Глава 1. Общая теория

Уравнения газовой динамики 9

Течения идеального газа (10). 1.1.2. Течения реагирующего газа. Двухфазные течения (12). 1,1,3. Уравнения газовой динамики в координатах Мизеса (13). 1.1.4. Уравнения газовой динамики в дивергентной и интегральной формах. Соотношения на разрывах (16).

Характеристики уравнений газовой динамики19

Теория характеристик системы квазилинейных уравнений общего вида. Характеристики уравнений пространственного стационарного течения газа (19). 1.2.2. Теория характеристик двумерных систем квазилинейных уравнений (24). 1.2.3, Характеристики уравнений одномерного нестационарного течения газа (26). 1.2.4. Характеристики уравнений неравновесного стационарного течения газа (28). 1.2 5. Характеристики уравнений двухфазного течения (30). 1.2 6. Понятие о численном методе характеристик (31).

Граничные п начальные условия. Прямая и обратная задачи теории сопла34

1.3 1. Прямая задача (34). 1.3.2. Обратная задача (37).

Некоторые элементарные теории газовой дппампкп п простейшие типы течений газа ....40

Одномерная теория "(40). .1.4,2. Радиальные течения или течения от источника (стока) (52). 1.4.3. Простая волна. Волна Римана. Течение ,Прандтля — Мейера (52) Т,.4'4.-ва^ача о распаде произвольного разрыва.

'(55). 1.4.5. Одномерная теория с учетом межмолекулярного взаимодейст-'

вия (58)..

Глава 2. Методы расчета течений газа в соплах

Методы решения релаксационных уравнений66

Метод характеристик61

Расчет стационарного сверхзвукового течения нереагирующего газа (67). 2.2.2. Расчет стационарного сверхзвукового течения с физико-химическими превращениями и двухфазного течения (72). 2.2.3. Расчет нестационарного одномерного течения газа (75). 2.2.4. Послойный метод характеристик (77). 2.2.5. Примеры применения метода характеристик (80).

Метод решения обратной задачи теории соплаS3

Методы сквозного счета87

2.4 1. Некоторые подходы к конструированию методов сквозного счета (87). 2 4.2. Схема С. К. Годунова (89). 2.4.3. Двухшаговая схема со сглаживанием (93).

Расчет сверхзвукового стационарного течения газа в сопле с заданным контуром методами сквозного счета ......94

Стационарный вариант схемы С. К Годунова (95). 2 5.2. Применение .двухшаговой схемы к расчету сверхзвукового течения (99).

Методы расчета смешанного течения газа в сопле с заданным контуром юз

Метод установления (103). 2.6 2. Метод сведения к обратной задаче (107). 2.6.3. Метод факторизации (110).

Глава 3. Аналитические методы исследования • течений газа в соплах

Методы для течений несжимаемой жидкости114

Метод источников и стоков (114). 3.1.2, Решение обратной задачи теории сопла (117).

Разложение решения в ряд по функции токаИЗ

Пространственный случай (118). 3.2.2. Плоский и осесимметричный случаи (122). 3.2.3. Двухфазные течения (127).

Асимптотические методы исследования течений газа в трансзвуковой области сопла 128

Метод малых возмущений (128). 3 3.2. Разложение решения в ряд в окрестности прямолинейной звуковой линии (129).

Решение в окрестности бесконечно удаленной точки в дозвуковой области сопла ...132

Метод малых возмущений для исследования течений, близких к радиальным134

Общий случай пространственных возмущений (134). 3.5.2. Осесимметричные возмущения (139). 3.5.3. Решение для цилиндрической трубы (142).

Линейная теория для нестационарных течений газа в сопле .143

Глава 4. Двумерные течения газа в соплах

Особенности течения в дозвуковой и трансзвуковой областях сопла 147

Сопло с плоской поверхностью перехода через скорость звука (147).

Сопло с криволинейной поверхностью перехода (149). 4.1.3. Локальные зоны торможения (153), 4.1.4. Коэффициент расхода и критический перепад давления (159). 4.1.5. Течение на разгонном участке сопла (163).

Конические сопла165

Кольцевые сопла170

Расчет кольцевых сопел методом характеристик (171). 4.3.2. Метод прямолинейных характеристик (172).

Нерасчетные режимы течения газа в соплах174

Нерасчетные режимы круглых сопел (174). 4.4.2. Нерасчетные режимы кольцевых сопел (176).

Слоистые течения газа в соплах181

Одномерное приближение (181). 4.5.2. Импульс и удельный импульс сопла для слоистых течений (187). 4.5.3. Слоистые течения с различными коэффициентами избытка окислителя (188). 4.5.4. Двумерные течения (189).

Глава 5. Пространственные и нестационарныетечения газа в соплах

Течения в соплах при вращении потока193

Структура закрученных потоков (193). 5.1.2. Модель радиально-уравновешенного течения (197). 5.1.3. Осесимметричные течения с закруткой (206).

Пространственные течения газа в соплах209

. 242. 242Некоторые результаты аналитического и численного исследования (209). 5.2.2. Метод малых возмущений для расчета боковых сил и моментов (214). 5.2.3. Численное исследование пространственных течений газа в соплах (228). 5.2.4. Экспериментальное исследование боковых сил и моментов (233).

. 242

. 242

Нестационарные течения газа в соплах .

Глава 6. Течения газа в соплах при наличиихимических реакций и колебательной релаксации

Равновесные и замороженные течения250

Течения с неравновесными химическими реакциями ..«.257

Основные уравнения (258). 6.2.2. Одномерное приближение (261).

Основные закономерности химически неравновесных течений в соплах (264). 6.2.4. Плоские и осесимметричные течения (272). 6.2.5. Приближенные методы расчета неравновесных течений (274).

Течения с колебательной релаксацией .276

Релаксационные уравнения (276). 6.3.2. Одномерное приближение (283). 6.3.3. Плоские и осесимметричные течения (286).

Глава 7. Двухфазные течения в соплах

Течения без фазовых превращений290

7 1.1. Основные понятия (290). 7.1.2. Одномерное приближение (292).

Равновесное и замороженное течения (295). 7.1.4. Неравновесное течение (300). 7.1.5. Течения в осесимметричных и плоских соплах (304).

Потери импульса, связанные с двумерностью двухфазного течения (309).

Течения с фазовыми превращениями312

Неравновесная гомогенная конденсация (312). 7.2.2. Одномерное неравновесное течение с гомогенной конденсацией (323). 7.2.3. Определяющие параметры при неравновесной гомогенной конденсации (328). 7.2.4. Двумерные течения с неравновесной конденсацией (333). 7.2.5. Неравновесная кристаллизация (334). 7.2.6. Расчет кристаллизации капли и ее температуры (336).

Глава 8. Течения вязкого газа в соплах

Приближение узкого канала343

Численное решение полных уравнений Навье — Стокса ...348

Список литературы 352

ПРЕДИСЛОВИЕ

Монография авторов «Течения газа в соплах» [150], изданная в 1978 г., ввиду малого тиража в настоящее время труднодоступна. Издание этой монографии в расширенном варианте па английском языке издательством «Шпрингер» в 1986 г. [257] свидетельствует о возрастании интереса к данной тематике. Кроме того, в последние годы появилось много новых результатов по газовой динамике сопел, в частности по нестационарным, пространственным течениям и течениям с физико-химическими превращениями.

Настоящая монография представляет собой существенно переработанный, в отдельных аспектах сокращенный вариант первой монографии авторов, дополненный изложением новых результатов. В связи с этим обе монографии в определенной степени дополняют ДРУГ ДРУга.

Помимо изложения современной теории течений в соплах, новых аналитических и численных методов, представлены примеры многочисленных приложений. Рассмотрены разнообразные физикохимические процессы, характерные для течений газа в соплах: диссоциация и рекомбинация, релаксация колебательных степеней свободы, двухфазные процессы с фазовыми превращениями, такими Kai: неравновесная конденсация и кристаллизация.

Монография снабжена фактическим материалом, позволяющим проводить некоторые инженерные оценки. В первых трех главах изложены отдельные вопросы общей теории газовой динамики, аналитические и численные методы исследования течений газа в соплах. Сознательно авторы построили изложение таким образом, чтобы содержание этих глав имело достаточно общий характер и могло быть использовано при изучении различных проблем физической газовой динамики, таких, например, как внешние и струйные задачи. Это же замечание относится к шестой и седьмой главам. В основу монографии, помимо оригинальных работ авторов, положены результаты работ других исследователей.

Некоторые главы монографии основаны на курсах лекций, прочитанных авторами в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, Московском физико-техническом институте и Московском авиационном институте им. Серго Орджоникидзе. В связи с этим первые главы монографии могут быть использованы в качестве учебного материала по газовой динамике и прикладной математике для студентов и аспирантов университетов и высших технических учебных заведений.

В настоящее время сопла используются при решении многих научных и технических проблем. Исторически первые применения сопел связаны с паровыми турбинами, в которых они были использованы шведским инженером де Лавалем. Развитие аэродинамики больших скоростей потребовало создания лабораторных методов экспериментального исследования высокоскоростных потоков и положило начало применению сопел в аэродинамических трубах. В последние десятилетия возникла еще одна область практического использования сопел в качестве генераторов рабочего тела в МГД- устропствах и в газодинамических и химических лазерах.

Разнообразны методы решения уравнений в частных производных, описывающих течения газа в соплах. Сложность задачи состоит не только в большом числе таких уравнений, необходимых для описания неравновесных процессов, по и в том, что тип их различен в различных областях сопла. В случае стационарного течения в дозвуковой области соответствующая система уравнений в частных производных является эллиптической, в трансзвуковой — параболической, в сверхзвуковой — гиперболической. Таким образом, при изучении течений в соплах приходится иметь дело с различными областями современной физики, а при решении уравнений, описывающих течение,— с основными типами уравнений математической физики. Отмеченные обстоятельства привели к тому, что сформировалась по существу самостоятельная ветвь газовой динамики — физическая газовая динамика внутренних течений.

Область применения методов и результатов, представленных в монографии, неизменно расширяется. Теоретические, расчетные и аналитические методы физической газовой динамики внутренних течений применяются в настоящее время при решении задач охраны воздушного бассейна от токсичных компонент. Эти методы позволяют описать образование и трансформацию токсичных компонент в парогенераторах тепловых электростанций, двигателях внутреннего сгорания, в различных металлургических установках. Методы физической газовой динамики могут быть использованы в метеорологии и порошковой металлургии.

Ввиду ограниченного объема монографии в нее не включены разделы по течениям в МГД-генераторах, управляющим соплам, по гиперзвуковым течениям в соплах, методам профилирования сопел реактивных двигателей и аэродинамических труб. Некоторые из перечисленных проблем изложены в монографиях [150, 257].

Авторы считают своим долгом выразить глубокую признательность академику Г. И. Петрову за стимулирование многих исследований, вошедших в монографию, и академику Г. Г. Черному за внимание и помощь в издании этой книги. Авторы благодарят профессора Л. Е. Стернина за глубокое и внимательное рецензирование рукописи монографии.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ

а — скорость звука

Ср — коэффициент давления

Сх — коэффициент сопротивления с$ — теплоемкость частиц

Е — полная энергия е — внутренняя энергия h— энтальпия

/— импульс сопла

^у —удельный импульс сопла J ■— осевая сила

L — боковая сила М — число Маха М — момент

Nu — число Нуссельта

Р — тяга сопла р — давление Рг — число Прандтля Q — массовый расход R — газовая постоянная Re — число Рейнольдса St — число Стокса 5— энтропия

Т — температура

Т^ — температура в точке начала конденсации

Тт — колебательная температура t■— время

и, v, w — составляющие вектора скорости

W — вектор скорости W — модуль скорости

а — коэффициент избытка окислителя а — угол Маха

a,s —массовая доля частиц i-й фракции а3 — общая массовая доля частиц

а* — параметр закрутки потока

■у — показатель адиабаты

у, — мольно-массовая концентрация г й компоненты смеси

б * — толщина вытеснения

6 ** — толщина потери импульса

е — эксцентриситет

£— коэффициент потерь импульса

— коэффициент вязкости

— угол наклона вектора скорости

к оси ж

0i — характеристическая колебательная температура молекул

ц — молекулярная масса газа

ц — коэффициент расхода

р — плотность

о — отношение полных давлений

if> — функция тока

Пижпие индексы

оо— параметрынабегающегопотока

*— критические параметры

о— параметрыторможения,парамет

ры радиального течения

I— относитсяк конденсирующейся

компоненте

s — относится к «газу» частиц w — параметры на стенке сопла

Глава 1

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

В настоящей главе приводятся уравнения газовой динамики в дифференциальной и интегральной формах, в том числе с учетом физико-химических превращений. Выписаны уравнения газовой динамики в координатах Мизеса. Даны соотношения па поверхностях разрывов. Обсуждаются наиболее характерные начальные и граничные условия. Представлены некоторые элементарные теории газовой динамики. В § 1.1 уравнения приведены без вывода. При необходимости читатель может обратиться, например, к книгам [97, ИЗ, 182, 186, 189].

Уравнения газовой динамики

Состояние движущегося газа с известными термодинамическими свойствами определяется заданием скорости, плотности и давления, как функций от координат и времени. Для нахождения этих функций служит система уравнений, которая представляет собой выраженные в дифференциальной форме общие законы сохранения массы, импульса и энергии. Эти уравнения замыкаются термическим и калорическим уравнениями состояния.

Общепринято называть термическим уравнением состояния уравнение, связывающее давление с плотностью и температурой, а калорическим — уравнение, определяющее зависимость внутренней энергии (или энтальпии) от температуры и давления. В большинстве случаев течения газа сопровождаются разного рода неравновесными процессами, для описания которых уравнения газовой динамики дополняются соответствующими кинетическими или релаксационными уравнениями. Кроме того, в уравнения вводятся дополнительные члены, учитывающие воздействия неравновесных процессов па газодинамические параметры. Неравновесные процессы весьма разнообразны. Наиболее часто приходится иметь дело с возбуждением колебательных степеней свободы, диссоциацией и рекомбинацией, движением жидких или твердых частиц в условиях конденсации или испарения.

Дадим некоторые определения. Течения, параметры которых зависят от трех пространственных координат и времени, называют пространственными (или трехмерными) нестационарными течениями. Если параметры течения не зависят от времени, то такие течения называются стационарными. В случае двух пространственных координат течения называют двумерными, а одной — одномерными.

Частным случаем двумерных течений являются плоские, осесимметричные и конические течения. В первом случае параметры течения зависят лишь от двух декартовых координат ж, у, во втором — от цилиндрических координат ж, г, в третьем — от сферических координат ср, 0.

Термическое уравнение состояния для совершенного газа имеет вид

р = pRTjp,(1-1)

где р, р и Т — давление, плотность и температура, и — молекулярная масса, R — универсальная газовая постоянная. Калорическое уравнение состояния совершенного газа можно записать в двух эквивалентных формах

е = ^7 =^ или К = сЛ1 = —^-,(1.2)

” у — 1 рр у — 1 рv '

где е — удельная внутренняя энергия, h — энтальпия, ст и сР — удельные теплоемкости газа при постоянном объеме и давлении соответственно, ^ = С;,к,— показатель адиабаты. В случае реального газа в уравнении состояния учитываются тройные соударения и силы Ван-дер-Ваальса.

Течения идеального газа. С учетом уравнений состояния уравнения сохранения массы, импульса (количества движения) и энергии, описывающие одномерное нестационарное течение идеального сжимаемого газа, имеют вид

Рр, Эи А

=(1.3)

dt dx р dx'’

dt Эх ‘ dx

где и — скорость газа, а = Vyp/p — скорость звука. Система (1.3) содержит три неизвестных функции р, и, р.

Из уравнений (1.3) следуют уравнения акустики, которые описывают распространение плоских звуковых воли. Если принять, что звуковые волны приводят к малым возмущениям скорости и давления, которые обозначим и и р, то проводя линеаризацию уравнений для и и р из (1.3), получим систему уравнений одномерной акустики

(1.4) dtРо Эхх

5 +рХ^=0,(1.5)

dt‘ и и dx''

где ро и «о — значения плотности и скорости звука в певозмущеп- ной среде. Представленная система уравнений является модельной при построении многих разностных схем газовой динамики.

Уравнения для нестационарного течения газа в случае двух или трех пространственных переменных можно компактно записать в следующей форме:

^+V(pW) = 0,

^L + (WV)W + Ivp = o,(1.6)

-^ + (WV)S = 0.

Здесь W — вектор скорости, V — оператор градиента или дивергенции, S = In^p-1) — энтропия.

Приравняв нулю частные производные по t в системе (1.6), получим уравнения, описывающие стационарное течение газа. В частности, в случае плоской или осевой симметрии течения имеем

(1-7)

ди . ди , 1 дрп

и г V 1= 9,

дхдур дх

(1-8)

диdv , 1 дрп

U -"= 0,

дхдур ду

(1.9)

8S , dS л

U—:г= 0,

дхду

(1.10)

где и и v — проекция вектора скорости W на оси декартовой в плоском случае либо цилиндрической в осесимметричном случае системы координат, v = 0 в плоском случае и v = 1 в осесимметричном. Система уравнений (1.7) — (1.10) содержит четыре неизвестные функции и, и, р, р.

Уравнение сохранения массы (1.7), которое называют уравнением неразрывности, допускает введение функции тока "ф таким образом, чтобы это уравнение тождественно удовлетворялось, а именно

Линии ф = const являются линиями тока. Из уравнений сохранения импульса (1.8), (1.9), которые называют уравнениями движения, следует интеграл Бернулли

77-177-1f = ^о (#f = ^о (#(1.12)(1.12)

77-1

77-1

f = ^о (#

f = ^о (#

(1.12)

(1.12)

где ^о(ф) — полная энтальпия, а из уравнения (1.10)—условие сохранения энтропии вдоль линий тока

5 = In (^) = So (ф).(1.13)

Уравнения движения с использованием уравнения сохранения энтропии и уравнения Бернулли могут быть переписаны в форме Крокко

rotWx W-TVS -Vh0, (1.14)

где rot W — вихрь скорости.

Используя уравнения неразрывности, интеграл Бернулли и уравнения (1.14), систему уравнений (1.7) — (1.10) можно переписать в виде

/99\/ ()1Д,,

(а2 — и2) -ии — -4

4'ох\ оу

- -7- +— 4- V — = 0,

ох / * 'оуу

( Эи

V — - \ Эу

_ Эи \ _ а2 9S0_

Эх / у ^ — 1) Эх * Эх’' " '

( Эи и — - \ Эу

_ ди, \а2 3S9h0 _ р

Эж / 1 У (? — 1) Эуду‘

Если течение является изоэнергетическим и изоэнтропическим, т. е. hQ и S постоянны и известны во всем поле течения, то имеем следующую систему дифференциальных уравнений с двумя искомыми функциями мио:

+ ^UU ^+^— ^"4 ^ + ^ 7 = °’ (1Л6)

(1.17)(1.17)ЭиЭи

(1.17)

(1.17)

ЭуЭх

Давление р и плотность р в этом случае определяются из уравнения сохранения энтропии и интеграла Бернулли.

Течения реагирующего газа. Двухфазные течения. Пусть

газ представляет собой смесь 2V газовых компонент, реагирующих

N

между собой. Тогда плотность и давление смеси равны Р = 2 Ри г—1

N

р= 2 Pi, где ръ Р*— плотность и давление i-й компоненты. Урав- 1=1

нения сохранения запишем с использованием субстанциональной производной

4H+pVW = 0,(1.18)

^ + lVp = 0,(1.19)

at ।

4= °-(1-2°)

2/p 5t

N

где d/dt = djdt + udfdx + vdfdy + wd/dz, h = 2 ^iPi/P — энтальпия г=1

единицы массы смеси. Система замыкается уравнениями состояния, которые в случае смеси совершенных газов имеют вид

ht = h.(T'), pt = рЛТ!р., p = pRTjp.

При наличии реакций система (1.18) — (1.20) дополняется уравнениями для определения pf. Вводя массовые концентрации а4 = = рг/р(2а1 = 1) и используя (1.18). получим уравнение для определения at

^-=F^p,T,avay(1.21)

Конкретный вид функций F, определяется характером рассматриваемых реакций (диссоциация, рекомбинация, ионизация, возбуждение внутренних степеней свободы) и кинетикой этих реакций.

Если в газе присутствуют частицы одного постоянного размера, то система уравнений имеет вид

+ pVW = 0, р + Vp + Pd = о,

,..,(1.22)

~+p8VWs = 0,

dWgdeg _(1’23'>

Здесь / — сила взаимодействия между газом и частицами, отнесенная к единице массы газа частиц, q — тепловой поток между газом и частицами; параметрам частиц придан нижний индекс s. Система (1.22), (1.23) замыкается уравнениями состояния для газа и частиц, которые для рассматриваемого случая имеют вид

h = h(p, Т), p = pRT]p, е8 = еДТ)

(es—удельная внутренняя энергия частиц), и соотношениями, определяющими зависимости силы взаимодействия и теплового потока от параметров газа и частиц.

Уравнения газовой динамики в координатах Мизеса. При решении задач газовой динамики, особенно внутренних и струйных, удобными оказываются координаты Мизеса: декартова координата х и функция тока i|) [149]. Введем криволинейную ортогональную систему координат, связанную с кривой z/ = /o(s), расположенной в плоскости х, у (рис. 1.1). Координаты точки в этой системе определяются длиной дуги s, расстоянием по нормали к этой кривой г и углом ср. Элементарное геометрическое рассмотрение показывает,

что декартовы координаты ж, у, z связаны с криволинейными координатами з, г, ср следующими соотношениями:

ж = cos 6 (s) d,s — -г cos ср sin 6 (s), so

У = /и (s) "Г V COS Ф cos 6 (s),

z — r sin q),

где 6(s)— угол между касательной к кривой /o(s) и осью ж, В криволинейной системе координат з, г, ср система (4.18) — (1.21) имеет вид [145, 149]

(рмЯ2Я3) + 4 (р^Яу) + А (р^Я.) = 0;(1.24)

и ди , и диЛЦ Лс Н~ *87и до , о доН1 ds 1 Н 8г и дю , v7ПЛЛ " ТГ^и ди , и диЛЦ Лс Н~ *87и до , о доН1 ds 1 Н 8г и дю , v7ПЛЛ " ТГ^ю дию дию ди , юи . он1"и~В ^ ~г> LT sin ср + COS CD — Н^ дер — НН т 1 R^ LUb Т ■ wH1ю ди , юи . он1"и~В ^ ~г> LT sin ср + COS CD — Н^ дер — НН т 1 R^ LUb Т ■ wH1го до , и2Н^-дГр^ ЛПЦго до , и2Н^-дГр^ ЛПЦcosv срcosv ср1 дрУРН^ 8г1 дрУРН^ 8гдю , ю дю и2, его ,--ХллП^лп/;^^дю , ю дю и2, его ,--ХллП^лп/;^^додо0,0,(1.25)(1.25)-А_^ = 0; ТР^3 dtp-А_^ = 0; ТР^3 dtp

и ди , и ди

ЛЦ Лс Н~ *87

и до , о до

Н1 ds 1 Н 8г и дю , v

7ПЛЛ " ТГ^

и ди , и ди

ЛЦ Лс Н~ *87

и до , о до

Н1 ds 1 Н 8г и дю , v

7ПЛЛ " ТГ^

ю ди

ю ди

ю ди , юи . он1

"и~В ^ ~г> LT sin ср + COS CD — Н^ дер — НН т 1 R^ LUb Т ■ wH1

ю ди , юи . он1

"и~В ^ ~г> LT sin ср + COS CD — Н^ дер — НН т 1 R^ LUb Т ■ wH1

го до , и2Н^-дГр^ ЛПЦ

го до , и2Н^-дГр^ ЛПЦ

cosv ср

cosv ср

1 др

УРН^ 8г

1 др

УРН^ 8г

дю , ю дю и2, его ,

--ХллП^лп/;^^

дю , ю дю и2, его ,

--ХллП^лп/;^^

до

до

0,

0,

(1.25)

(1.25)

-А_^ = 0; ТР^3 dtp

-А_^ = 0; ТР^3 dtp

Рис. 1.1. Криволинейная система координат s, т, срРис. 1.1. Криволинейная система координат s, т, срвыпуклым; v = 0 для плоскоговыпуклым; v = 0 для плоского

Рис. 1.1. Криволинейная система координат s, т, ср

Рис. 1.1. Криволинейная система координат s, т, ср

выпуклым; v = 0 для плоского

выпуклым; v = 0 для плоского

1^\ о 8 Л+ » 9 к + 1 W2\ о.

Нт ds 1 2 j 1 Н^ дг 1 2) 1 Я3 дф 1 2]

(1.26)

и 9а. , у да. , w да. р^

Нт ds Нй 8г 1 М8 dtp1'

Здесь и, и, w — проекции вектора скорости W на оси з, г, ср, отнесенные к критической скорости звука <z*; р, р — давление и плотность,

отнесенные соответственно к давлению р* и плотности р* в критическом сечении. Параметры, имеющие размерность длины, отнесены к некоторой характерной длине г* Д(з)—радиус кривизны кривой /o(s), 7 ==«*Р*/'Р** величины Я1 = = 1 =F г cos vcp/7?, Я2 = 1, Hz = r суть коэффициенты Ламе. Знак минус в выражении для Я1 соответствует вогнутым кривым fo(s), а знак плюс — случая, v = 1 для осесимметричного

и пространственного случаев.

Система уравнений в частных производных (1.24) — (1.27) совместно с соответствующими термическим и калорическим уравнениями состояния является достаточно общей и описывает неизоэнтропическое вихревое течение смеси совершенных газов, имею-

щих различную энтальпию торможения вдоль линий тока при наличии релаксационных процессов.

Известно, что уравнение неразрывности, записанное в дивергентной форме, определяет соленоидальный вектор, который может быть записан в виде векторного произведения градиентов двух функций; уравнение неразрывности при этом тождественно удовлетворяется. В связи с этим для стационарных пространственных течений могут быть введены две функции тока. Введем новую независимую переменную ф с помощью равенства, левая часть которого — скалярное произведение вектора скорости па вектор Vxp:

и dtp , v dtp j гс dtp n

IT ++ H^ "dtp =

Очевидно, что поверхности tp(s, г, ср) = const являются поверхностями тока. Имея в виду соотношения

dtp dr!8s dtp / dr \ 1 dtp 8r]dtp

8s dr/8r \ dtp/ ’ дфdr/dtp’

получим следующие формулы для перехода к новым переменным: d I d I 8r]8s 8 I

ds ~ 8s dr/dtp d^L^’

d I_ i d id ) _ d I __drMp_d_| (1-28)

dr |5-ф dr/dtp dtp|s,v’d<p |s,r ~ dq>dr/dtp dtp|SiV‘

Введем еще одну независимую переменную 6 с помощью равенства, левая часть которого — скалярное произведение вектора скорости на вектор VQ;

и d9 , iv d9 n

ТТ^ Л7 ТТД '

Очевидно, что поверхности 0(s, ф) = const также являются поверх ностями тока и каждый из векторов V0 и \ф ортогонален вектору скорости. Линии пересечения поверхностей ф = const и 0 = cons являются линиями тока. Дифференциальное уравнение линии ток; на поверхности ф = const имеет вид

dtp H^w

dsН2й "

Формулы перехода (1.28) позволяют записать систему уравне ний (1.24) — (1.27) в новых переменных s, ф, 0 для функций и, t w, р, р, а„ г и ср. Мы не будем приводить ее здесь в полном объеме отсылая читателя к монографиям [149, 150], а ограничимся лиш частными случаями. Система уравнений, описывающая пространс! венное течение идеального газа с постоянным показателем адиабс ты, выписана ниже в гл. 3 (п. 3.2.1). В случае двумерного течени реагирующего газа имеем в переменных s, ф при R = <» следующу!

систему уравнений для определения функций и, V, р, р, ой, г:

dr1+v _ 1 + v dip ~ ри ’

(1.30)

у dW2 , 1 5? „ а

2 ds 1 р ds

(1.31)

dr v

dsи ’

(1.32)

да-, u-^ = Fv (i=1.2. ....NY

(1.33)

N

й — 2 кгаг1 1ц = 1ц (T). p — pT.

(1.34)

др у ди

dipr< ds ’

(1-29)

Здесь температура Т отнесена к 7*, хр — к р*а*г2, h0 — энтальпия торможения. В плоском случае (v = 0) система (1.29) — (1.34) справедлива и при 7? + °°, если правые части уравнений (1.32), (1.34) домножить на Ну.

Если смесь является переагирующей, то из (1.34) следует, что а= = Ф1(1р), и тогда энтропия S сохраняется постоянной вдоль линии тока, т. е. In (рр~т) = Фг(^)• Из уравнения (1.31) получаем интеграл Бернулли

А з. 1 z = А 7 + 12— 1 р 2 у — 1 "

Отметим, что показатель адиабаты в общем случае также является функцией ip, поскольку он, вообще говоря, может изменяться при переходе от одной линии тока к другой.

Для нереагирующей смеси система (1.29) — (1.34) имеет особенно простой вид:

(1.35)(1.36)(1-37)(1.35)(1.36)(1-37)1/21/2др у du dr1+v 1 -|- v dip rv Qs ’ dipри ’

(1.35)

(1.36)

(1-37)

(1.35)

(1.36)

(1-37)

1/2

1/2

V + 1 2(V_i)/7 2

у- 1 у — 1 р,

Уравнения газовой динамики в дивергентной и интегральной формах. Соотношения на разрывах. Запишем уравнения газовой динамики идеального газа в дивергентной форме, т. е. в форме, когда все компоненты, содержащие искомые функции, находятся под знаком производной. Система уравнений газовой динамики, вы-

ражающая собой законы сохранения массы, импульса и энергии, в декартовых координатах имеет следующую дивергентную форму:

+ 4- (рк) + 4- (рн) + 4- (pw) = о,9t 1 0х w ' 0у " ' 1 0z " '

4т ^ + ^(р +рм2) + i ^ии^ + "£" ^^ = °’

4?(рр> + "А(рму) + ^ (^ +ру2)+"41^ = 01 (t38)

-4 (р№) + i ^шо^ + 4?+ i ^р +рм;2)= °*

84 + 4-х wE -V pwv44 ^Е + р^ + 44 i^ + р)= о,

где и, щ w — проекции вектора скорости W на оси декартовой си/ 1 \

стемы координат ж, у, z, a Е = р\е +-^ W2j —полная энергия. В векторном виде система (1.38) может быть записана следующим образом:

(1.39)(1.39)Эа да . дЬ , 0с «0t ' 0Х ‘ 0у 0Z ’

(1.39)

(1.39)

(

р \/ Р“ \/ Ру \/ Рю *

ри \1 Р Р“2 |\/ риг»

ру L а=| puv Ь = | д + ру2 I, с = | руге

ргу II puw II pvw II p + ргг>

Е/ \(E + p) и) X^E^p^v) \VE-Vp>w

В цилиндрических координатах, переход к которым осуществляется по формулам ж = ж, у = г cos ср, z = г sin ср, нестационарные уравнения газовой динамики можно записать в виде

0га 0ra . drb . 0rc -

0t ' 0Х ‘ dr 0<р’

где f = [0, 0, р + ргж2, —pvw, 0]т, а и, v, w — составляющие W по осям ж, г, <р.

Дивергентная форма уравнений газовой динамики используется обычно при расчете течений, содержащих поверхности сильных разрывов.

Приведем уравнения газовой динамики для идеального нереагирующего газа в интегральном виде, не зависящем от выбора системы координат.

Закон сохранения массы в произвольном замкнутом объеме пространства Q имеет вид

4р f р dQ = - ^*pW dS.

Здесь слева — изменение массы газа в объеме й, а справа — масса 2 У. Г, Пирумов, Г. С. Росляков

газа, вытекающая через поверхность S этого объема с единичным нормальным вектором п. Используя формулу Гаусса — Остроградского, получим

j (S' + div PW)dQ = °-С1-40)

Закон сохранения импульса (количества движения) записывается следующим образом:

Здесь слева — изменение количества движения в объеме Q, а справа — поток вектора импульса через поверхность 2; П — симметричный тензор второго ранга, называемый тензором плотности потока импульса. Поток вектора импульса через поверхность, перпендикулярную единичному вектору п, задается выражением рп + + (Wn) pW. Компоненты тензора определяются следующим образом:

ПА = р61й + рРГ.Ж,

где индексы г, к пробегают значения 1, 2, 3, соответствующие компонентам векторов и тензоров по осям ж, у, z; 6А = О при i ^ к и б.» = 1 при i = к. Используя формулу Гаусса — Остроградского, получим

J(^L + divn)^ = O.(1.41)

Отметим, что div тензора второго ранга П есть вектор:

Закон сохранения энергии записывается следующим образом:

-^ J Е ай = — ф W£ dS - J pW d^.ЯXX

Здесь слева — изменение полной энергии (внутренней и кипетиче- / 1 \

ской) Е = р I е у ГВ21 в объеме Q. В правой части этого равенства первый член есть поток полной энергии через поверхность 2, а второй член представляет работу сил давления. С использованием формулы Гаусса — Остроградского имеем

J [4г + div ((5 + р) W)] dй ■= 0.(1.42)

Приведенные выше дифференциальные уравнения следуют из полученных интегральных уравнений для гладких решений.

Из интегральных уравнений можно также получить соотношения на поверхностях разрыва. Возможно существование двух типов поверхностей разрывов: ударных волн и тангенциальных разрывов. В первом случае через поверхность разрыва имеется поток массы, а во втором поток массы отсутствует. Соотношения на ударной волне имеют вид:

[р] D— [р!Гп] = 0,[рЖ„] D— [р + рИ7"] = 0,43

[^ D _ [(^ + р) Жя] = о, [WJ = 0,‘

где Wn и W, = W — W„n — нормальная и касательная к поверхности разрыва составляющие скорости, D — скорость движения поверхности разрыва в направлении вектора нормали и к этой поверхности, [/] = /: — /г, где /1 и /2 — значения параметра / слева и справа от поверхности разрыва. На ударной волне терпят разрыв плотность, давление, температура и нормальная составляющая скорости и сохраняется неизменной касательная составляющая. Условия па ударной волне носят название условия Ренкина — Гюгопио. На поверхности тангенциального разрыва непрерывны нормальная компонента скорости W, и давление, т. е. [W„] = [р] = 0, и могут терпеть разрывы касательная составляющая скорости, плотность и температура.

Характеристики уравнений газовой динамики

При изучении газодинамических задач о течении газа в соплах, важную роль играют характеристические поверхности. Общая теория характеристик излагается во многих работах (например, [105, 122, 172]), поэтому здесь будут представлены основные идеи и определения, необходимые для дальнейшего изложения.

Теория характеристик системы квазилинейных уравнений общего вида. Характеристики уравнений пространственного стационарного течения газа. Рассмотрим систему квазилинейных уравнений

^i2iayk4r' = bi (t 1, 2, .m),(1.44)

3 — 1 к=1к

где ачк и Ь. — функции хк и и,. Перепишем эту систему в виде

2 (a„V) и^ = Ьг (i = 1, 2, . . ., ш),(1.45)

,=i

где ау — векторы с компонентами avl, «„2, ..., а«п.

2*

Рассмотрим линейную комбинацию уравнений (1.45) с коэффициентами Wj, <о2, . . .,tom I 5 Mi :

ттт

2 “i 2 (aijV) Uj = 2 ®i&i i=ij^ii—1

(1.46)

или

2 (A;V) Uj = B,

(1-47)

где

A,. = 2В = 2 *

г=1г=1

(1.48)

Поставим целью выбрать о, так, чтобы все векторы А,- лежали в одной плоскости (гиперплоскости при п>3). Если такие ®, существуют, плоскость, в которой лежат векторы А„ называется характеристической, нормаль п к пей — характеристической нормалью, соотношение (1.47)—характеристическим соотношением, соответствующим данной нормали. Соотношение (1.47) содержит дифференцирование только в направлениях векторов А„ лежащих в одной плоскости. Таким образом, если п — характеристическая нормаль, то должны выполняться условия

плипли(1-49)(1.50)(1-49)(1.50)nAj = 0(/ = 1, 2, ..., иг),

пли

пли

(1-49)

(1.50)

(1-49)

(1.50)

П 2 ®iaij = У ®i (а«п) = 0.1=11=1

Система (1.50)—линейная однородная система уравнений относительно <01. Нетривиальное решение этой системы существует, если определитель ее матрицы равен нулю, т. е.

(1.51)(1.51)пап па21 ... namlпа12 па22 ... nam2

(1.51)

(1.51)

naim na2m * * " aamm

Уравнение (1.51) называется характеристическим уравнением для системы (1.44). Это уравнение является алгебраическим однородным уравнением иг-й степени относительно компонент гц, П2, ..., nm вектора п, которые, следовательно, определяются с точностью до постоянного множителя. Значит, уравнение (1.51) определяет в каждой точке Р конус (гиперконус) порядка иг, который может вырождаться или распадаться на несколько пепересекаю- щихся конусов. Этот конус носит название конуса нормалей. Каждая плоскость, проходящая через точку Р и нормальная к одной из образующих конуса нормалей, является характеристической. Огибающая семейства характеристических плоскостей называется

характеристическим конусом. Поверхность, которая в каждой своей точке касается характеристической плоскости, носит название характеристической поверхности. Таким образом, через каждую точку Р проходит бесконечное множество характеристических поверхностей, касающихся характеристического конуса в точке Р. Огибающая этих поверхностей называется характеристическим коноидом. Линии, по которым характеристические поверхности касаются коноида, называются бихарактеристиками.

Если задана характеристическая нормаль, определяемая (1.51), то система (1.50) имеет mi = m—m2 независимых решений, где шз — ранг ее матрицы. Следовательно, имеется mi независимых характеристических соотношений (1.47), соответствующих данной нормали. В каждом конкретном случае необходимо выяснить, сколько и какие характеристические соотношения линейно независимы. Для случая пространственного течения газа (установившегося и неустановившегося) этот вопрос детально рассмотрен в [172]. Часто характеристическими называют поверхности, на которых нельзя ставить задачу Коши. Очевидно, такое определение характеристических поверхностей эквивалентно определению, введенному выше. Действительно, если поверхность начальных данных характеристическая, то на ней выполняются mi {mi ^ m) независимых условии совместности (1.47), которые являются следствиями основной системы дифференциальных уравнений. Оставшихся m — mi основных уравнений, которые содержат по крайней мере одну производную от искомых функций в нормальном к характеристической поверхности направлении и по терминологии [122] называются дополнительными соотношениями, недостаточно для определения решения вне поверхности начальных данных.

Рассмотрим трехмерное стационарное течение газа в условиях равновесного протекания физико-химических процессов. Получим, пользуясь общей теорией, характеристические уравнения в форме, предложенной в [176, 234].

Уравнениянеразрывности, движения исохраненияэнтропии

в случае стационарного равновесного течения имеют вид [см. (1.6)] V(pW)=0,(1.52)

p(WV)W + vp = 0,(1.53)

(WV)S = 0.(1.54)

Пользуясьвыражением для квадратаскоростизвука а2 =

= {dpldp^g, уравнение (1.54) можно привести к виду

(WV)p = az(WV)p

и с его помощью исключить производные от плотности из уравне- пия неразрывности (1.52):

p«2vw+(WV)p = 0.(1.55)

При равновесном течении энтальпия торможения Ло и давление торможения ро постоянны вдоль линий тока, поэтому

(WV)Ao = O, (WV)Po = O,(1.56)

где Ло = Л + у W2.

Далее будем рассматривать систему (1.53), (1.55), (1.56). Плотность и скорость звука, входящие в коэффициенты этой системы, являются функциями р, ро, ho;

р = р(р, ро, М, а = а(р, ро, М- (1-57)

Для совершенного газа эти зависимости записываются в явном виде. В случае равновесных течений р и а могут быть определены из уравнений химического равновесия.

Домпожим каждое i-e уравнение системы (1.53), (1.55), (1.56) па со, (t = l, 2, . . ., 6) и сложим их. Получим соотношение (1.47), которое в развернутом виде имеет вид

«цр (WV) и 4- <о2р (WV) и — <о3р (WV) w -f- ®4pa2VW + <Oiyr +

+ ю2 ^ + «з^ + «4 (WV) р + <о5 (WV) р0 + <о6 (WV) Ло = 0,(1.58)

где и, п и w — составляющие вектора скорости W в проекциях на оси декартовой системы координат.

Характеристическое уравнение (1.51), позволяющее определить вектор п, имеет вид

р (Wn)

0

0

2 ра пх

0

0

0

р (Wn)

0

2 ра пу

0

0

0

0

р (Wn)

2 ра пг

0

0

= 0,

"х

"у

nz

Wn

0

0

0

0

0

0

Wn

0

0

0

0

0

Wn

где пх, пу, п2 — компоненты вектора п. Отсюда

(1.59)(1.59)p3(Wn)4[(Wn)2-a2(nn)] = 0.

(1.59)

(1.59)

Конус нормалей распадается на два непересекающихся конуса. Уравнение одного из них

Wn = 0.(1.60)

Wn = a, nn = 1.Wn = a, nn = 1.Этот конус вырожден в плоскость, перпендикулярную вектору скорости W. Соответствующий ему характеристический конус вырожден в прямую, направленную по вектору W. Таким образом, поверхности тока являются характеристическими поверхностями. Уравнение второго конуса

Wn = a, nn = 1.

Wn = a, nn = 1.

(1.61)

Это круглый конус с осью, направленной по вектору скорости, и углом раствора ^ = arccos М-1, где М = Wja — число Маха. Ось соответствующего характеристического конуса также направлена по W, а его угол раствора а = arcsin М-1. Этот конус иначе называют конусом Маха, а соответствующие характеристические поверхности носят название волновых поверхностей. На рис. 1.2 показано взаимное расположение характеристических поверхностей,

Рис. 12. Конус нормалей (7), характеристический конус (2) и характеристический коноид (5), построенные в точке Р Через кривую 7 проведены поверхность тока 5 и две волновых поверхности 4, касающиеся коноида вдоль бихарактеристик б

конусов н коноида. Очевидно, что конус Маха будет действительным только при условии М > 1, т. е. при сверхзвуковом установившемся течении. Нетрудно получить уравнение бихарактеристик. Пусть 1 — вектор бесконечно малого смещения вдоль бихарактеристики, тогда 1 лежит па одной из образующих конуса Маха, касающейся бихарактеристики в данной точке. Очевидно W1 = = l(W2-a2y;2, т. е.

(и dx + v dy + w dz)2 = (W2 — a2) [ (t/ж)2 + (dy)2 + (dz)2].(1.62)

Полученные уравнения определяют характеристические поверхности. Обратимся теперь к уравнениям, выполняющимся па этих поверхностях, называемым уравнениями совместности. Система уравнений относительно ©i, ©2, • ■., ©е имеет вид

p(Wn)©! + ра2пжю4 = 0, p(Wn)ы2 + pa2rei;©4 = О,

p(Wn) ©з + pa2re2©4 = О,

Щ©1 + щ©2 + Щ©3 + (Wn) ©4 = О,

(Wn) ©5 = О, (Wn)®6 = 0.(1.63)

Рассмотрим поверхности тока. Каждая нормаль к поверхности тока в данной точке перпендикулярна линии тока, т. е.

Wn = 0.(1.64)

Ранг матрицы системы (1.63) в этом случае равен двум, и, следовательно, имеется четыре независимых решения, соответствую-

щих одной и той же нормали. В силу (1.64) из (1.63) следует, что о)4 = 0. В исходной системе уравнения (1.56) уже имеют характеристическую форму, поскольку они содержат производные вдоль линий тока. Поэтому в качестве двух решений системы (1.63) удобно ВЗЯТЬ (01 = (02 = (Оз = (04 = (05 = 0, (Об ^ О И (01 = (02 — (Оз = = (04 = (Об = 0, (05 0. Еще два решения можно получить, положив (О4 = (05 = (Об = 0, а (01= и, ы2 = и, (Оз = w пли (01 = тх, ю2 = Шу, (Оз = m-z, где ши = 0 и вектор m не зависит от W.

Подставляя полученные независимые решения (Щ, (02, ..., (Об в (1.58), получим уравнения совместности, соответствующие данной нормали к поверхности тока:

(WV)Po = O, (1.65)

(WV)/(0 = 0, (1.66)

Pb(WV)b + py(WV)y + pu?(WV) w+ (WV)p = 0, (1.67) pmx(WV) и + p77zy(WV) v + pmz (WV)w + (WV)p = 0. (1.68)

Очевидно, уравнение (1.65) эквивалентно условию сохранения энтропии вдоль линий тока, а уравнение (1-67)—уравнению Бернулли.

Рассмотрим теперь волновые поверхности. Скалярное произведение единичной нормали к волновой поверхности и вектора скорости равно значению местной скорости звука

Wn = а. (1.69)

Подставив (1.69) в (1.63), убедимся, что ранг матрицы системы (1.63) равен пяти, значит, опа имеет одно независимое решение. В силу (1.69) из (1.63) следует, что (05 = (Об = О, а (04 можно выбрать произвольно. При этом (Oi = —агах(04, (02 = —«^(04, <03 = = —алг^. Положив (04= 1, имеем из (1.58)

parax(WV) ц. + pan^WV) о + pare2(WV) w — pa2VW +

+ ((an-W)V)p = 0. (1.70)

Среди бесконечного числа характеристических условий (1.65)— (1.68), (1.70), отвечающих разным нормалям, независимых условий не может быть больше числа исходных дифференциальных уравнений. В качестве таких независимых характеристических соотношений можно выбрать уравнения (1.65) — (1-67) вдоль линий тока и уравнение (1.70) вдоль трех характеристических поверхностей.

Теория характеристик двумерных систем квазилинейных уравнений. Общая теория, изложенная в предыдущем пункте, позволяет получать характеристические уравнения для систем, описывающих и более сложные типы течений газа, такие, например, как пространственные течения при наличии неравновесных физико-химических процессов или многофазные течения [220], В следующих главах будут рассмотрены такого рода течения для случая двух

независимых переменных, поэтому остановимся подробнее именно на этом случае. Используем подход, основанный на определении характеристик как линий, па которых нельзя задавать начальные данные при решении задачи Коши. Таким путем удобнее приводить к характеристической форме уравнения с двумя независимыми переменными.

Рассмотрим квазилинейную систему тп-го порядка +5-^ = f,(1.

ОХ^<7^2х

где элементы a,,, ЪЧ1 ft матриц А, В и вектора f (i, / = 1, 2, ..., т^ суть функции жц ж2 и компонент щ, и2, ..., ит искомой вектор- фуакции и.

Пусть в области G плоскости жц х2 известно некоторое гладкое решение и системы (1.71) и задана кривая Г. Выясним, можно ли, зная и вдоль Г, восстановить решение в некоторой ее окрестности или, иначе, однозначно определить вдоль Г все частные производные ди/дад, ди/дж2, пользуясь дифференциальными уравнениями.

Записав выражение для дифференциала

^и=-^-^1 +(1.72)

где (^жц dx2y — вектор бесконечно малого смещения вдоль Г, имеем алгебраическую систему уравнений (1.71), (1.72) порядка 2т для определения производных du/d^i, 8uj8x2. Выразив из уравнений (1.72) 8и]8хх через ди/дж2 и подставив в исходную систему, получим

(5 dxA — A dx^ -^ = f dx1 - A du.(1.73)

Если определитель матрицы

В dx\ — A dx2(1-74)

отличен от нуля в каждой точке Г, то все производные определяются однозначно. Если вдоль Г этот определитель тождественно равен нулю, то из предположения о существовании решения системы (1.71) следует, что производные du/da:i и 8uj8x2 определяются неоднозначно. Кривая Г в этом случае называется характеристикой. Приравнивая определитель системы (1.73) нулю, получим уравнение

. dx.В-А-Аах1. dx.В-А-Аах1= О,= О,(1.75)(1.75)

. dx.

В-А-А

ах1

. dx.

В-А-А

ах1

= О,

= О,

(1.75)

(1.75)

которое позволяет найти dx2ldxx, определяющие характеристические направления. Если это уравнение имеет т различных вещественных корней dx2ldxx=Xt (г = 1, 2, ..., таг), то исходная система

дифференциальных уравнений называется гиперболической. Обратим внимание на следующее обстоятельство. Наклон X, касательной к характеристике зависит не только от координат, но и от решения и. Поэтому построить характеристические кривые на плоскости яд, Жг можно только для какого-либо определенного решения системы дифференциальных уравнений. В линейном случае, когда коэффициенты А, В в (1.71) не зависят от u, X, — являются функциями только яд и х2 и характеристические кривые могут быть построены без знания решения и.

Покажем, что па характеристиках решение системы (1.71) должно удовлетворять определенным соотношениям. Предположим, что система (1.71) гиперболическая. Это означает, что ранг матрицы (1.74) равен т— 1. С другой стороны, в силу предположения о существовании решения, ранг расширенной матрицы

(В dxt — A dx2, f dxv — A du) (1.76)

также равен т— 1. Приравнивая нулю определители ттг-го порядка, получаем связь между компонентами вектора смещения и дифференциалами решения. В силу линейной зависимости столбцов матрицы (1.74), миноры расширенной матрицы отличаются лишь постоянным множителем, поэтому безразлично, какой из лих приравнивать нулю, за исключением случаев, когда это приводит к тривиальному тождеству.

Уравнение (1.75) называется уравнением направлений характеристик, а уравнение, получающееся приравниванием нулю определителя, составленного из любых т — 1 столбцов матрицы (1.74) и столбца f dxx — A du,— дифференциальным соотношением па характеристике или условием совместности.

Важно подчеркнуть, что в силу определения характеристики являются линиями, ограничивающими области распространения малых возмущений. На характеристиках могут иметь место слабые разрывы производных газодинамических параметров, в отличие от сильных разрывов, возникающих па ударных волнах и контактных поверхностях. Т. е. для течений со слабыми разрывами характеристиками разделяются области различных аналитических решений.

Например, в простой волне, а именно в течении Прандтля и волне Римана (см. п. 1.4.3), область поступательного течения отделяется характеристикой от течения разрежения или сжатия. Эта граничная характеристика является линией разрыва.

Характеристики уравнений одномерного нестационарного течения газа. Рассмотрим некоторые конкретные системы уравнений газовой динамики, которые будут использоваться в дальнейшем. Обратимся к уравнениям одномерного нестационарного движения совершенного газа (1.3). Для системы (1.3) уравнение (1.75) имеет вид

(to — dxjdt) [(to — dx]dty — a2] = 0,

откуда получаем три уравнения характеристик

которые называются соответственно Со-, С+- и ^-характеристиками. Матрица (1.74) примет вид

(

и dt — dx р dt0\

О и dt — dx dtjp I 0 pa2 dt и dt — dx)

Составим определитель этой матрицы, заменив второй столбец вектором f dt — A du, и приравняем его нулю:

dp — аМр + (к — dxldt) [ (м — dxfdl) dp — р du\ = 0.

Подставляя и, и + а и и — а вместо dx/dt, получим условия совместности па характеристиках

dp — a^dp = 0 вдоль Cq: dx/dt = и,

dp + apdu = Q вдоль С+: dxldt = и + а,(1-77)

dp — ар du = 0 вдоль С_: dxldt = и — а.

Соотношение dp — a2dp = 0 эквивалентно условию постоянства энтропии вдоль траектории частиц.

Если течение изоэнтропическое, то выражения du + dp/pa, du — dplpa являются полными дифференциалами величин 7+, I- (инварианты Римана). При этом

Из (1.78) следует

1+ = const вдоль С+: dxjdt — и + а.

Для уравнений акустики (1.4),(1-5) инварианты Римана

имеют вид

. 1± = р + айрйи.

Наряду с (1.3) рассмотрим систему уравнений, описывающих одномерное течение газа в сопле, контур которого задан уравнением у = /(ж) [186]

др , др , Эи ,, х din/ п

dr+M^+Pl?+(1 + v)

=(1.79)

dt dx р дх

др , др ,, ди . ,. , х 9 din/п

"Г К -у- т Г (1 + V) а рм —; О- dt 1 dxdx 1 v 11 dx

Для уравнений (1.79) уравнения характеристик те же, что и для (1.3); сохраняется и условие совместности вдоль Со. Для

(1.80)(1.80)dp + ар du + (1 + v) (три ^^Z dt 0.dp + ар du + (1 + v) (три ^^Z dt 0.характеристик С+, С_ имеем dx , at

(1.80)

(1.80)

dp + ар du + (1 + v) (три ^^Z dt 0.

dp + ар du + (1 + v) (три ^^Z dt 0.

Если течение изоэнтропическое, то эти условия примут вид

(1.81)(1.81)dx dt

(1.81)

(1.81)

dl± ± (1 + v) аи A^J dt = 0.

Характеристики уравнений неравновесного стационарного течения газа. Уравнения, описывающие изменение параметров а,-, характеризующих неравновесное состояние среды, запишем в виде

—i- = ^(р, Т, а15 а2, ..., Кдг), i = 1, 2, ..., N. (1.82)

Параметрами, как отмечалось ранее, могут быть, например, массовые концентрации компонент газа, энергии внутренних степеней свободы и т. д. (см. п. 1.1.2). Уравнения состояния для смеси имеют вид

Н = И^р, Т, «1, «2, • •., aw), р = р(р, Т, «1, аг, • •., аЛ).(1.83)

Уравнения движения, неразрывности и энергии запишем в следующей форме:

ди , ди , 1 др п

U -тН Г F — -Т- = м, Эхдур дх

Эи . ди , 1 др п

и ——k v -—1=0;

(1.84)

дх 1 ду 1 р ду

dp ,ди. ди ,ргп

■дт +Р^- +р-ч- +У—=0;

dt 'г дхх дуу

(1.85)

dh1 dp q

dtp dt'

(1.86)

С учетом (1.82), (1.83) полные производные dp/dt, dhldt представим в виде

dp _ dt

N

dp dp , dp dT . VI dp p

~p”dt ' ^T~dt"da^”

2=1Z

(1.87)

dh dt

Oh dp . dh dTV' dh p

dp dt ' dT dt ' * da.

i=l 1

(1.88)

Уравнение (1.86) с учетом (1.88) примет вид

А

(1.89)(1.89)(1.90)(1.90)/М.l\dp , Эк dT , X 8h р л

(1.89)

(1.89)

(1.90)

(1.90)

\ Эрр / dt " ЭТ dt ' ^ да. г

Введем, следуя [233], замороженную скорость звука

рр\1/2 Г др 5рЖ/1д/г'|1-1/2

“i \"5Р Js,at ~ L О’ + dHldT \ Р8Р Л

Используя (1.87) и (1.89), приведем уравнение (1.85) к виду

А

9к 9р\р

[ 5Т J дТ да. дТ даЛ ‘'

\/ i=i\ гг*

(1.91)

Для системы (1.82), (1.84), (1.86), (1.91), применяя общий прием, можно получить уравнения характеристик. При сверхзвуковом течении существуют три семейства характеристик — два семейства линий Маха (характеристики С+ и С-) и линии тока (характеристики Со). Уравнения направления характеристик и условия совместности имеют следующий вид:

для линий Маха

dy = tg (0 ± ос) dx,(1.92)

d0 + -^ dp +sinQsincc —ФЛ- = 0,(1.93)

рЩ- — \У) cos (8 ± «)’x '

где

A

Ф a I Oh \ x V / dp dh dh dp \ p _ ~dT~dai — "dT""da"J b для линий тока

dy = tg 9 dx,(1.94)

WdW + dp/p = 0,(1.95)

da. = (FJW cos Q^dx (t = 1, 2, . . ., У),(1.96)

N

dp +^ai = 0.(1-9/) \dp p/ 11 dT 1 da^ 1x '

Здесь ос = arcsin M-1, M = W!a — замороженные угол и число Маха, 6 — угол наклона вектора скорости к оси х. Отметим, что для неравновесных течений направления характеристик определяются

/ Ур \ 1/2 именно замороженной скоростью звукаI а не ско-

х “Р J S.ai

/ dp W2/ dp V/2

ростью a = ("^г/ или равновесной скоростью звука ае = (-^.

Из (1.95) и (1.87) следует, что вдоль линий тока

у W2 + h = h0 = const.(1.98)

Введем функцию тока гр, удовлетворяющую уравнению

d^ = р1Пу' (cos 0 dy — sin 0 dx), тогда вдоль характеристик С± и Со

dtp = +- dy, dtp = O.(1.99)

Уравнения (1.92) — (1.99) будут справедливы как для равновесного, так и для замороженного течения, если формально положить в них Рг = 0. При этом скорость звука определяется формулой (1.90), а р и h находятся из уравнений состояния

к = Цр, Т), р = р(р, Т).(1.100)

В этом случае, в отличие от неравновесного течения, энтропия сохраняется неизменной вдоль линий тока

dS = O.(1.101)

Для совершенного газа с 7 = const имеем

5=lnJL(1.102)

k Р/’7-1Рpv’

и соотношения (1.92)—(1.94),(1.101) даютуравнения характе

ристик при Б, = 0.

Характеристики уравнений двухфазного течения. Рассмотрим еще один важный случай — движение газа с твердыми частицами одного размера. Стационарное движение двухфазной среды описывается уравнениями (1.22), (1.23), если в них приравнять пулю все частные производные по времени. Эта система служит для определения И неизвестных—и, и», v, vs, р, р, ps, Т, Т„ к, es. Скорость звука определяется по формуле (1.90) и равна скорости звука в газе, если пренебречь объемом, занятым частицами. Как и в случае движения однофазной среды, характеристиками системы являются линии Маха и линии тока газа. Кроме, тока, в рассматриваемом случае имеется еще одно семейство характеристик — линии тока частиц.

Выпишем характеристические соотношения без вывода [26, 189]. На характеристиках С* (линиях Маха) dy = tg(0±a)da: выполняются соотношения

d0 + ctg ” dp + f— sin 9 sin a ——г = 0, (1.103)

~ ри \y/ cos (0 + a) ’ v '

Где

°2 = 7F P 7 WF ^5 “ V7 77 + [7 sin (9±a)-/,cos (0+a)]},

jx, /« — проекции вектора f па оси декартовой системы координат. На линиях тока газа (характеристиках Со) dy = tg 6 dx имеем

5 + (5 3) ^ + )»3 № - W)' + »1 и 104)

(1.105)(1.105)^0 4q) dx = 0.

(1.105)

(1.105)

0 1 plVcos9 '41

Из последнего уравнения следует, что если газ и частицы не взаимодействуют, т. е. f = 0 и д = 0, то энтальпия торможения ho = = h + W2f2 остается постоянной вдоль линий тока газа.

Вдоль линий тока частиц справедливы уравнения (1.23), которые уже имеют характеристическую форму. Таким образом, имеют место следующие уравнения направления и совместности: иДх — и Ду = 0,.

иДи8 — 1Дх = 0,иДи8 — 1Дх = 0,usdvs — f„dx = 0,usdvs — f„dx = 0,

иДи8 — 1Дх = 0,

иДи8 — 1Дх = 0,

usdvs — f„dx = 0,

usdvs — f„dx = 0,

(1.106)(1.106)иДе8 — qdx = 0.

(1.106)

(1.106)

Используя уравнение неразрывности для «газа» частиц, можно получить еще одно соотношение для определения р8, выполняющееся вдоль линий тока частиц:

Фй + Рз (д^Эу У ч^у + 1Ди2^ dx = 0,(1.107)

где § = vju8.

Понятие о численном методе характеристик. Теория характеристик играет исключительно важную роль при формулировке краевых условий задач газовой динамики. Кроме того, свойства характеристик широко используются при численном решении уравнений. В дальнейшем при рассмотрении конкретных задач о движении газа в соплах эти вопросы будут подробно обсуждаться. Здесь же кратко изложим идею численного метода характеристик.

Для простоты гиперболическую систему (1.71) рассмотрим для случая двух независимых переменных и двух искомых функций, которые обозначим соответственно х, у и и, г. Имеем

ди.ди., ди,, ди,

^11 "З-I^12 3—Т^l 1 "З-+^12 "3“"711

ох12 дх 1 дуJ2 ду

ди.ди.1 ди,7 ди,

&21 “7—“г^2 2 3—"Г^21 33"1^22 33~/ 2?

дх22 дхду22 ду

где а<„ bi, — функции ж, у, и, и. Уравнения характеристик этой системы таковы:

dy]dx = Xi (i=l, 2),(1.109)

(аХг + b)du + с dv + К dx + е dy = 0,(1.110)

где Н = ЯцЯ22 — Й12Й21 , 6=6121612— Нцб22, С = Й22&12 — ^12622, h = = 622/1 — 612/2, в = «12/2 — «22/1-

Рассмотрим в плоскости ж, у две достаточно близкие точки 1 и 2, не лежащие на одной характеристике, и зададимся целью определить и, и в точке 3 пересечения характеристик, проходящих через эти точки. Координаты точки i будем обозначать через ж„ у„ а значение любой функции g в точке г — через g,. Переходя в (1.109) от дифференциалов к разностям, имеем для определения жз, уз систему

Уз — У1 = (^1) 1 (^з — Ж[), уз — у2 =(Л2)г(ж3 — жг).(1.111)

Аналогично из (1.110) получаем

(Ма + Ъ) 1 (из — U1)+ ci(y3—ki)+&i (жз — Ж1)+ б1(уз — У1)= О,

(1.112)

(Х2а + &)г(кз — к2)+ с2(н3 — н2)+ /г2(ж3 — ж2)+ е2(Уз — У2)=0,

откуда определяется и3, к3. Ошибка в определении ж3, Уз, «з, Уз будет порядка квадрата расстояний от точки 3 до точек 1 и 2. Решение можно па порядок уточнить, если при вычислении коэффициентов при дифференциалах в (1.109), (1.110) использовать значения искомых величин в точке 3. Этого можно достичь итерациями

У(з5) — Ух = Мз (4° — ^1), У? —Ухх = (^23 (^ — ^гУ

{\а 4- b^ (u^— mJ-H с^^— аг) + hu№— жг)т ^зЧ^—J/i) = 0,

(М + &)4 («^ — и2) + 4Г («У — к2) + и^ (45) — ж2) +

+ 48з)(4”-У2) = 0,S=l,2,(1.113)

где g^ = у (^1 + 4^'4 4з = у (?2 + 4S-1))- При вычислении ^ы, 8*23 используется решение уравнений (1.111), (1.112). В силу хорошего начального приближения удовлетворительная точность обычно достигается за две-три итерации при разумном с точки зрения ошибок аппроксимации выборе характеристической сетки при решении каждой конкретной задачи.

Пусть теперь ник заданы на дуге АВ некоторой кривой, которая ни в одной точке АВ не имеет характеристического направления, и нужно определить решение в окрестности АВ (задача Коши). Выберем на АВ ряд точек А, а, Ь, ..., с, В (рис. 1.3, а) и проведем через каждую из них характеристики обоих семейств. В точках пересечения характеристик d, е, ..., / описанным выше способом можно вычислить искомые функции. Зная решение в этих точках, можно продвинуться еще на один «слой» и т. д., пока не вычислим решение в точке С. Таким образом, последовательно определяется решение и одновременно выстраивается характеристическая сетка. Аналогично определяется решение и в характеристическом тре-

угольнике ABD. Такая процедура возможна лишь при условии существования в области ACBD непрерывного решения. Известно, что существование непрерывного решения квазилинейной системы можно гарантировать лишь в малой окрестности линии начальных данных. Даже при сколь угодно гладких начальных данных в области влияния дуги АВ (область АСВЩ могут возникать разрывы.

Рис. 1.3. Схема решения методом характеристик задачи Коши (а), задачи Гур- са (б) и краевой задачи (в)

Расчет методом характеристик в этом случае существенно усложняется. Однако этот вопрос выходит за рамки принятого здесь элементарного рассмотрения численного метода характеристик.

Рассмотрим задачу Гурса. Пусть известны функции и и и на дугах АВ и АС характеристик различных семейств. При этом, естественно, предполагается, что и и и удовлетворяют условиям совместности. Выберем на дугах АВ и АС последовательности точек А, «1, «2,..., У И Л, &1,&2, --Ч С(рис. 1.3,6). Используя ТОЧКИ Щ И 61 в качестве опорных, определим искомые функции в точке щ. Далее решение можно вычислить в точке сг и во всех остальных точках характеристики а^Е. Затем процесс повторяется для следующей характеристики a-iF и т. д., пока не будут вычислены искомые величины па крайней характеристике BD характеристического четырехугольника ABDC.

В заключение рассмотрим одну из возможных граничных задач. Пусть граничные условия заданы па дугах АВ и АС двух нехарактеристических кривых, причем на АВ заданы и и у, на АС — линейная комбинация аи+рщ и дуга АС расположена внутри угла, образованного характеристиками разных семейств, проходящих через точку А (рис. 1.3, в). По значениям на АВ можно вычислить и, и в треугольнике ABD, в том числе и в точках характеристики AD (точки а, b и т. д.). Для определения и, и в точке с используются характеристическое условие вдоль дуги ас и заданная в точке комбинация аи + ру. После вычисления искомых величин в треугольнике АЕС решается задача Гурса с данными на ED и ЕС.

3 У Г. Пирумов, Г. С Росляьов

§ 1.3. Граничные и начальные условия. Прямаяи обратная задачи теории сопла

Полная математическая постановка задачи содержит дифференциальные уравнения, а также дополнительные условия, позволяющие выделить необходимые решения среди семейств решений дифференциальных уравнений. Дополнительные условия задаются обычно на границе области G ^t, г), в которой отыскивается решение (г—радиус-вектор точки). Если в число независимых переменных входит время t, то чаще всего рассматривают области вида

г) =g(г) -[io, ТУ

В газовой динамике возникают все типы задач математической физики: задача Коши, краевые задачи, смешанные краевые задачи (или нестационарные краевые задачи). Например, при нестационарном обтекании тел или нестационарном движении газа в каналах возникает смешанная краевая задача, при стационарном дозвуковом течении — краевая, а при сверхзвуковом стационарном течении — задача Коши.

В газовой динамике внешних и внутренних течении различают еще два класса задач: прямую и обратную. Прямая задача состоит в определении поля течения при заданной форме обтекаемого тела (для внешних задач) или канала (ддя внутренних задач) и заданных граничных условиях. Прямая задача сводится в общем случае к краевой задаче, для которой, как правило, не доказаны теоремы существования и единственности. Обратная задача состоит в определении поля течения при условиях, заданных на некоторой поверхности, и условиях в начальном сечении. При этом форма обтекаемого тела (или канала) не задана и определяется в процессе решения. Обратная задача сводится к задаче Коши. В обратных задачах о течении за отошедшей ударной волной задается форма ударной волны и в процессе решения находится форма обтекаемого тела. В обратной задаче теории сопла задается распределение скорости, например, на оси сопла, а поверхность сопла определяется в процессе решения.

При решении конкретных прикладных задач система уравнений газовой динамики дополняется начальными и граничными условиями. Очевидно, что характер начальных и граничных (краевых) условий зависит от типа течений и различается в случае дозвукового и сверхзвукового течений.

Прямая задача. Рассмотрим прямую задачу для случая нестационарного трехмерного течения нереагирующеп смеси газов в сопле. На контуре сопла задается условие непротекания

(HZV)E = 0, (1.114)

где F (ж, у, z) = 0—уравнение контура сопла. В качестве начальных условий при t = 0 во всей области течения задаются все газодинамические параметры течения (при этом допускается существование поверхностей разрывов).

На входной плоскости сопла, где течение всегда будем предполагать дозвуковым, задаются как функции времени либо все составляющие скорости и давление (или плотность), либо две составляющие скорости, давление и плотность. Задание всех параметров (вектора скорости, давления и плотности) на начальной плоскости переопределяет задачу, что можно показать на основе теории характеристик. Аналогично задаются условия и на выходе из сопла, если истечение газа из сопла происходит с дозвуковой скоростью. Если же на выходе из сопла скорость газа больше скорости звука, никаких краевых условий в выходном сечении ставить нельзя, так как решение там полностью определяется заданием начальных данных и краевых условий на входе в сопло.

Существование единственного решения следует из возможности однозначного определения его методом характеристик. Рассмотрим этот вопрос на примере одномерного нестационарного изоэнтропического течения газа в сопле. В этом случае существуют два семейства характеристик. Характеристические соотношения в форме (1.81) связывают дифференциалы скорости и скорости звука.

В качестве начальных данных при £ = О необходимо задать функции и (ж) и а (х) при 0 ^ х ^ хк, где х = 0, х = xh— координаты входного и выходного сечений сопла. Рассмотрим сначала случай

Рис. 1.4. К заданию граничных условий при одномерном нестационарном течении газа в сопле

полностью дозвукового течения в сопле. Начальные условия однозначно определяют течение в характеристическом треугольнике О АВ (рис. 1.4, а). На левой границе (ж = 0) нельзя произвольно задавать обе функции и и а. Действительно, в каждую точку левой границы приходит со стороны меньших значений t, где решение известно, характеристика С— Связанное с ней характеристическое соотношение в общем случае будет противоречиво с произвольно заданными при х = 0 значениями и и а. Для однозначного определения решения методом характеристик в области OBD (рис. 1.4,а) необходимо при ж = 0 задать одну из функций и или 3*

а, или их линейную комбинацию. Аналогично обстоит дело и с условиями на правой границе. Таким образом, задание на входе и выходе сопла одной из функций (или их линейных комбинаций) позволяет однозначно определить решение последовательно в областях О АВ, OBD, ABE, BDFE и т. д.

Если истечение газа из сопла происходит со сверхзвуковой скоростью, то начальные данные определяют решение в характеристическом треугольнике OAG (рис. 1.4,6), в частности, и на участке АС прямой ж = хк. Следовательно, на АС краевых условий ставить нельзя. Их нельзя ставить при х = хк и выше точки С, так как решение па этом участке полностью определяется краевыми условиями при ж = 0 и известным решением на ОС. Расчет может быть проведен, например, последовательно вдоль характеристик O'G', O"G" и т. д. (рис. 1.4, в). Представленное рассмотрение подтверждает корректность предложенной выше формулировки начальных и граничных условий. При наличии релаксационных процессов должны быть заданы при ж = О параметры, характеризующие эти процессы (например, концентрации компонент смеси, скорости и температуры частиц и т.п.).

В случае решения прямой задачи для стационарного течения, кроме того, необходимо удовлетворить условию непротекания на контуре сопла. Если в некоторой области сопла течение сверхзвуковое, то для определения параметров течения в этой области необходимо еще задать все искомые функции на некоторой поверхности АВ (рис. 1.5). Эта поверхность может быть произвольно

Рис. 1.5. К заданию граничных условий при сверхзвуковом стационарном течении газа в сопле

ориентированной в пространстве, необходимо лишь, чтобы в каждой точке на ней скорость была больше скорости звука. Единственность решения следует из возможности однозначного построения решения методом характеристик. Решение в этом случае определено в области ABDOC, где OCEDF — характеристический коноид.

В случае дозвукового течения необходимо задать в начальной плоскости все га составляющие скорости и давление или плотность, либо га — 1 составляющие скорости, давление и плотность (га — размерность вектора скорости).

Если рассматривается частный случай изоэнтропического и изо- энергетического течения, то на начальной плоскости необходимо задавать лишь га — 1 составляющие скорости. В корректности такого задания граничных условий нетрудно убедиться, построив, напри-

мер, решение уравнения для потенциала скорости в несжимаемом плоском течении. Решение этого уравнения всегда можно представить как вещественную часть аналитической функции от комплексного аргумента ж + гу. Если аналитическая функция вместе со всеми своими производными известна в какой-либо точке, то на основании принципа аналитического продолжения эта функция известна во всей плоскости. Следовательно, если решение уравнения для потенциала известно вдоль бесконечно малой части кривой (что имеет место, если заданы обе составляющие скорости), то тем самым оно известно вдоль оставшейся части кривой. Поэтому, если компоненты скорости в точках начальной плоскости заданы произвольно, то в общем случае можно прийти к противоречию и, вообще говоря, не удовлетворить условию непротекания. Таким образом, в дозвуковой части сопла на начальной плоскости А'В' нельзя задавать вектор скорости, в отличие от случая сверхзвукового течения [16,46].

В то же время при решении прямой задачи для области А'В'АВ на поверхности АВ (рис. 1.5), расположенной в сверхзвуковой области, не требуется постановки каких-либо граничных условий. Единственность решения краевой задачи в области А'В АВ для нелинейных уравнений газовой динамики до настоящего времени в общем случае не доказана, хотя и получен ряд численных решений. Лишь для случая сверхзвукового истечения струи из плоского отверстия, когда задача сводится к задаче Трикоми, имеется доказательство единственности и получено аналитическое решение в виде рядов [208]. Решение прямой задачи в области А'В'АВ существует лишь при ф^ф*, критическое значение расхода ф* тем меньше, чем меньше радиус кривизны контура в минимальном сечении. В работе [209] содержится попытка доказательства неединственности значения ф* для сопла заданной формы. При этом в окрестности минимального сечения поток должен переходить через скорость звука. Характер течения должен определяться его предысторией и зависеть от того, каким образом установилось критическое значение расхода. Строгого доказательства эта идея не получила. В то же время показана (при решении прямой задачи в вариациях) единственность критического расхода при работе сопла в расчетном режиме [174, 209]. Идея о неединственности критического расхода, особенно в случае течения газа с неравновесными физико-химическими превращениями, представляется весьма правдоподобной.

Обратная задача. Решение обратной задачи и формулировку граничных условий удобно проводить, используя уравнения сохранения, в которых в качестве независимых переменных использованы длина дуги s вдоль некоторой кривой и функция тока ф. Использование в качестве независимых переменных функций тока особенно удобно потому, что начальные условия в обратной задаче задаются обычно па поверхности тока (жесткая стенка или ось

симметрии). Уравнения в переменных if, s для совершенногосимметрии). Уравнения в переменных if, s для совершенногои реагирующего газов приведены вВ случае двухфазных плоских наличии частиц одного размера имеют видЭр у Г Ps , , dp)dipГЛ' \ ри г ds ) ’ дери реагирующего газов приведены вВ случае двухфазных плоских наличии частиц одного размера имеют видЭр у Г Ps , , dp)dipГЛ' \ ри г ds ) ’ дери. 1.1.3.и осесимметричных течений приуравнения в координатах s, if1 + V dr vри 'dsи ’и. 1.1.3.и осесимметричных течений приуравнения в координатах s, if1 + V dr vри 'dsи ’дdsдdsLwAvl_8_p, .2) TP 9sLwAvl_8_p, .2) TP 9s^ (fW) = О,рих ''^ (fW) = О,рих ''

симметрии). Уравнения в переменных if, s для совершенного

симметрии). Уравнения в переменных if, s для совершенного

и реагирующего газов приведены в

В случае двухфазных плоских наличии частиц одного размера имеют вид

Эр у Г Ps , , dp)

dipГЛ' \ ри г ds ) ’ дер

и реагирующего газов приведены в

В случае двухфазных плоских наличии частиц одного размера имеют вид

Эр у Г Ps , , dp)

dipГЛ' \ ри г ds ) ’ дер

и. 1.1.3.

и осесимметричных течений приуравнения в координатах s, if

1 + V dr v

ри 'dsи ’

и. 1.1.3.

и осесимметричных течений приуравнения в координатах s, if

1 + V dr v

ри 'dsи ’

д

ds

д

ds

LwAvl_8_p, .2) TP 9s

LwAvl_8_p, .2) TP 9s

^ (fW) = О,рих ''

^ (fW) = О,рих ''

^^+^+^.! + ^ = 0,

9 (“5PS)ds9 (“5PS)ds/ 9у< 8us М VPsy.

9 (“5PS)ds

9 (“5PS)ds

= о,= о,(1.115)(1.115)(1.116)(1.117)(1.116)(1.117)+ г р[щр (^~М + р5^-к^] + —

= о,

= о,

(1.115)

(1.115)

(1.116)

(1.117)

(1.116)

(1.117)

9uSх 8t,S

4s "^ h rP V^s 44^ ^ф- = /ж,dv$8us

Us -g; + rp (llVs — VU^ -^ = fr,desde

»s ФГ + ГР ^ — VU^ дф = 9’

h = h(p, TV p = pT, e, = es(Ts).

Введенная система координат s, if, естественно, не является единственно возможной. Преимущество ее перед обычно используемыми системами координат — декартовой, цилиндрической и сферической — состоит в том, что границы исследуемой области в координатах s, if обычно являются плоскими или прямыми линиями. Система координат s, if не является ортогональной; подобные системы координат называют нормальными. При решении прямой задачи также используются координаты, в которых границы области переходят в плоскости или прямые линии, что достигается соответствующей нормировкой переменной у.

При решении обратной задачи для сопел и каналов сложных криволинейных конфигураций, когда контуры являются многозначными функциями декартовых координат, удобнее вместо нормальных систем координат типа s, if использовать ортогональные координаты, связанные с линиями тока. Известным примером ортогональных координат для потенциальных течений являются координаты if, Ф, где Ф —■ потенциал скорости.

Рассмотрим еще одну ортогональную систему координат, применяемую при расчете течений газа в сложных криволинейных каналах [128]. Введем ее для течений, параметры которых не зависят от угловой координаты ср, но в которых возможна закрутка потока (или скос его в плоском случае параллельно оси Oz). Одним

семейством координатных поверхностей в этой системе являются поверхности i|) = const. В качестве второго семейства выбираются плоскости ф = const, проекции линий тока на которые совпадают с проекциями поверхностей ф = const.

Рассмотрим третье семейство координатных поверхностей. Пусть s — расстояние вдоль проекции линии тока на плоскость Ф = const. Запишем выражение для дифференциала дуги

6s = — У-1 (и dx + v dr),(1.118)

где и, v, V — проекции вектора скорости W на оси х, г и плоскость Ф = const соответственно, т. е. V2 = W2 — w2. В общем случае 6s не является полным дифференциалом. Существует интегрирующий множитель g такой, что

do = g6s = ^—guV-x)dx + (—gvV^dr(1.119)

будет полным дифференциалом. Следовательно,

^ = _guV-\ ^ = _^р-\ ^- = 0.(1.120)

Эх 6dr °’ dtp''

Нетрудно убедиться, что поверхности ij) = const, ф = const, о = = const ортогональны. Поэтому поверхности о = const могут быть выбраны в качестве третьего семейства координатных поверхностей.

В случае двумерных потенциальных течений о = const па линиях постоянного потенциала Ф = const, поскольку в этом случае интегрирующим множителем для длины дуги 6s является скорость. В качестве о можно рассматривать, например, длину дуги вдоль проекции какой-либо характерной линии тока на плоскость ф = = const. В переменных -ф, а, ф при условии, что искомые функции не зависят от ф, но возможна закрутка потока w ^ 0, имеем следующую систему уравнений:

dr1^ (1 + v) и дх и

дф~р72’^Ф"rvp72 ’

Эр "pgи (Эи,vie2 \v ди

дфrvV I da‘r^gV3 /V до1

h,^-O1W,(1.121)

Си* = С Щ, V = (И” - g = [(У + (4)ф‘'’.

тгтт дт

В случае плоского или осесимметричного изоэнтропического (S = const) и изоэпергетического (Ao = const) течений без закрутки потока наличие двух дополнительных уравнений (1.29), (1.30) позволяет задать граничные условия лишь па линии тока. Обратная

задача, таким образом, сводится к задаче Коши для системы -(1.29) — (1.33) с данными на линии тока.

Если течение пеизоэнтропическое и неизоэнергетическое или имеет место закрутка потока, то линия тока является уже невырожденной характеристикой, и двух дополнительных уравнений недостаточно для того, чтобы по данным на линии тока определить искомые величины в ее окрестности. В этом случае нужно дополнительно задать распределение энтропии и энтальпии торможения или окружной составляющей скорости на начальной плоскости. В случае течений с неравновесными физико-химическими превращениями на начальной плоскости необходимо задать значения искомых физико-химических параметров (химических компонент, энергию колебательных степеней свободы, скорости и температуры частиц и т. д.).

Аналогичная ситуация имеет место в пространственном случае даже при условии изоэнтропичности и изоэнергетичпости течения. Помимо задания данных на поверхности тока, которая является характеристической поверхностью, необходимо задать граничные условия на какой-либо поверхности, не совпадающей с характеристической, например, на плоскости s = s0. Таким образом, в случае неизоэнтропических и пеизоэнергетических течений, так же как и в случае неравновесных и пространственных течений, обратная задача распадается на две задачи Коши, одна из которых решается в направлении нормали к линиям тока, а другая вдоль линий тока.

Некоторые элементарные теории газовой динамикии простейшие типы течений газа

Построение аналитических и даже численных решений системы (1.18) — (1.21) связано со значительными трудностями ввиду сложности физико-химических процессов и того, что в общем случае течение в сопле содержит до-, транс- и сверхзвуковые области, для описания которых требуется различный математический аппарат, поскольку приходится иметь дело сразу с эллиптическими, параболическими и гиперболическими уравнениями в частных производных. В то же время построение некоторых аналитических решений, основанных на приближенных предпосылках, позволяет, значительно упростив методы решения, установить многие важные качественные закономерности. В связи с этим в настоящем параграфе будут рассмотрены некоторые элементарные теории, позволяющие выявить ряд основных закономерностей движения газа в сопле. К числу таких теорий относятся одномерная теория сопла, теория течений типа источника и стока, теория простой волны или течения Прандтля — Мейера.

Одномерная теория. Рассмотрим установившееся течение совершенного газа без релаксационных процессов. В соответствии с основной гипотезой одномерной теории будем считать поток в любом

месте сопла однородным по сечению, а скорость — направленной практически вдоль оси сопла, которая в общем случае может быть криволинейной. Такое предположение будет справедливым либо в случае, если площадь и форма сечения сопла изменяются достаточно медленно в продольном направлении сопла, либо если площадь струйки тока достаточно мала по сравнению с характерными поперечными размерами области течения и поэтому в первом приближении поперечными составляющими скорости можно пренебречь. Параметры газа будут функциями только продольной координаты, и для определения их можно применить уравнения вдоль линии тока (1.31), (1.33). Кроме того, из уравнения (1.30) следует равенство

r^piy^l+vH. (1.122)

Обозначая площадь поперечного сечения сопла через F, расход газа, равный массе газа, протекающего в единицу времени через поперечное сечение сопла,— через Q, а плотность тока pW газа — через /, имеем следующее уравнение неразрывности:

pWF = iF = Q. (1.123)

В случае одномерного течения из уравнений (1.31), (1.33) и (1.123) следует, что

-^ = р(1-М2),(1.124)

(1.125)(1.125)= (М2 - 1)^ = (1 - М2)

(1.125)

(1.125)

F х ' W х ’ ?рщ^

(М = И'7я— число Маха; давление, скорость и плотность отнесены к своим критическим значениям).

Соотношение (1.124) показывает, что в дозвуковом течении плотность тока / возрастает по мере возрастания скорости и падения давления, а в сверхзвуковом течении, наоборот, падает. Плотность тока достигает максимального значения 7* = Р*а* в тех точках, где скорость и плотность газа равны критическим значениям, и обращается в нуль при W = 0 и давлении р, равном давлению торможения Ро, а также при р = 0 и максимальной скорости, достигаемой при истечении в вакуум. Ьезразмерная плотность тока 7 = -— зависит от числа Маха (или приведенной скорости Л) и отношения удельных теплоемкостей у. Эта зависимость для совершенного газа имеет вид

•(1Л26)

\^/\ Г “Г 1/

Очевидно, что / = F^/F, где F* — площадь минимального сечения сопла. Зависимость q(X) при различных 7 представлена на рис. 1.6, откуда видно, что каждому F = F/F* соответствуют два значения приведенной скорости — дозвуковое Х<1 и сверхзвуковое Х>1.

Из (1.125) следует, что в дозвуковом потоке скорость увеличивается, а давление уменьшается в направлении уменьшения площади поперечного сечения сопла, в то время как в сверхзвуковом потоке при увеличении площади происходит увеличение скорости и падение давления.

Согласно (1.125) критическая скорость может быть достигнута только в минимальном сечении сопла Лаваля, где йЕ = 0. Вниз

Рис. 1.6. Зависимость газодинамических функций от при различных значениях показателя адиабаты у:3 — 4 = 1,4.Рис. 1.6. Зависимость газодинамических функций от при различных значениях показателя адиабаты у:3 — 4 = 1,4.приведенной скорости Л 7 — у = 1,1, 2 — *t = 1,2,приведенной скорости Л 7 — у = 1,1, 2 — *t = 1,2,

Рис. 1.6. Зависимость газодинамических функций от при различных значениях показателя адиабаты у:

3 — 4 = 1,4.

Рис. 1.6. Зависимость газодинамических функций от при различных значениях показателя адиабаты у:

3 — 4 = 1,4.

приведенной скорости Л 7 — у = 1,1, 2 — *t = 1,2,

приведенной скорости Л 7 — у = 1,1, 2 — *t = 1,2,

по потоку от минимального сечения скорость может либо продолжать увеличиваться, либо вновь уменьшаться в зависимости от отношения внешнего давления к давлению торможения. Если в минимальном сечении скорость потока отлична от критической, то опа имеет экстремальное значение: максимальное (дозвуковое), если на входе сопла скорость дозвуковая, и минимальное (сверхзвуковое), если скорость на входе сопла сверхзвуковая. Ясно, что в рамках одномерного приближения в сужающемся канале не может быть достигнута сверхзвуковая скорость, если начальная скорость дозвуковая; максимальная скорость в таком канале равна скорости звука. Сверхзвуковая скорость может быть получена лишь в сопле, имеющем сужающуюся часть, которая затем, вниз по потоку от минимального сечения, расширяется.

Максимальное значение j* достигается при критической скорости течения. Очевидно, что максимально возможное значение полного расхода Qm для сопла заданной формы равно }*Е*. Воспользовавшись формулой (1.126) и допуская возможность существования в сверхзвуковой части сопла ударной волны, получим выражение для относительного расхода Q:

1/? ГУ + 1V — 11/? ГУ + 1V — 12V-12V-1(1.127)(1.127)

1/? ГУ + 1

V — 1

1/? ГУ + 1

V — 1

2

V-1

2

V-1

(1.127)

(1.127)

можно получить зависимость р от сопла p = p(F). На рис. 1.7 представлены соответствующие кривые для 7 = 1,4, при этом коэффициент о полагается равным единице при Q < 1 и варьировался при Q = 1. Видно, что каждому значению F соответствуют два значения р — дозвуковое и сверхзвуковое. Верхние ветви кривых имеют асимптотой прямую р = ро = = [ (у + 1)/2]т/<т-1 *, а пижпие— прямую р = 0. Очевидно, что дляможно получить зависимость р от сопла p = p(F). На рис. 1.7 представлены соответствующие кривые для 7 = 1,4, при этом коэффициент о полагается равным единице при Q < 1 и варьировался при Q = 1. Видно, что каждому значению F соответствуют два значения р — дозвуковое и сверхзвуковое. Верхние ветви кривых имеют асимптотой прямую р = ро = = [ (у + 1)/2]т/<т-1 *, а пижпие— прямую р = 0. Очевидно, что дляО 0,51О 0,51где G = po2!poi—коэффициент потерь полного давления в ударной волне, ^oi, рог — давления торможения до и после ударной волны, а р отнесено к своему критическому значению перед и за ударной волной соответственно. Задаваясь различными значениями Q п о,

можно получить зависимость р от сопла p = p(F). На рис. 1.7 представлены соответствующие кривые для 7 = 1,4, при этом коэффициент о полагается равным единице при Q < 1 и варьировался при Q = 1. Видно, что каждому значению F соответствуют два значения р — дозвуковое и сверхзвуковое. Верхние ветви кривых имеют асимптотой прямую р = ро = = [ (у + 1)/2]т/<т-1 *, а пижпие— прямую р = 0. Очевидно, что для

можно получить зависимость р от сопла p = p(F). На рис. 1.7 представлены соответствующие кривые для 7 = 1,4, при этом коэффициент о полагается равным единице при Q < 1 и варьировался при Q = 1. Видно, что каждому значению F соответствуют два значения р — дозвуковое и сверхзвуковое. Верхние ветви кривых имеют асимптотой прямую р = ро = = [ (у + 1)/2]т/<т-1 *, а пижпие— прямую р = 0. Очевидно, что для

О 0,51

О 0,51

Рис. 1.7. Зависимость давления от площади поперечного сечения при различных режимах работы сопла с заданной геометрией физи-сопла

ческий смысл имеют те части кри

вых, которые расположены справа от прямой F = V. Ветви кривых, соответствующие Q < 1 и /? > 1, описывают изменение давления на

участке между входным сечением сопла и минимальным сечением при дозвуковой скорости на входе в сопло, а ветви кривых, соответствующие Q < 1 и р < 1,— при сверхзвуковой скорости на входе в сопло.

Проследим за режимом работы сопла Лаваля фиксированной геометрии в зависимости от величины внешнего давления рн. Примем, что газ поступает в сопло из достаточно большого объема, где он покоится и где поддерживается одно и то же давление торможения ро, которое для всех кривых на рис. 1.7 достигается асимптотически при F-^oo. Обозначим относительную площадь выходного сечения через Fa.

Если внешнее давление рн равно ро, то никакого движения не возникает. Когда рн лишь немного меньше р0, газ течет через сопло всюду с дозвуковой скоростью, максимальное значение которой достигается при F = 1. Очевидно, что для определения параметров потока в сопле нужно взять ту кривую, на верхней ветви которой р = рн при F = Fa. Часть этой кривой, простирающаяся от асимптоты р = ро до пересечения с прямой F = 1, описывает течение в сужающейся части сопла. В расширяющейся части сопла скорость уменьшается, а давление растет; течение в ней описывается той же ветвью кривой,_которую теперь следует проходить в обратном направлении от F = 1 до F = Fa. Значение относительного расхода Q определяется однозначно величиной рн.

Рассмотренный способ описания течения, когда верхние ветви кривых в плоскости pF проходятся дважды, пригоден до тех пор, пока они пересекают_прямую F=l. Течение при этом всюду дозвуковое с расходом Q < 1, причем с уменьшением внешнего дав-

ления происходит возрастание скорости в минимальном сечении сопла и возрастание расхода. При некотором ра = р* в минимальном сечении достигается скорость звука, однако течение все еще является всюду дозвуковым. При этом через сопло Лаваля проходит максимальный расход (<2 = 1), который, очевидно, не изменяется при_ дальнейшем уменьшении ра. Значение р* является функцией от Fa и определяется из соотношения

(1-128)

Отсюда следует, что если Fa=l1 то р* = 1. Таким образом, в случае сужающегося капала скорость звука достигается в самом узком сечении; минимальное внешнее давление, при котором это происходит, равно критическому, т. е. в [2/(у + ^р/ст-о раз меньше давления торможения. _ _

При увеличении Fa давление р* растет и р* -»• ро при Fa ^ °°. На практике, однако, наличие пограничного слоя не позволяет получить звуковой скорости в минимальном сечении при исчезающе малой разнице между давлением торможения и давлением в среде, куда происходит истечение. Тем не менее в соплах Лаваля с расширяющейся частью экспериментально удается получать скорость звука в минимальном сечении при давлениях торможения, лишь в 1,1—1,2 раза превышающих давление в окружающем пространстве, в то время как для получения скорости звука в сужающемся канале при течении двухатомного газа давление торможения должно в 1,89 раза превышать внешнее давление.

При снижении внешнего давления ниже р* в сопле реализуется уже течение другого типа. До минимального сечения течение по-прежнему дозвуковое; оно представляется верхней ветвью кривой p = p(F) при Q = 1 и в дозвуковой части больше не зависит от внешнего давления. После прохождения минимального сечения поток становится сверхзвуковым и представляется нижней ветвью этой кривой, которая пересекается с прямой F = Fa в точке р = ра. Величина ра также определяется по формуле (1.128). Если ра = Ра, то говорят, что сопло работает в расчетном режиме, при этом течение в сопле изоэнтропическое с монотонно возрастающей по длине сопла скоростью и убывающими давлением, плотностью и температурой.

Рассмотрим случай ра < рн < р*. Очевидно, что это условие не может быть обеспечено при изоэнтропическом расширении, и в сверхзвуковой области течения должна возникнуть ударная волна. В рамках одномерного приближения такая ударная волна должна быть прямой, перпендикулярной оси сопла. Необходимое давление в выходном сечении сопла можно получить введением ударной волны с заданной величиной о. Это значение о = он находится из условия, что верхняя ветвь кривой ^—^(F), полученная из (1.127) при <? — 1, пересекает прямую F = Fa в точке р = рн. Точка b на

этой кривой и точка а на нижней ветви кривой р = p(F) при 2 = 1 и о = 1 соответствуют месту возникновения ударной волны с заданным значением о = он- Они определяются с помощью соотношения (1.127) и условия Гюгонио на прямой ударной волне

?! v + 1 т + Г?! v + 1 т + Г(1.129)(1.129)

?! v + 1 т + Г

?! v + 1 т + Г

(1.129)

(1.129)

Таким образом, изоэнтропическому течению в дозвуковой и сверхзвуковой частях до места возникновения ударной волны соответствует кривая р = р (F) при Q = 1, о = 1 до точки а. Затем _прямая ударная волна переводит поток в состояние Ъ на кривой Q =1 и о = он. За ударной волной течение продолжается как изоэнтропическое дозвуковое течение торможения, в котором давление возрастает по направлению к выходному сечению сопла до давления рн. Давление торможения в этой области меньше, чем до ударной волны, поэтому критические параметры р*2 и р*2 будут отличаться от соответствующих величин па входе в сопло, в то время как критическая скорость остается непрерывной па ударной волне.

Такой режим течения реализуется, однако, при значениях ра таких, что р2 ^Рн < Р*- Значение р2 вычисляется по формуле (1.129), если в эту формулу подставить значение М„, соответствующее величине ра. Прямая ударная волна при рн, несколько меньших р*, зарождается в сверхзвуковой окрестности минимального сечения и имеет в этой области небольшую интенсивность. При уменьшении рн она перемещается вниз по потоку и достигает выходного сечения при рн = р2. Расчеты показывают, что при Ма > 2 р2/р*2 ~ L7.

При дальнейшем понижении внешнего давления, т. е. при ра < СРн^РгЖ вытекающей из сопла струе образуются косые ударные волны, в которых происходит сжатие потока от давления ра до рн. В одномерном приближении можно считать, что вплоть до выходного сечения течение газа описывается при_этих значениях рн, а также при рн < ра, кривой р = р(Р) при 2 = 1 и о = L При рн< ра в окрестности кромок сопла имеет место течение Прандтля — Мейера. Очевидно, что это течение, а также течения с косыми ударными волнами носят существенно пространственный характер и не могут быть описаны в рамках одномерного приближения.

Используя полученные результаты и зависимость площади F поперечного сечения сопла от координаты ж, нетрудно получить зависимость давления от длины. На рис. 1.8 представлено распределение давления для рассмотренных выше типов течений. Кривая, соответствующая максимальному расходу Q = 1, раздваивается в минимальном сечении, когда скорость в этом сечении равна скорости звука. На выходе из сопла верхней кривой соответствует

значение р=р*, нижней — р = Ра. В минимальном сечении, согласно формуле (1.128), ветви этой кривой имеют наклоны

(1.130)(1.130)dp_/ 1 d^F \y!i

(1.130)

(1.130)

—+ 1 dx1 )

где знак плюс относится к верхней кривой. Соответствующие производные от приведенной скорости в минимальном сечении равны

dX dx

+ 1 dx1 j

(1.131)

Реальная картина течения следует из одномерной теории.

Рис. 1.8. Распределение давления вдоль сопла

сопле, естественно, сложнее, чем Тем не менее одномерная теория позволила предсказать существование давлений р* и рг таких, что при рн < р* расход через сопло и течение в дозвуковой части не зависят от внешних условий, а при рв < рг течение во всем сопле не зависит от внешних условий. Оба эти принципиально важных факта являются следствием того, что малые возмущения распространяются относительно частиц газа со скоростью звука и не могут проникнуть в сопло, если они встречают сечение, в котором скорость потока звуковая пли сверх

звуковая.

Использование одномерной теории для расчета локальных параметров в пространственных течениях в общем случае неправомерно ввиду наличия больших градиентов газодинамических параметров в поперечном направлении. В то же время одномерная теория позволяет оценить интегральные параметры течения, такие как расход и импульс сопла, со значительно большей точностью, чем локальные параметры. Расход и поток импульса, обычно называемый импульсом сопла и равный реактивной силе, создаваемой соплом в направлении оси ж, в произвольном сечении сопла при двумерном течении запишем в виде

Q = [plPcos0^, 7= pp^cos^ + p)^,(1.132)

6о

где 0 — угол наклона вектора скорости к оси х. Отметим параметры одномерного течения верхним индексом 0; используя (1.126),из

формул (1.132) получим

F

/а2\ -(1-у+.)dF,/а2\ -(1-у+.)dF,(1.133)(1.133)о L

/а2\ -

(1-у+.)dF,

/а2\ -

(1-у+.)dF,

(1.133)

(1.133)

+ y# (Х-Х°)2+..х=>.°

F

- V df I

0

1 ^l2 rf1 ^l2 rf(X - X0)2 + ... - q (X°) V (92 4- .. •) dF,(X - X0)2 + ... - q (X°) V (92 4- .. •) dF,(1.134)(1.134)

1 ^l

2 rf

1 ^l

2 rf

(X - X0)2 + ... - q (X°) V (92 4- .. •) dF,

(X - X0)2 + ... - q (X°) V (92 4- .. •) dF,

(1.134)

(1.134)

где Q = Q/p^F*, I = I/p^F*, /(X) = l^lq^ (X + X *)• Нетрудно убедиться, что

dqjdXk^i = dfjdX\>.=i = 0,

поэтому формулы (1.133) и (1.134) для минимального сечения

принимают вид

(1.135)

(1.136)

Q° = q (Х°) F, 7° = / (Х°) F.

В силу теоремы о среднем отсюда следует, что расход и поток импульса в минимальном сечении отличаются от соответствующих значений в одномерном приближении на величины второго порядка, поскольку значения 0 и X — 1 в минимальном сечении реальных сопел суть величины, меньшие 0,1, a Q0 и/0 равны 1 и 2 соответственно.

Кроме _того,_ поскольку при X = 1 d2q(dX2 < 0 и d-^dX2 < 0, то значения Q и I в минимальном сечении меньше Q° и 7°. Этот результат следует также из физических соображений, поскольку максимальный расход и поток импульса реализуются при равномерных параметрах потока.

Так как расход газа в любом произвольном сечении сопла равен расходу через минимальное сечение, то отличие истинного расхода

от расхода, вычисленного по одномерной теории, составляет величину второго порядка малости. Используя формулы (1.133), (1.134) и применяя теорему о среднем, можно показать, что в произвольном сечении сопла разность I — /° пропорциональна О2, т. е. в практически интересных случаях значение I отличается от Р не более чем на 1—3 %. Подчеркнем, что при этом локальные значения р и ро, X и Х° могут отличаться в несколько раз.

Одномерная теория является в настоящее время основой инженерных расчетов, поскольку позволяет с точностью 5—10 % предсказывать параметры течения. Получены и широко используются таблицы относительных площадей F, давлений, плотностей, температур, отнесенных к соответствующим параметрам торможения, как функций от приведенной скорости X (или числа М) для различных значений показателя адиабаты у (например, [195]).

Важно отметить также, что одномерная теория в случае совершенного газа без релаксационных процессов позволяет определить состояние потока в данном сечении сопла, если известна только относительная площадь F и о потоке известно, является ли он дозвуковым или сверхзвуковым. Абсолютный размер сопла, а также форма канала вверх и вниз по потоку от этого сечения не имеет значения, поскольку система (1.123) — (1.125) не содержит какого- либо характерного размера. Аналогичный результат дает одномерная теория для случая равновесных или замороженных течений. Напротив, в случае неравновесно реагирующего газа параметры потока при заданном F зависят еще от формы струйки тока вверх по потоку от этого сечения и от абсолютного размера ее, поскольку в таких течениях появляется характерный размер — длина релаксационной зоны.

Приведем в заключение этого раздела формулы, позволяющие рассчитывать параметры потока в одномерном приближении, если известна приведенная скорость X (или число М). Отношения газодинамических величин к параметрам торможения, обозначенным нижним индексом 0, определяются следующими формулами:

(1.137)(1.138)(1.139)(1.137)(1.138)(1.139)

(1.137)

(1.138)

(1.139)

(1.137)

(1.138)

(1.139)

Площадь струйки тока по заданным значениям X и у вычисляется по формуле (1.126). Отметим, что в качестве независимой переменной можно взять любой из параметров л, т, е, а другие искомые функции находить из таблиц.

Число Маха, скорость потока, расход газа, тяга сопла Рд в пустоте и удельный импульс сопла I, = I]Q вычисляются по формулам

(1.140)

W = RT0 [1 - (л (X))(7~1)/Vip2,(1.141)

Q = A№V^’ A^ = ^f^^(1.142)

рп = 8(1)^хч /У = р^т?тоу/22(Х), Z(X) = X + 1 (1.143) где R— газовая постоянная. Зависимости q^X), л (A,), t(A),z(A) для различных 7 приведены на рис. 1.6. Из этого рисунка следует, что при q (А) = const _(т. е. рассматривается сопло с заданным отношением площадей F) с уменьшением 7 увеличивается X, л (А), т(А) и z(A). Это означает, что увеличивается удельный импульс, давление, скорость истечения и температура, если параметры торможения постоянны. Этот результат физически очевиден, поскольку уменьшение 7 эквивалентно последовательному увеличению числа степеней свободы молекул и переходу их энергии при истечении из сопла в энергию поступательных степеней свободы и энергию направленного движения молекул, причем эта энергия тем больше, чем больше степеней свободы возбуждено.

При 7 = 1 имеем изотермическое течение, в котором Т = 7'о,

-£-=-? = М = А. Ро Ро

В случае дозвукового течения в сужающейся и расширяющейся частях сопла Лаваля расчет параметров потока производится иначе. Обычно в выходном сечении сопла известно внешнее давление. Так как в случае дозвукового течения давление в окружающем пространстве совпадает с давлением в выходном сечении сопла, то из формулы (1.137) можно определить X в выходном сечении и велиг чину расхода, равную

Q = A^p0Fq(X')<RT0)-"2.(1.144)

Поскольку расход во всех сечениях одинаков, из этой формулы для каждого сечения F можно определить q^X), а затем по (1.126), (1.137) — (1.139) или с помощью таблиц найти X и остальные функции. Число Маха, скорость и удельный импульс вычисляются по соотношениям (1.140), (1.141), (1.143). Использование формулы (1.142) для вычисления расхода Q в случае дозвукового течения в сопле неправомерно, так как в этом случае в минимальном сечении скорость меньше звуковой и q^ ^ 1.

4 У. Г. Пирумов, Г. С. Росляков

Для инженерных расчетов течений в криволинейных каналах часто используется метод вписанных кругов, который дает лучшие результаты, чем классическая одномерная теория. Он также основан на одномерной теории с той лишь разницей, что скорость считается постоянной вдоль сферических поверхностей, ортогональных стенкам. Однако следует подчеркнуть, что как эта, так и другие известные разновидности классической одномерной теории не дают верных значений параметров па стенках криволинейных каналов. Опи справедливы, строго говоря, лишь для каналов с прямолинейной осью.

Рассмотрим модификацию классической одномерной теории. Воспользуемся для этого системой (1.121). Из третьего уравнения этой системы для плоского и осесимметричного течений без закрутки потока (гг = О) можно получить

г^ = 7Ж(1.145)

(Эх гГгдг дгх \ о„„

где К = ——5— —? ga— кривизна линии тока. Отсюда, пред

ке уд- уд- у

полагая в первом приближении сечения о = const плоскими, имеем соотношение для определения давления вдоль нормали п к оси канала

g=VPF^.(1.146)

Для каналов с прямолинейной осью кривизна, определяемая по среднему радиусу кривизны линий тока течения, равна пулю. И, как следует из (1.146), давление, а следовательно, и остальные параметры поперек канала остаются постоянными в соответствии с классической одномерной теорией. В случае же криволинейных каналов др]8п ^ 0 во всех тех точках, где VK * 0. Таким образом, одномерная теория в классическом виде справедлива лишь для конфигураций с прямолинейной осью. Для криволинейных каналов опа дает лишь средние значения параметров потока.

