Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Теория турбулентности, рассматриваемая в этой книге, исходит из макроскопического описания течений жидкостей и газов как непрерывных сред на основе классических уравнений гидромеханики. Однако в отличие от обычной гидромеханики теория турбулентности изучает не индивидуальные особенности течений, а статистические свойства ансамблей течений при макроскопически одинаковых внешних условиях. Поэтому мы и озаглавили эту книгу «Статистическая гидромеханика». В то же время вывод макроскопических уравнений гидромеханики из статистических законов кинетической теории газов, к которому иногда также относят это название, в нашей книге излагаться не будет.
Основные понятия и идеи, касающиеся турбулентности, а также подход к изложению теории турбулентности, который мы избрали в этой книге, представлены во введении, где дан также краткий исторический очерк и приведен план как предлагаемого читателю первого тома книги, так и последующего второго тома. Введение призвано дать читателю общее представление о проблематике и методах современной теории турбулентности, о ее прикладном значении; при этом приходится использовать ряд понятий, детальная расшифровка которых дается лишь в последующих разделах книги.
Первое издание этой книги было опубликовано в 1965 г. (первый том) и 1967 г. (второй том). В 1971 и 1975 гг. в издательстве Массачусетского технологического института (США) вышел английский перевод книги, расширенный и дополненный материалами новых публикаций, появившихся к этому времени. Естественно, что за основу настоящего второго издания принят этот более поздний, американский вариант.
За последние два десятилетия появились многие десятки тысяч новых работ по механике турбулентности, содержащих интересные и полезные материалы по различным вариантам и деталям полуэмпирических теорий турбулентности, доведенные практически до конца следствия из теории локально-изотропной турбулентности А. Н. Колмогорова и теории подобия для турбулентности в стратифицированных средах и, наконец, результаты новых измерений характеристик турбулентности в лабораторных и природ-
ных условиях. При всей ценности этих работ они, как нам кажется, еще не изменили принципиальных основ теории турбулентности, изложенных в первом издании книги, и позволяют нам сегодня ограничиться выпуском настоящего второго издания, а не написанием новой книги (время для которой, по нашему мнению, пока не пришло, поскольку новая механика турбулентности еще не сформировалась).
Вследствие физической невозможности даже упомянуть здесь все публикации по механике турбулентности за последние 20 лет мы были вынуждены ограничиться обновлением материалов и библиографии лишь в ряде мест — там, где это представлялось нам, возможно, субъективно, наиболее интересным и полезным. Разумеется, это связано в первую очередь с изложением в настоящем издании появившихся принципиально новых идей. Крупнейшей из них является идея о возникновении турбулентности или о стоха- стизации течений жидкостей и газов вследствие появления в их фазовых пространствах странных аттракторов (как это выяснено математиками, типичного для большинства динамических систем) без требования случайности в начальных условиях или во внешних силах (при этом рассмотрение стохастизации пространственной структуры течений возвращает нас к привлекающим в последнее время много внимания когерентным структурам). Ради этой идеи здесь пришлось полностью переписать и существенно расширить главу 2, посвященную возникновению турбулентности; теперь она, возможно, содержит начала новой теории, о которой говорилось выше.
За последние 20 лет появилась и достигла определенной полноты теория двумерной турбулентности, отличающейся неколмогоровским каскадом энергии и логарифмической нелокальностью. Ей мы здесь посвящаем IX раздел, сняв имевшуюся в первом издании главу «Турбулентность и волны», тематика которой в настоящее время отражена в ряде специальных монографий (см., например, книгу В. И. Татарского (1967)). В X разделе рассматривается решение уравнения Хопфа для характеристического функционала поля турбулентности методом Галеркина, найденное М. И. Вишиком и А. В. Фурсиковым. В этом издании нашли отражение и появившиеся в последнее двадцатилетие новые сведения об океанской турбулентности.
При ссылках на литературу в тех случаях, когда упоминается несколько работ данного автора, вышедших в один и тот же год, эти работы дополнительно нумеруются русскими буквами. Инициалы авторов в тексте указываются только в тех случаях, когда это необходимо для различения однофамильцев (исключение составляет введение).
Мы старались по мере возможности использовать в книге общепринятые обозначения. В тех же многочисленных случаях, когда для встречающихся в теории турбулентности величин разными авторами используются различные символы, мы предпочитали, как правило, избирать один из них, а не вводить новые обо- 4
значения. В некоторых случаях это привело к тому, что пришлось в разных частях книги использовать один и тот же символ для различных величин. Кое-где по ряду причин оказалось также удобным одну и ту же величину в разных разделах обозначать по- разному. Во всех таких случаях используемые обозначения специально оговариваются в тексте.
Книга представляет собой совместный труд обоих авторов. Мы считаем также необходимым отметить, что на ее написание, как и на наши собственные исследования, глубокое влияние оказали беседы с нашим учителем Андреем Николаевичем Колмогоровым, многие идеи которого мы постарались отразить в настоящей книге.
Мы выражаем глубокую благодарность Н. И. Солнцевой, Г. Ю. Александровой, Г. Ю. Чувильчиковой и Р. Л. Леоновой за огромный труд по оформлению рукописи этой книги, а также Г. М. Жихареву за помощь в подборе и составлении библиографии.
ВВЕДЕНИЕ
Настоящая книга посвящена теории турбулентных течений жидкостей и газов. Она начинается с напоминания основных уравнений, описывающих движения жидкостей и газообразной среды, и от читателя, вообще говоря, не требуется, чтобы он заранее
Рис. ВЛ. Типичный пример записи пульсаций температуры (T), скорости ветра (v) и вертикальной компоненты скорости ветра (су).
знал, что такое турбулентность. Поэтому нам кажется, что в начале введения небесполезно хотя бы вкратце объяснить, о чем же, собственно, будет идти речь в этой книге.
Известно, что все течения жидкостей и газов делятся на два резко различающихся типа: спокойные и плавные течения, называемые ламинарными, и их противоположность — так называемые турбулентные течения, при которых скорость, давление, температура и другие гидродинамические величины беспорядочно пульсируют, крайне нерегулярно изменяясь в пространстве и во времени. В качестве примера мы приводим на рис. В.1 запись колебаний во времени скорости ветра, вертикальной компоненты скорости и температуры в атмосфере вблизи поверхности Земли, полученную при измерении скорости и температуры с помощью специальных малоинерционных приборов. Сложный характер этих кривых сразу
показывает, что соответствующее движение воздуха было турбулентным.
Множество пульсаций различных периодов и амплитуд, наблюдающееся на представленных на рис. В.1 записях, иллюстрирует сложную внутреннюю структуру турбулентных течений, резко отличающихся в этом отношении от ламинарных течений. Эта сложная структура сказывается на многих свойствах течения, оказывающихся весьма различными в ламинарном и турбулентном случаях. Так, турбулентные течения обладают гораздо большей способностью к передаче импульса (образно говоря, турбулентная среда имеет огромную эффективную вязкость) и потому во многих случаях оказывают гораздо большее силовое воздействие на обтекаемые жидкостью или газом твердые тела. Аналогичным образом турбулентные течения обладают повышенной способностью к передаче тепла и пассивных примесей, распространению химических реакций (в частности, горения), переносу взвешенных частиц. Благодаря наличию внутренних неоднородностей турбулентные течения способны рассеивать проходящие сквозь жидкость или газ звуковые и электромагнитные волны и вызывать флюктуации их амплитуд и фаз и т. п.
Ясно, что перечисленные свойства турбулентных течений могут быть весьма существенными для многих задач естествознания и техники. Поэтому вопрос о том, часто ли встречаются турбулентные течения, представляет несомненный интерес. Оказывается, что подавляющее большинство реально встречающихся в природе и технике течений являются именно турбулентными; ламинарные же течения, подробно изучающиеся в гидромеханике, представляют собой лишь довольно редкое исключение.
Турбулентными, в частности, являются разнообразные движения воздуха в земной атмосфере, начиная от слабого ветра вблизи поверхности Земли (к которому относятся измерения, воспроизведенные на рис. В.1) и кончая движениями общей циркуляции, имеющими масштабы планеты в целом. Атмосферная турбулентность играет основную роль в процессах переноса тепла и влаги воздушными массами, в испарении влаги с поверхности Земли и водоемов и в тепловом и динамическом взаимодействии между атмосферой и подстилающей поверхностью, существенно влияющем на изменения погоды; она определяет распространение примесей в воздушной среде, зарождение ветровых волн на поверхности моря и образование ветровых течений в океане, болтанку самолетов и других летательных аппаратов и вибрации многих наземных сооружений; наконец, турбулентные флюктуации показателя преломления обусловливают многие важные особенности распространения света и радиоволн от наземных и космических источников. Турбулентными оказываются и течения воды в реках, морях и океанах, а также колоссальные по сравнению с масштабами Земли движения газов в межзвездных газовых туманностях. Наконец, турбулентными являются практически все имеющие прикладное значение течения в трубах — в водопроводах, газопрово-
дах, нефтепроводах, соплах реактивных двигателей и т. д.; движения в пограничных слоях, образующихся около поверхности движущихся летательных аппаратов; в струях жидкости или газа, вырывающихся с большой скоростью из сопла; в следах за быстро перемещающимися твердыми телами — лопастями пропеллера, лопатками турбины, пулями, снарядами, ракетами. Таким образом, турбулентность буквально окружает нас и в природе, и в технических устройствах, связанных с течениями жидкостей и газов; поэтому ее изучение, безусловно, является очень важной практической задачей.
Большой интерес представляют турбулентные течения и с чисто теоретической точки зрения как примеры нелинейных механических систем с очень большим числом степеней свободы. В самом деле, движения любой непрерывной среды, строго говоря, описываются бесконечным числом обобщенных координат (в качестве которых можно принять, например, коэффициенты разложения поля скорости по какой-либо полной системе функции от пространственных координат). Однако в случае ламинарных движений эти координаты обычно можно выбрать таким образом, что лишь небольшое число отвечающих им степеней свободы будет возбуждено, т. е. будет реально участвовать в движении. В случае же развитого турбулентного движения возбужденным оказывается большое число степеней свободы, в результате чего изменения во времени любой физической величины описываются функциями, содержащими много компонент Фурье, т. е. имеющими очень сложный характер. Здесь практически безнадежно пытаться описать индивидуальные изменения во времени всех обобщенных координат, соответствующих возбужденным степеням свободы (т. е. математически выразить зависимость от времени полей скорости, давления и т. д. одного отдельного течения). Единственно возможным в теории турбулентности представляется статистическое описание, опирающееся на изучение статистических закономерностей, присущих большим совокупностям однотипных объектов. Таким образом, теорией турбулентности может быть лишь статистическая гидромеханика, изучающая статистические свойства ансамблей течений жидкостей или газов, находящихся в макроскопически одинаковых внешних условиях.
Индивидуальное описание полей скорости, давления, температуры и других характеристик турбулентного течения было бы даже бесполезным, так как крайне запутанный и нерегулярный характер индивидуальных полей исключает возможность использования точных данных о них в каких бы то ни было практических задачах. Поэтому не имеет смысла иногда встречающееся в литературе противопоставление так называемой полуэмпирической и статистической теорий турбулентности. Полуэмпирическая теория также является статистической и выделяется из других теорий турбулентности вовсе не отказом от использования статистических характеристик, а лишь приемами, используемыми для их опре- деления^
Говоря о статистическом характере теории турбулентности, ее часто сравнивают с кинетической теорией газов, изучающей системы из очень большого числа взаимодействующих между собой молекул. Это сравнение оправдано в том смысле, что в обеих указанных теориях точное описание эволюции исследуемой механической системы теоретически безнадежно, а практически было бы бесплодным. Однако надо иметь в виду, что между статистической механикой молекулярных ансамблей, изучавшейся Гибсом, Больцманом и другими исследователями, и статистической гидромеханикой вязкой жидкости существует и большое принципиальное различие. Оно связано, в первую очередь, с тем, что суммарная кинетическая энергия совокупности движущихся молекул не меняется во времени (во всяком случае при простейших предположениях о молекулярных взаимодействиях, обычно принимаемых в кинетической теории газов), тогда как при движении реальной жидкости ее кинетическая энергия всегда диссипируется в теплоту под действием вязкости. Менее существенным, но также не безразличным оказывается то, что молекулярные ансамбли дискретны по своей природе и их временная эволюция описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений, в то время как в гидромеханике речь идет о движениях непрерывной среды, описываемых уравнениями в частных производных. В результате аналогия с кинетической теорией газов сравнительно мало помогает построению теории турбулентности, облегчая лишь самое первоначальное понимание идеи о статистическом подходе к физической теории.
Может быть, даже более плодотворной окажется аналогия между теорией турбулентности и квантовой теорией поля, связанная с тем, что система взаимодействующих между собой полей — это также нелинейная система с теоретически бесконечным числом степеней свободы. Отсюда проистекает близость математического аппарата, используемого в обеих теориях, позволяющая надеяться, что существенные сдвиги в одной из них могут оказать решающее влияние и на развитие другой. В настоящее время, однако, квантовая теория поля сталкивается с большими затруднениями принципиального характера, а в теории турбулентности также имеются лишь частные успехи; поэтому глубокое воздействие одной из этих теорий на другую пока еще остается делом будущего.
Несмотря на то, что течения жидкостей и газов в природе и технических устройствах, как правило, являются турбулентными, в общих курсах гидромеханики теории турбулентности обычно посвящаются лишь небольшие разделы, содержащие сведения о методах статистического описания неупорядоченных течений жидкости и газа и о некоторых статистических характеристиках таких течений. Монографическая литература, посвященная турбулентности, насчитывает лишь пару десятков названий (многие из них могут быть найдены в списке литературы, приложенном к настоящей книге); при этом большая часть из них относится к книгам сравнительно узкого содержания. Нетрудно понять, почему сложи-
лось такое положение. Турбулентные течения являются значительно более сложным объектом, чем ламинарные, и требуют для своего изучения существенно новых методов, отличных от классических методов математической физики, в течение почти двух столетий считавшихся единственно годными для количественного изучения законов природы. Математический аппарат, нужный для логически аккуратного построения статистической механики непрерывных сред — теория случайных полей,— создан лишь в послевоенное время и до сих пор еще недостаточно известен за пределами узкого круга специалистов по теории вероятностей. В эти же годы сформировалась и теория турбулентности, которая до сих пор еще далека от завершения. Нам кажется, однако, что уже имеющиеся в этой области достижения, безусловно, заслуживают того, чтобы занять заметное место в обязательном объеме знаний каждого образованного гидромеханика и физика-теоретика. Можно выразить уверенность, что в дальнейшем вес этой теории в учебных руководствах и программах по гидромеханике для высших учебных заведений, в обязательном объеме знаний специалистов по гидромеханике и теоретической физике и в планах научно-исследовательских работ будет возрастать.
* **
Перейдем теперь к краткому историческому очерку развития науки о турбулентности. При этом мы перечислим те подходы и результаты, развернутое изложение которых составит основное содержание книги.
Существование двух резко различающихся типов течений — ламинарных и турбулентных — было замечено еще в первой половине XIX века, но теория турбулентности появилась только вместе с замечательными работами Осборна Рейнольдса (1883, 1894). В этих работах он уделил основное внимание условиям, при которых ламинарное течение жидкости в трубах превращается в турбулентное, и установил общий критерий динамического подобия течений вязкой несжимаемой жидкости. В отсутствие внешних сил таким критерием является, кроме геометрического подобия, совпадение значений так называемого числа Рейнольдса Re = ULhy где U и L — характерные масштабы скорости и длины в рассматриваемом течении, a v — кинематический коэффициент вязкости жидкости. С динамической точки зрения число Re может быть интерпретировано как отношение типичных значений сил инерции и сил вязкости, действующих внутри жидкости. Силы инерции, вызывающие перемешивание различных объемов жидкости, движущихся «по инерции» с разными скоростями, осуществляют (в трехмерной турбулентности) передачу энергии от крупномасштабных компонент движения к мелкомасштабным и тем самым способствуют образованию в потоке резких мелкомасштабных неоднородностей, свойственных турбулентным течениям. Силы вязкости, наоборот, приводят к сглаживанию мелкомасштабных неоднородно-
стей. Поэтому следует ожидать, что течения с достаточно малыми значениями Re будут ламинарными, а с достаточно большими Re — турбулентными. Этот основной результат и был четко сформулирован Рейнольдсом.
Рейнольдс сделал еще один очень важный для теории турбулентности шаг. Он предложил представлять значения всех гидродинамических величин в турбулентном течении в виде, суммы осредненных (регулярных) и пульсационных (нерегулярных) составляющих и изучать лишь осредненные величины, сравнительно плавно меняющиеся в пространстве и во времени, отказавшись от практически безнадежных попыток описания индивидуальных реализаций гидродинамических полей. Для определения средних значений Рейнольдс предложил применять обычное осреднение по некоторому интервалу времени или некоторой пространственной области, но фактически он пользовался лишь алгебраическими свойствами операции осреднения, позволяющими существенно упростить ее применение к уравнениям гидромеханики. Поэтому в настоящее время, когда при исследовании турбулентности принято понимать осреднение иначе, чем во времена Рейнольдса, все его выводы, тем не менее, полностью сохраняют силу, поскольку использованные им свойства осреднения оказываются очевидными именно при современном понимании этой операции.
Для дальнейшего нам будет удобно сразу же указать, как теперь понимается осреднение в теории турбулентности. В статистической гидромеханике принимается, что гидродинамические поля турбулентного течения представляют собой случайные поля в смысле, принятом в теории вероятностей. Иначе говоря, каждая конкретная реализация такого поля рассматривается как некий «представитель», извлеченный из «статистического ансамбля всевозможных полей», характеризуемого определенной вероятностной мерой на множестве функций от пространственных координат и времени, удовлетворяющих необходимым кинематическим и динамическим условиям (вытекающим из законов гидромеханики). При этом осреднение любых гидродинамических величин можно понимать как теоретико-вероятностное осреднение по соответствующему статистическому ансамблю, и все свойства операции осреднения, наличия которых требовал Рейнольдс, оказываются вытекающими из обычных свойств вероятностного среднего значения (математического ожидания), излагаемых в учебниках по теории вероятностей. Тем самым сразу устраняются многие трудности, неизбежные при применении временного или пространственного осреднения (но, правда, реальная интерпретация результатов формальной теории требует использования некоторых предположений об эргодичности, обычных, впрочем, для статистической физики).
В предыдущем абзаце мы отступили от хронологического принципа изложения основных этапов формирования теории турбулентности. Однако прежде чем вернуться к историческому обзору, мы еще несколько разовьем допущенное отступление и дадим
современную формулировку общей проблемы статистического описания турбулентных течений (или, коротко, проблемы турбулентности). Ограничимся при этом для простоты случаем несжимаемой жидкости, в котором течение полностью определяется соленоидальным (т. е. бездивергентным) полем скорости и(х, /) = = {wi(x, /), w2(x, /), из(х, /)}, где иь U2, из — компоненты скорости, х—-точка пространства, t — время (поле давления с помощью уравнений гидродинамики может быть выражено через поле скорости в тот же момент времени). В этом случае проблема турбулентности сводится к нахождению распределения, вероятностей Р(Ло) на фазовом пространстве Q={(o} турбулентного течения, «точками» (о которого являются всевозможные соленоидальные векторные поля и(х, /), удовлетворяющие уравнениям гидродинамики и надлежащим краевым условиям на границах течения.
Во многих случаях полезной оказывается также более узкая (т. е. менее полная) формулировка проблемы турбулентности, при которой рассматриваются лишь синхронные (отвечающие одному и тому же моменту времени) значения гидродинамических величин. При таком подходе проблема турбулентности заключается в нахождении однопараметрического семейства распределений вероятностей Pt^dto) на фазовых пространствах Q;= {со}, точками (о которых являются всевозможные соленоидальные векторные поля и(х), удовлетворяющие соответствующим граничным условиям (которые могут, вообще говоря, зависеть от времени — именно поэтому мы ввели индекс / в обозначение Qz фазового пространства). Зависимость распределений Pt(dw) от времени отражает эволюцию поля скорости в соответствии с уравнениями гидродинамики. В самом деле, если записать решение этих уравнений символически в виде u(x, t)=Tt\i^x, 0), где Tt — соответствующий нелинейный оператор, то очевидно, для любого измеримого множества Л пространства Q/ будет иметь место равенство Pt^A) =Po(T-tA), где T-tA — принадлежащее Qo множество всех тех начальных полей скорости и(х, 0), которые под действием оператора Tt переходят в поля и(х, /), принадлежащие к множеству А. Отсюда видно, что семейство распределений вероятностей
Pt^dw) в принципе однозначно определяется заданным начальным распределением Po^dto), так что в излагаемой формулировке проблема турбулентности — это задача с начальными условиями об эволюции вероятностной меры в функциональном пространстве.
Полное определение распределений вероятностей P(dw) или хотя бы Pt(dw) является исключительно трудной задачей. Однако для многих задач практики вовсе не требуется, чтобы проблема турбулентности была решена полностью. В большинстве практических задач достаточно определить лишь некоторые простейшие характеристики распределений вероятностей для значений гидро-
динамических полей турбулентного течения — такие, как средние значения скорости и давления в различных точках пространства или времени, вторые моменты пульсаций гидродинамических полей в заданной точке (например, дисперсии пульсаций скорости, характеризующие интенсивность турбулентности, или смешанные вторые моменты пульсаций скорости и температуры, через которые выражаются компоненты турбулентных потоков импульса и тепла) и коэффициенты корреляции между пульсациями гидродинамических полей в двух точках пространства — времени (характеризующие пространственно-временную статистическую связанность или структуру гидродинамических полей турбулентного течения). Поэтому естественно, что большинство исследований по теории турбулентности посвящалось не проблеме турбулентности в целом, а попыткам определения (хотя бы приближенного) некоторых простейших характеристик распределений вероятностей для значений гидродинамических полей турбулентных течений. Такие исследования позволили получить ряд ценных сведений о физической природе и свойствах турбулентности и удовлетворительно ответить на ряд важных практических вопросов.
Возвращаясь к историческому изложению основных этапов развития теории турбулентности, упомянем прежде всего интересную работу Джеффри Тэйлора (1921) о турбулентной диффузии, в которой впервые выявилась важная роль корреляционных функций (т. е. смешанных вторых моментов) поля скорости (правда, не для обычной эйлеровой скорости течения в фиксированной точке, а для более сложной лагранжевой скорости фиксированной жидкой частицы). Однако в общем виде идея о том, что корреляционные функции и другие статистические моменты гидродинамических полей должны быть признаны основными характеристиками турбулентного движения, была впервые высказана Л. В. Келлером и А. А. Фридманом (1924), предложившими общий метод построения дифференциальных уравнений для моментов произвольного порядка гидродинамических полей турбулентных течений. Определение всех таких моментов при некоторых общих предположениях эквивалентно определению соответствующего распределения вероятности в функциональном пространстве Р(Ло)
или Pt(dto), т. е. решению проблемы турбулентности. Поэтому бесконечная система уравнений Фридмана—Келлера для всевозможных моментов дает аналитическую формулировку проблемы турбулентности. Однако эта система уравнений весьма сложна: любая конечная подсистема этой системы уравнений всегда незамкнута, т. е. содержит больше неизвестных, чем имеется уравнений в данной подсистеме. Таким образом, при использовании метода Фридмана—Келлера в применении к конечному числу моментов возникает проблема замыкания уравнений для моментов, во многом аналогичная проблеме замыкания цепочки уравнений для многочастичных функций распределения в кинетической теории газов.
Полностью преодолеть эту трудность до сих пор еще не удалось. Тем не менее в теории турбулентности получено много важных и практически ценных результатов на двух обходных направлениях, одно из которых посвящено описанию крупномасштабных компонент турбулентности (масштабы которых сравнимы с масштабами течения в целом), а другое — описанию мелкомасштабных компонент. Основное различие в их поведении заключается в том, что крупномасштабные характеристики турбулентности существенно зависят от геометрии границ течения и характера внешних воздействий и поэтому оказываются весьма различными у разных течений, тогда как характер мелкомасштабных характеристик оказывается в значительной мере универсальным.
Крупномасштабные компоненты вносят основной вклад в передачу через турбулентную среду импульса и тепла, и потому их описание необходимо для расчетов сопротивления и теплообмена при обтекании твердых тел жидкостью или газом. Поэтому естественно, что при развитии теории турбулентности разработке методов описания крупномасштабных компонент было уделено первоочередное внимание. Неотложные нужды практики потребовали проведения большого числа экспериментальных исследований свойств крупномасштабных компонент турбулентности для течений в трубах, каналах, пограничных слоях и в свободных турбулентных течениях (струи, следы за обтекаемыми жидкостью телами и т. п.). На базе этих исследований были построены так называемые полу эмпирические теории турбулентности. Этот этап начался еще в середине 10-х годов текущего столетия, а его расцвет пришелся на 20-е и 30-е годы. Решающие шаги в развитии полу- эмпирического подхода к теории турбулентности были сделаны Джеффри Тэйлором (1915, 1932), Людвигом Прандтлем (1925) и Теодором фон Карманом (1930).
Полуэмпирические теории турбулентности строятся на основе аналогии между турбулентностью и молекулярным хаосом. В них основную роль играют такие понятия, как путь перемешивания (аналог средней длины свободного пробега молекул), интенсивность турбулентности (аналог средней скорости движения молекул), коэффициенты турбулентной вязкости, теплопроводности и диффузии. На основе той же аналогии делается предположение о существовании линейной зависимости между тензором турбулентных напряжений и тензором средних скоростей деформации, а также турбулентным потоком тепла (или пассивной примеси) и средним градиентом температуры (или концентрации примеси). Эти предполагаемые зависимости дополняются еще некоторыми гипотезами, общий вид которых устанавливается с помощью качественных физических рассуждений или же подбирается из соображений простоты. Принятые предположения (или какие-либо простые следствия из них) проверяются на эмпирическом материале, и при этом попутно находятся значения постоянных, входящих в используемые полуэмпирические соотношения.
Полуэмпирические теории 20-х и 30-х годов рассматривали только простейшие статистические характеристики турбулентных течений. Как правило, принимаемые в этих теориях гипотезы позволяли замкнуть уже самые первые уравнения системы Фридмана—Келлера, содержащие только одноточечные первые и вторые моменты гидродинамических полей — так называемые уравнения Рейнольдса. Заметную роль в полуэмпирических теориях играло использование свойств симметрии турбулентности в течениях того или иного вида и некоторых простейших гипотез подобия (в частности, в полуэмпирических теориях турбулентных струй и следов за обтекаемыми телами). Так, например, одним из важнейших выводов полуэмпирических теорий явилось установление универсального (т. е. справедливого при всех не слишком малых числах Рейнольдса) логарифмического закона для профиля осред- ненной скорости в трубах, каналах и пограничных слоях на плоской пластинке. Этот закон можно вывести из одной только естественной гипотезы подобия, касающейся распределений вероятностей гидродинамических полей турбулентности в полупространстве, или из соображений размерности, опирающихся на простейшие предположения о физических величинах, определяющих в этом случае турбулентный режим.
Совсем иной характер имеет теория универсального статистического режима мелкомасштабных компонент турбулентности при очень больших числах Рейнольдса. Эта теория непосредственно вытекает из гипотез подобия для мелкомасштабных компонент, предложенных А. Н. Колмогоровым (1941а, б) (к тем же выводам пришел и А. М. Обухов (1941), рассмотревший специальную модель физических процессов, обусловливающих эволюцию этих компонент). Ее создание явилось большим этапом в развитии статистической гидромеханики.
Прежде чем приступить к описанию вклада в теорию турбулентности, внесенного Колмогоровым и Обуховым, представляется необходимым, соблюдая исторический принцип изложения, назвать двух их предшественников. Одним из них явился английский ученый Льюис Ричардсон (1922, 1926), а вторым — уже упоминавшийся выше Дж. Тэйлор (1935а). Ричардсон в книге, опубликованной в 1922 г., высказал глубокие соображения (мало кем замеченные в то время) о физическом механизме турбулентного перемешивания при большом числе Рейнольдса. Согласно его представлениям, развитая турбулентность представляет собой иерархию «вихрей» (т. е. возмущений или неоднородностей) разных порядков, в которой «вихри» данного порядка возникают за счет потери устойчивости более крупных «вихрей» предыдущего порядка, заимствуют у них энергию и, в свою очередь, теряя устойчивость, порождают более мелкие «вихри» следующего порядка, которым передают свою энергию. Таким образом возникает своеобразный «каскадный процесс», при котором энергия осред- ненного течения последовательно передается движениям все более и более мелких масштабов, вплоть до движений минимального
масштаба, оказывающихся уже устойчивыми. Эти наиболее мелкомасштабные движения должны характеризоваться достаточно малым числом Рейнольдса, так что в них вязкость уже играет существенную роль, и, следовательно, происходит заметная диссипация кинетической энергии в теплоту. Эта картина развитой турбулентности хорошо передается английскими рифмованными строчками, впервые появившимися на стр. 66 книги Ричардсона (1922), а в последующие годы часто цитировавшимися разными авторами (обычно без точного указания источника):
Big whorls have little whorls, Which feed on their velocity; Little whorls have smaller whorls, And so on unto viscosity.
Ричардсон высказал эти соображения лишь в качественной форме и не сделал из них никаких выводов на языке математики. Но его интуиция была столь глубока, что в работе 1926 г. он сумел чисто эмпирически установить один из общих количественных законов мелкомасштабных турбулентных движений, вытекающих из математической теории, основанной на представлениях о каскадном процессе передачи энергии по спектру масштабов: эффективный коэффициент диффузии облака примеси в среде с развитой турбулентностью пропорционален размеру облака в степени четыре трети. В 1941 г., когда Колмогоров и Обухов сформулировали основные положения количественной теории мелкомасштабных компонент турбулентности, «закон четырех третей» Ричардсона был единственным эмпирическим результатом, указывавшим на существование каких-то простых общих закономерностей, управляющих мелкомасштабной структурой турбулентности.
В работе Тэйлора (1935а) было введено понятие об однородной и изотропной турбулентности. Такая турбулентность определяется тем, что для нее все конечномерные распределения вероятностей значений гидродинамических полей в конечном числе точек пространства — времени инвариантны относительно любых ортогональных преобразований (параллельных переносов, вращений и отражений) системы пространственных координат.
В однородной и изотропной турбулентности структура статистических моментов гидродинамических полей и вид уравнений Фридмана—Келлера оказываются наиболее простыми. Правда, и в этом простейшем случае проблема замыкания уравнений Фридмана—Келлера остается в силе. Однако соответствующие уравнения более доступны для математического анализа, и с их помощью получен ряд результатов, разъясняющих закономерности турбулентных течений.
Сама по себе модель однородной и изотропной турбулентности непригодна для описания реальных турбулентных течений, по
скольку для них предположения об однородности и изотропности не выполняются (хотя бы потому, что пространственная однородность предполагает, в частности, отсутствие у течения каких-либо границ и строгое постоянство его средней скорости). Однако математический аппарат теории однородной и изотропной турбулентности после некоторого его обобщения оказался весьма ценным для описания свойств мелкомасштабных компонент реальных турбулентных течений, так как статистический режим этих компонент, как мы, следуя Колмогорову, поясним чуть ниже, уже естественно предполагать однородным и изотропным.
Остановимся теперь на основных идеях принадлежащей Колмогорову теории локально изотропной турбулентности (или теории локального строения турбулентности при больших числах Рейнольдса). Прежде всего Колмогоров существенно дополнил представление о каскадном процессе передачи энергии от крупномасштабных компонент (получающих энергию непосредственно от осредненного течения) ко все более и более мелкомасштабным компонентам, заметив, что вследствие хаотичности такой передачи энергии ориентирующее влияние среднего течения должно ослабляться при каждом переходе к более мелким возмущениям. Поэтому на свойствах компонент турбулентности с достаточно малым масштабом (т. е. достаточно большим порядковым «номером») это ориентирующее влияние не должно сказываться. Другими словами, несмотря на то, что среднее течение и наиболее крупномасштабные неоднородности реальных турбулентных движений, вообще говоря, неоднородны и анизотропны, статистический режим достаточно мелкомасштабных пульсаций в любой турбулентности с очень большим числом Рейнольдса можно считать однородным и изотропным.
Кроме того, естественно ожидать, что характерные периоды пульсаций разных порядков будут тем меньше, чем больше их порядок, и в случае пульсаций достаточно высокого порядка (т. е. достаточно малых пространственных масштабов) будут много меньше времени заметного изменения среднего течения. Следовательно, режим таких пульсаций в течение промежутков времени, содержащих много характерных периодов, будет практически стационарным.
Итак, в области возмущений достаточно малых масштабов, по-видимому, должен господствовать однородный, изотропный и практически стационарный статистический режим, характеризуемый наличием определенного среднего притока энергии е к наиболее крупным возмущениям и равной ему диссипации энергии в теплоту под действием вязкости, сосредоточенной в основном в области возмущений минимального масштаба. Исходя отсюда, Колмогоров сформулировал гипотезу о том, что статистический режим достаточно мелкомасштабных компонент любой турбулентности с большим числом Рейнольдса универсален и определяется лишь двумя размерными параметрами — средней скоростью дис-
сипации энергии (на единицу массы жидкости) е и коэффициентом вязкости v. С помощью соображений размерности из этой гипотезы можно вывести, что масштаб наибольших пульсаций, на которые вязкость еще оказывает существенное влияние, должен иметь порядок т] =v3/4(e)-1/4. Если же область масштабов возмущений, подчиняющихся указанному универсальному статистическому режиму, простирается вплоть до масштабов, много больших т), то должен существовать так называемый инерционный интервал масштабов (много меньших типичного масштаба течения в целом L, но много больших т]), в котором вязкость уже не будет играть роли, т. е. статистический режим будет определяться единственным параметром 8. Это предположение представляет собой вторую основную гипотезу Колмогорова.
Гипотезы Колмогорова позволяют сформулировать ряд конкретных выводов о статистических характеристиках мелкомасштабных компонент турбулентности. Наиболее важным из них является выведенный Колмогоровым «закон двух третей»: средний квадрат разности скоростей турбулентного течения в двух точках на расстоянии г друг от друга при г в инерционном интервале масштабов равен С(ггУ^ где С — универсальная числовая постоянная. Другой формой этого утверждения, впервые указанной Обуховым (1941), является так называемый «закон пяти третей»: плотность распределения кинетической энергии по спектру волновых чисел к турбулентных неоднородностей в инерционном интервале имеет вид С182/зй_5Ч где Ci — другая числовая постоянная (просто связанная с С).
Работы Колмогорова послужили основой последующего развития теории локальной структуры турбулентности в 40—60-х годах текущего столетия. За этот период была изучена локальная структура не только поля скорости, но и полей концентрации пассивных примесей и температуры (включая случай температурно- стратифицированной тяжелой жидкости, в котором, благодаря появлению архимедовых сил, температуру уже нельзя считать «пассивной примесью»), давления и турбулентного ускорения. Полученные сведения нашли приложения к задачам об относительном рассеянии частиц и дроблении капель в турбулентной среде, образовании ветровых волн на поверхности моря, распределении неоднородностей электронной плотности в ионосфере, пульсациях коэффициента преломления в атмосфере и создаваемых ими рассеянии и флюктуациях параметров распространяющихся электромагнитных волн и к ряду других интересных задач.
Следствия теории Колмогорова, в первую очередь «закон двух третей» и «закон пяти третей», неоднократно проверялись на материалах измерений статистических характеристик конкретных турбулентных течений. Уже в 50-е и 60-е годы были проведены первые сравнительно точные измерения характеристик турбулент- 18
ности ряда природных и искусственно создаваемых течений с достаточно большими числами Рейнольдса, результаты которых неплохо совпали и друг с другом, и с выводами указанной теории. Полученные в ходе этих измерений данные позволили впервые с приличной точностью оценить значения коэффициентов С и Сь В последующие годы измерения статистических характеристик развитой турбулентности многократно проводились в самых разных условиях и охватили проверку широкого круга конкретных результатов, вытекающих из теории Колмогорова. В целом данные экспериментов неплохо подтвердили эту теорию, но они также указали на необходимость внесения кое-каких поправок в первоначальные теоретические выводы; об этом подробнее будет сказано в т. 2 этой книги.
Назовем теперь некоторые работы, посвященные поискам новых путей в развитии статистической гидродинамики. В работах А. Н. Колмогорова (1962) и А. М. Обухова (1962), доложенных в 1961 г. на двух международных конференциях по теории турбулентности в Марселе, предложен путь дальнейшего уточнения представлений о локальной структуре турбулентности при больших числах Рейнольдса. Дело в том, что в изложенной выше теории статистические характеристики мелкомасштабной турбулентности предполагаются зависящими лишь от среднего значения е скорости диссипации энергии. На самом же деле поле е(х, t) беспорядочно пульсирует, причем обычно изменчивость этого поля оказывается большой. Статистические характеристики поля е(х, /) могут зависеть от особенностей крупномасштабного течения; в частности, следует ожидать, что дисперсия поля 8 будет расти с ростом Re. Поэтому статистические характеристики мелкомасштабных движений, определенные по одному только значению е, следует интерпретировать лишь как условные средние значения при условии, что значение 8 фиксировано и равно е. Безусловные же средние значения, получаемые с помощью осреднения результатов расчета при фиксированном е по флюктуирующим значениям этого параметра, будут, вообще говоря, иными и могут быть различными у разных типов течений и, в частности, зависящими от Re. Методам оценки влияния этого обстоятельства и были посвящены работы Колмогорова и Обухова.
Упомянем еще своеобразный вариант теории возмущений для уравнений гидродинамики, развитый Крейчнаном (1959, 19626 и др.) и подробно изложенный в книге Лесли (1983). Теория Крейчнана основана на предположении, что прямые взаимодействия между тройками пространственных компонент Фурье поля скорости играют значительно большую роль, чем их непрямые взаимодействия (включающие, кроме исходной тройки, также и другие компоненты Фурье). Исходя из этого предположения, имеющего определенные физические основания, Крейчнан построил специальное двухточечное замыкание уравнений механики турбулент-
ности (т. е. замыкание уравнений для двухточечных характеристик турбулентности — пространственных спектров или корреляционных функций), прилагавшееся затем и им, и некоторыми другими авторами к решению целого ряда конкретных задач. Более элементарные и грубые двухточечные замыкания, имеющие довольно формальный характер, были заметно раньше предложены Обуховым (1941), Гейзенбергом (1948), Коваснаи (1948) и некоторыми другими авторами (о них будет рассказано в томе 2 настоящей книги). В последующие годы Крейчнан (1971), Орсаг (1970) и другие ученые предложили использовать и некоторые другие двухточечные замыкания, на обсуждении которых мы уже не будем задерживаться.
Укажем далее на перспективы решения общей проблемы турбулентности, связанные с использованием конечномерных распределений вероятности или, более компактно, характеристических функционалов гидродинамических полей. Характеристические функционалы однозначно определяют распределения вероятностей
P(d(o) или Pt^dto^ на фазовом пространстве турбулентного течения, и потому их нахождение явилось бы полным решением проблемы турбулентности. В работе Эбергарда Хопфа (1952) для характеристического функционала турбулентного поля скорости в несжимаемой жидкости было выведено уравнение в вариационных производных, замечательной особенностью которого является его линейность. В работе А. С. Монина (19676) и некоторых работах других авторов были выведены уравнения для конечномерных плотностей распределений вероятности значений гидродинамических полей на конечных наборах точек пространства-времени (образующие бесконечную зацепляющуюся цепочку и также оказавшиеся линейными). Таким образом, хотя динамика жидкости нелинейна, основная проблема статистической гидромеханики, сформулированная в терминах характеристических функционалов или набора конечномерных плотностей вероятности, оказывается линейной задачей. Отметим, что уравнение Хопфа оказалось формально близким к так называемому уравнению Швинтера квантовой теории поля (на имеющуюся аналогию между теорией турбулентности и квантовой теорией поля мы уже указывали выше). Уравнения для конечномерных распределений вероятности оказались аналогичными цепочке уравнений Н. Н. Боголюбова для n-частичных функций распределения скоростей молекул в кинетической теории газов.
Решение уравнения Хопфа встречается со значительными трудностями по причине отсутствия до сих пор каких-либо общих методов решения уравнений в вариационных производных. Большое внимание в этой связи привлекает математический аппарат континуальных интегралов — интегралов от функционалов, распространенных по некоторому функциональному пространству. Решение уравнения Хопфа удается записать в виде континуального интеграла по некоторой «обобщенной мере» в функциональном про-
странстве (напоминающей «меру Фейнмана», возникающую в квантовой механике и квантовой теории поля). Однако такая запись решения пока еще остается лишь формальным приемом, мало облегчающим эффективное построение и изучение искомых решений. Не удалось пока что разработать и эффективных способов замыкания цепочки уравнений для конечномерных распределений вероятности (например, способов, аналогичных выводу уравнения Больцмана в кинетической теории газов). Заметим, однако, что разрешимость этой бесконечной системы уравнений доказывается с помощью галеркинских аппроксимаций уравнений гидродинамики (М. И. Вишик, А. В. Фурсиков (1980); в двумерном случае этим же способом они доказали существование и единственность решения уравнения Хопфа).
Из работ о новых объектах упомянем серию исследований по теории двумерной турбулентности, начавшуюся со статей Р. Крейч- нана (1967, 19716) и Дж. Бэтчелора (1969). Двумерная турбулентность отличается от трехмерной прежде всего тем, что в ней при отсутствии вязкости в жидких частицах сохраняется не только кинетическая энергия, но и вихрь скорости (а потому сохраняется и его средний квадрат, половина которого называется энстро- фией?). Поэтому кроме колмогоровского каскадного процесса переноса энергии по спектру масштабов здесь подлежит изучению также спектральный перенос энстрофии. Оказалось, например, что при подводе энергии и энстрофии к движениям некоторого определенного масштаба энергия передается по спектру только в сторону больших, а энстрофия — в сторону малых масштабов. Оказалось также, что процессы спектрального переноса здесь не вполне локальны.
В последние два десятилетия в понимании статистической природы турбулентных течений удалось добиться существенного продвижения вперед, описывая стохастизацию движения как попадание его фазовой траектории (о = (о(/) на так называемый странный аттрактор. Чтобы объяснить здесь это понятие, определим, во-первых, неблуждающие фазовые точки со как такие, что любая их окрестность пересекается с некоторой фазовой траекторией по меньшей мере дважды; к ним относятся, в частности, неподвижные точки (соответствующие стационарным решениям уравнений гидродинамики) и периодические точки, лежащие на замкнутых траекториях (соответствующих периодическим по времени решениям). Однако оказалось, что существуют динамические системы (и их даже большинство, хотя строго еще не доказано, что к этому большинству принадлежат и движущиеся жидкости), у которых имеются неблуждающие точки и другого рода.
Во-вторых, определим минимальное множество XdQt как непустое замкнутое инвариантное (т. е. состоящее только из целых траекторий) множество фазовых точек, не имеющее обладающих такими же свойствами подмножеств. В-третьих, минимальные множества Л неблуждающих точек, имеющие окрестности, в которых
появляющиеся фазовые траектории все асимптотически приближаются к Л, назовем аттракторами. В-четвертых, аттракторы, отличающиеся от неподвижных точек и замкнутых траекторий, назовем странными. Такие аттракторы могут иметь очень сложную геометрическую структуру; например, они могут быть канторо- выми дисконтинуумами (т. е. нигде не плотными замкнутыми множествами без изолированных точек).
На странных аттракторах фазовые траектории имеют следующие свойства стохастичности: 1) чувствительную зависимость от начальных условий (создаваемую экспоненциальной расходимостью начально близких траекторий); 2) почти всюду плотность всех фазовых траекторий, причем любое начальное неравновесное распределение вероятности Ро(^(о) стремится к предельному равновесному распределению; 3) перемешивание в Q и, как следствие, эргодичность, быстрое затухание временных корреляционных функций и непрерывность частотных спектров.
Д. Рюэлль и Ф. Такенс (1971) высказали гипотезу о том, что турбулентность представляет собою завихренное течение вязкой жидкости, эволюционирующее на странном аттракторе (и потому обладающее указанными выше свойствами стохастичности). Они доказали, что у широкого класса динамических систем канторов- ский странный аттрактор (т. е., в некотором общем смысле, турбулентность) может появляться в результате разрушения четырехчастотного движения путем возникновения резонансов его высоких гармоник (а в их работе с Ньюхаузом (1978) это доказательство было распространено и на трехчастотные движения). Ныне обнаружен уже целый ряд и других «сценариев стохастизации» (т. е. схем возникновения турбулентности).
Заканчивая введение, мы хотели бы сказать несколько слов о назначении настоящей книги. Разумеется, совершенно невозможно в одном или двух томах исчерпать весь круг вопросов, связанных с проблемой турбулентности. Мы отобрали лишь тот материал, который, как нам кажется, может помочь выяснению физической природы турбулентности. Поэтому мы почти не останавливались на конкретных приложениях инженерного характера и на математических тонкостях, связанных с расчетом статистических характеристик. С этим связано и то, что мы всюду ограничивались рассмотрением лишь простейших течений и простейших задач. Так, например, в книге говорится только о течении в прямых круглых трубах; пограничный слой рассматривается только на плоской пластинке и при отсутствии градиента давления в обтекающем потоке; диффундирующие частицы предполагаются практически точечными и имеющими ту же плотность, что и окружающая среда, и т. д. Далее, мы ничего не говорим о турбулентных течениях электропроводящей жидкости в магнитном поле,
а учету сжимаемости уделяем лишь немного места, чтобы объяснить связанные с этим новые физические эффекты. Однако мы включили в книгу главу, посвященную турбулентности в среде, вертикально стратифицированной по плотности (в простейшем случае плоскопараллельного течения в полупространстве z>0), так как влияние стратификации на турбулентность имеет наглядный физический характер и может исследоваться с помощью простых общих методов, использовавшихся в других частях книги.
Стремление сделать книгу как можно более «физической» диктовало также и выбор предпочтительных методов исследования. Уравнения турбулентного движения всегда оказываются незамкнутыми (содержащими больше неизвестных, чем уравнений), и поэтому, помимо уравнений движения, неизбежно приходится привлекать какие-то дополнительные соображения. Среди таких дополнительных соображений наиболее отчетливый физический смысл имеют соображения подобия (опирающиеся на инвариантность условий задачи относительно некоторых групп преобразований) и соображения размерности (основанные на выделении физических параметров, влияющих на исследуемое турбулентное течение). Поэтому мы старались наиболее подробно осветить именно выводы из соображений размерности и подобия, которые могут применяться в теории турбулентности значительно шире, чем это обычно предполагается. Соответственно полуэмпирическим теориям турбулентности, использующим более специальные гипотезы, в книге уделено сравнительно немного места.
Большое внимание к методам подобия и размерностей обусловило также то, что изложению принадлежащей А. Н. Колмогорову теории локально-изотропной турбулентности, целиком построенной на применении этих методов, здесь отведено много места. Мы рассмотрели также предложенные в 1961 г. А. Н. Колмогоровым и А. М. Обуховым уточнения этой идеи вместе с дополнительными данными по этому вопросу, полученными в более позднее время.
Желая систематически изложить теоретические основы статистической гидромеханики, мы в то же время отнюдь не хотели придать книге математический характер, а стремились подкреплять теоретические выводы анализом эмпирических данных. Сочетание теоретического и экспериментального подходов, плодотворное во всех естественно-научных исследованиях, особенно необходимо в статистической гидромеханике, в которой теория часто еще имеет лишь предварительный характер и почти всегда базируется на ряде гипотез, нуждающихся в экспериментальной проверке. В качестве источника экспериментальных данных о турбулентности особенно часто в этой книге используется атмосферная турбулентность. Имеются веские причины, оправдывающие специальное внимание к такой турбулентности. Атмосфера, которую еще Карман (1934) назвал гигантской природной лабораторией для изучения турбулентности, оказывается особенно подходящей для проверки выводов современной статистической теории, так как
атмосферные движения обычно характеризуются гораздо большими числами Рейнольдса, чем течения, осуществляемые в лаборатории и, следовательно, гораздо более удобны для исследования специфических закономерностей, относящихся к случаю очень больших Re. Кроме того, и геометрические условия атмосферной турбулентности (а именно, отвечающие ветру в приземном слое условия плоскопараллельного течения в полупространстве, ограниченном твердой стенкой, которую в ряде случаев можно считать к тому же плоской и однородной, или хорошо описывающие движения воздуха в свободной атмосфере условия течения в безграничном пространстве) более просты, чем в большинстве лабораторных экспериментов. Единственным дополнительным осложнением, возникающим при переходе из лаборатории в атмосферу, является необходимость учета влияния термической стратификации, но это расширяет число наблюдаемых на опыте закономерностей, допускающих физическое объяснение.
Широкая распространенность турбулентных течений, их большое значение для множества разнообразных практических задач и интерес к ним теоретиков привели к тому, что литература, касающаяся турбулентности, колоссальна — она насчитывает много десятков тысяч статей, разбросанных по многочисленным физическим, механическим, математическим, химическим, метеорологическим и техническим журналам. К сожалению, однако, теория турбулентности оказалась крайне трудной и до сих пор она продвинута не очень далеко; поэтому многие относящиеся сюда работы являются чисто эмпирическими, содержат лишь самые зачатки теории или даже являются ошибочными. Эти обстоятельства, разумеется, очень осложняют обзор литературы по статистической гидромеханике. В нашей книге мы первоначально предполагали ограничиться лишь минимальным числом необходимых ссылок, но, потратив много времени на изучение литературы, решили, что целесообразно не скупиться на ссылки. В ряде мест книги мы включили даже небольшие обзоры литературы (чаще всего напечатанные мелким шрифтом), в которых старались по возможности кратко изложить содержание значительного числа типичных работ, относящихся к соответствующему разделу теории. Мы, разумеется, понимаем, что большое число библиографических ссылок несколько загромождает текст книги, а также (в силу полной невозможности охватить хотя бы большую часть имеющихся работ) значительно увеличивает число авторов, которые могут почувствовать себя несправедливо обойденными в столь обширном списке литературы. Мы заранее просим извинения у всех этих авторов и предупреждаем читателей, что не считаем включенные в наш список работы самыми лучшими и наиболее важными, не претендуем на его полноту и сознаем, что в вопросе об авторском приоритете (которым мы специально не занимались) у нас может встретиться ряд неточностей.
Разумеется, на отбор материала для книги оказали известное влияние и наши личные научные вкусы. В частности, в книгу
включен ряд результатов наших собственных работ. Большая часть этих результатов изложена здесь в переработанном и дополненном виде, представляющемся нам сегодня наилучшим; также и результаты других авторов часто излагаются нами по-новому, с учетом более поздних данных, а также общего подхода к проблеме, терминологии и обозначений, принятых в настоящей книге. Естественно поэтому, что приведенные ссылки во многих случаях содержат лишь какой-то эквивалент вывода или формулы, в связи с которыми они указаны.
Отступление от изложения, принятого в оригинальной работе, часто бывает также обусловлено нашим стремлением как можно более четко указывать все предположения, используемые в ходе того или иного вывода. В частности, мы всегда старались отмечать, какие результаты непосредственно вытекают из основных уравнений движения (т. е. из общих законов физики), какие — следуют из соображений размерности (т. е. из представлений о том, какие физические величины являются существенными, а какие несущественными для данного явления), какие — требуют привлечения специальных полуэмпирических гипотез (и каких именно), а какие — являются просто эмпирическими фактами.
Статистическая гидромеханика широко использует результаты и методы классической гидромеханики и теории вероятностей. Поэтому знание указанных двух дисциплин сильно облегчит знакомство с настоящей книгой. Тем не менее мы надеемся, что наша книга будет доступной и для лиц, имеющих лишь общую математическую и физическую подготовку. Имея в виду таких читателей, мы включили в первые два раздела основные сведения из классической гидромеханики (начиная с уравнений неразрывности и движения) и из теории вероятностей (начиная с самого понятия вероятности). Уже в этих главах, как и во всех дальнейших, мы старались уделять основное внимание принципиальным вопросам, не задерживаясь на технических деталях. С этим стремлением связано то, что мы нигде не излагаем методов решения встретившихся дифференциальных уравнений или других стандартных математических задач, а сразу приводим ответ (который иногда совсем нелегко найти). В то же время мы сравнительно подробно останавливаемся на некоторых недостаточно широко известных, но важных математических вопросах, традиционно опускаемых во всех книгах и статьях, предназначенных для механиков или физиков (типа, например, вопроса об эргодических теоремах или спектральных разложениях случайных полей); этим объясняется то, что целых два раздела книги посвящены математической теории случайных полей.
