНОГО И ПОЛЮСНОГО ОПИСАНИЙ
Введение в этой главе представлений о магнитных полюсах полезно и правильно, как это и есть на самом деле. Теперь покажем формально математическую эквивалентность дипольного и полюсного описаний намагничивающегося вещества. Соответствие можно установить следующим образом. Из уравнения (1.10), выражающего плотность магнитной силы в виде ро(М- •V)Ho, и векторного тождества V• (МН0) = Но( V - М) + (М-v) Но следует, что полная сила, действующая на намагниченное тело, представляется в виде
f= ^o(M.V)Hodr =
v
J V • (poMHoW + J (- HoV • M) HodV. (1.59) VV
Переходя в первом слагаемом от интегрирования по объему к интегрированию по поверхности, получим
$ V . (ц0МН0МУ = § П • HoMHodS = $ ц0(п • М) HodS. (1.60)
VSS
Объединяя эти соотношения, получим другое выражение для плотности силы
f=$Po(M- V) Hod7 = v
$(noM-n)HodS+ J(-noV-M)HodK. (1.61) SV
Так как Но — сила, действующая на единичный полюс, и величины р0М-п и —poV-M имеют размерность магнитного заряда на единицу площади и объема соответственно, то уравнение (1.61) позволяет установить следующие связи:
Ps — РоМ • п = поверхностная плотность полюсов, (1.62)
pv = — p0V • М = объемная плотность полюсов. (1.63)
Таким образом, эквивалентность описаний установлена. Этот результат был сформулирован Брауном (Brown, 1951), который также получил соответствующие уравнения для момента сил, действующего на тело. Ряд близких теорем, включая обобщение на случай вещества с квадрупольным моментом, имеется в работе Далера и Скривена (Dahler, Scriven, 1963).
ЗАМЕЧАНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Предмет феррогидродинамики (ФГД) введен в работе (Neu- ringer, Rosensweig, 1964). Обзоры феррогидродинамики имеются в работах Шапошникова и Шлиомиса (1975) и Розенцвейга (Rosensweig, 1982а). Многочисленные приложения ФГД описаны в работе Розенцвейга (Rosensweig, 1979а). Электрогидродинамика — предмет прекрасного обзора, сделанного Мелчером и Тейлором (Melcher, Taylor, 1969); прекрасные введения в МГД дали Хьюз и Янг (Hughes, Young, 1966) и Кабанес (Са- bannes, 1970).
В современных учебниках по теории электромагнетизма изложение ведется на основе электрического заряда и диполей, но магнетики не рассматриваются на той же основе. Рассмотрение магнитных явлений на основе полюсного описания впало в забвение по сравнению с описанием через замкнутые токи. Имеется старая, хорошо написанная книга на основе полюсного представления — книга Виттера (Bitter, 1937). В качестве вводных курсов, охватывающих широкую область теории электромагнетизма, рекомендуются курсы (Zahn, 1979; Reitz, Milford, Christy, 1979).
Каждый студент, специализирующийся по магнетизму, должен быть знаком с классическим трудом Бозорта (Bozorth, 1951), в котором содержится как большое количество сведений о магнитных материалах, которые были доступны в то время, так и очень полезные обсуждения теории магнетизма.
Имеется много хороших учебников по гидродинамике. Авторитетный вводный курс принадлежит Бэтчелору (Batchelor, 1970); книга, в которой проясняются отдельные моменты поведения жидкостей в движении, принадлежит Триттону (Tritton, 1977).
Элементарное, но ясное изложение понятия напряжения в континууме можно найти в книге Мэйза (Mase, 1970, гл. 2).
Ясное обсуждение понятий поверхностных напряжений и их исторический вклад в развитие логической мысли имеется в работе Серрина (Serrin, 1959).
Магнитные жидкости
Теоретически явление ферромагнетизма возможно в однородной жидкости, но неизвестно ни одного вещества, точка Кюри которого была бы выше точки плавления.
Магнитная жидкость является устойчивой коллоидной суспензией однодоменных магнитных частиц в жидкости-носителе. Свойства магнитной жидкости в значительной мере определяются тепловым броуновским движением взвешенных частиц и тем обстоятельством, что каждая однодоменная частица имеет постоянную намагниченность. Кроме того, существенным компонентом коллоидной магнитной жидкости в дополнение к частицам и несущей жидкости являются слои из длинных молекулярных цепочек на поверхности частиц, которые предотвращают их агломерацию.
Устойчивость — это важное свойство коллоида, так как исследователь должен быть уверен, что имеет дело с неизменным материалом, одинаково пригодным как для практических целей, так и для научных исследований. Интерес к магнитным коллоидам в литературе появился давно, но стабильность концентрированных коллоидов не была достигнута, а их максимальная намагниченность была на несколько порядков меньше намагниченности магнитных жидкостей. Так, Элмор (Elmore, 1938а) разработал химический метод приготовления магнитного коллоида для визуального наблюдения магнитных доменов на поверхности ферромагнетиков при помощи техники Виттера (Bitter, 1931). Этот метод основан на том, что частицы большей частью концентрируются около стенок доменов, где поле наибольшее, а не поддерживают однородность суспензии по всему объему несущей жидкости.
В настоящее время используется с разными целями серия магнитных жидкостей, появившаяся в результате развития открытий, сделанных в начале 1960-х гг.
УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
Полезно рассмотреть действие некоторых простых физических механизмов, ответственных за существование магнитных жидкостей. Критерии физико-химической устойчивости можно
получить из соображений размерности. Для начала полезно выписать выражения для разных составляющих энергий. На одну частицу приходятся следующие энергии:
Тепловая энергия — kT,
Магнитная энергия = ц0МЯ7,
Гравитационная энергия = \$VgL, где к — постоянная Больцмана, равная 1,38 • 10-23 Н • м • К-1, Т— абсолютная температура Кельвина, ц0 — магнитная проницаемость вакуума, равная 4л • 10-7 Гн • м, объем V = n,d3^6 м3 для сферических частиц с диаметром d, L — высота подъема в поле силы тяжести. Отношение одной энергии к другой дает безразмерные величины, которые, как будет видно, характеризуют устойчивость магнитных жидкостей.
Устойчивость в неоднородном магнитном поле
Рассмотрим устойчивость коллоида по отношению к осаждению частиц в неоднородном поле внешнего магнитного источника. Частицы втягиваются в области с более сильным магнитным полем, тогда как тепловое движение препятствует силам со стороны поля и поддерживает статистически случайное движение, которое позволяет каждой частице передвигаться по всему объему жидкости. Магнитная энергия цоЛШУ представляет собой обратимую работу по перемещению намагниченной частицы из точки жидкости с полем Н в точку жидкости вне поля:
о
^ = - $ (ноМ 4г У) ds ~ ^MHV.н
Если считать, что часть жидкости находится в области, где нет поля, то устойчивости по отношению к расслоению благоприятствует большая величина отношения тепловой энергии к магнитной:
Тепловая энергия кТ >(2 1)
Магнитная энергия \lqMHVv • /
Преобразовав это выражение и подставив в качестве объема объем сферы, получим ограничение на размер частиц для устойчивого к расслоению коллоида:
d С VSkT/^MH^13.(2.2)
Рассмотрим условия, реализуемые в стакане с магнитной жидкостью, содержащей частицы магнетита (Fe3O4) в неоднородном магнитном поле типичного лабораторного постоянного маг-
нита: 7/ = 8-104 А-м*1, М = 4,46-105 А-м"1, Т = 298 К. Указанное здесь значение Н в единицах СИ соответствует индукции поля в воздухе 1000 Гс в единицах СГС; значение М соответствует 5600 Гс!). Размер частицы d, вычисленный по формуле (2.2), менее или равен 8,1-Ю™9 м или 8,1 нм. Действительные размеры частиц устойчивых коллоидов варьируют в пределах примерно до 10 нм. Из этого вычисления видно, что размер
N
5
Рис. 2.1. Концентрированию магнитных частиц в магнитной жидкости под действием градиента магнитного поля препятствуют диффузия частиц вследствие теплового движения и их пространственная непроницаемость из-за конечности размера.
частиц вряд ли может быть хоть сколько-нибудь увеличен и при этом сохранена устойчивость коллоида к расслоению в неоднородном поле.
Имеется еще одна физическая причина, ограничивающая концентрацию частиц в областях с большими магнитными полями. Как видно из рис. 2.1, условие пространственной непроницаемости частиц дает верхнее значение их числовой концентрации. В хорошо стабилизированных магнитных жидкостях, хотя и возникают градиенты концентраций, как и в случае, приведенном на рисунке, при снятии поля частицы спонтанно перераспределяются по всему объему жидкости за некоторый промежуток времени.
° Всюду в книге в системе СГС М = 4л1, где 1 — намагниченность в отечественной литературе, которая обычно обозначается через М. — Прим, персе.
Устойчивость к осаждению в поле сил тяжести
Каждая частица в стакане под действием силы тяжести падает вниз, тогда как тепловое движение поддерживает взвешенность частиц во всей жидкой матрице. Это похоже на только что рассмотренный случай, в котором магнитная сила в каждой заданной точке жидкости выделяла некоторое направление действия. Влияние силы тяжести по сравнению с магнитной силой описывается отношением
Гравитационная энергия ApgL/о
Магнитная энергияр,0МН *\ • /
Для маленького стакана с жидкостью с характерными величинами Л=0,05 м, Ар = рчаст—Ржидк=4300 кг • м-3 и g=9,8 м • с-2 отношение (2.3) составляет 0,047. Таким образом, для устойчивости по отношению к расслоению рассматриваемых магнитных жидкостей сила тяжести менее существенна, чем магнитное поле.
Мы рассмотрели устойчивость по отношению к расслоению или образованию сильных градиентов числовой концентрации частиц. Частицы предполагались монодисперсными, т. е. не соединяющимися друг с другом. Добиться монодисперсности — не простая задача, и ее мы сейчас рассмотрим.
Устойчивость к магнитной агломерации
В типичной коллоидной магнитной жидкости, содержащей около 1023 частиц на кубический метр, часто происходят столкновения частиц. Следовательно, если частицы могут слипаться, быстро произойдет агломерация. Каждая частица имеет постоя- ную намагниченность, поэтому энергия, необходимая для разделения пары частиц с диаметром сЦ будет максимальна, когда их магнитные моменты выстроены в линию. Эта энергия является энергией диполь-дипольной пары Edd; положив в ее выражении (1.20) mi-m2 = m2, (mrr)(m2r) = т2г2 и т = = ЦоМлб/3/6, получим
Edd "9 (/ + 2)3 ’
где l = 2s/d, a s— расстояние между поверхностями частиц. Для энергии соприкасающихся дипольных частиц формула (2.4) приводится к виду
(/ = 0).(2.5)
Разрушение агрегатов также происходит из-за наличия теплового движения; эффективность этого процесса характеризуется отношением
(2.6)(2.6)Тепловая энергия 2АкТ
(2.6)
(2.6)
Энергия касающихся диполей ц0М2У '
Чтобы частицы не агломерировались, это отношение должно быть больше единицы; поэтому на размер частиц накладывается ограничение
d < (и^ГДлцоЛ!2))173. (2.7)
Для магнитных частиц при комнатной температуре из формулы (2.7) следует d ^ 9,8 нм. Этот подсчет показывает, что обычные магнитные жидкости с частицами, размер которых меняется в пределах до 10 нм, находятся на пороге агломерации, но все же им удается избежать такой судьбы. Следует, однако, разрешить еще одну проблему, которая сейчас будет рассмотрена.
Необходимость защиты от силы притяжения Ван дер Ваальса
Между нейтральными частицами из-за всегда присутствующих флуктуационных сил электрического диполь-дипольного взаимодействия самопроизвольно возникают силы Ван дер Ваальса. Эти силы представляют квантовомеханическое взаимодействие флуктуационных дипольных моментов орбитальных электронов одной частицы с осциллирующими дипольными моментами, наводимыми в другой частице. Так как поле диполя меняется с расстоянием как г-3, то градиент поля — как г-4. Если поляризация частицы пропорциональна полю и, следовательно, меняется с расстоянием как г-3, то сила меняется с расстоянием как г-7, а энергия — как г-6. Подобным образом в модели Лондона для взаимодействия точечных частиц получается закон обратной шестой степени расстояния. Гамакер распространил эту теорию на случай взаимодействия двух одинаковых сфер и получил следующее выражение:
(
Энергия\
флуктуационных диполей/
_ Л Г 22I 1 /2 +4Z 1/о q\
6 [z2 + 4Z(Z + 2)2 (Z + 2)2 J ’’
где Л — постоянная Гамакера, приближенно определяемая из диэлектрических характеристик частиц и среды в ультрафиолетовой (или оптической) области. Для Fe, Fe2O3 или Fe3O4 в углеводороде характерно значение Л = 10-19 Н-м (с точностью до множителя 3). Заметим, что для близко расположенных
сфер энергия Гамакера пропорциональна Н, а для удаленных сфер пропорциональна М. Зависимость /-6 согласуется, как и должно быть, с результатом Лондона. Упрощение выражения (2.8) для больших расстояний является простым математическим упражнением, заключающимся в пренебрежении слагаемыми более высокого порядка при разложении функций в ряд. Следует особо отметить, что зависимость Н указывает на бесконечную энергию, необходимую для разделения пары соединенных частиц, тогда как напомним, что магнитная энергия пары соприкасающихся частиц конечна. Таким образом, чтобы получить устойчивый коллоид, необходимо еще и предотвратить соприкосновение частиц. Перед обсуждением, как это можно сделать, полезно ознакомиться несколько подробней с техникой приготовления магнитных жидкостей.
Упражнение. Разложив в ряд при l-^оо логарифмическое слагаемое в выражении (2.8), покажите, что энергия диполей меняется как М. [Подсказка. Используйте следующий ряд Тейлора, применимый при х< 1:
in(i+x)=x-4+4-4+ ••••]
ПРИГОТОВЛЕНИЕ МАГНИТНЫХ КОЛЛОИДОВМЕТОДОМ УМЕНЬШЕНИЯ РАЗМЕРА ЧАСТИЦ
Существуют два основных метода приготовления магнитных коллоидов — метод уменьшения размера частиц и метод химического осаждения, т. е. получение мелких частиц из крупных и конденсация непосредственно в растворе. Удивительно, что простым перемалыванием можно добиться измельчения материала из крупных (микронных) частиц до частиц размером порядка 100 А. Этот метод впервые реализовал Пейпелл (PapelU 1965), хотя основные материалы и оборудование давно известны. «Секрет» процесса состоит в смачивании помола в присутствии поверхностно-активного вещества (размалывающей присадки) в течение длительных промежутков времени (~1000 часов). Схема процесса изображена на рис. 2.2. Магнитный порошок (чаще всего магнетит) из частиц в несколько микрон смешивается с растворителем и поверхностно-активным диспергирующим веществом. Диспергирующего вещества можно взять около 10—20 % от объема растворителя и 0,2 кг-л-1 магнетита. Отношение диспергатора к твердому материалу тесно связано с величиной молекулярного слоя на частицах конечного продукта. Розенцвейг, Нестор и Тимминз (Rosensweig, Nestor, Timmins, 1965) обнаружили, что в процессе автоматически получаются частицы со средним размером около 10 нм.
Диспергатор
Рис. 2.2. Метод уменьшения размера частиц для приготовления коллоидной магнитной жидкости.
Они также выработали представление о мономолекулярном слое, принципы выбора диспергатора, метод измерения окончательного размера частиц, модели для коэффициента вязкости и указали факторы, определяющие максимальную концентрацию твердого материала. Можно преобразовать в продукт почти все количество исходного материала, хотя скорость выхода чистой продукции увеличивается при более раннем удалении крупной фракции твердого материала и новом запуске процесса. Розенцвейг и Кайзер (Rosensweig, Kaiser 1967) развили дальше эту технологию на случай диспергирования магнитных частиц в других типах растворителей, включая воду, углеводороды, ароматические соединения и эфиры. Систематическое изучение и применение принципов физической химии позволило увеличить намагниченность насыщения жидкостей в десять раз (увеличение ц0М составило от 0,01 до 0,1 Тл).
Число частиц в интервалеЧисло частиц в интервале
Число частиц в интервале
Число частиц в интервале
Симоиидзака и др. (Shimoiizaka et al., 1978) показали существование двойного слоя поверхностно-активного вещества на поверхности частиц из магнетита в магнитной жидкости на основе воды.
Числовая концентрация частиц п в магнитной жидкости может быть огромной. Если ср — объемная доля магнитного вещества и d— диаметр частицы, то имеет место равенство п = = 6ф/(л^3). Намагниченность насыщения суспензии Ms пропорциональна намагниченности домена твердых частиц Md, т. е. Ms = <pMd. Исключив ф из этих двух соотношений, получим выражение для числовой концентрации частиц
Для магнитной жидкости с намагниченностью насыщения цоМ5 = 0,02 Тл, частицами из магнетита диаметром 10 нм и намагниченностью домена у,0А1^ = 0,56 Тл расчетная величина п составляет 6,8-1022 частиц на кубический метр.
Электронный микроснимок частиц магнитной жидкости на основе воды, приготовленной перемалыванием, приведен на рис. 2.3 вверху, а внизу изображена гистограмма размера частиц магнитной жидкости на основе углеводорода.
Способ более быстрого измельчения найден в работе (Kha- lafalla, Reimers, 1973b). Антиферромагнитный материал вюстит измельчается до коллоидного размера и затем расщепляется на магнетит и железо (Г < 530°С). Считается, что при измельчении немагнитного вюстита не происходит магнитной агломерации и поэтому процесс уменьшения размера частиц ускоряется. Показано, что в процессе измельчения полный магнитный момент вещества практически сохраняется.
ПРИГОТОВЛЕНИЕ МАГНИТНЫХ ЖИДКОСТЕЙМЕТОДОМ ХИМИЧЕСКОГО ОСАЖДЕНИЯ
Существует много химических способов приготовления магнитных жидкостей. В этом разделе описываются четыре типичных способа.
Рис. 2.3. Вверху: электронная микрофотография магнитных частиц из РезО4, приготовленных измельчением, в водной жидкости-носителе. (Ferrofluid А01 Ferrofluidics Corporation. С разрешения Exxon Research and Engineering Company.) Внизу: гистограмма размера частиц с подобранной гауссовской кривой (сплошная линия). Кружки соответствуют числу частиц. Отрезки в каждом интервале указывают на пределы статистической неопределенности подсчета. См. (McNab et al., 1968).
Осаждение магнетита со стерической стабилизацией
В методе, предложенном Халафаллой и Реймерсом (Khala- falla, Reimers, 1974) из U. S. Bureau of Mines, используется следующая суммарная стехиометрическая реакция:
5NaOH + 2FeCl3 + FeCl2 = FeO • Fe2O3 + 5NaCl + 4H2O. (2.1 Oa)
Формула магнетита записана в виде FeO-Fe2O3, чтобы подчеркнуть наличие в ней двухвалентных и трехвалентных атомов железа. Поэтому отношение их числа для магнетита равно
Fe(III)/Fe(II) = 2; (2.10b)
в таком же отношении берутся в качестве исходных реактивов растворимые соли железа (рис. 2.4). Осаждение магнитных частиц может быть вызвано гидроокисью аммония; осаждение окиси железа — обычная процедура в мокром химическом анализе. Обычно требуется создать условия, при которых осаждающиеся частицы агломерируются, чтобы провести фильтрацию для гравиметрического анализа. В нашем случае задача как раз противоположная, так как нужно получить мелкие частицы коллоидного размера. Чтобы добиться этого, в процесс включается стадия пептизации, в которой частицы переносятся из водной среды в органическую, содержащую диспергирующее вещество. В производстве красок эта операция называется промывкой (flushing). Далее дисперсная смесь частиц и органической основы магнитным способом отделяется от водно-солевого остатка, фильтруется и разбавляется растворителем до необходимой концентрации.
Лигносульфонат — воднорастворимый полимер, являющийся побочным продуктом бисульфитной переработки древесной пульпы. Этот полимер со средним молекулярным весом 35 000 использовался для изготовления недорогих водных магнитных жидкостей, содержащих сцепленные с молекулами полимера химически осажденные микрокристаллы магнетита размером около 10 нм (Neal, 1977). Физические свойства магнитной восприимчивости и спектры Мессбауэра указывают на супермагнетизм материала; т. е. его намагниченность велика, как у ферромагнетиков, но имеет быструю релаксацию, как у простых парамагнетиков (Hasset, Stecher, Hendrickson, 1980).
Частицы кобальта в органическом носителе
Томас (Thomas, 1966) и Хесс, Паркер (Hess, Parker, 1966) описали метод приготовления магнитной жидкости с частицами из чистого кобальта. Метод состоит в растворении дикобальтоктакарбонила [Со2(СО8)] в растворителе в присутствии по-
Рис. 2.4. Метод химического осаждения для приготовления коллоидной магнитной жидкости.
верхностно-активного вещества. Его концентрация обычно составляет от 0,2 до 0,7 г на 1 г октакарбонила. При нагревании смеси октакарбонил разлагается и получается устойчивый коллоид кобальта. Однако реакция очень сложная, и ее результат зависит от многих параметров, которые не всегда хорошо контролируются. Этот метод получил дальнейшее развитие в работах (Mailfert, Martinet, 1973; Chantrell, Popplewell, Charles, 1978).
Типичная смесь состоит из зерен кобальта, диспергированных в толуоле, и стабилизирована поверхностно-активным трехзвенным полимером с высоким молекулярным весом (2^ 100 000) — метилметакрилат (49,5%) + этилакрилат (49,5 %)+ винилпирролидон (1 %). Полимер содержит углево-
дородную цепь, к которой через каждые 200 атомов подсоединена по крайней мере одна полярная адсорбирующая группа. Можно использовать другие поверхностно-активные вещества, как, например, аэрозоль ОТ — сульфосукцинат натрия. По-ви- димому, скорость нагрева является критическим параметром. Дикобальтоктакарбонил — не очень устойчивое соединение, медленно разлагающееся при комнатной температуре. При нагревании до 100 °C наблюдается разложение с образованием окиси углерода, но частицы кобальта не образуют зерен. Исследование кинетики разложения при температуре до 130 °C выявляет другие стадии процесса с образованием важного промежуточного продукта Со4(СО)12. Заметим, что температура реакции превышает 111 °C — точку кипения толуола. Приготовленная магнитная жидкость с частицами кобальта имела намагниченность насыщения 29 кЛ-м-1 (370 Гс) и вязкость в несколько сантипуазов.
Стабилизация частиц магнетита зарядом
Массар (Massart, 1981) описал способ приготовления магнитной жидкости на воде без использования стабилизирующего органического вещества. Водная смесь треххлористого и двуххлористого железа добавлялась к раствору аммиака; в результате выпадал желатиноподобный осадок. Осадок механически отделялся от раствора и далее использовался одним из двух способов. Пептизацией осадка водной гидроокисью тетраметил- аммония приготовлялась магнитная жидкость на основе щелочи. Перемешиванием осадка с водным раствором перхлорной кислоты получали кислую золь, которую далее подвергали центрифугированию. Пептизация производилась простым добавлением воды. Предполагается, что отрицательные заряды коллоидов в щелочном растворе и положительные заряды коллоидов в кислой среде являются следствием адсорбции ионов ОН- и Н3О+ соответственно. Устойчивость коллоидов появляется из-за электростатического отталкивания магнитных частиц. Коллоиды с показателем pH от 5 до 9 коагулируют из-за недостаточного поверхностного заряда. В этом диапазоне pH, по-видимому, невозможно создать устойчивые водные золи без поверхностноактивных веществ. Сообщается, что средний размер частиц равен 12 нм.
Интересующийся читатель может обратиться к работе (Kruyt, 1952), где имеется общее обсуждение вопроса о стабилизации коллоидов при помощи механизма с электрическим двойным слоем.
Химические методы предпочтительнее механических: они более быстрые, необходимое время исчисляется минутами или ча-
сами вместо недель и месяцев, они могут быть дешевле, но эти методы ограничены лишь некоторым числом соединений. Специальные жидкости изготовляются преимущественно методом уменьшения размера частиц.
ДРУГИЕ МАГНИТНЫЕ ЖИДКОСТИ
Растворы парамагнитных солей
Из более чем 100 известных элементов 55 элементов — парамагнетики. Свойство парамагнетизма наиболее резко выражено у элементов, имеющих незаполненные внутренние оболочки с непарными электронами. Это свойство встречается в группе железа (Gr, Мп, Ее, Ni и Со) и в группе щелочных редкоземельных элементов (Cd, Tb, Dy, Но, Ег). Оно особенно характерно для марганца из первой группы и для гольмия, диспрозия и эрбия из второй группы. Андрэ (Andres, 1976) показал, что водные растворы парамагнитных солей этих элементов являются магнитными жидкостями с малой восприимчивостью и большой величиной поля насыщения. Водная растворимость этих солей меняется в следующем порядке:
Сульфид < сульфат < перхлорат < хлорид < нитрат.
Таким образом, хлориды и нитраты — наиболее полезные соединения. В табл. 2.1 перечислены физические характеристики,.
Таблица 2.1. Характеристики растворов парамагнитных солей (25 °C)
Парамагнитная соль
Предел растворимости, кг-м“3
Восприимчивость, Х = М{Н
Намагниченность ЦоМ. Тл
Вязкость, Н-с-м—2
щ//=2 Тл
цоЯ=2О Тл
FeCl3
1320
0,00046
0,0009
0,009
0,0080
МпС12
1470
0,00090
0,0018
0,018
0,0074
Но(МО3)з
1980
0,00276
0,0055
0,055
0,0125
включая восприимчивость ^ = М/Н, для некоторых из многих магнитных растворов, получаемых таким образом. Раствор парамагнитной соли применяется при сортировке минералов по степени плавучести в сильных (2 Тл) полях магнитов с железным ярмом. Для реализации стационарного процесса с еще более сильным (20 Тл) полем из табл. 2.1 потребовался бы источник поля с использованием сверхпроводимости.
Значения восприимчивости из табл. 2.1 могут быть пересчитаны для других температур при помощи закона Кюри / = С/Т»
где Т — абсолютная температура и С — постоянная. Это простое соотношение неприменимо в очень сильных магнитных полях и при очень низких температурах, когда парамагнитные соли достигают состояния насыщения.
Магнитная жидкость на основе металла
Магнитная жидкость с носителем из жидкого металла очень желательна для приложений, где бы очень пригодилась ее высокая теплопроводность и другие свойства жидкого металла. К таким приложениям относятся, например, электрические контактные кольца для вращающихся валов, высокоскоростные уплотнители и подшипники и системы с магнетокалорическим преобразованием энергии.
Подходящими жидкими металлами могли бы быть ртуть, галлий, олово и легкоплавкие сплавы с индием или висмутом. Имеется и подходящая техника электроосаждения для приготовления мелких однодоменных ферромагнитных металлических частиц и введения их в жидкий металлический носитель. В электролитическую ячейку вводятся соли ферромагнитных металлов, растворенные в воде или в спирте, совместно с жидким металлом в качестве катода. Во время процесса осаждения жидкий металл надо тщательно перемешивать, чтобы сохранить маленький размер частиц и предотвратить их древовидное разрастание. Железо, никель, кобальт и их сплавы осаждались таким способом в ртуть и сплавы ртути.
Механизм стерической стабилизации непригоден для жидких металлов, и на сегодня нет реально устойчивых суспензий (Ro- sensweig, Kaiser, 1967; Charles, Popplewell, 1980). Хотя электроосаждением, например, в ртуть, получаются очень мелкие ферромагнитные частицы, хорошо смачиваемые ртутью, в неоднородном магнитном поле из смеси выделяется часть ртути без железистых частиц. Оставшийся концентрированный магнитный осадок густой и имеет вязкопластические свойства. Небольшая добавка металлической присадки, растворимой в носителе, но образующей нерастворимое в металле соединение с ферромагнитной частицей, например добавка олова к железным частицам в ртути, улучшает реологию магнитной жидкости и дает другие выгоды благодаря образованию на поверхности частиц нерастворимого немагнитного слоя. Здесь необходимы дальнейшие исследования физики поверхностных и коллоидных явлений в коллоидных системах металла в металле; особый интерес привлекают исследования переноса заряда электронами между разнородными металлами и отталкивающих сил, которые могли бы появиться между заряженными частицами суспензии.
ПОВЕРХНОСТНАЯ АДСОРБЦИЯИ СТЕРИЧЕСКАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ
Как отмечалось в разд. 2.1, защита от сил притяжения Ван дер Ваальса составляет трудную проблему при приготовлении коллоидных частиц, устойчивых по отношению к взаимной агломерации. К счастью, существует механизм, не позволяющий частицам сблизиться настолько, чтобы силы притяжения Ван дер Ваальса возобладали. Такой механизм состоит в
ХвостХвостАдсорбированная полярная головкаАдсорбированная полярная головка№№Адсорбированная полярная группаАдсорбированная полярная группаполярная группаполярная группа(Ь)(Ь)
Хвост
Хвост
Адсорбированная полярная головка
Адсорбированная полярная головка
№
№
Адсорбированная полярная группа
Адсорбированная полярная группа
полярная группа
полярная группа
(Ь)
(Ь)
Рис. 2.5. Молекулы, адсорбированные на поверхности коллоидных магнитных частиц, (а) Молекулы поверхностно-активного вещества с полярной группой в головке и длинным хвостом-цепочкой; (Ь) многократная адсорбция полимерных молекул с полярными группами, распределенными вдоль цепочек.
стерическом отталкивании длинных молекулярных цепочек, адсорбированных на поверхности частиц (рис. 2.5). Полярные группы адсорбированных молекул физическим или химическим образом соединяются с поверхностью частиц, образуя оболочку, которая выглядит жидкой. Хвосты молекул подбираются со свойствами, близкими к свойствам окружающей жидкой матрицы или несущей жидкости. Можно понять, что две сближающиеся друг с другом частицы при соприкосновении начинают сжимать окружающие их адсорбированные оболочки, которые ведут себя как упругие амортизаторы. Теперь рассмотрим модель, в которой дается полуколичественное описание энергии отталкивания, затрачиваемой на сжатие оболочек.
Механизм стерического отталкивания
Мейкор (Маског, 1951) моделировал стерическое отталкивание при помощи статистики движения твердой палочки, закрепленной на фиксированном шарнире. Предполагается, что полярная группа «головки» адсорбированной молекулы внедряется в
поверхность, так что «хвостовая» палочка может двигаться под действием теплового движения внутри полусферы (рис. 2.6). Мейкор получил следующее выражение для энергии отталкивания плоских поверхностей:
Md-s/2d), s/(26)<l,
s/(26)>l, l21U
где g — поверхностная концентрация адсорбированных молекул, $— расстояние между поверхностями, к — постоянная Больцмана, Т— температура, Ег — энергия отталкивания, рассчитанная
(а) $1 >25(а) $1 >25(b) s2<25(b) s2<25Рис. 2.6. Геометрическая модель механизма стерического отталкивания, (а) Поверхности, расстояние между которыми больше удвоенной длины хвостовой цепочки, не отталкиваются. (Ь) При близком сближении поверхностей область, доступная для палочек, уменьшается, что приводит к появлению газоподобного расклинивающего давления.Рис. 2.6. Геометрическая модель механизма стерического отталкивания, (а) Поверхности, расстояние между которыми больше удвоенной длины хвостовой цепочки, не отталкиваются. (Ь) При близком сближении поверхностей область, доступная для палочек, уменьшается, что приводит к появлению газоподобного расклинивающего давления.
(а) $1 >25
(а) $1 >25
(b) s2<25
(b) s2<25
Рис. 2.6. Геометрическая модель механизма стерического отталкивания, (а) Поверхности, расстояние между которыми больше удвоенной длины хвостовой цепочки, не отталкиваются. (Ь) При близком сближении поверхностей область, доступная для палочек, уменьшается, что приводит к появлению газоподобного расклинивающего давления.
Рис. 2.6. Геометрическая модель механизма стерического отталкивания, (а) Поверхности, расстояние между которыми больше удвоенной длины хвостовой цепочки, не отталкиваются. (Ь) При близком сближении поверхностей область, доступная для палочек, уменьшается, что приводит к появлению газоподобного расклинивающего давления.
на единицу площади поверхности, и 6 — длина адсорбированной молекулы. Интегрируя уравнение (2.11) для пары близких сфер (Rosensweig, Nestor, Timmins, 1965), находим выражение для энергии их отталкивания £'
^ = 2„^[2 —Ц2|„2^-1], (2.12)
где l = 2sld, t^^bld и d — диаметр твердых частиц. Для толстых оболочек максимальная энергия отталкивания имеет предел, который, согласно уравнению (2.12), дает отношение (C'r/kT^max = m££. Это значение численно совпадает с полным числом молекул, адсорбированных на всей поверхности одной из сферических частиц. Например, если предполагается, что каждая адсорбированная молекула занимает на поверхности участок длиной 1 нм и шириной 1 нм, то на всей поверхности частицы диаметром 10 нм будет 314 адсорбированных молекул, а отношение (£'/6Г)тах = 314.
Описанный здесь механизм часто также называют механизмом энтропийного отталкивания.
Кривая полного взаимодействия
Энергия полного взаимодействия является алгебраической суммой энергии притяжения Ван дер Ваальса, энергии магнитного притяжения и энергии стерического отталкивания и определяет, быть ли суспензии частиц монодисперсной. На рис. 2.7
L= s/r
Рис. 2.7. Зависимость потенциальной энергии в единицах hi от расстояния I между поверхностями стерически защищенных коллоидных частиц (d=10 нм, £ = Ю18 молекул• м"2; частицы из магнетита); 1 — магнитное притяжение, 2—притяжение Ван дер Ваальса; штриховые кривые — кривые полного взаимодействия.
изображены кривые зависимости всех этих энергий от расстояния. (Вспомните о шарике, скатывающемся с горки.)
Плотность покрытия поверхности частицы 1018 молекул на квадратный метр (рис. 2.7) соответствует 50 %-ному покрытию поверхности частицы молекулами олеиновой кислоты. Из вида кривой полной потенциальной энергии следует, что имеется энергетический барьер высотой более 20 kТ. Так как высота энергетического барьера превышает среднюю тепловую энергию частицы по величине на порядок, то в статистически среднем лишь немногие частицы могут его преодолеть и скоростью агломерации можно пренебречь. Запечатанный образец магнитной жидкости на основе керосина оставался жидким и сохранял магнитные свойства в течение 18 лет без всяких признаков ухудшения ее качества.
Основные структуры диспергирующего вещества
Полярная адсорбирующая группа молекулы диспергатора может быть карбоксильной, сульфасукцинатной, фосфатной, радикалом фосфатной кислоты или полифосфорной кислоты. Реагирующая полярная группа может располагаться в головке молекулы диспергатора или распределяться по всей длине цепочки полимера. Хвосты (или завитки) должны иметь длину не менее 1—2 нм. Такие слои занимают заметную часть объема и ограничивают концентрацию твердой магнитной массы в коллоидных магнитных жидкостях, как это видно из формулы
(2.13)(2.13)Фт 1
(2.13)
(2.13)
4t ” (l+2d/d)3 ’
где фт— объемная доля твердого магнетика, а ф/— объемная доля частиц вместе со слоями. При 6 = 2 нм, d = 10 нм, ф/= = 0,74, что соответствует плотной упаковке сфер, имеем фт = = 0,27. Так как увеличение плотности упаковки частиц приводит к резкому увеличению вязкости коллоида, то объемная доля используемых сейчас магнитных жидкостей ограничена 20 об.%. Это соответствует магнитному моменту насыщения р,0М ~ 0,1 Тл для жидкости с магнетитом.
Хвосты молекул диспергатора должны согласовываться с несущей жидкостью. В хвосте молекулы желательно наличие завитка, чтобы предотвратить кристаллизацию (соединение с такими же молекулами). Считается, что взаимная растворимость, определяемая по экзометрическому перемешиванию, помогает совместимости. С другой стороны, коллоиды, к сожалению, чувствительны к растворителям иной природы; агломерация происходит, если хвосты или завитки связываются друг с другом: лучше, чем с молекулами растворителя.
При определении совместимости сцепленных цепочек с несущей жидкостью могут быть полезны характеристики растворимости (Barton, 1983). Образцы новых диспергаторов можно* найти из технологии красок (суспензий красителей) и машинных масел (шламных диспергаторов). Классическим примером вещества для диспергирования частиц магнетита в углеводородах является олеиновая кислота (с 18 атомами углерода). Ее структурная формула изображена на рис. 2.8(a). Двойная связь с девятым атомом углерода обеспечивает образование завитка. Стеариновая кислота имеет молекулу также с 18 атомами углерода, но полностью насыщена и не может служить диспергатором в процессе измельчения. Перфторполиэфирная кислота, структурная формула которой изображена на рис. 2.8(b), также имеет сцепляющуюся кислотную группу. Это вещество применяется для диспергирования магнетита в пер-
НеполярныйхвостНеполярныйхвостПолярнаяголовкаПолярнаяголовкаСН3 (CH2)g - (СН2)дСН3 (CH2)g - (СН2)дС ОН II ОС ОН II ОCF3 cf2 [cf2 о cf (cf3)J5CF3 cf2 [cf2 о cf (cf3)J5с онII ос онII о
Неполярныйхвост
Неполярныйхвост
Полярнаяголовка
Полярнаяголовка
СН3 (CH2)g - (СН2)д
СН3 (CH2)g - (СН2)д
С ОН II О
С ОН II О
CF3 cf2 [cf2 о cf (cf3)J5
CF3 cf2 [cf2 о cf (cf3)J5
с он
II о
с он
II о
НеполярныйПолярная
хвостголовка
(b)(b)1 Неполярный R хвост1 Неполярный R хвостПолярная цепочка(d)Полярная цепочка(d)(of
(b)
(b)
1 Неполярный R хвост
1 Неполярный R хвост
Полярная цепочка
(d)
Полярная цепочка
(d)
(Неполярные t хвосты I
RRR I
II1
ООО
I r-1-11
H-OP -OP -OP -OHIIIIII
0 L°JnО .
Полярные группы (С)
Рис. 2.8. Химическая структура молекул диспергирующих веществ, используемых в магнитных жидкостях, (а) Олеиновая кислота; (Ь) перфторполиэфирная кислота; (с) производная полифосфорной кислоты; (d) полимерный амин (PIBSA аддукт).
фторполиэфирных растворителях. Кристаллизация предотвращается громоздкими группами со стороны С3. Структура диспергатора, пригодного для ароматических углеводородов, изображена на рис. 2.8(c). Каждая молекула этой производной полифосфорной кислоты содержит многократную сцепляющуюся группу.
МОДИФИКАЦИЯ МАГНИТНЫХ ЖИДКОСТЕЙ
Свойства магнитной жидкости можно изменить в желательную сторону, например изменением типа или количества несущей жидкости, или в некоторых случаях заменой вида диспергирующего вещества.
Явления, лежащие в основе метода модификации
Защитный слой, адсорбированный на магнитных частицах, на появление чужеродного растворителя отзывается разным образом. Рассмотрим добавление к первоначально устойчивой коллоидной суспензии магнитных частиц в несущей жидкости второй жидкости, например в количестве 10 % по объему. Если вторая жидкость имеет сходную природу, процесс смешивания не
fa)fa)ДесорбированнаяПолярная молекула молекула растворителя диспергатораДесорбированнаяПолярная молекула молекула растворителя диспергатора(с)(с)Рис. 2.9. Сравнение поведения молекул диспергирующих веществ в магнитных жидкостях при добавлении растворителей. (а) Устойчивая магнитная жидкость; (Ь) обратимая флоккуляция; (с) необратимая флоккуляция. Полимерные добавки могут вызвать обратимую флоккуляцию частиц путем их спутывания с длинной цепью молекулы полимера.Рис. 2.9. Сравнение поведения молекул диспергирующих веществ в магнитных жидкостях при добавлении растворителей. (а) Устойчивая магнитная жидкость; (Ь) обратимая флоккуляция; (с) необратимая флоккуляция. Полимерные добавки могут вызвать обратимую флоккуляцию частиц путем их спутывания с длинной цепью молекулы полимера.оказывает влияния на устойчивость коллоидных частиц (рис. 2.9(a)). Молекулы остаются адсорбированными, а их хвосты — в движении. Так происходит, например, когда декан добавляется к суспензии в гептане частиц, покрытых олеиновой кислотой.
fa)
fa)
Десорбированная
Полярная молекула молекула растворителя диспергатора
Десорбированная
Полярная молекула молекула растворителя диспергатора
(с)
(с)
Рис. 2.9. Сравнение поведения молекул диспергирующих веществ в магнитных жидкостях при добавлении растворителей. (а) Устойчивая магнитная жидкость; (Ь) обратимая флоккуляция; (с) необратимая флоккуляция. Полимерные добавки могут вызвать обратимую флоккуляцию частиц путем их спутывания с длинной цепью молекулы полимера.
Рис. 2.9. Сравнение поведения молекул диспергирующих веществ в магнитных жидкостях при добавлении растворителей. (а) Устойчивая магнитная жидкость; (Ь) обратимая флоккуляция; (с) необратимая флоккуляция. Полимерные добавки могут вызвать обратимую флоккуляцию частиц путем их спутывания с длинной цепью молекулы полимера.
Если к магнитной жидкости на гептане, стабилизированной олеиновой кислотой, добавляется полярный растворитель, например ацетон, магнитные частицы флоккулируют, т. е. быстро агломерируют и выпадают в осадок в присутствии поля внешних сил. При введении частиц в свежий гептан они снова спонтанно диспергируют. Такое поведение является убедительным свидетельством, что адсорбированные слои прочно связаны с поверхностью частиц (Rosensweig, 1970). Возможно, частицы, флоккулирующие таким образом, имеют состояние с втянуты-
ми хвостами, как показано на рис. 2.9(b). Другая возможность состоит в соединении хвостов соседних частиц. Кремнийорганические жидкости (например, поли- диметилсилоксан) вызывают флоккуляцию, как и ацетон. Полимеры с длинными цепочками могут вызвать
флоккуляцию с захватыванием нескольких частиц одной молекулой полимера.
В других системах, напротив, при добавлении чужеродного растворителя поверхностные молекулы десорбируют (рис. 2.9(c)). В этих случаях, по-видимому, поверхностный слой
слабо, только физически, связан с частицей и растворяется в среде нового растворителя (Rosensweig, 1975). Примером является магнитная жидкость на воде с оксиэтилированным алкилгуанидинаминым комплексом (аэрозоль С61), которая флоккулировала с ацетоном или низшим спиртом. Соединение выпавших частиц со свежим растворителем никоим образом не создает устойчивую суспензию. В этом случае флоккуляция необратима.
Замена несущей жидкости
Имеется процесс модификации, использующий вышеописанное явление обратимой флоккуляции. Как показано на схеме рис. 2.10, сначала обычным образом проводится измельчение и приготовляется устойчивая магнитная жидкость. Затем добавляется чужеродный растворитель, вызывающий обратимую флоккуляцию, а всплывающая жидкая смесь растворителей сливается. На этой стадии для разделения фаз очень удобно применить магнитный способ. Чтобы удалить все следы ненужного чужеродного растворителя, выпавшие в осадок частицы промываются. Наконец, к частицам добавляется вторая несущая жидкость, вызывающая новое диспергирование. Осадок из неподвижных покрытых оболочкой частиц образует «растворимую магнитную жидкость».
Таким способом можно перенести частицы из маловязких жидкостей, очень удобных для процесса измельчения, в слабо- испаряющиеся жидкости, хорошо выдерживающие длительное воздействие атмосферы. Укажем на еще одно полезное применение рассматриваемого процесса; с его помощью очень легко сконцентрировать частицы в данном растворителе, не применяя высушивание и нагревание. Таким способом также можно удалить излишки поверхностно-активного вещества, чтобы получить устойчивую коллоидную смесь, которая может быть еще быстрее сконцентрирована, так как вязкость диспергатора почти всегда больше вязкости несущего растворителя. При этом новый растворитель должен иметь ту же природу, что и первоначальный растворитель.
Замена поверхностно-активного вещества
Рассматриваемый здесь процесс модификации основан на описанном выше явлении необратимой флоккуляции. Схема процесса изображена на рис. 2.11. В этом процессе сначала используется диспергатор, который лишь физически адсорбируется на поверхности частиц. Поэтому, когда добавляется чужеродный растворитель, происходит необратимая флоккуляция, в результате которой диспергатор десорбирует с поверхности частиц.
Крупные магнитные частицы (I-Zmkm, Fe304)
Рис. 2.10. Модификация магнитной жидкости переносом частиц в другую несущую жидкость. Диспергирующее вещество не меняется, и его молекулы неизменно связаны с частицами.
После промывки и нагревания, удаляющей все следы чужеродного растворителя, второй диспергатор химически адсорбируют на поверхности частиц. Эта стадия обычно сопровождается измельчением в течение небольшого промежутка времени, чтобы разрушить кластеры из частиц.
Новый носитель может быть подобен исходному или, как чаще всего требуется, может иметь совершенно другие свойства. Например, суспензия в воде может быть переведена в хорошую суспензию в спирте, углеводороде, сложном эфире, галоуглеро- де, ароматическом или кремнийорганическом соединении. Необходимым условием является наличие пригодного нового диспергатора, совместимого с новым растворителем. Длительного
Первая жидкость - носитель (вода)Первая жидкость - носитель (вода)Крупные магнитные частицы(1-2 мкм Fe30J
Первая жидкость - носитель (вода)
Первая жидкость - носитель (вода)
Первый диспергатор^ Измельчение
Водная магнитная жидкость
Чужеродный растворитель (ацетон)Чужеродный растворитель (ацетон)Необратимая флоккуляцияНеобратимая флоккуляцияВсплывающий остаток, содержащий первый диспергаторВсплывающий остаток, содержащий первый диспергатор
Чужеродный растворитель (ацетон)
Чужеродный растворитель (ацетон)
Необратимая флоккуляция
Необратимая флоккуляция
Всплывающий остаток, содержащий первый диспергатор
Всплывающий остаток, содержащий первый диспергатор
ВодаВодаМокрые незащищенные частицыМокрые незащищенные частицыПромывкаПромывкаПоследние следы чужеродного растворителяПоследние следы чужеродного растворителя
Вода
Вода
Мокрые незащищенные частицы
Мокрые незащищенные частицы
Промывка
Промывка
Последние следы чужеродного растворителя
Последние следы чужеродного растворителя
ПодогревПодогревСушка (200°F)Сушка (200°F)—*- Влага—*- ВлагаВторой диспергаторВторой диспергатор11Сухие незащищенные частицыСухие незащищенные частицы(PIBSA M.W. 1000)(PIBSA M.W. 1000)vВторая—э- Измельчение ^- жидкость-носительvВторая—э- Измельчение ^- жидкость-носитель
Подогрев
Подогрев
Сушка (200°F)
Сушка (200°F)
—*- Влага
—*- Влага
Второй диспергатор
Второй диспергатор
1
1
Сухие незащищенные частицы
Сухие незащищенные частицы
(PIBSA M.W. 1000)
(PIBSA M.W. 1000)
vВторая
—э- Измельчение ^- жидкость-носитель
vВторая
—э- Измельчение ^- жидкость-носитель
^ Измененная
магнитная жидкость
Рис. 2.11. Модификация магнитной жидкости заменой диспергирующего вещества и несущей жидкости. Таким способом достигается радикальное изменение свойств магнитной жидкости (Rosensweig, 1975).
и ненадежного измельчения не требуется. Небольшое дополнительное измельчение на конечной стадии процесса схемы рис. 2.11 обычно благоприятно влияет на полное повторное диспергирование. Интересно отметить, что новое поверхностно-активное вещество необязательно квалифицируется как размалывающая присадка. Очевидно, эти две функции являются разными свойствами. В качестве примера можно привести поверхностно-активное вещество аэрозоль-22, тетранатрий-М-(1,2 дикарбоксиэтил ) -н-октадецилсульфосукцинат. Это вещество диспергирует материал в водные среды, но непригодно в качестве размалывающей присадки.
Описанный здесь процесс очень гибок и приводит ко все более дешевому и быстрому производству новых типов магнитных жидкостей. Другое преимущество состоит в том, что в конечном продукте получаются частицы несколько большего размера, чем если бы производилось непосредственное измельчение со вторым диспергатором. Больший размер частиц на конечной стадии является непосредственным следствием большего размера частиц первоначальной водной суспензии. Окончательно получаемые жидкости лучше концентрируются; при этом получаются магнитные жидкости с большей намагниченностью и меньшей вязкостью, чем приготовляемые непосредственным измельчением.
ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
Физические свойства магнитной жидкости, такие, как ее равновесная намагниченность в стационарном внешнем поле, скорость изменения намагниченности при изменении направления или величины поля, зависимость напряжений сдвига от скорости сдвига, очевидно, очень важны для правильного описания жидкостей с точки зрения феррогидродинамики. В этом разделе рассматривается йывод некоторых фундаментальных соотношений и обсуждаются некоторые другие важные сведения.
Равновесная намагниченность: суперпарамагнетизм
Частицы коллоидной магнитной жидкости, с каждой из которых жестко связан магнитный момент т, ведут себя аналогично молекулам парамагнитного газа. В отсутствие внешнего поля частицы ориентированы случайно и жидкость в целом не имеет намагниченности. В не очень сильных полях стремлению дипольных моментов частиц выстроиться вдоль приложенного поля мешает тепловое движение. При увеличении поля частицы становятся все более и более упорядоченными вдоль направления поля. В очень сильных полях частицы упорядочены полностью и намагниченность достигает насыщения. Для вывода соотношений суперпарамагнетизма воспользуемся классической теорией Ланжевена, в которой предполагается, что межчастичным магнитным взаимодействием можно пренебречь.
Согласно уравнению (1.12), величина плотности момента сил, действующего на вещество, вектор намагниченности М которого составляет угол 0 с направлением приложенного поля Н, равна роМН sin 0. Если объем частицы равен V, то величина ее магнитного момента m равна poAfV, поэтому действующий на нее момент сил т определяется соотношением
т = mH smQ. (2.14)
Энергия, затрачиваемая на поворот частицы от направления поля, дается интегралом по углу от момента сил:
оо
W = ^ т dQ = mH sin 0^0 = mH (1 — cos0). (2.15) оо
Заметим, что энергия равна mH, если магнитный момент частицы составляет прямой угол с направлением поля, 0=л/2, и достигает максимального значения ImH, если частица ориентирована против поля, т. е. 0 = л.
Рис. 2.12. Ориентационное конфигурационное пространство для N независимых частиц.
Для того чтобы учесть распределение частиц по ориентации, введем функцию п^б) — функцию распределения по углу системы из N независимых «палочек». В отсутствие поля число палочек, лежащих в конфигурционном пространстве между 0 и 0 + dQ, дается величиной n^dQ (рис. 2.12):
^(0)^0=^-^^^(2.16)
Из статистической механики известно, что в присутствии внешнего поля при данной абсолютной температуре Т вероятность того, что частица имеет данную ориентацию, пропорциональна следующей величине:
Множитель Больцмана = e~wlkT.(2.17)
Таким образом, число палочек, лежащих в конфигурационном пространстве между 0 и 0 + d0, пропорционально
п (9) d0 ~^ e-w>kT 2л sin 0 d0 = -у e-wW sin 0 d^.(2.18)
Коэффициент пропорциональности можно вычислить из условия, выражающего, что полное число всех палочек равно N;
^n^d9 = N.(2.19)
о
Для нас имеет значение только компонента дипольного момента частицы вдоль направления поля, т. е. m cos 0. Среднее значение ш cos 0 определяется через функцию распределения п^ с учетом соотношения (2.19) следующим образом:
m, = {m cos 0) = m cos 9п (0) dQ Ап (0) J0.(2.20)
о' о
Подставив величину W из (2.15) в соотношение (2.18), а получающееся выражение для п(^) в формулу (2.20) и сократив коэффициент пропорциональности, получим
л, л
fh = ^ m cos 9 exp (тЯ cosO/feZ) sin 0d0 A exp (mH cos 9/kT) sin 9 d9. 0' 0
(2.21)
Удобно ввести параметр отношения энергий а = mH/kT, тогда с его помощью формула (2.21) может быть переписана в виде
л.ла. а
m = ( m cos 9еа cos ^d cos 0 А еа cos M cos 0 = — ( xex dx ( 6х dx,J/Ja J / J
0' 0-a1 -a
(2.22)
где x = acos0. Выполнив интегрирование, получим простой результат:
m/m = cth a — 1/a = L (a).(2.23)
Здесь A (a) называется функцией Ланжевена. Приложение этого уравнения для магнитных тел с частицами обсуждалось Джейкобзом и Бином (Jacobs, Bean, 1963), а еще ранее Элмор (Elmore, 1938b) использовал его для описания коллоидов Виттера.
Намагниченность магнитной жидкости М направлена вдоль приложенного поля, а ее величина равна сумме магнитных моментов частиц внутри единицы объема смеси:
РоМ = пт.(2.24)
Здесь т— компонента среднего момента одной частицы вдоль направления поля. Кроме того, намагниченность насыщения
Рис. 2.13. Расчетные кривые намагничивания системы монодисперсных сферических частиц с доменной намагниченностью магнетита (4,46-105 А-м-1).Рис. 2.13. Расчетные кривые намагничивания системы монодисперсных сферических частиц с доменной намагниченностью магнетита (4,46-105 А-м-1).
Рис. 2.13. Расчетные кривые намагничивания системы монодисперсных сферических частиц с доменной намагниченностью магнетита (4,46-105 А-м-1).
Рис. 2.13. Расчетные кривые намагничивания системы монодисперсных сферических частиц с доменной намагниченностью магнетита (4,46-105 А-м-1).
жидкости Ms также выражается через абсолютную величину магнитного момента частицы пг;
\k^Ms = nm.(2.25)
Кроме того, намагниченность насыщения магнитной жидкости Ms связана с намагниченностью насыщения твердого магнетика Md через объемную долю твердой фракции ф: Ms = фЛ1^. Исключив М$ и п из этих соотношений, получим
М^фМ^ = mlm.(2.26)
Из соотношений (2.23) и (2.26) следует закон намагничивания суперпарамагнетика для монодисперсной коллоидной магнитной жидкости:
ctha- = Л (a), aх И
(2.27)(2.27)л \k^dHd3mH
(2.27)
(2.27)
"б kT =
Это и есть главный результат нашего анализа.
На рис. 2.13 приведены кривые намагничивания, рассчитанные по формуле (2.27) для разных размеров частиц. В сильных
полях все кривые выходят на значение намагниченности насыщения; величина начальной восприимчивости мала, когда размер частиц мал; однако с увеличением размера частиц начальная восприимчивость быстро растет. Уравнение (2.27) важно не только для магнитных жидкостей; оно используется для определения размеров частиц железа, никеля и катализатора кобальта, диспергированных в матрице, а также при анализе геологических пород.
Интересно рассмотреть асимптотическое поведение функции Ланжевена при малых и больших значениях параметра а. Из разложения в ряд Тейлора при малых а следует, что
£(а)^а/3 при а—>0.
Следовательно, начальная восприимчивость ^ = М/Н определяется формулой
%, = ^-<рцо—=8фА, (аС 1), (2.28) где ф, как и выше, — объемная доля твердого магнитного вещества, а %— коэффициент взаимодействия, который будет играть важную роль при изучении корреляций в разд. 2.8:
X = m2/(4jrrf3no^ Л = ^MWK^kTV (2.29)
Приближение к состоянию насыщения означает увеличение а до больших значений; соответствующая асимптотическая форма уравнения (2.27) имеет вид
« = ^(1-4-^) («»1). (2.30)
Е. Е. Бибик и др. (1973) по кривой зависимости Af от \/Н по формуле (2.30) определили размер частиц. В слабых полях основной вклад в намагниченность производят более крупные частицы, которые более легко ориентируются вдоль направления поля, тогда как асимптотика к состоянию насыщения определяется мелкими частицами, ориентация которых требует более сильных полей. Поэтому размер d, вычисленный по формуле (2.28), всегда больше размера, определяемого по формуле (2.30).
Если начальная восприимчивость не мала, то не следует пренебрегать взаимодействием магнитных моментов частиц. М. И. Шлиомис (1974а) рассмотрел такой случай для моно- дисперсных частиц таким же образом, как это сделано в теории Дебая — Онзагера для полярных жидкостей. В результате формула (2.28) заменяется формулой
Х/(2Х/ + 3)/(Х/+ 1) = 24ФЛ. (2.31)
Чтобы связать состав реальных магнитных жидкостей с кривой намагничивания, нужно учесть два дополнительных фактора (Kaiser, Miskolczy, 1970а). Одним из них является распределение частиц по размеру, которое можно определить при помощи электронного микроскопа. Мартине (Martinet, 1983) рассмотрел обратную задачу, а именно: как по кривой намагничивания с помощью функций распределения можно найти размеры частиц. Другой фактор — уменьшение магнитного диаметра каждой частицы на величину ds, где ds/^— толщина немагнитного поверхностного слоя, образованного химической реакцией с адсорбированным диспергирующим веществом; например, для магнетита ds/^ = 0,83 нм, что соответствует постоянной решетки с кубической структурой. Диспергатором может быть олеиновая кислота, которая вступает в реакцию с Fe3O4; при этом образуется олеат железа с очень слабыми магнитными свойствами. В твердой частице диаметром 10 нм объемная доля магнитного материала составляет 0,58.
Итак, экспериментальные кривые намагничивания значительно лучше согласуются с теоретическими кривыми, рассчитанными по формуле
^^ <М2>
где di — внешний диаметр частицы, a di— ds — диаметр магнитного ядра. Механизм с неактивным поверхностным слоем, согласующийся с экспериментами разных авторов, рассмотрели Бин и Ливингстон (Bean, Livingston, 1959), которые не обнаружили уменьшения спонтанной намагниченности однодоменных частиц без сорбированных слоев с диаметрами по крайней мере до 2 нм.
Мессбауэровские измерения, т. е. измерения резонансного поглощения у-лучей, испускаемых ядрами как источниками, и данные по намагниченности суспензий Fe3O4, CoFe2O4 и NiFe2O4 показывают, что потеря намагниченности из-за сорбции диспергирующего вещества в поверхностном слое происходит не из-за магнитного «мертвого» слоя, как такового: катионы на поверхности частиц магнитно упорядочены, но ориентированы так, что их полный магнитный момент отсутствует (Berkowitz et. al., 1975).
Магнитная релаксация
Релаксация намагниченности коллоидной магнитной жидкости после изменения приложенного поля происходит по двум механизмам. В первом механизме релаксация намагниченности осуществляется вращением частиц в жидкости. Во втором ме-
ханизме релаксация реализуется вращением магнитного вектора внутри частицы. Если магнитная жидкость отвердела, например заморожена, то действует только второй механизм.
Механизм, связанный с вращением частицы, характеризуется броуновским временем вращательной диффузии тв гидродинамического происхождения (Френкель, 1975):
*B = Wm (2.33)
где V— объем частицы, а т]0— вязкость несущей жидкости. Скорость броуновской вращательной релаксации в присутствии поля вычисляется из решений уравнения Фоккера — Планка (Марценюк, Райхер, Шлиомис, 1973).
Вектор намагниченности однодоменных одноосных ферромагнитных частиц в отсутствие поля может быть направлен только в одну или в другую сторону вдоль оси наилегчайшего намагничивания. Чтобы изменить одно направление намагниченности на другое, нужно преодолеть энергетический барьер. Высота энергетического барьера равна KV, где К — константа анизотропии материала. В случае когда KV С kl\ тепловой энергии достаточно, чтобы вызвать флуктуации намагниченности внутри однодоменной частицы с характерным временем tn, впервые введенным Неелем (Neel, 1949, 1953) по формуле
TN = -^exp^KVIkn, (2.34> /о
где fo — некоторая частота, приближенно равная 109 Гц. Это значение подтверждено в работе (McNab, Fox, Boyle, 1968) при помощи мессбауэровских измерений магнитной жидкости, состоящей из магнетита в керосине.
Если tn <С тв, релаксация происходит по механизму Нееля и про материал говорят, что он обладает внутренним суперпарамагнетизмом. Если тв <С tn, то броуновский механизм главный, а материал проявляет внешний суперпарамагнетизм. Однако если величина меньшего времени релаксации много больше характерного времени эксперимента, то образец жидкости может рассматриваться как ферромагнетик.
В магнитной жидкости оба механизма, как броуновский, так и неелевский, приводят к одинаковому наблюдаемому суперпарамагнитному поведению по закону Ланжевена, так как уравнение Ланжевена описывает равновесное поведение материала, а оба механизма допускают релаксацию к равновесному состоянию. Однако при рассмотрении динамики течений с намагничен* ностью скорость релаксации может стать существенной величиной. Равновесная феррогидродинамика, рассматриваемая в гл. 4 и 5, соответствует случаю, когда оба времени релаксации тв и tn малы по сравнению с характерным временем течения.
При рассмотрении же в гл. 8 течений с антисимметричными напряжениями предполагается, что tn »тв; в этом случае магнитный момент вморожен в кристаллическую решетку частицы.
Значения тв легко вычисляются по уравнению (2.33). Для магнитной жидкости на керосине с вязкостью т] = = 0,002 кг-м^-с-1, содержащей частицы размером 10 нм, при 25 °C имеем
тв = 3(л/6)(1(Г8)3(2- ПГ3)/(1,38- 10”23) (298) = 7,6 - 10"7 с.
В общем случае значение константы кристаллической анизотропии К можно вычислить по экспериментальным кривым намагничивания одного кристалла, соответствующим ориентациям поля вдоль разных направлений кристаллографических осей (Bozorth, 1951). Неелевское время tn можно затем вычислить по формуле (2.34). Для магнитной жидкости, состоящей из магнетита в керосине, стабилизированной олеиновой кислотой, Мартине (Martinet, 1978) оценил время tn ~ 10“9 с при изучении магнитной анизотропии механически вращаемых образцов магнитной жидкости. В табл. 2.2 представлены значения, полученные пересчетом этих результатов; легко видеть, что суперпарамагнетизм магнитной жидкости с размером частиц выше пунктирной линии (см. таблицу) имеет внутренний тип, тогда как ниже этой линии — внешний тип. Из-за экспоненциальной зависимости от объема V численное значение tn сильно зависит от размера частиц.
Таблица 2.2. Времена релаксации Tn и Тв для магнитной жидкости, состоящей из взвеси частиц магнетита в керосине Т = 25 °C
Размер частиц, нм
с
tB. с
8
ю-'8
3,8- 10”7
10
ю-9
7,6-10 7
12,5
1
1,5-10“6
Переход от неелевской релаксации к броуновской имеет место для частиц с размером DS1 получаемым приравниванием тв и tn; это дает соотношение х“1схрх = 3,п/:0/К, где -x = KVIkT. М. И. Шлиомис (1974а) нашел, что Z)s = 8,5 нм для железа и 4 нм для кобальта. Чарлз и Попплуэлл (Charles, Popplewell, 1980) обсудили неясности в этих оценках из-за не- .хватки информации о кристаллической структуре в случае кобальта и величины анизотропии формы в случае железа.
Магнитные жидкости на основе воды обычно содержат более крупные частицы, чем магнитные жидкости на органических носителях. Это согласуется с результатами Шармы и Уолднера (Sharma, Waldner, 1977), которые показали, что магнитные жидкости на основе воды по мессбауэровским экспериментам не проявляют внутреннего супермагнетизма.
Вязкость
Магнитная жидкость остается текучей во внешнем магнитном поле, даже намагниченная до насыщения. Тем не менее поле влияет на ее реологию. Здесь мы рассмотрим величину вязкости магнитных жидкостей, сначала в отсутствие, а затем и при наличии приложенного магнитного поля.
Внешнее поле отсутствует. Вязкость магнитной суспензии больше вязкости несущей жидкости; присутствие взвешенных частиц увеличивает скорость диссипации энергии при течении жидкости. Этот случай совпадает со случаем немагнитных коллоидов твердых частиц, взвешенных в жидкости. Поэтому для определения вязкости можно применить известные теоретические модели, первая из которых принадлежит Эйнштейну (Einstein, 1906, 1911), рассмотревшему возмущение сферой поля скоростей течения с чистой деформацией. Полученная им формула связывает вязкость смеси т] с вязкостью несущей жидкости т|о и объемной долей твердой фракции ф (сейчас предполагается, что частицы не имеют оболочки):
пЛъ=1 + 72ф. (2.35)
Это соотношение применимо только для малых концентраций. Для больших концентраций может быть принято следующее выражение с двумя константами (Rosensweig, Nestor, Timmins, 1965):
П/По = 1 /(1 + аф + 6ф2). (2.36) Требование перехода этого выражения для малых ф в выражение (2.35) дает а =—5/2. При некоторой максимальной концентрации фс суспензия эффективно отвердевает, так что отношение т|о/г| стремится к нулю. Поэтому вторая константа равна b = (5фс/2 — 1 )/ф2. Значение фс = 0,74 соответствует плотной упаковке сфер. Если присутствующие в магнитной жидкости с объемной долей ф сферические частицы без оболочки радиусом г покрыть однородным слоем диспергирующего вещества толщины 6, то они займут объемную долю ф(1 + 6/г)3. Объединяя эти соотношения, получим
= Af1 + AV_ 1 fl + АУф. (2.37) ФП 2 V г ) Фс V г /
Кривая зависимости измеренных значений (т] — *По)/(фт|) от ф хорошо ложится на прямую линию (рис. 2.14). Значения 6/г, определенные по точке пересечения кривой с осью ф = 0 и по углу наклона прямой при фс = 0,74, хорошо согласуются и дают 6/г = 0,84. При 6 = 2 нм диаметр частицы, определяемый таким образом, равен 4,8 нм. Это меньше среднего размера, найденного при помощи электронного микроскопа. Такое расхождение, как считается, происходит из-за наличия распределения частиц
Рис. 2.14. Экспериментальные значения вязкости ферритовых дисперсий, стабилизированных олеиновой кислотой, и их сопоставление с уравнением (2.37) (Rosensweig, Nestor, Timmins, 1965).
по размеру; мелкие частицы с их сорбированными покрытиями занимают непропорциональную долю полного объема в суспензии.
Если частицы стремятся образовать кластеры и сформировать гель, то значение фс эффективно твердой суспензии уменьшается от значения 0,74. При фс < 0,4 угол наклона кривой на рис. 2.14 меняет знак; это явление наблюдалось у некоторых магнитных жидкостей (Raj, 1981).
В случае несферических частиц теория предсказывает увеличение коэффициента при ф в формуле (2.35); благодаря броуновскому вращению больший объем жидкости охватывается одной частицей данного размера. Например, для отношения длин осей, равного 5, этот коэффициент увеличивается от 2,5 до 6,0 (Kruyt, 1952).
Из приведенного рассмотрения следует, что наибольшей возможной текучести сильно концентрированных магнитных жидкостей (с большим значением поля насыщения магнитного момента) благоприятствуют частицы с малой толщиной покрытия
большим радиусом г и сферической формой. Эти желаемые изменения для биг противоречат условиям, предпочтительным для устойчивости коллоида, поэтому для любой реальной магнитной жидкости должен быть сделан компромисс и использованы промежуточные значения этих параметров.
Внешнее поле присутствует. Если образец магнитной жидкости в приложенном магнитном поле подвергнуть сдвиговой деформации, то магнитные частицы в жидкости стремятся сохранить строгую упорядоченность по направлению ориентирующего поля. В результате поле скоростей вокруг частицы должно
Рис. 2.15. Магнитная вязкость разбавленной магнитной жидкости, содержащей частицы из кобальта, и ее сопоставление с теоретическими результатами (Шлиомис и Райхер, 1980).
иметь большие градиенты, чем в отсутствие частицы, и вязкая диссипация во всем образце увеличивается.
М. И. Шлиомис (1971) на основе общих принципов предложил теоретический анализ, который дает величину вязкости слабых суспензий однодоменных сферических частиц с большим неелевским временем с учетом броуновского вращательного движения. Его работа является развитием более раннего исследования Холла и Бузенберга (Hall, Busenberg, 1969), в котором броуновским движением пренебрегалось; это приводило к выводу о насыщении намагниченности в очень малых полях. Если векторы вихря жидкости и магнитного поля параллельны, частицы могут свободно вращаться и наличие намагниченности не влияет на коэффициент вязкости, который определяется соотношением Эйнштейна. Если эти векторы перпендикулярны, то вклад намагниченности в коэффициент вязкости максимален. Эта теория подробно рассматривается в гл. 8.
Мактаг (McTague, 1969) измерил коэффициент вязкости в магнитном поле суспензии из кобальтовых частиц в толуоле,
стабилизированной полимером, используя тонкую прямолинейную цилиндрическую трубочку (течение Пуазейля). Исследовалось влияние магнитного поля, направленного как вдоль, так и поперек направления течения. Результаты этих измерений для Ат]=т]—т]о, изображенные кружочками на рис. 2.15, показывают, что в обоих случаях с ростом параметра Ланжевена коэффициент вязкости увеличивается и достигает насыщения, когда намагниченность насыщается. Средний диаметр частиц в эксперименте Мактага больше критического диаметра внутреннего суперпарамагнетизма. Поэтому здесь следует применить теоретический результат М. И. Шлиомиса (1971), выведенный в форме (8.101). Величина вектора вихря в течении Пуазейля постоянна на концентрических окружностях в плоскости поперечного сечения трубы. Для параметра р, введенного в гл. 8, в случае параллельного поля имеет место соотношение sin2 р = 1, так как р = л/2 в каждой точке течения. В случае поперечного направления поля осреднение по (3 дает
2л
(sin2 Р) = ^ $ sin2 ИР = у.(2.38)
о
Следовательно, при любом значении напряженности поля
Ап^гА^.(2.39)
Как видно из рис. 2.15, теоретические кривые (сплошные линии) хорошо согласуются с экспериментальными данными. Аналогичный анализ проведен в работах (Brenner, 1970; Brenner, Weissman, 1972; Levi, Hobson, McCourt, 1973).
Концентрированные суспензии
В работе (Rosensweig, Kaiser, Miskolczy, 1969) исследовано влияние вертикально направленного магнитного поля на вязкость тонких горизонтальных слоев концентрированной магнитной жидкости, находящейся под действием равномерного сдвига в горизонтальной плоскости. В некоторых случаях Aqi превышало 2т), где т] — вязкость магнитной жидкости в отсутствие поля. Типичные данные для вязкости для концентрированных магнитных жидкостей приведены в табл. 2.3; видна зависимость вязкости в магнитном поле от скорости сдвига. Как видно из таблицы, увеличение скорости сдвига, отмечаемое как увеличение значений Q, приводит к уменьшению напряжений сдвига. Здесь Q—- величина вектора вихря, равная в данном случае скорости сдвига. Так как в теории магнитной вязкости монодисперсной жидкости напряжение сдвига оказывает пренебрежимо малое влияние
Таблица 2.3. Зависимость вязкости магнитной жидкости на перфторуглероде от величины магнитного поля и скорости сдвига при 30 °C'°
2, с-1
В, Тл
Ап/П
Примечания
23
0,06
0,25
Малая величина поля
46
0,06
0,13
115
0,06
0,06
230
0,06
0,05
Уменьшение в пять раз
23
0,40
1,95
Большая велична поля
46
0,40
0,72
—
115
0,40
0,30
—
230
0,40
0,19
Уменьшение в десять раз
0 т)=0,004 Н-с-м 2; намагниченность насыщения poM=O,OO87 Тл.
на коэффициент вязкости, то поведение магнитной жидкости, зафиксированное в табл. 2.3, может свидетельствовать об образовании кластеров в концентрированных коллоидах. Ниже рассматриваются условия образования кластеров, а данные по вязкости концентрированных коллоидов, не показывающие зависимость от скорости сдвига, будут проанализированы в гл. 8.
Калугару, Бадеску и Лука (Calugaru, Badescu, Luca, 1976а) сообщают результаты аналогичных измерений вязкости концентрированных магнитных жидкостей, которые показывают, что значения Дт]1 превышают 2т] в рассматриваемом диапазоне полей.
ЯВЛЕНИЯ КОРРЕЛЯЦИИ
Сцепление частиц магнитных жидкостей в кластеры и цепочки может рассматриваться как начальная стадия перехода жидкости в твердое состояние или выпадение ее в осадок. Явления взаимодействия или агломерации частиц наблюдались в некоторых магнитных жидкостях под электронным микроскопом (Hayes, 1975; Hess, Parker, 1966). Для большинства приложений магнитных жидкостей такое корреляционное поведение нежелательно. Оно нежелательно при использовании магнитной жидкости в качестве уплотнения, смазки, охладителя, рабочей среды сепаратора, демпфирующей жидкости, чернил для печати и в других приложениях, в которых постоянство магнитных и текучих гвойств имеет первостепенную важность. Другие приложения, например визуализация магнитных доменов, оптические затворы, использующие поляризацию света, маркировка поверхностей магнитными частицами, выигрывают от неидеаль- ности поведения жидкости. В любом случае полезно понимать
ограничения, налагаемые агломерацией частиц, и иметь представление о механизмах, ответственных за такое поведение Де Женн и Пинкус (de Gennes, Pincus, 1970), Джордан (Jordan, 1973), основываясь на свойствах уравнения состояния «разреженного газа» ферромагнитных частиц, взвешенных в инертной жидкости, получили теоретические выражения для процесса образования цепочек из коллоидных магнитных частиц в однородном магнитном поле. Предполагалось, что поведение газа отличается от идеального из-за магнитного притяжения частиц друг к другу; другими силами, которые также могут присутствовать, пренебрегалось. При помощи рассмотрения парных корреляций между положениями частиц показано, что ферромагнитные частицы в сильных внешних полях стремятся образовать цепочки, параллельные направлению поля. Среднее число в цепочке дается формулой
(2.40)
где X— безразмерный коэффициент взаимодействия, введенный уравнением (2.29). Напомним, что X характеризует интенсивность взаимодействия ферромагнитных частиц и выражается через т, полный магнитный момент pioAfV частицы, где V — объем сферической частицы. Из формулы (2.40) получаются два значения %, при которых Поо становится бесконечным; одно значение X меньше 1, а другое — больше 1. Из теоретических соображений следует, что только значения X, большие единицы, имеют физический смысл. Однако эти приближения также несправедливы, когда второй член в скобках правой части уравнения (2.40) больше единицы. Возможно, что в жидкости кластеры формируются раньше цепочек. Согласно этому выводу, в нулевом внешнем поле при X > 1 также имеется некоторое количество цепочек. Их средняя длина дается формулой
«о = [1 — VatvA3)^]"1, (2.41)
что меньше, чем в случае сильных полей, и они ориентированы случайным образом.
Коэффициент взаимодействия X, вычисленный по уравнению (2.29) для частицы из магнетита с магнитным диаметром 10 нм и М = 446 кА • м-1, Т = 298 К, равен 1,3. При (р = 0,05 формула (2.40) дает лоо = 1,36, а формула (2.41) дает лэ= 1,26. Получается, что частицы в основном монодисперсные, а коллоид лишь незначительно агломерирован и имеет мало кластеров. С другой стороны, частицы магнетита с магнитным диаметром 13 нм имеют А, = 2,69 и формируют цепочки со значением Лоо, равным бесконечности. Чтобы избежать образования цепочек, частицы из чистого железа должны быть меньше частиц из
(а)(а)(Ь)(Ь)Рис. 2.16. Моделирование методом Монте-Карло системы частиц в двух измерениях: (а) образование кластеров в отсутствие внешнего поля; (Ь) образование цепочек при наличии поля. См. (Chantrell et al., 1982).Рис. 2.16. Моделирование методом Монте-Карло системы частиц в двух измерениях: (а) образование кластеров в отсутствие внешнего поля; (Ь) образование цепочек при наличии поля. См. (Chantrell et al., 1982).
(а)
(а)
(Ь)
(Ь)
Рис. 2.16. Моделирование методом Монте-Карло системы частиц в двух измерениях: (а) образование кластеров в отсутствие внешнего поля; (Ь) образование цепочек при наличии поля. См. (Chantrell et al., 1982).
Рис. 2.16. Моделирование методом Монте-Карло системы частиц в двух измерениях: (а) образование кластеров в отсутствие внешнего поля; (Ь) образование цепочек при наличии поля. См. (Chantrell et al., 1982).
магнетита. Намагниченность домена железа примерно в четыре раза больше намагниченности домена магнетита, поэтому из уравнения (2.29) следует, что магнитный диаметр, дающий значение Х= 1,3, уменьшается до 4,0 нм.
