Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Невесомостью мы будем в этой книге называть физическое состояние, соответствующее действию реальных сил в космическом полете1. Особенность этого состояния в первую очередь заключается в том, что микроускорение g, т.е. ускорение в системе координат, связанной с космическим аппаратом, весьма мало по сравнению с ускорением свободного падения g0 и достигает обычно на орбитальных станциях значения (1СГ6 —1О"3)^о • Вместе с тем имеются возможности (в зависимости от режима полета) существенного пространственно-временного изменения микроускорения с амплитудой, превышающей в отдельных случаях среднюю величину микроускорения gболее чем на порядок, при ее существенном различии по всем трем пространственным координатам. Это создает многообразие условий невесомости в зависимости от практических способов ее реализации (ракета-зонд, самолет—лаборатория, башня сбрасывания, космическая станция).
Разработка долговременных орбитальных станций и реализация в нашей и других странах пилотируемых полетов создали предпосылки для длительного (от нескольких суток до нескольких месяцев) поддержания условий невесомости при наличии достаточно большого по объему пространства внутри космической станции. Это обеспечивает принципиально новую возможность осуществления различных технологических процессов ввиду того, что условия невесомости полностью не моделируются на Земле или в других упоминавшихся способах полета. В невесомости существенно изменяется состояние многих гравитационно-чувствительных процессов и систем, к которым относятся, например, системы со свободной поверхностью раздела, системы вблизи критической точки, многокомпонентные, многофазные, в особенности гетерогенные среды и процессы при фазовых переходах (кристаллизация, кипение, конденсация) или при протекании химических реакций, в том числе при горении.
При применении основанных на упомянутых процессах разнообразных технологий имеется, по крайней мере в принципе, перспектива улучшения качества получаемого продукта. Например, можно получить высокооднородные по составу кристаллы, равномерные по толщине структуры или увеличить эффективность разделения биологических и лекарственных веществ за счет устранения вторичных течений и неустойчивости, вызываемых гравитационной конвекцией. Можно также предотвратить распространение примесей от стенок тигля в разнообразных высокотемпературных метал-
В англоязычной литературе наряду с аналогом термина "невесомость” (wightlessness) в последнее время распространены термины "пониженная гравитация" (low gravity) и "микрогравитация” (microgravity).
лургических процессах за счет бестигельной подвески расплавленной массы или получить новые материалы с заданными структурой и свойствами (например, композитные материалы, в том числе сверхпроводники, а также продукты химических реакций из компонентов с существенно различающимися плотностями). Нетрудно видеть, что число разнообразных гравитационно-чувствительных систем и примеров возможного их применения в условиях микрогравитации необычайно велико. В то же время относительные изменения других характерных параметров в технологических процессах (перепады температур, геометрические размеры и др.) в земных условиях весьма ограничены.
Отметим, что многие из вопросов, связанных с эффектами невесомости в космическом полете, были поставлены более ста лет тому назад К.Э. Циолковским, который впервые высказал также идеи завоевания человеком космического пространства [ 166].
Первые программы технологических экспериментов выполнены в СССР и США в конце 60-х и первой половине 70-х годов на долговременных пилотируемых орбитальных станциях ’’Салют”, ’’Скайлэб”, а также ’’Союз—Аполлон”.
За истекший более чем 15-летний период интенсивного развития этого направления на космических орбитальных станциях и комплексах следующего поколения (в СССР ’’Салют—Союз”, ’’Мир” и за рубежом ’’Спейслаб— Шаттл”), а также на автоматических станциях и ракетах-зондах выполнено большое количество технологических экспериментов. Результаты этих исследований представлялись на симпозиумах Международной астронавтической федерации (МАФ), Комиссии по исследованию космического пространства (КОСПАР), а также на симпозиумах, регулярно проводимых Европейским космическим агентством (см., например, [227—229, 258, 260, 279]. В нашей стране систематическое обсуждение результатов технологических экспериментов проводилось на Всесоюзных семинарах по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости, труды которых опубликованы [59—61, 105,459], а также на ряде конференций, связанных с программами ’’Интеркосмос” [ 160].
Проведение технологических экспериментов в космосе сопровождалось созданием специального оборудования, включающего космические печи, средства контроля и диагностики процессов и т.д. [18, 90]. В ряде стран имеются долгосрочные программы дальнейших работ, имеющих целью создание полупромышленного, а затем промышленного производства, конкурентоспособного при получении отдельных веществ и материалов по сравнению с земным производством. Обсуждение состояния и перспектив космического материаловедения и связанных с ним проблем механики жидкости содержится в ряде монографий [90, 156, 273] и обзоров [146, 147]. Изложение современных исследований, проводимых Европейским космическим агентством в этой области, дано, в частности, в большой коллективной монографии [ 192].
Развитие этого направления имеет весьма сложный характер в связи с тем, что большинство из рассматриваемых в невесомости рабочих процессов недостаточно хорошо изучено в более простых земных условиях, а теоретические модели основных гравитационно-чувствительных процессов (динамика многофазных и многокомпонентных сред, форма и устойчивость
свободных поверхностей, конвекция) недостаточно развиты для объяснения результатов экспериментов, многие из которых имеют неоднозначный характер. Наряду с результатами, давшими положительный эффект (например, уменьшение неоднородности сложных сплавов и композитных материалов с различными плотностями, получение кристаллов с меньшей, чем на Земле, плотностью дислокаций, улучшение качества разделения биологических и лекарственных веществ и т.д.), в технологических экспериментах зафиксирован ряд нежелательных побочных эффектов (например, макро- и микронеоднородности кристаллов, выращиваемых из расплавов), причина которых недостаточно ясна. В настоящее время космическое материаловедение имеет во многих случаях традиционную для земной технологической практики тенденцию развития путем ’’проб и ошибок”, что связано с большими затратами средств. Заметим, что, по-видимому, имеются и альтернативные невесомости пути улучшения характеристик материалов.
Таким образом, настоятельной потребностью этого направления в настоящее время является развитие механики гравитационно-чувствительных процессов, к которым относятся, в частности, процессы гравитационной конвекции, чаще всего встречающиеся в сложной совокупности с негравитационными видами конвекции.
Гравитационная конвекция, развивающаяся под действием архимедовых подъемных сил (обусловленных неоднородностью температуры и/или состава среды) и являющаяся одним из наиболее распространенных на Земле видов макроскопического движения, представлеяет в то же время пример одного из важнейших гравитационно-чувствительных процессов, характер которых существенно изменяется в условиях невесомости. Помимо прочего, они становятся в некотором смысле более разнообразными в условиях невесомости, что обусловлено наличием как остаточных составляющих гравитационного типа, так и различных не гравитационных механизмов движения, подавляемых или трудно наблюдаемых в земных условиях. Вместе с тем имеются разнообразные слабые воздействия, обусловленные полетом конкретного космического аппарата, в связи с чем изучение конвективных процессов в невесомости тесно связано с изучением микроускорений, возникающих в космическом полете. Интересны также искусственно создаваемые и более эффективные, чем на Земле, воздействия на жидкие (газовые) среды.
Сложная внутренняя структура конвекции проявляется даже в простейшем случае постоянного микроускорения в замкнутых областях, которые характерны для большинства технологических процессов. Наряду с упомянутыми особенностями конвекции в условиях невесомости ее проявления в замкнутых областях создают значительные трудности при постановке и интерпретации технологических экспериментов, В связи с этим действительная роль конвекции в технологических экспериментах вплоть до настоящего времени не выяснена. Поэтому построение количественных моделей, в которых учитывались бы ее основные особенности, представляет не только общий интерес для гидромеханики невесомости, но является важной практической задачей.
Литература, относящаяся непосредственно к конвективным процессам в невесомости, не столь обширна. Теоретическим и экспериментальным исследованиям конвекции в земных условиях, являющимся отправными для
исследований в невесомости, посвящены ряд монографий и обзорных работ (см., например, [54, 69, 15 5, 194, 23 7]). В отечественной литературе одними из первых были монографии [63, ПО, 124]. Большая часть результатов получена, однако, еще в ’’дотехнологическую” эпоху развития космической техники и не содержит появившихся в последнее время новых постановок задач. В то же время произошли значительные сдвиги в методическом отношении, особенно благодаря развитию численных методов решения нелинейных уравнений конвекции, основанных на нестационарных уравнениях Навье—Стокса. Ряд интересных задач об устойчивости конвективных течений в невесомости недавно опубликован в монографии [ 55].
В предлагаемой читателю монографии представлены результаты исследований конвективных процессов в невесомости, выполненных авторами преимущественно за последние 10 лет. Появившиеся в этот период довольно многочисленные журнальные публикации цитируются в соответствующих разделах книги. Наиболее близки к тематике книги работы С. Остраха и его учеников [ 117,118, 213, 245—247, 251], в которых, однако, меньше используется аппарат численного моделирования.
Книга состоит из трех частей. Первая часть посвящена расчету микроускорений на борту орбитальной станции, являющихся основной входной информацией для задач конвекции в невесомости.
Во второй части (гл. 2—4) излагаются общие закономерности проявляющихся в невесомости различных видов конвекции и их влияние на перенос тепла, а также, что очень важно, на распространение примесей, с тем чтобы выявить потенциальные причины, которые могли бы приводить к эффектам макро- и микронеоднородности при получении материалов. В связи с этим значительное внимание уделяется классификации различных разновидностей гравитационной и негравитационной конвекции, которые мы рассматриваем в трех основных режимах микроускбрений, действующих в невесомости: малые постоянные микроускорения, теоретическая невесомость (g = 0) и, наконец,микроускорения, изменяющиеся в пространстве и во времени.
Третья часть книги (гл. 5—7) имеет более специальный характер и содержит результаты исследования особенностей конвективных процессов в невесомости в моделях типичных технологических процессов: выращивания кристаллов методом направленной кристаллизации в ампуле (гл. 5) и полупроводниковых структур методом жидкостной эпитаксии (гл. 6), разделения веществ методом электрофореза в свободном потоке (пл. 7). В каждом из упомянутых случаев делается попытка проанализировать влияние изменения конвекции в невесомости на соответствующие технологические характеристики (однородность распределения концентрации легирующей примеси в объеме, геометрическая однородность структур, эффективность разделения смеси) и на этой основе проанализировать имеющиеся экспериментальные данные. Особое внимание уделяется поиску альтернативных невесомости методов улучшения характеристик технологических процессов, с тем чтобы выяснить ее действительные преимущества в кругу других возможных воздействий (геометрических, динамических, тепловых и т.д.). Это направление исследований, стимулированное технологическими экспериментами в космосе, было предметом рассмотрения на специальной секции шестого Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной меха- 6
нике и представляется нам одним из важных направлений гидромеханики и тепломассообмена при получении материалов — раздела механики жидкости и газа, интенсивно развивающегося в наше время под влиянием технологических экспериментов в космосе [62].
В методическом отношении эта книга развивает подход к математическому моделированию конвективных процессов на основе уравнений Навье—Стокса, изложенный в коллективной монографии [134]. Основной рабочей моделью при многочисленных параметрических расчетах является, как и в упомянутой монографии, двумерная нестационарная модель конвекции для бинарной смеси в приближении Буссинеска, для численной реализации которой используются рассмотренные в [134] различные варианты метода конечных разностей и программные комплексы. За истекший период после выпуска упомянутой монографии арсенал методов существенно дополнился, что нашло отражение в этой книге. Методы решения двумерных уравнений пополнены неявными матричными методами, эффективными для медленных конвективных течений. Получили развитие модели трехмерных нестационарных уравнений Навье—Стокса, использующиеся в гл. 4 для общего случая произвольного пространственно-временного изменения микроускорений, а также методы численного решения линеаризованных уравнений, широко применяющиеся для анализа устойчивости конвективных течений (гл. 2, 3). Некоторые из рассмотренных здесь задач сегодня могут решаться независимыми пользователями на персональных компьютерах. Краткие сведения об этих новых вычислительных средствах даны в приложении. Большое внимание в этой книге, так же как и в монографии [134], уделено тестам результатов, получаемых методами математического моделирования и лабораторного (физического) моделирования.
Следует отметить, что на содержание и методическую направленность книги благотворное воздействие оказали научная атмосфера и традиции семинаров, руководимых академиком Георгием Ивановичем Петровым, который при решении прикладных задач учил применять разнообразные теоретические подходы к изучению гидродинамики в тесном сочетании с экспериментальными исследованиями в лабораториях и натурных условиях.
Отправным для этой книги, имеющей технологическую направленность, был цикл исследований конвективных процессов, выполненный 15—20 лет тому назад применительно к хранению топлив в невесомости [39, 114, 128—130, 133]. Именно в этот период был впервые установлен принцип максимума температурного расслоения, вызываемого тепловой гравитационной конвекцией в замкнутом объеме при заданном подводе тепла [133].
Указанный принцип обобщается здесь (гл. 2-4) на случаи макронеоднородности распределения примеси, обусловленные основными видами микроскопического движения (вынужденная, гравитационная термоконцентрационная, термокапиллярная конвекция). Показано его важное значение в технологиях получения материалов в невесомости (гл. 5—7).
Конвекция участвует в очень многих сложных гравитационно-чувствительных процессах, например вблизи критической точки или при наличии физико-химических превращений (в том числе при горении, см., например, [61, 106]), которые мы не рассматриваем из-за ограниченного объема книги. Однако, по-видимому, и в этих ситуациях могут проявляться общие за-
кономерности конвекции в условиях невесомости. Это относится прежде всего к упомянутому эффекту максимума температурного (концентрационного) расслоения.
Авторы надеются, что разработанные в книге методические подходы к изучению конвективных процессов в невесомости, опыт классификации, анализа, а также методы и программное обеспечение будут полезны при разработке более сложных моделей конвективных процессов.
Основная часть представленного в книге материала является обобщением многих докладов на международных симпозиумах, а также всесоюзных семинарах и конференциях и опубликована в различных отечественных и зарубежных изданиях в течение 1979—1989 гг. Так, в гл. 1 вошли преимущественно материалы [96, 97, 2 53], гл. 2 — [71, 119, 140, 142, 161, 196, 252, 254, 256], гл. 3 - [70, 119, 130, 138, 139, 256], гл. 4 - [96, 97, 253], гл. 5 - [113, 116, 240, 241, 253-255], гл. 6 - [41-43, 136] и гл. 7 - [22-25].
В заключение авторы считают своим приятным долгом поблагодарить почетного директора Института проблем механики АН СССР академика А.Ю. Ишлинского и директора этого же института члена-корреспондента АН СССР Д.М. Климова за внимание к работе и поддержку, академика В.С. АвдуевскоГо за многочисленные полезные обсуждения и советы. Авторы также выражают благодарность сотрудникам лаборатории математического и физического моделирования в гидродинамике кандидатам физикоматематических наук В.Л. Грязнову и М.К. Ермакову, участвовавшим в написании приложения 1, инженеру Ф.В. Козыреву за помощь в работе над разд. 2.4, доктору физико-математических наук С.Я. Герценштейну и доктору технических наук А.Г. Кирдяшкину, взявшим на себя труд по рецензированию книги.
Часть I
МАССОВЫЕ СИЛЫ,ВЫЗЫВАЮЩИЕ КОНВЕКЦИЮВ УСЛОВИЯХ НЕВЕСОМОСТИ
Гравитационная чувствительность многих практически важных процессов и систем, в особенности гравитационной конвекции, прежде всего ставит задачу более строгого количественного определения невесомости в реальных условиях полета. Каждый из способов создания невесомости (башня сбрасывания, самолет-лаборатория, ракета-зонд, орбитальная станция) обладает своей спецификой, что требует разработки специальных методов расчета. В этой части книги мы рассмотрим методику расчета малых массовых сил при полете орбитальной станции.
Глава 1
МАССОВЫЕ СИЛЫИ УСКОРЕНИЯ В ОРБИТАЛЬНОМ ПОЛЕТЕ
Большинство работ, относящихся к начальному этапу космического материаловедения и технологии (см. [90, 96, 97, 192, 246]), были основаны на качественных оценках сил и микроускорений в орбитальном полете.
Дальнейшее развитие исследований потребовало проведения непосредственных измерений микроускорений на борту орбитальной станции, которые чрезвычайно затруднены ввиду малой абсолютной величины и широкого диапазона изменения этих микроускорений. Например, по данным измерений на западноевропейском специализированном спутнике ’’Кастор”, который не подвержен воздействию большинства факторов внешней среды (свободен от сноса), уровень микроускорений в свободном полете составил 10 6g0 (точность измерений акселерометром до Ю8^0), тогда как эксперименты с акселерометром на станции ”Салют-6” при той же высоте орбиты дают диапазон микроперегрузок (10~3— 10-4)g0 [65, 273]. Отметим, что данные измерений зависят от чувствительности датчиков и диапазона уровня ускорений, на который они настроены.
Современный этап изучения гравитационно-чувствительных систем и процессов связан с детальным анализом как величин сил и микроускорений, так и их пространственно-временного изменения в зависимости от характеристик станции и режимов полета, что требует разработки математических моделей для параметрических исследований.
В работах, относящихся к динамике движения спутника вокруг центра масс в гравитационном поле Земли с учетом аэродинамического сопротивления атмосферы (см., например, [21, 26,152]),рассматриваются корот-
копериодические и вековые изменения углового движения спутника. По- видимому, наиболее адекватными являются модели микроускорений с использованием результатов измерения угловых скоростей [152, 153].
В данной главе наряду с традиционными оценками и классификацией микроускорений (разд. 1.1) представлена математическая модель одного из предельных режимов полета, характеризующегося низкочастотными ускорениями различной амплитуды (полет без экипажа и при отсутствии возмущений от технических систем и систем управления) (разд. 1.2, 1.3). С помощью этой модели выполнены параметрические исследования микроускорений для станций ’’Салют” и ’’Спейслаб” в режимах гравитационной стабилизации (разд. 1.4). Численные результаты сопоставляются с аналитическими, полученными для частного случая полета без учета пространственных возмущений и для плоского движения по орбите. На основе имеющихся в литературе и полученных в расчетах данных в конце этой главы приведены необходимые для последующего исследования гравитационной конвекции в невесомости оценки определяющих критериев в зависимости от режима полета, геометрического размера, характеристик рабочих веществ и т.д.
Оценки аил и микроускорений
Микроускорения на борту протяженного спутника. Рассмотрим пробное тело, находящееся на борту протяженного спутника Земли. При наличии связей этого тела с конструкцией спутника под невесомостью понимается отсутствие реакции со стороны этой связи. В последнем случае это тело будет покоиться или двигаться с постоянной относительной скоростью. Таким образом, невесомость возникает при совместном движении пробного тела и спутника с одинаковым ускорением (свободного падения для данной точки пространства). На практике такое равенство практически не выполняется, возникает реакция связи и появляются относительные микроускорения. В силу принципа эквивалентности инерционного и гравитационных ускорений отсутствие невесомости приводит к микротяжести на борту спутника, которую можно сравнить с величиной тяжести на поверхности Земли (ускорение свободного падения go=9,81 м/с2). Безразмерная величина g/g0 характеризует изменение тяжести, или массовой силы, на борту спутника (см. подробнее [81]).
Относительные микроускорения вызваны взаимодействием спутника как протяженного тела с гравитационным полем, внешней средой и другими типами полей. Механическая природа микроускорений обусловлена следующими причинами: вращательным движением спутника относительно центра масс (ДосДвр — осесимметричное и вращательное ускорения) , поступательным движением спутника, вызванным силами негравитационной природы (а0), неоднородностью поля тяготения Земли (Ог.г), собственным тяготением (дст), упругостью конструкции (авв) и др.
Возмущающие силы, а для протяженного тела и моменты в зависимости от их природы можно разделить следующим образом: гравитационные (неоднородность поля тяготения, собственная гравитация элементов конструкции) и негравитационные возмущения, обусловленные космической средой (аэродинамическое сопротивление, световое давление/
Таблица!.1
Возмущающие факторы
Обозначение микроускорения
t!Ta
Г равитационные:
градиентно-гравитационные
ат.т
10" 6
0,5-1
собственное тяготение
асл
10" ’
Космическая среда: гравитационный момент
аос> авр
10“
0,5-1
сопротивление атмосферы
ао>аос>авр
10" 6
1
солнечное давление
аО*аОС.°вр
ю-’
1
магнитный момент и сила
ао» дос» двр
ю-'-ю-10
1
микрометеориты и др.
ао* ДОС> Двр
ю-”
-
Работа систем ИСЗ: стабилизация полета
дос> двр
Ю-3-10“
0,1-ЮГц
коррекция орбиты
ао
ю-’-ю-3
0,1 -10Гц
деятельность экипажа и др.
аос> авр> авб
ю-*-ю-5
0,1-ЮГц
упругость конструкции
авб
ю-’-ю-4
0,1-ЮГц
магнитное и электромагнитное взаимодействие с конструкцией спутника и др.), а также возмущения, связанные с функционированием систем спутника.
Основные возмущающие факторы и возникающие микроускорения представлены в табл. 1.1. Здесь же указаны характерные оценки величины и периода (То - период обращения вокруг Земли) всех составляющих микроускорений для спутника типа ’’Салют-Союз” (масса 32 т, длина 28 м), которые получены из соотношений, рассмотренных ниже (п. 1.1.2 - 1.1.5). В дальнейшем все оценки приводятся для характерных космических аппаратов: станции ”Салют-6—Союз-ТМ— Прогресс” и многоразовой транспортной системы типа ’’Спейслаб-Шаттл” или ’’Буран”.
Градиентно-гравитационные ускорения. Собственное тяготение. Будем рассматривать правую орбитальную систему координат Хо, ^о, Zo> связанную с центром масс спутника (рис. 1.1). На частицу с массой dm действует сила тяготения, направленная к центру Земли:
F = -udmiolVxo +уо + (zo + Д)2],
где д = f/M - гравитационный параметр Земли (/ — гравитационная постоянная, М — масса Земли); R — радиус Земли; г0 - единичный вектор, С точностью до членов второго порядка малости компоненты гравитационного ускорения выражаются в следующем виде [21]:
ax=-xon;R3, ay=-you/R3, az=-3zon/R3.(1.1)
При этом центр масс спутника, а значит, и рассматриваемая частица участвуют во вращательном орбитальном движении вокруг Земли, и про-
екции ускорения частицы будут равны
ах = xoWo, ау =0, аг = (R + z0) wq , (1-2) где wq = wjR3 - угловая скорость обращения спутника. Ускорение частицы относительно орбитальной системы координат представляет суперпозицию (1.1) и (1.2):
ах = 0, ay=-y0u/R3, az = 3z0u,R3, (1.3) где хо, у о, z о - координаты частицы в орбитальной системе координат. Следует отметить, что несимметричность геоида Земли не вызывает появления возмущающих микроускорений, так как уточнение гравитационного потенциала геоида приводит к изменению лишь правых частей выражения (1.3). При этом точность вычисления величины с учетом наи-
Рис. 1.1. Схематическое изображение спутника ’’Салют” и выбранные системы координат х», у„ z0 — орбитальная, X’, У', Z' — связанная система
более существенной второй гармоники геоида не превосходит величин второго порядка малости, которые не принимались во внимание уже в выражении (1.2) и, таким образом, не превосходят в абсолютном значении величины (1О-9-1О-1°)^о (см. табл. 1.1).
Орбитальные проекции в системе координат, связанной с корпусом спутника, изменяются, что связано с движением спутника относительно собственного центра масс под действием возмущающих моментов как гравитационной, так и негравитационной природы. Связь орбитальной и связанной систем координат задается в общем случае матрицей перехода. Для движения в плоскости орбиты эта связь имеет вид
Уо =у', z0=x'sinO+z'cosO, (1.4)
где 6 - угол ориентации относительно местной вертикали.
Пространственно-временное изменение гравитационных ускорений, возникающих из-за неоднородности центрального поля тяготения, определяется динамикой движения спутника вокруг центра масс. Такое движение может вызываться и негравитационными воздействиями, например работой систем управления, деятельностью экипажа в пилоти-
руемом полете и тл. Собственное тяготение протяженного спутника в ряде случаев может иметь заметную для технологических приложений величину, оценку которой сделаем для модели цилиндрического спутника длиной /, радиусом R при средней плотности конструкции р. В точке, расположенной на расстоянии b от центра масс вдоль оси цилиндра, ускорение, вызванное собственным тяготением, можно оценить по формуле (в системе СИ)
a/go = 4,2 • 10"12р//?2/[2Ь (Ь+/)].
Отсюда следует, что при расположении технологической аппаратуры в непосредственной близости (0,1—1 м) от массивных элементов конструкции с массой выше 100 кг микроускорения могут достигать соответственно (10~7-10-1 °) g0.
Аэродинамическое торможение и другие виды возмущений. При полете на низких орбитах на спутник действует сила сопротивления атмосферы
F = -сЛрРо/2,(15)
где с — коэффициент аэродинамического сопротивления;. А — площадь характерного сечения (мидель аппарата); р — плотность атмосферы;
р0 — скорость набегающего потока газа. При наличии угла атаки а проекции силы сопротивления действуют вдоль и перпендикулярно оси спутника. Геометрию спутника и угол атаки будем учитывать коэффициентом с, который обычно при движении в разреженных потоках (верхние слои атмосферы) имеет величину 2—3, а скорость спутника относительно набегающего потока определяется из соотношения [88]
I Ро I = {Wujp (1 + еcosp) - (S2 + a)rcosz]2 +
+ (p/p)e2sin2p + (£2 + o)2r2sin2z cos2m I й.(1.6)
Направляющие косинусы вектора р0 в орбитальной системе координат имеют вид
01 = \>JvJp (1 + ecosp)-(Q + o)rcosz]/ |v0 I,
02 = Vpjpesinvj | vo I,(1.7)
03 =(S2 + o)rsinzcostz/ |v0 I.
В связанной системе координат направляющие косинусы v вектора v0 имеют вид
"z = 71101 +71203 +71303,(1-8)
где 7f/- — матрица перехода от орбитальной к связанной системе координат; г, i, е, р, V, и — элементы орбиты; Sl,o — угловые скорости соответственно вращения Земли и движения воздуха в западном направлении (принято П = a = 0). Из приведенных выражений можно вычислить аэродинамические силы, действующие на спутник:
Fkx = -cnkAkpvoi2, Fky = ~с„кАкррЦ2 -vj Vl-Pi,(1.9)
Fkz =-cnkAkpvol2 -p3/V1 -vt.
или суммарная сила
Ft = 2 ЕкЬ (1.10) к = 1
где z = 1, 2, 3 - проекции силы аэродинамического сопротивления Л-го конструктивного элемента космического аппарата.
При расчете аэродинамических характеристик сложного орбитального комплекса будем использовать простые аналитические выражения аэродинамических коэффициентов для стандартных тел: пластины,цилиндра, конуса, сферы. При этом сложную геометрическую форму аппарата заменим стандартными простыми поверхностями, а аэродинамическую силу всего аппарата получим, суммируя силы по отдельным его составляющим. В такой постановке не учитывается интерференция тел и явления затенения тел друг другом. Однако, как следует из работ [88, 192], для свободномолекулярного потока при достаточно простой геометрии спутника такое ограничение несущественно.
Плотность верхней атмосферы определяется согласно модели, построенной на основании данных о торможении ИСЗ серии ’’Космос" и согласованной с экспериментальными данными для высот 160—600 км при среднем и низком уровне активности Солнца. Плотность атмосферы будем представлять в виде [88]
Р = кх к3к3к4рп, рп = exp (<Zi -<z2 V^-дз),
где рп — ночной вертикальный профиль плотности атмосферы; кх - коэффициент, учитывающий изменение плотности в зависимости от солнечного излучения (в расчетах индекс активности Солнца Fx 0 7 = = 100 • 1022 Вт/(м2 • Гс)); кг — это суточный эффект в распределении плотности; к3 - поправка на полугодовой эффект; к4 - корреляция изменений плотности атмосферы и геомагнитных возмущений (в расчетах к^ = 1); ах, а3, а3 — некоторые коэффициенты [88]; h — высота полета спутника.
Перечисленные соотношения вместе с численными значениями параметров ЕХ01, кх, к3, к3, кА используются в пакете программ и применялись, в частности, при вычислении микроускорения, вызываемого аэродинамическим торможением орбитальных станций типа "Салют", а также при интегрировании уравнений движения спутника относительно центра масс.
Величина светового давления рс Солнца для Земли составляет рс = = Е0/с = 4,4 • 10~6 Н/м2, где Ео — величина потока энергии излучения на расстоянии 1 а.е. от Солнца (Ео = 1,4 • 10~6 эрг/см2); с — скорость света. Величину микроускорений определим из закона об электромагнитном давлении:
ас = (1 + е ) рсА/т,
где е — коэффициент отражения; А — площадь миделя; т — масса спутника. Для орбитальной станции типа "Салют” при наибольшем отношении А/т микроускорение от светового давления будет 2 ■ 10~9 g0, для наименьшего значения А/т (световой поток по оси станции) ас = = 2,3 • КУ10 go- Таким образом, величины микроускорений центра масс
спутника типа ’’Салют", вызванные солнечным давлением, находятся в пределах от 2 • 10"9 go до 23 • 10"10 g0- Достоверность этих оценок зависит от точности задания А/m и е, а также от точности данных о расположении станции относительно светового потока.
Протяженный спутник имеет электромагнитное поле, которое взаимодействует с магнитным полем Земли. Основными источниками электромагнитного возмущения спутника являются: электрические системы и постоянные магниты, намагничивание металлической оболочки спутника, вихревые токи в оболочке, электрический потенциал спутника, возникающий из-за влияния ионизированных слоев верхней атмосферы. Микроускорения, вызываемые первыми тремя причинами, описываются соотношением
где к — средняя магнитная проницаемость материала спутника массой т; р — средняя плотность материала; Н — напряженность поля Земли (Я ^ 0,5 Э); йН/dR — градиент поля Земли (— 10"9 Э/см). Сила, действующая на заряженную оболочку с зарядом q, вызывает ускорение
а = qHVcm,
где V — скорость спутника; с — скорость света. Поверхность спутника может приобретать значительный потенциал (в несколько сот вольт на освещенной стороне и несколько тысяч вольт на теневой), что приводит к ускорению а = 1,9 :10"13 g0 при потенциале станции 50 В и а = = 1,8-Ю"11 go при потенциале в 1000 В. Таким образом, магнитные возмущения для большинства типичных спутников малы.
Воздействие микрометеоритов будем рассматривать как непрерывный поток частиц энергии Е, действующей на аппарат в одном направлении. (Обычно направление потока явно не выражено.) Давление потока р Е/V, тогда а рА/т, что дает
а = ЕА^Ут) 10~12 А/т,
где Е = 10~9 Вт/м2; V = 40 км/с — средняя скорость частиц. Микроускорение для спутника типа "Салют” составит порядка 5,0 ■ 10"16 g0.
Рассмотренные возмущения значительно изменяются во времени и по высоте орбиты. Абсолютная величина возмущений пропорциональна отношению А/m. Аэродинамическое возмущение для низких орбит (менее 700 км) является преобладающим, для более высоких орбит основной возмущающий фактор — давление света, величина которого не превосходит 10"8 go и действием которого в подавляющем большинстве случаев можно пренебречь. Возвращаясь вновь к табл. 1, можно установить, что из всех возмущений второй группы основным является аэродинамическое торможение (см. (1.9), (1.10)).
Упругие колебания конструкции. Орбитальная станция представляет собой сложное упругое тело, как правило, вытянутое вдоль одной из осей. Поэтому рассмотренные выше возмущения, в особенности возмущения, вызванные работой технических систем, могут приводить к упругим колебаниям станции. Измерения такихколебанийвыполнены с по-
Таблица 1.2
Тип станции
Z, м
m-10"3, кг
m/l
Л, Гц
! Л, Гц
1
Л > Гц
Салют
28
32,5
1547
3,95
10,9
19,25
Салют
21
25,5
1214
6,21
16,7
25,8
Салют
14
18,5
1321
14,29
10,4
75,9
Союз
7
7,0
1000
41,1
103,5
221,5
Спейслаб-
Шаттл
37
85
2290
2,91
7,73
15,1
мощью акселерометров на станциях ’’Салют” ,[65], а также ’’Шаттл” [90, 192] (орбитальная станция "Спейслаб” жестко закреплена в грузовом люке многоразового корабля ’’Шаттл”).
Оцежу параметров упругих колебаний станции выполним на основе дифференциального уравнения свободных колебаний [ 120]
EJ^y^x* + т^¥ = 0,(1.11)
где EJ — изгибная жесткость; т — масса спутника; у — отклонение от продольной оси; х - координата вдоль продольной оси; t - время. Представляя решение (1.11) в виде произведения двух функций:
у = E(x)T(t),
получим систему уравнений
Г* р2Г = 0, KIV - а4 =0,
где а4 = mp2[EJ . Из решения первого уравнения Т = Л sin (pt + со) следует, что постоянная со является собственной частотой, для определения которой используется решение второго уравнения
V = CjSinax + C2cosax + C3shax + C4shax
при схеме закрепления, соответствующей летящему спутнику. Это приведет к однородной системе уравнений относительно постоянных Ct. Условие существования нетривиального решения найденной однородной системы позволит получить характеристическое уравнение.
Для спутника, имеющего форму, близкую к цилиндру, и свободно летящего в пространстве, можно в первом приближении ограничиться схемой балки трубчатого сечения, не имеющей опоры. Исходя из реального распределения масс и аппаратуры спутника и задав среднюю из- гибную жесткость (£7) такой схемы, получим решение рассмотрен- а2п EJ
ных уравнений. Собственные частоты колебаний fn =, где m[l -
2тг m/l
плотность распределения массы спутника вдоль продольной оси, приведены в табл. 1.2.
Вибрационные ускорения, вызванные упругими колебаниями, опре-
деляются частотой и амплитудой колебания:
аВб = vWt\O= -Xpsm(pf + u>)7(x),(1.12)
где р2 =a2EJjm, и направлены поперек продольной оси.
Для станций типа "Салют” и ’ТЗпейслаб” оценки собственных частот в зависимости от компоновки приведены в табл. 1.2. Сравнивая расчетную частоту комплекса "Салют” Л = 3,951 Гц и измеренную в работе [65] f = 1,75 Гц, можно говорить об относительной точности расчетов по данной аналитической схеме, не учитывающей нелинейных и демпфирующих свойств реальных конструкций.
Непосредственные измерения величины вибрационных ускорений показали, что на станции "Салют” [65] характерная частота упругих колебаний спутника лежит в диапазоне 1-10 Гц, тогда как на корабле "Спей- слаб—Шаттл" эта частота существенно выше и может составлять, согласно [90], 40—80 Гц. При этом микроускорения на станции "Салют” при частоте 1—10 Гц имеют величину др 10~3 go, а для станции "Спейслаб— Шаттл" на частотах 1-10 Гц - 0,6 • 10~3 g0, при 30-40 Гц - 3- 1О~3#о, 70-90 Гц - 6 • IO’3 gо [90].
Вращательные ускорения. При орбитальном движении протяженный спутник под действием внешних силовых полей совершает вращательные движения вокруг центра масс. Вращательное движение вокруг Земли здесь не учитывается, так как вызываемое им ускорение рассматривается как составляющая часть градиентно-гравитационных ускорений (см, ц. 1.1.2). В результате такого движения возникают о се стремительные и вращательные ускорения, которые определяются известными соотношениями
аос = [шх [ш х г]],(1.13)
авр= [е хг],(1.14)
где ш = ы(г); € =дш/дг; г = lx'; j'; z'] , х', у1, z* — координаты точки в системе координат, связанной с центром вращения (центром масс); ш<> е/ - проекции угловой скорости и углового ускорения на оси связанной системы координат. Отметим, что изменение (прецессия) ориентации оси вращения не сказывается на виде выражений (1.13), (1.14). Как будет показано ниже, данные ускорения могут быть значительными: до (Ю-5 —IO-4) g0«
Таким образом, общую формулу микроускорений, возникающих на борту космического аппарата, можно представить в следующем виде:
a =f!m + Аа^фГ}2/т2 • (C^inax 4- С2 cosax + C3shax +
+ C4chax) sin (a2E7/zn) + |ар г | + |[щ х [и х г]] I + I [с х г] I .
1717Детальный расчет ускорений, связанных с вращением станции, аэродинамическим сопротивлением и градиентами поля тяготения, требует дальнейшего анализа и представлен ниже.
17
17
Математическая модель массовых сил и микроускорений
Уравнения движения спутника. Учитывая изложенные в разд. 1.1 оценки составляющих возмущающих сил, будем при построении численной модели в качестве главных учитывать силы аэродинамического сопротивления, гравитационный момент, а также возмущения, определяемые начальными отклонениями и скоростью аппарата. Воздействия экипажа и технических систем станции, включая системы управления, не учитываются. Рассматривается вариант полета космического аппарата в непилотируемом режиме и при отсутствии работы системы управления, в котором реализуется в некотором смысле предельно достижимое состояние реальной невесомости.
Уравнения движения спутника вокруг центра масс для плоской орбиты в гравитационном поле Земли с учетом принятых предположений представляется в следующем каноническом виде [21]:
detjdt = bH/bpi, dp,/dt = - bH/bdi + Qt, (1.15)
где 9,, pt — обобщенный угол и импульс; Qt — обобщенная диссипативная сила, / =1, 2, 3; гамильтониан Н имеет вид
Я= (Лр2 + Bq2 +Сг2)/2 + (Зд/4Я3)[(Л -0у2 + (5-07,2] +
+ ш02 [(5-Л)02 +<B-O5”2M^ + B63dw0;dt. (1.16)
Здесь А, В, С — главные моменты инерции относительно осей; p,R,w0 — гравитационный параметр, радиус орбиты и угловая скорость обращения; р, q,r — компоненты относительной угловой скорости; 7,7',0,0" — коэффициенты матрицы перехода от орбитальной к связанной системе координат. Выражения для bH/bpi и bH/b^i получаются непосредственным дифференцированием выражения (1.16). Если 9t — угол поворота вокруг z-й оси, то обобщенная диссипативная сила представляет собой момент внешних сил, имеющих силовую потенциальную функцию.
Ввиду малости остальных возмущений рассмотрим момент аэродинамических сил сопротивления, которые будем считать потенциальными и рассчитывать по изложенной выше методике (см. п. 1.1.3). Приведем обобщенную диссипативную силу к виду
h
Qi = L [FkX?k], к = 1
где rk - радиус-вектор центра давления fc-ro тела относительно начала связанной системы координат спутника; Ек — аэродинамическая сила сопротивления /t-го тела спутника.
Выражая проекции угловой скорости р, q, г относительно центра масс в проекциях на связанную систему координат через обобщенный импульс (аналогично [21]), получим исходную для численного моделирования систему угловых пространственных движений спутника относительно центра масс в гравитационном поле с учетом сил аэродинамического торможения в атмосфере Земли.
Аналитические решения (движение без учета аэродинамического момента). Уравнения (1.15) имеют ряд точных решений, среди кото- 18
рых отметим два решения для гравитационно-стабилизированного неуправляемого полета. Это случай одноосной стабилизации и случай стабилизации в плоскости орбиты без учета аэродинамического момента.
А. Одноосная стабилизация. При малых значениях 60 и 80 свободные колебания вокруг продольной оси (ориентированной к центру Земли) могут быть большими. В таком случае имеется лишь одноосная гравитационная устойчивость спутника. Такое движение вокруг продольной оси для ряда случаев можно аппроксимировать уравнением колебаний математического маятника [21]
902д(1+Х)
— + sin 20 = 0,(1.17)
9т4-ЗХ
где т = шй1; р = ф -А)/С', X = С/А. Оценим период и амплитуду углового движения вокруг продольной оси. Для малых колебаний имеем
0 = 0msinwf, со = 2я/Г,■
/я(4-ЗХ) 1.
где Т = 2itV —-—— ; 6m = 0o/w.
2д (1 -X)
Б. Колебания в плоскости орбиты. Уравнения (1.15) имеют частное решение при
01 = 02 = 01 = 02 = 0.
Этот случай соответствует колебаниям спутника в плоскости орбиты, при этом ось Y* совпадает с нормалью к орбите и гамильтониан Я (1.16) записывается следующим образом:
РзЗр-.
Н =— + (A- C)sin203 + Вы06.
4В2R3
Тогда уравнения (1.15) упрощаются и принимают вид
d9РзбрзЗрdwQ
— == _[ (л _ qsin0COs0 + В— ]•(1.18)
dtВdtR3dt
Уравнения (1.18) являются уравнениями плоских колебаний спутника на эллиптической орбите. Если орбита круговая, то dwjdt = 0> Wg = p/R3 и уравнения (1.18) сводятся к уравнению [21]
0 + 3wo«sin0cos0 = 0, (1.19)
решение которого представляют гармонические колебания с периодом
7- —21—
3(А-С)[В
и амплитудой
9т = arcsin [0о / (Зиыо) + sinSoL
где к = 0о/(Зншо) + sin0o; 0о, ^ — начальные условия по углу и скорости; То = 2тг/ш0 — период обращения спутника по орбите. С некою-
рым приближением решения уравнений (1.18) можно записать
в = вт sinwZ,
где со = ш0 ■ Зи; ы0 = ^(Т = д/R3-
В общем виде для случаев колебаний спутника в плоскости орбиты и одноосной стабилизации микроускорения запишутся
<4 = о^ S А».(1.20)
/=1
При выводе выражения (1.20) использованы выражения (1.3) — (1.10), (1.17). Проекции вектора Ац на оси связанной системы координат для случаев одноосной стабилизации (случай Л) и колебания спутника в плоскости орбиты (случай 5) представлены в табл. 1.3. Здесь р = = exp[ai-a2 xfH-азА, at = -16,1,а2 = 0,71, д3 =70,33 при индексе Солнца Т^юл = 150-1021 Вт/(м2-Гц). Ускорения от аэродинамического сопротивления учитываются по упрощенной формуле без учета интерференции составляющих конструкции спутника и зависимости коэффициента сопротивления от угла атаки; аэродинамический момент считается равным нулю. В табл. 1.3 использованы кинематические параметры движения, представленные ниже:
Случай А в =вт sin со г 6т =0о1^о ш = х/2д(1-Х)/[я(4-ЗХ)] д = (В-Л)/ С; Х = С/ЛСлучай А в =вт sin со г 6т =0о1^о ш = х/2д(1-Х)/[я(4-ЗХ)] д = (В-Л)/ С; Х = С/ЛСлучай Б в = вт sinwr 6т =агсяп[0о/(3нщ2) + sin0o] со = V3n соо и = (Л - OIBСлучай Б в = вт sinwr 6т =агсяп[0о/(3нщ2) + sin0o] со = V3n соо и = (Л - OIB
Случай А в =вт sin со г 6т =0о1^о ш = х/2д(1-Х)/[я(4-ЗХ)] д = (В-Л)/ С; Х = С/Л
Случай А в =вт sin со г 6т =0о1^о ш = х/2д(1-Х)/[я(4-ЗХ)] д = (В-Л)/ С; Х = С/Л
Случай Б в = вт sinwr 6т =агсяп[0о/(3нщ2) + sin0o] со = V3n соо и = (Л - OIB
Случай Б в = вт sinwr 6т =агсяп[0о/(3нщ2) + sin0o] со = V3n соо и = (Л - OIB
Относительно хорошее согласие данных, полученных по аналитическим выражениям, с результатами расчетов численной модели для случая движения вокруг поперечной оси в режиме гравитационной стабилизации спутника (см. далее рис. 1.3, кривая 3) показывает, что выражения, приведенные в табл. 1.3, отражают пространственно-временные особенности микроускорений в этом режиме1.
Зависимость микроускорений от параметров полета
.1. Метод и программа численного решения. Решения уравнений (1.15) для резонансных колебаний спутника выполнены методом усреднения в работе [21]. Для численного моделирования движений, спутника разработана программа, позволяющая интегрировать систему (1.15) и вычислять составляющие микроускорений (13), (1.10), (1.13), (1.14). Программа сопрягается с комплексом программ численного моделирования гидродинамических процессов на основе нестационарных уравнений Навье-Стокса [134], что дает возможность учесть циклограмму изме-
Данная аналитическая модель реализована в виде программы для персонального компьютера с развитым ’’дружественным” интерфейсом.
20
Таблица 1.3
Вид микроускорений
)
Ач
Случай А
Случай Б
Градиентно-
1
X
0
0
гравитационные
У
-х sin 8 + ycos8
-у
г
3z
3 (zcose - x sine?)
Аэро динами-
2
X
— срАе (R„ + //)’ cosfl HIM)
-cpA0<R0 + НУ cos6/(2M)
ческие
У
-cpA0(R0A Hysm9j(lAf)
0
Z
0
cpA0(R0+ Я)2 sin9/(2Af)
Осестремитель-
3
X
- 3л (9m - 02)x
-3n(0^-92)x
ные
У
-3«(0^ -62)y
0
г
0
-3«(6^ - 02)z
Вращательные
4
X
- 3n0 z
- 3«ez
У
- 3n0Z
0
Z
0
3n9z
Обозначения: х, у, z — координаты точки, в которой определяются ускорения, выраженные в связанной системе координат (ось X— по направлению полета, ось Z — по радиусу-вектору орбиты, ось У перпендикулярна плоскости орбиты); 0 - угол между осью Z и радиусом-вектором орбиты (осью Zo орбитальной системы координат) ; т = V3»; n = (А-С)/В; А, В, С - главные моменты инерции спутника; угловая скорость обращения спутника вокруг Земли о>0 = м/а3; а = р!<1 - е2) ,р = (Л0 + //0)(1 + е),е- эксцентриситет орбиты, Rg — радиус Земли, Но — начальная высота полета; Н — высота полета; Ад — площадь миделя спутника; М — масса спутника.
м
нения массовой силы в процессе моделирования технологического экс
перимента в условиях невесомости.
Интегрирование уравнений (1.15) осуществляется методом Рунге- Кутта 4-го порядка с переменным шагом. При расчетах правой части уравнений учитывается аэродинамический момент, вычисляемый для текущего значения высоты полета по модели стандартной атмосферы [88] и методике, изложенной выше. При расчете циклограммы массовой силы наряду с вращательными и осестремительными ускорениями, вызванными аэродинамическими и гравитационным моментами,
учитываются градиентно-гравитационные и аэродинамические ускорения (см. табл. 1.1).
Программа графической обработки упомянутого комплекса [134] позволяет визуализировать как проекции ускорений на отдельные оси и направления, так и поведение суммарного вектора его составляющих. Тесты основной программы осуществлены на точных решениях уравнения (1.19) для угловых движений спутника в плоскости орбиты без учета аэродинамических компонент. Аэродинамические и градиентногравитационные микроускорения учитываются во всех трех проекциях. При этом в расчетах заложены трехмерные уравнения (1.15), что является своеобразным тестом проводимых численных расчетов. Отличие результатов интегрирования уравнений углового движения при вычислении микро ускорений для шага 20 с составляет около 2% в сравнении с шагом в 1 с. Для такого шага абсолютная ошибка интегрирования при вычислении ускорений составляет 10~9 ^о- Затраты машинного времени (ЭВМ ЕС-1040) для расчета одного периода обращения вокруг Земли составляют около 15 мин процессорного времени. В дальнейшем большинство расчетов проведено для шага интегрирования 20 с (т = Toj21G, где То - период обращения ИСЗ).
Входные параметры программы для расчета микроускорений состоят
из пяти групп:
конструктивные :
М - масса, Ао - площадь миделя, п = (А-С)/В, где А, В, С — моменты инерции;
технологические:
t — время процесса; х', у*, z* — удаление от центра масс орбитальной станции;
траекторные:
Но — начальная высота, е — эксцентриситет, i — наклонение орбиты;
начальные:
во — начальный угол ориентации, (d'd/dt^o —
начальная угловая скорость;
внешняя среда:параметры, определяющие плотность атмосферы.
Программа позволяет рассчитывать микроускорения аппаратов произвольной конфигурации, состоящих из простых тел (цилиндр, сфера, конус, пластина), для которых, используя численную модель атмосферы Земли, вычисляются аэродинамические характеристики: силы и моменты. Отметим, что при расчете изменения во времени микроускорений происходит накопление погрешностей, что приводит к ограничениям в расчете числа витков обращения (расчеты ограничивались 50-100 витками) .
3.2. Результаты численного исследования микроускорений. Рассматривались ш?.« вапианта режимов движения орбитальной станции: устой-
чивая гравитационная стабилизация и произвольное вращение вокруг центра масс.
Режим гравитационной стабилизации (плоский случай). Конкретные численные результаты решения уравнений (1.18) для плоского случая получены для орбитальной станции "Салют" в режиме одноосной стабилизации, где принято А = В = 106 кг • м2, С = 2 • 104 кг • м2, п = 0,98,и для многоразового орбитального комплекса типа "Шаттл” со станцией "Спейслаб", где А = В = 11,3 • Ю6 кг • м2, С = 1,27 • 105 кг • м2, п = 0,98. Выбраны близкие к реальным входные параметры этих станций по данным, опубликованным в печати [273].
Решение для 6 (t), полученное численно, представляет собой гармоническую функцию, частота и амплитуда которой согласуются с данными, полученными на основе аналитической модели. Для проекции возмущающих сил при наличии непрерывного изменения угла атаки (колебания угла а) и зависимости плотности атмосферы от высоты полета получены периодические картины, показанные на рис. 1.2. Здесь и в дальнейшем проекции даны на оси связанной системы координат X"1, У', Z' (см. рис- 1.1). Для параметров орбиты Но = 250 км, е = 0,01, / = 0 (начальные условия: 60 = pi ~ Рг = 0, рз = Ю3 или 8 0 = 10"3 с"1) максимальные значения проекций аэродинамических сил составили соответственно Fx = = 0,28 • 102 Н, Fy = 0,475 • 10’4 Н, Fz = 0,2 • КГ2 Н.
Суммарное ускорение (кривая 1 на рис. 1.2) без учета градиентно-гравитационного ускорения включает аэродинамическое ускорение (или аэродинамическое торможение центра масс), а также вращательное (вызванное угловым ускорением) и осестремительное (вызванное угловой скоростью) ускорения. Важно, что при данных начальных условиях знакопеременные вращательные ускорения преобладают над знакопостоянными осестремительными (частота которых в 2 раза больше), определяя суммарную циклограмму микроускорений. Для большей высоты полета действие аэродинамической составляющей уменьшается и характер изменения микроускорений ближе к гармоническому закону.
Влияние формы спутника можно видеть при сравнении результатов расчетов для станций типа "Спейслаб—Шаттл" и "Салют” (в обоих случаях было принято п = 0,98). На рис. 1.3 показаны изменения микроускорений за два витка обращения вокруг Земли спутника типа "Салют" с учетом градиентно-гравитационных ускорений, вращательных, осестремительных и аэродинамических (кривые 1), и циклограммы микроперегрузок для станции типа "Спейслаб—Шаттл” (кривые 2). В расчетах приняты следующие начальные условия: высота полета 200 км, эксцентриситет 0,01, 6о = 0,5, 8 о = Ю"3 с"1, удаление от центра масс по всем трем осям 1 м.
Как следует из рис. 1, 3,а, б, преобладающими, как и в аналитической модели (при умеренных (d8/dt)0, не приводящих к потере гравитационной устойчивости), являются знакопеременные вращательные ускорения. Влияние градиентно-гравитационных ускорений сказывается на суммарных микро ускорениях в проекциях на оси У' и Z’, искажая их гармонический характер. Для оси X1 влияние градиентно-гравитационных микроускорений ничтожно.
Рис. 1.2. Пример расчетной циклограммы микроускорений в проекции на поперечную ось станции ’’Салют”Высота полета Н = 250 км, е = O,Ol,(d9/dt)o = 10 э с"1. 1 — суммарное, 2 — вращательное, 3 — осестремительное, 4 — аэродинамическое микроускорения (без учета градиент- но-гравитацнонных ускорений)Рис. 1.2. Пример расчетной циклограммы микроускорений в проекции на поперечную ось станции ’’Салют”Высота полета Н = 250 км, е = O,Ol,(d9/dt)o = 10 э с"1. 1 — суммарное, 2 — вращательное, 3 — осестремительное, 4 — аэродинамическое микроускорения (без учета градиент- но-гравитацнонных ускорений)Рис. 1.3. Сравнение циклограмм ускорений для станций ’’Салют” (!) и ’’Спейслаб- Шаттл” (2) в проекциях на оси связанной системы координат
Рис. 1.2. Пример расчетной циклограммы микроускорений в проекции на поперечную ось станции ’’Салют”
Высота полета Н = 250 км, е = O,Ol,(d9/dt)o = 10 э с"1. 1 — суммарное, 2 — вращательное, 3 — осестремительное, 4 — аэродинамическое микроускорения (без учета градиент- но-гравитацнонных ускорений)
Рис. 1.2. Пример расчетной циклограммы микроускорений в проекции на поперечную ось станции ’’Салют”
Высота полета Н = 250 км, е = O,Ol,(d9/dt)o = 10 э с"1. 1 — суммарное, 2 — вращательное, 3 — осестремительное, 4 — аэродинамическое микроускорения (без учета градиент- но-гравитацнонных ускорений)
Н = 200 км, е = 0,01, (d9/dt)0 = 10“3 с"1. Кривые 3 — данные аналитической модели (см. п. 1.2.2)
Циклограммы микро ускорений для спутников типа ’’Шаттл” и ’’Салют” во многом схожи. Это вызвано тем, что для обоих спутников рассматривается гравитационно-ориентированное положение, причем параметры отношения площади миделя к массе спутника А/т у них близки.
Как показали параметрические расчеты, влияние аэродинамического торможения на циклограмму микроускорений заметно лишь на высотах до 250—350 км (рис- 1.4). Суммарные зависимости максимальной, минимальной и средней амплитуд колебаний величины вектора микроускорений от начальной высоты орбиты полета станций типа ’’Салют” и ”Спей- слаб—Шаттл” при е = 0,01,6а = 10-3 с-1 показаны на рис. 1.4. Для схемы ’’Салют” без учета градиентно-гравитационных' ускорений микроперегрузки знакопеременны при стремлении средней составляющей к нулю.
Рис. 1.4. Зависимости максимальной (1, 4), минимальной (2, 5) и усредненной (3, 6) амплитуд ускорения от начальной высоты полета станций ’’Салют" (7-5) и ’’Спейслаб-Шаттл" (4-6)е = 0,01, (d9ldt)a = КГ3 с"1. Для станции "Спейслаб” значения даны с учетом градиентно-гравитационных ускоренийРис. 1.4. Зависимости максимальной (1, 4), минимальной (2, 5) и усредненной (3, 6) амплитуд ускорения от начальной высоты полета станций ’’Салют" (7-5) и ’’Спейслаб-Шаттл" (4-6)е = 0,01, (d9ldt)a = КГ3 с"1. Для станции "Спейслаб” значения даны с учетом градиентно-гравитационных ускорений
Рис. 1.4. Зависимости максимальной (1, 4), минимальной (2, 5) и усредненной (3, 6) амплитуд ускорения от начальной высоты полета станций ’’Салют" (7-5) и ’’Спейслаб-Шаттл" (4-6)
е = 0,01, (d9ldt)a = КГ3 с"1. Для станции "Спейслаб” значения даны с учетом градиентно-гравитационных ускорений
Рис. 1.4. Зависимости максимальной (1, 4), минимальной (2, 5) и усредненной (3, 6) амплитуд ускорения от начальной высоты полета станций ’’Салют" (7-5) и ’’Спейслаб-Шаттл" (4-6)
е = 0,01, (d9ldt)a = КГ3 с"1. Для станции "Спейслаб” значения даны с учетом градиентно-гравитационных ускорений
Рис. 1.5. Зависимости амплитуд колебаний проекций ускорения от начальной скорости ориентации станции "Салют”
Высота полета Н = 200 км, е = 0,01. Кривые 1, 3, 5 — максимальные, 2, 4, 6 — минимальные значении для проекций на осн X' (7, 2), У' (3, 4), Z' (5, 6)
Для станции типа ’’Спейслаб-Шаттл” микроускорения на рис. 1.4 даны с учетом градиентно-гравитационных ускорений. Из графиков видно, что на высотах более 350 км сопротивлением атмосферы можно пренебречь. Для высот более 350 км циклограмма микроускорений в основном формируется из градиентно-гравитационных и близка к гармонической функции с ненулевой средней составляющей.
Влияние начальных параметров ориентации на амптилуду колебания микроускорений показано на рис. 13. Рассматривались угловые движения спутника типа ’’Салют” вокруг центра масс. Орбита спутника близка к круговой (е = 0,01) с высотой' Н = 200 км.
Характерно, что отсутствие градиентно-гравитационных ускорений в проекции на ось X' спутника приводит к тому, что проекции микроускорений на эту ось (кривые 1, 2) являются гармоническими, знакопеременными со средней нулевой величиной (в пренебрежении аэродинамического сопротивления).
Ускорения в проекции на ось К' (кривые 3, 4), перпендикулярной плоскости орбиты, в случае плоских движений в плоскости х = 0 не зависят от начальных условий по углу и целиком определяются градиентногравитационными и аэродинамическими возмущениями. Небольшое различие между кривыми 3, 4 для 0О = 3,0 • 10'3 с-1 объясняется ростом неточности расчетов с ростом 60.
Циклограмма колебаний ускорений на ось Z' спутника (кривые 5, б) с ростом начальной угловой скорости спутника качественно изменяется. Для 0О = 5 • 10"4 с-1 циклограмма имеет знакопостоянный характер, 25
Рис. 1.6. Пример циклограммы микроускорений для станции ’’Салют” (кривая 2) и изменение угла ориентации 9 в режиме дестабилизированного полета (кривая 2) для высоты полета Н= 250 км, е = 0,01, (de/dt^ = 3,8 • 10‘3 с'1
при этом azmax > 0 и azmin > 0 с ненулевой средней составляющей gjgQ ~3 • 10~6. В диапазоне величины 5 ■ 10~4 с-1 < 0О < 3,6 • 10~3 с"1 циклограмма микроускорений знакопеременна (g/go ~Ю-7). При 6 > 3,6 • 10~7 с-1 спутник теряет гравитационную устойчивость и переходит в режим вращения, В этом случае azmax < 0 и колебания ускорения снова становятся знакопостоянными с отрицательной средней величиной.
Нестабилизированный полет. При увеличении начальной угловой скорости ориентации по углу 6 амплитуда вращательных и осестремительных ускорений возрастает, существенно превышая аэродинамические и градиентно-гравитационные. Спутник теряет гравитационную устойчивость и переходит в режим нестабилизированного полета, совершая медленное вращение. При этом предельная начальная угловая скорость [21] составляет для спутника типа "Салют” величину порядка 10"3с .
Циклограмма микро ускорений для такого случая качественно изменяется. Осестремительные составляющие микроускорений колеблются относительно некоторого постоянного уровня с периодом, вдвое меньшим, чем в режиме гравитационной устойчивости. Результаты расчета характерной циклограммы для нестабилизированного полета спутника типа ’’Салют” приведены на рис. 1,6 (е = 0,01, Н = 250 км, (d6/dt)0 = = 3,8 • 10"3 с-1). На этом же рисунке показано изменение угла ориентации оси спутника в том случае, когда колебания угла имеют амплитуду около 10°.
Циклограмма микроускорений (кривая 1) является знакопостоянной со средним уровнем, определяемым осестремительным ускорением а =
= 1,4 • Ю*4 м/с2. Относительно среднего уровня микроускорения совершают колебания с амплитудой порядка 10"5 м/с2. Влияние остальных возмущений — аэродинамических и гравитационных — в данном случае несущественно.
Несмотря на высокий уровень микроускорений, режим дестабилизированного полета может оказаться благоприятным для проведения ряда технологических процессов и экспериментов. Это связано с относительным постоянством средней величины микроускорения.
Микроускорения на борту действующих орбитальных станций
Проведенные в последнее время на советских и зарубежных орбитальных станциях измерения чувствительными к ускорениям датчиками (акселерометрами) позволили зафиксировать типичные уровни микроускорений в реальных условиях. Для проведения систематических измерений микроускорений разработаны бортовые высокочувствительные линейные акселерометры, позволяющие измерять постоянно действующие и переменные во времени микроускорения в диапазоне частот от 0 до 100 Гц с погрешностью до 10"8 go-Измерения микроускорений проводились на борту орбитальных станций ”Салют-6, -7”, ’’Мир”, ’’Спейслаб—Шаттл” [65, 90, 192, 273].
Уровень микроускорений существенно зависит от режима работы орбитальных станций. В беспилотном режиме работы (при отсутствии на борту станции космонавтов) в основном аппаратура станции законсервирована и работает минимальное количество бортовых систем. (Такой режим возникает и в пилотируемом полете во время сна или отдыха космонавтов/аст- ронавтов.) В законсервированном режиме микроускорения на станциях ”Салют-6,-7”находились в диапазоне (5 • 10~6 — 1 • l(T4)g0. Этот же диапазон для станции "Спейслаб—Шаттл” составил (10-5—10~6)g0.
Я/9ою-*КГ®10"8Я/9ою-*КГ®10"8В пилотируемом режиме, когда работают все штатные системы станции, микроускорения носят колебательный характер с амплитудой
Я/9о
ю-*
КГ®
10"8
Я/9о
ю-*
КГ®
10"8
“^Ж Салют
31D1 Спейслаб
-шк
_. 2
КГ4 10'г1 Юг/,ГцКГ4 10'г1 Юг/,Гц-(g/9o)t?
КГ4 10'г1 Юг
/,Гц
КГ4 10'г1 Юг
/,Гц
Рис. 1.7. Амплитудно-частотная характеристика микроускорений (а) и соответствующие области определяющих чисел подобия (б) расплава германия для различных характерных размеров области (Я= 1; 5; 10 см)
а" кривые 1,2 — амплитуда колебаний и средние микроускорения
(10~3—10-4)g0 при частоте 1—3 Гц [65]. Для станции ’’Салют” наибольшие вибрационные ускорения (до 10~3g0) фиксировались при выполнении космонавтами упражнений на тренажерном физическом комплексе, которыми ежедневно каждый оператор занимается не менее 2ч. Для станции ’’Спейслаб—Шаттл” уровни микроускорений в таком режиме изменяются в диапазоне от Ю-2^0 до Ю^о при характерных частотах от 1 до 100 Гц [192].
Таким образом, вне зависимости от конструктивного исполнения орбитальной станции микроускорения, возникающие на ее борту, можно разделить на две группы (рис.1.7,а): вибрационные ускорения сравнительно большой амплитуды (до 1О~2^о)с частотой от 1 до 100 Гц в зависимости от конструкций станции и постоянно действующие ускорения (до (10~6 — 10~5) g0), медленно меняющиеся с периодичностью, вызванной обращением вокруг Земли. Соответствующее число подобия (число Рэлея), определяющее гидродинамические процессы тепломассопереноса для полупроводниковых материалов, представлено на рис.1.7,б.
Следует отметить немаловажный факт, что в случае вибрационных ускорений средняя составляющая (кривая 2 на рис.1.7^) в диапазоне частот более 1Гц близка к нулю, т.е. в этом случае можно говорить об ’’интегрированном” состоянии невесомости. В случае постоянных или медленно меняющихся уровней микроускорений имеется устойчивое силовое поле массовой силы с величиной (lO~6-lO~5)go (кривая 2 на рис.1.7,а).
Указанная особенность поля массовых сил отражается на гравитационной чувствительности гидродинамической системы, технологических и других процессов. Как будет показано далее (см. гл.4), наибольшее влияние на течение жидкости в таких условиях оказывают постоянно действующие или медленно меняющиеся микроускорения.
Часть II
ИССЛЕДОВАНИЕ КОНВЕКТИВНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕВЕСОМОСТИ
НА МОДЕЛЯХ ОБЩЕГО НАЗНАЧЕНИЯ
В соответствии с принятой в этой книге терминологией, следуя работам [125, 134, 256], моделями общего назначения мы называем основанные на уравнениях конвекции Буссинеска (нелинейных или линеаризованных) модели, отличающиеся сравнительно простой геометрией (замкнутые плоские области) и простыми граничными условиями, предназначенные для широкого параметрического исследования фундаментальных закономерностей конвективных процессов, в отличие от специальных моделей, в которых упомянутые процессы рассматриваются с учетом реальной геометрии, физико-химических свойств в том или ином конкретном классе течений и определенном диапазоне режимных параметров. Необходимость такого подхода, предпринимавшегося в конце 60-х годов на первом этапе работ по численному моделированию конвективных процессов (см. , например, [128, 131—133]), особенно остро проявилась на следующем, технологическом этапе, для которого характерно рассмотрение в принципе всех возможных типов движений и воздействий на них в целях поиска наиболее эффективных способов управления конвективными процессами.
Рассмотренные в предыдущей главе особенности условий полета на борту орбитальной станции также демонстрируют весьма широкий класс возмущающих воздействий, поэтому при использовании моделей первого типа целесообразно исходить из самой общей классификации конвективных процессов в невесомости, которая схематически представлена на рис. 2.1. В соответствии с типом сил, их вызывающих, движения делятся на следующие классы:
движения, вызываемые действием механических сил (вибрации, перемешивание мешалками, вращение, направленное движение жидкости и др.); этот вид конвекции называется обычно вынужденной конвекцией;
гравитационная конвекция — движение под действием архимедовых подъемных сил в неизотермической и/или неоднородной по составу среде (тепловая и/или концентрационная разновидности гравитационной конвекции) ;
конвекция под действием градиентов сил поверхностного натяжения (термокапиллярная и/или капиллярно-концентрационная конвекция);
конвекция, обусловленная изменением объема в связи с нагревом (термоакустика) или температурными напряжениями (термостресс);
три последних вида конвекции объединяются под общим названием естественная конвекция;
движения под действием электрических и/или магнитных сил.
Частным видом всех упомянутых процессов переноса является случай полного отсутствия движений в жидкости, который в невесомости реализуется в более широком диапазоне условий, чем на Земле.
Рис. 2.1. Классификация видов конвективного движения в условиях невесомости
Некоторые из упомянутых составляющих движений требуют более детальной классификации, которая будет представлена в следующих главах. Основное внимание при рассмотрении моделей общего назначения будет уделено двум видам естественной конвекции — гравитационной конвекции и конвекции под действием градиентов сил поверхностного натяжения. Однако будут приведены и некоторые результаты, относящиеся к вынужденной конвекции, и даны ссылки на работы, относящиеся к другим видам конвекции. Наряду с изучением структуры течения, тепловых и концентрационных полей при анализе моделей общего назначения особое внимание уделяется макро- и микронеоднородностям распределения примеси, которые могут быть потенциальной причиной дефектов в материалах, полученных из жидкой фазы.
Глава 2
КОНВЕКТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ ГРАВИТАЦИОННОГО ТИПАПРИ ПОСТОЯННЫХ МИКРОУСКОРЕНИЯХ
Рассматриваемый в этой главе наиболее простой и давно использующийся способ моделирования конвекции в невесомости связан с заменой массовой силы в космическом полете силой тяжести Земли. Так как интенсивность конвекции определяется числом Рэлея, то уменьшение силы тяжести (микроускорения) может быть реализовано при моделировании путем уменьшения геометрического размера, разности температур либо увеличения вязкости или температуропроводности жидкости. Может быть учтена также и ориентация вектора микроускорения относительно области, занимаемой жидкостью.
В земных условиях за многие годы исследований получены многочисленные результаты, относящиеся как к изменению числа Рэлея Ra, так и угла наклона ^ . Исследования ускорились после начала применения в теории конвекции численных методов на основе уравнений Навье—Стокса, что позволило легко изменять оба параметра (Ra, vO • Однако в имеющихся монографиях и обзорах, относящихся к различным задачам гравитационной конвекции (см., например, [194, 237, 246, 247, 251], находящим все более широкое применение в технике, энергетике, охране окружающей среды, трудно найти количественные данные, необходимые для анализа и интерпретации технологических экспериментов ввиду специфики формулировок этих задач и требований к определяемым характеристикам (не только местные и средние потоки тепла в ламинарном режиме, но и данные по распределению примесей, структуре конвекции,являющиеся в некотором смысле гидродинамическими ’’критериями качества", а также температурные колебания в расплавах и т.д.).
В этой главе отобраны из обширного материала исследований данные последних 10—15 лет и обобщены некоторые наиболее интересные из полученных авторами результатов, отражающих специфику гравитационной конвекции в невесомости,изучаемой на основе такой простейшей модели общего назначения, как замкнутая плоская область, при наличии фиксированного по величине и направлению микроускорения.
Исходной является система уравнений гравитационной конвекции на основе нестационарных уравнений Навье—Стокса в приближении Буссинеска [94], которую мы будем записывать в безразмерном виде:
Ur+(U- V)U=-V/’ + AU + (Grr + GrcC)e, (2.1) divU = 0, (2.2) Л+ (и-Г)Г=Рг_1ДГ, (2.3)
Cr + (U • V) С = Sc-1 ДС (2.4)
Начальные условия: U = 0, Г = 0.
Граничные условия: U = 0 на стенках, Тх = 1 при х = 0, Тп = 0 на остальных стенках.
Единичный вектор е направлен против силы тяжести. В качестве единиц
31
измерения длины, скорости, давления, температуры, концентрации примеси и времени выбраны Н, v]H, v^H1, АТ, АС и Д’/p, где р _ коэффициент кинематической вязкости. В этой системе имеются следующие безразмерные параметры: число Грасгофа Gr =£0гДГЯ3/р2, щ^ Прандтля Pr = v!a’ концентрационное число Грасгофа Grc = gPcACH3[p2 и числ0 Шмидта Sc = v/D, где а и D - коэффициенты температуропроводности и диффУзиИ> а рс и 0Т - коэффициенты концентрационного и теплового расширения.
Так как число параметров и без того достаточно велико, мыне рассматриваем на этом этапе переходных эффектов термо-или бародиффузии и диффузионной теплопроводности [94], по-видимому, не играющих существенной роли в расплавах полупроводников с весьма малой концентрацией легирующих примесей. По этой же причине мы ограничиваемся моделью ’’жидкости Буссинеска”, не справедливой при слишком больших перепадах температур и концентраций. Это позволяет построить замкнутый и сравнительно простой для использования аппарат математического моделирования.
Глава содержит большой материал параметрических исследований, полученных в широком диапазоне чисел Рэлея, углов наклонов i^ и чисел Прандтля (охватывающих широкий диапазон расплавов полупроводников гранатов и высокотемпературных сверхпроводников (Рг = 0,01 v 10)), а также при различных значениях диффузионного числа Рэлея и числа Шмидта (что соответствует разным концентрациям легирующих примесей), при варьировании отношения сторон и тепловых граничных условий при различных взаимных направлениях потоков тепла и массы. Тем не менее общее число существенно влияющих факторов даже в такой простой модели общего назначения настолько велико, что представленные данные являются лишь некоторыми ’’островками знаний”, позволяющими частично обозреть простирающуюся вокруг ’’обширную территорию”. Представленные в этой главе конкретные результаты позволяют интерпретировать аномальный эффект макронеоднородности распределения легирующей примеси в технологическом эксперименте МА-150 по программе ’’Союз—Аполлон” [75-78] (разд. 2.2), а также дают возможность оценить абсолютные величины микроускорения в орбитальном полете, необходимые для исключения побочных эффектов макронеоднородностей.
Диалоговая система IBM PC, ориентированная на массового пользователя (см. приложение 1), может дополнить недостающую информацию из класса задач, рассмотренных в этой главе.
