ПРЕДИСЛОВИЕ

В последние годы выполнен целый ряд исследований, посвященных решению обратной задачи теории сопла. Значительное внимание уделено обратной задаче профилирования сложных каналов, реализующих заданный сверхзвуковой поток на выходе из сопла.

На основе численного метода решения обратной задачи изучен большой класс внутренних проблем физической газовой динамики таких, как течения в соплах реактивных двигателей, в каналах сложных форм с поворотом потока до 180°, в каналах МГД-генера- торов, в каналах с подводом массы и энергии.

При исследовании плоских, осесимметричных и пространственных течений учитывались разного рода неравновесные физико-химические процессы, например диссоциация и рекомбинация, возбуждение колебательных степеней свободы, конденсация, движение частиц в смеси газов.

Весьма эффективным оказался численный метод решения обратной задачи, основанный на использовании трехточечных разностных схем с переменным шагом на слое.

Область приложения рассмотренных задач достаточно широка: от авиационной техники и космонавтики до охраны воздушного бассейна.

Возможно расширение круга прикладных задач, решаемых с помощью обратной задачи. Это связано, в первую очередь, с созданием новых технологий, в которых требуется изучение течений газа в каналах сложной формы с поворотом потока до 180°.

С другой стороны, возможно применение разностного метода решения обратной задачи и для некоторого класса струйных и внешних задач.

В то же время систематическое изложение теории, аналитических методов и прикладных результатов по обратной задаче в настоящее время отсутствует. Отдельные результаты содержатся в некоторых монографиях и периодических публикациях советских и зарубежных авторов.

В предлагаемой монографии с единых позиций изложена методология обратной задачи теории сопла, приведены аналитические и численные методы, а также многочисленные примеры практических приложений. Представлены новые данные по неравновесным и двухфазным течениям.

Автор благодарит академиков Г. И. Петрова и В. С. Авдуевско- го за постоянное внимание и стимулирование исследований, результаты которых приведены в настоящем издании.

Автор благодарит также профессора Л. Е. Стернина за многочисленные полезные замечания, а также Л. И. Анохину, А. В. Панасенко, М. В. Минашкину, Е. А. Чулюкову за большую помощь при подготовке монографии к изданию.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

ВВЕДЕНИЕ

В газовой динамике различают задачи прямую и обратную. Прямая задача состоит в определении поля течения при заданной форме канала (для внутренних задач газовой динамики) или форме обтекаемого тела (для внешних задач) и заданных на некоторых границах краевых условиях. Прямая задача сводится, в общем случае, к краевой задаче, для которой, как правило, не доказаны теоремы существования и единственности.

Обратная задача состоит в определении поля течения при условиях, заданных на некоторой поверхности, и условиях в начальном сечении. При этом форма канала (или обтекаемого тела) определяется в процессе решения. Обратная задача сводится к задаче Коши, для которой, по крайней мере в окрестности поверхностей с данными Коши, гарантируется существование и единственность решения.

На формулировку краевых условий при решении прямой задачи существенным образом влияет тип уравнений, зависящий от области течения. Для стационарных течений идеального газа, которые рассматриваются в настоящей монографии, уравнения газовой динамики являются эллиптическими при дозвуковых, параболическими при трансзвуковых и гиперболическими при сверхзвуковых скоростях потока.

В обратной задаче формулировка данных Коши не зависит от типа уравнений. .

Численные методы при решении прямой задачи в отличие от обратной зависят от типа уравнений газовой динамики.

Последнее обстоятельство обусловливает значительно большую точность, быстродействие, алгоритмическую простоту и эффективность разностных методов решения обратных задач по сравнению с прямыми.

Важным свойством обратных задач является возможность проведения численного решения трансзвуковых задач без «вхождения» в особые точки в окрестности звуковых линий, что существенно упрощает процесс решения и выгодно отличает их от прямых задач.

Однако при решении обратных задач, как правило, требуется задание аналитических данных, в связи с чем рассчитываются эффективно лишь области, не содержащие поверхностей разрывов. В то же время в рамках прямой задачи удается тем или иным ме- 4

тодом определять положение поверхностей разрывов и их интенсивность.

В настоящей монографии изучаются обратные задачи теории сопла Лаваля. Формулировка обратной задачи дана для общего случая пространственных течений с неравновесными физико-химическими превращениями. Рассмотрены, в основном, течения идеального газа, хотя представлен пример формулировки обратной задачи для вязкого и теплопроводного газа.

Выписаны уравнения газовой динамики в координатах s, ф, О, где s — длина дуги, а ф и 0 — функции тока. Эти координаты можно рассматривать как обобщение координат Мизеса х, ф на пространственный случай. Использование их оказывается чрезвычайно удобным при формулировке обратной задачи теории сопла и при построении разностных схем. Помимо этого представлена запись уравнений газовой динамики в весьма общей системе координат, что позволяет рассматривать достаточно сложные течения в каналах.

В теории сопла можно выделить два класса обратных задач, отличающихся заданием условий в конечных сечениях.

Общим для них является задание данных Коши на некоторой поверхности, являющейся поверхностью тока, в частности, на оси симметрии течения. В то же время, для первого класса обратных задач характерно задание данных Коши в начальном сечении в дозвуковой области, а для второго класса в выходном сечении — в сверхзвуковой области. Второй класс задач называется задачами профилирования сопел. В первом классе обратных задач определяется поле течения в окрестности поверхности начальных данных и семейство линий тока, каждая из которых может быть выбрана в качестве «жесткого» контура сопла. В монографии рассмотрен в основном этот класс задач для одномерного, двумерного и пространственного течения.

Второй класс — задачи профилирования — рассмотрены только для двумерных (плоских, либо осесимметричных) течений на примерах профилирования сопел аэродинамических труб, сопел модельных установок и сопел со специальными условиями в выходном сечении. Конечной целью задачи профилирования является построение контура сопла, реализующего заданные условия в выходном сечении.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Для определения параметров движущегося газа служит система дифференциальных уравнений газовой динамики, которая представляет собой выраженные в дифференциальной форме фундаментальные законы сохранения массы, импульса и энергии.

В большинстве случаев течения газа в соплах сопровождаются разного рода физико-химическими процессами, для описания которых уравнения газовой динамики дополняются соответствующими кинетическими или релаксационными уравнениями. Кроме того, в

уравнения вводятся дополнительные члены, учитывающие воздействие неравновесных процессов на газодинамические параметры. Физико-химические процессы в соплах весьма разнообразны. Наиболее часто имеют место неравновесное возбуждение колебательных степеней свободы, неравновесная диссоциация и рекомбинация, неравновесное движение жидких или твердых частиц, конденсация и кристаллизация, воздействие электромагнитных полей на вид течения.

Выпишем в эйлеровых координатах дифференциальные уравнения сохранения массы, импульса и энергии для общего случая пространственного течения многофазной сплошной среды при наличии релаксационных процессов и взаимодействия между фазами [1, 27].

Будем рассматривать гомогенные и гетерогенные смеси как многоскоростной континуум со взаимопроникающим движением составляющих и обменом массой, импульсом и энергией. Многоскоростной континуум представим как совокупность N континуумов, каждый из которых относится к своей компоненте смеси и заполняет один и тот же объем, занятый смесью. Будем характеризовать каждый из этих континуумов средней плотностью рг (масса i-й компоненты в единице объема смеси), скоростью W5 внутренней энергией щ, тензором напряжений Пг. Помимо средней плотности введем и истинную плотность рг°, которая представляет собой массу i-й фазы в единице объема i-й фазы. Под компонентами будем понимать газовые компоненты, соответствующие различным молекулам, а также различным квантовым состояниям молекул (например, колебательным степеням свободы молекул) и частицы различных размеров с различными физическими свойствами. Тогда в каждой точке объема, занятого смесью, будет определено N плотностей, N скоростей и т. д.

Вводятся плотность смеси р и среднемассовая (барицентрическая) скорость смеси W:

P=f> pW=2p«w^- <м) /=1 / = 1

При записи дифференциальных уравнений полезно ввести субста- циональные производные, связанные с движением i-й компоненты dt/dt и с движением среды в целом d/dt (барицентрическая субста- циональная производная):

A^wzV = —+W™ — = А (1-2) at dt 1 dt ' dxm dt' ’

—= —+ WV = —=

dt dt 1 v dt 1 dxm dt'

где V — оператор градиента или дивергенции (применение оператора V к скалярной величине означает градиент, а к векторной — дивергенцию). Здесь и далее произведения вида W^V"1 означают

6

суммирование только по верхним индексам, относящимся к координатным осям.

Ниже рассмотрим течения, в которых диффузией можно пренебречь, однако вязкость и теплопроводность надо учитывать при записи уравнений Навье — Стокса в координатах Мизеса. Отметим, что при решении обратной задачи теории сопла вязкость, как правило, не учитывается.

Примем, что возможно воздействие на поток внешних сил и источников массы, энергии. Такого рода внешние воздействия возможны за счет электромагнитных сил, излучения, подвода массы и энергии при течениях в каналах испытательных станций и т. д.

Выпишем законы сохранения массы, импульса и энергии для 2-го компонента смеси. Имеем

ТУ

-^- + VP/WZ=2 R^M^(1.3)

TV

Pz^^-R^iY,(1.4)

+ "Г J = V (Ц - qz) + PZF,.WZ +

где Rlk— изменение массы i-го компонента за счет /г-го компонента в единице объема в единицу времени (например, из-за химических реакций, конденсации или перехода молекул из одного квантового состояния в другое); М, — изменение массы в единице объема в единицу времени за счет внешних источников; Р,й — изменение импульса i-го компонента за счет импульса /г-го компонента в единице объема в единицу времени; F, — вектор внешних сил; Е1к— изменение энергии t-ro компонента за счет /г-го компонента; L, — вектор внешних сил; L, — II,W,, q,— вектор потока теплоты; Q, — приращение энергии за счет внешних источников. Кроме того, из законов сохранения при взаимодействиях

Rik = -R^Ru = OY Ргй = -Рйг(Р,7=О);

Rik — Rfei (Ец=0).

Суммируя по i получим уравнения сохранения массы (уравнение неразрывности), импульса (уравнение движения) и энергии для смеси в целом:

2L+vPW=A1;(1.6)

ot

p = v™n™-L pF;(1.7)

dt

P—=V(L-q) + PFW + pQ,(1.8)

at

где

NN

M-^M,-, П=р;

i=l1=1

NNN

pF=2 PZFZ; L = 2 Lh 4 = 2 ^-;

= 1z=iz=i

Система дифференциальных уравнений (1.6)... (1.8) замыкается термическими и калорическими уравнениями состояния, позволяющими в предположении локального равновесия, когда в каждой точке определена температура Tt, выразить тензор напряжения Пг .и внутреннюю энергию е( через остальные параметры смеси и некоторые физико-химические переменные. При решении конкретных проблем необходимы также феноменологические уравнения, определяющие параметры массового Rm, силового Pz^ и энергетического Ет взаимодействия между фазами. В случае малого отклонения от равновесия необходимые соотношения для Rm, Рт и Ет можно получить, применяя принцип Онзагера и постулируя линейные соотношения для термодинамических потоков (например, для теплообмена, трения между фазами, интенсивности фазового перехода). В .случае химических реакций необходимые соотношения для Rm доставляет химическая кинетика.

Система (1.6)... (1.8) представляет собой весьма общую систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, рещение которой без упрощающих предположений чрезвычайно затруднительно.

Сформулируем еще некоторые предположения, которые обычно мспрльзуются при описании течений газа в соплах. Для описания многофазных течений в настоящее время широко используется модель двухжидкостной или многожидкостной сплошных сред, в которых реальное течение смеси газа и частиц заменяется взаимодействующим течением двух или более сплошных сред — собственно газа и «газа» частиц. При этом все параметры течения представляют собой величины, получающиеся осреднением по малому объему, содержащему большое количество инородных частиц. Относительно собственно газа делаются следующие предположения.

Газ представляет собой смесь совершенных газов, каждый из которых подчиняется собственному термическому и калорическому уравнениям состояния. Отклонение от свойств совершенного газа 8

(влияние тройных соударений, сил Ван-дер-Ваальса и др.), как правило, не учитывается. Поступательные и вращательные степени свободы находятся в равновесии.

Допускаются неравновесные возбуждения колебательных степеней свободы, протекание химических реакций в газовой фазе, конденсация и пр. Предположение о равновесии поступательных и вращательных степеней свободы молекул нарушается при истечении струй в пространство с малым давлением.

Относительно «газа» частиц делаются следующие предположения: каждой компоненте газовой фазы, вообще говоря, может со- отвеДствовать компонента «газа» частицы, для которой известны термическое и калорическое уравнения состояния. Однако компонента «газа» частиц может и не быть связанной с какой-либо компонентой газа. Частицы имеют сферическую форму и распределены по конечному числу групп, в каждой из которых содержатся частицы одинаковых размеров.

Расстояния, на которых характеристики течения меняются .существенно, много больше расстояний между частицами.

Собственное давление «газа» частиц, обусловленное их хаотическим движением, мало по сравнению с давлением газа.

Система дифференциальных уравнений в частных производных (1.6)... (1.8) в общем случае описывает пространственное нестационарное движение вязкого, теплопроводного газа с неравновесным возбуждением различных степеней свободы молекул, неравновесными химическими реакциями, фазовыми1 превращениями.‘

Рассмотрим некоторые частные случаи общих систем уравнений (1.2)...(1.5), либо (1.6)...(1.8). Будем рассматривать только старио- парные течения, для которых —— = 0, где / — любая из искомых dt функций.

Примем, что смесь состоит только из N газовых компонент. Система (1.6)... (1.8) должна замыкаться термическими и калорическими уравнениями состояния, которые при смеси совершенных газов имеют вид

еДТ^е^Чт^е^d-9>

МГ(Mt

где R — универсальная газовая постоянная; Мч —относительная

N

молекулярная масса t-й компоненты; Mr— ^Mr.pjp— относи- i = i

тельная молекулярная масса смеси; еДДТ)—внутренняя энергия г-й компоненты с учетом химической энергии и энергии поступательных и вращательных степеней свободы; евДТ)—энергия колебательных степеней свободы.

При наличии химических реакций система уравнений (1.6)... (1.8) дополняется уравнениями типа (1.3) для определения рг-.

В этом случае отпадает необходимость в использовании уравнений (1.4) и (1.5) для каждой компоненты, поскольку значения et и Pi определяются по известному общему давлению, температуре и плотности индивидуальных компонент смеси из соответствующих уравнений состояния. Отметим еще, что вводя массовые концент-

N

рации аг = Р1/р, ^аг= 1 и используя (1.6), уравнение (1.3) мож- i = i

но преобразовать к виду

^L = FVp, Т, aA^MJ?,(1.10)

dt

где F^p, Т, az) =1/р ^ ^иг

1=1

Для течений с возбуждением колебательных степеней свободы молекул и неравновесным протеканием химических реакций система (1.6) ... (1.10) дополняется уравнениями для нахождения энергии колебательных мод молекул:

—f-Фр^Р. Т, е^ (р=1,2,..„Р),(1.11)

где Фр — функция, характеризующая изменение колебательной энергии молекул eWp в процессе из взаимодействия.

Нижний индекс р относится к различным возбужденным колебательным модам молекул. Очевидно, что для атомарных компонент е81/,=0.

Пусть в потоке содержатся также частицы различных размеров, распределенные по к групп. Придадим параметрам частиц нижний индекс 5 и будем помечать частицы различных размеров индексом /. Тогда движение смеси газа и частиц при неравновесном протекании химических реакций и неравновесном возбуждении колебательных степеней свободы описывается при сформулированных выше предположениях следующей системой уравнений:

-^ + pvW=44;(1.12)

at

k

p-^=vmn-+2 p^+pf;(U3)

7 = 1

= VmnmW-vq+pFW + pQ;(1.14)

^J_=FUp,T,^ z=l, 2,..., TV;(1.15)

dt

-±- = Ф (р,Т, ер) р=\^1...,Р;(1.16)

-^- + ру^5=О /=1,2,..., ft;(1.17)

W = f ^ = qsj(1.18)

dt 1 dtj

где fS] — сила взаимодействия между газом и частицами /-го размера, отнесенная к единице массы газа, qSi — тепловой поток между газом и частицами /-го размера, e,s=ejs(7s) —внутренняя энергия частиц /-го размера. Система (1.12)... (1.18) дополняется представленными выше уравнениями состояния.

В потоке может происходить, кроме того, одновременная конденсация нескольких компонент смеси, однако, согласно правилу фаз, число конденсирующихся компонент не должно превышать числа независимых элементов, из которых образованы компоненты смеси. Пусть число независимых элементов в смеси равно т, число компонент в газовой фазе N, из которых первые m конденсируются. Тогда можно записать следующие уравнения материального баланса, выражающие собой условие сохранения числа атомов в процессе химических реакций и конденсации:

mNm

1 = 1i = m + l1 = 1

где aki — количество атомов ^-го типа в одном моле вещества i, bk— количество атомов й-го типа в одном моле исходных продуктов, а, — массовая доля газовой фазы, содержащей неконденсирую- щиеся компоненты; а,о — массовая доля сконденсировавшейся компоненты, ад — массовая доля конденсирующейся компоненты. Здесь и далее нижним индексом и обозначены параметры паров, I— жидкости, g — инертного неконденсирующегося газа.

Кроме уравнений материального баланса, в случае конденсации необходимо записать также и уравнения для нахождения массовой доли конденсирующейся компоненты и температуры частиц конденсата..

^ = /?(A Piv, Ту,

-~ =/Vp, Рц» Т),(1.20)

dt

где функции /,° и f,1 определяются из кинетических уравнений неравновесной конденсации. Особо подчеркнем, что при наличии неравновесной конденсации в представленных уравнениях р — суммарная плотность смеси, которая равна

mщ

1=11-1

где р,У— плотность i-й компоненты пара; рп— плотность i-й homa’

поненты сконденсированной жидкой фазы; Pg.= 2 pz — плотность

неконденсирующейся газовой фазы. Энергия и удельная энтальпия смеси при этом равна NN

е=2 а^+2

1=1

Nт

^ = 2 "^ + 2 аи^11‘' ^и — ^to — Li, i=Vi = l

где Lt — теплота конденсации.

Для замыкания системы необходимо записать уравнения со стояния:

e;=ez(/>, Г) z=l,..., TV;

eit = eit^p, T) i—\,...,m-, e,s=e,.s(Tjs) j=V..,k;(1.21)

RvivT ..R?gTRvivT ..R?gT

RvivT ..R?gT

RvivT ..R?gT

MrgNNгде pg= 2 ?м ^г=2 ^‘" Отметим, что l = m^Ai = m-Vlнения (1.21) используются для нахождения Т и е и e,s, четвертое — для определения давления, аMrgNNгде pg= 2 ?м ^г=2 ^‘" Отметим, что l = m^Ai = m-Vlнения (1.21) используются для нахождения Т и е и e,s, четвертое — для определения давления, а

Mrg

NN

где pg= 2 ?м ^г=2 ^‘" Отметим, что l = m^Ai = m-Vl

нения (1.21) используются для нахождения Т и е и e,s, четвертое — для определения давления, а

Mrg

NN

где pg= 2 ?м ^г=2 ^‘" Отметим, что l = m^Ai = m-Vl

нения (1.21) используются для нахождения Т и е и e,s, четвертое — для определения давления, а

первые три урав-

TjS по известным пятое и шестое — для определения р1У и pg.

Окончательно система уравнений, описывающая течение смеси газа и частиц при наличии неравновесной конденсации, неравновесного протекания химических реакций и неравновесного возбуждения степеней свободы молекул и внешних сил, внешних источников массы и энергии, есть система (1.12)...(1.21). Для решения системы необходимы конкретные формулы, позволяющие определить 1$ь gsj, FF, Fz, Фр, fF, fi\ M, F, Q. Соответствующие соотношения получаются из химической физики, квантовой механики, статистической механики, газовой динамики и гидродинамики, и при этом многие физические константы, содержащиеся в них, получены экспериментально. Ниже эти соотношения будут выписаны в разд. 1.3.

В общем случае система содержит

4 + 3^ + 2^+2m неизвестных р, р, Т, W, р;3, Т,3, Wj3 (/= 1,..., й), a, (i = m + 1,..., W), ан, Ти, a« (i=m-Ц,..., W) и ep {p=\,...,P) и столько же уравнений для их определения.

Итак, выписана общая система уравнений, описывающая нестационарное пространственное течение смеси газа и частиц с неравновесными химическими реакциями, неравновесным возбуждением колебательных степеней свободы и неравновесной конденсацией.

Очевидно, что система в общем виде, как она представлена, чрезвычайно сложна для исследования. В литературе не известны решения для столь общего случая, хотя и содержится достаточно большое число примеров изучения отдельно каждого неравновесного процесса, протекающего в движущемся газе.

В связи с очевидной сложностью задачи используют упрощающие гипотезы, позволяющие уменьшить либо размерность пространства, либо число неравновесных процессов.

Выпишем соотношения для определения компонент тензора напряжения П и потока тепла q,. Примем, что имеет место линейная зависимость между касательными компонентами тензора напряжений и тензора деформации (закон Ньютона) и линейная зависимость потока тепла от градиента температуры (закон Фурье). Имеем тогда

л"' = !л.г»,г; q__X.^T, (1.22)

где лД —касательная составляющая тензора напряжения; еп’т= = dWnldxrA-dW 1дхп — составляющая тензора скорости деформации; цг — динамический коэффициент вязкости i-й компоненты; индексы г и п относятся к координатным осям; ^—-коэффициент теплопроводности. Для нормальных компонент тензора напряжений имеем

+-^-4-С div VP,(1.23)

дх, 2

где—"^z + ^i; где [^—коэффициент второй вязкости, кото

рый в дальнейшем будет полагаться равным нулю.

Для коэффициентов вязкости можно пользоваться формулой Сазерленда или степенной зависимостью ц от 7, а число Рг = срр/Х для реальных смесей полагать равным 0,7.

Выпишем теперь важный частный случай общей системы (1.12)... (1.21) для стационарного ламинарного течения вязкой, теплопроводной сжимаемой жидкости без физико-химических процессов и диффузии и при отсутствии внешних сил и внешних источников.

Запишем систему уравнений в декартовых координатах. Имеем

//W о=

dt

= Р [(Wv) W] = — ^р-

VpW = 0;

(1.24)

(1.25)

1 dx 1

dydz '

dH,

M , dtzW

Р -7T = V9 + at

dy 1 dz ’

(1.26)

p = R^jMr(1.27)

где Тх, Ту, тг — напряжения трения, действующие на площадки, перпендикулярные осям х, у, z, Н—e+p/p+W2/2 = h.-V-W'2/2— полная энтальпия единицы массы.

Имея в виду формулы (1.22) и (1.23), перепишем уравнение сохранения импульса (уравнения движения) (1.25) в виде

(

ди।ди.ди,du \др,

кмкуkw =—-к

dt1dx1dy1dz )dx1

( du . du . du , du \ pкмк Ук® —

\ d^ дх ду дг )

I dw,dw,dw.dw \dp.

pкмк уг® =— -к

\ dz‘дх1ду1dz )дг1

.дГ„ ди2/ои .ди ,dw \1 ,

1дгV дг3кdxdy ‘dz 1

dГ/ dw ,du\1,dr/ dw. du \1.

MHк I,( dx [ \ dx dz dy [_ \ dy dz / J

где и, v, w — проекции вектора скорости W на оси декартовой системы координат.

Уравнения (1.28).„(1.30) есть уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости, так называемые уравнения Навье — Стокса. Если p = const, то систему (1.28)...(1.30) можно записать в следующем векторном виде:

р-^- = — V/7 +^vW-^-^-p. grad (div W).(1.31)

В частности, в некоторых работах приводится следующая запись уравнений движения (здесь приведены уравнения для идеального газа):

р^^-4-^£. = 0;

ds ds

p^2_^L_|__^.==0,ds dn

которые используются как уравнения в частных производных, в то время как это лишь дифференциальная связь между производны-

14

ми от 9, р, п по направлению вдоль линии тока и по нормали к ней, при этом корректная запись имеет вид

। Др=0;

ds ds

р^2 —4-^Р_ = 0.

ds dn

В этих уравнениях 0 — угол наклона вектора скорости к оси х. Для корректной записи уравнений газовой динамики в ортогональной системе координат, связанной с линией тока, необходимо ввести интегрирующие множители (коэффициента Ляме), или, что аналогично, ввести некоторый метрический тензор, который неизвестен, если неизвестна геометрия линий тока, и для элементов которого выписываются дополнительные уравнения. Эти уравнения должны решаться совместно с уравнениями газовой динамики. Уравнение энергии с учетом формул (1.30) и (1.31) можно записать в виде

р =dp[dt 4-div (X grad Т) 4-[1Ф,(1.32)

dt

где Ф — диссипативная функция, определяемая соотношением

(1.33)

, ! dw.dv \2 . / ди,dw \2 .2 / du.d-u.dw \2, о.

1 \ dy1dz ) ' \ dz1dx) 13 ( dx'dy1dz )

В случае, если cP) iX= const, то уравнение (1.32) можно переписать в виде

+и77+Ч^+тт)+^<L36>

dz \ dx2 dy2 J

Отметим, что система уравнений, описывающих движение вязкой теплопроводной сжимаемой жидкости в произвольной криволинейной ортогональной системе координат, выписана в [3]. Из этих уравнений в частности могут быть получены и уравнения в так называемых естественных координатах, s и п, связанных с линиями тока и нормалью к ним при соответствующем выборе коэффициентов Ляме.

Подчеркнем, что естественные координаты не образуют систему координат в обычном смысле, так как линии тока не являются7кривыми, вдоль которых величина п постоянна, а их ортогональные траектории не являются кривыми, вдоль которых величина s по-

стоянна, при этом дифференциалы ds и dn не являются полными дифференциалами. Поэтому записанные с их помощью дифференциальные уравнения в частных производных на самом деле таковыми не являются, поскольку запись частных производных в виде д Id I

— и лишена смысла.

дз |«=constдп |s=const

Уравнения, описывающие стационарные течения идеального газа с физико-химическими процессами, могут быть получены из общей системы уравнений (1.12)...(1.21), если положить в ней П= =—р, q=0, т. е. принять, что коэффициенты вязкости и теплопроводности равны нулю.

Выпишем эти уравнения для случая, когда имеют место химические реакции, релаксация колебательных степеней свободу и в потоке содержатся частицы одного размера. Имеем

^ + PVW = A4; or

(1.36)

(1.37)

dW ,1„ Oof,

——H—^p=f Vss ;

dtpp

d dt

^4“

ZLLFW + Q-A(W1f,+91);

2 /p

(1.38)

Р=

da-t dt

dep

dt

_ Rdf M,

= F°Ap, T, a^ /=1,2,...,

= Фр(р, T, ep) p=\,2„.

-^ + p.vWs=0; at

d-s^sf d.se& . dtdt

3 A = ^/;z(7)a;; h = es—es(TsY

, N;

., P;

h^Y

(1.39)

(1.40)

(1.41)

(1.42)

(1.43)

Первые три уравнения — уравнения неразрывности, движения и энергии реагирующей смеси газа и частиц, преобразованные с учетом уравнений (1.17), (1.18), уравнения (1.39), (1.40) описывают изменение концентраций химических компонент аг и энергии колебательных степеней свободы ер, уравнения (1.41), (1.42)—уравнения неразрывности, движения и энергии частиц и, наконец, уравнения (1.43) —термические и калорические уравнения состояния смеси и частиц.

Сделаем несколько замечаний относительно системы (1.36)... (1.43), поскольку в дальнейшем в основном будем рассматривать именно эту систему уравнений.

Система (1.36)... (1.43) записана таким образом, что в левой части каждого уравнения находятся дифференциальные операторы, а в правой — конечные выражения. В связи с этим при преобразованиях систем координат правые части этих уравнений не претерпевают изменения. Кроме того, в каждом из перечисленных уравнений в левой части содержится субстациональная производная (оператор d/dt), которая преобразуется единообразно. Эти замечания относятся и к приведенному ниже уравнению производства энтропии (1.44) и уравнению (1.45), полученному из (1.37) скалярным умножением на вектор W. Отметим, также, что формальная запись левых частей уравнений (1.36)...(1.38) одна и та же как для течений с физико-химическими превращениями, так и для течений, в которых такие превращения отсутствуют. Однако формулы для определения энтальпии h существенно различаются для этих классов течений. Очевидно также, что для течений с физико-химическими превращениями нельзя раздельно решать системы (1.36)... (1.38) и (1.39)...(1.43), поскольку они взаимосвязаны.

В дальнейшем полезно получить уравнение производству энтропии для течений с химическими реакциями.

Примем, что хотя полная система и не находится в равновесном состоянии, тем не менее в ней существуют малые элементы массы, которые находятся в состоянии локального равновесия, и длй которых локальная энтропия является той же самой функцией Т, р и а„ что и в состоянии полного равновесия. В частности, остается справедливой формула равновесной термодинамики для энтропии, элемента массы вдоль пути его центра масс, а именно

к = 1

где S — энтропия смеси, аддитивная по массе входящих в нее энтропий индивидуальных компонент, а х&— термодинамический или химический потенциал й-й компоненты (парциальная удельная функция Гиббса). После несложных преобразований получим уравнение производства энтропии в виде

NN

TdS[dt=-^ Хк^ — У хАр, Т, а).(1.44)

В общем случае вязкой, теплопроводной, многоскоростной среды при наличии внешних сил и источников тепла правая часть уравнения (1.43) представляет собой сумму произведений термодинамических сил на соответствующие потоки различной тензорной размерности. Уравнение (1.44) при известной зависимости энтропии от других термодинамических параметров (например, в случае идеального нереагирующего газа S=ln(pp-T)—отношение удельных теплоемкостей) не дает дополнительной информации по сравнению с уравнениями (1.36), (1.37), поскольку оно получено с использованием этих уравнений. Поэтому при рассмотрении конкретных за-

дач можно использовать либо уравнения (1.36), (1.37), либо вместо одного из них — уравнение (1 44).

Заметим, что уравнение (1 37) записано в векторном виде и содержит по существу, три уравнения относительно трех составляющих скоростей вектора W. Если уравнение (1 37) скалярно умножить на W, то получим следующее скалярное уравнение

^1К2/2 । 1 &Р _ р\у PsfsW. । 45.

dt p dtp "‘

При решении конкретных задач можно пользоваться либо тремя уравнениями (1.37), либо какими-либо двумя из них и уравнением (1.45). В дальнейшем при решении обратной задачи уравнение (1 45) будет использоваться вместо проекции уравнения (1.37) на ось х (или s), и, кроме него, будут использоваться два оставшихся уравнения (1.37) в проекциях на другие оси.

Уравнения газовой динамикипространственных неравновесных течений идеального газав обобщенных координатах Мизеса.

Двумерные и одномерные течения

Рис 1 1 Криволинейная ортогональная система s, г, фРис 1 1 Криволинейная ортогональная система s, г, фЗапишем первоначально основные уравнения задачи в криволинейной системе координат, которую будем связывать с кривой y=^0(s) в плоскости х, у (рис. 1.1). Координаты точки в этой системе определяются длиной дуги s, расстоянием по нормали к этой кривой г и углом ф. Элементарное геометрическое рассмотрение показывает, что декартовы координаты х, у, х связаны с криволинейными координатами s, г, ф следующими соотношениями:

Рис 1 1 Криволинейная ортогональная система s, г, ф

Рис 1 1 Криволинейная ортогональная система s, г, ф

cos8(s)tZs — г cos у pin 8(s);

S<>

y = /o($)+rc°scpcos8(s); (1.46)

z~r sin ср,

где 6(s) —угол между касательной к кривой f0 (s) и осью х. Коэффициенты Ламе Нь Н2, Н3 для этой системы координат приведены ниже

^1=[

/ dx \2 . / ду \2/ дг \2]1/21 _ г

^2 = [

^y+^y+w=]№=l(L47)

\ dr ) х \ dr )\ dr ) \х

Я3=[

! dx \2 . Г ду Vdz \2U/2

\ d^ /\ ду /\ д'? / J

где R(s) —радиус кривизны кривой fo(s) и в формуле (1.47) знак минус соответствует вогнутым кривым fo(s), а плюс — выпуклым. Отметим, что в плоском случае Hx=l+r/R, а Н?=0.

Имеем следующую запись для правых частей уравнений (1.36), (1.37) и оператора d/dt:

d?I w = д^УШ2Н3 ,д9У2НгН2. д?У»НгН2.(1 48)

dtdqt"T" dq2dq3’'

dW . 1— H—^P = dt pdW . 1— H—^P = dt pd ( dT \ dt \ dqm /d ( dT \ dt \ dqm /дГ . 1dqm^" PдГ . 1dqm^" Pm=\, 2, 3;dq™ ’ ’m=\, 2, 3;dq™ ’ ’(1.49)(1.49)

dW . 1

— H—^P = dt p

dW . 1

— H—^P = dt p

d ( dT \ dt \ dqm /

d ( dT \ dt \ dqm /

дГ . 1dqm^" P

дГ . 1dqm^" P

m=\, 2, 3;

dq™ ’ ’

m=\, 2, 3;

dq™ ’ ’

(1.49)

(1.49)

3

—=»(1.50)

dtm dqm ’

m —1

3

где T=~ ^ H^(qmy-, qm = V™/Hm.

m—1

Тогда, вводя обозначения qY = s; q2 — r, q3=ty, V*=u; V2 = u; V3 = w, где и, v, w — проекции вектора скорости W на оси системы л, г, ф, получим следующую запись уравнений (1.48) ...(1.50). Далее вместо одного из уравнений (1 49), соответствующего проекции на ось s, будем преобразовывать правую часть уравнения (1.45) и, кроме того, два оставшихся уравнения, соответствующих проекциям на оси г и ф.

д^иН^Нз , d?vHxH-2

( d^wHxHi .

(1 51)

ds1

dr

dtp

d^2/2

dp .

(1.52)

dt

P

dt

dv

। a2 cos f

w2

1dp .

(1.53)

dt

RHX

H3

1 Yp//2 dr

dw

_ a3 sin ф

W2

.1dp .

(1.54)

dt

RHX

H3

1 N?H3 d^

d .

a d

I_ У

d , w d

cl 55^

dt

Hx ds

Hl

dr H3 d^

Здесь и, у, w — проекции вектора скорости W на оси криволинейной системы координат s, г, ф отнесены к критической скорости звука а; р, р — давление и плотность, отнесены к давлению р* и плотности р» в критическом сечении, а параметры с размерностью длины к некоторой характерной длине г»; у= —— —отношение удельных теплоемкостей в случае газа без физико-химических превращений.

Отметим, что приравняв нулю соотношения (1.51)...(1 54), получим уравнение неразрывности и движения идеального газа при

отсутствии внешних сил и внешних источников массы и энергии [см. уравнения (1.36), (1.37)]. Если в уравнение (1.55) подставить под знак дифференциала энтропию S или энтальпию Н и приравнять правую часть нулю, то получим уравнения сохранения энтропии или энтальпии вдоль линий тока для идеального газа.

Обратную задачу и формулировку граничных условий удобно проводить, используя уравнения, в которых в качестве независимых переменных взята длина дуги вдоль некоторой кривой и функции пока [27]. Использование функций тока особенно удобно, так как начальные условия в обратной задаче задаются обычно на поверхности тока (жесткая стенка или ось симметрии). Выведем соответствующие уравнения для случаев, когда в смеси присутствуют инородные частицы и допускается неравновесное протекание химических реакций и возбуждение колебательных степеней свободы молекул.

Известно, что уравнение неразрывности, записанное в дивергентной форме, определяет соленоидальный вектор, который может быть записан в виде векторного произведения градиентов двух функций; уравнение неразрывности при этом тождественно удовлетворяется. В связи с этим, для стационарных пространственных течений могут быть введены две функции тока. Введем новую независимую переменную ф с помощью равенства, левая часть которого — скалярное произведение вектора скорости и вектора \7ф,

Д£=о.(1.56)

Нх ds ' Н2 dr ' Н3 d<?

Очевидно, что поверхности ф(«, г, ф)= const являются поверхностями тока. Имея в виду соотношения

d<[dr/dsdp/ dr \—1dpdr/d^ (1.57)

dsdr/d^dr\ dp /d^dr/di/

ds l^.pds l^.pdr/ds ddr/dp dp sfl 'dr/ds ddr/dp dp sfl 'd I _ dr d d дч s,r dfd I _ dr d d дч s,r df1dr/dp1dr/dpполучим следующие формулы для перехода к новым переменным:

ds l^.p

ds l^.p

dr/ds d

dr/dp dp sfl '

dr/ds d

dr/dp dp sfl '

d I _ dr d d дч s,r df

d I _ dr d d дч s,r df

1

dr/dp

1

dr/dp

(1.58)(1.58)dr/dy d |Лф dr/dp dp |s,?

(1.58)

(1.58)

Преобразования (1.56)... (1.58) вводят вместо независимых переменных s, г, ф новые независимые переменные s, ф, ф. Для построения поля течения в переменных s, г, ф в случае использования новых независимых переменных необходимо иметь уравнение, которое позволяло бы находить переменную г как функцию s и ф на поверхности ф=сопзЕ

В переменных s, ф, ф оператор d/dt приобретает вид

•(1-59)

d.t Нх ds На dp

С использованием (1.57)...(1.59) соотношения (1.51)...(1.54) можноС использованием (1.57)...(1.59) соотношения (1.51)...(1.54) можно1 гdpuH3dr/d^। dpwH3Hxdr)dip 1 .dr/d^ [dsdW^S , dt 'd<pJ1dp .pdt ’du +zz2 cos cpw2 ,1dp .dtRHXH3 ypdr/dp dp ’dw _ м2 sin ср1 wy Idr/dydp1dpdt + RHXH3dr dp ypH3 dcp1 гdpuH3dr/d^। dpwH3Hxdr)dip 1 .dr/d^ [dsdW^S , dt 'd<pJ1dp .pdt ’du +zz2 cos cpw2 ,1dp .dtRHXH3 ypdr/dp dp ’dw _ м2 sin ср1 wy Idr/dydp1dpdt + RHXH3dr dp ypH3 dcpпереписать в видепереписать в видеКроме того, имеем следующее уравнение для переменной г; и dr , w dr , г, =

С использованием (1.57)...(1.59) соотношения (1.51)...(1.54) можно

С использованием (1.57)...(1.59) соотношения (1.51)...(1.54) можно

1 г

dpuH3dr/d^

। dpwH3Hxdr)dip 1 .

dr/d^ [

ds

dW^S , dt '

d<pJ

1dp .

pdt ’

du +

zz2 cos cp

w2 ,1dp .

dt

RHX

H3 ypdr/dp dp ’

dw _ м2 sin ср

1 wy I

dr/dydp1dp

dt + RHX

H3dr dp ypH3 dcp

1 г

dpuH3dr/d^

। dpwH3Hxdr)dip 1 .

dr/d^ [

ds

dW^S , dt '

d<pJ

1dp .

pdt ’

du +

zz2 cos cp

w2 ,1dp .

dt

RHX

H3 ypdr/dp dp ’

dw _ м2 sin ср

1 wy I

dr/dydp1dp

dt + RHX

H3dr dp ypH3 dcp

переписать в виде

переписать в виде

Нг ds 1 Я3 dcp

(1.60)(1.61)(1.62)(1.63)(1.64)(1.60)(1.61)(1.62)(1.63)(1.64)Введем еще одну независимую переменную 6 с помощью равенства, левая часть которого — скалярное произведение вектора скорости и вектора V0:

(1.60)

(1.61)

(1.62)

(1.63)

(1.64)

(1.60)

(1.61)

(1.62)

(1.63)

(1.64)

(1.65)(1.65)“ де । ® de gHl ds ' Н3 dtp " '

(1.65)

(1.65)

Очевидно, что поверхности 0(s, ф) = const также являются поверхностями тока и каждый из векторов V0 и Vip ортогонален вектору скорости. Линии пересечения поверхностей i|)=const и 0=const являются линиями тока. Тогда из уравнения (1.65) следует, что дифференциальное уравнение линии тока на поверхности ^ = const есть

(1.бб) ds Н3и

В переменных s, ф, 0 оператор d/dt имеет вид d и д

-"dt"—~H^ ds '

Используя соотношения

de 1 dO dcp/ds dOd<p/dp. । ^.

d<p dtp/d6 ’ ds dtp/dO ’ dip dy/dO ’

получим следующие соотношения для перехода к новым переменным:

d

_ d

dtp/ds

d

ds

ds

Ф,д dtp/dO

dO

d

_ d

dcp/dp

d

dp

s,t dp

Ф,6 dtp/dO

dO

d

1

d

dtp

dtp/d8

d8 '

(1.68)

Используя соотношения (1.67), (1.68) перепишем соотношения (1.60).. .(1.63) в виде

—,(1 69)

D да

где D = dr[d^d^[d^ — д^,д^дг[д9;

d W^!2dtd W^!2dt1 dp p dt1 dp p dt(1.70)(1.70)

d W^!2dt

d W^!2dt

1 dp p dt

1 dp p dt

(1.70)

(1.70)

dv । zz2 cos <p w2 ,1/ dp dtp d^ др \(171)

dt ~ RHX —дф *56 d-V "7Г У ’(

dw — zz2 sin <p , wu .1/ dr dp dr dp \ • (1.72)

di RHX //3 ' \?H3D \ 5654 d^ 56 )(

(1.73 >(1.74)(1.73 >(1.74)Поскольку введены новые независимые переменные s, гр, 8, то для нахождения переменных г и ф должны быть выписаны соответствующие уравнения. Нетрудно показать, используя (1.64), (1.65) и (1.67), что эти уравнения имеют вид

(1.73 >

(1.74)

(1.73 >

(1.74)

5szz

5<р wHi

dsи.Нт,

Запишем, наконец, используя приведенные выше формулы (1.67), (1.69)...(1.74), систему уравнений (1.36)...(1.43) в координатах s, ф, 0. Искомыми функциями в соответствии с вышесказанным являются и, v, w, р, р, «ь ер, Ws, es, ps, г и ф. Отметим здесь лишь, что в уравнениях неразрывности, движения и энергии частиц оператор ds/dt действует вдоль траектории частиц и поэтому для него несправедливы формулы (1.59) и (1.67). Итак, имеем следующую систему уравнений, описывающих в координатах s, ф и 0 течение смеси газа и частиц при наличии химических реакций и возбуждения колебательных степеней свободы, а также внешних сил потоков массы и энергии:

— d^H^D = м 1J5 D ds

5<p dp5)7 “TT5<p dp5)7 “TTи 5v zz2 ccs <р az2 ,1 / dp d^

5<p dp

5)7 “TT

5<p dp

5)7 “TT

Hi ds ~ RHi г\ 5ip 56

= Fr^Л;(1.77)

Pиdw— a2 sintp . wv।1 [drdpdrdp \

Hids RHi r y^rD \ 565ф5ф56 /

= F?--^fs;(1.78)

P

t^(a+t)=w+q--(^+4»);(L79)

n i os \p

—-^- = ^(/2, r, aj Z=l, 2,..., N;(1.80)

^+₽,V^I=0;atd$^ s £ dses , dtdt^+₽,V^I=0;atd$^ s £ dses , dtdtes=es(Ts),es=es(Ts),-F -^- = ®,(P.T-^ 1=^2,..., P;<1.81)

^+₽,V^I=0;

at

d$^ s £ dses , dtdt

^+₽,V^I=0;

at

d$^ s £ dses , dtdt

es=es(Ts),

es=es(Ts),

(1.82)

(1.83)

(1.84)

(1.85)

(1.86)

где Fr, fsr, F^ и !^ф — проекции внешних сил и сил, действующих на частицы на оси г и ф соответственно.

Отметим, что координаты s, ф и 0 можно рассматривать как обобщение на пространственный случай координат х, гр, введенных Мизесом для двумерных течений.

Уравнение производства энтропии в координатах s, -ф, 0 для течений с неравновесными химическими реакциями имеет вид

= т’ a^-(L87)

Hl ds ds

*=1

Рассмотрим детально систему уравнений (1.75)...(1.87), проанализируем важные частные случаи и некоторые интегралы этой системы.

Важно подчеркнуть, что уравнения (1.75), (1.76), (1.79)...(1.81), (1.84), (1.85) и (1.87) не содержат производных по ф и 0 и записаны по существу вдоль линий тока — линий пересечения поверхностей ф и 0 = const.

Отметим, что с точностью до коэффициента Ляме Нх запись уравнений (1.76), (1.79)...(1.81) и (1.87) одинакова для одномерных, двумерных (плоских и осесимметричных) и пространственных течений. Это по существу система уравнений движения (1.76),

энергии (1.79), кинетики химической и колебательной релаксации (1.80), (1.81) вдоль криволинейной струи тока. Это обстоятельство чрезвычайно важно и позволяет составить одномерные модули таких уравнений для численного интегрирования вдоль струек тока двумерных и пространственных течений, что дает возможность выписать некоторые известные интегралы общей системы, а также использовать систему при постановке обратной задачи.

Рассмотрим теперь случай, когда отсутствуют внешние силы, внешние источники массы и энергии, а также инородные частицы, т. е. Al=F = Q = ps = h = qs=0. Кроме того, примем, что смесь является нереагирующей, т. е. Ft° — Фр = 0. Тогда уравнения (1.75) (1.79), (1.87) могут быть проинтегрированы вдоль струек тока, что приводит к соотношениям

puH^D — C (ф, 9);

h^^ = Ho^, 9);

(1.88)

(1.89>

S = ln/2/pT=®°(tp, 9).

(1.90>

Уравнение (1.88) является аналогом уравнения расхода в одномерном течении, а уравнения (1.89), (1.90) есть уравнения сохранения полной энтальпии и энтропии вдоль линии тока в течениях нереагирующего идеального газа без внешних воздействий. Очевидно, что если в некотором начальном сечении полные энтальпия и энтропия постоянны, то они постоянны и во всем потоке, и имеют место изоэнтропическое и изоэнтальпическое течения с постоянной полной энтальпией.

Если в потоке происходят неравновесные процессы и нет внешних воздействий и инородных частиц, то уравнения (1.88) и (1.89) имеют место, а уравнение (1.90) не выполняется.

Из уравнений (1.90) и (1.76) получаем вдоль линии тока интеграл Бернулли, который очевидно имеет место в случае нереагирующих течений идеального газа

— U72JL__^ = J_E±L,(1.91)

21 у —1 р 2 y-1

где у — отношение удельных теплоемкостей, которое в общем случае также является функцией ф и 6, поскольку может изменяться при переходе от одной линии тока к другой.

Отметим, что если подвод массы и энергии производится сосредоточенно, т. е. только в одной плоскости, то имеют место те же уравнения (1.88) и (1.89), только константы С, Но и Ф° различны слева и справа от этой плоскости.

Проведем некоторые преобразования с целью представления системы (1.75)...(1.86) в виде, удобном для численного решения и постановки граничных условий.

Выразим и из (1.84) v — udr/dsHr1 и подставим в (1.78). Имеем

dwr _r« sin ?, Нг f drdpdrдр_\ = Щг f_ p$_ ,?

5s "^R ypOu \ dOdtpdipde / u \ p

(1.92)

dwr иг sin <р dsRdwr иг sin <р dsRПомножим (1.92) на 3<p/30, a (1.77) на дг[д^ и вычтем одно из другого. После некоторых несложных выкладок имеем

dwr иг sin <р dsR

dwr иг sin <р dsR

ф, б)2г_

=+,(1.93)

zzd<p/d8 L \ Р / dO ' \ р / d8 J

Q(s 0)=ДД 2Д ± J^E2H251т Нг ds RHi г

Для дальнейшего важно подчеркнуть, что уравнение (1.93) не содержит производных по -ф, а лишь производные по 9 и s вдоль поверхностей тока.

Рассмотрим частный случай общей системы, когда подвод массы либо отсутствует, либо является сосредоточенным. Тогда в уравнении (1.75) М=0 и оно интегрируется. Не теряя общности, положим константу интегрирования С (9, -ф) (см. 1.88) равной единице. Имеем

2L 25dJL^L = J_.(1.94)

dip d8dip d8 pur

Запишем теперь систему уравнений газовой динамики в координатах s, ф, 9 в виде, который будет использоваться далее для постановки обратной задачи и при численном интегрировании. Для простоты ограничимся случаем, когда в потоке отсутствуют частицы {р5=0). Имеем тогда

dr1

" 1 , dy dr ' _ pzzr dip d8 _ (s, ip, 0) । dp/d6

dtp , dp ’

(1.95)

(1.96)

dip dy/d8

дР — Y G

rudy[d9d^!d9

dp

dwr — ur sin уHx

Г 1 дР 1.1. fix dr '

ds ‘ Rzzdy/d6 Lyp d8 1 ' ’ T’ ' d8 .

__ ^1. Fr dr -I .

ud<p/d9 Ld8 1d8 ] ’

2-/— (fM 1 1 ^ _ Я1 FW .

ds \ 2/ 1 yp dsи’

(1.97)

(1.98)

it{ !l —]— ds ( ~

2)=//1(FW + Q);

(1.99)

dr .

ds

dtp

=-Hx;

(1.100)

(1.101)

ds

da,n

ds

ru

T, aR i = 1, 2,..., N;

(1.102)

deD

T, ep) i=l, 2V..,P-

(1.103)

(1.104)

Двумерные (плоские и осесимметричные) течения

Система уравнений (1.102)...(1.104) может быть использована и для расчета двумерных течений. При этом в уравнениях (1.95)... (1.97) необходимо лишь положить <?ф/<?0=1 (поскольку поверхности тока 0 = const— плоскости), а производные др/дВ = дг/дВ приравнять нулю. В случае плоского течения, кроме того, необходимо в формулах для G и Нх положить ф=0 и w = 0. Уравнения (1.98)... (1.104), как уже отмечалось, сохраняют одну и ту же форму записи для всех случаев течения, хотя формулы для Нх могут различаться.

Из формул (1.97) и (1.101) следует, что если R=^oo, то течение не может обладать осевой симметрией, так как в этом случае w± #=0 и ф^О, и сохраняет пространственный характер. Если R = oo, то течение может обладать осевой симметрией. При этом существует важный для практики случай, в котором все параметры, кроме Ф, не зависят от 0, а являются функциями только двух переменных s и ф. Из (1.97) имеем тогда

’r(s, Ф) ’

где wo и Го значения этих функций на начальной плоскости. Из уравнения (1.101) следует, что

$

Уц

и следовательно, дф/д0=1. Описанные течения являются осесимметричными течениями с закруткой. Если радиус кривизны R = oo и w = 0, то приведенная система переходит в систему уравнений для плоского и осесимметричного случаев. При этом очевидно, что поверхности тока 0=const суть плоскости, и 0 = ф.

В этом случае для изоэнтропических течений идеального газа, в котором имеют место равновесные или замороженные процессы, 26

= —;(1.105)и= —;(1.105)исистемы (1.95), (1.96) приобретают вид дг1+'1 1 + v . др у ди . дг dip ри ’ дрrv ds ’ ds

= —;(1.105)

и

= —;(1.105)

и

^H—5- = Ао; р = /(р);

Mr

Здесь v=0 для плоского течения, и v=l —для осесимметричного.

Для плоского и осесимметричного изоэнтропических течений с постоянным показателем адиабаты система (1.95)...(1.104) имеет особенно простой вид

др У ди_ . dr1+' _ 1 + у . dr _ и ..

dprv ds ’ dp ри ’ ds и ’

p = ^; и. =(1-—рП-1)Л _^2V/2.(1.107)

\ v — i у — 1/

Одномерное течение. Из (1.106) и (1.107) следуют соотношения классической одномерной теории, в которой полагается, что параметры течения зависят лишь от одной продольной координаты s, а скорость направлена вдоль оси сопла, т. е. и = 0. Тогда из (1.106) где ф— некоторая константа, задающая расход газа.

Обозначая площадь поперечного сечения сопла F, расход газа, равный массе газа, протекающего в единицу времени, через поперечное сечение сопла Q, а плотность тока /, получим следующую запись уравнения неразрывности в одномерном течении:

pWF = jF = Q.(1.108)

В случае неравновесных течений к этому уравнению добавляются уравнения (1.98), (1.99), (1.102)...(1.104), в которых для течений с криволинейной осью нужно положить HY=\+r/R, а для течений с прямолинейной осью Н1=\.

Отметим, что в гл. 2 будет дано обобщение классической одномерной теории (пригодной лишь для каналов с прямолинейной осью) для каналов с криволинейной осью с использованием системы уравнений, записанной в ортогональных координатах (см. 1.2.2).

Двухфазные течения. В случае двухфазных течений общую систему уравнений можно записать, используя в качестве независи- сых переменных s, ф, 6 или s, ф5, 0S, где фх, 6S — функции тока (траектории) частиц. Если рассматривается полидисперсная смесь, то в качестве ф5, 6S может быть выбрана функция тока какой-либо одной частицы. Выпишем для плоского и осесимметричного случаев систему уравнений, описывающих движение двухфазной смеси

при наличии частиц одного размера в координатах s, ф. Имеем для нереагирующей смеси при Р1° = Фр=0 и при отсутствии внешних сил F=0 и внешних источников массы и энергии следующую систему уравнений:

dr1+v 1 4- v . drи .

(1.109)(1.109)di pu dsи

(1.109)

(1.109)

()Р _ V I ?s । ди \dtp r'‘ \ ^u r ds j

(1.110)(1.110)d («5?»)dsd («5?»)dsdp, ,. ,/ dv,idu.sY—— «лО + р, м—2-и Мд-р\ di;d^| VP$^S 1Q1 r(1.111)du,,х ди,,it, —-4-rp(zzv„— инЗ —/ • s dsdi 7 *du, ,,. du, ,OS(1.112)de, ,,, de,Us~h = h(p, Ту, p = pT; es = es(Tsy(1.113)dp, ,. ,/ dv,idu.sY—— «лО + р, м—2-и Мд-р\ di;d^| VP$^S 1Q1 r(1.111)du,,х ди,,it, —-4-rp(zzv„— инЗ —/ • s dsdi 7 *du, ,,. du, ,OS(1.112)de, ,,, de,Us~h = h(p, Ту, p = pT; es = es(Tsy(1.113)idp_ —P»_ ду7 = <ds \ 2/ yp ds риidp_ —P»_ ду7 = <ds \ 2/ yp ds риds \2/ puds \2/ pu

(1.110)

(1.110)

d («5?»)

ds

d («5?»)

ds

dp, ,. ,/ dv,idu.sY

—— «лО + р, м—2-и М

д-р\ di;d^

| VP$^S 1Q

1 r

(1.111)

du,,х ди,,

it, —-4-rp(zzv„— инЗ —/ • s dsdi 7 *

du, ,,. du, ,

OS

(1.112)

de, ,,, de,

Us~

h = h(p, Ту, p = pT; es = es(Tsy

(1.113)

dp, ,. ,/ dv,idu.sY

—— «лО + р, м—2-и М

д-р\ di;d^

| VP$^S 1Q

1 r

(1.111)

du,,х ди,,

it, —-4-rp(zzv„— инЗ —/ • s dsdi 7 *

du, ,,. du, ,

OS

(1.112)

de, ,,, de,

Us~

h = h(p, Ту, p = pT; es = es(Tsy

(1.113)

idp_ —P»_ ду7 = <

ds \ 2/ yp ds ри

idp_ —P»_ ду7 = <

ds \ 2/ yp ds ри

ds \2/ pu

ds \2/ pu

где fx, fr — проекции вектора f на оси x и г, а все параметры приведены к безразмерному виду путем отнесения к соответствующим, критическим величинам.

Уравнения идеального газав ортогональных координатах. Характеристики уравненийдля двумерных течений в координатах х, ф

Введенная система координат s, ф, 0, естественно, не является единственно возможной. Преимущество ее перед декартовой, цилиндрической и сферической системами координат в том, что границы исследуемой области в координатах s, ip, 0 обычно являются плоскостями или прямыми линиями. Система координат s, ф, 0 не является ортогональной; подобные системы координат называют нормальными. При решении прямой задачи также используются координаты, в которых границы области переходят в плоскости или прямые линии, что достигается соответствующей нормировкой переменных у И 2.

При решении обратной задачи для сопел и каналов сложных криволинейных конфигураций, когда контуры являются многозначными функциями декартовых координат, удобно вместо нормальных систем координат типа s, ф, 0 использовать ортогональные си-

стемы, связанные с линиями тока. Известным примером ортогональных координат для потенциальных течений являются координаты -ф, Ф, где Ф — потенциал скорости.

Рассмотрим еще одну ортогональную систему координат, применяемую для расчета течений газа в сложных криволинейных каналах [21]. Введем ее для течений, параметры которых не зависят от угловой координаты ф, но в которых воможна закрутка потока (или скос его в плоском случае параллельно оси oz). Одним семейством координатных поверхностей в этой системе являются поверхности ф —const, определяемые равенством (1.56). В качестве второго семейства выбираются плоскости <p = const, проекции линий тока на которые совпадают с проекциями поверхностей ф = = const.

Рассмотрим теперь способ введения третьего семейства координатных поверхностей. Пусть s— расстояние вдоль проекции линии тока на плоскость <p = const. Запишем выражение для дифференциала дуги

8s = — V-^kudx-^-vdr), (1.114> где и, и, V— проекции вектора скорости W на оси х, г и плоскость <p=const соответственно, т. е. V2 = U72—w2. В общем случае 6s не является полным дифференциалом, а значит существует интегрирующий множитель g такой, что

do = gSs — (— gMl/-1) dx -|- (— gW-v) dr (1.115> будет полным дифференциалом. Следовательно,

— = -gu,V~^ —^--gW-\ —=0. (1.116) дх dr д^

Нетрудно убедиться, что поверхности i|)=const, <p=const, о= =const ортогональны. Поэтому поверхности о=const могут быть выбраны в качестве третьего семейства координатных поверхностей.

В случае двумерных потенциальных течений о=const на линиях постоянного потенциала ф=const, поскольку в этом случае интегрирующим множителем для длины дуги 6s является скорость. В качестве о можно рассматривать, например, длину дуги вдоль проекции какой-либо характерной линии тока на плоскость ф= —const. В переменных ф, а, ф при условии, что искомые функции не зависят от ф, но возможно существование окружной составляющей скорости w (т. е. так называемой закрутки потока), имеем следующую систему уравнений для течений идеального газа с у= =const при отсутствии частиц, химических реакций, внешних сил и внешних источников массы и энергии:

(1.117>(1.118>(1.117>(1.118>dr1^ _ (1 + у) и .дф ~ рУ2 ’дх у .дфr^V2 ’

(1.117>

(1.118>

(1.117>

(1.118>

Рт Т 2 Гу-1 Р 2 Y-1 ГЧВ = С^У, V = (U72 —W2)l/2;Рт Т 2 Гу-1 Р 2 Y-1 ГЧВ = С^У, V = (U72 —W2)l/2;(1.120)(1.121)заранее, и(1.120)(1.121)заранее, идр . YS' Г и (ди । vw2 x v диД ,~д^~~ [V (77 ‘ "Tg^2/ V 17] ’

Рт Т 2 Гу-1 Р 2 Y-1 ГЧВ = С^У, V = (U72 —W2)l/2;

Рт Т 2 Гу-1 Р 2 Y-1 ГЧВ = С^У, V = (U72 —W2)l/2;

(1.120)

(1.121)

заранее, и

(1.120)

(1.121)

заранее, и

Отметим, что интегрирующий множитель g определяется в процессе решения.

В ряде работ уравнения характеристик для сверхзвуковых неравновесных течений записываются в координатах х, гр. Такая запись особенно удобна, поскольку уравнения, выполняющиеся вдоль линии тока (1.75), (1.79), (1.81), (1.84), (1.85) и (1.87), по существу записаны в характеристической форме. Известно, что в сверхзвуковых стационарных течениях существуют три семейства характеристик: две линии Маха и линия тока. Характеристики определяются уравнениями направления и уравнениями совместности. Уравнения направления являются для линий тока уравнениями (1.84), (1.85), а уравнениями совместности—(1.76), (1.79), (1.81), (1.87).

Для линий Маха С и С+ характеристики в двумерном (плоском или осесимметричном) течении уравнения направления есть ДД=±1ё(9±а)^-,(1.122)

а уравнение совместности

d9 + ctg~. dp + sin 9 sin a — M°]—=0, (1.123)

plF2\ r/ cos (6 ± a)

где 6 — угол наклона вектора скорости к оси х; а — угол Маха; а= = агсsin a/W (a — замороженная скорость звука); N — некоторая функция, связанная с исследуемым неравновесным процессом; верхние знаки относятся к С+ характеристикам.

Уравнения Навье — Стокса в координатах Мизеса.Параболизованные уравнения

Запишем уравнения Навье — Стокса в координатах х, ф. Рассмотрим для простоты двумерные течения. В струйных течениях часто используются координаты Мизеса при построении разностных схем с целью разделения области на ячейки с равными расходами газа через них. Сделаем некоторые преобразования с системой (1.28), (1.29), с учетом формул перехода типа (1.56), (1.57) и формул (1.105), (1.106) и условия w = 0.

Поскольку имеют место соотношения

дdxдdxplZr1^—, дхdipplZr1^—, дхdipд ■д ■дd^ ’дd^ ’

дdx

дdx

plZr1^—, дхdip

plZr1^—, дхdip

д ■

д ■

д

d^ ’

д

d^ ’

то оператор

дUдхдUдхддуддуд= U .дхд= U .дх(1.124)(1.124)Имеемдири дхИмеемдири дх1_Y1_Ydipdipдр , pvr’ др х 4 [ ddx”1ТТ[^dx r dip dip Jдр , pvr’ др х 4 [ ddx”1ТТ[^dx r dip dip Jдир. —дхдир. —дх'» ди \ .'» ди \ .

д

U

дх

д

U

дх

дду

дду

д

= U .

дх

д

= U .

дх

(1.124)

(1.124)

Имеем

ди

ри дх

Имеем

ди

ри дх

1_

Y

1_

Y

dip

dip

др , pvr’ др х 4 [ d

dx”1ТТ[^

dx r dip dip J

др , pvr’ др х 4 [ d

dx”1ТТ[^

dx r dip dip J

дир. —

дх

дир. —

дх

'» ди \ .

'» ди \ .

।„ d dv „ d f , dv \2

+ p«rv —p-pur ’— ppl/r ’—

dip dx dip \ dip /3

(1.125)(1.125),, d / n . dv V— рУг-*— рриг^’—) ;

(1.125)

(1.125)

dip \ dip / J

dvИхdvИхpur’ др . ddv d

dv

Их

dv

Их

vdip dx1 dxdx

., „ d dv ,„ d / dv \ . 4„ d /„ dv \ ,

-pVra—Ьг'гт№г"ЛТТрш" TV- M«r’— +

। д / У dzz \ м d f Уди \2 Г u d du

+ — №rv — - p-ur ’— Ир«Г ’— - — риг’ -- p.

dx \ dip ) dip \ dip /3 [ dip dx

(1.126)

dr _ dipdrdr _ dipdr1pur'1pur'УУдх идх и(1.127)(1.127)(1.128)(1.128)

dr _ dip

dr

dr _ dip

dr

1pur'

1pur'

У

У

дх и

дх и

(1.127)

(1.127)

(1.128)

(1.128)

He будем выписывать здесь уравнения энергии в координатах Мизеса из-за громоздкости выражений, хотя из приведенных выше формул эти преобразования очевидны. Отметим лишь некоторые факты. Очевидно, что уравнения (1.127) и (1.128) эквивалентны соответствующим уравнениям в невязком течении, поскольку они следуют из уравнения неразрывности и определения линии тока.

В струйных течениях и течениях в каналах используются так называемые параболизованные уравнения Навье — Стокса, которые получаются в результате отбрасывания вторых и смешанных производных по х, что позволяет свести краевую задачу к задаче Коши. Если провести такую процедуру первоначально с уравнениями (1.28, 1.29), записанными в декартовых координатах, а затем в

"параболизованных уравнениях перейти к координатам Мизеса, то получим следующие параболизованные уравнения Навье — Стокса

диpit — =дхдиpit — =дх1 др у дх1 др у дхриг' дру д^риг' дру д^риг" — Ги-риг'——1 ;дф L дф Jриг" — Ги-риг'——1 ;дф L дф J(1.129)(1.129)дидхдидхг"Уг"Удр дфдр дф— г —3 дф— г —3 дфГ . 6° 1 риг > — +L дф JГ . 6° 1 риг > — +L дф J

диpit — =дх

диpit — =дх

1 др у дх

1 др у дх

риг' дру д^

риг' дру д^

риг" — Ги-риг'——1 ;дф L дф J

риг" — Ги-риг'——1 ;дф L дф J

(1.129)

(1.129)

дидх

дидх

г"

У

г"

У

др дф

др дф

— г —

3 дф

— г —

3 дф

Г . 6° 1 риг > — +

L дф J

Г . 6° 1 риг > — +

L дф J

-4-м— —г' у.— .(1.130)

L дф \ г /3 дф г

Если параболизовать уравнения (1.125) и (1.126), то получим «соответственно

ди1др, руг"др . „ „ д /ди \ ,

ри — =+ ~^г + р*г

дхудх удр \др /

+ (т 5jT 5Г ~5Г (WTr'5t) +

|.ргРг. -^kp^'+.^lU ;(1.131)

3 дф V дф /)

ду виг" др , 4„ д („ dv\ .

ри —+ —риг ’— purv — +дх х др 3 др \ др /

, ( у д ди „ д / ди \ . 2„ ди

+ ^'г' —Р?уг'—— pyr'—ppzzr'—l-j- —pzzr' — hipyr' —.

( дф дф дф \ дф /3 дф \ дф

(1.132)

Сравнивая (1.129), (1.130) с (1.131) и (1.132), видим, что в этих уравнениях совпадают лишь первые члены в правых частях. Таким образом, вид параболизованных уравнений зависит от порядка «параболизации». Очевидно, что более корректным является способ, в котором первоначально уравнения записываются в координатах х, ф, а затем параболизуются уравнения (1.131), (1.132). Отметим, что в известной литературе, однако, такой подход не реали зуется, а используются уравнения типа (1.129), (1.130), которьи получены после «параболизации» уравнений в декартовых коорди цатах и последующего перехода к координатам х, -ф. В связи - этим, при проведении конкретных расчетов необходимо оценить по рядок неучтенных в уравнениях (1.129), (1.130) членов. Эти чле ны, как видно из их структуры, особенно важны в тех области? где происходит сильный разворот потока нормально оси х.

Граничные условия в обратных задачах

Для постановки обратной задачи теории сопла в общем случ; пространственных течений обратимся к общей теории характер стик для квазилинейной системы дифференциальных уравнений частных производных первого порядка. Ниже воспользуемся эт.

теорией в том виде, как она предложена Мизесом. Не излагая здесь способа построения характеристических поверхностей и нормалей к ним и уравнений направления, отметим лишь, что как только компоненты этих нормалей определены, исходную систему из т уравнений можно заменить эквивалентной системой, составленной из линейной комбинации этих уравнений, которые разделяются на две части, одна часть, состоящая из р уравнений (т—р— ранг матрицы коэффициентов этой линейной комбинации), которые содержат производные только вдоль характеристических поверхностей. Эта группа и р уравнений являются уравнениями совместности. Другая группа из оставшихся (т—р) уравнений по терминологии Мизеса составляет систему дополнительных уравнений, содержащих по крайней мере одну производную от какой-либо из искомых функций в направлении, нормальном к характеристической поверхности, при этом те функции, производные от которых входят в эти дополнительные уравнения, не могут претерпевать разрывов в этом направлении. В общем случае установившегося течения газа можно показать, что все поверхности, состоящие из линий тока, являются характеристическими. Эти поверхности являются действительными характеристиками даже для дозвукового (если не предполагается, что течение безвихревое) и для вихревого течения несжимаемой жидкости. Нетрудно при этом показать, что на поверхностях тока исходная система уравнений, записанная в декартовых координатах и состоящая из (5 + М + Р) уравнений в частных производных (три уравнения движения, уравнение неразрывности, уравнение энергии и N + P релаксационных уравнений) переходит в систему из (3 + N + P) уравнений совместности [уравнения (1.97)...(1.99) и (Л^ + Д) уравнений (1.102), (1.103)] и двух дополнительных соотношений (ранг соответствующей матрицы равен двум) (1.95) и (1.96). Уравнениями совместности являются два уравнения движения (1.97), (1.98), уравнение энергии (1.99) и N + P релаксационных уравнений, которые не содержат производных по нормали к линии тока. Дополнительными уравнениями являются одно из уравнений движения (1 96) и уравнение неразрывности или уравнение, которое следует из него (1.95), содержащие производные по нормали к поверхности тока. Уравнения (1.100) и (1.101) являются уравнениями направления.