С помощью формулы (1.146) можно получить распределение параметров в поперечном направлении. Для давления на стенках криволинейного канала из (1.146) имеем

p^p’+ItWWT1,(1Л47)

где р°, р°, F° — средние значения параметров, полученные по классической одномерной теории, h—ширина канала, R° = (Х0)-1 — средний радиус кривизны линии тока. В этой формуле по-прежнему все газодинамические параметры отнесены к критическим. Знаки плюс и минус соответствуют внешней и внутренней стенке по отношению к средней линии капала. Из рассмотрения второго слагаемого в формуле (1.147) видно, что поправка обусловлена действием

на газ центробежных сил, учет которых необходим лри движении газа с относительно большими скоростями, а также в каналах с резким поворотом потока.

Формулу (1.147) можно обобщить и на случай пространственных течений с закруткой потока:

Р=У>±|т^(П2/^ + ^М),(1.148)

где R® и R® — средние значения радиусов главных кривизн линии тока.

Сопоставим результаты расчетов давления на стенках канала по

классической одномерной теории и по формуле (1.147) с данными расчета по двумерным уравнениям. Для канала, изображенного на рис. 1.9, в [129] получены следующие значения давления на верхней

Рис. 1.9. Геометрия криволинейного кольцевого канала. Положение звуковой линииРис. 1.9. Геометрия криволинейного кольцевого канала. Положение звуковой линиии нижней стенках при ж = 0: рв = 0,8975, рн = 1,1036. Согласно одномерной теории р = 1 в минимальном сечении. Расчет по формуле (1.147) дает рв = = 0,8963, рн = 1,1037, т. е. ошибка в определении рв, рн составляет доли процента.

Рис. 1.9. Геометрия криволинейного кольцевого канала. Положение звуковой линии

Рис. 1.9. Геометрия криволинейного кольцевого канала. Положение звуковой линии

В минимальном сечении сопла Лаваля с радиусом кривизны контура R = 1,6г* давле-

средней между кривизнами оси исредней между кривизнами оси ипия па стенке и оси сопла равны соответственно дв = 0,7808, д„ = 1,2010. Расчет по формуле (1.147) при р° = р° = У0 = 1 и Ry = 3,2г* (кривизна берется

средней между кривизнами оси и

средней между кривизнами оси и

контура) дает дв = 0,7820, дн = 1,2200, т. е. ошибка в определении давления составляет 1,5 %.

При расчете давления по формуле (1.147) для сопел с малыми радиусами кривизны (7?/r* < 1) область течения следует разбить па несколько областей с помощью некоторой ортогональной сетки,

аналогичной координатной сетке ф, о, определить затем радиусы кривизны нескольких линий тока и осреднить их.

Одномерная теория может быть развита и для слоистых течений [15]. Предполагается, что статистическое давление в каждом сечении постоянно. Остальные параметры — температура, плотность, скорость, показатель адиабаты, давление и температура торможе

ния — могут изменяться при переходе от одного слоя к другому. Анализ, аналогичный проведенному выше, показывает, что запирание течения имеет место, когда в минимальном сечении

где нижний индекс i соответствует параметрам в i-м слое. Из этой формулы, как частный случай, следует условие запирания однослойного потока: М = 1 в минимальном сечении. Слоистое течение при р > 1 является сверхзвуковым, а при ^ < 1 — дозвуковым. При этом в отдельных слоях скорость в минимальном сечении может быть как дозвуковой, так и сверхзвуковой.

Радиальные течения или течения от источника (стока). Другим примером идеализированного одномерного течения в канале является течение, образованное линиями тока источника или стока (рис. 1.10). В сферических координатах зависимость радиуса г от приведенной скорости А выражается формулой

(1.149)

Минимальное значение г равно г*; течение существует лишь вне сферы (окружности) радиуса г = г* и не может быть продолжено

Рис. 1.10. Течение источника и стока

внутрь ядра, на поверхности которого скорость равна скорости звука. При г > г* возможно два решения: дозвуковое с монотонным убыванием скорости от А = 1 до А = 0 (сток) и сверхзвуковое с монотонным увеличением скорости от А = 1 до А =Атах (источник). Оба течения не могут быть продолжены через предельную линию г = г*, и поэтому вблизи этой линии такие течения физически невозможны. Звуковая линия в виде окружности также не реализуется, поскольку опа является в этом случае предельной линией [122]. В течении источника (стока) линии постоянства А суть концентрические окружности с центром в ядре источника. В несжимаемой жидкости ядро источника стягивается в точку.

Простая волна. Волна Римана. Течение Прандтля — Мейера. В газовой динамике существует важный класс течений, называемых простой волной. Общее свойство этих течений состоит в том, что они являются безвихревыми изоэнтропическими течениями. Простая волна имеет место в случае нестационарного одномерного течения и носит название волны Римана. В случае плоского стационарного течения она называется течением Прандтля — Мейера. Отметим, что если в стационарном течении простая волна существует только при сверхзвуковых скоростях, то в нестационарном одномерном течении простая волна может существовать как при дозвуковых, так и при сверхзвуковых скоростях потока.

Существование простой волны связано с гиперболическим характером уравнений, описывающих этот класс течений. Напомним, что классическим гиперболическим уравнением является волновое уравнение. Дадим определение простой волны. Если одно из семейств характеристик является прямыми линиями с постоянными параметрами на них, то течение в этой области называется простой волной. Основным свойством простой волны является следующее: к области движения с постоянными параметрами может примыкать только либо еще одна область движения с постоянными параметрами, либо простая волна. При этом оказывается, что для существования простой волны необходимо, чтобы одна из характеристик какого-либо семейства была прямолинейной с постоянными параметрами на ней. Указанные свойства простой волны нетрудно получить, рассмотрев в случае изоэнтропического течения уравнения совместности на характеристиках. Действительно, вдоль С+- и С_- характеристик постоянны инварианты Римана I+, I- (формула (1.78)). Пусть, например, прямолинейной характеристикой с постоянными параметрами является какая-либо из характеристик С+. Тогда все пересекающие ее характеристики С_ имеют одно и то же значение инварианта I- = и — 2а/(у — 1), т. е. во всей области течения I- является одной и той же постоянной величиной. Поскольку, с другой стороны, каждая из характеристик С+ песет свое постоянное значепие 7+, то из постоянства двух величин 7+ и 7_ следует постоянство и и а на каждой из характеристик С+ и, следовательно, их прямолинейность, так как уравнение характеристик есть dxldt = и + а. Подчеркнем, что параметры и и а, будучи постоянными вдоль одной характеристики С+, меняются при переходе от одной характеристики к другой.

Рассмотрим теперь плоское безвихревое стационарное течение нереагирующего газа. Тогда из формулы (1.93) при v = О, Ф[ = О и S = const имеем

dQ ± dP = °- de + - . ^М2-1— - 0, (1.150)

0 +/(а) = П± = const,(1.151)

где / (а) = — Г -^4 Др _ функция Прандтля — Мейера. Для иде- J pH7

ального газа с постоянным у

/(с0= j/'^^arctg^ctgay'l^(1.152)

ИЛИ

/ (М) = У-^±1 arctg У-^^ (Tf2 — 1) — arctg ’Км2 — 1.

Величина П+ остается постоянной вдоль линий Маха первого семейства dyjdx = tg (0 + а), а П- — вдоль линий Маха второго семей-

ства dyldx = tg(6 — а). Из (1.151) следуют те же свойства простой волны, что и для нестационарного одномерного течения. В стационарном плоском течении простую волну называют течением Прандтля — Мейера. В простой волне может реализоваться как течение разрежения, так и течение сжатия.В сверхзвуковом течении от источника, а также вблизи оси симметрии в осесимметричном течении, где 00 при у -> 0, имеемв угловой точке при сверхзвуков осесимметричном случаях параметры течения связаны соотношением (1.150).Рассмотрим течение в плоском, в общем случае несимметричном канале (рис. 1.11). Пусть в выходном сечении В В' вектор скорости постоянен и известен. Тогда характеристики ОВ и ОВ' прямолинейны. В силу свойств простой волны в областях АОВ и А'О В' (АО и А'О— характеристики второго и первого семейств) будут первого и второго семейств соот-в области АОВ,ства dyldx = tg(6 — а). Из (1.151) следуют те же свойства простой волны, что и для нестационарного одномерного течения. В стационарном плоском течении простую волну называют течением Прандтля — Мейера. В простой волне может реализоваться как течение разрежения, так и течение сжатия.В сверхзвуковом течении от источника, а также вблизи оси симметрии в осесимметричном течении, где 00 при у -> 0, имеемв угловой точке при сверхзвуков осесимметричном случаях параметры течения связаны соотношением (1.150).Рассмотрим течение в плоском, в общем случае несимметричном канале (рис. 1.11). Пусть в выходном сечении В В' вектор скорости постоянен и известен. Тогда характеристики ОВ и ОВ' прямолинейны. В силу свойств простой волны в областях АОВ и А'О В' (АО и А'О— характеристики второго и первого семейств) будут первого и второго семейств соот-в области АОВ,и н- у /(а) = const, вом течении как ви н- у /(а) = const, вом течении как вОтметим, чтоОтметим, чтоплоском, такплоском, такииNNб’б’Рис. 1.11. Течение Прандтля — Мейера в плоском соплеРис. 1.11. Течение Прандтля — Мейера в плоском соплепрямолинейными .характеристики ветственно. В силу (1.151) имеемО-/(а) = /(а0)прямолинейными .характеристики ветственно. В силу (1.151) имеемО-/(а) = /(а0)

ства dyldx = tg(6 — а). Из (1.151) следуют те же свойства простой волны, что и для нестационарного одномерного течения. В стационарном плоском течении простую волну называют течением Прандтля — Мейера. В простой волне может реализоваться как течение разрежения, так и течение сжатия.

В сверхзвуковом течении от источника, а также вблизи оси симметрии в осесимметричном течении, где 00 при у -> 0, имеем

в угловой точке при сверхзвуков осесимметричном случаях параметры течения связаны соотношением (1.150).

Рассмотрим течение в плоском, в общем случае несимметричном канале (рис. 1.11). Пусть в выходном сечении В В' вектор скорости постоянен и известен. Тогда характеристики ОВ и ОВ' прямолинейны. В силу свойств простой волны в областях АОВ и А'О В' (АО и А'О— характеристики второго и первого семейств) будут первого и второго семейств соот-

в области АОВ,

ства dyldx = tg(6 — а). Из (1.151) следуют те же свойства простой волны, что и для нестационарного одномерного течения. В стационарном плоском течении простую волну называют течением Прандтля — Мейера. В простой волне может реализоваться как течение разрежения, так и течение сжатия.

В сверхзвуковом течении от источника, а также вблизи оси симметрии в осесимметричном течении, где 00 при у -> 0, имеем

в угловой точке при сверхзвуков осесимметричном случаях параметры течения связаны соотношением (1.150).

Рассмотрим течение в плоском, в общем случае несимметричном канале (рис. 1.11). Пусть в выходном сечении В В' вектор скорости постоянен и известен. Тогда характеристики ОВ и ОВ' прямолинейны. В силу свойств простой волны в областях АОВ и А'О В' (АО и А'О— характеристики второго и первого семейств) будут первого и второго семейств соот-

в области АОВ,

и н- у /(а) = const, вом течении как в

и н- у /(а) = const, вом течении как в

Отметим, что

Отметим, что

плоском, так

плоском, так

и

и

N

N

б’

б’

Рис. 1.11. Течение Прандтля — Мейера в плоском сопле

Рис. 1.11. Течение Прандтля — Мейера в плоском сопле

прямолинейными .характеристики ветственно. В силу (1.151) имеем

О-/(а) = /(а0)

прямолинейными .характеристики ветственно. В силу (1.151) имеем

О-/(а) = /(а0)

6+ /(«) =/(«о) в области А'ОВ',(1.153)

где ао — значение угла Маха в точке. О. Тогда при известной форме жестких стенок АВ и А'В' и, следовательно, известных углах наклона вектора скорости на них соотношения (1.153) позволяют определить а вдоль АВ и А 'В'.

Очевидно, что при малых вариациях угла наклона контура сопла число Маха можно определить по соотношению (1.150), которым для этой цели можно пользоваться и в осесимметричном случае. Соотношения (1.153) можно применять для приближенного определения параметров на жестких стенках даже и в том случае, когда в выходном сечении сопла поток неравномерный. При этом в (1.153) вместо ао нужно брать значение, вычисленное по одномерной теории.

В ряде практических задач возникает необходимость построения контура сопла, обеспечивающего па выходе равномерный поток при заданных параметрах на характеристиках АО и А'О. В этом случае из точки О проводят прямолинейные характеристики ОВ и ОВ' такие, что расходы газа через ОВ и ОВ' равны соответственно расходам газа через АО и А'О. По данным па характеристиках АО и ОВ, А'О и ОВ' решается задача Гурса и определяются координаты линий тока АВ и А'В'. Поскольку в этом случае в областях АОВ и

Л 'ОВ' имеет место течение Прандтля — Мейера, то решение задачи Гурса существенно упрощается. Действительно, из точек характеристик АО и А'О проводятся прямолинейные характеристики, которые обрываются из условия равенства соответствующих расходов. Расход газа через характеристику отыскивается по формуле (1.99). Тогда координаты точки N (аналогично М') жесткой стенки определяются при известных параметрах в точке М и расходе фм через АМ по формулам

v+i v+1 , 1 Г, , , sin (6 +а)"]

। । sina J (1.154)

хк = хм + (Ум — У^ ctg (6 ф а).

Строго говоря, первая из этих формул справедлива лишь при определении контура плоского сопла. Однако и в осесимметричных течениях, в областях, удаленных от оси симметрии, возможно ее использование для приближенного построения контура сопла и нахождения параметров течения [155].

Задача о распаде произвольного разрыва. Пусть в начальный момент времени t = 0 при ж < О среда характеризуется значениями параметров щ, щ, pi, а при ж>0— значениями и2, р2, Рг. Если привести в соприкосновение эти две массы газа, то поверхность их соприкосновения будет поверхностью произвольного разрыва всех параметров. Известно, что па поверхности разрывов должны выполняться вполне определенные соотношения (1.43), следующие из интегральных законов сохранения. Поскольку в общем случае в возникшем произвольном разрыве эти соотношения не выполнены,

Рис. 1.12. Возможные конфигурации разрывов при распаде произвольного разрываРис. 1.12. Возможные конфигурации разрывов при распаде произвольного разрыва

Рис. 1.12. Возможные конфигурации разрывов при распаде произвольного разрыва

Рис. 1.12. Возможные конфигурации разрывов при распаде произвольного разрыва

то оп не может существовать и распадается на несколько разрывов, которые с течением времени будут удаляться друг от друга.

Схематически картина течения в плоскости ж, t изображается в виде одной из пяти возможных конфигураций, представленных на рис. 1.12. Например, первый случай может иметь место, когда происходит столкновение двух масс газа, движущихся навстречу друг ДРУГУ, а второй случай — когда в начальный момент приводятся в соприкосновение две неподвижные массы газа, сжатые до раз-

личных давлений. Первые четыре конфигурации содержат контактный разрыв (КР), показанный на рисунке штриховой линией, на котором испытывает скачок плотность, а давление и скорость непрерывны. В областях слева и справа от контактного разрыва газодинамические параметры постоянны. Обозначим давление и скорость в них Р, U, плотность Ri, Ra для левой и правой областей соответственно. Эти области отделены от невозмущенных областей с параметрами гл, pi, pi слева и мг, рг, рг справа, либо ударной волной (УВ), либо волной разрежения (ВР). Последняя конфигурация представляет предельный случай, когда образуется область вакуума, в которой плотность падает до нуля в двух волнах разрежения, примыкающих к области вакуума.

Приведем необходимые формулы для расчета распада произвольного разрыва [37]. Введем массовую скорость

щ = pi(ui — Di) = Ri(U — D^,(1.155)

где D — скорость ударной волны. Из соотношений (1.43) для левой ударной волны имеем

U= 0,(1.156)

+.(1.157)

Аналогично в случае правой ударной волны, введя массовую скорость

С2 = рз (Da— ua) = Ri(Da—77),(1.158)

получим из (1.43)

и - u2 - L—^ = о,(1.159)

= [р2 (v+1 Р + 2zLlp2j]1/2.(1.160)

В случае волны разрежения нужно использовать условие непрерывности инвариантов Римана 7+, 1_ и энтропии (формула (1.78))

М±-^1И = 0, № = 0.(1.161)

Здесь квадратными скобками обозначены разности значений величин справа и слева от волны разрежения. Знак плюс в первом уравнении (1.161) берется для левой волны разрежения, знак минус — для правой. Соотношения (1.161) можно переписать в виде

(1.162)

(1.163)

Если ввести массовые скорости по формулам

(1.164)(1.164)7 — 11 — Р/р^

(1.164)

(1.164)

_ т — 11 — Р!Р.г

- 27 ^ !(P/p^(v-i)/2v ’

то соотношениям (1.162), (1.163) для волн разрежения можно придать тот же вид, что и для ударных волн (1.156), (1.159).

Исключая из соотношений (1.156), (1.159) скорость U, приходим к нелинейному уравнению относительно давления Р на контактном разрыве

^(Р) = /(Л PVi Pi) + МЛ Ръ Рг) =их — и2,(1.165)

где для значений к = 1, 2

/ (А Рь Рй) =/ (А Рь Рй) =Р”РкРкакР”РкРкак27—127—1Н Р , V Рк 'р \(?-1)/2?Н Р , V Рк 'р \(?-1)/2?7-12?7-12?— 1 ,— 1 ,еслиеслиеслиеслиР>Рк,Р>Рк,

/ (А Рь Рй) =

/ (А Рь Рй) =

Р”РкРкак

Р”РкРкак

27—1

27—1

Н Р , V Рк '

р \(?-1)/2?

Н Р , V Рк '

р \(?-1)/2?

7-12?

7-12?

— 1 ,

— 1 ,

если

если

если

если

Р>Рк,

Р>Рк,

Поскольку Mi, р\, pi и и2, р2, рг заданы, то решая численно нелинейное уравнение (1.165) (обычно используется метод Ньютона), можно определить величину Р. Далее из (1.156) и (1.159) либо из (1.162) или (1.163) определяется U. Значения Rx за левой ударной волной и R2 перед правой ударной волной находятся из адиабаты Гюгонио:

Rk = р J1 +2).

Наконец, из (1.155), (1.158) определяются скорости ударных воли D\, D2.

В случае воли разрежения плотности Rk определяются из адиабаты Пуассона

Рк \ Рк / ■

Важно отметить, что по значениям функции F(P) при Р = 0, Р = рх, Р = р2 можно еще до решения уравнения (1.165) определить, какая из конфигурации, изображенных на рис. 1.12, имеет место. Эти значения таковы:

F (р2) =i

Г /-у М^2

Pl I Ра + 2 Pi /

<1Л66)

ГЦ)^ = празр =[1 -(PvW^n

F (0) = Иван = - 2 (Й1 + й2)/(т - 1).

Примем, что pi $5 ра. Тогда в зависимости от величины щ — иа возможны следующие ситуации:

щ — м2>С7$д. Тогда Р>ра, Р>р\. Вправо и влево распространяются ударные волны

Upa3p < uy — U2 < и^я. Тогда pi<P<pa. Влево распространяется ударная волна, вправо — волна разрежения.

UB№ < Ui — на < Празр Тогда 0<Р<р\. Возникают две волны разрежения.

Ui — м2 < UBaK. Возникает область вакуума Р = R = 0.

Таким образом, уравнение (1.165) имеет единственный корень, если выполнено условие

2

«1 —и2>^ваь= —-^ДТУ (а1 + а2)-(1.167)

Задача о распаде произвольного разрыва послужила основой создания оригинального численного метода решения нестационарных задач газовом динамики. Аналогичная задача во взаимодействии двух ст ационарпых сверхзвуковых потоков послужила основой для создания численного метода расчета стационарных плоских осесимметричных и пространственных сверхзвуковых течений [37]. Волновые конфигурации, возникающие при взаимодействии сверхзвуковых потоков, аналогичны соответствующим конфигурациям при нестационарном течении. Отличие состоит в том, что при расчете задачи о взаимодействии двух сверхзвуковых потоков параметры в волне разрежения связаны соотношениями Прандтля — Мейера (1.151), а не инвариантами Римана. Мы ограничимся здесь этими краткими замечаниями. В дальнейшем при изложении методов сквозного счета будут приведены расчетные формулы.

4.5. Одномерная теория с учетом межмолекулярного взаимодействия. При определении термодинамических характеристик обычно используют уравнение состояния идеального газа для каждого индивидуального вещества и для всей смеси в целом. Однако в ряде случаев отклонение от идеальности за счет межмолекулярных взаимодействий типа сил Ван-дер-Ваальса может привести к заметным погрешностям при вычислении термодинамических свойств. Термодинамические свойства реальных газов могут быть вычислены, если известно уравнение состояния. Обзор уравнений состояния приведен в работе [197]. Следует отметить, что практически все известные уравнения состояния являются эмпирическими или полуэмпирическими. Единственным уравнением состояния, полученным теоретически, является уравнение состояния с вириаль- пыми коэффициентами [18], что позволяет использовать его при экстраполяции в область температур, для которых отсутствуют экспериментальные данные.

В работе [6] изучено влияние межмолекулярных сил на термодинамические и газодинамические параметры продуктов сгорания многих топливных композиций в широком диапазоне определяю-

щих параметров и приведена обширная библиография. В результате многочисленных расчетов сделаны выводы о незначительном влиянии (в среднем на 1—2%) межмолекулярных сил па термодинамические и газодинамические параметры, поскольку температура продуктов сгорания высока. В то же время в аэродинамических и ударных трубах приходится иметь дело с рабочими телами, обладающими высокими давлениями торможения (до 100 МПа) и довольно низкими температурами, для которых влияние межмолекулярных сил может быть существенным. В работе [48] теоретически и экспериментально изучено изоэнтропическое расширение воздуха при высоких давлениях торможения с уравнением состояния реального газа и показано существенное влияние реальных свойств газа на определение параметров течения.

Система уравнений, описывающая течение газа с учетом межмолекулярного взаимодействия, в одномерном приближении имеет вид

h-V^W^h^(1.168)

pWF = Q,(1.169)

S = S(Pl T) = S0,(1.170)

-^Т=^П(1.171)

h = h(p, T).(1.172)

Функция z(p, У) характеризует отличие уравнения состояния от уравнения состояния идеального газа (рис. 1.13). На рис. 1.14 приве

дена зависимость статического давления, отнесенного к давлению торможения, от относительной площади F^/F [48]. Увеличение давления торможения до при F^ F = const приводит к значительному уменьшению pjpo и соответственно к увеличению числа М. Расчеты пока-

зывают, что при увеличении полного давления от 10 до 70 МПа критический перепад р^/р0 уменьшается от 0,528 до 0,4. На рис. 1.14 приведены экспериментальные данные [48], полученные при измерении статического давления в коническом сопле с углом 0А = 9° при F^/F = 0,752. Видно хорошее соответствие расчетных

Рис. 1.14. Зависимость давления от отношения площадей при высоких давлениях торможения и То = 250 К. 1 — идеальный газ при у = 1,4; 2—5— эксперимент

и экспериментальных данных, а также значительное их отличие от параметров идеального газа с ’(=1,4. Кроме того, реальные свойства газа оказывают значительное влияние на величину коэффициента А в уравнении расхода (1.142), который увеличивается па 10—15 % при увеличении ро от 1 до 50 МПа. Изменение температуры торможения в пределах от 200 до 500 К незначительно влияет на безразмерные газодинамические параметры, хотя очевидна естественная тенденция сближения значений параметров идеального и реального газов с ростом температуры. Интересно отметить, что отношение удельных теплоемкостей при больших ро может значительно превышать 1,4, достигая 2—2,5.

Глава 2

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙ ГАЗА В СОПЛАХ

В этой главе излагаются методы расчета сверхзвуковых и смешанных течений газа в соплах, а также методы решения релаксационных уравнений. Численные методы, включенные в данную главу, с нашей точки зрения достаточно универсальны. Они широко используются при изучении внешних и внутренних задач газовой динамики с помощью ЭВМ [2, 8, 37, 56, 82, 136, 147, 149— 152, 154, 169, 220, 230]. Изложение предполагает знакомство читателя с методом сеток. Изложение теоретических основ сеточных методов содержится, например, в работах [38, 86, 137, 152, 161, 162, 171, 179—181, 225].

Методы решения релаксационных уравнений

При расчете течений с неравновесными физико-химическими превращениями необходимо вдоль линий тока или траекторий частиц численно интегрировать уравнения, описывающие исследуемый неравновесный релаксационный процесс, например, уравнения (1.21), (1.34), (1.96). Кинетические, или релаксационные уравнения, описывающие этот процесс, вблизи равновесия являются, как правило, уравнениями с малым параметром при старшей производной, что усложняет их численное интегрирование. К числу таких релаксационных уравнений относятся уравнения сохранения массы химической компоненты, уравнения для определения колебательной энергии, уравнения для определения скоростей и температур частиц в двухфазных потоках, уравнения переноса излучения и т. д. Особенность неравновесных течений в соплах состоит в том, что они начинаются из состояния покоя, где система близка к термодинамическому равновесию. В тех же областях, где система близка к равновесию и время релаксации, а, следовательно, и длина релаксационной зоны малы, возникают значительные трудности с выбором шага интегрирования. При использовании для численного интегрирования явных разностных схем типа метода Эйлера или Рунге-Кутта шаг интегрирования для проведения устойчивого счета должен быть настолько мал, что расчет становится практически невозможным даже при использовании современных вычислительных машин.

В последние годы предложено несколько методов численного интегрирования релаксационных уравнений. Наиболее эффектна-

ными и универсальными из них являются методы, основанные на использовании неявных разностных схем [35, 79]. Основное требование к таким методам — возможность расчета по единой схеме с высокой точностью как областей, где неравновесные параметры близки к равновесным значениям, так и тех областей, где имеет место заметное отклонение от них. Ниже дается обоснование выбора неявных разностных схем для расчета релаксационных уравнений [79].

В общем виде релаксационное уравнение для определения неравновесного параметра а, можно представить в форме

=(г = 1, 2,(2.1)

где т, — время релаксации, являющееся в общем случае функцией t, р, Т и всех а„ «г — условно равновесное значение а, (также функция t, р, Т и всех а,), равное а, при равновесном течении с постоянной энтропией. Делая естественное предположение об ограниченности производной da,/dt, из уравнения (2.1) получаем, что при т, ->- О течение приближается к равновесному, т. е. ctj-A-aj.

Рассмотрим вместо (2.1) модельное уравнение, положив т, и ttj константами. Общее решение этого модельного уравнения имеет вид

а=(а0-а*)е-,/т + а*,(2.2)

где нижние индексы i для простоты опущены, а ао = и(О). Получим теперь решение разностного уравнения

= -^(а* —+(а* — ап+1),(2.3)

аппроксимирующего дифференциальное уравнение (2.1). Здесь h — шаг интегрирования, s — параметр (0 ^ s =5 1), а нижние индексы п и п + 1 приписываются параметрам в известной и искомой точках соответственно. Используя следующее из (2.3) рекуррентное соотношение

1+%(1—s) а” 1 1 + х(1 —s)’ х т’ разностного уравнения (2.3)1+%(1—s) а” 1 1 + х(1 —s)’ х т’ разностного уравнения (2.3)^774-1 ~

1+%(1—s) а” 1 1 + х(1 —s)’ х т’ разностного уравнения (2.3)

1+%(1—s) а” 1 1 + х(1 —s)’ х т’ разностного уравнения (2.3)

получим решение

«п+1 = (а0 - «*) [ t + z (1 _ s) ]+ «*•(2.5)

Точное решение дифференциального уравнения в точке п+1 согласно (2.2) имеет вид

ccn+i = («о — а*)е"'‘(п+и + а*.(2.6)

Из (2.5), (2.6) следует, что решение разностного уравнения (2.5) стремится к точному при хО для всех s таких, что O^s^l.

Однако точность и устойчивость решения разностного уравнения зависит от величины этого параметра. При s = 1/2 решение разностного уравнения имеет второй порядок точности. При s — 1 (явная схема типа схем Эйлера или Рунге-Кутта) и х 2> 1 решение разностного уравнения сильно отличается от точного. Максимальный шаг, с которым можно численно интегрировать уравнение (2.1), равен 2т. Поэтому явные схемы позволяют численно интегрировать релаксационные уравнения вблизи равновесия, где время релаксации т мало, лишь с очень малым шагом (й * 2т), что делает их абсолютно непригодным даже при использовании ЭВМ с большим быстродействием.

При s = l/2 и х>1 из (2.5) следует, что решение разностного уравнения колеблется около точного с амплитудой, не большей |ао —а*1, и при увеличении шагов эти колебания затухают медленно. Тем не менее разностная схема при s = 1/2 дает решения, близкие к точному в тех областях, где величина |ао~ а*| мала по сравнению с а*. Такие области соответствуют малым значениям т и течениям, близким к равновесию. В тех же областях, где т велико, а течение существенно отклоняется от равновесного (например, в угловой точке или за ударной волной), величина Iссо — а*| может быть сравнима с а* и использование разностной схемы при 8 = 1/2 может приводить к большим ошибкам. Кроме того, как показывает рассмотрение модельного уравнения при 8 = 1/2 и больших х, ошибка в начальных данных затухает лишь после значительного числа шагов. Это обстоятельство может затруднять отход от начальных точек вблизи равновесия, особенно для многокомпонентной смеси.

Рассмотрим теперь конкретный алгоритм решения разностных уравнений для сложных неравновесных систем. Пусть имеется N неравновесных параметров а„ для определения которых имеется N релаксационных уравнений типа (2.1). Не ограничивая общности, примем, что т, и аг суть функции только t и а, и не зависят от р и Т. Тогда, согласно (2.3), система дифференциальных уравнений (2.1) аппроксимируется следующей системой разностных уравнений:

/1 (&i(n+i))= tZi(n+i) , । ,, г» X" [o^in 4” ^inS (о:гп &in) 4“

ч Ч(п+1) U

4“ Xi(n+1) (1 s) <Zi(n+i)] = 0, (2.7) где x, = й/т, (i = 1, 2, ..., TV), или

f(an+1) = 0, (2.8) где f=(/i, /2, .. ., /x), a=(ai, «2, . . ., Ия). Система (2.8) является системой трансцендентных уравнений относительно cc1(n + i) (i = 1, 2, ..., ^). Решение ее методом простой итерации приводит к ограничению на шаг й(й~т.), такому же, как и при

использовании явных схем. Поэтому необходимо применять какой- либо иной метод, например, метод Ньютона с переменной матрицей Якоби D, используя аналитические выражения для производных djj8ak. Неизвестные a1(n+i) находятся итерационным методом по формуле

(2-9)(2-9).0+1) _ „(О '71 + 1 ^*П + 1

(2-9)

(2-9)

Итерации заканчиваются при выполнении условий

где е„ 8, — заданные погрешности в компонентах решения и невязки в уравнениях, t = 1, 2, . . ., N.

Условие устойчивости разностных уравнений (2.7) имеет вид

|Д(1 — 2х)Хг — 11 > 1, s < 0,5;

Re X. < О, s = 0,5;

l/t(2s - 1)Х.+II < 1,5 >0,5,

где К — собственные числа матрицы WdtidaW, ReX,— их действительные части. Нетрудно показать, что матрица Якоби имеет хотя бы одно собственное значение с отрицательной действительной частью, так что условие устойчивости при s > 0,5 имеет вид

h<2Nh<2N(2s - 1)(2s - 1)ATX JLATX JL

h<2N

h<2N

(2s - 1)

(2s - 1)

AT

X JL

AT

X JL

что при У = 1 и s = l эквивалентно полученному выше условию устойчивости.

С другой стороны, при s =5 0,5 множество (X, Re X, < 0} заведомо принадлежит области устойчивости, и на шаг интегрирования ограничения накладываются лишь в связи с ошибками аппроксимации схемы.

В связи с этим более предпочтительными являются неявные схемы с 0 < s < 1/2, которые при х » 1 дают решения, близкие к точному, и при использовании которых ошибки в начальных данных быстро затухают. Применение таких схем позволяет существенно увеличить шаг интегрирования по сравнению с явными схемами при сохранении устойчивости. В работах [79, 94] при проведении конкретных расчетов использовалось значение 8 = 0,4, что обеспечивало порядок точности, близкий ко второму. Проделанный анализ модельного уравнения можно обобщить на случай, когда а* является не постоянной, а известной функцией от t.

Предположен ряд мер, обеспечивающих быструю сходимость итераций к решению. При вычислениях по формуле (2.9) около 90 % времени расходуется на расчет компонент матрицы О и ее обращение. Поэтому основная экономия времени может быть получена при вычислении обратной матрицы D-x. В связи с этим

матрица вычисляется в точке п+1 только в первых двух итерациях, после чего фиксируется, и последующие итерации проводятся с неизменной матрицей D-1. Более того, матрица D-1, вычисленная в точке n + 1, используется для нахождения решения по формуле (2.9) в точках п + 2, n+З и т. д. Вычисление «новой» матрицы D 1 в точке п + к производится только тогда, когда число итерации, потребовавшихся для сходимости к решению с заданной точностью, превышает заранее заданное число (4—6). Использование процедуры фиксирования обратной матрицы позволяет па порядок сократить время расчета.

Известно также, что сходимость метода Ньютона к решению зависит от близости начального приближения к этому решению. В связи с этим начальное приближение в точке n + 1 целесообразно задавать посредством экстраполяции искомых функций с использованием их значений в предшествующих точках. И, наконец, время расчета существенно зависит от точности задания данных в начальной точке отрезка интегрирования, если эта точка находится в околоравновесной области, как, например, для течений в соплах. Даже незначительные ошибки в начальных данных (в четвертой — пятой значащих цифрах) в силу малых значений т могут привести к длительному счету начального участка из-за медленной сходимости итераций. Поэтому в начальной точке целесообразно тоже решать систему (2.7) методом Ньютона с переменной матрицей, полагая второй член в левой части (2.7) равным а*.

Таким образом, в описанном алгоритме решение релаксационных уравнений основано на использовании неявных разностных схем, разрешении разностного уравнения типа (2.3) относительно an+i с целью устранения произведения малой разности больших величин на большую величину, решении нелинейной системы уравнений типа (2.7) методом Ньютона.

В то же время отметим, что применение итерационной схемы Ньютона для решения конечно-разностных уравнений (2.7) не, обеспечивает выполнение законов сохранения на промежуточных итерациях. Показано, что выполнение законов сохранения с заданной относительной точностью еще не гарантирует того, что концентрации при этом будут находиться с такой же относительной точностью. Особенно неточно при этом могут находиться концентрации веществ, содержание которых в смеси мало. Поэтому чтобы гарантировать заданную относительную точность расчета всех концентраций (в том числе и токсичных), надо следить за тем, чтобы с необходимой для этого точностью удовлетворялись в первую очередь те из уравнений (2.7), которые соответствуют наименьшим компонентам. Кроме того, сходимость итерационных методов, применяемых для решения (2.7), практически всегда улучшается, если значения an+i во всех промежуточных итерациях точно удовлетворяют законам сохранения.

5 У. г. Пирумов, Г. С. Росляков

Точный расчет малых концентраций не имеет важного значения в тех задачах газовой динамики реагирующих сред, где определяются интегральные характеристики. Например, погрешность расчета малых концентраций при определении потерь удельного импульса па химическую неравновесность для течения многокомпонентной смеси в сопле реактивного двигателя не дает существенной погрешности в результатах исследований. В задачах же исследования процессов токсичных компонентов в энергетических установках необходимо с достаточной точностью определять концентрации токсичных веществ. Поэтому становится очевидной необходимость разработки таких итерационных схем решения конечно-разностных уравнений химической кинетики, в которых обеспечивается точное выполнение законов сохранения на каждой итерации и, следовательно, малые концентрации вычисляются с заданной относительной точностью. Напомним, что законы сохранения являются точными интегралами уравнений кинетики.

Обеспечить точное выполнение законов сохранения химических элементов па промежуточных итерациях возможно различными способами. Один из них заключается в том, что N неизвестных концентраций находятся в результате численного решения соответствующих им N уравнений (2.7), а остальные концентрации исключаются. Очевидно, что в качестве последних необходимо выбирать концентрации тех компонентов, содержание которых в смеси наибольшее.

§ 2.2. Метод характеристик

С появлением ЭВМ в течение многих лет метод характеристик является одним из основных методов расчета двумерных сверхзвуковых и одномерных нестационарных течений газа. Реже этот метод используется для расчета пространственных стационарных и двумерных нестационарных течений. Он может быть использован не только для расчета течений нереагирующего газа с постоянным показателем адиабаты, но также и для расчета течений с физико-химическими превращениями, такими как возбуждение колебательных степеней свободы молекул, химические реакции, двух- фазпость, а также течений газа с наложенными электромагнитными полями.

Основная идея метода характеристик состоит в уменьшении числа независимых переменных путем введения характеристических поверхностей (или характеристических направлений). Как было показано в § 1.2, определяя характеристики как линии, на которых решение задачи Коши либо не существует, либо неединствеппо, удается систему двумерных уравнений газовой динамики в частных производных свести к системе обыкновенных дифференциальных уравнений направления и уравнений совместности, выполняющихся вдоль характеристик. Так, система уравнений в частных произ-

водных (1.3), описывающих одномерное нестационарное течение газа, сводится в результате применения метода характеристик к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вдоль характеристик (1.77). Система (1.82), (1.84), (1.86), (1.91), описывающая неравновесное стационарное течение газа, сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (1.92) — (1.95).

Сведение системы уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, естественно, существенно упрощает процедуру численного решения задачи и позволяет использовать методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Вычислительный алгоритм решения уравнений направления и совместности обычно включает итерационный процесс, при этом первая итерация соответствует методу Эйлера, а вторая и последующие — методу Эйлера с пересчетом, что обеспечивает второй порядок точности численного решения.

В этом параграфе представлены основные вычислительные схемы метода характеристик в том виде, как они используются в настоящее время для решения задач газовой динамики. Описаны алгоритмы расчета параметров течения для внутренних точек области и точек, лежащих па границах. Рассмотрены течения реагирующего газа с физико-химическими превращениями, а также двухфазные течения.

Расчет стационарного сверхзвукового течения нереагирующего газа. Соотношения на характеристиках в случае двумерного сверхзвукового течения нереагирующего газа могут быть записаны в виде (1.92)—(1.95) при F, = 0. Разработке метода характеристик применительно к расчету таких течений посвящены работы [4, 9, 82, 152, 170] (см. также обзорные статьи [169, 230]).

Выражая дифференциал давления dp через дифференциал угла Маха da и дифференциал энтропии dS, можно переписать соотношения (1.92) — (1.95) в виде

dy = tg (0 + a) dx,

,n , 1+cos 2а , , v sin a sin 6 , , sin 2а , c

d0 -41=— da 4—- dx + —,n dS = 0,(2.10)

Y — cos 2а у cos (0 ± a) ' 2y (y—1)'

dy = tg 0 dx, dS = 0.

В целях сокращения объема вычислений целесообразно ввести переменные

t = tg0, P = ctga.(2.11)

Тогда уравнения (2.10), а также соотношения для функции тока (1.99) примут вид

dy = X±dx, A dt, + В da ± C-dx + D dS = 0,(2.12)

dy = X°dx, dS = 0,(2.13)

dip = ± E-dx,(2.14)

где

О + P2)Uy +О + (Y —1) Р2Г ^ (Р + К) ’ T(Y —1) U + P2)’

(2.15)

В формулах (2.10) — (2.15) верхние знаки соответствуют характеристикам первого семейства, нижние — характеристикам второго семейства. Для безвихревых течений множитель у-i7”-1’г "s/n"1) нужно заменить на единицу; очевидно, что в этом случае исчезает в (2.12) член, содержащий dS.

При расчете стационарных течений совершенного газа в соплах и истекающих из них струях приходится решать сравнительно небольшое число элементарных задач, связанных с определением

Рис. 2.1. К определению параметров в узлах характеристической сетки при стационарном течении; точка в поле (а), точка вблизи оси симметрии (б), точка па оси симметрии (в), точка на жесткой стенке или границе струи (г), точка на ударной волне (б), точка в поле для неравновесного течения (е), точка в поле для двухфазного течения (ж)

неизвестных величин во внутренних и граничных узлах характеристической сетки. Приведем формулы для расчета газодинамических параметров.

Начнем с внутренних узлов. Определим искомые функции в точке 3, лежащей на пересечении характеристик первого (7—3) и второго (2—3) семейств, проходящих через точки 1 и 2, где решение известно (рис. 2.1, а). При этом будем считать, что известна зависимость энтропии S от ф: 5 = 5(ф). Заменив в (2.12), (2.14)

дифференциалы разностями на отрезках 1—3, 2—3, имеем

^3 = ^147+”^’ уз = У1 + ^13 (ж3 - Ж,),

'Чз ''-гз

Фз ~ 'Фт 4“ ^13 (^з^1) = ^Рг ^аз (^з^г)» S3 = 8 (ф3),

Рз ~ Pi 4 д у ~Щ в [^хз^аз (Сг £1) т ^зз^гз (РгPi) 4"

13 23 123 13

+ С23Л13 (ж3 ж2) ^гз^зд (S3S^ -р С1зА23 (жд хх)

^13^23 (S3 'S'lH, тз ri т [®1з(Рз Pi)" С13^х>4 хг) D13 (S3 Si)L (2.16)

Двойной индекс означает усреднение по значениям в соответствующих точках, например, Аз = (Л1 + Л3)/2, Аз = (А4-А)/2 и т. д.

Система решается итерациями, при этом в первом приближении вместо полусумм берутся значения коэффициентов в соответствующих опорных точках (7 или 2). В силу хорошего начального приближения удовлетворительная точность обычно достигается за две-три итерации при разумном, с точки зрения ошибок аппроксимации, выборе шагов характеристической сетки при решении каждой конкретной задачи.

Заметим, что формулы (2.16) непригодны для вычислений, если в окрестности расчетной точки наклоны характеристик первого или второго семейств близки к л/2, т. е. если ^ + ^ или ^ — £ близки к пулю, из-за возникновения больших погрешностей. Например, если 0 + £ « 0, необходимо уравнения второго семейства характеристик (2.12) и соответствующее уравнение для гр (2.14) преобразовать к виду

dx = K^dy, A dt,+ В d$ — C~dy + D dS = 0,d-^ = —E~dy,

(2.17)

где X" =(p + £)/(P£ — 1), a C-, E- получаются заменой в формулах для С- и Е~ множителя ^ + ^ па ^ — 1.

Уравнения (2.17), напротив, нельзя применять там, где направления характеристик второго семейства близки к горизонтальным, т. е. там, где р£ — 1~ 0. То же относится и к характеристикам первого семейства, и очевиден переход от одной модификации расчетных формул к другой. В каждом приближении энтропия 8 находится по вычисленному значению гр с помощью квадратичной интерполяции по табличным значениям 5 = 5(гр). Таблица 5(гр) известна заранее или составляется в процессе расчета (например, если изоэнтропичпость течения нарушается вследствие возникновения ударной волны в поле течения).

Если точка 3 или 1 принадлежит оси симметрии (при v = l), то расчетные формулы должны быть модифицированы, так как уравнения (2.12) имеют особенность на оси симметрии (у = ^ = 0). Пусть точка 1 принадлежит оси (рис. 2.1, б). Для устранения особенности, как и в случае внутренней точки, запишем в разностях уравнения (2.12) — (2.14), только уравнения, выполняющиеся вдоль характеристик первого семейства, предварительно домножим на у. Тогда вновь получим для искомых величин соотношения (2.16), в которых, однако, теперь нужно положить

13 2 (13 2 (®1з — "2 В siС и — 0,D13 — 2 ^з-

13 2 (

13 2 (

Если точка 3 лежит па оси симметрии (рис. 2.1, в), то у3 = £з = = ф3 = 0. Для определения жз, р3 воспользуемся уравнением характеристик 2-го семейства и соответствующим характеристическим соотношением, домпоженным па у;

ж3 — ж2 Уг/^гзт

Рз = М ^ [^2 + С; ^з - х2) - Z)2 (S3 - S2)l.(2.18)

Так как ось симметрии является линией тока, то во всех ее точках ф = С = const. Разность между значением ф3, вычисленным по формуле (2.16) ф3 = ф2— Е^Дх?,— а?2), и константой С характеризует вычислительную погрешность.

Пусть теперь точка 3 принадлежит стенке сопла (рис. 2.1, г), уравнение которой у = /(а?). Имеем

Ж3 = Хг +Ж3 = Хг +^2 ~ ^1 ~ -4 (*2 - И)

Ж3 = Хг +

Ж3 = Хг +

л13'23

Уз — / (^з)»^3 — / (^з)’4 — S21 Фз — Ф21

Рз = Pi + j- ^1з 4 - Cl) + Ct3 (ха - х^ - D13 (S3 - 5Д]. (2.19) 13

Отметим, что, как и в случае внутренней точки, полученные формулы для определения параметров в точках оси и стенки сопла должны быть изменены, если наклон характеристик близок к л/2.

Рассмотрим алгоритм расчета параметров па границе струи, на которой обычно задано распределение давления р = р°(х), что эквивалентно заданию функции ^ = р°(а?). Отметим, что при истечении струи в покоящуюся среду на границе струи р = const и, следовательно, ^ = ^° = const. Кроме того, поскольку граница струи является линией тока, то энтропия на пей постоянна. При этих условиях необходимо определить форму струи и ее угол наклона. Пусть точка 3 принадлежит границе струи (рис. 2.1, г). Имеем еле-

дующие формулы для расчета параметров в точке 3:

т^23 (*2 - *1)

3110’

Л13л23

.Уз = Z/i 4-^w (-Oj — х^,

Рз ~ Р° (^з)’^3 = ^2’4*3 ~ ^2’

£з — ъ1 4" "д [^1з (Рз Pi) ^1з (жз ж1) + ^1з (^3^i)^ (2.20)

Л13

Определим теперь параметры в точке 3 (рис. 2.1, д), находящейся за ударной волной, если известны параметры набегающего потока Мео, роо, ре» перед ударной волной. В процессе расчета необходимо определить также координаты точки 3 и угол наклона ударной волны о в этой точке. Обозначим т = tg о, тогда из соотношений на ударной волне (1.43) при D = 0 имеем

где +2<МТ^ Г"

Рсо1 (Y-l)Mti

В соотношениях (2.21) содержатся три неизвестных величины ^з, Тз и р3. Поэтому необходимо записать еще уравнение совместности вдоль характеристики первого семейства, которое в данном случае удобно использовать в форме (1.93) при Ф1 = 0.

После некоторых преобразований получим

A d^ + К dp + C+dx = 0, К = р/ (pW2).(2.22)

Имеем следующее разностное уравнение вдоль характеристики С+: 41з (^з£1) т ^1з (Рз Pit + ^з (^з^i) ~ 0-(2.2а)

/И4У 1^оо J 1 + т2/И4У 1^оо J 1 + т2При этом скорость W определяется из соотношений на ударной волне по формуле

/И4У 1

^оо J 1 + т2

/И4У 1

^оо J 1 + т2

И, наконец, координатыИ, наконец, координатыточки 3 определяются из соотношенийточки 3 определяются из соотношений(2-24)

И, наконец, координаты

И, наконец, координаты

точки 3 определяются из соотношений

точки 3 определяются из соотношений

типа (2.20) с заменой Х°3 па Тзз- Имеем

xs = хгxs = хгУ2-У1-Тм (^-н)^13 — Т23У2-У1-Тм (^-н)^13 — Т23(2.25)(2.25)Уз — У1 4“ ^13 (.^3^l).Уз — У1 4“ ^13 (.^3^l).(2.26)(2.26)

xs = хг

xs = хг

У2-У1-Тм (^-н)^13 — Т23

У2-У1-Тм (^-н)^13 — Т23

(2.25)

(2.25)

Уз — У1 4“ ^13 (.^3^l).

Уз — У1 4“ ^13 (.^3^l).

(2.26)

(2.26)

Система (2.21) — (2.26) позволяет рассчитать все параметры в точке 3: ^3, р3, рз, т3, И4, хз и у3. Эта нелинейная система решается

итерационным методом, например методом Ньютона. В первом приближении задается значение Тз15, близкое к значению тз. Все остальные параметры £3, рз, р3, W3, х3 и z/3 сразу же определяются, но уравнение (2.23) при этом может не удовлетворяться. Итерационный процесс должен быть построен таким образом, чтобы в конечном итоге (2.23) удовлетворялось с заданной точностью.

Расчет стационарного сверхзвукового течения с физикохимическими превращениями и двухфазного течения. Обратимся к случаю реального газа. Перепишем уравнения характеристик (1.92)— (1.99) в виде

(2-27)

—Ц^±= 0,(2.28)

= ±(2.29)

dy = £ dx,(2.30)

^ = ^/Т1Т2№(2.31)

А7

X /\ ^ Г/\/1

| W2 ^h = h6.(2.33)

Вычислительные схемы метода характеристик для равновесных и замороженных течений газа, когда FT = 0 и уравнения состояния задаются в виде h~h(p, 1"), р = р(р, Т), незначительно усложняются по сравнению со случаем совершенного газа (см., например, [80, 156]). Пусть известны значения параметров в опорных точках 1 и 2 (см. рис. 2.1, я). Тогда, записывая в разностях уравнения (2.27) — (2.33) и термодинамическое тождество

тгр гр д гт , / 1\ д [ dh\ 1

dT = Т dS 4- - — r W —

I p dpi v™)

и считая, в силу (1.101), энтропию известной функцией ф, S = = 5(ф), получим систему соотношений для определения х3, у3, р3, 5з, Тз, ф3, 53. Остальные величины в точке 3 вычисляются по формулам

h3 = h (Рз, Т3), Рз = р (р31 Т3\W3 = /2(/г0-М,

2 /рр\ , (5рЖ)3м/8h\-\1 (2-34)

Полученная система решается итерационным методом аналогично системе (2.16).

Расчет равновесных течений реального газа осложняется по сравнению со случаем совершенного газа из-за необходимости вычисления термодинамических функций для смеси реагирующих газов. Обычно термодинамические функции заданы таблично. Непосредственное использование таблиц при расчетах неудобно. Поэтому рядом авторов (см. библиографию в [220]) были разработаны па основе имеющихся таблиц аппроксимационные формулы для уравнений состояния. Отметим в связи с этим работу [63], где для эффективного показателя адиабаты и = ра?[р получены удобные аппроксимационные формулы, которые позволяют проводить расчет па ЭВМ течений равновесного и совершенного газа по единой программе.

Рассмотрим теперь случай неравновесного течения. Заменив дифференциальные уравнения (2.27) — (2.29) разностными, получим соотношения для определения жз, Уз, фз, рз и £з в точке 3 по известным значениям параметров в точках 1 и 2 (см. рис. 2.1, е). Далее можно вычислить все параметры в точке 4 пересечения линии тока, приходящей в точку 3, с известным участком характеристики 1—5. Так как ф4 = фз, то координату точки 4 и значения параметров в ней можно найти квадратичной интерполяцией по ф, используя известные величины в узлах предыдущей характеристики (точки 1, 5, 6 па рис. 2.1, е).

После этого, записав в конечных разностях на отрезке 3—4 линии тока уравнения (2.31), (2.32), получим соотношения для а,з, Тз:

«13 — «ы ^"134 (*^3^4) М* • • *, ^),

£(2.35)

^3 ~ ^4 + ^34 (Тз — Т4) — 2 ^134 («гЗ — «гт),

г=1

где ^ = ^/1 + ^, T ==

Теперь можно найти из (1.83) Лз и рз:

Лз = А(рз, Тз, «13, • ■., а«з), Рз = р(рз, Тз, «13, . •., «л-з).(2.36)

Величины W3, яз, З3 вычисляются по формулам (2.34). Как обычно, коэффициенты с двойными индексами в первом приближении вычисляются по известным параметрам в соответствующих опорных точках и уточняются при последующих итерациях.

Этот итерационный процесс, однако, может расходиться, если значения некоторых «( (или всех) близки к равновесным значениям. Это связано с тем, что релаксационные уравнения (2.31) вблизи равновесия являются уравнениями с малым параметром (см. §2.1). Вблизи равновесия функция F; очень чувствительна к изменениям аг и Т. Нарушение сходимости итерационного процесса связано с тем, что при использовании уравнения (2.35) приходится вычислять F, в точке 3 по значениям параметров из предыду-

щей итерации. Для сходимости итераций нужно брать значительно более мелкую сетку, чем это требуется для решения газодинамических уравнений.

Рядом авторов предлагались различные способы преодоления этой трудности. Отметим, в частности, работу [81], в которой предложен алгоритм, обеспечивающий сходимость итераций как вдали, так и вблизи равновесия. Более предпочтителен, однако, способ, основанный на использовании неявных аппроксимаций уравнений химической кинетики, описанных в § 2.1 настоящей главы.

Запишем уравнение (2.31) в виде

da.l = \Ll^p1 7, «1, .. ., ан') — а^г^р, Т, «1, ..., «„)]& (2.37)

(эта запись, очевидно, эквивалентна записи (2.1)). Кроме (2.37), будем использовать вдоль линии тока уравнения (1.95) и (2.33). Аппроксимируем эти уравнения с помощью неявной схемы, аналогичной (2.7). Имеем

«14 — «ы + ттгд-тд^^^^ {sZ,u + ^ ~ ^ 7,13 ~

- «ы № + (1 - s) А4з1} = О (Z = l,2, ...,У), (2.38) wi — w24 + Г - - -у—у—г + — у— —г1 (Рз—р4)=о,

(Р3, 13, а13, ..., ал,3) р1 4, а14, ..., ал 4)j

у W3 + h (р3, Ту а13, .. ., с/^з) — /г0 = 0.

После того как при очередной итерации будут определены величины хз, х4, трз, рз и ^з и вычислены параметры в точке 4, решается система (2.38) методом Ньютона с переменной матрицей Якоби так, как описано в § 2.1. При этом определяются 01,3, Т^ Ир. Далее по (2.36) вычисляются h^ и рз, а по (2.34)—«з и Рз. На этом очередная итерация заканчивается.

Метод характеристик с успехом применяется также для расчета двухфазных течений. В этом случае уравнения характеристик 1-го и 2-го семейств отличаются от (2.28) лишь коэффициентом при ах; функцию Ф] нужно заменить на Фг [см. соотношения (1.103)]. Уравнение для функции тока газа имеет по-прежнему вид (2.29). Для функции тока частиц справедливо соотношение

dips = ± 1 +~ ^ ^9^$ dx, ^ = -7.(2.39)

Характеристические соотношения на линиях тока газа и частиц приведены в гл. 1 [см. (1.104) — (1.107)].

Мы не будем здесь приводить вычислительных схем. Подробное описание алгоритмов для вычисления газодинамических параметров в различного рода точках характеристической сетки содержится в работах [26, 189]. Аппроксимация уравнении (2.27) — (2.29), (2.39) позволяет вычислить хз, уз, фз, Дз, £з во внутренней точке

(рис. 2.1, ж). Значения параметров в опорных точках 4 и 5 линий тока газа и частиц определяется квадратичной интерполяцией по ф и ф5. Обычным образом аппроксимируются уравнения (1.104), (1.105) вдоль линий тока газа. Что касается уравнений (1.106) для линий тока частиц, то стандартная аппроксимация приводит к тем же трудностям, что и в случае неравновесных течений газа. В работе [158] продемонстрировано применение неявных схем для расчета этих уравнений, что особенно необходимо при наличии частиц малых размеров.

Расчет нестационарного одномерного течения газа. Нестационарные течения возникают в сопле при его запуске, при распространении по соплу возмущений, возникающих вследствие нестационарного характера процессов, протекающих в камере сгорания, в различного рода поршневых установках и ударных трубах. Такие течения в ряде случаев можно изучать в одномерной постановке с помощью численного метода характеристик [34, 69, 104, 226, 262].

Приведем вычислительные схемы для определения газодинамических параметров в некоторых типичных узлах характеристической сетки. Рассмотрим уравнения, описывающие одномерное изоэнтропическое течение газа в сопле, т. е. течение при S = др-7 = = const. В этом случае существуют два семейства характеристик, для которых уравнения направления и совместности запишем в виде (см. и. 1.2.3):

dx = ТА dt, du ± A dp ± В dl = 0,(2.40)

где

V = и ± а, А = (ра)-1, В = (1 + v)au(dln jtdx).

Пусть нужно вычислить ж3, is, из, дз в точке 3, лежащей на пересечении характеристик первого (7—5) и второго (2—5) семейств, проходящих через точки 1 и 2, в которых решение известно (рис. 2.2,«). Заменив в (2.40) дифференциалы разностями и разрешая систему относительно жз, is, из, Дз, получим

г — ж — X” И — t )

Н = t, + -21И

Л13А23

Zg = Ху — /.|g (Дд ty^,

Рз = Р1 Г "д V~3 1М1М2 4~ ^Qg (ДзР1)513^3 ^1) ^2з(^3 УЬ

13Л23

Mg = Ыд ' П13 (рзр^Вуд (/g t у) .(2-41)

Уточнение хз, t^, U3, рз производится итерациями, как было описано выше.

Получим формулы для расчета газодинамических параметров в точке на движущейся границе, например, на поршне, уравнение

движения которого задано в виде x = X(f) (рис. 2.2, б^. Скорость газа на поршне совпадает со скоростью поршня, следовательно, и = dXjdt. Для определения координат хз и t3 имеем

(2.42)

^13Л23

Эти формулы аналогичны (2.41) при замене Хй на Х23, поскольку в рассматриваемом случае вместо уравнения характеристики второго семейства используется уравнение движения поршня. Значения из и рз находятся из соотношений

м3 = X (/.,), Рз = Р\ ~* (мз Ы1Н" ^1з (^з H)L (2.43)Ч.'!м3 = X (/.,), Рз = Р\ ~* (мз Ы1Н" ^1з (^з H)L (2.43)Ч.'!Выпишем теперь формулы для расчета параметров на линииВыпишем теперь формулы для расчета параметров на линииаб6габ6гРис. 2 2. К определению параметров в узлах характеристической сетки при нестационарном течении; точка в поле (а), точка па поршне (б), точка на контактной поверхности (в), точка на ударной волне (г)Рис. 2 2. К определению параметров в узлах характеристической сетки при нестационарном течении; точка в поле (а), точка па поршне (б), точка на контактной поверхности (в), точка на ударной волне (г)

м3 = X (/.,), Рз = Р\ ~* (мз Ы1Н" ^1з (^з H)L (2.43)

Ч.'!

м3 = X (/.,), Рз = Р\ ~* (мз Ы1Н" ^1з (^з H)L (2.43)

Ч.'!

Выпишем теперь формулы для расчета параметров на линии

Выпишем теперь формулы для расчета параметров на линии

аб6г

аб6г

Рис. 2 2. К определению параметров в узлах характеристической сетки при нестационарном течении; точка в поле (а), точка па поршне (б), точка на контактной поверхности (в), точка на ударной волне (г)

Рис. 2 2. К определению параметров в узлах характеристической сетки при нестационарном течении; точка в поле (а), точка па поршне (б), точка на контактной поверхности (в), точка на ударной волне (г)

^13 - м23^13 - м23(2-44)(2-44)Рз = Р6 (^з)>Рз = Р6 (^з)>Пусть па контактном разрыве задано распределение давления, р=Р°^х), которое, как известно, не претерпевает разрыва на контактной линии. Для определения координат точки 3, значений давления и скорости в этой точке имеем соотношения

^13 - м23

^13 - м23

(2-44)

(2-44)

Рз = Р6 (^з)>

Рз = Р6 (^з)>

Wg U^ А13(рз Р^ ^13 (^3^1)"

Два первых уравнения совпадают с (2.41), если А^ заменить на «23.

Выпишем в заключение формулы для расчета параметров в точке ударной волны (рис. 2.2, г), когда течение пеизоэнтропично. Пусть уравнение ударной волны есть dx/at = D, где D — скорость ударной волны. Необходимо определить параметры х^ f3, из, Рз, Рз, Из в точке 3, лежащей за ударной волной (область /7), если известны параметры в точке 3, лежащей перед волной (область 7),

и параметры в точках 1 и 2. Из законов сохранения (1.43) можно получить связь между давлением и плотностью в области I (пометим чертой сверху) и в области II (так называемая адиабата Гюгонио):

£з=(2.45)

Р3Рз/

Кроме того, из (1.43) следует

Рз (^3 Мз) = Рз (^3 Мз)>(2 /^

(Рз Рз) ^3 = Рз Рз Ж РзЫ3 Рз«3-

Координаты точки 3 определяются из соотношений

= Z1 +1+-

^23

Искомые параметры из, рз, Рз, Оз в точке 3 определяются из нелинейной системы уравнений, содержащей уравнения (2.45), (2.46) и уравнение совместности вдоль характеристики первого семейства. Эта нелинейная система решается итерационным методом, например методом Ньютона.

Послойный метод характеристик. В классической схеме метода характеристик узлы разностной сетки определяются в процессе численного решения как точки пересечения характеристик. Основное преимущество этой схемы состоит в том, что использование сетки такого типа позволяет максимально учитывать структуру течения, в частности, рассчитывать волны разрежения, выделять линии слабых разрывов, определять области возникновения висячих ударных волн.

Применение классического метода характеристик сопряжено, однако, и с рядом неудобств. Одно из них заключается в том, что искомые величины вычисляются в узлах заранее неизвестной характеристической сетки. На практике часто желательно знать распределение параметров при фиксированных значениях ж (пли t). При этом приходится применять интерполяцию, что усложняет программу и вносит дополнительные погрешности. Иногда счет по характеристикам приводит к очень неравномерному распределению узловых точек или к сильному росту числа точек на характеристиках (например, при расчете волны разрежения). Очевидно, что в подобных случаях необходимо время от времени перераспределять точки на характеристиках, уменьшая в случае необходимости их количество. Эта процедура также связана с интерполяцией.

В связи с этим в ряде случаев оказывается целесообразным применение характеристической схемы так называемого обратного типа. При этом фиксируется обычная прямоугольная сетка, а расчет ведется по слоям, причем каждый слой является координат-

ной поверхностью. Характеристики строятся назад, в направлении от рассчитываемого слоя к предыдущему, где в соответствующих точках пересечения параметры находятся посредством интерполяции. Эта схема получила название послойного метода характеристик или сеточно-характеристического метода [9, 115, 220].

Идею послойного метода характеристик поясним на примере уравнений (2.40). Пусть задана прямоугольная сетка с коорди-

Рис. 2.3. К определению параметров в послойном методе характеристик; расчет внутренней точки при нестационарном (а) и стационарном (б) течениях, расчет по линиям "ф = const (в), сетка в криволинейной области (г)

натными линиями, параллельными осям ж и £ (рис. 2.3, й). Предположим, что в точках а, Ъ, с линии t = to решение известно, и рассмотрим порядок расчета параметров в точке 3 па слое t = to + ДЛ Обозначим точки пересечения характеристик С+, С-, проходящих через точку 3, со слоем t = to через 1 и 2. Запишем уравнения (2.40) в следующей конечно-разностной форме

ж3 —= Х^М, ж3 — ^г = ^Гз^^(2.47)

н3-«1 + И13(р3 - щ)+#13Д£ = 0,

U3 — Й2 — И-28 (,Рз — Р2) — B^o^t = 0.

Эту систему алгебраических уравнений будем решать методом последовательных приближений:

в первом приближении все величины с двойными индексами положим равными их значениям в точке Ь предыдущего слоя, 2) вычислим координаты ад, Ж2 точек 1 и 2 из (2.47),

интерполяцией по точкам а, 6, с определим значения и, р в точках 1 и 2.

из соотношений (2.48) найдем и, р в точке 3,

вычислим коэффициенты с двойными индексами и повторим пн. 2—4.

Разностную схему послойного метода характеристик для стационарного сверхзвукового течения продемонстрируем на примере системы (2.12), (2.13). Пусть имеется прямоугольная сетка с координатными линиями, параллельными осям ж, у. Предположим, что в узлах «, Ь, с слоя х = хк решение известно (рис. 2.3,6). Отметим цифрами 1, 2, 4 точки пересечения характеристик 1-го и 2-го семейств и линии тока, проходящих через точку 3, где нужно вычислить решение, с линией х = хк и запишем (2.12), (2.13) в разностях. Имеем

Уз — У1 = Х^Дх, у3 — у2 = ХЙ\х, у3 — у4 = Х3^х; (2.49)

Аз (^ - W - В13 (Р3 - РД + C+Az - D13 (53 - 5Д = О,

(2.50) Аз (^3 £2) + Аз (Рз Pj) С23Ах + D23 (5352) — О,

S3 = А

Положив вначале параметры в точке 3 равными их значениям, например, в точке 6, определим из (2.49) координаты точек 1, 2, 4 и вычислим в них интерполяцией по узлам а, 6, с искомые функции. Затем из (2.50) найдем в первом приближении £3, р3, 53. Далее уточним коэффициенты и процесс повторим. Описанные разностные схемы достаточно просты и легко переносятся па случай пространственного течения.

В задачах профилирования сопел иногда возникает необходимость в построении контуров сопел (линий ф = const), обеспечивающих заданные параметры в выходном сечении сопла. В этом случае целесообразно использовать переменные х, ф и вести расчет по слоям ф = const [29, 30]. Пусть линия тока ф = ф, рассчитана и требуется определить параметры в точке 3 соседней неизвестной линии тока ф = ф1+1 (рис. 2.3, в). С этой целью, как и в описанной выше схеме послойного метода характеристик, используются уравнения (2.12), (2.13) и привлекается соотношение (2.14). Однако, в отличие от схемы (2.49), (2.50), характеристики 1— 3 и 2—3 (рис. 2.3, в) проводятся из точки 3 не вверх по потоку, а в направлении уже рассчитанной линии тока ф = ф,. При этом параметры слева от точки 3 известны, а в точках 1 и 2 находят интерполяцией по узлам а, Ь, с на линии ф = ф„ В сеточно-характеристическом методе по линиям ф = const иногда удобнее использовать уравнения характеристик в следующей форме:

dx = +А -- — ^А

ЧA dp -]Йф = О, 1 + ?2~рЩ2 ' y^^wVlA-^

dy = rdx, W dW + A dp = 0.

Область, в которой ищется решение, может отличаться от прямоугольной. Вследствие влияния граничных линий, пересекающих сетку произвольным образом, шаг по х будет неравномерным. Эта неравномерность нежелательна; опа обусловлена лишь формой границ и никак не связана с характером поведения решения. Поэтому после нахождения решения на новом слое узлы на нем нужно перераспределять. Иногда удобно сделать преобразование координат, переводящее границы в координатные линии. Пусть нужно найти решение в области DABC (рис. 2.3, г), где АВ — начальный слой, AD — левая граница, уравнение которой х = ф1(0, ВС — правая граница, уравнение которой ^ = ф2(0- Введем преобразование

t' = с х =\х — ф] (г) ] / [ф2(0 - Ф1 (0 ].

Область DABC перейдет в полуполосу 0 ^ х ^ 1, t' 2s 0. В переменных х , t' расчет можно вести на фиксированной сетке.

Послойный метод характеристик занимает промежуточное положение между классическим методом характеристик и методом конечных разностей. Действительно, в этом случае положение рассчитываемого узла заранее известно, а значения искомых функций вычисляются с помощью условий совместности, рассматриваемых па характеристиках. Такая схема объединяет в себе положительные свойства метода характеристик и метода конечных разностей и обладает некоторыми свойствами методов сквозного счета. Поэтому численные схемы с характеристической сеткой обратного типа получили широкое применение при решении конкретных задач.

2.2.5. Примеры применения метода характеристик. Численные алгоритмы, основанные на методе характеристик, имеют модульную структуру, заключающуюся в последовательном выполнении более простых алгоритмов (модулей), предназначенных для вычисления решения во внутренних и различного рода граничных узлах характеристической сетки. В предыдущих пунктах были описаны такие алгоритмы для некоторого класса гиперболических уравнений газовой динамики. Алгоритмы решения задачи Коши, Гурса и смешанной задачи можно рассматривать как модули более высокого уровня (макромодули, см. п. 1.2.6). Введем следующие обозначения: Мх—модуль расчета внутренней точки области, Мг— модуль расчета точки на степке в случае стационарного течения (или на поршне в нестационарном течении), Мз— модуль расчета точки на свободной границе в случае стационарного сверхзвукового течения (или контактной поверхности в случае нестационарного течения), 71^4 — модуль расчета точки на ударной волне, Ms — модуль расчета параметров в угловой точке, Ms — модуль расчета точки на оси симметрии.

Течение газа в сопле с угловой точкой. В качестве примера решения внутренней задачи рассмотрим изоэнтропическое сверхзвуковое течение в сопле с угловой точкой, в сечении ОА которого

все газодинамические параметры постоянны, а скорость равна скорости звука (рис. 2.4). Требуется определить форму сверхзвуковой части сопла, обеспечивающую равномерный и параллельный оси поток на выходе с заданным числом Маха М = Мо.

Задача распадается на две: расчет газодинамических параметров в области разрежения ОАВ (разгонный участок) и определение контура сопла АС и параметров течения в области АВС (выравнивающий участок). Граничная характеристика АВ волны разрежения такова, что в точке В ^ = Во = ctg а0, где ао — arcsin Мо-1.

Рис. 2.4. Схема расчета течения в сопле с утловой точкой; решение задачи Гурса и определение контура сопла (а), расчет волны разрежения (б)

Характеристика ВС, в силу требования равномерности потока па выходе из сопла, является прямой линией с углом наклона к оси симметрии ао-

Обратимся вначале к расчету области волны разрежения ОАВ. Околозвуковая характеристика, как правило, заменяется прямой линией, в каждой точке которой вектор скорости параллелен оси, а число Маха постоянно и равно числу Маха в угловой точке. Расчеты показывают, что если таким образом аппроксимировать эту характеристику, которой в угловой точке соответствует значение М * 1,001, то обеспечивается удовлетворительная точность [170].

Итак, пусть известны все параметры потока в точках А, «1, «2, . ■., Вх некоторой характеристики АВХ (рис. 2.4, б). В окрестности угловой точки А реализуется течение Прандтля — Мейера. В точке А величины ж = 0, у = уА, 4> =4>а постоянны, а [3 и £ связаны соотношением f^) — arctg £ = 0, где

/(Р) = х arctg(p/x) — arctg [3

— функция Прандтля — Мейера, х2 = (7 + 1)/(у — 1) (см. (1.152)).

Зная значения искомых величин в точке А, соответствующие характеристике АВХ, и задавая приращение, например Др, можно найти, используя модуль М5, значения [1 и £ в точке А, соответствующие близкой к АВХ характеристике АВ2 волны разрежения. 6 У Г. Пирумов, Г С Росляков

Теперь по известным параметрам в точке Л и «1 вычисляются искомые величины в точке bi (модуль Л/i). Используя точки «2 и 6[ в качестве опорных, можно вычислить параметры в точке 62 и т. д., вплоть до точки Сь При вычислении параметров в точках Ci и В-i используется модуль Ms. Аналогично проводится вычисление параметров на следующей характеристике. Расчет разгонного участка продолжается до тех пор, пока на оси сопла не будет достигнуто значение ^ = ^о, соответствующее заданному значению числа Маха Мо на выходе из сопла. После этого производится расчет выравнивающего участка сопла.

Зная значения параметров в точках В, а, .., с, А граничной характеристики и в точке di прямолинейной замыкающей характеристики (вдоль этой характеристики £ = О, Р = Ро = р^Мд — 1)’ можно последовательно вычислить параметры, начиная с точки d (модуль М^, в точках характеристики второго семейства, выходящей из точки di. Расчет ведется до тех пор, пока в некоторой точке этой характеристики тр не превысит заданного значения ф = фд. После этого квадратичной интерполяцией на заданное значение ф = = фА, используя вычисленные параметры в трех последних точках (точки е, /, g на рис. 2.4, а), определяются координаты точки Ai на контуре и значения газодинамических параметров в ней. Порядок дальнейшего расчета аналогичен.

Кроме основного контура АС с угловой точкой в процессе расчета, можно с помощью интерполяции на фиксированные промежуточные значения 0 < ф < фд получить координаты линий тока и распределения параметров вдоль них. Эти линии тока могут быть выбраны в качестве контуров обычных гладких сопел с плоской поверхностью перехода через скорость звука.

Течение газа в сверхзвуковой струе. Рассмотрим теперь задачу о расчете струи, вытекающей из сопла в среду с пониженным давлением р =рн (рис. 2.5). На характеристике второго семейства АО все газодинамические параметры известны. В треугольнике АОВ (центрированная волна разрежения) течение рассчитывается аналогично тому, как это описано в предыдущем пункте. Различие состоит лишь в том, что в угловой точке А расчет ведется до тех пор, пока давление не станет равным давлению в окружающей среде рИ. В результате получается замыкающая характеристика АВ веера волн разрежения. Далее сверху вниз, последовательно используя модули Ms в точке A', Mi—между точками А', В' и Ms — в точках В' и В", рассчитывают характеристику А'В". Расчет течения между границей струи и осью симметрии с определением границы струи и параметров течения на ней и во всей области по этому алгоритму производится до тех пор, пока не возникает пересечения характеристик второго семейства в некоторой точке С, что порождает в поле течения висячую волну CD. Расчет параметров па некоторой характеристике LN, пересекающей удар-

ную волну, производится по тем же алгоритмам во всех точках, кроме точки М, при расчете которой используется модуль М4.

Задача о поршне. Рассмотрим в заключение этого параграфа расчет нестационарного одномерного течения, возникающего при выдвигании поршня из полубесконечной цилиндрической трубы

Рис. 2.5. Расчет течения в сверх- Рис. 2.6. К решению задачи о дви- звуковой струе женин поршня в трубе

по закону ж = Х(£) (рис. 2.6). Пусть заданы параметры покоящегося газа в области между дном трубы (ж = жо) и поршнем, т. е. на характеристике второго семейства АВ известны скорость и = 0, скорость звука « = «о и давление р = ро- Необходимо определить параметры течения при t > 0 в области, ограниченной поршнем и степкой.

Отметим, что в области CABD, ограниченной сверху отраженной от стенки характеристикой АС. реализуется течение простой волны (см. п. 1.4.3), поскольку характеристика АВ прямолинейна и параметры на пей постоянны.

Расчет поля течения производится снизу вверх от поршня следующим образом. Вначале определяются параметры в точке В' (модуль Л/2). Далее вплоть до точки А' в узлах характеристики В'А' вычисляются параметры течения с использованием модуля Мх. В точке А' вновь используется модуль М^; при этом полагается у = 0. Далее расчет повторяется для следующей характеристики А"В" и т. д.

Подчеркнем, что задача расчета течения, возникающего при выдвигании или вдвигании поршня, весьма актуальна применительно к поршневым двигателям внутреннего сгорания.

Метод решения обратной задачи теории сопла

Постановка обратной задачи дана в п. 1.3.2. Здесь мы рассмотрим численный метод решения обратной задачи па примере плоского или осесимметричного изоэнтропического течения с постоянным показателем адиабаты у. Начальные данные зададим на оси симметрии. В этом случае обратная задача сводится к задаче Коши 6*

для системы уравнений (1.35) — (1.37) в переменных Мизеса х. ф и состоит в определении параметров течения и линий тока в окрестности оси симметрии ф = О по заданному распределению скорости и = ио^ (или давления, или плотности) на оси в общем случае в дозвуковой, трансзвуковой и сверхзвуковой областях сопла. Уравнения газовой динамики имеют в этих областях эллиптический, параболический и гиперболический тип соответственно. Известно, что для эллиптических уравнений задача Коши в общем случае некорректна, т. е. небольшое изменение начальных данных может привести к значительному изменению решения. Представленная ниже разностная схема оказалась пригодной для решения некорректной задачи Коши в силу специальной аппроксимации производных и выбора шагов разностной схемы [149, 150]. „

Введем сетку с узлами

ж, = ж0 + /Аж, ф, = /Аф (/ = 0, 1, .. ., 7; / = 0, 1, .. ., 7)

и обозначим /у = /(ж„ ф,). Величины шагов Аж, Аф в общем случае непостоянны и зависят от / и / соответственно. Пусть в узлах слоя ф = фJ известны все параметры течения, а именно и, и, р, р и г. Вычисление параметров па слое ф = ф,+ 1 производится итерационным методом следующим образом. Очередная итерация с номером I заключается в вычислении величин r^^x, pV;+n Kjj+i. Ргл+п ыь?+1 из разностных уравнений, аппроксимирующих систему (1.35) — (1.37) '

(2.51)(2.52)(2.53)(2.51)(2.52)(2.53)Ап+1 = /hjv + Цр kvp^k, + (i/pw)'^^] аф^1Л *v

(2.51)

(2.52)

(2.53)

(2.51)

(2.52)

(2.53)

Рг,?+l Pi,3? I v I X

(_ Г 8т]Эх /т + 1 _2(y-i)A>\

2,+1

(2.54)

В первой итерации (Z=l) значения величин с верхним индексом Л = 0 берутся с нижнего /-го слоя, при этом последовательно определяются параметры во всех / точках (/+1)-го слоя. Итерация Z заканчивается, когда искомые величины будут определены во всех узлах (/ + 1)-го слоя. После этого, если не достигнута требуемая точность в значениях параметров на слое j + 1, проводится (Z + 1)-я итерация.

Важной особенностью разностной схемы является метод расчета производных dvjdx, дт(дх, входящих в правые части уравнений (2.52), (2.53). На рис. 2.7 представлена типичная зависимость и (ж) на контуре дозвуковой части сопла. В области I, соответствующей

дозвуковому течению с малыми скоростями, изменение функции и невелико и ее производные малы. Напротив, области II и IV являются областями больших градиентов функции и. В области III, в окрестности максимума, изменение и вновь незначительно. В связи с этим при замене производной разностным отношением в области I шаги разностной сетки в направлении оси естественно выби-

Рис. 2.7. Зависимое! ь составляю-щей скорости а от ж на контуредозвуковой части сопла

рать большими, так как из-за малости градиентов в этой области ошибки аппроксимации будут невелики; ошибки округления из-за больших шагов разностной сетки будут также невелики. С другой стороны, в областях II и IV шаг разностной сетки должен быть достаточно мал, чтобы ошибки аппроксимации были невелики, при этом ошибки округления в этой области также невелики из-за больших значений производных. В области максимума, так же как и в области I, шаг разностной сетки должен быть выбран достаточно большим по аналогичным соображениям.

Таким образом, при расчете течения в эллиптической области целесообразно использовать разностную сетку с переменным шагом. Использование больших шагов разностной сетки в областях с малыми градиентами приводит к тому, что рост ошибок округления при численном решении задачи Коши для эллиптических уравнений оказывается практически незаметным и не сказывается па устойчивости счета. Для проверки отмеченных фактов были проведены расчеты при различном расположении узлов па слое. При использовании разностной сетки с постоянным, но мелким шагом, рост ошибок округления в области I приводил к тому, что после небольшого числа шагов в направлении нормали к линии тока счет становился неустойчивым. При использовании разностной сетки с постоянным, по большим шагом, таким, что рост ошибок округления в области I становился практически неощутим, ошибки аппроксимации в областях II и IV становились настолько значительными, что по-прежнему счет быстро становился неустойчивым. Только при использовании разностной сетки с малыми шагами в областях II и IV и большими в областях I и III удалось получить с высокой точностью устойчивое решение во всей области течения вплоть до особой точки в трансзвуковой области.

Для вычисления производных dvjdx и drjdx можно пользоваться различными разностными схемами. Специальные расчеты показали, что для вычисления производных наиболее устойчивой является трехточечная схема

W) _ , _ 2ж ~ (^+1 + *г), , 2Ж - (Жт + х^

‘ Ь (И ~ Н-1) (И ~ Н+1)

2х (Х- + X;

При вычислении производных в крайних точках слоя х полагается равным соответственно х^х или ж1+1 для левого и правого конца. В остальных точках слоя х = Хг. Трехточечная разностная схема при вычислении производных в сочетании с неравномерной сеткой является своеобразным регуляризирующим оператором, который позволяет успешно решать некорректную задачу Коши в эллиптической области [199]. Изложенная разностная схема имеет второй порядок точности по А1|х Второй порядок точности обеспечивается итерациями по Z.

Важной особенностью предлагаемой схемы является то, что па шаг Д-ф практически не накладывается никаких ограничений, связанных с устойчивостью, а величина его определяется лишь допустимой ошибкой аппроксимации, па шаг Аж ограничения накладываются лишь в эллиптической (дозвуковой) области. Кроме того, в связи с очевидной простотой вычислительного алгоритма, затраты машинного времени чрезвычайно малы.

Вопрос о выборе величин шагов Aip и Аж решается по существу эмпирическим путем. Критерием выбора служат сравнения результатов расчетов, проводимых с различными по величине шагами, а также контроль интегральных уравнений сохранения расхода и количества движения. Шаг Aip выбирается равномерным, шаг Аж — кусочно-равномерным. Так, для определения Ai|) была проведена серия расчетов с различными А"ф, равными 0,2 • 10"1; 0,1 • 10-1; 0,4 • 10"2; 0,2 • 10-2; 0,1 • 10-2; 0,5 • 10-3. С погрешностью 0,01 % результаты расчета в трех последних случаях совпадали между собой. Это означает, что ошибки округления и аппроксимации практически не сказываются на результатах расчета. При проверке уравнений сохранения количества движения рассчитывалась разность импульсов между фиксированным сечением па левом конце и некоторыми текущими сечениями, которая сравнивалась с рассчитанным вдоль линий тока интегралом сил давления. Отличие этих величин составляло не более 0,05 %.

В осесимметричном случае метод не может быть использован для отхода от оси из-за наличия особенности в уравнениях. Для определения искомых величин па некоторой близкой к оси симметрии поверхности ф = const можно воспользоваться аналитическими решениями, например, разложениями решения по функции тока ф

в окрестности оси симметрии (см. § 3.2). Полученные таким образом данные Коши используются для решения уравнений описанным разностным методом.

Достоинством описанного метода является то, что решение задачи по единому алгоритму строится сразу в эллиптической (дозвуковой), параболической (трансзвуковой) и гиперболической (сверхзвуковой) областях.

При решении обратной задачи в случае течений газа в сложных каналах, когда линии тока являются многозначными функциями декартовых координат, удобно использовать уравнения (1.121) в переменных 4>, о, ф. Система (1.121) записана с учетом наличия вращения потока. Опа может быть решена изложенным выше методом [127—129]. При этом последовательность вычисления параметров можно организовать таким образом, что расчет начинается непосредственно от оси симметрии.

Описанный метод обобщается па случай пространственного течения и используется при расчетах многослойных течений, течений реагирующего газа, двухфазных течений, а также течений с наложенными электромагнитными полями (см. гл. 4, 6, 7 и [143, 149, 150J).

Метод, близкий к рассмотренному в данном параграфе, был применен к решению обратной задачи в работе [255].

Методы сквозного счета

Некоторые подходы к конструированию методов сквозного счета. Для многих задач газовой динамики характерно наличие в потоке поверхностей разрывов. Численное решение таких задач связано с определенными, иногда весьма существенными трудностями. Существуют различные подходы при разработке методов расчета разрывных решений уравнений газовой динамики.

Один из них состоит в том, что в процессе расчета разрывы выделяются. При этом на разрывах удовлетворяются условия Ренкина — Гюгонио, а в области гладкого решения дифференциальные уравнения интегрируются с помощью какой-либо достаточно точной разностной схемы. В случае двух независимых переменных может быть использован классический метод характеристик или разностный метод в сочетании с преобразованием независимых переменных, выпрямляющим разрывы [86]. Разработаны алгоритмы улавливания скачка, движущегося по сетке (см., например, [123]). Такой подход оправдан для одиночных разрывов. Иногда он диктуется соображениями точности. Метод выделения разрывов усложняется, когда в потоке имеет место интерференция разрывов, хотя имеются методики его использования и в этом случае. Дополнительные трудности возникают в случае возникновения ударных воли внутри потока, при нерегулярном отражении волны от стенки и т. п.

По этой причине стали разрабатываться численные методы, получившие название методов сквозного счета. Они имеют однородную структуру во всей расчетной области, независимо от того, имеются в потоке разрывы или нет. При этом в разностном решении поверхности разрывов получаются в виде узких областей больших градиентов газодинамических параметров. Разностные схемы сквозного счета иногда называют однородными схемами. Качество методов сквозного счета определяется тем, как они размазывают разрывы и в какой степени влияют на решение в областях вне разрывов. Сформировалось несколько подходов конструирования методов сквозного счета.

Наиболее распространенный подход заключается в том, что в уравнения газовой динамики или в разностные уравнения добавляются члены, которые оказывают на решение действие, аналогичное физической вязкости. Этот прием, называемый методом искусственной вязкости или псевдовязкости, получил широкое развитие. Наличие вязкости приводит к размазыванию ударных волн и сглаживает паразитические осцилляции в разностном решении, неизбежно возникающие в зоне ударных волн при использовании разностных сх-ем, порядок точности которых выше первого. Впервые в вычислительной практике искусственная вязкость была использована в работе [265] и с этого времени широко применяется в методах сквозного счета [14, 114, 161, 162, 173, 181, 248, 258]. Эффект, аналогичный искусственной вязкости, дает процедура периодического сглаживания разностного решения [86, 114, 126, 167].

При расчете разрывных решений обычно используются консервативные уравнения, т. е. уравнения в виде законов сохранения, и консервативные (дивергентные) разностные схемы. Прежде всего нужно отметить работу [248], в которой для одномерных дивергентных уравнений газовой динамики разработана разностная схема второго порядка точности. Весьма удобный для расчетов вариант этой схемы разработал Рихтмайер [161]. Он предложил двухшаговый вариант (консервативную схему предиктор-корректор), который в 1962 году обобщил на двумерные нестационарные уравнения. Разностные схемы этого типа носят название схем Лакса — Вепд- роффа. Аналогичная двухшаговая схема для двумерных нестационарных уравнений в неконсервативной форме была предложена в [61, 164, 168]. Стационарный вариант консервативной двухшаговой схемы в случае двух и трех переменных разработан в [125, 126, 165, 167]. Различные варианты двухшаговой схемы рассматривались в [14, 85, 258].

Двухшаговая схема второго порядка точности с нецентральными разностями предложена в работе [250]; опа нашла широкое применение в газодинамических расчетах. Двухшаговые схемы второго порядка точности с успехом используются для расчета гладких течений, а при введении искусственной вязкости — также и течений с разрывами. В работах [67, 173, 214, 258] построены схемы третье-

го порядка точности. Консервативные схемы третьего порядка точности не являются монотонными, однако они порождают менее значительные осцилляции, которые быстрее затухают при удалении от разрыва, чем в случае схем второго порядка.

В работе [159] для уравнений газовой динамики построены полностью консервативные разностные схемы (см. также [179, 181]).

К классу схем сквозного счета относятся некоторые разностные схемы, в которых вязкость не присутствует в явном виде. Отметим схему Лакса [247], которая имеет первый порядок точности и воспроизводит монотонный профиль решения в зоне разрыва благодаря наличию аппроксимационной вязкости. В работе [223] приведена двухшаговая схема типа Лакса — Вендроффа второго порядка точности, сохраняющая монотонность на разрывах вследствие специального выбора шага промежуточного слоя. С. К. Годунов [37] разработал для нестационарных уравнений газовой динамики разностную схему первого порядка точности, основанную на аппроксимации интегральных законов сохранения. В работах [73, 74] опа перенесена на случай стационарных течений газа. Обоснование этой схемы и многочисленные применения содержатся в работе [37]. Дальнейшим развитием схемы С. К. Годунова явилась разработка монотонной разностной схемы второго порядка точности в работе [96]. Для сквозного счета, во всяком случае для не очень сильных ударных волн, представляют интерес также так называемые Х-схе- мы [254].

В последние годы стали разрабатываться гибридные схемы или схемы с переменным порядком аппроксимации: с первым порядком в зоне ударной волны и более высоким порядком в области гладкого течения [93, 111, 231, 241 и др.].

В следующих разделах параграфа рассмотрены на примере одномерных нестационарных течений газа разностная схема С. К. Годунова и двухшаговая схема с использованием процедуры сглаживания, которые нашли применение при расчете течений газа в соплах (см. § 2.5, 2.6).

Схема С. К. Годунова. В основе метода лежат две идеи. Первая из них состоит в использовании при построении разностной схемы точных решений уравнений с кусочно-постоянными начальными данными. Для гиперболических уравнений такими точными решениями являются совокупность сравнительно простых и независимых решений задачи о распаде произвольного разрыва. Вторая идея состоит в использовании гибких и деформирующихся разностных сеток, связанных с поверхностями разрывов.

Рассмотрим первоначально уравнения акустики, следуя работе [37],

(2.56) dt 1 ро дх х '

Используя для этих уравнений инварианты Римана (п. 1.2.3) 7± = =р ± ЯороЩ можно построить решение простейшей задачи о распаде разрыва, которую можно рассматривать как частный случаи общей задачи о распаде произвольного разрыва (п. 1.4.4). Пусть в момент t=0 заданы следующие начальные условия (рис. 2.8):

(2.58)(2.58)и (ж) = ыл, р (ж) = рл при ж < ж*,И (ж) = Ып, Р (х) = Pl" при ж > ж*,

(2.58)

(2.58)

где и3, ил, р3, рл — некоторые константы такие, что выполняется хотя бы одно из условий и3 =# ип или рч ^рл, т. е. имеет место произвольный разрыв функций и и р в точке ж*, который с течением времени каким-то образом трансформируется в пространстве. Поскольку инвариант 1+ постоянен вдоль характеристики ж — aot = const,

Рис. 2.8. Области решения при распаде произвольного разрываРис. 2.8. Области решения при распаде произвольного разрыва

Рис. 2.8. Области решения при распаде произвольного разрыва

Рис. 2.8. Области решения при распаде произвольного разрыва

а инвариант I- постоянен вдоль характеристики ж + aot = const, приходим к структуре решения, изображенной на рис. 2.8.

Нетрудно видеть, что решение задачи о распаде разрыва имеет вид

и = нл,р = рлприж < ж* — aot,

и = ып,р = рпприж > ж* - - aot,(2 59)

ил + и11 рп — рлрл + рПИп — ил

“ = —Р = —Ро«о^— 1 о о

при ж* — aot < ж < ж* + aot.

Построенные функции и (ж, t) и р(ж, £) имеют разрыв вдоль характеристик ж + aot = ж*, ж — aot = ж*, разделяющих области 7, 77, 777. Поскольку функции и и р не являются непрерывными, то примем, что полученное решение является обобщенным решением задачи о распаде разрыва для системы (2.56), (2.57).

Пусть теперь в момент времени t = 0 заданы непрерывные функции п = й(ж) и р = р(ж). Заменим область непрерывного изменения аргумента дискретным множеством точек — разностной сеткой, узлы которой обозначим через ж,. Расстояние между соседними узлами, h = ж, — ж,-ц есть шаг разностной сетки. Непрерывные функции й (ж) и р (ж) заменим кусочно-постоянными функциями, сохраняющими постоянные значения между узлами разностной сетки. Их значения между узлами ж,-1, ж, обозначим через Щ-1/2, Pj-1/2, присвоив

интервалу полуцелый индекс / — 1/2. В силу сказанного на границе между интервалами возникает распад разрыва. В результате в каждом узле сетки образуются звуковые волны, распространяющиеся вправо и влево со скоростью звука ао, и через некоторое время

Рис. 2.9, Структура решения пос-ле распада разрывов в точках ж.

т структура решения примет вид, изображенный па рис. 2.9. Согласно формулам (2.59) решение в окрестности точки ж, будет иметь вид:

и =и =и =ри =и =и =ри3_г/2, р = Рз-11й в области I; х3_х + aot < ж < х3 — aot,

и =

и =

и =

р

и =

и =

и =

р

Uj^p, Р = РнШ в области II; х3 ф- a6t < х < х^^— a6t,

ту _ U3~l/2 + “1 + 1/2Р?+1/-2 — ^’-1/2

j 2’

р Рз-Цг + Pj-VUi „ „ Ui+Mi — из-Ц2

'з —22

в области III; х3— aot < х < х3 ф- aot. (2.60)

Здесь большими буквами U3 и Р, обозначены значения, возникающие при распаде разрыва в узле /.

Изображенная на рис. 2.9 структура решения сохранится до тех пор, пока звуковые волны, вышедшие из соседних узлов, пе встретятся между собой. После этого ее нужно перестраивать заново, и даже в случае равномерной сетки такая процедура оказывается чрезвычайно громоздкой.

В связи с этим предложен следующий способ построения решения в момент ( = т [37]. Заменим (2.60) приближенным решением, имеющим ту же структуру, что и в начальный момент t = 0, т. е. примем, что решение при ( = т также кусочно-постоянно внутри интервалов, ограниченных прежними узлами сетки х3. Новые средние значения этих функций при t = т между узлами x,-i и х, обозначим через nJ-I/2, p1-V2. Оказывается, что величины и1-172, pH"V2 можно определить по формулам

и3 17 =u3_xi4- — (Р3— P3-h, р3 1/2 = Рз-ш— "г Роао kUз—U 3_х\

где U, Р определяются по (2.60) для узлов / и у — 1.

Действительно, рассмотрим законы сохранения в интегральной форме для уравнений (2.56), (2.57) (см. п. 1.1.4). Имеем

^)udx— 72^ = 0,ф р dx—ро«оМ^ = 0.(2.62)

Запишим эти соотношения для прямоугольной ячейки, ограниченной ПРЯМЫМИ Х = Х3-\1 х = х^ t = 0, t = т,

т

I и (х, x)dx = j и (ж, 0) dx — ^- I [р ^хр t) — р (ж3_1; 7)] dt,

j р(х,т^х= j р (х, 0) dx — роЯо J [u (x3l t)— и (ж;_15 t)] dt.

к,—1хз—10

Так как к (ж, 0) и р(ж, 0) постоянны на интервале от х,-х до ж, и равны соответственно Щ-щз, р,-х/2 и аналогично п(ж, т) и р(ж, т) равны м,-1/2, p3"V2, а на левой и правой сторонах ячейки м(ж, 7) и р^х, 7) принимают постоянные значения U3-\, U„ Р^х, Р„ возникающие при распаде разрыва в узлах / и / — 1, то из (2.63) следует (2.61). Очевидно, что формулы (2.61) справедливы до тех пор, пока не происходит пересечения звуковых волн, приходящих из соседних ячеек. Это имеет место при т < /г/ао, т. е. при выполнении условия Куранта [37]. Переход па следующие слои по времени осуществляется аналогично.

Описанная разностная схема имеет первый порядок точности по т и ft.

Для расчета одномерного нестационарного течения по схеме С. К. Годунова используются уравнения в дивергентной форме (1.38) при v = w =0:

d£,^ = 0^ш£к±Д^ = 0, д_^^А\(Е -VpWA = 0. (2.64)

dt ' dx ’ dtЭх’ dt dxvv ' 1J x '

С использованием идей, изложенных выше, переход со слоя t = to на слой t =to + т осуществляется по формулам

р'“1/2 = р,_1/2 - 2 цви^ - (BUV1Y (2.65)

(р«Г1/2 = (рп),_1/2 - I \^Р RU2^ - (Р + ЛП^Ь

Е3~ш = Е3_^ - Е {[(2? + Р^ U]3 - [(Е + Т5) Щ3_^

где через R и Е с целыми нижними индексами обозначены значения плотности и полной энергии, возникающие при распаде произвольного разрыва в узлах / — 1, /. Из уравнений (2.65) последовательно определяются p3-I/2, iT-1/2 и р1-112. В отличие от зада-

чи акустики, большие величины U, Р и R определяются из расчета распада произвольного разрыва не по соотношениям (2.60), а по формулам п. 1.4.4.

Описанная схема обладает свойством монотонности: при переходе от слоя к слою она переводит монотонную функцию в монотонную с тем же направлением роста. (Это свойство присуще разностным схемам первого порядка точпости.) Она широко используется для расчета разрывных решений уравнений газовой динамики.

Двухшаговая схема со сглаживанием. На примере системы (2.64) изложим двухшаговую разностную схему. Запишем (2.64) в векторном виде

= 0,(2.66)

где А = [р, ри, £]т, В = [ри, р + ри2, (Е + р)и]т. Заметим, что если правую часть (2.66) заменить па вектор

С = — [ри, ри2, (£ + р) и] Td In F/dx, то система будет описывать в одномерном приближении течение газа в сопле с площадью поперечного сечения F (х') [см. (1.79)[. Рассмотрим для системы (2.66) задачу Коши с данными при t = 0.

В плоскости х, 7 зададим сетку с узлами хт = xq + mh, F = пт и вспомогательные узлы с полуцелыми индексами т + 1/2, и + Л. Переход от слоя F па слой ("+1 осуществляется в два этапа. Вначале определяются параметры течения в полуцелых узлах. Для этого используется трехточечная схема Лакса [247]

А^1/2 = 4 ^-i + А") - X ^ (Впт - Впт-1).(2.67)

Вычисления для узла тт+1/2, Г+х аналогичны. Далее применяется схема «крест»

A^ = A"m-L(j^^(2.68)

откуда находятся ujp1, р™^1, Рт^1. Эта схема при X = 1/2 впервые была предложена Рихтмайером [161]. Ошибка аппроксимации разностной схемы — О (7г2) при Х = 1/2 и О (7г) при 1/2. В последнем случае главный член ошибки аппроксимации пропорционален (X — 1/2)т и определяет диссипативные свойства схемы. Разностная схема устойчива при условии

т"+1 = к»£2^1^!(2.6Э)

шах (| | +а)”242

и монотонна, еслии монотонна, если1 /11 /1

и монотонна, если

и монотонна, если

1 /1

1 /1

При А'<1/(2Х) непосредственное применение схемы приводит к появлению осцилляций в разностном решении в окрестности разрывов и в областях, где велики градиенты решения. Этот эффект в особенности проявляется для схемы второго порядка точности (7. = 1/2). Для устранения осцилляций разностное решение сглаживается. Сглаживание проводится по слоям с использованием пяти (иногда трех) узлов

22

/тсгл = 2 ahfm-^, ak = a-k’ 2 ak = ^<Хй>0. (2.70)

h=—2k=-2

При этом фиксируются значения «о и параметра q, определяющего характер убывания коэффициентов оц, которые находятся из условий

«2 = q<X\, «о + 2at (1 + q) = 1.

Введение процедуры сглаживания при % = 1/2 снижает порядок точности схемы до первого. В связи с этим желательно выбирать коэффициент «о близким к единице. Условия устойчивости основной схемы и при трехточечном, и при пятиточечном сглаживании не нарушаются. Разностную схему (2.67), (2.68) называют также схемой предиктор-корректор.

Расчет сверхзвукового стационарного течения газа в сопле с заданным контуром методами сквозного счета

В этом и следующем параграфах мы рассмотрим применение разностных методов к решению прямой задачи, т. е. к расчету течения газа в плоском или осесимметричном сопле заданной геометрии. Начнем с изложения методов расчета течения газа в сверхзвуковой области сопла. При этом будем предполагать, что в некотором сечении сопла, расположенном в сверхзвуковой части течения, все газодинамические параметры известны. В качестве сечения может быть выбрана произвольная кривая, например, характеристика. Для упрощения изложения алгоритмов расчета примем, что сечением является прямая ж = const. Параметры в начальном сечении могут быть получены, например, путем решения обратной задачи для дозвуковой и трансзвуковой областей течения (§ 2.3) или методом установления (п. 2.6.1).

Сверхзвуковое течение в сопле с заданным контуром может сопровождаться возникновением ударных воли, поэтому для его расчета целесообразно использовать методы сквозного счета. Ниже мы рассмотрим два таких разностных метода, которые являются обобщением методов, изложенных в предыдущем параграфе, на случай стационарных течений.

J g^z/= (g/- q) У —J g^z/= (g/- q) У —У+J IMУ+J IM(2.71), ay, (ж) „ = —=—a --dx(2.71), ay, (ж) „ = —=—a --dx(2.72)(2.72)Стационарный вариант схемы С. К. Годунова. Рассмотрим стационарное сверхзвуковое течение газа в сопле. Нас будет интересовать решение в области ж ^ О, (7 (ж) С у ^ F^х^, где ж, у — декартовы или цилиндрические координаты, причем ось ж совпадает с линией (осью) симметрии, а уравнения у = F(x), у = С(ж) суть уравнения верхней и нижней границ области (рис. 2.10). Течение будем предполагать сверхзвуковым в направлении оси х («ж-сверхзвуковым»), т. е. предполагать, что всюду в области течения и> а. Уравнения газовой динамики запишем в виде следующих законов сохранения, отнеся скорость к а*, плотность к р*, давление к р*н* [37, 74]:

J g^z/= (g/- q) У —

J g^z/= (g/- q) У —

У+

J IM

У+

J IM

(2.71)

, ay, (ж) „ = —=—

a --dx

(2.71)

, ay, (ж) „ = —=—

a --dx

(2.72)

(2.72)

где

/ P“ \( Pu \I v

g=lp4-pMab q = puv b i=-v-l”

\I\„ 2 /У V 2

\ puv /\p F Pu'U

Система замыкается уравнением Бернулли

V Р = У + 1т-1 Р 2 (т — !)•

Введем сетку с узлами, расположенными в сечениях ж = const.

В каждом сечении узлы располагаются равномерно с шагом h = (F —G) IN, т. е. шаг к меняется от сечения к сечению. Шаг т между сечениями неравномерный. Уз

Рис. 2.10. Расчетная областьРис. 2.10. Расчетная областьлы в сечении и отрезки нумеруются снизу вверх: узлам приписывается номер п (п = 0, 1, . . ., N), а отрезкам — и —1/2 (n = 1, 2, ..., У). На каждом отрезке параметры усредняются. Средним значениям параметров на отрезках известного слоя ж = жо приписывается нижний индекс, указывающий номер отрезка (pn-i/2, un-i/2 и т. д.), а па отрезках слоя Жо + т, в узлах которого решение должно быть вычислено,— та-

Рис. 2.10. Расчетная область

Рис. 2.10. Расчетная область

кой же верхний индекс (р"^1/2, и""1'2 и т. д.). Узлы с одинаковыми номерами в сечениях ж = ж0 и ж = ж0 + т соединяются прямолинейными отрезками. Усредненные значения параметров па каждом таком отрезке обозначаются большими буквами (например, R, U, V вместо обычных р, и, v), им приписываются нижние индексы, равные номеру узлов, которые соединяет данный отрезок.

Запишем (2.71) для каждого отрезка, взяв за у-, у+ ординаты концов отрезков, и проинтегрируем по т от хо до жо + т. Тогда получим следующую разностную схему:

ап-1/2 = an_1/2 + Du — DK_ 1 - dH_ 1/2 — d"-172,

6n"172 = 6„_1/2 + (PA)„ — (Ph)n-i + (?/£))„ —(HZ)) „-i —

-(ud)_^-(udy-xl\(2.73)

e~x^ = c„_1/2 + (Pn_x - Pn) T + (VD) n - (VD)-

— (nd)„-i/2 — (rd)’"172,

где a = puh, b=(p + pu2)h, c = puvh, d = pvhT(2y, D — R(Uh — — Ут), h1 = y1 — y], j = n — l1 n, индексы у h и у имеют тот же смысл, что и у функций. Зная а”-172, б"-172, с"'172, можно вычислить 17« —1/2 1/2 лп-1/2 пп-1/2.