По техническим причинам книгу оказалось удобным издать в виде двух томов. В первом из них излагаются общие сведения об уравнениях гидромеханики и их простейших следствиях (кончающихся несколько более специальной теорией малых колебаний сжимаемого газа); рассматривается вопрос о возникновении турбулентности и гидродинамической неустойчивости (включая
элементы нелинейной теории неустойчивости); приводятся элементарные сведения из теории вероятностей и теории случайных полей (в том числе некоторые сведения об условиях эргодичности); разбирается применение соображений размерности и подобия к турбулентным течениям в трубах, каналах, пограничных слоях и к свободным турбулентным течениям (струям, следам за обтекаемыми телами и т. д.) и кратко перечисляются основные идеи и результаты полуэмпирических теорий турбулентности; детально исследуется теория подобия для турбулентности в вертикально стратифицированной по плотности среде, и результаты сопоставляются с эмпирическим материалом наблюдений за ветром и температурой в приземном слое воздуха; изучаются лагранжевы характеристики турбулентности и теория турбулентной диффузии.
Второй том начинается с математического раздела, посвященного спектральной теории случайных полей (в том числе и полей, являющихся не однородными, а только локально однородными); далее подробно излагается теория изотропной турбулентности (основное внимание здесь уделено различным методам замыкания уравнений для моментов гидродинамических полей изотропной турбулентности в несжимаемой жидкости, но приводятся также и некоторые выводы, относящиеся к сжимаемому случаю); рассматриваются общие представления об универсальном локальном строении турбулентности при больших числах Рейнольдса и их следствия (включая и вопрос об относительной диффузии, т. е. увеличении размера облака примеси, переносимого турбулентным потоком) и исследуются спектральные характеристики турбулентности в расслоенной жидкости; приводятся основные сведения о специфических особенностях двумерной турбулентности и, наконец, рассматривается общая формулировка проблемы турбулентности, опирающаяся на изучение характеристических функционалов гидродинамических полей.
ЛАМИНАРНЫЕ И ТУРБУЛЕНТНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
Глава 1УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ ЖИДКОСТИИ ИХ ОСНОВНЫЕ СЛЕДСТВИЯ
1. Система уравнений динамики несжимаемой жидкости
Турбулентность представляет собой сложное физическое явление, теоретическое изучение которого должно опираться на основные законы физики, находящие свое выражение в уравнениях гидро- и термодинамики. Поэтому мы начнем с того, что кратко напомним здесь эти уравнения и некоторые важнейшие вытекающие из них следствия, ограничившись, естественно, лишь теми формулами и фактами, которые нам понадобятся в дальнейшем (более подробное изложение см., например, в книгах Гольдштейна (1938), Кочина, Кибеля и Розе (1963), Ламба (1932), Ландау и Лифшица (1953, 1986), Бэтчелора (1973) и Лойцянского (1987)). Течение жидкости * мы, как обычно, будем характеризовать полем СКОрОСТИ 11(Х, /) = {ц1(Х1, Х2, Хз, /), U2(X1, Х2, Хз, /), Из(Х1, Х2, хз, /)} и полями двух каких-либо термодинамических характеристик среды, например полем давления р(х, /) и полем плотности р(х, t) или температуры Т(х, /),— всего пятью функциями от четырех переменных. Кроме того, нам будут нужны значения молекулярных коэффициентов переноса, определяющих физические свойства жидкости, — коэффициента вязкости ц (или кинематической вязкости v = p/p) и второго коэффициента вязкости £, а в дальнейшем также и коэффициента теплопроводности х (или температуропроводности % = х/срр, где ср— теплоемкость жидкости при постоянном давлении).
Простейшим уравнением механики жидкости, выражающим физический закон сохранения вещества, является уравнение неразрывности
или
др д(р«а)
at 1 дха’
(1.1)
др ,дрдиа
dt ' Ua дхаР дха
(1.2)
* Словом «жидкость» мы здесь и ниже будем обозначать любую жидкую или газообразную среду.
(здесь и ниже мы всегда будем предполагать, что по дважды повторяющемуся в одночленном выражении индексу производится <5(р^а)
суммирование от единицы до трех, так что —, например,
з д Г р и 1 \
имеет тот же смысл, что и 2 ——— )• Основные динамические
UXql 'а=1
уравнения, выражающие второй закон Ньютона, примененный к малому объему жидкости, т. е. представляющие собой уравнения бюджета импульса, имеют следующий вид:
д(Р«;) д(р«гыа)др
dt + дха —VAt дх. -f
i=l, 2, 3,(1.3)i=l, 2, 3,(1.3)д Г / ди, ди„ 2 диА \1 д / duR+ Л^Г^Л^ + Тх;3" d^'Vl+lx"^ "дх^
i=l, 2, 3,
(1.3)
i=l, 2, 3,
(1.3)
где рХг = рХ/(х, /)—i-я компонента плотности внешних сил
в точке х в момент t. Из уравнения (1.1) следует, что плотность р можно вынести за знак производной -^— в первом члене левой
ддхаддхачасти уравнений (1.3), одновременно вынеся также и риа за знак
ддха
ддха
производнойпроизводнойво втором члене. Что же касается до коэффи
производной
производной
циентов вязкости р, и £, то изменение их значений в пространстве (обусловленное зависимостью этих коэффициентов от температуры, меняющейся от точки к точке) на практике чаще всего ока
зывается весьма незначительным, так что членами, содержащими производные этих коэффициентов, обычно вполне можно пренебречь. Однако это означает, что величины р, и £ в уравнениях (1.3) также могут быть вынесены за знак производной, после чего эти уравнения принимают вид
/ ди, ди, \др/ ц \ д2и_
оЫ + “- at) - ^ - ^ + ^ + Н т) ^га. (1.4)
Четыре уравнения (1.2) и (1.4) содержат пять неизвестных функций и поэтому еще не образуют замкнутой системы. На практике, однако, изменения плотности р движущейся жидкой частицы в очень многих случаях оказываются столь малыми, что ими также можно пренебречь. Такое пренебрежение, в частности, будет законным в случае так называемых «капельных жид-
костей», т. е. сред, являющихся жидкостями в обычном смысле этого слова. В случае же газообразных сред при стационарном движении (со скоростью и(х), не зависящей от /) изменениями плотности, обусловленными изменениями давления, вполне можно пренебречь, если только абсолютная скорость движения ц = = |и| во всех точках течения мала по сравнению со скоростью распространения звука а. В общем случае нестационарного движения газа изменения плотности р будут пренебрежимо малыми, если, кроме условия и^а, будет выполняться еще и условие Т^ ^Ыа, где Т и L — характерные время и расстояние, на которых скорость жидкости и(х, /) претерпевает заметное изменение (см. Ландау и Лифшиц (1986), ч. I, § 10). Во всех перечисленных случаях плотность р обычно вообще будет принимать постоянное значение во всем пространстве, заполненном жидкостью. При этом р будет уже представлять собой заранее заданную постоянную величину (характеризующую свойства среды), и четырех уравнений (1.2) и (1.4) здесь будет достаточно для определения четырех неизвестных функций ut^x, t), Z=l, 2, 3, и р(х, /) (при заданных начальных и граничных условиях).
Сами эти уравнения в рассматриваемом теперь случае несжимаемой жидкости 'Приобретают более простой вид, так как в них можно опустить ряд членов, содержащих производные от р или выражающихся через такие производные. Так, в уравнении неразрывности (1.2) мы можем в этом случае опустить все слагаемые в левой части, после чего оно приобретает вид
(1.5)(1.5)ди„дха
(1.5)
(1.5)
В силу (1.5) в уравнениях движения (1.4) последний член в правой части тождественно обращается в нуль, после чего эти уравнения переходят в известные уравнения Навье—Стокса
ди. ди,1 др
-^r + ua-^- = Xi^-4-vAu,.(1.6)
dt 1“ дхар дх; 1v 7
Уравнения (1.6) представляют собой основные уравнения динамики вязкой несжимаемой жидкости. Мы видим, что они со
держат уже единственный коэффициент вязкости, так что вторая
вязкость оказывается существенной лишь при учете сжимаемости.
Легко видеть, что давление р может быть с самого начала исключено из уравнений (1.6). В самом деле, для этого надо только
применить к обеим сторонам (1.6) операцию взятия ротора, которая в тензорных обозначениях записывается как операция
- ^^ ^ где е^р/ — полностью антисимметричный тензор треть
его ранга (т. е. 8^=0, если индексы k, р и i не все различны, и едр/= + 1 или 6^ =—1, если тройка (&, р, Г) получается из тройки (1, 2, 3) при помощи соответственно четной или нечетной подста-
новки). Предполагая для простоты, что внешние силы отсутствуют, мы придем при этом к системе трех уравнений:
дик
=* = 1.2,3,(1.7)
диа
где G)A=G)Apa-^-(1.8}
есть компоненты вектора вихря. В принципе из уравнений (1.7) и (1.8) могут быть определены три функции ui^, t)\ после этого для нахождения поля давления надо только решить уравнение Пуассона
д2 (ипиЛ
(L9>
получаемое с помощью применения к уравнениям (1.6) (с X/ = 0) д
операции —.
Из уравнения (1.9) следует, что с точностью до слагаемого, являющегося гармонической функцией х,
(1.9')(1.9')z х Р С д2[ма<х')“в (х')1^'
(1.9')
(1.9')
Р (х)4\г г । , I ,
4Л J дха дх^ I х — х |
где интегрирование распространяется на весь объем, заполненный жидкостью. В частности, если течение жидкости происходит в безграничном пространстве, то соответствующей гармонической функцией может быть лишь постоянная. Однако, поскольку в уравнениях движения фигурируют лишь производные от давления, постоянное слагаемое в выражении для давления вообще не играет никакой роли; поэтому здесь допустимо считать, что уравнение (1.9') является точным без всяких добавлений. Для течений в ограниченных областях гармоническую добавку к правой части (1.9') следует определять из граничных условий для давления; в ряде случаев и здесь она также оказывается постоянной и поэтому может не учитываться.
2. Простейшие течения несжимаемой жидкости
Для получения однозначного решения системы уравнений (1.5) — (1.6) надо задать начальные значения полей uz(x, /) и учесть, что скорость должна обращаться в нуль на поверхностях всех погруженных в жидкость твердых тел. Однако, поскольку эта система нелинейна, нахождение ее точных решений в явном аналитическом виде, вообще говоря, является очень трудным делом. Лишь для некоторых специальных течений нелинейные члены уравнений (1.6) тождественно обращаются в нуль; при этом система уравнений гидродинамики сразу очень упрощается, и в та-
ких случаях ее точное решение обычно находится без большого труда. Ниже мы перечислим некоторые точные решения такого рода; примеры более сложных точных решений уравнений (1.5) — (1.6) можно найти, например, в книгах Ландау и Лифшица (1953, 1986), а также Кочина, Кибеля и Розе (1963), Бэтчелора (1973) и Лойцянского (1987). Во всех рассматриваемых ниже примерах будет предполагаться, что объемные внешние силы Xi отсутствуют ; кроме того, в этих примерах течения будут предполагаться стационарными, т. е. не зависящими от t.
Отметим предварительно, что в случае стационарного течения полный импульс жидкости в фиксированной части пространства не меняется со временем, т. е. потери импульса, связанные с сопротивлением погруженных в жидкость твердых тел, уравновешиваются притоком импульса благодаря действию сил, вызывающих движение жидкости (при Xi = 0 благодаря действию перепада давления). Иначе говоря, при установившемся режиме вызывающая движение сила перепада давления, действующая на всю жидкость, уравновешивается действующей на жидкость силой торможения (отличающейся лишь знаком от суммарной силы воздействия течений на погруженное в жидкость тело). Формула, выражающая это равновесие, позволяет установить связь между типичной скоростью течения и перепадом давления, называемую обычно законом сопротивления.
Сила W воздействия течения на тело равняется интегралу по поверхности тела 2 от потока импульса по нормали к этой поверхности. Поток Z-й компоненты импульса через единичную площадку, перпендикулярную оси Ох^, имеет вид puiUk + pbik — Qik, где bik — единичный тензор (6^ = 1 при i = k и 6^ = 0 при i^k^ a Oik — вязкий тензор напряжений, в несжимаемой жидкости рав- (dui дик \
——Н—-—I (ср. с приведенной ниже формулой (1.61)). OXk OXi '
Поскольку скорость движения жидкости на поверхности тела равна нулю, для Z-й компоненты силы W получаем:
Wi = — ^(pbik — otk)nkd'2, = — ^pnld'Z + Ft, (1.10)
222
2
2
где п,— компонента единичного вектора внешней нормали к поверхности, a Fi — интеграл по поверхности тела от о^пк. Первое слагаемое в правой части (1.10) связано с передачей телу импульса силами давления и не зависит от вязкости жидкости. Это слагаемое в ряде случаев (например, в случае обтекания плоской пластинки или при течениях в прямых трубах) оказывается равным нулю. Второе слагаемое F, представляет собой сопротивление трения, которое в вязкой жидкости всегда отлично от нуля.
В случае геометрически подобных тел типичную величину силы W
дает выражение-^-piAS, где U— типичная скорость, а 5 — некото
(Ml)(Ml)рая типичная площадь, например площадь поверхности тела или его миделево сечение. Безразмерная величина
(Ml)
(Ml)
= —j^Pt/2S
называется коэффициентом сопротивления тела. Если сопротивление связано только с трением (№/ = А), то коэффициент сопротивления обозначается С/ и называется коэффициентом сопротивления трения.
Примеры точных решений уравнений гидромеханики
Начнем с простейшего плоского стационарного течения вязкой жидкости, заключенной между двумя параллельными плоскостями, одна из которых неподвижна, а вторая движется с постоянной скоростью U. Обозначим через Н расстояние между плоскостями и выберем систему координат, в которой уравнения этих плоскостей будут иметь вид 2 = 0 (неподвижная плоскость) и 2 = = Н (подвижная), а ось Ох направлена вдоль вектора U. В таком случае все гидродинамические величины будут зависеть только от 2, а скорость движения жидкости всюду будет направлена вдоль оси Ох. Поэтому уравнение (1.5) и второе уравнение (1.6) здесь будут удовлетворяться тождественно, а первое и третье уравнения (1.6) приобретают вид
4^- = 0, 4^ = 0,(1.12)
dz2 ’ dz ’v 7
где и^ =U\^ —единственная отличная от нуля компонента скорости течения. Следовательно, здесь р = const и u = az-Vb\ учитывая еще граничные условия и = 0 при 2 = 0 и u = U при z — H, получаем:
U^ = ^2.(1.13)
1ем средняя скорость (/Ср равна urz. сила на единицу площади стенок 2 = 0 или z = H,1ем средняя скорость (/Ср равна urz. сила на единицу площади стенок 2 = 0 или z = H,. Итак, рассматриваемое течение характеризуется линейным профилем скорости, при”~
1ем средняя скорость (/Ср равна urz. сила на единицу площади стенок 2 = 0 или z = H,
1ем средняя скорость (/Ср равна urz. сила на единицу площади стенок 2 = 0 или z = H,
трения, действующая равна
(1.14)(1.14)I du I \xUт=^Ш=-77-'
(1.14)
(1.14)
причем эта сила на а на плоскости z = H положитьпричем эта сила на а на плоскости z = H положитьплоскости 2 = 0 направлена вдоль оси Ох, имеет противоположное направление. Если
причем эта сила на а на плоскости z = H положить
причем эта сила на а на плоскости z = H положить
(1.15)(1.15)т — -g- pUCpCf,
(1.15)
(1.15)
где С) — коэффициент сопротивления трения, то
Ct = T^4? U16>
Стационарное плоское течение жидкости между двумя безграничными параллельными плоскостями, описываемое формулами (1.13) и (1.16), очевидно, представляет собой математическую идеализацию, которая, однако, в некоторых случаях оказывается полезной. В руководствах по гидродинамике это идеализированное течение называется течением Куэтта.
Рассмотрим теперь стационарное двумерное течение между двумя неподвижными параллельными плоскостями 2 = 0 и г = Н под действием приложенной на бесконечности внешней силы, создающей градиент давления по направлению оси Ох. Легко видеть, что в этом случае скорость течения также будет во всех точках направлена вдоль оси Ох и будет зависеть лишь от 2, так что u(z)=ui(z) опять будет единственной ненулевой компонентой поля и. Поэтому уравнение (1.5) и второе уравнение (1.6) здесь также будут удовлетворяться тождественно; первое же и третье уравнения (1.6) будут иметь вид '
dp d^u др л zti7\. = (1.17)
Отсюда видно, что давление не будрт зависеть от г, т. е. будет постоянным по всей толщине слоя жидкости, и, следовательно, первое уравнение (1.17) будет выполняться лишь npii
= const = —^-, ы(2) = —-^-^-22 + g2 4-t>, (1.18)
где А;р— перепад давления между плоскостями х=х0 и х=хо+/. Учитывая еще граничные условия и=0 при 2=0 и при z = H, получаем:
2 —2 —<1;19><1;19>
2 —
2 —
<1;19>
<1;19>
так что профиль скорости будет иметь форму параболы. Сила трения т на обеих стенках будет равнатак что профиль скорости будет иметь форму параболы. Сила трения т на обеих стенках будет равнаI du I Н поэтому безразмерный коэффициент сопротивления С/ мулы (1.15) будет равенI du I Н поэтому безразмерный коэффициент сопротивления С/ мулы (1.15) будет равенИЗИЗ(1.20)фор-(1.20)фор-12v12Cf = Re’ где(так как здесь12v12Cf = Re’ где(так как здесьRe = -^VRe = -^V(1.21)(1.21)
так что профиль скорости будет иметь форму параболы. Сила трения т на обеих стенках будет равна
так что профиль скорости будет иметь форму параболы. Сила трения т на обеих стенках будет равна
I du I Н поэтому безразмерный коэффициент сопротивления С/ мулы (1.15) будет равен
I du I Н поэтому безразмерный коэффициент сопротивления С/ мулы (1.15) будет равен
ИЗ
ИЗ
(1.20)фор-
(1.20)фор-
12v12
Cf = Re’ где
(так как здесь
12v12
Cf = Re’ где
(так как здесь
Re = -^V
Re = -^V
(1.21)
(1.21)
1 f^сР= чг j u^dzо1 f^сР= чг j u^dzо//2//2Д;РД;Р2212ц I ~ 312ц I ~ 3^гаах).^гаах).
1 f
^сР= чг j u^dzо
1 f
^сР= чг j u^dzо
//2
//2
Д;Р
Д;Р
2
2
12ц I ~ 3
12ц I ~ 3
^гаах).
^гаах).
Точное решение (1.19) также описывает идеализированное течение жидкости; оно называется течением Пуазейля между параллельными плоскостями.
'3. Перейдем к стационарному течению жидкости в прямой бес
конечной круглой трубе диаметром D. Направим ось Ох вдоль оси трубы; тогда отличной от нуля будет только компонента скорости ui\y, z)—u(y, z). Поэтому уравнение (1.5) и в этом случае будет удовлетворяться тождественно; кроме того, из второго и третьего др др
уравнений (1.6) будет следовать, чтот- е- что дав"
ление постоянно по сечению трубы и зависит только от х. Введем в плоскости Оуг полярные координаты (г, ф). Тогда в силу симметрии трубы и (у, z^=u^, и, следовательно, первое уравнение (1.6) будет иметь вид
(1.22)(1.22)др ц d / du\
(1.22)
(1.22)
дхг dr \ dr )*
Поскольку левая часть зависит только от х, а правая — от г, то , дР А М А
должно быть —^-=const =j—, где ^р — перепад давления
на участке трубы длиной /. Учитывая граничное условие и (О/2) = = 0 и ограниченность и (г) при всех г, получаем:
u^r^^R2-^, где R = DI2.u^r^^R2-^, где R = DI2.(1.23)(1.23)
u^r^^R2-^, где R = DI2.
u^r^^R2-^, где R = DI2.
(1.23)
(1.23)
Таким образом, и в этом случае профиль скорости (вдоль любого диаметра) оказывается параболическим. Средняя скорость течения, определяемая формулой
2л R
(1.24)(1.24)^сР = ^г $ \ u^rdrdtp,о о
(1.24)
(1.24)
оказывается равнойоказывается равнойД<Р По Umax
оказывается равной
оказывается равной
— R ——-—; поэтому расход жидкости, ори2
е. ее объем, протекающий через сечение трубы за единицу вре
мени, равен
Q = nR2UcpQ = nR2UcpnR* ^lp“8ц Г’nR* ^lp“8ц Г’(1.25)(1.25)Сила трения о стенку равна т = цСила трения о стенку равна т = цdu Idr Idu Idr IR ^ip—^—; тот же реR ^ip—^—; тот же ре
Q = nR2Ucp
Q = nR2Ucp
nR* ^lp
“8ц Г’
nR* ^lp
“8ц Г’
(1.25)
(1.25)
Сила трения о стенку равна т = ц
Сила трения о стенку равна т = ц
du Idr I
du Idr I
R ^ip
—^—; тот же ре
R ^ip
—^—; тот же ре
зультат можно получить и иначе, сообразив, что полная сила трения nDl-т на участке трубы длиной / должна уравновешиваться силой перепада давления Д(р, действующей на сечение трубы л/?2. Следовательно, коэффициент сопротивления С/ равен
(1.26)(1.26)г _ 8v _ 16_ _ UcpD
(1.26)
(1.26)
Cf — RUcp — Re ’ ГДе Re — v
Решение (1.23) уравнений гидродинамики также относится к идеализированному течению, так как труба предполагается бесконечно длинной, а течение — строго стационарным. Оказывается, однако, что для реальных конечных труб протекание по ним жидкости в случае постоянного напора Azp быстро становится практически стационарным, причем на расстояниях от входа трубы порядка /?4/Cp/v (по теоретическим расчетам Шиллера (1934), приведенным также в книге Гольдштейна (1938), т. I, § 139, уже при х> 0,115—^j влияние конечной длины трубы также перестает ощущаться и течение хорошо описывается формулой (1.23). Таким образом, закономерности (1.23), (1.25) и (1.26) могут быть проверены на опыте. Они впервые были обнаружены именно экспериментальным путем (Хагеном в 1839 г. и Пуазейлем в 1840—1841 гг.) и лишь затем объяснены теоретически (Стоксом в 1845 г.). В исследованиях Хагена было обнаружено также, что эти закономерности справедливы только в случае достаточно большой вязкости v и при достаточно малой скорости Uср — обстоятельство, о котором мы еще будем подробно говорить в главе 2. Течение несжимаемой жидкости, описываемое формулами (1.23) и (1.25), называется течением Пуазейля (или Хагена—Пуазейля) в круглой трубе или (в тех случаях, когда нет опасений спутать его с течением (1.19)) просто течением Пуазейля.
В качестве последнего примера рассмотрим стационарное движение жидкости между двумя коаксиальными бесконечными цилиндрами радиусами Ri и Ra > Rt, вращающимися вокруг своих осей с угловыми скоростями Qi и Ог; перепад давления вдоль оси цилиндров примем равным нулю. В таком случае все гидродинамические величины не будут зависеть от координаты х вдоль оси цилиндров. Если в плоскости Оуг, перпендикулярной оси цилиндров, ввести цилиндрические координаты (г, ф), то из соображений симметрии ясно, что отличной от нуля будет лишь компонента скорости и = иф и что скорость и и давление р будут зависеть только от г. Отсюда следует, что уравнение неразрывности (1.5) и первое уравнение (1.6) будут удовлетворяться тождественно; что же касается второго и третьего уравнений (1.6), то они после перехода к цилиндрическим координатам примут вид
1 dp и2 d2u ) 1 du и р ,. о?. "7"d7"T' ""dr2 ' ~r" "dr и-
Общее решение второго из уравнений (1.27) имеет вид u(r) = — аг + Ь/г. Поскольку к тому же и (г) должно равняться Qi7?j при r=Ri и йг/?2 при r = Ra, то искомая функция м(г) будет определяться формулой
С помощью первого уравнения (1.27) Теперь легко найти и р(г), но мы на этом не будем останавливаться. Течение жидкости, задаваемое формулой (1.28), в ряде отношений родственно течению примера 1, но его значительно Проще воспроизвести в лаборатории. Это течение называется течением Куэтта между цилиндрами.
Число Рейнольдса и критерий подобия
Все перечисленные точные решения уравнений гидродинамики относились к простым идеализированным течениям. В более сложных случаях нахождение точного решения обычно оказывается невозможным и приходится прибегать к численному решению уравнений (1.5) — (L6). При этой важно уметь оценить порядок величины различных членов уравнений, чтобы знать, в каких случаях можно пренебречь некоторыми из этих членов и ограничиться рассмотрением упрощенных уравнений, легче поддающихся интегри-
рованию.'
Будем пока считать, что речь идет о стационарном течении вязкой несжимаемой жидкости при отсутствии внешних сил. С помощью соотношения (1.9) нетрудно показать, что члены уравнений (1.6), содержащие давление, вообще говоря, будут иметь
тот же порядок величины, что и нелинейныетот же порядок величины, что и нелинейныечлены иа -ч, так дхачлены иа -ч, так дхаdut дхаdut дхаи v Ди,, описыи v Ди,, описы.OUi
тот же порядок величины, что и нелинейные
тот же порядок величины, что и нелинейные
члены иа -ч, так дха
члены иа -ч, так дха
dut дха
dut дха
и v Ди,, описы
и v Ди,, описы
что сравнивать надо лишь порядки членов иа
вающих влияние на течение сил инерции и внутреннего трения. Обозначим через U типичный масштаб скоростей течения (например, максимальную скорость или как-то определенную среднюю скорость), а через L — типичный масштаб длин (например, средний размер обтекаемых тел или типичное расстояние между твердыми стенками или вообще расстояние, на котором скорость потока претерпевает заметное изменение Д[/, имеющее порядок U). В таком случае порядок первой производной поля скорости будет определяться отношением U/L, а вторых производных — отношением UIL1, так что члены, описывающие силы инерции, будут иметь порядок UZIL, а члены, описывающие силы трения, — порядок vUILz. Отношение этих величин
(1.29)(1.29)£1- ^ _UL _
(1.29)
(1.29)
L ' I? — ч —
называется числом Рейнольдса течения; оно является очень важной характеристикой, определяющей относительную роль сил инерции и сил трения в динамике течения (выше это число уже встречалось в формулах (1.16), (1.21) и (1.26)). При малых числах Рейнольдса вязкость оказывает существенное влияние на течение в целом, сглаживая возникающие в нем мелкие неоднородности; поэтому изменения характеристик течения от точки к точке
при малых Re оказываются весьма плавными. При больших числах Рейнольдса доминирующую роль играют силы инерции, действие которых приводит к передаче энергии от крупномасштабных компонент движения к мелкомасштабным и, следовательно, к образованию резких локальных неоднородностей течения; этот тип течений нас и будет интересовать в дальнейшем.
Понятие о числе Рейнольдса очень упрощает исследование геометрически подобных течений жидкости, таких, например, как течения жидкости в трубах с сечением заданной формы или при обтекании твердого тела заданной формы в безграничном пространстве. Поскольку в этих случаях речь идет о совокупности течений с геометрически подобными границами, свойства границ могут быть охарактеризованы единственным масштабом L размерности длины (в> наших примерах за L можно принять средний дйаметр сечения трубы или обтекаемого тела). Кроме тога, само течение будет характеризоваться еще некоторой типичной скоростью U (например, максимальной скоростью в фиксированном сечении трубы или скоростью набегающего на тело цотока). Наконец, единственный входящий в уравнения (1.5) и (1.6) размерный параметр — это коэффициент кинематической вязкости v, характеризующий физические свойства жидкости. Таким образом, в случае установившихся течений при отсутствии внешних сил геометрически подобные течения будут зависеть лишь от длины L и от параметров U и v, имеющих размерности
[(/] = LT-', [v] = L2T-‘, (1.30)
где через L и Т в правых частях равенств, как обычно, обозначены размерности длины и времени. Ясно, что из параметров L, U и v можно составить единственную безразмерную комбинацию — число Рейнольдса: Re = ULjv. Поэтому если мы будем измерять длину в единицах L, скорость — в единицах U, а давление —в единицах pt/2, то уравнение (1.5) и граничные условия для всех геометрически подобных течений будут иметь один и тот же вид, а уравнения (1.6) будут различаться самое большее значениями безразмерного параметра Re, который может войти в эти уравнения после перехода к безразмерной форме. Следовательно, в геометрически подобных течениях скорость, измеренная масштабом U, будет зависеть только от Кбординат, измеренных масштабом L, и от числа Re. Иначе говоря,
Ui(x) = t/(P1(i Re), (1.31)
где ф<(§, Re)—некоторые универсальные функции, описывающие всю рассматриваемую совокупность течений (заметим, что й примерах 1—4 предыдущего параграфа функции ф,- по некоторым специальным причинам оказываются не зависящими от Re). Точно так же p(x)=p^o(x/£, Re), где фо —новая универсальная функция. Далее, если W — сила воздействия течения на какое-то обтекаемое твердое тело, то коэффициент сопротивления Cw =
wwбудет зависеть только от числа Рейнольдса Re, при
w
w
чем L2 в определении Cw можно заменить площадью S всей обтекаемой поверхности тела (как мы и поступали выше, полагая, что Cf=xlplP, где т — средняя сила, приходящаяся на единицу поверхности) или площадью So миделева сечения тела. Иначе говоря, геометрически подобные течения в случае равенства отвечающих им чисел Рейнольдса (но, вообще говоря, только в этом случае) будут также и механически подобными, т. е. будут обладать геометрически подобными конфигурациями линий тока и будут описываться одними и теми же функциями от безразмерных координат (так называемый закон подобия Рейнольосау Этот закон имеет большое значение для теоретического изучения течений, имеющих место в аналогичных условиях, для унификации обработки наблюдений над такими течениями и для моделирования течений, встречающихся в практических задачах.
Подчеркнем еще раз, что закон подобия Рейнольдса справедлив лишь для установившихся течений несжимаемой жидкости, на которые не оказывают существенного влияния внешние силы. В случае же движений, существенно зависящих от внешних сил (например, от силы тяжести), а также нестационарных движений, характеризующихся некоторым типичным периодом Т, отличным от HU, закон подобия оказывается более сложным: здесь для механического подобия необходимо, чтобы кроме чисел Рейнольдса Re равные значения принимали также и еще некоторые дополнительные безразмерные «критерии подобия». В случае течений сжимаемой жидкости число критериев подобия также увеличивается; на этом мы остановимся в п. 1.6.
Заметим, что в некоторых случаях весьма небольшие нарушения геометрического подобия могут приводить к очень резкому нарушению механического подобия. Так, например, небольшие изменения условий у входного сечения круглой трубы, вносящие в течение небольшие возмущения, могут совершенно изменить характер течения в трубе (см. по этому поводу главу 2).
Течения с большими числами Рейнольдса;пограничный слой
Будем теперь считать, что число Рейнольдса Re очень велико. В таком случае нелинейные инерционные члены уравнений (1.6) будут существенно превосходить по величине члены, содержащие коэффициент вязкости, поэтому на первый взгляд может показаться, что влиянием вязкости можно попросту пренебречь. На самом деле, однако, дело будет обстоять не совсем так: отбрасывая члены с v в уравнениях (1.6), мы тем самым понижаем порядок этих дифференциальных уравнений, а решения получающихся упрощенных уравнений идеальной жидкости не могут удовлетворить граничным «условиям прилипания», требующим обра
щения в нуль скорости на всех твердых поверхностях, ограничивающих течение. В то же время известно, что для вязкой жидкости со сколь угодно малым коэффициентом вязкости «прилипание» обязательно должно иметь место. Поэтому при движениях вязкой жидкости, характеризующихся большим числом Рейнольдса, только вдали от твердых стенок течение будет близким к тому, которое могло бы иметь место в случае идеальной жидкости (с нулевой вязкостью); вблизи же от стенок образуется тонкий слой, в котором скорость течения изменяется от нулевого значения на стенке до значения на внешней границе слоя, весьма близкого к тому, которое получилось бы при течении идеальной жидкости. Быстрое изменение скорости внутри этого так называемого пограничного слоя приводит к тому, что в его пределах влияние сил трения имеет тот же порядок, что и влияние сил инерции.
Таким образом, при больших числах Рейнольдса вязкость жидкости сказывается лишь вблизи твердых стенок. В этой области члены, содержащие v, не могут быть отброшены, но зато уравнения гидродинамики можно заметно упростить исходя из специфических особенностей движения тонкой пленки жидкости, обволакивающей твердое тело. В свободном же пространстве течение будет определяться уравнениями гидромеханики идеальной жидкости, причем за граничные условия здесь уже надо принять условия на внешних границах соответствующих пограничных слоев.
Рассмотрим простейшую задачу о пограничном слое на плоской пластинке длиной L и бесконечной ширины, расположенной в плоскости Оху (так что она заполняет область 0 ^ х ^ L этой плоскости) и обтекаемой жидкостью, движущейся с данной скоростью U по направлению оси Ох. Прежде чем переходить к математическому решению этой задачи, изложим некоторые предварительные соображения качественного характера. Поскольку в этом случае типичным масштабом длины будет L, а скорости — U, то нелинейные члены первого из уравнений (1.6) в пограничном слое будут иметь порядок IPIL. С другой стороны, продольная скорость и — и^ будет меняться от значения и = 0 на поверхности пластинки до значения порядка U на внешней границе пограничного слоя. Поэтому если мы обозначим через 6 толщину погра-
яичногояичногослоя *, тослоя *, тодггдггбудет иметь порядок и,Ьг и главныйбудет иметь порядок и,Ьг и главныйчленчлендгидгиописывающий силу трения, будет иметь порядокописывающий силу трения, будет иметь порядок
яичного
яичного
слоя *, то
слоя *, то
дгг
дгг
будет иметь порядок и,Ьг и главный
будет иметь порядок и,Ьг и главный
член
член
дги
дги
описывающий силу трения, будет иметь порядок
описывающий силу трения, будет иметь порядок
xUjb2. Однако внутри пограничного слоя сила трения должна иметь тот же порядок, что и сила инерции. Следовательно, U^!L~ ~nU!^, и, значит,
ХМ_ LN"o— WХМ_ LN"o— Wd ULRe = —d ULRe = —(1.32)(1.32)
ХМ_ L
N"o— W
ХМ_ L
N"o— W
d UL
Re = —
d UL
Re = —
(1.32)
(1.32)
Таким образом, толщина пограничного слоя зависит от числа Рейнольдса: чем больше это число (т. е. чем меньше вязкость жидкости и чем больше скорость набегающего потока), тем тоньше оказывается пограничный слой.
Для определения толщины пограничного слоя над заданной точкой пластинки на расстоянии х от ее передней кромки мы должны заменить в этом расчете полную длину пластинки L величиной х. Следовательно, в точке х
О-ЗЗ)
т. е. толщина пограничного слоя при увеличении расстояния х от передней кромки возрастает пропорционально л/х. Что же касается напряжения трения т на стенке (равного силе трения, дейст- ди
вующей на единицу площади пластинки), то T = P~^~ (гДе дидиUnU
-т— надо взять при z = 0). Поскольку ——-~—, то т~—г—, или, дада6о
в силу выражения (1.32),
(1.34)(1.34)t~pV^U4l.
(1.34)
(1.34)
(1.35)(1.35)Такцм образом, напряжение трения.пропорционально скорости в степени 3/г; соответствующий коэффициент сопротивления трения
(1.35)
(1.35)
зависит только от числа Рейнольдса и убывает с возрастанием этого числа. .
Перейдем к выводу уравнений, определяющих поле скорости внутри пограничного слоя. Поскольку в рассматриваемом нами случае движение, очевидно, будет строго двумерным (в плоскости Oxz), и все его характеристики не будут зависеть от у, общие уравнения (1.6) и (1.5) принимают вид
ди , ди . ди 1 др .(дги . дги\
—+и_ + ф_+—
dw . dw . dw 1 др ./ d2w . д2ш \( • )
du dxdu dxdw dzdw dz
du dx
du dx
dw dz
dw dz
где и = u^ w = Ua.
Постараемся оценить порядок отдельных членов этих уравнений. Напомним, что и внутри пограничного слоя, вообще говоря, равно конечной доле скорости U, т. е. имеет тот же порядок, что ди ди
и U, а производные -^- и -^- имеют порядки UJL и U! в соответственно. Интегрируя третье уравнение (1.36) по z от О до некоторого z = c6, 0<с<1, составляющего конечную часть полной толщины б пограничного слоя, получаем:
ей
V du , .U 6 н w=\^-dz~d—=т1/.
(1.37)
Отсюда видно, что w примерно в L/6 = VRe раз меньше и. Учитывая еще соотношение (1.32), убеждаемся, что в первом уравне- дидид2и
нии (1.36) члены и——, w—— и v—-г- имеют один и тот же по- дхdzdz2
d2uU2 1
рядок U2IL, а член - ■-— — много меньший порядок -7—5—; поэтому этот последний член можно опустить. Далее, из второго уравнения (1.36) видно, что член * - ^ будет иметь порядок не
U26U2 6 ,'
выше, чем ^2 — (так как ни один член этого второго
уравнения не имеет более высокого порядка);1 поэтому с точностью до членов порядка 6/4 можно пренебречь поперечными из- др
менениями давления и считать, что -^-=0, т- е- P = P(XV Однако в таком случае давление р(х) внутри пограничного слоя можно заменить давлением на его верхней границе. Следовательно, член -£- ^^ в первом уравнении (1.36) можно независимо определить из уравнений гидродинамики идеальной жидкости, описывающих течение вне пограничного слоя: полагая v=0 в первом из уравнений (1.6), получим:
1_ др_ _ дП ... dU_'р дх di ”1” дх'
или же (в стационарном случае)
--TT = U p dx
Таким образом, для нахождения уравнений:
dU 1 dU4
дх
и И
~ 2 дх '
w мы получаем систему двух
ди .ди .ди
—к ^ зк ^ "з— ==
dt 'дх 1dz
ди , dw
дх dz
1 _l p dx V dz2 *
= 0.
(1.38)
(1.39)
Эта система вместе с граничными условиями
(1.40)(1.40)и = w = 0 при 2 = 0, 0 < х < L;
(1.40)
(1.40)
u->U (х, /) при Z -> ОО
позволяет однозначно определить функции u(x, z, /) и w(x, z, /) по начальным значениям одной из этих функций.
Уравнения (1.38) и (1.39) представляют собой известную систему уравнений пограничного слоя, впервые полученную Л. Прандтлем в 1904 г. В дальнейшем и самим Прандтлем, и другими авторами было предложено несколько различных выводов этой системы уравнений. При этом, в частности, было установлено, что уравнения Прандтля справедливы и в случае двумерного обтекания искривленной поверхности (с не слишком большой кривизной), а также что они могут быть формально получены из общих уравнений гидромеханики в качестве первого приближения при разложении всех членов в ряды по степеням 1/Re (см., например, Кочин, Кибель, Розе (1963), ч. 2, гл. II, § 29; Гольдштейн (1938), т. I, гл. IV; а также Шлихтинг (1969), Бэтчелор (1973) и Лойцянский (1987). В общем слуйаё под z надо понимать координату, отсчитываемую по нормали к обтекаемой поверхности, а под х — продольную координату в касательной плоскости.
Рассмотрим подробнее простейший случай установившегося обтекания плоской пластинки стационарным течением с постоянной скоростью U по направлению оси Ох. В этом случае в уравне-
ди 1 др
нии (1.38) выпадут члены —^- итак что оно примет осо
дидибенно простой вид
ди
ди
(1.41)(1.41)ди .дид2и
(1.41)
(1.41)
и^Н w -5— =V-5-5-.дх 1дгдг2
Условимся считать длину пластинки L бесконечной. Поскольку естественно думать, что скорости в каждом сечении х = const пограничного слоя не будут существенно зависеть от скоростей в сечениях вниз по течению, то можно ожидать, что предположение о бесконечной длине не будет заметно влиять на решение нигде, кроме узкой окрестности задней кромки и области х ^ L, расположенной за пластинкой, которых мы здесь не будем касаться. При L = оо граничные условия (1.40) будут иметь вид
u = w = Q при 2 = 0, х^0;
u-^U при 2->оо.(1.42)
Таким образом, надо лишь найти решение уравнений (1.39) и (1.41), удовлетворяющее условиям (1.42).
параметров v и U, перейдем к безразпараметров v и U, перейдем к безраз(1.43)(1.43)
параметров v и U, перейдем к безраз
параметров v и U, перейдем к безраз
(1.43)
(1.43)
Чтобы избавиться от мерным величинам:
и и' ~" 1J’
Длину L здесь можно выбрать произвольно (так как условия задачи не содержат никаких характерных длин). Подставив соотношения (1.43) в (1.41), (1.39) и (1.42), получим:
(1.44)(1.44)ди. , дигд2и,dut , даь п
(1.44)
(1.44)
Ut^-^-Wx—i-^—^-,— +—- =0,
дхх dzxдгхdxx dzx
ux = wx = 0 при zx = 0, x^O; u^l при г^оо. (1.45)
Однако поскольку длина L была выбрана произвольно, то смысл может иметь только решение, не зависящее от L. Отсюда иzi
ясно, что ui=— может зависеть только от комбинации т]==—— =
иV^i
=z^~- переменных z\ и х\, не содержащей L. От этой же ком-
.х
бинации должна зависеть и функция ^x^w\=w^ также выражающаяся лишь через w, х, v и t/. Итак, мы видим, что
u = utWv^. ^^(^^ с-46) где f и fi — две универсальные функции одной переменной (не зависящие от U и v). Из (1.46), в частности, следует, что профили скоростей и и w над всеми точками любых пластинок, обтекаемых потоком постоянной скорости, должны быть подобными друг другу. Если обозначить
fM-q/frt),(1.47)
то уравнение (1.39) обратится в равенство fi("П) =‘^(лф' — ф); после этого уравнение (1.41) и условия (1.42) приводятся к виду
ФФ" + 2ф"' = 0; ф(0) = ф'(0) = 0, ф,(оо)=1.(1.48)
Таким образом, наша система уравнений свелась к одному нелинейному обыкновенному уравнению третьего порядка с тремя граничными условиями. Оно может быть проинтегрировано численно, например при помощи разложения функции ф('П) в степенной ряд вблизи q=0 и в асимптотический ряд при т]->-оо (такой метод решения был использован в 1908 г. Блазиусом, впервые исследовавшим эту задачу); другие численные методы приме-
нили к решению уравнения (1.48) в последующие годы Тёпфер, Берстоу, Гольдштейн, Хоуарт и др. (см. ссылки в книгах Гольдштейна (1938), Шлихтинга (1969) и Лойцянского (19626)). Полу-
(см. Шлихтинг (1969)).
ченные в результате этих расчетов профили продольной и вертикальной скоростей в пограничном слое над плоской пластинкой приведены на рис. 1.1 и 1.2. Толщина 6 прграничного слоя (опре-
Рис. 1.2. Профиль вертикальной скорости в пограничном слое на плоской пластинке.
деляемая, как то значение г, при котором и (г) =0,99(/) оказалась имеющей значение
bwbVwciU(1.49)
(ср. формулу (1.33)). Напряжение трения в точке пластинки, удаленной на расстояние х от передней кромки, дается формулой
г(х) = р (■57) „о^^А/ "77 ^^^ поскольку результаты численного интегрирования показывают, что ф"(0) = 0,332, то, следовательно,.
/ х л ооо /v№, х т (х)0,332 n Ux спх
т (х) = 0,332р д/—, Cf(x) = -^-=-^r, Re, = —.(1.50)
Для пластинки длиной L, смачиваемой с обеих сторон, полная сила трения на единицу ширины пластинки равна
. L
F = 2$ T(x)dx = l,328p]A^L,(1.51)
о
т. е. она пропорциональна скорости в степени 3/г и квадратному корню из ддцры пластинки (возрастание F с увеличением L объясняется тем, что трение т(х) убывает с удалением от передней кромки в связи с увеличением толщины пограничного слоя). Вместо добычно Используют безразмерный коэффициент сопротивления Су, роторый для плоской пластинки длиной L и шириной В определяется равенством
~ FB 1,328 D UL,. кох
Экспериментальная проверка изложенной теории обтекания плоской пластинки производилась, в частности, Бюргерсом и Ван дер Хегге Цийненом в 1924 г., Ханзеном в 1928 г. и Никурадзе в 1942 г. (ссылки на оригинальные работы см., например, в книге Шлихтйнга (1969)). При этом было обнаружено, что при не слишком больших числах Re = UL/v эмпирические значения коэффициента сопротивления достаточно точно описываются формулой (1.52). Точно так же измеренные значения толщины пограничного; рлоя 6 и форма профиля продольной скорости и (2) внутри этого слоя при не слишком большом, но и не слишком малом Rex = Cx/v (т. е. всюду, кроме узкой полоски, примыкающей к переднему ребру пластинки, где не выполняется условие |d2u/dx2| «< С|д?и/дг2|, а также, быть может, задней части пластинки в случае, когда ULIv очень велико) оказались весьма хорошо соответствующими теоретическим предсказаниям. Небольшие расхождения теории с опытом, наблюдавшиеся в ранних измерениях, могут объясняться влиянием конечной толщины пластинки и формы заострения на переднем ребре, а также наличием в течении небольших продольных градиентов давления; эти обстоятельства были учтены в опытах Никурадзе, сумевшего получить почти идеальное совпадение с вычисленным профилем и (г) (см. рис. 1.1, на котором нанесены эмпирические данные Никурадзе). Однако при больших значениях скорости U и длины пластинки L, начиная с некоторого значения х, при котором Rex = Cx/v имеет порядок 3 • 105 — 3 • 10е, все выведенные выше закономерности оказа-
До сих пор толщина пограничного слоя 6 определялась условно как значение координаты 2, при котором продольная скорость и^ принимает значение,До сих пор толщина пограничного слоя 6 определялась условно как значение координаты 2, при котором продольная скорость и^ принимает значение,(1.54)(1.54)
До сих пор толщина пограничного слоя 6 определялась условно как значение координаты 2, при котором продольная скорость и^ принимает значение,
До сих пор толщина пограничного слоя 6 определялась условно как значение координаты 2, при котором продольная скорость и^ принимает значение,
(1.54)
(1.54)
лись резко, искаженными (см., например, рис. 1.3, на котором приведены результаты измерений толщины пограничного слоя 6, произведенных Ханзеном, показывающие, что, начиная примерно с Rex = 3,2.105, эта толщина возрастает гораздо быстрее, чем следовало бы согласно формуле (1.49)). Причины, вызывающие эти искажения, мы будем подробно обсуждать в главе 2.
равное какой-то определенной, близкой к единице доле U (например, равное 99 % Щ. Такое не очень четкое определение мы были вынуждены принять из-за того, что и^ лишь асимптотически приближается к U при 2->оо, нигде не достигая этого последнего значения; поэтому, строго говоря, надо считать, что пограничный слой не имеет резкой границы. Однако толщину пограничного слбя можно характеризовать и с помощью некоторых величин, имеющих отчетливый физический смысл. Одной из них является так называемая толщина вытеснения 6*, определяемая формулой
б* — ^1 --^^-pz. (1.53) Q L J
Рис. 1.3. Зависимость толщинй пограничного слоя б на плоской пластинке от расстояния х от передней кромки пластинки (но данным Ханзена (1928)).
Ее смысл заключается в том, что б* равно расстоянию, нз которое оттесняется наружу течение из-за вызванного трением уменьшения продольной скорости в пограничном слое. В самом деле, рассмотрим некоторую линию тока, отстоящую от пластинки у ее переднего края на расстояние >о (рис! 1.4). Поскольку расход жидкости через любое сечение трубки тока, заключенной между этой линией тока и поверхностью пластинки, должен быть одним и тем же, а продольная скорость и убывает вниз по течению вследствие трения, сечение трубки тока должно возрастать с увеличением х. На расстоянии х от переднего края пластинки линия тока отойдет от пластинки на расстояние 2Ь т. е. как бы «вы- теснится» на расстояние Z\ — z0, которое можно определить из условия постоянства расхода жидкости через начальное сечение трубки тока и через сечение с абсциссой х:
21
Uzq = ^ и (х, z) dz,о
откуда
Ztz,-zo=S Q-Tr)dz-
При z -> оо разность 2i — 20 стремится к толщине вытеснения б*.
В случае стационарного обтекания плоской пластинки
6* = /\/77- f U — ф' (п)1 = Jim, In —Ф (Л)] • aJ^р(1.55)
откуда можно получить формулу
(1.56)
Ранее вычислявшаяся толщина пограничного слоя 6, определяемая соотношением ц(б) = 0,99 V, оказывается примерно в три раза больше толщины вытес-
Рис. 1.4. Схематический вид линии тока в пограничном слое на плоской пластинке.
нения б*. Из-за «вытеснения» линий тока вертикальная компонента скорости ш не стремится к нулю, при 2->.оо (см. рис. 1.2), а приближается к асимптотическому значению, оказывающемуся равным
w (оо) = 0,895(7 л^Ох.(1-57)
Таким образом, вытеснение приводит к тому, что течение оказывается искаженным даже и вне пограничного слоя (как бы ни определялась его толщина), т. е. пограничный слой оказывает влияние на внешнее течение, с чем приходится считаться при расчетах.
Другой величиной, характеризующей толщину пограничного слоя, является так называемая толщина потери импульса, определяемая формулой
^ЦтгЬ-тг?2-(L58)
0 х '
Ее наименование связано с тем, что импульс, передаваемый силами трения на единицу времени части пластинки, имеющей единичную ширину и простирающейся от передней кромки х = 0 до сечения пластинки с заданным х (т. с. ie- ряемый за единицу времени столбом жидкости, расположенным над этой частью пластинки), как можно показать, равен р(/26**, т. е. характеризуется длиной 6**. В случае стационарного обтекания пластинки эта длина в силу формул (1.46), (1.47) и (1.48) будет описываться выражением
«**= д/тг|ф' (1-ф^Л = 2ф'Ч0) д/^ = 0,664 д/^-;(1.59)
таким образом, 6** оказывается почти в три раза меньше, чем 6*.
Теория пограничного слоя позволяет объяснить, почему течение Пуазейля, представляющее собой точное решение уравнений гидродинамики, устанавливается лишь на расстояниях порядка R4Jh от входа трубы (см. выше текст, следующий за формулой (1.26)). В самом деле, вблизи входного отверстия трубы тормозящее действие стенок будет сказываться лишь в пределах тонкого погра-
ничного слоя, а в центральной части трубы жидкость будет двигаться с постоянной скоростью, не испытывая действия вязкости. По мере продвижения в глубь трубы толщина пограничного слоя на стенках будет возрастать пропорционально ^vxfU, где х — расстояние от входа. На расстоянии х ~ R2Uh от входа пограничный слой заполнит все сечение трубы, и вязкость начнет сказываться на всем течении в целом. Только после этого и может установиться теоретическое параболическое распределение скорости, задаваемое формулой (1.23).
Уравнение притока теплаи уравнение теплопроводности;вынужденная и свободная конвекция
В дальнейшем больше всего внимания будет уделено течениям несжимаемой жидкости, описываемым уравнениями Навье—Стокса (1.6) и условием несжимаемости (1.5). Поскольку, однако, раздел будет посвящен изучению более общего случая температурнонеоднородной жидкости, а во второй части книги вкратце будет рассмотрен также и случай турбулентности в сжимаемой среде, то целесообразно остановиться здесь на общей системе уравнений гидродинамики. Это позволит, в частности, выписать уравнение для поля температуры несжимаемой температурно-неоднородной среды, которое будет играть важную роль в последующем изложении.
В сжимаемой среде уравнение неразрывности (т. е. бюджета массы) и уравнения динамики (т. е. бюджета трех компонент импульса) имеют вид (1.2) и соответственно (1.4). Поскольку эти четыре уравнения содержат пять неизвестных функций, для получения замкнутой системы к ним надо добавить еще пятое уравнение— уравнение притока тепла, выражающее закон сохранения энергии. В самом общем виде это уравнение может быть записано следующим образом:
д / ри2 ,\ д Г /и2 ।\1 । v
иг(V + Ре) = - "дГа [р«“+ “■»’
(1.60)
где е — внутренняя энергия единицы массы жидкости (так что сумма р(и2/2+е) представляет собой полную энергию единицы объема движущейся жидкости), w = e+p/p— так называемая тепловая функция, х — коэффициент теплопроводности, Т — температура, а
/ ди, ди, 2 ди„ \ ди„
(1.61)(1.61)°И = ^+ d^-T -d£ Ц + ^ ^^
(1.61)
(1.61)
есть вязкий тензор напряжений, входящий под знаком производной —г— в правую часть уравнения бюджета импульса (1.3) vXa
(см., например, Ландау и Лифшиц (1986, § 49)). Из уравнения бюджета энергии (1.60) может быть выведено также уравнение бюджета энтропии; в самом деле, воспользовавшись термодинамическими соотношениями, позволяющими выразить de и dw через dp, dp и ds, где s— энтропия единицы массы жидкости, и учитывая также уравнения (1.2) и (1.4), уравнение (1.60) можно преобразовать к виду
/ ds ds \ du d I dT \
pT -5г+“а"5— =оав4--^— x-j—(1.62)
и \ dt г а dx0 / ар dx.. 1 dxa \ dxa /х '
(ср. Ландау и Лифшиц (1986)). Таким образом, в случае справедливости уравнений (1.2) и (1.4) уравнения (1.60) и (1.62) оказываются эквивалентными.