В осесимметричном или плоском случаях наличие двух дополнительных уравнений позволяет элементарно разрешить обратную задачу, сводящуюся к задаче Коши. А именно: на некоторой кривой (начальном слое ф = const), являющейся линией тока, задается какая-либо из компонент скорости или распределение давления (плотности). Тогда из уравнений направления (1.100), движения (1-98), энергии (1.99), релаксационных уравнений и уравнения состояния путем совместного численного интегрирования их по 5 оп- эеделяют оставшиеся компоненту скорости (или обе компоненты, юли задано распределение давления или плотности), давление, плотность, температуру а, и ер. В случае идеального газа с посто- шным показателем адиабаты расчет недостающих параметров на

начальном слое проводят весьма просто с использованием конечных уравнений сохранения энтропии (1.107), Бернулли (1.108) и уравнения направления (1.106). Для перехода на следующий слой при решении задачи Коши (численном или аналитическом) с помощью двух дополнительных уравнений (1.95), (1.96) на этом слое определяют координату г и давление р, а затем путем численного интегрирования вдоль слоя системы (1.100), (1.98), (1.99), (1.102)... (1.104) —параметры течения.

При интегрировании релаксационных уравнений (1.102), (1.103) предполагается, что в начальной плоскости s=s0 при всех ф и 0 существует некоторая связь аг=/°(р, Т), ep=f'(p, Т), которая задается из феноменологических соображений, например, принимается равновесие или замороженное состояние потока при s=so.

При аналитических начальных данных единственность и существование решения в до-, транс- и сверхзвуковой областях течения обеспечивается теоремой Коши — Ковалевской, поскольку уравнения газовой динамики обладают аналитическими коэффициентами в эллиптической (дозвуковой), параболической (трансзвуковой) и гиперболической (сверхзвуковой) областях. С другой стороны, согласно теореме Веерштрасса любая непрерывная функция может быть со сколь угодно большой точностью аппроксимирована аналитическим полиномом, и в связи с этим в качестве данных Коши могут выбираться также и неаналитические данные.

Итак, в осесимметричном и плоском случаях обратную задачу теории сопла, сводящуюся к задаче Коши, удается разрешить при задании данных Коши на линии тока благодаря наличию двух дополнительных уравнений несмотря на то, что эта линия является характеристикой. Однако в плоском и осесимметричном безвихревом течениях линия тока является вырожденной характеристикой, что и позволяет решить задачу Коши. Иная ситуация имеет место в пространственном течении. В этом случае задание начальных данных только на поверхности тока не позволяет уже разрешить задачу Коши, поскольку поверхность тока является характеристической, а двух дополнительных уравнений и 3+N-V-P уравнений совместности недостаточно для определения параметров течения на следующем слое (следующей поверхности тока), так как на этом слое приходится решать систему уравнений в частных производных (1.97)...(1.104), начальные условия для которой не заданы. Очевидно, что при задании начальных данных (данных Коши) на какой-либо плоскости д=So можно получить решение задачи Коши для этой системы уже на следующей поверхности тока.

Таким образом, обратную задачу теории сопла для общего случая пространственного течения можно сформулировать так. На поверхности ф = ф0 задана функция r=ro(s, 0) и распределение компоненты скорости и — u0(s, 0) (или распределение давления или плотности); на плоскости s=so задано распределение компоненты скорости w = w0(9, ф) и функция ф = фО(0, ф); требуется найти семейство поверхностей тока и параметры течения в окрестности начальной поверхности тока. Важно отметить при этом, что задание

на поверхности тока всех компонент скорости лишь переопределяет задачу, поскольку наличие уравнений совместности и уравнений направления позволяет определить эти компоненты по одной заданной компоненте скорости и уравнению поверхности тока при условии, что начальные данные заданы еще и на плоскости s=so. Как видно, принципиальное отличие от соответствующей задачи в осесимметричном и плоском случаях состоит в том, что начальные данные формулируются не только на поверхности тока, но и на некоторой поверхности, не совпадающей с поверхностью тока. Такая постановка обратной задачи позволяет получить единственное решение для общего случая до-, транс- и сверхзвукового течений в соплах и каналах переменного сечения. При этом допускается протекание неравновесных процессов и переменность полной энтальпии на линиях тока. Постановка задачи в случае пространственного течения в некотором смысле эквивалентна постановке обратной задачи для вихревого плоского или осесимметричного течения. И в этом случае некоторые данные (распределение энтропии) нужно задавать на начальной плоскости. Итак, для пространственного течения обратная задача расщепляется на две задачи Коши. Для уравнений (1.95), (1.96) задача Коши решается в направлении ф, а для уравнений (1.97), (1.98), (1.99), (1.101)...(1.104)—в направлении 5.

В случае одномерного неравновесного течения постановка задачи аналогична. На оси сопла задается либо скорость IF, либо давление, либо плотность как функции от s. Выбор функции, которую необходимо задавать, производится из условия наименьшей чувствительности этой функции к степени неравновесности процесса. Такой функцией в большинстве случаев является плотность, и в меньшей степени скорость потока. В начальном сечении задаются все параметры течения IF, р, р, Т, а, и ер. Решение задачи Коши проводится для системы (1.98), (1.99), (1.102)... (1.104) при этом форма струйки тока, т. е. функция Г—Г^ определяется при заданном Q из уравнения (1.108).

Рассмотрим теперь постановку граничных условий в обратных задачах профилирования сопел и каналов в сверхзвуковой области. Воспользуемся для этого теорией характеристик для сверхзвуковых течений. Для случая течений идеального газа с неравновесными физико-химическими превращениями эта теория изложена в [1, 11, 27], где приведены также различные численные схемы метода. Здесь лишь отметим, что при сверхзвуковом течении существуют три семейства характеристик, два семейства линий Маха (характеристики С+ и С-) и линии тока (характеристики Со). Каждая из характеристик задается уравнением направления [например, (1.122)], при этом газодинамические параметры на ней связаны уравнениями совместности [см. например, уравнения (1.123) для С+ и С"]. Отметим, что уравнение направления для линии тока есть уравнение (1.100, 1.101), а уравнения совместности — уравнения (1 98, 1 99).

Рис. 1 2 Схема решения методом характеристик задачи Коши (а), задачи Гур- са (б), смешанной задачи (в)

Для решения обратных задач профилирования важны известные задачи теории характеристик: задача Коши, Гурса и смешанная задача. Рассмотрим методы их решения, предполагая, что искомыми функциями являются угол наклона скорости 9 и давление р, которые связаны дифференциальными соотношениями совместности.

Пусть теперь 9 и р заданы на дуге АВ некоторой кривой, которая ни в одной точке не имеет характеристического направления, и нужно определить решение в окрестности АВ (задача Коши). Выберем на АВ ряд точек Л, а, Ь,...,с, СВ (рис. 1.2, а) и проведем через каждую из них характеристики обоих семейств. В точках их пересечения d, e,...J каким-либо численным методом (см. 3.4) можно вычислить искомые функции. Зная решение в этих точках, можно продвинуться еще на один «слой» и т. д., пока пе вычислим решение в точке С. Таким образом находится решение, одновременно строится характеристическая сетка. Аналогично определяется решение и в характеристическом треугольнике ABD. Такая процедура возможна лишь при условии существования в области ACBD непрерывного решения. Известно, что существование непрерывного решения квазилинейной системы можно гарантировать лишь в малой окрестности линии начальных данных. Даже при сколь угодно гладких начальных данных в области влияния дуги АВ (область ACBD^ могут возникать разрывы. Расчет методом характеристик в этом случае существенно усложняется (см. разд. 3.4).

Рассмотрим задачу Гурса: на дугах АВ и АС характеристик различных семейств заданы 9 и р. При этом, естественно, предполагается, что 9 и р удовлетворяют условиям совместности. Выберем на дугах АВ и АС последовательности точек A, аг, а2,...,В и A, bi, Ь2,...,С (см. рис. 1.2,6). Используя точки ai и bi в качестве опорных, определим искомые функции в точке Сь Далее решение можно вычислить в точке с2 и во всех остальных точках характеристики щЕ. Затем процесс повторяется для следующей характеристики а2Р и т. д., пока не будут вычислены искомые величины на крайней характеристике BD характеристического четырехугольника ABDC.

Рис 1 3. Постановка и схема решения обратной задачи профилирования каналов с заданными параметрами на линии тока L и распределениями давления или угла наклона скорости 6 во входном 1\ и выходном Г2 сечениях

В заключение рассмотрим одну из возможных смешанных задач. Пусть граничные условия заданы на дугах АВ и АС двух нехарактеристических кривых, причем на АВ заданы 9 и р, а на АС — линейная комбинация а9 + |3р, и дуга АС расположена внутри угла, образованного характеристиками разных семейств, проходящих через точку А (рис. 1.2, а). По данным на АВ можно вычислить 9, р в треугольнике ABD, в том числе и в точках характеристики AD (точки а, b и т. д.). Для определения 9, р в точке С используется характеристическое условие вдоль дуги АС и заданная в точке С комбинация <х9 + Рр. После вычисления искомых величин в треугольнике АЕС решается задача Гурса с данными на ED и ЕС.

Перейдем непосредственно к постановке обратной задачи профилирования и опишем схему ее решения. Рассмотрим плоские или осесимметричные сверхзвуковые течения идеального газа с постоянным показателем адиабаты. Задается кусочно-гладкая непрерывная кривая L (рис. 1.3), являющаяся линией тока, и параметры на ней FL = ^P, р, IP, 9}, характеризующие сверхзвуковое течение. Параметры, входящие в Fl, в общем случае могут быть разрывными и задаются из некоторых априорных условий. Эти параметры не являются произвольными. Так как линии тока обладают характеристическими свойствами, то параметры на L должны удовлетворять характеристическим соотношениям вдоль линии тока. Слева задается кусочно-гладная, непрерывная поперечно-ориентированная Гранина Гь являющаяся С характеристикой, с параметрами Fv В Fi входят все параметры, описывающие сверхзвуковое течение, которые определяются входной до- и трансзвуковой частью канала.

При неравновесной полной энтальпии потока Яо, энтропии S и наличии закрутки, в Ft могут быть включены распределения этих параметров как функции ф. Краевые условия на L и Г] дополняются справа кусочно-гладкой непрерывной поперечно-ориентированной границей Г2, которая не лежит в области влияния L, с параметрами Рг. В качестве Г2 обычно выбирается сечение выхода. На Г2 и F2 накладывается следующее ограничение. Г2 должна лежать в угловой области, ограниченной слева С характеристикой 1°, а справа — С+ характеристикой ВЫ (см. рис. 1.3). В этом случае в F2 входит распределение только одного газодинамического параметра р или р.

Следует подчеркнуть, что задание на поперечно-ориентированной границе новых граничных условий на распределения р и 9 обу-

словливает использование в расчете новых двухграничных смешанных краевых задач профилирования с граничными условиями на известной характеристике и Г2 [6]. Применение этих смешанных краевых задач позволяет построить более широкий класс сверхзвуковых каналов в отличие от известного, получаемого на основе решения задачи Гурса.

В ряде случаев Г2 может совпадать с С+ характеристикой BN, тогда F2 содержит распределения как 9, так и р.

На параметры F L, Fi и F2 не накладывается требование их непрерывности, однако если на границе Г1 (или L) задана ударная волна, то необходимо, чтобы она располагалась вне области влияния Г2 и L (или Г2), т. е. она должна приходить на искомый контур. В потоке требуется построить стенку канала, обеспечивающего распределения Fl, Fi и F2 на соответствующих границах. Поставленная задача профилирования является трехграничной смешанной краевой задачей сверхзвуковой газовой динамики.

Рассмотрим схему решения сформулированной задачи классическим методом характеристик. Расчет осуществляется с помощью последовательного решения задачи Коши, Гурса и отмеченных новых двухграничных смешанных краевых задач профилирования. Численное профилирование начинается с решения задачи Коши с начальными данными на L, в процессе которого определяются область влияния I (см. рис. 1.3), а также характеристики 1 и Г. Затем последовательно решаются смешанная краевая задача с граничными условиями на части ВК характеристики Г и Г2 в области II и задача Гурса в областях III и IV. При задании в качестве границы Г2 характеристики BN вместо смешанной задачи в области II решается задача Гурса в 11 +И]. Искомый контур канала после расчета областей I ..IV может быть определен квадратичной интерполяцией по известному полю течения.

При использовании в расчете модификации сеточно-характеристического метода по слоям ф = сопз1 (см. разд. 3.4.2) линия тока является одним из семейств разностной сетки. В связи с этим рассчитывается не вся область ABDGC (см. рис. 1 3), а ее подобласть, ограниченная Г], Г2, L и искомым контуром канала, определяемым в этом случае автоматически

Следует отметить, что в ряде случаев требуется обеспечить прохождение контура профилируемого канала через концевые точки С и D границ Г1 и Г2 одновременно Для этого необходимо, чтобы расходы газа через Г] и Г2 были равны. Равенство расходов обеспечивается соответствующим изменением линейных размеров Г1 после решения смешанной краевой задачи в области II и определения расхода через Г2, что обусловливает соответствующие изменения входной до- и трансзвуковой частей канала.

Рассмотрим один из возможных алгоритмов расчета левой границы Г1 при заданных граничных условиях на L и Г2. Г] рассчитывается при подборе («адаптации» по терминологии работы [17]) до- и трансзвуковой входных частей канала из условия согласования параметров потока в ней и искомой сверхзвуковой части. Выбор 38

Рис 14 Решение обратной задачи профилирования каналов при подборе левой границы Г]

входной части осуществляется из априори заданного «адаптируемого» n-параметрического семейства дозвуковых частей аналогичного рассмотренному в [17] В данном случае в качестве параметров семейства можно взять размер и расположение относительно оси симметрии критического сечения, распределение параметров вдоль него, радиус закругления (или величину излома) закритиче- ской части стенки канала.

Выбор искомой дозвуковой части из этого семейства осуществляется:

с помощью величины расхода газа через Г2, полученного при решении смешанной задачи в области II;

из условия согласования течения во входной части с граничными условиями на Л в точке А (рис 1 4, а)

Первое требование удовлетворяется выбором размера минимального сечения КС и параметров вдоль него. Затем точки К и А соединяются гладкой кривой, что обеспечивает согласование входной и профилируемой частей канала по углу 9 После этого выбором величины излома (при ограничениях на кривизну стенок канала, радиуса закругления закритической части) в точке А можно обеспечить согласование течений в точке А по давлению (скорости) Отметим, что при проведении линии тока КА углы 9 в точке А справа 9д+ и слева 9д~ могут не совпадать, причем при 9а+> >9д_ (9л+<9а-) должна быть задана ударная волна (волна разрежения) В этом случае волна задается по величине перепада числа Маха АМ=Мд+—М^- Следует иметь в виду, что при реализации в точке А ударной волны последняя должна лежать вне области влияния Г2

После выбора дозвуковой части и образующей центрального тела АК решается смешанная задача в разгонной области у и определяется искомая характеристика Г] = СА Далее описанным выше способом осуществляется профилирование сверхзвуковой части канала

Однако, если в постановке допускается существование ударных волн в потоке и параметры в точке А выбраны таким образом, что реализуется ударная волна (рис 1 4, б), то в 1 + Ш решается смешанная задача с данными на характеристике СА и L, в процессе решения которой выстраивается ударная волна AQ. Завершается расчет решением задачи Гурса с граничными условиями на харак-

IVIVF.F./ I \ .А ^77777777777777777^/ I \ .А ^77777777777777777^ШгШгJIJIРис 1 5 Решение обратной задачи проМ филирования каналов при задании наРис 1 5 Решение обратной задачи проМ филирования каналов при задании наГ 2 всех параметров,Г 2 всех параметров,сверхзвуковое течениесверхзвуковое течениеопределяющихопределяющихК NК N

IV

IV

F.

F.

/ I \ .

А ^77777777777777777^

/ I \ .

А ^77777777777777777^

Шг

Шг

JI

JI

Рис 1 5 Решение обратной задачи проМ филирования каналов при задании на

Рис 1 5 Решение обратной задачи проМ филирования каналов при задании на

Г 2 всех параметров,

Г 2 всех параметров,

сверхзвуковое течение

сверхзвуковое течение

определяющих

определяющих

К N

К N

теристиках ND и MN с выделением части ударной волны QE [1,6].

Рассмотрим теперь обобщение постановки задачи профилирования на случай, когда на нехарактеристической границе Г2 заданы все параметры, определяющие сверхзвуковое течение. Для того, чтобы задача была не переопределенной, необходимо, чтобы области зависимости параметров на L и Гг не пересекались (рис. 1.5). В этом случае после определения в процессе решения задач Коши с данными на L и Г2 областей I и II точки B^L и Л'еГ2 соединяются произвольной гладкой линией BN, являющейся линией тока. Затем решается смешанная задача в области ПК с граничными условиями на характеристике QN и линии тока K.N и определяется С+ характеристика KQ. Далее задается некоторое гладкое распределение числа М вдоль части линии тока ВК, последовательное решение задач Коши в Ш2 и Гурса в Шз позволяет определить С+ характеристику BR. Завершается профилирование решением задачи Гурса в области IV. Входная дозвуковая часть искомого канала может быть определена из п — параметрического «адаптируемого» семейства описанным выше способом.

Таким образом, в этом разделе рассмотрена постановка граничных условий для двух классов задач: обратной задачи с заданными условиями на входе в дозвуковой части и на некоторой поверхности ip = const и обратной задачи профилирования сверхзвукового канала с условиями во входном и выходном сечениях и условиями на поверхности тока. Отметим, что в первой задаче течение рассчитывается одновременно в до-, транс- и сверхзвуковой областях и любая из линий тока может быть выбрана в качестве стенок канала. Во второй задаче рассчитывается только сверхзвуковая область потока и определяется единственная линия тока, обеспечивающая заданные условия во входном и выходном сечениях.

Отметим, что постановка задачи профилирования с граничными условиями на априори известной линии тока L является не единственно возможной. Так, в ряде работ распределение некоторых параметров задается на неизвестной образующей искомого канала Например, такой подход использован в [30] для профилирования дозвуковых сопел, где решается краевая задача для уравнения Чаплыгина в плоскости годографа С помощью этого метода удается построить короткие безударные и безотрывные сопла. Однако

этот метод не допускает простого обобщения на случай непотенциальных течений газа. В работе [23] предложен метод профилирования дозвуковых и трансзвуковых каналов, течение в которых может отличаться от потенциального, а распределение скорости (давления) может задаваться как на оси, так и на искомой стенке канала. Метод основан на расщеплении исходной системы газодинамических уравнений на подсистемы более низкого порядка. Основная идея расщепления связана с выделением эллиптического или смешанного уравнения второго порядка, для численного решения которого используется метод блочной верхней релаксации.

Для профилирования плоских и осесимметричных каналов с заданным распределением давления вдоль искомых стенок для дои трансзвуковых течений в [12] применен метод установления. Стенки канала на участках, где задано распределение давления, предполагаются непроницаемыми и гибкими. В начальный момент их форма определяется в соответствии с приближенной оценкой (например, по одномерной теории) и в процессе счета изменяется до достижения стационарного состояния. Метод достаточно просто обобщается на трехмерный случай, однако использование метода установления требует значительных затрат времени ЭВМ.

НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯО ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССАХ

В этом разделе представлены сведения по кинетике химических процессов и выписаны реакции и константы скоростей. Описаны возможные каналы возбуждения и дезактивации колебательных степеней свободы и приведены данные по временам релаксации.

Приведены полуэмпирические формулы для определения коэффициентов сопротивления частиц и формулы для нахождения числа Нуссельта, необходимые для расчета траекторий и температуры иастиц; данные по кинетике конденсации, включающие в себя уравнения для расчета нуклеации и роста сконденсированных частиц, а также сведения, необходимые для расчета электромагнитных воздействий при течении проводящего газа.

Химическая кинетика

Учесть наличие физико-химических процессов можно приближенно, приняв скорости их протекания бесконечными или равными нулю.

При бесконечной скорости имеет место равновесное течение, а при нулевой — замороженное. При равновесном течении термодинамические и газодинамические параметры определяются с привлечением соотношений термодинамики равновесных процессов Концентрации реагирующих компонент в таких течениях определяются из закона действующих масс; энергия колебательных степеней свободы вычисляется по формуле Эйнштейна, парциальные давления конденсирующихся компонент — по уравнению Клапейрона —

Клаузиуса, а скорости и температуры частиц принимаются равными скорости и температуре газа. Энтропия в этом случае сохраняется неизменной вдоль струйки тока.

Другим предельным течением является полностью замороженное течение, когда параметры, характеризующие релаксационный процесс, остаются неизменными в процессе движения смеси. Это течение также является изоэнтропическим. В полностью замороженном течении сохраняются неизменными молярные доли различных компонент, энергия колебательных степеней свободы молекул, скорости и температуры частиц, а процессы конденсации вообще не происходят.

Возможны и некоторые другие модели изоэнтропического расширения, полезные для разного рода инженерных оценок. Рассматривается, например, химически замороженное течение, когда все остальные релаксирующие параметры, кроме молярных долей компонент, изменяются в соответствии с соотношениями равновесной термодинамики. Рассматривается также течение, когда заморожены лишь фазовые переходы, конденсация или кристаллизация. Такое рассмотрение позволяет оценить предельное влияние конденсации и кристаллизации на параметры течения. Наконец, возможно рассмотрение замороженного двухфазного течения, когда изменение всех параметров, кроме скорости и температуры частиц, происходит равновесно, а эти последние неизменны в процессе истечения.

Методы расчета равновесного и замороженного течений весьма сложных смесей продуктов сгорания, в которых происходят перечисленные выше физико-химические превращения, изложены в первом томе фундаментального десятитомного справочника [33]. В остальных томах этого справочника приведены таблицы параметров смеси для различных композиций, полученные в одномерном приближении. Такого рода таблицы, так же как и h—S-диаграммы, позволяют определить параметры в любой точке изоэнтропического потока, если в этой точке известен один какой-либо термодинамический параметр и параметры торможения, по аналогии со случаем одномерного течения газа с постоянным отношением удельных теплоемкостей. Действительно, условие изоэнтропич- ности S=S(p, p)=const или S=S (р, Т)= const доставляет связь между давлением и плотностью (температурой), а термическое и калорическое уравнения состояния вместе с уравнением сохранения энергии позволяют определить температуру (плотность) и скорость, а также молярные доли различных компонент, массовую долю конденсата и т. д.

Основные уравнения, используемые при расчете равновесного состава, состоят из нелинейных уравнений закона действующих масс для некоторого набора реакций и уравнений материального баланса, выражающих условия постоянства количества атомов химического элемента в процессе химических реакций. Таким образом, для определения неизвестных парциальных давлений pt при заданном давлении р и температуре Т имеем систему нелинейных 42

уравнений. В настоящее время разработаны численные методы решения этой системы уравнений и созданы таблицы для многих топливных композиций [33]. По результатам этих расчетов, как отмечалось, можно получить зависимости р=/(р) и h=h(p), характеризующие данный изоэнтропический равновесный или замороженный процессы, которые можно использовать затем при решении обратной задачи [см., например, систему (1.105)].

Рассмотрим теперь неравновесные процессы. Предельные изоэнтропические случаи, когда время физико-химического процесса много меньше характерного газодинамического времени (равновесный процесс) или много больше газодинамического времени (замороженный процесс) практически не реализуются, и имеют место неравновесные процессы, в которых характерное время процесса сравнимо с характерным газодинамическим временем. Рассмотрим неравновесное протекание химических реакций. Конкретизируем правые части уравнений сохранения массы индивидуальных компонент— функции F°(p, Т, а,) в уравнении (1.80). Выпишем для этого уравнения химической кинетики.

Пусть в газовой смеси протекают q независимых химических реакций, каждая из которых, например, r-я, описывается химической формулой

N v

1-1 г-1

где ^ir и ^ir— стехиометрические коэффициенты, показывающие, сколько молекул вещества At принимают участие в прямой (v,r) и обратной (v-r) реакциях.

Скорость химической реакции г в прямом направлении в молях на единицу объема и единицу времени равна

где а, и Цг — массовая доля и молекулярная масса i-й компоненты. Коэффициент пропорциональности /С+(Г), называемый константой скорости реакции, не зависит от концентраций индивидуальных веществ и является функцией температуры. Скорость протекания реакции г равна

где W+ \ W7^, К+\ К{-— скорости и константы скоростей прямой и обратной реакций соответственно.

Согласно закону Аррениуса, константа скорости реакции может быть записана в виде

/^(Т^ЛТ^ехр .

Коэффициент А характеризует числа эффективных соударений реагирующих частиц в секунду. Постоянные В и Е (последняя называется энергией активации химической реакции) определяются природой элементарных процессов

В результате прохождения реакции г в прямом направлении образуются v,r— vzr молей i-ro индивидуального вещества, следовательно, массовая скорость образования вещества с молекулярной массой Цг в ходе реакции г равна

R.V' = (v,r — v'r) p,U7(+>4- ^ir — v'r)

Теперь уравнения кинетики для каждого i-ro индивидуального вещества могут быть записаны в виде

^Лр, Т, а^ а2,..., aN) (i = l, at

Q

где F^p, T, a() = — ^j R1^— массовая скорость образования

вещества в результате всех q реакций. Система (1.80) допускает выделение конечных соотношений (уравнений сохранения вещества), число которых равно количеству независимых компонент. В табл. 1.1 представлены для системы С—О—Н—N элементарные химические реакции и константы скоростей. Константы скоростей для тримолекулярных реакций имеют размерность см6 моль-2 с-1, а бимолекулярных — см3 моль-1 с-1. Дифференциальное урав- Таблица 1.1.

Реакция

А

в

Е

1

со + о + м — со2+ м

3,5 1014

1

2100

2

н + н + м — н2+ м

1,4 10°

1,5

0

3

0 -f- 0 + М О2+ М

5,5 1017

0,87

0

4

он + н + м — н2о + м

1,2 1020

1,0

0

5

О + Н + М^ОН + М

3,3 1018

0,5

0

6

N + N + М — м2+ м

2,7 1016

0,5

0

7

N + 0 + M^NO + M

3,3 1015

0

0

8

он + СО со2+ Н

2,5 1012

0

5100

9

ОН 4- Н2 Н2О + н

1,1 1014

0

8600

10

ОН + ОН^Н2О+О

1,0 1013

0

1200

И

н2+ о - он + н

1,3 1013

0

9860

12

о2+ н —* ОН + О

2,2 1014

0

16550

13

N2+ о2—* NO + NO

5,2 1013

0

107000

14

NO + N -* N2+ О

3,0 1013

0

200

15

NO + О —* О2+ N

1,1 1013

0

41700

нение химической кинетики для компоненты Н2 в соответствии с табл 1.1 имеет вид

<z«H—77^ = ^? at<z«H—77^ = ^? atК'МК'М

<z«H

—77^ = ^? at

<z«H

—77^ = ^? at

К'М

К'М

-^“Wo + ^-^YohYh

Здесь у1 = а1/ц1. Аналогично можно выписать дифференциальные уравнения для других компонент и найти конкретные выражения для правых частей F°(P, Т, а) уравнений химической кинетики.

Колебательная релаксация

Временные релаксации колебательных степеней свободы на один-два порядка меньше времен для химических реакций, а энергия их сравнима с химической энергией при течениях высокотемпературной смеси. Тем не менее процесс колебательной дезактивации из-за больших градиентов газодинамических параметров может протекать неравновесно.

Основными молекулярными компонентами продуктов, которые рассматриваются ниже, являются N2, СО2, СО, Н2О, Н2, NO. Трехатомные молекулы СО2 и Н2О имеют три типа нормальных колебаний и соответственно три колебательных степени свободы. Многоатомные молекулы, обладающие определенной колебательной степенью свободы, будем рассматривать как самостоятельный компонент смеси. В табл. 1.2 приведены характеристические колебательные температуры молекул, а также условные обозначения молекул, которые будут использоваться в дальнейшем.

Здесь CO2(vi), H2O(vi)—молекулы, обладающие валентной симметричной модой колебаний, CO2(v2), H2O(v2) —молекулы, обладающие деформационной модой колебаний, CO2(v3, H2O(v3) — молекулы, обладающие валентной асимметричной модой колебаний

В многокомпонентной смеси двухатомных и многоатомных молекул возбуждение или дезактивация колебательных степеней сво-

Таблица 1 2

Молекула

z

О о

О о

О о

О о

О

X

О

X

О

I

О

Z

Условное обозначение

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

6», К

3353

1920

960

3380

3084

5260

2294

5400

6130

2700

боды молекул при неупругих столкновениях могут происходить двумя путями: путем непосредственного перехода кинетической энергии сталкивающихся частиц в колебательную энергию рассматриваемой молекулы и наоборот (процесс прямого возбуждения или дезактивации, обычно обозначаемый символом Т—У), и путем обмена энергией между колебательными степенями свободы сталкивающихся молекул внутри данной молекулы (процесс колебательно— колебательного обмена, обозначаемый символом V—У). Для рассматриваемой смеси можно записать следующие процессы:

N2-|-M^:N2 + M-2330 см-1;

СО24-М^СО*(72)4-М-667 см-1;

СО-|-М^:СО* + М-2143 см-1;

Н2О + М:£Н2О*О2)4-М-1595 см-1;

Н24-М^2 Н*4~М —4260 см-1;

NO 4-М ^ NO* 4-М-1876 см-1;

СО^зНМ^СОд^-Н^М;

CO2(vi)4-M^CO2(2v2)-(-M;

H2O*(v1)4-M^H2O*(2v2)-(-M4-467 см-i;

Н2О(^)4-М^Н2О*(2^2)4-М4-556 см-’;

^4-СО2^М24-СО2О3)-19 см-1;

N*4-CO^N24-CO*-187 см-i;

CO* + CO2^CO4-CO2(v3)-206 cm-1;

N*4-NO^ZN2 + NO*4-454 см-i;

CO* 4-NO^: CO 4-NO* 4-267 CM-1;

CO*(v3)4-NO;rCO2 + NO*4-473 см-i.

Кинетические уравнения, описывающие релаксацию колебательной энергии вследствие всех перечисленных выше процессов в смеси газов, могут быть составлены двумя способами Можно записать систему дифференциальных уравнений для определения заселенности каждого возбуждаемого уровня каждой колебательной моды, используя соответствующие вероятности переходов Такой подход, однако, в настоящее время без существенных упрощающих гипотез оказывается весьма сложен, не только из-за значительного числа уровней, но также из-за отсутствия надежных экспериментальных и расчетных данных по вероятностям переходов для столь сложной взаимодействующей смеси молекул Другой подход состоит в составлении дифференциальных уравнений для определения энергии 46

каждой моды Если предположить больцмановское распределение по энергиям внутри каждой моды и принять, что молекулы являются гармоническими осцилляторами, то релаксационное уравнение, соответствующее приведенным выше процессам, например, для определения колебательной энергии моды СО2(тз)—е4, записывается в виде

= <?ii —т^з + ^б^ФДЛ Т, epY (1.134)

Здесь Ф4(/л Т. ^ — правая часть уравнения (1.81); т о / R \ ^ _ 0 Г 1/. R - \/ 02 -4“ 63 Ч- 64 \

4*13— Ф13 (г44*13— Ф13 (г4^5 + rs — ехр ( 9405\ Ц /\ ТR д \—iГ (। R д \— ®ю ^ю ^4 п64 ех)^ / L \^ /^5 + rs — ехр ( 9405\ Ц /\ ТR д \—iГ (। R д \— ®ю ^ю ^4 п64 ех)^ / L \^ /610 — 04 . т610 — 04 . т?7=Ф7 г3-\ (9293)е2е3к4+г4 — 94)ехр^—-

4*13— Ф13 (г4

4*13— Ф13 (г4

^5 + rs — ехр ( 9405

\ Ц /\ Т

R д \—iГ (। R д \

— ®ю ^ю ^4 п64 ех)

^ / L \^ /

^5 + rs — ехр ( 9405

\ Ц /\ Т

R д \—iГ (। R д \

— ®ю ^ю ^4 п64 ех)

^ / L \^ /

610 — 04 . т

610 — 04 . т

\ ^ У 1

?16=Ф16 Г10

— е4 ^10+ ^ 10

В этих уравнениях приняты следующие обозначения: е(— колебательная энергия /-го компонента в единице массы смеси; ег° — равновесное значение колебательной энергии при температуре газа, которая согласно формуле Эйнштейна равна

e°i = Rrl'X^l exp^y*)-^] (1.135) где степень вырождения yt= 1 при /^=3 и уз=2; г, — молярная концентрация /-го компонента; Ф^ — скорость /-го релаксационного процесса, зависящая от температуры и давления газа.

Скорости релаксационных процессов определяются в зависимости от характера передачи энергии. При колебательно-поступательном переходе энергии

ф^р^г/Пу (/=1, 2,..., 6; 7=1, 3, 4, 5, 7, 9, 10), (1.136)

где т1; — время релаксации для процесса / в случае столкновений с молекулами сорта /. При внутримолекулярном колебательно — колебательном переходе энергии Ф^ находятся также по формуле (1 136) при /=7, 8, 9, 10. При межмолекулярном колебательно — колебательном обмене энергией

Ф?; = р-^(/=11, 12, 13, 14, 15, 16; 7=4, 5, 4, 10, 10, 10 соответственно),

где тг — время релаксации i-ro процесса. Обычно зависимости времен релаксации элементарных процессов от температуры определяются по экспериментальным данным и коррелируются, когда это возможно, с помощью теории Ландау — Теллера, согласно которой имеет место линейная зависимость 1пт от Т^,г. Аналогично выписываются релаксационные уравнения для других мод и определяются ФР(р, Т, ер) —правые части уравнений (1.81). В работе [27] выписаны формулы для вычисления времен релаксаций. В качестве примера приведем времена релаксации для процесса 1:

In т111 = 220Т-1/з_ 24,81;

1пт1,2=240Т-1/з_ 25,76;

In т1,5 = 2207'-1/з_ 24,81;

In T1,7 = 335r-V3_ 16,55;

1144,9=86,9г-1/- 19,94;

In т1>10=223,9г-1/3 _ 24,96.

Двухфазные течения

Выпишем формулы для fs безразмерной силы взаимодействия между газом и частицами и qs безразмерного теплового потока между газом и частицами, входящих в формулы (1.76)...(1.79), (1 83) общей системы уравнений. Имеем

f ^^-^-(W-W,) | W-Ws | =-^(W-Ws);

s 8 роГз VISt

qs=^b<T_Tsy’ (L137>

+^o = _|L + ^iL + 0,25;

Re Re '

Nu = Nuo (1 + ЗДЫиоМКе-фг-1)-1;

Nu° = 24-0,45Re°’5Pr0'3,

где cx — коэффициент сопротивления сферы; r3— радиус сферической частицы; ps° — истинная плотность материала частицы; cs — теплоемкость частицы; Nu — число Нуссельта; Pr, St и М— числа Прандтля, Стокса и Маха, Re — число Рейнольдса; сх— отношение коэффициента сопротивления сх к коэффициенту сопротивления сх° при стоксовском режиме обтекания (щ° = 21 Re!) ■ Числа Re, Рг, St и М определяются следующим образом:

Re = 2р I W - Ws I Гз . рг.

где q и Л,— коэффициенты вязкости и теплопроводности газа; W* и г»—характерная скорость и длина; а — скорость звука.

Формулы для коэффициента сопротивления сх и число Нуссельта являются полуэмпирическими и учитывают инерционность и разреженность газа, обтекающего частицу.

Неравновесная конденсация

Конденсация может иметь место в том случае, когда парциальное давление одной из компонент смеси в процессе расширения становится большим его давления насыщения. Вообще говоря, при больших степенях расширения должна последовательно происходить конденсация всех компонент смеси, так как адиабата Пуассона d\xi p/dt—Cp/RT неизбежно пересекается в р—Т-диаграмме с кривой, описываемой уравнением Клапейрона — Клаузиуса и дающей зависимость давления насыщенного пара над плоской поверх- d In р^ р

ностью. Согласно этому уравнению ат" ~ R 2" ’ ГДе — дав* ление насыщения конденсирующей компоненты, L— теплота кон

денсации.

На рис. 1.6 представлена р—Т диаграмма для паров воды. Если после достижения точки насыщения А (точки росы) дальнейшее расширение происходит термодинамически равновесно, то давление и температура пара связаны между собой уравнением Клапейрона — Клаузиуса и процесс расширения соответствующей компоненты смеси будет уже происходить не по адиабате Пуассона ЛС, а по кривой АВ (см. рис. 1.6), при этом газовая фаза этой компоненты будет конденсироваться. Однако, как показывают многочис

ленные экспериментальные данные, в действительности конденсация в сечении, соответствующем точке А, и на некотором участке ниже по потоку от него не имеет места, а весь процесс следует вдоль некоторой кривой ACD, на которой конденсация происходит неравновесно. Неравновесные параметры течения, как обычно, яв-

ляются промежуточными между параметрами равновесного расши- рения, соответствующего первоначально расширению по адиабате Пуассона, а затем по кривой насыщения, и параметрами замороженного расширения, когда фазовые превращения не успевают произойти и расширение происходит только по адиабате Пуассона При

по- кон-им-по- кон-им-равновесном процессе расширения следовательно выделяется теплота денсации; давление, температура и

по- кон-

им-

по- кон-

им-

пульс в этом случае больше, чем при неравновесном течении. Эти же параметры

Рис 1 6 р—Т диаграмма для паров воды-

1 — равновесное расширение (кривая насыщения), 2 — замороженное расширение (адиабата Пуассона), 3 — неравновесное расширение

при неравновесном течении, в свою очередь, больше, чем в замороженном течении.

Изменение состояния пара вдоль АС сопровождается более интенсивным снижением температуры, чем при расширении по кривой насыщения. Таким образом, задержка конденсации в процессе расширения сопровождается более интенсивным снижением температуры пара, которая оказывается ниже температуры насыщения при данном давлении. Задержка конденсации в высокоскоростных потоках связана с тем, что в газе очень мало или вовсе отсутствуют центры конденсации. Однако состояние переохлажденного газа не является устойчивым, так как малые возмущения могут перевести его в состояние насыщения, которое является абсолютно устойчивым. Состояние пересыщения может быть снято либо за счет гетерогенной конденсации на посторонних частицах, либо за счет гомогенной конденсации на образующихся зародышах частиц конденсирующейся компоненты. Если примесь, находящаяся в незначительных количествах, обладает более высокой температурой и давлением насыщения, чем основная компонента, то, хотя ее конденсация не изменяет существенно параметров, ядра конденсации, которые при этом образуются, могут стать центрами конденсации для основной компоненты. В связи с этим конденсация последней может наступить при очень незначительном пересыщении.

Важнейшей в теории конденсации является проблема образования ядер конденсации. Этот процесс также называют нуклеацией.

Возникновение новой фазы в метастабильной исходной фазе осуществляется в форме зародышей. Можно расширить понятие о равновесии двух фаз А и В таким образом, чтобы зародыши В данных размеров и формы находились в равновесии со средой А при мегастабильном состоянии последней, т. е. при неустойчивости ее по отношению к уже сформировавшейся фазе В, отделенной от нее плоской поверхностью. Этот вопрос впервые был рассмотрен Томсоном применительно к конденсации пересыщенного пара, который показал, что давление пара, находящегося в равновесии с каплей жидкости при заданной температуре тем больше, чем меньше радиус этой капли. Таким образом, пар, пересыщенный в обычном смысле по отношению к капле большого размера, может оказаться ненасыщенным по отношению к капле малого радиуса.

По Томсону имеем следующую формулу для нахождения критического радиуса:

(1.138)(1.138)г

(1.138)

(1.138)

cr кТЫр^р,

где о — поверхностная энергия; Ve-—объем, занимаемый одной молекулой.

В молекулярной системе могут происходить флуктуации, т. е. отклонения от нормального состояния, переводящие систему в состояние с большим термодинамическим потенциалом, т. е. менее вероятное. Такие флуктуации приводят к появлению комплексов (скоплений молекул) или так называемых кластеров, которые при 50

определенных условиях могут превратиться в зародыши новой фазы.

Можно представить следующую последовательность процесса неравновесной конденсации. В начальной стадии процесса вблизи точки насыщения А степень пересыщения пара увеличивается, поскольку капли критического размера должны быть большими, а вероятность их образования мала. В связи с увеличением пересыщения размер критических зародышей уменьшается, а вероятность их возникновения растет. Ввиду быстрого убывания вероятности флуктуаций с возрастанием их размеров начало фазового перехода определяется вероятностью возникновения зародышей именно критического размера, в связи с чем при расчете неравновесной конденсации учитывается образование только этих зародышей. Далее за счет увеличения степени пересыщения в начальной стадии процесса конденсации зародыши, которые в начальный момент имели критический размер, через небольшое время окажутся больше критических, и их рост будет продолжаться. Скорость образования зародышей критического размера велика и составляет примерно 1019 частиц в единице объема, и поэтому несмотря на их малый размер (rcr^ 10-7 см) общая поверхность, на которой происходит конденсация, достаточно велика. За счет быстрого образования зародышей и их дальнейшего роста происходит интенсивное увеличение массы жидкости и выделение тепла. Обычно величина L/cvT порядка единицы и поэтому появление даже небольшого количества жидкой фазы может заметно повлиять на параметры течения. Выделение тепла не только останавливает рост пересыщения, но и приводит к уменьшению степени пересыщения. Образование новых зародышей, которое в сильной степени зависит от величины пересыщения, сразу же прекращается, и в дальнейшем конденсация идет уже на вновь образовавшихся ядрах.

Таким образом, все центры конденсации зарождаются, как правило, в самом начале процесса конденсации, когда достигнуто достаточно большое пересыщение. После того как необходимое пересыщение достигнуто, переход от метастабильного состояния в состояние насыщения может произойти довольно быстро и носить скачкообразный характер (так называемые скачки конденсации). Однако при некоторых условиях может наблюдаться и достаточно плавный переход в состояние насыщения.

Процесс конденсации в высокоскоростных потоках можно разделить на две стадии, при этом на первой стадии определяющим является образование ядер, на второй — процесс роста ядер, когда нуклеации можно не учитывать. Хотя в ряде случаев одновременно происходят оба процесса, такое разделение представляется разум

ным.

образования ядер конденсации образующихся в единице объ-образования ядер конденсации образующихся в единице объ-ехрехр4rt(r„)2gЗМ'4rt(r„)2gЗМ'(1.139)(1.139)Согласно классической теории число ядер критического размера, ема, в единицу времени равно

образования ядер конденсации образующихся в единице объ-

образования ядер конденсации образующихся в единице объ-

ехр

ехр

4rt(r„)2gЗМ'

4rt(r„)2gЗМ'

(1.139)

(1.139)

/о=JSL ( р~ f ( 2ой У/2

где ой — коэффициент конденсации, к — константа Больцмана.

На второй стадии процесса конденсации определяющим является уже рост образовавшихся ядер конденсации. Если длина свободного пробега молекул значительно больше размера капель, то следует для нахождения массы капли (или ее радиуса) использовать формулу Кнудсена

dtА /IsRTV2ttRTe J

ИЛИ

d*" Щ Г РуРао РГеУ "1140)

dt “ ре [ /2лЯГ У2лРТ"е ] ’I ?

В континуальной области, когда перенос молекул пара к капле обусловлен диффузией, следует использовать формулу Максвелла

dmdtdmdt^urD^urDСПСП(1-141)(1-141)

dmdt

dmdt

^urD

^urD

СП

СП

(1-141)

(1-141)

где D — коэффициент диффузии конденсирующейся компоненты.

dm '4jr—Р/dt 3 zdm '4jr—Р/dt 3 zВ результате масса жидкой фазы, которая выделится при конденсации, может быть определена из следующего уравнения:

dm '4jr

—Р/

dt 3 z

dm '4jr

—Р/

dt 3 z

(1.142)(1.142)/WCr(0F+ (>(т)^Ь-^т ,

(1.142)

(1.142)

Jdt

0)

где первый член в правой части — приращение массы в момент т за счет нуклеации, а второй член — приращение массы за счет капель, образованных в момент т и увеличивающихся в размере от момента т до момента t.

Температуру капли можно определить из дифференциального уравнения баланса энергии:

^dt^dt(1.143)

^dt

^dt

Электромагнитные эффекты

При рассмотрении течений проводящего газа при наличии электромагнитных полей необходимо учитывать силы Лоренца и джоулево тепло, которые можно трактовать как внешнюю силу и внешний источник энергии в уравнениях (1.7, 1.8).

Рассмотрим течение электропроводного газа при наличии меридионального магнитного поля. Если пренебречь эффектом Холла и принять, что магнитное число Рейнольдса мало, т. е. не учитывать индуцированное магнитное поле по сравнению с наложенным, то в осесимметричном сопле Лаваля течение сохраняет осевую симметрию.

Так как предполагается, что магнитное поле создается только внешними источниками, то оно удовлетворяет уравнению Максвелла

(1.144)(1.144)rot В=0; divB = 0;

(1.144)

(1.144)

rot Е=0,

где В — индукция магнитного поля; Е — напряженность электрического поля. Тогда F — внешняя лоренцова сила, и Q — внешнее джоулево тепло, связанные с электромагнитным воздействием, равны

(1.145)(1.146)(1.145)(1.146)F = jxB = peE4-jB;

(1.145)

(1.146)

(1.145)

(1.146)

Q = 7V —FW = jE —FW,

где j и Е — векторы плотности электрического тока и напряженности электрического поля, a N — электрическая мощность, подводимая к единице объема.

В случае присутствия в газе ионизируемой присадки с потенциалом ионизации / степень ионизации мала, и свободные электроны находятся в равновесии с газом. Концентрация электронов связана с температурой и давлением формулой Саха

/ Т V/4 / jfoi V/2ОOgi I\Т»1)\ Р i/ Т V/4 / jfoi V/2ОOgi I\Т»1)\ Р iexpexp2 U Гм Л2 U Гм Л(1.147)(1.147)

/ Т V/4 / jfoi V/2

ОOgi I

\Т»1)\ Р i

/ Т V/4 / jfoi V/2

ОOgi I

\Т»1)\ Р i

exp

exp

2 U Гм Л

2 U Гм Л

(1.147)

(1.147)

Поскольку поле В соленоидальное и безвихревое, то можно ввести потенциал Ф такой, что B = gгadФ, при этом Ф удовлетворяет уравнению Лапласа АФ = 0. Аналогично для стационарных задач уравнения Максвелла позволяют ввести электрический скалярный потенциал ф такой, что Е =—grad ф, при этом ф для изотропно проводящей среды удовлетворяет уравнению Пуассона

(1.148)(1.148)A<p = div(W хВ).

(1.148)

(1.148)

Если известно распределение индукции магнитного поля В0(х) на оси симметрии, то составляющие Вх и Вт в поле течения определяются выражениями

Вх —= Re — С B0(x4-ir cos т,)^

(1.149)(1.149)дхл J

(1.149)

(1.149)

L о

Вг = ^ = РеdrВг = ^ = РеdrJ BQ<x-\-ir cos г;) cos т^ц

Вг = ^ = Ре

dr

Вг = ^ = Ре

dr

0

В плоском случае имеем

5^ = Re [.SoC-^+^)1; Sy = Re [z50(x + /</)].

Джоулев нагрев газа приводит к росту энтропии и уменьшению полного давления. В связи с этим получим уравнение для вычисления полного давления (давления торможения) р0.

Из уравнения производства энтропии после несложных выкладок получим

lW-Rfwl-^ ,(1.150) ds Wo ) J ?T

где po, To и po — давление, температура и плотность торможения.

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

ОДНОМЕРНАЯ ТЕОРИЯ

Классическая одномерная теорияидеального нереагирующего газа

Обратимся к одномерной теории сопла. Рассмотрим установившееся течение совершенного газа без релаксационных процессов при отсутствии внешних сил, внешних источников массы и энергии. В соответствии с основной гипотезой одномерной теории будем считать поток в любом месте сопла однородным по сечению, а скорость— направленной практически вдоль оси сопла, которая в классической одномерной теории принимается прямолинейной. Такое предположение будет справедливым либо в случае, если площадь и форма сечения сопла изменяются достаточно медленно в продольном направлении сопла, либо если площадь струйки тока достаточно мала по сравнению с характерными поперечными размерами области течения и, следовательно, поперечными составляющими скорости в первом приближении можно пренебречь. Параметры газа будут функциями только продольной координаты, и для определения их можно применить уравнения, имеющие место вдоль линии тока, т. е. уравнения [(1.88)... (1.90)]. Помимо этого, имеем уравнение (1.108)

pWF=jF=Q.(2.1)

В случае одномерного течения из этих уравнений нетрудно получить, что

didi M2 — 1

—= p(l — M3) или —— —,(2.2)

awdp ^w

где / — безразмерная плотность потока, отнесенная к р*а*;

М =число Маха; давление, скорость и плотность также отне- а

сены к своим критическим значениям (т. е. безразмерная скорость W совпадает с приведенной скоростью X).

Имеем также

^1=(М2-1)—=(1-М2)-^-.(2.3)

FWу pW2

Соотношения (2.2) показывают, что в дозвуковом течении плотность потока / возрастает по мере возрастания скорости и падения давления, а в сверхзвуковом течении, наоборот, падает. Плотность потока достигает максимального значения /* = р*а* в тех точках,

где скорость и плотность газа равны критическим значениям, и обращается в нуль при 1^ = 0 и давлении р, равном давлению торможения ро, а также при р = 0 и максимальной скорости, достигаемой при истечении в вакуум. Безразмерная плотность потока / зависит от числа М (или Л) и отношения удельных теплоемкостей у Эта зависимость для совершенного газа имеет вид

= (2.4>

\ 2 ) ( Y + 1 У

Очевидно, что j=F*IF, где F*— площадь минимального сечения — р

сопла. Каждому значению относительной площади F =— соответствует два значения приведенной скорости — дозвуковое Х<Л а сверхзвуковое Л>1. Из (2.3) следует, что в дозвуковом потоке скорость увеличивается, а давление уменьшается в направлении уменьшения площади поперечного сечения сопла, в то время как в сверхзвуковом потоке при увеличении площади происходит увеличение скорости и падение давления.

Согласно (2.3) критическая скорость может быть достигнута только в минимальном сечении сопла Лаваля, где dF=0. Вниз по потоку от минимального сечения скорость может либо продолжать увеличиваться, либо вновь уменьшаться в зависимости от отношения внешнего давления к давлению торможения. Если в минимальном сечении скорость потока отлична от критической, то она имеет экстремальное значение: максимальное (дозвуковое), если на входе сопла скорость дозвуковая, и минимальное (сверхзвуковое), если скорость на входе сопла сверхзвуковая. Ясно, что в рамках одномерного приближения в сужающемся канале не может быть достигнута сверхзвуковая скорость, если начальная скорость дозвуковая (это утверждение неверно, если течение носит пространственный характер); максимальная скорость в таком канале равна скорости звука. Сверхзвуковая скорость может быть получена лишь в сопле, имеющем сужающуюся часть, а затем, вниз по потоку от минимального сечения, расширяющуюся.

Максимальное значение /* достигается при критической скорости течения Очевидно, что максимально возможное значение полного расхода для сопла заданной формы равно j»F*.

Важно отметить также, что одномерная теория в случае совершенного газа без релаксационных процессов позволяет определить состояние потока в данном сечении струйки, если известен какой- либо один параметр р, Т, р, М (обратная задача) или относительная площадь Г (прямая задача) и если известно, является поток дозвуковым или сверхзвуковым. Абсолютный размер сопла, а также форма канала вверх и вниз по потоку от этого сечения не имеют значения, поскольку система (2.1)...(2.4) не содержит какого-либо характерного размера. Аналогичный результат дает одномерная теория для случая равновесных или замороженных течений. Напротив, в случае неравновесного течения газа параметры потока зависят еще и от формы струйки и ее длины вверх по потоку от рас-

сматриваемой точки, поскольку в таких течениях появляется характерный размер —длина релаксационной зоны. Согласно одномерной теории число М в заданном сечении сопла при F!F* = const и у = const, также в случае замороженного [см. формулу (2.4)] не зависит от полного давления и температуры.

Приведем в заключении этого раздела формулы, позволяющие рассчитать параметры потока в одномерном приближении, если известна геометрия сопла, т. е. F= F/F* (прямая задача).

Рассмотрим первоначально случай, когда в расширяющейся части реализуется сверхзвуковое течение и параметры вверх по потоку от некоторого сечения не зависят от внешнего давления. Воспользуемся стандартными газодинамическими функциями коэффициента скорости (или числа М). Тогда отношения газодинамических величин к параметрам торможения, обозначенным нижним индексом 0, определяются следующими формулами:

(2.5)

Ро k V + 1 У

(2.6)(2.6)7'(Х)=/'1-^1 Х2) ;

(2.6)

(2.6)

'ок V + 1 У

Рок V + 1 УРок V + 1 У(2.7)(2.7)

Рок V + 1 У

Рок V + 1 У

(2.7)

(2.7)

(2.8)(2.8)z (X) — X—|- 1/Х.

(2.8)

(2.8)

Приведенная скорость X по заданным значениям F и у вычисляется по формуле (2.4). Если воспользоваться таблицами газодинамических функций, то в качестве независимой переменной удобно взять дЩ = F„IF, а X и другие искомые функции находить из таблиц. Оче- ( рТР 1

видно, что задав один из параметров, М—,, — (обратная

к Ро^0РО У

задача) можно в данной точке определить остальные.

Число М, скорость потока, расход газа и импульс вычисляются по формулам

№=—— Х2—1x2^ \(2.9)

у + 1 к у + 1 У

( 2v Г1/2

=^[l-/2(X) т ;(2.10)

Q=AW^,(2.11)

V FT0\Y + 1 У

Рп = г(1)/20/7*2:(Х).(2.12)

При ^(Х)= const (т. е. если рассматривается сопло с заданным отношением площадей) с уменьшением у увеличивается X, р(Х), Т(X) и z(X). Это означает увеличение давления, скорости истечения и температуры, если параметры торможения постоянны. Этот результат физически очевиден, поскольку уменьшение у эквивалентно по-

57

следовательному увеличению числа степеней свободы молекул и переходу их энергии при истечении в энергию поступательных степеней свободы и энергию направленного движения молекул, причем эта энергия тем больше, чем больше степеней свободы возбуждено.

При у=1 имеем изотермическое течение, в котором Т=Т0.

_

Д-=_Д = е 2, М=Х.

Ро Ро

В случае дозвукового течения в сужающейся и расширяющейся частях сопла Лаваля расчет параметров потока производится иначе. Обычно в выходном сечении сопла известно внешнее давление. Так как в случае дозвукового течения давление в окружающем пространстве совпадает с давлением в выходном сечении сопла, то из формулы (2.5) можно определить % в выходном сечении и

величину расхода, равную в этом случае Q =Л ^)p0Fq (%) (RTe) 2 -

Поскольку расход во всех сечениях одинаков, из этой формулы для каждого сечения F можно определить q^X), а затем по (2.4)... (2.7) или с помощью таблиц найти X и остальные функции. Число М и скорость вычисляются по соотношениям (2.9), (2.10). Использование формулы (2.11) в случае дозвукового течения в сопле неправомерно, так как в этом случае в минимальном сечении скорость меньше звуковой и </(Х)^=1.

Одномерная теория для криволинейных каналов

Для инженерных расчетов течений в криволинейных каналах часто используется метод вписанных кругов, который дает лучшие результаты, чем классическая одномерная геория. Он также основан на одномерной теории с той лишь разницей, что скорость считается постоянной вдоль дуг окружностей, ортогональных стенкам. Однако следует подчеркнуть, что как эта, так и другие известные разновидности классической одномерной теории не дают верных значений параметров на стенках криволинейных каналов.

Рассмотрим модификацию классической одномерной теории. Воспользуемся для этого системой уравнений (1.117)... (1.121).

Из этих уравнений для плоского и осесимметричного течений без закрутки потока (ш = 0) можно получить

rv^- = \VK,(2.13)

где К — кривизна линий тока. Отсюда, предполагая в первом приближении сечения o = const плоскими, имеем соотношение для определения давления вдоль нормали п к оси канала

^=уР1/27С(2.14)

дп

Для каналов с прямолинейной осью кривизна, определяемая по среднему радиусу кривизны линий тока течения, равна нулю. И как 58

следует из (2.14), давление, а следовательно и остальные параметры поперек канала остаются постоянными в соответствии с классической одномерной теорией. В случае же криволинейных каналов др/дп^а во всех точках, где VK^O. Таким образом, одномерная теория в классическом виде справедлива лишь для конфигураций с прямолинейной осью. Для криволинейных каналов она дает лишь средние значения параметров потока.

С помощью формулы (2.14) можно получить распределение параметров в поперечном направлении. Для давления на стенках криволинейного канала из (2.14) имеем

Р=Р° ±^-Nhp0(V^4R°F1,(2.15)

где р°, р°, V0 — средние значения параметров, полученные по классической одномерной теории, h — ширина канала, R^—^K)-1— средний радиус кривизны линии тока. В этой формуле по-прежнему все газодинамические параметры отнесены к критическим. Знаки плюс и минус относятся соответственно к внешней и внутренней стенкам по отношению к средней линии канала. Из рассмотрения второго слагаемого в формуле (2.15) видно, что поправка обусловлена действием на газ центробежных сил. При движении газа с относительно большими скоростями, а также в каналах с резким поворотом потока учет их необходим.

Формулу (2.15) можно обобщить и на случай пространственных течений с закруткой потока. Имеем

p = p»±^WlVWx-M-R^ ,(2.16)

где Д1° и R^0 — средние значения радиусов главных кривизн линии тока.

МЕТОД источников и стоков

В теории сопла метод источников и стоков может быть применен только в случае течения несжимаемой жидкости, когда в силу линейности уравнения для потенциала и функции тока может быть использован принцип суперпозиции. Подбором системы источников и стоков и их интенсивностей можно построить течение в канале заданной формы. Однако такая задача весьма сложна. Значительно проще обратная задача, которая позволяет по заданной системе источников и стоков определить формы поверхностей, которые могут быть приняты за стенки сопла. Рассмотрим применение этого метода для плоского, осесимметричного и пространственного течений [20, 27].

Плоское течение

Поместим на оси оу декартовой системы zoy координат 2;V +1 дублетов: один дублет с моментом Мо — в центре и 2N дублетов с

Рис. 2.1. Построение контура сопла методом источников и стоковРис. 2.1. Построение контура сопла методом источников и стоков2л Z2 ' л (Z2 + а2пу2л Z2 ' л (Z2 + а2пу(2.18)(2.18)

Рис. 2.1. Построение контура сопла методом источников и стоков

Рис. 2.1. Построение контура сопла методом источников и стоков

2л Z2 ' л (Z2 + а2пу

2л Z2 ' л (Z2 + а2пу

(2.18)

(2.18)

моментами Л1Ь М2, ..., Мм, направленными в отрицательную сторону оси х, симметрично относительно центра на расстояниях «ь «2,..., aN от него (рис. 2.1). При наложении поступательного однородного потока со скоростью и»» параллельной оси х, на течение, создаваемое этой симметричной системой дублетов, возникнет течение, симметричное относительно оси х. Линии тока этого течения, например, АВ и А'В' могут быть выбраны в качестве стенок сопла. Очевидно, что если интенсивность центрального дублета Л1о положить равной нулю, то

контуры АВ и А'В' образуют обычное сопло, а если Л1о=т^О — сопло с внутренним центральным телом. Криволинейные каналы получаются, если в качестве стенок выбирать несимметричные от

носительно оси линии тока.

По принципу суперпозиций комплексный потенциал течения w = = Ф±г1р складывается из комплексного потенциала однородного потока и комплексного потенциала системы трех дублетов

-10=11^2-10=11^2(2.17)(2.17), Мо , Мп Z2nZ л Z2 + а2п ’

-10=11^2

-10=11^2

(2.17)

(2.17)

где Z = zA-iy. Здесь и далее y=r, z=x.

Комплексная скорость

Разделяя действительные и мнимые части в (2.17), получим потенциал и функцию тока искомого течения в виде

Ф= хФ= хМо2лМо2л1Г21Г2Мп {М+а2^ л ctМп {М+а2^ л ct^р1 М„ (^1^2л Г2л <Д^р1 М„ (^1^2л Г2л <Д(2.19)(2.20)(2.19)(2.20)

Ф= х

Ф= х

Мо

2л

Мо

2л

1

Г2

1

Г2

Мп {М+а2^ л ct

Мп {М+а2^ л ct

^р1 М„ (^1^

2л Г2л <Д

^р1 М„ (^1^

2л Г2л <Д

(2.19)

(2.20)

(2.19)

(2.20)

где r2 = z2 + z/2, c1 = r4 + 2a2n(z2—Z/2) + a4n.

Линия тока ф = 0 представляет собой, как видно из последнего соотношения, плоскость симметрии у = 0 и контур центрального тела, максимальная ширина которого R2 находится при z = 0 из ра- 60

венства

2л /?з л o^ — RV

(2.21)

Положение критической точки Rx

М.

л

Мо2л

получим из (2.18) при у = 0.

r2J <-r\ ''

(2.22)

Решая систему уравнений (2.21), (2.22), находим величины искомых моментов

(2.23)(2.23)7И0 = 2лмоор.а, Мп — — пи^^

(2.23)

(2.23)

где

^0- c^-R^ ’ V-n~c^art

< + Rt

2 К-^Ж-^) ■

Дифференцируя (2.19), получим компоненты скорости

ч)у = ^гцч)у = ^гцМр У2-^22л г4Мр У2-^22л г42^2+ ап2^2+ ап| ^П Vтс42Г2(Г2 +а2| ^П Vтс42Г2(Г2 +а2ClCl.2.2(2.24)(2.24)2л г4 л2л г4 лИ \С!И \С!

ч)у = ^гц

ч)у = ^гц

Мр У2-^2

2л г4

Мр У2-^2

2л г4

2^2

+ ап

2^2

+ ап

| ^П Vтс

42Г2(Г2 +а2

| ^П Vтс

42Г2(Г2 +а2

Cl

Cl

.2

.2

(2.24)

(2.24)

2л г4 л

2л г4 л

И \С!

И \С!

Отсюда находим распределение скорости вдоль оси симметрии

у=му=м^2" (<Т2 + г2)^2" (<Т2 + г2)(2.25)(2.25)

у=м

у=м

^2" (<Т2 + г2)

^2" (<Т2 + г2)

(2.25)

(2.25)

Такому распределению соответствует сопло с постоянным поджатием в интервале (—оо, 0). На бесконечности поток стремится к равномерному. Давление определяется из интеграла Бернулли для несжимаемой жидкости.

Осесимметричное течение

Распространение поставленной выше задачи на осесимметричный случай дает картину обтекания овала и торообразного тела однородным поступательным потоком, направленным вдоль оси ог. При этом суммарный момент равномерно распределенных по окружности радиуса аи дублетов положим равным Ми. Строя стенку

по одной из подходящих линий тока, получим течение в осесимметричном кольцевом сопле.

По принципу суперпозиции, используя цилиндрические координаты (г, г, 6) и условия симметрии, потенциал скоростей такого течения запишем в виде

№та +?-<2-26>

где 2 it 4*9

^п=У2-— pY-(2.27)

потенциал двойного слоя от дублетов, расположенных на окружности, rPQ=(22 + r2+a2n—2rancos(y—6)],/г, у— длина дуги окружности. Нетрудно получить

2™+6

С _±L=A_KUO,(2.28)

х/2

где —diL.=__

J pi — £2 sin2 с о

полный эллиптический интеграл 1-го рода с модулем, k^Vni^r^

г2=]/22 + (г+йя)2_(2.29)

наибольшее расстояние от исследуемой точки р до точек Q окружности. После несложных преобразований, используя (2.28), потенциал двойного слоя (2.27) запишется через полный эллиптический интеграл 2-го рода

Е (£)= J У1 — A2 sin Шо

в виде

?„ = Л^Ад ^е (к),(2.30)

л qr2

где

Г1=]/5ЧУ^72.(2.31)

Так как потенциал скоростей ср удовлетворяет уравнению Лапласа для осесимметричного течения во всей исследуемой области, то, полагая 4 = 0 на оси симметрии oz и учитывая равномерность набегающего потока, получим [19]

Гz

ф= —С У -^-Vdr-\- С (г —Лdz. (2.32)

J \ dz /lz = — oo J \ dr / r = const 0oo

Выбор такого пути интегрирования сильно упрощает нахождение функции тока. По принципу суперпозиции из (2.26), (2.30), (2.31)

получим

гдегдеФ =—^-г2м„4Ф =—^-г2м„4^04л^04лГ2(Z1 + г2)3/2Г2(Z1 + г2)3/2z2л + 6z2л + 6

где

где

Ф =—^-г2м„4

Ф =—^-г2м„4

^0

4л

^0

4л

Г2

(Z1 + г2)3/2

Г2

(Z1 + г2)3/2

z2л + 6

z2л + 6

вклад от потенциала двойного слоя. Отсюда, учитывая (2.28), получим

_ Мпа„ Г 12лг2 [1 — /г2_ Мпа„ Г 12лг2 [1 — /г22^л2^лk4E(k) — К (&)k4E(k) — К (&)

_ Мпа„ Г 1

2лг2 [1 — /г2

_ Мпа„ Г 1

2лг2 [1 — /г2

2^л

2^л

k4E(k) — К (&)

k4E(k) — К (&)

Л Г[Г2\ Г.Г2 JГ^JЛ Г[Г2\ Г.Г2 JГ^J(2.34)(2.34)

Л Г[Г2\ Г.Г2 JГ^J

Л Г[Г2\ Г.Г2 JГ^J

(2.34)

(2.34)

Линия тока ф = 0 представляет собой ось симметрии г = 0 и контур центрального тела, максимальная ширина которого R2 находится при 2 = 0 из равенства

„| ^01 Мпап 1 р ап + R2 с1 (t, х тл г h х\ Iе) QQv

( }

где

^2 = 2 Л^ R^n ^2 + ап) *•

Дифференцируя (2.26) и учитывая при этом соотношения (2.29)... (2.31), найдем компоненты скорости

-уг = м„4-уг = м„4^0 (|4л \^0 (|4л \^—\^2 1Г2Г3/2Л_

-уг = м„4

-уг = м„4

^0 (|4л \

^0 (|4л \

Z2 + r2 R 1'

=^zr I мпап 2z (_ ЛЛЛ

4л (г2 + г2)5/2 л г(г2 1Д г2 г2 .

4г L \4г L \г -Уап^■апг -Уап^■ап

4г L \

4г L \

г -Уап^■ап

г -Уап^■ап

(2.35)(2.36)(2.35)(2.36)

(2.35)

(2.36)

(2.35)

(2.36)

Отсюда при uz = 0 получаем соотношение для определения расстояния до критической точки Ri.

„ ,11

2л Rx л (/?! +а„) / \ Rx А7ап / Решая систему (2.33)... (2.35), находим

р.0=/?? 1 —р.„ I 1 фр.0=/?? 1 —р.„ I 1 фл/?2^i+Л2л/?2^i+Л2Л40=2л«<„р0; Мпап — — д.и,^^

р.0=/?? 1 —р.„ I 1 ф

р.0=/?? 1 —р.„ I 1 ф

л/?2^i+Л2

л/?2^i+Л2

^= 1_(^+«„T2P+^T^-

~ “ST" ~^-ЬЦг^ — A №).