Для исследования влияния межчастичных взаимодействий на образование кластеров и цепочек в магнитной жидкости использовалась модель, основанная на методах Монте-Карло (Chantrell, et al., 1982). Энергия Et однородно намагниченной сферической частицы в системе из N частиц является суммой
Et = Es-VEr + Ehl (2.42)
где Es — энергия диполь-дипольного магнитного взаимодействия, получаемая суммированием энергии Edd (2.4) по всем соседним частицам, Ег — энергия стерического отталкивания (2.12), Eh— энергия, обусловленная взаимодействием магнитного момента частицы с внешним магнитным полем (1.17). Влияние тепловой энергии моделировалось поочередным передвижением частиц в случайно выбранное новое положение: передвижение разрешалось, если оно дает уменьшение энергии Ей и не разрешалось, т. е. частица возвращалась в исходное положение, если оно увеличивает энергию Еи и множитель Больцмана ехр(—\Ei/kT) не превышает некоторого случайного числа X из интервала (0, 1). Эта процедура выполнялась для всех N частиц пооче-
редко, а затем повторялась снова для всей системы, пока намагниченность не выходила на статистически стационарное значение. Из статистики можно показать, что эта процедура приводит к термодинамически равновесной конфигурации.
Результаты моделирования для частиц кобальта, достаточно больших (15 нм), чтобы обнаруживалось значительное образование кластеров и цепочек, приведены на рис. 2.16. В нулевом приложенном поле частицы образуют структуры с незамкнутыми контурами без какой-либо выделенной пространственной ориентации. В сильном приложенном поле, равном 1 Тл, частицы образуют длинные цепочки, вытянутые вдоль направления поля. Эти результаты согласуются с картинами, наблюдаемыми при изучении кобальтовых суспензий при помощи электронных микроснимков (Hess, Parker, 1966; Martinet, 1974). Коэффициент взаимодействия X из (2.29) для частиц кобальта размером 15 нм с намагниченностью доменов 1,7 Тл при 298 К равен 41; поэтому даже из формулы (2.40) для слабой суспензии видно, что образование кластеров доминирует, как и получается при моделировании.
Исследования методами Монте-Карло (O’Grady et al., 1983) показали, что образование кластеров приводит к появлению начальной восприимчивости магнитной жидкости типа Кюри — Вейса:
Х. = СКТ-Т^ (2.43)
где То — температура упорядочивания. Это выражение можно сравнить с выражением (2.28) для монодисперсной суспензии, в котором параметр То отсутствует.
Питерсон и Крюгер (Peterson, Krueger, 1977) исследовали in situ образование частицами кластеров в магнитной жидкости в вертикальной пробирке в приложенном магнитном поле. Под действием силы тяжести кластеры перераспределялись и в пробирке происходила седиментация; концентрация частиц определялась по колебательному контуру Кольпитса. Образование кластеров было резко выражено для магнитной жидкости на основе воды и почти отсутствовало для многих магнитных жидкостей с другим составом, например для хорошо стабилизированных суспензий на эфире или углеводородной несущей жидкости. Образование кластеров, когда оно происходит, является обратимым при снятии поля, так как тепловое движение достаточно эффективно, чтобы рассеять агломераты. Рассматриваемая техника теперь используется для оценки устойчивости магнитных жидкостей с новым составом.
Образование частицами кластеров влияет на распространение света в магнитной жидкости. Гольдберг и др. (Goldberg et al., 1971) привели данные о поляризации света в магнитных
жидкостях. Хейз (Hayes, 1975) установил связь между распространением и рассеянием света с образованием кластеров. Мехта (Mehta, 1978) сообщает некоторые дополнительные данные о распространении света. Такетоми (Taketomi, 1983) изложил результаты наблюдения аномального увеличения магнитного двулучепреломления в тонких слоях концентрированной магнитной жидкости; этот эффект усиливался при сближении ограничивающих стенок.
ТАБЛИЦА ФИЗИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ
В табл. 2.4 приведены данные о теплофизических и динамических характеристиках коммерческих магнитных жидкостей разных типов и их концентраций. Намагниченность насыщения жидкости может быть пропорционально уменьшена разбавлением несущей жидкостью. Жидкость на основе диэфира имеет низкое давление паров, поэтому она может длительное время подвергаться действию окружающей среды при нормальных температурах с незначительным испарением. Жидкости на основе углеводорода имеют электрическое сопротивление 106 Ом м на частоте 60 Гц и относительную диэлектрическую проницаемость 20 при 1 кГц. Скорость звука в магнитной жидкости на углеводороде равна 1,201 • 103 м-с-1, тогда как в несущей жидкости скорость звука равна 1,275-103 м-с-1 (Chung, Isler, 1977). Перфторуглеродные жидкости имеют носитель из фторалкилполи- эфира. В качестве основы эфирных жидкостей используются кремнийорганические эфиры; такие жидкости текучи при низких температурах. Благодаря своему составу они чувствительны к гидролитическому разложению. Жидкость-носитель полифениловый эфир устойчива к радиации до 108 рад.
Результаты измерений теплопроводности магнитных жидкостей сообщаются в работе (Popplewell et al., 1982). Введение частиц меняет теплопроводность жидкости определенным образом. В полях с интенсивностью до 0,1 Тл не наблюдалось зависимости от магнитного поля. Показано, что изменение теплопроводности с концентрацией частиц хорошо описывается теоретическим уравнением Тарифа. Это дало возможность найти отношение физического и магнитного размеров частиц.
Показатель pH магнитных жидкостей на основе воды может регулироваться в диапазоне как кислотных, так и щелочных значений. Электропроводность одного образца магнитной жидкости с намагниченностью насыщения 16 000 А-м-1 была почти постоянна, около 0,2 См-м-1 для переменных токов (Kaplan, Jacobson, 1976). Эти же исследователи сообщают некоторые новые магнитоэлектрические емкостные эффекты.
Жидкость-носитель
Намагниченность насыщения, Ам-1
Плотность, КГМ-3
Вязкость 1), Н-с-м —2
Точка текучести 2), К
Точка кипения 3), К
Поверхностное натяжение мН-м —1
Теплопроводность,
Вт-м’^К”1
Удельная теплоемкость, кДж«м-3К-1
Коэффициент теплового расширения 4) м3м~3-К~1
Диэфир
15 900
1 185
0,075
236
422
32
0,16
Углеводород
15 900
1 050
0,003
278
350
28
0,15
1 715
9,0 • 10-4
31 800
1 250
0,006
281
350
28
0,19
1 840
8,6 • 10-4
Перфторуглерод
7 960
2 050
2,50
239
456
18
0,20
1 966
10,6- ю-4
Сложный эфир
15 900
1 150
0,014
217
422
26
0,31
3 724
8,1 • Ю"4
31 800
1 300
0,030
217
422
26
3 724
8,1 • 10-4
47 700
1 400
0,035
211
422
21
3 724
8,1 • 10-4
Вода
15 900
1 180
0,007
273
299 6)
26
0,59
4 184
5,2- 10-4
31 800
1 380
0,010
273 5)
299 6)
26
4 184
5,0 • 10“4
Полифенилэфир
7 960
2 050
7,50
283 5)
533
^ Измерялось в отсутствие поля при скорости сдвига >10 с —L
2) При вязкости 100 Н-с-м“2.
3) При давлении 133 Па (1 торр).
4) Среднее значение в диапазоне 298 —367 К
5) Точка замерзания.
При 3,2 кПа.
Любая магнитная жидкость из табл. 2.4 может замораживаться и размораживаться без всякого ущерба.
ЗАМЕЧАНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Теоретические предпосылки возникновения ферромагнетизма в жидкости изучались многими исследователями. Одной из первых работ является работа А. И. Губанова (1960).
Первая работа, в которой обсуждается приготовление и физическая химия концентрированной коллоидной магнитной жидкости, получаемой техникой Попплуэлла, принадлежит Розенцвейгу, Нестору и Тиминзу (Rosensweig, Nestor, Timmins, 1965). Обзоры, содержащие более свежие сведения, имеются в статьях (Rosensweig, 1979а; Charles, Popplewell, 1980; Martinet, 1983; Scholten, 1978, 1983). В ряде статей подробно описывается приготовление кобальтовой магнитной жидкости способом разложения дикобальтоктакарбонила, см., например, в статье (Papirer et al., 1983). Обширную библиографию, относящуюся к приготовлению магнитных жидкостей, в том числе и в патентной области, подготовили Цан и Шентон (Zahn, Shenton, 1980), Чарлз и Розенцвейг (Charles, Rosensweig, 1983).
Образование кластеров частиц в магнитных жидкостях может рассматриваться как индуцированный магнитным полем фазовый переход такого же типа, как переход газ — жидкость. Стимулирующее обсуждение этого явления с использованием статистических моделей решеточного газа принадлежит Ауслусу и др. (Ausloos et al., 1980), Сано и Дои (Sano, Doi, 1983). В последней работе имеется полный вывод кривых сосуществования сконденсированной и разбавленной фаз на плоскости параметров состояния магнитное поле — концентрация.
Технология приготовления магнитных жидкостей в целом далека от завершения, и здесь есть возможность проявить изобретательность и научную проницательность для улучшения и повышения класса изготовляемых такими методами магнитных жидкостей.
Элементы теории электромагнетизма
или поле? Этот вопрос часто зрения дополняют и уточняютили поле? Этот вопрос часто зрения дополняют и уточняютЧто более реально, вещество возникает, но ясно, что обе точки
или поле? Этот вопрос часто зрения дополняют и уточняют
или поле? Этот вопрос часто зрения дополняют и уточняют
нитного взгляданитного взглядадруг друга. До сих пор мы предпочитали материальную точку зрения. В этой главе развивается точка зрения поля и выводятся уравнения в частных производных, определяющие распределение магнитного поля в пространстве. На основе этих уравнений вводится выражение для напряженного состояния в вакууме, т. е. известный тензор максвелловских напряжений. Далее в гл. 4 введенные представления позволят провести анализ напряжений в намагничивающихся средах. Для этого будут нужны как полные уравнения Максвелла, так и некоторые выводимые из них здесь выражения для плотности энергии электромаг-
нитного взгляда
нитного взгляда
поля. Эта глава начинается с изложения еще одного на закон Кулона.
3.1.3.1.УРАВНЕНИЯ МАГНИТОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ
3.1.
3.1.
Закон Кулона для магнитных полюсов был введен уравнением (1.1). Поле Н в точке г точечного полюса р, расположенного в начале системы координат, имеет вид
(3.1)(3.1)U Рг
(3.1)
(3.1)
4лц0 |r Р ‘
На рис. 3.1 изображена поверхность произвольной формы S, окружающая полюс.
Так как величина Н может рассматриваться как плотность числа силовых линий поля, поток силовых линий через участок поверхности площади dS имеет величину
Н dS = 4— 4 г ■ dS = -/- dQ,4лц0 г34лц0
где dtt = r-dS/r3— телесный угол в стерадианах, опирающийся на элемент dS. Заметим, что крайнее правое выражение содержит только телесный угол и не содержит радиуса, поэтому форма окружающей поверхности может быть произвольной. Так как телесный угол, соответствующий целой сфере, равен 4л стерад.
то поток поля наружу сквозь замкнутую поверхность имеет величину
4Л
ф Н -dS = ( -^—dQ = -^-.JJ 4лцо Но
Sо
Пусть внутри поверхности S имеется N полюсов, причем полюс i дает в полное поле вклад Hz; складывая соответствующие уравнения для потока поля, получим
NN
^^Hi - dS = ^ р^-, i=l S1=1
перенося в левой части уравнения знак суммы под интеграл, найдем
N
$ Н • dS = У pjpo.S1 = 1
Здесь векторная сумма отдельных полей заменена полным полем Н; полюсы pt могут быть как положительными, так и отри-
Рис. 3.1. Воображаемая замкнутая поверхность S, окружающая точечный полюс в начале системы координат. Эта схема совместно с законом Кулона используется для вывода уравнения V • В = 0.
нательными. Полученная формула легко обобщается на случай непрерывного распределения полюсов с плотностью ру. Так как число полюсов в элементе объема dV равно p^dV, то
$ Н .dS=^pvMdV, sv
где V — объем, охватываемый поверхностью S.
Применив к левой части последнего уравнения теорему о дивергенции и учитывая произвольность выбора объема У, по-
лучим дифференциальное уравнение V-H = рУ/|Ао> которое справедливо в любой области пространства как с намагниченным веществом, так и без него. В добавлении к гл. 1 показано, что для объемной плотности полюсов имеет место равенство ру = = — poV-M; если это равенство объединить с выведенным здесь выражением для V-H, то получим, что должно быть верно уравнение V H =—V M. Ранее был введен вектор В так, что справедливо соотношение
В = ро(Н + М).(3.2)
Следовательно, вектор В удовлетворяет уравнению
V-B = 0.(3.3)
Уравнение (3.3)—одно из уравнений Максвелла, а вектор В, введенный в гл. 1, называется вектором магнитной индукции.
Формула (3.3) устанавливает аналогию вектора В с вектором скорости несжимаемой жидкости. Таким образом, картина линий поля В может рассматриваться как изображение течения несжимаемой жидкости. Количество жидкости, втекающей в любой объем, равно количеству вытекающей жидкости — нигде ничего не накапливается. Поэтому линии поля В не могут иметь концов; они должны или замыкаться, или уходить в бесконечность.
Из закона Кулона можно извлечь дополнительную информацию. Поле Н в точке г, создаваемое системой точечных полюсов pi, расположенных в точках г,, можно записать, согласно уравнению (3.1), в виде
N
^ 4™о Iг - г/1
Найдем ротор поля Н; для этого нужно вычислить сумму слагаемых вида
v X , Г ™Х = , — -.3 V X (Г - rj + V f-■ —Л X (г - rj.
lr~rJ lr-rdVIr — Гг ГУ
Правая часть этого уравнения преобразована с помощью формулы для ротора произведения вектора и скалярной функции (приложение 1). Непосредственное вычисление дает равенства
(
1\ л г — г.
ч I = -34 •|r-rj4 lr-rJ
Учитывая, что векторное произведение параллельных векторов равно нулю, получим
V X Н = 0.V X Н = 0.(3.4>
V X Н = 0.
V X Н = 0.
Это уравнение выражает закон Ампера в магнитостатике при отсутствии токов.
Таким образом, мы показали, что уравнения магнитостатики V-B = 0 и ?ХН = 0 являются математическими следствиями закона Кулона.
Скалярный потенциал
Так как ротор Н равен нулю, то можно ввести скалярный магнитный потенциал Ч7 так, что
H = -VV;(3.5)
при этом соотношение (3.4) удовлетворяется тождественно. Из уравнений (3.2) и (3.3) следует, что если В пропорционально Н или М однородно, то дивергенция Н равна нулю. Поэтому, взяв дивергенцию от обеих частей уравнения (3.5), найдем, что скалярный магнитный потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа
V2T = 0.(3.6)
Для этого уравнения известно много решений, полученных при анализе задач электростатики, теплопроводности, молекулярной диффузии и теории упругости. В разд. 3.2 представлен пример решения уравнения (3.6); но сначала выведем общие граничные условия, которым должны удовлетворять векторы поля.
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ
Теорема о дивергенции позволяет записать уравнение V-B = 0 в следующей эквивалентной интегральной форме:
J V • В dV = ф В • dS = 0.(3.7а)
VS
Аналогично, применяя теорему Стокса к уравнению V X Н = 0, получаем закон Ампера для контура
^(VXH)-dS = ^H -6/1=0,(3.7b)
SL
справедливый при отсутствии токов.
Магнитные поля с обеих сторон поверхности раздела материалов с разными свойствами удовлетворяют условиям, которые получаются применением интегральных уравнений (3.7а) и (3.7b) к бесконечно малому объему, содержащему кусочек поверхности раздела. На рис. 3.2 слева изображен маленький объем (гауссова коробочка), верхняя и нижняя поверхности ко-
торого параллельны и расположены с разных сторон поверхности раздела. Короткая боковая цилиндрическая поверхность с нулевой длиной не дает вклада в интеграл уравнения (3.7а); поэтому оно приводится к виду
J В • dS = (B2n - Bln) dS = 0;
здесь индекс п обозначает нормальную к поверхности компоненту вектора. Полученное соотношение означает, что нормальная к поверхности раздела компонента вектора В непрерывна.
Рис. 3.2. Нормальная компонента В и тангенциальная компонента Н непрерывны при переходе через поверхность раздела двух разнородных сред.
Этот результат можно также представить в виде
п-(В1-В2) = 0.(3.8)
Применим закон Ампера к бесконечно малому контуру, стягивающему поверхность раздела, как показано на рис. 3.2 справа. Длина сторон контура, обозначенных Ьс и ad, стремится к нулю, и они не дают вклада в интеграл. Интегрирование по двум другим сторонам приводит к соотношению
J Н • d\ = ^Hxt —H^dl = 0. L
Таким образом, тангенциальная к поверхности раздела компонента магнитного поля непрерывна. Этот результат можно записать в виде
пХ(Н2-Н,) = 0. (3.9)
Приведем примеры использования полученных граничных условий.
Пример. Магнитная пластина во внешнем однородном магнитном поле. Пусть в однородное магнитное поле Но помещена пластина, неограниченно простирающаяся вдоль осей х и у, а
ее поверхности перпендикулярны направлению поля, как изображено на рис. 3.3. Найти величины В, Н и М внутри пластины для случаев, когда
пластина имеет постоянную намагниченность Mo = Afok;
материал пластины имеет постоянную проницаемость ц^В1Н.
Решение. В обоих случаях условие (3.8) требует, чтобы нормальная компонента магнитной индукции В = р0Н0 была непрерывна при переходе через поверхности пластины.
Яо f Bq ~//gkЯо f Bq ~//gk
Яо f Bq ~//gk
Яо f Bq ~//gk
?д^^^н=?^м =?
ЯоЯо| во=вок| во=вокЯо ,НО = //ОкЯо ,НО = //Ок
Яо
Яо
| во=вок
| во=вок
Яо ,НО = //Ок
Яо ,НО = //Ок
(Ь)(Ь)(а)
(Ь)
(Ь)
Рис. 3.3. Однородное магнитное поле, приложенное к пластине из твердого и мягкого магнитных материалов, (а) Пластина с постоянной намагниченностью; (Ь) пластина из материала с постоянной магнитной проницаемостью.
В случае постоянно намагниченной пластины условие непрерывности В на границах приводит к равенству В^ = В. Следовательно, р0Я0 = Ро(# + ^о), или Н = Но — Мо. Величина намагниченности Мо по предположению постоянна. Заметим, что если внешнего поля нет (Яо = О), то поле внутри пластины направлено противоположно ее намагниченности и равно ей по величине, т. е. Н = —Мо. Если внешнее поле Н0 = М0, то поле внутри пластины исчезает.
В случае линейно намагничиваемой среды из условия (3.8) следует соотношение
Р-Н = Цо (Я + М) = ро#о-
Исключая Н, найдем величину наведенной намагниченности пластины
М = Я0(1 — ИоМ)-
Это выражение показывает, что как бы ни была велика проницаемость ц, намагниченность пластины М не может превысить приложенного поля Яо. Геометрия пластины исключает ее сильную намагниченность.
Пример. Шар в однородном магнитном поле. Уравнение Лапласа для потенциала в сферической системе координат с учетом
осевой симметрии имеет вид
1д_sin 0 501д_sin 0 50(sine^)-o.(sine^)-o.
1д_
sin 0 50
1д_
sin 0 50
(sine^)-o.
(sine^)-o.
r<R r> R,r<R r> R,Н = - УФ =Н = - УФ =-(C-SD/r3) cos6ir +-(C-SD/r3) cos6ir +Рис. 3.4. Линии магнитного поля около шара с бесконечной магнитной проницаемостью, помещенного во внешнее однородное магнитное поле.Рис. 3.4. Линии магнитного поля около шара с бесконечной магнитной проницаемостью, помещенного во внешнее однородное магнитное поле.
r<R r> R,
r<R r> R,
Н = - УФ =
Н = - УФ =
-(C-SD/r3) cos6ir +
-(C-SD/r3) cos6ir +
Рис. 3.4. Линии магнитного поля около шара с бесконечной магнитной проницаемостью, помещенного во внешнее однородное магнитное поле.
Рис. 3.4. Линии магнитного поля около шара с бесконечной магнитной проницаемостью, помещенного во внешнее однородное магнитное поле.
где г — расстояние до начала системы координат, 6 — полярный угол. Поиск решения уравнения в виде произведения
^(г, 9) = /? (НФ (9)
дает ряд решений с полиномами Лежандра, причем только первое решение из них удовлетворяет условиям задачи. Таким об
разом, будем иметь дело с решением
J Ar cos 9, ((Cr + D/r) cos 9,
где R— радиус шара. Соответствующее этому потенциалу магнитное поле имеет вид
_dV .1 <9Т . _
—дг 1гг 50 —
' — A (ir cos6—ie sin0), r<R;
постоянных. Найденные отсюда постоянные имеют значения
А =з^_
Ц2 + 2Ц1 ’Ц2 + 2Ц! х
где pi— проницаемость среды вокруг шара, р2— проницаемость материала шара. На рис. 3.4 изображены линии поля Н около шара с бесконечно большой проницаемостью. В этом предельном случае поле внутри шара равно нулю, а линии поля входят в поверхность шара извне строго по радиусу.
ТЕНЗОР МАКСВЕЛЛОВСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ
В разд. 1.7 обсуждался физический и математический смысл тензора напряжений. Как будет видно далее, это понятие дает нам мощный метод описания действия магнитной силы, альтернативный к описанию действия на расстоянии, свойственное закону Кулона. Выведем математическое выражение для тензора напряжений магнитного поля. Следует помнить, что для существования магнитных напряжений нет необходимости в материальной среде.
Полезно для начала представить, что в окрестности некоторой точки пространства имеется маленькое «пробное» облако из магнитных диполей. По теореме Брауна, уравнению (1.63), облако диполей эквивалентно распределению полюсов с плотностью ру. Так как Н есть сила, действующая на единичный полюс, то плотность кажущейся локальной силы F равна
F = pyH.(3.10)
Наша задача — представить правую часть формулы (3.10) в виде дивергенции некоторого тензора, тензора максвелловских напряжений. С учетом уравнения (1.63), или уравнения ру = — p0V • М, и уравнения — VM = VH, следующего из соотношений (3.2) и (3.3), выражение (3.10) преобразуется к виду
F = p0H(V H).(3.11)
При помощи тензорного тождества V • (НН) = Н (V • Н) + Н • VH выражение (3.11) переписывается в виде
F = V • (р0НН) - р0Н • VH.(3.12)
Так как Н • VH = V (Я2/2) — Н X (V X Н), то с учетом уравнения (3.4) VXH=0 выражение (3.12) можно привести к виду
F = V(p0HH) — V(p0№/2).(3.13)
Немного ниже будет показано, что для любой скалярной функции s справедливо равенство V-(sl)=Vs; поэтому выражение
для силы (3.13) можно представить в виде дивергенции некоторого тензора
F = V (ц0НН- УгЦо^2!),(3.14)
(3.15)(3.15)Т = ц0НН- -/2Цо^21,Т = ц0НН- -/2Цо^21,где величина в скобках и есть тензор максвелловских напряжений Т:
(3.15)
(3.15)
Т = ц0НН- -/2Цо^21,
Т = ц0НН- -/2Цо^21,
а его покомпонентная запись имеет вид
Ti^^HiH,- Ч^йНЧи.Ti^^HiH,- Ч^йНЧи.(3.16)(3.16)
Ti^^HiH,- Ч^йНЧи.
Ti^^HiH,- Ч^йНЧи.
(3.16)
(3.16)
Доказательство равенства V • (si) = Vs:
V 1 <sI> = е» ^ ^SM^ = Mu (^) ez = (^-) e, =
= (ef ^-) s = Vs, где 6z/ == (ef ^-) s = Vs, где 6z/ =0, i nh j, 1, i = h0, i nh j, 1, i = hчто и т. д.что и т. д.
= (ef ^-) s = Vs, где 6z/ =
= (ef ^-) s = Vs, где 6z/ =
0, i nh j, 1, i = h
0, i nh j, 1, i = h
что и т. д.
что и т. д.
По математическому смыслу тензора напряжений сила, действующая на элементарную площадку dS с внешней нормалью п, равна n-TdS, поэтому полная сила, действующая на тело с объемом V внутри поверхности S, записывается в виде
Ftot = ^n-TdS. (3.17)
Важно, что магнитную силу, действующую на содержимое некоторого «контрольного» объема, можно вычислить, зная только величину поля на поверхности этого объема. Форма и расположение объема обычно выбираются из соображений удобства вычисления слагаемых интегрального выражения. Польза такой формулировки для силы видна на примере анализа плоской струи в приложении 2.
Следует отметить, что хотя тензор максвелловских напряжений построен при помощи магнитной силы, действующей на распределение диполей, он применим и к пустому пространству, где нет вещества. Момент дипольного облака при этом можно устремить к нулю. Следовательно, интегрирование вектора максвелловского напряжения п Т по любой замкнутой поверхности внутри пустого пространства должно давать в магнитостатике нулевую силу.
Образ тензора максвелловских напряжений
Рассмотрим элемент dS поверхности S, изображенной на рис. 3.5. Вычислим напряжение в точке Р, в которой единичная нормаль к поверхности п образует угол 0 с осью х:
n = cosOi + sinOj.(3.18)
Для удобства система координат выбрана так, чтобы магнитное поле в точке Р было направлено вдоль оси х, т. е. Н = HL
Рис. 3.5. К выводу уравнения (3.21).Рис. 3.5. К выводу уравнения (3.21).
Рис. 3.5. К выводу уравнения (3.21).
Рис. 3.5. К выводу уравнения (3.21).
Обозначим через (р угол, который образует вектор напряжения tn с осью х. Тогда напряжение tn = n*T = T*n (тензор Т симметричен) дается выражением
tn = р0НН • п - У2Ро#2п = РоНЯ cos 6 - УгРо^п. (3.19)
Используя соотношение (3.18) и H = //i, получим
t„ = ('Ago#2 cos 9) I + (- 'Ago#2 sin 9) j = M + tgV (3.20)
(a)(b)
Рис. 3.6. Геометрический смысл вектора напряжения 1Л: (а) параллельное полю натяжение и (Ь) поперечное полю давление.
Следовательно, tti[tx = — tgO. Так как отношение tyjtx равно также tg(p, то можно считать
|0| = |ф|.|0| = |ф|.(3.21)
|0| = |ф|.
|0| = |ф|.
Это равенство выражает очень общий результат; его словесная формулировка такова: угол между нормалью к поверхности п и
вектором напряжения tn делится пополам вектором магнитного поля Н.
Из проведенного анализа видно, что вектор напряжения представляет собой натяжение, направленное вдоль поля, когда Н параллельно п, и давление, направленное поперек поля, когда Н перпендикулярно п. Эти результаты иллюстрируются рис. 3.6, где | tn | = (/х + 4)1/2- Иными словами, тензор максвелловских напряжений в вакууме приводит к появлению натяжения вдоль линий поля и давления поперек линий поля; таким образом,
Рис. 3.7. Образ тензора максвелловских напряжений в вакууме в магнитном поле Н. При вращении вектора нормали к поверхности по часовой стрелке вектор напряжения tn вращается против часовой стрелки.
линии поля ведут себя как резиновые жгуты. Внимательное рассмотрение рис. 3.7 внесет ясность в некоторые моменты проведенного анализа.
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА
До XIX столетия историческое развитие теории электромагнетизма следовало по двум независимым направлениям. Одно из них — исследование электрических зарядов и их полей, другое имело дело с электрическими токами и создаваемыми ими полями. Такое положение вещей продолжалось до тех пор, пока Фарадей не показал, что меняющееся во времени магнитное поле может создать электрическое поле, а Максвелл, введя ток смещения, не показал, что меняющееся во времени электрическое поле индуцирует магнитное поле.
Математическая формулировка законов, управляющих явлениями электромагнетизма, и есть знаменитые уравнения Максвелла. Мы не можем надеяться в кратком курсе дать вывод полных уравнений Максвелла; мы лишь сформулируем эти уравнения и обсудим некоторые их аспекты. Правильность результатов, следующих из этих уравнений, надежно проверена в самых разных областях знания; в качестве примера укажем выяснение природы электромагнитного излучения и его распространения в вакууме с постоянной скоростью света. Уравнения
Максвелла здесь приводятся как в интегральной дифференциальной (Ь) форме.
Закон Фарадея
(а), так и в
( Е' • dl = - 4т ( В • dS, Jat j
(3.22a)
LS
VXE = -^.
(3.22b)
Закон Ампера с поправкой Максвелла:
J Н • dl = $ Jf dS + A J D • dS,
(3.23a)
LSS
VXH = Jf+^-.
(3.23b)
Закон Гаусса I:
J D • dS = J pfdV,
(3.24a)
SV
V • D = pf.
(3.24b)
Закон Гаусса II:
J В • dS = 0,
(3.25a)
s
V • B = 0.
(3.25b)
Закон сохранения заряда и уравнение неразрывности заряда:
J Jr dS = - A J pf dV,(3.26а)
sV
V-Jf = -^.(3.26b)
В последующем изложении феррогидродинамики, за исключением этой главы, будет предполагаться отсутствие свободных зарядов pf и электрической индукции D, так что закон Гаусса I не будет иметь значения, а в законе Ампера будет отсутствовать ток смещения. Кроме того, в непроводящей магнитной жидкости тока проводимости Jf нет, что означает равенство нулю всех членов в уравнении закона сохранения заряда.
Поляризацию Р и намагниченность М принято вводить следующими определяющими уравнениями:
(3.27)(3.27)(3.28)(3.28)D = е0Е + Р,
(3.27)
(3.27)
(3.28)
(3.28)
В = ц0(Н + М).
Таблица 3.1. Сводка переменных поля и единиц измерения
Е
D
н
Название
Напряженность электрического поля
Электрическая индукция
Напряженность магнитного поля
Единицы СИ
Вольт/метр (В/м)
Кулон/(метр)2 (К/м2)
Ампер/метр (А/м)
В
Ч
pf
Название
Магнитная индукция
Плотность тока свободных зарядов
Плотность свободных зарядов
Единицы СИ
Тесла (Тл)
АмперДметр)2 (А/м2)
КулонДметр)3 (К/м3)
В гл. 1 было показано, что такое определение намагниченности М позволяет отождествить р0М с плотностью дипольного момента вещества. Параметры, описывающие поле и входящие в уравнения Максвелла, перечислены в табл. 3.1; символ ^ означает интегрирование по замкнутому контуру L, a d/dt = = d/dt + v-X — материальная производная, введенная в гл. 1. Величина со штрихом Е' в уравнении (3.22а) является величиной, измеренной в данной точке наблюдателем, движущимся вместе с контуром L.
Из параметров, описывающих поле и приведенных в табл. 3.1, величины Н и В были уже введены ранее. Магнитные поля создаются как электрическими токами, так и магнитно-поляризованным веществом. Магнитную поляризацию вещества порождает главным образом электронный спин, не имеющий классического аналога. Плотность тока свободных зарядов Jf вызывается поступательным движением свободных электрических зарядов с объемной плотностью рр Слово «свободный» отличает такой заряд от «связанного» заряда, ответственного за электрическую поляризацию вещества. Вектор электрического поля Е в некоторой точке представляет собой силу, действующую на пробный (единичный) заряд, помещенный в эту точку. Если точка поля доступна, как это имеет место в воздухе, то эта сила экспериментально определима; внутри вещества поле
рассчитывается по определению из уравнений поля. Индукция D является электрическим аналогом магнитной индукции В. Если поляризация Р известна, то индукция D может вычисляться по определяющему уравнению (3.27). Например, постоянно поляризованная палочка, или электрет, является аналогом постоянного магнита, а величина Р — аналогом ц0М.
Интегральные уравнения
Интегральные уравнения особенно полезны при анализе задач с движущимися границами и при выводе общих выражений для граничных условий. Интегральные уравнения в той форме, в какой они здесь записаны, справедливы только для неподвижных контуров и поверхностей. Если контуры и поверхности движутся, то переменные поля должны быть взяты в движущейся системе отсчета (штрихованной системе). Это в свою очередь требует преобразования переменных поля в движущейся системе отсчета к системе отсчета, связанной с наблюдателем, чтобы получить полезные работающие соотношения. Общие преобразования векторов электромагнитного поля — преобразования Лоренца — следуют из положений специальной теории относительности и требований, чтобы дифференциальные уравнения Максвелла выглядели одинаково в обеих системах отсчета (см., например, книгу Джэксона (Jackson, 1975, гл. 11). При скоростях, много меньших скорости света (т. е. и<с), для интегральных уравнений имеет значение только преобразование, относящееся к электрическому полю Е (см. ниже).
Интеграл по контуру в интегральной форме закона Фарадея называется электродвижущей силой (ЭДС). Интегральный закон Фарадея утверждает, что ЭДС наводится изменением потока индукции В сквозь замкнутый контур L; при этом поток может меняться за счет изменения магнитной индукции, формы, ориентации и положения контура. Производную по времени, содержащуюся в правой части уравнения, можно внести под знак интеграла при помощи варианта теоремы переноса Рейнольдса для интеграла по поверхности (приложение I):
4( B-dS= J{^- + VX(BXv) + v(V-B)}dS. (3.29) ss
С учетом уравнения V B = 0 и теоремы Стокса (приложение 1) уравнение (3.29) преобразуется к виду
4т ( В • dS = ( ^- • dS 4- ( (В X v) • dl. (3.30) dt JJ dtJ
ssL
Исключая интеграл в левой части уравнения (3.30) при помощи уравнения (3.22а), получим
Е'• dl= ^ — Д£-• dS + ф(v X В) • dl. (3.31а)
LSL
Объединяя интегралы по контуру в уравнении (3.31), найдем
( (Е' — v X В) • dl = ( — 4г ' ^8, JJ ot
LS
ИЛИ
( E •dl= (-^--dS,(3.31b)
JJdrx 7
LS
ГД£
E = E-vXB.(3.32)
Это есть формула, связывающая Е и Е' при преобразовании Галилея{\ Она приближенная, хотя имеет очень хорошую точность; при использовании теоремы Рейнольдса неявно предполагалось преобразование к'= к — Dxt, у' = у, 2! = z и f = t, связывающее координаты пространства и времени штрихованной системы координат, движущейся со скоростью ох вдоль оси х, и нештрихованной системы координат. Точная формула, связывающая Е и Е', выводится во многих учебниках по электромагнетизму. Теперь вернемся к уравнению (3.31b) и преобразуем его левую часть при помощи теоремы Стокса для интеграла по поверхности; учитывая произвольность выбора поверхности интегрирования, немедленно получаем дифференциальную форму закона Фарадея — уравнение (3.22b). Это уравнение, как, впрочем, и вся система дифференциальных уравнений Максвелла в том виде, как она здесь записана, справедлива всегда.
Дифференциальные уравнения
Как уже отмечалось, магнитное поле создается не только магнитно-поляризованным веществом, но также и движением зарядов, т. е. электрическим током. Влияние плотности тока Jf описывается первым слагаемым в правой части дифференциальной формы закона Ампера.
Фарадей верил, хотя и был не в состоянии экспериментально показать, что меняющееся во времени электрическое поле наводит магнитное поле. На долю Максвелла выпало показать, что Фарадей был прав и что закон Ампера без поправки проти-
!) Точнее при преобразовании систем координат, движущихся относительно друг друга со скоростью, много меньшей скорости света. — Прим, перев.
воречит закону сохранения заряда. Таким образом, если взять дивергенцию от дифференциального уравнения закона Фарадея без поправки, получим
V.(VXH) = 0 = V Jf,
так как V-(VXA)=0 для любого векторного поля А с непрерывными вторыми частными производными. Этот результат противоречит уравнению (3.26b), если имеется меняющийся во времени заряд. Максвелл догадался, что если в правую часть уравнения закона Ампера добавить ток смещения dD/dt, то закон сохранения заряда будет выполняться автоматически.
Следовательно, если взять дивергенцию от уравнения (3.23b) и получившееся уравнение упростить при помощи уравнения (3.24b), то получим уравнение сохранения заряда (3.26b). В отличие от гидродинамики, в которой уравнение сохранения массы является независимым соотношением, из уравнений Максвелла следует уравнение сохранения заряда.
Первый закон Гаусса, уравнение (3.24а), является прямым следствием закона Кулона для точечных электрических зарядов. Уравнение (3.25а) утверждает, что изолированных магнитных полюсов не существует, и на сегодня таковые не обнаружены. Соответствующее дифференциальное уравнение было выведено в этой главе как уравнение (3.3). Эквивалентность дифференциальной и интегральной форм законов Гаусса легко показывается при помощи теоремы о дивергенции.
Заметим, что в уравнениях Максвелла число переменных больше числа связывающих их уравнений. Используя макроскопические аспекты электромагнетизма, принято вводить определяющие соотношения, связывающие переменные полей и содержащие функции е, р и а. Для изотропных, но нелинейных материалов определяющие соотношения имеют вид
D = e(E)E, (3.33)
В = р(Н)Н, (3.34)
Jf = o(E + vXB), (3.35) где е — диэлектрическая проницаемость, р—магнитная проницаемость и о — электропроводность материала. В пустом пространстве 8 и р являются константами со значениями е0 = = 8,854-10~12 Ф • м-1 и ро = 4л-1О-7 Гн-м-1. Скорость света в вакууме с = (еоро)-1 = 2,9979 • 108 м • с-1. Уравнение (3.35) выражает закон Ома для движущихся сред и справедливо только в системах, движущихся со скоростями, много меньшими скорости света.
В настоящее время в большинстве работ по ФГД считается, что среда имеет только магнитные свойства и что плотность
свободных токов и ток смещения Максвелла пренебрежимо малы. Поэтому обычно применяемые уравнения ФГД для полей являются магнитостатическим пределом уравнений Максвелла:
(3.36)(3.37)(3.36)(3.37)V • В = 0,VX Н=о.
(3.36)
(3.37)
(3.36)
(3.37)
Эти соотношения были ранее выведены как уравнения (3.3) и (3.4) соответственно. Нетрудно представить ситуации, в которых имеется переменный ток и ток смещения создает магнитное поле или в которых по проводящей магнитной жидкости течет ток, так что вместо уравнения (3.37) надо использовать уравнение (3.23b). Также, например, если бы имелись заметные количества свободных зарядов, то для полного описания потребовались бы уравнения (3.22) и (3.24). Более того, имея дело с источниками поля, важно использовать дополнительные члены в уравнениях Максвелла. В следующих примерах источники поля описываются в рамках полного закона Ампера.
Рис. 3.8. Применение интегрального закона Ампера для вычисления поля длинного проводника с током.Рис. 3.8. Применение интегрального закона Ампера для вычисления поля длинного проводника с током.
Рис. 3.8. Применение интегрального закона Ампера для вычисления поля длинного проводника с током.
Рис. 3.8. Применение интегрального закона Ампера для вычисления поля длинного проводника с током.
Пример. Описание поля бесконечно длинного прямолинейного проводника при помощи стационарного закона Ампера; <90/5/= 0 и Jf #=0. На рис. 3.8 изображен длинный прямоугольный проводник радиуса R, несущий постоянный ток I. Определить распределение поля Н, создаваемого этим током.
Решение. В этом случае ток смещения отсутствует, так как поле во времени стационарно. Закон Ампера связывает магнитное поле с токами-источниками; подходящая форма закона получается из уравнения (3.23а):
J Н -d\ = $ Jr dS. LSJ Н -d\ = $ Jr dS. LS(3.38)(3.38)
J Н -d\ = $ Jr dS. LS
J Н -d\ = $ Jr dS. LS
(3.38)
(3.38)
к-- - L —к-- - L —Рис. 3.9. Применение интегрального закона Ампера для расчета магнитного поля, индуцируемого током смещения.Рис. 3.9. Применение интегрального закона Ампера для расчета магнитного поля, индуцируемого током смещения.Н^дг =Н^дг =илиилиIff IГ 2 — 2^/2лгIff IГ 2 — 2^/2лгг < R, г > R,г < R, г > R,(3.39)(3.39)г < R,г < R,r>R.(3.40) Таким образом, внутри проводника поле увеличивается линейно с радиусом и вне проводника затухает обратно пропорционально радиусу.Пример. Описание поля электрического конденсатора в цепи переменного тока при помощи нестационарного закона Ампера; J. = 0 и dD/dt N= 0. Определить магнитное поле, устанавливающееся в зазоре воздушного конденсатора, схематично изображенного на рис. 3.9. Металлические пла-r>R.(3.40) Таким образом, внутри проводника поле увеличивается линейно с радиусом и вне проводника затухает обратно пропорционально радиусу.Пример. Описание поля электрического конденсатора в цепи переменного тока при помощи нестационарного закона Ампера; J. = 0 и dD/dt N= 0. Определить магнитное поле, устанавливающееся в зазоре воздушного конденсатора, схематично изображенного на рис. 3.9. Металлические пла-Из соображений симметрии ток создает азимутально направленное поле Н = Н^; исходя из контура, показанного на рис. 3.8, получим для переменной поля
к-- - L —
к-- - L —
Рис. 3.9. Применение интегрального закона Ампера для расчета магнитного поля, индуцируемого током смещения.
Рис. 3.9. Применение интегрального закона Ампера для расчета магнитного поля, индуцируемого током смещения.
Н^дг =
Н^дг =
или
или
Iff IГ 2 — 2^
/2лг
Iff IГ 2 — 2^
/2лг
г < R, г > R,
г < R, г > R,
(3.39)
(3.39)
г < R,
г < R,
r>R.
(3.40) Таким образом, внутри проводника поле увеличивается линейно с радиусом и вне проводника затухает обратно пропорционально радиусу.
Пример. Описание поля электрического конденсатора в цепи переменного тока при помощи нестационарного закона Ампера; J. = 0 и dD/dt N= 0. Определить магнитное поле, устанавливающееся в зазоре воздушного конденсатора, схематично изображенного на рис. 3.9. Металлические пла-
r>R.
(3.40) Таким образом, внутри проводника поле увеличивается линейно с радиусом и вне проводника затухает обратно пропорционально радиусу.
Пример. Описание поля электрического конденсатора в цепи переменного тока при помощи нестационарного закона Ампера; J. = 0 и dD/dt N= 0. Определить магнитное поле, устанавливающееся в зазоре воздушного конденсатора, схематично изображенного на рис. 3.9. Металлические пла-
стины конденсатора соединены проводниками с источником переменного напряжения V. Краевыми эффектами пренебречь.
Решение. Переменное напряжение создает переменный ток i в проводниках и накопление свободных зарядов на пластинах. В воздушном зазоре ток проводимости отсутствует, но имеется однородное поле D = воЕ и его изменение со временем дает ток смещения dD/dt. Из закона Ампера при Jf = 0 следует
(3.41)(3.41)( Н .dl = 4A ° • dS.
(3.41)
(3.41)
Jat j
LS
На схеме показана часть неподвижного контура L радиуса г, охватывающего площадь S в пространстве зазора. Вычисляя интегралы с учетом симметрии, получим
Н • 2лг = лг2 dD/dt, (3.42) где Н постоянно на круговых линиях вокруг центра.
Так как приложенное напряжение V = EL, где L — толщина зазора, то величина поля, создаваемого током смещения, определяется формулой
(3.43)(3.43)т_т ^о г dV
(3.43)
(3.43)
п -ТТ1т
ПЛОТНОСТЬ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Для создания в некоторой области пространства электрического или магнитного поля нужно затратить энергию сверх той, которая поглощается в необратимых процессах, как, например, омический нагрев. Зная пространственное распределение векторов поля, можно вычислить эту энергию независимо от того, какие конкретные процессы привели к такому распределению поля. Поэтому плотность энергии может быть приписана электромагнитному полю. В этом разделе на основе полной системы уравнений Максвелла выводится важный для последующего изложения результат.
Будем предполагать, что в некоторой произвольной системе, в начальном состоянии которой нет полей, возникают поля. Предположим также, что поля генерируются электрическим током с плотностью Jf в электрическом поле Е в объеме V. Таким образом, во всяком элементе объема системы внешние источники совершают малую работу
dr = - Е S^dV dt.(3.44)
Величину E-Jf можно преобразовать к следующему виду, который содержит только величины электромагнитных полей:
E.Jf = E.(vXH--^-)-H.(vXE + 47-). (3-45)
Ток Jf был исключен из первого слагаемого в правой части при помощи закона Ампера (3.23b), а второй член тождественно равен нулю, если учесть закон Фарадея, уравнение (3.22b). Если теперь воспользоваться векторным тождеством
V • (Е X Н) = Е • (V X Н) - Н • (V X Е) (3.46)
и переписать соотношение (3.44) в интегральной форме, то получим выражение для работы, совершаемой внешними источниками при создании поля в системе*.
tt
W=\S^'l^+H'^r^^ + S Sv-(EXH)d/^. (3.47) VOVO
Второе слагаемое в правой части при помощи теоремы о дивергенции можно преобразовать к интегралу по поверхности; в ре-
зультате получим
J V.(EXH)^ = ^(EXH)-ndS,(3.48)
VS
где вектор Е X Н называется вектором Пойнтинга и имеет размерность ватт на квадратный метр (Вт/м2). Вектор Пойнтинга формально описывает поток энергии сквозь пространство; можно измерить только его интеграл по замкнутой поверхности, поэтому только он имеет физический смысл. При предположении, что векторы Н и Е стремятся к нулю на границах системы, выражение для работы (3.47) принимает вид
t
W=\\(E.^+H.^)dtdV.(3.49)
V о
Интегрирование по объему проводится по неподвижным элементам объема, поэтому выражение (3.49) приводится к виду
/Овх
Г=$Н Е • dD + J Н -dBjdK(3.50)
Здесь предполагалось, что в начальный момент поля отсутствовали. Величина W представляет плотность энергии электромагнитного поля в единицах ньютон-метры на кубический метр (Н-м/м3).
Основываясь на формуле (3.50), выражение HdB будем рассматривать как представление дифференциала локальной плотности энергии магнитного поля. Когда векторы Н и В параллельны, как, например, в мягко намагничивающихся материалах при равновесных условиях, слагаемое H-dB можно выразить через абсолютные величины полей в виде HdB.
ДРУГОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ЭНЕРГИИ ПОЛЯ
Выражение для энергии (3.50) является общим выражением для магнитостатической энергии всей системы, которая может состоять, например, из объема магнитной жидкости и областей пространства, не содержащих магнитного материала, или других областей, содержащих источники магнитного поля, например катушки с током, постоянные магниты и намагничивающиеся железные детали или другие материалы. Однако зачастую удобней работать с выражением, которое выделяет только магнитостатическую энергию, связываемую с магнитной жидкостью, и которое выводится в этом разделе.
Рассмотрим рис. 3.10. Пусть Vi—объем линейно намагничивающейся1) и изотропной среды с магнитной проницаемостью pi, пусть У2— объем, занимаемый магнитной жидкостью, которая рассматривается как линейно намагничивающаяся и изотропная с магнитной проницаемостью ц2. Поэтому плотность ее энергии, согласно выражению (3.50), принимает вид Н-В/2 Источником магнитного поля является неподвижный замкнутый
Рис. 3.10. К выводу выражения для магнитостатической энергии намагни чивающейся жидкости.
контур с электрическим током /, который предполагается идеальным проводником (т. е. с бесконечно большой электропроводностью а). Из закона Фарадея в интегральной форме (3.22а) видно, что если интеграл по замкнутому контуру от Е' равен нулю, то полный поток индукции сквозь контур ф — В • dS постоянен. Всюду внутри материала идеально проводящего контура поле Е' должно равняться нулю; в противном случае из закона Ома следовало бы, что плотность тока Jf = aE' бесконечна. Следовательно, поток ф остается постоянным, даже если в окружающей его системе происходят изменения, например движение объема магнитной жидкости. Существенно, что в контуре с током не может происходить никакого накопления энергии.
Рассмотрим процесс, в котором магнитная жидкость, первоначально расположенная далеко за пределами замкнутой поверхности S, вносится внутрь ее, замещая равный объем первой
^ Под линейно намагничивающейся средой всюду понимается среда с магнитной восприимчивостью, не зависящей от магнитного поля. — Прим. ред.
среды. Изменение энергии за счет переноса магнитной жидкости равняется
АГ = ^1(Н.В-Н0.В0)^ =
V
= J 1 (Н + Но). (В - Во) dV - $ 4 (Но • в - Н . Во) dV, (3.51) VV
где V = Vv + V2. Исходное поле имеет обозначения: Во и Но = = — Уф0; конечное поле — обозначения: В и Н = — Уф, где фо и ф — потенциальные функции. При помощи тождества
У • фА = А • Уф + фУ • А(3.52)
и теоремы о дивергенции первый интеграл в правой части последней строчки (3.51) можно записать в виде
J у (^ + V1M • (В - Во) dV = $ 1 (1|) + 1|)0) (В - Во) • n dS 4-
VS
+ J у (^ + 1|)о) V • (В - Во) dV. (3.53)
V
Теперь можно отодвинуть внешнюю границу S в бесконечность, чтобы включить в систему все пространство. Выражение под знаком поверхностного интеграла стремится к нулю быстрее, чем растет площадь поверхности интегрирования, поэтому этот интеграл исчезает. Во всем объеме V слагаемое V- (В — Во) равно нулю, поэтому интеграл по объему также равен нулю. Следовательно, правая часть равенства (3.53) равна нулю и
$l(H + HoMB-BoW = O.(3.54)
V
Второй интеграл в правой части уравнения (3.51) можно представить в виде суммы интегралов по составляющим объемам Vi и V2:
$ у (Но • В — Н • B0)dV — ^1(Н0.В-Н-Во)^ =
V»V-
= - ^(Hq-B-H-Bo)^. (3.55)
Здесь учтено, что в объеме Vi справедливы соотношения
Но В = Но PiH = PiH0 Н = Во Н,(3.56)
согласно которым интеграл по объему Vt тождественно равен нулю. В объеме /2 имеем В = р2Н, а Во—р^о, поэтому
- ^(Ио-В-И-^^И^- ^(нз-ц^Но-HdH.
В результате
АГ = - $4(^2-^)Н0-WdV.(3.57)
v-
Если р.1 = цо, то в объеме V2 выполняется соотношение
В — ц2Н — ц0 (Н + М), с учетом которого
M = (P2/^O-1)Н,(3.58)
а выражение (3.57) принимает вид
АГ = - J у ц0М • Но dV.(3.59)
Уравнение (3.59) выражает через вектор намагниченности М энергию, затрачиваемую при внесении магнитной жидкости в магнитное поле фиксированных источников. В полученном результате замечательно, во-первых, то, что энергия поля, первоначально представляемая в виде интеграла по всему пространству, здесь выражается через интеграл только по объему жидкости, во-вторых, то, что здесь фигурирует только исходное поле Но, а не конечное поле Н. Эти обстоятельства оказываются очень удобными при анализе некоторых встречающихся задач; например задачи о величине промежутков в лабиринтной структуре магнитной жидкости, которая будет рассматриваться в гл. 7.
ЗАМЕЧАНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Мы, конечно, не можем претендовать на то, чтобы дать полную картину одного из самых старых и содержательных разделов физики — классической теории электромагнетизма. Этот предмет вместе с классической и квантовой механикой составляет ядро современного образования физиков и занимает очень важное место в учебных программах по электротехнике. По этой причине имеется большое число хороших руководств, к которым заинтересованный читатель может обратиться для дальнейшего изучения. Прекрасными современными учебниками являются: книга Цана (Zahn, 1979), в которой основное внимание уделяется решению задач, и книга Рейтца, Милфорда и Кристи (Reitz et al., 1979). Более глубокими руководствами являются книги Ландау и Лифшица (1954, 1957), Пановского и Филлипса
(Panofski, Phillips. 1962), Джексона (Jackson, 1975) и более старые, но все еще классические книги Джинза (Jeans, 1925) и Стрэттона (Stratton, 1941).
Здесь также уместны и ценны книги по теории поля и теории потенциала. Две хорошие книги принадлежат Муну и Спенсеру (Moon, Spencer, 1961) и Келлогу (Kellogg, 1953).
Прекрасный курс на высоком уровне с изложением электродинамики и некоторых параллельных аспектов магнетизма принадлежит Мелчеру (Melcher, 1981).
Изложение, радикально отличающееся от традиционных курсов, точное, но математически устрашающее, имеется в работе Трусделла и Тупина (Truesdell, Toupin, 1960), главная цель которых— «отделить аспекты теории, не зависящие от приписываемой пространству-времени геометрии, от аспектов, формулировка или интерпретация которых зависит от пространства-времени или подразумевает определенную его геометрию».
Вывод макроскопических уравнений Максвелла подходящим осреднением по совокупности атомов восходит к Лоренцу. Свежий взгляд на этот предмет можно найти у Русакова (Russa- koff, 1970).
Тензор напряженийи уравнение движения
В обычной гидродинамике единственной силой, действующей извне на весь объем жидкости, является сила тяжести. В магнитной гидродинамике на ионизованный газ или жидкий металл, проводящие электрический ток, действует объемная сила Лоренца, возникающая из-за взаимодействия тока с магнитным полем. В электрогидродинамике на ионы или другие частицы, несущие электрический заряд, в электрическом поле действует электродинамическая сила. В непроводящей магнитной жидкости нет ни электрических токов, ни электрических зарядов. Объемная сила в этом случае появляется из-за взаимодействия магнитного поля с ферромагнитным дипольным моментом каждой коллоидной частицы.
Как отмечают Слепян (Slepian, 1950), Пенфилд и Хауз (Penfield, Haus, 1967), Берн (Byrne, 1977), вопрос о пространственном распределении силы был предметом дискуссии около ста лет. В литературе можно найти множество предложенных законов для силы и соответствующего тензора напряжений; все они приводят к разным распределениям силы. Во многих устаревших теориях упругие свойства среды или не учитывались, или полагались не зависящими от полей; при сравнении различных «давлений», встречающихся в литературе, возникает путаница. Впервые удовлетворительный вывод объемных сил из энергетического принципа с учетом упругих деформаций, по-видимому, был сделан Кортевегом (Korteweg, 1880) и усовершенствован Гельмгольцем (Helmholtz, 1882), правда, только для сред с линейными соотношениями.
Так как коллоидные магнитные жидкости намагничиваются нелинейно, вывод силы здесь будет представлен с учетом нелинейных эффектов; такое обобщение впервые сделали Каули, Розенцвейг (Cowley, Rosensweig, 1967), Пенфилд, Хауз (Penfield, Haus, 1967). Этот вывод термодинамический и основан на законе сохранения энергии. При помощи только одного объекта — тензора магнитных напряжений — можно наиболее удобным образом дать количественное описание сил и их распределения. Тензор напряжений, как будет видно далее, учитывает не только объемную силу, но и плотность поверхностных сил, которые появляются в магнитных жидкостях.
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
Первый закон термодинамики в применении к малому изменению состояния единицы массы однородного вещества записывается в виде
6Q - bW = dU\(4.1)
где 6Q— приток тепла, 61^— работа, совершаемая веществом над окружением, U'— внутренняя энергия, рассчитанная на единицу массы. Если процесс осуществляется обратимым образом, приток тепла выражается через изменение энтропии: 6Q = TdS\ где S'— энтропия вещества, рассчитанная на единицу массы. Свободной энергией Гельмгольца F' называется величина F' = = U' — TS'.
Дифференциал F' соответственно имеет вид
dF'= dU' — Т dS' — S' dT.
Исключая 6Q и dU' из уравнения (4.1), получим
dF'= — 6W — S'dT,(4.2а)
а для изотермического процесса
dF'T = -6W.(4.2b)
Таким образом, изменение свободной энергии в обратимом изотермическом процессе равно совершенной работе с обратным знаком независимо от того, как эта работа выполнялась.
Нас интересует только работа, совершаемая при расширении, т. е. работа по изменению объема и «магнитная» работа, при выполнении которой меняется энергия магнитостатического поля. Поэтому [с учетом обсуждения, проведенного после вывода уравнения (3.50)]
bW = р dx> — d (и J Н dB) = (р - J Н dB^ dv - vH dB, (4.3)
где у = p-1 — удельный объем. Из (4.2) и (4.3) следует, что
dF' = -(р ~\н dB^dv- S' dT + v>H dB. (4.4)
Теперь видно, что имеется функциональная зависимость, которую можно представить как F' = F'(v, Т, В). Так как В зависит от v, Т, Н, эту зависимость можно также выразить в виде F' = F'^ Г, Н).
В отсутствие магнитного поля из (4.4) следует
dF' = - р dv - S' dT.(4.5)
В отсутствие полей F' является функцией только и и Г, поэтому можно выписать следующее выражение для его дифференциала:
Т. °) - (^Х+ (^)„ »Т.(4.6)
Сравнивая (4.5) и (4.6), заключаем, что в отсутствие полей уравнения для давления и энтропии полностью определяются заданием свободной энергии
«•X—<4-7ai
(^Х=-5'-,471”
Иногда более удобно иметь дело со свободной энергией, рассчитанной на единицу объема, обозначаемую через F:
F' = vF.(4.8)
Из соотношений (4.8) и (4.7а) следует выражение для обычного термодинамическогодавленияр или,точнее,р^,Т) или
, ту.'
(4.9)(4.9)Г— р.
(4.9)
(4.9)
(4.8)(4.8)Для дифференциаласвободнойэнергииF'изуравнения
(4.8)
(4.8)
имеем
dF' = г dF + F dx).
урав- и по-урав- и по-Исключая при помощи этого выражения величину dF' из нения (4.4), получим, что при постоянной температуре стоянном объеме
урав- и по-
урав- и по-
dF = HdB.
Это уравнение связывает плотность магнитостатической энергии с термодинамической свободной энергией; обе величины рассчитаны на единицу объема.
ВЫВОД ТЕНЗОРА МАГНИТНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Рассмотрим однородный слой жидкости толщины а, расположенный между двумя параллельными плоскостями (рис. 4.1). Будем считать такой слой достаточно представительным элементарным объемом жидкости, но достаточно малым, чтобы характеристики поля и жидкости в нем были почти постоянны. Однородное магнитное поле может быть создано, например, поверхностными токами в плоскостях; вне слоя оно замыкается через область с нулевым магнитным сопротивлением. Удобно рассматривать плоские токи в виде совокупности из отдельных
проводников или отдельных витков. Боковые проводники витков, через которые замыкаются токи в плоскостях, наклонены под углом гр к ограничивающим слой жидкости плоскостям; следовательно, векторы Н и В наклонены к плоскостям под углом л/2 + гр.
Этап 1. Изотермическое намагничивание при постоянном объеме. Будем увеличивать приложенное поле Н, сохраняя плоскости, ограничивающие слой жидкости, неподвижными (так что
р = оор = ооРис. 4.1. Геометрия слоя, используемая для вывода тензора напряжений в намагничивающейся жидкости. Область, внешняя к пространству между двумя пластинами, играет роль резервуара с постоянной температурой, являясь в то же время областью с очень большой магнитной проницаемостью. Условие очень большой проницаемости означает, что в этой области не запасается никакой энергии поля. См. (Cowley, Rosensweig, 1967).Рис. 4.1. Геометрия слоя, используемая для вывода тензора напряжений в намагничивающейся жидкости. Область, внешняя к пространству между двумя пластинами, играет роль резервуара с постоянной температурой, являясь в то же время областью с очень большой магнитной проницаемостью. Условие очень большой проницаемости означает, что в этой области не запасается никакой энергии поля. См. (Cowley, Rosensweig, 1967).
р = оо
р = оо
Рис. 4.1. Геометрия слоя, используемая для вывода тензора напряжений в намагничивающейся жидкости. Область, внешняя к пространству между двумя пластинами, играет роль резервуара с постоянной температурой, являясь в то же время областью с очень большой магнитной проницаемостью. Условие очень большой проницаемости означает, что в этой области не запасается никакой энергии поля. См. (Cowley, Rosensweig, 1967).
Рис. 4.1. Геометрия слоя, используемая для вывода тензора напряжений в намагничивающейся жидкости. Область, внешняя к пространству между двумя пластинами, играет роль резервуара с постоянной температурой, являясь в то же время областью с очень большой магнитной проницаемостью. Условие очень большой проницаемости означает, что в этой области не запасается никакой энергии поля. См. (Cowley, Rosensweig, 1967).
нет деформации жидкости) при изотермических условиях. Изменение свободной энергии, рассчитанной на единицу объема, как следует из (4.10), (4.2b), есть магнитная работа
_dFT = 6W = -HdB. (4.11)
+ FO(P, Л,+ FO(P, Л,Интегрируя это уравнение при постоянной температуре, получим
+ FO(P, Л,
+ FO(P, Л,
(4.12)
где FO(P, Л = F^ Т, 0).
Индексы р, Т сохранены для напоминания, что интегрирование производится при постоянной плотности р (или удельном объеме и) и постоянной температуре Т. Уравнение (4.12) можно записать в другой эквивалентной форме
F^ Т, H) = F0^ Т) + НВ-
т
Этап 2. Изотермическое деформирование. Пусть теперь жидкость деформируется бесконечно малым смещением § одной из ограничивающих ее плоскостей; причем § не обязательно параллельно единичной нормали п к плоскости, так что толщина слоя увеличивается на величину 6а = §-п. На этом этапе температура поддерживается постоянной из-за теплообмена с тепловым резервуаром, а токи в витках поддерживаются такими, чтобы определяемый ими поток магнитной индукции не менялся. Последнее условие означает, что магнитная работа отсутствует.
Наша задача состоит в определении тензора магнитных напряжений Т^ в магнитной жидкости. На единицу площади плоскости со стороны слоя жидкости действует сила — п • Т^, поэтому при деформировании слоя совершается работа (в расчете на единицу площади)
dIF^-n-Г ^.(4.14)
Согласно уравнению (4.2b), в изотермическом процессе совершенная механическая работа совпадает с уменьшением свободной энергии, которое в нашем случае равно
6U7 = - d (Fa)T = — Fda — a dFTl(4.15)
где Fa — свободная энергия на единицу площади. Закон сохранения массы требует, чтобы ар, или а/и, оставалось постоянным, поэтому
da/a = dv/v).(4.16)
С использованием соотношения (4.13) получим выражение для dFT:
н
4Рт = (-фЛ cIm-V Н dB-V BdH — \ (-^ dvdH-BdH,
1\ дх>J \ av /нл
о
(4.17)
где /•'о = Го(и, Г). Подставив результаты (4.12), (4.15) — (4.17) в уравнение (4.14), получим
(вн1
п-Г -^daU-Ц^-] + \HdB-Uf-^-) dH>-\-aHdB.
mI L dv Jr JJ \ дм ^нл I
I00'
(4.18)
Здесь и внесено под знак интеграла, поскольку интегрирование производится при постоянной плотности.
На рис. 4.2 изображен_треугольник, состоящий из отрезков PQ, PQ\ в который PQ переходит при деформировании,
и вектора |. При бесконечно малом смещении поток ф индукции магнитного поля остается постоянным; в обозначениях рис. 4.2 ф = const = BPQ. Следовательно,
dB[B= — dPQIPQ,dB[B= — dPQIPQ,(4.19)(4.19)
dB[B= — dPQIPQ,
dB[B= — dPQIPQ,
(4.19)
(4.19)
т. е. уменьшение магнитного поля пропорционально увеличению расстояния между проводниками, образующими один и тот же
Рис. 4.2. Определение угла р при выводе уравнения (4.20).Рис. 4.2. Определение угла р при выводе уравнения (4.20).
Рис. 4.2. Определение угла р при выводе уравнения (4.20).
Рис. 4.2. Определение угла р при выводе уравнения (4.20).
виток. Учитывая, что соединяющая их линия параллельна вектору (ВХп)ХВ, можно показать, что
dB(B — - [(В X n) х в] • 1/В2а.(4.20)
Уравнение (4.20) можно вывести следующим образом. Так как вектор В перпендикулярен отрезку PQ, то, очевидно, отрезок PQ параллелен (В X n) X В. При смещении плоскости на вектор |, отрезок PQ переходит в отрезок PQ'; вычислим раз- ность PQ' — PQ = 6PQ. По теореме косинусов длина отрезка PQ' выражается в виде
^Q' = [(PQ)2-H2 +2PQ£cosPJ1/2,(4.20а)
где р — угол между отрезком PQ и вектором В. Перепишем уравнение (4.20а):
PQ' = PQ [1 + &№ + 2 OfPQ) cos p]l/2.(4.20b)
Так как § мало по сравнению с PQ, правую часть уравнения (4.20b) можно при помощи формулы бинома (1 + -*:)п = = 1 + пх + ... разложить в ряд; объединяя слагаемые более высокого порядка, чем yPQ, получим
PQ' = PQ^Y + (g/PQ)cosp) + слагаемые более высокого порядка.
(4 20с)
Поэтому dPQ равно dPQ = ^ cos р, а относительное изменение PQ есть
dPQIPQ = djPQ) cos р =
= [(ВХп)ХВ].£ = [(ВХп)ХВН
| [(В х п) х В] I PQ (В2 sin ф) (a/sin ф)
(4.20d)(4.20d)_ [(В Хп)ХВ].|
(4.20d)
(4.20d)
— В2а ’
причем при переходе ко второму и третьему равенствам здесь использовалось, что вектор (В X n) X В параллелен отрезку PQ и имеет величину В2 sin ф, а также что a = PQsinф. С учетом последнего равенства (4.20d) уравнение (4.19) переходит в искомое уравнение (4.20).
Тензор напряжений намагничивающейся жидкости
Теперь у нас подготовлены все физические и геометрические положения, необходимые для вывода тензора магнитных напряжений. Осталось только проделать математические преобразования, чтобы получить результат в нужном виде.
В смешанном произведении трех векторов знаки скалярного и векторного умножений можно поменять местами, поэтому
[(ВХп)ХВ]^ = (ВХп)-(ВХУ.
С учетом этого, а также с помощью векторного тождества (а X Ь) • (с X d) = (а • с) (Ь • d) - (а • d) (Ь • с) уравнение (4.20) можно преобразовать к следующему виду: adB = - В (и • |) + (п • В)(В • ^[В.(4.21)
Подставив результат (4.21) в соотношение (4.18), получим уравнение ( в в\
n-T;„.S-(„.B)j[^]r+^B-$»(^)„r^^ (оо’/
Ш121[31
- НВ (пЛНкп. В) (В . |) (Н,В\(4.22)
[41[51
которое легко упрощается к следующему виду: /н.
^j^1, /и1 + п (ВН).;.
Н1[61[71
(4.23)
Упрощение уравнения (4.22) производится следующим образом. Сначала представим слагаемое [2] в виде
(
и.
НВ- ^Bd//) = [2a] + [2b],о/
Следовательно, слагаемые [2а] и [4] взаимно уничтожаются. Слагаемые [2Ь] и [3] объединяются в одно:
н
о
Так как векторы В и Н параллельны и В/В — единичный вектор, слагаемое [5] переходит в (п • В) (Н • |) = п • (ВН) • |, т. е. в слагаемое [7].
Уравнение (4.23) можно переписать в более удобном виде, если учесть, что п • I = п:
п-П-^п-ИрЦу^] “U^^l ^l1) ^+n (BH) L
Jr J L cm Ан, t I /о) /
(4.24)
Следовательно, тензор напряжений T^ определяется следующим выражением:
Отметим, что тензор напряжений получился симметричным, так как (с учетом В = pH) ВН = (pH) (В/р) = НВ и 1Г = I. Обратившись к равенству (4.9), обнаруживаем, что первое слагаемое в скобках есть — р0(Р, Л- Второе слагаемое при помощи соотношения В = ро(# + М) можно упростить:
Г^-1=Ио[^-1+ц0Я.(4.26)
L д-^ Ан, т L ди Ан, г
Использовав упрощение (4.26) в уравнении (4.25) и выполнив элементарное интегрирование, получим окончательный результат, а именно тензор напряжений в магнитной жидкости*.
(НX
т^ = - Ь (р. Л + S Но[±§^-]я г dH + 4 ИоЯ2 [ I + ВН. (4.27)
Помимо записи тензора напряжений в инвариантной символической форме (4.27) приведем его запись в компонентах
,я.
т'и = - 1 Р (Р, Г) + $ ^[^^-^ dH + 4 щН21 ЬИ + В^,.
(4.28)
Здесь индекс m для простоты опущен, a d,y = ez-ey— символ Кронекера; дг/=1, если i = h и д/у = 0, если / #= j.
Что такое «давление» в намагничивающейся жидкости?
В покоящейся неполярной жидкости имеются только нормальные компоненты напряжения, которые не зависят от направления нормали элементарной площадки, на которую они действуют, а тензор напряжений имеет вид Т = —pl, где р— статическое давление жидкости, которое может меняться в жидкости от точки к точке. В движущейся вязкой жидкости это уже неверно, так как из-за наличия тангенциальных напряжений нормальная компонента тензора напряжений, действующего на элементарную площадку, зависит от направления нормали площадки. Таким образом, простое представление о давлении, действующем равным образом во всех направлениях, уже несправедливо даже, как правило, для случая обычной движущейся жидкости.
В механике обычных жидкостей оказалось полезным ввести скалярную величину, аналогичную статическому давлению в жидкости в том смысле, что она является мерой локальной силы сжатия жидкости. Величина нормального напряжения на поверхности маленькой сферы с центром в фиксированной точке равна n-T-n = T:nn, где п — единичная внешняя нормаль к поверхности. Если сфера достаточно мала, чтобы тензор Т был почти постоянен, можно выписать выражение для среднего значения нормальной компоненты напряжения
п • Т • п йй = Т : ( 4” nn d^4л JJ 4л ’
в котором Q обозначает телесный угол. Выразив пп в виде линейной комбинации базисных диад и проведя почленно интегрирование в сферической системе координат, найдем значение V3I интеграла в правой части. (Выкладки опускаются, их предлагаем провести читателю в качестве упражнения.) Результат выражается через след тензора Т, trT: среднее значение нормальной компоненты напряжения равно V3T : I = 7з tr Т.
Проведенный вывод показывает, что след тензора инвариантен по отношению к повороту системы координат, так как оси
системы координат были направлены произвольно. В обычной гидродинамике давление р в точке движущейся жидкости определяется как среднее значение нормальной компоненты напряжения с обратным знаком: р = —VstrT. Для покоящейся жидкости это определение дает обычное гидростатическое давление. Для магнитной жидкости, которая является полярной жидкостью, одна треть следа тензора магнитных напряжений (4.27) равна
ytrn = -p(p, Г)-^о[^-]д /Я-4иоЯ2 + уВ-Н = о’
н
= - р (р, Т) - $ Но[-^-]я т dH + 1 рон2 (2И/Ио - 3).о’
Согласно проведенному выше анализу, это выражение представляет собой среднее значение нормальной компоненты напряжений, осредненной по поверхности маленькой сферы с центром в фиксированной точке магнитной жидкости. В отсутствие поля это выражение, как и должно быть, сводится к гидростатическому давлению. Однако для случая немагнитной жидкости в магнитном поле это выражение дает —р(р, Г)—УбЦо#2, которое отличается от гидростатического давления на одну треть следа тензора максвелловских напряжений в вакууме. Очевидно, что такая поправка в общем случае должна измениться. Предлагаемые формулировки для величины силы сжатия жидкости, возможно, удастся проверить в экспериментах с кавитацией и фазовыми переходами.
Термодинамическое давление р(р, Г), которое появилось при выводе естественным образом, является давлением, которое было бы в жидкости, если ее размагнитить при неизменной плотности и температуре. Термодинамическое давление можно выделить из выражения для Т™, чтобы подчеркнуть магнитное происхождение оставшейся части. В итоге определяется новый тензор Тт так, что Тт = Тт + р(р, Т) I:
Z Нх
тт= - И Но^^ dH +1 ц0Н2 h + ВН. (4.29) 1о’J
3. ПЛОТНОСТЬ МАГНИТНОЙ ОБЪЕМНОЙ СИЛЫ
Согласно формуле (1.57), магнитная сила, рассчитанная на единицу объема, соответствующая тензору магнитных напряжений Тт, равна
fm = V.T„(4.39)
Запишем Тт короче: Тт = — а! + ВЫ, где
о’
Дивергенция Тт имеет вид
V Tm = - Уя + Н (V • В) + В VH.
Из уравнения Максвелла V-B = 0 видно, что среднее слагаемое равно тождественно нулю. Кроме того, так как векторы поля предполагаются коллинеарными, то В • уН = (В//7)Н • VFL С помощью тождества
H.VH = V2V(H H)-HX(VXH)
и закона Ампера в отсутствие токов V X Н =0 слагаемое В • VH можно выразить через модули векторов поля:
(4.31)(4.31)В • VH = (В///) 72УЯ2 = ВРЯ.
(4.31)
(4.31)
Аналогичным преобразованием, в котором В заменено на М> а Н на Но, плотность силы р0М • VH0 (1.10) можно привести к виду p,0MvH0. В рассматриваемом случае плотность силы записывается в виде
Г нп
fm = V • Tm = - V М (^)я г dH + у Port2 + BVH, (4.32)L о *J
или с использованием равенства В = р0(^ + ^)
fm = — Vfm = — V+ t0MVH.+ t0MVH.(4.33)(4.33)
fm = — V
fm = — V
+ t0MVH.
+ t0MVH.
(4.33)
(4.33)
Слагаемое p.0MVH похоже на плотность силы Кельвина p,0MVH0> действующей на отдельное тело; но здесь вместо приложенного поля Но появляется локальное поле Н. Уравнение (4.33) выражает плотность силы по Каули и Розенцвейгу (Cowley, Rosen- sweig, 1967).
При помощи контрольного объема, содержащего магнитное тело, и третьего закона Ньютона можно показать, что интегрирование плотности силы (4.33) в предельном случае мягкого магнитного материала дает результирующую силу, выражаемую формулой (1.10).
В уравнении (4.33) произведение Afu выражает магнитный момент единицы массы смеси. Его же можно записать в виде Ми = пит, где п— числовая концентрация магнитных коллоидных частиц, и т— средний магнитный момент твердой частицы.
Произведение пи есть число частиц в единице массы смеси и остается постоянным при изменении объема. Кроме того, в разбавленной суспензии пг зависит только от внешнего поля Но, если сжатие смеси не влияет на намагниченность твердых частиц. В типичной магнитной жидкости на углеводороде жидкость-носитель в сотни раз более сжимаемая, чем магнетит, поэтому магнитострикцией твердых частиц можно пренебречь. Следовательно, для разбавленного коллоида Ми не зависит от и и интеграл в (4.33) обращается в нуль. То, что остается, является плотностью силы Кельвина с учетом Н = Но. Если жидкость не разбавленная, то добавочное слагаемое в (4.33), очевидно, учитывает наличие дипольных взаимодействий.
В группировке магнитных слагаемых в (4.27), (4.32) и (4.33) имеется определенный произвол, и это привело к некоторой путанице в литературе. Ниже будет выведен ряд формул, которые время от времени появляются в литературе по магнетизму.
Некоторые общие формулы
В дальнейшем неоднократно будет использоваться тождество нн
V^MdH = М^Н + $ VMdH,(4.34)
оо
которое является элементарным обобщением формулы Лейбница для дифференцирования интеграла. В тождестве (4.34) ^М берется при фиксированном Н, поэтому (4.34) имеет смысл использовать в случае, когда жидкость может намагничиваться неоднородно. Например, представим интеграл в соотношении {4.33) следующим образом:
Г нн -
fm = -Vfm = -VНо^(^-)„ TdH + lh\MdH + Ио^Я =
fm = -V
fm = -V
- о’о J
(4.35)(4.35)
(4.35)
(4.35)
при переходе ко второй строке последнего соотношения использовано тождество (4.34).
Часто встречаются некоторые величины типа давления, поэтому дадим им обозначения:
Магнитострикционное давление
н
ps^^\v>[^)H rdH,(4.36а)
О*
Магнитожидкостное давление
н
pm = go $ М dH = PqMH.(4.36b)
О
Здесь введена средняя по полю намагниченность
н
М ==^MdH.(4.37)
О
Уравнение (4.35) для плотности силы записано так, что не содержит В или В. Таким же образом, используя связь В = цН, можно записать уравнение (4.29) для тензора напряжений жидкости, не содержащего давление
Г н
Tm=-M(T\L /^ 1 + (иНН-1ц0Я21). (4.38)
С помощью определений (4.36а) и (4.36b) величину Тт можно представить в виде
Тт = -(р$ + рт+'/2ИоЯ2)1 + иНН.(4.39)
Приведем и другую, эквивалентную форму уравнения (4.38):
н
Т«.-1$[|*-р(-^-),, г]я^ + инн, (4.40} О’
в которой ц = ц(Я, Г, р). Провести преобразование (4.38) к этому выражению предоставляется читателю в качестве упражнения.
Некоторые частные формулы
Предыдущие соотношения являются точными для сред с нелинейной намагничиваемостью в равновесии. При отсутствии намагниченности выражения для тензора Тт должны переходить в выражение для тензора максвелловских напряжений в пустоте, а выражения для силы fm должны обращаться в нуль.
Действительно, положив Л4 = 0 в уравнении (4.35), получим fm = 0. Кроме того, положив М = 0 в соотношении (4.38), найдем, что множитель в скобках перед I обращается в нуль, и так как ц переходит в цо, соотношение (4.38) сводится к ранее полученному выражению для тензора максвелловских напряжений в вакууме (3.15). Такие переходы должны иметь место для всех выражений тензора Тт.