и = — —+ г 7 — х(хн — с-),

ха (7 — 1 1— 1/7] J(2.74)

и = с;а, р = a/uh, Р = (Ь — au)/h.

Здесь верхние индексы опущены, х=(у + 1)/(у—1).

Величины U, У, Р, R находятся из решения плоской задачи о взаимодействии двух равномерных сверхзвуковых потоков с параметрами ton-i/2, Гп-1/2, • •• и iin+i/2, Уп+1/2, • •• соответственно. В этом случае «большие» величины в (2.73) будут выражены через известные «малые» величины с нижними индексами п — 3/2, и—1/2, п +1/2. При известных U, У, Р система (2.73) решается итерационным методом, при этом члены с верхним индексом и — — 1/2, входящие в правые части, берутся из предыдущей итерации. При первой итерации верхний индекс п — 1/2 у этих членов заменяется на нижний.

Для определения «больших» величин на верхней и нижней границах элементарной ячейки используем решение задачи о взаимодействии двух потоков [37]. Потоки начинают взаимодействовать в точке ж = ж0, у = у„ j = n—l, п. В зависимости от соотношений параметров в потоках может реализоваться одна из картин течения, изображенных на рис. 2.11.

В областях I—4 на рис. 2.11, а—г и в областях 1—3 на рис. 2.11, д параметры постоянны. Граница ячейки может попадать в любую из областей.

Рассмотрим случай, изображенный па рис. 2.11, а. В волне разрежения параметры связаны соотношением

^±^ /М^^О.(2.75)

Усредним коэффициент при dp и проинтегрируем (2.75).

Имеем

^ — ^ ± а (р — р^ = О,

/М2 -/М2 -(2.76)(2.76)

/М2 -

/М2 -

(2.76)

(2.76)

где верхней волне соответствует знак минус и / = и + 1/2, а ниж

ней — знак плюс и 7 — п—1/2. Поскольку на тангенциальном

Рис. 2.11. Схемы возможных конфигураций разрывов. Сплошные линии — ударные волны, пунктирные — тангенциальные разрывы, штрихпунктирные — границы волн разреженияРис. 2.11. Схемы возможных конфигураций разрывов. Сплошные линии — ударные волны, пунктирные — тангенциальные разрывы, штрихпунктирные — границы волн разрежения

Рис. 2.11. Схемы возможных конфигураций разрывов. Сплошные линии — ударные волны, пунктирные — тангенциальные разрывы, штрихпунктирные — границы волн разрежения

Рис. 2.11. Схемы возможных конфигураций разрывов. Сплошные линии — ударные волны, пунктирные — тангенциальные разрывы, штрихпунктирные — границы волн разрежения

разрыве р и £ непрерывны, имеем из (2.76) следующие выражения для р и £ в областях 3 и 4:

11

Р = у (Рп-рг + Pn+i/г) +(ьп-1/2Sn+1/2),

z(2.17)

£ — £n—1/2 a (p Pn—1/2) — ?n+i/2 + a (P Рп+г/г).

Теперь можно вычислить остальные параметры в областях 3, 4;

у- 1у- 12ур 11/2(Т-1) р]2ур 11/2(Т-1) р]и = 17(1 + £а)“1/2, п = ^,и = 17(1 + £а)“1/2, п = ^,М = 17(ур/р)-1/2,М = 17(ур/р)-1/2,(2.78)(2.78)

у- 1

у- 1

2ур 11/2

(Т-1) р]

2ур 11/2

(Т-1) р]

и = 17(1 + £а)“1/2, п = ^,

и = 17(1 + £а)“1/2, п = ^,

М = 17(ур/р)-1/2,

М = 17(ур/р)-1/2,

(2.78)

(2.78)

где 7 = и—1/2 и / = и+1/2 при вычислении параметров в областях 3 и 4 соответственно.

Если вычисленные значения р и £ сильно отличаются от аналогичных величин с индексами и — 1/2, к + 1/2, следует сделать 7 У. Г. Пирумов, Г. С. Росляков

пересчет

I

Р = ~Д“~ (Рп—1/2?п—1/2 Р«+1/2^П+1/2 + 1/2“п4-1/2

-г txn_1/2Pn—1/2 т ^п-щ/гР^г/г); (2.79)

£ = Рп—1/2^11—1/2ап—1/2 (Р Рп—1/2) =

= Р«+1/2^п4-1/2 Д’ “>г+1/2 (р — Рп4-1/2)т где

^ ^ 4 [Р/ = 1- (2-80>

Второе слагаемое в а3 вычисляется по предыдущему приближению; Д введены для удобства дальнейшего изложения.

В случае слабых ударных волн у и ^ по-прежнему определяются по (2.77), а плотность — из соотношения

(Y-l)p; + (Y + l)P

Р = ;т-рР> Pi-(2.81)

f (Y + В Pj + (Y — 1) P rv 7

Здесь / = и—1/2 при вычислении р в области 3 на рис. 2.11,6, в и / = и+1/2 при вычислении р в области 4 на рис. 2.11,6, г. Остальные параметры определяются по (2.78). Формулы (2.77), (2.78), (2.81) используются в первом приближении и в случае ударных воли произвольной интенсивности. Для вычисления р и £ в следующих приближениях нужно привлекать соотношения для косого скачка уплотнения.

Пусть имеет место случай, изображенный на рис. 2.11, 6. Из условия совпадения направления потоков в областях 3 и 4 и условий на скачках следует, что

^11-1/2*-g б,г_1/2 ^П4-1/2 + ^ ^п+1/2,9 $94

1 Д ^п—1/2 ^ ®П—1/21?n+l/2 ^ ®п4"1/2

tg 6, = ъ(р — PiY

_ Г 2уМ;/у11/2 j(2.83)

~ [ (Y - 1) Pj + (Y + 1) Р J PjWj + р3 - р ’

J = и ± 1/2.

Отсюда вновь получим формулы (2.79) для р и £ с коэффициентами

а, = ЪР« ^ = (1 ± SHg 6j)-1,(2.84)

где верхний знак соответствует j = n— 1/2, а нижний — / = и+1/2. При вычислении а,, р, используется значение р из предыдущего приближения.

Формулы (2.79) справедливы и в случае ситуаций, изображенных на рис. 2.11, в, г. При этом в первом случае (p„-i/2< р< Рп+1/2)

при j — п — 1/2 используются формулы (2.84), а при / = и + 1/2 — (2.80); во втором случае — наоборот. Для вычисления р в областях 3 и 4 используется формула (2.78) в случае волны разрежения и (2.81)—в случае скачка. Ситуация, отвечающая рис. 2.11,3, возникает при сильном отличии параметров с нижними индексами 71—1/2, и + 1/2. В этом случае необходимо мельчить сетку.

«Большим» величинам в (2.73) приписываются значения параметров в той области, куда попала граница ячейки. Если она попадает в область волны разрежения, «большие» величины находятся линейной интерполяцией по значениям параметров на границах волны.

Для крайних ячеек (боковые грани которых имеют номера 77 = 1/2 и п — N ■—1/2) «большие» величины вычисляются иначе. Если границы являются стенками сопла, когда известны углы наклона 0±(ж) (и ^±) границ к оси ж, «большие» величины находятся из решения (автомодельной) задачи обтекания равномерным потоком плоской стенки с углом наклона к оси х, равным 0+(жд + 0,5т) или 6- (ж0 + 0,5т). В этом случае (так же как и в случае оси симметрии) имеем для определения давления на стенке формулу

Р = А'±(№- ^fccj,

= Е(ж0 + 0,5 т) « [у±(ж0 + ^) — z/±(^o)Jt-1. (2.85)

Коэффициенты а„ Р, вычисляются по (2.80), если Р<Р;, и по (2.84), если р>р3. Верхние знаки в (2.84), (2.85) и индекс / = = N — 1/2 соответствуют верхней границе, а нижние знаки и индекс / = 1/2 — нижней границе. Если границей является свободная поверхность с заданным р, для вычисления £ имеем £ = ^^, ч2 ТаДр — р,). Выбор и определение коэффициентов, знаков и индексов в этой формуле аналогичны (2.85). Для устойчивости счета по изложенной разностной схеме шаг т должен выбираться из условия, чтобы все волны, возникающие в результате взаимодействия потоков, внутри каждой ячейки достигали ее правой границы при х = ж0 + т.

Применение двухшаговой схемы к расчету сверхзвукового течения. Изложим алгоритм расчета стационарного ж-сверх- звукового течения совершенного газа в сопле, основанный па явной двухшаговой разностной схеме и процедуре сглаживания разностного решения [167]. Вновь рассмотрим область х ^ 0, G^x^s^y^ ^Е(ж) (см. рис. 2.10). Границей области может быть твердая стенка, линия (ось) симметрии, свободная поверхность. Перейдем к новой системе координат х, £, где

£ = г (2.86)

В этих переменных область перейдет в полуполосу ^ ^ 0, 0 1. 7*

Уравнения газовой динамики запишем в дивергентном виде

(2.87)(2.87)эх ! ЭВ

(2.87)

(2.87)

Эх д§

Компоненты векторов А, В, Т таковы:

Аг = Рге, В, = QT — Рг (G' + ^е'),

Pi =(p + pw2)z/v,

Pi = рииу"1,

Рг = риг/,

Pi = (E + p)uyv,

Qi = puvyv,Ti = 0,

Qa =(p + py2)z/v, Т2 = л?ре, Qs = pvy\Ts = 0,

Q^ = {E + p)vy\ T^ = 0.

Здесь е = F — G, скорости отнесены к максимальной скорости ИДих, плотность — к р*, давление — к р^РРтах.

Введем в области ж ^ О, 0 =5 | ^ 1 сетку ж" = ит (и = 0,1,...), ^„ = тК^т = 0,1,..., М^ и обозначим fm = /(ит, mh). Пусть на слое п известно решение. Остановимся вначале на расчете внутренних точек на слое (и+1). Для определения решения в узле ж”+1, ^т по известным величинам в узлах ж", £m-i; ж", ^т; ас11, ^„+) по схеме Лакса находятся неизвестные величины в промежуточных узлах ж"+\ ^„-1/2 и rrn+\ ^m+i/2 (1/2 С X С 1). Затем по известным величинам в промежуточных узлах и узле ж”, ^т по схеме «крест» определяется решение в узле ж”+1, ^т. Выпишем разностные уравнения. Для узла 2г"+\ ^n-i/2 имеем из уравнений (2.87)

А^/2 - у (А” + А”- ^ № - В” _х) + ^ (Т” + Т” _х) = f,

(2.88)

где Ti = Хт. Разрешая систему относительно неизвестных величин, получим

w-m—1/2 —1w-m—1/2 —1— 4а1с1— 4а1с1Pm—1/2 —Pm—1/2 —2\V1 Pm—1/2 —suy / m—1/22\V1 Pm—1/2 —suy / m—1/2■1/2 — Т- , 13- / \ П+Х■1/2 — Т- , 13- / \ П+Х(2.89)(2.89)еуеуm—1/2m—1/2

w-m—1/2 —1

w-m—1/2 —1

— 4а1с1

— 4а1с1

Pm—1/2 —

Pm—1/2 —

2\

V1 Pm—1/2 —

suy / m—1/2

2\

V1 Pm—1/2 —

suy / m—1/2

■1/2 — Т- , 13

- / \ П+Х

■1/2 — Т- , 13

- / \ П+Х

(2.89)

(2.89)

еу

еу

m—1/2

m—1/2

где aT = 2(?_ i) /з, ^i = /v ci = h ~ у~- Аналогично определяется решение в узле хп+к, ^mhi/2. Применяя схему «крест», имеем

A1 Anif Нп^7^ /т>п+^ A। f rpn+A, i m-n-vx \/9 nn\

Am— Am^ ^nm2|_1/2bm_i/2y 2~\ Am+!/2 + ^ m—1/2/ =g- (2. JU)

Разрешая систему (2.90), получим

п+11 (т, ,X п+1^2

(2.91)(2.91)Мт —1^2 К ^2 — 4a2c2V ита — —,

(2.91)

(2.91)

,/ е \п+1, (г г и

п+1 63 I.Л'1®1®3 I

\еиу ) т\ £У /т

где а2 = 2 (’у-1)^3, Ь2 = у=~^ъ с2 = ^—^-. Заметим, что функции А, В, Т содержат значения F, G и их производные по ж на слое п и п + X. .

Приведем алгоритмы определения решения в граничных узлах. Пусть, например, y = F(x^—уравнение твердой стенки. Для определения параметров в узле х11*1, £м воспользуемся схемой «прямоугольник» с весами о и 1 —а для производных по § на (и+ 1)-м и и-м слоях. Имеем

Дп+1 , 2т т>п+1АПа п+11 An I 2т т»п+1

Ам I -j^ <7t>M— Ам_ 1 — Ам—i Ам + — ОВм-1

- J (1 - о) (В^ - В^) + 2тТУУ/2 = h.

Из первого, третьего и четвертого уравнений и граничного условия Гм+1 = (Е')"+1 “+' получим, учитывая, что £м = 1, ум = F,

гдегде'з ~ V ^з + Чп3с:'з ~ V ^з + Чп3с:им’ РмF и6/мим’ РмF и6/м/ Z7Z\^Т1 ^_ = И ) им/ Z7Z\^Т1 ^_ = И ) имРмРмa3 = ^U(l + ^2)a3 = ^U(l + ^2)уеу-1уеу-1У — ^з“У — ^з“- п+1- п+1(2.92)(2.92)8 —8 —мм2т714еr oF' А / J м2т714еr oF' А / J м\м\мс3 h4.с3 h4.

где

где

'з ~ V ^з + Чп3с:

'з ~ V ^з + Чп3с:

им

’ Рм

F и6/м

им

’ Рм

F и6/м

/ Z7Z\^Т1 ^_ = И ) им

/ Z7Z\^Т1 ^_ = И ) им

Рм

Рм

a3 = ^U(l + ^2)

a3 = ^U(l + ^2)

уеу-1

уеу-1

У — ^з“

У — ^з“

- п+1

- п+1

(2.92)

(2.92)

8 —

8 —

м

м

2т714

еr oF' А / J м

2т714

еr oF' А / J м

\м

\м

с3 h4.

с3 h4.

Если y = G^—уравнение твердой стенки, алгоритм определения решения в узле ж"+1, аналогичен.

Одна из границ области может быть свободной поверхностью. Пусть верхняя граница области является свободной поверхностью. Предположим, что давление р вдоль неизвестной свободной поверхности не меняется и па нее не приходят ударные волны (т. е. остается неизменной энтропия). Тогда граничные условия можно записать в виде

F' = у/и, р = рм = const, р = рм = const, М = Ми = const.

ЧРм-,,2, 9,п+1-— Мм — (гДмЧРм-,,2, 9,п+1-— Мм — (гДмК этим соотношениям присоединим еще второе из уравнений (2.87). Аппроксимируя его, как и ранее, схемой «прямоугольник», имеем для узла xn+1, п+1П-МП-Ц

ЧРм-,,2, 9,п+1

-— Мм — (гДм

ЧРм-,,2, 9,п+1

-— Мм — (гДм

Рм = PMi Рм = Рм, им —

_ 1” ^рх’уг+l_ 1” ^рх’уг+l(рмге)м+1 + у ° ((Р + Р^2) — puvF'f^1 =

_ 1

” ^рх’уг+l

_ 1

” ^рх’уг+l

Агм + Адм-ц— Адм1-!)-г — огТ?2("л1-1)—(2.93)

— у (1 — °) (В^м — S"(m-d) + 2t72cm-i/2)},

' ' \U )м

Из этой системы находятся им , им методом Ньютона.

Если граничной точкой является точка оси симметрии (при v = l), то системой (2.87) непосредственно пользоваться нельзя, так как на оси у = и = 0. Запишем уравнения в виде

ЭХ SB

Эх ' 5^

где

А, = P.F, Pi = р + ри2, Рг=рир, Рз = р«, Р4 = (А +р) и,А, = P.F, Pi = р + ри2, Рг=рир, Рз = р«, Р4 = (А +р) и,В. = Q. - P^F'Qi = 2риг,Q2 = Р + ри2,Q3 = 2рг, ^4 = 2(A + p)nВ. = Q. - P^F'Qi = 2риг,Q2 = Р + ри2,Q3 = 2рг, ^4 = 2(A + p)n

А, = P.F, Pi = р + ри2, Рг=рир, Рз = р«, Р4 = (А +р) и,

А, = P.F, Pi = р + ри2, Рг=рир, Рз = р«, Р4 = (А +р) и,

В. = Q. - P^F'

Qi = 2риг,

Q2 = Р + ри2,

Q3 = 2рг, ^4 = 2(A + p)n

В. = Q. - P^F'

Qi = 2риг,

Q2 = Р + ри2,

Q3 = 2рг, ^4 = 2(A + p)n

Параметры в узле хп+\ ^2 вычисляются по формулам (2.88), (2.89) при т = 1, Т = 0 и замене А, В на А, В. В силу симметрии И—1/2 — ^1/2 , р_ 1/2 — Pl/2 , Р—1/2 — Р1/2 , И—1/2 — Г 1/2 > Г _1/2 — = -^i/2X, (F'll-ua = — (^')i/2X. Далее по схеме «крест» имеем

*n+l An Т /„n+Х т>п+Х \ — Ао -д (Bj/2 —B_1/2)=g.

Окончательно получим

г"+1 = 0, иГ1 = ^ (Ь2 + /&1Т1^),

2(2-94)

Ро+1=, Ро+1= У .

L2J 0\ 2 м'/ о

где ^2 = г ^Т) ^3’ ^2 = Д £ъ "сг = i4.

Непосредственное применение изложенного разностного метода приводит к появлению осцилляций в областях больших градиентов решения, что является типичным для схем второго порядка точ-

пости. Разностное решение можно существенно улучшить, если применять процедуру сглаживания. Сглаживание производится по слоям с использованием пяти узлов по формулам (2.70). В граничных точках сглаживание не проводится, а в соседних с границей узлах решение сглаживается по трем узлам. Отметим, что сглаживанию подвергаются не сами искомые функции, а комплексы Л,, после чего по формулам (2.91) находятся окончательные значения газодинамических параметров на слое и+1. При переходе к очередному расчетному слою величина шага определяется из

условияусловият”+1 = Amin тт”+1 = Amin т|tg (6 ± а) |]т|tg (6 ± а) |]тА2А212Г12Г£2 '£2 '

условия

условия

т”+1 = Amin т

т”+1 = Amin т

|tg (6 ± а) |]т

|tg (6 ± а) |]т

А2

А2

1

2Г

1

2Г

£

2 '

£

2 '

Методы расчета смешанного течения газав сопле с заданным контуром

Метод установления. В большинстве работ, посвященных численному решению прямой задачи теории сопла, используется метод установления (стабилизации), идея которого состоит в использовании для решения стационарной задачи нестационарных уравнений газовой динамики [152]. Для нестационарных уравнений решается краевая задача с граничными условиями, соответствующими граничным условиям стационарной задачи, не зависящим от временной координаты. Искомое стационарное решение получается как предел, к которому стремится нестационарный процесс с ростом t. Такой прием, повышающий на единицу размерность уравнений, тем не менее для многих задач оправдан. К таким задачам относятся, например, задачи о течении газа в соплах и струях, задачи обтекания тел газом, когда движение газа описывается уравнениями смешанного эллиптико-гиперболического типа. Введением временной координаты задача сводится к решению гиперболических уравнений.

Применительно к расчету течения газа в сопле с заданным контуром метод установления разрабатывался многими авторами, например, [37, 62, 72, 87, 88, 107, 166, 221]. Изложим кратко некоторые работы. Будем рассматривать движение совершенного газа в сопле с заданным контуром, уравнение которого у = А(ж), где ж, у— цилиндрические координаты и ось а: совпадает с осью симметрии. Уравнение контура центрального тела имеет вид y = G(x) (в случае сопла Лаваля С(ж) = 0). Будем считать, что достаточно далеко от минимального сечения в дозвуковой части сопло имеет цилиндрическую форму. При ж -> — оо имеет место равномерный поступательный поток, параметры которого определяются в процессе расчета. Численное решение будем отыскивать в области жо < ж ^ ад, где х = жо — сечение цилиндрического участка сопла, а х = хк — сечение вниз по потоку от минимального сечения в области сверхзвукового течения. На границах г/ = А(ж), у = С(ж) ставятся условия не- протекания. При х = xq поток считается равномерным или ставится

эквивалентное (в случае постоянства энтропии и энтальпии торможения) условие ди/дх = 0 [72]. При х = xh граничных условий ставить не нужно (см. п. 1.3.1).

Метод, предложенный в работах [37, 72], основан на известной задаче о распаде произвольного разрыва и является обобщением метода, изложенного в п. 2.4.2, на двумерные уравнения. Он близок к своему стационарному аналогу, изложенному в п. 2.5.1. Разностная сетка строится совершенно аналогично. По х область разбивается на М слоев с номерами и — 1/2 (и = 1, 2,. . ., N); в окрестности минимального сечения разбиение делается более густым. Границы слоев имеют номер п (и = 0, 1, . .., N). Опи разбиваются на К частей, имеющих номера к — 1/2 (к = 1, 2,..., К^; точкам разбиения приписывается номер к (к = 0, 1,..., К). Узлы соседних вертикальных границ, имеющие одинаковые номера, соединяются отрезками. Полученным элементарным ячейкам ставятся в соответствие два числа п — 1/2, к — 1/2. Осредненпые по ячейке параметры снабжаются нижними индексами (и—1/2, &—1/2) на известном слое t = to и верхними — на слое t = to + т, где решение должно быть определено (т — временной шаг). Осредненным параметрам па боковых гранях элементарных объемов («большим» величинам) приписываются один целый и один полуцелый индекс.

Запишем систему уравнений нестационарного движения газа в дивергентном виде

А + ^иу^ + ^wy^ = °’11^1иЛ + ^1(р + ри2) yv] + (рищЛ = о,yt (риЛ + [ршХ] + ^ [(р 4- ри2) z/v] =

а Г /|\1 а Г /1а Г !1 И

г о » j,। А. ои ь щ А туз ।2. ту2 = о

dt \2 Л V 2 Л р V 2 Л

Проинтегрировав ее по элементарным объемам, получим соотношения, выражающие искомые величины с верхними индексами через величины на слое t = to и «большие» величины. Из-за громоздкости этих соотношений приведем для примера лишь формулу для вычисления р"-1/2’к-1/2, полученную из первого уравнения системы: рП—1/24—1/2

— Рп—1/24—1/2 + д ^RUy )п—14—1/21

Уп—1/2, /1—1/2^71—1/2 L"п—1/2

1/21/2

- (ДУг/Лп-1/24^Т^^ + ( WK-W-l - (RVy^n-1/Д, п—1/2.

где А = (F - G) X hn-U2 =- ж„-ь

Для определения «больших» величин рассматривается распад произвольного разрыва па каждой границе элементарной ячейки на слое t = to. Начальными значениями параметров по обе стороны разрыва являются значения параметров в двух ячейках, примыкающих к данной границе. Для расчета «больших» величин па гранях, лежащих на границе y = F(x'), вводятся вспомогательные ячейки, симметричные относительно этой границы. В этих ячейках параметры выбираются так, чтобы в результате распада разрыва на боковой грани была получена скорость, удовлетворяющая условию непротекания.

Схема имеет первый порядок точности. Шаг т выбирается таким, чтобы для всех элементарных ячеек волны, образующиеся при распаде произвольного разрыва при t = to, не успевали за время т достичь противоположных граней ячеек. Расчет ведется от слоя к слою по t до тех пор, пока в пределах заданной точности не установится стационарный режим. Начальные распределения параметров можно получить, например, из одномерной теории.

В работах [62, 87, 88] при решении прямой задачи для сопла Лаваля применялись неявные разностные методы, основанные на использовании схемы, разработанной в [11].

К расчету смешанного течения в сопле может быть применена и двухшаговая разностная схема [166], одномерный вариант которой изложен в п. 2.4.3. Запишем уравнения газовой динамики в цилиндрических координатах в виде

++=с,(2.95)

at 1 ох ду''

где

(

и \/ и 0 0 Р—1\

v I/ 0 и 0 0 |

р II р 0 и 0 I

р/'УР 00 и /

/ г 0 0 0 х/ 0 \

_ / 0 и 0 р—1 |_1 / 0 |

I 0 р v 0 ГУ I Рг /

\ 0 ур 0 v /\уру/

Пусть у — F (х)—уравнение образующей сопла. Сделаем замену

1-1, 8=№,0, 4 = ^,

(2.96)(2.96)которая переведет расчетную область сопла в квадрат 0 $£ g, ц$£1. Зависимость ^.(х,!) выбирается так, чтобы равномерная по ^ разностная сетка соответствовала в физической плоскости сетке, сгущенной в окрестности минимального сечения, где наблюдаются наибольшие градиенты газодинамических параметров. Система (2.95) в переменных t, ^, ц примет вид

(2.96)

(2.96)

dt 1 А Ь 5ц ~

где

А = ^Е + сха, В = y(b — т^ча), С = с,

Е — единичная матрица. В области t^O, О «С £, ц С 1 введем сетку^m = тА^, ц^ = /сАц, Р = пМ,

т = 0, 1, ..., М; к = О, 1, ..., К; и = 0,1,Ан =

и вспомогательные узлы с полуцелыми индексами т ± 1/2, к ± 1/2, n-Vk. На рис. 2.12 изображен шаблон, по которому пишется схема. В основании шаблона, на слое с номером и, находятся девять узлов.

Рис. 2.12. Шаблон двухшаговой разностной схемыРис. 2.12. Шаблон двухшаговой разностной схемы

Рис. 2.12. Шаблон двухшаговой разностной схемы

Рис. 2.12. Шаблон двухшаговой разностной схемы

По решению, известному в этих узлах, с помощью схемы Лакса определяется решение в промежуточных узлах a, b,c, d на слое п + к, отстоящем от нижнего на временной интервал кМ. Затем по узлам /, а, Ь, с, d, е, используя схему «крест», получим решение в узле /с индексами т, к на слое п + 1.

Выпишем разностные уравнения. Для определения решения в промежуточном узле с имеем

U

n-f-X ттн

ТИ+1/2Л+1/2 — с'т+1/2Л+1/2 —

^xi ЛпТТ"I тт"тт" 1

2"^т-Ц/2,й-Ц/2 1— и7пЛ+1 Т—

^Х2 О"/ТТ"ТТ"! ТТ"тт" 1 I

’ ~2~ ■£'т+1/2,й-Ц/2 \ ^т+1,Н1ит+1ЛТит,к/Т

+ ХА1Ст+1/2,й + 1/2 (Х1"д|' Х2 = Дт])1(2-97)

Здесь gm+i/2,h+i/a означает усреднение величины g по четырем ближайшим узлам:

П1 / П . П| П| п\

gm+l/2,k+l/2 — "4"\gm,h i gm+l,h T Sm,h+1 Ш gm+l,h+l/.

Аналогично выписываются соотношения для определения решения в узлах a, b, d.

На втором этапе с помощью величин па промежуточном слое вычисляется вектор Um"[/:

тт»+1 _ ТТП

^1 j^+^/ттнЦ-Лттп+А,I ттп+Л,ттп+Л\

2 Am,k \ ^т + 1/2Л+1/2 — и т—1/2Л + 1/2^т-Н^.к-Т/йит—1/2,Ь—1/2 /

^2 0^+2./ттп+Х,тт^+^I ттп+Х

— ^тЛ к ^т+1/2,/г + 1/2 — ^т+1/2^—1/2ит—1/2Л+1/2 —

ттп+Х\А/Сп+^

^m—1/2,^—1/2 /^^т,к 1

где

gm,к — '^\gm~i/2,k-l/2 ~ gm—1/2,k+1/2 ~Г Sm+l/2,H-l/2 "Т gm-H/2,k—1/2 )•

Условие устойчивости схемы для исходной системы (2.95) имеет вид

8%\тах(х^Х2)(|Ж| + аХ1, Я>1.(2.98)

Метод сведения к обратной задаче. Опишем метод, позволяющий, используя численный алгоритм решения обратной задачи, решать прямую задачу для всей области до- и трансзвукового течения [157]. В основе этого метода лежит предположение о том, что действительные распределения скорости на оси симметрии для двух близких контуров сопел различаются между собой пропорционально различию соответствующих распределений скорости в одномерном приближении. Тогда распределение скорости па оси. соответствующее искомому контуру, находится по распределению скорости для какого-либо известного контура и известным распределениям в одномерном приближении. Расчеты показывают, что сходимость решения к искомому осуществляется после нескольких приближений решения обратной задачи.

В переменных Мизеса s, ip уравнения для осесимметричного течения совершенного газа имеют вид (1.35) — (1.37). Чтобы уменьшить ошибки округления и добиться большей устойчивости при счете, к правым частям первых двух уравнений добавляются члены, содержащие параметр сглаживания е. Заменяя в (1.35) — (1.37) s на х и г на у, имеем

у Эи । д2р у дж 1 а/'у Эи । д2р у дж 1 а/'V =+ , 6^V др

у Эи । д2р у дж 1 а/'

у Эи । д2р у дж 1 а/'

(2‘") p(V-l)/V _ У= V .(2‘") p(V-l)/V _ У= V .V + 1 2у — 1у — 1V + 1 2у — 1у — 1д'Р ри Ож2 ’ dip

(2‘") p(V-l)/V _ У= V .

(2‘") p(V-l)/V _ У= V .

V + 1 2

у — 1у — 1

V + 1 2

у — 1у — 1

Параметр сглаживания подбирается таким образом, чтобы решение полученной системы не сильно отличалось от решения исходной задачи, но в то же время счет становился достаточно устойчивым.

Система (2.99) аппроксимируется на сетке с узлами хг = xq-V th, ipj = у'А-ф (t = 0, 1, ..., M; 7 = 0, 1, ...) следующей разностной системой:

(У2)и+1 — Ум +(vUiJ-2г/у-}~

+ е (1 - о) [И^+т - 2 (y<U + (yT’i^+J,(2.100)

(Z)уД^Г/1 8v\ , /1 cMU-Dl Дф . Q.

J’U'+l - Ра^/у + (^^ )ia +1] + Е°^WP — ^Pl.i-VPt-l,^ +

+ £ (1 — о) (.Pt+iy+i — 2p(j+i + Pi^xj+i), (2.101)

f^YZ) =±(„(о_)

(,az/i,j+i 2Й 2/1+1Уг-Х,з + 1Л

(2.102)

(Z)J

“iJ+l = ]

(/т-Н _ 2 (?-D/?V/2L . (ауу]-1/2уг)

(\Т — 1 у — 1 +[ "I \дх) j JiJ+l’

(2.103)

рЙчлЧ^Чж- (2.104)

Индекс (Z) указывает номер итерации, причем /,j+i = /у. Изложим порядок расчета. Сначала в первом приближении вычисляются ^iJ+i’ P$+i при i = 0 и i = M из уравнений (2.100), (2.101), в которых отбрасываются члены, содержащие вторые разности. Далее с использованием известных величин УоЧ-i-i, РоЧ-Нл Ум,з+и „(1)

Рм,;+1 методом прогонки решаются разностные уравнения для У и р

И"м+1 - 2 [1 + ^U-Si)] ^У+г + HViJ+i =

е (1 — о) Д1р 6 (1 — о) [Дри/У (pw/iJ+i]

(2.105)

1,;+1 l T 2Д^е (1 — о) ■ yA2 Z 1 Sv \.12в (1 — a) \ у Эзе ) ij* уУ)_,1,;+1 l T 2Д^е (1 — о) ■ yA2 Z 1 Sv \.12в (1 — a) \ у Эзе ) ij* уУ)_,Рг.з-Vl “Г Рг+1,з+1 в (1 — О) ДфРг.з-Vl “Г Рг+1,з+1 в (1 — О) Дф(о)(о)i=l, 2, ..., М-1.i=l, 2, ..., М-1.^—^(Pi+l,)' —2py+Pi-ij), (2.106)^—^(Pi+l,)' —2py+Pi-ij), (2.106)

1,;+1 l T 2Д^е (1 — о) ■ yA2 Z 1 Sv \.1

2в (1 — a) \ у Эзе ) ij* уУ)_,

1,;+1 l T 2Д^е (1 — о) ■ yA2 Z 1 Sv \.1

2в (1 — a) \ у Эзе ) ij* уУ)_,

Рг.з-Vl “Г Рг+1,з+1 в (1 — О) Дф

Рг.з-Vl “Г Рг+1,з+1 в (1 — О) Дф

(о)

(о)

i=l, 2, ..., М-1.

i=l, 2, ..., М-1.

^—^(Pi+l,)' —2py+Pi-ij), (2.106)

^—^(Pi+l,)' —2py+Pi-ij), (2.106)

После этого по (2.102) — (2.104) находятся пщ+i, ^..т, Рщ+1И вы~ числяется производная (.ди^дх^з+х (по трехточечной схеме). Аналогично вычисляются параметры во всех последующих итерациях.

Параметры течения в окрестности оси симметрии из-за особенности в уравнениях находятся путем разложения решения в ряд по ф.

Остановимся па выборе начального распределения скорости на оси. Пусть задано в аналитическом или табличном виде уравнение контура сопла у = F(ж), при этом, как обычно, примем F(0) = 1. Будем считать, что контур сопла в области минимального сечения задается в виде дуги окружности радиуса Ri. В дозвуковой части сопло плавно переходит в цилиндр. Начальное распределение скорости можно взять, например, из одномерного приближения, т. е. из решения уравнения (см. (1.126))

-I \1/(V—1)„

==F~\(2.107)

В качестве другого начального распределения на оси можно использовать трехпараметрическое распределение

(2.108)(2.108)

(2.108)

(2.108)

где Л», Л» — асимптотические значения скорости на бесконечности в дозвуковой и сверхзвуковой областях; Лоо определяется из (2.107) при F = F (—оо), Ь — параметр, b > 0.

Согласно асимптотическому разложению по ф в окрестности оси сопла координата у при заданном распределении Л на оси определяется по формуле (см. § 3.2)

«=^4"-9i[4FM)-;H4 (2лО9> где

У о = 2g (Л), р0 = (—у- jл (Л), и0 = ~2Г(Х) 27’

_ у |(ДХ№)2Г(Л2-1)2 , 4Л ] ,лД

Р1 2т (Л) \ т(Х) L 2ZТ

л (Л), т (Л)—безразмерные газодинамические функции, определяемые по (1.137), (1.138). Первый член в квадратных скобках соотношения (2.109) соответствует одномерной теории, второй член учитывает двумерный характер течения. Как показали расчеты, контуры, полученные по одномерной теории в дозвуковой области, располагаются ниже заданных. Это означает, что для построения распределения скорости, соответствующего истинному двумерному течению, можно подобрать некоторый контур, расположенный ниже искомого, одномерное распределение для которого соответствует двумерному для заданного контура. Отметим, что одномерная теория позволяет достаточно хорошо угадать контур в трансзвуковой области вверх по течению от минимального сечения. Отсюда следует,

что при выборе начального распределения целесообразно либо вычислять скорость по одномерной теории для некоторого контура, расположенного ниже исходного, либо определять скорость не из (2.107), а из (2.109), считая, что левая часть есть известная функция от х.

В работе [157] при расчетах были использованы два способа задания начального распределения: (2.108) и одномерное распределение, соответствующее некоторому контуру, расположенному ниже исходного. Последний выбирается следующим образом^ Первоначально рассчитывается одномерное распределение, соответствующее искомому контуру, а затем координата х увеличивается в некоторое число раз без изменения скорости в точках. Такой выбор начального распределения позволяет получить сходимость общего итерационного процесса в случае крутых контуров сопла. Корректировка распределения скорости производится по формуле

^D ^(^^(j^-^), (2.110)

где Хц1)До2)—скорости, соответствующие заданному и текущему контурам, полученные по одномерной теории, Х(2) — текущее распределение скорости на оси, Z(1)—уточненное распределение скорости перед проведением следующей итерации, щ — итерационный параметр. Формула (2.110) выражает тот факт, что разность между двумя распределениями на оси, соответствующими истинным двумерным течениям, пропорциональна разности соответствующих одномерных распределений скорости. Результаты расчетов показали, что итерационный процесс устойчив и сходится при малых Oi (oj = 0,01 -^ ■^0,1). Итерации продолжаются до тех пор, пока относительная разность между координатами исходного и текущего контуров не станет меньше заданного числа.

Метод факторизации. В последние годы большой интерес проявляется к исследованию трансзвуковых течений газа на основе уравнений для потенциала скорости. Разработаны эффективные методы решения таких уравнений, получившие название релаксационных методов [71, 215, 219, 222, 224]. К ним относятся метод последовательной верхней релаксации (метод ПВРЛ), которому посвящена значительная часть книги [219], и различные варианты метода приближенной факторизации (метод ПФ). В большинстве опубликованных работ релаксационные методы применялись для задач внешней аэродинамики. Они оказались более эффективными, чем обычные методы установления. В работах [71, 224] объектом исследований являются сверхзвуковые сопла. В работе [71] делается вывод, что методы ПФ более эффективны, чем методы ПВРЛ. Этой работе мы будем следовать при изложении метода приближенной факторизации. •

Метод факторизации относится к классу экономичных методов. Так называют методы, безусловно устойчивые, с числом операций

на каждом временном слое, пропорциональным числу узлов разностной сетки по пространственным переменным. В последние годы он стал широко применяться для расчета стационарных трансзвуковых течений.

Поясним идею этого метода на примере уравнений, описывающих стационарное безвихревое течение газа. Пусть х, у — декартова система координат, а и, и — проекции вектора скорости W на осп хну. Для потенциала скорости ф, который определяется соотношениями и = dyldx, v = ду]ду, уравнение неразрывности имеет вид

+ = °. (2.111)

ох Эх J Эу у 9у J '

Плотность р может быть выражена через фх, фу, если воспользоваться уравнением Бернулли

- 7 — + 4- (П2 + У2) == СОПб!

у — 1 р 1 2 '1'0

и условием постоянства энтропии рр т = So = const:

р =р =у — 1у — 1!/(?-!)!/(?-!)(2.112)(2.112)

р =

р =

у — 1

у — 1

!/(?-!)

!/(?-!)

(2.112)

(2.112)

Таким образом, с учетом (2.112) имеем уравнение (2.111) для потенциала скорости ср.

Уравнение (2.111) обычно нужно решать в некоторой криволинейной области при заданных граничных условиях. Применение для его решения конечно-разностных методов существенно упрощается, если перейти от переменных х, у к переменным, переводящим криволинейную область в прямоугольник,

^ = ^(^, У), Ч^Сп у).^ = ^(^, У), Ч^Сп у).(2.113)(2.113)

^ = ^(^, У), Ч^Сп у).

^ = ^(^, У), Ч^Сп у).

(2.113)

(2.113)

В новых переменных уравнение неразрывности (2.111) можно записать в дивергентной форме

+(2.114;

Здесь

U = А 1ф6 + А 2фп, V = Л2фЕ + А Зфп,

^i =4" ?у>42 = ^Цц -[- ^уНу’ 43 = т]х + т]у,

ние (2.112) примет видние (2.112) примет видJ = ^Лу — ^уЩ = (х*Уч — х^у^) 1 — якобиан преобразования. Уравне

ние (2.112) примет вид

ние (2.112) примет вид

ГУ —* 11 тт1 ту/О Л Л К

Р = [Y^p ~ -2U^— T^njj •(2.115

При расчете трансзвукового течения в сопле Лаваля, контур которого задается уравнением y — f(x), преобразование (2.113) можно задать, например, так:

£ = т th кх, х\ = у1^х').

При равномерной сетке в плоскости ^, ц с помощью параметра к можно сгущать сетку в физической плоскости в области минимального сечения.

Вводя обозначения ^(фг, Фп)=Р^/Л ^(фг, Фч) = Р^/Л перепишем (2.114) в виде

N-If + ^ = 0-(2Л16)

Рассмотрим возможную разностную аппроксимацию уравнения (2.116). Обозначим А£, Дц шаги разностной сетки, тогда узел сетки i, / будет иметь координаты ^ = iA§, тр—уАц (2 = 0, 1, ..., 1; 7 = 0, 1, ..., 7). Ячейкам сетки приписываются полуцелые индексы, например, i— 1/2, /— 1/2, а границам ячеек — целый и полуцелый, например, I, j— 1/2 или i— 1/2, /. Величина потенциала ф вычисляется в центрах ячеек, а величины скоростей и потоков F, G — на границах ячеек.

Уравнение (2.116) аппроксимируется следующим образом:

т т^+7-1/2 ~Fi-i,з-ш । Gi-i/2j—Gi-i/%7-1длп\

Ьф7-1/2,7-1/2 = Д1О

Если ячейка расположена в дозвуковой области течения, то входящие в F и G производные фь ф^ аппроксимируются центральньг- ми разностями второго порядка точности. Например,

(дф\ Ф1 + 1/2.7—1/2 ~ Фг—1/2,7—1/2

W /+7-1/2А?’

/Лр) Фг+1/2,7+1/2 Фг+1/2,/—3/2 + Фг—1/2,7 + 1/2Фг—1/2,7—3/2

\дц/г, j-i/2 “4АЦ"

В сверхзвуковой области используются левосторонние разности второго порядка аппроксимации, например,

(дф) ^Ф1—1/2 ,7—1/2 ^Рг—3/2,3—1/2 + Ф1—5/2,7—1/2

\д£ /+7-1/2А^’

7дф)_ 3 (Фг—1/2,7 + 1/2 ~ Фг—1/2,j—з/г) — (Фг-з/2,7+1/2 ~ Фг—3/2,7—з/г)

Х^Л/ь/—1/2 "4Ар"

Система уравнений (2.117) с учетом граничных условий решается итерационным способом. Рассмотрим итерационный процесс

N^-otL^,(2.118)

где N — некоторый оператор, т — параметр, о — положительная постоянная, 8" = ф”+1 — ф” — изменение потенциала за итерацию,

£ф” — невязка решения. Оператор N определяет вид итерационного процесса. В методе факторизации он представляется в виде произведения N = N\Na более простых, легко разрешимых операторов. Достаточно общий вид оператора N таков:

(2.119)

«к — положительные константы. В литературе метод (2.118), (2.119) называется методом ПФ1, если а0 = 1, «1 = «2 = 0, методом ПФ2, если «о = ai = 0, а2 = 1 или ао = аг = 0, «1 = 1. Точность итерационного метода (2.118) зависит от способа аппроксимации правой части.

Выпишем разностные формулы для оператора N в методе ПФ2:

= (А ~ тА b"_1/2 jA+) (1 — та” j-1/2A^ ),

где А^, А^" — односторонние разностные операторы, например,

л+ «_ 4+1/2,5-1/24-1/2J-1/2

As Ei—1/2,3—г/2Гр

®iJ-l/2 — (Р/ПуАз—1/2>A1/2J — [р% (1 + Hic/Лу)] г—1/2 J-

Вычпсления сводятся к двум скалярным прогонкам. В дозвуковой области на первом шаге имеем с использованием центральных разностей:/

(А; — тА^ ащ^/гА^) 6,—1/2,j—1/2 =

Если область сверхзвуковая, то используются односторонние раз

ности:

(AgTAg a^J—х/2А£ ) 6i-i/2J—1/2 — OrZ-(pi_ 1/2J—1/2-

На втором шаге осуществляется трехточечная прогонка по ц:

(АтАп bt_i/2дА^ ) е^/ад—1/2 — At 6/—1/2,;—1/2.

Применение методов факторизации значительно эффективнее обычных методов установления.

Глава 3

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯТЕЧЕНИЙ ГАЗА В СОПЛАХ

До появления ЭВМ асимптотические методы служили основным инструментом исследования течений в соплах. Эти методы являются важными и в настоящее время и позволяют, с одной стороны, оценить точность численных расчетов, если доказана сходимость, а с другой стороны — построить решение вблизи особых точек, которые зачастую трудно рассчитать численными методами. Наконец, асимптотические методы в некоторых случаях позволяют получать достаточно достоверную качественную и даже количественную информацию о течении. Ниже представлены следующие основные асимптотические методы теории сопла: метод источников и стоков, решение обратной задачи теории сопла для несжимаемой жидкости, разложение в ряд по функции тока, асимптотические методы в трансзвуковой области, решение в окрестности бесконечно удаленной точки в дозвуковой области сопла, метод малых возмущений для исследования течений, близких к радиальным, линейная теория для нестационарных течений газа.

Методы для течений несжимаемой жидкости

Метод источников и стоков. Этот метод широко используется в газовой динамике при решении различных линейных задач. Наложение полей течений, соответствующих источникам и стокам различной интенсивности, позволяет получать картину течения при обтекании тел и при течении в каналах. В теории сопла метод источников и стоков может быть применен только в случае течения несжимаемой жидкости, когда в силу линейности уравнений для потенциала и функции тока может быть использован принцип суперпозиции. Подбором системы источников и стоков и их интенсивностей можно построить течение в канале заданной формы. Однако такая задача весьма сложна. Значительно проще обратная задача, которая позволяет по заданной системе источников и стоков определить формы поверхностей, которые могут быть приняты за стенки сопла. Рассмотрим применение метода для плоского, осесимметричного и пространственного течений.

Плоское течение. Поместим на оси г декартовой системы координат 2А+1 дублетов: один дублет с моментом Мо — в центре и 2А дублетов с моментами Mi, М^ ..., Мк, направленными в отрицательную сторону оси ж, симметрично относительно центра на

расстояниях «1, а2, ..., aN от него (рис. 3.1). При наложении поступательного однородного потока со скоростью и», параллельной оси ж, на течение, создаваемое этой симметричной системой дублетов, возникает течение, симметричное относительно оси ж. Линии тока этого течения, например, АВ и А'В' могут быть выбраны в

Рис. 3.1. Построение контура сопла методом источников и стоковРис. 3.1. Построение контура сопла методом источников и стоков

Рис. 3.1. Построение контура сопла методом источников и стоков

Рис. 3.1. Построение контура сопла методом источников и стоков

качестве стенок сопла. Очевидно, что если интенсивность центрального дублета Mq положить равной нулю, то контуры АВ и А'В' образуют обычное сопло, а если Mq Ф 0,— сопло с внутренним центральным телом. Криволинейные каналы получаются, если в качестве стенок выбирать линии тока, не симметричные относительно оси.

Нетрудно показать, что потенциал ф и функция тока i|' рассматриваемого течения равны

М.М- + г21

ф. (3.1)

-V] v М,(ж2 + г2— а])

V — Г2л ^ ++_ г2) + а4 • ( -2)

Решение для бесконечного множества равностоящих дублетов с одинаковыми моментами приведено в [97].

Осесимметричное течение. По аналогии с плоским случаем расположим в начале цилиндрической системы координат ж, г дублет с моментом Мо, а на N концентрических окружностях с центрами в начале координат и с радиусами a,(i=l, 2, ..., TV) поместим равномерно распределенные дублеты с моментами М„ Тогда после 8*

наложения поступательного однородного потока на течение, создаваемое этой системой дублетов, получим следующие составляющие скорости и функцию тока возникающего течения:

j о4л (я2г2)3/2j о4л (я2г2)3/21Z* — 11 qq1Z* — 11 qqаа

j о

4л (я2г2)3/2

j о

4л (я2г2)3/2

1Z* — 11 qq

1Z* — 11 qq

а

а

Кл = J (1 —A2 sin2 ср) 1/2<icp, Ei= J (1 — A-2 sin2 ф)1/2 Др оо

— полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода. Формулы (3.3) — (3.5) полностью определяют течение. Так же, как и в плоском случае, при Мо = 0 имеем обычное сопло, а при Mq¥=O — сопло с внутренним центральным телом.

Пространственное течение. Поместим равномерно распределенные дублеты с моментами М на плоскости х = 0, имеющей круговые отверстия радиуса Rtj с центрами, расположенными на концентрических окружностях радиуса щ. При наложении поступательного однородного потока, направленного перпендикулярно плоскости, на поле, создаваемое этой системой дублетов, получим течение в пространственной системе, аналогичной многосопельной компоновке. В силу принципа суперпозиции решение задачи сводится к суммированию потенциала, создаваемого дублетами М, расположенными па плоскости без отверстий, и потенциалов, создаваемых дублетами с моментами М, находящимися на кругах радиуса Нц с цилиндрическими координатами центра 0, а„ 6,. Потенциал от дублетов, расположенных на круге, в цилиндрических координатах х, г, 6 имеет вид

МхГп (7г ,/с) /, RyV

2л(г2 + Д2)1/2(1+ б)1/21 + й I1 г Т 1г ) ’

\ AL\А /\A z _

гдегдеГ1 = [ж2 Н- г2 + а2 — 2r«i cos (0 — 0,)11/2,а = (1 - x^r^, b^rl- ^)1/2 (г2 + R^r1 RihД = [26/(1 + 6)]1/2, hx = 2d!F-d), h2 = -2dlF + ^,Г1 = [ж2 Н- г2 + а2 — 2r«i cos (0 — 0,)11/2,а = (1 - x^r^, b^rl- ^)1/2 (г2 + R^r1 RihД = [26/(1 + 6)]1/2, hx = 2d!F-d), h2 = -2dlF + ^,Щ/i, &) = j (1 4- 1г sin2 ф) X(1— k2 sin2 ф) 1/2 dtpЩ/i, &) = j (1 4- 1г sin2 ф) X(1— k2 sin2 ф) 1/2 dtp— полный эллиптический интеграл 3-го рода. Составляющие скорости при известном потенциале ф определяются из соотношений— полный эллиптический интеграл 3-го рода. Составляющие скорости при известном потенциале ф определяются из соотношений3.1.2. Решение обратной задачи теории сопла. Безвихревое стационарное движение несжимаемой жидкости описывается уравнениями3.1.2. Решение обратной задачи теории сопла. Безвихревое стационарное движение несжимаемой жидкости описывается уравнениямидиdvdrЭхдиdvdrЭх(3.7)(3.7)д2и д2и , v дид2и д2и , v диЭх2 8? г ЭгЭх2 8? г Эг(3.8)(3.8)При решении обратной задачи на оси симметрии (г = 0) задаются граничные условияПри решении обратной задачи на оси симметрии (г = 0) задаются граничные условияи = О, и= по(^) •и = О, и= по(^) •(3.9)(3.9)В плоском случае (v = 0) уравнение (3.8) есть уравнение Лапласа, решением которого является произвольная функция комплексного аргумента F(a: + ir). Из граничного условия (3.9) очевидно, что в действительной плоскости решение системы (3.7), (3.8) имеет видВ плоском случае (v = 0) уравнение (3.8) есть уравнение Лапласа, решением которого является произвольная функция комплексного аргумента F(a: + ir). Из граничного условия (3.9) очевидно, что в действительной плоскости решение системы (3.7), (3.8) имеет види = Re[iio (х + ir) ], и = Re[tiio (х + ir)].и = Re[iio (х + ir) ], и = Re[tiio (х + ir)].(3.10)(3.10)В осесимметричном случае заменой Г] = ir уравнение (3.8) сводится к уравнению Дарбу и решение системы (3.7), (3.8) в действительной плоскости имеет вид [105]В осесимметричном случае заменой Г] = ir уравнение (3.8) сводится к уравнению Дарбу и решение системы (3.7), (3.8) в действительной плоскости имеет вид [105]+Л/2+Л/2+ Л/2+ Л/2х—irsint)sintdtх—irsint)sintdt—П/2—П/2—Л./2—Л./2(3.11)(3.11)Течение несжимаемой жидкости для осесимметричного случая при распределении скорости на осиТечение несжимаемой жидкости для осесимметричного случая при распределении скорости на осиМо (Ж) = МеоМо (Ж) = Мео1 + Ах21 + Ах2(3.12)(3.12)

где

где

Г1 = [ж2 Н- г2 + а2 — 2r«i cos (0 — 0,)11/2,а = (1 - x^r^, b^rl- ^)1/2 (г2 + R^r1 RihД = [26/(1 + 6)]1/2, hx = 2d!F-d), h2 = -2dlF + ^,

Г1 = [ж2 Н- г2 + а2 — 2r«i cos (0 — 0,)11/2,а = (1 - x^r^, b^rl- ^)1/2 (г2 + R^r1 RihД = [26/(1 + 6)]1/2, hx = 2d!F-d), h2 = -2dlF + ^,

Щ/i, &) = j (1 4- 1г sin2 ф) X(1— k2 sin2 ф) 1/2 dtp

Щ/i, &) = j (1 4- 1г sin2 ф) X(1— k2 sin2 ф) 1/2 dtp

— полный эллиптический интеграл 3-го рода. Составляющие скорости при известном потенциале ф определяются из соотношений

— полный эллиптический интеграл 3-го рода. Составляющие скорости при известном потенциале ф определяются из соотношений

3.1.2. Решение обратной задачи теории сопла. Безвихревое стационарное движение несжимаемой жидкости описывается уравнениями

3.1.2. Решение обратной задачи теории сопла. Безвихревое стационарное движение несжимаемой жидкости описывается уравнениями

диdv

drЭх

диdv

drЭх

(3.7)

(3.7)

д2и д2и , v ди

д2и д2и , v ди

Эх2 8? г Эг

Эх2 8? г Эг

(3.8)

(3.8)

При решении обратной задачи на оси симметрии (г = 0) задаются граничные условия

При решении обратной задачи на оси симметрии (г = 0) задаются граничные условия

и = О, и= по(^) •

и = О, и= по(^) •

(3.9)

(3.9)

В плоском случае (v = 0) уравнение (3.8) есть уравнение Лапласа, решением которого является произвольная функция комплексного аргумента F(a: + ir). Из граничного условия (3.9) очевидно, что в действительной плоскости решение системы (3.7), (3.8) имеет вид

В плоском случае (v = 0) уравнение (3.8) есть уравнение Лапласа, решением которого является произвольная функция комплексного аргумента F(a: + ir). Из граничного условия (3.9) очевидно, что в действительной плоскости решение системы (3.7), (3.8) имеет вид

и = Re[iio (х + ir) ], и = Re[tiio (х + ir)].

и = Re[iio (х + ir) ], и = Re[tiio (х + ir)].

(3.10)

(3.10)

В осесимметричном случае заменой Г] = ir уравнение (3.8) сводится к уравнению Дарбу и решение системы (3.7), (3.8) в действительной плоскости имеет вид [105]

В осесимметричном случае заменой Г] = ir уравнение (3.8) сводится к уравнению Дарбу и решение системы (3.7), (3.8) в действительной плоскости имеет вид [105]

+Л/2

+Л/2

+ Л/2

+ Л/2

х—irsint)sintdt

х—irsint)sintdt

—П/2

—П/2

—Л./2

—Л./2

(3.11)

(3.11)

Течение несжимаемой жидкости для осесимметричного случая при распределении скорости на оси

Течение несжимаемой жидкости для осесимметричного случая при распределении скорости на оси

Мо (Ж) = Мео

Мо (Ж) = Мео

1 + Ах2

1 + Ах2

(3.12)

(3.12)

рассмотрено в [140]. Нетрудно видеть, что при таком распределении точка с координатами х = 0, г = Л-1/2 является угловой, поскольку скорость в ней обращается в бесконечность. При произволь-

ном распределении скорости на оси угловая точка возникает в полюсах продолженной в комплексную плоскость начальной функции. В случае сжимаемой жидкости столь просто установить координаты угловой точки не удается, хотя такая точка всегда существует. Для получения распределения скорости (3.12) методом источников и стоков необходимо в точке х = 0, г = И-1/2 поместить начало полуплоскости, состоящей из дублетов и ортогональной оси.

Разложение решения в ряд по функции тока

Постановка обратной задачи теории сопла и уравнения приведены в работах [143, 145, 149, 150]. Обратная задача сводится ж задаче Коши, решение которой можно получить в виде рядов. Способы представления решения в виде рядов могут быть различными: разложения в ряд по степеням декартовых координат [252, 263],

по отрицательным степеням радиуса кривизны минимального сечения [240, 260], по степеням функции тока [39]. Отличительной особенностью перечисленных работ является то, что разложение в ряд производится только в трансзвуковой области. В работах [140, 145] решение отыскивается в виде ряда по степеням функции тока в окрестности начальной поверхности для до-, транс- и сверхзвуковой областей течения. Решение, полученное в работе [145] для пространственного течения, является наиболее общим.

Пространственный случай. Следуя [145], построим решение для идеального газа с постоянным показателем адиабаты в окрестности начальной поверхности ф = 0 в виде рядов по функции тока. Система уравнений (1.24) — (1.27) в случае пространственного течения идеального газа с постоянным показателем адиабаты у в координатах s, ф, 6 примет вид [145, 149]:

8р_ = _ G (s, 6, ф)Эр,09 Эср„ „

дф' т»и (gy/sgiv ж 5гр/59 дф,V )

=1^ + v Щ

5ф (6<p/60)v ( ри дф 56'

$+^М)У (ЗЛ5)$+^М)У (ЗЛ5)О (wr}иг .1 + rR 1 cosv® [ 1

$+^М)У (ЗЛ5)

$+^М)У (ЗЛ5)

—з— = 4- -тг Sin ф. п—- —

dsR т и (о<р/59)[ 7Р

дт v / . г v i/о л ах

— = — 1+—cos tp ,(3.16)

os и \ К 1 /

6s =+ Д'C0S 4(ЗЛ/)

р=р\(3.18)

п =(3.19)

V,’ — 1 Y — 1/

где G(s, 0, ф) =cosv<pVl + ^cosvq)) — v^-.

В работе [145] показано, что при решении обратной задачи в случае неизоэнтроппческого пространственного течения нереагирующего газа нужно задавать па начальной поверхности ф = фо функции r=ro(s, 6) и u = uq(s, 6), а на начальной плоскости s = s0 —функции ш = шо(0,ф) и ф = фо(6, ф). Построим решение в окрестности ф = фо = О в виде рядов по функции тока. Представим искомые функции и, v, w, р, р, ф, г в виде

/ (8, ф, 6) = 2 /„ (s, 6) ф" + /ф 2 /п (8, 0) фп, (3.20) п—0 ™=0

где /(s, ф, 0)—любая из перечисленных функций. Если ряды (3.20) подставить в систему (3.13) — (3.19) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях ф, то получим систему уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными s, 0 для определения функций /„(s, 0) и /«(s, 6).

В случае, когда tq(s, 0) ^ 0, для определения функций /о (s, 0) имеем систему уравнений (3.15) — (3.19), в которой теперь всем зависимым переменным должен быть приписан нижний индекс ноль. При ф = 0 заданы функции r0(s, 0) и hq(s, 0), а при s = So заданы функции »о(ф, 0) и фо(ф, 6). В силу такого задания данных на поверхности ф = 0 при s = sq известны все искомые функции. Нетрудно видеть, что в правые части уравнения (3.15) и (3.17) входят функции ф и ш и их производные по 0, а также известные функции uq(s, 0) и ro(s, 0) и их производные по s и 0. Тогда, численно интегрируя от s = s0 систему (3.15), (3.17), определяем на поверхности ф = 0 функции wq^s, 0) и фо(з, 0), а затем из (3.16). (3.19) и (3.18) — функций Ро, Ро, ро

В случае осесимметричного или плоского течений при ш = 0, R = oo задача существенно упрощается, поскольку отпадает необходимость в численном интегрировании системы (3.15), (3.17), и функции ко, ро, ро определяются из (3.16), (3.19) и (3.18). Существенно также, что при u = m0(s), r = r0(s) и R(s) =^ оо, даже если в начальном сечении s = s0 функции Шо и фо равны нулю, то при остальных значениях s они уже отличны от нуля, поскольку при R * оо система (3.15), (3.17) неоднородна. Это означает, что искривление осп всегда приводит к возникновению окружной составляющей скорости.

Можно показать, что система уравнений для определения функций /о (s, 0) однородна относительно этих функций, а задание в начальной плоскости u?" (s0, 0) и фо (s0, 0) определяет в этой плоскости все остальные функции /o(so, 0). Очевидно, что при^(хо,0) = = Фо (soi 9) = 0, в силу однородности соответствующей системы, все функции /o(so, 0) =0. Задание при s = s0 условия w° (s0, 0) = = Фо(8о» 0) = О физически оправдано, поскольку трудно представить

течения, имеющие бесконечные производные ди^д^, бф/бф в начальной плоскости в областях, удаленных от осп симметрии.

Рассмотрим метод определения функций /i(s, 0). Любая из искомых функций может быть представлена в виде [145]

/i (s, 6) = ao(s, 9) + ai(s, 0) 1Щ + a^s, 9)фц

где a,(s, 0)—функции известных параметров /о (s, 9) и их производных по s и 9. Тогда соответствующая система линейных уравнений образует систему Коши при условии, что на начальной плоскости s = s0 заданы гщ (s0, 9) и ф1 (so, 9).

Рассмотрим теперь важный для практики случай, когда ro(s, 9)=0, a R = ос. Для определения функций /o(s, 9) и /i(s, 9) имеем следующую систему уравнений:

(3.21)(3.22)(3.23)(3.21)(3.22)(3.23)= „ 112/ _ "'о _о _ [2

(3.21)

(3.22)

(3.23)

(3.21)

(3.22)

(3.23)

°° 9s’980 [ро“о(д(РоЯ)1

8<_wVeго9Р1, Р1 8го

dsи го2у90у 99’

VГ«

/(5V59) L Vo/

Нетрудно показать, что в разложениях (3.20) функций г, и, w коэффициенты /„ = 0, а в разложениях функций р, р, и, наоборот, /п = 0, поскольку нормальная и окружная составляющие скорости в окрестности оси являются нечетными функциями г, а давление, плотность и продольная составляющая скорости — четными.

В пространственном случае построение решения системы (3.21)'—(3.23) оказывается нетривиальным. Можно показать, что уравнение (3.22) с использованием уравнений (3.21) и (3.23) приводится к виду

л2 / 8w® \ л [ 9иФ

+ g0 (s, 6) —° + ^ (s, 9) + g2 (s, 9) = 0, (3.24)

где gt(s, 9)—известные функции, которые могут быть вычислены на плоскости s = const, если известны и?®, ф0 и задана функция Hq(s). Для нахождения производной dw^ds на любой плоскости s = const нужно решать краевую задачу для дифференциального уравнения (3.24). При этом, в силу периодичности функции Щд (9), на плоскостях симметрии задаются краевые условия dw^/ds^ 0.

В общем случае пространственного течения решение системы нелинейных уравнений в частных производных (3.21) — (3.23) можно получить лишь путем численного интегрирования. Однако иногда удается получить решение аналитически.

решениерешениеПостроим методом малых возмущений приближенное этой системы. Представим функции фо, г", Pq, ш®, рг в виде

решение

решение

Фо = 9 + есГо1 (s, 9) + е2ф02 (s, 9) + • • •,

(3.25)(3.25)функ-маломфунк-маломГо = 'м(s) + ecoi (s, 9) 4- e2r^ (s, 9) + .. ., ш® = егг^ (s, 0) + ^ш^ (s, 9) 4- .. ., к" = Гоо (s) + el;®! (s, 9) + е2р®2 (s, 9) + ..., Pi = Рю (s) + ePii (s, 6) + e2Pi2 (s, 0) + • • •,

(3.25)

(3.25)

функ-малом

функ-малом

где е—некоторый малый параметр. Такая запись искомых цип основана па физически оправданном предположении о

отличии параметров течения в начальной плоскости от параметров осесимметричного течения, имеющего на оси то же распределение скорости «o(s), что и в пространственном течении. Подставив соотношения (3.25) в систему (3.21) — (3.23) и линеаризовав ее, получим следующие уравнения:

0 _ / 2 \1/2г oo — ,k Po% )r0 d(Poi -9 «rOo—gQ- — — "01,0 _ / 2 \1/2г oo — ,k Po% )r0 d(Poi -9 «rOo—gQ- — — "01,dr0Гоо - “о ^ »dr0Гоо - “о ^ »dr0 Го! - «0 ds ,dr0 Го! - «0 ds ,^10 ,O ds ’00(3.26)0 dCpoi _ »“or 00 "^T" ~ ^O!’^10 ,O ds ’00(3.26)0 dCpoi _ »“or 00 "^T" ~ ^O!’^00^01^00^01d'oi 4»о d4"i69 dsr°° 5s50 ■d'oi 4»о d4"i69 dsr°° 5s50 ■(3.27)(3.27)

0 _ / 2 \1/2г oo — ,

k Po% )

r0 d(Poi -9 «

rOo—gQ- — — "01,

0 _ / 2 \1/2г oo — ,

k Po% )

r0 d(Poi -9 «

rOo—gQ- — — "01,

dr0

Гоо - “о ^ »

dr0

Гоо - “о ^ »

dr0 Го! - «0 ds ,

dr0 Го! - «0 ds ,

^10 ,O ds ’

00(3.26)

0 dCpoi _ »

“or 00 "^T" ~ ^O!’

^10 ,O ds ’

00(3.26)

0 dCpoi _ »

“or 00 "^T" ~ ^O!’

^00^01

^00^01

d'oi 4»о d4"i

69 dsr°° 5s50 ■

d'oi 4»о d4"i

69 dsr°° 5s50 ■

(3.27)

(3.27)

Аналогичным образом можно получить систему уравнений для определения коэффициентов при е2.

Важным свойством системы уравнений в частных производных (3.27) является линейность, что позволяет применить для решения метод разделения переменных Фурье. В результате получим с точностью до членов порядка е2 следующее приближенное решение системы (3.21) — (3.23):

Го (8, 9) = Гоо (8)Го (8, 9) = Гоо (8)ккk—ok—oФою^о)'"ооМФою^о)'"ооМcos Р9cos Р9

Го (8, 9) = Гоо (8)

Го (8, 9) = Гоо (8)

к

к

k—o

k—o

Фою^о)'"ооМ

Фою^о)'"ооМ

cos Р9

cos Р9

кФо (s, 9) = 9 + е ^/1=0кФо (s, 9) = 9 + е ^/1=0*2" гоо (so) ^oih (so) J pods 4* фо1ь ($o)5o*2" гоо (so) ^oih (so) J pods 4* фо1ь ($o)5osin /c9,sin /c9,

к

Фо (s, 9) = 9 + е ^

/1=0

к

Фо (s, 9) = 9 + е ^

/1=0

*2" гоо (so) ^oih (so) J pods 4* фо1ь ($o)

5o

*2" гоо (so) ^oih (so) J pods 4* фо1ь ($o)

5o

sin /c9,

sin /c9,

Pi (8, 9) = />10(s0)Pi (8, 9) = />10(s0)к1 — e/'oo (so) ^j/4=0к1 — e/'oo (so) ^j/4=0«I«IVolk(^o)ro°o(so)Volk(^o)ro°o(so)cos kQcos kQ

Pi (8, 9) = />10(s0)

Pi (8, 9) = />10(s0)

к

1 — e/'oo (so) ^j

/4=0

к

1 — e/'oo (so) ^j

/4=0

«I

«I

Volk(^o)ro°o(so)

Volk(^o)ro°o(so)

cos kQ

cos kQ

I’o (8, 0) = у"о (s) — у ег^I’o (8, 0) = у"о (s) — у ег^к(s0)2 Wo GOh=0к(s0)2 Wo GOh=022чщ(%)чщ(%)— j pods + so“’nlft (So)l LQ—( COb nA)./oo(so) J— j pods + so“’nlft (So)l LQ—( COb nA)./oo(so) J

I’o (8, 0) = у"о (s) — у ег^

I’o (8, 0) = у"о (s) — у ег^

к

(s0)2 Wo GO

h=0

к

(s0)2 Wo GO

h=0

2

2

чщ(%)

чщ(%)

— j pods + so

“’nlft (So)l LQ

—( COb nA).

/oo(so) J

— j pods + so

“’nlft (So)l LQ

—( COb nA).

/oo(so) J

(3.28)(3.28)^о (s, 0) =2 woih(so) sin/cO,

(3.28)

(3.28)

roo«

гДе ^oih^o) и фои(5о) — коэффициенты Фурье в разложениях начальных функций if® (s0, 6) и фо(5о, 0) по sin/cO.

Из соотношений (3.28) следует, что изменения формы поперечного сечения можно достичь, варьируя начальные данные при s = so, т. е. величины Woik(so) и фоы($о)- Если при s = so положить фои(«о) — 0, то в этой плоскости поперечное сечение сопла имеет форму круга, однако при увеличении s оно приобретет форму, определяемую начальным значением WQlh(s0). В то же время 8tq/8s\s=5o является функцией 0, в отличие от осесимметричного случая. Очевидно, что если при этом все w°lfc (s0) = 0, кроме Wq12 (s0), то пространственное течение будет обладать двумя плоскостями симметрии, а при Won (s0) =^ 0 — одной плоскостью симметрии. Для случая Го = 0 при RA оо можно построить аналогичное решение, при этом в качестве е можно выбрать R-1. Можно показать, что в этом случае с точностью до величин е2 в поперечных сечениях сопло сохраняет форму окружности, если в начальном сечении оно имело форму окружности, однако ось сопла при этом будет криволинейной в соответствии с законом изменения R = R (s).

Система уравнений, аналогичная система (3.21) —(3.23), может быть выписана и для определения остальных членов ряда (3.20).

Плоский и осесимметричный случаи. Положим R = °° и г0 = 0. В этом случае данные Коши на оси симметрии (ф = 0) имеют вид n = u0(s), г0 = 0 и, следовательно, kq = 0. Для осесимметричного течения без закрутки потока (w = 0, ф = 0) система (3.21) — (3.23) значительно упрощается и приобретает вид

(3.29)

(3.30)

Нетрудно получить выражения и для следующих членов ряда. Имеем

2г»р2 = - I у—L _i_ropi2г»р2 = - I у—L _i_ropiО az0 ,°г1U1ds 1 “° ds ’Pl . PlРо ^о ’О az0 ,°г1U1ds 1 “° ds ’Pl . PlРо ^о ’

2г»р2 = - I у—L _i_ropi

2г»р2 = - I у—L _i_ropi

О az0 ,°г1

U1ds 1 “° ds ’

Pl . Pl

Ро ^о ’

О az0 ,°г1

U1ds 1 “° ds ’

Pl . Pl

Ро ^о ’

_1M1 -2u„_1M1 -2u„(3.36)(3.36)

_1

M1 -2u„

_1

M1 -2u„

(3.36)

(3.36)

(3.31)

В плоском случае значение функций fn для всех п равны нулю, кроме того, в силу симметрии, функции /„ с нечетными номерами равны нулю, если f = p, р, и, функции /„ с четными номерами равны нулю, если / = и, г. Имеем

г / р и \drdrY dv

4$ \ Pq “о /31 ds " ds4 ds

(3.34)

Поскольку функция и = и0^ задана, а следовательно, известны Ро и Pg = р1^, то формулы (3.29) — (3.34) позволяют определить искомые функции из конечных соотношений или путем дифференцирования по s известных функций.

Полученные формулы можно использовать для расчета всего поля течения, включая до-, транс- и сверхзвуковую области. Из них как частные случаи следуют разложения, построенные в работах [39, 252, 260, 263] для трансзвуковой области.

Действительно, если для течения Мейера, следуя [252], представить скорость на оси симметрии в окрестности центра сопла (точки, где скорость равна скорости звука) в виде

uq (ж) = 1 + Ах + Дж2 + Сж3 + Дж4 + .. . (3.35)

(здесь s = ж, поскольку Н = °°\ то нетрудно видеть, что г» = /2 [ 1 + 1 (у + 1) ж2 (Л + Дж)2]^, тх = 1 + у (у + 1) ж2 (Л ф- Дж)2.

Используя формулы (3.36), последовательным дифференцированием можно определить все искомые функции, входящие в

формулы (3.29) — (3.34), и получить, что в плоском случае

и = Ыо += ы0 + у (у 4- 1) Л2г2 4- .. .,

!(3.37)

к = г^тр 4- к34?3 = (у 4- 1) А2хт 4- -g- (т + I)2 Аата 4- ...,

а в осесимметричном случае

U = Uo 4- т^ф = и0 4- (у + 1) AV- 4- ...,

_,,(3.38)

^=- /1р(го + м) = -2"(y + 1)-42жг 4-4g (?+ 1)2Л3г3 + •

Из формул (3.37), (3.38) можно получить уравнения звуковой линии (М=1), линии 6 = 0 (0 — угол наклона вектора скорости к оси сопла) и характеристик первого (С+) и второго (CL) семейств, выходящих из центра сопла (предельных характеристик). Имеем

М = 1:М = 1:0 = 0:0 = 0:CL:CL:ж = — у (у 4- 1) Лг2, ж= _ А(у 4-1) Лг2, х = у (y + 1) Аг2, ж = — ^(у4- 1)Лг2,ж = — у (у 4- 1) Лг2, ж= _ А(у 4-1) Лг2, х = у (y + 1) Аг2, ж = — ^(у4- 1)Лг2,-1(у+ 1)АЛ|(у+1)(14- /5)4г2,1(у+ 1)(1- /5) Ат\(3.39)-1(у+ 1)АЛ|(у+1)(14- /5)4г2,1(у+ 1)(1- /5) Ат\(3.39)

М = 1:

М = 1:

0 = 0:

0 = 0:

CL:

CL:

ж = — у (у 4- 1) Лг2, ж= _ А(у 4-1) Лг2, х = у (y + 1) Аг2, ж = — ^(у4- 1)Лг2,

ж = — у (у 4- 1) Лг2, ж= _ А(у 4-1) Лг2, х = у (y + 1) Аг2, ж = — ^(у4- 1)Лг2,

-1(у+ 1)АЛ

|(у+1)(14- /5)4г2,1(у+ 1)(1- /5) Ат\

(3.39)

-1(у+ 1)АЛ

|(у+1)(14- /5)4г2,1(у+ 1)(1- /5) Ат\

(3.39)

Из по поИз по поРис. 3.2. Трансзвуковая область сопла ЛаваляРис. 3.2. Трансзвуковая область сопла Лаваля

Из по по

Из по по

Рис. 3.2. Трансзвуковая область сопла Лаваля

Рис. 3.2. Трансзвуковая область сопла Лаваля

этихэтихформул следует, что звуковая линия располагается вверх

этих

этих

потоку от точки х = 0 на оси симметрии и смещена также вверх потоку от минимального сечения сопла на контуре. В точке на

осп симметрии, расположеннойосп симметрии, расположеннойввтой же плоскости, что и мини-

осп симметрии, расположенной

осп симметрии, расположенной

в

в

мальпое сечение, скорость меньше скорости звука (рис. 3.2).

Отметим некоторые экстремальные свойства характеристики С°+ в плоском течении [174]. Из анализа отображения физической

плоскости па плоскость годографа следует, что каждая характеристика второго семейства имеет точку перегиба на характеристике С°+. Кроме того, характеристика С+ является геометрическим местом точек, в которых достигаются экстремальные значения и, и и при перемещении вдоль характеристик другого семейства. Последнее свойство связано с тем, что при отображении физической плоскости на плоскость годографа соответствующие характеристики одного из семейств проходятся в прямом и обратном направлениях.

1 -у v d2r1 -у v d2rСравним решения (3.29) — (3.34) с решениями работ [240, 260], в которых разложения в ряд строятся по отрицательным степеням радиуса кривизны Ra контура в минимальном сечении (рис. 3.2). Выразим Ra через производные скорости, используя соотношения одномерной теории. Дифференцируя дважды уравнение неразрывности rI‘tvg(X)= const, где q(X) определяется формулой (1.126), имеем в минимальном сечении

1 -у v d2r

1 -у v d2r

(3.40)(3.40)d‘X d In q (X) । (d-X V c?2 In <7 (X) dx2 dX ‘ \dx) dX2

(3.40)

(3.40)

или

d^X d In q (X) , / ^X V сГ In q (X) dx d-X ' \dx)

Рассмотрим отдельно течение Мейера и течение Тейлора. В течении Мейера при х = 0 скорость равна скорости звука и

й1п<7(Х) n d2 In q (X), , ,.R 1 + V / dX V2

а распределение скорости Uq(x') ='Цх') задается формулой (3.35), Тогда из (3.37), (3.38), используя (3.40), получим, что в плоском случае

Н - 1 (v + l)^2 XR-^ + 1+ . . . ,

(3.41)

к = xrR^1 + у (у + 1)1/2 г (г2 — 1) R^3,2 + . . .,

в осесимметричном

и = 1 + /2 (у + 1)"1/2 xR^1'2 + 1 (г2 - ЯГ1 + ...,

/<3-42)

у = xrRa1 + ^ ( Y Ж "") Г ^ ~ ^ ^Г3/2 + • • •

Эти формулы получены в предположении, что плоскость х = 0 проходит через минимальное сечение, ордината которого г¥ = 1. При выводе формул (3.37), (3.38) принималось, что плоскость х = 0 проходит через точку на оси симметрии, в которой скорость равна скорости звука. Формулы (3.41), (3.42) в точности соответствуют решениям, полученным в работах [240, 260].

Рассмотрим течение Тейлора. В этом случае скорость па оси симметрии всюду дозвуковая, однако в потоке возможно возникновение местных сверхзвуковых зон. Для расчета этого течения также можно воспользоваться формулами (3.29) — (3.34). Распределение скорости на оси в этом случае имеет вид

(3.43)(3.43)и,о = Хо + ах2, Ао<1, а < О,

(3.43)

(3.43)

поскольку в течении Тейлора duq?dx\x=0 = 0, если сверхзвуковая зона не касается оси симметрии. Тогда, имея в виду, что

r"= V2q~^^ 1-r"= V2q~^^ 1-1 й!п?(Х)2 dX1 й!п?(Х)2 dXri = 9 1 М ( 1ri = 9 1 М ( 1d Inq (X)dXd Inq (X)dX(3.44)(3.44)

r"= V2q~^^ 1-

r"= V2q~^^ 1-

1 й!п?(Х)

2 dX

1 й!п?(Х)

2 dX

ri = 9 1 М ( 1

ri = 9 1 М ( 1

d Inq (X)dX

d Inq (X)dX

(3.44)

(3.44)

можно получить формулы, аналогичные (3.37), (3.38). Выпишем с точностью до членов Н^2 формулы, аналогичные (3.41), (3.42). В плоском и осесимметричном случаях имеем

гдегдек = Х^хтR^ • ■ • ?

где

где

d2X din q (X) 1 1

U 5х ]ж=0

При численном решении обратной задачи разложения в ряд ио гр в окрестности оси симметрии используются для расчета близлежащей к оси линии тока, от которой начинается численное интегрирование, поскольку уравнения (3.13) содержат особенность на оси симметрии. При этом, если в осесимметричном случае эта особенность может быть устранена путем преобразования уравнений, то в пространственном случае нельзя обойтись без использования асимптотического разложения при определении решения на близлежащей к осп линии тока.

До появления численных методов представленные выше соотношения использовались для расчета течений в соплах. Доказательства сходимости рядов и определения их радиуса сходимости не имеется. В связи с этим возможность их применения устанавливается сравнением с численными решениями и экспериментальными данными, которое показывает, что разложения в ряде по гр при учете 3—4 членов ряда пригодны для описания течения в трансзвуковой области при Дг^О^г*, а также в до- и сверхзвуковых областях при небольших поперечных градиентах параметров. Сравнения с численным решением обратной задачи теории сопла представлены ниже.

Формулы (3.37), (3.38), (3.41), (3.42) пригодны лишь для расчета течений в соплах с пологими стенками (7?2>2г*). Однако они позволяют получить качественное представление о структуре трансзвукового потока в окрестности минимального сечения. Кроме того, в случае плоского или осесимметричного течений формулы (3.39) с точностью 5—10 % позволяют определить координаты всех

Рис. 3.3. Формы звуковой линии, линии, вдоль которой 0=0, и предельных характеристик С1^, C°j, 1 — расчет по формулам (3.39) при Ч = 1,4, Л = 0,24, v = 0; 2 — численное решение [78]Рис. 3.3. Формы звуковой линии, линии, вдоль которой 0=0, и предельных характеристик С1^, C°j, 1 — расчет по формулам (3.39) при Ч = 1,4, Л = 0,24, v = 0; 2 — численное решение [78]

Рис. 3.3. Формы звуковой линии, линии, вдоль которой 0=0, и предельных характеристик С1^, C°j, 1 — расчет по формулам (3.39) при Ч = 1,4, Л = 0,24, v = 0; 2 — численное решение [78]

Рис. 3.3. Формы звуковой линии, линии, вдоль которой 0=0, и предельных характеристик С1^, C°j, 1 — расчет по формулам (3.39) при Ч = 1,4, Л = 0,24, v = 0; 2 — численное решение [78]

характерных линий в трансзвуковой области даже при малых /12(^2 5s 0,2г*), хотя параметры течения при этом рассчитываются со значительной ошибкой (см. рис. 3.3).

Двухфазные течения. При численном решении обратной задачи теории сопла для двухфазного течения задание начальных данных на оси симметрии требует построения асимптотического разложения как для плоского, так и для осесимметричного случая. На оси симметрии задается распределение скорости, а на плоскости s = so задаются и81 д8, Ts, р,. Представляя в окрестности оси симметрии функции и, zzs, р, ps, Т, Т8 в виде

/ = /о + Ь = Us + f(2-v)S^2~V, а функции к, ks и г в виде

i = i<-J\ fs = f0s^-'z2

и подставляя эти соотношения в систему (1.115), (1.116), получим

г

1+v о

1 + у Ро“о ’

ио = и»"дГ’

9\

8s

8ds

\ ^ /‘ о о

8иоч _ , 9u0s , 9e0s

U0S "7™ Hx.^-gT = -П'’UOS Qs = ^01

^o = ^ (Po’ ^o)’ Po = Po^o, eos = еДТ^.(3.46)

Численно интегрируя эту систему от s = s0, последовательно определяем в каждой точке р0, h0, То, ро, uOs, eOs, TOs, v0, vOs, POs, Го и P2-V.

Асимптотические методы исследования теченийгаза в трансзвуковой области сопла

Метод малых возмущений. Разработке этого метода посвящен ряд работ [46, 174, 207, 239]. В монографии [174] дано решение уравнений, полученных методом малых возмущений для общего случая пространственного нестационарного течения в трансзвуковой области, а также сформулированы условия, приводящие к образованию ударных волн. Изложим некоторые основные результаты, полученные методом малых возмущений для плоского и осесимметричных течений. Предполагая, что скорость газа близка к скорости звука, а угол между направлением скорости и осью х мал, имеем следующее уравнение для потенциала возмущенного течения:

-(?+1)^^- + -^1 4--^ = °-<3-47)

Это уравнение принадлежит к числу простейших уравнений смешанного типа. Оно эллиптично в полуплоскости, соответствующей дозвуковому течению, и гиперболично в полуплоскости, где течение сверхзвуковое.

Характерной особенностью метода малых возмущений в трансзвуковой области является, то что получающиеся уравнения являются нелинейными в физической плоскости. В связи с этим представляет интерес исследование некоторых частных решений этих уравнений, являющихся асимптотическими в окрестности центра сопла. Существование таких решений обеспечивается инвариантностью уравнении трансзвуковых течений по отношению к двухпараметрической группе преобразований подобия. Частные решения уравнения (3.47) имеют вид

ф = 4рАх2 + у (у 4- 1) 42жг2-^(у + I)2 A3r4(v = 0), (3.48)

<р = у Аж2 4--X (у 4- 1)Л2жг24- -^4- l)2A3r4(v = l), (3.49)

где по-прежнему А — производная скорости в центре сопла. Нетрудно видеть, что составляющие возмущенной скорости и, = Э^дх, v = ду/дг, определенные из этих соотношений, в точности соответствуют первым членам рядов, построенных Мейером (см. (3.37), (3.38)). Выводы, сделанные в предыдущем параграфе при анализе этих формул, очевидно, следуют и из уравнений метода малых возмущений.

Разложение решения в ряд в окрестности прямолинейной звуковой линии. Наиболее полное исследование течения в окрестности прямолинейной звуковой линии в плоском случае проведено в работе [133], где показана возможность существования пяти различных типов течения, в том числе до- и сверхзвуковых течений, содержащих угловые точки. Осесимметричный случай рассмотрен в [174]. В работах [133, 140, 174, 239] решение в окрестности прямолинейной звуковой линии получено в виде рядов по ж, а в [84] — по характеристической координате.

Для уравнений (1.16), (1.17), описывающих безвихревое течение идеального газа, получим разложение решения в ряд по ж в окрестности прямолинейной звуковой линии, на которой и = 1, v = 0 [140]. Естественно искать решение этой системы (заменив в ней у на г) в виде

и = 1 + щ (г) ж + и2 (г) ж2 + из (г) ж3 +...,(3.50)

и = щ (г)ж + р2(г)ж2 + р3(г)ж3 +...

После подстановки рядов (3.50) в систему (1.16), (1.17) и приравнивания коэффициентов при нулевой и первой степенях ж в левой и правой частях этих уравнений получим, что щ = щ = р2 = 0. Это известные условия Гёртлера [239], которые необходимы и достаточны для того, чтобы звуковая линия была прямолинейной. Приравнивая коэффициенты при других степенях ж, получим

ди.(Ри. v ди.„

ГГ = Зу3, —А + 2- _А _ 6(7 + 1) и» = 0;(3.51)

ди„d?u„ v дип

= 4v4,—А + 2. _А _ 20 (V + 1) п2п3 = 0;(3.52)

du,

= 5Уб-

ГГ = 6 (7 + 1) и^4 + 3 (y + 1) “з + (7 + 1) (27 — 1) “2 + 6^3 — 7 ув-

(3.53)

Пусть на оси симметрии со стороны дозвуковой части задано распределение скорости в виде (3.35) с А = 0. Тогда для системы 9 У. Г. Пирумов, Г. С. Росляков

— (3.53) граничные условия при г = О будут иметь вид dual dr = О,иг = 5 < О,

du^dr = О, из = С, du4)dr = 0, U4 = D.(3.54)

Система (3.51) — (3.53) в общем случае не интегрируется в замкнутом виде. Численное интегрирование показало, что при некотором значении г = г° функция иа^г) обращается в нуль, затем, меняя знак, становится положительной и при некотором г = г0 обращается в бесконечность [140]. Перемена знака у функции п2 (г) означает, что в точке г = г° возникает еще одна звуковая линия, простирающаяся вверх по потоку в сторону дозвуковой области (рис. 3.4). При

Рис. 34. Схема течения в окрестности прямолинейной звуковой линии с образованием местной сверхзвуковой зоныРис. 34. Схема течения в окрестности прямолинейной звуковой линии с образованием местной сверхзвуковой зоны

Рис. 34. Схема течения в окрестности прямолинейной звуковой линии с образованием местной сверхзвуковой зоны

Рис. 34. Схема течения в окрестности прямолинейной звуковой линии с образованием местной сверхзвуковой зоны

этом течение между прямолинейной и криволинейной звуковыми линиями сверхзвуковое. В окрестности точки г = го решение уравнения (3.51) имеет вид

и2 = d0(г — г0)-2 + di (г — го)-1 + da + ds(r — r0)1 +

+ dt(r — r0)2 + ds(r — r0)3 + do(j — r0)4 In (г—г 0)+c2(r —го)4 + ...

(3.55)

Подставляя (3.55) в (3.51) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г — го, можно определить коэффициенты dt. В частности,

^о = (У + 1Г1,^1 = - 5^ d0.(3.56)

Значения го и са определяются из условия стыковки асимптотического решения (3.55) с решением, получающимся при численном интегрировании уравнения (3.51). Решение вида

“ = 1 + , 1 х2 [d0 + dY (г - г0) + • • • ],(Г Гп)

3 °(3.57)

к = — ~Еу [2d0 + <7i (г - г0) + ...]

(г - Ч)

означает, что точка ж = 0, г = го является угловой и в этой точке имеет место течение Прандтля — Мейера. В местной сверхзвуковой зоне имеется волна сжатия, ограниченная некоторой характеристикой ОВ и характеристикой ОА, совпадающей со звуковой линией (см. рис. 3.4).

Если распределение скорости на оси (3.35) таково, что А = В = = 0, то иг(г)= г>з (г)= 0 и выражение для всех последующих членов ряда можно получить в аналитическом виде. Имеем

ий = С = const,щ = 0,

и4 =+ Д> уз =С^ (3-58)

2 (1 + v) 151 + vv '

т. е.

и = 1 + Сх» + [^^^ CV + и] ^ + ...(3.59)

Отсюда следует, что и в этом случае в окрестности прямой звуковой линии возникает вторая звуковая линия, которая при D = 0 имеет общую точку с прямой звуковой линией на бесконечности,

Рис. 3 5. Сравнение численного и асимптотических решений при х = —0,05; 1 — численное решение, 2 — разложение в ряд по тр, 3 — разложение в ряд по |ж|

в отличие от случая А = 0, В 0, когда эта точка находится на конечном расстоянии.

В заключение сравним решения, полученные с помощью асимптотических методов, изложенных в § 3.1 — 3.3, с численным решением [143]. На рис. 3.5, 3 6 представлены численное решение (кривая 7) и асимптотические решения, полученные в результате разложения решения в ряд по ip в окрестности оси симметрии (кривая 2), 9*

в ряд по 1x1 в окрестности прямолинейной звуковой линии (кривая 5), а также решение обратной задачи для несжимаемой жидкости (кривая 4). Это сопоставление дает некоторое представление об области применимости приближенных решений. Разложение решения в ряд по ip вблизи минимального сечения правомерно лишь

Рис. 3.6. Сравнение численного и асимптотических решений при к = —0,6; 1 — численное решение, 2 — разложение в ряд по ар, 4 — решение для несжимаемой жидкостиРис. 3.6. Сравнение численного и асимптотических решений при к = —0,6; 1 — численное решение, 2 — разложение в ряд по ар, 4 — решение для несжимаемой жидкости

Рис. 3.6. Сравнение численного и асимптотических решений при к = —0,6; 1 — численное решение, 2 — разложение в ряд по ар, 4 — решение для несжимаемой жидкости

Рис. 3.6. Сравнение численного и асимптотических решений при к = —0,6; 1 — численное решение, 2 — разложение в ряд по ар, 4 — решение для несжимаемой жидкости

при небольших значениях г (рис. 3.5). С ростом Ы результаты точного и приближенного решений практически совпадают. Расчеты показывают, что при малых значениях Ы, когда эффекты сжимаемости существенны, решение обратной задачи для несжимаемой жидкости не может быть использовано для описания течения сжимаемой жидкости. Когда скорости движения газа невелики (РР<0.3), параметры течения сжимаемой и несжимаемой жидкостей практически не отличаются. Сравнение точного решения с решением, полученным в результате разложения искомых функций в ряд по Ы в окрестности прямолинейной звуковой линии, показывает, что при ж = —0,05 соответствие между точным и приближенным решением очень хорошее. При ж < ■—0,2 ряды расходятся.

Решение в окрестности бесконечно удаленной точкив дозвуковой области сопла

Построим для системы (1.35) — (1.37) асимптотическое решение в окрестности бесконечно удаленной точки для прямой и обратной задач в плоском и осесимметричном случаях. Представим искомые функции и, р, р, г, и в виде

(3.60)(3.60)# = 2 g»W п-

(3.60)

(3.60)

Граничные условия для обратной задачи имеют вид

Г = V = О, U = Моо + 2 “п^-п при -ip = О,п=1

при тр = О,7V77 = — 5 и/»ж-^+1) при ф = 1рй. п=1при тр = О,7V77 = — 5 и/»ж-^+1) при ф = 1рй. п=1а для прямой задачи г = и = О

при тр = О,

7V

77 = — 5 и/»ж-^+1) при ф = 1рй. п=1

при тр = О,

7V

77 = — 5 и/»ж-^+1) при ф = 1рй. п=1

N

Г = Г „о + 2 М

П=1

Здесь ■$* — значение расхода на контуре сопла, который должен задаваться в зависимости от режима течения и не должен превышать критического значения, при котором течение в дозвуковой части не зависит от противодавления. Подставляя ряды (3.60) в (1.35) — (1.37) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получим систему уравнений для определения функций g„, которая разрешается в замкнутом виде. В частности, имеем

fo(ip)= ni(ip)= 0, До(Ф) = const, pi (ip) = const, Дг(1р)= const, _ Г(1 4- v) ip iVd+v) _ И 4 iVd+v) Р1(М^-1)

Г° [ P^t^ J ’ Г1 ~ ~ Y [(1 + v) Poo^jPooM^ •

(3.61)

Для обратной задачи неизвестные константы до, Pi и дг определяются из граничных условий по известным н„ и щ.

Имеем

"(Цоо)

До — Доо — л (1) ’^ —YP°=Ы00^1,

Р1ТРооI— 1 IО I

Рй~5(2U.OOU.2 -|- Hl), Р = Доо + ррк "V Р^ 2 4* ...

(3.62)

Из формул (3.61) и (3.62) следует, во-первых, что первые три члена асимптотического разложения для функции р не зависят от 1р (зависимость от 1р проявляется в следующих членах разложения, которые можно получить аналогичным методом), а во-вторых, что при уменьшении х, т. е. в направлении движения газа в окрестности бесконечно удаленной точки, давление на всех линиях тока может только уменьшаться (Д1 < 0; дг < 0, если Д1 = О, и т. д.).

В прямой задаче константы До и Д1 определяются следующим образом. При заданном -фк из граничных условий и формул (3.61)

находим

РооИоо = ^ (Поо) = (1 —(— v) 11)^00^\

|1/(V-1)|1/(V-1)q (и»?) = и^ ^1 (Т + 1) — 1 (? — 1) ^

|1/(V-1)

|1/(V-1)

л (1) ’^2 I1. (d.OOJ

Из (3.63) следует, что решение прямой задачи при заданном уравнении контура сопла единственным образом определяется одним параметром ipk. Это справедливо и в том случае, когда учитываются все последующие члены разложения.

Асимпотические разложения в окрестности бесконечно удаленной точки в дозвуковой части сопла для течения вязкого газа построены в [160]. Если дозвуковая часть сопла имеет прямолинейные образующие, то для течения вязкого газа в плоском случае можно использовать решение Гамеля [97], а в осесимметричном — его обобщение, полученное в работе [206].

Метод малых возмущений для исследованиятечений, близких к радиальным

Общий случай пространственных возмущений. Радиальные течения или течения от источника (стока) рассматривались в п. 1.4.2. Наличие простой аналитической зависимости (1.149) между скоростью течения и радиальной координатой г существенно облегчает исследование течений, близких к радиальному. Течения, близкие к течениям стока и источника, имеют место в дозвуковой и сверхзвуковой областях конических сопел. Отличие течения в таких соплах от строго радиального связано с невозможностью реализации звуковой поверхности в виде сферы (окружности), поскольку в этом случае звуковая поверхность является предельной линией [122]. В сверхзвуковой области сопла специальной профилировкой контура можно реализовать, начиная с некоторой характеристики, точное радиальное течение. Однако наличие неизоэнтропических и пространственных возмущений, связанных с процессами в камере сгорания и деформациями контура, могут нарушить радиальность течения.

Исследование течений, близких к радиальным, естественно проводить методом малых возмущений, позволяющим получить линейные уравнения [68]. Пусть на радиальное течение наложены малые возмущения и возникающее течение мало отличается от исходного. Газодинамические функции представим в виде разложения по малому параметру

Ф = Фо + еФ1 + е2Ф2 + ...,(3.64)

где Фо — значение функции в радиальном течении. В основе метода малых возмущений лежит предположение, что функция и их производные — величины одного и того же порядка малости, и квадратами их можно пренебречь. Используя сферическую систему координат г, 0, ф с полюсом в центре источника (рис. 3.7), запишем

Рис. 3.7. Сферическая система координатРис. 3.7. Сферическая система координатуравнения движения, неразрывности и сохранения энтропии в следующем виде:уравнения движения, неразрывности и сохранения энтропии в следующем виде:5 , -Ах 5у .5 ,- АХ ЭиУ -55- (w Sin 0)5- + U -5- (г?У Sin 0) — -T-L 59 ''5ф] 1[ dr x’дф5 , -Ах 5у .5 ,- АХ ЭиУ -55- (w Sin 0)5- + U -5- (г?У Sin 0) — -T-L 59 ''5ф] 1[ dr x’дфw Г Э , ,5 , • ax ।5 , x Эи^-5 5— (ГУ) 55- (rW Sin 0) + U — (гу) — r sin 0 [dф x 750 x 71 8r x '50w Г Э , ,5 , • ax ।5 , x Эи^-5 5— (ГУ) 55- (rW Sin 0) + U — (гу) — r sin 0 [dф x 750 x 71 8r x '50wЭиЭr sin 0 5фdrwЭиЭr sin 0 5фdra25SЭН0V (у — 1) дфdф ’a25SЭН0V (у — 1) дфdф ’(3.65)(3.65)a2 9SЭН0у (у — 1) 5050’a2 9SЭН0у (у — 1) 5050’5 . .1 a2 Э8-5- (ГУ) = —7TT -5-dr x 7 J у (у — 1) dr5 . .1 a2 Э8-5- (ГУ) = —7TT -5-dr x 7 J у (у — 1) dr-Д- (r2pu) ^-5- (py sin 6)4~ (?“’) = О-r2 dr x r 7 1 r sin 0 d0 xr 7 r sin 0 дф Xl 7’-Д- (r2pu) ^-5- (py sin 6)4~ (?“’) = О-r2 dr x r 7 1 r sin 0 d0 xr 7 r sin 0 дф Xl 7’(3.66)5^ dr ’(3.67)(3.68)(3.66)5^ dr ’(3.67)(3.68)Э8 . v 8S w OS dr ‘ r 50 r sin 0 dфЭ8 . v 8S w OS dr ‘ r 50 r sin 0 dф(3.69)(3.69)где и, v, w — проекции вектора скорости на оси сферической системы координат г, 0, ф, отнесенные к критической скорости звука. Уравнения движения (3.65) — (3.67) получены из уравнений Эйлера с использованием интеграла Бернулли и уравнения сохранения энтропии и называются часто уравнениями в форме Крокко [235].где и, v, w — проекции вектора скорости на оси сферической системы координат г, 0, ф, отнесенные к критической скорости звука. Уравнения движения (3.65) — (3.67) получены из уравнений Эйлера с использованием интеграла Бернулли и уравнения сохранения энтропии и называются часто уравнениями в форме Крокко [235].Представим искомые функции u = uq + eui, у = Уо + еУ1, W = Wq + 6W1, р = ро + ерьПредставим искомые функции u = uq + eui, у = Уо + еУ1, W = Wq + 6W1, р = ро + ерьв видер = ро + epi,S = So + eSi,^о = ^оо + ейоь(3.70)в видер = ро + epi,S = So + eSi,^о = ^оо + ейоь(3.70)Здесь нижним индексом 0 отмечены параметры радиального течения, ®Ф] — малые добавки, квадратами которых будем пренебре-Здесь нижним индексом 0 отмечены параметры радиального течения, ®Ф] — малые добавки, квадратами которых будем пренебре-

Рис. 3.7. Сферическая система координат

Рис. 3.7. Сферическая система координат

уравнения движения, неразрывности и сохранения энтропии в следующем виде:

уравнения движения, неразрывности и сохранения энтропии в следующем виде:

5 , -Ах 5у .5 ,- АХ Эи

У -55- (w Sin 0)5- + U -5- (г?У Sin 0) — -T-

L 59 ''5ф] 1[ dr x’дф

5 , -Ах 5у .5 ,- АХ Эи

У -55- (w Sin 0)5- + U -5- (г?У Sin 0) — -T-

L 59 ''5ф] 1[ dr x’дф

w Г Э , ,5 , • ax ।5 , x Эи

^-5 5— (ГУ) 55- (rW Sin 0) + U — (гу) — r sin 0 [dф x 750 x 71 8r x '50

w Г Э , ,5 , • ax ।5 , x Эи

^-5 5— (ГУ) 55- (rW Sin 0) + U — (гу) — r sin 0 [dф x 750 x 71 8r x '50

wЭиЭ

r sin 0 5фdr

wЭиЭ

r sin 0 5фdr

a25SЭН0

V (у — 1) дфdф ’

a25SЭН0

V (у — 1) дфdф ’

(3.65)

(3.65)

a2 9SЭН0

у (у — 1) 5050’

a2 9SЭН0

у (у — 1) 5050’

5 . .1 a2 Э8

-5- (ГУ) = —7TT -5-dr x 7 J у (у — 1) dr

5 . .1 a2 Э8

-5- (ГУ) = —7TT -5-dr x 7 J у (у — 1) dr

-Д- (r2pu) ^-5- (py sin 6)4~ (?“’) = О-

r2 dr x r 7 1 r sin 0 d0 xr 7 r sin 0 дф Xl 7’

-Д- (r2pu) ^-5- (py sin 6)4~ (?“’) = О-

r2 dr x r 7 1 r sin 0 d0 xr 7 r sin 0 дф Xl 7’

(3.66)

5^ dr ’

(3.67)

(3.68)

(3.66)

5^ dr ’

(3.67)

(3.68)

Э8 . v 8S w OS dr ‘ r 50 r sin 0 dф

Э8 . v 8S w OS dr ‘ r 50 r sin 0 dф

(3.69)

(3.69)

где и, v, w — проекции вектора скорости на оси сферической системы координат г, 0, ф, отнесенные к критической скорости звука. Уравнения движения (3.65) — (3.67) получены из уравнений Эйлера с использованием интеграла Бернулли и уравнения сохранения энтропии и называются часто уравнениями в форме Крокко [235].

где и, v, w — проекции вектора скорости на оси сферической системы координат г, 0, ф, отнесенные к критической скорости звука. Уравнения движения (3.65) — (3.67) получены из уравнений Эйлера с использованием интеграла Бернулли и уравнения сохранения энтропии и называются часто уравнениями в форме Крокко [235].

Представим искомые функции u = uq + eui, у = Уо + еУ1, W = Wq + 6W1, р = ро + ерь

Представим искомые функции u = uq + eui, у = Уо + еУ1, W = Wq + 6W1, р = ро + ерь

в виде

р = ро + epi,

S = So + eSi,

^о = ^оо + ейоь

(3.70)

в виде

р = ро + epi,

S = So + eSi,

^о = ^оо + ейоь

(3.70)

Здесь нижним индексом 0 отмечены параметры радиального течения, ®Ф] — малые добавки, квадратами которых будем пренебре-

Здесь нижним индексом 0 отмечены параметры радиального течения, ®Ф] — малые добавки, квадратами которых будем пренебре-

гать. В радиальном течении г0 = ^о = 0, а ио, ро, ро — функции лишь координаты г, величины So и hoo постоянны во всем потоке.

Получим линеаризованные уравнения для добавок. Из (3.69) следует, что

(3.71)(3.71)^- (eSJ = 0 или е5х = eS1 (6, ф).

(3.71)

(3.71)

Это соотношение означает, что энтропия сохраняется постоянной вдоль линии тока радиального течения, т. е. вдоль лучей, выходящих из полюса. Задание энтропии на начальной линии г = гн = = const полностью определяет возмущения энтропии во всем потоке.

Из уравнения (3.67) следует, что энтальпия также остается постоянной вдоль линий тока пространственного источника е/ф1 = = е/ф1(9, ф) и также полностью определяется заданием ее на начальной линии г = гн = const.

Линеаризованные уравнения движения (3.65), (3.66) имеют вид (в дальнейшем букву е и нижний индекс 1 у возмущений будем опускать)

• д 5,.Эи«оГ 1 os1 №о 1/О

sinti— (пт— =— —?— -т—,(3.72)

drv'дфи0У (у — 1) дф0^ dq>v'

9«оГ19S19h0 1

dr' дбuQ у(у — 1)9фйдЭф ‘\)

После линеаризации уравнения Бернулли и уравнения для энтропии получимПосле линеаризации уравнения Бернулли и уравнения для энтропии получим

После линеаризации уравнения Бернулли и уравнения для энтропии получим

После линеаризации уравнения Бернулли и уравнения для энтропии получим

Используя (3.74), приведем уравнение неразрывности (3.68) к виду

И (9 Г / 24 \1I 2 / 6, 'Д

Г ( Г — ГМ () — ги + гиир1=

1 Г ай1

= ■. л (rv sin 6) + — (rir) Ы——— , (3.75)

sinQ[a0дфJ ^ (?_ 1) (^2— 1)(х— и.^)

где и =(у + 1)/(у — 1).