Классификация и некоторые особенностигравитационных конвективных процессовв бинарных системах
Рассмотрим случаи термоконцентрационной конвекции при различных взаимных направлениях потоков тепла и массы (’’двойная диффузия” по терминологии Тернера [158]). Будем предполагать при этом, что микроускорение имеет заданное направление, поток тепла (массы), подводимый к системе, является одномерным, область, занятая жидкостью, двумерна, модель конвекции основана на уравнениях Буссинеска. При принятых предположениях возможны десять различающихся случаев термоконцентраци- 32
Рис. 2.2. Классификация режимов термокоицентрациониой конвекции при различных направлениях потоков тепла и массыРис. 2.2. Классификация режимов термокоицентрациониой конвекции при различных направлениях потоков тепла и массы
Рис. 2.2. Классификация режимов термокоицентрациониой конвекции при различных направлениях потоков тепла и массы
Рис. 2.2. Классификация режимов термокоицентрациониой конвекции при различных направлениях потоков тепла и массы
онной конвекции в бинарной системе, классификация которых дана на рис. 2.2. Из этих случаев можно выделить следующие характерные группы и подгруппы.
Первая группа (а — г) объединяет случаи, в Которых статическое равновесие возможно. В случае а равновесие абсолютно устойчиво, перенос тепла (массы) осуществляется молекулярным механизмом. Этот случай для стационарных условий соответствует предельному режиму теоретической невесомости (g =0) и не относится к числу гравитационно-чувствительных, однако в нестационарном режиме это не так из-за существования внутренних волн [158]. В остальных трех случаях (б - г) равновесие может быть неустойчивым, конвекция будет при этом иметь место при достижении определенных (критических) значений числа Рэлея Ra и его аналога — концентрационного числа Рэлея Rae.Гравитационная чувствительность проявляется для упомянутых стационарных режимов конвекции лишь при условиях Ra > RaKp и Rae > RaCKp, что соответствует некоторой величине#, в общем случае различной для тепловой и концентрационной конвекции. В бинарных смесях, когда на конвекцию оказывают влияние совместно температурный градиент и градиент концентрации примеси (аналогичные явления происходят и в изотермических системах при наличии двух различных примесей), возникают новые по сравнению с однокомпонентными системами механизмы неустойчивости, приводящие к образованию вторичных структур. Подробное описание работ, связанных с двойной диффузией, можно найти в книге [158] и обзорах [125, 289]. Термоконцентрационный механизм неустойчивости связан с различием коэффициентов диффузии обоих компонентов, т. е. различием чисел Прандтля и Шмидта.
3333Типичная диаграмма устойчивости, полученная методами линейного анализа для случая, когда оба градиента направлены вертикально, изображена на рис. 2.3 (показан случай Sc > Рг, четыре квадранта на плоскости (Rae, Ra) соответствуют случаям а - г классификации). На этом рисунке изображены две нейтральные кривые (7 и 2), ниже которых состояние системы устойчиво. Линия 1 соответствует монотонной неустойчивости, а при переходе через линию 2 возникают колебательные вторичные режимы. Существенной особенностью бинарных систем этой группы является, как известно, то, что конвективная неустойчивость может нарушаться даже при наличии
33
33
3. Зак. 1319
Рис. 2.3. Диаграмма устойчивости при двойной диффузии (случай Sc > Рг)
1 —3 — границы монотонной неустойчивости, колебательной неустойчивости н области устойчивой стратификации (Др = 0) соответственно
общей устойчивой стратификации. Это иллюстрируется на рис. 2.3, где область устойчивой плотностной стратификации располагается ниже линии 3.
Вторая группа, объединяющая случаи д-к, в которых статическое равновесие отсутствует, состоит, в свою очередь, из трех подгрупп: Э, е - устойчивая стратификация по концентрации и температуре при горизонтальном потоке тепла или массы; ж, з — неустойчивая стратификация по концентрации или температуре при боковом потоке тепла или массы, и, к—действующие в одну сторону или навстречу боковые потоки тепла и массы. Главным отличием второй группы от первой является то, что в связи с отсутствием статического равновесия гравитационная чувствительность во всех случаях (д — к) может проявляться при как угодно малых значениях Ra (Rac) или величины g.
Устойчивость конвективного течения, имеющего место в этих случаях, можно исследовать методами линейной теории, предполагая, что плоский слой имеет бесконечную протяженность по вертикали. Обзор работ по устойчивости течения в вертикальном слое с устойчивой стратификацией, созданной примесью, и боковым подогревом можно найти в книге [55]. В такой задаче существует несколько механизмов потери устойчивости: гидродинамическая мода потери устойчивости на границе двух встречных потоков, нарастающие температурные и концентрационные волны, а также двойная диффузия. Наиболее интересно явление резкого понижения устойчивости в некоторой области параметров, где наиболее опасны длинноволновые термо концентрационные возмущения, обнаруженные в работе [56].
Случай конвективной устойчивости течения бинарной смеси в плоском горизонтальном слое изучен гораздо хуже и отличается многочисленными особенностями, некоторые из них мы проиллюстрируем на основе результатов, полученных в работе [71] с помощью методики [119]. Постановка задачи линейной устойчивости и основные сведения о методе даны в прило-
жении 2. Отметим, что раздельные действия каждого компонента (температура и концентрация) в горизонтальном слое достаточно хорошо изучены. При отсутствии бокового подогрева получается классическая задача Рэлея- Бенара (см., например, [54]) о неустойчивости равновесия подогреваемой снизу жидкости. Потеря устойчивости для возмущений с волновыми векторами длины 1,56 происходит в этом случае при критическом числе Рэлея Rae = GrSc = 1708. В отсутствие вертикальной стратификации конвективная устойчивость в горизонтальном слое с продольным градиентом температуры изучалась во многих работах, обзор которых можно найти, например, в [55]. В задаче с теплоизолированными границами, которая рассматривается здесь, при низких числах Прандтля возможна неустойчивость течения даже при отсутствии градиента концентрации примеси. При достаточно больших числах Прандтля основное течение теряет устойчивость только при наличии потенциально неустойчивой вертикальной стратификации, создаваемой примесью.
На рис. 2.4 приведены нейтральные кривые плоской (2D) и спиральной (3D) мод для нескольких комбинаций чисел Прандтля и Шмидта. Оказалось удобным изображать эти кривые в осях Gr \/Pr Sc и Rac, позволяющих ’’собрать” различные режимы. При малых числах Прандтля (кривая 7) происходит монотонная потеря устойчивости плоской моды. Максимум кривой достигается в районе точки Gr = 103, Gre = 535. Здесь же достигается наибольшая величина волнового числа (к = 2,14).
Анализ результатов, полученных при больших числах Прандтля (кривые 1—6), показывает, что при повышении градиента температуры устойчивость течения, как и длина критического волнового вектора возрастает; для плоских мод возникающие вторичные течения начиная с некоторого числа Грасгофа (между 10 и 100) оказываются колебательными с растущей частотой. Характерная особенность приведенных результатов состоит в том, что при числах Шмидта, превышающих число Прандтля, наиболее опасными оказываются спиральные моды, при этом возникающие вторичные течения остаются стационарными. В области, где Sc<Pr, между обеими модами нет сильного различия. Более того, для случая Рг = 10, Sc = 1 наиболее опасной становится то плоская мода, то спиральная, а колебательная неустойчивость возникает для каждой из них. Такое взаимодействие режимов проиллюстрировано расчетами для Рг = 10, Gr VPrSc = = 104, 0,1 < Sc < 1000. Из этих расчетов следует, что существуют три разные моды: плоская, характерная для всего диапазона чисел Прандтля, спиральная колебательная, существующая для чисел Шмидта меньше, чем число Прандтля, и спиральная стационарная для больших чисел Шмидта. При этом, исключая некоторую область чисел Шмидта, близких к числу Прандтля, оказывается, что спиральная колебательная мода более устойчива, чем плоская (Sc < Рг), а спиральная стационарная мода (Sc > Рг) менее устойчива, чем плоская (рис. 2.5).
Таким образом, даже предварительное обсуждение конвективной устойчивости некоторых из упомянутых случаев показывает, что они характеризуются существенно различающейся структурой. В связи с этим представляет интерес изучение различия между ними, а также более подробный анализ каждого из них в нелинейной постановке задачи в широком диапазоне чисел Ra, Rac, Рг, Sc и других параметров, направленный на выявление 35
Рис. 2.4. Нейтральные кривые для различных чисел Прандтля и Шмидта
1 - Рг = 1, Sc = 10; 2 - Рг = 10, Sc = 10; 3 - Рг = 10, Sc = 1;4,5-Рг = 10, Sc = 100; б - Рг = 100, Sc = 10; 7 - Рг = 0,01, Sc = 100. 1, 4, 7 — плоская мода, 2, 5 — спиральная мода, 3, 6 — для обеих мод
Рис. 2.5. Нейтральные кривые при фиксированном числе Прандтля (Рг=Ю) для плоской моды (7), спиральной осциллирующей моды (2) и спиральной стационарной моды У)
эффектов, которые могут быть потенциальной причиной макро-и микронеоднородностей материалов, получаемых из растворов и расплавов. Большая часть из представленных режимов в той или иной степени рассмотрена ниже, однако имеются факторы в упомянутой классификации, которые будут рассматриваться в этой и других главах. К ним относятся в первую очередь конечная протяженность слоя, существенно изменяющая результаты. Важную роль играют нестационарность микроускорений, приводящая для гравитационно-чувствительной системы к различным эффектам в зависимости от амплитуды, частоты и формы колебаний, отклонений средней величины амплитуды от нуля, а также пространственный характер течения (см. гл.4, 5).
Много новых эффектов проявляется при взаимодействии гравитационных и различных негравитационных механизмов конвекции. Примером могут служить кратко рассмотренные в гл. 3 случаи взаимодействия тепловой гравитационной и термокапиллярной конвекции, а также случай вращения неоднородного по составу слоя в модели жидкостной эпитаксии (гл. 6) или тепловой гравитационной конвекции и вынужденного потока жидкости при разделении веществ методом электрофореза в свободном потоке (гл. 7). Вместе с тем при больших числах Рэлея каждый из механизмов обнаруживает удивительно сложную структуру, как следует из примеров в разд. 2.3 и 2.4 и особенно из результатов теста GAMM [243] для частного случая тепловой гравитационной конвекции при боковом подводе тепла в случае малых чисел Прандтля.
Наличие такого многообразия режимов делает особенно актуальным создание диалоговых систем математического моделирования на основе уравнений Навье—Стокса на персональных компьютерах, рассчитанных на самого массового пользователя. Такая задача решена для некоторых из рассмотренных здесь случаев, ориентированных на применение РС/АТ-386 (см. приложение 1). Ограничения по быстродействию и памяти для указанного типа ЭВМ заставляют пока ограничиваться не слишком большими числами Рэлея (Ra * 104 10s), однако в связи с быстрым ростом производительности этого типа ЭВМ возможности применения такого рода систем необычайно возрастают.
Приведенная на рис. 2.1, 2.2 усложняющаяся (но, как упоминалось, далеко не полная) классификация служит основой ’’меню” при создании таких систем, а результаты, приводимые в разд. 2.3, 2.4, - примерами того, чего в принципе можно достичь при их рациональном применении.
Макронеоднородности, вызываемые слабойгравитационной конвекцией.
Эффект максимума температурного(концентрационного) расслоения
В этом разделе, приступая непосредственно к исследованию нелинейных конвективных процессов гравитационного типа на основе двумерных уравнений Навье—Стокса, мы изложим ряд новых результатов, обобщающих полученные ранее в работах [128, 133] данные о температурном расслоении, вызываемом слабой тепловой конвекцией при заданном боковом потоке тепла, на случаи различных чисел Прандтля (п. 2,2.1), и детально исследуем аналогичные эффекты применительно к задаче о распределении примеси в ампуле при действии слабой тепловой, концентрационной и термоконцентрационной конвекции при различных числах Прандтля, Шмидта, отношении сторон ампулы и утла наклона силы тяжести, а также сопоставим полученные данные с результатами лабораторного эксперимента, выполненного на газовых смесях (п. 2.2.2). Рассматриваемые случаи соответствуют режимам е-к в упомянутой выше классификации, ближе всего подходящим к моделям выращивания кристаллов из расплавов в горизонтальных ампулах в условиях микрогравитации.
Одним из главных итогов этого раздела является всестороннее параметрическое исследование и проверка на лабораторном эксперименталь-
37
Рис. 2.6. Эффект максимума температурного расслоения для сосудов различной геометрии
Квазистационарный режим, Pr = 1. 2 - шар, 2 — куб, 3 - цилиндр
ном материале фундаментального эффекта максимума поперечной неоднородности температурных и концентрационных полей, впервые открытого в упоминавшихся численных расчетах и впоследствии обнаруженного в технологических экспериментах в космических условиях [75, 77, 78], анализ и интерпретация которых приводится в п. 2.2.3.
Температурная макроиеоднородность, вызываемая тепловой гравитационной конвекцией в замкнутых областях. Тепловая конвекция в замкнутой плоской области при заданном горизонтальном потоке тепла вызывает существенное перераспределение температуры по вертикали. Результаты первых исследований [ 128] показали, что при изменении числа Рэлея вертикальный градиент (вертикальная разность температуры или концентрации) достигает максимального значения при некотором числе Рэлея (т.е. при некотором значении потока тепла, ускорения свободного падения, геометрического размера и т.д.) (рис. 2.6).
Физическая причина этого эффекта состоит в том, что слабые восходящие (и нисходящие) токи не перемешивают, а лишь перераспределяют тепло (примесь) при значении числа Ra < Ramax. IIpHRa>Ramax в области развивается более интенсивное вихревое движение, перемешивающее жидкость и уменьшающее макронеоднородность распределения температуры. Дальнейшие исследования показали [133], что этот эффект имеет универсальный характер и проявляется во всех случаях, когда происходит изменение интенсивности конвекции (пространственно-временное изменение силы тяжести, геометрии области, введение пористого наполнителя). Например, в вертикальном слое при заданных температурах на боковых поверхностях и теплоизолированных основаниях после внезапного включения силы тяжести образуется ламинарное подъемно-опускное течение, затем это течение теряет устойчивость и образуются крупномасштабные вторичные течения [68]. Затем происходит дробление крупномасштабного течения и устанавливается структура, соответствующая турбулентному режиму. При отсутствии конвекции или при слабой конвекции температура по вертикали вдоль оси не меняется, что создает благоприятные условия для получения 38
однородного материала. Однако в переходном режиме может наблюдаться значительная макронеоднородность, т.е. неоднородность вдоль всего слоя.
Упомянутые расчеты были выполнены для двумерных задач в плоской и осесимметричных областях в основном при числах Прандтля, равных 1. Ниже мы приводим некоторые новые данные, связанные с обобщением результатов, полученных в [128, 133], на случаи макронеоднородности при гравитационной тепловой конвекции в широком диапазоне чисел Рг.
Модель тепловой гравитационной конвекции в невесомости. Исходной является система уравнений тепловой гравитационной конвекции в приближении Буссинеска, рассматриваемая в отличие от работ [128, 133] в общем
случае трех пространственных переменных:
Uf + (U.V)U = -Vp/p + ^U + g0(T-To),(2.5)
div U = 0,(2.6)
7t + (U .^Т=аМ.(2.7)
Начальные условия: U = О, Т = 0.
Граничные условия: U = 0 на стенках, - X Тх = q при х = 0, X Тп = 0 на остальных стенках.
Ниже будут использованы уравнения в безразмерном виде, полученные при введении масштабов длины, времени, скорости, температуры (Я, Я2/у, v/H, qHfKY
Uf + (U • V) U = - Vp + Д11 + Gr Г,(2.8)
div U = 0,(2.9)
Гг + (и.?)Г=Рг-1ДГ,(2.10)
где Gt=g^qH*j(Xv2\Pr = v^a, X — коэффициент теплопроводности.
Начальные условия: <7=0, Т = 0.
Граничные условия: Тх = 1 при х = 0 и Тп = 0 на остальных стенках.
В режиме теплопроводности поле температуры одномерно и зависимость температуры от времени в любой точке объема начиная с некоторого момента времени линейна. Если проинтегрировать уравнение (2.10) по объему с соответствующими граничными условиями, то можно получить выражение для среднемассовой температуры в виде
тт =; Tdt = t/Pr.
V
Начиная с момента Fo = t/Pr* 1 поле температуры выходит на квазиста- ционарный режим. При этом распределение температуры одномерно и зависит от х по параболическому закону.
Введем новую температуру Т=Т - Тт — разность между действительной и среднемассовой температурами, которая на квазистационарном режиме не зависит от времени. Уравнения (2.8) —(2.10) в этом случае будут иметь вид
Uf + (U • V) U = — Vp +Д U + Gr 7)(2.11)
div U = 0,(2.12)
Tf+ (U • V) Г = Рг“1(Д 7^-1).(2.13)
39
В уравнении для температуры (2.13) появился объемный сток тепла 1/Рг, но теперь при t-*°° Tt-*-0, т.е. уравнение (2.13) имеет стационарное решение. При замене Г на Г в уравнении движения появляется дополнительное слагаемое, включенное в новое давление: Р = Р + Gr Tmz.
Введем новую безразмерную скорость U = U /Gr. В режиме теплопроводности при достижении стационарного состояния имеем U = О, Т = 0, т.е. Д Т—1 =0. Решение этого одномерного уравнения — парабола. Изотермы — линии, параллельные оси Z.
Далее будем рассматривать слабое течение, такое, что влиянием конвективных членов в уравнениях движения можно пренебречь. Это всегда справедливо при заданном числе Рэлея Ra = Gr Рг (в случае, когда Рг ->«>). Кроме того, считаем, что течение столь слабо искажает теплопроводностное поле температуры, что в уравнениях движения в правой части можно заменить Т на Тт. Предполагая, что режим стационарный, получим
-?Р + Ди + Гге2=0, (2.14)
div U = 0, (2.15)
Ra (U • V) Г = Д 7^1, (2.16)
т.е. уравнения движения и температуры расщепляются. Из уравнений (2.14) —(2.16) можно вычислить 0, используя ранее полученное стационарное поле температуры в режиме теплопроводности Ту. Полученное поле Uo не зависит от каких-либо параметров, но это решение справедливо лишь для достаточно малых Ra. Далее, используя (Уо в (2.16), находим решение этого уравнения при различных числах Ra.
Вертикальная неоднородность температуры, вызываемая тепловой гравитационной конвекцией при заданном боковом потоке тепла. Изменение вертикальной разности температур Д Гна нагревателе в зависимости от числа Рэлея, т.е. Д Т= Т (0,1) - Т (0,0), полученное при решении уравнения (2.16) с заданным Uo, показано на рис. 2.7. Такая линейная зависимость ДТ = 1,21 • 10"4 Ra справедлива лишь при малых Ra (до Ra < < 103). Расчет при больших Ra по уравнению (2.16) с заданным Uo нецелесообразен, так как влияние конвекции на поле температуры приводит к тому, что в уравнении (2.14) нельзя использовать Тт, а необходимо совместно решать уравнения движения и температуры.
Следующая серия расчетов основана на решении уравнений (2.14^— (2.16) при различных числах Ra в том случае, когда в (2.14) вместо Тт уже входит Т:
-VP+ДЦ+Ге^О, (2.17)
div U = 0, (2.18)
Ra (U • \7) Т = Д Г-1. (2.19)
Полученные таким образом результаты расчета вертикального температурного расслоения при различных Ra (от 102 до 106) представлены на рис. 2.7. Кривая отклоняется от линейной зависимости при Ra^= 103. Максимального значения Д Г достигает примерно при Ra^ 104. Полученная кривая является точной для Рг-*-°°. В этом случае при конечных
Рис. 2.7. Эффект максимума температурного расслоения при различных числах РгРис. 2.7. Эффект максимума температурного расслоения при различных числах РгL/Н хL/Н х
Рис. 2.7. Эффект максимума температурного расслоения при различных числах Рг
Рис. 2.7. Эффект максимума температурного расслоения при различных числах Рг
L/Н х
L/Н х
т=т,чтг-т,)х/и/н) тг с=сг'V сг
Рис. 2.8. Схема расчетной области
Ra Gr-> 0 и в уравнении (2.17) конвективные члены можно не рассматривать. Чтобы исследовать, как будет изменяться эта кривая при уменьшении числа Рг (Рг Ф °°), необходимо решить систему уравнений (2.11) — (2.13). Такие расчеты выполнены при Рг= 100; 15; 1; 10~2. Результаты расчета в диапазоне Ra < 10s, Рг = 100; 15; 1 легли на кривую, полученную с помощью уравнений (2.17) —(2.19) (см. рис. 2.7). Результаты при малых числах Прандтля (Рг = 0,01) (штриховая прямая на рис. 2.7) отклоняются от кривой при Ra ~ 3 • 102.
Представленные результаты расширяют диапазон применимости полученных ранее данных по температурному расслоению, вызываемому тепловой гравитационной конвекцией при заданном потоке тепла на случаи различных, в том числе и малых, чисел Прандтля, ограниченных, однако, снизу теми значениями Рг(Рг>0,1), при которых из-за больших чисел Gr не справедлива применявшаяся здесь линеаризация.
Концентрационная макронеоднородность, вызываемая тепловой гравитационной конвекцией. Целью этого раздела является систематическое исследование макросегрегации в бинарных смесях, в том числе описание эффекта максимума сегрегации в стационарных и нестационарных условиях и изучение влияния на макросегрегацию различных факторов (интенсивности естественной и концентрационной конвекции, физических свойств, геометрии). Рассматривается распределение примеси в замкнутой области, которая является моделью технологической ампулы, заполненной в начальный момент времени однородной бинарной жидкой смесью. Внешняя массовая сила g направлена под некоторым углом ф к оси У" (рис. 2.8), отношение длины ампулы к ее ширине равно L]H.
Для составляющих скорости на всех границах ставятся условия прилипания. По температуре и концентрации задаются следующие граничные условия:
х* = 0,
0<у*<Я,
т= Тх,
с = сх,
х* = L,
0<у*<Я,
т=тг.
с=сг,
0<х* <
'Z, у* = 0,у* -Н,
Т=ТХ + Х^-Т.Ш х*.
Ъс/Ъп = 0,
где Тх — температура кристаллизации; звездочкой отмечены размерные величины; и — нормаль к границе, на которой задается условие.
В начальный момент времени жидкость считается неподвижной. Начальное поле температур предполагается однородным в радиальном направлении и неоднородным — в продольном. Начальное поле концентрации внутри ампулы однородно. Явления термо- и баро диффузии не рассматриваются, т.е. принимается простейшая линейная зависимость плотности от температуры и концентрации.
Для моделирования используется система двумерных нестационарных уравнений (2.1)—(2.4), записанная в безразмерных переменных: вихрь ш, функция тока ф, температура 6, концентрация С в декартовой системе
координат:
wt + Фушх - Фхшу = шхх + ^yy + ?,(2.20)
Фхх + ^уу -~ш-(2-21)
е^фуех-фхеу = рг-чехх + еу0,(2.22)
CtOyCx-^xCy = Sc-4Cxx+Cyyy(2.23)
где Фу=и; фх = -и;
F = Gr(6x sin р + ву cos р) + Grc (Cx sin -p + Cy cos y>),(2.24)
Gr = ^гЯ3(7’2-7’1)/1'2 = Ra/Pr, Grc =^сЯ3(с2-с1)/п2 = Rac/Sc. Здесь ц v - проекции вектора скорости на оси координатX, У соответственно;
— угол между вектором ускорения g, создаваемого массовыми силами, и осью У; Т, 6 и с, С - значения текущих размерных и безразмерных температур и концентраций соответственно; v — коэффициент кинематической вязкости; D - коэффициент диффузии; Зг, Рс ~ коэффициенты изменения плотности при изменении температуры и концентрации соответственно; Н — характерный размер (размер рассчитываемой области по координате у). В качестве масштабов времени, скорости, температуры и концентрации выбраны соответственно Н1^, v]H, (Т^-Т)), (c2-Ci).
Для данной системы уравнений начальные условия (Г = 0) записываются в виде
w (х, у, 0) = 0, ф (х, у, 0) = 0, 6 (х, у, 0) = х H/L, С(х, у, 0)=1.
Граничные
условия: ^1г=0, Э1^/Эм|г =
0,
х = 0,
0<у<1,6=0,
С=0,
х = L/H,
0<у<1,6 = 1,
С= 1,
0<х<ЦН,
у = 0, у=1, e=xH/L,
ЭС/Эи = 0.
В качестве характеристики неоднородности распределения примеси использовались поперечные разности концентраций; локальная ДС(х) = = С (х, у = 0) — С (х, у = 1) и усредненная по длине
Н МН
ЬС= — / ДС(х)йх. L о
В предельном случае теоретической невесомости, когда массовая сила равна нулю (Ra = 0, Rac = 0), конвекция отсутствует, распределение
Рис. 2.9. Изолинии функции тока (д), изотермы (5) и линии равной концентрации (в) для стационарного режима тепловой конвекции (Ra = 10, Рг = 0,016, £///= 4, Sc = 10)
Рис. 2.10. Распределение концентрации в трех вертикальных (д) и трех продольных (б) сечениях (Ra= 100, Рг = 0,016, Sc = 10, L/H= 4, ip = 0)
а: 1 - х = 0,2, 2 - х = г, 3 - х = 3,8; б: 1 - у = 0,1, 2- у = 0,5, 3 - у = 0,9
концентрации по радиусу однородно, т.е. макросегрегация отсутствует: д с=о.
Основным расчетным вариантом является следующий набор параметров: Рг = 0,016, Sc = \0,L/H = 4. В этих условиях в диапазоне чисел Рэлея Ra < 103 наблюдается одновихревое ламинарное движение жидкости.
На рис. 2.9 изображены изолинии функции тока, изотермы и линии равной концентрации для числа Рэлея Ra=10. Так как число Прандтля мало (температуропроводность гораздо больше, чем вязкость), то поле температуры под действием движения жидкости начинает изменяться лишь при достаточно большом числе Рэлея (Ra> 100). В отличие от поля температуры поле концентрации под действием конвекции начинает изменяться с меньших чисел Рэлея, так как число Шмидта больше числа Прандтля (коэффициент диффузии меньше вязкости и намного меньше температуропроводности) . Поэтому искривление профилей концентрации наблюдается уже при Ra = 1. Из рис. 2.9 видно, что слабое конвективное движение заметно влияет на распределение примеси в радиальном направлении.
На рис. 2.10 представлены распределения концентрации в трех поперечных и трех продольных сечениях для значения числа Рэлея Ra = 100. Кон-
Рис. 2.11. Зависимость средней поперечной неоднородности концентрации от числа Рэлея (£/// = 4)
1 - Rac = 0, Рг = 0,016, Sc = 10; 2 - Rae = 0, Рг = 0,23, Sc = 4; 5 - Rac = 20 Ra, Pr = = 0,016, Sc = 10; 4 - Ra = 0, Pr = 0,016, Sc = 10; 5 - ACm = max 5C(t) при тех же параметрах, что и кривая 1
векция обогащает примесью верхние слои жидкости в ампуле и обедняет нижние слои. Из распределения концентрации по длине ампулы в разных сечениях (рис. 2.10, б) видно, что радиальная неоднородность концентрации остается постоянной почти по всей длине ампулы, исключая ее концы, где существуют большие градиенты концентрации.
Для установления зависимости радиальной неоднородности концентрации примеси от числа Рэлея (в частности, от перегрузки) была проведена серия расчетов в диапазоне чисел Рэлея от 0 до 105. Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что в указанном диапазоне чисел Ra существует максимум радиального расслоения концентрации (рис. 2.11). Конкретное число Рэлея, соответствующее максимуму концентрационного расслоения, как будет показано ниже, существенно зависит от свойств вещества, геометрии области, температурных и других условий. Эта зависимость для германия с примесью кремния (Rac = 20 Ra, Pr = 0,016, Sc = = 10, L/H = 4) представлена на рис. 2.11 (кривая 5). Как видно из графика, максимальное значение ДС=0,27 достигается приблизительно при числе Рэлея Ra 30, что соответствует перегрузке gjg0 = 3,6 • 10~4 при характерном размере Я=1 см и Д7’=100 С. Если сравнить неоднородность концентрации, которая имеет место на Земле, т.е. при g/g0 = 1, Ra = = 821 • 102, и в условиях пониженной гравитации, т.е. при^0 = 4 • 10'3, Ra = 328, то из рис. 2.11 (кривая 5) видно, что концентрационная неоднородность в земных условиях (Д С =0,11) меньше, чем в условиях пониженной гравитации (Д С = 0,22).
Рис. 2.13. Зависимость длительности характерных режимов изменения средней поперечной разности концентрации от числа Рэлея (R^ = 20 Ra, Pr = 0,016, Sc = 10 L/H =4)
1 — время достижения стадиоиарного значения, 2 — максимального значения
Рис. 2.12. Зависимость поперечной разности концентрации от числа Рэелея для двух сечений (R^ = 20 Ra, Pr = 0,016, Sc = 10, L/H = 4)
1 - x = 0,1, 2 - x = 2
Интересным фактом является то, что для антимонида индия (рис. 2.11, кривая 2) кривая Д С (Ra) смещена в сторону больших чисел Рэлея, т.е. значение числа Рэлея, при котором радиальная неоднородность концентрации принимает максимальное значение, существенно зависит от чисел Прандтля и Шмидта.
Зависимость радиальной разности концентрации от числа Рэлея для разных поперечных сечений ДС(Ка,х) изображена на рис. 2.12. Видно, что характер этой зависимости, а также число Рэлея, при котором достигается максимум ДС (Ra, х), зависят от конкретного поперечного сечения. Так, например, для центрального сечения (х = 2) кривая ДС (Ra,x) имеет такой же вид, как и кривая 3 на рис. 2.11, а при удалении от центрального сечения локальное распределение концентрации существенно отличается от распределения, усредненного по длине.
Концентрационная конвекция и совместное действие тепловой и концентрационной конвекции. Рассмотрим отдельно изотермический случай, когда присутствует конвекция, вызванная только концентрационной неоднородностью (Ra = 0). Движение жидкости, вызванное концентрационной конвекцией, приводит к неравномерному распределению концентрации, т.е. так же, как и при действии только тепловой конвекции, существует максимум концентрационного расслоения в зависимости от концентрационного числа Рэлея. Зависимость средней поперечной неоднородности концентрации ДС от концентрационного числа Рэлея Rac для германия с примесью кремния (Sc = 10, Pr = 0,016, L/H = 4 и Ra= 0) показана на рис. 2.11 (кривая 4). Из графика видно, что влияние концентрационной конвекции на распределение концентрации начинает сказываться при Rac > 600, максимум концентрационной неоднородности достигается приблизительно при Rac =6 • 104.
При совместном действии тепловой и концентрационной конвекции (Rac = 20 Ra) первая подавляет действие второй. Кривая средней радиаль-
ной неоднородности концентрации при действии тепловой и концентрационной конвекции (рис. 2.11, кривая 5) проходит несколько выше кривой 1 при малых числах Рэлея (Ra< 100), а при больших Ra кривые 1 и 3 на рис. 2.11 совпадают.
Нестационарный режим развития конвекции во времени. Выше рассматривалась зависимость макросегрегации от числа Рэлея ДС (Ra) только на стационарных режимах, однако для установления абсолютной величины максимума макросегрегации требуется изучить временную зависимость ДС(Род) (Foo = Dt/Й1 - диффузионное число Фурье).
Движение жидкости выходит на стационарный режим монотонно при числах Ra < 300, а для Ra > 300 на переходном участке наблюдается увеличение интенсивности движения с дальнейшим его уменьшением до стационарного значения, т.е. в зависимости максимального значения функции тока от времени (Фтах(Род))существует максимум. При этом время установления стационарного режима распределения концентрации зависит от чисел Рэлея и Шмидта: чем больше число Рзлея и меньше число Шмидта, тем скорее достигается стационарный режим. Времена достижения стационарных значений для температуры и концентрации разные и пропорциональны числам Прандтля и Шмидта соответственно. Так, например, для Рг = 0,016, Sc = 10, L/H = 4 и Ra ^ 100 вначале происходит стабилизация полей температуры и скорости, а затем при Род — 0,05 стабилизируется поле концентрации.
Особенности нестационарного движения жидкости проявляются также и в зависимости средней радиальной разности концентрации от времени АС (Род). Характер зависимости АС(Род) такой же, как и Фтах(Ро0): для каждого числа Рэлея она цмеет максимум. Зависимости безразмерных времен достижения средней радиальной разностью концентрации стационарного и максимального значений от числа Рэлея показаны на рис. 2.13. На рис. 2.11 кривая 5 изображает зависимость максимальной по времени средней по длине радиальной неоднородности концентрации от числа Рэлея ДС (Ra). Эта кривая повторяет кривую 1 того же рисунка, но расположена несколько выше ее.
Концентрационное расслоение в веществах с различными числами Прандтля и Шмидта. Конкретное значение числа Рэлея, соответствующее максимуму концентрационного расслоения, зависит от свойств вещества. На рис. 2.14 представлены зависимости концентрационного расслоения от числа Прандтля при Sc = 10 (кривая 2) и от числа Шмидта при Рг = 0,016 (кривая 2) при Ra = 100, Rac = 0, L/H = 4, ^ = 0. Установлено, что в диапазоне чисел Прандтля от 10"3 до 103 для зависимости ДС(Рг) при значении Рг = 0,1 имеется максимум. Характерно, что наибольшее влияние конвекции на радиальную неоднородность концентрации наблюдается при Рг < 1, что соответствует жидким металлам, в частности полупроводниковым материалам, а при Рг > 1 влияние конвекции на распределение примеси уменьшается и может совсем не сказываться. В том же диапазоне чисел Шмидта зависимость ДС(8с) имеет максимум приблизительно при Sc= 10 (рис. 2.14, кривая 2), т.е. наибольшее влияние конвекции на радиальное расслоение концентрации примеси приходится на расплавы с 46
Рис. 2.14. Зависимости средней поперечной разности концентрации от числа Прандтля (7), числа Шмидта (2) и удлинения ампулы L/H (2)
Рис. 2.15. Зависимости средней поперечной разности концентрации от угла наклона массовой силы при Ra = 10’ (7) и Ra= 10* (2)
числами Шмидта, соответствующими полупроводниковым материалам, таким, как жидкий германий, антимонид индия, арсенид галлия и др.
Влияние на концентрационное расслоение геометрии и ориентации массовой силы. Результаты серии расчетов для прямоугольных областей с отношением сторон L/H от 0,5 до 4 показывают, что при Ra = 100, Рг = = 0,016, Sc = 10, Rac = 0 зависимость &C(L/H) имеет максимум при L/H = 1 и монотонно падает при уменьшении и увеличении длины ампулы (см. рис. 2.14, кривая 5), т.е. при постоянном диаметре ампулы макросегрегация сказывается больше в коротких ампулах и меньше в длинных. Этот результат аналогичен тому, что в ячейке с температурой Тj на нижней стенке и Тг на верхней (Тг > Т^ средняя теплопередача максимальна при H/L- = QJ [131]. Эти факты обусловлены взаимодействием между собой пограничных слоев на стенках.
Для исследования влияния ориентации массовой силы на распределение примеси проведены расчеты при углах наклона = —я/2 4- я/2. Зависимости средней радиальной разности концентрации от угла р при Ra = = 102 и 104 показаны на рис. 2.15. В этом диапазоне р случаю р = -я/2 соответствует подогрев снизу, когда возможно возникновение конвекции при потере устойчивости, т.е. при Ra > Ra*, где Ra* соответствует критическому значению числа Рэлея [54, 94], случаю <р = я/2 соответствует абсолютно устойчивое равновесие, когда конвекция отсутствует, а в остальных случаях конвекция возникает всегда, так как гидростатического равновесия нет.
Наибольшее значение Д С при малых числах Ra (Ra < Ra*) достигается при 1 = 0, что соответствует направлению массовой силы, перпендикулярному оси ампулы (см. рис. 2.15, кривая 7). При таких числах Рэлея не происходит потери устойчивости равновесия, поэтому, так же как и в устойчивом положении при ip = irj2, величина Д С = 0.
При Ra= 104 в случае р = — я/2 уже имеет место конвективное движение, и именно этому направлению массовой силы соответствует максималь-
ная величина концентрационного расслоения примеси (см. рис. 2.15, кривая 2), при этом характер зависимости ДС(у>) иной, чем при Ra = 102. Эти результаты показывают, что влияние ориентации массовой силы на расслоение примеси в ампуле существенно, причем его оценку следует проводить с учетом величины числа Рэлея.
Сопоставление результатов численного моделирования температурного (концентрационного) расслоения с данными лабораторного эксперимента. Исследования концентрационного расслоения, изложенные в предыдущем разделе, в основном относились к расплавам полупроводников. В работах [142, 143] проведено экспериментальное исследование концентрационного расслоения газовой смеси при тепловой, концентрационной и термоконцентрационной конвекции в замкнутой области квадратного сечения. Эксперименты проводили в следующем диапазоне параметров: Ra3=-106 4- 106,Ra®= 102 = 106, Pr = 0,75, Sc = 0,65 4-0,75 (здесь и в дальнейшем через Ra3 и Ra3 будем обозначать значения теплового и концентрационного чисел Рэлея, соответствующие экспериментальным данным, взятым из работ [95, 142, 143] для сравнения с результатами настоящей работы).
Для подтверждения эффекта максимума концентрационного расслоения и более точного количественного сопоставления с экспериментальными данными в этой части работы излагаются результаты расчетов [142, 143], выполненных для условий экспериментов [95, 142, 143].
Постановка задачи. Рабочая полость в экспериментах [95, 142, 143] представляла собой параллелепипед квадратного сечения. Вертикальные боковые границы полости поддерживались при постоянных, но разных температурах, верхняя и нижняя стенки были изготовлены из латуни, и на них устанавливалось линейное распределение температуры. Боковые границы были выполнены из многослойной медной сетки, через которую газ проникал в рабочую полость за счет диффузии, принимая при этом температуру сетки.
В качестве математической модели используются двумерные уравнения Навье—Стокса (2.20) —(2.23). Эффекты сжимаемости, баро- и термодиффузии не учитываются. Расчетная область представляет собой квадрат с граничными условиями для температуры первого рода, по концентрации на вертикальных стенках заданы условия третьего рода, соответствующие экспериментам [142, 143], на горизонтальных стенках заданы условия непроницаемости (рис. 2.16). На всех границах ставятся условия прилипания ф|г = 0,-|^]г =0. В безразмерных переменных граничные условия для температуры и концентрации имеют следующий вид:
х = 0, х = ЦН, 0<x<L/H,х = 0, х = ЦН, 0<x<L/H,0<у< 1,0<у< 1,У = 0, у = 1,0<у< 1,0<у< 1,У = 0, у = 1,е = о, эс/Эх = д(с-1), 6 = 1, ЙС^х = -ВС, 6=xH/L, ЭС/Эу = 0.е = о, эс/Эх = д(с-1), 6 = 1, ЙС^х = -ВС, 6=xH/L, ЭС/Эу = 0.
х = 0, х = ЦН, 0<x<L/H,
х = 0, х = ЦН, 0<x<L/H,
0<у< 1,
0<у< 1,
У = 0, у = 1,
0<у< 1,
0<у< 1,
У = 0, у = 1,
е = о, эс/Эх = д(с-1), 6 = 1, ЙС^х = -ВС, 6=xH/L, ЭС/Эу = 0.
е = о, эс/Эх = д(с-1), 6 = 1, ЙС^х = -ВС, 6=xH/L, ЭС/Эу = 0.
Здесь константа В в соответствии с данными эксперимента [142, 143]
Рис. 2.16. Схема расчетной области в математической модели
Рис. 2.17. Зависимость разности температур в среднем вертикальном сечении от числа Рэлея
Сплошная линия — расчет (Рт = 0,72), точки - эксперимент 195) (1 - углекислый газ, 2 — воздух)
имеет значение В = 13. Начальные условия следующие:
со (х, у, 0)= 0, ф (х, у, 0) = 0, 0(х, у,0) = х, С (х, у, 0) = 1 -х.
Тепловая конвекция. До проведения экспериментов по исследованию влияния конвекции на расслоение примеси [142, 143] авторами работы [95] были проведены эксперименты по исследованию температурных полей при свободной конвекции газа в диапазоне чисел Рэлея от 10 до 101. В это же время были проведены расчеты для сопоставления с результатами экспериментов [95].
На рис. 2.17 представлена зависимость от числа Рэлея безразмерной разности температур между точками, расположенными на расстоянии 0,1 Н от верхней и нижней границы полости в среднем вертикальном сечении (Н — сторона квадрата — вертикального сечения параллелепипеда). Хорошее согласование численных результатов с экспериментальными свидетельствует об адекватности математической модели тепловой конвекции и эксперимента [95] в диапазоне чисел Рэлея от 0 до 100. Отметим, что график, приведенный на рис. 2.17, не следует отождествлять с аналогичными результатами работы [133] (см. рис. 2.6), так как в настоящей работе приняты граничные условия по температуре первого рода, а в работе [133] на горизонтальных границах задано условие теплоизоляции. Поэтому в работе [133] максимум температурного расслоения выражен более четко, чем на рис. 2.17, и достигается при меньших числах Рэлея (Ra=i 10s).
Рассмотрим особенности распределения пассивной примеси при тепловой конвекции. На распределение примеси в замкнутых объемах может влиять как тепловая, так и концентрационная конвекция, но в том случае, когда изменения распределения примеси не влияют на величину плотности, концентрационной конвекцией можно пренебречь и рассматривать влияние только тепловой конвекции. Примесь в этом случае мож-
49494. Зак. 1319
49
49
Рис. 2.18. Зависимости производной ЪС/ъу, вычисленной для стационарного режима в центре полости, и разности концентрации в среднем вертикальном сечении (х = = 0,5) от числа Рэлея (Rac = 0, Pr = Sc = 0,7 5, L./H = 1)
1 — расчет, 2 — эксперимент [142, 143[
Рис. 2.19. Зависимости максимальной функции тока и среднего концентрационного числа Нуссельта (х = 1) от числа Рэлея (Rap = 0, Pr = Sc = 0,75, L/H = 1)
но рассматривать как пассивную, т.е. не влияющую на движение жидкости или газа. Несмотря на аналогию между процессами тепло- и массооб- мена, известные результаты по тепловой конвекции не могут быть перенесены на концентрационную из-за различных граничных условий.
В эксперименте [142, 143] получены интерферограммы концентрационных полей при Ra3 Ф 0, Ra3 31 0, представляющие собой изолинии показателя преломления, зависящего одновременно от температуры и от концентрации. Эксперимент проводился так, чтобы вклад концентрации в изменение показателя преломления значительно превосходил вклад температуры, поэтому интерферограммы, приведенные в работах [142, 143] и представленные для сравнения с численными результатами, можно считать картинами, иллюстрирующими изменение концентрационных полей, вызванное тепловой конвекцией.
Результаты сравнения концентрационных полей позволяют сделать вывод о хорошем согласии данных эксперимента [142,143] и расчета.
На рис. 2.18 представлена зависимость производной ЭС/Эу, вычисленной в центре полости, от числа Рэлея (Pr = Sc = O,75) в сравнении с экспериментальными данными [142, 143]. Значение ЭС/Эу в зависимости от числа Рэлея вначале возрастает от нуля, достигая максимума (ЪС/Ьу — “ 0,5) приблизительно при Ra—103, а затем снова уменьшается. Производная ЬС/Ьу, равно как и разность концентраций между верхней и нижней горизонтальными границами, является характеристикой концентрационного расслоения в ядре полости. Из данных рис.2.18 следует вывод о наличии максимума концентрационного расслоения по вертикали в центре полости в зависимости от числа Рэлея. Зависимость ДС и ЬС/Ьу от числа Рэлея при малых числах Рэлея (вплоть до достижения величинами ДС и ЬС/Ьу максимального значения) приблизительно линейная. Этому интервалу чисел Рэлея соответствует относительно медленное течение без развитого пограничного слоя (см. рис. 2.19, где изображена зависимость максимального значения функции тока i//max от числа Рэлея). Зарождение диф-
фузионного пограничного слоя соответствует максимуму концентрационного расслоения.
На рис.2.19 представлена также зависимость среднего концентрационного числа Нуссельта, вычисленного на стенке при х = 1:
1
Nuc= /(dC/dx)dy, о
от числа Рэлея. Эту зависимость в интервале чисел Рэлея от 102 до Ю6 можно аппроксимировать выражением
Nuc = —0,1 l^max +0,8.
Каждую из представленных на рис. 2.19 зависимостей можно аппроксимировать двумя прямыми (с разными углами наклона к оси lg Ra), пересекающимися при Ra= 103.
Концентрационная конвекция. Зависимость производной дС/ду в центральной точке области (вычисленной и полученной в эксперименте [142, 143]) от концентрационного числа Рэлея представлена на рис. 2.20. Эта зависимость также имеет явно выраженный максимум. Расчеты были проведены при Ra = 0, Sc = 1, 102 < Rac < 106. Влияние концентрационной конвекции на структуру течения и поле концентрации подобно влиянию тепловой конвекции: при Rag = 100 — диффузионный массоперенос; при Rap = 103 начинается зарождение пограничных слоев, наблюдается слабое искривление линий равной концентрации (зависимости i/'maxCR^) и Nuc(Rac) подобны аналогичным зависимостям для случая тепловой конвекции (см. рис. 2.19)); при Rae = 104 градиент концентрации в центре области становится вертикальным; структура течения во всех случаях остается одновихревой. Расчетные данные по линиям равной концентрации хорошо согласуются с экспериментальными [142].
Термоконцентрационная конвекция. Результаты расчетов термоконцентрационной конвекции в виде изолиний функции тока, изотерм и линий равной концентрации, полученные на сетке с числом узлов 65 Х65 при Ra = 1,5 • 10s; Ra3 =1,6 • 10s, Rac = Ra3 = 1,2 • 10s; Pr = 0,75; Sc = 0,65 представлены на рис. 2.21. Расчет показал,что при Ra< 10s движение газа осуществляется по часовой стрелке, а при Ra> 1,2 - 10s - против часовой стрелки. При | Ra | > 10s наблюдаются слабые вторичные вихри около вертикальных границ, хотя основное течение является одновихревым, имеющим тенденцию при больших числах Рэлея (| Ra | > >2-10s) выстраиваться вдоль диагоналей, проведенных при Ra<0 из левого верхнего угла в правый нижний и при Ra > 10s из правого верхнего угла в левый нижний угол области.
Характер изменения максимальной функции тока при изменении числа Рэлея (рис. 2.22) в диапазоне -106<Ra<105 и 3-105<Ra<106 описывается степенной функцией фтм ^ Ra1/4. Нулевое значение максимальной функции тока находится в интервале чисел Рэлея 10s <Ra< < 1,2 • 10s. Интересен тот факт, что в интервале чисел Рэлея от 1,5 ■ 10s до 2 • 10s модуль максимальной функции тока уменьшается, хотя при Ка> 2 ■ 10s и Ra< 1,5 • 10s он увеличивается с возрастанием |Ra| (аналогичным образом максимальная функция тока ведет себя на нестационарном
Рис. 2.20. Зависимость производной ЗС/эу, вычисленной в центре квадратной области, от концентрационного числа Рэлея в изотермических условиях
Разные значки - экспериментальные данные [142, 143] для различных газовых смесей, сплошная линия — расчет при Ra = 0, Sc = 1
Рис. 2.21. Изолинии функции тока, изотермы, линии равной концентрации и интерферограммы поля концентрации [142, 143] при термоконцентрационной конвекции (Rac = R^ = l,2- 10’, Ra =1,5- 10s, Ra3 = 1,6 ■ 105, Pr = 0,75, Sc = 0,65,L/H = 1)
//нтеррерограмма
Рис. 2.22. Зависимости максимальной функции тока и среднего концентрационного числа Нуссельта (х = 1) от числа Рэлея лри термоконцентрационной конвекции (Rac = 1,2 • • 1О5,Рт = 0,75,Sc = 0,b5,LlH= 1)
Рис. 2.23. Зависимости производной ЪС/Ъу, вычисленной в центре квадратной области, и разности концентраций в среднем вертикальном сечении от числа Рэлея притер- моконцентрационной ковекции
Точки - экспериментальные данные (142, 143], сплошная линия — расчет при Rac=Rac3= 1,2- 10*, Рг = 0,75, Sc = 0,65, L)H = 1
участке в задаче о тепловой конвекции в длинном горизонтальном слое (см. разд. 2.3)). В данном случае это может быть объяснено тем, что в этом интервале чисел Рэлея происходит разделение одного максимума функции тока на два и быстрое (в зависимости от числа Рэлея) их расхождение по диагонали области. Затем процесс раздвоения (формирования вторичных вихрей) прекращается, и модуль максимальной функции тока снова начинает возрастать при увеличении числа Рэлея.
На рис. 2.22 показана также зависимость среднего концентрационного числа Нуссельта, вычисленного на вертикальной стенке (х = 1), от числа Рэлея, которая отражает влияние противоборства тепловой и концентрационной конвекции на массоперенос (в частности, в окрестности Ra = = 10s). В диапазоне чисел Рэлея -106 <Ra<105 и 3 • 10s > Ra > 106 эту зависимость можно аппроксимировать выражением
Nuc =0,08 | фтах | + 1,7.
Зависимости ЬС/Ьу и ДС от числа Рэлея (рис. 2.23) подобны и имеют максимум в интервале чисел Рэлея 5 • 104 < Ra < 105. Знак величин ^С/Ъу и ДС меняется иа противоположный приблизительно при том же числе Рэлея, когда конвективное движение меняет направление (см. рис. 2.22).
Анализ результатов технологических экспериментов в условиях невесомости. Приведенные в п. 2.2.2 данные имеют общий характер и могут применяться в широком диапазоне значений glg0, т.е. в земных условиях и в условиях пониженной гравитации. Однако рассмотренный диапазон чисел Рэлея в большей степени соответствует условиям орбитального полета (gigQ < 1). Ниже мы рассмотрим подробнее один из космических технологических экспериментов, проведенный по программе ’’Союз- Аполлон” Институтом металлургии АН СССР (эксперимент МА-150) [75, 78, 123]. Его целью было исследование возможности использования условий невесомости для получения монокристаллов твердых растворов германий—кремний—сурьма с равномерным распределением примеси методом направленной кристаллизации.
Кристаллизация указанных материалов происходила в вакуумированной кварцевой цилиндрической ампуле. Использовалась "универсальная печь”, которая помещалась в стыковочном модуле станции ’’Союз—Аполлон” так, что ось ампулы и направление кристаллизации расплава были параллельны главной оси станции. Станция имела собственное вращение вокруг главной оси, в связи с чем ускорения в месте расположения печи при проведении эксперимента были в среднем равны gjg0 =4 • 10~3 [75, 78, 123].
При проведении эксперимента смесь внутри ампулы расплавлялась и выдерживалась в расплавленном состоянии 1 ч, после чего только начиналась кристаллизация. Подобный эксперимент проводился и на Земле. При этом получено, что распределение примеси по длине образца в земных условиях и в условиях невесомости аналогично, но неравномерность распределения примесей в радиальном направлении в условиях невесомости существенно больше, чем в кристаллах, выращенных при таких же условиях на Земле, хотя до проведения опыта ожидался обратный эффект. Концентрации примеси на диаметрально противоположных гранях кристалла, выращенного в полетных условиях, отличались в два—шесть раз, т.е. расплав в процессе кристаллизации из однородного по составу превращался в неоднородный, происходила ликвация компонент в расплаве. Аналогичный эффект макросегрегации наблюдался и в космическом эксперименте МА-060, где происходила кристаллизация германия, легированного галлием [292].
Применим результаты, полученные выше (см. п. 2.2.2), к анализу этих экспериментов. Для этого вначале уточним исходные данные в соответствии с публикациями [78, 123,145, 180]. Длина кварцевой ампулы 5 2мм, диаметр 9,5 мм, размеры слитка германий—кремний—сурьма: длина 38 мм, диаметр 9,3 мм. Печь имела температурный градиент приблизительно 25 °С/см. Разность температур в среднем во время эксперимента на концах ампулы была равна 100 °C — эта разность температур в расчетах была принята за характерную. Полученные в п. 2.2.2 результаты в принципе объясняют эффект макроликвации примеси в германии, который имел место в экспериментах МА-150 и МА-060, проводившихся по программе "Союз— Аполлон”. Для того чтобы примесь при кристализации германия в условиях пониженной гравитации была распределена более равномерно, чем в земных условиях (ДС< 0,12), необходимо, чтобы число Рэлея было меньше 3 (^/^0 < 3 • 10-6). Из зависимости ДС(Ка) (см. рис. 2.11) 54
видно, что для достижения однородности распредения примеси в германии ДС<0,04 необходимо выполнить условие Ra<l, соответствующее перегруз- Keg(g0< 10~5 при характерном размере Н = 1см и Д7'=100°С.
Из результатов параметрических исследований (см. п. 2.1.2) следует также, что радиальная макроликвация примеси существенно зависит не только от числа Рэлея (см. рис. 2.17), но и от чисел Прандтля и Шмидта и геометрии ампулы (рис. 2.15), т.е. зависимость ДС(Ка) может быть разной и для некоторых веществ, закристаллизованных в условиях невесомости, макросегрегация может не иметь места.
За время, прошедшее после анализа эксперимента МА-150, получены новые данные экспериментов по макронеоднородности примеси, выполненных на спутниках серии ’’Космос”, а также технологических экспериментов, выполненных в земных условиях, которые подтверждают наличие максимума макросегрегации примеси [62, 159, 192]. Кроме того, существуют аналитические и численные подтверждения этого эффекта [76,179].
Представленные доказательства существования максимума концентрационного расслоения накладывают, таким образом, определенные ограничения на возможности получения совершенных монокристаллов в условиях пониженной гравитации. Для уменьшения макросегрегации следует так подобрать условия, чтобы число Рэлея, зависящее от геометрии, вещества, перегрузки, было меньше, чем число Рэлея, которому соответствует максимум макросегрегации Ram.
Заметим, что из рис. 2.11 следует, что макросегрегация может быть уменьшена и при Ra > Ram, однако, как известно, в этом диапазоне уже могут сказываться эффекты микросегрегации, связанные с пульсациями температуры и концентрации. Последний вопрос весьма мало изучен, и может оказаться, что в некотором смысле ’’оптимальными” будут условия Ram < Ra < Raf, где Raf — число Рэлея, при котором имеет место микросегрегация, связанная с турбулентными пульсациями.
2-2.5. Термоконцентрационная конвекция и слоистые структуры. Все рассмотренные выше результаты касались только бокового подвода тепла и массы (случаи и, к по классификации рис. 2.2). В бинарных смесях с устойчивой вертикальной стратификацией по составу и при боковом подогреве (случаи д, е на рис. 2.2) возможна конвекция, обусловленная так называемой двойной диффузией [158], которая приводит к образованию слоистых структур и может быть причиной дефектов в материалах.
Изучению двойной диффузии посвящен ряд обзоров [163, 181, 289]. Лабораторные эксперименты [151] показали, что нагревание или охлаждение стенок сосуда с раствором может приводить к слоистой структуре течения и образованию структуры со ступенчатым распределением плотности по вертикали. В работах [134, 203] с помощью численных методов исследуется динамика образования слоистых структур. Для области с тремя теплоизолированными и одной изотермической стенками в работе [134] приведена диаграмма образования слоистых структур в зависимости от чисел Ra и Rac.
Здесь будет рассматриваться конвекция в замкнутой квадратной об-
ласти L]H = 1, заполненной бинарным расплавом, подогреваемым справа и охлаждаемым слева; горизонтальные стенки теплоизолированы и поддерживаются при постоянных значениях концентрации: на верхней (у = 1)С=1, на нижней (у = 0) С = 0. На вертикальных стенках условия изоляции: ЭС/Эх = 0. На всех границах заданы для скорости условия прилипания. В начальный момент жидкость покоится. В отличие от упомянутых работ целью приводимой ниже серии расчетов является подробное параметрическое исследование при изменении чисел Рг и Sc.
Исследование конвективного тепломассообмена осуществляется на основе решения нестационарных двумерных уравнений Навье—Стокса для несжимаемой жидкости в приближении Буссинеска (2.20) — (2.23). Уравнения решались с помощью комплекса программ метода конечных разностей [134]. Основные расчеты проведены для чисел Грасгофа Gr = = 106, Grc = 4 • 106 в диапазоне чисел Прандтля 1 < Рг < 100 и Шмидта 1 <Sc < 100 на сетке с числом узлов 65X65.
Высота плавучести h0 = Ra/Rac для указанных параметров будет находиться в диапазоне 0,0025 < Ло <25. В [134] указано, что слоистые структуры образовывались с периодом, близким к Ло, и при Rah > 104 (Rah - число Рэлея, посчитанное по высоте плавучести; Rah = Ra4/Ra3 Диапазон числа Rah, соответствующего параметрам расчета: 0,016 < Rah < < 1,6 ■ 10.
Таблица 2.1
Параметр
Sc
Pt
1
5
1
|100
1 Ф max 1
—
—
1,14
0,40
Nu
1
—
—
7,5
2,36
Nuc
-
-
1,08
1,01
1 Фтах 1
—
—
0,69
0,48
Nu
5
-
—
1,84
2,58
Nuc
-
1Д5
1,13
1 *тах 1
6,29
0,74
0,43
0,19
Nu
10
2,50
1,68
2,09
12,70
Nuc
2,20
Ui
1,17
1,11
1 Ф max 1
—
—
1,76
0,07
Nu
100
—
—
9,69
3,11
Nuc
—
—
4,53
1,26
Рис. 2.24. Изолинии функции тока, температуры и концентрации при Gr = 10*, Grc = = 4 • 10‘, Pr= 10 и числа Шмидта, равных 1 (я), 10 (б) и 100 (в)
чисел Прандтля и Шмидта в диапазоне от 1 до 100. Конкретные значения чисел Прандтля и Шмидта, при которых были проведены расчеты, указаны в табл. 2.1. Кроме этого, в табл. 2.1 для каждого рассчитанного варианта построчно указаны значения следующих величин: максимальное значение модуля функции тока | Фтах I , среднее значение числа Нуссельта на вертикальной стенке Nu и среднее значение концентрационного числа Нуссельта Nuc.
Расчеты показывают наличие стационарных слоистых структур, которые наиболее четко выражены при следующих соотношениях чисел Прандтля и Шмидта: 1) Рг = 10, Sc =1 (рис. 2.24д); 2) Рг = 100, Sc = 1; 3) Рг = 100, Sc = 10. В остальных семи вариантах структура течения имеет два основных
57
вихря у верхней и нижней горизонтальных стенок и очень слабые вторичные вихри в центральной части области (рис. 2.24,5).
На рис. 2,24 представлены изолинии функции тока, температуры и концентрации для Рг = 10 и разных чисел Шмидта. На рис. 2.25 показаны профили температуры и концентрации в среднем вертикальном сечении (х = 0^) при Рг = 10 и трех значениях чисел Шмидта. При Sc = 1 и 10 распределения функции тока, температуры и концентрации даны для стационарного режима, а при Sc = 100 такого режима нет, существует колебательный режим течения, и картина течения представлена для момента безразмерного времени t = 4,72. При Sc = 1 и 10 поля концентрации практически одинаковы и остаются близкими к начальному. Поле температуры отслеживает многоячейковую структуру течения, например, при Sc = 1 (см. рис. 2.25 д) изотермы вне пограничных слоев ближе к горизонтальным, нежели к вертикальным. В ядре каждой ячейки устанавливается изотермическая область, и поэтому вертикальные профили температуры имеют ступенчатый характер. При Рг = 10, Sc = 100 (см. рис. 2.25,в), а также при Рг =1, Sc = 10 конвективное течение изменяет поле концентрации, образуя в местах основных вихрей две однородные зоны. Вертикальный профиль концентрации в этих случаях имеет две четко выраженные ступеньки.
Минимальная интенсивность конвективного течения ii^maxi = 0,07 наблюдается при Рг = 100, Sc = 100. В этом случае из-за устойчивой концентрационной стратификации конвекция практически подавляется.
В случае Pr = 10, Sc = 100 стационарного режима нет, а существует периодическое как по пространству, так и по времени решение. На рис. 2.24 на поле функции тока видна пространственная волна в двух основных вихрях. Пространственная волна, идущая в направлении основного конвективного течения, наблюдается и на поле концентраций.
На рис. 2.26 представлены зависимости максимума модуля функции тока от числа Шмидта для трех значений числа Прандтля. Следует отметить, что зависимость интенсивности конвективного течения от числа Шмидта
Рис. 2.26. Зависимость максимального значения функции тока от числа Шмидта при Gr = IO6, Cic = 4Ч06 и числах Прандтля, равных 5 (7), 10 (2) и 100 У)
может иметь немонотонный характерам., например, рис. 2.26, кривая 2), а также то, что при слиянии конвективных ячеек интенсивность течения резко увеличивается, что, в свою очередь, интенсифицирует тепло-и массо- обмен. Последнее подтверждает результат работы [148].
Таким образом, при Gr = 106, Grc = 4 ■ 10°, Sc и Pr = Hl 00, характерных для большого числа материалов, в том числе и для расплавов высокотемпературных сверхпроводников, существует термоконцентрационная конвекция, которая может приводить к слоистым структурам. Конвективные течения могут иметь как стационарный, так и колебательный характер, что подтверждается также данными по устойчивости.
Тепловая гравитационная конвекция в удлиненных областях при разных числах Прандтля
В данном разделе изучаются режимы только тепловой гравитационной конвекции при разных числах Рэлея и в областях большего удлинения (£///~10), что моделирует особенности конвективных процессов в методах горизонтальной направленной кристаллизации в земных условиях. Вместе с тем при увеличении диаметра ампул, к чему имеется тенденция в большинстве технологий получения материалов электронной техники, будет существенно возрастать и число Рэлея.
Главная особенность тепловой гравитационной конвекции, проявляющаяся в первую очередь при малых числах Прандтля, характерных для расплавов полупроводников, — образование вторичных структур, неустойчивость и колебания тепловых полей, приводящие в итоге к микронеоднородностям в структуре кристаллов. Устранение этих нежелательных эффектов было и в значительной мере остается в настоящее время одной из основных целей проведения технологических экспериментов в условиях невесомости. Однако устранение колебаний тепловых полей возможно также при изменении граничных условий, геометрии (в том числе не только удлинения, но и ширины области), что может быть привлекательным как некоторая альтернатива дорогостоящим процессам в невесомости. Кроме того, требуют уточнения сами критические числа Рэлея, зависящие от многих других параметров. Все это наряду со сложностью внутренней структуры такого класса течений привело в последние годы к оживлению этого участка работы. Учитывая принципиальное различие течений при
больших и малых числах Прандтля, мы рассматриваем оба эти класса задач отдельно, уделяя, как и ранее, значительное внимание проверке результатов численного моделирования путем сопоставления с данными лабораторного эксперимента.
Когда горизонтальные границы слоя теплоизолированы и на боковых поверхностях заданы различные температуры, наличие конвекции всегда приводит к устойчивой вертикальной стратификации по температуре, что существенно изменяет структуру течения и перенос тепла. Изучению этого случая с адиабатическими горизонтальными границами посвящено много работ (см., например, [19, 20, 79, 83—87, 170, 171, 185, 209, 213, 215, 278, 283]), среди которых аналитические и численные результаты содержат работы [20, 86, 87, 185, 277, 278, 283], а экспериментальные данные - [19, 79, 83-86,170,209, 213, 215, 278, 283].
Постановка задачи. Ниже рассматривается задача о тепловой конвекции в горизонтальном слое с теплоизолированными горизонтальными стенками и заданными температурами на торцах (Ji и 7^). Рассматриваются жидкости с большими числами Прандтля и считается, что длина гораздо больше высоты: L >Н.
Математическая модель рассматриваемого конвективного процесса основана на уравнениях (2.20) — (2.23). Теплофизические коэффициенты V, а, рг заданы постоянными при средней температуре (7} + Т2)/2. На твердых границах расчетной области для составляющих скорости задаются условия прилипания. Для температуры граничные условия имеют вид
(3-cos )/4 при t <0,03,
х = 0, 0< у< 1,6 =х = 0, 0< у< 1,6 =0,03
х = 0, 0< у< 1,6 =
х = 0, 0< у< 1,6 =
при г>0;03,
х=ЦН, 0<у<1, 6 =х=ЦН, 0<у<1, 6 =при Г >0,03,при Г >0,03,
х=ЦН, 0<у<1, 6 =
х=ЦН, 0<у<1, 6 =
при Г >0,03,
при Г >0,03,
^<х<ЦН, у = 0, у = 1, Э6/Эу = 0.
Начальные условия:
ш(х, у, 0) = 0, ф(х, у, 0) = 0, 6(х,у, 0) = 0,5,
т.е. движение начинается из покоя при прогреве левой вертикальной стенки от начальной температуры 6 =0,5 до 6 = 1 при 0<Г <0,03 и охлаждении правой вертикальной стенки от начальной температуры 6 = 05 до 6=0 приО<Г <0,03.
Кроме условий (2.25), рассматриваются также граничные условия вида
ф | г = 0, дф^дп |г = 0,
х = 0,0<у<1,6=0,
x-L/H,0 <х<ЦН,x-L/H,0 <х<ЦН,0<у < 1,0<у < 1,6=1,6=1,(2.26)(2.26)у = 0, у = 1, дб/Эу = 0.у = 0, у = 1, дб/Эу = 0.
x-L/H,
0 <х<ЦН,
x-L/H,
0 <х<ЦН,
0<у < 1,
0<у < 1,
6=1,
6=1,
(2.26)
(2.26)
у = 0, у = 1, дб/Эу = 0.
у = 0, у = 1, дб/Эу = 0.
Рис. 2.27. Зависимость максимального значения функции тока и средн его'числа Нуссельта (при х = 1) от времени в горизонтальном слое с граничными условиями (2.25) приКа = 8- 107, Рг = 7,2, £/Я = 6,94
Начальные условия в этом случае имеют вид
w(x, у, 0) = О, ф (х, у, 0) = 0, (Цх, у, 0) = xHlL,
что соответствует теплопроводному распределению температуры в начальный момент времени. Граничные условия (2.25) более реально описывают прогрев вертикальных стенок в начальный момент. Эти же граничные условия при расчете позволили использовать более крупный начальный шаг по времени (т = 1СГ5), чем при граничных условиях (2.26). Расчеты проводились на равномерных и неравномерных сетках с числом узлов 21 X 101, 33 X 141, 65 X 141, 65 X 200 (минимальный шаг у стенок был равен 5 • 10-3). Трудности в выборе сетки заключаются в том, что при больших удлинениях слоя и больших числах Рэлея требуется одновременно описывать структуру течения в ядре и в весьма тонком пограничном слое у боковых границ, т.е., с одной стороны, она должна быть достаточно подробной (с большим числом узлов), а с другой стороны, число узлов сетки ограничивается существенным увеличением затрат машинного времени. Следует заметить, что при больших числах Рэлея (Ra>105) результаты расчетов на недостаточно подробной сетке могут исказить решение или не содержать некоторых рассмотренных ниже тонких деталей структуры течения.
Результаты численных расчетов и сопоставление с данными эксперимента. Развитие конвективного течения в горизонтальном слое, заполненном водой, при нагреве и охлаждении торцевых стенок (граничные условия (2.25)) можно проследить на рис. 2.27, где изображены зависимости максимальной функции тока и среднего числа Нуссельта Nu на торце х = 0 (Ra = 8 • 107, Рг = 7,2, L[H = 6,94). В начальный момент времени на вертикальных стенках слоя образуются струйные течения одинаковой интенсивности, которые, ускоряясь и ударяясь о горизонтальные стенки (о нижнюю у холодного торца и о верхнюю у горячего), продолжают двигаться на-
Рис. 2.28. Изотермы и изолинии функции тока в стационарном режиме в горизонтальном слое с адиабатическими горизонтальными стенками для Рг = 5,8, L]H = 12, 71 при Ra=2- 10s (в) и 1,2- 10s (б)
б: штриховой линией отмечена область, представленная на рис. 2.29
встречу друг другу вдоль нижней и верхней стенок, затем эти два потока встречаются посередине слоя и, практически не влияя друг на друга, расходятся в разные стороны и достигают противоположных торцов слоя. Частично отражаясь от вертикальных стенок и частично проходя вдоль них, эти потоки возвращаются к ’’своим” торцевым стенкам (где они зародились), но уже не только вдоль горизонтальных стенок, а по более сложной траектории из-за того, что часть жидкости отразилась от торцов. Таким образом, в движение вовлекается жидкость, находящаяся в средней части слоя. Кроме этого, в пограничный слой на вертикальных стенках вовлекаются и новые порции жидкости. Достигнув ’’своих” торцевых стенок, потоки жидкости возвращаются к противоположным торцам, затем снова к ’’своим” и т.д. Такое сложное движение надолго затягивает выход конвективного течения на стационарный режим. Несмотря на то что число Прандтля больше единицы (Рг = 7,2), характерное для стационарного режима распределение температуры со стратификацией по вертикали устанавливается гораздо раньше, чем функция тока.
На рис. 2.28 представлены изолинии функции тока и изотермы на стационарном режиме в горизонтальном слое с адиабатическими горизонтальными стенками (условия (2.26)) для разных значений числа Рэлея: при малых числах Рэлея (числа Gr < 104) конвективное течение представляет собой одновихревое плоскопараллельное течение с максимумом функции тока, находящимся в центре слоя (см. рис. 2.28д). При увеличении числа Рэлея начинают зарождаться вторичные вихри, так же как и в случае квадратной области L]H = 1, т.е. максимум функции тока раздваивается. С пальнейшим увеличением числа Рэлея образуются слои, а центры зародив-
шихся вторичных вихрей продолжают расходиться и прижиматься к торцевым стенкам.
Течение при больших числах Рэлея в длинных горизонтальных слоях в рассматриваемом диапазоне параметров характеризуется тем, что на вертикальных и горизонтальных стенках образуются весьма тонкие гидродинамические и тепловые пограничные слои. Температура вне вертикальных температурных пограничных слоев в горизонтальных сечениях при этом практически не изменяется. Жидкость в целом устойчиво стратифицирована по вертикали, однако наблюдаются слабые противотоки между ядром и пограничными слоями, т.е. структура течения и распределение температуры существенно отличаются от режима, который реализуется при малых и умеренных числах Рэлея. Следует заметить, что такое конвективное течение уже не может быть описано в рамках линейных приближений, как, например, при малых числах Рэлея [84], и в этом случае следует использовать исходную систему нелинейных уравнений Навье—Стокса (2.20) — (2.23).
На рис. 2.29 показаны расчетная сетка, изолинии функции тока и изотермы у левого торца слоя 0 <л <0,16,0 <у < 1 (на рис. 2.28,5 эта область отмечена штриховой линией). Отчетливо видна структура гидродинамического и температурного пограничных слоев на вертикальной стенке — продольный перепад температуры сосредоточен в очень узких вертикальных пограничных слоях: в верхней части температурного пограничного слоя у левой стенки (и в нижней части у правой стенки) продольный перепад температуры при Ra = 1,2 • 10s, Pr = 5,8 составляет ДГ — 0,7(7'2 ~Т\У Вертикальные скорости таковы, что нагретая частичка жидкости из верхней части слоя, не успев остыть, попадает в более холодную нижнюю область слоя, после чего благодаря подъемной силе всплывает на высоту с температурой, равной температуре частички, в связи с чем возникает упоминавшийся выше слабый противоток может порождать слабый вторичный вихрь на вертикальной стенке, как показано на рис. 2.29,5.