Для сред неизотермических, но с практически постоянной плотностью намагниченность зависит только от поля Н и температуры Г, так что М = М^Н, Т) и уравнение (4.34) в этом «случае принимает вид
нн
V^MdH = MVH -v^-^j-VTdH.(4.41)
Оо
Имеются два важных случая, когда V ^ М dH = MVH:
Течение жидкости изотермично, VT = 0.
Область изменения температуры жидкости находится далеко от температуры Кюри, так что в большинстве практических случаев можно считать дМ/дТ = 0. (Кривая зависимости М от Т близка к графику постоянной на интервале от Т = О К до некоторой окрестности Тс и затем резко падает до нуля.)
Следовательно, в большинстве практических случаев последним слагаемым в правой части уравнения (4.41) можно пренебречь. Тогда, как видно из соотношений (4.35) и (4.36а), в выражении для силы остается только член с магнитострикцией:
tm = ”Vps.(4.42)
Стрикционные эффекты не оказывают влияния на поле скоростей несжимаемой жидкости, если в ней нет физико-химических фазовых превращений. Поэтому магнитострикционный член можно не учитывать при анализе без ущерба для результатов. Это будет продемонстрировано в гл. 5 при использовании уравнения Бернулли в феррогидродинамике. В задачах, где сжимаемость существенна, например при изучении распространения акустических волн или фазовых превращений при кавитации, магнитострикционными слагаемыми нельзя пренебрегать без предварительного анализа.
Теперь покажем, что общее выражение для плотности силы (4.35) для линейно намагничивающихся сред переходит в выражение Кортевега и Гельмгольца. Сначала преобразуем первое слагаемое в правой части первого равенства (4.35), учитывая, что в линейно намагничивающемся материале р по определению зависит только от р и не зависит от Н:
нн
р0 $ М dH = $ (р - р0) Н dH = (р - ро) №/2.(4.43)
оо
Здесь также была учтена связь В = р0(Я + М) = рЯ. Теперь преобразуем стрикционное слагаемое, используя замену пере-
менной р = 1/и:
PoUf-^) ^^-Hotpf-^-) dH = -U$-\ HdH=
UJ x dv> J н, т1 \д9)н,тУ\де)т
О00
Наконец, рассмотрим последнее слагаемое уравнения (4.35):
^М^Н = Ио (и/ио - 1) HVH = (ц - ро) V (Я2/2).(4.45)
Подставив результаты (4.43) — (4.45) в уравнение (4.35), получим
- v [4ip(^-) J - V [(р - №) ^] + (ц - Ц1) V ^) . (4.46)
Выполнив дифференцирование и приведя подобные члены, получим выражение для плотности силы по Кортевегу и Гельмгольцу:
(4.47)
Для жидкостей с постоянной проницаемостью ц эта плотность силы в объеме жидкости отсутствует. Однако на поверхности раздела из-за скачкообразного изменения ц появляется плотность поверхностной силы.
Вид тензора напряжений Кортевега— Гельмгольца, соответствующего уравнению для силы (4.47), можно найти следующим образом. Подставив результаты (4.43) и (4.44) в уравнение (4.29) и учитывая связь В = pH, получим
Tm = -[-^p(-^-)r + (P -Ио)^ + у^2]1 + нНН. (4.48)
Приведя подобные члены, найдем выражение для тензора напряжений для сжимаемых линейно намагничивающихся сред:
Тт = - [^ № - ^ р (» JI + ИНН. (4.49)
При рассмотрении течений несжимаемых жидкостей первое слагаемое в правой части уравнения (4.49) можно объединить с термодинамическим давлением или совсем опустить. Полученный при этом тензор напряжений можно назвать неполным.
В вакууме ц = ц0 и р = 0, поэтому при предположении о конечности величины (дц/др)г тензор напряжений (4.49) сводится к тензору максвелловских напряжений
Т„ = - (ц0/2) №1 + НоНН.(4.50)
Приведем еще одно выражение для плотности силы, которое удобно использовать при рассмотрении несжимаемых нелинейно намагничивающихся сред; таким образом, еще раз иллюстрируется разнообразие выражений для силы, встречающихся в литературе. К правой части уравнения (4.33) прибавим и вычтем слагаемое pi0HVH = V (но^Я Н dH^ и, пренебрегая стрикцией,. получим
7и.,н.
fm = - роJ Н dH U poJ MdH ) + MlVtf+ ^HVH, (4.51) \о/\о/
или
HH
tm = -V^BdH + BVH = -^VB dH,(4.52)
о0
где VB берется при постоянном H. Второе равенство (4.52) определяет искомое выражение для силы, отличающееся своей компактностью.
Упражнение. Выведите выражение для тензора напряжений^ соответствующее силе (4.52).
Решение. Из соотношения (4.31) видно, что ВУН = В VH. Кроме того,
В VH = V (ВН) - Н (V В) = V (ВН) = V . (НВ);
при переходе ко второму равенству здесь использовалось хорошо известное векторное тождество, а при переходе к третьему равенству — уравнение V-B = 0; последнее равенство следует из симметрии диады ВН. Следовательно, выражение (4.52) может быть записано в виде
I ^ + V (НВ).I ^ + V (НВ).(4.53)(4.53)
I ^ + V (НВ).
I ^ + V (НВ).
(4.53)
(4.53)
Так как tm = V-Tm и в уравнении (4.53) все члены также содержатся под знаком дивергенции, то можно немедленно выписать выражение для тензора напряжений Чу (СЬи, 1959), пригодное для несжимаемых нелинейно намагничивающихся сред:
(4.54)(4.54)
(4.54)
(4.54)
Так как здесь упругие слагаемые опущены, то этот тензор также следует называть неполным.
Другой эквивалентный формализм разработан в работе (Ze- lazo, Melcher, 1969), где магнитная сила выражается через ко- энергию (coenergy) W\ которая определяется формулой
нН2
W'= $ BdH = 1 Ц (u„ .... ап, Н^ dH\ (4.55) Оо
Здесь а — интенсивные характеристики жидкости, такие, как температура и показатели состава. Представленный формализм обобщает рассмотрение магнитных сред на случай учета пространственного изменения характеристик жидкости внутри ее объема. Однако характеристики жидкости предполагаются переносящимися вместе с материальными частицами жидкости.
В табл. 4.1 представлена сводка частных формул для тензора напряжений и плотности объемной силы. Как и в случае со стрикцией, слагаемые плотности магнитной силы, которые имеют форму градиента давления, не оказывают влияния на гидростатику или гидродинамику несжимаемых магнитных жидкостей. Такие слагаемые часто опускаются при анализе задачи и это является полностью законным.
В последних двух столбцах табл. 4.1 приведены формулы для нормальной компоненты tnn вектора поверхностного напряжения и для величины его скачка при переходе через поверхность раздела, взятую с обратным знаком. Компонента tnn определяется как ^л = п-Тт-п, а скачок поверхностного натяжения обозначается через —\tnn\, где квадратные скобки указывают, что берется разность заключенной в них величины с разных сторон поверхности раздела фаз. Если только одна из фаз способна намагничиваться, то скобки можно опустить; то, что остается, является плотностью поверхностной силы с положительным знаком и, следовательно, направленной от магнитной фазы к немагнитной.
Упражнение. Докажите, что тангенциальная компонента поверхностного натяжения непрерывна при переходе через поверхность раздела для любого тензора напряжений из табл. 4.1.
Решение. Любой тензор напряжений, содержащийся в таблице, может быть представлен в виде
Tm = Yi + HB,где у— скалярная функция. Соответствующий вектор напряже-ния имеет вид
t„ = n . Tm = уп + Н„В.
Вектор напряжения можно разложить на компоненты вдоль вектора нормали п и вдоль вектора t, тангенциального к поверх-
Формулировка
Тензор напряжений Тт
Плотность объемной силы fm
Для сжимаемой не-
Г н
( НX
линейно намагни-
1[ (ОМХ)\
— Цо \ 1 —5— 1^^ +
-V S Цо \ 1 -т— I dH>+
чивающейся среды
1 J к ди ) н, т
Г 3 \ д-и Vh.t I
(Cowley, Rosens-
L 0
о'
weig, 1967; Penfield, Haus, 1967)
+ -у-Я2р + НВ
+ ц0МТ//
Неполная, для не-
/ н
( Н)
линейно намагничивающейся среды
- 1 ц0 м dH +
'0
+ -у-№) • + НВ
-vKo MdH> +
1 о
+ ЦоМТЯ = н
= -Ц0 $ ^HMdH
0
Неполная, для нели-
/ Нх
н
нейно намагничивающейся среды
-1 ( В dH II + НВ
-V^ BdH-VB^H =
(Chu, 1959)
0
н
= - 5 ^HBdIi
0
Неполная, для нелинейно намагничивающейся среды (Zelazo, Melcher, 1969)
- IT'I + цНН
Длясжимаемой
JLh1-^ р-^)1+
_ H2 dp H2 _ V —^- о— Vu =
линейно намагни
к 22 г др 7
2 p dp2 VR
чивающейся среды [Кортевег
и Гельмгольц (см. Melcher, 1963)
+ рнн
Неполная, для ли
1
H2
нейно намагничивающейся среды
- у р№1 + рНН
" Vp
Тензор максвелловских напряжений в вакууме
— у РоЯ21 + роНН
0
Нормальная к поверхности компонента напряжения tnn
Скачок напряжения на поверхности - Vnn]
Н
н
ИО №) dH + ^-M2n
° j \ dv> Jh т2 п
0
о’
н
н
-Но J MdH + -^-(H2n-H2t) +
Но J MdH^^-M?n
0
0
+ ^MJin
н
- ^ В dH + НпВп
0
Н /„2„2\//2 ^Н
1ИоЛ1Я-^Я2р-|Н-+уНо^
1ИоМЯ + 1цХ
ности раздела. Тангенциальная компонента tn определяется выражением
t„ • t = yn • t + H^ • t = 0 + HnBt = HnBt = Hn[iHt = HtBn.
Так как компонента Bn непрерывна, то \HtBn\ = Вп\НД, и так как [//J = 0, то очевидно, что [//^S^J^O; т. е. тангенциальная компонента поверхностного напряжения одинакова по обе стороны поверхности раздела.
Мы показали, что для любого тензора напряжений тангенциальная компонента вектора поверхностного напряжения равна величине n-Tmt = HtBn, где t — единичный тангенциальный вектор, которая непрерывна при переходе через поверхность. Поэтому магнитное поверхностное напряжение направлено по нормали к поверхности магнитной жидкости.
Замечания о стрикции в сжимаемых средах
В научной литературе нет общего согласия о правильности формулы для плотности силы Кортевега— Гельмгольца (4.47). Недавно в литературе по магнитным жидкостям появилось противоречащее выражение, принадлежащее И. Г. Шапошникову и М. И. Шлиомису (1975). Это выражение, которое сейчас существует совместно с несогласующимися выражениями, является выражением типа Кельвина — Гельмгольца po(M-V)H, которое для изотропных сред с проницаемостью ц = ц(/7) приводится к виду
\л^Н = V (^НМ)/2 - 14^,2.
Однако сейчас уже ясно, что выражение Кортевега — Гельмгольца отличается в лучшую сторону: оно правильно, непосредственным образом предсказывает экспериментальные результаты 1). В эксперименте Хакима и Хайема (Hakim, Higham, 1962), которые исследовали аналогичное выражение для силы в диэлектрической жидкости, плоскопараллельный конденсатор полностью погружался в жидкость. В правой части уравнения, аналогичного уравнению (4.47), второе слагаемое было прене-
!> Утверждение о противоречии обсуждаемых формул для силы является недоразумением. Формула для силы типа Кельвина—Гельмгольца ц0 (M-V)H следует из формулы Кортевега — Гельмгольца (4.47) в случае линейной зависимости намагниченности от плотности смеси. В случае, когда это предположение не выполняется, нужно пользоваться формулой (4.47).
В работе И. Г. Шапошникова и М. И. Шлиомиса (1975) получено выражение для тензора напряжений, содержащее вместо стрикционного слагаемого рдМ(др слагаемое птдМ1дпт, где пт — число магнитных частиц в единице объема. При этом делается неверное утверждение, что это слагаемое отличается от стрикционного слагаемого. В работе В. В. Гогосова, Н. Л. Васильевой, Н. Г. Тактарова и Г. А. Шапошниковой (1975) получено
брежимо мало и только стрикционное слагаемое давало существенный вклад в силу, заставляющую жидкость втягиваться в область поля между плоскими пластинами, увеличивая тем самым ее плотность. Плотность жидкости измерялась оптическим методом, а стрикционное слагаемое вычислялось по уравнению Клазиуса — Массоти из классической теории электромагнетизма, связывающего диэлектрическую проницаемость с плотностью. Установлено хорошее согласие между экспериментальными данными Хакима и Хайема и теоретическими результатами теории Кортевега— Гельмгольца. Анализ этого эксперимента проведен в разд. 5.6. Дополнительное свидетельство в пользу уравнения (4.47) можно найти в недавнем обсуждении, проведенном в работе Бревика (Brevik, 1982).
УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ДЛЯ МАГНИТНОЙ
жидкости
Формулировка уравнения импульсов для магнитной жидкости является важным моментом при изучении феррогидродинамики. Уравнение импульсов было впервые предложено в работе (Neuringer, Rosensweig, 1964). Это уравнение является отправным пунктом при анализе большинства задач, в которых важную роль наряду с магнитными силами играет вязкое трение или инерция. Рассмотрим динамическое равновесие «бесконечно малого» элемента магнитной жидкости. Элемент жидкости предполагается достаточно большим, чтобы содержать большое
аналогичное выражение для тензора напряжений в многокомпонентной среде и показана справедливость равенств
( дМ\ V / дМ\V (дМ\
р^р ^-2pddpJPfc
Здесь pf, ct = pz/p, п. — плотность, массовая концентрация и число частиц в единице объема f-ой компоненты смеси, р = ^ р* — плотность смеси.
i
В работе И. Г. Шапошникова и М. И. Шлиомиса (1975) считается, что магнитная жидкость состоит из двух компонент: магнитных частиц с концентрацией Пщ и молекул немагнитного растворителя с концентрацией пп. Намагниченность магнитной жидкости М зависит только от числа магнитных частиц Пт» следовательно,
/ дМ \дМ
Р ( др Хтдпт •
Таким образом, выражение для силы, соответствующее тензору напряжений, полученному в работе Г. А. Шапошникова и М. И. Шлиомиса (1975), при М — ПтдМ1дпт Ф 0 совпадает с известным выражением Кортевега — Гельмгольца (4.47). В случае линейной зависимостей намагниченности М от числа магнитных частиц из перечисленных выше формул следует выражение для СИЛЫ Цо (MV)HКельвина — Гельмгольца. — Прим. ред.
число коллоидных магнитных частиц, но достаточно малым по сравнению с характерными расстояниями области течения Ч Скорость изменения импульса постоянной массы, содержащейся в деформируемом элементе объема dxdydz, представляется в виде
-^ (pv dx dydz) = pdxdydz-^ + v
Так как масса ^dxdydz постоянна, то последний член исчезает и второй закон Ньютона для единицы объема можно записать в следующем виде:
Р^5Г = ЪН-$У + ^ + ^*(4.56)
Здесь D/Dt — материальная производная, fp — сила давления; fy — вязкая сила; fg — сила тяжести; fm — магнитная сила. В гл. 1 материальная производная определялась как производная в системе отсчета, движущейся вместе с жидкостью. Более точно, для материальной (или индивидуальной) производной, т. е. скорости изменения, связанной со скоростью переноса массы v, принимается следующее определение:
T-4+vV-(4.57)
Производная, связываемая со скоростью переноса q, определяется как
+(4.58)
Оба определения совпадают, когда v = q. Различие между определениями (4.57) и (4.58) имеет значение при исследовании антисимметричных напряжений и при изучении многофазных течений, которым посвящены гл. 8 и 9. В левой части уравнения (4.56) для материальной производной применяется определение (4.57).
Правая часть уравнения (4.56) является суммой объемных сил, т. е. сил, отнесенных к единице объема. Слагаемыми, известными из гидромеханики, являются градиент давления (термодинамического)
f„ = -Vp(p, Г),(4.59)
вязкая сила
fD = VTv(4.6))
и сила тяжести
f, = pg,(4.61)
о С другой стороны, уравнение импульсов может рассматриваться как точное для математически ожидаемого значения ансамбля систем.
где Ту— тензор вязких напряжений и g— местное ускорение силы тяжести. Вязкие напряжения связаны со скоростью определяющим соотношением Ньютона*.
Ту = т] [Vv + (Vvf] + X (V • v) I.(4.62)
Плотность вязких сил, соответствующая уравнению (4.62), имеет вид
fy = V • Ту = T]V2v + (т] + Л) v (V • v).(4.63)
В уравнении (4.62) коэффициенты т] и X называются коэффициентами вязкости; т| часто называют обычным, или первым, коэффициентом вязкости, а X— вторым коэффициентом вязкости. Второй коэффициент вязкости существен при описании поглощения энергии в продольных колебаниях звука и при анализе распространения ультразвука (Karim, Rosenhead, 1952). Отношение Х/т] приблизительно равно 2,4 для воды на частоте 5 МГц и более 100 для бензола на частоте 2 МГц. Для большинства течений как обычные, так и магнитные жидкости можно с очень хорошей точностью считать практически несжимаемыми, V v = 0, поэтому коэффициент X не входит в уравнения, описывающие эти течения.
Уравнение (4.63) можно вывести следующим образом:
д/доь \д2иьд2
• Vv = е,— • ( е/е*—-М = екЬи6 = —у (vkek) = V2v;
дх. \дх.)дх.дх.дх{
1(4.64)
d / du.\д2иь д2и.
• Vv)r = е.-— йке.^-1 = еЛ,к -5—^- = л ‘ е, =
v ’1 dxt \ ” 1 дх^)1 дх. дх^ dxt дх^ 1
д / до.\
-‘/lyGy)-^-*)<465»
Кроме того, из свойства единичного диадика следует
V • [(V • v) I] = V (V • v).(4.66)
Подставив эти выражения в первое равенство (4.63) и учитывая соотношение (4.62), получим искомое второе равенство (4.63). Из соотношения (4.62) следует, что для несжимаемой жидкости (так как Vv = 0)
Tv = Т) [Vv + (Vv)r],(4.67)
а из соотношения (4.63) следует, что плотность вязких сил для несжимаемой жидкости имеет вид
f0 = nV2v.(4.68)
Подставляя в уравнение движения (4.56) это выражение для fy, выражение (4.59) для fp и (4.61) для fg, получим уравнение движения в виде
Р -57 = — V? + pg + An + nW(4.69)
Подставив также выражение (4.32) для силы fm, получим следующий развернутый вид уравнения движения магнитной жидкости:
[
н
Ро$ (^)я TdH +HoMV//.
(4.70)
Некоторые другие формы уравнения движения
Полезно записать уравнение (4.70) разными эквивалентными способами. Введем суммарное давление р* следующим образом:
р- = р(р, л+но$(^)я TdH = о'
нн
= р(р, Т) + Ho ^ (и^)н ?dM + р.Д МdH = р(р, T) + ps-Vpm, о’о
(4.71)
где ps и рт определены соотношениями (4.36а) и (4.36b) соответственно. С учетом определения для р* уравнение движения (4.70) принимает вид
Р ^7 = - Vp* + НоМVH + 1]V2V + Pg,(4.72)
ИЛИ
Р^Г = - V (р + Ps + рт) + MfVtf + T]V2v 4- pg. (4.73)
Для изотермического течения уравнение (4.73) можно упростить. Согласно соотношениям (4.36b) и (4.41), если VT равен нулю, то член — ^рт приводится к члену — p,0MVH> который взаимно уничтожается со слагаемыми p,0MVH в правой части уравнения (4.73); в результате получим
P^7 = — ^(Р + Ps + P£z) + n^v-(4.74)
Любое сформулированное выше уравнение движения приводит к одному и тому же расчетному течению, если используется согласованно с соответствующими условиями для по-
верхностных напряжений. В отсутствие намагниченности любое уравнение (4.70) или (4.72) — (4.74) сводится к хорошо известному уравнению гидромеханики Навье — Стокса.
ЗАМЕЧАНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Вывод выражения для тензора магнитных напряжений для нелинейно намагничивающихся сред основан на законе сохранения энергии. Этот вывод сделан в работе Каули и Розенцвейга (Cowley, Rosensweig, 1967), а также при помощи релятивистского метода виртуальных вариаций Пенфилдом и Хаузом (Penfield, Haus, 1967, (С-6), табл. С.2).
К сожалению, в большинстве руководств по электромагнетизму или отсутствует обсуждение вопроса о напряжениях в средах в электрических или магнитных полях, или только едва затрагивается суть дела. Ценным исключением здесь является классическая работа Ландау и Лифшица (1957), § 15—17, 34, 38, 56; в ней выведено выражение для тензора напряжений как в жидкости, так и в твердом теле в присутствии электрического поля, а затем рассматриваются частные случаи для сред с линейными свойствами. Мало стандартных учебников по электромагнетизму содержат столь добротный материал по этому вопросу. Укажем три книги в порядке нарастающей сложности: (Abraham, Becker, 1937, гл. 5); (Panofsky, Phillips, 1962, гл. 6); (Stratton, 1941, гл. 2). Более современным руководством, в котором рассматриваются и сравниваются плотности электрических и магнитных сил в рамках электромеханики континуумов, является книга Мелчера (Melcher, 1981, гл. 3).
Вклад магнитострикции в плотность силы обусловлен изменением намагниченности при сжатии или расширении магнитной жидкости. Это должно, в частности, повлиять на распространение звука в магнитной жидкости. Затухание ультразвука в магнитной жидкости исследовали Готох, Исл ер и Чанг (Gotoh, Isler, Chung, 1980) и Тарапов, Пацегон (1980) °.
и В работе В. В. Гогосова, С. И. Мартынова, С. Н. Цурикова, Г. А. Шапошниковой (1987) (см. дополнительную литературу) показано, что влияние стрикционного слагаемого на скорость распространения и декремент затухания ультразвука несущественно. Определяющим является дисперсный характер магнитной жидкости: трение диспергированных магнитных частиц и образованных из них агрегатов о несущую жидкость. — Прим. ред.
Уравнение Бернуллив феррогидродинамике
Одним из наиболее полезных уравнений обычной механики жидкостей является уравнение швейцарского математика Даниэля Бернулли, впервые приведенное им в его «Гидродинамике» в 1738 г. Это уравнение связывает давление, скорость и высоту подъема жидкости в поле сил тяжести. С его помощью можно вычислить изменение давления с глубиной в резервуаре, подъемную силу крыла самолета или силу давления ветра на парус.
Анализ многих задач феррогидродинамики также выглядит прозрачно и просто, если использовать обобщенное уравнение Бернулли, которое будет выведено в этой главе. Его применение особенно эффективно для задач равновесия и установившегося течения жидкостей, в которых вязкое трение отсутствует или пренебрежимо мало. Уравнение Бернулли в ФГД часто позволяет оценить порядок искомых величин, когда точное решение потребовало бы чрезмерных затрат труда и времени.
Обобщенное уравнение Бернулли было выведено в разд. 1.6, но в неполной форме. Вернемся снова к его выводу, имея теперь более глубокое представление об объемных и поверхностных магнитных напряжениях. В разд. 5.1—5.3 выводится это важное уравнение; далее подробно рассматривается его применение для анализа ряда задач.
ВЫВОД
Уравнение Бернулли в феррогидродинамике найдем как общий интеграл уравнения движения, записанного в виде (4.72):
р(4? + v ‘ Vv) = — Vp* + р.0МЧН + T]V2v + pg. (5.1>
Это уравнение обобщает уравнение Навье — Стокса обычной гидромеханики: в правую часть уравнения добавлена магнитная объемная сила ^MVH, а обычное давление р заменено на суммарное давление р*.
Хорошо известно векторное тождество V2v = V (V • v) — — V X (V X v), где V X v = й называется вектором вихря. Для несжимаемой жидкости V2v = — V X ^- Если жидкость невязкая (т) = 0) или движение безвихревое (Й = 0), то вязкое слага-
емое в уравнении движения тождественно равно нулю и, следовательно,
р {dvldt) + pv • Vv = — ^р* + p-oMVH + pg. (5.2)
При помощи другого векторного тождества v • Vv = V (v2/2) —- -vX(^Xv) и соотношения (4.41) уравнение (5.2) можно записать в виде /н
P^-pvXQ= — v(p* + p-^ + pgh—p.0^MdH \о
н
(5‘3)
При переходе от уравнения (5.2) к уравнению (5.3) предполагалось, что g = |g| постоянно, a h — высота относительно некоторого уровня отсчета в направлении, противоположном направлению силы тяжести. Для безвихревого течения 0 = 0 существует потенциал скорости ф, такой, что у= —Уф. Тогда, если УГ = 0 или (дМ1дТ)н^ у = 0 [см. обсуждение, следующее за уравнением (4.41)], уравнение (5.3) можно записать в виде
V (— р 5ф/Л + р* + У pi>2 + pgh — pQMH^ = 0.
Здесь М — средняя по полю намагниченность, введенная формулой (4.37): н
M=4r\MdH.(5.4)
П J' '
0
Проинтегрировав уравнение, предшествующее уравнению (5.4), найдем, что величина в скобках может быть равной только функции времени ^ty_
- р d^jdt + р + V2pv2 + pgh - ^0МН = f (/).(5.5)
Уравнение (5.5) — зависящее от времени уравнение Бернулли в феррогидродинамике Ч Следует помнить, что оно было выведено при следующих предположениях:
Жидкость ньютоновская, несжимаемая;
VXH = 0;
Среда намагничивается нелинейно, без гистерезиса;
Векторы поля и намагниченностип параллельны: М||Н;
Течение безвихревое, V X v = й = 0;
Сила тяжести постоянна;
Течение изотермично или намагниченность не зависит от температуры.
1} Уравнение в форме (5.5) обычно называется интегралом Коши — Лагранжа. — Прим. ред.
Для установившихся, не зависящих от времени течений дф/д/ = 0 и /(/) = const, и уравнение Бернулли сводится к виду р* + V2PV2 + pgh ~ РоМН = const,(5.6)
или с использованием введенных ранее обозначений — к виду
Р + ps + '/гру2 + pgh = const.(5.7)
Физический смысл этого соотношения будет подробно обсуждаться после вывода граничных условий для рассматриваемых здесь течений. Граничные условия часто оказывают решающее влияние на конфигурацию жидкости, поэтому сделаем для их вывода специальное отступление.
ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Чтобы использовать интеграл Бернулли для описания течения, нужно иметь граничные условия для потока импульса и п
Рис. 5.1. Геометрия элемента поверхности раздела, на который действуют силы поверхностного натяжения, (а) Общий вид; (Ь) дуга ds2, образующаяся при сечении элемента поверхности плоскостью 1.
поверхностного натяжения на границе раздела двух несмеши- вающихся жидкостей, каждая из которых невязкая и намагничивающаяся. Поверхностную силу, возникающую из-за поверхностного натяжения, можно вычислить при помощи рис. 5.1, на котором изображен прямоугольный элемент поверхности раздела, ограниченный линиями кривизны в двух плоскостях под прямым углом друг к другу. Поверхностное натяжение действует тангенциально к поверхности раздела вдоль границ элемента, создавая малые силы величиной df\ = odsx и d^ = ods2> где о — коэффициент поверхностного натяжения. Проекции этих сил на направление нормали п имеют значения
^Л, rt = — sin (^62/2) dfx и df2> п = — sin (dO^) df2.
Так как углы малы, то их синусы хорошо аппроксимируются самими углами, поэтому dfVi п = — d^d^l^ и df2)n = — dQ^df^. Вводя радиусы кривизны поверхности, получим соотношения d^2 = ds3[R2 и d9v = ds{/R{. Полная поверхностная сила равняется сумме всех рассматриваемых сил по всем четырем сторонам элемента, отнесенной к площади элемента dA = dsvds2) и имеет величину
Используя обозначение 36 для средней кривизны поверхности:
36^Ч2ШхА-Х^2\ (5.8) представим плотность поверхностной силы в виде
рс = 236а. (5.9)
Здесь рс — капиллярное давление, вырабатываемое на поверхности раздела с кривизной и определяемое поверхностным натяжением. Для сферы /?1 = /?2 = /? и 36=\[R\ для цилиндра RV = R, R2->oo и 36 = 1/(27?). Используя результат (5.9), можно выписать общее уравнение для переноса импульса через поверхность раздела невязких изотермических систем постоянного состава:
П • (П, 2 - П, 0 - п2Жт = 0, (5.10) где Т^, 2 и Т^, 1 — значения тензоров напряжений, включающих давление, в средах непосредственно около поверхности раздела. На плоской поверхности, даже если коэффициент о не равен нулю, сила поверхностного натяжения 236а равна нулю, так как радиусы кривизны 7?i и R2 бесконечны; поэтому напряжение должно быть непрерывным при переходе через плоскую поверхность раздела. Следовательно,
п-(П.2^П,1) = п.[П] = 0, (5.11) где квадратные скобки обозначают скачок заключенной в них величины при переходе через поверхность.
Выведем теперь из условия (5.10) граничное условие в ФГД более конкретного вида. Рассмотрим поверхность раздела между жидкостью 1, которая предполагается магнитной (М > 0), и немагнитной жидкостью 2; обе жидкости невязкие. Наиболее общее выражение для тензора напряжений дают соотношения (4.27) и (4.71), а именно
П = - (р* + 72ИоЯ2) I + ВН. (5.12) Записывая это выражение для жидкостей 1 и 2 соответственно, получим
Тт.^-^+'А^Ц + В^ь (5.13а)
K.2 = -(po+'/2^)l ЬВ2Н2, (5.13Ь)
где ро = Р2 — обычное давление со стороны немагнитной жидкости. Подставляя найденные выражения в условие (5.10), получим
[^ - ро) + 7г Ио (Я? - НЭД n + вп (Н2 - Hi) - п2^а = 0. (5.14)
Магнитное слагаемое вне скобок в соотношении (5.14) было получено следующим образом:
п • (В2Н2 - B^J = (п • В2) Н2 - (п • BJ Hi = В2пН2 - В1ПНЬ (5.15)
Напомним, что в гл. 3 при помощи закона Гаусса в интегральной форме ф$В-б/8 = 0 [уравнение (3.8)] было показано, что нормальная компонента индукции В непрерывна на поверхности раздела:
п • (В2 — BJ = п • [В] = В2п - В1П = 0.(5.16)
Следовательно, в соотношении (5.15) В2п = ВХп = Вп; таким образом, правильность преобразования установлена. Слагаемые с множителями Н2 — Hi и Н\ — Н2 в соотношении (5.14) также можно упростить. Напомним, что из уравнения (3.9) следует пХ(Н2-Н1) = пХ[Н] = 0,(5.17)
которое означает, что тангенциальная компонента поля Н непрерывна на поверхности раздела ^
H2t-Hu = 0.(5.18)
С учетом соотношения (5.18) имеем равенства
Н\ -НХ = Н\п- Нк(5.19)
Щ-Н^п^-ад.(5.20)
Учитываяопределяющее уравнение В = ц0(^ +М),соотношения Н2п = Вп[\циН{п = Bnl\iQ — Мп и равенства(5.19)и(5.20),
получим
HL - н^=(нХп+ Н^ (Ны - н^ =
= М^-2ВпМп^0,(5.21а)
Н2п-НХп = Мп.(5.21b)
Подставив полученные величины в соотношения (5.19) и (5.20), а результирующие выражения в соотношения (5.14), найдем искомое граничное условие ФГД при отсутствии вязких сил;
Рп = Ро.2 + Ро(5‘22>
1} Равенства (5.17) и (5.18) справедливы в предположении отсутствия поверхностных токов вдоль границы раздела фаз. — Прим. ред.
где величина рс введена формулой (5.9), а величина
P„ = tV^/2(5.23)
называется магнитным давлением. Известное для обычных жидкостей требование непрерывности давления на плоской поверхности жидкости несправедливо для жидкостей с намагниченностью. Как показано на рис. 5.2, магнитные напряжения на
Рис. 5.2. Баланс сил согласно граничному условию ФГД, уравнению (5.22), в котором среда 1 намагничивающаяся и среда 2 немагнитная.
поверхности раздела вырабатывают магнитное давление р0Л12/2. Полученное граничное условие можно выразить через определение р* (4.71):
Р\ + Ps + Pm + Рп = Ро + Рс- (5.24)
Соотношения феррогидродинамики, описывающие установившееся течение невязких несжимаемых магнитных жидкостей, собраны в табл. 5.1. Заметим, что в эквивалентной форме уравнения Бернулли не содержится магнитожидкостное давление рт; однако pm явно появляется в граничном условии.
Теперь видно, что элементарный вывод обобщенного уравнения Бернулли в разд. 1.6 нестрог; в формулировке граничных условий не учитывается магнитное давление, выражаемое слагаемым рп, и капиллярное давление рс. Экспериментальное исследование растяжения капли в магнитном поле показало, что l/d0 (I— длина капли, do— ее первоначальный диаметр) является однозначной функцией безразмерной комбинации S = = p,odoM2/a со значениями l/do от 1 до 5 при 0 < S < 150 (Архипенко, Барков и Баштовой, 1978). Базаран (Basaran, 1984) нашел форму поляризованных капель при помощи численного метода конечных элементов Галеркина.
Таблица 5.1. Сводка уравнений ФГД
Определения «давления»
«Магнитострикционное давление»
«Магнитожидкостное давление»
«Суммарное давление»
«Термодинамическое давление»
Н р5=ц^^нт<ш (436а> 0’
н
Pm = 9^ М dH = р0М//(4.36b)
0
р* = р^ П + ps + pm (4.71) Р = Р (р> Г)
Выражения для плотности поверхностных сил
«Магнитное давление»
«Капиллярное давление»
p„ = V2H0^(5.23)
рс = 2^о(5.9)
Уравнение Бернулли в ФГД
Обычная форма:
Р*+ х,29« + pgh — Pm = const (5.6)
Эквивалентная форма:
Р + Ps + УгрУ2 + pgh = const (5.7)
Граничные условия
Р* + Рп = Ро + Рс(5.22)
Р + Ps + Pm + Рп = Ро + Рс(5.24)
Примечание. Уравнение Бернулли в ФГД применимо к установившемуся течению невязкой несжимаемой магнитной жидкости; р0 — давление в немагнитной жидкости.
КЛАССЫ РАВНОВЕСНЫХ НЕВЯЗКИХ ТЕЧЕНИЙ
Стационарное уравнение Бернулли в ФГД описывает некоторые новые классы течений жидкости в дополнение к известным течениям, как видно из диаграммы на рис. 5.3. Если приложенного поля нет, то р* сводится к р(р, Г), а магнитожидкостное давление тождественно равно нулю. В этом случае при отбрасывании одного слагаемого оставшиеся слагаемые описывают известные классы течений обычной гидродинамики со следующими примерами:
описание формы неподвижного мениска;
управление поведением струи магнитной жидкости приложенным магнитным полем (это взаимодействие представляет один вид печати магнитными чернилами);
описание работы магнитожидкостных уплотнителей, подшипников, держателей и сепарирующих устройств с флотацией.
Как отмечалось, многие задачи феррогидродинамики решаются просто при помощи уравнения Бернулли ФГД. Применение этого уравнения особенно эффективно для установившихся течений, когда эффекты вязкого трения пренебрежимо
Рис. 5.3. Классы течений, описываемые уравнением Бернулли в ФГД. Диаграмма читается следующим образом: класс 3 соответствует течениям, в которых важны только слагаемые с кинетической энергией и силой тяжести, класс 2 — ситуациям, в которых важны только слагаемые с давлением и силой тяжести, и т. д. Магнетизм приводит к новым классам 4, 5 и 6. См. (Rosensweig, 1966b).
малы. Эти условия выполняют точно в подклассе феррогидростатики. Часто уравнение Бернулли в ФГД позволяет определить порядок искомых величин, когда точное решение требует больших затрат труда и времени.
В остальной части этой главы представляется ряд типичных решений задач об основных течениях магнитной жидкости.
ПРИЛОЖЕНИЯ ФГД УРАВНЕНИЯ БЕРНУЛЛИ
Классическая задача Квинке
Эта задача имеет практическое значение для измерения намагниченности магнитных жидкостей (Bates, 1963). На рис. 5.4 изображена идеальная геометрия двух параллельных плоских магнитных полюсных наконечников. Высота и ширина наконечников много больше расстояния между ними; также предполагается, что материал наконечников имеет высокую проницаемость, так что магнитное поле между ними однородно. Наконечники частично погружены в резервуар с магнитной жидкостью с плотностью р. Расстояние между наконечниками достаточно
велико, чтобы капиллярные эффекты не имели значения; поэтому высота подъема жидкости между наконечниками является функцией приложенного магнитного поля Н. Так как плотность воздуха очень мала по сравнению с плотностью магнитной жидкости, внешнее атмосферное давление может считаться постоянным, т. е. равно р0.
Эта задача легко решается применением уравнения Бернулли (5.6) к точке 1 на свободной поверхности жидкости вне поля и
Рис. 5.4. Классический эксперимент Квинке, в котором наблюдается подъем магнитной жидкости между полюсами магнита; эксперимент иллюстрирует класс 4 на рис. 5.3. См. (Jones, 1978).Рис. 5.4. Классический эксперимент Квинке, в котором наблюдается подъем магнитной жидкости между полюсами магнита; эксперимент иллюстрирует класс 4 на рис. 5.3. См. (Jones, 1978).
Рис. 5.4. Классический эксперимент Квинке, в котором наблюдается подъем магнитной жидкости между полюсами магнита; эксперимент иллюстрирует класс 4 на рис. 5.3. См. (Jones, 1978).
Рис. 5.4. Классический эксперимент Квинке, в котором наблюдается подъем магнитной жидкости между полюсами магнита; эксперимент иллюстрирует класс 4 на рис. 5.3. См. (Jones, 1978).
(5.25)(5.25)к точке 2 свободной поверхности в области поля. Согласно уравнению (5.6), имеем
(5.25)
(5.25)
р\ + Р^1 = Р^ т pgh2 — ромн.
Из граничного условия в форме (5.22), в котором как Мп, так и 36 равны нулю, следует р* = р0 и р* = р0. Объединяя эти соотношения, получим
kh = h2 — hv = p,0MH/pg.kh = h2 — hv = p,0MH/pg.(5.26)(5.26)
kh = h2 — hv = p,0MH/pg.
kh = h2 — hv = p,0MH/pg.
(5.26)
(5.26)
Обычно этот эксперимент выполняется с жидкостью в вертикальной стеклянной трубочке.
Подъем поверхности жидкостив перпендикулярном поле
В задаче, иллюстрируемой рис. 5.5 (Jones, 1978), плоскопараллельные полюсы магнитов создают вертикальное поле, перпендикулярное поверхности магнитной жидкости. Поверхность магнитной жидкости в поле поднимается на величину ЛА. Величина магнитного поля над и под поверхностью равна Н2 и Hi
Рис. 5.5. (а) Однородное магнитное поле, приложенное перпендикулярно свободной поверхности магнитной жидкости. Предполагается, что намагниченность меньше той, при которой возникает явление неустойчивости в ортогональном поле. (Ь) Процесс печати, использующий волнообразную поверхность магнитной жидкости, которая устанавливается в пространственно периодическом магнитном поле. Печать происходит по команде — подаче электрического импульса, в результате из пика на поверхности выбрасывается капелька жидкости — чернил. Показан образец печати, которая происходит при одновременном выбрасывании капелек из избранных пиков и формировании из них линий на движущейся бумаге. (См. Maruno, Yubakami, Soga, 1983).Рис. 5.5. (а) Однородное магнитное поле, приложенное перпендикулярно свободной поверхности магнитной жидкости. Предполагается, что намагниченность меньше той, при которой возникает явление неустойчивости в ортогональном поле. (Ь) Процесс печати, использующий волнообразную поверхность магнитной жидкости, которая устанавливается в пространственно периодическом магнитном поле. Печать происходит по команде — подаче электрического импульса, в результате из пика на поверхности выбрасывается капелька жидкости — чернил. Показан образец печати, которая происходит при одновременном выбрасывании капелек из избранных пиков и формировании из них линий на движущейся бумаге. (См. Maruno, Yubakami, Soga, 1983).ЭлектродЭлектрод\ Импульс напряжения (у 'Магнитная иголка\ Импульс напряжения (у 'Магнитная иголкаПростая бумагаПростая бумагаМагнитная жидкостьМагнитная жидкостьРо W + W = У-оН 2еРо W + W = У-оН 2е(5.27)(5.27)
Рис. 5.5. (а) Однородное магнитное поле, приложенное перпендикулярно свободной поверхности магнитной жидкости. Предполагается, что намагниченность меньше той, при которой возникает явление неустойчивости в ортогональном поле. (Ь) Процесс печати, использующий волнообразную поверхность магнитной жидкости, которая устанавливается в пространственно периодическом магнитном поле. Печать происходит по команде — подаче электрического импульса, в результате из пика на поверхности выбрасывается капелька жидкости — чернил. Показан образец печати, которая происходит при одновременном выбрасывании капелек из избранных пиков и формировании из них линий на движущейся бумаге. (См. Maruno, Yubakami, Soga, 1983).
Рис. 5.5. (а) Однородное магнитное поле, приложенное перпендикулярно свободной поверхности магнитной жидкости. Предполагается, что намагниченность меньше той, при которой возникает явление неустойчивости в ортогональном поле. (Ь) Процесс печати, использующий волнообразную поверхность магнитной жидкости, которая устанавливается в пространственно периодическом магнитном поле. Печать происходит по команде — подаче электрического импульса, в результате из пика на поверхности выбрасывается капелька жидкости — чернил. Показан образец печати, которая происходит при одновременном выбрасывании капелек из избранных пиков и формировании из них линий на движущейся бумаге. (См. Maruno, Yubakami, Soga, 1983).
Электрод
Электрод
\ Импульс напряжения (у 'Магнитная иголка
\ Импульс напряжения (у 'Магнитная иголка
Простая бумага
Простая бумага
Магнитная жидкость
Магнитная жидкость
Ро W + W = У-оН 2е
Ро W + W = У-оН 2е
(5.27)
(5.27)
ct W к ^ » МП ^ 16
•х. с^КМ^ц 446
*, cf ^ У Ч » Ml * * : rr^ln ~»Ml *•
соответственно. Эти значения связаны граничным условием для нормальной компоненты индукции В; в результате имеем
Из уравнения Бернулли (5.6) следует
P*i + pghi = P*2 + pgh2—p0MHv(5.28)
(5.29)(5.30)(5.29)(5.30)Pi = ^Р2 = Р0-Ы^ ^Pi = ^Р2 = Р0-Ы^ ^а из граничного условия (5.22) при рс = 0 получаются соотношения
(5.29)
(5.30)
(5.29)
(5.30)
Pi = ^
Р2 = Р0-Ы^ ^
Pi = ^
Р2 = Р0-Ы^ ^
Объединяя эти результаты, найдем выражение для высоты подъема Ай:
АЙ^-й^-^рЛ/Л + цо^У (5.31)
По сравнению с результатом Квинке (5.26) в этой задаче высота подъема оказывается больше на величину ц0А12/2 при том же значении поля Н в жидкости.
Б. М. Берковский и Л. П. Орлов (1973) аналитически решили ряд других задач о форме свободной поверхности магнитной жидкости.
Разработан процесс высокоскоростной записи на простой бумаге с высоким разрешением (рис. 5.5b), в котором, в частности, в поле щетки из магнитных иголок вырабатывается волнообразная поверхность магнитной жидкости (Maruno, Yubaka- mi, Soga, 1983). Получаемое из интеграла Бернулли в феррогидродинамике решение для формы поверхности раздела в этом случае аналогично решению, изображенному на рис. 5.5(a), но с удаленным южным полюсным наконечником.
Магнитный насадок
Течение струи, как на рис. 5.6, является примером взаимодействия динамических и магнитных явлений. Магнитное поле создается соленоидом с током с равномерной намоткой. Поле
Обмотка соленоида с токомОбмотка соленоида с токомРис. 5.6. Свободная струя магнитной жидкости при прохождении через магнитный насадок изменяет площадь поперечного сечения и скорость; этотечение иллюстрирует класс 5 на рис. 5.3. См. (Rosensweig, 1966b).Рис. 5.6. Свободная струя магнитной жидкости при прохождении через магнитный насадок изменяет площадь поперечного сечения и скорость; этотечение иллюстрирует класс 5 на рис. 5.3. См. (Rosensweig, 1966b).
Обмотка соленоида с током
Обмотка соленоида с током
Рис. 5.6. Свободная струя магнитной жидкости при прохождении через магнитный насадок изменяет площадь поперечного сечения и скорость; этотечение иллюстрирует класс 5 на рис. 5.3. См. (Rosensweig, 1966b).
Рис. 5.6. Свободная струя магнитной жидкости при прохождении через магнитный насадок изменяет площадь поперечного сечения и скорость; этотечение иллюстрирует класс 5 на рис. 5.3. См. (Rosensweig, 1966b).
(5.32)(5.32)притягивает жидкость и ускоряет ее течение вдоль струи, которая предполагается горизонтальной. Граничное условие для магнитного поля в выходном сечении 2 требует непрерывности тангенциальной компоненты поля Н. Следовательно,
(5.32)
(5.32)
Я2 = Я'.
Из соотношения Бернулли (5.5) следует
Р? + ‘АРУ, = Р^ + *Аро| — Ро^Я 2-(5-33>
Граничные условия для параметров жидкости (5.22) при рп = О и рс = 0 приводят к соотношениям
Pj = Ро.(5-34)
р; = р„(5.35)
Следовательно,Следовательно,(5.36)(5.36)Скорость несжимаемой жидкости удовлетворяет уравнению неразрывности V-v = 0. Предполагая, что поперечное сечение струи всюду круглое, уравнение неразрывности можно проинтегрировать и с применением теоремы о дивергенции получить
Следовательно,
Следовательно,
(5.36)
(5.36)
V • v dV = v • n dS = Vj (л/4) d2 — v2 (л/4) d2 = 0. (5.37) V s
Объединяя соотношения (5.36) и (5.37), найдем отношение диа
метров струиметров струи(5.38)(5.38)= Л | 2^0^\1/4d2 У Р°1 )
метров струи
метров струи
(5.38)
(5.38)
Модифицированный эксперимент Гуи (Gouy)
Метод, проиллюстрированный на рис. 5.7, позволяет гравиметрическим способом измерить среднюю по полю намагниченность М. Первоначально этот метод применялся к очень слабым
парамагнитным жидкостям с л tes, 1963); здесь рассматривается обобщение на случай нелинейных сред с большим магнитным моментом. Пробирка с магнитной жидкостью весом Wt и площадью сечения at подвешивалась вертикально на нити между полюсами электромагнита, являющегося источником поля На. На верхней плоской поверхности жидкости 1 поле пренебрежимо мало, тогда как в сечении 2 внутри жидкости поле /7г однородно и имеет максимальную величину. Сила F равна сум-
проницаемостью (Ва- AFпроницаемостью (Ва- AFРис. 5.7. К анализу модифицированного уравнения Гуи (Gouy); эту ситуацию иллюстрирует класс 6 на рис. 5.3 (Rosensweig, 1979а).Рис. 5.7. К анализу модифицированного уравнения Гуи (Gouy); эту ситуацию иллюстрирует класс 6 на рис. 5.3 (Rosensweig, 1979а).ме сил давления и веса содержимого пробирки:
проницаемостью (Ва- AF
проницаемостью (Ва- AF
Рис. 5.7. К анализу модифицированного уравнения Гуи (Gouy); эту ситуацию иллюстрирует класс 6 на рис. 5.3 (Rosensweig, 1979а).
Рис. 5.7. К анализу модифицированного уравнения Гуи (Gouy); эту ситуацию иллюстрирует класс 6 на рис. 5.3 (Rosensweig, 1979а).
F = (р; — р0) at + wt. (5.39)
Заметим, что давление р* действует так же, как и обычное давление, и вырабатывает на поверхности нормальное напряжение. Из уравнения Бернулли, примененного к точкам сечений 1 и 2, следует __
P* + pgh1 = p2-Vpgh2 — Р0МН2. (5.40)
Из граничного условия (5.22) при рп = 0 и рс = 0 получаем
р\ = Р<г(5.41)
Объединяя результаты и разрешая полученное уравнение для Л?, найдем_
(5.42)
где F0 = wt + 9g (h2 — h\)at — сила в отсутствие поля. Из-за влияния формы образца поле Н2 меньше приложенного поля На. Введем коэффициент размагничивания по формуле £) = = (На — Н)1М\ в результате в нашей задаче поле имеет величину
Н2 = На-DM.(5.43)
Для кругового цилиндра, длина которого много больше его диаметра, коэффициент размагничивания равен D = 1/2.
Следующий раздел посвящен задаче, которая была важным исходным пунктом для формулировки принципов феррогидродинамики— задаче о подъеме жидкости по проводнику с током (Neuringer, Rosensweig, 1964).
Конический мениск
Найдем отклик первоначально плоского слоя магнитной жидкости на пропускание стационарного тока по проводнику, вертикально проходящего через слой. Из теории электромагнетизма известно [уравнение (3.40)], что стационарный ток / создает азимутальное поле вокруг проводника величиной
Н = 1№пг).(5.44)
Так как М параллельно Н, то оно также азимутально, поэтому Мп = 0 всюду на свободной поверхности жидкости. Хотя задачу достаточно решить лишь один раз, полезно провести ее решение несколькими разными способами. В первых двух способах используется ФГД уравнение Бернулли в двух разных формах, в третьем — тензор напряжений по Чу, введенный в гл. 4. Схема системы дана на рис. 5.8.
Способ 1. Применим ФГД уравнение Бернулли в форме (5.6) для точек 1 и 2; учитывая, что жидкость покоится, получим
Р*х + Pghv — (P0MH)i = Рг + P§h2 — (М^)2.(5.45)
Так как точка 2 расположена вдали от проводника, то магнитное поле в ней асимптотически приближается к нулю [по уравнению (5.44)] и последнее слагаемое в уравнении (5.45) стремится к нулю при г-*оо [или при h2-*-h(oo')"\. Чтобы закончить
решение задачи, нужно связать р* и р*2 с атмосферным давлением pG при помощи граничных условий ФГД. Из уравнения (5.22), пренебрегая капиллярным давлением, получим
Р*1 = Ро —'/^оМ^ р0 (дляточки 1),(5.46)
Р2 = Ро —Ч^А = р0 (дляточки 2).(5.47)
Здесьиспользовалось,что на свободнойповерхностижидкости
в точке1Мп = 0 и в точке 2 М = 0, таккак в нейН= 0. Под-
^ПровоЭник с током
Рис. 5.8. Конический мениск в равновесии — задача феррогидростатики, ставляя (5.46) и (5.47) в уравнение (5.45), после небольшой перегруппировки слагаемых получим
Aft = h (г) - h (оо) = p0M/7/pg. (5.48) Эта формула показывает, что по высоте подъема свободной поверхности жидкости около проводника можно измерить напряженность магнитного поля; получается своего рода гауссметр.
Способ 2. Применим ФГД уравнение Бернулли в форме (5.7) к точкам 1 и 2 со стороны жидкости. Получим
(р + Ps + Р5^)1 = (р + ps + pgA)2. (5.49) Так как Н->0 при г ->оо, то ps^ = 0. Применив граничное условие в форме (5.24) к точкам 1 и 2, получим
Pl + Psj + рт,1 = Ро (в точке 1), (5.50)
Р2 — Р0 (в точке 2). (5.51)
Уравнение (5.49) можно записать в виде
Pi — Pi = Ps,i + pg(h1-h2),(5.52)
а объединяя уравнения (5.50) и (5.51), получим
Р2 — Pi = Ps,i + Pm,v(5.53)
Исключая общие слагаемые из уравнений (5.52) и (5.53), имеем
АЛ = Pm, Jpg = P-oMHjpg.(5.54)
Заметим, что величина стрикционного слагаемого нигде не вошла в решение задачи. Стрикционные слагаемые взаимно уничтожаются при решении: это является общим правилом для всех задач гидродинамики несжимаемой жидкости. Однако эффекты сжимаемости существенны в задачах оптики, акустики и кавитации.
Способ 3. Наконец, решим ту же задачу при помощи тензора напряжений Чу, выражение для которого было выведено как уравнение (4.54):
= ( - J BdH JI+ НВ(5.55)
'о '
Плотность силы, соответствующая этому тензору напряжений, дается выражением (4.52):
н
tm = -^VB)HdH.(5.56)
о
В рассматриваемом приближении магнитная жидкость имеет одинаковый состав во всех точках, поэтому (^В)н = 0, что приводит к равенству fm = 0. Легко найти уравнение движения, соответствующее рассматриваемому выражению для силы:
о = — Vp0 + pg = — V (р0 + pgh).(5.57)
Условие, которое должно удовлетворяться на поверхности, нужно получить заново, чтобы оно было согласовано с тензором напряжений (5.55). Если индексы п и t означают нормальную и тангенциальную компоненты соответственно, то компоненты магнитного напряжения с двух сторон мениска записываются в виде
В жидкости
n*Tm-t = Tnt = ^(5.58)
н
п.Тт.п = Тп„ = Т1=-\ B(dH.(5.59)
о
В воздухе
Tnt = 0,(5.60)
н
Тпп = Тв = -\ BedH.(5.61)
о
При выводе (5.58) — (5.61) использовались следующие соотношения:
(п • I) • и = п • n = 1,(5.62)
(п • I) • t = n • t = 0,(5.63)
n • Н = Нп = 0 (вдоль поверхности жидкость — воздух).(5.64)
Здесь индекс / означает значение в жидкости, а индекс е — в окружающем воздухе; в принятых обозначениях имеют место равенства Bt = щДН -\- М) и Be = vmH (так как М = 0 в воздухе). Полный тензор напряжений Т можно записать в виде
Т = -р0(р, DI + K + T^(5.65)
Здесь Т — полное напряжение; слагаемые справа означают термодинамическое давление, вязкое напряжение, магнитное напряжение соответственно. В этой задаче То = 0, а из общего граничного условия п- [Т] = 0, записанного для тензора (5.65), получим
\ТпД = Ре~Рь(5.66)
где индекс 0 при величинах давления для простоты опущен. Подставляя значения Тпп (5.59) и (5.61) и используя равенство (5.64), получим
н
р.о М dH = ц0МН — ре — р[.(5.67)
о
Термодинамическое давление в каждой фазе подчиняется уравнению (5.57), поэтому, пренебрегая плотностью воздуха и полагая уровень h = h(oo) в качестве уровня отсчета для распределения давления в жидкости, получим распределение давления в обеих фазах:
ре = const,(5.68)
Pi — pe = Pg № (oo) — h\(5.69)
Исключив pi — pe путем подстановки значения (5.69) в соотношение (5.67), снова получим уравнение (5.48), которое и есть искомый результат.
Начальный участок кривой зависимости намагниченности от поля линеен. Поэтому для малых полей М = ^Н, где %i—на~
чальная восприимчивость [см. уравнение (2.28)], а средняя по полю намагниченность равна
н
M = -^MdH = l-xH=-yM.(5.70)
о
Подставив результирующие значения для величин поля (5.44) и (5.70) в уравнение (5.48), для слабых полей найдем
pg 8лМ '^5-7^
В сильных полях М = Ms, поэтому M = MS1 а высота подъема мениска определяется формулой
д/г = ±«-.(5.72)
pg 2лгх 7
Происхождение радиальной силы
Сейчас стоит остановиться и подумать над природой появления магнитной силы в этой задаче; заметим, что векторы намагниченности и градиента поля в любой точке образуют
Рис. 5.9. Физическое происхождение радиально направленной силы в задаче о коническом мениске.
прямой угол, и на первый взгляд может показаться, что никакой силы не будет. На рис. 5.9 дан вид сверху на рассматриваемую систему; в точке с радиусом г и азимутальным углом ср изображен элемент жидкости длиной 61 и с намагниченностью М вдоль локального поля Н, азимутально направленного. Представим,
что на концах элемента имеются магнитные полюса с противоположными знаками; из-за локального поля на двух концах элемента появляются силы f+ и f_, имеющие одинаковую величину, но бесконечно мало отличающиеся по направлению. Разложим
Рис. 5.10. Баланс магнитной и гравитационной энергий в каждой точке свободной поверхности жидкости демонстрируется при пропускании электрического тока по проводнику, проходящему сквозь чашу с магнитной жидкостью, (а) Экспериментальная установка в отсутствие тока. (Ь) При включении тока жидкость подпрыгивает вверх и образует показанную здесь форму. В каждой точке объема магнитной жидкости сумма слагаемых с намагниченностью, силой тяжести и давлением ФГД уравнения Бернулли равна одной и той же постоянной. (Фотографии автора; впервые опубликованы в International Science and Technology, июль 1966.)Рис. 5.10. Баланс магнитной и гравитационной энергий в каждой точке свободной поверхности жидкости демонстрируется при пропускании электрического тока по проводнику, проходящему сквозь чашу с магнитной жидкостью, (а) Экспериментальная установка в отсутствие тока. (Ь) При включении тока жидкость подпрыгивает вверх и образует показанную здесь форму. В каждой точке объема магнитной жидкости сумма слагаемых с намагниченностью, силой тяжести и давлением ФГД уравнения Бернулли равна одной и той же постоянной. (Фотографии автора; впервые опубликованы в International Science and Technology, июль 1966.)
Рис. 5.10. Баланс магнитной и гравитационной энергий в каждой точке свободной поверхности жидкости демонстрируется при пропускании электрического тока по проводнику, проходящему сквозь чашу с магнитной жидкостью, (а) Экспериментальная установка в отсутствие тока. (Ь) При включении тока жидкость подпрыгивает вверх и образует показанную здесь форму. В каждой точке объема магнитной жидкости сумма слагаемых с намагниченностью, силой тяжести и давлением ФГД уравнения Бернулли равна одной и той же постоянной. (Фотографии автора; впервые опубликованы в International Science and Technology, июль 1966.)
Рис. 5.10. Баланс магнитной и гравитационной энергий в каждой точке свободной поверхности жидкости демонстрируется при пропускании электрического тока по проводнику, проходящему сквозь чашу с магнитной жидкостью, (а) Экспериментальная установка в отсутствие тока. (Ь) При включении тока жидкость подпрыгивает вверх и образует показанную здесь форму. В каждой точке объема магнитной жидкости сумма слагаемых с намагниченностью, силой тяжести и давлением ФГД уравнения Бернулли равна одной и той же постоянной. (Фотографии автора; впервые опубликованы в International Science and Technology, июль 1966.)
силы f+ и L на компоненты вдоль радиуса и азимута; очевидно, что азимутальные компоненты равны по величине и противоположно направлены, поэтому они взаимно уничтожаются, тогда как сумма радиальных компонент образует силу, направленную по радиусу, т. е. к центру проводника. Это притягивание жидкости приводит к ее подъему на всё большую высоту при приближении к проводнику. Постановка этой задачи и поиски ее решения были решающими в становлении ФГД уравнения Бернулли. Существенно, что, хотя магнитная сила по природе — вектор, ФГД уравнение Бернулли успешно сводит задачу к ре-
шению только через абсолютные величины полей. Фотография конического мениска приведена на рис. 5.10.
Возможность создания сил в магнитных жидкостях на расстоянии привела к идее множества устройств и успешному развитию многочисленных приложений в технологии — процесс, который все еще продолжается. Часто небольшое количество магнитной жидкости играет главную роль в устройствах и делает возможным само их создание. Прекрасный пример — магнитожидкостные уплотнители валов. Это такие устройства, в которых происходит вращательное движение цилиндрического вала относительно неподвижного корпуса; магнитная жидкость заполняет зазор между ними и составляет идеальную прослойку, удерживаемую в заданном месте магнитной силой.
Магнитожидкостные уплотнители вращающихся валов
Герметическая изоляция объемов с разным давлением — сейчас наиболее хорошо развитая область приложений ФГД. На рис. 5.11(a) схематически изображено, как магнитная жидкость
Магнитно^ проницаемый Линия магнитного потокаМагнитно^ проницаемый Линия магнитного потока(а)(а)(Ь)(Ь)Рис. 5.11. (а) Составные части уплотнителя вращающегося вала на магнитной жидкости (Rosensweig, 1979а); (Ь) упрощенная схема для теоретического анализа величины перепада давления, выдерживаемого одной ступенью уплотнителя.Рис. 5.11. (а) Составные части уплотнителя вращающегося вала на магнитной жидкости (Rosensweig, 1979а); (Ь) упрощенная схема для теоретического анализа величины перепада давления, выдерживаемого одной ступенью уплотнителя.
Магнитно^ проницаемый Линия магнитного потока
Магнитно^ проницаемый Линия магнитного потока
(а)
(а)
(Ь)
(Ь)
Рис. 5.11. (а) Составные части уплотнителя вращающегося вала на магнитной жидкости (Rosensweig, 1979а); (Ь) упрощенная схема для теоретического анализа величины перепада давления, выдерживаемого одной ступенью уплотнителя.
Рис. 5.11. (а) Составные части уплотнителя вращающегося вала на магнитной жидкости (Rosensweig, 1979а); (Ь) упрощенная схема для теоретического анализа величины перепада давления, выдерживаемого одной ступенью уплотнителя.
используется в качестве непротекающего динамического уплотнителя между вращающимся валом и неподвижным корпусом. Вал поддерживается и центрируется парой не показанных на рисунке подшипников; в противном случае он терся бы о магнитные полюсные наконечники, так как притягивается к ним. Уплотнители имеют широкое коммерческое применение как устройства, сохраняющие давление, вакуум и исключающие какую-либо утечку. Магнитопроницаемый вал составляет часть
магнитного контура с малым магнитным сопротивлением; контур также включает кольцевой магнит, намагниченный вдоль оси и вмонтированный между двумя полюсными блоками. В рассматриваемой конфигурации магнитное поле в зазоре направлено по радиусу. Такой механизм позволяет выдерживать разность давлений до ~105 Па
на одну ступень уплотнителя; механизм особенно удобен для собирания отдельных уплотнителей в каскады, так что значительно большие разности давлений могут выдерживаться.
Чтобы проанализировать работу магнитожидкостного
ММРис. 5.12. Величина заштрихованной площади под кривой намагничивания пропорциональна перепаду давления в одной ступени уплотнителя на магнитной жидкости (Perry, Jones, 1976).Рис. 5.12. Величина заштрихованной площади под кривой намагничивания пропорциональна перепаду давления в одной ступени уплотнителя на магнитной жидкости (Perry, Jones, 1976).уплотнителя, показанного на рис. 5.11(a), рассмотрим его идеализацию, представленную на рис. 5.11(b). Сделаем следующие упрощающие предположения.
М
М
Рис. 5.12. Величина заштрихованной площади под кривой намагничивания пропорциональна перепаду давления в одной ступени уплотнителя на магнитной жидкости (Perry, Jones, 1976).
Рис. 5.12. Величина заштрихованной площади под кривой намагничивания пропорциональна перепаду давления в одной ступени уплотнителя на магнитной жидкости (Perry, Jones, 1976).
Магнитное поле однородно и тангенциально к поверх
ности менисков 4—3 и 2—1. Силой тяжести можно пренебречь. Ограничимся случаем невращающегося вала.
р’з-р^^мщ.-^мнхур’з-р^^мщ.-^мнху(5.73)(5.73)Применяя уравнение Бернулли к точкам 3 и 2, получим
р’з-р^^мщ.-^мнху
р’з-р^^мщ.-^мнху
(5.73)
(5.73)
Нормальная компонента намагниченности Мп на обеих поверхностях менисков равна нулю, поэтому из ФГД граничного условия (5.22) получим
Рз = Р4 и р; = рг (5.74)
Подставляя (5.74) в уравнение (5.73), получим следующее выражение для предельного перепада давления неподвижного уплотнителя:
я3
Ар = Р4 “ Pi = Но MdH.(5.75)
Величина этого интеграла иллюстрируется на рис. 5.12 заштрихованной площадью под кривой намагничивания.
В хорошо сконструированных уплотнителях поле Н2 пренебрежимо мало по сравнению с полем /73, поэтому предельный
перепад давления уплотнителя с одной ступенью хорошо дается следующей приближенной формулой (Rosensweig, 1971):
\p = pi0MH,(5.76)
Несмешивающаяся жидкостьНесмешивающаяся жидкостьПробка из магнитной жидкостиПробка из магнитной жидкостиСтеклянная трубкаСтеклянная трубкаРис. 5.13. Эксперимент для определения статической максимальной нагрузки, выдерживаемой одноступенчатым уплотнителем в виде пробки из магнитной жидкости (Perry, Jones, 1976).Рис. 5.13. Эксперимент для определения статической максимальной нагрузки, выдерживаемой одноступенчатым уплотнителем в виде пробки из магнитной жидкости (Perry, Jones, 1976).где МН вычисляется по максимальному значению поля.
Несмешивающаяся жидкость
Несмешивающаяся жидкость
Пробка из магнитной жидкости
Пробка из магнитной жидкости
Стеклянная трубка
Стеклянная трубка
Рис. 5.13. Эксперимент для определения статической максимальной нагрузки, выдерживаемой одноступенчатым уплотнителем в виде пробки из магнитной жидкости (Perry, Jones, 1976).
Рис. 5.13. Эксперимент для определения статической максимальной нагрузки, выдерживаемой одноступенчатым уплотнителем в виде пробки из магнитной жидкости (Perry, Jones, 1976).
Пример. Вычислить предельный перепад давления для уплотнителя с одной ступенью с максимальным значением р0Н, равным 1,8 Тл (18 000 Гс) и цоМ = 0,07 Тл (700 Гс).
Решение. Из уравнения (5.76) перепад Ар находится небольшой перегруппировкой множителей и равен
^р= ^о^) (Но#) =
Но
_ 0,07 Тл • 1,8 Тл _4л • 10-7 Гн • м-1
= 105 Тл2 • м • Гн-1=105 Н • м“2.
Легко убедиться, что давление в системе единиц СИ измеряется в Н-м-2. Значение 105 Н-м-2 эквивалентно 100 кПа или примерно 1 атмосфере.
В этом разделе предполагалось, что магнитная жидкость однородна по составу. В действительности равновесная концентрация частиц больше в областях с более сильным полем, и это приводит к значениям Ар, превышающим теоретическое значение (5.76) для уплотнителей, которые в тече
ние некоторого промежутка времени не были в работе. Так как вязкость резко возрастает при приближении концентрации частиц к ее максимальному значению, то такие уплотнители первоначально трудно заставить вращаться. Вращательное движение вала перемешивает жидкость и выравнивает концентрацию, что уменьшает момент трения и возвращает рабочий перепад давления к предсказанному значению.
Перри и Джонз (Perry, Jones, 1976) экспериментально проверили уравнение (5.76) на примере пробки из магнитной жидкости, удерживаемой внешними магнитными полюсными на-
конечниками в вертикальной стеклянной трубке (рис. 5.13). Способность выдерживать нагрузку такого уплотнителя устанавливалась по величине столбика несмешивающейся жидкости над пробкой. Как показано на рис. 5.14, вычисленные и экспериментальные значения статических пробивных давлений хорошо
Рис. 5.14. Расчетные и экспериментальные значения статического разрывного перепада давления для уплотнителей на магнитной жидкости находятся в хорошем согласии (Perry, Jones, 1976). Жидкость на углеводороде, внутренний диаметр пробирки Di = 1,5 мм (+), Di = 2,8 мм (О); жидкость на воде, S^max
MdH U—Для жидкости о
на углеводороде, 2— для жидкости на воде).
согласуются для разных уплотнителей из магнитной жидкости в широком диапазоне рабочих магнитных индукций.
Аналогичная конфигурация жидкости и поля, как на рис. 5.11(a), используется в зазоре между статором и подвижной катушкой громкоговорителей. Магнитная жидкость удерживается свободно, без стенок, и осуществляет тепловой контакт. Таким образом, тепло отводится от катушки, допуская применение большей звуковой мощности (Hathaway, 1979; Melillo, Raj, 1981).
Другой класс задач, которые можно было бы рассмотреть, касается преимущественно поведения тел, погруженных в маг-
нитную жидкость. Эти задачи позволят нам качественно понять и количественно проанализировать таинственные явления левитации в феррогидродинамике.
ТЕОРЕМА ИРНШОУ И МАГНИТНАЯ ЛЕВИТАЦИЯ
В 1839 г. Самуэль Ирншоу выдвинул теорему, что заряженное тело в электростатическом поле не может находиться в устойчивом равновесии под действием только электрических сил (Stratton, 1941, стр. 116). В гл. 1 было показано, что намагниченное тело ведет себя эффективно как совокупность «зарядов»,. поэтому, согласно теореме Ирншоу, оно не может находиться в равновесии в стационарном магнитном поле.
Ниже дано краткое доказательство теоремы Ирншоу для точечного полюса (заряда); доказательство теоремы для протяженного тела с совокупностью полюсов (зарядов) предоставляется читателю в качестве упражнения. В каждой точке объема пространства, не содержащего распределений полюсов (зарядов), выполняются следующие соотношения Максвелла:
V-H = 0 (V-E = 0),(5.77)
VXH=0 (VXE = 0).(5.78)
Как отмечалось в гл. 3, из соотношений (5.78) следует возможность записать магнитное (электрическое) поле в виде градиента скалярной функции ф(х, у, г), называемой потенциалом поля:
Н = -Уф (Е = -Уф).(5.79)
Уравнения (5.77) и (5.78) показывают, что функция ф удовлетворяет уравнению Лапласа
У2ф = 0.(5.80)
Следующий шаг в доказательстве теоремы — показать, что функция ф не может достигать абсолютного максимума или минимума внутри области определения. Покажем это, следуя Ландау и Лифшицу (1957, стр. 14). Предположим, что потен* циал имеет максимум в некоторой точке объема Р, расположенной не на границе области. Тогда точку Р можно окружить малой замкнутой поверхностью, на которой производная функции по нормали всюду отрицательна: д^/дп < 0. Поэтому интеграл по всей поверхности ^^d^ldn^ dS <0. Однако
^^-dS = ^n-N^dS=^^dV =(5.81)
SSV
Последнее равенство следует из уравнения (5.89). Ясно, что интеграл ф$ (дф/дп) dS не может одновременно равняться нулю и быть меньше (или больше) нуля; полученное противоречие доказывает исходное утверждение.
Ранее было показано, что поле Н (поле Е) может рассматриваться как сила, действующая на единичный полюс (заряд). Поэтому выражение для потенциальной энергии единичного полюса, приведенного в данную точку вдоль любой линии L внутри области поля, имеет вид
Потенциально^ энергия единичного полюса (заряда) =
= — jH-dr= Г = — J Е • dr=A (5.82) L \ L J
= 7ф • dr = ф, (5.83) L
tjx^ постоянная интегрирования для простоты опущена. Полученное отождествление функции ф с энергией доказывает, что пробный полюс (заряд), внесенный в поле, не может находиться в устойчивом равновесии, так как не имеется точки, в которой его потенциальная энергия имела бы минимум, что и требовалось доказать.
Упрощенное рассмотрение левитациинемагнитного тела
Казалось бы, что теорема Ирншоу исключает возможность левитации тела при помощи магнитостатического поля, но, как обнаружил автор (Rosensweig, 1966а, b), устойчивая левитация тела возможна, если оно находится в магнитной жидкости в присутствии подходящего неоднородного магнитного поля. Сперва приведем эвристические доводы, а строгое описание последует позже.
Рассмотрим емкость, заполненную магнитной жидкостью и помещенную в область пространства с нулевой силой тяжести. Предположим, что первоначально магнитное поле отсутствует, так что давление всюду в объеме жидкости одинаково и равно некоторой постоянной величине. С двух противоположных сторон емкости помещаются, как показано на рис. 5.15(a), два одинаковых источника магнитного поля, создающие такое распределение полей, что оно равно нулю посредине между источниками и возрастает в любом направлении от этой средней точки. Так как магнитная жидкость втягивается в области с большей величиной поля, то жидкость стремится выйти из этой средней точки. Однако жидкость несжимаема и заполняет всю
емкость, поэтому ее такое поведение приводит лишь к увеличению эффективного давления при передвижении от центра.
Теперь рассмотрим поведение немагнитного тела, введенного в окрестность центральной точки. Если тело помещено в центр, как показано на рис. 5.15(b), то оно останется в нем при отсутствии других сил, так как силы давления симметрично распределены по его поверхности. Если тело сместить из равновесного
МагнитМагнитнаяМагнитМагнитнаяжидкостьжидкостьМагнитМагнитВозрастание давления при удалении от центраВозрастание давления при удалении от центра
Магнит
Магнитная
Магнит
Магнитная
жидкость
жидкость
Магнит
Магнит
Возрастание давления при удалении от центра
Возрастание давления при удалении от центра
(а)<Ь)
Рис. 5.15. Явление левитации немагнитного тела в намагниченной жидкости является еще одним следствием обобщенного уравнения Бернулли, (а) Давление в жидкости наименьшее в центре и возрастает при отходе от него. (Ь) Если в емкость поместить немагнитное тело, например стеклянный шарик, то оно передвинется в центр и будет оставаться в нем в равновесии. См. (Rosensweig, 1982а).
положения, то на него подействует возвращающая сила из-за возникшей разности давлений. Так возникает явление пассивной левитации немагнитного тела. Для поддержания тела не нужно никаких затрат энергии.
Явление самолевитации
Если магнит погрузить в магнитную жидкость, возникает похожее явление самолевитации, изображенное на рис. 5.16. Поле вокруг магнита симметрично, поэтому распределение давления в жидкости также симметрично, и на центрально размещенный магнит действуют уравновешивающие магнитные силы.
Рис. 5.16. Самолевитация магнитного тела в магнитной жидкости. Снимки в рентгеновских лучах показывают, что магнитный диск устойчиво подвешивается в стакане с магнитной жидкостью. На рис. (Ь) (вид сбоку) видно, что магнит, плотность которого почти в четыре раза больше плотности жидкости, висит около дна стакана. Как видно на рис. (а) (вид сверху), магнит отталкивается от всех стенок стакана. См. (Rosensweig, 1966с).
Рис. 5.17. Взаимное отталкивание магнитного и немагнитного тел, погруженных в магнитную жидкость (Rosensweig, 1966b).
Если магнит сместить с центрального положения, то симметрия поля нарушится: из рассмотрения проницаемых границ, сквозь которые проходит магнитный поток, заключаем, что магнитное поле больше на той поверхности магнита, которая дальше от центра. Убедившись еще раз, что эффективное давление в жидкости больше всего там, где поле наибольшее, можно заключить, что на магнит действует возвращающая сила по направлению к центру. Таково явление самолевитации в магнитной жидкости (Rosensweig, 1966с). Этот принцип эффективно использовался в акселерометрах, демпфирующих устройствах, пассивно левитационных подшипниках и уклономерах (см., например, работы (Rosensweig, 1979а; Schaufeld, 1982; Bailey, 1983).
В качестве еще одного варианта рассматриваемой темы рассмотрим рис. 5.17, где изображено взаимное отталкивание магнитного и немагнитного тел, когда оба тела находятся в маг-
нитной жидкости далеко от любой внешней границы жидкости. Заметим, что такое взаимодействие не имеет аналога в обычной магнитостатике, в которой для появления статического взаимодействия тел необходимо, чтобы у них были магнитные моменты. Конечно, сила взаимодействия, показанная на рис. 5.17, возникает не из-за непосредственного взаимодействия двух тел; сила появляется из-за втягивания магнитной жидкости в пространство между ними.
Далее приводится общее количественное описание, учитывающее рассмотренные здесь эффекты и приводящее к выражению для силы (5.99).
Вычисление сил, действующих на погруженное тело
Рассмотрим тело, магнитное или немагнитное, погруженное в магнитную жидкость, как в присутствии произвольных источ-
Рис. 5.18. К выводу общего выражения для силы, действующей на произвольное намагниченное или немагнитное тело, погруженное в магнитную жидкость и находящееся в произвольном магнитном поле.Рис. 5.18. К выводу общего выражения для силы, действующей на произвольное намагниченное или немагнитное тело, погруженное в магнитную жидкость и находящееся в произвольном магнитном поле.
Рис. 5.18. К выводу общего выражения для силы, действующей на произвольное намагниченное или немагнитное тело, погруженное в магнитную жидкость и находящееся в произвольном магнитном поле.
Рис. 5.18. К выводу общего выражения для силы, действующей на произвольное намагниченное или немагнитное тело, погруженное в магнитную жидкость и находящееся в произвольном магнитном поле.
ников магнитного поля, так и без них, как показано на рис. 5.18. Полная сила, действующая на тело, представляется в виде
F; = ^n.T^dS+ $Р^=$^$ + Jp'gdV, (5.84)
где [см. уравнения (4.27) и (4.71)]
т;=-(рЧ-1/2р0^2)| + вн.