Для получения замкнутой системы уравнений надо выразить термодинамические величины е и w или s через давление р и плотность р (или температуру Г) при помощи уравнений термодинамики и уравнения состояния среды (связывающего р, р и 1"). Ограничимся простейшим случаем уравнения состояния идеального газа:
(1.63)(1.63)с = RpT,
(1.63)
(1.63)
где Т— температура в градусах Кельвина, а постоянная R равНа разности удельных теплоемкостей при постоянном давлении ср и при постоянном объеме с®:
Rt-Cp-c,.(1.64)
Кроме того, в соответствии с выводами кинетической теории газов и с данными многих экспериментов будем считать, что теплоемкости Ср и с® являются постоянными, т. е. не зависят от температуры. В таком случае нетрудно показать, что
е — с^Т + е0, ф = в + у = срТ + е0,
s = —R In р + с0 In Г + const = —R In р + ср In Т + const
(см., например, Ландау и Лифшиц (4951), § 43). Подставляя эти выражения для е и w в уравнение (1.60) и применяя (1.2) и (1.4) или же подставляя одно из выражений для s в уравнение (1.62), можно без труда преобразовать уравнение притока тепла к виду
(dT дТ \ dua д ( дТ \
c^\^ + Ua^) = ~p^^^\*~d^) + pz' (L65>
или, что эквивалентно, к виду
где
диа диа / диа ди^ 2V
ре Оаз дх^ Р ^х^+ дха 3 ^х^ ару +
дхв dx 2 ДЛдХп * дха 3 дх'^\дх) *
(1.66)
Величина е представляет собой умноженный на рТ прирост энтропии s за единицу времени, связанный с переходом части кинетической энергии в теплоту в результате внутреннего трения жидкости. Иначе говоря, е совпадает с количеством тепла, выделяющимся в результате действия вязкости за единицу времени в единице массы жидкости. При наличии еще притоков тепла, вызванных лучистой теплопроводностью, химическими реакциями, фазовыми превращениями или какими-то другими причинами, к правым частям уравнений (1.60), (1.62), (1.65) и (1.65') должно быть добавлено еще слагаемое pQ, где Q — дополнительный приток тепла на единицу массы за единицу времени. Уравнения (1.2), (1.4) и (1.65) или (1.65х) вместе с равенствами (1.63) и (1.66) образуют систему пяти уравнений для определения пяти неизвестных функций Ui^x, /), i = l, 2, 3; р(х, /) и р(х, /) или Т(х, ty
Уравнение типа (1.65х) может быть получено и для неоднородно нагретых «капельных жидкостей»; т. е. сред, являющихся жидкими в обычном смысле этого слова. Здесь роль уравнения состояния будет играть закон теплового расширения жидкости
р —р0 = —рро(Т —То),(1-67)
где р и ро — плотности при температурах Г и То соответственно, а р — коэффициент теплового расширения. Можно показать, что при этом уравнение (1.62) примет следующий вид:
/ дТ . дТ \ „{др . др \ , д / дТ \ .,. со.
рсР= рГ + иа ^ + (х + ре, (1.68)
причем в выражении для 8 в случае капельной жидкости можно считать, что —=0, так что
ОХр
= = T'Z(^+^)-0.69)
Коэффициент р для обычных жидкостей очень мал (например, для воды р«1,5- 10-4 К-1 при температуре 15°C); поэтому в уравнении (1.68) можно пренебречь членом, содержащим этот коэффициент. В результате получается уравнение
т ++(L70)
где х=х/(рср) —коэффициент температуропроводности среды, который здесь и всюду ниже предполагается постоянным. Слагаемое в/Ср в уравнении (1.70) описывает прогревание среды, вызываемое внутренним трением жидкости; это прогревание в реальных условиях обычно играет незначительную роль, и им вполне можно пренебречь. При этом уравнение (1.70) еще более упростится и перейдет в обычное уравнение теплопроводности в движущейся среде
^ + иа-^- = ХА7,(1.71)
которым мы и будем широко пользоваться в дальнейшем.
Существенно, что уравнение (1.71) применимо не только к капельным жидкостям, но и к газам, если только скорость их движения много меньше скорости звука 6z = Vy(P/p), y = cPlcv. Можно показать, что при таких скоростях изменения давления будут играть в уравнении (1.65') гораздо меньшую роль, чем изменения температуры, так что членами с р в правой части (1.65') можно пренебречь. После этого мы приходим к уравнению (1.70) или, пренебрегая также прогреванием среды из-за внутреннего трения, к уравнению (1.71). Сопоставление уравнений (1.70) и (1.65) показывает, что в уравнении (1.65), в отличие от (1.65'), нельзя пре-диа
небречь членом —р ——: локальные сжатия и расширения, вызываемые изменениями плотности при нагревании и охлаждении, в уравнении притока тепла должны учитываться даже и при малых скоростях движения. Однако в динамических уравнениях при движениях много медленнее звука поле скорости можно считать «несжимаемым», если только изменения плотности, вызванные неоднородностью поля температуры, будут малыми по абсолютной величине, т. е. если имеющиеся в течение разности температур будут малыми по сравнению со средней абсолютной температурой Го. При этом условии в выражении для е можно полагать дца/дха=0, т. е. 8 можно считать представимым в виде (1.69). Поскольку к тому же в несжимаемой среде Tds = de, то в несжи; маемой жидкости величина 8 равна приросту внутренней энергии единицы массы за единицу времени, т. е. количеству кинетической энергии, диссипирующейся (переходящей в тепло) за единицу времени в единице массы жидкости (ср. Ландау и Лифшиц (1986), § 16). Хотя при расчете поля температуры этой величиной обычно можно пренебречь, она, тем не менее, является очень важной физической характеристикой движения; для краткости в дальнейшем мы ее будем называть просто диссипацией энергии.
Подчеркнем, что по своему виду уравнение (1.71) совпадает с уравнением диффузии
^7 = ХА^<L72>
описывающим изменение концентрации ^(х, /) некоторой пассивной (т. е. не оказывающей влияния на динамику течения) примеси. Однако коэффициент х в этом последнем случае надо интерпретировать не как коэффициент температуропроводности, а как молекулярный коэффициент диффузии. Поскольку уравнения (1.71) и (1.72) имеют один и тот же вид, то в дальнейшем, рассматривая уравнение (1.72), мы всегда будем иметь в виду, чта величина $ может быть как концентрацией некоторой пассивной примеси, так и температурой. Учитывая особую важность для приложений исследования поля температуры, мы для краткости часто будем даже называть О просто температурой; однако следует запомнить, что фактически буквой Ф всегда будет обозначаться концентрация пассивной примеси, и в тех случаях, когда температура будет рассматриваться не как пассивная примесь, мы ее будем обозначать не буквой #, а буквой Т.
Предположение о пассивности примеси означает, что поле скорости ц,(х, /) может быть определено независимо от поля А ив обычной системы уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости и затем подставлено в уравнение (1.72). Если под $ понимать температуру, то для этого разности температур в различных точках жидкости должны быть столь малыми, чтобы вызываемые ими изменения физических свойств жидкости не оказывали никакого влияния на движение, но в то же время достаточно большими для того, чтобы по сравнению с ними можно было пренебречь нагреванием, создаваемым выделением тепла в результате внутреннего трения. В таком случае температурные неоднородности будут просто перемещаться вместе с жидкостью, сглаживаясь попутно под влиянием молекулярной теплопроводности; такое движение неоднородно нагретой жидкости называется вынужденной конвекцией.
Важный класс течений, в которых температура не может рассматриваться как пассивная примесь, представляют собой течения неоднородно нагретой жидкости в поле тяжести, возникающие под влиянием архимедовых сил, вызывающйх всплывание вверх более теплых и опускание вниз более холодных объемов жидкости. Такие движения температурно-неоднородной жидкости носят название свободной конвекции. Выясним, как будут выглядеть в этом случае уравнения движения. Будем считать, что скорости движения настолько невелики, что изменениями плотности, вызываемыми изменениями давления (но не температуры!), можно пренебречь. Отсюда следует, что можно пользоваться обычными уравнениями несжимаемости (1.5) и Навье—Стокса (1.6), надо учесть внешнюю силу Х =—ge3 (где е3— единичный вектор оси Охз = Ог), а плотность р считать зависящей от температуры. Предположим, что (абсолютная) температура T(xi, %2, хз, /)=Г(х, у, z, t) может быть представлена в виде T = 7o+Ti, где Го — некоторое постоянное среднее значение, a Ti— небольшие отклонения от То. Тогда р = ро+Р1, где ро— постоянная плотность, соответствующая температуре Го, a pi = p — р0 определяется из уравнения (1.67):
PiPPo7|(1-73)*
,, .„' 1 / dpo \
(коэффициент теплового расширения 8 =1 ■ 1, -1 для
po \ oT / p
газа, удовлетворяющего (1.63), очевидно, будет равен 1/То). Заметим, что при 7 = 70 = const и p = po = const давление р0 не будет постоянным, а будет убывать’ с высотой вместе с уменьшением веса столба жидкости, расположенного выше заданной точки:
Ро = —Ро^з + const.(1.74}
Полагая p = po+pi, с точностью до малых величин первого порядка будем иметь:
1 др = 1 др0 .1 др, р1 др0 _।1 dpi т
р dx3 ро dx3 ’ ро dx3 р2 дх3' Ро дх^ *Р р
Отсюда видно, что третье уравнение Навье—Стокса в этом случае- будет записываться в виде
+++<L75>
(наличие в этом уравнении слагаемого, содержащего Л, показывает, что температура здесь не может считаться пассивной примесью). Первое же и второе уравнения Навье—Стокса будут иметь обычный вид (1.6), причем р в них с самого начала можно заменить постоянным значением р0, а под р понимать отклонение Pi давления от среднего давления р0, зависящего от з=хз. Наконец, уравнение для температуры, как всегда, когда среду можно считать несжимаемой, будет иметь вид обычного уравнения теплопроводности в движущейся жидкости:
^+“^-ХАГ-(L76>
(членом сев уравнении для температуры, как обычно, пренебрегаем). Полученная приближенная система пяти уравнений (1.5), (1.6) с Z=l, 2, (1.75) и (1.76) относительно пяти неизвестных функций и,(х, /), i=l, 2, 3, pi(x, О и 71 (х, /) как раз и описывает свободную конвекцию жидкости. Эта система, иногда называемая системой уравнений свободной конвекции, впервые была рассмотрена Буссинеском еще в прошлом веке; поэтому соответствующие- уравнения часто называются также уравнениями Буссинеска (или приближением Буссинеска в гидродинамике). Детальный анализ условий применимости приближения Буссинеска можно найти, например, у Чандрасекара (1961) или Михалджана (1962).
Критерии подобиядля температурно-неоднородной жидкости.Температурный пограничный спой
Выше мы видели, что два геометрически подобных течения несжимаемой жидкости будут также и механически подобными, если
их числа Рейнольдса совпадают. В случае температурно-неоднородной или сжимаемой жидкости это утверждение оказывается неверным. Для механического и теплового подобия двух геометрически подобных течений требуется совпадение нескольких безразмерных характеристик («критериев подобия»), к рассмотрению которых мы сейчас и перейдем. •
Начнем с простейшего случая таких течений неравномерно нагретой жидкости, при которых температура может рассматриваться как пассивная примесь. В этом случае течение будет описываться обычными уравнениями (1.5) — (1.6) гидродинамики несжимаемой жидкости (с постоянным р), к которым надо добавить уравнение теплопроводности (1.72). Будем для простоты рассматривать только стационарные движения, т. е. считать, что все поля и,, р и ft не зависят от времени. В уравнения входят два постоянных коэффициента v и х> имеющие одинаковую размерность L2T-1, где L и Т — размерности длины и времени. Кроме того, краевые условия при сохранении геометрического подобия будут характеризоваться некоторой длиной L, типичной скоростью U и типичной разностью температур 61— 60 (например, типичной разностью температур между твердыми границами и жидкостью). Поскольку, однако, температура рассматривается как пассивная примесь, единица для измерения температуры может быть выбрана произвольным образом; поэтому мы должны считать, что
М,-&о]=0,
где в — новая, не зависящая от L и Т размерность (например, «градусы Цельсия»), В таком случае из v, х, L, U и 61 — Фо можно составить всего две независимые безразмерные комбинации, в качестве которых можно принять, например, число Рейнольдса Re = t/L/v и так называемое число Прандтля
(1.77)(1.77)Pr = v/X.
(1.77)
(1.77)
В случае когда 6 — концентрация пассивной примеси, а не температура, отношение v/x иногда называется числом. Шмидта и обозначается символом Sc (но часто и в таких случаях сохраняется обозначение (1.77)).
В ряде случаев вместо Рг удобно использовать число Пекле
Ре = UL(X = Re • Рг,Ре = UL(X = Re • Рг,(1.78)(1.78)
Ре = UL(X = Re • Рг,
Ре = UL(X = Re • Рг,
(1.78)
(1.78)
д^дхад^дха
д^дха
д^дха
ииопределяющее порядок отношения адвективных членов иа
и
и
члена х^ в уравнении (1.72) и играющее при исследовании поля температуры роль, аналогичную роли числа Рейнольдса в динамических задачах. Однако число Прандтля имеет перед числом Пекле то преимущество, что оно зависит лишь от природы движущейся жидкости (т. е. является характеристикой среды), но не от особенностей движения. У воздуха (и других двухатомных газов) Рг«0,7 и почти не зависит от температуры; вообще у боль-
шинства газов Рг имеет порядок единицы. У жидкостей (за исключением жидких металлов) число Прандтля обычно превышает единицу и заметно убывает с ростом температуры; например,, у воды (при атмосферном давлении) Рг«7 при температуре 20 °C и Рг«2 при 80 °C. У очень вязких технических масел число Рг оказывается много большим, чем у воды, достигая значений порядка нескольких сотен или даже тысяч. Наоборот, у жидких металлов, отличающихся очень большой теплопроводностью, число Прандтля принимает значения, много меньшие единицы; например, у ртути Рг«0,023 при 20 °C, у других расплавленных металлов это число часто оказывается еще меньшим (порядка 10~3). В случае когда х— это коэффициент диффузии пассивной примеси, число Шмидта также имеет существенно разный порядок у газов и у жидкостей. В газообразных средах коэффициенты диффузии и вязкости обычно имеют одинаковый порядок, так что v/x~h впрочем при диффузии в газе мелких частиц (например, аэрозоля в воздухе) значение v/x может оказаться много большим единицы. При диффузии в жидкостях типа воды обычно v/x~103, а в случае очень вязких жидкостей это отношение оказывается еще много большим и может достигать значения порядка 10® и более.
Для подобия полей температуры в двух геометрически подобных течениях у них должны совпадать и числа Рейнольдса Re, и числа Прандтля Рг (или Re и Ре). В общем же случае только геометрически подобных течений поля температуры будут определяться формулой
0 (х) - ». = (д, - до) Ф (x/L, Re, Рг),(1.79)
отличающейся от аналогичной формулы (1.31), относящейся к полю скорости, тем, что функция ф здесь зависит уже от двух безразмерных параметров.
Точно так же если обозначить через q плотность потока тепла через поверхность тела, погруженного в жидкость (т. е. положить
q =—х-^-, гДе п — внешняя нормаль к поверхности тела), то q=-x№”^) ф(^-, Re, Рг).
Иначе говоря, в каждой точке границы тела безразмерное отношение Nu=—- будет зависеть лишь от чисел Рейнольдса х (-6ч — flo)
и Прандтля. Если заменить здесь поток тепла в точке средним потоком тепла qcp через единицу площади поверхности тела, характеризующим полный теплообмен тела и жидкости, то в формуле
л L
(1.80)
функция ф будет универсальной функцией двух переменных, определяющей зависимость теплообмена от физических свойств
жидкости и масштабов длины, скорости и перепада температуры у всей совокупности геометрически подобных течений. Величина Nu в теплотехнике называется числом Нуссельта. Можно также вместо него для характеристики теплообмена использовать так называемый коэффициент теплопередачи (число Стэнтона)
г Nu /1 QлА h copU № — ^о) ~ Re • Рг Ре ’ 7
Перейдем теперь к случаю свободной конвекции. Здесь дифференциальные уравнения содержат три размерных коэффициента у, х и £Р (где Для идеального газа р = 1/То); граничные же условия теперь будут характеризоваться типичной длиной L и типичной разностью температур Тт — То (заметим, что никакой типичной скорости в этом случае не будет). Из этих величин, очевидно, можно составить две безразмерные комбинации. В качестве таких комбинаций можно принять, например, число Прандтля Рг и так называемое число Грасхофа
Gr = ^(Гт-Г») (L81)
Можно также вместо числа Грассхофа использовать родственное ему число Рэлея
Ra = = Gr • Рг. (1.81')
Таким образом, в случае свободной конвекции в геометрически подобных течениях поля скорости и температуры будут подобными только в случае совпадения критериев подобия Рг и Gr (или Рг и Ra); вообще же говоря, из геометрического подобия здесь будут вытекать лишь соотношения вида
“г = "Г h & Pr- Gr)- Т' = (^ - Т^ ^ (17* Pr- Gr) •
<7ср = н ^L Го) Ф (Pr, Gr), (1.82)
где fi, i=l, 2, 3, фи ф— новые универсальные функции. В общем случае течений сжимаемой жидкости, описываемых полной системой уравнений (1.2), (1.4), (1.63), (1.65) и (1.66), число критериев подобия оказывается еще значительно большим; на этом, однако, мы не будем задерживаться.
У течений с очень большим числом Ре = ULIx (т. е. при числе Прандтля, меньшем единицы или порядка единицы, у течений с очень большим Re) член х ДФ в уравнении теплопроводности будет гораздо меньше нелинейных членов &а —; поэтому в первом приближении влиянием молекулярной теплопро
водности здесь можно пренебречь. Однако, как и в случае учета вязкости в уравнениях движения, это будет законным лишь вдали от погруженных в жидкость твердых тел. Вблизи же от поверхности таких тел может образоваться тонкий температурный пограничный слой, в котором температура быстро изменяется от
температуры тела Ф до температуры, близкой к температуре Фо, которая наблюдалась бы в свободном течении, если бы никакого твердого тела не было. В этом слое влияние теплопроводности будет иметь тот же порядок, что и влияние адвекции температуры, описываемой членами иа — • Отсюда можно вывести (аналогично выводу соотношения (1.32)), что толщина 61 температурного пограничного слоя будет иметь порядок L/*VPe = L/VRe • Рг. Иначе говоря,.
она также будет обратно пропорциональна VRe и при числах Прандтля порядка единицы будет совпадать по порядку с 6. Учитывая еще, что
дф Ф1 — Фо.Ап -
q =—х-^х$, легко найдем, что при больших числах Рейнольдса
Nu = —,~ VRe.
х(Ф1—Фо) v
Внутри температурного пограничного слоя уравнение теплопроводности может быть упрощено аналогично тому, как упрощаются уравнения движения внутри обычного пограничного слоя. В частности, при стационарном обтекании жидкостью с данной температурой Фо плоской пластинки, поддерживаемой при другой температуре Фь уравнение теплопроводности в пределах пограничного слоя будет записываться в виде
(1.83)(1.83)аа , аа v э^и дх +w dz —Х дг2 ’
(1.83)
(1.83)
аналогичном (1.41). Что же касается граничных условий, то они в этом случае будут иметь вид Ф = Ф] при 2 = 0 и Ф->Фо при z-^oo. Полагая Ф(х, 2) =
= Ф1 — (Ф1 —Фо) О । А / —- —7=“ | и подставляя эту формулу вместе с форму- у V v ух )
(1.84)(1.84)лами (1.46) и (1.47), определяющими поле скорости в пределах пограничного слоя, в уравнение (1.83), получаем:
(1.84)
(1.84)
0" + -уф0'=О;0 (0) = 0;0(оо) = 1,
где ф— решение уравнения (1.48). Таким образом, для 0(т]) получается простое линейное уравнение, решение которого в явном виде впервые было выписано Польгаузеном в 1921 г. (см. Гольдштейн (1938), т. 2, § 268; Хоуарт (1953), т. 2, гл. 14, § 13; Шлихтинг (1951), гл. 14, § 7). В частности, при Pr = 1 сопоставление уравнений (1.84) и (1.48) показывает, что решение 0(т]) имеет вид 0(т]) =s= ф'(л)- Таким образом, в этом случае профиль температуры оказывается подобным профилю скорости. При других же значениях Рг функция 0(л) легко может быть найдена численно по известной из рис. 1.1 функции ф'(л) (рис. 1.5).
Малые колебания сжимаемой жидкости
Течения сжимаемой жидкости, описываемые общей системой уравнений (1.2), (1.4), (1.63), (1.65) и (1.66), обычно имеют очень сложный характер, и их теоретическое изучение наталкивается на значительные трудности. Ограничимся простейшим случаем малых колебаний относительно состояния покоя (или движения с постоянной скоростью), при исследовании которого может быть использована линеаризация уравнений. Как было показано Карьером и Карлсоном (1946), Ягломом (1948) и Коваснаи (1953), движения среды при этом распадаются на колебания трех типов.
Итак, пусть имеется неподвижная масса идеального газа постоянной плотности р0 и при постоянном давлении р0 (случай газа, движущегося с постоянной скоростью и, может быть сведен к случаю неподвижного газа переходом к новой инерциальной системе координат). Предположим, что в начальный момент времени в газе возникли малые возмущения, характеризуемые полями пульсаций гидродинамических величин иг(х, О, р'(х» О = р(х> 0~ Ро и р'(х, /) = = р(\, t) —р0, где |р'|/ро < 1, |р'|/ро < 1 и |u|/ao < 1 (здесь Оо = Vv(Po/po) — скорость звука в невозмущенной среде, у = CpIc^Y В таком случае изменение во времени полей u,(x, ty р'(х, /) и р'(х, f) в первом приближении можно определять из системы уравнений (1.2), (1.4), (1.63), (1.65) и (1.66), линеаризованных относительно компонент скорости щ и отклонений давления, плотности и температуры от невозмущенных значений р0, ро и То = PoIRpo. При этом уравнение состояния (1.63) позволяет исключить температуру из числа неизвестных и получить замкнутую систему уравнений относительно пяти неизвестных, в качестве которых можно принять, например, три компоненты скорости и какие-либо две однозначные функции от давления и плотности. Следуя работам Коваснаи (1953), а также Чжу и Коваснаи (1958), примем в качестве этих двух функций безразмерное давление Р = р/уро и поделенную на ср энтропию S — — = ср
= In (p^v/p) + const. Тогда с точностью до малых высшего порядка
^ZL^=(p_po)_(S-So), ^Ь_= (Y-l) (P-Po) + (S-So).
Ро/О
Линеаризованная система уравнений гидродинамики в переменных ии Р и S •будет иметь вид
ди, 9 ЭР(V \ д2и„с
(1.87)(1.87)— + а§^--,11,-(т+л)^-_0. ,--. 2-1. 2.3.(1.86)
(1.87)
(1.87)
-£--ХД5 — (у- 1) ХДР = 0.
Преобразуем уравнения (1.85) и (1.86), введя вместо компонент щ поля скорости в качестве неизвестных компоненты вихря о^ = гка^ ^ и дивер- диа
генцию D —, При этом три уравнения (1.86) сведутся к равенствам
fc=l, 2,3,(1.88}
и
^--VlAD + ^AP = 0, v^^+f],(1.89>
а уравнение (1.85) в силу (1.87) перепишется в виде
— (у_ 1) X АР — X AS + D = 0.(1.90)
Отметим, что компоненты вихря со* входят только в уравнения (1.88), совпадающие с линеаризованными уравнениями для поля вихря в несжимаемой среде. Напомним, что в случае несжимаемой жидкости по полю вихря (Ой и граничным условиям можно однозначно восстановить поле скорости щ; в сжимаемой же среде его можно представить в виде суммы несжимаемой (соленоидальной) и безвихревой (потенциальной) компонент, последняя из которых не зависит от поля вихря. Таким образом, система уравнений гидродинамики в первом приближении распадается на замкнутую систему уравнений относительно компонент поля вихря (Ой, описывающую несжимаемое течение, и на систему уравнений относительно переменных D, Р и S, описывающую безвихревое сжимаемое течение. При этом пульсации давления и энтропии будут связаны лишь со сжимаемым безвихревым течением. В следующем приближении эти две компоненты будут уже взаимодействовать друг с другом, создавая дополнительные изменения давления и энтропии.
Чтобы разобраться в характере движений, описываемых системой (1.87) — (1.90), рассмотрим ее следующие элементарные волновые решения (где время / заменено безразмерной переменной т = а0^> ^ = |к|):
(О, (х, о = И/ h) e‘kx, ™^— = D (т) e<kx.
Р (х, t) = Р (г) е1кх, S (х, Р) =8 (т) eikx.
Тогда из уравнений (1.88) получаем
®} (t) = <й) (0) е~хкЧ,(1.91)
а остальные уравнения преобразуются к виду
dD (т)NXh D р
dxа0 ’
dP.^ = —D—(y—l)—P — — S,(1.92)
dx' а0 a0x
dx xx ' a0 a0
Амплитуды /)(/), P(0 и S(0 дивергенции скорости и полей давления и энтропии будут представляться в виде
Л 1еК,а*м + А<геХ2абк1 4- A3eK,0,,kt,
где Хь Х2 и Хз — корни характеристического уравнения
Л3+ fl + -^As^ + fl +4- — =о,
\ Л1 у 1\ Л1 V Л1
(1.93)
Наряду с 6Ь имеется еще одна безразмерная постоянная 6 = v£/a0 отличающаяся от 61 заменой коэффициента вязкости vi = 4/3 v + т] на обычную кинематическую вязкость v. Величина Л1 является аналогом числа ‘Прандтля Pr = v/x и имеет тот же порядок, так что в газообразной среде Л1~1; точно так же и у^1 (у воздуха у«1,4). В то же время величина ^ = vk/aQ имеет тот же порядок, что и отношение Z/A длины свободного пробега газа / к длине волны возмущения А = 2л/£ (поскольку v^u/, где и — средняя скорость теплового движения молекул, а~и, а £~1/А). Поэтому в гидродинамике о С 1; в частности, у воздуха при нормальных условиях v/ao^O,5-10*5 см, т. е. даже если А«1 мм, то 6~10-4. Тот же порядок величины имеет 6i = (vi/v)6; поэтому и 6j < 1. .
Пренебрегая в уравнениях слагаемыми, имеющими порядок малости 6 или 61, мы придем к упрощенной системе, согласно которой, во-первых, поля вихря «Дх, /) и энтропии S(x, /) неподвижны в пространстве — малость 6 как раз и означает, что влияние вязкости и теплопроводности на малые возмущения будет гораздо меньше влияния инерционного переноса. Во-вторых, имеем
-■^ ' + a^D «) = 0, + <^Р (0 = 0,
или, возвращаясь от одной компоненты Фурье к полным полям D(x, Z) и Р(х, Z),
-^- = 4^0, -^- = 0^ДР.(1.94)
Таким образом, для полей давления Р(х, /) и дивергенции скорости D(x, /) получаются одинаковые волновые уравнения. Итак, в нулевом по 6 приближении возмущения гидродинамических элементов распадаются на три не взаимодействующие между собой компоненты — вихревую несжимаемую, не меняющуюся во времени, энтропийную, также неподвижную, и потенциальную (или акустическую), представляющую собою совокупность волн, распространяющихся с невозмущенной скоростью звука а0-
Если учесть эффекты порядка 6, то прежде всего вихревая компонента будет медленно затухать под действием вязкости в соответствии с формулой (1.91). Чтобы описать с точностью порядка 6 также энтропийную и акустическую компоненты, удобно определить корни уравнения (1.93) с точностью до порядка 61 с помощью обычного метода степенных рядов:
Xlj2 = ±Z-^tl^-6i; Аз =—51.(1.95)
1Л1
Значит, если ограничиться членами порядка не выше 61 и исключить вихревую компоненту, то в сжимаемой среде будут существовать три различные волны с одинаковым волновым вектором к: две будут затухающими с декрементом затухания ^ +^ i— ^\аок = V1 — ~ ^—к2 и будут распространяться с невозмущенной скоростью звука а0 по направлениям векторов к и —к, а третья будет неподвижной с декрементом затухания аок = Хк2. Предполагая, что
зависимость функций 2)(т), Р(т) и 5(т) от т будет определяться множителем К .т
е J , j = 1, 2, 3, и подставляя их в систему (1.92), легко убедиться, что общее решение этой системы с точностью до членов порядка 6i включительно можно представить в виде суммы следующих двух решений ♦:
S(T)=Soek,t, Р(т)=0, DIt^-^-S^(1.96)
и.
D (т) = D^eX1T + D^eXiT, S (т) = — v~ 1 6] [О^ЛТ + О^)еХгТ],
(1.97)
р -D$’ [- + "’^Г'8| j <х"+”«1 Н+-Чг^6| Г^"-
В рассматриваемом приближении энтропийная компонента будет соответствовать произвольному начальному распределению энтропии (или температуры), не перемещающемуся в пространстве и медленно выравнивающемуся под действием теплопроводности. С этой компонентой связано очень слабое распределе- диа
ние потенциальной компоненты скорости и величины D = 1 создаваемое
тепловым расширением и сжатием элементарных объемов температурногнеодно- родной среды. Акустическая же компонента будет состоять из волн давления
Л / Лл О (кх 1™^
и величины £>(х, /) вида Doe2, распространяющихся со
скоростью а0, слегка затухающих под влиянием вязкости и теплопроводности и создающих слабый перенос энтропии.
Для того чтобы учесть влияние нелинейных членов уравнений гидродинамики, надо перейти к следующему приближению теории возмущений, состоящему в том, что в уравнениях (1.87)— (1.90) сохраняются билинейные по гидродинамическим полям члены, в которых эти поля считаются совпадающими с выписанными выше решениями линеаризованных уравнений. Такие уравнения будут содержать небольшие добавочные слагаемые известного функционального вида, которые естественно рассматривать, как объемные «источники» соответствующих гидродинамических полей. Решения теперь будут отличаться от рассмотренных выше решений дополнительными членами, порожденными соответствующими источниками или «взаимодействиями» решений линеаризованных уравнений. Представив последние в виде суммы вихревой, энтропийной и акустической компонент, мы получим шесть различных «взаимодействий», каждое из которых может создавать добавки к решениям, описывающим любую из трех компонент, т. е. «порождать» эту компоненту.
Полный анализ порядка величин всех возможных «взаимодействий» может быть найден в работе Чжу и Коважного (1958). Основные результаты этого анализа иллюстрируются табл. 1.1, в которой указан порядок по 61 всех 18 эффектов второго порядка, и для эффектов нулевого порядка кратко объяснен их физический смысл. Остановимся лишь на наиболее важном взаимодействии вихревой компоненты с самой собой. Поскольку она связана лишь с возмущением поля скорости, то ее взаимодействие с собой будет вызываться только билинейными по скоростям членами уравнений гидродинамики. В уравнении баланса энтропии (т. е. притока тепла) такие члены содержатся (в слагаемом ре) лишь вместе с коэффициентом вязкости, откуда ясно, что эффект порождения энтропийной компоненты указанным взаимодействием будет иметь порядок не
* Нетрудно проверить, что учет членов порядка 6$ изменит лишь мнимые части корней Xi и Хг, т. е. приведет к появлению слабой зависимости скорости распространения акустических волн от коэффициентов вязкости и температуропроводности (см. Яглом (1948)).
Таблица 1.1
Взаимодействие
Порождение
акустической компоненты
вихревой компоненты
энтропийной компоненты
Акустической компоненты с акустической
0(1) рассеяние звука на звуке и нелинейное искажение акустических волн
0(6,)
0(6,)
Вихревой компоненты с вихревой
0(1) порождение звука вихревым движением
0(1) растяжение вихревых трубок или, иначе, инерционный перенос завихренности вихревым полем скорости
0(6,)
Энтропийной компоненты с энтропийной
0(6,)
0(6?)
0(6,)
Акустической компоненты с вихревой
0(1) рассеяние звука на вихревых неоднородностях поля скорости
0(1) перенос завихренности акустическими волнами
0(6.)
Акустической компоненты с энтропийной
0(1) рассеяние звука на неоднородностях поля температуры
0(1) порождение завихренности взаимодействием градиентов энтропии и давления (эффект Бьеркнеса)
0(1) перенос тепла акустическими волнами
Вихревой компоненты с энтропийной
0(6,)
0(6,)
0(1)
перенос тепла вихревым движением
выше 6. Более существенную роль будут играть билинейные по скоростям члены иа — уравнении движения; именно они и будут определять все значимые эффекты второго порядка, связанные со взаимодействием вихревой компоненты с самой собой. Сохранив в уравнениях движения эти члены иа и пе- рейдя затем к уравнению для вихря, мы придем к уравнению (1.7)
дсод
dt
+ v^k=—Ua.
д«>к дха
, a“k^ ° dxa
отличающемуся от уравнения (1.88) правой частью, описывающей процесс порождения завихренности за счет растяжения вихревых трубок. Считая здесь поле иа несжимаемым и удовлетворяющим уравнению (1.88), мы получим первый значимый эффект второго порядка — порождение вихревой компоненты поля скорости за счет взаимодействия этой компоненты с самой собой. Что же касается влияния этого взаимодействия на акустическую компоненту, то в нулевом приближении по б его можно определить, опустив в уравнениях гидродинамики все члены, содержащие коэффициенты вязкости и температуропроводности, и все нелинейные члены, кроме членов ид—= в уравнениях движения. Тогда
вместо последнего уравнения (1.94) мы получим уравнение
-АР_-а2др =(1.98)
Правая часть здесь описывает дополнительные пульсации давления, возникающие из пульсаций поля скорости. Подставляя в формулу (1.98) в качестве щ^х, t) несжимаемое поле скорости, можно найти звуковые колебания, создаваемые взаимодействием этого поля с самим собой. Порождение звука вихревыми течениями, описываемое уравнением (1.98), изучалось в работах Лайтхилла (1952, 1954); оно и представляет собой второй значимый эффект второго порядка.
Глава 2
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬИ ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Эмпирические данные о возникновении турбулентностив трубах и в пограничном слое
В предыдущей главе были приведены уравнения, описывающие движения жидкости, и указаны некоторые их простейшие решения. При этом мы отмечали, что полученные решения далеко не всегда хорошо соответствуют каким-либо реально наблюдаемым течениям. Так, например, в п. 1.2 было сказано, что течение в трубе описывается формулами (1.23) — (1.26) лишь в случае достаточно большой вязкости или достаточно малой средней скорости, а в п. 1.4 отмечалось, что найденное Блазиусом решение уравнений пограничного слоя на плоской пластинке хорошо соответствует эмпирическим данным лишь при не слишком больших значениях Uxlv. Оказывается, что так же обстоит дело и в большинстве других случаев. Как правило, решения уравнений гидродинамики, точные или приближенные, удовлетворительно описывают реально наблюдаемые течения лишь при некоторых специальных условиях. Если же эти условия не соблюдаются, то характер течения резко меняется и вместо плавного изменения значений гидродинамических полей, соответствующего теоретическим решениям, наблюдаются хаотические пульсации гидродинамических полей во времени и пространстве типа тех, которые изображены на рис. В. 1. Таким образом, течения жидкости распадаются на два резко различающихся класса: плавные течения, меняющиеся во времени лишь в связи с изменением действующих сил или внешних условий, называются ламинарными, а течения, сопровождающиеся хаотическими пульсациями гидродинамических полей как во времени, так и в пространстве, — турбулентными.
Различие между ламинарным и турбулентным режимами течения жидкостей проявляется в ряде явлений, имеющих большое значение для многих технических задач. Например, воздействие течения на твердые стенки (т. е. трение о стенки) при турбулентном режиме оказывается значительно большим, чем при ламинарном (так как передача импульса в турбулентной среде происходит много интенсивнее). Наличие хаотических пульсаций поля скорости приводит к резкому возрастанию перемешивания жидкости; в этой связи интенсивное перемешивание часто даже рассматривается как наиболее характерная черта турбулентного движения.
С возрастанием перемешивания резко увеличивается также теплопроводность жидкости и т. д. Г1о всем этим причинам установление условий перехода ламинарного режима течения в турбулентный является весьма актуальной задачей. Кроме того, выяснение механизма возникновения турбулентности должно помочь пониманию ее природы и тем самым способствовать изучению важных для практики закономерностей турбулентных течений.
Обзор ранних экспериментальных данных, касающихся перехода ламинарного движения в турбулентное, содержится, в частности, в обзорах Шлихтинга (1969), Драйдена (1959) и Тани (1969), где можно найти ряд дополнительных ссылок. Теории гидродинамической неустойчивости, играющей основную роль при переходе к турбулентному режиму течения, посвящено большое число книг (Линя (1955), Чандрасекара (1961), Бетчова и Криминале (1967), Гольдштика и Штерна (1977), Джозефа (1981), Дразина и Рида (1981), Качанова, Козлова, Левченко (1982), Жигулева и Тумина (1987) и др.), а также множество обзорных статей (в частности, Стюарта (1963, 1965, 1971), Шеня (1964), Дразина и Хоуарда (1966), Гертлера и Вельте (1967), Ди Прима и Стюарта (1983), Монина (1978, 1986) и ряд специальных сборников (см., например, Эплер и Фазель (1980), Мейер (1981), Суинни и Голлаб (1981), Козлов (1985). Обширная литература посвящена также общим вопросам стохастизации и перехода к хаосу для различных динамических систем, по-видимому, тесно связанным с переходом к турбулентности (об этом подробнее будет сказано ниже). Разумеется, в настоящей книге нет возможности хоть вкратце рассмотреть все относящиеся сюда вопросы; мы ограничимся лишь некоторыми результатами, относящимися к простейшим типам течений, и основное внимание уделим принципиальной стороне дела.
Первые результаты об условиях возникновения турбулентности были получены Хагеном (1839). Он изучал течения воды в прямых круглых трубах небольших радиусов и установил, что при постепенном уменьшении вязкости воды (что достигалось повышением ее температуры) скорость течения при одном и том же напоре сначала возрастает до некоторого предела, а. затем начинает уменьшаться. Вытекающая из трубы струя воды до указанного предела имеет гладкую форму, а после перехода через этот предел испытывает резкие колебания. Хаген объяснял эти явления тем, что при достаточно малом значении вязкости в потоке образуются внутренние движения и вихри, которые приводят к повышению сопротивления и, следовательно, к уменьшению скорости течения. Хаген обнаружил, что изменения характера течения можно добиться, меняя напор воды (т. е. среднюю скорость) или радиус трубы.
Общий критерий возникновения турбулентности был установлен Рейнольдсом (1883) при помощи соображений о механическом подобии течений вязкой жидкости. Этот критерий заключается в том, что течение остается ламинарным, пока число Re = UL/v не
превосходит некоторого критического значения ReCr, а при Re > > Recr оно становится турбулентным. Как было объяснено в п. 1.3, число Рейнольдса имеет смысл отношения типичных величин сил инерции и сил вязкости. Силы инерции приводят к сближению некоторых первоначально удаленных друг от друга объемов жидкости и тем самым способствуют образованию резких неоднородностей течения. Силы вязкости, наоборот, приводят к выравниванию скоростей в близких точках, т. е. к сглаживанию мелких неоднородностей. Поэтому при малых Re, когда силы вязкости доминируют над силами инерции, в течении не может быть резких неоднородностей, т. е. гидродинамические поля изменяются весьма плавно и течение имеет ламинарный характер. При больших Re, наоборот, сглаживающее действие сил вязкости оказывается слабым и в течении возникают хаотические пульсации (резкие мелкомасштабные неоднородности), т. е. течение становится турбулентным. Этими соображениями и объясняется критерий Рейнольдса.
Для экспериментальной проверки указанного критерия и для измерения Recr Рейнольдс провел серию опытов с течениями воды в стеклянных круглых трубах. В этих опытах на оси трубы у ее входа помещался источник краски. Окрашенная воды при малых Re принимала форму тонкой четко очерченной струйки, что указывало на ламинарный режим течения. При возрастании Re в момент перехода через критическое значение форма окрашенной струйки резко изменялась: уже недалеко от входа в трубу струйка расширялась, и на ней появлялись волны, а затем отдельные вихри, и к концу трубы окрашенной оказывалась вся жидкость. Если в таком опыте осветить поток электрической искрой, то можно видеть, что окрашенная масса состоит из более или менее отчетливых завитков, указывающих на наличие завихренности. При докритических числах Re, близких к Recr, в ламинарном течении наблюдаются переходные явления, заключающиеся в появлении впервые наблюдавшихся еще Рейнольдсом кратковременных вспышек пульсаций высокой частоты в форме своеобразных «турбулентных пробок», заполняющих все сечение трубы, но на небольших отрезках ее длины (позже Шиллер (1934) связал появление таких «вспышек» с чередующимися образованием и разрушением крупных вихрей на внутренней стенке трубы у ее передней кромки). Аналогичный характер имеет течение в начальном участке трубы и при Re > Recr, причем с увеличением Re длина начального участка, на протяжении которого течение еще остается не полностью турбулентным, быстро уменьшается. Согласно измерениям Ротта (1956), при таком промежуточном режиме средняя доля времени, в течение которого в данной точке трубы наблюдается турбулентный режим («коэффициент перемежаемости»), монотонно возрастает с увеличением расстояния х от входа в трубу. Имеющиеся экспериментальные данные (наиболее детальные принадлежат Линдгрену (1957, 1959—63, 1965, 1969); см. также Вигнанский и Шампань (1973), Тейтген (1980)) позволяют объ-
яснить это тем, что скорость на переднем крае «турбулентной пробки» превосходит скорость на ее заднем крае, и поэтому «пробки» растягиваются при своем передвижении по трубе (и некоторые из них иногда «догоняют» друг друга и сливаются, образуя одну большую пробку).
Опыты Рейнольдса производились с трубами различных диаметров с плавным входом, соединяющимся с резервуаром. Изменения числа Re^UcpDh (где UCp — средняя скорость течения) в этих опытах достигались как использованием новых труб (с другим диаметром D\ так и варьированием скорости течения и вязкости воды (путем изменения ее температуры). Значение Recr в указанных опытах оказалось равным в среднем 12 830 с относительно небольшим разбросом по данным отдельных опытов. Дальнейшие исследования показали, однако, что значения Recr, соответствующие переходу от ламинарного течения к турбулентному, в различных опытах могут существенно различаться, так как ReCr сильно зависит от степени возмущенности ламинарного течения (или, как говорят, от «начальной турбулентности», которая опре- целяется главным образом условиями на входе в трубу).
Интенсивность возмущений (которую можно охарактеризовать параметром U'lUcp, где LT—типичная величина пульсаций х-ком- поненты скорости) может быть довольно большой, но вследствие своей малой повторяемости они не меняют ламинарного режима и не сказываются существенно на профиле скорости, величине сопротивления и других средних характеристиках течения. При достаточно малых Re возмущения, перемещаясь вниз по течению, затухают. Однако при возрастании Re в момент достижения критического значения Recr (зависящего от интенсивности возмущений, а также, возможно, от их масштаба и частоты) возмущения скачкообразно порождают турбулентность. Установлено, что значение Recr, соответствующее переходу ламинарного течения в турбулентное, оказывается тем меньше, чем больше интенсивность возмущений. Так, например, в случае трубы с острыми краями, вставленной в сосуд с плоской стенкой, края трубы создают значительные возмущения и Recr оказывается равным примерно 2800. Уменьшая же с помощью тех или иных приемов степень возмущенности течения у входа в трубу, можно задержать переход ламинарного течения в турбулентное до весьма больших чисел Рейнольдса (это явление называется затягиванием ламинарного режима). Так, Барнесу и Кокеру (1905) удалось задержать возникновение турбулентности в трубах до значения ReCr~20 000, а Экману (1911)—даже до Recr^50 000. Позже Комоле (1950) получил ламинарное течение в трубе в интервале чисел Рейнольдса 70 000—75 000, а Пфеннигер (1961) (который для подавления возмущений поместил перед входом в трубу 12 специальных экранов), установил, что течение в трубе может быть совершенно ламинарным даже при Re= 100 000.
Эти результаты показывают, что число Рейнольдса само по себе еще не является однозначным критерием возникновения
турбулентности: для течения в трубе, по-видимому, вообще нельзя указать такого универсального критического значения ReCr, чтобы при Re > Recr режим течения обязательно был турбулентным. Чтобы установить значение Re, являющееся верхней границей для чисел Рейнольдса ламинарного течения, нужно иметь сведения о степени возмущенности ламинарного течения, и указанная верхняя граница чисел Re будет функцией параметра U'IUCp (монотонно возрастающей при убывании этого параметра).
Без сведений о степени возмущенности ламинарного течения можно установить лишь более слабый критерий, указывающий условия, при которых возможен только ламинарный режим течения. Для этого нужно определить критическое число Рейнольдса Recr min, соответствующее переходу от ламинарного режима к турбулентному при наибольшей возможной степени возмущенности ламинарного течения у входа в трубу. При Re<ReCrmin режим будет всегда оставаться ламинарным, т. е. любые возмущения, как бы интенсивны они ни были, будут затухать.
Опыты по измерению Recrmin были поставлены еще самим Рейнольдсом. Поскольку в таких опытах необходимо вводить в трубу как можно более возмущенную жидкость, ясно, что для обнаружения перехода от ламинарного режима к турбулентному метод окрашенных струек непригоден. Поэтому переход к турбулентности приходится определять иначе, например по изменению закона сопротивления, определяющего зависимость средней скорости от перепада давления. В опытах Рейнольдса минимальное критическое значение числа Re = t/CpD/v оказалось равным Recr тш^2030. Близкие значения (лежащие в пределах от 1900 до 2320) были получены и последующими исследователями (включая Линдгрена (1959, 1961) и Сибулкина (1962)). Аналогичные результаты были также получены для течений в каналах прямоугольного сечения (Нараянан и Нараяна (1967)).
Сходные во многих отношениях результаты об условиях возникновения турбулентности получаются и при изучении течений в пограничных слоях, образующихся при обтекании тел вязкой жидкостью. Рассмотрим, например, пограничный слой, образующийся при обтекании плоской пластинки течением с постоянной скоростью U, направленной параллельно пластинке. Число Рейнольдса пограничного слоя можно определить, например, формулой Ree = t/6/v, где 6 —толщина пограничного слоя. Можно также вместо этого использовать легче измеряемое число Rex = (/x/v, где х — расстояние вдоль течения от переднего края пластинки. Числа Ree и Re* связаны функциональной зависимостью; например, при ламинарном течении, согласно результатам п. 1.4, Ree« «5VRex (см. формулу (1.49)). Вниз по течению оба числа — Ree и Rex — возрастают, и в некоторой точке достигают «критического значения», при котором течение резко изменяет характер и становится турбулентным. Таким образом, при х < хсг (точнее говоря, при Ree < Reecr и Rex < ReXCr) течение в пограничном -68
слое является ламййарным, а при х > хсг (т. е. Ree > Reecr и Rex>ReXCr)—турбулентным. Непосредственно вблизи х=хст образуется «переходная область», где наблюдаются лишь отдельные «вспышки» турбулентности, возникающие в виде небольших «турбулентных пятен», увеличивающихся в размере и сливающихся друг с другом по мере своёго продвижения вниз по течению (см., например, Шлихминг (1962), § 14, а также Элдер (1960), Каулс (1962а) и Стюарт (1965)). Появление «турбулентных пятен» приводит к тому, что в точках переходной области имеет место перемежающееся чередование во времени ламинарного и турбулентного режимов, причем в начале этой области и частота появления, и продолжительность существования турбулентного режима незначительны, а у ее конца ламинарный режим возникает уже очень редко и на весьма короткие промежутки времени.
Первые измерения критического числа Рейнольдса пограничного слоя были выполнены в 1924 г. Бюргерсом и Ван дер Хегге Цийненом, изучившими в аэродинамической трубе обтекание плоской стеклянной пластинки воздухом. Несколько позже аналогичные измерения были произведены также Ханзеном (1928) (см., в частности, рис. 1.3). Согласно данным этих авторов,
Кехсг = фх^сг~3 • 105 ... 5 • 105,
что соответствует значениям
Redfr = (t/6/v)cr ~ 2700 ... 3500,
имеющим тот же порядок величины, что и значения Recr для течения в трубе. В дальнейшем выяснилось, что, как и в случае течений в трубах, критическое Число Рейнольдса пограничного слоя существенно зависит от степени возмущенности основного течения, в зависимости от которой число Rexcr может меняться в пределах от 1 • 105 ДО почти 3- 106 (см. рис. 2.1, иллюстрирующий зависимость Rexcr от U']U, где 3U'1 принимается равным среднему квадрату абсолютной величины пульсации скорости набегающего потока). Однако рис. 2.1 создает впечатление о том, что при неограниченном убывании U'IU значение ReXcr не возрастает неограниченно, а стремится к определенному пределу (порядка 3- 10®), выше которого пограничный слой будет турбулентным при сколь угодно малой степени возмущенности набегающего потока. С другой стороны, в случае течения в круглой трубе эксперимент не показывает резкого замедления роста Recr при приближении U' IV к нулю; поэтому представляется правдоподобным, что здесь Recr->oo при U'IU —*• 0 (т. е. что при любом значенйи Re течение в трубе может оставаться ламинарным, если Дблько удастся обеспечить достаточно нйзкий уровень возмущенности у входа в трубу).
С турбулизирующим влиянием возмущений связано также то, что критическое число Рейнольдса оказывается заметно меньшим при обтекании шероховатых пластинок, содержащих естественные или искусственные неровности, создающие дополнительные воэму-
щения. Согласно данным многочисленных измерений, даже одна- единственная неровность может вызвать переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный, если только высота ho этой неровности имеет тот же порядок, что и «толщина вытеснения» б* «0,36 пограничного слоя в ее окрестности. Еще более значительное влияние оказывает наличие множества неровностей, раз-
Рис. 2.1. Зависимость критического числа Рейнольдса для пограничного слоя на плоской пластинке от степени возмущенности набегающего потока (по Драйдену, 1959).
бросанных по всей плоскости (см., например, Шлихтинг (1962), гл. X, или Драйден (1959), § 5). Очень существенно меняет значение ReXCr также наличие хотя бы небольших продольных градиентов давления. Мы ограничимся рассмотрением здесь лишь одного специального эффекта, связанного с наличием отрицательного продольного градиента давления.
Отрыв пограничного слоя, кризис сопротивленияи механизм турбулизации пограничного слоя
Возникновение турбулентности при обтекании тел вязкой жидкостью может проявляться не только в виде турбулизации пограничного слоя, но и в виде образования турбулентного следа за телом в результате отрыва от его поверхности макроскопических вихрей.
Образование турбулентного следа обычно бывает связано с тормозящим действием отрицательного продольного градиента давления в течении жидкости. Рассмотрим, например, обтекание прямого круглого цилиндра течением без циркуляции, перпендикулярным к оси цилиндра (см. рис. 2.2, на котором изображено обтекание верхней части цилиндра). Вне пограничного слоя жидкость можно считать идеальной, а ее движение — безвихревым. Линии тока этого потенциального движения более всего сгуща-
ются над верхней точкой цилиндра (точка С), где, следовательно, касательная скорость и достигает максимума. Вследствие известного уравнения Бернулли
и212 + р/р = const
,ди 1 др
(вытекающего из равенстваприведенного пе
ред уравнением (1.38)) давление над точкой С во внешнем тече-
Рис. 2.2. Схематическая форма линий тока (/) и профилей скорости (2) над различными точками при обтекании прямого цилиндра.
нии достигает минимума, так что на участке АС оно падает, а на участке СЕ возрастает. Такие же изменения давления вдоль поверхности тела имеют место и в пограничном слое (так как поперек пограничного слоя давление почти не меняется). Следовательно, на участке СЕ жидкость в пограничном слое должна двигаться по направлению возрастания давления, что приводит к ее торможению. Наиболее сильно это торможение сказывается, конечно, на частицах жидкости, движущихся около самой поверхности цилиндра, т. е. обладающих наименьшей скоростью. В некоторой точке D вниз по потоку эти частицы останавливаются, а за точкой D даже двигаются вспять по сравнению с более удаленными от поверхности цилиндра и поэтому еще не заторможенными частицами. Образующееся у поверхности тела за точкой D возвратное течение оттесняет внешнее течение от поверхности цилиндра — происходит, как говорят, отрыв пограничного слоя от обтекаемой поверхности с образованием в жидкости поверхности раздела DF. Если пограничный слой до отрыва был ламинарным, то после отрыва он ведет себя как свободная струя в затопленном пространстве и быстро становится турбулентным (при заметно меньших Re, чем не отрывавшийся пограничный слой, так как наличие стенки действует на течение стабилизирующим образом). Поверхность раздела DF, являющаяся поверхностью тангенциального разрыва скорости, весьма неустойчива (см. ниже) и свертывается в один или несколько вихрей. В области FDE за поверхностью раздела около цилиндра образуется крупный вихрь; второй такой же вихрь образуется в нижней части цилиндра. Эти вихри попеременно отрываются от поверхности цилиндра и уносятся вниз по течению; на их месте образуются новые вихри.