Из соотношения для скорости вдоль оси симметрии

у=м„ 1у=м„ 1^0W3^0W3(^2+^)3/2(^2+^)3/2л г2^2 + »пл г2^2 + »п(2.37)(2.37)

у=м„ 1

у=м„ 1

^0

W3

^0

W3

(^2+^)3/2

(^2+^)3/2

л г2

^2 + »п

л г2

^2 + »п

(2.37)

(2.37)

найденного из (2.34), видно, что получающийся контур сопла аналогично плоскому случаю асимптотически выходит на цилиндрический участок. Скорость выхода ординат контура на постоянное значение больше, чем в плоском случае. Давление определяется из интеграла Бернулли для несжимаемой жидкости.

Пространственное течение

Поместим равномерно распределенные дублеты с поверхностной плотностью момента М (х, у) на плоскости 2 = 0 с круговыми для простоты отверстиями радиуса >Rnm, расположенными по концентрическим окружностям радиуса аи. При наложении поступательного однородного потока со скоростью «оо, направленного перпендикулярно плоскости, на поле, создаваемое этой системой дублетов s, получим течение в пространственной системе, аналогичной многосопельной компоновке с общей камерой. В силу принципа суперпозиции решение задачи сводится к суммированию потенциалов, создаваемых дублетами, расположенными на плоскости без отверстий, и потенциалов от частей, расположенных на месте отверстий и имеющих обратный знак моментов. Решение задачи существенно упростится, если потребовать постоянства поверхностной плотности момента Мит по всей площади отверстия. В этом случае в силу принципа суперпозиции достаточно записать потенциал, создаваемый лишь одним из кругов зотЛ:

(х —«„cosr„J2+ (;/ — «„ sin r„m)2<A?;P z=0.(2.38)

В цилиндрической системе координат будем иметь

з^+б,. Rnm

1^ = ^ f '(2.39)

(2.40)(2.40)тде r2pQ = ^ + r2c+^2—2rc^cos (у—0C); ^ и у — текущие координаты по поверхности круга;

(2.40)

(2.40)

А = г2+ап — 2ra„ cos (6 — т„т).

Нетрудно получить

г "m 5Vz^ + r2

J ^Q ^ z2 + Л Sin2 (V — 8с)

rcR„mB-H - 1

с (1 — aW2) /1 _ bt '

(2.41)

где

В^^^Л, c2=B^Rk d2=l-z2B~4

b = 2rcR„^c-2, ( = cos(y —6Д

(2.42)

Запишем следующие соотношения:

2л+9с

Г +у2ГП(А2,»)Д(»1,»)1 .

J (1 _ d^) VT^bi “ d /ТТ L 1+^1-d ]’

Ос

(2.43)

2ir+6

С^Y

j (1 _ d^ YV^bt

2 Г r4MLj_ATL] •

/ГТ» I 1+d ' 1-d J’

(2.44)

2™ + 6с

V Z^ + Г2Z^ J_ r2 Sjn2 (у _ 0С)

г/у =—arctg z

—, (2.45) z

"/2

где П(А, к^=

6

dtp

(1 + h sin2 у) /1 — № sin2 ср

полный эллиптический интеграл 3-го рода, й2=2б/ (1 + 6); hx = = 2dRl—dy, h2= —2d/(l+d).

Подставляя (2.41) в (2.39) и полагая q>nm=Mnm(2, получим с учетом (2.43)... (2.45) выражения для потенциала скоростей от круга:

ф ^пт ^ (Д (»2> ») /1 Вщп\ । Д (»1» ») / -I I

2л с/ГТ»[ 1+d \ В Т 1-<Z \ ' В Л'

(2.46)

Дифференцируя (2.46), найдем компоненты вектора скорости

, ттг ДАЛ

71 2лс p^l + b Д с2 (

/ -+ТТ1</.+/с>-(А+/УЬ

rc V*- л- b) } X)

П. е.

•4 = 2, г, 9; fx = -AA; Х=1,2;

8х

ех

6ПХд^

Д(-1Г

п/

д2В1

kRnm^X

\гс

(2.47)

Пх= П(ЛХ, 6),Пх= П(ЛХ, 6),

Пх= П(ЛХ, 6),

Пх= П(ЛХ, 6),

дП.дП. dh,дП. ла

X X X j X vK t рт]dhдт;dkd^

дк.

(-l)1^

2LH rtg-B' ’

Д^__Дгт 2LN ,

<Дг с kc^^ + by1 ’

5ПХ dhx

1

2Е V^x + l^2 + 1) + ^^х]]

hx + №

Е=Екку К = КккУЕ=Екку К = КккУдПх = Г Е _ Пх.

Е=Екку К = КккУ

Е=Екку К = КккУ

дк [/г (1 —к1) к J hx + fci ’

^=1 + (-1)1+х^; gx=H<_^xd;

r — an cos(6 —т„т);

г —cz„sin(8 —т„т);

V-z;

"8 = г;

tq = 6;

(2.48)(2.48)G==j 2 1; г; н=17>=z;

(2.48)

(2.48)

| 0;4=г, 8;z2; 4 = г, 8,

a rc, Ь, с, d, В, к, hx определяются из (2.40), (2.42), (2 44). Отсюда при г-»—оо имеем

~f1 + — ) V - ап cos (6 - T„m)J;(2.49)

уб ~(1 + —) ran sin (8 - Чт).

И2 \ rc J

Для определения поверхностей тока введем, как и ранее, две функции тока ф] и ф2- Заметим, что потенциал скоростей ср — решение уравнения Лапласа, а значит вектор Дер — соленоидальный. Исключим из рассматриваемой области кроме точек, в которых расположены дублеты, еще и точки, где Аср = О. Известно, что любой соленоидальный вектор может быть представлен в виде векторного произведения градиентов двух функций. Поэтому можно записать Acp=[Vcp]XУфг] или в координатной форме при г^=0

^Тг = ф1гф20 — ф19ф2г;

(2.50)(2.50)ГФ^^Лг — Ф1г^9;

(2.50)

(2.50)

I ?9 = Ф1гф2г —фофгг-

Эта система алгебраических уравнений с шестью неизвестными задает ортогональную вектору скорости плоскость, в которой лежат векторы Vcpi и Vi|)2, а также площадь параллелограмма, построенного на этих векторах. Функции тока определяются из уравнений

(2.51)(2.51)d^x^^'xzdz-V^dr-^»>'MdB, Х= 1, 2.

(2.51)

(2.51)

Заметим, что при ф1 = х, ф^ —0 функция ф2=ф(г, у) превращается в функцию тока для плоского течения, параллельного плоскости (г, г/), а при ф1 = агс1£х/щ ф2=ф(г, 2) в функцию тока для осесимметричного потока.

Для однозначного решения системы (2.50) надо доопределить три свободных параметра ф^, задав например, угол между векторами Vifi, Vtp2 и модуль и ориентацию в пространстве одного из них. В силу симметрии задачи целесообразно выбрать ф2 так, чтобы ф2|г=г0 = const было уравнением эквипотенциальной линии в плоскости г = г0 как в плоском и осесимметричном случаях. При этом

(2.52)(2.52)^26 — 76^ = 0.

(2.52)

(2.52)

По аналогии с плоским и осесимметричным случаями положим также

(2.53)(2.53)ф'и=0, фы = 1.

(2.53)

(2.53)

Исключим из рассматриваемой области прямую г = 0 и точки, где ф'г=0, и обозначим полученную область через D. Тогда из уравнений (2.50), (2.52), (2.53) найдем коэффициенты фц. Интегрируя далее по области D уравнения (2 51), получим

(z,r,e)

(2.54)(2.54)(2.55)(2.55)’?i=’?i|(z ,го,8о)+ J c№ — —-dr;

(2.54)

(2.54)

(2.55)

(2.55)

(го.Го.бо)

(г,И))

Ф2 = Ф21(г1,г1,в1) + j ИГС1Х(z^rt.ei)

где

Ф = сРе/(г?а.

Пусть ф2|(г1,о,о) = О и ф1|(г>Го,о) = 0. Условие равномерности набегающего потока позволяет существенно упростить нахождение функций тока ф! и ф2 Положим zi =—00, г0 = аи. Пусть р— число эксцентрично расположенных кругов 5атн, (т. е. ап7^0) и Фр°° = = Иш Ф.

Как следует из (2.48) Фо°° = О.

Рассмотрим теперь случай полного заполнения слоев /п кругами

5йтЯодного радиуса P„m. Учитывая соотношения^ sin (6 —т„т)=0; т~ 1

2 cos (6 — r„m)=0 найдем m = l

Фр =

sin (6 - т„т)

Так как при r->0 7nm->l и V sin (9 —r„m)=0, то ИгпФ^ = 0. mr'*°

Из (2.51) следует также, что определение функций тока из (2.54) не зависит от пути интегрирования, лежащего в области D. Поэтому в силу непрерывности подынтегральных функций в области D получим

К (г, 9) = 6— I —— dr;(2.57)

J r

Si

Г

Ыг, 9, г)=ф„ —К» -— ,

О !+(ФГ)

z

гдеf r^dz.(2.58)

Интеграл (2.58) аддитивен, так как у= ^ фпт. Исключив пред- п ^т

варительно из области D прямые гс=0, после некоторых преобразований найдем

Мг_с2л У1 + 6Мг_с2л У1 + 617^ , 1 Ь (Л+Л)-(1+^)^] +

Мг_с

2л У1 + 6

Мг_с

2л У1 + 6

( С [ Гс (1 4- 6) J

где

и^г="Т

ё X

"д7

= (-1)1+^

2Lz^ . г^х53

L = r — cos (9 — t);

TV—1 — 2;

\ c /

\2 /с2 \

dK dk dE dk .r dk dr ’ r dk dr ’

1В \• cl

G = (!^K-£’ ^g^’

остальные параметры определяются равенством (2.40), (2.42), (2.44) и (2.48).

Давление определяется аналогично плоскому и осесимметричному случаям из интеграла Бернулли для несжимаемой жидкости.

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ СОПЛАДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

жидкости(2.59)(2.60)жидкости(2.59)(2.60)Безвихревое стационарное движение несжимаемой описывается уравнениями

жидкости

(2.59)

(2.60)

жидкости

(2.59)

(2.60)

du du q ,

dr дх

d^u , d2u । v du q

dxi dri r dr

При решении обратной задачи на оси симметрии (при г = 0) задаются граничные условия

-У — 0; и = и.0(х\(2.61)

В плоском случае (v = 0) уравнение (2.60) есть уравнение Лапласа, решением которого является произвольная функция комплексного аргумента F^x+ir). Из граничного условия (2.61) очевидно, что в действительной плоскости решение системы (2.59), (2.60) имеет вид M = Re[M0(x + ir)]; u = Re[i«o(x+ir)]. Здесь i— мнимая единица, а символ Re— означает действительную часть функций.

м = Кем = Кеи^х — ir sin t)dtи^х — ir sin t)dt.+ir/2.+ir/2^ = Re^ = Re(2.62)(2.62)В осесимметричном случае заменой rx = ir уравнение (2.60) сводится к уравнению Дарбу, и решение системы (2.59), (2.60) в действительной плоскости имеет вид

м = Ке

м = Ке

и^х — ir sin t)dt

и^х — ir sin t)dt

.+ir/2

.+ir/2

^ = Re

^ = Re

(2.62)

(2.62)

— ) Uq (a — ir sin t) sin tdt л J

—тс/2■

Течение несжимаемой жидкости для осесимметричного случая при распределении скорости

«oW-^+f^Jr(2163)

на оси рассмотрено в [27]. В этом случае выражения для и, и и ф имеют вид

" ” * Л J [1 + л (х2- У2 Sin2OF +4Д2х2у2 81п2/ ’ О

л/2

^Axy^ — nj г sin2^.

nJ [1 + А (х2 — у2 sm2 О]2 + 4Л2х2#2 sin2 t ’

о

к/2

”“2Л J [1 +Л(х2_у251п2^)]2+4Л2х2у2£1П2^ "

О

Нетрудно видеть, что для этого распределения точка с координатами х = 0; г=А_'!2 является угловой, поскольку скорость в ней обращается в бесконечность. При произвольном распределении скорости на оси угловая точка возникает в полюсах продолженной в комплексную плоскость начальной функции. В случае сжимаемой жидкости столь просто установить координаты угловой точки не удается, хотя такая точка всегда существует. Для получения распределения скорости (2.63) методом источников и стоков необходимо в точке х=0, г = Л~‘/2 поместить начало полуплоскости, состоящей из дублетов, и ортогональной оси.

РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ПО ФУНКЦИИ ТОКА

В гл. 1 показано, что при решении обратной задачи теории сопла в случае изоэнтропического пространственного течения нереагирующего газа нужно задавать на начальной поверхности ф=ф0 функции г—tq (s, 6) и и = «о (s, 9), а на начальной плоскости 5 = = s0 — функции w = wo (6, ф) и (р = (р (6, ф). Решение соответствующей задачи Коши можно получить в виде рядов. Способы пред- •ставления решения в виде рядов могут быть различными: разложения в ряд по степеням декартовых координат, по отрицательным степеням радиуса кривизны минимального сечения, по степеням функции тока. Отличительной особенностью является то, что разложение в ряд производится только в трансзвуковой области. В работе [27] решение отыскивается в виде ряда по степеням функции тока в окрестности начальной поверхности для до-, транс- и сверхзвуковой области течения.

Ниже представлено это решение для общего случая пространственного течения, из которого следуют все известные решения для плоского и осесимметричного течений, в том числе решения Мей-

ера и Тейлора, которые, по существу, являются аналитическим приближенным решением обратной задачи для трансзвуковой области сопла.

Такое решение позволяет не только качественно проанализировать особенности пространственных течений, но дает возможность убедиться в корректности постановки задачи, а также служит в качестве исходных данных при построении численного решения в окрестности оси симметрии.

Пространственный случай

Найдем решение для идеального газа с постоянным показателем адиабаты в окрестности начальной поверхности ф = 0 в виде рядов по функции тока. Воспользуемся для этого системой уравнений (1.95)... (1.104) для идеального газа с постоянным показателем адиабаты

др =G (s, fl, ф) ।dp/дб ду .(2.64)

дфРи (д<рд()У 1dtp/dO дф ’

,2.65) дф (д^/дйУ \ ш дф дО /

d(wr) , иг .1 ± rR 1 cos' ф Г 1 др ,. dr 1

—1—L. — +sin ф—— -ь и (s, 9, ф) ;

dsRи(д<?/дв) (ур доdfl J

(2.66)

dr v /, , r \

— — I 1 ± — cos <p I ;(2.67) dsa \R/

=Z-cos^b(2.68)

dsru \R/

P=?4;(2.69)

2—р(т-1)/т — y2 —(2.70)

\Y-1 Y-l/

где

G (s, 9, Ф)= w± — cos ф 1 ± — cos' ф \ ds R J \ R ,

Здесь для унификации введен множитель v, который полагается равным 0 для плоского случая, и 1 для осесимметричного и пространственного случаев.

Представим искомые функции и, и, ш, р, р, <р, г в виде

/(s, ф, 6)=2 A(s, 6)ф'г+Кф2 AS’W> (2-71) л=0л=0

где f(s, ф, 6) — любая из перечисленных функций.

Если ряды (2.71) подставить в систему (2.64)... (2.70) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях ф, то получим также систему уравнений в частных производных, но уже с двумя независимыми переменными s, 9 для определения функций fn(s, 0) ■и C°n(s, 9).

Отметим, что в зависимости от формы начальной поверхности ф = 0 некоторые из функций fn и рп тождественно обращаются в нуль. Напомним, что в общем случае на начальной поверхности ф = 0 задано r=r0(s, 9) и u — Uo^s, 9), а на плоскости s=s0 заданы щ = щ0(9, ф) и ф=фо(9, ф).

Ниже будут выписаны системы уравнений для определения функций fn(s, 9) и f°n(s, 9). Первоначально будет рассмотрен общий случай задания начальных данных, в котором r0(s, 9)=^=0. Затем будут рассмотрены два частных случая, весьма важных с точки зрения практических приложений, в которых ro = O, R=cc и Го = О, a R^ea. Первый частный случай соответствует заданию начальных данных на оси симметрии.

Построим решение для случая r0(s, 9)^0. Для определения функций (о (5, 9) имеем систему

Уо=мо(1 + г0 cos4 VoA?^1)""1—— ;(2.72)

OS

-^2-=w0 [гоио(1 + г0со54?о/?”ТД;(2.73)

OS

+Mosin cpo^-i+wo^otroMoll + r0 cos4 ?0^-1Г11 —

_ (1 T cos4 ургр/?-1) f 1dp0 । дг0 Гщ dv0 +

rodcpo/d6 I YPo ^8^0 L 1 Ф r0 cos4 y0/?^i ds

± (2.74)

R(A T r0cos4cpo^1) r0 j

„ (Y + 1 Y — 1 1V/21 . , J4zO 7K\

Ro—22—°’ P° — ^ "(2./D)

Система (2.72)... (2.75) решается следующим образом. Нетрудно видеть, что правые части уравнений являются функциями Wo, фо, и0, г0 и их производных по 9; при этом функции t/o(s, 9) и r0(s, 0) и их производные по 9 известны из начальных условий. Поскольку на плоскости s = so заданы все искомые функции, в том числе Wo и Фо, то систему (2.73), (2.74) можно проинтегрировать численно в направлении s, используя какую-либо разностную схему, вдоль нескольких плоскостей 9 = const и определить на всей начальной поверхности ф = const функции Wq(s, 9) и фо(в, 9), а затем из соотношений (2.72) и (2.75)—функции ио, Ро и ро-

Отметим два важных результата. Во-первых, проведенный анализ показывает необходимость для корректной постановки задавать начальные данные на плоскости s = s0. Во-вторых, в результа-

те численного интегрирования на поверхности ф = const определено все поле параметров, необходимое для перехода на следующую поверхность тока в случае численного решения обратной задачи в направлении ф. Отметим еще, что в осесимметричном течении без закрутки (Р = оо; ф0 = 9; wQ=0; Mo = Mo(s), r0 = r0(s)] задача существенно упрощается, поскольку отпадает необходимость в численном интегрировании системы (2.73), (2 74), так как ф = 9, куо = О, и функции у0, Ро, ро сразу определяются из (2.72), (2.75). Существенным является также и то, что при u = u0(s), r=ro(s) и при 7?(s)^ оо, даже если в начальном сечении s = s0 функции iwo(so, 9) и фо(5о, 6) равны нулю, при остальных значениях s они становятся уже отличными от нуля, поскольку при R =7^=оо система (2.73), (2.74) неоднородна. Это означает, что искривление оси сопла, начиная с какого-либо сечения, всегда приводит к возникновению окружной составляющей скорости, даже если до этого сечения течение оставалось осесимметричным.

Путем простых, но громоздких выкладок можно показать, что система уравнений для определения функций fo°(s, 9) является однородной относительно этих функций, а задание в начальной плоскости £Уо°(5о, 9) и ф°о(5о, 9) определяет в этой плоскости все остальные функции f^^So, 9). Очевидно, что при дао°(«о, 9)=фо°(5о, 9)=0 в силу однородности соответствующей системы, все функции fo°(so, 9) 2=0. Задание при s=s0 условия tyo°(so, 9)=фо°(хо, 9)^0 физически оправдано, поскольку трудно представить течения, имеющие бесконечные производные dw/dt^ и дф/дф в начальной плоскости в областях, удаленных от оси симметрии.

Рассмотрим далее систему уравнений для определения функций h(s, 9), полагая при этом функции f0° (s, 9)s^0, Имеем

«1 + = + eo0LiR"1; (2.76) ds os

= —— (r^j^Q + L^-^o——;(2.77)

OS UqFq \tOSOS J

(2.78)(2.78)1 .

(2.78)

(2.78)

год^о/дй ’

1Pl =5“ог^од<?о/д91Pl =5“ог^од<?о/д92 , dpnuoroLo T1 t у2 , dpnuoroLo T1 t уro«o cos'1 cp0ro«o cos'1 cp0RR

1

Pl =5

“ог^од<?о/д9

1

Pl =5

“ог^од<?о/д9

2 , dpn

uoroLo T1 t у

2 , dpn

uoroLo T1 t у

ro«o cos'1 cp0

ro«o cos'1 cp0

R

R

+ ywoAo —;(2.79)

os /

[ - No± cos' %?1uQ + Af гКй + М0Кг +

OS L^s^

+ (^orl + ^1^ Iro) t + ^O

dodo

4"Y+ P° ^o^^Po 777(2.80)

\ 6т Ou )6т J

— = ——— ; иоиг = — г’о'Щ 4-w0w3 ,(2.81)

Po Y Po\ YPo/

где Zo= 1 zp cos"^/?-1; ^5 = ^ cos’1 ?0 —^ro sin ?о?1!

Nй = ^оий?йд^!дВ, Nx = 4 \pouoriArxd^old^rod^

+ rО^Уо/^ [Ро^оГ 1 + ro(PoMl + ЫоР1)]|;

— dcf0 ■ Mn _L f rMoL

№ YPn/ л , 1V1 i у / л Di -+- Г1к- Г л Рп .

<?е[ до до ~ до / J

K0 = L0<w0-u0; Кх = + w0v0£1/?-I + Z0(w3v1+®1'y0);

Ао = —wILq + Y^ocos'1 Vo^”1 + «ого — ;

ds

Ах = иог0(Mori4”roMi)-H2wow1Z,o + Z.1/^-1,zyo-|-

os

+ 2у«о“1го cos'* Yo^-1 + ^LittoR-1-(2.82)

В осесимметричном течении без закрутки при R = oo, ф = 9, йу=О соотношения (2.76)... (2 82) переходят в соотношения для плоского и осесимметричного случаев (разд. 2 4.2), при этом для определения функций fi (s) необходимо дифференцировать известные функции м0(з) и r0(s). В пространственном течении, как будет показано, по-прежнему необходимо решить задачу Коши по s и численно интегрировать систему уравнений для определения функций z^i и фь Действительно, нетрудно показать, что любая из функций рх, rx, pi, их и Ui может быть представлена в виде линейной комбинации

/Дз, 9)=a0(s, 9)-|-а1(з, б)^-}-а2(з, 0)^,(2.83)

где a,(s, 9)—функции известных параметров f0(s, 6) и их производных по з и 9. Представление (2.83) для функций rx, pi, pi и ил следует непосредственно из формул (2 78), (2.79) и (2.81), а для функции Hi получается после дифференцирования по з (2.78) и подстановки результата в (2.76) с использованием (2.82). Тогда уравнения (2.77) и (2 80) образуют систему Коши при условии, что на начальной плоскости з = з0 задано Wi^s, В) и фДз, 9).

Таким образом, при Го(з, 9)^0 показана корректность предложенной постановки обратной задачи для пространственного случая, т. е. что задание на поверхности ф = const г0(з, 9) и w0(s, 0) и на начальной плоскости s = s0; zy = Wo(9, Ф) ^ ф = фо(9, ф) полностью определяет течение в некоторой окрестности поверхности ф = = const.

Построим решение для случая r0(s, 9)^0, Д=^оо. Для определения функций f0(s, 9); fi (s, 0) и fo°(s, 9) имеем следующую систему уравнений:

W=utidrQ]ds;— ;

ds rouo

(2.84)(2.85)(2.84)(2.85)2

(2.84)

(2.85)

(2.84)

(2.85)

PoMod?o/d6

о _ YPoMoro cosV Vo

/^o+ n

1/ Po , “OI (г0)2 ^^•

, о dy0 \ Po «о °° de 259 J ’

(2.86)

dp°0Г1 dedp°0Г1 de(2.88)(2.89)(2.88)(2.89)dw°oro r ,0., rg ( dr0 drop°o

dp°0

Г1 de

dp°0

Г1 de

(2.88)

(2.89)

(2.88)

(2.89)

~-=± -HMqCOS cpocpo + MoSin %)I Pl

ds Rу \^9 do 2

1 ,0dpi Y«0 m ,o\ .

-Tro7r-T~sm

Po1 Po„0 Po

=; Uo= ,

PoY PoYPo“o

где

0 dug ± ag cos ^0L°q + 2a0u°cos ?0 — 4 sin yovg'Jo=Mo-— +

rgcos <po

Отметим сразу, что из (2.84) следует, что при г0=0 ауо=по=О. В осесимметричном случае имеем конечные формулы для /о0, f0, fi и /]°, при этом в разложении функций г, и присутствуют лишь функции f°n и отсутствуют функции f„, а в разложении функций р, р, и присутствуют лишь функции fn, поскольку очевидно, что в окрестности оси симметрии нормальная составляющая скорости является нечетной функцией г, а давление, плотность и продольные составляющие скорости — четной функцией г. Очевидно, также, что при г0=0 на поверхности ф=0, которая в этом случае вырождается в плоскую кривую, начальная функция и есть функция только от $, т. е. и = ио ^.

Рассмотрим первоначально случай R = oo, т. е. случай, когда начальная функция задана на прямой линии. Тогда из (2.85) и (2.89) имеем рос = ро° = и.оо=О. Можно показать путем простых, но громоздких выкладок, что при R = eo система уравнений для определения функций ф0°, гь иь Wi является однородной и при <po°(So, 6) = = Щ1($0, 0)=О дает по аналогии с осесимметричным течением без

закрутки единственное решение ф00 = Г1 = О1 = да1 (s0, 9)=0, т. е. и, да и ф в окрестности оси симметрии являются нечетными функциями г, а р, р, и — четными.

Весьма нетривиальным оказывается построение решения для функций и0°, Го0, Pi, фо и да0°. Для их определения имеем уравнения (2.84), (2.86), (2.88). Оказалось, что уравнение (2.88) можно привести к виду

Ро«о (со)2 _ 4дуо-'д0Ро«о (со)2 _ 4дуо-'д0Ромоло \ . ,2дсро/д0 )Ромоло \ . ,2дсро/д0 )Ро“о2ду0/двРо“о2ду0/двдвдвд / д®о дв \ dsд / д®о дв \ dst . РоМо д / ^0/дв \/ дг° \ роМо2дв \ ду0/д6 /\ д0 / 2дф0/двt . РоМо д / ^0/дв \/ дг° \ роМо2дв \ ду0/д6 /\ д0 / 2дф0/двд^dsд^dsфф^х, 9) = 0,фф^х, 9) = 0,(2.90)(2.90)

Ро«о (со)2 _ 4дуо-'д0

Ро«о (со)2 _ 4дуо-'д0

Ромоло \ . ,2дсро/д0 )

Ромоло \ . ,2дсро/д0 )

Ро“о2ду0/дв

Ро“о2ду0/дв

дв

дв

д / д®о дв \ ds

д / д®о дв \ ds

t . РоМо д / ^0/дв \/ дг° \ роМо

2дв \ ду0/д6 /\ д0 / 2дф0/дв

t . РоМо д / ^0/дв \/ дг° \ роМо

2дв \ ду0/д6 /\ д0 / 2дф0/дв

д^ds

д^ds

фф^х, 9) = 0,

фф^х, 9) = 0,

(2.90)

(2.90)

где Ф1(з, 9)—-известная функция, которая может быть вычислена на плоскости s = const, если известны да0°, фо и задана функция «о($)- На любой плоскости s = const уравнение (2.90) представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами, служащее для определения производной dw^/ds (9) на этой плоскости. Чтобы найти ее, нужно численно решать краевую задачу для уравнения (2.90), при этом в силу периодичности функции дао0(9) (период ее не больше 2л) и равенства ее нулю на плоскостях симметрии граничные условия для dwQ°]ds есть dwo°lds = O при 0 = 0 и 0 = л/л, где п — число плоскостей симметрии. Итак, как и во всех рассмотренных случаях производные dw0°/ds и дфо/ds на плоскости s = s0 определяются при задании на этой плоскости функций даоо(«о, 9) и фо («о, 9), а для определения их во всей области нужно решать задачу Коши по s при условии, что функция Ыо($) задана. Однако, при г0 = 0 для определения dw0°(ds необходимо решать краевую задачу на плоскости s = const, в то время как при го=7^О dwolds и dwjds определяются элементарно по известным функциям да (9) и ф(9) на этой плоскости.

Еще более сложно построить решение для случая г0 = 0, ^=^=оо. В этом случае система (2.84)... (2.88), состоящая из семи уравнений, служит для определения восьми функций. Отметим, что соотношение (2.85) позволяет определить изменение давления за счет центробежных сил, действующих на элемент объема газа, движущийся по криволинейной траектории. Интересно, что на начальной плоскости s = s0, на которой заданы ф0, фо° и да0 из системы (2.84)... (2.88) определяются остальные пять неизвестных функций Оо°, О0, Ро°, Pi, fi и две производные dtp0(ds и dw0°/ds, при этом как и в случае с R = oo для определения dw0°/ds приходится решать краевую задачу. По известным производным дфо/ds и dw0°/ds с помощью какого-либо численного метода можно определить функции ф0 и щ0° на соседней плоскости s=s0+As, а затем и все остальные функции, кроме фо и п на этой плоскости. Можно показать, что для определения их нужно привлекать дифференциальные уравнения, содержащие функции даь 01 и их производные, при этом на каждом последующем шаге численного интегрирования требуется учитывать последовательно все функции fn и f°n, что чрезвычайно затрудняет

расчет. Итак, при го = О и 7?=И=оо не удается расщепить задачу и определить первоначально функции fo°, /о и Pi независимо от f°n, fn, как это получено в остальных рассмотренных случаях. Существенным для дальнейшего является то, что при решении асимптотических уравнений в окрестности начальной поверхности определяются не только искомые функции, но и производные дф/дф.

В общем случае решение выведенных выше нелинейных уравнений в частных производных можно получить лишь путем численного интегрирования их. Однако, при определенных предпосылках удается получить решение в замкнутом виде. Построим первоначально методом малых возмущений приближенное решение системы (2.84)... (2.89) при R = oo. Представим функции ф0, г0°, и0°> ^о°, Pi в виде•

®о=®+scPoi($, 9)-|-г2ф02(х,

ro = r°o(s) + sroi (s, 9)4-e2ro2(s, 9)+-..;

Wo = sWoi(s, 9)-|-e2Wo2(s, 6)+—’>(2-91)

^o = ^oo(s) +spoils, gi + s^ls, 9) + -..;

P^Ptols'i-Y-ap^s, 9) + £2^12(5, 9)+...,

где e — некоторый малый параметр. Такая запись искомых функций основана на физически оправданном предположении о малом отличии параметров течения в начальной плоскости от параметров осе

(2.93)(2.93)оо^roo^-^Woi;osоо^roo^-^Woi;osсимметричного течения, имеющего на оси то же распределение скорости t/o(s), чт0 и в пространственном течении. Подставив соотношения (2.91) в систему (2.84)... (2.89) и линеаризовав ее, можно получить следующие уравнения:

(2.93)

(2.93)

оо

^roo^-^Woi;

os

оо

^roo^-^Woi;

os

о _/ 2 \1/2 о „ dr°№

Г00, Уоо — мо'

\ Ро“о /ds

(2.92) roo ds

О <5уо1 _9 о . О Ог01

Г00 —^Ь ^01 = Uq ——

09os

Аналогичным образом можно получить систему уравнений для определения коэффициентов при е2.

Отметим, что формулы (2.92) совпадают с соответствующими формулами для осесимметричного случая без закрутки и позволяют определить функции Гщ($), VooCs) и ^10(s) по конечным соотношениям или путем дифференцирования известных функций t/o(s) и po(s). Важным свойством уравнений в частных производных (2.93) является линейность, что позволяет применить для решения метод разделения переменных Фурье, с помощью которого, однако, ие удается построить решение основной нелинейной системы урав-

нений в частных производных. Очевидно, что из системы (2 93) можно выделить путем простых преобразований два уравнения, служащих для определения функций zyoiis, 8) и гм(х, 8). Эти уравнения имеют вид

dr00 (s) ®^_ 1ds — 2dr00 (s) ®^_ 1ds — 2— 2ио($)гоо($)—- ~о~ ;к гоо /

dr00 (s) ®^_ 1

ds — 2

dr00 (s) ®^_ 1

ds — 2

(2.94)(2.94)c^oi rfC о d2 / дг^de ds dsd6 \ 0 ds

(2.94)

(2.94)

Для решения системы (2.94) применим метод разделения переменных Фурье. Представим искомые функции в виде

кк

Woi = 2 ^о16 (s>sin ^ г°!= 2 r°lk ^cos ^6‘(2.95)

6=06 = 0

Подставим (2.95) в (2.96) и, приравняв в правой и левой частях уравнений коэффициенты при cos &9 и sin ^9, получим

d ( о о \ v—— \ГйоЧИо\ь) = —ds2d ( о о \ v—— \ГйоЧИо\ь) = —ds2о2 оdW016—Г оо^о ——-k dsо2 оdW016—Г оо^о ——-k ds^voo о i о d—Иле roo —- dsds^voo о i о d—Иле roo —- dsds// r^ ar01kds// r^ ar01kds(2.96)(2.96)

d ( о о \ v—— \ГйоЧИо\ь) = —ds2

d ( о о \ v—— \ГйоЧИо\ь) = —ds2

о2 оd

W016—Г оо^о ——-

k ds

о2 оd

W016—Г оо^о ——-

k ds

^voo о i о d

—Иле roo —- dsds

^voo о i о d

—Иле roo —- dsds

// r^ ar01k

ds

// r^ ar01k

ds

(2.96)

(2.96)

После простых преобразовании можно получить уравнение для оп- 0

ределения г01й:

О ^2Го1йV00 — - ds2О ^2Го1йV00 — - ds20 du^ аготГ 00 — ■dsds0 du^ аготГ 00 — ■dsdsог 016ог 016^v00 ds^v00 ds0.0.(2.97)(2.97)

О ^2Го1й

V00 — - ds2

О ^2Го1й

V00 — - ds2

0 du^ агот

Г 00 — ■

dsds

0 du^ агот

Г 00 — ■

dsds

ог 016

ог 016

^v00 ds

^v00 ds

0.

0.

(2.97)

(2.97)

Нетрудно убедиться, что уравнение (2.97) с точностью до множителя v/2 есть правая часть второго уравнения системы (2.96), » связи с чем имеем

— (гОоИ)оО1б) = О или ®'Si6(s)=Cos [гоо(х)] \(2.98)

ds

Тогда из первого уравнения (2.96) следует, что

гоо($)гоо($)f p0(s)o(s-|-4। 1 и1Sof p0(s)o(s-|-4। 1 и1So'*016 (so) roo(so)'*016 (so) roo(so)(2.99)(2.99)

гоо($)

гоо($)

f p0(s)o(s-|-

4। 1 и1

So

f p0(s)o(s-|-

4। 1 и1

So

'*016 (so) roo(so)

'*016 (so) roo(so)

(2.99)

(2.99)

Непосредственной подстановкой можно выявить, что уравнение (2.97) при г и fc, определяемом из (2.99), удовлетворяется.

Тогда из первого уравнения системы (2.93) следует, что

?0lft= - 4 Т %1 = - 2 (гоо)"1 У Sin ^8.(2.100)

k r^ok

Константы Сок и r°u(s0) определяются из начальных условий, которые, согласно изложенному выше, имеют вид к

w(s0, б) = е 2 ™oife(so) sin ^9;

к

?(so, 9) = 9-(-в ^ Уо1^(s0) sin ^8.

4=0

Имеем тогда Cto=Taoi4(so)roo(so);

г01fe(S0) =—Гоо($о) ТопЛ^о)-

Окончательно имеем следующее решение системы:

/Кro(s, 6) = rgp (s) p — srgp (s0) ^ -^7Ik=0/Кro(s, 6) = rgp (s) p — srgp (s0) ^ -^7Ik=0кк4 = 04 = 0®014 (So)2®014 (So)2?01й (So)Too (So)?01й (So)Too (So)cos #0 I-cos #0 I--у Too (So) w0°i4 (So) J Po^s + ф01й (s0) sin M;-у Too (So) w0°i4 (So) J Po^s + ф01й (s0) sin M;fKPiU, 0) = />10(S) p — ergo (Sp) ^ ^I4 = 0fKPiU, 0) = />10(S) p — ergo (Sp) ^ ^I4 = 0ккSo^014 (So) ГSo^014 (So) Г22SoSo¥014 (So)Гоо (So)¥014 (So)Гоо (So)cos&6\ ;cos&6\ ;(2.101)(2.101)«o(s, 6) = vgo(s) —-^-srgo(so) y^ k ^o(s)«o(s, 6) = vgo(s) —-^-srgo(so) y^ k ^o(s)^014 (sp) f , ¥014 Oo)^014 (sp) f , ¥014 Oo)22fe—о i L4I(So) ] о4„) cos Й9ro°o(so) |®o (s, 6)=s V Й/014 (So) Sin £9,r00(s)fe—о i L4I(So) ] о4„) cos Й9ro°o(so) |®o (s, 6)=s V Й/014 (So) Sin £9,r00(s)Гои(so)Гои(so)

/К

ro(s, 6) = rgp (s) p — srgp (s0) ^ -^7

Ik=0

/К

ro(s, 6) = rgp (s) p — srgp (s0) ^ -^7

Ik=0

к

к

4 = 0

4 = 0

®014 (So)2

®014 (So)2

?01й (So)Too (So)

?01й (So)Too (So)

cos #0 I-

cos #0 I-

-у Too (So) w0°i4 (So) J Po^s + ф01й (s0) sin M;

-у Too (So) w0°i4 (So) J Po^s + ф01й (s0) sin M;

fK

PiU, 0) = />10(S) p — ergo (Sp) ^ ^

I4 = 0

fK

PiU, 0) = />10(S) p — ergo (Sp) ^ ^

I4 = 0

к

к

So

^014 (So) Г

So

^014 (So) Г

2

2

So

So

¥014 (So)Гоо (So)

¥014 (So)Гоо (So)

cos&6\ ;

cos&6\ ;

(2.101)

(2.101)

«o(s, 6) = vgo(s) —-^-srgo(so) y^ k ^o(s)

«o(s, 6) = vgo(s) —-^-srgo(so) y^ k ^o(s)

^014 (sp) f , ¥014 Oo)

^014 (sp) f , ¥014 Oo)

2

2

fe—о i L4

I(So) ] о

4„) cos Й9

ro°o(so) |

®o (s, 6)=s V Й/014 (So) Sin £9,r00(s)

fe—о i L4

I(So) ] о

4„) cos Й9

ro°o(so) |

®o (s, 6)=s V Й/014 (So) Sin £9,r00(s)

Гои(so)

Гои(so)

где ®о14(5о) и ?oift(so)— коэффициенты Фурье в разложениях начальных функций Wo°(sQ, 6) и фо (sq, 6) по sin£0.

Полученное решение позволяет определить форму сопла и оценить параметры течения в некоторой окрестности начальной линии тока. Из соотношений (2.101) следует, что изменения формы поперечного сечения можно достичь, варьируя начальные данные при S = So, Т. е. ВеЛИЧИНЫ Woi4(SO) И cp°i4(So). Если при s = s0 положить <tPoi4(so)=O, то в этой плоскости поперечное сечение сопла будет иметь форму окружности, однако при увеличении s оно уже не бу-

дет обладать осевой симметрией, а приобретет форму, определяемую начальным значением WoifctSg). В то же время dr0°/ds|s=s„ является функций 9 в отличие от осесимметричного случая. Очевидно, что если при этом все Wou(so)=O, кроме w°i2(s0) ^0,то пространственное течение будет обладать двумя плоскостями симметрии, а при Woh(So)t^O— одной плоскостью симметрии. Существенно, что ш0° (s, 9) убывает с увеличением r%o(s), а из асимптотических соотношений при s-^-oo следует, что w0° убывает как 1/s2, в то время как <po(s, 9) при этом стремится к некоторому конечному пределу, независящему от s. Очевидно, что формулы (2.101) пригодны для расчета как дозвуковых, так и трансзвуковых смешанных течений. Для случая го = О при 7?=^оо можно построить аналогичное решение, при этом в качестве параметра малости е можно выбрать R-'. Можно показать, что в этом случае с точностью до величин порядка е2 в поперечных сечениях сопло сохраняет первоначальную форму окружности, однако ось сопла при этом криволинейна в соответствии с законом изменения R = R (s).

Полученное решение для пространственного случая пригодно для течений, удаленных от центра сопла, и позволяет рассчитывать течение в окрестности начальной поверхности тока в до-, транс- и сверхзвуковой областях. Оно может использоваться также для расчета близлежащей к начальной поверхности тока, от которой начинается численное интегрирование.

Плоский и осесимметричный случай

Положим R = oo и го=О. В этом случае данные Коши на оси симметрии (ф = 0) имеют вид w = «o(s), Го = О и, следовательно, ио = О. Для осесимметричного течения без закрутки потока (ш = 0, ф = 9) система (2.72)... (2.81) значительно упрощается и приобретает вид

1 о1 оП =- го4П =- го4' 2 W о а^; ио=ип — ;' 2 W о а^; ио=ип — ;Ро“о /dsРо“о /ds(2.102)(2.102)(2.103)(2.103)

1 о

1 о

П =- го

4

П =- го

4

' 2 W о а^

; ио=ип — ;

' 2 W о а^

; ио=ип — ;

Ро“о /ds

Ро“о /ds

(2.102)

(2.102)

(2.103)

(2.103)

Ро УДоРо УДо(2.104)

Ро УДо

Ро УДо

Нетрудно получить и выражения для р2:

(2.105)

В плоском случае все функции f°n равны нулю; кроме того, в силу симметрии функции fn с нечетными номерами равны нулю, если f = p, р, и, функции fn с четными номерами равны нулю, если f=v, г. Имеем

Ро“оРг=~ — -Л; «2=2 dsP2 Ро“оРг=~ — -Л; «2=2 dsP2 ; ^=«0; ^=«012«o Pi .12«o Pi .drt . ds ’ / 2p2 I Y?odrt . ds ’ / 2p2 I Y?o(2.106)(2.106)Po YPoPo YPo(2.107)(2.107)^з =^з =dsdsdr г . ds ’dr г . ds ’Pi=~Pi=~dv^dv^dsds(2.108)(2.108)

Ро“о

Рг=~ — -Л; «2=

2 ds

P2

Ро“о

Рг=~ — -Л; «2=

2 ds

P2

; ^=«0

; ^=«0

1

2«o Pi .

1

2«o Pi .

drt . ds ’ / 2p2 I Y?o

drt . ds ’ / 2p2 I Y?o

(2.106)

(2.106)

Po YPo

Po YPo

(2.107)

(2.107)

^з =

^з =

ds

ds

dr г . ds ’

dr г . ds ’

Pi=~

Pi=~

dv^

dv^

ds

ds

(2.108)

(2.108)

Поскольку функция w=u0($) задана, а следовательно, известны po и ро = Ро1Л, то формулы (2.102).. (2.108) позволяют определить искомые функции из конечных соотношений или путем дифференцирования по s известных функций.

Полученные формулы можно использовать для расчета всего поля течения, включая до-, транс- и сверхзвуковую области Из них как частные случаи следуют разложения; построенные Мейером и Тейлором для трансзвуковой области.

Течением Мейера называют течение, в котором звуковая линия простирается от контура сопла до оси симметрии и разделяет области дозвукового и сверхзвукового течений. Течением Тейлора называют в целом дозвуковое течение с местными сверхзвуковыми зонами, расположенными в окрестности контура сопла и ограниченными звуковыми линиями.

Действительно, если, представить скорость на оси симметрии (в- окрестности центра сопла) для течения Мейера в виде

и0(х)= 14-Ах + Вх2 + Сх34-Вх4 + ...(2.109)

(здесь s = x, поскольку В = со), то нетрудно видеть, что

^=■/"2 Г1 +-1 (у 4- 1)х2(А+ВхЯ1/2;

r^l+^lY+D.^M + W.(2.110)

Используя формулы (2.110), последовательным дифференцированием можно определить все искомые функции, входящие в формулы (2.102)... (2.108), и получить, что для плоского течения

«=Ko+K2f ==«0+-^-^+ 1)Д2г2+--;(2.111)

'° = ,У1Ф + 'азФ3 = (У+ 1) A2xr-V -1_(у_|- I)2 дзгз

Рис 2 2 Трансзвуковая область сопла Лаваля.Звуковая линия М=1, линия 6—0, предельныехарактеристики С_° и С+°

а для осесимметричного

и = ы0-[-ы1<Ь = ы0 -|—— (y-j- 1) Д2г2-|-...;

16(2.112)16(2.112)■у = ]/ф(т’о + 'у1ф) ^^"(y+ 1) А^хг

16

(2.112)

16

(2.112)

х (у4-1)2лзгз4-...

Из формул (2.111), (2.112) можно получить уравнения звуковой линии (М=1), линии 0 = 0 (0 — угол наклона вектора скорости к оси сопла) и характеристик первого (С°+) и второго (С°_) семейств, выходящих из центра сопла (предельных характеристик). Имеем

при v=lх= —у (уф- 1)Дг2;х= —^-(у4-1)Дг2;при v=lх= —у (уф- 1)Дг2;х= —^-(у4-1)Дг2;при v=0

при v=l

х= —у (уф- 1)Дг2;

х= —^-(у4-1)Дг2;

при v=l

х= —у (уф- 1)Дг2;

х= —^-(у4-1)Дг2;

М = 1 : х =|- (у + 1) Д г2;

6 = 0:л= —^-(у-|-1)Дг2;

(2.113)

C0+:* = A(Y+iMr2;л = A(y+1)(i + ]/5) Аг2-

С°_:х =к(у+1)дг2;х==А(у+1)(1-|/5)Дг2.

4о

Из этих формул следует, что звуковая линия располагается вверх по потоку от точки х=0 на оси симметрии и смещена также вверх по потоку от минимального сечения сопла на контуре. В точке на оси симметрии, расположенной в той же плоскости, что и минимальное сечение, скорость меньше скорости звука (рис. 2.2).

Сравним решения, даваемые формулами (2.102)... (2.103), с решением Холла, в котором разложение в ряде строится по отрицательным степеням радиуса кривизны R2 контура в минимальном сечении (см. рис. 2.2). Выразим R2 через производные скорости, используя соотношения одномерной теории. Дифференцируя дважды уравнение неразрывности r1+vi/(^) =const, где q^) определяется формулой (2.4), имеем в минимальном сечении

(2.114)(2.114)1 + v d2r Г d2k d Inq (X) . / dk \2 d2 In q (X)r dx2l_dx2 dk \dx / dk2

(2.114)

(2.114)

или

d In q (X) dXd In q (X) dXdk \2 d2 In <7 (X)l—1dx / dk2 J

d In q (X) dX

d In q (X) dX

Рассмотрим отдельно течения Мейера и Тейлора. В течении Мейера при х=0 скорость равна скорости звука и

dln^A)И- R _ 1 + V / tfX \-2

d\’^л2‘ Л 2 Y +1 йх /’

а распределение скорости Uo(x)=X(x) задается формулой (2.109), Тогда из (2.111), (2.112), используя (2.114), получим, что в плоском течении

Ы_14_(у4_1)-_£^2+^г2_Л^^^

AR^^-,(2Л15>

а в осесимметричном —

и = 1 + ]/2 (У + 1 Г1/2 XR^P + -L [r2 - -Ц R^ +

v(2.116)

= xrR22“) r<r

Эти формулы получены в предположении, что плоскость х = 0 проходит через минимальное сечение, ордината которого r* = l. При выводе формул (2.Ill), (2.П2) принималось, что плоскость х=О проходит через точку на оси симметрии, в которой скорость равна скорости звука. Формулы (2. И5), (2.П6) точно соответствуют решению Холла.

(2.117)(2.117)Рассмотрим течение Тейлора. В этом течении скорость на оси симметрии всюду дозвуковая, однако в потоке возможно возникновение местных сверхзвуковых зон. Для расчета этого течения также можно воспользоваться формулами (2.102)... (2.108). Распределение скорости на оси в этом случае имеет вид

(2.117)

(2.117)

н0 — ^ о—I” а^^с2^ Хо <^ 1; ci <4 0,

поскольку в течении Тейлора du,Q]dx = 0, если сверхзвуковая зона не касается оси симметрии. Тогда, имея в виду, что

0Г(")1/9 /Л х / 1^ 1ft q 0^ I9^

Го = У2^-1/2(Хо) 1

(2.118)(2.118)Г1=д-1М 1Г1=д-1М 1d In р (X)d\d In р (X)d\\ Z dk |х=х0)

(2.118)

(2.118)

Г1=д-1М 1

Г1=д-1М 1

d In р (X)d\

d In р (X)d\

можно получить формулы, аналогичные (2.111), (2.112). Не приводя их здесь, выпишем с точностью до членов R^ лишь формулы, аналогичные (2.115), (2.116). В плоском и осесимметричном случаях имеем

) О + Н ^0 /1V 1 л 2\ 2 О—1 II •

и-хо 2Н-х2Г

,(2.119)

^^KqXtR-z -ф...,

Рис 2 3 Формы звуковой линии, линии 6 = 0 и предельных характеристик С^0, С_°

гдегде/?2--(1+^)[/?2--(1+^)[^Л_dxi^Л_dxiding (X) I-1 dX Jjr=oding (X) I-1 dX Jjr=o/ — расчет по формулам (2 113) при у=1,4, А = = 0,24, v = 0, 2 — численное решение

где

где

/?2--(1+^)[

/?2--(1+^)[

^Л_dxi

^Л_dxi

ding (X) I-1 dX Jjr=o

ding (X) I-1 dX Jjr=o

При численном решении обратной задачи разложения в ряд по ф в окрестности оси симметрии используются для расчета близлежащей к оси линии тока, от которой начинается численное интегрирование, поскольку уравнение (1.119) содержит особенность на оси сим

метрии. При этом, если в осесимметричном случае эта особенность

может быть устранена путем преобразования уравнений, то в пространственном случае нельзя обойтись без использования асимптотического разложения при определении решения на близлежащей к оси линии тока.

До появления численных методов представленные выше соотношения использовались для расчета течений в соплах. Доказатель

ства сходимости рядов и определения радиуса сходимости их не имеется. В связи с этим возможность их применения устанавливается сравнением с численными решениями и экспериментальными данными, которое показывает, что разложения в ряд по ф при учете 3...4 членов ряда пригодны для описания течения в трансзвуковой области при Лг^О,5г», а также в до- и сверхзвуковых областях при небольших поперечных градиентах параметров. Сравнения с численным решением обратной задачи теории сопла представлены

ниже.

Формулы (2.111), (2.112), (2.115), (2.116) пригодны лишь для расчета течений в пологих соплах с 7?г>2г*. Однако они позволяют получить качественное представление о структуре трансзвукового потока в окрестности минимального сечения. Кроме того, в случае плоского и осесимметричного течений формулы (2.113) с точностью 5... 10% позволяют определить координаты всех характерных линий в трансзвуковой области даже при малых R^Ra^ 25:0,2г*), хотя параметры течения при этом рассчитываются со значительной ошибкой (рис. 2.3).

Двухфазные течения

При численном решении обратной задачи теории сопла для двухфазного течения при задании начальных данных на оси симметрии требуется построение асимптотического разложения (как для плоского, так и для осесимметричного случаев), поскольку уравнение системы (1.109)... (1.113) содержит особенность на оси.

Из этого разложения на оси симметрии определяются все параметры течения, в том числе плотность частиц и производные dvJd^Ps дУ®, . На оси симметрии задается распределение скорости, а на dli

плоскости s = з0 задаются us, us, Т8, ps. Представляя в окрестности оси симметрии функции и, и8, р,

/ = /o+/2-^V; Л = /оз+/(2-,)зФ2"'’, а функции и, щ и г в виде

и подставляя эти соотношения в систему (1.109).. .(1.113), получим

дроdsдроdsГо =Po“oV№-, = 77—~(2 - v) r,Го =Po“oV№-, = 77—~(2 - v) r,д г о; TO = ZZO—; dsд г о; TO = ZZO—; ds(2.120)(2.120)dh-o dsdh-o dsd— Y Po —_ ds d / «оd— Y Po —_ ds d / «оd^Q । POs / \ . л I У Or I ’ ds potzq /,2 \--4+-^№ ;i /«0Jd^Q । POs / \ . л I У Or I ’ ds potzq /,2 \--4+-^№ ;i /«0J-^(WA+^)o ;?o«o.-^(WA+^)o ;?o«o.«Os^-(lnPos)= -(1+H^. dsr0n. dvps — , .J Or»OSOS«Os^-(lnPos)= -(1+H^. dsr0n. dvps — , .J Or»OSOSdu-Qs . ds ’de0s __ ."77o,dsdu-Qs . ds ’de0s __ ."77o,ds(2.121)(2.121)(2.122)(2.122)(2.123)(2.123)(2.124)(2.124)(2.125)(2.125)

дроds

дроds

Го =

Po“o

V№-, = 77—~(2 - v) r,

Го =

Po“o

V№-, = 77—~(2 - v) r,

д г о

; TO = ZZO—; ds

д г о

; TO = ZZO—; ds

(2.120)

(2.120)

dh-o ds

dh-o ds

d

— Y Po —_ ds

d / «о

d

— Y Po —_ ds

d / «о

d^Q । POs / \ . л I У Or I ’ ds potzq /

,2 \-

-4+-^№ ;

i /«0J

d^Q । POs / \ . л I У Or I ’ ds potzq /

,2 \-

-4+-^№ ;

i /«0J

-^(WA+^)o ;

?o«o.

-^(WA+^)o ;

?o«o.

«Os^-(lnPos)= -(1+H^. dsr0

n. dvps — , .

J Or»

OSOS

«Os^-(lnPos)= -(1+H^. dsr0

n. dvps — , .

J Or»

OSOS

du-Qs . ds ’

de0s __ .

"77o,

ds

du-Qs . ds ’

de0s __ .

"77o,

ds

(2.121)

(2.121)

(2.122)

(2.122)

(2.123)

(2.123)

(2.124)

(2.124)

(2.125)

(2.125)

^o— h^Po, ^o); Po—Po^o! eos — es(TOs).

Система (2.120)... (2.125) решается следующим образом. Первоначально численно интегрируя по s систему (2.122), (2.123), (2.125), (которая эквивалентна системе соответствующих уравнений неравновесного двухфазного течения в одномерном приближении), при заданной на оси скорости (или давления, или плотности) определяем функции Ро, ро (или Мо, Ро), (или и0, ро), То, uOs, Vos, TOs. Далее из (2.120) и (2.124) последовательно определяем г0, Уо и pos. При 8 = 80 обычно предполагают, что течение равновесно, т. е. uQs = Uo, 2.

Tos = To, а ро= ро—;—, где z, — массовая доля i-й фракции ча- 1 — 2.

стиц.

После определения всех параметров на оси симметрии по этим формулам производится расчет параметров на ближайшей к оси линии тока газа, с которой и начинается затем численное интегрирование полной системы. Отметим, что в отличие от случая течения чистого газа с постоянным показателем адиабаты, когда асимптотическое разложение служит в осесимметричном течении для отхода от оси (из-за особенности типа и/r, которая отсутствует в плос-

ком течении), в двухфазном неравновесном течении это разложение необходимо как для плоского, так и для осесимметричного течений.

РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД В ОКРЕСТНОСТИПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ЗВУКОВОЙ линии

Наиболее полное исследование течения в окрестности прямолинейной звуковой линии в плоско^ случае проведено Л. В. Овсянниковым. В этой работе показана возможность существования пяти различных типов течения, в том числе до- и сверхзвуковых течений,, содержащих угловые точки. Осесимметричный случай рассмотрен О. С. Рыжовым.

Получим разложение решения в ряд по х в окрестности прямолинейной звуковой линии для одного из возможных типов течения, представляющего наибольший практический интерес. Уравнения, описывающие безвихревое течение идеального газа, возьмем в виде

диди .дг дх ’

[^l(l-zz2)[^l(l-zz2)у — 1 Л ди . Гу J- 1 ..9.

[^l(l-zz2)

[^l(l-zz2)

2 J dr 12 J dr 1——■ у2Р -(1 — -и2)2'2

2 J dr 1

2 J dr 1

, „ dv , Г V + 1+ 2от-—pY ox2, „ dv , Г V + 1+ 2от-—pY ox2Y_l(M2 + y2)j_^ = o.Y_l(M2 + y2)j_^ = o.(2.126)(2.126)

, „ dv , Г V + 1

+ 2от-—pY ox2

, „ dv , Г V + 1

+ 2от-—pY ox2

Y_l(M2 + y2)j_^ = o.

Y_l(M2 + y2)j_^ = o.

(2.126)

(2.126)

В окрестности прямолинейной звуковой линии, на которой н=1, и = 0, естественно искать решение системы (2.126) в виде

(2.127)(2.127)и = 1 +«i (г)х:4-гг2(г)л24-«з(г)л:34-...;г>=г>1(г)л: + 'У2(г)л:2+'Уз(г)^34-"- •

(2.127)

(2.127)

После подстановки рядов (2.127) в систему (2.126) и приравнивания коэффициентов при нулевой и первой степенях х в левой и правой частях этих уравнений получим, что ui = ui = U2=0. Эти условия являются известными условиями Гёртлера, которые необходимы и достаточны для того, чтобы звуковая линия была прямолинейной. Приравнивая коэффициенты при других степенях х, получим

Зу3,^2__6(y+ 1)«?=0;(2.128)

drdr*1 r dr

^=4v4,^-20(y+1)«2«3=0;(2.129)

drdr1 1 r dr

— =5t>5; — = 6(y + 1)k2«4 + 3(y+ !)«з+(У + l)(2y— l)«t + drdr

IC2V

+ 6t>3г>5.

r

Рис. 2.4. Функция «2(f):Рис. 2.4. Функция «2(f):I — значения и2(г), полученные из асимптотического решения (2 131), 2— значения «г(г). полученные при численном интегрировании уравнения (2 128)I — значения и2(г), полученные из асимптотического решения (2 131), 2— значения «г(г). полученные при численном интегрировании уравнения (2 128)Рис 2 5 Схема течения в окрестности прямолинейной звуковой линии с образованием местной сверхзвуковой зоныРис 2 5 Схема течения в окрестности прямолинейной звуковой линии с образованием местной сверхзвуковой зоны(2.130)(2.130)(2.132)(2.132)

Рис. 2.4. Функция «2(f):

Рис. 2.4. Функция «2(f):

I — значения и2(г), полученные из асимптотического решения (2 131), 2— значения «г(г). полученные при численном интегрировании уравнения (2 128)

I — значения и2(г), полученные из асимптотического решения (2 131), 2— значения «г(г). полученные при численном интегрировании уравнения (2 128)

Рис 2 5 Схема течения в окрестности прямолинейной звуковой линии с образованием местной сверхзвуковой зоны

Рис 2 5 Схема течения в окрестности прямолинейной звуковой линии с образованием местной сверхзвуковой зоны

(2.130)

(2.130)

(2.132)

(2.132)

Пусть на оси симметрии со стороны дозвуковой части задано распределение скорости в виде (2.109) с Л = 0. Тогда для систем (2.128), (2.129) гранич-

ные условия при г=0 будут иметь вид dtioldr=O; и2=В <20;

du^dr — 0; иа = С;du4)dr = 0; щ = О,

Системы (2.128), (2.129) в общем случае не интегрируются в замкнутом виде. Численное интегрирование их показало, что при некотором значении г=г° функция и2^ обращается в нуль, затем, меняя знак, становится положительной и при некотором г=г0 обращается в бесконечность. Перемена знака у функции и2 (г) означает, что в точке г=г° возникает еще одна звуковая линия, простирающаяся вверх по потоку в сторону дозвуковой области (рис. 2.4). Схема течения в окрестности прямолинейной звуковой линии представлена на рис. 2.5. При этом течение между прямолинейной и криволинейной звуковыми линиями сверхзвуковое. В окрестности точки г=г0 решение уравнения (2.128) имеет вид

иz =« d0 (г — г0)-2 4- dx (г — r0)-i + do + do < — г0) ф- dx (г — г0)2 ф-

-Vd^r — г0)3ф-</6(г — r0)4 In(r — г0)ф-с2(г — г0)4ф-... (2.131)

Подставляя (2.131) в (2.128) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г—г0, можно определить коэффициенты dt. В частности.

do—(?ф"Ъ Ф dx = —-—dy.

Ofg

Рис 2 6. Составляющие скорости и, и в трансзвуковой области Сравнение численного и асимптотических решений (х =—0,05). Разложение в ряд по 1|) = 0 (О), разложение в ряд по |х| в окрестности звуковой линии (X)

Значения г0 и с2 определяются из условия стыковки асимптотического решения (2.131) с решением, получающимся при численном интегрировании уравнения (2.128). Такой процесс изображен на рис. 2.4 для распределения скорости на оси (2.63) с Л°= 10, и<х> = = 0,1. В результате получено значение г0=0,725. Решение вида

ы = 1 + ;рг [^o + ^i(г —г0)+ •••];

(Óð?(2.133)

означает, что точка х=0, г=го является угловой и в этой точке имеет место течение Прандтля — Мейера. В местной сверхзвуковой зоне имеется волна сжатия, ограниченная некоторой характеристикой ОВ и характеристикой ОА, совпадающей со звуковой линией (рис. 2.5).

Если распределение скорости на оси (2.109) таково, что А = = В = 0, то и2(г) = у3(г) =0, и выражение для всех последующих членов ряда можно получить в аналитическом виде. Имеем

«3=C=const; у4=0;

= J5(7+_l)_ С2Г2 + д 3(7+21 СЧ,

42(l+v)1 b 1+v

значит

«= 1 + Сл3 +«= 1 + Сл3 +15(7 + 0^2 I д] х4_|_

«= 1 + Сл3 +

«= 1 + Сл3 +

,2(l + v) 4 J 1

Отсюда следует, что и в этом случае в окрестности прямой звуковой линии возникает вторая звуковая линия, которая при 0 = 0 имеет общую точку с прямой звуковой линией на бесконечности, в отличие от случая Л = 0, 0^0, когда эта точка находится на конечном расстоянии.

Сравним решения, полученные с помощью асимптотических методов, с численным решением обратной задачи для распределения (2.63) с Л°= 10, «00 = 0,1. На рис. 2.6, 2.7 представлены численное и асимптотические решения, полученные в результате разложения решения в ряд по гр в окрестности оси симметрии, в ряд по |х|,

Рис 2 7. Составляющие скорости м, у в дозвуковой области сопла Сравнение численного и аналитического решений (х = —0,6). Разложение в ряд по тр — О Решение для несжимаемой жидкости (•)

в окрестности прямолинейной звуковой линии, а также решение обратной задачи для несжимаемой жидкости.

В окрестности прямолинейной звуковой линии асимптотическое решение рассчитывалось по формулам

«=1 4-«2(г) х2+ы4(г) я4+«е(г)л6;

Функции «2, W4, и8, у3, у5 и у7 были получены в результате численного интегрирования системы (2.128), (2.129). Решение для несжимаемой жидкости получено по формулам, приведенным в разд. 2.3

Это сопоставление дает некоторое представление об области применимости приближенных решений. Разложение решения в ряд по ф вблизи минимального сечения правомерно лишь при небольших значениях г (рис. 2.6). С ростом |х| результаты точного и приближенного решений практически совпадают. Расчеты показывают, что при малых значениях |х|, когда эффекты сжимаемости существенны, решение обратной задачи для несжимаемой жидкости не может быть использовано для описания течения сжимаемой жидкости. Когда скорости движения газа невелики (1К<0,3), параметры течения сжимаемой и несжимаемой жидкостей практически не отличаются. Сравнение точного решения с решением, полученным в результате разложения искомых функций в ряд по |х| в окрестности прямолинейной звуковой линии, показывает, что при х=—0,05 соответствие между точным и приближенным решением очень хорошее. При х<—0,2 ряды расходятся.

РЕШЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ БЕСКОНЕЧНОУДАЛЕННОЙ ТОЧКИ В ДОЗВУКОВОЙ ОБЛАСТИ

Построим для системы (1 106), (1.107) асимптотическое решение в окрестности бесконечно удаленной точки для прямой и обратной задач в плоском и осесимметричном случаях. Представим искомые функции и, р, р, г, у в виде

g ^^gnW^*1-(2.134)

я-0

Граничные условия имеют вид г=у = 0, «=«„ -}- 5 ипх~п ПРИ Ф = п-1

= 0 — для обратной задачи и г=у = 0 при ф=0 r=r0O-j-V fпх”п->

п-1

N

ч)[и= —^ nfnx~ (и+1) при ф = фк— для прямой задачи. Здесь п-1

фк— значение расхода на контуре сопла, который должен задаваться в зависимости от режима течения и не должен превышать критического значения, при котором течение в дозвуковой части не зависит от противодавления. Подставляя ряды (2.134) в (1.106), (1.107) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для определения функций gn, которая разрешается в замкнутом виде. В частности, имеем

г!о(ф)=г!1(ф) = О; /?0(ф)=const;

А(Ф) = СОП81, р2^= const

Ги_Г(! + у)ф-|1/(1+А1Г ф р/(1+^) a(^L-1) (2 135

° Р=Л= J ’ 1 Y 1(1 + v) P=“=J pjw.» ‘'

Для обратной задачи неизвестные константы р0, рх и р2 определяются из граничных условий по известным Uoo и их.

Имеем

Рй Poo1 ^(Яоо)flZZoo j ,

Л(1)X Y + 1/

A = —YP~K~Kf> p2 = —^H^-J-zzi) ;(2.136)

2

p^p^-VPxX-^-Vp.^-y...

Из формул (2.135) и (2.136) следует, во-первых, что первые три члена асимптотического разложения для функции р не зависят от ф (зависимость от ф проявляется в следующих членах разложения, которые можно получить аналогичным методом), а во-вторых, что при уменьшении х, т. е. в направлении движения газа в окрестности бесконечно удаленной точки, давление на всех линиях тока может только уменьшаться (а<0; /?2i<0; если А = 0; и т. д.).

В прямой задаче константы р0 и рх определяются следующим образом. При заданном фк из граничных условий и формул (2.135) находим

Р„оЫ= =Ф («=)=( 1 + v)tpKr” (1+v),

^(ыД=ым ^(y-H)~1)«~J/(T П; (2.137)

^(“oc)Y/1/^ЛД Г,-111/(1 + v)

P- = ——; P1=—2—-|(l + *)P.M<

p (1)— 1

Из (2.137) следует, что в прямой задаче при заданном уравнении контура сопла решение единственным образом определяется одним параметром ifK- Это остается справедливым и в случае, если учесть все последующие члены разложения.

АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ СМЕСИВ ЗОНЕ ЛОКАЛЬНОГО ПОДВОДА МАССЫ И ЭНЕРГИИВ ОДНОМЕРНОМ ТЕЧЕНИИ

Представляет интерес расчет течения высокотемпературной смеси в канале при наличии подвода различных химических реагентов. Такие задачи возникают, например, при определении параметров смеси в парогенераторах ТЭС, в различных дожигателях, используемых для нейтрализации токсичных веществ, выбрасываемых из реактивных сопел при их наземных испытаниях и т. д. Предполагается, что впрыск сосредоточенный (локальный), и после ввода массы происходит мгновенное перемешивание ее с потоком газа, а также испарение жидких компонент (если таковые имеются) и установление некоторой новой температуры смеси. Эти предположения означают, что при впрыске все химические реакции замораживаются, происходит полное перемешивание, после чего вновь начинаются химические реакции. Таким образом, необходимо определить параметры смеси, образовавшейся после впрыска, затем провести расчет неравновесного течения в канале заданного сечения или (в рамках обратной задачи) при заданном распределении какого-либо параметра (давления, плотности или скорости). Считаем, что зону впрыска и перемешивания можно рассматривать как канал постоянного сечения, а впрыск осуществляется по нормали к скорости потока. Тогда для определения параметров смеси в сечении впрыска имеем следующую систему уравнений, выражающих законы сохранения массы, импульса и энергии:

Р:Щ2—Pi^i (1 Ц-т); ^Ч^Рг^г— АЧ-?!^1—Ч(2.138)

А^гЭЧ—у- (l + /77) = /Zo2(l + m);(2.139)

/И.