(5.85)
Вектор напряжения tn, соответствующий тензору напряжения Т^ в форме (5.85), определяется из условия tn = n • Т^, что дает
tn = - VP + V2 WoH2) n + HBn.(5.86)
Это выражение для вектора напряжения можно упростить, если ФГД уравнение Бернулли применить к любой точке снаружи непосредственно рядом с поверхностью Вик фиксированной удаленной точке на заданном уровне Ло, в которой магнитное поле равно нулю, а давление ро выражается в виде
Р* + Pgh — n0(MH) = p0 + pgh0.(5.87)
При помощи уравнений (5.86) и (5.87) выражение для силы (5.84) приводится к виду
[(“ Ро — Р^А0 + Р^ —- 'Л^о^2 +
+ НпВп^ п 4- НМ dS + 5 p'g dV. (5.88) v
При записи этого выражения использовалось следующее разложение вектора Н в каждой точке на компоненты вдоль нормали к поверхности В и вдоль касательной к поверхности плоскости:
Н = Япп + НД.(5.89)
Согласно теореме о дивергенции, для скалярной величины А справедливо тождество
^ AndS=^AdVt(5.90)
SV
поэтому имеет место равенство
— (Ро + PgA0) n dS = ^ — V (р0 + р^Л0) dV = 0.(5.91)
sv
Используя это равенство вместе с уравнением (5.88), получим
f; = § к- ^н - v2 р0н2 + Нпвп^ П + HtBnt\ dS + s
+ ^p-pOgkdV, (5.92) v
где —gk = g, a k обозначает единичный вертикально направленный вектор. Если магнитное поле всюду равно нулю, то
уравнение (5.92) для любого объема V сводится к закону плавучести Архимеда:
(5.93)(5.93)Fm W = °) = $ (Р - Р')ё*^ = (Р - Р')^,
(5.93)
(5.93)
как и должно быть. Последнее равенство, однако, выполняется только, когда плотность и ускорение силы тяжести в объеме однородны.
Вернемся к более общему случаю уравнения (5.92), когда поле Н^О; опустим слагаемое, описывающее явление обычной плавучести, используя определение М и определяющее уравнение В = цо(^ + М); получим следующее выражение для магнитной силы Fm, действующей на тело:
Уравнение (5.94) позволяет вычислить по известному распределению поля полную индуцированную магнитным полем силу, действующую на магнитное или немагнитное поле, погруженное в магнитную жидкость.
Если погруженное тело немагнитное, то интеграл в выражении (5.94), взятый по внутренней поверхности Sz непосредственно рядом с поверхностью тела, исчезает, так как на вещество внутри этой поверхности магнитная сила не действует:
(5.95)(5.95)0 = ф I Нпвп— ^BdH\n +• HtBni L/S.
(5.95)
(5.95)
Вычитая уравнение (5.95) из уравнения (5.94) и используя граничные условия [В„] = 0 и [Я<] = 0, получим, что тангенциальная сила равна нулю, а нормальная сила, проинтегрированная по всей поверхности тела, приводит к выражению
где [Я„] = Н^ — Нп; знаки + и — обозначают значения параметров непосредственно вблизи поверхности S снаружи и внутри ее соответственно. Чтобы еще дальше упростить выражение
(5.96), используем уравнения (5.21а) и (5.21b), из которых следуют соотношения
\нд =—мт
я 1 г н
J в dH = УзЦо^2 + Ho J М dH
-о J Lо
н
=V№Uve\M*dH=
О
н
= 42^M>n-BnMn + ^MdH,
о
(5.97)(5.97)(5.98)(5.98)S'ОS'ОndS.ndS.(5.99)(5.99)где [Л1] = Af+ — М- = Af+ = Af, так как тело немагнитное. При помощи соотношений (5.97) и (5.98) уравнение (5.96) записывается в такой же общей форме, которая подчеркивает роль намагниченности:
(5.97)
(5.97)
(5.98)
(5.98)
S'О
S'О
ndS.
ndS.
(5.99)
(5.99)
Устойчивую левитацию магнитного или немагнитного тела в некотором месте внутри жидкости определяют следующие условия:
(5.100)(5.100)F; = (p-p')gkV + Fm = 0.
(5.100)
(5.100)
Всякое малое смещение тела от положения равновесия сопровождается возвращающей силой.
Проиллюстрируем одно простое, но важное следствие этих принципов левитации для маленького погруженного в жидкость немагнитного тела. Так как подынтегральное выражение в формуле (5.99) M^J^-V МН растет монотонно с Н, то чтобы левитация была возможна, величина вектора магнитного поля должна иметь в некоторой точке внутри жидкости локальный минимум, т. е. при любом передвижении из этой точки должно выполняться условие (ср. с рис. 5.15)
(5.101)(5.101)6Н >0.
(5.101)
(5.101)
В предельном случае очень сильного приложенного поля Af2/(2Af/7)«d и выражение для силы Fm (5.99) можно упростить так:
Fm = - $ Рт» dS = - $ Vpm dV « — VpmV = - Vp0MVH, (5.102) S V
где давление рт введено формулой (4.36Ь); также предполагается, что величины М и ^Н практически постоянны внутри объема V. Из-за знака минус в формуле (5.102) действующая на тело сила равна по величине и протиповоложно направлена магнитной силе, действующей на эквивалентный объем жидкости. Сила отталкивания и устойчивая левитация своим существованием обязаны этому знаку минус.
Рис. 5.19. Искусственное увеличение удельного веса раствора парамагнитной соли приводит к разделению смеси минеральных частиц. Материал частиц сверху вниз: стекло (удельный вес 2,75), галенит (3,91) и пирит (5,00). (С разрешения Циммельса, Technion.)
Магнитная плавучесть иллюстрируется фотографией на рис. 5.19. Видно, что твердые частицы разных минералов плавают в растворе парамагнитной соли на разной высоте в пространственно меняющемся сильном градиентном поле электромагнитных полюсных наконечников. Ясно, что, так как жидкость притягивается вниз, частицы выталкиваются вверх. Левитационные силы в коллоидной магнитной жидкости заметно сильнее; приравнивая обыкновенный вес с учетом плавучести и магнитную выталкивающую силу (5.102), можно показать, что любое немагнитное вещество можно заставить всплыть таким образом; подтверждающие данные приводятся в работе (Kaiser, Miskol- czy, 1970 b) для алмазов (удельный вес 3,5) и других материалов вплоть до вольфрама (удельный вес 19,3). На этой основе разработаны процессы непрерывного разделения разных материалов (см., например, Rosensweig, 1969; Khalafalla, Reimers, 1973а; Shimoiizaka et al., 1980).
Система маленьких немагнитных шариков в тонком слое
магнитной жидкости позволила провести прямое наблюдение кристаллизации магнитных «дырок», образующих совокупность разных решеток (Skjeltorp, 1983а).
СТРИКЦИОННЫЙ ЭФФЕКТ
Рассмотрим систему, в которой два магнитных бруска погружены в ванну с магнитной жидкостью. Противоположные полюсы магнитов расположены друг против друга и создают сильное поле в маленьком зазоре между ними. Зазор находится достаточно далеко от поверхности жидкости, так что магнитным полем на ее поверхности из-за краев зазора можно пренебречь. Граничное условие (5.22) для плоской поверхности даст р0 = р*у где индекс 0 означает давление в атмосфере, а индекс 1—давление в жидкости около ее поверхности. Применяя ФГД уравнения Бернулли (5.6) для точки около поверхности жидкости 1 и точки 2, расположенной в области поля между полюсами, и пренебрегая силой тяжести, получим р* = р*2 — р0 (МН)2- Подставив определение (4.71) для давления
Р2 = Р2(Р, Т) + ps 2+ц0(МН)2, найдем р0 = р(р, T) + ps, где индекс 2 опущен в слагаемых правой части равенства. Таким образом, Ар = р(р, Т) — р0—изменение давления в намагничивающейся жидкости по сравнению с атмосферным равно —ps.
Как уже обсуждалось в разд. 4.3, Хаким и Хайем (Hakim, Higham, 1962) выполнили аналогичный эксперимент с прозрачной диэлектрической жидкостью, подвергнутой действию поля погруженных в нее электродов. Связав давление с плотностью, а значит и с коэффициентом преломления, они предсказали величину преломления луча света, проходящего через тонкий слой жидкости, и подтвердили, что плотность стрикционной силы сжимаемой линейной среды хорошо описывается уравнением (4.49).
ЗАМЕЧАНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Первоначальную формулировку уравнения Бернулли в феррогидродинамике можно найти в работе (Neuringer, Rosensweig, 1964); часть материала этой главы почерпнута из работы (Rosensweig, 1979а). Имеется учебный фильм (Martinet, 1982), иллюстрирующий поведение магнитной жидкости.
Читатель, желающий получить представление о понятии вихря и его связи с вращением жидкости, может найти точные формулировки в работах (Tritton, 1977) и (Truesdell, 1954).
Вскоре после появления магнитных жидкостей появились уплотнители валов на магнитной жидкости, разработанные Розенцвейгом, Мишкольци и Эзекиелем (Rosensweig, Miskolczy,
Ezekiel, 1968). Их коммерческая прибыльность связана с открытием практических способов изготовления уплотнительных каскадов, способных выдержать большие разности давления. На валу уплотнителя изготовляется ряд зубцов с полюсами, обычно десять на сантиметр, с магнитным потоком от одного постоянного магнита. Магнитный поток концентрируется в узких зазорах между полюсами зубцов и полюсным блоком и заставляет магнитную жидкость собираться в отдельные уплотняющие кольца с очень маленькими промежутками между ними. Когда эта уплотняющая система подвергается большой разности давления, уплотняющие кольца пропускают газ в промежутки и затем снова смыкаются. Таким способом можно удерживать давление без утечки более 100 кПа на сантиметр длины вала; см. по этому поводу работу (Rosensweig, 1971). Состояние технологии уплотнителей на магнитной жидкости дано в обзоре (Moskowitz, 1975); применения магнитных жидкостей в качестве смазки и для демпфирования обсуждаются в работе (Ezekiel, 1975).
Некоторые другие подробности этих замечательных идей и примеры применения пассивных подшипников на магнитной жидкости и другие близкие примеры можно найти в работе (Rosensweig, 1978а). Этот принцип используется при флотации инертной массы, всплывающей из-за магнитной силы во вращающейся камере, заполненной магнитной жидкостью, а также для вязкого демпфирования нежелательных вибраций, какие бывают в цифровых станках и графопостроителях.
Полная сила, действующая на однородное мягко намагничивающееся тело, рассматривалась Берном (Byrne, 1977).
В электрогидродинамике (ЭГД) на поляризующиеся частицы в непроводящих диэлектрических жидкостях действует сила диэлектрофореза. В сильных неоднородных электрических полях незаряженные капельки и пузырьки могут левитировать в жидкости при помощи силы диэлектрофореза. Это явление, аналогичное левитации в ФГД, имеет применения в лазерной технологии, в процессах разделения газов и жидкостей. По этому поводу имеется работа (Jones, Bliss, 1977).
Многие интересные и важные задачи гидродинамики в ЭГД и ФГД возникают в связи с наличием поверхности раздела фаз. Так, строгое математическое описание динамики поверхности раздела очень важно для количественного описания рассмотренных здесь явлений. Полная общая формулировка динамики немагнитной ньютоновской жидкости с поверхностью раздела, включающая вязкие нормальные напряжения, имеется в работах (Scriven, 1960; Higgins, Scriven, 1979). Хотя во всех примерах, рассмотренных в этой главе, капиллярное давление не играет роли, его влияние более важно в многочисленных задачах об устойчивости поверхности раздела, как будет видно в гл. 7.
Магнетокалорическоепреобразование энергии
Некоторые магнитные материалы при помещении в магнитное поле нагреваются и охлаждаются, когда их вынимают из поля. Это явление известно как магнетокалорический эффект. Для данного материала чем больше изменение магнитного поля, тем больше магнетокалорический эффект.
Это явление впервые объяснено в 1918 г. Пьером Вейсом и Августом Пикаром. Тем не менее за четверть века до этого Томас Эдисон (1887) и Николай Тесла (1890) осознали возможность применения этого эффекта и независимо друг от друга, но без успеха попытались заставить работать тепловые машины для производства энергии. В 1926 г. Петер Дебай и Уильям Джиокм также независимо предложили, как с помощью одноступенчатых циклов охлаждения можно уменьшить температуру исследуемых образцов от 1 К до малых долей Кельвина. Джиокм и Дункан Макдугалл экспериментально реализовали этот метод в 1933 г.
Не так давно появилась новая идея, как магнитное преобразование тепла в работу (или, наоборот, охлаждение) сделать эффективным при нормальных или повышенных температурах при помощи регенерирующего теплового обмена на одном этапе процесса (Resler, Rosensweig, 1964, 1967). Показано, что возможно прямое и эффективное преобразование тепла в работу без движущихся механических частей. Предполагалось, что магнитное вещество может течь по трубам и изгибам труб и менять свою форму. Так появилась идея магнитной жидкости. Много еще нужно сделать, чтобы использовать магнитную жидкость для преобразования энергии; в частности, нужно улучшить ее характеристики. Тем не менее в настоящее время уже возможны более скромные применения этих идей для усиления естественного конвективного охлаждения и для немеханического перекачивания жидкости.
В разд. 6.1 излагается термодинамика намагничивающихся сред с особым вниманием к правильному введению определяющих параметров среды. С полученными знаниями станет возможным разработать энергетические циклы и оценить количественно их термодинамическую эффективность; эта программа выполняется в остальной части главы.
ТЕРМОДИНАМИКА МАГНИТНЫХ МАТЕРИАЛОВ
Для анализа энергетических циклов, а также при рассмотрении термодинамических циклов с обычными газами и парами нужны выражения для притока тепла и работы, совершаемой магнитными материалами. Если W— работа, совершаемая единицей объема магнитного вещества, то ее изменение 6U7 представляется величиной —HdB, как это было показано при выводе уравнения (3.50). Среда далее будет предполагаться несжимаемой. Энергия поля и термодинамическое состояние рабочей среды, отнесенное к единице объема, меняются со временем периодически при циркулировании среды в системе; для анализа используется точка зрения Лагранжа. При помощи выражения B = po(^ + Af) изменение 6W можно представить в виде —p^HdH—p^HdM*, при интегрировании по всему циклу первый член исчезает, т. £.^ \цН dH = й. Таким образом, при анализе цикла можно записать
6W = -pt0HdM.(6.1)
В качестве параметров состояния выбираем величины Н, М и температуру Т. Эти три параметра связаны уравнением состояния
М = М(Н, Г),(6.2)
где Н и Т считаются независимыми переменными. При помощи уравнения (6.2) выражение (6.1) можно записать в виде
(63)
Выражение для притока тепла к среде через дифференциалы Т и Н записываются в виде
6Q = с (Н, Т) dT + g Ш, Г) dH,(6.4)
где с^Н, Т) — удельная теплоемкость магнитного материала при постоянном Н, которая в общем случае является функцией Н и Т, так же как и функция g, вид которой будет найден ниже.
Если ввести внутреннюю энергию магнитного вещества [/, то эти соотношения можно дополнить формулировкой первого закона термодинамики, который записывается в виде dU=bQ-bW=\c-V^H (-^-) J^H- [g+n0/7 (-^-)г]^Я. (6.5) Так как dU есть полный дифференциал некоторой функции Т и Н, то, записав его полное выражение и сравнив его с выра-
жением (6.5), получим очевидные равенства:
(я,-с+^(^)„’№
Смешанные вторые частные производные
Г д / ди \ ]Г д / ди \ 1
VdH 1 дТ )нАт И L дТ 1 дН JtJh
равны; следовательно, из соотношений (6.6) и (6.7) получается
зависимость
Ш$.--(£).-'6-8>
Второй закон термодинамики утверждает, что дифференциальная форма для 6Q в любом обратимом процессе имеет интегрирующий множитель 1/Г, а энтропия S определяется выра-
жением
ds =-^- = -^dT + ^dH,(6.9)
где
уЦ^ЛJL/jg.1)(6,10)
T \дТ J Нт \дН )т7
Энтропия также имеет полный дифференциал, поэтому
(^.\=(^\_^.(6.11)
ХдН )т \ дТ )н Тх 1
Объединяя выражение (6.8) и (6.11), найдем
ц-»«т^н-(6.12)
(»г=и^ь«базу
МЕХАНИЗМ ПРОИЗВОДСТВА ЭНЕРГИИ
Рассмотрим процесс, изображенный на рис. 6.1. Холодная магнитная жидкость втягивается во внутреннее пространство соленоида и, таким образом, она приводится в движение. Внутри соленоида жидкость нагревается; нагреваясь, она достигает температуры Кюри 0 и ее намагниченность уменьшается. Такая температурная зависимость изображена на рис. 6.2 и представлена в табл. 6.1 (Bozorth, 1951) для железа, никеля и кобальта; все они следуют одной универсальной кривой, выражающей закон Кюри — Вейса.
Применяя ФГД уравнение Бернулли для точек сечений 1 и 2 на рис. 6.1, пренебрегая любым изменением потенциальной энергии в поле сил тяжести и предполагая постоянство кинетической энергии в трубе постоянного сечения, получим
Р\ = Р*2 — (6.14)
так как сечение 1 находится вне поля. Аналогично применяя ФГД уравнение Бернулли к точкам сечений 3 и 4, получим
Р;-^(мн^ = Р;.(6.15)
Внутри соленоида ФГД уравнение Бернулли неприменимо, так как здесь не выполняется условие изотермичности течения,
Рис. 6.1. Магнетокалорический насос. Внешний источник тепла нагревает жидкость между сечениями 2 и 3. Магнитная сила приводит жидкость в движение, увеличивая ее давление. Здесь нет движущихся механических частей.
предполагавшееся при его выводе. Вместо использования этого уравнения вернемся к уравнению движения (4.72) и, пренебрегая ускорением жидкости, трением и силой тяжести, найдем, что для внутренней области соленоида выполняется следующее уравнение:
О — - ^р* л Ц^Н. (6.16)
Более того, Так как поле внутри соленоида однородно, то V/7 = 0 и, следовательно, р* = р*у Теперь можно вычислить изменение давления между сечениями 4 и 1:
^P = р, - рх = р0// [М (Т^-М (Т4)] = ИоЯ АМ. (6.17)
Устройство, изображенное на рис. 6.1, является аналогом камеры сгорания и компрессора обычной турбины энергетической системы. На примере этого простого устройства была продемонстрирована возможность преобразования тепла в механическую энергию.
Таблица 6.1. Температура Кюри и намагниченность насыщения ферромагнитных материалов
Вещество
6, к
^O^S’ Тл
।Вещество
6, К
Ц0М$, Тл
Диспрозий
88
3,67
|1 Магнетит
858
0,56
Гадолиний
292
2,59
1 Железо
1043
2,18
Никель
631
0,64
Кобальт
1393
1,82
Чтобы иметь представление о величине Др, получаемой по формуле (6.17), рассмотрим табл. 6.2, в_которой приведены результаты вычислений для величины роЛМ = 0,0637 Тл (637 Гс)
Рис. 6.2. Намагниченность домена как функция температуры; не все материалы следуют универсальной кривой (Heck, 1974).
при некоторых характерных значениях поля. Поле 2 Тл — это поле типичных лабораторных магнитов с железным ярмом; 20 Тл дают хорошие сверхпроводящие магниты; и те и другие явля-
Таблица 6.2. Увеличение давления в магнитной жидкости в подогретой части
Ар
Тл
Гс
Н-м”2
атм
м НгО
2
20 000
ю5
1
10
20
200 000
106
10
104
50
500 000
2,5- 106
25
259
ются стационарными источниками поля. Однако поле 50 Тл — это характерное поле так называемых импульсных магнитов. Высоту эквивалентного водяного столба в последнем столбце таблицы можно сравнить с высотой 51 м Ниагарского водопада.
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ
Вблизи температуры Кюри 0 в качестве уравнения состояния вполне достаточно взять линейное уравнение состояния, хорошо аппроксимирующее кривую на рис. 6.2 и представляющее намагниченность в виде
или М = К^ — ТУ(6.18)
Величина К называется пиромагнитным коэффициентом. Так как М — линейная функция Г, то из уравнения (6.13) следует (дс/дН)т = 0. Таким образом, для линейного уравнения состояния имеет место равенство
с = с(Г) = с0,(6.19)
где Со — обычная удельная теплоемкость вещества. Из уравнения (6.12) также следует, что функция g имеет вид
§__^Т.(6.20)
Для энтропии S соответственно получается выражение
S = с0 In 71 — рцКН + const.(6.21)
Первое слагаемое в выражении (6.21) известно из обычной термодинамики и показывает увеличение энтропии с температурой. Знак минус перед вторым слагаемым объясняется тем, что магнитное поле выстраивает магнитные диполи вдоль магнитного поля и, таким образом, уменьшает беспорядок в системе, мерой которого является энтропия.
Чтобы несколько осмыслить происходящие здесь изменения температуры, рассмотрим процесс охлаждения при выдвижении магнитного вещества из магнитного поля Н. Для адиабатического изменения состояния вещества имеет место равенство
с0 In Tt - ^KHi = со In Tf - ^0KHf,(6.22)
где индексы l и f указывают на исходное и конечное состояния соответственно. Положив 7\ = 0, Ht = H и используя обозначения Tf = T, Hf — О, получим
Т = 6e-^Hlc\(6.23)
Изменение температуры
A7ad = 0 - Т = 0 (1 - е-^н^(6.24)
называется адиабатическим изменением температуры. Если рассматриваемый материал — железо, для которого 6= 1043 К, с0 = 6,7-106 Дж-м“3-К-1 и К= 17 500А-м-1-К"1 (220 Гс-К"1), и если магнитное поле создается, например, сверхпроводящим магнитом с ро/7 = 2О Тл (203 0Э0 Гс), то адиабатической скачок температуры равен
ATad = 53 К. (6.25)
Это значение представляет заметное изменение температуры вещества и побуждает к дальнейшему развитию этой идеи, которое здесь и будет продолжено.
ОБЩИЙ АНАЛИЗ ЦИКЛА
Рассмотрим энергетический цикл, состоящий из двух изотермических процессов, состыкованных с процессами при постоянном поле Н, как показано на рис. 6.3. Последовательность про-
Рис. 6.3. Термодинамический цикл для магнетокалорической тепловой машины (Resler, Rosensweig, 1967).
цессов, которым подвергается объем жидкости в цикле, начинающемся в точке 1, следующая:
1-> 2, тепло отводится при постоянной температуре, жидкость входит в магнитное поле;
2->3, тепло подводится при постоянной величине поля;
3->4, тепло подводится при постоянной более высокой температуре, жидкость выходит из поля;
4-^-1, тепло отводится при отсутствии магнитного поля.
Найдем выражение для работы, совершаемой в цикле. Интегрируя выражение для величины работы (6.1), получим
И^сус = -^0Н dM.(6.26)
При помощи соотношения d(MH) = MdH + HdM, проиллюстрированного на рис. 6.4, выражение (6.26) можно записать в виде
Wcyc = ^u0MdH,(6.27)
так как интеграл по всему циклу от полного дифференциала равен нулю. Просуммировав теперь все вклады в интеграл (6.27)
Рис. 6.4. К выводу выражения для магнитной работы в цикле.
и учитывая, что поле Н постоянно на участках 2-^3 и 4-^/, получим
24
№сус = ^0М dH + J ц0М dH =
13
н
= Ио J [М (Я, Л) - М (Я, Т4)] dH. (6.28) о
Полученный здесь результат эквивалентен результату (6.17), полученному с помощью уравнения движения.
Выражение для работы, выполняемой в цикле, можно было бы также получить суммированием тепловых эффектов. Это мы сейчас и продемонстрируем, так как это — полезное упражнение. Из первой части уравнения (6.5) и однозначности функции U следует
^ dU = 0 = ^ bQ — ^ 6W или $6H7 = $dQ. (6.29)
Из уравнений (6.4) и (6.12) следует
6Q = с Ш, Т) dT + ЦоТdH; (6.30)
уравнение (6.13) имеет вид
Интегрируя (6.30), получим
$ 6Q = ( Ц0Т (^)н dH+\cdT +12
+ \ус0Г(^наН+\сйт = 34
Н о Та + J \с^Н, Г)-с (0, T^dT.(6.33)
Тх
Из уравнения (6.31) следует выражение
с (Н, Т) = с (О, Л + S ИоГ dH, (6.34) О
и если его применить к (6.33), то выражение для работы, совершаемой в цикле, примет вид
+ $ Т ^^-^ dlldH. (6.35) ТхJ
Значительное упрощение этого результата можно получить, если заметить, что
(Л) = (т-^А + ( 4т (T^7‘^dT =
V дТ /4 к дТ А 1 J дТ к дТ /
Тх
ТаТа
/ дМ , Г т д2М . Г дМ
= V 'дГ)1+ \T-№dT+ ^-^-dT.(6.36)
ТхТх
Следовательно, н / т< хн / тк X
^6Q = n0^ (- $ ^dAdH = -^ 5 ( $ dM\dH =
О Г,'О 'Г,'
н
= p0J W, TxV-M^H, T^dH,(6.37)
что совпадает с результатом (6.28).
(6.38)(6.38)Вычислим коэффициент полезного действия (КПД) цикла ц по его стандартному определению
(6.38)
(6.38)
Л = Й^сус/Qadd»
Интегрируя выражение (6.30), используя уравнение (6.37) и равенства ТХ = Т2 и Т^ = Т^ получим, что КПД цикла, изображенного на рис. 6.3, дается общей формулой
fя)
Л = ] Но $№(//, Тх^-М^Н, T4)w[x
I о'
г Г4Н-р1
X И С (Н, Г) dT - ЦоЛ $ (1т)/Н.(6.39)
Lt!оJ
КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ ЦИКЛАДЛЯ МАТЕРИАЛОВ С ЛИНЕЙНЫМИ СВОЙСТВАМИ
(6.40)(6.41)(6.40)(6.41)Если уравнение состояния имеет вид (6.18), то с = с(Т) = с0. Коэффициент полезного действия (6.39) для линейного уравнения состояния при постоянном Со имеет величину
(6.40)
(6.41)
(6.40)
(6.41)
с0(ТА-Тх^ + ^КНТА
Пс
1 + ПС Mvi0KH) ’
где т|с = (Т4 — Тх)/Та — КПД цикла Карно. Таким образом, видно, что рассматриваемый здесь цикл менее эффективен, чем цикл Карно при той же разнице рабочих температур.
Если рабочий материал цикла — железо, а величина поля р,(Д = 20 Тл, то КПД цикла Карно т]с = 0,25 и для рассматриваемого здесь цикла (6.41) дает т] = 4,3%. Это значение заметно меньше того, которого бы нам хотелось (но см. разд. 6.6).
КОЭФФИЦИЕНТ ПОЛЕЗНОГО ДЕЙСТВИЯ ЦИКЛАС РЕГЕНЕРАЦИЕЙ
Ключ к достижению высокой термодинамической эффективности магнетокалорической системы — это использование цикла с регенерацией. Проанализируем этот способ, оставаясь в рамках приближения постоянства величины пиромагнитного коэффициента. Выражение для притока тепла (6.30), записанное для линейного материала, имеет вид
6Q = с0 (Г) dT - роЛТ dH, (6.42)
где первый член — приток малого количества тепла в процессе при постоянном Н, а второй член — приток малого количества тепла в изотермическом процессе. Полный тепловой эффект вдоль каждого участка процесса, изображенного на рис. 6.3,
можно представить в виде
Q\i= — \1qKTХН(изотерма;теплоотводится),(6.43)
Q23 = со(Г4 — TJ(постоянное поле; тепло подводится),(6.44)
Qz^^KT^H(изотерма;теплоподводится),(6.45)
Q41 = — с0(Г4 — ГО (поле постоянно; тепло отво
дится),(6.46)
где с0 полагается постоянной. Заметим, что приток тепла на участке между изотермами при большой величине поля Q23 в точности равен теплу, отводимому на участке между теми же изотермами при нулевой величине поля Q4i. Следовательно, если подключить регенерирующий цикл так, чтобы внутри системы циркулировало тепло, чтобы отводимое тепло Q41 использовалось в качестве подводимого тепла Q23, то работа, совершаемая циклом, остается такой же, но полное количество тепла, нужное для подвода из внешнего источника, уменьшается:
Qadd -= ^Т^Н,(6.47)
^Сус=^Я(Г4-Г1);(6.48)
коэффициент полезного действия цикла с идеальной регенерацией т]я имеет значение
Ля = liWQadd = (Г4 - ТХЖ = Пс-(6.49)
Итак, идеальная регенерация в принципе делает возможным коэффициент полезного действия, как у цикла Карно; более эффективной тепловой машины не существует.
РЕАЛИЗАЦИЯ ЦИКЛА
На рис. 6.5 изображена функциональная схема системы, предназначенной для выполнения магнетокалорического энергетического цикла рис. 6.3 с регенерацией. Магнитная жидкость циркулирует через соленоид, где она нагревается от температуры Л до Г4, течет в холодильник, где она охлаждается от температуры Т^ до Ть затем проходит сквозь нагрузку (аналогичную турбине в обычной энергетической системе), где выполняет
Рис. 6.5. Контур с одной циркулирующей жидкостью, реализующий магне- токалорический энергетический цикл с регенерацией.
полезную работу и снижает свое давление от р4 до рь В холодильнике, где нет поля, тепло отводится от магнитной жидкости под действием некоторого перепада температур MR и подводится к магнитной жидкости в магнетокалорическом насосе, где есть поле; для идеальной регенерации Mr должно быть равно нулю. Необходимость перенесения тепла через границу поля в некоторых системах составляет затруднение.
В качестве возможной альтернативы вторая жидкость, действующая как теплообменная среда, циркулирует в противоположном направлении относительно течения в контуре с магнитной жидкостью, как показано на рис. 6.6. Теплообменная жидкость циркулирует сквозь соленоид, где она охлаждается в идеальном случае от Г4 до Гь затем проходит через теплоотвод, потом поступает в холодильник, где она нагревается от Т{ до Г4 тепловым контактом с магнитной жидкостью. Наконец, теплообменная жидкость проходит через тепловой источник, который может быть источником традиционным, ядерным, солнечным или любым другим.
Для практической реализации идеи регенерации разность температур MR должна быть достаточно велика, чтобы создать теплообмен между текущими жидкостями, в противном случае поверхностная площадь теплообменного устройства становится чрезмерно большой. Магнитная жидкость участвует в таких же процессах, как и в цикле с идеальной регенерацией, но количество подводимого к системе тепла увеличивается на величину nc0MR, где п— число контуров с жидкостью, равное 1 для си-
Рис. 6.6. Контур с двумя жидкостями, реализующий магнетокалорический энергетический цикл с регенерацией.
стемы на рис. 6.5 и 2 для системы на рис. 6.6. Коэффициент полезного действия системы в этих случаях равен
__ ^оКН (Т А Г1)__Ис /с кт
Л ^KT4H + nc0MR 1 + (лг0ДГд)/(ц0/<//Г4) •^ Ои^
Так как в системе с двумя циркулирующими жидкостями тепло переносится в два этапа, то для нее КПД (6.50) будет меньше, чем для системы с одной жидкостью. Эффективность цикла с регенерацией, в котором жидкость входит и выходит на участки цикла с постоянным полем адиабатически, еще меньше, так как часть подводимого тепла теряется термодинамически необратимо. Однако отмечается (van der Voort, 1969), что выбором конфигурации поля можно избежать потери в эффективности цикла.
РЕЗЮМЕ
Описан новый тип тепловой машины без движущихся механических частей и потенциально имеющий высокую надежность. В этой магнетокалорической энергетической системе для преобразования тепла в полезную работу используется температурная зависимость намагниченности. Проведен теоретический анализ коэффициента полезного действия вполне возможного на
практике цикла для материала с простым линейным уравнением состояния. Если цикл обратить, то получается или устройство для охлаждения, или тепловой насос.
Магнетокалорические энергетические устройства используют температурную зависимость магнитного момента для преобразования тепла в полезную работу. Аналогичным образом, в сегнетоэлектрических устройствах может использоваться для той же цели изменение электрического момента среды. Обобщение проведенного анализа на случай сегнетоэлектриков при отсутствии эффектов пространственного заряда производится непосредственным образом (заменой Н на Е, М на Р/г0 и р0 на е0). Чтобы исключить эффекты пространственного заряда, следует использовать переменное электрическое поле с частотой со, большей, чем обратное время диэлектрической релаксации жидкости о/е.
ЗАМЕЧАНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Изложение в этой главе следует работам (Resler, Rosen- sweig, 1964, 1967). Во второй работе также выводятся соотношения для материала с нелинейным законом намагничивания (Вейса). Интересно отметить, что в то время, когда была опубликована первая статья, устойчивые концентрированные коллоидные магнитные жидкости еще не были синтезированы. Реслер и Розенцвейг предположили возможность существования такой рабочей среды, как коллоидная магнитная жидкость, чтобы удовлетворить требованиям теплообмена цикла регенерации.
Экспериментальный конвертер без регенерации, в котором магнитная жидкость на органической основе подогревалась в магнитном поле 0,8 Тл, вырабатывал стационарное течение жидкости с термическим изменением намагниченности 0,00137 Тл; по этому поводу имеется работа (Rosensweig, Nestor, Timmins, 1965). Японские инженеры разработали магнетокалорический тепловой насос для охлаждения электронного оборудования; см. работу (Matsuki, Yamasawa, Murakami, 1977). Исследователи из США изучили это применение магнитной жидкости для насоса с солнечным коллектором.
Концепция устройства для ядерного космического генератора энергии содержится в работе (Van der Voort, 1969). Магнетокалорический насос предлагался для ядерных реакторов, чтобы использовать имеющиеся сильные магнитные поля и полностью, насколько это возможно, утилизировать тепло реактора, для выработки электроэнергии; по этому поводу см. работу (Roth, Rayk, Reinmann, 1970).
Если добиться устойчивости суспензии ферромагнитных частиц в жидких металлах, хотя бы так, чтобы мелкие частицы
просто оставались взвешенными, то это явилось бы важным шагом к получению электрической энергии из тепла без промежуточных механических этапов. О некоторых попытках разработки магнитных жидкостей на жидком металлическом носителе для увеличения скорости теплопереноса и уменьшения размеров аппаратуры сообщается в работе (Popplewell, Charles, Chantrell, 1977).
Исследования в этой области резко оживились при появлении магнитов с сильными полями (до 10 Тл) и чистых редкоземельных элементов, как, например, гадолиния. Одно предложенное устройство, представляет собой колесо, ободок которого составлен из пористого гадолиния, вращается через магнитное поле, образуя магнитный цикл Брайтона, а магнитная жидкость циркулирует в качестве теплообменной жидкости, позволяя избежать некоторых проблем управления течением. Достижения группы из Лос-Аламоса представлены в работе (Barclay, 1982).
Термомагнетофорез — явление движения частиц магнитной жидкости под действием градиента температуры в однородном магнитном поле — теоретически рассматривался в работе (Blums, 1980).
Задачи об устойчивостив феррогидродинамике
До сих пор рассматривались эффекты непосредственного действия магнитных полей на жидкость. Теперь мы рассмотрим случай, когда магнитные жидкости не просто отзываются на приложенное магнитное поле, но в свою очередь возмущают поле так, что вся картина течения резко меняется. Будет показано, как общее правило, что если некий характерный параметр системы меняется непрерывным образом, то, как только достигается критическая точка, конфигурация жидкости резко меняется. Такой переход, известный как бифуркация, приводит к установлению нового состояния: стационарного течения, периодического во времени или, в некоторых случаях, апериодического течения.
Знание природы явлений неустойчивости позволяет понять причины нарушения симметрии физических систем в общем и предложить способы расширения рабочего диапазона параметров стационарных магнитных течений. Другими словами, вызывать неустойчивость, лишь когда это надо.
В отсутствие магнитного поля некоторые из рассматриваемых здесь задач об устойчивости хорошо известны как задачи Рэлея—Тейлора и Кельвина — Гельмгольца. В первой рассматривается устойчивость слоя тяжелой жидкости, находящейся выше слоя более легкой жидкости под действием внешней силы, перпендикулярной границе слоя; во второй — поведение плоской поверхности раздела между жидкими слоями, движущимися с разными скоростями. Будут и другие примеры. В этой главе планируется проанализировать задачи, достаточно простые, чтобы получить аналитическое решение, но с достаточно богатым физическим содержанием, чтобы быть полезными для практики. Первая задача, которая будет рассмотрена, занимает в ФГД такое же место, как задача о конвективной неустойчивости вследствие изменения плотности в гидродинамике конвективного теплопе- реноса. Задачу об устойчивости вследствие изменения плотности обычно называют задачей Бенара, хотя то, что наблюдал Бенар, вызывалось градиентом поверхностного натяжения.
ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИВ ОРТОГОНАЛЬНОМ ПОЛЕ
Однородное магнитное поле, приложенное перпендикулярно плоскому слою магнитной жидкости, вызывает спонтанное образование на ее поверхности упорядоченной структуры из острых ликов, когда величина поля превышает критическое значение.
г
Рис. 7.1. К анализу устойчивости поверхности магнитной жидкости во внешнем однородном ортогональном магнитном поле. Поверхность остается плоской, пока напряженность поля не превысит некоторое критическое значение.
Фотография поверхности в отраженном свете будет показана на рис. 7.7.
На рис. 7.1 изображен первоначально плоский слой магнитной жидкости, занимающий полупространство 2 < 0. Представим себе, что жидкость-носитель имеет столь малое давление паров, что немагнитная фаза, занимающая верхнее полупространство (г>0), может адекватно моделироваться вакуумом. Исследуем устойчивость равновесия слоя жидкости в присутствии силы тяжести, поверхностного натяжения и намагничивающего поля.
При анализе устойчивости будут рассматриваться только малые изменения формы поверхности; такой анализ называется линейным, или анализом слабых возмущений. Амплитуда искривления поверхности представляется в виде суммы гармонических слагаемых — такую процедуру всегда можно выполнить: она не зависит от предположения о линейности задачи. Однако линеаризация системы уравнений позволяет рассматривать каждую гармонику отдельно, и внимание можно будет сосредоточить на эволюции наиболее быстро растущих возмущений, которые и определяют всю картину движения.
Анализ устойчивости проведем здесь подробно, чтобы хорошо ознакомиться с общей техникой решения разных задач об устойчивости.
Система уравнений
Уравнения, описывающие движение магнитной жидкости, в форме, удобной для применения к данной задаче, были выведены выше, как уравнения (1.27) и (4.74); мы их здесь для удобства повторим.
Уравнение неразрывности (для несжимаемой жидкости)
V-v = 0.(7.1)
Уравнение движения
Р (^7 + v • Vv) = — V (р0 + ps + pgz);(7.2)
причем в уравнении (7.2) учитывается выражение для материальной производной по времени (4.57) и предполагается, что жидкость невязкая. Другими уравнениями являются уравнения, описывающие магнитостатическое поле, выведенные в форме (3.36) и (3.37):
Закон Гаусса
V-B = 0.(7.3)
Закон Ампера (токов нет)
VXH=0.(7.4)
Баланс сил на поверхности раздела
Так как немагнитная фаза — вакуум с давлением ро=О, то соотношение (5.24) можно записать в виде
P0^Ps^Pm^XI^X-^a = ^<7'5)
это соотношение является граничным условием для рассматриваемой задачи. Индекс 1 в первом слагаемом опущен, так как имеется только одна жидкая фаза и все члены уравнения относятся к этой фазе. В рассматриваемом соотношении 36— средняя кривизна поверхности, которая по определению положительна, когда нормаль направлена наружу с выпуклой стороны поверхности.
При помощи геометрии поверхностей получим выражение для средней кривизны поверхности 36 в более удобной форме, чем выражение (5.8). Вывод этого соотношения требует некоторого отступления от темы раздела, но это стоит сделать, так как результат будет широко использоваться.
Рассмотрим полную силу поверхностного натяжения, действующего вдоль замкнутого контура, ограничивающего часть
Рис. 7.2. К выводу выражения для капиллярного давления (7.10).
поверхности S (рис. 7.2). Плотность нормальной силы на поверхности раздела рс можно представить в виде
<7-6’
где t — единичный вектор, перпендикулярный границе / и тангенциальный к поверхности S, т. е.
t = d\Xnldl;(7.7)
поэтому плотность нормальной силы (7.6) можно переписать в виде
Нт^Х-),,,.(7.8)
В обобщенной формулировке теоремы Стокса (см. Gibbs, 1906) утверждается, что
фб/1 X А = J (n X V) X A dS = - J nV • A dS + J (VA) • ndS. (7.9) sss
Здесь А— любой вектор. Пусть A = n, тогда, стянув поверхность S в точку, с учетом равенства (Vn) • n = V (п • п) = 0 получим
рс = — onV • п;(7.10)
это выражение показывает, что напряжение рс направлено по нормали к поверхности. Сравнение полученной формулы с выражением для рс (5.9) показывает, что среднюю кривизну поверхности 36 можно записать в виде
2^ = V . п.(7.11)
Это выражение пригодно для вычисления плотности поверхностной силы в различных системах координат как для мало искривленных, так и для сильно искривленных поверхностей.
Один удобный способ описания формы и положения свободной поверхности состоит в использовании соотношения, выражающего одну координату поверхности через две другие, например, в декартовой системе координат г = 20(х, у). Такой способ описания известен как представление Монжа. Соответственно уравнение 2— 2о(х, у) = const описывает поверхности с той же самой формой, но смещенные, если константа отлична ют нуля. Поэтому вектор V[2— 20(х, у)] перпендикулярен поверхности раздела, а распределение вектора единичной нормали к поверхности описывается выражением
n = V [5 — г0 (х, #)] = k — (dz0/dx) i — (dz0/dy) jj
| V [2 - Ze (X, y^ I [l + ^o/^ + CdZo/dy)2]72 '’
•Соответственно уравнение, описывающее удвоенную среднюю кривизну поверхности, согласно выражению (7.11) имеет вид
-2^ = Н1 +f-^ Y1- 2 ^-^/^-+
\ ду / J дх2 дх ду дхду
+[* + (»]^}[1 + (»2+ОУГ-
К счастью, нам здесь понадобится лишь линеаризованная форма этих соотношений:
Вернемся теперь в основное русло анализа; с учетом выражения (7.15) уравнение баланса сил на поверхности раздела преобразуется к виду
Рй + Ps + Pm + Чг^оМп + о ^^Г + "5^) = ®- (7-16)
Кинематика
В качестве другой заготовки выведем кинематическое уравнение, связывающее величину отклонения поверхности со скоростью прилегающей к ней жидкости. Если форма и положение поверхности со временем меняется, то соответствующее уравнение поверхности записывается в виде
(7.17)(7.17)z = z0(x, у; t).
(7.17)
(7.17)
Если ввести функцию Монжа уравнением F^x, у, г; /) = = z— 20(х, у; t), то DF/Dt = G для любой точки поверхности; следовательно, кинематическое условие на поверхности имеет вид
DF dF IЛ dF If
DF = ^r + vi-VF = 0 = ^r + v2-VF,(7.18)
где Vi и v2— скорости жидкостей обеих фаз. Так как вектор VF/|VF| перпендикулярен поверхности раздела, то уравнение (7.18) допускает возможность проскальзывания на поверхности раздела; если рассматривается течение вязкой жидкости, то необходимо привлечь дополнительное условие непрерывности тангенциальной компоненты скорости на свободной поверхности.
С учетом определения функции F из уравнения (7.18) имеем
-т+»4-»+'’Д-»+”«<|»=0- <719>
Это уравнение можно преобразовать к виду
dz0 ,dzQ , dz0<■
vz =+ Ух>(7.20)
2 dt 1 х дх 1 У дуv 7
v = vj + vyj + vzk. Здесь будет использоваться линеаризованная форма уравнения (7.20):
vz = dzjdt.(7.21)
Решение для поля скоростей
Уравнение (7.2), описывающее движение магнитной жидкости, можно записать в виде
р (dv/d/ + v • Vv) = -Vn,(7.22)
где П = ро + Ps + pgz. Удобно представить любую величину в виде суммы ее значения в невозмущенном состоянии и малого возмущения — с этого обычно начинают линейный анализ устойчивости к возмущениям. Таким образом, скорость v и полное давление П можно записать в виде
v^Vq + vi и П = ПО + ПЬ(7.23)
где индекс 0 указывает на значение в невозмущенном состоянии, а индекс 1—на возмущение. Таким образом, уравнение движения с учетом отсутствия движения в начальном состоянии (v0 = 0) преобразуется к виду
р (dvjdt + vi • VvJ = -Vn0 - Vnb(7.24)
Из уравнения (7.22) следует, что в равновесии ?По = О, поэтому По постоянно. Условие постоянства По и тот факт, что Vi • Vvj
является величиной второго порядка малости по сравнению с dvjdt, позволяет записать уравнение (7.24) в виде
9dvJdt = ^Hx.(7.25)
Взяв дивергенцию от уравнения (7.25) и учитывая уравнение неразрывности V-Vi = 0, найдем, что IIi удовлетворяет уравнению Лапласа
7% = 0.(7.26)
Теперь предположим, что возмущение полного давления можно представить в виде суммы нормальных мод:
П1 = П1(г)£’,(7.27а)
где
Е = Re exp [/ (со/ — кхх — kgy^;(7.27b)
здесь Re обозначает вещественную часть комплексной функции; допускаются комплексные значения величины со = у— iv, где у и v — вещественные числа; П1(2)—амплитудная функция, зависящая от г. (В добавлении к главе подробно рассматриваются волны возмущения; читателю, не владеющему этим материалом, рекомендуется остановиться и ознакомиться с ним для ясного понимания предмета.)
Выражение (7.27) должно удовлетворять уравнению (7.26); •следовательно, амплитудная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению
d2nJdz2-k2YYv = 0,(7.28)
где к2 = к2+к2. Уравнение (7.28) имеет решение
П, (?) = A,ekz + Л2е~*г,(7.29)
где А у и Л2 — константы, а к положительно. Чтобы исключить бесконечно большое значение П1 при 2, стремящемся к большим отрицательным значениям, константа Л2 полагается равной нулю. Возмущение давления П1 принимает вид
п, = Аув^Е.(7.30)
Теперь рассмотрим проекцию уравнения движения на ось z: p^ = -^L = -A{tekzE.(7.31)
r dt дг1''
Интегрируя уравнение (7.31), получим
vz = -^^Edt = -^^E-HU, У, г).(7.32)
Функцию f(x, у, 2) положим равной нулю, чтобы ограничиться случаем анализа простых гармонических возмущений.
Положение свободной поверхности можно теперь связать с 2-компонентой возмущенной скорости при помощи кинематического уравнения (7.21); в первом порядке малости имеем
dz^dt = (v2)z=o = — (Л^/р/со) £;(7.33)
проинтегрировав это уравнение, получим
20 = (А^/рсо2)^.(7.34)
Это уравнение описывает форму возмущенной поверхности; его можно также записать через амплитуду отклонения 2о в виде
20 = 20£,20 = 20£,(7.35)
20 = 20£,
20 = 20£,
где 20 = Л^/рсо2. Подставляя выражение для Ах через 20 в уравнение (7.30), получим решение для полного давления Hj в виде П1 = (р(о2/^)^0?2£.(7.36)
Решение для возмущенного магнитного поля
Чтобы линеаризовать уравнения для магнитного поля, представим векторы поля в виде
В = В0 + Ь,(7.37)
Н = Но + h,(7.38)
где величины b и h предполагаются малыми по сравнению с Во и /70. Исходное магнитное поле однородно и направлено вдоль оси 2:
Но = №(7.39)
Из закона Ампера для магнитостатики следует
V X Н = V X Но = V X h = 0,(7.40)
следовательно, h можно выразить через потенциал возмущения магнитного поля:
h = -V(p.(7.41)
Уравнение (7.40) справедливо как для намагничивающейся среды, так и для расположенной выше области вакуума. Ограничимся рассмотрением среды с линейным соотношением В = pH, где ц = const. Это соотношение совместно с уравнением Максвелла V-B = 0 приводит к уравнению
VH-VHo-Vh = O.(7.42)
Объединяя последний результат с уравнением (7.41), получим, что магнитный потенциал возмущения магнитного поля также удовлетворяет уравнению Лапласа
V2(p = 0.(7.43)
Так как в вакууме над поверхностью раздела р, = |го, то уравнение (7.43) применимо в обеих областях пространства; так, если ф! — потенциал в магнитной фазе и <р2— в области вакуума, то можно получить следующие решения, аналогичные решению (7.36):
Ф! = ф,^ г, (7.44а) ф2 = ф220е-6г, (7.44b)
где ф1 и ф2 не зависят от координат; здесь учитывалось ограничение, что ф! и фг остаются конечными величинами вдали от поверхности раздела.
Граничные условия для векторов поля
Сначала рассмотрим граничное условие (3.9), которое утверждает, что тангенциальная компонента магнитного поля Н удовлетворяет условию [//<] = 0 или nX [Н] = nX(H2 — Hi) = 0. Из уравнения (7.14) следует, что
n = (nx, п.у, п^ = ^—д2й1дх, —dzjdy, 1);
кроме того, [Н] = Н2 — Н! = ([Яж], [77J, [77z]); поэтому
i: _^[/72]-[HJ = 0,(7.45)
У [Нж] + ^-[Я2] = 0,(7.46)
к: --^[Яу] + ^ЧЯх] = 0.(7.47)
Только два из этих трех соотношений независимы. Так как исходное поле направлено вдоль оси г, то с точностью до членов более высокого порядка имеем
\нл = \н0
(7.48)
[Hy\ = [hy.
(7.49)
[tfj=[ftx]
(7.50)
Следовательно, уравнения (7.45) и
(7.46) заменяются
уравне-
НИЯМИ
к+"-х]
= 0,
(7.45')
[^ + Н. £•]
= 0.
(7.46')
Теперь рассмотрим граничное
условие (3.8) для
вектора
магнитной индукции В: [Вп] = п • [В] = 0. Так как
[В] = в2 - В, = (В2, о - В,, о) + (Ь2 - bj.
ТОТОП-[В] = П-[Ь] = 0.П-[В] = П-[Ь] = 0.(7.51)(7.51)
ТО
ТО
П-[В] = П-[Ь] = 0.
П-[В] = П-[Ь] = 0.
(7.51)
(7.51)
С учетом выражения (7.14) уравнение (7.51) принимает вид
- % [^1 - ^г IM + ^ = °-(7-52)
Первые два слагаемых в уравнении (7.52) имеют второй порядок малости; поэтому в первом порядке малости имеем
(7.53)(7.53)1Ь2А = о.
(7.53)
(7.53)
Применение граничных условий для магнитного поля
Подставляя выражение для поля (7.41) в уравнение (7.45'), найдем
■^+//0 1^ = ^+/7о24^-(7.54)
ду 11 ду ду х дуv ’
Это уравнение при z = 0 при помощи соотношений (7.44) и (7.35) можно записать в виде
(Ф1 — ФгУ^о — ^оэ2 Яо, 1-(7.55)
Однако
следовательно,следовательно,^0, 2 = ^0, 2/Н0 — ^0, 2, #0, 1 “ ^0, 1/Но — ^0, b
следовательно,
следовательно,
Уравнение
(7.53) с учетом выражения (7.41)
принимает вид
dq>idq>2п
при 2=0-
(7.57)
Используя уравнения
решения (7.44) для потенциалов ф] (7.56) и (7.57) к виду
и фг, приведем
Ф1 — ф2 = М6,
(7.58)
— Н/Ml = ф2-
(7.59)
Разрешая
эти уравнения для фь найдем
ф1 = Л40/(1 + ц/ио).
(7.60)
а также
_ MqZqkz
(7.61)
Ф* — 1 + Ц/Цо ’
_ (ц/Цо) Mozo кг ф2~1 + ц/^е •
(7.62)
^0, 2 = ^0, Ь ^0, 2 “ ^> М0, 1 ^ ^0?
Ф1 — ф2 = 2оЛ4о при 2 = 0.(7.56)
Физическое представление о том, как влияет искривление поверхности на распределение поля, можно получить, рассматри-
вая уравнение (7.61) или (7.62) совместно с соотношением (7.53). Из этих уравнений следует, что компонента вдоль оси г возмущения индукции магнитного поля непрерывна на поверхности раздела и имеет величину
№2> Jo = (b2i 2)о = (Ho^z, 2)0 —
= Ио№) = ^.(7.63)
™ k dz Jo 1 + Цо/Нv 7
Уравнение (7.63) выражает тот факт, что магнитный поток концентрируется на гребнях возмущенной поверхности, так что Ь2
Рис. 7.3. Линии возмущенного магнитного поля сгущаются на гребнях волн.
имеет максимум там, где отклонение z0 максимально, как показано на рис. 7.3.
Теоретические результаты
Теперь у нас есть все необходимые выражения для подстановки в граничное условие для напряжений, которое и определяет критерий появления неустойчивости в ортогональном поле. Перепишем здесь для удобства уравнение (7.5):
Ро + Ps + Pm + УгЦэ^ — 25^о = 0;(7.64)
с учетом определений для П и рт имеем
п - pgz0 + ^МН + ЧгтМ - 23ёо = 0.(7.65)
Упростим слагаемые ц0МН и p.0Mnl2._
Сначала рассмотрим слагаемое р.0МН. Так как в рассматриваемой задаче Н = Нок + hxi + /iyj -+- hzk, то
Я = (Н-Н)1/2 = (/7о + ^Hoh^^-V члены более высокого порядка «
- Яо (1 + 2/i2/^0)V2 ~ Но + кг;(7.66)
здесь последнее преобразование выполнялось по формуле бинома. Тогда
Яо+АгЯ0^o+^Z
Ио-М^ = Но J M'dH' = \i0 j M'dH'-V^ J M'dH', ^-^ 00Ho
где M' и H'— переменные интегрирования. Взяв интегралы, получим
lx0MH = р0 (М Н)о + роЖ;(7.68)
намагниченность также представляется в виде суммы М = = Мо + т; если пренебречь величиной второго порядка малости piomh2l то выражение (7.68) принимает вид
^МН = р0 (МЩ0 + p0M0/iz.(7.69)
Теперь рассмотрим слагаемое р0Л4п/2. Так как МиН параллельны, то
М = Afok + тх\ + ти\ + т2к,(7.70)
а Мп с учетом выражения (7.14) записывается в виде
Мп = М • п — М^-\- тг + члены более высокого порядка. (7.71) Следовательно,
xI^Nfn = УгИо^оН- \цМ^т2-\- члены более высокого порядка.
(7.72)
Подставив выражения (7.69) и (7.72) в уравнение (7.65), получим
[По + Ро (AW)o + УгНо^о] +
+ (П1 — РёГ^0 + \цМйк2 + V4M^m2 — 2<^о) = 0. (7.73)
Выражение в квадратных скобках представляет собой величину, которая должна равняться нулю по граничному условию в ФГД для исходной плоской поверхности. С учетом этого результата, а также соотношения Ь2 = №(Нг + т2^ граничное условие для напряжений на поверхности раздела приводится к виду
П1 — pgz0 + Mob2 — 236 g = 0.(7.74)
Для слагаемых этого уравнения имеем: из уравнения (7.36) Щх)2=0 = (рю2,k) z0E, из уравнения (7.35) z0 = z0E, из уравнений (7.63) и (7.35)
а из соотношений (7.15) и (7.35) 23® = k2z0E. В результате подстановки найдем
^ - pg + л^Г ~ ^а = °-(7-75)
Небольшим преобразованием уравнения (7.75) получим выражение для зависимости частоты от волнового числа:
+(7.76)
Уравнение, выражающее такую зависимость, называется дисперсионным уравнением. Уравнения задачи (7.28) и (7.43) однородные и, кроме тривиальных решений П1 = 0 и ф = 0, допускают нетривиальные решения со значениями к и со, связанными уравнением (7.76). Дисперсионное уравнение (7.76) может, следовательно, рассматриваться как уравнение для собственных значений, а задача об устойчивости — как задача на собственные значения.
В отсутствие поверхностного натяжения (а = 0) и магнитного поля (Af = 0) уравнение (7.76) сводится к хорошо известному дисперсионному уравнению для волнового числа и частоты в гравитационной волне, когда длина волны мала по сравнению с глубиной жидкости [см., например, (Ландау, Лифшиц, 1954, стр. 56; Ламб, 1947, стр. 458)]:
m2 = gk.(7.77)
Согласно классификации табл. 7.1 (см. добавление к этой главе), v = 0, у=# 0, и поверхностные волны в такой системе распространяются без изменения амплитуды. Слагаемое гравитационной волны в уравнении (7.76) главное, когда к мало или соответственно когда длина волны велика (так как длина волны X = 2л/к).
Если, с другой стороны, наиболее существенны капиллярные эффекты, то
^2 = ^3^.(7.78)
такие волны называются капиллярными (Ламб, 1947, стр. 571)1}. Капиллярное слагаемое в правой части уравнения (7.76) главное, когда рассматривается распространение коротких волн. В этом случае поверхностные волны распространяются без изменения амплитуды.
Так как в уравнение (7.76) слева входит лишь квадрат величины о), а правая часть уравнения всегда вещественна, то о>
° В русском переводе аналогичная формула дана с опечаткой; см. книгу Ландау и Лифшица (1954, стр. 292).— Прим, перев.
может быть только вещественной или чисто мнимой величиной. Эти два важных корня записываются в виде
у (у вещественно);
—/v (v вещественно).(7.79)
Напомним, что, согласно уравнению (7.35), z0 = z0 Re exp [/(со/— — кхх — куУ^Х- Если величина со мнимая, то произвольное возмущение поверхности растет со временем как е^1. Поведение
Рис. 7.4. Дисперсионная кривая на плоскости со2, к. В верхнем квадранте v = 0 и ±у вещественны; в нижнем квадранте у = 0 и ±v вещественны.Рис. 7.4. Дисперсионная кривая на плоскости со2, к. В верхнем квадранте v = 0 и ±у вещественны; в нижнем квадранте у = 0 и ±v вещественны.
Рис. 7.4. Дисперсионная кривая на плоскости со2, к. В верхнем квадранте v = 0 и ±у вещественны; в нижнем квадранте у = 0 и ±v вещественны.
Рис. 7.4. Дисперсионная кривая на плоскости со2, к. В верхнем квадранте v = 0 и ±у вещественны; в нижнем квадранте у = 0 и ±v вещественны.
возмущения определяется расположением кривой дисперсионного уравнения на плоскости переменных со2, к (рис. 7.4). Для малых значений к график линеен, даже если есть магнитное поле. При больших значениях к капиллярное слагаемое главное и все кривые переходят в кубические кривые. Если магнитное поле отсутствует, то система, конечно, устойчива ко всем малым возмущениям. Однако при медленном увеличении магнитного поля квадратичное слагаемое начинает определять поведение кривых при средних значениях к. Как видно из рис. 7.4, переход от устойчивого состояния к неустойчивому происходит, когда одновременно выполняются следующие условия:
со2 = 0,(7.80)
д(о2/56 = 0.(7.81)
В точке перехода при увеличении намагниченности со переходит от вещественного (v = 0) к чисто мнимому значению (у = 0). Уравнения (7.80) и (7.81) являются условиями смены устойчи-
вости, выражения, введенного Пуанкаре при исследовании формы и устойчивости вращающихся капель. Применяя эти условия, получим
he = (pgioV'\(7.82)
^ = -^(!+^)(Р^)'/2.(7.83)
Критическое волновое число кс для задачи об устойчивости в ортогональном к поверхности поле аналогично критическому волновому числу в задаче Рэлея — Тейлора, которая будет рассматриваться в разд. 7.3. Урав
Яо Н^мЯо Н^мРис. 7.5. Определение хордовой и дифференциальной магнитных прони- цаемостей магнитной жидкости.Рис. 7.5. Определение хордовой и дифференциальной магнитных прони- цаемостей магнитной жидкости.нение (7.83) определяет критическое значение намагниченности, т. е. наименьшее значение намагниченности, при котором явление неустойчивости может наблюдаться. И действительно, эксперименты показали, что, когда намагниченность увеличивается от нуля с увеличением приложенного магнитного поля, поверхность жидкости, совершенно плоская во всем интервале напряженностей магнитного поля до не-
Яо Н^м
Яо Н^м
Рис. 7.5. Определение хордовой и дифференциальной магнитных прони- цаемостей магнитной жидкости.
Рис. 7.5. Определение хордовой и дифференциальной магнитных прони- цаемостей магнитной жидкости.
которого значения, при дости
жении этого значения неожиданно меняет форму; это — прекрасный тест для теории. Наоборот, никакое увеличение приложенного поля Я, как бы оно ни было велико, не приведет поверхность в неустойчивое состояние, если намагниченность насыщения жидкости меньше значения Мс, даваемого формулой (7.83).
Если вместо вакуума на рис. 7.1 вышележащей фазой является немагнитная жидкость (обозначаемая индексом 2), то дис
персионное уравнение имеет вид
®2 (Pi + Рг) = gh^P + oh3 — ! + Ио/|1 .(7.84)
где Ар = pi—р2. Соответствующие выражения для критического волнового числа и критической намагниченности получаются простой заменой р в формулах (7.82) и (7.83) на Ар.
Хотя выражения для критического волнового числа одинаковы как для линейно, так и для нелинейно намагничивающихся сред, выражения для критической намагниченности различны.
Соответствующее (7.83) выражение для нелинейно намагничивающейся среды имеет вид
= 7Г (1 + 7") (SfApa)'/2,(7.85)
Цо X Го /
где
ro = (HcHi/no)'/2,(7.86)
а цс = BJHq — «хордовая» проницаемость; ц* = (дВ/дН)0 — «дифференциальная» проницаемость; графическое определение этих проницаемостей дано на рис. 7.5. Таким образом, относительная проницаемость ц/ц0 в выражении для линейно намагничивающейся среды заменяется на го, геометрическое среднее хордовой и дифференциальной проницаемостей.
Эксперименты по устойчивости в ортогональном поле
Каули и Розенцвейг (Cowley, Rosensweig, 1967) также провели аккуратные экспериментальные исследования условий возникновения явления неустойчивости в ортогональном поле и кри
Рис. 7.6. Экспериментальная установка для фотографирования бликов на рис. 7 7 (Rosensweig, 1982b).Рис. 7.6. Экспериментальная установка для фотографирования бликов на рис. 7 7 (Rosensweig, 1982b).тически сравнили полученные данные с теоретическими результатами. В экспериментальной установке, схематично изображенной на рис. 7.6, чаша с магнитной жидкостью помещалась в однородное вертикально направленное магнитное поле пары электромагнитов; в установку также входил прибор для наблюдения отраженного от свободной поверхности света. Кольцевой источник света, окружающий объектив, за объективом воспринимался как точечный. «Любая локальная плоская площадка
Рис. 7.6. Экспериментальная установка для фотографирования бликов на рис. 7 7 (Rosensweig, 1982b).
Рис. 7.6. Экспериментальная установка для фотографирования бликов на рис. 7 7 (Rosensweig, 1982b).
ии возмущенной поверхности жидкости — максимум, минимум или седловидная точка — отражала свет источника; в ре-
зультате наблюдалась картина из бликов, изображенная на рис. 7.7. Гексагональная структура на этой фотографии напоминает картину тепловых конвективных ячеек (см. рис. 1 в работе (Chandrasekhar, 1961); однако магнитная жидкость неподвижна и в ней нет конвекции. При увеличении напряженности приложен
ного поля выше критического значения на поверхности жидкости
Рис. 7.7. Гексагональные ячейки, возникающие вследствие неустойчивости магнитной жидкости в ортогональном поле (Cowley, Rosensweig, 1967).
вырастали высокие острые пики. Величина возмущающих сил, устанавливающихся в этой системе в воздухе, такова, что высота пиков может превысить расстояние между ними, поверхность жидкости приобретает необыкновенный «щетинистый» вид.
На рис. 7.8 проведено сравнение теоретической критической намагниченности с экспериментально полученной для магнитной жидкости, контактирующей с водой или воздухом. Индекс 0 обозначает магнитную жидкость на основе керосина, плотность р магнитной жидкости изменялась варьированием концентрации частиц в керосиновом носителе. Экспериментальные точки показаны с отрезками возможной ошибки, представляющими предполагаемую неопределенность в измерении значения критической намагниченности.
Теоретические результаты по уравнению (7.85) очень хорошо согласуются с экспериментальными значениями Мс. Для поверхности раздела жидкость — жидкость между магнитной жидкостью на углеводороде и водой критическая намагниченность
падает до нуля при нулевой разности плотностей; это происходит, когда плотности верхнего и нижнего слоев одинаковы. В эксперименте значение р0 равно 792 кг-м~3; так как плотность
Рис. 7.8. Сравнение экспериментального значения критической намагниченности с теоретическим при появлении неустойчивости в ортогональном поле; / — максимальная намагниченность насыщения (Cowley, Rosensweig, 1967).
Рис. 7.9. Сравнение экспериментального значения критического расстояния между пиками с теоретическим при появлении неустойчивости в ортогональном поле (Cowley, Rosensweig, 1967).
воды приблизительно 1000 кг-м-3, точка пересечения на рис. 7.8 соответствует относительной плотности 1,26.
На рис. 7.9 изображено сравнение экспериментальных значений расстояний между пиками жидкости с теоретическими ре-
зультатами по уравнению (7.82) (сплошные линии); снова видно хорошее согласие теории с экспериментом. Критическая намагниченность для поверхности раздела магнитной жидкости с воздухом почти постоянна, так как увеличение эффективной восприимчивости компенсируется изменением плотности. Критические кривые на рис. 7.8 и 7.9 рассчитаны без подбора каких- либо констант; ясно, что эти эксперименты дают критическую проверку теории.
Знание и учет явления неустойчивости в ортогональном поле и других неустойчивостей ФГД на практике может быть очень важным. Однажды предлагалось слоем магнитной жидкости покрыть поверхность намагниченного шара, который затем приводился бы во вращение, чтобы моделировать вращение Земли. Поле, действующее внутрь шара по радиусу, моделировало бы силу тяжести, а вся установка, как полагалось, давала бы возможность создания трехмерной лабораторной модели земных океанов. При реализации установки модель не получилась из-за появления неустойчивости поверхности в ортогональном поле; области океанов над полюсами «ощетинились» жидкими пиками и это испортило масштабные свойства модели.
Нелинейный анализ
Линейный анализ не позволяет сделать заключения о структуре картины неустойчивости, возникающей из суперпозиции возмущений с разными направлениями; невозможно также определить амплитуду искривления поверхности. Кроме того, вопросы о характере перехода при появлении неустойчивости и о расчете послекритических структур остались незатронутыми. Эти задачи теоретически рассмотрели В. М. Зайцев и М. И. Шлиомис (1969b) и А. Я. Гайлитис (1969, 1977). А. Я- Гай- литис применил вариационный энергетический метод, в котором полная энергия U (2) возмущенной поверхности произвольной формы 2 = 20(х, у) представлялась в виде суммы гравитационной энергии Ugl поверхностной энергии Us и энергии магнитного ПОЛЯ Um*.
U(z) = Ue + Us + Um,(7.87)
где
Ug = 4" Pg 55 z2 <x- У)dx dy’<7-88)
Us = a J J [1 + ^dz№ + (dzldy^ dx dy, (7.89) ^ = $$$$ HdBdxdUdz-(7-9°)
Если магнитная восприимчивость постоянна, то выражение для магнитостатической энергии, как было показано в гл. 3, можно
преобразовать к более удобному виду
Um = — 4" 555 V4MHodxdydz-V -^ 5 5 5 P-oH^dxdydz. (7.91) Поверхность z0(*, у) представлялась в виде суперпозиции N одномерных волн с разными направлениями
N
Zo kx, y1=IL di cos (к,- • г + 6,), (7.92) i = l
где к, и б/ — волновой вектор и фазовый угол моды / соответственно.
Энергия U (г) представлялась в виде степенного ряда и искался экстремум ряда, соответствующий равновесной форме поверхности. Максимумы и седловые точки соответствовали неустойчивым состояниям равновесия, тогда как минимумы — устойчивым состояниям равновесия. При нахождении устойчивых состояний равновесия рассматривались поверхности, состоящие из одной, двух и трех волновых мод. Анализ показал, что имеются три возможные устойчивые конфигурации поверхности: плоская поверхность, гексагональная волновая структура и квадратичная волновая структура.
На рис. 7.10 показано, что при критическом поле Нс происходит «жесткое» возбуждение стационарной гексагональной волновой картины, г^Н^ч^О. Гексагональная структура может быть разных типов: на верхней полуплоскости график изображен для структуры с одним максимумом, двумя минимумами и тремя седловыми точками на каждую элементарную гексагональную ячейку (каждый из шести минимумов ячейки приходится на три ячейки, а каждая из шести седловых точек ячейки приходится на две ячейки). На нижней полуплоскости (на рисунке не показана) изображен график структуры другого типа: с двумя максимумами, одним минимумом и тремя седловыми точками на каждую элементарную ячейку. Устойчивым равновесием в теории оказывается только первый тип структуры, что находится в соответствии с наблюдениями Каули и Розенцвейга (Cowley, Rosensweig, 1967).
На рис. 7.10, кроме того, показано, что гексагональная структура устойчива при Н < Hh. Если Н > Hh, то гексагональная структура замещается на квадратичную, которая остается устойчивой и при уменьшении поля до Н < Hs. В закритической области ^Н < Нс) и на отрезке от Hs до Hh имеет место гистерезис. Последовательная смена структур при увеличении или уменьшении поля на рис. 7.10 показана стрелками. Точка, как, например, та, которая соответствует наименьшему полю на кривой устойчивой гексагональной структуры, называется точкой перехода. В этой системе, когда магнитное поле, уменьшаясь.
переходит через эту точку, амплитуда пиков на поверхности резко падает до нуля.
В экспериментах с типичными манитными жидкостями с относительной магнитной проницаемостью порядка 5 жесткое возбуждение не наблюдалось. Однако Бакри и Салин (Bacri, Salin, 1984) подтвердили существование жесткого возбуждения и наблюдали элементы закритичного гистерезиса, включая точку перехода, для магнитной жидкости с относительной магнитной проницаемостью порядка 40 — удивительно большой величиной.
Рис. 7.10. Нелинейный анализ неустойчивости в ортогональном поле пред сказывает явления бифуркации и гистерезиса (Гайлитис, 1977).
Такая магнитная жидкость получалась сепарацией фаз коллоидной дисперсии, стабилизированной зарядом. С явлением гистерезиса связан и сообщаемый Бакри и Салином (Bacri, Salin, 1983) эффект скачка в величине удлинения капель при увеличении и уменьшении поля.
В линейном пределе в анализе А. Я. Гайлитиса (1969, 1977) получаются исходные соотношения Каули и Розенцвейга (Cowley, Rosensweig, 1967) — уравнения (7.82) и (7.87). В анализе А. Я. Гайлитиса получается как частный случай и одномерный нелинейный результат В. М. Зайцева и М. И. Шлиомиса (1970); но этот результат соответствует седловой точке в зависимости энергии в более широком классе двумерных возмущений и, следовательно, неустойчивому состоянию. В анализе Бранчера (Brancher, 1978) невязких колебаний определен фазовый портрет динамического периодического процесса, но наименее устойчивая мода и здесь не определена. Другие анализы— анализ с учетом вязких эффектов (Brancher, 1980), математический анализ бифуркаций (Twombly, Thomas, 1980) и рассмотрение (Malik, Singh, 1983), основанное на методе нескольких масштабов, — указывают, что тип перехода существенно определяется критической величиной проницаемости.
Б. М. Берковский и В. Г. Баштовой (1980) описали явление топологической неустойчивости, которое происходит в очень
тонком горизонтальном слое магнитной жидкости. В этом случае сначала появляется гексагональная структура, а затем, при дальнейшем увеличении поля, происходит разрушение сплошности жидкости с образованием отдельных капель; при этом сохраняется гексагональная геометрия системы. Эффект хорошо демонстрируется при нанесении пленки магнитной жидкости на органической основе на поверхность воды в открытом стакане и включении поля, перпендикулярного поверхности (Kendra, 1982). Процесс разрушения здесь облегчался и вследствие этого наблюдалось интенсивное отталкивание отдельных капель и разбрызгивание их из стакана. Скьелторп (Ckjeltorp, 1983b) нашел замечательную аналогию, в которой поверхность магнитной жидкости с пиками моделирует двумерный кристалл с дислокациями, дисклинациями и точкой плавления. Роль температуры здесь выполняет напряженность магнитного поля.
ОБЩЕЕ ДИСПЕРСИОННОЕ УРАВНЕНИЕДЛЯ ДВИЖУЩИХСЯ СРЕД В НАКЛОННОММАГНИТНОМ ПОЛЕ
Приведем более общее дисперсионное уравнение, которое будет далее использоваться для других более сложных задач. Предположим, что сила тяжести направлена перпендикулярно исходной плоской поверхности раздела, слои жидкости движутся
z
Рис. 7.11. Обозначения в общем дисперсионном уравнении. Первоначально два однородных слоя толщиной а и b имели бесконечную поверхность раздела.
со скоростями Ua и Ub соответственно выше и ниже поверхности раздела, приложенное магнитное поле Н лежит в плоскости у, г (рис. 7.11).
Искривление поверхности представляется в виде распространяющегося вдоль оси у возмущения следующей формы:
2 = 20 Re exp [Z (со/ — kyy)Y
где, как и в выражении (7.27b) для Е, допускаются комплексные значения со с тем же определением со = у—Zv, в котором у и v — вещественные числа. Общее дисперсионное уравнение для
случая линейно намагничивающихся сред (р = const) имеет вид (со — kvUay ра cth ка + (со — куиь^ р6 cth kb =
_ „А-. | А3_Г kWb ^г - НгУ
' gk^PbРа) + 6аLp6th<:a + p6th66
_ - Р»)2 1/7 93)
Рб cth kb + ро cth ка J • Vya)
Для толстых слоев (а-^оо, 6-^оо) уравнение (7.93) упрощается, так как гиперболические тангенс и котангенс стремятся к единице, когда их аргумент неограниченно возрастает. Дисперсионное уравнение в этом случае принимает вид
(со — куиоУро + (со — кмиьурь =
= gk (Рб — Ра) + к3а —= gk (Рб — Ра) + к3а —кХ(наг-Ньу1 + Ра/РбкХ(наг-Ньу1 + Ра/РбW (Ра - Рб)2Ца + ЦЬW (Ра - Рб)2Ца + ЦЬ(7.94)(7.94)
= gk (Рб — Ра) + к3а —
= gk (Рб — Ра) + к3а —
кХ(наг-Ньу
1 + Ра/Рб
кХ(наг-Ньу
1 + Ра/Рб
W (Ра - Рб)2
Ца + ЦЬ
W (Ра - Рб)2
Ца + ЦЬ
(7.94)
(7.94)
Полагая значения Ua, Ub, ро, Ну равными нулю, ца = р0, Рн = Р, ць = ц и учитывая, что Нг —Hb2 = М2 — М2 = Mb2 = Mq, получаем дисперсионное уравнение (7.76) задачи об устойчивости в ортогональном поле.
ЗАДАЧА РЭЛЕЯ —ТЕЙЛОРА
Если легкая жидкость находится в контакте с тяжелой жидкостью под действием некоторой силы в направлении первой, то плоская поверхность раздела между ними может стать неустойчивой. Иллюстрацией такой неустойчивости является выливание жидкости из перевернутой бутылки, несмотря на то что атмосферное давление эквивалентно водяному столбу высотой 10 м. На фотографиях видно, как пузырьки воздуха проникают в жидкость, а в воздух из жидкости вытягиваются острые выступы. Неустойчивость исчезает в известном демонстрационном эксперименте, когда горлышко бутылки плотно закрывается листом плотной бумаги. Когда бутылка перевернута, лист бумаги механически исключает рост любых возмущений на поверхности. Магнитное поле может оказать аналогичное стабилизирующее «немеханическое» влияние (см. также разд. 7.5, где рассматривается случай градиентного магнитного поля).
Соответствующая форма дисперсионного уравнения является частным случаем уравнения (7.94) при отсутствии средней скорости течения (Ua = Ub = 0) и наличии только тангенциального приложенного поля (Н2 = Н2 = 0):
(О2 (Ра + Рб) = gk (Рб — Ра) + »63 + ^у у^-, (7.95)
Рис. 7.12. Дисперсионная кривая в плоскости со2, к в задаче Рэлея — Тейлора о неустойчивости раздела намагниченной и немагнитной жидкостей.
где ц0 = |1ь и Х=Ра/Цо~1- При отсутствии намагниченности
Ю2 = ^6^0)+^,(? 96)
Ра + PbV '
Если рь > ра (т. е. когда нижний слой более тяжелый), со вещественно и поэтому z0 = 20 cos (со/ — кхх — киу\ Это решение описывает нейтрально устойчивые бегущие волны.
Если тяжелая жидкость лежит над легкой жидкостью, Ра < рь, то правая часть уравнения (7.96) может быть как отрицательной, так и положительной. Когда правая часть уравнения (7.96) отрицательна, то со — мнимая величина и решение г0 = = 20ev/ cos (fcxx + куу) соответствует неустойчивым нераспро- страняющимся волнам. Это и есть явление неустойчивости Рэлея— Тейлора.