В экспериментах [278] для L/Н > 1 найдено критическое число Рэлея RaKp возникновения вторичных вихрей; RaKp (L/Я)1/4 — 6,4 ■ 105 ± 10%. Эта формула не противоречит результатам данной работы, например при Ra(L/H) Х!А = 3,8 • 10s (Ra = 2 ■ 10s, L/H = 12,71, Pr = 5,8) вторичных вихрей нет (см. рис. 2.28,а), а при Ra^/#)1/4 = 2 • 108 (Ra = 1,2 ■ 108, L]H = 12,71, Pr = 5,8) вторичные вихри существуют (см. рис. 2.28,5). Однако при указанных параметрах размер этих вихрей мал. Вихри расположены вблизи торцевых стенок между пограничными слоями на вертикальных стенках и ядром и вытянуты по вертикали. При Ra = 109 вертикальный размер вторичных вихрей увеличивается по сравнению со случаем Ra= 1,2 • 108.
На рис. 2.30 профили горизонтальной и вертикальной компонент вектора скорости приведены в средних вертикальном и горизонтальном сечениях для Ra = 109 ; Pr = 5,8; L/H - 12,71. Они показывают наличие тонких пограничных слоев, изменения в них скорости, наличие противотоков и малоподвижного ядра со сложным течением. Распределение температуры вдоль горизонтального слоя (рис. 2.31, а) показывает, что при Ra = 10^, Pr = 5,8, ЦН = 12,71 температура сильно изменяется у торцов в пограничных слоях и вне их почти не изменяется. Из распределения температуры поперек слоя
AaAa66o'o'iiiuiHiiiiiiieeee tfllHIII■■■■■■■■■■ lllllllllllllll■■■■ IIIIIIHIIIIIIIII»; lllllllllllllll■■■■lllllllllllllll■■■■ lllllllllllllll■■■■ iiiHiiiiiiiiiieeee illlillllIllllllllllllll■■■■IIШIШIIII■I■■■■ iiwniJiiiuieeee, llllllllllll■■■■■■■ iiiitiiiiiiiieieeee llllillll■■■■■■■■■■ ihhhiiiihiimi», lllllllll»l■■■■■■■! llilllllllll■■l■■■■ iHiiniiiiiieieeee iiiiiiiiiiiuineBBiiiiiiiiiiiiiiimm iiiHiiiiiiiiiieeMihiiiiiiiiiiiiii»! пинии ■■■■ ■■■■■ itinniiiiiieiBiBeHiUHiiiiiiueiee. llllllllllllll■l■■■ iiiiiii llll■l■■■■■■ II1IIIIIIIIIIIIIHB llllllllllllllll■■■ iiiiiHiiiMieeeeeelllllilllllll■l■■■■ IIHIIIIIIill■■■■■■ 1111111111ШН1И1 iiiiiiiiiiiiiiiem IIIIIIIIIHIIIUHI |IIIIIIHIIIII■I■■■■ iiiiiHiiiiiiiiiiee llllllillllll■■■■■■iiHiiiiiiniiiiaia niuniiiiiiiiieee iiiiiiiiiiiiuiiaia IIIIIIIIIIII1IIIBBB iiiiiiiiiiiiiimbbb iiiiiiiniiiiiiaBBB iiiiiiiiiiiiiiiaBiai iiiiiiiniiiiiiaBBB IIIIIIIIIIIIIIIBBBB iiiiiiiiiiiiiiibbbb IIIIIIIIIIIIIIIBBBB IIIIIIIIIIIIIIIBBBB IIIIIIIIIIIIIIIBBBB hihi 11 iiiiiii ■ ввавiiiuiHiiiiiiieeee tfllHIII■■■■■■■■■■ lllllllllllllll■■■■ IIIIIIHIIIIIIIII»; lllllllllllllll■■■■lllllllllllllll■■■■ lllllllllllllll■■■■ iiiHiiiiiiiiiieeee illlillllIllllllllllllll■■■■IIШIШIIII■I■■■■ iiwniJiiiuieeee, llllllllllll■■■■■■■ iiiitiiiiiiiieieeee llllillll■■■■■■■■■■ ihhhiiiihiimi», lllllllll»l■■■■■■■! llilllllllll■■l■■■■ iHiiniiiiiieieeee iiiiiiiiiiiuineBBiiiiiiiiiiiiiiimm iiiHiiiiiiiiiieeMihiiiiiiiiiiiiii»! пинии ■■■■ ■■■■■ itinniiiiiieiBiBeHiUHiiiiiiueiee. llllllllllllll■l■■■ iiiiiii llll■l■■■■■■ II1IIIIIIIIIIIIIHB llllllllllllllll■■■ iiiiiHiiiMieeeeeelllllilllllll■l■■■■ IIHIIIIIIill■■■■■■ 1111111111ШН1И1 iiiiiiiiiiiiiiiem IIIIIIIIIHIIIUHI |IIIIIIHIIIII■I■■■■ iiiiiHiiiiiiiiiiee llllllillllll■■■■■■iiHiiiiiiniiiiaia niuniiiiiiiiieee iiiiiiiiiiiiuiiaia IIIIIIIIIIII1IIIBBB iiiiiiiiiiiiiimbbb iiiiiiiniiiiiiaBBB iiiiiiiiiiiiiiiaBiai iiiiiiiniiiiiiaBBB IIIIIIIIIIIIIIIBBBB iiiiiiiiiiiiiiibbbb IIIIIIIIIIIIIIIBBBB IIIIIIIIIIIIIIIBBBB IIIIIIIIIIIIIIIBBBB hihi 11 iiiiiii ■ ввав
Aa
Aa
6
6
o'
o'
iiiuiHiiiiiiieeee tfllHIII■■■■■■■■■■ lllllllllllllll■■■■ IIIIIIHIIIIIIIII»; lllllllllllllll■■■■
lllllllllllllll■■■■ lllllllllllllll■■■■ iiiHiiiiiiiiiieeee illlillll
Illllllllllllll■■■■
IIШIШIIII■I■■■■ iiwniJiiiuieeee, llllllllllll■■■■■■■ iiiitiiiiiiiieieeee llllillll■■■■■■■■■■ ihhhiiiihiimi», lllllllll»l■■■■■■■! llilllllllll■■l■■■■ iHiiniiiiiieieeee iiiiiiiiiiiuineBB
iiiiiiiiiiiiiiimm
iiiHiiiiiiiiiieeM
ihiiiiiiiiiiiiii»! пинии ■■■■ ■■■■■ itinniiiiiieiBiBe
HiUHiiiiiiueiee. llllllllllllll■l■■■ iiiiiii llll■l■■■■■■ II1IIIIIIIIIIIIIHB llllllllllllllll■■■ iiiiiHiiiMieeeeee
lllllilllllll■l■■■■ IIHIIIIIIill■■■■■■ 1111111111ШН1И1 iiiiiiiiiiiiiiiem IIIIIIIIIHIIIUHI |IIIIIIHIIIII■I■■■■ iiiiiHiiiiiiiiiiee llllllillllll■■■■■■
iiHiiiiiiniiiiaia niuniiiiiiiiieee iiiiiiiiiiiiuiiaia IIIIIIIIIIII1IIIBBB iiiiiiiiiiiiiimbbb iiiiiiiniiiiiiaBBB iiiiiiiiiiiiiiiaBiai iiiiiiiniiiiiiaBBB IIIIIIIIIIIIIIIBBBB iiiiiiiiiiiiiiibbbb IIIIIIIIIIIIIIIBBBB IIIIIIIIIIIIIIIBBBB IIIIIIIIIIIIIIIBBBB hihi 11 iiiiiii ■ ввав
iiiuiHiiiiiiieeee tfllHIII■■■■■■■■■■ lllllllllllllll■■■■ IIIIIIHIIIIIIIII»; lllllllllllllll■■■■
lllllllllllllll■■■■ lllllllllllllll■■■■ iiiHiiiiiiiiiieeee illlillll
Illllllllllllll■■■■
IIШIШIIII■I■■■■ iiwniJiiiuieeee, llllllllllll■■■■■■■ iiiitiiiiiiiieieeee llllillll■■■■■■■■■■ ihhhiiiihiimi», lllllllll»l■■■■■■■! llilllllllll■■l■■■■ iHiiniiiiiieieeee iiiiiiiiiiiuineBB
iiiiiiiiiiiiiiimm
iiiHiiiiiiiiiieeM
ihiiiiiiiiiiiiii»! пинии ■■■■ ■■■■■ itinniiiiiieiBiBe
HiUHiiiiiiueiee. llllllllllllll■l■■■ iiiiiii llll■l■■■■■■ II1IIIIIIIIIIIIIHB llllllllllllllll■■■ iiiiiHiiiMieeeeee
lllllilllllll■l■■■■ IIHIIIIIIill■■■■■■ 1111111111ШН1И1 iiiiiiiiiiiiiiiem IIIIIIIIIHIIIUHI |IIIIIIHIIIII■I■■■■ iiiiiHiiiiiiiiiiee llllllillllll■■■■■■
iiHiiiiiiniiiiaia niuniiiiiiiiieee iiiiiiiiiiiiuiiaia IIIIIIIIIIII1IIIBBB iiiiiiiiiiiiiimbbb iiiiiiiniiiiiiaBBB iiiiiiiiiiiiiiiaBiai iiiiiiiniiiiiiaBBB IIIIIIIIIIIIIIIBBBB iiiiiiiiiiiiiiibbbb IIIIIIIIIIIIIIIBBBB IIIIIIIIIIIIIIIBBBB IIIIIIIIIIIIIIIBBBB hihi 11 iiiiiii ■ ввав
Рис. 2.29. Разностная сетка (я), изолинии функции тока (б) и изотермы (в) у левого торца горизонтального слоя (0 < х < 0,16) при Ra = 1,2 ■ 10", Рг = 5,8, ЦН = 12,71
(рис. 2.31, б) следует, что жидкость устойвдво стратифицирована (в ядре по линейному закону).
На рис. 2.32 проведено сравнение в размерных величинах результатов расчетов с экспериментальными данными [83, 84, 86, 87, 215]. Величины модулей рассчитанньг; скоростей в верхней части слоя и в нижней равны, т.е. наблюдается определенная симметрия. Некоторая несимметрия в экспериментальных данных, по-видимому, связана с зависимостью вязкости от температуры (расчеты проводились при постоянном значении вязкости, соответствующем средней температуре). Если при пересчете безразмерных рассчитанных значений скорости в размерные учесть изменение вязкости, то
Рис. 2.31. Профили температуры при Ra = = 109,Рг = 5,8,£/7/ = 12,71а — горизонтальные сечения: 1 - у =0, 2 — у =0,5, 3 — у = 1; б — среднее вертикальное сечениеРис. 2.31. Профили температуры при Ra = = 109,Рг = 5,8,£/7/ = 12,71а — горизонтальные сечения: 1 - у =0, 2 — у =0,5, 3 — у = 1; б — среднее вертикальное сечение
Рис. 2.31. Профили температуры при Ra = = 109,Рг = 5,8,£/7/ = 12,71
а — горизонтальные сечения: 1 - у =0, 2 — у =0,5, 3 — у = 1; б — среднее вертикальное сечение
Рис. 2.31. Профили температуры при Ra = = 109,Рг = 5,8,£/7/ = 12,71
а — горизонтальные сечения: 1 - у =0, 2 — у =0,5, 3 — у = 1; б — среднее вертикальное сечение
Рис. 2.30. Профили компонент вектора скорости в горизонтальном слое с адиабатическими горизонтальными стенками (Ra = 10’, Pi = 5,8,L/H = 12,71)
а — горизонтальная скорость в среднем вертикальном сечении; б - вертикальная скорость в среднем горизонтальном сечении у левого торца слоя
согласие с экспериментальными данными [83, 84, 86, 87, 215] улучшается (штриховая линия на рис. 2.3.2).
Хорошее согласие численных результатов с экспериментом [83,87,215] позволяет сделать вывод, что, во-первых, данная математическая модель адекватна эксперименту и способна с достаточной точностью при сравнительно больших числах Рэлея (Ra = 10s -т-109) с помощью численного решения двумерных уравнений Навье—Стокса воспроизводить конвективные течения, имеющие место в действительности; во-вторых, роль трехмерных эффектов в рассматриваемых условиях, по-видимому, несущественна.
Некоторые результаты расчетов (сетка 141 X 65) при условиях проведения экспериментов [83, 84, 86, 87, 215] представлены в табл. 2.2, где ^тах — максимальная функция Тока, Nu — среднее число Нуссельта на торце (л = 0),
Зак. 1319 65
Рис. 2.32. Размерные профили скорости и температуры в среднем вертикальном сечении горизонтального слоя при Ra = 1,2 • 10е, Рг =5,8, L[H= 12,71 (а) и Ra = 5,8 • 10е,Рг = 5,8,£/Я = 6,94 (б)
Точки — эксперимент [83, 87, 215], сплошные линии - расчет, штриховые — рас- чет с учетом изменения вязкости
Следует отметить устойчивый стационарный характер рассматриваемого течения, например, при Ra = 107 = 109, Рг = 5,8;£/Я = 12,71, реализуемый как в расчетной модели, так и в экспериментах [83, 84, 86, 87, 170, 209, 215, 278]. Это обстоятельство, связанное со спецификой задач! (контролируемые тепловые условия на горизонтальных границах, устанавливающаяся устойчшая вертикальная стратификация по температуре), имеет существенное значение для выбора режимов выращивания объемных монокристаллов из расплавов, где колебания температуры расплава на стадии, предшествующей кристаллизации, могут приводить к дефектам в структуре кристалла (так называемая полосчатая неоднородность) [100,251].
Однако результаты расчетов конвективного теплообмена в горизонталь-
Таблица 2.2
Ra
Рг
L/H
^шах
Nu
2 • 10s
5,8
12,71
2,31
5,04
7,9 ■ 107
7,2
6,94
8,35
28,20
8,7 • 10’
5,8
6,94
10,70
29,03
1,2 • 10е
5,8
12,71
12,68
30,37
5,8 ■ 10е
5,8
6,94
16,04
49,50
10’
5,8
12,71
18,50
54,48
ном слое, полученные при параметрах, соответствующих воде (Рг = 5,8-г -5-7,2), не всегда могут быть перенесены на расплавы полупроводниковых материалов, например, таких, как арсенид галлия, германий, кремний и др., поскольку значение числа Прандтля для их расплавов намного меньше единицы. При больших числах Грасгофа (Рэлея) и малых значениях одела Прандтля конвективное течение в слое с адиабатическими горизонтальными стенками приобретает колебательный характер, например при Ra = 2 -10s, Pr = 0,01 (Gr = 2'107), L/H = 12,71 максимальное значение функции тока изменяется от 5 • 102 до 8 • 102 с периодом, приблизительно равным t —
0,025, среднее число Нуссельта изменяется с тем же периодом от 0,4 до 0,62.
Структуры течения и распределения температуры для Ra = 2 • 10s при малых числах Прандтля (Pi = 0,01) и при числах Прандтля, больших единицы, существенно отличаются. При Рг = 0,01 толщина температурных пограничных слоев значительно больше, а значение среднего числа Нуссельта меньше, чем при Рг = 5,8 (см. табл. 2.2). Интенсивность конвективного течения при Рг = 0,01 значительно возрастает, например по сравнению со случаем Рг = 5,8. Максимальные значения компонент вектора скорости увеличиваются более чем на порядок, и максимальные значения скорости находятся у горизонтальных стенок, а не у вертикальных, как при Рг = 5,8. Структура течения при Pi =0,01; ЦН = 12,71 и Ra = 2- 10s перестает быть одновихревой, как при Pi = 5,8; Ь/Н=П,1\ и Ra = 2.105.
Прж моделировании процессов тепломассообмена, кроме различий в значениях определяющих безразмерных параметров, необходимо учитывать влияние граничных условий. На рис. 2.33 представлены изолинии функции тока и изотермы в горизонтальном слое с граничными условиями первого рода для температуры (линейное распределение) на горизонтальных стенках при следующих параметрах: Ra = 2 • 105, Рг =0,01, L/H = 12,71. Конвективное течение имеет правильную периодическую структуру с пятью ячейками, расположенными по длине слоя, причем движение в этих ячейках настолько интенсивное, что между ними существуют слабые согласующие вихри. На рис. 2.34 представлены распределения функции тока и температуры в среднем горизонтальном сечении. Распределение температуры по длине слоя имеет ступенчатый вид, т.е. основные изменения температуры в данном сечении происходят между ячейками, а внутри ячеек температура
Рис. 2.33.-Изотермы и изолинии функции тока на стационаре в горизонтальном слое с линейным профилем температуры на горизонтальных стенках (Ra = 2 • 10s, Рг = 0,01, L/H = = 12,71)Рис. 2.33.-Изотермы и изолинии функции тока на стационаре в горизонтальном слое с линейным профилем температуры на горизонтальных стенках (Ra = 2 • 10s, Рг = 0,01, L/H = = 12,71)
Рис. 2.33.-Изотермы и изолинии функции тока на стационаре в горизонтальном слое с линейным профилем температуры на горизонтальных стенках (Ra = 2 • 10s, Рг = 0,01, L/H = = 12,71)
Рис. 2.33.-Изотермы и изолинии функции тока на стационаре в горизонтальном слое с линейным профилем температуры на горизонтальных стенках (Ra = 2 • 10s, Рг = 0,01, L/H = = 12,71)
Рис. 2.34. Распределение функции тока и температуры для стационарного режима в среднем и горизонтальном сечении слоя с линейным профилем температуры на горизонтальных стенках (Ra = 2 ■ 10s, Pr = 0,01, L/H = 12,71)
выравнивается. Распределение функции тока по длине слоя показывает на- ливде пяти основных ячеек и четырех слабых согласующих вихрей (наличие у функции тока двух локальных максимумов в областях между ячейками).
Вторичные структуры, неустойчивость и температурные колебания при малых числах Прандтля
Использование условий микрогравитации при= выращивании кристаллов непосредственно связано с необходимостью избавиться от дефектов, вызванных конвекцией гравитационного типа в расплаве металла. В настоящее время преобладает мнение (см., например, [125, 207, 2 34]), что главной причиной возникновения микронеоднородностей является конвективная неустойчивость и нестационарный режим конвективного течения в расплаве в процессе кристаллизации. Температурные колебания, имеющие место в расплавах полупроводников (результаты экспериментов, в которых моделировалось это явление, приведены в [199, 206, 207]), являются одной из причин, вызывающих полосчатую структуру в кристаллах. Однако имеющиеся данные показывают, что возникновение и характер поведения колебаний зависят не только от основного параметра — числа Грасгофа, описывающего гравитационное воздействие, но также и от других условий процесса, таких, как граничные условия, физические свойства металла и др.
В настоящем разделе, построенном на основе работы [196], описано комплексное математическое и физическое моделирование структуры тепловой гравитационной конвекции в горизонтальном слое расплава, подо- 68
греваемом сбоку, в различных режимах по числу Грасгофа (стационарный режим, начало температурных колебаний и развитые колебания) с целью изучения условий возникновения колебаний, структуры тепловых и скоростных полей и влияния на них различных факторов в контролируемых условиях. Такое моделирование имитирует метод горизонтальной направленной кристаллизации без учета роста кристалла.
Математическое моделирование выполнено на основе численного решения нестационарных уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска для случая двух и трех пространственных переменных при отношении высоты к длине слоя 1.4 и различной ширине, при числах Прандтля Рг = 0; 0,015; 0,018 в диапазоне од сел Грасгофа 103-10s. Для случая бесконечно длинного слоя найдены также решения линеаризованных уравнений конвекции и построены нейтральные кривые в диапазоне изменения всех упомянутых выше безразмерных параметров.
Измерения поля температуры в стационарном, критическом и закрити- ческом режимах осуществлялись в расплаве галлий—индий—олово в горизонтальном бассейне, помещенном между боковыми изотермическими и остальными адиабатическими границами при различных отношениях высоты к длине и ширине. Для контроля тепловых граничных условий методом конечных элементов были выполнены расчеты тепловых потоков при отсутствии конвекции расплава в объеме.
При сопоставлении теоретических и экспериментальных результатов измерения критического числа Рэлея, при котором появляются температурные колебания в слое, обнаруживается влияние геометрических параметров (таких, как удлинение, ширина) и тепловых граничных условий на пространственную структуру и амплитудно-частотные характеристики колебаний полей температуры и скорости. Это делает возможным разработку мероприятий по подавлению осцилляций, альтернативных к действию магнитного поля и уменьшению силы тяжести в условиях невесомости.
Аналогичные исследования проводились в рамках международного GAMM-теста, результаты которого изложены в [243]. Результаты этого теста дают достаточно полную картину в части численного моделирования изучаемого явления.
Для математического моделирования процесса рассмотрим тепловую конвекцию в горизонтально расположенной прямоугольной каверне, одна боковая стенка которой подогревается, а противоположная - охлаждается (рис. 235). Систему координат выберем таким образом, чтобы ось х была направленна вертикально вверх, а ось у -- вдоль градиента температуры. Исходной моделью для математического моделирования устойчивости и нелинейного режима конвекции является классическая система уравнений Навье—Стокса в приближении Буссинеска, которую запишем в следующем безразмерном виде (этот вид предложен в GAMM-тесте [243]):
du/df + x/Gr (и ■ V) и= — Vp + Ди + VGr Те,
div и=0, (2.27)
aT/St* VGr(u. V7) = (1/Рг)ДГ
где и= (и, и, w) — вектор скорости жидкости; Т — температура; р — давление, а единичный вектор е направлен вертикально вверх. В качестве масшта-
Рис. 2.35. Схема экспериментальной установки и система координат
Рис. 2.36. Диаграмма нейтральной устойчивости в Л-Л -случае1,2 — спиральная колебательная мода, 3,4 — стационарная двумерная мода, 1,3 — адиабатические границы, 2, 4 — проводящие границыРис. 2.36. Диаграмма нейтральной устойчивости в Л-Л -случае1,2 — спиральная колебательная мода, 3,4 — стационарная двумерная мода, 1,3 — адиабатические границы, 2, 4 — проводящие границыбов длины, скорости, давления, времени и температуры выбраны Я, v ^Н, (p2^)VgF, Я2/у, уЯ, где Я - толщина слоя; v - кинематическая вязкость, а у = (Г2 - T^/L — горизонтальный градиент температуры. Система уравнений (2.27) определяется двумя безразмерными параметрами: одслом Грасгофа Gr = g/37fl4/p2 и вдслом Прандтля Pr = v/a, где g - ускорение свободного падения; £ —коэффициент объемного расширения; а — коэффициент температуропроводности.
Рис. 2.36. Диаграмма нейтральной устойчивости в Л-Л -случае
1,2 — спиральная колебательная мода, 3,4 — стационарная двумерная мода, 1,3 — адиабатические границы, 2, 4 — проводящие границы
Рис. 2.36. Диаграмма нейтральной устойчивости в Л-Л -случае
1,2 — спиральная колебательная мода, 3,4 — стационарная двумерная мода, 1,3 — адиабатические границы, 2, 4 — проводящие границы
Нижнее основание и боковые стенки каверны считаются твердыми, и на них ставится условие прилипания для скорости, на верхней поверхности рассматриваются даа типа граничных условий: она может быть твердой (R-R-случай) или свободной (R-F-случай). Граничные условия для температуры также могут быть сформулированы различным образом. Исследовались два типа тепловых граничных условий: адиабатические (теплоизолированные) стенки и проводящие, что означает, что на них поддерживается постоянный линейный вдоль оси у градиент температуры.
При малых температурных градиентах течение в каверне ламинарное и
вдали от концов параллельно верхнему и нижнему основаниям. В предельном случае бесконечно длинного горизонтального слоя такое течение может быть описано аналитически при помощи решения Би ри ха [32]. Изучение устойчивости такого плоскопараллельного течения производилось при помощи методов, описанных в приложении 2.
Линейный анализ задачи в R—R-случае для обоих типов температурных краевых условий и малых чисел Прандтля показывает (рис. 2.36), что стационарная двумерная мода (волновой вектор возмущения направлен вдоль оси у) является наименее устойчивой при возрастании числа Грасгофа. С возрастанием числа Прандтля критическое значение числа Грасгофа возрастает от 8 • 103 до 104 в случае адиабатических граничных условий или до 1,2 • Ю4 в случае проводящих границ. Например, для значения Рг = 0,01 критическое значение числа Грасгофа равно 8165 или 8079 соответственно. При некотором значении числа Прандтля, приближенно равном 0,03 для адиабатических граничных условий и 0,12 для случая с проводящими границами, тип неустойчивости меняется и наиболее опасной становится спиральная колебательная мода, для которой волновой вектор наиболее опасного возмущения направлен поперек градиента температуры.
При наличии свободной поверхности колебательная неустойчивость реализуется раньше, чем монотонная, т.е. нестационарный режим возникает без предварительного разбиения на ячейки. Однако о структуре течения на нестационарном режиме по данным линейного анализа нельзя сделать определенных выводов.
Результаты расчета двумерных уравнений в области с удлинениемL[Н = 4 показывают, что стационарному режиму могут соответствовать различные структуры течения в зависимости от граничных условий, числа Грасгофа и истории развития (начальных условий). Так, при числ&Рг = 0,018 для твердой верхней стенки и теплопроводных границ при Gr = 104 и 8 ■ 104 реализуется стационарный режим (в последнем случае при специальных начальных данных). В случае свободной поверхности и адиабатических граничных условий для температуры течение несимметрично и при Gr = 2 • 104 состоит из двух вихрей; более интенсивный вихрь локализован у холодной стенки.
Трехмерная задача решалась в переменных скорость—давление по методике, близкой к изложенной в работе [181а].
Результаты расчетов пространственного течения в замкнутом объеме (на верхней и нижней границах заданы условия прилипания) с соотношением сторон 1:4:1 при числе Прандтля Рг = 0 показаны на рис. 2.37 в сравнении с результатами двумерных расчетов при тех же параметрах. Видно, что боковые стенки существенно тормозят течение, что приводит к подавлению вторичных ячеек, наблюдающихся в двумерном случае при Gr = 2 • 104 и 4- 104.
Численное исследование нестационарных режимов конвекции проводилось в двумерной постановке. Оказалось, что устойчивость стационарного течения сильно зависит как от числа Грасгофа, так и от поставленных граничных условий. Наименьшее критическое число Грасгофа, при котором появляется настационарность (Grc = 1,8 • 104), получено в случае свободной поверхности и теплопроводящих границ. Условие твердых границ (R—R-случай) приводит к возрастанию критического значения: Gre =4 • 104 Пр! Gr > Grc получается нестационарное решение, не зависящее от времен-
Рис. 2.37. Векторы скорости в двумерных и трехмерных расчетах (Рг = 0)
а, б - Gr = 2 • 104 (2D- и ЗУ-мода соответственно) ; в, г - Gr = 4 • 104 (2£>- и 30- мода соответственно)
Ри с. 2.38. Некоторые характеристики нестационарных режимов (R-R-случай, адиабатические границы, Pi = 0,018)
а — поле амплитуд температурных колебаний; б — его сечение вдоль линии В—В'; в — колебания температуры в точке между вихрями; г — колебания максимальной вертикальной скорости
ного шага и вычислительной сетки, но, как уже отмечалось раньше, при определенных начальных значениях может получаться и стационарное решение.
При небольших закритичностях (Grc < Gr < 2Grc) во всей области получается одна мода (гармоника) колебаний, дальнейшее повышение числа Грасгофа ведет к усложнению картины течения. На рис. 2.38 приведены некоторые результаты вычислений при Gr = 8 • 104 (R-R-случай, адиабатические границы, Рг = 0,018, сетка 129 X 33) .После выхода расчета на режим регулярных колебаний определялись амплитуды температурных колебаний А в каждом узле сетки, изолинии этих амплитуд приведены на рис. 2.38, а, а сечение поля амплитуд вдоль оси каверны (линия В-В1 на pic. 2.38, а) изображено на рис. 2.38, б. Основной максимум колебаний находится между конвективными ячейками, здесь температурные колебания гармоничес- 72
кие (рис. 2.38, в), локальный минимум амплитуды колебаний в центре связан с областью интенсивной циркуляции. Изменения во времени максимальной вертикальной скорости (рис. 2.38,г) носят негармонический характер.
Экспериментальные исследования проводились на установке, представляющей собой прямоугольный бассейн размером 10,0 X 13,5 X 6,0 см (см. рис. 2.35). Боковые стенки и дно ванны 2 выполнены из оргстекла толщиной 1,2 см, для лучшей теплоизоляции бассейн со всех сторон обкладывался пенопластовыми пластинами толщиной 4,0 см. Верхняя горизонтальная пластина 3 на высоте 3,0 см выполнена из органического стекла толщиной 1,2 см, между жидкостью и пластиной существует воздушная прослойка 6. По вертикальным торцам бассейна устанавливались теплообменники (термо- ды 7), для выравнивания температурного фронта на термоды напаивались медные пластины (7) толщиной 1,5 см. Внутренность бассейна длиной L и шириной W заполнялась жидкостью (4) до высоты Н. Для уменьшения влияния воздушной прослойки сверху наливался слой вязкого масла (5).
Эксперименты проводились в широком слое (Н = 1,1 см, L = 4,4 см, W= = 6,0 см, ЦН =4, W(H = 5,5) ив узком (Я = 1,05 см,L = 4,4 см, W= 1 ,9 см, ЦН = 4,2, W jH = 1,8). В качестве рабочей жидкости использовался эвтектический сплав галлий—индий—олово, для которого принимались следующие характеристики: при температуре Т = 30°С вязкостью = 3,1 • 1(Г3 см2/с, коэффициент температуропроводности а = 0,17 см2/с и коэффициент теплового расширения /3 = 1,5 • 10"* 1 /К. Расчет безразмерных критериев с учетом этих значений дает Рг = 0,018, Gr = 1,5 ■ 104 Н* АТ/L. Температура в жидком металле измерялась с помощью терморезисторов, запаянных в стеклянную капиллярную трубку диаметром 0,07 см.
При определенной величине разности температур на термодах в слое металла появляются незатухающие гармонические колебания температуры. Измерения производились в пяти точках бассейна (I—V на рис. 2.35).
Для экспериментов с узким слоем (Я= 1,1 см) критическая разность температуры составила ДГ = 6,8 К (Gr = 3,7 • 104), во всех точках измерения наблюдались температурные колебания с безразмерным периодом 0,11 (43 с). Для широко го слоя (Н = 1,05) колебания начинались при АТ = 19,5 К (Gr = 8,8 • 104). С повышением температурного градиента частота колебаний возрастает. Амплитуда колебаний при слабой надкритичности во всех точках измерения постоянна и растет с ростом числа Грасгофа.
При больших надкритичностях форма температурных колебаний изменяется. Для тонкого слоя (Я = 1,1 см) при значении ДГ = 25 К (Gr= 1,1 • • 105) постоянство частоты колебаний в различных точках бассейна нарушается. Для точек у передней и задней боковых стенок рассогласование частот наибольшее (до 30% при ДГ = 30 К, Gr = 1,6 • 105). Форма колебаний при этом отличается от гармонической и показана на pic. 2.39. На рис. 2.40 приведены зависимости частоты / и амплитуды Я колебаний от числа Грасгофа.
Амплитуда температурных колебаний варьируется по длине и глубине бассейна (рис. 2.41). Колебания имеют практически синусоидальную форму, но с увеличением надкритичности частота и амплитуда колебаний возрастают и в отдельных областях появляются вторые гармоники. Амплитуда колебаний в различных точках бассейна на глубине 1—2 мм от поверхности для ДГ = 39 К (Gr = 1,8 • 105) показана на рис. 2.41, а (измерения выпол-
73
0,010,0Ц0,06 t0,010,0Ц0,06 tРис. 2.40. Зависимости частоты/ и амплитуды А колебаний температуры в разных точках кюветы от числа ГрасгофаРис. 2.40. Зависимости частоты/ и амплитуды А колебаний температуры в разных точках кюветы от числа Грасгофа
0,010,0Ц0,06 t
0,010,0Ц0,06 t
Рис. 2.40. Зависимости частоты/ и амплитуды А колебаний температуры в разных точках кюветы от числа Грасгофа
Рис. 2.40. Зависимости частоты/ и амплитуды А колебаний температуры в разных точках кюветы от числа Грасгофа
Рис. 2.39. Колебания температуры в различных точках кюветы (см. рис. 2.35)
нялись в восьми точках по длине бассейна в плоскости симметрии). Колебания малы и практически отсутствуют в трех точках у поверхности бассейна вблизи термодов и в срединной части. Наибольших величин амплитуда достигает в двух областях срединной части бассейна. Измеренное распределение амплитуд согласуется с полученным в расчетах (рис.2.38, г).
Сравнение экспериментальных и численных результатов показывает, что, скорее всего, в реальном эксперименте не реализуются ’’чистые” граничные условия, использованные в расчетах, реальные граничные условия должны описываться более сложными моделями.
(2) вдоль (в) и поперек (б) кюветы
Резюмируя проведенные исследования, можно отметить следующее. Основное течение при малых числах Прандтля по данным линейной теории теряет устойчивость при Gr = 8 • 103 4- Ю4. Увеличение разности температур приводит к возникновению системы стационарных ячеек, которые в длинном слое (L/H = 10) распределяются с периодом Х« 2,8//. Вслоях с удлинением L/H = 4 с твердыми границами могут реализоваться как двух-, так и трехвихревые структуры. Расчет по трехмерной модели показывает, что влияние боковых стенок может привести к существенной стабилизации одновихревой структуры. Происходит также ’’затягивание” стационарного режима по сравнению с двумерным приближением. Другими факторами, влияющими на начало режима колебаний, являются граничные условия на температуру и скорость. В двумерном случае минимальное число Грасгофа, при котором возникают колебания, соответствует свободной верхней поверхности и условиям теплопроводности на основаниях слоя и равно (1,8± ±0,1) • 104. Для твердой границы и условий теплоизоляции колебания возникают при Gr > 8 • 104. Период и характер колебаний в экспериментах и двумерных расчетах отличается на 20—50%, что может бьпь связано с неполным соответствием численной модели условиям эксперимента.
Таким образом, анализ различными методами возникновения колебаний в расплавах полупроводников в горизонтальном слое показывает, что изменение тепловых граничных условий и ширины слоя могут быть альтернативными к невесомости и воздействию магнитных полей способами подавления температурных колебаний. Эти способы не требуют значительных затрат, однако предъявляют большие требования к поддержанию и контролю теплового режима.
Если сравнить полученные результаты с основными выводами упомянутого выше международного теста [243], то все основные особенности, такие, как зависимость структуры двумерного течения от начальных данных в R-R-случае, влияние боковых стенок в случае трехмерного моделирования, влияние типа температурных граничных условий на конвекцию, нашли свое подтверждение.
Г л а в a 3
НЕГРАВИТАЦИОННЫЕ ВИДЫ КОНВЕКЦИИИ ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА
В СОСТОЯНИИ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ НЕВЕСОМОСТИ.ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ С ГРАВИТАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИЕЙ
В этой главе в отличие от предыдущей основное внимание будет сосредоточено на рассмотрении конвективных процессов в предельном состоянии космического полета g = 0, которое мы называем теоретической невесомостью.
В соответствии с обсуждавшейся ранее общей классификацией конвективных процессов (см. рис.2.1) условиям теоретической невесомости соответствуют все виды конвекции, за исключением гравитационной, которые разделяются на вынужденные, создаваемые механическими силами, электрические или магнитные и естественные движения негравитационного типа. Мы дадим краткий обзор тех из них, которые будем рассматривать в книге.
К вынужденным движениям в невесомости относятся различные вибрационные воздействия негравитационной природы, о которых упоминалось в гл. 1 (см. также [90, 192] ). В неоднородной по температуре и составу жидкости (газе) наличие таких воздействий вызывает конвекцию, даже если средняя во времени амплитуда возмущений равна нулю (см. например, [52]). Мы рассмотрим эти эффекты в гл. 4 при изучении гравитационных колебаний, ввиду того что применяемый здесь математический : ппарат аналогичен случаю негравитационных колебаний.
К ; руго му типу вынужденных течений, представляющих интерес для исследований и приложений в условиях невесомости, относятся медленные вынужденные неизотермические течения многокомпонентных смесей в различных системах разделения веществ (термодиффузионные колонки, камеры электрофоретических сепараторов и др.) , на которые в земных условиях существенное влияние оказывает тепловая гравитационная конвекция. Несмотря на то что большинство таких течений хорошо изучено (например, течение Пуазейля, Куэтта и их аналоги), их нельзя практически реализовать на Земле ввиду влияния гравитационной конвекции, и некоторые их характеристики, важные для технологических целей (например, температурное или концентрационное расслоение, вызываемое медленными вынужденными движениями), отсутствуют.
Освобождаясь в условиях космического полета от весьма обременительного в некоторых случаях земного тяготения, можно реализовать малоизученное предельное физическое состояние невесомости g)g0 = о и моделировать действие других силовых полей без искажающего влияния Земли (например, действие центрального поля тяготения путем наложения электрических полей) или использовать в чистом виде действие различных механических сил (см., например, [168, 202]).
При наличии электрического ( магнитного) поля в случае неоднородного распределения электрических и магнитных свойств (электропроводности, магнитной восприимчивости) жидкости массовые силы, так же как и другие рассмотренные выше силы, могут приводить в движение (или 76
стабилизировать) жидкость. Эти силы поэтому могут рассматриваться как средство для управления гидродинамикой в условиях невесомости (См.например, [59, 61] ).
Важное значение имеет возможность реализации в невесомости кажущегося тривиальным предельного состояния неравномерно нагретой жидкости (раствора, расплава), в котором полностью отсутствуют макроскопические движения. На использовании в качестве основного рабочего процесса молекулярно-диффузионного переноса легирующей примеси путем диффузии основан ряд технологических экспериментов [4, 90, 192]. Реализация этого режима в невесомости привлекает внимание технологов в связи с управляемостью, воспроизводимостью этого процесса в отличие от трудноуправляемого режима развитой гравитационной конвекции.
Важное значение приобретает также возможность точного измерения диффузии. Некоторые эксперименты такого типа в бинарных системах успешно осуществлены (см. [4,90,192]), поэтому представляет интерес изучение случае® неизотермических многокомпонентных систем с целью измерения коэффициентов термодиффузнн, бародиффузии, а также проведения других физических экспериментов для изучения атомно-молекулярных и термодинамических характеристик жидкости и газа (пороговые эффекты; метастабильность, переохлаждение, эффекты вблизи критической точки и др.; подробнее см. [94,192]).
Отметим, что в газах имеет место ряд специфическихнегравитационных конвективных механизмов, например термоакустические движения, связанные с расширением (сжатием) газа в неизотермических условиях, которые рассматривались методами численного моделирования в работах [40, 281]. Их влияние особенно велико в процессах горения [106] и может проявляться вблизи критической точки, где свойства жидкости и пара не отличаются и весьма велика сжимаемость газа. Возможны также движения, обусловленные так называемым термострессом, связанным с зависимостью тензора напряжений от градиентов температуры в газе [61].
Из всех обсуждавшихся негравитационных механизмов естественной конвекции наибольший интерес сегодня представляет конвекция, вызванная градиентами сил поверхностного натяжения, известная также под названием конвекции Марангони, которая в среде, неоднородной по температуре и составу, в соответствии с классификацией, представленной на рис. 2.1, разделяется на термокапиллярную и капиллярно-концентрационную. Этот интерес обусловлен тем, что во многих перспективных технологических приложениях в космосе (бестигельная плавка, направленная кристаллизация) поверхность жидкости (расплава) свободная, причем значение числа Марангони, определяющего интенсивность термокапиллярной конвекции, для типичных случаев достаточно велико (103 - 106 и более). Это указывает на потенциальную интенсивность такого вида конвекции, которая может не проявляться в земных условиях ввиду того, что ее подавляет гравитационная конвекция. Уменьшение гравитационной конвекции в невесомости может обнаружить весьма высокую гравитационную чустви- тельность системы в целом, включая, например, появление регулярных колебаний, неустойчивости и даже хаоса.
В отличие от гравитационной конвекции этот вид конвекции менее изучен, и здесь нет обобщающих монографий. Итоги исследований, ведущихся с большой интенсивностью последние 30 лет, подводились в ряде обзоров (см., например, [130,269]). Мы также приводим дополнительную библиографию в соответствующих разделах этой главы. В конце главы (разд. 3.6) рассмотрены некоторые особенности медленных вынужденных течений в невесомости, а также предельных диффузионно-тепловых режимов.
Конвекция под действием градиентовсил поверхностного натяженияи ее взаимодействие с гравитационной.
Математическая модель и критерии подобия
Для описания конвекции Марангони в плоских областях, как и в гл. 2, используется система уравнений Навье—Стокса в приближении Буссинеска.
На твердых участках границы области, которые далее считаются неподвижными, задаются условия прилипания и непротекания. На участках свободной границы, которая также считается заданной (плоской), из общих соотношений на поверхности раздела следует условие [98,225]
ддит/Эп = - от.(3.1)
Здесь ц— коэффициент динамической вязкости; и,. — касательная к свободной поверхности проекция скорости; от — градиент поверхностного натяжения вдоль свободной поверхности; п , т — нормальный и касательный к свободной поверхности векторы. Здесь и далее будет рассмотрена зависимость поверхностного натяжения только от температуры и концентрации примеси. Считая малыми отклонения температуры и концентрации от их средних значений и ограничиваясь линейными членами, получим
о = о0 + от(Т- Го) + ос(с- с0).
Условия тепломассообмена на границах области считаются заданными, рассмотрение ограничим условиями первого или второго рода.
Решение задачи при заданной конфигурации границ зависит от характерного размера области Н, плотности жидкости р, производных коэффициента поверхностного натяжения по температуре от и концентрации примеси ос, коэффициента кинематической вязкости г, характерных перепадов температуры ДГ и концентрации ДС, а также от коэффициентов температуропроводности а и диффузии D, коэффициентов теплового 0ти ’’концентрационного” рс расширения жидкости, величины вектора ускорения g.
При введении безразмерных переменных в качестве масштаба скорости используется комбинация определяющих параметров, имеющая размерность скорости. В отличие от задач гравитационной конвекции, где, как правило, масштаб скорости вводят с использованием соотношения оу = v/H, здесь масштаб скорости можно ввести, также используя величину перепада поверхностного натяжения So вдоль свободной поверхности: и2 = 5о/д.
Если, следуя традиции расчетов естественной конвекции, воспользоваться масштабом Ui, то безразмерный аналог граничного условия (3.1) примет вид
НЬа
Ц1 - () от.
VU
Легко видеть, что выражение в скобках есть не что иное, как отношение Uijvi- В литературе этот безразмерный комплекс называется параметром Марангони и обозначается либо М, либо Rem.
Если составить отношение и2 к выражениям и3 = а/Н, и4 = D/H, также имеющим размерность скорости, мы получим
Ма = 5оЯ/(ца), Мас = ЬсНКцО>
— тепловое и концентрационное числа Марангони, причем Ма или Мас мы будем использовать в тех случаях, когда изменение поверхностного натяжения вызвано температурной или концентрационной неоднородностью на свободной поверхности жидкости.
Параметры М, М^ аналогичны числу Грасгофа, а числа Ма, Ма^ — числу Рэлея, используемым при анализе задач гравитационной конвекции, причем связь между этими параметрами также аналогична, например М = Ма/Рг.
Безразмерная температура 6 и концентрация примеси С вводятся следующим образом :
л Т — T’minС — Cmin
и —С —)
^max — ^minстах — cmin
где Tmin, Тщах, cmin, стах - минимальные и максимальные значения температуры и концентрации соответственно.
Рабочей является система уравнений в переменных вихрь со , функция тока ф:
cot + (uco), + (исо)у = а)хх + о)уУ + Gr [cos(gx) 6у — sin(gx) б,] +
+ Grc[cos(gx) Су + sin(^t) Сх],(3.2)
Фхх + Фуу = ~ W,(3.3)
б t + (и д'), + (иб)у = — (6ХХ + 6уу\(3.4)
Рт
Ct + (иС)х + (иС)у = (Схх + Суу).(3.5)
Граничные условия при этом преобразуются к виду: на твердых поверхностях
Ф = Фп = о,
6(х, У, 0 + Чт^п =М*, У, 0, С(х, у, о + КсСп = f2(x, у, 0,(3.6)
на свободной поверхности
^ = 0, со = - (Ма/Рг) 6Т - (Mac/Sc) Ст, 6„ = С„=0.(3.7)
Масштабом длины в этой системе является характерный размер области Н, скорости С\=и/Н, времени Г0=Я2/п. В систему уравнений (3.2)(3.5) и граничных условий (3.6) —(3.7) входят уже ранее введенные безразмерные критерии: Gr = (g^TSTH3)lv2, Grc = (g0c ДсЯ3)/и2, Pr, Sc (иногда этот критерий называют также концентрационным (диффузионным) числом Прандтля), а также Ма, Мас.
Искомое решение может быть записано в следующем критериальном виде:
/ = Rx, у, t, Gt, Grc, Ma, Mac, Pr, Sc, Г),
где через Г обозначена совокупность граничных условий и геометрических особенностей области.
Приведенная выше постановка задачи не учитывает деформации свободной поверхности под действием течения. Это позволяет избежать капиллярных волн, значительно осложняющих проблемы счета. Заметное влияние течения на форму свободной поверхности проявляется при капиллярном числе Са = 5о/а> 0,1 [275], причем для расплавов;полупроводников и металлов характерно Са ^0,1, свободная поверхность может быть принята недеформируемой.
Прежде чем переходить к изложению в разд.. 3.2—3.5 результатов оригинальных исследований, сделаем краткий обзор по конвекции, вызываемой градиентами сил поверхностного натяжения, которые,каки в случае гравитационной конвекции, разделяются на два класса: 1) равновесие отсутствует или 2) оно возможно, но при определенных условиях система теряет устойчивость.
В тех случаях, когда неоднородность поверхностного натяжения жидкости вызвана изменением температуры или концентрации, иногда используется термин термокапиллярная конвекция (соответственно концентрационно-капиллярная конвекция). В случае параллельных свободной поверхности градиентов температуры или концентрации примеси движение жидкости возникает при сколь угодно малых градиентах . Если градиент температуры или концентрации примеси направлен по нормали к свободной поверхности (чаще используется термин "конвекция Марангони”), движение жидкости возникает при достижении соответствующими градиентами критических значений, определяемых методами теории устойчивости.
Для некоторых задач первого класса могут применяться методы теории пограничного слоя.
Понятие пограничного слоя для конвекции Марангони введено в [141, 235], где выполнен критический анализ проблемы, однако несколько ранее в [37] для расчета термокапиллярной конвекции в слое жидкого металла были использованы идеи пограничного слоя. В работах [10, 236] построены классы автомодельных решений для плоского и осесимметричного случаев. С применением приближения пограничного слоя в [И]выполнена оценка скоростей течения при направленной кристаллизации, проводимой в невесомости. В [89] также использовано приближение пограничного слоя, получены оценки скорости на свободной поверхности.
Экспериментальное исследование конвекции Марангони требует исключения гравитационной конвекции (ГК). Условия невесомости, как известно, можно получать при полетах самолета по баллистической траек- 80
тории, в башнях сбрасывания [117]. В последнее время за рубежом большое распространение получили эксперименты на ракетах типа ’’TEXUS”, обеспечивающих условия невесомости в течение 5—10 мин. В СССР выполнен ряд исследований на приборе ’’Пион”, запланированы исследования термокапиллярной конвекции (ТКК) на специальном модуле [2].
В работах [27—30, 271] в земных условиях рассмотрено взаимодействие ТКК и ГК в горизонтальных кюветах, торцевые стенки которых поддерживали при постоянных и различных температурах. Исследования выполнены в широком диапазоне удлинений области (2—10); реализованный диапазон параметров охватывает как ламинарные, так и турбулентные режимы течения. В [93] было показано значительное влияние ТКК на обменные процессы в приповерхностном слое жидкости. В [84,85] эксперименты проведены для больших удлинений слоя (20—40), причем применение периодического нагрева [85] благодаря значительному различию времени развития ГК и ТКК [130] позволило в условиях нормальной силы тяжести исследовать ТКК. Особенно следует отметить тщательный контроль условий теплоизоляции на свободной и подстилающей поверхностях в упомянутых экспериментах.
В работе [244] проведен эксперимент с применением силиконовых масел с высоким числом Прандтля. Для визуализации температурного поля в масло введены жидкие кристаллы, изменяющие свой цвет от красного до синего в диапазоне температур эксперимента. В работе, в частности, показано, что даже незначительные загрязнения поверхности, которые моделировались пятью тонкими неподвижно закрепленными проволочками, приводят к существенному снижению интенсивности ТКК. Работа [249] интересна тем, что ее авторы впервые выполнили эксперимент при боковом подогреве с плоской границей раздела в условиях невесомости.
Можно выделить также серию работ [223, 224, 249, 290], авторы которых изучают ТКК в вводных растворах н-гептанола. Такая система имеет минимум поверхностного натяжения при температуре около 40 °€.
В работах [144] экспериментально, а в [35] аналитически исследована конвекция Марангони, развивающаяся от локального источника ПАВ. Показано, что при определенных числах Марангони возникает азимутальное разбиение на ячейки, причем происходит потеря устойчивости по отношению к нескольким модам в узком диапазоне по числу Марангони.
Численное моделирование ТКК для выращивания монокристаллов методом зонной плавки проводилось в работах [102, 180, 184], а также ряде других. Расчеты выполнены, как правило, для заданного распределения температуры по свободной поверхности зоны.
Работа [282], видимо, была одной из первых, где численно исследована конвекция Марангони в квадратной области. Близкие постановки задачи использованы в [63, 154,291,294].
В [284] показано, что учет искривления свободной поверхности не вносит качественных изменений в структуру течения и поля температур, аналогичный вывод сделан в [63]. В [186] рассмотрено влияние различных факторов на искривление границы раздела жидкость—газ. В [244] численно исследовано влияние магнитного поля на термокапиллярную конвекцию в электропроводящей жидкости.
81816. Зак. 1319
81
81
В работе [172] исследован случай взаимодействия термокапиллярной и капиллярно-концентрационной конвекции для стационарных режимов.
Исследование устойчивости конвекции Марангони — наиболее развитая область для межфазной конвекции. Еще Бенар высказывал предположение, что в его опытах могла быть существенной конвекция Марангони. Разработанный Рэлеем метод исследования устойчивости для гравитационной конвекции дал результаты, расходящиеся с экспериментом в области малых толщин слоя со свободной поверхностью. Блок [174] провел серию целенаправленных экспериментов и показал, что расхождение теории Рэлея с экспериментом обусловлено термокапиллярным эффектом. Пирсон [248] впервые сформулировал соответствующую задачу устойчивости и получил ее точное решение. Далее это направление развивалось в [239, 266, 274], причем в последней работе содержится краткий исторический обзор.
В работах [263, 264] выполнен нелинейный анализ для случая подогрева снизу в цилиндрическом и прямоугольном слоях, получены подробные результаты по выбору мод, рассмотрено движение при небольших надкритичностях по числу Марангони.
В [265] показано, что при взаимодействии ГК и ТКК ведущая роль принадлежит гравитационному механизму потери устойчивости, учет термокапиллярного эффекта приводит к снижению критических чисел Рэлея. Условия возникновения конвекции в задаче Рэлея—Бенара—Марангони изучались также в [178,184,191].
Отметим, что критические числа Марангони, при которых возникает движение жидкости, лежат на один—три порядка ниже значений, характерных для практических приложений. Такая ситуация типична для постановок задач, в которых не учитывается влияние второй среды. В работах [111, 112] исследована ,ТКК в системе двух не смешивающихся жидкостей. Одним из результатов является вывод о значительном повышении порога устойчивости, обнаружены нестационарные режимы течения.
Все эти исследования касались случая, когда градиент температуры или концентрации направлен параллельно нормали к свободной поверхности жидкости. Среди исследований по устойчивости адвективных течений отметим работу [280], в которой исследовалась устойчивость ТКК при наличии продольного градиента температуры в слое жидкости в отсутствие гравитации, и работы [55, 222], в которых исследован один из случаев взаимодействия ТКК и ГК в задаче с теплопроводящими границами.
Таким образом, в настоящее время имеется продвижение в исследовании конвекции, вызываемой действием градиентов поверхностного натяжения для обоих упомянутых типов конвекции. Одной из проблем, которая будет разрабатываться нами ниже, является комплексное исследование на основе нелинейных уравнений конвекции в сочетании с методами теории устойчивости и выявление характеристик конвекции этого типа, непосредственно используемых в приложениях для двух моделей: горизонтальная кювета при боковом потоке тепла или массы (разд. 3.3) и модель бестигельной зонной плавки (разд. 3.4). Прежде чем приступать к ним, мы сделаем попытку, как и в разд. 2.1, дать некоторую классификацию конвективных процессов этого типа в бинарных смесях.
Классификация и некоторые особенности конвекциипод действием градиентов сил поверхностного натяженияв бинарной смеси
При исследовании взаимодействия термокапиллярной (ТКК) и капиллярно-концентрационной конвекции (ККК) в смесях существует большое число основных ситуаций. По аналогии с разд. 2.2 можно ввести классификацию различных механизмов ’’двойной диффузии Марангони” по ориентации потоков тепла и примеси относительно свободной поверхности, как показано на рис. 3.1. Внутренняя нормаль к поверхности играет роль, во многом аналогичную роли вектора силы тяжести при гравитационной конвекции. В случаях а—г механическое равновесие возможно, так как векторы потоков тепла и массы параллельны нормали к поверхности. Для случая конвекции Марангони равновесие оказывается устойчивым при совпадении направлений потоков тепла или массы и нормали и неустойчивым при их антинаправленности, аналогично подогреву сверху и снизу при гравитационной конвекции.
При двойной диффузии Марангони в ситуации а равновесие устойчиво, в ситуации б движение возникает при превышении потоком тепла или массы критического значения. В случаях в, г равновесие может быть неустойчиво вследствие большой разницы коэффициентов переноса тепла и концентрации примеси. Устойчивость случаев а—г рассмотрена в [231]. Наиболее интересен вывод автора этой работы, что в случаях в, г при Мас > Ма существует колебательная мода потери устойчивости. В ситуациях д—з движение возникает всегда.
Случай к характерен для многих технологических процессов выращивания монокристаллов. Действительно, фронт кристаллизации, как правило, оттесняет легирующую примесь, т.е. поток массы направлен от фронта кристаллизации, а поток тепла направлен из расплава в растущий кристалл. Наличие примеси в расплаве основного вещества обычно приводит к снижению коэффициента поверхностного натяжения. При малой концентрации примеси коэффициент поверхностного натяжения сильно зависит от состава, при больших концентрациях примеси зависимость значительно менее выражена. В современных полупроводниковых материалах применяется низкий уровень легирования, соответствующий участку резкого изменения коэффициента поверхностного натяжения. В этих условиях концентрационное число Марангони может превышать тепловое.
Отдельные случаи конвекции из этой классификации менее изучены, чем при гравитационной конвекции, однако они существенно отличаются один от другого и для соответствующих технологических приложений должны быть детально изучены. Примером этого является случай к, рассмотренный в разд 3.3. Для исследования всех этих случаев в принципе применима упомянутая выше диалоговая система моделирования на персональном компьютере с соответствующими модификациями граничных условий. Это даст возможность резкого повышения производительности анализа конвективных процессов, доступного массовому пользователю.
Следует отметить, что приведенные на рис. 22 и 3.1 классификации, когда действие градиентов сил поверхностного натяжения проявляется при микроускорении, не равном нулю, объединяются в еще более слож-
Р и с. 3.1. Классификация различных случаев взаимодействия термокапиллярной конвекции
ную классификацию конвективного взаимодействия, в которой участвуют четыре элементарных механизма конвекции: тепловая и концентрационная гравитационные, а также термокапиллярная и капиллярно-концентрационная. Для рассмотрения каждого из элементов этой сложной классификации в принципе также применима диалоговая система, изложенная в приложении 1. Однако реальное использование потенциальным пользователем такого рода новой вычислительной системы требует разработки методики параметрических исследований, результаты которой для некоторых частных задач детально изложены ниже.
При анализе моделей реальных процессов часто бывают неизвестны точно теплофизические параметры задачи, поэтому приходится проводить громоздкие параметрические расчеты вариантов для определения структуры течения и границ режимов. Для выявления механизмов, определяющих характер течения, бывает полезно пользоваться линейными моделями в окрестности точки потери устойчивости и смены режима. При линейном анализе устойчивости течения обычно используется приближение бесконечного слоя, что упрощает расчет и дает возможность быстро проводить требуемые параметрические исследования.
Ниже приводятся результаты исследования двух задач устойчивости, связанных с конвекцией Марангони. Постановка задачи устойчивости и краткое описание метода решения приведены в приложении 2.
Рассмотрим задачу устойчивости адвективного термокапиллярного течения при наличии гравитационной конвекции, вызванной продольным градиентом температуры 6Т в горизонтальном слое толщиной Н со свободной верхней поверхностью и твердым дном (рис. 3.2). Границы слоя будем считать теплоизолированными и недеформируемыми. Предполагается, что изучаемое конвективное течение описывается уравнениями Навье- Стокса в приближении Буссинеска, которые для исследования устойчивости линеаризуются.
В качестве единиц измерений длины, скорости, давления, температуры и времени выберем Я/2, 2v/H, 4р2/Я2', ЫН й^ЦАр) и введем безразмерные параметры: число Грасгофа Gr = g^bTH* jp1, число Прандтля Рг = р[а до
и число Марангони Ма = — — ЗГЯ2/^), о — коэффициент поверхност-
Рис. 3.2. Плоский горизонтальный слой. Оси координат и схема теченияРис. 3.2. Плоский горизонтальный слой. Оси координат и схема течения
Рис. 3.2. Плоский горизонтальный слой. Оси координат и схема течения
Рис. 3.2. Плоский горизонтальный слой. Оси координат и схема течения
Р и с. 3.3. Нейтральные кривые 20- и ЗО-мод
1,2 — потеря устойчивости соответственно 2 О- и ЗО-моды при Ма = О, 3,4 — асимм» тоты критических значений при Gt = 0,5 — точка поворота нейтральной кривой ЗО-моды
ного натяжения. Влияние сил плавучести характеризуется числом Грасгофа, а термокапиллярных сил — числом Марангони.
Основное течение [32], устойчивость которого исследуется, зависит только от вертикальной координаты z(— 1 < z < 1) и задается формулами:
Gr ,.Ма „
Uo = — (4z3 - 3z2 - 6z + 1) -(3z2 + 2z - 1),
2432Pr
GrPr ,,,.Ma .,
Го = x +(4z5 — 5z4 — 20z3 + 10z2 + 40z) —(3z4 + 4z3 -
480384
- 6z2 - 12z).
Приведем результаты исследования устойчивости при числе Прандтля Рг = 0,015.
В отсутствие конвекции Марангони (Ма = 0) задача об устойчивости течения в слое со свободной границей при малых числах Прандтля решалась многими авторами (см. [55, 221, 222]). Проведенные расчеты показывают, что при Рг < 0,0045 наиболее опасной является плоская колебательная мода (2D). При Рг = 0,015 критическое число Грасгофа GrKp = = 10689, а соответствующее волновое число кх =0,65 3 (точка 1 на рис. 3.3). При потере устойчивости этой моды возникают колебания с частотой / = 3,024. Вторая мода (3D), которая наиболее опасна при рассматриваемом числе Прандтля, теряет устойчивость при числе Грасгофа GrKp =4331, при этом возникают колебания с частотой/ = 0,628. ЗО-мода является существенно трехмерной, волновой вектор наиболее опасного возмущения непараллелен координатным осям и имеет компоненты кх =0,017 и ку = 0,164 (точка 2 на рис. 3.3).
Другой предельный случай (отсутствие силы тяжести, Gr = 0) исследован в [280]. В этой ситуации оказывается, что плоская мода является абсолютно устойчивой, а наиболее опасна существенно трехмерная мода с критическим числом Марангони Макр = 1,94. При потере устойчивости этой моды возникают колебания с частотой / = 0,441, волновой вектор критического возмущения имеет компоненты кх = 0,035 и ку = 0,142 (асимптоты 3, 4 на рис. 3.3). Вторая неустойчивая мода в этой задаче, спиральная (кх = 0), теряет устойчивость при Макр =2,10 и является менее опасной.
Как упоминалось в разд. 3.1, аналогичная задача уже решалась (см., например, [55, 222]), но рассматривался слой с теплопроводящими границами (граничные условия первого рода), а не с адиабатическими (граничные условия второго рода). Использование условий теплоизоляции дает возможность исследовать влияние флуктуаций температуры на свободной поверхности (а следовательно, и поверхностного натяжения), а также проследить влияние стратификации, вызванной конвекцией, на устойчивость основного течения.
Как показано ниже, в этом случае картина резко меняется, и при рассматриваемом числе Прандтля (Рг = 0,015) определяющую роль играет трехмерная мода.
Из расчетов, проведенных в случае взаимодействия двух типов конвекции, получены нейтральные кривые, приведенные на рис. 3.3. Оказывается, что обе существенно трехмерные моды, рассмотренные выше, лежат на одной и той же кривой, т.е. являются одной и той же 3D-модой. При Ма > 0 термокапиллярные силы оказывают дестабилизирующее влияние на устойчивость адвективного течения. При Ма < 0 ЗО-мода стабилизируется, но критическое число Грасгофа для 2D-моды уменьшается и в интервале чисел Марангони примерно от — 1 до —7 наиболее опасной оказывается плоская мода. Самая далекая по числам Марангони точка, до которой удалось ’’дотянуться”, оказалась точка Ма =-9,46, Gr = 1,8 • 104 (точка 5 рис. 3.3), что примерно в 5 раз больше, чем критическое число Марангони в отсутствие силы тяжести. На рис. 3.4 приведены длины волн и частоты критических возмущений в зависимости от числа Марангони.
Вторая рассматриваемая в этом разделе задача касается одного из случаев взаимодействия термокапиллярной и капиллярно-концентрационной конвекций в отсутствие силы тяжести. При моделировании процесса направленной кристаллизации в лодочке возникает ситуация, когда продольные градиенты температуры и легирующей примеси направлены навстречу друг другу (случай к на рис. 3.1). Полностью такая задача рассматривается в разд. 3.3, а здесь приведем результаты исследования устойчивости равновесия, которое возможно, если параметры Марангони Ма/Рг и Мас/Рг равны между собой. В силу симметрии тепла и примеси в этой задаче в расчетах было зафиксировано число Прандтля Рг = 0,015, а число Шмидта Sc меняется в диапазоне Рг < Sc < 100. Приведенные результаты дают представление о режимах течения в общем случае.
Расчеты показывают, что в этом случае состояние покоя может терять устойчивость, неустойчивой является плоская колебательная мода, при
Рис. 3.4. Зависимости длины волны X и частоты колебаний критического возмущения /для 2D- и SD-мод от числа Ма
Рис. 3.5. Зависимости критического диффузионного числа Марангони, а также длины волны и частоты колебаний критического возмущения от числа Sc при Рг = 0,015
этом частота возникающих колебаний растет, если числа Прандтля и Шмидта стремятся друг к другу. Нейтральная кривая зависимости критического концентрационного числа Марангони от числа Шмидта для случая Рг = = 0,015 приведена на рис. 3.5. Отметим, что эта кривая имеет минимум при Sc ^ 1, а при Sc -* Рг и Sc -* 00 устойчивость равновесия резко повышается. На этом же рисунке приведены зависимости длины волны и частоты критических возмущений от числа Sc. Расчеты показывают, что вне области минимума критического числа длина волны критического возмущения стабилизируется и монотонно меняется от X = 8,4 при Sc -»• Рг до X =6,6 при больших числах Шмидта.
Таким образом, эти результаты по аналогии с разд. 2.1 показывают индивидуальность отдельных элементарных конвективных процессов, особенно в случае взаимодействия гравитационного и негравитационного механизмов конвекции, что проявляется в их нелинейных режимах, рассматриваемых ниже в разд. 3.3. В отличие от рассмотренных в гл. 2, эти задачи, однако, значительно менее исследованы.
Термокапиллярная и капиллярно-концентрационная конвекцияв прямоугольных областях
При рассмотрении термокапиллярной конвекции в канале прямоугольного сечения предполагается, что глубина заполнения жидкостью равна Я, длина канала Z, в поперечном направлении канал неограничен. Дно канала и свободную поверхность считаем теплоизолированными, боковые границы канала поддерживаются при постоянных и различных температурах Т!>Т2, сила тяжести отсутствует (теоретическая невесомость, ^ = 0).
В качестве масштаба длины выберем глубину жидкости в канале Я, безразмерную температуру определим как
ежт-т^ктх-т^
где индексы / = 1,2 соответствуют левой и правой боковым границам слоя. Ось х направлена вдоль слоя, ось у — по направлению внешней нормали к свободной поверхности жидкости, которую будем считать плоской и недеформируемой (рис. 3.6).
Течение жидкости и перенос тепла определяются из системы уравнений (3.2) - (3.4) при следующих граничных условиях:
у=0,0<х<А: 9х=ф=фу = 0; у = 1,0 <х< А :9у= ф =0, со = -М0х;
х = 0, 0<у<1: ф = фх = 0, 9 = 1; х = А, 0 <у < 1: в = ф = фх = 0.
Решение задачи зависит от числа Прандтля Рг, длины слоя Л = L/H и теплового числа Марангони Ма.
Термокапилляриая конвекция в квадратной области при различных числах Марангони. В предварительных расчетах число Прандтля варьировалось в диапазоне 0,1 <Рг< 100 при фиксированных значениях параметра М, причем так, что результирующее число Марангони принимало значение Ма = 1,10, 102, 103, 104. В результате было получено, что структура течения и поля температуры полностью определяются тепловым числом Марангони Ма: рисунки изолиний функции тока и температуры для различных чисел М совпадали с графической точностью, если при этом
УУ88 . м 8С Ф^и, ы^п—— + п,—— ~ 8х с Эх88 . м 8С Ф^и, ы^п—— + п,—— ~ 8х с Эх6,С,6,С,f-0 а» "52-°f-0 а» "52-°21.818у " By21.818у " By21_ 21 8у" а у21_ 21 8у" а у
У
У
88 . м 8С Ф^и, ы^п—— + п,—— ~ 8х с Эх
88 . м 8С Ф^и, ы^п—— + п,—— ~ 8х с Эх
6,
С,
6,
С,
f-0 а» "52-°
f-0 а» "52-°
21.818у " By
21.818у " By
21_ 21 8у" а у
21_ 21 8у" а у
Рис. 3.6. Расчетная схема и граничные условия
Рис. 3.7. Зависимость интегрального потока тепла через слой жидкости от числа Марангони в квадратной области
числа Ма были одинаковы. Интенсивность движения в области уменьшается с ростом числа Прандтля при фиксированном числе М, причем эта зависимость начинает проявляться с того момента, когда Ma > 102.
При термокапиллярной конвекции движение жидкости обусловлено неоднородностью температуры на свободной поверхности, в связи с чем особый интерес представляет анализ распределения температуры на ней.
При Ма< 102 градиент температуры на свободной поверхности у нагретой границы уменьшается с ростом числа Марангони. При Ма = 102 этот градиент достигает минимального значения 0* — 0,75; при дальнейшем увеличении числа Марангони он возрастает. Только при Ma = 103 градиент температуры на свободной поверхности у нагретой границы достигает единичного значения. Градиент температуры на свободной поверхности жидкости у холодной границы увеличивается непрерывно с ростом числа Марангони.
При малых числах Марангони распределение температуры имеет вид дуги, выгнутой вверх. При числе Ма>1,6-103 распределение температуры приобретает характерный S-образный вид, формируются участки резкого перепада температуры на свободной поверхности у изотермических границ слоя, градиент температуры в центральной части свободной поверхности существенно меньше, чем на этих участках. ПриМа< 103 около 60% полного перепада температуры вдоль свободной поверхности сосредоточено в зоне у холодной границы слоя, при Ма = 1,6 • 103 начинается снижение этого перепада и при Ма = 1,28 • L04 он уменьшается до 50%.
Благодаря такому изменению распределения температуры с ростом числа Марангони распределение горизонтальной компоненты скорости вдоль свободной поверхности также существенно меняется. При Ма < < 8 • 102 на этом распределении имеется максимум у холодной границы области, величина которого непрерывно увеличивается, а сам он с ростом числа Марангони смещается к холодной границе слоя. Образование и поведение этого максимума скорости обусловлено участком резкого перепада температуры у холодной границы.
При числе Ма = 4-102 на профиле скорости появляется точка перегиба, а при дальнейшем росте числа Марангони формируется второй макси-
мум скорости, значение которого при Ма= 1,6 • 103 сравнивается с первым, а в дальнейшем превышает его. С увеличением числа Марангони этот максимум скорости практически не меняет своего положения и находится на расстоянии 0,4 от нагретой границы слоя. Возникновение второго максимума скорости можно связать с формированием участка перепада температуры у нагретой границы области.
В отличие от гравитационной тепловой конвекции, течение и поле температуры при которой имеют диагональную симметрию, в случае термокапиллярной конвекции поля течения и температуры симметрией не обладают.
При Ма<8-102 перемешивание жидкости носит приповерхностный характер, причем глубина проникновения конвекции у холодной границы слоя больше, чем у нагретой границы. При Ма> 1,6 • 103 термокапиллярная конвекция оказывает заметное влияние на распределение температуры по всей глубине слоя жидкости.
На рис. 3.7 приведена зависимость интегрального потока тепла, определяемого как Nu = f 9xdy, от числа Марангони. Как и для любого друго- у = 0
го механизма перемешивания, по виду этой зависимости можно выделить характерные режимы термокапиллярной конвекции.
При Ма <80 перенос тепла через слой слабо отличается от теплопровод- ностного, роль конвекции сводится в основном к перераспределению местных потоков тепла через нагретую и холодную границы области. Граница режима теплопроводности (Ма^80) близка к границе потери устойчивости состояния покоя при подогреве снизу [263, 264]. При 80<Ма< < 103 происходит переход от режима теплопроводности к режиму развитой термокапиллярной конвекции. В этом режиме (Ма>103) зависимость потока тепла от числа Марангони хорошо аппроксимируется соотношением
Nu = O,17Ma0'34,
что согласуется с результатами работы [294], где в приближении пограничного слоя, а также численно было установлено, что в режиме интенсивной термокапиллярной конвекции в квадратной области Nu~Ma0’33.
Подобный вид зависимости числа Нуссельта от числа Марангони в цилиндрическом столбике был получен экспериментально в условиях невесомости [232].
Термокапиллярная конвекция при различных отношениях сторон и числах Марангони. Вторичные структуры. При аналитическом исследовании термокапиллярной конвекции в ограниченных областях значительные трудности возникают из-за необходимости введения большого количества подобластей. Отдельно рассматриваются области у торцов слоя, причем из-за отсутствия симметрии течения решения у холодной и нагретой боковых границ различны, вводятся пограничные слои у дна области и свободной поверхности, ищется решение в ядре слоя, далее осуществляется сшивка решений во всех областях. Сложность аналитического решения значительно уменьшается, если предположить, что на большем протяжении слоя течение и распределение температуры могут быть определещы исходя из точного решения типа [32, 84]. При этом достаточно построить 90
решение лишь у торцов слоя, как, например, выполнено в [275]. Такой подход упрощает и задачу исследования устойчивости термокапиллярных течений при заданном боковом градиенте температуры [280]; но остается открытым вопрос о границах применимости точных решений в зависимости от отношения сторон слоя и числа Марангони.
Общей особенностью точных решений для термокапиллярной конвекции в бесконечных слоях является постоянство продольного градиента температуры по всей толщине слоя, продольная компонента скорости при этом имеет неизменный параболический профиль в различных вертикальных сечениях, скорость непосредственно на свободной поверхности постоянна вдоль слоя.