Уравнение контура сопла представим в виде 0 = 0^+?^ (г, ф), тогда граничное условие непротекания на контуре можно записать следующим образом:

у = гмо"^- при 0 — 0;,.(3.76)

На линии г = гн или ио = uqh задаются

u = /i(0, ф), г = /2(0, Ф), ^о = /з(0, ф), 5 = А(0, ф). (3.77)

В случае осесимметричных возмущений задается граничное условие р = 0 при 9 = 0.

Для решения системы (3.72), (3.73), (3.75) применим метод Фурье разделения переменных. В силу периодичности решения по ср представим искомые функции в виде

к

Ф = 2 [Фы kTi 6) cos Аф + Ф2к (г, 9) sin Аф)],(3.78)

k=0

где Ф — любая из газодинамических функций, кроме w, для которой имеем

к

w = 2 [''А k^ 6) sin Аф — u\h (г, 9) cos Аф].

h=0

Подстановка рядов (3.78) в систему (3.72), (3.73), (3.75) дает уравнения для определения Фы(г, 9), ФгДг, 9). Например, для определения функций иц, vu, w\k имеем следующую систему уравнений:

sin 6 "If ^rW1^ += ~sin 6 "If ^rW1^ += ~Ч Г“0 Y(Y-l)Ч Г“0 Y(Y-l)^olh (®)^olh (®)8 , х 9“ihйоГ i1'ЧпЛГdr v UW' d6Uq? (Y _ij 30 a2 30—"жГг“1к(у'0— 1)]— ru1U + r4ulk(5-— 1И —x — V ur\ x / J8 , х 9“ihйоГ i1'ЧпЛГdr v UW' d6Uq? (Y _ij 30 a2 30—"жГг“1к(у'0— 1)]— ru1U + r4ulk(5-— 1И —x — V ur\ x / J(3.79)(3.80)(3.79)(3.80)1sin 61sin 6(rylh sin 9) + krwlh(rylh sin 9) + krwlh(V-l) (“-^Ж"-1)^'(V-l) (“-^Ж"-1)^'(3.81)(3.81)

sin 6 "If ^rW1^ += ~

sin 6 "If ^rW1^ += ~

Ч Г

“0 Y(Y-l)

Ч Г

“0 Y(Y-l)

^olh (®)

^olh (®)

8 , х 9“ihйоГ i1'ЧпЛГ

dr v UW' d6Uq? (Y _ij 30 a2 30

—"жГг“1к(у'0— 1)]— ru1U + r4ulk(5-— 1И —

x — V ur\ x / J

8 , х 9“ihйоГ i1'ЧпЛГ

dr v UW' d6Uq? (Y _ij 30 a2 30

—"жГг“1к(у'0— 1)]— ru1U + r4ulk(5-— 1И —

x — V ur\ x / J

(3.79)

(3.80)

(3.79)

(3.80)

1

sin 6

1

sin 6

(rylh sin 9) + krwlh

(rylh sin 9) + krwlh

(V-l) (“-^Ж"-1)^'

(V-l) (“-^Ж"-1)^'

(3.81)

(3.81)

Аналогичная система может быть получена для ыгА, Р2й, wih. Дифференцируя уравнения (3.81) по г и используя (3.79), (3.80), получим

8Эг8Эгкх~“окх~“ог А Ж - 1) Zj - ZT + u»Zx (1-1)г А Ж - 1) Zj - ZT + u»Zx (1-1)19 n 9Z11?ZVsin 0 89 \81П 6 89 Jsin2 Q19 n 9Z11?ZVsin 0 89 \81П 6 89 Jsin2 Q. rao f аы0 sin 0 ( 502^1_ Г_Ха_aosin20 Y(Y—1). rao f аы0 sin 0 ( 502^1_ Г_Ха_aosin20 Y(Y—1)где Zi= ruiA.где Zi= ruiA.sin 0 dSih"l x 8 Г2Д9-^»1511 y"(Y-1) ”5ЁГ ] “ 1^ 50" [ Aoo 50 J jsin 0 dSih"l x 8 Г2Д9-^»1511 y"(Y-1) ”5ЁГ ] “ 1^ 50" [ Aoo 50 J jx A01h2%2 Aoox A01h2%2 Aoo(Y-1)(“o-1)(x-“o)Aoo.(Y-1)(“o-1)(x-“o)Aoo.(3.82)(3.82)

8

Эг

8

Эг

к

х~“о

к

х~“о

г А Ж - 1) Zj - ZT + u»Zx (1-1)

г А Ж - 1) Zj - ZT + u»Zx (1-1)

19 n 9Z11?ZV

sin 0 89 \81П 6 89 Jsin2 Q

19 n 9Z11?ZV

sin 0 89 \81П 6 89 Jsin2 Q

. rao f а

ы0 sin 0 ( 50

2^1_ Г_Ха_

aosin20 Y(Y—1)

. rao f а

ы0 sin 0 ( 50

2^1_ Г_Ха_

aosin20 Y(Y—1)

где Zi= ruiA.

где Zi= ruiA.

sin 0 dSih"l x 8 Г2Д9-^»1511 y"(Y-1) ”5ЁГ ] “ 1^ 50" [ Aoo 50 J j

sin 0 dSih"l x 8 Г2Д9-^»1511 y"(Y-1) ”5ЁГ ] “ 1^ 50" [ Aoo 50 J j

x A01h

2%2 Aoo

x A01h

2%2 Aoo

(Y-1)(“o-1)(x-“o)Aoo.

(Y-1)(“o-1)(x-“o)Aoo.

(3.82)

(3.82)

Правая часть уравнения (3.82) известна, так как Su(6), Аои(6) известны во всем потоке. Поэтому рассмотрим решение однородной системы, которое соответствует потенциальным возмущениям (Su = Aou=O). Решение однородного уравнения будем искать в виде

Z, = 0(6)7? (г). (3.83)

Подставив (3.83) в (3.82) и разделяя переменные, получим для определения 0(6) уравнение Лежандра

sine^- + n(n + l)1— 0 = 0,(3.84)

sin 0 d0 \ d0 / 1 [ v 1' gin2 g J ’''

а для определения 7? (г) — уравнение Хейна

ddrddrr^((^-i)7?)-7?+^7?(|-i)r^((^-i)7?)-7?+^7?(|-i)+ n (n -|- 1) 7? = 0.(3.85)+ n (n -|- 1) 7? = 0.(3.85)

d

dr

d

dr

r^((^-i)7?)-7?+^7?(|-i)

r^((^-i)7?)-7?+^7?(|-i)

+ n (n -|- 1) 7? = 0.

(3.85)

+ n (n -|- 1) 7? = 0.

(3.85)

Одним из частных решений (3.84) являются присоединенные функции Лежандра

(cos 6)(- l)k sin'16

d (cos 0)"

где P„(cos6)— функции Лежандра. Целым номерам п соответствуют полиномы Лежандра.

Решениями уравнения (3.85) являются функции Zu (г) и Z2n(r), которые, так же как и присоединенные функции Лежандра, образуют полную систему. Они могут быть получены в результате численного интегрирования уравнения (3.85). Зная частные решения уравнения (3.82), можно найти его общее решение. Окончательно для определения и имеем

гн = 2 2 {[«ihnZin(r) + a2hTtZ2n (г)] cos к ср + n=l h=l

+ [Wu (г) + b2knZ№ (г)] sin Аф} Р^ (cos 6). (3.86)

Используя уравнение (3.79), (3.80), получим

гг = 2 S {[«ifen^m (г) + a2hnF2n (г)] cos ф 4- n—1 к=1

dF:? (cos 9)

+ lbltmFln(r) + b2hnF2Tt^ sin Аф} ^§, (3.87)

rw = — 2 S VVkhnFm (r) + a2№F2u (г)] к sin Аф — n=l k=l

— \biknFw (r) + b2hnF2T1 (r)] A cos Аф} -^^^. (3.88)

Здесь ац„, 6и„ — константы, которые, так же как и номера к и п, определяются из начальных и граничных условий. Функции Zi„, Z2n, ^in, Fin связаны соотношениями

_ dF. dF„

Таким образом, построено решение для случая потенциального трехмерного течения, близкого к радиальному.

Осесимметричные возмущения. Уравнения (3.86), (3.87) в этом случае примут вид

м = 7 2 Va-mZm (г) + a2nZ2n (г)] Р«(9),Тdp Q (3-89)

у = 7 2 VainFm (г) + a2uF№ (г)] ^^,

где Р„(0), dPn(Q)ldQ — функция Лежандра и их производные, удовлетворяющие уравнению

йгРdP

”+ctg9^ + „(n+i)Pn = 0.(3.90)

Вводя переменную х = и», уравнение Хейна (3.85) перепишем в виде системы

4 жх — 14 жх — 1(би-1 — 1) — 11 — ЖХ™1(би-1 — 1) — 11 — ЖХ™1Z„ -J- п (и + 1) Fn = 0, (3.91)Z„ -J- п (и + 1) Fn = 0, (3.91)

4 ж

х — 1

4 ж

х — 1

(би-1 — 1) — 1

1 — ЖХ™1

(би-1 — 1) — 1

1 — ЖХ™1

Z„ -J- п (и + 1) Fn = 0, (3.91)

Z„ -J- п (и + 1) Fn = 0, (3.91)

(3.92)(3.92)Решения Zi„, Z2n, F\w Fin этой начальных условияхZ\n (^н) Тн, Х2„ (жн) = 0,Решения Zi„, Z2n, F\w Fin этой начальных условияхZ\n (^н) Тн, Х2„ (жн) = 0,системы находятся численно приЛ„Ы=0,(3.93)F 1п (^н) ” ^п*системы находятся численно приЛ„Ы=0,(3.93)F 1п (^н) ” ^п*

(3.92)

(3.92)

Решения Zi„, Z2n, F\w Fin этой начальных условиях

Z\n (^н) Тн, Х2„ (жн) = 0,

Решения Zi„, Z2n, F\w Fin этой начальных условиях

Z\n (^н) Тн, Х2„ (жн) = 0,

системы находятся численно при

Л„Ы=0,(3.93)

F 1п (^н) ” ^п*

системы находятся численно при

Л„Ы=0,(3.93)

F 1п (^н) ” ^п*

^ПX — 12 Q

кх (1 — ях—2) ”

Таким образом определяются фундаментальные решения этой системы, с помощью которых можно построить любое частное решение. Константы «и, ain, Ъ\п, Ъ1п находятся из граничных и начальных условий для и и и. Для случая осесимметричных потенциальных возмущений, заданных на начальной линии, и при отсутствии возмущений в контуре (F = 0 в уравнении (3.76)) имеем

(3.94)(3.94)у = 0 при 6 = 0 и 6 = 0д,

(3.94)

(3.94)

и = /1(6), к = /2(0) при х = хе.13.95)

Для удовлетворения (3.94) номера п выбираются так, чтобы выполнялись условия

dPjdQ = 0 при 9 = 0, 9 = 9*.(3.96)

Приближенно значения и находятся из соотношения

и = л ^тп —|-j 0/Г1 — у (т = 2, 3, ...),(3.97)

поскольку для присоединенных функций Лежандра справедливы при больших п следующие асимптотические разложения:

Рп (COS 9) = V[(1 - A sin ф - ~ ctg 9 ctg ф ,

. АJ (3.98)

Ри (cos 9) = (— гф1/ —-- sin [ ф + -А I

'' v ' ’ яп sin 01 2 /’

если п > к, где Ф = (п + ^ 0 + ~р

Из (3.97) следует, что с уменьшением 0А увеличивается номер первой функции Лежандра, удовлетворяющей (3.96). Так, при 9ft = л/12 п = 14, а при 0Л = л/18 п = 22.

Пользуясь полнотой системы присоединенных функций Лежандра, представим /1(9), /г (9) в виде

/1 (9) = 2 fmPm (0), /2 (9) = 2 А ^Г -(3-")

п=1П=1

где®ь

J /1(9)Pn(9)sin9d9

fm °—^,(3.100)

J Р^ (9) sin 9d9 О

J /2 (9) ^dP^d^ sin 9d9

/an-•

J (dPjd^ sin 9d9 0

Теперь можно определить константы в (3.89) и выписать окончательные формулы для вычисления и (г, 0), к (г, 9):

и (г, 9) = — 2 IfinZm (г) -|- fan^an (г)] Рп (9),

n==1(3.101)

1 VIdpn (6)

U (г, 9) = -1 2 1/шЛп (Г) + f^F№ (г)1—^-.

П=1

Решение задачи при наличии возмущений в контуре сопла и при отсутствии возмущений на начальной линии должно удовлетворять неоднородному граничному условию на стенке сопла и однородному — на начальной линии, что приводит к решению сложной задачи об отыскании собственных значений функций Хейна. Этого можно избежать, если принять, что на начальной линии имеются возмущения, вызванные возмущениями контура. Тогда граничное условие на контуре сопла может служить для определения его формы.

Проанализируем свойства полученного решения. В работе [68] построено приближенное решение системы (3.91), (3.92), основанное па замене исходной системы некоторой эталонной, для которой известны частные решения, и получены асимптотические разложения по отрицательным степеням п с использованием этих частных решений. Оказалось, что такими частными решениями эталонной системы для системы (3.91), (3.92) являются функции Бесселя, имеющие в сверхзвуковой области колебательный характер с затухающей амплитудой при увеличении ио. На рис. 3.8, 3.9 представлены зависимости возмущенных составляющих скорости от ио в

Рис. 3.8. Изменение возмущенной составляющей скорости uin = ZinF в коническом сопле для разных 0л

сверхзвуковой области конических сопел с различными углами 9t, выраженные через функции Zi„, Z^ F\n, Ргп- Очевидно, что первое условие (3.93) эквивалентно заданию на начальной линии г = гн возмущений только радиальной составляющей скорости и, а второе — заданию возмущений только нормальной составляющей скорости и. Из рис. 3.8, 3.9 следует, что распространение возмущений

носит колебательный характер с затухающей по длине сопла амплитудой. При этом число нулей у функций увеличивается с уменьшением угла 0*. Колебательный характер распространения возмущений связан с отражением волн разрежения (или сжатия) от стенок и от оси сопла.

Рис. 3.9. Изменение возмущенной составляющей скорости щп = F\rJr в коническом сопле для разных 9л

Очевидно, что число таких отражений увеличивается с уменьшением угла Os, чем и объясняется увеличение частоты колебаний.

Представленное решение пригодно и для дозвуковой области конических сопел. Однако распространение возмущений от дозвуковых до трансзвуковых значений и носит не колебательный характер, а монотонно затухающий.

Решение для цилиндрической трубы. Методом малых возмущений может быть получено решение для случая 9л = 0, т. е. для течения в цилиндрической трубе. В этом случае возмущения накладываются на поступательный поток с числом Мо. В цилиндрических координатах z, г, ф решение для сверхзвукового потока имеет вид

N N

XTXiгаГ Гraz.raz 9,

и = —-о-pin COS -3»2n Sin-о- COS Аф —

n=lЙ=1P0ILP0P0 J

TLZi."1. 7 1 r /' X

olncos-3O2nsm-o- sin Аф A (nr),popo J J

"*i(3-102)

V = — 7, 7, pin Sin-5- + a2n cos-5- cos Аф —

p0poJ

raz , , raz 9 . , dJh (nr\ sin д—H bw cossin Аф) ?_

P0Pg J J dr ’

N N

X1 3 Г Г . nz .пгЛ . ,,

w = — 7, z, к «Ш Sin -s- + a№ cos -„- sin Arp + n=lh=l ц poP0 J

+ binSin-^- + &2nCOS^- cos fap 1 A (nr).

Здесь Po = ]A^— 1, Jk (nr)—бесселева функция /с-го порядка первого рода. Из этих формул также очевиден колебательный характер распространения возмущений. Частота колебаний растет при стремлении числа Мо к единице. Однако в этом случае не происходит затухания амплитуды колебаний.

Номера h определяются из граничного условия непротекания на стенке, согласно которому у = О при г = 1. Это означает, что искомые значения п суть корни уравнения

-<= о,(3.

1 которые приближенно могут быть найдены из соотношения

re = (fc + 0,5 + 2i)^--^(A: + 0,5 + 2i)-1 (i = 0, 1, ...).

Линейная теория для нестационарныхтечений газа в сопле

Рассмотрим задачу о распространении по соплу возмущений, заданных в его входном сечении. Она представляет, в частности, интерес для исследования процессов в камере сгорания. Приближенный метод решения этой задачи основан на линеаризации уравнений газовой динамики. Впервые такой подход был развит в работах [101, 264], в которых рассматривалось распространение по соплу продольных акустических возмущений. В дальнейшем он был развит для случаев продольных и пространственных возмущений, а также для вихревых и энтропийных возмущений [99, 108, 120, 134, 135, 229].

Изложим метод линеаризации для случая продольных возмущений, следуя работе [99]. Он основан на предположении об одномерном характере течения в сопле и малости отклонений газодинамических параметров от их значений в стационарном (невозмущенном) потоке. Будем пользоваться безразмерными величинами, приняв за характерный размер радиус минимального сечения сопла, а за характерные скорость и плотность — их критические значения для стационарного потока.

Рассмотрим сопло, плавно примыкающее к цилиндрической трубе, контур которого задан уравнением у = /(ж). Пусть на входе х = Xq, расположенном достаточно далеко от минимального сечения сопла (ж = х*), заданы синусоидальные колебания газодииа-

мических параметров с частотой со, например, давления или правого инварианта Римана (см. (1.78)). Представим любой параметр течения и, р, р в виде

g(x, t) =g°(x)+Ag = g°(x)[l + gx(x)etat], (3.104)

где g0^—известное стационарное значение, соответствующее одномерной теории (1.137) — (1.139), g^x1)—малые по модулю комплексные величины. Подставив (3.104) в нестационарные уравнения одномерной газовой динамики (см. п. 1.2.3) и исключив рх (х') с помощью соотношения

рх (х) = ур1 (ж), (3.105)

следующего из условия постоянства энтропии 5 = р/рт = 1/у, получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для действительной и мнимой частей и1 = i4 + iuj, р1 = pr + + фЬ

“°+ [2“r - (т - 1) pr] ® (рг - «О = 0,

\М02)1 L1 ‘ rj dx 141 2 г/ ’

u° f —^- — 1)+ [2^ — (у — 1) pl] со(рг — и^) — 0,

\ М02 Ч dx 1 L k ‘7 r2J dxr; ’

dul dpi ,„ dul„

U°S + U°~dT ~ ®Рг = °’ U° "57 + “° "57 + ®Pr 01 (ЗЛ06)

Эта система имеет особенность в критическом сечении сопла при М° = 1. Требование ограниченности производных при М° = 1 приводит к условию

+itoLi-[(T-l)^i + jjpi = o (3.107)

\ dx )| 1' dx 11x '

и соотношениям для duxjdx, dpxjdx

dp1dxdp1dx. , dV гео /ICO (3 y) 20 Гdx и \du6 \ Гdu°2^r + H M7-1^. , dV гео /ICO (3 y) 20 Гdx и \du6 \ Гdu°2^r + H M7-1^22du1dp1ico xdxdxu° Pdu1dp1ico xdxdxu° P(3.108)(3.108)

dp1dx

dp1dx

. , dV гео /

ICO (3 y) 20 Г

dx и \

du6 \ Гdu°

2^r + H M7-1^

. , dV гео /

ICO (3 y) 20 Г

dx и \

du6 \ Гdu°

2^r + H M7-1^

2

2

du1dp1ico x

dxdxu° P

du1dp1ico x

dxdxu° P

(3.108)

(3.108)

Систему (3.106) можно решать численно. Из (3.107), (3.108) следуют два соотношения, связывающие ^г, и\, р£, р\ при х = х^ и четыре соотношения, выражающие все производные через и, рг, р1. Поэтому, если при х = х* известны р^, р^, то можно найти 1Д, и\ и, вычислив производные, осуществить отход от особой точки х = х по формуле приращений. Далее систему (3.106) можно интегрировать числепно до х = хо (до входного сечения сопла).

Для приложений важно знать акустическую проводимость сопла i] = An/Ap при ж = жо, которая, в силу (3.104), (3.105), равна т] = ^/(и’/р1). Поскольку уравнения (3.106) линейны, отсюда следует, что начальные значения pr, р; при ж = ж* для вычисления ц можно брать произвольными.

Приведем связь с акустической проводимостью коэффициента отражения q = &p-/Ap+ при ж = жо, где Ар+, Ар_— приращения давления в приходящей и отраженных волнах. В рамках линейного приближения имеет место следующая связь ц и q: ц = = (1 —g)/(l + g). Модуль Q и аргумент ср коэффициента отражения выражаются через действительную ц, и мнимую щ части акустической проводимости с помощью формул

1 + П2 + Я2 + 2цг ’

.2гц

фg। / 211/2*

[(1 — —

В работе [99] путем численного решения нелинейной системы уравнений газовой динамики показано, что с ростом частоты точность линейной теории падает.

10 У. г. Пирумов, Г, С, Росляков

Глава 4

ДВУМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА В СОПЛАХ

В настоящей главе описаны течения газа в плоских и осесимметричных соплах. Несмотря на различные назначения сопел в технологических установках, таких как реактивные двигатели, аэродинамические трубы, МГД-генераторы, газодинамические и химические лазеры, в них можно выделить три характерные области течения: дозвуковую область течения в сужающейся части, трансзвуковую область в окрестности минимального сечения и сверхзвуковую область в расширяющейся части сопла. Для таких сопел характерны значительные продольные и поперечные градиенты газодинамических параметров, обусловленные ускорением потока до значительных сверхзвуковых скоростей на малой длине.

Общий вид сопла изображен на рис. 4 1. Нижним индексом а на этом рисунке и далее обозначаются параметры в выходном

сечении сопла. В соплах можно выделить так называемый разгонный участок, на котором газ ускоряется от малых сверхзвуковых скоростей (на характеристике АЕ') до больших сверхзвуковых скоростей в волне разрежения АЕОА'. Если замыкающая характеристика ОС, выходящая из точки О оси сопла, такова, что поток на ней равномерен и параллелен оси, то участок А'ОС называется выравнивающим. Такие области характерны для сопел реактивных двигателей и аэродинамических труб.

Особенности течения в дозвуковойи трансзвуковой областях сопла

Геометрию до- и трансзвуковой областей современных сопел можно характеризовать следующими параметрами (рис. 4 1): длиной дозвуковой части Zo, радиусом кривизны Д2, Л2 контура в окрестности минимального сечения сопла со стороны до- и сверхзвуковой областей, углом наклона конического участка 9о, радиусом сопряжения конического и цилиндрического участков Нх, радиусом минимального сечения г* и радиусом входного сечения г0 (или степенью поджатия п = г0/г*). Если в минимальном сечении имеет место излом образующей (такое сопло называют соплом с угловой точкой), то ускорение потока происходит в центрированной волне разрежения или, как говорят, в пучке (веере) волн разрежения. Характер течения в до- и трансзвуковой областях сопла во многом определяется значениями перечисленных параметров. Очевидно, что существенным параметром является также показатель адиабаты у. Изменение у в до- и трансзвуковой областях за счет физико-химических процессов несущественно, поскольку невелико изменение температуры продуктов сгорания на участке между входным и минимальным сечениями сопла. Представленные в этом параграфе результаты получены в основном при численном решении обратной задачи теории сопла [143].

Сопло с плоской поверхностью перехода через скорость звука. Практический интерес к соплам с прямолинейной звуковой линией связан с профилированием сопел аэродинамических труб и реактивных двигателей. Сверхзвуковую часть в этом случае можно профилировать независимо от дозвуковой, поскольку прямолинейная звуковая линия является одновременно характеристикой и первого и второго семейств. Задать apriori контур сопла, обеспечивающий прямолинейную звуковую линию, практически невозможно. Для этого необходимо и достаточно, чтобы в минимальном сечении контур сопла и все линии тока имели нулевые первые, вторые и третьи производные [239] С другой стороны, в рамках обратной задачи сопла Лаваля с прямолинейной линией перехода рассчитываются достаточно просто. В случае плоских или осесимметричных течений для этого необходимо и достаточно задать на оси симметрии распределение скорости, имеющее равную нулю первую производную в звуковой точке, например, в виде

W = и^+^-и^^ + Лж2)-1 (4.1) или

^ = ^ + (1-^) (1+Ы3)-1, (4.2) где W — модуль скорости, отнесенный к критической скорости звука а*, которая часто обозначается через % и называется приведенной скоростью, Wo,, — асимптотическое значение скорости при ж ->- — оо. Некоторые результаты расчетов представлены на рис. 4.2 10*

(здесь и далее, если нет специальных оговорок, 7 = 1,4). На рисунке показаны линии тока и линии W = const, а также изменение W вдоль линии тока ф = 0,06 при начальных условиях (4.1) на оси. Видно, что в области, где W > 0,2 и ф > 0,02, течение заметно отличается от одномерного. В окрестности прямолинейной звуковой

Рис. 4.2. Линии тока (ф = const) и линии постоянной скорости (W = const) в сопле с прямолинейной звуковой линией. Скорость на оси задана по закону (4.1) при А = 10, Wro = 0,1. Распределение скорости: 1 — линия тока ф = = 0,06, 2 — одномерная теория, 3 — ось симметрии

линии, расположенной в плоскости х = 0, при г > 0,25 в соответствии с решением п. 3.3.2 возникает местная сверхзвуковая зона и вторая звуковая линия; течение в этой зоне изоэнтропическое. Как видно из рисунка, линии тока в окрестности звуковой линии практически параллельны оси. Если скорость на оси симметрии задавать по закону (4.2), в поле течения также возникает местная сверхзвуковая зона, однако вторая звуковая линия имеет общую точку с прямолинейной звуковой линией на бесконечности.

Существование местных сверхзвуковых зон подтверждено экспериментально для сопел, соответствующих линиям тока с ф = 0,02 и ф = 0,06 (рис. 4.2). Приведенные на рис. 4.2 значения скорости получены пересчетом по экспериментально измеренному давлению. Расчетные и экспериментальные данные хорошо совпадают между собой в тех областях, где влияние вязкости невелико.

Некоторое различие наблюдается в пологих трансзвуковых областях, где вязкость проявляется особенно сильно. Отметим, что, несмотря на наличие большого положительного градиента давления в трансзвуковой области, в данном случае отрыва пограничного слоя не происходит.

Численные и экспериментальные исследования течений в соплах с прямолинейной звуковой линией показывают, что длина дозвуковой части таких сопел, рассчитанная в рамках идеальной жидкости, довольно велика, а из-за вязких эффектов реализовать прямолинейную звуковую линию практически не удается. В связи с этим такие сопла в реактивных двигателях не используются.

Сопло с криволинейной поверхностью перехода. Если производная dW/dx в центре сопла (при ж = 0) отлична от нуля,

Рис. 4.3. Линии тока (ip = const) и линии постоянной скорости (W = const) в сопле с криволинейной звуковой линией. Распределение скорости на оси задано по закону (4.3) при Woo = 0,1, Woo = 1,9, b = 3,5. Распределение скорости: 1 — линия тока i|) = 0,06, 2 — одномерная теория, 3 — ось симметрииРис. 4.3. Линии тока (ip = const) и линии постоянной скорости (W = const) в сопле с криволинейной звуковой линией. Распределение скорости на оси задано по закону (4.3) при Woo = 0,1, Woo = 1,9, b = 3,5. Распределение скорости: 1 — линия тока i|) = 0,06, 2 — одномерная теория, 3 — ось симметрии

Рис. 4.3. Линии тока (ip = const) и линии постоянной скорости (W = const) в сопле с криволинейной звуковой линией. Распределение скорости на оси задано по закону (4.3) при Woo = 0,1, Woo = 1,9, b = 3,5. Распределение скорости: 1 — линия тока i|) = 0,06, 2 — одномерная теория, 3 — ось симметрии

Рис. 4.3. Линии тока (ip = const) и линии постоянной скорости (W = const) в сопле с криволинейной звуковой линией. Распределение скорости на оси задано по закону (4.3) при Woo = 0,1, Woo = 1,9, b = 3,5. Распределение скорости: 1 — линия тока i|) = 0,06, 2 — одномерная теория, 3 — ось симметрии

то поверхность перехода будет криволинейной и расчет дозвуковой и сверхзвуковой областей должен производиться совместно. Рассмотрим течение в сопле при следующем распределении скорости на оси симметрии:

ж = 1 +(l-^^ + ^-l) 'ж = 1 +(l-^^ + ^-l) '(4.3)(4.3)

ж = 1 +

(l-^^ + ^-l) '

ж = 1 +

(l-^^ + ^-l) '

(4.3)

(4.3)

Здесь Woo, Woo — асимптотические значения скорости на бесконечности в дозвуковой и сверхзвуковой областях, параметр Ъ пропорционален производной скорости в центре сопла.

Типичное поле течения в сопле Лаваля с криволинейной поверхностью перехода показано на рис. 4.3. Видно, что при тр > 0,01 течение заметно отличается от одномерного как в до-, так и в

сверхзвуковой областях, звуковая линия и линия 9 = 0 отклоняются вверх по потоку от центра сопла так, что на контуре звуковая точка располагается вверх по потоку от минимального сечения. Поведение линий W = const определяется кривизной линий тока и, в частности, кривизной контура сопла. Изменение наклона этих линий происходит в окрестности точек, где изменяется кривизна линий тока (точки Л и В на рис. 4.3). Участкам с отрицательной кривизной соответствуют линии W = const, наклоненные вниз по потоку от оси, и в этих областях, как следует из уравнения (1.146), давление увеличивается по направлению от оси к контуру сопла. Наоборот, участкам с положительной кривизной контура соответствуют линии W = const, наклоненные вверх по потоку от осп, и давление в этой области уменьшается в направлении от оси к кон-, туру сопла. Ускорение потока на линиях тока увеличивается с уменьшением радиуса кривизны. Ускорение газа на оси происходит значительно медленнее, чем на контуре сопла.

Изложим некоторые результаты параметрического исследования течения в до- и трансзвуковых частях осесимметричных сопел [87, 107, 119, 142, 143]. Установлено, что определяющее влияние на параметры течения в трансзвуковой области оказывает величина радиуса Ra (см. рис. 4.1). Так, при R2>0,2r* и 9о < 85° параметры течения зависят в основном от R2 и весьма слабо от 9о.

Рис. 4.4. Зависимость относительного давления р/р*, от г = г/г* на контуре сопла при различных Оо (а) и Я2 (б)Рис. 4.4. Зависимость относительного давления р/р*, от г = г/г* на контуре сопла при различных Оо (а) и Я2 (б)

Рис. 4.4. Зависимость относительного давления р/р*, от г = г/г* на контуре сопла при различных Оо (а) и Я2 (б)

Рис. 4.4. Зависимость относительного давления р/р*, от г = г/г* на контуре сопла при различных Оо (а) и Я2 (б)

Типичные кривые давления на контуре при различных R2 = R^r^ и 0о показаны на рис. 4.4.

Показатель адиабаты у оказывает слабое влияние на распределение скорости W в до- и трансзвуковой областях сопла, при этом распределения давления р/р* при различных у могут различаться заметно. Этот результат находится в соответствии с одномерной

теорией. Таким образом, если в сопле с заданной геометрией рассчитано поле скоростей с некоторым значением у, то результаты этих расчетов можно использовать и при других значениях у.

Зависимости некоторых газодинамических параметров от R2 и у представлены на рис. 4.5. На рис. 4.6 построены звуковые линии в соплах с различными R2. Видно, что при малых Й2 у звуковой линии имеется точка перегиба.

Если в результате численного или аналитического решения известно поле течения в трансзвуковой области, то можно рассчитать положение характеристик. Характеристики 2-го семейства, исходящие из точки контура в минимальном _сечении, и распределе

ния вдоль них 5 = tg 0 и М при различных R2 и ^ представлены нания вдоль них 5 = tg 0 и М при различных R2 и ^ представлены наРис. 4.5. Влияние Я2 и 7 на абсциссы звуковой линии на оси и контуре, величину скорости W* на контуре сопла в минимальном сечении и угол наклона контура в звуковой точке (U = tg6*); 1 —эксперимент [119], 2 — эксперимент [24]Рис. 4.5. Влияние Я2 и 7 на абсциссы звуковой линии на оси и контуре, величину скорости W* на контуре сопла в минимальном сечении и угол наклона контура в звуковой точке (U = tg6*); 1 —эксперимент [119], 2 — эксперимент [24](в точках оси и контура £ = 0) приводит к немонотонному изменению числа М как в плоском, так и в осесимметричном случаях. Для плоского течения факт немонотонного изменения М очевиден и следует непосредственно из уравнения совместности (1.150).

ния вдоль них 5 = tg 0 и М при различных R2 и ^ представлены на

ния вдоль них 5 = tg 0 и М при различных R2 и ^ представлены на

Рис. 4.5. Влияние Я2 и 7 на абсциссы звуковой линии на оси и контуре, величину скорости W* на контуре сопла в минимальном сечении и угол наклона контура в звуковой точке (U = tg6*); 1 —эксперимент [119], 2 — эксперимент [24]

Рис. 4.5. Влияние Я2 и 7 на абсциссы звуковой линии на оси и контуре, величину скорости W* на контуре сопла в минимальном сечении и угол наклона контура в звуковой точке (U = tg6*); 1 —эксперимент [119], 2 — эксперимент [24]

Производная скорости dW/dx в центре сопла не может превышать некоторого предельного значения ^d-Widx"^ соответствующего течению с угловой точкой. Расчеты показывают, что это значение равно 0,6—0,7 для осесимметричных течений [143] и около 0,55 для плоских течений [78], что для осесимметричного случая хорошо согласуется с экспериментальными данными, полученными при измерении скорости на оси сопла при обтекании угловой точки [J19].

Представленные выше результаты относятся к течению типа Мейера, когда в потоке существует поверхность перехода через

дим трансформацию течения в суживающейся части сопла при увеличении перепада давления, т. е. рассмотрим переход от течения Тейлора к течению Мейера. На рис. 4.8 изображены звуковые

Рис. 4.6. Звуковые линии в соплах с различными относительными радиусами очертания минимального сечения й2 [143];1 — расчети эксперимент работы [107] при й2 = 0,1Рис. 4.6. Звуковые линии в соплах с различными относительными радиусами очертания минимального сечения й2 [143];1 — расчети эксперимент работы [107] при й2 = 0,1Рис. 4.7. Геометрия характеристик 2-го семейства, выходящих из точки контура в минимальном сечении, и распределения тангенса угла наклона и числа М вдоль нихРис. 4.7. Геометрия характеристик 2-го семейства, выходящих из точки контура в минимальном сечении, и распределения тангенса угла наклона и числа М вдоль них

Рис. 4.6. Звуковые линии в соплах с различными относительными радиусами очертания минимального сечения й2 [143];1 — расчет

и эксперимент работы [107] при й2 = 0,1

Рис. 4.6. Звуковые линии в соплах с различными относительными радиусами очертания минимального сечения й2 [143];1 — расчет

и эксперимент работы [107] при й2 = 0,1

Рис. 4.7. Геометрия характеристик 2-го семейства, выходящих из точки контура в минимальном сечении, и распределения тангенса угла наклона и числа М вдоль них

Рис. 4.7. Геометрия характеристик 2-го семейства, выходящих из точки контура в минимальном сечении, и распределения тангенса угла наклона и числа М вдоль них

линии в сопле с На = 2 для течения Тейлора при задании скорости на оси сопла в виде

W=W„+ (Wo-W^U+Aa:2)-1,W=W„+ (Wo-W^U+Aa:2)-1,(4.4)(4.4)

W=W„+ (Wo-W^U+Aa:2)-1,

W=W„+ (Wo-W^U+Aa:2)-1,

(4.4)

(4.4)

гтта Wn— скпипстт, и пр."Птпр е.пппй И S71 R РТР епхтпаа кспттхтп опптта

будет симметричен относительно плоскости я = 0. При ИЗ ~ 0,75 вблизи контура возникает сверхзвуковая зона, которая увеличивается с ростом перепада давления, т. е. с ростом PFo, а значит, и №.. При PFo = 1 сверхзвуковая зона простирается от контура сопла до его оси.

В отличие от решения Тейлора [см. (3.45)], которое справедливо лишь при больших 7?г(-Й2>5) и согласно которому сверхзвуковая зона всегда захватывает минимальное сечение, местные сверхзвуковые зоны вначале изолированы и располагаются симметрично относительно минимального сечения и лишь при ИС > 0,88

Рис. 4.8. Форма звуковых линий в осесимметричном течении ТейлораРис. 4.8. Форма звуковых линий в осесимметричном течении Тейлора

Рис. 4.8. Форма звуковых линий в осесимметричном течении Тейлора

Рис. 4.8. Форма звуковых линий в осесимметричном течении Тейлора

захватывают его. Значению ИС = 0,75 соответствует И7» = 0,94, а значению Wo = 1 соответствует PF„= 0,1014. В течении Мейера для рассматриваемого сопла И7» = 0,1015, т. е. переход от течения Тейлора с замкнутой звуковой линией при ИС = 1 к течению Мейера происходит при изменении скорости всего на 0,1 %.

Локальные зоны торможения. Иногда в ускоряющемся потоке возникают местные зоны торможения, что может привести к нежелательному отрыву пограничного слоя и ухудшению теплозащиты сопла. Зона торможения возникает при малых Ri в дозвуковой части сопла в окрестности точки сопряжения радиусного и цилиндрического участков. Зависимость коэффициента давления Ср в этой области от длины сопла показана на рис. 4.9, где дано сравнение экспериментальных [119] и расчетных [143] данных. При

малых Ry в окрестности точки сопряжения цилиндрической и сужающейся частей происходит торможение потока, в то время как при Ri > 2г0 имеет место монотонное ускорение потока. Область постоянных значений Ср при Ry = О,6го, зарегистрированная в эксперименте, соответствует отрыву пограничного слоя. Оказалось, что максимальное положительное значение Срт зависит

Рис. 4.9. Коэффициент давления в окрестности точки сопряжения цилиндрического и конического участков сопла в дозвуковой области течения, полученный из расчета (7) и эксперимента при Ry = О,6го (2), Ri = О,8го (3) и Ry = 1,2г0

в основном от Ry и весьма слабо — от 9о, и и р В то же время для любого п можно выбрать достаточно короткий контур сопла, не содержащий в этой области зон торможения.

Выше уже были приведены примеры возникновения местных зон торможения в трансзвуковой области в окрестности прямолинейной звуковой линии. Характерная особенность их состоит в том, что они являются местными сверхзвуковыми зонами, расположенными вверх по потоку от минимального сечения. Исследование течения в этих зонах, проведенное в рамках идеальной жидкости, при решении прямой задачи для сопел, контуры которых получены из решения обратной задачи, показало устойчивость таких течений по отношению к малым возмущениям при условии, что с высокой точностью выдерживается геометрия контура. Экспериментальное исследование также показывает существование зон торможения, хотя наличие пограничного слоя несколько искажает расчетную картину течения.

Вверх по потоку от звуковой точки на контуре также возможно образование местных зон торможения, если на небольшой длине происходит резкое изменение угла наклона контура (см. рис. 4.4). Местная зона торможения при больших 9о возникает выше минимального сечения в окрестности точки сопряжения конического участка контура с дугой окружности [87, 143]. Аналогичные зоны

торможения в сверхзвуковой области возникают после разгона газа на участках контура с малой кривизной в окрестности точки сопряжения дуги окружности с коническим участком контура (рис. 4.4, б) [24, 87, 143].

Возможность возникновения зон торможения в сверхзвуковом потоке в окрестности точки разрыва кривизны и в окрестности угловой точки может быть предсказана аналитически. Рассмотрим треугольник 123 (рис. 4.10, а). Вдоль характеристик первого 1—3

Рис. 4.10. К исследованию зоны торможения потокаРис. 4.10. К исследованию зоны торможения потока

Рис. 4.10. К исследованию зоны торможения потока

Рис. 4.10. К исследованию зоны торможения потока

и второго 1—2 семейств выполняются уравнения совместности (2.12), которые для изоэнтропического течения запишем в виде (s — длина дуги)

^+L(M, ^dM + N^, М, г) ds = O,(4.5)

где

7, (М, у ==^ м Г) = УЙЩ!1. (4-6)М [2 т (у — 1) М2]гМ

Параметры в точках 7, 2, 3 связаны между собой соотношениями:Параметры в точках 7, 2, 3 связаны между собой соотношениями:

Параметры в точках 7, 2, 3 связаны между собой соотношениями:

Параметры в точках 7, 2, 3 связаны между собой соотношениями:

Здесь (<7M/ds)w и (dMfds).— производные М вдоль стенки и характеристики 2-го семейства соответственно. Используя соотношения вдоль характеристик 1-го семейства

получймполучймe3-ei-L(M3-M1) + ^As+ = 0,(4.10)e3-ei-L(M3-M1) + ^As+ = 0,(4.10)

получйм

получйм

e3-ei-L(M3-M1) + ^As+ = 0,(4.10)

e3-ei-L(M3-M1) + ^As+ = 0,(4.10)

Формула (4.11) позволяет по известным (7M/ds)_ и (d^/ds)w определить (dM/ds)w. В частности, если в некоторой точке па контуре имеет место разрыв второй производной, то разрыв

производной dMfds определяется из соотношения

ГЖ1 J_ № 1 (4

Расчет значений производных в точках разрыва кривизны по формуле (4.11) показывает возможность появления зон торможения при малых ВЛ в сверхзвуковой области в окрестности точек сопряжения с коническим участком сопла.

Из формулы (4.12) следует, в частности, что на контуре цилиндрического участка, примыкающем к контуру, выполненному в виде дуги окружности, поток должен тормозиться, так как на

характеристиках 2-го семейства, выходящих из точки сопряжения,

Рис. 4.11. Распределение числа М в сопле с цилиндрическим насадком (а) и на контуре плоского и осесимметричного сопла с угловой точкой при различных Нг (бу, 1 — Мо = 4, 7 = 1,4, v = 0; 2 — М? = 5,5, ч — 1,4, v = 1

М вдоль цилиндрического участка. В начальной части цилиндрического участка М уменьшается (течение сжатия), затем увеличивается, а далее вновь уменьшается, что соответствует колебательному характеру распространения малых возмущений в соплах и решению, представленному в гл. 3. Наличие области сжатия приводит к пересечению характеристик 2-го семейства, выходящих из точек контура, и образованию ударных волн. Значительное торможение потока в начале цилиндрического участка может привести к отрыву пограничного слоя в этой области. Течение на

цилиндрическом участке может быть рассчитано и методом малых возмущений по формулам (3.102). Число Мо в этом решении определяется из уравнения неразрывности 5(Мо)=ц, где ц— коэффициент расхода. Число _Мо увеличивается с уменьшением Дз и равно 1,05; 1,1; 1,2 при Дз = 2; 1; 0,5 соответственно. Если в области минимального сечения контур сопла образован сопряженными дугами окружностей радиусов R2, R® (рис. 4.10, б), то согласно (4.12) градиент давления остается отрицательным, несмотря на разрыв в производной dMfds. Изучим теперь течение за угловой точкой, расположенной в минимальном сечении сопла. Из рассмотрения характеристического треугольника в окрестности угловой точки можно получить дифференциальное уравнение для производных вдоль характеристик волны разрежения, выходящих из угловой точки, которое позволяет определить значение этих производных на любой характеристике по известным значениям на некоторой начальной характеристике. Выпишем без вывода это уравнение для плоского и осесимметричного случаев:

=(413)

д у + 1 Г cos (0 + а)у — cos 2а sin 2а cos (6 — а)д у + 1 Г cos (0 + а)у — cos 2а sin 2а cos (6 — а)где

д у + 1 Г cos (0 + а)

у — cos 2а sin 2а cos (6 — а)

д у + 1 Г cos (0 + а)

у — cos 2а sin 2а cos (6 — а)

2 sin 2а 1 g v sin (0 + ос)

1 + cos 2а j ’2 cos (6 — а) ‘

Решение этого уравнения имеет видРешение этого уравнения имеет вид

Решение этого уравнения имеет вид

Решение этого уравнения имеет вид

где (dajdx^o— значения da/dx на характеристике 2-го семейства, выходящей из точки контура в минимальном сечении для сопла без угловой точки, контур которого до минимального сечения совпадает с контуром сопла с угловой точкой (согласно рис. 4.7 {da/dx)o> 0). По (4.14) можно определить da.(dx на различных характеристиках 2-го семейства, выходящих из угловой точки. Мояшо показать, что значение производной da'dx резко уменьшается по мере увеличения 9 в угловой точке. Так, при Дз = 2 da/dx меняет знак и становится отрицательной при 6 = 3°. Для сопел с угловой точкой и равномерным потоком на выходе это соответствует значениям числа Маха Мо на выходе Мо ~ 1,5. Для таких сопел функция (d^ds)w в окрестности угловой точки на контуре положительна, поэтому из (4.11) следует, что, начиная с некоторых значений 9 = 0$, градиент давления за угловой точкой должен быть отрицательным. Величина 9* зависит от Дз и увеличивается при уменьшении Д2. Расчет производной dajdx вдоль характеристик 2-го семейства по формуле (4.14) и вдоль контура с угловой точкой по формуле (4.11) показывает, что при Д2 > 0,5 и Мо > 1,5 на контуре осесимметричных сопел с угловой точкой

производная da/dx, а следовательно, и dp]dx отрицательна, dM/dx— положительна.

Из формулы (4.14) следует, что в осесимметричном случае производная daidx уменьшается быстрее, чем в плоском (что связано с наличием второго члена в квадратных скобках), и может стать отрицательной даже при положительном значении ^dajdx^o. В плоском случае в окрестности угловой точки (d^lds)w « 0, в то время как в осесимметричном (dt,,ds^w> 0. Таким образом, возможно торможение потока в окрестности угловой точки в плоском сопле [см. (4.12)], что проверялось также путем непосредственных расчетов в плоских и осесимметричных соплах. С этой целью с использованием данных на характеристиках, полученных при расчете течения в сопле с контуром, не содержащим угловой точки, определялись газодинамические параметры на характеристиках волны разрежения, возникающей при обтекании угловой точки. Полученные таким образом данные на характеристиках волны разрежения использовались далее для расчета течения в заданном контуре сопла, выбранного из семейства сопел с угловой точкой и с равномерной характеристикой на выходе, рассчитанного из условия прямолинейности звуковой линии. Типичные результаты расчетов представлены на рис. 4.11, б. Как видим, распределения числа М для сопел с криволинейной и с прямолинейной звуковыми линиями заметно различаются лишь в малой окрестности угловой точки (ж<1), что находится в соответствии с известным фактором быстрого затухания начальных возмущений в сверхзвуковых соплах. В осесимметричном случае, в отличие от плоского, наличие криволинейной звуковой линии не приводит к возникновению зоны торможения в окрестности угловой точки.

Существование зоны торможения в плоском сопле с угловой точкой и равномерным потоком в выходном сечении при наличии криволинейной звуковой линии можно обнаружить также из следующего рассмотрения. Обратимся к рис. 4.12, на котором схематически изображено поле течения в таком сопле. На граничной характеристике волны разрежения АС из (1.150) имеем

/(М)+9 = /(М0), (4.15) где Мо — число Маха на прямолинейной характеристике СЕ, а /(М)—функция Прандтля — Мейера. С другой стороны, поскольку точка А — угловая, то параметры в этой точке связаны соотношением для характеристик первого семейства и

/(Мл)-ел = -ек>о, (4.16)

поскольку точка К лежит на звуковой линии, на которой угол наклона вектора скорости к оси симметрии отрицателен. Из (4.15) и (4.16) имеем

/(Мд) = 4[/(МО)-0КЬ (4.17)

На характеристике 1-го семейства BN, выходящей из центра сопла, /(М) —6 = 0, а на характеристике ND /(М) + 6 = /(Мо). Следовательно, в точке N

/(М^) = 1/(М0). (4.18}

Из формул (4.17) и (4.18) следует, что МА>М№, т. е. при перемещении от точки А к точке N число Маха уменьшается. Если 6к = 0, как это имеет место в сопле с прямолинейной звуковой

Рис. 4.12. Схема течения в плоском сопле с угловой точкой; С^ и С^_ — предельные характеристики

линией, то МЛ = Мд- и изменение газодинамических параметров на контуре сопла за угловой точкой происходит монотонно.

Характеристика СЕ прямолинейна, поэтому течение в области АСЕ есть простая волна и M# = Мр. Таким образом, МЛ > Мр, а так как MF < Мо, то, следовательно, изменение числа Маха вдоль характеристик пучка немонотонно, что приводит к немонотонному изменению числа Маха на контуре сопла. Минимальное значение числа Маха на каждой из характеристик пучка достигается в точках пересечения с характеристикой BN. Отметим, что расстояние от точки А до точки N не превышает 0,7г*. Если в качестве контура сопла использовать линии тока, лежащие ниже точки F, то на этих линиях тока зоны торможения будут отсутствовать.

Коэффициент расхода и критический перепад давления. Важной характеристикой сопла является коэффициент расхода щ который определяется как отношение истинного расхода газа, проходящего через минимальное сечение заданной площади, к расходу газа через то же сечение, полученному по одномерной теории при прочих равных условиях. Отличие коэффициента расхода от единицы связано с неравномерностью параметров в минимальном

неравновеснымнеравновеснымсечении, с наличием пограничного слоя, а также с протеканием физико-химических процессов.

неравновесным

неравновесным

Если контур сопла в окрестности минимального сечения имеет

вид дуги окружности, то звуковая линия являетсявид дуги окружности, то звуковая линия является. криволинейной и коэффициент расхода меньше единицы вследствие неравномерности поля скоростей, увеличивающейся с уменьшением Яг. При такой форме контура трансзвуковой области сопла коэффициент

вид дуги окружности, то звуковая линия является

вид дуги окружности, то звуковая линия является

Рис. 4.13. Зависимость коэффициент» расхода от 90 и Кд 7 — расчет [78], 2 — расчет [143], 3 — расчет для v = 0 [208], 4— эксперимент при v = 1 [119]Рис. 4.13. Зависимость коэффициент» расхода от 90 и Кд 7 — расчет [78], 2 — расчет [143], 3 — расчет для v = 0 [208], 4— эксперимент при v = 1 [119]сятся к случаю запертого течениясятся к случаю запертого течениярасхода зависит в основном от Яг и слабо зависит от 0о и показателя адиабаты у. Зависимость р от 0о проявляется лишь при малых Яг (Яг < 0,5). Различие в коэффициентах расхода для плоского и осесимметричного ^случаев при одинаковых Яг невелико (рис. 4.13).

Рис. 4.13. Зависимость коэффициент» расхода от 90 и Кд 7 — расчет [78], 2 — расчет [143], 3 — расчет для v = 0 [208], 4— эксперимент при v = 1 [119]

Рис. 4.13. Зависимость коэффициент» расхода от 90 и Кд 7 — расчет [78], 2 — расчет [143], 3 — расчет для v = 0 [208], 4— эксперимент при v = 1 [119]

сятся к случаю запертого течения

сятся к случаю запертого течения

В сужающемся насадке с угловой точкой в минимальном сечении звуковая линия имеет точку перегиба, неравномерность потока может быть значительной, в особенности при больших углах 0q. Коэффициент расхода в осесимметричном случае можно определить по экспериментальным данным, представленным на рис. 4.13. В плоском случае при 0о = 90° расчетное значение ц равно 0,856 и незначительно отличается от значения в осесимметричном случае.

Представленные данные по коэффициенту расхода отно- сжимаемого газа, когда расход

газа не зависит от внешнего давления. Расчетных и экспериментальных данных в случае незапертого течения, зависящего от внешнего давления рн, значительно меньше. Отметим в связи с этим расчеты работы [236], согласно которым при истечении несжимаемой жидкости из отверстия с плоскими стенками при 0о = 90° и у = 1,4 ц = 0,611, а для сжимаемого газа при критическом отношении давления рн/ро = 0,528 ц = 0,745.

Изменение коэффициента расхода из-за влияния пограничного слоя можно рассчитать по формуле

(4.19)(4.19)Ар = 26**г7гЯ, Я = 6*/6**,

(4.19)

(4.19)

где 6*, 6** — толщина вытеснения и толщина потери импульса [1, 3]. Для турбулентного пограничного слоя в случае гладкой поверхности величину Н можно определить по формуле

Я = ^ pw(l + ^i^ М2) + у1^ М2] -

- (1 - Tw) (1 + ^i М2 j ^ + | fto (1 + fj] j; (4.20)

где Т„ — отношение температуры стенки к температуре торможения. В большинстве случаев изменение коэффициента расхода из-за влияния пограничного слоя составляет 0,1 — 0,2 %. Для ламинарного пограничного слоя (при Тш = 1) Н = 4,4; 10; 20 при числах М = 1, 3 и 5 соответственно. С уменьшением Тто от 1 до 0,2 Н уменьшается приблизительно вдвое. Однако если характерное число Рейнольдса Reo мало и вязкий слой занимает значительную часть площади сопла, то изменение коэффициента расхода при изменении числа Рейнольдса может быть значительным. При изменении Re0 = Po^maxC*^1 (ро, "По — плотность и коэффициент вязкости в точке торможения, И^мх — максимальная скорость истечения) от 102 до 103 коэффициент расхода изменяется от 0,6 до 0.9 [163] (см. гл. 8). Для сопел реактивных двигателей число Рейнольдса обычно на три-четыре порядка выше.

Наличие криволинейной звуковой линии приводит к зависимости критического перепада давления от формы трансзвуковой области, т. е. от величины Rs (или 6о в случае конического суживающегося насадка). Для пояснения физического существа этого явления рассмотрим истечение газа из плоского отверстия с прямолинейными стенками (рис. 4.14). Если скорость струи дозвуковая, то сечение, в котором линии тока становятся параллельными, а давление поперек струи постоянным, лежит на бесконечности (рис. 4.14, а). Если же скорость на границе струи звуковая, т. е. рн/Ро = л(1), то это сечение находится на конечном расстоянии 1° (при 60 = л/2 1°« ~0,6г*), а звуковая линия есть линия АВС (рис. 4.14, б), при этом расстояние 1° увеличивается с уменьшением 6о [132]. Если теперь уменьшить внешнее давление так, чтобы отношение рн/Ро стало мень ■ ше л(1), то граница струи и звуковая линия АВС примут форму, представленную на рис. 4.14, в. Расширение течения в угловой точке А происходит до внешнего давления. Волны, исходящие из угловой точки, являются, естественно, волнами разрежения, а от звуковой линии они отражаются в виде волн сжатия. Если внешнее давление близко к критическому, т. е. pjpo ~ л(1), то волны Маха многократно отражаются от звуковой линии и поверхности струи. От поверхности струи волны сжатия, исходящие от звуковой линии, отражаются в виде волн разрежения, следовательно, в звуковой линии подходят всегда волны разрежения. Воздействие струи на звуковую линию прекращается вниз по потоку от характерис- П У Г Пирумов, Г. С. Росляков

тики DC, исходящей из звуковой точки на оси. При дальнейшем понижении внешнего давления качественно картина сохраняется пока характеристика DC не попадет на границу струи вниз по потоку от угловой точки А. При этом с уменьшением внешнего

Рис. 4.14. Схемы истечения газа из плоского отверстия при различных перепадах давления

давления протяженность звуковой линии АС уменьшается, а звуковая точка на оси симметрии перемещается вверх по потоку.

Пока волны Маха, исходящие от свободной поверхности струи, не достигнут звуковой линии, до тех пор внешнее давление влияет на дозвуковую область течения. По этой же причине расход струи зависит от внешнего давления даже при сверхзвуковой скорости истечения. Лишь когда внешнее давление становится столь низким, что характеристика DC выходит непосредственно из угловой точки (рис. 4.14, а) и ни одна из волн Маха, исходящих от свободной поверхности струи, не достигает звуковой линии, расход перестает зависеть от внешнего давления.

Аналогичная картина течения наблюдается при любом 6о, отличном от нуля. При 0о — 0, т. е. при истечении из отверстия со стенками, параллельными оси, звуковая линия прямолинейна и перпендикулярна оси. Она является одновременно и характеристикой, и при достижении во внешней среде критического давления рн =Р* и его дальнейшем понижении расход газа перестает зависеть от рн. Таким образом, относительное внешнее давление р*!р01 при котором расход газа перестает зависеть от давления, является функ-

цией угла 6q. Из уравнения совместности нетрудно получить эту зависимость для плоского случая. Действительно, в угловой точке А, согласно уравнению совместности (1.150) (см. рис. 4.14),

(4.21)(4.21)/(Мд) — Эд = 0о.

(4.21)

(4.21)

На характеристике второго семейства DC, выходящей из звуковой точки па оси,

/(М)+0 = О.(4.22)

Если характеристика DC приходит в точку А, то имеем

/(М1)=^-.(4.23)

Знаяиз (4.23) величину Мл, определим р®/р0 = л (Мд). Зависимость критического перепада давления p°Jp0 от 6о и у представлена

Рис. 4.15. Зависимость критического перепада давления от угла наклона стенки 0о и показателя адиабаты уРис. 4.15. Зависимость критического перепада давления от угла наклона стенки 0о и показателя адиабаты у

Рис. 4.15. Зависимость критического перепада давления от угла наклона стенки 0о и показателя адиабаты у

Рис. 4.15. Зависимость критического перепада давления от угла наклона стенки 0о и показателя адиабаты у

на рис. 4.15. В плоском случае для 0О = л/2 при уменьшении внешнего давления от р* до р* расход увеличивается от 0,745 Qm до 0,856 Qm, где Qm = Р*«*г* [236J.

Отметим, что в [95] и других работах этих авторов представлены результаты численного исследования плоского и осесимметричного 'течений при 0о = 90°, в том числе данные о положении звуковой линии и величине коэффициента расхода при изменении внешнего давления от р* до р* и показателя адиабаты у от 1,1 ДО 1,67.

При внешнем давлении, меньшем р^, истечение струи является уже чисто сверхзвуковым и может быть рассчитано методом характеристик.

Течение на разгонном участке сопла. Интенсивность разгона потока в области волны разрежения АЕОА' (рис. 4.1) зависит от величины радиуса кривизны R® участка А А' контура сопла и растет с уменьшением R®. Заданное значение числа Маха Мо в точке О оси сопла достигается при наименьшей длине /о, когда ^2 = 0, т. е. при наличии угловой точки у контура сопла в мини-

мальном сечении. При этом в угловой точке скорость газа возрастает скачкообразно. Однако использование сопла с угловой точкой не всегда целесообразно из технологических соображений, поэтому радиус кривизны № обычно выбирают равным (0,2 — 0,5) г*.

При обтекании угловой точки образуется волна разрежения; расчет течения в этой области производится классическим методом характеристик. Начальная характеристика волны разрежения в случае криволинейной звуковой линии определяется из расчета трансзвуковой области течения (типичные характеристики и изменение параметров на них показаны на рис. 4.7). В случае прямолинейной поверхности перехода граничная характеристика совпадает со звуковой линией.

Расчет обтекания угловой точки в осесимметричном случае при наличии плоской поверхности перехода при различных значениях показателя адиабаты 7 проведен в [84]. При больших углах поворота потока характеристики второго семейства имеют точки максимума, в которых 6 = а. Значения а и 0 вдоль характеристик волны разрежения изменяются монотонно: а растет в направлении от угловой точки к оси, а 0 уменьшается.

Интенсивность разгона потока может, вообще говоря, зависеть от формы трансзвуковой области. Однако численное решение плоской задачи об истечении струи из отверстия с прямолинейными стенками показывает, что эта зависимость является слабой [78]. Аналогичный результат получен для осесимметричного случая путем экспериментального исследования распределения скорости на оси, возникающего при обтекании угловой точки [119]. Зависимость числа М от ж для плоского и осесимметричного случаев представлена на рис. 4.16. Ускорение потока до заданного числа Маха в осесимметричном сопле происходит на меньшей длине, чем в плоском. Кроме того, и в плоском и в осесимметричном случаях замена угловой точки участка с малым радиусом кривизны не приводит к сколь-либо существенному изменению длины /о разгонного участка. Так, при R® ^ 0,5 она увеличивается всего на 2—3 % по сравнению с длиной Zq Для сопла с угловой точкой. Длина разгонного участка зависит не только от числа М, но и от показателя адиабаты у, причем уменьшение 4 приводит к увеличению длины разгонного участка.

Можно получить приближенную аналитическую зависимость числа М от ж вдоль оси плоской и осесимметричной струй. При истечении струи в вакуум линии тока и характеристики при бесконечном удалении от среза сопла сходятся и стремятся к прямым линиям, наклонным под определенным углом к оси струи. Можно показать, что асимптотическое поведение параметров течения при достаточном удалении от входного сечения соответствует течению некоторого эквивалентного источника, интенсивность которого меняется при переходе от одной линии тока к другой. В частности, для линии тока, совпадающей с осью сопла, справедлива следую-

щая приближенная зависимость числа М от расстояния до источника:

5 = q5(M)]-1+v/2,(4.24)

где С — константа, зависящая от у и определяемая подбором. Так, в плоском случае (7=1 при ч = 1,4, С = 1,1 при ^ = 1,25 и (7 =, 1,15

Рис. 4.16. Изменение числа М на разгонном участке в плоском (v = 0) и осесимметричном (v = 1) случае. Истечение из отверстия с прямолинейными стенками при Оо = л/2: 1 — расчет, 7 — вычисление по (4.24); обтекание угловой точки при различных й2; 2, 3 — расчет_нри й2 = °°, 4 — расчет при /?2 = 2, 5 — расчет при R2 = 0,3, 6 — эксперимент при

Я2 = 2 [119]

при 7 = 1,14. В осесимметричном случае для этих же значений 7 константа С соответственно равна 1,17; 1,2; 1,25. Сравнение результатов расчета по формуле (4.24) и методом характеристик дано на рис. 4.16.

Конические сопла

Конические сопла находят широкое применение при решении многих научных и технических задач. Они используются в качестве двигательных сопел, сопел аэродинамических труб, а также при исследованиях различных неравновесных процессов. Течение газа в конических соплах изучалось многими авторами [23, 60, 68, 153, 253]. Наиболее полный анализ трансзвукового и сверхзвукового течений совершенного газа в конических соплах дан в работах [60, 153]. В данном параграфе рассмотрены особенности течения газа в сверхзвуковой части конического сопла на основе результатов, полученных численным методом, изложенным в п. 2.5.2. При этом в качестве начального сечения бралась характеристика 2-го семейства,

проходящая через точку контура в минимальном сечении сопла. Координаты точек на этой характеристике и значения газодинамических параметров определялись из решения обратной задачи в дои трансзвуковой областях сопла (см. § 2.3).

Часто используемое предположение о том, что течение в сверхзвуковой области близко к течению от источника, не всегда оправдано.

Рис. 417. Течение в коническом сопле. Линии тока и распределение чисел Маха в поперечных сечениях

В действительности течение в коническом сопле имеет существенно более сложную структуру. В окрестности точки сопряжения радиусного и конического участков сопла (рис. 4.17) при некоторых условиях может возникнуть торможение потока. Волна сжатия порождает ударную волну, которая, многократно отражаясь от оси симметрии и от контура сопла, может оказать заметное влияние на распределение параметров в потоке.

Рассмотрим влияние геометрических параметров сопла (^2> ^2, 9/1) и показателя адиабаты у на структуру течения, используя результаты работ [60, 153], в которых исследования проведены в широком диапазоне определяющих параметров. Рассмотренные варианты сведены в табл. 4.1 (чертой помечены величины, отнесенные к г*). Здесь приведены значения^2, Й2, 0fe, у, координаты точек на оси и на контуре, в которые приходит ударная волна, углы наклона (pi, фз падающей и отраженной ударных волн и отношение давления рг за отраженной ударной волной к давлению pt перед падающей ударной волной. На номера вариантов, помещенных в таблице, в дальнейшем будем ссылаться при анализе результатов расчетов.

Типичная картина течения газа в коническом сопле приведена на рис. 4.17 (табл. 4.1, вариант 2), где нанесены линии тока, положение ударной волны и эпюры числа Маха для ряда сечений х = const.

Как видно, в окрестности точки сопряжения С радиусного и конического участков сопла возникает «висячая» ударная волна, интенсивность которой увеличивается по мере приближения к оси

симметрии. Действительно, в окрестности точки сопряжения поток направлен от оси симметрии и при аналитическом контуре без точек разрыва кривизны продолжал бы разгоняться вдоль дуги окружности. Однако наличие конического участка является своего рода препятствием и приводит к разрыву производных в распределении параметров на стенке в точке сопряжения. Интенсивность разгона Таблица 4.1

Параметры течения в коническом сопле

Ось

Контур

к

й2

~R°

град

V

X

град

ф2, град

Pz/Pi

г

„ то £&

<р2, град

Pz/Pl

1

2,00

0,0

15

1,40

3,65

20

21

4,36

14,00

4,74

12

10

1,04

2

0,5

3,75

20

21

3,99

14,60

4,89

12

10

1,03

3

1,0

3,90

20

21

2,62

15,20

5,08

12

10

1,01

4

2,0

4,30

20

21

1,77

16,90

5,52

12

10

1,00

5

0,25

0,5

15

1,40

4,15

20

21

14,58

15,20

5,04

12

10

1,12

6

0,50

4,05

20

21

9,45

15,00

5,02

12

10

1,07

7

1,00

3,85

20

21

5,38

14,70

4,96

12

10

1,06

8

2,00

0,5

5

1,40

1,40

35

37

1,74

3,00

1,26

32

27

1,09

5,60

32

28

1,97

8,90

1,78

23

21

1,05

13,80

24

19

1,37

22,20

2,92

15

12

1,01

9

10

2,30

24

28

2,25

6,10

2,07

18

18

1,09

15,50

18

16

1,98

—

—

—

—.

—

10

10

6,50

20

14

5,56

—

—

—

—-

—

11

2,00

0,0

5

1,40

1,35

35

37

1,78

3,00

1,26

32

27

1,13

5,55

32

28

1,88

8,75

1,76

24

22

1,06

13,80

26

20

1,50

21,60

2,88

16

13

1,01

12

10

2,25

24

28

2,60

6,00

2,05

18

18

1,14

15,30

19

17

2,01

—

—

—

—.

—

13

20

6,30

20

14

8,55

—

—

—

—

—

14

2,00

0,5

15

1,14

3,00

23

26

2,46

3,70

3,29

21

17

1,05

15

1,25

3,30

21

23

2,93

10,40

3,78

17

13

1,05

16

20

1,14

4,50

26

19

2,35

18,00

7,48

14

И

1,01

17

1,25

5,10

23

17

2,78

—

—

—

—

—

18

10

1,14

2,00

27

33

1,89

4,90

1,86

23

23

1,08

10,60

23

22

1,69

21,00

4,68

15

14

1,01

19

1,25

2,15

26

31

1,94

5,35

1,92

21

21

1,08

12,20

21

20

1,65

—

—

—

—-

—

резко уменьшается, а при определенных условиях на стенке возможно и торможение потока. Возникающее в окрестности точки сопряжения течение торможения сопровождается пересечением характеристик одного семейства, что приводит к возникновению висячей ударной волны.

Скачок производной числа М на стенке в окрестности точки сопряжения может быть вычислен по формуле (4.12), которая для рассматриваемого случая приобретает вид

[5) = М (1 + S^ Ы2) ^ ~ 1)1/2^]-1.

Расчеты по этой формуле хорошо согласуются с результатами, полученными методом сеток [60].

Возникающая в точке сопряжения ударная волна может многократно отражаться от оси и стенки сопла. Интенсивность ее при приближении к оси симметрии расчет, а далее вниз по потоку уменьшается из-за влияния волн разрежения. В большинстве случаев интенсивность волны невелика. Наличие ударной волны влечет за собой немонотонность в распределении параметров по сечениям.

На рис. 4.18 представлено распределение числа Маха вдоль оси и контура конических сопел. Видно, что влияние Ri сказывается

Рис. 4.18 Распределение чисел Маха вдоль оси и контура конического сопла; варианты 2, 5, 6, 7

на распределении М и на интенсивности ударной волны в небольшой сверхзвуковой окрестности точки сопряжения, при этом с уменьшением Ri интенсивность ударной волны увеличивается. Слабо зависят от Ri и координаты точек пересечения ударной волны с осью симметрии и контуром сопла, с уменьшением Ri они смещаются вниз по потоку. При малых Ri па контуре сопла за точкой сопряжения возникает участок с почти постоянным значением числа М или даже с минимумом в распределении числа М, что соответствует росту давления. Влияние R® на параметры течения также невелико, хотя и более существенно, чем влияние Ri. Темп нарастания числа Маха в области криволинейного участка

контура сопла, а также по оси уменьшается с ростом Л®- Интенсивность ударной волны несколько возрастает с уменьшением R^ и достигает своего максимального значения для сопла с угловой точкой. С ростом /?з ударная волна сдвигается вниз по потоку. Представленные расчетные данные по распределению чисел М на оси и контуре, по положению и интенсивности ударных волн очень

Рис. 4.19 Положение скачка уплотнения и распределение относительного статического давления (ро— давление торможения);1 — расчет, 2 — эксперимент [23]Рис. 4.19 Положение скачка уплотнения и распределение относительного статического давления (ро— давление торможения);1 — расчет, 2 — эксперимент [23]

Рис. 4.19 Положение скачка уплотнения и распределение относительного статического давления (ро— давление торможения);1 — рас

чет, 2 — эксперимент [23]

Рис. 4.19 Положение скачка уплотнения и распределение относительного статического давления (ро— давление торможения);1 — рас

чет, 2 — эксперимент [23]

хорошо согласуются с результатами экспериментов [23, 68, 253]. На рис. 4.19 дано сопоставление численных результатов и экспериментальных данных работы 1[23].

Для исследования влияния угла 0А на течение в сверхзвуковой области были проведены расчеты для сопел с малым радиусом округления Л° = 0,5 и с угловой точкой R® = 0. Положение ударных волн и их интенсивность существенно зависят от угла 0А (см. табл. 4.1).

Расчеты, выполненные с разными значениями показателя адиабаты у, показывают, что, как и следовало ожидать, газ с большим 7 при фиксированной длине сопла расширяется до большего числа М. Ударная волна также более интенсивна и приходит на ось и стенку сопла в точки, более удаленные от минимального сечения. Если в трансзвуковой области сопла влияние у невелико, то в сверхзвуковой области оно может быть весьма существенным, особенно при больших углах 06. Это относится как к расположению ударных волн, так и ко всему течению в целом. С уменьшением ч происходит более быстрое выравнивание параметров в сечениях.

Широкое использование конических сопел в качестве объекта исследований обусловлено не только технологической простотой их изготовления, но и тем обстоятельством, что общепринято считать течение в них близким к течению источника. Однако реализация потенциального течения от источника требует специального профилированного сопла, поскольку наличие звуковой линии в виде дуги окружности приводит к появлению предельных линий [122], и как показывают результаты представленных выше расчетов,

в соплах возникают ударные волны. В течении же от источника на дугах окружностей, проведенных из центра источника, все газодинамические параметры постоянны, а вектор скорости направлен по лучам, выходящим из центра источника. Наиболее сильное отличие наблюдается в окрестности минимального сечения сопла, где происходит интенсивный разгон потока. Затем в окрестности точки сопряжения образуются волны сжатия, уменьшающие скорость потока. Далее вдоль контура вновь происходит разгон потока с последующим торможением в месте пересечения ударной волны с контуром сопла.

Различие в величине давления в действительном течении и в течении от источника уменьшается вниз по потоку, однако на значительной длине сопла оно достаточно велико и может составлять 10 4-15%. Этот факт необходимо иметь в виду при проведении экспериментальных исследований неравновесных течений, так как неравновесные процессы приводят к изменениям давления такого же порядка. На величину отклонения параметров действительного течения и течения от источника основное влияние оказывает угол 6& и значение у; с их увеличением растут и отклонения. При малых 66 и у течение в целом мало отличается от течения источника, однако даже для сопла с Ofc = 5 в окрестности ударной волны различие в давлении достигает 10 %.

Кольцевые сопла

Различные схемы осесимметричных сопел с кольцевым минимальным сечением (так называемые «тарельчатые» сопла, сопла с центральным телом, сопла с прямолинейной верхней стенкой) можно получить из кольцевого сопла путем изменения отдельных его элементов. Существуют три аэродинамические конфигурации кольцевых сопел — с нулевым, положительным и отрицательным наклонами минимального сечения (рис. 4.20, а, б, eY Кольцевые сопла с нулевым наклоном минимального сечения подразделяются на три группы: с внешним, внутренним и двойным (рис. 4.20, а, д, е) расширением. Практическое использование кольцевых сопел возможно в реактивных двигателях и в аэродинамических трубах. Использование кольцевых сопел в реактивных двигателях связано с возможностью значительного сокращения длины по сравнению с осесимметричными круглыми соплами, а также с получением большей тяги на нерасчетном режиме.

Для построения кольцевых сопел, реализующих максимальную тягу при минимальной длине, используются те же идеи, что и для круглых сопел. Разгон потока осуществляется при обтекании угловых точек или участков с малой кривизной в трансзвуковой области, а для получения контура выравнивающего участка сопла используется замыкающая характеристика, отвечающая равномерному и параллельному оси потоку.

Расчет кольцевых сопел методом характеристик. Рассмотрим метод расчета кольцевого сопла с двойным расширением г угловыми точками (сопло типа е на рис. 4.20). Первоначально методом характеристик рассчитывается осесимметричное течение разрежения. Расчет ведется вдоль характеристик первого семействе

Рис. 4.20. РазличныеРис. 4.20. Различные

Рис. 4.20. Различные

Рис. 4.20. Различные

в области волны О'ВО и вдоль характеристик второго семейства в области волны О' АО. Каждая из характеристик обрывается в точке, где угол наклона вектора скорости равен нулю. В процессе расчета определяются координаты линий тока и линии, вдоль которой 6 = 0, и вычисляются газодинамические параметры вдоль этих линий. Характеристики АО и ВО являются граничными характеристиками волн разрежения. Точка О, лежащая на линии 6 = 0, такова, что равномерная характеристика OD заканчивается точно на оси симметрии и расход газа через OD равен расходу газа через характеристику ОВ (в каждой точке равномерной характеристики OD 6 = 0 и М = Mo = const). Затем из точки О строится равномерная характеристика ОС также по условию равенства расхода через ОС и АО. В областях между характеристиками OD, ОВ и ОС, АО решаются задачи Гурса и определяется семейство линий тока, в частности, верхний и нижний контуры сопла. Поскольку линия 6 = 0 практически совпадает со средней линией минимального сечения О'О и может быть принята за линию тока, то сопла типа г и д на рис. 4.20 являются частными случаями сопла с двойным расширением типа е на рис. 4.20, в котором линия ОО' принята в качестве жесткой стенки. Указанное свойство является следствием того, что течение газа в окрестности кольцевого отверстия близко к плоскому течению, поскольку согласно уравнению совместности

осесимметричный характер течения почти не проявляется в областях, удаленных от оси симметрии, где drjr мало.

Точные расчеты течения в кольцевых соплах различных схем подтверждают плоский характер течения [27, 118, 155, 188]. В частности, распределение числа М вдоль линии 0 = 0 соответствует распределению числа М при истечении из плоского отверстия с прямолинейной звуковой линией (см. рис. 4.16, кривая 3). Для приближенного расчета этого распределения можно пользоваться формулой (4.24), в которой за ж нужно брать отношение длины к полуширине кольцевого отверстия. В плоском случае в областях АОС и BOD имеет место течение Прандтля — Мейера. Очевидно, что в кольцевом сопле в этих областях течение будет близко по свойствам к течению Прандтля — Мейера. Это свойство течения также подтверждается результатами точных расчетов. Характеристики NN', ММ' почти! прямолинейны, а газодинамические параметры вдоль них меняются незначительно. Аналогичными свойствами обладают и течения в соплах типа рис. 4.20, бив. Эти течения можно приближенно рассматривать как центрированные плоские течения Прандтля — Мейера. Очевидно, что погрешность, обусловленная таким предположением, увеличивается вблизи оси симметрии и уменьшается при удалении от нее. Поэтому контуры сопел в, г на рис. 4.20, а также верхний контур сопла е на рис. 4.20 и параметры на них рассчитываются достаточно точно в предположении о плоском характере течения.

Метод прямолинейных характеристик. Плоский характер течения в кольцевом сопле послужил основой для создания приближенного метода прямолинейных характеристик, согласно которому параметры на характеристиках обоих семейств предполагаются постоянными, а осесимметричность течения учитывается с помощью уравнения для расхода. В частности, координаты верхнего контура сопла е на рис. 4.20 (например, точки А) определяются по формулам

xn = $n- + (rN — r^,)ctg(ax' + e№), (4.26)

а нижнего контура (например, точки М) — по формулам

(4.27)(4.28)(4.27)(4.28)2 _ 2

(4.27)

(4.28)

(4.27)

(4.28)

гм — гм' q (Мм,) sin ам, ’

Хм = хм, — (гм — Гм-) ctg (аМ' — 9м').

Здесь ф^. — расход газа через минимального сечение, а фх', фм' — расходы газа через отрезки характеристик AN', ВМ'. Значения а, 0 в точках М и N принимаются равными соответствующим значениям в точках М' и N'. Течение в области волн разрежения АВО незначительно отличаются от плоского течения, поэтому значения фх' и фм' могут быть приблизительно определены, если известны Параметры на характеристиках плоских волн разрежения и вели-

чина расхода для плоского течения в точках N' и М'. Значет расхода гр° в осесимметричном течении определяется при извести значениях расхода фп в плоском течении по формуле

ф° = 2г° ^ h + ф11^, (4.

где нижний знак соответствует характеристикам второго семейст а верхний — характеристикам первого семейства, h — ширина верстпя.

При определении координат контуров сопел типа б, в на рис. 4 удобно задавать число Мо и радиусы го, гт. Расчет течения про водится вверх по потоку от характеристики АО до достижег звуковой скорости в угловой точке, при этом контур сопла опре ляется как линия тока с расходом, равным расходу через хар теристику АО. Примеры расчетов течений в кольцевых соплах п ведены в [118]. Для приближенного определения координат кон ра по-прежнему можно воспользоваться формулами (4.25) — (4.2

Рис. 4.21. Контур центрального тела сопла и распределения числа Маха М угла наклона скорости 0 вдоль него; 1 — метод характеристик [27], 2 — мег прямолинейных характеристик

понимая под точками N' и М' угловую точку А, значения а $ в которой связаны соотношением Прандтля — Мейера (1.150).! личина Ф*—фк' в формуле (4.25) должна быть заменена (гд — Гт) q (Мо), а величина фм' в формуле (4.27) — на Го7(М0).Пос довательно изменяя а в угловой точке отао = arcsin М^1 до а = л

можно определить координаты контура и значения параметров на нем. Сравнение результатов, полученных точным методом характеристик и приближенным методом прямолинейных характеристик, представлено па рис. 4.21 [27].

Нерасчетные режимы течения газа в соплах

При наличии внешнего противодавления рн можно выделить два характерных режима течения: автомодельный режим течения, когда в любой точке сверхзвуковой части сопла отношение статического давления на стенке к полному давлению не зависит от давления в окружающей среде, и неавтомодельпый режим течения, когда па некоторой части сопла распределение давления зависит от давления в окружающей среде. При автомодельном режиме течения тяга сопла определяется по формуле

P = P.-pJai (4.30)

где Рп— тяга в пустоте, Fa — площадь выходного сечения. Для определения тяги сопла при неавтомодельном режиме течения нужно знать силу, действующую на ту часть сопла, распределение параметров па которой зависит от внешнего противодавления. Силу тягп, действующую па остальную часть сопла, можно по-прежнему определять по соотношению (4.30). В общем случае тяга при неавтомодельном режиме течения, особенно при отрыве потока, превышает значение, определенное по формуле (4.30) для безотрывного течения.

Если давление в окружающей среде рн больше, чем статическое давление на контуре у среза сопла р„,, трудно определить расчетным путем силу, действующую на часть сопла с неавтомодельным распределением параметров, вследствие сложного характера взаимодействия скачка уплотнения и пограничного слоя па стенках сопла. В результате большой серии экспериментов в работах [19, 256] была получена для различных ч зависимость от числа М величины критического отношения давления в скачке уплотнения (рг/рОкр (Рь Рг— давление перед и за скачком уплотнения), при превышении которой происходит отрыв турбулентного пограничного слоя от стенки сопла. Эта зависимость при 1 СМ СЗ может быть аппроксимирована формулой

fI1-21 + °>39 (М - 1) + 0,055 (М - I)2].

Нерасчетные режимы круглых сопел. При рн> р„ передача внешнего давления по пограничному слою вверх по потоку имеет место и в том случае, когда palpw*^ (рг/рОкр при данном значении числа М. Это приводит к возникновению зоны повышенного давления длиной в несколько толщин пограничного слоя вблизи выходного сечения сопла при отсутствии отрыва потока [198]. При

Рис. 4.23. Экспериментальная завис! мость коэффициента удельного импул! са; 1 — расчетная кривая, правее кот< рой Кп не зависит от ра]рп и режим m течения автомодельныйРис. 4.23. Экспериментальная завис! мость коэффициента удельного импул! са; 1 — расчетная кривая, правее кот< рой Кп не зависит от ра]рп и режим m течения автомодельныйРис. 4 22. Распределение давления в коническом сопле при 0s = = 15°, Ма = 4, 7 = 1,4 на нерасчетных режимахРис. 4 22. Распределение давления в коническом сопле при 0s = = 15°, Ма = 4, 7 = 1,4 на нерасчетных режимах

Рис. 4.23. Экспериментальная завис! мость коэффициента удельного импул! са; 1 — расчетная кривая, правее кот< рой Кп не зависит от ра]рп и режим m течения автомодельный

Рис. 4.23. Экспериментальная завис! мость коэффициента удельного импул! са; 1 — расчетная кривая, правее кот< рой Кп не зависит от ра]рп и режим m течения автомодельный

Рис. 4 22. Распределение давления в коническом сопле при 0s = = 15°, Ма = 4, 7 = 1,4 на нерасчетных режимах

Рис. 4 22. Распределение давления в коническом сопле при 0s = = 15°, Ма = 4, 7 = 1,4 на нерасчетных режимах

pjpw ~ 0,5 (pz!p\)кр и Ма = 3,5 дополнительное увеличение тяги сопла за счет передачи давления может составлять 0,1—0,3 %, а при pjpw ~ (Рг/рОкр и развитом пограничном слое (б* «10 %), это увеличение в некоторых случаях может составлять 0,4—0,8 %. При Palp» >(pz/Pi)Kp скачок уплотнения перемещается внутрь сопла, возникают развитые отрывные зоны, на стенке сопла за скачком уплотнения вниз по потоку может происходить повышение давления, в особенности в профилированных соплах. Полученные экспериментальным пу-

тем распределения давления на стенке сопла при различны Р = pJpo показаны на рис. 4.22.

В общем случае для всех режимов рн > Р™ определение тяг сопла следует производить, пользуясь эмпирическими зависимост; ми, полученными либо прямыми измерениями тяги, либо путе дренажных испытаний. На рис. 4.23 в качестве примера привед на экспериментальная зависимость коэффициента импульса Кп ■■ — ЦРа^* от pJPs для оптимальных сопел при И = const (ра, Мо ■ давление и число Маха в выходном сечении, определенное по одн мерной теории). Эта зависимость иллюстрирует значительное ув личение импульса сопла (до 5—10%) по сравнению с безотры ным течением. На этой же фигуре представлена расчетная крива правее которой Кп не зависит от pdpB.

На практике часто пользуются коэффициентом тяги Р, который определяют как отношение тяги действительного сопла к тяге идеального сопла, имеющего давление на срезе ра = рн Очевидно, что такое идеальное сопло имеет переменную площадь выходного сечения, изменяющуюся с изменением ря, и максимальную тягу, так

Рис. 4 24 Зависимость коэффициента тяги Р сопел с различными числами Маха в выходном сечении от отношения давления на срезе сопла к внешнему давлению

как максимальной тягой при заданном противодавлении обладает сопло, имеющее рн = ра. С учетом потерь импульса это равенство выполняется лишь приближенно. Зависимость коэффициента тяги Р от ра!ри для оптимальных сопел при Fa = const приведена на рис. 4 24.

Нерасчетные режимы кольцевых сопел. Характерная особенность некоторых кольцевых сопел (сопла типа а, в, д; см. рис. 4.20) состоит в том, что па нерасчетных режимах, когда внешнее давление превышает давление р°, определенное в одномерном приближении по отношению площади выходного сечения сопла к площади минимального сечения, коэффициент тяги значительно превышает коэффициент тяги обычного сопла Лаваля. Это свойство связано с тем, что высокое атмосферное давление передается на контур центрального тела вследствие отражения характеристик первого и второго семейства от границы струи. В обычном же сопле Лаваля при рн > р° на большей части сопла статическое давление значительно ниже внешнего давления и лишь на концевом участке

сопла оно близко к внешнему давлению. Сравнение коэффициентов тяги различных сопел представлено на рис. 4.25, из которого очевидно преимущество кольцевых сопел на нерасчетных режимах. Коэффициент тяги здесь — это отношение действительной тяги сопла

к тяге идеального сопла, имеющего на выходе поток, параллельный

Рис. 4.25. Сравнение коэффициентов тяги различных сопел на нерасчетных режимах (см. рис. 4.20)

действительного сопла. Наибольшим коэффициентом тяги по сравнению с другими кольцевыми соплами обладают сопла типа б и д на рис. 4.20, в которых воздействие внешнего давления распространяется почти на весь контур. Ниже рассмотрены особенности течения на нерасчетных режимах таких сопел [27, 32, 194]. Для большинства типов сопел численное моделирование течения на нерасчетных режимах представляет весьма сложную задачу. Это связано в первую очередь с возникновением в потоке отрывных зон, пока не поддающихся достаточно строгому описанию. Для расчета течения в этих областях развиваются полуэмпирические методы. Нерасчетные режимы сопел типа б и в на рис. 4.20 относятся к тем немногочисленным примерам течений, которые удается рассчитать достаточно точно, поскольку в области течения не возникают сильные ударные водны. При нерасчетных режимах, когда рн > р°, численное решение может быть получено методом характеристик. Для сопла типа б (рис. 4 20) расчет течения в кольцевой области, заключенной между границей струи и контуром тела, начинается от характеристики АС волны разрежения, в точке А которой давление равно рв. Очевидно, что вверх по потоку от этой характеристики параметры потока такие же, как и па расчетном режиме при рн = р°.

12 у г Пирумов, Г. С Росляков

Рис. 4.27. Распределение давления на центральном теле и форма границы струи при Мо = 3,7, у = 1,4 для различных значений р°1ра: 1 — р°1р^ = 1, 2 — р0/рн = 0,67, 3 — р^р^ = 0,38, 4 — р°1ра = 0,15, 6 — р»1ра = 0,09

Рис. 4.28. Зависимость относительного давления от ргЧр „ в точках центральнс го тела с координатами х = 0,93 (а) и х = 2,5 (6) при Мо = 3,7, Y = 1,4

На рис. 4.26—4.28 представлены типичная геометрия границы струи и характеристик, распределение статического давления р, отнесенного к давлению торможения. Экспериментальные значения показаны на этих фигурах различными значками, а расчетные — сплошными линиями. Волнообразная структура границы струи и распределения давления на центральном теле вызвана отражением чередующихся волн разрежения и сжатия от границы струи и тела. Действительно, характеристики AC, CD, DE, EF, FG, GN и т. д. разделяют различные аналитические области течения (рис. 4.26). На этих характеристиках терпят разрывы производные газодинамических параметров и кривизна линий тока, в том числе и границы струи. Так, характеристика АС отделяет аналитическое течение разрежения АВС от течения в треугольнике ACD, определяемом параметрами на характеристике АС и на участке AD границы струи; характеристика CD отделяет течение сжатия в области CDE, определяемое контуром тела и параметрами на характеристике CD, от течения в треугольнике ACD. Разрывы производных давления на теле возникают соответственно в точках С, Е и G.

Важным для понимания структуры течения является то, что в треугольнике CDE имеет место течение сжатия. Примем, что в области CDE течение плоское. Тогда характеристики AC, CD и граница струи AD являются прямолинейными, и если бы начиная от точки С контур тела СС' был прямолинейным, то в области CDE имело бы место поступательное течение с постоянными параметрами. Однако, в силу искривления стенки СЕ, в этой области возникает течение сжатия, аналогичное течению сжатия при обтекании поступательным сверхзвуковым потоком вогнутой стенки. Известно, что такое течение замыкается висячим скачком, начинающимся в точке Б' пересечения характеристик. На рис. 4.26 пунктиром изображены характеристики условного течения сжатия, которое возникало бы в случае, когда в некоторой области над линией AD, как и между характеристиками АС и CD, имело бы место поступательное течение с р = р°. Точка Б', вообще говоря, может находиться как внутри, так и вне струи. Однако проведенные расчеты показывают, что точка F' располагается всегда вне струи. Волны сжатия, возникающие в треугольнике CDE, отражаются от границы струи в виде волн разрежения. Волны разрежения, попадая па границу тела, отражаются также волнами разрежения, а от границы струи — в виде волн сжатия и т. д. Дальнейшая структура течения определяется чередующейся системой волн разрежения и сжатия, отражающихся от стенки и границы струи, при этом при отражении от жесткой стенки интенсивность волн сохраняется по величине и знаку, а при отражении от границы струи сохраняется по величине, по меняется по знаку.

На достаточном удалении от тела параметры течения практически выравниваются, давление в сечении становится равным атмосферному, а вектор скорости — параллельным оси. Воспользовавшись 12*

уравнением неразрывности, можно при заданных р°/рниМо определить радиус г°, отнесенный к го, изобарического сечения струи, в которой давление равно атмосферному, а вектор скорости параллелен оси. Имеем

рн/р0 = л(М°), г° = [9(Мо)/9(М°)],/2, (4.31)

где М° — число Маха в изобарическом сечении, определяемое из первого соотношения. Значения ра!ро и г° показаны на рис. 4.26 и 4.27 пунктиром. Видно, что уже в окрестности концевого участка центрального тела радиус струи незначительно отличается от г°, т. е. выравнивание течения происходит достаточно быстро. Изоэнт- ропичность течения приводит к тому, что в рамках идеальной жидкости коэффициент тяги исследуемой схемы сопла с полным центральным телом па нерасчетных режимах равен единице, т. е. рас- сматривамое сопло обладает идеальным саморегулированием. Естественно, что наличие вязкости и укорочение центрального тела из условия минимума суммарных потерь с учетом трения, массового эквивалента и т. д. приводит к тому, что в реальных конструкциях коэффициент тяги на нерасчетных режимах рассматриваемой схемы кольцевого сопла незначительно отличается от единицы. Такая схема сопла обладает наилучшими тяговыми характеристиками по сравнению с другими схемами (см. рис. 4.25).

Рассмотрим зависимость статического давления в фиксированной точке тела от отношения р°1ря (см. рис. 4.28). Немонотонное изменение давления также связано с чередованием волн разрежения и сжатия. При этом в диапазоне 0,05 < р°/ря < 0,2 даже небольшое изменение p°fpa приводит к значительному изменению давления. Такое резкое изменение связано с тем, что для точек, расположенных в окрестности граничных характеристик АС, ЕЕ, FG и т. д., небольшие изменения р°1ра приводят к тому, что точка из области разрежения (сжатия) попадает в область сжатия (разрежения). Поскольку при малых р°1ра протяженность таких областей значительно меньше, чем при больших, то происходит многократное появление максимумов и минимумов в зависимости plpo от р°/ра. Когда с ростом р°1рй фиксированная точка попадает на участок СЕ, давлепие начинает монотонно уменьшаться. После перехода фиксированной точки на отрезок ВС давление в ней перестает изменяться, так как в этой области оно не зависит от ра.

Аналогичная картина течения имеет место при нерасчетных режимах и для кольцевых сопел типа в на рис. 4.20, которые иногда называют тарельчатыми соплами. Если донная область не замкнута, давление рд в ней составляет 60—90 % от величины атмосферногс давления. Доппое давление передается вдоль характеристик на контур сопла, возникает чередующаяся система волн разрежения г сжатия, что приводит к немонотонному изменению давления вдол! контура [33].

Слоистые течения газа в соплах

Течение газа в сопле иногда состоит из параллельно движущихся потоков газов с различными физическими свойствами. Такие течения возникают в жидкостных двигателях при наличии завесно- го охлаждения, в двигателях твердого топлива, когда в окрестности стенки сопла имеет место течение чистого газа, свободного от частиц, а также в некоторых типах двигателей малой тяги и в соплах газодинамических лазеров. Очевидно, что такие течения сопровождаются перемешиванием газов различных слоев и диффузией различных компонент, входящих в их состав. Изучение таких течений с учетом вязкой диссипации, смешения и диффузии представляет весьма сложную задачу как для экспериментального, так и для теоретического исследования. В то же время во многих практически важных случаях смешение не оказывает существенного влияния на параметры течения в целом и его можно не учитывать. Ниже будут изучены именно такие течения.

Одномерное приближение. Рассмотрим сначала теорию одномерного слоистого течения в сопле [15]. Примем, что статическое давление поперек сопла постоянно и одинаково для всех слоев, в то время как остальные параметры, в отличие от однослойного течения, могут меняться при переходе от одного слоя к другому. К числу таких параметров относятся температура, плотность, скорость, показатель адиабаты, давление и температура торможения. Пусть в сопле имеется п слоев, в каждом из которых происходит установившееся, адиабатическое и изоэнтропическое течение совершенного газа с постоянными термодинамическими свойствами (отметим, что такое предположение исключает возможность смешения потоков). Тогда для каждой точки сопла будут справедливы соотношения

г=12=1

где Ft — площадь поперечного сечения i-ro слоя. Поток в каждом слое можно рассчитывать отдельно как одномерное однослойное течение газа. Тогда в соответствии с формулой (1.125) имеем

—:— = — I— 1 ч— In р.(4.33)

П I j dx 1х '

Из (4.32) и (4.33) следует, что

JLXр=уМ_1 1\(4.34)

Из последующего будет видно, что р — важный параметр в многослойном течении, определяющий, является течение дозвуковым или сверхзвуковым.

Слоистое течение в сопле удобно изучать в предположении, что давление на входе в сопло является независимой переменной. Если заданы давление и температура торможения ро< и Tot, а также показатель адиабаты у, и газовая постоянная Rt для каждого слоя, то значения массового расхода Qi зависят только от местного давления и местной площади поперечного сечения и в соответствии с формулами (1.127) и (1.142) определяются из соотношения

РгРОг МХ^г f WV^ VW |МН)РгРОг МХ^г f WV^ VW |МН)1-1--_p_\(Vt-l)/ViРог /-_p_\(Vt-l)/ViРог /1/21/2(4.35)(4.35)

РгРОг МХ^г f W

V^ VW |МН)

РгРОг МХ^г f W

V^ VW |МН)

1-

1-

-_p_\(Vt-l)/Vi

Рог /

-_p_\(Vt-l)/Vi

Рог /

1/2

1/2

(4.35)

(4.35)

На входном сечении сопла известны Ft и задано давление, поэтому из (4.35) можно определить Q,. Тогда из (4.35) следует, что местные значения Ft зависят только от местного давления, а также от известных параметров торможения и величин ^ Нг в слое. Местные значения М, числа Маха также зависят лишь от местного давления

М?=—ЦМ?=—Ц. Р /. Р /(4.36)(4.36)

М?=—Ц

М?=—Ц

. Р /

. Р /

(4.36)

(4.36)

Поэтому местное значение величины р, определяемое соотношением (4.34), является функцией давления на входе в сопло, местного давления, заданных параметров торможения, ^ и й, в каждом слое.

Рис. 4.29. Качественная картина течения при изменении внешнего давления в слоистом теченииРис. 4.29. Качественная картина течения при изменении внешнего давления в слоистом течении

Рис. 4.29. Качественная картина течения при изменении внешнего давления в слоистом течении

Рис. 4.29. Качественная картина течения при изменении внешнего давления в слоистом течении

Следовательно, первое уравнение (4.34) при заданном давлении на входе можно проинтегрировать от входного сечения до среза сопла и проследить картину течения при изменении давления на входе в сопло (рис. 4.29).

Если давление па входе достаточно ведико, то из уравнения (4.36) следует, что Мг малы и величина Р положительна по всей длине сопла. Поэтому давление р вследствие (4.34) будет изменяться в том же направлении, что и F (кривые а и b на рис. 4.29); в частности, минимальное значение р будет достигаться в минимальном сечении сопла. Интегрирование (4.34) показывает также, ка-

ким при заданных р^, Т^, ч< и Кг должно быть внешнее давление, чтобы сохранился такой режим течения. Поскольку

i=l 1гГшг L1J

то p изменяется в том же направлении, что и давление, и, следовательно, для режимов а и Ъ минимальное значение р будет достигаться в минимальном сечении сопла.

Если теперь давление на входе уменьшать, то значение р в минимальном сечении будет уменьшаться и может обратиться в нуль. Тогда раскрывая неопределенность в (4.34), получим

^1пр = ± К-^-М^ + З 1 + -рМ? .

(4.38) Поскольку d?Fldx2> О, то производная dlnp/c/ж в минимальном сечении будет положительной или отрицательной в зависимости от выбранного знака перед радикалом. На рис. 4.29 кривая с соответствует положительному корню, а кривая d — отрицательному. Как и в случае однослойного течения, минимальное сечение является особой точкой типа седла, при этом в расширяющейся части сопла возможны два типа изоэнтропических течений. В интервале р» < < рв < рс нет такого значения внешнего давления, которое соответствовало бы изоэнтропическому течению. Можно ожидать (по аналогии с одномерным однослойным течением), что такие значения внешнего давления могут достигаться с помощью скачка уплотнения (кривая е), возникающего в некоторой точке кривой d (рис. 4.29). Изменение параметров потока вдоль кривой с качественно такое же, как и вдоль кривых а и Ь; по-прежнему ри) минимальны в минимальном сечении сопла. Отметим, что положительный знак в (4.38) выбирается только в том случае, если внешнее давление в точности равно величине, соответствующей кривой с. Вдоль кривой d, в соответствии с (4.37), d^/dx < 0, и поэтому р меняет знак при переходе через минимальное сечение. Из (4.34), (4.37) следует, что в расширяющейся части сопла р и ^ должны уменьшаться, а поток вдоль всего сопла должен непрерывно ускоряться. Проинтегрировав уравнение (4.34), можно определить внешнее давление, при котором существует такой режим течения. Если давление на входе меньше величины, соответствующей кривой с, то изоэнтропическое течение не существует, так как р обращается в нуль до критического сечения и производная dpldx становится бесконечно большой.

Исследуем теперь влияние внешнего давления ря. Очевидно, что если ря больше значения рс, то оно оказывает влияние на давление во входном сечении и, следовательно, на расход в каждом слое.

Если же рн меньше рс, то оно не будет влиять па эти величины. В последнем случае течение в сопле называют запертым слоистым течением. Явление запирания, соответствующее в однослойном течении возникновению звуковой линии в минимальном (и только в минимальном) сечении, в случае слоистого течения можно объяснить, рассмотрев распространение малых возмущений. В соответствии с одномерной теорией при расчете движения волны предполагается, что площадь поперечного сечения остается неизменной. Малое плоское возмущение давления не может распространяться в различных потоках с различной абсолютной скоростью в каждом из них, поскольку должно выполняться условие постоянства статического давления на границе между потоками. Волна в связи с этим должна быть непрерывной и будет двигаться как единая составная волна, поскольку повышение давления в ней не может измениться от слоя к слою. Если обозначить скорость распространения составной волны вверх по потоку через D, то очевидно, что при D > 0 течение будет слоистым дозвуковым, при D = 0 — слоистым звуковым и при Б < 0 — слоистым сверхзвуковым.

Аналитическое выражение для D можно получить, рассматривая отдельно каждый поток как гибкую трубку тока и выписывая соотношения, выражающие законы сохранения массы, импульса и энергии поперек составной волны. Имеем

^i „ ^Pj J 1 Лzz got

где АУ,- и Ар,— изменения площади и давления в слоях поперек волны. Поскольку 2 ^г = AF = 0, pt = р, \pt = kp, то из (4.39) получаем

5 Ъ { [Б (тД^Г1/2 + Мг12 ~ ^ ~ °’(4Л0)

Используя определение р и соотношение (4.40), имеем

В = У U11(4 41)

Отсюда следует, что ) и О всегда имеют одинаковый знак, т. е. при Р > 0 имеет место слоистое дозвуковое течение, при [3 = 0 — звуковое п при р < 0 — сверхзвуковое, аналогично однослойному течению. Запирание слоистого течения происходит в минимальном сечении, так как только в этом сечении р может обратиться в нуль. Условие запирания ^ = 0 для слоистого течения является обобщением условия М = 1 в минимальном сечении сопла, при котором происходит запирание в одномерном однослойном течении.

Из проведенного анализа следует, что в случае слоистого течения нельзя считать, что запирание течения происходит, когда число

Маха хотя бы в одном слое равно единице. Для запирания течения необходимо лишь, чтобы выполнялось условие ^ = 0; при этом в минимальном сечении числа Маха каждого слоя не обязательно равны единице. В то же время для того, чтобы слоистое течение было в указанном выше смысле дозвуковым (сверхзвуковым), не обязательно, чтобы число Маха каждого потока было меньше (больше) единицы. По существу из определения Р следует, что различные потоки влияют на эту величину пропорционально площади своего поперечного сечения. Режимы же дозвукового и сверхзвукового слоистого течения в смысле поведения давления аналогичны режимам течения одномерного газа в сопле [15].

Развитая выше теория в случае двухслойного течения позволяет получить следующее соотношение, связывающее параметры двух потоков в любой точке сопла:

где

2 /

В случае незапертого течения это соотношение при заданных Q^TmlQx^Tux, Ть 72, R\, Ri позволяет установить связь между

Рис. 4.30. Зависимость отношений полных давлений Poll Рох от PqiIph в двухслойном течении. Определение режима запирания при Я1 = Яг = 287 м/К, %[ = = 41= 1,4, Q^To^Q^x = = 0,315. Точками показаны экспериментальные данные работы [15]

Posipox и pHfpox (или рн/рог). Результаты расчетов приведены на рис. 4.30. Пересечение представленных на этом рисунке кривых, соответствующих различным значениям F^Fa и F^/F^ (F* и Fa обозначают площади минимального и выходного сечений сопла

соответственно) для одного и того же сопла, показывает, в какой момент достигаются условия запирания (кривая с на рис. 4.29). При ро1/рн, меньших значения, соответствующего точке пересечения кривых, poz/poi определяется по кривой для незапертого течения, а при больших значениях не зависит от poi/pH.

При запертом течении поведение потока определяется условиями в критическом сечении, где р = 0. Поэтому имеем

£iX£gi =hi-1 Г /_ J-1 _ J<?1 /rOi w 2 LUJJ )м I 2£iX£gi =hi-1 Г /_ J-1 _ J<?1 /rOi w 2 LUJJ )м I 2(4.43)(4.43)

£iX£gi =hi-1 Г /_ J-1 _ J

<?1 /rOi w 2 LUJJ )

м I 2

£iX£gi =hi-1 Г /_ J-1 _ J

<?1 /rOi w 2 LUJJ )

м I 2

(4.43)

(4.43)

Если в критическом сечении выполняется условие запирания, соотношения (4.42), (4.43) позволяют однозначно определить параметры в любом сечении сопла с заданным отношением F/F*, аналогично однослойному запертому течению, когда отношение площадей однозначно определяет все параметры течения.