Наступление неустойчивости соответствует значению к = к^ полученному из уравнения (7.96) при со = 0:
&о = Vg(Pa ~ РгЖ(7.97)
Величина Х0 = 2л/60 называется тейлоровской длиной волны, a ко — капиллярной постоянной. С учетом соотношения (7.97) уравнение (7.96) можно записать в виде
(7-98)
Pa I РЬ
Как видно из рис. 7.12, моды с волновым числом, большим ко, или соответственно с длиной волны, меньшей Хо, стабилизируются поверхностным натяжением.
преобразователь
(а)
Рис. 7.13. (а) Экспериментальная установка для изучения влияния тангенциального поля на резонанс поверхностных волн магнитной жидкости; (Ь) экспериментальные данные показывают, что при увеличении намагниченности жидкости резонанс сдвигается к большим частотам. См. (Zelazo, Melcher, 1969).
Как видно из знака последнего слагаемого уравнения (7.95), намагниченность оказывает стабилизирующее (сглаживающее) влияние на возмущения, распространяющиеся вдоль линий поля; на возмущения, распространяющиеся перпендикулярно линиям внешнего поля, поле не влияет. Сглаживающее влияние поля приводит к сдвигу области неустойчивости к меньшим волновым числам; это также показано на рис. 7.12.
Ситуации с рассмотренной здесь неустойчивостью встречаются чаще, чем можно было бы подумать, так как роль ускорения сил тяжести могут играть кинематическое ускорение или замедление. Например, неустойчивость Рэлея — Тейлора стремится проявиться при быстром закипании жидкости (фазовый переход), при взрывах и при всплеске падающих капель (быстрое замедление).
Экспериментальное подтверждение
Зелазо и Мелчер (Zelazo, Melcher, 1969) экспериментально проверили дисперсионное уравнение (7.95) при помощи прямоугольных коробок-сосудов, частично заполненных магнитной жидкостью и подсоединенных к низкочастотному преобразователю, колеблющему сосуд в горизонтальной плоскости (рис. 7.13). Подбором частот, близких к собственным частотам системы, оказалось возможным возбудить резонансы. Резонанс происходит, когда на длине коробки укладывается целое число полуволн ns, так что ку = п3п/Ц, к2 = 0, где /о — длина коробки. Из уравнения (7.95) следует, что изменение в магнитном поле относительной частоты, необходимой для создания в сосуде стоячих волн с заданной длиной, определяется выражением
=- J^Vfo)M^M±2L И QQ\
<0^ ё (Рб — Pa) + (пол//о)2 a 't • /
Экспериментальные данные, показанные на рис. 7.13, в общем хорошо согласуются с этим теоретическим выражением.
ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИКЕЛЬВИНА — ГЕЛЬМГОЛЬЦА
Классическая задача о неустойчивости Кельвина — Гельмгольца связана с поведением плоской поверхности раздела между двумя слоями движущихся жидкостей. В ФГД рассматривается как основной случай распространение волн на поверхности раздела двух слоев невязких жидкостей с магнитной проницаемостью pa и р*. Рассмотрим случай, когда приложенное магнитное поле величины Ну направлено параллельно невозмущенной поверхности. Сила тяжести здесь также перпендикулярна поверхности раздела, а слои жидкости движутся со скоростями Ua и Ub относительно некоторой фиксированной системы отсчета, как показано на рис. 7.11. Дисперсионное уравнение можно получить как частный случай уравнения (7.93):
(со — куиа^ра cth ка + (со — kyUb¥ Р& cth kb =
= gk (рб - pa) + к3о н^^"^La- • (7.100)
Два хорошо известных явления тесно связаны с задачей об этой неустойчивости: вызываемые ветром волны в океане и трепетание флагов. Неустойчивость Кельвина — Гельмгольца проявляется также при истечении газа в виде струи через насадок в неподвижный воздух, как показано на рис. 7.14(a), и в меха-
низме появления волн на рис. 7.14(b), где жидкости несмеши- вающиеся.
Чтобы понять природу этой неустойчивости, рассмотрим ситуацию, изображенную на рис. 7.15(a). Первоначально два слоя
(°) (Ь)(°) (Ь)Рис. 7.14. Два примера, иллюстрирующие неустойчивость Кельвина — Гельмгольца. (а) Неустойчивость вследствие перепада скоростей струи и воздуха; (Ь) результат перепада скоростей жидкостей у плоской поверхности раздела.Рис. 7.14. Два примера, иллюстрирующие неустойчивость Кельвина — Гельмгольца. (а) Неустойчивость вследствие перепада скоростей струи и воздуха; (Ь) результат перепада скоростей жидкостей у плоской поверхности раздела.
(°) (Ь)
(°) (Ь)
Рис. 7.14. Два примера, иллюстрирующие неустойчивость Кельвина — Гельмгольца. (а) Неустойчивость вследствие перепада скоростей струи и воздуха; (Ь) результат перепада скоростей жидкостей у плоской поверхности раздела.
Рис. 7.14. Два примера, иллюстрирующие неустойчивость Кельвина — Гельмгольца. (а) Неустойчивость вследствие перепада скоростей струи и воздуха; (Ь) результат перепада скоростей жидкостей у плоской поверхности раздела.
жидкости двигались со скоростями Ua = —Ub = U, т. е. скорости равны по величине и противоположно направлены. Теперь предположим, что на поверхности раздела двух жидкостей появилось слабое волновое движение, как показано на рис. 7.15(b).
(а)(а)Изменение давленияИзменение давления(Ь)(Ь)Рис. 7.15. Профиль скорости и перераспределение давления в задаче об устойчивости Кельвина — Гельмгольца, (а) Невозмущенная поверхность; (Ь) возмущенная поверхность.Рис. 7.15. Профиль скорости и перераспределение давления в задаче об устойчивости Кельвина — Гельмгольца, (а) Невозмущенная поверхность; (Ь) возмущенная поверхность.
(а)
(а)
Изменение давления
Изменение давления
(Ь)
(Ь)
Рис. 7.15. Профиль скорости и перераспределение давления в задаче об устойчивости Кельвина — Гельмгольца, (а) Невозмущенная поверхность; (Ь) возмущенная поверхность.
Рис. 7.15. Профиль скорости и перераспределение давления в задаче об устойчивости Кельвина — Гельмгольца, (а) Невозмущенная поверхность; (Ь) возмущенная поверхность.
Из-за деформации поверхности жидкость в точках Л, А' и А" движется чуть быстрее, чем раньше, а в точках В, В' и В" — чуть медленнее. Согласно уравнению Бернулли, давление жидкости больше там, где скорость меньше, и меньше там, где скорость больше. Возникающие таким образом градиенты давления
имеют такое направление, что возмущение усиливается; в результате первоначальное движение неустойчиво по отношению к бесконечно слабым возмущениям поверхности раздела.
Правильность этого рассуждения легко установить, положив в уравнении (7.100) 7/^ = 0, ра = р&, а = 0, а = Ь и Ua = = —Ub = U; в результате получим
to = ^ikgU. (7.101)
Поэтому высота точки поверхности г0 определяется выражением
(7.102)(7.102)20 = 20 cos ^fegy) exp (kyUt),
(7.102)
(7.102)
которое показывает экспоненциальный рост величины возмущения со временем.
Критерий для появления неустойчивостиКельвина—Гельмгольца в магнитной жидкости
Для простоты рассмотрим предельный вид уравнения (7.100) для толстых слоев жидкостей при к = ку; т. е. положим а, Ь-^оо. В результате для со получим
о = _^2p£±£6P»L ±*— рV2,(7.103)
Ра + Рб(Ра + Рб)‘/2
где
р J*^+fc„ + jVZ^_^^^^(7.Ю4)
Ме кРа + РбРб + Ра'
Течение устойчиво до тех пор, пока р* > 0. Поэтому неустойчивость наступает, когда одновременно выполняются следующие
два условия:
06 = 0,(7.105)
^ = _S(P^=Pa)+a = °(7 106)
Критическое волновое число определяется из уравнения (7.106):
к = кс = \§ (р6 — paVaJ'/Z;
(7.107)
это критическое волновое число совпадает с критическим волновым числом (7.97) для задачи Рэлея — Тейлора. Исключая к из уравнения (7.105) при помощи соотношений (7.107) и (7.104), получим критерий для появления неустойчивости в задаче Кельвина— Гельмгольца с магнитными жидкостями
киь - иа^ >|2 [5(Рб - ро) а]‘/2 + (^+^ } • (7.108)
Чем больше приложенное поле и чем больше разность прони- цаемостей жидкостей с разных сторон раздела, тем большую
разность скоростей слоев можно поддерживать до наступления неустойчивости. Малая плотность слоев также способствует стабилизации течения.
Если тангенциальное к поверхности магнитное поле направлено перпендикулярно направлению распространения волны, как показано на рис. 7.16(a), то на поверхности жидкости не возникает полюсов и поле Нх нигде не пересекает поверхности. Следовательно, при деформировании поверхности не происходит
уу(Ь)(Ь)Рис. 7.16. Магнитная стабилизация поверхности по отношению к неустойчивости Кельвина — Гельмгольца, (а) Поле перпендикулярно направлению распространения волны: взаимодействия нет; (Ь) поле параллельно направлению распространения волны: взаимодействие есть.Рис. 7.16. Магнитная стабилизация поверхности по отношению к неустойчивости Кельвина — Гельмгольца, (а) Поле перпендикулярно направлению распространения волны: взаимодействия нет; (Ь) поле параллельно направлению распространения волны: взаимодействие есть.
у
у
(Ь)
(Ь)
Рис. 7.16. Магнитная стабилизация поверхности по отношению к неустойчивости Кельвина — Гельмгольца, (а) Поле перпендикулярно направлению распространения волны: взаимодействия нет; (Ь) поле параллельно направлению распространения волны: взаимодействие есть.
Рис. 7.16. Магнитная стабилизация поверхности по отношению к неустойчивости Кельвина — Гельмгольца, (а) Поле перпендикулярно направлению распространения волны: взаимодействия нет; (Ь) поле параллельно направлению распространения волны: взаимодействие есть.
изменения энергии поля и поэтому здесь нет взаимного влияния. Таким образом, однородное магнитное поле, перпендикулярное направлению распространения волны, не способствует стабилизации поверхности. В случае же когда поле параллельно направлению распространения волны, как на рис. 7.16(b), то линии поля стремятся сконцентрироваться в области максимумов возмущения, так как они следуют за линиями наименьшего сопротивления магнитному потоку. Максвелловские напряжения возмущенного магнитного поля действуют на поверхность раздела сглаживающим образом.
СТАБИЛИЗАЦИЯ ГРАДИЕНТОМ ПОЛЯ
Тогда как однородное тангенциальное магнитное поле затрудняет распространение волн на поверхности жидкости вдоль направления поля, на волны, распространяющиеся перпендикулярно полю, оно не влияет, и их амплитуда может расти. Од-
нако градиентное магнитное поле может стабилизировать поверхность жидкости относительно роста амплитуды волн с любым направлением. Теория стабилизации градиентом поля более сложная, чем теория стабилизации однородным полем с учетом обратного влияния жидкости на поле, и включает ее как частный случай (Zelazo, Melcher, 1969). Для стабилизации поверхности раздела двух жидкостей напряженность поля должна увеличиваться в направлении намагничивающейся жидкости независимо от того, является ли намагничивающийся слой более тяжелым и расположенным выше слоя немагнитной жидкости или менее тяжелым и расположенным ниже немагнитной жидкости; в обоих случаях перемешивание из-за выталкивающей силы должно быть предотвращено.
Неоднородное перпендикулярное к поверхности поле меньше подходит для этой цели, чем неоднородное тангенциальное градиентное поле, так как однородное поле, перпендикулярное поверхности, оказывает на нее дестабилизирующее действие.
Следующее выражение представляет критерий, когда тангенциальное неоднородное поле подавляет неустойчивость Рэлея — Тейлора:
ц0М (dHyldn) >g{pa- 9b\ (7.109)
Поверхностное натяжение, которым здесь пренебрегают, лишь усиливает стабилизацию. Зелазо и Мелчер (Zelazo, Melcher, 1969) экспериментально проверили уравнение (7.109) при неблагоприятном направлении ускорения силы тяжести при помощи стальных полюсных наконечников в форме клина, создающих градиентное поле; они сообщили о количественном согласии теории и эксперимента. Однако градиентное поле занимает весь объем магнитной жидкости, поэтому в эксперименте нельзя отделить эффект удержания жидкости градиентом поля от эффекта стабилизации поверхности градиентом поля.
Эффективность применения градиентного поля, локализованного на поверхности магнитной жидкости, иллюстрируется на рис. 7.17, на котором изображен устойчиво поддерживаемый столбик жидкости. В одном эксперименте в запечатанной стеклянной пробирке Т с внутренним диаметром 8 мм и длиной 330 мм удерживалась в подвешенном состоянии магнитная жидкость с плотностью р = 1200 кг-м-3 и намагниченностью ц0М = = 0,012 Вб-м“2. Локальное градиентное поле обеспечивалось передвигающимся вдоль пробирки кольцевым магнитом Мь изготовленным из феррита бария и намагниченным от одной плоской стороны до другой; магнит имел толщину 7,5 мм и внешний диаметр 25 мм. Как показано на рис. 7.17(a), столбик жидкости длиной 1С первоначально удерживался против силы тяжести разностью давлений: рх меньше рг; нижняя поверхность
Рис. 7.17. Стабилизация поверхности градиентным полем по отношению к неустойчивости Рэлея — Тейлора, иллюстрирующая механизм бесконтактного вентиля для магнитной жидкости (Rosensweig, 1979а).Рис. 7.17. Стабилизация поверхности градиентным полем по отношению к неустойчивости Рэлея — Тейлора, иллюстрирующая механизм бесконтактного вентиля для магнитной жидкости (Rosensweig, 1979а).
Рис. 7.17. Стабилизация поверхности градиентным полем по отношению к неустойчивости Рэлея — Тейлора, иллюстрирующая механизм бесконтактного вентиля для магнитной жидкости (Rosensweig, 1979а).
Рис. 7.17. Стабилизация поверхности градиентным полем по отношению к неустойчивости Рэлея — Тейлора, иллюстрирующая механизм бесконтактного вентиля для магнитной жидкости (Rosensweig, 1979а).
столбика стабилизировалась градиентным полем. На рис. 7.17(b) магнит сдвинут в нижнее положение; при этом весь столбик жидкости опустился как целое. В течение этого процесса сквозь магнитную жидкость вверх поднимались пузырьки воздуха. На рис. 7.17(c) изображена система после следующего изменения положения магнита. При подъеме магнита жидкость, которая оказывалась ниже магнита, стекала вниз пробирки, тогда как вышележащий слой жидкости оставался на месте. Каждое из этих наблюдаемых явлений согласуется с представлениями о поверхностной стабилизации. Магнитный барьер может эффективно удерживать жидкость, выполняя роль невидимого вентиля.
ЛАБИРИНТНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ
Романкив, Слюсарчак и Томпсон (Romankiw, Slusarczak, Thompson, 1975) сообщили о наблюдениях загадочных структур неустойчивости в тонких слоях из магнитной жидкости и несме- шивающейся с ней немагнитной жидкости, когда внешнее магнитное поле прикладывается перпендикулярно слою. Например, когда жидкости расположены между двумя близкими параллельными горизонтальными пластинками (ячейка Хил-Шоу). Здесь возникает удивительная картина с лабиринтной структу-
1 СМ1 СМ1 См1 См
1 СМ
1 СМ
1 См
1 См
рой, стенки или «тропинки» которой образованы поверхностями раздела непрозрачной магнитной жидкости и прозрачной несме- шивающейся жидкости. Это явление лучше всего описывать на примере вертикальной ячейки, в которой в отсутствие поля из-за силы тяжести между жидкостями устанавливается плоская поверхность раздела. На рис. 7.18 показана последовательность конфигураций системы при эволюции структуры при медленном увеличении приложенного поля (Rosensweig, 1982а,b).
Магнитная жидкость, изображенная на фотографиях, является коллоидом окисла железа в виде магнетита в керосине. Удельный вес магнитной жидкости 1,22, прозрачная жидкость — вода с удельным весом 1,0, размер стороны стеклянной ячейки 75 мм, промежуток между пластинками 1 мм, а напряженность приложенного поля доводилась до 0,0535 Тл. Сначала, в отсутствие магнитного поля (первая фотография) или при малой напряженности магнитного поля более тяжелый слой магнитной жидкости равномерно располагался в нижней части ячейки с плоской поверхностью раздела. При достижении некоторой величины магнитного поля неожиданно появляются малые возмущения, вырастающие в вытянутые отростки (видные на второй и третьей фотографиях). Четвертая фотография была сделана спустя 90 с, когда установилось равновесие. Видно, что структура развивается путем многочисленных бифуркаций: из данного узла выходят две новые струйки жидкости. Углы в узле приблизительно составляют 120°, как и следовало ожидать по правилу Плато. Во всем лабиринте полоски жидкости не касаются друг друга, так как каждая полоска является магнитом, отталкивающим соседние полоски. Предельная картина равновесной структуры может быть справедливо охарактеризована как состояние стационарного хаоса.
А. О. Цеберс и М. М. Майоров (1980) из рассмотрения линеаризованной энергии системы нашли следующий критерий для появления неустойчивости:
_а_=(7 11()а)
ц0М^ (М)2 + (М)
где
ЦкИ^чАЛп^кк^А-КоМУ(7.110b)
Здесь ко — капиллярная постоянная [см. уравнение (7.97)], h^g^o,(7.111)
Рис. 7.18. Фотографии лабиринтной неустойчивости, развившейся в тонком вертикальном слое при увеличении напряженности приложенного магнитного поля. Сила тяжести направлена вниз, а приложенное поле однородно, направлено горизонтально и перпендикулярно странице. См (Rosensweig,. 1982а, Ь).
а у = 0,577215 — постоянная Эйлера; Ко — модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка:
К0ЦгН)=\ оК0ЦгН)=\ оcos a dacos a da
К0ЦгН)=\ о
К0ЦгН)=\ о
cos a da
cos a da
Рис. 7.19. Нейтральные кривые для лабиринтной неустойчивости в вертикальном слое (Цеберс и Майоров, 1980).Рис. 7.19. Нейтральные кривые для лабиринтной неустойчивости в вертикальном слое (Цеберс и Майоров, 1980).
Рис. 7.19. Нейтральные кривые для лабиринтной неустойчивости в вертикальном слое (Цеберс и Майоров, 1980).
Рис. 7.19. Нейтральные кривые для лабиринтной неустойчивости в вертикальном слое (Цеберс и Майоров, 1980).
Определения и таблицы функций Бесселя можно найти в справочнике (Abramowitz, Stegun, 1964).
Критические кривые, определяющие появление неустойчивости в вертикальной лабиринтной структуре, приведены на
рис. 7.19 для нескольких значений безразмерной капиллярной постоянной koh. Наиболее опасное возмущение имеет волновое число, соответствующее максимуму данной кривой. Если намагниченность меньше критического значения, то неустойчивость не может возникнуть. При уменьшении коэффициента поверхностного натяжения длина волны критического возмущения также уменьшается. В толстых слоях явление неустойчивости отсутствует, что согласуется со стабилизирующим влиянием тан-
генциального поля в соответствии с уравнением (7.95).
Эффект размагничивания
уменьшается на кончиках внедряющихся в немагнитную жидкость отростков магнитной жидкости, например тех, которые видны на фотографиях рис. 7.18; в результате около кончиков отростков имеется область с большим магнитным полем, чем в объеме магнитной жидкости. По
этому магнитостатическая энергия Um, как показывает выражение (7.91), уменьшается, если жидкость втекает в области с большей величиной магнитного поля; этот механизм и вызывает процесс образования лабиринтной структуры. Следует, однако, отметить, что лабиринтная структура не возникает, если полюс
ные наконечники магнита находятся в непосредственном контакте со слоем жидкостей без промежутков, так как в этом случае результирующее магнитное поле однородно во всех точках пространства, в котором расположены жидкости.
Явление, тесно связанное с образованием лабиринтной структуры, наблюдается при помещении круглой капли магнитной жидкости между двумя близко расположенными стенками (рис. 7.20(a)). По крайней мере один полюсный наконечник магнита должен быть удаленным. Круглая форма капли остается устойчивой до некоторого критического значения намагниченности, после которого форма капли в согласии с теорией становится эллиптической (рис. 7.20(b)). При дальнейшем увеличении поля эллиптическая капля становится все более вытянутой; анализ устойчивости длинной полоски жидкости указывает на ее неустойчивость по отношению к появлению извилин (но не по
Рис. 7.20. Экспериментально наблюдаемые изменения формы круглой плоской капли при увеличении поля (Цеберс и Майоров, 1980).
отношению к возникновению перетяжек) — этот вывод подтверждается переходом формы капли к гантелевидной форме, изображенной на рис. 7.20(c). Обратите внимание на утолщения гантелевидной капли на ее концах и на выпуклой стороне центральной части; это происходит из-за относительно большой величины поля в этих областях вследствие меньшего размагничивания. В областях капли с утолщениями далее начинает развиваться та же последовательность неустойчивостей; в результате, как показывает рис. 7.20(d), устанавливается структура с многочисленными бифуркациями.
Поверхностная площадь как лабиринтной структуры, так и структуры, развившейся вследствие неустойчивости из круглой капли, очень сильно увеличивается. Это приводит к пропорциональному увеличению энергии поверхностного натяжения, так как считается, что коэффициент поверхностного натяжения остается постоянным и не зависит от величины приложенного поля. Весь процесс происходит из-за уменьшения магнитной энергии конфигурации системы при удлинении полосок.
Форма круглого немагнитного пузырька в магнитной жидкости подвергается на ранних стадиях таким же преобразованиям, как и форма круглой капли; окончательная форма — длинная спиральная нить. Не известно, всегда ли получается форма нити.
Промежутки в лабиринтной структуре
Лабиринтная структура, устанавливающаяся в горизонтальной плоскости, имеет однородную среднюю прозрачность в отличие от вертикальной лабиринтной структуры рис. 7.18, которая из-за силы тяжести имеет постепенно меняющуюся прозрачность.
Хорошо развитую лабиринтную структуру в горизонтальной плоскости для целей анализа можно моделировать как периодическую структуру из параллельных полосок (рис. 7.21). Предполагается, что стенки ячейки смачиваются преимущественно
Рис. 7.21. Модель лабиринтной структуры в виде периодической системы параллельных полосок; о — коэффициент поверхностного натяжения жидкостей, s = V^-FT^P, dHx = — М dz sin 0/(2л$) (Rosensweig, Zahn, Shumovich, 1983).
немагнитной жидкостью. Полная энергия одного элемента периодической структуры представляется в виде суммы магнитостатической энергии Um и поверхностной энергии Us. Пусть U — средняя энергия повторяющегося элемента структуры, приходящаяся на единицу длины вдоль оси г; тогда
U = (<Um + UsHwf + wlr1. (7.112) Из рис. 7.21 видно, что поверхностная энергия элемента, рассчитанная на единицу длины полоски, представляется в виде
Us = Sot + 2о/ (wf + w^ (7.113) где о — коэффициент поверхностного натяжения поверхности между жидкостями, а о' — между немагнитной жидкостью и стенкой. Магнитная энергия элемента конфигурации, согласно уравнению (7.91), может быть записана с точностью до постоянной в виде
Um = -l-lio\MHodV = --^iiOMHotwt, (7.114) V
где предполагается, что намагниченность одинакова во всех точках магнитной жидкости. Для намагниченности имеет место соотношение М = ^Н, где Н— поле внутри полоски, отличающееся от внешнего поля Яо на величину размагничивающего поля Hd, создаваемого всеми полосками системы. Так как H=HQ— Hd =
Рис. 7.22. Зависимость критического магнитного числа Бонда Вво от безразмерной толщины магнитной полоски х для разных значений магнитной восприимчивости х- Отношение объемов фаз г = 1 кроме пунктирных кривых, для которых оно указано. См. (Rosensweig, Zahn, Shumovich, 1983).
= Hq — DM, где D— коэффициент размагничивания, а М= = Х^о/(1+х^)> т0 выражение для энергии Um (7.114) можно записать в виде
Подставив результаты (7.115) и (7.113) в уравнение (7.112), после некоторого преобразования получим
Nu = -^d+t + 2-^(1+г),(7.116)
где ^80 = Po^/2<J ~ магнитное число Бонда и где
Nu = U ^ + Н/а, r = wdwb z = Wf/t. (7.117)
Минимизируя энергию (7.116) при постоянной величине отношения объемов фаз г, получим уравнение
дМц\dz )гдМц\dz )гХ^Во(1 + хО)2Х^Во(1 + хО)2(7.118)(7.118)
дМц\dz )г
дМц\dz )г
Х^Во
(1 + хО)2
Х^Во
(1 + хО)2
(7.118)
(7.118)
Коэффициент размагничивания для средней линии полоски определяется по результату интегрирования размагничивающего поля поверхностных зарядов ±цоМ данной полоски, предполагаемых равномерно распределенными, и N соседних полосок по обе стороны от данной, как изображено на рис. 7.21. В результате получим
— arctg— arctg(м+ 1)г+ ("+4")(м+ 1)г+ ("+4")l/2zl/2z(7.119)(7.119)
— arctg
— arctg
(м+ 1)г+ ("+4")
(м+ 1)г+ ("+4")
l/2z
l/2z
(7.119)
(7.119)
(n+ l)r + n + ^-(n+ l)r + n + ^-1 + 4z2 ^+ 1)г + м + —j1 + 4z2 ^+ 1)г + м + —j(7.120)(7.120)
(n+ l)r + n + ^-
(n+ l)r + n + ^-
1 + 4z2 ^+ 1)г + м + —j
1 + 4z2 ^+ 1)г + м + —j
(7.120)
(7.120)
Из соотношений (7.118) и (7.119) следует уравнение для критического соотношения
N
1 + ^(arctgz + £{arctg2z[(/i + l)r + n + 4] — 'n=0
— arctg 2z|\n + l)r + n +
Общая зависимость числа Бонда Nbo от г, %, г, согласно уравнению (7.120), изображена на рис. 7.22; эта зависимость определяет минимальное число Бонда, которого нужно достигнуть,, чтобы появилась лабиринтная структура. Интересно заметить, что величина г имеет два значения при числах Nb0, чуть больших критического значения; здесь необходим более точный анализ, чтобы выяснить, является ли это просто следствием приближенности проведенного рассмотрения. Если пренебречь взаимодействием с соседними полосками, положив для этого в урав-
нении (7.120) N = 0, то уравнение существенно упрощается, так как исчезает суммирование; при этом значения вычисляемых чисел Бонда будут меньше, как правило, на 15—20 %. Однако при расчете кривых на рис. 7.22 использовалось значение ^=100.
Эксперименты с горизонтальными ячейками, в которых систематически изменялись расстояние между стенками и приложенное поле, показали, что величины отношений промежутков довольно хорошо согласуются с теоретическими расчетами на
Рис. 7.23. Картины лабиринтной неустойчивости в горизонтальной ячейке; при увеличении напряженности магнитного поля промежутки между полосками уменьшаются. Толщина слоя 0,9 мм. Более тонкие слои приводят к еще более истонченным и запутанным картинам. См. (Rosensweig, Zahn, Shumo- vich, 1983)Рис. 7.23. Картины лабиринтной неустойчивости в горизонтальной ячейке; при увеличении напряженности магнитного поля промежутки между полосками уменьшаются. Толщина слоя 0,9 мм. Более тонкие слои приводят к еще более истонченным и запутанным картинам. См. (Rosensweig, Zahn, Shumo- vich, 1983)0,035 Тл0,035 Тл
Рис. 7.23. Картины лабиринтной неустойчивости в горизонтальной ячейке; при увеличении напряженности магнитного поля промежутки между полосками уменьшаются. Толщина слоя 0,9 мм. Более тонкие слои приводят к еще более истонченным и запутанным картинам. См. (Rosensweig, Zahn, Shumo- vich, 1983)
Рис. 7.23. Картины лабиринтной неустойчивости в горизонтальной ячейке; при увеличении напряженности магнитного поля промежутки между полосками уменьшаются. Толщина слоя 0,9 мм. Более тонкие слои приводят к еще более истонченным и запутанным картинам. См. (Rosensweig, Zahn, Shumo- vich, 1983)
0,035 Тл
0,035 Тл
интервале, в котором магнитное число Бонда меняется на три порядка (Rosensweig, Zahn, Shumovich, 1983). Фотографии типичных структур приведены на рис. 7.23.
Отметим, что картина лабиринта в магнитной жидкости очень напоминает лабиринтную структуру системы доменов в тонких пленках ферромагнетиков (Thiele, 1969). Здесь также, по-видимому, должна быть аналогия со структурами сверхпроводников первого рода, возникающими при переходе от сверхпроводящего состояния к обычному (Faber, 1958). Двигаясь далее в этом направлении, укажем, что неустойчивость магнитной жидкости в ортогональном поле имеет аналогию в гексагональных структурах, наблюдаемых при фазовом переходе сверхпроводников второго рода (Essmann, Trauble, 1967).
Как обнаружилось, диэлектрические жидкости в сильном приложенном электрическом поле также образуют лабиринтную структуру (Rosensweig, Zahn, Shumovich, 1983). Использовались
следующие диэлектрические жидкости: смазочное масло с относительной проницаемостью 2,33 и касторовое масло с относительной проницаемостью 4,48. Приложенное поле 16 кВ-см™1 приводило к указанному явлению при толщинах слоя 0,8 и 1,6 мм.
устойчивость жидких ЦИЛИНДРОВ
В этом разделе будет рассматриваться течение круглых струй и устойчивость столбов жидкости. Будем исходить из уравнения (7.22) — уравнения движения магнитной жидкости. Так как вязким слагаемым пренебрегают, а сила тяжести, по предположению, отсутствует, то это уравнение имеет форму уравнения Эйлера
p^dv/dt + v • Vv) = -Vn,(7.121)
где П = р + р5 для магнитной жидкости и П = р для немагнитной жидкости. Применяя к каждому слагаемому уравнения Эйлера операцию ротора, получим соотношение для вектора вихря Q несжимаемой жидкости
^=-^-Н-ча=а-^.(7.122)
Из этого уравнения следует условие
Если Й = 0, то DQ/Dt = 0.(7.123)
Таким образом, если в частице невязкой магнитной жидкости в некоторый момент времени вектор вихря был равен нулю, то он всегда будет равен нулю. Для многих реализуемых течений это условие выполняется в начальный момент времени, например для потенциального течения около вязкого пограничного слоя. Во всех рассматривавшихся до сих пор задачах об устойчивости жидкость также считалась существенно невязкой. Получающееся движение называется безвихревым и
Й = VXv = 0.(7.124)
Поэтому можно ввести потенциал скорости ф так, что
у = -УФ;(7.125)
при этом соотношение (7.124) удовлетворяется тождественно.
Объединяя уравнение неразрывности V-v = 0 с уравнением (7.125), получим уравнение
?2Ф = 0,(7.126)
которое показывает, что потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа. Рассуждение, приводящее к уравнению (7.126), применимо как для стационарных, так и для нестационарных
течений, так как нигде не фигурирует в явном виде производная по времени. В настоящее время хорошо развиты методы решения уравнения Лапласа ввиду его большой важности в разных областях физики. Ниже уравнение Лапласа применяется для анализа устойчивости цилиндрической струи магнитной жидкости.
Струя магнитной жидкости в однородном поле
Магнитное поле, улучшившее устойчивость поверхности бесконечно глубокой жидкости по отношению к ее возмущениям, должно также влиять и на струйные течения. Критическое значение поля и критическая длина волны здесь будут зависеть от кривизны поверхности и величины диаметра круглой струи. Классическая задача об устойчивости немагнитной круглой струи рассматривалась Рэлеем (Rayleigh, 1878), показавшим, что такое течение всегда неустойчиво: всякое возмущение с длиной волны, большей периметра струи, со временем увеличивается. Неустойчивость здесь вызывается силами поверхностного натяжения.
Будем предполагать, что скорость струйного движения столь мала, что влиянием окружающего воздуха на распад струи можно пренебречь; сила тяжести предполагается отсутствующей. Очевидно, что однородное поступательное движение струи не оказывает влияния на ее динамику, поэтому анализ можно проводить в системе отсчета, движущейся с невозмущенной скоростью струи. Однородное поле Но в струе создается коаксиально соленоидом. Уравнения задачи сформулируем в цилиндрической системе координат с осью 2, направленной вдоль оси течения.
Как видно из (7.126), потенциал скорости ф удовлетворяет уравнению Лапласа. В цилиндрической системе координат это уравнение имеет вид
д / дФ X , 1 дФ , д2Ф п
г дг \ dr J ' г2 ду dz2 ’ v 7
где г — полярный радиус, 2—расстояние вдоль оси течения и 0 — полярный угол. Будем предполагать, что струя осесимметричная и, следовательно, Ф не зависит от угла 0. Решение ищется в форме
Ф = ФЯ(г')еии“"кг\ (7.128)
где Ф — малая величина, к — волновое число и со — частота, которая может быть комплексной. Должно быть ясно, что здесь достаточно только вещественной части экспоненциальной функции.
Найдя производные от Ф, фигурирующие в уравнении (7.127), по выражению (7.128), и подставив их в уравнение (7.127), получим следующее дифференциальное уравнение:
4^^-7^-k2R = Q-(7129>
Это уравнение Бесселя, имеющее следующее общее решение: R (г) = с^ (Аг) + с2Ко (Аг),(7.130)
где /0(Аг)—модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка, a Ko^hr)—модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка. Функция Ко (kr) становится бесконечно большой при кг = 0, но скорость, а следовательно, потенциал ф должны оставаться конечными; поэтому постоянная с2 для этой задачи должна быть положена равной нулю; в результате R^ = С\1^кгу
Если радиус невозмущенной струи равен г^ то уравнение деформированной поверхности струи можно записать в виде
r = r0A-^z,t\(7.131)
где
£ =(7.132)
Эти соотношения описывают цилиндрическую, с перетяжками форму возмущенной струи жидкости. На поверхности струи нормальная компонента скорости жидкости должна равняться скорости перемещения поверхности в соответствии с линеаризованным кинематическим условием [ср. с условием (7.21)]. Поэтому vn = vr = dydt при г = г0.(7.133)
Вычислив из уравнения (7.128) vr — —дФ,дг, а из уравнения (7.132) d^dt и заметив, что dla(kr)ldr— кЦ(кг), где Ц(кг — модифицированная функция Бесселя первого рода первого порядка, из уравнения (7.133) найдем, что
Ф = — е1 •(7-134)
Все, что до сих пор было найдено, — это всего лишь произведение Ф/?(г) в выражении (7.128). Найдем уравнение, связывающее к и со. Для этого надо использовать уравнение баланса сил на поверхности. Предварительно нужно получить решение для магнитного поля. Поле описывается уравнениями Максвелла в приближении магнитостатики:
VXH = 0, V-pH = 0.(7.135)
Из уравнений (7.135) следует, что поле Н в магнитной жидкости с постоянной проницаемостью ц имеет потенциал ф, такой, что Н = —Тф; при этом потенциал должен удовлетворять уравне-
нию Лапласа У2ф = 0. (Ср. этот вывод с аналогичным выводом для скалярного потенциала в вакууме в разд. 3.1.) Потенциал ф можно представить в виде
^ = Hoz-W,(7.136)
где первое слагаемое в правой части описывает однородное невозмущенное поле внутри соленоида, а ф'— дополнительное поле, возникающее из-за возмущений формы жидкого столбика исходной формы струи. Так же как и в случае с потенциалом скорости, уравнение Лапласа для магнитного потенциала можно записать в цилиндрической системе координат и найти его решение для областей внутри и снаружи струи. В результате получим
(7.137)
Ф2 = [а2/0 (Аг) + Ь2К0 (6г)] е1 ^"кг\(7.138)
где индекс 1 относится к внутренней области струи, а индекс 2 — к внешней. Эти решения должны удовлетворять граничным условиям для магнитного поля на поверхности раздела двух областей. Этими граничными условиями являются условие непрерывности нормальной компоненты индукции поля и условие непрерывности тангенциальной компоненты напряженности поля при г = г0:
(^ = (^2,(7.139а)
<Ht\ = kHt^(7.139b)
выражая граничные условия через потенциалы при г = г0 с учетом соотношений pi = ц и цг = Цо, получим
цп • Vip! = цоп • Гф2,(7.140а)
ф! = ф2.(7.140b)
На поверхности соленоида г — Rq потенциал возмущения фг равен нулю:
ф' = 0 при г = Ro.(7.140с)
Решения для потенциалов возмущений (7.137) и (7.138) содержат три неизвестные постоянные аь а2, 62; граничные условия для поля в виде уравнений (7.140) дают такое же количество соотношений. Поэтому эти постоянные можно определить при помощи граничных условий для поля.
Чтобы вычислить слагаемые уравнения (7.140а), необходимо иметь выражение для нормали п в цилиндрической системе координат. Для вывода этого выражения воспользуемся приемом, применявшимся в разд. 7.1. Уравнение поверхности струи можно записать в виде г = Цг); поэтому уравнение г — f(2) = const
представляет собой семейство подобных поверхностей и вектор V[r— /(2)] направлен вдоль нормали к поверхности п. Вычислив вектор нормали при помощи выражения для оператора градиента в цилиндрической системе координат (V = jrd/dr+ + i9(d/d0)/r + \zd/dz) с учетом того, что в данной задаче д/дО = 0, и поделив его на длину |V[r — f(2)J |, получим с точностью до членов первого порядка малости:
n = \r-\2d^dz\(7.141)
причем здесь функция ^z^ заменена на правую часть уравнения (7.131).
Найденные после алгебраических преобразований постоянные в решениях для потенциалов равны
ах = 1аоНо^ — Ио) [ц/1 (^о) — м^/о^о)]-'.(7.142а)
ЕарНр (ц — Цо) /0 (&г0) Ко (kR0) х
[цЛ (6г0) - ц0Д/0 (£г0)] [/0 (£г0) Ко № -/о №’ V >^0/
62 = - 02/0 №)/К0 (kR0),(7.142с)
где
Д = Л (^о) Ко (*К0) - /р (fe/?0) К, (^го) /о (^г0) Ко (Мо) - /о № Ко (kr0) '
При предположении, что обмотка соленоида удалена от поверхности струи, так что r0/R0<C 1, выражение для А принимает вид
А = — К\ (krQ)/KQ(krQ).
Рассмотрим теперь условие равновесия оси на поверхности струи в форме (5.24). Это условие можно переписать в виде
П + ц0$ MdH-V^M^p^^o. (7.143) о
Здесь n=p + ps для магнитной жидкости, а ро — атмосферное давление. Подставив выражение для нормали п (7.141) в формулу для 23# (7.11), получим
2Ж_Т.п_1^(г»г)+1^ + ^»^-5-. (7.144)
Выражение для средней кривизны поверхности с учетом формулы для £ (7.132) и соотношения г-х «г™^! — £/г0), справедливого в линейном приближении, преобразуется к виду
23# = ( —-^-ll-Wll- (7-145)
I го го1
Слагаемые с намагниченностью в уравнении (7.143) с точностью до величин первого порядка малости представляются в виде н
^MdH = ^- ц0) (1 Н*й + Нон;), 1 и0М2п = 0, (7.146) о
где H'z = — d^'/dz = ife^'. (Напомним, что ф'— комплексная величина; здесь имеется в виду только вещественная часть этого выражения.)
Уравнение баланса сил на поверхности невозмущенной струи (7.143) имеет вид
По + (и - Ho) (V2^o) = ра ^о,(7.147)
где По — значение П в невозмущенном состоянии.
Вычитая это уравнение из полного уравнения баланса сил на возмущенной поверхности, получим
(П - По) + (и - Но)ikH^' = ~ 4 0 ~ ^о)-(7.148)
г0
Слагаемое П — По можно определить подобным же вычитанием при помощи нестационарного уравнения Бернулли (5.5), в котором функция f(/) = По = const, так как риф предполагаются пространственно периодическими. В отсутствие силы тяжести в первом порядке малости имеем
П-П0 = рдФ/д/.(7.149)
Исключая последовательно переменные из уравнений (7.134), (7.149), (7.138), (7.132) и (7.148), найдем дисперсионное уравнение для волн, распространяющихся на поверхности струи — результат, полученный Н. Г. Тактаровым (1975):
ю2 = ^о 0х "МЧ ^го) Мкго)окЦ (kr0) t _ к P^l^^oW + VoW^I^o)] Р^М^о) °’
(7.150)
Величина со2 здесь может быть как положительной, так и отрицательной. В первом случае со вещественно и соответствующее движение устойчиво. Во втором случае со имеет два чисто мнимых значения; значение со знаком плюс приводит к возрастанию амплитуды возмущения и, следовательно, к неустойчивости. В этом случае струя рассыпается на капли.
В отсутствие поля первое слагаемое в правой части уравнения (7.150) отсутствует; то, что остается, есть классический результат Рэлея. Неустойчивость появляется, когда ксго < 1 (Х>2лг0), т. е. когда длина волны превышает длину периметра струи.
График зависимости безразмерной величины со2(о/рг3) 1 от (&г0)-1 при постоянных значениях р/р0 изображен на рис. 7.24. Видно, что с увеличением проницаемости жидкости точка пересечения графика с осью абсцисс, выражающая минимальную длину волны с неустойчивостью, сдвигается в область больших длин волн. Минимум кривой, соответствующий наиболее быстро растущей волне неустойчивости, также сдвигается к более длинным волнам, что указывает на большую величину образующихся
Рис. 7.24. Дисперсионные кривые в задаче об осесимметричной струе в однородном продольном магнитном поле; случай ц/Цо — 1 соответствует немагнитной жидкости.
капель. Длина еще не распавшейся части струи имеет порядок у/|сот|, где и — скорость струи. При увеличении проницаемости жидкости глубина минимума |wm| уменьшается; это означает, что амплитуда возмущения растет медленнее. Таким образом, теория показывает, что струю магнитной жидкости можно стабилизировать продольным магнитным полем в том смысле, что длина нераспавшейся части струи и размер получающихся при распаде капель будут больше.
Для всех кривых на рис. 7.24 безразмерная комбинация Р-о^оС^о)™1 имела одно значение 5/(4л). Это соответствует, например, значениям 1^/70= 10~3 Тл, а = 0,02 Н-м-1, р = = 103 кг-м-3, г0 = 0,01 м. Эти величины легко получаются для
существующих магнитных жидкостей и источников магнитного поля умеренной интенсивности. Магнитную стабилизацию струи магнитной жидкости наблюдали в лабораторных условиях В. Г. Баштовой и М. С. Краков (1978).
Цилиндрический столб жидкостив поле с радиальным градиентом
Проводились исследования интересной тесно связанной с предыдущей задачи об устойчивости цилиндрического столба магнитной жидкости, окружающей длинный прямолинейный проводник с током. Такая система стационарного столба быстро приготовляется в лаборатории, и ее можно легко исследовать. Описание этого исследования имеется в обзоре Б. М. Берковского и В. Г. Баштового (1980). Магнитное поле цилиндрического проводника с током описывается следующим точным решением уравнений Максвелла:
Нг = 0, Н^ = Н = 1[^г\ Нг = 0;(7.151)
ось z цилиндрической системы координат здесь направлена вдоль оси проводника. Так как магнитное поле тангенциально свободной поверхности магнитной жидкости, то нет причин для появления неустойчивости такого типа, как в ортогональном поле. Влияние магнитного поля здесь сказывается в существовании объемной силы из-за неоднородности поля. В точке свободной поверхности г0 градиент поля имеет величину
G = | dH/dr | = //(2лг2).(7.152)
Линейный анализ устойчивости системы к возмущениям, которые могут распространяться вдоль поверхности жидкости с постоянной восприимчивостью ^ = М/Н, приводит к следующему дисперсионному уравнению, записанному здесь в безразмерной форме:
ргЗю2 _ г /, ^ Кх W) _ ц W) кх (kr^ рЛо (Ч) I"1 a L /0 (*r0) Kt (kr) + Л (*/?) Ко (^го) + рКх (fcr0) J Х
(7.153)
где NBo, m определяется как магнитное число Бонда, R — радиус проводника, ре — плотность внешней среды, р — плотность магнитной жидкости:
Nbo. m = vioMGd2/a = р0х/2/(4л2г0ст).(7.154)
Неустойчивость наступает при со2 = 0. Знак правой части уравнения (7.153) определяется знаком выражения Nbo, m— 1 + А2г».
Отрицательное значение это выражение может принимать только при jVbo, m< 1. С этой точки зрения критическое значение Nво, m равно единице. Наиболее опасные возмущения имеют наиболее быстрый рост и, следовательно, соответствуют значению Nbo, пи для которого безразмерная частота минимальна. Результат линейного анализа рассмотрим для предельного случая
Vm=0
Рис. 7.25. Переход столба магнитной жидкости в цепочки из соединенных капель при уменьшении магнитного числа Бонда АГВо, т (Берковский и Баш- товой, 1980).
тонкого цилиндрического слоя, r^/R - 1 « 1, окруженного газом с прнебрежимо малой плотностью, ре = 0. При этих предположениях уравнение (7.153) приводится к виду
■^ = (7-(7.155)
Критическая длина волны Хс определяется из уравнения (7.155) по условию
^2/^ = 0;(7.156)
в результате имеем
Хс = 2n/(Vo) = 2л [*/2 (1 - NBo. m)]l/2.(7.157)
На рис. 7.25 иллюстрируются эксперименты с магнитной жидкостью на основе парафинового масла, находящейся в водном растворе глицерина с той же плотностью. Первоначально ток в проводнике из нержавеющей стали соответствовал магнитному числу Бонда, большему критического, Nbo, т> 1. Поэтому жидкость образовывала устойчивую цилиндрическую оболочку вокруг проводника. При уменьшении тока последовательно происходил ряд красивых преобразований формы жидкости в виде
цепочки из соединенных капель на каждом этапе. Так как длина проводника конечна, то изменение формы жидкости происходило дискретно, при определенных значениях тока. Такое поведение хорошо видно и на рис. 7.26, где точками изображены экспериментальные данные для жидкого цилиндра в воздухе. Сплошная кривая на рис. 7.26 рассчитана по теоретическому уравнению (7.157).
Рис. 7.26. Сопоставление теоретического значения длины волны наиболее опасных возмущений жидкого столба с экспериментальными значениями (Берковский и Баштовой, 1980).
Читатель должен был заметить сходство рассматриваемой здесь задачи с задачей о механизме стабилизации градиентным полем, обсуждавшейся в разд. 7.5.
ТЕЧЕНИЕ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ:
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ К ПОЯВЛЕНИЮ ОТРОСТКОВ
Рассмотрим течение в пористой среде, в котором данная жидкость проталкивается сквозь пустоты среды другой жидкостью. Оказывается, поверхность раздела двух жидкостей может стать неустойчивой, если более вязкая жидкость вытесняется менее вязкой, но не наоборот. Этот тип неустойчивости, при котором на границе раздела появляются отростки, изучался Сэфменом и Тейлором (Saffman, Taylor, 1958) в рамках линейного анализа. Такое явление часто возникает при истечении масла из резервуара и в течениях подземных вод. Розенцвейг, Цан и Воглер (Rosensweig, Zahn, Vogler, 1978) при помощи ячейки Хил-Шоу показали, что если слой намагничивающейся жидкости толкает более вязкую жидкость, то их поверхность
раздела можно стабилизировать приложенным магнитным полем по отношению к возмущениям с достаточно малой длиной волны. Стабилизация в пористой среде эффективна только для волн, распространяющихся вдоль направления поля.
Чтобы промоделировать эту ситуацию, достаточно рассмотреть простую задачу для двух областей, как показано на рис. 7.27, где изображена магнитная жидкость, толкающая немагнитную в присутствии внешнего тангенциального к поверхности поля. До наступления неустойчивости жидкости движутся
9
Рис. 7.27. Возмущения поверхности раздела двух разнородных жидкостей, фильтрующихся сквозь пористую среду; V — скорость поверхности раздела.
перпендикулярно поверхности раздела со скоростью V. Амплитуду возмущения поверхности снова будем предполагать меняющейся со временем пропорционально ехр(/со/). Хотя структура пористой среды точно неизвестна, предполагается, что осред- ненное движение жидкости адекватно описывается законом Дарси*.
0=-Vp~Pq + Pg + fm, (7.158)
где р— гидродинамическое давление; р = т)/К — отношение вязкости жидкости т| к проницаемости среды К, которая в свою очередь зависит от геометрии пустот пористой среды; q— локальная средняя скорость жидкости; fw— эффективная объемная магнитная сила. В уравнении (7.158) уже заложено предположение, что инерция в этой задаче несущественна и ею можно пренебречь. Дополнительными уравнениями являются уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости V-q = 0 и уравнения магнитостатики V X Н = О и V • В = 0. Все фигурирующие здесь величины предполагаются осредненными по некоторому объему. В гл. 9 выводятся уравнения для многофазного течения; можно убедиться, что уравнение (7.158) является част-
ным случаем уравнения движения жидкой фазы (9.42а), рассматриваемого совместно с определяющими соотношениями (9.45) и (9.46а), когда инерционными слагаемыми можно пренебречь, скорость твердой фазы равна нулю и распределение пустот пространственно однородно.
Решение задачи приводит к следующему дисперционному соотношению:
к^=1 -о- ГоР» + Рак^=1 -о- ГоР» + Ра[^2 + §(р6-ра) + (р6-₽а)У +[^2 + §(р6-ра) + (р6-₽а)У +]V^A ]1 + so J]V^A ]1 + so J(7.159)(7.159)гдегде_ Рс Л .^ dinp S° — Но V k2 din H_ Рс Л .^ dinp S° — Но V k2 din H(7.160)(7.160)
к
^=1 -о- ГоР» + Ра
к
^=1 -о- ГоР» + Ра
[^2 + §(р6-ра) + (р6-₽а)У +
[^2 + §(р6-ра) + (р6-₽а)У +
]V^A ]
1 + so J
]V^A ]
1 + so J
(7.159)
(7.159)
где
где
_ Рс Л .^ dinp S° — Но V k2 din H
_ Рс Л .^ dinp S° — Но V k2 din H
(7.160)
(7.160)
Заметим, что co — чисто мнимая величина; если выражение в скобках в уравнении (7.159) положительно, то любое возмущение затухает со временем; если отрицательно, то система неустойчива и любое возмущение экспоненциально растет со временем. Поверхностное натяжение и намагниченность способствуют стабилизации системы; сила тяжести стабилизирует систему, если более тяжелая жидкость находится ниже (р&>ра). Динамика процесса фильтрации жидкости, в отличие от задачи Рэлея — Тейлора, определяется скорее вязким трением, чем инерцией. Уравнение (7.159) подтверждает, что при отсутствии магнитных эффектов может наступить неустойчивость поверхности к вязким выбросам, изучавшаяся Сэфменом и Тейлором, когда проталкивается более вязкая жидкость (ра>р&).
Магнитное поле стабилизирует поверхность только по отношению к волнам возмущения вдоль поля. Положив к2 = 0, так что к = ку, перепишем уравнение (7.159) в виде
(7.161)(7.161)• ки ( иг , ^^У г^° = 1 ft 2й~ аки + 1 Х г ~ Г)Рб + Р« V U *+Г0/
(7.161)
(7.161)
(7.162)(7.162)где г0 = (ц^/цЗ)1/2 — величина уже определявшаяся ранее, и
(7.162)
(7.162)
r = (Pa-Pb)V + g(pa-pft).
Из уравнений (7.161) и (7.162) видно, что поверхностное натяжение стабилизирует систему по отношению к возмущениям с большими волновыми числами (с малыми длинами волн), а магнитное поле стабилизирует систему к возмущениям с промежуточными волновыми числами (с промежуточными длинами волн). При Г > 0 система неустойчива в области малых волновых чисел. При Г ^ 0 система устойчива по отношению к возмущениям с любыми волновыми числами, безразлично, имеется намагниченность или нет.
(о)(о)1см1смПоявление
(о)
(о)
1см
1см
отростка при Н=0
^-'2,/d2 (Ц^-'2,/d2 (ЦРис. 7.28. (а) Фотографии фильтрации жидкости в горизонтальной ячейке Хил-Шоу слева направо. Расстояние между пластинами d = 0,52 мм, вязкость магнитной жидкости на воде т)» = 1,18 мН-с-м-2, вязкость масла Т)о = 219 мН-с-м-2, поверхностное натяжение о = 30 мН-м-1, скорость V = 0,3 мм-с-1; (Ь) схематическое изображение ячейки Хил-Шоу. См. (Rosensweig, Zahn, Vogler, 1978).Рис. 7.28. (а) Фотографии фильтрации жидкости в горизонтальной ячейке Хил-Шоу слева направо. Расстояние между пластинами d = 0,52 мм, вязкость магнитной жидкости на воде т)» = 1,18 мН-с-м-2, вязкость масла Т)о = 219 мН-с-м-2, поверхностное натяжение о = 30 мН-м-1, скорость V = 0,3 мм-с-1; (Ь) схематическое изображение ячейки Хил-Шоу. См. (Rosensweig, Zahn, Vogler, 1978).Стабилизация полемН=1^5-10*А/м
^-'2,/d2 (Ц
^-'2,/d2 (Ц
Рис. 7.28. (а) Фотографии фильтрации жидкости в горизонтальной ячейке Хил-Шоу слева направо. Расстояние между пластинами d = 0,52 мм, вязкость магнитной жидкости на воде т)» = 1,18 мН-с-м-2, вязкость масла Т)о = 219 мН-с-м-2, поверхностное натяжение о = 30 мН-м-1, скорость V = 0,3 мм-с-1; (Ь) схематическое изображение ячейки Хил-Шоу. См. (Rosensweig, Zahn, Vogler, 1978).
Рис. 7.28. (а) Фотографии фильтрации жидкости в горизонтальной ячейке Хил-Шоу слева направо. Расстояние между пластинами d = 0,52 мм, вязкость магнитной жидкости на воде т)» = 1,18 мН-с-м-2, вязкость масла Т)о = 219 мН-с-м-2, поверхностное натяжение о = 30 мН-м-1, скорость V = 0,3 мм-с-1; (Ь) схематическое изображение ячейки Хил-Шоу. См. (Rosensweig, Zahn, Vogler, 1978).
При выводе уравнения (7.161) из уравнения (7.159) величина s0 была заменена на г0. Это законно, так как р = BjH, и, следовательно, (d In p/d In Н) |До = yt/iic — 1; подстановка этого результата в выражение для s0 при &2 = 0 приводит его к выражению для г0.
Результат о магнитной стабилизации фильтрации жидкости экспериментально подтвержден в работах (Rosensweig, Zahn, Vogler, 1978; Zahn, Rosensweig, 1980) на примере ячейки Хил- Шоу, которая представляет собой две параллельные пластинки, разделенные маленьким промежутком вдоль оси у (рис. 7.28).
УСТОЙЧИВОСТЬ К ТЕПЛОВОЙ КОНВЕКЦИИ
Одной из наиболее хорошо исследованных задач о явлениях переноса является задача о рэлеевской конвекции (часто называемая задачей Бенара), схематично изображенная на рис. 7.29.
Слой жидкости толщины d занимает пространство между двумя параллельными бесконечными пластинами, как показано на рис. 7.29. Температура нижней пластины поддерживается равной Thot, а температура верхней Гсом; Thot — TCoid = АГ. Если градиент температуры поперек зазора не слишком большой, то жидкость остается в покое. В этом равновесном состоянии температура меняется линейно поперек зазора и, следовательно, градиент температуры всюду в жидкости одинаков:
dT,dz = NT!d = Ай.dT,dz = NT!d = Ай.(7.163)(7.163)
dT,dz = NT!d = Ай.
dT,dz = NT!d = Ай.
(7.163)
(7.163)
При увеличении разности температур двух пластин начинают играть важную роль эффекты, связанные с изменением плотности жидкости. На единицу объема более горячей частицы жидкости из-за ее теплового расширения действует меньшая
ddУ///////////////////////.
d
d
Т^coldiPhigh
7 hot» Pio lu
7777777777777777777777^7,
Рис. 7.29. Схема и обозначения для задачи о термоконвективной неустойчивости слоя, подогреваемого снизу. Едва число Рэлея превышает критическое значение, появляются конвективные ячейки.
сила, чем на единицу холодной жидкости. Жидкость в верхней части слоя весит больше и поэтому стремится перераспределиться, чтобы восстановить баланс. Состояние покоя поддерживается до тех пор, пока некоторое безразмерное число, выражающее баланс сил плавучести, вязких сил и переноса тепла из-за теплопроводности и конвекции, не превышает определенного критического значения. Это безразмерное число называется числом Рэлея; для обычных жидкостей, на которые действует только сила тяжести, оно записывается в виде
NRaNRaСила плавучести Теплоперенос конвекцией Вязкая сила Теплоперенос теплопроводностью
NRa
NRa
(7.164)
где р0 = —d In p/dT — коэффициент теплового расширения, Со— теплоемкость при постоянном давлении, рассчитанная на единицу объема, ио — характерная скорость и k — коэффициент теплопроводности. Критическое значение числа Рэлея ^Ra, о>
при котором решение с состоянием покоя становится неустойчивым, равно 1708 для горизонтального слоя жидкости и 1558 для вертикального слоя.
Ясно, что возможно и другое аналогичное явление неустойчивости, если сила плавучести заменяется другой объемной силой, в том числе в выражении для ^Ra. Такая ситуация возникает, когда на подогреваемую жидкость действует объемная сила poAlV/7. Эта объемная сила зависит от теплового состояния жидкости, так как М = М (Т, Н); при этом выполняется условие (дМ/дТ^н < 0. Физику все будет понятно при одном взгляде на
Рис. 7.30. Конвективная неустойчивость магнитной жидкости в присутствии внешнего градиентного магнитного поля и при отсутствии силы тяжести.Рис. 7.30. Конвективная неустойчивость магнитной жидкости в присутствии внешнего градиентного магнитного поля и при отсутствии силы тяжести.
Рис. 7.30. Конвективная неустойчивость магнитной жидкости в присутствии внешнего градиентного магнитного поля и при отсутствии силы тяжести.
Рис. 7.30. Конвективная неустойчивость магнитной жидкости в присутствии внешнего градиентного магнитного поля и при отсутствии силы тяжести.
рис. 7.30, где изображена конвективная неустойчивость магнитной жидкости. Пусть градиент магнитного поля направлен поперек зазора, как на рис. 7.30, а температура увеличивается в направлении VH. Более холодная жидкость сильнее намагничивается, поэтому она стремится в область большего поля, вытесняя более теплую жидкость. Получающееся течение является еще одним примером магнетокалорического преобразования энергии, обсуждавшегося в гл. 6.
Устойчивость магнитных жидкостей к тепловой конвекции можно выяснить путем анализа малых возмущений на основе линеаризованного уравнения движения, уравнения неразрывности, уравнения теплопроводности и соответствующих уравнений Максвелла. В этой области, начиная с 1970 г., имеется много исследований по разным направлениям; в каждом можно получить аналитическое решение и найти обобщенное число Рэлея, определяющее момент перехода из неподвижного равновесного состояния в стационарное конвективное движение. Обобщенное число Рэлея в разных случаях записывается следующими способами:
аг CoAod*NRa = ”^аг CoAod*NRa = ”^' PoPg,X p.0MkaG0,' PoPg,X p.0MkaG0,(1)(2)(7.165)(1)(2)(7.165)Ио^Ло/(1+%,). (3)Ио^Ло/(1+%,). (3)
аг CoAod*
NRa = ”^
аг CoAod*
NRa = ”^
' PoPg,X p.0MkaG0,
' PoPg,X p.0MkaG0,
(1)
(2)(7.165)
(1)
(2)(7.165)
Ио^Ло/(1+%,). (3)
Ио^Ло/(1+%,). (3)
Здесь (?0 = — dH/dz — постоянный в слое жидкости градиент поля, MkQ = — (дМ/дТ)н — пиромагнитный коэффициент К, введенный в гл. 6, и ^t = (dMldH)T. Приведем сводку результатов, рассматривая каждый случай в уравнении (7.165) отдельно.
Действует только механизм с силой плавучести, возникающей из-за разности плотностей, в поле сил тяжести. Этот случай уже рассматривался в начале этого раздела. Широкие исследования устойчивости жидкости к конвекции в течение 80 лет имеют своим источником классические эксперименты Бенара в 1900 г., который наблюдал ячеистые циркулирующие структуры в тонких (0,5—1 мм) открытых слоях жидкости, подогреваемых снизу. Рэлей (Rayleigh, 1916), ознакомившись с наблюдениями Бенара, проанализировал методом малых возмущений устойчивость слоя жидкости к возмущениям плотности и нашел, что критическое число Рэлея ^Ra,o близко к 1700. Однако сейчас известно, что ячеистая конвективная структура, наблюдавшаяся Бенаром, появилась скорее из-за неоднородности поверхностного натяжения, чем из-за сил плавучести, так как верхней границей слоя в его экспериментах была свободная поверхность, на которой из-за локальных изменений температуры могут возникать силы поверхностного натяжения (см., например, работы (Pearson, 1958; Sternling, Scriven, 1959; Scriven, Sternling, 1964).
Слой жидкости находится в магнитном поле с постоянным градиентом Gq, а изменение плотности отсутствует. Предполагается, что адиабатическое расширение и магнетокалориче- ское охлаждение пренебрежимо мало. Модифицированное число Рэлея для этого случая представлено в таком виде «Паласом и Карми (Lalas, Carmi, 1971) и Кертисом (Curtis, 1971). М. И. Шлиомис (1974а) проанализировал устойчивость слоя с учетом адиабатического расширения и магнетокалорического охлаждения. Неустойчивость наступает при выполнении следующего неравенства:
N^a> WRa.0,
( 1708 (горизонтальный слой), ^Ra,0=i ™о ох(7.166)
( 1558 (вертикальный слои).
Слой находится в однородном поле, но учитывается связь изменения температуры с изменением намагниченности. Эта задача изучалась Финлейсоном (Finlayson, 1970), который показал, что для значений М > 3-105 А-м-1 критическое число Рэлея становится равным 1708 для любого значения %*.
Увеличение конвективного теплопереноса в магнитных жидкостях, по-видимому, может найти приложения для охлаждения проводников с током в электродвигателях, линиях передачи и других электрических устройствах, где из-за токов имеется магнитное поле.
РЕЗЮМЕ
Магнитное поле, направленное перпендикулярно свободной поверхности магнитной жидкости, оказывает на нее дестабилизирующее действие. Наиболее ясно это видно на примере неожиданного появления регулярной системы ячеек на бесконечной плоской поверхности. С другой стороны, тангенциальное к бесконечной поверхности раздела магнитное поле оказывает стабилизирующий эффект. Стабилизация полем имеет место в примерах затухания стоячих волн в колеблющемся сосуде, защиты от появления отростков в течении, где преобладают эффекты вязкости, и устойчивого поведения струи жидкости в параллельном магнитном поле. Необычно, однако, то, что тангенциальное поле оказывает дестабилизирующее влияние на тонкие слои и приводит к образованию лабиринтных и других структур. Образование таких структур является следствием возникновения градиентов поля у краев слоев жидкости.
Важной чертой задач о конфигурации жидкости является наличие критической точки, в которой возникает неустойчивость. Критическая точка имеется в задачах об устойчивости в ортогональном поле, стабилизации осесимметрического столба жидкости азимутальным полем и возникновении лабиринтной структуры. В других случаях диапазон длин волн возмущения разделяется на две области: устойчивую и неустойчивую; положение границы между ними определяется напряженностью магнитного поля. Это имеет место в задачах об устойчивости Рэлея— Тейлора, течении в пористой среде и осесимметричной струе.
В любом случае, если характерный размер установки меньше наименьшей длины волны, ведущей к неустойчивости, то система является устойчивой.
Еще один тип задач об устойчивости будет рассмотрен в гл. 9 —об объемной устойчивости в среде с переменной плотностью при изучении поведения псевдоожиженных частиц.
ДОБАВЛЕНИЕМАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ВОЛН ВОЗМУЩЕНИЯ
В этой книге часто рассматриваются волны возмущения. Хотя это понятие само по себе очень простое, поколения студен-
тов путаются из-за невнимания к точным формулировкам. Если предположить, что в жидкости неожиданно возникает пакет волн бесконечно малой амплитуды, то интересно описать их дальнейшую эволюцию. Набор таких малых возмущений всегда имеется из-за шума, происходящего от статистических флуктуаций, нерегулярности течения и других источников. Эволюцию каждой компоненты Фурье шума или волны возмущения можно рассматривать отдельно благодаря линейности уравнений. Поэтому можно аналитически рассчитать движение одной волны возмущения в жидкости и изменение со временем ее амплитуды. Если амплитуда растет со временем экспоненциально, то говорят, что течение неустойчиво по отношению к данной волне возмущения или моде.
Величину возмущения в плоской волне, иногда называемой нормальной модой, можно представить в следующем виде:
6 (х, у, /) = £0cos((o/ — kxx — kuyY (7.167)
Например, ^х, у, t) может означать величину отклонения поверхности жидкости от ее невозмущенной (плоской) формы. Точка на поверхности задается декартовыми координатами х, у в исходной плоскости, t— время. Величина £— возмущение в данной точке; £0— амплитуда или максимальная величина возмущения; со — угловая частота волны, кх и ку— волновые числа вдоль соответствующих осей. Величина ^х, у, t) может также означать изменение скорости, давления, компоненты магнитного поля и другие величины. Упомянутые величины, кроме отклонения поверхности, могут также непрерывно меняться вдоль оси г, перпендикулярной осям х и у. Поэтому g0 может быть функцией г, так что ^ = ^^Y
Поверхностные волны распространяются в определенном направлении. Представляя радиус-вектор точки на плоскости распространения волны в виде r = ix + j# и вводя волновой вектор соотношением к = кхг + kyL видим, что скалярное произведение к и г равно к • г = кхх + ktiy = ks. Здесь s—расстояние вдоль направления распространения волны к, и к = \к\= = (^кх + к2УУ?2 — волновое число, равное числу оборотов угла в волне, приходящееся на единицу длины. Если волновое число измерять в радианах на метр, то величина X = 2л/& определяет длину волны в метрах. Если аргумент функции косинуса со/ — ks постоянен, то величина ^(х, у, t) также постоянна при фиксированном 2. Полагая эту постоянную равной нулю, т. е. mt— ks = О или s/t = ®k, получим точку, соответствующую вершине или пучности волны. Таким образом, из выражения для волны следует, что возмущение распространяется со скоростью v = ы/к.
С учетом проведенного обсуждения выражение для волны возмущения можно также записать в виде
6 (х, у, /) = £0 ^ cos (со/ — А • г) = £0 С?) cos (со/ — As). (7.168)
Можно достигнуть сильного упрощения в алгебраических преобразованиях, если вместо тригонометрических функций по формуле Эйлера exp (/0) = е1^ = cos 0 + I sin 0 ввести экспоненциальные функции; при этом достаточно рассматривать лишь вещественную часть экспонент. Символ i обозначает V-1> или мнимую единицу. С учетом формулы Эйлера выражения для волны возмущения можно представить в виде
^60(2) Reexp[f (со/ — к • г)],(7.169)
где Re обозначает вещественную часть комплексного числа.
Если со и k — вещественные числа, то бегущая волна имеет постоянную амплитуду колебаний. Если допускаются комплексные значения со = у— zv, где у и v вещественны, то выражение для волны принимает более сложный вид. В этом случае
6 = 60 Re exp [z ^t — к • г)] = ^ (2) е^1 cos (у/ — As). (7.170)
Из-за множителя е^1 амплитуда волны меняется со временем. Основная задача теоретического анализа устойчивости и состоит в определении эволюции со временем пробного возмущения.
Таблица 7.1. Классификация поверхностных волн
Волны, бегущие влево, v<o
Небегущие волны, Y=0
Волны, бегущие вправо, у>0
Стоячие волны (суперпозиция волн, бегущих влево и вправо)
v < 0, затухающие (устойчивые)
v = 0, постоянные (нейтрально устойчивые)
v > 0, растущие (неустойчивые)
/Ч^
Д zi т
/Ч> t,
при любом t
A
Пучность
loopt
Узел
/*2**1 A^V
^А>Т1
♦♦
/4 7*
В связи с этим интересно посмотреть, какие ситуации здесь могут возникнуть. Так как v и у могут быть отрицательными, равными нулю или положительными, то всего возможно 32 = 9 комбинаций. Все эти случаи приведены в табл. 7.1.
При v < 0 амплитуда волны со временем затухает, и устойчивость системы не нарушается. При v > О, наоборот, амплитуда волны возмущения со временем растет, и система, как говорят, является неустойчивой. При v = 0 система находится в нейтрально устойчивом состоянии.
Величина у указывает на характер распространения колебаний волны возмущения. Значения у < О соответствуют волнам, распространяющимся к меньшим значениям s (бегущим влево), значения у >0 — противоположным или распространяющимся вправо волнам и у = 0 указывает на отсутствие колебаний.
Из анализа Фурье известно, что возмущение физической величины любой формы может быть представлено как суперпозиция волн в виде синусов и косинусов с разной длиной волны или волновым числом. Обычно достаточно проследить эволюцию одной (общей) гармоники; при этом можно найти волновое число волны с наиболее быстрым ростом и получить другую информацию.
Особый интерес в физике представляет суперпозиция бегущих в противоположные стороны волн с одинаковой длиной волны. Такая суперпозиция поступательно движущихся волн описывается выражением
^е^ [cos (у/ — 6s) + cos (у/ + 6s)] = 2£0ev/ cos у/ cos 6s, (7.171)
которое дает картину стоячих волн. В табл. 7.1 также приведены примеры возможных типов стоячих волн. Имеются три типа стоячих волн в зависимости от того, растет, уменьшается или остается постоянной во времени их амплитуда.
ЗАМЕЧАНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Авторитетным руководством по гидродинамической устойчивости является книга (Chandrasekhar, 1961); новые результаты содержатся в замечательной монографии (Drazin, Reid, 1981).
Аналогом задачи о неустойчивости в ортогональном поле является задача о свободной поверхности жидкого диэлектрика в постоянном вертикальном электрическом поле, экспериментально исследовавшаяся в работе (Taylor, McEwan, 1965), а теоретически — в работе (Melcher, 1963).
Геометрические картины, появляющиеся вследствие неустойчивости магнитной жидкости, дают возможность провести прямые визуальные наблюдения явлений при двумерном плавлении
кристаллов, включая движение дефектов решетки; см. по этому поводу работу (Skjeltorp, 1983).
Фундаментальной работой по вопросу о неустойчивости Рэлея-Тейлора является работа самого Рэлея (Rayleigh, 1883) , в которой рассматривается устойчивость стратифицированной жидкости под действием сил, направленных перпендикулярно плоскости раздела. Тейлор (Taylor, 1950) и Льюис (Lewis, 1950) изучали соответственно теоретически и экспериментально поведение первоначально плоской поверхности раздела между двумя жидкостями с разными плотностями, когда вся система находится под действием сил ускорения в направлении, перпендикулярном их поверхности раздела. Сводка результатов исследований задачи Рэлея — Тейлора до 1961 г. и обширная библиография имеется в книге (Chandrasekhar, 1961, гл. 10). В качестве примера из более новой литературы приведем работу (Pimbley, 1976), в которой используется мощный аппарат теории бифуркаций.
Источниками по вопросу о неустойчивости Кельвина — Гельмгольца являются работы Гельмгольца (Helmholtz, 1868) и Кельвина (Kelvin, 1910). Рассмотрение Гельмгольца в основном качественное, тогда как анализ Кельвина исключительно полный.
Задача Кельвина — Гельмгольца с намагниченностью первоначально абстрактно рассматривалась в монографии (Melcher, 1963).
Результаты о влиянии намагниченности на неустойчивости, возникающие в фазовом переходе при кипении, содержатся в работе (Papell, Faber, 1966).
В литературе имеются много других задач, касающихся вопроса устойчивости магнитной жидкости; их можно отыскать в обширных библиографиях Цана и Шентона (Zahn, Shenton, 1980) и Чарлза и Розенцвейга (Charles, Rosensweig, 1983) — источниках информации по всем аспектам феррогидродинамики.
8. Магнитные жидкостии несимметричные напряжения
До сих пор при рассмотрении движений жидкостей предполагалось, что намагниченность М параллельна магнитному полю Н, как это имеет место в состоянии покоя. Условие параллельности этих векторов выполняется с очень хорошей точностью для жидкости с однодоменными частицами столь малого размера, что ее можно считать суперпарамагнитной. В этом случае вектор М свободно вращается внутри твердой частицы. В частицах большего размера направление магнитного момента жестко связано с ориентацией частицы. Если здесь поле Н меняет свое направление, то поведение намагниченности М определяется более медленным процессом вращения частицы, которое тормозится моментом сил вязкого трения со стороны жидкости. В результате произведение ц0МХН, которое составляет объемный момент сил, имеет некоторое конечное значение.
Здесь будет показано, что при наличии объемного момента сил тензор вязких напряжений несимметричен; наличие несимметричных напряжений приводит к новым типам течений.
ЯВЛЕНИЯ
На рис. 8.1 иллюстрируется разнообразие явлений, к которым приводит вращение магнитных частиц относительно жидкой матрицы в коллоидных магнитных жидкостях. Например, если стакан с магнитной жидкостью поместить во вращающееся магнитное поле, то можно увидеть движение жидкости, показанное на рис. 8.1(c). Постоянное изменение направления поля вызывает вращение жидкости в стакане; этот эффект обнаружили Московитц и Розенцвейг (Moskowitz, Rosensweig, 1967). Дополнительные подробности и экспериментальные данные, полученные в этих экспериментах, приведены на рис. 8.2 и 8.3. Кроме того, во всяком вихревом течении в стационарном магнитном поле в той или иной степени возникают антисимметричные напряжения; Розенцвейг, Кайзер и Мишкольци (Rosensweig, Kaiser, Miskolczy, 1969) обнаружили, что в вискозиметрическом течении с однородным сдвигом (рис. 8.1(e)) кажущаяся вязкость в магнитном поле увеличивается до 4 раз в сильных полях.
Напряжение сдвига
(а)
Нет внутреннего момента импульса
Напряжение сдвига
Вращающееся магнитное поле
Неподвижный
стакан
Свободно вращающаяся
частицы
платформа
(е)
Набегающий (т) поток
Рис. 8.1. В магнитной жидкости возникают несимметричные напряжения, когда приложенное магнитное поле и намагниченность ориентированы в разных направлениях; см. рис. (а) и (Ь). Напряжения возникают в магнитной жидкости вследствие вращения магнитных частиц относительно несущей жидкости. Объемный момент сил G может привести к течению вязкой жидкости, как на рис. (с) и (d). С другой стороны, течение вязкой жидкости, как на рис. (е) и (f), может вызвать появление момента сил магнитной природы. Ненулевой вектор А, скорость преобразования внешнего и внутреннего момента импульса s, приводит к неравенству поверхностных сил, см. рис. (Ь). s — внутренний момент импульса, С — поверхностный момент сил.
Н
В этом течении поле стационарно, а стенки движутся. Физическая причина эффекта в этом случае состоит в том, что магнитное поле фиксирует ориентацию частиц внутри жидкости, вызывая дополнительное трение и диссипацию энергии. Еще одна ситуация, в которой работает этот механизм дополнительной диссипации, показана на рис. 8.1(f). Постоянное поле накладывается на стационарный поток магнитной жидкости, обтекающий плоскую неподвижную пластину; в результате поле начинает влиять на течение жидкости в пограничном слое около
Рис. 8.2. Стакан с магнитной жидкостью (вид сверху). Для создания однородного вращающегося поля к двум парам катушек подается переменный ток со сдвигом фазы на 90°. Как здесь показано, вектор намагниченности отстает от вектора приложенного магнитного поля.
пластины; течение в пограничном слое вихревое, поэтому оно стремится повернуть магнитные частицы магнитной жидкости от направления магнитного поля; здесь опять имеется состояние относительного вращения частиц и несущей жидкости. Однако если поле параллельно пластине и перпендикулярно плоскости течения, то эффекта не будет, так как частицы могут свободно вращаться вокруг своих осей, параллельных направлению поля.
Исследование несимметричных напряжений в магнитных жидкостях очень заманчиво с точки зрения технологии из-за возможных приложений к таким устройствам, как насосы без движущихся частей, появления возможности управления процессами тепло- и массопереноса в конвективных течениях и для снижения трения в пограничных слоях. В некоторых полимерах
и жидких кристаллах, по-видимому, также в слабой степени проявляются подобные эффекты, но в магнитных жидкостях они заметнее. Добавим, что и сама по себе эта тема представляет несомненный научный интерес.
В настоящее время теория рассматриваемого здесь предмета еще не завершена. В этой главе развиваются те разделы общей
Рис. 8.3. Экспериментальные данные из работы (Moskowitz, Rosensweig, 1967). Зависимость угловой скорости вращения жидкости со (рад/мин) от величины приложенного поля В.
теории, которые представляются правильными и строгими. Вопросы, которые вызывают неуверенность, специально отмечаются.