При Ma = 102 по мере увеличения отношения сторон слоя распределение скорости вдоль свободной поверхности приближается к постоянному, а распределение температуры становится практически линейным уже при А> 3. Распределение температуры на различных глубинах вдоль слоя имеет протяженный участок, где градиент температуры неизменен по всей толщине слоя. Профили продольной компоненты скорости в вертикальных сечениях хорошо согласуются с точным профилем скорости, причем для А > 7 эти распределения совпадают с графической точностью.
В рассматриваемом режиме термокапиллярная конвекция слабо влияет на поле температуры, ее роль сводится в основном к перераспределению потоков тепла на изотермических торцах слоя. Таким образом, при А > 3, Ма = 102 вполне оправданно применение точных решений для описания течений в центральной части слоя.
Однако с ростом числа Марангони структура течения существенно меняется, как это видно из рис. 3.8, на котором приведены линии тока и изотермы при различных числах Марангони для А =5. При Ма = 8 • 102 исходное одновихревое течение разрушается, возникают стационарные вторичные структуры, направление циркуляции в которых совпадает с направлением основного течения. С дальнейшим ростом числа Марангони происходит увеличение продольного размера вихря, расположенного у нагретой границы области, соответственно вихрь у холодной границы слоя уменьшается. При Ма = 1,28 ■ 104 происходит восстановление одновихревой структуры.
Распределение температуры в продольных сечениях слоя и продольной компоненты скорости в вертикальных сечениях во вторичном одновихревом режиме имеет сложный характер, отличный от точного решения. В этом режиме термокапиллярная конвекция значительно интенсифицирует теплообмен; влияние торцов сказывается на всем протяжении слоя, применение точных решений становится невозможным даже в центральной части течения.
Аналогичное изменение структуры течения обнаружено при А > 3, причем для А <5 удалось проследить восстановление одновихревой структуры течения. Диаграмма режимов течения, установленная в расчетах, приведена на рис. 3.9.
С ростом отношения сторон слоя происходит постепенное увеличение числа Марангони, при котором изменяется структура течения. При А > 8 исходное одновихревое течение разбивается на три ячейки, число которых уменьшается до двух при Ма = 6,4 ■ 103.
/
Ри с. 3.8. Линии тока (вверху) и изотермы (внизу) при различных числах Марангони для 4 =5
1 - Ма = 2 - I02,2 - 6,4 • 103, 3 - 1,28 • I04
Важной характеристикой любого конвективного течения является зависимость интегрального потока тепла через слой жидкости от режимных параметров (рис. 3.10). Число Нуссельта, определяемое в данном случае как
у = 1
Nu = A J 9Х dy, у=0
при фиксированном Ма имеет максимум, положение которого с увеличением числа Марангони смещается в сторону больших удлинений слоя.
Рис. 3.9. Диаграмма режимов течения при термокапиллярной конвекции в плоских слоях
I — одновихревое течение, область точного решения, II — двухвихревое течение, III — трехвихревое течение, IV — одновихревое течение, точное решение неприменимо
Рис. 3.10. Зависимость потока тепла при термокапиллярной конвекции от отношения сторон слоя при различных числах Ма
Число Нуссельта выражает отношение потока тепла в конвективном режиме к потоку тепла в режиме теплопроводности и служит мерой интенсивности теплообмена при термокапиллярной ковекции. При Ма = 1,28-104 поток тепла через слой жидкости при А = 1 увеличился в 4,5 раза, а при А = 10 — в 20,8 раза.
В [133] сформулирован эффект максимума температурного расслоения для гравитационной тепловой конвекции. Аналогичный эффект имеет место и при термокапиллярной конвекции.
На рис. 3.11 приведены зависимости от числа Ма разности температуры в центре слоя между свободной поверхностью жидкости и дном (нормированные на продольный перепад температуры на единичной длине в режиме теплопроводности) для А =2; 5; 8. С увеличением отношения сторон слоя положение максимума разности температуры смещается в сторону больших чисел Марангони.
Взаимодействие термокапиллярной и капиллярно-концентрационной конвекции. Вторичные структуры и автоколебания. Рассмотрим взаимодействие термокапиллярной и капиллярно-концентрационной конвекции в прямоугольной области с отношением сторон А = 8. Пусть на боковых границах поддерживаются постоянные и различные по величине значения температуры 9г >92 и концентрации С, < С2 (см. рис. 3.6).
Движение жидкости и перенос тепла и массы определяются из системы уравнений (3.2) —(3.5) при следующих граничных условиях:
у = 0, 0 < х < А : 9у = ф = фу = Су = 0; у = 1, 0 < х < А : 9у = ф = фу =
= Су=0, ш =-М6х- МсСх; х= О, 0<у<1; ф=фх=0,9 = 1,
С=0; х=А,0<у<1:ф = 9=0,С=1.(3.8)
Рис. 3.11. Эффект максимума температурного расслоения при термокапиллярной конвекции
Рис. 3.12. Линии тока (вверху) н изоконцентраты (внизу) при взаимодействии термокапиллярной и капиллярно-концентрационной конвекции
а, б — начальная стадия развития течения; в, г — режим развитых колебаний
где безразмерные температура 9 и концентрация С введены соотношениями
9=<Г-Т^МЧ - Т2), С = (с - С1)/(е2 - С1).
Для полупроводниковых материалов характерны низкие числа Прандтля Рг < 1 и высокие числа Шмидта Sc> 1. В данных расчетах было принято Sc = 100, Рг = 0,1. Расчеты выполнены для случая Ма<?>Ма, однако для определения ведущего механизма конвекции необходимо сравнивать параметры М и Мс, входящие в граничные условия на свободной поверх-
ности. При постановке задачи было принято М = 103, Мс = 1,1 • 103,т.е. относительно небольшое преобладание капиллярно-концентрационной конвекции.
В качестве начальных данных были заданы линейные распределения температуры и концентрации и отсутствие движения:
6(х) =1 -х/8, С(х) = х/8.
Возникающее течение слабо влияет на распределение температуры, которая практически не отклоняется от линейного. Уравнение (3.3) было исключено из дальнейших расчетов, а граничное условие (3.8) на свободной поверхности было преобразовано к виду
со = —М — МсСх.
На рис. 3.12 приведена кинограмма развития колебаний. Исходно образуется одновихревое течение, направление циркуляции которого против часовой стрелки обусловлено градиентом концентрации вдоль свободной поверхности. Это течение, так же как и в случае термокапиллярной конвекции, вызывает на начальной стадии развития снижение градиента концентрации на свободной поверхности у правой границы слоя. При достижении градиентом концентрации на свободной поверхности значения Сх = —М/Мс движение жидкости под этим участком ослабевает, а при дальнейшем уменьшении градиента концентрации начинает сказываться влияние термокапиллярного эффекта: формируется вихрь, имеющий направление циркуляции по часовой стрелке и приостанавливающий дальнейшее падение градиента концентрации.
Довольно быстро течение становится автоколебательным. Основной структурой является пара сопряженных вихрей, один их которых вращается по часовой стрелке и обусловлен термокапиллярным эффектом, а второй вращается против часовой стрелки и связан с капиллярно-концентрационным эффектом. Вихри поочередно образуются у правой границы слоя, перемещаются к левой границе, где постепенно разрушаются. Более протяженным оказывается вихрь, обусловленный термокапиллярным эффектом.
На распределении концентрации примеси вдоль свободной поверхности формируются характерные ступеньки, где градиент концентрации превышает исходное значение, и протяженные участки плавного изменения концентрации (рис. 3.13). Профили скорости вдоль свободной поверхности в те же моменты времени приведены на рис. 3.13. Скорость свободной поверхности в ’’концентрационном" вихре больше чем в 4 раза превышает скорость в ’’термокапиллярном” вихре.
Изолинии концентрации (см. рис. 3.12) показывают, что течение заметно влияет на распределение примеси только в приповерхностном слое жидкости, вблизи дна на большей протяженности слоя градиент концентрации мало отличается от исходного.
На рис. 3.14 приведены колебания скорости и и концентрации С на свободной поверхности в центральном сечении слоя. Колебания концентрации несколько опережают по фазе колебания скорости. Амплитуда колебаний слабо меняется, что, видимо, связано с переходным характером рас-
Рис. 3.13. Распределения концентрации С и скорости и вдоль свободной поверхности в различные моменты времени t, <t2 < t3
Рис. 3.14. Колебания скорости и и концентрации примеси С в центральной точке свободной поверхности слоя
По оси времени отложен номер временного слоя
сматриваемого процесса, однако стационарный режим течения достигнуть не удалось, несмотря на большую длительность расчетов.
На рис. 3.15 приведены зависимости положения вихрей от времени и их интенсивности. Сопоставляя эти зависимости, можно видеть, что интенсивность концентрационного вихря (сплошные кривые) непрерывно нарастает, причем вблизи левого торца наблюдается резкое увеличение его интенсивности, что обусловлено значительным перепадом концентрации. Вихрь перемещается на большей части слоя с почти постоянной скоростью, несколько замедляясь у левого торца. В данном случае нет возможности выделить участок постоянной интенсивности вихря, что указывает на непрерывное изменение градиента концентрации во фронтальной зоне при ее перемещении вдоль слоя.
Рис. 3.15. Зависимость продольной координаты от времени (б) и значения функции тока от координаты (б) для положительного (сплошные линии) и отрицательного (штриховые линии) вихрей
Термокапиллярный вихрь (рис. 3.15, штриховые кривые) после небольшого разгонного участка перемещается с практически постоянной скоростью. Перед исчезновением этот вихрь отражается от границы и исчезает уже на некотором расстоянии от нее. На последней трети длины слоя его интенсивность меняется слабо, что указывает на постоянство градиента концентрации на этом участке фронтальной зоны на свободной поверхности.
Рисунок изолиний пространственной корреляции функции тока не отличается от мгновенной картины изолиний с центром вихря в выбранной точке, что указывает на достаточно регулярный характер колебаний.
Изложенную выше задачу можно рассматривать как модельную для случая направленной кристаллизации в горизонтальной лодочке. В этом процессе взаимодействие термокапиллярной и капиллярно-концентрационной конвекции способно вызвать концентрационные колебания вблизи фронта кристаллизации и, как следствие концентрационных колебаний, значительную неоднородность состава кристалла у свободной поверхности.
Термокапилляриая конвекция и температурные неоднородностив модели зонной плавки
Зонная плавка как метод получения монокристаллов без контакта расплава и кристалла с твердыми поверхностями считается в настоящее время одним из наиболее перспективных способов получения материалов в невесомости, однако ее практическая реализация связана с преодолением значительных трудностей в связи с мало изученным характером течений, вызываемых поверхностными силами. Ниже мы предпринимаем попытку рассмотреть некоторые из этих эффектов на упрощенной модели бестигельной зонной плавки, имея в виду также анализ процессов при наземной отработке, выполненной в [17].
Схема этого процесса приведена на рис. 3.16. Установка с откачиваемой до высокого вакуума рабочей камерой и омическими нагревателями, предназначенная для космических экспериментов, располагалась горизонтально, кристалл был заключен в кварцевую трубку для предотвращения растекания расплава и разрушения зоны. При таком способе наземной отработки зонной плавки основные изменения гидродинамики и теплообмена связаны с различием механизмов перемешивания: в земных условиях течение жидкости обусловлено взаимодействием гравитационной и термокапиллярной конвекции, а в условиях невесомости — только термокапиллярной конвекцией, но при увеличенной площади свободной поверхности расплава.
Рассматривается течение в прямоугольной области с отношением сторон 1 : 2 (рис. 3.17, а), боковые границы которой поддерживаются при одинаковой постоянной температуре, что соответствует изотерме плавления; к горизонтальным поверхностям подводится постоянный поток тепла; верхняя граница области либо верхняя и нижняя границы считаются свободными, что соответствует наземной отработке либо условиям невесомости. На свободных границах учитывается зависимость поверхностного натяжения от температуры. При расчетах для условий нормальной силы тяжести учитывается также гравитационная тепловая конвекция.
В качестве масштабов длины, скорости и перепада температуры выберем соответственно высоту слоя Н, v/H и qH, q — заданный градиент температуры по нормали к свободной поверхности жидкости. При этом течение жидкости и перенос тепла в расчетной области можно определить из системы уравнений (3.2) —(3.4) при следующих граничных условиях:
х = 0, 0<у<1: ^ = ^Х=0=О;
х = 2, 0<у<1: ^ = ^х=б = 0;
у=1, 0<х<2: ф = 0, со = — М9Х, 6у = — 1;
у = 0, 0<х<2: Ф = 0, 9у=1; а)фу = О, б) со = М9х.
Условие а) или б) для у = 0 используется при одной или двух свободных поверхностях соответственно.
В качестве начальных данных для ряда вариантов использовано тепло- проводностное распределение температуры (рис. 3.17, б) и отсутствие движения жидкости, в большинстве же случаев расчеты выполнены методом последовательного установления, т. е. стационарное решение предыдущего варианта использовано как начальные данные для последующего варианта.
Режим течения и теплообмена в рассматриваемой задаче определяются безразмерными числами Ra, Ма и Рг, а также безразмерной длиной зоны А = LIH.
Подробное исследование всех особенностей течения и теплообмена даже при наличии только трех определяющих параметров (параметр А = = 2 фиксирован) представляет значительные трудности, в связи с чем в данном случае расчеты выполнены в достаточно узком диапазоне режимных параметров (103 < Ма< 104, 104 < Ra< 5 ■ 10s,Pr= 0,1). Всего бьио рассчитано 16 вариантов, включая режим теплопроводности, для которого использована равномерная сетка 33 X 33. В остальных случаях применена
Р и с. 3.16. Схема установки бестигельной зонной плавки
1 - исходный кристалл, 2 — кварцевая ампула, 3 - нагреватель-сопротивление, 4 — переплавленный образец, 5 — расплавленная зона
Рис. 3.17. Постановка задачи (а), изотермы в режиме теплопроводности (б) и разностная сетка для расчетов конвективных режимов (в)
неравномерная сетка 65 X 65 (см. рис. 3.17, в) со сгущением к изотермическим границам слоя (направление х) и равномерная по оси у, что связано с ограничениями программы быстрого преобразования Фурье.
Для выявления особенностей гравитационного и термокапиллярного механизмов перемешивания жидкости целесообразно рассмотреть каждый из них отдельно, а затем изучить их взаимодействие.
Невесомость: термокапилляриая конвекция при наличии двух свободных поверхностей. При проведении зонной плавки в условиях
невесомости происходит значительное увеличение площади свободной поверхности. В условиях космического полета орбитальной станции уровень остаточных ускорений составляет (Ю'3 —10'6) g/g0, где£0 — ускорение свободного падения на поверхности Земли, основным механизмом, вызывающим конвекцию, становится термокапиллярный эффект, гравитационную конвекцию можно исключить из рассмотрения.
На рис. 3.18 приведена структура течения и поля температуры в рассматриваемой модельной задаче при двух свободных поверхностях и теоретической невесомости (g = 0) для различных чисел Марангони.
При Ma = 103 формируется симметричное четырехвихревое течение, однако уже при Ма = 5 ■ 103 это течение теряет устойчивость, формируется центрально-симметричное трехвихревое течение, причем, хотя выбор направления потери устойчивости определяется случайным образом, указанная структура течения оказывается устойчивой и при Ma = 104. При снижении числа Марангони от 5 • 103 до 103 течение вновь становится четырехвихревым, однако полного восстановления симметрии течения не происходит.
Забегая вперед, отметим, что при увеличенной площади свободной поверхности неоднородность распределения потока тепла через изотермические торцы слоя оказывается несколько выше, чем при чисто термокапиллярной конвекции и одной свободной поверхности.
В случае цилиндрической зоны течение с центральной симметрией стационарно существовать не может, однако качественно данный результат можно соотнести с работами [183, 257, 266], где в экспериментах с’’полузоной” было обнаружено, что при Ma « 104 возникают регулярные колебания, связываемые авторами работ с потерей осесимметричности течения.
Взаимодействие термокапилляриой и гравитационной конвекции при одной свободной поверхности. Теоретическая невесомость. На рис. 3.19 приведены распределения температуры на свободной поверхности на половине высоты и по дну области, полученные для чисел Марангони Ма = = 103, 5 • 103, 104 при одной свободной поверхности и отсутствии силы тяжести (g = 0).
При Ма = 103 распределение температуры на свободной поверхности имеет один максимум, расположенный в центральном сечении. Распределения температуры в сечении у = Н}2 и по дну области при этом качественно не отличаются от аналогичных распределений в режиме теплопроводности, однако по сравнению с последним происходит общее снижение уровня температуры расплава, что указывает на наличие довольно интенсивного конвективного перемешивания.
С увеличением числа Марангони уже при Ма = 5 ■ 103 распределение температуры по свободной поверхности слоя становится почти постоянным, однако происходит его качественное изменение. В центральном сечении слоя появляется незначительный минимум температуры, а вблизи изотермических боковых границ слоя возникают небольшие максимумы температуры. На распределениях температуры при у = Н[2 и на дне области появляется характерный изгиб, указывающий на значительное влияние ТКК на перенос тепла во всей области. При Ма = 104 новых качественных особенностей в распределении температуры не возникает.
Р ис. 3.18. Линии тока (слева) и изотермы (справа) при двух свободных поверхностях в режиме теоретической невесомости (Ra = 0)
а — Ма = 10э (исходное течение), б - 5 • 10э, в - Ю3 (при снижении числа Ма)
т
Распределение скорости по свободной поверности (рис. 3.20) при Ма = = 103 имеет интенсивные максимумы вблизи изотермических границ слоя, где поверхностный градиент температуры максимален. При числах Ма = = 5 ■ 103 и 104 интенсивность этого максимума резко возрастает, но, кроме того, появляется слабо выраженный максимум вблизи оси симметрии слоя, который обусловлен наличием обратного градиента температуры на центральном участке свободной поверхности.
Распределения потока тепла на изотермических границах слоя, которые соответствуют фронтам плавления и кристаллизации, показаны на рис. 3.20. Качественно они оказываются подобными во всех трех рассматриваемых здесь режимах. Поток тепла незначительно меняется на большом протяжении
Рис. 3.20. Распределения скорости и по свободной поверхности и потока тепла Q на изотермических границах слоя для одной свободной поверхности
1 —3 — то же, что на рис. 3.19
изотермической границы, возрастая вблизи дна, абсолютный максимум потока тепла расположен на свободной поверхности, причем его значение заметно растет с увеличением числа Марангони.
Структура течения и поля температуры для рассматриваемых режимов приведены на рис. 3.21. Для термокапиллярной конвекции характерно ’’затягивание” линий тока к точке контакта свободной поверхности с изотермической границей слоя, причем уже при Ma = 103 основной вихрь имеет хорошо выраженную ориентацию на эту точку. С ростом числа Марангони происходит постепенное удаление центра вихря от свободной поверхности, и при Ma = 104 вихрь занимает центральное положение. Как видно по изображениям изотерм при Ма = 5 • 103 термокапиллярная конвекция оказывает значительное влияние на перенос тепла во всей расчетной области.
Слабоинтенсивная гравитационная конвекция. При гравитационной конвекции уже при числе Рэлея Ra = 104 распределение температуры по свободной поверхности (рис. 3.22, а) имеет вид, характерный для высокоинтенсивной термокапиллярной конвекции, т. е. имеется локальный минимум, расположенный в центральном сечении, и два максимума вблизи изотермических торцов. С увеличением числа Марангони происходит снижение общего уровня температуры, а распределение температуры по свободной поверхности становится практически постоянным, но сохраняет указанную выше структуру экстремумов.
Распределения температуры на середине высоты слоя (рис. 3.22, б) и по дну области (рис. 3.22, в) также не претерпевают существенных качественных изменений, но с увеличением числа Марангони происходит ’’усиление” структурных особенностей этих распределений, отчетливо прослеживается снижение общего уровня температуры.
Распределение скорости по свободной поверхности (рис. 3.23) качествен! э меняется при переходе от чисто гравитационной конвекции к ее взаимодействию с термокапиллярной.
102
Рис. 21. Линии тока (слева) и изотермы (справа) при одной свободной поверхности (Ra = 0)а - Ма = 103 ; б — 104Рис. 21. Линии тока (слева) и изотермы (справа) при одной свободной поверхности (Ra = 0)а - Ма = 103 ; б — 104бб
Рис. 21. Линии тока (слева) и изотермы (справа) при одной свободной поверхности (Ra = 0)
а - Ма = 103 ; б — 104
Рис. 21. Линии тока (слева) и изотермы (справа) при одной свободной поверхности (Ra = 0)
а - Ма = 103 ; б — 104
б
б
Рис. 3.22. Распределения температуры по свободной поверхности (а), в центральном сечении (б) и по дну слоя (в) при Ra = 10*
1 - Ма = 0, 2 - Ю’, 3 - 5 • 10®, 4 — 104
При учете только гравитационной конвекции профиль скорости имеет максимум в центре полузоны. Учет термокапиллярной конвекции вследствие немонотонности распределения температуры на свободной поверхности приводит к уменьшению скорости в центральной части слоя и появлению интенсивных максимумов вблизи изотермических границ слоя. При Ма = 5 • 103 скорость течения жидкости на большем протяжении слоя снижается почти до нуля, а при Ма = 104 на свободной поверхности появляются участки обратного течения. Отметим, что при чисто термокапиллярной конвекции зон обратного течения не возникает.
При чисто гравитационной конвекции поток тепла через изотермические границы имеет отчетливо выраженный минимум вблизи дна слоя жидкости, монотонно возрастает по мере приближения к горизонтальным поверхностям, максимален непосредственно на свободной поверхности (см. рис. 3.23). При учете термокапиллярной конвекции присходит резкое увеличение потока тепла на участке вблизи свободной поверхности распла-
Ри с. 3.23. Распределения скорости и по свободной поверхности и потока тепла Q Ик изотермических границах слоя при Ra = 10*
1 -4 - то же, что на рис. 3.22
Рис. 3.24. Линии тока (слева) и изотермы (справа) при одной свободной поверхности (Ra = 10*)
а - Ма = 0; б - 5 • 103
ва, а также снижение неоднородности распределения потока на центральном участке изотермической границы. Непосредственно в придонной области распределение потока тепла практически неизменно.
Неоднородность потока тепла (Smax/6min) в случае взаимодействия гравитационной и термокапиллярной конвекции оказывается несколько меньше, чем при чисто термокапиллярной конвекции, однако для этой характеристики определяющей является именно термокапиллярная конвекция.
В случае чисто гравитационной конвекции при Ra = 104 максимум функции тока расположен практически в центре полузоны (рис. 3.24). Учет термокапиллярной конвекции не приводит к его заметным перемещениям, происходит формирование характерного ’’носика”, ориентированного на точку контакта поверхности расплава с изотермической границей слоя. Заметных качественных перестроений на рисунках изотерм не происходит.
Земные условия. Интенсивная гравитационная конвекция. При гравитационной конвекции высокой интенсивности (Ra = 5 • 10s) распределение 104
Рис. 3.25. Распределения температуры по свободной поверхности (а), в центральном сечении (б) и по дну слоя (в) при Ra = 5 ■ 10s 1 -4 — то же, что на рис. 3.22
Рис. 3.26. Распределения скорости и по свободной поверхности и потока тепла Q на изотермических границах слоя при Ra = 5 • 10s
1 -4 — то же, что на рис. 3.22
температуры по свободной поверхности имеет хорошо выраженный ’’двугорбый” характер с минимумом на оси симметрии слоя (рис. 3.25, а).
Учет термокапиллярной конвекции приводит при Ma = 103 к снижению максимумов, причем значение минимума меняется слабо. При больших числах Марангони (Ма = 5 • 103; 104) распределение температуры по свободной поверхности приобретает вид, характерный для высокоинтенсивной термокапиллярной конвекции: максимумы температуры смещаются к изотермическим границам слоя, однако глубина минимума в центре слоя оказывается несколько больше. Распределение температуры на половине высоты (рис. 3.25, б) и по дну слоя (рис. 3.25, в) меняются слабо, что указывает на ведущую роль гравитационной конвекции в этих областях,
В этом случае происходит заметное снижение температуры только в непосредственной близости к свободной поверхности.
Профиль скорости на свободной поверхности (рис. 3.26) без учета
105
Рис. 3.27. Линии тока (слева) и изотермы (справа) при Ra = 5 • 10s а - Ma = 0; б - 104
термокапиллярной конвекции имеет характерный вид с максимумом в центре полузоны. При Ma = 103 появляются дополнительные максимумы вблизи изотермических торцов слоя, обусловленные термокапиллярным эффектом, причем в центральной части значения скорости несколько снижаются.
При больших числах Марангони (Ма = 5 • 103; 104) происходит резкое изменение этого распределения. Возникают протяженные участки обратного течения, причем величина скорости на этих участках сопоставима по величине со значением скорости на свободной поверхности при чисто гравитационной конвекции; формируются значительные максимумы скорости вблизи изотермических торцов слоя. Как легко видеть, такое поведение скорости на свободной поверхности следует из распределения температуры на ней (см. рис. 3.25, а).
Распределение потока тепла на изотермических границах (рис. 3.26) без учета термокапиллярной конвекции качественно аналогично рассмотренному ранее для Ra = 104. Минимум смещен ближе ко дну слоя, возрастает неоднородность распределения потока тепла по изотермической границе слоя. При Ма = 103 распределение потока тепла меняется слабо, но уже при Ма = 5 • 103 происходит резкое увеличение потока тепла на свободной поверхности, а в приповерхностном слое возникает участок почти постоянного по высоте потока тепла.
Отметим, что на участке за минимумом заметных изменений распределения потока тепла не происходит.
При высокоинтенсивной гравитационной конвекции неоднородность потока тепла, обусловленная термокапиллярным эффектом, оказывается заметно меньше, чем в предыдущем случае. Таким образом, термокапиллярная конвекция приводит к снижению неоднородности распределения потока тепла, вызванной гравитационной конвекцией, а гравитационная конвекция снижает неоднородность распределения потока тепла, обусловленную термокапиллярным эффектом.
При Ма = 103 заметных изменений картины линий тока не происходит (рис. 3.27), но уже при Ма = 5 • 103 формируется характерный для термокапиллярной конвекции выступ, а по искривлению линий тока в приповерхностном слое можно сделать вывод о формировании здесь вихря, имеющего противоположную циркуляцию по сравнению с циркуляцией в объеме жидкости. При Ма = 104 указанные изменения проявляются более отчетливо.
Структура изотерм по мере увеличения числа Марангони заметно меняется только в приповерхностном слое.
Сопоставление характеристик режимов термокапиллярной и гравитационной конвекции. В табл. 3.1 приведены основные характеристики всех рассчитанных вариантов по числам Марангони и Рэлея. В таблицу включены также характеристики режима теплопроводности (Ma = Ra = 0). Варианты, относящиеся к условиям невесомости (расчеты при g = 0 и двух свободных поверхностях), отмечены звездочкой.
Условия теплообмена, близкие к режиму теплопроводности, могут реализоваться при зонной плавке в невесомости в случае значительных загрязнений свободной поверхности расплава, сильно снижающих, как правило, зависимость поверхностного натяжения от температуры и в отдельных случаях способных играть роль твердой границы [204]. Как видно из табл. 3.1, в режиме теплопроводности оказывается минимальной неоднородность распределения потока тепла на фронтах плавления и кристаллизации, максимальная и средняя температуры в области имеют наибольшие по сравнению со всеми остальными вариантами значения.
Во всех рассчитанных конвективных режимах максимальная и средняя температуры в области существенно меньше, а неоднородность распределения потока тепла существенно выше, чем в режиме теплопроводности.
При термокапиллярной конвекции без учета силы тяжести и одной свободной поверхности с ростом числа Марангони происходит увеличение максимальной функции тока, возрастают максимальные значения компонент скорости и неоднородность распределения потока тепла на изотермических границах. С ростом интенсивности движения снижаются максимальная температура поверхности и средняя температура расплава.
В данном случае максимальное значение горизонтальной компоненты скорости примерно в два раза превышает соответствующее значение вертикальной компоненты скорости. В рассмотренном диапазоне чисел Марангони неоднородность потока тепла на изотермических торцах возросла более чем в два раза.
При слабоинтенсивной гравитационной конвекции (Ra=I04) рост числа Марангони приводит к увеличению интенсивности течения в области (рост функции тока), монотонному снижению максимальной и средней температур расплава. Неоднородность потока тепла на изотермических поверхностях несколько ниже, чем при чисто термокапиллярной конвекции, однако совершенно очевидно, что эта характеристика в данном случае полностью зависит от термокапиллярного эффекта. Отметим, что без учета термокапиллярной конвекции максимальные величины горизонтальной и вертикальной компонент скорости принимают близкие значения, причем вертикальная скорость превышает горизонтальную (см. также случай интенсивной гравитационной конвекции). Учет термокапиллярного эффекта приводит к тому, что уже при Ma = 103 максимальное значение горизонтальной компоненты скорости примерно в два раза превышает соответствующее значение вертикальной компоненты, что характерно для термокапиллярной конвекции.
Из сопоставления таких характеристик, как неоднородность распределения потока тепла и максимальных значений горизонтальной и вертикальной компонент скорости, можно сделать вывод, что для Ra= 104 уже
107
Таблица 3.1
Вариант
Ra
Ma
^max
^min
“max
1
0
0
—
—
—
2
0
10’
21,98
-21,98
540,9
3
0
5 ■ 10’
43,0
-43,0
1230,0
4
0
10*
57,7
-57,7
1680,0
5
10*
0
41,5
-41,5
136,2
6
10*
10’
44,19
-44,19
509,9
7
10*
5 • 103
54,6
-54,6
1200,0
8
10*
10*
65,7
-65,7
1662,0
9
5 • 10s
0
103,2
-103,2
666,2
10
5- 10s
10s
102,3
-102,3
663,7
11
5- 10’
5 ■ 103
101,2
-101,2
974,0
12
5 ■ 10s
10*
106,9
-106,9
1420,0
13*
0
103
18,0
-18,0
462,4
14*
0
5 • 103
31,6
-42,6
1090,0
15*
0
10*
42,8
-62,6
1496,0
16*
0
103
16,9
-16,6
491,2
Обозначения: *max, ^min- “max- “max- Стах- 2min ~ максимальные н минимальные значения функции тока, горизонтальной и вертикальной компонент скорости, потока тепла; 6тах, 6$ — максимальная и средняя температуры; £кин "" 2 (“// + + up — аналог кинетической энергии движения жидкости. (/
при Ma = 103 термокапиллярный эффект играет преобладающую роль. Однако, вспоминая подразд. 3.4.2, отметим, что изменения структуры течения оказываются минимальными.
В случае интенсивной гравитационной конвекции (Ra = 5 • 105) характер ее взаимодействия с термокапиллярной оказывается иным. Значение максимальной функции тока монотонно снижается с ростом числа Маран- гони, причем одновременно происходит снижение кинетической энергии и увеличение максимальной и средней температур расплава. При Ma = 104 максимальное значение функции тока и кинетическая энергия движения жидкости уже превышают соответствующие значения для Ra = 5 • 105, Ma = 0, но тем не менее максимальная и средняя температуры расплава все еще оказываются несколько выше.
Неоднородность распределения потока тепла на изотермических границах в этом режиме монотонно растет с увеличением числа Ма, но все время остается существенно ниже, чем в рассмотренных ранее случаях.
Максимальные значения горизонтальной и вертикальной компонент скорости при Ma = 103 оказываются ниже, чем в отсутствие термокапиллярной конвекции, причем они сохраняют характерное для чисто гравитационной конвекции соотношение. При числе Марангони 5 • 103 значение Umax начинает превышать итах, а при Ма=104 итю вдвое превышает значение итах, что характерно для термокапиллярной конвекции. Однако даже в этом случае значение umax заметно ниже, a vmax — заметно выше, чем в случае чисто термокапиллярной конвекции.
итах
®тах
es
Стах
Cmax/Cmin
Е £кин
—
1,670
0,659
3,74
2,24
—
251,1
0,803
0,354
10,36
12,9
1,07 • 10’
513,0
0,602
0,255
13,5
21,9
3,68- 10’
670,0
0,533
0,220
14,5
28,9
6,25 • 107
145,0
0,672
0,314
6,19
7,6
1,71 • 107
228,6
0,637
0,293
9,39
12,5
2,31 • 107
501,0
0,548
0,244
12,8
21,55
4,62- 107
661,4
0,506
0,215
14,05
22,6
7,14 ■ 10’
679,7
0,358
0,162
6,84
12,8
2,52 • 10*
674,8
0,361
0,164
7,45
13,8
2,46 • 10е
679,5
0,42
0,18
9,19
15,9
2,29-10*
706,5
0,39
0,169
10,4
18,6
2,64 • 10*
218,0
0,634
0,284
8,1
13,1
1,6 • 107
465,0
0,494
0,204
11,0
25,5
5,7- 107
609,0
0,424
0,172
11,5
29,7
1,02 • 10*
230,5
0,676
0,296
8,8
14,1
1,59- 107
Сопоставляя характеристики двух вариантов взаимодействия термокапиллярной и гравитационной конвекции можно сделать вывод,что при Ra/Ma«10 термо капиллярная конвекция оказывает заметное влияние, а при Ra/Ma< 10 преобладает над гравитационной, причем ее влияние особенно велико в приповерхностной зоне, что вполне закономерно для движения, обусловленного неоднородностью поверхностного натяжения. Близкие выводы были сделаны в [130].
Еще раз отметим, что во всех рассмотренных вариантах взаимодействия гравитационной и термокапиллярной конвекции существенных изменений структуры течения выявлено не было.
При переходе к условиям невесомости (две свободные поверхности) происходит изменение структуры течения, вследствие чего рассматриваемые здесь характеристики отличаются не только от случая взаимодействия гравитационной и термокапиллярной конвекции, но и чисто термокапиллярной конвекции при одной свободной поверхности. Снижается значение максимальной функции тока, несколько ниже оказывается umax и итах, сохраняя между собой характерное для термокапиллярного эффекта соотношение. Примерно на 10% возрастает неоднородность потока тепла через изотермические границы слоя. По сравнению со случаем g = 0 заметно снижаются максимальная и средняя температуры расплава. Они оказываются даже ниже, чем при взаимодействии термокапиллярной и слабой гравитационной конвекции. В табл. 3.1 приведены характеристики для двух вариантов при Ma = 103 (варианты 13 и 16), первый из которых
0,8 V0,8 Vо / ®2о / ®20,60,6э- ооэ- ооО, N -0,2 -О, N -0,2 -оо оооо оо®®оо®®о соо со®=>®®=>®101520 Е^ • 10"7101520 Е^ • 10"7соответствует симметричному четырехвихревому, а второй — несимметричному режиму. Хотя максимальные значения скоростей во втором случае несколько выше, суммарная кинетическая энергия оказывается меньше, а средняя и максимальная температуры несколько выше, чем всоответствует симметричному четырехвихревому, а второй — несимметричному режиму. Хотя максимальные значения скоростей во втором случае несколько выше, суммарная кинетическая энергия оказывается меньше, а средняя и максимальная температуры несколько выше, чем вР н с, 3.28. Зависимость максимальной (У) и средней (2) температур расплава от кинетической энергии движения жидкости
0,8 V
0,8 V
о / ®2
о / ®2
0,6
0,6
э
- о
о
э
- о
о
О, N -
0,2 -
О, N -
0,2 -
о
о о
о
о
о о
о
®
®
о
о
®
®
о со
о со
®=>®
®=>®
101520 Е^ • 10"7
101520 Е^ • 10"7
соответствует симметричному четырехвихревому, а второй — несимметричному режиму. Хотя максимальные значения скоростей во втором случае несколько выше, суммарная кинетическая энергия оказывается меньше, а средняя и максимальная температуры несколько выше, чем в
соответствует симметричному четырехвихревому, а второй — несимметричному режиму. Хотя максимальные значения скоростей во втором случае несколько выше, суммарная кинетическая энергия оказывается меньше, а средняя и максимальная температуры несколько выше, чем в
симметричном режиме. Приблизительно на 8% больше неоднородность распределения потока тепла.
В данной главе сопоставлены характеристики, по сути, трех различных задач: термо капиллярная конвекция при одной свободной поверхности, взаимодействие гравитационной и термокапиллярной конвекции, а также термокапиллярная конвекция при двух свободных поверхностях.
При исследовании задачи варьировались числа Рэлея и Марангони, изменялись граничные условия. Все это вызывает не только изменение интегральных характеристик, но и изменения структуры течения и поля температуры. Тем не менее зависимость средней и максимальной температур расплава от аналога кинетической энергии, приведенная на рис. 3.28, имеет достаточно универсальный характер и, видимо, слабо чувствительна к структуре течения и причине, его вызывающей.
По виду кривых можно выделить участки сильной зависимости теплового режима от энергии течения расплава (при Екин < 5-Ю7) и участок слабой зависимости (при Екин > 10в).
При планировании и проведении экспериментов по зонной плавке материалов в условиях невесомости необходимо учитывать, что при свободной поверхности интенсивность перемешивания расплава сохраняется на высоком уровне. Вследствие этого при зонной плавке даже в условиях невесомости не следует ожидать диффузионного распределения примеси. Кроме того, в условиях невесомости может возрасти кривизна фронта кристаллизации, что является нежелательным для производства многих веществ.
Тем не менее зонную плавку в условиях пониженной гравитации целесообразно применять для глубокой очистки образцов большого диаметра, а также для синтеза таких веществ, исходные компоненты которых сильно отличаются по плотности и расслаиваются в условиях нормальной силы тяжести.
Некоторые технологические эксперименты по нестационарной конвекции Марангони. В добавление к разд. 3.1, где был дан краткий обзор экспериментальных работ по исследованию конвекции Марангони, остановимся более подробно на экспериментах по изучению особенностей конвективных режимов в модели зонной плавки, используя для их интерпретации полученные выше численные данные.
До недавнего времени было проведено лишь несколько экспериментов по зонной плавке в условиях невесомости. При полете ”Спейслаб-1” на
установке радиационного нагрева [190] из-за недостаточной отработки теплового режима в одном случае жидкая зона разорвалась, во втором — произошло смыкание фронтов плавления и кристаллизации, что вызвало поликристаллический рост , а в дальнейшем за счет выбора преимущественного направления роста был получен блочный кристалл. Сложность наземной отработки теплового режима в этих экспериментах связана с заполнением рабочей камеры установки инертным газом, конвективный тепло- перенос в котором значительно изменяется при переходе от земных условий к условиям невесомости.
Бестигельная зонная плавка германия и антимонида галлия [15, 17], а также антимонида индия была осуществлена на беспилотных спутниках серии ”Космос”. В обоих экспериментах авторы отмечают наличие полос роста, свидетельствующих об интенсивном, возможно колебательном течении в расплаве. В качестве причин движения жидкости авторы предполагают: а) остаточную гравитационную конвекцию, б) термокапиллярную и концентрационно-капиллярную конвекции. По оценкам [15], числа Маран- гони в экспериментах были Ma ~ 102, Мас = 104. Авторы [16] дают оценки Ма 150, Мас « 105. Как видно, в обоих случаях предполагается существенное преобладание концентрационно-капиллярной конвекции над термокапиллярной и гравитационной. Однако отсутствие точных данных о свойствах расплава полупроводников не позволяет точно определить режимные параметры процесса. В обоих случаях эксперименты не сопровождались измерениями температур и скоростей течения в жидкой зоне, что связано с очевидными трудностями для таких измерений в технологических процессах. По этой причине важное значение имеют данные лабораторных и полетных исследований бестигельной зонной плавки с применением модельных жидкостей.
Еще в ’’дополетную” эру исследований Д. Швабе с соавторами провел ряд экспериментов по исследованию особенностей течений, вызываемых поверхностным натяжением [257]. В этой работе, как и в ряде других [183, 270], для значительного преобладания конвекции Марангонинад гравитационной жидкий столбик расплавленной соли NaNO3 небольшого размера (~ 5 мм) нагревали сверху. Это ослабляло гравитационную конвекцию, во-первых, за счет небольших размеров жидкой зоны, а во-вторых, из-за создания устойчивой температурной стратификации (подогрев сверху) . В эксперименте визуально фиксировалась структура течения и параллельно были выполнены измерения температуры в области расплава. Были обнаружены температурные колебания с частотой около 0,25 Гц и амплитудой примерно 5 К при диаметре зоны около 10 мм. Авторы отмечали также рост частоты колебаний с увеличением температурного перепада.
Во втором эксперименте авторам удалось наблюдать колебания, обусловленные взаимодействием термо- и концентрационно-капиллярной конвекции. В NaNO3 было добавлено органическое вещество, которое разлагается при температуре примерно 330°С, причем продукты реакции разложения значительно в меньшей степени снижают поверхностное натяжение, чем исходное вещество. В результате изменились направления течения жидкости (от холодной к горячей подложке) и форма фронта плавления столбика NaNO3.
К сожалению, дальнейшее развитие работы по исследованию взаимодействия термо- и концентрационно-капиллярной конвекции не получили, однако авторы высказывают предположение о возможной потере устойчивости течения, обусловленной взаимодействием конвекций этого вида.
В цитированной ранее работе [182] использован аналогичный прием, а именно столбик метилового спирта диаметром 3 мм и высотой 2,2 мм подогревали сверху. Развивающееся течение обусловлено в основном термокапиллярным эффектом. При Ма = 4,46 • 104 наблюдались колебания температуры с частотой 1 Гц и амплитудой 1 К. Путем экстраполяции экспериментальных данных авторы определили, что в их экспериментах критическое число Марангони перехода к нестационарному течению лежит в пределах 10* < Ma < 1,47* 10*.
В работе [272] продолжено изучение особенностей термокапиллярной конвекции в полузонах, подогреваемых сверху. В стационарных режимах течения были подробно изучены возникающие структуры течения, а также распределения температуры по объему жидкого столбика, проведены измерения скорости. При исследовании осциллирующей термокапиллярной конвекции авторы обнаружили, что вблизи критического числа Марангони Ма = 7° 10л теряет устойчивость мода единственной длины волны X * 2,2, наблюдаемая частота колебаний не зависит от отношения диаметра к длине зоны, однако безразмерная частота колебаний увеличивается с его ростом.
Неустойчивость течения связана с потерей течением осевой симметрии. При небольшой длине жидкого столбика критическое число Марангони, видимо, слабо зависит от размеров жидкой зоны и для различных диаметров слоя лежит в диапазоне 6,5-Ю3 < Макр < 7,5 • 103, однако с увеличением длины столбика начиная с некоторого момента Макр увеличивается с длиной зоны. Безразмерная частота колебаний растет с увеличением отношения сторон слоя.
В экспериментах [233], выполненных с применением в качестве рабочей жидкости силиконового масла, размеры жидких столбиков были около 10 см. При Ма ~ 104 авторы отметили возникновение колебаний, которые нельзя связать с потерей осесимметричности течения.
Для анализа и интерпретации результатов экспериментов еще недостаточно применялись данные математического моделирования рассмотренных линейных и нелинейных задач. Из этих данных, однако, следует, что необходима детальная оценка побочных эффектов, которые могут вызывать колебания в модельных экспериментах, проводимых в земных условиях. В первую очередь это относится к случаям гравитационной конвекции при подогреве сверху, которая подавляется только в стационарных режимах, но нестационарные возмущения реализуются в виде внутренних волн. Значительную роль, как и при гравитационной конвекции, играют числа Прандтля. А именно результаты на модельных жидкостях при больших числах Прандтля согласно теории не должны давать колебаний. Двумерные расчеты нелинейных режимов конвекции не дали колебаний при больших числах Марагони, что может указывать на значительную роль пространственных мод. Идентификация всех этих эффектов требует более детальной информации о физических свойствах рабочих веществ и характере граничных условий.
Особенности вынужденных движенийи диффузионно-тепловые режимыв условиях теоретической невесомости
Медленные вынужденные течения являются основным типом течения в некоторых методах роста кристаллов, а также в электрофоретических методах разделения веществ. В земных условиях имеет место взаимодействие различных видов гравитационной конвекции и вынужденных течений. В условиях теоретической невесомости, т.е. в случае, если гравитационной конвекцией можно пренебречь, а другие виды конвекции не существенны, основным становится течение изотермической жидкости, поэтому особенности этого типа течения и будут определять эффективность данного процесса в невесомости. Однако с этих позиций вынужденные течения, создаваемые вращением (бестигельная зонная плавка, метод Чохральского), а также направленным движением жидкости (электрофорез в свободном потоке), изучены пока еще недостаточно. Выполненные во многих работах (см., например, [125, 134]) теоретические и экспериментальные исследования показывают существенную зависимость структуры изотермического течения при вращении кристалла (тигля) в методе Чохральского от ряда параметров: числа Рейнольдса, геометрии (отношении глубины к высоте) тигля, отношения диаметра тигля к диаметру кристалла, соотношения между скоростями вращения кристалла и тигля и др. При этом при определенном сочетании их численных значений могут наблюдаться эффекты, которые могут быть причиной, макро- и микронеоднородности кристаллов. В частности, течение может потерять осевую симметрию и стать неустойчивым. Однако и при стационарном течении в подкристальной области могут возникать вторичные вихри, влияние которых на распределение примеси в кристалле мало изучено.
В условиях теоретической невесомости могут также реализоваться вторичные течения (рассматриваемые ниже, в гл. 7, при изучении направленного изотермического движения в методе проточного электрофореза)
Рис. 3.29. Температурное расслоение, вызванное вынужденной конвекцией
вблизи участка входа биопродукта в буферный раствор. Эти вторичные течения существенно влияют на качество разделения веществ. Указанные здесь и рассматриваемые в этой главе примеры показывают, что для многих методов получения веществ одного только исключения гравитационной конвекции в невесомости недостаточно и требуется тщательное исследование особенностей вынужденного движения, которое может быть вы-
Рис. 3.30. Конфигурации проплавленной зоны образца германия диаметром 15 мм в зависимости от температурного градиента и максимальной температуры на границе
полнено, в частности, с помощью изотермических моделей общего назначения.
Эффект максимума температурного расслоения, вызываемый вынужденной конвекцией в невесомости. Слабые вынужденные течения могут приводить к макронеоднородности подобно слабой тепловой гра-
витационной конвекции (разд. 2.2) или термокапиллярной конвекции (разд. 3.3). Для демонстрации этого эффекта рассмотрим перенос тепла вынужденным течением в квадратной области. Течение создается движущейся крышкой, а поток тепла задан на боковой поверхности. Основания области теплоизолированы. В этом отношении начальные и граничные условия соответствуют задаче, рассмотренной в п 2.2.1, за исключением
того, что на верхней крышке задана скорость. При отсутствии движения, как и в упомянутом случае, вертикальные разности будут равны нулю, поэтому вертикальная неоднородность температурного поля может быть вызвана только вынужденным движением, интенсивность которого определяется числом Пекле Ре.
На рис. 3.29 представлен результат расчета зависимости безразмерной разности температур по вертикали Д9 от числа Ре, из которого видно, что вертикальная макронеоднородность температурного поля вначале возрастает при увеличении интенсивности движения, достигает максимума при некотором числе Ре (Ре ~ 50) и затем уменьшается. Количественное значение Д9 близко к тому, которое обусловлено тепловой гравитационной конвекцией. По-видимому, следуя аналогии сданными разд. 2.1, такой же результат следует ожидать и для макронеоднородности распределения примеси в случае, если рассматривается массообмен. Физическая причина этого эффекта та же самая, как и в случаях тепловой гравитационной и термокапиллярной конвекции. Она заключается в изменении режимов конвекции: слабая конвекция ’’работает” на расслоение, а интенсивная — перемешивает. Этот эффект имеет принципиальное значение при практическом использовании медленных вынужденных течений в состоянии теоретической невесомости.
Диффузионно-тепловые поля при отсутствии движения. Для решения задач тепло- и массообмена без учета конвекции в Институте проблем механики АН СССР разработан комплекс программ LAPLACE [139], позволяющий на основе метода конечных элементов рассчитывать поля температуры и концентрации примесей в областях произвольной формы, состоящих из материалов с различающимися свойствами. Комплекс программ адаптирован для персональных компьютеров, нашел эффективное применение в технологической практике для анализа тепло- и массообмена при получении монокристаллов и полупроводниковых структур методами бестигельной плавки, направленной кристаллизации, жидкостной эпитаксии. Метод применялся для расчета полей температур в невесомости без учета конвекции в объемах расплава сложной формы, композиционных материалов, состоящих из металлической матрицы, армированной включениями [138]. Он особенно эффективен для расчета тепловых полей различных нагревательных печей в условиях невесомости. Например, такой программный комплекс является основой для решения всех типов упоминавшихся выше диффузионно-тепловых задач, в том числе сопряженных задач для определения граничных условий на границах ампул при постановке технологических экспериментов в космических печах, а также при обработке результатов технологических экспериментов.
В качестве примера на рис. 3.30 приведены результаты расчета изотерм температурного поля в образце германия для модели технологического эксперимента по бестигельной зонной плавке в условиях орбитального полета (см. [61]) для различных режимов нагрева. Рассчитанные изотермы помогают, в частности, определить форму расплавленной зоны в образцах различного диаметра в зависимости от максимального значения температуры и температурного градиента в кристалле.
Глава 4
КОНВЕКЦИЯ И ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСАПРИ ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОМ ИЗМЕНЕНИИМИКРОУСКОРЕНИЙ
В этой главе, переходя к наиболее близкому для реальных условий орбитального полета и более общему по сравнеиию с гл. 2, 3 случаю, когда микроускорения изменяются в пространстве и во времени, мы ограничимся рассмотрением только тепловой гравитационной конвекции в замкнутом объеме и ее влияния на распределение примеси, продолжая предпринятое в предыдущих главах изучение макро- и микронеоднородностей температурных и концентрационных полей.
К настоящему времени уже достаточно хорошо понята высокая гравитационная чувствительность большинства процессов, лежащих в основе получения материалов из жидких питающих сред и разделения веществ, имеются также некоторые результаты измерений микроускорений на космических станциях в процессе выполнения технологических экспериментов [65, 192].
Качественный анализ гравитационной чувствительности на основе оценок и методов подобия представлен, в частности, в монографии [192]. Очевидным является определенный ’’дефицит” математических моделей, с одной стороны, достаточно полно описывающих сложную структуру процессов тепло- и массообмена, в том числе пространственную структуру, а с другой стороны, обеспечивающих анализ амплитудно-частотного диапазона изменения микроускорений в реальных условиях полета (см. гл. 1, рис. 1.7). Это чрезвычайно сложная задача гидромеханики, так как еще не до конца решены задачи о неустойчивости, переходных и турбулентных режимах конвекции при постоянно действующей приложенной внезапно массовой силе в замкнутых двумерных (и тем более трехмерных) областях (см., например, [68]). Поэтому все существующие подходы, и в том числе подход, развиваемый ниже в этой главе, ориентированы на изучение конвекции при сравнительно небольших числах Рэлея.
Наиболее хорошо разработана в последнем случае модель, основанная на усредненных уравнениях конвекции, которая, в частности, дает описание крупномасштабной конвекции в случае нулевого в среднем микроускорения [52]. В работах [34, 55, 56, 58] подробно исследованы свойства усредненного механического равновесия, а также выполнено параметрическое исследование усредненных конвективных течений в замкнутых областях при различных направлениях потока тепла по отношению к направлению вектора микроускорения, а также при различных отношениях сторон. Работы по прямому численному решению нестационарных уравнений Навье—Стокса еще не столь многочисленны и не носят такой систематический характер, кроме того, ограничены преимущественно двумерным приближением [58, 253]. Из имеющихся результатов, однако, трудно найти представляющие наибольший практический интерес данные
о макро- и микронеоднородностях полей температуры и концентрации, вызываемых нестационарной конвекцией в расплавах, характеризующихся малыми числами Прандтля.
Данная глава, в которой мы уделяем большое внимание методологии исследования этого класса задач, начинается с модели, основанной на уравнениях нестационарной конвекции переноса тепла и массы при произвольно действующих микроускорениях в трехмерном пространстве (разд. 4.1), для исследования которой используется несколько более простых моделей.
В двумерной модели (разд. 4.2) рассматриваются микроускорения, действующие лишь в плоскости орбиты. Продолжая начатое в гл. 2 изучение эффектов макронеоднородности концентрационных полей в расплавах полупроводников при постоянном микроускорении, в разд. 4.2 рассмотрено низкочастотное изменение во времени микроускорения при Рг « 1, включая случаи равного и не равного нулю среднего во времени микроускорения. Это дает, в частности, возможность сформулировать условия по поддержанию микроускорений на борту орбитальной станции, требуемые для получения высокооднородных кристаллов. Исследование влияния нестационарности микроускорения, включая случаи изменения его направления во времени, продолжено в гл. 6 для модели жидкостной эпитаксии.
Анализ трехмерной модели тепловой гравитационной конвекции (разд. 4.3) представляет наибольшие трудности, в связи с чем предварительно рассмотрены случаи пространственного стационарного движения обусловленного вращением, и нестационарной трехмерной конвекции при ступенчатом включении постоянного микроускорения.
При рассмотрении последней, самой общей, модели в подразд. 4.3.2 использованы результаты расчета микроускорений в реальном полете станции ’’Салют”, полученные в работе [152] по измерениям движения станции с помощью датчиков магнитного поля и положения Солнца. Этот метод дает достоверные данные о микроускорениях в течение достаточно длительного промежутка времени, недоступные в настоящее время прямому измерению с помощью акселерометров [65]. Эти микроускорения являются, как и в случаях, рассмотренных в разд. 4.2 и ниже в гл. 6, низкочастотными. Влияние высокочастотных возмущений будет рассмотрено на основе модели направленной кристаллизации с движущимся фронтом в гл. 5.
Общая математическая модельтепловой гравитационной конвекции и переноса массыпри пространственно-временном изменении микроускорений
Рассматривается конвекция неоднородной по температуре и/или по концентрации примеси жидкости в замкнутом прямоугольном объеме, движущемся относительно некоторой инерциальной системы координат. С полостью связана подвижная система координат Oxyz, в которой движение и тепломассообмен описываются следующими уравнениями [54]:
divV = О,
— + (VV)V- 2(VX co) = - VP/p + pД v + ^тТ + 0C <0 (n(0 -«X
X (r X cu) - r X Cd),
dr
— + (W)T=eAT,(4Л)
de
— + (w)c = Db.c,
St
где V — скорость; P — давление; г — радиус-вектор, проведенный из начала координат; со — угловая скорость подвижной системы; сЬ — угловое ускорение; п — вектор ускорения, которое не зависит от вращения. На границах полости предполагаются заданными значения температуры и концентрации или их производных, а также условие прилипания. Конкретные постановки задач более подробно обсуждаются в разд. 4.2 и 4.3.
В уравнениях (4.1) в отличие от уравнений (2.1) —(2.4) в случае постоянного во времени микроускорения, рассмотренных в разд. 2.2, учитывается связанное с вращательным движением станции кориолисово ускорение, а также центробежная сила, а изменение микроускорения g предполагается зависящим от времени.
Тепловая конвекция и перенос примесипри изменении микроускорения в плоскости орбиты
В этом разделе рассматривается один из частных случаев системы (4.1) в предположении, что изменения микроускорений имеют нестационарный характер в амплитудно-частотном диапазоне, рассмотренном в гл. 1, а суммарный вектор микроускорений (массовой силы) находится в плоскости орбиты, которая совпадает с меридиональной плоскостью технологической ампулы.
Цель такого рассмотрения состоит в изучении влияния нестационарной тепловой конвекции при низких частотах на неоднородность распределения примесей, что является дальнейшим развитием подхода, систематически изложенного в гл. 2. Используется аналогичная численная методика, основанная на двумерных нестационарных уравнениях конвекции в переменных вихрь, функция тока, температура и концентрация, записанных в следующем безразмерном виде:
cot+ucox = шхх + ыуу + [(Gr0x + GrcCx)sin^ + (Gr9y + GreCy)cos<p], ы=Фхх + Фуу, 6t + u6x *иву = (1/Pr)(9xx + eyy),(4.2)
Cf + uCx + vCy = (l/Sc)(Cxx + Cyy) .
Здесь: и = фх, и = -фу, 6 = (Т-Т^/ДТ, С = (с - cj/(cz - cs), Gr = = g0TH3M'lv1' - число Грасгофа; Gre = g0cH3(c} - с5)/г2 - диффузионное число Грасгофа; Pr = v[a — число Прандтля; Sc = Ргд = v[D — число Шмидта; v — коэффициент кинематической вязкости; а — коэффициент температуропроводности;/)- коэффициент диффузии; 0 т, 0С - коэффициенты температурного и концентрационного расширения соответственно; с — раз-
мерная концентрация примеси; cs, ct — концентрация примеси в твердой и жидкой фазах соответственно; Ts — температура кристаллизации; АТ — характерная разность температур; Н, L — ширина и длина рассматриваемой области; ^ — Угол наклона массовой силы к вертикальной оси; g = g(t) — микроускорения (массовая сила). В качестве масштабов длины, времени, скорости, температуры и концентрации здесь выбраны соответственно H,H2/v, v/H, АТ и с,-с,.
Сопряжение с рассмотренной в гл. 1 задачей о расчете микроускорений осуществляется здесь в правой части уравнения вихря, где в определяющие критерии гравитационной конвекции — числа Gr и Grc (4.2) входит в общем случае изменяющаяся во времени функция g(Г), получаемая из решения уравнений движения орбитальной станции вокруг центра масс (см. гл. 1) либо на основе прямых измерений с помощью акселерометра или датчиков угловых скоростей. Ниже будет использоваться представление микроускорений в виде
К/go = 6 + а ыпШ(4.3)
или в безразмерном виде
Ra = Raosinwf + Racp ,
где а — амплитуда; £2 = uR^lL — безразмерная частота; со — размерная частота; Ъ — постоянная составляющая массовой силы.
Из всех технологических процессов, проводимых на борту орбитальных станций, выделим характерный процесс выращивания монокристаллов полупроводниковых материалов (германий, соединения А3В5 и др.) методом направленной кристаллизации. Такие процессы реализованы на установках типа ’’Сплав”, ’’Кристалл” [18, 164,165] и др. Типичная технологическая ампула имеет диаметр 1 см и длину 4 см. Указанным условиям соответствуют следующие диапазоны изменения чисел Ra и £2:
0<Ra<104, 0 < Racp < 5 • 102, 10"3<£2<l.
Ограничимся лишь случаем, когда направление вектора силы фиксировано и составляет по отношению к продольной оси ампулы прямой угол. В связи с высокой температуропроводностью расплавов полупроводниковых материалов (Рг * 0,01) и сравнительно малыми числами Рэлея можно считать (см. гл. 2), что основным механизмом движения является гравитационная тепловая конвекция. Основная задача, которая будет рассматриваться ниже, состоит в изучении неравномерности распределения примеси при получении монокристаллов направленной кристаллизацией в ампуле при наличии нестационарных микроускорений. Модель направленной кристаллизации используется здесь в упрощенной форме, в связи с чем она относится нами к моделям общего назначения. Более полная модель, учитывающая движение фронта кристаллизации и относящаяся к специальным моделям, рассмотрена в гл. 5.
Модель переноса примеси при направленной кристаллизации. Так как при выращивании полупроводниковых кристаллов методом направленной кристаллизации время продвижения фронта кристаллизации существенно больше времени формирования стационарнрй
Р и с. 4.1. Расчетная схема области (а), граничные и начальные условия по концентрации и температуре (б)
Я// = 4; О < « < 1; Г,, с1 и Tv cs - температура и концентрация в жидкой и твердой фазах
конвекции, то фронт кристаллизации считается неподвижным, граничные условия по температуре и концентрации имеют вид
х = 0, 0<у<1: 9=0, С=0,
x = L[H, 0<у< 1: 0 = 1, С = 1,
0 <х <L/H, у = 1, у = 0: 9=Вхх, ЭС/дх = 0.
Здесь Вх - безразмерный градиент температуры.
Захват (или отторжение) примеси моделируется граничными условиями 1-го рода для концентрации на границе области (рис. 4.1). В случае отторжения примеси (что типично для рассматриваемых полупроводниковых материалов) перед фронтом кристаллизации образуется диффузионный слой, который представляется линейным распределением примеси С = В2х, задающим начальное распределение концентрации в области (см. рис. 4.1). Относительная ширина распределения концентрации 6 = 6JL (О < 6 < 1) характеризует, таким образом, толщину диффузионного слоя примеси перед фронтом кристаллизации.
Начальные условия соответствуют неподвижному расплаву и линейному распределению легирующей примеси вдоль оси ампулы:
т = 0, 0<х<ЦН, 0<у<\; С= 1 -Вгх, ф = 0
или
0<x<L/H, 0<у<\; С = 1 -Вгх.
В большинстве случаев толщина диффузионного слоя зависит от скорости роста монокристалла (движения фронта кристаллизации), поэтому градиент концентрации 6 качественно отражает наличие фронта в задаче с неподвижным фронтом кристаллизации.
Рассмотрены следующие области параметров: КГ2 <Рг < 10,0 <Ra< 103, О < т < 2. Во всех расчетах, если не оговорено особо, Sc = 10, Rac = 0.
Однородность структуры характеризуется усредненной по длине локальной, поперечной (вдоль диаметра ампулы) разностью концентрации:
1 L
ДС= — / Acdx, L о
где Дс = &Су = 0 - &су=н - изменение концентрации поперек ампулы (макросегрегация).
Рис. 4.2. Относительные ошибки численных расчетов в зависимости от среднего сеточного шага (а), шага интегрирования по времени (6) и времени интегрирования (в)1, 3 — ошибки расчета концентрации, 2 — функции тока, 4 — затраты процессорного времени t ЭВМ ЕС-1040, 5—10 — концентрации в различных узлах сетки (•5 — es,s’ ^ — e«,S' ^ — e3js- 8 — еа>9, 9 - е«,3, Ю - ез,1)Рис. 4.2. Относительные ошибки численных расчетов в зависимости от среднего сеточного шага (а), шага интегрирования по времени (6) и времени интегрирования (в)1, 3 — ошибки расчета концентрации, 2 — функции тока, 4 — затраты процессорного времени t ЭВМ ЕС-1040, 5—10 — концентрации в различных узлах сетки (•5 — es,s’ ^ — e«,S' ^ — e3js- 8 — еа>9, 9 - е«,3, Ю - ез,1)
Рис. 4.2. Относительные ошибки численных расчетов в зависимости от среднего сеточного шага (а), шага интегрирования по времени (6) и времени интегрирования (в)
1, 3 — ошибки расчета концентрации, 2 — функции тока, 4 — затраты процессорного времени t ЭВМ ЕС-1040, 5—10 — концентрации в различных узлах сетки (•5 — es,s’ ^ — e«,S' ^ — e3js- 8 — еа>9, 9 - е«,3, Ю - ез,1)
Рис. 4.2. Относительные ошибки численных расчетов в зависимости от среднего сеточного шага (а), шага интегрирования по времени (6) и времени интегрирования (в)
1, 3 — ошибки расчета концентрации, 2 — функции тока, 4 — затраты процессорного времени t ЭВМ ЕС-1040, 5—10 — концентрации в различных узлах сетки (•5 — es,s’ ^ — e«,S' ^ — e3js- 8 — еа>9, 9 - е«,3, Ю - ез,1)
Для решения уравнений (4.2) используется метод конечных разностей. Подробное описание метода и комплекса программ, разработанного в Институте проблем механики АН СССР, дано в [134]. Расчеты выполнены на равномерной сетке на ЭВМ ЕС-1033 и -1040. Использовались сетки 21 X 65, И X 65, И X 33, 11 X 17. Точность расчетов в зависимости от сеточных параметров можно оценить на примере переходного процесса перераспределения примеси при ступенчатом изменении микроускорения.
На рис. 4.2, а показана зависимость относительной ошибки расчета ’/'max и Afmax 01 среднего сеточного шага А = Qtx + hy)[2 для переходного режима, при этом Ra = 500, 6 = 1, Рг = 0,016, т0 = 0,01. В сравнении с более подробными сетками 11 X 65 и 11 X 33 величина ошибки расчета макросегрегации на сетке И X 17 отличалась соответственно на 7,5 и 2,5%. Влияние шага по времени на точность расчетов показано на рис. 4.2,5. Ошибка в определении величины концентрационного расслоения (кривая 3) не более 3% для временного шага менее 0,01. На рис. 4.2,в показано изменение относительной ошибки в расчете концентрации примеси при Ra = 100, Рг = 0,016, т0 = 0,01 в различных точках расчетной области (где e^j = (Cjj - Ci ^j-Olcy, а с{#, cilj_x - концентрации) при использовании сеток 11Х17и11Х 33. Отличия величин концентрации в области на сетке И X 17 не превышают 8% в сравнении с сеткой 11 X 33. В дальнейшем основными параметрами расчетной схемы, если они особо не отмечаются, являются сетка 11X33 или 11X17, шаг по времени т0 = 0,011.
Конвекция и перенос примеси при мгновенном изменении массовой силы. При мгновенном изменении массовой силы после переходно-
Рис. 4.3. Поведение максимальной функции тока (кривая У), расслоения примеси (2) и концентрации в точках области А, В, С (3, 4, 5) для переходного процесса при ступенчатом изменении массовой силы при Ra = 500, Рг = 0,01, 6 = 0,5, т0 = 0,0025 (сетка 11 X 65)Внизу показана эволюция изолиний концентрации (У - т = 0,01, ДС = 0,04; II - т = 0,04, ДС = 0,39; III - т = 0,105, ДС = 0,6; УК - т = 0,135, ДС = 0,4; V - т = 0,16, ДС= 0,2; VI - т = 0,185, ДС= 0,1)Рис. 4.3. Поведение максимальной функции тока (кривая У), расслоения примеси (2) и концентрации в точках области А, В, С (3, 4, 5) для переходного процесса при ступенчатом изменении массовой силы при Ra = 500, Рг = 0,01, 6 = 0,5, т0 = 0,0025 (сетка 11 X 65)Внизу показана эволюция изолиний концентрации (У - т = 0,01, ДС = 0,04; II - т = 0,04, ДС = 0,39; III - т = 0,105, ДС = 0,6; УК - т = 0,135, ДС = 0,4; V - т = 0,16, ДС= 0,2; VI - т = 0,185, ДС= 0,1)
Рис. 4.3. Поведение максимальной функции тока (кривая У), расслоения примеси (2) и концентрации в точках области А, В, С (3, 4, 5) для переходного процесса при ступенчатом изменении массовой силы при Ra = 500, Рг = 0,01, 6 = 0,5, т0 = 0,0025 (сетка 11 X 65)
Внизу показана эволюция изолиний концентрации (У - т = 0,01, ДС = 0,04; II - т = 0,04, ДС = 0,39; III - т = 0,105, ДС = 0,6; УК - т = 0,135, ДС = 0,4; V - т = 0,16, ДС= 0,2; VI - т = 0,185, ДС= 0,1)
Рис. 4.3. Поведение максимальной функции тока (кривая У), расслоения примеси (2) и концентрации в точках области А, В, С (3, 4, 5) для переходного процесса при ступенчатом изменении массовой силы при Ra = 500, Рг = 0,01, 6 = 0,5, т0 = 0,0025 (сетка 11 X 65)
Внизу показана эволюция изолиний концентрации (У - т = 0,01, ДС = 0,04; II - т = 0,04, ДС = 0,39; III - т = 0,105, ДС = 0,6; УК - т = 0,135, ДС = 0,4; V - т = 0,16, ДС= 0,2; VI - т = 0,185, ДС= 0,1)
го процесса конвективное течение и массообмен в области достигают некоторого стационарного уровня. При рассматриваемых параметрах в переходном процессе конвективное течение имеет одновихревой характер, причем структура движения не зависит от величины массовой силы и начального градиента концентрации. Максимальное значение функции тока монотонно выходит на некоторый уровень (рис. 4.3,а, кривая 7), величина которого зависит от числа Рэлея.
Перенос массы при этом имеет существенно немонотонный характер. На рис. 4.3,5 показано изменение во времени полей концентрации для начального градиента 6 = 0,5 и Ra = 500 (линиям 7, 2, 3 соответствуют значения концентрации 0,25; 0,5; 0,75).
Конвективное движение переносит примесь, поступающую с фронта кристаллизации, распределяя ее по всей области. При этом одновременно с перемешиванием происходит диффузионный перенос примеси, причем при наличии только диффузии примеси расслоение поперек ампулы отсутствует. Взаимодействие конвективного перемешивания и диффузии приводит к пульсациям величины концентрации в отдельных точках. Амплитуда пульсаций зависит от интенсивности конвективного перемешивания (см. рис. 4.3,а, кривые 3-5^. Соответственно возникает и немоно-
тонность развития концентрационнного расслоения ДС (рис. 4.3, а, кривая 2).
Объяснение этого факта можно связать с картиной эволюции изолиний концентрации (рис. 4.3, б). Первоначально (до т = 0,03) интенсивность движения мала и в области сохраняется начальное, равномерное по диаметру распределение примеси (рис. 4.3,5, I) . С развитием конвекции поперечная неоднородность распределеюгя примеси возрастает (рис. 4.3,5, II, III), с течением времени интенсивность перемешивания увеличивается, что наряду с процессом диффузии приводит в дальнейшем к уменьшению расслоения (рис. 4.3,5, IV-V). Таким образом, образуется характерный максимум в расслоении примеси. Взаимодействие конвективного и диффузионного переноса в итоге приводит к некоторому стационарному расслоению, величина которого существенно меньше максимума расслоения в переходном процессе.
Переходный процесс характеризуется значением безразмерного времени ттах, когда достигается максимум расслоения концентрации ДСтах (заметим, что период пульсаций функции отклика То « 4ттах), величиной стационарного расслоения концентрации ДСст и времени достижения стационарного распределения тС1 (рис. 4.3,а, кривая 2). В дальнейшем в качестве определяемых наряду с минимальной функцией тока выбраны два параметра — время и величина первого максимума расслоения примеси.
Параметрическое исследование переходного процесса. Рассмотрим влияние на параметры переходного процесса величины мгновенно приложенной поперечной массовой силы. Интенсивность конвективного течения с увеличением массовой силы (числа Рэлея) монотонно возрастает и не зависит от толщины начального диффузионного слоя (рис. 4.4). В отличие от функции тока расслоение концентрации примеси существенно зависит от толщины диффузионного слоя 6.
Зависимости величины максимума расслоения и стационарного значения расслоения от числа Рэлея показаны на рис. 4.5 для 6=0и5 = 1.В обоих случаях значения ДСтах превосходят значения ДСст в 1,5—3 раза, и в отличие от ДСст величина ДСтах не имеет выраженного экстремума (эффект максимума стационарного концентрационного расслоения, определенного ранее в [140]), монотонно возрастает с ростом числа Рэлея в рассмотренном диапазоне (Ra < Ю3), достигая некоторого насыщения для числа Ra = 300.
Время выхода на стационарный режим тС1 и время первого максимума ттах расслоения примеси уменьшаются с увеличением интенсивности движения: с ростом числа Рэлея ттах и тС1 отличаются в зависимости от начального градиента концентрации в 2—5 раз (см. рис. 4.5). Начальный градиент концентрации интенсифицирует перераспределение примеси в переходном процессе. Этот вывод может оказаться существенным для выбора скорости кристаллизации в условиях реальной невесомости. При определенном значении 5 (5 « 0,5 т 0,7) имеет место экстремум величины максимума.
Отметим, что даже малые потоки концентрации от фронта кристаллизации существенно увеличивают величину ДСтах, особенно при больших числах Рэлея (рис. 4.6, кривые 5, 6).