/VY/1 + —

р2=А_^т„Yi2, Yz2= Л._.(2.140)

/=1

Здесь индексом 1 помечены параметры смеси в сечении перед впрыском, индексом 2 — параметры после впрыска; т; — расход t-й компоненты впрыска, отнесенный к расходу смеси в сечении перед впрыском, т —2 mi- Систему (2.138) ... (2.140) можно свести к одному нелинейному уравнению относительно температуры

f{T) = -5L + 2(/z0- /z)~^r]/2(/zo-/z) = O;(2.141)

а

TV

h (T)=^ MT)^.

i = l

Все параметры имеют здесь индекс 2, который опущен. Для решения уравнения (2.141) можно использовать любые методы решения нелинейных уравнений, однако нужно учитывать некоторые особенности, связанные с тем, что (2.141) имеет два решения. При т=0 это дозвуковое и сверхзвуковое решения. Таким образом, для выделения нужного решения предпочтительно использовать методы, имеющие двухстороннюю сходимость. Можно отметить также, что в данной постановке удается получить решение задачи о неравновесном течении в релаксационной зоне за ударной волной.

В случае, когда относительная величина впрыска m невелика, значения р, р, Т, и можно найти из системы (2.138) ... (2.140) с помощью метода малых возмущений. Подставляя формулы (2.142) в систему (2.138) ... (2.140) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях т, получим аналитические формулы для параметров со штрихом, при этом два первых члена разложения имеют вид

р2 = рх( 1 + Р'т~\- р"пг2У, u2 = uvCl-\-u'in4-u"mT-y, (2.142)

р2 = Р1 (1 + p'm + p'W); Т, = Тх (1 + Т'ш + Т"т?\

/2 \

I“119/9 Н I

J —~ “1И (Y^i +)

Т = —^- ;(2.143)

Т1Р1

Y^? + Тх + ^L

и'=; р' = -уЛ1?(1 + м'), ?'=!-«'. (2.144)

1 — уЛ4;

Аналогично получаются выражения для Т", и", р", р". Здесь

у7И1=. h/j(Tb)—индивидуальная энтальпия одного моля

Pi ’

впрыскиваемого компонента, p.w— его молекулярная масса (предполагается, что впрыскивается какой-либо один компонент, обозначенный индексом A). hbpN = hN(Ть)—Av(T'i).

Во многих случаях по этим соотношениям удается получить удовлетворительные результаты даже при т^0,5.

РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТЕЧЕНИЙ В СОПЛАХМЕТОДОМ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Пространственные течения имеют место либо в случае неосесимметричной геометрии сопел, либо в соплах, обладающих осевой симметрией, но имеющих несимметричные начальные условия на входе. Практический интерес к пространственным течениям в соплах связан с использованием сопел некруглого сечения в МГД-ге-

нераторах и двигателях специальных форм. Исследования пространственных течений проводились методом малых возмущений О. С. Рыжовым.

В окрестности центра сопла при заданной на оси составляющей скорости и=Ах, используя метод малых возмущений, в рамках обратной задачи, можно получить формулы для определения возмущений составляющих скорости и, v, w относительно поступательного звукового потока в цилиндрических координатах х, г, <р:

и=Дх-[-(у4-1)'"2Д2^— Z cos 2ср

V = Д2 (у + 1) хг ^2Z cos 2'^д-Д3(уф- l)r3 X

(2.145)(2.145)X■— Z cos 2 уcos ;

(2.145)

(2.145)

\ 163/

w=2 (у ± 1) АЧхг sin 2<р -|-(у +1) A3r ^-^- Z sin 2? — 4m sin 4-^ .

В декартовых координатах х, у, z имеем

-2Z) ху + (у+1)2Л3[[^-2Z) ху + (у+1)2Л3[[^u=(y+ 1)Л2u=(y+ 1)Л2— 12m) г/г2-)-— 12m) г/г2-)-

-2Z) ху + (у+1)2Л3[[^

-2Z) ху + (у+1)2Л3[[^

u=(y+ 1)Л2

u=(y+ 1)Л2

— 12m) г/г2-)-

— 12m) г/г2-)-

(2.146)

ту = (y+ 1) А2С4г + -^-{-(уф-I)2 Д3 f^" — V2m^y2z4~

-^-Z-|-4m^ z3-^-Z-|-4m^ z3

-^-Z-|-4m^ z3

-^-Z-|-4m^ z3

В отличие от плоского и осесимметричного случаев [см. формулы (2.111), (2.112)], в выражениях для и, v появляются произвольные постоянные Z, т, задавая которые можно получить сопла различной геометрии в окрестности центра сопла. Форма звуковой поверхности получается из условия «=0, которое в декартовых координатах приводит к соотношению

(2.147)(2.147)x=-(Y+l)Д 17— -Z) y^f-L^/W \ 4 I \ 4/

(2.147)

(2.147)

Отсюда следует, что при |Z| <0,25 звуковая поверхность будет эллиптическим параболоидом, при |Z| =0,25—параболическим цилиндром, при |Z|>0,25— гиперболическим параболоидом. Уравнения поверхностей и = 0, ty = O (аналогичных линиям 9 = 0 в плос-

ком и осесимметричном случаях) имеют в декартовых координатах вид'

у=0; х= —- ^— 1 ^ [f— + ~^+12^ з21 ;

1-4Z16 ' 31 У 1 \ 16 У J

(2.148)

z = 0; х — —2(V + 1) Л г/112щ'| y24V—+ —Z +г2]

i +4Z[^16 У Ц16 1 з 1 У J

[см. также (2.113)]. В общем случае эти поверхности не совпадают между собой и могут быть эллиптическими или гиперболическими параболоидами или параболическими цилиндрами.

Уравнения четырех характеристических поверхностей, касающихся в центре сопла звуковой поверхности, имеют вид

X=Ш Д [(1 - да У2+(1 - д,) г2];о

* = ^-^[(1 j-AOz^ + tl — Д2)22]; О

^ = ^Д[(1-Д1)У2 + (1-Д2)г2];(2.149)

О

х=^Д[(1 + Д1)у2+(1+Д2)22], о

где Д1 = К5- 16/; Д2=К5+16/.При|/|<5/16 последняя из

этих формул дает для характеристической поверхности С+° уравнение эллиптического параболоида. По аналогии с плоским и осесимметричным случаями через С+° и С_° обозначаются характеристические поверхности, касающиеся в центре сопла звуковой линии и простирающиеся соответственно вниз и вверх по потоку. При |/| <0,25 первая из формул (2.149) дает для поверхности С_° уравнение эллиптического параболоида, а вторая и третья — уравнения гиперболических параболоидов. По эллиптическому С_° параболоиду возмущения распространяются к центру сопла. Если источники возмущений поместить внутри С_° параболоида, то вносимые ими возмущения будут достигать поверхности перехода и влиять на дозвуковую область течения. Как видно из (2.149) С_° поверхности существуют лишь при |/|<0,25, а С+° поверхности — при |Z| ^5/16. Отсутствие особых характеристических поверхностей при таких значениях I говорит о неустойчивости соответствующих смешанных течений газа. Звуковые поверхности, характеристические поверхности для некоторых значений I изображены на рис. 2.8.

Пространственные течения в работе [27] рассчитаны лишь с помощью асимптотических формул (2.101), которые дают качественное представление о геометрии сопла и распределении параметров, однако, возможность использования этого решения для количественного описания течения является проблематичной, хотя, как показывают сравнения точных и приближенных решений, геомет-

Рис. 2 8. Форма звуковой поверхности и особых характеристических поверхностей в пространственных теченияхРис. 2 8. Форма звуковой поверхности и особых характеристических поверхностей в пространственных течениях

Рис. 2 8. Форма звуковой поверхности и особых характеристических поверхностей в пространственных течениях

Рис. 2 8. Форма звуковой поверхности и особых характеристических поверхностей в пространственных течениях

рия сопла в приближенных решениях предсказывается достаточно точно.

Результаты расчетов по формулам (2.101) представлены на рис. 2.9 ...2.12. На рис. 2.9 изображено сопло, являющееся осесимметричным до минимального сечения и имеющее при двух плоскостях симметрии некруглую, близкую к эллиптической, форму поперечного сечения вниз по потоку. Показана форма поперечного сечения сопла в различных сечениях. В выходном сечении при s= = 2 отношение полуосей равно 1,5. При расчете этого варианта было принято so=O; ^=2; е = 0,0875; y= 1,4; ro=O; R = oo, при следующем распределении скорости на оси

«о (s)— 1 +«о (s)— 1 +(1 - «Л ^+ («--!)(1 - «Л ^+ («--!)

«о (s)— 1 +

«о (s)— 1 +

(1 - «Л ^+ («--!)

(1 - «Л ^+ («--!)

где Моо—0,1; м«>=1,9; Ь-1 = 3,5.

На этом же рисунке представлено геометрическое место точек 0=const, т. е. проекции на плоскость yz вторых поверхностей тока и распределение давления в различных сечениях в зависимости от 0. Очевидно наличие перетекания газа из плоскости z=0 в плоскость г=0. Пунктиром изображена геометрия сопла в осесимметричном случае при том же начальном распределении скорости.

Рис. 2 9. Геометрия поперечных сечений и линий тока пространственного сопла с двумя плоскостями симметрииРис. 2 9. Геометрия поперечных сечений и линий тока пространственного сопла с двумя плоскостями симметрииРис. 2 10. Геометрия поперечных сечений и линий тока пространственного сопла с одной плоскостью симметрииРис. 2 10. Геометрия поперечных сечений и линий тока пространственного сопла с одной плоскостью симметрии

Рис. 2 9. Геометрия поперечных сечений и линий тока пространственного сопла с двумя плоскостями симметрии

Рис. 2 9. Геометрия поперечных сечений и линий тока пространственного сопла с двумя плоскостями симметрии

Рис. 2 10. Геометрия поперечных сечений и линий тока пространственного сопла с одной плоскостью симметрии

Рис. 2 10. Геометрия поперечных сечений и линий тока пространственного сопла с одной плоскостью симметрии

Рис. 2.11. Геометрия поперечных сечений и линий тока пространственного сопла с двумя плоскостями симметрииРис. 2.11. Геометрия поперечных сечений и линий тока пространственного сопла с двумя плоскостями симметрииНа рис. 2.10 представлены результаты расчетов сопла, являющегося осесимметричным до минимального сечения и имеющего при одной плоскости симметрии некруглую форму выходного сечения вниз по потоку. По-прежнему представлена форма поперечного сечения в различных сечениях 8= = const. При расчете этого варианта было принято 8о=О; /г=1; 8 = 0,175; у=1,4; го = О; оо, с тем же распределением скорости на оси.

Рис. 2.11. Геометрия поперечных сечений и линий тока пространственного сопла с двумя плоскостями симметрии

Рис. 2.11. Геометрия поперечных сечений и линий тока пространственного сопла с двумя плоскостями симметрии

На рис. 2.10 изображены

те же зависимости, что и на рис. 2.9. В этом случае перетекание газа происходит из плоскости <р = 0 в плоскость ф=180. Существенно, что центр тяжести попе

речного сечения при увеличении s смещается влево относительно центра тяжести в критическом сечении, что приводит к искривлению геометрической оси сопла и появлению боковой силы.

минимальное сечение также неосесимметрично.минимальное сечение также неосесимметрично.Рис. 2.12. Геометрия поперечных сечений и линий тока пространственного сопла с одной плоскостью симметрииРис. 2.12. Геометрия поперечных сечений и линий тока пространственного сопла с одной плоскостью симметрииНа рис. 2.11 и 2.12 показана геометрия сопла, имеющего в дозвуковой части при s0=3,5 круглое поперечное сечение, переходящее вниз по потоку в близкое к эллиптическому, при этом сопло, изображенное на рис. 2.11, имеет две плоскости симметрии, а на рис. 2.12 — одну. Расчет проведен для того же распределения скорости на оси при у= 1,4 и 8=0,005. На этих рисунках представлены те же зависимости, что и на предыдущих. Существенно, однако, что в изображенных на них соплах отклонение течения от осесимметричного начинается непосредственно из дозвуковой части, при этом

минимальное сечение также неосесимметрично.

минимальное сечение также неосесимметрично.

Рис. 2.12. Геометрия поперечных сечений и линий тока пространственного сопла с одной плоскостью симметрии

Рис. 2.12. Геометрия поперечных сечений и линий тока пространственного сопла с одной плоскостью симметрии

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

В этой главе описаны методы решения обратной задачи теории сопла для течений совершенного газа с физико-химическими превращениями. Помимо детального описания основной разностной схемы, позволяющей одновременно рассчитывать течения в дозвуковой, трансзвуковой и сверхзвуковой областях сопла, изложены разностные схемы, используемые для решения разного рода задач профилирования в сверхзвуковой области.

Особое внимание уделено методам расчета релаксационных уравнений и совместному решению уравнений газовой динамики и кинетики, как в одномерном приближении, так и для двумерных и пространственных течений.

ОСНОВНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА

Первоначально рассмотрим случай совершенного газа без физико-химических превращений с постоянным отношением удельных теплоемкостей у. Примем также, что течение является изоэнтропическим и изоэнергетическим. Имеют место интеграл Бернулли

Ц2 V2 + W2 1У + 1

2' у—12 у-1‘ '

и условие сохранения энтропии

Р = ^.(3.2)

Ниже была дана постановка обратной задачи теории сопла. Для уравнений газовой динамики (1.95) ... (1.104) в общем случае пространственного течения в переменных s, ф, 9 она заключается в следующем. На поверхности ф=ф0 задается функция r=r0(s, 9) и компонента скорости u=u0(s, 9) (или давление, или плотность). На начальной плоскости s=s0 задается компонента скорости w = = гу°(9, ф) и функция ф=ф°(9, ф). Требуется определить семейство поверхностей тока и параметры течения в окрестности начальной поверхности тока.

Перепишем систему уравнений (1.95) ... (1.104) для случая идеального газа в виде

дрдрYY6v (s, 0, ф) । др/дЪ ду г^и^д^МУ ду/д$ бф6v (s, 0, ф) । др/дЪ ду г^и^д^МУ ду/д$ бф(3.3)(3.3)

др

др

Y

Y

6v (s, 0, ф) । др/дЪ ду г^и^д^МУ ду/д$ бф

6v (s, 0, ф) । др/дЪ ду г^и^д^МУ ду/д$ бф

(3.3)

(3.3)

dwrdsdwrdsdr1+'J 1Л+v , d?Эф(д^/дву \ ри Эфdr1+'J 1Л+v , d?Эф(д^/дву \ ри Эфdr*v= — dsdr*v= — ds^.±G(s, 9, R пЭ?/Э6[ ур Э61 ЭА^.±G(s, 9, R пЭ?/Э6[ ур Э61 ЭА(3.4)(3.5)(3.4)(3.5)(3.6)(3.7)(3.6)(3.7)o , И dv , И2 COS’' Ф W1 где G (s, 9, ®)=±1- _ v.Hx ds RHX ro , И dv , И2 COS’' Ф W1 где G (s, 9, ®)=±1- _ v.Hx ds RHX rЗапишем с использованием (3.1) и (3.5) следующие соотношения для давления и составляющей скорости и. ИмеемЗапишем с использованием (3.1) и (3.5) следующие соотношения для давления и составляющей скорости и. Имеем(3.9)(3.9)

dwrds

dwrds

dr1+'J 1Л+v , d?

Эф(д^/дву \ ри Эф

dr1+'J 1Л+v , d?

Эф(д^/дву \ ри Эф

dr

*v= — ds

dr

*v= — ds

^.±G(s, 9, R пЭ?/Э6[ ур Э61 ЭА

^.±G(s, 9, R пЭ?/Э6[ ур Э61 ЭА

(3.4)

(3.5)

(3.4)

(3.5)

(3.6)

(3.7)

(3.6)

(3.7)

o , И dv , И2 COS’' Ф W1 где G (s, 9, ®)=±1- _ v.

Hx ds RHX r

o , И dv , И2 COS’' Ф W1 где G (s, 9, ®)=±1- _ v.

Hx ds RHX r

Запишем с использованием (3.1) и (3.5) следующие соотношения для давления и составляющей скорости и. Имеем

Запишем с использованием (3.1) и (3.5) следующие соотношения для давления и составляющей скорости и. Имеем

(3.9)

(3.9)

Покажем, что сформулированные выше данные Коши на поверхности ф=фо и плоскости s=s0 определяют все остальные функции. В предыдущей главе указанное свойство было продемонстрировано с помощью асимптотических разложений. Рассмотрим случай, когда на поверхности ф=фо задано распределение составляющей скорости u—uQ^s, 9). Поскольку имеет место соотношение (3.8), то в силу данных Коши на плоскости s = s0, а именно [<Щ)°==ю0 (9, фо), фо° = Ф°(9, фо)], на этой плоскости известно p0° = p0(s, фо) и из (3.5) у0°=у0(з, фо).

Тогда, интегрируя по s и 9 совместно систему уравнений в частных производных (3.5) ... (3.8), (3.2) на поверхности ф = ф0, опре- целяем на этой поверхности недостающие начальные функции р= =po(s, 9); p = p0(s, 9); у = у0(з, 9); w=w0^s, 9) и ф=ф0(з, 9).

Отметим, что входящие в правые части уравнений (3.6), (3.7) функции и, р и р, а также производную dufds можно исключить с помощью соотношений (3.5), (3.8) и (3.2) и получить систему двух уравнений для определения двух функций w и ср. Однако выкладки в этом случае чрезвычайно громоздкие и не меняют существа дела.

Если на поверхности ф = фо задано распределение давления p = p0^s, 9), то на плоскости s=s0 с использованием соответствующих данных Коши определяются функции м0° — u0{s, ф0), у0°= = y0(s, фо) из соотношений (3.9) и (3.5). Далее при совместном интегрировании системы (3.5) ... (3.7), (3.9) па поверхности ф = фо определяются недостающие начальные функции u=u0(s, 9), у = = y0(s, 9), w=w0(s, 9) и ср—ф0(5, 9). Функция p = p0(s, 9) определяется сразу же из (3.2).

Очевидно, что аналогично определяются данные Коши на поверхности ф=ф0, если задано не распределение давления, а распределение плотности, поскольку имеет место соотношение (3.2).

При численном решении задачи Коши возникают определенные трудности. В эллиптической области в общем случае задача некорректна в смысле Адамара, хотя, если рассматривается класс аналитических функций, то в ограниченной области задача становится, как показано М. М. Лаврентьевым, корректной. Тем не менее даже при аналитических начальных данных в дозвуковой области, где уравнения газовой динамики являются эллиптическими, при неудачно выбранной разностной схеме при решении задачи Коши чрезвычайно быстро возрастают ошибки округления. Поэтому для получения устойчивого решения необходимо выбрать такую разностную схему, при применении которой ошибки округления не превосходили бы существенно ошибок аппроксимации.

С другой стороны, в общем случае в гиперболической области соотношение шагов в разностной схеме должно быть таково, чтобы область влияния аппроксимирующей системы не выходила за область влияния исходной системы дифференциальных уравнений, т. е. другими словами должно быть выполнено условие Куранта — Фридрикса — Леви. Однако в классе аналитических функций соотношение шагов в разностной схеме может быть произвольным, так как в силу аналитичности начальных данных нельзя изменить их на каком-либо участке, не изменив их во всей области аналитичности.

Ниже рассмотрены разностные методы решения сформулированной задачи для пространственного, осесимметричного и плоского случаев.

Пространственный случай

Опишем разностный метод, оказавшийся весьма эффективным для решения сформулированной задачи для системы (3.1) ... (3.7). Введем сетку с узлами

s~s0-|-ZAs; ф/ = ф0+7Лф, 9k = fe^&;

/ = 0, 1,...,/; / = 0,1,...,/; & = 1,..., К,

обозначим fijfe=f (s;, ф/, 9k). Величины шагов As, Д9 в общем случае не постоянны и зависят от i и k соответственно. Пусть в узлах слоя ф; = const известны все параметры течения, а именно значения и, v, w, р, р, г, ср, а также дф/дф. Вычисление параметров на слое ф;+1 = const производится итерационным методом следующим образом.

Очередная итерация с номером / начинается с вычисления Bern (О (О-

личин 'щ+1>й;v}J+ik; Рщ+щ из уравнении

r(Z) . I Аф г ,,, (;-!) 1Н/(1 + Л

Н — Ку Vijk TU 2)щ + 1.йП

(3.10)(3.10)PidW,h = Pijk + 4p [(/1);V* +(/1)/5 + 1л] !

(3.10)

(3.10)

/ dr \W/ a \('-D

-1 к == I I1 I *1

’\ d5 )iJW \HXHJ^l,k

аппроксимирующих уравнения (3.3) ... (3.5) соответственно. Впервой итерации (Z=l) значения величин с верхним индексом Z=0 берутся с нижнего /-го слоя. Вычисление значения /?$+!,й", Рщ+1,й1 Г/Л+1,й! ^л+Цй используются далее при численном интегрировании уравнений (3.6), (3.7), (3.9) в направлении s для нахождения остальных искомых величин w, ср (и=1, 2, ..., N^ на слое /+1 в /-й итерации.

Пусть для некоторого i известны Д'+Гй (6—1, ..., К), где f — любая из перечисленных величин. Определим /;+1,;+1,й- Этот процесс также итерационный. Обозначим через т номер итерации этого внутреннего итерационного цикла. Аппроксимируя (3.6), (3.7) аналогично (3.10), имеем

Vair^^j^^—(w)/j+i,ft + 'y_ [(/з)д/+1,* + (/з)«'+”7+1,й] ; (3.11)

Тг+Цу+Цй—?«,/+!,ЙД ~ 1(/4Л,У + 1,й-г1/4Л + 1,У + 1,й1 >

«;+1,у + 1,й —«;+1,у + 1,й —1Y + 11Y + 1Т-111/2р Т — W2Т-111/2р Т — W2(Z,m)(Z,m)/У+1,/+1,й/У+1,/+1,й

«;+1,у + 1,й —

«;+1,у + 1,й —

1

Y + 1

1

Y + 1

Т-111/2

р Т — W2

Т-111/2

р Т — W2

(Z,m)

(Z,m)

/У+1,/+1,й

/У+1,/+1,й

Отметим, что разностная аппроксимация (3.10) и (3.11) и соответствующие итерационные циклы отвечают так называемой разностной схеме Эйлера с пересчетом решения систем дифференциальных уравнений, при этом нулевая итерация — просто схема Эйлера.

Итерационный цикл по т заканчивается при достижении необходимой точности, после чего аналогично определяются величины и, и, w, р, р, г, ср в узлах (Z+2; /+1; 6), 6=0, 1, ..., К, и т. д. Итерация Z заканчивается, когда эти величины будут определены во всех узлах (/+1)-го слоя. После этого, если не достигнута требуемая точность в значениях параметров на слое /+1, проводится (Z-J-Ц-я итерация.

Центральным моментом разностной схемы является метод расчета производных dvjds, dr/ds, dr/dQ и др/дВ, входящих в правые части уравнений (3.10), (3.11). Обратимся к разностной записи производных dufds и drjds. На рис. 3.1 представлена типичная зависимость у на контуре сопла от его длины в дозвуковой части 100

Рис. 3.1. Зависимость составляющей скорости у от х в до- и трансзвуковой областях сопла

сопла. В области I, соответствующей дозвуковому течению с малыми скоростями, изменение функции и невелико, и ее производные малы. Напротив, области II и IV являются областями больших градиентов функции у. В области III в окрестности максимума изменение и вновь незначительно. Естественно, в связи с

этим при замене производной разностным отношением в области I шаги разностной сетки в направлении оси выбирать большими, так как из-за небольших градиентов в этой области ошибки аппроксимации будут невелики; ошибки округления из-за больших шагов разностной сетки будут также невелики. С другой стороны,, в области II и IV шаг разностной сетки должен быть достаточно мал, чтобы ошибки аппроксимации были невелики; при этом ошибки округления в этой области также невелики из-за больших значений производных. В области максимума, так же как и в области I, шаг разностной сетки должен быть выбран достаточно большим по аналогичным соображениям.

Таким образом, при расчете течения в эллиптической области целесообразно использовать разностную сетку с переменным шагом. Использование больших шагов разностной сетки в областях с малыми градиентами приводит к тому, что рост ошибок округления при численном решении задачи Коши для эллиптических уравнений оказывается практически незаметным и не сказывается на устойчивости счета.

Для проверки отмеченных фактов были проведены специальные расчеты, в которых использовалось различное расположение точек на слое. При использовании разностной сетки с постоянным, но мелким шагом, рост ошибок округления в области I приводил к тому, что после небольшого числа шагов в направлении по нормали к линии тока счет становится неустойчивым. При использовании разностной сетки с постоянным, но большим шагом, таким, что рост ошибок округления в области I становился практически неощутимым, ошибки аппроксимации в областях II и IV становились настолько значительными, что по-прежнему счет быстро становился .неустойчивым. Только при использовании разностной сетки с малыми шагами в областях II и IV и большими в областях I и III удавалось получить с высокой точностью устойчивое решение во всей области течения вплоть до особой точки в трансзвуковой области.

Для вычисления производных dvjds и drjds можно пользоваться различными разностными схемами. Специальные расчеты показали, что для вычисления производных наиболее устойчивой является трехточечная схема

/ df \ = у i 2s — (sz+1 — sz)

I2s — ($1+1 +1)r2s (S; + S( —1).3

' (Si — Si—j (Si — S; + l)'+1 (S; + l — SZ~1) (SZ + 1 — Si)

При вычислении производных в крайних точках слоя з полагается равным Si-i или sz+1 для левого и правого концов соответственно. В остальных точках слоя з=з(. Производные dpjdQ и дг)дО вычисляются аналогичным образом. Однако при этом, по-видимому, целесообразно использовать трехточечную схему с постоянным шагом Д0 на плоскости s=const, который тем не менее может изменяться от одной плоскости к другой. Очевидно, что формула (3.12) получена в результате дифференцирования интерполяционного полинома Лагранжа, проходящего через точки s,-i, sz и з,+1. Трехточечная разностная схема при вычислении производных в сочетании с неравномерной сеткой является своеобразным регуляризирующим оператором в смысле Тихонова А. Н., который позволяет успешно решать некорректную задачу Коши. Производная дф/дф, входящая в правую часть уравнений (3.3) и (3.4), аппроксимируется выражением (ф+у+^д.—фг^)/Дф. Изложенная разностная схема имеет второй порядок точности по Дф, а при постоянных шагах ДО, Дз— второй порядок точности по Д6, Дз. Второй порядок точности обеспечивается итерациями по I и т.

Осесимметричный и плоский случаи

Особенно просто производится расчет в плоском и осесимметричном случаях при гу=О, ф = 0. В этих случаях система уравнений имеет вид (1.106), (1.107). Выпишем разностные уравнения, заменив з на х:

0,7+1 —0,7+1 —1/(1+') . ,■ Дф;1/(1+') . ,■ Дф;К!К!,0),0)Y_2 drfdxY_2 drfdx_ У1 + (дг/дх)^_ У1 + (дг/дх)^илиили.Y- 1 Y—1/ Jm+iYoYZ) „o-d.J.. ^o+i,.Y- 1 Y—1/ Jm+iYoYZ) „o-d.J.. ^o+i,/,/+1 — VP ' Д./+1* Ui,j/,/+1 — VP ' Д./+1* Ui,j22_\Y — 1 Y — 1_\Y — 1 Y — 1(3.13)(3.14)(3.15)(3.16)(3.13)(3.14)(3.15)(3.16)

0,7+1 —

0,7+1 —

1/(1+') . ,■ Дф;

1/(1+') . ,■ Дф;

К!

К!

,0)

,0)

Y_

2 drfdx

Y_

2 drfdx

_ У1 + (дг/дх)^

_ У1 + (дг/дх)^

или

или

.Y- 1 Y—1/ Jm+i

YoYZ) „o-d.

J.. ^o+i,

.Y- 1 Y—1/ Jm+i

YoYZ) „o-d.

J.. ^o+i,

/,/+1 — VP ' Д./+1* Ui,j

/,/+1 — VP ' Д./+1* Ui,j

2

2

_\Y — 1 Y — 1

_\Y — 1 Y — 1

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

В первом приближении по (3.13), (3.14) определяются р^^хп^х (i=0, 1, ... 1), при этом полагается /z,°/+i = fa- Затем по найденным значениям г вычисляются (drjdx^j+x по (3.12) и определя-

ются ^ja-i", Pij+ii ^d+v Аналогично вычисляются параметры при следующих итерациях.

Важной особенностью предлагаемой схемы является то, что на шаг Ахр практически не накладывается никаких ограничений, связанных с устойчивостью, а величина его определяется лишь допустимой ошибкой аппроксимации; на шаг As ограничения накладываются лишь в эллиптической области. Кроме того, в связи с очевидной простотой вычислительного алгоритма, особенно в плоском и осесимметричном случаях, затраты машинного времени чрезвычайно малы.

Вопрос о выборе величин шагов Аф и As решался, по существу, эмпирическим путем. Критерием выбора служили сравнения результатов расчетов с различными по величине шагами, а также интегральные проверки уравнений сохранения расхода и количества движения. Шаг Аф выбирался равномерным, шаги по As — по существу, кусочно-равномерным. Так, для определения Аф была проведена серия расчетов с различными Аф, равными 0,2-10—!; 0,1X ХЮ-1; 0,4-10 2; 0,2-10 2; 0,1 -10—2 и 0,5-10~3. Оказалось, что с точностью 0,01% результаты расчета с тремя последними шагами совпали между собой. Этот факт означает еще, что ошибки округления практически не сказываются на результатах расчета. При проверке уравнений сохранения количества движения рассчитывалась разность импульсов между фиксированным сечением на левом конце и некоторыми текущими сечениями, которая сравнивалась с рассчитанным вдоль линий тока интегралом сил давления. Отличие этих величин составляло не более 0,05%. Проверка уравнения сохранения количества движения проводилась как при расчетах простых конфигураций, так и в случае кольцевых сопел и каналов достаточно сложных форм.

Если поверхность начальных данных ф = фо совпадает с осью симметрии, описанный выше метод не может быть использован для отхода от оси из-за наличия особенности в уравнениях в осесимметричном течении. Для определения искомых величин на некоторой близкой к оси симметрии поверхности ф = const можно воспользоваться разложениями решения по функции тока ф [см. 2.4 и 2.4.2]. От поверхности тока, полученной таким образом, можно вести расчет разностным методом.

При решении обратной задачи в случае течений газа в сложных каналах, когда линии тока являются многозначными функциями декартовых координат, удобно использовать уравнения (1.117) ... (1.120) в переменных ф, щ ср. Система (1.117) ... (1.120) записана с учетом наличия вращения потока. Эта система может быть решена изложенным выше методом [21]. При этом последовательность вычисления параметров может быть определена таким образом, что расчет можно начинать непосредственно от оси симметрии.

Метод, близкий к рассмотренному для осесимметричного течения, был применен к решению обратной задачи Мортоном.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ РЕЛАКСАЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ

При расчетах неравновесных течений приходится проводить численное интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих исследуемый неравновесный релаксационный процесс. Кинетические и релаксационные уравнения, описывающие этот процесс, вблизи равновесия являются, как правило, уравнениями с малым параметром при старшей производной, что существенно усложняет их численное интегрирование. К числу релаксационных относятся уравнения: сохранения массы химической компоненты (1.15); для определения колебательной энергии (1.16); для определения скоростей и температур частиц в двухфазных потоках (1.18); для определения массы конденсата в течениях с конденсацией. Неравновесные течения в ряде случаев начинаются из состояния, где система близка к термодинамическому равновесию. В тех же областях, где система близка к равновесию и время релаксации, а следовательно, и длина релаксационной зоны малы, возникают значительные трудности с выбором шага интегрирования. Оказывается, что при использовании для численного интегрирования явных разностных схем типа метода Эйлера, Рунге — Кутта шаг интегрирования для проведения устойчивого счета должен быть настолько мал, что расчет становится практически невозможен даже при использовании современных вычислительных машин.

В последние годы предложено несколько методов численного интегрирования релаксационных уравнений. Наиболее эффективными и универсальными из них являются методы, основанные на использовании неявных разностных схем [8, 10, 27]. Основное требование к таким методам — возможность расчета по единой схеме с высокой точностью как областей, где все или несколько неравновесных параметров близки к равновесным значениям, так и тех областей, где имеет место заметное отклонение от них. Ниже дается обоснование выбора неявных разностных схем для расчета релаксационных уравнений. Неявные схемы позволяют на несколько порядков увеличить шаг интегрирования по сравнению с явными.

В общем виде релаксационное уравнение для определения неравновесного параметра а, можно представить в форме

-^ = l/rz(a, — az) (i = 1, 2,..., N),(3.17)

где т, — время релаксации, являющееся в общем случае функцией t, р,Т и всех а,; а, — условно равновесное значением (также функции t, р, Т и всех а,), равное аг при равновесном течении с постоянной энтропией.

Действительно, уравнение (1.133) можно записать в видеdaHJdt = -i- (аЯа — ая„),тн»

где тНа = [рр-я, ^К—^у, 4--К + ^То-ЬТС^Уон)] , 104

V^—^oh'Yo'V K—Nh'Yoh

To же относится к уравнениям (1.137), которые можно записать в виде

^^^_1-(М7_рр-5), ^Za = _1_(7'-7's), dt tsdt ts

где ■

Ts=Stc?1; te=3Pr St c„(Nu cj-1.

Таким образом, (3.17) является достаточно общей записью кинетических уравнений, описывающих различные неравновесные процессы.

Неустойчивость численного решения возникает из-за существования в уравнении типа (3.17) произведения малой разности больших величин (а—а) на большое число т-1, что привносит большую погрешность, особенно вблизи равновесия.

Из уравнения (3.17), делая естественное предположение об ограниченности производной daildt, получаем, что при тг^-0 течение приближается к равновесному, т. е. аг-нц-.

Рассмотрим вместо (3.17) модельное уравнение, положив т; и а, константами. Общее решение этого модельного уравнения имеет ВИД

а = (а0 —а)ехр^—— ) + «,(3.18)

где нижние индексы i для простоты опущены, а ао=а(О). Получим теперь решение разностного уравнения

^±LZL^L_=2_ (а_an)_|_LzJ (а_ая+1),(3.19)

т

аппроксимирующего дифференциальное уравнение (3.17). Здесь h — шаг интегрирования, а — параметр, 0^<т^1, а нижний индекс п и п+1 приписываются параметрам в известной и искомой точках соответственно. Используя рекуррентное соотношение

1 — ха , ахh

«„,,=а„ ч; х=— ,

1-ьх(1—а) 1 14-Х (1—а) т

получим следующее решение разностного уравнения (3.19):

ап+1 = («о-а) +°-(3.20)

L 1 + X (1 — а) J

Точное решение дифференциального уравнения в точке п+1, согласно (3.18), имеет вид

ап+1 = (а0—-а) e~’*("+1) + a.(3.21)

Из (3.19), (3.20) следует, что решение разностного уравнения стре-

105

мится к точному при х->0 для всех о таких, что O^o^l. Однако точность и устойчивость решения разностного уравнения зависят от величины этого параметра. При о=1/2 решение разностного уравнения имеет второй порядок точности. При о= 1 (явная схема типа схем Эйлера и Рунге — Кутта) и х^ 1 решения разностного уравнения сильно отличаются от точного. Максимальный шаг, с которым можно численно интегрировать уравнение (3.17), равен 2т. Поэтому явные схемы позволяют численно интегрировать релаксационные уравнения вблизи равновесия, где время релаксации т мало (порядка 10 6... Ю”12), лишь с очень малым шагом (/z = 2t), что делает их абсолютно непригодными даже при использовании ЭВМ с большим быстродействием.

При а— 1/2 и хЗ> 1 из (3.20) получаем, что решение разностного уравнения колеблется около точного с амплитудой, не большей |ао—а|), при увеличении шагов эти колебания затухают довольно медленно. Тем не менее, разностная схема при <т= 1/2 дает решения, близкие к точному в тех областях, где величина |ао—а| мала по сравнению с а. Такие области соответствуют малым значениям т и течениям, близким к равновесию. В тех же областях, где т велико, а течение существенно отклоняется от равновесного (например, в угловой точке или за ударной волной), величина |а0—а| может быть сравнима с а, и использование разностной схемы при <у=1/2 может приводить к большим ошибкам. Кроме того, как показывает рассмотрение модельного уравнения, при <т= 1/2 и больших х ошибка в начальных данных затухает после значительного числа шагов. Это обстоятельство может затруднять отход от начальных точек вблизи равновесия, особенно для многокомпонентной смеси.

Проделанный выше анализ в работе [8] обобщен на случай систем релаксационных уравнений. Показано, что условия устойчивости разностных уравнений имеют вид

|Л(1-2а)Х;-1|> 1з<0,5;

ReXz<0= = 0,5;

|A(2a—1)XZ+1|< 1а>0,5,

где {X,}— множество собственных чисел матрицы ||дК/<За||; ReX,— их действительные части. Нетрудно показать, что матрица Якоби системы (3.17) имеет хотя бы одно собственное значение с отрицательной действительной частью, так что условие устойчивости при о>0,5 имеет вид

IIГN

I

I

TZTZh<2N (2а—1)^

TZ

TZ

что при N= 1 и <т= 1 эквивалентно упомянутому выше условию устойчивости й«2т.

С другой стороны, при о^0,5 множество {X,ReXt<0} заведомо принадлежит области устойчивости и на шаг интегрирования огра-

ничения накладываются лишь в связи с ошибками аппроксимации схемы.

В связи с этим более предпочтительными являются неявные схемы с 0<о<1/2, которые при и>-1 дают решения, близкие к точному, и при использовании которых ошибки в начальных данных быстро затухают. Применение таких схем позволяет существенно увеличить шаг интегрирования по сравнению с явными схемами при сохранении устойчивости. При проведении конкретных расчетов использовалось значение о=0,4, что обеспечивало порядок точности, близкий ко второму. Проделанный анализ модельного уравнения можно обобщить на случай, когда а является не постоянной, а известной функцией от t.

Рассмотрим теперь конкретный алгоритм решения разностных уравнений для сложных неравновесных систем. Пусть имеется N неравновесных параметров а(, для определения которых имеется N релаксационных уравнений типа (3.17) [см, например, (1.80)]. Не ограничивая общности, примем, что т, и а, суть функции только t и а, и не зависят от р и Т. Тогда, согласно (3.19), система дифференциальных уравнений (3.17) аппроксимируется следующей системой разностных уравнений:

fl (аг(и4-1)) = az(/z+l) : :Д Т- [а1п4"И1П3 (аш az'«) Ч~

1 ^^zto+i)!1 - °)

+ Hz(»+i)(l— 3) az(/z+i)]= 0,(3.22)

v.l = h]xi= 1, 2,..., N)

или f(a„+1)=0,

где /=(Л, /2,..., fN\

Отметим, что каждое из уравнений (3.22) получено в результате разрешения разностного уравнения типа (3.19) относительно неизвестной а,(п+1). Такое разрешение, во-первых, устраняет произведение малой разности а,—а больших величин на большую величину I/т,, содержащееся в правой части основного уравнения, и делает матрицу Якоби при вычислениях в методе Ньютона лучше обусловленной.

Система (3.22) является нелинейной системой уравнений относительно az(n+i) ((= 1, 2, .. , N). Решение ее методом простой итерации нецелесообразно, так как условия сходимости итераций приводят к ограничению на шаг h (И«хУ такому же, как и при использовании явных схем. Поэтому необходимо применять какой-либо иной метод, например, метод Ньютона с переменной матрицей Якоби D, элементами которой являются ду/даь- Эту матрицу удобно находить, используя аналитические выражения для производных dfjdak. Неизвестные aZ(n+i) находятся итерациями по формуле

(a^i).(3.23)

Итерации заканчиваются при выполнении условий |аця+1) — «г^+1)| <С г,- |«z<^+i)| , М^Л+А,

где Gt, 6, — заданные погрешности в компонентах решения и невязки в уравнениях, а /— номер итерации.

Отметим, что в ряде случаев уравнения кинетики, хотя и являются уравнениями с малым параметром при старшей производной, но не имеют стандартного вида (3.17). К такому числу принадлежит, например, уравнение (1.140), которое можно переписать в виде

где т-1 = 4лг2ай(2л/?Т)-1/2, а р.^р.ДТуУТру.

Для численного решения их также необходимо использовать неявные разностные схемы, и при конкретной реализации алгоритма их следует включать в общую систему разностных уравнений (3.22), которая, по-прежнему, должна решаться методом Ньютона.

Предложен ряд мер, обеспечивающих быструю сходимость итераций к решению [10, 27]. При вычислениях по (3.23) около 90% времени расходуется на расчет компонент матрицы D и ее обращение. Поэтому основная экономия может быть получена при вычислении обратной матрицы D-1. В связи с этим матрица D"1 вычисляется в точке п+1 только в первых двух итерациях, после чего фиксируется, и последующие итерации проводятся с неизменной матрицей D-1. Более того, матрица D-1, вычисленная в точке п+1, используется для нахождения решения по (3.23) в точках п+2, п+3 и т. д. Вычисление «новой» матрицы D1 в точке п+& производится только тогда, когда число итераций, потребовавшихся для сходимости к решению с заданной точностью, превышает заранее заданное число (4 ...6). Использование процедуры фиксирования обратной матрицы позволяет на порядок сократить время расчета.

Известно также, что сходимость метода Ньютона к решению зависит от близости начального приближения к этому решению. В связи с этим, начальное приближение в точке п+1 целесообразно задавать посредством экстраполяции искомых функций с использованием их значений в предшествующих точках. И наконец, время расчета существенно зависит от точности задания данных в начальной точке отрезка интегрирования, если эта точка находится воко- лоравновесной области, как, например, для течений в соплах. Даже незначительные ошибки в начальных данных (в четвертой — пятой значащих цифрах) в силу малых значений т могут привести к длительному счету начального участка из-за медленной сходимости итераций. В связи с этим в начальной точке целесообразно также решать систему (3.22) методом Ньютона с переменной матрицей, полагая второй член в левой части (3.22) равным а,.

Таким образом, описанный алгоритм решения релаксационных уравнений основан на: использовании неявных разностных схем; разрешении разностного уравнения типа (3.19) относительно an+i с целью устранения произведения малой разности больших величин на большую величину; решении нелинейной системы уравнений типа (3.22) методом Ньютона.

В то же время отметим, что применение итерационной схемы Ньютона для решения конечно-разностных уравнений (3.22) не обеспечивает выполнения законов сохранения на промежуточных итерациях. В работе [8] показано, что выполнение законов сохранения с заданной относительной точностью еще далеко не гарантирует того, что концентрации при этом будут находиться с такой же относительной точностью. Особенно не точно при этом могут находиться концентрации веществ, содержание которых в смеси мало. Но именно к таким веществам относятся, как правило, токсичные компоненты СО, NO и др. Поэтому, чтобы гарантировать заданную относительную точность расчета всех концентраций (в том числе и токсичных) надо следить за тем, чтобы удовлетворялись в первую очередь те уравнения (3.22), которые соответствуют наименьшим компонентам. Кроме того, в работе [8] отмечено, что сходимость итерационных методов, применяемых для решения (3.22), практически всегда заметно улучшается, если значения -ап-н во всех промежуточных итерациях точно удовлетворяют законам сохранения.

Точный расчет малых концентраций не имеет важного значения в тех задачах газовой динамики реагирующих сред, где определяются интегральные характеристики. Например, погрешность при расчете малых концентраций при определении потерь удельного импульса на химическую неравновесность при течении многокомпонентной смеси в сопле реактивного двигателя не дает существенной погрешности в результатах исследований. В задачах же исследования процессов образования токсичных компонент в энергетических установках необходимо с достаточной точностью определять концентрации токсичных веществ. Поэтому становится очевидной необходимость разработки таких итерационных схем решения конечно-разностных уравнений химической кинетики, в которых обеспечивается точное выполнение законов сохранения на каждой итерации, и, следовательно, малые концентрации вычисляются с заданной относительной точностью. Напомним, что законы сохранения являются точными интегралами уравнений кинетики (1.80).

Обеспечить точное выполнение законов сохранения химических элементов на промежуточных итерациях возможно различными способами [8]. Один из них заключается в том, что N неизвестных концентраций находятся в результате численного решения соответствующих им N уравнений (3.22), а остальные концентрации исключаются, т. е. их значения находятся из уравнений типа (1.19). Очевидно, что в качестве последних необходимо выбирать кон-

центрации тех компонент, содержание которых в смеси наибольшее.

Способ, предложенный в работе [8], заключается в применении матрицы проектирования, которая вычисляется по заданному набору учитываемых химических компонент единственный раз в начале работы программы и в ходе дальнейших вычислений не меняется.

Поскольку применение метода Ньютона приводит к значительным затратам машинного времени, особенно с увеличением числа компонент, что, как отмечалось, связано с вычислением и обращением матрицы Якоби, то в работе [10] и последующих работах этих авторов развивается метод простой итерации для решения системы (3.22), в котором не требуется вычисления и обращения матрицы Якоби.

Предлагаемая итерационная схема состоит из двух шагов. На первом — промежуточном — шаге определяется значение вектора концентраций по схеме простой итерации

аЙ1/2) = аУ+1 + ^(7).

где fO)— вектор невязок в уравнении (3.22), а [3— релаксационный коэффициент, который выбирается так, чтобы вектор a^+x1/2) не имел отрицательных компонент. Затем делается основной шаг, состоящий в поиске минимума квадрата вектора невязки (скалярная функция одной переменной) на прямой, соединяющей точки «У1 и а^/Д1^. Расчеты показывают, что в такой схеме удается сократить время примерно в два раза по сравнению с расчетами по методу Ньютона.

В настоящее время сохраняется необходимость в дальнейшем совершенствовании методов решения релаксационных уравнений, особенно в случае большого числа компонент.

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙ

С ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИМИ ПРЕВРАЩЕНИЯМИ.

ОДНОМЕРНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

3.1. Равновесные и неравновесные течения с химическимиреакциями, колебательной релаксацией и конденсацией

Метод расчета неравновесных течений в одномерном приближении имеет принципиальное значение, поскольку, как отмечалось, уравнения газовой динамики в обобщенных координатах Мизеса х, ф, 6 вдоль линий тока имеют одинаковую запись (с точностью до коэффициента Ляме) как в одномерном, двумерном, так и в пространственном течениях [см. уравнения (1.76), (1.79), (1.80), (1.81), (1.86)].

Поскольку, с другой стороны, линия тока является характеристикой, то эти же уравнения используются и в численном методе характеристик. Таким образом, модуль расчета одномерного неравновесного течения вдоль линии тока является важным и достаточ

но

но универсальным модулем, который может использоваться как при расчете одномерных течений, так и при стационарных и нестационарных пространственных течениях.

Рассмотрим первоначально течения, в которых отсутствуют частицы, а также внешние силы и источники массы и энергии

Тогда систему уравнений, описывающих неравновесное течение, в котором могут иметь место неравновесное протекание химических реакций, неравновесное возбуждение колебательных степеней свободы и неравновесная конденсация в соответствии с уравнениями (1.20), (1.21), (1.76), (1.80), (1.81), (1.86), (1.108) при Я=оо с за

меной и на W запишем в следующем общем виде

pW = Q;(3.24)

—— ^_ = о;(3.25)

ds \ 2/ YP ds

h-V^=hQ;(3.26)

W ^=ЬДр, T, yx, y^... yn) 1,..., Ny (3.27) ds

p = p(^T,y^\(3.28)

h=h(p, T, yny(3.29)

Здесь y„— релаксационный кинетический параметр, который в соответствии с учитываемыми процессами может быть концентрацией химических компонент смеси, энергией колебательных степеней свободы и массовых долей конденсирующейся компоненты. Излагаемый ниже метод расчета применим как для случая, когда в смеси протекают одновременно все указанные процессы, так и для случая, когда имеет место лишь один из них. Метод применим также и в случае, когда протекают и другие процессы, описываемые системой уравнений типа (3.24 ... 3.27). Конкретная запись правых частей кинетических уравнений (3.27), а также термического (3.28) и калорического уравнений состояния приведена в разд. 1.3.

Ниже рассматривается обратная задача теории сопла, т. е. принимается, что задано распределение р—p0(s) или IK=IK0(s), или p = p0(s), а также все параметры течения в начальном сечении x=s0. Обычно для расчета течения, начинающегося из дозвуковой области, принимается, что при s = s0 имеет место равновесное состояние и все уп определяются из соотношений равновесной термодинамики [см. разд. 1.3].

Для нахождения решения на интервале от s0 до sh (где Sh — конечное сечение) необходимо численно решить задачу Коши для системы (3.24) ... (3.29). Число уравнений в этой системе может быть очень велико (в реальных ситуациях К=10... 100) и, как отмечалось в 3.2, обычно уравнения (3.27) принадлежат к числу «жестких» уравнений с малым параметром при старшей производной, для численного решения которых применяются специальные методы.

Проведем некоторые преобразования с целью записи в уравнении движения (3.25) вместо производной от давления производной от плотности. Используя (3.27) ... (3.29) запишем производные dp(dx и dh]ds. Имеем

др _ ds

_ др др

dp । др ds дТ

dT, , V д? Т • rfsдуп п’

N

(3.30)

dk _ ds

_ дк др

dp ! дк ds ‘ дТ

dT . V "^ дк , ds 1дуп п*

п=1

Тогда, используя уравнение dh=\]pdp с учетом (3.30), получим

7Я=17Я=1/ дк[ ( дрр

7Я=1

7Я=1

Введем замороженную скорость звука

Idp^n Г др , др]дТ / I дк, \ др }s>u , др дк/дТ ( р др

Тогда из (3.30), (3.31) и (3.32) имеем

(3.33)(3.34)(3.33)(3.34)££_=а2 Л |дго)ds ds

(3.33)

(3.34)

(3.33)

(3.34)

гдегдеNn—a9( dh V1 V1 ( d? dhdh

где

где

\ dT )\ дТ дупдТ

л-1

Используя (3.33), запишем уравнение движения (3.25) в виде

</Г2/2ds</Г2/2dsа9Ча9ЧdpdsdpdsNOYpNOYp(3.35)(3.35)

</Г2/2ds

</Г2/2ds

а9

Ч

а9

Ч

dpds

dpds

NO

Yp

NO

Yp

(3.35)

(3.35)

Сделаем еще некоторые преобразования прежде чем переходить к описанию разностных схем.

Уравнение неразрывности (3.24) с использованием уравнений движения и энергии можно преобразовать к следующему виду:

1 dWIW ds1 dWIW ds1 rj_М2 - 1 Л1 rj_М2 - 1 Л— 4-Л70/Ц2] ds— 4-Л70/Ц2] ds(3.36)(3.36)

1 dW

IW ds

1 dW

IW ds

1 rj_

М2 - 1 Л

1 rj_

М2 - 1 Л

— 4-Л70/Ц2] ds

— 4-Л70/Ц2] ds

(3.36)

(3.36)

где № — определяется по формуле (3.34). Здесь число М определяется по замороженной скорости звука. В случае равновесного или замороженного течений У°=0 и уравнение (3.36) переходит в обычное уравнение одномерной теории [см., например, уравнение (2.3)], а число Маха определяется по равновесной или замороженной скорости звука соответственно. Из уравнения (3.36) следует, что- значение М=1 (а также максимум скорости или минимум давления при дозвуковом течении) достигается не в минимальном сечении сопла, а ниже по потоку от этого сечения. Отмеченное свойств»

является общим свойством неравновесных течений в соплах; оно справедливо также для двухфазных неравновесных течений. Уравнение (3.36) используется вместо (3.24) при решении прямой задачи, когда задается функция F=F(x‘).

Система (3.24) ... (3.29) состоит из a+^V уравнений для определения 7-{-У неизвестных р, р, Т, W, F, h и уп и поэтому незамкнута. Для ее замыкания необходимо задать какую-либо из этих функций, например, F (s) или одну из функций p(s), p(s), W (s). В первом случае необходимо решать прямую задачу в одномерном: приближении, т. е. определять параметры течения при заданной форме струйки тока F=F(s). Решение такой задачи в области, включающей, например, дозвуковую часть сопла, весьма затруднительно, поскольку из-за особенности в уравнении (3.36) при М= 1 приходится отыскивать единственную регулярную интегральную кривую, проходящую через особую точку типа седла, где М= Д имеющую в этой точке конечную производную. Для этого необходимо варьировать значения параметров в начальном сечении Таким образом, чтобы, с одной стороны, не попасть на дозвуковую ветвь решения, а с другой стороны, обеспечить регулярность решения, т. е. одновременное обращение в нуль числителя и знаменателя в- правой части уравнения (3.36). Время расчета из-за необходимости преодоления этой трудности значительно увеличивается.

В связи с этим решение прямой задачи в рамках одномерного* приближения при расчете разного рода неравновесных течений в соплах и струях, в том числе и двухфазных, представляется нецелесообразным. В то же время очевидны преимущества решения обратной задачи с заданным по длине распределением какого-либо* из газодинамических параметров р, р или W. В этом случае отпадает необходимость использования уравнения (3.36), так как форма струйки тока не задана, а определяется из уравнения (3.24), а система (3.25) ... (3.29) не содержит уже особой точки. Кроме того, давление, а в еще большей степени — плотность и скорость мало отличаются от соответствующих равновесных значений и могут быть определены из расчетов, например, двумерных равновесных течений или измерены в эксперименте. И, наконец, отработанный алгоритм решения системы (3.25) ... (3.29) с заданным распределением p=p(s^ или p = p(s) может быть полностью использован при расчете пространственных неравновесных течений. Если неравновесный процесс начинается в сверхзвуковой области сопла (в случае, например, неравновесной конденсации), то необходимость прохождения особой точки отпадает и возможно решение как прямой, так и обратной задачи. Отметим, что решение обратной задачи особенно удобно при исследовании течений в струях, для которых форма струйки F—F(s) неизвестна.

Рассмотрим теперь разностную схему решения обратной задачи. Пусть в некотором сечении s=s( заданы все параметры потока. Необходимо определить их в сечении Si+i = s,-+As, где As — шаг разностной схемы. Запишем следующую цепочку разностных уравнений:

<W4 + X = №,-As И — -^ + —) +° № +

[\ YP ds YP h\ds Л+i

' \ YP Л + 1 J ’

L hm\pl+Xl T^X, y^ = hQ — (^-)I+1 ;(337)

AI+1 [P,+1, Л% y^4 = h0-(^-P;

(3.38)

4Jz L"+iJ

p!5=p[a+i,(»,)!*];(339

/№ = Дрш,ЦВ.(1/„й] )'

pW-SiFSi—Q.(3.40)

Здесь индекс m относится к номеру итерации, индексы t и т выбраны для соответствия с формулами (3.10), (3.11). В формулах (3.36) ... (3.39) номер 1 соответствует случаю, когда задано распределение р—р^, а 2— случаю, когда задано распределение плотности p = p(s).

Итерационный процесс строится следующим образом. В нулевой итерации параметры в правых частях уравнений (3.36) полагаются равными их значениям в n-й точке, и определяется значение скорости и^^У) в первой итерации в и-)-1-й точке. Найденное значение скорости используется в уравнениях (3.37), (3.38). Система нелинейных уравнений (3.37) и (3.38) (заметим, что релаксационные уравнения (3.38) записаны с использованием неявной схемы) решается методами, описанными в 3.2 также итерационно с собственным внутренним итерационным циклом по / [см. формулы (3.22) и (3.23)]. В результате, по завершении этих итераций находятся значения температуры 7z+i, [y^L+i в первой итерации по т, наконец, плотность pJ+i (либо давление /4+1) находятся из (3.39). Затем итерационный цикл по т повторяется с тем лишь отличием, что значения параметров с индексом (иг—1) в формуле (3.36) берутся из предыдущей итерации. Вычисления повторяются до достижения заданной точности. Площадь струйки тока F определяется из соотношения (3 40) после завершения итераций.

В представленном виде разностная схема решения близка к схеме Эйлера с пересчетом, обеспечивающей второй порядок точности по As.

Если задано распределение скорости IE=IE(s), то расчет давления в точке (i+1) производится по формуле

L (3.41>

2 L\ ds h \ ds h+ii

Остальные параметры рассчитываются по формулам (3.37.1) ... (3.39.1), в которых pl+v берется из формулы (3.41).

Отметим, что течение, близкое к равновесному (или замороженному), можно рассчитать, пользуясь теми же уравнениями (3.36) ... (3.40), при этом в кинетических уравнениях нужно соответствующие времена релаксации взять очень большими (или близкими к нулю). В случае равновесного, либо замороженного течения расчет течения вдоль струйки тока в одномерном приближении существенно упрощается, поскольку такие течения являются изоэнтропическими, в которых S = const.

Расчет равновесного течения в сопле разбивается на два этапа. Первоначально определяются все параметры в состоянии покоя, при этом задается давление, а температура и состав смеси находятся из решения системы нелинейных уравнений законов действующих масс и материального баланса с использованием заданного значения полной удельной энтальпии. На втором этапе рассчитывается непосредственно процесс расширения, при этом задается давление в некотором сечении и условие s = s0 (s0 — энтальпия торможения), а температура и состав смеси находятся из решения упомянутой выше нелинейной системы уравнений. В этом сечении далее плотность находится из уравнения состояния, а скорость — из уравнения энергии. Из результатов такого расчета могут быть получены зависимости р=Цр) и h = h (р), соответствующие заданной s0. Эти зависимости удобно далее использовать при расчете двумерных течений.

Методы расчета равновесного состава изложены в [33]. В работе [9] дано развитие этих методов, при этом рассмотрено два случая: расчет равновесного состава при заданных давлении и температуре и расчет состава и температуры при заданных давлении и удельной энтальпии смеси. Показано, что оба случая сводятся к решению задачи безусловной минимизации выпуклых функций. Предложен алгоритм решения этих задач, основанный на применении численных методов безусловной оптимизации и сходящийся от любого начального приближения, что особенно важно при расчетах новых композиций и составов.

Описанный алгоритм расчета равновесного течения сохраняется для различных физико-химических превращений При учете диссоциации и рекомбинации для расчета состава смеси привлекаются уравнения материального баланса и закон действующих масс, при учете ионизации — формула Саха, при учете возбуждения колебательных степеней свободы — формула Эйнштейна, при учете кон-

денсации или испарения — уравнения Клапейрона — Клаузиуса для кривой насыщения, при учете реальных свойств за счет межмолекулярного взаимодействия — уравнения состояния (термическое и калорическое) реального газа.

Расчет частично равновесного течения (при замороженном каком-либо процессе) проводится по таким же алгоритмам. К числу таких течений можно отнести, например, течение с замороженными химическими реакциями, но равновесным возбуждением колебательных степеней свободы.

Течения с подводом массы и энергии при наличиивнешних сил

Задача расчета течений в одномерном приближении с учетом подвода массы и энергии возникает при исследовании, например, методов подавления токсичных компонент [24]. Учет источников (или стоков) энергии необходим также при наличии излучения или специальным образом организованных зон тепловыделения [13].

Запишем, имея в виду уравнения (1.75) ... (1.79), следующие уравнения неразрывности движения и энергии для течений с подводом массы и энергии и при наличии внешних сил в одномерном приближении

dpWF = М^;(3.42)

ds

А_ LLj—L^=^O(S);(3.43)

ds ( 2/ yp ds

— k + 9=fWW.(3.44)

ds \2 j

Здесь M^s), F°(s) и Q°(s) известные функции, характеризующие внешний поток массы, внешнюю силу и внешний поток тепла. Отметим, что в случае сосредоточенного воздействия в точке s = sc, когда М(s), F°(s) и Q°(s) есть d-функции, расчет одномерного течения производится по формулам (3.36) ... (3.40) до этой точки, в точке s = sc производится пересчет параметров и определяются новые значения расхода Q, полной энтальпии h0, Далее расчет производится по тем же формулам (3.36) ... (3.40). В случае распределенного воздействия расчетные формулы и итерационный процесс сохраняются теми же, с той лишь разницей, что:

В правую часть уравнения (3.36) добавляется член

-^-[ДО(5.) + до(5.+1)].

Правая часть уравнения (3.37) заменяется следующим выражением:

Хх тХх тД°(5,.)4-До(5,.+ 1)Д°(5,.)4-До(5,.+ 1). Q°(sz) . QQ(sz+1) 1

Хх т

Хх т

Д°(5,.)4-До(5,.+ 1)

Д°(5,.)4-До(5,.+ 1)

Wt w}”] J

Правая часть уравнения (3.40) заменяется следующим выражением:

WF^n + -у- W (SJ+ М (sz+1)J.

Как видно из формул (1.76), (1.79), учет частиц также приводит к добавлению новых членов в правую часть без изменения алгоритма расчета уравнений движения и энергии.

Течения смеси газа и частиц

Пусть в потоке содержатся частицы различных фракций, распределенные по М групп. Придадим параметрам частиц нижний индекс s и будем помечать частицы определенного размера индексом / [см. 1.21 и 1.3.3].

Выпишем в одномерном приближении уравнения, описывающие стационарное движение многоскоростного и многотемпературного континуума без фазовых превращений. Примем, что теплоемкости газа Ср и частиц с8 постоянны. Предположим еще, что частицы суть невзаимодействующие между собой сферы с постоянной по объему частиц температурой; при этом давлением, которое создают частицы, можно пренебречь, однако объем, занимаемый ими, учитывается. Будем считать также, что массовая доля частиц каждой фракции неизменна. Имеем тогда следующие уравнения неразрывности и движения газа и частиц, уравнение энергии смеси, уравнение энергии частиц (или уравнение конвективного теплообмена между газом и частицами) и уравнение состояния газа:

PU7F = (l-as)Q;(3.45)

^js^W js=F = djsQh ajs=gjsas (y = 1, 2,..., Л4); (3.46)

W^L JL ^£.j“^■dsypOds1 — 0$ p0,sdW,1do3c,zp0rdsYPsds=--W-Wjs)M(1 —a4)У Sissis= ^o = K1 —as) Ср^-а^сД To;dTjs 3a° (Г — Tj^ r* cp Nuy$TAdsrj^CsWjsa*3cs PrITM StZsis-^=0;(3.47)dsv-wjs\=);(3.48)(3.49)(y=l, 2,..., MY(3.50)117W^L JL ^£.j“^■dsypOds1 — 0$ p0,sdW,1do3c,zp0rdsYPsds=--W-Wjs)M(1 —a4)У Sissis= ^o = K1 —as) Ср^-а^сД To;dTjs 3a° (Г — Tj^ r* cp Nuy$TAdsrj^CsWjsa*3cs PrITM StZsis-^=0;(3.47)dsv-wjs\=);(3.48)(3.49)(y=l, 2,..., MY(3.50)117

W^L JL ^£.j“^■

dsypOds1 — 0$ p0,s

dW,1do3c,zp0r

dsYPsds

=--W-Wjs)

M

(1 —a4)У Sissis

= ^o = K1 —as) Ср^-а^сД To;

dTjs 3a° (Г — Tj^ r* cp Nuy$TA

dsrj^CsWjsa*3cs PrITM StZsis

-^=0;(3.47)

ds

v-wjs\=

);(3.48)

(3.49)

(y=l, 2,..., MY

(3.50)

117

W^L JL ^£.j“^■

dsypOds1 — 0$ p0,s

dW,1do3c,zp0r

dsYPsds

=--W-Wjs)

M

(1 —a4)У Sissis

= ^o = K1 —as) Ср^-а^сД To;

dTjs 3a° (Г — Tj^ r* cp Nuy$TA

dsrj^CsWjsa*3cs PrITM StZsis

-^=0;(3.47)

ds

v-wjs\=

);(3.48)

(3.49)

(y=l, 2,..., MY

(3.50)

117

р=р°т,р=р°т,(3.51)(3.51)

р=р°т,

р=р°т,

(3.51)

(3.51)

Здесь р, р, Т, W отнесены к своим критическим значениям р», р, Т,^ а*, теплоемкости — к у/?, а х—к г»; у=я*2р*Д*, p» = Rp»T». Член в правой части уравнения (3.48), характеризующий обмен импульсом между газом и частицами, равен силе, с которой газ действует на частицы, и в соответствии с законом сохранения импульса при взаимодействиях с обратным знаком равен силе, с которой частицы действуют на газ. Аналогично член в правой части (3.50) характеризует обмен энергией между газом и частицами.

В уравнениях (3.45) — (3.51) а8— общая доля частиц, riS, a.3S— радиус и массовая доля частиц /-й фракции, р, p;s—плотности газа и частиц, т. е. отношения массы газа и частиц к объему, в котором они заключены, р° и р8°— истинные плотности вещества газа и частиц, т. е. отношения массы газа и частиц к объему, занятому только газом и только частицами, R— газовая постоянная газовой фазы, сХ1 — отношение коэффициента сопротивления сх; к коэффициенту сопротивления сх; при стоксовском режиме обтекания (Д;.=24/Ре^) , а0 — коэффициент теплоотдачи, Re/S, St/s, Nu/S и Pr— числа Рейнольдса, Стокса, Нуссельта и Прандтля соответственно, при этом

2РО |Г-Г^|г;<2РО |Г-Г^|г;<(3.52)(3.52)2rySaO2rySaO

2РО |Г-Г^|г;<

2РО |Г-Г^|г;<

(3.52)

(3.52)

2rySaO

2rySaO

где т] и Л — коэффициенты вязкости и теплопроводности газа. При St/s=O течение является равновесным, поскольку инерционный пробег равен нулю, и частица мгновенно приобретает скорость и температуру газа. При St/s=oo течение является замороженным, а при промежуточных значениях числа Стокса — неравновесным с диссипацией и ростом энтропии в процессе конечного по времени обмена импульсом и энергией между фазами.

Рассмотрим первоначально предельные режимы течения без учета объема, занимаемого частицами. В равновесном течении (St/s=O) скорости и температуры газа и частиц равны и, как во всех равновесных течениях, реализуется максимальный импульс. Путем простых преобразований, вводя газовую постоянную, плотность, удельную теплоемкость и показатель адиабаты некоторого фиктивного газа по формулам

/?° = /?(1-as); р° = р(1 -as)-i;

0(3.53)

<7Р = (1 — a^c^+a^;

л /1 I Ct о С о \ / . । Ct оС 5 \ 1

= у 1 I5$_1 I у —5

и принимая, что у фиктивного газа те же давление, температура и скорость, что и у смеси, можем представить равновесное течение смеси как течение фиктивного газа с показателем адиабаты у0, газовой постоянной R0 и теплоемкостью ср° и воспользоваться для расчета равновесного течения газодинамическими функциями. Численное интегрирование системы (3.45) ... (3.51) проводится методами решения системы, описывающей неравновесные течения с физико-химическими превращениями, изложенными в разд. 3.3.1. По- прежнему целесообразно решать обратную задачу с заданным распределением давления p = p(s) или плотности p = p(s), а при решении релаксационных уравнений (3.48), (3.50) использовать неявные разностные схемы. Имеем без учета объема частиц (вычисления проводятся путем последовательных итераций в последовательности) :

YPYP-^517/^(117-^)Р-^517/^(117-^)РрLiрLi(3.54)(3.54)

YP

YP

-^517/^(117-^)

Р

-^517/^(117-^)

Р

рLi

рLi

(3.54)

(3.54)

7-17-1Asl+As(l-a)^(„+1)Asl+As(l-a)^(„+1)

7-1

7-1

Asl+As(l-a)^(„+1)

Asl+As(l-a)^(„+1)

м

\2/‘+1

(3.55)

X VaLWj[ + (13) i-V/р-Н)^jst [3-^wji 4“(]3) -/Vir/p+ijt

(7 = 1,2,..., My(3.56)

T^m) , As

X (37i7i + (l “ 4 ^TJG+l) — Tjsn [oTVr;,- + (l — a) Wr/p-H)]

(3.57)(3.57)(7=1, 2,..., My

(3.57)

(3.57)

гдегдеLwj — NwjW\ NW]Lwj — NwjW\ NW]C xjW,sStjs ’C xjW,sStjs ’^П—NTjT; NTJ^П—NTjT; NTJ3 Pr StysUXj$Cs3 Pr StysUXj$Cs

где

где

Lwj — NwjW\ NW]

Lwj — NwjW\ NW]

C xj

W,sStjs ’

C xj

W,sStjs ’

^П—NTjT; NTJ

^П—NTjT; NTJ

3 Pr StysUXj$Cs

3 Pr StysUXj$Cs

Итерационный метод решения системы (3.54) ... (3.57) аналогичен методу решения системы (3.36) ... (3.38). Первоначально определяется при m=l №г+1 из (3.54). Далее система нелинейных уравнений (3.55) ... (3.57) решается методами, описанными в разд. 3.2, собственным внутренним итерационным циклом. В результате после завершения полной итерации по п в точке s,+i определяются W, WJS, Т и Т^ из (3.51) р, из (3.45) —площадь струйки тока F и из (3.46) —плотность конденсата р38. Начальные данные при интегрировании системы (3.54) ... (3 57) задаются обычно в дозвуковой области, при этом принимается, что в начальном сечении скорости и температуры частиц и газа равны.

МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙС ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИМИ ПРЕВРАЩЕНИЯМИ.ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ И ДВУМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ

Численные методы решения обратной задачи достаточно просто обобщаются на случай течений с физико-химическими превращениями. Важно при этом отметить, что запись двух основных уравнений (3.3) и (3.4), которые используются для перехода на следующий слой ф = сопз1, одинакова как для случая течений без физикохимических превращений с постоянным отношением удельных теплоемкостей, так и для течений с физико-химическими превращениями.

Более того, при наличии подвода массы, энергии, внешних сил и частиц дифференциальные операторы в этих уравнениях остаются неизменными, а добавляются лишь некоторые конечные члены в правую часть уравнения (3.3).

В связи с отмеченными обстоятельствами разностная аппроксимация уравнений (3.3) и (3.4) для случая течений с физико-химическими превращениями та же, что и для идеального газа с постоянным отношением удельных теплоемкостей [см. первую и вторую формулы (3.10) и формулы (3.13), (3.14)].

Течения с химическими реакциями,колебательной релаксацией и конденсацией

Рассмотрим решение обратной задачи для пространственного течения. Пусть на поверхности ф = фо задано r = ro(s, 0) и компонента скорости u = uQ(s, 0) (либо давление или плотность). На начальной плоскости s = s0 задается компонента скорости w = w°(0, ф) и функция ср = ф°(О, ф), а также плотность р = р°(0, ф) и все параметры Уп = У/г°(0, ф), характеризующие релаксационный процесс. Первоначально определяются на начальной поверхности ф = фо все недостающие параметры. Последовательность расчетов при этом зависит от задаваемого на поверхности ф = фо начального распределения.

В случае, когда задано p = p0(s, 0), по формулам (3.10.3), (3.11.1 и 2) и (3.36.1) ... (3.39.1) в общем итерационном цикле по 120

т определяются путем численного интегрирования вдоль слоя фо от плоскости s=s0 на различных плоскостях 0 = const значения ^о, »о, w0, (z/n)opo И u0=V'V72 — ^ — w2.

В случае, когда задано p = po(s, 0), по формулам (3.10.3), (3.11 1 и 2), (3.41), (3.37.2) ... (3.39.2) аналогично определяются значения и0, (w0), (уп)о, Wo, р0, р0.

Таким образом, на начальном слое фо определение параметров происходит не стандартно, а зависит от типа заданной начальной функции. Если начальная линия совпадает с осью симметрии, то функции и, г, w тождественно равны нулю, однако, в уравнении движения [см., например, (3.3) и (3.10)] при г = 0 в осесимметричном и пространственном случаях имеется особенность, которая легко устраняется путем разложения решения в ряд по ф [см. 2.4 и 2.4.2]. Полученные в результате такого разложения параметры на близлежащей к оси линии тока используются в качестве начальных для дальнейшего расчета.

Переход на последующий слой ф = const и расчет параметров на слое происходит уже единообразно следующим образом.

В итерационном цикле по / первоначально по формулам (3.10.1—3) определяются р^\ г^ и uW. Далее от начальной плоскости s = s0 в общей итерации по т на различных плоскостях 0 = =const вдоль слоя производится совместное интегрирование системы (3.11.1, 2), (3.36.1 ...3.39.1) и определяются wW, дД), W<!\ yWn, рД и 11^=V\W2 — у2—геру1.*. Далее итерационные циклы по / и т повторяются до сходимости.

Отметим важность стандартного блока расчета одномерного неравновесного течения с релаксационными параметрами уп, который постоянно используется при численном интегрировании вдоль линий тока пространственного течения. Расчет двумерных (плоских и осесимметричных) течений происходит по тому же алгоритму, но отпадает необходимость в решении системы (3.11) и интегрирования вдоль различных линий 0 = const. Для определения г и р на следующем слое при R = oo следует использовать формулы (3.13) и (3.14), а составляющие скорости и и v находить по формулам

-u=w 14- ds \ ds ) .-u=w 14- ds \ ds ) .« = ^1^2— У2.« = ^1^2— У2.(3.58)(3.58)

-u=w 14- ds \ ds ) .

-u=w 14- ds \ ds ) .

« = ^1^2— У2.

« = ^1^2— У2.

(3.58)

(3.58)

На каждом слое ф = const после определения г и р по формулам (3.36.1) ... (3.39.1) последовательно находятся при численном интегрировании по s, W, уп и р, а затем и и и по формулам (3.58).

Отметим, что при расчете двумерных и пространственных течений в формуле (3.38) W необходимо заменить на и!Н\.

В случае изоэнтропического течения (равновесного или замороженного) [см. формулы (1.105)] последовательность расчета следующая: координата г и давление р определяются по формулам (3.13) и (3.14). Поскольку из условия s = const известна зависимость р = ((р), а, следовательно, из уравнений состояния h = h(p).

то из этих соотношений определяются р, h и 117 = 1^2 (/z0— Л) и затем из (3.58) v и и.

Течения с подводом энергии. Многослойные течения

Рассмотрим метод расчета двумерных течений при наличии подвода энергии. Пусть задана функция Q°(s), характеризующая поток энергии вдоль линии тока. Примем также, что газ имеет постоянное у. В этом случае первоначально определяются параметры потока на начальном слое при заданном на этом слое r = r0(s) и какой-либо из функций р = р0^> p = po(s) или w = w0(s)- Пусть на начальном слое ф = фо задано распределение давления р=ро^, а в начальном сечении s = s0 известна скорость и и плотность р. Тогда, численно интегрируя на начальном слое уравнения (1.76) и (1.79) по разностным схемам, описанным в 3.3.2 и 3.3.3, получим на слое распределение плотности скоростей и и и и температуры. Имеем

(IP^™) = (U/2. As 7. (359) L\ YP ds Jt V YP / v ds

(m)Z + l(m)Z + l+№q(s)1 L1 IL n Ji L a+№q(s)1 L1 IL n Ji L a

(m)

Z + l

(m)

Z + l

+№q(s)1 L

1 IL n Ji L a

+№q(s)1 L

1 IL n Ji L a

(3.60)

p^=p;+1U+i; ЛУ); (3.61)

^YMeYh — [i+(—YT1/2; = (3.62) ds L \ ds / J

Представленная разностная схема является схемой Эйлера с пересчетом, позволяющая при итерациях по т в каждой точке (i+1) определить все искомые функции на начальном слое. Действительно, из (3.59) определяется полная скорость W, из (3.60) —энтальпия, а затем из калорического и термического уравнений состояния— плотность и температура (если энтальпия является нелинейной функцией температуры, то последняя может определяться, например, с помощью метода Ньютона) и, наконец, из (3.62) определяются составляющие скорости и и и.

Переход на все последующие слои осуществляется с помощью формул (3.13), (3.14), позволяющих определить на слое r = r(s) и p = p(s). Остальные параметры на слое находятся далее по формулам (3.59) ... (3.62). Если на начальном слое задано не давление, а плотность или скорость, то остальные параметры определяются по методу, изложенному в разд. 3.3.2 и 3.3.3, а метод расчета последующих слоев остается неизменным.

В координатах s, ф, 0 удобно проводить расчеты течений, содержащих поверхности тангенциального разрыва и разделяющие области течения с различными физическими свойствами. Такого рода расчеты проводятся без учета смешения слоев. При этом полная 122

энтальпия, полное давление и начальные значения концентраций уОп в слоях могут различаться.

Пусть до некоторой поверхности тока ф = ф° газ имеет полную энтальпию /101(Ф), полное давление р01 и начальные значения уОь а от этой поверхности — полную энтальпию /1ог(Ф), полное давление ро2 и начальные значения у02. Припишем нижним параметрам тангенциального разрыва индекс 1, а верхним — 2. Для определения параметров с индексом 2 воспользуемся условиями равенства статических давлений Р\=р2 и равенства углов наклона скорости, которые должны выполняться на поверхности тангенциального разрыва. Тогда, интегрируя систему (3.25) ... (3.27), (3.58) от начальной плоскости s=s0 с использованием полной энтальпии /гоа(ф), полного давления р02 и начальных значений уйп2 для верхнего слоя, а также условия р\=р2, определим остальные параметры и2, ^2, Р2 и yn2i, Т2. После определения параметров с индексом 2 от поверхности тока ф = ф° может уже производиться расчет поля течения при гр>-1р° по аналогии с расчетом при ф<ф° по формулам (3.13), (3.14), (3.36) ... (3.39), (3.58). Особенно просто производится определение параметров течения с постоянным показателем адиабаты.

Течение смеси газа и частиц

При численном решении обратной задачи теории сопла для двухфазой смеси газа и частиц на оси симметрии сопла задается распределение скорости газа, а во входном сечении — параметры газа и частиц. В результате численного интегрирования сис- стемы уравнений, описывающих течение газа при наличии в нем частиц конденсата, определяются параметры газа и частиц, линии тока газа и траектории частиц с учетом взаимного влияния газа и частиц. Одна из линий тока газа принимается за контур сопла, и находятся предельные траектории и зона чистого газа. Описанный ниже разностный метод позволяет по единому алгоритму рассчитывать до-, транс- и сверхзвуковую области течения.

В двухфазной смеси газа и частиц, в отличие от случая чистого нереагирующего газа, необходимо решать две задачи Коши: одну—в поперечном направлении для определения некоторых газодинамических параметров, другую — в продольном направлении для нахождения остальных газодинамических параметров и параметров частиц. В результате решения обратной задачи определяются линии тока газа и траектории частиц. Линия тока газа принимается за жесткую стенку сопла. В отличие от случая чистого газа форма контура сопла, соответствующая некоторому расходу газа, будет зависеть от параметров частиц, в частности от их размера.

Уравнения движения и энергии, описывающие течение газа при наличии в нем частиц конденсированной фазы, отличаются от обычных газодинамических уравнений тем, что в них в правые части добавляются члены, учитывающие воздействие частиц на газ. К ним

добавляются уравнения движения частиц и теплообмена между частицами и газом. В координатах гр, s это система уравнений (1.109) ... (1.113).

Система уравнений (1.109) ... (1.113) содержит 10 неизвестных функций г, и, и, р, Т, р, и8, us, ps, Ts и является замкнутой.

Для нахождения траекторий частиц и плотностей ps удобно ввести функции тока для частиц ф8 по формулам

=;(3.63)

дх \ и и$ ) д^

^- = Ps«sr.(3.64>

Соотношения (3.63) используются для вычисления траекторий частиц ф5=const, а (3.64) для определения плотности р(5.

Метод решения системы (1.109) ... (1.113) в рамках обратной задачи аналогичен методу решения соответствующей системы уравнений в случае неравновесных течений [см. п. 3.3.1, 3.41] с той лишь разницей, что несколько иным способом определяются начальные данные на оси симметрии. В окрестности оси симметрии при двухфазном течении должно быть построено асимптотическое разложение (как для плоского, так и для осесимметричного случаев), из которого на оси симметрии определяются все параметры течения, в том числе плотность частиц и производные (ди/дф)1/2, (ди$/дф)l/z [см 2.4.3 уравнения (2.120) ... (2.125)].

Система (2.120) ... (2.125) решается следующим образом. Сначала, численно интегрируя по х при заданной на оси скорости систему (2.122), (2.123), (2.125) (которая эквивалентна системе соответствующих уравнений неравновесного двухфазного течения в одномерном приближении [см. 3.3.3]), определяем функции ро, ро. То, Tos, uQs, Vos- Далее из (2.120) и (2.124) последовательно определяем Го, ио, Усе и pos. Обычно предполагается, что при s = s0 течение равновесно, т. е. Uos = Uo, TQs = TQ, u0s = u0, a pos = poets/(1—as), где as — массовая доля.

Для заданных u0(s) и у можно определить ро, То и р0 по газодинамическим функциям, а и0 из формулы (2.120). Эти же начальные данные в сечении s = s0 используются и при решении полной задачи с учетом того, что y=Vijj'U0, г>$-УК.

После определения всех параметров на оси симметрии по асимптотическим формулам типа (2.71) производится расчет параметров на ближайшей к оси линии тока газа, с которой и начинается затем численное интегрирование полной системы (1.109) ... (1.113). Отметим, что в отличие от случая течения чистого газа с постоянным показателем адиабаты, для которого асимптотическое разложение типа (2.71) используется лишь в осесимметричной задаче, для «отхода» от оси (из-за особенности типа и/r, которая отсутствует в плоском течении) в двухфазном неравновесном течении это разложение необходимо как для плоского, так и для осесимметричного течений.

Расчеты двухфазных течений в соплах можно проводить двумя способами. Первый способ состоит в точном решении системы (1.109) ... (1.113) методом, описанным ниже, в результате которого определяются все газодинамические параметры, параметры частиц, их траектории, зоны чистого газа с учетом взаимного влияния частиц на газ. При втором (приближенном) способе первоначально решается обратная задача для чистого газа с некоторым эффективным постоянным показателем адиабаты у0 [см. формулу (3.53)], соответствующим равновесному течению смеси газа с частицами (<W=WS, T=TS), и определяются все параметры течения в до- и сверхзвуковой областях [27]. При этом предполагается, что параметры газа, несмотря на запаздывание частиц, остаются такими же, как и в случае равновесного течения, при котором частицы оказывают на параметры газа наиболее „сильное** влияние. Найденные параметры газа используются далее для расчета траекторий и параметров частиц по формулам (1.18). Очевидно, что второй способ является значительно более простым.

Рассмотрим теперь численный метод решения полной системы уравнений (1.109) ... (1.113). После определения всех параметров на близлежащей к оси линии тока начинается численное интегрирование полной системы. Для этого из системы (1.109) последовательно определяются на (и-|-1)-м слое в первой итерации г, и и р. Затем вдоль (и+1)-го слоя, начиная от плоскости s = s0, производится численное интегрирование системы (1.110) ... (1.113) и последовательно определяются функции W, Т, us, vs, Ts, pg. В сечении s = s0 течение принимается равновесным, т. е. параметры частиц полагаются равными параметрам газа. При интегрировании уравнений (1.112) используются неявные разностные схемы [см. разд. 3.3.3], поскольку эти уравнения имеют вблизи равновесия вид уравнений с малым параметром при старшей производной, особенно при малых размерах частиц. Далее, как обычно, итерации повторяются до сходимости с заданной точностью. После определения параметров течения выделяются траектории частиц каждого размера и находятся их предельные траектории, выше которых отсутствуют частицы этого размера. В области выше предельных траекторий расчеты для системы (1.109) ... (1.113) повторяются, но уже без учета частицы этого сорта. Выше последней предельной траектории, соответствующей частицам минимального размера, рассчитывается зона чистого газа.

Из уравнений (1.109) г, р, и определяются в первом приближении по формулам (3.13) ... (3.15.2). Далее, с использованием уже вычисленных значений г, и, р система уравнений (1.110) ... (1.113) интегрируется вдоль слоя, начиная от начального сечения s = s0. При этом для аппроксимации уравнений (1.110), (1.111) используется разностная схема типа (3.54), (3.55), а при интегрировании уравнений (1.112) использовались неявные разностные схемы [(3 56), (3.57)].

.... drdx^^ _Wg ; u== — Wg— ;.... drdx^^ _Wg ; u== — Wg— ;OSosOSos(3.65)(3.66)(3.65)(3.66)(3.68)(3.68)(3.69)(3.70)(3.69)(3.70)

.... drdx

^^ _Wg ; u== — Wg— ;

.... drdx

^^ _Wg ; u== — Wg— ;

OSos

OSos

(3.65)

(3.66)

(3.65)

(3.66)

(3.68)

(3.68)

(3.69)

(3.70)

(3.69)

(3.70)

Течения газа при наличии электромагнитных полей

Для расчета течений газа с наложенными электромагнитными полями используем криволинейную ортогональную систему координат (ф, о) [формулы (1.114) ... (1.116)].

Имеем

5г2 _ 2и .

дф ~ PF2 ’

д , „ , rv х 2хи — (г2л:)= Ч;

оур!Г2 1 pF2

гИpF F \ ds ds ) рГ2

дро NPofs .ds gp

W7 \P \Т/2/ / \Y

W=\- 1 — —); Po=Po, Р=Ро<рЫ-

L Y — 1 x P /J

Система (3.65) ... (3.70) приведена к безразмерному виду путем отнесения давления и плотности к соответствующим параметрам торможения роь poi во входном сечении, скорости — к ат — УуАм/Рсш линейных размеров — к некоторой характерной длине L, функции тока — к ро1ЯоД2, электропроводности — к аОь индукции — к величине индукции Soo в центре цилиндрической системы координат, электромагнитной силы — к ота01В002. При этом параметр МГД-вза- имодействия N, входящий в систему уравнений, определяется по формуле N = o0i^Soo/poi»oi-

Проекции пондермоторной силы на оси s и ф равны

+(3.71)

Д=~(мг>В2 + э2^Вг + и2В^вг-Г1'иД^) .(3.72)

При численном решении обратной задачи на начальной линии тока ф = фо задается распределение давления, уравнение линии тока r = r0(s), x=x0(s) и распределение индукции магнитного поля В = В0(х). Так же как и в случае пространственных и неравновесных течений, обратная задача расщепляется на две задачи Коши. Для уравнений (3.65) ... (3.67) она решается в направлении ф, а для уравнения (3.68) в направлении s; при этом начальное условие для уравнения (3.68) должно задаваться в начальном сечении 126

сопла s = s0. Последовательность решения задачи следующая. При известном уравнении начальной линии тока и распределении давления на ней из (3.68) определяется полное давление ро. Это сразу позволяет оценить потери полного давления за счет джоулева нагрева газа. Имеем

p0 = exp(N fds'| = exp[ — N С ——(.uBr-V-uB^2 ds\ . (3.73> ° k J / Ч J gpWx v

Все входящие под знак интеграла функции в силу граничных условий суть известные функции s. Далее из (3.69) ... (3.72) определяются ро, р, W, и и и на начальной линии тока ф0. При определении величин на следующем слое в начале из уравнений (3.65) ... (3.67) находятся r = r(s) x = x(s), p = p(s) с помощью, например, разностной схемы, описанной в 3.1.2, а далее определяются все остальные неизвестные параметры в той же последовательности, что и на начальной линии тока. Так рассчитывается все поле течения в окрестности начальной линии тока и определяется геометрия линий тока, каждую из которых можно принять за контур сопла.

МЕТОД ХАРАКТЕРИСТИК

С появлением ЭВМ широкое распространение для решения задач сверхзвуковой газовой динамики получил метод характеристик.

Этот метод, по-существу, является основным при профилировании сверхзвуковых каналов, в том числе обратным методом.

Метод характеристик обладает определенными преимуществами перед другими численными методами, поскольку, как правило, устойчив. На характеристических линиях упрощаются уравнения, количество независимых переменных уменьшается на единицу. Граничные точки, точки на ударной волне и свободной границе рассчитываются независимо друг от друга, и поэтому в отличие, скажем, от метода сеток здесь отпадает необходимость в использовании прогонки. Но главное преимущество метода характеристик заключается в том, что в нем учитывается распространение возмущений; это позволяет строго учитывать такие явления, как центриро- ганные волны разрежения, висячие ударные волны, контактные поверхности. И, наконец, в методе характеристик обычно выстраиваются линии тока, вдоль которых интегрируются уравнения, описывающие протекающие в потоке физико-химические процессы.

Вместе с тем нельзя не отметить, что значительное усложнение логики вычислительного алгоритма в случае образования в потоке многочисленных поверхностей разрыва делает целесообразным применение метода характеристик для таких задач газовой динамики, в которых приходится иметь дело с относительно небольшим количеством образующихся поверхностей разрыва. К их числу относятся и задачи профилирования сверхзвуковых каналов.

В методе характеристик возможны разные способы построения характеристической сетки. В прямой (или классической) схеме ме-

тода характеристик характеристические линии проводятся вперед в направлении скорости потока в рассматриваемой точке, а узлы сетки определяются в процессе расчета как точки пересечения характеристических линий. При такой схеме точно учитывается распространение слабых разрывов. Недостаток этой схемы состоит в том, что узлы характеристической сетки располагаются в поле течения неравномерно. Поэтому для получения нужной точности в процессе расчета приходится перераспределять узловые точки.

Разработаны также схемы численного метода характеристик с сеткой обратного типа (так называемый послойный или сеточно-характеристический метод). В этой схеме расчет ведется по слоям, причем на каждом слое узловые точки фиксированы. Характеристические линии проводятся в направлении, обратном направлению скорости, т. е. от рассчитываемого слоя к предыдущему, на котором уже известны параметры течения.

При этом численное интегрирование уравнений газовой динамики осуществляется в направлении вниз по потоку. Использование сеточно-характеристического метода позволяет проводить расчеты без явного выделения разрывов небольшой интенсивности. Однако для решения обратных задач профилирования использование сеточно-характеристического метода по слоям ф = const в ряде случаев невозможно (например, решение задачи Гурса в областях III, IV и двухграничных смешанных задач в II на рис. 1 3). В связи с этим возникает необходимость в разработке сеточно-характеристического метода, приспособленного для численного профилирования каналов. При этом вместо фиксированных слоев x = const выбираются слои ф = const, что делает удобным использование данной модификации для решения задач профилирования с граничными условиями на линии тока L.

Классический метод характеристик

Рассмотрим уравнения характеристик для стационарных двумерных вихревых изоэнергетических течений совершенного газа. -Определим энтропийную функцию как S = lnp/pi—у In p/pi, где рх, pi — характерные значения давления и плотности. В дальнейшем ^удем использовать следующую сокращенную запись уравнений характеристик и уравнения для функции тока.

гдегдеdy — m^dx-, Edi + Kdr^ + L^dx щ QdS = Q;dy = mMx-, dS=0;d^=± d x,dy — m^dx-, Edi + Kdr^ + L^dx щ QdS = Q;dy = mMx-, dS=0;d^=± d x,(3.74)(3.75)(3.76)(3.74)(3.75)(3.76)К =К =ттг° = £; тЕ — ——— ; Е2^2ттг° = £; тЕ — ——— ; Е2^2П+?2) [(Y + 1)+(Y-1)?21 sП+?2) [(Y + 1)+(Y-1)?21 sY(Y-1)(1+?2)Y(Y-1)(1+?2)■У=(2у)'е i■У=(2у)'е i1 ." 1 + E2 ’; L^ = n;№ ± О у/(1 +^2)(1 +£2)1 ." 1 + E2 ’; L^ = n;№ ± О у/(1 +^2)(1 +£2)(3.77)(3.77)/ Y — 1(?T £) О +/ Y — 1(?T £) О +2(у-1)2(у-1)

где

где

dy — m^dx-, Edi + Kdr^ + L^dx щ QdS = Q;dy = mMx-, dS=0;

d^=± d x,

dy — m^dx-, Edi + Kdr^ + L^dx щ QdS = Q;dy = mMx-, dS=0;

d^=± d x,

(3.74)

(3.75)

(3.76)

(3.74)

(3.75)

(3.76)

К =

К =

ттг° = £; тЕ — ——— ; Е2^2

ттг° = £; тЕ — ——— ; Е2^2

П+?2) [(Y + 1)+(Y-1)?21 s

П+?2) [(Y + 1)+(Y-1)?21 s

Y(Y-1)(1+?2)

Y(Y-1)(1+?2)

■У=(2у)'е i

■У=(2у)'е i

1 .

" 1 + E2 ’

; L^ = n;

№ ± О у

/(1 +^2)(1 +£2)

1 .

" 1 + E2 ’

; L^ = n;

№ ± О у

/(1 +^2)(1 +£2)

(3.77)

(3.77)

/ Y — 1

(?T £) О +

/ Y — 1

(?T £) О +

2(у-1)

2(у-1)

В этих формулах верхний знак соответствует характеристикам первого семейства, нижний — характеристикам второго семейства, v = = 0,1 для плоского и осесимметричного течения соответственно.

Для дальнейшего необходимы будут также формулы для определения параметров за ударной волной. В случае совершенного газа можно вычислить значения параметров g, р и S за ударной волной по следующим формулам:

^«i + tgSHl-^tgS)"1; (3.78)

M^Wi^/pH/Va)"1- 1]'/2; (3.79)

S=S1 + ln/VA-— V lnp/рр (3.80)

Здесь индексом 1 обозначены параметры газа перед ударной волной, д — угол поворота потока в ударной волне.

Численный расчет сверхзвукового течения методом характеристик сводится к последовательному решению отдельных элементарных задач, связанных с определением координат внутренних и граничных узлов характеристической сетки и параметров течения в этих узлах. При решении этих задач узлы характеристической сетки определяются как точки пересечения отрезков прямых линий, уравнения которых являются конечно-разностными аналогами соответствующих дифференциальных уравнений направления. Этими линиями могут быть отрезки характеристик первого или второго семейства, линий тока или ударных волн. Параметры в искомом внутреннем узле характеристической сетки определяются с помощью условий совместности вдоль характеристик, а в граничном узле — с помощью условий совместности и соответствующего граничного условия.

Рассмотрим элементарные задачи, которые встречаются при профилировании. К ним относятся: расчет точки внутри поля течения; на оси или линии симметрии; на свободной границе; на линии тангенциального разрыва; в неравномерном потоке на висячей и отраженной ударных волнах. Кроме того, необходим расчет центрированной волны разрежения, а также расчет взаимодействия расширяющейся струи и спутного потока на кромке сопла. Некоторые из этих элементарных задач характерны для расчета и других типов сверхзвуковых внутренних струйных и внешних течений и подробно рассмотрены в литературе (см., например, [1, 27, 32]).

хз— Апхз— АпРасчет внутреннего узла. Пусть необходимо определить параметры в точке 3, лежащей на пересечении характеристик первого (1—3) и второго (2—3) семейств, проходящих через точки 1 и 2 с известными параметрами (рис. 3 2, а). Заменив в (3.74)... (3.76) дифференциалы конечными разностями, получим

хз— Ап

хз— Ап

т1з - тю ’

Уз = У1")Г^з(х3 — х1У

Рис. 3 2. Схема расчета параметров в узлах характеристической сеткиРис. 3 2. Схема расчета параметров в узлах характеристической сеткиО — узлы характеристической сетки; — вспомогательные точкиО — узлы характеристической сетки; — вспомогательные точки

Рис. 3 2. Схема расчета параметров в узлах характеристической сетки

Рис. 3 2. Схема расчета параметров в узлах характеристической сетки

О — узлы характеристической сетки; — вспомогательные точки

О — узлы характеристической сетки; — вспомогательные точки

(3.81)(3.81)Фз — Ф14_®1з(Хз— Xj) — ф2—^2з (-^з-^г)»

(3.81)

(3.81)

S3—S (ф3);

Рз—■ Р1 + „ „ „ [^13^23 (^2 — С1) + £"13^23 (₽2 Р1) Ч~

Н-^13^23(^3 — *2) — E13Q23 (S3— S2)-\-E 23L 13(^3 -^i)

— ^sQislSs— Sj)];

^з=С1 Ц-—— [А71з (Рз — Pi) — £й (x3— x;1)-j-Q13(S3 Sj.

^13

Поскольку 5 = 5(ф), то для определения S3 линию тока можно не строить, а найти ее с помощью квадратичной интерполяции по таблице значений 5(-ф), которая составляется в процессе расчета при переходе через ударные волны. В области течения без ударных волн течение считается изоэнтропическим и S = const. В противном случае, если поток в начальном сечении является неизоэнтропическим, эта таблица должна быть задана в качестве начальных условий. В формулах (3.81) двойной индекс указывает, что данная величина усреднена по значениям в соответствующих точках, например отЙ = —(mi" + m^) .

Система (3.81) решается методом последовательных приближений, при этом в первом приближении вместо полусумм используются значения коэффициентов в соответствующих опорных точках 1 или 2. Обычно приемлемая точность достигается за две — три итерации.

Если в опорных точках 1 и 2 наклон одной из характеристик или обеих близок к л/2, т. е. величины р—£ или р+£ близки к нулю, то исходные уравнения характеристик и расчетные формулы должны быть изменены во избежание больших погрешностей. Например, если р—S~0, то уравнение характеристик первого семейства и соответствующее уравнение для ф необходимо преобразовать к следующему виду:

(3.82)(3.82)йх=т*йу, EdC, — Kd^4-L+dy — QdS=0;

(3.82)

(3.82)

d^ = U*dy,

где m+= l/m+, a L* и U+ получается из L+ и U+ путем замены множителя р—£ на Р£+1.

Всего возможно восемь вариантов расчетных формул в зависимости от углов наклона характеристик первого и второго семейств, что в определенной степени усложняет алгоритм расчета. В работе [32] предложен достаточно универсальный алгоритм, независящий от углов наклонов соответствующих характеристик.

Если точка 1 лежит на оси симметрии (см. рис. 3.2, б), то при у=1 расчетные формулы необходимо модифицировать, так как на оси симметрии (у = £ = 0) коэффициент L+ имеет особенность типа 0/0. Устранить эту особенность можно различными способами. Простейший способ состоит в том, что перед записью в конечноразностной форме условие совместности (3.74) вдоль характеристики первого семейства домножается на у. Тогда формулы для рз и £3 получаются аналогичными (3.81), однако в них нужно положить

-<3 — ^11Уз (?з — £з) J-<3 — ^11Уз (?з — £з) J^13 —"У£ ^з!^13 —"У£ ^з!£ + =0; Q13=J_Q3.£ + =0; Q13=J_Q3.(3.83)(3.83)

-<3 — ^11

Уз (?з — £з) J

-<3 — ^11

Уз (?з — £з) J

^13 —"У£ ^з!

^13 —"У£ ^з!

£ + =0; Q13=J_Q3.

£ + =0; Q13=J_Q3.

(3.83)

(3.83)

Расчет точки на оси симметрии (при v=l), (см. рис. 3.2, в). В этом случае Уз=^з=фз—0. Для определения х3, Рз используем уравнение направления характеристики второго семейства и соответствующее условие совместности, домножив его на у, поскольку в этом случае в коэффициенте L- также имеет место особенность. Расчетные формулы имеют вид

х3=х2 —У2М23;

?з=?гН—~ 1Е2^24*^-2 (х$—х2) Q2(S2 S^] .(3.84)

Точное значение ф3 = 0. Однако -ф3 можно вычислить также по формуле

Фз = Ф2 — U2^xs — х2\

Отличие этого значения от нуля характеризует погрешность расчета.

Расчет точки на жесткой стенке. Пусть теперь точка 3 принадлежит стейке сопла (см. рис. 3.2, г), уравнение которой z/ = f(x). Имеем

(3.85)(3.85)У<1~ У1 -V т^хх — f\ax2

(3.85)

(3.85)

mV3 /23

Уз — /С^з); 4— /'(^з); S3—^2’ Фз—Фз!

Рз = Р1— [^1з(Сз — Ci)4*£i3(*3— х^— Qi3(53—Sj] .

л 13

Расчет точки на головной ударной волне в равномерном сверхзвуковом потоке. Искомая точка 3 (см. рис. 3.2, е) лежит на пересечении ударной волны и характеристики первого семейства, проходящих соответственно через известные точки 0 и 1. Пусть уравнение ударной волны dy]dx = T. Расчет проводится подбором величины т3. В первом приближении полагается тз(1) = т0. Координаты точки 3 определяются по формулам

Уо - У1 + Тоз^о - т^ххосх

Хо= ;(3.8b)

3тоз - 4'

Уз — ^/о "Ч-тоз (-^з^о)! тоз —™(го + тз)-

В данном случае поток перед ударной волной является равномерным и поступательным. Поэтому, положив £i=0, Si = O, по формулам (3.78) ... (3.80) найдем £, р и S в точке 3. Затем проверим условие совместности на характеристике первого семейства 13. |Ф1з | = | £"13(^3 — Ci)— К13 (Р3 — ?i)-|- £(3(^3— ^i)4-Qi3(S3 — 5^1 <4 е.

(3.87)

Для подбора величины тз, при которой удовлетворяется (3.78), используется итерационный процесс.

После окончания итераций вычисляется величина

Фз = Фо+(Уз+1-1)^/Фз = Фо+(Уз+1-1)^/1ф1фY^ — 1Yeo + 1Y^ — 1Yeo + 1(^-1)(^-1)Yeo + 12(Y„-1)Yeo + 12(Y„-1)

Фз = Фо+(Уз+1-1)^/

Фз = Фо+(Уз+1-1)^/

1ф

1ф

Y^ — 1

Yeo + 1

Y^ — 1

Yeo + 1

(^-1)

(^-1)

Yeo + 1

2(Y„-1)

Yeo + 1

2(Y„-1)

Расчет точки на ударной волне в неравномерном потоке.

Рассмотрим сначала алгоритм расчета точки на висячем скачке уплотнения недорасширенной струи. Пусть рассчитана характеристика первого семейства АВ, проходящая через точку С на висячем скачке уплотнения, а также следующая характеристика до точки b (рис. 3.2, е). Сначала, игнорируя наличие разрыва, характеристика bbx продолжается в область за скачком уплотнения. Для этого по точкам 6 и сс помощью формул расчета внутренней точки рассчитывается точка Ьх, причем в качестве параметров в точке с, в которой имеется разрыв, естественно используются значения перед скачком уплотнения.

Расчет как и выше, ведется подбором величины г. В первом приближении Td) = rc- Координаты точки d можно вычислить, например, по формулам (3.86), если принять в качестве точек 1 и 2 точки b и с соответственно. Параметры потока в точке d перед ударной волной определяются квадратичной интерполяцией по точкам At, b и bi. Используя эти значения как параметры набегающего по- 132

тока и с помощью (3.78) ... ,(3.80), вычисляем параметры в точке d за ударной волной. Затем проводим характеристику второго семейства d^. Координаты точки е определяются по формулам расчета внутренней точки, а параметры потока квадратичной интерполяцией по известным точкам с, f и &ь Величина td подбирается таким образом, чтобы выполнялось условие совместности на характеристике de.

По-существу, аналогичный алгоритм используется и для расчета точки на отраженном скачке уплотнения, но здесь координаты скачка определяются в результате пересечения линии скачка с характеристикой второго семейства, а для итераций Td используется условие совместности на характеристике первого семейства.

Метод характеристик обобщается на случай неравновесных течений, течений смеси газа и частиц и течений с электромагнитными полями.

Послойный (сеточно-характеристический) методи его модификации

Применение классического метода характеристик сопряжено с рядом неудобств. Одно из них заключается в том, что искомые величины вычисляются в узлах заранее неизвестной характеристической сетки. На практике часто желательно знать распределения параметров при фиксированных значениях х или ф. При этом приходится иметь дело с интерполяцией на заданные значения х или ф, что усложняет программу. Иногда счет по характеристикам приводит к очень неравномерному распределению узловых точек или к сильному росту числа точек на характеристиках (например, при расчете волны разрежения). Очевидно, что в подобных случаях необходимо время от времени перераспределять точки на характеристиках, уменьшая в случае необходимости их количество. Эта процедура также связана с интерполяцией. Наконец, следует отметить, что вычислительный процесс логически сильно усложняется, когда течение газа сопряжено с образованием взаимодействующих друг с другом поверхностей разрывов. В этом случае целесообразно применять так называемые методы сквозного счета (без явного выделения поверхностей разрывов).

Послойный метод характеристик обладает свойствами методов сквозного счета и позволяет без выделения рассчитывать ударные волны небольшой интенсивности.

Что касается первого недостатка, то желание освободиться от него привело к разработке так называемого послойного метода характеристик. Поясним идейную сторону метода на примере уравнений (3.74). Пусть имеется прямоугольная сетка с координатными линиями, параллельными осям х, у. Предположим, что в узлах 5, 6, 7 слоя х=х( решение известно (рис. 3.3, а). Обозначим через 1, 2, 4 точки пересечения характеристик 1-го и 2-го семейств и линии тока с линией х=х( и запишем (3.74) в разностях. Имеем

Рис 3 3 Модификации сеточно-характеристического метода по слоям x=const (а) и ф = const (6)

(3.91)(3.91)у3—у^т^Дх; у3 — у2 = т^х; у3 — у4=т°Ьх; (3.88) ^зС^з— Bi) ^13 (Рз М + ^-ыД^ Qw^S3 Sj—0; (3.89) £23 Из— $1) + ^Сгз(?з ?г)— L-аДх Q23 (*^з ^г)— 0? (3.90)

(3.91)

(3.91)

S3— S4.

Положим вначале параметры в точке 3, равными их значениям, например, в точке 6; определим из (3.88) координаты точек 1, 2, 4 и вычислим в них интерполяцией по узлам 5, 6, 7 искомые функции. Теперь из (3.89) ... (3 91) найдем в первом приближении ^3, р3, S3. Далее уточним коэффициенты и повторим процесс.

Рассмотрим алгоритм построения модификации сеточно-характеристического метода по слоям ф = const (рис. 3.3, б). Пусть линия тока фг рассчитана, и требуется определить параметры в текущей точке 3 следующей линии тока ф^ь С этой целью используются так же, как и в схеме метода характеристик по слоям х=const (см. рис. 3.3, а) уравнения линии тока, уравнения направления характеристик и условия совместности вдоль них.

Однако в отличие от метода характеристик по слоям х= const С+ и С- характеристики (1—3 и 2.—3 на рис. 3.3) выпускаются из искомой точки 3 не вверх по потоку в противоположные по отношению к линии тока 4—3 направления (см. рис. 3 3, а), а в направлении к ранее рассчитанной линии тока ф,, в одну сторону по отношению к отрезку 4—3 (рис. 3.3, б). Параметры в точках 1 и 2 находятся с помощью квадратичной интерполяции по узлам хп_ь Хп, Хп+ь Выбор расчетных узлов на слое ф1+! и поперечного шага Аф (или Ду) зависит от постановки конкретной задачи, вида расчетной области и требуемой точности. При этом легко строится подвижная расчетная сетка по координате х. Например, производится сгущение разностной сетки по координате х около точек излома образующей центрального тела или в окрестностях взаимодействия разрывов

Для разностной аппроксимации уравнения характеристик используют либо в форме (3 74), (3 75), либо в координатах ^х, ф) в виде

dx = ± (^Т ^ = + Ud^; (3.92) pWT 1+^2 Т

Ed? + ± v _в_ _о. (3.93) - Р1Г2 Г+1р1Г

Для численного расчета в переменных х, ф дифференциальные уравнения (3 92) (3 93) записываются в конечно-разностной форме. Параметрам в точках 1, 2, 3, 4 будем приписывать соответствующие нижние индексы. Тогда разностные уравнения направления характеристик (3.92) для различных семейств примут вид

х3 —х,— /^Дф; х3 — х2= — Z^A^. (3.94)

Следует подчеркнуть, что при использовании переменных (х, ф) формулу (3.94) можно использовать в численном расчете независимо от ориентации отрезков характеристик 1—3 и 2—3 относительно осей координат, что обеспечивает при численной реализации метода на ЭВМ более простой алгоритм расчета в отличие от расчетных формул при независимых переменных х, у.

Для данной модификации сеточно-характеристического метода в переменных (х, ф) разработан алгоритм расчета с выделением ударной волны в потоке. При этом расчетная область разбивается на подобласти гладкого течения, а при переходе через ударную волну используются соотношения на ней, выведенные с использованием неравномерных параметров набегающего потока

Рассматриваемая модификация по слоям ф = сопз( также обладает преимуществами при решении обратной задачи профилирования Действительно, линия тангенциального разрыва является одним из семейств разностной сетки, и выделение ее производится автоматически Начало висячего скачка также легко определяется, когда впервые начнут пересекаться характеристики одного семейства, проведенные из соседних рассчитываемых точек на слое фг.ц в направлении к слою ф(.

ТЕЧЕНИЕ ГАЗА В СОПЛАХИ КАНАЛАХ СЛОЖНЫХ ФОРМ

ТЕЧЕНИЕ В ПЛОСКИХ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ СОПЛАХ

Исследование до- и трансзвуковой областей сопелс прямолинейной и криволинейной поверхностью перехода.

Течения Мейера и Тейлора

В рамках обратной задачи рассчитать сопла Лаваля с прямолинейной поверхностью перехода достаточно просто. В случае плоских и осесимметричных течений необходимо и достаточно для обеспечения прямолинейной звуковой линии задать на оси симметрии распределение скорости, имеющее равную нулю первую производную в центре сопла (центр сопла — точка на оси симметрии, где скорость равна скорости звука). Практический интерес к соплам с прямолинейной звуковой линией связан с профилированием сопел аэродинамических труб и сопел реактивных двигателей. Сверхзвуковую часть таких сопел можно профилировать независимо от дозвуковой, поскольку прямолинейная звуковая линия является одновременно и характеристикой первого и второго семейств.

На оси сопла задавались следующие распределения скорости:

1 — IT

Г=Г«Нг. =0,1; А=10.(4.1)

1 + Ах2

Здесь х заменено на s, поскольку рассматриваются плоские и осесимметричные течения с R = 0 и го = О. С распределением скорости (4.1) были проведены численные расчеты поля течения. Шаг Аф = 0,2-10-2, а узлы разностной сетки располагались в точках х=0...0,16 (Ах = 0,02); 0,2...0,6 (Ах = 0,05); 0,67; 0,76; 0,88; 1,00; 1,15; 1,40; 1,70; 2,00; 2,25; 2,50; 2,75; 3,00.

Результаты расчетов представлены на рис. 4.1, 4.2. На рис. 4.1 представлено семейство линий тока и линий И7=const. При И7>0,2 и ф>0,02 течение заметно отличается от одномерного. В окрестности прямолинейной звуковой линии, расположенной в плоскости х=0, при г°>0,25 в соответствии с решением разд. 2.5 возникла местная сверхзвуковая зона и вторая звуковая линия. Течение в этой зоне изоэнтропическое. Между второй звуковой линией и прямолинейной звуковой линией газ первоначально разгоняется, а затем тормозится. В окрестности звуковой линии линии тока практически параллельны оси.

На рис. 4.2 представлено семейство линий тока и линий W= = const при распределении скорости (4.2). Очевидно, что в окрест- 136

Рис. 4 1 Течение в сопле с прямолинейной звуковой линией Линии тока (1р = =const) и линии постоянной скорости (U7 = const). Распределение скорости (4 1). Распределение скорости:

1 — линия тока чр=0,06; 2— одномерная теория; 3 — ось симметрии; ф— эксперимент

Рис 4 2. Течение в сопле с прямолинейной звуковой линией. Распределение скорости (4 2) Обозначения см рис. 4 1.

пости прямолинейной звуковой линии линии тока параллельнЬт оси на участке еще более протяженном, чем в предыдущем случае. И в этом случае в поле течения возникает местная сверхзвуковая зона, однако вторая звуковая линия имеет общую точку с прямолинейной звуковой линией на бесконечности, что следует также из асимптотического решения, изложенного в 2.5.

Для экспериментальной проверки существования местных сверхзвуковых зон в окрестности прямолинейной звуковой линии было осуществлено измерение распределения давления на стенках сопел, соответствующих линиям тока с тр=0,02 и с тр = 0,06 (см. рис. 4.1) распределения (4.1). Экспериментальное исследование течения в этих соплах было проведено В. М. Жиравовым (рис. 4.3, 4.4) [25]. Было показано, что при наличии угловой точки в критическом сечении распределение давления в трансзвуковой области, расположенной вверх по потоку от угловой точки, зависит от угла 0К (рис. 4.4). Отличие измеренного распределения давления (светлые кружочки для 0К=12° и черные для 0К=2О°) от расчетного (сплошная кривая) начинает проявляться при х<0,6. Распределение давления при 0К=12° отличается от расчетного при х>0,15 примерно на 5%. При х<0,15 вблизи сгенки происходит разгон потока до сверхзвуковой скорости, соответствующей р/ро=О,4. Таким образом, экспериментально показано существование зон с положительными градиентами давления и местной сверхзвуковой зоной, которые были предсказаны расчетом. Сопоставление расчетных и экспериментальных данных для двух контуров сопел с 4) = 0,02 и ^ = 0,06, рассчитанных по распределению на оси (4.1), показывает, что в небольшой окрест-

Рис. 4.3. Расчетное и экспериментальное распределение давления, отнесенного к давлению торможения, на контуре сопла. Распределение скорости по оси (4.1). Контур сопла соответствует линии тока гр = 0,02

Рис. 4 4. Расчетное и экспериментальное распределение давления, отнесенного к давлению торможения, на контуре. Распределение скорости на оси (4.1). Контур сопла соответствует линии тока гр = 0,06

пости критического сечения на распределение давления оказывает существенное влияние наличие большого отрицательного градиента давления на угловой точке сопла, который передается по дозвуковой части пограничного слоя вверх по потоку. Кроме того, из ана

лиза расчетных и экспериментальных данных и из данных, представленных на рис. 4.3 и 4.4, следует, что расчетные и экспериментальные данные хорошо совпадают между собой в тех областях,

где влияние вязкости невелико.

В работе [27] расчеты поля течения проведены для следующих распределений скорости по оси симметрии

(l-^)^^^-!)’(l-^)^^^-!)’(4.3)(4.3)

(l-^)^^^-!)’

(l-^)^^^-!)’

(4.3)

(4.3)

(4.4)(4.4)W = 1J— arctg (eax — e~bxY

(4.4)

(4.4)

В формуле (4.2) параметр Ц7Ю равен асимптотическому значению скорости в дозвуковой области на бесконечности, W„— асимптотическому значению скорости в сверхзвуковой области на бесконечности.

dW

Так как производная — в центре сопла отлична от нуля, то dx

поверхность перехода будет криволинейной, и расчет дозвуковой и сверхзвуковой областей должен производиться совместно.

Типичный расчет поля течения в сопле Лаваля с криволинейной поверхностью перехода представлен на рис. 4.5. Распределение скорости на оси симметрии (4.2) с РГ«>=1,9, IFoo = 0,l и ^L=3,5.

Рис. 4 5. Поле течения в сопле с криволинейной звуковой линией. Линии тока (i|?=const) и линии постоянной скорости (IP = const). Распределение_скорости по оси (4.3) при IP «о =0,1, ^00 = 1,9, &-> = 3,5. Распределение скорости:

1 — линия тока ф — 0,06; 2 — одномерная теория, 3 — ось симметрии

На рис. 4.5 представлены линии тока, линии 1Г = const, а также зависимость скорости на линии тока чр = 0,06, значения W, рассчитанные по одномерной теории, и распределение скорости по оси, черными кружочками изображена звуковая линия, а светлыми-—линия 9 = 0. Основной результат этих расчетов состоит в том, что при ф>0,01 течение заметно отличается от одномерного как в дозвуковой, так и в сверхзвуковой области, звуковая линия и линия 0 = 0 отклоняются вверх по потоку от центра сопла, так что на контуре звуковая точка располагается вверх по потоку от минимального сечения.

Изложим далее некоторые результаты параметрического исследования течения в до- и трансзвуковых частях современных сопел. Геометрию их можно характеризовать радиусом очертания линии минимального сечения К2, углом наклона конического участка 0О, радиусом сопряжения конического и цилиндрического участков Ri и величиной п = Го1г» (рис. 4.6). Ниже будет рассмотрено влияние этих параметров на течение в дозвуковой и трансзвуковой областях сопел.

Для определения течения в заданном контуре сопла (прямая задача) можно, варьируя параметры, характеризующие распределение скорости по оси подобрать их так, чтобы форма некоторой линии тока полностью или частично соответствовала заданному контуру сопла. В качестве исходного выбрано трехпараметрическое семейство (4.3).

Рассмотрим зависимости параметров течения в трансзвуковой области от радиуса очертания критического сечения Кг. Варьируя параметры W™, Й^оо, b в распределении скорости (4.3), можно подобрать их таким образом, чтобы окрестность критического сечения имела форму дуги окружности с заданным значением К2. Было показано, что величина К2 зависит в основном от значения первой и второй производных в центре сопла. Отметим, что в одномерной теории R2 зависит только от первой производной в центре сопла. Для распределения скорости (4.3) значения первой и второй производной в центре сопла равны

W^=-b-4WM-\><\-W^<WM-W^ ; (4.5)

W" (0)— -6-2 (^м - 1) (1 - М7„) [2- (^„ + UZ„)] (W„ - W^~2-

(4.6)

С использованием распределения скорости (4.3) было рассчитано семейство контуров сопл с 1,4, у которых W"(0) = 1,575, ^"(О) = = 0, a Woo + Woo = 2. Полученные в результате расчетов контуры сопел показаны на рис. 4.6. На рис. 4.6 и далее х=х!г*, r=rlr*. На рис. 4.7 (обозначения рис. 4.6) показаны зависимости и и и трансзвуковой части сопла от R2. Из этих рисунков и результатов расчетов следует, что при варьировании 0о от 30° до 60°, W^. от 0,2 до 0,07 течение в трансзвуковой области практически не зависит от этих параметров до значений г = 0,45, что соответствует значениям R^^ ^0,4 г». Зависимость от 60 и W.» (отметим, что степень поджатия п~ [^(UMJ-'A) начинает проявляться при 0О^15° и 117^0,3. Таким образом, параметры течения в трансзвуковой области зависят в основном от R2 (при 1?2^0,5 г») и слабо зависят от величины 0О и л в диапазоне изменения 0о от 30° до 60° и п от 2,5 до 6.

Для определения зависимости параметров трансзвукового течения от R2 при значениях у=1,4; 1,25 и 1,14 были рассчитаны контуры сопел с различными значениями /?2 = 2,1; 0,5; 0,25 г». Значения

Рис. 4 7 Зависимость составляющих скорости и и о от г в трансзвуковой области

№0,35, т=1.4

т

7?2 —2г*

Ri “0125r*

W Ц0)

W (0)

W' (0)

W"(0)

W" (0)

W (0)

W' (0)

W (0)

1,4 —1,5(0,13) —0,35 —1,8(0,185) —0,2 —2,05(0,16) 0,2 —2,15(0,15) 0,4 1,25 —1,55(0,13) —0,35 —1,85(0,18) —0,2 —2,15(0,18) 0,8 —2,3(0,1) 0,3 1,14 —1,6(0,14) —0,2 —1,92(0,18) —0,2 —2,35(0,18) 0,8 — —

К7'(0) и ^"(О), соответствующие этим величинам /?2, приведены в табл. 4.1 (в скобках указано №>.). Отметим, что указанные значения /?2 получены для линии тока с ф = 0,06.

На рис. 4.8 представлена зависимость давления на контуре, отнесенного к давлению в критическом сечении, от относительного радиуса г для /?2 = 2г* и различных значений Жх.

Из рассмотрения этого рисунка и результатов расчетов следует, что при одинаковых ^'(О) и Ж"(0) форма трансзвуковой области одинакова примерно до значений г= 1,15...1,2, и в этой области значения р!р» практически не зависят от формы трансзвуковой области при г> 1,2 и значений Ж». Интересно отметить, что заметное отличие р]р„ от значений, рассчитанных по одномерной теории, имеет место при г<1,25. При 1,25<г< 1,5р]р», рассчитанные по предлагаемому методу, не более чем на 2% превышают соответствующие значения, рассчитанные по одномерной теории, а при г >1,5 это различие составляет не более 1%.

Влияние показателя адиабаты на течение в дозвуковой и трансзвуковой областях также проиллюстрировано на рис. 4 8. Из этого рисунка следует, что при одинаковой форме сопел значения приведенной скорости в течениях с различными у практически не различаются, хотя значения pip* могут различаться заметно. Таким образом, если в сопле с заданной геометрией рассчитано поле скоростей с некоторым значением у, то результаты этих расчетов можно использовать и при других значениях у.

Проведенные расчеты позволяют построить зависимости некоторых важных газодинамических параметров от R2 = R2!r* и у.

Из представленных на рис. 4.9.4.11 данных следует, что все приведенные параметры довольно слабо зависят от у. Влияние у несколько увеличивается при уменьшении R2.

На рис. 4.12 построены звуковые линии в соплах с различными значениями R2. Как видно, при малых значениях R2 у звуковой линии имеется точка перегиба, которая возникает из-за близости угловой точки в поле течения.

В результате численного решения обратной задачи определяется семейство линий тока и параметры на них как в дозвуковой, так и и в сверхзвуковой областях сопла. Имея поле течения в сверхзвуковой области, нетрудно рассчитать координаты характеристик в поле течения и параметры на них. В переменных ф, х уравнения характеристик определяются формулами (1.122), (1.123). По этим

Рис. 4 8 Зависимость pip. от_относи Рис. 4 9 Зависимость коэффициента тельного радиуса г=г/г, при Д2=2 ирасхода р от Т?2

различных Ж».эксперимент [18]

^ — 7 = 1,4, О—у = 1,14,

X— 7=1,25

— — одномерная теория

формулам были рассчитаны координаты и параметры на характеристиках 2-го семейства, выходящих из точки контура с 9 = 0, на контурах с различными R2 Результаты расчетов для различных R2 представлены на рис. 4.13 и 4.14. Из этих рисунков следует, что при одинаковых R2 влияние у на форму и параметры характеристик невелико, оно несколько увеличивается по мере уменьшения R2.

Немонотонность изменения £ на характеристиках, выходящих из точки ^ = 0 на контуре и приходящих на ось сопла (на оси ^ = 0 в силу симметрии) приводит к немонотонности изменения 0 вдоль характеристик. Первоначально 0 уменьшается, а затем начинает расти. В плоском случае факт немонотонности изменения 0 очевиден и следует из уравнения совместности, в осесимметричном случае— получен в результате численного расчета.

Предлагаемый метод позволяет рассчитывать контуры сопел в трансзвуковой области с очень малыми R2, вплоть до таких, что контуры сопел практически не отличаются от сопел с угловой точкой. При этом было установлено, что производная скорости в центре сопла dWRlx не превышает некоторое предельное значение (dWJdx)*, соответствующее течению, содержащему угловую точку. По результатам расчетов для осесимметричного случая (dWfdx)*^ =0,6...0,7, а для плоского =0,5. Значение ^dWjdxy для осесиммет-

Рис. 4.10. Зависимость координат звуко-вой линии на контуре от Я2

-0,200,2 х-0,200,2 хсоответствии с эксперименсоответствии с эксперименРис 4 13 Геометрия характеристик второго семейства, выходящих из митамального сечения, при различных Ri и у.Рис 4 13 Геометрия характеристик второго семейства, выходящих из митамального сечения, при различных Ri и у.7=1,4, 0 — 7 = 125 ф—7 = 1,147=1,4, 0 — 7 = 125 ф—7 = 1,14

-0,200,2 х

-0,200,2 х

соответствии с эксперимен

соответствии с эксперимен

Рис 4 13 Геометрия характеристик второго семейства, выходящих из митамального сечения, при различных Ri и у.

Рис 4 13 Геометрия характеристик второго семейства, выходящих из митамального сечения, при различных Ri и у.

7=1,4, 0 — 7 = 125 ф—7 = 1,14

7=1,4, 0 — 7 = 125 ф—7 = 1,14

Рис 4 11 Зависимость приведенной скорости лс и тангенса угла наклона скорости в звуковой точке §, на контуре в минимальном сечении от Ri

Рис 4 12 Звуковые линии в соплах с различными Ri

1 — расчет и эксперимент при В2=0Л

ричного случая находится в хорошем

тальными данными при измерении распределения скорости по оси, возникающего при обтекании угловых точек.

Представленные выше результаты относятся к течению типа Мейера, когда в потоке существует поверхность перехода через скорость звука, простирающаяся от стенки сопла до оси. Проследим трансформацию течения в сужающейся части сопла при увеличении перепада давления, т. е. переход от течения Тейлора к течению Мейера. На рис. 4.15 изобра

жены звуковые линии в сопле с Дг = 2 в течении Тейлора при задании скорости на оси сопла в виде

(^Q-^)

1 + Ах^ ’ (4.7)

где Wo — скорость в центре сопла. При таком задании скорости на оси сопла контур будет симметричен относительно плоскости х = 0. При 1^о~О,75 вблизи контура возникает сверхзвуковая зона, раз-

Рис 4 14. Параметры на характеристиках второго семейства, выходящих из минимального сечения при различных Д2 и уРис 4 14. Параметры на характеристиках второго семейства, выходящих из минимального сечения при различных Д2 и уE-tg е, р-УЛ!8-!, — v=l 4

Рис 4 14. Параметры на характеристиках второго семейства, выходящих из минимального сечения при различных Д2 и у

Рис 4 14. Параметры на характеристиках второго семейства, выходящих из минимального сечения при различных Д2 и у

Рис 4 15 Форма звуковых линий в осесимметричном течении Тейлора

мер которой увеличивается с ростом перепада давления, тес ростом Го, а значит, и №ю При И%=1 сверхзвуковая зона простирается от контура сопла до оси

В отличие от решения^Тейлора (разд 2 4 2), которое справедливо лишь при больших R2 (/?з>5) и согласно которому сверхзвуковая зона всегда захватывает минимальное сечение, местные сверхзвуковые зоны вначале изолированы и располагаются симметрично относительно минимального сечения и лишь при 1К0> >0,88 захватывают его Значению ^0 = 0,75 соответствует 1Коо = = 0,094, а значению 11%=1 соответствует 1^ = 0,1014 В течении Мейера для рассматриваемого сопла IKoo = 0,1015, т е переход от течения Тейлора с замкнутой звуковой линией при W70=l к течению Мейера происходит при изменении скорости всего на 0,1%

Локальные зоны торможения

Как показывают результаты расчетов, зачастую в до-, транс- и сверхзвуковых потоках, которые в среднем ускоряются, возникают местные зоны торможения Исследование свойств потока в этих областях и условий их возникновения весьма важно и с научной, и с практической точки зрения. На практике возникновение зон торможения может привести к нежелательному отрыву пограничного слоя.

Известно, что при некоторых значениях Ri в дозвуковой части сопла в окрестности Точки сопряжения радиусного и цилиндрического участков возникает зона торможения, величину положительного градиента давления в которой можно характеризовать коэффициентом давления ср = 2(р—poo)/pooUoo2, где параметры с индексом оо относятся к набегающему дозвуковому потоку.

На рис. 4.16 представлены типичные контуры сопел в дозвуковой части сопла с различными Ri и распределение ср на них Как

Рис 4 16 Геометрия контуров сопел в дозвуковой части сопла и распределение коэффи циента ср на этих контурахРис 4 16 Геометрия контуров сопел в дозвуковой части сопла и распределение коэффи циента ср на этих контурахЛ1=15г0, X —j?i = l,2r0. О—/?1=О,7го; А — «, = 0 5rsЛ1=15г0, X —j?i = l,2r0. О—/?1=О,7го; А — «, = 0 5rsРис 4 17 Сравнение экспериментальных и расчетных данныхРис 4 17 Сравнение экспериментальных и расчетных данных_р—р=»а — зависимость ср от R, б — коэффициент давления с р = 2 ^^^^_р—р=»а — зависимость ср от R, б — коэффициент давления с р = 2 ^^^^в окрестности точкив окрестности точки

Рис 4 16 Геометрия контуров сопел в дозвуковой части сопла и распределение коэффи циента ср на этих контурах

Рис 4 16 Геометрия контуров сопел в дозвуковой части сопла и распределение коэффи циента ср на этих контурах

Л1=15г0, X —j?i = l,2r0. О—/?1=О,7го; А — «, = 0 5rs

Л1=15г0, X —j?i = l,2r0. О—/?1=О,7го; А — «, = 0 5rs

Рис 4 17 Сравнение экспериментальных и расчетных данных

Рис 4 17 Сравнение экспериментальных и расчетных данных

_р—р=»

а — зависимость ср от R, б — коэффициент давления с р = 2 ^^^^

_р—р=»

а — зависимость ср от R, б — коэффициент давления с р = 2 ^^^^

в окрестности точки

в окрестности точки

видно, начиная с некоторого значения Ry, монотонное ускорение потока сменяется торможением на некотором участке и затем последующим ускорением. Как показали специальные экспериментальные исследования [18] и специальные расчеты, максимальное положительное значение срт зависит в основном от R^ и весьма слабо от 0О, п и у. Сравнение расчетных (сплошная линия) и экспериментальных данных,

представленное на рис.

показывает их хорошее соответствие. Из расчетов видно, что для любого п можно выбрать достаточно короткий контур сопла, не содержащий в этой области зон торможения (например нижний контур на рис. 4 16).

Выше уже были приведены примеры возникновения местных зон торможения в трансзвуковой области в окрестности прямолинейной звуковой линии Характерная особенность их состоит в том,

что эти зоны являются местными сверхзвуковыми зонами, соседствующими либо с областью звукового, либо с областью дозвукового

сопряжения цилиндрического и конического участков сопла полученный из расчета (сплош-ная линия) и эксперимента при ^1=О,6го(Х), ^i=O,8ro(Q) и 7?1=1,2го(Д)

Рис 4 18 Поле течения в сопле с криволинейной звуковой линией Распределение скорости по оси (4 4) Линии тока (■ф =const) и линчи постоянной скорости (№ = =const)

1 — распределение скорости на линии тока *ф=0,08 2 — одномерная теория 3 — ось симметрии ф — линия М= = 1 0 — 8 = 0

течений, и расположены они вверх по потоку от минимального сече- ния Специальное исследование течения в этих зонах, проведенное в рамках идеальной жидкости Ю. Б. Лифшицем и В. И. Киреевым, которые решили прямую задачу в контурах сопел, полученных из решения обратной задачи (см. рис. 4.1, 4.2), показало устойчивость течения по отношению к малым возмущениям (ошибки округления и аппроксимации) при условии, что с высокой точностью (до 0,1%) выдерживается геометрия контура, полученная из обратной задачи. С другой стороны, экспериментальное исследование также показывает существование этих зон (см. рис. 4.3, 4.4), хотя наличие пограничного слоя несколько искажает расчетную картину течения.

Вниз по потоку от звуковой точки на контуре также возможно образование местных зон торможения, если на небольшой длине происходит резкое изменение угла наклона контура. Пример такого течения представлен на рис. 4.18, на котором показано поле течения при распределении скорости на оси (4.4) с 117^ = 0,1; а = 2,3; 6 = 0,2. Кривая 1 соответствует распределению скорости на линии тока ф = 0,08. Весьма интересно исследовать возможность появления зон торможения в развитом сверхзвуковом потоке, в частности непосредственно за точкой излома контура (угловой точкой), которую обычно располагают в минимальном сечении. В плоском случае этот вопрос может быть исследован аналитически. Показано, [27], что уменьшение числа М вдоль начального участка характеристики второго семейства, связанное с криволинейной формой звуковой линии, приводит в плоском случае к тому, что на контуре сверхзвукового сопла с угловой точкой непосредственно за ней возникает местная зона торможения. В осесимметричном случае этот вопрос исследовался численно следующим образом

С использованием данных (см. рис. 4.13, 4.14) были рассчитаны характеристики веера волн разрежения, возникающего при обтекании угловой точки с координатами ж = 0, 7=1. Полученные таким образом характеристики веера волн разрежения использовались далее для расчета течения в заданном контуре

Рис 4 19 Распределение числа М в сопле с цилиндрическим насадком (а) и на контуре плоского и осесимметричного сопла с угловой точкой при различных «2 (б).

/ —М0 = 4, 7=1,4, 7=0, 2 —М„=55, 7=1,4, 7=1

сопла, выбранного из семейства сопел с угловой точкой и с равномерной характеристикой на выходе, рассчитанного из условия прямолинейности звуковой линии и характеризуемого числом М на выходе Мо.

Методом характеристик были проведены расчеты течения в соплах с угловой точкой с различными числами Т?2 и у. Типичные результаты расчетов представлены на рис. 4 19 для плоского (v = = 0) и осесимметричного (v—1) случаев. Из этого рисунка следует, что лишь в небольшой окрестности угловой точки до ж=0,5 ... 0,6 распределение чисел М при наличии криволинейной звуковой линии отличается от распределения чисел в сопле с прямолинейной звуковой линией. На остальной части сопла при ж^1 распределение чисел М в соплах с различными R2 не различаются. Этот факт находится в соответствии с известными результатами о быстром затухании начальных возмущений в сверхзвуковых соплах.

В осесимметричном случае, в отличие от плоского, при наличии криволинейной звуковой линии в окрестности угловой точки не возникает положительного градиента давления Отсутствие положительного градиента давления в осесимметричном сопле за угловой точкой связано, во-первых, с более сильным уменьшением величины \d^jdx\2 в веере волн (производной от [3 вдоль характе-

ристики второго семейства), чем в плоском случае, а во-вторых, с тем, что на начальном участке осесимметричного сопла с угловой точкой с прямолинейной звуковой линией и равномерным потоком на выходе угол наклона скорости первоначально увеличивается, а затем уменьшается (в отличие от плоского сопла, у которого на начальном участке угол остается постоянным). Отсутствие положительного градиента давления за угловой точкой в осесимметричном сопле показано экспериментально В. М. Жиравовым.

Вопрос о возможности возникновения положительного градиента давления в окрестности угловой точки и в областях, где имеется разрыв вторых производных на контуре, можно исследовать аналитически. Отметим, что зоны торможения возникают и в двухслойных течениях непосредственно за угловой точкой [см. гл. 5].

Решение прямой задачи как серии обратных

В работе [28] алгоритм решения обратной задачи приспособлен к решению прямой задачи для до- и трансзвуковой областей сопла. В настоящее время насчитывается значительное количество работ, посвященных решению прямой задачи [27]. Авторы этих работ используют либо метод интегральных соотношений, либо методы установления, либо методы разложения в ряд по величине, •обратной радиусу кривизны контура в трансзвуковой области. Ниже описан иной метод, позволяющий, используя численный алгоритм решения обратной задачи, решать прямую задачу для всей области до- и трансзвукового течений.

В основе этого алгоритма лежит предположение о том, что действительные распределения скорости на оси симметрии для двух близких контуров сопел различаются между собой пропорционально различию соответствующих распределений скорости в ■одномерном приближении. Тогда распределение скорости на оси, соответствующее искомому контуру, находится по распределению скорости для какого-либо известного контура и известным распределениям в одномерном приближении. Расчеты показывают, что сходимость решения к искомому осуществляется после нескольких приближений решения обратной задачи.

В работе [28] используются система уравнений в переменных ф, х [см. (1.106), (1.107) с заменой s на х], однако для прохождения особых точек и уменьшения ошибок скругления к этой системе добавляются члены типа членов искусственной вязкости и соответствующим образом модернизируется метод расчета. Рассмотрим детальнее алгоритм этой работы.

Чтобы уменьшить ошибки округления и добиться большей устойчивости, особенно при больших градиентах параметров, при счете к правым частям уравнений (1.106) добавляются члены, содержащие параметр сглаживания. Тогда система уравнений примет следующий вид:

йг1+ч 1 + у d2r1 + '1 . дру du , д^р ,(4 8)

д^ pu дх2 ’ dtp rv дх дх2 ’

dr и

dxи

1P=FT; и==1P=FT; и==Параметр сглаживания подбирается таким образом, чтобы решение полученной системы не сильно отличалось от решения исходной задачи, но в то же время счет становился достаточно устойчивым.