Раздел 8.2 начинается с изложения некоторых общих принципов механики континуумов.
ПРИНЦИП НАПРЯЖЕНИЙ КОШИИ ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА
Второй закон Ньютона для частиц в механике сплошных сред распространяется на случай континуумов в виде постулата, утверждающего, что скорость изменения импульса вещества в объеме V равна сумме объемных сил, действующих на этот объем, и поверхностных сил, действующих на поверхность, ограничивающую объем V:
-^^pvdV = ^pFdV + ^tndS.(8.1)
VV
Здесь р — плотность сплошной среды, v — скорость, F—внешняя сила, рассчитанная на единицу массы и tn — вектор напряжения. Уравнение (8.1) выражает так называемый принцип напряжений Koutu и является интегральным уравнением закона сохранения импульса.
Рассмотрим теперь объем, изображенный на рис. 8.4. Оценим по порядку величины слагаемые уравнения (8.1), когда объем стягивается в точку Р с сохранением своей формы. Если характерный линейный размер объема V есть d, то величина каждого
Рис. 8.4. Объем V с характерным линейным размером d.
слагаемого в уравнении (8.1) при d-^О ведет себя таким образом:
-^pvdV~d\(8.2)
v
^pFdV~d3.(8.3)
v
^tndS~d\(8.4)
s
В пределе слагаемые с интегралами по объему становятся пренебрежимо малыми по сравнению со слагаемым с поверхностным интегралом. В результате заключаем, что
lim -L- & t„ dS = 0.(8.5)
d-»0 “3
Таким образом, напряжения должны находиться в локальном равновесии. Локальное равновесие поверхностных напряжений
имеет место как для полярных, так и для неполярных сред. Уравнение (8.5) подтверждает правильность полученной ранее записи баланса сил, действующих на малый контрольный объем в виде тетраэдра; а из этого уравнения следует в свою очередь, как показано в разд. 1.7, существование тензора поверхностных напряжений Т.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ,ВЫРАЖАЮЩЕЕ ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ МОМЕНТАИМПУЛЬСА ДЛЯ НЕПОЛЯРНЫХ СРЕД
Уравнение, выражающее закон сохранения момента импульса неполярного вещества в объеме V, записывается в виде
$ Р (Г X V) dV = 5 Р (Г х F) dV + (г х tn) ds.(8.6)
VVs
Это уравнение утверждает, что скорость изменения момента импульса вещества, находящегося в данный момент в объеме V, равна сумме моментов объемных сил, действующих на объем среды, и поверхностных сил, действующих на ограничивающую •объем поверхность.
Оценивая по порядку величины каждое слагаемое в уравнении (8.6) и предполагая, что объем стягивается в точку, приходим к очевидному выводу, что
lim^-^^XtJdS^O.(8.7)
Таким образом, в неполярных средах моменты поверхностных напряжений находятся в локальном равновесии. Из уравнения (8.7) следует, что тензор напряжений Т независимо от его физического происхождения в неполярной среде симметричен, т. е. т = тг, или, что то же самое, Тц = Тц. Дадим эвристическое доказательство симметричности тензора напряжений; более строгое доказательство будет приведено несколько позже.
Симметричность тензора напряжений можно установить следующим рассуждением. Чтобы упростить доказательство, запишем уравнение (8.7) для двумерной поверхности, но доказательство легко распространяется и на три измерения.
Рассмотрим бесконечно малый элемент поверхности с размерами 6х на бу в декартовой системе координат (рис. 8.5). Начало системы координат поместим в центр элемента. Разложения в ряд Тейлора компонент тензора напряжения в окрестности
начала координат с точностью до членов первого порядка малости имеют вид
°> + (тХ , ■<8-8)
7„ (О. 4) = Г.- <"■") + ^ Йт\, „ ■(8-9)
°) = М°,°)-^Ч^Х.'<8-10>
7„(0, "^"Ш^^.(8.11)
Например, силана верхнейстороне элементаравна
Тух^, byp^bx, а ее момент относительно начала координат равен Tyx^t byl^bxbyl^ на нижней стороне элемента сила
^хМу/г)
Рис. 8.5. Бесконечно малый элемент, для которого записано уравнение баланса момента импульса. Показаны только те компоненты тензора напряжений, которые вносят вклад в уравнение баланса.
равна Тух(0, —Ьу^Ьх, а ее момент равен 7^(0, — бу/2) X Х6х(— byl^Y Записывая уравнение баланса всех моментов сил относительно начала координат с учетом принципа локального равновесия, видим, что все слагаемые более высокого порядка взаимно уничтожаются; в результате имеем Тху = ТуХ) так что симметричные компоненты тензора напряжений равны. Рассуждение можно повторить и для других осей системы координат; в результате тензор напряжений симметричен. Здесь не учитывалось, что касательные компоненты напряжений меняются вдоль каждой стороны элемента; поэтому для строгого доказательства симметричности тензора напряжений нужен более тщательный анализ; этот вопрос будет рассмотрен в разд. 8.6.
ТЕОРЕМА ПЕРЕНОСА РЕЙНОЛЬДСА
Перед дальнейшим изложением материала введем одну полезную теорему. Рассмотрим интеграл / = \ ^(х, OdV, где V(/)—выделенный объем, состоящий в любой момент времени из одних и тех же частиц, т. е. материальный объем, а S' (х, /) — некоторая скалярная, векторная или тензорная функция, например плотность или скорость. Согласно теореме переноса Рейнольдса для производной интеграла по объему, материальная производная от / дается выражением
-^ $ ^(х, t)dV = $ ^^-dV + ф ^(х, OvndS. (8.12) К(0VWSU)
Теорема переноса, таким образом, утверждает, что полная скорость изменения интеграла по объему от величины S' равна сумме интеграла по объему от ее локального изменения и изменения за счет притока через поверхность из соседних областей. Поверхностный интеграл в уравнении (8.12) можно преобразовать в объемный интеграл при помощи теоремы о дивергенции:
^S<x,^N-ndS= $ WnWV=
S(0К (О
= J SlV-vW + J v-VSdV; (8.13) V(f)vw
последнее равенство здесь было получено при помощи векторного тождества V • (^"v) — S (V • v) + v • VS и, следовательно, справедливо только для случая, когда S — скалярная функция. Подставляя выражение (8.13) в уравнение (8.12) и используя определение (4.57), получим
-§-^(х, t)dV =[-^ + ^(V.v)]dK.(8.14)
VWVW
Если ^ = рф, где ф— произвольная функция, то уравнение (8.14) можно преобразовать к виду
4 $ PtdV= $ [p^ + ^^ + pV-v)]^.(8.15)
У(0VW
Положив в уравнении (8.15) ф = 1, получим выражение для скорости изменения массы в материальном контрольном объеме pdV= (^-^pV-v^dV.(8.16)
VWVW
Масса материального контрольного объема, как это непосредственно следует из его определения, постоянна, поэтому
-g- $ pdy = 0 = 5 (2e. + pV.v)dK. (8.17) к(ОV(O
Учитывая, как обычно, произвольность выбора контрольного объема, заключаем, что подынтегральное выражение во втором равенстве должно тождественно равняться нулю:
Dp(Dt + pV • v = 0,(8.18а)
илиили
или
или
dp/d/ +V • (pv) = 0.(8.18b)
Уравнения (8.18) являются вариантами записи хорошо знакомого уравнения неразрывности.
Подставляя выражение (8.18а) в уравнение (8.15), получим часто используемое уравнение
(8.19)(8.19)A. $ p^dV = J P-^-dV.VWVW
(8.19)
(8.19)
Так как ф здесь может быть любой скалярной величиной и, в частности, любой компонентой вектора и тензора, то уравнение (8.19) справедливо и для случаев, когда ф— любая скалярная, векторная или тензорная функция.
УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ КОШИ
Сейчас мы выведем одно очень общее уравнение, справедливое для любой среды, — уравнение движения Коши. Поверхностный интеграл в уравнении (8.1) можно переписать следующим образом [см. разд. 1.7 и замечание к уравнению (8.5)]:
(8.20)(8.20)^tndS = ^n-TdS=^ -TdV. SSV
(8.20)
(8.20)
Из теоремы переноса Рейнольдса в варианте (8.19) следует, что первое слагаемое уравнения (8.1) равно ^v^DxIDt^ dV. Учитывая в уравнении (8.1) этот результат, а также результат (8.20), найдем в силу произвольности объема интегрирования, что
р фу/D^ = pa = pF + V • Т, (8.21)
где а = Dx/Dt— ускорение жидкой частицы. Общность уравнения движения Коши (8.21) ясна из того факта, что оно не зависит от определяющих соотношений среды.
СИММЕТРИЯ ТЕНЗОРА НАПРЯЖЕНИИ ДЛЯ НЕПОЛЯРНЫХ СРЕД
Левую часть уравнения (8.6) с учетом равенства (8.19), в котором функция ф заменена на г X v, можно переписать в виде
(8.22)(8.22)-57 ^ Р (г X v) dV = $ р-^- (г X v) dV. VV
(8.22)
(8.22)
Так как
■^■(r X v) = -^- X v + г X -^ = v X v + гX a = r X а,
то уравнение (8.6) преобразуется к виду
5 Р (г х a) dV = ^ Р (г х F) dV + $ (Г х t„) dS. (8.23)
VVs
Поверхностный интеграл можно записать в следующей более удобной форме:
<$(rXt„MS=$rX(n-T)dS =
SS
= - $ (п • Т) х Г dS = - ф п • (Т х r)ds = - J V • (Т X Г) dV.
SSV
(8.24)
Далее мы будем использовать так называемый альтернатору или единичный антисимметричный тензор е:
гдегде8 — ®Z8/8A8Z/A>8 — ®Z8/8A8Z/A>(8.25)(8.25)если ijk — 123, 231 или 312, если ijk = 321, 132 или 213, если i = j, i — k или j — k,если ijk — 123, 231 или 312, если ijk = 321, 132 или 213, если i = j, i — k или j — k,(8.26)(8.26)
где
где
8 — ®Z8/8A8Z/A>
8 — ®Z8/8A8Z/A>
(8.25)
(8.25)
если ijk — 123, 231 или 312, если ijk = 321, 132 или 213, если i = j, i — k или j — k,
если ijk — 123, 231 или 312, если ijk = 321, 132 или 213, если i = j, i — k или j — k,
(8.26)
(8.26)
а ег, в/, е6 — единичные векторы вдоль осей i, j, к соответственно. Таким образом,
8 = (eie2e3 + €3636! + взв^г — е^Сз — Сзе^з — езСгеО.
Альтернатор — пример полиадика; отметим, что векторное произведение векторов базиса определяется формулой ezXe/ = — ^Пк^к*
Покажем, что
-V.(TXr) = rX(V-T) + A,(8.27)
где А — псевдовектор, определяемый соотношением
А = в</6е,Т/6.(8.28)
Доказательство. В покомпонентной записи выражение V-(TXr) можно преобразовать следующим образом:
V • (Т X г) = е, ^ • (е/е6гм X ezxz) =
/ дТдх. \
= (е, • */) (е6 X ez) Uz + Tlk -^) =
= ^ij^klm^mН ^liT
,- „ dTik , „~
^klm^m^l ^х Н ^kim^mTik
— ^Ikm^m^l Qx ^mik^m* ik
= — г X (V • T) — А, ч. т. д.
Выясним смысл этого необычного вектора А:
^ = ^ijk^iTjk~
= гМк^\Т jk + ^jk^Tjk + ^jk^Tjk =
= ei (^23 — ^32) + e2 (731 Tx^ + 63 (7io 72I).(8.29)
Таким образом, вектор А имеет следующие компоненты: Л1 = Т23 —Т32, A2 = T3V — Лз» А = ^12“ ^21- Как указывается в приложении 1, всякий тензор второго порядка Т можно представить в виде суммы симметричной Ts и антисимметричной Та частей:
Т = Ts + Tfl, Ts = V2 (Т + Г), Тд = V2 (Т - Г). (8.30)
В матричной форме тензор То записывается в виде
■0Т12 — Т2\
^13^31
1
— 2"
^21 — ^120
^23 — ^32
=(8.31)
-Тзх Т13 7*33Т33
■0 Л3 — Л2"
0-
“ 2
— A30Av
- А2 — Л|0 -
(8.32)
Так как
Т = eiCiTn + eie2Ti2 + ••• + ^з^з^зз= ^1^1Тц> то
vecT = e! X eiTu 4-в! X езТ^Ч- А-^зХ^зТзз =
= et X ^iTM = гИкТц^к = гкмекТи = А.(8.33)
Таким образом, А есть вектор, соответствующий тензору Т °.
При помощи альтернатора г соотношения, определяющие вектор А через тензор Т и тензор Та через вектор А, можно записать в следующем виде:
А = -е:Т,(8.34)
То = 'М • А.(8.35)
Правильность уравнений (8.34) и (8.35) можно установить, выписав их проекции на оси координат по правилам тензорной алгебры и сравнив полученные выражения с выражениями (8.28), (8.33) и (8.32). При вычислении произведений нескольких сомножителей используется правило «изнутри наружу» (см. приложение 1). Заметим, что если А = 0, то Та = 0, и наоборот. Кроме того, А = О, если Т — симметричный тензор, и наоборот.
Пример. Предположим, что вектор А направлен вдоль оси 3, так что А = Дез; найдите при помощи уравнения (8.35) выражение тензора Та в виде комбинации базисных диад. Проверьте, что вектор А обратно восстанавливается из полученного результата по уравнению (8.34).
Решение.
то = ^ 8 • А = Ч^^^^цк • е3Л = ’Ac.-e^A = */2 (е^г — e^J Л.
Полученное выражение и является искомым представлением тензора Та. Подставив это выражение в уравнение (8.34), найдем
А = — е^^цк • 7- (eie2 — e2ej А =
= — (eie2e3 + e2e3e! + е3е!е2 —
^1^3^2^2^1^3^3^2^1) е "2" (^1^2^2^1) -А
= [(е3е2 — е2е3) • е2 + (е3е2 — е^з) • ej (Д/2) = Ае3.
Подставив выражение (8.27) в выражение (8.24), а полученный результат в уравнение (8.23) и выделив интеграл, содержащий вектор А, получим уравнение
J г X (pa - pF - V • Т) dV = KdV.(8.36)
VV
Величина в скобках здесь равна нулю согласно уравнению движения Коши (8.21), поэтому для неполярной среды вектор А
° Определение вектора, соответствующего тензору vec Т, см. в приложении 1.— Прим, перев.
равен нулю. Так как А = 0, то антисимметричный тензор напряжений Та также равен нулю; в результате из уравнения (8.30) следует, что в неполярной среде тензор напряжений симметричен', это подтверждает правильность результата, эвристически полученного в разд. 8.3.
Теперь мы достаточно подготовлены, чтобы рассмотреть полярные среды, которые являются предметом следующего раздела.
ПОЛЯРНЫЕ СРЕДЫ
Всякая система может обмениваться с внешним окружением не только импульсом, но и моментом импульса. Приток импульса в систему от источников, действующих на расстоянии, учитывается введением силы F, рассчитанной на единицу массы. Аналогично приток в систему от отдаленных источников момента импульса учитывается при помощи момента сил G, рассчитанного на единицу массы. Действие смежной с границей системы среды учитывается поверхностным напряжением 1Л = = п Т — силой, рассчитанной на единицу площади; соответствующий приток импульса может накапливаться внутри системы или передаваться в окружающую среду. Аналогично, смежная с границей системы среда может вырабатывать на ее границе момент сил сп, рассчитанный на единицу площади.
Плотность полного момента импульса L представляется в виде
L = rX v + s, (8.37) где г X v — внешний, или орбитальный, момент импульса, as — внутренний момент импульса, рассчитанный на единицу массы, или спин. При помощи поля спина s учитывается вращение или спин коллоидных магнитных частиц среды и увлекаемой ими вязкой жидкости. Существует взаимное преобразование внутреннего и внешнего моментов импульса друг в друга. Для выяснения природы такого преобразования введем интегральное уравнение, описывающее баланс полного момента импульса полярной среды:
■^■jp(s + rXv)dK =
V
= (pG + г X pF) dV + § (с„ + г X t„) dS. (8.38) V s
Слагаемое, содержащее сл, как отмечалось, учитывает возможное наличие плотности поверхностного момента сил, действующего на элемент поверхности dS. Выясним свойства величины сл. Рассмотрим неподвижный бесконечно малый контроль-
ный объем в виде тетраэдра, изображенный на рис. 8.6, так что все величины почти постоянны внутри него и на его поверхности. Записав уравнение (8.38) для контрольного объема в виде
Рис. 8.6. Контрольный объем в виде тетраэдра, на который действуют поверхностные моментные напряжения.Рис. 8.6. Контрольный объем в виде тетраэдра, на который действуют поверхностные моментные напряжения.
Рис. 8.6. Контрольный объем в виде тетраэдра, на который действуют поверхностные моментные напряжения.
Рис. 8.6. Контрольный объем в виде тетраэдра, на который действуют поверхностные моментные напряжения.
тетраэдра и оставив получим равенствотетраэдра и оставив получим равенство(8.39)(8.39)только слагаемые наибольшего порядка,
тетраэдра и оставив получим равенство
тетраэдра и оставив получим равенство
(8.39)
(8.39)
сп dS = Оs
(здесь интеграл взят по поверхности тетраэдра), которое при помощи обозначений, введенных на рис. 8.6, может быть записано в виде
Охе,-*, + а9с(-у) + azC(-Z) + ac„ = 0, (8.40)
(8.41)(8.41)где ах, ау, az — площади граней тетраэдра. Применяя аналогичным образом интегральное уравнение (8.39) для плоского элемента объема (пластинки), найдем
(8.41)
(8.41)
С(-п) —С(П).
(8.42)(8.42)Уравнение (8.40) при помощи равенства (8.41) и соотношений ах = п-\а, ay = n-ja, az = n-ka можно преобразовать к виду
(8.42)
(8.42)
с„ = п • (icx + jcg + kcz).
Диадик в скобках называется тензором моментных напряжений С. Моменты сил, описываемые этим тензором, могут возникать
из-за физического процесса диффузионного переноса внутреннего момента импульса
С = icx -h jcy + kc2.(8.43)
Таким образом, сл = п-С, поэтому уравнение (8.38) при помощи уравнения (8.24) и теоремы о дивергенции можно записать в виде
-^p(s + rXv)dl/=$[pG + rXpF + V-C-V.(TXr)J dV;
VV
(8.44) учитывая еще соотношение (8.27), получим
-^- 5 Р (S + Г х v) dV =
V
= $ [pG + г X pF + V • С + г X (V • Т) + A] dV. (8.45) v
Применяя уравнение (8.19) к левой части (8.45) и учитывая произвольность объема интегрирования, находим дифференциальное уравнение для изменения полного момента импульса-. р -g-(s + г Х v) = pG + г X pF + V • С + г X (V • Т) + А. (8.46)
Уравнение (8.46) описывает как полярные, так и неполярные среды.
Обратимся еще раз к рис. 8.4, но на этот раз начало системы координат расположим внутри объема У, так что |г| имеет порядок d. Если объем У стягивается в точку Р— этот процесс уже рассматривался, — то каждое слагаемое уравнения (8.45) стремится к нулю следующим образом:
-^- J ps dV ~ d3, -^ J р (г х v) dV ~ d4,
VV
^p^dV-d\ J (г X pF) dV - d\ ^-CdV^d\ (8.47) VVV
jrX(V*W~d4, ^KdV~d\
VV
При d->0 остаются только слагаемые порядка d3; таким образом получается дифференциальное уравнение для изменения внутреннего момента импульса*.
p21 = pG + V.C РА.(8.48)
Вычитая уравнение (8.48) из (8.46), получим уравнение баланса внешнего момента импульса; оно будет далее выписано в сводке формул в виде (8.52b).
Из уравнения (8.48) видно, что изменение внутреннего момента импульса внутри объема магнитной жидкости происходит по трем причинам: из-за действия распределенного момента сил G от отдаленных источников, из-за действия поверхностных моментов сил VC, которые могут рассматриваться как диффузия внутреннего момента импульса через поверхность, и из-за процесса преобразования внешнего момента импульса во внутренний, описываемого вектором А. С учетом замечания, сделанного по поводу уравнения (8.36), ясно, что если вектор А отличен от нуля, то тензор напряжений Т несимметричен.
Далер и Скривен (Dahler, Scriven, 1961) вывели уравнение
другим способом; так как оно имеет фундаментальный характер, то имеет смысл привести здесь доказательство этих авторов.
Доказательство. Умножим радиус-вектор г векторно на уравнение движения Коши (8.21):
г X pDxlDt = rXpF + rXV-T.(8.49)
В разд. 8.6 уже использовалось равенство
rX^r = ^-(rXv).(8.50)
Подставив результат (8.50) в уравнение (8.49) и вычитая полученное уравнение из дифференциального уравнения для изменения полного момента импульса (8.46), получим искомое уравнение (8.48), ч. т. д.
СВОДКА ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИИМЕХАНИКИ КОНТИНУУМА
Уравнение Коши для изменения импульса:
pDv/Dt = pF + V Т.(8.51)
Уравнение для изменения внешнего момента импульса:
P^-(rXv) = rXpF + rX(V-T)=(8.52а)
= г X pF - V • (Т X г) - A. (8.52b)
Уравнение для изменения полного момента импульса:
Р^Г = Р oF<s + rXv) =
= PG + rXpF + V-C + rX(V-T) + A= (8.53а) = pG + г X pF + V • С — V • (Т X г).(8.53b)
Уравнение для изменения внутреннего момента импульса: p-^-pG + V-C + A.(8.54)
Уравнения (8.51) и (8.54) можно записать в другой форме, выражающей закон сохранения соответствующих моментов. Умножая уравнение неразрывности (1.26) на v или s, складывая полученное уравнение с (8.51) или (8.54) соответственно, учитывая выражение для материальной производной (4.57) и используя тензорное тождество V-(АВ) = A VB + BV • А, где А = pv и В = v или s, получим
Уравнение Коши для баланса импульса:
^L + V.(pw) = pF + V.T.(8.51')
Уравнение баланса внутреннего момента импульса:
^- + V.(pvs) = pG + V.C + A,(8.54')
где величина pvv в уравнении (8.5Г) есть поток импульса с объемной плотностью pv, а величина pvs в уравнении (8.54') — поток внутреннего момента импульса с обьемной плотностью ps, т. е. pvs есть поток спина.
При выводе всех полученных до сих пор теоретических уравнений, описывающих течения с несимметричными напряжениями, использовались только общие принципы механики; они будут основой для дальнейшего анализа.
ОПРЕДЕЛЯЮЩИЕ УРАВНЕНИЯ
Для решения конкретных задач, кроме уравнений баланса, записанных в виде (8.51) — (8.54), нужно иметь дополнительные определяющие уравнения. Определяющие уравнения необходимы для величин Т = Ts + То, С, А и G. Будем рассматривать только такие задачи, в которых нет ускорения жидкости из-за магнитной силы, т. е. можно считать Тт = 0. Тогда тензор Т включает в себя только давление и вязкие напряжения. Следуя подходу Кондиффа и Далера (Condiff, Dahler, 1964), развитому ими для системы из электрически поляризующихся молекул, предположим, что симметричная часть тензора напряжений Ts не зависит от распределения внутреннего момента импульса и определяется обычным выражением для ньютоновской вязкой жидкости. Тензор моментных напряжений С предполагается симметричным. Будем считать, что он зависит от внутренней деформации, возникающей за счет угловой скорости частиц (о, которая
вводится соотношением s = Ло, где / — средний момент инерции частиц на единицу массы среды. Выражение для тензора моментных напряжений С можно получить при помощи таких же соображений, которые использовались для вывода выражения для тензора вязких симметричных напряжений Ту. Таким образом, имеем Т$ = —р\ + Ту, где Ту определяется выражением (4.62):
Т„ = Л(?-v)I + nl>v + (Vv)],T (8.55)
С = Г (V • <о) I + г)' [Vto + (V<o)T], (8.56)
где коэффициенты т]' и К называются по аналогии коэффициентами сдвиговой и объемной вращательной вязкости соответственно.
Как уже отмечалось, вектор А описывает скорость преобразования внешнего момента импульса к внутреннему моменту импульса. Из физических соображений ясно, что процесс преобразования происходит, когда отсутствует синхронизация между скоростью вращения элемента среды и скоростью вращения частиц, составляющих этот элемент. Эффективная скорость вращения элемента жидкости определяется половиной вектора вихря i2/2 = (VX v)/2, а внутреннего вращения — вектором о. Скорость преобразования моментов импульса должна быть функцией разности этих величин, т. е. VXv — 2 со. Линейное соотношение этой разности с вектором А с феноменологическим коэффициентом ^ записывается в виде
A = 2g(VX v-2w). (8.57а)
Коэффициент ^ называется коэффициентом вихревой вязкости. Антисимметричный тензор Та, соответствующий вектору А, согласно соотношениям (8.35) и (8.57а), имеет вид
та = 1 е • А = ^8 . (Й - 26)). (8.57b)
Задача. Так как T = TS+TO, то в уравнении для изменения импульса из-за наличия антисимметричных напряжений появляется объемная сила V • Та. Используя соотношение (8.35) Та = (е • А)/2, покажите, что V • Та = — (V X А)/2.
Задача. Используя определяющее уравнение для вектора А (8.57а), покажите, что полная сила, действующая на объем вязкой жидкости вследствие антисимметричных напряжений, равна
- у ф п х a dS = 2g ф п х ® ds.S S
[Подсказка. Используйте результат предыдущей задачи и примените теорему о дивергенции к ротору вектора А; учтите также
тот факт, что около стенки вектор вихря жидкости направлен параллельно стенке.]
Введем еще одно определяющее уравнение; предположим, что объемный момент сил pG, действующий на элемент жидкости, записывается аналогично объемному моменту сил, действующему на маленькое изолированное магнитное тело; причем поле Н следует считать локальным, а не приложенным извне полем:
pG = p0MX Н. (8.58)
Процесс релаксации намагниченности
Вектор намагниченности М, входящий в выражение (8.58), отличается от равновесного значения Мо, которое было бы в неподвижной жидкости в стационарном поле Н. Перед попыткой учесть этот эффект полезно рассмотреть механику вращения одной магнитной частицы, достаточно большой, чтобы на нее не влияло вращательное тепловое броуновское движение. Уравнение баланса моментов сил для одной частицы с моментом инерции Л, скоростью вращения coi и магнитным моментом pi записывается в виде
Ix dtojdt = р! X Н — Г^, (8.59)
где Г1 — момент вязких сил, приходящийся на единицу угловой скорости вращения частицы. Для установившегося движения частицы инерционное слагаемое в уравнении (8.59) отсутствует; если внешнее поле Н вращается, то частица вращается вместе с полем с той же угловой скоростью, отставая от него на постоянный угол ai, такой, что
sin a! = Vxtox!\x,xH. (8.60)
Поэтому, если coi > pi/7/Гь то стационарное вращение частицы невозможно. Кароли и Пинкус (Caroli, Pinkus, 1969) рассмотрели поведение одной такой частицы, взвешенной в жидкости. Здесь интересно рассмотреть предложенное М. И. Шлиомисом (1971) феноменологическое уравнение, предназначенное для описания поведения в магнитном поле системы маленьких магнитных частиц.
Вводится модельное предположение, что каждая однодоменная частица жидкости спонтанно намагничена до насыщения, а направление намагниченности жестко фиксированно в теле частицы. Из-за теплового движения ориентация частиц, а следовательно, их магнитных моментов, будет распределена по всем направлениям. Рассмотрим данный элемент среды в локальной системе отсчета F', которая движется и вращается со средней
скоростью взвешенных частиц. Постулируется, что изменение намагниченности в системе F' описывается следующим релаксационным уравнением*.
D'^Dt = - (1/т) (М - Мо),(8.61)
где т — время релаксации. Таким образом, скорость изменения вектора магнитного момента в элементе среды пропорциональна его отклонению от равновесного значения.
В частном случае релаксационное уравнение описывает процесс намагничивания неподвижной среды, например, при скачкообразном увеличении приложенного поля. В этом процессе М, Н и, следовательно, Мо параллельны, а величина Л40 постоянна. Проинтегрировав уравнение (8.61), легко находим, что намагниченность М первоначально ненамагниченного образца меняется во времени согласно уравнению Af/Af0=l— ехр(—//т).
В более общем случае релаксационное уравнение описывает изменение намагниченности как по величине, так и по направлению. Напомним, что средняя угловая скорость вращения частиц в объеме жидкости обозначается через о. Это вращение частиц приводит к изменению направления вектора намагниченности элемента жидкости за единицу времени на угол о X М. Следовательно, скорость изменения вектора намагниченности в лабораторной (невращающейся) системе отсчета равна
DM/Dt = D^lDt + о X М.(8.62)
Таким образом, релаксационное уравнение в системе отсчета неподвижного наблюдателя имеет вид
DM/Dt = о X М - (1/т) (М - Мо).(8.63)
Эффекты, к которым приводит уравнение (8.63), рассматривал М. И. Шлиомис (1975) на примере магнитной жидкости, находящейся под действием однородного вращающегося магнитного поля, в предположении, что объемное движение жидкости отсутствует. Предполагается, что вектор намагниченности М отстает от направления поля на постоянный угол а:
Н{ — Н cos ^t, Н^ — Н sin со'/,
Мj = М cos ^rt — а), М2 = М sin (о// — а).(8.64)
Параметр со' здесь обозначает скорость вращения поля; индексами 1, 2 обозначены проекции на оси координат. Подставив эти выражения в релаксационное уравнение (8.63), получим два соотношения, так как здесь имеются два независимых уравнения в покомпонентной записи. Эти соотношения можно записать в виде
(со' — со) т = х,(8.65а)
М/Мо = 1 /Vn-х2,(8.65b)
где х = tga. Отметим, что, согласно соотношению (8.65а), средняя скорость вращения частиц со отличается от скорости вращения поля о/. Этот результат не согласуется с результатом анализа поведения одной частицы и отражает то обстоятельство, что не все частицы вращаются синхронно с полем. Тем не менее вектор намагниченности среды вращается синхронно с вектором
Рис. 8.7. Кривые, рассчитанные по уравнению (8.68), показывают характер зависимости угла отставания средней намагниченности от поля в неподвижном объеме жидкости в однородном вращающемся магнитном поле.
поля; величина намагниченности уменьшается от равновесного значения по формуле (8.65b). Когда угол запаздывания а = 0, то М = Л40; когда а->л/2, то Л1->0. Величины а (или х) и со все еще остаются неопределенными. Их можно найти при помощи уравнения для изменения момента импульса среды (8.54).
В случае когда о пространственно однородно, слагаемое VC, согласно уравнению (8.56), равно нулю. Подставив выражение для вектора А (8.57а) при v = 0 и заменив в уравнении (8.54) момент pG на момент роМ X Н согласно соотношению (8.58), получим в стационарном случае равенство моментов сил
ц0МХН=4^. (8.66)
Используя определение векторного умножения |МХН| = = Af/fsina и соотношение sin a = х/V1 + ^2» а также выра-
(8.67)(8.67)р0М0(/7)7//№) = (1 + ^^р0М0(/7)7//№) = (1 + ^^жение для намагниченности М (8.65b), из уравнения (8.66) найдем
(8.67)
(8.67)
р0М0(/7)7//№) = (1 + ^^
р0М0(/7)7//№) = (1 + ^^
Исключив из уравнения (8.67) w при помощи соотношения (8.65а), получим следующее алгебраическое кубическое уравнение для х:
х3 — (со'т) х2 + (Р + 1) х — (о'т = 0, (8.68)
где Р = р0М(Дт/4£. По значению х, полученному из уравнения (8.68), можно найти скорость вращения частицы со по формуле
Рис. 8.8. Зависимость средней скорости вращения частиц от скорости вращения поля и напряженности приложенного поля.Рис. 8.8. Зависимость средней скорости вращения частиц от скорости вращения поля и напряженности приложенного поля.
Рис. 8.8. Зависимость средней скорости вращения частиц от скорости вращения поля и напряженности приложенного поля.
Рис. 8.8. Зависимость средней скорости вращения частиц от скорости вращения поля и напряженности приложенного поля.
(8.65а). На рис. 8.7 изображены кривые, выражающие зависимость угла запаздывания намагниченности от направления поля; на рис. 8.8 показана зависимость средней скорости вращения частицы от скорости вращения поля. На обоих рисунках кривые изображены при разных значениях параметра Р. При Р-^0 tga ^ о/т. Более интересен тот факт, что, как видно из рис. 8.7, если параметр Р больше некоторого критического значения, то при увеличении скорости вращения поля угол а испытывает скачок в некоторой точке (о^. При уменьшении скорости вращения поля скачок происходит при со' = со' < а/^ так что в системе наблюдается явление гистерезиса. Из рис. 8.8 видно, что для величины со/о/, как и для средней угловой скорости вращения частиц, также имеет место гистерезис.
В этом разделе дано подробное описание поведения магнитной жидкости во вращающемся поле. Однако действительное поведение систем с магнитной жидкостью может иметь более сложный характер; например, не во всех случаях вектор намагниченности частицы жестко с ней связан (может иметь место неелов- ская релаксация). Дополнительную информацию для этого более сложного случая интересующийся читатель может найти в статье В. М. Суязова (1982).
АНАЛОГИ УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ —СТОКСАДЛЯ ЖИДКОСТЕЙ С ВНУТРЕННИММОМЕНТОМ ИМПУЛЬСА
Подставив выражения для величин, согласно определяющим уравнениям, в уравнения, выражающие законы сохранения, получим аналоги уравнения Навье — Стокса. Сначала следует найти выражения для дивергенции тензоров TV С и К. Согласно уравнениям (8.55), (8.56) и (8.57b), эти выражения имеют вид
V . Ту = (Л + Т]) VV . V + r]V2v,(8.69а)
V • С = (Г + rf) VV • о + t]'V2(d,(8.69b)
v • Та = - 1/2 v х А = V2 V х (vec Т) = ^VV . V + £V2v + 2£V X «.
(8.69c)
Подставив выражения (8.57a), (8.58) и (8.69) в уравнения (8.51) и (8.54), получим уравнения-аналоги уравнения Навье — Стокса:
^DvIDt = — Vp + pF + 2£V X м + PVV • v + T]eV2v, (8.70) p/ DtojDt = pG + ^ (V X v - 2(0) + P'VV • (0 4- т]'?2^, (8.71) где
ДВИЖЕНИЕ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ ОБЪЕМНОГО МОМЕНТА СИЛ
Дадим теперь на основе развитых методов теоретическое описание экспериментально обнаруженного явления увлечения жидкости вращающимся магнитным полем. Сначала найдем стационарное решение уравнений движения (8.70) и (8.71) в случае, когда скорость жидкости имеет только азимутальную (0) компоненту в цилиндрической системе координат: у0 = у(г), vr = vz = 0. Из уравнения (8.70) видно, что такое движение возможно, если о не зависит от времени и (or = co0 = 0, co2 = (o(r). Как следует из уравнений (8.71) и (8.58), стационарное решение предполагаемого вида существует, лишь когда Gx = Gy = 0 и
pGz = ^^xHti — МуНх) не зависит от времени. Это условие удовлетворяется в случае, когда вектор намагниченности вращается с той же угловой скоростью, что и вектор поля, отставая от него на постоянный фазовый угол а. Тогда Gz = = p0Af//sina, где х— компонента вдоль вертикально направленной оси системы координат.
Для несжимаемой магнитной жидкости V-v = 0 и, согласно цилиндрической симметрии, V(o = 0. Поэтому в стационарном случае система уравнений (8.70) и (8.71) сводится к следующим уравнениям, выражающим баланс импульса и момента импульса соответственно:
0 = - Vp + pF + 2^V X <о + T]eV2v,(8.70')
0 = pG + 2^ (V X v - 2(o) + T]'V2(o.(8.7 Г)
Величина ч' Ц играет роль коэффициента диффузии для процесса переноса внутреннего момента импульса с плотностью s =/р<о. Уравнения (8.70') и (8.71') аналогичны уравнениям, которые использовали В. М. Зайцев и М. И. Шлиомис (1969) для получения решения, описывающего осесимметричное вращательное движение жидкости.
Из уравнения (8.70') можно исключить давление, применив к каждому его слагаемому операцию ротора, так как V X V/ = 0 для любой скалярной функции f. В рассматриваемой задаче pF выражает силу тяжести, и так как F, как известно, является градиентом скалярной функции, то VXF = 0. Кроме того, VXV2v = V2Q, где Й = V X v — вектор вихря, выражающий удвоенную скорость вращения жидкости; V X V X ® = - V2<o, так как V • о здесь равна нулю. В результате для ненулевых компонент вектора вихря и спина (Q2 = Q и (о2 = (о соответственно) в цилиндрической системе координат получим следующие уравнения:
-^-[r^-fQ-^)l = O,(8.72)
dr L dr \ Че / 3
^ 4 (г 4г) ~ 2^2“ - ^) = - U0MH sin a. (8.73)
Граничные условия на поверхности цилиндра r = R имеют вид и(/?) = 0,(8.74а)
(о(/?) = 0.(8.74b)
Здесь принято условие отсутствия проскальзывания скорости v на стенке, применяемое для обычных жидкостей, однако в данном случае это условие имеет неясный статус; условие обращения в нуль спина на стенке требует пояснений. Например, Бреннер (Brenner, 1984) проанализировал движение изолированной
сферической частицы, вращающейся в вязкой жидкости около твердой стенки. Его результат для нашего случая выглядит следующим образом: вызванное вращением сферической частицы движение жидкости приводит к ее перемещению дволь стенки, так что она движется вокруг оси цилиндрической системы координат в сторону, противоположную направлению вращения сферической частицы. Предполагая, что этот механизм работает и для системы взвешенных частиц, можно получить физическое объяснение возвратного течения, наблюдаемого в некоторых экспериментах. Здесь мы будем использовать простые граничные условия (8.74), чтобы продемонстрировать метод решения задачи, но вовсе не утверждаем, что эти простые условия справедливы в любом случае.
(8.75)(8.75)(8.76)(8.76)(8.77а)(8.77b)(8.77а)(8.77b)Интегрируя уравнение (8.72), получим
(8.75)
(8.75)
(8.76)
(8.76)
(8.77а)
(8.77b)
(8.77а)
(8.77b)
г dr Че
Исключив Q из уравнений (8.75) и (8.73), найдем
гдегде—+ -—-х2<» = -Л,
где
где
х2 = 4г)£/т]вг/,
А = (l/r]') (р,0МН sin а + S^CJ.
Уравнение (8.76) заменой переменных у = со — Лх-2 и х = хг приводится к уравнению Бесселя в канонической форме. Решение для со, полученное с учетом конечности величины со при г = 0, имеет вид
со (г) = Лх"2 + С2/0 (хг), (8.78)
где /о — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Скорость жидкости определим из уравнения (8.75), в котором для со подставлено решение (8.78). Таким образом, решения для со и у, удовлетворяющие граничным условиям (8.74), имеют вид
<8-79’
'.[т-ШГ<8-80)
где
(8.81)
(8.82)
величину М, если это необходимо, можно найти из релаксационного уравнения (8.63).
Поведение решений для со и у существенно зависит от величины xR. Можно показать, что величина lD=\/x характеризует диффузионную длину, имеющую порядок lD = /, где I— среднее расстояние между частицами, т. е. расстояние между центрами микровихрей. Предполагая, что коэффициент rf зависит только от вязкости т] и расстояния /, получим из соображений размерности, что т]' ~ т]/2. Так как л, то из соотношения (8.77а) следует, что /о ~ L Для коллоида с объемной концентрацией частиц ф и диаметром частиц d отношение l/d составляет величину
//^ = (л/6ф)1/з. (8.83)
Например, для магнитной жидкости с объемной концентрацией частиц ф = 0,012 — такая жидкость использовалась в эксперименте Московитца и Розенцвейга (Moskowitz, Rosensweig, 1967) —отношение l/d = 3.5. При d = 100 А = 10-6 см и R = = 2 см характерная длина I = 3,5-10-6 см и xR = R/lD = = 0,6-106. Поэтому в дальнейшем будем считать, что xR ^> 1.
Функции Бесселя, входящие в уравнения (8.79) — (8.82), имеют следующую асимптотику:
/о(х)=(Л (х) = {/о(х)=(Л (х) = {1, х->0, ел/д/2лх, х->оо. х/2, х -> 0, eVVSnx, х->оо.
/о(х)=(Л (х) = {
/о(х)=(Л (х) = {
Следовательно, при xR :> 1
П (Ю = П + 5, и0 = у^ч^у НоМЯ sin а. (8.85)
Профили со и у вдоль радиуса, согласно решениям (8.79) и (8.80), носят ярко выраженный погранслойный характер (рис. 8.9). Во всем объеме жидкости, за исключением тонкого пограничного слоя около стенки, со постоянно; в пограничном слое толщиной порядка диаметра частицы со падает до нуля. Профиль скорости вдоль радиуса линеен до самого пограничного слоя, т. е. основной объем жидкости вращается с постоянной угловой скоростью. Эта скорость вращения определяется выражением
Угловая скорость = ^ = 2 (^ + ^у Р-о^Н sin а. (8.86)
Если коэффициент т/ = 0 и, следовательно, нет диффузии спина, то, как видно из выражений (8.79) и (8.80) [при х-^-оо и использовании асимптотических выражений (8.84)], поле
спина пространственно однородно, а жидкость неподвижна. В случае когда поле спина пространственно однородно, то даже если т]' > 0 и т] > 0, можно показать, проинтегрировав уравнение (8.72) при помощи условия (8.74) и ограничения о конечности величины у на оси симметрии системы, что v = 0, т. е. жидкость неподвижна. В этом случае микровихри компенсируют друг друга; диссипация энергии происходит, но течения жидкости на макроуровне не возникает; это обстоятельство привело некоторых авторов к заключению, что в таких системах возникновение вращательного движения жидкости невозможно. Тем
Рис. 8.9. Решение задачи о течении магнитной жидкости во вращающемся поле показывает, что имеется очень тонкий пограничный слой с толщиной, равной по порядку величины расстоянию между частицами lD. (а) Профиль спина, (Ь) профиль скорости. См. (Зайцев и Шлиомис, 1969).Рис. 8.9. Решение задачи о течении магнитной жидкости во вращающемся поле показывает, что имеется очень тонкий пограничный слой с толщиной, равной по порядку величины расстоянию между частицами lD. (а) Профиль спина, (Ь) профиль скорости. См. (Зайцев и Шлиомис, 1969).
Рис. 8.9. Решение задачи о течении магнитной жидкости во вращающемся поле показывает, что имеется очень тонкий пограничный слой с толщиной, равной по порядку величины расстоянию между частицами lD. (а) Профиль спина, (Ь) профиль скорости. См. (Зайцев и Шлиомис, 1969).
Рис. 8.9. Решение задачи о течении магнитной жидкости во вращающемся поле показывает, что имеется очень тонкий пограничный слой с толщиной, равной по порядку величины расстоянию между частицами lD. (а) Профиль спина, (Ь) профиль скорости. См. (Зайцев и Шлиомис, 1969).
не менее мы видели, что, когда устанавливается неоднородное распределение спина из-за его диффузии от границы, движение на самом деле возможно.
Однако имеется серьезное расхождение между теорией и экспериментом; в этом можно убедиться, если заметить, что максимальная величина sin а в выражении (8.86) равна 1. В эксперименте (Moskowitz, Rosensweig, 1967) ц0# = 0,0060 Тл, ^ = 0,3, т] = 0,0012 кг-м^-с-1 и R ^ 0,02 м. При величине R/Id, вычисленной по формуле (8.83), и коэффициенте £, полагаемом равным т], максимальное значение угловой скорости вращения составляет 0,0063 рад/с (0,06 об/мин). Это меньше экспериментально полученного значения в 103—104 раз. Такое расхождение убийственно. Возможно, оно связано с предположениями, которые делаются при описании рассматриваемого эксперимента. О. А. Глазов (1976) предположил, что за наблюдаемое в эксперименте течение ответственны азимутально направленные градиенты приложенного поля; его анализ основан на том, что жидкость приводится в движение распределенными антисимметричными напряжениями в бегущем магнитном поле.
ЭФФЕКТИВНАЯ ВЯЗКОСТЬНАМАГНИЧИВАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ
Однородное магнитное поле стремится ориентировать коллоидные магнитные частицы магнитной жидкости в направлении поля. Если жидкую смесь подвергнуть сдвигу, то из-за сопротивления ориентированных частиц их свободному вращению возникает дополнительное трение. В то же время броуновское движение и гидродинамические силы оказывают на частицы дезориентирующее действие. Относительное движение между частицами и окружающей жидкостью приводит к появлению принципиально новых эффектов. Уравнения и соотношения, выведенные в этой главе, можно использовать для вычисления увеличения коэффициента эффективной вязкости. За основу изложения
za^Mqza^MqXXРис. 8.10. Обозначения в задаче о сдвиговом течении намагниченной магнитной жидкости.Рис. 8.10. Обозначения в задаче о сдвиговом течении намагниченной магнитной жидкости.
za^Mq
za^Mq
X
X
Рис. 8.10. Обозначения в задаче о сдвиговом течении намагниченной магнитной жидкости.
Рис. 8.10. Обозначения в задаче о сдвиговом течении намагниченной магнитной жидкости.
здесь будет взята работа М. И. Шлиомиса (1972). В более ранних работах, например в работе (Hall, Busenberg, 1969), броуновским вращательным движением пренебрегалось; это приводило к насыщению величины вязкости с увеличением поля при слишком низких значениях, меньших необходимых на один или два порядка.
Проанализируем поставленную задачу на примере плоского течения Куэтта, схематично изображенного на рис. 8.10. Нам нужно получить величину касательного напряжения f, действующего на неподвижную стенку:
/ = к - [Т] - i.(8.87)
Квадратные скобки здесь означают скачок заключенной в них величины при переходе через поверхность раздела жидкость — твердое тело на граничной стенке; Т — сумма тензоров вязких симметричных, вязких антисимметричных и магнитных напряжений (см. прим. ред. на стр. 279. — Ред.у
T = TS+Ta + Tm.(8.88)
Для этой системы можно задать следующие условия:
v = Qzj,(8.89а)
Q = Qj,(8.89b)
Н = Hk,(8.89с)
а также что давление р, величина поля Н, вихрь Q-, намагниченность М и угловая скорость ю постоянны. Намагниченность можно представить в виде следующей суммы:
М = М0 + т,(8.90а)
т = mJ + m2j + m3k,(8.90b)
где Mo = Afok — невозмущенное значение, a m (не обязательно малое) — возмущение намагниченности вследствие движения жидкости в магнитном поле при наличии тепловых флуктуаций.
Угловая скорость о постоянна, поэтому, согласно уравнению (8.56), VC = 0, а уравнение для изменения внутреннего момента импульса (8.54) принимает вид
pG + А = 0.(8.91)
Подставив выражение для pG из (8.58) и использовав соотношение (8.57), получим
А = 2^(Й-2о) = -р0МХ Н.(8.92)
Очевидно, что на поверхности раздела жидкость — твердая стенка не может возникнуть скачок магнитных напряжений, поэтому для вычисления скачка тензора напряжений (8.88) нужно знать, как ведут себя величины Ts и Та. Эти тензоры, согласно уравнению для изменения импульса (8.51), постоянны во всем слое жидкости. В материале стенки оба тензора равны нулю, поэтому при вычислении касательного напряжения f из (8.87) нужно брать их значения только в жидкости. Из выражения для тензора симметричных вязких напряжений (8.55) и из соотношения (8.89а) легко найти, что транспонированный диадик (Vv)T не дает вклада в искомое напряжение, а к • Ts • i = = r]Q. Подставляя выражение для Н из (8.89с) и для М из (8.90) в уравнение (8.92), находим, что вектор А записывается в виде А = p,0T72i//j. Так как Та = (е-А)/2, то полученное выражение для вектора А приводит к выражению для тензора вязких антисимметричных напряжений Tfl = 1/2po^i^ (ki — ik). Вычислив произведение к • Та • i, получим член ^т^Н^. Сложив полученные результаты, найдем касательное напряжение, действующее на стенку:
f = r]Q + УгИо^!^ = ^ (Л + Ал), где Ат] = х!^тхН[й. (8.93)
Произведение Qrj — обычная величина вязкого касательного напряжения, а Ат| — дополнительная вращательная вязкость, которая, очевидно, зависит только от компоненты тх возмущения намагниченности.
Найдем величину компоненты mi для подстановки ее в уравнение (8.93). Сначала при помощи уравнения (8.92) исключим
со из релаксационного уравнения (8.63). В стационарном случае получим
« X М = (2/т) (М - Мо) + (ио/2&) М X (М X Н).(8.94)
Подставив в уравнение (8.94) выражения для й и Н из (8.89) и выражения для М и m из (8.90), найдем три алгебраических уравнения в проекции на оси декартовой системы координат.
Рис. 8.11. Зависимость вязкости от приложенного поля и скорости сдвига согласно уравнению (8.96) (имеются антисимметричные напряжения).
Из уравнения в проекции на ось 2 следует, что т2 = 0; таким образом, вектор намагниченности М лежит в плоскости течения. Два других уравнения имеют вид
Qt (1 + у) = х + Рх (1 + у),(8.95а)
— йтх = у — Рх2,(8.95b)
где х = гпх/М0, у = 1щ1М^ и Р = р,0М0Нт(4^. Исключив из этих двух уравнений у, получим алгебраическое кубическое уравнение, определяющее х, или, что эквивалентно, mXl а следовательно, Ат]. Его можно записать в виде
г3 - 2г2 + г [1 + (Р + 1)/(йт)2] - P/(Qt)2 = 0,(8.96)
где г = Рх/йт = Ат]Д. На рис. 8.11 изображена зависимость приращения вязкости от скорости сдвига; обе величины подхо-
дящим образом обезразмерены. Предельное теоретическое значение в сильных магнитных полях величины приращения вязкости Дт] равно вихревой вязкости £. Увеличение скорости сдвига при постоянной величине поля приводит к уменьшению эффективной вязкости. При больших скоростях сдвига в сильных полях, как видно из рис. 8.11, должен существовать гистерезис величины эффективной вязкости.
Для разбавленных магнитных жидкостей М. И. Шлиомис (1971) получил следующие выражения для вихревой вязкости и броуновского времени релаксации т [выражение (2.33)]:
(8.97)(8.98)(8.97)(8.98)€ = ’Апф,
(8.97)
(8.98)
(8.97)
(8.98)
т == ЗУт)/^,
где ф — объемная концентрация частиц в магнитной жидкости, V — объем одной частицы и k — постоянная Больцмана (1,38-10-23 Н-м^-К-1). Оценки для типичных магнитных жидкостей показывают, что т по порядку величины равно 10-6 с, а в экспериментах Qt < 10~3 (Rosensweig, Kaiser, Miskolczy, 1969). Для столь малых значений Qt уравнение (8.96) упрощается к виду г = Р/(1 + Р) или
Так как Q-1— характерное время деформирования элемента жидкости, то величина Qt представляет собой отношение времени магнитной релаксации к характерному времени деформирования. Поэтому малость величины Qt означает, что намагниченность элемента жидкости может быстро изменить свое направление и, следовательно, ее направление в любой момент времени близко к направлению поля. В результате, как показывает уравнение (8.99), при малых Qt эффективная вязкость зависит от величины поля, но не зависит от скорости сдвига.
В этом разделе рассматривался случай, когда вектор Н перпендикулярен вектору Q. Можно показать, что при произвольной ориентации этих векторов выражение для приращения вязкости (8.99) принимает вид
где р — угол между векторами Н и Q. Как следует из выражения (8.100), когда векторы Н и Q параллельны, вязкость жидкости не зависит от величины поля. Этот результат вполне понятен, так как ориентация магнитного момента частицы вдоль поля не мешает ее вращению с угловой скоростью жидкости Q/2.
Полученные соотношения принимают особенно простой вид для разбавленной магнитной жидкости. Подставив выражения (8.97) и (8.98) в (8.100) и учитывая выражение Мо = фМ^Л(а), где ф — объемная доля частиц, Md— намагниченность домена и Л(а) — функция Ланжевена с аргументом а = ^MaHV/kT [см. (2.27) ], получим
Пример. Сопоставление данных о вязкости магнитных жидкостей с теоретическими результатами по теории с антисимметричными напряжениями. В работе (Rosensweig, Kaiser, Mis- kolczy, 1969) приводятся экспериментальные данные о влиянии магнитного поля и скорости сдвига на величину вязкости концентрированных манитных жидкостей, состоящих из частиц магнетита, взвешенных в минеральном масле, керосине и перфторуглероде. Слой магнитной жидкости при 30 °C подвергался однородному сдвигу в вискозиметре типа конус-плоскость в присутствии однородного магнитного поля, приложенного перпендикулярно слою. Изучение полученных результатов показывает, что вязкость жидкости на основе керосина почти не зависела от скорости сдвига. Размер частиц этой жидкости по данным электронной микроскопии равен 13,6 нм. Частицы магнетита такого размера должны проявлять внешний суперпарамагнетизм (см. табл. 2.2). Проанализируем данные табл. 8.1 и определим ве-
Таблица 8.1. Зависимость вязкости магнитной жидкости на керосине, содержащей магнитные частицы размером 13,6 нм, от скорости сдвига и магнитного поля
Q. с-1
в, Тл
ЦоМ, Тл
ДпЛ1
Эксперимент
Расчет
46
0,036
0,0080
0,13
0,14
46
0,089
0,0095
0,30
0,30
46
0,714
0,010
0,60
0,82
46
2,14
0,010
1,15
0,83
115
0,036
0,0080
0,15
0,14
115
0,089
0,0095
0,34
0,30
115
0,714
0,010
0,70
0,82
115
2,14
0,010
1,02
0,83
230
0,036
0,0080
0,13
0,14
230
0,089
0,0095
0,26
0,30
230
0,714
0,010
0,55
0,82
230
2,14
0,010
0,77
0,83
Примечание. Т) —вязкость магнитной жидкости в отсутствии магнитного поля (0,0029 Н-с-м-2).
личину вращательной вязкости и броуновское время вращательной релаксации.
Анализ. Так как вязкость слабо зависит от скорости сдвига, предположим, что здесь применимо теоретическое уравнение (8.99). Это уравнение можно переписать в следующей линейной
Рис. 8.12. Корреляция данных магнитной вискозиметрии для магнитной жидкости на основе керосина.
форме, удобной для целей анализа: у = а -V Ьх, где у и х— величины, известные из эксперимента, а а и b — постоянные, которые нужно определить, используя все экспериментальные данные:
у=1/Ат], х = 4/(р,0М0Н), а=\[^ Ь=\[т.
На рис. 8.12 приведены экспериментальные данные в осях у, х. Прямая линия проведена по методу наименьших квадратов и описывается уравнением у = 413 + 122 000*. В результате получаем следующие значения:
£ = 0,00242 Н • с • м~2 (вихревая вязкость),
т = 8,19- 10-6 с (время вращательной релаксации).
Независимую оценку величины т легко получить из уравнения (8.98) при т| = 0,0029 Н • с • м-2, 0=13,6 нм,
V = (л/6) X (1,36 • 1О”8)3 =1,32-1О"24 м3, бГ—О.ЗЗ- 10"23)(273 + 30) = 4,18- 10-21 Н • м.
В результате имеем
т = 3(1,32- 10-24)(0,0029)/(4,18 • 10"21) = 2,75 • 10"6 с;
это значение согласуется по порядку величины со значением, полученным из вискозиметрических измерений. Величина ф из формулы (8.97) определяется в виде
ф = 2/з ^ = 2д (0,00242/0,00290) = 0,56, что вполне правдоподобно для частиц с оболочкой.
Данные для других жидкостей на основе минерального масла и перфторуглерода показывают сильную зависимость вязкости от скорости сдвига и плохо согласуются с уравнением (8.99), а также с уравнением (8.96), выведенным при меньших ограничениях. Это расхождение обусловлено наличием в жидкостях кластеров из частиц; оно указывает, что для объяснения экспериментальных данных нужна другая теоретическая модель.
ЗАМЕЧАНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Первый анализ антисимметричных напряжений в рамках механики континуумов был дан в краткой заметке (Dahler, Scriven, 1961); за ней последовали обширные статьи с изложением теории структурированных континуумов; это работы (Dahler, Seriven, 1963; Condiff, Dahler, 1964). В последней работе исследуется также устойчивость течений с антисимметричными напряжениями. Рассмотрение континуумов на основе представлений при исследовании микроупругих сред дал Си (Hsieh, 1980).
Вопрос о том, может ли магнитная жидкость прийти в стационарное круговое движение во вращающемся однородном магнитном поле, обсуждается в работе (Jenkins, 1971) и в более новой работе В. М. Берковского, А. Н. Висловича и В. Е. Ка- шевского (1980). Английские исследователи повторили эксперимент Московитца — Розенцвейга со стаканом с магнитной жидкостью, расположенным на поворотном столике, который мог свободно вращаться (рис. 8.1(d)). Они были поражены, увидев, что жидкость в стакане вращается в одну сторону, а сам стакан и столик — в другую. Более того, направление вращения жидкости было противоположно направлению вращения поля — так называемое неправильное направление вращения; см. работу (Brown, Horsnell, 1969). При увеличении напряженности магнитного поля наблюдалось изменение направления вращения жидкости; рабочей средой являлась довольно грубая суспензия из железистых частиц размером 0,1 мкм, содержащая, без всякого сомнения, значительное число кластеров из частиц; поведение такой жидкости трудно предсказать. И. Я. Каган и др. приводят результаты близких исследований о величине момента сил и скорости вращения диэлектрических цилиндрических тел, помещенных в суспензию железистых частиц размером 0,2 мкм; см. работы (Calugaru, Badescu, Luca, 1976b) и (Каган, Рыков и Янтовский, 1973).
Другой эксперимент, который указывает на возможность возникновения тензора несимметричных напряжений, описывается в ранней русской работе Цветкова (Tsvetkov, 1939). В этом эксперименте жидкий кристалл n-азоксианизол помещался во вращающееся магнитное поле; в результате на граничную поверхность цилиндра действовал момент сил, а жидкий кристалл приходил во вращение.
Бреннер (Brenner, 1970) исследовал суспензию из гравитационных диполей — частиц со смещенным центром тяжести; это дает еще один пример поляризующейся среды.
Бреннер и Вейсманн (Brenner, Weissman, 1972) провели анализ влияния магнитного поля на эффективную вязкость магнитной жидкости при помощи функции распределения частиц по ориентации с учетом вращательного броуновского движения.
Камияма, Койке и Ояма (Kamiyama, Koike, Oyama, 1983) провели тщательное экспериментальное исследование коэффициента трения магнитной жидкости, текущей по трубе в ламинарном режиме при увеличении напряженности магнитного поля; в турбулентном режиме влияния магнитного поля нет.
П. Шульман, В. И. Кордонский и С. А. Демчук (1977) сообщают, что антисимметричные напряжения приводят к увеличению скорости теплопереноса. Советские ученые очень активно исследуют поведение магнитных жидкостей с антисимметричными напряжениями. В выпусках журнала «Магнитная гидродинамика» можно найти статьи А. О. Цеберса, Б. М. Берковского, В. М. Суязова и др. (журнал переводится с русского языка Консультативным бюро в Нью-Йорке).
Методами необратимой термодинамики были получены общие выражения для скорости производства энтропии; на их основе элегантно выводятся соотношения для тензора вязких напряжений Ту, тензора моментных напряжений С и вектора А, определяющего преобразование момента импульса. Этот подход имеется в работах (deGroot, Mazur, 1962) и (Берковский, Ви- слович, Кашевский, 1980).
Прим. ред. к стр. 272; Формулу (8.87) надо пояснить. На разрыве твердое тело — жидкость величина [Т], вообще говоря, равна нулю. Здесь фактически рассчитывается касательная составляющая силы, действующей на контактирующую с жидкостью стенку, которая считается слоем твердого тела. Вне этого слоя, где нет магнитной жидкости, напряжения, кроме максвелловских, предполагаются отсутствующими. Скачок напряжений [Т] в формуле (8.87) следует понимать как разность напряжений с разных сторон слоя.
9. Движение магнитныхдвухфазных систем
ВВЕДЕНИЕ
Гидродинамика двухфазных сред является частным случаем гидродинамики многофазных сред — очень обширного предмета, возникшего из исследований псевдоожиженных слоев, седиментации частиц и капель, кипения жидкостей, движения пен и многих других систем. Феррогидродинамика таких систем еще только начала развиваться. Здесь мы ограничимся рассмотрением двухфазной смеси из твердых частиц и сплошной среды — газа или жидкости — и подробно исследуем одно приложение, а именно магнитные псевдоожиженные слои из твердых частиц. Результаты исследований других систем можно найти в литературе, приведенной в конце главы.
Псевдоожижением называется переход системы из твердых частиц в жидкоподобное состояние при протекании сквозь нее газа или жидкости. Размер твердых частиц псевдоожиженных систем намного больше размера частиц коллоидной магнитной жидкости и обычно меняется в пределах от 50 до 1000 мкм. Такой способ обеспечения контакта текущей среды с поверхностью частиц имеет ряд необычных свойств, которые позволили весьма успешно использовать его на практике. Недавние исследования на основе методов ФГД показали, что магнитная стабилизация псевдоожиженного слоя расширяет рабочий диапазон параметров слоя, при котором отсутствует турбулентность. Магнитная стабилизация благоприятна для контакторов как с движущимся, так и со стационарным слоем.
При феноменологическом исследовании псевдоожиженной системы динамика обеих фаз, твердой и жидкой, должна рассматриваться единым образом. Подобная ситуация уже была в гл. 8, где рассматривались течения магнитных жидкостей с микроструктурой, возникающей из-за вращения частиц относительно несущей жидкости; это приводило к появлению антисимметричных напряжений. Здесь же главным обстоятельством, которое нужно учесть при математическом описании, является движение жидкой или газовой фазы относительно фазы частиц. Однако в отличие от случая коллоидных магнитных частиц в псевдоожиженных слоях тепловое броуновское движение частиц пренебрежимо мало, и его можно считать полностью отсутствующим.
В этой главе после краткого обзора обычных псевдоожиженных слоев развивается подход к математическому описанию магнитных двухфазных течений и на его основе исследуется ФГД устойчивость псевдоожиженных слоев.
ОБЫЧНОЕ ПСЕВДООЖИЖЕНИЕ
На рис. 9.1 изображен слой немагнитных твердых частиц, находящихся в вертикальной трубе, удерживаемый горизонтальной сеткой. Если скорость среды, поднимающейся вверх сквозь слой, мала, то она просто просачивается сквозь пустоты между
Рис. 9.1. Псевдоожиженная система, содержащая слой мелких частиц, осуществляющих требуемый контакт газа и твердого материала. Подача газа такова, что частицы не выходят из системы; и0 — средняя скорость.
частицами, которые остаются неподвижными; такой слой называется неподвижным слоем. Если увеличивать скорость протекания среды, то, когда перепад давления сквозь слой ^рт становится достаточно большим, чтобы выдержать вес частиц, слой, как говорят, псевдоожижается. В обычном псевдоожиженном слое частицы находятся в непрестанном хаотическом движении, а вся система проявляет многие свойства, характерные для жидкостей; тела плавают на поверхности слоя, а равномерное добавление или изъятие частиц слоя в работающей установке сильно облегчается.
Средняя скорость, т. е. скорость объемного расхода среды, деленная на площадь поперечного сечения трубы, при которой начинается псевдоожижение, обозначается через йт. Наиболее удобно определять йт по кривой зависимости перепада давления через слой частиц в зависимости от средней скорости среды. Как
видно из рис. 9.2, эта кривая содержит два почти линейных участка. Кривая в промежуточной области между ними может быть монотонной (кривая I) или иметь максимум (кривая II). Скорость начала псевдоожижения определяется по точке пересечения продолжений линейных участков графика.
Псевдоожиженные слои впервые начали широко применяться в производстве авиационного топлива каталитическим крекингом тяжелых углеводородов. Основная причина, из-за которой
Рис. 9.2. Некоторые черты поведения системы псевдоожиженных частиц иллюстрируются кривой перепада давления через слой Ар в зависимости от средней скорости й0.
используется псевдоожижение, состоит в том, что в псевдоожиженном слое намного легче, чем в неподвижном, заменять отработанный, или дезактивированный, катализатор. В псевдоожиженном. слое изъятие и пополнение катализатора может производиться непрерывным образом, тогда как в неподвижном слое после дезактивации катализатора процесс нужно остановить, катализатор вынуть из реактора, заменить его свежим, или реге- нированным, и лишь после этого можно продолжать процесс.
В настоящее время псевдоожиженные слои широко применяются в многочисленных физических и химических технологиях. Физические приложения включают транспортировку, сушку и шлихтовку материалов, покрытие металлических поверхностей пластиком, операции подогрева и сушки; химические приложения варьируются от реакции каталитического окисления до обжига сульфидных руд; еще чаще псевдоожиженные слои встречаются в производствах синтетического газа и топлива.
Прекрасное введение в обычное псевдоожижение можно найти в книге (Kunii, Levenspiel, 1977).
НЕКОТОРЫЕ ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫВ ТЕХНОЛОГИЯХ С ПСЕВДООЖИЖЕНИЕМ
Когда скорость расхода газа через псевдоожиженный слой превышает скорость начала псевдоожижения, то большая часть лишнего газа проходит сквозь слой в виде пузырьков (рис. 9.3(a)). При всплывании пузырьки приводят в движение
Лоток 1Лоток 1Поток 1 = Поток ZПоток 1 = Поток ZW (Ь)Рис. 9.3. Сравнение обычного псевдоожиженного слоя (а) с магнитно стабилизированным слоем (Ь). Длина устойчивой эмульсии увеличивается при увеличении скорости потока.W (Ь)Рис. 9.3. Сравнение обычного псевдоожиженного слоя (а) с магнитно стабилизированным слоем (Ь). Длина устойчивой эмульсии увеличивается при увеличении скорости потока.
Лоток 1
Лоток 1
Поток 1 = Поток Z
Поток 1 = Поток Z
W (Ь)
Рис. 9.3. Сравнение обычного псевдоожиженного слоя (а) с магнитно стабилизированным слоем (Ь). Длина устойчивой эмульсии увеличивается при увеличении скорости потока.
W (Ь)
Рис. 9.3. Сравнение обычного псевдоожиженного слоя (а) с магнитно стабилизированным слоем (Ь). Длина устойчивой эмульсии увеличивается при увеличении скорости потока.
слой и вызывают возвратное движение твердых частиц слоя с перемешиванием. Такое перемешивание носит хаотический характер и приводит к изотермичности всей системы; это очень удобно для контроля, если реакция чувствительна к температуре. С другой стороны, газ в виде пузырьков стремится миновать слой, что снижает эффективность его контакта с частицами и уменьшает выход продукции в гетерогенных каталитических реакторах. Кроме того, движение пузырьков вызывает толчки, что приводит к истиранию частиц и нежелательному уносу вместе с газом более мелких частиц. Вынос мелких частиц, вдобавок, нежелателен с точки зрения загрязнения окружающей среды; частицы из потока нужно извлекать дорогостоящими фильтрами, циклонами или при помощи техники электроосаждения.
Экспериментально и теоретически установлено (Rosensweig,. 1978b, 1979b, с), что стационарное однородное магнитное поле.
направленное параллельно потоку газа (рис. 9.3(b)), увеличивает диапазон скоростей газа, в котором в псевдоожиженном слое из магнитных частиц отсутствуют пузырьки, а движение частиц, хаотическое или любое другое, полностью отсутствует. Такие системы, которые будем называть магнитно стабилизированными псевдоожиженными слоями, дают решение проблем, связанных с наличием пузырьков. Магнитно стабилизированный слой имеет хорошие текучие свойства, за исключением случая с сильной намагниченностью, когда у него появляются некоторые свойства геля. Чтобы понять причины возникновения пузырьков и способ подавления их образования, нужно вывести уравнения, описывающие фильтрацию в псевдоожиженной системе.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ,ОПИСЫВАЮЩИЕ ТЕЧЕНИЕ ДВУХФАЗНОЙ СРЕДЫ
Динамика двухфазных систем, представляющих собой взвесь твердых частиц в жидкости или газе, в принципе может быть полностью описана уравнением Навье — Стокса, справедливым в каждой точке жидкости, и вторым законом Ньютона, примененным к каждой твердой частице, плюс соответствующие начальные и граничные условия. Такой прямой подход в случае, когда в жидкости1) имеется только одна или две частицы, может быть плодотворен, но для интересующей нас системы из большого числа близко расположенных частиц он становится безнадежным. Другой подход состоит в замене микроскопических величин, таких, как плотность и скорость, сильно меняющихся на характерной длине порядка расстояния между частицами, сглаженными функциями, получаемыми осреднением по объему, размер которого много больше расстояния между частицами, но много меньше характерного размера псевдоожиженных систем. Получаемые таким образом уравнения описывают движение обеих фаз так, как если бы каждая фаза занимала весь объем системы, но при ее движении имело место трение относительно другой фазы. Такое представление лежит в основе теории взаимопроникающих континуумов.
Метод осреднения составляет альтернативу методу непосредственного постулирования системы феноменологических уравнений, при котором с самого начала возникает много неопределенностей. Метод осреднения более удобен, так как при его применении неопределенности (т. е. то, что неизвестно) входят лишь в некоторые естественно появляющиеся и легко идентифицируемые члены; поэтому полученную систему уравнений можно до-
0 Здесь и далее под жидкостью (fluid) понимается как жидкость, так и газ. — Прим, перев.
полнить логически естественными, хотя и эмпирическими, постулатами об определяющих уравнениях. Представленная здесь техника осреднения является модификацией техники Андерсона и Джэксона (Anderson, Jackson, 1967), дополненной осреднением магнитных членов и уравнений, специфичных для рассматриваемого предмета.
Определение осредненных величин
Сначала введем весовую функцию g^r), определенную для малых отклонений г > 0 от рассматриваемой точки; эта функция позволяет дать точную формулировку понятия «среднего в точке». Точная форма и размер области определения функции ^(г) неважны; важно лишь, чтобы она имела некоторые определенные свойства. Так, g^ должна быть положительной для всех г и монотонно затухать при увеличении г; при этом должны существовать производные всех порядков. Кроме того, g^ нормирована так, что
\gVW=\, (9.1)
Voo
где символ Voo означает, что интегрирование проводится по всему пространству системы. На рис. 9.4(a) показаны точка Р, положение которой определяется радиус-вектором х из начала О, и элемент объема dVf с радиус-вектором у. Так как г = = |х— у|, вполне допустима запись g(r) = g(<x— у), которая и будет дальше использоваться для простоты.
Среднее значение пористости системы е^, или объемная доля пространства системы, занимаемой несущей средой, определяется формулой
ef (х, /) = g (х — у) dV, (9.2) vt
где символ Vf означает, что интегрирование производится по всем точкам у пространства, занимаемого жидкостью в момент времени t. Объемная доля твердой фазы гр определяется соответственно формулой
ер (х, 0 = $ £ (х ~ У) dV’ (9-3) vp
где интегрирование ведется по пространству, занимаемому твердой фазой в момент времени L Из определений (9.1) — (9.3) следует, что ер + е/ — 1.
Осредненные значения вектора af(x, /) жидкой фазы и вектора ар(х, /) твердой фазы определяются через соответствующие микроскопические величины (штрихованные) следующим образом:
ef (х, /) а, (х, t^ $ а' (у, 0 g (х — у) dV, (9.4) vf
ep(x,t)ap(x,t)s J a^y, t)g(x — ^dV, (9.5) vp
где символ Vf в уравнении (9.4) указывает на интегрирование по всему пространству системы, занимаемому жидкостью в момент времени /, а Ур в уравнении (9.5)—на интегрирование по объему частиц в момент времени I.
При помощи введенных определений можно выразить операции с осредненными величинами через операции с микроскопическими величинами. Обозначим оператор V, взятый в точке х»
через Vx, а взятый в точке у — через V/, из уравнения (9.4) следует
V, • [ef(x, /)а, (х, 01 =
= 5 af (У’ ^ ■ vx^(x — у)dV = — ^ а'(у, /) • Vyg(x — ^dV =
= $g(x —y)Vy.a'(y, f)dV — Jv?[a'(y, /) g (x — y)] dV = vt
= $g(x-y)Vy-a'(y, t^dV — Jnf -a'(y, 0g(x —y)dS. (9.6) visf
Здесь при переходе к последней строчке была применена теорема о дивергенции; Sf в последнем интеграле означает, что он берется по всей границе области, занимаемой несущей средой; nf — единичная нормаль, направленная снаружи от поверхности жидкости. Поверхность Sf, ограничивающая весь объем несущей среды в системе, состоит из большого числа несвязанных частей, поэтому последний член уравнения (9.6) можно записать в виде
^nf-a,(y, t) g (к — y)dS = ^ nf-а^(у, 0g(x —y)dS —
— У J nP ■ af (У’ ^ 8 (x — y) ds, (9.7) sp
где Sf^ — внешняя граница системы, sp — поверхность одной твердой частицы; суммирование в полученном выражении ведется по всем твердым частицам системы. В последнем члене выражения (9.7) используется, что пр = —nf.
Для точек, не слишком близких к границе системы, первый интеграл, в правой части уравнения (9.7) пренебрежимо мал по сравнению со вторым слагаемым, определяющим вклады от поверхностей частиц, так как функция g^x— у) мала в таких точках; с учетом этого уравнение (9.6) приводится к следующему виду:
5 S (х - У) vy • а' (у, о dV = Vx- [ef (х, f) af (х, /)] — vt
— У J Пр • а' (у, o g (x — у) dS. (9.8) sp
Аналогичное соотношение между производными по времени от микроскопической и осредненными величинами можно получить непосредственно из уравнения (9.4):
$ S(x-—у) "^^ а^ (у, /)dV = -^-[ef(x, Z)af(x, /)] +
+ Z J af (y’ ^ np ‘ vp (y’ 0 g (x - y) dS. (9.9) sp
Здесь была использована теорема переноса Рейнольдса для дифференцирования интеграла по материальному объему с учетом того, что объем жидкости в системе имеет движущиеся границы в виде большого числа несвязанных областей — поверхностей частиц. В последнем члене уравнения (9.9) v' —скорость твердой частицы на ее поверхности.
Осредненные уравнения неразрывности
Способ вывода искомых феноменологических уравнений неразрывности из микроскопических уравнений для несущей и твердой фаз продемонстрируем, например, на выводе уравнения неразрывности для несущей жидкой фазы. Если жидкость предполагается несжимаемой, то ее микроскопическая скорость удовлетворяет уравнению неразрывности
V,-v;(y) = 0(9.10)
в каждой точке жидкости в данный момент времени. Умножив это уравнение на g(x — у) и проинтегрировав его по всему объему жидкости, получим
^(х-у)^(у)^ = 0.(9.11)
vf
•Это уравнение при помощи равенства (9.8), в котором а^ заменено на Vp а а^ на Vp можно записать в виде
Vx- [ef (x)vf(x)] У J np-Vf(y, Og^x — ^dS. (9.12) sp
Используем уравнение (9.9), в котором замена aj постоянным единичным вектором дает равенство
j-ef(x, 0 = — £ $ пр • vp(y, t)g(x — y)dS. (9.13) sp
Если сложить уравнения (9.12) и (9.13), то их правые части взаимно уничтожаются, так как в любой точке поверхности жид-
кости v^ = Vp. В результате имеем
(9.14)(9.14)d^ffdt + V • e^Vf = 0.
(9.14)
(9.14)
Это и есть искомое уравнение неразрывности, выраженное через осредненные характеристики жидкости. Аналогично можно получить соответствующее уравнение неразрывности для фазы частиц из микроскопических уравнений:
dEpldt + V -Epvp = 0. (9.15)
Здесь и ниже индекс при операторе V опускается, если уравнение справедливо как для точки х, так и для точки у.
Осредненные уравнения магнитостатики
Нам нужно вывести аналогичные феноменологические уравнения для векторов магнитного поля. Напомним, что вектор магнитной индукции в каждой точке удовлетворяет уравнению VB = 0, поэтому в каждой точке жидкой или соответственно твердой фаз имеют место уравнения
v,-b; = o и vy.e;=o.(эле)
Согласно уравнению (9.4), осредненные векторы магнитной индукции Bf(x) жидкой фазы и Вр(х) фазы частиц определяются соответственно следующим образом:
efBf = jB;(y)g(x-y)dy,(9.17)
vt
ерВр= $B;(y)g(x-y)^.(9.18)
vp
Дивергенцию векторов efBf и ерВр можно найти аналогично тому, как это делалось при выводе выражения (9.8); в результате получим
vx*(efBf)= $5(x-y)vy.B;(y)di/ + vt
+ ^^nf.B'(y)g(x-y)dS, (9.19) sp
vx • (%BP) = $ g (x - У) vy - в;(у) dv - vp
“X Jnp-B;(y)£(x-yMS. (9.20) sp
Если сложить уравнения (9.19) и (9.20), то их последние слагаемые взаимно уничтожатся, так как в каждой точке поверхности раздела фаз nf • В^ = пр • В'. Кроме того, из уравнений (9.16) следует, что первый член в правой части обоих уравнений равен нулю. Вектор средней индукции В можно определить равенством
В s CfBf + ерВр;(9.21)
при таком осреднении учитывается объемная доля фаз жидкости и частиц в смеси. Сложив уравнения (9.19) и (9.20), получаем уравнение
V-B = 0.(9.22)
Это уравнение имеет точно такой же вид, как и уравнение Максвелла для сплошной среды.