В результате за телом образуется турбулентный след, в котором движение является завихренным, в то время как вне этого следа и вне пограничного слоя движение ярляется безвихревым. В самом деле, жидкость вне пограничного слоя можно считать идеальной; значит, при ее движениях циркуляция скорости вдоль любого замкнутого жидкого контура сохраняется, и, следовательно, при установившемся движении имеет место постоянство вихря скорости вдоль линий тока. Поэтому область завихренного движения вдали от поверхности тела может возникнуть только при выходе линий тока из пограничного слоя (в котором движение становится завихренным вследствие действия вязкости).
Ясно, что линии тока не могут выходить из области течения, в которой вихрь скорости отличен от нуля, т. е. из области турбулентного следа (но они могут входить в след из области потенциального течения). В то же время турбулентные пульсации скорости могут проникать из следа в область потенциального движения, но со значительным ослаблением. Действительно, в случае потенциального движения несжимаемой жидкости уравнения движения в форме (1.7) будут удовлетворяться тождественно; поэтому течение будет описываться одним лишь условием несжимаемости (1.5), эквивалентным уравнению Лапласа Дф = 0 относительно потенциала скорости ф (определяющего скорость соотношением дф/дхг). Пусть z обозначает координату поперек следа; тогда поле ф(х, у, z) удобно разложить на компоненты вида ф = фо(г) X Хе1 ^кхХ+к2У\ ц3 уравнения Дф=о следует, что ^2ф/^г2 = ^2фо, где ^ = ^^2_|_^—волновое число, обратно пропорциональное горизонтальному (в плоскости Оху) масштабу пульсаций. Отбрасывая физически бессмысленное решение для фо, возрастающее вместе с г, убеждаемся, что затухание амплитуды пульсаций при удалении от следа в области г > 0 описывается множителем e~Az, так что пульсации затухают тем быстрее, чем меньше их масштаб. Следовательно, достаточно далеко в глубь потенциального движения проникают лишь сравнительно плавные крупномасштабные пульсации. Для таких пульсаций диссипация энергии в тепло не играет большой роли; поэтому почти вся осуществляющаяся в потоке диссипация энергии происходит внутри турбулентного следа.
По этой причине, а также вследствие образования поверхности раздела при отрыве пограничного слоя тела, при обтекании которых возникает отрыв пограничного слоя, оказывают большое сопротивление течению жидкости. При этом сопротивление, вообще говоря, будет тем меньше, чем уже турбулентный след, т. е. чем дальше на поверхности тела расположена точка отрыва. При достаточно больших числах Рейнольдса, при которых, однако,
пограничный слой до точки отрыва остается ламинарным, коэффи
циент сопротивленияциент сопротивленияw 4^№Sw 4^№S(где W — полная сила сопро
циент сопротивления
циент сопротивления
w 4^№S
w 4^№S
тивления, S — площадь обтекаемого тела или его сечения) оказывается не зависящим от Re, так как положение точки отрыва не зависит от Re (абсцисса точки отрыва находится из уравнения (dzz/dz)z=:o = O, в которое, как можно показать, число Рейнольдса не входит). Однако при дости
жении чисел Рейнольдса, при которых пограничный слой турбулизируется до точки отрыва ламинарного пограничного слоя, точка отрыва перемещается вниз по течению; при этом турбулентный след заметно сужается, и сопротивление тела резко (в несколько раз) уменьшается. Это явление, называемое кризисом сопротивления, объясняется тем, что перенос импульса внутри пограничного слоя при его турбулизации резко возрастает; следовательно, увлечение жидкости в пределах пограничного слоя существенно усиливается, и жидкие частицы в пограничном слое продвигаются
Рис. 2.3. Зависимость коэффициентов сопротивления шара (/) и круглого цилиндра (2) от числа Рейнольдса.Рис. 2.3. Зависимость коэффициентов сопротивления шара (/) и круглого цилиндра (2) от числа Рейнольдса.направлении роста давлениянаправлении роста давлениядальше, чем в случае ламинарного пограничного слоя.
Рис. 2.3. Зависимость коэффициентов сопротивления шара (/) и круглого цилиндра (2) от числа Рейнольдса.
Рис. 2.3. Зависимость коэффициентов сопротивления шара (/) и круглого цилиндра (2) от числа Рейнольдса.
направлении роста давления
направлении роста давления
Кризис сопротивления при обтекании шара впервые наблюдался Эйфелем (1912). Переход от больших сопротивлений к малым происходит в этом случае при значениях числа Рейнольдса Re = ^b/v (где D — диаметр шара), близких к 5,0- 105; коэффициент сопротивления Cw при этом убывает примерно от 0,5 при Re=105 до 0,15 при Re=106. При тщательном проведении эксперимента удается даже зафиксировать минимальное значение Cw, которое составляет менее 0,1. Аналогично ведет себя коэффициент Cw и для круглого цилиндра. Зависимость коэффициентов сопротивления для шара и круглого цилиндра от числа Рейнольдса изображена на рис. 2.3. Ясно, что кризис сопротивления наступает тем раньше, чем выше степень возмущенности набегающего течения. Это наглядно подтверждается опытом Прандтля (1914), который добивался перехода через кризис сопротивления при об
текании шара, надевая на шар проволочное кольцо, т. е. создавая дополнительные возмущения, турбулизирующие пограничный слой.
Отрыв пограничного слоя под действием отрицательного продольного градиента давления может объяснить влияние возмущений на значение ReXCr. В самом деле, это влияние в значительной степени связано с тем, что возмущения
создают пульсации продольного градиента давления, приводящие -к турбулизи- рующему пограничный слой образованию в отдельных его местах неустойчивых S-образных профилей скорости (типа профиля в точке Е на рис. 2.2) и отрывов- пограничного слоя. Основываясь на этом, Тэйлор (1936 а) попытался теоретически найти зависимость Rex ст от интенсивности начальной турбулентности (позже Вигхардт (1940) дал более короткий вывод результатов Тэйлора).
Тэйлор исходил из приближенной теории Кармана—Польгаузена ламинарного пограничного слоя при наличии продольного градиента давления др]дху согласно которой, профиль скорости в различных сечениях пограничного слоя?
-. д2 др
зависит лишь от единственного безразмерного параметра А = —Зх * В пограничном слое на плоской пластинке др,дх = 0, но могут существовать, пульсации давления, и Тэйлор предположил, что характер движения в фиксиро-
д2 др',
ванном сечении здесь определяется параметром А —(где р—
пульсация давления, а б/дх— типичное значение производной д/дх). Иначе говоря, точка перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный определяется тем, что параметр А достигает некоторой «критической» величины, ио1 др'
Но в силу уравнении движения величина-должна иметь тот же
. би' 1 би'2
порядок, что и и —-—х—’ где и —пульсация продольной скорости.,
ил
Можно положить Ьи'2/Ьх ^ U,2lx, где U'— типичное значение пульсации скорости, а X — так называемый тэйлоров микромасштаб турбулентности, определяемый из условия (du'/dx)2 = U,2№. Его можно связать с внешним масштабом турбулентности L при помощи следующего рассуждения: с одной стороны^ диссипация энергии e — v (du'/dx)2, пропорциональна mU,2]x2 , а с другой стороны, при больших U'LN она пропорциональна LP^t. Следовательно,
. ( U'L \-7=I 6р'U'2( U'5 \,/!
k v У ’ р 6хЛV vL )
Учитывая, что у ламинарного пограничного слоя на плоской пластинке б ~ ^х/иу/2, получаем:
, б2 др' / U' <h/ х VI./ Ux VI2v6/p дх yU/xL/x^)’
Таким образом, если считать, что Rexcr = ф(Лсг), то
В качестве длины L в этой формуле можно принять типичный размер устройства, порождающего турбулентность (например, если турбулентность создается помещенной в поток решеткой, то L приближенно совпадает с расстоянием между прутьями решетки).
Результат (2.1) можно обобщить и на случаи обтекания других тел, заменяя, координату х расстоянием s от точки набегания течения на тело, отсчитываемым вдоль контура тела, или же типичным размером тела D. Оказалось, что этот результат находится в весьма хорошем соответствии с экспериментальными данными (см., например, рис. 2.4, на котором приведены эмпирические данные Драйдена, Шубауэра, Мока и Скрэмстада (1937) для пограничного слоя на шарах различного радиуса при различных значениях интенсивности и масштаба начальной турбулентности).
Локальные отрывы пограничного слоя, создаваемые пульсациями продольного градиента давления, приводящими к кратковременному образованию в отдельных точках неустойчивых S-образных профилей скорости, по-видимому, играют значительную роль и в процессах турбулизации течения в примыкающем 74
к стенке тонком подслое развитого турбулентного пограничного слоя с Re > Recr. Стенка всегда оказывает значительное стабилизирующее влияние на течение вблизи нее; в то же время при Re > Recr на удалении от стенки постоянно наблюдаются значительные турбулентные пульсации, сказывающиеся и на значениях продольных градиентов давления и приводящие к нарушению устойчивости течения. Процессам порождения турбулентных пульсаций скорости и связанных с ними напряжений Рейнольдса (о которых см. п. 5.1) вблизи твердой стенки в течение последних 20 лет было посвящено много интересных исследований,
Рис. 2.4. Зависимость Recr при обтекании шара от U' / D\xlt величины*
существенно продвинувших наше понимание природы пристенной турбулентности.
Мелкомасштабные формы течения, приводящие к возникновению турбулентности в пограничном слое около гладкой твердой стенки, удалось обнаружить как с помощью термоанемометрических измерений, так и при помощи тонких методов визуализации течений воды — цепочек микронных водородных пузырьков, периодически генерируемых электродом в форме платиновой нити, и микроинъекций краски (группа Клайна в Стенфордском университете — см. Клайн и др. (1967); см. также опыты Корино и Бродки (1969) с визуализацией течения трихлорэтилена в стеклянной трубе с помощью микронных взвешенных частиц окиси магния, работы Оффена и Клайна (1974), Блэквелдера и Эккель- мана (1979), Хоганса и Ханратти (1982), Кастринакиса и Эккельмана (1983), Касаги, Хирата и Нишино (1986), Перри, Лима и Хенбеста (1987), Богарда и Тидермана (1987) и ряд других работ).
Установлено, что на высотах порядка 2+ = 2,5... 10 (индексом плюс обозначаются длины, измеренные в единицах v/u*, где и* — «скорость трения» на стенке, о которой будет идти речь в п. 6.2) в вязком подслое под действием упомянутых выше продольных вихрей в ложбинах поперечных волн (минимумах продольной скорости) образуются ручейки замедленной жидкости шириной 6г/+ = 10... 30 с поперечным расстоянием между ними порядка At/+~100, которые движутся по течению, медленно всплывая под действием продольных вихрей (см. на рис. 2.5 пример поля водородных пузырьков, генерируемых горизонтальной поперечной нитью на высоте z+ = 4,5). Такой ручеек ведет себя как миниатюрный пограничный слой и под действием отрицательного градиента давления, создаваемого проплывающим над ним вихрем с поперечной осью (о котором см. ниже), отрывается, перемещается вверх и проникает в быстрее текущую жидкость, создавая на мгновенном профиле скорости искривление с точкой перегиба (см. на рис. 2.6 пример генерированных вертикальной нитью пузырьковых изохрон). После этого на ручейке на высотах z+ = 8... 12 возникают колебания, и вскоре его конец «взрывается» (преимущественно на высотах
Z = 10... 30 и на расстоянии от точки отрыва б*+ = 1000... 1500), создавая крайне нерегулярное мелкомасштабное движение. Частота «взрывов» на единицу ширины течения равна ^^^У^)^ , где 2nF+Ar/+ — 0,06. Установлено, что во «взрывах» осуществляется практически все порождение турбулентной энергии, определяемое выражением —uw'du/dz (см. ниже главу 7).
Рис. 2.5. Поле водородных пузырьков (вид сверху) в пограничном слое около плоской пластинки, генерируемых поперечной нитью (верхняя кромка фотографии, течение сверху вниз), на высоте z^ = 4,5.Рис. 2.5. Поле водородных пузырьков (вид сверху) в пограничном слое около плоской пластинки, генерируемых поперечной нитью (верхняя кромка фотографии, течение сверху вниз), на высоте z^ = 4,5.
Рис. 2.5. Поле водородных пузырьков (вид сверху) в пограничном слое около плоской пластинки, генерируемых поперечной нитью (верхняя кромка фотографии, течение сверху вниз), на высоте z^ = 4,5.
Рис. 2.5. Поле водородных пузырьков (вид сверху) в пограничном слое около плоской пластинки, генерируемых поперечной нитью (верхняя кромка фотографии, течение сверху вниз), на высоте z^ = 4,5.
Согласно Оффену и Клайну (1975), в системе отсчета, движущейся со скоростью основного течения на высоте зарождения ручейка замедленной жидкости, с этим ручейком связан вихрь с поперечной осью и знаком, соответствующим завихренности основного течения dufdz (рис. 2.7). При отрыве ручейка центральная часть этого вихря всплывает вверх и уходит вниз по течению, так что вихрь- растягивается и принимает подковообразную форму (продольное сечение «ноги* такой «подковы» видно на изохронах рис. 2.6). Верхняя часть «подковы», обго-
Рис. 2.6. Пузырьковые изохроны (вид сбоку) в пограничном слое около плоской пластинки, генерируемые вертикальной нитью (левая кромка фотографии, течение слева направо).
няя поверху следующий ниже по течению замедленный ручеек, создает на нем отрицательный градиент давления и приводит к его отрыву (рис. 2.8) и к образованию новой «подковы». Наложение двух «подков» друг на друга приводит
Рис. 2.7. Образование подковообразного вихря.Рис. 2.7. Образование подковообразного вихря.
Рис. 2.7. Образование подковообразного вихря.
Рис. 2.7. Образование подковообразного вихря.
к их объединению в один более крупный вихрь, но гораздо чаще вихревые линии не объединяются, а пересекаются, создавая «взрывы» и распадаясь на вихри меньших размеров — так происходит и «стохастизация» течения.
Рис. 2.8. Эволюция двух последовательных ручейков замедленной жидкости. а — отрыв первого ручейка, б — начало взаимодействия со вторым ручейком, в — отрыв второго ручейка, г — «взрыв».Рис. 2.8. Эволюция двух последовательных ручейков замедленной жидкости. а — отрыв первого ручейка, б — начало взаимодействия со вторым ручейком, в — отрыв второго ручейка, г — «взрыв».
Рис. 2.8. Эволюция двух последовательных ручейков замедленной жидкости. а — отрыв первого ручейка, б — начало взаимодействия со вторым ручейком, в — отрыв второго ручейка, г — «взрыв».
Рис. 2.8. Эволюция двух последовательных ручейков замедленной жидкости. а — отрыв первого ручейка, б — начало взаимодействия со вторым ручейком, в — отрыв второго ручейка, г — «взрыв».
Упомянутые здесь подковообразные вихри, обнаруживаемые в пристеночном турбулентном слое, представляют собою примеры упорядоченных структур, наличие которых означает, что турбулентность, в отличие от термодинамически-равно- весного молекулярного движения, не является полным хаосом. В первые послевоенные годы такие упорядоченные структуры называли «макроструктурными элементами» турбулентности; в последние же годы в формирующейся новой
науке «синергетике» о процессах самоорганизации, включая образование «порядка из хаоса», их стали называть «когерентными структурами».
Гольдштик (1982 а, б) предлагает разделять когерентные структуры в турбулентности на три класса. Структуры первого класса, которые мы назвали бы остаточными (Гольдштик. называет их «динамическими»), существуют в зарождающейся турбулентности (или, что то же самое, в стохастизирующихся течениях) и являются прямыми «наследниками» упорядоченных форм докритиче- ских стационарных или квазипериодических течений. Структуры второго класса, называемые квазиравновесными, существуют в хаотических течениях, не очень далеких от термодинамического равновесия, и рождаются из хаоса, например, вследствие упорядочивающего действия тех или иных законов сохранения. Наконец, структуры третьего класса, которые можно назвать неравновесными, существуют в развитой, но далекой от термодинамического равновесия турбулентности; соблазнительно предположить, что они обладают масштабным подобием, но, конечно, случайно распределены.
Теория когерентных структур сейчас только начинает развиваться. Далее мы на ней вкратце остановимся в п. 2.10.
При теоретическом анализе вопроса о возникновении турбулентности следует исходить из того, что функции, описывающие поля скорости и давления в любом течении жидкости, как ламинарном, так и турбулентном, являются решениями уравнений гидродинамики при надлежащих начальных и краевых условиях.
Установившееся ламинарное течение, в частности, описывается стационарными решениями этих уравнений; в случае же турбулентного течения каждой его индивидуальной реализации соответствует некоторое, вообще говоря, весьма сложное нестационарное решение уравнений гидродинамики. Невозможность осуществления ламинарного течения при достаточно больших числах Рейнольдса, несмотря на то, что уравнения гидродинамики имеют стационарное решение при любом Re, ясно показывает, что не всяко?.}' решению соответствует движение жидкости, реально существующее в природе. Естественно связать это обстоятельство с хорошо известным положением, согласно которому, реальные движения должны не только удовлетворять уравнениям гидродинамики, но и быть устойчивыми в том смысле, что неизбежно возникающие в реальных условиях малые возмущения этих движений должны затухать со временем, не меняя общей картины движения. Если же, наоборот, возникающие возмущения будут разрастаться со временем, то это приведет к существенному искажению исходного движения, и, следовательно, такое движение не сможет существовать сколько-нибудь длительное время.
Исходя отсюда можно ожидать, что значение Re^ соответствует как раз потере устойчивости: при Re < Recr ламинарное течение устойчиво, но при Re > Recr оно становится неустойчивым и под влиянием всегда имеющихся малых возмущений превращается в турбулентное движение. Однако в таком случае, исследуя математически вопрос об устойчивости решения уравнений гидродинамики, соответствующего ламинарному течению, можно (по крайней мере в принципе) теоретически определить соответствующее критическое число Рейнольдса.
Неустойчивость течений идеальной жидкости
Рассмотрим адиабатические малые колебания жидкости относительно состояния покоя при условии, что жидкость находится в поле тяжести, причем стратификация плотности устойчива (т. е. плотность убывает с высотой). В таком случае из неизменности во времени полной энергии собственных колебаний, можно сделать вывод о вещественности их частот о, так что малые начальные возмущения не разрастаются и не затухают со временем.
Рассмотрим теперь противоположный случай неустойчивой стратификации плотности, когда квадрат так называемой частоты Вяйсяля—Брента No, определяемый формулой
( др° । gPo° Ро ( dz + с2
(где g— ускорение свободного падения, а с0 — скорость звука), отрицателен, т. е. А^ ——Л12<0. Ограничиваясь при этом здесь (и далее в настоящей главе) так называемым приближением Буссинеска (см. п. 1.5), заменим уравнение неразрывности отфильтровывающим акустические волны условием соленоидальности поля скорости div и = 0. Тогда линеаризованные уравнения гидродинамики можно будет привести к виду
,. л duГр" ,„ ди" М2
divu = 0;— + g4'Vz;(2.3)
где р" = (р*/ро)р' — нормированное отклонение р' давления от гидростатического распределения ро(2); р* — так называемая потенциальная плотность, определяемая соотношением д In pjdz = M2]g\ величина rf = ^Р — ^оР^/Ро^о есть безразмерное возмущение энтропии, а р' = р — р0 — возмущение плотности. Отсюда выводится локальное уравнение баланса энергии
Т-5г(рм“2~р»»-^2—) + divP"u = 0’(2.4)
и, например, для слоя 0 ^ z ^ h между горизонтальными твердыми стенками находим
дdtдdtUpoo ^УUpoo ^УС gV2J 2М2С gV2J 2М2^dlV = 0,^dlV = 0,(2.5)(2.5)
д
dt
д
dt
U
poo ^У
U
poo ^У
С gV2
J 2М2
С gV2
J 2М2
^dlV = 0,
^dlV = 0,
(2.5)
(2.5)
т. е. разность полных кинетической и потенциальной (термобарической) энергии возмущений не меняется со временем, а о поведении каждого по отдельности из этих двух видов энергии из формулы (2.5) нельзя извлечь никаких выводов. (Нетрудно показать, что на самом деле оба они экспоненциально возрастают со временем.)
Рассмотрим только двумерные возмущенные движения в плоскости (х, г) и введем в ней, пользуясь бездивергентностью скорости, функцию тока ф, полагая и = —d^ldz, w = д^,дх. Вычислив вихрь уравнений движения (в предположении квазипостоянства потенциальной плотности poo) Ц исключив rj" с помощью третьего уравнения (2.3), получим для ф уравнение
- 'И2-^Г = ° (2.6)
dt2 dx2 '
с краевыми условиями w = 0, т. е. ф = 0 при z = 0, h. Поскольку М2 не зависит от х и /, элементарные решения этого уравнения можно искать в виде ф = ф(г) ехр У(кх — о/)]. Для комплексной амплитуды ф(г) из уравнения (2.6) получается уравнение
(2.7)(2.7)о2 (-^- — /г2гр) - А:27Л2тр = 0.
(2.7)
(2.7)
При квазийОстоянном М |)ешейиё, ой^аща^ДЬбёя 6 Нуль при 2 = 0, имеет вид ф~ sin/7/2, где т = —2^(1 + Af2/o2)V2. Для обращения ф в ноль также при г = h следует положить mh = лп; п = 0, ±1, ±2, .... Отсюда получаем
а= ±iM(l + nVl^hV4*,(2.8)
так что при каждом фиксированном к имеется счетное множество элементарных решений, и у всех них значения о оказываются чисто мнимыми. Таким образом, здесь всегда существуют элементарные решения, разрастающиеся со временем. Это явление называют статической (тэйлоровской) неустойчивостью. Ее механизм заключается в ускоряющем действии архимедовых сил на смещающиеся по вертикали из положения равновесия жидкие частицы. При этом, согласно третьему уравнению (2.3), взаимодействие вертикальной скорости ш с неустойчивым градиентом потенциальной плотности M2lg приводит к росту возмущений энтропии т]", а согласно второму уравнению (2.3), их вклад ^п" в архимедово ускорение приводит к росту w.
Случай расслоенной по оси 2 жидкости представляет большой интерес для метеорологических задач, в которых такое расслоение вызывается наличием осредненного профиля температуры Т = Т (2). В этом случае, однако, мы не можем просто считать жидкость несжимаемой, а должны привлечь к ее рассмотрению уравнение состояния и элементарные термодинамические тождества (см., например, Ландау и Лифшиц (1986), § 4). При этом оказывается, что элемент жидкости, переместившийся с уровня 2 на уровень 2 + h, будет при h > 0 более легким, чем окружающий его воздух, а при h < 0 более тяжелым, чем окружающий его воздух, тогда и только тогда, когда
(2 9)
dz cpV \ дТ )р’1 ,9)
где под Т теперь понимается абсолютная температура, а V — удельный объем. Условие (2.9) и будет условием абсолютной неустойчивости состояния покоя при наличии профиля 7 = 7(2)поля температуры. В случае когда среду можно
R V
считать идеальным газом, dVIdT = —~ =, так что критерий неустойчивости
будет иметь вид
n =(2.10)
dz срх RСи
(в тако?л виде это условие можно найти во всех курсах динамической метеорологии). Величина Ga = ——;^- в метеорологии называется адиабатическим
градиентом температуры (для воздуха этот градиент равен приблизительно 1 °C/100 м). Термическое расслоение воздуха, при котором —(dTjdz) больше, равно или меньше Ga, называется соответственно устойчивой, безразличной или неустойчивой стратификацией.
Еще один способ представления условия неустойчивости (2.9) или (2.10), также часто использующийся в метеорологии, связан с введением вместо обычной температуры Т так называемой потенциальной температуры
-<2-и)
где р0— некоторое стандартное давление (обычно принимаемое равным нормальному давлению на уровне моря). В силу выражения для энтропии идеального газа ср In 0 = s -1- const. Отсюда ясно, что при адиабатических процессах потенциальная температура, не меняется, так что 9 равно температуре, которую будет иметь воздух, если его адиабатически привести к стандартному давлению р0. Легко видеть, что dQ/dz ~ dTIdz— Ga, поэтому с помощью понятия о потенциальной температуре критерий неустойчивости (2.9) может быть сформулирован следующим образом: состояние покоя будет неустойчивым, если
d^ldz<0 (т. e. если потенциальная температура убывает с высотой), и будет устойчивым, если d^ldz > 0 (т. е. если потенциальная температура возрастает с высотой)..
Разрастание малых возмущений может обусловливаться не только неустойчивым распределением плотности в равновесном состоянии, но и некоторыми формами распределения скорости в нем. Рассмотрим, например, вопрос об устойчивости плоскопараллельного стационарного течения несжимаемой идеальной жидкости постоянной плотности, направленного вдоль оси х и имеющего скорость u0={C/(z), 0, 0}. Линеаризированные уравнения гидродинамики вместо (2.3) будут иметь вид
u = 0;ф —(2.12)
Локальное уравнение энергии теперь имеет вид
-^^р0и2+4"^p°^i“i2+p°“®"^+divp'u==o- ^2ЛЗ)
Отсюда, например, для течения в слое 0 ^ z ^ й между горизонтальными твердыми стенками получается
£. f А^_ р0 dV = - ( ром® -^- dV,(2.14)
так что кинетическая энергия возмущений может меняться со временем лишь за счет взаимодействия напряжений — роиш с градиентом равновесной скорости dU/dz. Рассмотрим, как и выше, только двумерные возмущения и = —d^jdz, w = d^!dx. Тогда, вычислив вихрь от второго уравнения (2.12), получим следующее уравнение для ф:
( at dk}^( at dk}^d2U ■ дч^дг2 дхd2U ■ дч^дг2 дх(2.15)(2.15)
( at dk}^
( at dk}^
d2U ■ дч^
дг2 дх
d2U ■ дч^
дг2 дх
(2.15)
(2.15)
Однако вопрос о поведении решений ф этого уравнения оказывается гораздо более сложным, чем в случае (2.6). Будем опять искать элементарные волновые решения в виде ф=ф(г)Х Хехр [/(^х— of)Y Тогда для комплексной амплитуды ф(г) получается так называемое уравнение Рэлея
W - с) (-^- -к^—^-^- 0,(2.16)
где с = о1к— фазовая скорость.
Если с — вещественное собственное значение, то Щг^—с = 0 при некотором 2=20; поэтому если ^'(zoJ^O, то (/(2)—с« «U' (Zo)(Z—Zo), ф"~ [t/"(ZO^(Zo) ]/[£/'(z°) (2— Zo)] И, ЗНЗЧИТ,
,, (/"(го)ф(го) 1 г , кТК
ф ~и —-— In (г — zo) вблизи точки z=2o. Таким образом,
и (z0)
функция ф' (а также и ф) здесь многозначна, и возникает проблема выбора нужной ветви решения. Еще существеннее другая
трудность — из-за наличия сингулярности набор собственных функций уравнения (2.16), отвечающих дискретным собственным значениям с, при широких условиях оказывается лишь конечным (см. Саттингер (1967)), так что далеко не каждое решение уравнения (2.15) может быть представлено в виде суперпозиции простейших элементарных волновых решений, устойчивость которых определяется величиной мнимой части собственного значения с. Правда, здесь существует еще и непрерывный спектр собственных значений с (этот факт был известен еще Рэлею, но должное внимание он привлек лишь гораздо позже), в чем легко убедиться, переписав уравнение (2.16) в виде
<U-U"2T'W = c^ $ = (2.17)
(здесь и далее штрих обозначает производную по г). Отсюда видно, что с есть собственное значение суммы оператора умножения на функцию U^ (имеющего вещественный непрерывный спектр, заполняющий отрезок t/min ^ с ^ t/max) и вполне непрерывного оператора — 13"$^ (добавление которого не меняет непрерывного спектра). Однако оператор U"S~[ нс является самосопряженным, и теорем о разложении произвольной функции по собственным функциям дискретного и непрерывного спектров здесь отсутствует. Далее, вследствие несамосопряженности указанного оператора даже вещественные собственные значения с, например, дискретного спектра, если они кратные, могут приводить к неустойчивости в виде наличия «вековых» возмущений, линейно растущих со временем.
Сложности анализа, опирающегося на уравнение Рэлея, показывают, что целесообразно исходить из более общего определения гидродинамической неустойчивости, чем отождествление такой неустойчивости с наличием у линеаризированных уравнений собственных значений с отрицательными мнимыми частями. Чтобы дать такое общее определение, введем понятие о фазовом пространстве жидкости, «точками» со которого являются полные наборы независимых термогидродинамических полей, характеризующих мгновенные состояния движущейся жидкости. В случае несжимаемой жидкости — это соленоидальное поле скорости и(х) в занятой жидкостью области пространства, удовлетворяющее должным краевым условиям; в общем же случае поле и(х) — произвольное, и к нему добавляются поля плотности р(х), энтропии т](х) и концентрации примеси 0(х). Эволюция течения жидкости во времени изображается в фазовом пространстве некоторой линией (о = <о(/) —фазовой траекторией течения; у стационарного течения она состоит из одной точки, у периодического — образует замкнутую кривую линию (цикл). Совокупность <о (/) = Тли (0) фазовых траекторий, проведенных через все точки фазового пространства (о = (о(0) и продолженных на всю ось времени, определяет группу отображений фазового пространства на себя, назы-
ваемую фазовым потоком. Он описывает эволюцию всех течений жидкости в данной геометрии при всевозможных начальных данных.
Пусть в фазовом пространстве введена некоторая норма его элементов ||со||. Тогда общее определение устойчивости фазовой траектории (о = (оо(О по А. М. Ляпунову будет следующим: при каждом сколь угодно малом положительном числе 8 существует такое положительное число 6 = 6(е), что для любой траектории <о=(о(/) с начальным значением со(О), удовлетворяющим условию ||<х>(0)—о)о(0)||<6, при всех />0 выполняется неравенство ||<о(/) —соо(^)II < е. Нетрудно убедиться, что из наличия хотя бы одного неустойчивого инфинитезимального волнового возмущения (о'(/)=(о(/) —со0(О (с отрицательной мнимой частью у = 1шо<0 собственной частоты о) вытекает неустойчивость траектории <оо(0 по Ляпунову. Действительно, пока возмущение о/ (/) мало, оно растет как e|vl* в согласии с линейной теорией, затем нелинейные члены уравнений этот рост замедляют, и, как правило, достигается некоторый конечный предел. Уменьшение же амплитуды А начального возмущения лишь затягивает этот процесс, но не меняет его конечного предела — отсутствие здесь сходимости возмущения к нулю при всех t, когда А-^0, и означает отсутствие устойчивости по Ляпунову. Поскольку в реальности малые возмущения всегда присутствуют, линейная неустойчивость течения <оо(/) означает, что оно практически нереализуемо (как, например, состояние покоя при неустойчивой стратификации); в этом, собственно, и заключается основное значение понятия гидродинамической неустойчивости.
В ряде случаев удастся доказать и обратное утверждение — что линейная устойчивость гарантирует устойчивость по Ляпунову. Так, для уравнения (2.15) справедлива следующая теорема (Л. А. Дикий (1976)): двумерное плоскопараллельное течение с монотонным профилем скорости U(z), 0 ^ z ^ h, в котором U (О) и (7(h) не являются собственными значениями уравнения Рэлея, может быть неустойчивым лишь при наличии в дискретном спектре невещественных или кратных вещественных собственных значений. Доказательство основано на решении задачи Коши для уравнения (2.15) (при зависимости хр от х по закону elkx) пои произвольном начальном значении ф(2, 0) = гр0(-2) с помощью преобразования Лапласа по времени. Полагая
гр* (2, s) = eikst^ (z, t^dt, (2.18) о
найдем, что
откуда
h
aPi (£) гр2 (2:) U^-1 [С/(g) — s]-«; z>^aPi (£) гр2 (2:) U^-1 [С/(g) — s]-«; z>^(2.20)(2.21)(2.20)(2.21)^*(2, s) = jo* (г. С. ШН,
aPi (£) гр2 (2:) U^-1 [С/(g) — s]-«; z>^
aPi (£) гр2 (2:) U^-1 [С/(g) — s]-«; z>^
(2.20)
(2.21)
(2.20)
(2.21)
где фь ^2 —решения однородного уравнения (2.19) при условиях ф] (0) =0, ^ (0) = 1 и Фг (А) =0, ^ (ft) = 1, а w = 'hW = — *2(0) — их вронскиан.
Тогда
Л
t(z, t) = f О (г, С, tH (^d^,(2.22)
0(2, c, t^=A- ( e-i^G* (г, s)ds, (2.23) 1^ — 00
где у > 0 столь велико, что выше контура интегрирования функция G* аналитична по s.
Для того чтобы доказать ограниченность ф(2, /) при t^oo, нужно исследовать поведение интеграла (2.23). Нетрудно убедиться, что функция №(s) аналитически продолжается из верхней полуплоскости через вещественную ось всюду, кроме точек s = (7(0) и (/(/i), и имеет нули там, где s равно собственным значениям однородного уравнения. Тогда функция G*(s) аналитически продолжается из верхней полуплоскости через вещественную ось всюду, кроме точек s = (7(0), U^, U(z) и U^), и имеет полюсы там (и той же кратности)> где s равно собственным значениям однородного уравнения. Функция ф1 (2, s) в точках s = (7(0), U (2) имеет ветвление, но можно доказать, что она там непрерывна; как следствие, вронскиан №($) непрерывен всюду в области Ims>—е при достаточно малых е > 0. Более того, если s = (7(0) и (7 (Л) не являются собственными значениями, то в верхней полуплоскости и в окрестности отрезка {(7(0), U (/i)} на которую U7(s) аналитически продолжается при любых разрезах из его концов, имеется конечное число собственных значений (действительно, если s = (7(0) не есть собственное значение, то ^ = ф1(Л, s) т^ 0; по непрерывности ф1(2, s) У= 0 и в окрестности точки s = (7(0); кроме того, эта функция аналитична и не может иметь нулей при больших |s|. Поэтому не может быть и произвольно больших по модулю собственных значений — по* так называемой теореме о полукруге Ховарда (1961) все они лежат в круге с диаметром на отрезке [(7min, (7тах].
Для дальнейшего изложения деформируем пути интегрирования по £. в уравнениях (2.20) и (2.22) так, чтобы они обходили снизу точки £ = ^, в которых U^ равняется вещественным собственным значениям s, а в уравнении (2.23) опустим контур интегрирования по s на фиксированное расстояние под. вещественную ось с подъемами оттуда по краям вертикальных разрезов к точкам s = (7(0), U (2), (7(g), (7(/i) и обходом вокруг этих точек по окружностям радиусами порядка с//, нигде не приближающимся к собственным значениям ближе, чем на половину радиуса. Тогда при t-^oo интегралы по горизонтальным частям контура экспоненциально затухают, а по окружностям и вертикальным отрезкам остаются ограниченными, и нужно лишь добавить сумму вычетов в полюсах между старым и новым контурами интегрирования — в тех точках s, которые являются собственными значениями. В простом полюсе вычет пропорционален G* (2, ^, s) е~lkst, в /г-кратном —дк~ [б* (2, £, s) е~lksi 1ldsk-1. Эти вычеты выделяют из уравнения (2.22) волновые решения, которые только и могут создать неограниченный рост ф(2, (), что и доказывает теорему Дикого.
Отметим, без доказательств, что для устойчивости течения с так называемым профилем скорости «типа А» — монотонным профилем, для которого U' (2) > 0 и имеется одна точка перегиба г_=х (так что U"z=U" = 0y в которой U^ максимально (так что U"' <0),— необходимо и достаточно отсутствие невещественных собственных значений с при k = 0 или же выполнение следующего условия Розенблюта и Саймона (1964):
h h
u\u-UYX \+\u4u'Y4U-UYxdz>0.(2.24)
о 0
В частности, здесь достаточно, чтобы профиль Щг) не имел точек перегиба (Рэлей (1880)) или же чтобы существовала такая постоянная С, что (t/ (z)—G^U'^z^^O при всех z (Фьортофт (1950); ясно, что это условие обобщает условие Рэлея). Наоборот, течение с профилем скорости «типа А», при 0 ^ z ^ А/2 симметричным относительно точки z = h!2, всегда неустойчиво (Толмин (1935); см. также Дикий (1976)). Неустойчив также тангенциальный разрыв скорости, т. е. течение с профилем скорости вида U(z)=Uo при г > 0, Щг) =—Uo при z<0 (так называемая неустойчивость Гельмгольца). Качественно возникновение здесь абсолютной неустойчивости может быть объяснено с помощью совсем простых физических соображений. В самом деле, рассмотрим идеальную жидкость с нулевой вязкостью, два слоя которой скользят один по другому с противоположными скоростями Uq и —Uo, образуя поверхность разрыва скорости. Допустим, что в результате некоторого возмущения на поверхности разрыва образовалась волна малой амплитуды. Предположим для простоты, что эта волна остается неподвижной. В таком случае над гребнями волны линии тока будут сгущаться, т. е. скорость повысится, а в ложбинах линии тока станут реже и скорость уменьшится. Вследствие уравнения Бернулли u2/2 +р/р = const над гребнями волн давление будет понижено, а в ложбинах повышено. Таким образом, в жидкости возникнут поперечные градиенты давления, которые будут стремиться увеличить амплитуду волны. В дальнейшем это увеличение амплитуды приведет к тому, что волна распадется на отдельные вихри, положив начало турбулизованной зоне.
Теоремы Рэлея и Фьортофта можно доказать при произвольных начальных данных, не рассматривая элементарных волновых решений. Так, из уравнения (2.15) для его решения ф, зависящего от х по закону eikxt вытекает интегральное соотношение
-^- ^ (|-ф' |2 + &2|-ф |2)rf;ar — 2Re Z/e $ U(ip" — &2ip)ip*dz = 0. (2.25)
Пусть теперь выполняется условие Фьортофта, так что существует постоянная С, для которой функция (t/— C)IU" не имеет особенностей и всюду неотрицательна. Умножим уравнение (2.15) на (ф*"— &2ф*) (U—C)IU". проинтегрируем результат по z, возьмем вещественную часть от того, что получилось, и сложим ее с (2.25). Тогда получим равенство
4- j[|^l2 + ^^l2 + (t/-C)(Z/")--|ip"-^|2]dz = 0. (2.26)
Итак, при условии Фьортофта из малости интеграла в левой части (2.26) в начальный момент t = 0 следует малость в среднем
квадратичном величин ф, ф' и ф" в любой момент времени, т. е. устойчивость течения.
Смысл квадратичного интегрального инварианта в соотношении (2.26) можно понять, рассмотрев, следуя Арнольду (1965), устойчивость, по Ляпунову, двумерного течения несжимаемой идеальной жидкости. Функция тока ф(х, 2, /) такого течения удовлетворяет нелинейному уравнению для вихря
(2.27)(2.27)а Аф . д(ф, Аф)dt ' d(x, z) ’
(2.27)
(2.27)
где А—двумерный лапласиан, а второй член в левой части — это якобиан ф и Аф (линеаризация уравнения (2.27) относительно 2
t|)i = i|)+ J(/(z) dz возвращает нас к уравнению (2.15)), с краевыми условиями непротекаемости границы tp (Г) = const и сохраняемости на ней циркуляции у-^-б/Г = const. Здесь не меняется со временем не только полная кинетическая энергия (на единицу массы) e = V2 J |7ф|2б/хб/г, но и интеграл от любого функционала от
вихря ^ = J^W) dxdz. Для исследования устойчивости стационарного течения с функцией тока фо (которую будем считать монотонной функцией от вихря фо = Чг(Афо)) подберем сохраняющийся функционал /*’(ф)=е+^ так, чтобы при ф=фо он имел экстремум. Легко убедиться, что для обращения в нуль первой вариации ар следует положить Ф'= Т. Для плоскопараллельного течения со скоростью u^ = U^ справедливо равенство Ч^Афо^ = U(z)IU" (2). В системе отсчета, движущейся относительно исходной с постоянной скоростью с, получим
f №-F (ф0) = ^ f №6< + ((/-- cHU'T' W)2] dx dz +... (2.28)
При условии Фьортофта эта квадратичная форма относительно 6ф положительна и может быть принята за квадрат нормы ||6ф||2 Для линеаризированных уравнений она, согласно (2.26), является точным инвариантом. Для нелинейных же уравнений таковым является квадрат нормы ||6ф||2, задаваемый левой частью соотношения (2.28). Однако эти нормы эквивалентны в том смысле, что существуют положительные константы Ci ^ С2, обеспечивающие неравенство С1||6ф||(1) ||6ф||(2) ^ С2||6ф||(1). Если начальная норма ||6ф||(1) мала, то мала и инвариантная норма ||6ф||(2), а тогда все время малой остается и II 6ф||(1), так что здесь из линейной устойчивости вытекает нелинейная устойчивость по Ляпунову.
В природных течениях часто встречаются случаи, в которых стабилизирующее действие устойчивой стратификации N^ (2) > О конкурирует с дестабилизирующим влиянием неустойчивого про-
филя скорости U^zY В этих случаях вместо уравнений (2.6) иля (2.15) получается следующая их комбинация:
(4+и 4)[(4+и 44и - и" 41+а т - °- <2-29>
Для элементарных волновых решений вида ф(г) exp \1к^х— с/)] получаем
W-c^U-cM-k^WtMW- (2.30)
Обозначим U — c = W и введем новую неизвестную функцию Чг = фЦ7-,/2 Тогда уравнение (2.30) преобразуется к виду
(^4jV)' - [4" U" + k2W + U'V~' (4 - Ri)^ = 0,(2.31)
где
RI (г) = ,VS («Г™ - -L ^-^(^^ (2.32> это так называемое число Ричардсона. Умножим уравнение (2.31) на комплексно-сопряженную величину V*, проинтегрируем результат по отрезку 0 ^ z ^ h при краевых условиях 4f = 0 (т. е. w = 0) на обоих концах этого отрезка и выпишем мнимую часть полученного равенства:
h
(Im с) Ц| У' |2 + к21 Т |2 - (4 - Ri) I U'W'12] dz = 0. (2.33)
Если всюду Ri (z) ^ V4, то это равенство возможно лишь при условии Imc = 0, т. е. при отсутствии неустойчивых волновых решений. Таким образом, условие Ri ^ V4 достаточно для устойчивости стратифицированного течения (Майлс (1961); Ховард (1961)).
До сих пор мы рассматривали лишь двумерные волновые возмущения и^х, z), w^x, z) плоско-параллельных течений со скоростью Uo={t7(z), 0, 0), так как их устойчивость достаточна для устойчивости и трехмерных волновых возмущений (на волны. ei (ktX + k2y-ot) влияет лишь проекция u0-kfe“l основного течения), С помощью инварианта (2.26) это можно доказать и для возмущений, произвольно зависящих от времени: если двумерные возмущения скорости и вихря ограничены, то ограничены также умноженные на U” трехмерные возмущения скорости и z-компоненты вихря (а другие его компоненты могут линейно расти со временем).
Остановимся еще вкратце на устойчивости стационарных осесимметричных течений, направленных вдоль оси х и имеющих профиль скорости t/(r), r= (r/2+z2),/2. Используя цилиндрические координаты (х, г, ф), рассмотрим малые волновые возмущения
вида u(r)exp [ik(x— с/)+1Пф). Тогда для комплексной амплитуды / = ur(r) из формулы (2.12) получаем следующий аналог уравнения Рэлея (2.16):
тс\ Г_5L^rfЛ dQ_ ,Q
^С)L дгn2 + fe2r2dr'Jr dr 'u’
Q =’TrqrpTT^ “37“(2.34)
с краевыми условиями f-^0 при r->-oo (для осесимметричной струи в неограниченном пространстве) или ЦК) =0 (для круглой трубы радиусом R). Умножив (2.34) на rf*^u— с)-1, проинтегрировав по г и взяв мнимую часть, получим:
Imc ^r2|f|2|i/-cr2-|^dr = 0,(2.35)
откуда видно, что для неустойчивости (для выполнения условия Imc#=0) необходимо, чтобы производная dQjdr в какой-то точке меняла знак (Рэлей (1892); см. также Бэтчелор и Гилл (1962) и Шоде (1962)). Например, в течении Пуазейля в круглой трубе U(г) =t/max(l —г2//?2), и разрастающиеся неосесимметричные волновые возмущения в случае, когда п^О, невозможны (при п = 0 здесь dQ/dr=Ot и уравнение Рэлея вообще не имеет собственных значений). Если dQ/dr меняет знак в точке гс, и Щгс) = иС1 то, согласно Бэтчелору и Гиллу, для неустойчивости необходимо, чтобы где-то в течении выполнялось неравенство (t/ — Щ dQJdr < 0 (это условие аналогично условию Фьортофта). Проблема устойчивости здесь, по-видимому, как и выше, полностью сводится к изучению дискретного спектра уравнения Рэлея. Отметим, что Бэтчелор и Гилл (1962) у осесимметричных струй и Сато и Окада (1966) у осесимметричных следов обнаружили, что неустойчивость возможна лишь при п = 1.
Бароклинная неустойчивость
В предыдущем параграфе мы видели, что в несжимаемой жидкости адиабатические возмущения поля скорости могут возрастать лишь за счет кинетической энергии основного течения (см. уравнение энергии (2.14)). Такая неустойчивость называется баротропной, так как она свойственна вообще баротропным жидкостям, Т. в. ЖИДКОСТЯМ, у КОТОРЫХ р еСТЬ фуНКЦИЯ ТОЛЬКО ОТ р (ПОСКОЛЬКУ В ЭТО1Й случае баротропная потенциальная энергия, возникающая из-за двумерной сжимаемости, очень мала). В бароклинных же жидкостях, у которых р зависит не только от р, но также и от Г и от концентрации имеющихся примесей, становится возможной также так называемая бароклинная неустойчивость — рост возмущений за счет доступной потенциальной энергии основного состояния. Эта неустойчивость играет большую роль, в частности, в формировании синоптических процессов в земной атмосфере и в Мировом океане.
Рассмотрим бароклинную неустойчивость на примере квазигидростатических течений в атмосфере, используя для их описания уравнения гидродинамики в изобарических координатах (в которых ось х направлена на восток, ось у — на север, а в качестве вертикальной координаты используется давление р). При этом будем считать эти течения также квазигеострофическими в том смысле, что в них перепады давления приблизительно уравновешиваются силой Кориолиса,
так что неизвестные функции представляются в виде асимптотических рядов по степеням числа Кибеля Ki = URL, имеющих вид и0 + «iKi + ..., ио + ^iKi +.. .„ Zo + ^KiH-... и a)jKi+... Учтем здесь также возможность медленного изменения параметра Кориолиса по широте, положив f = f0 + ft Ki, где f0 квазипостоянно. В нулевом приближении из уравнений гидродинамики получаются так называемые формулы геострофического ветра
(2.36)(2.36)_8 дг» „ _ g дг0
(2.36)
(2.36)
°~b ду ’ V°- fo дх ’
так что gfQ xzQ есть функция тока геострофического течения; при этом Dh = О (здесь Dh — это горизонтальная дивергенция скорости). В первом приближении из уравнений гидродинамики получаем
dhoiio ££ дгх
(2.37}(2.37}—tbUx-h^-S-^-,
(2.37}
(2.37}
dn^o . ££dzx
-d^^bux-Vbu^-g-^
dhQ д . д , дтде—^* — ”5Y + “о -5^- + и° “5^индивидуальная производная по вре-dhQ д . д , дтде—^* — ”5Y + “о -5^- + и° “5^индивидуальная производная по вре-мени относительно геострофического течения. Отсюда для вихря скорости,до0 ди0 gгеострофического течения ——-у—Аг0 находимdho / g 1 Л 1 t ( ди'мени относительно геострофического течения. Отсюда для вихря скорости,до0 ди0 gгеострофического течения ——-у—Аг0 находимdho / g 1 Л 1 t ( ди'дхдх0.0.(2.38}(2.38}
dhQ д . д , д
тде—^* — ”5Y + “о -5^- + и° “5^индивидуальная производная по вре-
dhQ д . д , д
тде—^* — ”5Y + “о -5^- + и° “5^индивидуальная производная по вре-
мени относительно геострофического течения. Отсюда для вихря скорости
,до0 ди0 g
геострофического течения ——-у—Аг0 находим
dho / g 1 Л 1 t ( ди'
мени относительно геострофического течения. Отсюда для вихря скорости
,до0 ди0 g
геострофического течения ——-у—Аг0 находим
dho / g 1 Л 1 t ( ди'
дх
дх
0.
0.
(2.38}
(2.38}
В то же время нетрудно убедиться, что из уравнения переноса тепла, взятого в первом приближении, поделенного на а2с2 (где а2 = H2NqC^2 — безразмерная частота Брента—Вяйсяля, а Н — так называемая толщина однородной атмосферы) и затем продифференцированного по р (при квазипостоянном с2), для изобарического аналога вертикальной скорости w* получаем
дау1gdh,др2dz0
др— с2dtдра2др ‘
Учитывая, что уравнение неразрывности здесь имеет вид
ди,,ди,-,dw*
дх'дудр’
складывая уравнения (2.38) и (2.39), находим
d^0._g., t, 8bдр2дг»
dt_о,и—f +дра2др .(2..U)
Величина Q представляет собою в квазигеострофическом приближении так называемый потенциальный вихрь, и уравнение (2.40) означает, что он является инвариантом геострофического течения. Опуская всюду в дальнейшем нуль у z0, перепишем уравнение (2.40) аналогично обычному двумерному уравнению для вихря (2.27):
dt Т д(х, у) -и>
(2.41).
Отличия этого уравнения от уравнения (2.27) заключаются в замене двумерного оператора Лапласа А трехмерным (при устойчивой стратификации — эллиптическим) оператором $ и в добавлении создаваемого вращением и сферичностью Земли слагаемого Краевое условие на поверхности Земли (обращение вертикальной скорости в нуль) здесь можно привести к виду
■им^"^"^^ при р=р°-■им^"^"^^ при р=р°-(2.42)(2.42)
■им^"^"^^ при р=р°-
■им^"^"^^ при р=р°-
(2.42)
(2.42)
Докажем, что уравнения (2.41), (2.42) имеют квадратичный интегральный инвариант — полную энергию
(Vftz)2(Vftz)2dxdydp +-^-dxdydp +-^-foPofoPoz2 dx dy.z2 dx dy.
(Vftz)2
(Vftz)2
dxdydp +-^-
dxdydp +-^-
foPo
foPo
z2 dx dy.
z2 dx dy.
(2.43)
Действительно, продифференцировав это выражение по времени, проинтегриро-
dz д dz_
вав величины типа—^— по частям и применив формулу Гаусса—
Остроградского, получим:
-gp^-YV-^dxdydp+^гп. 7—dpd^ +
^S^^rV^+^V248,^-4A)
где 2 — боковая цилиндрическая поверхность, п — орт нормали к ней, aS — нижняя поверхность р = р0. Вследствие (2.41) первое слагаемое здесь пропорционально интегралу от d^, Q)/d(x, у), который интегрированием по частям приводится к интегралу от (z2Qx)i/— (z2^y)x> а затем к интегралу j dp ф z2 X х(&х dx + Q.ydy\ Значит, j dp ^ z2 d^ = 0, так как на боковой границе при р = const должно быть z = const (условие непротекания). Второе слагаемое в (2.44) обращается в нуль вследствие постоянства циркуляции на границе (^) n-^zdl = const. Равенство нулю третьего слагаемого доказывается, как и для первого, но с использованием формулы (2.42) вместо (2.41). Таким образом, de/dt = 0.
Заметим, что z— Г(р) при произвольной функции Г(р) есть вновь решение уравнения (2.41) при краевом условии (2.42). Поэтому в (2.43) из dz]dp можно вычесть произвольную функцию от р, а из z — произвольную постоянную С. Отсюда следует неизменность во времени среднего по х, у значения dz/dp величины dz/dp при каждом р, а также и среднего значения z при р = р0. Если положить Г(р) = z(p) и c = z(po), то получится минимальное значение энергии (2.43):
dz \2. , ,.-^-j dxdydp-Vdz \2. , ,.-^-j dxdydp-V$2 2
dz \2. , ,.
-^-j dxdydp-V
dz \2. , ,.
-^-j dxdydp-V
( V h^) “h 2 2
а с0
(2.45)
Первое слагаемое здесь соответствует кинетической, второе — бароклинной и третье — баротропной доступной потенциальной энергии. Отношения этих слагаемых равны 1 : (L/Lr^ : (A/Lo)2> гДе L— горизонтальный масштаб возмущений, Lr = HNQf^~l — так называемый радиус деформации Росби, a Lo = cQfyl — масштаб баротропных возмущений, введенный Обуховым (1949).