124
Рис. 4.4. Зависимости максимальной функции тока от времени и от числа Рэлея для переходного процесса при 6 = 1 и О
1, 2 — Ra = 500, 2 — 200, 4 — 100, 5, 6 — 30. Кривые 2, 6 — сетка ИХ 33, остальные — 11X17
ны расслоения ДСст и соответствующих им характерных времен ттах, тст от числа Рэлея в отсутствие (6=0) и при наличии (6=1) начального диффузионного слоя
для переходного процесса
Рис. 4.6. Зависимости стационарного (штриховые кривые), максимального (сплошные кривые) расслоения концентрации примеси и времени максимума расслоения от начального градиента концентрации (толщины диффузионного слоя) для чисел Рэлея 30, 500, 1000 (кривые 1, 2, 3 соответственно) для переходного процесса
Рис. 4.7. Зависимость времени максимума расслоения, максимальной функции тока и максимального и стационарного расслоения концентрации от числа Прандтля для переходного процесса при наличии (6 = 1) ив отсутствие (6 = 0) диффузионного слоя для Ra = 500, т = 0,01 (сетка 11 X 17)
Время переходного процесса монотонно изменяется при увеличении начального градиента концентрации. Влияние 6 на ттах существенно лишь для малых значений 6. Для больших толщин диффузионного слоя (при 5 > 0,5) время переходного режима практически не меняется.
Отметим, что рассмотренные свойства переходного режима относятся к материалам, которым соответствуют значения Рг < 0,1. Для материалов с большим числом Прандтля (Рг > 1) (жидкие стекла, вода, буферные растворы для электрофоретических процессов) с ростом значений числа Рг отмечена нелинейность эволюции соответствующих процессов. В то же время интенсивность движения, как и следовало ожидать, резко падает с ростом числа Прандтля (рис. 4.7, кривая ^msx) ине зависит от начальных условий по концентрации. При увеличении числа Рг возрастает время переходного режима при сравнительно небольшом возрастании величины максимума расслоения концентрации и величины стационарного расслоения. Толщина диффузионного слоя 6, как и ранее, влияет на ДСтах и ттах (см. рис. 4.7).
Таким образом, для более вязких жидкостей (1 < Рг < 10) переходная функция расслоения ДС(7) остается качественно такой же, как и для малых чисел Прандтля (Рг < 0,1). Численные значения ДСтах и ДСст увеличиваются на 20—30% по сравнению с соответствующими значениями для маловязких жидкостей.
Конвекция и перенос примеси при синусоидальной массовой силе. В случае нестационарных микроускорений (далее всюду предполагается гармонический закон изменения во времени микроускорений я/go = a sin cot) существенно различаются два случая: среднее во времени микроускорение b равно или не равно нулю.
Рис. 4.8. Чувствительность расслоения концентрации примеси к изменении» периода колебания массовой силы для Ra = 100,6 = 1,0
а - тб = 0,05;б - 0,15; в - 0,7
Невесомость в среднем (Ь = 0). После некоторого переходного режима в этом случае устанавливается колебательный процесс с частотой со и амплитудой ДСа, которая определяется периодом вынуждающих колебаний. На рис. 4.8 в едином масштабе показано изменение амплитуды концентрационного расслоения для разных частот модуляции. При этом амплитуда микроускорений остается постоянной (Ra = 100), периоды пульсации составляют 0,05; 0,15; 0,7 (или в размерном виде для германия при диаметре ампулы 1 см соответственно 0,5; 1,5 и 7 мин, для диаметра 3 см — 5; 15 и 70 мин). При колебаниях большой частоты (Гц = 0,05; 0,15) амплитуда концентрационного расслоения невелика (до 0,1-0,2). Для низкочастотных колебаний, сравнимых с характерным временем переходного процесса для мгновенного изменения массовой силы, амплитуда концентрационного расслоения достигает значительной величины.
Существование переходного режима, которому свойственна несимметричность колебания величины концентрационного расслоения, связано со знаком первого колебания массовой силы. При этом возникает, как и в случае мгновенного приложения массовой силы, характерный максимум, или первый пик расслоения . После переходного процесса устанавливается колебательный режим по всем параметрам ф, Т, С с частотой 1/Т0.
На рис. 4.9, а показано изменение среднего по длине расслоения. Одновихревое движение имеет различное направление в зависимости от знака 127
Рис. 4.9. Изменение во времени расслоения концентрации примеси ДС при несмещенной гармонической модуляции массовой силы g/g0 (Ra = 500, Го = 0,45, 8 = 1, Pi = = 0,01)
Внизу показаны изолинии функции тока (слева) и концентрации (справа) в зонах зарождения и перестойки вихрей. 1—5 - т = 0,16; 0,231; 0,242; 0,253 и 0,32 соответственно; 6 - т = 0,2 и ДС = 0,5; 7 - 0,231 и 0,1; 5 - 0,242 и 0,3; 9 - 0,352 и 0,2; 10 - 0,44 и-0,5
массовой силы. Перестройка направления вращения вихря происходит за небольшой интервал времени после изменения знака массовой силы. Возникающая при этом трехвихревая структура показана на рис. 4.9,5 (структуры 7-5): центральный вихрь (7) ослабевает и исчезает, ’’растворяясь” в противоположно направленных боковых (2), которые в дальнейшем объединяются (3, 4) в одновихревую структуру (5). Особенности поведения примеси также определяются знаком (направлением) массовой силы.
Среднее микроускорение не равно нулю (Ь ^ 0). В этом случае для концентрации устанавливается несимметричный знакопеременный или (при 128
Рис. 4.10. Изменение во времени расслоения концентрации примеси при гармонической модуляции примеси со смещением среднего уровня (Ra = 500, Racp = 375, То = 0,7, 5 = 0,2, Рг = 0,01, сетка И X 65, т0 =0,005)
Внизу показаны изолинии функции тока (слева) и концентрации (справа) в зонах зарождения и перестройки вихрей. 1 - т = 0,18 и Ra = 745; 2 — 0,43 и —43, 3 — 0,44 И -75,8; 4 - 0,45 и -110,4; 5 - 0,67 и 72; б - 0,76 и 110
определенных значениях Ь) знакопостоянный колебательный режим (рис. 4.10,а). Возникают особенности и в структуре течения и распределения примеси. На рис. 4.10,5 показаны изолинии поля скоростей и концентрации для колебаний с амплитудой Ra = 500 относительно среднего уровня Racp = 375 при 6 = 0,2 и при периоде пульсации То = 0,7 (сетка 11 X 65 и То = 0,005).
В случае подогрева слева (положительная массовая сила) перестройка одновихревой структуры происходит по уже рассмотренной выше трехвихревой схеме (см. рис. 4.9,5, структуры 2-4). В отличие от случая
9- Зак. 13199- Зак. 1319129
9- Зак. 1319
9- Зак. 1319
Р и с. 4.11. Зависимость амплитуды колебаний расслоения установившегося режима ДС0, первого максимума ДС, и первого минимума ДС, переходного режима от периода колебаний массовой силы (Ra = 500, 6 = 1, Рг = 0,01)
Р и с. 4.12. Амплитуда установившихся колебаний расслоения, первого максимума и минимума в зависимости от периода и различных амплитуд модуляции массовой силы
Все параметры отнесены к соответствующим параметрам переходного процесса для мгновенного изменения массовой силы. 1 - Ra = 100, 2 — 500, 3 — 1000
с несмещенными колебаниями (Ь = 0) При подогреве справа (отрицательные перегрузки) перестройка движения жидкости полностью не завершается и при формировании новой структуры течения возникает четырехвихревая картина (рис. 4.10,5, структура 5). В связи с такими сложными вариантами перестройки направления движения жидкости изменение концентрационного расслоения (см. рис. 4.10, а) существенно отличается от гармонического. При этом можно выделить некоторое среднее значение расслоения примеси (интересно отметить, что среднее значение расслоения близко к стационарному расслоению переходного процесса в случае ступенчатого изменения массовой силы до уровня среднего значения модуляции перегрузки). В общем для концентрации примеси менее выражено распределение к ’’нижним” границам области при подогреве справа (отрицательные перегрузки), и возникает выраженная область концентрации примеси у ’’верхних” границ области. Этим объясняется наличие некоторого среднего уровня макросегрегации примеси.
Особенности переходного и установившегося режимов. Величины первого максимума Д^ и первого минимума ДС2 расслоения примеси характеризуют переходный режим, а амплитуда пульсации ДСа расслоения примеси — установившийся режим (см. рис. 4.8). Следует ожидать, что переходный и установившийся режимы должны определяться величиной амплитуды массовой силы (критерии Рэлея), частотой (1/Т0) и начальным распределением концентрации в области (толщина диффузионного слоя 6).
Очевидно, что между колебательными режимами при гармонической модуляции массовой силы и переходным процессом при ступенчатом ее
изменении должна существовать взаимосвязь (сравнение можно проводить в том случае, если амплитуда колебаний массовой силы и ее величина при ступенчатом изменении равны).
На рис. 4.11 показано поведение параметров ДС\ и ДС2 в зависимости от периода модуляции массовой силы. При сравнительно низких периодах модуляции То << 4ттах (То < 0,2) процесс переноса примеси не успевает развиться и расслоение не достигает величин ДСтах и Д Сст. При То > 4ттах расслоение в переходном режиме близко к величине расслоения при ступенчатом изменении (ДС) ~ ДСтах), Отметим, что параметры ДС1 и ДС2 зависят от Ra и значения 6 (см. рис. 4.5).
В поведении величины ДСв имеется существенное отличие в сравнении с переходным режимом. При частотах, близких к периоду переходного процесса для ступенчатого изменения массовой силы (То ~ 4ттах), амплитуда колебания расслоения примеси возрастает и затем уменьшается с ростом частоты (см. рис. 4.11).
Резонансные эффекты распределения примеси. Нахождение функции отклика при ступенчатом измении массовой силы (см. п. 4.2.2) позволяет выявить некоторые свойства уравнений конвекции. Можно предполагать наличие резонанса при периодах модуляции, близких к времени переходного процесса (характерному гидродинамическому времени: То * 4ттах). В то же время, зная параметры переходного процесса, можно исключить из параметрических исследований величины амплитуды и периода колебаний массовой силы. Для этого следует нормировать параметры переходных и установившихся режимов параметрами переходного процесса при мгновенном изменении массовой силы, найденными для соответствующих ее уровней.
На рис. 4.12 показаны результаты такой операции, где представлены нормированные функции ДС^ДСщах, ДС2/ДСтах и ДСй/ДСтах для граничных условий при 8=1.
Оказывается, что при слабой конвекции (Ra < 103) характеристики расслоения для переходного и установившегося режимов при колебании с амплитудой Ra = 100, нормированные к параметрам переходного процесса для Ra = 100, совпадают с нормированными подобным образом характеристиками расслоения для Ra = 500 и 1000. Использование функции отклика позволяет исключить амплитуду модуляции массовой силы.
В этом смысле нормированная система параметров не образует гравитационно-чувствительную систему. Нормированные параметрические кривые, приведенные на рис. 4.12, являются универсальными, не зависящими от амплитуды колебания в диапазоне чисел Ra < 1000 и значений чисел Рг < 0,1 при 0,05 < То < 2. Этот диапазон параметров охватывает область кристаллизации полупроводниковых материалов в условиях орбитального полета.
После проведения соответствующей ’’нормировки” другого определяющего параметра — величины начального градиента концентрации 8 — получено, что толщина диффузионного слоя перед фронтом кристаллизации 6 не оказывает влияния на нормированные величины первого максимума ДС1 и первого минимума расслоения концентрации ДС2 переходного режима (рис. 4.13,6).
Рис. 4.13. Нормированная амплитуда колебания расслоения концентрации примеси в установившемся (в) и переходном режиме (б) в зависимости от нормированного периода колебаний для различных толщин диффузионного слоя 8б: 1-5 -8 = 0; 0,25; 0,5; 0,75 и 1,0 соответственноРис. 4.13. Нормированная амплитуда колебания расслоения концентрации примеси в установившемся (в) и переходном режиме (б) в зависимости от нормированного периода колебаний для различных толщин диффузионного слоя 8б: 1-5 -8 = 0; 0,25; 0,5; 0,75 и 1,0 соответственноР ис. 4.14. Зависимости амплитуды колебаний расслоения примеси в установившемся режиме (7) и резонансного периода колебаний примеси (2) от толщины диффузионного слоя
Рис. 4.13. Нормированная амплитуда колебания расслоения концентрации примеси в установившемся (в) и переходном режиме (б) в зависимости от нормированного периода колебаний для различных толщин диффузионного слоя 8
б: 1-5 -8 = 0; 0,25; 0,5; 0,75 и 1,0 соответственно
Рис. 4.13. Нормированная амплитуда колебания расслоения концентрации примеси в установившемся (в) и переходном режиме (б) в зависимости от нормированного периода колебаний для различных толщин диффузионного слоя 8
б: 1-5 -8 = 0; 0,25; 0,5; 0,75 и 1,0 соответственно
Таким образом, переходный режим при гармонической модуляции по отношению к функциям ’’отклика” является монотонным и не зависящим от амплитуды модуляции и толщины диффузионного слоя перед фронтом кристаллизации.
Амплитуда расслоения концентрации ДСд в установившемся режиме ведет себя иначе. В этом случае градиент начальной концентрации 6 оказывает существенное влияние на величину нормированной амплитуды расслоения установившегося процесса колебаний ДС0/ДСтах (рис. 4.13,а). Для большой толщины диффузионного слоя (6 = 1) максимум амплитуды расслоения не превышает значения максимального расслоения функции отклика для соответствующего уровня. С уменьшением величины начального градиента концентрации (8 < 1) ив предельном случае (8 = 0) амплитуда установившегося колебательного процесса вблизи резонансных частот превосходит величину максимального расслоения функции отклика. В то же время амплитуды концентрационного расслое-
ния установившегося режима ДСа для вариантов 8 = 1 и О близки по абсолютной величине и достигают значения 0. На рис. 4.13,а эта зависимость для наглядности представлена в изометрической проекции. В окрестности ’’резонансной” частоты колебаний (Т0/ттах ^ 3 -г 4) возникает характерный максимум. При этом для 8 < 0,2 резонансный максимум более четко выражен и его величина превышает значения концентрационного расслоения для функции отклика (ДСа/ДСтах > 1), что указывает на резонансную интенсификацию перераспределения примеси вдоль области при гармоническом изменении массовой силы. Для 6 > 0,5 резонансный максимум и период не зависят от 8, при этом резонансный период становится равным периоду функции отклика (То = 4ттах) (рис. 4.14).
Вместе с тем следует обратить внимание на возможность уменьшения неоднородности распределения примеси, следующую из результатов, представленных на рис. 4.13, 4.14. Таким образом, нестационарные микроускорения могут быть одним из видов управляющих воздействий на процессы роста кристаллов.
Тепловая гравитационная конвекцияпри изменении микроускорений в пространстве и во времени
Влияние ускорения Кориолиса на структуру тепловой конвекции в прямоугольной области. В качестве примера исследования пространственного течения жидкости в условиях, характерных для орбитальной станции, рассмотрим стационарную задачу б тепловой конвекции, вызванной вращением. Изучается влияние ускорения Кориолиса на структуру течения в удлиненном параллелепипеде, моделирующем в некотором приближении технологическую ампулу.
Заполненный жидкостью прямоугольный объем, размерами LXHXH, вдоль которого поддерживается постоянный градиент температуры у, вращается с постоянной угловой скоростью о вокруг некоторой оси на расстоянии R от объема (рис. 4.15), где R > L. Введем систему координат Оху г, связанную с объемом. Хотя с помощью разработанной программы можно рассмотреть общую задачу при любой ориентации объема относительно оси вращения, для более отчетливого выявления роли ускорения Кориолиса предположим, что ось вращения лежит в плоскости xz и ось х составляет с осью вращения угол ^. Будем также предполагать, что параллельно этой плоскости действует некоторое постоянное ускорение п. Тогда медленную тепловую конвекцию в приближении Буссинеска можно описать во вращающейся системе координат следующей системой уравнений [54] в векторном виде:
div V = О,
ЭУ
— + (V V)V - 2(VX w) = - vp/p + у ДУ + /ЗгТ(п - «X (гХ ы)),(4.4)
ot
йТ
— * (VV)T = аДТ, at
Приведем эти уравнения к безразмерному виду, взяв за масштабы
w
Рис. 4.15. Схема расчета влияния ускорения Кориолиса на структуру тепловой конвекции в прямоугольной области
длины, времени, скорости и температуры Н, Н2}р, -уН, р/Н, тогда получим divv' = О,
Эи'/Э?' - (Ta^sin^u' = —bp'/bx' + Ди' + Grx х',
bv'/bt' + (Ta^sin^n' - (ТаУ1 cos^) w' = -bp'/by' + Ди',
bw'lbt’ — (Ta^cos<p)u' = —bp'/bz' + Aw' + Grzx',
где Ta = 4<o2H4Ip2 — число Тейлора; Grx = (w2/tsin^> + п^вчН4]p2 , Grz = (—g?R cosip + n^g-yH4^2 - соответствующие числа Грасгофа.
Введем новую безразмерную скорость (и, и, w) = (и1, и1, w')/Grz и новое давление р = (р' — Grxx'2/2)/Grz , тогда получим
divv= О,
bujbt* - (Ta^sin^u = -bp/Ьх' + Ди,
bv/bt' + (Ta^sin^u - (Ta^cos^w = —bplby'+ Ди,(4.5)
bw/bt’ — (Ta^cos<p)u = —bplbz* + Aw + x', T* = x'.
Составляющие центробежного ускорения и ускорения п вдоль оси х не входят в уравнения (4.5) и не оказывают влияния на течение, что связано с введенным предположением о том, что градиент температуры постоянен и направлен вдоль оси х (медленное течение или малые числа Прандтля).
Если число Тейлора мало, то решение уравнений (4.5) не зависит ни от Та, ни от tp. Тогда, например, размерный вектор скорости просто связан с параметрами задачи:
N=u0(x* ,у', z',t")(nz -w2Rcos^p)P'yH3lp ,
134
где и0 определяется только формой области. При увеличении числа Тейлора можно найти такое его значение, когда и начнет заметно отличаться от Do, т.е. ускорение Кориолиса будет изменять структуру течения.
Численное решение системы уравнений (4.5) было получено на сетке 20 X 10 X 10 при следующих значениях безразмерных параметров: 9? = 0,8, размер объема 4X1X1, Та = О-НО4. Когда число Тейлора равно нулю, течение представляет собой одновихревое движение, симметричное относительно плоскости у = 0,5. Увеличение числа Тейлора приводит к потере симметрии течения и уменьшению его безразмерной интенсивности. На рис. 4.16 показаны зависимости кинетической энергии движения и некоторых локальных характеристик от числа Тейлора. Из этих рисунков можно сделать вывод о том, что влияние ускорения Кориолиса начинает сказываться при Тай = 60.
В табл. 4.1 приведены значения квадратного корня из числа Тейлора для характерных материалов, размеров и угловых скоростей вращения (4 -10~3 °/с — угловая скорость вращения Земли; 0,04 — угловая скорость обращения станции вокруг Земли; 0,4 °/с — угловая скорость вращения станции ’’Салют” вокруг продольной оси [152]; 4 °/с - быстрая ’’закрутка”, сравнимая с движением секундной стрелки).
Из таблицы видно, что ’’более чувствительным” к ускорению Кориолиса будет металлический расплав. При реальных скоростях вращения станции (0,4 °/с) ускорение Кориолиса нужно принимать во внимание при анализе структуры движений, возникающих в металлическом расплаве или воде.
Тепловая гравитационная конвекция в кубическом объеме под действием переменных во времени и в пространстве микроускорений. В заключение этой главы рассмотрим результаты численных расчетов пространственной нестационарной тепловой конвекции под действием переменных микроускорений, действующих по всем трем осям. Исходные данные для этого случая взяты из работы [152], где микроускорения
Таблица 4.1
cu, ° /с
H, cm
Ta
Расплав
|Вода
Воздух
4- IO"3
1
0,14
0,014
0,0014
3
1,4
0,14
0,014
10
14
1,4
0,14
0,04
1
1,4
0,14
0,014
3
14
1,4
0,14
10
140
1,4
1,4
0,4
1
14
1,4
0,14
3
140
14
1,4
10
1400
140
14
4
1
140
14
1,4
3
1400
140
144
10
14000
1400
140
рассчитываются по методике, использующей показания датчиков, измеряющих напряженность магнитного поля Земли и вектор положения Солнца во время полета станций типа "Салют”,
Стационарная пространственная конвекция. Прежде чем приступать к реализации упомянутой общей постановки, рассмотрим вначале пространственную задачу конвекции с постоянным микроускорением, используя ее результаты в качестве точки отсчета.
Рассматривается тепловая гравитационная конвекция в кубическом объеме, заполненном жидкостью или газом, температура которого однородна и равна То. Все грани этого куба, за исключением одной, теплоизолированы. В начальный момент времени к грани z = О подводится постоянный во времени и равномерный поток тепла q (рис. 4.17). По мере прогрева жидкости вдоль оси z, нормальной к нагревателю, создается температурная неоднородность. Если массовая сила равна нулю, то тепловая конвекция отсутствует (режим теплопроводности) и температура однородна в плоскостях, перпендикулярных оси z. При появлении массовой силы с составляющей в плоскости ху в этой плоскости возникает неоднородность температуры в направлении проекции вектора ускорения на плоскость ху. Величина этой неоднородности зависит от величины микроускорения и, как показано в [133], может достигать максимального значения при определенном числе Рэлея. Отметим, что в отличие от двумерного случая, рассмотренного в гл. 2, здесь имеются разности температуры в направлении, перпендикулярном вектору ускорения, которые, однако, значительно меньше.
Безразмерные уравнения движения и теплообмена для этого случая имеют вид
divv = 0, dv/d? + (vV)v = —Vp + Pr(Av + Ra*0e),
d0/dr + (vV)0 = A0 , (4.6)
где 0 = (У — Уо) / (<7Я/Х) — безразмерная температура; Ra* = g^X X (qH/X)H3/(pa) - модифицированное число Рзлея.
Начальные условия: 0 = v = О,
Граничные условия: v = 90/ди = 0 везде, кроме z = О, где 90/9z = 1,
Система уравнений (4.6) решалась разностным методом. Использовалась сетка 10 X 10 X 10. Диапазон параметров: Рг > 0,1 и Ra* < 104.
Рассмотрим квазистационарный режим прогрева, который характери-
не зависят от времени. Этот режим достигается (при Ra* < Ю4), когда с момента начала прогрева прошла примерно единица безразмерного времени. В случае режима теплопроводности температурное поле одномерно и максимальная разность температур (между нагревателем и противоположной гранью) равна 0,5. Будем искать зависимость разности температур Д0 между центрами теплоизолированных граней, расположенных по нормали к вектору ускорения g, от чисел Рэлея Ra* и Прандтля Рг.
В результате расчетов в указанном диапазоне параметров была получена единая кривая Д0 = ДКа*), не зависящая от числа Прандтля (см. рис. 2.7). В области чисел Ra < 103 зто линейная зависимость Д0 = 1,7 X X 10"3Ra*, или в размерном виде ДТ = 1,7 • 10'3 [|3/(^а)] (^Я/Х)2Я3^. Разность температур в области должна быть ограничена некоторой величиной Гкип — То. Так как в безразмерном виде эта величина не может быть больше 0,5, т.е. (Ткип - То)/(^///Х) = 0,5, то, подставляя вместо qH(\ в приведенную выше формулу Ткип - То, получим ДГ = 1,7 • Ю'3 X Х4[0/(^)](ТКИП-ГО)2//3^.
Ниже приведены значения ^/(va) и Ткип - То для некоторых жидкостей, воздуха (для То = 20 °C) и жидкого металла, откуда видны преимущества использования ацетона и спирта (в опытах выбран спирт как более безопасная жидкость).
Вещество
Ацетон
Спирт
Воде
Воздух
Металл
0Куа)> с3/(см2 • °C)
400
60
10
0,3
2
УУ °C'
1 кип ” 2 о» v
35
58
80
200
200
(Р/^вК^ип - Гд)2, с1 • °С/см2
4 • 10s
2 • 105
6Ю4
104
8 • 104
Рассмотрим, например, диапазон чувствительности кубического объема с ребром 10 см, заполненного спиртом, на нагреватель которого подается поток мощностью 200 Вт/м2. Зависимость температурного расслоения (в °C) вдоль направления действия микроускорения от величины перегрузки gjg0 показана на рис. 4.18. Видно, что расслоение от 1 до 20 °C можно получить (и измерить) в диапазоне перегрузок от 2 • 10-7 до 4 • 10'6. Увеличивая поток тепла и уменьшая размеры объема, можно изменить измеряемый диапазон микроускорений в сторону больших перегрузок.
Конвекция при наличии пространственно-временного изменения микроускорений. Приведенные в гл. 1 модели и данные дают общую характеристику возможного поля микроускорений на орбитальной станции. Например, чтобы рассчитать движение жидкости в замкнутом объеме или расплава в технологической ампуле в условиях конкретного полета станции, в правой части уравнения (4.1) необходимо задать конкретную зависимость величины и направления вектора ускорения g от времени, а также зависимость от времени вектора угловой скорости станции Са. Получить эти зависимости по моделям, аналогичным представленным в гл. 1, т.е. рассматривая эти зависимости как результаты решения задачи нахождения движения конкретного космического аппарата под действием реальных возмущающих сил, в настоящее время затруднительно. С другой стороны, как показывают результаты акселерометрических измерений [65], трудно в течение длительного технологического процесса непосредственно измерить величину и направление вектора микроускорения, особенно его малоамплитудную длиннопериодическую или стационарную составляющие.
В работах [152, 153], уже упомянутых в гл. 1, предложен другой путь определения микроускорения и угловых скоростей, возникающих на орбитальной станции в реальном полете, — расчет угловых скоростей станции по показаниям датчиков, которые измеряют напряженность магнитного поля Земли и вектор положения Солнца, а затем на основе этих результатов вычисляются микроускорения в нужном месте станции с учетом приближенной модели, описывающей аэродинамическое торможение станции в атмосфере Земли.
В системе координат Oxyz, жестко связанной с орбитальной станцией, вектор микроускорения g в некоторой точке станции с координатами r = (ri, г2, гз) можно представить в виде [152]
g=rXca + (wXr)X w + wg(3R(R-r)/lRl2 -r)*bpa IVlV,
где о — абсолютная угловая скорость станции; о>0 — угловая скорость орбитального движения относительно центра Земли; R — радиус-вектор центра масс станции относительно центра Земли; b - баллистический коэффициент; ра - плотность атмосферы, V - абсолютная скорость центра масс станции. Подставляя это выражение в правую часть общей системы уравнений (4.1), где n = g + г X d> + й> X (г X со), а со — в выражение для ускорения Кориолиса, можно, зная граничные и начальные условия для температуры и скорости, определить движение жидкости и тепломассообмен, обусловленные движением станции по орбите.
Рассмотрим несколько упрощенный вариант движения станции ’’Салют”, которое наблюдалось в реальном полете и было разобрано в [152].
Станция находится в режиме гравитационной ориентации и, кроме 138
Случай /
Р и с. 4.18. Положение объема (в), зависимости ускорения (б) и температурного расслоения (в) от времени для разных случаев движения станции и ориентации д нагревателя
Случай 3Случай 3Случай г
Случай 3
Случай 3
того, вращается относительно своей большей оси с периодом примерно 20 мин. Ускорение, вызванное аэродинамическим торможением, равно 7,26 • 10-6 м/с5. Предполагается, что кубический сосуд, заполненный спиртом, находится в точке с координатами г = (2,5 м; 1,6 м; 0) относительно орбитальной системы координат, причем были рассмотрены два случая, отличающиеся ориентацией нагревателя. В третьем случае вращения станции относительно большой оси нет.
На рис. 4.18,а показано положение объема относительно станции в двух проекциях: в плоскости орбиты и по нормали к ней. На рис. 4.18,6 дана величина перегрузки gjgti в зависимости от времени для различных направлений. В некоторый момент времени включается нагреватель, плотность теплового потока которого равна 180 Вт/мг (начальная температура жидкости равна 20°C). На рис. 4.18,в показаны изменения во времени перепадов температур между центрами противоположных граней объема, причем Z\Tz - это перепад в направлении, нормальном к поверхности нагревателя. Стрелкой отмечен момент времени отключения нагревателя, когда максимальная температура на нем достигает температуры кипения (Ткип = 78 С). В режиме теплопроводности очевидно, что ДТ^ = = ДТ^ = 0. Таким образом, в случае 1 в направлениях действия микроускорений возникают значительные перепады температур, величина которых вдоль различных осей примерно соответствует величине действующих в направлении данных осей микроускорений.
В случае 2, показанном на рис. 4.18, результаты получены для того же самого движения станции, но объем с жидкостью, находясь в той же самой точке станции, имеет другую ориентацию. Теперь ’’основное” микроускорение действует по нормали к нагревателю, причем его направление соот- BeicTBvei устойчивой стратификации. При этом перепад температур вдоль оси у определяется постоянным микроускорением, обусловленным разностью градиента гравитации и центробежной силы, причем величина этого перепада оказалась примерно равной величине Д Ту для случая 1, хотя другие разности температур существенно отличаются друг от друга, в общем характеризуя действующее в данном направлении микроускорение. Интересно отметить, что перепад в направлении оси х в случае 2 испытывает малоамплитудные (примерно 1 °C) колебания, соответствующие изменению микроускорения, действующего в направлении этой оси. Наконец, в случае 3 на рис. 4.18 приведены результаты в отсутствие вращения станции вокруг большой оси. При этом вдоль оси х действует сила аэродинамического торможения, в направлении оси у — равнодействующая градиента гравитации и центробежной силы, в направлении z ускорение равно нулю. Таким образом, можно сделать вывод о том, что перепады температур в соответствующих направлениях определяются действующими в данных направлениях микроускорениями. Чувствительность температурного поля для рассмотренного диапазона изменения микроускорений довольно высока. Например, перегрузке 7 • 10-7 соответствует перепад температур больше 10 °C, что достаточно просто измерить в условиях полета.
Заклюительные замечания
Таким образом, результаты параметрических исследований, выполненных на основе двумерной модели при изменении микроускорений во времени, показывают, что в условиях невесомости, типичных для орбитального полета, существует резко выраженная чувствительность к темпу и величине изменения остаточных сил.
Рассмотрение пространственных эффектов на основе трехмерной модели показывает, что в случае действия сил Кориолиса также имеет место высокая гравитационная чувствительность конвективных течений, в особенности для случая расплавов металлов. Исходя из установленного в этой главе численного значения критерия, при котором влияние силы Кориолиса мало (Та% < 100), следует, что при характерном размере 3 см роль пространственных эффектов для реальных случаев вращения орбитальной станции может быть существенна. Рассмотрение трехмерной модели конвекции в случае общего пространственно-временного изменения микроускорения показывает, что основной вклад в температурное расслоение в некотором направлении вносит микроускорение, действующее в указанном направлении, причем высокая гравитационная чувствительность в этом случае дает принципиальную возможность регистрировать пространственно-временное изменение микроускорений по измерениям перепадов температур в полете орбитальной станции.
Реализация новых возможностей, открывающихся при исследовании пространственно-временного изменения микроускорений, требует более полного изучения многопараметрической нестационарной системы, описывающей гидродинамические процессы в невесомости, где сделаны только первые шаги. Не меньшее значение имеет построение более полных моделей микроускорений и проверка их адекватности путем сравнения с результатами измерений в контролируемых условиях.
Часть III
КОНВЕКТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В МОДЕЛЯХ ВЫРАЩИВАНИЯ КРИСТАЛЛОВИ РАЗДЕЛЕНИЯ ВЕЩЕСТВ В НЕВЕСОМОСТИ
В связи с постановкой многочисленных технологических экспериментов в невесомости важное значение приобретает их теоретический анализ и интерпретация. Важный шаг в этом направлении может быть сделан с помощью моделей общего назначения (определение относительной роли отдельных составляющих процессов переноса и установление в итоге ведущего механизма, предварительные оценки макро- и микронеоднород- ностей и т.д.). Однако опыт анализа таких моделей показывает необходимость более полного учета особенностей каждого технологического процесса и на этой основе анализа характеристик, которые играют роль гидродинамических ’’критериев качества”. В этой части монографии мы рассмотрим модели трех типичных технологических процессов, которые были практически реализованы в условиях орбитального полета и в которых учет особенностей различных видов гравитационной конвекции играет решающую роль.
Во всех трех случаях делается попытка в результате детальных параметрических исследований не только установить различие в протекании соответствующего процесса в земных условиях и в условиях невесомости, но и выяснить возможности других, альтернативных невесомости управляющих воздействий на ведущий механизм конвективного переноса. Следует отметить, что реальные процессы отличаются значительной сложностью, в связи с чем все рассмотренные здесь модели этих процессов не могут претендовать на полную адекватность, поэтому получаемые с помощью таких моделей выводы требуют экспериментальной проверки. Но эти модели, по-видимому, с достаточной степенью точности учитывают относительный вклад конвективной составляющей и могут указать рациональный путь улучшения технологий получения материалов.
Глава 5
НАПРАВЛЕННАЯ КРИСТАЛЛИЗАЦИЯ В АМПУЛЕ
Метод направленной кристаллизации в ампуле, относящийся к классу методов выращивания объемных кристаллов из расплава, был одним из первых методов, реализованных в условиях полета на орбитальных станциях ’’Скайлэб”, ’’Союз—Аполлон”, ’’Салют” (см., например, [1, 75—78, 123, 164, 165, 193, 292, 293]). Разработчики большинства из этих экспериментов рассчитывали улучшить однородность распределения примесей за счет подавления всех гравитационных видов конвекции, в связи с чем процесс переноса примесей должен был бы иметь диффузионный характер. 142
Однако большинство опубликованных результатов свидетельствуют о наличии как макро-, так и микронеоднородностей распределения легирующих примесей, которые никак не объясняются диффузионным механизмом переноса. В связи с этим была предпринята разработка математических моделей для анализа и интерпретации данных такого типа экспериментов. Было установлено, что аналогичные модели процессов переноса при выращивании кристаллов в земных условиях также неудовлетворительны, причем стало ясно, что построение адекватных моделей представляет крайне трудную проблему как в связи со сложностью внутренней структуры процессов конвективного переноса в расплавах, так и в связи с тем, что эти процессы весьма чувствительны к множеству других факторов, связанных со спецификой метода роста.
В данной главе соединены отдельные этапы более чем десятилетней разработки математической модели конвекции в методе направленной кристаллизации в ампуле [115, 116, 137, 140, 161, 253—256]. Эта часть работы велась в тесной связи с рассмотренными в гл. 2, 3 многопараметрическими исследованиями закономерностей конвективных процессов на моделях общего назначения. Как и в гл. 2, рассматривается модель, в которой за основу взят метод горизонтальной направленной кристаллизации при использовании угла наклона ф в качестве параметра в отличие от модели метода вертикальной направленной кристаллизации, разрабатываемой большой группой авторов (см., например, [36, 179, 210, 234]).
Модифицировав модель, удалось провести более полный параметрический анализ эффекта поперечной макронеоднородности, расширив диапазон чисел Рэлея и скорости движения фронта кристаллизации и распространив результаты на случаи различного наклона ампулы по отношению к вектору микроускорения. Это позволяет получить технологическую ’’карту режимов”, на которой, в частности, найдено положение линии максимума поперечной неоднородности и даны границы областей заданной неоднородности. На основе такой карты можно провести сравнение преимуществ и недостатков выращивания в невесомости объемных монокристаллов методом направленной кристаллизации.
Математическая модель конвекциии переноса примеси в ампулес движущимся фронтом кристаллизации
Предполагается, что перед началом кристаллизации расплав занимает плоскую прямоугольную область длиной L и высотой Н (рис. 5.1). Вдоль оси х задан градиент температуры у, так что правая граница области (х = £) имеет температуру кристаллизации Гк, а левая граница (х = 0) — температуру Тх =ТК —'yL (у - отрицательно). На горизонтальных границах (^=0, у=Н) поддерживается постоянный градиент температуры: Т=ТК = = у (i — х). В поле слабых массовых сил с постоянным ускорением g в расплаве устанавливается стационарная тепловая гравитационная конвекция. В случае, если расплав на части горизонтальной границы имеет свободную поверхность длиной st (расплав частично не смачивает стенку ампулы), возникает термокапиллярная конвекция, вызванная градиентом сил по-
Рис. 5.1. Схема метода направленной кристаллизации и картина течения в расплаве (в) и зависимость интенсивности движения от размеров области, занятой расплавом (б)
верхностного натяжения. Предполагается однородное начальное распределение примеси концентрации с0 в расплаве.
В момент времени t = 0 начинается направленная кристаллизация расплава: плоский фронт кристаллизации движется справа налево с постоянной скоростью Ку, причем s — длина области, занятой расплавом, уменьшается: s = L + V^t (Vf - отрицательна). Температура на фронте кристаллизации (х = s) поддерживается постоянной и равной Гк, на левой границе температура понижается по закону Ti=TK— ys, на горизонтальных границах поддерживается постоянный градиент температуры: Т = = ТК — у (s — х). Примесь, которая до начала кристаллизации была равномерно распределена в расплаве, в зависимости от величины равновесного коэффициента распределения к оттесняется (к< 1) или захватывается (к > 1) кристаллом.
Для описания движения и распределения примеси в расплаве используются уравнения конвективного тепломассообмена в приближении Буссинеска. Эти уравнения в безразмерных переменных вихрь си', функция тока ф', температура 6', концентрация с в декартовой системе координат (х', У) имеют следующий вид:
Эсо'
Э/
1
Т2
+ («'
Эх'2
, У Эш’
-НуХ)— ;
7 s' Эх
э2ф' ,
+ - = со ,
Эу 2
, Эш’ + и = Эу'
1 s'2
Э2ш'
Эх'2
Э2ш1
- +— + Gr —
Эу 2s'
Э0'
Эх' ’
(5.1)
(5-2)
Э0’ df
+ (и
, , 1 96' s Эх
,Э9' ■ + и —- Эу
1
" Рг
1
ЛТ2
Э20'Э20'
Эх'2 Эу'2 Л
(5-3)
Эс'
+ («'-
, , 1 Эс'
- иГх )— тт s Эх
Эс'
+ и—, = Эу
1
1 /
д2с ^с*
(5-4)
ЭК
Sc
х '2
S 2
Эх'2 Эу'2^
t и =
аФ1 а/ ’
, 1 Эф' ° s' Эх' ’
^(Г-Гк)^.
(5-5)
Здесь Н, H2/v, v/H, уН, с0 приняты за масштабы длины, времени, скорости,
температуры и концентрации соответственно и сделана замена переменных: х = x/s,y = yiH, t =vtjH, переводящая область с движущейся границей (0<х<$(г),0<у<Я) в область с неподвижной границей (0 < х’ < <1,о<У< 1).
Начальные условия: установившийся режим конвекции; однородный расплав: с' = с/с0 = 1; длина области, занятой расплавом, $о = ЦН.
При t =0 начинается движение фронта кристаллизации с постоянной
скоростью и^ - VfH/v и оттеснение или захват примеси кристаллом. Граничные условия имеют вид
х* = 0, 0 <у* < 1: 9 =$', 9с'19х' = 0, ф' = дф'/Эх' = 0;(5.6)
х' = 1, 0 <у* < 1: 9=0, dc'fox' = — Scs'v}(l — k) с',
ф* = аф*!йх =0;(5.7)
у' = 1, 0 <х'< 1: 9 =s'(l -х*), dc'ldy' = 0, ф' = 9ф'1йу' =0;(5.8)
У = 0, dc'/dy = O, 0 = s'(l -х'), 0<х'< 1 -s'1/s': ф'= дф'^у1 = 0;
\ -$\1$'<х <1; ф'=0, w'=(l/s')Md9/dx',(5.9)
где при У Ф 0 и М + 0 учитывается термокапиллярная конвекция.
Безразмерные параметры, определяющие решение поставленной задачи: Gr =g0yH4/v2 - число Грасгофа (или число Рзлея Ra = Gr Pr), Рг = vja - число Прантдля; Sc = v/D - число Шмидта; М= (Эа/ЭТ)?#2/^2) - аналог числа Марангони; Vf=VfH/u — скорость кристаллизации; к — равновесный коэффициент распределения примеси; Sq = L[H — начальное удлинение области; s{ — длина свободной поверхности; v,a,D, 0, о —
коэффициенты кинематической вязкости, температуропроводности, диффузии, объемного температурного расширения, поверхностного натяжения; р — плотность жидкости.
Сформулированная модель направленной кристаллизации основана на предположениях (плоский фронт кристаллизации, постоянный коэффициент распределения примеси, постоянные физические свойства расплава, граничные условия для температуры), которые сравнительно редко выполняются на практике. Однако эта модель позволяет исследовать влияние различных видов естественной конвекции на распределение примеси, что является основной целью настоящей работы.
Расчеты проведены для направленной кристаллизации полупроводниковых материалов при следующих значениях параметров: $о = 4, s) = 0,5, Рг=0,01 (расплав полупроводникового материала), Gr = 0, 10, 102, 103, 104 (что соответствует для характерного размера 1 см и градиента температуры 10°С/см перегрузкам g/g0 =0, 10“5, 10“4, 10~3 и 10-2), Sc =10 (примесь кремния или галлия в германии) и 20 (примесь сурьмы в германии), и} = 0,2 и 0,5 (1 и 2,5 см/ч), к = 10~3 (сурьма), 0,087 (галлий), 2,5 (кремний), М = 102.
Приведенные выше уравнения решались по методике и комплексу программ, разработанных в Институте проблем механики АН СССР и подробно описанных в [134]. Ипользоваяы неявная схема метода переменных направлений и явная схема. Расчеты проведены на равномерной (41 X11) и неравномерной (49 X 23) сетках. Точность результатов оценивалась сравнением с частным аналитическим решением Тиллера (см., напри-
14514510. Зак. 1319
145
145
мер, [82]) и проверкой сохранения массы примеси и находилась в пределах 10%. Так как GrPr и МРг меньше 1000, то движение в расплаве слабо влияет на поле температуры, поэтому предполагалось, что решение уравнения теплопереноса (5.3) в расплаве имеет вид 6 = s’(1 -х').
Структура конвекции и поля концентрации.Продольная и поперечная неоднородностираспределения примем в кристалле
Тепловая гравитационная конвекция при постоянном продольном градиенте температур. Рассмотрим влияние слабой тепловой конвекции (Gr=10,102,103)на распределение примеси галлия (к = 0,087, Sc = 10) в расплаве и кристалле в процессе направленной кристаллизации германия со скоростью и^ = 0,2. Для характерного размера 1 см эти безразмерные параметры соответствуют перегрузкам на орбитальной станцииg/g0 = 10-5, 10~4, Ю“3 и скорости кристаллизации 1 см/ч. Предполагается, что термокапиллярная конвекция отсутствует (st = 0, М = 0).
На рис. 5.2,д показаны изолинии концентрации примеси в кристалле
Рис. 5.2. Изолинии концентрации примеси в расплаве (слева) и в кристалле (справа) для Gr = 0 (д) и Gr = 100 в различные моменты времени (б-г) при Sc = 10, к = 0,087, vjr= 0,2
(справа) и расплаве (слева) в случае полной невесомости (Gr = 0), когда закристаллизовалась 1/4 часть расплава ($' = 3). В результате частичного оттеснения примеси кристаллом в расплаве и кристалле возникает градиент концентрации примеси по нормали к фронту (нормальная макросегрегация) . Поперечная (вдоль фронта) неоднородность в распределении примеси для этого случая отсутствует. На рис. 5.2,6—г показаны распределения примеси в случае тепловой конвекции (Gr= 102) для трех последовательных моментов времени в процессе кристаллизации (s' = 3 (6), 2 (в), 0,5 (г)). Конвекция заметно перераспределила примесь; возникла поперечная макросегрегация. Течение в расплаве привело к распределению примеси, показанному на рис. 5.2. Это одновихревое движение, интенсивность которого остается практически постоянной, пока s' >2 (см. рис. 5.1,6). Постоянство интенсивности движения в расплаве в процессе кристаллизации до s' = 2 объясняет неизменность структуры поля концентрации примеси в расплаве у фронта кристаллизации (рис. 5.2,6,в); возникает квазистационарный концентрационный пограничный слой.
Рис. 5.3 иллюстрирует влияние интенсивности тепловой конвекции в расплаве на распределение примеси при различных микроускорениях. При Gr = 10 и 100 происходит лишь перераспределение примеси без существенного изменения толщины концентрационного пограничного слоя у фронта кристаллизации, а при Gr = 103 толщина концентрационного слоя значительно уменьшается.
На рис. 5.4 показаны усредненные по у нормальные распределения концентрации примеси в кристалле (z' = (L — X) IL — координата, отсчитываемая от начала кристалла в направлении, противоположном оси х):
^(z) = /c;(z, y')dy'. о
Кривая 2 представляет собой аналитическое решение Тиллера для случая одномерной направленной кристаллизации полубесконечного слитка. Кривая 1 соответствует численному решению по данной модели для ограниченного слитка, если в расплаве отсутствует конвекция. Решение хорошо согласуется с аналитическим, пока не начинает сказываться ограниченность кристаллизующейся области. Кривые 3 и 4 соответствуют Gr = 102 и 103, а кривая 5 представляет решение для случая полного перемешивания в расплаве или бесконечно малой скорости кристаллизации: ^ = = k(l — z)k-1 для к = 0,087. Как видно, с увеличением интенсивности перемешивания, т.е. с возрастанием числа Gr, кривые нормального распределения приближаются к кривой полного перемешивания 5.
В экспериментах по направленной кристаллизации получают кривые нормального распределения (аналогичные кривым 3, 4), по которым определяют эффективный коэффициент распределения примеси
^эф _ Cs^-L«
где cL - средняя концентрация примеси в расплаве. По кривым 3, 4, как и в эксперименте, можно определить ’’методом начальной точки” [82] эффективный коэффициент распределения: кЭф=0,2 (Gr=102) и 0,12 (Gr = 103) (см. рис. 5.3, штриховые линии). Далее, по модели Бартона- Прима-Слихтера (БПС) [176], зная &3ф, можно найти толщину диффу-
147
а/ / /)
1,561 Ь,92
1
1 vx/Z/Ov/ 0,3,3 VaZvy/ '/ 6%7/0,351VVzXt/X// Z/ vA////y/ZY//9v/0.«8// / // 0.389//%///XZ//Y/A// '
Ж, 1,163' Ж
Рис. 5.3. Изолинии концентрации примеси для чисел Грасгофа Gr = 10 (л), 100 (6), 1000 (в) при Sc = 10, к = 0,087, «у= 0,2Рис. 5.3. Изолинии концентрации примеси для чисел Грасгофа Gr = 10 (л), 100 (6), 1000 (в) при Sc = 10, к = 0,087, «у= 0,2О 0,2 ОЛ 0,6 0,8 zО 0,2 ОЛ 0,6 0,8 z
Рис. 5.3. Изолинии концентрации примеси для чисел Грасгофа Gr = 10 (л), 100 (6), 1000 (в) при Sc = 10, к = 0,087, «у= 0,2
Рис. 5.3. Изолинии концентрации примеси для чисел Грасгофа Gr = 10 (л), 100 (6), 1000 (в) при Sc = 10, к = 0,087, «у= 0,2
О 0,2 ОЛ 0,6 0,8 z
О 0,2 ОЛ 0,6 0,8 z
Рис. 5.4. Нормальное распределение примеси для Sc = 10, к = 0,087, vj= 0,2
1 — Gr = 0, 2 — данные Тиллера (см. [82]), 3 — Gr = 100, 4 - Gr = 10s, 5 — полное перемешивание
знойного слоя 6, которая входит в модель БПС как неизвестный параметр:
lg (1 /^эф - 1) = 1g(1/^ - 1) - 0,434 и} 6 Sc.
Отсюда получаем 6=0,5 (Gr=102) и 6=0,2 (Gr = 103). Границы таким образом определенных пограничных слоев нанесены на рис. 5.3 (штриховые линии). Как видно, толщина пограничного слоя, определенная по модели БПС, хорошо совпадает с ’’наблюдаемой”.
Рис. 5.5 иллюстрирует зависимость локальной концентрации примеси от расстояния вдоль кристалла для различных чисел Грасгофа. При слабом движении в расплаве (Gr = 10, кривые 7) и в случае сравнительно интенсивного перемешивания (Gr=103, кривые 3) поперечная неоднородность в распределении примеси (Дс' = с'(у' = 0) — с' (у' = 1)) меньше, чем для Gr = 102 (кривые 2), т.е. величина Дс' достигает максимального значения для некоторой интенсивности движения в расплаве, как и в случае модели, не учитывающей движения фронта кристаллизации (см. гл. 2).
Р и с. 5.5. Локальное распределение примеси
Сплошные кривые - у' = 0, штриховые - / = 1. 1 - Gr = 10, 2 - 100, 3 - 10s
Рис. 5.6. Схема расчетной области (о) и профиль температуры, задаваемый на горизонтальных стенках (б), в модели направленной кристаллизации
Рис. 5.7. Изотермы и изолинии функции тока в горизонтальном слое с профилем температуры на горизонтальных стенках, изображенным на рис. 5.6 (Ra = 2 • 10s, Рг = 0,01, Z/Я = 10, иу = 0)а — твердая верхняя граница, б — свободная верхняя границаРис. 5.7. Изотермы и изолинии функции тока в горизонтальном слое с профилем температуры на горизонтальных стенках, изображенным на рис. 5.6 (Ra = 2 • 10s, Рг = 0,01, Z/Я = 10, иу = 0)а — твердая верхняя граница, б — свободная верхняя граница
Рис. 5.7. Изотермы и изолинии функции тока в горизонтальном слое с профилем температуры на горизонтальных стенках, изображенным на рис. 5.6 (Ra = 2 • 10s, Рг = 0,01, Z/Я = 10, иу = 0)
а — твердая верхняя граница, б — свободная верхняя граница
Рис. 5.7. Изотермы и изолинии функции тока в горизонтальном слое с профилем температуры на горизонтальных стенках, изображенным на рис. 5.6 (Ra = 2 • 10s, Рг = 0,01, Z/Я = 10, иу = 0)
а — твердая верхняя граница, б — свободная верхняя граница
Тепловая гравитационная конвекция при кусочно-линейном распределении температур. Этот случай, более близко соответствующий реальным условиям роста кристаллов в горизонтальной ампуле (рис. 5.6), рассматривался при следующих параметрах: Ra = GrPr = 2 • 103, Рг = 0,01, So =Ю, Sc = 25, к = 0,14, Uy = 0,2. В качестве начальных данных использовались стационарные поля для вихря, функции тока и температуры, соответствующие установившемуся режиму конвекции с однородным рас-
Рис. 5.8. Распределения функции тока в среднем сечении в горизонтальном слое (у' = 0,5) с профилем температуры на горизонтальных стенках, изображенным на рис. 5.5 (Ra = 2 • 10*, Рг = 0,01, L/H = 10, "/= 0)
1 — все границы слоя твердые, 2 — верхняя граница свободная
пределением примеси с = с/с0 = 1 (здесь с0 — масштаб и размерное начальное значение концентрации).
Расчеты проводились на сетках 33X33,33X52,21 X101,33X101, 33X201 с помощью комплекса, описанного в [134], и комплекса программ ’’МАРЕНА” (см. приложение 3), что позволило существенно сократить время расчета в удлиненных слоях при малых числах Рзлея.
На рис. 5.7 представлены изотермы и изолинии функции тока установившегося конвективного течения, имеющего место перед началом кристаллизации (и} = 0). Следует отметить, что при наличии ’’полки” и градиентного участка в профиле температуры i?(x), задаваемой на горизонтальных границах (см. рис. 5.6), жидкость вовлекается в конвективное движение только у правого торца слоя, где температура на горизонтальной границе изменяется по . длине слоя (градиентный участок), и при указанных выше параметрах практически находится в покое в глубине слоя, где температура на границах по длине слоя имеет постоянное значение (температурная ’’полка”).
В случае, если верхняя граница в горизонтальном слое свободна, на ней отсутствует трение, и граничное условие для вихря может быть записано в виде (5.9), однако термокапиллярная конвекция в данном случае не рассматривается (М = 0).
На рис. 5.7,6 изображены изотермы и изолинии функции тока установившегося конвективного течения в горизонтальном слое со свободной верхней (у' = 1) границей. Как видно из рис. 5.7,6, структура основного течения перестает быть одновихревой, функция тока имеет два максимума, и около свободной границы возникает слабое вторичное течение. Сказанное поясняет рис. 5.8, на котором представлены распределения функции тока в среднем продольном сечении (У = 0,5) для слоя с твердыми стенками и со свободной верхней границей. При наличии свободной верхней границы максимальное значение функции тока возрастает и максимум сдвигается ближе к торцу по сравнению с течением в слое с твердой верхней стенкой.
На рис. 5.9 для разных моментов времени представлены изолинии функции тока, изотермы и линии равной концентрации в горизонтальном слое с твердыми стенками при движении плоского фронта кристаллизации справа налево с безразмерной скоростью Uy = 0,2. После начала кристаллизации первоначальное однородное распределение концентрации перераспределяется конвективным течением, у фронта кристаллизации образуется тонкий концентрационный пограничный слой, примесь оттесняется фронтом кристаллизации, поскольку равновесный коэффициент распределения примеси меньше единицы.
Распределение примеси в расплаве и кристалле в трех продольных сечениях в зависимости от продольной координаты х в момент времени t* = 10 показано на рис. 5.10 (кривые 1-ЗУ Эти зависимости показывают наличие поперечной неоднородности в распределении примеси. На рис. 5.10 показано также продольное распределение поперечной неоднородности (Дс'=с'(у'=0) — с'(У = 1)) в расплаве и кристалле в момент времени z' = 10 (кривая 4). Видно, что поперечная неоднородность концентрации в расплаве имеет два максимальных значения, одно из которых находится у фронта кристаллизации, а второе — в центральной части слоя. В кристалле
Рис. 5.10. Продольное распределение концентрации кремния в расплаве и кристалле арсенида галлия в трех сечениях (1-5) и разности концентрации между горизонтальными стенками в расплаве и кристалле (4) в момент времени t' = 10 (Ra = 2 • 10s, Pr = 0,01, Sc = 26, L,H = 10, к = 0,14, y = 0,2)
1 - у' = 0, 2 - 0,5, 3 - 1
Р и с. 5.11. Распределение концентрации кремния в кристалле арсенида геллия пре Ra = 2 • 10’, Рг = 0,01, Sc = 26, Л/Я= 10, * = 0,14, iy= 0,2
1 — расчет, 2 — зависимость (5.10)
поперечная неоднородность меньше, чем в расплаве, и по длине изменяется монотонно, т.е. фронт кристаллизации выравнивает распределение примеси по длине кристалла.
Распределение примеси в кристалле в среднем горизонтальном сечении изображено на рис. 5.11. Кривая 1 представляет численное решение при следующих параметрах: Ra =2 • 103, Рг = 0,01, к =0,14, и} =0,2; кривая 2 — зависимость Тиллера (см. [82])
= *(1 -х^"1, (5.10)
которая является решением в случае полного перемешивания в расплаве или при бесконечно малой скорости кристаллизации (к = 0,14). Начальный участок кривой 1 на рис. 5.11 показывает, что эффективный коэффициент распределения примеси больше равновесного и равен приблизи-
^max
О 0,250,50,75 г'
Рис. 5.12. Кристаллизация при термокапиллярной конвекции (Sc = 10, к = 2,5, М = = 100, s’, =0,5)
а — интенсивность конвекции в зависимости от длины области, занятой расплавом; б — линии тока (штриховые линии) и изолинии концентрации (сплошные линии) ; в — продольная сегрегация примеси: 1 — диффузионное распределение, М = О, 2 — полное перемешивание, 3 — средняя по у концентрация с'^ 4 - с$(у' = 0), 5 - ciC/ =1)
тельно 0,2. Отличие расчетной кривой 1 от кривой 2 также свидетельствует о влиянии скорости кристаллизации на распределение примеси.
Термокапил ляриая конвекция и перенос примеси в ампуле. Интерес к термокапиллярной конвекции, подробно рассматривавшейся в гл. 3, в технологических экспериментах по направленной кристаллизации возникает в связи с тем, что в отличие от земных условий при кристаллизации в условиях невесомости расплав может не смачивать полностью стенки ампулы. Например, в работе [292] сделан вывод о том, что именно термокапиллярная конвекция привела к значительному перемешиванию в расплаве и соответствующему нормальному распределению примеси. В [162] рассмотрено влияние термокапиллярной и гравитационной конвекции на распределение примеси в расплаве. Модель (5.1)-(5.9), предложенная выше, предназначена для изучения влияния термокапиллярной конвекции и совместного действия термокапиллярной и гравитационной конвекции на распределение примеси в кристалле при наличии движения фронта. Ниже приводятся некоторые результаты расчета для условий невесомости (Gr = 0).
Предполагается, что расплав не смачивает стенку ампулы у одного конца фронта кристаллизации (у' = 0). Длина свободной поверхности расплава s i = 0.5 и в процессе кристаллизации остается неизменной. Кристаллизуется германий с примесью кремния ^к = 2,5, Sc = 10) со скоростью и} =0,5. Число М равно 100. На рис. 5.12,а показано изменение интенсивности движения в расплаве (максимальное значение функции тока) в процессе кристаллизации. Картина течения и распределение примеси представлены на рис. 5.12,6 для момента времени, когда закристаллизовалась половина области, занятой расплавом. Можно отметить, что в отличие от тепловой гравитационной конвекции движение сосредоточено у свободной поверхности, перемешивание не захватывает всего расплава, образуется застойная зона в области, противоположной фронту кристаллизации. Распределение примеси вдоль кристалла показано на рис. 5.12,в. Как и в случае тепловой гравитационной конвекции, наблюдается поперечная неоднородность в распределении примеси.
Анализ макро- и микро неоднородностив космических экспериментахна основе модели с движущимся фронтом
Макронеоднородность распределения примесей в технологических экспериментах. В этом разделе мы вновь возвращаемся к начатому в гл. 2 анализу макронеоднородности в технологическом эксперименте МА-150 [75—78, 123], используя новые данные, полученные на основе модели с движущимся фронтом кристаллизации.
Как упоминалось в гл. 2 (см. разд. 2.2), в эксперименте МА-150 при направленной кристаллизации германия с примесью кремния (к = 2,5, Sc = 10) и сурьмы (к = 10~3, Sc = 20) получена неожиданно большая радиальная неоднородность в распределении примеси: отношение максимального значения концентрации к минимальному для диаметрально противоположных областей составляет для сурьмы примерно 3, для кремния 8 (см. рис. 5.13, взятый из [123]; кривые 1 и 2 относятся к диаметрально противоположным участкам образца). В [123] сделан вывод о том, что эта неоднородность возникла в расплаве до начала кристаллизации и ее причиной была бародиффузия, вызванная градиентом массовых сил.
Предположим, что примесь в расплаве до начала кристаллизации была распределена равномерно и в расплаве существовала слабая гравитационная конвекция (Gr=103) под действием массовой силы, направленной вдоль фронта кристаллизации. На рис. 5.14 показано равновесное распределение кремния в кристалле Ge—Si-Sb и в расплаве у фронта кристаллизации при направленной кристаллизации со скоростью и'^ = 0,5. Если бы кристаллизация происходила равновесно, то примесь в кристалле была бы распределена неоднородно в поперечном направлении и отношение значений концентрации на противоположных концах фронта кристаллизации равнялось бы примерно 1,5. Однако, так как примесь в расплаве вдоль фронта кристаллизации распределена неоднородно, у одного края фронта кристаллизации (для кривой 4) возможен неравновесный захват примеси (концентрационное переохлаждение), т.е. коэффициент распределения становится равным 1. Таким образом, концентрация примеси на противоположных концах поперечного сечения кристалла соответствует кривой 1 (у' = 1) и либо кривой 2, если захват примеси был равновесным, либо кривой 4, если захват примеси неравновесный (у' = 0). Отношение значений концентрации примеси на противоположных концах диаметра кристалла в этом случае будет равно примерно 6, что соответствует экспериментальным данным [123] (см. рис. 5.13).
Значительная радиальная неоднородность в распределении примеси (6-7 раз) наблюдалась и в земных условиях при направленной кристаллизации во вращающемся контейнере NaNO3 с примесью Sr(NO3)2 в работе [82], где эта макросегрегация объясняется неоднородной структурой слитка в поперечном сечении. Однако чем вызвана эта неоднородность структуры, не указывается. Можно предположить следующий механизм образования столь значительной неоднородности в распределении примеси: конвекция в расплаве (гравитационная или термокапиллярная) вызывает сравнительно небольшую поперечную макросегрегацию примеси в расплаве; эта ’’конвективная” неоднородность в распределении
О 102030 г
Рис. 5.13. Поперечная неоднородность кремния в эксперименте МА-150 [123]
Рис. 5.14. Поперечная неоднородность кремния в расчетах (Sc = 10, к = 2,5, Gr = 10’, О^ 0,5) в кристалле (7, 2) и в расплаве (3, 4) у фронта кристаллизации
1» 3 - у = 1, 2, 4 - у = 0. Пунктирные линии — возможный захват примеси при возникновении концентрационного переохлаждения
примеси приводит к тому, что разные участки фронта кристаллизации оказываются различными с точки зрения устойчивости фронта кристаллизации - на некоторых участках возможен ячеистый рост, разные размеры ячеек [82] или полный захват примеси кристаллом, т.е. ’’конвективная” неоднородность в распределении примеси определяет структуру, а структура - коэффициент распределения примеси на фронте кристаллизации.
В эксперименте [123] получено, что поперечная неоднородность в распределении сурьмы в кристалле Ge-Si-Sb (отношение концентрации сурьмы на противоположных концах диаметра кристалла) равна примерно 3. В расчете по данной модели показано, что при Gr = 103 эта неоднородность может достигать 4 и снижаться до 3 при Gr = 104 (рис. 5.15).
Таким образом, из выполненных расчетов следует, что и тепловой гравитационный, и термокапиллярный виды конвекции в условиях орбитального полета существенно влияют на распределение примеси в кристаллах, что проявляется, в частности, в поперечной неоднородности распределения легирующих примесей. Для интерпретации экспериментальных результатов важен учет совместного действия этих двух механизмов конвекции, на основе которого, по-видимому, может быть дано объяснение наблюдаемых эффектов макронеоднородности в невесомости.
Влияние высокочастотных составляющих микроускорений иа микронеоднородность распределения примеси в кристалле. В дополнение к рассмотренному в гл. 4 (разд. 4.2) исследованию влияния низкочастотных колебаний микроускорения на конвекцию в расплаве с помощью данной модели можно рассмотреть влияние высокочастотных возмущений на распределение примесей непосредственно в кристалле с учетом движения фронта и процессов массообмена на фронте. Для этого в приведенной выше системе уравнений массовую силу представим в виде F =
Рис. 5.16. Вибрационные условия на орбитальной станции и области разной микронеоднородностиI - Ьс jc' < 0,1%, II - 0,1 < Дс'(с < < 1%, III - Дс'/с' > 1%Рис. 5.16. Вибрационные условия на орбитальной станции и области разной микронеоднородностиI - Ьс jc' < 0,1%, II - 0,1 < Дс'(с < < 1%, III - Дс'/с' > 1%
Рис. 5.16. Вибрационные условия на орбитальной станции и области разной микронеоднородности
I - Ьс jc' < 0,1%, II - 0,1 < Дс'(с < < 1%, III - Дс'/с' > 1%
Рис. 5.16. Вибрационные условия на орбитальной станции и области разной микронеоднородности
I - Ьс jc' < 0,1%, II - 0,1 < Дс'(с < < 1%, III - Дс'/с' > 1%
Рис. 5.15. Распределения сурьмы в кристалле Ge-Si-Sb, для расчета при Sc = 20, к = IO'5, у/ = 0,5 для Gr = 0 (1), 10’ (2, .?) и 10* (4, 5)
2, 4 - у' = 1, 3, 5 - у’ = О
=gsin(2irft), где g - амплитуда микроускорения, / - частота колебаний микроускорения.
Области на амплитудно-частотной диаграмме, характерные для пилотируемого полета, по данным различных авторов, включая измерения с помощою акселерометра, приведены на рис. 5.16. Здесь линия 1 представляет собственные частоты колебаний станции ’’Салют” [65], линии 2 и 3 - данные о частотах, вычисленные по расстояниям между полосами роста при выращивании кристаллов на установке ’’Кристалл” на Земле и в космосе в соответствии с данными [164]. При этом преддолагалось, что перед началом действия вибраций в ампуле сформирован фронт кристаллизации с однородным диффузионным слоем вдоль фронта.
Моделировался процесс кристаллизации полупроводниковых расплавов, характеризующихся следующими физическими свойствами: кинематическая вязкость v = 10“3 см2/с, число Шмидта Sc = 10, скорость кристаллизации Vf = 2 • 10~4 см/с, температурный градиент в расплаве 7=10°С/см. Предполагалось также, что течение не влияет на температурное поле, т.е. колебания скорости кристаллизации и температурные колебания отсутствуют. Рассматривались только концентрационные неоднородности, которые 156
Рис. 5.17. Распределение примеси по длине кристалла для / = io, Grr = 3 • 104Рис. 5.17. Распределение примеси по длине кристалла для / = io, Grr = 3 • 104Рис. 5.18. Величина микронеоднородности в зависимости от вибрационного числа Грасгофа для различных частот вибрацийРис. 5.18. Величина микронеоднородности в зависимости от вибрационного числа Грасгофа для различных частот вибраций
Рис. 5.17. Распределение примеси по длине кристалла для / = io, Grr = 3 • 104
Рис. 5.17. Распределение примеси по длине кристалла для / = io, Grr = 3 • 104
Рис. 5.18. Величина микронеоднородности в зависимости от вибрационного числа Грасгофа для различных частот вибраций
Рис. 5.18. Величина микронеоднородности в зависимости от вибрационного числа Грасгофа для различных частот вибраций
могли возникнуть в результате колебаний концентрации на фронте кристаллизации. Диапазон рассмотренных безразмерных критериев был типичным для условий на борту орбитальной станции: области безразмерной частоты f* = fH2 (v и вибрационного числа Грасгофа Grf = g^yH4/v2 отмечены на рис. 5.16 для кристаллизации в ампулах при двух характерных размерах (1 и 10 см). Остальные безразмерные параметры имели значения: и^-=0,2; L[H=4 (удлинение к началу действия вибрации), коэффициент распределения примеси к = 0,1; амплитудно-частотный диапазон в расчетах Grr = 102 -^-Ю5, /"' = 10^-10э.
На рис. 5.17 показано распределение концентрации примеси вдоль кристалла на средней линии между центром и краем фронта кристаллизации для значения/' = 10 и Grf = 3 • 104. Стрелка слева указывает переход от диффузионного к вибрационному режиму кристаллизации. В последнем можно видеть колебания концентрации примесей с удвоенной амплитудой порядка 1%, приводящие к полосчатой неоднородности, которая типична для кристаллов, выращиваемых в земных условиях. Отношение удвоенной амплитуды к средней величине концентрации в диапазоне микронеоднородности, которая фиксировалась и в технологических экспериментах [164], использовалось для анализа влияния вибрации на распределение примесей. На рис. 5.18 показана относительная неоднородность для разных значений безразмерной частоты в зависимости от вибрационного числа Грасгофа. На основе этих данных были построены линии 4 и 5 на рис. 5.16, соответствующие разным значениям микронеоднородности.
Таким образом, из рис. 5.16 следует, что в данном случае микронеоднородность в кристалле вызвана колебаниями концентрации примеси вблизи фронта кристаллизации, а не скорости кристаллизации, причем высокочастотные колебания в отличие от рассмотренных выше в гл. 4 (разд. 4.2) низкочастотных колебаний в рассмотренном диапазоне, включающем условия на орбитальной станции, не приводят к значительной микронеоднородности.
Параметрическое исследованиевлияния тепловой гравитационной конвекциина распределение примеси в кристалле.
Граница максимума поперечной макронеоднородности
Рассмотренная выше модель дает подробную информацию о структуре конвекции (в рамках принятых предположений) но, являясь многопараметрической, весьма трудоемка для исследования в широком диапазоне изменения таких важных параметров, как скорость кристаллизации, число Грасгофа и угол наклона вектора микроускорения. Для этой цели упомянутая модель модифицируется; чтобы сделать более экономичной методику и численную схему, рассматриваются конвекция и процессы переноса в системе координат, связанной с движущимся фронтом кристаллизации. Это позволяет выполнить более подробное исследование направленной кристаллизации в широком диапазоне параметров для определения области максимальной неоднородности распределения примеси и установления границ режимов, благоприятных для выращивания однородных кристаллов в земных условиях и в условиях невесомости.
.Модифицированная модель и методика расчета. В системе координат Оху, связанной с движущимся фронтом кристаллизации (компоненты скорости рассматриваются относительно неподвижных границ слоя), уравнения Навье-Стокса в приближении Буссинеска и уравнения конвективного теплоомассообмена в безразмерных переменных завихренность о/, функция тока У, температура 9 и концентрация с' имеют следующий вид:
Эш' ,, до/ , до/ д2ш'
—- + (и' - иг) — + и*—- = —— + дТdxdy dx 2
д2У д2^' += ш-
dx 1 dy
d2J
"T^ + Gr( ду
de
, COSlZ> +
дх'
de
~.sinA
(5.11)
(5.12)
де , , де ае i э2е
—- + (и - Vf) —, + и —, = — ( —-
dtдхду Рг дх 2
д26 +
dy
(5.13)
de*дс*.de1 д2с'
dtдхдуSc дх 1
d1c
(5.14)
u=dVidy', v=-dVjdx, 6=(Т-ТК^Н.
(5.15)
Граничные условия:
х = 0: и = и* = в = 0, dc'jdx* = -Scu}(1
- к) с';
х=ЫН;е=ЫН, и* — и* = dc'jdx* = 0;
у' = 0, У = 1: и' = и' = dejdy* = dcjdy =
0.
В этих уравнениях за характерные масштабы длины, времени, скорости, температуры и концентрации приняты соответственно Н,Н2[р, vjH, ^Н, с0. Предполагается, что температура на горячем конце слоя, Th = Th (г) меняется так, что средний градиент температуры в жидкости у остается постоянным; Тк - температура кристаллизации. Решение определяется 158
следующими безразмерными параметрами: Gr = g^yH4lv2 - число Грасгофа, Sc = v/D - число Шмидта, Pr = vja - число Прандтля, к - равновесный коэффициент распределения примеси, и} - скорость кристаллизации, <р - угол между вектором ускорения массовой силы и фронтом кристаллизации.
В дальнейшем при исследовании влияния конвекции на распределение примеси ограничимся медленными течениями, что справедливо до значений числа Грасгофа, приблизительно равных 104. Будем предполагать, что L> Н, и в дальнейших расчетах используем приближенное аналитическое решение задачи о конвекции в полубесконечном слое, подогреваемом сбоку, полученное в [54]:
и' = (Gr/6) [1/4 - (у' - 1/2)2] (у' - 1/2) [1 - exp(-ax')[cos^x' +
+ (а/0) sin^x']},
и = (Gr/24) [1/4 -(у' - 1/2)2 ] exp(-ax')sin^x'(a2/x' + х').