Некоторые результаты расчетов представлены на рис. 4.31. Отсюда при заданных F^F* и Q^Tm]Qx1T0X можно найти pozlpoi

Рис. 4.31. Зависимость отношения полных давлений pdpov и чисел Маха в минимальном сечении при запирании от ОгУГог/ФГУГо! в двухслойном течении

0,10,4

02 ^02. ^> ^01

при запирании; здесь же представлена зависимость Mi и Мг от Q2ITq2IQx"VТох при запирании в минимальном сечении. Видно, что в минимальном сечении сопла скорость каждого из потоков не равна единице. В работе [15] проведено экспериментальное исследование течения в сопле при FVAtFa= 0,226, 7'’*i/^’*= 0,431 (точки на рис. 4.30). Как видно из рис. 4.30, результаты расчетов слоистого течения по одномерной теории для выбранной геометрии сопла очень хорошо совпадают с экспериментом. Это совпадение свиде-

тельствует о том, что для рассматриваемого сопла смешением и двумерными эффектами можно пренебречь.

Импульс и удельный импульс сопла для слоистых течений. В ряде практических задач приходится сравнивать импульс I и удельный импульс /у слоистого и однослойного течений с одинаковыми потоками массы и энергии [183, 184]. При таком сравнении зачастую используются приведенные выше условия запирания и соотношения типа (4.42), (4.43). На примере двухслойного течения проведем в одномерном приближении сравнение такого рода при наличии неравномерности полного давления и температуры. Будем приписывать параметрам течения в первом слое нижний индекс 1, параметрам течения во втором слое — индекс 2, параметрам двухслойного течения — верхний индекс 0; параметрам однослойного течения с тем же потоком массы и энергии не будем придавать индексов. Примем для простоты, что в слоях движутся совершенные газы с постоянными теплоемкостями. Тогда в соответствии с формулами (1.142), (1.143) и условиями сравнения имеем

Q = & + Q 2 = 0°,тв =+ (1 - ^) т№,

= QxiQ-> i° — ^i^yi + Q^iyii I = Qiy^

Цг = z (^i) д/"~2у ^^0» ^у = Si^yi + (1 — £1) ^У2- (4.44)

Здесь по-прежнему не учитывается перемешивание, а статические давления в слоях полагаются одинаковыми.

Рассмотрим первоначально течение с неравномерным распределением только полного давления в слоях, причем рог < рот- При таком соотношении полных давлений в минимальном сечении согласно условия запирания Xi > 1, а Хг < 1. Поскольку в минимальном сечении функция z(X) имеет минимум, то очевидно, что /у > 7У и 1° > I, при этом

7^=7w^1Z^^ + ^1—(4'45)

Из рис. 4.31 следует, что при р^Рот =0,3 и g2igi = 0,5 в минимальном сечении ^у/^у = 1,09_ Однако приращение удельного импульса неравномерного потока уменьшается с увеличением степени расширения и при бесконечно большой степени расширения

Рассмотрим теперь течение с неравномерным распределением только полной температуры. В силу равенства статических и полных давлений в слоях приведенные скорости Xi и Хг равны и совпадают с X равномерного потока, имеющего то же статическое давление, хотя абсолютные значения скорости будут различаться. В сечениях с одинаковым статическим давлением при условии ра-

венства потоков массы и энергии площадь поперечного сечения однослойного течения больше площади двухслойного. Действительно, нетрудно показать, что

F __ V^i + ~ ^i) ^02/^01 // ZRV F° + •

Это соотношение справедливо независимо от степени расширения; оно имеет место и в минимальном сечении. Поэтому в силу М = = Л2=% имеем 1(1° = !?/!? = Е[Ей > 1, т. е. в случае неравномерного распределения полных температур импульс и удельный импульс равномерного потока больше, чем неравномерного. Так, при ZWTqi = 4, gi = 0,5 имеем I = 1,05 1°. Аналогичные выводы при сравнении импульсов двухслойного течения получены в работе [70], в которой проведен анализ и представлены численные расчеты для общего случая двухслойного течения с различными полными давлениями и температурами. Отметим, что в двумерном течении наличие неравномерности полного давления или температуры означает наличие завихренности течения [см., например, системы (3.65) — (3.69) в форме Крокко]. Двумерные вихревые течения в соплах с неравномерным полным давлением и температурой на входе в рамках прямой задачи рассмотрены в работе [196].

Если сравниваются многослойное и однослойное течение с одинаковыми полными давлениями, но различными полными температурами, и не требуется совпадение потоков массы и энергии, то в соплах одинаковой геометрии расход в многослойном течении может быть больше, меньше пли равен расходу в однослойном тече-

С Fi

нпи в зависимости от отношения 1 Тагй— к То в однослойном о

течении, при этом импульс сопла будет одинаков.

Слоистые течения с различными коэффициентами избытка окислителя. Рассмотрим равновесное двухслойное течение при условии, что полные давления в слоях одинаковы, но коэффициенты избытка окислителя а различны. Это характерно для сопел жидкостных реактивных двигателей при наличии завесного охлаждения. При сравнении двухслойного течения с однослойным удобно в качестве независимой переменной выбирать не а, а относительный расход окислителя Qo=QolQ, Qoi—QoJQ., где Qo— полный расход окислителя, Qo, и Q, — расход окислителя и полный расход для i-ro слоя соответственно. Такой выбор независимой переменной связан с тем, что Qo является линейной функцией gi, Qo = = giQo\ + (1 — gi)M в то время как а — нелинейная функция gi. Удельный импульс сопла при двухслойном течении также является линейной функцией gi, /у = gi^yi_+ (1 — giVys ПРИ заданных Zs! и Zy2. Типичная зависимость Zy от Qo представлена на рис. 4.32. Из

геометрического построения, представленного на этом рисунке, следует, что если ^01 и ^02 больше ^оз, где @02 — значение Q02 в точке перегиба функции Zy(Qo), то при всех gi имеем Z^cZy; прямая / проходит через точки с координатами ^02, 7у2 и @01, 7уь Таким образом, в этом случае неравномерное распределение по сечению

Рис. 4.32. Зависимость удельного импульса слоистого течения от относительного расхода окислителя при двухслойном течении с различными коэффициентами избытка окислителя в слоях

а (или @01) приводит к уменьшению удельного импульса двухслойного потока по сравнению с удельным импульсом однородного потока с тем же потоком массы и энергии. Если <?оз<Соз, то ^у11 > >Z” при gi<g° и Z"n<Z^ при gi > g°, т. е. в первом случае двухслойное течение имеет больший удельный импульс, чем однослойное, а во втором — меньший. Отметим, что неравенство (4.46) можно доказать, используя аналогичное геометрическое построение.

Двумерные течения. Расчет слоистых плоских или осесимметричных течений в соплах проводится либо путем численного решения обратной задачи, либо методом характеристик.

В координатах s, ф, используемых при решении обратной задачи (см. п. 1.1.3), удобно проводить расчеты течений, содержащих поверхности тангенциального разрыва, каковыми являются поверхности тока, разделяющие области течения с различными физическими свойствами. Такого рода расчеты проводятся без учета смешения слоев, при этом полные энтальпии и полные давления в слоях могут различаться.

Рассмотрим метод решения обратной задачи в случае двухслойного течения совершенного газа. Пусть в области, ограниченной линиями тока ф = 0, ф — ф°, газ имеет показатель адиабаты ^1, пол-

ное давление poi, полную температуру 70i, а в области выше линии ф = Ф° — показатель адиабаты 72, полное давление рог, полную температуру ^ог. Расчет течения до линии тока ф = ф° ПРИ заданном распределении скорости на начальной поверхности производится по формулам (2.51) — (2.54), и на этой линии тока определяются все параметры течения. Поскольку на линии тока ф = Ф° оба потока должны иметь одинаковые углы наклона скорости и одинаковые статические давления, то для параметров второго слоя должны выполняться следующие соотношения:

м2 = и^и^.

где все функции отнесены к своим критическим значениям, о =

Рис. 4.33. Двухслойное течение в до-, транс- и сверхзвуковой областях сопла, 11 = 1,14, 12 = 1,4. Темными кружками показаны звуковые линии, светлыми — линии 6 = 0

ности тока ф = ф° аналогично производится расчет поля течения при ф > ф°.

С использованием описанного метода была проведена серия расчетов двухслойных осесимметричных течений в соплах [141]. Некоторые результаты расчетов представлены на рис. 4.33. Видно, что

звуковая линия во втором слое расположена ниже по течению, чем в первом. Значения W по обе стороны поверхности тангенциального разрыва близки между собой в дозвуковой области и заметно различаются начиная с трансзвуковой области.

В работе [141] развит метод характеристик для расчета течения в сверхзвуковой области при наличии поверхности тангенциального разрыва. Используя начальные данные, полученные из расчета трансзвуковой области двухслойного потока, проводился расчет течения в сопле с угловой точкой, контур которого получен из решения задачи Гурса для однослойного потока с у = 1,14, Мо = 4,6. В этом случае оказалось удобным использовать уравнения совместности в форме (1.93) при Ф1 = 0, так как при этом расчет параметров во внутренних точках и в точках линии тангенциального разрыва производится по единому алгоритму.

На рис. 4.34 приведено распределение давления вдоль контура сопла с угловой точкой для двухслойных течений с yi = 1,14 и

Рис. 4.34. Распределение относительного давления в сопле с угловой точкой при двухслойном течении. Кривые 2—6 соответствуют значениям yi = 1,14, 42 = 1,4 и г° = 0,99 (2), т° = 0,95 (3), т° = 0,9 (4), т° = 0,8 (5), т° = 0,7 (6).

Кривая (1) — однослойное течение с f = 1,14

12=1,4 с различными значениями г° (т. е. с различными расходами в пристеночном слое), а также распределение давления на этом же контуре в однослойном течении с у = 1,14. Видно, что при г° > 0,95 давление на контуре сопла возрастает, начиная от точки

С, в которую попадает первая характеристика, отраженная от поверхности тангенциального разрыва. Правее точки С течение в пристеночном слое «чувствует» наличие внутреннего слоя. Возрастание давления связано с тем, что при одном и том же угле поворота потока в течении Прандтля — Мейера давление в потоке с большим 7 уменьшается сильнее, чем в потоке с меньшим 7. При относительно больших толщинах пристеночного слоя влияние внутреннего слоя ощущается в основном правее точки D. В точке D производная давления терпит разрыв и начинает изменяться более интенсивно, а давление приближается к давлению в однослойном течении, поэтому начиная с точки D течение в пристеночном слое определяется в основном внутренним слоем. До точки D возмущения, вносимые внутренним слоем, ослабляются волной разрежения, исходящей из точки Л. При малых толщинах пристеночного слоя влияние внутреннего слоя сказывается в непосредственной окрестности угловой точки. Давление в пристеночном слое стремится сравняться с давлением во внутреннем слое, а так как последнее (при повороте на один и тот же угол) больше, то происходит возрастание давления. Естественно, что по мере уменьшения толщины слоя различие между статическими давлениями в однослойном и двухслойном течениях па степке сопла уменьшается, однако при этом число Маха в этих течениях могут существенно различаться за счет различия в показателе адиабаты. Отметим, что возрастание давления при обтекании угловой точки имеет место лишь в случае, когда показатель адиабаты в пристеночном слое больше показателя адиабаты в ядре потока. Как показывают расчеты, возрастания давления не наблюдается, если контур сопла в окрестности угловой точки скруглить с помощью окружности радиуса Д” »(0,3— 0,5)г*.

В заключение данной главы отметим, что за ее пределами остались многие важные вопросы профилирования сопел, в частности, сопел реактивных двигателей, обеспечивающих максимальный импульс при габаритных и массовых ограничениях. С ними можно ознакомиться по монографиям [6, 98, 150, 257] и обзору [119]. Укажем также на работы [29, 30, 90, 100, 121, 127, 128, 130, 131, 149, 184, 261], в которых рассмотрены различные аспекты проблемы профилирования сопел.

В цитированных выше статьях [27, 32, 33, 118, 155], а также в работе [121] профилирование кольцевых сопел осуществляется классическим методом характеристик. В последние годы выполнен ряд исследований по профилированию методом характеристик сопел с заданным неравномерным, в частности, пеизоэнтропическим потоком на выходе [29, 30, 100]. В рамках обратной задачи профилирование сопел различного назначения рассмотрено в работах [127, 128, 130, 131, 149, 266].

Глава 5

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕТЕЧЕНИЯ ГАЗА В СОПЛАХ

В настоящей главе представлены результаты аналитических, численных и экспериментальных исследовапи!! пространственных и нестационарных течений в соплах. В отдельный параграф вынесены течения с закруткой потока, изученные как с помощью аналитических методов для простейших случаев течения, таких как радиально-уравновешенные и маловозмущеппые течения, так и с помощью численных методов для более сложных случаев.

Пространственные трехмерные течения исследованы методом малых возмущений в рамках трансзвукового метода малых возмущений и в рамках обратной задачи теории сопла. Представлены также результаты численных исследований течений в соплах с некруглой формой поперечного сечения.

Особое внимание уделено методам расчета боковых сил и моментов, возникающих при несимметричных возмущениях в каком- либо сечении или при несимметричном искажении контура сопла. Представлены результаты комплексного решения проблемы аналитическими, численными и экспериментальными методами.

В заключительном параграфе приведены результаты численною исследования так называемой задачи о запуске сопла, которая состоит в изучении нестационарного поля течения, возникающего, например, при внезапном открытии диафрагмы, расположенной на входе в сопло, а также в изучении характера установления стационарного течения.

Течения в соплах при вращении потока

Структура закрученных потоков. В настоящее время закрутка потока широко используется на практике, в частности, для регулирования тяги сопел. Основное влияние она оказывает на расход газа, протекающего через сопло. Уменьшение тяги сопла происходит в основном именно за счет уменьшения расхода. Коэффициент удельной тяги уменьшается приблизительно в 10 раз меньше, чем коэффициенты тяги и расхода. Это позволяет использовать закрутку для регулирования массового расхода. При разработке вращающихся двигателей твердого топлива было замечено, что характеристики этих двигателей значительно изменяются из-за наличия вращения. Это связано с действием сил, ускоряющих

3 У Г Пирумов, Г С Росляьов

процесс сгорания, и с влиянием вращения потока на поле течения в камере и сопле.

Интенсифицируя сам процесс горения, закрутка изменяет газодинамическую картину течения, вызывая дросселирование минимального сечения сопла. Оба эти эффекта приводят к росту давления в камере, что в свою очередь увеличивает скорость горения топлива. Закрутка потока применяется также для реверса тяги в вид, для задержания радиоактивного топлива внутри ЯРД и стабилизации дуги в электродуговых подогревателях. Закрутку потока можно использовать для улучшения работы камеры сгорания. При этом ускоряется смешение и весь процесс горения п возрастает стабильность горения по сравнению с процессом, проходящим без закрутки (скорость турбулентного горения увеличивается примерно в 3 раза). Закрутка подавляет пульсации и шум струи, увеличивает полноту сгорания, уменьшая тем самым загрязнение выхлопной струей окружающей среды. Используя закрутку, можно существенно сократить размеры камеры сгорания и уменьшить массу двигателя. Так, для ЕРД использование закрутки по всему тракту позволяет сократить длину двигателя более чем на 10 %. В рабочих каналах радиальных МГД-геператоров происходит закрутка потока под действием лорепцевой силы. Можно избежать закрутки потока на выходе из МГД-капала, компенсируя ее созданием некоторой закрутки на входе в МГД-канал.

Впервые закрутка потока была рассмотрена в работе [251] для невязкого несжимаемого течения. Считалось, что течение является потенциальным и поэтому содержит пустотное ядро. Однако в экспериментах было замечено, что при малых закрутках пустотное ядро не образуется и наблюдаются интенсивные пульсации. Лишь при искусственной подаче воздуха в области оси симметрии возникает пустотное ядро и течение стабилизируется. Несмотря на такое искусственное образование ядра, теоретические и экспериментальные значения коэффициентов расхода с достаточной степенью точности совпадают между собой. При дальнейшем уменьшении закрутки потока пульсации пропадали, однако образование пустотного ядра уже нельзя вызвать подачей воздуха.

В работе [237] показано, что если отношение начальной тангенциальной скорости на стенке сопла к начальной осевой скорости (число Френкеля Fr) меньше 1,92, вращение жидкости можно рассматривать как вращение твердого тела. Такой случай закрутки соответствует течению во вращающихся двигателях с пороховой шашкой, выгорающей по торцевой поверхности. Однако гипотеза о сохранении вращения потока по закону твердого тела делает задачу переопределенной.

Из различных экспериментов с закрученными потоками в трубах и соплах известно, что вращение по закону твердого тела наблюдается только в ядре потока, в небольшой окрестности осп симметрии, движение же в остальной части близко к потепциаль-

ному и соответствует вращению по закону свободного вихря (см. рис. 5.1, а). При этом вдоль оси канала возникает вакуумное ядро (в реальном случае — область с возвратным течением).

При докритическом истечении возвратно-циркуляционная при- осевая область проходит сквозь все сопло и сообщается с окружающей средой (рис. 5.1,6). Это приводит к всасыванию окружающего воздуха через приосевую область внутрь сопла. При сверхкритическом истечении эта возвратно-циркуляционная область разрывается

ffffРис. 5.1. Зависимость числа Маха (полученного по окружной составляющей скорости) от г (а), вычисленная по экспериментально измеренному давлению в вихревой камере (6, в)Рис. 5.1. Зависимость числа Маха (полученного по окружной составляющей скорости) от г (а), вычисленная по экспериментально измеренному давлению в вихревой камере (6, в)

ff

ff

Рис. 5.1. Зависимость числа Маха (полученного по окружной составляющей скорости) от г (а), вычисленная по экспериментально измеренному давлению в вихревой камере (6, в)

Рис. 5.1. Зависимость числа Маха (полученного по окружной составляющей скорости) от г (а), вычисленная по экспериментально измеренному давлению в вихревой камере (6, в)

на две — внутреннюю и внешнюю (5.1, в). Причем в области минимального сечения возвратного тока нет. Это соответствует так называемому запертому режиму работы сопла, когда поток в сверхзвуковой части сопла не оказывает влияния на поток в дозвуковой его части.

При экспериментальных исследованиях достаточно быстро вращающихся РДТТ по закону твердого тела наблюдалось образование тороидальных зон возвратного течения в дозвуковой области и у стенки сопла [51]. В работе [246] построена аналитическая модель течения, в которой одновременно было использовано вращение по закону твердого тела в окрестности оси симметрии и потенциальное закрученное течение в периферийной области сопла.

В закрученном потоке могут существовать два «сопряженных» режима течения: режимы при малых интенсивностях закрутки, когда не может быть стоячих воли конечной длины, и другой режим при большой закрутке, когда возможно наличие стоячих волн, 13*

зон обратного тока п областей течения с кавитацией. При небольшой закрутке ее увеличение, эквивалентное увеличению диаметра сопла, вначале слабо влияет на характер течения. Однако при достижении некоторого критического значения интенсивности закрутки (или диаметра сопла) течение мгновенно перестраивается. Это критическое значение, при котором появляются области возвратных течений, соответствует числу Френкеля Fr=l,92. При докритическом режиме течения (поток с «заполненным» ядром) по мере удаления от входа ядро, внутри которого жидкость вращается практически по закону твердого тела, увеличивается в размерах, заполняя все сечения канала. При сверхкритической закрутке потока у стенки появляется зона обратных осевых течений. Задаваемая на входе в канал закрутка типа вихря в силу перераспределения энергии переходит на выходе из канала в закрутку по закону твердого тела. Таким образом, закрутка потока у центральных струек вдоль канала уменьшается, а у периферийных струек — растет.

Появление обратных осевых течений наблюдается и в сильно закрученных струях. Влияние вращения на волновую структуру осесимметричной струи качественно аналогично влиянию уменьшения нерасчетпости. Течение в зоне обратных токов неустойчиво и сопровождается появлением крупных вихрей, характерный размер которых пропорционален ширине самой зоны.

Процесс разрушения вихря проявляется в резком изменении структуры ядра закрученного потока. Происходит быстрое замедление, деформация и расширение ядра. Появляются зоны обратных токов. В окружающем потоке изменяются распределения скоростей и давлений. Эти изменения в свою очередь влияют на всю газодинамику сопел, в частности, на теплообмен. Например, в случае ламинарного пограничного слоя в коническом сужающемся сопле тепловой поток увеличивается при наложении закрутки в области сужения, однако в области критического сечения, где для течения без закрутки тепловой поток максимален, это увеличение незначительно.

Разрушение вихря может иметь место и в закрученных потоках в трубах, например, в отсасывающих трубах турбин и насосов с воздухозаборниками. В трубах ядро вихря после разрушения наиболее часто принимает осесимметричную, почти замкнутую форму, и закрученный поток вниз по течению возвращается к первоначальному состоянию. Однако в расширяющейся трубе наблюдается другой тип разрушения, когда ядро принимает вид двойной спирали (так называемое геликоидальное разрушение). Третий тип разрушения, когда ядро имеет вид обычной спирали, наиболее часто наблюдается за крыльями, хотя может иметь место и в трубах. Аналогичные типы разрушения вихря присущи течениям в соплах, циклонных сепараторах и других устройствах с закруткой потока, а также в струях. Следует заметить, что разрушение вихря явля-

ется внезапным процессом перехода между динамическими состояниями осесимметричного течения, аналогичным гидравлическому прыжку при течении в открытых каналах. Существует аналогия между разрушением вихря и отрывом пограничного слоя. Течение с достаточно большой закруткой или положительным градиентом давления характеризуется большими градиентами параметров вдоль оси. Это соответствует началу торможения потока вдоль оси с последующим разрушением вихря. При этом основное течение устойчиво по отношению к осесимметричным возмущениям и неустойчиво к несимметричным. В ядре закрученного потока, особенно при больших градиентах скоростей, важную диссипативную роль могут играть силы вязкости. Учет сил вязкости необходим при расчете течений с закруткой потока в основном большой интенсивности.

Большинство теоретических работ основываются на гипотезе о радиально-уравновешенном течении, согласно которой можно пренебречь нормальной составляющей скорости. Значительный интерес представляет работа [216], в которой в рамках линейной теории получен интегральный критерий подобия для закрученных течений, а также работа [41], в которой получено аналитическое решение для винтового течения. В последние годы в рамках прямой и обратной задач выполнены исследования закрученных течений в круглых и кольцевых соплах с учетом двумерного характера течения [129, 175, 185].

Модель радиально-уравновешенного течения. Вращение потока в сопле, как правило, приводит к тому, что течение носит сложный пространственный характер с отрывными зонами, в связи с чем теоретическое и экспериментальное исследование таких течений зачастую оказывается невозможным. Поэтому представляет интерес рассмотреть некоторые простейшие типы закрученных потоков с тем, чтобы на их примере понять качественные особенности таких течений.

Примем, что закрутка потока не нарушает осесимметричности течения, т. е. параметры течения не зависят от окружной координаты. Тогда из уравнения движения в проекции на окружное направление следует, что для каналов с прямолинейной осью

wr = r(4>),(5.1)

где w — окружная составляющая скорости. Таким образом, для осесимметричного течения с закруткой вдоль линии тока вместе с энтропией S и полной энтальпией Ло сохраняется неизменной величина ют.

Из уравнений движения, записанных в форме Крокко [см. (1.14)], ‘и из формулы для rot W в цилиндрических координатах

1 (drwди\. 1 (дидтш\ , (ди ди\

rot W = — -т— ех Н— 35- е, + hет (5.2)

г \ dr dtp) гдх )dr) v '

следует, что при F(^)=const, 5(^) = const, Ао(^) = const осесимметричное закрученное течение является потенциальным, т. е. изоэнтропическое и изоэнергетическое течение при F(^)=const в этом случае является и безвихревым. Если F(i])) ^ const, то условия ^ф) = const и Ао(^) = const не обеспечивают потенциальности течения, а в соответствии с уравнением (1.14) означают коллинеарность векторов rot W и W:

rotW = AW, (5.3)

где Л — произвольная функция. Течение, обладающее таким свойством, называется винтовым [45]. Вид функции Г('ф) задается начальными условиями и в каждом сечении сопла определяет закон изменения окружной скорости по радиусу. Например, если Г (хр) = = const, то изменение окружной скорости w происходит по закону вихря. Если же Г (г|5) ~ хр, то w ~ г, и изменение окружной скорости происходит по закону твердого тела. Как отмечалось, изменение w по закону твердого тела происходит, как правило, в окрестности оси симметрии, а при удалении от оси симметрии имеет место закон вихря (рис. 5.1, а). Возможны и другие законы изменения Г (хр). Например, если использовать формулу

Г(я])) ^„(l-e-^Hl-e-6)-1, (5.4)

где Гю — значение Г на стенке при хр = 1, а б — некоторый параметр, то при малых 6 или t]) имеем закрутку по закону твердого тела, а при больших б — закрутку по закону вихря. При других хр профиль скорости близок к профилю, изображенному на рис. 5.1, а.

Рассмотрим радиально-уравновешенные течения, т. е. течения, для которых можно пренебречь нормальной составляющей скорости V. Такие течения аналогичны обычным одномерным течениям без закрутки в том смысле, что они также реализуются в достаточно пологих соплах. Радиально-уравновешенное течение имеет место и в окрестности оси сопла. В цилиндрических координатах осесимметричное радиально-уравновешенное течение идеального газа с у = const описывается следующей системой уравнений:

я 2

= юг = Г(хр), p/p^S^),

(и2 + ю2) + ^-t ~ = hQ (ф), йф = ри dr2; (5.5)

компоненты скорости, давление и плотность здесь и ниже отнесены к своим критическим значениям. Система (5.5) полностью описывает течение, если задана форма капала и известны функции Г (хр), 5(-ф) и /io(^).

Из первого уравнения следует, что производная давления по радиусу в радиально-уравновешенном течении положительна, т. е. при удалении от оси симметрии давление увеличивается. Поскольку производная давления па оси должна быть конечной, то в реаль-

пых течениях составляющая w на оси должна равняться нулю. Из уравнения Бернулли следует, что при большой закрутке, т. е. при большом значении w, в окрестности оси симметрии возможно возникновение пустотного ядра. В частности, в потенциальном закрученном течении при Г(тр) = const имеем для радиуса пустотного ядра

г0 = Г[(Т + 1)/(Т-1)-и2]1/2.(5.6)

Наиболее простой случай радиально-уравновешенного течения — изоэнтропическое потенциальное закрученное течение с r(ip) = = const. Из формулы (5.2) нетрудно усмотреть, что в таком течении составляющая скорости и —- постоянная величина по сечению сопла, в отличие от давления и окружной составляющей скорости. Давление с точностью до постоянной величины может быть определено из первого уравнения системы (5.5). Неизвестная постоянная выражается через составляющую скорости и, для определения которой в каждом сечении сопла по аналогии с обычным одномерным течением необходимо знать режим течения. Если имеет место режим запертого течения, при котором внешнее давление не влияет на течение в сопле, то для нахождения скорости и* в минимальном сечении используется условие максимума расхода, т. е. условие dQIdu = 0. Из этого условия можно в режиме запертого течения определить и*, а также зависимость и* от Г или щ*, где w* — скорость закрутки на стенке сопла в минимальном сечении [1851. Отметим, что в закрученном потоке число Маха, вычисленное по осевой составляющей скорости, в минимальном сечении меньше единицы. Найденное значение и* в минимальном сечении позволяет при известной геометрии сопла и параметрах торможения определить расход газа Q, rw

Q = p*a*r* J и [^^ — 1=^ (и2 + u?2)j1/(T П rdr. (5.7) го

Значения скорости и в других сечениях находятся из уравнения (5.7). Из (5.7) можно определить и зависимость коэффициента расхода Ц = ^/(р*а*г*) (т. е. отношения действительного расхода, протекающего через сопло при закрутке, к расходу через то же сопло при тех же критических параметрах, но без закрутки) от величины а* = zn^/Wmax. Типичная зависимость ц от а* представлена на рис. 5.2. С ростом скорости закрутки происходит уменьшение коэффициента расхода, поскольку окружная составляющая скорости не участвует в создании расхода через сопло. Как отмечено в [185J, коэффициент расхода слабо зависит от у (если w* отнести к а*, а не к Жта1), хотя при большой закрутке уменьшение ц с увеличением происходит более интенсивно.

В режиме незапертого течения, когда параметры течения зависят от внешнего давления, для определения скорости и в выходном

сечении сопла используется условие равенства давления на стенке сопла внешнему давлению, а для нахождения скорости в других сечениях сопла по-прежнему используется уравнение (5.7).

Линейная теория радиально-уравновешенного течения развита в работе [216] и обобщена на случай течений с произвольными термодинамическими свойствами в соплах с центральным телом

Рис. 5.2. Зависимость коэффициента расхода ц от относительной скорости закрутки а* в минимальном сечении; 1 — закрутка по закону вихря [185], 2— закрутка по закону твердого тела [175], 3 — закрутка по закону P(Tp) « tp [129], 4 — безвихревая закрутка в кольцевом сопле [129], 5 —винтовое течение [41], 6 — винтовое течение, эксперимент [41]

в [185]. Ниже рассматривается осесимметричное сопло без центрального тела. Пусть в начальном сечении известны

S(ip) = S + AS(ip), hoW = ^о + А/г0(ф), Г(ф)=^г,(5.8)

где 8, ho — известные константы. Если AS и А/to удовлетворяют условиям

11

J AS ti?t[> = J AA0 dtp = 0,(5-9)

оо

то при малой закрутке и малой неравномерности течения интегральные характеристики не будут зависеть от AS и kh0.

Предполагая закрутку течения малой (Г<1) и принимая, что AS/S < 1, A/io/Ao^l, представим искомые параметры в виде р(ж, гр) = р(ж) + Ар(ж, гр), р(ж, ip) = р(ж) + Ар(ж, ip),(5J0)

и(ж, ip) = и (ж) + Ап (ж, гр),

гдегде/(1)^1,/(1)^1,

где

где

/(1)^1,

/(1)^1,

где р ^, р (ж), й (ж) — некоторые средние по сечению значения давления, плотности и скорости, а Ар, Ар, Ди — соответствующие добавки. Будем ниже при выкладках пренебрегать квадратами величин Mkxt 4)- Поскольку при заданной геометрии сопла известны в одномерном приближении значения давления р°(ж), плотности р°(ж) и скорости иР^, определим зависимости средних функций j^ и добавок от одномерных парамеров /°(ж) и заданных величин Г(ф), AS (гр) и Д/?о(ф). В качестве средних значений функций примем значения на осп сопла. Из первого и последнего уравнения системы (5.5), пренебрегая квадратами добавок, имеем

■ф

Др (ж, ф) = l^vjli^^.(5.11)

о

Следуя [216], введем вместо Г(ф) интегральный параметр закрутки

(5-12)

а ф нормирована таким образом, что равна нулю на оси и единице на контуре сопла. Тогда

Ар (ж, ф) = А ур°2и0е [/' (0) — f (ф)](5.13)

и, следовательно, давление на контуре больше давления на оси па величину 0,5ур°2и°е/' (0) (штрих означает дифференцирование по ф).

Величины Ар и Ди могут быть определены при известном Ар и заданных А5(ф) и Дй0(ф). Имеем

"А£(ф) = S4Ap + 5pAp,

Дй0 (ф) = у Г2 (ф) г-2 4- hv\p -f- йрДр 4- и Ди,

отсюда

Др = ^Ж_^Др,

р р(5.14)

Ди = -^ Гд/^о (ф) — у Г2 (ф) г"2 — kpNp — TipApl.

Здесь нижние индексы означают частное дифференцирование. По известным значениям приращений скорости из уравнения

неразрывности нетрудно определить коэффициент расхода ц. Имеем

FFр ир и+ ^U^ =±Г1+^-[М2Ч-(1-М2)/(0)]1. (5.15)и I ри (J+ ^U^ =±Г1+^-[М2Ч-(1-М2)/(0)]1. (5.15)и I ри (J

F

F

р и

р и

+ ^U^ =±Г1+^-[М2Ч-(1-М2)/(0)]1. (5.15)и I ри (J

+ ^U^ =±Г1+^-[М2Ч-(1-М2)/(0)]1. (5.15)и I ри (J

Поскольку средние параметры мало отличаются от одномерных, то в случае запертого течения в минимальном сечении сопла, где

=(Р°^°) = о,

ро = мо_у? = 1) (М°-1)2 = О(е),

имеемимеемц = 1-1е;ц = 1-1е;(5.16)(5.16)

имеем

имеем

ц = 1-1е;

ц = 1-1е;

(5.16)

(5.16)

5—газодинамическая функция. Из формулы (5.16) следует, что коэффициент расхода уменьшается при увеличении закрутки и не зависит от показателя адиабаты, что находится в соответствии с данными, приведенными выше для потенциального течения.

Для определения средних значений используются следующие соотношения:

P = P° + ^Ag, р = р°+^Ад, и = и°+^А9,(5.17)

где А^ = ^ — q°, q° = F Из (5.17) с учетом (5.13) — (5.15) имеем

О2 0 / 0X

м° -1 У 2

Р(^Л) = Р° + ^-+-^-^^~1Н,(5.18)

йр м° — 1 \ « У 2

,л 1 Г(Ф) 1 „о /„о\ „

u Ldp J м° — 1 \« У 2

где Л = М°2 + (1 ~ М°2) /' (ф), N = L + (1 - М°2) < (ф). В минимальном сечении сопла

(5.19)(5.19)^w = i + t^|, p*w = 1 + ^ + l^, и* (ф) = 1 4- Мг0 (4) -^^s (4) - N* |$

(5.19)

(5.19)

причем на оси соплапричем на оси сопла1 +1 +1 ^^2? V )1 ^^2? V )- Г (0),- Г (0),

причем на оси сопла

причем на оси сопла

1 +

1 +

1 ^^

2? V )

1 ^^

2? V )

- Г (0),

- Г (0),

а на контуре сопла

/ 1 d1 р \^2у cZp2y/ 1 d1 р \^2у cZp2y—11—1—11—1^ = ^ - f (1).^ = ^ - f (1).

/ 1 d1 р \^2у cZp2y

/ 1 d1 р \^2у cZp2y

—11—1

—11—1

^ = ^ - f (1).

^ = ^ - f (1).

Следовательно, если Г(хр) = const, то в минимальном сечении на ьоитуре ы*<1, т. е., как уже отмечалось, число Маха, определенное по окружной составляющей скорости, меньше единицы. Из формулы (5.19) следует, что на контуре сопла в минимальном сечении для идеального газа с у = const

Теперь нетрудно определить критический перепад давления, т. е. отношение давления торможения, к давлению на стенке сопла в минимальном сечении, при котором расход газа и параметры течения перестают зависеть от внешнего давления, т. е. происходит запирание сопла. Имеем

(5.20)

откуда следует, что при закрутке запирание сопла происходит при меньших перепадах давления, чем без закрутки. Так, при е = 0,5 и у = 1,4 критический перепад равен 1,78 вместо 1,89 для течения без закрутки. С использованием представленных формул можно получить выражение для импульса и удельного импульса сопла в слабозакручепном потоке. Имеем

7 — 1° р*а,(р ] к)-2", /у —/у а^н> — Др (5-21)

Расчеты показывают, что импульс сопла заметно уменьшается при увеличении закрутки, в то время как удельный импульс изменяется слабо. Из решения видно, что параметр е является достаточно универсальным параметром подобия, охватывающим различные законы закрутки. В работе [185] показано, что этот параметр позволяет хорошо коррелировать интегральные, а иногда и локальные характеристики, даже в тех случаях, когда закрутка уже не является малой.

При незапертом течении в сопле для замыкания решения используется не условие в минимальном сечении, а условие равенства давления на контуре сопла в выходном сечении внешнему давлению рн. Тогда из (5.13) имеем, что в выходном сечении

Рн = р + 0,5ур°2м0/' (0) е.

Из условия адиабатичности и интеграла Бернулли, используя

получим, что в выходном сечении сопла

Р № = Рн - [2fe0 - h (рн, S^^ р2 (Рн, S) f' (ф) J.(5.22)

Производя выкладки, аналогичные приведенным выше, нетрудно получить следующее выражение для коэффициента расхода:

(5.23)(5.23)р°М°2 8и ^

(5.23)

(5.23)

где р°, м°, М° — параметры в выходном сечении, а ц — отношение истинного расхода к идеальному расходу в течении без закрутки при истечении в среду с тем же внешним давлением ра. Так как ром°7и°<1, из сравнения формул (5.15) и (5.23) следует, что в режиме незапертого течения влияние закрутки на коэффициент расхода меньше, чем в режиме запертого течения.

Рассмотрим еще один случай радиально-уравновешенного течения — так называемое однородное винтовое течение [41], соответствующее 7 = const [см. (5.3)]. Из формул (5.2) и (5.3) получим, что в сечении сопла ж = const

== Xru(5.24)

drdrv 7

ИЛИ

d U ।1 dll . a 9Ar\

Общее решение этого уравнения имеет вид

и = Со/о(Хг)+С1Уо(М>(5.26)

где Z0(7r) и Уо(7г)—функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка. Для окружной составляющей скорости и? имеем

zy = C0/i (7г)+С1У1 (7г).(5.27)

Постоянные Со и Ci определим из условий Г(ф)=ы;г, Г = 0 при г = 0 и Г = Гш при г = rw, где г„ — координата контура сопла в заданном сечении. Тогда

2^71V1 И' V1 ^rw) "2^71V1 И' V1 ^rw) "(5.28)(5.28)

2^71

V1 И' V1 ^rw) "

2^71

V1 И' V1 ^rw) "

(5.28)

(5.28)

Используя (5.28), получим следующую формулу для расхода газа

через минимальное течение сопла:через минимальное течение сопла:^ № + Z2 №11 (7)^ № + Z2 №11 (7)11

через минимальное течение сопла:

через минимальное течение сопла:

^ № + Z2 №

11 (7)

^ № + Z2 №

11 (7)

1

1

Х^^г, (5.29)

* 1 \М1-

где

Для определения зависимости между а* и ^ используется условие максимума расхода через критическое сечение, которое имеет место в режиме запертого течения, а именно:

<8Qi9^ai6 = 0.

Рассмотренная схема расчета пригодна лишь до некоторого значения интенсивности закрутки, при котором составляющая скорости и на оси достигает максимального значения, соответствующего истечению в вакуум. Дальнейшее увеличение интенсивности закрутки приводит, по-видимому, к образованию вакуумного ядра, как в потенциальном течении. На рис. 5.3 в изометрии показаны профили

Рис. 5.3. Профили осевой и окружной составляющих скорости в однородном винтовом течении при различной интенсивности закрутки: 1 — «* = 0,01, е = = 0,0003; 2— а* = 0,1, е — 0,03; 3—а* = 0,2, с = 0,13; 4— а* =0,3, е = = 0,33; 5—а* =0,4, е = 0,74; 6 - а* = 0,5, е = 1,63; 7 — а* = 0,57, е = 3

осевой и окружной составляющих скорости по радиусу для различных интенсивностей закруток. При малых закрутках осевая составляющая скорости слабо меняется по радиусу, окружная же изменяется почти линейно. Однако уже при се* = 0,2 изменение осевой скорости по радиусу становится значительным, одновременно нарушается линейный характер изменения окружной скорости. При больших закрутках профили как осевой, так и окружной скоростей сильно искривлены, причем осевая составляющая изменяется от существенно дозвуковых значений на стенке канала до значительных сверхзвуковых на оси.

Увеличение осевой составляющей скорости по мере приближения к оси имело место и в однородном вихревом течении. При этом

значение и, па оси тем больше, чем больше закрутка потока, и может, как видно, достигать сверхзвуковых значений даже в сужающейся части сопла. Этот факт физически очевиден. Действительно, согласно первому уравнению (5.5) градиент давления в направлении к степке возрастает с увеличением закрутки, что и вызывает существенное возрастание осевой скорости по сравнению со случаем одномерного течения без закрутки, для которого др/дг = 0. Окружная составляющая становится сверхзвуковой, наоборот, в пристеночной области. Зависимость коэффициента расхода от се* в однородном винтовом течении приведена на рис. 5.2.

Остановимся еще на результатах, полученных в [185] для случая, когда в процессе экспериментов в начальном сечении сопла специальными закручивающими устройствами создавался угол закрутки ф = w]u, линейно изменяющийся по радиусу. Результаты интегрирования системы (5.5) с заданным в начальном сечении линейным законом изменения ф качественно согласуется с экспериментальными данными. Они показывают, что число М = и/а увеличивается от контура сопла к оси. На стенке сопла в минимальном сечении число М всегда имеет дозвуковое значение, а на оси — сверхзвуковое. При больших углах закрутки число М может быть сверхзвуковым и в начальном сечении. Профили давления в различных сечениях подобны, если давление отнести к давлению на стенке. Угол закрутки ф в минимальном сечении линейно изменяется по радиусу так же, как и в начальном сечении. Однако величина его па стенке в минимальном сечении меньше, чем в начальном сечении, поскольку в суживающемся сопле ф па стенке падает, а в расширяющемся — растет, что следует из условия постоянства Г (ip) на стенке сопла и постоянства расхода через сопло. Величины коэффициента расхода, измеренного экспериментально и полученного в расчете, представлены на рис. 5.2.

5.1.3. Осесимметричные течения с закруткой. Течения в соплах, используемых на практике, носят существенно двумерный характер, поэтому гипотеза радиально-уравновешенного течения зачастую оказывается неправомерной. В связи с этим в последние годы в рамках прямой и обратной задач выполнены исследования закрученных течений в соплах с учетом двумерного характера течения [129, 175, 185]. Ниже излагаются некоторые результаты исследований. В [185] методом установления решена прямая задача и изучено течение для широкого класса закрученных течений. В начальном сечении задавались различные законы изменения Г(1р), в том числе закрутка по закону вихря вблизи стенок, по закону твердого тела, однородное винтовое течение и др. На рис. 5.4 показаны в изометрии характерные профили окружной и осевой составляющих скорости в начальном и минимальном сечениях для случая потенциального закрученного течения (Г = const), переходящего в ядре в течение с постоянным w, за исключением точки на оси, где w = 0.

Рис. 5.5. Поле течения в сопле при различных интенсивностях закруткиРис. 5.5. Поле течения в сопле при различных интенсивностях закруткиРис. 5.4. Профили осевой и окружной составляющих скорости в начальном (7) и минимальном (2) сечениях сопла при закрутке потокаРис. 5.4. Профили осевой и окружной составляющих скорости в начальном (7) и минимальном (2) сечениях сопла при закрутке потока

Рис. 5.5. Поле течения в сопле при различных интенсивностях закрутки

Рис. 5.5. Поле течения в сопле при различных интенсивностях закрутки

Рис. 5.4. Профили осевой и окружной составляющих скорости в начальном (7) и минимальном (2) сечениях сопла при закрутке потока

Рис. 5.4. Профили осевой и окружной составляющих скорости в начальном (7) и минимальном (2) сечениях сопла при закрутке потока

Для такого рода течений характерно выравнивание профиля окружной скорости по мере приближения к минимальному сечению, особенно при больших закрутках. Осевая составляющая скорости у стенки почти постоянна, а затем, по мере приближения к оси, резко возрастает и может достигать на оси сопла при большой закрутке сверхзвуковых значений как в начальном, так и в минимальном сечениях, по аналогии с рассмотренными выше случаями винтового течения и течения с линейно изменяющимся углом закрутки. Трансформация поля течения в сопле по мере увеличения

закрутки показана на рис. 5.5. На этом рисунке изображены линии постоянства числа Маха М = = (и2 + w2) ^а-1 в течение без закрутки потока (рис. 5.5, а) и с закруткой при Г„ = 0,2 (рис. 5.5, б) и Г„ = 0,33 (рис. 5.5, в) на стенке сопла для профилей Г и w в на-

чальном сечении, представленных на рис. 5.4. С ростом интенсивности закрутки форма линий М = const и звуковой линии начинает существенно изменяться. В ядре потока звуковая линия втягивается внутрь дозвуковой части сопла, причем тем больше, чем больше интенсивность закрутки. Такая трансформация звуковой линии

имеет место при различных законах закрутки, в том числе и при закрутке по закону твердого тела. Увеличение интенсивности закрутки приводит к тому, что вдоль всего сопла скорость на оси становится сверхзвуковой и при некотором значении интенсивности возможно образование вакуумного ядра, как в случае потенциального течения.

При закрутке потока по закону твердого тела в зависимости от начальных условий возникают замкнутые или незамкнутые зоны возвратного тока вблизи стенки сопла. Причина их возникновения связана с наличием положительного градиента давления в области перехода от цилиндрического к сужающемуся участку сопла (см. § 4.1), величина которого значительно возрастает из-за существования центробежных сил, вызванных закруткой потока. С ростом закрутки наступает переход через так называемое критическое значение интенсивности закрутки (соответствующее числу Fr=l,92), при котором происходит отрыв потока и возникновение в пристеночной области в дозвуковой части сопла зоны с возвратным течением. Мощный тороидальный отрыв потока вблизи стенки наблюдался в работе [51], когда начальная закрутка осуществлялась тго закону твердого тела. Области с возвратным течением на оси и стенке сопла возникают и при других законах вращения потока.

Исследование влияния закрутки в кольцевых каналах и каналах сложных форм с поворотом потока до 180° в рамках обратной задачи проведено в [129]. Техническое приложение таких исследований связано с созданием радиальных МГД-геператоров, у которых в рабочей части необходимо исключить закрутку, возникающую под действием лоренцевых сил. При расчете течения с закруткой в общем случае пеизоэптропического течения в рамках обратной задачи используется система уравнений (1.121) с независимыми переменными ф и о, приспособленная для расчета течений в сложных каналах. Некоторые результаты работы представлены на рис. 5.2. Наличие закрутки приводит к смещению звуковой линии и увеличению коэффициента расхода по сравнению со случаем нулевой закрутки.

Важной характеристикой закрученных потоков является коэффициент расхода у, который характеризует как изменение расхода, так и изменение импульса сопла из-за закрутки, поскольку удельный импульс весьма слабо зависит от интенсивности закрутки. Для получения универсальной зависимости у от интенсивности закрутки исследователями используются различные параметры, такие как интегральный параметр закрутки е, определенный в предыдущем разделе, параметр а*, число Френкеля Fr = (wlu)w, число Росби Но = u’w I . Эднако корреляция коэффициента расхода для различных законов закрутки при использовании каждого из этих параметров примерно одинакова.

Пространственные течения газа в соплах

Необходимость разработки методов исследования пространственных течений газа в соплах обусловлена многими причинами. Так, в осесимметричных соплах, которые широко используются прп решении многих технических и научных задач, симметрия течения может не иметь места. Это, в частности, связано с наличием несимметричных возмущений потока на входе в сопло. Несимметрия течения возникает также из-за несимметричных искажений стенок сопла. Кроме того, требования к геометрическим формам сопла могут диктоваться конструктивными особенностями двигательных установок или летательного аппарата в целом. Возможно использование сопла с некруглым сечением (например, прямоугольным, шестиугольным и т. д.) или сопел с «криволинейной осью». Во всех этих случаях важно уметь оценить влияние пространственности течения на локальные характеристики потока, на тяговые характеристики сопла и аэродинамическую устойчивость конструкции аппарата.

Исследования пространственных течений проводятся методом малых возмущений [68, 146, 174], методом характеристик [64, 83, 176, 242], методом установления [53—55, 75, 107, 202], методом сквозного счета [73, 74, 125, 126], а также путем решения обратной задачи [145]. Некоторые из этих методов изложены в гл. 2, 3. Результаты экспериментальных исследований пространственных течений в соплах, появляющиеся в литературе, носят отрывочный характер. Достаточно полные экспериментальные данные по измерению боковой силы и момента содержатся в [17, 125, 126].

Ниже излагаются результаты теоретического и экспериментального исследования пространственных течений газа в соплах. Основное внимание уделяется изучению боковых сил и моментов, возникающих вследствие несимметричных возмущений контура осесимметричного конического или профилированного сопла или вследствие несимметричных возмущений параметров в некотором сечении сопла.

Некоторые результаты аналитического и численного исследования. Начнем с рассмотрения трансзвукового течения газа в сопле Лаваля. В окрестности центра сопла при заданной на оси составляющей скорости и = Ах, используя метод малых возмущений, можно получить следующие формулы для определения возмущений составляющей скорости и, и, и) относительно поступательного звукового потока в цилиндрических координатах х, г, ф [174]: ы = Ах + (у + 1) гМ2 ^ — I cos 2ф

и = А2 (у 4-1) xr ^ — 2Z cos 2ф) + А3 (у + 1) г3 X

(

11

jg — -g Z cos 2ф + 4т cos 4ф w = 2 (у + 1) АЧхг sin 2ф + (у + 1) A3r ^ Z sin 2ф — 4m sin 4ф). (5.30) Hyp Пирумов, Г С Росляков

В декартовых координатах ж, у, z они имеют вид:

н = Ах + (т + 1) А2 [(А — йу2 + (1

у = (у + 1) А2 (А — 2/) ху +

+ (У + I)2 Л® ~У22 + ( А + 4 Z + 4т\ у*],

w = (у + 1) А2 ^А + 2Z^ az 4

+ (У + I)2 А3 Г(А _ 12m.уЧ + (А + А I 4- 4т\ z2L (5.31)

В отличие от плоского и осесимметричного случаев (см. (3.37), (3.38)), в выражениях для и, и появляются произвольные постоянные Z, т, задавая которые можно получить сопла различной геометрии в окрестности центра сопла. Форма звуковой поверхности получается из условия и — 0, которое в декартовых координатах приводит к соотношению

(5.32)(5.32)- (у +1) а ^А _ г) yi 4- ^ 4- г) z2].

(5.32)

(5.32)

Отсюда следует, что при |Z1 <0,25 звуковая поверхность будет эллиптическим параболоидом, при 171=0,25 — параболическим цилиндром, при |71> 0,25 — гиперболическим параболоидом. Уравнения поверхностей у = 0, m = 0 (аналогичных линиям 0 = 0 в плоском и осесимметричном случаях) имеют в декартовых координатах вид (см. также (3.39))

у = 0, х = —у = 0, х = —2 (v —н 1) А Г / 1 । 1 7 । / \। / 1< q \ о! /с оq\

у = 0, х = —

у = 0, х = —

(16 + У 1 + "М У + (16 ~ 12m) Z I (5‘33)

и

~л т 2 (у 4" 1) Г / 1. q \ г < / 1 I 1\ z2

Z —и, х—^4^ ■ Н Уб — 12т^у 4-^ 4-у Z 4^2

В общем случае эти поверхности не совпадают между собой и могут быть эллиптическими или гиперболическими параболоидами или параболическими цилиндрами.

Уравнение четырех характеристических поверхностей, касающихся в центре сопла звуковой поверхности, имеет вид

х = ЦА А [(1 - А3) у2 + (1 - А2) z2],а = ^ Л [(1 + А3) у2 + (1 - А2) z2],

X = Vil а [(1 - Ат) + (1 + Д2) 22],

* (5-34)

х= ШЛ[(1 + А1)у= + (1 + А2)^],

где Ai = V5 — 16Z, Аг = V5 + 16Z. При |ZI< 5/16 последняя из этих формул дает для характеристической поверхности С% уравнение эллиптического параболоида. По аналогии с плоским и осесимметричным случаями через С^ и С°_ обозначаются характеристические поверхности, касающиеся в центре сопла звуковой линии и простирающиеся соответственно вниз и вверх по потоку. При |Z|<0,25 первая из формул (5.34) дает для поверхности С°_ уравнение эллиптического параболоида, а вторая и третья — уравнения гиперболических параболоидов. По эллиптическому (^-параболоиду возмущения распространяются к центру сопла. Если источники возмущений поместить внутри CL-параболоида, то вносимые ими возмущения будут достигать поверхности перехода и влиять на дозвуковую область течения. Как видно из (5.34), C'L- поверхности существуют лишь при |Z|< 0,25, а С+-поверхности— при lZ|s?5/16. Отсутствие особых характеристических поверхностей при этих значениях Z говорит о неустойчивости соответствующих смешанных течений газа. Звуковые поверхности, а также характеристические поверхности для некоторых значений Z изображены на рис. 5.6.

Рассмотрим результаты численного исследования течений газа в эллиптическом сопле, поверхность которого задается уравнением [73, 74]

(у/а)ю+(z/6)“ = l (5.35)

при alb = 2 (рис. 5.7). Оси у и z лежат в плоскостях симметрии, отвечающих ф = 0 и ф = л/2. Линия пересечения поверхности сопла с плоскостью z = 0, определяемая функцией а (ж'), в окрестности минимального сечепия есть дуга окружности (Т?2 = 2), плавно сопрягаемая с прямой. В минимальном сечении сопла, которое имеет эллиптическую форму, поток равномерен и имеет постоянную скорость X = 1,1. На рис. 5.7 изображены эпюры давления на стенке при различных ж. Видна значительная неравномерность давления по ф, при этом минимальное давление наблюдается при ф = л/2. По мере приближения к выходному сечению происходит выравнивание давления по ф.

Если в каждом поперечном сечении эллиптического сопла сохранять постоянной величину d = alb, то при любом ж отношение площади сечения к площади минимального сечения будет таким Же, как и у сопла Лаваля с уравнением контура у = 6(ж). При этом одномерная теория будет давать одинаковое распределение параметров по длине для пространственного и осесимметричного 14*

Рис. 5.6. Форма звуковой поверхности и особых характеристических поверхностей в пространственных течениях [174]

Рис. 5.7. Эпюры давления в эллиптическом (со = 2, Сплошные кривые) и суперэллиптическом ((о = 5, пунктирные кривые) соплах

сопел. Влияние параметра й на течение иллюстрирует рис. 5.8. На рис. 5.8, а нанесены линии М = const для плоскостей симметрии ху и xz и показан вид функции 5(ж). При этом плоскости ху соответствуют сплошные линии и ^ = у/а(0), а плоскости xz— штриховые линии и g = z/5(0). Штрихпунктирными линиями нанесены результаты расчета течения в осесимметричном сопле. Как видим,

Рис. 5.8. Линии М = const в эллиптическом сопле в плоскостях ку и хг при d =2 (а) и в плоскости ку при различных d (б)

течение имеет существенно трехмерный характер в трансзвуковой и сверхзвуковой областях. Увеличение d приводит к росту неравномерности в распределении параметров (рис. 5.8,б).

При со > 2 уравнение (5.35) определяет поверхности так называемых «суперэллиптических» сопел. При а = Ь такие сопла имеют четыре плоскости симметрии (ф = О, л/4, л/2, Зл/4). Поперечные сечения этих сопел близки к квадратам. Уравнение (5.35) определяет широкий классе сопел, в том числе сопла, имеющие круговое минимальное сечение, но достаточно произвольную форму в сверхзвуковой части. Для этого необходимо положить со = со (ж); если со(0)=2, а а(0)=5(0)=1, то минимальное сечение есть круг единичного радиуса. Эпюры давления в двух сечениях суперэллиптического сопла представлены на рис. 5.7. Видно, что минимальное

давление имеет место в плоскостях ф = л/4 п ф = Зл/4, однако, как и в эллиптических соплах, по мере увеличения степени расширения происходит выравнивание давления по сечению и уменьшение величины окружной скорости.

В рамках обратной задачи пространственные течения в соплах и их геометрия при заданном на оси распределении скорости рассчитывались с помощью асимптотических формул (3.28). Результаты расчетов представлены на рис. 5.9, На этом рисунке изображены сопла, являющиеся осесимметричными до минимального сечения и имеющие близкую к эллиптической форму поперечного сечения вниз по потоку. Показаны также геометрические места точек 6 =const, т. е проекции на плоскость yz вторых поверхностей тока, и представлено распределение давления в различных сечениях. Пунктиром изображен контур сопла в осесимметричном случае при том же начальном распределении скорости. Для сопла, изображенного на рис. 5 9, а, перетекание газа, как и в случаях, рассмотренных выше, происходит из плоскости ф = О в плоскость ф = л/2, а для сопла, изображенного на рис. 5.9, б,— из плоскости ф = О в плоскость ф = л. Отметим, что для этого сопла центр тяжести поперечного сечения (черные точки на рис. 5.9, б) смещается влево относительно центра тяжести в минимальном сечении, что приводит к искривлению оси и появлению боковой силы.

Пространственное сопло произвольной конфигурации может быть получено путем вырезания из осесимметричного круглого или кольцевого сопла поверхностей, набранных из различных линий тока таких сопел. При этом геометрия различных поперечных сечений пространственного сопла близка к геометрии минимального сечения. Очевидно, что в такого рода соплах окружная составляющая скорости равна нулю.

Влияние несимметричности дозвуковой части па параметры течения рассмотрено в работе [55], в которой показано, что при разнице Аа в углах наклона образующих сопла в дозвуковой части в верхней и нижней половинах плоскости симметрии разница давлений при х = const на этих образующих меняет знак вблизи минимального сечения. При Аа = 15° величина боковой силы в окрестности минимального сечения составила 1 % от импульса. Изменение боковой силы с изменением Да происходит линейно.

Метод малых возмущений для расчета боковых сил и моментов. В гл. 3 был развит метод возмущений для исследования течений, близких к радиальным. Он позволяет определить не только локальные, но и интегральные характеристики течения.

Для практики весьма важно знать величины боковой силы и момента, возникающих при несимметричных деформациях контура или при несимметричных возмущениях на входе в сопло [126, 146]. Не ограничивая общности примем, что несимметричная деформация контура имеет место в плоскости гу, т. е. течение симметрично

относительно этой плоскости. Будем характеризовать вектор реак-

Рис. 5.9. Течение в пространственном сопле с двумя (а) и одной (б) плоскостями симметрии

■вектор В, с плоскостью yz, проходящей через центр конического сопла (точка О, рис. 5.10).

Из законов сохранения количества движения и момента количества движения имеем следующие выражения для боковой силы L

и момента М относительно точки 0:

6ft 2Л

L = j J (pn + plFnW) еу dS,о о

6ft 2Л

м = j j pTFn(WXr)ez^,о о

(5.36)(5.37)(5.36)(5.37)Рис. 5.10. К выводу формул для боковой силы и моментаРис. 5.10. К выводу формул для боковой силы и моментагде е, и ег — единичные орты, Wn — нормальная составляющая вектора скорости. Интегрирование в формулах (5.36), (5.37) производится по сферическому сегменту, опирающемуся на плоскость

(5.36)

(5.37)

(5.36)

(5.37)

Рис. 5.10. К выводу формул для боковой силы и момента

Рис. 5.10. К выводу формул для боковой силы и момента

выходного сечения, так что в сферических координатах dS = = г2 sin 6 d9 dtp. Предполагая, что течение мало отличается от радиального, имеем, опуская индекс е (см. § 3.5),

° к 2Л° к 2ЛL = №отг J J о оL = №отг J J о ои5- sin 9 cos ф + к cos 0 cos ср — w sin cp sin 9d9dcp, 1 — XMqи5- sin 9 cos ф + к cos 0 cos ср — w sin cp sin 9d9dcp, 1 — XMqМ = ycjoМ = ycjo(5.38) 6k 2Л= p0n0r3 J J [to cos 9 sin cp — у cos q>] sin 9 d9 dcp. (5.39) о 0(5.38) 6k 2Л= p0n0r3 J J [to cos 9 sin cp — у cos q>] sin 9 d9 dcp. (5.39) о 0

° к 2Л

° к 2Л

L = №отг J J о о

L = №отг J J о о

и5- sin 9 cos ф + к cos 0 cos ср — w sin cp sin 9d9dcp, 1 — XMq

и5- sin 9 cos ф + к cos 0 cos ср — w sin cp sin 9d9dcp, 1 — XMq

М = ycjo

М = ycjo

(5.38) 6k 2Л

= p0n0r3 J J [to cos 9 sin cp — у cos q>] sin 9 d9 dcp. (5.39) о 0

(5.38) 6k 2Л

= p0n0r3 J J [to cos 9 sin cp — у cos q>] sin 9 d9 dcp. (5.39) о 0

Поскольку плоскость жу является плоскостью симметрии, то в формулах (3.86) — (3.88) коэффициенты bihn = Ьаы =0. Кроме того, в (5.38), (5.39) после интегрирования по <р оказываются отличными от нуля лишь члены, соответствующие номеру к = 1. В случае не-

симметричных возмущений для удовлетворения условия непротека- ния на стенке (и = 0) необходимо выбирать номера п так, чтобы при 6 = 9Й удовлетворялось условие

(5.40)(5.40)apd)

(5.40)

(5.40)

-2- = 0.

de

Номера соответствующих присоединенных полиномов Лежандра можно, используя (3.98), определить из приближенного соотношения

(5.41)(5.41)п «■ 5- л9й 1 — 3.

(5.41)

(5.41)

4

(5.42)(5.42)Формула (5.41) справедлива при 0А $5 15°. Для больших значений 0 имеем: и = 7, 6, 5, 4, 3, 2 при 0^ = 14°, 16°, 19°, 24°, 31° и 45° соответственно. Для присоединенной функции Лежапдра Р^'1 (0) справедливо соотношение

(5.42)

(5.42)

и > de •

Из (5.38) и (5.39), используя (3.86) — (3.88), получим

L = — л sin 0 h cos 0ftpoMo?'2L = — л sin 0 h cos 0ftpoMo?'21~uoT (l-^o)1~uoT (l-^o)N5 tallnZln (r) +N5 tallnZln (r) +

L = — л sin 0 h cos 0ftpoMo?'2

L = — л sin 0 h cos 0ftpoMo?'2

1~uo

T (l-^o)

1~uo

T (l-^o)

N

5 tallnZln (r) +

N

5 tallnZln (r) +

1^"n

+ a21nZ2Tt (r)] 2 _ n ^ 4) -^ ^^

n1

+ 7 2 [«11^1»(r) + «21^2» (r)J 7"ДГ+ТУТГ 9=eJ’ (5‘43) n = lH)

M = ycJ0 = — л sin 0,powor3 2 |О|1/»И + «2isA»(r)] ^

х-^Т (5.44)

Рассматривая концевой элемент сопла длины dr (рис. 5.10), можно получить связь между приращениями боковой силы и момента. В случае плоского конического сопла имеем

dL = (p2 — pi)cos 0/, dr, (5.45)

где dL — приращение боковой силы при увеличении длины образующей сопла на dr; р^, Р\—значения давления на элементе dr на верхней и нижней половине. Приращение момента относительно точки О равно

dM =—(рг— p\)rdr. (5.46)

Положительными считаются момент при вращении по часовой

стрелке и боковая сила, направленная по оси у. Очевидно, что г dL = —cos Q^dM.(5.47)

Это соотношение справедливо и для осесимметричного конического сопла: его можно получить непосредственным дифференцированием L и М, определяемых формулами (5.43) и (5.44). Отметпм, что соотношение (5.47) является точным и справедливо для любых, а не только для маловозмущенных несимметричных течений.

Поскольку номера тг, определяемые формулой (5.41), велики, то при вычислении L и М по формулам (5.43) и (5.44) можно ограничиться первыми членами рядов. Используя (3.91), (3.92) и обозначая ip = «о, получим с учетом (5.47) следующую систему уравнений для определения L и М:

^ = A L [2 - п (п + 1)] - А_ Мп (п + 1) cos 9к,(5.48)

ДМг £ [2— га (га + 1)] , Мп (п + 1)/г

dip4хр cos 0А 1 4ip ‘\ • )

Для безразмерных функций

L° = L]J61 М° = М ^^^ a^Qy1 = z (zr0) у dr* имеем_

dL° _ _ cos0fcVtp аМ» _ (ф _ p Lo

^ ~ r°(ip + l) ^ 2ip(ip-t-l)’( • )

dM° r° (ip 4~ 1)[2 — » (ra 4~ 1) I Ь° га (га 4~ 1) M° (5 5Ц dip4ip3^2cos0ft4ip

Здесь r * — расстояние от центра источника до минимального сечения,

г° = r/r*, Jo = 'Ц^МК), z (u0) = u0 4-u^1,

Q — расход. Система (5.50) — (5.51) позволяет найти боковую силу и момент при различных несимметричных возмущениях как в дозвуковой, так и в сверхзвуковой области сопла.

При несимметричном течении в цилиндрической трубе, используя (3.102), (5.36), (5.37), можно получить конечные соотношения для силы L0 и смещения тяги 8° (рис. 5.10,6):

г0 С846о . Л,84^°) ,/1,84ж0\,,

L0 = —sin^-^—j 4-L"cos ),(5-52)

о о /1,84ж°\ го Р • /1,84ж°)

80 = 8HCOS^-^--LH^Sinpp—(5.53) ₽ = /Мо-1,

где 8° = 8/го, х° = х1го, ^нй 8ц— начальные значения L0 и 8°, Мо— число Маха поступательного потока (значение 1,84 — первый корень уравнения (3.103) при к = 1).

Для интегрирования системы (5.50), (5.51) и при использовании формул (5 52), (5.53) необходимо знать начальные значения боковой силы L", момента Мд или 8ц. В общем случае они определяются экспериментально, однако при некоторых относительно простых искажениях контура могут быть найдены из геометрических рассмотрений. Так, при повороте некоторой части сопла относительно оси на угол а в рамках линейной теории имеем в сечении АА' (рис. 5.10)

т о _ Г 2уа 1н~ [(Т + 1) («)]н7т о _ Г 2уа 1н~ [(Т + 1) («)]н72уоо 0 cos 6h2уоо 0 cos 6h(V + B Jh(V + B Jh8^ = 0.8^ = 0.(5.54)(5.54)

т о _ Г 2уа 1

н~ [(Т + 1) («)]н7

т о _ Г 2уа 1

н~ [(Т + 1) («)]н7

2уоо 0 cos 6h

2уоо 0 cos 6h

(V + B Jh

(V + B Jh

8^ = 0.

8^ = 0.

(5.54)

(5.54)

Из формул (5.52), (5.53) следует, что в цилиндрической трубе функции L° и 8° колеблются с постоянной амплитудой, определяемой величиной угла а. При увеличенип числа Мо нули функции L° смещаются в сторону больших х.

На рис. 5.11, 5.12 представлены зависимости боковой силы и момента от xQ = х(х* для конических сопел, полученные интегрированием уравнений (5.50), (5.51) с граничными условиями (5.54) при повороте дозвуковой части в минимальном сечении на угол а. На тех же рисунках дано сравнение с результатами расчетов по трехмерному методу характеристик [242].

Для определения по значениям L и М величины боковой силы La и момента Ма, создаваемых неповернутой частью сопла АА'В'В, нужно воспользоваться соотношениями

La — L — LB, Ма = М — Мн. (5.55)

Проанализируем результаты расчетов. В сечении А' А при повороте (рис. 5.10) боковая сила La отрицательна. На начальном участке контура АВ при натекании потока возникает повышенное давление, а на начальном участке контура А 'В' давление, очевидно, ниже, чем на АВ. Возникающая положительная боковая сила La уменьшает начальную отрицательную боковую силу LH. При увеличении длины сопла возникает точка, в которой |ZH| = |ZyJ, по знаки этих сил противоположны, так что общая боковая сила L равна нулю. На рис. 5.11 такие точки соответствуют пулям функции L, при этом полный вектор реактивной силы направлен точно по оси х. При дальнейшем увеличении длины сопла положительная сила La продолжает возрастать, но лишь до тех пор, пока волны сжатия от контура АВ (см. рис. 5.10) не достигнут контура А'В', а волны разрежения, распространяющиеся от А 'В', не достигнут контура АВ. С этого момента происходит уменьшение положительной силы La и могут вновь возникнуть точки, где |La| = |LHl и L = 0, а при

дальнейшем увеличении длины знак L будет совпадать со знаком LH. Колебательный характер изменения L, таким образом, очевиден из физических соображении. Ясно также, что число нулей функции L тем больше, чем меньше угол 6к. В отличие от течения в цилиндрической трубе, колебания происходят с уменьшением амплитуды.

Рис. 5.11. Зависимость боковой силы от длины в коническом сопле (у = 1,2); 1 — линейная теория, 9s = = 10°; 2 — расчет [242]; 3 — расчет по (5.66), 9s = = 10°; 4 — линейная теория, 9к=5°^» = Д+1х

L°

X z (и), а берется в гра-

а

Дусах)

Для момента М также характерен колебательный характер, однако из-за увеличения плеч, т. е. расстояния до центра источника, с увеличением длины сопла происходит рост амплитуды колебаний.

Рис. 5.12. Зависимость момента от длины в коническом сопле (7 = 1,2); 1 — линейная теория, 9s = 10°; 2 — расчет [242]; 3 — расчет по (5.67), 9fe= 10°^” =

V 4- 1 , - М° , = А—[— z (и) —, а берет- 27 а

ся в градусах)

Представленные на рис. 5.11, 5.12 данные демонстрируют высокую точность линейной теории. Важно, что в рамках линейной теории амплитуда возмущений пропорциональна углу а, а нули функции L и М не зависят от а, поэтому достаточно провести расчеты лишь для одного значения а. В то же время определение L" и М° в рамках линейной теории достаточно элементарно и сводится к чис-

лепному интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений (5.50), (5.51). В этом смысле линейная теория обладает преимуществами перед численным решением. При малых возмущениях точность линейной теории может оказаться выше. Линейная теория для расчета боковых сил и моментов, основанная на линеаризации одномерного течения, развита в работах [52, 203].

Представляет интерес получить приближенное аналитическое выражение для боковой силы и момента в дозвуковой и сверхзвуковой областях. Если в дозвуковой области сохранить принятое ниже правило знаков, т. е. считать, что боковая сила положительна, когда направлена по оси у, а момент положителен при вращении по часовой стрелке относительно центра стока, то для расчета боковой силы и момента можно воспользоваться той же системой, но изменив знак у первого члена в правой части уравнения (5.49) и знак в левой части уравнения (5.48). Тогда переходя от независимой переменной гр к г и пренебрегая при малых дозвуковых скоростях величиной гр = по по сравнению с единицей, нетрудно получить, используя формулы (3.91), (3.92), (5.43) и (5.44), следующие соотношения для определения боковой силы и момента относительно центра стока:

L = lh —, М 5 — ,(5.56)

V н /и cos 0ft v н /

где LH — начальное значение боковой силы, заданное при г = гн. Из формулы (5.56) следует, что в дозвуковой области происходит уменьшение по степенному закону боковой силы и момента по мере приближения к минимальному сечению. Кроме того, выполняется приближенное соотношение

M = CrL,(5.57)

где значение константы С зависит от начальных условий и угла 0!;.

Для построения приближенного решения в сверхзвуковой области воспользуемся результатами работы [57]. Запишем систему (5.48), (5.49) в двух эквивалентных формах:

<х - ♦> 54"4т>+^4 ^+^441" (»+'> -21 L-°- <5-58> (х ~ 5+F 4=т+3-^] ^+- ^" +1)м=° •

(5.59) Следуя работе [57], построим асимптотическое разложение решения Уравнений (5.58) и (5.59) в окрестности особой точки гр = х по отрицательным степеням п. Можно показать, что с точностью до величины п-1 приближенное решение уравнений (5.58) и (5.59) имеет

ВИД

L = 21^ V^ [С17+(Ро+п(2П1 /^)) 1 С2/_(Ро+1) (2И1 /^)],

(5.60)

М=пгМ^ /^|[С1/+(1_Ро)(2тг2 /^) LC2/_fl_Po) (2п2 /^j)]8

(5.61) где р0=—^—1) , Ci, С2, Ci, С2—произвольные константы, ^(Ро+О’ ^-(Ро+1)’ J^^oy J-y-^- функции Бесселя порядка Ро + 1 и 1 - Ро,

П1 = Уп^п + 1)— 2, п2 = Уп(п + 1), (5.62) M(ip) = (x — ф) P°/2ip~3/8, <o(ip) = |(/(ip) — /(х)) 2,

/ (ip) — функция Прандтля — Мейера, определяемая соотношением (1.151). Напомним, что 1р = Ug = X2. Используя далее асимптотические представления функции Бесселя при больших значениях аргумента, из формул (5.60), (5.61) получим приближенное аналитическое выражение для боковой силы и момента:

L = L [C1L sin 61 (ip)+ C2l cos Si (xp) ],(5.63)

M = Л/[С(м sin 62 (ip) H- C2m cos 62WL(5.64)

где _

7 _ M (xp) -- У 2ra1 _ 9 1 /"^1 (z^—jp)V^Z^P^.8

r V nf № ~ И л x1/4 (ip —1)1/4 ’

M=rL, S^ip) =y ^/(ip), 62(ip) = у n2/(ip),

/ №=^(-/ №=^(-Ip — 1 Xl/2 1 — Z~ И /Ip — 1 Xl/2 1 — Z~ И /(5.65)(5.65)

/ №=^(-

/ №=^(-

Ip — 1 Xl/2 1 — Z~ И /

Ip — 1 Xl/2 1 — Z~ И /

(5.65)

(5.65)

C1L, C2l, Сш, C2M— произвольные константы. Из формул (5.63), (5.64), а также из уравнений (5.48), (5.49) при начальных условиях (5.54) следует, что при больших п имеем M~CrL (ср. (5.47)), т. е. можно считать, что точка приложения боковой силы приблизительно находится в плоскости выходного сечения сопла и что при известной величине боковой силы можно определить момент относительно любой точки. Это означает также, что нули боковой силы и момента близки (см. рис. 5.11 и 5.12) и, следовательно, в тех плоскостях сопла, где L ~ М ~ 0, вектор силы не только параллелен оси сопла, но и направлен по оси.

Пусть в некотором сечении сопла известны начальные значения боковой силы и момента LH, МЙ1 которые в силу (5.54) связаны со-

отношением Мч = — гйЬн cos 0ft. Тогда из (5.48), (5.49) и имеем при больших потношением Мч = — гйЬн cos 0ft. Тогда из (5.48), (5.49) и имеем при больших п(5.41)(5.41),9л- и («+ 1) тж; («+з)2 н’,9л- и («+ 1) тж; («+з)2 н’йф /нйф /н,Йф/н",Йф/н"Зная Мн, LH, (dLJd^H, (dM/d^s, можно определить произвольные константы в (5.63), (5.64). Окончательно для вычисления L, М имеем с точностью до величин п~3/2Зная Мн, LH, (dLJd^H, (dM/d^s, можно определить произвольные константы в (5.63), (5.64). Окончательно для вычисления L, М имеем с точностью до величин п~3/2L = LBL = LBL (ф)L (ф)COS [6Х (ф) — 61н],COS [6Х (ф) — 61н],М = МнМ = Мнм^м^COS [62 (ф) — 62н],COS [62 (ф) — 62н],(5.66)(5.67)(5.66)(5.67)

отношением Мч = — гйЬн cos 0ft. Тогда из (5.48), (5.49) и имеем при больших п

отношением Мч = — гйЬн cos 0ft. Тогда из (5.48), (5.49) и имеем при больших п

(5.41)

(5.41)

,9л- и («+ 1) т

ж; («+з)2 н’

,9л- и («+ 1) т

ж; («+з)2 н’

йф /н

йф /н

,Йф/н"

,Йф/н"

Зная Мн, LH, (dLJd^H, (dM/d^s, можно определить произвольные константы в (5.63), (5.64). Окончательно для вычисления L, М имеем с точностью до величин п~3/2

Зная Мн, LH, (dLJd^H, (dM/d^s, можно определить произвольные константы в (5.63), (5.64). Окончательно для вычисления L, М имеем с точностью до величин п~3/2

L = LB

L = LB

L (ф)

L (ф)

COS [6Х (ф) — 61н],

COS [6Х (ф) — 61н],

М = Мн

М = Мн

м^

м^

COS [62 (ф) — 62н],

COS [62 (ф) — 62н],

(5.66)

(5.67)

(5.66)

(5.67)

где бы, 6гн — начальные значения функций 61(ф), 6г(ф), определяемых формулой (5.65). Из (5.66), (5.67) очевиден колебательный характер изменения боковой силы и момента с затуханием амплитуды колебаний (за счет члена Т(ф)) у функции L. Нули ^д функций L и М определяются из соотношения

/ШЖЮ + ^Ж!) (й = 0, 1, ..., п),(5.68)

откуда следует, что число нулей увеличивается с уменьшением 0Й (т. е. с увеличением п) в соответствии с приведенным выше физическим рассмотрением. Кроме того, первый нуль функции L и М, соответствующий к = 0, смещается вниз по потоку при увеличении угла 0й. На рис. 5.11, 5.12 показано сравнение полученного приближенного решения с точным. Видно, что приближенное решение позволяет достаточно хорошо предсказать нули функций L и М. Ошибка в определении максимальных значений L и М составляет 10-15 %.

Сопоставим результаты расчета течения газа в коническом сопле методом малых возмущений и методом сеток [60]. Начальные данные в виде возмущений радиальной и и окружной и составляющих скорости определялись из точных расчетов. Эти возмущения задавались на дуге окружности CD радиуса г = гн, расположенной ниже по потоку от характеристики АВ, ограничивающей течение расширения, возникающее при обтекании радиусного участка контура сопла (рис. 5.13). Для аппроксимации начальных возмущений оказалось достаточным пяти членов рядов (3.99).

Расчеты, выполненные с помощью обоих методов, показывают хорошее соответствие результатов. Отличие в возмущениях составляющих скорости и и и не превосходит 10 % в поле течения и 5 % на оси и контуре сопла (рис. 5.13). Имеется некоторое различие в положении пулей функций, а также в поведении параметров течения в тех областях, куда приходят ударные волны. В этих областях

в точной теории имеют место разрывы параметров, тогда как метод малых возмущений предполагает аналитичность решения и отсутствие завихренности. Однако расхождение в решениях невелико в силу малой интенсивности ударных волн. Следует подчеркнуть, что

Рис. 5.13. Сверхзвуковое течение в коническом сопле ^2 = 0,5, 0;, = 15°), 1 — численное решение, 2 — расчет методом малых возмущений

поскольку возмущения параметров рассчитываются с достаточно высокой точностью, то полные скорости определяются с еще большей точностью. Проведенные исследования показывают правомерность применения метода малых возмущений для расчета течений в конических соплах с 0к < 20° [60]. Этот вывод имеет принципиальный характер и позволяет применять метод малых возмущений для расчета маловозмущенных пространственных течений в конических соплах. На рис. 5.13 и далее 7?о отпесепо к г*.

Остановимся на вопросе выбора начальных данных, т. е. начальных значений боковой силы и момента. Их определение в методе возмущений при заданном виде искажений является более простой задачей, чем определение поля параметров в начальном сечении, которое требуется при численном интегрировании пространственных уравнений газовой динамики.

Рассмотрим два наиболее типичных вида искажений в сопле: перекос оси сопла на угол а и смещение оси на величину h. Пусть в сечении АВ сопла (рис. 5.14), имеющем радиус г0 и расположенном в сверхзвуковой части сопла, вектор Во смещен па величину е0 и повернут на угол б = arcsin (Lo/Ro). При повороте оси сопла на угол а образуется переходный участок ABCD. Необходимо опреде-

лить боковую силу L и смещение тяги е (или момент относительно центра источника) в сечении AD, которые и будут являться начальными данными для расчета распространения возмущений вниз по потоку от сечения AD. Боковая сила в сечении AD равна сумме проекций всех сил, действующих на сопло до сечения AD;

L = Jo sin а + Lq cos а + Lx cos а + Jx sin а + Ls.

Будем считать, что в области АВС на стенку сопла действует давление До, неизменное по длине участка и равное давлению в сечении

Рис. 5.14. Схема сил при перекосе и сдвиге оси сопла

АВ. Тогда в сферической системе координат р, 6, ф сила Lx равна

1 = — ЛГ0р0 tgy I 1 — 0 tgy

или (с точностью до а20) LT = — лГоро tg (сс/2). При этих же предположениях продольная сила, действующая на участке АВС, равна А = — лГоРо tg 0 tg а.

При пересечении плоскости АС давление на стенке сопла меняется. Можно предположить, что при малых углах а понижение давления в волне разрежения, возникающей в точке А, равно скачку Давления в ударной волне, выходящей из точки С, причем поворот потока происходит без отрыва. Закон изменения давления в окружном направлении зададим в виде р = ро (1 — A cos ф), где А=(рс~ ~~Ро)/ро— относительное повышение давления в ударной волне, выходящей из точки С. Предположим также, что вдоль образующей сопла в области A CD давление не изменяется. После интегрирования 15 У. г. Пирумов, Г. С. Росляков

получим, что сила Еч с точностью до а20 равна

Г2 = — nropotgy (! + д)-

Тогда боковая сила в сечении AD определяется выражением

L = у sin а + £0 cos а — лгоро tgycosa + tg у(1+Д) — tg 9 sin2a

« J оа + Lo — лгоРо + у аА j или в безразмерном виде

L» = L+ai+ 1,(569)

\2^М2 Д уМ;;)'

где Мо— значение числа Маха в сечении АВ. При небольших углах а повышение давления в точке С на скачке можно определить из уравнения совместности на характеристике. Имеем А = ауМ^ (М^ - 1)"1/2. Тогда

L° = L°o + аL° = L°o + а(5.70)(5.70)1 — 0,5а(М2 — 1)~1/214-ДУД1

L° = L°o + а

L° = L°o + а

(5.70)

(5.70)

Формулы (5.69), (5.70) можно применять при безотрывном сверхзвуковом течении в переходном участке ABCD.

Определим эксцентриситет тяги е в сечении AD. Проделав необходимые вычисления, получим для малых углов а (с точностью до величины порядка а2):

сО 6 р° гйь — — — ь0 — гоксО 6 р° гйь — — — ь0 — гокtg 0h (1 + 0,54)1 + YM2tg 0h (1 + 0,54)1 + YM2(5.71)(5.71)

сО 6 р° гй

ь — — — ь0 — гок

сО 6 р° гй

ь — — — ь0 — гок

tg 0h (1 + 0,54)

1 + YM2

tg 0h (1 + 0,54)

1 + YM2

(5.71)

(5.71)

где г” = г^г^, Д = е0/г* — эксцентриситет тяги в сечении АВ. Величины М° и е° связаны с величиной момента относительно центра минимального сечения 71/* = —г(ф)у*/г* (рис. 5.10) соотношениями

ДР = - -L- sin 0 - z (тЬ) L° cos б],

ка в плоскости смещения, имеем:

L — Lq — L\ — L^ е = so + Ло + eg.

Здесь со и Lq — смещение и боковая сила предыдущего участка, вызванные несимметрией течения, не связанной с рассматриваемым сдвигом оси; eg — смещение вектора тяги, эквивалентное суммарному крутящему моменту, возникающему при переносе отмеченных выше дополнительных сил в точку О; Ло — смещение вектора тяги предыдущего участка относительно оси последующего, зависящее от смещения осей. Нижняя часть потока перед сечением сдвига поворачивается по направлению к оси в ударной волне AD, поэтому величина Ло должна быть меньше величины Л. Ось сечения ЕВ отстоит от оси сечения МВ на Л/2, поэтому в первом приближении можно принять (с учетом правила знаков), что Ло = — Л/2. Более точное значение Ло можно получить из экспериментальных данных.

Предположим, что граница нижней отрывной зоны лежит в плоскости АО, а верхней — в плоскости NO. Считая давление в пределах отрывной зоны неизменным, определим величину всех дополнительных сил и крутящих моментов, возникающих при переносе сил в точку О. В результате получим величины L0 и е°, которые можно использовать в качестве начальных данных для расчетов несимметричного течения по потоку от сечения МВ;

ТО _ ТО ^1 ~ ^2^2 к г

°2г0(1 + уМ02) \МЬ

Г лЛ2-дД2 1г ,

°2+я(1 + ?М2)

[ “Sr;+ M

-tg9(A1Z?- A2Z“) . (5.72)

Здесь

Ai = (щ — ро)/ро = const > 0, Аг = (р2 — ро)/?о = const < О,

= Z2/r*, Л° = Л/г*,

/ — коэффициент, учитывающий отличие расчетной схемы от действительной картины течения.

Аналогичный способ расчета начальных данных, заключающийся в приведении к одному сечению сил избыточного давления, Действующего на стенку сопла, можно применить и для других видов искажения контура, в частности, для местных искажений типа несимметричных выемок или выступов. Рассмотренная схема расчета начальных данных может быть использована в основном для сверхзвуковой части сопла. Для дозвуковой области применение аналогичного подхода осложняется тем, что здесь, как правило, трудно определить границу зоны избыточного давления, вызванного искажением контура, да и сама величина давления не всегда может быть надежно определена. Однако здесь, по-видимому, можно пони- 15*

зить и требования к точности определения начальных данных, поскольку, как это было показано выше, возмущения в дозвуковой части быстро затухают.

Численное исследование пространственных течений газа в соплах. Ниже обсуждаются результаты расчетов пространственных течений в соплах с помощью метода малых возмущений и разностного метода, аналогичного методу, описанному в и. 2.5.2 [125]. Решение задачи в полной нелинейной постановке весьма трудоемко, поэтому разностный метод использовался не для параметрических исследований, а для расчета лишь небольшого числа вариантов с целью выяснения границ применимости метода малых возмущений, а также в тех случаях, когда последний неприменим.

Основные черты разностного метода заключаются в следующем. Рассмотрим течение совершенного газа в сопле, в общем случае при наличии центрального тела, в цилиндрической системе координат ж, г, ф. Будем предполагать, что течение обладает хотя бы одной плоскостью симметрии (ф = 0). Расчетная область ограничена стенками сопла и центрального тела, уравнения которых r = F(x, ф) и r = G(x, ф), сечением ж =ж°, плоскостью ф = 0 и ближайшей к ней плоскостью симметрии ф = ф*. В сечении х = х° все величины считаются известными, на поверхностях г = F (ж, ф) и г = G (ж, ф) ставится условие непротекания

v = uFx + wFJF, v = uG* + wG^G, (ЬПЗ)

а на плоскостях ф = 0, ф = ф* —■ условия симметрии. После замены переменных

г — G (х,X = X, aX , ф = ф

’ ь F (ж, ф) — G (ж, ф)Y

область переходит в прямоугольную, х 5s х°, О =С £ =С 1, О =С ф $С ф*, а система уравнений газовой динамики в дивергентной записи будет иметь вид

(5.74)(5.74)М , gB gC6х дс, ' gф

(5.74)

(5.74)

где А, В, С, D — векторы с компонентами Ак, Вк, Ск, Dk (к = 1,..., 5):

Ак = Ркгт, 5,, = Р^С^ + le^)-7?,,(С^+^^ Сл = Рйе,

Рх = ри2 + р, Qi = рмщ Ri = puw, D\ = О,

Р2 = puv,Q2 = рп2 + р, R2 = pvw,D2 = — (pw2 + p)e,

Рз = puw,Q3 = pvw,Ra = pw2 + p, Da = pvws,

P4 = pu,Q4 = pv,R4 = pw,D4 = 0,

Ps = puli,Qs = pvh,R5 = pwh,Ds = 0,

-y — 1 p 12’x ’ т/ \ > r/7

u^ v, w — составляющие скорости по осям ж, г^ ср.

Метод расчета основан на применении явной разностной схемы второго порядка точности и процедуры сглаживания разностного решения и относится к методам сквозного счета. Вводится сетка ж” = ж°+пАж, §, = iA§, ф, = /Аф, п = О, 1, ...; i = О, 1, ..., М; 7 = 0, 1,..., N; А| = ММ, Аф = ф*/А и вспомогательные «полуцелые» узлы n + Х, г ±1/2, / ± 1/2. Вычисления ведутся вдоль ж по слоям х = const. Выпишем разностные уравнения для системы (5.74). Для узла жп+\ ^,+1/2, Ф,+1/2 имеем

А"+1/2,7+1/2 = Ai+1/2,,+1/2 0,5Х д| (B1+1J B"j + B^j'-I-! — В"^) —

О’^Х Хф (^2,7+1Су 4- Сг_|_1>7_|_1 C^j) — ХАжВу+2,7+1/2, (5.75)

где A"+1/2,j+i/2, D”+1/2j+1/2 — усредненные значения A, D по четырем крайним узлам. Вычислив А"/^,7+1/2’ можно определить и, и, и>, р, р в узле n + X, i + 1/2, j + 1/2. Аналогично определяются искомые величины в узлах i + 1/2, 7 — 1/2; I — 1/2; / + 1/2; г — 1/2, / — 1/2 на слое n+Х. Применяя схему «крест», получим систему для определения Ai, ..., As в узле п + 1, i, j, зная которые можно вычислить и, V, W, р, р.

Для вычисления величин на стенке г — F (х, ф) в узлах п+1, М. / используется односторонняя схема первого порядка точности. Разностная аппроксимация уравнений (5.74) для компонент к = 1, 3, 4, 5 дает

Ик^МЛ = (4)mJ — д| [(-S^MJ — C®a)m-1j1 —

- 0,5^ [(Cfe)^,,-+1 - (C^j-J - Аж (Dfc, к = 1, 3, 4, 5. (5.76)

Определив отсюда (А^ду1 (к = 1, 3, 4, 5) и воспользовавшись первым граничным условием (5. 73) Vm^ = (uFx + wF^/F)1^, можно найти и, v, w, р, р в узле n + 1, М, j. Аналогично вычисляются величины на поверхности центрального тела сопла, где имеет место второе граничное условие (5.73).

Для вычисления параметров на оси цилиндрической системы координат используются уравнения в декартовых координатах.

Поскольку в течении возможно образование ударных волн, к разностному решению на каждом слое применяется процедура сглаживания с использованием пяти точек в каждом направлении. Сглаживанию подвергаются не сами функции, а комплексы А6, после чего вычисляются окончательные значения газодинамических функций на слое п + 1. Шаг Аж определяется из «одномерного» Условия Куранта, соответствующего изменению параметров вдоль лучей ф = ф,.

Основные расчеты несимметричного течения газа в конических соплах были выполнены по методу малых возмущений с использо-

вапием численного решения уравнений (5.50), (5.51). Искажение формы сопла задавалось перекосом оси в минимальном сечении на угол а = 1°. Отметим, что в рамках линейной теории амплитуда возмущений пропорциональна углу а, а нули функции L и М не зависят от а, поэтому результаты расчетов пригодны и для других значений а. Начальная боковая сила L^ определялась по формуле (5.69) при Ц = 0 и А = О, так как ударная волна в рассматриваемом случае вырождается в характеристику. Величина начальною эксцентриситета тяги £н принималась равной нулю. Расчеты выполнены в диапазоне углов 0^ = 5 4-25° при показателе адиабаты у, равном 1,2 и 1,4.

На рис. 5.15, 5.16 сплошными линиями показаны значения L0, М°, е° для Mo = 1, 7 = 1,2 при отсутствии скругления контура в начале сверхзвуковой части (R° = R^r* = О, R2 — радиус скругления контура). Изменение боковой силы носит колебательный характер с затухающей по длине сопла амплитудой, при этом число нулей увеличивается с уменьшением угла 0Й. Колебательный характер изменения функций I?, М° и е° связан с последовательным отражением от стенок сопла чередующихся волн сжатия и разрежения. Отметим, что в тех сечениях, где L0 = 0, реализуются максимальные значения е° и в связи с этим общий момент отличен от нуля. С увеличением длины сопла увеличивается амплитуда колебаний М° и е°. Нули функций L0 и М° несколько смещены один относительно другого, что и следует непосредственно из уравнений (5.50), (5.51). Увеличение у приводит к смещению нулей функций L0 и М° вправо по оси я, при этом амплитуда колебаний изменяется незначительно. Известно, что увеличение радиуса скругления контура в сверхзвуковой части R2 приводит к сдвигу нулей функций ГР и е°. Этот результат подтверждается расчетами по линейной теории при замене участка скругления последовательно расположенными коническими участками. При возрастании 7?® нули функций L0 и е° смещаются влево, а амплитуда колебаний уменьшается. С возрастанием угла 6Й влияние R” увеличивается. Увеличение Мо приводит к сдвигу нулей функций Л°, в0 вправо. Отметим, что аналогичные данные по влиянию параметров у, R®, Мо, полученные в [242] трехмерным методом характеристик, а также разностным методом, описанным выше, хорошо согласуются с расчетами методом малых возмущений.

Рассмотрим теперь случай цилиндрической трубы. На рис. 5.17 приведены зависимости L°(x0^ (сплошные кривые) и е°(^°) (пунктирные кривые). Здесь цифры 1, 2, 4 соответствуют у = 1,2 и Мо = 1,05; 1,2; 3, а цифра 3 — у = 1,4, Мо = 1,2. Начальное искажение задано в виде перекоса оси па угол а = 1°. Как и для конического сопла, увеличение числа Маха приводит к увеличению расстояния между нулями функций L°, е°. Но в отличие от течения в коническом сопле, амплитуда колебаний функций не изменяется.

Рис, 5.15. Изменение боковой силы и момента по длине конического сопла:

1-М0 = 1,2, 1 = 1,2,В“=0; 2-М = 1, 1 = 1,2, Л" = 2; 3 — М. = 1,

1 = 1,4, Л° = 0

Рис. 5.16. Изменение смещения тяги по длине конического сопла (обозначения см. на рис. 5.15)

Рис. 5.17. Изменение боковой силы и смещения тяги по длине трубы: 1 — Мо = 1,05, 7 = = 1,2; 2 — Мо = 1,2, у = 1,2;3 - Мо = 1,2, 7 = 1,4; 4 — Мо = 3, 7 = 1,2Рис. 5.17. Изменение боковой силы и смещения тяги по длине трубы: 1 — Мо = 1,05, 7 = = 1,2; 2 — Мо = 1,2, у = 1,2;3 - Мо = 1,2, 7 = 1,4; 4 — Мо = 3, 7 = 1,2углы наклона контура вуглы наклона контура в

Рис. 5.17. Изменение боковой силы и смещения тяги по длине трубы: 1 — Мо = 1,05, 7 = = 1,2; 2 — Мо = 1,2, у = 1,2;

3 - Мо = 1,2, 7 = 1,4; 4 — Мо = 3, 7 = 1,2

Рис. 5.17. Изменение боковой силы и смещения тяги по длине трубы: 1 — Мо = 1,05, 7 = = 1,2; 2 — Мо = 1,2, у = 1,2;

3 - Мо = 1,2, 7 = 1,4; 4 — Мо = 3, 7 = 1,2

углы наклона контура в

углы наклона контура в

Данные работы [242] практически не отличаются от зависимостей, определенных формулами (5.52), (5.53).

На примере цилиндрической трубы нетрудно показать влияние

начальных данных на распространение возмущений. Наличие наряду с боковой силой начального эксцентриситета тяги приводит

к возрастанию амплитуды колебаний, а также к сдвигу нулей функций А0, е° вправо или влево в зависимости от того, совпадают или нет знаки^н и ед. Расстояние между нулями функций L° и е° не зависит от начальных условий. Эти выводы являются верными и для сопел, что еще раз подтверждает важность правильного задания LH и еи.

В заключение отметим, что были попытки использовать теорию малых возмущений для изучения несимметричных течений газа в профилированных соплах. С этой целью контур профилированного сопла заменялся ломаной линией, составленной из отрезков, углы наклона которых равны местным углам наклона контура. Результаты расчетов, основанных на таком подходе, течений газа в конических соплах, у которых начальный участок сверхзвукового кон-

тура выполнен в виде дуги окружности, оказались близкими к результатам работы [242]. Однако с ростом угла 0А различие в результатах расчетов увеличивается, а для профилированных сопел характерны большие окрестности минимального сечения.

Расчет течений газа вРасчет течений газа впрофилированных соплах, рассмотрен

Расчет течений газа в

Расчет течений газа в

ных в работе [242], был выполнен с помощью разностного метода, изложенного выше. Рис. 5.18 иллюстрирует хорошее совпадение этих расчетов (сплошные кривые) с данными [242] (пунктир). Существенное влияние /й на I? связано с наличием больших градиентов параметров в поперечных сечениях профилированного сопла, прежде всего в области, примыкающей к минимальному сечению. Расчеты течений в профилированных соплах по линейной теории

дают результаты, значительно отличающиеся от приведенных на рис. 5.18. Замена начального участка сопла различными эквивалентными конусами или цилиндром не дает удовлетворительных результатов. Гораздо лучшее совпадение результатов наблюдалось в том

случае, когда расчет начинался не от критического сечения, а от некоторого сечения, расположенного в сверхзвуковой области. При

этом в качестве начальных данных использовались значения L0 и 8°, взятые из расчетов, представленных на рис. 5.18. Распространение возмущений в профилированных соплах можно приближенно оценить по линейной теории в том случае, если искажения контура располагаются ниже сечения с координатой ж® = ж/г* ^2-^3.

Экспериментальное исследование боковых сил и моментов. Ниже излагаются результаты экспериментального исследования, полученные в работах [125, 126], в основном посвященные измерению

Рис. 5.18. Изменение боковой силы по длине профилированного сопла при Мо = 1,1, Ч = 1,2, а = 1: 1 -7?® = 0,5, 2 — 7?® = 1,0, 3-7?® = 2,0Рис. 5.18. Изменение боковой силы по длине профилированного сопла при Мо = 1,1, Ч = 1,2, а = 1: 1 -7?® = 0,5, 2 — 7?® = 1,0, 3-7?® = 2,0

Рис. 5.18. Изменение боковой силы по длине профилированного сопла при Мо = 1,1, Ч = 1,2, а = 1: 1 -7?® = 0,5, 2 — 7?® = 1,0, 3-7?® = 2,0

Рис. 5.18. Изменение боковой силы по длине профилированного сопла при Мо = 1,1, Ч = 1,2, а = 1: 1 -7?® = 0,5, 2 — 7?® = 1,0, 3-7?® = 2,0

боковой силы при различных видах искажений контура конических и профилированных сопел. При проведении экспериментов особое внимание уделялось точности получаемых экспериментальных данных, количественной определенности величины создаваемых начальных возмущений и сохранению одинаковых условий испытания для различных типов искажений и различных сопел. Величиной, удобной для исследования, является боковая сила L.

Эксперименты проводились на дифференциальном стенде, описание которого приведено в [119]. При испытаниях рабочее тело (холодный воздух) подается в одинаковых количествах в исследуемое и эталонное сопла, расположенные на одной оси и направленные в противоположные стороны. В результате на измерительный тензоэлемент стенда действует лишь небольшая по величине разность тяг сопел, которая после суммирования с известной тягой эталонного сопла позволяет определить осевую тягу исследуемого сопла. Во время испытаний другие тензоэлементы регистрируют боковую силу, действующую в плоскости, перпендикулярной осевой тяге. Эта сила является суммой (или разностью) боковых сил исследуемого и эталонного сопел. Для выделения из этой суммы боковой силы исследуемого сопла необходимо провести в тех же условиях второй эксперимент, повернув предварительно исследуемое

сопло на 1800 вокруг его продольной оси и оставив неизменным положение эталонного сопла. Это позволяет измерить боковую силу с точностью ~ 0,1 % от величины осевой тяги. Основными видами искажений контура, выбранными для исследования, были перекос и сдвиг оси сопла, причем изучалось преимущественно распространение возмущений в сверхзвуковой части. Были исследованы также некоторые виды местных искажений контура в виде - несимметричных поперечных выемок.

На рис. 5.19, а приведена схема конического сопла с перекосом оси в сверхзвуковой части на угол а = 6 ° и указаны необходимые

Рис. 5.19. Схемы моделей: а — коническое сопло с перекосом оси в сверхзвуковой части (01 = 10°, а = 6°), б — коническое сопло для исследования сдвигов оси (01 = 15°)

размеры. Расчетное одномерное значение числа Маха в сечении перекоса равно М = 1,58 при у = 1,4, а на выходе из сопла — Ма = *= 3,9. Дозвуковая часть сопла имеет также коническую форму с радиусом скругления в районе критического сечения/?? = Rjr* = 1.

После измерения боковой силы исходного сопла производилось последовательное укорочение длины сверхзвуковой части и измерялась боковая сила сопла при полученном другом диаметре выходного сечения. Всего таким образом были определены значения боковой силы в 15 различных сечениях сопла при неизменном начальном возмущении.

На рис. 5.19, б изображена модель конического сопла, предназначенная для исследования возмущений, создаваемых сдвигом оси в различных сечениях. Модель выполнена из отдельных соединен-

пых между собой секций. Сдвиг оси по любой плоскости соединения деталей на величину Л = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0 мм производился с помощью эксцентричных колец, вставляемых вместо симметричных колец 2. Контур сопла в области минимального сечения был скруглен по окружностям радиусов R® = R^ = 1,0, длина цилиндра в критическом сечении равнялась 3 мм.

Для исключения из измеренной величины боковой силы дополнительных составляющих эксперименты с этой моделью проводились в следующей последовательности. С помощью эксцентричного кольца задавалось смещение оси в каком-нибудь сечении и производилась двойная продувка (исходное положение и с поворотом на 180°) модели без последующих секций. Затем пристыковывалась следующая секция, производилась двойная продувка и т. д. После продувки модели со всеми секциями эксцентричное кольцо заменялось на осесимметричное и производилась вторая серия двойных продувок с постепенным отсоединением секций, при этом измерялся исходный уровень боковой силы, зависящий от технологических погрешностей сборки модели. В результате боковая сила, вызванная заданным смещением оси, находилась по разнице боковых сил, измеренных в первой и второй сериях продувок.

Вместо секции 3 с осесимметричным контуром проточной части можно установить секцию, в которой осуществляется поворот оси на угол сс = 5° в минимальном сечении сопла. Посадочные места секций 3 позволяли подсоединять к ним не только коническую сверхзвуковую часть с углом 0^=15°, но и другие модели. Были проведены исследования, в частности, на двух моделях с профилированным контуром сверхзвуковой части (Мо = 4, г® = 3,16, у =1,4 и Мо = 5, г® = 4,52, ч = 1,4) и на модели с конической сверхзвуковой частью (0^ = 5°).

На рис. 5.20 приведены результаты испытаний конического сопла, у которого перекос оси на угол а = 6° выполнен в сверхзвуковой части. Боковая сила этого сопла изменяется в широком диапазоне: от начального расчетного значения L® = 0-08 в сечении г° = 1,11 до максимального отрицательного Л0 = —0,035 при г° = 1,9. Там же показаны расчетные зависимости, полученные по теории маловозмущенных течений (при Т® = 0,08 и е^ = 0) и с помощью разностного метода, которые хорошо согласуются с экспериментом. Это подтверждает правильность расчетных схем, используемых для определения начального поля параметров и начальной боковой силы в сечении перекоса оси, а также свидетельствует о большой точности обоих расчетных методов при их использовании для анализа распространения возмущений в конических соплах.

На рис. 5.20, б приведены значения боковой силы вдоль оси сопла для случая перекоса оси сопла в минимальном сечении. В сопле с малым углом I? несколько раз меняет знак, в то время как в сопле с углом 0* = 15° все измеренные значения боковой

силы, за исключением сечения ж = О, отрицательны. Начальное значение LH = 0,025, полученное при испытаниях модели без сверхзвуковой части, оказалось почти в два раза ниже рассчитанного по формуле (5.69). Для выяснения причин этого несовпадения было проведено измерение давления на стенке

Рис. 5.20. Изменение боковой силы по длине конического сопла при 0л = 10°, к = 6° (а) и 0л = 5°, 15°, а = 5° (б); 1— эксперимент, 2— расчет по линейной теории, 3 — расчет разностным методом

сопла в районе перекоса оси. Анализ полученных данных показывает, что область повышенного давления имеется не только за плоскостью перекоса, но и перед ней, что свидетельствует о наличии в этом месте отрывной зоны. На противоположной стенке сопла происходит разгон потока до значения М » 1,3. Боковая сила, рассчитанная по экспериментальному распределению давления, близка к измеренной на аэродинамических весах. Полученный в данных экспериментах результат свидетельствует о том, что расчет начального возмущения при искажениях контура в районе минимального сечения представляет собой сложную самостоятельную задачу. Это в равной степени относится и к расчету начального поля параметров.