Рассмотрение вопросов устойчивости квазигеострофических течений (2.36), (2.41) — (2.42) начнем с более простого баротропного течения, метод выделения которого был сформулирован в работе Монина (1958 6): он заключается в предельном переходе а->0, причем производные dzlds перестают зависеть от р. В результате уравнение (2.41) принимает вид
52”^ । 5 (if, 2рр + f) _n.at + d(x, y)
(2.46>
2’1г|) = Дфip = g^'z.co
Потенциальный вихрь (средний по толще атмосферы) равняется- Q = З^ф 4- f, а в полной энергии (2.45) выпадает второе слагаемое (бароклинная доступная потенциальная энергия). Проанализируем теперь методом Арнольда устойчивости стационарного зонального баротропного течения с потенциальным вихром Qo, монотонно зависящим от широты, так что функцию тока можно представить в виде фо = ^(Qo). Тогда, аналогично (2.26), у функционала Г(ф) =е + j Ф^) dxdy первая вариация обратится в нуль при Ф'= ^ а вторая окажется равной
f21
(Гбф)2 + -^- (6!P)2 + Ч<' (йо)(бй)2 dxdy, (2.47)- соI
откуда видно, что для устойчивости течения (обращения F в минимум при ф = ф0> т. е. выполнения условия 62F > 0) достаточно, чтобы выполнялось неравенство ^'(QoJ^O. Обычно в системе общей циркуляции атмосферы выполняется противоположное условие ^'(Qo) < 0, так как зональное течение^направлено с запада на восток, т. е. возрастает с севера на юг, а поведение Qo определяется в основном слагаемым f, возрастающим с юга на север: ф0 оказывается убывающей функцией от Qo- Однако это поведение можно переменить на противоположное, перейдя к системе отсчета, вращающейся относительно исходной с постоянной угловой скоростью и обгоняющей зональное течение. Таким образом, справедлив следующий аналог теоремы Рэлея: для устойчивости зонального баротропного течения достаточно, чтобы потенциальный вихрь монотонно зависел от широты (Го (1949)).
2^-^dxdy,(2.48)2^-^dxdy,(2.48)Вполне аналогично выясняются достаточные условия устойчивости зонального бароклинного течения. В этом случае, согласно условию (2.42), имеется еще краевой инвариант (дф/др + а2ф/р)р_ро, и устойчивость зонального течения с функцией тока ф0 обеспечивает минимум при ф = фо функционала
2^-^dxdy,(2.48)
2^-^dxdy,(2.48)
F(ip) = e+j ф(р, s)dxdydp + J Г (-^"4■Р-Po
где Ф(р, Q)—произвольная функция двух переменных, а Г — произвольная функция одной переменной. Для обращения в нуль при ф = ф0 первой вариации ^F допустим, что Qo при каждом р есть монотонная функция от широты, так что можно положить фо = Чг(р, Qo), и что (дфо/др + а2ф0/р)р —ро также есть
монотонная функция от широты, так что при р = ро можно положить ф0 = Х(дф0/др + а2ф0/р). Тогда нетрудно убедиться в том, что для обеспечения требования 6F = О следует положить дФ/dQ = V и Г' = | -^—^ |^
\ 0/ р = р0
и что при этом вторая вариация d2F приводится к виду
4- т (^’+-^ w 1 ^ “»+Со а. \ op J дйу
а2 V1
~^"^) \dxdy. (2.49)
Для устойчивости зонального течения» т. е. 62F > 0, было бы достаточным выполнение обоих условий дфо/дйо > 0 при каждом р и X' < 0 при р = р0. Как и в выражении (2.47), первое из этих условий можно обеспечить переходом к опережающей зональное течение вращающейся системе отсчета. Однако второе условие при этом сведется, грубо говоря, к неестественному требованию роста приземной плотности от полюсов к экватору. Заменим его условием ^д^/др + + а2ф/р)р_ро = const (грубо говоря, требованием постоянства приземной плотности) ; тогда вариации этого выражения будут равны нулю, и для устойчивости зонального бароклинного течения будет достаточно, чтобы при каждом р потенциальный вихрь убывал с севера на юг (Чарни, Стерн (1962)).
Однако эти достаточные условия бароклинной устойчивости выполняются в земной атмосфере и Мировом океане, по-видимому, довольно редко. Для изучения неустойчивых возмущений линеаризируем уравнения (2.41) —(2.42) относительно стационарного плоско-параллельного течения вдоль оси х со скоростью —d^oldy = U (у, р):
/ д п д \(.., fo д р2 дф \ ।
\ dt + dx / ^ ^ с2 др a2 др
, (d2U.dffodр2dU А дФа.
"г" Iду2'ду^дра2др I дх ’
(2.50)
Уравнение энергии для возмущений, аналогичное (2.14), теперь имеет вид
1 д2 dt1 д2 dtz2 dyz2 dyдф"дудф"дуdU . /оР2 dф dф dU \ , vТГ*^”аГТ1ГТГУ1"1р'dU . /оР2 dф dф dU \ , vТГ*^”аГТ1ГТГУ1"1р'(2.51)(2.51)
1 д
2 dt
1 д
2 dt
z2 dy
z2 dy
дф
"ду
дф
"ду
dU . /оР2 dф dф dU \ , v
ТГ*^”аГТ1ГТГУ1"1р'
dU . /оР2 dф dф dU \ , v
ТГ*^”аГТ1ГТГУ1"1р'
(2.51)
(2.51)
где чертой сверху обозначается среднее значение по х. Специфическим для бароклинной неустойчивости здесь является второе слагаемое в правой части, —7—7 0РО.
которое пропорционально величине —up' —и совпадает с ней по знаку.
Таким образом, например, при др^ду > 0 для неустойчивости нужно, чтобы было t/p'<0, так что при нарастании возмущений более тяжелые частицы (р' > 0)
должны, опускаясь, смещаться к югу (и'<0), а более легкие (р'<0), наоборот, поднимаясь, смещаться к северу (и'>0). Сосредотачиваясь далее на этом эффекте, будем считать, что U зависит лишь от р, и будем искать волновые решения ф уравнений (2.50) в виде ф(р)ехр№(х— сЦ + (^]. Тогда, полагая j^v-\-1^ = !^ ^ для комплексной амплитуды ф(р) получаем:
(2.52)(2.52)О ^ др а2 др Чг *
(2.52)
(2.52)
R_ dffoдр* дУ
дус2 др а2 др •
при
p-f- <у-=>(-35"+-^-»)-^-°; г-тг+^и- ^
Уравнение (2.52) отличается от уравнения Рэлея (2.16) в основном лишь слагаемым df/dy. Однако краевое условие (2.53) теперь 6oJiee сложное: оно содержит собственное значение с. Заменив его условием д^(др + а2ф/р = 0, можно доказать устойчивость при В > 0 (т. е. теорему Рэлея или частный случай теоремы Чарни—Стерна), или, если В один раз меняет знак, то устойчивость при ^U — К)В < 0, где К — значение U в точке, в которой В меняет знак (аналог теоремы Фьортофта). Условие же (2.53) может порождать неустойчивость, но лишь так, что при каждом К не может быть более одного растущего волнового решения. Это можно доказать для конечно-разностной аппроксимации уравнений (2.52) — (2.53), при которой отрезок 0 С Р ^ ро разбивается точками Р\, ..., рм-\ на N равных частей длиной б = pojN и уравнения записываются в разностном виде
Wn ^yn-ijt 52rn+‘/252^ %у + Мп О»
(2.54)
(ио - с) (2Ё»^_ + s^) _ f0% = о,(2.55)
где г^ _ ^$ — некоторое среднее значение foP2/a2co межДУ точками рп и pn~\' а ^о = (®2/^)р — р • Тогда справедлива следующая теорема (Дикий (1973)): если все Вп> 0 или все Вп<0 (условие Рэлея) либо же последовательность Вп один раз меняет знак и существует такая константа С, что (Un — С)Вп < 0 (условие Фьортофта), то уравнения (2.54) при краевых условиях
•^N = ^N_;,(2.56)
^1 =-фо —А" (с) -фо; ^ (с) = а + ь ^— ; а>0,(2.57)
имеют не более одной пары невещественных комплексно-сопряженных собственных значений.
Для доказательства фиксируем вещественное с и, начиная с (2.56), находим из уравнения (2.54) последовательно ф^-г в виде отношения многочлена первой степени от с к UN_X—с, затем флг_3 в виде отношения многочлена второй степени к(6/дг_1—c)^UN_2— с) и т. д. до фо, равного отношению многочлена (N—1)-й степени к ^UN — X—с) ...(Ux—с). Тогда собственные значения уравнений (2.54) с краевым условием (2.57) получаются как пересечения графиков функции Л1(с) = (зр1 — ф0)ЛФ0 и гиперболы К (с). Для того чтобы рас-
2 фп + ф/г + 1ГП + Ч-г 622 фп + ф/г + 1ГП + Ч-г 62считать дМ/дс, продифференцируем по с уравнение (2.54), поделенное на U ,г — су и получим
2 фп + ф/г + 1
ГП + Ч-г 62
2 фп + ф/г + 1
ГП + Ч-г 62
1,2।2 фп- 1 фп
« фп + ГП — ‘/2§2
(2.58}(2.58}ВпЦ)п । Вп^п
(2.58}
(2.58}
Un-c *Т" kUn-cy
где ф„ = d^nldc. Умножим уравнение (2.54) на фп(^п — с)-1, вычтем умноженное на ф„ уравнение (2.58) и просуммируем результат по п от 1 до N—1, используя правило, аналогичное интегрированию по частям. В результате получим
N — 1Л2 2 .2 д.М Vп— 1N — 1Л2 2 .2 д.М Vп— 1^П^П(Un-cV '^П^П(Un-cV '(2.59)(2.59)
N — 1
Л2 2 .2 д.М V
п— 1
N — 1
Л2 2 .2 д.М V
п— 1
^П^П
(Un-cV '
^П^П
(Un-cV '
(2.59)
(2.59)
Кроме того, умножим уравнение (2.54) на i|)n(L7n— с)-1 и просуммируем по п;
-62 Е Фп - 6 ' Е d- '/2 (Фп - Фп-1)2 - ^ч, (41 - Фо) Фо +
+Ет^-°-,2Ю>
При с->±оо функции фл имеют пределы, удовлетворяющие получающемуся из (2.54) предельному уравнению
1,2 | . 2Фп-1—Фп 2Фп —фп+1/о
^Фп + ГП-‘/2 §2ГП+'/2 §2 —
и из уравнения (2.60) видно, что в пределе ф0 ¥= 0 и ф1 У= ф0, так что lim М (с) конечен, отличен от нуля и отрицателен.
При условии Рэлея, например, когда все Вп > 0, из (2.59) получается дМ]дс > 0, и поскольку знаменатель у М (с)—многочлен (N—1)-й степени без невещественных корней, график М(с) имеет N—1 точку разрыва и, значит, состоит из N возрастающих ветвей. Горизонтальная асимптота гиперболы ^(c) лежит выше, чем в случае Л!(с). Если вертикальная асимптота /((с) проходит через одну из точек разрыва М(с), то К (с)—М(с) есть отношение многочлена (N— 1)-й степени к (с — Ci)... (с— C/v-i), где сп — корни ф0, так что у уравнения (2.54) оказывается N— 1 собственных значений. При этом К^ пересекает все ветви Л4(с), кроме, может быть, двух-трех, примыкающих к общей асимптоте, и одной из крайних, так что число точек пересечения — не менее N — Зи числоневещественных собственных значений — не более ^N—1) — (N— 3) = 2. Если асимптоты совпадают, то ^(c)—М(с) есть отношение многочлена N-й степени к (с — Ь) (с — £1)... (с — cN-\)> и получается N собственных значений. При этом /<(с) может не пересечь лишь две ветви М(с), т. е. вещественных корней — не менее N— 2, а невещественных — не более N— (^ —2) =2.
При условии Фьортофта, умножив уравнение (2.59) на С — с и прибавив. (2.60), получим:
= £ [ ^ + Г ч _% + -^9^- < ] ■<2 ■62 >
и функция М(с) = (С — с)М(с) имеет положительную производную. Точки разрыва у нее те же, что у М(с), и те же нули плюс N-и нуль с = С. Точки ее пересечения с (С — с) К (с) подсчитываются вполне аналогично вышеизложенному. Тем самым теорема Л. А. Дикого полностью доказана.
Бифуркации
Топологические особенности фазового потока w (^t) ^Tt^^O), описывающего эволюцию всех течений жидкости в данной геометрии при всевозможных начальных данных, обычно зависят от некоторого параметра р, характеризующего степень неравновесности фазового потока, в случае вязкой жидкости — от числа Рейнольдса или от того или иного его аналога.
В число особенностей фазового потока входят, в частности, неблуждающие фазовые точки (т. е. такие, что любая их окрестность пересекается с некоторой фазовой траекторией по меньшей мере дважды). К числу таких точек относятся, в частности, неподвижные точки, соответствующие стационарным решениям уравнений гидродинамики, и периодические точки, лежащие на замкнутых траекториях, соответствующих периодическим по времени решениям. Далее, к ним относятся предельные точки траекторий о)оо = = lim Tt.w (если такие пределы существуют) и состоящие из них к
предельные множества Qto (если со е Qto, то точка со называется устойчивой по Пуассону), а также и инвариантные множества (заполненные целыми траекториями). Таковы же и границы инвариантных множеств, так что эти множества всегда можно считать замкнутыми. Предельные множества также являются замкнутыми инвариантными; непустое замкнутое инвариантное множество, не имеющее обладающих такими же свойствами подмножеств, называется минимальным. Упомянем еще рекуррентные точки cd, для которых при любом в > 0 существует такое то > 0, что г — окрестность отрезка траектории {7/<о}, ^е[т, т + то], при всяком т содержит всю траекторию (по теореме Биркгофа, для рекуррентности (о необходимо и достаточно, чтобы замыкание траектории 7/0) было минимальным множеством), а также аттракторы, т. е. минимальные множества Л неблуждающих точек, имеющие окрестности, появляющиеся в которых фазовые траектории все асимптотически приближаются к Л. Аттракторы, отличающиеся от конечных сумм гладких многообразий (в том числе от неподвижных точек и замкнутых траекторий), называются странными.
Перечисленные особенности фазовых потоков могут быть весьма разнообразными. Так, например, у простейшей двумерной линейной динамической системы и=Ли неподвижная точка и = 0 в зависимости от собственных значений М, Х2 матрицы А может быть узлом (Xi и Х2— вещественны и одного знака), седлом (Xi и Х2 — вещественны и разных знаков), фокусом (Xi, Х2 — комплексные сопряженные) или центром (Xi, Х2 — мнимые сопряженные) (рис. 2.9). В частности, в окрестности седла траектории суть гиперболы, обе асимптоты которых проходят через седло, причем одна из них служит осью сжатия (так называемое неустойчивое многообразие седла, состоящее из точки и = 0 и двух уходящих лолутраекторий — неустойчивых сепаратрис), а другая — осью
растяжения (устойчивое цддгообразие, состоящее из и = 0 и двух входящих траекторий — устойчивых сепаратрис).
При изменении определяющего параметра ц (например, при увеличении Re) фазовый поток деформируется, и при некоторых критических значениях Hicr, Ц2сг, • • .какие-то из его особенностей появляются или исчезают или претерпевают качественное изменение. Такие изменения топологических особенностей фазового потока называются его бифуркациями (или «катастрофами»). Про-
Рис. 2.9. Неподвижные точки и = 0 двумерного линейного уравнения и = Ди.а — узел, б — седло, в — фокус, г — центр.Рис. 2.9. Неподвижные точки и = 0 двумерного линейного уравнения и = Ди.а — узел, б — седло, в — фокус, г — центр.
Рис. 2.9. Неподвижные точки и = 0 двумерного линейного уравнения и = Ди.
а — узел, б — седло, в — фокус, г — центр.
Рис. 2.9. Неподвижные точки и = 0 двумерного линейного уравнения и = Ди.
а — узел, б — седло, в — фокус, г — центр.
демонстрируем простейшие бифуркации, рассмотрев эволюцию малых возмущений и(х, /) стационарного течения и0(х) вязкой жидкости, являющихся решениями линеаризированных уравнений гидродинамики:
U(x, 0 = Д(О«о(х); А^ = ем; X = y±ia. (2.63)
При малых Re стационарное течение ио(х) обычно представляет собой в фазовом пространстве устойчивый фокус. Это означает, что все собственные значения X линеаризированных уравнений имеют отрицательные вещественные части у < 0, так что любые малые возмущения (2.63) затухают со временем. С увеличением Re вещественные части у некоторых собственных значений возрастают, и может найтись такое критическое значение Reicr, при котором впервые какое-то из собственных значений линеаризированных уравнений X (Re) пересечет мнимую ось в комплексной плоскости X, так что у (Reicr) =0. Соответствующее возмуще-
ние (2.63) не будет ни затухать, ни разрастаться со временем, т. е. будет нейтральным.
Может оказаться, что при этом одновременно будет о (ReiCr) = = 0, так что и в целом X (Reicr)=0, значит, A^t) = l и и(х, /) = = fo(x), т. е. возмущенное поле скорости uo(x)+u(x, /)=и0(х) + + fo(x) описывает новое стационарное течение; тогда говорят, что при Re = Reicr происходит бифуркация смены устойчивости. Такая бифуркация наблюдается, например, при развитии термической конвекции в слое жидкости, подогреваемом снизу (где из состояния покоя цо(х)=О сначала образуется стационарная конвекция в виде роликов или ячеек Бенара), а также в течении Тэйлора* т. е. круговом течении Куэтта между двумя коаксиальными вращающимися цилиндрами (где из стационарного ламинарного течения образуются стационарные тороидальные роликовые вихри Тэйлора). Эти течения мы подробно рассмотрим ниже.
Если же o(Reicr) y=Oi^=0, то возмущение (2.63) при Re = ReiCr представляет собою нейтральную волну. При Re > ReiCr уже будут существовать собственные значения X с положительными вещественными частями у > 0, т. е. экспоненциально разрастающиеся со временем возмущения (2.63), так что течение ио(х) будет неустойчивым по отношению к малым возмущениям. Хопф (1942) доказал, что в фазовых пространствах динамических систем довольно общего вида при значениях Re в некоторой окрестности Reicr существует однопараметрическое семейство замкнутых траекторий; применимость этой теоремы к уравнениям гидродинамики доказана Н. Н. Брушлинской (1965). Появление замкнутых траекторий при Re > Reicr (тогда они суть предельные циклы, которым соответствуют периодические по времени течения), т. е. превращение устойчивого фокуса в предельный цикл (рис. 2.10 а) * называется нормальной бифуркацией Хопфа (см. Марсден и МакКракен (1976)); отметим, что А. А. Андронов открыл эту бифуркацию на 13 лет раньше Хопфа.
Переход неустойчивого малого возмущения (2.63) в периодическое течение описал Ландау (1944). Пока возмущение мало, его амплитуда Л(0 удовлетворяет уравнению д| Л |2/д/ = 2у| Л |2, но при конечных ]Л| его правую часть следует дополнить следующими членами ее разложения по степеням Л и Л*. При этом имеющиеся в (2.63) высокочастотные колебания с частотой |oi|» >у целесообразно исключить сглаживанием по времени (по периоду т из интервала ^nloil-1, у-1] — тогда члены третьей степени выпадут, а из членов четвертой степени сохранится лишь слагаемое, пропорциональное |Л|4. Таким образом, с точностью до членов порядка |Л|4 получается следующее уравнение Ландау.
а1^±Л =2у|ЛI2 — б[ЛI4, д>0,(2.64)
имеющее при условии, что А (0) =Л», решение
| А (0|2 = ЛАоо [^ + (А2» - А^ e-2v(]-'; Лоо = (2у/д)'л. (2.65)
Таким образом, при малом начальном Ло амплитуда |Л(/)| сначала возрастает в согласии с линейной теорией экспоненциально, как Ло^#, а затем этот рост замедляется, и при t-^oo она стремится к не зависящему от Ло предельному значению Л*, при малых Re—Reicr пропорциональному (Re—ReiCr),/2 (так как у~ ~Re—Re^r и 6^=0). Итак, при малом Re—Reicr > 0 возмущение
Рис. 2.10. Нормальная бифуркация Андронова—Хопфа (а), рождение двумерного инвариантного тора (б), бифуркация удвоения периода (в), обратная бифуркация Андронова—Хопфа (г).Рис. 2.10. Нормальная бифуркация Андронова—Хопфа (а), рождение двумерного инвариантного тора (б), бифуркация удвоения периода (в), обратная бифуркация Андронова—Хопфа (г).
Рис. 2.10. Нормальная бифуркация Андронова—Хопфа (а), рождение двумерного инвариантного тора (б), бифуркация удвоения периода (в), обратная бифуркация Андронова—Хопфа (г).
Рис. 2.10. Нормальная бифуркация Андронова—Хопфа (а), рождение двумерного инвариантного тора (б), бифуркация удвоения периода (в), обратная бифуркация Андронова—Хопфа (г).
стремится с увеличением t к периодическому колебанию Ui(x, /) с конечной амплитудой Аоо и произвольной фазой (определяемой случайной начальной фазой возмущения и потому представляющей собою степень свободы предельного течения).
Если записать уравнения гидродинамики, линеаризированные относительно периодического решения со(/) с периодом ti, символически в виде да/ !dt = Ttto', где Tt — ограниченный линейный оператор, непрерывно и периодически с периодом Ti зависящий от /, то для всякого возмущения о/ (/) периодического решения о/(/ + ti) =i/(Ti)(oz (/), где LZ(n)—линейный и ограниченный так называемый оператор монодромии. Его собственные значения pn(Re) называются мультипликаторами; один из них, тривиальный, равен единице и дальше учитываться не будет. Если все |pn|< 1, то все возмущения при каждом обходе замкнутой траектории уменьшаются, так что периодическое движение устойчиво;
если же |pn|> 1 хотя бы при одном и, то оно неустойчиво. Таким образом, с ростом Re бифуркации периодических движений происходят при переходе мультипликаторов pn(Re) в комплексной плоскости р через единичную окружность.
Так, с ростом Re может быть достигнуто новое критическое значение Re2cr, при котором пара мультипликаторов примет значения exp (±/а) (где а^О, л, л/2, 2л/3, чтобы исключить резонансы). Тогда произойдет вторая нормальная бифуркация Хопфа: периодическое течение Uo(x)+iii(x, /) станет неустойчивым относительно какого-то из возмущений вида eufi(x, ty где fi— периодическая по времени функция с периодом 2л/о, а собственное значение X имеет мнимую часть ±Ш2. При небольших Re—R2cr это возмущение будет возрастать со временем до конечного предела — квазипериодического движения с двумя периодами 2л/о! и 2^1(52 и двумя степенями свободы (фазами колебаний). Таким образом, из замкнутой траектории образуется траектория на двумерном торе (рис. 2.10 6). Если затем произойдет следующая нормальная бифуркация Хопфа, то образуется траектория на трехмерном торе, и т. д.
Если при Re—Re2cr один из мультипликаторов переходит через единичную окружность в точке р=—1, то t/(Ti)<o'(/) =— т. е. малое возмущение за один оборот по траектории и0(х) + + ui(x, /) просто меняет знак. Тогда через следующий оборот получится (o'(/ + 2ti)=—{/(TiJco^Z) =(о'(/), т. е. возмущенная траектория замкнется. Таким образом, в этом случае при Re = Re2cr происходит бифуркация удвоения периода — из периодического движения с периодом ri рождается устойчивое периодическое движение с удвоенным периодом 2ri, а исходное движение становится неустойчивым (рис. 2.10в). Таким же образом затем может произойти следующая бифуркация удвоения периода и т. д.
Если предсказываемое теоремой о бифуркации Хопфа однопараметрическое семейство замкнутых траекторий появляется еще при Re < Reicr, то в разложении Ландау (2.64) коэффициент б должен быть отрицательным, а коэффициент y~Re— Reicr будет отрицательным при Re < ReiCr и положительном при Re > Reicr- Значит, при Re < Reicr уравнение (2.64) принимает вид
-^-==-2|у| • М|2 + |6| • |Л1\(2.66)
откуда видно, что замкнутая траектория неустойчива: траектории, лежащие внутри нее, наматываются на неподвижную точку (т. е. возмущения с малыми амплитудами |Л | < Л1 = (2|у|/| 6 | у^ затухают со временем), а траектории вне ее сматываются с нее и уходят в другие области фазового пространства (иначе говоря, возмущения с конечными амплитудами |Л|>Л1 растут со временем, так что при Reicr > Re > Reicr— а2|Л|2 движение оказывается неустойчивым по отношению к таким возмущениям). При возрастании Re < Reicr замкнутая траектория сжимается, и при переходе Re через значение Reicr она исчезает — это явление
называется обратной бифуркацией Хопфа (рис. 2.10г). При Re > > Reicr уравнение (2.64) с коэффициентами у > 0 и 6 > 0 имеет решение
|Л(0|2 = Л14Ц(Лэ + ЛЬе'?*-Лэ]"1; А = (2у/|6|)'л, (2.67)
обращающееся в бесконечность за конечное время /i = (72Y)X X in [1 + (Л2М2)]. Однако ясно, что еще раньше уравнение (2.64) перестает быть пригодным и должно быть дополнено следующими членами разложения Ландау. Имеющиеся примеры показывают, что после обратной бифуркации при Re > Reicr движения, по-ви- димому, быстро приобретают непериодический характер.
Неустойчивость течений вязкой жидкости
Рассмотрим сначала вопрос об устойчивости стационарных плоскопараллельных течений несжимаемой вязкой жидкости, имеющих скорость u0={t/(z), 0, 0}, так что возмущения поля скорости и(х, /) будут удовлетворять уравнениям (2.12) с добавлением в правую часть уравнений движения слагаемого vAu, описывающего ускорение сил вязкости. Назовем такие уравнения (2.12х). Тогда для двумерных элементарных волновых решений этих уравнений вместо уравнения Рэлея (2.16) получится следующее так называемое уравнение Орра—Зоммерфельда:
(2.68)
причем в безразмерных переменных это уравнение будет иметь такой же вид и лишь v заменится на (Re)-1. Заметим, что если из четырех уравнений (2.12z), записанных для трехмерных волновых возмущений, которые зависят от х, у, t по закону exp [t&i(x — ct) + + ^2f/], исключить неизвестные и, и и р', то для w получится снова уравнение вида (2.68), но с заменой й2 на ^+^ и v на v(^2(т. е. Re на й1й-1Ре). Значит, если при данном значении Re числа Рейнольдса имеется неустойчивое трехмерное волновое возмущение с собственным значением с, то существует двумерное волновое возмущение с таким же с, неустойчивое при меньшем числе Рейнольдса ^^“^е (Г. Сквайр, 1933). Заметим лишь, что при исключении неизвестных было потеряно решение уравнений (2.12'), у которого w=0 и, значит, й1и + Й2У = 0, причем и и, и v удовлетворяют уравнению вида
J^L-^u-^tu _с)и = 0 (2.69)
с краевыми условиями и=0 (или и = 0) при z = 0, h. При Й2#=0 это уравнение имеет дополнительный спектр собственных значений с, отсутствующий у двумерных возмущений,- но он соответ-
ствует лишь устойчивым возмущениям, т. е. Im с < О (В. А. Романов, 1973). Действительно, умножив уравнение (2.69) на и*, проинтегрировав по z и взяв вещественную часть полученного равенства, найдем:
h h
J (I "IF Г + k21 ° I2) dz - d™ <0 -^- j j u I2 dz = 0, (2.70)
откуда и видно, что Im с < 0. Таким образом, с ростом Re двумерные волновые возмущения теряют устойчивость раньше трехмерных, и для анализа устойчивости по отношению к малым волновым возмущениям достаточно изучить спектр собственных значений уравнения Орра—Зоммерфельда (2.68) при краевых условиях ф = дф/дз = 0 при 2 = 0, А.
Разумеется, отсюда еще не следует, что и при Re > Recr существенными будут только не зависящие от у двумерные возмущения. Поскольку имеющиеся эмпирические данные определенно показывают, что при турбулизации двумерного пограничного слоя трехмерные возмущения играют большую роль (см., например, Клебанов, Тидстром и Сарджент (1962), Качанов, Козлов и Левченко (1982), Херберт (1988)), то исследование поведения таких возмущений при сверхкритических числах Рейнольдса также представляет интерес. Такое исследование было проведено, в частности, Уотсоном (19606) и Майклом (1961). Эти авторы показали, что в рамках линейной теории возмущений для любого плоскопараллельного течения всегда имеется такой интервал Recr < < Re < Rei значений Re, в пределах которого среди всех неустойчивых волновых возмущений наиболее быстро возрастающим (т. е. имеющим наибольшее значение Irno) будет некоторое двумерное возмущение (хотя среди возмущений с фиксированным волновым числом й при некоторых к наиболее неустойчивыми могут оказаться и трехмерные возмущения). По-видимому, однако, трехмерные возмущения часто начинают играть основную роль уже при Re, лишь слегка превышающем Recr, в результате возникновения существенно нелинейных эффектов.
В отличие от уравнения Рэлея (2.16) уравнение Орра—Зоммерфельда (2.68) не имеет сингулярностей и в случае течения в слое конечной толщины h имеет только дискретный спектр. Поэтому естественно ожидать, что в случае течения в слое любое двумерное решение уравнения (2.12') является суперпозицией элементарных волновых решений; строгое доказательство того, что это действительно так, может быть найдено в работах Ди Прима и Хабетлера (1969), Саттингера (1970) и (в более общей, но и более абстрактной форме) Юдовича (1965а, 1984). Оказывается, что справедлив следующий принцип исчезающей вязкости; растущие со временем и нейтральные волновые решения уравнений (2.12) суть пределы соответствующих решений уравнений (2.12х) при v-^О; затухающие же решения уравнений (2.12х) стремятся при этом к соответствующим решениям уравнений (2.12) лишь
вне некоторой области значений z («внутреннего пограничного слоя»), в которой их поведение определяется вязкостью, какой бы малой она ни была.
Для того чтобы сформулировать этот принцип в терминах собственных значений с уравнения Орра—Зоммерфельда, примем, что функция (7(z) определена не только на отрезке 0 ^ z ^ к, но и аналитически продолжается в некоторую окрестность этого отрезка в комплексной плоскости z. Введем функцию r(z) =[/([/ — с)]1^. Будем называть дуги в плоскости z, соединяющие точки z = 0 и z = h, допустимыми, если вдоль них U — с ф 0 и Re j г dz изменяется монотонно. Будем говорить, что с есть собственное значение вдоль дуги, если при этом с существует аналитическое вдоль этой дуги решение уравнения Рэлея, обращающееся в нуль на концах дуги.
Тогда принцип исчезающей вязкости вытекает из следующей теоремы: если при v-^0 собственное значение уравнения Орра—Зоммерфельда стремится к такому пределу с, при котором в комплексной плоскости z можно провести допустимую дугу, то с есть собственное значение уравнения Рэлея вдоль этой дуги; обратно, если с есть собственное значение уравнения Рэлея вдоль некоторой допустимой дуги, то это с есть предел при v->0 собственных значений уравнения Орра—Зоммерфельда (Линь (1945, 1955); Вазов, (1953)).
Доказательство довольно громоздко, и мы лишь вкратце изложим его идею. Введем малый параметр е = ^jkyh и функции ф1 = ф, ^2 = d^Jdz, фз = = d^ldz2 — &2ф и ф4 = Е(дфз/дг), так что уравнение Орра—Зоммерфельда будет эквивалентно следующей системе четырех уравнений первого порядка:
еф' = еф2; еф' = е^2ф1 4- £ф3;
,,,(2*71)
^“^ е^ = е2^ + i [((/ — с) ф3 — t/'^J .
Эту систему можно записать в матричной форме: еУ = РУ, где У = (фь фг, фз, ф4), а Р— квадратная матрица. Линейной заменой переменных У = (Т0 + 4- eTi + е2Тг) Ф эту систему с точностью до членов высшего порядка малости по е удается привести к виду
ЕФ1 = (г— ег/2г)фр £ф2 = (—г — ег/2г)ф2;
ФЗ = Ф4’- Ф4 = [*2+ U" VU — С)-1] ф3.‘
Последние два уравнения здесь эквивалентны уравнению Рэлея. Если в комплексной плоскости г есть дуга, вдоль которой от одного ее конца г* до другого конца z** величина Re j г dz монотонно возрастает, то введем вдоль нее две функции
(
ZX/XX
е~ ^rrfzj; Х2 = C2r—exp I —е-1(2.73)
Zo/\Zq/
нормированные так, что Xi(2**) = Х2(2*) = 1- Пусть (фз^> Ф^) и (фз2\ Ф^) — пара линейно-независимых решений для (фз, ф1), нормированных так, что их вронскиан равен единице (по теореме Лиувилля он постоянен). Тогда можно убедиться, что система (2.72) имеет вдоль указанной дуги следующие четыре линейно-независимых решения:
Ф1=(Х1 + Х1, Хр 1Н Х^; Ф2 = (Х2, Х2+ Х2, Х2, Х2);
(2.7!)
ф3=(ф|> Ф2> Фр + Фз- ф^’ + ф^; Ф4 = (ф1- Ф2- Фз2) + ФЗ- Ф42)+"ф4)>
где одна черточка означает умножение на 0(e), а две — на 0(е2). Любое решение системы (2.72) есть ^ ^^Г Выразив через него tpt и ф2 и приравняв эти величины к нулю при 2 = 0, в качестве условия разрешимости полученной системы уравнений относительно констант Су потребуем равенства нулю характеристического детерминанта А4(с). Однако для него получается
(2.75)(2.75)А4 (с) =е2 [—г*2 А2 (с) + 0(E)],
(2.75)
(2.75)
где А2(с)—характеристический детерминант для уравнения Рэлея. Отсюда и следует теорема Линя—Вазова.
Для того чтобы выяснить, какие дуги являются допустимыми, рассмотрим сначала вещественное с, и пусть zc — корень уравнения 0(2) = с. Тогда в окрестности гс имеем U — с « Uc (2 — z^. Пусть О (2)—монотонно возрастающая функция, так что 6/'>0. Положим
\rdz«e^^u'cy^\2с\rdz«e^^u'cy^\2с3Z|3/2 е 2 arg(2 — zcy (2.76)3Z|3/2 е 2 arg(2 — zcy (2.76)
\rdz«e^^u'cy^\
2с
\rdz«e^^u'cy^\
2с
3Z
|3/2 е 2 arg(2 — zcy (2.76)
3Z
|3/2 е 2 arg(2 — zcy (2.76)
Три кривые Ret) = 0 (так называемые линии Стокса) расходятся из критической точки'2 = zc под равными углами и делят ее окрестность на секторы 7, 77, в которых проходит отрезок 0 ^ 2 ^ А, и 777, где он не проходит (рис. 2.11,
Рис. 2.11. Линии Стокса при вещественном с (слева) и их образ при отображении т)(2) (справа).Рис. 2.11. Линии Стокса при вещественном с (слева) и их образ при отображении т)(2) (справа).
Рис. 2.11. Линии Стокса при вещественном с (слева) и их образ при отображении т)(2) (справа).
Рис. 2.11. Линии Стокса при вещественном с (слева) и их образ при отображении т)(2) (справа).
слева). Любые два сектора отображаются функцией 13(2) в плоскость, разрезанную по лучу, «берегами» которого являются образы линий Стокса. На рис. 2.11 справа показан образ секторов 7 + 77 на плоскости, разрезанной по положительной части мнимой оси. В этой плоскости точки т] (0) и ц (А) можно соединить кривой, на которой Ret] меняется монотонно. Ее прообраз в плоскости 2 обходит критическую точку снизу — это и есть допустимая дуга.
При U'^ < 0, наоборот, критическую точку нужно обходить сверху. При профиле U^z), симметричном относительно точки z — h^, критических точек Две, и одну надо обходить снизу (где 6/с>0), а другую — сверху (где Uc< oy Если Im с > 0 (неустойчивость) и у критической точки на вещественной оси U' > 0, то 2С и весь сектор 777 лежат выше, а при U' < 0 — ниже вещественной оси, которая при этом и является допустимой дугой. Если же Im с С 0 (устойчивость), то отрезок 0 ^ 2 ^ А пересекает все три сектора, Re^r] изменяется вдоль него не монотонно, а направление обхода допустимой дугой критической точки (со всем сектором 7/7) определяются знаком U' вблизи
нее так же, как и выше. Собственные функции уравнения Орра—Зоммерфельда в секторах I и II стремятся к собственным функциям уравнения Рэлея, в секторе же /// при малых v они, по-видимому, быстро осциллируют; в окрестностях пересечения линий Стокса с вещественной осью образуются внутренние пограничные слои.
Заметим, что трудности, возникающие при исследовании неустойчивости плоскопараллельных течений идеальной жидкости, в случае жидкости с переменной по «высоте» (т. е. координате г) плотностью сохраняются и при наличии отличной от нуля вязкости, так как здесь соответствующее обобщенное уравнение Орра— Зоммерфельда даже и при v=#0 будет иметь особенность в точке, в которой U^=c (см., например, Дикий (1960а). Поэтому механическое перенесение на этот случай правил выбора ветви многозначных решений, разработанных для случая течений жидкости постоянной плотности, произведенное в работах Шлихтинга (19356), нельзя считать обоснованным. Также и непосредственное сведение задачи об определении критерия неустойчивости к задаче на собственные значения без привлечения непрерывного спектра здесь оказывается несостоятельным из-за неполноты соответствующей системы собственных функций. Отсюда вытекает, что в случае течений жидкости переменной по высоте плотности и при v = 0, и при v^O строгий анализ устойчивости течения требует изучения асимптотического поведения при t-^oo решения соответствующей общей задачи с начальным условием. Возникающая при этом задача анализа является весьма трудной, и некоторые успехи здесь были достигнуты лишь в предположении, что v = 0 (т. е. для идеальной жидкости).
Переходя к рассмотрению конкретных плоскопараллельных течений, начнем с плоского течения Куэтта с линейным профилем скорости U^=Az. Первые попытки его изучения, предпринятые (с помощью не очень строгих математических методов) около 1910 г. рядом авторов (Орр, Зоммерфельд, Мизес, Хопф и др.), привели к выводу, что это течение является устойчивым при всех числах Рейнольдса. С одной стороны, этот вывод казался довольно естественным (так как Орром (1906—1907) было доказано, что при отсутствии вязкости течение Куэтта устойчиво, а действие вязкости, естественно, предполагалось стабилизирующим); однако, с другой стороны, он явно противоречил эмпирическим фактам о турбулизации всех известных течений при достаточно больших числах Рейнольдса.
В начале 20-х годов Прандтль (1921) и Титьенс (1925) рассмотрели вопрос об устойчивости течений с профилем скорости, составленным из отрезков прямых, и пришли к совсем неожидан-
ному выводу о том, что при наличии вязкости такие течения будут неустойчивыми при любых (в том числе и сколь угодно малых) числах Рейнольдса. В те же годы появилась большая работа Гейзенберга (1924), посвященная исследованию с помощью метода возмущений устойчивости плоского течения Пуазейля. В этой работе с помощью тонкого исследования асимптотического поведения решения соответствующего уравнения Орра—Зоммерфельда при большом Re (т. е. малом v) был получен казавшийся в то время парадоксальным (но оказавшийся тем не менее правильным) результат о том, что течение Пуазейля, которое при отсутствии вязкости будет устойчивым по отношению к малым возмущениям, в случае вязкой жидкости при достаточно больших числах Рейнольдса становится неустойчивым. Результат Гейзенберга, однако, долго вызывал серьезные сомнения, и доказательства устойчивости плоского течения Пуазейля продолжали публиковаться еще много лет (по-видимому, последнее такое «доказательство» было дано Пекерисом в 1948 г.).
В работе Толмина (1929) методом малых возмущений исследовалось течение в пограничном слое, которое он рассматривал как плоскопараллельное и имеющее профиль скорости, составленный из отрезков прямых и парабол; при этом впервые удалось получить форму «кривой нейтральных возмущений» на плоскости (й, Re), отделяющую область устойчивых возмущений от области неустойчивых возмущений. В дальнейшем Толмин (1930, 1947) и Шлихтинг (1933а, б; 1935а) перенесли эти результаты также и на случай произвольных профилей скорости. В 1944—1945 гг. вся теория устойчивости плоскопараллельных течений была критически пересмотрена Линем (1945), пересчитавшим заново основные примеры и уточнившим численные результаты Толмина и Шлих- тинга. Тем не менее из-за сложности применяемых при этом методов анализа асимптотического поведения решений уравнения (2.68) полученные результаты в некоторых отношениях долго еще нельзя было считать вполне окончательными. Дело в том, что используемые асимптотические ряды обычно имели особенность в точке z, в которой U^ —с = 0, в то время как исходное уравнение регулярно в этой точке. Поэтому большой интерес представляет нахождение равномерно сходящихся асимптотических разложений, построение которых наталкивается на значительные трудности (об этом см. Линь и Бенни (1962)). Последнее обстоятельство привело к появлению в 60-х годах целого ряда математических исследований асимптотического поведения решений уравнений Орра—Зоммерфельда (см., например, Шень (1964), Чень, Джозеф и Спэрроу (1966) и К. Там (1968), а также приложение II в книге Бетчова и Криминале (1967)). В 70-х годах удобные для использования асимптотические приближения к решениям уравнений Орра—Зоммерфельда были получены Ридом (1972, 1974) (см. в этой связи главу книги Дразина и Рида (1981), а также книгу Гольдштика и Штерна (1977), содержащую обширную библиографию).
Вернемся теперь к обсуждению результатов, относящихся к плоскому течению Куэтта. Выше уже указывалось, что ряд исследований устойчивости этого течения был выполнен еще в начале настоящего века, причем уже эти ранние нестрогие работы создавали впечатление, что указанное течение, по-видимому, устойчиво по отношению к малым возмущениям при всех значениях Re. В 50-е годы и позднее появилось много дополнительных расчетов устойчивости плоского течения Куэтта, в которых чаще всего использовались асимптотические разложения для изучения, решений соответствующего уравнения Орра—Зоммерфельда при больших значениях Re и прямые численные методы решения в случае малых и умеренных Re (см., например, Вазов (1953), Гроне. (1954), Риис (1962), Галлагер и Мерсер (1961, 1964), Дирдорф (1963), Дикий (1964), Бирих (1965), Пономаренко (1968в)„ Штерн (1969, 1970), Дэви (1973), Галлагер (1974) и Дэвис и Моррис (1983)). Во всех этих работах были обнаружены лишь устойчивые волновые возмущения; поэтому уже в 50-е и 60-е годы мало кто сомневался в том, что неустойчивые бесконечно малые возмущения плоского течения Куэтта вообще не существуют. Последующие детальные расчеты Штерна, Деви, Галлагера, а также Дэвиса и Мирриса вполне надежно подтвердили указанный вывод, однако вполне строго он был доказан лишь Романовым (1971,. 1973) (см. также книги Гольдштика и Штерна (1977) и Дразина и Рида (1981)).
В то же время данные экспериментов ясно указывали, что плоское течение Куэтта неустойчиво по отношению к возмущениям конечной амплитуды уже при сравнительно небольших Re. Неустойчивость, по-видимому, имеет место в области, ограниченной некоторой «нейтральной поверхностью» в трехмерном пространстве параметров (й, Re, Л), где Л — амплитуда волнового возмущения. Эту нейтральную поверхность попытались приближенно определить Кувабара (1967), Эллингсен, Гьевик и Палм (1970), Лессен и Чейфетц (1975), Коффи (1977) и некоторые другие авторы, результаты которых заметно расходятся. Так, например, Кувабара, опираясь на некоторые нестрогие предположения, нашел, что двумерные неустойчивые волновые возмущения конечной амплитуды появляются лишь при Re = Umaxhh > Recr тш~45 000 (здесь h — полуширина канала, Umax — скорость движущейся стенки), в то время как Эллингсен с соавторами, а также Коффи, использовавшие другие допущения, обнаружили неустойчивые возмущения уже при Re « 1000. Иной подход к задаче рассмотрели Орсаг и Келе (1980) (см. также Патера и Орсаг (1981а), Орсаг и Патера (1983), Бейли, Орсаг и Херберт (1988)). Орсаг и его соавторы опирались на результаты численного решения полных (нелинейных) уравнений, описывающих эволюцию двумерных или же трехмерных волн (либо их комбинаций) в плоском течении Куэтта. При этом они ни при каких Re не обнаружили двумерных неустойчивых возмущений конечной амплитуды, но некоторые трехмерные возмущения оказались возрастающими уже при Re «1000. Указан-
ные результаты получены без привлечения нестрогих гипотез, и они неплохо согласуются с имеющимися экспериментальными данными, но все же и эти результаты, по-видимому, не решают окончательно проблему устойчивости плоского течения Куэтта.
Перейдем теперь к рассмотрению плоского течения Пуазейля с параболическим профилем скорости U^ = Umax [1 — (z/A)2L —h ^ 2 < /г. Такой профиль скорости не имеет точек перегиба, поэтому в идеальной жидкости (при v = 0) плоское течение Пуа- зейля устойчиво относительно любых достаточно малых возмущений. Выше уже говорилось о том, что по этой причине результат
Рис. 2.12. Форма нейтральной кривой на плоскости (&, Re) для плоского течения Пуазейля по расчетам Линя (/) и Локка (1955) (2).
Гейзенберга (1924), нашедшего, что указанное течение при больших числах Re (т. е. при наличии небольшой вязкости v) уже оказывается неустойчивым, сначала казался малоправдоподобным и вызывал сомнения. Однако после того как тщательные расчеты Линя (1945, 1955), основанные на использовании асимптотических разложений специального вида, подтвердили результат Гейзенберга и позволили найти формулу кривой нейтральных возмущений Im (й, Re)=0, стало ясно, что сомнения эти не имеют оснований.
В дальнейшем расчеты Линя были повторены с помощью совсем других методов Томасом (1953), Шенем (1954), Локком (1955) и рядом других авторов (ссылки на некоторых из них можно найти в книгах Бетчова и Криминале (1967), Гольдштика и Штерна (1977) и Дразина и Рида (1981)), причем все авторы получили хорошо согласующиеся друг с другом результаты (см., в частности, рис. 2.12, где Re = C/maxA/v). Критическое число Рейнольдса Recr, отвечающее крайней левой точке нейтральной кривой по данным Линя оказалось близким к 5360, а по данным Локка Recr~6000; согласно более поздним очень тщательным вычислениям, Recr~5770, а йСг~ 1,02/й (см. Орсаг и Келе (1980)). Неустойчивость плоского течения Пуазейля по отношению к сколь угодно малым возмущениям была также строго доказана Крыловым (1964) без использования численных методов. При Re->oo обе ветви нейтральной кривой на рис. 2.12 (и верхняя, и нижняя) стремятся к нулю (верхняя ветвь как Re-V11, а нижняя — как
Re_1/7) —это обстоятельство объясняет, почему при Re = oo (в случае идеальной жидкости) плоское течение Пуазейля оказывается устойчивым по отношению к любым возмущениям. Гроне (1954) обнаружил также, что уравнение Орра—Зоммерфельда для плоского течения Куэтта имеет и высшие моды собственных чисел и функций, которым отвечают только затухающие возмущения; эти высшие моды позже детально исследовались многими авторами (см. Бетчов и Криминале (1967), Гольдштик и Штерн (1977) и Дразин и Рид (1981)).
Наиболее общим стационарным плоскопараллельным течением,, удовлетворяющим уравнениям Навье—Стокса, является плоское течение Пуазейля—Куэтта с профилем скорости вида
U (г) = U (h/Z) [(4 - а) (г/А) - (4 - 2а) (г//г)2], 0 < z < h. (2.77)
Такое течение реализуется в слое между двумя плоскостями, одна из которых движется в направлении оси х при наличии продольного градиента давления dp!dx\ при а = 0 оно обращается в течение Пуазейля, а при а = 2 — в течение Куэтта. Устойчивость плоского течения Пуазейля—Куэтта • по отношению к бесконечно малым возмущениям исследовали Поттер (1966), Рейнольдс и Поттер (1967), Хейнс (1967), получившие близкие результаты. Согласно этим авторам, при возрастании значения а > 0 значение Recr быстро возрастает и, по-видимому, обращается в бесконечность уже при а«0,55— задолго до обращения течения в течение Куэтта при а = 2.
Вернемся снова к плоскому течению Пуазейля. Результаты линейной теории устойчивости для такого течения любопытны, но они плохо согласуются с имеющимися экспериментальными данными, явно противоречащими рис. 2.12, в соответствии с которыми потеря устойчивости здесь обычно имеет место при значении Re ^1000... 2000, заметно меньшем значения Recr = ReiCr линейной теории. Это заставляет подозревать, что в данном случае имеет место обратная бифуркация, т. е. докритическая (при Re < Reicr) неустойчивость по отношению к возмущениям конечной амплитуды. Детальный анализ такого предположения (и возможных типов поведения конечных, но относительно небольших волновых возмущений, отвечающих точкам (&, Re), лежащим вблизи нейтральной кривой) выполнили для случая плоского течения Пуазейля Стюарт (1960) и Уотсон (1960а). Они, в частности, показали, что 6 = 61+62+63 в отвечающем этому течению’ уравнении Ландау (2.64) (где 61 определяется притоком энергии от неустойчивого возмущения к ламинарному течению, искажающему это последнее, 62 — генерацией высших гармоник основного возмущения, а 63 — искажением формы этого возмущения) и наметили возможный (но весьма громоздкий) путь расчета значения 6, однако сами никаких расчетов не производили. Кроме того, Уотсон (1960а) рассмотрел также последующие приближения
к d|y4|2d/, сводящиеся к дополнению правой части уравнения (2.64) слагаемыми, пропорциональными более высоким, чем вторая, степеням |Л|2. Он нашел выражения для коэффициентов, входящих в эти слагаемые, которые оказались настолько сложными, что их расчет в то время представлялся практически невозможным.
Рейнольдс и Поттер (1967) и Пекерис и Школлер (1967) первыми попытались приближенно рассчитать значение коэффициента 6 уравнения (2.64) для плоского течения Пуазейля и получили результаты, неплохо согласующиеся друг с другом (однако Рейнольдс и Поттер нашли значения 6 лишь для нескольких точек (й, Re) на нейтральной кривой и вблизи нее, в то время как
Рис. 2.13. Области неустойчивости плоского течения Пуазейля по Пекерису и Школлеру (1967).
Пекерис и Школлер, использовав сравнительно грубое приближение, определили значения 6 (й, Re) для значительной области плоскости (й, Re)). Некоторые результаты Пекериса и Школлера представлены на рис. 2.13; они показывают, что в случае плоского течения Пуазейля 6 < 0 всюду, кроме области, ограниченной на этом рисунке штриховой кривой. Заметим, что уравнение Ландау с 6 < 0 особенно интересно в случае устойчивых возмущений с у < О, так как здесь оно указывает на существование докрити- ческих (при Re < Recr) неустойчивых возмущений конечной амплитуды, а уравнение с 6 > О представляет основной интерес при У > 0, указывая на возможность существования в области неустойчивости установившихся или периодических движений конечной амплитуды.
Дальнейшим приближенным расчетам эволюции волновых возмущений конечной амплитуды в плоском течении Пуазейля, развивающим подход Ландау, посвящено множество работ, уточняющих и дополняющих указанные выше результаты — см., в частности, Пекерис и Школлер (1969, 1969—71), Чень и Джозеф (1973), Дэви, Хокинг и Стюартсон (1974), Джордж, Хелламс и Мартин
(1974), Ито (1974а, 1977а), Вейнштейн (1981), Жу (1982), Сен и Веткатесварлу (1983), а также книги Гольдштика и Штерна (1977) и Дразина и Ховарта (1982), содержащие ряд дополнительных ссылок. В некоторых из этих работ вместо эволюции возмущений во времени рассматривается их пространственное развитие по мере сноса вниз по течению, в других привлекаются также и высшие приближения теории Ландау (т. е. члены в правой части уравнения (2.64), пропорциональные |Л|2гп, т > 2. Жу и некоторые другие авторы сравнили полученные ими выводы теории с некоторыми экспериментальными данными (в частности, с данными Нишиока, Иида и Ичикава (1975)) и получили неплохое согласие с экспериментом.
Иной подход к исследованию устойчивости плоского течения Пуазейля использовали Орсаг и Келе (1980), Патера и Орсаг (1981), Орсаг и Патера (1981а, 1982, 1983); см. также Хименез (1990) и обзоры Бэйли, Орсага и Херберта (1988), Херберта (1988). Эти авторы вместо использования асимптотических разложений исследовали эволюцию двумерных и трехмерных волновых возмущений конечной амплитуды в течении Пуазейля с помощью прямого численного решения соответствующих нелинейных уравнений Навье—Стокса. При этом они в ряде случаев обнаружили докритическую неустойчивость двумерных волн конечной амплитуды, усиливаемую вторичной неустойчивостью таких волн по отношению к бесконечно малым трехмерным возмущениям (которые в отсутствии двумерной волны при Re < Recr должны затухать). Как показывают численные эксперименты Орсага с соавторами, возникающая при этом неустойчивость двумерных волн сохраняется при значениях 700 ^ Re ^2900, при которых в отсутствии трехмерных возмущений плоские волны должны затухать.