Пусть в начальный момент времени г'= О начинается кристаллизация с постоянной скоростью Vf. Будем предполагать, что скорость кристаллизации мала и движение фронта не изменяет поля течения, описываемого приведенными выше формулами. Тогда уравнение для определения концентрации примеси в расплаве будет иметь вид
с3 сВ2с* В2с*
—- + (GrScu" cos</> - Sc и/)—- + GrSc u"cos</>—; = —— + —7 .
dr"' dx'* By dx'2 d/2
Начальное условие: с = 1.
Граничные условия:
у' = 0, У = 1, dc'/dy' = O; х' = 0, Bc'iBx = iySc(l — к)с.
Здесь введены новые безразмерные переменные:
(м", и") = (м', u')/(Grcosi), г" = r'/Sc.
Концентрация примеси в жидкости у фронта кристаллизации будет определяться параметрической зависимостью с = с (х', у', t", к, G, Ре), где Ре = и} Sc - число Пекле, G = Grcos</;.
Аналогичные определяющие параметры получены в работе [177] при исследовании направленной кристаллизации с помощью метода, основанного на анализе порядков величин.
Отметим, что в рассматриваемом диапазоне медленных течений жидкости с малыми числами Прандтля потеря устойчивости конвективного течения, вызванная ’’подогревом снизу” (</>=я/2), предполагается невозможной.
. Результаты параметрических исследований. В случае диффузионного режима (Gr = 0) распределение примеси однородно вдоль фронта и задача сводится к одномерной. Определим толщу концентрационного пограничного слоя в расплаве у фронта кристаллизации следующим образом:
6 = (с(0) - c(°°)]/|dc/dx|x=0.
Учитывая граничное условие при х = 0, получим
6= [с(0) -с(~)]/[Ре(1 -*)с(0)1-
Это выражение справедливо и в конвективном режима кристаллизации, а в случае диффузионного стационарного режима (с'(°°) = 1,с'(0) = Ijk') получим 6О = 1/Ре -DHfVf. Таким образом, введенное ранее число Пекле является отношением протяженности фронта кристаллизации Н к толщине стационарного диффузионного пограничного слояО/иу.
Рассмотрим, как зависит от интенсивности перемешивания в расплаве и скорости кристаллизации эффективный коэффициент распределения примеси &Эф, определяемый отношением концентрации примеси в кристалле на фронте кристаллизации к концентрации примеси в расплаве далеко от фронта кристаллизации. Будем предполагать, что с(°°) = с0, тогда получим ^эфОО =с(0,у)/с0, где £Эф - зависит от координаты вдоль фронта. В практике кристаллизации обычно используется средаий (поперек кристалла) эффективный коэффициент распределения ^э^, который будем определять следующим образом: &эф = fk3^(y)dy =кс (0). Здесь с' (0) - средняя концентрация в расплаве у фронта кристаллизации.
На рис. 5.19 показаны зависимости эффективного коэффициента от интенсивности перемешивания и равновесного коэффициента распределения. Можно отметить, что АгЭф особенно резко изменяется в диапазоне параметров, соответствующих области значительной поперечной неоднородности в распределении примеси, а точка перегиба на графиках примерно соответствует максимальной поперечной неоднородности.
Рассмотрим зависимость толщины концентрационного пограничного слоя от параметров. Так же как и для эффективного коэффициента распределения, можно ввести локальную толщину пограничного слоя 6' = [1 - 1/с'(0, у)]/[Ре(1 -fc)] и среднюю толщину пограничного слоя 6'= [1 - l/c*(0,j,)]/[Pe(l -fc)].
На рис. 5.20 показана зависимость локальной толщины пограничного слоя от координаты у1. Так как 6 определяется локальной концентрацией примеси на фронте, то изменение толщины пограничного слоя вдоль фронта прямо связано с поперечной неоднородностью распределения примеси (рис. 5.21). Легко получить зависимости 6'и 6'от &эф и &Эф. На рис. 5.22 показана зависимость 6'от определяющих параметров. Штриховой линией на этом графике показано изменение толщины концентрационного пограничного слоя 6БПС, определенного по модели Бартона - Прима-Слихтера [176]; 6БПС = (1/Ре) In [(1 - £)£эф/(1 - &Эф)/£]. При значительной интенсивности перемешивания в расплаве £Эф-*£и 5Бпс^ ->6', что видно на рис. 5.22. Однако в области слабого перемешивания величина 6', по-видимому, будет лучше характеризовать действительное распределение примеси у фронта кристаллизации, чем бБПС, которая при Gr ->0 стремится к бесконечности.
Увеличение интенсивности конвекции приводит к появлению поперечной (вдоль фронта кристаллизации) неоднородности в распределении примеси, уменьшению средней концентрации примеси на фронте кристаллизации и толщины концентрационного пограничного слоя (см. рис. 5.20). Зависимость поперечной неоднородности, которую в дальнейшем будем характеризовать отношением максимального значе- 160
Рис. 5.19. Зависимость эффективного коэффициента распределения от параметра G(Pe = 5)а - к = ОД;б — к = 5,5Рис. 5.19. Зависимость эффективного коэффициента распределения от параметра G(Pe = 5)а - к = ОД;б — к = 5,5Рис. 5.20. Локальная толщина концентрационного пограничного слоя при различных G(Pe = 5, к = 0,1)Рис. 5.20. Локальная толщина концентрационного пограничного слоя при различных G(Pe = 5, к = 0,1)
Рис. 5.19. Зависимость эффективного коэффициента распределения от параметра G(Pe = 5)
а - к = ОД;б — к = 5,5
Рис. 5.19. Зависимость эффективного коэффициента распределения от параметра G(Pe = 5)
а - к = ОД;б — к = 5,5
Рис. 5.20. Локальная толщина концентрационного пограничного слоя при различных G(Pe = 5, к = 0,1)
Рис. 5.20. Локальная толщина концентрационного пограничного слоя при различных G(Pe = 5, к = 0,1)
Р и с. 5.21. Распределение примеси в расплаве вдоль фронта кристаллизации (s) и по нормали к нему (у' = 0,5) (б) при различных значениях параметра G
11. Зак. 1319161
Рис. 5.23. Зависимости поперечной неоднородности в распределении примеси от параметра G (а) и от числа Пекле (б)Рис. 5.23. Зависимости поперечной неоднородности в распределении примеси от параметра G (а) и от числа Пекле (б)Рис. 5.22. Зависимость средней толщины концентрационного пограничного слоя от параметра G (Ре = 5, к = ОД )
Рис. 5.23. Зависимости поперечной неоднородности в распределении примеси от параметра G (а) и от числа Пекле (б)
Рис. 5.23. Зависимости поперечной неоднородности в распределении примеси от параметра G (а) и от числа Пекле (б)
ния концентрации примеси к минимальному на фронте кристаллизации (с\пах1с'т1п =тахус\0, у) 1ттус'((Уу)-), от интенсивности перемешивания в расплаве при различных числах Пекле показана на рис. 5.23,0. Начиная с некоторого значения параметра G, течение начинает оказывать влияние на распределение примеси (точка Ь, 10%-ная неоднородность распределения примеси), в точке т неоднородность достигает максимального значения, дальнейшее увеличение интенсивности перемешивания приводит к уменьшению величины c’maxlc'min.
Влияние изменения числа Пекле Ре, т.е. скорости кристаллизации на поперечную неоднородность при различных интенсивностях перемешивания показано на рис. 5.23,6.
На основе рис. 5.23 можно построить диаграмму режимов кристаллизации в плоскости параметров G и Ре, которая позволяет оценить величину неоднородности поперечного распределения примеси при различных условиях кристаллизации (рис. 5.24). В зонах / и /// можно получать кристаллы с относительной поперечной неоднородностью не более 10%, а в зоне // - более 10%. Граница максимальной поперечной неоднородности показана на рис. 5.24 пунктиром. В зоне / преобладает диффузионный механизм переноса, что характерно для условий невесомости. В зоне /// однородное распределение примеси обеспечивается только естественно-конвективным перемешиванием, что характерно для земных условий. Таким образом, диаграмма на рис. 5.24 дает ориентировку при выборе нужного технологического режима в зависимости от диаметра кристалла, физи-
tg Gtg Gtg Petg PeРис. 5.24. Режимы роста кристаллов методом направленной кристаллизации в зависимости от поперечной неоднородности в распределении примеси (к = 0,1)Рис. 5.24. Режимы роста кристаллов методом направленной кристаллизации в зависимости от поперечной неоднородности в распределении примеси (к = 0,1)Р и с. 5.25. Схема течения расплава в ампуле и расчетные поперечные профили распределения кремния (2-5) и сурьмы (6-5) в германии для условий эксперимента’’Союз- Аполлон” при разных значениях ускорения gjgQ
tg G
tg G
tg Pe
tg Pe
Рис. 5.24. Режимы роста кристаллов методом направленной кристаллизации в зависимости от поперечной неоднородности в распределении примеси (к = 0,1)
Рис. 5.24. Режимы роста кристаллов методом направленной кристаллизации в зависимости от поперечной неоднородности в распределении примеси (к = 0,1)
g(g0'. 1,6 - 10"*, 8, 8 - 3 • 10"’, 4 - 10"*, 2 - 10"*, 5, 7 - 1
Рис. 5.26. Расчетные и экспериментальные зависимости функций неоднородности Si, Ga, Sb и In от величины перегрузки
и — наземные данные, К-1645,-1744 - полученные на спутниках. С—А — эксперимент ’’Союз—Аполлон”
ческих свойств расплава, скорости движения фронта кристаллизации, величины и направления силы тяжести и может помочь в управлении процессом роста однородного кристалла. Отметим, что и в этом случае имеется определенная возможность улучшить качество кристалла с помощью применения управляющих воздействий в земных условиях, однако диапазон их ограничен и требует разработки сложной аппаратуры.
Эффект максимума поперечной неоднородности для расплавов полупроводников экспериментально подтвержден в работе [76] (рис. 5.25, 5.26), авторами которой также разработана одномерная модель для ис-
следования поперечной макросегрегации примеси, вызванной тепловой конвекцией в расплаве. В работе [165] приведены также дополнительные экспериментальные результаты, подтверждающие этот эффект в случае горизонтальной направленной кристаллизации. Этот же эффект был получен позднее теоретически в работе [177] на основе анализа порядков величин в уравнениях конвективного массообмена. Для вертикального метода направленной кристаллизации эффект максимума поперечной неоднородности распределения примеси получен численно на основе уравнений конвекции в работах [36, 179], где учитывалось не только движение фронта, но и его кривизна (стационарная задача Стефана).
Одним из главных выводов, следующих из анализа моделей, представленных в згой главе, является наличие существенных ограничений при получении монокристаллов полупроводников большого диаметра с высокой поперечной однородностью примеси в условиях микрогравитации, для чего необходим весьма малый уровень микроускорений.
Г л а в а 6
ЖИДКОСТНАЯ ЭПИТАКСИЯ
Особенности конвекции при жидкостной эпитаксиии модификации процесса
Эпитаксиальный рост из жидкой фазы, при котором на подложке, изготовленной из объемного монокристалла, выращивается слой материала из разбавленного раствора, является одним из основных методов получения приборов для микроэлектроники, СВЧ-техники, солнечной энергетики [ 107]. Толщина и структура эпитаксиального слоя зависят от физико-химических свойств раствора—расплава, температурного диапазона роста, скорости охлаждения, ответственной за создание пересыщения в жидкости, конфигурации области, занятой жидкой фазой, расположения подложек. В космических условиях появляется возможность варьировать величину вектора остаточных ускорений, непосредственно влияющих на качество слоя ввиду высокой гравитационной чувствительности полупроводниковых систем [43]. К настоящему времени в нашей стране и за рубежом выполнено большое число технологических экспериментов на борту орбитальных станций [90, 146, 147], в том числе эксперименты по выращиванию эпитаксиальных структур полупроводниковых материалов.
Существует много модификаций процесса жидкостной эпитаксии (см. [9, 33, 107,175,205,214]). В каждом случае выбор конкретной методики проведения процесса жидкостной эпитаксии диктуется требованиями к электрофизическим параметрам, структуре, толщине эпитаксиального слоя, идущего на изготовление определенного вида приборов, а в орбитальных экспериментах, носящих отчасти методический характер, еще и возможностями технологического оборудования. Ниже речь пойдет об экспериментах по получению эпитаксиальных слоев арсенида и фосфида галлия
aaРис. 6.1. Стальная капсула (7) и ампулы с образцами (2—4) (а) и схема компоновки ампулы 4 (б)а: 5, б — графитовые прокладки, 7 — крышка капсулы;б: 2 — кварцевая ампула, 2, 3 — графитовый контейнер с крышкой, 4, 5 — вкладыши из графита, б, 7 — подложки, 8 — галлийРис. 6.1. Стальная капсула (7) и ампулы с образцами (2—4) (а) и схема компоновки ампулы 4 (б)а: 5, б — графитовые прокладки, 7 — крышка капсулы;б: 2 — кварцевая ампула, 2, 3 — графитовый контейнер с крышкой, 4, 5 — вкладыши из графита, б, 7 — подложки, 8 — галлий/ г 3 * 5 6 7 8/ г 3 * 5 6 7 8Рис. 6.2. Типичная диаграмма состояния для систем А3 - А3 В3
a
a
Рис. 6.1. Стальная капсула (7) и ампулы с образцами (2—4) (а) и схема компоновки ампулы 4 (б)
а: 5, б — графитовые прокладки, 7 — крышка капсулы;
б: 2 — кварцевая ампула, 2, 3 — графитовый контейнер с крышкой, 4, 5 — вкладыши из графита, б, 7 — подложки, 8 — галлий
Рис. 6.1. Стальная капсула (7) и ампулы с образцами (2—4) (а) и схема компоновки ампулы 4 (б)
а: 5, б — графитовые прокладки, 7 — крышка капсулы;
б: 2 — кварцевая ампула, 2, 3 — графитовый контейнер с крышкой, 4, 5 — вкладыши из графита, б, 7 — подложки, 8 — галлий
/ г 3 * 5 6 7 8
/ г 3 * 5 6 7 8
То, Гк — температура начала и окончания процесса эпитаксиального роста; с0, ск — концентрация растворенного в А3 компонента А3 В5 в начале и конце процесса; Тпд — температура плавления соединения А3 В5
на установке ’’Сплав” на борту космических аппаратов ’’Салют” и "Космос” [15, 42, 43, 136]. Космическим экспериментам предшествовала их отработка в лабораторных условиях.
Рост эпитаксиальных слоев осуществлялся в высокотемпературной изотермической зоне в электронагревательной камере печи. Процесс проводился в графитовом контейнере на две подложки (рис. 6.1). Область между подложками заполнялась галлием. Контейнер помещался в герметизированную кварцевую ампулу, ампула — в стальную капсулу. В режиме нагрева и выдержки при определенной температуре в течение 2,3 ч подложки частично растворяются в расплаве галлия. Процесс растворения описывается диаграммой температура — состав для систем галлий—мышьяк, галлий—фосфор [157] (рис. 6.2). При регулируемом охлаждении до температуры Тк в растворе—расплаве создается пересыщение и на подложках кристаллизуется арсенид или фосфид галлия. Таким образом, реализуется вариант гомоэпитаксиального нестационарного роста слоев в закрытой системе из ограниченного объема насыщенного раствора—расплава на две подложки при охлаждении с постоянной скоростью.
Качество слоев и воспроизводимость их свойств во многом определяются процессами тепломассопереноса в жидкой фазе. При анализе процессов в расплаве возникают следующие задачи.
Определение критических условий возникновения движения.
Исследование структуры движения при конкретных параметрах эксперимента.
Изучение условий смены режимов движения в зависимости от изменения параметров процесса.
Причиной возникновения конвекции при росте эпитаксиальных слоев является неоднородность плотности раствора—расплава, обусловленная неоднородностью концентрации и /или температуры. Для систем А3 — А3В5 [41, 43, 134] концентрационная конвекция преобладает над тепловой, это позволяет ограничиться рассмотрением одного механизма движения. При росте эпитаксиальных слоев из раствора—расплава имеется в наличии слой жидкости, ограниченный либо двумя твердыми, либо твердой и свободной границами, причем граница может быть изолированной (выполненной, к примеру, из графита) или проводящей (подложка). С точки зрения моделирования исследование процессов в расплаве при жидкостной эпитаксии аналогично изучению процессов в неравномерно нагретой жидкости, находящейся в поле массовых сил.
В настоящее время имеется большое количество работ как теоретического, так и прикладного плана, посвященных изучению конвективных движений, возникающих при различных условиях в полостях различной ориентации и формы, заполненных различными веществами. Анализ большого числа теоретических и экспериментальных работ дан в [54, 55]; приведенные там обобщения и выводы позволяют исследовать конвективное движение во многих технологических процессах, в том числе в процессе жидкостной эпитаксии.
В плоском горизонтальном слое при определенных условиях равновесное состояние жидкости становится неустойчивым и развивается конвекция. Движение в области начинается при достижении критического числа Рэлея (Ra*), значение которого при наличии твердых границ и подогреве снизу равно 1708. При росте эпитаксиальных слоев на две подложки слой жидкости разделяется на две области [91]: в верхней (относительно середины слоя) равновесие неустойчиво. Это приводит к развитию конвекции, которая постепенно распространяется на нижнюю устойчивую область, — так называемой проникающей конвекции. На нижней подложке вырастают более однородные слои по сравнению с верхней [74].
При экспериментальном и теоретическом изучении конвективного движения жидкости при сверхкритических числах Рэлея обнаружено, что между состоянием покоя при Ra < Ra* и полностью турбулентным движением существует ряд переходных состояний, когда конвективные течения могут быть стационарными или осциллирующими [217]. Качество поверхности эпитаксиальных слоев непосредственно связано со структурой движения.
В вертикальном ограниченном слое жидкости при подогреве сбоку равновесие невозможно [54]: при сколь угодно малом перепаде температур между границами возникает движение, интенсивность которого растет с увеличением разности температур. В стационарных условиях жидкость 166
поднимается у нагретой стенки и опускается у холодной — течение состоит из двух встречных конвективных потоков, происходит перенос тепла вдоль слоя. При эпитаксиальном росте слои получаются клинообразной структуры [99]. С увеличением числа Рэлея стационарное движение становится неустойчивым: неустойчивость развивается в виде системы вихрей на границе встречных потоков.
В земных условиях процесс жидкостной эпитаксии реализуется в двух вариантах: горизонтальном и вертикальном. В космических условиях преимущественное направление ускорения может изменяться во времени в зависимости от вызывающей его причины. Между двумя предельными случаями — конвекцией Рэлея—Бенара в горизонтальном слое и гидродинамической неустойчивостью встречных потоков в вертикальном слое существуют переходные режимы движения; тип неустойчивости и способ турбулизации с ростом числа Рэлея зависят от ориентации слоя жидкости относительно направления вектора ускорения [201,216].
Причиной возникновения конвекции может служить неоднородность температуры, созданная не только внешними (относительно жидкости), но и внутренними источниками тепла в самой жидкости [220]. Моделирование процесса жидкостной эпитаксии на основе слоя жидкости с внутренним нестационарным источником массы (что аналогично источнику тепла) проведено в работе [104].
Математическая модель жидкостной эпитаксии
При эпитаксиальном росте качество слоя определяется потоком вещества на подложку, который зависит от распределения концентрации в растворе-расплаве. Поле концентрации, в свою очередь, зависит от значений чисел Рэлея, Прандтля, начальных и граничных условий, режимов проведения процесса. Численное моделирование позволяет до эксперимента оценить влияние на качество эпитаксиальных слоев условий проведения процесса, что особенно важно для экспериментов в космосе.
Математическая модель процесса жидкостной эпитаксии строится для варианта роста слоев из ограниченного объема насыщенного раствора-расплава в изотермических условиях на две подложки в следующих предположениях: поля течения и концентрации двумерные; физико-химические параметры раствора—расплава, кроме концентрации, постоянные; зависимость С(Т) по диаграмме состояния (см. рис. 6.2) полагается линейной; исходная поверхность подложек считается гладкой; изменение размеров области за счет растворения подложек и роста слоев не учитывается; кристаллизация происходит только на подложках; кинетические явления на границе подложки с расплавом не рассматриваются.
Моделирование осуществляется на основе уравнений Навье—Стокса в приближении Буссинеска [41, 134]. Исходная система безразмерных уравнений в переменных функция тока ф, вихрь ш, концентрация Св декартовой системе координат имеет вид
шг * фушх — фхшу = шхх + Шу у + F,
Фхх + Ъу = Ш-
С, + фуСх - фхСу = Sc 'ЧСХХ + Су у).
где
Фу=и, фх = —и, F = Grc (Сх sin ^ + Су cos ^),
Grc = gPcH3(c0-cK')lv2 = Rac/Sc, Sc = v}D.
Здесь и, v — проекции вектора скорости на оси х, у соответственно;
- угол между вектором ускорения g, создаваемого массовыми силами, и осью у; с0 — размерная начальная концентрация по диаграмме состояния; с,С - текущие размерная и безразмерная концентрации; v - коэффициент кинематической вязкости; Рс — коэффициент изменения плотности при изменении концентрации; Н — характерный размер (толщина слоя раствора—расплава между двумя подложками). В качестве масштабов длины, времени, скорости и концентрации выбраны соответственно Н, H^v, v/Н, с0.
Граничные условия:
0<x<L^H, у=0, у=1: С = Сдс,
х = О, x = L/H, 0<у<1: ЭС/ду = О,
где L — длина подложки; Сдс — безразмерное значение концентрации по диаграмме состояния (ск/с0 < Сдс ^ 1). На всех границах заданы условия прилипания, и —нормаль к границе:
ф = 0, йф/Зп =0.
Начальные условия:
Ф о ~ 0 , шо ~ 0, Со - 1.
Искомое решение зависит от координат, безразмерного времени FoD = = Dt/H2 (t — время, D — коэффициент диффузии В5 в А3), значений безразмерных критериев подобия, геометрии области Gj, начальных условий G2, граничных условий G3, угла ^ и может быть представлено в следующем виде:
С = /(х, у, Род, Sc, Grc, Gi, G2, G3, i^).
Если модель адекватна реальному процессу, то равенство безразмерных величин в правой части в модели и в этом процессе является необходимым и достаточным условием его математического моделирования.
Численное моделирование процесса жидкостной эпитаксии осуществляется на основе методики и комплекса программ [134]. При отработке модели выполнены дополнительные ее модификации и тесты [41, 134].
В процессе счета вычислялись значения функции
2 = Sc’1 J (дС/ду) dr, t
характеризующей конфигурацию слоя. При Q>0 происходит растворение подложек, 2 < 0 соответствует процессу роста эпитаксиального слоя.
Геометрическая неоднородность эпитаксиального слоя характеризуется величиной
2i (2m а х~ 2m in) " Ю0%/ (2mах + 2min) G = 1,2),
где 2max, 2min — максимальное и минимальное значения толщины слоя 168
в конце процесса. Средняя неоднородность: Q' = (Q\ *QV)!2. При 0' = О слои идеально ровные. Разница в толщине слоев определяется по формуле
А 2 = [max (Qi, 02)-min (Qi, 2г)] • 100%/(2i +2i),
где Qi, Qi — безразмерное количество вещества, осевшего на подложки 1 и 2 за время процесса. При Д 2 = 0 масса слоев одинакова на обеих подложках, что характерно для вертикального варианта, а также для роста слоев в диффузионном режиме (Rac < Ra*).
63. Структура конвекции и параметрические исследования
Численное моделирование конвекции и массопереноса выполнено с использованием параметров, характерных для эпитаксиального роста слоев полупроводниковых соединений А3 В5 [134]: температурный интервал роста 7’о-7'к=30°, скорость охлаждения раствора—расплава Рохл = = 1 ° С/мин; толщина области, занятой жидкой фазой, Н = 0,1 -^0,2 см; L/H = 3 т 9;^> = 0т90°; Sc = 100. Уровень ускорений g изменялся в диапазоне 0-5 g0 (g0 = 9,8 м/с2 ), Rac = 0 5 • 107. Расчеты проводились с использованием равномерных сеток 21 X 33, 21 X 129 в зависимости от величины L[H. Временной шаг брался равным 10-3—2 • 10'2 в зависимости от параметров процесса.
Как было сказано выше, ориентация области, занятой раствором- расплавом, относительно направления действия массовой силы является управляющим фактором процесса жидкостной эпитаксии. Ячейковая конвекция Рэлея—Бенара, реализуемая в горизонтальном варианте (^ = 0), переходит в плоскопараллельное движение, характерное для вертикального варианта (^ = 90°) и приводящее к получению слоев клинообразной структуры на обеих подложках (рис. 6.3). Рис. 6.4 иллюстрирует зависимость геометрических параметров слоев от значений угла ^. Максимальная неоднородность имеет место при вертикальном расположении подложек. Уменьшение числа Rac способствует повышению однородности слоев (Rac = 107 соответствует земным условиям).
В зависимости от величины числа Rac при горизонтальном расположении подложек различаются три режима движения [134]: регулярный стационарный (Rac<5 105), регулярный нестационарный (106-5 • 106), нерегулярный нестационарный (Rac>107). Смена режимов обусловливает нелинейный характер зависимости величины 2 от числа Rac: наибольшая неравномерность наблюдается в случае регулярного нестационарного режима, когда структура движения не изменяется во времени (рис. 6.5, а). Аналогичные эффекты, являющиеся следствием общего принципа максимума температурного и концентрационного расслоения в замкнутых объемах, рассмотрены в гл. 2 и 3. Уменьшение числа Rac, т.е. переход к состоянию невесомости, способствует уменьшению неоднородности, на обеих подложках растут практически однородные слои одинаковой толщины (2 , А 2—0). Уменьшение неоднородности имеет место и в случае нерегулярного нестационарного режима из-за сильного и нерегулярного движения, способствующего хорошему перемешиванию раствора- расплава. В вертикальном варианте неоднородность увеличивается с ростом
Рис. 6.3. Изолинии концентрации и функции тока в расплаве (Rac = 10’, L/H = 3, Н = 0,2 см, Род = 0,5)
а - ф = 0, б - 5°, в - 10°, г - 15°, д - 20°, е- 90°
Рис. 6.4. Зависимость геометрической неоднородности Q' и разницы в толщине слоев Д0 от величины угла_у при Rac = 10’
Точки 1, 2 — значения Q' при Rac ~ 106 и 105 соответственно
Рис. 6.5. Зависимость геометрических параметров слоев от числа Rac (L/Я = 3, Fop = 0,5)
а — ^ = 0 (S' рассчитывается без учета значений Q в крайних точках) , 5 — ^ = 90° (де = о) ■
Рис. 6.6. Влияние возмущений на конфигурацию слоев при Rac = 10‘1 - i = 0, 2 - у = 5° до Fop = 0,15, 3 - 9 = 90° до Fop = 0,05, 4 - f = 90° до Fop = = 0,15, 5 - ^ = 90° до Fop = 0,25, у = О до Fop = 0,5Рис. 6.6. Влияние возмущений на конфигурацию слоев при Rac = 10‘1 - i = 0, 2 - у = 5° до Fop = 0,15, 3 - 9 = 90° до Fop = 0,05, 4 - f = 90° до Fop = = 0,15, 5 - ^ = 90° до Fop = 0,25, у = О до Fop = 0,5
Рис. 6.6. Влияние возмущений на конфигурацию слоев при Rac = 10‘
1 - i = 0, 2 - у = 5° до Fop = 0,15, 3 - 9 = 90° до Fop = 0,05, 4 - f = 90° до Fop = = 0,15, 5 - ^ = 90° до Fop = 0,25, у = О до Fop = 0,5
Рис. 6.6. Влияние возмущений на конфигурацию слоев при Rac = 10‘
1 - i = 0, 2 - у = 5° до Fop = 0,15, 3 - 9 = 90° до Fop = 0,05, 4 - f = 90° до Fop = = 0,15, 5 - ^ = 90° до Fop = 0,25, у = О до Fop = 0,5
числа Ric (рис. 6.5, б), конфигурация слоев при этом одинаковая на обеих подложках (Д 2 = 0).
Однородность слоев повышается при изменении ориентации области в ходе эксперимента от наклонного (до определенного безразмерного времени Fop) до горизонтального (до конца процесса, Fo0 = 0,5) в случае регулярного нестационарного режима движения (рис. 6.6). В вертикальном варианте может быть полезен поворот контейнера с подложками на 180° (рис. 6.7), в этом случае направление движения в области изменяется на обратное.
Влияние нестационарности микроускорений
В орбитальных условиях (Ray С105) преимущественное направление микроускорения может изменяться во времени (см. гл. 4). На рис. 6.8 показаны слои при горизонтальном и вертикальном расположении подложек и при изменении угла ф с частотой Я = 0,0167 мин"1 из исходного вертикального положения (фо =90°). Таким образом, при g sl(T2g0, т. е. при Rap ^105, конфигурация слоев отслеживает динамику изменения g.
Анализ экспериментов по росту эпитаксиальных слоев в невесомости
Модель процесса жидкостной эпитаксии использована для анализа процесса получения эпитаксиальных слоев в космических условиях [43,136]. Численное моделирование осуществлялось в соответствии с режимом
Qi,%
Рис. 6.9. Изменение содержания растворенного компонента в области в ходе процесса (Кохл=11,ЗоС/ч,<^ = 90°)
1 - Rac = 0, 2 - 8,25- 10s, 3 — 8,25 ■ 10s, 4 - 8,25 ■ 10*; и — конец режима нагрева, В — конец режима выдержки
Рис. 6.10. Конфигурации слоев, полученные в результате расчетов
а, б - Rac = 8,25 • 10s, в - 8,25 • 105, г - 8,25 • 10s; о - у = 0, б-г - 90°
экспериментов. Число Шмидта бралось равным ПО, L/H = 1 (Я = 0,8 см). Расчеты проводились на равномерной сетке 33 X 33. Временной шаг т выбирался в зависимости от числа Rac, величина которого составляла 0;
8,25 ■ 103; 8,25 ■ Ю5; 8,25 • 10®,что соответствует значениямg = 0; 10"5g0, 10~3go,^o и физико-химическим параметрам раствора—расплава А3—А3В5 (в частности, Ga-GaAs). Точное значение угла р в условиях орбитального полета неизвестно, поэтому расчеты проведены для 0,45° и 90°.
В фазе нагрева и выдержки происходит растворение подложек в галлии, Сдс растет, содержание растворенного компонента в растворе-расплаве увеличивается — функция 2е возрастает (рис. 6.9). В фазе регулируемого охлаждения величина Сдс уменьшается, но несмотря на это 2е растет при Rac < 8,25 • 103 — подложки продолжают растворяться. Это говорит о том,
Таблица 6.1
Номер варианта
Исходные параметры
Rac
max Qy,
J ^max
I Fod
h, мкм
1 т
1
0
—
0,941
—
0,5
210
1
2
0
—
0,881
—
0,37
185
1
3
0
—
0,848
—
0,23
155
1
4
8,25 • 103
0
0,881
1,43 ■ IO"4
0,37
184
5 - IO'3
5
8,25 ■ 103
45°
0,901
3,8' 10"2
0,3
165-199
175-204
5 • IO’3
6
8,25 ■ 10э
90°
0,909
3,2- IO"2
0,28
189
5 • 10"3
7
8,25 • 10s
90°
0,981
0,355
0,167
68-262
10'3
8
8,25 • 10s
90°
1,0
9,75
0.14
131-199
10'4
Примечание.
Для варианта 1
скорость V
зхл = 2,8
°С/ч, для
варианта 3 —
22,5 °С/ч, в остальных случаях - 11,3 °С/ч.
Р и с. 6.11. Часть полированной поверхности образца (о) и фрагмент эпитаксиального слоя (б) арсенида галлия, полученного в условиях невесомости
Рис. 6.12. Эпитаксиальный слой арсени да галлия, полученный в контрольном эксперименте в земных условиях
что концентрация растворенного компонента в центре области продолжает оставаться меньше значения Сдс- Когда они выравниваются, Q-^ достигает максимального значения. При дальнейшем уменьшении Сдс функция С2 уменьшается — на оставшейся части подложек растут эпитаксиальные слои. При Rac > 8,25 ■ 10s растворение подложек прекращается в режиме выдержки. Таким образом, значение Fo^, при котором происходит смена режима растворения подложек на режим роста слоев, и максимальное значение величины Q^ зависят от условий проведения”процесса. В табл. 6.1 приведены величины, характеризующие эксперименты в зависимости от условий их проведения. Толщина эпитаксиального слоя И определена из соотношения
Нр (Го) - (Я-2 h)p (Гк) = 2 h РзАТ^.
где р(Го), р(Гк) — плотность раствора—расплава в начале и конце процесса соответственно; рэ>с (Гк) — плотность выросшего эпитаксиального слоя (в частности, арсенида галлия).
На рис. 6.10 показаны слои, полученные в результате расчетов при различных значениях числа Rac и ориентации области.
Часть полированного образца и фрагмент эпитаксиального слоя GaAs, полученного в одном из экспериментов в орбитальных условиях, показаны на рис. 6.11. Слои выросли ровные, равномерные по толщине, с различием в толщине, определяемым кристаллографической ориентацией подложек: ЛцП] = 144 мкм, А[ 100j = 192 мкм. Их конфигурация хорошо согласуется с результатами численного эксперимента при значениях Rac : = 8,25 • 103, 1 = 0 (см. рис. 6.10, с; вариант 4 табл. 6.1). Можно сделать вывод о преимущественном направлении результирующего вектора g вдоль оси ампулы в ходе эксперимента.
На рис. 6.12 изображен эпитаксиальный слой GaAs, полученный в контрольном лабораторном эксперименте. Конфигурация слоя согласуется с результатами расчета (см. рис. 6.10, г; вариант 9 табл. 6.1).
Таким образом, зная закономерности изменения толщины и конфигурации слоев в зависимости от величины и направления g, можно путем анализа полученных в эксперименте эпитаксиальных слоев оценить величину и направление микроускорений в ходе процесса, что помогает интерпретировать результаты экспериментов по направленной кристаллизации и
бестигельной зонной плавке в космических условиях [15, 42], проводимых одновременно с жидкостной эпитаксией, которая в этом случае является своеобразным ’’датчиком конвекции” по аналогии с рассмотренным в гл. 4 (разд. 4.3) более общим трехмерным случаем.
Альтернативное невесомости медленное вращениеэпитаксиальной ячейки в земных условиях
Исследование влияния ориентации подложек относительно направления действия массовой силы на конфигурацию эпитаксиальных слоев наводит на мысль использовать динамическое изменение угла р в ходе эксперимента в качестве управляющего фактора процесса жидкостной эпитаксии, что реализовано в [41]. Постоянная смена режимов движения приводит к существенному изменению потока растворенного компонента на растущую поверхность, ответственного за конфигурацию слоя. На рис. 6.13 показаны слои, полученные при р = const и медленном вращении области (S12L -^g). В последнем случае неоднородность слоев на обеих подложках значительно понижается. На рис. 6.14 приведена зависимость неоднородности слоев от частоты вращения "при различной начальной ориентации подложек pg для Rac= 107 и 106. Реализация процессов с вращением контейнера в ходе эксперимента с частотой Q > 0,033 мин-1 приводит к уменьшению неоднородности слоев, как и в случае уменьшения величины g. Интересно отметить, что неоднородность слоев может достигать как минимального, так и максимального значения при определенной величине Г2, зависящей от начального расположения подложек, что определяется дли-
Р и с. 6.13. Конфигурация слоев в конце процесса (Rac = 1,25 • 10‘, L/H = 9, Н = 0,1 см) 1 - ф=0,2 - 90°, 3 -П = 0,067 мин"1
Рис. 6.14. Зависимость геометрической неоднородности слоев от частоты вращения (Rac=107, £/Я=3)о
1 - у = 0, 2 — 90°. Точки 3, 4 — значения Q' при Rac = 106, у = 0 и 90° соответственно
тельностью процессов формирования структуры течения и поля концентрации в каждом из характерных положений ячейки (ф = 0, ^ = тг/2).
Тепловая конвекция в бесконечном слое жидкости со свободными границами при равномерном вращении вокруг горизонтальной оси с большой частотой (по сравнению с реализованной здесь) рассмотрена в работе [51], однако задача выбора оптимальной скорости вращения как управляющего параметра в упомянутой работе не ставилась.
Отметим также, что периодическое изменение направления вектора g, аналогичное вращению области, возможно не только в плоскости чертежа относительно горизонтальной оси, но и в различных других плоскостях. 3*10 существенно расширяет классификацию конвективных процессов, рассмотренных в разд. 2.1, в случае ’’двойной диффузии”.
Таким образом, параметрические исследования процесса жидкостной эпитаксии показывают, а эксперименты в космосе подтверждают возможность получения сравнительно толстых эпитаксиальных слоев с ровной поверхностью в космических условиях. Однако в земных условиях альтернативным невесомости управляющим фактором процесса эпитаксиального роста может служить дискретное изменение ориентации подложек относительно направления действия массовой силы или медленное вращение контейнера в ходе эксперимента.
Добавление при корректуре
Геометрическая макронеоднородность, вызываемая концентрационной конвекцией при жидкостной эпитаксии в растворе—расплаве А3В5. рассматривается в работе К. Asakawa, Y. Torimoto, Y. Hayakawa, M.Kumagawa (Influence of solution convection on LPE in 1пхСа1-х8Ь// J. Cryst. Growth. 1990. Vol. 99. P. 1291-1294), некоторые выводы которой близки к выводам гл. 6. Возможности, представляемые медленным вращением, в этой работе, однако, не рассматривались.
Зак. 1319 177
Глава 7
ЭЛЕКТРОФОРЕЗ В СВОБОДНОМ ПОТОКЕ
В этой главе мы переходим к рассмотрению упоминавшейся ранее гравитационно-чувствительной технологии получения биологических материалов — зонального электрофореза в свободном потоке (ЭФСП). Как и в предыдущих главах, посвященных анализу технологических процессов в невесомости, здесь представлена специализированная математическая модель процесса.
Особенностями ЭФСП по сравнению с рассмотренными ранее процессами является наличие вынужденной конвекции и внутреннее тепловыделение в объеме жидкости. Эти и ряд других отличий, связанных с геометрией области течения жидкости, привели к существенному отличию математической модели ЭФСП от обсуждавшихся ранее моделей. В связи с этим в настоящей главе уделяется значительное место обоснованию математической модели и выводу описывающих процесс уравнений исходя из общих уравнений механики сплошной среды.
Предварительные замечания. Состояние исследований ЭФСП
Метод ЭФСП успешно применяется для разделения широкого класса ионогенных смесей, главным образом биологического происхождения. В основе метода лежит эффект электрофореза — способность взвешенных в жидкости заряженных частиц перемещаться под действием приложенного электрического поля. Скорость движения частиц (электрофоретическая скорость) пропорциональна напряженности электрического поля [72]:
U3 =дЕ.
Коэффициент пропорциональности д называется электрофоретической подвижностью и является отражением свойств поверхности частицы. Методом электрофореза разделяют смеси, компоненты которых различаются электрофоретическими подвижностями.
Широкое применение электрофорез нашел как аналитический метод фракционирования, применяемый в случаях, когда требуется лишь установить состав смеси или наличие в ней заданного компонента. Электрофорез имеет определенные преимущества перед такими методами разделения, как хроматография или ультрацентрифугирование, так как в процессе электрофореза отсутствуют силовые воздействия и взаимодействие со средой, способные нарушить естественное состояние разделяемых частиц. В связи с этим очень привлекательным является использование электрофореза как препаративного метода, т.е. с целью получения значительных количеств очищенных препаратов.
В качестве препаративного метода большое распространение получил зональный ЭФСП [198, 285, 286]. Схема камеры (ячейки), в которой происходит электрофоретическое разделение, показана на рис. 7.1.
Камера образована двумя широкими термостатируемыми стенками Hi, П2 и ограничена с боков электродными узлами Эт, Э2. Раствор элект- 178
Рис. 7.1. Схема камеры для электрофоретического разделения смеси
flv П4 — охлаждаемые пластины, Т — инжектор смесн, О — отверстие для подачи раствора, К — коллектор разделенных фракций, Э,, Э, — электродные узлы. At, At, А3, А„ — границы выделенных зон на некотором расстоянии от выходной плоскости камеры
родита поступает в камеру через отверстие в верхней грани и покидает ее через систему близкорасположенных трубочек в нижней грани, образующих коллектор фракций. Через устройство ввода, представляющее собой в простейшем случае отверстие в стенке камеры или, как изображено на схеме, трубочку Т, подлежащая разделению смесь вводится в поток. Фракционирование смеси происходит под воздействием электрического поля, приложенного перпендикулярно направлению потока жидкости.
Увеличение толщины слоя жидкости, в котором производится электрофоретическая сепарация, приводит к возникновению вторичных течений, нарушающих параллельное течение и перемешивающих разделяемые фракции [198, 238,261].
Причины этого состоят в том, что неоднородность температуры жидкости, обусловленная джоулевым тепловыделением, а также разница плотности разделяемой смеси и раствора электролита при наличии силы тяжести вызывают конвективное движение жидкости. Для подавления конвективных течений проводятся эксперименты в невесомости [208, 262, 288] и разрабатывается аппаратура, в которой стабилизация течения обеспечивается вращением потока [242].
На первом этапе исследований ЭФСП [198, 285] предполагалось, что электрофоретическая камера представляет собой бесконечный плоский канал; вертикальная компонента скорости описывается формулой Пуазейля [94]; концентрация смеси мала; диффузия отсутствует; электроосмос создает горизонтально направленное течение жидкости с параболическим профилем скорости [72] . При этих предположениях определялись горизонтальные смещения компонент смеси и границы электрофоретических зон. Теоретические результаты качественно соответствовали результатам экспериментов, однако имелись количественные расхождения, в частности размывание зон на практике оказывалось больше, чем следовало из теории.
Развитие этой одномерной (в смысле координатной зависимости полей скорости и температуры жидкости) и бездиффузионной модели было сделано в работе [195], где учитывалась зависимость вязкости, электропроводности и теплопроводности жидкости от температуры, и в [218], где рассматривалось влияние деформации пуазейлевского профиля скорости термоконвективным потоком на границы электрофоретических зон.
В следующей группе работ [22, 24, 211, 212, 259] также в предположении одномерности скоростей и температуры изучалось влияние диффузии и тепловой конвекции на размывание концентрационных профилей.
Гидродинамические эффекты, играющие определяющую роль в работе ЭФСП при увеличении толщины камеры, исследовались в [25, 64, 173, 238, 261]. Структура течения буфера в области, удаленной от входного участка камеры, рассматривалась в [188, 267]. Переход в стационарное состояние исследовался численно в [173]. Температурное поле на входном участке исследовалось теоретически в работах [226, 238]. Особенности формирования плоскопараллельного течения жидкости в камере и течения на входном участке в условиях невесомости изучались в [25]. В экспериментальных исследованиях гравитационных эффектов в ЭФСП [238, 261] обнаружены высокая чувствительность течения жидкости в камере к малым температурным градиентам и возникновение нестационарных течений.
Изучение концентрационных эффектов, возникающих при вводе в поток смеси, сильно отличающейся по своим свойствам от буферного раствора, приводит, как показано в [6, 7], к уширению электрофоретических зон даже в условиях невесомости.
В данной главе изложена новая трехзонная математическая модель ЭФСП [22-25], основанная на полных уравнениях Навье-Стокса, выделяющая область входного участка камеры, область ввода разделяемой смеси в поток и собственно область электрофоретического разделения. С этой позиции группируется материал и обсуждается влияние массовых сил в каждой из зон.
Миогозонная математическая модель ЭФСП
Процесс ЭФСП, как отмечалось выше, представляет собой комплекс взаимосвязанных гидродинамических и электрохимических процессов, полное теоретическое исследование которого должно базироваться на системе уравнений электрогидротермодинамики многокомпонентных смесей [13]. Не приводя здесь эти уравнения, сделаем и обсудим ряд допущений, отвечающих специфике ЭФСП и позволяющих существенно упростить математическую модель процесса.
Концентрации компонент разделяемой смеси и концентрации ионов раствора много меньше концентрации растворителя (воды). Данное допущение не является ограничительным и позволяет пренебречь перекрестными кинетическими эффектами.
Объемные электрические заряды в жидкости отсутствуют. Это допущение известно в электрохимической литературе как ’’приближение электронейтральности” и широко применяется [268]. Такой подход корректен 180
в случае достаточно большой электропроводности раствора, что имеет место в случае ЭФСП.
Диффузионные токи ионов малы по сравнению с токами проводимости, что также справедливо в ЭФСП.
Жидкость несжимаема и ньютонова. Здесь необходимо отметить, что растворы полимеров, частным случаем которых являются смеси, разделяемые методом ЭФСП, проявляют неньютоновские свойства при довольно малых концентрациях и, следовательно, использование такого предположения накладывает ограничение на применение разрабатываемой модели.
Химические реакции между компонентами смеси (диссоциация, комплексообразование и др.), если и имеют место, то протекают очень быстро — за времена, много меньшие, чем характерные времена диффузии и конвективного переноса компонент. В этом случае компоненты смеси представляют собой подсистемы, находящиеся в локальном химическом равновесии [13].
Перепады плотности жидкости, вызванные джоулевым тепловыделением и разницей плотности компонентов смеси и раствора, невелики, в силу чего для описания движения жидкости можно использовать приближение Буссинеска [54].
Будем пренебрегать влиянием диффузионных пограничных слоев с повышенной концентрацией ионов буферного раствора, образующихся вблизи электродных узлов Э1 и Э2. Хотя наличие этих слоев наблюдается в эксперименте [276], их толщина невелика по сравнению с шириной камеры. Кроме того, наличие диффузионных погранслоев определяется свойствами ионообменных или диализных мембран, ограничивающих камеру, и может быть вообще исключено.
С учетом сделанных допущений упомянутая выше система уравнений электрогидротермодинамики заменяется на следующую систему уравнений:
pw3W + (VVV) = -Vp + V(nVV) + pwg[0(r-Tw) + Za/cJ,(7.1)
(7.3)(7.4)(7.5)(7.6)(7.3)(7.4)(7.5)(7.6)div V = 0,
(7.3)
(7.4)
(7.5)
(7.6)
(7.3)
(7.4)
(7.5)
(7.6)
pwCp(dr/dr + (VV)n= V(xVT) + aE2,
dCj/dr + div N,- = 0,
N| = (V + д,Е) C(-D, Vct, div a E = 0,
ЭЭ . Э
V = — i+ —j+ —k, Эхdydz
где V — вектор скорости жидкости; t — время; р — давление; g — вектор ускорения свободного падения или вектор микроускорений; /3 — коэффициент объемного расширения жидкости; р — ее динамическая вязкость; Ср — теплоемкость; х — теплопроводность; а — электропроводность; pw — плотность жидкости при температуре Tw, которую имеют охлаждаемые извне стенки камеры; Т — температура жидкости; с,, N,- — локальные
концентрация и поток массы г-го компонента смеси; Di,^— его коэффициент диффузии и электрофоретическая подвижность; а, — коэффициенты пропорциональности: аг = др/дс;, где р — плотность жидкости; Е — напряженность электрического поля; i,j,k — орты системы координат.
Система уравнений (7.1)-(7.5) должна быть дополнена соотношениями, задающими зависимости параметров, определяющих свойства жидкости, от концентрации компонентов смеси и от температуры (зависимостью этих величин от напряженности электрического поля пренебрегаем):
т? = т? (Г, с,), о = о (Г, с,), Х = х(Т, CiV Ср = Ср (Т, с,),^
^ = D{ (Т, 7?, Cj), Pi = (Г, т?, с.).
Указание конкретного вида этих зависимостей требует принятия дополнительных предположений, которые будут сделаны в дальнейшем.
Конечным результатом математического моделирования ЭФСП является расчет концентрационных профилей (КП). КП F{ г-го компонента в ЭФСП определяется как стационарное распределение по координате г потока массы данного компонента в направлении оси у на выходе камеры:
d
?i(z)= j\Niy\y^Hdx,(7.8)
— d
где H — высота камеры; Niy — составляющая локального потока массы в направлении оси у; d — полутолщина камеры. Именно КП компонентов смеси измеряются в экспериментах; взаиморасположение КП определяет качество электрофоретического разделения.
Благодаря особенности конструкции электрофоретической камеры (толщина камеры 2 d много меньше ее ширины 2 / и высоты Н, а ширина камеры, как правило, в несколько раз меньше высоты) имеется возможность упрощения системы уравнений (7.1) —(7.6). Предполагаются выполненными условия
d(H«\, d/K\,(7.9)
а условие
ЦН« 1(7.10)
будет оговариваться отдельно.
В силу указанной особенности конструкции течение жидкости в большей части камеры, за исключением входного участка и области ввода разделяемой смеси в поток, носит плоскопараллельный характер. В связи с этим область камеры разделяется на три зоны:
входной участок камеры, где формируется параллельное течение;
область ввода разделяемой смеси в поток;
область параллельного течения, где производится электрофорез и которая в дальнейшем будет именоваться зоной электрофоретического разделения.
Границами первой зоны являются верхняя грань камеры, лежащая в плоскости у = 0 (см. рис. 7.1), и плоскость A i, отстоящая от верхней грани на некоторое расстояние г.
182
Верхняя граница второй зоны расположена несколько выше торца инжектора, в плоскости Л2, а нижняя, лежащая в плоскости Л3, — на расстоянии г* от нее. Нижние границы первой и второй зон определяются затуханием х- и z-составляющих вектора скорости.
Нижняя граница второй зоны является одновременно верхней границей зоны электрофоретического разделения. Эта зона оканчивается в плоскости Л4. Плоскость Л4 расположена на некотором расстоянии от выходной плоскости камеры у = Н, которое определяется перестройкой течения, обусловленной распределением жидкости по трубочкам коллектора фракций.
Система уравнений (7.1) —(7.7) в каждой из зон может быть упрощена в соответствии с особенностями этих зон. Эти вопросы будут подробно рассмотрены в последующих разделах. Здесь укажем связь выделенных зон.
Распределение концентрации компонента смеси на верхней границе области электрофоретического разделения (плоскость Л3) может быть найдено из результатов расчета течения жидкости и массопереноса в зоне ввода в поток разделяемой смеси. В свою очередь, положение инжектора смеси определяется протяженностью участка стабилизации течения, которая находится в результате моделирования гидродинамических процессов, протекающих в первой зоне камеры.
Течение жидкости и теплоперенос во входной области камеры
Целью данного раздела является исследование механизма возникновения вторичных течений во входной области электрофоретической камеры в условиях полной невесомости и при наличии постоянного ускорения свободного падения, ориентированного параллельно оси z.
В рассматриваемой области отсутствует разделяемая смесь, так как она вводится в камеру ниже по течению (см. рис. 7.1), следовательно, уравнения (7.4), (7.5) и зависимость параметров жидкости от концентраций компонентов смеси исключается из описания процесса.
Вязкость, электропроводность, теплоемкость и теплопроводность жидкости положим не зависящими от температуры и равными их средним значениям. Уравнение (7.5) в этом случае представляет собой уравнение Лапласа для потенциала электрического поля i^:
V2l = 0. (7.11)
Если принять, что плотность электрического тока на электродных узлах постоянна и равна /с, боковые грани камеры электроизолированы, инжектор смеси отсутствует, то, как легко показать, решение (7.11) имеет вид
ч> = -ic^to,
что соответствует однородному электрическому полю.
Наличие в камере инжектора, электропроводность жидкости в системах ее подачи в камеру и в коллекторе фракций несколько искажают электрическое поле. Тем не менее, если это не оговаривается, электрическое поле в камере будет в дальнейшем считаться однородным.
С учетом сказанного выше система уравнений (7.1) —(7.7), описывающая ЭФСП, в первой из выделенных зон камеры принимает вид уравнений тепловой конвекции:
Э V/Эг + (V • V)V = — Vp/p + рЛ V + g/З (Г—7\у), (7.12)
divV = 0, (7-13)
pC^T^lN -^T^xkT-toE1, (7.14) где v — кинематическая вязкость жидкости.
Система уравнений (7.12)-(7.14) является основой для изучения влияния термогравитационной конвекции в ЭФСП.
Несмотря на то что система уравнений (7.12) —(7.14) является более простой по сравнению с исходными уравнениями (7.1) —(7.7), ее решение в силу трехмерности также весьма затруднительно.
В работах [226, 238] рассчитывалось распределение температуры на входном участке камеры в трехмерной [226] и двумерной [238] постановках. Двумерная постановка задачи (не учитывается зависимость переменных от координаты z) оправданна при рассмотрении течения и тепло- переноса в камере с широким входным отверстием. Поле скорости жидкости в этих работах считалось заданным и не зависящим от распределения температуры. Расчеты показали, что возможны ситуации, когда в слое жидкости реализуется градиент температуры, параллельный вектору ускорения свободного падения. В этом случае (см. гл. 2) при достижении определенного критического значения числа Рэлея система теряет устойчивость. Именно этот механизм авторы работ [47, 226, 238, 245, 267] считают определяющим в возникновении вторичных течений в электрофоретической камере. Следует отметить, что в своих оценках авторы опирались на критические числа Рэлея, рассчитанные применительно к иной системе, а именно к бесконечному вертикальному каналу, каковым не может считаться участок термической стабилизации в силу ограниченной протяженности.
В другом подходе, развиваемом в работе [25], используется условие (7-9), означающее, что рассматриваемая камера аналогична по своим характеристикам ячейке Хеле—Шоу. При моделировании тепловой конвекции в ячейках Хеле—Шоу [101, 219] предполагаются заданными зависимости скорости и температуры жидкости от поперечной координаты х, и путем усреднения уравнений (7.12) —(7.14) по этой координате осуществляется понижение их размерности.
Сопоставление результатов теоретических и численных расчетов, основанных на усредненных уравнениях, с результатами натурных экспериментов [44, 219] показывает адекватность такого типа модели для описания как стационарных, так и нестационарных закритических течений в ячейках Хеле—Шоу.
Для изучения механизма возникновения вторичных течений термоконвективной природы в ЭФСП рассмотрим две задачи:
о взаимодействии свободной и вынужденной конвекции при наличии неоднородно распределенных внутренних источников тепла в плоском канале в двумерной постановке,
о взаимодействии свободной и вынужденной конвекции на входном 184
Рис. 7.2. Схема расчетной области А, В — термостатируемые стенкиРис. 7.2. Схема расчетной области А, В — термостатируемые стенкиРис. 7.3. Зависимости температуры в (штриховые линии) и скорости иу на оси камеры (сплошные линии) от продольной координаты у (Re = 1, Рг = 5)1 - Gr/Re = 100, 2 - 150, 3 - 180Рис. 7.3. Зависимости температуры в (штриховые линии) и скорости иу на оси камеры (сплошные линии) от продольной координаты у (Re = 1, Рг = 5)1 - Gr/Re = 100, 2 - 150, 3 - 180
Рис. 7.2. Схема расчетной области А, В — термостатируемые стенки
Рис. 7.2. Схема расчетной области А, В — термостатируемые стенки
Рис. 7.3. Зависимости температуры в (штриховые линии) и скорости иу на оси камеры (сплошные линии) от продольной координаты у (Re = 1, Рг = 5)
1 - Gr/Re = 100, 2 - 150, 3 - 180
Рис. 7.3. Зависимости температуры в (штриховые линии) и скорости иу на оси камеры (сплошные линии) от продольной координаты у (Re = 1, Рг = 5)
1 - Gr/Re = 100, 2 - 150, 3 - 180
участке электрофоретической камеры в приближении усредненных уравнений.
3.1. Взаимодействие свободной и вынужденной конвекции в плоском канале при наличии неоднородно распределенных внутренних источников тепла. Объектом исследования в этом подразделе будет служить плоский канал толщины 2 d и бесконечной высоты, в котором в направлении оси у, совпадающем с направлением действия силы тяжести, течет вязкая несжимаемая жидкость (рис. 7.2). В области у > 0 действуют внутренние источники тепла с постоянной объемной мощностью; в области у < 0 они отсутствуют. Тепло отводится через стенки канала, поддерживаемые при постоянной температуре.
Рассматривая двумерное течение в области у > 0, перейдем к переменным вихрь—функция ток а в системе уравнений (7.12) — (7.14) и запишем преобразованные уравнения в безразмерном виде:
ЭшЭц>до>1 Гд2о>д2о> 1Gr Э0
* = — I +I,(7-15)
дгдуЭхRe L Эу2Эх2 JRe2 Эх
ш = — д2ф/ду2 + й2ф(дх2, Уу = —дф/дх, их = дф/ду,(7.16)
эе эе эе 1 Г э20 э2е "„
— + их— + «у— = —г + —г + 1 .(7.17)
Э( Эх у йу RePr I ду2 Эх2 .
Здесь о> — вихрь; ф — функция тока; 9 — безразмерная разность температуры, 9 = (Т - Т^ТС', пространственным масштабом в уравнениях (7.15) —(7.17) служит полутолщина канала, масштабом скорости - средняя скорость жидкости U, времени — d]U.
Числа Рейнольдса, Грасгофа и Прандтля определены следующим образом: Re = Ud/v, Gr = g^Tcd3/v2, Pr = (т?/х) Cp,Tc = oE2 d2/x - характерная температура джоулева нагрева.
На границе области у = 0 зададим пуазейлевский профиль скорости, соответствующий изотермическому течению вязкой несжимаемой жидкости в бесконечном плоском канале [94], и однородное по толщине канала распределение температуры:
^ = 0: ^ = 3/2(1-X2), е=е0, ф = 312(х313-ху(7.18)
На боковых стенках канала предполагаются выполненными условия прилипания жидкости и условия термостатирования стенок:
х = ±1: Vy.z = 0, 6 = 0, ф = +1.(7.19)
При значениях у -* °° течение одномерно, зависимости скорости жидкости и ее температуры от поперечной координаты имеют вид [267]
9 = - (1-х2), uv = - (1-х2)-— (1-6х2 + 5х4).(7.20)
2У 2120 Re
Задача решалась численно в области (х, у) € (— 1, 1) X (0, R), где R — некоторое значение, достаточно большое для того, чтобы в рассматриваемой области установилось стабилизированное течение. На границе у = R устанавливались следующие граничные условия:
y = R: vy = 1, d9/dy = 0, ф = -х.(7.21)
Для решения (7.14) —(7.17) с граничными условиями (7.18), (7.19), (7.21) использовался конечно-разностный метод, описанный в [38, 134]. Расчеты проводились на равномерной сетке 21 X 65; погрешность результатов не превосходила 4%. Переход к более подробной сетке 41 X 65 не приводил к существенным изменениям расчетных величин. Стационарное решение (7.14)—(7.17) находилось методом установления.
Расчеты течений жидкости и полей температуры в камере были выполнены для следующих значений Gr/Re: О, 100, 150, 180 при значениях числа Рейнольдса в диапазоне 1—3 и числа Прандтля в диапазоне 1—5.
Рассчитанные зависимости у-составляющей скорости жидкости и ее температуры на оси канала (х = 0) от продольной координаты у при трех значениях отношения Gr/Re приведены на рис. 7.3. Кривые рассчитаны для значений Re = 1, Рг = 5. При других значениях чисел Рейнольдса и Прандтля, но при тех же значениях отношения Gr/Re получаются близкие результаты.
Расчеты показали, что при попадании в область объемного тепловыделения жидкости с температурой, равной температуре стенок камеры (0О = 0), происходит плавная перестройка течения от пуазейлевского до стабилизированного (7.20). Эта перестройка осуществляется на расстоянии, определяемом установлением одномерного распределения температуры (7.20), которое незначительно убывает с увеличением значения Gr/Re и по порядку величины равно произведению RePr.
Характерный продольный градиент температуры можно оценить как rc/(2RePrd), что соответствует числу Рэлея Ra ~ Gr/2Re. Использованные в расчетах значения Gr/Re превосходят значение критического числа Рэлея 186
для вертикального плоского канала [54], тем не менее неустойчивость и переход к течению типа конвективных валов обнаружены не были.
3.2. М эделнрование структуры течения жидкости в камере на основе усредненных уравнений. В данном подразделе для упрощения системы уравнений (7.12) —(7.14) используется следущее, применяемое для моделирования течений жидкости в ячейках Хеле—Шоу представление составляющих скорости жидкости и ее температуры:
(7.22)(7.22)3
(7.22)
(7.22)
= 2 5 < U>y'z ^У’ ^ ^ ”) ’
Кх=0,
Г=1 (3Ar0-rc)ra,y,z)(l-x2/^)+Tw+2 тс (l-x2/d2),
где ДГо = То - Tw — разность температуры жидкости То, поступающей в камеру, и температуры стенок. Подстановка этих выражений в уравнения (7.1) —(7.3) и усреднение по поперечной координате х приводит к двумерной системе уравнений, имеющей в безразмерных переменных следующий вид:
ат dz ’ат dz ’ЭП 6 ЭП дП 1. G
ат dz ’
ат dz ’
— + - «и>у — + <и)г— )=- [Д2П-3(/Я2П] +
975 у ay dz R3R2
ат6атат i, v 2
— + - «^— +<”>;— ) = -ГГ~ [ДтГ-З^2Т],(7.24)
at5дуdzRPr
Я = -ДФ, <v>y = -d^/dz, <и>2 = дФ/ду, (7.25) где Д = d2/dz2 + d2/dy2 — двумерный лапласиан; G = [g/3(3&r0 - - Гс)/3]/р2 — аналог числа Грасгофа; R — число Рейнольдса, рассчитанное по полуширине камеры; Рг — число Прандтля; J2 и Ф — усредненные вихрь и функция тока; координаты в отличие от предыдущего подраздела измеряются в единицах I, а время — в единицах 1/и, где В — средняя по сечению у = const скорость жидкости.
Компоненты скорости Vy, Vz, заданные соотношениями (7.22), удовлетворяют граничным условиям прилипания на стенках камеры (х = td}, а температура — условию поддержания стенок при постоянной температуре Tw. Решение (7.23) —(7.25) вида <и>у = 1, <u>z = 0, Т= 1 соответствует течению Пуазейля в плоском канале и установившемуся распределению температуры при наличии внутренних источников тепла.
Член —3 (i/^)2 S2/R в уравнении (7.23) описывает диссипацию вихря за счет трения о стенки камеры, а последний член в (7.24) — отток тепла из объема жидкости на термостатируемые стенки.
Запишем граничные условия для системы уравнений (7.23) —(7.25), соответствующие расчетной схеме, изображенной на рис. 7.4. На твердых поверхностях задаются условия прилипания жидкости и условия тепловой изоляции:
(7.26)(7.26)z = ± 1: (и^, <v>z = 0, dT/dz = 0.
(7.26)
(7.26)
Рис. 7.4. Расчетная область и граничные условия для усредненной системы уравненийРис. 7.4. Расчетная область и граничные условия для усредненной системы уравнений
Рис. 7.4. Расчетная область и граничные условия для усредненной системы уравнений
Рис. 7.4. Расчетная область и граничные условия для усредненной системы уравнений
На входной границе области у = 0 вертикальная компонента скорости жидкости задается равной постоянной величине 1/s в отверстии шириной 2s и равной нулю вне его. Горизонтальная компонента скорости <v)z полагается равной нулю на входной границе области:
у = 0: <и)у =у = 0: <и)у =1/$, о.1/$, о.и<$,и<$,$<И<1,$<И<1,<v)z =0.<v)z =0.(7.27)(7.27)
у = 0: <и)у =
у = 0: <и)у =
1/$, о.
1/$, о.
и<$,
и<$,
$<И<1,
$<И<1,
<v)z =0.
<v)z =0.
(7.27)
(7.27)
Аналогично в виде ступеньки задается температура на входной границе
у = 0: Г =у = 0: Г =1,0,1,0,и<$, s< |z| < 1.и<$, s< |z| < 1.(7.28)(7.28)
у = 0: Г =
у = 0: Г =
1,
0,
1,
0,
и<$, s< |z| < 1.
и<$, s< |z| < 1.
(7.28)
(7.28)
На выходной границе области в соответствии с конструкцией коллектора фракций, представляющего собой ряд близко расположенных трубочек малого диаметра, задается постоянное значение вертикальной компоненты скорости, равное единице. При этом горизонтальная составляющая скорос-
ти полагается равной нулю:
у = Н(1\ <0)^ = 1, <u)z=0.(7.29)
Для температуры на выходной границе задается ’’мягкое” граничное условие:
у = Н/1'. йТ^у = 6(130)
С практической точки зрения представляют интерес стационарные распределения температуры Т и функции тока ф, которые в описанной модели являются функциями безразмерных координат у, z и безразмерных параметров R, G, 1/d, s, Рг.
Помимо полей скорости и температуры, как отмечалось выше, характеристикой гидродинамической картины в камере служит протяженность участка стабилизации, т. е. расстояние г от входа в камеру, на котором устанавливается плоскопараллельное течение. Длину входного участка г можно определить различными способами. Будем использовать два из них:
г — это расстояние от входа в камеру до области, где отношение компонент скорости < и )z/( и )у меньше малой величины е, т. е.
min max [ <u>z (г, z)/{v)y (г, z)] = е,(7.31)
Г Z
г является минимальным корнем уравнения
<и)у(г, 0)-иуоо(0) = е,
здесь vyoo(z) — одномерный профиль осевой скорости при у -* °°. В дальнейшем используется значение е, равное 0,01. Оба определения приводят к близким значениям для г, но первое более удобно для численных расчетов, в то время как второе — для аналитических оценок. Отношение скоростей (v)zl<v>y представляет собой тангенс угла, образованного осью у и линией тока в точке (у, z). Это отношение служит мерой параллельности потока. Определенная согласно (7.31) протяженность участка стабилизации является функцией определяющих параметров: г = r(R, G, Ijd, s).
Изотермическое течение. Изучение структуры течения в камере и зависимости длины участка стабилизации от параметров процесса целесообразно начать со случая изотермического течения, которое теоретически изучалось в (25, 73, 109]. Течение жидкости в этом случае соответствует течению в условиях полной невесомости. В [25] вводится параметр а = 3(l/d)2jR, характеризующий отношение сил трения жидкости о стенки камеры к инерционным силам. Применительно к ЭФСП в [25] получены приближенные соотношения для нахождения протяженности участка стабилизации и расчета осевой скорости жидкости:
^>y(y,0)=l/s-5ay/6,(7.32)
еттз61
r, = -ln- + — (1).(7.33)
2sin7rs5as
Приведем результаты численных расчетов из [25]. Численное решение системы уравнений (7.23), (7.25) находилось методом конечных разностей согласно описанной в [38, 134] методике.
Для изучения течения в камере были проведены параметрические расче-
189
Рис. 7.5. Линии тока стационарного усредненного изотермического течения пр||
R = 200
a -l/d = 15,$ = 0,2; б- l(d = 10, $ = 0,2;в - l/d = 10, $ = 0,1
ты. При этом параметры варьировались в следующих пределах: 10 < l/d < <200, 0,l<s<l, 50<R<500.
Линии тока характерных для данной системы течений приведены на рис. 7.5, а, б. На рис. 7.5, а показаны линии тока стационарного течения, соответствующего значениям R = 200, l/d = 15, s = 0,2, h /1 = 6,4. Пунктирная линия ограничивает входной участок, длина которого равна 3,2. Из рисунка видно, что линии тока искривляются на выходе камеры, так как граничные условия (7.29) перестраивают поток. Длина выходного участка оказалась практически не зависящей от параметров течения и равной приблизительно 1,5.
Увеличение толщины камеры (т. е. уменьшение //</) приводит к значительному увеличению входного участка и появлению вторичных течений, как показано на рис. 7.5, б (R = 200, Цб = 10, s = 0,2, h/l = 6,4). Критерий параллельности (7.31), определяющий длину входного участка, не выполняется. Значение min max (VzlV^ Равно 1,6 • 10"2 при у = 5,3. Длина У z
входного участка оказывается равной 5,6 в камере с относительной высотой h/l = 10 при тех же значениях остальных параметров. Максимальное значение модуля функции тока |ф|тах, характеризующее интенсивность возвратного течения, равно 1,016.
Уменьшение размера s входного отверстия приводит к увеличению начальной скорости струи, формирующейся на входе, и, как следствие, к увеличению интенсивности обратного течения и увеличению длины входного участка. Линии тока течения при значениях параметров R = 200, s = 0,1, Цй = 10, H(l = 6,4 приведены на рис. 7.5, в. Значение |ф|тах равно 1,053, что показывает увеличение расхода жидкости в возвратном течении.
На рис. 7.6 приведены результаты численного расчета длины входного участка и ее аналитической оценки (7.33). Видно удовлетворительное совпадение численных и аналитических результатов, причем, чем больше
число Рейнольдса, тем лучше это совпадение в соответствии со сделанными допущениями.
Сформулируем основные результаты исследования изотермического течения в камере ЭФСП.
В зависимости от значений параметров а = 3(Z/d)2/R и sb камере имеют место три основных режима течения в изотермических условиях или в условиях микрогравитации.
В случае а > 1 во фронтальной плоскости камеры устанавливается безвихревое течение спустя промежуток времени порядка нескольких т = 1/а от момента начала движения. Длина входного участка порядка единицы.
Если о ^ 1 и s ^ 1, то во входной области формируется струя. Длина входного участка зависит от а и s, увеличиваясь с увеличением а и s.
Если а и/или s уменьшаются, на входном участке камеры образуется возвратное течение, которое может распространиться на всю камеру.
Неизотермическое течение. Рассмотрим структуру неизотермического стационарного течения и температурного поля в камере.
В представленных ниже расчетах значения параметра Z/d варьировались в пределах от 10 до 25, число Рейнольдса — в пределах от 40 до 200, полуширина входного отверстия s — от 0,1 до 0,5. Число Прандтля Рг задавалось равным 7. Параметр G варьировался в пределах от —2 • 106 до 5 • 106. Отрицательные значения этого параметра могут соответствовать подаче сверху вниз охлажденной жидкости с температурой То, меньшей Tw + + TJ3, либо подаче снизу вверх нагретой жидкости с температурой То, большей Tw + Тс13.
Для изучения особенностей течения, связанных с неизотермичностью потока, зафиксируем значения параметров Z/d = 15, R = 60, s = 0,5, при которых в изотермическом случае реализуется безвихревое течение.
Обратимся к картинам стационарного течения, рассчитанным при различных G. На рис. 7.7, а изображены линии тока и изотермы при G = 0, т. е. в случае, когда температурное поле не влияет на течение жидкости. Протяженность участка стабилизации г в этом случае составляет 1,54, рециркуляционное течение отсутствует.
Подача охлажденной жидкости. При отрицательных G протяженность участка стабилизации увеличивается, например при G = — 10s до значения г = 2,57. Однако качественного изменения характера течения при этом значении G не происходит, рециркуляционные зоны, как и в предыдущем случае, отсутствуют. Увеличение г вызвано тем, что охлажденная жидкость, поступая в камеру, приобретает под действием силы тяжести дополнительную скорость в направлении вынужденного движения. Дальнейшее уменьшение параметра G до значения —5 • 10s приводит к качественному изменению характера течения (рис. 7.7, б). Здесь на входном участке камеры формируется струйное течение, порождающее вихри, которым соответствуют значения |ф|тах = 1,11. При этом область неоднородности температуры, как видно из рис. 7.7, б, значительно возрастает по сравнению с предыдущими случаями. Увеличение области неоднородности температуры связано с тем, что возрастает скорость жидкости вблизи оси камеры; в данном случае она достигает максимального значения итах = 2,3 при
у = 0,4, что превышает скорость на входе и0 = 2. Протяженность участка стабилизации увеличивается при этом до величины г = 4,98.