Аналогичным образом можно рассмотреть осреднение векторов магнитного поля; для микроскопических величин имеют место уравнения
V,XH{ = 0 и VyXH; = 0.(9.23)
Согласно выражению (9.4), осредненные векторы поля определяются формулами
efHf= H;(y)g(x-y)dK,(9.24)
vf
8рНр= $H;(y)g(x-y)dF.(9.25)
vp
Используя определения (9.24), (9.25), найдем
VxXefHf= ^(х-у)УуХН^У- ^х^х-уЖ^к-
VfVf
= ^(х-у)прХН^5,(9.26)
sp
а также
^Х х ерНр$g (X - у) пр х н; dS. (9.27) sp
Здесь была использована теорема о дивергенции для преобразования интеграла по объему к интегралу по поверхности, в подынтегральном выражении которого содержится векторное произведение с единичным вектором нормали; использовались
также уравнения (9.23). Так как тангенциальная компонента магнитного поля непрерывна на поверхности раздела и так как только эта тангенциальная компонента фактически входит в выражения прХН^ и прХН', то при сложении уравнений (9.26) и (9.27) получим
VXH=0,(9.28)
где Н — осредненное значение вектора поля в двухфазной смеси, определенного формулой
H=efHf + epHp.(9.29)
Дру (1981) вывел уравнения (9.22) и (9.28) осреднением с помощью фаз-индикаторной функции.
Осредненные уравнения для изменения импульса
При помощи техники осреднения можно также получить уравнения для изменения импульса для фаз жидкости и частиц. Учет магнетизма будет проведен позже. Точкой отправления здесь будет служить уравнение для изменения импульса Коши обеих фаз; для жидкой фазы оно дается уравнением (8.21):
Pf (dvf/<^ + Vf • Vv,) = pfg + V • T',(9.30)
где штрих указывает, что величина микроскопическая. Главным здесь является слагаемое, содержащее тензор поверхностных напряжений Т'. Умножая это слагаемое на g(x— ^dV, учитывая тензорное тождество
v-(gT;) = gv.T;-Hv^^
где g = g^x— у), и интегрируя, получим
$ 5(х - У) Vy. т;(у)dv = 5 vy • [g(x - у) т;(у)] dv -
vfVT
- $[^(х-у)]-Т;(у)^.(9.31)
vr
Первое слагаемое в правой части уравнения можно при помощи теоремы о дивергенции преобразовать к виду
$ vy • [s(x - у) т; (у)] dv = nf • s(x - у) т;(у) ds= sf
nf-g(x —y)T'(y)dS + £ g(x-y)nf-T'(y)dS, (9.32) SUsp
vjxe суммирование в последнем члене проводится по всем частицам системы.
Для точек х, не слишком близких к границе системы, интеграл по поверхности Sfoo — внешней границе жидкости — пренебрежимо мал, так как g^x— у) для таких точек мало. В слагаемом со знаком суммы величина nf • Т^ (у) представляет собой напряжение tp действующее на жидкость на поверхности частиц; вся сумма представляет собой среднее значение полной силы, действующей на жидкость в единице объема со стороны частиц, т. е. среднее значение силы взаимодействия твердой и жидкой фаз fPf:
fpf^Xi g^-^dS.(9.33)
sp
Согласно третьему закону Ньютона, fpf + ffp = 0, где ffp — сила взаимодействия фаз, выражающая действие жидкости на частицы.
Второе слагаемое в правой части уравнения (9.31) при помощи соотношения \yg = — Vxg можно записать в виде - $ [ v <х - у>] • Tf (у)dV = $ [vxg (к - у)] •т; (у)dV=
= Vx ^ (X - у) т; (у) dV = V, . (efTf), (9.34) vt
где Tf — пространственно осредненный тензор напряжений жидкости. Подставив полученные результаты в уравнение (9.31), найдем окончательный вид осредненного слагаемого с тензором поверхностных напряжений:
$ g (X - У) vy • т; (у) dV = vx . (efTf) - ^р.(9.35)
Слагаемое с силой тяжести уравнения (9.30) при осреднении преобразуется непосредственно по определению (9.4) к виду efPfg. Нестационарное слагаемое уравнения (9.30) при помощи уравнения (9.9) преобразуется непосредственно к виду d(efVf)/d/ плюс слагаемое, представляющее сумму интегралов по поверхностям всех частиц. Конвективное слагаемое v^ • Vv^ уравнения (9.30) с учетом уравнения неразрывности V-v' —0 преобразуется к виду? • (v^); эта величина при осреднении дает выражение из нескольких слагаемых: V-(efVfVf), сумма, которая взаимно уничтожается суммой, появившейся в результате осреднения нестационарного слагаемого и слагаемого, представ-
ляющего корреляцию флуктуаций, появившегося от осреднения квадратичного слагаемого точно так же, как это имеет место в теории турбулентности для напряжений Рейнольдса. В данном случае корреляционное слагаемое может возникнуть только из-за пространственной вариации микроскопической скорости несущей среды, возмущаемой частицами другой фазы. Следуя обычной практике, в дальнейшем это слагаемое будет считаться пренебрежимо малым, хотя в принципе для него можно формулировать определяющее уравнение.
Собрав все ненулевые слагаемые, получим уравнение для изменения импульса несущей фазы:
pfef (dy^dt + vf • Vvf) = V • (efTf) — f fp 4- 6fpfg, (9.36) причем здесь было учтено осредненное уравнение неразрывности для несущей фазы (9.14). Уравнение (9.36) отличается от микроскопического уравнения Коши (9.30), из которого оно было выведено, дополнительным слагаемым — силы взаимодействия твердой и жидкой фаз; присутствует также параметр е^— характеристика двухфазной смеси.
Осредненное уравнение для изменения импульса дисперсной фазы можно вывести так же, как и для несущей жидкости, на основе уравнения для изменения импульса Коши, записанного для элемента вещества внутри частицы дисперсной фазы. Нет необходимости излагать вывод осредненного уравнения, так как он в точности совпадает с выводом уравнения для несущей жидкости, за исключением того, что индексы f и р нужно поменять местами; в результате уравнение для изменения импульса фазы частиц получается в виде
ррер (dvp/dt + vp • Vvp) = V • (ерТр) — fpf + epppg, (9.37)
где Tp — локально осредненный тензор напряжений фазы частиц, аналогичный тензору Tf. При выводе уравнений (9.36) и (9.37) уравнениями, описывающими вращательное движение частиц, пренебрегалось, поэтому антисимметричные напряжения, например, такие, которые рассматривались в гл. 8, считались отсутствующими.
В литературе встречаются разные записи уравнений для изменения импульса с разными компенсирующими слагаемыми в выражениях для силы взаимодействия фаз. Достоинством представленных здесь уравнений для изменения импульса является простой, но логически строгий вывод, симметрия их внешнего вида и запись их через осредненные величины с ясным физическим смыслом. Однако остается произвол в выборе определяющего уравнения для силы tpf, в литературе для нее можно найти разные выражения.
Определяющие уравнения
Для замыкания системы из уравнений неразрывности и уравнений движения нужно выразить силу взаимодействия фаз fPf и тензора напряжений Tf и Тр через локально осредненные значения объемной доли несущей фазы, скорость и давление. Можно предположить, что определяющие соотношения для тензоров напряжений, выраженные через осредненные давление и скорость, выглядят так же, как для ньютоновской жидкости, т. е. как соотношения (4.62). Однако в этой главе мы будем иметь дело со следующими сильно упрощающими предположениями, приближенно описывающими двухфазную систему, а именно
Tf = -pfI, Тр = — Рр\. (9.38)
Эти соотношения утверждают, что осредненная жидкая фаза ведет себя как невязкая среда, а напряжения в осредненной дисперсной фазе полностью описываются гидростатическим давлением. Читатели, знакомые с гидродинамикой, имеют представление о давлении в жидкостях. Для твердой дисперсной фазы это понятие не так ясно. Будем считать, что в данном случае тензор микроскопических напряжений, например, такой, как в упругом теле, представляется в виде суммы шаровой части — напряжений, действующих равным образом по всем направлениям, и некоторого дополнительного слагаемого. Шаровая часть тензора при осреднении дает давление рр, а средним от дополнительного слагаемого считается возможным пренебречь.
Далее будет рассматриваться случай, когда несущей средой является газ с малой плотностью. Определяющее уравнение для силы взаимодействия фаз будет браться в форме, предложенной Исии (Ishii, 1975) и Дру (Drew, 1983):
ffp = efP(ef)(vf — vp) —pfVef; (9.39) слагаемое с присоединенной массой, зависящее от относительного ускорения фаз, для газа с малой плотностью пренебрежимо мало и поэтому здесь опущено. Первое слагаемое в правой части уравнения представляет собой силу трения между фазами, пропорциональную относительной осредненной скорости фаз, с феноменологическим коэффициентом трения p(ej, зависящим от объемной доли газа. Для течений с малыми скоростями вполне приемлемо предположение о линейной зависимости силы трения фаз от относительной скорости; аналогичное соотношение имеет место в течении Дарси сквозь пористую среду. Последнее слагаемое в уравнении (9.39) отражает то обстоятельство, что на частицы дисперсной фазы действует со стороны жидкости давление, тогда как давление частиц не влияет на движение газа. Вид слагаемого —PfXef в уравнении (9.39) таков, что давление
Задаваемые условия
Полученные соотношения
Примечания
Течение сквозь неподвижный слой
vp = 0, g=0
Vef = Vep = 0
Apf = P(ef) vfL
По экспериментальному значению скачка давления можно найти коэффициент трения
Оседание однородного слоя
Vp + efvf = 0
Apf = (efpf + epPp) gL
Связь давления со средней плотностью смеси
Ve. = Ve =0
8f8p(Pp-Pf)g
Коэффициент P(ef) определяется по скорости оседания
Pf = Pp
pW
Псевдоожиженный слой
vp = 0
Apf = (8fpf + 8pPp) gL
Скачок давления не зависит от скорости течения
Vef =Vep = 0 Pf = %
8p(Pp-Pf)g
Пористость слоя рассчитывается по скорости несущей среды
Неподвижный неоднородный слой
vf = vp = 0
V 8p 5^= 0
^Pf = 9jgL
A IMPp-Pftl-MPp-Pf) gL
Обычное гидростатическое давление Сила &Р(рР — р$) уравновешивает вес частиц с учетом плавучести !)
^ Давление в фазе частиц может изменяться независимо о г давления в несущей среде. В простейшем случае слоя без несущей среды (р^=0, р^ = 0), находящегося под действием сжимающей нагрузки W в отсутствие силы тяжести (g=0), Де^Рр=0 и 6pPp = W, т. е. в неоднородном слое давление в фазе частиц неоднородно. В литературе для фазы частиц можно встретить уравнение, полученное в предположении, что член V*(eT) приводится к форме evT, такое уравнение не позволяет получить этот результат.
газа в системе, когда скорость и ускорение обеих фаз равны нулю, будет гидростатическим.
В табл. 9.1 дана сводка результатов, полученных при решении уравнений, описывающих двухфазное течение, для некоторых задач о равновесии или стационарном движении в системе.
Будем предполагать, что в псевдоожиженной системе рр = pf, т. е. что давление в частицах дисперсной фазы, как в случае гидростатического равновесия, равно давлению окружающего их газа. Такая ситуация имеет место в системе, в которой отсутствует непосредственный силовой контакт частиц друг с другом.
Намагниченность частиц в уравнении для изменения импульса можно учесть следующим образом, для этого заметим, что каждое слагаемое в правой части уравнения (9.37) является объемной плотностью силы. Нам нужно получить дополнительное слагаемое, представляющее плотность пространственно осредненной магнитной силы. Согласно уравнению (1.10), магнитная сила, действующая на частицу, имеет вид vp,0MpVHc, где Мр — намагниченность частицы, у — объем частицы, индекс с означает, что в формулу входит среднее по объему частицы внешнее к ней магнитное поле. Операция осреднения силы записывается в виде
ер(х, О<НоМр?Яс) = £ p.0MpVHcvg(x — хр), ломаные скобки указывают на осреднение заключенной в них величины в точке х, суммирование ведется по всем частицам системы, через хр обозначено положение центра массы частицы. При осреднении возникает трудность, связанная с нелинейностью выражения, в которое входит произведение двух микроскопических величин. Для практического применения рассматриваемого выражения нужно ввести соотношение, выражающее <р,0МрХНс> через намагниченность псевдоожиженного слоя М, которая в нашем случае равна грМр, и среднее магнитное поле Н. Для силы \тр, представляющей пространственно осреднен- ную магнитную силу, рассчитанную на единицу объема, введем следующее определяющее уравнение, по возможности самое простое:
fmf = % ^MPVHC} = yi0MVH.(9.40)
Если газ намагничивается, то нужно также ввести плотность магнитной силы tmf, действующей на фазу газа.
СВОДКА ОСРЕДНЕННЫХ УРАВНЕНИЙ
Приведем сводку системы пространственно осредненных уравнений, описывающую динамику двухфазной системы, полученных в предыдущих разделах:
Уравнения неразрывности:
def/d/+ V • efVf = 0,(9.41а)
дер/д/ + V • epvp = 0.(9.41 b)
Уравнения движения:
pfef (dvf/dZ + vf•Vvf) = V • (efTf) — ffp+ efpfg + fmf,(9.42a)
Ppep (dvp/dt + vp•Vvp) = V • (epTp) - fpf+ epppg + fmp.(9.42b)
Следствия определений:
fpf + ffp = O,(9.43a)
ef + ep=l.(9.43b)
Уравнения магнитостатики:
VXB = 0,где B=efBf + epBp, (9.44a)
VXH = 0,H=efHf + epHp, (9.44b)
B = p0(H + M), M = efMf + epMp. (9.44c)
Приведем также сводку наиболее простых определяющих уравнений, замыкающих систему уравнений из законов сохранения и уравнений магнитостатики.
Определяющие уравнения:
для силы взаимодействия фаз газа и частиц:
f fp = efP (ef) (vf — vp) ~ Pf^f.(9.45)
для тензора напряжений осредненной текучей фазы:
Tf=-pfI;(9.46а)
для тензора напряжений твердой фазы:
Тр = -рр1;(9.46b)
для силы, действующей на немагнитную несущую фазу:
fmf = 0;(9.47а)
для плотности магнитной силы:
fmp = toMVH = PoepMpV W + 6PHPY (9.47b) для давления в фазе частиц в пренебрежении контактными силами:
Рр = Рь(9.48)
Величина Р(е^) — коэффициент трения, определяющий величину силы вязкого трения в единице объема системы, возникающей из-за относительного движения несущей среды и твердой
фазы в системе с однородной пористостью. Параметр р (е^) при отсутствии намагниченности хорошо изучен в механике неподвижных слоев; ниже будет дано частное выражение для р (е^). Как отмечалось в разд. 7.8, система уравнений, описывающая многофазную среду, включает в себя как частный случай уравнения, описывающие течение Дарси магнитной жидкости в пористой среде.
Подставив определяющие уравнения (9.45) — (9.48) в уравнения движения фаз с учетом условия pf = 0, получим уравнения, которые будут использоваться при исследовании псевдоожижения магнитных частиц газом с пренебрежимо малой плотностью:
VPf + p(ef)(vf-vp) = 0, (9.49) ерРр (dvp/dt + vp • Vvp) = — epVpf + efp (ef) (vf — vp) +
+ epppg + \k^.pMp^H. (9.50)
НАМАГНИЧЕННЫЕ ПСЕВДООЖИЖЕННЫЕ СЛОИИЗ ТВЕРДЫХ ЧАСТИЦ
Теперь можно приступить к анализу динамики и устойчивости намагниченных псевдоожиженных слоев. Проводимый здесь анализ является обобщением рассмотрения немагнитных
Рис. 9.5. Обозначения, используемые при анализе устойчивости псевдоожиженной системы из магнитных частиц.
слоев Андерсона и Джексона (Anderson, Jackson, 1968). Смысл обозначений, используемых при анализе, ясен из рис. 9.5. Для простоты будем предполагать, что анализируемая система неограниченно продолжается во все стороны. Течение газа направлено вверх против силы тяжести. Через систему распро-
страняется волна возмущения с волновым вектором к, направленным под углом у к направлению течения. На систему наложено внешнее магнитное поле Но, составляющее произвольный угол 6 с направлением распространения волны.
Хотя сам газ и материал твердых частиц с хорошей точностью являются несжимаемыми, их смесь имеет переменную массовую плотность из-за переменной объемной доли твердых частиц в смеси. В рассматриваемой здесь волне возмущения имеется пространственное изменение объемной доли газа.
Решение для стационарного состояния системыв однородном магнитном поле
Получим простое решение, описывающее состояние однородного псевдоожижения системы; для этого положим
Vf = v0 = iv0, vp = 0,ef = e0, ер=1— еа,(9.51)
H = H0 = i0//0, M = Mo=ioMo, В = Во = io^o>
где i — единичный вектор в вертикальном направлении (против силы тяжести); i0 — единичный вектор в направлении приложенного поля; у0, ео, Но и Мо — постоянные. Таким образом, уравнения (9.51) описывают случай, когда осредненная скорость газа постоянна как в пространстве, так и во времени и направлена вертикально вверх, средняя скорость частиц всюду равна нулю, объемная доля газа однородна и не зависит от времени и напряженности магнитного поля. Магнитная индукция и намагниченность системы также однородны в пространстве. Уравнения неразрывности (9.41), как и уравнения магнитостатики (9.44), удовлетворяются тождественно, а уравнения движения фаз газа и твердых частиц (9.49) и (9.50) сводятся соответственно к уравнениям
Vpf,o+PoVo = O,(9.52)
— (1 — е0) Vpf>0 +eopovo +(1 — eo)ppg = O. (9.53)
Исключая из этих уравнений pf, 0 с учетом, что вектор Vo направлен противоположно силе тяжести g, получим
Ро (ео) Уо — (1 — ео) Ppg = 0.(9.54)
Если р является известной функцией е, то уравнение (9.54) определяет однородную пористость системы ео по скорости газа Vo. Исключая скорость из уравнений (9.52) и (9.53), получаем выражение для величины градиента давления газа
I Vpf,ol = (l — eQ)ppg.(9.55)
Очевидно, что давление имеет однородно распределенный градиент и равно весу частиц слоя, приходящемуся на единицу площади поперечного сечения слоя. В результате мы получили экспериментальный факт, что при начинающемся псевдоожижении перепад давления в слое как раз такой, чтобы выдержать вес частиц слоя. Кроме того, видно, что однородное внешнее магнитное поле независимо от его направления или величины не влияет на стационарное решение.
Перед тем как продолжить анализ, нужно конкретизировать коэффициент 0о(ео) в рамках определенной модели о взаимном трении частиц и газа. Будем использовать хорошо известное уравнение Эргуна, определяющее силу трения при течении газа сквозь слой из плотно упакованных частиц:
Р (8о) = К Г I1-"/0" + ^Re] -(9-56)
L ео кч J
где
^Re^DpVoPf/nf,(9.57)
К = 150^/02,(9.58)
a k — эмпирическая постоянная со значением 85,7. Величина Л^ке — число Рейнольдса, рассчитанное по диаметру частицы Dp, v0 — сквозная скорость газа, Pf — плотность газа и т]^ — вязкость газа. В приближении невесомого газа величина ^Re тождественно равна нулю, и второе слагаемое внутри скобок в уравнении (9.56) отсутствует.
УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНОГО РЕШЕНИЯ
Теперь рассмотрим в рамках линейного анализа устойчивость стационарного решения по отношению к слабым возмущениям (Rosensweig, 1979с). Возмущения объемной доли газа, которые растут во времени, являются возможными предвестниками пузырьков в псевдоожиженных слоях. Здесь сделана оговорка «возможными» потому, что для выяснения действительной судьбы растущего возмущения нужен нелинейный анализ. Тем не менее линейный анализ устойчивости позволяет получить необходимое условие, при выполнении которого система является устойчивой. Наличие возмущений объемной доли газа приводит к искажению первоначально однородного магнитного поля, поэтому можно предвидеть, что в системе появятся объемные магнитные силы, которые повлияют на условие устойчивости системы.
Вывод линеаризованных уравнений
Представим каждую величину в виде суммы ее значения в системе с однородным псевдоожижением и малого возмущения:
ef = ео + eb Pf = Pf, о + Рь
vf^vo + v^ivo + vb Vp^O + w^^Wb
Н = Но + Н, = i0//0 + Hh M^Mo + M^ioMo + Mb ( 9)
В — Bo + B[ == iB0 + Bt.
Возмущения предполагаются малыми и гладкими функциями, меняющимися как в пространстве, так и во времени, поэтому все их производные также малы. Линеаризованные уравнения можно получить подстановкой выражений (9.59) в уравнения (9.41а), (9.41Ь), (9.49) и (9.50) с учетом стационарного решения (9.54).
Пример линеаризации. Согласно (9.41а), общее пространственно осредненное уравнение неразрывности для фазы газа имеет вид
d^dt + V • (efvf) = 0.
Линеаризуем отдельно каждое слагаемое с точностью до членов первого порядка малости следующим образом:
def д (е0 + е,) _ дехdtdtdt ’
6fVf = (e0 + 8,) (v0 + vO = edv0 + e0V! + e,v0.
Учитывая, что величина eovo постоянна, получим
V • (efvf) = edV . V, 4- v0 • Ve, = e0V • v, + u0 dzjdx.
Подставив линеаризованные слагаемые в исходное уравнение, получим линеаризованное уравнение неразрывности для фазы газа
d^/dt + v0 дг{/дх + eaV • Vi = 0.(9.60)
Аналогично легко показать, что линеаризованное уравнение неразрывности для фазы частиц имеет вид
- dEjdt + (1 - е0) V • W1 = 0.(9.61)
В это уравнение входит малое возмущение скорости частиц wi, которая появляется, например, при прохождении волны в системе.
Линеаризованное уравнение движения газа следует из уравнения (9.49); оно получается не так элементарно, как линеаризованное уравнение неразрывности, и имеет вид
VP1 + Р0 (V1 — Wl) + eiPoVO = °’(9-62>
где 0О = 0 (е0) и 0о = (d0/de)o.
Сложнее всего выводится четвертое уравнение — линеаризованное уравнение движения фазы твердых частиц, соответствующее уравнению (9.50), из-за последнего слагаемого с намагниченностью. Для преобразования этого слагаемого к нужному виду представим величину поля Н при помощи формулы бинома следующим образом:
Н = | Но + н, | = [(//oio + н.). (/70i0 + нt)J1/2 =
= ^Н^ + 2/^Н, • i0)1/2 + члены более высокого порядка=
= Я0+Н|-10.(9.63)
Аналогично
М = Af0 + Mj • i0.(9.64)
После некоторых алгебраических выкладок получим следующее линеаризованное уравнение движения фазы твердых частиц: Рр (1 - ео) ^Wi/^ = >£PPei + Ро (vi - wi) + voP^i + PoMoV (Hi' «о)»
(9.65) где градиент давления рх был исключен при помощи уравнения (9.62).
Линеаризованные уравнения в случае плоских волн
Для решения системы линеаризованных уравнений (9.60) — (9.62) и (9.65) нужно иметь соотношение, связывающее слагаемое с намагниченностью уравнения (9.65), содержащее неизвестную величину Hi, с независимыми параметрами системы. Это соотношение, которое мы сейчас выведем, имеет вид (9.84). Сначала выпишем уравнения магнитостатики для малых возмуще
ний Hi и Mi:
VXH] = 0,(9.66)
V • В! = 0,(9.67)
В, = РоСМ^НО.(9.68)
Исключив Bi, получим систему из двух уравнений:
7X^ = 0,(9.69)
V Ht = — VМР(9.70)
Теперь нужно намагниченность выразить через возмущения величин. На рис. 9.6 поясняются некоторые дополнительные обозначения для величин, связанных с кривой намагничивания частиц системы. Намагниченность насыщения частиц слоя равна Мр, s. Величина Мо, равная намагниченности невозмущенной системы, рассчитанной на единицу объема, вычисляется по формуле 2И0 = (1—е0)Мр, о = (1 — ео)хо^о. Для нас представляют
Рис. 9.6. Магнитные параметры частиц в слое из материала, намагничивающегося нелинейно и обнаруживающего насыщение.
интерес следующие магнитные параметры, харктеризующие величину наклона кривой намагничивания по касательной и по хорде.
Дифференциальная восприимчивость = х — (дМр/дН)не (9.71)
Хордовая восприимчивость = Хо = Мр,о/Яо-(9.72)
Согласно определению х» малое изменение поля дЯ приводит к малому изменению намагниченности 6Мр>0 = х&Н. Из уравнения (9.63) следует, что 6/7 = Н — HQ— Н! • i0, поэтому величина намагниченности Мр определяется по формуле
Мр(Щ = МрДНот№ • io).(9.73)
Дальше будем предполагать, что намагниченность слоя М параллельна локальному полю Н, поэтому из уравнения (9.44) с учетом Mf = 0 следует М = грМрН/Н, что справедливо для частиц слоя из мягкого ферромагнетика. Исключив Мр при помощи соотношения (9.73), а Н при помощи (9.63) и оставив
только члены первого порядка малости, получим следующее соотношение для вектора возмущения намагниченности Мг.
<9-74>
Это соотношение показывает, что, хотя векторы М и Н все время параллельны, возмущения Mi и Hi таковыми не являются. Взяв дивергенцию от уравнения (9.74) и учитывая определение (9.70), получим уравнение, связывающее поле Hi с возмущением объемной доли немагнитной фазы ег (J-+l-e0)v. Н,=(1 -e0)(l -X)io.V(io. HD + Ho-V61.
(9.75) Произвольное возмущение, как обычно, можно представить в виде суммы мод Фурье. Поэтому можно не искать общее решение уравнения (9.75), справедливого для любого распределения объемной доли газа, так как мы будем иметь дело только с возмущениями в виде гармонических мод. [Окончательное решение имеет вид (9.84).] Предположим, что в смеси частиц и газа в некоторый момент времени спонтанно возникает пакет волн концентрации твердых частиц бесконечно малой амплитуды» Из-за линейности уравнений эволюцию каждой компоненты Фурье можно рассматривать отдельно. Благодаря этому движение волны возмущения сквозь смесь и изменение со временем ее амплитуды можно описать аналитически. Если амплитуда волны растет экспоненциально, то однородное распределение частиц, как говорят, будет неустойчиво по отношению к данной моде.
Итак, рассмотрим распространение плоских волн следующей формы:
ех = ехЕ,(9.76)
Н, = Н^,(9.77)
где
Е = exp (s/) exp (ik • х),(9.78)
a 8i — амплитуда возмущения объемной доли газа, Hi— постоянный вектор, который нужно будет найти, к — волновой вектор плоской волны, х — радиус-вектор (k • х = кхх-\-киу-\-кгхУ Так как решение для поля должно удовлетворять закону Ампера в форме (9.69), то
о = V X Hl = EV X Hl - Hl X VE = - /ЕН1 Хк, (9.79) следовательно,
Н,Х6 = 0.(9.80)
Это соотношение показывает, что вектор Й! параллелен волновому вектору к. Если к^ — единичный вектор вдоль волнового вектора к, то произведение ^Ь^ в (9.74) можно заменить выражением ЕН \cos6, где Нх — модуль вектора Нь а угол 0 определяется формулой
0 = arccos (i0 • к0\(9.81)
Подставив в уравнение (9.75) выражения для в] и Н! из (9.76) и (9.77), найдем следующее решение для Нх:
Н\[МР> o^i = a/cos 0,(9.82)
cos2 9
1 + (1 — e0) (1 — cos2 9) xo + X (1 — e0) cos2 9 *
С учетом результата (9.82) слагаемое с намагниченностью в уравнении (9.65) принимает вид
H0M0V (Н, • i0) - цоа (1 - е0) ЛРр 0Ver(9.84)
Теперь можно сформулировать уравнение в частных производных для возмущения объемной доли газа еь Для этого надо уравнение (9.65) разделить на рр, взять от него дивергенцию и подставить выражения для V-W! и V-Vi из уравнений (9.60) и (9.61). Выполняя эти операции для каждого члена уравнения по очереди, получим
VV5w, d r/1 x I d2ex dt ~ dt ^еэ) V ‘ WJ — dti •5w, d r/1 x I d2ex dt ~ dt ^еэ) V ‘ WJ — dti •v-(ige,) = ig-ve, = ^-^ = (-J)Mv,— Wi)^"^^ • V1 — V • w,) = pJ Ppv-(ige,) = ig-ve, = ^-^ = (-J)Mv,— Wi)^"^^ • V1 — V • w,) = pJ Ppdeiе0^— ’и дхdeiе0^— ’и дх(9.85)(9.86)(9.85)(9.86)
V
V
5w, d r/1 x I d2ex dt ~ dt ^еэ) V ‘ WJ — dti •
5w, d r/1 x I d2ex dt ~ dt ^еэ) V ‘ WJ — dti •
v-(ige,) = ig-ve, = ^-^ = (-J)
Mv,— Wi)^"^^ • V1 — V • w,) = pJ Pp
v-(ige,) = ig-ve, = ^-^ = (-J)
Mv,— Wi)^"^^ • V1 — V • w,) = pJ Pp
deiе0^— ’и дх
deiе0^— ’и дх
(9.85)
(9.86)
(9.85)
(9.86)
(
1 dei1 dei 1 dei
e0 dt e0 У° dx 1 — e0 dt
PodexPqU0 dex __
pp8o(l —e0) dtpp8o dx
VVg де, еоио dt— u0 • Ve!Pp 01g де, еоио dt— u0 • Ve!Pp 015(1 — e0) 58] e0 dx *5(1 — e0) 58] e0 dx *иоРо <^1иоРо <^1Рр dxРр dx3 d8i — g(l -eo) po dx ,3 d8i — g(l -eo) po dx ,—^- цоа (1 — e0) Ve, = цоа (1 — e0) —2— V^/, PpJPp—^- цоа (1 — e0) Ve, = цоа (1 — e0) —2— V^/, PpJPp(9.87)(9.88)(9.89)(9.87)(9.88)(9.89)
V
V
g де, еоио dt
— u0 • Ve!
Pp 01
g де, еоио dt
— u0 • Ve!
Pp 01
5(1 — e0) 58] e0 dx *
5(1 — e0) 58] e0 dx *
иоРо <^1
иоРо <^1
Рр dx
Рр dx
3 d8i — g(l -eo) po dx ,
3 d8i — g(l -eo) po dx ,
—^- цоа (1 — e0) Ve, = цоа (1 — e0) —2— V^/, PpJPp
—^- цоа (1 — e0) Ve, = цоа (1 — e0) —2— V^/, PpJPp
(9.87)
(9.88)
(9.89)
(9.87)
(9.88)
(9.89)
причем здесь при переходе от третьего равенства к четвертому в (9.87) и от первого равенства ко второму в (9.88) использовалось стационарное решение (9.54). Снова собрав все члены
вместе, получим уравнение в частных производных для возмущения объемной доли газа ei:
d2e. g dei g ГBa 1 de.
— Po® d — e0) 4г1 V2e- = °> (9-9°) Pp
где z7o = 8ovo — средняя скорость газа в псевдоожиженном слое. Это уравнение аналогично уравнению (19) работы (Anderson, Jackson, 1968) с учетом того, что плотность газа равна нулю, а в коэффициент при Т2в! подставлено выражение с намагниченностью.
Уравнение (9.90) описывает распространение плоской волны возмущения в системе, когда осредненное течение направлено вдоль оси х, а внешнее поле ориентировано под углом 0 к направлению распространения моды возмущения. В рассматриваемой здесь теории это уравнение — ключевое соотношение.
Если формально положить g = 0, то второй и третий члены уравнения исчезнут; то, что останется, составит классическое волновое уравнение, решение которого дает волны с нерастущей и незатухающей амплитудой. Если пренебречь первым членом уравнения (9.90), то получим уравнение конвективной диффузии. Так, если величину ei рассматривать как концентрацию диффундирующей примеси, то это уравнение описывает распространение примеси, инжектированной в качестве метки при течении в трубе. Когда отсутствует третий член, уравнение (9.90) сводится к телеграфному уравнению. В этом случае ei можно рассматривать как величину тока или напряжения вдоль линии электропередачи без потерь с распределенной емкостью и магнитным сопротивлением; здесь нет роста или затухания передаваемого сигнала. При отсутствии намагниченности последний член уравнения исчезает, а получающееся уравнение описывает обычные псевдоожиженные слои. Когда в уравнении присутствуют все слагаемые, оно, по-видимому, не позволяет провести аналогию с хорошо известной физической задачей, поэтому для получения ясного физического представления о процессах в псевдоожиженном слое его нужно решить.
Общее решение для возмущения объемной доли газа
В общем случае величина s в уравнении (9.78) является комплексным числом и может быть записана в виде
s^-iiv(9.91)
Тогда уравнение (9.78) примет вид
Е = exp (SO exp [f (k • x — цО].(9.92)
Величина Й = к-х— rtf— фаза волны; для решений в виде плоских волн фазовые поверхности Q = const являются параллельными плоскостями. Градиент Q совпадает с волновым вектором к, направление которого перпендикулярно фазовым плоскостям, а величина |fe| = & равна числу гребней волны, приходящемуся на 2л единиц длины вдоль его направления. Длина волны X плоских волн имеет величину X = 2я/к. Из выражения
Q = & [fe0 • х — (х\/к) /] = к • [х — (т]/6) !кД (9.93) следует, что фазовая скорость определяется формулой
Vp = №)k0.(9.94)
Зависимость Vp от к означает, что волны с разными волновыми числами имеют разные фазовые скорости; такое явление называется дисперсией.
Вещественная часть g величины s определяет скорость роста или затухания волны со временем. Если g положительно, то возмущение со временем растет и состояние системы с однородным псевдоожижением неустойчиво; если g отрицательно, то возмущение, наоборот, затухает и однородное состояние системы устойчиво. Параметр g называется показателем роста.
Длину роста волны можно определить соотношением
Ах = т)/^.(9.95)
Эта величина определяет расстояние, пройдя которое волна увеличивает или уменьшает свою амплитуду в е раз; рост или затухание волны указывается знаком величины
Подставляя в уравнение (9.90) выражение для ei в плоской волне (9.76), получим алгебраическое уравнение
е, [Лs2 + Ps + а + ibPC^ = 0,(9.96)
где
Л = е0/(1—е0),(9.97)
Р =4-,(9.98)
с= 1 — 2е0 —80(1 — ео)(Р'/Ро).(9.99)
b = (йо/еа) к cos у>(9.100)
f = H0a(e0/pp)M2.0^.(9.101)
Здесь у — угол между направлением течения и волновым вектором к, как показано на рис. 9.5:
у = arc cos (i • к).(9.102)
Отметим, что параметры Л, Р и С зависят от характеристик невозмущенной системы, тогда как параметры b и f зависят от величины волнового вектора к.
Уравнение (9.96) удовлетворяется, если
в! = 0,(9.103)
или
As2 + Ps + (f + ibPQ = 0.(9.104)
Если уравнению (9.104) можно удовлетворить, то существует нетривиальное решение с 8i=#0 системы уравнений (9.60) — (9.62), (9.65). Кроме того, у системы из этих уравнений может быть нетривиальное решение, не удовлетворяющее уравнению (9.104), но удовлетворяющее условию ei = 0, соответствующему однородному и не меняющемуся в волне распределению частиц. В последнем случае из уравнений неразрывности (9.60) и (9.61) следует, что
V.V1 = V.W1 = 0.(9.105)
Представим скорости vi и Wi через их выражения в нормальных модах:
V! = V! exp(s/) ехрЦк • х),(9.106)
Wi = W! exp(s/)exp(z& • х);(9.107)
тогда получим
к- хх=к- Wj = 0.(9.108)
Это соотношение показывает, что возмущения скорости перпендикулярны волновому вектору; для немагнитного течения этот факт отмечался Андерсоном и Джексоном (Anderson, Jackson, 1968, р. 15). Такие поперечные волны не создают возмущений объемной доли газа и, следовательно, не представляют для нас большого интереса. Мы ограничимся рассмотрением решений, соответствующих корням уравнения (9.104).
Уравнение (9.104)—квадратное относительно s; вещественные и мнимые части обоих корней уравнения находятся элементарно. Умножив обе части уравнения (9.104) на 4А/Р2 и введя для краткости обозначения
a=2AjP,(9.109)
z = 4Af(P\(9.110)
q = ^AbC[P,(9.111)
запишем это уравнение в виде
(as + I)2 = 1 — 2 — z^.(9.112)
Теперь можно при помощи теории комплексного переменного получить вещественные и мнимые части обоих корней уравне-
ния; они имеют вид
(9.113)(9.114)(9.113)(9.114)
(9.113)
(9.114)
(9.113)
(9.114)
где г=[(1—z)2+^2)]I/2. Значение (9.113) со знаком минус перед радикалом соответствует затухающим волнам, и, следовательно, нет необходимости здесь его рассматривать.
Перед дальнейшим изложением теории найдем более конкретное выражение для величины С (9.99) при помощи соотношения (9.56), которое в пределе невесомого газа сводится к соотношению
P(%) = ^(l-e0)74 (9.115)
Если считать, что всякое влияние эволюции магнитного поля на коэффициент К пренебрежимо мало, то простое дифференцирование показывает, что
РЖ = -2/[ео(1-ео)] (9-И6) и, следовательно,
С = 3-2е0. (9.117)
Намагниченность приводит к стабилизации системы, если £ < 0, и к нейтральной устойчивости, если £ = 0. Уравнение (9.113), в котором выбран знак плюс, показывает, что для устойчивости системы необходимо
z>W-(9.118)
Подставив выражения для z и q в уравнение (9.118), а в получающееся уравнение выражения для Л, С, Ь и f, получим следующий критерий устойчивости системы — основной результат излагаемой теории:
{
> 1 (неустойчива),
= 1 (нейтрально устойчива), (9.119)
< 1 (устойчива),
где
Nm = 9paW\6(9.120)
— безразмерная комбинация, выражающая отношение кинетической энергии к магнитной, а
N„ = ^-^[l + d-e^xo- ео (1 - 8о)2
-(1 - go) (Хо - х)cos2(у - <р)] J^ ф)-. (9.121)
где ф = у — 9 — угол между направлением течения и приложенным магнитным полем.
Мы показали, что устойчивость системы возникает из-за того, что при наличии градиента объемной доли газа сила fmp = M'oMVf/ в уравнении (9.40) уже перестает быть равной нулю. В одномерном случае эта сила пропорциональна градиенту Vep и имеет противоположный знак. Это можно показать, если учесть, что в одномерной задаче В = р0(^ 4-Л1) = = Но(# + ерМр) = const; вереде, намагниченной до насыщения, Мр постоянно и VH = — М^гр, а ^тр= — ^М^Ер. Эта сила стремится сгладить возмущения объемной доли газа в виде разрежений и сжатий, а вместе с ней также возмущения скорости и всех других параметров.
Характер поведения системысогласно теоретическим результатам
у = 0у = 0Направления затухающих волнНаправления затухающих волн7=Ус7=УсРассмотрим уравнение (9.121); еслиу—<р = л/2 (волна распространяется перпендикулярно магнитному полю) и у =# л/2 (волна распространяется не перпендикулярно течению несущей среды), то Му бесконечно и стабилизация невозможна. Так как в системе могут быть волны возмущения с любым направлением распространения, то очевидно, косое к течению поле не может стабилизировать систему, поэтому для стабилизации внешнее поле должно быть направлено вертикально (<р = 0).
у = 0
у = 0
Направления затухающих волн
Направления затухающих волн
7=Ус
7=Ус
Направления растущих волну =тг/2Рис. 9.7. Конус устойчивости для волн, распространяющихся в неограниченном слое.Направления растущих волну =тг/2Рис. 9.7. Конус устойчивости для волн, распространяющихся в неограниченном слое.В случае когда поле направлено вертикально и ^о > X, величина Му имеет наибольшее значение при у = л/2 и уменьшается при уменьшении у до нуля. Если увеличивать Мт (увеличивая скорость течения или уменьшая намагничен
Направления растущих волн
у =тг/2
Рис. 9.7. Конус устойчивости для волн, распространяющихся в неограниченном слое.
Направления растущих волн
у =тг/2
Рис. 9.7. Конус устойчивости для волн, распространяющихся в неограниченном слое.
ность), то в первоначально устойчивой системе возникает критическое значение угла у = ус, такое, что моды возмущения, направление распространения которых лежит вне конуса на рис. 9.7 с половиной угла при вершине ус, неустойчивы (Hagan, 1981). При вертикальном направлении поля уравнение (9.121) сводится к уравнению
". = [(3 - &Ж(1 - =о)] [ 1 + (■-'.)X. -(!-«.)k-it)=03= V).
Если материал в псевдоожиженном слое намагничивается линейно (Хо —х), то Для вертикально направленного поля (ф = 0) выражение для Ny принимает вид
^ = К3 - WSO - Ml 11 + (1 - М X,]
и не зависит от угла у, характеризующего направление распространения волны возмущения.
Рис. 9.8. Зависимость безразмерного параметра роста для слоев с неограниченной протяженностью; случай NmNv = оо соответствует отсутствию намагниченности (Rosensweig, 1979с).
В выражении для показателя роста (9.113) величины х и g можно представить в виде х — k^NmN0, q = 2kr; здесь кг — безразмерное волновое число, определяемое формулой
кг-Ч^6^ где ег = 2(3 — 2е0) (cos у)/е0.
Это позволяет построить универсальные кривые (рис. 9.8), согласно которым длинноволновые возмущения устойчивы, а показатель роста для коротковолновых возмущений стремится к асимптотическому значению при данной величине NmNy. Наглядно видно, что все моды устойчивы до значения NmNv= 1.
Найдем зависимость скорости течения, при которой начинается псевдоожижение слоя, от его намагниченности. Подставляя р0 из уравнения (9.54) в (9.115), получим выражение для скорости. Для исключения констант составим отношение полученного выражения для скорости к такому же выражению для
скорости, при которой начинается псевдоожижение
(9.122}(9.122}“о80 0 ~ 8т)
(9.122}
(9.122}
“т(*8о) 8т
где йо = еоУо и um = emvm, индексом tn обозначаются параметры, характеризующие начало псевдоожижения. Уравнение (9.121)
Рис. 9.9. Феноменологическое поведение магнитно стабилизированного слоя согласно теоретическим результатам. Магнитная стабилизация расширяет диапазон параметров, в котором слой состоит из стационарно взвешенных частиц и не имеет пузырьков, флуктуаций и турбулентности. Промежуток стабилизации находится между скоростью начала псевдоожижения йщ и скоростью перехода Ht нейтральной кривой устойчивости. Восприимчивость % здесь положена равной 1, а е^ = 0,35; 1 — начало псевдоожижения; 2—метастабильность не наблюдается.Рис. 9.9. Феноменологическое поведение магнитно стабилизированного слоя согласно теоретическим результатам. Магнитная стабилизация расширяет диапазон параметров, в котором слой состоит из стационарно взвешенных частиц и не имеет пузырьков, флуктуаций и турбулентности. Промежуток стабилизации находится между скоростью начала псевдоожижения йщ и скоростью перехода Ht нейтральной кривой устойчивости. Восприимчивость % здесь положена равной 1, а е^ = 0,35; 1 — начало псевдоожижения; 2—метастабильность не наблюдается.
Рис. 9.9. Феноменологическое поведение магнитно стабилизированного слоя согласно теоретическим результатам. Магнитная стабилизация расширяет диапазон параметров, в котором слой состоит из стационарно взвешенных частиц и не имеет пузырьков, флуктуаций и турбулентности. Промежуток стабилизации находится между скоростью начала псевдоожижения йщ и скоростью перехода Ht нейтральной кривой устойчивости. Восприимчивость % здесь положена равной 1, а е^ = 0,35; 1 — начало псевдоожижения; 2—метастабильность не наблюдается.
Рис. 9.9. Феноменологическое поведение магнитно стабилизированного слоя согласно теоретическим результатам. Магнитная стабилизация расширяет диапазон параметров, в котором слой состоит из стационарно взвешенных частиц и не имеет пузырьков, флуктуаций и турбулентности. Промежуток стабилизации находится между скоростью начала псевдоожижения йщ и скоростью перехода Ht нейтральной кривой устойчивости. Восприимчивость % здесь положена равной 1, а е^ = 0,35; 1 — начало псевдоожижения; 2—метастабильность не наблюдается.
с учетом соотношения cosy = cos0=l преобразуется к виду
(9.123)(9.123)^.-^-^li + d-^fl.
(9.123)
(9.123)
8о (‘ ~ 8о)
Из этого выражения для ND совместно с критерием нейтральной устойчивости NmNv=\ (9.119) и определением Nm (9.120) следует выражение для критической безразмерной намагниченности, которая введена на рис. 9.9 в качестве абсциссы:
3-2ео
р№ = 8о (1-8о),/2<'
Верхняя кривая на рис. 9.9 при данном значении гт строится следующим образом: по выбранному значению ео из уравнения (9.122) определяется величина й^/йт, а из уравнения (9.124) — безразмерная намагниченность. При построении графика рис. 9.9 использовались выбранные произвольно значения х = 1 и ет = 0,35. Верхняя кривая на рисунке представляет собой линию нейтральной устойчивости, разделяющую область с неустойчивым псевдоожижением от области с устойчивым течением в псевдоожиженном слое. Горизонтальная линия й^[йт=\> согласно уравнению (9.122) с е0 = ет, соответствует теоретическому стационарному решению, характеризующему начало псевдоожижения. Если нужно, то конкретное значение йт можно найти, исключая р0 из уравнений (9.54) и (9.115) и полагая ео = ет. Наличие намагниченности частиц слоя не влияет на величину скорости начала псевдоожижения. В области, расположенной между линией начала псевдоожижения и кривой появления пузырьков, система псевдоожижена и стационарна, т. е. слой стабилизирован намагниченностью. Стабилизация сохраняется при скоростях несущего газа, намного превышающих скорость начала псевдоожижения; это свойство представляет несомненный технологический интерес.
При взгляде на рис. 9.9 возникают некоторые аналогии из-за его сходства с термодинамической фазовой диаграммой для чистого вещества. Как отмечено на рис. 9.9, непсевдоожиженный слой аналогичен твердой фазе, область стабилизации — жидкой фазе, а слой с пузырьками — газу. Скорость течения газа как возбуждающий фактор играет роль температуры, а намагниченность соответствует давлению. Линия начала псевдоожижения имеет много сходства с линией плавления на обычной фазовой диаграмме с температурой плавления, не зависящей от намагниченности (давления). Теория устойчивости определяет положение кривой равновесия жидкости и газа. Пересечение этой линии с линией плавления образует тройную точку. Увеличение скорости течения газа при постоянной намагниченности в области левее тройной точки приводит к сублимации.
9.8. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Экспериментальные результаты в этом разделе будут излагаться в следующем порядке: сначала касающиеся поведения хаотически насыпанного слоя частиц при наложении магнитного поля, затем его поведения под действием сдвига. Такой же порядок будет и в теоретическом анализе.
Скорость перехода
На рис. 9.10 и 9.11 приведены результаты экспериментов со слоем, содержащим сферические стальные частицы размером
Рис. 9.10. Экспериментальные данные для скачка давления в нестабилизиро- ванных и магнитно стабилизированных слоях из стальных частиц размером 177—250 мкм; 1 — точка начала псевдоожижения, йт\ 2— переход к состоянию с пузырьками, щ. См. (Rosensweig et al., 1981).
Рис. 9.11. Экспериментально полученная фазовая диаграмма намагниченного псевдоожиженного слоя из стальных частиц размером 177—250 мкм (Rosensweig, 1979).
177—250 мкм, и псевдоожижаемым воздухом (Rosensweig, 1979b). Перепад давления измерялся манометром, одно колено которого подсоединялось к слою непосредственно у поддерживающей решетки, а другое было открыто в атмосферу. Точка излома кривой для перепада давления соответствует скорости начала псевдоожижения йт. Магнитное поле в согласии с теорией не влияет на момент перехода слоя в псевдоожиженное
состояние. При дальнейшем увеличении средней скорости воздуха слой расширяется, а давление остается постоянным. При некоторой скорости щ внезапно в слое появляются пузырьки. Этот момент можно определить оптическими или магнитными методами или по внезапному возникновению флуктуаций давления. Таким образом определялась пара соответствующих значений йт и щ для каждого данного значения напряженности приложенного магнитного поля. На рис. 9.11 построены зависимости соответствующих величин йт и ut от напряженности приложенного поля, образующие экспериментальную фазовую диаграмму. Сравнение рис. 9.11 с внешним видом теоретической фазовой диаграммы рис. 9.9 качественно подтверждает общий характер поведения системы, предсказываемый теорией.
Влияние направления поля
Если внешнее поле направлено горизонтально, т. е. поперек течения, так что ф = л/2, то для волны возмущения, распространяющейся вдоль оси трубы (у = 0), согласно уравнению (9.121), Nv бесконечно и, следовательно, слой невозможно стабилизировать. Для проверки этого предсказания в табл. 9.2 приведена выборка некоторых данных. По эксперименту в отсутствие поля было установлено значение скорости начала псевдоожижения. В поле, перпендикулярном трубе, скорость в момент
Таблица 9.2. Влияние направления магнитного поля на скорость перехода в состояние с пузырьками для слоя из частиц никеля в глиноземе размером 150—420 мкм, псевдоожижаемого воздухом (Rosensweig, 1978b, пример 2)
Во, Тл
ф, рад
йо, мс 1
Примечание
0
0,026
Начало псевдоожижения
0,057
л/2
0,028
Поле, перпендикулярное трубе
0,057
0
0,455
Поле вдоль оси трубы
перехода к состоянию с пузырьками незначительно отличалась от скорости начала псевдоожижения (больше на 7,7%). С другой стороны, в поле, направленном вдоль оси трубы, скорость в момент перехода увеличивалась на чрезвычайно большую величину, на 1650 %. Эти данные подтверждают теоретический вывод, что поперечное трубе поле не способно стабилизировать слой.
Хотя имеется много точек согласования между теоретическими и экспериментальными результатами, касающимися момента появления неустойчивости в магнитно стабилизированных псевдоожиженных слоях, количественно теория, как установлено,
занижает значение скорости в момент перехода, найденное из экспериментов. Более серьезное расхождение касается характера влияния таких параметров, как размер частиц. Теория предсказывает уменьшение скорости в момент перехода с увеличением размера частиц, тогда как эксперименты неизменно показывают ее увеличение. Далее мы рассмотрим одну феноменологическую характеристику, имеющую отношение к адекватности развитой модели, — реологию системы частиц.
Реология магнитно стабилизированных псевдоожиженных системиз твердых частиц
Определяющее уравнение (9.46b) является сильной идеализацией реологического поведения (зависимость напряжений от деформаций) магнитно стабилизированных псевдоожиженных систем. Среда предполагалась невязкой, и в действительности слабо намагниченные системы или системы с большей намагниченностью, но со скоростью несущей фазы, близкой к скорости в момент перехода, такими и выглядят. В самом деле, если систему частиц перемешивать пластинкой в некотором месте, то окружающая среда остается невозмущенной, за исключением непосредственной окрестности пластинки. При большей намагниченности или скорости несущей фазы, много меньшей скорости перехода, в слоях из-за заметного магнитного притяжения частиц друг к другу возникает сопротивление деформации. Этим определяется интерес к экспериментальному определению реологической характеристики сред таких систем: несколькими разными способами было установлено, что эти среды обладают свойствами вязкопластической жидкости. Это значит, что среда подобно некоторым краскам и смазкам не течет, пока действующее на нее напряжение не превысит некоторого критического напряжения, называемого напряжением текучести. Величина напряжения текучести в зависимости от характеристик системы может быть большой или малой, но в такой жидкости она обязательно имеется. Результирующее течение такой жидкости может отличаться от течения жидкости Бингама из-за проскальзывания на граничных стенках.
Напряжение текучести магнитно стабилизированной системы из частиц было экспериментально измерено по величине силы, которую нужно приложить, чтобы вытащить вертикальную пластинку, погруженную в слой из частиц (рис. 9.12) (Lee, 1983). Чтобы исключить проскальзывание, пластинка покрывалась слоем из приклеенных частиц системы.
Данные для напряжения текучести системы из железных частиц, приведенные на рис. 9.13, показывают зависимость напряжения текучести от глубины погружения пластинки и намагни-
Рис. 9.12. Эксперимент с погруженной пластинкой, в котором определяется напряжение текучести устойчивого псевдоожиженного слоя из намагниченных частиц (Lee, 1983).
ченности частиц. При заданной глубине погружения напряжение текучести увеличивается вместе с намагниченностью. При достаточно большой величине погружения пластинки напряжение текучести достигает асимптотического предельного значения, что согласуется с предположением об однородности системы из рассмотренной выше модели. Небольшая глубина погружения пластинки соответствует переходной области, а на самой поверхности напряжение текучести исчезает. Этот краевой эффект исследовался в рамках модели невязкой системы при помощи граничного условия, что на поверхности объемная доля газа равна единице (е^ = 1), которое накладывает уравнение баланса поверхностных сил (Rosensweig et al., 1983).
Модель для описания величины напряжения текучести трудно построить в рамках механики сплошной среды, так как это явление возникает из-за распределения магнитного поля на микроуровне. Однако число параметров в соотношении, определяющем это явление, не слишком велико; в таком случае анализ размерности позволяет упростить соотношение. Можно счи-
тать, что напряжение текучести соответствует моменту разделения соприкасающихся частиц. Сила притяжения соприкасающихся частиц зависит от намагниченности Мр и размера частиц dp; число соприкасающихся частиц зависит от пористости системы ео и размера частиц. Кроме того, введение намагниченности учитывает образование кластеров и цепочек. Скорость несущей среды й0, плотность частиц р0, вязкость среды r|f и ускорение силы тяжести g определяют значение е0, но не влияют
Рис. 9.13. Экспериментальные значения напряжения текучести ту в слоях из железных частиц 250—297 мкм; й0 = 0,23 м с-1 (й1йт = 2) (Lee, 1983).Рис. 9.13. Экспериментальные значения напряжения текучести ту в слоях из железных частиц 250—297 мкм; й0 = 0,23 м с-1 (й1йт = 2) (Lee, 1983).
Рис. 9.13. Экспериментальные значения напряжения текучести ту в слоях из железных частиц 250—297 мкм; й0 = 0,23 м с-1 (й1йт = 2) (Lee, 1983).
Рис. 9.13. Экспериментальные значения напряжения текучести ту в слоях из железных частиц 250—297 мкм; й0 = 0,23 м с-1 (й1йт = 2) (Lee, 1983).
непосредственно на измеряемое напряжение текучести т^. Таким образом, постулируется функциональное соотношение со следующим выбором параметров:
Ty = f(no, Мр, dp, е0);Ty = f(no, Мр, dp, е0);(9.125)(9.125)
Ty = f(no, Мр, dp, е0);
Ty = f(no, Мр, dp, е0);
(9.125)
(9.125)
Таблица 9.3. Размерности величин, входящих в уравнение для напряжения текучести
Величина
Обозначение
Размерность
Напряжение текучести
Проницаемость вакуума Намагниченность частиц Диаметр частиц Пористость
^У Но мр dp е0
Н*м-2
Н • м-1 = кг • м • А-2 • с“2 = Н • А 2
А • м-1 м
в табл. 9.3 приведены размерности параметров этого соотношения. Так как величина е0 безразмерна, то она непосредственно входит в число безразмерных комбинаций. Если между остальными параметрами предположить степенную зависимость
-tti = ^Mbpd.Cp>(9.126)
то можно найти показатели степеней а, b и с из соотношения для размерностей этих величин: Н/м2 = (Н/А2)°(А/м)д(м)с. Здесь имеются три независимые единицы измерения, следовательно, для показателей степеней можно выписать три линейных уравнения:
= а(для Н),
0= — 2а+ Ь (для А),—2= — b -\- с (для м).
Число уравнений равно числу показателей степени; это означает, что только одна безразмерная комбинация может быть образована из этих величин. Разрешая уравнения, получим а = 1, b = 2, с = 0.
Таким образом, диаметр частиц d0 не входит в искомое соотношение, а искомая безразмерная комбинация имеет вид ^/р0Л12. Окончательный результат анализа размерностей можно представить в виде
'yW=\^.(9Л27>
Теперь обратимся к экспериментальным данным на рис. 9.13, полученным при постоянной скорости несущей среды и, следовательно, при постоянной е0. Поэтому из уравнения (9.127) можно ожидать, что ту будет меняться пропорционально квадрату предельной намагниченности частиц Мр. Рисунок 9.14, на котором приведены экспериментальные значения для напряжения текучести, указывает на правильность такого заключения.
Рассмотрим дополнительные данные о величине напряжения текучести в системах с железными частицами разного размера. В табл. 9.4 приведено сравнение значений напряжения теку-
Таблица 9.4. Напряжение текучести в магнитно стабилизированных слоях из железных частиц (2 = 0,3 м)
dp, мкм
йо, м-с 1
Во, Тл-104
е0
ХУ> Па
250-297
0,46
46,8
0,479
229
74-105
0,094
45,9
0,485
275
250-297
0,46
29,5
0,479
130
74-105
0,081
34,8
0,485
126
чести в псевдоожиженных слоях с почти одинаковой пористостью. Даже когда скорости несущей среды отличаются в пять раз, напряжения текучести при одинаковой намагниченности частиц и пористости системы близки друг к другу. Это подтверждает вывод из анализа размерностей, что размер частиц несуществен.
Рис. 9.14. Зависимость асимптотических значений напряжения текучести (взятых с рис. 9.13) от квадрата намагниченности частицы при постоянной пористости слоя.
Под экспериментальные данные было подобрано следующее эмпирическое уравнение с одним коэффициентом:
ху1^М\ = Ж2’ °’48 < е0 < °’59’ (9.128)
где Л = 3,3-10~5. Видно, что напряжение текучести очень сильно зависит от пористости системы; по этой причине неопределенность показателя степени 12 велика. В случае когда система намагничивается переменным полем 60 Гц, значение Л сильно уменьшается до значения, примерно равного Л = 0,5-10—5, а текучесть слоя соответственно возрастает. Эксперименты показывают, что, когда скорость несущей среды близка к скорости перехода lit» напряжение текучести резко падает почти к нулевому значению Поэтому эффекты, связанные с наличием напряже-
ния текучести, возможно, не являются критичными для определения устойчивости системы. В отличие от этого сопротивление скорости деформаций может играть заметную роль при определении параметров устойчивости; имеются теоретические исследования, основанные на предположении о постоянстве вязкости (см. разд. «Замечания и дополнительная литература»); оказывается, что наличие вязкости может как вызвать, так и подавить неустойчивость в системе в зависимости от условий. Аналогичную роль вязкость играет в исследовании устойчивости течения однородной жидкости в плоском канале.
Магнитно стабилизированные псевдоожиженные слои могут работать в режиме с поперечным течением, т. е. с непрерывным перемещением частиц поперек восходящего течения несущей среды (Siegell, Coulaloglou, 1984). Вязкопластические свойства не мешают поперечному твердотельному движению фазы намагниченных частиц.
Направления дальнейших исследований
Реологические свойства большей частью остаются еще не учтенными в теории об устойчивости слоев, так же впрочем, как и многое другое. Так, теоретические результаты для движения двухфазной системы очень зависят от формы определяющего уравнения для коэффициента трения; условие для слоев с плотной упаковкой частиц приводит к величине расширения слоя, все более превышающей измеренное расширение стабилизированного слоя при увеличении скорости. Этот эффект, по-види- мому, проявляется из-за заметного влияния намагниченности на конфигурацию частиц в слое, которая в свою очередь влияет на величину трения. Известно, что при уменьшении скорости несущей среды появляется явление гистерезиса, т. е. при данной скорости перепад давления меньше, а длина слоя больше, чем при увеличении скорости.
В целом можно сказать, что магнитно стабилизированные взвешенные слои являются более сложными объектами, чем магнитные жидкости; теоретический анализ устойчивости дает для них не очень надежные выводы, тогда как теоретические результаты исследований устойчивости течений магнитных жидкостей выглядят очень достоверно. Дальнейшие исследования, по-видимому, смогут в большей степени прояснить характер неустойчивости в магнитных псевдоожиженных слоях.
ЗАМЕЧАНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Наиболее ранние исследования некоторых аспектов магнитной стабилизации псевдоожиженных слоев содержатся в рабо-
тах Филиппова (1960, 1961) и Кирко и Филиппова (1960). Системы с переменным полем и частицами (из магнетита) с большой коэрцитивной силой, а также системы с частицами цилиндрической формы (железными) имеют значительно более сложное поведение, чем то, которое рассматривалось в этой главе, Ясно, что на коэрцитивные частицы действует момент сил, приводящий к их вращению; цилиндрические железные частицы способны сильно намагничиваться, так как их коэффициент размагничивания вдоль длинной оси мал. Слои из коэрцитивных частиц совершенно не стабилизируются; в них возникают струйные течения. В слоях из цилиндрических частиц происходит агломерация, их реология становится подобной упругому телу. Для сравнения напомним, что здесь в основном рассматривались слои стационарные, но текучие, что соответствует магнитно мягким, не сильно намагничивающимся частицам.
В многочисленных работах Иванова с соавторами из Болгарии основное внимание уделяется использованию магнитного поля для предотвращения утечки частиц из псевдоожиженных слоев ферромагнитного синтеза аммиака; см., например, работу (Ivanov, Zrunchev, 1969).
Исследованию теплопереноса в слоях посвящена работа Бо- логи и Сюткина (1977).
Работы по совершенствованию техники осреднения в многофазных средах, необходимой для получения континуального описания дискретных систем, продолжаются. Иллюстрации дополняющих друг друга подходов можно найти в работах (Whitaker, 1966; Ishii, 1975; Буевич, Щелчкова, 1978; Drew, 1983). В этой главе был принят подход с объемным осреднением по ансамблю,, по времени или смешанное осреднение. Для всех подходов общим является необходимость учета наличия поверхностей разрыва на поверхностях несущей фазы и частиц и необходимость выбора членов, которые выражаются через эмпирические определяющие уравнения.
В работе Джексона (Jackson, 1971) дан обзор математических решений теории устойчивости обычных псевдоожиженных слоев. Такие же феноменологические уравнения используются для описания течения, возникающего в псевдоожиженном слое при движении одного пузырька.
Фанукки, Несс и Йен (Fanucci, Ness, Yen, 1979) численно,, методом характеристик, рассчитали нелинейный рост волн. Образование ударной волны здесь рассматривалось как возникновение пузырьков.
Розенцвейг и др. (Rosensweig et al., 1983) рассматривали вопросы об устойчивости и распределении пористости в намагниченных псевдоожиженных слоях конечной протяженности и о влиянии на устойчивость слоя вязкости фазы частиц; в цити-
руемой работе абсцисса на рис. 7В должна читаться как е0Мр, что делает недостижимой область больших значений.
Экспериментальная характеристика текучести магнитно стабилизированной системы псевдоожиженных частиц, коэффициент радиальной диффузии жидкой метки и коэффициент теплопере- носа приведены в работе (Rosensweig et al., 1981). Структура слоя исследовалась при помощи численного моделирования по функции магнитной проницаемости и при помощи микрофотографий (Rosensweig, Jerauld, Zahn, 1981). Магнитно стабилизированные псевдоожиженные слои текучи, поэтому можно создать циркуляцию частиц и разработать непрерывные процессы химической конверсии, адсорбции, выборочной фильтрации и других операций, представляющих интерес для технологии. В работе (Lucchesi et al., 1979) описываются приложения и характеристики используемых слоев в различных процессах. Привлекает внимание работоспособность слоя в качестве фильтра при высокой температуре и высоком давлении с возможностью непрерывной регенерации. Сводку исследований по эффективности работы слоев см. в (Albert, Tien, 1983). Использование псевдоожиженного слоя для противотока в контакте растворитель— частицы в хроматографе с непрерывным процессом рассматривалось в работе (Burns, Graves, 1984).
Результаты исследований поведения магнитно стабилизированных слоев, близкие к исследованиям, проведенным в этой главе, имеются в работе (Arnoldos, Casal, Puigjaner, 1983).
Вопросы стабилизации электрически поляризующихся двухфазных суспензий из частиц, капель или пузырьков рассматривались Налетовой (1982); теоретический анализ и эксперименты об электрически стабилизированных псевдоожиженных частицах приводятся в исследовании (Zahn, Rhee, 1983).
Приложения
ПРИЛОЖЕНИЕ 1.
СВОДКА ВЕКТОРНЫХ И ТЕНЗОРНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙИ ФОРМУЛ
В этой книге используется символическая запись Гиббса, в которой векторы и тензоры второго порядка обозначаются прямыми полужирными латинскими и греческими буквами, например v, Н, |, Т, D.
Единичные векторы декартовой системы координат обозначаются через I, j, к или ei, е2, е3. Вектор п означает единичную нормаль к поверхности, направленную наружу, если поверхность замкнутая. Вектор t—единичный тангенциальный вектор.
Скалярное умножение двух векторов обозначается через а-Ь, а векторное умножение — через аХЬ. Результат последнего является псевдовекторам, так как его направление изменяется на противоположное при зеркальном преобразовании системы координат; вектор, который не меняется при зеркальном преобразовании системы координат, например скорость, называется полярным вектором.
Диада, или неопределенное произведение векторов а и Ь, образуется простым приписыванием векторов друг к другу: ab. Если a = aj + aj + а2к и b = bx\ + by] + b2k, то ab = ax6Ji + + a^ij — ... . Диады в общем случае не коммутативны: ab Ьа.
Скалярное произведение а-b, векторное произведение аХЬ и диадное произведение ab представляют собой три типа произведения, которые можно образовать из двух векторов.
Диадиком D называется конечная сумма диад: 0 = 8^ + + а2Ь2+ ... + anbn. Соответствующий транспонированный диадик определяется как DT = Ь^ + Ь2а2 + ... + bnan. Диадик D симметричен, если D = DT, и антисимметричен, если D = — DT.
Любой диадик D можно представить в виде суммы: D = DS + Da, где Ds = (D + DT)/2 — симметричная часть диадика и D0 = (D - DT)/2 — антисимметричная часть диадика.
Из диадика D можно образовать скаляр scaD^a^b^ + а2 • Ь2 + ... и вектор vec D = aj X bi + а2 X b2 + ... .
Свертки вектора v и диадика D определяются по формулам v ■ D = (v • a,) b, + (v • а2) Ь2 + ... и D'V = a|(b|'V) + + a2(b2 • v) + ... . Векторные свертки v X D и D X v определяются аналогично.
Диадик I называется единичным диадиком и записывается в виде I = ii + jj + kk. Единичный диадик имеет свойство I.v = v l = v для любого вектора v. В тензорном анализе I играет роль, аналогичную роли 1 в арифметике.
Свертка диад ab и cd определяется» согласно правилу «изнутри наружу» (nesting convention), по формуле ab cd = = (bc)ad. Это правило при вычислении кратных сверток диадиков показывается на примере: (ab) X (cd) = (а • d) (b X с).
Из тензора Т можно образовать скаляр, называемый следом тензора Т и равный сумме диагональных элементов Т: tr Т = 7ff = Гц + ^ + Г33. След тензора является инвариантом, т. е. величиной, не зависящей от выбора направления осей системы координат. Принято записывать свертку Т • Т в виде Т2, Т • Т2 в виде Т3 и т. д. Тензор Т имеет три независимых инварианта, включая trT. В качестве двух других инвариантов могут быть взяты trT2 и trT3. Абсолютной величиной тензора называется величина
| Т | = V(T : Тт)/2.
Абсолютная величина симметричного тензора совпадает с инвариантом V(trT2)/2.
Альтернатором называется полиадик е = е;е/е6е^, где величины ець определены в разд. 8.6. Некоторые свертки с альтернатором называются дуалями. Для вектора A dual А = е • А= = — I X А; для тензора D dual D = — (е : D)/2 = (I X О)/2.
Векторные тождества
(ахв).с=а-(вхс) = (сха).в,
АХ(В ХС) = В(А • С) — С(А • В), (AXB)-(CXD) = (A-C)(B-D)-(A.D)(B-C),
VXVф = 0,
V.(VXA) = 0,
V(фIФ2) = ФlVф2-|-ф2Vф1,
V • (фА) = ф? • А + А • ¥ф,
V X (фА) =фV X А + X А,
V (А • В) = А • VB + В • VA + А X (V X В) + В X (V X А), V • (А X В) =: В • (V X А) — А • (V X В),
V X (А X В) = А (V • В) - В (V • А) + В • VA - А • VB,
V X (V X А) = V (V • А) - V2A,
А • VA = V (А • А)/2 - А X (V X А),
V • (VV1 X ^ф2) = 0.
Тензорные тождества
АВ С = А(В С), АВС = (А В) С,
V • (АВ) = А • VB +B(V • А),
А • Т = Тт А,
Ь А = А1 = А,
V • (ф!) = ¥ф,
у.(фТ) = ф¥-Т + Гф-Т,
V • То = — V2V X л, где Та = (Т-Тт)/2 и A=vecT.
Здесь А, В, С — произвольные векторные функции и Т — произвольная тензорная функция.
Интегральные теоремы
Теорема о дивергенции *>
для векторов ^ V • kdV = ^ А • dS,
для тензоров ^ V • Т dV = (^s dS • Т,
следствияV ф dK = ^) ф dS,
( VXkdV = & dSXA.
Jrj s
Теорема Стокса-.
$ (V X A) • dS = <§ A • dl. SL
Теорема переноса Рейнольдса для дифференцирования интеграла по объему:
-^ ф dV = $ 4£ dV + $ фу • dS. VVS
Теорема переноса для дифференцирования интеграла по поверхности;
-^ J А • dS = ^ [-^--A- Vv + A(V • у)]-dS = ss
= $[^r + VX(AXv) + v(V’A)]’dS- s
° Эта теорема обычно называется теоремой Гаусса — Остроградского.— Прим, перев.
Теорема переноса для интегралов по линии: TrVdl=^Tff+x^Ydt LL
Замечания и дополнительная литература
Источником здесь является книга (Gibbs, Wilson, 1909), основанная на лекциях Дж. Уилларда Гиббса.
Ясное введение в векторный и тензорный анализ имеется в книге (Mase, 1970). Аналогичный материал см. в книге (Bird, Stewart, Lightfoot, 1960). Для изучения на более высоком уровне можно использовать руководства (Aris, 1962) и Борисенко и Тарапова (1978).
ПРИЛОЖЕНИЕ 2.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕНЗОРА МАКСВЕЛЛОВСКИХНАПРЯЖЕНИИ: АНАЛИЗ ПЛОСКОЙ СТРУИ
Методы решения задач при помощи интегральных формулировок с использованием тензора максвелловских напряжений хорошо иллюстрируются на примере задачи о плоской струе (рис. А2.1). Такие струи часто возникают в распыляющих насадках, источниках, течениях пленок и т. п. Форма плоских струй существенно определяется условиями на краях струи, где образуются валики, в которые жидкость стремится собраться, если неприняты некоторые меры, чтобы струя двигалась неде- формированной, например при помощи проволочных направляющих.
На рис. А2.2 изображено поперечное к осевой скорости сечение струи. Дж. И. Тейлор (G. I. Taylor, 1959с) при помощи уравнения баланса импульса для контрольного объема, ограниченного поверхностями 1—2—3—4, вывел выражение для скорости края струи, когда приложенное поле равно нулю. Мелчер (Melcher, 1978) обобщил модель Тейлора, чтобы вывести скорость сжатия струи, когда этот процесс сдерживался электрическим полем. Здесь анализируется течение плоской струи в магнитном поле. На рис. А2.2 показано, что линии магнитного поля, порождаемые противоположно направленными магнитными брусками, входят в плоскую струю, которая считается состоящей из жидкости с большой магнитной проницаемостью. Заметим, что в области справа на рисунке, где нет струи, магнитное поле отсутствует, так как магниты расположены так, что одноименные полюса находятся друг против друга. Картина магнитного поля около струи имеет сложный вид; к счастью, детальная картина распределения поля здесь неважна.
Положение закругленного края струи с координатой х, как показано на рис. А2.2, для наблюдателя, движущегося вместе со струей со скоростью vz, является функцией времени т. Выведем уравнение баланса импульса (в проекции на ось х и в расчете на единицу длины контрольного объема вдоль оси струи) для контрольного объема с плоскими поверхностями 1—2—3—4. Если М— масса закругленного валика на краю
Рис. А2.1. Свободная плоская струя с постоянной толщиной t и осевой скоростью Vx, выходящая из щели. Силы поверхностного натяжения уменьшают ширину струи.
струи в момент времени т, то за бесконечно малый промежуток времени dx масса валика увеличится на бесконечно малую величину dM. Проекция на ось х импульса вещества внутри контрольного объема в момент времени т равна Р(т) = Мих, где vx — проекция на ось х скорости края струи. В следующий момент времени т + dx импульс будет равен Р(т + б?т) = = (М + dM) (vx + dux), где vx + dux — скорость закругленного валика струи с приращением массы dM. Таким образом, бесконечно малое изменение импульса в первом порядке, очевидно, равно dP = Mdvx + vxdM = d(Mvx). Закон сохранения импульса требует, чтобы скорость изменения во времени проекции импульса на ось х равнялась полной силе F, действующей на контрольный объем вдоль оси х:
F = ^=W =d_ZM^x\(A2J)
dx dx dx \ dx Jx
На контрольный объем действуют сила поверхностного натяжения 2си, направленная вдоль положительного направления оси
Рис. А2.2. Половина сечения плоской струи; течение в струе перпендикулярно плоскости рисунка.
к, и магнитная сила Fm, распределенная по поверхности 4 контрольного объема !). (Отметим, что сила, действующая на поверхность 2, равна нулю, так как поле здесь пренебрежимо мало, а магнитные силы, действующие на поверхности 1 и 3 (согласно рис. 3.7), направлены вдоль оси у и, следовательно, не входят в проекцию уравнения импульсов на ось х.) Сила Fm легко находится сверткой вектора п — единичной нормали к поверхности 4 с тензором максвелловских напряжений Т (3.15):
Fm = 26 (i • Т) = 26i • (р0НН - 'Ago#2!),(А2.2)
где Н = ±Я]. Таким образом, магнитная сила Fm определяется формулой
Vm=-^№bV,(А2.3)
!) Можно показать, что магнитная сила, действующая на сечение струи, образованное ее пересечением с плоской поверхностью 4 контрольного объема, равна нулю. В этом можно убедиться, вычислив тензор напряжений в магнитном поле, например, по уравнению (4.29) для вещества струи с такой большой проницаемостью, что Н в нем близко к нулю.
ее направление противоположно оси х. Подставив выражения для сил в уравнение (А2.1), получим уравнение движения края свободной плоской струи:
■£(«£•)= 2,-Po№» = F. (А2.4)
Из уравнения (А2.4) видно, что поверхностное натяжение стремится сблизить края струи, тогда как магнитная сила ослабляет эту тенденцию. Пока F > 0, т. е. пока сила поверхностного натяжения больше магнитной силы, края струи в виде валиков сближаются. Из проведенного анализа следует, что возможно остановить сближение краев струи (F = 0) и даже обратить их движение (F < 0).
Интегрируя один раз уравнение (А2.4), получим
Mvx-(Mvx)0 = Ft, (А2.5)
где индекс 0 означает, что значения величин в скобках берутся в момент времени т = 0. Уравнение (А2.5) утверждает, что изменение импульса контрольного объема (левая часть уравнения) равно импульсу силы (правая часть уравнения).
Если считать, что в начальный момент времени свободный край струи находится в точке х = 0, а масса Л1 = Мо = О, то закон сохранения массы требует, чтобы в процессе сближения краев струи М = pxt где р— плотность и t — толщина плоской струи. Таким образом, уравнение (А2.5) преобразуется к виду
Интегрируя уравнение (А2.6) с учетом условия х = 0 при т = 0, получим
х = VFM т = V(2а — ц0//26)/р/ т.(А2.7)
Скорость перемещения края плоской струи постоянна и определяется формулой
y* = ^V/fMr.(А2.8)
Применение интегральной формулировки закона сохранения импульса в этой задаче о плоской струе аналогично применению интегральных формулировок для импульса в обычной гидродинамике, например при приближенном анализе роста толщины пограничного слоя или истечения из отверстия.
Замечания и дополнительная литература
Фотографии плоских струй имеются в статьях Тейлора; см. (Taylor, 1959а—с). Кистлер (Kistler, 1983) недавно описал результаты численного моделирования динамики плоской струи, описываемой полным уравнением Навье — Стокса. В работе (Rosensweig, 1978а) интегральные формулировки с использованием тензора напряжений магнитной жидкости применялись для вывода величины удерживающей силы и величины жесткости феррогидростатического подшипника.