. Расчетные зависимости I? для сопла с углом 0к = 5°, полученные при Ан = 0,025, 8н = О (и при соответствующем этим значениям поле параметров в разностном методе), хорошо согласуются с экспериментальными данными. Некоторое расхождение свидетельствует о том, что, по-видимому, в начальном сечении 8° Ф 0. Для сопла с 0А =15° наблюдается большее расхождение между расчетными и экспериментальными данными, что связано, вероятно, с дополнительными неучтенными технологическими искажениями контура в местах стыковки секций этого сопла.

' На рис. 5.21 приведены распределения боковой силы по длине профилированных сопел, полученные экспериментально (кривые 1

и 7°) ис помощью разностного метода (кривые 2 и 2°) для случая, когда перекос оси сопла производился в районе минимального сечения. В профилированных соплах по сравнению с коническими той же длины реализуется меньшая по абсолютной величине боковая сила. На большей части длины сопел она отрицательна. Для сопла

Рис. 5.21. Изменение боковой силы по длине профилированного сопла; 1°, 2°,— эксперимент и расчет разностным методом для сопла с Мо = = 4; 1, 2 — эксперимент и расчет разностным методом для сопла с Мо = 5

с Мо = 4 расчетные и экспериментальные данные удовлетворительно согласуются. Несовпадение некоторых экспериментальных точек объясняется, по-видимому, той же причиной, что и в случае конического сопла с углом 0ft = 15°. Подтверждением этому служит экс- лериментальная зависимость, полученная на модели сопла с Мо = 5. В этом случае сверхзвуковая часть сопла была выполнена в виде одной неразъемной детали, поэтому возможность неучтенных дополнительных возмущений практически исключалась, и полученная зависимость А0 (ж0) не имеет резко выпадающих точек. Расчетная зависимость для этого сопла при е” = 0 сдвинута относительно экспериментальной вправо по оси ж0, что свидетельствует о наличии в начальном сечении отрицательного смещения вектора тяги. Это замечание относится и к другим соплам (рис. 5.20, 5.21), во всех этих моделях перекос оси создавался одной и той же деталью.

Были проведены измерения зависимости боковой силы от длины конического сопла с углом 0Л = 15° при различных величинах сдвига оси № = h/r* (рис. 5.22). При смещении оси вверх начальные боковые силы во всех случаях отрицательны, как это следует из рассмотренной ранее картины течения. При сдвигах в сверхзвуковой части сопла боковая сила ниже по потоку остается отрицательной, а при сдвиге в минимальном сечении наблюдается изменение знака боковой силы уже на небольшом расстоянии от места возмущения. Величина боковой силы приблизительно пропорциональна смещению h.

Для сравнения экспериментальных данных с расчетными необходимо знать величину начальных возмущений. Между тем, как Уже отмечалось, требуется уточнение по результатам экспериментов самих формул для начальных значений Ьц и Вц. Рассмотрим в связи с этим способ определения начальных данных по измерениям боковой силы в двух произвольных сечениях сопла. При этом

будем использовать два отмеченных выше факта: во-первых, правильность расчетов распространения возмущений в конических соплах по линейной теории, и, во-вторых, наличие однозначной связи

Рис. 5.22. Изменение боковой силы по длине конического сопла (0s = 15°) при сдвиге его оси в различных сечениях (7 — ж0 = О, 2 — ж0 = 2.14; 3 — ж0 = 4,25) на величину А0 (4 — № = 0,0033; 5 — h° = 0,066; 6 — № = 0,1; 7 — 7t° = 0,133); 8 — расчет по линейной теорииРис. 5.22. Изменение боковой силы по длине конического сопла (0s = 15°) при сдвиге его оси в различных сечениях (7 — ж0 = О, 2 — ж0 = 2.14; 3 — ж0 = 4,25) на величину А0 (4 — № = 0,0033; 5 — h° = 0,066; 6 — № = 0,1; 7 — 7t° = 0,133); 8 — расчет по линейной теории

Рис. 5.22. Изменение боковой силы по длине конического сопла (0s = 15°) при сдвиге его оси в различных сечениях (7 — ж0 = О, 2 — ж0 = 2.14; 3 — ж0 = 4,25) на величину А0 (4 — № = 0,0033; 5 — h° = 0,066; 6 — № = 0,1; 7 — 7t° = 0,133); 8 — расчет по линейной теории

Рис. 5.22. Изменение боковой силы по длине конического сопла (0s = 15°) при сдвиге его оси в различных сечениях (7 — ж0 = О, 2 — ж0 = 2.14; 3 — ж0 = 4,25) на величину А0 (4 — № = 0,0033; 5 — h° = 0,066; 6 — № = 0,1; 7 — 7t° = 0,133); 8 — расчет по линейной теории

в сечениях между моментом и боковой силой. С учетом этого можно показать, что если известны значения боковой силы в двух произвольных сечениях сопла, то существует лишь одно сочетание величин Ьд и М2, при котором могут реализоваться эти боковые силы.

Вычисление величин L^ и М2 удобно производить следующим образом. В силу линейности дифференциальных уравнений (5.50), (5.51) их решение можно представить в виде

L" = L°Ba + M°Hb, М6 = L°Bc + M^d, (5.77)

где а, с — расчетные значения боковой силы и момента при L2 = = 1, Мн = 0, a b, d — расчетные значения боковой силы и момента при М2 = 1, L^ = 0. Из (5.77) имеем

L^-L^Н °2Й1-°ЛL^-L^Н °2Й1-°Лм2 = - ——^Ха2ь1-аЛм2 = - ——^Ха2ь1-аЛ(5.78;(5.78;

L^-L^

Н °2Й1-°Л

L^-L^

Н °2Й1-°Л

м2 = - ——^Х

а2ь1-аЛ

м2 = - ——^Х

а2ь1-аЛ

(5.78;

(5.78;

Здесь L® и L2— значения боковой силы в двух произвольных сечениях сопла, измеренные в эксперименте; ai, а2, bi, Ьг— расчетные величины. Аналогичные формулы можно получить для расчета Ан и Мн по известным значениям момента в двух сечениях сопла.

Можно применить и другую схему расчета. Пусть, например, известны боковые силы А® и L® в сечениях 1 и 2 сопла, вызванные возмущением в каком-нибудь сечении. Тогда, считая величину А® начальной боковой силой по отношению к силе А2, определим момент в сечении 1:

MX = (А® - LXa2>2. (5.79)

Здесь величины аг и Ьг находятся из расчета, в котором за начальное сечение принято сечение 1. Зная величины MX и А®, можно определить силу и момент в исходном начальном сечении:

<4ai - \ciаА ~ ь1с1<4ai - \ciаА ~ ь1с1(5.80)(5.80)

<4ai - \ciаА ~ ь1с1

<4ai - \ciаА ~ ь1с1

(5.80)

(5.80)

Изложенная методика была использована для определения начальных данных при сдвиге в сечении ж = 0 и последующего построения расчетных зависимостей. Расчетные зависимости 8 на рис. 5.22 хорошо согласуются с экспериментальными не только вблизи тех сечений, которые использовались для определения начальных данных, но и по всей длине сопла. Это служит доказательством правильности определения начальной боковой силы и начального момента по предложенной методике. Аналогичным образом были определены начальные данные и в других сечениях, в которых производился сдвиг оси. Оказалось, что при сдвиге в сверхзвуковой части сопла смещение тяги приблизительно равно половине сдвига оси, т. е. е„^ — А°/2. Это подтверждает сделанное при выводе формулы (5.72) предположение о том, что А° = — А/2 (другие составляющие смещения в рассматриваемых случаях малы по величине). Однако эти соотношения не выполняются при сдвиге в минимальном сечении сопла. Здесь величина смещения тяги очень мала, так что можно принимать е„ = 0. В этом случае сдвиг оси эквивалентен повороту оси сопла в минимальном сечении па некоторый угол а. Это, вероятно, является справедливым и при сдвигах в дозвуковой части сопла.

Значения Ан, полученные по (5.78), (5.80), можно сравнить с величинами, вычисленными по (5.72). Входящие в правую часть (5.72) величины определяются следующим образом: pi = (0,31 + + 0,69 Мо) ро — давление перед ступенькой; рг — давление за ступенькой, зависящее от Мо и 6**/А (6** — толщина потери импульса), может быть вычислено, например, по данным работы [7]; lx = lA]tg-1 (60 — 61), Z2 = IAltg-1 (62 — 60)—длины отрывных зон перед ступенькой и за ступенькой; 6о, 61, 62 — углы Прандтля — Мей-

ера, соответствующие давлениям ро, pi, р^. Расчеты показывают, что при сдвигах оси в сверхзвуковой части формула (5.72) при / = 0,5 дает правильные значения А®. Аналогичный расчет при сдвиге в минимальном сечении выполнить трудно, так как нет надежных данных по величинам давлений и размерам отрывных зон. Здесь необходимо пользоваться формулами (5.78), (5.80). Полученные по линейной теории зависимости боковой силы от длины сопла при сдвигах в сечениях ж0 = 2,14 и 4,25 при е® = — 0,5/г° п L„, вычисленной по (5.72), хорошо согласуются с экспериментальными.

Этот факт иллюстрирует и рис. 5.23, где приведены эксперимен- тельные (7) и расчетные (2) зависимости £°(ж°) для конического

Рис. 5.23. Изменение боковой силы по длине сопла при сдвиге его оси па величину № = 0,066. Коническое сопло с 6s = 5°, сдвиг при ж0 = 0; 1 — эксперимент, 2 — расчет по линейной теории. Профилированное сопло с Мо = 4, сдвиг в сечениях: 3 — ж0 = 0; 4 — ж0 = 1,55; 5 — ж0 = 3,67; 6 — я0 = 6,04; 7 — х° = 8,63; 8 — расчет разностным методом, ж0 = 0

сопла с 6к = 5° при сдвиге оси в минимальном сечении на h° = 0,066. Расчетные зависимости получены при L^ = 0,033 и е„ = 0. Здесь же приведены экспериментальные данные по измерению боковой силы для профилированного сопла с Мо = 4. Значки 5—7 соответствуют сечениям ж° = 0; 1,55; 3,67; 6,04; 8,63, в которых производился сдвиг оси сопла на величину № =ч 0,066. Как и в случае конического сопла с 9„ = 15°, боковая сила L0 изменяет знак при сдвиге в минимальном сечении и всюду отрицательна при сдвигах в сверхзвуковой части. На срезе сопла (при ж® = 12) L0 почти не изменяется в широком диапазоне изменения координаты сечения сдвига оси (ж° = 3,67-^8,63).

Проведению количественного сравнения полученных данных с расчетом по разностному методу препятствует неопределенность в задании начальных условий. Исключение составляет случай сдвига оси в минимальном сечении, что в предположении ен = 0 эквивалентно повороту оси на некоторый угол а. Найдем величину этого

угла из условия совпадения расчетного значения максимальной положительной боковой силы с экспериментальным (^шах= 0,011, рис. 5.23). Тогда начальная боковая сила равна L°H = 0,051, что соответствует углу а — 4,6°. Расчетная кривая 8, полученная разностным методом при перекосе оси в минимальном сечении на а = 4,6°, по своему виду мало отличается от экспериментальной, однако сдвинута влево по оси ж, что, вероятно, вызвано небольшим смещением тяги в начальном сечении. Отличие нулей расчетных и экспериментальных зависимостей уже отмечалось при анализе несимметричных течений и в других моделях. Следует заметить, что существует принципиальная возможность определения начального смещения тяги ед по расстоянию между нулями экспериментальной и расчетной зависимостей. Для реализации этого способа необходимо иметь набор расчетных кривых 7,° =/(ж0) при одном значении Ьц и разных значениях е^. Такие зависимости можно легко получить для конических сопел, используя линейную теорию. Сложнее это сделать для профилированных сопел, так как в этом случае нужно численно решить полную трехмерную задачу, причем необходимо уметь задавать распределения параметров в начальном сечении, соответствующие заданному сдвигу вектора тяги ён.

Изменение боковой силы по длине конического сопла, вызванное несимметричной выемкой, приведено на рис. 5.24; форма выемок

1'ис. 5.24. Изменение боковой силы по длине конического сопла с 9к — 15° при местных искажениях контура (эксперимент)

показана на схеме. Эксперименты выполнены для двух случаев: жа = 0,74, г°в - г°вг= 0,12, К1 = 10°30', а2 = 10° (кривая 7) и ж°А= = 2,65, гв — Гв1 = 0,11, di = 8°36', «з = 7°30' (кривая 2). Видно, что направление боковой силы при таких искажениях совпадает с направлением искажения контура. Боковая сила, вызванная выемкой, Уменьшается при смещении выемки к срезу сопла. Близкое по форме искажение контура в профилированном сопле с Мо = 4 дает меньшую величину боковой силы, слабо изменяющуюся по длине сопла (£° - 0,0020 0,0023 при ^ = 1,69).

^6 У. г. Пирумов, Г. С. Росляков

Влияние сдвига оси сопла в дозвуковой части исследовалось на модели, изображенной на рис. 5.19, собранной в составе секций без сверхзвуковой части. Для получения наибольшей величины боковой силы смещение секций задавалось максимальным — h = 2 мм. При сдвиге четырех секций 1 относительно секции 3 возникает боковая сила I?, равная 0,0018 и направленная в сторону сдвига секции 3. Так же направленная сила L° = 0,0017 регистрировалась при сдвиге трех секций 1. Сдвиги секций, расположенных еще выше по потоку, уменьшают боковую силу в минимальном сечении до значений ниже 0,001. Таким образом, искажения контура в дозвуковой части сопла приводят к возмущениям значительно меньшим, чем искажения в сверхзвуковой части.

В заключение отметим, что параметрические экспериментальные измерения боковой силы, возникающей при несимметричных геометрических формах дозвуковой или сверхзвуковой частей сопла, выполнены также в работе [17]. Измерения производились на дифференциальной установке. В результате обработки экспериментальных данных получены формулы, позволяющие оценить боковую силу при разного рода несимметричных искажениях контура сопла.

Нестационарные течения газа в соплах

Нестационарные задачи газодинамических внутренних течений имеют многочисленные приложения [12,13]. В последние годы большой интерес уделяется исследованию распространения по соплу возмущений, задаваемых в его входном сечении, и задачам запуска сверхзвукового сопла. Первая из них в линейной постановке рассмотрена в § 3.6. Вторая задача обсуждается ниже. В настоящее время проведено значительное число исследований по запуску сверхзвуковых аэродинамических труб, ударных труб переменного сечения, по изучению импульсных газодинамических лазеров, связанных с проблемой запуска сверхзвукового сопла [12, 21, 22, 42-44, 104, 226, 262].

Обычно для запуска сверхзвукового сопла на его входе создается ступенчатый перепад давления. Это делается или посредством разрыва диафрагмы, расположенной в некотором сечении цилиндрической трубы, примыкающей к соплу и разделяющей области высокого и низкого давления, или с помощью ударной волны, движущейся по трубе в сторону сопла. Оба способа запуска соответствуют заданию стационарных граничных условий на входе в сопло, поэтому вначале нестационарный процесс движения газа в сопле со временем стабилизируется.

В перечисленных выше работах рассматривалось, как правило, отражающее или торцевое сопло, изображенное на рис. 5.25, а. Исследования выполнены экспериментально [12, 226, 262] и численно с использованием метода характеристик в одномерном приближе-

нии [226, 262] и метода сеток [21, 22, 42—44], а также с привлечением аналитических методов [12, 22, 42, 43, 226].

Эти исследования прояснили волновую структуру течения газа в процессе запуска сопла, который в общих чертах происходит следующим образом. Первичная ударная волна, заданная или возникающая при распаде разрыва в момент удаления диафрагмы, достигая торца сопла, распадается на отраженную волну ОВ (рис. 5.25, а)

Рис. 5.25. Схемы отражающего (а) и конического (б) сопел

и волну, проходящую через минимальное сечение ПВ. Проходящая волна формирует за собой сверхзвуковое течение. По мере распространения по расширяющейся части сопла интенсивность волны падает и скорость газа за ней уменьшается. Газ, прошедший через минимальное сечение, ускоряется в расширяющейся части сопла, и это является причиной возникновения обращенной волны (или волны торможения ВТ), распространяющейся навстречу движущемуся газу [12]. Между обращенной и проходящей ударными волнами возникает контактный разрыв КР. Обращенная волна со временем выносится потоком из сопла, но при определенных условиях может остановиться. При большой интенсивности первичной волны в расширяющейся части сопла возникает нестационарная волна разрежения ВР, которая может взаимодействовать с обращенной ударной волной. В результате такого взаимодействия обращенная волна будет ослабевать и может выродиться или, наоборот, волна разрежения может быть «поглощена» обращенной ударной волной. Таким образом, «волновой пакет», проходящий через сопло, может состоять из последовательно расположенных ВТ, КР, ПВ или ВР, ВТ, КР, ПВ или ВР, КР, ПВ. Время запуска при малых интенсивностях первичной волны определяется прохождением через сопло обращенной волны, а при больших интенсивностях — прохождением через сопло нестационарной волны разрежения.

Большинство численных результатов, приведенных в обсуждаемых работах, получены на основе модели одномерного течения. Правомерность такого подхода обоснована в [42, 104] на основе сравнения расчетных данных, проведенных по одномерной модели, с экспериментом [226] и результатами расчетов по полным двумерным уравнениям газовой динамики [104]. Установлены также границы применимости модели совершенного газа: при значениях 16*

числа Маха проходящей волны в минимальном сечении, превышающих 4, необходимо учитывать реальные свойства газа [42, 226, 262]. Кроме того, показано [42], что эффекты вязкости, связанные с наличием отрывных зон вследствие взаимодействия волны торможения с пограничным слоем, незначительно влияют на процесс прохождения «волнового пакета» через сопло, однако увеличивают время запуска сопла.

Рассмотрим теперь более подробно процесс запуска конического сопла (рис. 5.25, б). Пусть у = /(ж)— уравнение контура сопла. Параметры удобно считать безразмерными: линейные размеры отнесем к у* — радиусу критического сечения сопла, скорость — к а®, плотность—к р“, где а® = (у^/р*), р*, р*— скорость звука, плотность и давление в критическом сечении сопла для

что пер-что пер-стационарпого одномерного течения. Предполагается,

что пер-

что пер-

воначально сопло отделено диафрагмой от ресивера, где газ имеет параметры ро, Tq. В сопле газ покоится и имеет параметры р = рв, р = рн. В момент времени £ = О диафрагма разрывается, что вызывает нестационарный процесс истечения газа. Параметры газа в ресивере поддерживаются постоянными при ^>0, поэтому со временем течение должно установиться. Одномерное нестационарное течение газа в сопле описывается системой уравнений в дивергентном виде, которые следуют из законов сохранения импульса, массы и энергии:

9А (U) 5В (U) гпп

(.2 \Р + PU 1pu j(е + р) и/(.2 \Р + PU 1pu j(е + р) и/2рири(е р) и2рири(е р) иdln£d,x *dln£d,x *2U ,ре = р -77 Н—1 27—12U ,ре = р -77 Н—1 27—1(5.81)(5.81)

(.2 \

Р + PU 1

pu j

(е + р) и/

(.2 \

Р + PU 1

pu j

(е + р) и/

2ри

ри

(е р) и

2ри

ри

(е р) и

dln£

d,x *

dln£

d,x *

2

U ,р

е = р -77 Н—

1 27—1

2

U ,р

е = р -77 Н—

1 27—1

(5.81)

(5.81)

Здесь F ^ — относительная площадь поперечного сечения, равная /(ж) в плоском случае и /2(ж)— в осесимметричном.

Система (5.81) решается при начальных и граничных условиях на входе и выходе сопла при ж = жо и х = Х\. В качестве начальных условий при t = 0, х» < х < Xi задаются и = 0, р = pa = const, р = ри = const, где ра = ро'к, рв = ЧРв1Тв, TB = TQjl\ к, I — некоторые параметры, позволяющие изменять начальный перепад давления и температуры, ро, ро, То — параметры торможения:

1 /7 + 1 yAv-D /? + 1 y/(v-D 7 +1

Число граничных условий во входном (х = ж0) и выходном (х = Xi) сечениях сопла определяется характером течения и может меняться со временем. При сверхзвуковом течении в выходном сечении сопла (и > а) все три характеристики системы приходят на

границу слева и, следовательно, граничных условий ставить не надо. Если скорость при х = х\ дозвуковая, ставится одно граничное условие р = рв. По этим же соображениям на входе в сопло при дозвуковом втекании газа ставятся два условия, следующие из формул изоэнтропического течения:

п А Г ? + 1l7^1’_ Г т + 1 Мт-Р ,- „ .

Р ?[2 + (у-1)М2]’ Р [2+(Т-1)М2]'('

После исключения числа Маха М из формул (5.82) с помощью зависимости

^ = А^М2(1 +А=А м2) 1(5.83)

имеем два соотношения, связывающие функции и, р, р. Однако такой режим течения на входе в сопло не всегда имеет место. Как будет показано ниже, в результате взаимодействия потока с дозвуковой частью сопла возникает ударная волна, распространяющаяся вверх по течению. Это приводит к тому, что в области входного сечения может возникнуть возвратное течение. В этом случае нужно использовать лишь одно из соотношений (5.82). Для численного решения задачи применяется двухшаговая разностная схема, описанная в п. 2.4.3. Для определения решения в граничных узлах используется схема «прямоугольник» с весами (см. п. 2.5.2).

Если во входном сечении при t = tn газ втекает в сопло с дозвуковой скоростью, то для определения решения в граничном узле используются соотношения (5.82), (5.83) и аппроксимация третьего уравнения (5.81). Полученная система решается методом Ньютона. Если при х = хо происходит вытекание газа из сопла в ресивер, то используется первое соотношение (5.82) и аппроксимация двух первых уравнений (5.81).

В выходном сечении при и > а искомые величины определяются из системы трех уравнений, которая решается методом Ньютона. При и < а используется условие р = ра и разностные соотношения для двух первых уравнений (2.81). Для подавления осцилляций используется пятиточечное сглаживание разностных решений на слое или, точнее, компонентов вектора А (см. (2.70)).

Анализ проведем на основе параметрических расчетов в диапазоне

0,025 7?, 7?1 2, 2 < уо 2,5, 30° <0^ 60°,

1,1 ^ у 1,67, 5 ^ к ^3000, 1 Z ^ 11

Для осесимметричного сопла с жо = — 4, xi = 1, 02 = 15°.

На рис. 5.26, 5.27 приведены типичные временные зависимости газодинамических функций в трех характерных сечениях сопла (входном, критическом и выходном) и распределения давления вдоль сопла, характеризуемого параметрами Ri=R = l, 0i = 30°, 2/о =< 2 при у = 1,4, к = 100, Z = 1.

Рис. 5.26. Временные зависимости скорости и давления в фиксированных сечениях соплаРис. 5.26. Временные зависимости скорости и давления в фиксированных сечениях сопла

Рис. 5.26. Временные зависимости скорости и давления в фиксированных сечениях сопла

Рис. 5.26. Временные зависимости скорости и давления в фиксированных сечениях сопла

Рис. 5.27. Распределение давления вдоль сопла для разных моментов времени (1 — установившееся течение)Рис. 5.27. Распределение давления вдоль сопла для разных моментов времени (1 — установившееся течение)

Рис. 5.27. Распределение давления вдоль сопла для разных моментов времени (1 — установившееся течение)

Рис. 5.27. Распределение давления вдоль сопла для разных моментов времени (1 — установившееся течение)

В общих чертах процесс запуска сопла протекает следующим образом. Во входном сечении мгновенно при возникновении распада произвольного разрыва происходит увеличение скорости и падение давления. Затем до момента времени t = 8 устанавливается стационарное втекание со скоростью звука, так как газ из ресивера поступает в отверстие и ускоряется до скорости звука. Если бы труба была цилиндрической, то такой режим течения существовал бы постоянно. Однако из-за сужения сопла формируется отраженная ударная волна, которая движется навстречу потоку и достигает входного сечения при i = 8. В отраженной ударной волне происходит увеличение давления почти до давления в ресивере, а сама волна уходит в ресивер. Далее от входного сечения движется к минимальному сечению волна разрежения, которая, отражаясь от стенок, может порождать чередующиеся волны сжатия и разрежения, однако существенно меньшей интенсивности, чем первая отраженная волна. С течением времени интенсивность волн уменьшается и асимптотически происходит выход на стационарное значение.

Скорость газа во входном сечении после прохождения первой отраженной ударной волны почти скачкообразно изменяется от положительной звуковой до отрицательной, т. е. режим звукового втекания сменяется режимом дозвукового вытекания, который продолжается с момента t = 8 до t = 12, т. е. до тех пор, пока в волне разрежения газ не ускорится до положительной звуковой скорости. Имеют место чередующиеся режимы втекания и вытекания. Однако скорости вытекания уменьшаются со временем, затем режим вытекания исчезает.

Возникающая при разрыве диафрагмы падающая ударная волна достигает минимального сечения при t = 1. При движении волны по сужающемуся участку сопла ее интенсивность увеличивается, растут давление и скорость газа за ней. При этом давление за волной может значительно превышать давление в ресивере, а скорость газа — скорость звука в стационарном течении (в рассматриваемом примере почти в 3 раза). При прохождении падающей ударной волной минимального сечения давление и скорость газа в нем максимальны. Далее при распаде этой волны на отраженную и проходящую в минимальном сечении происходит падение скорости и Давления. Дальнейшее развитие течения во времени определяется взаимодействием с минимальным сечением затухающих во времени волн разрежения и ударных волн, приходящих от входного сечения.

Выходного сечения падающая ударная волна достигает при t = 1,2; в дальнейшем наблюдается увеличение давления, что связано с подходом к выходному сечению волн сжатия, которые в соплах с большей степенью расширения формируют обращенную ударную волну. Далее развитие течения во времени определяется последовательным приходом в выходное сечение волн разрежения и сжатия.

Параметрическое исследование течения при ударном запуске сопла показывает следующее. Заметное влияние на течение оказывает

величина радиуса уо цилиндрической части сопла. С увеличением уа растет скорость возвратного течения, порождаемого отраженной ударной волной, появляется вторая область отрицательных скоростей в районе входного сечения. Это связано с ростом интенсивности стартовой и отраженных от критического сечения ударных волн при увеличении уо. При этом наиболее сильное повышение давления наблюдается в области критического сечения сопла.

При начальных перепадах давления к > 50 давление в критическом сечении может превышать на некоторых отрезках времени давление в ресивере. Подчеркнем, что, начиная с некоторой величины перепада к, этот параметр перестает оказывать существенное влияние на течение в сопле. Это замечание относится и к параметру I. Влияние величины угла 01 и радиуса Ri сказывается на течении в основном в окрестности критического сечения; влияние радиуса R мало. Величина показателя адиабаты у существенно влияет на течение. При меньших у в критическом сечении достигаются большие давления.

Время запуска определяется как время, прошедшее от момента разрыва диафрагмы до выхода течения на стационарный режим. При увеличении начального перепада давления время установления скорости и давления в трех характерных сечениях — начальном, критическом, выходном — незначительно растет. Наблюдается быстрое установление давления во входном сечении (безразмерное время близко к 9); в критическом и выходном сечениях давление устанавливается практически одновременно. При увеличении начального перепада температуры время выхода на стационарный режим меняется незначительно. Скорость во входном сечении устанавливается в 4—5 раз медленнее, чем давление, а в критическом и выходном сечениях — в 2—3 раза быстрее. За время установления скорости с точностью до 2 % в критическом и выходном сечениях звуковая волна примерно 5 раз пробегает участок сопла до критического сечения. С увеличением у время установления уменьшается и по скорости и по давлению, а при увеличении площади входного сечения — уменьшается по давлению, но увеличивается по скорости. Возрастание угла 61 несколько увеличивает время запуска. Практически не влияет на время запуска изменение параметров R и R\.

Подчеркнем, что возможность получать в области критического сечения сопла давление, большее, чем на входе, может быть использована в соплах, работающих в импульсном режиме, для увеличения тяги. Заметим в связи с этим, что в плоских соплах этот эффект не наблюдается ни при каких начальных перепадах давления. Для плоских сопел характерна еще одна особенность — это отсутствие областей возвратного течения. Оба отмеченных факта связаны с тем, что для плоских сопел характерца меньшая интенсивность ударных волн.

В заключение остановимся кратко па постановке граничных условий па входе в сопло, так как от этого существенно зависит ха-

рактер протекания процесса запуска. Использованные выше условия (5.82) эквивалентны требованию, что при х = xq полная энтальпия и энтропия постоянны и равны их значениям в камере сгорания: h = h0 = 2 ^+ ^ - S = 50 =—. Если начальный перепад давления при х — жо создается вследствие разрыва диафрагмы, то полная энтальпия при х = хо не будет равна ho и ее нужно искусственно поддерживать постоянной, например, с помощью подогрева. По-ви- димому, предпочтительнее при х = хо, вместо h = ho задавать пра- 2а2а

вый инвариант Римана (см. п. 1.2.3) 1д_ = и + _у = 1^0 = ^^ . Следует подчеркнуть, что с момента, когда отраженная волна достигает входа в сопло, строго говоря, нарушаются и условия S = So и условие I+ =Z+o- Возможны и другие способы задания граничных условий на входе в сопло, например, энтропии S = So и расхода как функции времени. Интересно отметить, что при граничных условиях S = So, 1+ = 1+о в области входного течения не возникают области возвратного течения.

Глава 6

ТЕЧЕНИЯ ГАЗА В СОПЛАХ

ПРИ НАЛИЧИИ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙИ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ РЕЛАКСАЦИИ

В большинстве прикладных задач не удается описать течение газа, используя лишь модель идеального газа. Реальное течение сопровождается физико-химическими процессами, природа которых и методы их математического описания существенно различаются. Однако, несмотря на одновременное протекание различных ре таксационных процессов, их удается разделить и изучать независимо, поскольку взаимное влияние по существу невелико. В частности, неравновесное возбуждение или дезактивацию колебательных степеней свободы можно изучить, используя неравновесные значения концентраций различных компонент, полученные в предположении равновесия поступательных и колебательных степеней свободы. Характер неравновесного протекания химических реакций в двухфазной среде лишь в малой степени зависит от динамического и теплового состояния частиц. В связи с этим в настоящей и следующей главах будут раздельно рассмотрены неравновесные физико-химические процессы, которые могут иметь место в соплах, в том числе неравновесное возбуждение колебательных степеней свободы, химические реакции, неравновесные двухфазные течения.

Равновесные и замороженные течения

Учесть наличие физико-химических процессов можно приближенно, приняв скорости их протекания бесконечными или нулевыми. При бесконечной скорости имеет место равновесное течение, а при нулевой — замороженное. При равновесном течении термодинамические и газодинамические параметры определяются с привлечением соотношений термодинамики равновесных процессов. Концентрации реагирующих компонентов в таких течениях определяются из закона действующих масс, а энергия колебательных степеней свободы вычисляется по формуле Эйнштейна. Энтропия в этом случае сохраняется неизменной вдоль струйки тока, а из принципа максимальной работы в случае обратимых процессов следует, что равновесное течение является предельным течением, когда удается получить в выходном сечении сопла максимальный импульс, скорость истечения, температуру и максимальное давление по сравнению с любым другим процессом истечения в сопле заданной геометрии и с заданными параметрами заторможенного потока.

Другим предельным течением является полностью замороженное течение, когда параметры, характеризующие релаксационный процесс, остаются неизменными в процессе движения смеси. Это течение также является изоэнтропическим. В полностью замороженном течении сохраняются неизменными молярные доли различных компонентов и энергия колебательных степеней свободы молекул. Предельному замороженному течению с заданными параметрами торможения отвечает минимальное давление в выходном сечении сопла по сравнению с любым другим процессом истечения, поскольку запасенная в покоящемся газе энергия диссоциации и колебательных степеней свободы не передается в поступательные и вращательные степени свободы молекул (последние всегда предполагаются в равновесии между собой) и, следовательно, не переходит затем в энергию направленного движения газа.

Возможны и некоторые другие модели изоэнтропического расширения, полезные для разного рода инженерных оценок. Рассматривается, например, химически замороженное течение, когда все остальные релаксирующие параметры, кроме молярных долей компонентов, изменяются в соответствии с соотношениями равновес

ной термодинамики.

Методы расчета равновесного и замороженного течения в сопле весьма сложных смесей продуктов сгорания, в которых происходят перечисленные выше физико-химические превращения, описаны в первом томе фундаментального десятитомного справочника [6]. В остальных томах этого справочника приведены таблицы параметров смеси для различных композиций, полученные в одномерном приближении. Такого рода таблицы, так же как и (А —5)- диаграммы, позволяют определить параметры в любой точке изоэнтропического потока, если в этой точке известен какой-либо один термодинамический параметр и параметры торможения по аналогии со случаем одномерного течения газа с постоянным отношением удельных теплоемкостей. Действительно, условие изоэнтро- пичности S = 8 (р, р)= const или S = S(p, Т)= const дает связь между давлением и плотностью (температурой), а термическое и калорическое уравнения вместе с уравнением сохранения энергии позволяют определить температуру (плотность) и скорость, а также молярные доли различных компонентов, массовую долю конденсата и т. д.

Рассмотрим основные уравнения, используемые при расчете равновесного состава гетерогенной смеси, состоящей из /V индиви

дуальных веществ. Выберем среди них минимальное количество таких m веществ, с помощью которых могут быть единственным образом записаны реакции образования оставшихся I = N — пг ве

ществ. Наиболее просто выбрать в качестве таких пг веществ атомы и электронный газ, однако это условие не является обязательным. Независимым пг компонентам будем приписывать нижний индекс к, а I зависимым — ]. Реакция образования зависимого компонента

(в том числе и иона) М, может быть представлена в виде

м3 = 2(6.1)

Й=1

где Ah — символ независимого компонента, vy — стехиометрический коэффициент реакции. Условие равновесия для этой реакции (закон действующих масс) имеет вид

m

X? = 5 чщхь(6.2)

h=l

где %к, & — химические потенциалы компонентов к и у. Тогда из (6.2) имеем

= Ш(6.3)

Pj 4=1

где рк, р3 — парциальные давления компонентов к, j; К} — константа равновесия,

КАТА exp 2 vhjS°AT) - SAT)I Ь=1КАТА exp 2 vhjS°AT) - SAT)I Ь=1R”1 —

КАТА exp 2 vhjS°AT) - SAT)

I Ь=1

КАТА exp 2 vhjS°AT) - SAT)

I Ь=1

(KT)-1 , (6.4)(KT)-1 , (6.4)2 v^(T)-^(T)

(KT)-1 , (6.4)

(KT)-1 , (6.4)

где h^ и -5“ — энтальпия и энтропия одного моля вещества в стандартном состоянии, R — универсальная газовая постоянная.

При наличии конденсированных веществ их парциальные давления принимают равными давлениям насыщенного пара конденсированных веществ. Давление насыщенного пара pt, может быть найдено из условия равенства химического потенциала одного и того же вещества в газовой и конденсированной фазах (уравнение Клапейрона — Клаузиуса) и равно

Ри = exp {[5? (Т) - 5?s mJpT1 - [Z?(T) - Z?e (Г)] (KT)"1], (6.5) где нижний индекс s относится к конденсированному веществу, а Z® — полная энтальпия индивидуального вещества.

К уравнениям (6.3), (6.4) добавляются уравнения сохранения вещества, выражающие условия постоянства количества атомов к-то химического элемента в процессе истечения. Для гетерогенной смеси эти уравнения имеют вид

N

5 aki («< + п^) — bh = 0 (к = 1, 2, ..., m — 1),(6.6)

где ак1 — количество атомов к-го типа в одном моле вещества I, Ьк — количество атомов к-то типа в одном моле исходных продуктов, m и п5, — число молей элемента i в газовом и конденсированном состояниях.

Для веществ, присутствующих и в газовом и в конденсированном состояниях, число молей nls является известной функцией температуры и определяется из соотношения

v 2Пг-<6-7>

1 1=1

Условие электронейтральности системы без учета возможного присутствия заряженных конденсированных частиц имеет вид

N

2 ацПг = о,(6.8)

i=i

где аи — кратность ионизации. Для смеси идеальных газов имеем еще закон Дальтона

N

^Рг = Р.(6.9)

1=1

Таким образом, при заданных р, Г и Ък для определения неизвестных n„ ni3 или р<, pi, имеем систему нелинейных уравнений (6.3), (6.6) — (6.9), у которой существует единственное согласующееся с физическим смыслом решение.

При расчете гетерогенных систем некоторые ограничения накладывают правило фаз, которое записывается в виде

r = 2 + N—q — L,(6.10)

где г — число термодинамических степеней свободы, q — число фаз, L — число независимых химических реакций. В рассматриваемом случае термодинамическими степенями свободы являются q и Т, так что г = 2; число индивидуальных веществ У равно Z+m; число независимых химических реакций L = l, откуда q = m, т. е. число фаз не должно превышать числа элементов, из которых образована система. Поскольку одна из фаз является газовой, то число конденсированных фаз q при г = 2 не должно превышать тп — 1.

В настоящее время развиты различные методы численного решения системы (6.3), (6.6)— (6.9). Их критический обзор дан в [6]. В качестве конкретного примера выпишем систему уравнений Для определения параметров продуктов сгорания углеводородов в кислороде при заданных температуре и давлении. Из числа возможных индивидуальных компонентов ограничимся основными СО, СО2, Н2, Ог, НгО, ОН, Н, О. Один из вариантов системы уравнений

имеет вид:

^^ = £4 (Л, ^н = Кгт, Р2^ = к.дп

Рсо2рн2о₽н2о

^Н _ро ZZ /^2/,Н3О + 2^Н2 + Рон + Рн

Рн2Ро2Рсо + Рсо2

2Рсо„ + Рсо + Рн„о + Рон — 2ро„ + Рп „

Рсо + Рсо22’

Рсо + Рсо2 + Рн2 + Ро2 J- Рн2о 4 Рон т Рн + Ро = Р-

Расчет равновесного течения реагирующей смеси в сопле разбивается на два этапа. На первом этапе определяются параметры

в камере сгорания, при этом задается только давление, а температура находится из решения системы (6.3), (6.6) — (6.9) с исполь

зованием условия равенства энтальпии продуктов сгорания и топлива. Энтальпия и энтропия 1 кг смеси в камере сгорания определяется по формулам

(6.11)(6.11)

(6.11)

(6.11)

где р — молекулярная масса смеси. На втором этапе рассчитывается непосредственно процесс расширения, при этом обычно задается температура в некотором сечении, а давление определяется при решении системы (6.3), (6.6) — (6.9) с использованием условия S = So. В результате этого решения определяются и парциальные давления всех компонентов. Плотность смеси определяется далее из уравнения состояния

Р = >,(6-13)

скорость газа — из уравнения энергии

W -^Ко-Ъ^(6.14)

(6.15)(6.15)а площадь сечения, если расход задан,— из уравнения неразрывности

(6.15)

(6.15)

F = —рИ7

Одновременно могут быть определены удельный импульс в пустоте 7У = (рИ72 + p)FIQ и расходный комплекс р = pnF*/Q.

На рис. 6.1 представлены зависимости 7У, р и То от коэффициента избытка окислителя а для топлива, горючим в котором является

несимметричный диметилгидразин (CH3)2NNH2, а окислителем — азотный тетраксид N2O4. Совокупность таких графиков позволяет определить важнейшие характеристики для каждой топливной композиции.

Расчет химически замороженного истечения производится аналогичным образом с использованием условия S = So, только в этом случае отпадает необходимость в решении системы (6.3), (6.6) — (6.9), поскольку молярные доли компонентов в процессе истечения остаются неизменными. Если колебательные степени свободы молекул заморожены, а также отсутствуют фазовые переходы, то

Рис. 6.1. Зависимость удельного импульса в пустоте 7У, расходного комплекса р и температуры То от коэффициента избытка окислителя;Ро = 15 МПаРис. 6.1. Зависимость удельного импульса в пустоте 7У, расходного комплекса р и температуры То от коэффициента избытка окислителя;Ро = 15 МПа

Рис. 6.1. Зависимость удельного импульса в пустоте 7У, расходного комплекса р и температуры То от коэффициента избытка окислителя;

Ро = 15 МПа

Рис. 6.1. Зависимость удельного импульса в пустоте 7У, расходного комплекса р и температуры То от коэффициента избытка окислителя;

Ро = 15 МПа

процесс истечения может быть рассчитан по формулам (1.137) — (1.139) для идеального газа с постоянным отношением удельных теплоемкостей 7 = 7°, которое определяется следующим образом:

/ n\ / N\—1

Т — I cptrOi I I CpiTgi—- I ,

\i=l/ \i=l/

где Ср{ — теплоемкость t-то компонента при постоянном давлении, полученная с учетом только возбуждения поступательных и вращательных степеней свободы, а го, — молярная доля i-ro компонента в камере сгорания. Для иллюстрации на рис. 6.2 представлена зависимость удельного импульса в пустоте и температуры от относительного радиуса г = Рш для того же топлива (горючее — (CH3)2NNH2, окислитель — N2O4) в предельных случаях течения: равновесного, химически замороженного и течения с замороженными химическими реакциями и энергией колебательных степеней свободы.

В некоторых случаях возможен приближенный расчет газодинамических параметров при равновесном или замороженном течениях, если воспользоваться так называемым средним значением

показателя изоэнтропии п, которое вычисляется по формуле

(6.16)(6.16)1п (?Ч)

(6.16)

(6.16)

1п (Р/Ро) ’

Тогда для определения всех необходимых параметров, в том числе /у и р, можно пользоваться формулами (1.137) — (1.144) для иде-

Рис. 6.2. Зависимость удельного импульса в пустоте /у и температуры Т от г при а = 1, ро = 15 МПа; 1 — равновесное течение, 2 — химически неравновесное течение, 3 — химически замороженное течение, 4 — течение с замороженными химическими реакциями и энергией колебательных степеней свободыРис. 6.2. Зависимость удельного импульса в пустоте /у и температуры Т от г при а = 1, ро = 15 МПа; 1 — равновесное течение, 2 — химически неравновесное течение, 3 — химически замороженное течение, 4 — течение с замороженными химическими реакциями и энергией колебательных степеней свободы

Рис. 6.2. Зависимость удельного импульса в пустоте /у и температуры Т от г при а = 1, ро = 15 МПа; 1 — равновесное течение, 2 — химически неравновесное течение, 3 — химически замороженное течение, 4 — течение с замороженными химическими реакциями и энергией колебательных степеней свободы

Рис. 6.2. Зависимость удельного импульса в пустоте /у и температуры Т от г при а = 1, ро = 15 МПа; 1 — равновесное течение, 2 — химически неравновесное течение, 3 — химически замороженное течение, 4 — течение с замороженными химическими реакциями и энергией колебательных степеней свободы

альпого газа с постоянным отношением удельных теплоемкостей Y = и. В частности, 7У и ^ определяются по формулам

(6-17)(6-17)(6.18)(6.18)> + 1 ^w

(6-17)

(6-17)

(6.18)

(6.18)

\ 2п ц )

1 /Д^у/2W \ И / ■

Такой приближенный подход практически не вносит ошибок в расчет параметров в дозвуковой части сопла и в критическом сечении. Ошибка в определении параметров в сверхзвуковой части сопла может составлять для температуры — 10—15%, для скорости и удельного импульса — 1—4 %.

Расчет двумерных или пространственных равновесных течений производится по существу по тем же алгоритмам, что и расчет течения идеального газа с у = const. Необходимо лишь иметь табличные или аналитические зависимости величин р/ро, р/ро, Т/То,

WIй* от числа Маха М, которое можно определить независимым расчетом равновесных газодинамических и термодинамических параметров смеси в одномерном приближении способом, описанным выше.

Течения с неравновесными химическими реакциями

Релаксационный процесс может оказывать существенное влияние на параметры течения, если время релаксации сравнимо с характерным газодинамическим временем, а изменение энергии, связанное с этим релаксационным процессом, составляет значительную часть от общего изменения энергии. При течении в сопле высокотемпературной смеси с температурой торможения Тй < 4500 К наиболее существенным является неравновесное протекание химических реакций, вклад которых в общую энергию смеси соизмерим с вкладом колебательных степеней свободы, а времена релаксации для них, как правило, на один-два порядка больше времен релаксации для колебательных степеней свободы молекул. Это видно

из рис. 6.3, где приведены времена релаксации установления равновесия для диссоциации и возбуждения колебательных уровней молекул СО2, NO, СО, N2 в диапазоне температур 3000—8000 К [192].

Для течений газа в соплах характерно наличие значительных градиентов газодинамических величин. Поэтому говорить о характерном времени протекания релаксационного процесса можно лишь Условно, поскольку оно является функцией газодинамических параметров и при больших градиентах последних меняется в очень Широких пределах. Можно выделить области течения, состояние газа в которых близко к равновесному (характерное газодинамическое время много больше времени релаксации), неравновесному ^ у Г. Пирумов, Г С Росляков

(характерное газодинамическое время сравнимо со временем релаксации) и замороженному (характерное газодинамическое время много меньше времени релаксации). В связи с этим изучение течения в соплах необходимо проводить с учетом конечности скоростей протекания химических реакций.

Основные уравнения. Рассмотрим реагирующую смесь совершенных газов, состоящую из N индивидуальных веществ. Предположим, что смесь является гомогенной, а поступательные и вращательные степени свободы молекул находятся в равновесии с колебательными степенями свободы. Прежде чем переходить к анализу уравнений, конкретизируем правые части уравнений сохранения массы индивидуальных компонентов для случая неравновесных химических реакций. Выпишем для этого уравнения химической кинетики. Пусть в газовой смеси протекают I независимых химических реакций, каждая из которых, например r-я, описывается формулой

22 V'a,(6.19)

г=12 = 1

где vz> и Хт — стехиометрические коэффициенты, показывающие, сколько молекул вещества Аг принимает участие в прямой (vir) и обратной (v"r) реакциях. Величина m =-2 У называется 2=1

порядком реакции. Если m равно 1, 2 или 3, реакцию называют мономолекулярпой, бимолекулярной и тримолекулярной соответственно. В газовых смесях при высоких температурах протекают в основном бимолекулярные и тримолекулярные реакции. Условием протекания бимолекулярной реакции является соударение и взаимодействие двух реагирующих частиц, а для тримолекулярной — трех. Применительно к неравновесным течениям в соплах тримоле- кулярпые реакции называют также реакциями рекомбинации, так как при этих реакциях уменьшается число частиц в газе, а бимолекулярные — реакциями обмена, так как в этих реакциях происходит обмен атомами и молекулами между компонентами смеси при сохранении общего числа частиц.

Скорость химической реакции г в прямом направлении в молях на единицу объема и единицу времени равна

,(6.20)

2=1 \1 /

где а, и щ — массовая доля и молекулярная масса t-го компонента. Коэффициент пропорциональности К^кТУ называемый константой скорости реакции, не зависит от концентраций индивидуальных веществ и является функцией температуры. Скорость протекания

реакции т равна

где W^,W-\ ЕР, К^ — скорости и константы скоростей

прямой и обратной реакций соответственно.

Согласно закону Аррениуса константа скорости реакции может быть записана в виде

К+(Т) =ВГе-Е,нт.(6.22)

Коэффициент В характеризует число эффективных соударений реагирующих частиц в секунду. Постоянные ;3 и Е (последняя называется энергией активации химической реакции) определяются природой элементарных процессов. Как правило, константа скорости реакции определяется экспериментально; константы реакций, протекающих в газовой фазе, характерных для течений в соплах, приведены в [144]. Время реакции или время релаксации при известной константе скорости определяется по формуле

Для отношения констант скоростей реакции г в прямом и обратном направлении обычно принимается выражение, строго справедливое лишь в условиях, близких к равновесию,

KpfKP = К^ (7),(6.23)

где КР (Т')— константа равновесия.

В результате „прохождения реакции г в прямом направлении образуется vгт гт молей i го индивидуального вещества, следовательно, массовая скорость образования вещества с молекулярным весом р, в ходе реакции г равна

Rp = «т - о щиф - «; - v;r) щ^1.(6.24)

Теперь уравнения кинетики для каждого i-ro индивидуального вещества могут быть записаны в виде

= Ег(р, Т, av а2, . . . ад) (i = 1, 2, . . ., А').(6.25)

г

гДе F(р, Т, аг) = 2 RP — массовая скорость образования

Г=1

вещества в результате всех I реакций. Система (6.25) допускает выделение конечных соотношений (уравнений сохранения вещества) типа соотношений (6.6), число которых равно количеству независимых компонентов.

17*

260 ГЛ 6. ХИМИЧЕСКИЕ РЕАКЦИИ И КОЛЕБАТЕЛЬНАЯ РЕЛАКСАЦИЯ

Для течений в соплах удельный объем газа является переменным, и поэтому в расчетах химически неравновесных течений удобнее использовать мольно-массовую концентрацию, определяемую числом молей вещества в единице массы, ^, = сц/щ = rVp, где гг — объемные (мольные) доли.

В табл. 6.1 представлены для системы С — О — Н — N элементарные химические реакции п константы скоростей, обычно используемые при расчете неравновесных течений в соплах [6].

Таблица 6.1

Химические реакции и константы скоростей для системы С—О—Н — N

Реакция

Константа скорости реакции

1

СО + О + м

со2 + М

3,5-1014ехр( -2100 Я?)

2

н + н 4- м

н2 + м

1,4.102° у-га

3

О + О +М

о2 + М

5,5-Ю17

4

он + н + м

Н2О + м

1,2-1020 7’-,о

5

О 4- Н Д- м

^ОН + М

3,3-1018 Г-0’5

6

N + N + М

N2 + м

2,7-Ю16 Т-0’5

7

N + О + М

NO + М

3 3-Ю15

8

он + со

-а- СО2 + Н

2,5-IO12 exp (-5100/7? Ц

9

он+ н2

Н2О + н

1,1-1014 exp (-8600/7? Г)

10

ОН + он

^;н2о д- о

1,0 ■ 1013 ехр (—1200/7?7*)

11

н2+ О

^он /н

1,3-1013ехр (-9860/7? Г)

12

О2 + Н

он+ О

2,2-Ю14 ехр (—16500/RT)

13

N2 4- О2

NO + NO

5,2-1013 ехр (-107000/7?Г)

14

NO + N

-^N2 + O

3,0-1013 ехр (-200/7? Г)

15

NO + О

— О, — N

1,1-1013 ехр (—41700/7? Г)

Таблица 6.2

Химические реакции и константы скоростей для системы Н — F

Реакция

Константа скорости реакции

1

н -

F4- М

HF 4- М

1Q19 y-1

2

F —

F + М

f24-m

1018 y-1

3

Н2 4

- F

HF 4- Н"

1.6-1014 exp (-1600'7? Г)

4

f2 +

Н

HF 4- F

1 2-10I4exp (-гДОО'Т??)

5

Н2-

- F2

HF + HF

1013 exp (-25000/7? Z7)

Константы скорости тримолекулярных реакции имеют размерность см6 • моль-2 • с-1, а бимолекулярных — см3 • моль-1 • с-1; универсальная газовая постоянная R = 1,987 кал • моль-1 ■ град-1. Элементарные реакции для системы Н—F (без реакции 2 табл. 6.1) приведены в табл. 6.2.

Приведем пример записи дифференциального уравнения химической кинетики для компоненты Нг в соответствии с системой реакций табл. 6.1. Имеем

[К+№ v - К™- ^'+^0,, +

+- К"Х,1. + К-ХНЦ. (6.26)

Уравнение сохранения количества вещества для Н имеет вид

21’н2 + Тон + 2Yh2o + Тн - const.(6.27)

Расчет пространственных неравновесных течений можно разделить на два этапа. На первом этапе определяются координаты линий тока и распределение давления вдоль них, а па втором этапе по известному распределению давления и форме линий тока рассчитываются все остальные параметры течения. Обычно оба этапа несколько раз повторяются с целью повышения точности. Система уравнений вдоль линий тока является системой уравнений совместности вдоль характеристик, каковыми являются линии тока для уравнений газовой динамики неравновесных течений, и содержит поэтому лишь производные вдоль линий тока. Очевидно, что эта система эквивалентна системе уравнений в одномерном приближении при заданном распределении давления. В связи с этим многие качественные и количественные закономерности неравновесных течений в соплах могут быть с достаточной точностью изучены в одномерном приближении.

Одномерное приближение. Неравновесное течение в сопле описывается в одномерном приближении следующей системой уравнений движения, энергии, неразрывности и сохранения индивидуальных компонентов:

S + pw? = 0’<6-28)

h+^W^h^(6.29)

pw = (),(6.30)

kP, T, yn y2, . . ., ух) =(p, T, Yi, y2, . .., ух) —

T, Y1, Y2- . ..,Tx) (i = l, 2, ...,7V). (6.31) Эти уравнения дополняются термическим и калорическим уравнениями состояния смеси

p^RpT)^(6.32)

(6.33) 1=1

гДе 71,(7')—энтальпии индивидуальных компонентов, которые можно определить, например, по [197].

Правая часть уравнения (6.31) записана в двух эквивалентных формах. Последняя запись удобна для использования при численном интегрировании по неявным разностным схемам (см. § 2.1), Очевидно, что преобразование к такому виду всегда допустимо. В частности, для уравнения (6.26)

N = £ №Ь + К+Х + ^Тон)-

Запись правой части уравнения (5.31) в виде L, — Ч1^ эквивалентна записи релаксационных уравнений, использованной в § 2.1. Действительно,

Ьг — ^г = А\ {Ьг!^\ — у,) = А\ (у" — yj,

где у® — так называемое условно-равновесное значение у„ равное у, в равновесном течении с бесконечно большой скоростью реакций (У, оо).

1 ДР V г Г 1 ^г^Т "р dx — г И — у (dhTdTV.1 = 11 ДР V г Г 1 ^г^Т "р dx — г И — у (dhTdTV.1 = 1Уравнение неразрывности (6.30) с использованием уравнений движения и энергии можно преобразовать к виду

1 ДР V г Г 1 ^г^Т "р dx — г И — у (dhTdTV

.1 = 1

1 ДР V г Г 1 ^г^Т "р dx — г И — у (dhTdTV

.1 = 1

— 1 И7 с1т др(

Здесь число М определяется по замороженной скорости звука. В случае равновесного или замороженного течений У. = 0 и уравнение (6.34) переходит в обычное уравнение одномерной теории (см., например, уравнение (1.125)), однако число Маха определяется по равновесной или замороженной скорости звука соответственно. Из уравнения (6.34) следует, что значение М = 1 (а также максимум скорости или максимум давления при дозвуковом течении) достигается не в минимальном сечении сопла, а ниже по потоку от этого сечения. Отмеченное свойство является общим свойством неравновесных течений в соплах; оно справедливо также для двухфазных неравновесных течений. Уравнение (6.34) используется вместо (6.30) при решении прямой задачи, когда задается функция F = F (ж).

Система (6.28) — (6.33) состоит из N + 4 уравнений для определения N + 5 неизвестных р, р, Г, И7, F и у, и поэтому незамкнута. Для ее замыкания необходимо задать какую-либо из этих функций, например, У (ж) или одну из функций р(ж), р(ж), 1Г(ж). В первом случае необходимо решать прямую задачу в одномерном приближении, т. е. определять параметры течения при заданной форме струйки тока F = F^. Решение такой задачи в области, включающей дозвуковую часть сопла, весьма затруднительно, поскольку из- за особенности в уравнении (6.34) при М = 1 приходится отыски-

вать единственную регулярную интегральную кривую, проходящую через особую точку типа седла, где М = 1, имеющую в этой точке конечную производную. Для этого необходимо варьировать значения параметров в начальном сечении таким образом, чтобы, с одной стороны, не попасть на дозвуковую ветвь решения, а с другой стороны — обеспечить регулярность решения, т. е. одновременное обращение в нуль числителя и знаменателя в правой части уравнения (6.34). Время расчета из-за необходимости преодоления этой трудности значительно увеличивается.

В связи с этим решение прямой задачи в рамках одномерного приближения при расчете разного рода неравновесных течений в соплах, в том числе и двухфазных, представляется нецелесообразным. В то же время очевидны преимущества решения обратной задачи с заданным по длине распределением какого-либо из газодинамических параметров р, р или W. В этом случае отпадает необходимость использования уравнения (6.34), так как форма струйки тока не задана, а определяется из уравнения (6.30), а система (6.28) — (6.33) не содержит уже особой точки. Кроме того, давление, а в еще большой степени плотность и скорость, мало отличаются от соответствующих равновесных значений и могут быть определены из расчетов, например, двумерных равновесных течений или измерены в эксперименте. И, наконец, отработанный алгоритм решения системы (6.28) — (6.33) с заданным распределением р = р(ж) может быть полностью использован при расчете пространственных неравновесных течений. Если неравновесный процесс начинается в сверхзвуковой области сопла (в случае, например, неравновесной конденсации), то необходимость прохождения особой точки отпадает и возможно решение как прямой, так и обратной задач.

Опишем кратко метод решения системы (6.28) — (6.33) при заданном вдоль струйки тока распределении давления [79, 94, 143]. Пусть требуется определить решение в точке жт при известном решении в точке жт-1 и известном значении давления в точке zm. Тогда система(6.28) — (6.33) (без уравнений (6.30) и (6.32), которые используются на заключительном этапе расчета для определения р и F) аппроксимируется со вторым порядком точности следующей системой разностных уравнений:

.h

А == Тг(т—I)Угт 1 — (1 — s') /; N [^г(т—1) + (1^) Тгт

—+ (I — S) 7Vim)] = 0 (f = 1, 2, . . . , N), (6.35)

/УЭ-! = W2m — W2„-l + R] (Pm — Pm-1) = 0,(6.36)

~ Wm ]- 2 кг (T^ угт — h0 = 0.(6.37)

Здесь кт = хт ~ Хт-\, 0 ■-< s =5 0,5. Систему (6.35) — (6.37) можно записать в виде

f(ym)=O,(6.38)

f = (/i, /2, fN+аУ, Ут = <Уь уг, у^™

Уг = 41 ^ = 1, 2, ..., /V), уд+г = W2, у^ = Т.

Система (6.38) решается при фиксированном т методом Ньютона У^1 = Ут ~ DmH ^Зт\(6.39)

где / — номер итерации, Dm — переменная матрица Якоби. Итерационный процесс заканчивается, когда одновременно выполнятся условия

^^-^гт^Л^Я |Л(Ут+1)\<6, V = 1, 2, . . ., N + 2), где е,, 8, — допустимые погрешности в компонентах решения и невязки в уравнениях (см. п. 2.1). После нахождения Т, W и у, в узле хт из (6.32) определяется р, а из (6.30)—площадь струйки тока, поскольку значение расхода задано. Существенным для сходимости итерационного процесса является корректное задание начальных данных. При решении обратной задачи для системы (6.28) — (6.33) ставится задача Коши. В случае неравновесных течений начальные данные нужно задавать в дозвуковой области, в которой течение близко к равновесному и даже небольшие ошибки в начальных данных могут привести к неустойчивости расчета. В связи с этим описанный алгоритм решения применяется и для расчета равновесной области течения, только вместо уравнений химической кинетики решаются уравнения закона действующих масс (6.3), что эквивалентно замене знаменателя в уравнении (6.35) на выражение /гт(1—s^Nim. Полученные таким образом параметры используются в качестве данных Коши при расчете уже неравновесного течения, который обычно начинается в области, где р « (0,9 ч- 0,95) ро.

Основные закономерности химически неравновесных течений в соплах. Основные особенности неравновесных течений могут быть изучены в одномерном приближении. Действительно, исследование плоских и осесимметричных неравновесных течений путем численного решения обратной задачи теории сопла [94], а также расчеты вдоль струек тока осесимметричного сопла [79] показывают, что концентрации компонент слабо зависят от формы струек тока и распределений давления вдоль них, в особенности в сверхзвуковой области течения. На рис. 6.4 приведено изменение молярной доли водяных паров и температуры Т = Т!То вдоль линий тока осесимметричного сопла. Имеет место заметное различие концентраций на различных лилиях тока при равновесном течении и незначительное — при неравновесном. Кроме того, результаты расчетов концентраций компонент в неравновесном течении в одномерном приближении практически совпадают с результатами рас-

чета, когда учтен двумерный характер течения. В то же время распределения температуры (и давления) вдоль различных линий тока заметно различаются в силу двумерности течения, при этом имеет место также различие между равновесным, неравновесным и замороженным течениями.

Прежде чем переходить к рассмотрению конкретных примеров расчетов, отметим некоторые общие свойства неравновесных течений газа в соплах. Очевидно, что параметры неравновесного течения должны являться в большинстве случаев (хотя: возможны локальные отклонения) промежуточными между параметрами двух

Рис. 6.4. Изменение молярной концентрации г^д и температуры Т вдоль различных линий тока при неравновесном (7), равновесном (2) и замороженном (3) течениях. Топливо — Н2 + О2, а = 1, ро = 0,5 МПа, п — номер линии тока; 4 — расчет по одномерной теории

предельных течений — равновесного и замороженного. При этом из- за того, что химическая энергия в неравновесном течении выделяется не полностью и частично не передается в активные степе- ви свободы и энергию направленного движения молекул, темпера-

Рис. 6.5. Зависимости молярных концентраций rH, г^, rNO и гсо2от от-Рис. 6.5. Зависимости молярных концентраций rH, г^, rNO и гсо2от от-

Рис. 6.5. Зависимости молярных концентраций rH, г^, rNO и гсо2от от-

Рис. 6.5. Зависимости молярных концентраций rH, г^, rNO и гсо2от от-

тура, скорость, давление и импульс, а следовательно, и удельный импульс в неравновесном течении меньше, чем в равновесном (но больше, чем в замороженном) (см. рис. 6.2). Наибольшее отличие наблюдается в значениях температуры и давления (иногда на десятки процентов), значительно меньше — в скорости и импульсе. Плотность слабо зависит от характера протекания процесса (будучи несколько выше в неравновесном течении). Иногда, однако, возможны локальные превышения температуры и давления над равновесными значениями за счет интенсивного выделения химической энергии, наступающего после резкого отклонения от равновесия, например, после замораживания течения за угловой точкой.

Импульс и удельный импульс в неравновесном течении всегда меньше, чем в равновесном. Расход газа в неравновесном течении

при заданных параметрах торможения и размере минимального сечения больше расхода в равновесном течении, однако это различие очень невелико (не более 0,5— 1 %). Число Маха в неравновесном течении выше, чем в равновесном, из-за значительного уменьшения температуры, пе компенсирующего менее существенное уменьшение скорости.

Результаты расчетов неравновесных течений вдоль струек тока удобнее представлять в виде зависимостей параметров не от длины сопла, а от величины г = г/г* = Р1/2 = [рЛ/(р1И)]1/2 по аналогии со случаем одномерного равновесного течения, когда параметры течения зависят только от г, а также ввиду того, что величина рТП слабо зависит от характера процесса. В рамках одномерного приближения были

носительного радиуса сопла F при проведены детальные параметри- равновесном (7) и неравновесном ческие исследования многих топ- Топливо — (СНз)2- ливных композиций; результаты

•NNHz + N2O4, а = 0,9, р0 = 0,5 МПа,“

d = 100 ммтаких исследовании содержатся в

*работах [144, 212]. В [6] и по

следующих томах этого справочника приведены графические мате

риалы, позволяющие определить потери удельного импульса, связанные с неравновесным протеканием химических реакций.

Некоторые характерные результаты расчетов неравновесных течений в сопле представлены на рис. 6.5. Из результатов рас-

четов следует, что отклонение состава и термодинамических параметров продуктов сгорания от равновесных значений начинается в трансзвуковой области сопла, где градиенты газодинамических параметров максимальны. При малых давлениях и небольших размерах сопла, а также при малых температурах это отклонение может начаться в дозвуковой части сопла. Расчеты показывают также, что мольные доли веществ СО2, СО, N2, О2, НгО и NO в окрестности критического сечения замораживаются и изменяются вниз по потоку не более чем на 5—10 %, хотя состояние некоторых из них (СО2, Н2О, N2, СО) на отдельных участках сопла близко к равновесному. Мольные доли таких компонент, как О, Н, ОН, и Нг, хотя и значительно отличаются от равновесных значений, однако вниз по потоку не замораживаются. В частности, мольная доля атомарного водорода имеет минимум (рис. 6.5), который не наблюдается при равновесном протекании реакций. Такое изменение мольной доли водорода связано с тем, что обменные реакции довольно близки к равновесию во всей области течения, особенно при больших температурах, в то время как реакции рекомбинации, идущие при тройных соударениях, в трансзвуковой области сопла резко замораживаются.

Молекулярная масса смеси замораживается в окрестности минимального сечения и далее остается постоянной и меньшей (на 1—3%) соответствующего значения при равновесном течении. В случае течения бинарной смеси, когда протекает лишь одна реакция рекомбинации, а обменные реакции отсутствуют, происходит резкое замораживание этой реакции в трансзвуковой области, и далее вниз по потоку течение протекает практически замороженно. Такой характер протекания реакций, когда кинетика реакций проявляется лишь в узкой области, послужил основой создания приближенного метода расчета неравновесных течений, согласно которому до некоторого сечения течение принимается равновесным, а вниз по потоку от него ■— замороженным.

Параметрами, наиболее существенно влияющими на степень отклонения течения от равновесного, являются абсолютный размер сопла (его длина или диаметр минимального сечения cZ*, форма и геометрическая степень расширения сопла F (или г)), давление ро и температура То торможения, а также состав газовой смеси на входе в сопло, определяемый типом топлива и коэффициентом избытка окислителя сс. Изменение абсолютного размера сопла эквивалентно изменению времени пребывания газа в сопле, уменьшение которого (при прочих равных условиях) приводит к увеличению отклонения течения от равновесного. Уменьшение давления торможения также приводит к увеличению степени отклонения течения от равновесного, поскольку уменьшается число эффективных соударений (особенно для тримолекулярпых высокоэнергетических реакций) и увеличивается исходный уровень диссоциации продуктов сгорания перед соплом.

Изменение температуры торможения газа влияет на степень неравновесности течения как через скорости химических реакций, так и через изменение уровня диссоциации газа перед соплом. Константы скорости реакций рекомбинации слабо зависят от температуры, поэтому основное влияние на скорость процесса оказывают активные радикалы, концентрации которых с ростом температуры увеличиваются. С другой стороны, с ростом температуры увеличивается степень диссоциации газа перед соплом и, следовательно, может возрасти доля энергии, теряемой из-за неравновесности процесса. Поэтому изменение температуры торможения может приводить как к увеличению, так и к уменьшению степени отклонения системы от равновесия, в зависимости от того, какой фактор окажется преобладающим.

Для системы С — О — Н при температурах То < 2300 К течение в сопле является замороженным [6, 144, 213], что может приводить к большим потерям удельного импульса (до 10 %). Действительно, при таких температурах состав продуктов сгорания в равновесных условиях может быть в ряде случаев определен с помощью реакции водяного пара НгО + СО СОг + Нг. Однако в таком виде реакция в действительности не реализуется, а осуществляется через записанную в табл. 6.1 цепочку реакций. В каждой реакции этой цепочки должны участвовать либо радикал ОН, либо атомарные компоненты О и Н, которые при температурах, меньших 2300 К, практически отсутствуют. Это приводит к тому, что реакции, представленные в табл. 6.1, не протекают и заморожены, начиная от камеры сгорания.

На степень отклонения параметров потока в сопле от равновесных значений существенно влияет состав газовой смеси. Наибольшее отклонение от равновесия имеет место при стехиометрических газовых смесях, имеющих повышенный уровень диссоциации продуктов сгорания на входе в сопло. По мере обогащения или обеднения смеси степень диссоциации падает и степень отклонения от равновесия уменьшается. С увеличением степени расширения доля энергии диссоциации, которая может быть возвращена в поток при равновесной рекомбинации, возрастает. Однако истинная доля энергии диссоциации, которая успевает превратиться в кинетическую энергию потока, слабо зависит от степени расширения. Вследствие этого увеличивается степень отклонения системы от равновесия при увеличении г.

В результате большой серии расчетов обнаружено, что при фиксированном ос мольные доли веществ СО2, Н2О, СО, N2 и Н2 (общая весовая доля этих веществ в продуктах сгорания часто составляет 95—97 %) изменяются лишь в пределах 5—10 % при варьировании р0, ^*, г в широких диапазонах: 2,5 МПа < р0 < 25 МПа, 25 мм < < d# < 250 мм, 1 < г < 15. Это позволяет, используя результаты расчетов, построить универсальные зависимости молярных долей различных компонентов от а. Пример такой зависимости для продук-

тов сгорания топлива (СН3) 2NNH2 + Х2О4 приведен на рис. 6.6. Отличие полученных таким образом концентраций от равновесных значений составляет 10—20 % при г < 5 и 20—60 % при 5 < г < 10.

Неравновесное протекание химических реакций приводит к уменьшению импульса сопла по сравнению с равновесным течением.

Рис. 6.6. «Универсальные» зависимости молярных концентраций различных компонентов от кРис. 6.6. «Универсальные» зависимости молярных концентраций различных компонентов от к

Рис. 6.6. «Универсальные» зависимости молярных концентраций различных компонентов от к

Рис. 6.6. «Универсальные» зависимости молярных концентраций различных компонентов от к

Разницу импульса в равновесном и неравновесном течениях, отнесенную к импульсу в равновесном течении, называют коэффициентом потерь удельного импульса, обусловленным неравновесным протеканием химических реакций, и обозначают £н.

В [6] и последующих томах этого справочника содержатся сведения о величинах 2Н для ряда топлив, применяемых в жидкостных реактивных двигателях; там же представлены многопараметриче- ские графики, позволяющие рассчитать £н. Анализ потерь удельного импульса U для двигателей различных типов, в том числе для сверхзвуковых и гиперзвуковых прямоточных двигателей, дан в [212]. Типичные зависимости t„ от величин d*, ро показаны па рис. 6.7, при построении которых учтено, что £н 0 при d*, р0 -*■ °°. Видна очевидная тенденция роста £н при уменьшении d*, pQ и увеличении г. Для топлив О2 + керосин, О2 + (СНз) 2 NNH2 и N2O4+ (CH3)2NNH2 при сс = 0,8 величины £п близки между собой и при 0^ = 100—200 мм и г = 5—10 составляют 0,8—1,2 % для ро = 5 МПа и 0,2—0,6 % для ро = 15МПа (условия, характерные для вторых ступеней ракет) . При ^ = 10 — 20 мм и тех же р0 £я = 1,5—2,5 % и £н =" 0,8— — 1,2 % соответственно. Для двигателей космических летательных аппаратов с пониженными значениями Ро(ро=1— 2МПа) величины си возрастают и при й* = 100 — 200 мм составляют 1,5 — 2,5 %. Можно отметить, что увеличение содержания азота в топливе ведет к меньшему изменению потерь при увеличении времени пребывания. Из результатов расчетов следует, что для топлива На + О2 величина 2П меньше, чем у углеводородных топлив.

Коэффициент избытка окислителя а значительно влияет на величину си (рис. 6.8). Характерной особенностью является наличие

Рис. 6.7. Зависимость tn (%) от параметров d®/^ (d® = 25 мм, р0 = 2,5 М и р°/ро (р° = 2,5 МПа, <7* = 25 мм) для топлива Н2 + О2 при а = 0,8Рис. 6.7. Зависимость tn (%) от параметров d®/^ (d® = 25 мм, р0 = 2,5 М и р°/ро (р° = 2,5 МПа, <7* = 25 мм) для топлива Н2 + О2 при а = 0,8Рис. 6 8. Зависимость цп от а для различных топлив при р0 = 2,5 МПа, d* = 50 мм, г = 10 1 л

Рис. 6.7. Зависимость tn (%) от параметров d®/^ (d® = 25 мм, р0 = 2,5 М и р°/ро (р° = 2,5 МПа, <7* = 25 мм) для топлива Н2 + О2 при а = 0,8

Рис. 6.7. Зависимость tn (%) от параметров d®/^ (d® = 25 мм, р0 = 2,5 М и р°/ро (р° = 2,5 МПа, <7* = 25 мм) для топлива Н2 + О2 при а = 0,8

максимума потерь вблизи стехиометрического значения а=1. Видно также резкое увеличение £а при а < 0,4 для топлив (CH3)2NNH2 + N2O4 и СуНн + О2. Можно дать следующее объяснение полученным зависимостям. Химическая энергия, запасенная в камере сгорания, передается активным степеням свободы молекул в процессе реакции рекомбинации и обменных реакций. При этом в области высоких температур основной вклад дают реакции рекомбинации, в области малых температур — обменные реакции. Наибольшее значение химической энергии запасено в камере сгорания при а * 1, и поэтому неравновесное протекание реакций рекомбинации приводит к максимальным потерям при а, близких к единице. При меньших и больших значениях а вклад химической энергии уменьшается, возрастает с уменьшением температуры роль обменных реакций, близких к равновесию, и соответственно уменьшается величина £н. В области низких температур, меньше 2300 К, что соответствует а < 0,4, химическая энергия, запасенная в камере сгорания, меньше, чем при ct ~ 1, однако из-за полного замораживания обменных реакций она вовсе не передается активным степеням свободы, что и обусловливает возрастание £н.

Несколько иная ситуация имеет место при малых и больших значениях а для топлива Н2 + О2. При малых температурах в камере сгорания содержится лишь молекулярный водород (или кислород) и пары воды, молярные доли которых, очевидно, при истечении не изменяются (даже при равновесии), поэтому отсутствует различие между равновесным, замороженным и неравновесным течениями и £н равно нулю. На практике зависимость £н от а используется при выборе значения а, оптимального по удельному импульсу. Для двигателей твердого топлива при наличии конденсата в продуктах сгорания величина £н обычно значительно меньше, чем для жидкостных реактивных двигателей из-за меньшей доли химической энергии, запасенной в камере сгорания.

Известно, что константы скоростей реакций отличаются в некоторых случаях на один-два порядка. В связи с этим некоторыми авторами были проведены исследования влияния констант скоростей различных реакций на параметры течения (см., например, [144, 212]). Можно отметить общую закономерность, согласно которой влияние констант скоростей является наибольшим в тех областях, где течение является промежуточным между равновесным и замороженным, и наименьшим, где течение близко к равновесному или замороженному. Поэтому для сопел крупногабаритных двигателей ЖРД и РДТТ с высокими давлениями и температурами в камере сгорания, в которых течение близко к равновесному, варьирование констант скоростей реакций оказывает незначительное влияние на параметры течения. При этом наиболее чувствительными к изменению констант скоростей реакций оказываются концентрации компонент, а наименее чувствительными — потери Удельного импульса.

Плоские и осесимметричные течения. Исследование плоских и осесимметричных течений в соплах представляет собой значительно более сложную задачу, нежели исследование течений в одномерном приближении, поскольку теперь нужно решать систему (6.28) — (6.33) вдоль линии тока несколько раз для обеспечения сходимости итераций. Наиболее полное исследование неравновесного течения многокомпонентной смеси проведено в работе [94], в которой численно решалась обратная задача теории сопла. Исследование пространственных неравновесных течений в рамках обратной задачи теории сопла предпочтительней, так как при этом рассчитывается течение в сопле в целом, и, что особенно важно, в трансзвуковой области, в которой наиболее сильно проявляются неравновесные эффекты. Пример расчета неравновесного течения в сопле послойным методом характеристик приведен в [91].

В гл. 2 описан метод численного решения обратной задачи теории сопла для случая идеального газа с постоянным показателем адиабаты. Ниже приводится конкретная разностная схема для расчета плоского и осесимметричного течения [94]. В этом случае к системе (6.28) — (6.33), описывающей неравновесное течение в одномерном приближении, добавляются уравнения, необходимые для определения геометрии линии тока, распределения давления и составляющих скорости на ней. Отметим, что в двумерном случае в формуле (6.31) следует W заменить на и. Имеем

dr14v 1 + v

Дфри ’

(6.40)

9 (pr1^ = (l + v)p _ ди Дфри‘ дх’

(6.41)

Г^

ТУТ 014,/ Ul 1 I

V = W— 1 + —,

OX [\ox) J

(6.42)

и = TIT2 — к2.

(6.43)

В отличие от (1.35), уравнение (6.41) записано так, чтобы устранить особенность на оси симметрии. Энтальпия торможения и концентрации компонентов в начальном сечении в общем случае могут зависеть от ф и быть разрывными функциями, т. е. можно проводить расчет течений с поверхностями тангенциальных разрывов.

Пусть на слое фп известно решение. Тогда в точке слоя ф„+1 функции rmn = r(xm, ф„) и ртп=р^хт, фи) определяются по формулам

/-l+vys+l) Л+v 1 1/4 I Щ Axh Гl^f

(^г1^)^^ - (pr^)™ + у (1 + V) Аф [(^)т(я+])4- (^) J -

— ^-Аф г —+, (6.4о)

2 тОх]т(п-Ц)\ дх'т-пА

где к — итерационный индекс. Последовательность вычислений следующая. При к = 0 все величины с индексом к берутся с нижнего слоя и по формулам (6.44), (6.45) вычисляются Гт(„+1). р^+ц. С использованием найденного распределения давления вдоль линии тока 4«+1 решается система уравнений (6.28) — (6.33) с начальными данными в дозвуковой области с помощью аппроксимирующих уравнений (6.35) — (6.37), в результате чего находятся ЖЙщ+п, ^n+i), Yim(m+1), Pm(«+1). Далее по (6.42), (6.43) вычисляются и^-пАху Затем процесс повторяется с использованием ре

шения, полученного в первой итерации, и т. д. Производные по х, входящие в правые части уравнений (6.41), (6.42), аппроксимируются по трехточечной схеме (см. § 2.3).

На начальной линии тока ф = фо, которая может быть осью симметрии или жесткой стенкой, задается распределение давления; остальные параметры определяются путем численного интегрирования системы (6.28) — (6.33). Начальное распределение давления удобно задавать в виде

-- , (Р1-^*)(Р»”Р2)(а-С)

73 73 | \ АV / \ V " /

г Р^"Г 7== X :ч )

Vi-I\)c-Vv»-P»)a

(6.46) где а = ехр(—5/6), с = 1 при 5 > 0; а = 1, с = ехр(5/6) при

Рис. 6.9. Линии М = 1 и 9 = 0 при неравновесном (?) и замороженном (2) теченияхРис. 6.9. Линии М = 1 и 9 = 0 при неравновесном (?) и замороженном (2) течениях0,0,*’*’Рг — давления вРг — давления вР=р!ро, Рх, начальной иР=р!ро, Рх, начальной иконечной точках на оси сопла, b — параметр, характеризующий величину градиентаконечной точках на оси сопла, b — параметр, характеризующий величину градиента... . . давления в трансзвуковой области.

Рис. 6.9. Линии М = 1 и 9 = 0 при неравновесном (?) и замороженном (2) течениях

Рис. 6.9. Линии М = 1 и 9 = 0 при неравновесном (?) и замороженном (2) течениях

0,

0,

*’

*’

Рг — давления в

Рг — давления в

Р=р!ро, Рх, начальной и

Р=р!ро, Рх, начальной и

конечной точках на оси сопла, b — параметр, характеризующий величину градиента

конечной точках на оси сопла, b — параметр, характеризующий величину градиента

Некоторые результаты расчетов осесимметричного течения пред-

ставлены па рис. 6.4, 6.9. Рассчитывались равновесное, неравновесное и замороженное течения при заданном на оси симметрии Распределении давления (6.46) с pi = 0,96, р* = 0,55, р2 = 0,04 и 6 = 0,8. Особо следует остановиться на поведении линий М = 1 и 9 = 0 (рис. 6.9). Эти линии как в замороженном, так и в равновесном течении выходят из одной точки па оси (^ = х*) и простираются вверх по потоку от этой точки, так что линия М = 1 находится всегда выше по потоку, чем линия 6 = 0, в соответствии с общими

У Г Пирумов, Г. С. Росляков

закономерностями поведения этих линий в осесимметричных у плоских течениях (см. п. 4.1.2). При неравновесном течении линии М = 1, 6 = 0 также простираются вверх по потоку, однако они выходят из разных точек на оси симметрии, причем точка осп, в которой М = 1, расположена ниже по потоку, чем точка, соответствующая линии 6 = 0, поскольку в неравновесном одномерном течении происходит смещение линии М = 1 вниз по потоку относительно минимального сечения (см. (6.34)), что может привести к пересечению линий М = 1 и 0 = 0. В связи с этим в неравновесном осесимметричном и плоском течениях в зависимости от кривизны контура в минимальном сечении скорость течения может быть меньше, равна или больше скорости звука, в противоположность случаям равновесного или замороженного течений, в которых в минимальном сечении скорость всегда больше скорости звука.

В трансзвуковой области имеет место некоторое повышение температуры па линиях тока с малыми радиусами кривизны. Повышение температуры за угловой точкой сопла отмечалось и в работах [81, 144]. Оно связано с характером протекания неравновесных процессов и не имеет места в равновесном и замороженном течениях. Действительно, большой градиент давления в трансзвуковой области вызывает резкое замораживание химических реакций, которые затем начинают интенсивно осуществляться при последующем переходе в область с меньшим градиентом давления, что приводит к выделению тепла и повышению температуры. Другая особенность в распределении температуры имеет место вблизи выходного сечения сопла, где при малых градиентах давления течение стремится к локальному равновесному состоянию, что приводит к повышению неравновесной температуры на выходе из сопла и изменению концентраций в сторону из равновесных значений.

Распределение концентраций компонентов на различных линиях тока неравновесного течения (рис. 6.4) характеризуется слабой зависимостью их от формы линий тока и распределения давления на них, что находится в соответствии с результатами расчетов в одномерном приближении. В то же время в равновесном течении концентрации компонентов на различных линиях тока отличаются значительно. На рис. 6.4 пунктиром показаны результаты расчета неравновесного течения в одномерном приближении. Одномерное приближение можно использовать с достаточной для практики точностью при расчете концентраций компонентов, однако значения температуры определяются достоверно лишь в областях с малыми градиентами. Потери импульса, связанные с неравновесным протеканием химических реакций, с высокой точностью могут быть определены в рамках одномерного приближения.

Приближенные методы расчета неравновесных течений. Наряду с точными методами расчета неравновесных течений в соплах развиваются и приближенные методы. Один из таких методов —- метод внезапного замораживания используется наиболее часто.

Для бинарной смеси метод внезапного замораживания впервые предложен [232]. Основная идея метода состоит в замене истинного неравновесного течения двумя предельными течениями — равновесным до некоторого сечения, называемого сечением внезапного замораживания, и замороженным вниз по потоку от этого сечения. Для случая бинарной смеси, когда в процессе истечения происходит лишь одна реакция рекомбинации, такой подход оправдан тем, что в области высоких температур и давлений течение действительно близко к равновесному, а в области больших градиентов газодинамических параметров, где резко падают давление п температура, скорости рекомбинации становятся очень малы, так как они пропорциональны кубу плотности. Поэтому область, где имеет место неравновесное протекание реакций, весьма мала, и истинное течение с небольшой ошибкой может быть заменено равновесно-замороженным. Этот факт проиллюстрирован на рис. 6.10, на котором

Рис. 6.10. Зависимость молярной концентрации атомарного водорода гн от г при До = 1 МПа, То = 4000 К; 1 — равновесное течениеРис. 6.10. Зависимость молярной концентрации атомарного водорода гн от г при До = 1 МПа, То = 4000 К; 1 — равновесное течение

Рис. 6.10. Зависимость молярной концентрации атомарного водорода гн от г при До = 1 МПа, То = 4000 К; 1 — равновесное течение

Рис. 6.10. Зависимость молярной концентрации атомарного водорода гн от г при До = 1 МПа, То = 4000 К; 1 — равновесное течение

представлено изменение молярных долей атомарного водорода при неравновесном истечении бинарной смеси Н и Нг в зависимости от с при различных значениях d*.

Основная трудность в использовании метода внезапного замораживания состоит в определении сечения, начиная с которого Можно принять течение замороженным. Согласно [232] в равновесной области — d^/dt значительно меньше скоростей диссоциации ^ и рекомбинации R и D ~ R. Наоборот, в области, где течение близко к замороженному, D « exp (-E/RT) и уменьшение D происходит настолько быстро, что в этой области D «: R и —d^Jdt = R. согдц можно принять, что в точке внезапного замораживания d^Jdt = AD. При этом d^/dt и D могут быть найдены из расчета Равновесного течения, так как до точки внезапного замораживания 18*

течение предполагается равновесным. Значение константы А для каждого конкретного случая находится подбором таким образом, чтобы обеспечить наилучшее совпадение с результатами точных расчетов. Не внося большой ошибки, можно положить константу Л равной или близкой к единице. На рис. 6.10 пунктиром показаны результаты расчетов при таком значении А. Сопоставление точных расчетов с расчетами по методу внезапного замораживания для бинарной смеси показывает хорошее согласие этих методов, в особенности если область переходного течения мала по сравнению с областью замороженного течения, а степени расширения велики.

Обобщение метода внезапного замораживания на случай многокомпонентной смеси является весьма сложным и неоднозначным [144]. Как уже отмечалось, для сложных смесей не наблюдается замораживания всех компонентов и не всегда удается выбрать одну определяющую реакцию. Поэтому точность метода внезапного замораживания в таких случаях может оказаться неудовлетворительной. Этот метод позволяет в некоторых случаях с достаточной точностью определить температуру многокомпактной смеси, но, как правило, дает неточные значения импульса и концентраций отдельных компонентов.

Течения с колебательной релаксацией

Времена релаксации колебательных степеней свободы на один- два порядка меньше времен для химических реакций, а энергия их сравнима с химической энергией при течениях высокотемпературной смеси. Тем не мепее процесс колебательной дезактивации из-за больших градиентов газодинамических параметров, особенно при малых абсолютных размерах сопла, может протекать неравновесно. В последние годы возрос интерес к изучению процессов колебательной дезактивации в сопле в связи с проблемой создания газодинамических и химических оптических квантовых генераторов. Неравновесное протекание дезактивации колебательных степеней свободы приводит к возникновению инверсной заселенности колебательных уровней молекул, необходимой для инициирования излучения. Для практических приложений важно также иметь количественные данные по потерям импульса, связанным с релаксацией колебательных степеней свободы. В большинстве работ, посвященных последованию колебательной релаксации в сопле, изучается одна релаксирующая степень свободы. Наиболее полное исследование колебательной релаксации в многокомпонентной смеси проведено в работе [10]. Ниже излагаются в основном результаты этой работы.

Релаксационные уравнения. Основными молекулярными компонентами продуктов сгорания химических топлив являются Ng, COg, СО, HgO, Нг, NO. Содержание остальных молекулярных компонентов, таких как Ог и ОН, обычно незначительно, и поэтому

неравновесное изменение их колебательной энергии можно не учитывать. Трехатомпые молекулы СОг и Н2О имеют три типа нормальных колебаний п соответственно три колебательные степени свободы. Многоатомные молекулы, обладающие определенной колебательной степенью свободы, будем рассматривать как самостоятельный компонент смеси. В табл. 6.3 приведены характеристические колебательные температуры молекул 6„ = hvjk, где h и к — постоянные Планка и Больцмана, а также условные обозначения

Таблица 6.3

Характеристические колебательные температуры молекул

Молекула

к.

CO.d,)

CO,(v2)

СО2( Vj)

со

о

о

я

о

И

Н2

NO

Условное обозначение

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

е$,к

3353

1920

960

3380

3084

5260

2294

5400

6130

2700

молекул, которые будут использоваться в дальнейшем. Здесь CO2(vi), H2O(vi)—молекулы, обладающие валентной симметричной модой колебаний, СОг(хг), НгО(х2)—молекулы, обладающие деформационной модой колебаний, СОг(хз), НгО(хз)—молекулы, обладающие валентной асимметричной модой колебаний.

В многокомпонентной смеси двухатомных и многоатомных молекул возбуждение или дезактивация колебательных степеней свободы молекул при неупругих столкновениях может происходить двумя путями: путем непосредственного перехода кинетической энергии сталкивающихся частиц в колебательную энергию рассматриваемой молекулы и наоборот (процесс прямого возбуждения, или дезактивации, обычно обозначаемый символом Т—В) и путем обмена энергией между колебательными степенями свободы сталкивающихся молекул и внутри данной молекулы (процесс колебательно-колебательного обмена, обозначаемый символом В—В). Для рассматриваемой смеси можно записать следующие Т—В процессы:

N2 + М ^ N* + М - 2330 см" \

СО2 + М СО* (v2) + М - 667 см-1,

СО + М СО* + М - 2143 см-1,

Н2О + М Н2О* (v2) + М - 1595 см-1,

Н2 + М^Н* + М-4260 см-1,

NO + М ^ NO* + М - 1876 см-1,

где М — некоторая частица (молекула или атом), участвующая в столкновении. Вероятность передачи энергии в столкновении зависит от природы этой частицы. Верхний индекс * обозначает колебательно возбужденную молекулу, а число в правой части указывает дефект энергии процесса, т. е. уменьшение кинетической энергии сталкивающихся частиц при возбуждении первого уровня колебаний соответствующей молекулы. Для многоатомных молекул СОг и НгО записаны релаксационные процессы лишь для деформационного колебания, частота хг которого меньше частот других типов колебаний этих молекул. Остальные колебания многоатомных молекул возбуждаются при столкновениях путем внутримолекулярных процессов обмена колебательной энергией.

Механизм релаксации валентных мод колебаний СОгиНгО экспериментально не выяснен. Возможны различные каналы столкно- вителыгой релаксации энергии асимметричной моды колебаний хз молекул СОг. Можно предположить, что релаксация асимметричного колебания молекулы СОг происходит следующим образом:

СО* (х3) + М ^± СО* (V1 + х2) + М + 348 см-1,

т. е. уменьшение па один квант энергии хз колебании СОг приводит к образованию одного кванта vi и одного кванта хг энергий колебаний. Поскольку вероятность обмена колебательной энергией в столкновении возрастает при уменьшении дефекта энергии процесса, т. е. при уменьшении энергии, переходящей между колебательными и поступательными степенями свободы, то в качестве процессов, определяющих релаксацию валентных колебании СОз(х1), H2O(xi) и Н2О(х3), можно принять следующие:

СО* (хД + М ^± СО* (2хД + М,

Н2О* (хД + М ^ Н2О* (2хД + М + 467 см-1,

Н2О* (х3) - - М?± Н2О* (2хД + М + 556 см-1.

Процесс 8 является резонансным, поскольку в СОг имеет место случайное вырождение частот xi = 2хг.

В рассматриваемой смеси газов вследствие близких значении колебательных частот некоторых молекул возможны эффективные процессы обмена колебательной энергией, которые также необходимо ввести в общую систему релаксационных процессов. В качестве таких V—V процессов были выбраны следующие процессы, имеющие относительно небольшой дефект энергии:

И. N* + СО2 N2 + СО* (х3) - 19 см-1,

N* + СО ; ► N2 + СО* + 187 см "Л

СО* + СО2 СО + СО* (х3) - 206 см-1,

N* + NO N2 + NO* + 454 см-1,

СО* - NO ч± СО+ NO* + 267 см-1,

СО* (v3) + NO СО2 + NO* 473 см-1.

Кинетические уравнения, описывающие релаксацию колебательной энергии, вследствие всех перечисленных выше процессов могут быть получены двумя способами. Возможно записать систему дифференциальных уравнений для определения заселенности каждого возбуждаемого уровня каждой колебательной моды, используя вероятности переходов [112, 193]. Такой подход, однако без упрощающих гипотез, оказывается весьма сложным не только из-за значительного числа уровней, по также из-за отсутствия надежных экспериментальных и расчетных данных по вероятностям переходов для столь сложной взаимодействующей смеси молекул. Другой подход состоит в использовании дифференциальных уравнений для энергии каждой моды. Если предположить больцмановское распределение по энергиям внутри каждой моды и принять, что молекулы являются гармоническими осциллиторами, то релаксационные уравнения, соответствующие приведенным выше процессам, запишутся в виде

dt

= Ф1 +

Ф11 + Ф12 + Ф14>

(6.47)

^ dt

= Ф8-

94 ф”

(6.48)

da^ dt

= ф2 —

@3

о Ф? Фб?

4

(6.49)

dst dt

= Ф7-

99.

' fl~ Фп — ЛГ Ф13 + Ф16,

(6.50)

da5 dt

= Фз-

е.

Л>~ Ф12 + Ф13 + Ф151

(6.51)

de6 dt

= Ф9,

(6.52)

d&7 "IT

= ф4-

99

2 Фд2 —- <р10,

6и8

(6.53)

dt

= Ф10-

(6.54)

d% dt

= Фб,

(6.55)

d6io dt

= Фб —

9ы m _ 9ы mm

91 Ф1‘96 Ф1504 ф16’

(6.56)

где

Ф1 = Ф4 (ei — ei),Ф2 = Ф/е"—е3),Ф3 = Ф3 (8^ — ев),

Ф4 = Ф4(е7 — е7),Ф5 = Ф5(е9 — е9),Ф6 = Ф6 (е?о — е10),

Ф? — Ф? I Г3 u )(®2®з)8283 ( 81 Г4 — 041 ехр I = I —Ф? — Ф? I Г3 u )(®2®з)8283 ( 81 Г4 — 041 ехр I = I —A f Я V2 Г 2 /,7? И 2е7 — eG \ f , Л д V]Ф9 = ф9 r? и ?87 8б + г6— e6 exp -^у—- -е6 e7 + r7— 07 ,A f Я V2 Г 2 /,7? И 2е7 — eG \ f , Л д V]Ф9 = ф9 r? и ?87 8б + г6— e6 exp -^у—- -е6 e7 + r7— 07 ,

Ф? — Ф? I Г3 u )(®2®з)8283 ( 81 Г4 — 041 ехр I = I —

Ф? — Ф? I Г3 u )(®2®з)8283 ( 81 Г4 — 041 ехр I = I —

A f Я V2 Г 2 /,7? И 2е7 — eG \ f , Л д V]

Ф9 = ф9 r? и ?87 8б + г6— e6 exp -^у—- -е6 e7 + r7— 07 ,

A f Я V2 Г 2 /,7? И 2е7 — eG \ f , Л д V]

Ф9 = ф9 r? и ?87 8б + г6— e6 exp -^у—- -е6 e7 + r7— 07 ,

Фю = фы^7 у 67)[87 ^s + г8 —08J ехр|^ 7- 8e8^e7+r7—07J

Фи = Фи (г4 у04)|е4 L + r4 ~0i) exp ” 6i (ег + r<Т

Ф12 = Ф12 r5—0J ев 161 + Г1—04 ехр ° у ■ — е4 е5 + г5—05 , Ф13 = Ф13 И4 д- 64е4 ев + г5 — 0В ехр 4 ■■ ° - ев е4 у г4 — 04 ,

Ф14 = Ф14(г1о"77~91о’) [81о(81 ri Tr^i^^^Pt' ^т j е1('е1о+г1оТГ91о)Т Ф15 = Ф16 г10— 01ое10 е5 ^r5—0В ехр рЗу-^ -ев1е10+г10—01О ,

Ф1в= Ф1б(г1о-^91о) [8ю(84 - ^4у64)ехр(^_21)_ e4(eJO+rloy0lo)].

Здесь е. — колебательная энергия i-ro компонента в единице массы смеси, е° — равновесное значение колебательной энергии при температуре газа. Согласно формуле Энштейна

8® = НГгЧг^г 6Хр ( у-8® = НГгЧг^г 6Хр ( у-" —1" —1JJ

8® = НГгЧг^г 6Хр ( у-

8® = НГгЧг^г 6Хр ( у-

" —1

" —1

J

J

где степени вырождения "f. = 1, кроме ^з = 2, г. — молярная концентрация г-го компонента, Ф, — скорость г-го релаксационного процесса, зависящая от температуры и давления газа.

Скорости релаксационных процессов определяются в зависимости от характера передачи энергии [112, 193]. При колебательно-поступательном переходе энергии

Фг = р 2 гз^1з (г = 1, 2, . .., 6; j = 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10), (6.57)

где т„ ■— время релаксации для процесса I в случае столкновений с молекулами сорта ]. При внутримолекулярном колебательно-колебательном переходе энергии Ф, находятся также по формуле (6.57) при i = 7, 8, 9, 10. При межмолекулярном колебательноколебательном обмене энергией

(6.58)(6.58)Фг = р —

(6.58)

(6.58)

(i = 11, 12, 13. 14, 15, 16; 7 = 4, 5, 4, 10, 10, 10 соответственно), где т, — время релаксации г-го процесса. Обычно зависимость времени релаксации элементарных процессов от температуры определяется по экспериментальным данным и коррелируется, когда это возможно, с помощью теории Ландау — Теллера, согласно которой имеет место линейная зависимость 1пт от Z_1/3 [112]. В работе [10] па основании детального анализа экспериментальных данных предложены следующие формулы для вычисления времен релаксаций.

Процесс 1

1птн = 220 Т-1/3- 24,81; In п 3 = 240 Т",/3 - 25,76;

1ПТ15 = 22О Т-1/3- 24,81; 1пт17 = 33,5 Т",/3-16,55;(6.59)

Inn 9 = 86,9 Т-1/3- 19,94; In т110 = 223,9 Т"^3- 24,96.

Процесс 2

1пт21 = 40,1 Т"х,а- 17,51; 1пт2, = 40,1 Т~ш - 17,91 (у = 3, 5, 10);

1пт2 7 = —48,3 Т-х^- 12,55; 1пт29 = -16,8 7"-1/3 — 15,3.(6.60)

Процесс 3

In т31 = 174 Т^1/3 - 23,3; In т3 3 = 191 Т'ш - 24,23;

In т3 5 — 174 Т-,/3 —23,3; In т3 7 = 72 Т~,/3 - 21,68;(6.61)

In т3 9 = 67 Т”х 3 - 19,5; In п 10 = 177 Т",/3 - 23,57.

Процесс 4

In т4 = -36,8 Т~1/3 - 10,85 (7 7);

1пт4 7 = -36,8-’/3 - 13,15.(6.62)

Процесс 5

In т5, = 100 T"va - 20,3 (у = 1, 3, 5, 10);

In т5, = 100 Т-Х'а- 21,67 (7 = 7,9).(6-63)

Процесс 6

(6 64)(6 64)1пт6) = 100 Т-,/3-18,3 (у^Ю);

(6 64)

(6 64)

In т6 io = —14,9.

Процесс 7

In тм = -29,4 + 255 Т~№ - 1000 Т^2'3;

In т7 3 = —22,5 + 101 Т~ш - 223 Г"273;

In ту.5 = -19,6 + 74,2 Т-^ - 160 Т”2'3;

In ту,? = -14,7 - 13,8 Т"^ + In/(Г);

In ту,9 = -16,3 + 10.1 Т-"3 + In / (71);

In ту,10 = -18,6 + 67,2 Т-"3 - 204 Т"2/3,

где / (Г) = 1 — ехр ( — -^ ) I 1 — ехр

Процессы 11 —15

In ти = — 17,1 + 0,38 • 10"2 Т - 0,13 • 10~5 Т2;

In т12 = -0,4 • 10~3 Т - 13,15; In т13 = -0,8 • 10“3 Т - 14; (6.66)

In т14 = 48,5 Т-"3 - 17,3; In т15 = 20,7 Т"ш - 16,4.

Относительно процессов 8, 9, 10 и 16 можно сделать следующие замечания. Релаксация энергии симметричной моды колебаний молекул СОг (процесс 8) экспериментально изучена очень мало. В СО2 существует сильное взаимодействие между симметричной и деформационной модами колебаний вследствие ферми-резонанса, благодаря чему можно ожидать, что процесс обмена колебательной энергией должен быть очень быстрым. Имеющиеся экспериментальные данные не противоречат этому и позволяют предположить, что в процессе релаксации симметричная и деформационная моды колебаний находятся в равновесии между собой. Что касается релаксации валентных мод колебаний молекул Н2О (процессы 9 и 10), то из-за полного отсутствия необходимых экспериментальных данных обычно делают аналогичное предположение о том, что эти моды находятся в равновесии с деформационной модой колебаний. Следует заметить, что в интересном для практики диапазоне температур вклад этих мод в колебательную энергию молекул Н2О из-за высоких характеристических температур мал по сравнению с вкладом деформационной моды.

Чтобы выполнить в расчете условие локального равновесия мод колебаний, времена релаксации процессов 8—10 формально полагаются на два порядка меньшими, чем время релаксации соответствующего процесса деформационной моды. Для процесса 16 экспериментальные данные отсутствуют. Поскольку процессы 14 и 16 имеют практически одинаковые дефекты энергии, приближенно полагается, что времена релаксации процессов 14 и 16 совпадают. '

Одномерное приближение. Течение с релаксацией колебательных степеней свободы в сопле в одномерном приближении описываются, как и в случае течений с неравновесными химическими реакциями, системой уравнений (6.28) — (6.30), (6.32), (6.33) с той лишь разницей, что вместо релаксационных уравнений (6.31) для концентраций химических компонентов следует использовать релаксационные уравнения (6.47) — (6.56) для энергии различных колебательных мод молекул. Из рассмотрения уравнений (6.47) — (6.56) следует, что любое из них может быть представлено в форме, характерной для релаксационных уравне- hhIi, аналогично уравнениям химической кинетики (6.31), т. е. в виде

cZe.

^ 77 = ^4 ^’ Т' ^ 82’ ‘ ~ е’Л^ ^Р’ Т' 81’ 82’ ' ' ‘ ’ 8^- (6-67)

По-прежнему целесообразно решать обратную задачу, задаваясь распределением давления по длине сопла. Разностный метод решения этой системы по аналогии со случаем химически неравновесных течений основан на использовании неявных разностных схем при численном решении релаксационных уравнений.

Искомые значения энергии колебательных степеней свободы при неравновесном течении линейно входят в выражения для энтальпии /г, (7) индивидуальных компонентов. При решении получающейся системы разностных уравнений типа (6.35) — (6.37) предполагается, что ^ в (6.37) известны из расчета химически неравновесного течения. Метод решения аналогичен случаю химически неравновесного течения и подробно описан в предыдущем параграфе. После того как определена энергия колебательной моды е„ колебательная температура 7\ определяется, в предположении больцмановского распределения энергии по уровням внутри каждой моды, из формулы Эйнштейна. Кроме того, по известным значениям энергии е, можно, если это необходимо, определить заселенность различных уровней [112, 193]. Расчет течения в сопле с релаксацией колебательных степеней свободы проводится в такой последовательности. Первоначально производится расчет химически неравновесного течения при равновесном возбуждении колебательных степеней молекул методом, описанным в п. 6.2.2. Расчет химически неравновесного течения необходим для определения молярных концентраций компонентов, которые входят в систему уравнений для колебательно неравновесного течения. С помощью найденных распределений молярных концентраций рассчитывается течение вдоль струйки тока с колебательной релаксацией и определяются все параметры течения, в том числе и площадь струнки тока (из уравнения неразрывности). В этом алгоритме не учитывается взаимное влияние процессов химической и колебательной релаксаций. Расчеты показывают, что в условиях расширения продуктов сгорания современных химических

топлив в соплах в первом приближении можно разделить эти процессы, посколько колебательная неравновесность обычно становится заметной на таком расстоянии от среза сопла, на котором химический состав является уже замороженным.

Поскольку изменение колебательного состояния молекулы происходит при бинарных столкновениях, то скорость изменения колебательной энергии прямо пропорциональна давлению газа. Поэтому из релаксационных уравнений нетрудно установить, что для колебательного неравновесного течения газа в сопле параметр Т = poLo, где ро, Lo — характерные значения давления торможения и линейного размера, является параметром подобия.

Рассмотрим влияние колебательной неравиовесности на параметры течения в сопле и потери удельного импульса па примере расширения продуктов сгорания топлива (CH3)2NNH2 + N2O4 [10].