1

P=FT; и==

1

P=FT; и==

[гт(л+1)]1+'— ^тлЦ-Аф[гт(л+1)]1+'— ^тлЦ-Аф" 1 + v . Wmn" 1 + v . Wmn1 + V(?“)m(« + l)1 + V(?“)m(« + l)Система дифференциальных уравнений (4 8) аппроксимируется следующей разностной системой:

[гт(л+1)]1+'— ^тлЦ-Аф

[гт(л+1)]1+'— ^тлЦ-Аф

" 1 + v . Wmn

" 1 + v . Wmn

1 + V

(?“)m(« + l)

1 + V

(?“)m(« + l)

9r21 r2

4- гздф+ B (i _ o) Дф x

(4.9)(4.9)Гг<6)]2_оГг(6)12 , r-(fe)]2

(4.9)

(4.9)

№’

nW — n Pm (л+1) — PmnnW — n Pm (л+1) — PmnуАф 2уАф 2

nW — n Pm (л+1) — Pmn

nW — n Pm (л+1) — Pmn

уАф 2

уАф 2

or Vй)(rn+1) (л+l) r(m-l) (n-H) .dx )m («+!)2Л’or Vй)(rn+1) (л+l) r(m-l) (n-H) .dx )m («+!)2Л’dr \w W , .(rt-bl)—_^m (П4-1)?\ OX )m (Д + 1)dr \w W , .(rt-bl)—_^m (П4-1)?\ OX )m (Д + 1)(4.10)(4.11)(4.12)(4.13)(4.14)(4.10)(4.11)(4.12)(4.13)(4.14)

or Vй)(rn+1) (л+l) r(m-l) (n-H) .

dx )m («+!)2Л’

or Vй)(rn+1) (л+l) r(m-l) (n-H) .

dx )m («+!)2Л’

dr \w W , .

(rt-bl)—_^m (П4-1)?

\ OX )m (Д + 1)

dr \w W , .

(rt-bl)—_^m (П4-1)?

\ OX )m (Д + 1)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

(4.13)

(4.14)

(4.10)

(4.11)

(4.12)

(4.13)

(4.14)

| £aДф РутУХи ^Pmn+Pj.m-tin |

nWnW

— a) Дф Щт+!) (л-И) ^m (л+l) ^(m—1) (л+1)

Л2

nW , _ rn(6) V/T

Pm(«+1) — YPm (/t + l)J •

Индекс (А) указывает номер итерации, h — шаг по х, Аф — шаг интегрирования по нормали к линиям тока, fmn = f(mh, пАф).

Расчеты по этим формулам проводятся следующим образом. Сначала в первом приближении вычисляются в граничных точках при т = 0, т=М Ут\п->,л> и Рт\п^ из уравнений

Г,,(О11+’_„1+'L(/m (« + !)]—УтпГ,,(О11+’_„1+'L(/m (« + !)]—Утп(4.15)(4.15)(i)удФPm (n+1) — Pmn~(i)удФPm (n+1) — Pmn~тптпI T , (0) mn rm(nA-l)I T , (0) mn rm(nA-l)

Г,,(О11+’_„1+'

L(/m (« + !)]—Утп

Г,,(О11+’_„1+'

L(/m (« + !)]—Утп

(4.15)

(4.15)

(i)удФ

Pm (n+1) — Pmn~

(i)удФ

Pm (n+1) — Pmn~

тп

тп

I T , (0) mn rm(nA-l)

I T , (0) mn rm(nA-l)

Далее решается методом прогонки разностное уравнение

Мт-1) (« + 1)]1 + “— 2 Г1Мт-1) (« + 1)]1 + “— 2 Г1А22ДФе (1 — а)А22ДФе (1 — а)V1)Р+' । М1),гт (л-М)1Т 1г(т + 1) («+1)V1)Р+' । М1),гт (л-М)1Т 1г(т + 1) («+1)

Мт-1) (« + 1)]1 + “— 2 Г1

Мт-1) (« + 1)]1 + “— 2 Г1

А2

2ДФе (1 — а)

А2

2ДФе (1 — а)

V1)Р+' । М1)

,гт (л-М)1Т 1г(т + 1) («+1)

V1)Р+' । М1)

,гт (л-М)1Т 1г(т + 1) («+1)

А2 2 А2 Г 1 + v .1 + v ’ е(1 -а) Дф ГтП s(l -с) [(pu)m„(Р“)^«-Ц) -

—[Г^ + 1) п — ЗГтл-гП”»-!) «] 5 1<т<М—1.(4.17)

При этом стоящие в правой части неизвестные величины с верхним индексом (0) принимаются равными соответствующим величинам на n-м слое, после чего вычисляется производная dr/dx по трехточечной схеме [5].

Значения pm\n+i> во всех внутренних точках (п+1)-го слоя определяются из разностного уравнения

„(1) iP1)Рт (п+ЫТАт-Н) («+!) =„(1) iP1)Рт (п+ЫТАт-Н) («+!) =А(т-1) («+!)— X I 1 "1А(т-1) («+!)— X I 1 "1А2

„(1) iP1)

Рт (п+ЫТАт-Н) («+!) =

„(1) iP1)

Рт (п+ЫТАт-Н) («+!) =

А(т-1) («+!)— X I 1 "1

А(т-1) («+!)— X I 1 "1

2еДф (1 — а)

уА2 " 1 / ди \।1 f dv \°

2е(1 - а)[г^л \ дх )тп r^V^ \ дх )т (л+1)

Л (Лт+Оп ^Ртп Н~Р(.т— l)n)7j Г" Ртп.' (4-18)

£1—аДше(1—а)

которое также решается методом прогонки После этого вычисляются в первом приближении параметры «m^+i), 'Цтся+щ Pm(n+i>

( Qy \ (I)

по формулам (4.12) ... (4.14) и производная по трехто-

\ дх )т (л+1)

чечной схеме. Аналогично вычисляются параметры во всех после дующих итерациях.

Параметры течения в окрестности оси симметрии находятся путем разложения решения в ряд по ф (разд. 2 4 2).

Пусть задано в аналитическом или табличном виде уравнение контура сопла г=г(х), при этом, как обычно, принимаем, что г(0) = 1.

Приведенные ниже примеры численного решения прямой задачи относятся к контурам, представленным на рис. 4 6, хотя разработанный алгоритм применим и для расчета сопел произвольной формы. В качестве начального распределения скорости можно вы-

(4.19)(4.19)брать, например, распределение скорости, соответствующее одномерному приближению, при этом распределение скорости на оси определяется из решения уравнения

(4.19)

(4.19)

I 22 I

Согласно асимптотическому сопла по ф, координата контура при заданном распределении наСогласно асимптотическому сопла по ф, координата контура при заданном распределении наразложению в окрестности оси сопла в осесимметричном случае оси определяется по формулеразложению в окрестности оси сопла в осесимметричном случае оси определяется по формуле

Согласно асимптотическому сопла по ф, координата контура при заданном распределении на

Согласно асимптотическому сопла по ф, координата контура при заданном распределении на

разложению в окрестности оси сопла в осесимметричном случае оси определяется по формуле

разложению в окрестности оси сопла в осесимметричном случае оси определяется по формуле

(4.20)

Здесь

где р(Х) —безразмерная функция давления.

Очевидно, что первый член в квадратных скобках соотношения (4 20) соответствует одномерной теории, второй член учитывает уже двумерный характер течения. Как показали расчеты, контуры, полученные по одномерной теории в дозвуковой области, располагаются ниже заданных. Это означает, что для построения распределения скорости, соответствующего истинному двумерному течению, можно подобрать некоторый контур, расположенный ниже искомого, одномерное распределение для которого соответствует двумерному для заданного контура. Отметим еще, что одномерная теория позволяет достаточно хорошо «угадать» контур в трансзвуковой области вверх по течению от минимального сечения.

Из вышесказанного следует, что при выборе начального распределения целесообразно либо вычислять скорость по одномерной теории для некоторого контура, расположенного ниже исходного, либо определять скорость не из уравнения (4.19), а из уравнения (4 20), считая, что левая часть есть известная функция от х. Решать это уравнение необходимо каким-либо итерационным методом- либо методом Ньютона, либо методом хорд.

В работе [28] были использованы два способа задания начального распределения: распределение (4.3) и одномерное, соответствующее некоторому контуру, расположенному ниже исходного. Последний выбирался следующим образом. Первоначально рассчитывалось одномерное распределение, соответствующее искомому контуру, а затем координата х увеличивалась в некоторое

Рис 4 20 Распределение скорости (I) и контур сопла (II) при решении прямой задачи как серии обратных I — одномерная теория ПриближенияРис 4 20 Распределение скорости (I) и контур сопла (II) при решении прямой задачи как серии обратных I — одномерная теория ПриближенияРис 4 21 Распределение скорости (I) и контур сопла (II) при решении" прямой задачи как серии обратных.Приближения:X — 1 е, О — 50 еРис 4 21 Распределение скорости (I) и контур сопла (II) при решении" прямой задачи как серии обратных.Приближения:X — 1 е, О — 50 еX — 20 е, О — 30 е, ф — 40 е

Рис 4 20 Распределение скорости (I) и контур сопла (II) при решении прямой задачи как серии обратных I — одномерная теория Приближения

Рис 4 20 Распределение скорости (I) и контур сопла (II) при решении прямой задачи как серии обратных I — одномерная теория Приближения

Рис 4 21 Распределение скорости (I) и контур сопла (II) при решении" прямой задачи как серии обратных.

Приближения:

X — 1 е, О — 50 е

Рис 4 21 Распределение скорости (I) и контур сопла (II) при решении" прямой задачи как серии обратных.

Приближения:

X — 1 е, О — 50 е

число раз без изменения скорости в точках. Такой выбор начального распределения позволял добиваться сходимости общего итерационного процесса и для крутых контуров. Корректировка распределения скорости производилась по формуле

КП^Х^-^^-Х^), (4.21>

где Х'1’— одномерная скорость, соответствующая заданному кон- 1 (2)

туру, Хо — одномерная скорость, соответствующая текущему контуру, Х<2) — текущее распределение скорости на оси, Х(1) — уточненное распределение скорости перед проведением следующей итерации. Формула (4 21) выражает тот факт, что разность между двумя распределениями на оси, соответствующими истинным двумерным течениям, пропорциональна разности соответствующих одномерных распределений скорости. В результате расчетов оказалось, что итерационный процесс оказался устойчивым и сходящимся при малых Oi^0,l ... 0,001. Точность расчетов заметно повышается, если использовать разностную сетку с переменным шагом Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока относительная разность между координатами исходного и текущего контуров не станет меньше заданного числа ei

На рис 4 20, 4 21 представлены некоторые результаты расчетов. На рис 4 20 в качестве заданного контура выбран контур с Pi=l, Р2—2, 9° = 35°, г0=2,5 [обозначения (см. рис 4 6)]. Начальное распределение скорости на оси — растянутое одномерное. Видна хорошая сходимость последовательных приближений в дои трансзвуковой областях Распределение скорости в трансзвуковой области, а также положение звуковых точек на оси и на контуре, которые, как известно, зависят только от Р2, хорошо совпадают с соответствующими значениями, полученными из решения обратной задачи Аналогичные результаты получены и для более крутых контуров Так, на рис 4 21 представлен контур с Pi = 0,7; Р2=1; 00 = 70°; г0=2,5. Здесь в качестве начального распределе-

ния скорости на оси выбиралось распределение (4.3) с ^ = 0,1011, 6 = 0,25 Видно, что и в этом случае имеет место хорошая сходимость к заданному контуру. При больших значениях 0° и /%-1 расчет течения в рамках идеальной жидкости может оказаться неправомерным, поскольку и в дозвуковой и в трансзвуковой областях для столь крутых сопел возникает отрыв пограничного слоя Рассмотренные выше случаи относятся к расчету осесимметричного течения Мейера, когда в потоке содержится звуковая линия, простирающаяся от стенки сопла до оси. Описанный алгоритм был применен и к расчету осесимметричного течения Тейлора, когда в потоке содержатся местные сверхзвуковые зоны. В этом случае на оси распределение скорости задавалось в виде (4.7). Результаты расчетов для этого случая представлены на рис. 4.15.

В настоящее время описанный алгоритм реализован в виде комплекса программ и позволяет рассчитывать контуры сопел в дозвуковой области в диапазоне углов 0О от 10 до 50°, значений RJr0 от 0,3 до 2 и R2]r* от 0,25 до 3. Точность подбора координат контура до 0,1%. В некоторой степени решение прямой задачи приближенно может быть осуществлено с помощью табл 4 1 и формул (4 3), (4 6) для распределения скорости (4.3), что позволяет рассчитать контуры сопел с заданным значением Rijr*.

ТЕЧЕНИЯ В КОЛЬЦЕВЫХ СОПЛАХИ КРИВОЛИНЕЙНЫХ КАНАЛАХ

Течение в кольцевых соплах

Различные схемы осесимметричных сопел с кольцевым минимальным сечением (так называемые тарельчатые сопла, сопла с центральным телом, сопла с прямолинейной верхней стенкой) можно образовать из кольцевого сопла путем изменения отдельных его элементов Существует три аэродинамические конфигурации кольцевых сопел — с нулевым, положительным и отрицательным наклонами минимального сечения (рис. 4 22, а, б, в). Кольцевые сопла с нулевым наклоном минимального сечения подразделяются на три группы, с внешним, внутренним и двойным (рис. 4 22, г, д, е} расширением. Практическое использование кольцевых сопел возможно в реактивных двигателях и в аэродинамических трубах.

Для расчета всех этих типов кольцевых сопел решается обратная задача теории сопла (ОвсянниковА М , 1971 г.) Задается некоторая аналитическая кривая I, являющаяся линией тока искомого течения, на ней задается аналитическое распределение давления (или скорости) в дозвуковой, трансзвуковой и сверхзвуковой областях, и для уравнений газовой динамики решается задача Коши.

При расчете течений в кольцевых соплах и криволинейных каналах можно задавать в качестве кривой / одну из стенок, а распределение давления (скорости) подбирать так, чтобы получалось требуемое течение (в качестве второй стенки выбирается под- 153

Рис 4 22 Различные схемы кольцевых сопел

АВ— звуковая линия, МО, NO, NO' — прямолинейные характеристики, NN', ММ'— характеристики веера волн разрежения

ходящая линия тока). Однако з большинстве случаев распределение давления (скорости) бывает неизвестным и приходится для' его оценки в первом приближении пользоваться одномерной теорией.

Поэтому целесообразно в качестве кривой I брать линию тока искомого течения с минимальным во всей области наклоном к линии, относительно которой ведется одномерный расчет, как имеющую наиболее близкие значения параметров неизвестного течения к параметрам, рассчитанным по одномерной теории.

В соответствии с изложенным выше для кольцевых сопел с внешним и с внутренним расширением в качестве кривой / берется цилиндрическая стенка сопла. Для расчета кольцевых сопел с двойным расширением можно предполагать (хотя и не обязательно) наличие некоторой прямолинейной линии тока, параллельной оси, и, беря ее в качестве I, строить течение в обе стороны от нее. Выбор кривой I в случае сопел с наклонным минимальным сечением характеризуется в основном тремя параметрами: координатами входного и выходного сечений и углом а Течение в этом случае также строится в обе стороны от этой внутренней линии тока /. Такой метод решения задачи Коши в обе стороны от начальной поверхности предпочтителен и с точки зрения вычислительной математики, так как позволяет рассчитывать с высокой точностью большие области течения

Ниже приведены результаты численного расчета осесимметричного течения в дозвуковой, транзвуковой и сверхзвуковой областях кольцевых сопел с криволинейной поверхностью перехода с

-го/*

Рис. 4 23. Течение в кольцевом осесимметричном сопле с двойным расширением. Линии тока (ip=const) и линии постоянной скорости (lT=const)

различным наклоном минимального сечения сопла для распределения скорости на начальной кривой (4.3). Показано, что течение в кольцевом осесимметричном сопле сильно отличается как от одномерного, так и от плоского случаев. В дозвуковой области обнаружено возникновение положительных градиентов давления. Следует заметить, что, задавая соответствующее распределение скорости по /, можно рассчитать кольцевое сопло и с плоской поверхностью перехода, перпендикулярной оси симметрии. В осесимметричном случае невозможно течение с плоской звуковой поверхностью, перпендикулярной оси симметрии. Для расчета кольцевых сопел с внешним, внутренним и двойственным расширением в качестве I выбиралась прямая rz=const.

На рис. 4.23 представлено поле течения в кольцевом осесимметричном сопле с двойным расширением с уz=0,6 для распределения (4.3) с №«>=0,1; Жо=1,9; Ь = 0,21. Расчеты проводились по формулам (3.13) ... (3.16) с Дф = 0,2• 10“2 при счете поля с r>rz и Дф = 0,Ы0-2 при расчете поля с г<п. Для расчета области течения, расположенной близко к оси, полагалось Дф» 10-4.

На рис. 4.23 нанесены семейства линий тока, линии №=const, звуковая линия (черными точками) и линия 0 = 0 (светлыми точками). Любые из этих линий тока могут быть выбраны за стенки сопла. Течение для T^fi соответствует течению в кольцевом сопле с внешним расширением, а течение с г^л— течению в кольцевом сопле с внутренним расширением.

Как показали специальные расчеты, малые изменения формы линии тока, расположенной вблизи оси симметрии перед иглой

Рис 424 Сравнение контуров кольцевых сопел в плоском, осесимметричном и одномерном теченияхРис 424 Сравнение контуров кольцевых сопел в плоском, осесимметричном и одномерном теченияхцентрального тела, практически не влияют на течение в кольцевом сопле с осевой симметрией, а поэтому возможно укорочение иглы центрального тела без сильного влияния при этом на поле течения. Звуковая линия и линия: 6 = 0, как следует из рис. 4.23, отклоняются вверх по потоку, так что звуковая точка на кривой I располагается за минимальным сечением. Причем в случае кольцевых сопел с внешним и внутренним расширением звуковая точка на цилиндрическом участ

Рис 424 Сравнение контуров кольцевых сопел в плоском, осесимметричном и одномерном течениях

Рис 424 Сравнение контуров кольцевых сопел в плоском, осесимметричном и одномерном течениях

ке располагается ниже по течению, чем все остальные, а отклонение звуковой линии вверх по потоку на внешнем контуре сопла с двойным расширением больше, чем на внутреннем. Распределение- давления на I мало отличается от одномерного, особенно в диапазоне скоростей от 0 до 1,6 (р>0,25),

В области малых дозвуковых скоростей, где контур практически прямолинеен и параллелен оси симметрии, возникает зона с положительным градиентом давления. Из результатов расчета следует, что на всех линиях тока, начиная с линий тока с ф = 0,03 и ф= = —0,02, имеется положительный градиент давления, увеличивающийся с уменьшением радиусов Р3, Rt. Так, на линии тока с ф = = 0,06 максимальное значение ср=0,Н, на линии тока с ф=0,08 оно равно 0,4, а на линии тока с тр = 0,10 максимальное значение Ср = 0,9.

Положительный градиент давления на этих линиях тока может быть устранен, если использовать контуры, которые достаточно плавно выходят на заданный радиус входа в дозвуковую часть сопла. На линиях тока, расположенных в окрестности оси симметрии, положительный градиент давления больше, и возникает из-за наличия центрального тела. При ф= —0,028 максимальное значение £р = 0,36. Устранение положительного градиента давления в этой области затруднено, так как применение более плавных переходов ведет здесь к использованию острых игл, что в области

высоких температур нежелательно.

На рис. 4.24 представлено сравнение контуров, полученных при решении обратной задачи в осесимметричном (кривая 7), плоском (кривая 2) и одномерном случаях (кривая 3). Координаты контуров в районе минимального сечения совпадают с точностью 1%. Видно, что в первом приближении одномерный случай по контуру дает неплохой результат.

Для расчета кольцевых сопел с наклонным минимальным сечением в качестве кривой I выбиралась функция, получаемая от сглаживания ступеньки

?= l/2(r++r_);?= l/2(r++r_);(4.22>(4.22>x> 0; x=0; x<0.

?= l/2(r++r_);

?= l/2(r++r_);

(4.22>

(4.22>

В качестве оператора сглаживания начальных данных применялся нормированный оператор свертки

8

f—В)ехр((4.23>

2 J\ V V )

—8

2= С exp ( ~ 52^(4.24>

— 5

Из (4.22), (4.23) нетрудно получить угол наклона линии тока I к оси симметрии в точке, где w= 1

9Z = — arctg-^^^^—.(4.25>

Следует заметить, что использование оператора (4.23) позволяет в качестве начального распределения скорости (давления) использовать кроме известных аналитических функций и распределения, получаемые из эксперимента.

На рис. 4.25, 4.26 представлено семейство линий тока, линии IT=const, звуковая линия (черными точками) и линии 0 = 01

Рис. 4 25. Течение в кольцевом осесимметричном сопле с двойным расширение» с наклонным минимальным сечением

-Z -1 ОХ-Z -1 ОХРис 4 26. Течение в кольцевом осесимметричном сопле с двойным расширением с наклонным минимальным сечениемРис 4 26. Течение в кольцевом осесимметричном сопле с двойным расширением с наклонным минимальным сечением

-Z -1 ОХ

-Z -1 ОХ

Рис 4 26. Течение в кольцевом осесимметричном сопле с двойным расширением с наклонным минимальным сечением

Рис 4 26. Течение в кольцевом осесимметричном сопле с двойным расширением с наклонным минимальным сечением

(светлыми точками). На рис. 4.25 кривая /, определяемая из (4.22), (4.23), имеет г+=1,0;г_= = 0,5; 6; = —13° (( = 5, 6 = 3), а распределение скорости на I задается по (4.3) с ^со = 0,06; Жсо= 1,9; 6 = 0,21.

На рис. 4 26 кривая I имеет г+ = 0,5; г_ = 2,0; 0; = 35° (( = 5, 6 = 3), а распределение скорости на I рассчитано по (4.3) с 1Рсо = = 0,1; Жо=1,9; 6 = 0,30.

Видно, что звуковая линия может смещаться как вверх, так и вниз по потоку, но выпукла в сторону сверхзвуковой области. На цилиндрических участках в обоих случаях также обнаружены положительные градиенты давления. Их возникновение наблюдается для верхней половины течения на линиях тока уже с малыми зна

чениями -ф. Так, на линии тока с ф = 0,01 ср = 0,08.

Течение в криволинейных каналах

Течение в криволинейных каналах рассмотрено в рамках обратной задачи в работах [21, 27]. Расчет течения проводится с использованием уравнений, записанных в криволинейной ортогональной системе координат [уравнения (1.117) ... (1.121)] по разностной •схеме, аналогичной схеме, изложенной в разд. 3.1.2. Рассмотрим первоначально результаты расчета радиальных сопел, в которых происходит поворот потока на 90°.

Существуют три типа осесимметричных радиальных сопел: дисковые сопла (рис. 4.27, а), сопла с центральным телом с обычной осесимметричной камерой (рис. 4.27, б) и кольцевые радиальные сопла (рис. 4.27, s). Последний тип сопел является относительно •общим случаем радиальных конфигураций. Радиальные сопла состоят из двух контуров. Из технологических соображений необходимо иметь по крайней мере один простой контур с образующей, составленной из отрезков прямых и дуг окружностей.

Возьмем в качестве кривой /, на которой ставятся начальные данные, кривую, составленную из дуги окружности

U-0,3)2+(г-0,75)2 = 0,З2; х<0,3; г<0,75(4.26)

и полупрямых

0,75; г=0,45; х>0,3.

(4.27)

Рис 4 27 Геометрия радиальных сопел с поворотом потока на 90°

На этой кривой зададим распределение скорости в виде (4.3) с заменой в этой формуле х на о.

Для радиальных сопел отрицательное направление криволинейной оси 0а (направление потока) совпадает с направлением ОСИ 0г.

В случае малых расходов возможны варианты дозвукового и сверхзвукового разворота потока. На рис. 4.28 представлено течение в радиальном сопле с дозвуковым разворотом потока, при котором сохраняются характерные качественные особенности течений, обнаруженные в кольцевых соплах простых конфигураций (см. предыдущий раздел). Как следует из (4.3), при о=0 получим значение скорости 1К=1. Эта звуковая точка на I располагалась в месте сопряжения дуги с полупрямой, ортогональной оси симметрии, т. е. в точке с координатами х=0, z/=0,75. Полагалось также 1К<х> = 0,1; Wco=l,96 (т. е. на выходе М=3), 6 = 0,18.

Как и в случае кольцевых сопел с нулевым наклоном минимального сечения, звуковая линия (она изображена черными точками), смещается вверх по потоку от минимального сечения (светлые точки) и выпукла в сторону сверхзвуковой области. На цилиндрических участках в дозвуковой области обнаружено также возникновение зон с положительным градиентом давления. Кроме того, возникновение положительных градиентов давления наблюдается и в сверхзвуковой части, что объясняется чрезмерным ускорением потока на соответствующих линиях тока. Так, на линии тока с ф = 0,032 имеется довольно большая область с положительным градиентом давления при r>2,5. С уменьшением параметра b в (4.3), т. е. при уменьшении ускорения потока в областях выхода скорости на постоянные значения, положительные градиенты давления, наблюдаемые в дозвуковой и сверхзвуковой областях течения, растут.

На рис 4 28 представлена также зависимость коэффициента давления ср = 2(р—р± co)/(pcoW2co) от х для дозвуковых областей и от г для сверхзвуковых областей на линиях тока с ф = 0,032 и ф = = —0,014. Максимальные значения коэффициента давления на линии тока с ф = 0,032 в дозвуковой и сверхзвуковой областях равны соответственно 0,13 и 0,017, а на линии тока с ф= —0,014 0,07 и 0,001.

Рис 4 28 Геометрия и линии тока радиального сопла с поворотом потока на 90°Рис 4 28 Геометрия и линии тока радиального сопла с поворотом потока на 90°Рис 4 29 Геометрия и линии токаРис 4 29 Геометрия и линии токарадиального сопла с поворотом потока на 90°радиального сопла с поворотом потока на 90°

Рис 4 28 Геометрия и линии тока радиального сопла с поворотом потока на 90°

Рис 4 28 Геометрия и линии тока радиального сопла с поворотом потока на 90°

Рис 4 29 Геометрия и линии тока

Рис 4 29 Геометрия и линии тока

радиального сопла с поворотом потока на 90°

радиального сопла с поворотом потока на 90°

В случае сверхзвукового разворота потока звуковая линия -смещается вниз по потоку от минимального сечения и выпукла в ■сторону дозвуковой области. Такое различие в смещении звуковой линии объясняется разным действием центробежных сил, появляющихся при развороте потока, что приводит к увеличению неравномерности потока по сечению и к относительному подтормаживанию его на линиях тока меньшей кривизны. Как показали результаты исследования, поскольку величина центробежной силы пропорциональна квадрату скорости потока, при увеличении параметра b в (4.3), т. е. с увеличением скорости дозвукового потока в области минимального сечения, происходит более сильное относительное подтормаживание потока на линиях тока меньшей кривизны, а значит и увеличение смещения звуковой линии. Следует заметить, что -скорость этого смещения характеризует выпуклость звуковой линии и зависит как от начальных данных, так и от кривизны линий тока и значений скорости потока на них.

На рис. 4.29 представлено течение в радиальном сопле с начальной кривой I, взятой в качестве стенки сопла и задаваемой, как и выше, соотношениями (4.26), (4.27). Распределение скорости задается по (4.3) с параметрами Ж=о==0,3; ИЛх>=1,96 (М=3); Ь= 160

= 0,35 и значением <т=0 (1Е=1) при х=0, г=0,75. Из рис. 4.29 видно, что звуковая линия выпукла в сторону дозвуковой части сопла

Как следует из формы звуковой линии, представленной на рис. 4 29, в случае больших относительных расходов нельзя разделять сопла на варианты с дозвуковым и сверхзвуковым разворотом потока. Само понятие критического сечения в этом случае теряет смысл.

Как показали результаты расчетов, разрыв кривизны контура I, имеющийся в точке сопряжения окружности с цилиндрической частью центрального тела, не оказывает заметного влияния на образование положительных градиентов давления. Вместе с тем с уменьшением параметра b в (4.3) область с положительным градиентом давления в окрестности точки А разрыва кривизны с координатами х=0, г—0,75 уменьшается в поперечном течению направлении. При этом уменьшается и радиус выходного сечения с равномерными параметрами. Так, например, в случае, представленном на рис. 4.29 (при 6 = 0,35), положительный градиент давления появляется уже на линии тока с ф=0,03, а при значении 6=0,15 его появление наблюдается лишь при ф^0,06. С уменьшением скорости в месте разрыва, что достигается увеличением гс=0, размеры области с положительным градиентом давления сокращаются вдоль линий тока. Если в случае, представленном на рис. 4.29 (с га=0=гд=0,75), размеры области с положительным градиентом давления в зоне точки А на линии тока с ф=0,12 составляют примерно 0,17 по длине кривой, то при га=о=О,87 они равны уже 0,085, т. е. в два раза меньше.

Следует заметить, что уменьшение параметра 6 увеличивает и минимальный радиус кривизны внешней линии тока. Уменьшение скорости на входе ИТ» также уменьшает область с положительным градиентом давления, появление которой наблюдается на более далеких от I линиях тока. Однако в этом случае возникают положительные градиенты давления на цилиндрических участках в дозвуковой части радиального сопла, что не позволяет рассчитывать течения в соплах на большие относительные расходы.

Приближение линии I с фиксированной геометрией к оси симметрии приводит к увеличению влияния осесимметричности течения, а значит при сохранении распределения давления и к увеличению зоны с положительным градиентом давления, появление которой наблюдается при меньших значениях ф. Увеличение же радиуса поворота центрального тела при постоянном положении точки А и постоянном распределении давления по Z при rQ=0—гА равносильно приближению линии / к оси симметрии с одновременным уменьшением линейного размера в (4.3) в соответствующее число раз и последующему такому же увеличению геометрических размеров рассчитанного течения. Это увеличение радиуса поворота сокращает размеры области с положительным градиентом давления, появление которой также наблюдается при больших значениях ф.

Основное требование, предъявляемое к радиальным соплам для МГД-генераторов,— получение равномерного по сечениям радиального потока на выходе из сопла при достаточно малых радиусах выходного сечения. В области входных и выходных сечений имеется неравномерность параметров поперек сечений, характеризуемая максимальным относительным различием давления на крайних линиях тока. При повороте на 90° получается существенно неравномерный по сечению поток, так что для получения равномерного потока на выходе из сопла требуются значительные радиальные размеры. В случае, представленном на рис. 4.29, приемлемая неравномерность в 5% по давлению получается лишь при г^1,3. Для сравнения отметим, что скорость звука на центральном теле достигается при г=0,75. После поворота ускорение потока на внешнем контуре меньше, чем на центральном теле.

Как показали результаты исследования большой серии радиальных сопел, с увеличением г в сечении r=const сначала достигается достаточно равномерный поток; затем равномерность давления нарушается (иногда на 7... 10%); далее в силу появления зоны с положительным градиентом давления поток снова выравнивается. Некоторая неравномерность давления (меньшая 3%) в некоторых случаях остается и при г=4. При этом после минимального сечения сопло с увеличением г сначала расширяется, а затем начинает сужаться, так как выбранное по (4.3) распределение скорости отвечает выходу потока на постоянное значение давления.

Следует отметить, что выходное сечение сопла наиболее целесообразно выбирать в области, расположенной до зоны с положительным градиентом давления. Выбранное таким образом выходное сечение расположено немного дальше по г, чем сечение с максимальным расстоянием между стенками.

Для получения кольцевых сопел нулевой тяги необходимо использовать симметричные радиальные течения. На рис. 4.30 представлено течение в таком кольцевом сопле нулевой тяги (обозначения совпадают с предыдущими). Основная особенность такого сопла состоит в том, что нулевая тяга в нем получается при всех значениях радиуса выходного сечения независимо от степени неравномерности потока. Однако некоторые трудности, связанные с моментом запуска и поддержанием стационарного режима течения, говорят о том, что лучше использовать для этих целей два симметрично расположенных радиальных сопла.

Если отсутствие ускорения потока на выходе из сопла не стдяь- важно, но необходимо условие параллельности стенок на выходе, то можно в качестве начального распределения давления (скорости) брать распределение, составленное из двух частей, например, из (4.3) и распределения, отвечающего сверхзвуковому плоскому радиальному течению. Но в любом случае при выборе выгодного сечения следует учитывать и влияние пограничного слоя, если не- делается поправка контура.

Рис 4 30 Геометрия и линии тока радиального сопла с нулевой тягойРис 4 30 Геометрия и линии тока радиального сопла с нулевой тягойрадиального сопла с центральным терадиального сопла с центральным теломлом

Рис 4 30 Геометрия и линии тока радиального сопла с нулевой тягой

Рис 4 30 Геометрия и линии тока радиального сопла с нулевой тягой

радиального сопла с центральным те

радиального сопла с центральным те

лом

лом

Для расчета течений в радиальных соплах с центральным телом с осесимметричной камерой в качестве начальной кривой I зададим форму центрального тела и часть оси симметрии, расположенную внутри течения.

На рис. 4.31 представлен пример течения в таком радиальном сопле. В качестве начальной кривой I выбиралась кривая, составленная из отрезков прямых х=0, г^0,3; х^0,3; у=0 и дуги окружности (х—0,3)2 + (г—0,3)2=0,32, соединяющей их.

На кривой I задавалось распределение скорости по (4.3) с параметрами: IFco=0,3; Wco=l,96 (М=3); Ь = 0,21 и значением ст=0 (1Г=1) в точке с координатами х=0, г—1,05. Использовалась прежняя сетка. На рис. 4.31 представлен пример разворота медленного дозвукового потока. Линия тока с ф=0,028 довольно близко подходит к угловой точке, образуя угол в 96°. Эта картина показывает возможность расчета данным методом течений, близких к течениям с угловыми точками. Следует заметить, что поджатие потока внешним контуром в месте поворота течения на 90° обусловлено требование непрерывного ускорения газа вдоль части окружности на кривой I, вызванным начальным распределением скорости. Подчеркнем, что в области, близкой к угловой точке, точность счета существенно снижается, и подходить к результатам расчета таких течений с количественной стороны надо особенно аккуратно.

Рис 4 32 Геометрия, линии тока и линии 1Г'= const в кольцевом сопле с поворотом потока на 180°

Уменьшая радиус окружности центрального тела, в пределе получим конфигурацию дискового сопла (см. рис. 4.27, а). Однако распределение скорости по I в данном случае должно быть другим, так как поток при подходе к плоскому экрану должен тормозиться в окрестности оси симметрии, чтобы не было картин, аналогичных представленной на рис. 4 31 с поджатием потока в месте разворота. Это распределение можно брать либо из экспериментальных данных, сглаживая его по методу, описанному выше, либо из какого-нибудь аналитического распределения с 1У=(1У>0) в начале координат, отвечающего течению в требуемой конфигурации. В силу особенности, неустранимой даже переходом к какой- либо другой записи основной системы уравнений, при г=0 нельзя иметь точки торможения 1К=0. Но это, вообще говоря, и не требуется, так как малые изменения скорости в начале координат слабо влияют на все течение.

Назовем линию тока, совпадающую с осью симметрии, идущую затем по плоскому экрану дискового сопла, нулевой. Задачу о расчете течения в дисковом сопле можно решать несколькими способами. Наряду с описанной выше постановкой этой задачи в координатах (ф, о) (назовем ее задачей 2), возможно решение задачи Коши в координатах (х, г) с начальным условием на плоском экране (назовем ее задачей У), а также с начальным условием на оси симметрии (которую назовем соответственно задачей X). При этом целесообразно начальные данные для задач X и Y ставить в симметричном интервале с заданием четной функции распределения скорости или давления.

Так как при численном расчете мы имеем дело с дискретным заданием функций, то и возможно при решении задачи 2 такое «независимое» задание распределений скорости (давления) по плоскому экрану и оси симметрии. В самом деле, совокупности 164

дискретных точек задачи S отвечает другой аналитический многочлен Лагранжа, нежели каждому слагаемому, являющемуся в отдельности начальным условием при решении задачи У и X соответственно.

На рис. 4 32 представлен пример течения в канале, поворот потока в котором осуществляется на 180°. Из рассмотрения линии iy=const видно, что очень сильна неравномерность потока по сечению. Интересно, что несмотря на узкие проходные сечения, наличие центробежных сил при больших поворотах создает значительную неравномерность в потоке, в связи с чем использование одновременного приближения для расчета течений в таких каналах оказывается совершенно неправомочным. Аналогичные результаты получены также при расчете каналов, в которых дозвуковой поток первоначально движется в направлении, перпендикулярном оси симметрии, а затем переходит в сверхзвуковой, одновременно поворачиваясь на 180°.

ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ С ЗАКРУТКОЙ ПОТОКА

Примем, что все параметры течения, кроме <р, есть функции лишь двух независимых переменных (s и ф). Будем считать также, что 7?(s) = оо. Тогда из (1.97) нетрудно получить, что

й> (s, ф)г(5, Ф)=С(Ф)=да0(50, Ф)г0(5, ср); (4.28)

? = (4.29) J Г»

где auo(so, ф) и r0(s, ф) значения функций w и г на начальной плоскости. Уравнения (1.95) ... (1.104) в этом случае приобретают точно такой же вид, как в осесимметричном течении без закрутки, лишь в выражении для G(s, ф) добавляется член w2jr, который согласно (4.29) является известной функцией от г, а в выражении для W нужно учитывать и составляющую w. Уравнение (4.29) служит для определения геометрии поверхностей тока. В координатах о, ф система уравнений осесимметричного течения с закруткой есть система (1.117) . . (1.121). Существенно, что если С(ф)^=соп51 [см. (4.28)] и Ф° (ф) =^const [см. (1.90)], то система (1.95) ... (1.104) описывает вихревое неизоэнтропическое течение с закруткой. При С(ф)=сопз1 течение является безвихревым, а при Ф°(ф)=соп51 еще и изоэнтропическим. В зависимости от вида функции С(ф) получаются различные законы закрутки- — от закона твердого тела при С (Ф)~ У^ до закона вихря при С(ф) =const.

Ниже представлены некоторые результаты расчетов осесимметричных течений, полученных в работе [19] в рамках обратной задачи для течений в достаточно сложных каналах

Как известно, в радиальных МГД-каналах под действием лорен- цовой силы происходит закрутка потока. В этом случае при расчете бесскачковых диффузоров необходим учет закрутки потока на

Рис 4 33 Течение в радиальном диффузоре при наличии закрутки на входеРис 4 33 Течение в радиальном диффузоре при наличии закрутки на входе

Рис 4 33 Течение в радиальном диффузоре при наличии закрутки на входе

Рис 4 33 Течение в радиальном диффузоре при наличии закрутки на входе

входе. Бесскачковый диффузор может быть получен путем обращения потока в сопле с изоэнтропическим течением, в котором отсутствуют ударные волны.

На рис. 4.33 представлено течение в диффузоре с радиальным потоком на входе при наличии безвихревой закрутки потока. Там же точками показаны линии тока в случае отсутствия закрутки, т. е. при С(ф)=0.

Если обратить течение и рассматривать представленную конфигурацию как сопло с радиальным потоком на выходе, направленным к оси симметрии, то при выбранном распределении скорости (4 3), отвечающем течению по / со скоростью, стремящейся к постоянному значению, линии тока при малых значениях г в силу наличия осевой симметрии будут довольно сильно рас

ходиться, поворачиваясь в положительном направлении оси Ох. При этом поле потока будет сильно неравномерным по сечению, причем с ростом |ф| скорость в сечении резко увеличится. С увеличением скорости закрутки потока на входе в диффузор, т. е. на

выходе из обращенного сопла, неравномерность потока увеличивается. В связи с этим в качестве входного сечения диффузора выбирается сечение с большим радиусом, обладающее приемлемой неравномерностью потока, а при расчете течения выбирается большее значение W«>, чем это необходимо для входного значе

ния скорости. Можно также в качестве начального распределения брать распределение, у которого сверхзвуковая ветвь отвечает те

чению, асимптотически выводящему поток на радиальное течение. Неравномерность потока на выходе из диффузора соответствует кольцевым соплам простой конфигурации. На рис. 4.34 представлен пример расчета безвихревого течения с закруткой потока в кольцевом канале, в котором происходит поворот потока на 180° и С(ф) = const = <о при <о = 0,2. На этом рисунке показана геометрия линий тока и линии W= const, пунктиром изображены линии тока в течении без закрутки. Очевидно сильное различие полей течения. Имеет место заметное влияние закрутки на течение в трансзвуковой области. Интересно, что закрутка уменьшает в этом случае неравномерность потока, вызванную центробежными силами и может привести, в отличие от случая простых конфигураций, к увеличению коэффициента расхода С увеличением скорости вращения звуковая линия смещается вверх по потоку на большую величину и коэффициент расхода уменьшается.

Рис 4 35 Зависимость коэффициента расхода ц от безразмерной скорости закрутки а*

На рис. 4.35 представлена зависимость коэффициента расхода от безразмерной скорости закрутки а», где а*=—— , a Ц7тах—

Wmax максимальная скорость истечения, для случая безвихревой закрутки при течении в кольцевых соплах с относительно малыми зазорами по сравнению с расстоянием от оси симметрии, рассчитанная по изложенному выше методу (кривая /). На этом же рисунке пунктирными линиями показана зависимость для винтового течения, черными точками представлен случай вращения по закону твердого тела, светлыми — экспериментальные данные [27]. Кривая 2 соответствует расчету по изложенному выше методу при С(ф)~ф. Видно хорошее совпадение полученных автором данных с экспериментальными и расчетными. Некоторое отличие объясняется различным характером закрутки потока во всех вариантах. Как следует из сравнения этих данных, коэффициент расхода относительно слабо зависит от характера изменения закрутки и от вида сопел и определяется, в основном, лишь ее скоростью для рассмотренных типов закрутки

Отметим в заключении, что искривление оси [^(s)^ оо] канала приводит к появлению окружной составляющей, даже если она отсутствовала в начальном сечении [см. уравнение (1.97)].

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ПРОФИЛИРОВАНИЯ КАНАЛОВ

Выше были представлены решения основного класса обратных задач, в которых данные Коши задавались во входном сечении, 167

о в, в х о Bj вг6о в, в х о Bj вг6Рис 4 36 Схема профилирования сопла с угловой точкой и равномерным и параллельным оси потоком в выходном сеченииРис 4 36 Схема профилирования сопла с угловой точкой и равномерным и параллельным оси потоком в выходном сечениирасположенном в дозвуковой области, и на поверхности тока для до-, транс- и сверхзвуковой областей течения. В результате решения определялось поле течения в окрестности начальной поверхности тока и семейство линий тока, каждую из которых можно принять за жесткий контур сопла.

о в, в х о Bj вг

6

о в, в х о Bj вг

6

Рис 4 36 Схема профилирования сопла с угловой точкой и равномерным и параллельным оси потоком в выходном сечении

Рис 4 36 Схема профилирования сопла с угловой точкой и равномерным и параллельным оси потоком в выходном сечении

В этом разделе будет рассмотрен другой класс задач, когда граничные условия зада

ются либо в выходном сечении, либо кроме того, еще на поверхности тока в сверхзвуковой области. В этом разделе рассмотрен также и метод профилирования аэродинамических сопел, хотя этот метод частично базируется на основной обратной задаче.

Методы профилирования осесимметричных сверхзвуковых сопел с равномерными изоэнтропическими параметрами в выходном сечении Г, основанные па использовании численного метода характеристик, рассмотрены в [27]. Так как требуемый поток даже- в классе плоских и осесимметричных течений можно получить, бесчисленным количеством способов, то необходим дополнительный критерий выбора, в связи с чем за основу был взят принцип быстрейшего разгона потока. Это приводит к появлению точек излома контура, если не наложено ограничение на кривизну поверхности канала.

В качестве примера рассмотрим профилирование сверхзвукового сопла с угловой точкой, в сечении ОА которого все газодинамические параметры постоянны, а скорость равна скорости звука (рис. 4.36, а). Требуется определить форму сверхзвуковой части сопла, обеспечивающую равномерный и параллельный оси поток на выходе с заданным числом М=М0.

Задача распадается на две: расчет газодинамических параметров в области волны разрежения ОАВ (разгонный участок) и определение контура сопла АС и параметров течения в области АВС (выравнивающий участок). Граничная характеристика АВ волны, разрежения такова, что в точке В p=fio=ctgao, где ао=- = arcsin Мо-1. Характеристика ВС, в силу требования равномерности потока на выходе из сопла, является прямой линией с углом наклона «о к оси симметрии. Обратимся вначале к расчету области волны разрежения ОАВ. Для отхода от звуковой линии ОА метод характеристик не может быть использован, так как на ней характеристики обоих семейств сливаются. Для этой цели можно воспользоваться разложением решения в ряд. Для вычисления параметров течения на некоторой близкой к звуковой линии характеристике применяются разложение решения по характеристической координате. На практике часто используется следующий простой 168

прием. Околозвуковая характеристика заменяется прямой линией, в каждой точке которой вектор скорости параллелен оси, а число М постоянно и равно числу М в угловой точке. Расчеты показывают, что если таким образом аппроксимировать характеристику, которой в угловой точке соответствует значение М« 1,001, то обеспечивается вполне удовлетворительная точность.

Итак, пусть известны все параметры потока в точках щ, а2, .... Bi некоторой характеристики АВХ (рис. 4.36, б). В окрестности угловой точки Л реализуется течение Прандтля — Мейера. В точке Л величины х=хА, У=уА, ф = фл постоянны, а |3 и £ связаны соотношением

/(^) —arctg С = 0. (4.30>

Зная искомые величины в точке Л, соответствующие характеристике ABi, и задавая приращение, например, Др, можно найти, используя (4.30), значения р и £ в точке А, соответствующие близкой к ABi характеристике АВ2 пучка. Теперь по известным параметрам в точках Л и ai по формулам (3 81) (при d = const) можно вычислить все искомые величины в точке Ьь Используя точки а2 и Ьх в качестве опорных, можно вычислить параметры течения в точке Ь2 и т. д. При вычислении параметров в точках щ и В2 при v= 1 используются формулы (3.81) с учетом (3.82) и формулы (3.83). Аналогично проводятся вычисления параметров на следующей характеристике. Расчет разгонного участка продолжается до тех пор, пока на оси сопла не будет достигнуто значение 0=Ро, соответствующее заданному значению Мо па выходе из сопла. После этого производится расчет выравнивающего участка сопла.

Зная значения параметров в точках В, а, ..., с, А граничной характеристики волны разрежения и в точке dx прямолинейной замыкающей характеристики (вдоль этой характеристики ^=0; |3 = = p0=]/"M2—1), можно последовательно вычислять параметры, начиная с точки d (см. рис. 4.36, а), в точках характеристики второго семейства, выходящей из точки dy. Расчет ведется до тех пор, пока в некоторой точке этой характеристики величина ф впервые- не превысит заданного значения ф = фл- После этого квадратичной интерполяцией на заданное ф = фд, используя вычисленные параметры в трех последних точках (точки е, f, g на рис. 4.36, а), определяют координаты точки А] на контуре и значения газодинамических параметров в ней. Порядок дальнейшего расчета аналогичен.

Кроме основного контура АС с угловой точкой в процессе расчета можно с помощью интерполяции на фиксированные промежуточные значения 0<фг<фл получить координаты линий тока и распределения параметров вдоль них.

На основе аналогичного метода в классе сопел с равномерным выходом были спрофилированы осесимметричные без центрального тела, кольцевые, плоские симметричные и плоские несимметричные каналы [27.31]. Обобщением изложенного метода явилась разработка алгоритмов, позволяющих профилировать сопла с задан-

ними неравномерными изоэнтропическими параметрами на выходе [6, 7, 14, 16, 17]. В этих работах замыкающая характеристика первого семейства не является равномерной, а определяется из решения задачи Коши с неравномерными данными в выходном сечении. В работе [16] данный метод был применен для построения сопел модельных газодинамических установок. В [17] подробно рассмотрен вопрос о профилировании кольцевых сопел, в частности, задача «адаптации», т. е. согласования входного до- и трансзвукового участков с искомым сверхзвуковым. В [6, 7] задача профилирования решалась сеточно-характеристическим методом при больших неоднородностях сверхзвукового потока в выходном сечении Г.

Обобщением рассмотренных выше постановок для профилирования каналов с заданными изоэнтропическими параметрами на Г является предложенная в [17] схема построения плоского сверхзвукового канала с заданным неизоэнтропическим потоком на выходе при изоэнтропическом течении на входе. Требуемое распределение энтропии S, которое предполагается достаточно гладким, создается специально выстраиваемой ударной волной, расположенной на входе в искомый канал. Однако в предложенной схеме возникает проблема согласования входного потока с заданным выходным, решение которой в осесимметричном случае достаточно сложно.

Отметим, что в работах [12, 23, 30] обратная задача профилирования формулируется таким образом, что распределение давления (или скорости) задается на стенке, которая должна быть определена в процессе решения, при этом в [30] решается краевая задача в плоскости годографа, в [23] используется метод блочной верхней релаксации, а в [12] — метод установления. Представляется, что используемые в этих работах методы являются существенно более громоздкими и требуют при расчетах па ЭВМ больших затрат времени, чем разностный метод, описанный в 3 1.1.

Опишем возможный алгоритм решения задач, рассматриваемых в этих работах, с помощью разностного метода 3.1.1.

Пусть на линии тока ф^фк задано распределение давления, а на оси сопла, как обычно, условие симметрии. Необходимо определить контур сопла, обладающий заданным распределением давления. Задачу удобно решать в координатах ф, х, в которых расчетная область является прямоугольной. -

Алгоритм решения такой задачи аналогичен алгоритму решения прямой задачи как серии обратных, описанному в 4 1 3. В первом приближении на оси сопла задается распределение давления, такое же как и на искомом контуре, и от оси решается обратная задача с помощью разностной схемы (3 13. 3.16) до граничной линии тока ф=фк. Полученное на этой линии тока распределение давления сравнивается с заданным и соответствующее различие вносится в распределение давления на оси, и решение от оси до линии ф = фк повторяется. Очевидно, что предложенный алгоритм должен достаточно быстро сходиться.

Профилирование аэродинамических сопел

Сопла аэродинамических труб по своему назначению должны обеспечивать достаточно высокую равномерность потока в выходном сечении. В связи с этим для построения контуров аэродинамических сопел тем или иным способом решается обратная задача теории сопла, поскольку при решении прямой задачи весьма трудно «угадать» контур сопла, обеспечивающий заданную равномерность потока.

Задача профилирования аэродинамического сопла распадается на два этапа: первоначально каким-либо способом рассчитывается в рамках идеального газа контур сопла, обеспечивающий равномерный поток в выходном сечении, а затем вносится полуэмпири- ческая поправка, учитывающая влияние вязкости.

Построение контура сопла, обеспечивающего равномерный поток в выходном сечении, возможно несколькими способами. В первом способе предполагается наличие излома образующей в точке А (рис. 4.37, а). Задается некоторая начальная характеристика АО и рассчитывается течение в волне разрежения ОАС. Между характеристикой АС и равномерной характеристикой ВС, расход через которую равен расходу через АС, решается задача Гурса и определяется семейство линий тока, любая из которых может быть принята за контур аэродинамического сопла. Наименьшей относительной длиной обладает, очевидно, контур АВ. Недостаток этого метода состоит в необходимости специально выбирать контур сопла в трансзвуковой области вверх по потоку от точки А, соответствующей заданной начальной характеристике АО. Если же это условие не выполнено, то несоответствие истинного течения в трансзвуковой области с принятым в расчете приводит к неравномерности параметров в выходном сечении.

Второй способ (рис. 4.37, б) состоит в следующем.

На участке оси сопла ОС задается некоторое распределение скорости (определенное экспериментальным или расчетным путем) и рассчитывается методом характеристик течение в характеристическом треугольнике ОВС. Контур искомого сопла AD определяется далее в результате решения задачи Гурса между характеристиками СВ и CD и ОА и ОВ. При этом характеристика CD равномерная, а характеристика АО получена каким-либо способом из расчета трансзвуковой области. Второй способ, обладая тем же недостатком, что и первый, дает к тому же сопла слишком большой длины.

Рис 4 37. Иллюстрация к методам профилирования аэродинамических сопел

Рис 4 38 Сравнение рассчитанной и экспериментальной формы центрального тела

В третьем способе (рис. 4.37, в), рассмотренном в работе [22], используется метод решения обратной задачи теории сопла, позволяющий по единой схеме рассчитать до-, транс- и сверхзвуковую области течения. Построение контуров для плоских, осесимметричных и кольцевых сопел различных типов производится единообразно, необходимо* лишь выбрать распределение скорости или давления на начальной линчи тока, на которой ставятся данные Коши, обеспечивающие равномерные потоки на выходе из сопла при кратчайшей длине. Поскольку наиболее короткой сверхзвуковой частью обладают сопла с угловой точкой, то в качестве начального распределения на оси можно выбрать расчетное или экспериментальное распределение скорости или давления для этого случая. В частности, можно использовать экспериментальное распределение давления, приведенное в табл. 4.2.

На этом эксперименте следует остановиться особо. Применен обратный метод сравнения расчетных и экспериментальных данных. Экспериментальное распределение давления, снятое по цилиндрической обечайке для кольцевого сопла с центральным телом, сглаживалось затем с помощью некоторого оператора свертки (4.2.3). Полученное таким образом начальное распределение давления использовалось для расчета течения в сопле. Последняя полученная линия тока сравнивалась с контуром центрального тела. Результаты сравнения показаны на рис. 4 38. На этом рисунке кривая 1 соответствует экспериментальному контуру сопла, кривая 2—расчетному, кривая 3— экспериментальному распределению давления на обечайке.

Таблица 4 2.

V

р/р *

X

р/р*

X

р/р*

X

р/р*

X

р/р *

X

р/р*

3,00

0,0383

0,25

0,1246

—0,10

1,2983

0,76

0,0410

0,04

0,6234

—0,42

1,8198

2,50

0,0383

0,20

0,1679

—0,12

1,3597

0,67

0,0420

0,02

0,7426

—0,50

1,8467

2,00

0,0383

0,16

0,2129

—0,14

1,4186

0,58

0,0438

—0,00

0,8615

—0,60

1,8641

1,70

0,0383

0,14

0,2434

—0,16

1,4738

0,50

0,0496

—0,02

0,9748

—0,75

1,8750-

1,40

3,0384

0,12

0,2835

—0,20

1,5668

0,42

0,0603

—0,04

1,0773

— 1,00

1,8803

1,15

0,0384

0,10

0,3385

—0,25

1,6597

0,35

0,0751

—0,06

1,1604

— 1,50

1,8818

1,00

0,88

0,0385

0,0396

0,08 0,06

0,4138 0,5114

—0,30

—0,35

1,7300

1,7786

0,30

0,0938

—0,08

1,2335

—2,00

1,8819

Следует отметить, что центральное тело содержало угловую точку, тем не менее, как видно из рисунка, при расчетах удалось довольно близко подойти к ней. Расчетный и экспериментальный контур хорошо совпадают между собой в до- и трансзвуковой областях, однако на концевом участке центрального тела, где толщина пограничного слоя сравнима с толщиной тела, наблюдается заметное различие. Это различие значительно снижается, если поправить контур на толщину вытеснения (пунктир на рис. 4.38).

Имея некоторое основное распределение давления роМ на начальной линии, можно получить набор распределений для других чисел Мо. Пусть известно некоторое распределение давления ро(х) и р_=р0(—ею) и р+—Ро(+ °°)—значения давления в до- и сверхзвуковой областях на бесконечности. Тогда можно получить следующее семейство распределений давления:

pU)=p'T^-——— [loW-.P+b

Р- — Р+

где р'- и р'+— новые значения давления в до- и сверхзвуковой областях.

Если в качестве Po(-t) использовать полученное из эксперимента и сглаженное распределение давления, соответствующее течению в сопле с угловой точкой, то функция р(х') позволяет рассчитать течение с линиями тока, достаточно близко подходящими к угловой точке. На рис. 4.39 представлены контуры плоского, осесимметричного и кольцевого аэродинамических сопел с числом М0=3,2, полученные путем численного решения обратной задачи с использованием в качестве начальных данных экспериментального распределения давления (табл. 4.2). На этом рисунке для

Рис 4 39. Контуры плоского (а), кольцевого (б) и осесимметричного (в) аэродинамических сопелРис 4 39. Контуры плоского (а), кольцевого (б) и осесимметричного (в) аэродинамических сопел88

Рис 4 39. Контуры плоского (а), кольцевого (б) и осесимметричного (в) аэродинамических сопел

Рис 4 39. Контуры плоского (а), кольцевого (б) и осесимметричного (в) аэродинамических сопел

8

8

ряда сечений указана неравномерность потока по давлению (в процентах) .

Отметим, что работа [22] содержит таблицы плоских сопел.

Профилирование сверхзвуковых каналов,моделирующих заданный поток в выходном сечении

Трехграничная обратная задача профилирования, детально* описанная в 1 2 5, состоит в определении контура канала по заданным условиям на линии тока и заданных давлениях р или угла наклона скорости 0 во входном Fj и выходном сечениях (рис. 1 3).

При постановке обратной задачи профилирования в 1 2.5. были сформулированы новые двухгр эпичные смешанные краевые задачи с известными граничными условиями на известной характеристике Q и поперечно-ориентированнои линией Г, на которой задается распределение одного из газодинамических параметров либо угла наклона скорости 0, либо давления р (см. рис. 1.3... 1 5). На рис. 4.40 представлены различные варианты постановок этих двухграничных задач.

Рассмотрим подробнее постановку этих двухграничных задач [6, 7].

В теории сверхзвуковых стационарных течений газовой динамики известны четыре характерные задачи: задача Коши с данными на нехарактеристической кусочно-гладкой кривой или вырожденной характеристике, задача Гурса с данными на характеристиках первого (С+) и второго (С-) семейств и две смешанные краевые задачи с данными на характеристиках С+ или С- и на граничной линии тока, вдоль которой задано распределение одной из величин— модуля вектора скорости W (давления р) или угла 0 наклона W к оси х декартовой системы координат х, г [1, 27] Для смешанной краевой задачи, называемой ниже задачей 1, в качестве граничной кривой задается твердая стенка с известными вдоль нее углами 0. Для другой смешанной задачи (задача 2) вместо стенки берется вычисляемая в процессе решения свободная поверхность с известным вдоль нее распределением давления р. Ниже, примени-

Рис. 4.40. Постановка двухграничных смешанных задач профилирования

тельно к двумерному стационарному сверхзвуковому в общем случае разрывному течению внутри каналов, формулируются две новые смешанные краевые задачи профилирования сверхзвуковых каналов, которые для краткости будут называться смешанными задачами 3 и 4. В качестве разрывов могут быть заданы как ударные волны, так и контактные границы Для определения рассматривается течение в верхней половине плоскости декартовой системы координат х, г.

Пусть заданы кусочно-непрерывная кривая Г, являющаяся С+ или С -характеристикой, а также в общем случае разрывные газодинамические параметры вдоль нее F(rr) или /7(ф) (F(rr), /Дф) — вектор-столбец газодинамических параметров, гг — радиус-вектор любой точки кривой Г, ф— функция тока), определяющие некоторое сверхзвуковое течение, и граничная кусочно-непрерывная кривая Q, имеющая одну общую точку В с кривой Г и целиком лежащая в угловой области, образованной характеристиками С+ и С" (рис. 4.40, а—б). В случае, если на Г задана ударная волна L (рис. 4.40, а), то она должна располагаться вне области влияния данных в выходном сечении искомого канала (DCB на рис. 4.40, а и DiCiB на рис. 4.40, б). При расчете профиля сопла с учетом неоднородности полной энтальпии, удельной энтропии или при наличии закрутки потока в ^(ф) могут быть включены распределения этих параметров в зависимости от функции тока ф, которые определяются течением во входной Дозвуковой и трансзвуковой областях сопла Задания исходной характеристики С" (рис 4.40, а, б) и С+ (рис. 4.40, б) для определенности ниже называются соответственно 1-й и 2-й схемой.

Другая граница смешанной области Q может быть фиксированной, либо нефиксированной Рассмотрим случай, когда Q фиксирована. Пусть Q имеет уравнение r=r9(s) (s— параметр) и удовлетворяет условию: величина производной по х в любой точке кривой Q не становится равной или меньше значения тангенса угла наклона к оси х текущего отрезка характеристики АС+ (рис 4 40, а) или АС- (рис. 4.40, в), пересекающегося с Q. Это ограничение обусловлено возможностью определения точки пересечения АС+(АС_) с текущим отрезком 2—3 (1—3) вдоль Q. Для первой схемы в пределе Q может быть задана как характеристика. В этом случае вдоль нее должны быть определены все необходимые газодинамические параметры, удовлетворяющие характеристическому соотношению, и задача профилирования сводится к решению задачи Гурса.

Кривая Q может выходить за границы потока, заданного характеристикой Г, так, как показано на рис. 4.40, а, либо заканчиваться внутри него (рис. 4.40, б). Для второй схемы Q в пределе может совпадать с линией тока, и тогда смешанные краевые задачи 3 и 4 сводятся к соответствующим задачам 1 и 2. Для 2-й схемы Q может включать условно называемый ниже «особый» излом К, в котором осуществляется переориентация Q таким образом, чтобы верхняя часть кривой Q, обозначенная Qi, была заключена в

смежную угловую область, образованную характеристиками первого ККл и второго АК семейств (рис. 4.40, в).

На фиксированной кривой Q ставятся граничные условия: для задачи 3 — 0(г9) или 0(ф) распределение углов наклона вектора скорости к оси х, для задачи 4 — р(гд) или р(ф) распределение давления. На нефиксированной кривой эти граничные условия задаются как функции ф, 0(ф) и р(ф). При этом имеется возможность варьировать границу Q в текущих угловых областях, образованных С+ и С- характеристиками. Это позволяет доопределить на Q другой газодинамический параметр (р для задачи 3 и Q — для задачи 4). Значения 6 или р в точке В должны быть согласованы с соответствующими величинами на Г. На 0(гд)(0(ф)) и P(r<i) (р(Ф)) в общем случае не накладывается требование их непрерывности. В зависимости от положения точки В в потоке в ряде случаев функции 0(гд) (9(ф)) и р(г5) (р(ф)) должны удовлетворять некоторым дополнительным условиям. Например, если точка В размещена на оси х и Q перпендикулярна ей, то р' (г) |г=о должна быть равной нулю. При указанных граничных условиях и начальных данных требуется построить стенку канала. Поставленные вдоль Q граничные условия не переопределяют задачу. Действительно, количество граничных условий на Q соответствует числу отходящих от нее характеристик. Граничные условия для смешанных задач 3 и 4 аналогичны соответственно заданию твердой границы (стенки) в задаче 1 и давления в задаче 2. Однако смешанные краевые задачи 1 и 3, 2 и 4 не эквивалентны, так как в задачах 3 и 4 кривая Q не является фиксированной или определяемой линией тока, а задается поперек потока.

Рассмотрим теперь схемы профилирования каналов при решении задач 3 и 4 прямым (рис. 4.40, а, в) и послойным методами характеристик. Порядок расчета внутренних точек расчетной области классическим методом характеристик не зависит от вида граничных условий и является обычным. Для расчета точек на границе используется отрезок 1—3 (2—3) характеристики ДС+(ДС_) и соотношение вдоль нее. Величины Q3 (задача 3) и р3 (задача 4) в искомой точке 3 на границе в процессе расчета определяются по 0 (гд) (0 (ф)) и р(Гд)(р(ф)). Неизвестный параметр в этой точке определяется из соотношения вдоль 1—3 (2—3). Расчет полной области ABD для 1-й схемы (рис. 4.40, а) и ее части A\BDV (рис. 4.40, б) может быть организован как вдоль С+, так и вдоль С-. В процессе расчета может быть выделена характеристика CD^CXD<F которая ограничивает область влияния данных на линии BD(BDi) границы Q. Для случая, показанного на рис. 4.40, а, выделение осуществляется с использованием условия равенства текущей величины расхода газа на Q, его значению, полученному интегрированием вдоль известной характеристики Г. Определение CD(C]Di) замыкает задачу Гурса в области ACDF^AVCXDXD'). Линия тока AD (рис. 4.40, б) после этого может быть построена в процессе решения новой задачи в области MiO по отрезку AAi, являющемуся частью кривой Г, и рассчн л ,ной 176

характеристике A\D. Таким образом, задача профилирования прямым методом характеристик включает несколько задач — собственно смешанную краевую задачу и задачи Гурса.

Для 2-й схемы (рис. 4.40, в), когда «особый» излом на границе Q отсутствует, смешанная краевая задача решается в области АВК и затем выделяется нужная линия тока НК. Здесь используется только часть характеристики АВ. В случае, когда линия Q включает «особый» излом К, рассчитанная характеристика АК и Qi(KD) образуют уже рассмотренную 1-ю схему. После расчета AD и неизвестных функций на Qi можно решать задачу Коши в области DKK\, после чего провести доопределение границы Q2 по 1-й схеме или Q/ по 2-й схеме. Описанный процесс может быть продолжен.

Решение смешанных краевых задач 3 и 4 для 1-й схемы более удобно осуществлять модификацией метода характеристик по слоям ф = сопз! (см. 3.5.2). Это обусловлено тем, что при реализации на ЭВМ данных задач вычисления проводятся по единому алгоритму на регулярной расчетной сетке. Существо предложенной модификации состоит в следующем. Численный расчет проводится в треугольной области на подвижной сетке, одно семейство которой образуется линиями тока, а другое формируется в процессе расчета. Выбор вида последнего семейства определяется формой расчетной области и характером течения в ней.

Для большинства решенных в [6, 7] задач в качестве сеточных принимались линии двух видов — вертикальные линии, проходящие через точки пересечения линий тока с кривыми Г и Q, и ортогональное семейство линий, образуемое подвижными отрезками прямых, восстанавливаемых перпендикулярно текущему отрезку линии тока АС0, которые выходят из точек пересечения линий тока с кривыми Г и Q. При численном решении интегрирование ведется слоями, образованными линиями тока, которым соответствуют фь ф2,..., фщ в направлении, поперечном к ним. Данная схема решения в отличие от классической характеристической схемы не накладывает жестких требований на гладкость граничных условий.

В частном случае плоского течения с равномерной начальной характеристикой Г по аналогии с задачами 1 и 2 можно получить аналитические решения задач 3 и 4.:

6 = Ф3 [r + tg(a —9).х]; МГ = Ф4 [г — tg(9 — а)х].

Здесь Ф3, Ф4 — произвольные функции, которые могут быть определены из граничных условий.

На основе изложенной постановки и сеточно-характеристического метода по слоям ф = сопз1 можно профилировать новый, более широкий по сравнению с известным класс плоских и осесимметричных сопел и каналов. До недавнего времени профилирование отдельно сверхзвуковой части сопел производилось с помощью решения задачи Гурса с использованием заданной замыкающей характеристики (см. 4.4.1). Известны различные способы ее зада- 7—1393 177

Рис. 4.41. Профилирование плоского канала, реализующего на выходе течение от источника

ния. Наиболее распространенный способ заключается в выборе замыкающей прямолинейной характеристики, на которой W постоянна и параллельна оси х. Используются также симметричные и стоковые характеристики [27]. В работах [16, 17] разработан метод профилирования сопел, реализующих заданные неравномерные параметры в выходном сечении, по которым с помощью решения задачи Коши рассчитывается замыкающая характеристика.

Задачи 3 и 4 представляют новые возможности профилирования сопел и каналов по граничным условиям, заданным поперек потока. Характер граничных условий в этих задачах определяется физическими требованиями конструирования профилей сопел и каналов. Например, задача 3 может использоваться для построения каналов с направленным отводом газов от поверхностей элементов летательных аппаратов, задача 4 —для каналов газодинамических установок, создающих в некоторой области заданное распределение давления в потоке, и в других случаях. При этом семейство сопел с симметричной характеристикой на выходе получается в частном случае при решении смешанной задачи 3 с граничным условием 6 = 0, когда линия Q = Q(y).

Ниже приведены некоторые результаты численного профилирования сопел и каналов по заданной Г, являющейся характеристикой С-, и граничным условиям на границе различной формы; Г рассчитана предварительно классическим методом характеристик, разработанным в соответствии с [16]. В качестве объекта исследований выбирались плоские и осесимметричные сопла с угловой точкой и радиусом скругления трансзвуковой части Ri'— = R2lr«=\% (г, — высота или радиус критического сечения). Показатель адиабаты в расчетах принимался равным 1,4.