ЛИТЕРАТУРА
Abraham М., Becker R. 1937. The classical theory of electricity and magnetism. — London: Blackie and Son. [Имеется перевод с нем. изд.: Абра- гам М., Беккер Р. Теория электричества. Т. 1—2.— Л. — М/. Гостехиз- дат, 1939-1941.]
Abramowitz М., Stegun I. А. 1964. Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. — NBS Appl. Math. Ser. 55, U. S. Government Printing Office, Washington, D. С. [Имеется перевод: Абрамовиц M., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. — М.: Наука, 1979.]
Adelstein О., Lamotte A., Baddour R. F., Cotton С. К., Whiteside G. М. 1979. Preparation and magnetic filtration of polyacrylamide gels containing immobilized proteins and a ferrofluid. — J. Mol. Catal. 6, No. 3, p. 199— 225.
Albert R. J., Tien C. 1983. Filtration in magnetically stabilized fluidized beds. — Paper 45e. AIChE Annu. Meet. Washington, D. C.
Anderson T. B., Jackson R. 1967. A fluid mechanical description of fluidized beds — equation of motion. — Ind. Eng. Chern. 6, p. 527—539.
1968. Fluid mechanical description of fluidized beds. — Ind. Eng. Chern. Fundam., 7, No. 1, p. 12—21.
Andres U. 1976. Magnetic liquids. — Mater. Sci. Eng., 26, p. 269—275.
Aris R. 1962. Vectors, tensors, and the basic equations of fluid mechanics. — Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall.
Arnaldos J., Casal J., Puigjaner L. 1983. Magnetically stabilized fluidized bed. Characteristics and possible applications (на франц, яз.). —Powder Tech- nol., 36, No. 1, p. 33—38.
Ausloos M., Clippe P., Kowalski J. M., Pekalski A. 1980. Phase diagrams of model magnetofluids. — IEEE Trans. Magnetics MAG-16, No. 2, p. 233— 236.
Bacri J.-C., Salin D. 1983. Dynamics of the shape transition of a magnetic ferrofluid drop.—J. Phys. Lett., 44, p. 415—420.
1984. First order transition in the istability of a magnetic fluid interface. — J. Phys. Lett., 45, No. 11, p. 558—564.
Bailey R. L. 1983. Lesser known applications of ferrofluids. — J. Magnetism Magnetic Mater., 39, No. 1, 2, p. 178—182.
Barclay J. A. 1982. Use of a ferrofluid as the heat-exchange fluid in a magnetic refrigerator. — J. Appl. Phys., 53, No. 4, p. 2887—2894.
Barton A. F. M. 1983. Handbook of solubility parameters and other cohesion parameters. — N. W. Boca Raton, Florida: CRC Press.
Basaran O. A. 1984. Electrohydrodynamics of drops and bubbles. — Ph. D. thesis, University of Minnesota.
Batchelor G. K. 1970. An introduction to fluid dynamics. — London: Cambridge University Press. [Имеется перевод: Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир, 1973. — 77 с.]
Bates L. F. 1963. Modern magnetism. — New York: Cambridge University Press.
Bean С. Р., Livingston J. D. 1959. Syperparamagnetism. — J. Appl. Phys. 30, No. 4, p. 120S—129S.
Berkovsky В. M., Bashtovoi V. 1980. Instabilities of magnetic fluids leading to a rupture of continuity. — IEEE Trans. Magnetics, MAG-16, p. 288—297.
Berkovsky В. M., Vislovich A. N., Kashevsky В. E. 1980. Magnetic fluid as a continuum with internal degrees of freedom. — IEEE Trans. Magnetics, MAG-16, No. 2, p. 329—342.
Berkowitz A. E., Lahut J. A., Jacobs I. S., Levinson L. M., Forester D. W. 1975. Spin pinning at ferrite — organic interfaces. — Phys. Rev. Lett., 34, No. 10, p. 594—597.
Bird R. B., Stewart W. E., Lightfoot E. N. 1960. Transport phenomena. — New York: Wiley. [Имеется перевод: Берд P., Стьюарт Б., Лайтфут Е. Явления переноса. — М.: Химия, 1974.— 687 с.]
Birnbaum S., Larsson Р. О. 1982. Application of magnetic immobilized microorganisms: Ethanol production by Saccharomyces cerevisiae. — Appl. Bio- chem. Biotechnol., 7, p. 55—57.
Bitter F. 1931. On inhomogeneities in the magnetization of ferromagnetic materials.— Phys. Rev., 38, p. 1903.
1937. Introduction to ferromagnetism. — New York: McGraw-Hill.
Blums E. 1980. Some aspects of heat and mass transfer in magnetic fluids. — IEEE Trans. Magnetics, MAG-16, No. 2, p. 347—351.
Bozorth R. M. 1951. Ferromagnetism. — New York: Van Nostrand. [Имеется перевод: Бозорт P. M. Ферромагнетизм. — М.: ИЛ, 1956.]
Brancher J. Р. 1978. Waves and instabilities on a plane interface between ferrofluids and nonmagnetic fluids. — Thermomechanics of Magnetic Fluids, B. Berkovsky, ed. — Washington D. C.: Hemisphere, p. 181—194.
Brenner H. 1970. Rheology of a dilute suspension of dipolar spherical particles in an external field. — J. Colloid. Interface. Sci., 32, No. 1, p. 141—158.
1984. Antisymmetric stresses induced by the rigid-body rotation of dipolar suspensions: Vortex flows. — Int. J. Eng. Sci., 22, p. 645—682.
Brenner H., Weissman M. H. 1972. Rheology of a dilute suspension of dipolar spherical particles in an external field. II. Effects of rotary Brownian motion.—J. Colloid Interface Sci., 41, No. 3, p. 499—531.
Brevik I. 1982. Fluids in electric and magnetic fields: pressure variation and stability. — Canad. J. Phys., 60, p. 449—455.
Brown R., Horsnell T. S. 1969. The wrong way round. — Electr. Rev. (14 February), p. 235—236.
Brown W. F., Jr. 1951. Electric and magnetic forces: A direct calculation, I, II. — Amer. J. Phys., 19, No. 5, p. 290—304; 19, No. 6, p. 333—350.
Burns M. A., Graves D. J. 1984. Continuous affinity chromatography using a magnetically-stabilized fluidized bed. — Paper 96b, AIChE Annu. Meet., San Francisco.
Buyevich Yu A., Shchelchkova I. N. 1978. Flow of dense suspension. — Progr. Aerospace Sci., 18, p. 121—150.
Byrne J. V. 1977. Ferrofluid hydrostatics according to classical and recent theories of stresses. — Proc. IEE (London), 124, No. 11, p. 1089—1097.
Cabannes H. 1970. Theoretical magnetofluiddynamics. — New York: Academic.
Calugaru G., Badescu R., Luca E. 1976a. Magnotoviscosity of ferrofluids.— Rev. Roum. Phys., 21, No. 3, p. 305—308.
(1976b. A new aspect of the movement of ferrofluids in a rotating magnetic field. — Rev. Roumaine Phys., 21, No. 4, 439—440.
Caroli C., Pincus P. 1969. Response of an isolated magnetic grain suspended in liquid to a retating field. — Phys. Kondens. Mat., 9, p. 311.
Chandrasekhar S. 1961. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. — London: Oxford University Press.
Chantrell R. W., Bradbury A., Popplewell J., Charles S. W. 1982. Agglomeration formation in magnetic fluid.—J. Appl. Phys., 53, No. 3, p. 2742—2744.
Chantrell R. W., Popplewell J., Charles S. W. 1978. Measurements of particle size distribution parameters in ferrofluids. — IEEE Trans. Magnetics, MAG-14, No. 5, p. 975—977.
Charles S. W., Popplewell J. 1980. Ferromagnetic liquids. — In: Ferromagnetic Materials, vol. 2, E. P. Wohlfarth7 ed. — Amsterdam: North-Holland, p. 509—559.
Charles S. W., Rosensweig R. E. 1983. Magnetic fluids bibliography. — J. Magnetism and Magnetic Mater., 39, p. 192—220.
Chu В. T. 1959. Thermodynamics of electrically conducting fluids. — Phys. Fluids, 2, No. 5, p. 473—484.
Chung D. Y., Isler W. E. 1977. Sound velocity measurements in magnetic fluids. — Phys. Lett, A61, No. 6, p. 373—374.
Condiff D. W., Dahler J. S. 1964. Fluid mechanical aspects of antisymmetric stress. — Phys. Fluids, 7, No. 6, p. 842—854.
Cowley M. D., Rosensweig R. E. 1967. The interfacial stability of a ferromagnetic fluid. — J. Fluid Meeh., 30, No. 4, p. 671—688.
Curtis R. A. 1971. Flows and wave propagation in ferrofluids. — Phys. Fluids, 14, No. 10. p 2096—2102.
Dahler J. S., Scriven L. E. 1961. Angular momentum of continua. — Nature, 192, p. 36—37.
Theory of structured continua. I. General consideration of angular momentum and polarization. — Proc. Roy. Soc. London, A275, p. 504— 527.
de Gennes P. G., Pincus P. A. 1970. Pair correlations in a ferromagnetic colloid.— Phys. Kondens. Mat., 11, p. 189.
de Groot S. R., Mazur P. 1962. Non-equilibrium thermodynamics. — Amsterdam: North-Holland. [Имеется перевод: де Гроот С. Р., Мазур П. Неравновесная термодинамика. — М.: Мир, 1964.]
Drazin Р., Reid W. 1981. Hydrodynamic stability. — New York: Cambridge University Press.
Drew D. A. 1981. Частное сообщение.
Mathematical modeling of two-phase flow. — Ann. Rev. Fluid Meeh., 15, p. 261.
Edison T. 1887. Improvements in electrical generators. — British patent 16709, 13 June.
Einstein A (1906, 1911). On the movement of small particles suspended in a stationary liquid demanded by the molecular kinetic theory of heat. — Ann. Phys., 17, p. 549; 19, p. 3 71; 3 4, p. 591; см. также:
Investigations on the theory of the Brownian movement, R. Furth, ed. — New York: Dover
Elmore W. C. 1938a. Ferromagnetic colloid for studying magnetic structures. — Phys. Rev., 54, No. 4, p. 309—310.
. The magnetization of ferromagnetic colloids. — Phys. Rev., 54, No. 12, p. 1092—1095.
Essmann U., Trauble H. 1967. The direct observation of individual flux lines in type II superconductors. — Phys. Lett., A24, No. 10, p. 526—527.
Ezekiel F. D. 1975. Uses of magnetic fluids in bearings, lubrication and damping.—Meeh. Eng., 97, No. 7, p. 94ff.
Faber T. E. 1958 The intermediate state in superconducting plates. — Proc. Roy. Soc. London, A248, p. 460—481.
Fanucci J. В, Ness N., Yen R. H. 1979. On the formation of bubbles in gas-particulate fluidized eds. — J. Fluid Meeh., 94, Pt. 2, p. 353— 367.
Fay H., Quets J. M. 1980. Density separation of solids in ferrofluids with magnetic grids. — Separation Sci. Technol., 15, No. 3, p. 339—369.
Finlayson B. A. 1970. Convective instability of ferromagnetic fluids. — J. Fluid Meeh., 40, No 4, p. 753—767.
Gailities А. 1977. Formation of the hexagonal pattern on the surface of a ferromagnetic fluid in an applied magnetic fields. — J. Fluid Meeh., 82, No. 3, p. 401—413.
Gibbs J. W. 1906. The Scientific Papers of J. Willard Gibbs, Vol. 2. — Green: Longmans; republished. — New York: Dover, 1961. [Имеется также сб.: Гиббс Дж. В. Термодинамика, Статистическая механика. — М.: Наука, 1982.]
Gibbs J. W., Wilson Е. В. 1909. Vector analysis, 2nd ed. — New York: Scribner’s; republished. — New York: Dover, 1960.
Goldberg P., Hansford J., van Heerden P. J. 1971. Polarization of light in suspensions of small ferrite particles in a magnetic field. — J. Appl. Phys., 42, No. 10, p. 3874—3876.
Gotoh K., Isler W. E., Chung D. Y. 1980. Theory of ultrasonic attenuation in magnetic fluids. — IEEE Trans. Magnetics, MAG-16, No. 2, p. 211—213. Hagan P. S. 1981. Частное сообщение.
Hakim S. S., Higham J. B. 1962. An experimental determination of the excess pressure produced in a liquid dielectric by an electric field. — Proc. Phys. Soc., 80, p. 190—198.
Hall W. F., Busenberg S. N. 1969. Viscosity of magnetic suspension. — J. Chern. Phys., 51, No. 1, p. 137—144.
Hassett K. L., Stecher L. C., Hendrickson D. N. 1980. Polymer-anchored metal oxide particles. — I. Superparamagnetic magnetite microcrystals stabilized by lignosulfonate. — Inorg. Chern., 19, No. 2, p. 416—422.
Hathaway D. B. 1979. Use of ferrofluid in moving-coil londspeakers. — dB-Sound Eng. Mag., 13, No. 2, p. 42—44.
Hayes C. F. 1975. Association in a ferromagnetic colloid. — J. Colloid Interface Sci., 52, No. 2, pp. 239—243.
Heck C. 1974. Magnetic materials and their applications. — New York: Grane, Russak. [Имеется сокращенный перевод: Хек К. Магнитные материалы и их техническое применение. — М.: Энергия, 1973.]
Helmholtz Н. 1882. Abhandlungen I. — Ann. Phys. Chern., 13, p. 798.
Hess P. H., Parker P. H., Jr. 1966. Polymers for stabilization of colloidal cobalt particles. — J. Appl., Polymer Sci., 10, p. 1915—1927.
Higgins B. G., Scriven L. E. 1979. Interfacial shape and evolution equations for liquid films and other viscocapillary flows. — Ind. Eng. Chern. Fundam., 18, No. 3, p. 208—215.
Hsieh R. К. T. 1980. Continuum mechanics of a magnetically saturated fluid.— IEEE Trans. Magnetics, MAG-16, No. 12, p. 207—210.
Hughes W. F., Young F. J. 1966. Electromagnetodynamics of fluids. — New York: Wiley.
Ishii M. 1975. Thermo-fluid dynamic theory of two-phase flow. — Eyrolles, France.
Ivanov D. G., Zrunchev I. A. 1969. A new method of ammonia synthesis at high pressures involving fluidization of the catalyst in a magnetic field.— C. A. Acad. Bulgare Sci., 22, No. 12, p. 1405—1408.
Jackson J. D. 1975. Classical electrodynamics. — New York: Wiley. [Имеется перевод: Джексон Дж. Классическая электродинамика. — М.: Мир, 1965.]
Jackson R. 1971. Fluidmechanical theory. — In: Fluidization, J. F. Davidson and D. Harrison, eds. — London: Academic, p. 65—119.
Jacobs I. S., Bean С. P. 1963. Fine particles, thin films, and exchange anisotropy.—In: Magnetism, Vol. Ill, G. T. Rado and H. Suhl, eds — New York: Academic Press.
Jeans J. 1925. The mathematical theory of electricity and magnetism. — London: Cambridge University Press.
Jenkins J. T. 1971. Some simple flows of a para-magnetic fluad. — J. Physique, 32, p. 931.
Jones Т. В. 1978. Theory and application of ferrofluid seals.— In: Thermomechanics of Magnetic Fluids, B. Berkovsky, ed. — Washington D. C.: Hemisphere, p. 255—298.
Jones T. B., Bliss G. W. 1977. Bubble dielectrophoresis. — J. Appl. Phys., 48, No. 4, p. 1412—1417.
Jordan P. C. 1973. Association phenomena in a ferromagnetic colloid. — Molecular Phys., 25, No. 4, p. 961—973.
Kaiser R., Miskolczy G. 1970a. Magnetic properties of stable dispersions of subdomain magnetite particles. — J. Appa. Phys., 41, No. 3, p. 1064— 1072.
. Some applications of ferrofluid magnetic colloids. — IEEE Trans. Magnetics, MAG-6, No. 3, p. 694—698.
Kamiyama S., Koike K., Oyama T. 1983. Pipe flow resistance of magnetic fluid in a nonuniform transverse magnetic field. — J. Magnetism and Magnetic Mater., 39, No. 1, 2, p. 23—26.
Kaplan B. Z., Jacobson D. M. 1976. Electrical properties of magnetizable liquids.— Nature, 259, No. 5545, p. 654—656.
Karim S. M., Rosenhead L. 1952. The second coefficient of viscosity of liquids and gases. — Rev. Mod. Phys., 24, No. 2, p. 108—116.
Kellog O. D. 1953. Foundations of potential theory. — New York: Dover.
Kelvin, Lord. 1910. Mathematical and physical papers. — New York: Dover.
Kendra M. 1982. Частное сообщение.
Khalafalla S. E., Reimers G. W. 1973a. Separating non-ferous fluid metals in incinerator residue using magnetic fluid. — Separation Sci., 8, 161—178. 1973b. Magnetofluids and their manufacture. — U. S. Patent 3,764,540.
Production of magnetic fluids by peptization techniques —U. S. Patent 3,843,540.
Kistler S. F. 1983. The fluid mechanics of curtain coating and related viscous free surface flows. — Ph. D. thesis, University of Minnesota.
Korteweg D. J. 1880. Ann. Phys. Chern., 9, p. 48—61.
Kuhn L, Myers R. A. 1979. Ink-jet printing. — Sci. Amer., 240, No. 4, p. 162ff.
Kunii D., Levenspiel O. 1977. Fluidization engineering. — New York: Wiley.
Kruyt H. R. 1952. Colloid Science. — New York: Elsevier, Vol. I.
Lalas D. P., Carmi S. 1971. Thermoconvective stability of ferrofluids. — Phys. Fluids, 14, No. 2, p. 436—437.
Lamb H. 1945. Hydrodynamics. — New York: Dover. [Имеется перевод: Ламб Г. Гидродинамика. — М. — Л.: Гостехиздат, 1947.]
Lee W.-K. 1983. The rheology of magnetically stabilized fluidized solids.— AIChE Symp. Ser. 222, p. 79—87.
Levi A. C., Hobson R. F., McCourt F. R. 1973. Magnetoviscosity of colloidal suspensions. — Canad. J. Phys., 51, p. 180—194.
Lewis D. J. 1950. The instability of liquid surfaces when accelerated in a direction perpendicular to their planes. II. — Proc. Roy. Soc. London, Al 17, p. 81—96.
Lucchesi P. J., Hatch W. H., Mayer F. X., Rosensweig R. E. 1979. Magnetically stabilized beds — new gas solids contacting technology. — Paper SP-4 in Proc. 10th World Petroleum Congr. Heyden, Philadelphia Pa., Vol. 4, p. 419—425 (discussion).
Mackor E. L. 1951. A theoretical approach of the colloidal-chemical stability of dispersions in hydrocarbons. — J. Colloid. Sci., 6, 492—495.
Mailfert R., Martinet A. 1973. Flow regimes for a magnetic suspension under a rotating magnetic field.— J. Phys., 34, No. 203, p. 197—202.
Malik S. K., Singh M. 1984. Nonlinear dispersive instabilities in magnetic fluids. — Quart. Appl. Math., 42, No. 3, p. 359—371.
Martinet A. 1974. Birefringence and linear dichroism of ferrofluids in magnetic field. — Rheology Acta, 13, No. 2, p. 260—264.
Experimental evidences of static and dynamic anisotropies of magnetic colloids. — In: Thermomechanics of Magnetic Fluids, B. Berkovsky, ed. — Washington D. C: Hemisphere, p. 97—114.
Ferrofluids. 16-mm film, 25 min: Serdav, 27 rue Paul Bert 94200, Ivry, France (French and English versions).
The case of ferrofluids. — In: Aggregation Processes in Solution.— New York: Elsevier, Chapter 18, p. 1—41.
Maruno S., Yubakami K., Soga S. 1983. Plain paper recording process using magnetic fluids. — J. Magnetism and Magnetic Mater, 39, No. 1, 2, p. 187—189.
Mase G. E. 1970. Theory and problems of continuum mechanics. — New York: McGraw-Hill. [Имеется перевод: Мейз Дж. Э. Теория и задачи механики сплошных сред. — М.: Мир, 1974.]
Massart R. 1981. Preparation of aqueous magnetic liquids in alkaline and acidic media. — IEEE Trans. Magnetics, MAG-17, No. 2, p. 1247— 1248.
Matsuki H., Yamasawa K-, Murakami K. 1977. Experimental considerations on a new automatic cooling device using temperature-sensitive magnetic fluid. — IEEE Trans. Magnetics, MAG-13, No. 5, p. 1143—1145.
McNab T. K., Fox R. A., Boyle J. F. 1968. Some magnetic properties of magnetite (FesO4) microcrystals. — J. Appl. Phys., 39, No. 12, p. 5703— 5711.
McTague J. P. 1969. Magnetoviscosity of magnetic colloids. — J. Chern. Phys., 51, No. 1, p. 133—136.
Mehta R. V. 1978. Optical properties of certain magnetic fluids. — In: Thermomechanics of Magnetic Fluids, B. Berkovsky, ed. — Washington D. C.: Hemisphere, p. 139—148.
Melcher J. R. 1963. Field-coupled surface waves. — Cambridge, Massachusetts: MIT Press.
The electrohydrodynamics of G. I. Taylor. — J. Electrostatics, 5, p. 1—9.
Continuum Electromechanics.— Cambridge, Massachusetts: MIT Press. Melcher J. R., Taylor G. I. 1969. Electrohydrodynamics: a review of the role of interfacial shear stresses. — In: Annual Reviews of Fluid Mechanics, vol. I, W. R. Sears and M. Van Dyke, eds. — Palo Alto, California: Annual Reviews, p. Ill—146.
Mellilo L, Raj K. 1981. Ferrofluids as a means of controlling woofer design parameters. — J. Audio Eng. Soc. (USA), 29, No. 3, p. 132—138.
Moon P., Spencer D. E. 1961. Field theory for engineers. — Princeton, New Jersey: Van Nostrand.
Morimoto Y., Akimoto M., Yotsumoto Y. 1982. Dispersion state of protein-stabilized magnetic emulsions. — Chern. Pharm. Bull., 30, No. 8, p. 3024— 3027.
Moskowitz R. 1975. Dynamic sealing with magnetic fluids. — ASLE Trans, 18, No. 2, p. 135—143.
Moskowitz R., Rosensweig R. E. 1967. Nonmechanical torque-driven flow of a ferromagnetic fluid by an electromagnetic field. — Appl. Phys. Lett., 11, No. 10, p. 301—303.
Neal J. A. 1977. Aryl sulfonate-aldehyde composition and process for its preparation.—U. S. Patent 4,018,691.
Neel L. 1949. Effect of thermal fluctuations of the magnetization of small particles. — C. r. Acad. Sci. Paris, 228, p. 664.
1953. Rev. Mod. Phys., 25, p. 293.
Neuringer J. L., Rosensweig R. E. 1964. Ferrohydrodynamics. — Phys. Fluids, 7, No. 12, p. 1927—1937.
Newbower R. S. 1972. A new technique for circulatory measurements employing magnetic fluids tracers. — In: Proc. 1972 Biomedical Symp., San Diego.
O’Grady К., Bradbury A., Charles S. W., Menear S., Popplewell J., Chant- rell R. W. 1983. Curie — Weiss behavior in ferrofluids. — J. Magnetic Mater. (February), p. 31—34.
Panofsky W. K., Phillips M. 1962. Classical electricity and magnetism. — Reading, Massachusetts: Addison-Wesley. [Имеется перевод: Пановский В., Филлипс М. Классическая электродинамика. — М.: Физматгиз, 1963.]
Papell S. S. 1965. Low viscosity magnetic fluid obtained by the colloidal suspension of magnetic particles. — U. S. Patent 3,215,572.
Papell S. S., Faber О. C., Jr. 1966. Zero and reduced gravity simulation of magnetic colloid pool boiling system. — Rep. NASA TN-D-3288.
Papirer E., Horny P., Balard H., Anthore R., Petipas R., Martinet A. 1983. The preparation of a ferrofluid by decomposition of dicobalt octacarbonyl. I. Experimental parameters. II. Nucleation and growth of particles.— J. Colloid Interfacial Sci., 94, No. 1, p. 207—219, 220.
Pearson J. R. A. 1958. On convection cells induced by surface tension. — J. Fluid Meeh., 4, p. 489—500.
Penfield P., Haus H. A. 1967. Electrodynamics of moving media. Cambridge, Massachusetts: MIT Press.
Perry M. P., Jones T. B. 1976. Dynamic loading of a single-stage ferromagnetic liquid seal. — J. Appl. Phys., 49, No. 4, p. 2334—2338.
Peterson E. A., Krueger D. A. 1977. Reversible field induced agglomeration in magnetic colloids. — J. Colloid Interface Sci., 62, No. 1, p. 22—34.
Pimbley G. H., Jr. 1976. Stationary solutions of Rayleigh — Taylor instability — J. Math. Anal. Appl., 55, p. 170—206.
Popplewell J., Charles S. W, Chantrell R. 1977. The long term stability of magnetic liquids for energy conversion devices. — Energy Convers., 16, No. 3, p. 133—138.
Popplewell J., Al-Qenaie A., Charles S. W., Moskowitz R., Raj K. 1982. Thermal conductivity measurements of ferrofluids. — Colloid Polymer Si., 260, No. 3, p. 333—338.
Raj K. 1981. Частное сообщение.
Rayleigh, Lord. 1878. On the instability of jets. — Proc. London Math. Soc., 10, p. 4; republished: Theory of Sound. — New York: Dover. [Имеется перевод: Рэлей Дж. В. С. Теория звука. Т. 1, 2. — М.: Гостехиздат, 1955.]
Investigation of the character of the equilibrium of an incompressible heavy fluid of variable density. — Proc. London Math. Soc., 14, p. 170— 177; republished: Scientific Papers. — Cambridge, England: Cambridge University, 1900, Vol. 2, p. 200—207.
On convective currents in a horizontal layer of fluid when the higher temperature is on the under side. — Philos. Mag., 32, p. 529—546; Reprinted in Scientific Papers: Cambridge, England, 1920, Vol. 6, pp. 432—446.
Reitz J. R., Milford F. J., Christy R. W. 1979. Foundations of electromagnetic theory. — Reading, Massachusetts: Addison-Wesley.
Resler E. L., Jr., Rosensweig R. E. 1964. Magnetocaloric power. — AIAA Journal, 2, No. 8, p. 1418—1422.
Regenerative thermomagnetic power. — J. Eng. Power., 89, p. 399— 406.
Romankiw L. T., Slusarczak M., Thompson D. A. 1975. Liquid magnetic bubbles.— IEEE Trans. Magnetics, MAG-11, No. 1, p. 25—28.
Rosensweig R. E. 1966a. Magnetic fluids. — Int. Sci. Tech. (July), p. 48—56. 1966b. Fluidmagnetic buoyancy. — AIAA Journal, 4, No. 10, p. 1751—1758. 1966c. Buoyancy and stable levitation of a magnetic body immersed in a magnetizable fluid. — Nature (London), 210, No. 5036, p. 613—614.
Material separation using ferromagnetic liquid techniques. — U. S. Patent 3,700,595.
Method of substituting one ferrofluid solvent for another. — U. S. Patent 3,531,413.
Magnetic fluid seals. — U. S. Patent 3,620,584.
Ferrofluid compositions and method of making same. — U. S. Patent 3,917,538.
1978a. Phenomena and relationships of magnetic fluid bearings. — In: Thermomechanics of Magnetic Fluids, B. Berkovsky, ed. — Washington, D. C.: Hemisphere, p. 231—254.
1978b. Process for perating a magnetically stabilized fluidized bed. — U. S. Patent 4,115,927. Reissue Patent 31,439,15 November 1983.
1979a. Fluid dynamics and science of magnetic liquids. — In Advances in Electronics and Electron Physics, Vol. 48, L. Marton, ed. — New York: Academic Press, p. 103—199.
1979b. Fluidization: Hydrodynamic stabilization with a magnetic field.— Science, 204 (6 April), p. 57—60.
1979c. Magnetic stabilization of the state of uniform fluidization. — Ind. Eng. Chern. Fundam., 18, No. 3, p. 260—269.
1982a. Magnetic fluids. — Sci. Amer., 247, No. 4, p. 136—145, 194.
1982b. Pattern formation in magnetic fluids. — In: Evolution of order and chaos in physics, chemistry and biology, H. Haken, ed. — Berlin: Spring- er-Verlag, p. 52—64.
Rosensweig R. E., Jerauld G. R., Zahn M. 1981. Structure of magnetically stabilized fluidized solids. — In: Continuum Models of Discrete Systems, Vol. 4, O. Brulin and R. К. T. Hsieh, eds. — Amsterdam: North-Holland, p. 137—144.
Rosensweig R. E., Kaiser R. 1967. Study of ferromagnetic liquids, phase I. — NTIS Rep. No. NASW-1219; NASA Rep. NASA-CR-91684. NASA Office of Advanced Research and Technology, Washington, D. C.
Rosensweig R. E., Kaiser R., Miskolczy G. 1969. Viscosity of magnetic fluid in a magnetic field. — J. Colloid Interface Sci., 29, No. 4, p. 680—686.
Rosensweig R. E., Miskolczy G., Ezekiel F. D. 1968. Magnetic fluids seals.— Mach. Des., 40 (28 March), p. 145—150.
Rosensweig R. E., Nestor J. W., Timmins R. S. 1965. Ferrohydrodynamic fluids for direct conversion of heat energy. — In: Mater. Assoc. Direct Energy Convers. Proc. Symp. AIChE-I. Chern. Eng. Ser. 5, p. 104—118; discussion, p. 133—137.
Rosensweig R. E., Siegell J. H., Lee W. K., Mikus T. 1981. Magnetically stabilized fluidized solids. — AIChE Symp. Series, 77, No. 205, p. 8—16.
Rosensweig R. E., Zahn M., Lee W. K., Hagan P. S. 1983. Theory and experiments in the mechanics of magnetically stabilized fluidized solids. — In: Theory of Dispersed Multiphase Flow, R. E. Meyer, ed. — New York: Academic, p. 359—384.
Rosensweig R. E., Zahn M., Shumovich R. 1983. Labyrinthine instability in magnetic and dielectric fluids. — J. Magnetism and Magnetic Mater., 39, No. 1, 2, p. 127—132.
Rosensweig R. E., Zahn M., Vogler T. 1978. Stabilization of fluid penetration through a porous medium using a magnetizable fluid. — In: Thermomechanics of Magnetic Fluids, B. Berkovsky, ed. — Washington, D. C.: Hemisphere, p. 195—211.
Roth J. R., Rayk W. D., Reinman J. J. 1970. Technological problems anticipated in the application of fusion reactors to propulsion and power generation. — Rep. NASA-TMX-2106.
Russakoff G. 1970. A derivation of the makroscopic Maxwell equations. — Amer. J. Phys., 38, p. 1188—1195.
Saffman P. G., Taylor G. I. 1958. The penetration of a fluid into a porous medium or Hele-Shaw cell containing a more viscous liquid. — Proc. Roy. Soc. London, A245, p. 312—329.
Sano К., Doi М. 1983. Theory of agglomeration of ferromagnetic particles in magnetic fluids. — J. Phys. Soc. Japan, 52, No. 8, p. 2810—2815.
Schaufeld J. 1982. Ferrofluid inertia dampers enhance stepper motor performance.— Design News (5 April).
Scholten P. C. 1978. Colloid chemistry of magnetic fluids. — In: Thermomechanics of Magnetic Fluids, B. Berkovsky, ed. — Washington, D. C.: Hemisphere, p. 1—26.
1983. How magnetic can a magnetic fluid be? — J. Magnetism and Magnetic Mater., 39, No. 1, 2, p. 99—105.
Scriven L. E. 1960. Dynamics of a fluid interface. — Chern. Eng. Sci., 12, p. 98—108.
Scriven L. E., Sternling С. V. 1964. On cellular convection driven by surfacetension gradients: effects of mean surface tension and surface viscosity.— J. Fluid Meeh., 19, p. 321—340.
Serrin J. 1959. Mathematical principles of classical fluid mechanics. — In: Handbuch der Physik, Vol. 8:1, Fluid Dynamics 1, S. Fliigge, ed.— Berlin: Springer-Verlag, p. 125—263. [Имеется перевод: Серрин Дж. Математические основы классической механики жидкости. — М.: ИЛ, 1963.]
Sharma V. К., Waldner F. 1977. Superparamagnetic and ferrimagnetic resonance of ultrafine magnetite (Fe3O4) particles in ferrofluids. — J. Appl. Phys., 48, No. 10, p. 4298—4302.
Shimoiizaka J., Nakatsuka K., Chubachi R. 1978. Rheological characteristics of water base magnetic fluids. — In: Thermomechanics of Magnetic Fluids, B. Berkovsky, ed. — Washington, D. C.: Hemisphere, p. 67—76.
Shimoiizaka J., Nakatsuka K., Fujita T., Kounosu A. 1980. Sink-float separators using permanent magnets and water based magnetic fluid. — IEEE Trans. Magnetics, MAG-16, No. 2, p. 368—371.
Shliomis M. I., Raikher Yu. L. 1980. Experimental investigations of magnetic fluids. — IEEE Trans. Magnetics, MAG-16, No. 2, p. 237—250.
Siegell J. H., Coulaloglou C. A. 1984. Crossflow magnetically stabilized fluidized beds. — Paper 106d. AIChE Annu. Meet. San Francisco.
Skjeltorp A. T. 1983a. One- and two-dimensional crystallization of magnetic holes. — Phys. Rev. Lett, 51, No. 25, p. 2306—2309.
1983b. Studies of two-dimensional lattices using ferrofluid. — J. Magnetism and Magnetic Mater., 3 7, p. 253—256.
Slepian J. 1950. Electromagnetic pondermotive force within material bodies.— Proc. Natl. Acad. Sci. (US), 36, p. 485—497.
Sternling С. V., Scriven L. E. 1959. Interfacial turbulence: hydrodynamic instability and the Marangoni effect. — AIChE J., 6, p. 514—523.
Stratton J. A. 1941. Electromagnetic theory. — New York: McGraw-Hill. [Имеется перевод: Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М. — Л.: Гостехиздат, 1948.]
Taketomi S. 1983. Magnetic fluid anomalous pseudo-Cotton Mouton effects about 107 times larger than that of nitrobenzene. — Japan. J. Appl. Phys. 22, No. 7, p. 1137—1143.
Tarapov I. Ye., Patsegon N. F. 1980. Nonlinear waves in conductive magnetizable fluid. — IEEE Trans. Magnetics, MAG-16, No. 2, p. 309—316.
Taylor G. I. 1950. The instability of liquid surfaces when accelerated in a direction perpendicular to their planes. — Proc. Roy. Soc. London, A201, p. 192—196.
1959a. The dynamics of thin sheets of fluid. I. Water bells. — Proc. Roy. Soc. London, A253, p. 289—295.
1959b. The dynamics of thin sheets of fluid. II. Waves on fluid sheets.— Proc. Roy. Soc. London, A253, p. 296—312.
1959c. The dynamics of thin sheets of fluid. III. Desintegration of fluid sheets. — Proc. Roy. Soc. London, A253, p. 313—321.
Taylor G. L, McEwan A. D. 1965. The stability of a horizontal fluid interface in a vertical electric field. — J. Fluid Meeh., 22, Pt. 1, p. 1—16.
Tesla N. 1890. Pyromagnetic-electric generator. — U. S. Patent 428,057,13 May.
Thiele A. A. 1969. The theory of cylindrical magnetic domains. — Bell Syst Tech. J., 48, No. 10, p. 3287—3335.
Thomas J. R. 1966. Preparation and magnetic properties of colloidal cobalt particles. — J. Appl. Phys., 37, No. 7, p. 2914—2915.
Tritton D. J. 1977. Physical fluid dynamics. — New York: Van Nostrand Reinhold.
Truesdell C. 1954. The kinematics of vorticity. — Bloomington: Indiana University Press.
Truesdell C., Toupin R. 1960. Charge and magnetic flux. — In: Handbuch der Physik 3: 1, The Classical Field Theories, S. Flugge, ed. — Berlin: Spring- er-Verlag, p. 660.
Tsvetkov V. N. 1939. Bewegung anisotroper Flussigkeiten im rotierenden Magnetfield (на нем. яз.).— Acta Physicochima USSR, 10, S. 555— 568.
Twombly E., Thomas J. W. 1980. Mathematical theory of nonlinear waves on the surface of a magnetic fluid. — IEEE Trans. Magnetic MAG-16, p. 214—220.
Van der Voort E. 1969. Ideal magnetocaloric conversion. — Appl. Sci. Res., 20, No. 2, 3, p. 98—114.
Whitaker S. 1966. The equations of motion in porous media. — Chern. Eng. Sci., 21, p. 291—300.
Wolfe R., North J. C. 1974. Planar domains in ion-implanted magnetic bubble garnets revealed by ferrofluid. — Appl. Phys. Lett., 25, No. 2, p. 122— 124.
Zahn M. 1979. Electromagnetic field theory.— New York: Wiley.
Zahn M., Rhee S.-W. 1982. Electric field effects on the equillibrium and small signal stabilization of electrofluidized beds. — Conf. Record, IEEE Trans. Ind. Appl. Soc., 82-CH1817-6, p. 1027—1034.
Zahn M., Rosensweig R. E. 1980. Stability of magnetic fluid penetration through a porous medium with uniform magnetic field oblique to the interface.— IEEE Trans. Magnetics, MAG-16, No. 2, p. 275—282.
Zahn M., Shenton К. E. 1980. Magnetic fluids bibliography. — IEEE Trans. Magnetics, MAG-16, No. 2, p. 387—415.
Zelazo R. E., Melcher J. R. 1969. Dynamics and stability of ferrofluids: surface interactions. — J. Fluid Meeh., 39, No. 1, p. 1—24.
Архипенко В. И., Барков Ю. Д., Баштовой В. Г. 1978. Исследование формы капли намагничивающейся жидкости в однородном магнитном поле. — Магнитная гидродинамика, 3, с. 131 — 134.
Баштовой В. Г., Краков М. С. 1978. Поверхностная неустойчивость неизотермических слоев намагничивающейся жидкости. — Магнитная гидродинамика, 3, с. 25—32.
Берковский Б. М., Орлов Л. П. 1973. К исследованию формы свободной поверхности и аналога пинч-эффекта в намагничивающихся жидкостях. — Магнитная гидродинамика, 4, с. 38—44.
Бибик Е. Е., Матыгуллин Б. Я., Райхер Ю. Л., Шлиомис М. И. 1973. Магнитостатические свойства коллоидов магнетита. — Магнитная гидродинамика, 1, с. 68—72.
Болога М. К., Сюткин С. В. 1977. Влияние электромагнитного поля на структурные гидродинамические свойства псевдоожиженного слоя. — Электронная обработка материалов, 1, с. 37—42.
Борисенко А. И., Тарапов И. Е. 1978. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. — Харьков: Вища школа.
Гайлитис А. 1969. Форма поверхностной неустойчивости ферромагнитной жидкости. — Магнитная гидродинамика, 1, с. 68—70.
Глазов О. А. 1976. О вовлечении в движение ферромагнитной жидкости бегущим магнитным полем. — Магнитная гидродинамика, 4, с. 19—23.
Губанов А. И. 1960. Квазиклассическая теория аморфных ферромагнетиков.— Физ. твердого тела, 2, № 3, с. 502—505.
Зайцев В. М., Шлиомис М. И. 1969а. Увлечение ферромагнитной суспензии вращающимся полем. — Ж. прикл. мех. и техн, физ., 5, с. 11—16.
19696. Характер неустойчивости поверхности раздела двух жидкостей в постоянном поле. — Докл. АН СССР, 188, № 6, с. 1261 — 1262.
Каган И. Я., Рыков В. Г., Янтовский Е. И. 1973. О течении диэлектрической ферромагнитной суспензии во вращающемся магнитном поле. — Магнитная гидродинамика, 2, с. 135—137.
Кирко И. М., Филиппов М. В. 1960. Особенности взвешенного слоя ферромагнитных частиц в магнитном поле. — Ж. техн, физ., 30, № 9, с. 1081 — 1084.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. 1954. Механика сплошных сред. — М/. Гостех- теориздат.
Электродинамика сплошных сред. — М.: Гостехтеориздат.
Марценюк Ю., Райхер Ю. Л., Шлиомис М. И. 1973. К кинетике намагничивания суспензий ферромагнитных частиц. — Ж. экспер. и теорет. физ., 65, № 8, с. 834-841.
Налетова В. А. 1982. Стабилизация барботажных процессов электрическим полем. Изв. АН СССР, сер. МЖГ, 4, с. 5—12.
Суязов В. М. 1982. К теории эффективной вязкости магнитных жидкостей.
Основные уравнения теории. — Магнитная гидродинамика, 2, с. 3—16.
1983. К гидродинамике ферромагнитной эмульсии и эффективной вязкости. II. Сдвиговое течение. — Магнитная гидродинамика, 3, с. 12—24.
Тактаров Н. Г. 1975. Распад струи магнитной жидкости. — Магнитная гидродинамика, 2, с. 35—38.
Филиппов М. В. 1960. Влияние магнитного поля на суспензию ферромагнитных частиц в слое. Прикл. магнитогидродинамика.—Тр. Ин-та физ. АН Латв. ССР, т 12, с. 215—236.
Филиппов М. В. 1961. Трение и расширение псевдоожиженного слоя из магнетита в магнитном поле. — Тр. Ин-та физ. АН Латв. ССР, т. 12, с. 47-51.
Френкель Я. И. 1975. Кинетическая теория жидкостей. — Л.: Наука.
Цветков В. Н. 1939. Движение анизотропных жидкостей во вращающемся магнитном поле. — Ж. экспер. и теорет. физ., 9, с. 602—605.
Цеберс А. О., Майоров М. М. 1980. Магнитостатические неустойчивости в плоских слоях намагничивающихся жидкостей. — Магнитная гидродинамика, 1, с. 27—35.
Шапошников И. Г, Шлиомис М. И. 1975. Гидродинамика намагничивающихся сред. — Магнитная гидродинамика, 1, с. 47—58.
Шлиомис М. И. 1971. Эффективная вязкость магнитных суспензий. — Ж. экспер. и теорет. физ., 61, № 12, с. 2411—2418.
1974а. Магнитные жидкости. — Усп. физ. наук, 112, № 3, с. 427—458.
19746. Некоторые гиромагнитные эффекты в жидком парамагнетике. — Ж. экспер. и теорет. физ, 39, № 4, с. 701—704.
1975. Нелинейные эффекты в суспензии ферромагнитных частиц при воздействии вращающегося магнитного поля. — Докл. АН СССР, 218, №5, с. 1071-1074.
Шульман 3. П., Кордонский В. И., Демчук С. А. 1977. Влияние неоднородного вращающегося магнитного поля на течение и теплообмен в ферросуспензиях.— Магнитная гидродинамика, 4, с. 30—34.
Дополнительная литература с комментариями
Наиболее полное изложение механики сплошных сред, в том числе и гидродинамики, дано в монографии Л. И. Седова (1986). В качестве руководств по электродинамике сплошных сред и магнетизму можно рекомендовать монографии И. Е. Тамма (1966) и Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшица (1982) и С. В. Вонсовского (1971). Основы магнитной гидродинамики и электрогидродинамики изложены в книгах А. Г. Куликовского и Г. А. Любимова (1962), А. Б. Ватажина, В. И. Грабовского, В. А. Лихтера и В. И. Шульгина (1983), В. В. Гогосова, В. А. Полянского (1976).
Подробный обзор работ по гидродинамике и термодинамике намагничивающихся дисперсных сред и магнитных жидкостей, изучению свойств и течений таких сред дан в книге В. В. Гогосова, В. А. Налетовой и Г. А. Шапошниковой (1981).
Вывод замкнутой системы уравнений, описывающей движение дисперсных намагничивающихся сред, в частности магнитных жидкостей, с использованием общих методов механики сплошных сред и термодинамики необратимых процессов приведен в работах В. В. Гогосова, В. А. Налетовой и Г. А. Шапошниковой (1979, 1980, 1981). В этих же работах обсуждается вид формулы для тензора напряжений и силы, действующей на намагничивающиеся среды в различных частных случаях.
Модель магнитной жидкости с учетом образования структур из магнитных частиц, позволяющая описывать реологические свойства жидкости, построена в работах В. В. Кирюшина (1983а, б).
Фигуры равновесия магнитной жидкости в магнитных полях рассматривались в работе В. В. Кирюшина и Чыонг За Биня (1980).
Вопросы, связанные с применением и исследованием свойств магнитной жидкости, изложены в монографиях В. Е. Фертмана (1978), В. Г. Баштового, Б. М. Берковского, А. Н. Висловича (1985).
Проблемы получения различного типа стабильных магнитных жидкостей излагаются в работе Е. Е. Бибика, О. В. Бузунова (1979).
Реология магнитных суспензий исследовалась 3. П. Шульманом и В. И. Кордонским (1982).
Вопросы тепло- и массопереноса в магнитных жидкостях освещены в монографии Э. Я. Блума, Ю. А. Михайлова, Р. Я. Озолса (1980).
Баштовой В. Г., Берковский Б. М., Вислович А. Н. 1985. Введение в термомеханику магнитных жидкостей. — М.: Институт высоких температур АН СССР.
Бибик Е. Е., Бузунов О. В. 1979. Достижения в области получения и применения магнитных жидкостей. — М.: ЦНИИ «Электроника».
Блум Э. Я., Михайлов Ю. А., Озолс Р. Я. 1980. Тепло- и массообмен в магнитном поле. — Рига: Зинатне.
Ватажин А. Б., Грабовский В. И., Лихтер В. А., Шульгин В. И. 1983. Электрогазодинамические течения. — М.: Наука.
Вонсовский С. В. 1971. Магнетизм. — М.: Наука.
Гогосов В. В., Васильев Н. Л., Тактаров Н. Г, Шапошникова Г. А. 1975. Уравнения гидродинамики поляризующихся и намагничивающихся многокомпонентных и многофазных сред. Разрывные решения Исследование разрывных решений со скачком магнитной проницаемости. — М.: Изд-во МГУ.
Гогосов В. В., Мартынов С. И., Цуриков С. Н., Шапошникова Г. А. 1987. Распространение ультразвука в магнитной жидкости. 1. Учет агрегирования частиц; вывод и анализ дисперсионного уравнения. — Магнитная гидродин., № 2, с. 19—27.
Гогосов В. В., Налетова В. А., Шапошникова Г. А. 1979. О конструировании моделей поляризующихся дисперсных и многокомпонентных сред. — Прикл. матем. и механ., 43, вып. 3, с. 489—499.
Gogosov V. V., Naletova V. A., Shaposhnikova G. А. 1980. Hydrodynamics of dispersive magnetizable media including Brown motion. — IEEE Trans. Magn., 16, No. 2, p. 301—308.
Гогосов В. В., Налетова В. А., Шапошникова Г. А. 1981. Гидродинамика намагничивающихся жидкостей. — В сб.: Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. — М.: ВИНИТИ, т. 16, с. 76—208.
Гогосов В. В., Полянский В. А. 1976. Электрогидродинамика: задачи и приложения, основные уравнения, разрывные решения. — В сб.: Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М., ВИНИТИ, т. 10, с. 5—85.
Кирюшин В. В. 1983. Структурирование магнитных жидкостей. — Докл. АН СССР, т. 272, вып. 6, с. 1335—1339.
Kiryushin V. V. 1983. Mathematical model of structure phenomena in magnetic fluids. — J. Magn. Magnetic Materials, 39, No. 1, 2, p. 14—16.
Кирюшин В. В., Чыонг За Винь. 1980. Фигуры равновесия намагничивающейся жидкости в магнитном поле. — Изв. АН СССР, Мех. жидк. и газа, № 4, с. 123—128.
Куликовский А. Г., Любимов Г. А. 1962. Магнитная гидродинамика. — М.: Физматгиз.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. 1982. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука.
Седов Л. И. 1986. Механика сплошной среды. — М.: Наука, т. 1, 2.
Тамм И. Е. 1957. Основы теории электричества.—М.: Гостехиздат.
Фертман В. Е. 1978. Магнитная жидкость — естественная конвекция и теплообмен. — Минск: Наука и техника.
Шульман 3. П., Кордонский В. И. 1982. Магнито-реологический эффект. — Минск: Наука и техника.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Abraham М. 135
Abramowitz М. 218
Adelstein О. 16
Akimoto М. 16
Albert R. J. 323
Anderson T. B. 285, 298, 306, 308
Andres U. 57
Aris R. 327
Arnaldos J. 323
Ausloos M. 86
Bacri J. C. 205
Badescu R. 80, 279
Bailey R. L. 14, 162
Barclay J. A. 184
Barton A .F. M. 62
Basaran O. A. 141
Batchelor G. K. 44
Bates L. F. 147
Bean С. P. 70, 73
Becker R. 135
Berkowitz A. E. 73
Bird R. B. 32, 327
Birnbaum S. 16
Bitter F. 44, 45
Bliss G. W. 169
Boyle J. F. 74
Bosorth R. M. 44, 75, 172
Brancher J. P. 205
Brenner H. 79, 268, 279
Brevik I. 131
Brown R. 278
Brown W. F., Jr. 43
Burns M. A. 323
Busenberg S. N. 78, 272
Byrne J. V. Ill, 169
Cabannes H. 44
Calugaru G. 80, 279
Carmi S. 239
Caroli C. 263
Casal J. 323
Chandrasekhar S. 200, 243, 244
Chantrell R. W. 55, 82, 183
Charles S. W. 55, 58, 75, 86, 183, 244
Christy R. W. 44, 109
Chu В. T. 128
Chung D. Y. 84, 135
Condiff D. W. 261, 278
Cowley M. D. Ill, 114, 121, 128, 135,
200—202, 204, 205
Coulaloglou C. 321
Curtis R. A. 239
Dahler J. S. 43, 260, 261, 278
de Gennes P. G. 81
de Groot S. R. 279
Doi M. 86
Drazin P. 243
Drew D. A. 291, 294, 322
Edison T. 170
Einstein A. 76
Elmore W. C. 45, 70
Essmann U. 223
Ezekiel F. D. 168, 169
Faber О. C., Jr. 244
Faber T. E. 223
Fanucci J. B. 322
Fay H. 16
Finlayson B. A. 239
Fox R. A. 74
Gibbs J. W. 188, 327
Goldberg P. 83
Gotoh K. 135
Graves D. J. 323
Hakim S. S. 130, 168
Hall W. F. 78, 272
H asset K. L. 54
Hathaway D. B. 16, 157
Haus H. A. Ill, 128, 135
Hayes C. F. 80, 84
Heck C. 174
Helmholtz H 111, 244
Hendrickson D. N. 54
Hess P. H. 54, 80, 83
Higgins B. G. 169
Higham J. B. 130, 168
Hobson R. F. 79
Horsnell T. S. 278
Hsieh R. К. T. 278
Hughes W. F. 44
Ishii M. 294, 322
Isler W. E. 84, 135
Ivanov D. G. 322
Jackson J. D. 100, 110
Jackson R. 285, 298, 306, 308, 322
Jacobs I. S. 70
Jacobson D. M. 84
Jeans J. 110
Jenkins J. T. 278
Jerauld G. R. 323
Jones T. B. 144, 155—157, 169
Jordan P. C. 81
Kaiser R. 51, 58, 73, 79, 167, 245,
275, 276
Kamiyama S. 279
Kaplan B. Z. 84
Karim S. M. 133
Kellog O. D. 110
Kelvin, Lord 244
Kendra M. 206
Khalafalla S. E. 53, 54, 167
Kistler S. F. 331
Koike K. 279
Korteweg D. J. Ill
Krueger D. A. 83
Kruyt H. R. 56, 77
Kunii D. 283
Lalas D. P. 239
Lamb H. 197
Larsson P. O. 16
Lee W. K. 316—318
Levenspiel O. 283
Levi A. C. 79
Lewis D. J. 244
Lightfoot E. N. 32, 327
Livingston J. D. 73
Luca E. 80, 279
Lucchesi P. 16, 323
McCourt F. R. 79
McEwan A. D. 243
Mackor E. L. 59
McNab T. K. 53, 74
McTague J. P. 78
Mailfert R. 55
Malik S. K. 205
Martinet A. 55, 73, 75, 83, 86, 168
Maruno S. 16, 145, 146
Mase G. E. 44, 327
Massart R. 56
Matsuki H. 183
Mazur P. 279
Mehta R. V. 84
Melcher J. R. 44, 110, 127, 128, 135,
209, 210, 214, 243, 244, 327
Melilo L. 157
Milford F. J. 44, 109
Miskolczy G. 73, 79, 167, 168, 245,
275, 276
Moon P. 110
Morimoto Y. 16
Moskowitz R. 14, 169, 245, 270, 271
Murakami K. 183
Myers R. A. 16
Neal J. A. 54
Neel L. 74
Ness N. 322
Nestor J. W. 50, 60, 76, 77, 86, 183
Neuringer J. L. 44, 131, 148, 168
Newbower R. S. 16
North J. C. 16
O’Grady K. 83
Oyama T. 279
Panofsky W. K. 109, 135
Papell S. S. 50, 244
Papirer E. 86
Parker P. H., Jr. 54, 80, 88
Pearson J. R. 239
Penfield P. Ill, 128 ,135
Perry M. P. 155, 156, 157
Peterson E. A. 83
Phillips M. 109, 135
Pimbley G. H., Jr. 244
Pincus P. A. 81, 263
Popplewell J. 55, 58, 75, 84, 86, 183
Puigjaner L. 323
Quets J. M. 16
Raj K. 77, 157
Rayk W. D. 183
Rayleigh, Lord 225, 239, 244
Reid W. 243
Reimers G. W. 53, 54, 167
Reinmann J. J. 183
Reitz J. R. 44, 109
Resler E. L, Jr. 170, 176, 183
Rhee S. W. 323
Romankiw L. T. 215
Rosenhead S. M. 133
Rosensweig R. E 14, 16, 44, 50, 51, 58, 60, 64, 65, 67, 76, 77, 79, 86, 111, 114, 121, 128, 131, 135, 143, 146— 148,154,156,159,160, 162, 167—
176,183,200—202,204,205,
217,220,221,223,233,236,
245,270,271,275,276,283,
314, 315, 317, 322, 323, 331
Roth J. R. 183
Russakoff G. 110
Saffman P. G. 233
Salin D. 205
Sano K. 86
Schaufeld J. 162
Scholten P. C. 86
Scriven L. E. 43, 169, 239, 260, 278
Serrin J. 44
Sharma V. K. 76
Shenton К. E. 86, 244
Shimoiizaka J. 16, 53, 167
Shumovich R. 220, 221, 223
Siegell J. H. 321
Singh M. 205
Skjeltorp 168, 206, 244
Slepian J. Ill
Slusarczak M. 215
Soga S. 16, 145, 146
Spencer D. E. 110
Stecher L. C. 54
Stegun I. A. 218
Sternling С V. 239
Stewart W. E. 32, 327
Stratton J. A. 110, 135, 158
Taketomi S. 84
Taylor G. I. 44, 233, 243, 244, 327,
331
Tesla N. 170
Thiele A. A. 223
Thomas J. R. 54
Thomas J. W. 205
Thompson D. A. 215
Tien C. 323
Timmins R. S. 50, 60, 76, 77, 86, 183
Toupin R. 110
Trauble H. 223
Tritton D. J. 44, 168
Truesdell C. 110, 168
Twombly E. 205
Van der Voort E. 182, 183
Vogler T. 233, 236
Waldner F. 76
Weissman M. H. 79, 279
Whitaker S. 322
Wilson E. В. 327
Wolfe R. 16
Yamasawa K. 183
Yen R. H. 322
Yotsumoto Y. 16
Young F. J. 44
Yubakami K. 16, 145, 146
Zahn M. 44, 86, 109, 220, 221, 223,
236, 244, 323
Zelazo R. 127, 128, 209, 210, 214
Zrunchev I. A. 322
Архипенко В. И. 141
Барков Ю. Д. 141
Баштовой В. Г. 141, 205, 231—233,
279, 343
Бибик Е. Е. 72, 343
Блум Э. Я. 184, 343
Болога М. К. 322
Борисенко А. И. 327
Буевич Ю. А. 322
Бузунов О. В. 343
Васильева Н. Л. 130
Ватажин А. Б. 343
Вислович А. Н. 278, 279, 343
Вонсовский С. В. 343
Гайлитис А. 203, 205
Глазов О. А. 271
Гогосов В. В. 130, 135, 343
Грабовский В. И. 343
Губанов А. И. 86
Демчук С. А. 279
Зайцев В. М. 203, 205, 268, 271
Каган И. Я. 279
Кашевский Б. Э. 278, 279
Кирко И. М. 322
Кирюшин В. В. 343
Кордонский В. И. 279, 343
Краков М. С. 231
Куликовский А. Г. 343
Ландау Л. Д. 109, 135, 158, 197, 343
Лифшиц Е. М. 109, 135, 158, 197, 343
Лихтер В. А. 343
Любимов Г. А. 343
Майоров М. М. 217, 218, 219
Мартынов С. И. 135
Марценюк Ю. М. 74
Михайлов Ю. А. 343
Налетова В. А. 323, 343
Озолс Р. Я. 343
Орлов Л. П. 146
Пацегон Н. Ф. 135
Райхер Ю. Л. 74, 78
Рыков В. Г. 279
Седов Л. И. 343
Суязов В. М. 267
Сюткин С. В. 322
Тактаров Н. Г. 229
Тамм И. Е. 343
Таранов И. Е. 135, 327
Фертман В. Е. 343
Филиппов М. В. 322
Френкель Я. И. 74
Цветков В. Н. 279
Цеберс А. О. 217, 218, 219
Цуриков С. Н. 135
Чыонг 3. Б. 343
Шапошников И. Г. 44, 130
Шапошникова Г. А. 130, 135, 343
Шлиомис М. И. 44, 72, 74, 75, 78, 79, 130, 203, 205, 239, 263, 264, 268, 271, 272, 275
Шульгин В. И. 343
Шульман 3. П. 279, 343
Щелчкова И. Н. 322
Янтовский Е. И. 279
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
агломерация коллоидных частиц (agglomeration of colloidal particles) 48
адиабатическое изменение температуры (adiabatic temperature change) 176
адсорбция поверхностная (surface adsorption) 59
альтернатор (alternating tensor) 254, 325
Ампера закон 90, 98
анизотропии константа (anisotropy constant) 74
антисимметричные напряжения (antisymmetric stress) 262
во вращающемся поле (in rotating field) 267
, определяющее уравнение (constitutive relation) 262
антисимметричный диадик (dyadic) 255, 324
антиферромагнетизм (antiferromagnetism) 18
безвихревое течение (irrotational flow) 137
Бенара конвекция 236
Бернулли уравнение обобщенное, вывод 35, 136
, приложения 143
Бесселя уравнение для круглой струи 226
течения под действием объемных моментов сил 269
бифуркация 185
— круглой капли 219
Бонда число магнитное 221, 231 броуновское вращательное движение, влияние на намагниченность 74, 263, 272
— поступательное движение 19
и расслоение коллоидов 46
вакуумные камеры со сквозным питанием (vacuum feedthroughs) 14
Ван дер Ваальса притяжение 19 взаимодействия коэффициент (coupling coefficient) 72
взаимопроникающие континуумы 284 вектор, соответствующий тензору
(vector of a dyadic) 324
вихревая вязкость (vortex viscosity) 262
вихря вектор (vorticity) 136, 168 внутренний момент импульса (internal angular momentum) 257
, диффузия 260, 268
, уравнение изменения 261, 267
возмущения волны 240
волновое число 241
волны длина 241
восприимчивость дифференциальная (susceptibility, tangent) 303
— хордовая (chord) 303
время релаксации, броуновское 74
, неелевское 74
вязкопластичные жидкости 316 вязкость намагниченной жидкости 78, 272
— ненамагниченной жидкости 76, 85
—, первый и второй коэффициент 133
Галилея преобразование 101
Гамакера постоянная 49
Гаусса законы 98
Гельмгольца свободная энергия 112
Гиббса символическая запись 324 гистерезис и неустойчивость в ортогональном поле 205
— в псевдоожиженном слое 321
— для твердых магнитов 27
— угла запаздывания во вращающемся поле 266
гравитационные волны 197
граничные условия для магнитного поля 90
напряжений 140, 187
псевдоожиженной системы в поле 317
скорости 268
спина 268
давление, вырабатываемое в подогретой жидкости 174
— в псевдоожиженном слое (of fluidized bed) 282, 314
— капиллярное (interfacial capillary) 139, 188
— магнитное (magnetic normal) 141
— магнитожидкостное (fluid-magnetic) 123
— магнитострикционное (magnetostrictive) 122
— суммарное (composite) 134
— термодинамическое (thermodynamic) 120
Дарси закон 234, 298
двухфазная смесь 284
демпферы 162, 169
диада (dyad) 324
диадик (dyadic) 324
диамагнетизм 18
диполь 24
—, момент 26
—, поле 25
—, энергия взаимодействия 29
диспергирующее вещество 50
, химическая структура 63
дисперсионное уравнение 197, 207, 210, 229, 231, 235, 307
диэлектрофореза сила 169
домен 17
дуаль вектора (dual of vector) 325
— тензора (of tensor) 325
единичный диадик 325
жидкие кристаллы 248, 279
изотермический процесс 176
Ирншоу теорема 158
кавитация 120
капиллярная постоянная (capillary constant) 208
капиллярные волны 197
Кельвина — Гельмгольца неустойчивость 210
кинематическое условие 190
кипение 244
кластеры (klustering) 80
—, аналитическое описание 81
—, численное моделирование 82
коллоиды 19
—, устойчивость 46, 48, 49 контакторы (contactors) 280 корреляции явления 80
Кортевега — Гельмгольца плотность силы 125, 130
Kouiu принцип напряжений (Cauchy stress principle) 38
— уравнение движения 253
коэрцитивная сила (coercivity) 27
КПД магнетокалорического цикла 179
— цикла Карно 179
кривая сосуществования фаз (coexistence curve) 86, 113
кривизна средняя 139, 189
кристаллическая анизотропия 74
Кронекера символ (Kronecker delta) 119
Кулона закон 21, 87
Кюри температура 45, 174
лабиринтная неустойчивость (labyrinthine instability) 215
в вертикальном слое 216
горизонтальном слое 220, 223
диэлектрических жидкостях 223
, сходные явления 223
Лагранжа способ описания 31
Ланжевена функция 70
Лапласа уравнение 90, 92, 191, 224, 225
левитация 158, 159, 167
Лейбница формулы 122 лигносульфонат 54 линейный анализ 186, 300
Лондона модель 49
Лоренца преобразование 100
магнетит, измельчение 50
—, размер частиц 52
—, химическое осаждение 54 магнетокалорический тепловой насос 173
— эффект 170, 175
магнитная гидродинамика 13
— жидкость (magnetic fluid, ferrofluid) 19, 45
, вязкость 76, 85, 272
, модификация 63
, намагниченность 68, 85, 263
, на основе металла 58
, пиромагнитный коэффициент 176
, плавления точка 85
, плотность 85
, поверхностное натяжение 85
, приготовление 50
, сжимаемость 121
, стабилизация 59
, теплового расширения коэффициент 85
, удельная теплоемкость 85
, частицы кобальта 54
, электропроводность 84
— индукция 22, 89
— проницаемость 92, 102
— работа 27, 112, 171
— сила объемная 120
поверхностная 141
— энергия диполя 28, 69
намагниченного вещества 171
поля 106, 109
магнитно стабилизированный слой (magnetically stabilized bed) 283
магнитное поле возмущенной плоской поверхности 192, 195
цилиндрической струи 227
диполя 25
намагниченногошара93
проводника 103
электрическогоконденсатора 104
— двулучепреломление (magnetobi- refrigence) 84
— поле 21
магнитные полюсы 21, 43
магнитный материал, мягкий 27
, твердый 27
— момент сил 27
магнитострикция (magnetostriction) 122
максвелл 23
Максвелла уравнения 97
максвелловских напряжений тензор 94
материальная производная 32, 132
момент импульса полный 257
моментные напряжения (couple
stress) 258, 262
Монжа представление 189
Монте-Карло метод моделирования 82
Навье — Стокса уравнение 135
, аналоги 267
намагниченность 23, 71, 98
— насыщения 72
— остаточная (remanence) 27
намагничивания кривая 27
Кюри — Вейса 174
магнитной жидкости 71
напряжений тензор 38
магнитной жидкости 108
, антисимметричный 262
нелинейный анализ 203
неподвижный слой (fixed bed) 281
необратимая термодинамика 279
неустойчивость в ортогональном поле (instability, normal-field) 178
— к тепловой конвекции 236
— Рэлея — Тейлора 207
нормальная мода 241
определяющие уравнения для вектора преобразования момента импульса 262
векторов электромагнитного поля 98, 102
вязких напряжений 133
моментных напряжений 262
объемного момента сил 263
псевдоожиженного слоя 294, 297, 300
осреднение 285
— уравнений двухфазных систем 284
Максвелла 289
парамагнетизм 18
парамагнитные растворы солей 57
пептизация 54
пиромагнитный коэффициент 175
поверхностные волны, классификация 242
пограничный слой 247, 271
Пойнтинга вектор 106
полиадик (polyadic) 325
полярный вектор (polar vector) 324
пористость (voidage) 285
правило «изнутри наружу» (nesting convention) 325
приложения феррогидродинамики 14
, акселерометр 162
, вакуумные камеры 14
, визуализация магнитных доменов 14
, демпферы 162, 169
, лекарства доставка 14
, магнетокалорический двигатель 170, 181, 183
, охлаждение динамика 14
, перекачка 173
, печать 14, 145
, подшипники 169, 331
, псевдоожиженный слой 14, 283
, сепарация по плавучести (sinkfloat separation) 14, 167
, удержание смазки 169
, уплотнители давления 14
, ядерный реактор 183 проницаемость 92, 102
— дифференциальная (tangent) 200
— хордовая (chord) 200
псевдовектор 324
псевдоожижение (fluidization) 20
— обычное 281, 322
—, приложения 281, 322
размагничивания коэффициент (demagnetization factor) 148
редкоземельные магниты 183
Рейнольдса напряжения 293
— теорема о переносе 252, 288, 326
— число 300
релаксация намагниченности 73 реология магнитной жидкости 272 — псевдоожиженной намагниченной
среды 316
— ньютоновской жидкости 133
роста показатель (growth factor) 307
Рэлея число 237, 238
самолевитация (self-levitation) 160
света поляризация 80, 88
сверхпроводники 174, 223
силы плотность Кельвина 26, 121,
310
Лоренца 13
электрической 14
символическая запись 324
симметричный диадик (symmetric dyadic) 324
симметрии нарушение 185
слабых возмущений анализ 186
скалярный потенциал магнитного поля 90
скорости 137, 224, 225
скорость средняя (superficial velocity) 281
смена устойчивости (exchange of stability) 199
стабилизация градиентным полем 213, 215, 231
— коллоида зарядом 56
стерическая стабилизация (steric stabilization) 59
стерическое отталкивание (repulsion) 59
Стокса теорема 326
стоячие волны 242, 243
струя плоская 327
— цилиндрическая 225
суперпарамагнетизм внешний (superparamagnetism, extrinsic) 74
— внутренний (intrinsic) 74
суперпозиция 243
тейлоровская длина волны 208
теорема о дивергенции 326
тепловая энергия 46
ток смещения (displacement current) 102
точка перехода (turning point) 204
транспонированный диадик (transpose dyadic) 324
трубка тока 30
удельная теплоемкость 85, 171
уплотнитель вала 154
уравнение движения 131, 267, 291
— неразрывности 30
— состояния Вейса 183
Кюри — Вейса 88
линейное 175
фазовая диаграмма 313, 314
— скорость 307
фазовый переход 120, 244 ферримагнетизм 18 ферромагнетизм 17, 75 флоккуляция необратимая 64
— обратимая 64
Фурье анализ 243, 304
химическое осаждение (chemical precipitation) 53
цепочки 80—82 цикл термодинамический 176
Эйлера способ описания 31 экспериментальные данные для магнитного псевдоожижения 314, 317
появления неустойчивости в ортогональном поле 202
промежутков в лабиринтной структуре 223
резонанса поверхностных волн 209
уплотнителя в виде пробки 157
по устойчивости жидких цилиндров 233
электрогидродинамика 13
электрическая поляризация 223, 323 электроосаждение (electrodeposition)
58
энергии плотность электромагнитного поля 105
магнитостатическая 109
— преобразование 170
энтропийное отталкивание (entropic repulsion) 60
Эргуна уравнение 300
эрстед 23
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактораперевода 5
Предисловие10
Введение 13
Предмет феррогидродинамики13
Ферромагнитные материалы17
Магнитные жидкости19
Основные понятия ферромагнетизма и единицы измерения . . . 21
Основные понятия гидродинамики29
Обобщенное уравнение Бернулли‘.... 35
Тензор напряжений и его физический смысл 38
Добавление. Эквивалентность дипольногои полюсного описаний 43
Замечания и дополнительная литература44
Магнитные жидкости45
Условия устойчивости45
Приготовление магнитных коллоидов методом уменьшения размера частиц50
Приготовление магнитных жидкостей методом химического осаждения ... . 53
Другие магнитные жидкости .. .. . . 57
Поверхностная адсорбция и стерическая стабилизация59
Модификация магнитных жидкостей63
Физические свойства . . 68
Явления корреляции80
Таблица физических параметров84
Замечания и дополнительная литература 86
Элементы теории электромагнетизма87
Уравнения магнитостатического поля87
Граничные условия для магнитного поля90
Тензор максвелловских напряжений94
Уравнения Максвелла97
Плотность энергии электромагнитного поля105
Другое выражение для энергии поля106
Замечания и дополнительная литература109
Тензор напряжений и уравнение движения . . . .111
Термодинамические соотношения112
Вывод тензора магнитных напряжений ИЗ
Плотность магнитной объемной силы120
Уравнение движения для магнитной жидкости131
Замечания и дополнительная литература135
Уравиеиие Бернулли в феррогидродинамике.136
Вывод136
Граничные условия138
Классы равновесных невязкихтечений142
Приложения ФГД уравненияБернулли 143
Теорема Ирншоу и магнитнаялевитация158
Стрикционный эффект168
Замечания и дополнительная литература168
Магнетокалорическое преобразование энергии .......... 170
Термодинамика магнитных материалов171
Механизм производства энергии172
Линейное уравнение состояния175
Общий анализ цикла176
Коэффициент полезного действия цикла для материалов с линейными свойствами179
Коэффициент полезногодействияцикла с регенерацией180
Реализация цикла181
Резюме182
Замечания и дополнительнаялитература183
Задачи об устойчивости в феррогидродинамике ......... 185
Задача об устойчивости в ортогональном поле186
Общее дисперсионное уравнение для движущихся сред в наклонном магнитном поле206
Задача Рэлея — Тейлора207
Задача об устойчивости Кельвина — Гельмгольца210
Стабилизацияградиентом поля213
Лабиринтнаянеустойчивость215
Устойчивостьжидких цилиндров224
Течение в пористой среде: неустойчивость к появлению отростков 233
Устойчивостьк тепловой конвекции236
Резюме240
Добавление. Математическое описание волн возмущения . . . . 240
Замечания и дополнительная литература243
Магнитные жидкости и несимметричные напряжения 245
Явления245
Принцип напряжений Коши и закон сохранения импульса...248
Интегральное уравнение, выражающее закон сохранениямомента
импульса для неполярных сред250
Теорема переноса Рейнольдса252
Уравнение движения Коши253
Симметрия тензора напряжений для неполярных сред254
Полярные среды 257
Сводка основных уравнений механики континуума260
9Определяющие уравнения261
Аналоги уравнения Навье — Стокса для жидкостей с внутренним моментом импульса267
Движение магнитной жидкости под действием объемногомомента сил267
Эффективная вязкость намагничивающейся жидкости272
Замечания и дополнительная литература278
Движение магнитных двухфазных систем280
Введение280
Обычное псевдоожижение281
Некоторые основные проблемы в технологиях с псевдоожижением 283
Основные уравнения, описывающие течение двухфазной среды . . 284
Сводка осредненных уравнений296
Намагниченные псевдоожиженные слои из твердых частиц . . . 298
Устойчивость стационарного решения300
Экспериментальные результаты313
Замечания и дополнительная литература321
Приложения .324
Приложение 1. Сводка векторных и тензорных обозначений и формул 324
Приложение 2. Применение тензора максвелловских напряжений: анализплоскойструи 327
Литература 332
Дополнительная литератураскомментариями343
Именной указатель 345
Предметный указатель . . 350
Научное издание
Рональд Розенцвейг
ФЕРРОГИДРОДИНАМИКА
Заведующий редакцией чл.-корр. АН СССР В. И. АрнольдЗам. зав. редакцией А. С. ПоповСт. научн. редактор П. Я. КорсоюцкаяМл. научн. редактор Т. А. ДенисоваХудожник О. С. ВасильковаХудожественный редактор В. И. ШаповаловТехнический редактор Е. В. АлехинаКорректор Т. М. Подгорная
И Б № 6685
Сдано в набор 31.05.88. Подписано к печати 06.02.89. Формат 60X90z/ie. Бумага книжно-журнальная. Печать высокая. Гарнитура литературная. Объем 11,25 бум. л. Усл. печ. л. 22,50. Усл. кр.-отт. 22,50. Уч.-изд. л. 20,83. Изд. №1/6102. Тираж 2600 экз. Заказ 1113. Цена 2 р. 80 к.
Издательство «Мир» В/О «Совэкспорткнига» Государственногокомитета СССР по делам издательств, полиграфии и книжнойторговли. 129820, ГСП, Москва, И-110, 1-й Рижский пер., 2.
Ленинградская типография № 2 головное предприятие орденаТрудового Красного Знамени Ленинградского объединения«Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпромапри Государственном комитете СССР по делам издательств, по-лиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измай-ловский проспект, 29.
Отпечатано в Ленинградской типографии № 4 ордена Трудового Красного Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли 190000, Ленинград, Прачечный переулок, 6
l + (C + D/r3)sin0ie, r>R.
Подстановка этого же соотношения в решение для поля при r<R показывает, что Н=Дк; следовательно, магнитное поле
внутри шара однородно и направлено вдоль оси х. Решение для
поля вне шара таково, как если бы оно было суммой внешнего
поля и поля магнитного диполя, расположенного в центре шара,
с моментом 4л£).
Из условий непрерывности тангенциальной компоненты поля
Н и нормальной компоненты индукции В на поверхности шара
1) описание действия расходомеров Вентури и трубок Пито и определение давления на границе пограничного слоя и тела с острой кромкой;
3) получение выражения для скорости истечения вещества из отверстия в баке.
В присутствии магнитного поля комбинация магнитожид- косгного давления с каждым из остальных слагаемых выражает новое взаимодействие и удваивает число классов гидродинами- чских явлний. Вот некоторые примеры из этих классов;
Ferrohydrodynamics
R. E. Rosensweig
Corporate Research Science Laboratories,Exxon Research and Engineering Company
Cambridge University PressCambridgeLongon*New York* New RochelleMelbourne • Sydney
РРозенцвейг
Феррогидродинамика
Перевод с английского В. В. Кирюшинапод редакцией В. В. Гогосова
Москва «Мир» 1989
ББК 22.253.3
Р64
УДК 533.9.01
Розенцвейг Р.
Р64 феррогидродинамика: Пер. с англ.— М.: Мир, 1989.— 356 с., ил.
ISBN 5-03-000997-3
Монография известного американского ученого, охватывающая широкий круг вопросов поведения и динамики магнитных жидкостей. Книга написана на основе курса лекций; изложение ведется последовательно с использованием основных понятий гидродинамики, электромагнетизма и термодинамики. Рассмотрены методы приготовления магнитных жидкостей, обсуждаются их магнитные свойства, вопросы реологии и термодинамики при наложении магнитного поля, возникновение неустойчивости. Полученные теоретические результаты детально сравниваются с экспериментальными.
Для научных работников, инженеров, аспирантов и студентов различных специальностей, математиков-прикладников, механиков, физиков, химиков.
ББК 22.253.3ББК 22.253.3_1603040000-150
ББК 22.253.3
ББК 22.253.3
Р041(01)-8931‘89
ISBN 5-03-000997-3 (русск.)ISBN 0-521-25624-0 (англ.)ISBN 5-03-000997-3 (русск.)ISBN 0-521-25624-0 (англ.)Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-000997-3 (русск.)
ISBN 0-521-25624-0 (англ.)
ISBN 5-03-000997-3 (русск.)
ISBN 0-521-25624-0 (англ.)
© Cambridge University Press, 1985 This book was originally published in the English language by Cambridge University Press of Cambridge, England
© перевод на русский язык, с авторскими исправлениями, «Мир», 1989