Полученные здесь результаты неплохо согласуются и с результатами экспериментального изучения неустойчивости и перехода к турбулентности в плоском течении Пуазейля, представленными в работах Нишиоки, Ииды и Ичикавы (1975), Карлсона, Уиднела и Питерса (1982), Козлова и Рамазанова (1984). Из-за неоднородности начальных возмущений и зависимости порога неустойчивости от их амплитуды докритическая неустойчивость плоского течения Пуазейля обычно приводит к появлению в нем изолированных турбулентных пятен (см. фотографию и схему на рис. 2.14, заимствованном из работы Карлсона и др.). Согласно работе Карлсона с соавторами при Re ^840... 1500 пятна имеют форму треугольника с углом расширения 15—20°, более тупой передней вершиной, турбулентным ядром и следом, состоящим из продольных вихревых структур; на границах пятна излучаются волны. Вниз по течению пятна растут. При Re < 840 пятна преобразуются в затухающие вихревые структуры. С ростом Re число пятен увеличивается, и при Re > 1500 турбулизируется все течение. Так же, проходя через стадию пятен, турбулизируются плоское течение Куэтта и осесимметричное течение Пуазейля.
Некоторые результаты нелинейной теории устойчивости течений Пуазейля—Куэтта (в первую очередь тех, для которых линейная теория указывает, что Recr = oo) можно найти в статье Каули и Смита (1985).
Рис. 2.14. Схематическое изображение (а) и визуализация (б) турбулентного пятна в плоском течении Пуазейля (Re = 103, х(1г = 64) (см. Карлсон, Уид- нелл и Пиитерс, 1982).
1 — полуугол расширения; 2 — боковая вершина, 3 — след, состоящий из структур, вытянутых в продольном направлении; 4,— область мелкомасштабной турбулентности; 5 — передние кромки пятна; 6 — передняя вершина; 7 — волны, убегающие от пятна; 8 — возбуждения на убегающих волнах.
Нормальная бифуркация вполне надежно обнаружена и у течения в пограничном слое около плоской пластины. Поскольку толщина пограничного слоя возрастает сравнительно медленно и вертикальная скорость здесь значительно меньше горизонтальной, есть
основания рассчитывать, что к этому течению также с неплохой точностью можно приложить теорию устойчивости для плоскопараллельных течений. Поэтому Толмин и Шлихтинг в своих расчетах много внимания уделили устойчивости плоскопараллельного течения с профилем скорости, совпадающим с профилем Блазиуса, изображенным на рис. 1.1, или близким к нему. В результате они сумели построить кривую Imc(£, Re)=0, т. е. определить границу области неустойчивости в плоскости (й, Re), имеющую по их данным примерно ту же форму, что и кривая Im с(й, Re) =0 на рис. 2.12. Критическое число Рейнольдса Reo*cr= (t/d*/v)Cr, где 6* — толщина вытеснения пограничного слоя, определяемая формулой (1.53), по Толмину оказалось равным 420, а по Шлих- тингу — 575. Согласно формуле (1.56), это означает, что ReXCr = = (i/x/v)cr = 0,6 • 105 по Толмину и Rex ст = 1,1 • Ю5 по Шлихтингу.
Тот факт, что указанные значения Rexcr несколько ниже приведенных в п. 2.1, может быть естественно объяснен тем, что потеря устойчивости вовсе не должна сопровождаться мгновенным переходом к турбулентному режиму. В точке потери устойчивости лишь возникают некоторые нарастающие колебания, которые усиливаются, сносясь вниз по течению, и при каком-то большем х вызывают переход к развитой турбулентности. С другой стороны, однако, полученные значения Recr сами по себе не могут рассматриваться и как подтверждающие теорию Толмина—Шлихтинга, и поэтому неудивительно, что еще Тэйлор (1938) высказывал сомнение в законности применения этой теории к реальному течению в пограничном слое, не являющемуся на самом деле плоскопараллельным. Однако непосредственная экспериментальная проверка теории Толмина—Шлихтинга, произведенная Шу- бауэром и Скрэмстедом (1947) как раз на примере течения в пограничном слое, подтвердила в основных чертах все ее выводы и тем самым показала, что сомнения в правильности этой теории не являются основательными. После этого Линь (1945) и Шэнь (1954) еще раз повторили расчеты Толмина и Шлихтинга и снова получили значение Reefer = 420, но несколько отличающееся от прежних (форма границы области неустойчивости показана на рис. 2.15).
В дальнейшем расчет границы области неустойчивости (и других характеристик развития волновых возмущений) для ламинарного пограничного слоя на плоской пластине неоднократно повторялся и другими авторами с привлечением заметно более совершенной вычислительной техники — см., например, обзоры таких исследований в книгах Бетчова и Криминале (1967), Левченко, Володина и Гапонова (1975), Дразина и Рида (1981), Качанова, Козлова и Левченко (1982), Жигулева и Тумина (1987). Эти обзоры включают также детальное (и сопровождающееся рядом ссылок на оригинальные работы) обсуждение методов учета в теории гидродинамической устойчивости слабой непараллельности течения в пограничном слое и получаемых при таком учете более 112
точных результатов (см. также недавнюю работу Фазеля и Кон- цельмана (1990)). Однако результаты более поздних расчетов не выявили каких-либо принципиальных расхождений с ранними ре-
Рис. 2.15. Форма нейтральной кривой на плоскости (6, Rey*) для пограничного слоя над плоской пластинкой.
зультатами Линя и Шеня; поэтому на них здесь можно не задерживаться.
Упоминаемые выше опыты Шубауэра и Скрэмстада производились в аэродинамической трубе Национального бюро стандартов США в Вашингтоне, обладающей особенно малой начальной турбулентностью,— параметр U'jU в этой трубе при соблюдении некоторых специальных мер предосторожности может быть доведен до значений порядка 0,0003—0,0002. Это обстоятельство оказалось очень важным, так как некоторые имеющиеся в настоящее время результаты показывают, что при значениях U'(U, превышающих 0,002 (т. е., в частности, при значениях, имевшихся во всех более старых опытах), переход к турбулентности, по-види- мому, вызывается влиянием конечных возмущений во внешнем потоке в соответствии с описанной в п. 2.2 схемой Тэйлора. Однако при U'/U < 0,002 основную роль при этом переходе играют случайные малые двумерные возмущения синусоидальной формы, амплитуда которых при некоторых условиях возрастает вниз по течению в полном соответствии с выводами теории возмущений. Подобные правильные колебания и были еще в 1940 г. обнаружены Шубауэром и Скрэмстедом с помощью тщательных термоанемометрических наблюдений. В дальнейшем с целью более аккуратной проверки выводов теории эти авторы использовали также помещенную в пограничный слой тонкую металлическую ленту, приводимую в колебание при помощи электромагнита и создающую искусственные возмущения фиксированной частоты со. При этом им удавалось обнаружить нейтральные (не возрастающие и не затухающие) почти чисто синусоидальные колебания скорости, соответствующие точкам граничной кривой на диаграмме устойчивости. Позже эксперименты такого рода неоднократно проводились и другими авторами, получившими близкие результаты (см., в частности, главу II обзора Качанова, Козлова и Левченко (1982) и рис. 2.16).
Для сопоставления полученных в этих опытах данных с выводами теории удобно рассмотреть вместо обычных возмущений с фиксированным волновым числом к возмущения вида ф=
= ei(kx-tot)^^ c фиксированной (вещественной) частотой со и переменным (вообще говоря, комплексным) А, т. е. исследовать вопрос об изменении вдоль пластинки (т. е. с ростом х) возмущений
Рис. 2.16. Рассчитанная форма нейтральной кривой на плоскости (со, Re6*) для пограничного слоя на плоской пластинке и экспериментальные данные о частотах нейтральных колебаний.
заданной частоты to, создаваемых в фиксированной точке потока (о связи такого подхода к теории устойчивости с обычным см, статьи Гастера (1962, 1965), а также книги Бетчова и Криминале (1967) и Дразина и Рида (1981); ср. также Эшпис и Решотко (1990)). При этом мы можем рассчитать кривую Imfe(to, Re)=0 аналогично тому, как рассчитывается кривая Imc(fe, Re) =0, и получить тем самым форму области неустойчивости на плоскости (to, Re). Результаты такого расчета (опирающегося на данные Шеня (1954)) приведены на рис. 2.16 вместе с эмпирическими данными Шубауэра и Скрэмстада (квадратики) и повторивших их опыт Росса и др. (1970) (кружки). Мы видим, что совпадение теории с опытом здесь оказывается вполне удовлетворительным. Графики типа рис. 2.16, на которых представлены также и некоторые более поздние экспериментальные данные, полученные в Новосибирске, можно найти в книге Качанова, Козлова и Левченко (1982); см. также Дразин и Рид (1981). На рис. 2.17 приведены эмпирические данные Шубауэра и Скрэмстада, касающиеся волно-
вых чисел нейтральных возмущений; они тоже неплохо укладываются на теоретическую кривую. Дальнейшие результаты сопоставления эмпирических данных Шабауэра и Скрэмстада с выводами теории можно найти в книгах Линя (1955), Шлихтинга (1962,
Рис. 2.17. Эмпирические данные о волновых числах нейтральных возмущений в пограничном слое над плоской пластинкой по данным Шубауэра и Скрэмстада.
1969), Бетчова и Криминале (1967), Дразина и Рида (1981), Качанова, Козлова и Левченко (1982), а также во многих обзорных статьях о гидродинамической устойчивости и переходе к турбулентности.
Нейтральная кривая и другие характеристики гидродинамической устойчивости могут быть, разумеется, рассчитаны не только для простейшего ламинарного пограничного слоя с профилем Блазиуса средней скорости, но и для пограничных слоев с иными профилями [7(z)—например, для плоскопараллельных пограничных слоев при наличии продольного градиента давления того или иного знака, пограничных слоев на пористой пластине с отсосом или вдувом жидкости, течений вдоль искривленной поверхности и т. д. Ряд результатов таких расчетов можно найти, в частности, в книгах Левченко, Володина и Гапонова (1975), Дразина и Рида (1981), Качанова, Козлова и Левченко (1982), Жигулева и Тумина (1987). Вопрос об устойчивости пограничного слоя сжимаемого газа обсуждается в книгах Бетчова и Криминале (1967), Жигулева и Тумина (1987) и в обзорной статье Решетко (1976).
Подчеркнем, что форма получаемой при таких расчетах нейтральной кривой существенно зависит от того, имеет ли профиль скорости точку перегиба (т. е. обращается ли d2U/dz2 в нуль при некотором г) или нет. В последнем случае граница области устойчивости имеет тот же характер, что и в случаях течения Пуазейля между двумя плоскостями и плоскопараллельного течения в полупространстве 2^0 с профилем Блазиуса (см. рис. 2.12 и 2.15), т. е. при Re-^oo обе ее ветви стягиваются к оси абсцисс. Таким образом, при отсутствии у профиля скорости точки перегиба любые возмущения с фиксированной длиной волны (или фиксиро-
ванной частотой) при возрастании числа Рейнольдса в конце концов становятся устойчивыми. В случае же наличия у профиля скорости точки (или точек) перегиба верхняя граница области устойчивости при Re-^oo имеет конечную асимптоту (рис. 2.18); иначе говоря, здесь существует интервал длин волн (или частот) таких, что соответствующие возмущения неустойчивы при сколь угодно
Рис. 2.18. Схематическая форма нейтральной кривой в плоскости ^к, Re) для течения с профилем скорости, имеющим точку перегиба (например, для пограничного слоя при наличии замедляющего градиента давления).
больших числах Рейнольдса. Это обстоятельство, очевидно, непосредственно связано с определяющей ролью наличия точки перегиба у профиля скорости для неустойчивости течений идеальной жидкости.
До сих пор мы говорили лишь о нейтральных и неустойчивых возмущениях в пограничном слое. Естественно думать, что все эти возмущения относятся к низшей моде собственных функций соответствующего уравнения Орра—Зоммерфельда, имеющего, кроме того, еще последовательность быстро затухающих высших мод, подобных изученными Гроне (1954) и другими авторами (ср. Грош и Салвен (1978)) для плоских течений Куэтта и Пуазейля. Для пограничного слоя эти высшие моды рассматривались, в частности, Корнером, Хьюстоном и Россом (1976), но в случае течения в пограничном слое (и других плоскопараллельных течений) в неограниченном слое жидкости) и они не исчерпывают всего спектра собственных функций. Дело в том, что в таких течениях обычно имеется еще и непрерывный спектр собственных значений, которому также отвечают только затухающие возмущения (см. по этому поводу работы Гроша и Салвена (1978) и Салвена и Гроша (1981), в последней из которых доказана полнота системы всех функций, отвечающих дискретному и непрерывному спектрам уравнения Орра—Зоммерфельда).
Информация о всех собственных функциях дискретного и непрерывного спектра важна для исследования судьбы пространственно локализованного возмущения, внесенного в течение в начальный момент времени. Здесь, очевидно, требуется рассмотреть задачу с начальными данными, разложенными по всем пространственно-периодическим собственным модам вида ф(х, /) = = ехр \i^k\x-Vk?.y— kcnt^n^ (где к= (к^-\-к^У/2, а п— номер моды) с добавлением еще и дополнительного интегрального члена.
отвечающего непрерывному спектру. Поскольку неустойчивой, по- видимому, может быть только первая дискретная мода, а все остальные функции в разложении затухают, можно надеяться, что в асимптотических оценках для /->оо существенную роль будут играть только слагаемые с п = 1. Однако даже и в таком случае расчеты оказываются довольно сложными и громоздкими. Первая попытка такого расчета для локализованного в пространстве трехмерного возмущения, принадлежащая Криминале и Коваснаи (1962) (см. также Бетчов и Криминале (1967)), опиралась на довольно грубые упрощения и привела лишь к качественному согласию с результатами поставленных для проверки теории экспериментов Васудевы (1967). Позже Там (1967) рассчитал эволюцию «квазиточечного» сильно локализованного возмущения в течении с Re, немного превышающим Recr, решив соответствующую задачу с начальными условиями по методу Кейза (1960а) и Дикого (19606). Он нашел, что такие возмущения, смещаясь вниз по течению, развиваются в трехмерные «турбулентные пятна» типа тех, которые реально наблюдались во многих экспериментах. Асимптотический анализ судьбы двумерного локализованного возмущения в течении с очень большим числом Рейнольдса исследовали Иорданский и Куликовский (1965). Эволюция возмущения, создаваемого в пограничном слое осциллятором заданной частоты исследовалась (с целью объяснения результатов опытов Шубауэра и Скрэмстада) Гастером (1965), а также Туминым и Федоровым (1984); наиболее тщательный анализ этой проблемы (учитывающий наличие у уравнения Орра—Зоммерфельда и непрерывного спектра) принадлежит Эшпису и Решотко (1990). Детальный расчет эволюции двумерного возмущения, сносимого вниз по течению в пограничном слое, учитывающий уже и нелинейные эффекты,, а также поправки на неплоскопараллельность течения, был выполнен Смитом (1986).
Учет нелинейных эффектов и взаимодействий периодических возмущений друг с другом, часто имеющих резонансный характер (см., например, Густавсон (1981) и Качанов и Левченко (1984)), необходим для объяснения экспериментальных данных, показывающих, что двумерные периодические «волны Толмина—Шлих- тинга», обнаруженные Шубауэром и Скрэмстадом в пограничном слое, в ходе сноса их вниз по течению быстро теряют устойчивость, и при некотором Re—Re2cr здесь возникает вторая нормальная бифуркация — на первичную двумерную волну налагается вторичная трехмерная волна, периодическая в поперечном направлении оси у и имеющая групповую скорость поля х, близкую к фазовой скорости первичной волны (см., например, Клебанов, Тид- стром и Сарджент (1962), Коваснаи, Комода и Васудева (1962) или Тани (1969)). Эта вторичная волна быстро нарастает вниз по течению, создает вихри с продольными осями, осуществляющие резкое поперечное перераспределение пульсаций продольной скорости и/= и— U (рис. 2.19), и становится нелинейной. Последнее приводит к фокусированию вторичного волнового пакета на
гребне первичной волны, а также к исчезновению во вторичной волне участков с положительными аномалиями продольной скорости и'—остаются только участки с отрицательными аномалиями и' (этот эффект объяснил Ландаль (1972)). Сначала образуется один импульс пульсаций на цикл колебаний вибратора, создающего первичную волну, ниже по течению — два и т. д.; по-
видимому, после режима с четырьмя импульсами на цикл течение становится хаотическим.
Разумеется, описанная последовательность событий, отвечающая переходам, индуцируемым плоской волной Толмина—Шлихтинга, не является универсальной при турбулизации ламинарного пограничного слоя. Экспериментальному и теоретическому исследованию такого перехода в настоящее время по-
Рис. 2,19. Нарастание вниз по течению пульсаций продольной скорости во вторичной волне в пограничном слое над плоской пластинкой.
х = 7,6 см; 2) х - 15,2 см; 3) х = 19 см.
священа обширная литература; см., например, книги Качанова, Козлова и Левченко (1982), Жигулева и Тумина (1987), обзоры Найфэ (1987) и Херберта (1988), статьи Смита (1986), Лаурина и Клейзера (1989), содержащие много дополнительных ссылок.
Остановимся теперь вкратце на результатах, относящихся к плоскопараллельным течениям в безграничном пространстве. В качестве первого примера мы рассмотрим течение с профилем
U (г) = и, sech= -i— (2.78)
при —оо < г < оо (рис. 2.20 а). Согласно расчетам Шлихтинга и Бикли (см., например, Шлихтинг (1974), глава IX, § 6, или Гольдштейн (1938), т. 1, § 57), формула (2.78) неплохо описывает профиль продольной скорости u = U в ламинарной плоской струе (бьющей из тонкого линейного отверстия, расположенного вдоль прямой х = 0, 2 = 0, в пространство, заполненное той же жидкостью) на больших расстояниях от этого отверстия. При этом параметры Uq и Н здесь будут сравнительно слабо зависеть от х, а поперечная скорость w будет мала по сравнению с продольной. Таким образом, плоскопараллельное течение с профилем скорости (2.78) можно рассматривать как модель плоской затопленной струи на большом расстоянии от выходного отверстия. Именно в этой связи устойчивость такого течения и изучалась рядом ав-
торов (Дразиным и Хоуардом (1966) для случая, когда v = 0, а с учетом вязкости Керлом (1956), Тацуми и Какутани (1958), Кленшоу и Эллиотом (1960), Сопруненко (1965), а также Капланом, результаты которого изложены у Бетчова и Криминале (1967), и Силкоком, чьи результаты можно найти у Дразина и Рида (1981)).
Рис. 2.20. Схематические формы профилей скорости для некоторых плоскопараллельных течений в безграничном пространстве.
а — плоская струя; б — течение с поверхностью тангенциального разрыва скорости; в и г — зона перемешивания двух плоских потоков, имеющих разные скорости.
Определение нейтральной кривой на плоскости (fe, Re) и в этом случае сводится к исследованию задачи на собственные значения для соответствующего уравнения Орра—Зоммерфельда (2.68). При этом неограниченность рассматриваемого течения позволяет даже слегка упростить расчеты по сравнению со случаем течения между твердыми стенками, так как здесь достаточно рассматривать только решения, затухающие на бесконечности (но зато появляется еще и непрерывный спектр собственных значений, который для данного течения исследовался Грошем и Саль- веном (1978)).
В силу симметричности профиля (2.78) все собственные функции ф(г) здесь распадаются на четные и нечетные по z. Поскольку и эксперименты, и предварительные расчеты показывают, что наиболее неустойчивыми всегда оказываются возмущения с четными ф(г), то при расчете нейтральной кривой можно ограничиться лишь областью 0 ^ z < оо и граничными условиями ф(оо) =i|/(oo) =0 и ф' (0) =^"'(0) =0 (впрочем, Сопруненко и Сил- кок рассчитали также и нейтральную кривую для нечетных ф(г)). Результаты, полученные разными авторами, оказались весьма близкими друг к другу, на рис. 2.21 воспроизводятся результаты наиболее детальных расчетов Силкока. Согласно этому рисункуг при Re->oo все возмущения с k<2IH оказываются неустойчивыми; кроме того, с ростом Re область неустойчивых волновых чисел монотонно расширяется, так что увеличение вязкости может
оказывать лишь стабилизирующее действие на возмущения (в отличие от ситуации в случае течений с профилем скорости без точки перегиба). Критическое число Рейнольдса здесь принимает очень небольшое значение (что также типично для течений с профилем скорости, имеющим точку перегиба): согласно тщательным численным расчетам Кленшоу и Эллиотта (1960), для профиля (2.78) Recr= (t/o///v)cr«3,7 и hCT«Q№IH (заметим, что в реаль-
Рис. 2.21. Форма нейтральной кривой на плоскости (Zj, Re) для плоской струи по расчетам Сил- кока.
— для четных мод возмущений (четные ф(г)), 2 — для нечетных мод возмущений (нечетные ф(г)).
ных струях значение Re«4 обычно достигается в области течения, в которой струю никак нельзя считать плоскопараллельной). Некоторые результаты относительно формы кривых Imc(&, Re) = = С2 = const и Rec(&, /)=ci = const можно найти в книге Бетчова и Криминале (1967). Нейтральная кривая для возмущений с нечетными ф(г), определенная Силкоком, также указана на рис. 2.21; она показывает, что область неустойчивых возмущений с нечетными ф(г) целиком располагается внутри области неустойчивых возмущений с четными ф(г), и ей отвечает значительно большее критическое число Рейнольдса, близкое к 80. Экспериментальные данные Сато и Сакао (1964), изучавших устойчивость ламинарной плоской струи, характеризуются значительным разбросом, но в целом они не противоречат теоретическим расчетам.
Другой важный тип течений в безграничном пространстве с профилем скорости U (г) с точкой перегиба представляют собой течения, для которых U^-^Uo при z-^oo и U(z) —Uo при
—оо. Простейшим течением такого типа является идеализированное течение с ломаным профилем скорости, изображенным на рис. 2.20 6; это течение описывает плоскую поверхность тангенциального разрыва скорости. Более реальные профили того же типа изображены на рис. 2.20 в и 2.20 г; они качественно соответствуют ламинарной зоне перемешивания двух плоскопараллельных течений, текущих с разными скоростями одно над другим. В пренебрежении вязкостью неустойчивость течения с профилем, изображенным на рис. 2.20 6, была строго доказана еще Гельм- 120
*кН*кНгольцем. Позже Рэлей подробно исследовал вопрос об устойчивости течения невязкой жидкости с профилем, изображенным на рис. 2.20 в (а также и с некоторыми другими ломаными профилями, приближенно описывающими плоские струи; см. Рэлей (1894), т. 2, гл. 21); его результаты также указывают на неустойчивость всех рассматриваемых течений. В 60-е годы эти классические исследования Рэлея были продолжены, в частности, Дра-
*кН
*кН
Рис. 2.22. Расположение нейтральной кривой в области неустойчивости (заштрихована) на плоскости (&, Re) для зоны перемешивания двух плоскопараллельных течений по данным Бетчова и Шевчика (1963).
зиным и Хоурдом (1962, 1966) и Михалке (1964). С учетом вязкости устойчивость течения с профилем типа рис. 2.20 г, была изучена Лессеном (1950); однако результаты Лессена относились только к случаю достаточно больших чисел Рейнольдса и показали лишь, что здесь Rесг < 20 (в книге Линя (1955) исходя отсюда, было ошибочно предположено, что в этом течении Recr~ «20). Позже Эш (1957) исследовал собственные значения уравнения Орра—Зоммерфельда (2.68) с функцией ^(z), изображенной на рис. 2.20 в и впервые нашел, что в этом случае течение при всех Re является неустойчивым. Еще позже Тацуми и Гото (1960) показали, что этот результат Эша верен для широкого класса профилей, соответствующих плоской зоне смешения двух течений.
Об общем характере нейтральной кривой на плоскости (й, Re) для случая плоской зоны смешения дает представление рис. 2.22, где изображены результаты расчета Бетчовым и Шевчиком (1963) такой кривой для профиля t/(z)=t/oth (zIH) (см. также Бетчов и Криминале (1967), § 18). Некоторые оценки характеристик нелинейной неустойчивости слоя смешения с таким профилем Щг) (в частности, значений постоянной Ландау 6; см. формулу (2.64)) были получены Хюрре (1987) и Фуджимурой (1988); для предельного случая v = 0 (т. е. в приближении идеальной жидкости) подобные расчеты еще раньше проводились, в частности, Стюартом (1967), получившим результаты, которые неплохо согласуются с экспериментальными данными.
Результаты, относящиеся к плоскопараллельным течениям, не могут быть непосредственно применены к течению Пуазейля (иначе, Гагена—Пуазейля) в трубе. Можно, однако, попытаться и к этому течению приложить теорию возмущений. Ограничившись лишь простейшими волновыми возмущениями вида и' (х, /) = = Цг)е^кх^пФ-(й1\ мы, как обычно, придем к некоторой задаче на собственные значения (более сложной, чем та, которая отвечает
уравнению Орра—Зоммерфельда). Исследованию различных частных случаев этой задачи посвящено множество работ, первые из которых принадлежали Секслю (1927а, б) (здесь, как и в большинстве других ранних работ, рассматривались лишь осесимметричные возмущения с п = 0). Примерами более поздних исследований на ту же тему являются работы Гилла (1965), Дэви и Дра- зина (1969), Вильгельми, Гольдштика и Сапожникова (1973), Калугина, Лепеха и Чечко (1976), Вандерборка и Платтена (1978) и Салвена, Коттона и Гроша (1980), где, как правило, исследовались уже и возмущения с м^О (см. также книги Бетчова и Криминале (1971), Гольдштика и Штерна (1977), Дразина и Рида (1981)). Во всех перечисленных работах, как и практически во всех других надежных исследованиях, были обнаружены только устойчивые волновые возмущения; поэтому в настоящее время уже никто не сомневается в том, что неустойчивых волновых возмущений в течении Гагена—Пуазейля вообще не существует и что такое течение устойчиво по отношению к любым бесконечно малым возмущениям. (Заметим, что эта устойчивость не следует автоматически из отсутствия возрастающих волновых возмущений; уравнение для осесимметричных возмущений здесь имеет особенность в точке г = 0, и из-за этого такое произвольное возмущение не может быть разложено в ряд по собственным функциям соответствующей краевой задачи.) Убеждение, что ламинарное течение в трубе должно быть линейно устойчивым, подкрепляется также наличием ряда общих черт у задач о такой устойчивости для течения Пуазейля в трубе и для плоского течения Куэтта (для которого устойчивость была строго доказана); однако строгое доказательство устойчивости к малым возмущениям ламинарного течения в круглой трубе пока, по-видимому, отсутствует.
Задача об устойчивости ламинарного течения в кольцевой трубе между концентрическими цилиндрами, создаваемого градиентом давления в направлении общей оси этих цилиндров, обобщающая подобную же задачу для течения Гагена—Пуазейля, но приводящая уже к уравнениям без особых точек, подробно разобрана в книгах Джозефа (1976), Гольдштика и Штерна (1977).
Напомним теперь, что имеющиеся эксперименты (начиная с проводившихся еще О. Рейнольдсом (1883)) с несомненностью показывают, что течение Пуазейля в трубе остается ламинарным, каковы бы ни были начальные возмущения на входе в трубу, лишь при Re = DUCph < Recr mm^2000 (где D — диаметр трубы, UCp — «средняя скорость). При больших же значениях Re течение может стать турбулентным — очевидно, из-за неустойчивости по отношению к конечным возмущениям не слишком малой амплитуды А, так как, уменьшая А, можно «затянуть» ламинарный режим до очень больших значений Re (см. выше с. 67). Эти экспериментальные данные стимулировали интерес исследователей к нелинейной теории гидродинамической устойчивости течения в трубе и привели к появлению целого ряда работ (в частности, Дэви и Нгуена (1971), Ито (19776), Дэви (1978), Смита и Бодония
(1982), Ванга и Стюарта (1987)), в которых делались попытки хотя бы грубо оценить область неустойчивости в трехмерном пространстве параметров (Л, Re, Л). В этих работах (как и в ранних исследованиях линейной устойчивости того же течения), как правило, рассматривалась лишь неустойчивость по отношению к осесимметричным возмущениям течения, причем полученные здесь результаты (опирающиеся на некоторые нестрогие допущения) иногда оказывались и противоречащими друг другу (см. работы Дэви и Нгуена, Ито и Дэви). В связи с этим Патера и Орсаг (19816) применили численное интегрирование уравнений Навье—Стокса для изучения эволюции в течении Гагена—Пуа- зейля тех осесимметричных возмущений, для которых в работах Ито, а также Дэви и Нгуена (в обеих сразу или хоть в одной из них) на основе некоторой модификации метода Рейнольдса и Поттера (1967) предсказывалось отсутствие затухания. Однако такое интегрирование показало, что все эти возмущения на самом деле затухают. Позже нейтральные осесимметрические возмущения были все же обнаружены в ламинарном течении в трубе при больших значениях Re в теоретических работах Смита и Бодония (1982), Ванга и Стюарта (1987), но результаты этих авторов пока должны считаться лишь предварительными. Заметим еще, что при наличии в трубе внутреннего концентрического цилиндра или хотя бы стержня вдоль оси, на поверхности которого скорость должна обращаться в нуль, течение уже ведет себя аналогично плоскому течению Пуазейля (являющемуся пределом течения в кольцевом канале между трубами радиусом /?1 и Ra>* Ri при R2-^oov Ri-^oo и фиксированном d = R2— /?i) —у него появляется и область линейной устойчивости, и область обратной бифуркации (см. Джозеф (1976) и Гольдштик и Штерн (1977)).
В заключение этого параграфа в качестве примера сложного поведения течения при росте числа Рейнольдса перечислим бифуркации следа за перпендикулярным набегающему потоку цилиндром кругового сечения (ср. Морковин (1964)). При Re^lO происходит смена устойчивости и вместо монотонного плавного обтекания за цилиндром образуется пара стационарных вихрей. При Re > 40 эти вихри начинают поочередно отрываться от цилиндра,, замещаясь новыми вихрями, и уплывать вниз по течению, образуя вихревую дорожку Кармана. При Re > 100 вихри заменяются быстро турбулизирующимися областями поочередно отрывающихся пограничных слоев. При Re > 105 пограничные слои турбулизиру- ются еще до отрыва, точка отрыва продвигается вниз по течению,, турбулентный след сужается и сопротивление уменьшается (кризис сопротивления). При Re~106 турбулентный след расширяется и сопротивление растет. Наконец, при Re~107 след начинает колебаться, как целое. При наличии у жидкости свободной поверхности все эти явления могут видоизменяться, и на них еще наложатся так называемые корабельные волны. В стратифицированной жидкости все они будут сопровождаться генерацией различных видов внутренних волн.
1Л. Стохастичность
Еще в конце 40-х годов Хопф (1948) высказал гипотезу о том, что все множество фазовых траекторий уравнений Навье—Стокса при / —*■ оо притягивается к конечномерному множеству. Для двумерных течений вязкой жидкости эту гипотезу удалось доказать (Фойа и Проди (1967); Ладыженская (1972)). Упомянем еще оценку числа степеней свободы у развитой (с большим Re) локальной трехмерной турбулентности N~ (Re/Recr)9/* (Ландау и Лифшиц (1953, 1986)). Аналогичная оценка для двумерной турбулентности со спектральным переносом энстрофии (т. е. квадрата вихря) в сторону малых масштабов N~Re/ReCr менее аккуратна, так как этот спектральный перенос не вполне локален. Таким образом, уравнения гидродинамики вязкой жидкости можно записать в виде
ti = F(u, Re); u = («(/), ..., «"(/)),(2.79)
где ик^—например, коэффициенты галеркинского приближения. Вязкость создает не только конечномерность фазового пространства, но и диссипативность фазового потока, т. е. сжатие в среднем фазового объема вниз по течению. Пусть 6V(u0, 0) = N
= П 6^—малый начальный элемент фазового объема около точки uo, a SV(u0, /)—его значение после смещения вниз по фазовому потоку через время L При малых / будет 6V(u0, /) = = П Ьик, где Ьик « -^т- дмо. Поскольку ^ ^-r-buo, относительная скорость изменения 6V со временем равна
N
А (и0) = (дУ)~‘ д ^V^ldt = ^ (ЬиТ' д (bu^fdt «к= 1
N
« У -^- = divF(u0).(2.80)
к=1
В разных фазовых точках Uo эта величина может быть как положительной (расширение), так и отрицательной (сжатие). Фазовый поток называется диссипативным, если при всех ио
A.(u.)_iitar'in|4K^L|<0(2.81)
{или, при более общем определении, если каждый шар с достаточно большим радиусом и центром в начале координат в фазовом пространстве является поглощающей областью). Вследствие дис- сипативности аттракторы имеют нулевые фазовые объемы (и размерности меньше N).
Особый интерес здесь для нас представляют странные аттракторы, на которых фазовые траектории обнаруживают свойства стохастичности: •
очень чувствительную зависимость от начальных условий, создаваемую экспоненциальной расходимостью начально близких траекторий (и приводящую к их непредсказуемости или невоспро- изводимости при задании начальных условий со сколь угодно высокой, но конечной точностью);
всюду плотность на аттракторе почти всех траекторий, т. е. их сколь угодно близкое прохождение около любой его точки (и, значит, бесконечнократную возвращаемость к ней), причем любое начальное неравновесное распределение вероятностей (мера) в фазовом пространстве (точнее в области притяжения странного аттрактора) стремится к некоторому предельному равновесному распределению Р(А) на аттракторе (инвариантной мере);
перемешивание, означающее, что для любых (измеримых) подмножеств аттрактора А и В вероятность после выхода из А через большое время t оказаться в В пропорциональна мере В:
lim Р ^Р1А^ П В\ = Р(А)Р(В), (2.82)
J -> ОО
где символ П означает пересечение множеств. Следствием перемешивания является независимость от начальных условий и0 (при почти всех ио) среднего значения по времени <Ф[и(/)]> любой функции Ф(и) на странном аттракторе и его совпадение со средним значением по инвариантной мере Ф(и) (эргодичность):
т
<Ф> = lim Т"х (ф[и(0]^ = JФ(и)Р(^и) = Ф. (2.83)
Признаком перемешивания является достаточно быстрое затухание при больших временах т-^оо корреляционных функций
Вп (т) = <[«' (0 - (и1^ [и1 (/ + т) - <«'>]> (2.84)
и, значит, непрерывность их преобразований Фурье по т — так называемых спектральных плотностей (см. ни^е гл. 5).
Турбулентностью представляется целесообразным называть стохастическую (в смысле (1) — (3)) эволюцию завихренного течения (вязкой) жидкости. Стохастические потенциальные течения жидкости представляется предпочтительным называть случайными волновыми полями, а для негидродинамических систем ограничиваться, когда надо, прилагательным стохастические.
Сосредоточимся теперь на первом свойстве стохастичности. Экспоненциальная расходимость близких траекторий при сжатии фазового объема возможна, если по одним направлениям ик в фазовом пространстве {и} происходит расширение, а по другим — сжатие, т. е. неблуждающие фазовые точки должны быть подобны двумерным седлам. Такие точки называются гиперболическими. Неподвижная точка и0 является гиперболической, если матрица Якоби Л(и0) = = ^дР* ^ди1^ в этой точке имеет К собственных значений с положительной и
N—К— с отрицательной действительной частью, 0 < К < N. Множества IT^ и №£о фазовых точек и, через которые проходят траектории, стремящиеся к Uo при f->-+oo и npif t->—оо, называются соответственно устойчивым и неустойчивым многообразиями точки и0: в малой окрестности точки и0 они суть подпространства, натянутые на N— К и К собственных векторов матрицы Л(и0), соответствующих ее собственным значениям с отрицательными и положительными действительными частями.
Точки пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий №„ и W^
Рис. 2.23. Гомоклиническая траектория на секущей плоскости.
Заштрихованы участки плоскости, отображающиеся друг в друга.
отличающиеся от самой точки и, называются гомоклиническими (а пересечения устойчивого многообразия IF„ одной неподвижной точки и и неустойчивого многообразия 1^* другой неподвижной точки и — гетероклиническими точками). В их окрестности структура фазового потока может быть особенно сложной (см. ниже).
Периодическая траектория является гиперболическим множеством, если некоторые мультипликаторы (см. п. 2.5) лежат внутри, а остальные — вне единичной окружности (тривиальный мультипликатор, равный единице, опять не учитывается). Множества Ws и Wn траекторий, притягивающихся к предельному циклу при t->oo и при t-*-—оо, называются его устойчивым и неустойчивым многообразиями. Если сумма их размерностей равна N—1, то их пересечение называется трансверсальным.
В качестве иллюстрации гомоклинических структур рассмотрим пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий периодической траектории в трехмерном фазовом пространстве. При этом удобно использовать так называемое отображение последования Пуанкаре, которое в общем виде, в А^-мерном фазовом пространстве, заключается в регистрации последовательных точек v0, vb v2, ... пересечения траектории (в одном и том же направлении) с некоторой секущей (N—1)-мерной поверхностью 5 в фазовом пространстве, чем определяется отображение vn+1 = П(ул, Re) поверхности в себя. Поскольку решение u(u0, t) уравнения (2.79) существует при всех t, это отображение обратимо.
В случае N = 3 секущей 5 может служить некоторая плоскость. Периодической траектории на 5 соответствует неподвижная точка отображения П, а устойчивому и неустойчивому многообразиям — устойчивая и неустойчивая сепаратрисы (см. рис. 2.23, на котором для наглядности последовательные точки пересечения 5 фазовой траекторией соединены плавными линиями). Если у сепаратрис есть общая точка, то и все ее образы при п-^оо и прообразы при п^>-—оо также суть точки пересечения сепаратрис, так что их имеется счетное множество. Они принадлежат так называемой гомоклинической траектории, двоякоасимптотической в том смысле, что при /^-±оо она сматывается с исходной периодической траектории или наматывается на нее. При приближении к неподвижной точке, где движение экспоненциально замедляется, гомоклинические точки, сгущаются, а амплитуды осцилляций сепаратрис возрастают. В окрестности гомоклинической траектории любой малый фазовый объем при ^->±оо сложно деформируется и расплывается, так что почти все траектории экспоненциально 126
расходятся. Такая локальная неустойчивость траекторий, заключенных в ограниченный фазовый объем, и приводит к особенной сложности фазового потока, который здесь включает счетное множество периодических и несчетное множество двоякоасимптотических к ним траекторий.
Инвариантное множество вообще является гиперболическим, если в каждой его точке и пространство Ти, касательное к фазовому пространству (линейное пространство касательных векторов в точке и), есть прямая сумма одномерного подпространства Ехи, натянутого на вектор фазовой скорости, и устойчивого и неустойчивого подпространств Е^ = {5} и Е” = {iq} , таких, что действие на их элементы дифференциала фазового потока DF1 (линейно отображающего 7и на Т Ftu) удовлетворяет неравенствам
Uglh1 . ||DF^||<a^; Hlh1 • ||DF4ll>^ при />0,
(2.85)
IIEir1 • ||^Р^||>бе~с/; ИЦ-1 • |DF^|Ka^ при /<0,
где а, Ь, с — некоторые положительные константы, не зависящие от и. Фазовые точки v, для которых F'v неограниченно сближается с Ри при t->oo (или при /^-—оо), образуют устойчивое многообразие №£ (или неустойчивое многообразие №") точки и; оно касается в этой точке Е^ (или Е”). Объединения этих многообразий для всех и на данной траектории дает соответствующие многообразия Ws и Wn для траектории. Их пересечения, как и выше, образуют гомоклинические структуры.
Купка и Смейл доказали, что динамические системы (на гладком компактном многообразии), у которых все периодические точки — гиперболические, типичны в том смысле, что они образуют в пространстве всех возможных динамических систем так называемое бэровское подмножество, представимое в виде счетного пересечения открытых всюду плотных множеств (заметим, впрочем, что это определение типичности имеет, возможно, лишь условный характер, так как множество нетипичных систем может иметь ненулевую меру).
Итак, экспоненциальная расходимость близких траекторий у диссипативных систем связана с наличием в их фазовых пространствах гиперболических множеств. Свойственны ли они многим динамическим системам или, наоборот, являются исключением? В последнем случае малое возмущение такой системы (скажем, всегда присутствующими в природе «шумами») лишало бы ее этого свойства. В связи с этим полезно использовать введенное Андроновым и Понтрягиным (1937) понятие структурно устойчивой (или «грубой») системы, для (2.79) формулируемое следующим образом: при любом е > 0 имеется такое 6 > 0, что для любой возмущенной системы tt = Ft(u), отстоящей от исходной по некоторой метрике ||Fi—F|| не более чем на б, существует взаимно однозначное и взаимно непрерывное преобразование фазового пространства на себя, сдвигающее его точки не более чем на е и переводящее траектории невозмущенной системы в траектории возмущенной. Структурно устойчивые системы образуют открытое множество в пространстве всех возможных динамических систем.
В одно- и двумерных фазовых пространствах структурной устойчивостью обладают так называемые системы Морса—Смейла, у которых множества неблуждающих точек состоят лишь из конечного числа неподвижных точек и замкнутых траекторий, причем все они — гиперболические; отвечающие любым таким точкам устойчивое и неустойчивое многообразия трансверсальны (т. е. либо не пересекаются, либо касательные к ним пространства в каждой точке их пересечения и в сумме образуют полное касательное пространство).
Однако для динамических систем с фазовыми пространствами большего числа измерений эти свойства оказываются нетипичными. У преобразования Т за фиксированное время / здесь возможно наличие бесконечного числа периоди-
чсских точек, причем множество Q неблуждающих точек может содержать канторов дисконтинуум (т. е. нигде не плотное замкнутое множество без изолированных точек).
Модель такой системы получается, если в качестве точек фазового пространства взять все двусторонние последовательности {..., а_ь а0, ^ь •. } из п элементов а = 1, 2, ..., п (открытые множества будут состоять из последовательностей с фиксированными элементами на конечном числе мест). Такое фазовое пространство является канторовым дисконтинуумом: оно может быть приведено во взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное соответствие с множеством чисел из отрезка [0, 1], троичные разложения которых не содержат единиц. В качестве преобразования Т возьмем так называемый «сдвиг Бернулли» а^->а*_]. Периодическими точками этого преобразования будут последовательности, состоящие из повторяющихся блоков конечной длины. Они всюду плотны в фазовом пространстве, так что Q совпадает со всем пространством и, значит, является канторовым дисконтинуумом. Смейл (1967) доказал, что в широком классе типичных динамических систем каждая гомоклиническая точка принадлежит некоторому замкнутому инвариантному относительно преобразования Т подмножеству Л множества неблуждающих точек Q, являющемуся канторовым дисконтинуумом, причем на Л некоторая степень Тт преобразования Т топологически эквивалентна сдвигу Бернулли.
Для структурной устойчивости системы с более чем двумя степенями свободы по гипотезе Смейла (1965) необходимо и достаточно, чтобы у каждого осуществляемого фазовым потоком преобразования h фазового пространства множество Q неблуждающих точек было гиперболическим, а множество периодических точек — всюду плотным в Q (так называемая «аксиома А») и, кроме того, чтобы каждое устойчивое и каждое неустойчивое многообразия точек из Q были бы трансверсальными. Достаточность этих условий доказана в довольно общем виде, а необходимость — пока что лишь при более ограниченном определении структурной устойчивости. Стохастичность аттракторов в системах, удовлетворяющих «аксиоме А», доказана Боуэном и Рюэллем (1975).
Таким образом, при N ^ 3 для фазовых потоков в определенном смысле типично наличие бесконечного множества Q гиперболических неблуждающих точек со всюду плотным в нем множеством периодических траекторий (Аносовым (1967) обнаружены даже потоки, у которых гиперболическим множеством является все фазовое пространство).
Множество Q может иметь очень сложную геометрическую структуру, в частности, как уже было сказано, оно может быть канторовым дисконтинуумом. Стандартный пример канторова множества строится следующим образом: 1) выкинув из отрезка [0, 1] его среднюю треть, т. е. открытый (без крайних точек) интервал (1/3, 2/3), получим множество Кг из двух отрезков: [0, 1/3] и [2/3, 1]; 2) выкинув из каждого из двух отрезков множества Ki его среднюю треть, получим множество Кг из четырех отрезков; ...; л) выкинув из каждого из 2^-1 отрезков множества Кп-\ его среднюю треть, получим множество Кп из 2П отрезков, и т. д. Пересечение всех Кп и будет канторовым множеством К. Если каждое число из отрезка [0, 1] записать в троичной системе счисления как
^ апЗ"п, где все ап принимают значения 0, 1 и 2, то К состоит из точек, п = 1
у которых все ап равняются 0 или 2. Значит, К можно привести во взаимно однозначное соответствие со множеством всех двоичных последовательностей — всем отрезком [0, 1], т. е. множество К несчетно (имеет мощность континуума).
В качестве примера образования канторова множества в фазовом пространстве рассмотрим динамическую систему, которая создает за фиксированное время Т отображение П(и) внутренности U двумерного тора на себя так, что П((7) есть внутренность вложенного в U тора с одной петлей, показанного на рис. 2.24. Круг S, являющийся сечением тела U, при этом преобразуется в два кружка П(5) внутри S. Следующая итерация П2(5) даст по два кружочка внутри кружков П(5) и т. д. Пересечение всех итераций Пп(£) дает канторово множество точек в S, так что пересечение всех итераций Пп(Щ есть канторово множество линий — так называемый одномерный соленоид Вильямса (1970).
Канторово множество фрактально, т. е. его хаусдорфова размерность dimн^ превышает обычную топологическую размерность (у него равную нулю). При этом dim// А определяется через хаусдорфову a-меру множества
(2.86)(2.86)mes;, ^ (Л)= Hin ^nf У, [О ((/)]“,
(2.86)
(2.86)
П(и)П(и)где нижняя грань берется по конечным или счетным покрытиям Г множества А шарами U диаметрами D(U) е. Размерность dim//А определяется как такое число а0, что мера (2.86) при а > «о равна нулю, а при а < а0 — бесконечности. Если в (2.86) используются только покрытия одинаковыми шарами диаметром е и берется верхний или нижний предел (т. е. наибольший или наименьший пре-
П(и)
П(и)
Рис. 2.24. Отображение П((7) внутренности U двумерного тора на себя, порождающее странный аттрактор.
дел по подпоследовательностям значений е->0), то получаются верхняя mesc а (Л) или нижняя mesc а (Л) емкостные а-меры и dimcA или dimc А есть нижняя грань значений а, при которых верхняя или нижняя мера равна нулю (или же — верхняя грань значений а, при которых мера равна бесконечности). При этом dim^A ^ dim^ < dim^ А. Если последние две величины здесь совпадают, то они определяют емкость множества А:
dimc Л = Нт е Оdimc Л = Нт е О1пУ£(Л)In (1/е)1пУ£(Л)In (1/е)(2.87)(2.87)
dimc Л = Нт е О
dimc Л = Нт е О
1пУ£(Л)In (1/е)
1пУ£(Л)In (1/е)
(2.87)
(2.87)
где N^A) —минимальное число шаров диаметром е, покрывающих множество Л. Использованные выше при построении К множества Кп состоят из Ne = 2П интервалов длиной е = 3~л, так что dimc К = lim (In 2л)/(1п Зл) = In 2/ln 3«0,631.
Ильяшенко (1981 — 1983), Ладыженской (1982), Бабиным и Вишиком (1982, 1989) строгими методами получены оценки хаусдорфовой размерности аттракторов двумерных уравнений Навье—Стокса при периодических краевых условиях (Ильяшенко — для их галеркинских приближений) имеющие вид CiRe ^ dim А С2(Ке)4.
Экспоненциальную расходимость близких траекторий в среднем по времени можно количественно охарактеризовать так называемыми показателями Ляпунова, для чего в точках и(/) траектории с начальным условием u(O)=uo вводится касательный вектор w = w(u0, /) с начальным условием w(uo, O)=wo, так что l|w(u0, /)|| характеризует проекцию на направление w расстояния в момент t между траекториями с близкими начальными точками и0 и Uo+wo. Вектор w удовлетворяет линеаризированному относительно и(/) уравнению (2.79), имеющему вид w=Л[u(/)]w, где А = ^дРк!ди1^ —матрица Якоби в точке и (7). Это уравнение имеет
полную систему фундаментальных решений wi, ..., wN, и для каждого из них определяется свой показатель Ляпунова
;>1,(2.88)
II Wi(0) 11-^0.
Их нумеруют в порядке убывания: oi ^ о2 ^ ... ^ о№ Для анализа стохастического движения теорию показателей Ляпунова одним из первых использовал Оселедец (1968). Дивергенция фазо-
N
вого потока (2.81) равна Ло= £ Ог, так что у диссипативных по- г=1
токов не только oN < 0, но кроме того, модуль суммы отрицательных Oi больше суммы положительных о и Если траектория и(/) притягивается к неподвижной точке (или к периодической или квазипериодической траектории), то все о/ (или все, кроме Oi = 0, где вектор wi направлен вдоль предельной траектории) отрицательны.
Если траектория притягивается к странному аттрактору Л, то обязательно oi > 0. Если на аттракторе существует инвариантная мера и есть эргодичность, то средние значения по времени в (2.88) не зависят от и0 и могут быть заменены средними по к инвариантной мере. Пусть к — такой номер, что £ о/^ 0 и к+1
2 °i < 0. Тогда ляпуновской размерностью аттрактора Л называ- z=i ется величина
к
dimLA = ^+ £ Ог/|о6 + 1|.(2.89)
1 = 1
Ли и Йорк (1975) высказали гипотезу, которая заключается в том, что эта величина совпадает с хаусдорфовой размерностью множества Л (определенной как нижняя грань хаусдорфовых размерностей множеств единичной инвариантной меры, предельной для меры Лебега в фазовом пространстве). Численные расчеты для нескольких двумерных отображений и одного трехмерного потока показали, что величины (2.89) и (2.87) практически совпадают.
Сценарии стохастизации
До сих пор ни для одной геометрии течений вязкой жидкости не установлено с должной строгостью, какая последовательность бифуркаций при возрастании Re приводит к превращению стационарного (ламинарного) течения в стохастическое (турбулентное). Сведения п. 2.6 показывают, что при разной геометрии течений такие последовательности бифуркаций, по-видимому, могут быть весьма различными. Наиболее правдоподобные гипотезы о после- 130
довательностях бифуркаций, ведущих к стохастичности, будем называть сценариями, и рассмотрим некоторые из них.
Сценарий Ландау (1944) —Хопфа (1948): последовательность нормальных бифуркаций, порождающая предельное квазиперио- дическое течение u[x, ф1(/), ..., <Pn(01> имеющее период 2л по каждому из аргументов фь(/) =(*^ + ак с, вообще говоря, несоизмеримыми частотами (Oi, ..., (Ojv, занимающее в фазовом пространстве область, соответствующую всевозможным наборам начальных фаз ai, ..., a^, и эргодическое в том смысле, что наматывающаяся на него траектория с течением времени проходит сколь угодно близко от любой точки указанной области (так как в моменты /а = 2л^/о)1, ^ = 0, 1, 2, ..., когда ф1(/)=а1, фаза любого другого колебания фг(^) = 2лА(о2/о)1 после приведения к интервалу [0, 2л] может иметь значение, сколько угодно близкое к любому наперед заданному).
Временные корреляционные функции скоростей здесь, вообще говоря, не стремятся к нулю на бесконечности, но сначала они быстро спадают (как ЛМ2), а время Т до следующего максимума (период возврата Пуанкаре) очень велико: T^eaN где а~1 (Арнольд (1974)). Много хуже то, что последовательность нормальных бифуркаций и результирующее квазипериодическое движение не обладают структурной устойчивостью (Экман (1981)) и не типичны даже в том смысле, что подчиняющиеся этому сценарию фазовые потоки не образуют в пространстве всех фазовых потоков бэровского множества (счетного пересечения открытых всюду плотных множеств). В связи с этим Селл (1979) предлагает уточнить этот сценарий, как последовательность бифуркаций ^-мерных торов Tk-^Tk^, не требуя, чтобы течения на них были квазипериодическими. Такие бифуркации возможны и при наличии странных аттракторов и в некотором смысле обладают структурной устойчивостью.