На рис. 4.41... 4.43 приведены результаты расчетов по профилированию плоских и осесимметричных сопел и каналов, рассчитанных при различных формах границы Q и зависимостях pq, 6g вдоль нее. Выбором формы границы Q, условий на ней и решением смешанных задач могут быть спрофилированы переходные участки 178

Рис 4 42. Профилирование канала, реализующего разрывные условия в выходном сечении а) ударная волна; б) контактный разрыв

сопел и каналов, реализующие преобразование одних классов течений в другие. Течения, близкие к течениям источника и стока, реализуются в сверхзвуковой части конических сопел. Известен способ построения переходных каналов к точному течению от источника, основанный на решении задачи Гурса по заданной характеристике С-, определяемой формой трансзвуковой области канала, и выходной характеристике С+ от источника (27]. Смешанные задачи 3 и 4 представляют другой способ профилирования таких каналов, обеспечивающих с хорошей точностью параметры течения от источника. При этом их длины получаются существенно короче.

Результаты расчетов для плоского течения приведены на рис. 4.41. В качестве границы Г выбрана С -характеристика, рассчитанная классическим методом характеристик при обтекании угловой точки с числом М°=5 на оси. Кривая Q задана в виде окружности с радиусом Р = г»<7-(М°), проходящей через точку В. Вдоль Q заданы распределение 0=0 (ф) по радиусу окружности (задача 3) (ф — полярный угол) и р = р° —const (задача 4). Цифрами 1 и 2 на рис. 4.41 обозначены профили каналов (рис. 4.41, а) и распределения М(х), ^(х) вдоль стенок (сплошные и штриховые

линии на рис. 4.41, б), полученные при решении задачи 4 и 3 со-

Рис 4 43 Профилирование плоских каналов, реализующих разрывные условия по углу 6 или давлению р в выходном сечении

на рис. 4.41, б— распределения М и £ для течения от источника. Сплошные и штриховые линии на рис. 4.41, а иллюстрируют поведение линий M=const, рассчитанных в задачах 4 и 3. Следовательно, граничное условие по р обеспечивает лучшее соответствие с течением от источника. Действительно, в выходной части сопла, начиная с Л'=0,3, различие в числах М на стенках сопла 1 и 3 не превышает 0,8%.

На рис. 4.42 приведены результаты расчетов для случая, когда на Гь Г2 заданы разрывные параметры, соответственно ударная волна (рис. 4.42, а) и контактный разрыв (рис. 4.42, б). Характеристика Г, получена при расчете течения с ударными волнами, взаимодействующими с поверхностью гладкого конуса с углом полураствора, равным 10°. Точка В кривой Г, расположена в высокоэнтропийном слое на поверхности конуса. Это обусловливает резкое изменение распределения М(х) в окрестности точки В. В этом случае на Г] реализуется ударная волна с интенсивностью pdp2 — 2, расположенная вне области влияния BDC данных в выходном сечении. На Q задано 6=10°. Видно, что в месте пересечения ударной волны 3 с линией тока AD, выбираемой в качестве искомого контура, реализуется излом, угол которого определяется параметрами газа до ударной волны и ее интенсивностью. Следовательно, на стенке сопла реализуется гашение ударной волны, что обусловлено величиной излома, зависящего от угла наклона к оси х за ударной волной. За изломом канал расширяется и поток разгоняется.

Рассмотрим теперь задачу 3 для двухслойного течения. Прямая задача расчета двухслойных сверхзвуковых течений классическим методом характеристик решена в работе [25]. Применение сеточно-характеристического метода по слоям ф=const для профилирования сопел с двухслойными течениями является удобным, так как позволяет естественным образом проводить выделение контактных границ.

На рис. 4 42, б приведены результаты профилирования сопел с заданным контактным разрывом на Гг для двухслойного осесимметричного течения и заданным условием 9 = 0° на Q. Начальное распределение чисел М вдоль оси симметрии получено классическим методом характеристик для сопла с радиусом ^2'=4 при показателе адиабаты у=1,3. Это распределение использовалось далее для определения Гг с помощью ' решения задачи Коши с данными на оси симметрии. В рассчитанном варианте принималось, что в ядре потока ух= 1,3, а в периферийной части его уг=1,4- При этом расходы газа в этих слоях выбирались равными 22 и 78%. Полные давление и температура в обоих слоях принимались одинаковыми.

На рис. 4.42, б линиями 1 и 2 изображены контактный разрыв и профиль стенки канала. Здесь приведены также линии уровня М=const в поле двухслойного течения с шагом 0,1. Наблюдается расширение потока в обоих слоях, однако в ядре потока его темп превышает соответствующий темп в периферийной области.

В приложениях газовой динамики необходимо уметь получать сверхзвуковые потоки с разрывными параметрами. Например, разрыв по 0 может быть использован для профилирования сопел экспериментальных газодинамических установок, моделирующих в некотором сечении два потока, встречающихся под заданным углом, а разрыв по р— для профилирования сопел газодинамических окон лазерных систем. Постановка смешанных краевых задач 3 и 4 позволяет профилировать такие сопла.

На рис. 4.43 приведены результаты профилирования двух плоских каналов по заданной характеристике Г и разрывным граничным условиям по 0 и по р. Характеристика Г рассчитана методом характеристик в течении Прандтля — Мейера на число М°=3. В задаче 3 принят ступенчатый профиль 0, для которого в центральной части 0=0°, а в периферийной 0= —20° (рис. 4.43, я), а в задаче 4 давление р'= р)р,а»2 задано возрастающим в виде ступеньки от величины р/=0,0368 до ръ —0,0791 (рис. 4.43, б). На рис. 4.43, а, б показаны профили сопел и линии уровня М=const с шагом 0,2 и 0,1 соответственно.

Анализ показывает, что разрыв граничных условий для обеих смешанных краевых задач приводит к разрыву и других газодинамических параметров и обеспечивается изоэнтропически с помощью характеристик сжатия, фокусирующихся в точке разрыва граничных условий. В задаче 3 граничные фокусирующие характеристики показаны штриховыми линиями 1 и 2 (рис. 4.43, а). Числа М в точке разрыва для этих характеристик равны 1,8 и 2,7. В задаче 4 фокусирующие характеристики 3 и 4 в отличие от характеристик 1 и 2 являются разрывными. Вывод о фокусирующем механизме создания разрыва подтверждается численными результатами, полученными при решении соответствующих прямых задач внутри спрофилированных сопел. Расчеты свидетельствуют о том, что результаты решения задач хорошо согласуются между собой. Максимальное различие по числу М вдоль Q для задачи 3 достигается в окрестности разрыва 0 и не превосходит 2%. Поведение линий уровня М=const показывает, что при решении задачи 3 реализуется течение разрежения в центральной части, ограниченной характеристикой 1, и течение сжатия в периферийной части. В отличие от задачи 3 разрыв давления на Q приводит к иному характеру течения в смешанной области. Из рис. 4.43, б видно, что поток разделяется на три области I, II, III. В областях I и III реализуется течение разрежения, а в области II — течение сжатия.

Рассмотрим решение обратной задачи построения плоского или осесимметричного канала с центральным телом, обеспечивающего разрывное распределение энтропии 5г на выходе при непрерывных распределениях давления р и угла 0 наклона вектора скорости W к оси х на выходе и вдоль профилируемых стенок [7].

Кратко сформулируем краевые условия и опишем схему расчета канала (рис. 4.44). Рассматривается верхняя половина плоскости течения в декартовой (цилиндрической) системе координат

Рис 4 44 К решению обратной задачи профилирования канала с центральным телом с разрывным распределением энтропии на выходе 5г

(х, г). Течение на входе в искомый канал принимается заданным и в частном случае однородным с числом М°. Задание граничных условий по р или 6 и энтропии 8 = р!р» вдоль поперечно ориентированной, заранее не фиксированной границы NK, являющейся выходным сечением канала, осуществляется в виде зависимости от функции тока ф. Условия по р или 0 на продольно ори

ентированной также не фиксированной границе (центральном теле FK) задаются в виде функций координат х, г. Функция S на границе NK в рассматриваемом случае задается в виде ступеньки с разрывом в точке р со значением ф = 0,5 (ф— нормированная так, что ф = 0 в точке К и ф=1 в точке N). Приращение AS = S+—S~>0 (S+, S-— предельные значения S сверху и снизу от точки разрыва соответственно).

Распределение функции S снизу от точки р обеспечивается участком АВ головной ударной волны АВС. Значение функции S= = S~=0,79, принятой постоянной, реализуется на клине с углом полураствора 21°. Заданный разрыв AS создается с помощью излома в точке В волны АВС, который осуществляется на основе применения конфигурации со взаимодействием ударной волны АВ и веера волн сжатия DBE (характеристики С+), центрированного в точке В. Положение последней выбирается таким образом, чтобы значение ф в ней было равно ф в точке р. Изменения функции S за счет других ударных волн в расчетной схеме исключаются. Это обусловливает необходимость использовать для обеспечения заданного распределения S конфигурацию с отраженным в точке В центрированным веером разрежения.

Схема профилирования канала при описанных граничных условиях основана на решении обратной задачи, включающей характерные задачи газовой динамики: задачи Коши в областях АВЕ и ВЕС, задачу Гурса в области ВЕЕ и две смешанные краевые задачи в областях СЕК и СКК. Вначале по заданному перепаду 5(ф) вдоль ударной волны АВС рассчитываются данные Коши за ней. При этом параметры в точке В определяются отдельно от остального участка волны по программе расчета конфигурации с взаимодействием ударной волны и веера сжатия. В работе проведено численное параметрическое исследование конфигурации, и в широком диапазоне М° (1,2^М°^10) выявлены области ее существования с отраженным веером разрежения и ударной волной. Затем классическим методом характеристик решаются задачи Коши, задача Гурса и смешанная задача в области СКЕ. Для рас- 182

чета смешанной области CKN используется сеточно-характеристический метод по слоям ф=сопз1.

В результате расчета при М°=3 и постоянном значении 0 = = 32° вдоль границы FK получен плоский канал с центральным телом АК и обечайкой CN, реализующий разрывной профиль функции S (штриховая линия на рис. 4.44, а) и отклонение потока на 32°. Сплошной линией на рис. 4.44, а показан профиль функции М на выходе, ВР на рис. 4.44, б— контактный разрыв. Интенсивность веера волн сжатия DBE, характеризуемая отношением аП« (а — угол Маха), равна 0,74. Веер DBE отклоняет поток на 11°. Изломом ударной волны АВС, составляющим величину 18°, обеспечивается такое же отклонение потока, что обусловлено нулевой интенсивностью отраженного веера разрежения (характеристика BF).

При решении задач о смешении струй необходимо на малых длинах осуществлять перемешивание двух или большего числа сверхзвуковых неоднородных потоков, обеспечивая высокую степень однородности всех газодинамических параметров. Большая длина перемешивания снижает эффективность широко распространенного способа взаимодействия параллельных сверхзвуковых струй и обусловливает необходимость использования для этой цели струй, направленных под углом друг к другу. Однако при реализации такой схемы в смешиваюшемся сверхзвуковом потоке возникают существенные неоднородности, образующиеся из-за возникающих при соударении струй сильных разрывов — ударных волн, контактных границ, центрированных волн разрежения. Это обстоятельство ограничивает возможность практического применения указанного способа взаимодействия.

В рамках обратной задачи профилирования можно реализовать иную схему выравнивания параметров взаимодействующих потоков внутри переходного капала минимальной длины, реализующего в выходном сечении однородный по р и 0 поток. Профилирование канала осуществляется в идеальной постановке при решении обратной задачи двумя сеточными модификациями метода характеристик по слоям x=const и ip = const. В обоих методах используются одни и те же характеристические уравнения с искомыми функциями х, г, р, 6.

Обратная задача заключается в следующем. Пусть в декартовой (цилиндрической) системе координат (х, г) в некотором сечении АВ, являющимся, например, выходным из решетки профилей, заданы два плоских симметричных относительно оси х или осесимметричных сверхзвуковых потока I и II, взаимодействующих в точке С. Пусть эти потоки в указанном сечении характеризуются различными газодинамическими параметрами: показателями Yi, уг, распределениями давлений P\VY P^VY углов наклона 0i(r), 9г(г), скоростей со^г), сог(г) (или чисел М^г), М2(г)} и плотностей pi (г), р2(г) при (в общем случае) переменных разрывных распределениях S и полной энтальпии Н°. Здесь и в последующем тексте нижние индексы 1 и 2, указываемые в обозна-

Рис 4 45. Схема решения обратной задачи профилирования каналов, реализующих равномерный поток по давлению и углу наклона скорости в выходном сечении при наличии в начальном сечении двух взаимодействующих потоков.

Профили чисел М и углов а (в)

чениях параметров, относятся к областям I, II, в которых распространяются потоки I и II. Для обеспечения разгона потока в профилируемом канале в точке А задается положительное приращение угла 0.

На величины газодинамических параметров вдоль АВ накладывается условие, заключающееся в том, что их значения в точке взаимодействия С не достигают критических, при которых реализуется переход к дозвуковому течению. Кроме того, полагаем, что интенсивность ударных волн, образующихся в точке С, не слишком велика, а величины Нх° и Н2° одинаковы. Ограничение на интенсивность ударных волн обусловлено возможностью осуществления их сквозного счета послойными модификациями метода характеристик и получением достаточной для практики точности численных результатов.

При отмеченных исходных данных и физических предположениях требуется построить профиль переходного канала минимальной длины Ар, который обеспечивает на выходе постоянное распределение углов 01 (г) = 6г(г) = 0 и, следовательно, давления рАг) = ~р2(г) =Р1 (р1— значение р в точке пересечения характеристики АЕ, ограничивающей область влияния данных на АВ, с осью х).

Схема профилирования выравнивающего канала состоит в следующем. Вначале по формулам взаимодействия двух сверхзвуковых потоков, приведенных, например, в [27], рассчитывается точка С контактного разрыва CD (рис. 4.44, б). Затем по данным Коши на АВ методом характеристик по слоям х=const рассчитывается их область влияния АВЕ и методом характеристик по слоям ip = const решается задача Гурса в области AEF.

Некоторые возможности разработанного подхода к проблеме выравнивания основных неоднородностей во взаимодействующих потоках проиллюстрированы на рис. 4.45, 4.46. В исследованиях, 584

Рис. 4.46. Контуры выравнивающих каналов

проведенных для трех схем взаимодействия, обозначенных СД С2, С3, газ в потоках 1 и II принимается с одинаковым у=1,4. При выбранных условиях течения свойства потоков удобно характеризовать распределениями чисел М (либо давления р) и углов 9.

Профили чисел М для потоков I и II принимаются однородными и равными Mi = 3 и М2=2 для схем Ci и С2 (рис. 4.45, в) и Mi=M2=3 для С3. Угол наклона касательной к стенке профилируемого канала в точке А обозначен через ц. Величины hi, h2 характеризуют ширину потоков I и II в сечении АВ. Для схем Сх и С2 принято Ai= 1/3; й2=2/3, а для C3/zi=2/3; Л2=1/3. Угол наклона 9 потоков I и II для схемы Ci принимается нулевым, а а=9°. Для С2 и С3 распределения 9i(r) и 92(г) выбраны линейными, причем в точке С для С3 91 = —18° и 92=18°, а углы ц соответственно равны —4°, 18°. Величины последних выбирались в процессе серии расчетов такими, чтобы во всех трех схемах взаимодействия в потоке Е реализовались значения М/=4,17. Для Ci и С3 центральные оси потоков параллельны, а для С2 ось потока I наклонена в сторону потока II под углом 20° (штрихпунктирная линия на рис. 4.45, в).

На рис. 4.46 приведены контуры выравнивающих каналов (сплошные линии) для СД С2, С3, обозначенных цифрами 1, 2, 3 соответственно, а также контактные границы (штриховые линии).

Сверхзвуковым течениям внутри всех спрофилированных каналов присущ ряд одинаковых свойств. В точке С взаимодействия встречающихся потоков реализуются контактная граница и две ударные волны, одна из которых СК направлена от оси х, а другая CN — к оси х. Ударная волна СК, а также NM, образующаяся в результате взаимодействия ударной волны CN с симметрично расположенной снизу от оси х, в точках К и М соответственно достигают верхней линии тока AF, принимаемой в качестве стенки канала. В этих точках стенка претерпевает излом, равный углу отклонения потока. На ударных волнах поток внутри выравнивающего канала в местах отсутствия ударных волн с возрастанием х расширяется.

Из рис. 4.46 видно, что продольные и поперечные размеры каналов и контактных границ для схем Су и С2 получаются достаточно близкими. Это свидетельствует о сравнительно слабом влиянии неравномерностей по углам встречи и определяющем влиянии на указанные геометрические характеристики профилей чисел М. Ударные волны NM и СК для обоих каналов 1 и 2 в точках их встречи со стенкой являются весьма слабыми. Это обусловлено

тем, что течение на начальном участке в обоих потоках в местах отсутствия ударных волн весьма интенсивно расширяется в области АВЕ влияния данных на АВ, в которой содержится веер волн разрежения, созданный угловой точкой А.

Дадим анализ результатов профилирования канала (см. рис 4.45), построенного для схемы С3 с одинаковыми профилями чисел М и существенной неоднородностью по наклону W. В точке С образуются ударные волны СК и CN примерно одинаковой интенсивности и близкие к прямолинейным. Характеристика, ограничивающая область влияния данных на АВ, обозначенная цифрой 1 на рис. 4.45, а, является достаточно искривленной. Выходная характеристика, близкая к прямолинейной, обозначена цифрой 2 (М,=4,17). Из рис. 4.45, а видно, что в точках К и М стенка канала претерпевает заметный излом. На рис. 4.45, б приведены зависимости безразмерных давлений р'=р1р*а^ вдоль оси х {сплошные линии) и вдоль стенки канала (штриховые линии). Из поведения кривой вдоль оси видно, что поток II на участке BN интенсивно расширяется. В точке N реализуется торможение потока на ударной волне. Здесь имеет место резкое возрастание давления. Вниз по потоку от точки N осуществляется монотонное расширение потока до значения Л4'=4,17. Вдоль стенки канала AF на начальном участке так же как и вдоль оси, поток расширяется. В точках К и М, где стенка пересекается с ударными волнами СК и NM, наблюдается скачкообразное возрастание давления. На участках КМ и MF поток расширяется.

Из поведения р(х) вдоль стенки видно, что эффект существенного ослабления ударных волн NM и СК, отмеченный применительно к схемам Ci и С2, для схемы С3 отсутствует. Это обязательство обусловлено тем, что в точке А здесь нет разрыва угла 9.

Отметим, что предложенная схема профилирования выравнивающих каналов может найти широкое применение при разработке сопловых решеток, сверхзвуковых диффузоров, а также при решении задач, содержащих слоистые течения.

СРАВНЕНИЕ РАСЧЕТОВ ОБРАТНЫМ МЕТОДОМС ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ РЕЗУЛЬТАТАМИИ РАСЧЕТАМИ ДРУГИМИ МЕТОДАМИ

Одна из особенностей внутренних течений состоит в том, что в большинстве случаев оказывается возможным предсказать параметры течения, основываясь на одномерном приближении. В частности, в современных двигателях потери удельного импульса, связанные с неравномерностью потока в выходном сечении, составляют примерно 1 ...2%, т. е. отличие действительного потока количества движения в выходном сечении сопла от подсчитанного в одномерном приближении составляет 1...2%. Аналогично и величина коэффициента расхода в действительном течении, характеризующая неравномерность потока в минимальном сечении, от- 186

личается от значения, подсчитанного в одномерном приближении на 1 ...2%. В связи с этим численные методы расчета внутренних течений, учитывающие пространственный характер течения, должны обладать точностью на порядок, превышающей указанную разницу в 1 ...2%, т. е. точность предсказания интегральных характеристик течения должна составлять 0,1%, а локальных—не менее 0,5%. Методы, не обладающие такой точностью, пригодны в лучшем случае для приближенного качественного описания течения. Описанный выше метод расчета, как уже отмечалось, обладает необходимой точностью. Так, при проверке уравнения сохранения количества движения и уравнения расхода оказалось, что они выполняются с точностью, не меньшей 0,05%. Точность счета локальных характеристик течения определялась путем расчета с различными шагами As и Аф и в сверхзвуковой области путем сравнения с методом характеристик, также обладающим вторым порядком точности. Такие проверки показали точность расчета локальных параметров не меньшую 0,2 ... 0,5%.

Важной особенностью предлагаемой схемы является то, что на шаг Аф практически не накладывается никаких ограничений, связанных с устойчивостью, а величина его определяется лишь допустимой ошибкой аппроксимации, на шаг Ах ограничения накладываются лишь в эллиптической области. Кроме того, в связи с очевидной простотой вычислительного алгоритма особенно в плоском и осесимметричном случаях затраты машинного времени чрезвычайно малы В связи с этим до настоящего времени ни один из существующих методов расчета внутренних течений в до- и трансзвуковой областях не может конкурировать с описанным выше методом ни по точности результатов, ни по затратам машинного времени.

Представленные выше расчетные данные в ряде случаев сравнивались с экспериментальными результатами. Такое сравнение проводилось не с целью проверки точности метода (очевидно, что точность метода в большинстве случаев выше точности эксперимента), а с целью установления соответствия между истинным вязким течением газа и предсказываемым течением идеальной невязкой жидкости. Ниже будут описаны некоторые результаты сравнений расчетных и экспериментальных данных.

В работе [18] представлены измерения координат звуковых точек и коэффициента расхода. Экспериментальные данные сравниваются с расчетными на рис. 4.8, 4 9.

В. Н. Жиравов провел экспериментальное исследование распределения давления на контуре сопла, рассчитанного в результате решения обратной задачи, для распределения (4.3) с И7^ = = 1,9; ИЖ> = 0,1 и tr^ — S.S при ф = 0,06. Сравнение расчетного (сплошная кривая) и экспериментального (светлые кружочки) распределений давлений приведено на рис 4.47. На этом же рисунке пунктирной линией показано распределение давления, рассчитанное по одномерной теории. На рис. 4.3 и 4.4 дано сравнение расчетного и экспериментального распределения давления для конту-

Рис. 4 47 Сравнение расчетного и экспериментального распределений давления на контуре сопла, рассчитанного обратным методом

ров сопел, рассчитанных обратным методом для распределения скорости (4.1) с ПА ==0,1 и А =10 при х^ = 0,02 и ф = 0,06.

Сравнение расчетных и экспериментальных данных по величине Срт в зависимости от /?[ и коэффициенту расхода в зависимости от степени закрутки иллюстрируют рис. 4.47 и 4.35. Анализ перечисленных выше рисунков позволяет сделать вывод о хорошем соответствии расчетных и экспериментальных результатов в областях, где влияние вязкости невелико. В пологих трансзвуковых областях, где влияние

вязкости существенно, имеет место заметное различие экспериментальных и расчетных данных. Существенным подтверждением достоверности предложенного метода является сравнение рассчитанной и экспериментальной формы центрального тела, полученного обратным методом по заданному распределению давления (см. рис. 4.38).

Успешное решение представленных выше задач оказалось возможным благодаря следующим обстоятельствам. Во-первых, во всех случаях решалась обратная задача, которая сводится к задаче Коши, а не к краевой задаче, что значительно упрощает алгоритм численного решения. Во-вторых, примененная разностная схема позволяет проводить расчеты сложных течений с высокой точностью при весьма малых затратах машинного времени и практически без ограничений, связанных с устойчивостью. В-третьих, весьма существенным оказалось применение малоточечных (трехточечных) разностных схем с переменным шагом на слое для решения некорректных задач Коши.

И наконец, для решения внутренних задач оказалась весьма удачной система координат s, ф, 9, в которой удобно решать и некоторые внутренние и струйные задачи (в том числе прямые) сверхзвуковой газовой динамики неравновесных течений. Благоприятным обстоятельством здесь является то, что практически все мыслимые границы областей (жесткая стенка, ось симметрии, свободная граница, линия тангенциального разрыва) являются в этой системе координат прямыми линиями, что делает расчетную область прямоугольной и значительно упрощает построение разностной схемы.

В связи с этим представляется возможным расширить класс решенных задач.

В разд. 5 будут представлены многочисленные примеры решения обратной задачи с учетом разного рода неравновесных физико-химических превращений.

Можно обобщить решение обратной задачи теории сопла для течения вязкого теплопроводного газа.

В этом случае, например, на оси симметрии необходимо задать распределения давления и температуры, которые позволяют с помощью асимптотических разложений (см. 2 4) определить при численном решении задачи Коши от некоторого начального сечения вдоль оси остальные параметры течения.

Далее с использованием описанных в 3.1 2 разностных схем можно численно определить в окрестности оси симметрии поле течения и семейство линий тока Каждая из линий тока может быть принята за контур сопла, на котором будет выполнено условие непротекания, но будет иметь место скольжение потока. Подбором распределения скорости на оси (см алгоритм 4.1 3) можно добиться равенства нулю скорости на контуре сопла при заданном ф.

ТЕЧЕНИЯ С ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИМИПРЕВРАЩЕНИЯМИ

В большинстве прикладных задач не удается описать течение газа, используя лишь модель идеального газа. Реальное течение сопровождается физико-химическими процессами, природа которых и методы математического описания существенно усложняются. Система уравнений и граничных условий, приведенная в 1 гл. для многоскоростной, многотемпературной и реагирующей сплошной среды, дает общее представление о сложности задачи описания движения такого континуума в наиболее общем случае. На практике приходится в основном иметь дело именно с такого рода течениями. Однако, несмотря на одновременное протекание различных релаксационных процессов, их удается разделить и изучать независимо, поскольку взаимное влияние по существу невелико. В частности, неравновесное возбуждение или дезактивацию колебательных степеней свободы можно изучить, используя неравновесные значения концентраций различных компонент, полученные в предположении равновесия поступательных и колебательных степеней свободы. Характер неравновесного протекания химических реакций в двухфазной среде лишь в слабой степени зависит от динамического и теплового состояния частиц. В связи с этим в настоящей главе будут раздельно рассмотрены неравновесные физико-химические процессы, которые могут иметь место в соплах, в том числе неравновесное возбуждение колебательных степеней свободы, химические реакции, неравновесные двухфазные течения.

РАВНОВЕСНЫЕ И ЗАМОРОЖЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ

Учесть наличие физико-химических процессов можно приближенно, приняв скорости их протекания бесконечными или нулевыми. При бесконечной скорости имеет место равновесное течение, а при нулевой — замороженное. При равновесном течении термодинамические и газодинамические параметры определяются с привлечением соотношений термодинамики равновесных процессов. Концентрации реагирующих компонент в таких течениях определяются из закона действующих масс: энергия колебательных степеней свободы вычисляется по формуле Эйнштейна, парциальные давления конденсирующихся компонент — по уравнению Кла- 190

пейрона — Клаузиуса, а скорости и температуры частиц принимаются равными скорости и температуре газа. Из уравнения производства энтропии (1.44) следует, что энтропия в этом случае сохраняется неизменной вдоль струйки тока, а из принципа максимальной работы в случае обратимых процессов следует, что равновесное течение является предельным течением, когда удается получить в выходном сечении сопла максимальные импульс, скорость истечения, температуру и давление по сравнению с любым другим процессом истечения в сопле заданной геометрии и с заданными параметрами заторможенного потока.

Другим предельным течением является полностью замороженное течение, когда параметры, характеризующие релаксационный процесс, остаются неизменными в процессе движения смеси. Это течение также является изоэнтропическим, поскольку правая часть уравнения производства энтропии (1.44) и в этом случае обращается в нуль из-за равенства нулю скоростей соответствующих процессов В полностью замороженном течении сохраняются неизменными молярные доли различных компонент, энергия колебательных степеней свободы молекул, скорости и температуры частиц, а процессы конденсации и кристаллизации вообще не происходят. В предельном замороженном течении в выходном сечении сопла заданной формы и с заданными параметрами торможения получается минимальное давление по сравнению с любым другим процессом истечения, поскольку запасенная в покоящемся газе энергия диссоциации и колебательных степеней свободы, теплота конденсации и кристаллизации, а также тепловая энергия частиц не передаются в поступательные и вращательные степени свободы молекул (последние всегда предполагаются в равновесии между собой) и, следовательно, не переходят затем в энергию направленного движения газа.

Возможны и некоторые другие модели изоэнтропического расширения, полезные для разного рода инженерных оценок. Например, химически замороженное течение, когда все остальные релаксирующие параметры, кроме молярных долей компонент, изменяются в соответствии с соотношениями равновесной термодинамики Рассматривается также течение, когда заморожены лишь фазовые переходы, конденсация или кристаллизация. Это позволяет оценить предельное влияние конденсации и кристаллизации на параметры течения. Наконец, возможно замороженное двухфазное течение, когда изменение всех параметров, кроме скорости и температуры частиц, происходит равновесно, а эти последние неизменны в процессе истечения

Методы расчета равновесного и замороженного течений в сопле весьма сложных смесей продуктов сгорания, в которых происходят перечисленные выше физико-химические превращения, изложены в первом томе фундаментального десятитомного справочника [33] В остальных томах этого справочника приведены таблицы параметров смеси для различных композиций, полученные в одномерном приближении. Такого рода таблицы, так же как и (Л—S)

диаграммы, позволяют определить параметры в любой точке изоэнтропического потока, если в этой точке известен какой-либо один термодинамический параметр и параметры торможения по аналогии со случаем одномерного течения газа с постоянным отношением удельных теплоемкостей. Действительно, условие изоэн- тропичности S—S(p, p)=const или S = S(p, T)=const связывает давление и плотность (температурой), а термическое и калорическое уравнения состояния вместе с уравнением сохранения энергии позволяют определить температуру (плотность) и скорость, а также молярные доли различных компонент, массовую долю конденсата и т. д.

Расчет такого рода таблиц проводится, по-существу, в рамках обратной задачи, поскольку параметры течения рассчитываются либо при заданном давлении, либо при заданной температуре. Если предположить замораживание химических реакций и колебательных степеней свободы молекул, а также отсутствие фазовых переходов, то процесс истечения может быть рассчитан по формулам (2.5) ... (2.12) для идеального газа с постоянным отношением удельных теплоемкостей у=у°, которое определяется следующим образом:

где ср1 — теплоемкость Рй компоненты при постоянном давлении,, полученная с учетом только возбуждения поступательных и вращательных степеней свободы, а г01 — молярная доля Рй компоненты в камере сгорания. Для иллюстрации на рис. 5 1 представлена зависимость удельного импульса в пустоте и температуры от относительного радиуса r=F'- для топлива с горючим — несимметричным диметилгидразином и окислителем — азотным тетраксидом [(CH3)2NNH2 + N2O4] для трех предельных случаев течения: равновесного, химически замороженного и течения с замороженными химическими реакциями и энергией колебательных степеней свободы.

Расчет двумерных или пространственных равновесных течений' производится по-существу по тем же алгоритмам, что и расчет

Рис 5 1. Зависимость удельного импульса в пустоте 15 (с) и температуры Т, К от г при коэффиценте избытка окислителя а=1, давления торможения ро=1,5 107 Па

1 — равновесное течение; 2 — химически неравновесное течение; 3 — химически замороженное течение; 4— течение с замороженными химическими реакциями и энергией колебательных степеней свободы

течения идеального газа с у=const. Необходимо лишь иметь табличные или аналитические зависимости величин Wia*, р/р0, р/р0, Г/Го от числа М, которые можно определить независимым расчетом равновесных газодинамических и термодинамических параметров смеси в одномерном приближении способом, описанным выше.

ТЕЧЕНИЯ С НЕРАВНОВЕСНЫМИ ХИМИЧЕСКИМИ РЕАКЦИЯМИ

Одномерные течения. Расчет теченияв газовом анализаторе

Основные особенности неравновесных течений могут быть изучены в одномерном приближении. Действительно, исследование плоских и осесимметричных неравновесных течений путем численного решения обратной задачи теории сопла, а также расчеты вдоль струек тока осесимметричного сопла показывают, что концентрации компонент слабо зависят от формы струек тока и распределений давления вдоль них, в особенности в сверхзвуковой области течения. На рис. 5.2 показано изменение молярной доли водяных паров и температуры Т=Т[Тй вдоль линий тока, полученное в результате решения обратной задачи в одномерном и осесимметричном течениях. Имеет место заметное различие концентраций на различных линиях тока при равновесном течении и незначительное— при неравновесном. Кроме того, результаты расчетов концентраций компонент в неравновесном течении в одномерном приближении практически совпадают с результатами расчета, в котором учтен двумерный характер течения. В то же время распределения температуры (давления) вдоль различных линий тока заметно различаются в силу двумерности течения, при этом имеет место также различие между равновесным, неравновесным и замороженным течениями.

Отметим некоторые общие свойства неравновесных течений, газа в соплах. Очевидно, что параметры неравновесного течения должны являться в большинстве случаев (хотя возможны локальные отклонения) промежуточными между параметрами двух предельных течений — равновесного и замороженного. При этом, из-за того, что химическая энергия в неравновесном течении выделяется не полностью и частично не передается в активные степени свободы и энергию направленного движения молекул, температура, скорость, давление и импульс, а следовательно, и удельный импульс в неравновесном течении меньше, чем в равновесном (но больше, чем в замороженном) (см. рис. 5.1). Наибольшее отличие наблюдается в температуре и давлении (иногда на десятки процентов), значительно меньшее — в скорости и импульсе. Плотность слабо зависит от характера протекания процесса (будучи несколько выше в неравновесном течении). Иногда, однако, возможны локальные превышения температуры и давления над равновесными

Рис 5.2. Изменение молярной концентрации гн2о и температуры вдоль различных линий тока при неравновесном (7), равновесном (2) и замороженном (3) течениях. Продукты сгорания водорода в кислороде при коэффициенте избытка окислителя а=1, давление торможения р0=5-10,5 Па:

п — номер слоя в осесимметричном течении при решении обратной задачи; 4 — расчет по одномерной теории

значениями за счет интенсивного выделения химической энергии, наступающего после резкого отклонения от равновесия, например, после замораживания течения за угловой точкой.

Импульс и удельный импульс в неравновесном течении всегда меньше, чем в равновесном. Расход газа в неравновесном течении при заданных параметрах торможения и размере минимального сечения больше расхода в равновесном течении, однако это различие очень невелико (не более 0,5 ... 1%). Число М в неравновесном течении выше, чем в равновесном, из-за значительного уменьшения температуры, некомпенсирующего менее существенное уменьшение скорости.

Результаты расчетов неравновесных течений вдоль струек тока удобно представлять в виде зависимостей параметров не от длины сопла, а от величины г = г1г^=Р'12=[^^^1 (рИ^Р2 по аналогии со случаем одномерного равновесного течения, когда параметры течения зависят только от г, а также ввиду того, что величина pW7 194

сопла, где градиенты газодисопла, где градиенты газоди

сопла, где градиенты газоди

сопла, где градиенты газоди

Рис. 5.3. Зависимости молярных концентраций гн, гсо2, гко игц от относительного радиуса сопла г при равновесном (7) и неравновесном (2) течениях. Топливо— (СНз^МНг+^О-ь а = 0,9; р0 =

= 5-105 Па; а» = 100 мм

слабо зависит от характера процесса. В рамках одномерного приближения были проведены детальные параметрические исследования многих топливных композиций.

В [33] содержатся графические материалы, позволяющие определить потери удельного импульса, связанные с неравновесным протеканием химических реакций.

Некоторые характерные результаты расчетов неравновесных течений в сопле видны на рис. 5.3.

Отклонение состава и термодинамических параметров продуктов сгорания от равновесных значений начинается в трансзвуковой области

намических параметров максимальны. При малых давлениях и

небольших размерах сопла, а также при малых температурах это отклонение может начаться в дозвуковой части сопла. Расчеты показывают также, что мольные доли веществ СОз, СО, N2, О2, Н2О и NO, в окрестности критического сечения замораживаются, и изменение их величин вниз по потоку не превышает 5... 10%, хотя характер изменения некоторых из них (СО2, Н2О, N2, СО) на некотором участке сопла близок к равновесному. Мольные доли таких компонент, как О, Н, ОН, Н2, хотя и значительно отличаются от равновесных значений, однако вниз по потоку не замораживаются. В частности, мольная доля атомарного водорода имеет минимум (см. рис. 5.3), который не наблюдается при равновесном протекании реакции. Такое изменение мольной доли водорода связано с тем, что обменные реакции [см. табл. 1.1] довольно близки к равновесию во всей области течения, особенно при высоких температурах, в то время как реакции рекомбинации, идущие при тройных соударениях, в трансзвуковой области сопла резко

замораживаются.

Молекулярная масса смеси замораживается в окрестности минимального сечения и далее остается постоянной и меньшей (на 1... 3%) соответствующего значения при равновесном течении. В случае течения бинарной смеси, когда протекает лишь одна реакция рекомбинации, а обменные реакции отсутствуют, происходит резкое замораживание этой реакции в трансзвуковой области, и далее вниз по потоку течение заморожено. Такой характер протекания реакций, когда кинетика реакций проявляется лишь в уз-

кой области, послужил основой создания приближенного метода расчета неравновесных течений, согласно которому до некоторого сечения течение принимается равновесным, а вниз по потоку от него — замороженным.

Параметрами, наиболее существенно влияющими на степень отклонения течения от равновесного, являются абсолютный размер сопла (его длина или диаметр минимального сечения d*, форма и степень геометрического расширения сопла F (или г), полные давление ро и температура То, а также состав газовой смеси на входе в сопло, определяемый типом топлива и коэффициентом избытка окислителя а. Изменение абсолютного размера сопла эквивалентно изменению времени пребывания газа в сопле, уменьшение которого (при прочих равных условиях) приводит к увеличению отклонения течения от равновесного. Уменьшение давления р0 также приводит к увеличению степени отклонения течения от равновесного, поскольку уменьшается число эффективных соударений (особенно для тримолекулярных высокоэнергетических реакций) и увеличивается исходный уровень диссоциации продуктов сгорания перед соплом.

Изменение температуры газа влияет на степень неравновесно- сти течения как через скорости химических реакций, так и через изменение уровня диссоциации газа перед соплом. Константы скорости реакций рекомбинации слабо зависят от температуры, поэтому основное влияние на скорость процесса оказывают активные радикалы, концентрации которых с ростом температуры увеличиваются. С другой стороны, с ростом температуры увеличивается степень диссоциации газа перед соплом, и, следовательно, может возрасти доля энергии, теряемой из-за неравновесности процесса. Поэтому изменение температуры может приводить как к увеличению, так и к уменьшению степени отклонения системы от равновесия, в зависимости от того, какой фактор окажется преобладающим.

Для систем С—О—Н при температурах Т0<2300 К течение в сопле является замороженным, что может приводить к большим потерям удельного импульса (до 10%). Действительно, при таких температурах состав продуктов сгорания в равновесных условиях может быть в ряде случаев определен с помощью реакции водяного пара НзО + СОч^СОз + Нг. Однако в таком виде реакция в действительности не реализуется, а осуществляется через записанную в табл. 1.1 цепочку реакций. В каждой реакции этой цепочки должны участвовать либо радикал ОН, либо атомарные компоненты О и Н, которые при температурах, меньше 2300 К, практически отсутствуют. Это приводит к тому, что реакции, представленные в табл. 1.1, не протекают и заморожены, начиная от камеры сгорания.

На степень отклонения параметров потока в сопле от равновесных значений существенно влияет состав газовой смеси. Наибольшее отклонение от равновесия имеет место при стехиометрических газовых смесях, имеющих повышенный уровень диссоциации 196

продуктов сгорания на входе в сопло. По мере обогащения или обеднения смеси степень диссоциации падает и степень отклонения от равновесия уменьшается. С увеличением степени расширения доля энергии диссоциации, которая может быть возвращена в поток при равновесной рекомбинации, возрастает. Однако истинная доля энергии диссоциации, которая успевает превратиться в кинетическую энергию потока, слабо зависит от степени расширения. Вследствие этого увеличивается степень отклонения системы от равновесия при увеличении г.

Расчет течения в газовом анализаторе. В настоящее время для определения состава смеси широко используются газовые анализаторы.

Отбор газовой пробы проводится с помощью специальных охлаждаемых зондов, вводимых в интересующие зоны течения. Если отбор пробы производится из высокотемпературной области, то изменение температуры смеси при ее течении в канале зонда сопровождается неравновесным протеканием химических реакций. По этой причине химический состав пробы на входе в анализатор будет отличаться от состава газа в точке отбора. В результате концентрации различных компонент газовой пробы, измеряемые в газовом анализаторе могут не соответствовать концентрациям этих компонент в исследуемой области высокотемпературного процесса.

Рассмотрим в связи с этим следующую модельную задачу. Примем, что газовая смесь в точке отбора пробы находится в состоянии химического равновесия. Тогда ее состав может быть определен при решении уравнений химического равновесия (см. 3.3.1). Давление и температуру в точке отбора, а также температуру на входе в газоанализатор считаем известными. Для простоты будем считать, что закон охлаждения пробы в канале зонда является известной функцией времени:

Г=(7'0 —Гл)ехр(—Х/ДГо —ГЛ))4-7Л,(5.1)

где То, ТА-—соответственно температура в точке отбора пробы и на входе в анализатор; / — время; л=-—, будем в дальнеи-

dt

шем называть параметр X скоростью охлаждения. Неравновесное протекание химических реакций между компонентами смеси описывается уравнениями химической кинетики. Таким образом, решение рассмотренной модельной задачи заключается в численном интегрировании системы уравнений химической кинетики при заданной временной зависимости температуры (3.3.1).

Отметим лишь, что в этом случае решается обратная задача с заданным распределением температуры от времени. Очевидно, что методы расчета одномерного течения, изложенные в (3.3.1), полностью пригодны и для расчета такого течения с заменой в соответ- d d ствующих уравнениях W=— .

Рис 5 4 Изменение относительных концентраций компонент СО и NOX в газовом анализаторе в зависимости от температуры ТА на входе в анализатор и скорости охлаждения К

О — равновесные значения На оси ординат отложено отношение относительной концентрации к концентрации начальной

Представленные ниже резуль- таго! расчетов выполнены Мусиным В. Р., Прохоровым М. Б. При расчетах учитывались реакции, приведенные в табл. 1.1.

При проведении параметрических расчетов варьировались следующие параметры: начальный состав и температура отбираемой

пробы, температура пробы на входе в анализатор и скорость охлаждения в канале зонда.

На рис. 5.4 представлены зависимости содержания токсичных компонент СО и NOx от температуры пробы на входе в анализатор. Здесь в качестве исходной смеси выбраны продукты сгорания воздушно-керосиновой смеси при коэффициенте избытка окислителя а = 0,9; температуре 7о = 25ООК и давлении ро = О,1 Мпа.

Все кривые приведены на момент времени /=10 с после отбора пробы. Из рис. 5.4 хорошо видно, что при 7д^1250К содержание окиси углерода в пробе не зависит от скорости охлаждения пробы (X) до этой температуры и определяется равновесной концентрацией при соответствующей температуре Тд. Если же проба охлаждается до температуры ниже 1250 К, то содержание СО в значительной мере будет определяться скоростью охлаждения X, причем здесь концентрации СО отличаются от равновесных. Такое влияние температуры на входе в анализатор Та и скорости охлаждения пробы до этой температуры на содержание СО в пробе в конце охлаждения можно объяснить следующим образом.

Согласно рис. 5 4 при температурах ниже 1250 К реакции с участием молекул СО «замораживаются», и уровень концентрации СО, измеряемой в газовом анализаторе определяется скоростью охлаждения пробы до этой температуры Так например, результатом охлаждения пробы (взятой при температуре 2500 К) до комнатной температуры со скоростью охлаждения в газовом анализаторе, является заниженная величина концентрации СО на 47% по сравнению с концентрацией в точке отбора пробы. Увеличение скорости охлаждения в 1000 раз дает занижение на 37%, увеличение скорости охлаждения еще в 1000 раз (7=109 К/с)—на 10%.

Изменяется лишь диапазон температур, при которых реакции с участием NOZ «замораживаются». При температуре ниже 2000 К содержание окислов азота определяется только скоростью охлаждения до этой температуры. Поэтому для получения достоверной информации о содержании окислов азота в высокотемпературной 198

П\ .достаточно пробу охладить до 2000 К и затем, вос- голь^ ^авн результатами проведенных предварительно численных иссЛ^д^_'ний, ввести поправочные коэффициенты на величину концентраций NO* в охлажденной пробе. Игнорирование выявленных закономерностей может привесги к занижению истинной концентрации NOX в высокотемпературной смеси на величину до 80%

Плоские и осесимметричные течения

Исследование плоских и осесимметричных течений в соплах представляет собой значительно более сложную задачу, нежели исследование течения в одномерном приближении, поскольку теперь нужно решать систему (3 36) ..(3 40) вдоль линии тока несколько раз для обеспечения сходимости итераций

Метод решения обратной задачи описан в 33 1. Ниже описаны результаты расчетов, выполненные В Ф Колмогоровым, при заданном на оси симметрии распределении давления

\<Р\-р*Ирх-PiHa-c") t- \p\ — p*)c + \p* — pita

где a = exp (—x/6); с=1 при x>0, a=l, c = exp (x/6) при x^0, 5=x(r«, p = pjp0, pi, pi — давления в начальной и конечной точках на оси сопла, b— параметр, характеризующий величину градиента давления в трансзуковой области.

Некоторые результаты расчетов осесимметричного течения представлены на рис. 5 2, 5.5. Рассчитывалось равновесное, неравновесное и замороженное течения при заданном на оси симметрии распределении давления (5.2) с ^i = 0,96; /?» = 0,55; ^2 = 0,04 и 6 = 0,8. Линии М= 1 и 0 = 0 как в замороженном, так и в равновесном течении выходят из одной точки на оси (х = х*) и простираются вверх по потоку от этой точки, так что линия М=1 находится всегда выше по потоку, чем линия 0 = 0, в соответствии с общими закономерностями поведения этих линий в осесимметричных и плоских течениях (см. 4.1.1). При неравновесном течении линии М=1, 9 = 0 также простираются вверх по потоку, однако они выходят из разных точек на оси симметрии, причем точка оси, в которой М=1, расположена ниже по потоку, чем точка, соответствующая линии 6 = 0, поскольку в неравновесном одномерном течении происходит смещение линии М=1 вниз по потоку относительно минимального сечения. Внутри течения эти линии пересекаются. В неравновесном осесимметричном и плоском течениях в зависимости от кривизны контура в минимальном сечении скорость течения может быть меньше, равна или больше скорости звука в противоположность случаям равновесного или замороженного течений, в которых в минимальном сечении скорость всегда больше скорости звука.

В трансзвуковой области имеет место некоторое повышение температуры на линиях тока с малыми радиусами кривизны. Оно свя-

199

Рис 5 5 Звуковые линии М = 1 и линии 6 = 0 поч неравновесном (Оф) и замороженном (ДА) течениях зано с характером протекания неравновесных процессов и не имеет места в равновесном и замороженном течениях. Действительно, высокий градиент давления в трансзвуковой области вызывает резкое замораживание химических реакций, которые затем начинают интенсивно осуществляться при последующем переходе в область с меньшим градиентом давления, что приводит к выделению тепла и повышению температуры. Другая особенность в распределении температуры имеет место вблизи выходного сечения сопла, где при малых гра

диентах давления течение стремится к локальному равновесному состоянию, что приводит к повышению неравновесной температуры на выходе из сопла и изменению концентраций компонент в- сторону их равновесных значений.

Распределение концентраций компонент на различных линиях тока неравновесного течения (см. рис. 5.2) характеризуется слабой зависимостью их от формы линии тока и распределения давления

на них, что находится в соответствии с результатами расчетов в одномерном приближении. В то же время в равновесном течении концентрации компонент на различных линиях тока отличаются значительно. На рис. 5.2 пунктиром показаны результаты расчета неравновесного течения в одномерном приближении. Одномерное приближение можно использовать с достаточной для практики точностью при расчете концентраций компонент, однако значения температуры определяются достоверно лишь в областях с малыми градиентами. Потери импульса, связанные с неравновесным протеканием химических реакций, с высокой точностью могут быть определены в рамках одномерного приближения.

ТЕЧЕНИЯ С КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ РЕЛАКСАЦИЕЙ

Времена релаксации колебательных степеней свободы на один— два порядка меньше времен для химических реакций, а энергия их сравнима с химической энергией при течениях высокотемпературной смеси. Тем не менее процесс колебательной дезактивации из-за больших градиентов газодинамических параметров, особенно при малых абсолютных размерах сопла, может протекать неравновесно. В последние годы возрос интерес к изучению процессов колебательной дезактивации в сопле в связи с проблемой создания газодинамических оптических квантовых генераторов Неравновесное протекание дезактивации колебательных степеней свободы приводит к возникновению инверсной заселенности колебательных уровней молекул, необходимой для инициирования излучения. Метод 200

расчета неравновесных течений с колебательной релаксацией изложен в 3.3 1, а необходимые сведения о временах релаксации приведены в 1.3 2.

Одномерные течения

Рассмотрим влияние колебательной неравновесности на параметры течения в сопле и потери удельного импульса на примере расширения продуктов сгорания топлива (CHs)2NNH2+N2O4. На рис. 5.6 представлены зависимости относительных колебательных температур Тт различных компонентов от относительного радиуса сопла г=г]г* при различных значениях параметра ф и коэффициенте избытка окислителя а=1,2. Видно, что по мере уменьшения параметра ф колебательные температуры компонентов все более отклоняются от равновесных и при достаточно малых значениях ф и больших степенях расширения могут даже замораживаться. Чем меньше значение ф, тем ближе к критическому сечению происходит отклонение колебательных температур от равновесных значений. При уменьшении ф наиболее отклоняются от равновесных значений колебательные температуры Н2, NO, N2 и СО. Например, если при ф = 6,25-107 Па-мм колебательные температуры СО2 и Н2О близки к равновесным значениям, то колебательная температура СО при г=10 превышает равновесное значение более чем в 1,5 раза.

О 246810 г О 246610 г

О 246010 г О 246810 г

Рис 5 6 Зависимость колебательной температуры TV=TVIT„ от г для разных ф (105 Па мм):

/ — равновесная температура

Плоские и осесимметричные течения

Плоские и осесимметричные течения в рамках обратной задачи изучались в работах [4, 15,26].

В рамках обратной задачи в работе [4] численно решена задача расчета течения в плоском сопле при наличии неравновесной релаксации колебательных степеней свободы. Определены колебательные температуры различных мод, установлена инверсная заселенность уровней и определен коэффициент усиления. Исследовано влияние геометрических параметров сопла на инверсную заселенность уровней и коэффициент усиления и продемонстрирована важность учета двумерных эффектов при их определении. На рис. 5.7, а показаны линии M = const в плоском сопле с угловой точкой при учете (сплошные линии) и без учета (пунктирные линии) колебательной релаксации. Очевидно заметное изменение поля за счет колебательной релаксации, особенно в развитой сверхзвуковой области. На рис. 5.7, б представлены распределения вдоль оси симметрии (пунктирные линии) и контура сопла (сплошные линии) числа М, коэффициента усиления К, температуры поступательных степеней свободы Т и колебательных температур: температуры Т\ симметричной и деформационной мод СО2, температуры 72 асим-

Рис 5 7 Линии M = const (а), распределение температур колебательных степенен свободы и коэффициента усиления К(б) при течении в сопле с неравновесным возбуждением колебательных степеней свободы

метричного вида колебаний СО2, колебательной температуры Та азота. Из рисунка видно, что в дозвуковой области сопла течение мало отличается от равновесного. В трансзвуковой области вследствие больших градиентов газодинамических параметров прекращается колебательно-поступательный V—7-обмен с молекулами азота, поскольку время релаксации этого процесса велико. Затем тормозится V—7-обмен между СО2 и Н2О. Инверсный и непрекра- щающийся обмен между уровнями асимметричного типа колебаний и колебательно-возбужденным азотом обеспечивает «перекачку» колебательной энергии от азота к третьему типу колебаний СО2. В связи с этим величина 72 проходит через минимум и начинает приближаться к 73. Ввиду малости времен релаксации V—,7-обме- на для молекул СО2 симметричного типа колебаний величина 71 близка к 7. Из рис. 5.7 видно также, что изменения представленных па нем величин вдоль оси и контура заметно отличаются, что особенно характерно для коэффициента усиления.

Важно отметить, что в рамках обратной задачи удается рассчитать контуры сопел с угловой точкой (см. рис. 5.7, aY

В работе [15] приведены результаты численного профилирования и анализа влияния формы сопла и газодинамических параметров на характеристики газодинамических лазеров.

На основе исследований двумерного неравновесного течения семейства подобных сопел и сопел с различным углом наклона сужающейся части показана целесообразность выбора такой формы дозвуковой части, которая обеспечивает прямолинейную звуковую линию. Рекомендуются соотношения геометрических параметров дозвукового и трансзвукового участка сопла, обеспечивающие без- отрывность течения и форму звуковой поверхности, близкую к плоской. Проведено параметрическое исследование сверхзвукового участка двух классов плоских сопел газодинамических лазеров, построенных на базе равномерных и симметричных характеристик на выходе (см. разд. 4.6.2). На основе параметрических исследований влияния степени расширения, полного давления и температуры, а также состава газа показано, что наименьшие потери полезной колебательной энергии в резонаторной области обеспечивают сопла, построенные на базе равномерной характеристики.

Эффективность преобразования тепловой энергии в энергию когерентного электромагнитного излучения существенно зависит от геометрии сопла, определяющей свойства колебательно-неравновесного течения газовой смеси в рабочей части газодинамического лазера.

Большое влияние на характер неравновесных процессов оказывает сверхзвуковая часть сопла. В настоящее время в конструкциях обычно используется семейство сопел с угловой точкой, построенное на базе равномерной замыкающей характеристики. Однако данное семейство сопел не является семейством сопел кратчайшей длины. Более высокого темпа охлаждения газовой смеси можно достигнуть в более коротких соплах с неравномерным распределением параметров в выходном сечении. Поэтому в этой работе классическим ме-

тодом характеристик проведено параметрическое профилирование1 плоских и осесимметричных сопел, обеспечивающих заданные неравномерные газодинамические параметры в выходном сечении (разд. 4.6.4). Рассмотрено, в частности, семейство, построенное на базе симметричной замыкающей характеристики и обеспечивающее параллельность потока на выходе и отсутствие ударных волн во всем поле течения.

Проведено параметрическое исследование характеристик двух классов сопел, первый из которых выстраивается на базе равномерной замыкающей характеристики, а второй — на базе симметричной замыкающей характеристики. Сопла, профилируемые на базе симметричной характеристики, имеют более высокие значения угла наклона контура в угловой точке, что обеспечивает более интенсивный разгон потока как за угловой точкой, так и на всем сверхзвуковом участке.

Для ГДЛ на смеси газов CO2 + N2 + H2O был проведен анализ влияния геометрических параметров исследованных классов сопел на величину коэффициента эффективности сопла т]. Получено, что для сопел второго класса средний по сечению коэффициент т] на выходе на величину 0,04 превышает соответствующее значение i] для сопел первого класса. Однако расчеты показали, что в выходном сечении сопел данного класса реализуются существенно неравномерные газодинамические параметры. Продольная составляющая скорости и числа М при удалении от оси уменьшаются, а давление и плотность увеличиваются. Так, неравномерность по числу М составляет около 60%. Наличие такой сильной неравномерности указанных газодинамических параметров на срезе сопла второго класса может привести к дополнительным газодинамическим возмущениям, в результате действия которых в колебательно-релаксирую- щем потоке за срезом сопловой решетки может быть потеряна часть колебательной энергии. Поэтому для правильного изучения качества лазерного потока, истекающего из обоих классов сопел, в работе проведено численное исследование релаксирующего течения смеси газов за срезом сопел в резонаторной области.

В качестве расчетной области, моделирующей взаимодействующие потоки, принимается область, на верхней и нижней границах которой плоскости взаимодействия заменяются эквивалентными по граничным условиям плоскими стенками прямолинейного канала.

Смешанная задача расчета изоэнтропического потока в указанной области по данным, полученным в выходных сечениях сопел, решается послойным методом характеристик, обладающим свойством «сквозного» счета несильных ударных волн. Расчеты, проведенные без учета влияния генерации излучения, показывают, что неравномерность газодинамических параметров на срезе коротких сопел оказывает сильное влияние на течение газа в резонаторной области. Неравномерные профили газодинамических параметров в сечениях, расположенных внизу по потоку, начинают выравниваться, периферийная часть потока с большим давлением поджимает цент- 204

ральную часть и из-за данного поджатия появляются условия возникновения висячей ударной волны, интенсивность которой с увеличением х возрастает.

В результате из-за наличия за срезом сопла 2 ударной волны происходит значительное уменьшение г] для сопла 2 и получаются более низкие средние значения коэффициента усиления К. Следовательно, поток смеси газов CO2 + N2 + H2O, истекающий из сопла,, рассчитанного на равномерные параметры на выходе в резонаторной области, имеет более высокие запасы колебательной энергии.

На основании проведенных численных исследований можно сделать вывод, что из двух рассмотренных классов сопел с точки зрения наименьших потерь колебательной энергии в резонаторной области более эффективными являются сопла, построенные на базе равномерной характеристики, которые при наличии острой кромки на выходе из сопловой решетки обеспечивают высокую степень однородности всех газодинамических параметров.

ТЕЧЕНИЯ С НЕРАВНОВЕСНОЙ КОНДЕНСАЦИЕЙ

Исследование одномерных стационарных течений в соплах позволяет изучить основные особенности процесса неравновесной конденсации, являясь одновременно достаточно простым с точки зрения построения численного алгоритма и возможностей детального параметрического исследования. Необходимые формулы и соответствующие алгоритмы для расчета одномерного стационарного течения в соплах в случае равновесного, неравновесного и замороженного процесса приведены в [И]. При решении обратной задачи вдоль оси задается распределение либо давления р = р(х), либо плотности р = р (х), либо скорости W = U7 (х).

Очевидно, что при решении обратной задачи целесообразно задавать распределение вдоль оси такого параметра, который слабо зависит от самого процесса конденсации и может быть просто вычислен для замороженного течения. Как показали результаты большого числа параметрических расчетов одномерных и двумерных течений в соплах [11], к числу таких параметров относятся плотность смеси р, скорость смеси U7 и плотность тока смеси р!?7. Действительно, из результатов расчетов следует, что в неравновесном течении, по сравнению с замороженным, плотность и скорость смеси соответственно увеличиваются и уменьшаются на 1...2%, а давление и температура—на 15...20%. Из результатов расчетов следует также [П], что процесс неравновесной конденсации практически не оказывает влияния на положение линий тока при двумерном течении в сопле и плотность тока pW, поскольку увеличение плотности компенсируется уменьшением скорости. Из сказанного следует, что в рамках одномерного течения можно с высокой точностью исследовать и двумерные течения с неравновесной конденсацией Для этого необходимо рассчитать каким-либо методом (например, методом характеристик) двумерное замороженное течение без конденсации и, получив из такого расчета распределение плотности тока

Рис 5 8 Типичные распределения давления jo, температуры Т, скорости образования ядер /, числа частиц в единице объема N, массовой доли Жидковой фазы ае и переохлаждения s по длине сопла неравновесной конденсацииРис 5 8 Типичные распределения давления jo, температуры Т, скорости образования ядер /, числа частиц в единице объема N, массовой доли Жидковой фазы ае и переохлаждения s по длине сопла неравновесной конденсацииРис 5 9 Распределение давления по длине сопла Сравнение расчетных и экспериментальных данных г, = 1 см, Q— а> = 4 9№ Па, 70 = 442 К; 7's = 415 К; • —р0=2 105 Па, То = 445 К, Ts = 370 К 1 — равновесное течение, 2— неравновесное течениеРис 5 9 Распределение давления по длине сопла Сравнение расчетных и экспериментальных данных г, = 1 см, Q— а> = 4 9№ Па, 70 = 442 К; 7's = 415 К; • —р0=2 105 Па, То = 445 К, Ts = 370 К 1 — равновесное течение, 2— неравновесное течение/ — равновесный процесс, 2— неравновесный, 3—замороженный, 4— контур сопла

Рис 5 8 Типичные распределения давления jo, температуры Т, скорости образования ядер /, числа частиц в единице объема N, массовой доли Жидковой фазы ае и переохлаждения s по длине сопла неравновесной конденсации

Рис 5 8 Типичные распределения давления jo, температуры Т, скорости образования ядер /, числа частиц в единице объема N, массовой доли Жидковой фазы ае и переохлаждения s по длине сопла неравновесной конденсации

Рис 5 9 Распределение давления по длине сопла Сравнение расчетных и экспериментальных данных г, = 1 см, Q— а> = 4 9№ Па, 70 = 442 К; 7's = 415 К; • —р0=2 105 Па, То = 445 К, Ts = 370 К 1 — равновесное течение, 2— неравновесное течение

Рис 5 9 Распределение давления по длине сопла Сравнение расчетных и экспериментальных данных г, = 1 см, Q— а> = 4 9№ Па, 70 = 442 К; 7's = 415 К; • —р0=2 105 Па, То = 445 К, Ts = 370 К 1 — равновесное течение, 2— неравновесное течение

вдоль различных линий тока (либо траекторий частиц в случае нестационарного течения), рассчитать затем, уже в одномерном приближении, процесс неравновесной конденсации с заданным по длине распределением плотности тока. Таким образом, в рамках одномерного течения можно изучить основные особенности процесса неравновесной конденсации как для одномерного так и двумерного течений.

Характерные распределения параметров в процессе неравновесной конденсации в сверхзвуковом сопле представлены на рис. 5.8...5.10.

На рис. 5.8 показано качественное изменение основных параметров, а некоторые количественные результаты конкретных расчетов и экспериментов приведены на рис. 5.9, 5.10. Результаты расчетов и экспериментов отражают развитие процесса конденсации. На первой стадии этого процесса (см. рис. 5.8) при достижении достаточно большого перенасыщения зарождаются ядра конденсации, и процесс зарождения ядер завершается на достаточно малой длине, скорость их образования имеет резко выраженный максимум и достигает больших значений — до 1021 частиц/см3с, после чего скорость образования снижается до нуля. Общее число ядер на первой стадии процесса конденсации также быстро растет и достигает величины 1019 частиц/г; однако затем число ядер остается неизменным. Далее наступает вторая стадия процесса конденсации, в которой уже в основном происходит рост частиц на образовавшихся ядрах и увеличение массовой доли жидкой фазы. За счет выделе-

Рис 5 10 Распределение температуры по длине сопла при неравновесной конденсации (Обозначения см рис 5 9)

ния большего количества тепла состояние перенасыщения снимается и переход в состояние насыщения может произойти достаточно резко на малой длине и носить почти скачкообразный характер. Однако при некоторых условиях возможен и достаточно плавный переход в состояние насыщения. Дальнейшее изменение давления и температуры происходит по равновесной кривой. Отметим, что переход в состояние насыщения происходит почти скачкообразно при больших давлениях и ма

лых числах М в точке росы, при уменьшении давления наблюдается (и, следовательно, при увеличении числа М) более плавный переход (см. рис. 5.9). В то же время из-за больших градиентов газо

динамических параметров течение может не достигнуть состояния равновесия. В силу отмеченных особенностей для оценки влияния конденсации на параметры потока можно воспользоваться расчетом равновесного течения.

Отметим еще, что при неравновесной конденсации относительное изменение температуры при переходе от замороженного течения к равновесному больше, чем относительное изменение давления (см. рис. 5.9, 5.10). Укажем еще, что нельзя отождествлять области резкого повышения давления и температуры, вызванные спонтанной конденсацией (так называемые скачки конденсации), с известными газодинамическими скачками уплотнения. В газодинамических скачках уплотнения повышение давления и температуры сопровождается и сильным падением скорости, согласно соотношению /чХ2=1, где %i и /,2— приведенные скорости до и после скачка, при этом сверхзвуковой поток переходит в дозвуковой. В зоне спонтанной конденсации происходит лишь незначительное, на 1...2%, уменьшение скорости, при этом очевидно, что течение остается сверхзвуковым (см. рис. 5.8). Вышесказанное не относится к трансзвуковым потокам с числами М= 1... 1,3.

ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛАХ МГД-ГЕНЕРАТОРОВ

В прикладных задачах, связанных с разработкой и исследованием некоторых схем МГД-генераторов, приходится встречаться с течениями электропроводного газа в соплах в магнитном поле. При этом весьма существенно иметь представление о структуре течения в до-, транс- и сверхзвуковой областях сопла.

В работе [5] исследуются до- и сверхзвуковые осисемметричные течения в сопле в меридиональном магнитном поле. Решается обратная задача теории сопла Лаваля, обобщенная на случай маг-

207

нитогазодинамических течений. При построении разностных схем используются идеи, развитые в разд. 3.4.4. Для обеспечения возможности расчета сопел сложных конфигураций использована криволинейная ортогональная система координат (ф, s) (s— расстояние вдоль начальной линии тока). Проведены расчеты течений в сопле Лаваля и в кольцевых радиальных соплах. Определены поля газодинамических параметров и потери полного давления. Указывается на необходимость ослабления магнитного поля в •сверхзвуковой части кольцевого радиального сопла дискового МГД-генератора. Необходимые сведения по используемым соотношениям для течений электропроводного газа в сопле даны в разд. 1.3 5.

Отметим некоторые качественные закономерности течений проводящего газа в сопле. Из уравнения (3.73) очевидно, что с увеличением параметра взаимодействия происходит экспоненциальное уменьшение полного давления, связанное с джоулевой диссипацией энергии. Джоулев нагрев приводит также к увеличению температуры газа, уменьшению плотности и скорости по сравнению со случаем отсутствия взаимодействия проводящего газа и магнитного поля, если статическое давление газа сохранять неизменным. Таким образом, наложение магнитного поля тормозит газ и приводит к потерям давления. Эти эффекты, очевидно, возрастают с увеличением параметра N, в частности сверхзвуковой поток при наложении сильного магнитного поля может перейти в дозвуковой

Приведем результаты расчетов осесимметричных течений про водящего газа в до-, транс- и сверхзвуковой частях сопла Давал; и кольцевого радиального сопла. В качестве начальной криво! выбиралась ось симметрии сопла Лаваля или контур стенки цент рального тела кольцевого радиального сопла. На ней задавалос распределение числа М, которое находилось из трехпараметриче ского распределения приведенной скорости X=Wja изоэнтропичс ского течения — формула (4.3).

На рис. 5.11 представлено поле течения для распределения в; да (4.3) с 117^=0,1; ИД»—1,9 и 6 — 3,5. Расчет проводился с ш стоянным шагом Дф = 0,168-10~2 во всей области течения, включа и область вблизи оси. На этом рисунке нанесено семейство лини тока и линии M=const; любая из линий тока может быть выбра; в качестве стенки сопла. Приведена также зависимость числа № с длины сопла на оси симметрии (кривая /) лри ф = 0,015 и 0,0! (кривые 2 и 3 соответственно). Приведенная на рис. 5.11 завис мость коэффициента давления ср = 2(р—Poo) I (pooWcP от дли; сопла на линии тока ф = 0,015 свидетельствует о возникновении области малых дозвуковых скоростей, где контур практичес прямолинеен и параллелен оси симметрии, зоны с положительна градиентом давления.

Из результатов расчетов следует, что положительный градие давления имеется на всех линиях тока 1(^0,005 и увеличиваете: уменьшением радиусов сопряжения Ri и Ri. Так, на линии тс -с 1^ = 0,010 максимальное значение ср=0,76-10~2, на линии ток

Z X

Рис 5 11 Поле течения в осесимметричном сопле при наличии магнитного поля

Рис 5 12 Изменение полного и статического давлений вдоль линий тока сопла при наличии магнитного поляРис 5 12 Изменение полного и статического давлений вдоль линий тока сопла при наличии магнитного поля

Рис 5 12 Изменение полного и статического давлений вдоль линий тока сопла при наличии магнитного поля

Рис 5 12 Изменение полного и статического давлений вдоль линий тока сопла при наличии магнитного поля

тр = 0,015 оно равно 0,123, а при ip = 0,025—ср = 0,472. Взаимодействие потока с магнитным полем приводит к увеличению положительного градиента давления. Так, при 5 = 0 на линии тока с гр= = 0,015 положительный градиент отсутствует, а при ip = 0,025 максимальное значение ср = 0,072.