Рис. 6.11. Зависимость колебательной температуры Тт = ТJT* от г для разРис. 6.11. Зависимость колебательной температуры Тт = ТJT* от г для разных Т (МПа-мм), 1 — равновесная температураных Т (МПа-мм), 1 — равновесная температура

Рис. 6.11. Зависимость колебательной температуры Тт = ТJT* от г для раз

Рис. 6.11. Зависимость колебательной температуры Тт = ТJT* от г для раз

ных Т (МПа-мм), 1 — равновесная температура

ных Т (МПа-мм), 1 — равновесная температура

На рис. 6.11 представлены зависимости относительных колебательных температур Т„ различных компонентов от относительного радиуса сопла г = г/г* при различных значениях параметра Чт и коэффициенте избытка окислителя а = 1,2. Видно, что по мере уменьшения параметра V колебательные температуры компонентов все более отклоняются от равновесных и при достаточно малых значениях V и больших степенях расширения могут даже замораживаться. Чем меньше значение V, тем ближе к критике-

Рис. 6.12. Зависимость потерь импульса, связанных с колебательной релаксацией (£ьн) и с неравновесным протеканием химических реакций (£н)Рис. 6.12. Зависимость потерь импульса, связанных с колебательной релаксацией (£ьн) и с неравновесным протеканием химических реакций (£н)скому сечению происходит отклонение колебательных температур от равновесных значений. При уменьшении ХР наиболее отклоняются от равновесных значений колебательные температуры Нг, NO, N2 и СО. Например, если при V = 62,5 МПа колебательные температуры СО2 и Н2О близки к равновесным значениям, то колебательная температура СО при г = 10 превышает равновесное значение более чем и, 1,5 раза.

Рис. 6.12. Зависимость потерь импульса, связанных с колебательной релаксацией (£ьн) и с неравновесным протеканием химических реакций (£н)

Рис. 6.12. Зависимость потерь импульса, связанных с колебательной релаксацией (£ьн) и с неравновесным протеканием химических реакций (£н)

Отличие колебательных температур, а следовательно, колебательных энергий компонентов от равновесных значений приводит к изменению газодинамических параметров потока в сопле. Общий характер изменения параметров в неравновесном течении с колебательной релаксацией аналогичен случаю химически неравновесного течения. Температура газа, давление, скорость и импульс в неравновесном течении меньше соответствующих значении в равновесном течении, и больше, чем в замороженном. Плотность газа по- прежнему изменяется незначительно при изменении характера протекания процесса. Расчеты показывают, что при небольших значениях параметра V (<10 МПа • мм) отличие давления и температуры газа от соответствующих равновесных значений может составлять 10—20 %. В предельном случае колебательно-замороженного течения, начинающегося от критического сечения сопла (Чг=0), эти различия могут составлять 40—50 % (рис. 6.2).

Рассмотрим потери импульса £кн, обусловленные колебательной неравно- весностью. Зависимость потерь импульса £кп от г показана на рис. 6.12. Сопоставим при одинаковых условиях потери удельного импульса, обусловленные неравновесным протеканием химических реакций и колебательной неравно- весностью. Поскольку процессы рекомбинации происходят при тройных столкновениях, потери импульса, обусловленные химической неравновесностью,

не характеризуются с помощью одного параметра W, а зависят как от Ро, так иот^. Приведенные на рис. 6.12 значения относительных потерь импульса, обусловленных неравновесным протеканием химических реакций, соответствуют значению ро = 2,5 МПа. В предельных случаях замороженного течения максимальные значения потерь удельного импульса из-за химической и колебательной перав- повеспости имеют близкие значения. В колебательно-замороженном течении основной вклад в потери импульса вносят не компоненты

N2, СО, CO2(v3), характеристическая колебательная температура которых превышает 3000 К, a H2O(v2), CO2(v2) и CO2(vi), характеристическая колебательная температура которых значительно меньше и, следовательно, вклад от колебательной энергии в энтальпию газа больше. Однако поскольку времена релаксации процессов реакомбинации обычно значительно больше, чем времена колебательной релаксации, то при фиксированных значениях ро и d* степень незавершенности процессов рекомбинации (а стало быть и обусловленные ею потери) оказывается значительно больше, чем для процессов колебательной дезактивации. Потери, обусловленные колебательной неравповеспостью, резко уменьшаются при увеличении параметра Ф и при значениях Т > 10 МПа в несколько раз меньше, чем потери, обусловленные химической неравповеспостью.

Плоские и осесимметричные течения. Плоские и осесимметричные течения изучались в работах [20, 89, 109, 205, 227], при этом в [20, 227] решалось обратная задача теории сопла, в [205] рассмотрено течение в соплах газодинамических лазеров с учетом вязких эффектов.

Остановимся на результатах работ [20, 89]. Рассматривается система уравнений газовой динамики (6.28), (6.29), (6.32), (6.33). (6.40) — (6.43), к которой добавляются уравнения колебательной релаксации (6.47) — (6.56). Метод численного решения аналогичен описанному в п. 6.2.4. Численный метод решения обратной задачи включает определение давления, составляющих скорости и формы линии тока па неизвестном слое 4W1 с помощью разностной схемы (6.44), (6.45).

Используя найденное распределение давления вдоль линии тока ф„+1, с помощью разностных уравнений типа (6.35) — (6.37) решается система, аналогичная (6.29), (6.31) — (6.33), совместно с уравнениями колебательной релаксации (6.47) — (6.56) с начальными данными в дозвуковой области. На начальной линии тока (например, оси симметрии) для до-, транс- и сверхзвуковой области задается распределение давления в форме (6.46), а остальные параметры определяются интегрированием системы уравнений (6.29), (6.31) — (6.33). В дозвуковой области в начальном сечении предполагается, что имеет место равновесное возбуждение колебательных степеней свободы.

В работе [20] численно решена задача о течении газа в плоском сопле при наличии неравновесной релаксации колебательных степеней свободы. Определены колебательные температуры различных мод, установлена инверсная заселенность уровней и определен коэффициент усиления. Исследовано влияние геометрических параметров сопла на инверсную заселенность уровней и коэффициент усиления и продемонстрирована важность учета двумерных эффектов при их определении. На рис. 6.13, а показаны линии М = const в плоском сопле с угловой точкой при учете (сплошные линии) и без учета (штриховые линии) колебательной релаксации. Оче-

видно заметное изменение поля за счет колебательной релаксации, особенно в развитой сверхзвуковой области. На рис. 6.13, б представлены распределения вдоль оси симметрии (штриховые линии) и контура сопла (сплошные линии) числа М, коэффициента усиления К, температуры поступательных степеней свободы Т и колебательных температур: температуры Т\ симметричной и деформационной мод СОг, температуры Т^ асимметричного вида колебаний СОг,

Рис. 6.13. Линии М = const (а), распределение числа М, температур колебательных (Г,) и поступательных (Г) степеней свободы и коэффициента усиления К (6) при течении в сопле с неравновесным возбуждением колебательных степеней свободы

колебательной температуры Т3 азота. Из рисунка видно, что в дозвуковой области сопла течение мало отличается от равновесного. В трансзвуковой области вследствие больших градиентов газодинамических параметров прекращается колебательно-поступательный V ■— Г-обмен с молекулами азота, поскольку время релаксации этого процесса велико. Затем тормозится V — Г-обмен между СОг и НгО. Инверсный и непрекращающийся обмен между уровнями асимметричного типа колебаний и колебательно-возбужденным азотом обеспечивает перекачку колебательной энергии от азота к третьему типу колебаний СОг. В связи с этим величина Т3 проходит через минимум и начинает приближаться к Т3. Ввиду малости вре-

мен релаксации V — Г-обмепа для молекул СОз симметричного типа колебаний величина Ту близка к Т. Из рис. 6.13, б видно также, что распределения представленных па нем величин вдоль оси и контура заметно отличаются, что особенно характерно для коэффициента усиления. Отметим, что в рамках обратной задачи удается рассчитать контур сопла с угловой точкой (рис. 6.13, а).

В работе [89] представлены результаты численного профилирования и анализа влияния формы сопла и газодинамических параметров на характеристики газодинамических лазеров.

На основе исследований двумерного неравновесного течения для семейства подобных сопел и сопел с различным углом наклона контура сужающейся части показана целесообразность выбора такой формы дозвуковой части, которая обеспечивает прямолинейную звуковую линию. Получены соотношения геометрических параметров дозвукового и трансзвукового участков сопла, обеспечивающих безотрывность течения и форму звуковой поверхности, близкую к плоской. Проведено параметрическое исследование сверхзвукового участка двух классов плоских сопел газодинамических лазеров, построенных па базе равномерных и симметричных характеристик на выходе. На основе изучения влияния степени расширения, полного давления и температуры, а также состава газа показано, что наименьшие потери полезной колебательной энергии в резонаторной области обеспечивают сопла, построенные па базе равномерной характеристики. Эффективность преобразования тепловой энергии в энергию когерентного электромагнитного излучения существенно зависит от геометрии сопла, определяющей свойства колебательно-неравновесного течения газовой смеси в рабочей части газодинамического лазера.

Большое влияние па характер неравновесных процессов оказывает сверхзвуковая часть сопла. В настоящее время в конструкциях обычно используется семейство сопел с угловой точкой, построенных на базе равномерной замыкающей характеристики. Однако данное семейство сопел не является семейством сопел кратчайшей длины. Более высокого темпа охлаждения газовой смеси можно достигнуть в более коротких соплах с неравномерным распределением параметров в выходном сечении. В [89] классическим методом характеристик проведено параметрическое профилирование плоских и осесимметричных сопел, обеспечивающих заданные неравномерные газодинамические параметры в выходном сечении. Рассмотрено, в частности, семейство, построенное на базе симметричной замыкающей характеристики и обеспечивающее параллельность потока на выходе и отсутствие ударных волн во всем поле течения.

Проведено исследование характеристик двух классов сопел. Сопла первого класса профилируются на базе равномерной замыкающей характеристики, а второго — на базе симметричной замыкающей характеристики. Сопла второго класса имеют более высокие значения угла наклона контура в угловой точке, что обеспечи-

вает более интенсивный разгон потока как за угловой точкой, так и на всем сверхзвуковом участке.

Для газодинамического лазера, работающего на смеси газов СО2 + N2 + НгО, проведен анализ влияния геометрических параметров исследованных классов сопел на величину коэффициента эффективности сопла ц [112]. Получено, что для сопел второго класса средний по сечению коэффициент ц на выходе на 0,04 превышает соответствующее значение ц для сопел первого класса. Однако в выходном сечении сопел второго класса реализуются существенно неравномерные распределения газодинамических параметров. Продольная составляющая скорости и число Маха М при удалении от оси уменьшается, а давление и плотность увеличиваются. Так, неравномерность по числу М может составить около 60 %. Наличие такой сильной неравномерности газодинамических параметров па срезе сопла может привести к дополнительным газодинамическим возмущениям, в результате действия которых в колебательно-ре- лаксирующем потоке за срезом сопловой решетки может быть потеряна часть колебательной энергии.

В целях изучения качества лазерного потока в [89] проведено численное исследование релаксирующего течения смеси газов за срезом сопел в резонаторной области для обоих классов сопел. В качестве расчетной области, моделирующей взаимодействующие потоки, принимается область, на верхней и нижней границах которой плоскости взаимодействия заменяются эквивалентными по граничным условиям плоскими стенками прямолинейного канала. Смешанная задача для изоэнтропического потока в указанной области по данным, полученным в выходных сечениях сопел, решается послойным методом характеристик, обладающим свойством методов сквозного счета для несильных ударных волн.

Расчеты, проведенные без учета влияния генерации излучения, показывают, что неравномерность газодинамических параметров на срезе коротких сопел оказывает сильное влияние на течение газа в резонаторной области. Неравномерные профили газодинамических параметров в сечениях, расположенных вниз по потоку, начинают выравниваться, периферийная часть потока с большим давлением поджимает центральную часть, что приводит к возникновению висячей ударной волны, интенсивность которой с увеличением длины возрастает. Из-за наличия за срезом сопла второго класса ударной волны получаются более низкие средние значения коэффициента усиления тр Поток смеси газов СО2 + N2 + Н2О, истекающей из сопла, рассчитанного на равномерные параметры на выходе, имеет в резонаторной области более высокие запасы колебательной энергии.

Таким образом, из двух рассмотренных классов сопел более эффективными с точки зрения наименьших потерь колебательной энергии в резонаторной области являются сопла, построенные на базе равномерной характеристики.

19 У. Г, Пирумов, Г. С. Росляков

Глава 7

ДВУХФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ В СОПЛАХ

В последние годы уделяется значительное внимание изучению движения в соплах смеси газа и частиц в основном в связи с необходимостью определения характеристик двигателей, работающих на твердых топливах. Наличие в газе твердых или жидких частиц различных размеров приводит к значительному усложнению физической картины течения по сравнению с течением чистого газа и, вследствие этого, к усложнениям математического описания явлений и методов решения. В уравнениях движения газа появляются члены, учитывающие обмен массой, импульсом и энергией между частицами и газом, и, кроме того, система дополняется уравнениями, описывающими движение частиц и фазовые превращения. Система уравнений замыкается феноменологическими соотношениями и уравнениями для потоков массы, импульса и энергии, связанными с взаимодействием фаз.

Система уравнений, описывающая движение многоскоростпой сплошной среды, представляющей собой совокупность континуумов, приведена в [25, 124, 150, 189]. Ниже будет дана конкретизация этих уравнений для некоторых частных, но важных для практики случаев; рассмотрены физические особенности двухфазных течений и методы их расчета.

Течения без фазовых превращений

Основные понятия. При изучении взаимодействия между фазами необходимо знать физические свойства обеих фаз. Относительно газовой фазы обычно делается предположение о равновесном протекании физико-химических превращений и, более того, принимается для простоты, что газ является идеальным с постоянной теплоемкостью. В продуктах сгорания твердотопливных двигателей содержится зачастую значительное количество окислов металлов. Физические свойства некоторых из них представлены в табл. 7.1. В этой таблице ц и о — коэффициенты вязкости и поверхностного натяжения, с, — теплоемкость.

Температура горения топлив обычно выше температуры плавления окислов, поэтому жидкие частицы под действием сил поверхностного натяжения принимают сферическую форму. Важной характеристикой двухфазной среды является размер частиц. Различают моно- и полидисперсные системы. К первым относятся такие, которые состоят из частиц одинакового размера. В полидисперсной

смеси, состоящей из частиц различного размера, распределение частиц по размерам может быть выражено с помощью нормированных функций плотности счетного /(г) или массового ^(г) распределений таких, что d/ = f(r)dr — доля числа частиц, радиусы которых лежат в интервале г, г + dr, a dg = g (г) dr — массовая доля частиц

Таблица 7.1 Физические свойства окислов

Окисел

Лин К

Р

10 Зр, кг/м3

Коэффициенты

10~3с5, Дж/ /кг-град

Теплота плавления, кДж/кг

тверд.

жидк

Ч, Н-с/м

а, И/м

тверд.

жидк.

А^Од

2303

102

3,96

3,06

0,06

0,7

0,9

1,4

1149,7

ВеО

2820

25

3,01

2,56

—.

0,3

—

2,7

2845,3

MgO

3075

40

3,58

—

—

—

0,85

1,7

1920,8

B2O3

723

70

1,82

1,70

0,50

0,11

—

1,8

330,6

(2100 К)

(2100 К)

Li2O

1700

30

2,01

—

—

—

1,8

3,4

1639,3

в этом же интервале [211]. Очевидно, что g(r) = f(r)mr/m, где т„ т — масса частицы радиуса г и средняя арифметическая масса частиц смеси соответственно. С помощью функции /(г) можно ввести интегральную функцию распределения

= ^f^ dr,о

которая определяет долю частиц размеров от 0 до г. С использованием функций /(г) или g^r) вводятся некоторые средние радиусы

частиц

-l"p/(n-R)

ГпЬ =

ооО

о

о

где n = 1, к'= 0 соответствует среднеарифметическому радиусу, п = 2, к = 0 — среднеквадратическому, м = 3, к = 0 — среднекубическому, м = 3, к = 2 — среднеобъемноповерхпостному, п = 4, к = 3 — среднемассовому. Очевидно, что средние радиусы заметно различаются и для равновероятного распределения с / = const при 0^г$5г° имеем по = 0,5 г°, г2о ~ 0,58 г°, г30 « 0,63 г°, г32 « 0,75 г°, Оз * 0,8 г°. На практике обычно пользуются нормально-логарифмическим законом распределения

УМ =УМ =Iff е—т=^ехрV 2л г 1g аIff е—т=^ехрV 2л г 1g а1g г — lg го у . V21g а /1g г — lg го у . V21g а /(7.1)(7.1)

УМ =

УМ =

Iff е

—т=^ехр

V 2л г 1g а

Iff е

—т=^ехр

V 2л г 1g а

1g г — lg го у . V21g а /

1g г — lg го у . V21g а /

(7.1)

(7.1)

где г0 и 1g о — математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение логарифмов радиусов частиц. Для нормального логарифмического закона распределения так же, как и для равновероятного.

По < 7*20 < г32 < Г4з, при этом средний размер существенно увеличивается с ростом о.

Одномерное приближение. Выпишем в одномерном приближении уравнения, описывающие стационарное движение многоскоростного и многотемпературного континуума без фазовых превращений. Примем, что теплоемкости газа с$ и частиц с, постоянны. Предположим еще, что частицы суть невзаимодействующие между собой сферы с постоянной по объему частиц температурой, при этом давлением, которое создают частицы, можно пренебречь, однако объем, занимаемый ими, учитывается. Будем считать также, что массовая доля частиц каждой фракции неизменна. Возможное изменение массовых долей за счет взаимодействия частиц между собой и конденсации рассмотрено в последующих разделах. Сформулированные предположения позволяют выписать частный случай общей системы уравнений [124, 150, 189, 190], когда отсутствует обмен массой между компонентами смеси, а обмен импульсом между газом и частицами происходит при аэродинамическом обтекании последних, при этом сила взаимодействия складывается из сил давления и трения, а обмен энергией связан с работой аэродинамических сил и теплообменом. Будем придавать параметрам частиц t-й фракции (всего таких фракции N) нижний индекс is. Имеем тогда следующие уравнения неразрывности газа и частиц, уравнение энергии смеси, уравнение энергии частиц (или уравнение конвективного теплообмена между газом и частицами) и уравнение

состояния газа:

pW = (l — as)Q,

plsWl8F = a^Qt, a8B = gtsa, (i = 1, 2, ..., /V),

+= ^^(W-W^W-Wls\ =

YP°S8p«,ls V

N

(1 — a,) U^T A ^wA Д- as^ ёгДс8Тг$^ ^WU = г—1

(7 2) (7 3)(7.4)(7.5)(7 2) (7 3)(7.4)(7.5)(7.6)(7.6)= 7 = [(1 — а$) CP ^ ^Cs] ^o,

(7 2) (7 3)

(7.4)

(7.5)

(7 2) (7 3)

(7.4)

(7.5)

(7.6)

(7.6)

Здесь р, р, Г, W отнесены к своим критическим значениям р^, р*, Г*, W*, теплоемкости — к ^R, а ж — к г*; у = а^р^р*, р* = ^Rp^T*. Член в правой части уравнения (7.5), характеризующий обмен импульсом между газом и частицами, равен силе, с которой газ действует на частицы, и в соответствии с законом сохранения импульса при взаимодействиях с обратным знаком равен силе, с которой частицы действуют на аз. Аналогично член в правой части (7.7) характеризует обмен энергии между газом и частицами.

В уравнениях (7.2) — (7.8) а, — общая массовая доля частиц, г„, а,, — радиус и массовая доля частиц t-й фракции, р, р„ — плотность газа и частиц, т. е. отношение массы газа и частиц к объему, в котором они заключены, р° и р° — истинные плотности вещества газа и частиц, т. е. отношения массы газа и частиц к объему, занятому только газом и только частицами, R — газовая постоянная газовой фазы, С», — отношение коэффициента сопротивления СУ к коэффициенту сопротивления C®t при стоксовском режиме обтекания (С°, = 24/Rels), а0 — коэффициент теплоотдачи, Re„, St,,, Nu„ и Рг — числа Рейнольдса, Стокса, Нуссельта и Прандтля соответственно, при этом

Reis —NuM =Reis —NuM =2p°|^-^6|risР2гг8а°2p°|^-^6|risР2гг8а°pr = J2L X ’pr = J2L X ’(7.9)(7.9)

Reis —

NuM =

Reis —

NuM =

2p°|^-^6|ris

Р

2гг8а°

2p°|^-^6|ris

Р

2гг8а°

pr = J2L X ’

pr = J2L X ’

(7.9)

(7.9)

где т] и X — коэффициенты вязкости и теплопроводности газа.

Производство энтропии смеси представляет собой сумму произведения термодинамических сил [р^ТП—Wts^lT, р1В^Т— 7\s)/7\s]

на потоки [/, д] и равно

dx Т р Sti=l 15dx Т р Sti=l 15СХг (W - W1S)2 +СХг (W - W1S)2 +(7.10)(7.10)

dx Т р St

i=l 15

dx Т р St

i=l 15

СХг (W - W1S)2 +

СХг (W - W1S)2 +

(7.10)

(7.10)

где S2 — энтропия смеси

= (1 — as) S + 2 “is^isti=i

S,5 — энтропия частиц i-й фракции, S — энтропия газа. Уравнение (7.2) с использованием уравнений движения и энергии при р = р° можно преобразовать к виду

М2 — 1 dW 1 dF , a5 [.i

W dx ~ F dx — a. 7 p gu dx +s1=1

+ -^-2d+ —(7.11)

Здесь число М определено по замороженной скорости звука, которая в неравновесном двухфазном течении есть просто скорость звука в газе. В соответствии с общим свойством неравновесных течений из (7.11) следует, что равенство М = 1 (а также максимум скорости или минимум давления при дозвуковом течении) достигается не в минимальном сечении, а вниз по потоку от него. При этом в неравновесных двухфазных течениях это смещение может быть значительным, особенно при больших массовых долях частиц, в отличие от однофазных неравновесных течений, в которых это смещение хотя и имеет место, но невелико. В случае равновесного или замороженного течения уравнение (7.11) переходит в обычное уравнение одномерной теории, но число Маха определяется по равновесной или замороженной скоростям звука соответственно.

Система (7.2) — (7.8) соответствует случаю дискретного распределения частиц по размерам. При непрерывном распределении в системе (7.2) — (7.8) суммы должны быть заменены интегралами. Прежде чем переходить к анализу этой системы, приведем полу- эмпирические формулы, используемые для расчета коэффициента сопротивления и числа Нуссельта. Коэффициент сопротивления зависит от чисел Re/a и М,а = |И/ — W,J/a, где а = ТуйТ —скорость звука в газе, а число Нуссельта — еще и от числа Рг. При малых числах Рейнольдса (Re < 0,1) коэффициент сопротивления определяется по классической формуле Стокса, а число Нуссельта равно 2. С увеличением чисел Re и М необходимо учитывать влияние инерционности, сжимаемости и разреженности при обтекании частицы. Для диапазона чисел Re = 0,l-^103 стандартная кривая сопротивления сферы в несжимаемой жидкости аппроксимируется, например, формулой [200]

с"-тг + у®+0'25-

которая учитывает инерционные силы.

В работе [200] приведены экспериментальные значения коэффициента сопротивления сферы при Re = 200 -г- 1000 и М = 0,2-^-1,0, которые аппроксимированы зависимостью

С,= Сй(1 + 1,2 М Схо) ~1/2(1 - 0,445 М + 4,84 М2 - 9,73 М3 + 6,94 М4),

(7.13)

где влияние разреженности учитывается вторым множителем. Число Нуссельта Nu° для несжимаемой жидкости можно вычислить по формуле

Nu° = 2 + 0,459 Re° 55Рг°33,(7.14)

а влияние сжимаемости и разреженности при Re = 2 —100 и М = 0 4- 0,7 учесть с помощью полуэмпирической зависимости

Nu = Nu° (1 + 3,42 Nu° М Re-' Pr"1) *'.(7.15)

Отметим, что детальный анализ факторов, влияющих на коэффициенты сопротивления и теплообмена, проведен в монографии [190]. Числа Re„ и М„ для течений газа в соплах могут меняться в пределах 1 4- 200, 0 4-1 соответственно. Расчет Сх и Nu по формулам Стокса приводит к значительным погрешностям, в связи с чем необходимо использовать формулы (7.12)— (7.15).

Из рассмотрения системы (7.2) — (7.8) следует, что в двухфазных течениях наряду с обычными газодинамическими критериями подобия имеются еще дополнительные критерии, а именно числа М,8, Re„, St,, и Ср/с,. При стоксовом режиме течения, который приближенно реализуется лишь в дозвуковой части сопла, остаются два критерия подобия — числа Стокса St,, и ст!с$. При этом число Стокса характеризует отношение инерционного пробега частиц к характерному размеру системы.

Равновесное и замороженное течения. Очевидно, что в зависимости от величины числа Стокса имеют место различные режимы течения. При St,, = 0 течение является равновесным, поскольку инерционный пробег равен нулю, и частица мгновенно приобретает скорость и температуру газа. При St,, = оо течение является замороженным, а при промежуточных значениях числа Стокса — неравновесным с диссипацией и ростом энтропии в процессе конечного по времени обмена импульсом и энергией между фазами.

Рассмотрим первоначально предельные режимы течения без учета объема, занимаемого частицами. В равновесном течении (St„ = O) скорости и температуры газа и частиц равны и, как во всех равновесных течениях, реализуется максимальный импульс. Путем простых преобразований, вводя газовую постоянную, плотность, удельную теплоемкость и показатель адиабаты некоторого фиктивного газа по формулам

(7.16)(7.16)R° = R (1 — а,), р° = р (1 — а,) \4 = (1 — а,) ср + asc8,

(7.16)

(7.16)

7° = т 1 +7° = т 1 +а ' с. \ /а,

7° = т 1 +

7° = т 1 +

—L 1 + Тч——

1 — а5 ср / \1 — «5

и принимая, что у фиктивного газа те же давление, температура и скорость, что и у смеси, можно представить равновесное течение смеси как течение фиктивного газа с показателем адиабаты у0, газовой постоянной R0 и теплоемкостью Ср и воспользоваться для расчета равновесного течения газодинамическими функциями (формулы (1.137) — (1.139)). Зависимость у0 от а, представлена на рис. 7.1 (отметим, что у0 < у).

В другом предельном случае замороженного течения (St,, = 00) параметры газа и частиц определяются независимо. Течение газа описывается газодинамическими функциями идеального газа с по казателем адиабаты у, а для частиц имеем Tis = const, W.„ = const. Наименьшим удельным импульсом обладает замороженное течение,

в котором скорости частиц близки к нулю, а температура частиц равна температуре торможения газа.

Таким образом, предельным замороженным течением для неравновесного двухфазного течения является течение газовой фазы, при этом, согласно общему свойству неравновесных течений, увеличение отклонения от равновесия ведет к увеличению показателя адиабаты у0 и к соответствующему уменьшению давления, температуры и удельного импульса. Согласно (7.10) оба предельных течения являются изоэнтропическими с одинаковой энтропией смеси, однако

Рис. 7.1. Зависимость эффективного показателя адиабаты 7° от весовой доли частиц а.Рис. 7.1. Зависимость эффективного показателя адиабаты 7° от весовой доли частиц а.

Рис. 7.1. Зависимость эффективного показателя адиабаты 7° от весовой доли частиц а.

Рис. 7.1. Зависимость эффективного показателя адиабаты 7° от весовой доли частиц а.

по отдельности для равновесного течения энтропия газа и частиц изменяются, но так, что энтропия смеси остается постоянной. Возможны еще два предельных случая изоэнтропических двухфазных течений, в одном из которых имеет место равенство скоростей частиц и газа, но неизменность температуры частиц, а в другом, наоборот, равенство температур газа и частиц, но постоянство скоростей частиц.

Сравним параметры смеси в предельных течениях. Введем среднемассовую скорость смеси, характеризующую удельный импульс,

= 2 агЖз + (1 - «,) W. (7.17) г=1

Обозначим нижним индексом «1» параметры в равновесном течении, «2» — в течении с равными скоростями частиц и газа, но с температурой частиц, равной температуре торможения газа, «3» — в течении с равными температурами газа и частиц, по с близкой к нулю скоростью частиц, «4» — в замороженном течении, в котором скорость частиц близка к нулю, а температура частиц равна температуре торможения газа. Рассмотрим для простоты случай истечения в вакуум. Тогда из уравнения энергии (7.6) нетрудно получить

1/21/2ТР51 = W1 =ТР51 = W1 =2срГ02срГ01 + “ J -г — 1\ ср1 + “ J -г — 1\ ср

1/2

1/2

ТР51 = W1 =

ТР51 = W1 =

2срГ0

2срГ0

1 + “ J -г — 1\ ср

1 + “ J -г — 1\ ср

Ws2 = W2 = [2cPTfl(l-as)f2,

W^g — 12срТ0 (1 — a,) 1 и.W^g — 12срТ0 (1 — a,) 1 и.И^з — \2срТ0И^з — \2срТ0срср--1 I. р / J" П/2(!---1 I. р / J" П/2(!-1/21/2-1/2-1/2

W^g — 12срТ0 (1 — a,) 1 и.

W^g — 12срТ0 (1 — a,) 1 и.

И^з — \2срТ0

И^з — \2срТ0

ср

ср

--1 I

. р / J

" П/2

(!-

--1 I

. р / J

" П/2

(!-

1/2

1/2

-1/2

-1/2

(7.18)(7.18)Ws4 = (1 - аД У2срТ01 W4 = V2cpT0.

(7.18)

(7.18)

Из этих формул следует, что максимальной из среднемассовых скоростей всегда является скорость равновесного течения Wsi, а минимальной — скорость полностью замороженного течения ТУ^- Очевидно, что WS2 > 1У»з при cs/cp < 1, Ws2 = И^з при cjcp = 1 и ТУ«2 < ТУ8з при с,/сР>1. Таким образом, полное скоростное запаздывание приводит к большему уменьшению скорости и большим потерям удельного импульса, чем полное температурное запаздывание, только в случае с=!ср < 1. Отметим, что такое соотношение как раз и имеет место в практически интересных случаях. Так для частиц AI2O3 теплоемкость cs = 1420 Дж - кг-1 - град-1, а для типичного смесевого топлива ср « 3000 — 3500 Дж • кг-1 • град-1. Максимальной скоростью газовой фазы является Ws, поскольку в этом случае весь запас тепловой энергии переходит в кинетическую энергию направленного движения одного газа без частиц, а минимальной — W2. Скорость газа в замороженном течении ТУ4 больше среднемассовой скорости в равновесном течении при cs!cp < 1, равна ей при cjcp = 1 и меньше при cs/cp > 1.

Отмеченные соотношения между скоростями газа и среднемассовыми скоростями определяются вкладом, который вносят частицы в энтальпию торможения смеси, поскольку в зависимости от соотношения между ср и с, наличие частиц может приводить к уменьшению или увеличению энтальпии торможения смеси по сравнению с энтальпией торможения газовой фазы.

Используя формулы (7.16), уравнения неразрывности и энергии, можно показать, что расход смеси

(7.19)(7.19)о - А (v0) P«F*

(7.19)

(7.19)

1 ^-^ уЮо

в равновесном течении при заданном давлении и температуре торможения и площади минимального сечения примерно в (1 — а,)1/2 раз меньше расхода смеси

(7.20)(7.20)о _ л(у)

(7.20)

(7.20)

V4 1-«д унтб

в замороженном течении. Расход смеси в равновесном течении больше расхода газовой фазы в замороженном течении примерно в (1 — as),/2 раз за счет уменьшения газовой постоянной. Но пос-

кольку расход газовой фазы в (1 —а,) раз меньше расхода смеси, то полный расход смеси в замороженном течении больше расхода в равновесном течении в (1 — as)1/2 раз.

Увеличение расхода в неравновесных течениях по сравнению с равновесными является при одинаковых параметрах торможения и площади F* общим свойством неравновесных течений. Этот факт отмечался выше при рассмотрении течений с неравновесными химическими реакциями и неравновесным возбуждением колебательных степеней свободы. Различие состоит лишь в том, что в двухфазных течениях увеличение расхода может достигать десятков процентов, особенно при большой массовой доле частиц, в то время как в однофазных неравновесных течениях увеличение расхода не превышает процента.

Сравним числа Маха М° и М в минимальном сечении сопла, подсчитанные по равновесной а0 и замороженной а скоростям звука. Имеем

М» = ^ = ТПу°7?П1-^Г1^ М = — = W№Y1!\ (7.21) т. е.

ла Маха М

Таким образом, если течение близко к равновесному, то в минимальном сечении сопла М° ~ 1, а число Маха, определенное по замороженной скорости звука, в этом сечении меньше единицы. Например, при а5 « 0,9 и ^ = 1,4 в минимальном сечении сопла

М = 0,37, а_значение М = 1 достигается в расширяющейся части сопла при F « 7. Число Маха, полученное по замороженной скорости звука, определяет направление характеристик в двухфазных потоках и, если в расширяющейся части сопла М ~ 1, то любые малые возмущения передаются вверх по потоку из области, где М < 1, что не имеет места в течениях чистого газа, где в расширяющейся части сопла течение сверхзвуковое.

Рассмотрим теперь изменение давления и температуры торможения в двухфазном течении. Пусть до некоторой точки в сопле происходит равновесное течение смеси. Тогда в точке потока с заданным статическим давлением, скоростью и температурой давление торможения определяется по газодинамическим формулам для фиктивного газа, т. е. Ро = р/л (М°), при этом р°0—давление торможения в ресивере. Если теперь осуществить обратный процесс торможения смеси таким образом, чтобы кинетическая энергия частиц и газа превратилась в тепловую, то при нулевой скорости давление торможения будет равно Р®. Однако, если осуществить торможение лишь газовой фазы, сохраняя скорость и температуру частиц неизменными и равными их значениям в рассматриваемой точке, т. е. осуществить изоэнтропическое, но «замороженное» торможение, то давление торможения ро в точке с нулевой скоростью будет меньше р°0. Потери полного давления можно определить по формуле

ог = р0/р" = л(М°)/л(М). (7.22)

Аналогично можно определить изменение температуры торможения:

О' — „о оО' — „о о^^ М2)[1 +Д^-(М°)2 1^^ М2)[1 +Д^-(М°)2 1(7.23)(7.23)

О' — „о о

О' — „о о

^^ М2)[1 +Д^-(М°)2 1

^^ М2)[1 +Д^-(М°)2 1

(7.23)

(7.23)

Из анализа этой формулы и уравнения энергии следует, что Т® > > То, если cs <_сР, Г? = Го, если с8 = с^ и Г® < Го, если cs > ср. Зависимость о и а от М представлена на рис. 7.2. Если частицы имеют запаздывание по скорости и температуре относительно газа, то превышение температуры Т® над температурой То может иметь место при любом соотношении cjcp. Превышение температуры торможения двухфазной струи Т® над температурой на входе в сопло Го было экспериментально обнаружено в работе [139].

Приведенные оценки изменения давления и температуры торможения в двухфазных потоках, естественно, являются предельными, поскольку сделаны для предельных течений, однако они правильно отражают качественные закономерности и справедливы для неравновесных течений.

Решение системы (7.2) —(7.8) можно получить в замкнутом виде, если положить W„ = KW, Т1В = LT + (Д — L^To [92, 189], где

К — постоянное число, а

6(К - 1) Pr Cxcs К Nu ср6(К - 1) Pr Cxcs К Nu ср

6(К - 1) Pr Cxcs К Nu ср

6(К - 1) Pr Cxcs К Nu ср

Такое течение, называемое течением смеси с постоянным отставанием частиц, заменяется течением фиктивного газа, для которого

РЧ (1 - а8) т а6К2 ’ й ~ (1 - а5) + а8К ’

Y + 1 - а8 л Н 1 1 -а, ср,/»Л с«\/ а.

ля за подробностями расчета к п. 6 2.2, выпишем лишь аналогичные формулы, когда задана функция р = р(ж). Имеем без учета объема частиц

(7-25)(7.26)(7.27)(7.28)(7-25)(7.26)(7.27)(7.28)

(7-25)

(7.26)

(7.27)

(7.28)

(7-25)

(7.26)

(7.27)

(7.28)

(1 — Из) ^СрТ -g-^ а1^ \ С$Т ц^о ~ О’

7г

И^т—1)^гзт Ч" Ч Г~Т И{^ШЦт—1) +

~Ь (1 — s) ^ИЧт — Wis(m-i) [s^Vw^m-i) + (1s') Nичт]} = O’

T^m-l) - Тг$т + 1 + ^ (1 ^ s) NTtm VsLTt(m-l) +

4" (1 — s) ^Тгт — ^itm—1) [S-Vr,(m—i) 4* (1s) MTim]} = 0,

тде_

C

LWt = NwiW, NWi = ^—gj—’

После определения в точке хт значений W, W„, Т и Т„ из (7.8) находится р, из (7.2) — площадь струйки F и из (7.3) — плотность конденсата pls. Начальные данные для системы (7.2) — (7.8) задаются обычно в дозвуковой области, при этом принимается, что в начальном сечении скорости и температуры частиц и газа равны.

Отметим некоторые общие закономерности изменения параметров неравновесных двухфазных потоков в соплах. Очевидно, что скорость частиц ниже равновесной скорости и скорости газа в неравновесном течении, а температура их выше. Скорость и температура газа могут быть равны, превышать или быть меньше соответствующих параметров в равновесном течении в зависимости от величины cjcp. Среднемассовая скорость смеси в неравновесном течении меньше, чем в равновесном Давление и удельный импульс неравновесного течения при заданном отношении площадей ниже, чем в равновесном течении, и выше, чем в замороженном. Число Маха в неравновесном течении, определенное по замороженной скорости звука, меньше числа Маха равновесного течения, опреде-

ленного по скорости звука фиктивного газа с f и 2?° за счет снижения газовой постоянной в последнем. (Напомним, что в химически неравновесном течении имеет место обратное соотношение.)

Некоторые результаты расчетов представлены на рис. 7.3. Приведенные на этом рисунке разности скоростей и температур газа и

Рис. 7.3. Зависимость разностей скоростей и температур газа и частиц от длины сопла £ при а3 = 0,3, d* = 100 мм, р0 = 4 МПа, Тй = 3200 К; 1 — контур сопла

частиц являются типичными для неравновесных двухфазных течений в соплах. В дозвуковой и трансзвуковой областях сопла они растут за счет увеличения градиента скорости и для частиц малых размеров достигают максимума в сверхзвуковой окрестности минимального сечения (где градиент скорости максимален).

Если известно, что отклонение от равновесия невелико и известны скорость, температура и параметры торможения, то можно, определив число М° по равновесной скорости звука и используя газодинамические функции, найти все остальные параметры, которые будут приближенно соответствовать параметрам неравновесного течения. Использование в этом случае числа М, определенного по замороженной скорости звука, может привести к большим ошибкам в определении давления и плотности. Аналогично, по известному отношению давлений р[ро в точке можно определить остальные параметры. Из результатов расчета следует, что даже при размерах частиц до 20 мкм и а8 < 0,6 параметры газа в неравновесном течении не более чем на 5 —10 % отличаются от равновесных, вычисленных с использованием показателя адиабаты 7°.

Существенный практический интерес представляет величина коэффициента потерь ^„ связанных с запаздыванием частиц по ско-

Рис. 7.4. Зависимость £, (%) от массовой доли частиц а8; 1 — экспериментРис. 7.4. Зависимость £, (%) от массовой доли частиц а8; 1 — эксперимент

Рис. 7.4. Зависимость £, (%) от массовой доли частиц а8; 1 — эксперимент

Рис. 7.4. Зависимость £, (%) от массовой доли частиц а8; 1 — эксперимент

рости и температуре. Принято величину £s определять как разность удельных импульсов в равновесном и неравновесном течениях, отнесенную к удельному импульсу в равновесном течении, при одинаковых г = г г* и расходах. Для определения величины gs реальная полидисперсная смесь может быть заменена эквивалентной моно- дисперсной смесью со среднемассовым размером частиц Г43 [200]. Установлено также, что одномерное приближение позволяет с достаточной для практики точностью определить этот вид потерь. Величина £, возрастает с увеличением массовой доли конденсата, размера частиц и убывает с ростом ро и d*. Результаты расчетов £, в широком диапазоне определяющих параметров и необходимые зависимости для нахождения L с учетом формы сопла даны в [200].

В работе [187] изучен вопрос о зависимости потерь импульса от а» для больших массовых долей частиц. В диапазоне а, от 0 до 0,9 установлено существование максимума потерь импульса. Наличие максимума для случая истечения в вакуум нетрудно установить аналитически, если предположить, что Ws = KW, К < 1. Тогда имеем

^s = 1 - [1 + а, (К - 1) ][1 + а8 (К2 - 1) ]-,/2, (7.29)

откуда следует, что максимум £8 имеет место при а8—(1 + ЛС)-1, т. е. при а8 > 0,5. Зависимость £8 от а, для различных К показана на рис. 7.4, там же приведены экспериментальные данные [187]. Очевидно, что с уменьшением К, т. е. с увеличением отставания частиц, максимум £8 смещается в сторону больших а„ В случае же замороженного течения (К = 0) имеет место увеличение £а с ростом ад при а, < 0,4, как отмечалось, зависимость £8 от а8 близка к линейной. Существование максимума потерь является следствием противоположного влияния на £а величины аа и разности скоростей частиц и газа, кото

рая уменьшается с ростом а8.

Представленные выше расчеты выполнены без учета объема, занятого частицами, что в большинстве

случаев приводит лишь к незначительным ошибкам. Действительно, даже при больших массовых долях конденсата (до 95 %) р° 5> > р18, и тогда из (7.8) имеем р « р°, а членом ■—- dp/dx в левой

TPs

части (7.5) можно пренебречь. По-видимому, более существенным может оказаться влияние количества частиц на коэффициент сопротивления.

При движении полидисперсной смеси в сопле частицы различных размеров обладают различной скоростью. Так, относительные скорости частиц диаметром 1 мкм и 5 мкм могут составлять в окрестности минимального сечения до 250 м/с, а частиц диаметром 1 мкм и 20 мкм — до 700 м/с. Таковы же по порядку величин относительные скорости частиц и газа. В этих условиях возможно взаимодействие частиц между собой, выражающееся в соударениях, слиянии, дроблении с одновременным обменом массой, импульсом и энергией. Под действием аэродинамических сил возможна и деформация частиц и их дробление. Исследование этих весьма сложных физических процессов привело к разработке методов расчета течений полидисперсного конденсата в соплах с учетом инерционной коагуляции (слияния) и дробления частиц. Наиболее законченное исследование этих вопросов дано в работах [25, 189, 190, 200]. Особо следует отметить монографию [190], в которой приведены необходимые уравнения для одномерных и двумерных течений, представлены результаты расчетных и экспериментальных исследований.

Течения в осесимметричных и плоских соплах. Исследования двухфазных течений, выполненные в одномерном приближении, позволяют установить многие качественные особенности таких течений. Однако при движении смеси газа с частицами двумерные эффекты играют существенную роль как из-за неравномерного распределения частиц в различных сечениях сопла, так и из-за возможного выноса их на стенки в дозвуковой и сверхзвуковой областях, что является следствием различного по величине и знаку воздействия газа на частицы в различных точках сопла. В результате траектории частиц отличаются от линий тока газа, при этом вектор скорости частиц и их температура в транс- и сверхзвуковой областях существенным образом зависят от параметров течения в дозвуковой области. Поэтому для правильного описания двухфазного течения в сопле необходимо проводить совместный расчет до-, транс- и сверхзвуковой областей.

Приведем уравнения, описывающие плоское (v = 0) и осесимметричное (v = 1) двухфазное течение полидисперсной смеси газа и частиц без фазовых превращений:

(7.30)

4; (р^) + 4- (pisViSyv) = 0,(7.31)

N

ди , ди . К дрPis Гт 9Л\

иТ. +<7-32)

N

dv , dv .1 дрPis ,/7 эо\

+ +<7-33)

(7-34)(7.35)(7.36)(7.37)(7-34)(7.35)(7.36)(7.37)• i р+4 Л+" v lV+4 ”") - ^ (w.+

(7-34)

(7.35)

(7.36)

(7.37)

(7-34)

(7.35)

(7.36)

(7.37)

„,1 dp ,

Uis Эх 1 Oy wo Qx

^s FT +

uuCs F UisCs ' jy = qts,

где i = 1, 2, ..., N, a m, k, ui8, vis — проекции векторов скорости газа и частиц на оси декартовой системы координат ж, у. Проекции силы £, действующей на частицы со стороны газа, и величина потока тепла qls (см. (7.5), (7.7), (7.13), (7.15)) определяются из соотношений

Поскольку траектории частиц являются характеристиками системы (7.30) — (7.37), то последние три уравнения этой системы при Ps ^ Ро могут быть записаны в виде

Ну

(7.39)

UisCs "ИГ = qis (i = 1, 2, ..., NY

Здесь дифференцирование производится вдоль траекторий частиц, на которых выполняется соотношение

(7.40)(7.40)£18, =dx uV

(7.40)

(7.40)

При расчете плоских и осесимметричных двухфазных течений в соплах возможны следующие два подхода. При первом, более точном, численно интегрируется система (7.30) — (7.37), учитывающая взаимное влияние газа и частиц. При этом для расчета течения в сверхзвуковой области сопла в силу гиперболичности системы уравнений используются маршевые методы или метод характеристик [5, 26, 58, 59, 65]. Для расчета течения в дозвуковой и трансзвуковой областях применяется либо метод установления, либо численный алгоритм решения обратной задачи [36, 158].

В работе [158] используется метод решения обратной задачи теории сопла для течения газа с частицами в плоских и осесиммет- 20 у, Г. Пирумов, Г. С. Росляков

ричных соплах. Основные идеи и алгоритм метода изложены в гл. 2, 6. Достоинством такого подхода является высокая точность результатов при малых затратах машинного времени, а также возможность расчета по единому алгоритму до-, транс- и сверхзвуковой областей. Алгоритм расчета построен таким образом, что позволяет рассчитывать моно- и полидисперсные течения. При этом на оси сопла задается распределение скорости газа, а во входном сечении параметры газа и частиц. Обратная задача состоит в определении поля течения в окрестности оси симметрии по заданным начальным данным и сводится к решению задачи Коши. В случае двухфазной смеси газа и частиц, в отличие от случая чистого газа, необходимо решать две задачи Коши: одна решается в поперечном направлении для нахождения некоторых газодинамических параметров, а другая — в продольном направлении для нахождения параметров частиц и остальных газодинамических параметров.

В результате решения обратной задачи определяются параметры газа и частиц, линии тока газа п траектории частиц. Очевидно, что любую линию тока газа можно принять за стенку сопла. Однако, в отличие от случая чистого газа, форма контура сопла, соответствующая некоторому расходу газа, будет различна при варьировании параметров, характеризующих частицы, в частности при различных размерах частиц. Обратную задачу удобнее решать, используя в качестве независимых переменных функцию тока ф и продольную декартову координату х.

Система уравнений (1.115) — (1.117), описывающая течение газа с частицами конденсированной фазы, отличается от обычных газодинамических уравнений тем, что в правых частях уравнений движения и энергии присутствуют члены, учитывающие воздействие частиц на газ, и добавляются уравнения, описывающие движение и теплообмен между частицами и газом. Метод решения этой системы в рамках обратной задачи аналогичен методу решения соответствующей системы уравнений в случае неравновесных течений (см. гл. 6) с той лишь разницей, что несколько иным способом определяются начальные данные на оси симметрии. В окрестности оси симметрии при двухфазном течении строится асимптотическое разложение (см. п. 3.2.3), из которого определяются все параметры течения на оси симметрии, в том числе плотность частиц. При этом на оси симметрии, как обычно, задается распределение скорости, а на плоскости х = Хо, для всех тр, как и в случае неравновесного течения,— uls, y,s, Tls и pls.

В процессе такого расчета определяются, с учетом взаимного влияния газа и частиц, все поле газодинамических параметров, параметры частиц, их траектории, зоны чистого газа.

Возможен также другой, приближенный подход, при котором производится раздельное решение уравнений для газовой фазы и частиц [77, 228]. Предполагается, что параметры газа не изменяются под воздействием частиц и могут быть определены в результате

независимого расчета с фиктивным показателем адиабаты ^ = ч°, т. е. предполагается, что параметры газа соответствуют равновесному течению. Параметры же частиц определяются при условии неизменности параметров газа. Система (7.30) — (7.37) распадается в этом случае на две независимые системы: систему (7.30), (7.32) — (7.34) — для фиктивного газа с у = у°, в которой суммы в правых частях отсутствуют, и систему (7.31) и (7.35) — (7.37) или (7.39) — для частиц. Первая система решается либо путем решения обратной задачи теории сопла, либо методом характеристик в сверхзвуковой области. В результате такого расчета во всех точках поля течения известны параметры газа как функции координат. Для определения параметров частиц и,а, и1а, Т„ интегрируется система (7.39).

Обоснованием такого приближенного подхода служат представленные выше результаты расчетов в одномерном приближении, согласно которым параметры газа при неравновесном и равновесном двухфазных течениях мало отличаются. Очевидно, что приближенный способ является значительно более простым. Сравнение расчетов, выполненных с использованием этих двух способов, показывают, что получающиеся в обоих случаях значения параметров газа и частиц в дозвуковой области близки между собой. В трансзвуковой области они могут отличаться на 10—15 %, что может привести к отличию траекторий частиц и координат точек выпадения частиц на контур сопла в сверхзвуковой области. Указанное различие существенно при определении потерь удельного импульса, что будет продемонстрировано в следующем пункте. Ниже обсуждаются результаты расчетов по второму приближенному методу.

На рис. 7.5 показаны траектории частиц для некоторых характерных случаев '[77]. При больших размерах частиц (d8 > 10 мкм) и малых размерах минимального сечения сопел (d* < 25 мм) траектории частиц в сверхзвуковой части сопла близки к прямолинейным. Траектории частиц малых размеров искривлены и при больших диаметрах сопел близки по форме к линиям тока газа. Такой характер поведения частиц различных размеров связан с тем, что запаздывание частиц по скорости и температуре растет при увеличении размера частиц, градиента газодинамических параметров и при уменьшении плотности газа. Линии тока газа и частиц в дозвуковой части довольно близки между собой, а в трансзвуковой и сверхзвуковой частях заметно увеличиваются, особенно при больших диаметрах частиц и малых диаметрах минимального сечения сопла.

Для частиц всех размеров существует траектория, которая касается стенки сопла в дозвуковой части. Эти предельные траектории разделяют поток частиц в сопле. Частицы, траектории которых расположены выше предельной и пересекают контур сопла в дозвуковой части, выпадают па стенку сопла. Естественно, что с увеличением размера частиц и уменьшением диаметра сопла количество частиц, выпавших в дозвуковой части сопла, увеличивается. 20*

Вниз по потоку от точки касания предельная траектория является линией тангенциального разрыва, так как плотность частиц выше этой линии равна нулю и между контуром сопла и предельной траекторией движется чистый газ, свободный от частиц. Для частиц диаметра ds > 10 мкм и сопел с ^*-<50 мм зона чистого газа занимает значительную часть сечения. Так, в сопле с d* = 25 мм примерно 70 % площади выходного сечения занято чистым газом,

Рис. 7.5. Траектории частиц (сплошные линии) и линии тока газа (пунктирные линии)в соплах Лаваля при диаметре частиц da = 10 мкм и диаметре критического сечения сопла d* — 25 мм (а) и при ds = 2,5 мкм, d* = 100 мм (б)Рис. 7.5. Траектории частиц (сплошные линии) и линии тока газа (пунктирные линии)в соплах Лаваля при диаметре частиц da = 10 мкм и диаметре критического сечения сопла d* — 25 мм (а) и при ds = 2,5 мкм, d* = 100 мм (б)

Рис. 7.5. Траектории частиц (сплошные линии) и линии тока газа (пунктирные линии)в соплах Лаваля при диаметре частиц da = 10 мкм и диаметре критического сечения сопла d* — 25 мм (а) и при ds = 2,5 мкм, d* = 100 мм (б)

Рис. 7.5. Траектории частиц (сплошные линии) и линии тока газа (пунктирные линии)в соплах Лаваля при диаметре частиц da = 10 мкм и диаметре критического сечения сопла d* — 25 мм (а) и при ds = 2,5 мкм, d* = 100 мм (б)

т. е. имеет место сепарация частиц больших размеров к оси сопла, что связано со значительным отставанием вертикальной и горизонтальной составляющих скоростей частиц от соответствующих составляющих скоростей газа в трансзвуковой области.

При увеличении диаметра минимального сечения сопла зона чистого газа на выходе из сопла уменьшается, и при некотором значении d* = d^ предельная траектория попадает на стенку сопла в выходном сечении. При дальнейшем увеличении d* стенку сопла в сверхзвуковой части будут пересекать также и часть траекторий частиц, расположенных ниже предельной. Частицы, движущиеся вдоль этих траекторий, будут выпадать на сверхзвуковую часть контура сопла. При этом массовая доля частиц a?sl первоначально увеличивается с ростом d^; точка пересечения предельной траектории со стенкой смещается внутрь сопла. Однако при дальнейшем увеличении d* скоростное отставание частиц от газа уменьшается настолько, что траектории частиц и газа становятся близки между

собой и, начиная с некоторого значения <7* = d*2, величина а°61 начинает уменьшаться. Таким образом, имеет место немонотонная зависимость аг51 от диаметра минимального сечения при фиксированном размере частиц. Аналогично зависимость cc®sl от размера частиц при фиксированном диаметре минимального сечения также немонотонна. На рис. 7.6 представлена зависимость а?л от d„ для семейства

Рис. 7.6. Массовая доля частиц, выпавших па контур сопла в сверхзвуковой области течения при 7° = 1,14, d* = 200 мм, fa = = 5,5 (сплошные линии) и га = 3,6, La = = 7,5 (пунктирная линия): 1_ La = 16, 2 — La = 12, 3 — La = 10, 4 — La = 9, 5 — La = 8. ra, La — относительные радиус и длина сопла

сопел. С уменьшением длины существенно падает массовая доля частиц, выпадающих на стенку сопла, а также уменьшается размер частиц, предельная траектория которых пересекается со сверхзвуковым контуром сопла. Отметим, что для контуров сопел, обеспечивающих максимальную тягу при заданной площади выходного сечения и при отсутствии теплообмена между газом и стенкой сопла, выпадает значительное количество частиц. Этот факт необходимо учитывать при выборе оптимального профиля сопла для двухфазных потоков. В частности, выбор оптимальной длины сопла при двухфазном течении следует проводить с учетом не только потерь па трение и рассеяние, потерь, связанных с запаздыванием частиц по скорости и температуре, по также и с учетом потерь, связанных с выпадением частиц на контур в сверхзвуковой части сопла. Концевой участок контура сопла в некоторых случаях целесообразно изменить так, чтобы исключить выпадение частиц [59, 77]. Наличие пограничного слоя влияет на положение точки выпадения лишь для частиц малого размера.

Потери импульса, связанные с двумерностью двухфазного течения. Примем, что частицы, выпадающие на стенку в дозвуковой или сверхзвуковой частях сопла, не участвуют в дальнейшем в создании реактивной тяги. Тогда, кроме потерь импульса вследствие запаздывания частиц по скорости и температуре, возникают потери импульса, связанные с выпадением частиц на стенку сопла. Можно предположить, что эти потери приближенно равны

количеству движения выпавших частиц, отнесенному к импульсу сопла. При течении монодисперсной смеси газа с частицами они могут быть вычислены по формуле

= ats(a°ts = <x°tsl)uts/J°. (7/И)

Нак показывают оценки, величина потерь импульса ^ вследствие выпадения частиц с диаметром ds = 2,5 мкм на стенку дозвуковой части сопла с d* = 25 мм при массовой доле частиц а13 « 0,3 равна примерно 0,3 %. С увеличением диаметра d* в результате выпадения частиц в дозвуковой части сопла с" уменьшается пропорционально d*.

Расчет методом характеристик течения монодисперсной смеси газа и частиц в сверхзвуковой части осесимметричного сопла в точной постановке с учетом взаимного влияния частиц и газа проведен в работах [5, 26, 58].

Наибольшее отличие в значениях параметров газа, полученных приближенным методом и при решении полных уравнений, имеет место в зоне чистого газа в сверхзвуковой области течения. Скорость газа в этой зоне выше скорости газа в ядре потока, а температура ниже (рис. 7.7). На предельной траектории, являющейся линией тангенциального разрыва, терпят разрыв параметры частиц,

Рис. 7.7. Распределения скорости газа в различных сечениях осесимметричного сопла при неравновесном двухфазном точении при диаметре частиц сЦ = 5 мкм и массовой доле частиц as = 0,25: 1 — х = = 0,34, г = 1,18; 2 — 5 = 2,12, г = 1,81; 3 — х = 3,0, г = 2,15; 4 — 5 = 3,64, г = = 3,16; 5 — х = 9,23, г = 4,5. Точки на кривых соответствуют предельной линии, rtt —значение г па стенке сопла

в том числе и их плотность р,„. Параметры газа при pJS<^Ps разрыва не терпят, хотя возможен разрыв их производных. Наличие линии тангенциального разрыва естественно увеличивает неравномерность параметров в поперечных сечениях при двухфазном течении в сопле по сравнению с течением газа. Плотность конденсата pis в трансзвуковой области возрастает от оси к предельной траектории, а в развитой сверхзввуковой практически не меняется по сечению.

Импульс двумерного неравновесного двухфазного течения отличается от импульса равновесного течения за счет потерь, связанных с выпадением частиц па стенку сопла в до- и сверхзвуковой

областях ^ потерь, обусловленных запаздыванием частиц по скорости и температуре £s, потерь, связанных с отсутствием кристаллизации & и, наконец, потерь, связанных с дополнительной неравномерностью течения, вносимой частицами в поле газа. Анализ численных результатов показывает, что значения cs и ^ с достаточной точностью могут быть вычислены в одномерном приближении;

может быть получена по формуле (7.41). Потери, связанные с дополнительной неравномерностью течения, вносимой частицами, рассмотрены ниже.

В двигателях, работающих на твердом топливе, в силу ряда причин может иметь место неравномерное поле концентраций конденсированной фазы на входе в сопло. В предсопловых объемах таких двигателей существуют сложные течения, при которых вследствие сепарации частиц возможно перераспределение концентраций в потоке. Кроме того, на начальную неравномерность концентраций может повлиять форма заряда, технология его изготовления и особенности процесса горения. Наконец, возникновение зон чистого газа, связанных с инерционным выносом частиц па стенки сопел, также являются источником такого рода неравномерностей. Наличие неравномерного распределения концентраций частиц приводит к уменьшению удельного импульса сопла по сравнению со случаем равномерного распределения.

. Оцепим изменение удельного импульса, связанное с такого рода неравномерностью, для некоторых предельных случаев. Пусть в однородном течении массовая доля частиц равна ао- Примем, что па входе в сопло произошло такое перераспределение частиц,когда все частицы собираются в одном слое, в котором, естественно, присутствует и газовая фаза, а в другом слое содержится лишь газовая фаза. Будем считать, что полная температура и давление в обоих случаях не отличаются от исходных, поскольку перераспределение частиц произошло в результате механического смешения. Примем еще, что газ является совершенным, а движение смеси частиц и газа происходит равновесно без запаздывания частиц по скорости и температуре. Степень неравномерности будет характеризоваться величиной ц = QJQ, где Q — суммарный расход газовой фазы, a Qg — расход газа в газовом слое. Очевидно, что 0 < ц < 1; при т) = 0 конденсат распределен равномерно, а при т] =< 1 весь газ содержится в газовом слое. Будем приписывать параметрам течения в слое с частицами нижний индекс «2», а параметрам течения в слое газа—«1». При известных ср, с,, ^ь учитывая, что течение смеси происходит равновесно, можно, задавая г], определить по (7.16) величины ^2, Т?2 и «2 в слое частиц. Имеем

о = „ 1 - «2 (1 - cj^

7?2 = (1 — a^Rv «2 = -,г.

В предположении отсутствия смешения и равенства статических давлений для удельного импульса двухслойного потока справедлива формула

/у = Д1П(1 ~ «о) + Д2 [1 ~ Г|(1 — «о)].

Потери удельного импульса из-за неравномерности определяются по формуле

— Д/Д Ц=о-

Очевидно, что £п возрастает с увеличением тр Расчеты показывают, что при т] = 0,4, га = 5 и cjcp = 0,5 Д, ~ 2 %.

Течения с фазовыми превращениями

Представленные в § 7.1 результаты относятся к двухфазным неравновесным течениям без фазовых превращений. Течения в соплах могут сопровождаться процессами конденсации и кристаллизации, которые в силу конечности времени пребывания газа в сопле протекают неравновесно. Ниже рассмотрены эти неравновесные процессы.

Неравновесная гомогенная конденсация. Неравновесную конденсацию необходимо учитывать при расчете аэродинамических сопел, сопел паровых турбин, при истечении струй из сопел реактивных двигателей. В последние годы процесс неравновесной гомогенной конденсации в сопле исследуется с целью создания ульт- радисперсных порошков [259] и льдообразующих центров.

Конденсация может иметь место в том случае, когда парциальное давление одного из компонентов смеси в процессе расширения становится больше давления насыщения этого компонента. Вообще говоря, при больших степенях расширения должна последовательно происходить конденсация всех компонентов смеси, так как адиабата Пуассона din p/dT = сР/(RT) неизбежно пересекается на (р— 7’)-диаграмме с кривой, описываемой уравнением Клапейрона — Клаузиуса и дающей зависимость давления насыщенного пара над плоской поверхностью от температуры. Согласно этому уравнению

d In ргоо ьdi

где /J,» — давление насыщения конденсирующейся i-ro компонента пара над плоской поверхностью, L — теплота конденсации, Rt — газовая постоянная конденсирующегося компонента (параметры жидкой фазы будем помечать нижним индексом Z(liquid)). На рис. 7.8 представлена (р—Г)-диаграмма для паров воды. Если после достижения точки насыщения А дальнейшее расширение происходит термодинамически равновесно, то давление и температура пара связаны между собой соотношением (7.42) и процесс

паров воды. 1 — кривая насыщения (равновесное течение), 2 — адиабата Пуассона (замороженное течение), 3— течение с неравновесной гомогенной конденсациейпаров воды. 1 — кривая насыщения (равновесное течение), 2 — адиабата Пуассона (замороженное течение), 3— течение с неравновесной гомогенной конденсацией

паров воды. 1 — кривая насыщения (равновесное течение), 2 — адиабата Пуассона (замороженное течение), 3— течение с неравновесной гомогенной конденсацией

паров воды. 1 — кривая насыщения (равновесное течение), 2 — адиабата Пуассона (замороженное течение), 3— течение с неравновесной гомогенной конденсацией

расширения соответствующего компонента смеси будет уже происходить не по адиабате Пуассона АС, а по кривой АВ, при этом газовая фаза этого компонента будет конденсироваться. Однако, как показывают многочисленные экспериментальные данные, в действительности конденсация в сечении, соответствующем точке А, и на некотором участке вниз

по потоку от него не имеет места, а весь процесс следует кривой ACD, вдоль которой конденсация происходит неравновесно. Неравновесные параметры течения, как обычно, являются промежуточными между параметрами равновесного расширения, соответствующего первоначально расширению по адиабате Пуассона, а затем по кривой насыщения, и параметрами замороженного расширения, когда фазовые превращения не успевают произойти и расширение происходит только по адиабате Пуассона. При равновесном процессе расширения выделяется теплота конденсации; давление, температура и импульс в этом случае больше, чем при неравновесном течении. Эти же параметры при неравновесном течении, в свою очередь, больше, чем в замороженном течении.

В течениях с конденсацией

при равновесном и замороженном течениях энтропия смеси остается постоянной и равной энтропии на входе в сопло, однако по отдельности энтропия газовой и жидкой фаз в равновесном течении изменяются.

Изменение состояния пара вдоль АС сопровождается более интенсивным снижением температуры, чем при расширении по кривой насыщения. Таким образом, задержка конденсации в процессе расширения сопровождается более интенсивным снижением температуры пара ниже температуры насыщения при данном давлении. Задержка конденсации в высокоградиентпых потоках связана с тем, что в газе очень мало или вовсе отсутствуют центры конденсации. Однако состояние переохлажденного газа не является устойчивым, так как малые возмущения могут привести его в состояние насыщения, которое является абсолютно устойчивым. Состояние пересыщения может быть снято либо за счет гетерогенной конденсации па посторонних частицах, либо за счет гомогенной

конденсации па образующихся зародышах частиц конденсирующего компонента. В случае гетерогенной конденсации конденсация основного компонента может происходить в ядрах, образованных из посторонних примесей. Если примесь, находящаяся в незначительных количествах, обладает более высокой температурой и давлением насыщения в точке росы, чем основной компонент, то, хотя ее конденсация не изменяет существенно параметров, ядра конденсации, которые при этом образуются, могут стать центрами конденсации для основного компонента. В связи с этим конденсация последнего может наступить при очень незначительном пересыщении.

Многочисленные исследования конденсации воздуха в аэродинамических трубах показывают, что с уменьшением начального давления, а значит и температуры насыщения, переохлаждение увеличивается, поскольку из-за низких давлений насыщения уменьшается число столкновений между молекулами и, следовательно, число ядер конденсации посторонних компонентов. Поэтому при низких температурах и давлениях насыщения конденсация паров происходит гомогенно. Ниже рассматривается именно гомогенная конденсация, которая, как правило, имеет место в аэродинамических соплах и соплах (и струях) ракетных двигателей.

В теории гомогенной конденсации важнейшей проблемой является проблема спонтанного зарождения ядер конденсации [210]. В обычной теории фазовых превращений рассматривается не ход этих превращений во времени, а лишь равновесие между исходной и образующейся фазами в предположении, что последняя достигла полного развития и что поверхность раздела между обеими фазами является плоской. При этом обе фазы могут находиться в равновесии друг с другом бесконечно долгое время.

Очевидно, что рост повой фазы с конечной скоростью, после того как опа возникла и достигла достаточного развития за счет исходной, возможен лишь при некотором отступлении от условий равновесия между ними. При этом исходная фаза находится в так называемом «метастабильном» состоянии довольно долгое время, если скорость образования новой фазы мала. В метастабильном состоянии находятся, например, переохлажденный пар, перегретая жидкость и т. п. Возникновение новой фазы в метастабильной исходной фазе осуществляется в форме зародышей. Можно расширить понятие о равновесии двух фаз А и В таким образом, чтобы зародыши В данных размеров и формы находились в равновесии со средой А при метастабильном состоянии последней, т. е. при неустойчивости ее по отношению уже к сформировавшейся фазе В, отделенной от нее плоской поверхностью. Этот вопрос впервые был рассмотрен Томсоном применительно к конденсации перенасыщенного пара, который показал, что давление пара, находящегося в равновесии с каплей жидкости при заданной температуре, тем больше, чем меньше радиус этой капли. Таким образом, пар, пе-

ресыщенный в обычном смысле по отношению к капле большого размера, может оказаться ненасыщенным по отношению к капле малого радиуса.

^ = 7V! ехр(-АФ/(*7)),^ = 7V! ехр(-АФ/(*7)),(7.43)(7.43)Выпишем некоторые соотношения, которые необходимы для понимания физических особенностей процесса неравновесной конденсации в сопле. Согласно распределению Гиббса, количество комплексов, содержащих g молекул, например, спонтанно образованных ядер конденсации, при равновесном состоянии системы равно

^ = 7V! ехр(-АФ/(*7)),

^ = 7V! ехр(-АФ/(*7)),

(7.43)

(7.43)

(7-44)(7-44)

(7-44)

(7-44)

где Nt—количество молекул пара, АФ — энергия образования зародыша, состоящего из g молекул, а к — постоянная Больцмана. Энергия образования зародыша радиуса г равна

АФ = (<рв — фл)§ + 4лг2о,

где фд и фл — термодинамические потенциалы, приходящиеся на одну молекулу жидкости и газа соответственно, а о — поверхностное натяжение. Поскольку gV t = у яг3, где Vt— объем, занятый одной молекулой жидкости, то

АФ = g (фв — Фа) т 4лп//3 f ^ Г,

Равновесное состояние системы характеризуется соотношением

(7.46)

откуда можно получить формулу Томсона

где нижний индекс i относится к конденсирующемуся i-му компоненту, а р. — парциальное давление этого компонента. Формула (7.47) позволяет определить давление насыщения для капли радиуса г.

Нетрудно видеть, что пар, будучи насыщенным для крупных капель и перенасыщенный для плоской поверхности, является ненасыщенным для мелких капель. Капли радиуса гкр, определяемые из формулы (7.48), называются каплями критического размера или зародышами. При заданных р и Т капли докритического размера г < rhp находятся в среде насыщенного пара и поэтому испаряются, а капли сверхкритического размера г > гнр — в среде пересыщенного пара и, следовательно, растут. Отношение

s = pip», называется перенасыщением (р, р„ берутся ири одинаковой температуре), а величина АТ = ТЮ— Т— переохлаждением (Т, Т^ берутся при одинаковом давлении). Иногда под переохлаждением понимают величину АТ = Т8 — Тк, где Т, — температура в точке росы, a Th — температура в точке Вильсона — точке начала активной конденсации. Для капель с радиусом порядка 1 мкм давление насыщения на 0,1 % больше давления насыщения над плоской поверхностью, а при радиусе капли 6 ■ НГ4 мкм перенасыщение равно примерно 6.

Используя (7.47), формулу для АФ можно переписать в виде “ = — f А лу2 UZS 9/3 Г^ (J_ \ 2/3 _ 9 8 "I/? ZQV

Из (7.45) и (7.49) следует, что в ненасыщенном (по отношению к плоской поверхности) состоянии, когда фв > фл, АФ—положительная монотонно возрастающая функция аргумента g!gKV, пар устойчив, поскольку капли критического размера отсутствуют и случайно возникшие зародыши исчезают; их число убывает с ростом АФ согласно (7.43).

Состояние насыщения фд = фв, s = 1 устойчиво для капель критического размера, равного бесконечности. В пересыщенном паре (фл > фв, s > 1) АФ уже не является монотонной функцией переменной gigiv; опа увеличивается при г<гкр, достигает максимума при г = гкр и уменьшается при г > гкр. Следовательно, зародыши размера меньше критического, согласно формуле Томсона, испаряются, а число их убывает с ростом г. Наоборот, при г > гкр зародыши растут и число их с ростом г увеличивается. Таким образом, при фл > фв может начаться образование повой фазы, однако скорость этого процесса ограничена необходимостью прохождения барьера АФьр, аналогичного энергии активации в химических реакциях. Пар в этом случае находится в метастабильном состоянии, соответствующем максимуму потенциала АФ. Состояние же новой фазы в точке максимума в виде зародышей критического размера неустойчиво. Вероятность образования в единице объема новой фазы определяется по формуле

В = Лехр(7.50) \ т^ту)

На основании изложенного можно представить следующую последовательность процесса неравновесной конденсации в соплах. В начальной стадии процесса вблизи точки насыщения А степень перенасыщения пара увеличивается, поскольку капли критического размера должны быть большими, а вероятность их образования мала. В связи с увеличением перенасыщения размер критических зародышей уменьшается, а вероятность их возникновения растет. Ввиду быстрого убывания вероятности флуктуаций с возрастанием их размеров начало фазового перехода определяется вероятностью

возникновения зародышей именно критического размера, в связи с чем при расчете неравновесной конденсации учитывается образование только этих зародышей. Далее за счет увеличения степени перенасыщения в начальной стадии процесса конденсации зародыши, которые в начальный момент имели критический размер, через небольшое время окажутся больше критических п их рост будет продолжаться. Скорость образования зародышей критического размера велика и составляет примерно 1019 частиц в единице объема, и поэтому, несмотря па их малый размер (« 10~7см), общая поверхность, на которой происходит конденсация, достаточно велика. За счет быстрого образования зародышей и их дальнейшего роста происходит интенсивное увеличение массы жидкости и выделения тепла. Обычно величина Цс^Т порядка единицы, и поэтому появление даже небольшого количества жидкой фазы может заметно повлиять па параметры течения. Выделение тепла не только останавливает рост перенасыщения, но и приводит к уменьшению степени перенасыщения. Образование новых зародышей, которое в сильной степени зависит от величины пересыщения, сразу же прекращается, и в дальнейшем конденсация идет уже на вновь образовавшихся ядрах.

Таким образом, все центры конденсации зарождаются, как правило, в самом начале процесса конденсации, когда достигнуто достаточно большое перенасыщение. После того как необходимое перенасыщение достигнуто, переход от метастабильпого состояния в состояние насыщения может произойти довольно быстро и носить скачкообразный характер (так называемые скачки конденсации). Однако при некоторых условиях может наблюдаться и достаточно плавный переход в состояние насыщения. Типичные распределения давления и температуры в сопле при наличии неравновесной конденсации представлены па рис. 7.9, 7.10. Видно, что при более высоких давлениях переход в состояние насыщения происходит почти скачкообразно, а при меньших наблюдается плавный переход. В то же время в ряде случаев из-за больших градиентов состояние насыщения может и не достигаться вовсе. Из сказанного следует, что процесс конденсации в соплах разделяется на две стадии, при этом на первой стадии определяющим является процесс образования ядер, па второй — процесс роста ядер, когда образование ядер можно не учитывать. На рис. 7.11 показано изменение вдоль стенки и оси конического сопла массовой доли жидкой фазы (паров воды) щ, числа частиц в единице массы N и скорости образования частиц 7° [47, 50]. Видно, что процесс образования ядер завершается па участке очень малой длины, на котором скорость их образования имеет резко выраженный максимум, после чего число ядер остается неизменным, а происходит их рост.

Классическая теория образования ядер конденсации развита в [210], где получено приближенное выражение для стационарной

Рис. 7.9. Распределение давления по длине сопла при неравновесной конденсации. Расчет для условий экспериментов 3, 4: 1 — равновесное течение, 2 — неравновесное течение. Эксперимент для конического сопла при г* = 1см [47]: 3— р0=0,49 МПа, Го = 442 К, Л =415 К; 4 — р0 = = 0,2 МПа, Го = 445 К, Ts = 370 К

Рис. 7.10. Распределение температуры по длине сопла при неравновесной конденсации (обозначения см. па рис. 7.9)

(7.51)(7.51)(7.53)(7.53)

(7.51)

(7.51)

(7.53)

(7.53)

неравновесной функции распределения зародышей по размерам, а также формула для скорости образования зародышей. Выпишем, не оговаривая предпосылок вывода, уравнение для неравновесной функции распределения зародышей по размерам j(g, 7). Имеем

dt dg[ dg) 1 kTug'\' dg У’

где D = alhSg^, alh — коэффициент конденсации (т. е. отношение числа частиц, остающихся на капле, к общему числу частиц, падающих на нее), Sg — площадь поверхности зародыша, ^ — поток

Рис. 7.11. Изменение скорости образования ядер J”, числа частиц в единице объема N и массовой доли жидкой фазы а; вдоль оси (а) и стенки (&) конического сопла при г* = = 1 CM, (Ц = 12°, Я2 = 2; 1 — равновесное течение, 2 — неравновесное течение

молекул пара на единицу поверхности в единицу времени. Если функция f(g, t) определена, то скорость образования комплексов из g молекул J (g, £) определяется следующим образом:

J<g, t^ = -DNg^J<g, t^ = -DNg^(7-52)

J<g, t^ = -DNg^

J<g, t^ = -DNg^

где Ng — функция распределения Гиббса (см. (7.43)). В предположении стационарности процесса образования ядер конденсации (df/dt = 0), а также при условии, что / = Ng при малых g и / = 0 при g ^ gKp, имеет место следующее приближенное выражение для скорости образования ядер критического размера:

Если процесс расширения происходит при больших градиентах газодинамических параметров, условие стационарности может нарушаться. Для оценки влияния пестационарпости па скорость образования ядер конденсации в работе [49] проведено численное решение уравнения (7.51). В качестве начального условия принималось, что в точке насыщения при t = О распределение для за-

ненты, величины переохлаждения, градиента температуры dT/dtненты, величины переохлаждения, градиента температуры dT/dtРис. 7.12. Зависимость от переохлаждения АГ = Г8— Тк (^ = 323 К) отношений скоростей образования ядер //7Н при dTfdt = 107 К/с и 7//° при dTjdt = = К)7 К/с (7) и при dT/dt = 103 К/с (2). .Г — скорость образования ядер по классической теории; J, JH — стационарная и нестационарная скорости образования ядерРис. 7.12. Зависимость от переохлаждения АГ = Г8— Тк (^ = 323 К) отношений скоростей образования ядер //7Н при dTfdt = 107 К/с и 7//° при dTjdt = = К)7 К/с (7) и при dT/dt = 103 К/с (2). .Г — скорость образования ядер по классической теории; J, JH — стационарная и нестационарная скорости образования ядер

ненты, величины переохлаждения, градиента температуры dT/dt

ненты, величины переохлаждения, градиента температуры dT/dt

Рис. 7.12. Зависимость от переохлаждения АГ = Г8— Тк (^ = 323 К) отношений скоростей образования ядер //7Н при dTfdt = 107 К/с и 7//° при dTjdt = = К)7 К/с (7) и при dT/dt = 103 К/с (2). .Г — скорость образования ядер по классической теории; J, JH — стационарная и нестационарная скорости образования ядер

Рис. 7.12. Зависимость от переохлаждения АГ = Г8— Тк (^ = 323 К) отношений скоростей образования ядер //7Н при dTfdt = 107 К/с и 7//° при dTjdt = = К)7 К/с (7) и при dT/dt = 103 К/с (2). .Г — скорость образования ядер по классической теории; J, JH — стационарная и нестационарная скорости образования ядер

родышей любого размера совпадает с распределением Гиббда. Граничные условия аналогичны использованным при выводе (7.53), т.е. для всех t имеем /(^ 7) = Ng при малых g и ^g, 7) ^ 0 при g °°. Численное интегрирование уравнения (7.51) проводилось при заданном dT/dt от точки насыщения. В правом верхнем углу рис. 7.12. приведено качественное сравнение неравновесной /(g, t) и равновесной Ng функций распределения, из которого следует, что в окрестности точки g = gKp равновесное распределение дает существенно завышенное число ядер конденсации. Численное решение позволяет оценить обоснованность гипотезы стационарности и различных приближенных предпосылок, использованных при выводе формулы (7.53). Очевидно, что различие между скоростями стационарного 7 и нестационарного 7„ образования ядер должно зависеть от физических характеристик конденсирующейся компо

7/7„ и JIF от переохлаждения для паров воды. Зависимости 7(АГ) и 7Н(АГ) получены при численном решении уравнения (7.51), при этом в стационарном случае полагалось, что df/dt = 0, а через 7° обозначена скорость стационарного образования ядер, вычисленная по формуле (7.53). Из расчетов следует, что скорость стационарного образования ядер выше пестационар-

ной, при этом различие увеличивается с уменьшением АГ. Однако при больших АГ различие между J, Р и Ju исчезает, а при уменьшении температуры насыщения и коэффициента конденсации растет, поскольку при этом уменьшается число соударений в единицу времени и для установления стационарного распределения требуются большие времена. В некоторых случаях J0 и JH могут отличаться па порядок, например, для паров В2О3. Тем не менее во многих практически интересных случаях, по-видимому, можно пользоваться формулой (7.53), поскольку наибольшее различие между J0 и /„ имеет место при малых АГ, когда абсолютные значения скорости образования количества зародышей и массы жидкой фазы невелики.

На второй стадии процесса конденсации определяющим является уже рост образовавшихся ядер конденсации. Если длина свободного пробега молекул значительно больше размера капель, что характерно для течений в соплах, то следует использовать формулу Кнудсена

ЙГг Г Рг

~ —■ —г — .у — , .( / .О4)

Ри [ V^RUT V^RuTu\v ’

полученную из условия баланса числа молекул, соударяющихся с каплей и покидающих ее. В континуальной области, когда перепое молекул пара к капле обусловлен диффузией, следует использовать формулу Максвелла

(7.55)(7.55)^i °г [Pi -Pico (Л/)]^Рг1^ г1^г г ‘

(7.55)

(7.55)

где D, — коэффициент диффузии конденсирующегося компонента Температуру капли можно определить из дифференциального уравнения баланса энергии, которое для капель малого размера может быть приведено к следующему конечному соотношению:

®-ih®-ihТ / Р,Т / Р,— (1 — ®гк) Pi ^-у — 1) +— (1 — ®гк) Pi ^-у — 1) +Т П + 1Т П + 1Pjoo (Лг)!TU) рг JPjoo (Лг)!TU) рг J

®-ih

®-ih

Т / Р,

Т / Р,

— (1 — ®гк) Pi ^-у — 1) +

— (1 — ®гк) Pi ^-у — 1) +

Т П + 1

Т П + 1

Pjoo (Лг)!

TU) рг J

Pjoo (Лг)!

TU) рг J

(7.56)

где Тц — температура капли, аА, рг, Р? — коэффициенты конденсации и термической аккомодации конденсирующегося компонента и инертного газа, у, — показатель адиабаты конденсирующегося компонента. Последний член в (7.56) относится к инертному не- копденсирующемуся газу и равен нулю, если инертный газ отсутствует. Из (7.54) и (7.56) следует, что приращения радиуса капли и ее температуры не зависят от абсолютной величины радиуса.

21 У. Г. Пирумов, Г. С. Росляков

Для количественного описания процесса конденсации необходимо в каждой точке сопла знать массовую долю выпавшей жидкости, которую можно определить, например, используя массовую функцию распределения частиц (не только критического размера) по размерам /,т. Уравнение для функции распределения /,т (вывод его аналогичен выводу уравнения Больцмана, см. [187]) имеет вид

dfim ,6 (,J°.

--6(гг-Г1кр),(7.57)

где 6 — функция Дирака (поскольку учитывается появление новых ядер только критического размера), р—плотность смеси. Это уравнение должно решаться в каждой точке течения совместно с системой уравнений газовой динамики.

Для случая, когда приращение радиуса капли и ее температуры не зависят от абсолютной величины радиуса, что имеет место в большинстве реализующихся на практике течений в соплах, в работе [47] предложен простой метод определения массовой доли жидкой фазы и функции распределения, существо которого состоит в следующем. Разобьем линию тока на малые отрезки и определим прирост массовой доли жидкой фазы на некотором /-м отрезке. Параметрам, относящимся к отрезку к, на котором происходит образование капель, будем приписывать нижний индекс к, а параметрам, относящимся к рассматриваемому отрезку,— индекс /. Пусть Nh = JtAMPhWh — число ядер критического размера, которые образовались в единице массы за время прохождения отрезка к длиной Мк. Тогда прирост массовой доли жидкой фазы в единице массы смеси за время прохождения /-го отрезка равен

г\

Na5 = 4лрг V Nhr^rj + -| N,г,кр ,(7.58)

\h=l/

где Аг, — прирост радиуса капли на участке А/,. Учитывая, что Гм = rk,i-i + Ar3-i, r^-!),^!) = rKp (j.d, выражение (7.58) можно привести к виду

Аа, = 4лрг ^Аг, -Б -| ЛУкРД(7.59)

j-ij-i

где Aj = 2 Nkry. Вводя обозначения Dj = 2 А^, Bj = й=1й=1

7—1

= 2 ^kTktj—i)iнетрудно получить следующие рекуррентные

соотношения:

Dj — Dj-i + У;-11 Bj — 5j_1 + Dj^Ar,^ + N j_1rKP(j_1), ^з = Ai—i + ^i-iTu-iyj-D + DjAr'j 4- 2S,Arj,

использование которых существенно облегчает расчет Аа,. Величина Аг, определяется из уравнения (7.54) с использованием (7.56). Поскольку размер частиц, образующихся при конденсации, мал, то можно считать, что газ и частицы имеют одинаковую скорость, при этом температуру частиц нужно определять не по (7.7), а по (7.56). В связи с этим можно не учитывать коагуляцию частиц, связанную с разностью скоростей частиц.

Одномерное неравновесное течение с гомогенной конденсацией. В общем случае в потоке может происходить одновременно конденсация нескольких компонентов, однако, согласно правилу фаз (6.10), число конденсирующихся компонентов не должно превышать числа независимых элементов, из которых образованы компоненты смеси. Одновременно с конденсацией могут протекать и химические реакции, при этом целесообразно массовые (или молярные) доли пекопденсирующихся компонентов определять либо из уравнений химической кинетики, если реакции протекают неравновесно, либо из закона действующих масс, если они протекают равновесно. Молярные доли конденсирующихся компонентов следует определять из конечных уравнений материального баланса, число которых, в силу правила фаз, равно числу конденсирующихся компонентов.

Пусть число независимых компонентов в смеси равно т, число компонентов в газовой фазе — N, из которых первые т — конденсирующиеся. Система уравнений, описывающая в одномерном приближении течение с неравновесным протеканием химических реакций и неравновесной конденсацией, имеет вид:

р WF = Q,

(7.61)

dx 1 р dx’

(7.62)

1 W2 -1- h = h6.

(7.63)

L_(f = /n + 1, • • • i NV

(7-64)

N

TTl

2

1=1

+ ^ац^- = Ьк (Jt ~ 1,2, .. ,,m),

(7.65)

da,,

^ = f^' P,T,TuY

(7.66)

Tu = fl(p„ T, ploo),

(7.67)

p = RpT,

(7.68)

p, = рс^ц/щ,

(7.69)

mN

h = 2 «uh-u + 2 “A-

(7.70)

где Ни =Н, — L,, а функции f и /* определяются с помощью уравнений (7.53), (7.54), (7.56) и (7.57). Неравновесная конденсация начинается обычно в сверхзвуковой области сопла, поэтому можно численно решать как прямую задачу с заданным законом изменения площади струйки F=F^1 так и обратную задачу. В случае обратной задачи предпочтительно задавать распределение плотности смеси р = р(х), так как она слабо зависит от того, равновесное течение или неравновесное. Для численного решения системы (7.61) — (7.70) может быть предложен, например, следующий итерационный процесс. Пусть требуется определить решение в узле х-п, если известно решение в узле хи-\ и задано р„. Тогда, полагая в первой итерации Т^ = Тп_т, находим из (7.68) р^^ а из (7.67), (7.66) Гн» и а,1;», полагая в правых частях уравнений значения функций в первом приближении равными их значениям в известной точке (и—1). Далее, из системы (7.62) — (7.64) методом, изложенным в гл. 6 (см. формулы (6.35) — (6.37)), определяем а^Л Wn* и уточненное значение Т^п- Далее процесс повторяется, прп этом на очередной итерации используются, где необходимо, значения функций из предыдущей итерации.

При решении прямой задачи последовательность расчета сохраняется такой же, только первоначально из (7.61) определяется рп при условии, что И™ = Wn_T. Если химические реакции не протекают, то а, = const (i = m + 1, ..., N), и отпадает необходимость использования уравнений (7.64). В остальном последовательность расчетов остается неизменной. Отметим, что в изложенном методе расчета одновременно учитывается образование ядер критического размера и их рост.

Обратимся к результатам расчетов. Приведем первоначально некоторые характерные константы. Для воды, например, имеем L = = 2700 кДж/кг, сР = 1870 Дж/кг ■ град, о = (128—0,19 Т) - 10 3 Н/м, р, = (1,11 — 4 • 10~4 Г) г/см3. Основным параметром, определяющим начало неравновесной конденсации, являются величины перенасыщения з или переохлаждения \Т газа. Оценим минимально возможное АТ1. Пусть в единице объема смеси образовалось всего несколько десятков ядер конденсации критического размера. Этот момент можно считать началом конденсации. Тогда из формулы (7.43) при АФ = АФ1р можно, задавшись числом ядер конденсации (напомним, что равновесное распределение (7.43) завышает число ядер конденсации по сравнению с неравновесным), определить значение критического радиуса и затем из (7.47)—величину переохлаждения. Это значение переохлаждения (ATmin) минимально возможное. Расчеты по формуле (7.47) при условии образования одного ядра критического размера дают для паров воды значение ATmin ~ 25—30°. Отметим, что известные экспериментальные значения переохлаждения всегда превышают определенное таким образом АТщ.п.

На рис. 7.13 приведены экспериментальные данные по неравновесной конденсации водяного пара в соплах и в расширительной камере в сравнении с результатами расчетов [76, 243, 244]. По оси ординат на этом рисунке отложено изобарическое переохлаждение

Рис. 7.13. Зависимость изобарического переохлаждения от Ts (1— среднеквадратичная аппроксимация экспериментальных данных; 2 — расчет в классическом приближении; 3 — расчет по методу [2441);4 — Т = 10 К/с;5 — Т = 104 К/с;6 — Т = 105 К/с;7—Т=106 К/с;8 — Т = 107 К/сРис. 7.13. Зависимость изобарического переохлаждения от Ts (1— среднеквадратичная аппроксимация экспериментальных данных; 2 — расчет в классическом приближении; 3 — расчет по методу [2441);4 — Т = 10 К/с;5 — Т = 104 К/с;6 — Т = 105 К/с;7—Т=106 К/с;8 — Т = 107 К/с

Рис. 7.13. Зависимость изобарического переохлаждения от Ts (1— среднеквадратичная аппроксимация экспериментальных данных; 2 — расчет в классическом приближении; 3 — расчет по методу [2441);

4 — Т = 10 К/с;

5 — Т = 104 К/с;

6 — Т = 105 К/с;

7—Т=106 К/с;

8 — Т = 107 К/с

Рис. 7.13. Зависимость изобарического переохлаждения от Ts (1— среднеквадратичная аппроксимация экспериментальных данных; 2 — расчет в классическом приближении; 3 — расчет по методу [2441);

4 — Т = 10 К/с;

5 — Т = 104 К/с;

6 — Т = 105 К/с;

7—Т=106 К/с;

8 — Т = 107 К/с

\Т„ = Т ,^р^— Тк, используемое в ряде работ в качестве характеристики процесса гомогенной конденсации газа, а по оси абсцисс — Тs. На этом же рисунке показаны штрихпупктирными линиями результаты обработки экспериментальных данных по методу наименьших квадратов, соответствующие примерно одинаковым значениям скорости охлаждения t = dT/dt в опытах различных авторов. Такие аппроксимации приведены для значений Г=105, 106 и Ю7 К/с. Как видно, в этих координатах проявляется определяющее влияние Т„ па перавповесность процесса. При увеличении скорости охлаждения в 10 раз величина переохлаждения возрастает на 5 ч-8 градусов, что указывает на слабое влияние Т на АГ при t = = 10& 10ь К/с. На рис. 7.13 приведены две группы расчетных кривых [76, 244], полученных в классическом приближении и по модернизированному методу. Как видно, результаты расчетов в классическом приближении недостаточно хорошо согласуются с опытными данными. Качественно и количественно приведенные опытные данные значительно лучше описываются с помощью модифицированного метода, в котором учитываются реальные свойства газа, эффекты ассоциации молекул, связанные с неидеальностью пара, пеизотермичность процесса нуклеации. На основании расчетов в [76, 244] сделан вывод о том, что в широком диапазоне изменения Г, увеличение Т на шесть порядков может привести к росту АГ на 5-7-15 градусов.

Отметим следующую важную особенность стационарных течений в соплах с неравновесной конденсацией. Поскольку в процессе кон-

депсации выделяется тепло и температура газа становится выше, чем при замороженном течении (рис. 7.10), а скорость газа изменяется незначительно, то число Маха в неравновесном течении оказывается меньше, чем в замороженном. При этом, если выбрать некоторое фиксированное сечение в сопле, например, выходное сечение, то при смещении зоны начала конденсации вверх по потоку к минимальному сечению число Маха в выходном сечении будет уменьшаться. В частности, если при постоянном полном давлении Ро уменьшать полную температуру То, что эквивалентно увеличению температуры насыщения Ts и температуры в точке Вильсона Тк, то точка Вильсона будет смещаться вверх по потоку и число Маха в выходном сечении сопла будет падать с уменьшением То. Наоборот, с увеличением То число М будет расти до тех пор, пока точка Вильсона пе окажется на срезе сопла. При дальнейшем увеличении То число Маха на срезе остается неизменным, поскольку зона начала конденсации сместится в область струи. Аналогично увеличение полного давления ро при заданной полной температуре То приводит к увеличению температуры в точке росы Ts и в точке Вильсона Тк и соответственно к смещению зоны конденсации вверх по потоку к минимальному сечению и уменьшению числа Маха М„ в выходном сечении сопла. При уменьшении ро точка Вильсона смещается к выходному сечению, число Маха растет до тех пор, пока зона начала конденсации не перейдет в область струи [238].

В связи с отмеченным обстоятельством процесс неравновесной конденсации можно использовать для изменения числа Маха Ма в выходном сечении сопла путем варьирования ро и То при неизменной геометрии сопла. Аналогичным способом можно варьировать число М«, изменяя реальные свойства газа. Отметим, что при замороженном течении число Ма при заданной геометрии сопла остается неизменным.

Указанные изменения Ts и Тк при варьировании ро и То нетрудно усмотреть из (р — 7)-диаграммы, на которой нанесены кривая насыщения и адиабаты расширения, соответствующие различным ро (при Тй = const) или различных То (при р0 = const).

Изменение числа Маха в выходном сечении сопла за счет неравновесной конденсации, имеющей место внутри сопла, может привести и к существенной перестройке поля течения в истекающей из сопла струе. При этом могут изменяться не только параметры внутри струи, но и сама граница струи, поскольку известно, что положение границы струи существенным образом зависит от числа Маха в выходном сечении сопла и с увеличением числа Ма при заданном внешнем давлении ри угол наклона границы па кромке сопла уменьшается. В связи с этим воздействие конденсации на течение в струе будет качественно различным в зависимости от того, начинается конденсация в сопле и далее развивается в струе, или точка Вильсона возникает уже в струе. Очевидно также, что и характер течения в струе с неравновесной конденсацией будет

различным в зависимости от геометрии сопла. Так, при истечении из отверстия с числом Ма = 1 характер течения в струе с неравновесной конденсацией будет иным по сравнению со случаем истечения из сопла с М„> 1 [2].

При конденсации в трансзвуковой области сопла возможно возникновение нестационарных режимов течения. Экспериментально в ряде работ [177, 178] обнаружено существование нестационарных явлении и отмечены значительные пульсации параметров потока (с частотой 500—1000 Гц) при конденсации в трансзвуковой области во влажном воздухе. Проведен анализ этого явления в рамках одномерной теории и показана возможность существования нестационарного процесса. В работе [178] методом С. К. Годунова получено численное решение системы уравнений, описывающей нестационарное одномерное течение со спонтанной конденсацией в трансзвуковой области сопла Лаваля. Показано, что при определенных условиях при нестационарных начальных и граничных условиях предельное состояние не является стационарным, а обладает периодической структурой, что связано с возникновением и исчезновением ударных волн, порожденных неравновесной конденсацией.

В работах [177, 178, 218] показано, что при подводе тепла в трансзвуковой области сопла при числе Маха, большем единицы, возможны три характерных режима течения, кроме обычного стационарного режима, описанного в предыдущем разделе. В первом режиме спонтанная конденсация приводит к повышению давления и температуры и уменьшению числа Маха потока до единицы. В этом случае непрерывное течение может не существовать и возникает стационарный режим с ударной волной, вызванной конденсацией. Вниз по потоку от ударной волны располагается область дозвукового течения, в которой переохлаждение несколько меньше, чем перед ударной волной, но оно обеспечивает дальнейший рост образовавшихся зародышей. Режимы со стационарной ударной волной обнаружены экспериментально. Во втором, уже нестационарном режиме течения ударная волна образуется в сверхзвуковой части сопла, перемещается сначала вверх, а затем вниз по потоку и далее затухает, затем образуется новая ударная волна и процесс периодически повторяется. В первых двух режимах течения расход газа остается неизменным, поскольку ударные волны не проходят в дозвуковую часть сопла. Наконец, при третьем режиме течения периодически образующиеся ударные волны перемещаются в дозвуковую часть сопла, течение становится существенно нестационарным и сопровождается периодическими пульсациями газодинамических параметров, а также расхода.

Течение в области конденсации можно разделить на чередующиеся волны разрежения и сжатия. Отметим, что при втором и третьем режимах течения возможно существование двух и даже трех звуковых линий, поскольку иногда затухание «старой» ударной волны происходит одновременно с появлением новой. Иптен-

Рис. 7.14. (р—Т)-диаграмма для паров воды. 1 — кривая насыщения р — р^(Т), 2 — кривая расширения р = = pg/(T/7s), 3—6 — неравновесный процесс гомогенной конденсацииРис. 7.14. (р—Т)-диаграмма для паров воды. 1 — кривая насыщения р — р^(Т), 2 — кривая расширения р = = pg/(T/7s), 3—6 — неравновесный процесс гомогенной конденсации

Рис. 7.14. (р—Т)-диаграмма для паров воды. 1 — кривая насыщения р — р^(Т), 2 — кривая расширения р = = pg/(T/7s), 3—6 — неравновесный процесс гомогенной конденсации

Рис. 7.14. (р—Т)-диаграмма для паров воды. 1 — кривая насыщения р — р^(Т), 2 — кривая расширения р = = pg/(T/7s), 3—6 — неравновесный процесс гомогенной конденсации

сивность пульсации параметров вблизи минимального сечения довольно велика. Так, пульсации давления составляют 35—40 %, а пульсации числа Маха — 20 %.

В заключение этого пункта отметим, что в работе [177] рассмотрено двумерное нестационарное течение в плоском сопле, в [217]— нестационарная гетерогенно-гомогенная конденсация, в монографии [40] дано систематическое изложение теории конденсации, методов экспериментального исследования и практических приложений. В монографии детально рассмотрены современные численные методы решения уравнений и представлены результаты параметрических расчетов, в том числе в соплах и струях. Значительное внимание уделено созданию единой системы определяющих параметров, описывающих процесс неравновесной конденсации.

Определяющие параметры при неравновесной гомогенной конденсации. Примем, что определяющими являются параметры, от которых зависит температура Тк (либо давление /д), число частиц Nk или средний радиус частиц г° в точке Вильсона, которая является точкой начала активной гомогенной конденсации. Условимся называть точкой начала конденсации точку, в которой массовая доля конденсированной фазы а, есть заданная константа, а; ^ а? «; 10:i — 1()У Можно показать, что определяющими параметрами являются температура в точке росы Ts и средняя скорость охлаждения газа от точки росы до точки Вильсона Т8 = dTIdt.

Процесс неравновесной гомогенной конденсации рассмотрим па (р — Т')-

диаграмме (рис. 7.14). Примем, что конденсация возникает в процессе расширения паров вдоль кривой 2, которая в частном случае может быть адиабатой Пуассона. В точке росы Т s происходит пересечение кривой насыщения 1 с кривой 2, и с этой точки начинается процесс конденсации. Уравнение кривой расширения запишем в виде р = р4(Т1Т^, причем /(1) =1. Будем считать, что пересечение кривой насыщения и кривой расширения происходит всегда в одной и той же точке (ps, Т2), при этом начальные состояния (ро., TOt, например, состояние покоя), из которых начинается процесс расширения, и градиенты газодинамических параметров в этой точке могут различаться. Тогда при различных ро, То в точ-

ке (ps, Ts) могут различаться и скорость потока и соответственно число Маха. Предположение о малости а; означает, что от точки Т, до точки Тк давление и температура потока не изменяются из-за процесса конденсации. Уравнения, определяющие массовую долю конденсированной фазы аь число ядер конденсации N и средний размер частиц г°, имеют вид (см. п. 7.2.1):

Г*1

-уд ZWк%(t)4-pЧт)^?^^dт =Нр,П (7.71)

Lо-

t

-V - J1” И fc- '*-ет •<7-72>

оV Pi /

- =1, Тг = F» (р, ТУ (7.73)

dt р° [УглЯТ У^лЯтДUV '

Гкр = кТ In (pIp^ 1 Р°° = Р°° ^ Р = ^7(1 — а,) ’(7-74)

Уравнение (7.71) учитывает образование частиц (кластеров) критического размера в момент времени t (первый член в правой части) и их рост за счет конденсации от момента времени т до момента времени t (второй член в правой части).

Правые части уравнений (7.71) — (7.75) являются функциями от температуры Т и температуры в точке росы Т6 при расширении газа от точки росы до точки Вильсона, поскольку р = pJ(T/Ts), ps = р^(Т3), а а, на этом интервале мало и величины о, р®, ак и р есть либо функции Т, либо р и Т. Отметим, что при изменении закона нуклеации (в частности, конкретного вида формулы для 7°) или закона для скорости роста частиц (формулы для drldt) правые части в формулах (7.71) — (7.75) по-прежнему будут функциями лишь от Ts и Т при заданных физических константах, характерных для исследуемого газа.

С учетом вышесказанного перепишем уравнение (7.71) на интервале (Ts, Тк) в виде

—' = Т-у (7, ту (7.76)

где jQ(T, Ts)— правая часть уравнения (7.71). Примем, что скорость охлаящения Т постоянна на этом интервале и равна Тч. Известно, что это условие выполняется с достаточной точностью [148], поэтому, интегрируя (7.76) от Т, до Тк при условии a((7s) = 0,

получим

= ТГ1 J Р (Т, Ts) dT = Т7г10 (Tk, Г,).(7.77)

Так как в точке Вильсона а^ = const, то, разрешая относительно Тк нелинейное уравнение (7.77), имеем

(7.78)(7.78)Тк = Ф(Тг, Л).

(7.78)

(7.78)

Из (7.77) следует, что рк = ра(Тк/Та) и поэтому ps = Pk/[(1 — »t)x X R1T4 есть также функции Т„ и ta. Значит, переохлаждение АГ = Тк — Та = Ф(Г8, Та)—Та и перенасыщение s = pjpk являются функциями лишь Та и Г5 при условии, что ts не зависит от р0 и Го- В точке Вильсона число конденсированных частиц

tт8

wfe = j rat = ГГ1 f 1° (т, Т7 ат = ггХ (Л, г6)(7.79)

°'Th

и средний радиус кластеров

(7.80)

также являются функциями тех же параметров Ts и ts.

Для приложений иногда необходимо сформулировать условия, при которых средний радиус частиц остается постоянным. Из (7.80) видно, что r° = const, если Ф1(Г5, 7Ь)= const. Следовательно, если Г, = const в некоторой серии расчетов или экспериментов, то для соблюдения постоянства Ф1 (Г5, Г,) необходимо обеспечить условие Т8 = const, что в свою очередь означает необходимость изменения ро и Го так, чтобы выполнялось условие ро = paf(To/Ta) = = P„(Ts)f(T0/Ta).

Очевидно, что если расширение происходит по адиабате Пуассона, условие r° = const будет соблюдено, если ДоГо"77”"1’= const. Отметим, что серия экспериментов в молекулярных пучках, соплах и струях коррелируется именно таким образом [2]. Часто расширение газа происходит изоэнтропически при условии постоянной энтропии S = const. Однако при таком расширении могут быть заморожены некоторые степени свободы или проявляться реальные свойства газа, в силу чего изоэнтропическое расширение газа не будет подчиняться условию доГо^7/П“]) = const, а лишь условию S(ро, Го) = const. Тогда корреляции типа Pot»™ могут не иметь места.

Подчеркнем, что этот вывод справедлив для любых стационарных и нестационарных технических устройств и процессов, в ко-

торых реализуется гомогенная неравновесная конденсация (сопла, струи, камеры Вильсона, диффузионные камеры, стационарные и нестационарные волны разрежения). При этом, если соблюдены перечисленные выше условия, то расчетные или экспериментальные данные, полученные в одних процессах, с использованием представленных определяющих параметров переносятся па другие процессы.

Для иллюстрации приведем сравнение величин переохлаждения АТ, среднего радиуса кластеров г° и числа частиц Nk, полученных при расчетах неравновесной гомогенной конденсации паров воды при одномерном стационарном течении в сопле Лаваля и сфери- чески-симметричном расширении газового шара в вакуум [7, 245) ].