Сценарий Рюэлля и Такенса (1971): появление странного аттрактора после трех нормальных бифуркаций. Этот сценарий обладает структурной устойчивостью: в каждой достаточно малой окрестности фазового потока с n-мерным инвариантным тором при п ^ 3 имеется открытое множество фазовых потоков со странным аттрактором, удовлетворяющим аксиоме А (причем малость окрестности понимается в смысле Сп-1-нормы ||F|| = шах|/)(А)Р| , (и)
0 ^ к ^ п— 1, где D^F(u) —любая производная порядка кт а при 04 и в смысле нормы С°°). В 1971 г. эта теорема была доказана при п ^ 4 (и привлекла всеобщее внимание к процессам стохастизации в диссипативных системах), а на случай и = 3 она обобщена в работе этих же авторов совместно с Ньюхаузом (1978).
Доказательство теоремы Рюэлля и Такенса основано на возможности аппроксимации потока с тором Тк потоком с обвивающей тор замкнутой траекторией (где все toil^k при /=1, ... ..., к—1 — малые рациональные числа), в который можно вло-
Рис. 2.25. Диаграмма Кениг- са—Ламерея.Рис. 2.25. Диаграмма Кениг- са—Ламерея.жить канторовский аттрактор, например, типа соленоида Вильямса. Иначе говоря, в этом механизме трехчастотное движение разрушается путем нелинейной синхронизации (образования резонансов) его высоких гармоник. Такой механизм, по-видимому, слишком мягок для возникновения турбулентности. В проводившихся экспериментах стохастизация больше похожа на разрушение двухчастотного движения Р-биений, вероятно, путем их синхронизации и затем либо бифуркаций удвоения периода образующегося цикла, либо слияния и исчезновения устойчивого и седлового циклов (и образования аттрактора из гомоклинической структуры седлового цикла или из складок исходного негладкого тора).
Рис. 2.25. Диаграмма Кениг- са—Ламерея.
Рис. 2.25. Диаграмма Кениг- са—Ламерея.
функция П имеет нафункция П имеет наСценарий Фейгенбаума (1978— 79): появление странного аттрактора в результате бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода. Рассмотрим такие бифуркации сначала на примере одномерного необратимого (однозначного и непрерывного) отображения хп+1 = П (хп, ц) отрезка 0 ^ х ^ 1 в себя, причем этом отрезке один квадратичный
функция П имеет на
функция П имеет на
экстремум, скажем максимум. Итерации такого отображения удобно изображать на так называемой диаграмме Кенигса—Ламерея (рис. 2.25), на которой по оси абсцисс откладываются значения хп, по оси ординат — значения xn+i, проводятся график П(х) и биссектриса координатного угла, затем между ними строится лестница Ламерея так, что образ xn+i становится прообразом ДЛЯ Хп+2, п = 0, 1,2,...
Точка х*=П(х*) пересечения графика П(х) с биссектрисой является неподвижной точкой отображения. Она устойчива, если
у нее имеется сколь угодно малая окрестность, итерации точек которой сходятся к х*; для этого достаточно условия |П'(х*) |< 1 (при этом график П(х) пересекает биссектрису под углом к оси абсцисс либо меньше 45° — тогда итерации сходятся к х* монотонно, либо больше 135° — тогда итерации сходятся колебательно). Множество точек х/+1 = П(Х/) ^xi, /=1, 2, ..., п—1; xn+i = = П(хп)=Х1 является n-кратным циклом (его лестница Ламерея замкнута). Все его точки — суть неподвижные точки п-кратной итерации Пп, и он устойчив, если в некоторой из них |П' (х) |< 1. Сохраняя у П(х) только квадратичную часть, отображение можно, не теряя общности, привести к логистическому уравнению хп + 1 = ц^п (1^п)*(2.90)
Интересен лишь диапазон 1 < ц ^ 4 (так как при ц ^ 1 все траектории притягиваются к точке х=0, а при ц > 4 появляются
значения П(х) > 1). В нем отображение имеет две неподвижные точки — неустойчивую х = 0 и точку хо=1—ц-1, устойчивость которой определяется собственным значением X линеаризированного в ней уравнения (2.90). Нетрудно убедиться в том, что л = 2 — ц, так что область устойчивости | X | < 1 точки Хо есть 1 < ц < 3. При p^pi = 3 эта точка становится неустойчивой и, кроме того, появляется двукратный цикл — пара отличающихся от Хо корней х®, х\ уравнения х = П2(х). График этой функции имеет два максимума, а минимум между ними вполне подобен перевернутому графику П(х): при щ < ц < Ц2~ 3,45 точки х® и xj устойчивы, а при ц ^ ц2 они становятся неустойчивыми и, кроме того, в их окрестностях появляются двукратные циклы (х2°, х*) и (х2, х3) отображения Пг, образующие четырехкратный цикл отображения П, который при Ц2 < р < Цз устойчив, и т. д.
Таким образом, при значениях цп, п=1, 2, 3, ..., происходят бифуркации удвоения периода: 2п-1-кратные циклы теряют устойчивость и появляются устойчивые 2п-кратные циклы. Фейгенбаум обнаружил, что последовательность цп сходится (к пределу Роо~3,57) асимптотически как геометрическая прогрессия с довольно большим знаменателем:
(цп — Hn-iMHn + i — ЦпГ1 ~6 = 4,6692 . ..(2.91)
Более того, при помощи функциональных уравнений он доказал, что этот закон и значение 6 универсальны: они справедливы не только для отображения (2.90), но и для всякого отображения П(х) указанного выше общего вида. Таким образом, зная ц0 и Ц1, можно предсказать Цоо«Цо + -7г- (ц— Цо). Фейгенбаум дока- о — 1
зал универсальность также для расположения на отрезке 0 ^ х ^ ^ 1 периодических точек последовательных 2°, 21, 22, 23, .. .-кратных циклов Хо, (х?, xj), (хг, Х2, Хг, Хг), . . . Эти точки устойчивы на интервалах 3 ^ ц ^ gi, щ ^ ц < Ц2, Ц2 ^ ц ^ Цз, ... и на графике х(ц) изображаются отрезками кривых, которые в точках pi, ц2, Цз-.. раздваиваются (несимметрично), в сумме образуя «дерево» (см. рис. 2.26, построенный численно для квадратичного отображения, эквивалентного (2.90)). Универсальность этого «дерева» заключается в том, что каждое последующее раздвоение подобно предыдущему с коэффициентами подобия для разных ветвей — а-1 или а-2, где а = 2,5029... (подобие также асимптотическое, но устанавливается практически уже после первых итераций) :
yfe_ к + 2п-!yfe_ к + 2п-!XXкn+ 1 —кn+ 1 —ЛА-Т'П +ЛА-Т'П +( —а, [ а2,( —а, [ а2,0<^<2п-*,0<^<2п-*,2П-!2П-!^ к^ кТ.Т.(2.92)(2.92)
yfe_ к + 2п-!
yfe_ к + 2п-!
X
X
к
n+ 1 —
к
n+ 1 —
ЛА-Т
'П +
ЛА-Т
'П +
( —а, [ а2,
( —а, [ а2,
0<^<2п-*,
0<^<2п-*,
2П-!
2П-!
^ к
^ к
Т.
Т.
(2.92)
(2.92)
При больших п, заменяя (путем интерполяции) последовательность %п, Хп, ... функцией с непрерывным аргументом Хп(0 и представляя ее в виде ряда Фурье
2л1'МХп^=^Х"е 2П2л1'МХп^=^Х"е 2П(2.93)(2.93)Рис. 2.26. Бифуркационная диаграмма отображения xn+i = 1 — рх„ отрезка— 1 ^ х ^ 1 в себя при 0,35 ^ р ^ 2.Рис. 2.26. Бифуркационная диаграмма отображения xn+i = 1 — рх„ отрезка— 1 ^ х ^ 1 в себя при 0,35 ^ р ^ 2.
2л1'М
Хп^=^Х"е 2П
2л1'М
Хп^=^Х"е 2П
(2.93)
(2.93)
Рис. 2.26. Бифуркационная диаграмма отображения xn+i = 1 — рх„ отрезка— 1 ^ х ^ 1 в себя при 0,35 ^ р ^ 2.
Рис. 2.26. Бифуркационная диаграмма отображения xn+i = 1 — рх„ отрезка— 1 ^ х ^ 1 в себя при 0,35 ^ р ^ 2.
можно установить универсальный закон подобия для амплитуд |^ |. Так, получаем
2n+ISiti kt
ъ1ГпП+ 1
Xkn + V=-^^ + 1(/)е 2 dt =
О
2П—nikt
= -^г h^ + 'W + (-!)*х„ + 1(/ + 2")]е 2" dt. (2.94)
При четных k = 2l из (2.92) получается xn+i (Z) «xn+i (Z + 2n)« «xn(t)> и тогда (2.94) принимает вид Х“ «Х^, т. е. на этой частоте Фурье-амплитуда при всех последующих бифуркациях не меняется. При нечетных A = 2Z+1 из (2.92) — (2.94) выводится рекуррентное соотношение
Х" + ' = —ST [* - (-*)' ^j [1+ (-1)' 4]S’(2.95)
$=-i- 2 R2m + о - 4 + ^Г х^+х-
В предположении плавной зависимости от т модуля амплитуды ^2т+1 и случайности ее фазы при замене 2/+1 непрерывным аргументом £ из соотношения (2.95) получается закон подобия
i^+.a)i=4|x«(4)l’(2.96)
у = 2а2 (1 + aY^1 ^ 4,65.
При ц > роо при некоторых р рождаются (парами — устойчивая и неустойчивая) траектории периодического движения (последовательно с периодами 1, 6, 5, 3, ... (см. рис. 2.26), каждая из которых затем испытывает последовательность бифуркаций удвоения периода со своей точкой сгущения. Кроме того, здесь на отрезке 0 ^ х ^ 1 существуют полосы стохастического движения, причем при значениях рто < ... < р* < р*^ < ... < р* они испытывают обратные бифуркации удвоения периода, при которых число полос уменьшается вдвое, а сами они расширяются (и сливаются), следуя закону подобия с теми же константами 6 и а, что и выше. Так, после (и+1)-й бифуркации средняя квадратичная ширина полосы равна ttPn+i= (а-2/2 + а-4/2),/2!^ откуда №п =
= Wn, где p=y/V2^3,29. Поэтому дисперсия стохастической части движения пропорциональна ^^^-^^(р*—Цю)™, где т = 2 In р/ln 61,544... (здесь мы использовали закон подобия
Таким образом, стохастичность возникает не скачком, а нарастает с увеличением р постепенно (и не монотонно, а прерываясь областями, в которых самоорганизуются периодические движения).
Одномерное отображение имеет единственный показатель Ляпунова (2.88):
о(х0, ц)= lim 4- £ In |^4г^ I- (2.97)
Он почти всюду не зависит от хо, при ц < Цоо отрицателен (так как существует предельный цикл), а при ц — ц», > 0 преимущественно положителен и сначала пропорционален (ц — Цоо)\ где к = = 1п2/1п б «0,4498... (Хьюберман, Рудник, 1980), а затем оказывается сложной функцией от ц.
Инвариантная мера (плотность вероятности) р^х) для отображения П(х) с одним экстремумом вследствие сохранения «числа траекторий» удовлетворяет соотношению р(х) dx = p(xi) dxt +
+р(хг) dx2, где Xi и Х2 — два прообраза точки х. Отсюда получается функциональное уравнение
Р (х) = Р (х.) |I”' + р (х2) |1-1 ,(2.98)
решать которое можно численно (методом итераций). Для треугольного отображения П(х) с максимумом П(1/2)=1 очевидное решение есть р(х)=1. Отображение (2.90) при ц = 4 переходит в треугольное П(х) при замене переменной х=2л-1 arcsin х1^ так что для него
р (х) = дх(дх = л-1 [х (1 — х)]~1/2(2.99)
(а показатель Ляпунова равен V2). Стохастическое движение с такой инвариантной мерой является перемешивающим. При goo ^ Ц < 4 распределения р(х) оказываются сложными (в частности, имеют разрывы). При ц = |ыоо аттрактор эргодичен, но не обладает перемешиванием (Экман (1981)), что представляется некоторым недостатком рассматриваемого сценария.
Рассмотрим теперь двумерные отображения хп+1 = П(х?г, ц), где х = (х, у), и якобиан d(xn+i, yn+i)/dlxn, f/n) отличен от нуля (обратимость отображения) и по модулю меньше единицы (дис- сипативность). Примером может служить отображение
х„+| = П(х„, ц) + //п; z/rt+l = Pxn; |р|<1,(2.100)
где П(х)— необратимое одномерное отображение. Якобиан у (2.100) равен (—Р), и поскольку для й-й итерации якобиан (—Р)^->0 (й-^оо), ясно, что предельный аттрактор лежит в окрестности кривой х = П(у/Р). Бифуркации двумерных отображений подчиняются тем же универсальным законам Фейгенбаума, так что достаточно ограничиться квадратичными отображениями, которые, как нетрудно показать, при постоянном якобиане всегда могут быть приведены к виду (2.100) с функцией П(х) вида (2.90).
Такое отображение имеет две неподвижные точки — неустойчивую х = у = 0 и устойчивую х=1— (1—Р)ц-1, у = Р^. При некотором р = Ц1(Р) вторая из этих точек теряет устойчивость, и, кроме того, появляется двукратный цикл, т. е. неподвижная точка второй итерации хп+2 = П2(хп). В окрестности своей неподвижной точки эта вторая итерация путем перенормировки значений х, ц и р приводится к такому же функциональному виду, как исходное отображение (причем перенормировка р имеет вид Ps = P2). Поэтому далее происходит последовательность бифуркаций удвоения периода с асимптотическими законами подобия Фейгенбаума при тех же параметрах 6 и а, с той же точкой накопления Цоо (при Роо = 0) и с аналогичным вышеизложенному дальнейшим поведением при ц > Цоо. Для эквивалентного (2.100), (2.90) отображения
x„+i =1 - К + Уп+1 = ^хп-(2.101)
Хенон (1976) рассчитал (при р, = 1,4 и 0=0,3) 5 • 10е итераций, которые вырисовывали в плоскости (х, у) множество линий, по- видимому, канторовской структуры, хотя стохастичность этого аттрактора строго еще не доказана (при замене в (2.101) х^ на |хп| это сделано Мисюревичем (1980)). Первый показатель Ляпунова ot здесь определялся численно, второй равен 02=
с , 20 ЦО ОГц .г)9)с , 20 ЦО ОГц .г)9)
с , 20 ЦО ОГц .
г)9)
с , 20 ЦО ОГц .
г)9)
мЖм. Жди^
Рис. 2.27. Фазовый поток Рёслера в проекции на плоскости (х, г/)(вверху) и спектральные плотности дляг(/) (внизу) при различных
значениях р,.
рис.. . . абв г д е
ц 2,63,64,14,234^304,60
= 1п0— at, и ляпуновская размерность аттрактора (2.89) получилась равной l + oi|o2|-1« 1,26.
Функциональные уравнения Фейгенбаума обобщаются и на случай ^N—1)-мерных отображений последования Пуанкаре Хп+1=П(хп, ц) для W-мерных диссипативных фазовых потоков: если при некотором щ у них происходит бифуркация удвоения периода, то затем с ростом ц происходит бесконечная последовательность таких бифуркаций, удовлетворяющая законам подобия с универсальными постоянными б и а и с некоторой точкой сгущения Цоо, в которой возникает стохастическое движение (вна-
чале— эргодическое, но без перемешивания). Приведем в качестве примера трехмерный фазовый поток Рёслера (1976):
х = — у — г; y = x-Vy(5; z = 1/5 — рг + xz. (2.102)
Результаты аналогового моделирования этой системы в проекции на плоскость (х, у) и спектральные плотности для z(t) при трех докритических и трех закритических значениях ц (здесь Цоо^4,20) показаны на рис. 2.27; на спектрах хорошо видны прямые и обратные бифуркации удвоения периода. В сечении этой проекции по линии у = 0 получается почти одномерное приблизительно квадратичное отображение хп+1 = П(хп); на самом деле эта «линия» имеет толщину, так как аттрактор состоит из бесконечного множества листов канторовской структуры: топологически он получается из листа, расширяющегося вдвое поперек траекторий и складывающегося вдвое по продольной оси, после чего его правый край приклеивается к левому (рис. 2.28).
Сценарий Помо и Манне- виля (1980): возникновение перемежаемости во времени пе
риодического и стохастического движения после обратной тангенциальной бифуркации (слияния и исчезновения устойчивой и неустойчивой неподвижных точек отображения Пуанкаре, т. е. устойчивой и неустойчивой периодических фазовых траекторий), причем промежутки времени со стохастическим движением случайны, а с периодическим — пропорциональны |ц — Цф |-,/2. Примером может служить бифуркация слияния устойчивой и неустойчивой траекторий с периодом 3 у отображения (2.90) при значении цс~ ^3,83, служащем точкой накопления для последовательности обратных бифуркаций удвоения этого периода.
Рабинович и Трубецков (1984) указывают возможность объяснения перемежаемости специальным видом отображения Пуанкаре хп+1 = П(хп,ц). Пусть график П(х) состоит из трех кривых отрезков: 1 — круто восходящего, 2 — участка с минимумом, 3 — круто падающего. Пусть при ц < цс участок 2 пересекает биссектрису в двух точках; они соответствуют устойчивой и неустойчивой периодическим траекториям отображаемого фазового потока. Пусть с ростом ц этот участок поднимается вверх, и при р = рс точки его пересечения с биссектрисой сливаются. При очень небольшом превышении р > рс между участком 2 и биссектрисой образуется' столь узкая щель, что вписанная в нее лестница Ламерея имеет 138
много ступенек: в течение многих итераций (большого времени) траектория потока остается близкой к исходной периодической. При выходе из участка 2 у лестницы появляются большие ступени (резкие флюктуации траектории), при возвращениях же в участок 2 вновь возникают длительные интервалы близкого к периодическому движения.
Круговое течение Куэттаи конвекция в слое жидкости
Наиболее детальные иллюстрации перечисленных выше сценариев были получены при специальных измерениях потери устойчивости кругового течения Куэтта (в зазоре между двумя коаксиальными вращающимися цилиндрами) и нагреваемого снизу слоя жидкости (развития термической конвекции).
Круговое течение Куэтта в цилиндрических координатах г, ф, z с осью z^ направленной вдоль оси цилиндров, имеет компоненты скорости
Мог = «02 = 0; иОф = U (г) = Ат + Вг-1;
А = ^ - Й^) ^ - Я?)-1; В = (& - Q0($ - R^1,
(2.103) где Ri < /?2 — радиусы, a Qi и Q2— угловые скорости вращения внутреннего и внешнего цилиндров (см. формулу (1.28) в п. 1.2). В идеальной жидкости вследствие закона сохранения момента импульса жидкой части mrU = const (где m— масса частицы). Поэтому при смещении частицы с радиуса го до г > г0 ее скорость станет равной го£7(го)/г, и, значит, на нее будет действовать центробежная сила г^6/2(го)/г3. Если эта сила окажется больше ее равновесного значения U^^jr на расстоянии г, т. е. при условии d^rUyidr < 0, то течение будет неустойчивым (Рэлей, 1916а). Этот критерий в силу (2.103) может быть приведен к виду (^2^2—^\R\W < 0. Отсюда следует, что при вращении цилиндров в разные стороны течение всегда неустойчиво (поскольку здесь где-то в зазоре U меняет знак), а при их вращении в одну сторону критерий неустойчивости принимает вид (Q2/Q1) < < (/?i//?2)2 (см. рис. 2.30). Аккуратный математический вывод этого результата с помощью применения к движению невязкой жидкости методов теории возмущений был дан Сингом (1933) (см. также Шень (1964), Джозеф (1976), Дразин и Рид (1981)) для случая осесимметричных (т. е. не зависящих от ф) возмущений поля скорости и Чандрасекаром (1960) для случая произвольных возмущений этого поля. Более полный анализ (учитывающий также влияние вязкости) может быть осуществлен только с помощью метода малых возмущений, впервые примененного к данной задаче Тэйлором (1923).
В вязкой жидкости для комплексных амплитуд малых волновых возмущений скорости вида u(r) exp [Z(te + ncp— g)/)] с произвольными к и целыми п получаются следующие уравнения (см.г например, Ди Прима (1961)):
д2 . 1 дп219 tmU
S? = -^-тА—2— kA
Or2 1 г orг2 1 v vr
с краевыми условиями иг = диг1дг = и^ = 0 при r=Ri, Ra. Эти уравнения не имеют особенностей; из общих теорем о системах уравнений такого типа следует (см., например, Ди Прима и Хабетлер (1969), Саттингер (1970), а также Джозеф (1976), замечания к гл. II), что при всех значениях параметров задачи системе (2.104) отвечает дискретный спектр собственных значений со и набор собственных функций, являющийся полным в пространстве пар функций (ur, Цф) от г, удовлетворяющих указанным краевым условиям. Поэтому задача об устойчивости кругового течения Куэтта относительно бесконечно малых возмущений сводится к задаче (2.104) на собственные значения.
Начиная с классической работы Тэйлора (1923), долгое время обычно принималось предположение (подкрепляемое результатами почти всех известных тогда экспериментов и часто считавшееся очевидным), согласно которому с ростом Re первыми теряют устойчивость какие-то осесимметричные возмущения с п = 0 (см., например, Ландау и Лифшиц (1953), Линь (1955), Чандрасекар (1961), Стюарт (1963)). Если это так, то задача сильно упрощается — при п = 0 система (2.104) может быть приведена к следующему заметно менее громоздкому виду:
f + 4) (г, - 6’)" «и..(2-10-13)
(2’l-tl + v)“. = v(^+T)“r. г.=4(^+т)-
Дальнейшее упрощение задачи при п = 0 связано с тем, что, как было установлено эмпирически, а затем и доказано Ии (1972), системе (2.104а) (в отличие от (2.104)) отвечают лишь чисто мнимые собственные значения G). Таким образом, здесь выполняется принцип смены устойчивости, все волновые возмущения с п = 0 стационарны и, значит, при расчете нейтральной кривой можно с самого начала считать, что g> = 0.
Тэйлор (1923) рассчитал решение системы (2.104а) для случая узкого зазора между цилиндрами (при л ^ ^2/^1, близком
к единице, т. е. когда 61 = (/?2—Ri)IR\ <С 1), опираясь на разложение искомых решений по некоторой специальной ортонормирован- ной системе функций, сводящее уравнения (2.104а) к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Позже был предложен и ряд других эффективных численных методов решения как системы (2.104а), так и более общей системы (2.104) (см., напри-
Рис. 2.29. Нейтральная кривая на плоскости (Qb Q2) для течения Куэтта между вращающимися цилиндрами при Т?2/^1^1,13, рассчитанная Тэйлором (1923).
Точки отвечают значениям (Й1 Й2), при которых наблюдалась потеря устойчивости, а штриховая прямая указывает границу области неустойчивости в случае идеальной жидкости.
мер, Чандрасекар (1961), Ди Прима (1963), Робертс (1965), Джозеф (1981), Гольдштик и Штерн (1977), Дразин и Рид (1981), Ди Прима и Суинни (1981), Бабенко, Афендиков и Юрьев (1982) и Домингес-Лерма, Алерс и Кеннел (1984), где можно найти много дополнительных ссылок).
Рассчитанная Тэйлором (1923) нейтральная кривая для /?2/^1^1ДЗ представлена на рис. 2.29, где точки отвечают значениям угловых скоростей (йь й2), при которых в проведенных автором экспериментах наблюдалась потеря устойчивости ламинарного течения между цилиндрами; полученное здесь прекрасное согласие теории с экспериментом явилось блестящим успехом теории гидродинамической устойчивости. Отметим, что все точки нейтральной кривой на рис. 2.29 расположены левее прямой Й1/Й2 = = (R2/R1)2, отвечающей найденной Рэлеем границе области неустойчивости в случае идеальной жидкости; таким образом вязкость здесь всегда оказывает на течение стабилизирующее влияние. При этом для любого фиксированного значения ц = й2/Й1, меньшего (R1/R2)2, с ростом Re = Qi/?f//v точка (й2, QJ неизбежно попадает в область неустойчивости по отношению к малым волновым возмущениям. При переходе через нейтральную кривую происходит бифуркация смены устойчивости — переход от лами-
парного течения к новому стационарному течению с полем скорости вида u = и(г)ехр(/^сг2), отвечающим набору тороидальных роликовых вихрей Тэйлора (рассчитанных и экспериментально обнаруженных Дж. И. Тэйлором (1923), а затем многократно наблюдавшихся и многими другими исследователями).
Нейтральные кривые типа изображенной на рис. 2.29 были позже рассчитаны с помощью уравнений (2.104а) и для многих других значений R^/R\; в частности, в обзорной статье Доннелли (1962) результаты вычислений Чандрасекара (1958) для R2lR\ = 2 сопоставлены с данными измерений Доннелли и Фульца (1960) при таком значении R2/R\- Здесь снова выводы теории прекрасно сошлись с экспериментальными результатами при всех ц = Й2/Й1, кроме, пожалуй, больших отрицательных значений этого параметра. Однако результаты измерений при таких ц и не должны хорошо соответствовать расчетам на основе уравнений (2.104а), поскольку Крюгер, Гросс и Ди Прима (1966) показали, что при не слишком малых по модулю отрицательных значениях ц с ростом Re первым теряет устойчивость некоторое неосесимметричное волновое возмущение с п=#0. Согласно выводам Крюгера и др., при р < 0 значение п, отвечающее наименее устойчивому волновому возмущению, растет (разумеется, скачками, так как п — целое число) с ростом — ц, причем при возрастании относительной ширины зазора между цилиндрами 61 (т. е. убывании т] = /?1//?2) наименьшее значение — р, при котором с ростом Re раньше всего теряет устойчивость неосесимметричное возмущение, быстро убывает. Что касается разности Re?r —Recr, где Recr — наименьшее число Рейнольдса, при котором хоть какое-то волно- вое возмущение оказывается неустойчивым, a Re^ — наименьшее Re, при котором оказывается неустойчивым какое-то осесимметричное возмущение, то эта разность возрастает с ростом как —ц, так и 61, но обычно она оказывается относительно очень небольшой (см., например, Снайдер (1968), Ромашко (1981), Афендиков и Бабенко (1985)). Поэтому учет неосесимметричных возмущений с и =# 0 приводит лишь к незначительному изменению крайней левой части нейтральной кривой на рис. 2.29. Снайдер (1968) показал также, что результаты расчетов устойчивости неосесимметричных волновых возмущений в течении между вращающимися цилиндрами хорошо согласуются и с данными как ряда экспериментов 60-х годов, так и ранних экспериментов Льюиса (1928), в течение многих лет или остававшихся незамеченными, или же считавшихся неверными (так как они противоречили общему убеждению, что первыми всегда должны терять устойчивость осесимметричные возмущения).
Расчетам устойчивости более общего кругового течения Пуа- зейля—Куэтта, возникающего в зазоре между вращающимися концентрическими цилиндрами при наличии направленного вдоль их оси градиента давления, уделено много внимания в книгах Джозефа (1981), Гольдштика и Штерна (1977).
Обширная литература посвящена нелинейной теории устойчивости течения между вращающимися цилиндрами, использующей полную систему уравнений гидромеханики (см., например, обзоры Стюарта (1971), Джозефа (1981), глава V, и Ди Прима и Суинни (1981), содержащие много дополнительных ссылок). При Re < Reicr (где Reicr— минимальное число Рейнольдса, при котором могут существовать незатухающие бесконечно малые возмущения) в случае течения между вращающимися цилиндрами уравнения Навье—Стокса имеют единственное стационарное решение, задаваемое формулами (2.103). (Число Рейнольдса здесь может определяться по-разному — за масштаб длин можно принять и 7?ь и R2, и d = R2—/?i, а за масштаб скоростей — и Qi/?i, и £l2R2\ можно также вместо Re использовать число Тэйлора Та, пропорциональное Re2.) Однако при Re > Recr (если ц = Q2/Qi ^ 0 во всяком случае) возможно и иное стационарное течение жидкости между вращающимися цилиндрами, отвечающее системе стационарных вихрей Тэйлора, наложенных на течение (2.103).
Таким образом, при Re = Reur происходит бифуркация решения уравнений Навье—Стокса, и от решения (2.103) ответвляется второе стационарное решение, включающее периодическое по г слагаемое с амплитудой А, при малых Re—Reicr пропорциональной (Re—ReiCr)I/2. Строгое математическое доказательство возник' новения при Re = Re^r такой бифуркации может быть найдено в работах Вельте (1966), Юдовича (1966а), Иванилова и Яковлева (1966), Овчинниковой и Юдовича (1968), Кирхгеснера и Зор- гера (1969); более сложный случай, когда при Re = Reicr появляется нейтральное неосесимметричное возмущение с и =# 0, разобрали Бабенко, Афендиков и Юрьев (1982), Афендиков и Бабенко (1985). Поскольку данные наблюдений за течением между цилиндрами указывают, что, как правило, при Re, слегка превышающем Reicr, здесь реализуется стационарный режим вихрей Тэйлора конечной амплитуды, естественно ожидать, что этот режим устойчив, а рост амплитуды Л описывается уравнением Ландау (2.64) су>0и6>0. Результаты расчета значений у при небольшой надкритичности (малых Re—Re1^) представлены, в частности, в работе Домингеса-Лерма и др. (1984); попытки же приближенно оценить значение 6 при р = Q2/£2i ^ 0 предпринимались Стюартом (1958), Дэви (1962), Дэви, Ди Прима и Стюартом (1968) (см. также обзор Стюарта (1971)). Все эти авторы получили значения 6 > 0. Отвечающий таким 6 закон нарастания интенсивности вихрей Тэйлора с ростом Re—Re^r неплохо согласуется с данными измерений Доннелли (1963), Доннелли и Шварца (1963, 1965), Снайдера и Ламберта (1966). Вопрос об определении волнового числа к вихрей Тэйлора в закритическом течении между цилиндрами (где неустойчивы уже возмущения со значениями к из некоторого интервала) обсуждается в книге Джозефа (1981), § 39.
Использовав метод Дэви, Ди Прима и Стюарта, Ди Прима и Гранник (1971) изучили эволюцию нейтральных возмущений
в слабо закритическом течении между цилиндрами, вращающимися в противоположные стороны (т. е. при ц < 0), и пришли к выводу о том, что 6 < 0 на некоторой части полуплоскости {(ц, rj), ц < 0} (где т] = ^1/^2). Отсюда следует, что при таких (ц, ^) следует ожидать существования докритических (при Re < Reicr) устойчивых возмущений конечной амплитуды. Границу части плоскости (ц, т]), где 6 < 0, приближенно определил Джонс (1982), а затем более строго рассчитали Афендиков и Бабенко (1985).
Определение амплитуды стационарных вихрей Тэйлора (или более сложных вихревых образований, если в течении между цилиндрами первым теряет устойчивость возмущение с и =#0, но при этом 6 > 0) с помощью уравнения Ландау (2.64), являющегося первым приближением теории возмущений, очевидно, оправдан лишь при слабой закритичности (т. е. малых Re—Reicr). Для нахождения интервала значений Re—Reicr, при которых может реализоваться вторичное течение в виде совокупности вихрей Тэйлора, надо исследовать устойчивость этого вторичного возмущения к малым возмущениям при различных значениях Re > Reicr. Такое исследование предпринималось, в частности, Дэви, Ди Прима и Стюартом (1968), Когельманом и Ди Примой (1970), Иглзом (1971, 1974), Накая (1975) и Джонсом (1981, 1982), опиравшимися на разные исходные предположения (см. также обзоры Стюарта (1971), Джозефа (1976), Дразина и Рида (1981), Ди Прима и Суинни (1981)). Все указанные авторы пришли к выводу о том, что стационарные вихри Тэйлора устойчивы лишь при сравнительно небольших значениях Re—Reicr, а начиная с некоторого значения Re2cr, лишь ненамного превышающего Reicr, они оказываются уже неустойчивыми относительно неосесимметричных (с и #= 0) возмущений, приводящих к появлению «азимутальных волн» на исходных вихрях (переходу к режиму «волнистых вихрей Тэйлора»). Этот вывод неплохо согласуется с данными наблюдений Доннелли и Саймона (1960), Коулса (1965) и ряда других авторов (см. снова обзор Ди Прима и Суинни, где, в частности, указано, что при Re > Re2cr появляется преимущественно волновая мода с п = 4).
Коулс (1965) провел тщательные наблюдения устойчивых режимов течения в зазоре между вращающимися цилиндрами (при т] = R\IR2 = 7/8), возникающих при различных угловых скоростях Qi и Q2, отвечающих широкому диапазону значений Re (вплоть до Re/ReiCr порядка нескольких десятков). Он обнаружил большое число различных режимов (включая и довольно экзотические) и показал, что режим течения не определяется однозначно значениями Qi и Q2, но существенно зависит от процедуры приведения цилиндров в движение. Кроме работы Коулса, можно указать и много других экспериментов (охватывающих еще более широкий интервал значений Re/Reicr), поставленных с целью изучения сценариев перехода к турбулентности в течении между цилиндрами (см., например, Ди Прима и Суинни (1981), где перечислено девять работ, а также Львов и Предтеченский (1979, 1980), Брандш-
тетер и др. (1983), Эндерек, Лю и Суинни (1986)). В этих экспериментах было найдено очень много резко различающихся устойчивых режимов течения; в качестве примера на рис. 2.30 (заимствованном из статьи Эндерека и др. (1986)) указаны области на плоскости (Rei, Re2), где Rei = Qi/?id/v, R2 = ^Ridl^, отвечающие большому числу разных режимов течения, реализующихся при
Рис. 2.30. Режимы течения между независимо вращающимися цилиндрами (по работе С. Андерека, С. Лю и Г. Суинни, 1986)./—течение Куэтта, 2 — вихри Тэйлора, 3— азимутальные волны на вихрях Тэйлора, 4 — модулированные азимутальные волны на вихрях Тэйлора, 5 — стохастизация волн на вихрях Тэйлора, 6 — спиральные вихри Тэйлора, 7 — перекрывающиеся спирали, 8 — волновые возбуждения на спирали, 9 — спиральная турбулентность.Рис. 2.30. Режимы течения между независимо вращающимися цилиндрами (по работе С. Андерека, С. Лю и Г. Суинни, 1986)./—течение Куэтта, 2 — вихри Тэйлора, 3— азимутальные волны на вихрях Тэйлора, 4 — модулированные азимутальные волны на вихрях Тэйлора, 5 — стохастизация волн на вихрях Тэйлора, 6 — спиральные вихри Тэйлора, 7 — перекрывающиеся спирали, 8 — волновые возбуждения на спирали, 9 — спиральная турбулентность.
Рис. 2.30. Режимы течения между независимо вращающимися цилиндрами (по работе С. Андерека, С. Лю и Г. Суинни, 1986).
/—течение Куэтта, 2 — вихри Тэйлора, 3— азимутальные волны на вихрях Тэйлора, 4 — модулированные азимутальные волны на вихрях Тэйлора, 5 — стохастизация волн на вихрях Тэйлора, 6 — спиральные вихри Тэйлора, 7 — перекрывающиеся спирали, 8 — волновые возбуждения на спирали, 9 — спиральная турбулентность.
Рис. 2.30. Режимы течения между независимо вращающимися цилиндрами (по работе С. Андерека, С. Лю и Г. Суинни, 1986).
/—течение Куэтта, 2 — вихри Тэйлора, 3— азимутальные волны на вихрях Тэйлора, 4 — модулированные азимутальные волны на вихрях Тэйлора, 5 — стохастизация волн на вихрях Тэйлора, 6 — спиральные вихри Тэйлора, 7 — перекрывающиеся спирали, 8 — волновые возбуждения на спирали, 9 — спиральная турбулентность.
условии, что жидкость (вода с примесью мелких частиц, используемых для визуализации течения) заливалась в зазор между неподвижными цилиндрами, затем внешний цилиндр медленно ускорялся до угловой скорости Q2, после чего так же до скорости Qi доводился внутренний цилиндр. Согласно этому рисунку, после потери устойчивости ламинарного течения Куэтта (область /) формируются вихри Тэйлора (область 2), которые с ростом Re быстро становятся неустойчивыми, но даже при значительном превышении порога устойчивости не разрушаются полностью, а лишь деформируются появлением на них тех или иных азимутальных волн (области 5, 10, 11 и /2). При сравнительно небольших скоростях вращения внешнего цилиндра (область 5) эти волны выглядят как периодические по азимутальному углу изгибы вихрей Тейлора. С ростом Re (область 4) на азимутальных волнах возникает периодическая модуляция, а в спектре прослеживаются две независимые частоты и их комбинации. В фазовом пространстве этому соответствует незамкнутая обмотка на двумерном торе. При увеличении надкритичности появление новых частот и разрушение трехмерного тора приводят к возникновению странного аттрак-
14514510 Заказ № 303
145
145
тора — переходу к хаосу через квазипериодичность (область 5Т в которой происходит стохастизация азимутальных волн без возбуждения новых пространственных мод).
Количественные характеристики обнаруженных в упомянутых экспериментах бифуркаций меняются, в частности, в зависимости от размеров цилиндров и от начальных данных. Так, в первом из экспериментов, описанных Ди Прима и Суинни, /?1 = 22,54 мм; R2 = 25,40 мм; d = R^—/?i = 2,86 мм; d//?i=0,14; высота цилиндров h = 20d; Q2 = 0. Число Рейнольдса Re = dQi/v при котором происходит переход к хаосу, здесь оказалось равным Re = Rec = = 2501. Вихри Тэйлора появились в этом эксперименте при Re* = = Re/Rec = 0,051 (в количестве &/z/2jt= 17); при R* = 0,064 на них появились изгибные волны (четыре на окружность, с безразмерной частотой fi = 2л/1/й1 = 1,30, причем в спектре иг^ были видны шесть ее гармоник); при ^* = 0,54 появилась вторая (малая) частота f2; с ростом R* она убывала до нуля при ^* = 0,78, где появилась третья частота /з~2/з/1; при R*~\ обратимо и безгистерезисно происходила стохастизация.
В экспериментах Львова и Предтеченского использовались цилиндры с /?1 = 17,5 мм; /?2 = 27,5 мм; d=10 мм; d(Ri = 0,57; h = 30d, и также рассматривался случай, когда Q2 = 0. Вихри Тэйлора появились при Re^74 (в количестве 22—36, а при медленном разгоне — 28—30). При наличии 30 вихрей изгибные волны появились в интервале Re = 995... 1015 (шесть на окружность, /i=l,93Qi, две гармоники); затем при Re =1040 в спектре u^^t) появилась и альтернировала с первой вторая частота /2 = 0,55Qi^ а также комбинационные гармоники; затем появилась третья частота /з = 0,95йь при Re = 1901 отчетливых максимумов в спектре уже не было (но отдельные острые пики появлялись и исчезали и при дальнейшем росте Re). Течение с 28 вихрями вело себя совершенно иначе (в частности, при Re = 1100... 1200 оно переходило в состояние с 29 вихрями). В целом эволюция вихрей Тэйлора хотя и походила в общих чертах на сценарий Рюэлля и Тэ- кенса, но в деталях оказалась заметно более сложной.
Рассмотрим теперь термическую конвекцию в горизонтальном слое 0 ^ 2 ^ /г, описываемую уравнениями Буссинеска
divu = 0; 4т = -—-ga^' + vAu; (2.105) dt Ро dt * \ /
(где а — коэффициент термического расширения) с фиксированными краевыми значениями температуры Т2=о = То и Т2=н = Т и Стационарное решение этих уравнений имеет вид u = 0, Т' = Ts = = То—(То — T^zfh. Введя числа Рэлея Ra = ga(T0—Ti)h3/v% и Прандтля Pr=o = v/%, измеряя длины масштабом К, времена — масштабом №(х и полагая Т— T'=(J0—TT^/Ra, приведем (2.105) к безразмерному виду
divu = 0; ^- = - vn + ouVz + oAu; -^-= да Ra + АО, (2.106)
где П—безразмерное отклонение давления от его стационарного гидростатического распределения. Линеаризируя эти уравнения (что сводится к замене d/dt на d/dt) и отыскивая неизвестные функции f(x, /) в виде /(г)ф(х, г/)ехр(—iotot^, где Дф + &2ф = 0, для комплексной амплитуды поля температуры ^(2) получаем:
(у - ^) (^ - fe2 + /(0) (^ - &2 + Zao)) » + 62 Ra & = О (2.107)
с краевыми условиями ^ = тЭ’,х ="e,,,z— (£2— iow^' = 0 на твердой стенке с фиксированной температурой и А = A" = OIV = 0 на свободной поверхности с фиксированной температурой (см., например, Чандрасекар (1961), Дж. Стюарт (1963), Линь (1955), Гер- шуни и Жуховицкий (1972), Дразин и Рид (1981)). Близкие граничные условия получаются также для случаев, когда на поверхностях 2 = 0 и 2 = 1 фиксируется не температура, а поток тепла или связь между потоком тепла и температурой (ср., например, Спэрроу, Голдстейн и Джонсон (1964)). Во всех случаях мы приходим к задаче, которая при фиксированном числе Прандтля Рг = о содержит всего два параметра: волновое число к и число Рэлея Ra. Следовательно, любым заданным значениям к и Ra здесь будет отвечать свой набор собственных чисел ш^к, Ra). Оказывается, что при отрицательных или малых положительных значениях Ra (т. е. в случае когда нижняя плоскость имеет более низкую температуру или же когда нижняя плоскость подогрета относительно верхней, но не слишком сильно) все числа ^^к, Ra) при всех значениях к будут иметь отрицательную мнимую часть; начиная же с некоторого «критического значения» Racr (т. е. с некоторой критической разности температур Го—Т\, зависящей также и от расстояния Н между плоскостями) появляется значение к = ксг, при котором одно из собственных значений со/ (kcr, Racr) имеет нулевую мнимую часть. При этом, так же как и в задаче об устойчивости движения жидкости между вращающимися цилиндрами, здесь выполняется принцип смены устойчивости, т. е. первое собственное значение соД&, Ra) с 1тсо/ = 0 оказывается нулевым (строго математически этот факт был доказан Пэлью и Саусвеллом (1940)). Поэтому потеря устойчивости состояния покоя при достижении критической разности температур Го—Т\ приводит к возникновению стационарного конвективного движения, периодического по х и у.
Качественно все основные черты процесса потери устойчивости в подогреваемой снизу жидкости были выяснены еще Рэлеем (19166), разобравшим математически заметно более простую (но нереальную физически) задачу о конвекции в слое жидкости между двумя свободными поверхностями, температуры которых фиксированы. Математически эта задача сводится к исследованию дифференциального уравнения (2.107) при краевых условиях & = ft" = -fpv = о при 2 = 0 и 2=1. Для определения значений
Racr и кст достаточно рассмотреть уравнение (2.107) с со=0, т. е. уравнение
^^ — ^S-V^aS-O.(2.108)
Решения этого уравнения, удовлетворяющие указанным условиям при 2 = 0 и 2=1, имеют вид '& = sinnn2, п=1, 2, ... Поэтому при достаточно больших значениях Ra мы будем иметь ряд различных нейтральных возмущений (с со = О), волновые числа которых будут удовлетворять соотношению
(л2л2 + й2)3 = A2 Ra,(2.109)
где п— целое число. Минимальное число Рэлея при каждом заданном к будет отвечать возмущению с п= 1; следовательно, Racr /л2 _1 £2\3
здесь определяется из условия Racr = min -—^—— • Отсюда получаем Racr = 27л4/4^ 657,5; кСг = лУ2/2^2,2.
Для реального случая конвекции в слое между твердыми поверхностями с фиксированной температурой аналогичный расчет в связи с большей сложностью граничных условий требует уже применения численных методов. Такой расчет был выполнен Джефрисом (1926), а также Пэлью и Саусвеллом (1940) (см/также Линь (1955), Чандрасекар (1961), Гершуни и Жуховицкий (1972), Дразин и Рид (1981), Домингес-Лерма и др. (1984)); он показал, что в этом случае Racr^1708 и Асг^3,13. Заметим еще, что значение к определяет лишь периодичность возникающего течения в плоскости (х, у), но не его форму. Явный вид функции ф определяет форму ячеек, на которые распадается конвективное движение, но его нельзя однозначно определить исходя из линейной теории возмущений. Однако данные многочисленных экспериментов (описанных, например, в книге Чандрасекара (1961); см. также Стюарт (1963), Дразин и Рид (1981) и цитированную там литературу) определенно показывают, что возникающее течение обычно распадается на совокупность роликов или ячеек (так называемые ячейки Бенара) в виде шестигранных призм, в середине которых жидкость движется вверх, а по краям вниз, или наоборот. Таким ячейкам соответствует вполне определенная форма функции Ф, которая была указана Кристоферсоном (1940). Сопоставление отвечающих этой функции ф значений скорости с данными наблюдений ячеек Бенара можно найти в книге Чандрасекара (1961) и в статье Стюарта (1964), использовавшего также результаты нелинейной теории конвекции; оно приводит к хорошему согласию теории и эксперимента.
Аналогично обстоит дело и в случае, когда верхняя поверхность жидкости является свободной поверхностью с фиксированной температурой. В результате мы приходим к новой задаче на собственные значения, для которой численный расчет показывает, что здесь потеря устойчивости происходит при Rarc^1100 (Пэлью и Саусвелл (1940), Чандрасекар (1961), Гершуни и Жуховицкий 148
(1972), Дразин и Рид (1918)). Это значение Racr, так же как и значение Racr для конвекции между твердыми поверхностями, прекрасно подтверждается на опыте (см., например, Чандрасекар (1961), Саттон (1960), Томпсон и Соджин (1966)). Значения Racr, отвечающие некоторым другим граничным условиям для температуры, можно найти в статьях Спэрроу, Голдстейна и Джонсона (1964), Хэрла, Джекмана и Пайка (1967), Нилда (1967) и книге Гершуни и Жуховицкого (1972).
Линейная теория гидродинамической устойчивости позволяет определить значение Racr = Raicr, при котором начинается конвекция в слое жидкости, и указать некоторые характеристики процесса конвекции при небольших закритичностях Ra — Raicr. При больших значениях Ra — Raur следует уже привлечь нелинейную теорию конвекции, использующую полные уравнения для полей температуры и скорости. Такой нелинейной теории посвящена обширная литература (см., например, обзоры Палма (1975), Джозефа (1981), Буссе (1981), Дразина и Рида (1981), где можно найти много дополнительных ссылок). Ниже будут кратко рассмотрены лишь некоторые работы, относящиеся к этой обширной области исследований. ,
Шлютер, Лорц и Буссе (1965) установили, что при небольших значениях Ra — Raicr из стационарных конвективных движений линейно устойчивы к волновым возмущениям с волновым числом к (из узкой полосы, окружающей значение ксЛ только двумерные валы («ролики»). Дальнейшие результаты об устойчивости таких конвективных роликов в широком диапазоне значений Ra — Raicr и Рг содержатся в ряде работ Буссе с соавторами (см., например, статью Болтона, Буссе и Клевера (1990) и содержащиеся там ссылки). Что же касается устойчивости шестиугольных конвективных ячеек Бенара, то Палм (1960) и другие авторы (см. обзор Палма (1975)) установили, что их формирование определяется факторами, не учитывавшимися в первоначальной теории; в частности, большую роль здесь играет зависимость от температуры молекулярных свойств жидкости — прежде всего ее вязкости v (т. е. то, что dv/дТ #=0). Для возмущения вида
w = [Af(0 cos ку + А2 (/)cos (fex]/3/2) cos (ку/2)] sin lz (2.110)
Палм вывел систему уравнений типа Ландау
Л = ^-2^-д1 Л? - (26г - 61/2) М^;
4(2.111)
Лг = у^2 — V А1Аг — 62Д2 — (46г — 61) А^А2,
где у, v', 61, 62 — некоторые постоянные, y~(Ra— Rai^)1/2,. V~\dy]dT\. Эта система имеет стационарные решения, такие, что А2=±2Аь т. е. соответствующие шестиугольным ячейкам. Установлено, что для некоторых зависящих от V значений Rai > Raicr, R^2 > Rai и Ra3 > Ra2 при Rai < Ra < Ra2 устойчивы только шестиугольники, при Ra2 < Ra < Ra3— и шестиугольники, и ролики,
я при Ra > Rag — только ролики. При v'-^О и Rai, и Ra2, и Ras стремятся к Ra^r, так что восстанавливается результат Шлютера, Лорца и Буссе.
Рассмотрим конвективные ролики, вытянутые вдоль оси у, так что для них уравнения (2.106) оказываются двумерными и после введения в плоскости (х, 2) функции тока ф приводятся к виду
5АФ+jy^L=a д8_ + аД ^+50ML=Ra^L + M (2Л12) dt 1 д (х, z) дх т dt 1 д (х, г) дх х 7
где о = Рг. С увеличением Ra > Raicr движение в роликах перестает быть стационарным и нарастает со временем. Вначале его можно описать следующими тремя модами:
ф = л"1 ^Rojk^3 X л/2 81п&х81плг;
O = Ro(K V2 cos/?х81пл2 ~ 2 81п2лз), (2.113)
где X, У, Z— амплитуды мод, a Ro = ^-2(л2 +/г2)3. Буссе (1972) доказал, что у инфинитезимальных возмущений амплитуды других мод суть малые более высокого порядка. С учетом этого подставляя (2.113) в (2.112) и пренебрегая взаимодействиями со всеми другими модами, получаем для X, У, Z систему уравнений
Х = — аХ — оУ; У=— У + гХ — XZ; Z = —bZ + XY, (2.114) где точка обозначает производную по ^R^^t; b = ^^k2R^—X^—геометрический фактор (при рэлеевском к = л/VS равный 8/3); г = R^Ra относительное число Рэлея. Эта система, впервые полученная Лоренцом (1963), прославилась как первый пример системы со странным аттрактором (бесконечнолистный аттрактор канторовской структуры был заподозрен еще самим Лоренцом на основе анализа результатов численного интегрирования, но строгое математическое доказательство этого факта до сих пор не получено).
Подчеркнем, что уравнения Лоренца (к которым мы еще вернемся) описывают реальную конвекцию лишь при небольших г. В экспериментах Уиллиса и Дирдорфа (1970) было установлено, что при Ra2Cr«3Ra1Cr на конвективных роликах (как и на тороидальных вихрях Тэйлора, о которых говорилось выше в этом параграфе) возникают поперечные волны. Их расчет в рамках линейной теории устойчивости выполнил Буссе (1972), а по нелинейной теории — Маклафлин и Мартин (1975). Во-первых, они рассчитали восьмимодовое движение с роликами вида (2.113) и одной гармоникой вдоль оси у и построили для него разложение Ландау (2.64) (для которого получилось 6 > 0, что соответствует нормальной бифуркации). Во-вторых, они численно рассчитали 39-модовое движение с роликами (2.113) и четырьмя гармониками вдоль оси у и при &1/л = = 0,072, k^n = 0,1, о = 1 получили г2сг«1,25; далее, при г = 1,4 получался периодический режим, при г = 1,45 слегка непериодический, при г = 1,5 и 1,55 опять периодический и при г = 1,6 резко непериодический режим (а при исключении четвертой гармоники — при г = 1,6, г = 2 и даже г = 20 — периодические режимы).
Граница е области устойчивости двумерных роликов в пространстве параметров (к, о, Ra) по Буссе (1984 а, б) показана на рис. 2.31. Вблизи части 1 этой границы ролики становятся неустойчивыми по отношению к возмущениям типа наклонных роликов, устанавливающихся под углами ±40° к исходным роликам («зигзагообразная» неустойчивость, создающая синусоидальные. деформации первичных роликов). У части 2 поверхности е проявляется неустойчивость типа поперечных роликов, у части 3 — типа варикозных расширений, у части 4 эти два типа переходят в узелковую неустойчивость, порождающую более сложные структуры. При малых о на нижней части поверхности е одновременно нарастают два двумерных возмущения с волновыми числами немного меньше 150
и немного больше, чем у первичных роликов (модуляционная неустойчивость «на« боковых частотах» Бенджамина—Фейра). Наконец, у части 5 возникают осцилляции (колебательная неустойчивость) с волнообразными поперечными движениями роликов; при больших о этот переход возникает лишь после образования трехмерных структур.
Рис. 2.31. Поверхность е, определяющая значения параметров Ra, о и к, при которых конвективные валы теряют устойчивость (см. работу Ф. Г. Буссе, 1984).
Жирные линии — пересечения поверхности с плоскостями а = const.