На рис. 5.12 приведено распределение статического и полного давлений по длине сопла на линиях тока лр=О (кривая /) и 0,015 (кривая 2). Для гр = 0,025 (кривая 5) приведено распределение только полного давления. Представлено также изменение модуля радиальной составляющей скорости и по длине сопла. Из сравнения кривых po=Po(^) с кривой ] и | = |и(х)| следует, что интенсивное падение полного давления наблюдается в областях, где ра

диальная составляющая скорости достигает максимума. Этим зонам соответствуют конические участки вблизи горловины сопла в до- и сверхзву- корой областях. Так как на оси сопла WXB = O, то на линии тока ф = 0 реализуется изоэнтропическое течение и ро(^) = 1-

На рис. 5.13 изображен контур сопла, соответствующий ip = 0,0168, и линии М = const при наличии поля (пунктирная кривая) и без него. Магнитное поле увеличивает неравномерность потока по сечению как в до-, так и в сверхзвуковой об-

Рис. 5.13. Поле течения в осесимметричном сопле при наличии и отсутствии магнитного поля

ластях, а влияние на контур оказывается только в дозвуковой части. В сверхзвуковой части отношение осевой и радиальной составляющих скорости велико, и координаты контуров отличаются не более чем на 0,7%. Потери полного давления в этом сопле, рассчитанном на небольшие сверхзвуковые скорости (М~2,0), не превышают 5%. Неравномерность давления за счет воздействия магнитного поля может увеличиться в 3 ... 5 раз. Отметим, что пондер- моторная сила направлена к оси сопла в дозвуковой части, и к стенке — в сверхзвуковой. Из результатов расчетов и анализа уравнений следует, что плотность газа вблизи стенок сопла снижается в большей степени, чем у оси, особенно при больших параметрах взаимодействия А/". Это приводит как бы к оттеснению газа от стенок сопла и образованию некоторого фиктивного канала с более плавными стенками, чем у действительного сопла, в котором и движется основная масса газа. В связи с этим происходит некоторое выравнивание линий p=const и M=const в окрестности критического сечения. Коэффициент расхода тем не менее уменьшается за счет воздействия магнитного поля, что связано с уменьшением полного давления за счет джоулевой диссипации. Интенсивное падение полного давления наблюдается в областях, где радиальная составляющая достигает максимума. На оси сопла пондермоторная сила равна нулю, и полное давление остается неизменным. Наложение магнитного поля за счет джоулевой диссипации приводит к уменьшению импульса сопла по сравнению с импульсом сопла в отсутствии магнитного поля. Однако это уменьшение при реальных значениях параметра взаимодействия невелико (~0,5%).

Рассмотрим кольцевое радиальное сопло с центральным телом. В качестве I выбрана кривая, составленная из четверти окружности (рис. 5.14).

(г-0,55)2+U-0,35)2=О,352; г<0,55, л<0,35

и полупрямых

х=0, х ^ 0,55 и г=0,2, х ^0,35,

на которой задано распределение скорости вида (4.3).

Рис. 5.14. Поля течения в кольцевом радиальном сопле при наличии магнитного поля (а), при наличии и отсутствии магнитного поля (5)

На рис. 5.14, а представлено семейство линий тока и линии М= const для сопла с 11^00 = 0,2; ТУоо=1,9 и 6 = 8,0. Приведена также зависимость полного давления и числа М от радиуса на линиях тока гр = О; 0,0085; 0,017 и 0,0255 (кривые 1 ...4 соответственно). На цилиндрическом участке в дозвуковой области, как и в сопле Лаваля, обнаружено возникновение зоны с положительным градиентом давления. Максимальное значение ср = 0,1. Звуковая линия, расположенная за зоной поворота, выпукла в сторону сверхзвуковой области, ее положение соответствует s = 0.

Джоулев нагрев газа сопровождается резким падением полного давления в сверхзвуковой части, в выходном сечении полное давление составляет -—-0,45 от давления на входе в сопло. Связанное с диссипацией уменьшение плотности газового потока приводит к сильному раскрытию контура второй стенки, а это в свою очередь приводит к интенсивному ускорению газа вблизи стенки и обусловливает сильную неоднородность полей параметров в поперечном сечении сопла. Так, например, неоднородность электропроводности в выходном сечении составляет ~50%. Из сравнения распределений М=М(г) вдоль нижней стенки для одного и того же сопла на рис. 5.14, а в магнитном поле (кривая 7) и без него (кривая 5) видно, что в сверхзвуковой части сопла осуществляется интенсивное торможение газа.

При М = 0,092 и S = 1,4 Тл скорость потока на выходе у нижней стенки ограничена значением М~2,1. Увеличить степень МГД- взаимодействия путем увеличения магнитного поля не удалось. При численных расчетах внешний контур резко раскрывался, статическое давление у стенки падало до нуля и счет прекращался. Физически это объясняется тем, что при заданных условиях поток не может быть существенно ускорен, так как энергия его не достаточна для преодоления тормозящего действия поля. В данном

случае удалось увеличить величину магнитного поля с 0,4 до 1,4 Тл, уменьшив скорость истечения на выходе с М=2,6 до 2,1. Сопло изображенное на рис. 5.14, б соответствует IF=0,l; PKoo=l,9; 6=1,75. В области поворота передзвуковой линией возникает местная сверхзвуковая зона. Положительный градиент давления в этой зоне достаточно велик (ср = 0,3). Линии M=const сильно искривлены вблизи звуковой линии, что свидетельствует о существенно двумерном характере течения в этой области. Штрих- пунктирными линиями показаны контур сопла и линии М= const при 5=0 для того же распределения скорости на кривой I. Видно, что влияние поля существенно сказывается в до- и сверхзвуковой областях и значительно слабее в трансзвуковой. Так, если различие в величине максимального значения ср в зоне поворота при наличии поля и при 5 = 0 не превышает 0,7%, то в дозвуковой области достигает 12%. Различие в координатах линий М=0,1 и М=1,0 на верхней стенке составляет соответственно 2,4 и 0,6%.

Таким образом, несмотря на близость величины параметра N к максимально возможной для рассмотренного сопла и выбранного рабочего тела, влияние поля на геометрию и параметры потока до- и трансзвуковой областей сопла незначительно. Это позволяет с отмеченной выше точностью пренебречь влиянием поля в этих областях и рассматривать течение как изоэнтропическое.

Представленные в дозвуковой части сопла линии s = const поясняют расположение узлов разностной сетки. Несмотря на сгущение узлов на линиях тока с увеличением тр, шаг по s сохраняется постоянным, счет устойчив вплоть до пересечения двух линий s = const.

Схема радиального кольцевого сопла дискового МГД-генера- тора совместно с магнитной системой из трех катушек приведена на рис. 5.15. Магнитное поле в зоне МГД-канала и сопла создается двумя осесимметричными катушками и неоднородно по радиусу. Поле в зоне сопла может быть ослаблено с помощью дополнительной компенсирующей катушки меньшего диаметра.

Распределение индукции магнитного поля 5о(х) определяется следующим образом. Каждая катушка заменяется эквивалентным токовым витком, индукция магнитного поля которого на оси симметрии описывается зависимостью

г2

BkW=C,(5.3)

[го + (^ + л)2]

где г0 — радиус витка; h— расстояние от начала координат до плоскости витка; С — постоянная катушки.

Производя суммирование по всем катушкам, получим на оси симметрии

3

5о(х)=^? 5й(х).

ЗонасоплаЗонасопла

Зонасопла

Зонасопла

Рис 5 15 Поле течения в радиальном кольцевом сопле дискового МГД, распределение магнитного поля

На рис 5.15 приведена геометрия сопла, линии M = const, распределение р0, а также Вх, Вт (в Тл) по радиусу вдоль стенок сопла. Результаты представлены как для магнитной

системы из двух катушек (сплошная кривая), так и для системы из трех катушек (шгрихпунктирная кривая). Параметр N равен 0,058 в первом случае и 0,0084 во втором. Постоянная С, входящая в выражение (5.3), равна +1,0 для основных катушек и —0,8 для компенсирующей.

Компенсация магнитного поля резко снижает потери полного давления и позволяет обеспечить уско

рение потока до М~3,0. Неравно

мерность потока в выходном сечении сопла составляет 5% по

электропроводности и 2% по скорости при нескомпенсированном поле и соответственно 3 и 0,6% —при скомпенсированном.

Анализ результатов показывает, что при фиксированном отно

шении давлений р/ро, максимальная величина скорости, до которой удается ускорить поток, уменьшается с увеличением В. Основным путем, обеспечивающим возможность ускорения потока до сверхзвуковых скоростей с числом М~3,0, является снижение потерь полного давления в сверхзвуковой части сопла. Помимо компенсации магнитного поля целесообразно по возможности более интенсивное ускорение потока в этой области.

ТЕЧЕНИЯ с ПОДВОДОМ ЭНЕРГИИ

Течение с подводом энергии рассчитывалось в рамках обратной задачи в работе [13]. Основные уравнения выписаны в 1.2.1, а соответствующая разностная схема в 3.4.2.

Расчеты течения газа с зоной тепловыделения вблизи оси для Q+=0 проводились с шагом ф=10-4. Предполагалось, что зона тепловыделения расположена между линиями тока ф = 0 и =0,2-10~2. Профили температуры и скорости течения на оси с тепловыделением представлены на рис. 5.16 сплошной линией, без тепловыделения — пунктирной. Увеличение температуры и скорости очевидно. Максимум температуры в дозвуковой части объясняется тем, что в области дозвукового течения, где мал продольный градиент давления, понижение температуры газа за счет расширения незначительно, поэтому существенен вклад в рост температуры члена с тепловыделением. Изменение параметров на оси при-

Рис. 5 16. Распределение скорости и температуры на оси при наличии зоны тепловыделенияРис. 5 16. Распределение скорости и температуры на оси при наличии зоны тепловыделенияРис 5 17. Форма линий тока при наличии зоны тепловыделенияРис 5 17. Форма линий тока при наличии зоны тепловыделения

Рис. 5 16. Распределение скорости и температуры на оси при наличии зоны тепловыделения

Рис. 5 16. Распределение скорости и температуры на оси при наличии зоны тепловыделения

Рис 5 17. Форма линий тока при наличии зоны тепловыделения

Рис 5 17. Форма линий тока при наличии зоны тепловыделения

водит к изменению конфигураций линий тока (рис. 5.17, сплошная линия) по сравнению с конфигурацией для Q — 0 (пунктирная линия). Изменение формы линий тока в дозвуковой части объясняется резким повышением температуры на оси сопла, вызванным тепловыделением. В сверхзвуковой части сопла линии тока меняются эквидистантно линиям тока для течения с Q = 0, так как профили температуры и скорости при наличии тепловыделения, как и в случае с Q = 0, в сверхзвуковой части выходят на асимптоту.

Отсутствие теплопроводности и резкое падение тепловыделения приводят к тому, что скорость и температура на границе тепловыделения резко меняются и вне зоны тепловыделения наблюдается течение, параметры которого хорошо согласуются с параметрами Лечения при Q = 0.

Этот факт доказывает также, что распределение параметров течения объясняется в основном тепловыделением и конвективным сносом тепла вдоль оси, а конвективный перепое тепла поперек сопла несуществен.

Падение температуры в сверхзвуковой части объясняется уменьшением конвективного переноса тепла по соплу. В этом'случае линии тока не имеют максимума.

Исследовалось влияние изменения области тепловыделения на параметры течения. Область тепловыделения ограничена осью и прямыми:

г =-0,02252+0,05; -3<2<0;

(5.4) г=0,01002+0,05; 0<2<3.

При таком задании области тепловыделения часть линии тока проходит через зону тепловыделения не по всей длине. Малый градиент температуры в дозвуковой части сопла (вне зоны тепловыделения) объясняется малым градиентом давления и отсутствием 214

тепловыделения. Отсутствие повышения давления в сверхзвуковой части сопла при входе в зону тепловыделения объясняется малой величиной тепловыделения.

ТЕЧЕНИЯ СМЕСИ ГАЗА И ЧАСТИЦ

Основные уравнения для расчета смеси газа и частиц выписаны в 1.2.1; в 1.3.3 представлены необходимые данные по коэффициенту сопротивления и числу Нуссельта, которые должны быть использованы в соответствующих уравнениях; в 3.4.3 представлена разностная схема для расчета течения смеси газа и частиц, как в одномерном, так и в двумерном течении.

На основе расчетов таких течений выявлены основные качественные закономерности.

Отметим некоторые общие закономерности изменения параметров неравновесных двухфазных потоков в соплах. Очевидно, что скорости частиц ниже равновесной скорости и скорости газа в неравновесном течении, а температура их выше. Скорость и температура газа могут быть равны, превышать или быть меньше соответствующих параметров в равновесном течении в зависимости от величины CsjCp. Среднемассовая скорость смеси в неравновесном течении меньше, чем в равновесном. Давление и удельный импульс неравновесного течения при заданном отношении площадей ниже, чем в равновесном течении, и выше, чем в замороженном. Число М в неравновесном течении, определенное по замороженной скорости звука, меньше числа М равновесного течения, определенного по скорости звука фиктивного газа с у0 и R° за счет снижения газовой постоянной в последнем. (Напомним, что в химически неравновесном течении имеет место обратное соотношение).

Некоторые результаты расчетов представлены на рис. 5.18. Приведенные на этом рисунке разности скоростей и температур газа и частиц являются типичными для неравновесных двухфазных течений в соплах. В дозвуковой и трансзвуковой областях сопла они увеличиваются за счет увеличения градиента скорости и для частиц малых размеров достигают максимума в сверхзвуковой окрестности минимального сечения (где градиент скорости максимален).

Рис 5 18 Зависимости скоростей и температур газа и частиц от х при массовой до ле частиц а’ = 0 3, диаметре критического ■сечеиия dx~ 100 мм, р = 4-106Па, То = = 3200 К, 1—контур сопла

Для приближенных оценок параметров газа в неравновесном двухфазном течении иногда возможно использование газодинамических функций. Если отклонение от равновесия невелико и известны скорость, температура и параметры торможения, то можно, определив число М° по равновесной скорости звука и используя газодинамические функции, найти все остальные параметры, которые будут приближенно соответствовать параметрам неравновесного течения. В этом случае использование числа М, определенного по замороженной скорости звука, может привести к большим ошибкам в определении давления и плотности. Аналогично, по известному отношению давления р]р0 в точке, можно определить остальные параметры. Из результатов расчета следует, что даже при размерах частиц до 20 мкм и as<0,6 параметры газа в неравновесном течении не более чем на 5. ..10% отличаются от равновесных, вычисленных с использованием показателя адиабаты у0.

Рассмотрим течения в осесимметричных и плоских соплах. Исследования двухфазных течений, выполненные в одномерном приближении, позволяют установить многие качественные особенности таких течений. Однако при движении смеси газа с частицами двумерные эффекты играют существенную роль как из-за неравномерного распределения частиц в различных сечениях сопла, так и из-за возможного выноса их на стенки в дозвуковой и сверхзвуковой областях, что является следствием различного по величине и знаку воздействия газа на частицы в различных точках сопла. В результате траектории частиц отличаются от линий тока газа, при этом вектор скорости частиц и их температура в транс- и сверхзвуковой областях существенным образом зависят от параметров течения в дозвуковой области. Поэтому для правильного описания двухфазного течения в сопле необходимо проводить совместный расчет до-, транс- и сверхзвуковой областей.

Численное решение системы (1.109).. .(1.113) в сверхзвуковой части сопла удобно осуществлять послойным методом характеристик. В дозвуковой части для численного решения необходцмо использовать алгоритм решения обратной задачи (см. 3.4.3). В процессе такого рода расчетов определяется все поле газодинамических параметров, параметры частиц, их траектории, зоны чистого газа с учетом взаимного влияния газа и частиц [29]. Возможен приближенный подход, при котором производится раздельное решение уравнений для газовой фазы и частиц [27, 29]. Предполагается, что параметры газа не изменяются под воздействием частиц И могут быть определены в результате независимого расчета для газа с фиктивным показателем адиабаты у0, т. е. параметры газа соответствуют равновесному течению. Параметры же частиц определяются путем численного интегрирования при условии неизменности параметров газа. Система (1.109).. .(1.113) распадается в этом случае на две независимые системы: одну — для фиктивного цаза с у=у° и другую — для частиц. Первая система решается либо путем решения обратной задачи теории сопла, либо методом характеристик в сверхзвуковой области. В результате такого рас- '216

Рис 5 19. Траектории частиц (сплошные линии) и линии тока (пунктирные линии) в соплах Лаваля при диаметре частиц d, = 10 мкм, d« = 25 мм (а) и при d» = 2,5 мкм, d»=100 мм (б)

чета во всех точках поля течения известны параметры газа как функции координат. Для определения параметров частиц uls, yis, TiS интегрируется система (1.83), при этом параметры газа считаются известными и неизменными. Обоснованием такого приближенного подхода являются представленные выше результаты расчетов в одномерном приближении, согласно которым параметры газа при неравновесном и равновесном двухфазных течениях отличаются мало. Очевидно, что второй приближенный способ является значительно более простым.

На рис. 5.19 представлены траектории частиц для некоторых характерных случаев при расчетах по приближенному способу. При больших размерах частиц (ds>10 мкм) и малых диаметрах минимального сечения сопел (d*<25 мм) траектории частиц в сверхзвуковой части сопла близки к прямолинейным. Траектории частиц малых размеров искривлены и при больших диаметрах сопел близки по форме к линиям тока газа. Такой характер поведения частиц различных размеров связан с тем, что запаздывание частиц по скорости и температуре увеличивается при увеличении размера частиц, градиента газодинамических параметров и при уменьшении плотности газа. Линии тока газа и частиц в дозвуковой части довольно близки между собой, а в трансзвуковой и сверхзвуковой частях заметно различаются, особенно при больших диаметрах частиц и малых диаметрах минимального сечения сопла.

Для частиц всех размеров существует траектория, которая касается стенки сопла в дозвуковой части. Эти предельные траектории разделяют поток частиц в сопле. Частицы, траектории которых расположены выше предельной и пересекают контур сопла в дозвуковой части, выпадают на стенку сопла. Естественно, что с увеличением диаметра частиц и уменьшением диаметра сопла, количество частиц, выпавших в дозвуковой части сопла, увеличивается.

Вниз по потоку от точки касания предельная траектория является линией тангенциального разрыва, так как плотность частиц выше этой линии равна нулю и между контуром сопла и предель-

ной траекторией движется чистый газ, свободный от частиц. Для частиц с размером ds>10 мкм и сопел с z/*<50 мм зона чистого газа занимает значительную часть сечения Так, в сопле с d» = = 25 мм примерно 70% площади выходного сечения занято чистым газом, т е. имеет место сепарация частиц больших размеров к оси сопла, что связано со значительным отставанием вертикальной и горизонтальной составляющих скоростей частиц от соответствующих составляющих скоростей газа в трансзвуковой области

При увеличении диаметра минимального сечения сопла зона чистого газа на выходе из сопла уменьшается, и при некотором значении d* = d*t предельная траектория попадает на стенку сопла в выходном сечении. При дальнейшем увеличении d* стенку сопла в сверхзвуковой части будет пересекать также и часть траекторий частиц, расположенных ниже предельной. Частицы, движущиеся вдоль этих траекторий, будут выпадать на сверхзвуковую часть контура сопла. При этом массовая доля частиц a^i первоначально увеличивается с ростом d»; точка пересечения предельной траектории со стенкой смещается внутрь сопла. Однако при дальнейшем увеличении d* скоростное отставание частиц от газа уменьшается настолько, что траектории частиц и газа становятся близки между собой и, начиная с некоторого значения d* = d„2, величина a^i начинает уменьшаться. Таким образом, имеет место немонотон- о

ность зависимости avsi от диаметра минимального сечения при фиксированном размере частиц. Аналогично зависимость a°si от размера частиц при фиксированном диаметре минимального сечения также немонотонна.

Остановимся теперь на результатах работы [29], в которой проведен в рамках обратной задачи расчет до- и трансзвуковой областей сопла с учетом взаимного влияния частиц на газ

В этой работе метод, описанный в 3 4.3, был использован для расчета монодисперсных смесей с диаметрами частиц ds=l мкм и ds = 5 мкм при as=0,3. При этом на оси сопла_задавалось распределение скорости (4.3) с 6 = 0,21; Woo=0,2; iFoo=l,8. Остальные параметры в начальном сечении х=х0 брались из газодинамических таблиц при 7=1,16.

Результаты расчетов представлены на рис. 5 20, 5.21. На рис. 520 показано изменение давления и температуры газа вдоль оси сопла. Здесь и далее введены следующие обозначения: крестиками и кружочками обозначены результаты расчетов, проведенных с учетом взаимного влияния частиц и газа соответственно для ds=\ мкм и ds=5 мкм; точки соответствуют случаю, когда влияние частиц на газ учитывается через эффективный показатель адиабаты с 7=7° = 1,13, т. е. принимается, что частицы и газ находятся в равновесии. Важно отметить, что в этом случае из уравнений движения и энергии газа исключаются члены, содержащие параметры частиц. И те и другие результаты получены при одинаковом распределении безразмерной скорости на оси Имеет место 218

Рис 5 20 Изменение давления и температуры на оси сопла в двухфазном теченииРис 5 20 Изменение давления и температуры на оси сопла в двухфазном течении

Рис 5 20 Изменение давления и температуры на оси сопла в двухфазном течении

Рис 5 20 Изменение давления и температуры на оси сопла в двухфазном течении

заметное различие между двумя рассмотренными случаями, особенно в сверхзвуковой области.

На рис 5 21 представлены линии тока газа для различных ф, а также линии постоянного числа М. Пунктиром показаны результаты расчетов в газе с у=у°. Как видно, заметное отличие результатов, полученных двумя методами, наблюдается в транс- и сверхзвуковой областях сопла. Отсюда

следует, что при расчете

сверхзвуковой области методом характеристик необходимо использовать начальные данные, полученные с учетом взаимного влияния частиц и газа в точной постановке. Начальные данные, полученные из расчетов в газе с эффективным показателем адиабаты y=Y°, как видно, могут привести к заметным ошибкам.

Такой вывод подтверждается результатами расчета величины А—(и—u^in вдоль оси симметрии для больших и малых частиц двумя методами. Эта величина имеет максимум в трансзвуковой области, где градиенты газодинамических параметров максимальны, причем А увеличивается с увеличением диаметра частиц. Не-

Рис 5 21 Линии тока газа, линии постоянных чисел М и предельные траектории частиц Диаметр частиц (a) ds = 5 мкм;

(б) d8 = l мкм

мотря на идентичное качественное поведение кривых наблюдается аметное количественное их различие при расчетах двумя метода- и; при этом разница возрастает с увеличением ds. Так, различие А увеличивается при х=0 от 0,005 при ds=l мкм до 0,01 при s = 5 мкм. Этот результат представляется весьма важным. Изве- гно, что при одинаковых начальных данных в трансзвуковой обла- ги за минимальным сечением траектории частиц, подсчитанные о описанному выше приближенному методу и методом характе- истик [27], в сверхзвуковой области близки между собой. Однако езультаты расчетов показывают, что принимать начальные дан- ые одинаковыми при расчетах различными методами нельзя. Не- бходимо точно учитывать воздействие частиц на газ, начиная с озвуковой области. Различие в начальных данных может приве- ти к различию траекторий в сверхзвуковой области и к соответст- ующему расхождению в точках выпадения частиц на сверхзвуко- ую часть контура.

Для сопоставления с результатами расчета методом характери- тик определялся контур сопла и параметры в некотором сечении =хн, расположенном в его сверхзвуковой области. С использова- ием этих данных в сверхзвуковой области методом характеристик ешалась прямая задача. Далее определялась предельная траек- ория, выделялась зона чистого газа и определялись параметры на онтуре. Результаты такого расчета по потоку от сечения х= = хн=0,06 сравнивались с результатами решения обратной зада- ш. На рис. 5.21 штрихпунктирными линиями показаны предель- 1ые траектории, полученные в работе [29], а треугольниками — пре- ;ельная траектория, рассчитанная методом характеристик. Ре- ультаты расчетов обоими методами достаточно хорошо совпадают [ в сверхзвуковой области: максимальная погрешность при хн^ ^х^0,75 для ds=l мкм не превышает 0,2%. При больших х шзличие увеличивается, что, вероятно, связано с различным ха- шктером накопления ошибок в сравниваемых методах. Подчерк- шм, однако, что в данном случае целью не являлось проведение )асчетов для сверхзвуковой области с высокой точностью, а основ- юе внимание уделялось расчету трансзвуковой части, поскольку 1,ля сверхзвуковой области более предпочтительным является ме- од характеристик.

Остановимся на использованных внутренних способах контроля 'очности. Были проведены расчеты при различных значениях Ц>(2-10"3, 10“3, 0,5-10~3) с ds=\ -мкм, при этом значения А= = (ц— и^и для Aip 10 3; 0,5■ 10 3 различались не более чем на ),5%. Выполнение закона сохранения количества движения контро- шровалось путем сравнения разницы в потоках импульса в сече- ши хн и выходном сечении сопла с интегралом сил давления по «штуру сопла. Для шага Аф=Ю“3 ошибка составляла не более ),5%, а для шага Агр = 0,5-10 3 не более 0,25%. В силу того, что в сачестве независимой переменной была выбрана функция тока шза, уравнение неразрывности для газа удовлетворялось точно.

Отметим, что точность расчета параметров удалось заметно

улучшить за счет уменьшения шагов по х по сравнению с принятым в обратном методе традиционным расположением узлов разностной сетки. Уменьшение шага по х на порядок привело к значительному улучшению совпадения результатов с расчетами методом характеристик, где шаг по х определялся из условия Куранта.

СЛОИСТЫЕ ТЕЧЕНИЯ

В 3.4.2 изложен метод расчета слоистых течений с использованием основной разностной схемы (3.1.2). В координатах ф, х удобно проводить расчеты многослойных течений с различными физическими свойствами. Такой расчет можно провести в рамках идеальной жидкости без учета смешения слоев, при этом полные температуры, полные давления и показатели адиабаты в слоях могут быть различны. Будем обозначать параметры ядра потока нижним индексом 1, а параметры пристеночного слоя — индексом 2 (рис. 5.22). Пусть до некоторой линии тока ф=фр газ имеет показатель адиабаты y=yi и полное давление рОь а, начиная с этой линии тока — показатель адиабаты у=уг и полное давление рог- На линии тока ф=фр оба потока должны иметь одинаковые углы наклона скорости и одинаковые значения статического давления.

В связи с этим на линии тока ф = фр должны быть выполнены следующие соотношения:

+ IVt/Ui-1)

LГ1 _w\ 7,/(Т1-1) fa =;(5.5)a . Y14- 1\Р01 /LГ1 _w\ 7,/(Т1-1) fa =;(5.5)a . Y14- 1\Р01 /®2®2WiWiY2 + 1 2Y2 — 1Y2 + 1 2Y2 — 1„(Т,-1)/Т,11/2„(Т,-1)/Т,11/2V2 — 1 .V2 — 1 .Р-2 =

LГ1 _w\ 7,/(Т1-1) fa =;(5.5)

a . Y14- 1\Р01 /

LГ1 _w\ 7,/(Т1-1) fa =;(5.5)

a . Y14- 1\Р01 /

®2

®2

Wi

Wi

Y2 + 1 2

Y2 — 1

Y2 + 1 2

Y2 — 1

„(Т,-1)/Т,11/2

„(Т,-1)/Т,11/2

V2 — 1 .

V2 — 1 .

(5.6)(5.6)(^=^2^2) .

(5.6)

(5.6)

«2 = И1 ~”, Р2=Р2/Т1-(5-7)

После расчета поля течения по разностным формулам (3.13)... (3.16) до линии тока с ф=фр на этой линии по формулам (5.5)... (5.7) определяют параметры с индексом 2 по известным параметрам с индексом 1, а далее расчет продолжается по этим же формулам.

Результаты расчета двухслойного течения с распределением скорости по оси (4.3) при 11^=0,1; ^00=1,9; 6 = 3,5 и yi=l,I4; Y2=l,4; ст=1 и фр=0,04 представлены на рис. 5.23, на котором показаны линии тока рассчитанного течения (ф = const), линии 1F = const, линии 6 = 0 (светлые точки). Из рис. 5.23 следует, что во втором слое звуковая линия W= 1 (черные точки) расположена ниже по течению, чем в первом слое.

Рис. 5.22. Схема двухслойного течения в сопле

?идно также, что значения IT по обе стороны границы раздела до- ольно близки между собой в дозвуковой области, а начиная с рансзвуковой области заметно различаются.

На рис. 5.24 приведено рассчитанное методом характеристик аспределение давления вдоль контура сопла с угловой точкой ля двухслойных течений с у1=1,14 и у2=1,4 с различными зна- ениями у»0 (т. е. с различными расходами в пристеночном слое), также распределения давления на этом же контуре в однослой- ом течении с у—1,14. На этом рисунке кривая 1 соответствует днослойному течению, остальные кривые — двухслойному тече- ию, при этом кривые 2, 3, 4, 5, 6 соответствуют значениям у*° = = 0,99; 0,95; 0,9; 0,8; 0,7. Из этого рисунка следует, что при расхо- ах в пристеночном слое, больших 10%, давление вдоль сопла меньшается. При расходах, меньших 10%, в окрестности угловой очки имеется положительный градиент давления, который возни- :ает вблизи точки N. От точки N на течение в пристеночном слое 'ачинает влиять внутренний слой. Возникновение положительного радиента давления связано с тем, что при одном и том же угле юворота потока в течении Прандтля — Мейера давление в потоке : большим у уменьшается сильнее, чем в потоке с меньшим у. При >тносительно больших толщинах пристеночного слоя влияние внут- >еннего слоя начинает сказываться в основном после точки 2', так сак от точки 2' производная давления терпит разрыв и начинает уменьшаться более интенсивно, а давление приближается к дав- шнию в однослойном течении, так как, начиная с этой точки течете в пристеночном слое определяется в основном внутренним :лоем. До точки 2' возмущения, вносимые внутренним слоем, )слабляются веером волн разрежения. Однако при малых толщи- iax пристеночного слоя влияние внутреннего слоя проявляется в «посредственной окрестности угловой точки, и давление в присте- ючном слое стремится сравняться с давлением во внутреннем слое, гак как последнее при повороте на один и тот же угол больше, то- 222

Рис 5 24 Распределение давления на pjpg контуре сопла при различных расходах 015 в пристеночном слое

возникает положительный градиент давления. Величина положительного градиента давления уве- oi личивается при уменьшении толщины пристеночного слоя. Естественно, что по мере уменьшения толщины пристеночного слоя различие между статическими давле- 0,05 ниями в однослойном и двухслойном течениях на стенке сопла уменьшается, однако при этом числа М в этих течениях различаются заметно. Отметим, что положительный градиент давления при обтекании угловой точки возникает лишь тогда, когда показатель адиабаты в пристеночном слое больше показателя адиабаты в ядре потока.

ТЕЧЕНИЯ В КАНАЛЕ С ПОДВОДОМ РЕАГЕНТОВ С ЦЕЛЬЮПОДАВЛЕНИЯ ТОКСИЧНЫХ КОМПОНЕНТ

Основным источником токсичных компонент и ряда канцерогенных элементов являются высокотемпературные процессы в движущихся средах, имеющие место в энергетической промышленности, металлургии, автотранспорте, ракетной и космической технике. Простейшей математической моделью таких процессов является движение в канале неравновесно реагирующей смеси. Для подавления образования токсичных компонент в движущийся газ добавляют различные реагенты, которые в процессе цепных химических реакций приводят к снижению доли основных токсичных компонент окисей углерода СО и азота NO.

Таким образом, для прогнозирования этих процессов необходимо уметь рассчитывать течение омеси газов при наличии неравновесных химических реакций с подводом массы и энергии. Во многих случаях удобно решать обратную задачу, а именно, рассчитывать такое течение при заданном по длине распределении давления в одномерном приближении, которое позволяет выявить основные качественные закономерности.

Основные уравнения для такой задачи выписаны в разд. 1.2, необходимые сведения о кинетике химических реакций и константах скоростей содержатся в 1.3.1, а численный метод изложен в 3.4.2. Представленные ниже результаты расчетов изложены в работах [24]. Приведены также некоторые результаты равновесных и неравновесных расчетов, выполненных В. Р. Мусиным.

Равновесные и неравновесные течения

Ниже будет рассмотрено поведение концентраций токсичных компонентов NO и СО при равновесных и неравновесных процессах.

Особенно важным с точки зрения образования токсичных ком- юнент является замораживание NO (см. рис. 5.3). Эксперимен- гальные измерения соответствующих концентраций NO при тече- ши высокотемпературных газов в сопле полностью подтвердили результаты неравновесных расчетов. Следует отметить, что опре- 1еление концентрации NO по результатам равновесных расчетов цает ошибку на 1—2 порядка в сторону занижения % NO. Замораживание концентраций NO экспериментально обнаружено и в- поршневых двигателях внутреннего сгорания. Таким образом, представленные примеры расчетов показывают важность учета неравновесного протекания химических реакций. Как видно, равно- зесный расчет может привести к необоснованному и опасному прогнозу о содержании токсичных компонентов.

Большой практический интерес представляет рассмотрение задачи течения высокотемпературного реагирующего газа в трубе переменного сечения с подводом различных химических реагентов. Были проведены расчеты течения продуктов сгорания топлива кислород — керосин при коэффициентах избытка кислорода топлива а=0,76 и 1 без ввода и с вводом воздуха (0,225 кг на 1 кг топлива), а также указанной смеси продуктов сгорания при а=1 с вводом воздуха и воды (2,25 кг на 1 кг топлива) при давлении 0,4 МПа. Проведенные расчеты с учетом кинетики химических реакций позволяют сделать общие выводы о влиянии скорости охлаждения и коэффициента избытка окислителя на температуры замораживания Т° окисей углерода и азота. Установлено, что мольные доли окисей углерода и азота с некоторой температуры превышают равновесные, а затем, через 100. ..600°, становятся постоянными и соответствуют мольным долям равновесного состава при условной температуре замораживания 7°, находящейся примерно посередине указанного интервала температур.

При увеличении коэффициента избытка кислорода уменьшается мольная доля окиси углерода и увеличивается доля окиси азота; при замедлении скорости охлаждения уменьшаются мольные доли окисей углерода и азота.

Следует отметить, что охлаждение высокотемпературной среды может осуществляться как путем расширения газа, например в реактивном сопле или цилиндре двигателя внутреннего сгорания, так и путем теплоотвода в стенку или впрыска охлаждаемого компонента. Однако в последнем случае на температуру замораживания кроме темпа охлаждения определенное влияние оказывает химическая активность впрыскиваемого компонента.

Учитывая рекомендации о приемлемых способах нейтрализации окисей углерода и азота и полученные результаты расчетного анализа, приходим к следующему выводу: нейтрализацию окисей, углерода и азота в высокотемпературной среде (с 7^2000 К> 224

Рис. 5 25 Зависимость относительного массового расхода окиси углерода т°со от относительного массового расхода впрыскиваемой водыРис. 5 25 Зависимость относительного массового расхода окиси углерода т°со от относительного массового расхода впрыскиваемой водыРис. 5 26. Зависимости молярных долей окиси углерода гео, окиси азота tno и температуры от коэффициента избытка окислителя а

Рис. 5 25 Зависимость относительного массового расхода окиси углерода т°со от относительного массового расхода впрыскиваемой воды

Рис. 5 25 Зависимость относительного массового расхода окиси углерода т°со от относительного массового расхода впрыскиваемой воды

необходимо осуществлять в две стадии. Вначале осуществляется разложение окиси азота в восстановительной среде с коэффициентом избытка окислителя а<1 при температурах 7=2000.. .2600 К, а затем дожигание окиси углерода в окислительной среде с а>1 и Т= 1600... 2000 К. Обеспечение а<1 в восстановительной зоне достигается вводом горючего, а а>1— вводом кислорода или воздуха. Поддержание вышеуказанных диапазонов температур наиболее целесообразно осуществлять строго дозированным впрыском воды. Особо следует отметить, что впрыскиваемая вода играет не только роль охладителя, но и является химически активным реагентом, так как-образующиеся при диссоциации радикалы Н и ОН существенно ускоряют процесс нейтрализации (см. табл. 3.1 реакция 7).

Вышеуказанные рекомендации были использованы на нескольких объектах, выбрасывающих высокотемпературные продукты сгорания кислородно-керосинового топлива с коэффициентом избытка окислителя а=0,76. Использование дожигателя окиси углерода с тремя поясами впрыска: вода — кислород (воздух)—вода, обеспечивающими соответственно значения температур 1800... 2000. ..1600 К и суммарное значение коэффициента избытка окислителя в смеси на выходе а=1,05, позволило снизить содержание окиси углерода в 25 раз и практически предотвратить образование окислов азота.

На рис. 5.25 представлена расчетная зависимость относительного массового расхода mCo (расход отнесен к расходу топлива) от относительного расхода впрыскиваемой воды тщо- Цифры 1, 2, 3 относятся к поясам впрыска, при этом в поясах 1 и 3 вводится вода, а в поясе 2 — кислород. Отметим, что кривая 1 имеет минимум, который связан с неравновесным протеканием химических реакций. Действительно, подвод значительного количества воды приводит к полному замораживанию реакции, при этом уровень СО соответствует исходному, поскольку не происходит его дожига- 225.

ния. С другой стороны, при относительно малых количествах вводимой воды возникают активные радикалы, которые способствуют дожиганию СО в процессе цепных реакций (см. табл. 3.1). Отметим, что на нисходящей ветви кривой 1 течение на весьма малой длине становится равновесным. Так, при тн3о = 0,1 ••• 0,2 равновесие достигается на длине в несколько сантиметров, при /Ищо—0 8 зона релаксации занимает 0,5 м, а уже при тн,о= М— более 3 м. Из рис. 5.25 следует также, что для максимальной нейтрализации СО важен именно дозированный подвод воды в количестве, соответствующем минимуму кривых 1 и 3.

Аналогичный подход был использован при рассмотрении проблемы нейтрализации токсичных компонент в парогенераторах ТЭС, хотя в этом случае имеются некоторые отличия, в частности продукты сгорания поступают в канал по нормали к стенке, что создает на начальном участке заметную неоднородность потока. Кроме того, уровень температур и скоростей существенно ниже и, наконец, при расчете неравновесного течения в канале парогенератора необходимо учитывать теплоотвод в стенки, что может оказать существенное влияние на уровень концентраций. Рассмотрим зависимость температуры, молярных долей основных токсичных компонент СО и NO от коэффициента избытка окислителя сразу после сгорания. Будем предполагать, что имеет место мгновенное перемешивание горючего и окислителя и равновесное протекание химических реакций.

Типичные зависимости температуры (кривая 1), молярных долей гео (кривая 5) и Гко (кривая 2) от а представлены на рис. 5.26. Отметим характерные особенности этих зависимостей. Максимум температуры (около 2300 К) имеет место не при стехиометрическом соотношении а=1, а при а=0,95. Смещение максимума в сторону меньших а связано с явлением диссоциации продуктов сгорания.

Из рис. 5.26 следует, что максимальное значение концентрации Tno достигается при а=1,15, в то время как при а<0,85 (с Т< <2000 К) NO практически отсутствует. С другой стороны, концентрация СО монотонно убывает с увеличением а и близка нулю при а>1,1. Представляет существенный интерес рис. 5.27, на котором с использованием данных рис. 5.26 построены зависимости от а концентраций СО и NO в долях предельно допустимых концентраций (ПДК) А, при этом кривая S — сумма концентраций СО и NO построена в предположении равного приоритета этих токсичных компонент при таком суммировании. Рассмотрение этой последней зависимости показывает, что минимум суммы ПДК достигается при а=0,95. Известно, что современные ТЭС работают при а=1,05. Поэтому переход к режиму а=0,95 приведет к увеличению энергосъема, экономии топлива и одновременно к уменьшению суммарного ПДК на 10. ..15% без каких-либо конструктивных мероприятий. Предварительные эксперименты, в которых измерялись концентрации компонент и энергосъем, подтверждают пред-

Рис. 5 27. Зависимость концентраций токсичных компонент в долях ПДК и температуры от а

Рис. 5.28. Зависимость концентраций токсичных компонент в долях ПДК и температуры от количества впрыскиваемой воды (обозначения см. рис. 5.26)—а=1,05;

— а=0,95

ставленные рекомендации. Очевидно, однако, что отмеченное снижение токсичных компонент на 10... 15% не является решающим. Рассмотрим в связи с этим влияние ввода воды на концентрации токсичных компонент. Будем предполагать, что вода в жидкой или паровой фазе тем или иным способом смешивается с горючим. По- прежнему будем предполагать, что имеет место мгновенное перемешивание горючего и окислителя и равновесное протекание химических реакций. На рис. 5.28 построены зависимости температуры и концентрации СО и NO в долях ПДК от т°, где т° —массовая доля воды. Температура вводимой воды принималась равной 400 К, а подвод воды осуществлялся для составов, соответствующих а—0,95 и 1,05. Очевидно, что добавление воды в топливо уменьшает температуру сгорания, но одновременно снижает и концентрации NO и СО. Уменьшение концентрации NO связано' непосредственно с уменьшением температуры, а концентрации СО — с увеличением окислительных элементов при подводе воды. Из рис. 5.28 следует, что при добавлении воды в количестве т° = = 0,45 при а=0,95 температура продуктов сгорания равна температуре при а=1,05 и т°=0, т. е. температуре, соответствующей рабочему режиму современных ТЭС. При этом происходит изменение суммарного ПДК на 30%, а уменьшение концентрации NO в 2.. .2,5 раза. Хотя в этом случае имеет место увеличение концентрации СО, однако нейтрализацию СО за счет дозированного ввода воды можно осуществить способом, описанным выше.

Интересно проследить изменение концентраций СО и NO и температуры по длине топочной камеры парогенератора, полученное в результате решения системы уравнений (3.24), (3.25), (3.27), (3.44) с учетом заданного распределения теплосъема (рис. 5.29). Видно, что значение концентрации NO практически не изменяется,

Рис 5 29 Изменение концентраций токсичных компонент по длине топочной камеры парогенератора при наличии теплосъема

поскольку уровень температур таков, что соответствующие реакции замораживаются. С другой стороны, эти температуры еще достаточно высоки, чтобы обеспечить почти равновесное дожигание СО при движении смеси по тракту парогенератора, компенсируя тем самым некоторое повышение этой концентрации, вы

званное переходом к значению а = = 0,95. Таким образом, рекомендация по целесообразности перехода на режим работы с а = 0,95 с последующим введением воды или водяного пара получила еще одно подтверждение. Она может использоваться по крайней мере в те моменты, когда нужно существенно уменьшить токсичность продуктов сгорания, выбрасываемых в атмосферу без снижения мощности ТЭС.

Таким образом, добавляя различные вещества в традиционное топливо, можно добиться снижения выброса в атмосферу токсичных компонент. Причем использование воды как присадки к различным топливам дает один эффект — это снижение токсичности ■одновременно с понижением температуры продуктов сгорания. Использование же в качестве присадки метанола или аммиака на некоторых режимах работы энергетической установки обеспечивает снижение токсичности с одновременным ростом температуры продуктов сгорания. Поэтому было бы интересно исследовать влияние комплексных присадок на токсичность и энергетические характеристики. Здесь под термином комплексные понимается смесь нескольких веществ. В топливо керосин — воздух с соотношением горючего и окислителя а—1,1 и при давлении р=3 МПа впрыскивалась смесь аммиака и воды. Показано, что впрыск аммиака в это топливо ведет к росту содержания окиси углерода в продуктах сгорания. Добавка же воды несколько снижает темп роста содержания СО в продуктах сгорания. При этом наличие во впрыскиваемой смеси и аммиака и воды приводит к уменьшению содержания в продуктах сгорания окислов азота. На температуру продуктов сгорания эти два впрыскиваемых вещества оказывают противоположное влияние. С одной стороны, есть область, где добавка ведет к увеличению температуры, с другой стороны присадка всегда уменьшает температуру. На рис. 5 30 представлена зависимость температуры продуктов сгорания от массовых долей впрыскиваемых воды и аммиака. Кривая АВ суть линия пересечения построенной «температурной» поверхности плоскостью Т=То, где То — температура продуктов сгорания «чистого» (без присадок) топлива. Кривая OD — суть проекция АВ на координатную плоскость От№зтсн3он- Таким образом, осуществляя дозированный впрыск смеси аммиака с водой, следуя кривой OD, температура

Рис 5 30 Влияние комплексной присадки па температуру продуктов сгорания (керосин — воздух)

Рис 531 Влияние комплексной присадки на токсичность продуктов сгорания (керосин — воздух)

продуктов сгорания и, следовательно, энергетические показатели установки не уменьшаются. При этом достигается значительное снижение токсичности продуктов сгорания (кривая АВ на рис. 5.31). Здесь 2 — сумма концентраций СО и NO в долях ПДК. Минимальное снижение (в 4 раза) токсичности обеспечивает дозированный впрыск в количестве 77гмн3 = 0,3; тн2о=0,6.

На испытательных стендах зачастую происходит эжекция окружающего воздуха в канал, в который поступают также продукты сгорания, содержащие токсичные компоненты. Представлен интерес выявить влияние коэффициента эжекции п (отношения расхода продуктов сгорания к расходу воздуха) на содержание токсичных компонент. С этой целью вновь необходимо решать обратную задачу в одномерном приближении с учетом кинетики химических реакций.

На рис. 5.32 представлены результаты численного исследования течения реагирующей смеси в канале испытательного стенда с учетом эжекции воздуха, имеющего температуру окружающей среды. Состав и газодинамические параметры продуктов сгорания, поступающих в эжектор из сопла двигателя, могут быть определены с помощью равновесной модели и результатов экспериментов. На рис. 5.32 приведено изменение температуры и секундного расхода окиси углерода через поперечное сечение по длине тракта испытательного стенда для различных коэффициентов эжекции п. Следует отметить, что выгорание окиси углерода на заданной длине тракта стенда существенно зависит от соотношения воздух/продукты сгорания в сечении смешения. С одной стороны увеличение избытка воздуха в сечении смешения должно обеспечивать более значительное выгорание окиси углерода. Действительно, допустим, что длина канала ограничена некоторой величиной и исследуем влия-

Рис 5 32 Догорание углерода в тракте испытательного стенда при эжекции воздуха —СО,-температура

ние величины п на расход СО в контрольных сечениях Сравнивая расходы окиси углерода в последнем сечении х=12 для различных коэффициентов эжекции, например п=0,5 и п=1,5 убеждаемся, что расход СО с ростом п уменьшается В то же время, из рис 5 32 видно, что при п=2,5 секундный расход СО через контрольное сечение (х=12) во много раз превышает расход СО при п= 1,5 Такое влияние коэффициента эжекции на секундный расход окиси углерода в контрольном сечении может быть объяснено следующим образом. При больших значениях коэффициента эжекции п происходит снижение температуры потока в зоне смешения до значений порядка 870 К, что приводит к уменьшению соответствующих скоростей реакций. Это хорошо видно из рис. 5 32, где для п=2,5 можно отметить слабый рост температуры, а также медленное уменьшение расхода СО по длине тракта испытательного стенда

В результате параметрических расчетов выявлено существование оптимального значения коэффициента эжекции воздуха («опт), обеспечивающего максимальное выгорание окиси углерода на заданной длине тракта стенда Зависимость расхода окиси углерода через контрольное сечение (х=12) тракта приведена на рис 5.33. Из этой зависимости следует, что при п^С.Попт расход СО увеличивается по сравнению с расходом при п=п0Пт слабее, чем при П>Попт.

Наличие минимума в зависимости расхода СО от коэффициента эжекции физически аналогично минимуму в зависимости расхода СО от массы впрыскиваемой воды на рис 5 25.

Рис 5 33 Влияние коэффициента эжекции на степень дожигания окиси углерода в тракте ис питательного стенда

Таким образом, показано существование оптимальных в смысле токсичности выхлопа режимов работы испытательных стендов Отметим при этом, что в рамках равновесной модели выявить такие закономерности не представляется возможным, поскольку полученные зависимости являются результатом химической неравновесности процессов, протекающих в трактах ис

пытательных стендов авиационных двигателей.

Существенными специфическими особенностями с точки зрения образования токсичных компонент обладают автомобильные двигатели В отличие от процессов, рассмотренных выше, в которых

течение предполагалось стационарным, течение в дизеле и двигателях с искровым зажиганием носит существенно нестационарный .характер, при этом полное описание картины течения требует привлечения общей системы уравнений.

Действительно, течение в отдельных участках двигателя носит существенно пространственный и нестационарный характер, при этом важен учет как двухфазности течения, так и неравновесного протекания химических реакций. Однако, как уже отмечалось, даже численное решение полной системы уравнений (1 112)... (1.121) весьма затруднительно, поэтому для изучения некоторых качественных закономерностей необходимо сделать упрощающие предположения. Так, на участке смешения горючего с воздухом

можно принять течение стационарным и одномерным, не учитывать физико-химических превращений, но обязательно учитывать двухфазность течения. Состав смеси после воспламенения можно определить по соотношениям равновесной термодинамики. В то же время при расчете параметров в цилиндре при прямом и обратном ходе поршня необходимо учитывать нестационарность течения, неравновесное протекание химических реакций, но можно принять течение однофазным и одномерным. При истечении отработанных продуктов сгорания через клапан течение в канале можно считать стационарным и двумерным по аналогии с течением в кольцевых соплах реактивных двигателей. Конечная цель исследования состоит в определении концентраций токсичных компонент в отработанном топливе, в нахождении их, а также термодинамических параметров смеси, как функций времени и таких параметров двигателя, как степень сжатия, частота вращения, коэффициент избытка

окислителя и т. д.

Ниже излагаются два подхода к решению поставленной задачи В первом подходе (так называемом нульмерном приближении) в предположении постоянства параметров по объему, но с учетом

переменного объема камеры для нахождения химических и газодинамических параметров используются интегральные законы сохранения массы, импульса и энергии и уравнения химической кинетики. На фазе всасывания и выхода учитывается наличие подвода и отвода массы соответственно. Возможен также учет тепла, отводимого в стенки цилиндра и поршня, путем численного решения уравнения теплопроводности.

Во втором подходе при расчете нестационарного течения в цилиндре при движении поршня решаются одномерные нестационарные уравнения газовой динамики с учетом неравновесного протекания химических реакций. Закон движения поршня задается. Расчет течения в плоскости 1, х может быть проведен для всех тактов двигателя. Численное решение осуществляется методом характеристик, поскольку система уравнений в этом случае является гиперболической.

Предварительные расчеты показывают, что в процессе быстрого нестационарного течения в цилиндре происходит замораживание концентрации NO по аналогии с тем, что имеет место в соплах, реактивных двигателей (см. рис. 5.3). Этот факт находится в соответствии с имеющимися экспериментальными измерениями концентрации NO в автомобильных двигателях. Заметим еще, что представления об уровне температур и начальном распределении концентраций компонент в цилиндре можно получить из рис. 5.26. Лишь для дизельных двигателей характерны значения «=1,3... 1,4, а для двигателей с искровым зажиганием а=1. Для оценок влияния подачи воды в топливо на энергетические характерстики и концентрации компонент могут быть использованы данные рис. 5.26, 5.28, 5.30, 5.31.

Метод оптимизации массы впрыскас целью подавления токсичных компонент

В работе [2] рассмотрена задача об оптимизации распределенной массы впрыска. Рассматривается одномерное стационарное течение газа в сопле с учетом неравновесных химических реакций. Система уравнений газовой динамики и химической кинетики имеет вид (1.2.1., 1.3)

PWF=Q;(5.8)

p-HWW = 0;(5.9)

A + y^2 = /70;(5.10)

^~Р;(,р, v, Т, у), i—1, N;(5.11)

p=R9Tby(5.12)

A(7\ ^-^^Т^ь(5.13)

Т="2^<5.14)

где y<, 1, N — мольно-массовые концентрации индивидуальных компонент химических реакций, у= (у,..., у№); N — число реагирую-

• dp .„1 dW•dVf

щих компонент; р= ——; 1^ =—, y,- =—— . dxdx1dx

Пусть х°, х'— координаты входа и выхода из сопла соответственно.

Заданы начальные значения на входе в сопло:

p^ = ^ ад=№>; Т<х^=Тй, (5.15) р(л°)=р°; Yz(^°) = y”; t=l, N.

На входе в сопло производится впрыск воды с целью уменьшения концентраций токсичных компонент (например, СО, NO) на выходе из сопла. Необходимо определить оптимальное количество впрыскиваемой воды, т. е. количество, при впрыскивании которого будет достигаться минимум секундного расхода одной (заданной заранее) токсичной компоненты на выходе из сопла. Для определенности будем считать, что оптимизирующая компонента — уь

Наличие оптимума следует из рис. 5.25, 5.33 и получено в результате серии параметрических расчетов. В данной работе при реализации метода сразу получается единственное значение Щщо, соответствующее минимуму.

В результате впрыска воды на вход в сопло изменяются параметры: температуры, концентрация индивидуальных компонент химических реакций, плотность, скорость, давление. Происходят изменения также и в системе уравнений; уравнения (5.9), (5.11)... (5.14) остаются прежними, такими же как и без подвода массы, а уравнения (5.8), (5.10) заменяются уравнениями:

P^ = Q(l+m);(5.16)

А+у^2 = А0 + /т(5.17)

соответственно, где М — массовый секундный расход воды т = —' J — энтальпия единицы массы впрыскиваемой воды при температуре впрыска.

Процесс в сопле после впрыска будет описываться уравнениями (5.16), (5.9), (5.17), (5.11). ..(5.14) с новыми начальными значениями:

р(хй)—р(ту, W (х^=№ (/и); Т (xQ)=T (ту, (5.18> pCx°)=p(m); Y,(^°)=Y,(zn); t=l, N,

которые являются функциями параметра т (здесь и далее вместо М удобнее использовать величину т--^-

Как показано в 2.7, функции р(т), W(m), Т(т), р(т) —решения системы из четырех функциональных уравнений с четырьмя: неизвестными. Важно, что эта система разрешима и функции б(т), ^(т), Т(т), р(т)—непрерывно дифференцируемые функции параметра m(m^O). Функции y4m) I=l, N выпишем в явном; виде

где _С> — некоторые неотрицательные коэффициенты. Очевидно,, что чЛт^—непрерывно дифференцируемые функции параметра т (т^О).

Задача оптимизации сведена к решению краевой задачи для системы 2N+7 дифференциальных уравнений с краевыми условиями и уравнениями связи Краевых условий, вообще говоря, достаточно для решения указанной выше краевой задачи.

При определении оптимального значения т° могут возникнуть следующие трудности. Как известно, кроме оптимального решения уравнениям Эйлера могут удовлетворять и неоптимальные решения, поэтому необходимо проверить полученное значение т° на оптимальность. Эта проблема возникает всегда, когда используются необходимые условия оптимальности типа равенства нулю- первой вариации оптимизируемого функционала-—в частности, когда используются уравнения Эйлера и условия трансверсальности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Ашратов Э. А., Волконская Т. Г., Росляков Г. С., Усков В. И. Исследование сверхзвуковых течений газа в струях//Некоторые применения метода стенок в газовой динамике Изд-во МГУ, 1974 С 241—407

Борисенко М. В. Метод оптимизации массы впрыска с целью подавления токсичных компонент//Математическое моделирование процессов образования н распространения токсичных компонентов в воздушном бассейне М МАИ, 1982 С 25—29

Борисов Н. Ф., Сыровой В. А. Об уравнениях вязких сверхзвуковых струй с большой степенью нерасчетности//Изв АН СССР Сер МЖГ, 1977, № 2, с 137—148

Бреев В. В., Минин С. Н., Пирумов У. Г., Шевченко В. Р. Течения смеси газов с релаксацией колебательной энергии в плоских н осесимметричных соп лах//Изв АН СССР Сер МЖГ, 1977, № 5 С 125—131

Бреев В. В., Пирумов У. Г., Шевченко В. Р. Смешанное осесимметричное течение проводящего газа в сопле в присутствии магнитного поля — Вычислительные методы и программирование, 1977 Изд-во МГУ, вып XXVII С 81—95

Войновский А. С., Киреев В. И. О смешанных краевых задачах профили рования сверхзвуковых сопел и каналов//Изв АН СССР, сер МЖГ, 1983, № 4 С 112—118

Войновский А. С., Киреев В. И., Минин С. П., Пирумов У. Г., Смирнов В. С. О профилировании плоских и осесимметричных сверхзвуковых каналов, реализующих разрывные параметры на выходе и выравнивание потока//Изв АН СССР Сер МЖГ, 1984, № 3 С 155—159

Волков В. А. О некоторых особенностях систем неявных конечно-разностных уравнений химической и колебательной релаксации//Математическое моде лирование процессов образования и распространения токсичных компонентов в воздушном бассейне М Изд во МАИ, 1982 С 3—12

Волков В. А. Расчет равновесного состава смеси реагирующих газов при заданном внешнем давлении//Математические аспекты задач охраны воздушного бассейна М Изд-во МАИ, 1984 С 3—11

Волков В. А., Минин С. П., Прохоров М. Б. Метод численного решения систем конечно-разностных уравнений при расчете течений с химической и колебательной неравновесностью//Математическое моделирование процессов образования и распространения токсичных компонентов в воздушном бассейне. М : Изд во МАИ, 1982 С 13—20

Горбунов В. Н., Пирумов У. Г., Рыжов Ю. А. Неравновесная конденсация в высокоскоростных потоках газа М Машиностроение, 1984, 200 с

Дзаннетти Л. Решение обратной задачи для внутренних течений методом установления//Ракетная техника н космонавтика, 1980, № 7 С 167—172

Карасев С. Б., Пирумов У. Г. Расчет течений в соплах с приосевой зоной тепловыделення//Исследование периодических движений и устойчивости механических систем, МАИ, 1983 С 67—72

Киреев В. И., Войновский А. С. Решение обратной задачи профилирования новых классов сверхзвуковых сопел и каналов сеточно-характеристическим методом и методом С К Годунова//Численные методы механики сплошной среды, Новосибирск, 1982, т 13 № 3 С 46—82

Киреев В. И., Минин С. П., Пирумов У. Г. Влияние профиля сопла на характеристики газодинамического лазера//Изв. АН СССР. Сер. МЖГ, 1982, № 6. С. 163—167.

Киреев В. И., Пирумов У. Г. О профилировании сопел модельных систем //Изв. АН СССР. Сер. МЖГ, 1979. № 2. С. 187—189.

Крайко А. Н., Шеломовский В. В. О профилировании плоских и осесимметричных сопел и каналов, реализующих заданный сверхзвуковой поток в сечении выхода//Изв. АН СССР. Сер. МЖГ, 1981, № 2. С. 94—102.

Мельников Д. А., Пирумов У. Г., Сергиенко А. А. Сопла реактивных дви- гателей//Аэродинамика и газовая динамика. М.: Наука, 1976. С. 57—75.

Овсянников А. М. Исследование влияния закрутки потока на течения в соплах//Вычислительные методы и программирование, изд-во МГУ, 1977, вып. XXVII. С. 65—72.

Овсянников А. М. Расчет течения несжимаемой жидкости в соплах методом источников и стоков//Вычислительные методы и программирование, изд-во МГУ, 1974, вып. XXIII. С. 103—125.

Овсянников А. М. Исследование смешанных течений в радиальных соплах для МГД-генераторов//Вычислительные методы и программирование, изд-во МГУ, 1979, вып. XXX. С. 109—119.

Овсянников А. М., Пирумов У. Г., Плетнева Е. М., Росляков Г. С. Атлас плоских сопел. М.: Изд-во МГУ, 1976, 108 с.

Осипов И. Л. Численный метод построения двумерных сопел//Изв. АН СССР. Сер. МЖГ, 1979, № 2. С 179—183.

Папуша А. И., Пирумов У. Г., Прохоров М. Б. Газовая динамика процессов образования и распространения токсичных компонент.— Изв. АН СССР, сер. МЖГ, № 1, 1981. С. 98—106.

Пирумов У. Г. Обратная задача теории сопла и численные методы решения внутренних задач газовой динамики. Некоторые применения метода стенок в газовой динамике. Изд-во МГУ, 1974. С. 1 —129.

Пирумов У. Г. Численные методы решения задач физической газовой динамики//Гидроаэромеханика и космические исследования. М.: Наука, 1985. С. 103—116.

Пирумов У. Г., Росляков Г. С. Течения газа в соплах. М.: Изд-во МГУ, 1978, 352 с.

Пирумов У. Г., Суворова В. Н. Прямая задача теории сопла. Вычислительные методы и программирование, изд-во МГУ, 1977, вып. XXVII. С. 73—80.

Пирумов У. Г., Суворова В. Н. Численное решение обратной задачи теории сопла для двухфазной смеси газа и частиц//Изв. АН СССР. Сер МЖГ, 1986, № 4. С. 106—114.

Подсыпанина Н. А. Использование плоскости годографа при профилировании численным методом осесимметричного сопла Лаваля//Изв. АН СССР. Сер. МЖГ, 1977, № 1. С. 164—168.

Рылов А. И. К построению сверхзвуковых несимметричных сопел// Изв. АН СССР. Сер. МЖГ, 1977, № 3. С. 87—94.

Рылов А. И. Метод характеристик для плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений с произвольными углами вектора скорости//Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1983, т. 14, № 3. С 140—149.

Термодинамические и теплофизические свойства продуктов сгорания М.: Изд-во АН СССР. Т. 1—10, 1971 — 1981 гг.

ОГЛАВЛЕНИЕОГЛАВЛЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

ОГЛАВЛЕНИЕ

33Предисловие

3

3

Основные уравнения и граничныеусловия 4

Введение 4

Основные уравнения 5

2.1. Уравнения газовой динамики пространственных неравновесных течений идеального газа в обобщенных координатах Мизеса. Двумерные и одномерные течения 18

Уравнения идеального газа в ортогональных координатах. Характеристики уравнений для двумерных течений в координатах х, ф 28

Уравнения Навье-Стокса в координатах Мизеса. Параболизованные уравнения 30

Граничные условия в обратных задачах 32

Необходимые сведения о физико-химических процессах 41

Химическая кинетика 41

Колебательная релаксация 45

Двухфазные течения 48

Неравновесная конденсация 49

Электромагнитные эффекты 52

Аналитические методы 55

Одномерная теория 55

Классическая одномернаятеорияидеальногонереагирующего

газа 55

Одномерная теория для криволинейныхканалов 58

Метод источников истоков 59

Плоское течение 59"

Осесимметричное течение 61

Пространственное течение 64

Обратная задача теории сопла для несжимаемой жидкости . . .69

Разложение в ряд по функции тока 70

Пространственный случай 71

Плоский и осесимметричныйслучай 80

Двухфазные течения 84

Разложение в ряд в окрестности прямолинейной звуковой линии 86

Решение в окрестности бесконечно удаленной точки в дозвуковой области 89

Аналитический расчет параметров смеси в зоне локального подвода массыи энергии в одномерном течении 91

Расчет пространственных течений в соплах методом малых возмущений 92

Численные методы решения обратной задачи 97

Основная разностная схема 97

Пространственный случай 99

Осесимметричный и плоский случаи 102

Методы решения релаксационных уравнений ЮЗ

Методы расчета течений с физико-химическими превращениями. Одномерное приближение НО

Равновесные и неравновесные течения с химическими реакциями, колебательной релаксацией и конденсацией 110

Течения с подводом массы и энергии, при наличии внешних сил 116

Течения смеси газа н частиц 117

Методы расчета течений с физико-химическими превращнеиями. Пространственные и двумерные течения 120

Течения с химическими реакциями, колебательной релаксацией и конденсацией 120

Течения с подводом энергии. Многослойные течения 122

3. Течение смеси газа и частиц 123

Течения газа при наличии электромагнитных полей 126

Метод характеристик 127

5.1. Классический методхарактеристик 128

.5.2. Послойный (сеточно-характеристический) метод и его модификации 133

Течение газа в соплах и каналах сложных форм 136

Течение в плоских и осесимметричных соплах 136

Исследование до- и трансзвуковой областей сопел с прямолинейной и криволинейной поверхностью перехода. Течения Мейера и Тейлора 136

Локальные зоны торможения 144

Решение прямой задачи как серии обратных 148

2. Течения в кольцевых соплах и криволинейных каналах153

Течение в кольцевых соплах 153

Течение в криволинейных каналах 158

.3. Осесимметричные течения с закруткой потока 165

4. Обратная задача профилирования каналов 167

Профилирование аэродинамических сопел 171

Профилирование сверхзвуковых каналов, моделирующих заданный поток в выходном сечении 174

4.5. Сравнение расчетов обратным методом с экспериментальными результатами и расчетами другими методами 186

5. Течения с физико-химическими превращениями 190

Равновесные и замороженные течения 190

Течения с неравновесными химическими реакциями 193

2 1. Одномерные течения. Расчет течения в газовом анализаторе 193

.2.2. Плоские и осесимметричные течения 199

Течения с колебательной релаксацией 200

Одномерные течения 201

Плоские и осесимметричные течения 202

Теченияс неравновесной конденсацией 205

Теченияв каналах МГД-генераторов 207

Теченияс подводом энергии 213

Течениясмеси газа и частиц 215

Слоистые течения 221

Течения в канале с подводом реагентов с целью подавления токсичных компонент 223

9.1. Равновесные и неравновесные течения 224

.9.2. Метод оптимизации массы впрыска с целью подавления токсичных компонент 232

Список литературы 235

Научное издание

Ульян Гайкович Пирумов

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ СОПЛА

Редактор Л. Г. ГрановскаяПереплет художника А. Я. МихайловаХудожественный редактор В. В. ЛебедевТехнический редактор Н. М. ХаритоноваКорректор О. Ю. Садыкова

ИБ № 5525

Сдано в набор 15.06.87. Подписано в печать 29.09.87. Т-14083. Формат 60х904/1б- Бумага офсетная № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Усл. леч. л. 15,0. Усл. кр.-отт. 15,0. Уч.-изд. л. 16,0. Тираж 1700 экз.

Заказ 1393. Цена 3 р. 60 к.

Ордена Трудового Красного Знамени издательство Машиностроение107076, Москва, Стромынский пер., 4.

Московская типография № 8 Союзполиграфпромапри Государственном комитете СССРпо делам издательств, полиграфии и книжной торговли.

101898, Москва, Центр, Хохловский пер., 7.

мерность К । (Г) — смбмоль2с—в реакциях (8) ... (15) — см’моль—

2Р° [ГзР h^)-l|W-WJ

9a

I Г/ г V I2LNGR.k^LN . Л

УЕПирумов

Обратнаязадачатеориисопте

Москва

«МАШИНОСТРОЕНИЕ»1988

УДК 629.7.015 : 533.6

Обратная задача теории сопла/У. Г. Пирумов. — М.: Машиностроение, 1988. — 240 с. — ISBN 5-217-00104-6.

В монографии рассмотрена обратная задача теории сопла для общего случая пространственного течения, даны численные методы ее решения.

Значительное внимание уделено практическим приложениям. Приведены результаты исследований течений в соплах, в каналах сложных форм, в каналах с подводом массы и энергии. Представлены результаты решений обратной задачи профилирования каналов.

Предназначена для научных работников, специализирующихся в области физической газовой дннамнкн.

Библиогр . 33 назв. Ил. 97. Табл. 4.

Рецензент Л. Е. Стернин

ПП3606030000 — 096038(01) —883606030000 — 096038(01) —8896-8896-88© Издательство «Машиностроение», 1988© Издательство «Машиностроение», 1988

П

П

3606030000 — 096

038(01) —88

3606030000 — 096

038(01) —88

96-88

96-88

© Издательство «Машиностроение», 1988

© Издательство «Машиностроение», 1988

ISBN 5-217-00104-6