Дальнейшее уменьшение параметра G до —7,5 • 10s приводит к увеличению интенсивности рециркуляционного течения (|ф|тах = 1,17) и возрастанию скорости жидкости на оси камеры (итах = 3,6). При этом протяженность участка стабилизации в камере высотой h/d = 8 увеличивается до значения г = 6,54.
Подача нагретой жидкости. Иной характер влияния неизотермичности наблюдается при положительных значениях G. В этом случае скорость жидкости, поступающей в камеру, уменьшается за счет того, что более нагретая жидкость стремится подняться вверх, в сторону, противоположную направлению основного потока. При достаточно малых G этот эффект приводит даже к уменьшению протяженности участка стабилизации по сравнению с изотермическим случаем. В исследованном диапазоне G (0 < < G < 5 • 106) в камере не возникает рециркуляционных зон, происходит лишь перераспределение потока по ширине камеры и в случае больших значений G образование пограничных слоев в пристенной области.
На рис. 7.8 представлены зависимости вертикальной составляющей скорости жидкости на оси камеры <и>у (0, у) от продольной координаты у при различных значениях параметра G, иллюстрирующие упоминавшееся выше увеличение скорости в случае G < 0 и ее уменьшение при G > 0.
Профили <и>у в сечении у =1,6 при различных G, приведенные на рис. 7.9, показывают формирование подъемно-опускного течения при уменьшении G в случае G < 0 и структуру ядра потока и пристеночных пограничных слоев при опускном движении в случае G > 0.
Зависимость длины участка стабилизации от числа Грасгофа при различных значениях l/d, R, s цриведена на рис. 7.10. Кривой 1 на рис. 7.10 соответствует основной случай l/d = 15, R = 60, s = 0,5. Как видно из этого рисунка, в области отрицательных G протяженность участка стабилизации увеличивается практически пропорционально —G. При положительных G имеет место более сложная зависимость.
Относительная ширина камеры l/d существенно влияет на остроту минимума и значения функции r(G), оставляя неизменным характер этой зависимости (рис. 7.10, кривая 2). Уменьшение тормозящего воздействия стенок камеры при l/d = 10 по сравнению с тем, что имело место при//с/ = 15, приводит к значительному увеличению протяженности участка стабилизации как в случае отрицательных, так и положительных G. Изменение ширины входного отверстия (рис. 7.10, кривая 5) не играет в условиях неизотермичности большой роли в отличие от случая G = 0.
Как показывают расчеты, протяженность участка стабилизации при G < 0 может быть рассчитана с точностью не менее 10% по следующей формуле:
0,4R 1 10IGI
1,6 + (//^2 1 + (//<04’5Re0-5
Как видно из (7.34), протяженность участка стабилизации сильно растет с уменьшением параметра l/d. Тем не менее, регулируя входную температуру жидкости Го, можно добиться того, чтобы в камерах большей толщины
13. Зак. 1319
Рис. 7.8. Зависимость скорости жидкости на осн камеры от координаты у при различных значениях параметра G
Рис. 7-9. Профили продольной составляющей скорости жидкости при различных G (У = 1,6)
Рис. 7.10. Зависимость протяженности участка стабилизации от параметра G при R = 60
1 - Z/d = 15, $ = 0,5; 2 -l/d = 15, $=0,2; 3 -l/d = 10, $=0,5
протяженность участка стабилизации не превышала некую приемлемую величину. Из условия
10|G|
(//О4'5 Re» >5<К*
где К — некоторое число, получим
ЗДТ0 X"/2(K>0’sy1’5d-4’s
тс10gpTc
Полагая / = 5 см, <Ю = 0,1 см/с, v = 10~2 см2/с, d = 0,25 см, g= 103 см/с2, /3 = 10~4 1/ °C, Тс = 20 °C, К = 0,5, получим
-ЗДГо/Гс<О,ОЗ,
т. е. относительное отклонение температуры То от Tw + Тс/3, при которой реализуется изотермическое течение, не должно превышать 3%. Дальнейшее увеличение толщины камеры приведет к еще большему ужесточению этого требования.
Следует подчеркнуть, что результаты, приведенные в этом подразделе, получены на основе усредненных уравнений и не могут претендовать на точное количественное совпадение с экспериментом. Тем не менее представляется возможным сделать следующее заключение.
В условиях полной невесомости или при изотермическом течении на Земле увеличение толщины камеры при неизменных остальных ее размерах может приводить к резкому сокращению области параллельного течения и возникновению возвратных течений на начальном участке камеры.
Гравитационная чувствительность свободнопоточного электрофореза проявляется в том, что разность температуры поступающей в камеру жидкости и температуры, устанавливающейся в камере в результате баланса объемного тепловыделения и теплопереноса через стенки, приводит к увеличению или уменьшению скорости жидкости на начальном участке. При этом возможно возникновение вторичных течений, препятствующих электрофоретическому разделению.
Исследование зависимости протяженности участка стабилизации от числа Грасгофа показало возможность альтернативного невесомости способа увеличения производительности ЭФСП в лабораторных условиях, а именно сокращения длины участка стабилизации в камере за счет подходящего выбора температуры жидкости на входе.
Зона электрофоретического разделения
Изучая последовательно выделенные в разд. 7.2 области камеры, вслед за входным участком следовало бы рассмотреть область ввода разделяемой смеси в поток. Тем не менее сначала мы рассмотрим область параллельного течения жидкости и процесс электрофореза, происходящий в ней, так как несмотря на то, что перенос массы в области ввода смеси в поток оказывает влияние на результат разделения, это влияние не является определяющим.
В настоящем разделе исследуется структура двумерного параллельно-
го течения жидкости в камере и обосновывается правомерность использования одномерного приближения для полей скорости и температуры. Описан численный метод расчета концентрационных профилей и изучено влияние на концентрационные профили диффузии, тепловой конвекции, электроосмоса и толщины начальной зоны.
Структура двумерного параллельного течения. Двумерное параллельное течение жидкости с независящими от температуры свойствами в прямоугольной ячейке для ЭФСП при наличии силы тяжести, параллельной направлению потока, и объемного тепловыделения было впервые рассмотрено в [267]. В этой же работе приведена и одномерная модель, учитывающая зависимость электропроводности жидкости от температуры. Автор отметил довольно существенное различие результатов одномерного и двумерного расчетов. Ниже этот вопрос подробно исследуется и определяются границы применимости одномерного приближения, которое в дальнейшем будет широко использоваться при расчетах концентрационных профилей.
Параллельное течение жидкости характеризуется тем, что компоненты вектора скорости Fx и Vz обращаются в нуль, а температура и составляющая Vy зависят лишь от поперечных координат х и z. С учетом сказанного и при условии, что свойства жидкости постоянны, система уравнений (7.12) —(7.14) в стационарном случае, будучи записанной в безразмерных переменных, примет вид
д2иу/дх2 + d2uy/dz2 = dp/dy + (Gr/Re^O,(7.35)
Э20/Эх2 + d20/dz2 = -1.(7.36)
В ура мнении (7.35) градиент давления Ьр/Ъу не может не быть константой, та < как он не может зависеть от координат х и z в силу того, что проекции уравнения (7.12) на оси х и z обращаются в нуль, и не может зависеть от координаты у, поскольку от нее не зависят остальные члены уравнения (7.35).
Все величины, входящие в (7.35), (7.36), соответствуют величинам, введенным в п. 7.3.1, за исключением того, что в качестве масштаба скорости введена скорость Ui, смысл которой будет ясен в дальнейшем.
Граничными условиями для (7.35) служат условия прилипания:
х = ± 1, z = ±l/d: иу = 0,(7.37)
а для уравнения (7.36) примем условия термостатирования:
х = ±1, z = +l/d: 6 = 0.(7.38)
Решение уравнения (7.36) с граничными условиями (7.38), как нетрудно показать, имеет вид
=2(-l)n+1
0 = 0,5(1 -x2) + S ■ •ch (Xnz) cos (Xnx),(7.39)
n=o X„ ch(Xn Z/d)
Xn=irQA*n\ n = 0, 1,...
Первый член в правой части (7.39) представляет собой решение одномерного уравнения теплопроводности вида 0" = -1 с граничными условиями 0 (—1) = 0 (1) = 0. Второй член при Z/d > 1 заметно отличается от нуля лишь 196
вблизи границ z = ± l/d. Аналогично и решение (7.35) может быть представлено в виде суммы решения соответствующей одномерной задачи, зависящей только от координаты х (см. уравнение (7.20)), и функции двух переменных х, z:
3„ Gr„
uv(x, z)=- (1 -х )-(1 - 6х2 + 5х4) —
у ’ 2120 Re,
_ 6 ~ (-l)"ch(Xnz)cos(Xnx) + Gr ~(-1У
n=o X„ch(X„//d)Rei n=o Х„ ch (XnZ/d)
/X„Z24zch(X„z)
X( th—+ -, - -)-—■
dXndX25 X„
Интегрируя (7.40) по сечению канала, получим связь скорости Ui, использованной выше как масштаб скорости, и средней расходовой скорости и или, что то же самое, связь числа Рейнольдса Ret и числа Рейнольдса Re, рассчитанного по средней (по расходу) скорости:
(7.41)(7.41)Rei = «1 (Re — ot2 Gr), th(X„Z/d) I"1 / n=0 X„
(7.41)
(7.41)
dd" th(X„Z/d) ГЗ 4 2Z/d n=o X= ^5 ~ X„ sh(X„ Z/d)
d
d
Как видно из (7.39), (7.40), зависящие от z слагаемые в соотношениях для скорости параллельного течения и температуры являются функциями, экспоненциально убывающими с увеличением расстояния от границ z = = ± l/d. Характерное расстояние, на котором скорость и температура перестают зависеть от z, определяется первым собственным числом Хо = я/2 и в размерных величинах по порядку величины равно толщине камеры. Графические изображения двумерного профиля скорости иу при различных значениях параметров можно найти в [267]. Здесь отметим, что наличие силы тяжести приводит к тому, что вблизи границz = ±l/d слои охлажденной жидкости движутся со скоростью, превышающей среднюю скорость в области одномерного течения. Это объясняет и соотношение (7.41).
Значения параметров ах и а2 при различных значениях l/d приведены ниже:
l/d5101530
а,1,151,071,051,02
а, • 1038,24,22,81,4
В пределе Z/d-’-°°, как следует из (7.41), параметр oti стремится к единице, а параметр а2 — к нулю. В то же время из (7.41) с учетом приведенных данных видно, что при достаточно больших значениях числа Грасгофа различие чисел Рейнольдса Re и Rei может быть существенным. Отметим, что в условиях полной невесомости или при изотермическом течении число Рейнольдса одномерного течения несколько больше числа Рейнольдса, рассчитанного по среднерасходовой скорости.
В электрофоретической камере в области параллельного течения может
197
существовать и составляющая скорости жидкости vz, порождаемая электроосмосом, которая приводит к изменению температурного поля и распределению иу [188]. Эти эффекты также локализованы вблизи границ.
Наиболее важный для дальнейшего вывод из изложенного в этом разделе состоит в том, что в большей части камеры реализуются одномерные распределения скорости и температуры. При этом средняя скорость жидкости в области одномерного течения Ui с точностью до d/l совпадает со средне- расходовой скоростью и.
Массоперенос в зоне электрофоретического разделения в условиях полной невесомости. В этом подразделе будут описаны процессы, связанные с переносом разделяемых компонент смеси, рассмотрен механизм серповидного уширения концентрационного профиля, изучено влияние диффузии и электроосмоса в условиях, когда влияние неизотермичности на течение жидкости пренебрежимо мало. Концентрация компонентов смеси предполагается настолько малой, чтобы ее влиянием на течение жидкости также можно было пренебречь. В конце раздела будут приведены данные о влиянии нелинейных по концентрации смеси эффектов.
Рассмотрим эффект серповидного искажения зон в ЭФСП [48, 198, 285]. Зависимость вертикальной составляющей скорости жидкости от поперечной координаты х приводит в отсутствие диффузии к тому, что частицы смеси, попавшие в камеру в различные точки, перемещаются в направлении оси у с различными скоростями. В результате частицы, обладающие одной и той же электрофоретической скоростью, но находящиеся различное время под действием электрического поля, смещаются на различное расстояние. Распределение концентрации компонента смеси на выходе камеры приобретает характерную серповидную форму (см. рис. 7.1), а концентрационный профиль становится асимметричным. Электроосмотический поток вносит дополнительный вклад в размывание.
Серповидное уширение экспериментально исследовалось в работах [103, 262, 286].
Вертикальная компонента скорости для изотермического одномерного течения описывается соотношением
иу = \,5U (1 - x2/d2), U - средняя линейная скорость. (7.42)
(В соотношениях (7.42) —(7.44) используются размерные величины.)
Электроосмос порождает горизонтальную компоненту скорости, которая, согласно [72], записывается в виде
иг=иос-1,5иос(1-х2^). (7.43)
Уравнение (7.43) легко выводится путем интегрирования одномерного уравнения Навье—Стокса с граничным условием uz(-l) = uz(l) = иос, где иос — электроосмотическая скорость жидкости, и условием замкнутости течения в направлении оси z. Соотношение (7.43) было впервые получено Смолуховским и хорошо подтверждено экспериментально.
Частицы разделяемого вещества с электрофоретической подвижностью д перемещаются со скоростью иу вдоль оси у и со скоростью рЕ + vz вдоль оси z. Частица, попавшая при вводе в поток в слой жидкости, отстоящий от плоскости х = 0 на расстояние х0, к моменту выхода из камеры сместит-
ся на расстояние z* от точки ввода:
* - [м^ + ^^о)]^ = h 2(д£'+уос)Z " иу(х0) U 3(1—Xo/d2)
где h — протяженность области электрофоретического разделения. Зависимость (7.44) и определяет серповидную форму распределения концентрации компонентов на выходе камеры. Из (7.44) следует, что для компонента смеси, электрофоретическая скорость которого равна электроосмотической скорости с обратным знаком, электрофоретическое смещение не зависит от начального положения частицы и серповидное искажение отсутствует [218]. Применяются специальные покрытия стенок камеры для достижения описанного эффекта компенсации [286].
Совместное воздействие серповидного искажения, вызванного профилем скорости жидкости, и диффузии разделяемого вещества на концентрационные профили изучалось в работах [24, 211, 259], где в различных приближениях решались уравнения (7.4), (7.5). Входящие в эти уравнения компоненты скорости жидкости задавались в виде (7.42), (7.43), а коэффициент диффузии и электрофоретическая подвижность предполагались постоянными.
В работе [259] концентрационный профиль компонента смеси рассчитывался для частного случая иос = 0 при помощи обобщенного дисперсионного метода. Авторы показали, что даже весьма малые значения коэффициента диффузии приводят к заметному уширению концентрационного профиля по сравнению с бездиффузионным случаем. Был получен также неожиданный результат, состоящий в том, что размывание концентрационного профиля увеличивается при уменьшении коэффициента диффузии компонента.
Другой подход к анализу диффузионных эффектов в ЭФСП был применен в [211]. Автор исходил из стационарного уравнения конвективной диффузии и, пренебрегая диффузией по координате х, получил аналитические решения для предельного случая больших чисел Пекле. Там же были проведены дополнительные расчеты по формулам [259] и было показано, что в модели [259] зависимость размывания концентрационного профиля от поперечного числа Пекле имеет минимум, однако, если следовать [211], эта особенность не обнаруживается.
В обеих упомянутых теоретических работах в качестве граничного условия при у = О авторы задавали дельта-функцию, что не позволило исследовать его влияние на концентрационный профиль, а о том, что такое влияние бывает существенно, свидетельствуют эксперименты [198].
Исследование диффузионных эффектов в зональном ЭФСП в широком диапазоне чисел Пекле путем численного решения стационарного уравнения конвективной диффузии было проведено в работе [24], которой в основном мы будем следовать в этом разделе.
Согласно приближению тонкого канала, применяемому в случае значительного преобладания продольного характерного размера над поперечным, что имеет место в рассматриваемой системе Q/d > 1), в проекции потока массы (7.5) на ось у можно пренебречь диффузионной составляющей по сравнению с конвективной. Стационарное уравнение (7.4) в этом
случае в безразмерных переменных примет вид
ЭСЭСh ЭС ЭС d2Ch ЭС ЭС d2CVv + (uz + Уэ) — = Р [Г + 1 >у dy V z 3 d dz 1 dx2 dz2Vv + (uz + Уэ) — = Р [Г + 1 >у dy V z 3 d dz 1 dx2 dz2(7-45)(7-45)
ЭС
ЭС
h ЭС ЭС d2C
h ЭС ЭС d2C
Vv + (uz + Уэ) — = Р [Г + 1 >
у dy V z 3 d dz 1 dx2 dz2
Vv + (uz + Уэ) — = Р [Г + 1 >
у dy V z 3 d dz 1 dx2 dz2
(7-45)
(7-45)
где координата у измеряется в единицах h и отсчитывается от границы зоны электрофоретического разделения, координаты х и z — в единицах d, скорости — в единицах U, а концентрация измеряется в единицах исходной концентрации компоненты в разделяемой смеси, иэ = yE/U.
Граничными условиями для (7.45) служат условия непроницаемости стенок камеры для компонентов смеси:
х = ±1: ЭС/Эх = О,(7.46)
условие ’’бесконечной ширины" камеры:
z = ±°°: С=0,(7.47)
которое означает, что компоненты смеси в процессе разделения не достигают примембранных зон. Граничное условие при у = 0 зададим в виде двумерной ступенчатой функции
С (х, 0, z) = [7 (z + 7) -1 (z - 7)] [Z (z + a) -1 (z - a)],(7.48)
где /(r) = 0 при r < 0, /(r) = 1 при r > 0; 7 и а представляют собой полуширину и полутолщину распределения концентрации, сформированного в результате ввода смеси в поток. Подробно этот вопрос будет обсуждаться в разд. 7.5. Здесь мы приведем связь параметров 7 и а, следующую из условия баланса массы. Интегрируя (7.48) с весом иу по плоскости (х, z), получим
Q а
7 = - [ / иу ^1 1 >(7-49)
2 -а
где Q — объемный расход разделяемой смеси, измеряемый в единицах Ud1. С учетом (7.42) из (7.49) получим
7 = fi/(6a-2a3). (7.50)
Для эффективного численного решения уравнения (7.45) с граничными условиями (7.46) — (7.48) проводилось преобразование координат вида ^ — z — zoy, у = У, х = х, где z0 — минимальное смещение частиц по оси z при у = А, после чего уравнение решалось методом переменных направлений. Конвективные члены аппроксимировались направленными разностями. Такой способ аппроксимации, хотя и обеспечивает монотонность разностной схемы, приводит к появлению фиктивного диффузионного потока вдоль оси z. В рассматриваемой ситуации схемная диффузия не оказывает заметного влияния на результаты расчетов, так как основной механизм формирования концентрационного профиля связан с серповидным искажением, имеющим конвективную природу. Кроме того, приведенное выше преобразование координат позволяет уменьшить эффект схемной диффузии.
Из уравнения (7.45) и граничных условий (7.48) следует, что концентрационный профиль зависит от параметров Р, h/d, иэ, uOc/u» а> Q Безразмер- 200
Рис. 7.12. Изоконцентраты в выходной плоскостиа - Р = 0,0306, б - 0,306, в - 0,612, г - з,0бРис. 7.12. Изоконцентраты в выходной плоскостиа - Р = 0,0306, б - 0,306, в - 0,612, г - з,0б
Рис. 7.12. Изоконцентраты в выходной плоскости
а - Р = 0,0306, б - 0,306, в - 0,612, г - з,0б
Рис. 7.12. Изоконцентраты в выходной плоскости
а - Р = 0,0306, б - 0,306, в - 0,612, г - з,0б
Рис. 7.11. Влияние диффузии на концентрационные профили (h/d = 200, а = 0,5, <2 = 8, иэ = 0,1, иос = 0)
1 - Р = 0,01, 2 - 0,1, 3 - 0,7, 4 - 3,5, 5-8
ный параметр Р, входящий в (7.45), представляет собой отношение характерного времени пребывания разделяемых частиц в камере к характерному диффузионному времени, за которое эти частицы диффундируют на расстояние порядка толщины камеры. Следует ожвдать, что в случае Р < 1 распределение концентрации компонента на выходе камеры будет иметь серповидную форму, а при больших Р будет более однородным.
Влияние диффузии на концентрационный профиль, вычисляемый согласно (7.8), проиллюстрировано на рис. 7.11. Здесь приведены концентрационные профили, рассчитанные при различных значениях параметра Р. Как видно из рисунка, при малых значениях Р диффузия приводит к удлинению хвоста концентрационного профиля (кривые 1, 2). При значении Р = 0,7 (кривая 5) заметно значительное уширение профиля и смещение его максимума в направлении электрофоретического движения. Дальнейшее увеличение параметра Р приводит к некоторому уменьшению ширины концентрационного профиля (кривая 4), а затем вновь к его уширению (кривая 5). Положение максимума при этом стабилизируется; концентрационный профиль приобретает форму, близкую к симметричной.
Описанная трансформация концентрационного профиля связана с диффузионным перераспределением вещества по толщине камеры. На рис. 7.12 изображены линии равной концентрации в плоскости нижней грани камеры при Р, равном 0,0306, 0,306, 0,612 и 3,06.
Из рис. 7.12, а видно, что в случае слабой диффузии распределение вещества по сечению камеры действительно сохраняет характерную серповидную форму. Положение максимума концентрационного профиля определяется смещением основной части вещества, сосредоточенного вблизи центральной плоскости камеры х = 0. Диффузия вещества в пристеночные слои приводит к его более длительному фракционированию и увеличению электрофоретического смещения, что отражается в удлинении хвоста концентрационного профиля, уменьшении его максимального значения и уширении (см. рис. 7.11, кривая 2, и рис. 7.12, б). Увеличение параметраР приводит, как видно из рис. 7.12, в, к еще большему расплыванию зоны и к уменьшению неоднородности распределения концентрации по толщине камеры. Наряду с возрастанием z-составляющей потока массы, уширение зоны объясняется также диффузией вещества из пристеночных слоев, выдвинутых в направлении электрофоретического движения по отношению к основной части камеры. Происходит диффузия вещества в пристеночные слои, вынос его вперед и последующий возврат в центральную часть. В случае Р > 1, когда характерное диффузионное время превосходит характерное время пребывания частиц в камере, вещество распределяется по толщине камеры практически равномерно (рис. 7.12, г).
Зависимость положения максимума концентрационного профиля Az от параметра Р приведена на рис. 7.13, а. Видно, что смещение максимума быстро увеличивается при возрастании Р от 0 до 1 и затем зависимость постепенно выходит на плато. Согласно (7.44) в бездиффузионном случае смещение частиц, находящихся в центральной области, определяется соотношением
h
Lz= — (2иэ—иос).(7.51)
За
В случае сильной диффузии, когда распределение концентрации по толщине камеры практически равномерно, положение максимума определяется отношением средних скоростей движения вещества в направлении z и у и равно
A z = (/г/б) иэ,(7.52)
что и объясняет поведение зависимости, приведенной на рис. 7.13, а.
Зависимости полуширины концентрационного профиля д'от параметра Р для двух различных значений полуширины начального распределения концентрации а приведены на рис. 7.13, б. Наиболее важной особенностью этих зависимостей является их немонотонность. Кривые имеют локальный максимум при Р ^ 0,7, когда характерные времена пребывания частиц в камере и диффузии по толщине камеры приблизительно равны. Имеется также локальный минимум в зависимости полуширины профиля от параметра Р, наличие которого можно объяснить, пользуясь аналогией между массопереносом в электрофоретической камере и тейлоровской дисперсией [287] вещества в капилляре, где зависимость эффективного коэффициента диффузии от молекулярного коэффициента имеет минимум.
Влияние электроосмоса на концентрационный профиль в случае слабой диффузии проявляется в смещении максимума концентрационного про-
Рис. 7.14. Влияние электроосмоса на концентрационные профили (h/d = 200, а = 0,5, С = 8, иэ = 0,1)
а — слабая диффузия (Р = 0,01); б — сильная диффузия (Р = 3). иос/иэ: 1 — -1; 20,5; 3 - О; 4 - 0,5; 5 - 1
филя и в его уширении [211]. На рис. 7.14, а приведены концентрационные профили, соответствующие этому случаю. Положение максимума хорошо описывается соотношением (7.51). В случае сильной диффузии, как показывают численные расчеты, ситуация меняется. На рис. 7.14, б представлены концентрационные профили, рассчитанные при значении параметра Р = 3. Из рисунка видно, что смещение максимума концентрационного профиля мало меняется при изменении Пос/^э, в отличие от случая слабой диффузии, и близко к значению, определяемому соотношением (7.52). В то же время уширение концентрационного профиля существенно зависит от электроосмоса.
Наконец, проиллюстрируем влияние полутолщины начальной зоны а на концентрационный профиль. На рис. 7.15, а приведены концентрационные профили, рассчитанные при трех значениях полутолщины начальной зоны д для случая слабой диффузии Р = 0,01. Из рисунка видно заметное
= 200, Q = 16, иэ = ОД , «ос = 0)_
а — слабая диффузия (Р = 0,01), б — сильная диффузия (Р= 2). 1 — а —0,3, 2 0,45,3- 0,8
Рис. 7-16. Влияние концентрационных эффектов на уширение распределения концентрации в камере
Верхняя часть — расчет ЭФСП двух компонент с учетом зависимости вязкости и электропроводности жидкости от концентрации компонентов смеси; нижняя — расчет для бесконечно малой концентрации. Сплошные и штриховые линии - линии равной концентрации быстрого и медленного ком- .понента смеси соответственно
влияние полутолщины начальной зоны на протяженность хвоста концентрационного профиля и его асимметрию.
В случае сильной диффузии, как показано на рис. 7.15, б, концентрационные профили, соответствующие различных значениям а , отличаются очень незначительно.
Приведенные выше результаты относятся к случаю полной невесомости, изотермичности жидкости и бесконечно малой концентрации разделяемой смеси. При учете влияния концентрации смеси на электропроводность среды возникают новые эффекты.
В работе [7] рассмотрено электрофоретическое разделение двух компонентов смеси на основе более общей модели, чем использованная в настоящем разделе. Авторы предполагали, что электропроводность среды линейно зависит от концентрации компонентов смеси и решали уравнение (7.45) совместно с уравнением (7.6), описывающим распределение электрического поля в электрофоретической камере. Результаты моделирования приведены на рис. 7.16, любезно предоставленном авторами [7]. Видно, что взаимодействие компонент через электрическое поле и изменение электрического поля разделяемым веществом приводит к ухудшению
разделения и дополнительному размыванию. Результаты численного моделирования [7] качественно согласуются с результатами натурных экспериментов.
Влияние неизотермичности на концентрационные профили. Неизо- термичность жидкости, связанная с джоулевым тепловыделением, приводит, как отмечалось выше, к искажению пуазейлевского профиля скорости. Влияние искаженного профиля на концентрационный профиль компонент исследовалось в работах [22, 212], где различными методами были получены близкие результаты. Неизотермичность в достаточно толстых камерах, где перепады температуры по толщине камеры могут составлять 10—15 , требует учета зависимости свойств среды от температуры [22, 47, 195, 267]. Однако сравнение концентрационных профилей, рассчитанных с учетом и без учета зависимости свойств среды от температуры, показывает, что фактически необходимо учитывать лишь температурную зависимость вязкости и электропроводности.
Принимая зависимость вязкости и электропроводности от температуры линейной, запишем
t? = t?w ^>-аТс8\ а = а^ (\ + аТс6),(7.53)
где а — температурный коэффициент вязкости; nw и aw — вязкость и электропроводность жидкости при температуре стенок камеры.
Решая одномерные уравнения баланса тепла и импульса
ddvvйРGr
— (1-Х29)—= - — + @„
dxdxдрRej(754)
d , d9
— (1 + X29)— =-l
dxdx
с граничными условиями
9 (1) = 9 (—1) = 0, uy (l) = Vy(-I)=0
и условием постоянства расхода i
/ и ydx = 1, -1
получим [22]
- cos 2 Хх],(7.55)- cos 2 Хх],(7.55)Grsin 2 X
- cos 2 Хх],
(7.55)
- cos 2 Хх],
(7.55)
u (X) = /(x) + ———-—[f (x) ( -- - cos X) - cos 2 X
Re i(2 cos Ху 2X
x sin Xx + cos Xx/X — sin X cos X/X f (x) = —■-,
2 sin X/X2 — sin X — 2 cos X/X
X2 = aTc.
Профили вертикальной составляющей скорости жидкости, рассчитанные по (7.55), приведены на рис. 7.17, а концентрационные профили, соответствующие разделению в этих потоках, — на рис. 7.18. Концентрационный профиль, соответствующий значению Gr/Rei = 0 (рис. 7.18, кри-
205
Рис. 7-18. Влияние параметра Gr/Re, на концентрационные профили при Р = 0,01, hid = 200, Q = 16, иэ = 0,1, иос = 0
Кривые 1-5 - то же, что на рис. 7.17
Рис. 7.17. Зависимости вертикальной составляющей скорости жидкости от поперечной координаты (№ =0,3)
Gr/Re,: 1 - 0, 2 - 24, 3 - 50, 4 - 80, 5 30
вая У), имеет характерный для бездиффузионного электрофореза в пуазейлевском потоке асимметричный вид. С увеличением Gr/Re! профиль скорости в центральной части становится более плоским (см. рис. 7.17, кривая 2), скорость на оси камеры уменьшается. Такая форма профиля скорости приводит к существенному увеличению электрофоретического смещения компонента и уменьшению размывания концентрационного профиля (см. рис. 7.18, кривая 2) по сравнению с первым случаем. Дальнейшее увеличение параметра Gr/Re! приводит к тому, что в зависимости скорости жидкости от координаты х появляется локальный минимум при х = 0 (рис. 7.17, кривая 5). В этом случае вещество, находящееся вблизи оси х, движется медленнее в направление оси у, чем вещество, сосредоточенное вблизи локальных максимумов скорости, и вследствие этого выдвигается вперед в направлении электрофоретического движения. Ширина концентрационного профиля при этом увеличивается (см. рис. 7.18, кривая 3}.
При еще больших значениях Gr/Rei локальный минимум скорости становится более выраженным (см. рис. 7.17, кривая 4), а концентрационный профиль размазывается по ширине камеры (рис. 7.18, кривая 4). Электрофоретическое разделение в таком режиме невозможно.
В случае, когда направления вынужденного течения жидкости и вектора силы тяжести антипараллельны (ориентация ’’upflow”), с увеличением абсолютного значения параметра Gr/Rei, принимающего при этом отрицательные значения, происходит, наоборот, обострение профиля скорости (рис. 7.17, кривая 5). Указанное обстоятельство приводит к уширению концентрационного профиля в сравнении с тем, что имело место в предыдущем случае при том же абсолютном значении Gr/Rei (рис. 7.18, кривая 5).
Из приведенных графиков видно, что существует некоторое оптимальное значение Gr/Re!, при котором достигается наименьшее уширение концентрационного профиля. Этот эффект был отмечен в работе [218]
на основе качественных соображений. Это оптимальное значение можно найти из условия равенства нулю второй производной скорости при х = 0. Дважды дифференцируя в (7.40) не зависящую от г часть, находим
(Gr/ReJonr = 30,
а с учетом влияния неизотермичности на характеристики среды, используя первые два члена разложения (7.55) по параметру X2, получим
(Gr/Rcj )опт = 30 (1—0,7Х2).
Здесь следует подчеркнуть, что в этом разделе используется число Рейнольдса, рассчитанное по средней скорости в области одномерного течения, которое может быть несколько меньше числа Рейнольдса, рассчитанного по среднерасходовой скорости.
Основной вывод из рассмотренного состоит в том, что влияние тепловой конвекции в области одномерного течения жидкости при параллельной ориентации основного течения и вектора силы тяжести приводит к уменьшению размывания концентрационного профиля при Gr/Re, < 30 по сравнению с изотермическим течением.
Расчеты показывают, что ориентация камеры в поле тяжести, при которой основное течение и вектор силы тяжести антипараллельны, менее предпочтительна.
Массоперенос в области ввода смеси в поток
Как было показано в п. 7.4.2, в случае, когда диффузионное размывание концентрационного профиля незначительно, большую роль в уширении концентрационного профиля играет поперечное распределение концентрации смеси, формируемое при вводе ее в поток. В свою очередь распределение концентрации определяется течением жидкости в области ввода смеси в поток и геометрическими размерами инжектора смеси.
Расчет концентрации вводимого вещества был кратко описан в [23]. Как и прежде, будем считать, что концентрация смеси мала настолько, что изменение вязкости, вызванное ее наличием, пренебрежимо мало. В случае полной невесомости распределение концентрации может быть рассчитано из уравнения переноса массы (7.4). Скорость жидкости, входящая в это уравнение, определяется путем решения системы уравнений Навье—Стокса, в общем случае трехмерной.
Чтобы упростить задачу, мы рассмотрим массоперенос смеси при вводе ее в поток из щелевого инжектора, изображенного схематично на рис. 7.19. Ширина щелевого инжектора 2 у значительно больше его толщины 2 б и толщины камеры 2 d.
Аналогично тому как в п. 7.3.2всилуразличияхарактерных масштабов системы предполагалось, что составляющая скорости Vx затухает на значительно меньшем расстоянии от входа жидкости в камеру, чем составляющая V,, предположим, что и в области ввода смеси в поток составляющая Vx затухает на расстоянии г$ от торца инжектора, в то время как скорость Vz затухает на расстоянии г7, много большем г^.
В обоснование этого предположения можно привести следующие сообра-
Образец
Рис. 7.19. Схема подачи разделяемой смеси в камеру через инжектор
Рис. 7.20. Схема расчетной области и граничные условия для моделирования массо- переноса при вводе смеси в поток
Рис. 7.21. Распределение концентрации смеси по поперечной координате на выходной границе области ввода вещества в поток (Sc = 103, Re = 10, 6 = ОД, 6' = 0,2)
Пунктир — граница внутреннего канала инжектора
жения. Введем сренюю в области Я (заштрихована на рис. 7.19) скорость жидкости U'. По порядку величины расстояние г5 должно быть равно U’d1 (v, в то время как расстояние т^ определяется значительно большей величиной: Re 7.
Принимая сделанное предположение, можно выделить ’’быструю” координату х и ’’медленную” z и заключить, что формирование распределения концентрации осуществляется сначала в поперечном направлении при замороженной координате z внутри области, ограниченной расстоянием от торца инжектора порядка г8, а затем при замороженном поперечном распределении концентрации происходит перемещение смеси вдоль оси z.
Поскольку, как было показано в п. 7.4.2, на концентрационный профиль существенно влияет поперечное распределение концентрации, задававшееся в виде ступенчатой функции, и именно оно является целью расчета, достаточно рассмотреть первую часть задачи, допускающую двумерную постановку.
Двумерные уравнения динамики жидкости и переноса имеют следующий вид:
йшЭсе1Э2сиЭ2си
+ их = (7- + 7 ),(7.56)
ЭуЭхReЭу2Эх2
си =-Э2^/Эу2 + Э2 ^/Эх2,иу = - Э ф/йх, их=йф/йу,
ЭСЭС1Э2СЭ2С
uv+ их— =— (; + —7-),(7.57)
У йу ' Эх Re Sc Эу2 Эх2
где координаты измеряются в единицах полутолщины камеры d, а скорости в единицах U*, которая предполагается постоянной; Sc = v(D — число Шмидта; координата у отсчитывается от торца инжектора.
Схема расчетной области приведена на рис. 7.20. Здесь представлено поперечное сечение камеры плоскостью z = const, проходящей через инжектор. Начало локальной системы координат совмещено с точкой 0. Инжектор имеет внутренний канал толщиной 2 5'. Толщина стенок инжектора равна 5”.
3(1-9)(2х—1 —8'—8 ")2. 2(1—S'—8")(1—S'—5")23(1-9)(2х—1 —8'—8 ")2. 2(1—S'—8")(1—S'—5")2Граничными условиями на входе области служат три пуазейлевских профиля скорости. На твердых границах задаются условия прилипания. Протяженность области выбирается достаточно большой, чтобы в ней устанавливалось течение Пуазейля. Граничные условия имеют следующий
3(1-9)(2х—1 —8'—8 ")2
. 2(1—S'—8")(1—S'—5")2
3(1-9)(2х—1 —8'—8 ")2
. 2(1—S'—8")(1—S'—5")2
3(1-9)(2х—1 +8' + 8'')\, .,
—г"„ П-*;—— ,о<х< 1-6-6",
2(1-8'-8")(1-6'-6")
0,1—6'—8" <х < 1—8',
их!у=о = -<
3q(х-1)2,,
—7 [1 ,1—6<х<1+6,
26'6'
0,1 + 6' <х < 1 + 6' + 6”,
вид:
1 +6" + 6"<х< 2,
14. Зак. 1319
uxly=o=O’ иУ’ VX lx = O ;2 = ^’ uxly=rs ~ 0,(7-58)
"Л=г6=| [1(^-1)2],
_ f 1, |х-1|<5',
<V° |q, |х—1|>б', dC/dx|x=0 ;2 - О, ЭС/Эу^-^^ = О.
Отметим, что входная граница расчетной области выбрана совпадающей с торцом инжектора. Такое упрощение оправданно, поскольку расчеты показали, что изменение задаваемых на границе профилей скорости практически не сказывается на рассчитываемой концентрации вещества на выходной границе области.
Искомое стационарное поперечное распределение концентрации CJx) = = С|У=Г6 на границе области находилось путем численного решения системы уравнений (7.56), (7.57). Эта функция параметрически зависит от безразмерных величин 5', 6", Re', Sc, q, где q — безразмерный линейный расход смеси, измеряемый в единицах U'd. Однако, как показали расчеты, в разумном с точки зрения техники диапазоне параметров ((5' + 5") < < 0,7, Re <10, Sc>103) вид функции Ci определяется в основном параметром q.
На рис. 7.21 приведено семейство кривых С^х), рассчитанных при различных значениях q. Это распределение имеет достаточно резкие границы и может быть аппроксимировано ступенчатой функцией с полушириной а , как это было сделано в подразд. 7.4.2. Для а легко получить приближенное соотношение, интегрируя (7.57) с учетом указанной аппроксимации концентрации на выходной границе и с учетом граничных условий:
<? = 3/2 (д-д3/3).(7.59)
Соотношение (7.59) хорошо подтверждается результатами численных расчетов.
Заключительные замечания
Природа гравитационной чувствительности ЭФСП, связанной с тепловой конвекцией, состоит в том, что подача в камеру жидкости, средняя температура которой отличается от средней температуры жидкости в камере, сопровождается возникновением конвективных течений. Кроме того, искажения профиля вертикальной составляющей скорости за счет тепловой конвекции при достаточно большой толщине камеры приводит к сильному размыванию концентрационного профиля.
Осуществление ЭФСП в условиях невесомости само по себе не гарантирует улучшения качества электрофоретического разделения. Так, увеличение толщины камеры может приводить к возрастанию протяженности участка стабилизации течения и возникновению рециркуляционных течений, а увеличение концентрации разделяемой смеси — сопровождаться размыванием зон за счет искажений электрического поля.
Существуют альтернативные невесомости способы повышения производительности и улучшения качества ЭФСП: за счет подбора температуры
поступающей в камеру жидкости возможно уменьшение участка стабилизации; выполаживание профиля скорости жидкости конвективным потоком позволяет уменьшить размывание концентрационного профиля.
Приложение 1
ПРИМЕНЕНИЕ ПЕРСОНАЛЬНЫХ КОМПЬЮТЕРОВДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА
В данном приложении кратко описана новая система численного моделирования нелинейных задач конвекции на персональных ЭВМ, с помощью которой могут решаться многие из задач, упоминающихся в гл. 2 и 3. Подробное изложение можно найти в работе [67].
В этой системе, которая является продолжением разработанных ранее комплексов [134], реализованы основные методические, программные, системные достижения авторов, полученные в последние годы в лаборатории математического и физического моделирования в гидродинамике Института проблем механики АН СССР. Система функционирует на базе персональных компьютеров АТ-286 и АТ-386 и позволяет проводить численное решение двумерных (для плоских или осесимметричных областей, в том числе областей сложной геометрии) задач свободной (гравитационной и/или термокапиллярной) и вынужденной конвекции на базе уравнений Навье—Стокса в приближении Буссинеска (см., например, уравнения (2.1)-(2.4)). Функциональная часть этой системы основана на методе конечных разностей и является наиболее отработанной как авторами, так и другими исследователями. Методы и программы надежно тестированы в широком диапазоне параметров, в частности путем сравнения результатов с известными тестами [187, 243]. Вместе с тем это самая большая по информационной насыщенности и трудоемкости часть, особенно при ориентации системы на персональные компьютеры. Базовый уровень моделей и комплексов программ позволяет включать различные модули, в том числе для исследования практически всех указанных в классификациях (см. рис. 2.1,2.2, 3.1) процессов:
естественной, вынужденной и смешанной конвекции;
тепловой, концентрационной, термоконцентрационной и термокапиллярной конвекции;
двумерных задач конвекции в области сложной геометрии; трехмерных задач гидродинамики и тепломассообмена;
исследование ряда линейных задач гидродинамической устойчивости (см. приложение 2).
Общий характер исходных уравнений, использование эффективных методов численного моделирования и развитый интерфейс позволяют применять комплекс при решении широкого класса задач из различных областей техники и технологии. Комплекс отличает наглядность представления результатов вычислений в числовом и графическом виде. Организация интерфейса в форме меню обеспечивает простое взаимодействие
пользователя с системой. Наличие комфортного интерфейса и наглядной графической формы представления результатов делает систему удобным средством для обучения современным методам численного моделирования и анализа расчетных данных.
Комплекс относится к виду проблемно-ориентированных многофункциональных программных средств и представляет собой взаимосвязанную систему программ, реализованных на ПВМ, совместимых с IBM. Все программы могут работать автоматически под управлением специального командного файла либо в интерактивном режиме. Связи между модулями осуществляются управляющей программой, которая обеспечивает диалоговое взаимодействие пользователя с системой и выполняет пользовательский запрос на расчет или обработку данных.
Основной областью применения этого комплекса являются автоматизированные системы научных исследований (АСНИ). Универсальность системы, основанная на возможности описания и решения широкого класса задач, позволяет проводить исследования в различных прикладных областях, и в первую очередь для изучения конвективных процессов в невесомости, характеризующихся не слишком большими значениями числа Рэлея.
Диалоговый режим является основным режимом при работе с системой. Интерактивное взаимодействие осуществляется посредством меню, при помощи которого пользователь может задать различные варианты геометрии расчетной области, граничных условий, теплофизических свойотв. Выбор пунктов меню осуществляется клавишами управления курсором. Для каждого пункта меню дается краткое пояснение в нижней строке экрана, и при необходимости может быть получены подробная контекстная подсказка. В комплекс включены возможности ввода данных в размерном виде, осуществляется контроль данных, корректности и полноты задания и др. Выполняется частичная обработка результатов, графический вывод в процессе счета и расширенная постобработка. Имеется возможность сохранения результатов работы с комплексом: протоколов работы, результатов расчетов, сведений для продолжения расчета.
Рассмотренная версия комплекса наряду с широкими функциональными возможностями по решению задач конвективного тепломассообмена на основе общей гидродинамической модели обладает достаточно простыми средствами взаимодействия с пользователем. Это делает ее доступной широкому кругу специалистов при решении задач в различных предметных областях и дает возможность для создания баз знаний на основе уравнений Навье—Стокса.
Таким образом, можно считать, что сегодня решение всех задач, содержащихся в гл. 2, 3, уже находится в пределах возможностей описываемой системы. К числу интересных применений этой системы относится задача о конвективном тепломассообмене при изменении угла наклона слоя по отношению к вектору массовой силы (для сравнения см. разд. 6.5). Приведем пример: на сетке 10 X 100 при значениях параметров Ra = 104, Pr = 1, H/L- 0,1, период обращения 0,01 система позволяет, начиная со стационарного режима валиковой конвекции (ячейки Рэлея—Бенара), получить квазистационарный (почти теплопроводностный) режим прогрева за 1015 мин на ЭВМ IBM РС/АТ-386.
Очевидно, что большие потенциальные возможности описанной системы могут быть реализованы лишь в сочетании с опытом исследований в области класса задач, рассмотренных в этой книге.
Приложение 2
УСТОЙЧИВОСТЬ КОНВЕКТИВНЫХ ТЕЧЕНИЙ
В настоящем приложении рассматривается метод решения линейной задачи устойчивости конвективного течения многокомпонентной несжимаемости жидкости в плоском бесконечном слое. Изложенная методика реализована в виде программного комплекса и использовалась при исследовании всех задач устойчивости, описанных в книге (подробнее см. [119]).
Рассмотрим движение тяжелой жидкости в поле силы тяжести в плоском бесконечном слое конечной толщины. Координатную систему выберем таким образом, чтобы ось z была направлена поперек слоя, оси х и у - вдоль слоя, а начало системы координат находилось в середине слоя. Пусть жидкость содержит L примесей (в качестве одной из них может быть взята температура), концентрация которых определяет плотность всей системы. В приближении Буссинеска описывающие конвективное движение уравнения могут быть записаны в следующем безразмерном виде в области —1 < z < 1:
L i ,
du/dz + (u-Vu) =-Vp + Ди + ( 2 Grzcz)e, z = i
div(u) = 0,(n21)
Эс'/Э/ + и ■ V.cz = (1/Pr1) Ac', 7=1,2,..., L,
где и = (u,u,w) - вектор скорости течения; р - давление; е = (^ , е2, е3) - вектор, направленный против силы тяжести; с1, Gr1, Рг1 - концентрация, число Грасгофа и число Прантля Ай примеси.
В зависимости от границ слоя (твердые, свободные, с поверхностным натяжением) на плоскостях z =-1, z = 1 для системы (П2.1) ставятся граничные условия, которые в общем виде можно записать
^wm W "*" bwm <)W^Z = Wm ,
alcmCl*blcm bcl/c)z = c1m, l=l,2,-,L,
L(П2.2')
amu + bmdu/bz =um + (Maz/Prz)9cz/9x, 1=1
am u + bm dv/dz = vm + 2 (Ma'/Pr')9c79j, 1=1
где индекс m = 1 соответствует границе z = -1, а индекс m = 2 - границе z=l; Ma1 число Марангони Z-й компоненты. Мы не будем уточнять здесь процесс обезразмеривания и смысл безразмерных критериев, они могут меняться от одной конкретной задачи к другой и должны опре-
делиться при использовании. Отметим только, что таким набором параметров описывается достаточно много реальных задач.
Исследование устойчивости решений системы (П2.1) с граничными условиями (П2.2) проводится методом малых возмущений (см., например, [54]). Пусть у исходной системы имеется решение, описывающее плоскопараллельное течение, заданное в виде
u = Uo(z),v = Vo(z),W = O,
с1 = G^х + Gcy + cz(z), / = 1,2,..., L.( j
где Gc^ и Gcy - константы, задающие возможный градиент /-Й примеси вдоль слоя. Для проверки устойчивости этого решения линеаризуем систему (П2.1) в окрестности решения (П2.3) и будем искать возмущения в виде произведения некоторой амплитудной функции, зависящей от координаты z, на гармоническую волну вида ехр [/ (кхх + ку у) + Хг].
Обозначим амплитудные функции возмущений скоростей, давления и концентраций буквами и, v, w, р, а1, введем параметры р и а - модуль и угол наклона волнового вектора (^х, ку^ и, делая замену
17 = ucosa + usina, д = —zzsina + ucosa,
приходим к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (штрих обозначает дифференцирование по z) :
Х17 + zp (1/Ocosa + Ко sina) 1? + фо cosa + Vo sina) w =
= -ipp +17" — p117 + (gjcosa + e2sina) 2 Grzaz, z=i
Хд + z'p (l/0cosa + К05ша)д + (— Uq sina + Vo cosa) w =
= д" - р2д + (—Ci sina+e2cosa) 2 Grzaz, z = i
Xw +/рф0со8а + Kosina)w = p* + w" — p2w + e3 2 Grzaz, (П2.4) 1= 1
ipT) + w' = 0,
\al *1рф0со&а + Kosina)az + Cq + Gcx (i7cosa - д sina) +
+ Gcly (17sina + дcosa) = (1/Prz)(az" — p2az), 1 = 1,2, ...,L.
Из условий (П2.2) краевые условия для возмущения записываются следующим образом:
(П2.5)(П2.5)^wm w + bwm W 0, azma‘ + ^maz' = 0, /=1,2, ...,Z, amp + bmp' = 0,
(П2.5)
(П2.5)
amr) + bmT)' = ip S (Mnz/Prz)az. z= 1
Задача определения устойчивости решения (П2.3) при бесконечно малых возмущениях сводится к решению краевой задачи на собственные значения (П2.4) с граничными условиями (П2.5). Собственное число X этой задачи показывает, затухает ли возмущение с волновым вектором ^кхДу^ (ReX<0) или растет (ReX>0). Таким образом, если найдется хотя бы один вектор (кх, ку), которому соответствует растущее возмущение, то исследуемое решение неустойчиво. В пространстве параметров задачи можно определить нейтральную поверхность G, в точках которой все собственные значения X имеют неположительную действительную часть, причем найдется возмущение с волновым вектором (к*, ^*), для которого собственное число с максимальной действительной частью X* имеет нулевую действительную часть (нейтральное возмущение). Мнимая часть ImX* собственного числа, соответствующего нейтральному возмущению, определяет частоту колебаний возникающего вторичного течения, действительность собственного числа X* означает возникновение нового стационарного течения (монотонная потеря устойчивости).
Полученная краевая задача на собственные значения решается с использованием метода К.И. Бабенко, описанного в [12]. Дискретизация производится методом коллокаций, при этом основным моментом является выбор узлов для интерполирования искомого решения и выбор узлов, в которых проверяется выполнение уравнения. В описываемом методе узлы интерполяции и коллокации выбираются одинаковыми и располагаются в нулях многочлена Чебышева первого рода. Коротко изложим используемый метод.
Аппроксимируем входящие в задачу (П2.4) функции многочленами, удовлетворяющими краевым условиям (П2.5). Для этого на отрезке -1 <z <1 выберем и узлов
((2/-1)л|
{ Z,- = cos ; / = 1,2, ...,и >
I 2иJ
в нулях многочлена Чебышева первого рода Г„(г). Построим интерполяционные многочлены Лагранжа
7 = 1,2, ...,и,7 = 1,2, ...,и,Тп^ PdzV,
7 = 1,2, ...,и,
7 = 1,2, ...,и,
'(z-^T^z,)’
характеризующиеся тем, что значение многочлена Ру в /-м узле равно единице, а в остальных - нулю.
Так как граничные условия для давления не заданы, аппроксимируем давление p(z) многочленом степени п -1
п
p(z)~ S p(Zy)Py(z), / = 1
значения которого в узлах интерполяции совпадают со значениями функции p(z).
Для аппроксимации остальных функций с учетом краевых условий предлагается использовать интерполяционные многочлены специального вида. Покажем, как это делается для аппроксимации функции w(z)
215
(подробности, в частности способ аппроксимации функции i?(z) с учетом более сложных краевых условий, можно найти в [119]).
Введем интерполяционные многочлены
^/(z)= {(z - zj) [cj(z+zf)+df] + 1} P^, /=1,2, ...,n,
где числа Cj и dj определяются из условий
swl ^(-1) + ^! W/(-l) = 0,
aW2^(l) + 6w2H//(l) = 0,
т.е. многочлены ^ (z) должны удовлетворять соответствующим краевым условиям из (П2.5). После определения таким образом многочленов ^(z) аппроксимируем функцию w(z) полиномом степени и + 1:
п
w(z)~ 2 w(z)W(z),
7 = 1
принимающим в узлах интерполяции те же значения, что и интерполируемая функция. Полученный многочлен автоматически удовлетворяет требуемым краевым условиям.
Для дискретизации решаемой задачи подставим в систему (П2.4) вместо неизвестных функций аппроксимирующие их многочлены и возьмем ее ограничение на узлы интерполяции zpi = 1, 2,.... п. Отбросив погрешность аппроксимации, получаем конечномерную задачу на собственные значения. Эта задача имеет нестандартный вид, но, исключая давление при помощи уравнения несжимаемости, можно привести ее к обычному виду Ах = Хх, где вектор х описывает неизвестные амплитудные функции (собственные моды), а комплексная матрица А определяется граничными условиями и параметрами задачи. Полученная задача на собственные значения может решаться одним из известных методов нахождения спектра комплексной матрицы.
Используемый метод, т.е. аппроксимация решений задачи (П2.4), (П2.5) многочленами, позволяет определить невязки полученного решения не только в узлах коллокации, но и в произвольной точке отрезка -1 <z <1, что дает возможность оценивать качество полученного решения (достаточно ли большое значение и порядка аппроксимации выбрано для решения задачи). Для получения такой оценки необходимо находить как собственные числа, так и собственные значения алгебраической задачи.
При построении нейтральных кривых и поверхностей нужны только собственные значения, что сокращает время проведения расчета. Процедура получения нейтральной кривой сводится к нахождению экстремума действительной части максимального собственного числа по волновым числам при фиксированных параметрах задачи и к определению нулей действительной части собственного числа при фиксированных волновых числах.
Представленная методика реализована в виде программного модуля, написанного на языке Фортран, и работает на ЭВМ типа ЕС и WAX. Тестирование программ продемонстрировало высокое качество аппроксимации используемого метода, результаты расчетов хорошо согласуются с результатами, полученными другими методами.
Приложение 3
МАТРИЧНОЕ РЕШЕНИЕУРАВНЕНИЙ НАВЬЕ—СТОКСА
При решении некоторых нестационарных задач, например задачи о горизонтальной направленной кристаллизации (см. п. 5.2.2), требуется находить решения при достаточно больших временах. Поэтому возникает необходимость решать уравнения Навье-Стокса (2.20)-(2.22) с большим временным шагом.
Авторами работы [104] был предложен матричный итерационный метод решения уравнений переноса вихря и уравнения Пауссона (2.20), (2.21) с линеаризацией разностных уравнений по методу Ньютона и была показана возможность расчета этих уравнений с большим временным шагом (например, т = 1 -г 100). Однако добавление в рассчитываемую систему уравнений (2.20), (2.21) уравнения переноса температуры (2.22) в ряде случаев может ослаблять устойчивость расчетной схемы.
Рассмотрим два метода решения системы уравнений (2.20) -(2.22) при Сгд = 0 и ip = 0.
Методом 1 будем называть метод, реализующийся на каждом временном слое по следующей схеме.
Решаются совместно уравнения (2.20), (2.21) с вектором неизвестных размерности два: вихрь, функция тока (имеется в виду вектор приращений указанных функций) - неявным матричным (а-/3-2)-методом с аппроксимацией конвективных членов на верхнем временном слое и линеаризацией разностных уравнений по методу Ньютона [8,104].
Методом продольно-поперечной прогонки [8, 134] решается уравнение переноса температуры (2.22), аппроксимируемое неявной разностной схемой, и осуществляется переход на следующий временной слой.
Методом 2 будем называть неявный матричный (а-/3-3)-метод решения системы уравнений (2.20) -(2.22) с аппроксимацией всех членов уравнений на верхнем временном слое и линеаризацией разностных уравнений по методу Ньютона, с вектором неизвестных размерности три: вихрь, функция тока, температура (имеется в виду вектор приращений указанных функций) -ис аппроксимацией правой части F уравнения (2.20) на верхнем временном слое.
При матричном решении системы уравнений (2.20)-(2.22) методом 2 для уравнений переноса вихря (2.20) и температуры (2.22) могут использоваться различные схемы. В настоящей работе использовалась одновременно для обоих уравнений либо схема центральных разностей (схема 1), либо схема с монотонной аппроксимацией Самарского (схема 2) с аппроксимациями на верхнем временном слое.
После аппроксимации уравнений Навье-Стокса (2.20)-(2.22) на девятиточечном шаблоне и линеаризации нелинейных разностных уравнений методом Ньютона получим систему линейных уравнений, которую можно записать в следующем матричном виде:
АуХ} _vXij - D^y Ху*1 + By Xj^,} + A^x^j^ j *Вух\]Х\ + (П3.1) +^^-i,/+1 ^ha1,/^ *M^xkt:xxa_x +F*=o.
Здесь ху +1 - вектор неизвестных размерности т (в частности, при m = 2 ^^(До^1, Д^-+1), при т=3 хГ = (Ц+*. Д0| + 1,Д^ + 1)), компонентами которого являются следующие разности: Дсиу 1 = ш^.+1 - -шу, Д0у + 1 =0y + 1 - V'y. Д^ + 1 = ^j*X ~6у-, к - номер итерации по методу Ньютона; Лу, Dy, By, Лу, By, Ку, By, Му, Ny - матрицы размерности т Хт; ’Ey - вектор правых частей размерности т.
Система матричных уравнений (П3.1) решается матричным («-^-методом [8, 104] с помощью двух итерационных циклов, основанных на формулах матричной прогонки.
При аппроксимации уравнений (2.20) -(2.22) на пятиточечном шаблоне матрицы Ку, Ly, Му, Ny будут нулевыми, что позволяет вдвое сократить число операций на каждой итерации по методу Ньютона и уменьшить время расчетов. Время, затрачиваемое на один временной слой, при решении уравнений (2.20), (2.21) с постоянной правой частью F методом 1 на порядок больше, чем при решении их продольно-поперечной прогонкой [134], но отсутствие лимита на временной шаг в методах 1 и 2 делает их эффективными при расчетах длительных, медленно меняющихся процессов.
Рассмотрим тестовую задачу о тепловой конвекции в замкнутой квадратной области с граничными условиями первого рода по температуре, изображенным на рис. 2.16. Эту задачу кратко будем называть задача 1. Расчеты задачи 1 методом 1 показывают, что при значениях числа Рэлея Ra>103 при т>0Д сходимость рассматриваемых функций (ш, ф, 5) к стационарным значениям приобретает колебательный характер, а при определенных соотношениях между временным шагом и числом Рэлея не имеет места (например, при Ra = 10* и т = 1, рис. П3.1). Этот результат имеет место как для схемы 1, так и для схемы 2. Поэтому для решения системы уравнений (2.20) -(2.22) методом 1 в зависимости от значения временнбго шага т требуется разное количество машинного времени, так как при увеличении т монотонный характер сходимости переходит в колебательный и при больших т решение расходится. Следовательно, для конкретных значений числа Рэлея существуют оптимальные значения временнбго шага. Например, для Ra = 10s на сетке 21 X 21 при т = 0,5 для получения стационарного решения требуется минимум времени ЭВМ.
Применение метода 2 для решения задачи 1 с центрально-разностной аппроксимацией конвективных членов (схема 1) позволяет увеличить временной шаг и избавиться от колебательной сходимости при больших значениях временного шага (т - 1) и умеренных значениях числа Рэлея (до 105). На рис. П3.1 представлена также зависимость максимальной функции тока от времени, полученная при решении задачи 1 (Ra=104, т = 1) методом 2 с центрально-разностной аппроксимацией конвективных членов в уравнениях переноса. Эта зависимость показывает, что стационарное значение достигается практически за один шаг, чего не было для этих же параметров при расчете методом 1. Поскольку схема с центрально-разностной аппроксимацией не является монтонной, то при больших значениях шага по времени т > 1 и числа Рэлея Ra > 10s решение ведет себя неустойчиво и расходится.
Рис. П3.1. Зависимости V'maxW при решении тестовой задачи 1 (Ra = 104) методом 1 (линии 1, 2) и методом 2 (линия 3)
1 - т = 0,1, 2, 3 - т= 1
Рис. П3.2. Зависимости максимальной функции тока от времени и профили вертикальной компоненты вектора скорости в среднем горизонтальном сечении при решении тестовой задачи 1
1 — метод [21 ], г = 1СГ®, 2, 3 — метод 2 (г = 10~2 и 1 соответственно)
Решение задачи 1 методом 2 с монотонной аппроксимацией конвективных членов в уравнениях переноса вихря и температуры позволяет расширить диапазон чисел Рэлея, рассчитываемых с большим временным шагом. На рис. П3.2 изображены решения задачи 1 при Ra = 10s в виде зависимостей максимальной функции тока при расчете с разными шагами по времени и профилей вертикальной компоненты скорости в среднем горизонтальном сечении. Кривые 1 были построены по данным, любезно предоставленным В.Л. Грязновым и полученным по явной методике на равномерной сетке с числом узлов 129X132 с использованием команд матричного модуля МАМО ЕС-1О55М [134]. Кривые 2, 3 получены методом 2 на неравномерной сетке с числом узлов 21X21 с временными шагами т = 10-2 и т = 1 соответственно. Решения, полученные с использованием большого шага по времени (т = 1) и малых шагов (т = IO-2,10-5) для стационарного режима, совпадают, т.е. для метода 2 стационарное решение не зависит от величины шага по времени. Следует отметить, что профили скорости, изолинии функции тока и изотермы, полученные методом 2 и по МАМО-методике [134], при указанных выше параметрах полностью совпадают, что говорит о хорошей точности решения, полученного методом 2 на неравномерной сетке 21 Х21 и т = 1. При решении уравнений Навье-Стокса матричным методом 2, позволяющим использовать большой шаг по времени, можно сократить время расчетов до 10 раз по сравнению с временем, необходимым для получения решения методом переменных направлений [134], и на порядок уменьшить временные затраты ЭВМ. Матричный метод 2 эффективен при параметрах, соответствующих медленно меняющимся или стационарным процессам.
Использование МАМО в сочетании с методом 2 позволяет в сравнении с методом переменных направлений еще сократить время расчета уравнений Навье-Стокса. Например, только замена в комплексе программ "МАРЕНА” блоков обнуления, переприсваивания и сравнения массивов позволяет сократить время еще в 1,3 раза на сетке 33 X 33.
Комплекс программ матричного решения уравнений Навье—Стокса "МАРЕНА”. Комплекс программ "МАРЕНА” (матричное решение уравнений Навье-Стокса) предназначен для матричного решения двумерных нестационарных нелинейных уравнений Навье-Стокса в приближении Буссинеска в переменных: вихрь, функция тока, температура. Комплекс позволяет решать уравнения Навье -Стокса с большим шагом по времени, с аппроксимацией всех членов уравнений на верхнем временном слое и последующей линеаризацией по методу Ньютона. Система линеаризованных разностных уравнений решается с помощью матричного (а-0)-метода [8,104].
В отличие от программной реализации этой методики авторами работы [104] данный комплекс позволяет решать систему уравнений Навье- Стокса (2.20) - (2.22) или ее часть, используя метод 1 или метод 2 [8]. Комплекс программ "МАРЕНА" позволяет применять по обеим координатам неравномерные сетки, различные граничные условия и аппроксимации уравнений, используя пяти- либо девятиточечный шаблон. Кроме этого, комплекс содержит программы матричного решения уравнений Навье-Стокса с учетом изменения геометрии рассчитываемой области по одной из координат с заданной скоростью. Некоторые подпрограммы комплекса имеют свои аналоги, использующие МАМО-команды [134], что позволяет сократить время расчета, применяя матричный модуль МАМО ЕС ЭВМ-1О55М.
Комплекс программ "МАРЕНА”, написанный на языке Фортран-IV, состоит из вычислительной части, содержащей реализации различных неявных разностных схем, лианеаризованных по методу Ньютона, в сочетании с матричным а-/3-методом решения разностных уравнений [104], а такж^ программ обработки информации.
Результаты тестовых расчетов. Рассмотрим задачу о тепловой конвекции вязкой несжимаемой жидкости в квадратной замкнутой области ЦН=\ (см. рис. 2.16). На верхней и нижней горизонтальных стенках
Таблица П3.1
Ra
Решение
Nu
* max
“max
“max
103
1
1,118
1,654
5,139
5,207
2
1,118
1,656
5,107
5,193
10*
1
2,243
7,142
22,786
27,630
2
2,245
7,090
22,411
27,388
105
1
4,519
13,538
48,915
96,606
2
4,560
13,538
49,592
95,894
10е
1
8,8
23,592
91,032
308,958
2
9,0
23,508
89,142
301,987
Обозначение: Nu — среднее значение числа Нуссельта на вертикальной стенке (х = О); V'max — максимальное значение функции тока; «щах — максимальное значение горизонтальной компоненты скорости в среднем вертикальном сечении (у = 0,5) ; итах — максимальное значение вертикальной компоненты скорости в среднем горизонтальном сечении (х = 0,5).
Рис. ПЗ.З. Зависимости максимальной функции токаи среднего значения числа Нуссельта от шага разностной сетки при решении тестовой задачи 2 методом 2 при Ra = = 104 (в) и Ra = 106 (б)
области заданы условия теплоизоляции, а на вертикальных стенках поддерживаются постоянные температуры: на левой (при х = 0) 0 = 1, на правой (х = 1) 0 = 0. Эту задачу в дальнейшем будем называть тестовой задачей 2. Рассматриваются стационарные режимы, соответствующие числу Прандтля Рг = 0,71 и числам Рэлея Ra = 103 106.
Данная задача была объявлена в качестве международного теста [187]. Более тридцати авторов прислали свои решения, которые были проанализированы и сравнены. В работе [187] отмечено, что наиболее точными из всех представленных решений задачи 2 является исходное ’’эталонное” решение, полученное экстраполированием на сетку с нулевым шагом решений, полученных конечно-разностным методом на разных сетках. ’’Эталонное” решение обозначено в табл. П3.1 цифрой 1. Следует отметить, что в работе [187] скорость обезразмерена через температуропроводность, а не через кинематическую вязкость, как в настоящей работе, поэтому для единообразия значения функции тока и скоростей из работы [187] были разделены на число Прандтля Рг = 0,71.
Расчеты задачи 2 проводились на вычислительных машинах ЕС ЭВМ-1055 и -1О55М с помощью метода 2 (монотонная аппроксимация А.А. Самарского, одинарная точность, неравномерная сетка 33X33, минимальный шаг у стенок й = 0,01) в сочетании со схемой 1. Результаты расчетов приведены в табл. П3.1 (решение 2).
Из сравнения величин, приведенных в табл. П3.1, можно сделать основной вывод, что метод 2 (решение 2) по точности решения задачи 2 уравнений тепловой конвекции (2.20)-(2.22) не уступает лучшим существующим методам [187]. Отличие ’’эталонного” решения (см. табл. П3.1, решение 1) от решения, полученного методом 2, не более 2,5%.
Решения, полученные при вычислении величин с одинарной й с двойной точностью, практически одинаковы, поэтому для рассматриваемой задачи (по крайней мере, для чисел Рэлея Ra<106) вычисления можно проводить с одинарной точностью (что, например, для метода 2 позволяет в 1,3 раза сократить объем оперативной памяти).
При больших значениях числа Рэлея решения, полученные на равномерной сетке, могут значительно отличаться от решений, приведенных в
табл. П3.1. Например, на сетке 33X33 при Ra = 107 разность скоростей достигает 50%. Это говорит о том, что плохо разрешается пограничный слой и равномерной сетки 33X33 для получения более точного решения не хватает, хотя на сетке с тем же количеством узлов, но со сгущением у границ при Ra = 107 можно получить решения с приемлемой точностью.
Методом 2 с монотонной аппроксимацией Самарского были проведены расчеты задачи 2 на разных сетках. Значения максимальной функции тока и среднего числа Нуссельта в зависимости от шага сетки показаны на рис. ПЗ.З (звездочками отмечены значения ’’эталонного” решения).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Гравитационная конвекция в условиях невесомости отличается рядом особенностей, существенных для технических и технологических приложений, к которым относятся возможность увеличения инерционности, неравномерности локальных потоков тепла по сравнению со средними, наличие максимума температурного (концентрационного) расслоения, вызываемого конвекцией, Слабая тепловая гравитационная конвекция, не оказывая влияния на поле температуры в расплавах полупроводников, может существенно влиять на распределение примесей. При этом вывод о влиянии условий невесомости на конвекцию оказывается принципиально различным в зависимости от режима конвекции в земных условиях. Переход в состояние невесомости может привести либо к смене режима конвективной неустойчивости или полному подавлению колебаний, обусловленных конвективной неустойчивостью и переходом в режим конвекции с повышенной температурной (концентрационной) неоднородностью, либо к переходу в диффузионно-тепловой (бескон- вективный) режим. Эти эффекты проявляются различно для расплавов с разными физическими свойствами и зависят от многих других параметров: геометрии объема, занятого жидкостью, характера подвода тепла и (или) массы, ориентации по отношению к вектору силы тяжести и др. Эти факторы могут рассматриваться в качестве потенциальных альтернативных невесомости возможностей управления гравитационной конвекцией.
В предельном состоянии теоретической невесомости, в котором полностью исключаются упомянутые выше эффекты гравитационной конвекции, сохраняется не меньшее разнообразие конвективных процессов негравитационного типа, также существенно зависящих от определяющих параметров. В особенности это относится к классу движений, вызываемых градиентами сил поверхностного натяжения, для которых в данной книге приведены результаты подробных параметрических исследований в зависимости от основного определяющего параметра — числа Ма- рангони, а также от геометрии рассматриваемого объема, тепловых граничных условий, наличия массообмена и взаимодействия со слабой гравитационной конвекцией.
Важным результатом общего характера является установление эффекта максимума температурного и концентрационного расслоения, который, как показано в гл. 2—6, является универсальным для всех механизмов конвекции как гравитационного, так и негравитационного типа.
Общие закономерности конвекции проявляются также в реальных условиях космического полета, отличающихся широким амплитудно- частотным диапазоном и наличием пространственных эффектов; для двумерных колебаний по аналогии со случаем постоянного микроускорения обнаружен резонансный эффект максимума расслоения примеси. Обнаружено также существенное отличие случаев равного или неравного нулю среднего во времени микро ускорения. В общем случае пространственно-временного изменения микроускорения получены результаты, относящиеся к анализу составляющих пространственных движений (действие силы Кориолиса) и к расчету гравитационной чувствительности конвекции для реального режима полета орбитальной станции. Установлена значительная роль низкочастотных составляющих микроускорения, измерение которых представляет значительные трудности.
В книге приведено лишь небольшое число примеров анализа технологических экспериментов в невесомости, и читатель может видеть, что такой анализ, даже при большом количестве упрощающих предположений, крайне трудоемок и растягивается на несколько лет. По-видимому, именно это является одной из главных причин целесообразности натурной обработки технологических экспериментов в условиях невесомости, результаты которых (конечно, при значительно большей затрате средств) получаются значительно быстрее. Учитывая это, представляется, что имеется широкое поле для эмпирического поиска новых физических эффектов, например, в гравитационно-чувствительных системах со сложными физико-химическими превращениями или сложной реологией и т.д. Впрочем, вопрос о том, куда вкладывать средства и может ли дать космическое материаловедение реальный экономический эффект, т.е. прибыль, далеко выходит за рамки книги. Ответ в значительной степени зависит от уровня наземной технологии и, конечно, от уровня развития науки о материалах в наукоемких областях технологии. Вся цепочка космическое материаловедение — наука — земное материаловедение сложна, и необходимые пропорции, если на них не влияет мода, устанавливаются в зависимости от общего уровня технологии.
Результаты детального анализа моделей трех различных технологических процессов: получения объемных монокристаллов направленной кристаллизацией в ампуле, полупроводниковых структур методом жидкостной эпитаксии и разделения веществ методом электрофореза в свободном потоке — указывают, с одной стороны, на наличие альтернативных невесомости управляющих воздействий, а с другой — на наличие ряда побочных эффектов, обусловленных конвективными процессами в невесомости. Результаты этого анализа не только дают представление о значительных возможностях улучшения качества материалов в земных условиях на основе более полного учета процессов конвективного переноса, но и позволяют оценить длительность и трудоемкость такого рода анализа.