Рис. 7.15. Сравнение величины переохлаждения АТ, К, среднего радиуса кластера г°, 10~4 мкм, числа частиц Nk в 1 см3 при стационарном течении в сопле и при нестационарном расширении газового шара в вакуум 1 — стационарное течение в сопле, 2 — нестационарное расширение газового шара. I — Ts — 400 К, II — Т8 — 550 К

Такое сравнение представлено на рис. 7.15. Видно, что при одинаковом изоэнтропическом законе расширения, одинаковых Т8 и Т8 получены очень близкие значения АТ, г° и Nk, несмотря па различие физических процессов (стационарное течение в сопле сравнивается с нестационарным процессом расширения газового шара).

Рассмотрим теперь на (р— Т)-диаграмме процесс неравновесной гомогенной конденсации пара с заданными физическими свойствами. Будем рассматривать класс процессов, которые различаются начальными состояниями (рог, То,, рис. 7.14), но обладают общим законом изменения термодинамических параметров р = p,f{TIT,) от точки росы Т, до точки Вильсона, заданной температурой Т„ и заданной скоростью охлаждения Т8. Выше было показано, что такого рода процессам отвечают одинаковые значения давления рк, температуры Тк и плотности р& в точке Вильсона, а также массовые доли конденсата а^, числа сконденсированных кластеров Nk среднего радиуса г°. Рассмотрим, каким образом будут описываться эти процессы на (р— Т) -диаграмме ниже точки Вильсона.

Запишем с этой целью уравнение энергии в виде

dh = ^, H^T^Vl-^KA-o-MTtY (7.81)

Здесь к — энтальпия смеси, a hT и h, — энтальпия пара и жидкости соответственно; h, — hT = —L1 hv = cpT, ср— теплоемкость пара, L — теплота конденсации. Тогда имеем

h = cpT-LalA-cprtl^Tl-Ty(7.82)

Используя (7.71), перепишем уравнение (7.81) в виде

1 dp dh j Oh- ^^i Oh , Oh ^—।^^ оэх

7ГДТ дТ да^'ат " ОТ "dcTj•(<-оо)

Из (7.82), пренебрегая членом cTat^Tt — Т) (поскольку а, и Т, — Т малы) и используя уравнение состояния, имеем

—= 1 l к уо (р Тх(718/л

da, • ,

-A = T-h4p, П(7.85)

Система уравнении (7.84), (7.85) при заданных начальных данных рк, Тк и а^ и заданной величине Т описывает процесс неравновесной гомогенной конденсации па (р — Г)-диаграмме. Интегрируя эту систему, получим

Р = Р (к Рк1 Тк, к, Т), at = at(T, рк, Тк, а?, Т).

В рассматриваемых процессах в точке Вильсона рк, Тк, к и Т одинаковы. Если, кроме того, скорости охлаждения Т различаются незначительно, то на (р — Т)-диаграмме эти процессы будут описываться близкими кривыми. Близкими будут и число кластеров и их средний размер. Таким образом, предложенные выше параметры Т3 и Ts определяют не только параметры в точке Вильсона, но и весь процесс неравновесной конденсации в (р— Т)-координатах. Отметим, что условие близости Т в рассматриваемых процессах не строго обосновано, но в реальных ситуациях оно, как правило, выполняется.

Указанные закономерности были подтверждены прямыми расчетами процесса неравновесной гомогенной конденсации паров воды в соплах. На рис. 7.14 представлены результаты этих расчетов при Т8 = 2 • 105 К/с для различных значений Ts, ро, То и чисел Маха в точке росы. Несмотря на значительное различие в начальных состояниях и числах Ms, кривые 3 и 4. а также 5 и 6, соответствующие одинаковым значениям Тв и Т3, па (р — Т)-диаграмме весьма близки. Из этого рисунка следует также известный результат [47]: скорость потока и число Маха практически не влияют па

величину переохлаждения (перенасыщения), число сконденсированных частиц и их средний размер в точке Вильсона. Исключение составляют лишь трансзвуковые течения при числах М ~ 1.

Двумерные течения с неравновесной конденсацией. Течение с неравновесной конденсацией в осесимметричных и плоских соплах описывается системой уравнений, аналогичной (7.30) — (7.37). Из-за малого размера частиц жидкой фазы запаздывание частиц можно не учитывать, однако необходимо ввести уравнения, учитывающие кинетику конденсации. Поэтому для расчета двумерного неравновесного течения с конденсацией должна использоваться система уравнений (7.30), (7.32), (7.33) и (7.63) — (7.70), при этом в уравнениях (7.30), (7.32), (7.33) под р нужно понимать плотность смеси, а суммы в правых частях уравнений (7.32) и (7.33) опустить. Некоторые результаты расчетов методом характеристик течения водяного пара в коническом сопле [47, 201] приведены в табл. 7.2 и па рис. 7.11.

Из расчетов следует, что линии постоянства числа М совпадают с линиями начала неравновесной конденсации. Различие в градиентах скорости па оси и стенке сопла приводит к различным значениям 1°, N и ор, однако не сказывается на величинах Mft и АТ.

Таблица 7.2

Параметры водяного пара в коническом сопле

К

Ро>

МПа

т„, к

Ts, К

Ms

АГ

Мй

ось

КОНТА р

ось

контур

1

0,26

467

370

1,26

57,0

58,4

1,75

1,76

2

0,43

941

370

3,06

57,2

56,7

3,51

3,50

3

1,89

757

370

2,52

57,6

57,5

2,54

2,54

4

1,80

653

392

2,00

52,1

51,8

2,39

2,37

5

1,80

900

348

3,12

63,0

63,2

3,64

3,64

Данные, приведенные в табл. 7.2, демонстрируют уже отмеченный факт слабой зависимости величины АТ от числа Ms при Т„ = const.

Расчеты показывают, что геометрия линий тока и плотность смеси одинаковы в равновесном и неравновесном течениях. В связи с этим для неравновесных течений с конденсацией так же, как и для течений с неравновесными химическими реакциями и колебательной релаксацией, можно предложить приближенный метод расчета двумерного неравновесного течения. Рассчитывается двумерное равновесное течение в исследуемом сопле и определяются положения линий тока и распределение плотности смеси вдоль них. Далее, при известном распределении плотности для нескольких линий тока решается уже в одномерном приближении система (7.61) — (7.70) и определяются параметры течения с учетом неравновесной конденсации.

При расчете течения в осесимметричном сопле с большой степенью расширения обнаружено, что могут иметь место две зоны конденсации, так как после первой зоны при малых давлениях и температурах возможно вторичное увеличение перенасыщения [201].

Экспериментальное и расчетное исследование конденсации при обтекании выпуклого плоского угла выполнено в [106]. В этой работе проведено теневое фотографирование течения и измерено распределение давления. Показано, что расчетные и экспериментальные данные совпадают при коэффициенте конденсации а* = 0,04. Обнаружено, что характеристики центрированной волны разрежения при наличии конденсации искривляются, а число Маха вдоль них уменьшается. Искривление характеристик может привести к их пересечению, т. е. к образованию ударных волн, порожденных спонтанной конденсацией. Такие ударные волны могут возникать и в соплах в окрестности зон спонтанной конденсации. Однако интенсивность их в области зарождения, как правило, невелика.

Неравновесная кристаллизация. Процессы неравновесной кристаллизации мелкодисперсных жидких капель, находящихся в газовом потоке, имеют место в соплах и струях РДТТ, при образовании атмосферных аэрозолей, в задачах детонационного напыления, при получении ультрадисперспых порошков и др.

Рассмотрим процесс кристаллизации жидких капель. Этот процесс может начаться, если при расширении в сопле температура газа становится ниже температуры плавления жидких частиц. В соплах очень больших степеней расширения после конденсации некоторых компонент может начаться их кристаллизация. На практике с явлением кристаллизации приходится сталкиваться в основном при истечении продуктов сгорания топлив с добавлением А1 и Be, которые содержат окислы АКОз и ВеО с температурой плавления 2303 и 2830 К соответственно при температуре в камере сгорания более 3000 К. Частицы этих окислов находятся в камере сгорания в жидком состоянии и при достижении в процессе расширения температуры плавления, в силу условия равновесия, должны кристаллизоваться.

Согласно равновесной термодинамике процесс кристаллизации происходит изотермически с температурой, равной температуре плавления, и эта область течения может быть описана с помощью газодинамических функции для изотермического течения. На участке сопла, где происходит кристаллизация, теплота кристаллизации постепенно передается газу, пока не завершится кристаллизация всей жидкой фазы. Однако равновесный процесс кристаллизации не осуществляется. Скорость передачи тепла от частиц к газу и скорость образования кристаллических зародышей конечны, и указанные процессы, в силу конечности времени пребывания частиц в сопле, не завершаются. Действительное количество тепла кристаллизации, переданное газу, значительно меньше того, которое соответствует условиям равновесного протекания процесса. Кинетика

процесса кристаллизации в некоторой степени аналогична кинетике процесса конденсации. По-прежнему массовая доля повой фазы определяется скоростью образования зародышей новой фазы (в данном случае кристаллов) и скоростью их дальнейшего роста. Вероятность их образования может быть определена, как и в случае жидкой фазы, по формуле (7.50), только теперь нужно под о понимать межфазовое поверхностное натяжение, а под XT — переохлаждение жидкости (для воды о * I О"4 Н/см, а для окиси алюминия о ® 2 ■ Ю-3 Н/см). Вероятность образования хотя бы одного центра тем меньше, чем меньше масса жидкости. Известно, что мелкие капли воды могут переохлаждаться на десятки градусов ниже нуля. Время, необходимое для замерзания микронных капель воды, исчисляется секундами и минутами, а субмикронпых — часами. Время же пребывания частиц в сверхзвуковой части сопла, где обычно и происходит кристаллизация, порядка 10-4— 10-5с. Следовательно, из-за малых размеров частиц, малого времени пребывания и значительной величины о равновесный процесс кристаллизации невозможен, и весьма вероятно, что частицы окислов металлов после достижения температуры плавления находятся в жидком переохлажденном состоянии. С другой стороны, в реальном процессе движения эффективность передачи тепла кристаллизации газу значительно ниже, чем в равновесном. Действительно, температура частиц в неравновесном двухфазном течении выше температуры газа, и это превышение тем больше, чем больше размер частиц. Поэтому выделение теплоты кристаллизации происходит в неравновесном двухфазном течении при меньших давлении и температуре газа, чем в равновесном, и в связи с этим является менее эффективным, чем в равновесном.

На рис. 7.16 показано изменение температуры газа и частиц различных размеров в зависимости от относительного радиуса сопла. Чем больше размеры частиц, тем при меньшей температуре газа начинается процесс кристаллизации, при этом в процессо кристаллизации разность температур газа и частиц растет, поскольку температура частиц остается постоянной и равной температуре плавления, а температура газа продолжает падать.

Расчет прироста импульса в пустоте за счет процесса кристаллизации для частиц различных размеров с учетом конечной скорости отвода тепла от частиц, согласно уравнению (7.7), показывает, что наибольшая доля прироста импульса может быть реализована от частиц диаметром меньше 3 — 5 мкм [200]. Но именно для таких частиц наиболее вероятна задержка процесса кристаллизации. Для частиц же диаметром 10—15 мкм прирост импульса из-за конечной скорости процесса теплоотвода мал. Таки.м образом, конечность скорости процесса передачи тепла от частиц к газу и задержка образования ядер конденсации позволяют не учитывать процесса кристаллизации при расширении двухфазной смеси в сопле.

Оценим потери импульса из-за пеучета процесса кристаллизации. Для простоты рассмотрим случай истечения в пустоту. Из уравнения энергии имеем

Wi = {2Г0 [(1 — а,) сР + ос,с£] }1/2,(7.86)

Ж = {2То [(1 - а,)Ср + «Дс, - ^/^о)] В/2;

- 1 _~—L(7 87)

1 ИД~ 27^(1-сс^ + о^,] ’’

где Wi — скорость истечения в пустоту при равновесном течении с кристаллизацией, Wz — скорость истечения в пустоту при замороженном течении в отсутствие кристаллизации, L0 — теплота

Рис. 7.16. Зависимость температуры газа п частиц от относительного радиуса г; 1 — неравновесное течение с кристаллизацией, 2— замороженное течение без кристаллизации

плавления, а с; — теплоемкость жидкой фазы. Тогда максимальные потери импульса из-за отсутствия кристаллизации Й при содержании в продуктах сгорания окиси AI2O3 с ос, = 0,325, То = 3250 К, cjcp = 0,35 равны примерно 2 %. Из формулы (7.87) следует, что Й растет при увеличении L° и at и уменьшении То.

Расчет кристаллизации капли и ее температуры. В работе [31] рассмотрены различные модели кристаллизации капли и дано математическое описание этого процесса совместно с уравнениями газовой динамики применительно к случаю движения капли в сопле. Изучены случаи, когда температура капли постоянна по ее объему и когда распределение температуры определяется в процессе решения всей задачи. Даны оценки потерь удельного импульса, связан-

ные с процессом кристаллизации. Рассмотрим некоторые аспекты этой проблемы. Для описания двухфазной среды при наличии кристаллизации используется система уравнений (7.2) — (7.6), (7.8); уравнение (7.7) заменяется уравнением для нахождения температуры частиц, вид которого определяется используемой моделью кристаллизации. Очевидно, что влияние кристаллизации на газодинамические параметры в первую очередь будет проявляться через уравнение, заменяющее (7.7), и уравнение (7.6).

Двигаясь в потоке холодного газа, частицы охлаждаются за счет конвективного теплообмена с газом. Из-за наличия теплового потока из частицы в газ поле температуры внутри частицы становится неравномерным, причем на поверхности частицы температура ниже, чем в центре ее. В результате на поверхности могут возникнуть условия, необходимые для протекания процесса кристаллизации. Характер протекания этого процесса во многом зависит от скорости теплоотвода и от наличия или отсутствия центров кристаллизации.

Если материал частицы является высокочистым, т. е. концентрация примеси очень мала, процесс кристаллизации протекает следующим образом. При достижении некоторого уровня переохлаждения частицы на ее поверхности в точках, где температура минимальна, появляются зародыши кристаллической фазы. Рост этих зародышей сопровождается выделением тепла за счет освобождения скрытой теплоты плавления. Зародыши появляются непосредственно в самой жидкости гомогенным образом, причем скорость гомогенной нуклеации сильно зависит от переохлаждения среды. Поэтому характер дальнейшего протекания процесса зависит от соотношения скоростей выделения тепла в ходе роста зародышей и его отвода во внешнюю среду через поверхность частицы за счет ее конвективного теплообмена с газом.

В результате воздействия двух этих противоположных факторов процесс кристаллизации может протекать по-разному. Если скорость отвода тепла, выделяющегося в процессе образования и роста зародышей, сравнительно невелика, то и переохлаждение будет незначительным. В этом случае скорость образования зародышей в объеме жидкости мала и кристаллизация идет в основном за счет роста зародышей, образовавшихся на поверхности частицы. В процессе роста эти зародыши смыкаются, в результате чего образуется тонкая пленка кристаллической фазы. В дальнейшем кристаллизация такого типа протекает гетерогенным образом на поверхности раздела фаз путем занятия молекулами жидкости вакансий кристаллической решетки, при этом сама поверхность смещается в глубь капли. Кристаллизация такого типа является практически равновесной, поскольку в этом случае температура и давление на поверхности раздела фаз удовлетворяют условию фазового равновесия

%s(p,7) = %i(p,7’), (7.88)

22 у. г. Пирумов, Г. С. Росляков

гДе хАрД^ ХАР,Т) —удельные потенциалы Гиббса кристаллической и жидкой фаз соответственно.

Если же скорость отвода тепла, выделяющегося в процессе роста уже образовавшихся зародышей, настолько велика, что переохлаждение продолжает расти и достигает значений порядка LP [ci, то дальнейшая кристаллизация протекает иначе. В объеме жидкости начинают бурно образовываться многочисленные новые зародыши, которые быстро растут до смыкания друг с другом. Такое значительное переохлаждение возможно только при больших скоростях теплоотвода от частицы в несущую газовую фазу, что, в свою очередь, должно привести к сильной неравномерности распределения температуры внутри частицы. В результате кристаллизация будет проникать в глубь частицы. Соответствующую зону называют фронтом неравновесной кристаллизации, поскольку температура и давление в ней даже приближенно не удовлетворяют уравнению (7.88). Скорость движения W0 фронта неравновесной кристаллизации в глубь жидкости обычно описывают следующим уравнением:

W° = AlT°(p)-TI", (7.89)

где Лии — константы, зависящие от теплофизических свойств кристаллизующегося вещества и не зависящие от переохлаждения, Т0^) — равновесная температура кристаллизации при давлении р. Обычно Т° слабо зависит от р. Такую кристаллизацию еще называют объемной, в отличие от равновесной, которую называют поверхностной.

Оба рассмотренных случая являются предельными. В действительности имеют место промежуточные режимы кристаллизации, при которых поверхность закристаллизовавшегося вещества движется в глубь жидкости со скоростью, определяемой уравнением (7.89), но уже при значительно меньших переохлаждениях. Непосредственно к этой поверхности примыкает зона, в которой кристаллизация идет и по объемному механизму. Однако в этой зоне, имеющей большую ширину, зародыши успевают превратиться в отдельные монокристаллики больших размеров, которые, смыкаясь, образуют поликристаллическую структуру. Заметим, что при идеально равновесной кристаллизации затвердевшее вещество представляет собой монокристалл, а в случае сильной неравповесности затвердевшее вещество имеет аморфную структуру. В процессе кристаллизации частиц конденсированной фазы может наблюдаться весь спектр режимов кристаллизации от предельно неравновесного до идеально равновесного. В частности, кристаллизация может начаться как сильно неравновесная, а закончиться как идеально равновесная. Действительно, фронт неравновесной кристаллизации является зоной интенсивного выделения тепла, которое в дальнейшем отводится путем теплопроводности как в кристаллическую, так и в жидкую фазы. Если при этом скорость выделения тепла окажется больше скорости теплоотвода, то жидкость начнет прогреваться, переох-

лаждение при этом будет уменьшаться, что может привести к изменению режима протекания кристаллизации.

Считается, что уравнение (7.89) применимо во всем спектре возможных режимов кристаллизации от почти равновесных до сильно неравновесных, за исключением предельного равновесного случая, так как в последнем переохлаждение равно нулю и скорость движения фронта кристаллизации определяется только эффектами диффузии и теплопроводности. Примеси в частицах являются уже готовыми центрами кристаллизации, и поэтому даже при значительных скоростях теплоотвода процесс кристаллизации протекает почти равновесно.

Таким образом, весь процесс кристаллизации частиц конденсата может быть условно разбит на три одновременно протекающих процесса: 1) теплообмен с окружающей газовой средой; 2) непосредственно процесс образования кристаллической фазы, распространение фронта кристаллизации внутрь частицы и тепловыделение при фазовом переходе; 3) транспортировка выделившегося тепла по частице, в том числе к поверхности.

Рассмотрим теперь некоторые математические модели процесса кристаллизации мелкодисперсных конденсированных частиц в газовых потоках, которые отличаются друг от друга различной степенью детализации физических эффектов, определяющих его ход. Все эти модели согласованы друг с другом в том смысле, что каждая более общая математическая модель переходит в менее общую при определенных допущениях относительно характера протекания физических процессов. Использование такого набора математических моделей для анализа процесса кристаллизации частиц конденсата позволяет выявить и оценить влияние различных физических факторов на окончательные результаты. Соответствующие модели будем рассматривать в порядке возрастания их общности.

Сделаем традиционные для рассматриваемых задач предположения: вязкость и теплопроводность газа проявляются только при взаимодействии с частицами; объемной долей конденсата можно пренебречь; давление создается только газовой фазой; коагуляция и дробление частиц конденсата отсутствуют; частицы имеют сферическую форму; плотность и теплопроводность частиц не зависят от температуры. Дополнительно предположим, что давление внутри частицы в процессе кристаллизации равняется давлению в газе; температура внутри частицы, в том числе и на поверхности, одинакова и равна средней температуре; граница раздела фаз представляет собой сферу, центр которой совпадает с центром частицы и которая в ходе кристаллизации движется от поверхности к центру.

В рамках сделанных предположений одномерное стационарное течение полидисперсной двухфазной смеси с учетом кристаллизации описывается системой уравнений (7.2) — (7.6), в которой уравнение энергии смеси (7.6) и теплообмена частиц (7.7) заменяются 22*

на следующие уравнения:

(1 - as) Li + 4 И + а5 2 g« кЛ, + (1 - Ej) £° + 4 ^1 = fco^

(7.90)

где £, = тг11гг„ r.j — сферическая координата внутри частицы, характеризующая положение фронта кристаллизации, a NT. дается формулой (7.28). Здесь по-прежнему индекс s относится к конденсированной фазе, которая в зависимости от степени кристаллизации может быть жидкой, твердой или состоять из жидкой и твердой фаз. В отличие от уравнений (7.6), (7.7), в (7.90) и (7.91) введены члены, учитывающие изменение температуры частиц и энергии смеси за счет кристаллизации.

Для расчета одномерного неравновесного двухфазного потока с учетом кристаллизации необходимо численно интегрировать систему уравнений (7.2) —(7.5), (7.8) совместное (7.90) и (7.91) от некоторого начального сечения вдоль оси сопла. До начала процесса кристаллизации частиц 7-й фракции ^=1, после окончания £, = 0. В процессе кристаллизации частиц 7-й фракции £, изменяется от 1 до 0. Таким образом, для замыкания системы уравнений (7.2) — (7.5), (7.8), (7.90), (7.91) необходимо добавить еще N уравнений для определения £,. С этой целью рассмотрим возможные модели процесса кристаллизации.

В модели «мгновенной кристаллизации» предполагается, что все вещество частицы кристаллизуется мгновенно, как только ее температура достигнет температуры равновесного фазового перехода ^(р) при давлении, равном значению давления в газе; теплота, выделившаяся в результате кристаллизации частицы, мгновенно отводится в газовую фазу. При этом £, соответствующей фракции скачком изменяется от 1 до 0, а все остальные параметры частиц данной и остальных фракций не изменяются. Параметры газа при этом также меняются скачком, причем их значения за скачком находятся с помощью соотношений на разрыве, полученных из законов сохранения массы, импульса и энергии всей смеси в целом. Соотношения на фронте кристаллизации имеют вид

ум^ + 1Д(1-М2) у 2(7_1)ais—

(Т+1)Мо“о+ К y7 + l)Moaoj (7 + 1)(i_„is)’

Р W

Р1 = ^, Р1 = Ро + Ро^ - P1Wt

Индекс «0» относится к значениям до момента кристаллизации, индекс «1»— после, верхний знак в первой формуле (7.92) выби-

рается, если Mo < 1, а нижний — если Mo > 1. Правило выбора знаков в этой формуле следует из очевидного предельного перехода W] Wq при аг8Ь° 0. Таким образом, расчет по модели «мгновенной кристаллизации» сводится, по существу, к пересчету параметров газа по формуле (7.92) и к изменению с, в тех точках потока, где происходит кристаллизация частиц соответствующих фракций, а между этими точками интегрируется система (7.2) — (7.5), (7.8), (7.90), (7.91), в которой с/^./с/ж = 0 (i = 1, ..., N).

В модели «равновесной кристаллизации» предполагается, что в ходе процесса температура частицы остается равной температуре равновесного фазового перехода при соответствующем давлении Т18 = Т° (р). Из уравнения (7.91) с использованием этого условия имеем

^ §=^ Киг-т" (р^ - ^ Я- (7-эз)

Если воспользоваться уравнением Клапейрона — Клаузиуса для производной температуры по давлению вдоль кривой равновесия жидкой и кристаллической фаз,

дТ° 7 Г 1 116р ” 7° [рг pj’

и учесть, что обычно рг « ps (где р; — плотность вещества в жидком состоянии, ар, — в кристаллическом), то можно показать, что вторым слагаемым в правой части уравнения (7.93) можно пренебречь по сравнению с первым. Следовательно, темп кристаллизации в «равновесной» модели лимитируется в основном скоростью отвода в газовую фазу тепла, выделяющегося при кристаллизации. Таким образом, расчет по модели «равновесной кристаллизации» сводится к численному интегрированию системы уравнений (7.2) — (7.5), (7.8), (7.90), (7.91), дополненной следующей системой соотношений:

£,= 1, если Tis > Т°(р),

Ти = Т° (р), если 0 < gi < 1,

£. = 0, если Т,8 <Т°(р).

При этом на участках отсутствия кристаллизации частиц некоторой фракции соответствующее ей уравнение (7.91) используется для нахождения температуры частиц этой фракции (первое и третье соотношения), а непосредственно на участке кристаллизации этой фракции то же самое уравнение (7.91), но только в форме (7.93), используется для нахождения £, данной фракции (что соответствует второму соотношению).

В модели «неравновесной кристаллизации» приближенно учитывается кинетика формирования и распространения фронта кристаллизации путем использования полуэмпирической формулы вида

для скорости движения границы раздела фаз и специально подобранного коэффициента переохлаждения ^, который учитывает наличие некоторого уровня переохлаждения, необходимого для завершения процесса формирования границы раздела фаз. Таким образом, расчет по модели «неравновесной кристаллизации» сводится к численному интегрированию системы уравнений (7.2) — (7.5), ,(7.8), (7.90), (7.91), дополненной следующей системой соотношений:

&=1, если Tis<pT0(p),

^ = i^-|7’°(zO)-Tisr1[7is-7’0(p)], если 0<^<1,

— = 0, если Si = 0 и Тг$ = Т6 (р^. dx ' ' '

(7.94)

В отличие от «равновесной» модели для нахождения ^ на участке кристаллизации частиц соответствующей фракции используется второе соотношение (7.94), а момент начала кристаллизации определяется при ^ < 1 с учетом переохлаждения, необходимого для образования поверхности раздела фаз, что всегда приводит к задержке начала развитой кристаллизации.

Уравнение (7.91) при подстановке в него второго соотношения (7.94) становится релаксационным уравнением, для решения которого необходимо пользоваться неявными разностными схемами.

Отметим, что в работе [31], кроме рассмотренных моделей, в которых температура капли предполагалась постоянной по объему, исследована и решена задача расчета профиля температур внутри капли.

Глава 8

ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОГО ГАЗА В СОПЛАХ

В ракетных двигателях малой тяги, в гиперзвуковых аэродинамических соплах и соплах газодинамических лазеров размеры критического сечения и полное давление могут быть такими, что число Рейнольдса Re = роИдпахГ.щГ1 изменяется в диапазоне 10 — 104. Число Re связано с числом Рейнольдса Rewo, определенным в и. 5.5.4, соотношением Rewo = IVeL/Tro, где L_— длина сопла, отнесенная к радиусу минимального сечения, а ? „ — температура стенки, отнесенная к температуре торможения. Таким образом, число Rewo примерно на порядок больше числа Re. При числах Re указанного диапазона вязкость газа проявляется не только в тонком пристеночном пограничном слое, но и по всему сечению. При расчете параметров течения нельзя уже ограничиться введением поправки па толщину вытеснения пограничного слоя, а необходимо при тех или иных предположениях решать систему уравнений Навье — Стокса. Теоретическому и экспериментальному исследованию течений в соплах при малых числах Рейнольдса посвящены работы [28, 66, 102, 103, 110, 160, 163, 191, 204-206].

Эти работы условно можно разделить на два класса. В одном из них решение задачи достигается путем численного решения так называемых параболизованных уравнений Навье — Стокса [28, 110, 160, 206]. В работах [28, 206] используется еще более упрощенная модель параболизованных уравнений, в которой давление принимается постоянным в поперечном направлении. В другом классе работ решаются полные уравнения Навье — Стокса [102, 103, 191, 204, 205]. Ниже рассмотрены оба эти подхода.

Приближение узкого канала

Теоретическое исследование течения вязкого газа при малых числах Рейнольдса основано на решении упрощенных уравнений Навье — Стокса, полученных в предположении, что отношение поперечной компоненты скорости к продольной и отношение продольного градиента к поперечному имеет порядок относительного удлинения сопла [28, 206]. В результате упрощений в уравнениях Навье — Стокса исчезают члены, содержащие вторые производные по х, и для расчета течения в сопле нужно решать эволюционную по х задачу, а не краевую задачу для полных уравнений Навье — Стокса.

В указанном приближении получаем следующую систему упрощенных уравнений Навье — Стокса:

^(purv) + ^(pvrv) = O,(8.1)

+11 а/g2

дх дг р дх prv dry 1 дН'’

= о,(8.3)

Эта система уравнений дополняется термическим и калорическим уравнениями состояния и соотношениями для определения числа Прандтля Рг и коэффициента вязкости тр

Для построения решения необходимо задать начальные условия во входном значении, а также граничные условия на стенке сопла и его оси. Начальные условия получаются при построении решения в окрестности бесконечно удаленной точки путем разложения искомых функций в ряд по обратным степеням х ([160], см. также § 3.4).

В работе [206] в качестве начальных данных в дозвуковой области задается асимптотическое решение Гамеля для несжимаемого течения вязкого газа [97], обобщенное на случай осесимметричного течения. На оси сопла задаются условия симметрии, согласно которым производные от и, р, р, Т и h, а также поперечная составляющая скорости равны нулю. На стенках сопла для разреженного газа в общем случае используются условия скольжения и скачка температуры [138], согласно которым

яКТ\1122р уяКТ\1122р уcos 9W,cos 9W,1/21/22у(2 — аг)г] (у +1) агдРг2у(2 — аг)г] (у +1) агдРгtnRT \/tnRT \/cos 9W,cos 9W,(8-5)(8-6)(8-5)(8-6)

яКТ\112

2р у

яКТ\112

2р у

cos 9W,

cos 9W,

1/2

1/2

2у(2 — аг)г] (у +1) агдРг

2у(2 — аг)г] (у +1) агдРг

tnRT \

/

tnRT \

/

cos 9W,

cos 9W,

(8-5)

(8-6)

(8-5)

(8-6)

где а„, «г — коэффициенты аккомодации для скорости и температуры, нижний индекс w относится к параметрам на стенке сопла.

В работах [160, 206] предложен итерационный метод решения системы (8.1) — (8.4) для прямой задачи теории сопла. При этом численное интегрирование системы ведется из дозвуковой части сопла, а в процессе итераций определяется расход газа и распределение давления вдоль оси. При решении прямой задачи так же, как и в случае невязких течений, система уравнений имеет особую точку типа седла, в которой

(8.7)(8.7)6= ’1-^^dF = 0.

(8.7)

(8.7)

9 М2 о

Это условие означает запирание потока. Если на стенке используется условие непротекания, то интеграл в (8.7) расходится. Чтобы избежать этого, можно использовать подход, предложенный в [249], согласно которому интегрирование можно обрывать вблизи стенки сопла.

В процессе решения специальным образом подбирается критический расход, который зависит от числа Не и при достижении которого вниз по потоку от особой точки реализуется в интегральном смысле сверхзвуковое течение, т. е. 6 < 0 (см. п. 1.4.1). При расходе меньше критического течение будет всюду в интегральном смысле дозвуковым, т. е. 6 > 0. Расчеты показывают, что при уменьшении числа Не особая точка движется вниз по потоку и может выходить за пределы сопла. В этом случае никакой расход не может обеспечить выполнение условия 6 > 0. При определенном значении расхода в выходном сечении имеет место бесконечно большой градиент давления, и такое течение физически не реализуется. При больших расходах такая ситуация имеет место внутри сопла. При меньших расходах давление либо достигает минимума, а затем повышается, либо монотонно уменьшается до выходного сечения, если падение давления, обусловленное трением, достаточно велико, чтобы перекрыть влияние увеличения площади сечения сопла. При таких расходах внешнее давление может оказывать влияние на течение в сопле.

Некоторые результаты расчетного и экспериментального исследования представлены на рис. 8.1 — 8.3. На рис. 8.1 показаны зависимости числа М, температуры и давления от длины сопла, полученные экспериментально методом электронного пучка [163] и путем измерения давления [66] и рассчитанные описанным выше методом.

Как видно, в зависимости от числа Re имеют место различные режимы течения. При Re > 500 температура монотонно убывает, а при числах Re < 300 температура падает до ж = ж/г*« « 6, а затем начинает расти. Увеличение температуры является результатом диссипации и должно сопровождаться уменьшением скорости и числа Маха. При Re ~ 100 значение Т = ТЦо вблизи выходного сечения больше, чем при М = 1 для изоэнтропического течения идеального газа. При таких значениях числа Re поток расширяется вблизи оси до сверхзвуковых скоростей (М ~ 1,8 при х = = 5) и далее происходит безударное торможение до дозвуковых скоростей. Такой характер течения соответствует случаю, когда особая точка находится вне сопла [160]. Увеличение температуры при малых числах Re нельзя объяснить образованием волн сжатия, поскольку экспериментальные значения плотности и давления монотонно убывают (рис. 8.1). Внешнее давление, как показано экспериментально [163], слабо влияет на форму профилей до тех пор, пока поток в выходном сечении остается перерасширенным (ро/рн > 250).

Рис. 8.1. Распределение температуры (а), давления и числа Маха (б) по оси конического сопла (б^ = 20°, г* = 25 мм) при различных числах Рейнольдса; 1 — расчет при Re = 1230 [160], 2 — идеальный газ, 3— эксперимент [163], 4 — эксперимент [66], 5 — давление, рассчитанное по экспериментальным значениям температуры и плотности [163]

Рис. 8.2. Распределение плотности и скорости в различных сечениях сопла; 1 — расчет при Re = = 1230 [160]; 2 — эксперимент [163]; а — х = = 3,7; б — х = 6,2; в —■ х = 18,7; 3 —эксперимент при Re = 1230 [66]

Из рис. 8.2 следует, что при Не = 110 профили относительной плотности почти не зависят от длины сопла, поток является полностью вязким и не имеет определенного ядра. При Не « 600 небольшое невязкое ядро существует при ж < 3,7, однако в выходном сечении оно уже отсутствует. При Не = 1230 невязкое ядро сохраняется вплоть до выходного сечения. Экспериментальные профили температуры и плотности в поперечном сечении показывают, что производные ЭЦдт и др/dr вблизи стенки отличны от нуля. Это свидетельствует о наличии скольжения и скачка температур в соответствии с граничными условиями (8.5), (8.6). Температура вблизи стенок составляет примерно 0,8 То, что согласуется с расчетными значениями для адиабатической стенки со скольжением. При уменьшении температуры стенки уменьшается и толщина вытеснения пограничного слоя. Показано, что при Не > 1200 параметры на оси могут быть вычислены с использованием одномерной теории по эффективному отношению площадей, уменьшенному на толщину вытеснения [160]. Уменьшение числа Не приводит к уменьшению коэффициента расхода р, (рис. 8.3). Удельный импульс сопла слабо зависит от Не в диапазоне от 800 до 1500, уменьшаясь

Рис. 8.3. Зависимость коэффициента расхода от числа Рейнольдса: /—расчет [160], 2 — эксперимент [163], 3 — эксперимент [117]Рис. 8.3. Зависимость коэффициента расхода от числа Рейнольдса: /—расчет [160], 2 — эксперимент [163], 3 — эксперимент [117]

Рис. 8.3. Зависимость коэффициента расхода от числа Рейнольдса: /—расчет [160], 2 — эксперимент [163], 3 — эксперимент [117]

Рис. 8.3. Зависимость коэффициента расхода от числа Рейнольдса: /—расчет [160], 2 — эксперимент [163], 3 — эксперимент [117]

при уменьшении Тщ, а импульс сопла уменьшается пропорционально коэффициенту расхода. Имеет место менее интенсивное нарастание импульса и удельного импульса с увеличением отношения площадей, чем при невязком течении, что на практике означает возможность использования более коротких сопел, реализующих максимум тяги.

В работе [205] рассмотрено турбулентное течение в плоских соплах гидродинамических лазеров, при этом расчет выполнен на основе параболизировапных уравнений Навье — Стокса. Турбулентность учитывалась с помощью так называемой (к — е)-модели турбулентности. Некоторые особенности течений в соплах при малых числах Рейнольдса рассмотрены в работе [110], в которой представлены экспериментальные данные по расходу и удельному импульсу, расчетные результаты по теории пограничного слоя и методу узкого канала, а также дано сравнение экспериментальных и расчетных данных.

Численное решение полных уравнений Навье — Стокса

В последнее время появились работы, посвященные расчетному исследованию течений в соплах Лаваля на основе решения полных уравнений Навье — Стокса [102, 103, 191, 204, 205]. В этих работах для нахождения стационарного решения используется метод установления. В работе [205] проведено исследование колебательно-неравновесного течения смеси СОг — N2 — Ог — Н2О в плоских соплах Лаваля при больших и умеренных числах Рейнольдса. Изучен ряд особенностей, свойственных этим течениям: процессы колебательной релаксации в невязком ядре и пограничном слое, двумерный характер течения, влияние колебательной релаксации на распределение газодинамических параметров, обратное влияние пограничного слоя на течение в невязком ядре потока.

В работе [191] проведено численное исследование ламинарного течения в сопле с отсасывающими щелями, расположенными в дозвуковой части. Разработана разностная схема расщепления по времени для решения уравнений Навье — Стокса и описана ее реализация на векторной ЭВМ СДС STAR-100. Схема хорошо векторизуется и удобна для реализации на конвейерных процессорах.

Наиболее полное исследование течений в соплах Лаваля путем решения полных уравнений Навье — Стокса проведено в работе [102]. Ниже кратко изложены некоторые результаты этой работы. Полная система нестационарных уравнений Навье — Стокса имеет вид

др dtдр dtд (ри)дхд (ри)дх9 (рг)дг9 (рг)дг+ V — = 0, 1 г+ V — = 0, 1 г(8-8)(8-8)

др dt

др dt

д (ри)дх

д (ри)дх

9 (рг)дг

9 (рг)дг

+ V — = 0, 1 г

+ V — = 0, 1 г

(8-8)

(8-8)

8 (ри)д (ри2) д (риг) риг у — 1 др . 1 Гу д (ди\ .

81дх дгг ^ дх ' Re [ ^ дх\дх/ '

। 9। VTl/дг , ди\ , д (ди , ди\1 т

+ ^-(^divW)dЧ — 4- — + Ц — — + — , (8.9)

дх' г \дх dr I 1 дг\дх dr I х '

। 1 Г /ди . ди\ . q д /ди\ , д, dv л

++ 2т| т- +(£ div W)+ VTi , (8.10)

Re 11 дж 1 dr / 1 v8r\8rj 8rx^ ' 'dr x '

6(рс0Г)^д(риу) 9 f ^ 9Т\ Э^ПnndivW

8tЭх dx\PrRe dxj dr "

Руси^ . „ Д Г/ди\2 . (диХ2 .г2"] . /ди . dr\2] .

+++(8.11)

Re x ' 1 r Pr Re dr 1 dr I Pr Re dr j x '

p^pT,X^ra\(8.12)

где ^ = т]1 —з ц, щ — коэффициент второй вязкости, скорости отнесены к максимальной скорости истечения, плотность, давление и температура — к соответствующим параметрам торможения, вязкость — к вязкости при температуре торможения. Путем введения новых независимых переменных ж = ж, г/ = г/г„(ж) расчетная область преобразуется в прямоугольник а < ж ^ Ь, 0 ^ у ^ 1. Рассматриваются различные способы задания граничных условий на входе ж = а. В ходе установления условия на границе ж = а определяются из асимптотических решений уравнений «узкого канала» до момента времени, когда расход через все сечения сопла становится постоянным. После этого все зависимые переменные на этой границе фиксируются и остаются неизменными во времени.

На непроницаемой границе (у = 1^ краевые условия могут быть заданы либо в виде условий прилипания и условий третьего рода для температуры и теплового потока

и = v = 0, (8.13)

ахТ + a^dTIdy = g^t, ж) (8.14)

^g— заданная функция), либо в виде условий скольжения (8.5), (8.6). На правой границе (на выходе) используются «мягкие» граничные условия: д2//дж2 = 0, где / — любая из функций, и, v, р, Т.

Рис. 8.4. Распределение числа Маха на оси при течении вязкого газа в сопле: 1 — расчет по методу работы [102], 2 — расчет по методу узкого канала [160, 206], 3 — эксперимент [66], 4— контур сопла (6* — толщина вытеснения)Рис. 8.4. Распределение числа Маха на оси при течении вязкого газа в сопле: 1 — расчет по методу работы [102], 2 — расчет по методу узкого канала [160, 206], 3 — эксперимент [66], 4— контур сопла (6* — толщина вытеснения)

Рис. 8.4. Распределение числа Маха на оси при течении вязкого газа в сопле: 1 — расчет по методу работы [102], 2 — расчет по методу узкого канала [160, 206], 3 — эксперимент [66], 4— контур сопла (6* — толщина вытеснения)

Рис. 8.4. Распределение числа Маха на оси при течении вязкого газа в сопле: 1 — расчет по методу работы [102], 2 — расчет по методу узкого канала [160, 206], 3 — эксперимент [66], 4— контур сопла (6* — толщина вытеснения)

В качестве начальных условий используется решение, полученное методом «узкого канала».

В работе [102] проведено численное исследование двумерных ламинарных течений вязкого теплопроводного газа в соплах Лаваля в широком диапазоне чисел Не при различных геометрических параметрах сопел. Алгоритм расчета основан на явной схеме типа «предиктор-корректор» и методе установления. Он предусматривает возможность расчета течений с закруткой потока. В качестве

Рис. 8.5. Распределение температуры (а) и плотности (б) по оси при вязком течении в сопле Лаваля с различными числами Рейнольдса. Сравнение расчетных и экспериментальных данных: 1— Re = 110, 2 — Re = 260, 3— Re = = 590, 4— эксперимент [163]; сплошные линии — расчет по методу работы [Ю2]

Рис. 8.6. Распределение числа Маха на оси_ко- нического сопла с 7?2 = = 0,5, 0л = 15°. Расчет по методу [102]; 1 — Re = 1230, 2 — Re = 104, 3 — Re = 10s, 4 — Re = = oo [60], 5 — контур сопла

граничных условий на стенке использовались как условия прилипания (при Re > 104), так и условия скольжения и скачка температур (при Re < 104). Показано, что при расчете вязких течений с Re ^ 600 метод узкого канала может дать существенную ошибку (до 25 %) в определении локальных и интегральных характеристик течения. Эти ошибки особенно велики в трансзвуковой части сопла, где значительны и продольные, и поперечные градиенты давления и скорости. Ошибки такого же порядка дают методы интегральных соотношений. Исследованы течения вязкого теплопроводного газа в плоских профилированных соплах с угловой точкой. R ходе расчетов получено, что поперечный перепад давлений в трансзвуковой •области профилированных сопел может составить 60—70 %. Выявлено наличие зон торможения потока у стенки вблизи критического сечения. Исследовано влияние вязкости и теплопроводности на интенсивность ударных волн в сопле Лаваля. Алгоритм расчета эффективно отслеживает физические особенности течения, например, положение ударных волн и их интенсивность. При увеличении числа Re(Re^lO5) результаты расчетов вязких течений в конических соплах приближаются к результатам расчетов невязких двумерных течений [60].

Некоторые результаты исследований представлены па рис. 8.4— 8.6. На рис. 8.4 приведено распределение числа М на осп сопла, рассчитанное в работе [102], полученное по методу «узкого канала» в [160, 206] и в эксперименте [66]. Расчет по методу работы [102] дает лучшее совпадение с экспериментом. На рис. 8.5 представлены данные о распределении температуры и плотности по оси сопла для различных чисел Re, полученные экспериментально [163] и рассчитанные в работе [102]. Видно хорошее соответствие расчетных п экспериментальных данных, а также отмеченное выше повышение температуры, связанное с вязкой диссипацией.

Для изучения влияния вязкости па положение и интенсивность ударных воли в коническом сопле проведены расчеты при числах Re = 1230, 104, 105 для конического сопла с R® = 0,5, О,. — 15°. Распределения числа Маха на оси представлены на рис. 8.6. С уменьшением Re интенсивность ударной волны на оси конического сопла уменьшается, а при Re =5 1000 ударных волн не наблюдается и распределение числа М становится монотонным. Таким образом, характерные для конических сопел ударные волны (см. §4.2) с уменьшением числа Re, т. е. с увеличением вязких эффектов, исчезают.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Ав ду ев скип В. С. Метод расчета пространственного турбулентного пограничного слоя в сжимаемом газе / Изв. АН СССР. Механ. и маши- ностр.— 1962.— № 4.— С. 3—12.

Авдуевский В. С., А ш р а т о в Э. А., Иванов А. В., П и р ум о в У. Г. Сверхзвуковые неизобарические струи газа.— М.: Машиностроение, 1985.— 246 с.

Авдуевский В. С., Копяткевич Р. М. Расчет ламинарного пограничного слоя в сжимаемом газе при наличии теплообмена и при произвольном распределении давления вдоль поверхности / Изв. АН СССР. Механ. и машипостр.— 1960.— № 1.— С. 3—И.

А верепк о в а Г. И., Ашрато в Э. А., Волконская Т. Г., Дьякон о в Ю. Н., Е г о р о в а Н. И., М е л ьп и к о в Д. А., Р о с л я к о в Г. С., Усков В. И. Сверхзвуковые струи идеального газа: В 2 ч. Ч. 1.— М.: Изд-во МГУ, 1970,— 279 с.

А в е р е н к о в а Г. И., Е г о р о в а Н. И., ПирумовУ. Г. Движение по- лидисперспой смеси газа и частиц в сверхзвуковом сопле / Вычисл. методы и программирование: Сб. статей. Вып. 30/Под ред. В. М. Пасконова и Г. С. Рослякова.— М.: Изд-во МГУ, 1979.— С. 94—108.

А л е м а с о в В. Е., Д р е г а л и н А. Ф., Тишин А. П., Худяков В. А. 'Гермодинамические и теплофизические свойства продуктов сгорания: В 10 т.: Справочник.— Т. I./Под ред. Глушко В. Н.— М.: ВИНИТИ. 1971.— 266 с.

А н т о н о в А. Н. Расчет взаимодействия турбулентного пограничного слоя с внешним сверхзвуковым потоком за уступом / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1971,— № 3,— С. 33—40.

Ашратов Э. А., Волконская Т. Г., Росляков Г. С. Течение газа в соплах и струях / Гидроаэромеханика и космические исследования.— М.: Наука, 1984.— С. 116—136.

А ш р ат о в Э. А., Волконская Т. Г., Росляков Г. С., У ск о в В. И. Исследование сверхзвуковых течений газа в струях. / Некоторые применения метода сеток в газовой динамике: Сб. статей. Вып. 6/ Под ред. Г. С. Рослякова и Л. А. Чудова; под общим рук. Г. И. Петрова.— М.: Изд-во МГУ, 1974,— С. 241—407.

А ш р а т о в Э. А., Дубинская Н. В. Исследование течений в соплах при наличии колебательной релаксации. / Вычисл. методы и программирование: Сб. статей. Вып. 27,/Под ред. В. М. Пасконова и Г. С. Рослякова. М.: Изд-во МГУ, 1977,— С. 96-115.

Бабенко К. И., Воскресенский Г. П., Любимов А. Н., Русанов В. В. Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом.— М.: Наука, 1964.—505 с.

Баженова Т. В., Гвоздева Л. Г. Нестационарные взаимодействия ударных волн,—М.: Наука, 1977,—274 с.

Баженова Т. В., Г в о з де в а Л. Г., Л а г ут о в Ю. П., Л я х о в В. Н., Ф а р е с о в Ю. М., Ф а к е е в В. П. Нестационарные взаимодействия ударных и детонационных волн в газах.— М.: Наука, 1986.— 207 с.

Балакин В. Б., Буланов В. В. Численное решение задачи о взаимодействии ударной волны с цилиндром в сверхзвуковом потоке. Ц ИФЖ.— 1971,—Т. 21, № 6 —С. 1033—1039.

Б е р н с т е й н А., X е й з е р В., X о в н е р С. Сжимаемое составное течение в сопле. / Прикладная механика: Труды амер, о-ва инж.-мех,— 1967,—№ 3....

Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газовой динамики.— М.: ИЛ, 1961.— 208 с.

Бобович А. Б., Корнилович В. Б., Маслов Б. Н., Шишков А. А. Экспериментальное исследование асимметричных сопел Лаваля. Ц Изв. АН СССР. МЖГ,— 1977,— № 2,— С. 123—128.

Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. М.— Л.: Гостехиздат, 1946.

Б о н д а р е в Е. Н., П е т р о в Г. И. Экспериментальное исследование взаимодействия турбулентного пограничного слоя со скачками уплотнения. Ц Всесоюзн. съезд по теор. и прикл. мех. Аннот. докл.— М.: Изд-во АН СССР, 1960.

Б р е е в В. В., Минин С. Н., Пирумов У. Г., Шевченко В. Р. Течение смеси газов с релаксацией колебательной энергии в плоских и осесимметричных соплах. / Изв. АН СССР. МЖГ,—1977.— № 5.— С. 143—1 148.

Б р и т а н А. Б., Васильев Е. И. Ударный запуск плоских сопел с большим углом раствора. / Изв. АН СССР. МЖГ,— 1984.— № 4.— С. 100—106.

Б р и т а п А. Б., Григоренко В. Л. К вопросу о запуске плоских сопел ударных труб. / ЖВМ и МФ.— 1982.— № 1.— С. 90—95.

Б э к Л., К а ф ф е л Р. Определение косых скачков уплотнения в коническом сопле с критическим сечением в виде дуги окружности. / Ракетн. техн, и космонавтика.— 1966.— № 12.— С. 202—204.

Б э к Л., М а с с ь е П., Г и р X. Сравнение измеренных и расчетных параметров течения в сверхзвуковых конических соплах, проведенное в основном для трансзвуковой области. / Ракетн. техн, и космонавтика.— 1965,— № 9,— С. 49—60.

В а с е н и н И. М., Архипов В. А., Бутов В. Г., Г л а з у н о в А. А., Трофимов В. Ф. Газовая динамика двухфазных течений в соплах.— Томск: Изд-во Томского ун-та, 1986.— 264 с.

Верещака Л. И., Кр айк о А. И., Стернин Л. Е. Метод характеристик для расчета сверхзвуковых течений газа с инородными частицами в плоских и осесимметричных соплах.— М.: ВЦ АН СССР, 1969.— 46 с.

В и ле п с к ий Ф. А., Волконская Т. Г., Г р я з н о в В. П., Пирумов У. Г. Исследование нерасчетных режимов осесимметричного кольцевого сопла с центральным телом. / Изв. АН СССР. МЖГ,— 1972.— № 4.— С. 94-101.

Вильямс Дж. Течение вязкого и несжимаемого газа в узких каналах. Ц Ракетн. техн, и космонавтика.— 1963.— № 1,— С. 186—195.

Войновский А. С., Киреев В. И. О смешанных краевых задачах профилирования сверхзвуковых сопел и каналов. / Изв. АН СССР. МЖГ,— 1983,—№ 4,—С. 112—118.

В о й н о в с к и й А. С., К и р е е в В. И., М и н и н С. Н., П и р у м о в У. Г., С м и р п о в С. С. О профилировании плоских и осесимметричных сверхзвуковых каналов, реализующих разрывные параметры на выходе и выравнивание потока. Ц Изв. АН СССР. МЖГ,— 1984,— № 3,— С. 155—159.

Волков В. А., Муслаев А. В., Пирумов У. Г. Математические модели кристаллизации частиц в двухфазных потоках. / Изв. АН СССР. МЖГ,— 1989, № 6,—С. 77—84.

Волконская Т. Г., Г р и б а н ь Г. И. Анализ тяговых характеристик штыревого сопла на режиме перерасширения при истечении струи в затопленное пространство. Ц Численные методы в аэродинамике: Сб. статей / Под ред. В. М. Пасконова и Г. С. Рослякова. М.: Изд во МГУ, 1978,— С. 26—38.

23 у. г. Пирумов, Г. С Росляков

Волконская Т. Г., Егорова Н. И., Купцов В. М., Пирумов У. Г. Исследование нерасчетных режимов осесимметричного тарельчатого сопла. Ц Численные методы в аэродинамике: Со. статей. Вып. 2/ Под „ред. В. М. Пасконова и Г. С. Рослякова. М.: Изд-во МГУ, 1977.—С. 3— 18.

Во л к о н с к а я Т. Г., П а в л о в Б. М., П о п о в Н. Н. Расчет процесса сжатия в поршневых установках. / Численные методы в газовой динамике: Сб. статей. Вып. 4./Под ред. Б. М. Павлова, Г. С. Рослякова и Л. А. Чудова— М.: Изд-во МГУ, 1965,— С. 184—210.

Г а л ю и Н. С., К р а й к о А. Н. К расчету неравновесных течений. / Изв. АН СССР. Мехап. и машиностр.— 1964.— № 6.— С. 41—47.

Глазунов А. А., Рычков А. Д. Исследование неравновесных двухфазных течений в осесимметричных соплах Лаваля. / Изв. АН СССР. МЖГ,— 1977,— № 6,— С. 86—91.

Г о д ун о в С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я., Кра й ко А. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой ди- памики./Под ред. С. К. Годунова.— М.: Наука, 1976.— 400 с.

Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы.— М.: Наука, 1973,—400 с.

Гопкинс Д., X и л л Д. Влияние кривизны с малыми радиусами в критическом сечении осесимметричных сопел на течения в трансзвуковой области. Ц Ракетн. техн, и космонавтика.— 1966.— № 8.— С. 32—40.

Г о р б у н о в В. Н., Пирумов У. Г., Рыжов Ю. А. Неравновесная конденсация в высокоскоростных потоках газа.— М.: Машиностроение, 1984,—200 с.

Гостинцев Ю. А. Расходные характеристики сопла при истечении винтового потока газа. / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1969.— № 4.— С. 107—ПО.

Г р и г о р е п к о В. Л. Численное исследование ударного запуска сверхзвуковых сопел и сравнение с экспериментальными данными. Ц Изв. АН СССР. МЖГ,— 1980.— № 1,— С. 120—127.

Григоренко В. Л. Условия импульсного запуска сверхзвуковых диффузоров аэродинамических труб. / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1'982.— № 1.— С. 133—141.

Г р и н ь В. Т., К р а й к о А. Н., С л а в я н о в Н. Н. Решение задачи о запуске сопла, вмонтированного в торец ударной трубы Ц Изв. АН СССР. МЖГ,—1981.—№ 6,—С. 117—123.

Громека И. С. Собр. соч,— М.: Изд-во АН СССР — 1952.

Гудерлей К. Теория околозвуковых течений.— М.: ИЛ, 1960.— 422 с.

Давыдов Л. М. Исследование неравновесной конденсации в сверхзвуковых соплах и струях. / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1971.— № 3.— С. 419—■ 425.

Давыдов Л. М., Ж и р а в о в В. М. Изоэнтропические течения воздуха при высоких давлениях торможения. / Изв. АН СССР. МЖГ,— 1974.— № 5,— С. 827—831.

Д а в ы д о в Л. М., Пирумов У. Г. Расчет скорости нестационарного образования ядер конденсации в перенасыщенном паре. / Изв. АН СССР. МЖГ,— 1978 — № 2 — С. 173—175.

Д а в ы д о в Л. М., Пирумов У. Г. Некоторые вопросы неравновесной гомогенной конденсации газов в высокоскоростных потоках. / Изв. АН СССР. МЖГ,— 1978,— № 6,— С. 81-88.

Дан л еп Р. Исследование закрученного течения во вращающемся РДТТ с торцевым горением топлива. / Ракетн. техн, и космонавтика.—1969.— № 12,— С. 2293—2300.

Д а р в е л л Н., Трабридж Г. Профилирование сопел ракетных двигателей с точки зрения уменьшения несимметричности истечения. / Вопр. ракетн. техн.— 1968.— № 8.— С. 41—52.

Дворецкий В. М. К исследованию пространственных смешанных течений в соплах с несимметричным входом. / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1975.—№ 2,—С. 167—169.

Д в о р е ц к и и В. М., Зеленцов В. В. Численное исследование особенностей газодинамики управляющих сопел. / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1978,—№ 6,—С. 126—133.

Д в о р е ц к и й В. М., И в а и о в М. Я. К расчету смешанных течений в соплах с несимметричной дозвуковой частью. / Учен. зап. ЦАРИ,— 1974.—■ Т. 5, № 5,— С. 39—45.

Д о р о д н и ц ы н А. А. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэрогидродинамики. Ц Труды III Всесоюзн. мат. съезда. 1956, т. 3.— М.: Изд-во АН СССР, 1958.— С. 447—453.

Д о р о д н и ц ы н А. А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка. / УМН,— 1952.— Т. 7, вып. 6.— С. 3—96.

Д р и т о в Г. В., Тишин А. П. Расчет неравновесного течения газа с частицами конденсата в сопле Лаваля. Ц Изв. АН СССР. МЖГ.—1969.—■ № 5 — С. 21—24.

Д р и т о в Г. В., Т и ш и н А. П. О профилировании сопел, работающих на газе с частицами конденсата. / Изв. АН СССР. МЖГ.—1971.—№ 1,— С. 154—159.

Дроздова Н. В., Пирумов У. Г., Росляков Г. С., С ухор у< ков В. П. Сверхзвуковые течения газа в конических соплах. Ц Некоторые применения метода сеток в газовой динамике: Сб. статей. Вып. б./Под ред. Г. С. Рослякова и Л. А. Чудова; под общ. рук. Г. И. Петрова.— М.: Изд-во МГУ, 1974.— С. 129—240.

Дроздова Н. В., Росляков Г. С., Фельдман Е. Г. Нестационарное двумерное течение газа в канале с поршнем. / Вычисл. методы и программирование: Сб. статей. Вып. 15/Под ред. В. М. Пасконова, Г. С. Рослякова; под общ. рук. И. С. Березина,— М.: Изд-во МГУ, 1970,— С. 110— 120.

Д ь я к о и о в Ю. Н., Пчелкина Л. В. О прямой задаче для сопла Лаваля. // Докл. АН СССР,— 1970,—Т. 191, № 2,—С. 301—304.

Д ь я к о н о в Ю. Н., П ч е л к и н а Л. В., С а н д о м и р с к а я И. Д. Метод характеристик для расчета двумерных вихревых течений равновесного и совершенного газа. / Вычисл. методы и программирование: Сб. статей. Вып. 7,/Под ред. Г. С. Рослякова и Л. А. Чудова. М.: Изд-во МГУ, ' 1967,— С. 206—224.

Д з ш С. М., Гуид ис П. Д. Расчет сверхзвуковых трехмерных внутренних течений и выхлопных струй. / Ракетн. техн, и космонавтика.— 1978,— № 8,— С. 70—80.

Дэш С. М., Торп Р. П. Метод сквозного счета для одно- и двухфазных течений в сверхзвуковых выхлопных струях. / Ракетн. техн, и космонавтика.— 1981.— № 9.— С. 12—25.

Е в с е е в Г. А. Экспериментальное исследование течения разреженного газа. / Изв. АН СССР. Механика.— 1965.— № 3.— С. 165—172.

Е р е м и н В. В., Липницкий IO, М. О построении многомерных разностных схем третьего порядка точности. Ц ЖВМ и МФ,— 1974,— № 2,— С. 379-389.

Жигулева И. С., Пирумов У. Г. Исследование распространения малых возмущений в сверхзвуковых конических соплах.— М.: Оборонгиз, 1959,—46 с.

Ж у к о в А. И. Применение метода характеристик к численному решению одномерных задач газовой динамики. / Тр. матем. ин-та им. В. А. Стеклова,— I960,— Т. 58,— 155 с.

3 и м о н т В. Л. О величине импульса сопла при неравномерных газодинамических параметрах потока. Ц Изв. вузов. Авиац. техн.— Казань.— 1970,— № 2,— С. 104—108.

Иванов М. Я., Корецкий В. В. Расчет течений в двумерных и пространственных соплах методом приближенной факторизации. ЖВМ и МФ — № 9,— 1985,— С. 1365—1381.

И в а н о в М. Я., К р а й к о А. Н. Численное решение прямой задачи о 23*

смешанном течении в соплах. / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1969.— № 5.— С. 77—83.

И в а п о в М. Я., К р а и к о А. Н. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений. II. / ЖВМ и МФ.— 1972.— № 3,— С. 805—813.

И в а н о в М. Я., К р а й к о А. Н., Михайлов И. В. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений. I. / ЖВМ и МФ,— 1972,—№ 2,—С. 441—463.

И в а н о в М. Я., Р ы л ь к о О. А. К анализу трансзвукового течения в эллиптических соплах. Ц Изв. АН СССР. МЖГ.— 1972.— № 3,—С. 161— 163.

И т к и н А. Л., П и р у м о в У. Г., Рыжов Ю. А. Исследование неравновесной гомогенной конденсации воды в волнах разрежения с учетом реальных свойств. Ц Высокотемпературная газовая динамика, ударные трубы и ударные волны. Материалы межд. школы-семинара.— Минск, 1983,—С. 112—118.

К а м з о л о в В. Н., Маслов Б. Н., Пирумов У. Г. Исследование траекторий частиц в соплах Лаваля. / Изв. АН СССР. МЖГ.—1971.— № 5,— С. 849—856.

К а м з о л о в В. Н., ПирумовУ. Г. Расчетное исследование сверхзвуковой струи, истекающей из отверстия с плоскими стенками. / ПМТФ.— 1967.—№ 2,—С. 117—122.

Камзолов В. Н., ПирумовУ. Г. Расчет неравновесных течений в соплах. Ц Изв. АН СССР. МЖГ.— 1966,— № 6,— С. 25—33.

К а ц к о в а О. Н. Расчет равновесных течений газа в сверхзвуковых соплах,— М.: ВЦ АН СССР, 1964,— 61 с.

К а ц к о в а О. Н., К р а й к о А. Н. Расчет плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений при наличии необратимых процессов.— М.: ВЦ АН СССР, 1964.—43 с.

К а ц к о в а О. Н., Наумова И. Н., Ш м ы г л е в с к и й 10. Д., Ш ул и ш н и н а Н. П. Опыт расчета плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений газа методом характеристик.— М.: ВЦ АН СССР, 1961.— 60 с.

К а ц к о в а О. Н., Чушкин П. И. Пространственные сверхзвуковые течения газа с неравновесными процессами. / ЖВМ и МФ.— 1968,— № 5,— С. 1049—1062.

Кацкова О. Н., Шмыглевский Ю. Д. Таблицы параметров осесимметричного сверхзвукового течения свободно расширяющегося газа с плоской переходной поверхностью.— М.: Изд-во АН СССР, 1962.— 354 с.

Каширский А. В., Коровин Ю. В., Чудов Л. А. Явный разностный метод для расчета двумерных нестационарных задач о движении продуктов детонации. / Вычисл. методы и программирование: Сб. работ. Вып. 19,/Под ред. В. М. Пасконова, Г. С. Рослякова.— М.: Изд-во МГУ, 1972,—С. 97—107.

Кестенбойм X. С., Р о с л я к о в Г. С., Ч у до в Л. А. Точечный взрыв. Методы расчета. Таблицы.— М.: Наука, 1974.— 256 с.

К и р е е в В. И., Лифшиц Ю. Б. О трансзвуковом течении газа в осесимметричных соплах Лаваля с крутыми отенками. Ц Изв. АН СССР. МЖГ,— 1970.- № 6,— С. 55—58.

К и р е е в В. И., Л и ф ш и ц Ю. Б., М и х а й л о в IO. Я. О решении прямой задачи сопла Лаваля. / Учен. зап. ЦАГИ.—1970.— Т. I, № 1.— С. 8— 13.

К и р е е в В. И., Минин С. Н., П и р у м о в У. Г. Влияние профиля сопла на характеристики газодинамического лазера. / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1982,- № 6,— С. 163—167.

К и р е е в В. И., Пирумов У. Г. О профилировании сопел модельных систем. / Изв. АН СССР. МЖГ,— 1979,— № 2 — С. 187—189.

Киреев В. И., Пирумов У. Г. Расчет стационарных сверхзвуковых течений с неравновесными химическими реакциями. / ЖВМ и МФ.—■ 1980.—№ 1.—С. 182—190.

К л и г е л ь Дж. Течение смеси газа с частицами в сопле. / Вопр. ракетн. техн,—1965,—№ 10.—С. 811—826.

К о л г а н В. П. Применение операторов сглаживания в разностных схемах высокого порядка точности. / ЖВМ и МФ.— 1978.— № 5.— С. 1340— 1345.

Колмогоров В. Ф. Численное решение обратной задачи теории сопла Лаваля применительно к двумерным неравновесным течениям совершенного газа. И Изв. АН СССР. МЖГ.— 1974 — № 2,— С. 275—280.

Косолапов Ю. С., Сивобород В. А. Расчетно-теоретическое исследование истечения газа из плоских щелей и осесимметричных отверстий. / Изв. АН СССР. МЖГ.— № 2,— 1984.—С. 109—115.

Копченов В. И., К р а й к о А. Н. Монотонная разностная схема второго порядка для гиперболических систем с двумя независимыми переменными. / ЖВМ и МФ.— 1983.— № 4.— С. 848—859.

Коч п и Н. Е., К и б е л ь Н. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика: В 2 ч.— 6-е изд., исправл. и доп.— М.: Физматгиз, 1963. Ч. 1: 583 с. Ч. 2; 727 с.

Кра и ко А. Н. Вариационные задачи газовой динамики.— М.: Наука, 1979,—448 с.о

К р а й к о А. Н., Осипов А. А. Исследование отражения возмущений от дозвуковой части сопла Лаваля. / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1973.— № 1.— С. 84—93.

Край ко А. Н, Шеломовский В. В. О профилировании плоских и осесимметричных сопел и каналов, реализующих заданный сверхзвуковой поток в сечении выхода. / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1981.— № 2.— С. 94—102.

Крокко Л., Чжен С инь-и. Теория неустойчивости горения в жидкостных ракетных двигателях.— М.: ИЛ, 1958.— 351 с.

Кувшинников Н. Д. Исследование и расчет течений вязкого газа в соплах Лаваля: Дне. на соискание степени канд. физ.-мат. наук.— М., 1984.

Кузнецова Л. В., Павлов Б. М. О расчете течений вязкого газа в соплах Лаваля. / Вычисл. методы и программирование: Сб. статей. Вып. 27./Под ред. В. М. Пасконова и Г. С. Рослякова.— М.: Изд-во МГУ, 1977.— С. 22—28.

Кулагина О. В., Пирумов У. Г., Росляков Г. С. Расчет запуска сверхзвукового сопла. / Вычисл. методы и программирование: Сб. статей. Вып. 38,/Под ред. В. М. Пасконова и Г. С. Рослякова.— М.: Изд-во МГУ, 1983,— С. 78—82.

Курант Р. Уравнения с частными производными.— М.: Мир, 1964,— 830 с.

Куршаков А. В., Салтанов Г. А., Ткаленко Р. А. Теоретическое н экспериментальное исследование конденсации в центрированной волне разрежения. Ц ПМТФ,—1971,—№ 5,—С. 117—122.

Лаваль П. Нестационарный метод расчета транзвуковых течений в соплах. / Числ. методы в механ. жидкостей,— М.: Мир, 1973,— С. 9—17.

Ле б еди и с к и й Е. В., Натанзон М. С., Я р л ы к о в а Н. И. Акустические энтропийные и вихревые возмущения в канале переменного сечения. И Изв. АН СССР. МЖГ,— 1982 — № 1 — С. 81—98.

Левин В. А., Т у н и к Ю. В. Движение релаксирующей смеси газов в двумерных плоских соплах. / Изв. АН СССР. МЖГ,— 1975,— № 1.— С. 118—125.

Левин В. Я., Пирумов У. Г., Ф ир с о в О. И., Шу с то в С. А. Исследование течений в соплах Лаваля при низких числах Рейнольдса. / Изв. АН СССР. МЖГ,— 1980.— № 3,— С. 90—97.

Лобановский Ю. И. О мопотонизации конечно-разностных решений в методах сквозного счета. / ЖВМ и МФ,— 1979,—№ 4,—С. 1063—1069.

Лосев С. А. Газодинамические лазеры.— М.: Наука, 1977.— 335 с.

Лунев В. В. Гиперзвуковая аэродинамика.— М.: Машиностроение, 1975,— 327 с.

Ляхов В. Н. Сглаживание и искусственная вязкость при расчетах двумерных нестационарных течений с разрывами. / Числ. методы механ. сплошной среды.— № 3.— Новосибирск.— 1974.— С. 69—74.

М а г о м е д о в К. М., ХолодовА. С. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений. Ц ЖВМ и МФ.— 1969.— № 2.— С. 373—386.

М а р т е н с е н Е., Фон 3 е м г б у ш И. Расчет околозвуковой части плоских и осесимметричных сопел с криволинейной линией перехода.—■ Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.— 148 с.

М ассье И., Б эк Л., Ноэль М., Сахе ли Ф. Влияние вязкости на коэффициент расхода сверхзвукового сопла. /Ракетн. техн, и космонавтика,—1970.—№ 3,—С. 605—607.

Межибовская Е. Г., Пирумов У. Г., Рубцов В. А., Сорокин а Е. В. Расчет кольцевых осесимметричных сопел.—■ М.: Изд-во МГУ, 1961,— НО с.

Мельников Д. А., Пирумов У. Г., Сергиенко А. А. Сопла реактивных двигателей. / Аэродинамика и газовая динамика.— М.: Наука, 1976,—С. 53—75.

М е л ь н и к о в Д. А., Т у т у ш к и н А. С. Малые нестационарные возмущения газового течения в канале со сверхзвуковым соплом. / Изв. АН СССР. МЖГ —1981,—№ 1,—С. 112—121.

Мигдал Д. Сверхзвуковые кольцевые сопла. / Вопр. ракетн. техн,—- 1972 — № 8,— С. 35—42.‘

Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости.— М.: ИЛ, 1961,— 588 с.

Моретти Дж. К вопросу о выделении скачка. / Механика. Новое в зарубеж. науке.— 1977.— № 14.— С. 55—63.

Н иг мату лин Р. И. Динамика многофазных сред. Т. 1.— М.: Наука, 1987.-464 с.

Ни к у л ин Г. 3., Пирумо в У. Г'., Пчелкина Л. В., Росляков Г. С. Пространственное течение газа в соплах. / Вычисл. методы и программирование: Сб. работ. Вып. ЗО./Под ред. В. М. Пасконова и Г. С. Рослякова.— М.: Изд-во МГУ, 1979 — С. 30—74.

Никулин Г. 3., Пирумов У. Г., Пчелкина Л. В., Росляков Г. С. Исследование боковых сил и моментов при несимметричных течениях газа в соплах. Ц Изв. АН СССР. МЖГ — 1980,— № 2 — С. 70—85.

Овсянников А. М. Расчет течения в дозвуковой и трансзвуковой частях кольцевых сопел. Ц Изв. АН СССР. МЖГ,—1971.— № 6.—С. 137— 143.

Овсянников А. М. Исследование смешанных течений в радиальных соплах для МГД-генераторов. / Вычисл. методы и программирование: Сб. статей. Вып. 23,/Под ред. В. М. Пасконова и Г. С. Рослякова.— М.: Изд-во МГУ, 1974,—С. 103—125.

Овсянников А. М. Исследование влияния закрутки потока на течения в соплах. Ц Вычисл. методы и программирование. Сб. статей. Вып. 27,/Под ред. В. М. Пасконова и Г. С. Рослякова.— М.: Изд-во МГУ, 1977 — С. 65—72.

Овсянников А. М., Пирумов У. Г. Метод расчета контуров аэродинамических сопел с переходом через скорость звука. / Изв. АН СССР. МЖГ,— 1975 —№ 1,—С. 66—71.

Овсянников А. М., Пирумов У. Г., Плетнева Е. М., Росляков Г. С. Атлас плоских сопел.— М.: Изд-во МГУ, 1976.— 108 с.

Овсянников Л. В. Об одном газовом течении с прямой линией перехода. Ц ПММ.— 1949.— Т. 13, вып. 5.— С. 537—542.

Овсянников Л. В. Исследование газовых течений с прямой линией перехода. / Труды ЛКВВИА.— 1950,—Вып. 33,—С. 3—24.

Осипов А. А. О распространении трехмерных акустических возмуще-

ний в осесимметричных каналах медленно меняющегося переменного сечения. / Изв. АН СССР. МЖГ,— 1978,—№ 5,— С. 125-132._

Осипов А. А. Распространение трехмерных акустических возмущений в каналах переменной площади поперечного сечения при частотах, близких к частоте отсечки. / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1980.— № 6.— С. 149— 160.

Паско нов В. М., Петров Г. И., Росляков Г. С. Вычислительная аэродинамика. / Материалы научной конференции по вычисл. математике,—М.: Изд-во МГУ, 1981,— С. 36—45.

Паско нов В. М., Полежаев В. И., Чудов Л. А. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена.— М.: Наука, 1984.— 286 с.

Патерсон Г. Н. Молекулярное течение газов.— М.: Физматгиз, 1960. 139. Пашацкий Н. В., Сыромятников Н. И. О зависимости температуры торможения струй газа с твердыми частицами от концентрации частиц и их скорости. / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1970.— № 4.— С. 682—683.

Пирумов У. Г. Расчет течения в сопле Лаваля. / Изв. АН СССР. МЖГ,— 1967,— № 5,— С. 10—22.

Пирумов У. Г. Исследование двухслойных течений газа в сверхзвуковых осесимметричных соплах. / Изв. АП СССР. МЖГ.— 1970.— № 4.— С. 76—81.

Пирумов У. Г. Исследования течений в до- и трансзвуковой областях сопла Лаваля. / Изв. АП СССР. МЖГ.— 1970.— № 1.— С. 53—63.

Пирумов У. Г. Обратная задача теории сопла и численное решение внутренних задач газовой динамики. / Некоторые применения метода сеток в газовой динамике: Сб. статей. Вып. б./Под ред. Г. С. Рослякова и Л. А. Чудова; под общ. рук. Г. И. Петрова.— М.: Изд-во МГУ, 1974.— С. 5— 128.

Пирумов У. Г. Особенности однофазного течения в сопле. / Термодинамические и теплофизические свойства продуктов сгорания.— Т. 1./ Под ред. Глушко В. Н,— М.: ВИНИТИ, 1971,— 266 с.

Пирумов У. Г. Пространственные до- и сверхзвуковые течения в соплах и каналах переменного сечения. / ПММ.— 1972.— Т. 36, № 2.— С. 239— 247.

Пирумов У. Г. К теории маловозмущеппых пространственных течений в соплах. у Изв. АН СССР. МЖГ,— 1977,—№ 1,—С. 146—154.

Пирумов У. Г. Численные методы решения задач физической газовой динамики. у Гидроаэромеханика и космические исследования.— М.: Наука, 1984,— С. 103—116.

Пирумов У. Г. Определяющие параметры при неравновесном течении газа с гомогенной конденсацией. / Изв. АН СССР. МЖГ.—1985.— № 3.— С. 80—87.

Пирумов У. Г. Обратная задача теории сопла.— М.: Машиностроение, 1988.™ 240 с.

II и р у м о в У. Г., Росляков Г. С. Течения газа в соплах.— М.: Изд-во МГУ, 1978,— 351 с.

Пирумов У. Г., Росляков Г. С. Численные методы решения задач физической газовой динамики внутренних течений. Ц VI Межд. конф, по числ. методам в гидродинамике. Тбилиси, 1978; Сб. докладов. Т. П.— М : ИПМат. АН СССР, 1978,—С. 162—166.

Пирумов У. Г., Росляков Г. С. Численные методы газовой динамики.— М.: Высшая школа, 1987.— 232 с.

Пирумов У. Г., Р о с л я к о в Г. С., Сухоруков В. П. Исследование сверхзвуковых течений в конических соплах. / Изв. АН СССР. МЖГ,— 1974,—№ 3.—С. 101—107.

Пирумов У. Г., Росляков Г. С., Сухоруков В. П. Расчет течений с разрывами методом сквозного счета, у Вычисл. методы и программирование: Сб. статей. Вып. ЗО./Под ред. В. М. Пасконова и Г. С. Рослякова.— М.: Изд-во МГУ, 1979.— С. 75—93.

Пирумов У. Г., Рубцов В. А. Расчет осесимметричных сверхзву-

новых кольцевых сопел. / Изв. АН СССР. Механ. и машпностр.— 1961.— № 6,— С. 15—25.

Пирумов У. Г., Рубцов В. А., Суворова В. Н. Расчет осесимметричных сопел с учетом равновесных физико-химических превращений. „ Числ. методы в газовой динамике: Сб. статей. Вып. 2,/Под ред. Г. С. Рослякова и Л. А. Чудова.— М.: Изд-во МГУ, 1963.— С. 48—59.

П и р у м о в У. Г., Суворова В. Н. Прямая задача теории сопла. / Вы- числ. методы и программирование: Сб. статей. Вып. 27,/Под ред. В. М. Пас- конова и Г. С. Рослякова М.: Изд-во МГУ, 1977, с. 73—80.

Пирумов У. Г., Суворова В. Н. Численное решение обратной задачи теории сопла для двухфазной смеси газа и частиц. Ц Изв. АН СССР. МЖГ,—1986,—№ 4. С. 106—114.

Попов Ю. П., Самарский А. А. Полностью консервативные разностные схемы для уравнений газовой динамики в переменных Эйлера. Ц ЖВМ и МФ,— 1970.— № 3,— С. 773—779.

Рей В. Некоторые результаты численных расчетов вязких течений разреженного газа в соплах в приближении узкого канала. / Ракетн. техн, и космонавтика.— 1971.— № 5.— С. 811—820.

Рихтмайер Р. Д., Мортон К. У. Разностные методы решения краевых задач.— М.: Мир, 1972.— 418 с.

Рождественский Б. Л., Янепко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений.— М.: Наука, 1978.— 688 с.

Розе Д. Исследование вязких потоков в сверхзвуковых соплах с помощью электронного пучка. /Ракетн. техн, и космонавтика.—1971.—• № 5,- С. 804-811.

Росляков Г. С. Двумерное течение газа в трубе переменного сечения. / Труды секции по численным методам в газовой динамике II Межд. коллоквиума по газодинамике взрыва и реагирующих систем (Новосибирск, 1969).- М.: ВЦ АН СССР, 1971.

Росляков Г. С. Методы численного исследования внутренних задач газовой динамики. / Всесоюзп. семипар «Вычисл. методы газовой динамики и тепломассообмена».— Алма-Ата, 1980.— С. 83—91.

Р о с л я к о в Г. С., Скляр Н. В, Ф е л ь д м а н Е. Г. Расчет течения газа в сопле Лаваля. / Вычисл. методы и программирование: Сб. статей. Вып. 34./Под ред. В. М. Пасконова, Г. С. Рослякова.— М.: Изд-во МГУ, 1981,— С. 63-70.

Росляков Г. С., Сухоруков В. П. Разностный метод для расчета течений газа с разрывами. / Вычисл. методы и программирование: Сб. статей. Вып. 19./Под ред. В. М. Пасконова, Г. С. Рослякова.— М.: Изд-во МГУ, 1972 — С. 83—96.

Росляков Г. С., Теле нин Г. Ф. Обзор работ по расчету стационарных осесимметричных течений газа, выполненных в Вычислительном центре МГУ. / Численные методы в газовой динамике: Сб. статей. Вып. 2,/ Под ред. Г. С. Рослякова и Л. А. Чудова. М.: Изд-во МГУ, 1963.— С. 5—19.

Росляков Г. С., Теленин Г. Ф. Обзор работ по численному исследованию внешних и внутренних задач аэродинамики, выполненных в Московском университете. / Вычисл. методы и программирование: Сб. статей. Вып. 11./Под ред. В. М. Пасконова, Г. С. Рослякова, Л. А. Чудова; под общ. рук. И. С. Березина. М.: Изд-во МГУ, 1968.— С. 93—112.

Р о с л я к о в Г. С., Чудов Л. А. Численные методы в механике сплошных сред: В 3 ч. Ч. 1,— М.: ВЦ МГУ, 1968,- 81 с.

Роуч П. Вычислительная гидродинамика.— М.: Мир, 1980.— 616 с.

Русанов В. В. Характеристики общих уравнений газовой динамики. / ЖВМ и МФ,— 1963,— № 3,— С. 508—527.

Русанов В. В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений. / Докл. АН СССР.— 1968.— Т. 180, № 6.— С. 1303—1305.

Рыжов О. С. Исследование трансзвуковых течений в соплах Лаваля.— М.: ВЦ АН СССР, 1965 —238 с.

Рычков А. Д. Расчет закрученного течения идеального газа в сопле Лаваля. // Изв. АН СССР. МЖГ,— 1971— № 5,— С. 72—76.

Рэнсом В, Гоффман Дж., Томпсон X. Метод бихарактеристик второго порядка для расчета пространственного установившегося сверхзвукового течения. / Ракетн. техн и космонавтика.— 1972.— № 12.— С. 26—37.

Салтанов Г. А., Симоновский Г. И., Чирихин А. В. Спонтанная конденсация азота в плоском сопле криогенной аэродинамической трубы. и ПМТФ,— 1984,— № 6,—С. 97—101.

Салтанов Г. А. Неравновесные п нестационарные процессы в газодинамике однофазных и двухфазных сред.— М.: Наука, 1979.— 256 с.

Самарский А. А. Теория разностных схем.— М.: Наука, 1983.— 616 с.

С а м а р с к и й А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем.— М.: Наука, 1973,—416 с.

Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные схемы газовой динамики.— М.: Наука, 1975.— 352 с.

Седов Л. И. Механика сплошной среды.— Т. 1.— М.: Наука, 1983.

Седов Л. И., Ч е р н ы й Г. Г. Об осреднении неравномерных потоков газа в каналах. / Теоретическая гидродинамика.—1954.— Т. 4, № 12,— С. 17—30.

Сергиенко А. А. Газодинамический импульс потока в осесимметричных каналах. / Проблемы механ. и теплообмена в косм, технике.— М.: Машиностроение, 1982.— С. 136—151.

Славянов Н. Н. Исследование закрученных течений сжимаемого газа в соплах: Дис. на соискание степени канд. физ.-мат. наук.— М., 1974.

Станюкович К. П. Неустановившиеся движения сплошной среды,— М.: Наука. 1971,—854 с.

Старков В. К., Стернин Л. Е., Тишин А. П., Худяков В. А. О некоторых особенностях двухфазных течений в соплах. / Изв. АН СССР. МЖГ,— 1973,— № 3.— С. 384-390.

Степанов Г. Ю., Г о г и ш Л. В. Квазиодномерная газодинамика сопел реактивных двигателей.— М.: Машиностроение, 1973.— 168 с.

Стернин Л. Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах.— М.: Машиностроение, 1974.— 212 с.

Стернин Л. Е., Маслов Б. Н., Шрайбер А. А., Подвысоц- к и й А. М. Двухфазные моно- и полидисперсные течения газа с частицами.— М.: Машиностроение, 1980.— 176 с.

Стрикверда Дж. К. Разностная схема расщепления по времени для уравнения Навье — Стокса течения сжимаемого газа и ее применение к расчету течений в соплах со щелями. / Параллельные вычисления. М.: Наука, 1986,— С. 236-248.

Стулов В. П., Турчак Л. И. Неравновесное обтекание затупленных тел газовой смесью, содержащей углекислый газ. / Труды НИИ Механики МГУ,— 1970.— № 5,— С. 35—49.

Ступаченко Е. В., Л о с е в С. А., Осипов А. И. Релаксационные процессы в ударных волнах.— М.: Наука, 1965.

С ь ю л В., Мюллер Т. Поле течения и донное давление в соплах с центральным телом. / Вопр. ракетп. техн.—1974.— № 2.

Таблицы газодинамических функций./Под ред. Г. С. Рослякова.— М.: Изд- во МГУ, 1965,— 160 с.

Т е л е н и п Г. Ф., Липницкий 10. М., Еремин В. В. Расчет вихревых течений в соплах. // Труды НИИ механики МГУ.— 1975.— № 41.— С. 50—63.

Термодинамические свойства индивидуальных веществ: Справочник./Под ред. В. П. Глушко.— М,: ВИНИТИ, 1962.

Тимошин А. Н. Исследование течения в сверхзвуковом сопле вблизи его выходного сечения при различных величинах степени нерасчетности. / ИФЖ.— 1970.— Т. 1, № 2,— С. 233—236.

Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. / Докл. АН СССР.— 1963.— Т. 151, № 3.— С. 501—504.

Тишин А. П. Особенности течения двухфазных продуктов в сопле. / Термодинамические и теплофизические свойства продуктов сгорания.—■ Т. l./Под ред. В. П. Глушко,— М.: ВИНИТИ, 1971.

Ткаленко Р. А. Конденсация паров воды при расширении в плоских и осесимметричных соплах. / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1972.— № 6.—■ С. 1009—1012.

Ткаченко А. С. Численное исследование тяговых характеристик и структуры пространственных течений в соплах. / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1981.— № 5,— С. 168—173.

Уолтерс А. Несимметричные течения в соплах Лаваля. / Вопр. ра- кетн. техн.— 1974.— № 8.— С. 21—60.

Федорченко А. Т. О методе расчета двумерных нестационарных течений вязкого газа в соплах. / Докл. АН СССР.— 1980.— Т. 251, № 3,— С. 578—582.

Федосов А. А. Исследование колебательно-неравновесных течений в плоских соплах Лаваля. Дис. на соискание степени канд. физ.-мат. паук. Казань, 1982.— 154 с.

Фирсов О. И. Численное исследование течений газа в соплах при малых числах Рейнольдса.— Деп. ВИНИТИ, № 2134—78.

Франкль Ф. И. К теории сопел Лаваля. / Изв. АН СССР. Мат.— 1945.— № 5,— С. 387—422.

Франкль Ф. И. Истечение сверхзвуковой струи из сосуда с плоскими стенками. // Докл. АН СССР,— 1947 — Т. 58, № 3,— С. 381—384.

Франкль Ф. И. О прямой задаче теории сопла Лаваля. / Уч. зап. Кабард.-Балк. гос. ун-та.— 1959.— Вып. 3.— С. 35—61.

Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей.— М.: Изд-во АН СССР, 1945,—433 с.

Фукс Н. А. Механика аэрозолей.— М.: Изд-во АН СССР, 1955.

Хайлов В. М. Химическая релаксация в соплах ракетных двигателей.—■ М.: Машиностроение, 1975.

Хилл Ф., Унгер Г., Диккенс В. Спектроскопические измерения состава газообразных продуктов сгорания в сверхзвуковом потоке. / Ра- кетн. техн, и космонавтика.— 1967.— № 5.— С. 873—881.

Холодов А. С. О построении разностных схем повышенного порядка точности для уравнений гиперболического типа. / ЖВМ и МФ.—1980.—■ № 6.— С. 1601—1620.

Холст Т. Л. Ускоренный численный метод решения уравнения для полного потенциала скорости трансзвукового потока на основе консервативной схемы. / Ракент. техн, и космонавтика.— 1980.— № 12.— С. 29— 40.

Черный Г. Г. Закрученные течения сжимаемого газа в каналах. / Изв. АН СССР. ОТН,—1956,—№ 6,—С. 55—62.

Чирихип А. В. Численное исследование гетерогенно-гомогенной конденсации в сверхзвуковом сопле. / Изв. АН СССР. МЖГ.— 1977.— № 1.— С. 137-145.

Чирихип А. В. Нестационарная конденсация азота в сверхзвуковом сопле. / Уч. зап. ЦАГИ.— 1980,— Т. XI, № 5,— С. 53—60.

Численные методы в динамике жидкостей.— М.: Мир, 1981.— С. 9—79.

Чушкин П. И. Метод характеристик для пространственных сверхзвуковых течений.— М.: ВЦ АН СССР, 1968.—122 с.

Ч э н г И ш и. Одно- и двухкомпонентные течения в соплах. / Ракетн. техн, и космонавтика.— 1980.— № 12.— С. 59—67.

Шанкар В. Неявная маршевая консервативная схема для расчета параметров сверхзвуковых течений на основе нелинейного уравнения потенциала. / Аэрокосмическая техника.— 1983.— № 6.— С. 24—35.

Шашкин А. П. О построении монотонной схемы второго порядка аппроксимации. Ц Численный анализ.— Новосибирск: 1978.— С. 111—118.

Шифрин Э. Г., Шулаков М. А. Решение прямой задачи для плоского сопла Лаваля релаксационным численным методом по схеме Мурмена— Коула. Ц Уч. зап. ЦАРИ.— 1981.— Т. XII, № 3.

Я н е н к о Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики.— Новосибирск, Наука, 1967.— 196 с.

Amann Н. О. Experimental study of the starting process in a reflected nozzle Ц Phys. Fluids.— 1969,—V. 12, N 5, pt. 2,—P. 150—153.

В a b i a n о A., Chevalier P. Calcul bidimensionnel de revolution de 1’ecoulement relaxe d un gas dans une tuyere sonique convergente-divergen- te // C. R. Acad. Sci. Paris — 1973,— T. 276, N 13 — P. 953—956.

Bailey W. 8., N i 1 s о n E. N„ 8 e r r a R. A., Z u p n i k T. F. Gas-particle flow in axisymmetric nozzle / ARS J.—1961.— V. 31, N 6.— P. 793— 799.

Bell W. A., Zinn В. T. The prediction of three dimensional liquid propellant rocket nozzle admittances / Georgia inst. of tech, rep., 1973.

BelotserkovskyiO. M., C hu s h k in P. I. Numerical solution of problems in gas dynamics Ц Basic developments in fluid dynamics.— V. 1.— New York: Acad. Press, 1965.— P. 1—126.

В о о k D. L., Boris J. P., Hain K. Flux-corrected transport II. Generalizations of the method / J. Comput. Phys.— 1975.—N 18.—P. 248—283.

Bray K. N. C. Atomic recombination in a hypersonic windtunnel nozzle / J. Fluid Meeh — 1959,— V. 6, N 1,— P. 1—32.

В г о e r L. Characteristics of equations of motion of reacting gas / J. Fluid Meeh — 1958,— V. 4, N 3 — P. 276—282.

Butler D. 8. The numerical solution of hyperbolic systems of partial differential equations in three independent variables Ц Proc. Roy. Soc.— 1962,— Ser. A. 267,— P. 232—257.

С г о с с о L. Eine noue Stromfunktion fur die Erforshung der Bewegung der Case mit Rotation / Z. Angew. Math. Meeh.— 1937,— Bd. 17,— P. 1—7.

Ferquson D. F., L i g h t h i 11 M. J. The hodograph transformation in transsonic flow Ц Proc. Roy. Soc.— 1947.— 192.— P. 135—142.

Fraenkel L. E. On the flow of rotating fluid past bodies in a pipe / Proc. Roy. Soc.— 1956,— Ser. A. 233.— P. 506—526.

Gorchakova N. G., Skovorodko P. A., Yarygin V. N. Free jet expansion with a strong condensation effect Ц 13th Int. Symp. of Rarefied Gas Dynamics: Book of abstracts, 1982.— P. 456—458.

G drtier G. H. Zum Ubergang von Unterschall zu Ubershallgeschuindig- keiten in Dusen / Z. Angew. Math, and Meeh., 1939.— Bd. 19, H. 6,— P. 325—327.

Hall J. M. Transonic flow in two — dimensional and exiallysymmetric nozzles / Quart. J. Meeh. Appl. Math.— 1962.— V. 15, pt. 4.— P. 487—508.

H a r t e n A. The artificial compression method for computation of shocks and contact discontinuties: III Self adjusting hybrid schemes Ц Math, of Comp.— 1978.— V. 32, N 142,— P. 363—389.

Hoffman J. D., M a у k u t A. R. Gas dynamic gain of supersonic thrust nozzles / J. Spacecraft and Rockets.— 1974.— V, 11, N 10.— P. 697—704.

Itkin A. L., Pirumov U. G., R i j о v Yu. A. Studies of nonequilibrium homogeneous condensation Ц 13th Int. Symp. of Rarefied Gas Dynamics: Book of abstracts.— 1982.— P. 341—342.

Itkin A. L., Pirumov U. G.. R i j о v Yu. A. Modified homogeneous condensation model. Comparison of theoretical and experimental results / Proc, of 14th Int. Symp. of Rarefied Gas Dynamics.— University of Tokyo Press.— 1984 — P. 937—943.

Itkin A. L., Pirumov U. G., R i j о v Yu. A., Rozovsky P. V. Nonequilibrium condensation in spherical symmetrical unsteady rarefied wave / Proc, of 14th Int. Symp. of Rarefied Gas Dynamics.— Univ, of Tokyo Press.— 1984,— P. 945—950.

King W. S. A theoretical investigation of swirling flow through a nozzle: Ph. D. dissert. UCLA, Los Angeles, Calif., 1967.

Lax Р. D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations / Comm. Pure and Appl. Math.— 1954.— V. 7, N 1.— P. 159—193.

Lax P. D., Wendroff B. Systems of conservation laws / Comm. Рига and Appl. Math — I960 — V. 13. N 2,— P. 217—237.

Lighthill M. J. On boundary layers and upstream influence, II. Supersonic flows without separation / Proc. Roy. Soc.— 1953.— Ser. A, 217.— P. 478—507.,

MacCormak R. W. The effect of viscosity in hypervelocity impact cratering / AIAA Paper.— 1969.— N 69—354.

Mager A. Approximate solution of isentropic swirling flow through a nozzle / ARS J.—1961,—V. 31; N 8.—P. 1140—1148.

Meyer T. Uber zweidimensionale Bewegung vorgange in einem Gas das mit Uberschallgeschwindiskeit stromt / Forschung heft.— 1908.— 62.— P. 31—67.

M i g d a 1 D. Study on pressure distributions in conical nozzles / Grumman aircraft eng. corp.— ADR—01—10—65, 1, 1965.

Moretti G. The X-scheme / Comp. Fluids.— 1979.— V. 7.— P. 191—205.

Morton D. J. Subsonic, transonic and supersonic nozzle flow by the inverse technique / J. Spacecraft and Rock.— 1972.— V. 9, N 6.— P. 457—459.

Petrov G. I. Determination of the position of the supersonic flow closing shock wave in the channels of an air — breating jet engine / Second Int. Conf, on Space Enginering, D.; Reidel Publ. Co., Amsterdam, 1969.

Pirumov U. G., Roslyakov G. S. Gas Flow in Nozzles / SpringerVerlag, Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo, 1986.— 424 p.

Rusanov V. V. A difference scheme of third-order accuracy for non-linear hyperbolic systems / J. Comput. Phys.— 1970.— V. 5, N 3.— P. 507— 516.

Saito Y., Noda T., Mihama K. Production of metal atom clusters and characterization by mass spectrometry / Proc, of 14th Int. Symp. of Rarefied Gas Dynamics.— Univ, of Tokyo Press.— 1984.— P. 839—846.

Sauer R. General characteristics of the flow through nozzless at near critical speeds / Tech. Memor. NASA.— 1947.— P. 1147.

S i v e 11 s T. C. Aerodynamics design of axisymmetrical hypersonic windtunnel nozzles / J. Spacecraft and Rock.— 1970.— V. 7, N 11.— P. 1292—1299.

Smith С. E. The starting process in a hypersonic nozzle / J. Fluid Meeh — 1966 — V. 24; pt. 4.

Taylor G. I. The flow of air high speed past curved surfaces / Great Britain Aeronaut. Res. Commitee Rep. and Memor.— 1930.— N 1381,

T s i e n H. S. Transfer functions of rocket nozzles Ц ARS J.— 1952.— V. 22, N 13,— P. 139—162.

Von Neumann J., Richtmyer R. D. A method for numerical calculations of hydrodynamic shocks Ц J. Appl. Phys.— 1950,— V. 21, N 3.— P. 232—237.

Zannetti L. A time-dependent method to solve the inverse problem for internal flow ^ AIAA Pap.— 1979,— N 13.

Научное издание

ПИРУМОВ Улъян Гайкович.

РОСЛЯКОВ Геннадий Степанович

ГАЗОВАЯ ДИНАМИКА СОПЕЛ

Заведующий редакцией Л. А. РусаковРедактор М. Н. КравченкоХудожественный редактор Т. Н. Кол-ьченкоТехнический редактор С. Я. ШклярКорректоры И. Я. Кришталъ, М. Л. Медведская

ИБ № 12954

Сдано в набор 21.10.88. Подписано к печати 03.04.90. Формат 60X90/16. Бумага тип. Xi 2. Гарнитура обыкновенная новая. Печать высокая. Усл. печ. л. 23. Усл. кр.-отт. 23. Уч.-изд. л. 25,3. Тираж 2230 зкз. Заказ № 464. Цена 5 р. 40 к.

Издательско-производственное и книготорговоеобъединение «Наука»

Главная редакцияфизико-математической литературы

117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15

4-я типография издательства «Наука»630077 Новосибирск, 77, Станиславского, 25

Ul’yan G. Pirumov, Gennadii S. Roslyakov

GAS DYNAMICS OF NOZZLES

About the authors

Ul’yan G. Pirumov, Professor, Doctor of Technical Sciences, Head of the Numerical Mathematics and Programming Chair, Moscow Aviation Institute, member of the USSR National Committee on Theoretical and Applied Mechanics, the USSR State Prize (twice) and Zhukovski Prize Winner, author of eight monographs.

Gennadii S. Roslyakov, Professor, Doctor of Physico-Mathematical Sciences, Head of the «Numerical Methods in Gas Dynamics» laboratory, Numerical Mathematics Department, Moscow University, the USSR State Prize and Zhukovskii Prize Winner, author of six monographs.

The authors are the USSR and world leading specialists on gas dynamics of nozzles.

Summary

The monograph presents the modern theory of gas flows in nozzles, as well as new numerical and analytic methods and numerous examples of practical applications. The methods and ideas discussed in the book are used for solving a wide class of innovative technological problems, such as manufacture of ultra dispersed powders, detonation and continuous spraying of coatings upon structural elements, the laser-electric method of drilling holes, etc., and for the problems of preserving the air basin in order to predict and neutralize toxic compounds formed at high temperatures in energetics, metallurgy and on transport.

Besides, various physico-chemical processes are considered, such as dissociation, recombination, relaxation of vibrational degrees of freedom, two-phase flows with particles lagging in both velocity and temperature, flows with phase transformations including condensation and crystallization.

The monograph presents practical data allowing to carry out engineering estimates. The first three chapters deal with some aspects of the general theory of gas dynamics, as well as with analytic and numerical methods of studying gas flows in nozzles. This part of the book is composed in such a manner as to be both rather general and helpful for studying various problems of physical gas dynamics, such as external and jet flows. The same is true for Chapter 6 and 7. Besides original works by the authors, the monograph is based on the works by other researches, both Soviet and foreign.

Some chapters are based on lecture courses delivered by the authors in Moscow University named after M. V. Lomonosov and Moscow Aviation Institute named after S. Ordzhonikidze. In this connection the opening chapters of the monograph may be used for teaching gas dynamics and applied mathematics to students of universities and higher technical educational establishments.

In 1978 the authors have published their monograph «Gas Flows in Nozzles» which soon became rare and hard to get.

A growing need in such a monograph has resulted in the book having been published in English by Springer Verlag in 1986. The present monograph is a

substantially revised and somewhat shortened version of the first monograph supplemented with new results obtained recently in the area of gas dynamics, such as nonstationary and three-dimentional flows, and flows with physico-chemical transformations. Thus, the two monographs supplement each other to a certain extent.

Following the publishing of the «Gas Flows in Nozzles» monograph by Springer Verlag, information about it has appeared in «Chemistry in Britain», «Strojni- ski vestnik» (Jugoslavia), «Acta Physica Polonica», «Zeitschrift fur ungewandte Mathematik und Mechanik».

Containts

The book consists of eight chapters.

General Theory

. Equations of gas dynamics.

Characteristics of gasdynamics equations

Boundary and initial conditions

Some elementary theories of gas dynamics and the simpliest types of gas flows

Methods for Calculating Gas Flows in Nozzles

Method for solving relaxation equations

Method of Characteristics

Method of Solving the Inverse Problem of the theory of Nozzles

. Shock-capturing methods.

. Computation of supersonic stationary gas flows through fized contour nozzles

. Methods of calculating mixed gas flows through fixed-contour nozzles Chapter 3. Analytic methods of studying nozzle gas flows

Methods of studying incompressible fluid flows

Expansion into stream function series

Asymptotic methods of studying gas flows in the transonic part of a nozzle

Solution in the vicinity of the infinitely distant point in the subsonic part of a nozzle

Method of small disturbances for studying nearly radial flows

Linear theory for nonstationary gas nozzle flows

Two-dimensional nozzle gas flows

Particularities of flows in sub- and transonic parts of nozzles

Conic nozzles

Annular nozzles

Off-design regimes of nozzle gas flows

Laminate nozzle gas flows

Three-dimensional and nonstationary gas flows in nozzles

Rotating gas flows in nozzles

Three-dimensional nozzle gas flows

. Nonstationary nozzle gas flows

Chapter 6. Nozzle gas flows in the presence of chemical reactions and vibrational relaxation

Equilibrium and frozen flows

Flows with nonequilibrium chemical reactions

Flows with vibrational relaxation

Two-phase nozzle flows

Flows without phase transformations

Flods with phase transformations

Nonequilibrium homogeneous condensation

Nonequilibrium crystallization

Viscous gas flows in nozzles

Narrow channel approximation

Numerical solution of full Navier — Stokes equations 266 references, 131 figures, 6 tables.

4. Recommendations:

Acad. A. N. Tikhonov, read of the «Numerical Mathematics and Cyberiioncs» department, Moscow University: «...The monograph will undoubtedly be of interest for both Soviet and foreign specialists... The authors are well known specialists in the field of numerical aerodynamics».

Acad. G. G. Chernyi: «...The monograph contains a systematic discussion of the theory of gas flows in nozzles, analytic methods and numerous aspects of practical applications including recent achievements in the area. Both authors are noted specialists in the field of gas dynamics».

Prof. L. E. Sternin: «...it should be emphasized that the monograph contains the most valuable material for specialists in the field of nozzles; the monograph will be of use for students, post — graduates and teachers of higher educational estabilishments. Personel scientific results by the authors form a considerable part of the monograph».

6 л (7 +l)z (ф) + ’ где р — коэффициент расхода, ж0 = х]х*.

Рассмотрим другой типичный случай искажения — смещение оси на величину h (рис. 5.14,6). В этом случае перед уступом и за уступом появляются отрывные зоны, длина которых в плоскости сдвига равна Zt и Z2. Давления в этих областях обозначим pi и р2. Отличие этих давлений от давления ро невозмущенного потока приводит к появлению дополнительных сил У, L2, Ri, Rs, Ki, K^. Приведя все силы к точке О, лежагцей на оси последующего участ-

У. Г. ПИРУМОВ, Г. С. РОСЛЯКОВ

ГАЗОВАЯДИНАМИКАСОПЕЛ

МОСКВА «НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ19 9 0

ББК 22.25 ПЗЗ

УДК 533.1

Пирумов У. Г'., Росляков Г. С. Газовая динамика сопел.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 368 с,— ISBN 5-02-014013-9

Дано систематическое изложение имеющихся в настоящее время сведений о течениях газа в соплах. Рассмотрены различные физические процессы, сопровождающие течения газа в соплах: химические реакции, колебательная релаксация, двухфазность. Изучено влияние на характеристики сопел вязкости, пространственных и нестационарных эффектов, наличия в потоке слоев газа с различными физическими свойствами, закрутки потока. Изложены основные аналитические, асимптотические и численные методы последования таких течений. Освещены различные стороны практических приложений.

Для специалистов, занимающихся вопросами газодинамики внутренних течений п прикладной математики.

Табл. 9. Ил. 131. Библпогр. 266 пазв.

Рецензент

доктор физико-математических наук Л. Е. Стернин

Hi «Наука».">У Физматлит, 1990Hi «Наука».">У Физматлит, 19901603040100-045

Hi «Наука».

">У Физматлит, 1990

Hi «Наука».

">У Физматлит, 1990

11053(02)-!)0°

ISBN 5-02-014013-9

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 6

Список основных обозначений'..8