По-видимому, только на пути учета всех этих факторов лежит обоснованный анализ экономической эффективности космического производства. Однако независимо от результатов такого рода анализа целенаправленное изучение конвективных процессов в невесомости позволило выявить много ’’новых знаний”, которые могут найти широкое применение. Возможно, например, что условия невесомости, в некотором смысле более общие, т.е. допускающие для конвекции большее число ’’степеней свободы”, чем земные, могут быть использованы для тех или иных целей в будущем или уже были как-то ’’использованы" в далеком прошлом на ранних стадиях эволюции.
Таким образом, исследование конвективных процессов при сложных пространственно-временных изменениях микроускорения, без сомнения, представляет увлекательную задачу, пути решения которой здесь частично намечены. .
Добавление при корректуре
Ниже представлен дополнительный список новых, вышедших или ставших известными авторам книги после сдачи рукописи в набор публикаций по вопросам, рассмотренным в книге:
методики расчета микроускорений, анализ измерений микроускорений на борту станции ’’Спейслаб-З” [4*, 26 *-28*],
теоретические и экспериментальные исследования гравитационной термоконцентрационной конвекции, включая устойчивость и колебания в расплавах [2*, 3*, 7*, 10*, 16*, 24*],
совместное действие термокапиллярной и тепловой гравитационной конвекции [15*. 19*. 29*. 31*],
влияние нестационарности микроускорений на конвекцию и распределение примеси в невесомости [6*, 20*, 22*, 23*, 30*, 32*],
макро- и микронеоднородности распределения примеси при направленной кристаллизации и жидкостной эпитаксии, включая действие магнитного поля [8*, 11*. 13*, 14*, 21*],
процессы разделения, в том числе моделирование электрофореза в свободном потоке [1*, 9*, 18*, 25*, 33*],
применение диалоговой PC-системы для анализа конвективных процессов в невесомости [12*, 17*, 23*].
Часть материала содержится в сборниках: Proceedings of the first NATQ,workshop on computer modelling in crystal growth from melt. Parma, Italy, April 1989 (J.-Cryst. Growth. 1989. Vol. 97, Nl); Proceedings of the IX-th International Conference on crystal growth. Tokyo, Japan, August 1989 (J. Cryst. Growth. 1990. Vol. 99); Low-gravity fluid dynamics and transport phenomena / Ed.: J. Koster, R. Sani. Wash.: AIAA Inc., 1990 (Progr. in Astronautics and Aeronautics; Vol. 130), которые для краткости будем обозначать в дополнительном списке литературы соответственно Proc. CMCG, Proc. ICCG, Progr. AA.
ЛИТЕРАТУРА
Абрамов О.И., Охотин А.С., Чаше* кина Ж.Ю, Результаты исследований кристаллов Pbj_xInxTe, полученных методом Бриджмена на установке ’’Кристалл" в условиях орбитальной станции ”Салют-6” // Технологические эксперименты в невесомости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. С. 47-58.
Авдуевский В.С., Агафонов М.С., Гришин С.Д. и др. Экспериментальные исследования по гидромеханике в условиях невесомости // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1985. Т. 49, №4. С. 681-686.
Авдуевский В.С., Бармин И.В., Гришин С.Д. и др. Проблемы космического производства. М.: Машиностроение, 1980. 224 с.
Авдуевский В.С., Гришин С.Д, Кривандина Е.А, и др. Технологический эксперимент ’’Диффузия” на орбитальной станции ”Салют-5” // Космич. нсслед. 1980. Т. 18, № 3. С. 415-419.
Авдуевский В.С., Полежаев В.И. Невесомость: теория, модель, эксперименты в космосе // Наука и человечество. М.: Наука, 1985. С. 210-225.
Аксенов А.А. Численное моделирование гидродинамических процессов в биотехнологических устройствах: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1988. 16 с.
Аксенов А.А., Гудзовский А.В., Кондранин Т.В., Серебров А.А. Движение фракций биопрепарата при зональном электрофорезе в условиях невесомости // Современные вопросы механики сплошной среды в геокосмиче- ских исследованиях: Междувед. сб. М.: МФТИ, 1987. С. 122-127.
Алимова Д.Р., Федюшкин А.И. Исследование неявного матричного метода решения уравнений тепловой конвекции. М.: ИПМ АН СССР, 1988. 24 с. Деп. в ВИНИТИ 20.01.88, № 447-В88.
Андреев В.М., Долгинов Л.М., Третъяков ДМ. Жидкостная эпитаксия в технологии полупроводниковых приборов. М.: Сов. радио, 1975. 328 с.
Зак. 1319
Андреев В.К, Пухначев В.В. Инвариантные решения уравнений термокапиллярного движения // Чнсл. методы механики сплош. среды. 1983. Т. 14, №5. С. 3-23.
Анисимов Н.Ю., Лесков Л.В. Физические особенности технологического процесса направленной кристаллизации в условиях невесомости // Технологические эксперименты в невесомости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. С. 124-139.
Бабенко К.И. Методы численного анализа. М.: Наука, 1986. 744 с.
Бабский В.Г., Жуков М.Ю., Юдович В.И. Математическая теория электрофореза. Киев: Наук, думка, 1983.
Бармин И.В., Безденежных Н.И., Брискман В.А. и др. Программа экспериментов на установке для исследования гидродинамических явлений в условиях невесомости // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1985. Т. 49, № 4. С. 698-707.
Бармин И.В., Верезуб Н.А., Копе- лиович Э.С. и др. О влиянии некоторых факторов на свойства полупроводниковых материалов, полученных бес- тигельной зонной плавкой в условиях микроускорений // Гидромеханика и тепломассообмен в невесомости. Новосибирск: СО АН СССР, 1988. С. 132141.
Бармин И.В., Волков Ю.Л., Егоров, А.В. и др. Свойства легированных кристаллов германия, полученных методом БЗП в условиях микроускорений // Там же. С. 114.
Бармин И.В., Волков Ю.Л., Копе- лиович Э.С. и др. Особенности осуществления бестигельной зонной плавки в специальных условиях // Перспективы и проблемы космического производства: Тр. XVII чтений К.Э. Циолковского. Калуга, 1983. С. 8-18.
Бармин И.В., Горюнов Е.И., Егоров А.В. и др. Оборудование для космического производства М.: Машиностроение, 1989. 256 с.
225
Бежан А., Имбергер Дж. Теплообмен при вынужденной и свободной конвекции в горизонтальном канале с различно нагретыми концами // Теплопередача. 1979. Т. 101, № 3. С. 40-46.
Бежан А., Тьен Ц.Л. Теплообмен при ламинарной свободной конвекции в горизонтальной полости с различно нагретыми торцевыми стенками // Там же. 1978. Т. 100, №4. С. 87-94.
Белецкий В.В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: Изд-во МГУ, 1975. 308 с.
Белло М.С. Влияние тепловой конвекции на концентрационные профили в свободнопоточном электрофоретическом сепараторе // Аэрофизика и геокосмические исследования: Между - вед. сб. М.: МФТИ, 1984. С. 74-80.
Белло М.С. Математическая модель получения биологических материалов методом зонального электрофореза в свободном потоке жидкости // Гидромеханика и тепломассообмен прн получении материалов / Под ред. В.С. Авду- евского, В.И. Полежаева. М.: Наука, 1990. С. 160-168.
Белло М.С., Виленчик ЛЗ. Диффузионные эффекты в свободнопоточном электрофорезе Ц Космическая наука и техника. Киев: Наук, думка, 1989. Вып. 4. С. 35-38.
Белло М.С., Полежаев В.И. Изотермическое течение вязкой несжимаемой жидкости в гидродинамической модели электрофоретической камеры // Изв. АН СССР. МЖГ. 1990. № 2. С. 14-20.
Беляев М.Ю. Научные эксперименты на космических кораблях и орбитальных станциях. М.: Машиностроение, 1984. 264 с.
Бердников В.С. Структура свободно-конвективного течения жидкости вблизи свободной поверхности теплообмена // Некоторые задачи гидродинамики н теплообмена. Новосибирск: СО АН СССР, 1976. С. 12-22.
Бердников В.С. Термокапиллярная конвекция в горизонтальном слое жидкости // Теплофизические исследования. Новосибирск: СО АН СССР, 1977. С. 99-104.
Бердников В.С., Забродин А.Г., Марков В.А. Тепловая гравитационнокапиллярная конвекция в полости с различно нагретыми торцевыми стенками // Структура вынужденных и термогра-
вцтационных течений. Новосибирск: СО АН СССР, 1983. С. 147-163.
Бердников В.С., Забродин А.Г., Марков В.А. Тепловая гравитационнокапиллярная конвекция в прямоугольной полости // Гидромеханика и процессы переноса в невесомости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. С. 136.
Берковский Б.Н., Полевиков В.К. Влияние числа Прандтля на структуру и теплообмен при естественной конвекции // Инж.-физ. журн. 1973. Т. 24, № 5. С. 842-849.
Бирих Р.В. О термокапиллярной конвекции в горизонтальном слое жидкости // ЖПМТФ. 1966. № 3. С. 67-72.
Болховитянов Ю.Б. Кинетика роста полупроводниковых пленок из раствора-расплава // Полупроводниковые пленки для микроэлектроники. Новосибирск: Наука, 1977. С. 170— 195.
Браверман Л.М. Некоторые задачи вибрационно-конвективной устойчивости однородной жидкости и смеси: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Пермь, 1988. 17 с.
Братухин Ю.К., Маурин Л.Н. Усгойчнво'сть термокапиллярной конвекции в жидкости, заполняющей полупространство Ц ПММ. 1982. Т. 46, вып.1. С. 162-165.
Браун Р.А. Конвекция и явления переноса в объеме жидкости // Космическое материаловедение: Введение в науч, основы космич. технологии / Под ред. Б. Фойербахера и др. М.: Мир, 1989. С. 59-90.
Бродский С.С., Головин А.М. Термокапиллярная конвекция в слое жидкости // ЖПМТФ. 1972. № 2. С. 49-58.
Бунэ А.В., Дубовик К.Г., Полежаев В.И., Федюшкин А.И. Тесты и модификации конечно-разностных схем для двумерных уравнений Навье-Сгокса. М., 1985. 60 с. (Препр. / ИПМ АН СССР; №260).
Вальциферов Ю.В., Полежаев В.И. Конвективный теплообмен и температурное расслоение в сфере, полностью заполненной жидкостью, при заданном потоке тепла // Изв. АН СССР. МЖГ. 1975. №5. С. 150-155.
Васин В.Г., Полежаев В.И. Разностные схемы для уравнений Навье- Сгокса сжимаемого газа и расчет термоакустических волн. М., 1977. 47 с. (Препр. / ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР; №124).
Березу б Н.А. Исследование тепло- массопереноса при получении полупроводниковых структур методом жидкостной эпитаксин // Гидромеханика и тепломассообмен при получении материалов. М.: Наука, 1990. С. 49-56.
Верезуб Н.А., Зубрицкая И.Н., Егоров В.А. и др. Исследование особенностей получения некоторых полупроводниковых систем на установке ’’Сплав’’ // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1985. Т. 49, №4. С. 687-690.
Верезуб Н.А., Копелиович Э.С., Полежаев В.И., Раков В.В. Особенности процессов тепломассообмена в расплавах некоторых элементарных полупроводников и соединений типа А3В5 в условиях невесомости // Технологические эксперименты в невесомости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. С. 79-94.
Вертгейм И.И., Любимов ДВ. Конвекция в ячейке Хеле-Шоу при подогреве сбоку // Исследование тепловой конвекции и теплопередачи. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1981. С. 32-35.
Волчинская Н.И., Четверуш- кин Б.Н Об одном итерационном методе решения двумерных уравнений диффузии излучения // Жури. вычисл. математики и мат. физики. 1977. Т. 17, № 2. С. 428-436.
Восковский М.И., Волков И.И., Грязев Н.И. и др. Несферическая модель плотности верхней атмосферы // Космич. исслед. 1973. Т. 11, вып. 1. С. 70-80.
Гаврюшкин А.В., Брезгунов В.Н., Мазанов А.Л. Тепловые и гидродинамические характеристики электрофореза в свободном потоке. М., 1986. Деп. в ВНИИСЭНТИ, № 329-86.
Гаврюшкин А.В., Брезгунов В.Н., Мазанов А.Л. Анализ факторов, влияющих на электрофорез в свободном потоке. 2. М., 1986. Деп. в ВНИИСЭНТИ, № 330-86.
Гебхарт Б. Свободно-конвективные течения в технике: Фримановская лекция (1978) Ц Теорет. основы инж. расчетов. 1979. Т. 101, № 1. С. 109-114.
Гебхарт Б. Случайная конвекция в условиях невесомости // Невесомость: Физ. явления и биол. эффекты. М.: Мир, 1964. С. 120-145.
Герценштейн С.Я., Рахманов А.И. Конвекция в плоском слое жидкости, вращающемся вокруг горизонтальной оси // ДАН СССР. 1983. Т. 269, № 3. С. 561-564.
Гершуни Г.З., Жуховицкий ЕМ. Вибрационная тепловая конвекция в невесомости//Гидромеханика и процессы переноса в невесомости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. С. 86-105.
Гершуни Г.З., Жуховицкий ЕМ. Конвективная устойчивость // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1978. Т. 11. С. 66-154.
Гершуни Г.З., Жуховицкий ЕМ. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1972. 392 с.
Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 320 с.
Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Сорокин ЛЕ. Об устойчивости плоскопараллельного конвективного течения бинарной смеси Ц ПММ. 1980. Т. 44, № 5. С. 823-830.
Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Тарунин Е.Л. Численное исследование стационарной конвекции в полости прямоугольного сечения со свободной верхней границей // Гидродинамика. Пермь, 1971. С. 106-125. (Учен. зап. Перм. ун-та; Вып. 3).
Гершуни Г.З., Жуховицкий ЕМ., Юрков Ю.С. Вибрационная тепловая конвекция в квадратной полости в невесомости // Конвективные течения. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. С. 86-105.
Гидромеханика н процессы переноса в невесомости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. 168 с.
Гидромеханика и тепломассообмен в невесомости. М.: Наука, 1982. 264 с.
Гидромеханика и тепломассообмен в невесомости. Новосибирск, 1988. 70 с.
Гидромеханика и тепломассообмен при получении материалов // Под ред. В.С. Авдуевского, В.И. Полежаева. М.: Наука, 1990. 296 с.
Гидромеханика невесомости/Под ред. А.Д. Мышкиса. М.: Наука, 1976. 504 с.
Головинкин А.В., Мешков М.А., Серебров А.А. Формирование ламинарного потока с заданными гидродинамическими характеристиками в камере прямоугольного сечения // Современные вопросы механики сплошной среды в геокосмических исследованиях: Между- вед. сб. М.: МФТИ, 1987. С. 132-139.
Гришин С.Д., Дубовский В.Б., Обыденников С.С., Савичев В.В. Исследование малых ускорений на борту орбитальной научной станции "Салют-6”
Ц Технологические эксперименты в невесомости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. С. 6-14.
Грязнов В.Л. Численное исследование термоконцентрационной конвекции и образования слоистых структур в расплавах в условиях нормальной и пониженной гравитации // III Всесоюз. семинар по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости: Тез. докл. Черноголовка: ИФТТ АН СССР, 1984. С. 32-34.
Грязнов В.Л., Ермаков М.К., Никитин С.А., Павловский Д.С. Решение задач конвекции на персональном компьютере: Препр. ИПМ АН СССР. № 481. М., 1990. 20 с.
Дайковский А.Г., Полежаев В.И., Федосеев А.И. Исследование структуры переходного н турбулентного режимов конвекции в вертикальном слое // Изв. АН СССР. МЖГ. 1978. № 6. С. 66-75.
Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981. 638 с.
Дубовик К.Г., Никитин С.А., Полежаев В.И. и др. Конвективные процессы в невесомости и их значение в задачах космической технологии // Гидродинамика и тепломассообмен в невесомости. М.: Наука, 1982. С. 61-71.
Дубовик К.Г., Павловский Д.С., Полежаев В.И., Федюшкин А.И. Конвективные процессы при получении монокристаллов ВТСП. М., 1989. 47 с. (itpenp. / ИПМ АН СССР; № 434).
Ду хин С.С., Дерягин Б.В. Элект- трофорез. М.: Наука, 1976. 328 с.
Жак ВЛ, Мухин В.Л., Накоря- ков В.Е., Сафонов СА. Распространение затопленной струи в тонкой щели //ЖПМТФ. 1985. № 3. С. 69-77.
Жовнир Г.И., Марончук И.Е. Процессы массопереноса при получении эпитаксиальных структур соединений А3 В5 из жидкой фазы // Автометрия. 1980. №6. С. 22-32.
Земсков В.С. Сегрегация компонентов сплавов, обусловленная явлением барометрической молекулярной диффузии в потенциальных полях гравитационных и центробежных сил // ДАН СССР. 1977. ,Т. 233, № 2. С. 341-344.
Земсков В.С., Белокурова И.Н., Хавжу Д.М. О распределении примеси в поперечном сечении кристаллов при направленной кристаллизации в невесомости // Физика и химия обраб. материалов. 1985. № 6. С. 75-80.
Земсков В.С., Иванов Л.И., Са
вицкий Е.Е. и др. Основные итоги экспериментов в невесомости и некоторые проблемы космического материаловедения И Изв. АН СССР. Сер. фнз. 1985. Т.49,№4. С. 673-680.
Земсков В.С., Титков А.А., Белокурова И.Н. и др. Особенности распределения кремния и сурьмы в кристаллах твердых растворов германий-кремний- сурьма, полученных в эксперименте ’’Универсальная печь” по программе ’’Союз-Аполлон” // Физика и химия обраб. материалов. 1977. № 5. С. 135 — 138.
Зимин В.Д., Ляхов Ю.Н., Шайдуров Г.Ф. Экспериментальное изучение поля температуры при естественной конвекции жидкости в замкнутой прямоугольной области // Гидродинамика. Пермь, 1971. С. 126-136. (Учен. зап. Перм. ун-та; Вып. 3).
Зимин В.Д., Пшеничников А.Ф. Ячеистая конвекция в стратифицированной среде Ц Гидродинамика. Пермь, 1974. С. 197-203. (Учен. зап. Перм. ун-та; № 316).
Ишлинский А.Ю. Механика относительного движения и силы инерции. М.: Наука, 1981/191 с.
Киргинцев А.И., Исаенко Л.И., Исаенко В.А. Распределение примеси при направленной кристаллизации. Новосибирск: Наука, 1977- 256 с.
Кирдяшкин А.Г. Структура тепловых гравитационных и термокапиллярных течений в горизонтальном слое жидкости в условиях горизонтального градиента температуры. Новосибирск, 1982. 34 с. (Препр. / Ин-т теплофизики СО АН СССР; №79-89).
Кирдяшкин А.Г. Термокапиллярная и термогравитационная конвекция в горизонтальном слое жидкости // Гидромеханика и процессы переноса в невесомости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. С. 126-135.
Кирдяшкин А.Г. Термокапиллярные периодические течения. Новосибирск, 1985. 37 с. (Препр. / Ин-т геологии и геофизики СО АН СССР; № 8).
Кирдяшкин А.Г, Полежаев В.И., Федюшкин А.И. Тепловая конвекция в горизонтальном слое при боковом подводе тепла // ЖПМТФ. 1983. № 6. С. 122- 128.
Кирдяшкин А.Г., Полежаев В.И., Федюшкин А.И. Тепловая конвекция в горизонтальном слое прн боковом подводе тепла // Гидромеханика и космиче-
ские исследования. М.: Наука, 1985. С. 170-187.
Ковтуненко В.М., Камеко В.Ф., Яскевич Э.П. Аэродинамика орбитальных космических аппаратов. Киев: Наук, думка, 1977- 156 с.
Копбосынов Б.К., Пухначев В.В. Термокапиллярное движение в тонком слое жидкости // Гидромеханика н процессы переноса в невесомости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. С 116- 125.
Космическое материаловедение: Введение в науч, основы космич. технологии / Под ред. Б. Фойербахера н др. М.:Мир, 1989. 478 с.
Костогоров Е.П., Штессель Э.А., Мержанов А.Г. Нестационарная естественная конвекция в охлаждающих жидкостях // Инж.-фнз. журн. 1979. Т. 37, № 1. С. 5-12.
Кускова Т.В., Полежаев В.И. Численное исследование движения неизотермической вязкой жидкости, содержащей пузырь, в условиях пониженной гравитации // Вычислительные методы и программирование. М.: Изд-во МГУ, 1974. Вып. 23. С. 54-75.
Кутателадзе С.С., КирдяшкинАГ., Бердников В.С. Влияние термокапиллярных сил на процессы переноса у свободной поверхности жидкости в горизонтальном слое прн турбулентной тепловой гравитационной конвекции // ДАН СССР. 1976. Т. 231, № 2. С. 309-311.
Ландау Л.Д, Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. М.: Наука, 1986. Т. 6: Гидродинамика, 736 с.
Лебедева Т.И., Пинягин А.Ю., Пшеничников А.Ф. Свободная конвекция газа в горизонтальном цилиндре квадратного сечения // Конвективные течения. Пермь, 1981. С. 123-129.
Лебедев А.П., Полежаев В.И. Возмущающие ускорения на борту орбитальной станции и их влияние на распределение примеси в расплавах Ц III Всесоюз. семинар по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости: Тез. докл. Черноголовка: ИФТТ АН СССР, 1984. С. 180-181.
Лебедев А.П., Полежаев В.И. Математическое моделирование возмущающих ускорений в экспериментах космической технологии // Гидромеханика и тепломассообмен в невесомости. М.: Наука, 1982. С. 163-172.
Левич ВТ. Физико-химическая гидродинамика. М.: Физматгиз, 1959. 699 с.
Литвин А.А., Марончук И.Е. Особенности выращивания эпитаксиальных слоев нз ограниченного объема раствора-расплава // Кристаллография. 1977. Т. 22, вып. 2. С. 425-428.
Лодиз Р.А., Паркер Р.Л. Рост монокристаллов. М.: Мир, 1974. 540 с.
Любимов Д.В., Путин Г.Ф., Чернатынский В.И. О конвективных движениях в ячейке Хеле-Шоу // ДАН СССР. 1977. Т. 235, № 3. С. 554-556.
Люмкис Е.Д., Мартузан Б.Я., Мартузане Э.Н. Взаимодействие потоков, вызванных термокапиллярной конвекцией и вращением при зонной плавке, н их влияние на распределение примеси // Технологические эксперименты в невесомости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. С. 163-178.
Мазанов А.Л., Гаврюшкин А.В. Методы математической обработки экспериментальных данных электрофореза в свободном потоке: Анализ распределения материала по сечению проточной камеры // Молекуляр. биология. 1984. № 36. С. 34-43.
Мажорова О.С., Попов Ю.П. Матричный итерационный метод численного решения двумерных уравнений Навье-Сгокса // ДАН СССР. 1981. Т. 259, № 3. С. 535-540.
Материалы III Всесоюзного семинара по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1985. Т. 49, № 4. С. 625-730.
Махвиладзе ГМ., Николова И.П. Развитие очага горения в реагирующем газе в условиях естественной конвекции. М., 1981. 52 с. (Препр. / ИПМ АН СССР; №189).
Мильвидский М.Г., Пелевин О.В., Сахаров В.А. Физико-химические основы получения разлагающихся полупроводниковых соединений. М.: Металлургия, 1974. 392 с.
Мызникова Б.И., Тарунин Е.Л. Свободная конвекция в расправленных металлах при кристаллизации // Математические методы в исследовании процессов специальной электрометаллургии. Киев: Наук, думка, 1976. С. 129-135.
Накоряков В.Е., Яичникова И.Н. Ламинарная струя в узкой щели при больших числах Рейнольдса // ЖПМТФ. 1985. №5. С. 30-35.
Невесомость: Физические явления и биологические эффекты / Под ред. Э. Бенедикта, М.: Мир, 1964. 275 с.
Непомнящий А.А., Симановский И.Б. Термокапиллярная и термо-
229
гравитационная конвекции в двухслойной системе н искривленной поверхности раздела // Изв. АН СССР. МЖГ. 1984. №3. С. 175-179.
Непомнящий А.А., Симановский И.Б. Термокапнллярная конвекция в двухслойной системе // Там же. 1983. №4. С. 158-163.
Никитин С.А. Численные исследования гидродинамики и распределения примеси при направленной кристаллизации в условиях невесомости // III Всесоюз. семинар по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости: Тез. докл. Черноголовка: ИФТТ АН СССР, 1984. С. 181-182.
Никитин С.А., Полежаев В.И. Конвекция и перенос тепла в сферическом сосуде, частично заполненном жидкостью, в условиях пониженной гравитации // Изв. АН СССР, МЖГ. 1976. №2. С 154-159.
Никитин С.А., Полежаев В.И., Федюшкин А.И. Конвекция и распределение примеси в кристаллах при направленной кристаллизации в невесомости // Технологические эксперименты в невесомости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. С. 140-150.
Никитин С.А., Полежаев В.И., Федюшкин А.И. Математическое моделирование распределения примеси при технологических экспериментах в условиях невесомости // VI Междунар, конф, по росту кристаллов: Расшир. тез. М., 1980. Т. 2. С. 263-264.
Острах С., Прадхан А. Термокапиллярная конвекция в условиях пониженной гравитации // Ракетная техника и космонавтика. 1978. Т. 16, № 5. С. 6-13.
Острах С. Влияние гидродинамики на рост кристаллов: Фрнмановская лекция (1982) // Теорет. основы инж. расчетов. 1983. № 1. С. 89-107
Павловский Д.С. Решение задач конвективной устойчивости многокомпонентных жидкостей. М., 1989. 37 с. (Препр. / ИПМ АН СССР; № 416).
Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1979. 384 с.
Пасконов ВМ„ Полежаев В.И., Чудов Л.А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. 285 с.
Пинягин А.Ю., Пшеничников А.Ф Свободная конвекция жидкой бинарной смеси в наклонной прямоугольной обла- 230
ста // Изв. АН СССР МЖГ. 1979. № 4. С. 176-179.
Плавление и фазообразование в невесомости. М.: Наука, 1979. 256 с.
Повицкий А.С., Любин ЛЯ. Основы динамики и тепломассообмена жидкостей и газов при невесомости. М.: Машиностроение, 1972. 250 с.
Полежаев В.И. Гидромеханика и тепломассообмен при выращивании кристаллов // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1984. Т. 18. С. 198-268.
Полежаев В.И. Исследования конвекции и тепломассообмена в условиях невесомости // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1985. Т. 49, № 4. С. 635-642.
Полежаев В.И. Некоторые гидродинамические и тепловые эффекты невесомости: Тез. докл. // Изв. АН СССР. МЖГ. 1976. №4. С. 172.
Полежаев В.И. Нестационарная ламинарная тепловая конвекция в замкнутой области при заданном потоке тепла Ц Там же. 1970. №4. С. 108-117.
Полежаев В.И. О влиянии градиента гравитации на температурное рао- слоение жидкости в цилиндрическом сосуде // Космич. исслед. 1974. Т. 12, №6. С. 924-928.
Полежаев В.И. Термокапиллярная конвекция жидкости в цилиндрическом сосуде при заданном подводе тепла // Некоторые применения метода сеток в газовой динамике. М.: Изд-во МГУ, 1971. Вып. 3. С. 175-213.
Полежаев В.И. Течение н теплопередача при ламинарной естественной конвекции в вертикальном слое//Тепло- и массоперенос. Минск: Энергия, 1968. Т. 1. С. 631-640.
Полежаев В.И. Численное решение двумерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. № 2. С. 103-111.
Полежаев В.И. Эффект максимума температурного расслоения и его приложения // ДАН СССР. 1974. Т. 218, №4. С. 783-786.
Полежаев В.И., Бунэ А.В., Вере- зубН.А. и др. Математическое моделирование конвективного тепломассообмена на основе уравнений Навье—Стокса. М.: Наука, 1987. 271 с.
ПолежаевВ.И., Вальциферов Ю.В. Численное исследование тепловой конвекции в цилиндрическом сосуде при боковом подводе тепла // Некоторые применения метода сеток в газовой ди-
намике. М.: Изд-во МГУ, 1971. Вып. 3. С. 137-174.
Полежаев В.И., Верезуб Н.А. Численное исследование процесса жидкостной эпитаксии в условиях невесомости // Гагаринские научные чтения по космонавтике и авиации, 1983, 1984. М.: Наука, 1985. С. 235-239.
Полежаев В.И., Грязнов В.Л., Дубовик К.Г. и др. Применение методов численного моделирования в космической технологии II Космическая технология и материаловедение. М.: Наука, 1982. С. 39-48.
Полежаев В.И., Простомолотов А.И, Федосеев А.И. Исследование тепло- и массообмена методом конечных элементов применительно к процессам получения материалов в невесомости // III Всесоюз. семинар по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости: Тез. докл. Черноголовка: ИФТТ АН СССР, 1984. С. 128.
Полежаев В.И., Простомолотов А.И, Федосеев А.И. Метод конечных элементов в механике вязкой жидкости // Итоги науки и техники. Механика жидкости и газа. М.: ВИНИТИ, 1987. Т. 21. С. 3-92.
Полежаев В.И., Федюшкин А.И. Гидродинамические эффекты концентрационного расслоения в замкнутых объемах // Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. № 3. С. 11-18.
Пухначев В.В. Модели термокапиллярного движения // III Всесоюз. семинар по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости: Тез. докл. Черноголовка: ИФТТ АН СССР, 1984. С. 14-16.
Пшеничников А.Ф., Пиня- гин А.Ю., Полежаев В.И. и др. Термоконцентрационная конвекция в прямоугольной области при боковых потоках тепла и массы / УНЦ АН СССР. Препр. Свердловск, 1985. 53 с.
Пшеничников А.Ф., Шайдуров Г.Ф., Пинягин А.Ю. Экспериментальное исследование ламинарной термоконцентрационной конвекции газовых смесей. Пермь, 1982. 30 с. Деп. в ВИНИТИ 05.10.82, №5059-82.
Пшеничников А.Ф., Яценко С.С. Конвективная диффузия от сосредоточенного источника поверхностно-активного вещества // Гидродинамика. Пермь, 1974. С. 165-181. (Учен. зап. Перм. ун-та; Вып. 5).
Вегель А.В., Глазов ВМ. Физиче
ские свойства электронных расплавов. М.: Наука, 1980. 296 с.
Вегель Л.Л. Космическое материаловедение. Ч. 1. М.: ВИНИТИ, 1984. 243 с. (Итоги науки и техники. Исслед. космич. пространства; Т. 21),.
Вегель Л.Л. Космическое материаловедение. Ч. 2. М.: ВИНИТИ, 1987. 295 с. (Итоги науки и техники. Исслед. космич. пространства; Т. 29).
Ведди Ц.С. Слияние конвективных ячеек и его влияние на теплообмен при конвективном тепло- и массообме- не // Теплопередача. 1980. № 1. С. 195— 197.
Вивкинд В.Я., Сиговцев Г.С. Движение капли с учетом термокапиллярных сил // Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. №4. С. 80-86.
Вязанцев Ю.С. О термокапиллярном движении реагирующей капли в химически активной среде // Там же. МЖГ. 1985. № 3. С. 180-183.
Сает А.И, Татарченко В.А. О стратификации плотности в жидкости при температурном воздействии //ЖПМТФ. 1970. № 2. С. 152-153.
Сарычев В.А., Беляев М.Ю., Сазонов В.В., Тян Т.Н. Определение микроускорений на орбитальных комплексах ”Салют-6” и ”Салют-7”. М., 1984. 29 с. (Препр. / ИПМ АН СССР; № 100).
Сарычев В.А., Сазонов В.В. Одноосная гравитационная ориентация искусственных спутников. М., 1980. 16 с. (Препр. / ИПМ АН СССР; №49).
Скловский Ю.Б. Параметрическое исследование термокапиллярной конвекции в прямоугольных каналах // III Всесоюз. семинар по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости: Тез. докл. Черноголовка: ИФТТ АН СССР, 1984. С. 60-62.
Соковиишн Ю.А., Мартыненко О.Г. Введение в теорию свободноконвективного теплообмена. Л.: Изд-во ЛГУ, 1982. 224 с.
Стег Л. Космическая технология. М.: Мир, 1980 410 с
Стрельченко С.С., Лебедев В.В. Соединения А3В5: Справочник. М.: Металлургия, 1984. 144 с.
Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир, 1977. 431 с.
Технологические эксперименты в невесомости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. 181 с.
Технологические эксперименты
на станции ”Салют-6”. М.: Наука, 1985. 243 с.
Федюшкин А.И. Численное исследование термоконцентрационной конвекции в замкнутой области // III Всесоюз. семинар по гидромеханике и тепломассообмену в невесомости: Тез. докл. Черноголовка: ИФТТ АН СССР, 1984. С 46-47.
Феонычев А.И. Численное исследование процессов тепломассообмена при кристаллизации в условиях действия слабых ускорений массовых сил Ц Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. № 1. С. 186-192.
Хапперт Г., Тернер Дж. Конвекция, обусловленная двойной диффузией // Современная гидродинамика: Успехи и проблемы. М.: Мир, 1984. С. 413-453.
Хряпов В.Т., Татаринов В.А., Кульчицкая Т.В. Выращивание объемных монокристаллов германия методом направленной кристаллизации в условиях невесомости // Технологические эксперименты в невесомости. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1983. С. 59-71.
Хряпов В.Т., Федоров В.А., Кульчицкий Н.А., Марков Е.В. Технологические эксперименты на установке ’’Кристалл" на станции ”Салют-6’’//Гидродинамика и тепломассообмен в невесомости. М.: Наука, 1982. С. 191-208.
Циолковский К.Э. Свободное пространство // Собр. соч. М.: Изд-во АН СССР, 1954. Т. 2. С. 25-68.
Чашечкин Ю.Д., Попов В.А. Методы лабораторного моделирования конвективных процессов в неоднородных системах в условиях нормальной и пониженной гравитации // Гидромеханика и тепломассообмен в невесомости. М.: Наука, 1982. С. 119-146.
Яворская И.М., Беляев Ю.И., Фомина Н.И. Моделирование центрально-симметричной конвекции с помощью переменного электрического поля // Гидроаэромеханика и космические исследования. М.: Наука, 1985. С. 188-201.
Alexander J.I., Ouazzani J., Rosenberger F. Analysis of the low gravity tolerance of Bridgman-Stockbarger crystal growth // J. Cryst. Growth. 1989. Vol. 97. P. 285-302.
Bejan A., Al-Homoud A.A., Imber- ger J. Experimental study of high-Rayleigh- number convection in horizontal cavity with different end temperatures // J. Fluid Meeh. 1981. Vol. 109. P. 283-299.
Bejan A., Tien CL. Fully developed natural counterflow in a long horizontal pipe with different end temperatures 232
// Intern. J. Heat and Mass Transfer. 1978. Vol. 21. P. 701-708.
Bergman T.L. Numerical simulation of double-diffusive Marangoni convection // Phys. Fluids. 1986. Vol. 29, N 7. P. 2103-2108.
Biscans B., Bertrand J. Electrophoretic separations - modelling of the transient state of the buffer solution flow // Chern. Eng. Res. and Design. 1987. Vol.65,N3.P. 224-230.
Block M. Surface tension as the cause of Benard cells and surface deformation in a liquid film // Nature. 1956. Vol. 178. P. 650-651.
Bryskiewicz T. Peltier-induced growth kinetics of liquid phase epitaxial GaAs // J. Cryst. Growth. 1978. Vol. 43. P. 567-571.
Burton J.A., Prim R.C., Slich- ter W.P. The distribution of solute in crystal grown from the melt. 1. Theoretical // J. Chem. Phys. 1953. Vol. 21. P. 1987-1990.
Camel D., Favier J.J. Transport processes during directional solidification and crystal growth: Scaling and experimental study jj Hydrodynamique et croissance cristalline. Toulouse: Centre Spatial, 1987. P. 81-104.
Castillo J.L., Velarde M.G. Buoyan- cy-thermocapillary instability: role of interfacial deformation in one- and two-component fluid layers heated from below or above Ц J. Fluid Meeh. 1982. Vol. 125. P. 463-474.
Chang C.J., Brown R.A. Radial segregation induced by natural convection and melt/solid interface shape in vertical Bridgman growth // J. Cryst. Growth. 1983. Vol. 63. P. 343-364.
Chang E.C., Wilcox W.R. Inhomogeneities due to thermocapillary flow in floating zone melting // Ibid. 1975. Vol. 28. P. 8-12.
Chen C.F., Johnson D.H. Double- diffusive convection: A report on an engineering foundation conference // J. Fluid Meeh. 1984. Vol. 138. P. 405-416.
181a. Chorin A.J. Numerical solution of the Navier—Stokes equations // Math. Comput. 1968. Vol. 22, N 104. P. 745762.
Chung Ch.-H. Numerical study on the thermal Marangoni convection and comparison with experimental results from the TEXUS-rocket program // Acta astron. 1984. Vol. 11,N 3/4. P. 227-232.
Chung Ch.-H. Verification of turbulence devetoping from the oscillatory
Marangoni convection in a liquid column // Results of Spacelab-Г. Proc. V Europ. symp. on mater, sci. under microgravity. Schloss Elmau, 1984. (ESA; SP-222).
Clark P.A., Wilcox W.R. Influence of gravity on thermocapillary convection in floating zone melting of silicon // J. Cryst. Growth. 1980. Vol. 50. P. 461-469.
Cormack D.E., Leal L.C., Seinfeld J.H. Natural convection in a shallow cavity with differentially heated end walls. 2. Numerical solution // J. Fluid Meeh. 1974. Vol. 65. P. 231-246.
Cuvelier C., Driessen J.M. Thermocapillary free boundaries in crystal growth // Ibid. 1986. Vol. 169. P. 1-26.
Pahl Davis G. de, Jones I.P. Natural convection in a square cavity: A comparison exercise // Intern. J. Numer. Meth. Fluids. 1983. Vol. 3.P. 227-248.
Deyber J.A., Saville D.A. Flow structure in continuous flow electrophoresis chamber // Materials processing in the reduced gravity environment / Ed. G.E. Rin- done. N.Y.: Elsevier, 1982. P. 217-232.
Duh J.C. Numerical modelling on enclosure convection // 40th Congress of the IAF, 7-12 Oct. 1989. Beijing, 1989.7 p.
Eyer A., Leiste H., Nitsche R. Crystal growth of silicon in Spacelab-1: Experiment ES-321 // Results of Spacelab-1: Proc, of V Europ. symp. on mater, sci. under microgravity. Schloss Elmau, 1984. P. 15-22. (ESA; SP-222).
Ferm E.N., Wollkind D.J. Onset of Rayleigh-Benard-Marangoni instability: Comparison between theory and experiment // J. Non-Equilib. Thermodyn. 1982. VoL 7. P. 169-190.
Fluid science and material sciences in microgravity / Ed. H. Walter. Springer, 1987.746 р.
Gatos H.C., Witt A.F., Lichten- Steiger M., Herman C.J. Interface marking in crystal (MA-060) // Apollo-Soyuz test project: Summary science report. Wash. (D.C.), 1977. Vol. 1. P. 429-447. (NASA; SP-412).
Gebhart B., JaluriaY.,MahajaaL.L., Sommakia B. Buoyancy — induced flows and transport. N.Y.: Hemisphere, 1988. 453 p.
Giannovario J.A., Griffin R.N., Gray E.L. A mathematical model of free flow electrophoresis // J. Chromatogr. 1978. Vol. 153. P. 329-352.
Griaznov V.L., Lebedev A.P., Nikitin S.A. et al. Thermal convection structure and temperature oscillations in
semiconductor melts on earth and in microgravity: Theory and experiments // Proc. VII Europ. symp. on mater, and fluid sci. in microgravity. Oxford, UK, 10-15 September, 1989. P. 231-236. (ESA; SP-295).
Grodzka P.G., Bannister T.C. Natural convection in low-gravity environments //AIAAJ. 1974. P. 74-156.
Hannig K., Wirth H., Mayer B.H., Zeiller K. Free flow electrophoresis: Theoretical and experimental investigations//Ztshr. physiol. Chem. 1975. Bd. 356. S. 12091223.
Hart J.E. A note on the stability of low-Prandtl-number Hadley circulation // J. Fliud Meeh. 1983. Vol. 132. P. 271281.
Hart J.E. Low-Prandtl-number convection between differentially heated end walls // Intern. J. Heat and Mass Transfer. 1983. Vol. 28. P. 1069-1074.
Hart J.E. Stability of the flow in a differentially heated inclined box // J. Fluid Meeh. 1971. Vol. 47. P. 547576.
Hart J.E., Gladsmaters G.A., Toomre J. Space laboratory and numerical simulation of thermal convection in a rotating hemispherical shell with radial gravity // Ibid. 1986. Vol. 173. P. 519-544.
Heinrich J.C. A finite element model for double diffusive convection // Intern. J. Numer. Meth. Eng. 1984. Vol. 20. P. 447-464.
Homsy G.M., Meiburg E. The effect of surface contamination on thermocapillary flow in a two-dimensional slot // J. Fluid Meeh. 1984. Vol. 139. P. 443459.
Hsieh J.J. Thickness and surface morphology of GaAs LPE layers grown by supercooling, step-cooling, equilibriumcooling, and two-phase solution techniques // J. Cryst. Growth. 1974. Vol. 27. P. 4961.
Hung M.G., Andreck C.D. Transitions in convection driven by a horizontal temperature gradient // Phys. Lett. A. 1988. Vol. 132, N 5. P. 253-258.
Hurle D.T.J., Jakeman E., Johnson C.P. Convective temperature oscillations in molten gallium // J. Fluid Meeh. 1974. Vol. 64. P. 565-576.
Hymer W.C., Barlow G.H., Cleveland C. et al. Continuous flow electrophoretic separation of proteins and cells from mamalian tissues // Cell Biophys. 1987. Vol. 10,N l.P. 61-85.
Imberger J. Natural convection
in a shallow cavity with differentially heated end walls. 3. Experimental results // J. Fluid Meeh. 1974. Vol. 65. P. 247- 260.
Impey M.D., Rilley D.S, Wheeler A.A. Bifurcation analysis of solutal convection during directional solidification. Bristol: Univ, press, 1990.16 p.
Ivory C.F. Continuous flow electrophoresis: The crescent phenomena revisited. 1. Isothermal effects // J. Chromatogr. 1980. Vol. 195. P. 165-169.
Ivory C.F. Continuous flow electrophoresis: The crescent phenomena revisited. 2. Nonisothermal effects // Electrophoresis. 1981.Vol.2-P. 31-39.
Kamotani K, WangL. W., Ostrach S., Jiang H.D. Experimental study of natural convection in shallow enclosures with horizontal temperature and concentration gradients // Intern. J. Heat and Mass Transfer. 1985. Vol. 28. P. 165-173.
Kao Y.C., Eknojan O. Thickness of GaP liquid epitaxial layers grown by step-cooling, equilibrium-cooling and rampcooling methods // J. Appl. Phys. 1983. Vol. 54, N 4. P. 1865-1867.
Kirdyashkin A.G. Thermogravita- tional and thermocapillary flow in a horizontal temperature gradient // Intern. J. Heat and Mass Transfer. 1984. Vol. 27. P. 1205-1218.
Kirchartz K.R. Zeitabhangige Kon- vektion bei verminderter Gravitation // Ztshr. Flugwiss. ind Weltraumfosch. 1982.Bd.6,N5. S. 300-309.
Krishnamurti R. On the transition to turbulent convection // J. Fluid Meeh. 1970. Vol. 42. P. 295-320.
Kotin A., Ellenbroek B.L. Theory of simultaneous multiple streak collimation in continuous-flow electrophoresis by superposition of electroosmosis and thermal convection // Separ. and Purif. Meth. 1979. Vol. 8,N l.P. 1-19.
Koster J.N., Muller U. Osillatory convection in vertical slots // J. Fluid Meeh. 1984. Vol. 139. P. 363-390.
Kulacki F.A., Richards D.E. Natural convection in plane layers and cavities with volumetric energy sources // Natural convection: Fundamentals and applications. B. etc.: Springer, 1985. P. 179-255.
Kuo H.P., Korpela SA. Stability and finite amplitude natural convection in a shallow cavity with insulated top and bottom and heated from a side // Phys. Fluids. 1988. Vol. 31, N 1. P. 33-42.
Laure P., Roux B. Linear and nonlinear analysis of the Hadley circulation 234
// Numerical simulation of oscillatory convection in low-Pr fluids: A Gamm- workshop / Ed. B. Roux. Vieweg, 1989. P. 307-318. (Notes on numer. fluid dynamics; Vol. 27).
Legros J.C., Limbaurg-Fon- taine M.C., Petre G. Surface tension mini- mun and Marangoni convection // Proc, of Intern, symp. held at the VKI. Rhode; Saint Gen’ese, 1986. P. 137-143.
Umbaurg-Fontaine M.C., Petre G., Legros J.C. TEXUS-8 experiment: Effects of surface tension minimum on thermocapillary convection // Ph. Chem. Hydrod. 1985. Vol. 6,N 3. P. 301-310.
Levich V.G., Krylov V.S. Surface- tension-driven phenomena // Annu. Rev. Fluid Meeh. 1969. Vol. 1. P. 293-316.
Lynch E.D., Saville D.A. Heat transfer in the thermal entrance region of an internally heated flow // Chem. Eng. Commun. 1981. Vol. 9. P. 201—211.
Material processing in the reduced gravity environment of space / Ed. G. Rin- done. N.Y. etc.: North-Holland. 1981. 676 p.
Material sciences in space: Proc. II Europ. symp. Frascati, 1976. 493 p. (ESA; SP-114).
Material sciences in space: Proc. Ill Europ. symp. Grenoble, 1979. 442 p. (ESA; SP-142).
Material sciences under microgravity: Proc. IV Europ. symp. Madrid, 1983.440 p. (ESA; SP-191).
McTaggart C.L. Convection driven by concentration and temperature dependent surface tension // J. Fluid Meeh. 1983. Vol. 134. P. 301-310.
Monti R„ Mannara G. TEXUS experiment on the convective heat transfer induced by Marangoni flows // Acta astron. 1985. Vol. 12, N 7/8. P. 511-524.
Monti R., Napolitano L.G., Russo G. Experimental study of the thermal Marangoni flows on silicon oil floating zones // Ibid. P. 369-378.
Muller G. Crystal growth from the melt: Convection and inhomogeneities in crystal growth from the melt // Crystals growth: Properties and applications. N.Y. etc.: Springer, 1988. 183 p.
Napolitano L.G. Marangoni boundary layers // Material sciences in space: Proc. Ill Europ. symp. Grenoble, 1979. P. 349-35 8. (ESA; SP-14 2).
Napolitano L.G., Russo G. Simi- lary axially symmetric Marangoni boundary layers // Acta astron. 1984. Vol. 11,N 3/4. P. 189-198.
Natural convection: Fundamentals and applications / Ed. S. Kakas et al. N.Y.: Hemisphere, ’785. 1178 p.
Nawnann R.J., RhodesP.H Thermal consideration in continuous flow electrophoresis // Separ. Sci. and Technol. 1984. Vol. 19, N l.P. 51-75.
Nield D.A. Surface tension and buoyancy effects in cellular convection Ц J. Fluid Meeh. 1964. Vol. 19. P. 341- 352.
Nikitin 5.Л., Polezhaev V.L, Fedyushkin A.I. Mathematical simulation of impurity distribution in space processing experiments with semiconductors // Adv. Space Res. 1981. Vol. 1. P. 37-40.
Nikitin S.A., Polezhaev V.L, Fedyushkin A.L. Mathematical simulation of impurity distribution in crystals prepared under mictogravity conditions // J. Cryst. Growth. 1981. Vol. 52. P. 471-477.
Noble P.T. Evaluation of rotational flow stabilized continuous electrophoresis for protein fractonantion // Biotechn. Prorg. 1985. Vol. 1, N 4. P. 237-249.
Numerical simulation of oscillatory convection in low-Pr fluids: A GAMM- workshop / Ed. B. Roux. Braunschweig; Vieweg, 1990. 365 p. (Notes on numer. fluid mech.; Vol. 27).
Ochiai J., Kuwahara K., Morioka M. et al. Experimental study on Maran- goni convection // Results of Spacelab-1: Proc. V Europ. symp. on mater, sci. under microgravity. Schloss Elmau, 1984. P. 291— 295. (ESA; SP-222).
Ostrach S. Convection in continuous flow electrophoresis//J. Chromatogr. 197 7. Vol. 140. P. 185-197.
Ostrach S. Convection phenomena of importance for materials processing in space // Mater, sci. space, appl. space process. N.Y., 1977. P. 3-32.
Ostrach S. Natural convection in enclosures // J. Heat Transfer. 1988. Vol. ПО. P. 1175-1190.
Pearson J.K.A. On convection cells induced by surface tension//!. Fluid Mech. 1958. Vol. 4. P. 489-500.
Petre G, Umbaurg-Fontaine M.C, Legros J.C. Preliminary results onTEXUS-8 experiments on effects of surface tension minimum // Acta astron. 1985. Vol. 12, N 3.P. 203-206.
Piacsek S.A., Toomre J. Nonlinear evolution and structure of salt fingers. Marine turbulence // Proc. II Intern. Lige colloquium ocean hydrodyn. Amsterdam; Oxford: Elsevier, 1980. P. 193—219.
Pimputcar S., Ostrach S. Convective effects in crystal growth from melt // J. Cryst. Growth. 1981. Vol. 55. P. 614-646.
Poleshaev V.L Convective processes at low gravity // Material sciences in space: Proc. Ill Europ. symp. Grenoble, 1979. P. 25-31. (ESA; SP-142).
Polezhaev V.L, Lebedev A.P., Nikitin S.A. Mathematical simulation of disturbing forces and material science processes under low gravity // Results of Spacelab-1: Proc. V Europ. symp. on mater, sci. under microgravity. Schloss Elmau, 1984. P. 237-243. (ESA; SP-222).
Polezhaev V.L, Nikitin SA. Inhomogeneities of the temperature and concentration fields induced by convection at low gravity // Proc. VII Europ. symp. on mater, and fluid sic. in microgravity. Oxford, 1990. P. 237-241. (ESA; SP-295).
Polezhaev V.L, Nikitin S.A., Fedyushkin A.I. Convection and impurity distribution in crystal growth in low-gravity environments // Adv. Space Res. 1983. Vol. 3. P. 65-78.
Polezhaev V.L, Dubovik K.G., Nikitin S.A. et al. Convection during crystal growth on earth and in space // J. Cryst. Growth. 1981. Vol. 52. P. 465-470.
Preisser F, Schwabe D., Scharmann A. Steady and oscillatory thermocapillary convection in liquid columns with free cylindrical surface // J. Fluid Mech. 1983. Vol. 126. P. 545-567.
Processing and manufacturing in space: Proc, of I Europ. symp. Frascati, 1974. 342 p. (ESRO; SP-101).
Reis J.F.G., Lightfoot E.N., Lee H.-L. Concentration profiles in free flow electrophoresis // AIChE J. 1974. Vol. 20,N21.P. 362-368.
Results of Spacelab-1: Proc. V Europ. symp. on mater, sci. under microgravity. Schloss Elmau, 1984. 470 p. (ESA; SP-222).
Rhodes P.H., Snyder R.S. The effect of small temperature gradients on flow in a continuous flow electrophoresis chamber // Materials processing in the reduced gravity environment of space / Ed. G.E. Rindone. N.Y.; Elsevier, 1982. P. 225-232.
Rhodes P.H., Snyder R.S. Sample band spreading phenomena in ground and space based electrophoretic separations // Electrophoresis. 1986. Vol. 7, N 3. P. 113-120.
Rosenblat S., Davis S.H., Hom- sy G.M. Nonlinear Marangoni convection in bounded layers. 1. Circular cylindrical containers // J. Fluid Meeh. 1981. Vol. 120. P.91-122.
Rosenblat S., Davis S.H., Hom- sy G.M. Nonlinear Marangoni convection in bounded layers. 2. Rectangular cylindtri- cal containers // Ibid. P. 123-144.
Rosenblat S., Homsy G.M., Davis S.H. Eigenvalues of Rayleigh-Benard and Marangoni problems // Phys. Fluids. 1981. Vol. 24. P. 2115-2117.
Sarma G.S.R. Effects on interfacial curvature and gravity waves on the onset of thermo capillary convective instability in a rotated liquid layer subjected to a transverse magnetic field // Ph. Chern. Hydrod. 1985. Vol. 6, N 3. P. 283-300.
Saville D.A. Fluid mechanics of continuous flow electrophoresis//(COSPAR) Space research / Ed. MJ. Rycroft. Oxford; N.Y.: Pergamon press, 1979. Vol. 19. P. 583-597.
Saville D.A., Palusinski O.A. Theory of electrophoretic separations. 1. Formulation of a mathematical model // AIChE J. 1986. Vol. 32. P. 207-214.
Schwabe D. Surface-tension-driven flow in crystal growth melts // Cryst. Growth: Properties and Appl. 1988. Vol. 11. P. 75-112.
Schwabe D., Scharmann A., Preisser F. Steady and oscillatory Marangoni convection in floating zones under 1 g // Material sciences in space: Proc. Ill Europ. symp. Grenoble, 1979. P. 289-291. (ESA; SP-142).
Schwabe D., Scharmann A. Marangoni convection in an open boad and crucible // J. Cryst. Growth. 1981. Vol.52. P. 435-449.
Schwabe D., Scharmann A. Measurements of the critical Marangoni number of the laminar-oscillatory transition of thermocapillary convection in floating zones // Results of Spacelab-1: Proc. V Europ. symp. on mater, sci. under microgravity. Schloss Elmau, 1984. P. 281-289.
Scientific foundations of space manufacturing / Ed. V.S. Avduevsky. Moscow: Mir, 1984.173 p.
Scriven L.E., Sterling С. V. On cellular convection driven by surface tension and surface viscosity // J. Fluid Meeh. 1964. Vol. 19. P. 321-340.
Sen A.K., Davis S.H. Steady thermocapillary flows in two-dimensional slots // Ibid. 1982. Vol. 121. P. 163-186.
Shukun S.A., Gavryushkin A. V., Brezgunov V.N., Zav’yalov V.P. Free flow electrophoresis of borax and manitol // Electroporesis. 1986. Vol. 7. P. 572-574.
Simpkins P.G., Chen K.S. Natural convection in horizontal containers with applications to crystal growth // Natural convection: Fundamentals and applications I Ed. S. Kakac et al. Springer, 1986. P. 1010-1932.
Simpkins P.G., Duderars T.D. Convection in rectangular cavities with differentially heated end walls // J. Fluid Meeh. 1981. Vol. 110.P. 433-456.
Proc. VI Europ. symp. on mater, sci. under mocrogravity conditions. Bour- deaux, 1987. 597 p. (ESA; SP-256).
Smith M.K., Davis S.H. Instabilities of dynamic thermocapillary liquid layers. 1. Convective instabilities//!. Fluid Meeh. 1983. Vol. 132. P. 119-144.
Spradley L. W. Thermoacoustic convection of fluids in low gravity // AIAA Pap. 1974. N 74-76. 13 p.
Stanek V., Szekely J. The effect of surface driven flows on the dissolution of a partially immersed solid in a lliquid // Chem. Eng. Sci. 1970. Vol. 25, N 4. P. 699-715.
Sticles R.W., Ungan A., Viskanta R. Natural convection in a rectangular enclosure with differentially heated end walls and a free liquid surface // Phys.-Chem. Hydrodyn. 1986. Vol. 7.N2/3.P. 161-176.
Strani M„ Piva R., Graziani G. Thermocapillary convection in a rectangular cavity: Asymptotic theory and numerical simulation // J. Fluid Meeh. 1983. Vol. 130. P. 347-376.
Strider A., Sacks T. Continuous free film electrophoresis: The crescent phenomenon // Prep. Biochem. 1973. Vol. 3, N 3. P. ТЮ-ТТ!.
Strickler A., Sacks T. Focusing in continuous flow electrophoresis system by electrical control of effective cell wall zeta potentials // Ann. N.Y. Acad. Sci. 1973. Vol. 209. P. 497-514.
Taylor GJ. Dispersion of soluble matter in solvent flowing slowly through a tube // Proc. Roy. Soc. London A. 1953. Vol. 219. P. 186-203.
Todd P. Application of free flow electrophoresis in orbital space flight // Electrophoresis’86: Proc. V meet. Intern. Electrophor. Soc. / Ed. M.J. Dunn. Weinheim, 1986. P. 3-12.
Turner J.S. Double-diffusive pheno-
mena // Annu. Rev. Fluid Meeh. 1976. Vol. 6. P. 37-56.
Villers D., Flatten J.K. Marangoni convection in systems presenting a minimum in surface tension // Ph. Chem. Hydrod. 1985. Vol. 6, N 4. P. 435-451.
Wilke H., Loser W. Numerical calculation of Marangoni convection in a rectangular open boat // Cryst. Res. and Technol. 1983. Vol. 18, N 6. P. 825-833.
Witt A.F., Gatos H.C., Lichten- Steiger M., Herman C.L Crystal growth
and segregation under zero gravity: Ge // J. Electrochem. Soc. 1978. Vol. 125. P. 267-281.
Yue J.T., Voltmer F.W. Influence of gravity-free solidification on solute microsegregation // J. Cryst. Growth. 1975. Vol. 65. P. 329-341.
Zebib A., Homsy G.M., Meiburg E. High Marangoni number convection in a square cavity // Phys. Fluids. 1985. Vol. 28,N12.P. 3467-3476.
Дополнительная литература
1*. Головинкин A.B. Моделирование гидродинамических процессов в свободнопоточных электрофоретических камерах в условиях невесомости: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. М., 1990. 14 с.
2*. Камотани, Сахрауи. Колебательная неустойчивость при естественной конвекции в прямоугольных сосудах, заполненных ртутью // Современное машиностроение. Сер. А. 1990. № 9. С. 158-160.
3*. Лебедев А.П., Козырев Ф.В. Колебания температуры и структура течения в жидком металле. М., 1991. 19 с. (Препр. / ИПМ АН СССР; №486).
4*. Лебедев А.П., Полежаев В.И. Механика невесомости: микроускорения и гравитационная чувствительность процессов массообмена при получении материалов в космосе // Успехи механики, 1990. Т. 13,вып. 1. С. 3-51.
5* Alexander J.I.D. Low gravity experiment sensitivity of residual acceleration: A review // Microgravity sci. and technology. 1990. Vol. 3.P.52.
6*. Alexander J.I.D., Rosenberger F. Bridgman crystal growth in low gravity: A scaling analysis // Progr. AA. P. 87-117.
7*. Antar B. Thermosohital convection in liquid HgCdTe near the liquidus temperature // Ibid. P. 159—174.
8*. Asakawa K., Torimoto Y., Hayakawa Y., Kumagawa M. Influence of solution convection on LPE in InxGai _xSb // Proc. ICCG. P. 1291-1294.
9*. Bello M.S., Polezhaev V.I. Hydrodynamics, gravitational sensitivity and transport phenomena in continuous flow electrophoresis // AIAA Pap. 1991. N91-0112.
10*. Chen C.F. Double-diffusive convection and its effect under reduced gravity //Progr. AA. P. 355-369.
11*. Dantzig J.A., Chao L.S. Fluid flow and microstructure development // Ibid. P. 411-436.
12*. Ermakov M.K., Grjaznov V.L., Nikitin S.A. Specialized software for modelling of convection in microgravity // Proc. 28 COSPAR meeting. Space Res. 1990.
13*. Favier J.J, Metal and alloy solidification and its relevance to microgravity II AIAA Pap. 1991. N 91-510.
14*. Favier JJ. Recent advances in Bridgman growth modelling and fluid flow//Proc. ICCG. P. 18-29.
15*. Hadid H.B., Roux B. Bouyancy and thermocapillary-driven flows in a shallow open cavity: Unsteady flow regimes // Progr. AA. P. 217-225.
16*. Henry D. Analysis of convective situations with the Soret effect // Ibid. P. 437-485.
17*. Grjaznov V.L., Ermakov M.K., Nikitin S.A. et al. Modelling of convection in enclosures on the basis of Navier- Stokes equations: Results, applications and PC-based dialog system // Int. Conf. Civil and Building Eng. IV-ICCCBE. Tokyo. 1991. Ext. abstr.
18*. Lee S., Dulikravich G.S., Ko- sovic B. Computer simulation of electrophoretic separation process // Proc. 17 Annu. Northeast Boeing Conf. Hartford, April. 1991.
19*. Legros J.C., Dupout O., Queeckers P. et al. Thermodynamic instabilities and capillary flows // Progr. AA. P. 241-271.
20*. Monti R. Gravity jitters: Effects on typical fluid science experiments //Ibid.P. 275-307.
21*. Motakef S. Magnetic field elimination of convective interference with segregation during vertical-Bridgmen growth
237
of doped semiconductors // J. Cryst. Growth. 1990. Vol. 104. P. 833-850.
22*. Nadarajah A., Rosenberger F., Alexander J.I.D. Modelling the solution growth of TGS crystals in low gravity //Ibid. P. 218.
23*. Poleshaev V.I., Ermakov M.K. Thermal convection in microgravity during a slow rotation // IUTAM Symp. on microgravity fluid mechanics. Bremen. 1991. Ext. Abstr.
24*. Pratte J.M., Hart J.E. End wall driven, low Prandtl number convection in a shallow rectangular cavity // J. Cryst. Growth, 1990. Vol. 102. P. 54-68.
25*. Rhodes P.H., Snyder R.S., Roberts G.O. Electrohydrodynamic distortion of sample streams in continuous flow electrophoresis // J. Coll, and Interface Sci. 1989. Vol. 129. N 1.
26*. Rogers M.J.B., Alexander J.I.D. Analysis of Spacelab 3 residual acceleration data // Spacecraft and Rockets. 1991.
27*. Rogers M.J.B., Alexander J.I.D.
A strategy for residual acceleration data reduction and dissemination // Proc. 28 COSPAR Meeting. Hague. 1990.
28*. Rogers M.J.B., Alexander J.I.D. Cross-correlation analisis of on-orbit residual acceleration in Spacelab 11 AIAA Pap. 1991. N 91-348.
29*. Rupp R., Muller G., Neumann F. Three-dimensional time dependent modelling of the Marangoni convection in zone melting configuration for Ga As // Proc. CMCG. P. 34-41.
30*. Schneider S., Straub J. Influence of the Prandtl number on laminary natural convection in a cylinder caused by g-jitter //Ibid. P. 275-307.
31*. Schwabe D„ Metzger J. Coupling and separation of buoyant and thermocapillary convection // Ibid. P. 23-33.
32*. Wadih M., Zahibo N., Roux B. Effect of gravity jitter on natural convection in a Vertical cylinder // Progr. A A. P. 303-351.
33*. Todd P. Separation physics // Ibid. P. 539-602.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Ч А С Т Ь I. МАССОВЫЕ СИЛЫ, ВЫЗЫВАЮЩИЕ КОНВЕКЦИЮ В УСЛОВИЯХ НЕВЕСОМОСТИ 9
Глава 1.Массовые силы и микроускорения в орбитальном полете9
Оценка сил и микроускорений 10
Математическая модель массовых сил и микроускорений18
Зависимость микроускорений от параметров полета 20
Микроускорения на борту действующих орбитальных станций . . .27
ЧАСТЬ Ц. ИССЛЕДОВАНИЯ КОНВЕКТИВНЫХ ПРОЦЕССОВ В НЕВЕСОМОСТИ НА МОДЕЛЯХ ОБЩЕГО НАЗНАЧЕНИЯ 29
Глава 2. Конвективные процессы гравитационного типа при постоянных микроускореииях 31
Классификация и некоторые особенности гравитационных конвективных процессов в бинарных системах 32
Макронеоднородности, вызываемые слабой гравитационной конвекцией. Эффект максимума температурного (концентрационного) расслоения 37
Тепловая гравитационная конвекция в удлиненных областях при разных числах Прандтля 59
Вторичные структуры, неустойчивость и температурные колебания при малых числах Прандтля 68
Глава 3. Негравитационные виды конвекции и процессы переноса в состояния теоретической невесомости. Взаимодействие с гравитационной конвекцией 76
Конвекция под действием градиентов сил поверхностного натяжения и ее взаимодействие с гравитационной. Математическая модель и критерии подобия 78
Классификация и некоторые особенности конвекции под действием градиентов сил поверхностного натяжения в бинарной смеси
Термокапиллярная и капиллярно-концентрационная конвекция в прямоугольных областях 88
Термокапиллярная конвекция и температурные неоднородности в модели зонной плавки 97
Особенности вынужденных движений и диффузионно-тепловые режимы в условиях теоретической невесомостиИЗ
Глава 4. Конвекция и процессы переноса при пространственно-временном изменении микроускорений117
Общая математическая модель тепловой гравитационной конвекции и переноса массы при пространственно-временном изменении микроускорений 118
Тепловая конвекция и перенос примеси при изменении микро- ускорения в плоскости орбиты119
Тепловая гравитационная конвекция при изменении микроускорений в пространстве и во времени133
Заключительные замечания141
ЧАСТЬ Ш. КОНВЕКТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ В МОДЕЛЯХ ВЫРАЩИВАНИЯ КРИСТАЛЛОВ И РАЗДЕЛЕНИЯ ВЕЩЕСТВ В НЕВЕСОМОСТИ 142
Глава 5. Направленная кристаллизация в ампуле142
Математическая модель конвекции и переноса примеси в ампуле с движущимся фронтом кристаллизации143
239
Структура конвекции и поля концентрации. Продольная и поперечная неоднородности распределения примесн в кристалле . . .146
Анализ макро- и микронеоднородности в космических экспериментах на основе модели с движущимся фронтом 154
Параметрическое исследование влияния тепловой гравитационной конвекции на распределение примеси в кристалле. Граница максимума поперечной макронеоднородности 158
Глава 6. Жидкостная эпитаксия 164
Особенности конвекции при жидкостной эпитаксии и модификации процесса 164
Математическая модель жидкостной эпитаксии 167
Структура конвекции и параметрические исследования 169
Влияние нестационарности микроускорений 172
Анализ экспериментов по росту эпитаксиальных слоев в невесомости 172
Альтернативное невесомости медленное вращение эпитаксиальной ячейки в земных условиях 176
Глава 7- Электрофорез в свободном потоке .178
Предварительные замечания. Состояние исследований ЭФСП . . . .178
7-2. Многозонная математическая модель ЭФСП 180
7-3. Течение жидкости и теплоперенос во входной области камеры . . .183
Зона электрофоретического разделения 195
Массоперенос в области ввода смеси в поток 207
Заключительные замечания 210
Приложение 1. Применение персональных компьютеров для решения уравнений Навье-Стокса211
Приложение2.Устойчивость конвективных течений213
Приложение3.Матричное решение уравнений Навье-Стокса217
Заключение
Литература225
Дополнительная литература237
Научное изданиеПолежаев Вадим Иванович, Белло Михаил Соломонович,Березу б Наталия Анатольевна и др.
КОНВЕКТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ В НЕВЕСОМОСТИ
Утверждено к печати Институтом проблем механики АН СССР,
Заведующая редакцией Н.Н. Прокофьева. Редактор издательства Л.Е. КононенкоХудожник А.Г. Кобрин. Художественный редактор В.Ю. ЯковлевТехнический редактор Н.М. Бурова. Корректор Н.Л. Голубцова
Набор выполнен в издательстве на наборно-печатающих автоматах
ИБ № 48418
Подписано к печати 23.04.91. Формат 60 X 90 1/16. Бумага офсетная № 1Гарнитура Пресс-Роман. Печать офсетная. Усллечл. 15,0. Усл.кр.-отт. 15,3. Уч.-нздл. 17,7Тираж 600 экэ. Тип. зак. 1 319. Цена 5 р. 40 к.Ордена Трудового Красного Знамени издательство “Наука”117864 ГСП-7, Москва В-485, Профсоюзная ул., д. 90
Ордена Трудового Красного Знамени 1-я типография издательства “Наука”199034, Ленинград В-34, 9-я линия, 12
КОНВЕКТИВНЫЕПРОЦЕССЫВ НЕВЕСОМОСТИ
■НАУКА-
КОНВЕКТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫВ НЕВЕСОМОСТИ
Из всех негравитационных механизмов естественной конвекций в условиях микрогравитации наибольший интерес сегодня представляет конвекция, вызванная градиентами сил поверхностного натяжения (известная также под названием конвекции Марангони), которая разделяется на термокапиллярную и капиллярно-концентрационную. Этот интерес обусловлен тем, что во многих перспективных технологических приложениях в космосе (бестигельная плавка, направленная кристаллизация) поверхность жидкости (расплава) свободная, причем значение числа Марангони, определяющего интенсивность термокапиллярной конвекции, для типичных случаев достаточно велико. Уменьшение гравитационной конвекции в невесомости может обнаружить весьма высокую гравитационную чувствительность системы в целом, включая, например, появление регулярных колебаний, неустойчивости и даже хаоса.
В соответствии с данной постановкой задачи при Ra = 0, Rap #= 0 кон
векция отсутствует; при Ra #= 0, Rap =0 имеет место только тепловая кон
= 0,71, Ra = 103Н06) [38], подтверждают тот факт, что течение имеет одновихревую структуру.
АКАДЕМИЯ НАУК СССРИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МЕХАНИКИ
В.И. ПОЛЕЖАЕВ, М.С. БЕЛЛО, Н.А. ВЕРЕЗУБ,КТ. ДУБОВИК, А.П. ЛЕБЕДЕВ, С.А. НИКИТИН,Д.С. ПАВЛОВСКИЙ, А.И. ФЕДЮШКИН
КОНВЕКТИВНЫЕПРОЦЕССЫВ НЕВЕСОМОСТИ
Ответственный редактордоктор физико-математических наукВ.И. ПОЛЕЖАЕВ
МОСКВА’’НАУКА”1991
УДК 532; 536
Конвективные процессы в невесомости / В.И. Полежаев, М.С, Белл о, Н.А. В е р е з у б и др. — М.: Наука, 1991.— 240 с — ISBN 5-02-006767-9
В монографии обобщены результаты исследования некоторых гравитационно-чувствительных механизмов и систем, представляющих интерес для технических и технологических приложений в условиях космического полета. Рассматривается конвекция гравитационного и негравитационного типов при различных микроускорениях, включая предельный случай теоретической невесомости. Изучаются модели конвективных процессов при росте кристаллов, эпитаксиальных структур и разделении биологических веществ методом электрофореза, сравниваются альтернативные невесомости, методы управления конвективными процессами.
Для специалистов в области механики жидкости и газа, космического материаловедения и биотехнологии.
Табл. 9. Ил. 160. Библиогр.: 295 назв.
Convective processes in microgravity / V.I. Poleshaev, M.S. Bello, N.A. Vere- zub et al. - M.: Nauka, 1991. - 240 p. - ISBN 5-02-006767-9
The results of investigations of gravitational-sensitivity mechanisms and systems relevant for technical and technological applications in Space are generalized. Gravitational and non- gravitational types of convection with different microaccelerations, including limit case of zero gravity are considered. Convective processes models in crystal growth, liquid phase epitaxy and free flow electrophoresis are studied. Convective processes control methods which are alternative to microgravity are compared.
For specialists in fluid and gas mechanic, material sciences and biotechnology in space.
Рецензенты:
доктор физико-математических наук С.Я. Герценштейндоктор технических наук А.Г. Кирдяшкин
К-^д^щ^^ 244-91,1 полугодие© Издательство’’Наука”, 1991
ISBN 5-02-006767-9