Рассмотрим теперь уравнения Лоренца (2.114). Дивергенция фазового потока у них отрицательна: А = — (о + b + 1), так что все траектории стремятся в некоторое множество нулевого объема. Величина F = [X2 + У2 + (Z — г — — o)2]V2 удовлетворяет условию W ^—CXW + С2 с положительными Сх и С2, так что все траектории входят в шар № ^ 2С2/Сь Система не меняется при замене (X, У, Z) (—X, —У, Z). При r< 1 единственной неподвижной точкой является устойчивый узел 0 в начале координат. При г ^ 1 (начало конвекции) он теряет устойчивость (становится седлом с двумерным устойчивым многообразием и двумя неустойчивыми одномерными сепаратрисами Г+, Г-) и появляются еще две неподвижные точки С+ , С — = (+ V^ (г — 1), ±V&(r—1), г — 1), к которым стремятся сепаратрисы. При о < b + 1 они устойчивы; при о > b + 1 (далее, следуя Лоренцу, будем рассматривать случай о = 10, б = 8/3) они устойчивы при 1 < г < г3 = о (о + b + 3) (о — b — I)-1 «24,74, а при г > г3 теряют устойчивость. По линейной теории при г = г3 здесь возможны нейтральные возмущения с частотой со = [2бо (о + 1) (о — b — 1) 1]^2, скажем 6Х = = A cos tot. При г, немного меньшем, чем г3, к 6Х прибавляется малая нелинейная поправка порядка |Л|2, для которой Маклафлин и Мартин (1975) построили с точностью порядка о-1 уравнение Ландау (2.64) и получили у = (б/2о‘/2) (Vr — 1 — V^s — О и ^ = —37/72о, так что бифуркация при г = гз оказалась обратной.
Далее изложим результаты Афраймовича, Быкова и Шильникова (1977) (рис. 2.32). При г = гх «13,92 они обнаружили бифуркацию, при которой сепаратрисы возвращаются в седло. При г > гх из петель сепаратрис рождаются седловые периодические движения L+, L~ вокруг фокусов С+, С- (и одновременно появляется не являющееся аттрактором инвариантное множество линий Qt канторовской структуры, включающее счетное множество седловых периодических движений; сепаратрисы Г+, Г- пересекаются и стремятся
к фокусам С~, С+. При г = г2«24,06 сепаратрисы Г+, Г- вместо фокусов наматываются на циклы L", L+, а вместо Qi появляется бесконечнолистный аттрактор Лоренца Q2, область притяжения которого ограничивают устойчивые
Рис. 2.32. Бифуркации в системе Лоренца: а) 1 < г < гь б) г = гь в) И < г < г^ г) г = г^ б) г2 < г < г3, е) г = г3.
многообразия циклов L~, L+ (так что возбуждение стохастичности является жестким). При г > г2 он устойчив, включает О, Г+, Г~ и потому не является структурно устойчивым, и на нем всюду плотны периодические движения (способные испытывать последовательности бифуркаций удвоения периода и могущие исчезать с ростом г лишь путем влипания в петли сепаратрис). При г = гз циклы L+, L- стягиваются в точки С+, С-, и последние теряют устойчивость. При Гз < г < г4^220 единственным устойчивым предельным множеством явля-
Рис. 2.33. Пример траектории на аттракторе Лоренца при г = 28. Плоскость X, У соответствует Z = 27.
ется аттрактор Лоренца (отметим, что при уменьшении г от г* до г2 фазовая точка M(t) остается в аттракторе, а при г<г2 он теряет устойчивость и М(0 стремится к С+ или С-).
Пример траектории на аттракторе (при г = 28 пересекающей плоскость Z = 27) см. на рис. 2.33. Эта траектория выходит из начала координат, обходит С+, затем раскручивается и притягивается к С-, уходит от С~ по спирали к С+ и т. д., причем период обращения вокруг С+ или С- равен 0,62, а радиусы спиралей меняются за оборот на 6 %. Указанное еще самим Лоренцом для этого примера отображение Пуанкаре Zn-H = П(7Л) последовательных максимумов Z имеет треугольную форму,
Рис. 2.34. Топология аттрактора Лоренца.
причем всюду |П'(^)|>1: оно эргодическое и перемешивающее (Бунимович^ Синай (1980)). Топологически аттрактор Лоренца получается из двух листов, расширяющихся поперек траекторий, причем правый край каждого из них приклеивается к левым краям обоих листов (см. рис. 2.34).
Мори и Фуджисакс (1980) рассчитали для аттрактора Лоренца как функцию от г показатель Ляпунова Qi (второй показатель о2 равен нулю, третий Оз = А — Qi отрицателен, • а ляпуновская размерность аттрактора равна 2 + + П1 I п3 |-I). При г < 1 показатель Oj отрицателен, при г = 1 (появление конвективных роликов) обращается в нуль, при 1 < г < Гз опять отрицателен и при г = гз достигает нуля, но при г = г2 выше нуля возникает и при г > г2 воз-
Рис. 2.35. График показателя Ляпунова Oi(r) при b = 4, о = 16.
растает новая ветвь о,, при очень больших г многократно прерываемая «лакунами» нулевых значений, соответствующих периодическим движениям (см. на рис. 2.35 пример при b = 4, о = 16; здесь при г = 40 получается ляпуновская размерность 2,06).
В последние годы экспериментальное изучение конвекции добилось очень значительных успехов в связи с существенным усовершенствованием используемых при этом методических приемов. Большую роль здесь, в частности, сыграло широкое использование в качестве среды, в которой происходит конвекция, жидкого (или
низкотемпературного газообразного) гелия, что позволило добиться крайне малой теплоемкости стенок по сравнению с жидкостью и сильно повысить температурную чувствительность (работы групп Алерса и Либшабера; см., например, Алерс (1974) и Кастэн и др. (1989), где можно найти ряд дополнительных ссылок). Отметим еще новые возможности, открывшиеся при использовании высококачественных лазерных доплеровских анемометров, не вносящих дополнительных возмущений в поток и измеряющих скорость течения с точностью до 10-4 см/с, и привлечении современных ЭВМ для обработки результатов измерений (см., например, обзорную статью Буссе (1981), содержащую обширную библиографию, а также работы Голлаба с соавторами (1981) и группы Берже (1980, 1981, 1983)). Использование ЭВМ для спектрального анализа измеряемых рядов наблюдений позволило наблюдать квазипериодические движения с двумя-тремя несоизмеримыми частотами, а также последовательность бифуркаций удвоения периода с законом подобия (2.96) для амплитуд
Рис. 2.36. Бифуркации удвоения периода в конвективных роликах.
(см. на рис. 2.36 пример из работы Голлаба, Бенсона и Штейн- мана (1980)), перемежаемость, абсолютную неустойчивость тонких слоев, краевые эффекты, порождаемые боковыми стенками, и т. д. Много интересных результатов последних исследований проанализировано (вместо с оригинальными данными измерений массопереноса в слое жидкости при больших значениях Ra и Sc) в статье Голдстейна, Чанга и Си (1990) (см. также важную работу Кастэна и др. (1989) о конвекции в гелии вплоть до Ra = 10 и данные численного моделирования конвекции, выполненного Кэрри и др. (1984)). Не имея возможности подробно изложить весь этот материал, отметим только, что данные последних лет явно противоречат приложимости к конвекции при больших значениях Ra сценария Ландау—Хопфа перехода к турбулентности; заметно лучшее согласие (но также далеко не полное) здесь имеется со сценарием Рюэлля—Такенса.
В будущем еще предстоит детальное исследование развития пространственной стохастической структуры турбулентности; первые шаги в этом направлении предпринимались Арансоном, Гапоновым-Греховым и Рабиновичем (1985, 1987, 1988), опиравшимися на двумерное обобщение уравнения Ландау (2.64)—так называемые уравнения Ландау—Гинзбурга. Что же касается теоретического исследования развитой турбулентности, возникающей после полного завершения процесса турбулизации течения, то ему будут посвящены все последующие главы этой книги.
Начала теории когерентных структур
местах и в случайные периоды времени образуются упорядоченные пространственные структуры с относительно большими временами жизни — достаточно большими для того, чтобы эти структуры можно было успеть заметить (идентифицировать) на быстро меняющемся хаотическом фоне. Они получили наименование когерентных структур. Примером могут служить описанные в п. 2.2 ориентированные подковообразные вихри в пристенных турбулентных течениях.
Когерентные структуры можно определить как предпочтительные нелинейные суперпозиции крупномасштабных пространственных компонент турбулентности, имеющие большие времена жизни (или, иными словами, обладающие наименьшей неустойчивостью по отношению к возмущениям, существующим в турбулентном течении).
Первым шагом к описанию эволюции пространственной структуры течений может быть ее описание на дискретной пространственной сетке точек x=(/i, ..., jd), где d—размерность пространства, а /1, ..., /d — номера точек по каждому направлению в сетке (например, j= 1, 2, ..., L). Ограничимся пока одним скалярным полем ип^ с дискретным временем п и в качестве обобщения отображений отрезка ц^+1=П(ип), рассматривавшихся в п. 2.8 в связи со сценарием удвоений периода, рассмотрим связанные отображения сеток (СОС) вида
ц„-н(х) = П[мДх)]4-£С(хЭС[Мя-^^ ' (2.115) хг е [О, М],
где М — порядок связи, с^х^—ее ядро, а функция G описывает динамику связи. Далее мы ограничимся связью первого порядка М = 1 (только с ближайшими соседями). Если связь призвана, например, симулировать диффузию, то ее ядро не должно зависеть от направления, и тогда отображение (2.115) может быть приведено к виду
«п+1 W = n [«„(*)] + е«О [U« (х)1 4-е, £ G [и„(х + %')]. (2.116)
|х'|=1. *
При ео = О связь называется аддитивной, при ei =— e0/2d— лапласовской (наилучшее приближение к диффузионной в изучаемой схеме), при ei = l/(2d+l)—уравновешивающей (при 0 = П точка х и ее ближайшие соседи получают одинаковые веса). Наиболее подробно изучались СОС с линейной связью G [и] = и и опережающей связью С=П. Краевые условия брались периодические u(L) = ц(0), фиксированные иЩ = и0 или свободные и^ = и^Ь + 1). -
В качестве примера изложим результаты численных экспериментов Кратчфилда и Канеко (1987) при помощи одномерного СОС с лапласовской опережающей связью, описываемого уравнением
Un^ (/) = П Vun (/)] + 4 (П Yun и + 1)] - 2П Yun (/)] + П Yun (j - I)]}
(2.117)
с логистическим отображением отрезка (2.90), т. е. П[^] = = р^(1 — и), периодическими краевыми условиями, значением Л =128 и периодическим начальным условием ио(/) = О,5 + + 0,4 sin(2n//Af), JV = 4. Полученная в численных экспериментах
фазовая диаграмма состояний СОС на плоскости параметров а = = ц(ц— 2)/4 и е показана на рис. 2.37. В левой части диаграммы сетка приходит к тому или иному устойчивому состоянию с однородными областями, разделенными локальными неоднородностями («кинками»); предпочтительные размеры областей указаны на рисунке в скобках. В правой части диаграммы сетка находится в состоянии полностью развитой турбулентности (ПРТ). При слабой связи (е^ 0,1... 0,15) переход происходит путем образования на сетке дефектов, разделяющих области регулярности, причем дефекты сначала малочисленны и совершают броуновское движение (БД), а затем образуют дефектную турбулентность (ДТ), которая далее переходит в ПРТ. При сильной связи (е^0,15) переход осуществляется через перемежаемость регулярных режимов (П), осуществляемую вспышками турбулентности (см. также обзор Кристиансена (1988)). Заметим, что обратный переход выявляет в качестве «когерентных структур» стоячие волны (Бунимович и др., 1989).
Переход, более похожий на сценарий Помо—Манневиля, происходит при использовании вместо (2.90) кругового (синусоидаль-
ного) отображения (см. Кратчфилд и Канеко (1987), Канеко' (1985, 1986), Йенсен, Бак и Бор (1984)). Заметим, что вместо ДТ здесь возникает так называемая солитонная турбулентность с устойчивыми и не диссициирующимися солитонами. Отметим еще, что двумерное СОС типа (2.117) было обсчитано Кристиансеном (1988).
Динамические системы типа СОС не вытекают непосредственно из уравнений гидродинамики. С этой точки зрения для описания стохастизации пространственной структуры течений представляется предпочтительным выводить из гидродинамики уравнения для медленно меняющихся амплитуд возмущений, обобщающие уравнение Ландау (2.64). Это удается сделать, например, для течений,, в которых изменение скорости (температуры) по одной из координат (г) задано (~£(г)), а в перпендикулярной к оси z плоскости х=(х, у) определяется узким пакетом мод с медленной огибающей г^А^Х, У, Г), где e=(Re/Rec)—1—параметр надкритичности, а X = е1/2х, У = е1/4у, Т = е1^/ — медленные переменные. Тогда для А выводится так называемое обобщенное уравнение Ландау—Гинзбурга (ЛГ) (см., например работы Бранда, Лом- даля и Ньюэлла (1986а, б) и обзор Рабиновича и Сущика (1990), включающий обширный список литературы).
Ограничимся здесь случаем, когда в линейном приближении имеет место вращательная симметрия хотя бы при малых углах поворота относительно основного волнового вектора кс пакета мод. Тогда решение задачи о линейной устойчивости
$& -А' ^’ Re}u(x- у’ ^^=° (2-118> будет иметь вид
u = иоехр [у/ + i (к • х — со/));
^{у(к, Re) —/со (к, Re), к2; Re}=0, (2.119} где у (к, Re) = 0 — кривая нейтральной устойчивости, на которой минимальное значение Re = Rec определяет первую возбуждающуюся моду k = kc, скажем кс=(^с, 0). Пакет мод с центром кс при малом е аппроксимируем рядом
и = е1/2^ + 8^2 + 83/2U3 + . . ., где
их = А ехр [г (£с — wc/)]
(для одной из компонент поля скорости). Подставив такие ряды в исходные нелинейные уравнения гидродинамики и собрав в них слагаемые одинакового порядка по е, получим систему уравнений, условием разрешимости которой оказывается следующее уравнение ЛГ:
= ^А-Ад2Д*, (2.120)
где toc = dtotldkc — групповая скорость пакета, (ос и toclkc характеризуют его расплывание, у" характеризует уменьшение инкрементов мод в пакете при отклонении их волновых чисел от кс, а 6 — комплексная постоянная Ландау, характеризующая насыщение и нелинейную модуляцию волны. Выводя из (2.120) уравнение для |А2|=АА*, в правой части получим выражение Ландау (2.64).
Уравнение (2.120) выведено здесь для течения при Re > Reicr, возникающего после потери устойчивости стационарным течением, но оно пригодно и для последующих бифуркаций, пока амплитуды возмущений остаются малыми, а иногда даже для описания перехода к турбулентности. При помощи уравнений такого типа Гапонов-Грехов с сотрудниками выполнили ряд численных экспериментов по образованию пространственных структур в течениях жидкостей и газов (Гапонов-Грехов, Рабинович, Старобинец (1984), Арансон, Гапонов-Грехов, Рабинович (1985, 1987, 1988), Арансон, Гапонов-Грехов, Рабинович, Старобинец (1986), Гапонов- Грехов, Ломов, Рабинович (1986), Гапонов-Грехов, Рабинович (1987), Вашкевич, Гапонов-Грехов, Езерский, Рабинович (1987), Гапонов-Грехов, Ломов, Осипов, Рабинович (1988), Ломов, Рабинович (1988) и др.).
Уравнение ЛГ (2.120) с действительными коэффициентами при <0с =0 приводится к градиентному виду:
^- = _аЛ + М2-6А3-(^о + А)2А = -^-,
F = ${4 А2 - | А3 + 4 А4 + 4 К*» + А)2 42} dV. (2-121) называемому обобщенным уравнением Свифта—Хоэнберга (1977). Такое уравнение описывает, в частности, регулярные двумерные сетки типа конвективных роликов или ячеек, причем, например, гексагональная сетка может образовываться различными путями, в том числе (при большом Р) вследствие развития неустойчивости цилиндрических волн по отношению к азимутальным возмущениям— для этого процесса из (2.121) выводятся уравнения вида (2.110) —(2.111).
Отметим, что в развитой турбулентной конвекции при Ra~107 в различных областях слоя жидкости могут образовываться гексагональные сетки разных знаков, т. е. с подъемом или опусканием жидкости в центрах ячеек (Буссе и Уайтхед (1974)); границы между такими областями можно назвать дислокациями или дефектами сеток. Уравнения типа (2.121) описывают как сетки, так и динамику их дефектов — их «броуновское движение» и «дефектную турбулентность». При этом бездефектные области (с ме- тастабильными сетками) соответствуют частным минимумам свободной энергии F (так называемого функционала Ляпунова) в фазовом пространстве динамической системы, и лишь при достаточно большом фоновом шуме метастабильные. состояния будут релак-
сировать к единому глобально-устойчивому состоянию, которому и соответствует абсолютный минимум F.
Среди решений уравнений типа (2.121) имеются не только периодические, но и локализованные структуры. При а < 0; 0, 6 > О (мягкое самовозбуждение) локализованные структуры неустойчивы и переходят в периодические, но при а > 0; 0, 6 > 0 (жесткое самовозбуждение) они устойчивы и могут существовать изолированно или в тех или иных взаимодействиях друг с другом. Численные эксперименты Ломова и Рабиновича (1988) показали, что при трехмерном лапласиане в (2.121) при разных начальных условиях образуются изолированные «элементарные автоструктуры» трех видов — шар, тор и «бейсбол» — некоторых определенных размеров.
Заметим теперь, что развитие первичных неустойчивостей довольно часто приводит к образованию цепочек структур — конвективных роликов, вихрей Тэйлора, вихревой дорожки в следе за цилиндром и т. п. Для медленных амплитуд вторичных возмущений /-го вихря в такой цепочке можно вывести уравнение ЛГ:
= пм (/)] + - Y М (/) -ли-1)] +
+ х[А(/ + 1)-2Л(/) + Л(/-1)], (2.122) где у — координата вдоль вихря, £ — комплексный параметр, а вторая строка описывает взаимодействие возмущений на соседних вихрях в линейном приближении (Арансон, Гапонов-Грехов, Рабинович (1988)). Если пространственная зависимость возмущения на вихре задана (например, на кольцевом вихре возбуждена лишь одна азимутальная мода), то здесь можно положить ^ = 0, и мы приходим к СОС (2.116) с линейной связью. При х = 0 в нем существует пространственно-неоднородное стационарное состояние A^j—1) = у-1{П[Л (/)]+уЛ (/)}, и если при каком-то / =/сг оно становится неустойчивым, то неустойчивость может развиваться вниз по течению, иногда приводя к возникновению хаоса.
Пусть, например, х = 0, П[Л] = [1—(1+/р)|Л|2]Л и на вход цепочки подается синхронизирующее воздействие Л(0) = Л0е/о^ с частотой, близкой к парциальным собственным частотам элементов цепочки. В зависимости от начальных условий на цепочке может быстро развиться хаос и могут появиться волны переходов колебания: хаос и биения—хаос. В частности, высокочастотное сосредоточенное воздействие может приводить к подавлению турбулентности (см. Власов, Гиневский (1967, 1973), Кудряшов, Ман- сфельд, Рабинович, Сущик (1984), Хуссейн, Хасан (1985) и др.). Подавление широкополосных возмущений требует уже распределенного воздействия (которое тогда нужно ввести в амплитудное уравнение); при этом могут возникать, в частности, и переходы соизмеримость — несоизмеримость (см., например, Кулле (1986)). Упомянем, наконец, численные эксперименты Арансона, Гапонова- Грехова и Рабиновича (1985) с двумерным обобщением уравнения (2.122), имитирующим капиллярную рябь Фарадея.
Представление турбулентности при умеренных Re как пространственно-временного хаоса конечного числа ^(Re) взаимодействующих когерентных структур может служить физической расшифровкой упомянутой в начале п. 2.7 гипотезы Хопфа (1948) о конечномерности аттракторов в фазовом пространстве уравнений Навье—Стокса.
Фрактальность турбулентности
В п. 2.7 мы отмечали, что хаусдорфова размерность d^A) (определяемая, например, как емкость (2.87)) странных аттракторов А в фазовых пространствах многих динамических систем, в том числе, по-видимому, и течений жидкостей и газов, может превышать их обычную (топологическую) размерность (такие множества А называются фрактальными) и не выражаться каким-либо целым числом (например, странные аттракторы А могут иметь структуру канторовского множества, как одномерный соленоид Вильямса на рис. 2.4).
Отметим, что в случае турбулентных течений фрактальными могут быть не только странные аттракторы в соответствующих фазовых пространствах, но в некотором смысле также многие изоповерхности в заполненном жидкостью обычном трехмерном физическом пространстве — поверхности, разделяющие турбулентные и нетурбулентные области или же объемы жидкости с завихренным и незавихренным течением, с реагирующими и нереагирующими компонентами, изоповерхности значений скорости течения, скорости диссипации турбулентной хюргии, концентрации примесей и т. п.
Предположение о фрактальности таких поверхностей высказывал создатель теории фрактальных множеств Мандельброт (1974, 1975, 1982). Заметим, однако, что такие поверхности могут быть фрактальными не в строгом математическом смысле этого слова, а лишь в некотором ограниченном смысле. А именно, если обозначить N = А(е) число площадок с поперечником длиной е, покрывающих поверхность, то, согласно формуле (2.87), фрактальная размерность поверхности есть предел отношения lg^/lg(l/e) при е->0, и, значит, при достаточно малых е имеем
N«E~d. (2.123)
Однако в турбулентных течениях всегда имеется некоторый минимальный («внутренний») масштаб длины г| = L (Re)-3/*, такой, что в меньших масштабах е < т] турбулентные неоднородности поля скорости сглаживаются под действием молекулярной вязкости (см. VIII раздел в томе 2; для скалярных полей следует брать минимум из т] и т] (Sc)- /а, где Sc = v/x— число Шмидта), изоповерхности становятся гладкими, и в выражении (2.123) при е < т] показатель d оказывается равным двойке, т. е. совпадает с топологической размерностью поверхностей в трехмерном пространстве. Для фрактальных же поверхностей 2 < d ^ 3 (величина 3 — d < 1 называется их коразмерностью). С другой стороны, существует и максимальный («внешний») масштаб L турбулентных неоднородностей, так что в больших масштабах г >L показатель d в соотношении (2.123) опять оказывается равным двойке.
Однако наблюдаемая визуально очень сильная изрезапность изоповерхностей в турбулентных течениях (см., например, ниже на рис. 6.24 полученную Коренным и Кистлером (1954) и ставшую классической теневую фотографию турбулентного следа в воздухе за пролетевшей пулей) позволяет предполагать, что в случае развитой турбулентности существует такой интервал т^ < £ < L масштабов е, в котором показатель d в соотношении (2.123) превышает двойку, или, иными словами, функция N(е) имеет промежуточную асимптотику e-d со значениями d > 2. Это и расшифровывает реальный смысл предположения Мандельброта о фрактальности изоповерхностей в турбулентных течениях.
Прямое экспериментальное определение фрактальной размерности изоповерхностей посредством их покрытия площадками с поперечниками е весьма затруднительно даже в тех случаях, когда эти поверхности удается визуализировать. Гораздо проще визуализировать плоские сечения таких поверхностей, представляющие собой фрактальные линии (в том же ограниченном смысле промежуточной асимптотики), и измерять их фрактальную размерность. Если изоповерхности фрактально однородны и изотропны, то фрактальная размерность их плоских сечений, очевидно, будет равна d — 1 (заметим, однако, что в реальности одно-
Рис. 2.38. График N^ для поперечного сечения пограничного слоя.
родности и изотропности может и не быть — наличие этих свойств следует выяснять в каждом конкретном случае; при их отсутствии надо ориентироваться на локальное определение фрактальности; см. Монин и Якобсон (1986)). Еще проще фиксировать сечения изоповерхностей прямыми линиями и измерять фрактальную размерность получающихся на этих прямых множеств точек (напомним, что, например, фрактальная размерность стандартного канторова множества равна In 2/1п 3^0,631); в однородном и изотропном случае она будет равна d— 2.
Плоское сечение поверхности, разделяющей турбулентную и нетурбулентную области, можно визуализировать, подкрасив турбулентную область подходящей краской (или дымом) и подсветив тонкий плоский слой жидкости (толщиной меньше -q), вмещающий интересующее сечение. Покрыв фотографию подсвеченного слоя правильной сеткой точек с шагом меньше q и подсчитав число Nx^ точек, лежащих на расстояниях не больше е от границы окрашенной области (с заданной интенсивностью света), по наклону гpaфикa^l (е) — е3-^ибилога- рифмических координатах можно определить d. На рис. 2.38 приводится пример такого графика по Сринивасану и Менево (1986) для поперечного сечения подкрашенного дымом пограничного слоя (толщиной 10 см и с U^ = 2,5 м/с); степенной закон e3-d здесь действует при значениях е, меняющихся на порядок, и получается d = 2,37. Аналогичный график (со значением коразмерности 3 — d = 0,67 ± 15 %) был получен этими авторами для поперечного сечения
бьющей в затопленное пространство вертикальной водяной струи (D = 5 мм, ре = 2500, х = 30D), подкрашенной полистиреновыми микросферами.
Ими же получены оценки 3 — d = 0,4 ± 10 % для коразмерности границы турбулентного пограничного слоя (с U^ = 12 м/с) на разных расстояниях от стенки г (при 0,75 <2< 1,0) методом ее пересечения прямой линией (быстро движущимся термоанемометром с использованием гипотезы «замороженной турбулентности») и практически такие же оценки в случаях осесимметричной струи, плоского следа и слоя перемешивания: фрактальная размерность одинакова, так как она определяется турбулентными вихрями из интервала с универсальным самоподобием (см. VIII раздел в томе 2). Дополнительно отметим, что Максворти (1986) получил d — 1 = 1,37 для поверхностей пузырьков воздуха, инъектированных в вязкую жидкость в ячейке Хеле—Шоу, а Лавджой (1982) получил d—1 = 1,34 по соотношению Р — А^-1)/2 между периметрами Р и площадями А спутниковых фотографий и областей с осадками для атмосферных облаков размером от 1 до 1000 км (для более плотных ядер облаков Лавджой и Шертцер (1986) и Картер с соавторами (1986) получили несколько меньшую размерность).
Сринивасан, Рамшакар и Менево предложили следующее объяснение найденным значениям d. Изоповерхность поля скорости с истинной площадью S = S0(t]/L)2 - d рассматривается как слой толщиной т) = MRe^)”1^ с типичным поперечным градиентом скорости г/Д] (типичная скорость деформации и7М> где и' — среднее квадратичное значение пульсаций скорости, Х = и [(ди1дх)2]~'12 — так называемый тэйлоровский микромасштаб турбулентности («масштаб диссипации») и Rex = u'X/v = (т)/£)-2/з = (Re)V2. Тогда вязкий поток импульса через изоповерхность запишется в виде
т/р ~ ^и'^ S^S^ (Re)3/- (‘,_7/з), (2.124)
где Р~(«7^)2, a U — типичный перепад скоростей в течении в целом. Для турбулентного потока импульса здесь надо заменить v«7ti на Uu^ где и^ = = и' (Rea)_,/2 — скорость движения изоповерхности, равная микромасштабу скорости, и получится тот же результат, но со значением $~u'IU. Требуя, чтобы поток импульса через изоповерхности не зависел от Re (подобие по числу Рейнольдса), следует положить d = 7/3, что близко к эмпирическим оценкам (отметим, что учет флюктуаций поля диссипации энергии эту оценку немного увеличивает). Заметим еще, что аналогичные рассуждения дают для потока пассивной примеси через ее изоповерхность выражение
Цр = ^86иЪс (Re)3/*(d—,/з) (Sc)l/j w~3), (2.125) где у— новая числовая постоянная.
Сринивасан и Менево измеряли также методом пересечения прямыми линиями размерности изоповерхностей продольной скорости в пограничном слое (с Uсо = 20 м/с и 5 = 4 см) и получили наибольшие размерности d* при их = й (с уменьшением d при увеличении |«i—й|, т. е. уменьшении вероятности события их-«йу возрастающие от 2,5 до 3 с ростом у ,6 от 0 до 1,2 (и соответствующим увеличением доли нетурбулентных областей и уменьшением разброса «1 относительно Цу)) (рис. 2.39). При этом замечено, что увеличение суммарной длины Ах отрезка измерений (от 50 L до 430 L) уменьшает на кривой А^(е) участок промежуточной фрактальной асимптотики и приближает всю кривую* к кривой, соответствующей полному хаосу (короткопериодная статистическая упорядоченность турбулентности — фрактальное самоподобие — переходит в длин- нопериодный хаос).
Аналогичные рассуждения о фрактальности применимы к полю скорости Диссипации турбулентной энергии, которая в основном сосредоточена в объемах минимального масштаба т) и вследствие локальной изотропности пропорциональна (dujdx)2 (см. VIII раздел в томе 2). Фрактальной размерностью поля Диссипации можно назвать величину d = lg ^/lg (L/т]), где N = (Lh\)d— число
кубиков размером т], покрывающих все области активной диссипации. Сами эти области имеют объем порядка (L/т))-3, так что суммарный объем области активной диссипации пропорционален (A/r|)d-3, и, значит, уровень диссипации в нем превышает ее среднее глобальное значение в (L/^3-d раз. Следова-
Рис. 2.39. График d*^uJU со) для сечений пограничного слоя прямыми линиями.Рис. 2.39. График d*^uJU со) для сечений пограничного слоя прямыми линиями.
Рис. 2.39. График d*^uJU со) для сечений пограничного слоя прямыми линиями.
Рис. 2.39. График d*^uJU со) для сечений пограничного слоя прямыми линиями.
тельно, коэффициент уплощения А* = (дм/dx)4 [(дм/дх)2] 2 будет пропорцио* нален произведению (L/n)2^-^ на объем (Д^У1-3, т. е.
q d(3-d)KHL^-l.Nq d(3-d)KHL^-l.N(2.126)(2.126)
q d(3-d)
KHL^-l.N
q d(3-d)
KHL^-l.N
(2.126)
(2.126)
Измерив К и Re^ (например, вместо ди]дх измеряя в одной точке турбулентного течения duldt и пользуясь гипотезой «замороженной турбулентности»), из соотношения (2.124) можно определить d. Так, по измерениям Го и Корсика (1971) Мандельброт получил оценку d = 2,6. Позже Ван Атта и Антониа (1980) собрали на один график /((ReJ многочисленные данные ряда авторов и получили d = 2,73 (хотя при Rex < 150 получилось d = 2,9, т. е. меньшая пятнистость поля диссипации). По аналогичному графику /<6(Rex) ряда авторов Сринивасан и Менево получили для поля диссипации температурных неоднородностей раз- 164
мерность d = 2,6. Эти же авторы оценили размерность поля диссипации энергии в турбулентности за решеткой методом линейных пересечений и обнаружили существенную зависимость d от уровней диссипации Е> = v^I i^ маркирующих «зоповерхности — см. рис. 2.40 для уровня D = 5 и график d(D^ на врезке, показы
вающий уменьшение d от 2,7 до 2,2 с ростом D от 0 до 10: области больших D, очевидно, имеют меньшие объемы, но кроме того, и менее изрезанные границы. Несомненно, теоретический расчет фрактальных размерностей изоповерхностей в турбулентных течениях есть вызов теоретикам.
II. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫОПИСАНИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ,СРЕДНИЕ ЗНАЧЕНИЯИ КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ
Глава 3
МЕТОДЫ ОСРЕДНЕНИЯ.ПОЛЯ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИККАК СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ
Практические методы осредненияи условия Рейнольдса
Как мы уже говорили выше, характерной особенностью тех движений жидкости (или газа), которые называются турбулентными, является наличие беспорядочных флюктуаций гидродинамических характеристик течения. В результате как зависимость мгновенных значений гидродинамических полей от пространственных координат, так и временной ход этих значений приобретают очень сложный и запутанный характер, причем при многократном воспроизведении течения в одинаковых условиях точные значения всех полей каждый раз оказываются иными. Вернемся снова к рис. 1.1, на котором представлены образцы кривых, описывающих зависимость некоторых гидродинамических величин в турбулентном течении от времени. Мы видим, что все эти кривые состоят из совокупности пульсаций разнообразных периодов и амплитуд, налагающихся друг на друга без какой-либо заметной закономерности. Аналогичный (и столь же сложный) вид имеют распределения мгновенных значений гидродинамических элементов в пространстве. В силу крайней неупорядоченности и резкой изменчивости во времени и в пространстве полей всех гидродинамических величин при изучении турбулентности неизбежно приходится использовать какие-либо методы осреднения, позволяющие перейти от исходных гидродинамических полей к гораздо более плавным и регулярным средним значениям характеристик течения.
Вопрос о правилах вычисления средних значений является тонким вопросом теории турбулентности, имеющим большую историю. На практике при определении среднего значения чаще всего пользуются временным или пространственным осреднением по какому-либо промежутку времени или области пространства. Можно также рассматривать более общее пространственно-временное осреднение функций f(xb х2, *з, 0 = f(x> 0, задаваемое формулой
Цх,. х2, х^ /) = Щ^(х, —^, х2 — ^2, х3 — ^„ t — т)Х
Хч^(^н ъ2> ^з» ^ d^d^d^^ dxs(3.1)
где черта сверху служит символом осреднения, a co(g, т)—некоторая весовая функция (чаще всего неотрицательная), удовлетворяющая условию нормировки
ЦУ ю (£„ U Ь, т) ^, dh db dx = 1.(3.2)
Если функция со равна нулю вне некоторой четырехмерной области и принимает постоянное значение внутри нее, то формула (3.1) обращается в простое осреднение по заданной пространственно-временной области. Полагая же co(g, т)=со(£)6(т) или <o(g, т) = со (т) 6 (£), где буквой 6 обозначена 6-функция Дирака, a co(g) и о)(т)—функции, имеющие постоянное значение на некотором параллелепипеде или отрезке и равные нулю вне его, мы придем к пространственному или соответственно временному осреднению. Ясно, однако, что среднее значение (3.1), вообще говоря, будет зависеть от вида весовой функции со (в частности, в случае осреднения по некоторому интервалу времени или области пространства оно будет зависеть от длины интервала или формы и объема области). Таким образом, формула (3.1) приводит к множеству различных «средних значений», и надо еще выяснить, какое из них является «наилучшим».
При выборе какого-либо определенного «правила осреднения» прежде всего следует четко сформулировать общие требования, которые целесообразно предъявлять к этому правилу. С точки зрения теории турбулентности важнейшим из таких общих требований, очевидно, является требование, чтобы применение рассматриваемого осреднения к дифференциальным уравнениям гидродинамики позволяло получить достаточно простые уравнения относительно средних значений гидродинамических полей. Это хорошо понимал уже основоположник теории турбулентности О. Рейнольдс, который сам использовал лишь простейшее осреднение по некоторому временному интервалу, но одновременно указал и естественные общие условия, которым должно удовлетворять любое осреднение, применяемое в гидродинамике. На самом деле, правда, не все нужные общие условия были аккуратно выписаны Рейнольдсом (1894); но, слегка уточнив его рассуждения, легко прийти к выводу о том, что следует требовать выполнения следующих пяти соотношений:
Wg = t-Vg,(з.з)
af = af, если а = const,(3.4)
а = а, если а = const,(3.5)
где s —это %], х2, х3 или t,(3.6)
tg = fg.(3.7)
В настоящее время условия (3.3) — (3.7) обычно называются условиями Рейнольдса.
Условие (3.6) можно также заменить более общим условием перестановочности операций осреднения и предельного перехода
lim f„ = lim fn.(3.6')
Л -► ООП -♦- ОО
Полагая в соотношении (3.7) последовательно g=l, £ = ^ и g = h'=h— h (штрихом у нас всегда будет обозначаться пульсация соответствующей величины, т. е. ее отклонение от всего среднего значения) и используя также выражения (3.5) и (3.3) мы получаем следующие важные следствия из условий Рейнольдса:
1=L t' = f — f =0, ^=1^ ^=1^ = 0.(3.7')
Ясно, что условия (3.3) — (3.5) и (3.6) или (3.6') будут выполняться при любом осреднении (3.1) с произвольной весовой функцией со, удовлетворяющей условию (3.2). Иначе обстоит дело с наиболее сложным условием (3.7). Так, например, если пользоваться временным или пространственным осреднением по некоторому интервалу, то можно показать, что, строго говоря, ни при каком выборе интервала осреднения это условие не будет достаточно точно выполняться. Нетрудно, однако, привести соображения в пользу того, что интервал осреднения можно выбрать так, чтобы это условие приближенно выполнялось со сравнительно большой степенью точностью: для этого надо только, чтобы интервал осреднения был велик по сравнению с характерными периодами пульсационного поля f' =f— /, но был мал по сравнению с периодами осредненного поля /. Подобного рода соображениями и ограничился в свое время Рейнольдс; в настоящее время, однако, эти качественные соображения вряд ли могут быть признаны вполне убедительными. Поэтому после работы Рейнольдса появился целый ряд прикладных исследований, посвященных вопросу о степени точности соотношения (3.7) для тех или иных конкретных операций осреднения и классов функций f и ^, а также и чисто математических работ об общих «операциях осреднения», заданных на тех или иных функциональных пространствах (т. е. специальных совокупностях функций) и точно удовлетворяющих условиям Рейнольдса (или каким-то родственным условиям того же типа); см., например, Монин и Яглом (1965), с. 165. Однако все полученные на этом пути результаты не нашли важных приложений в механике турбулентности в первую очередь потому, что в современной теории турбулентности вопрос о смысле операции осреднения почти всегда решается совершенно иначе и притом так, что все условия Рейнольдса здесь оказываются точно выпол-
няющимися (но зато возникает дополнительный вопрос о выполнении так называемого условия эргодичности, о котором еще пойдет речь ниже).
Случайные поля гидродинамических величини вероятностное осреднение
Использование временного, пространственного или пространственно-временного осреднения, задаваемого какой-либо формулой вида (3.1), удобно с практической точки зрения, но приводит к большим аналитическим трудностям при теоретических расчетах. Кроме того, при использовании такого осреднения каждый раз приходится специально решать трудный вопрос о форме функции со(£, т), наиболее удобной для данной задачи. Поэтому в теории турбулентности хотелось бы вовсе не использовать осреднение такого типа, а принять вместо него какое-нибудь другое определение среднего значения, обладающее более простыми свойствами и более универсальное по своей природе. Такое более удобное определение, которое и будет все время использоваться в настоящей книге, возникает при теоретико-вероятностной трактовке полей гидродинамических величин в турбулентном течении как случайных полей.
Основой теоретико-вероятностного (или, как чаще говорят, статистического) подхода к теории турбулентности является переход от рассмотрения одного единственного турбулентного течения к рассмотрению статистической совокупности аналогичных течений, задаваемых некоторой совокупностью фиксированных внешних условий. Для того чтобы понять, что это означает, рассмотрим какой-либо конкретный класс течений, например течения, возникающие в аэродинамической трубе при обтекании прямого кругового цилиндра. Основное различие между случаями ламинарного и турбулентного обтекания состоит в следующем. При ламинарном обтекании, поместив одинаковым образом два равных цилиндра и две идентичные трубы (или, что то же самое, повторив дважды наш опыт с одним и тем же цилиндром в одной и той же трубе), мы через заданное время t после включения мотора в заданной точке х рабочей части трубы будем иметь одно и то же значение и\^х, /) компоненты скорости вдоль оси Ох\ и других гидродинамических характеристик течения (которые можно, во всяком случае в принципе, найти с помощью решения некоторой задачи с краевыми и начальными условиями для системы уравнений Навье—Стокса). В случае же турбулентного обтекания влияние малых неконтролируемых возмущений в течении и в начальных условиях приводит к тому, что, проведя два раза один и тот же опыт в практически одинаковых условиях, мы получим два различных значения величины Ui(x, I) и других характеристик. Однако в таком случае можно ввести в рассмотрение «множество всех значений величины и\(х, t), получающихся во всевозможных опытах по турбулентному обтеканию цилиндра при заданных
внешних условиях», и значение ui(x, /), полученное в каком-то конкретном опыте, считать одним «представителем», выбранным наудачу из этого множества. Рассмотрим теперь ряд повторений нашего опыта при одинаковых условиях; в таком случае среднее арифметическое всех полученных значений величины ui(x, /), как правило, оказывается довольно устойчивым, т. е., начиная с некоторого достаточно большого числа опытов, оно при дальнейшем возрастании этого числа обычно уже мало меняется, колеблясь все время около некоторого постоянного значения (наличие такой устойчивости средних и означает, что наш набор аналогичных опытов представляет собой статистический ансамбль). В таком случае значение, около которого все время колеблется среднее арифметическое значений ui(x, /), наблюдавшихся в совокупности аналогичных опытов, мы будем называть теоретико-вероятностным; средним значением скорости ui(x, /) и обозначать символом и\^х, /) (в дальнейшем черта сверху у нас всегда будет обозначать именно такое теоретико-вероятностное осреднение).
Подобным же образом и эмпирические средние значения всех других гидродинамических характеристик течения, взятые по большой совокупности аналогичных опытов, обычно оказываются устойчивыми, т. е. лишь слабо отклоняются от некоторых постоянных чисел. Рассмотрим, в частности, характеристику xU1(x tv ^’ и"), и" > и', равную нулю, если значение величины ш(х, /) оказывается большим, чем и", или меньшим, чем и', и равную единице в противоположном случае. Число р(и\ и"), около которого колеблется при большом числе опытов среднее арифметическое этой характеристики (равное, очевидно, относительной частоте опытов, в которых выполняется неравенство и' ^ Ui(x, /) ^ и")у называется вероятностью того, что и\^х, /) примет значение в интервале между и' и и". Обычно это число р(и', и") может быть представлено в виде интеграла в пределах от и' до ин некоторой неотрицательной функции р(и), называемой плотностью распределения вероятности (или короче — просто плотностью вероятности) величины Ui(x, t). В таком случае совокупность всех иу для которых p^u)^Q, и будет составлять упоминавшееся выше «множество возможных значений ui(x, /)»; конкретное же значение и\^х, t), наблюденное в одном из опытов, называется выборочным значением (или реализацией) xi-компоненты скорости.
Факт существования плотности р(и) можно записать в виде равенства
Р \и < и^х, t) < и + du} = р (u)du,где знак РУ--^ означает вероятность выполнения условия, ука-занного в скобках. Теоретико-вероятностное среднее значениеи\(х, t) при этом следующим образом выражается через р^и):
и^х, 0= § up(u)du.(3.8)
Одновременно знание плотности вероятности р(,и) позволяет определить также и теоретико-вероятностные средние значения произвольных функций от ui^x, ty
F [иДх, 0] = F^p^du.(3.8х)
В теории вероятностей величины и, имеющие определенную плотность вероятности, называются случайными величинами; совокупность же всевозможных вероятностей р^и', и")=Р{и' < < и < и"У отвечающих величине и, называется ее распределением вероятности. Таким образом, с точки зрения теории вероятностей значение скорости в точке турбулентного течения представляет собой случайную величину, характеризуемую определенным распределением вероятности.
Выше говорилось только о значении и\^х, t) компоненты скорости в фиксированной точке х и в фиксированный момент времени t. Однако аналогичный подход приложим и ко всему полю значений и^х, ty т. е. функции щ^х, t) = U\(x\, х^ х3, О от четырех переменных. Повторяя много раз один и тот же опыт (сводящийся к осуществлению некоторого турбулентного движения) при одинаковых внешних условиях, мы будем каждый раз получать новое поле и\^х, ty Таким образом, здесь можно говорить о «множестве возможных полей и\(,х, t)», а каждое отдельное поле, наблюдающееся в каком-то конкретном турбулентном течении, рассматривать как одного «представителя», наудачу выбранного из этого множества (иначе говоря, как одну реализацию или одно выборочное значение случайного поля и^У^ УУ Рассмотрим теперь, чем заменяется в этом случае предположение о существовании плотности вероятности р^иу использовавшееся при рассмотрении одной величины и\^х, ty
Для того чтобы о поле и\ (х, /) можно было говорить как о случайном поле, прежде всего необходимо, чтобы значение Ui(A4) = ^и^х, t) этого поля в любой фиксированной точке 7И=(х, /) пространства — времени являлось случайной величиной. Поэтому каждой комбинации значений х и t здесь должна отвечать своя плотность вероятности рм^иу зависящая от 7И=(х, ty Однако это еще не все; для любых двух значений ui(Mi) =ui(xi, /) и
Mi(Af2) =ui(x2, /2) компоненты скорости Ui средние арифметические произвольных функций от этих значений также должны быть статистически устойчивыми. Это означает, что для величин щ(М\) и ui(M2) должна существовать двумерная плотность вероятности PMtM1 (^ь и^> определяемая соотношением
Р ^их < их (MJ < их + dux, и2 < их (М2) < и2 + du2\ =
= Р MxM^v u2)duxdu2.
Точно так же, если Afi = (xi, 6), М2 = (х2, /2),.. .,MN = (Xjv, tN^~ произвольные N точек пространства — времени, то им должна отвечать функция N переменных
Рм м..., и.\(3.9)
определяемая соотношением
Р {их < их (Л^) < их + duv и2 < их (М2) < и2 + du2, . ..
.. ., uN < их (Mv) < uN + duN^ =
= Р мхм2mnVu\' иг • • •’ Ujv)duxdu2 ... duN
и являющаяся N-мерной плотностью вероятности значений N случайных величин ui(Ali), Ui (Л12), ..., u^Mn). Наличие всевозможных плотностей вероятности (3.9) как раз и дает основание считать поле ui(x, /) случайным полем; для его полного задания (т. е. для задания распределения вероятности в функциональном пространстве всех его возможных значений) надо задать все семейство функций (3.9), отвечающих всевозможным целым положительным N и всевозможным наборам N точек пространства — времени. Два турбулентных течения при этом считаются одинаковыми, если им отвечают одинаковые (одномерные и многомерные) плотности вероятности; если же некоторый набор плотностей близок к тем, которые описывают заданное турбулентное течение, то этот набор плотностей определяет некоторую приближенную статистическую модель рассматриваемого турбулентного течения.
Функции (3.9), очевидно, должны быть все неотрицательными и такими, чтобы интеграл от каждой из них по всем переменным был равен единице; кроме того, они должны еще удовлетворять определенным условиям симметрии и согласованности. А именно, по самому определению плотности (3.9) для любых Mi, М2, ..., Aly должно выполняться соотношение
Рмхм2 ... MN(Ul> uv • • UN^=‘PMlxMl2MiNQlix' Ui2Ui^' (3.10)
где ti, 12, ..., In — это те же числа 1, 2, ..., ^, но расположенные в каком-то другом порядке. Далее, если п < N, то для любых N точек М\, М2, ..., Мп, Мп+Х, .., Mn должно выполняться равенство
Рмх ... M„(“l’Рмх ... M„(“l’••• MnMn+l ••• MN
Рмх ... M„(“l’
Рмх ... M„(“l’
Х(мр .ип, ип^р ..., uN^dun+x duN. (3.11)
Любое семейство неотрицательных функций (3.9), обладающих свойствами (3.10)—(3.11) и таких, что J рм^и) du = \ при всех М = (х, /), определяет некоторое распределение вероятности в пространстве функций Ui(M) = и\(х, /) от четырех переменных (т. е. задает случайное поле их ^М) = и\ (х, /)). Вероятностное среднее значение F произвольной функции Р^и\, и^, ..., uN) от значений их = их^Мх\ и2 = их^М2\ ..., ик = их^М^ при этом определяется как интеграл
ОО ОООО
S $ ••• S F(UH UY и^ХОО —ОООО
X РМхм2mn(uv и2» uN}du{du2 ... duN, (3.12)
где рмхм2 ... MN (^ь U2, ..., Un)—соответствующая плотность вероятности (3.9).
Естественно предположить, что в турбулентном течении поле и\(х, t) и поля остальных компонент скорости, а также поля давления р(х, /), плотности р(х, /) (в случае сжимаемой жидкости), температуры Г(х, I) (в случае температурно-неоднородной среды) и других гидродинамических величин являются случайными полями. В таком случае каждому из этих полей будет соответствовать своя система многомерных плотностей вероятности (3.9). Кроме того, различные гидродинамические поля в турбулентном течении являются статистически связанными друг с другом, и следует считать, что для них существуют также совместные плотности вероятности значений одного из полей в каких-то заданных ^l точках пространства — времени, значений второго поля в заданных N^ точках, значений третьего поля в заданных М3 точках и т. д. Отсюда вытекает, что, имея любую функцию от гидродинамических характеристик турбулентного течения, мы можем определить ее среднее значение как интеграл от произведения этой функции на совместную плотность вероятности всех ее аргументов, распространенный по всей области изменения этих аргументов. При этом условии соотношения (3.3) — (3.7) описывают известные свойства теоретико-вероятностных средних значений, доказательство которых приводится в курсах теории вероятностей; таким образом, теперь они уже оказываются точно выполняющимися и не требуют никакого специального обоснования.
Понятие об эргодичности.Статистическая формулировкаосновной задачи теории турбулентности
Намеченный выше подход к полям гидродинамических характеристик турбулентного течения как к случайным полям, идущий от работ А. Н. Колмогорова и его учеников (например, Миллион- щикова (1939)) и работы Кампе де Ферье (1939), является в настоящее время общепринятым во всех исследованиях по теории турбулентности (см., например, обзорные статьи Кампе де Ферье (1953) и Обухова (1954)). Приняв предположение о существовании распределений вероятности для всех гидродинамических полей, можно затем широко применять математический аппарат современной теории вероятностей; операция осреднения при этом определяется вполне однозначно и обладает всеми свойствами, которых естественно от нее требовать. Существенно отметить, однако, что при таком подходе сразу же возникает важный дополнительный вопрос о сопоставлении выводов теории с данными непосредственных измерений.
Дело в том, что если среднее значение понимать как среднее, взятое по всем возможным значениям рассматриваемой величины, то тогда для эмпирического определения таких значений со значительной степенью точности следовало бы использовать результаты большого числа измерений, производящихся в длинной серии повторяющихся аналогичных опытов. На практике, однако, чаще всего множество опытов не производится и средние значения приходится определять по данным измерений, проводившихся в течение одного единственного опыта. Во всех таких случаях обычно используется простейшее осреднение эмпирических данных по некоторому интервалу времени или пространства. Отсюда видно, что предположение о существовании распределений вероятности само по себе еще не снимает вопроса о законности использования в теории турбулентности обычных временных или пространственных средних, а лишь изменяет постановку этого вопроса. А именно, вместо исследования частных свойств того или иного метода осреднения мы должны теперь выяснить, насколько близки соответствующие эмпирические средние к вероятностным средним значениям, с которыми лишь и имеет дело теория. Положение дел здесь вполне аналогично тому, которое имеется в обычной статистической механике систем с конечным числом степеней свободы, где также приходится заменять теоретические «средние по совокупности возможных состояний системы» (или, как чаще говорят, «средние по ансамблю») непосредственно наблюдаемыми временными средними. Известно, что в статистической механике при
такой замене обычно исходят из предположения, что временные средние значения при неограниченном увеличении интервала осреднения сходятся к соответствующим теоретическим средним значениям. Справедливость этого предположения в некоторых специальных случаях может быть строго доказана (например, с помощью «эргодической теоремы» Дж. Биркгофа), а в остальных случаях оно принимается в качестве дополнительной весьма правдоподобной гипотезы («эргодическая гипотеза»). В теории турбулентности также иногда вводят предположение о сходимости временных или пространственных средних при неограниченном увеличении интервала осреднения к соответствующим вероятностным средним в качестве специальной «эргодической гипотезы». В применении к временным средним правдоподобность этой гипотезы иногда (но не всегда) может быть подкреплена и общими представлениями о характере развитой турбулентности. Заметим также, что во многих случаях законность замены теоретико-вероятностных средних гидродинамических полей временными или пространственными средними может быть обоснована и с помощью «эргодических теорем» современной теории случайных процессов и полей. На вопросе о таких теоремах мы ниже еще остановимся более подробно (см. п. 4.6); сейчас же мы постараемся сформулировать общую задачу изучения турбулентности как некоторую задачу о распределениях вероятности для соответствующих гидродинамических полей.
Выше уже отмечалось, что в случае ламинарных движений уравнения гидродинамики позволяют однозначно определить значения всех гидродинамических характеристик течения в любой будущий момент времени по начальным значениям гидродинамических полей (и соответствующим граничным условиям). При этом в случае несжимаемой жидкости достаточно знать лишь начальные значения поля скорости (или поля вихря скорости); в случае же сжимаемой жидкости требуется задать начальные значения пяти независимых полей (например, трех компонент скорости, давления и температуры). В турбулентных течениях начальные значения соответствующих гидродинамических полей также будут в силу уравнений гидродинамики определять все их будущие значения. Однако здесь эти будущие значения будут существенно зависеть от ничтожных неконтролируемых возмущений начальных и граничных условий и, кроме того, будут иметь столь сложный и запутанный вид, что точное их определение оказывается бесполез-
ным, а интегрирование соответствующих дифференциальных уравнений— крайне сложным. Только распределение вероятности для соответствующих гидродинамических полей, а вовсе не сами точные значения этих полей в этом случае обычно представляют интерес. Поэтому и уравнения гидродинамики в случае турбулентных течений следует использовать лишь для исследования соответствующих распределений вероятности или каких-либо определяемых этими распределениями величин.
Заметим еще, что для возможности применения уравнений гидродинамики к случайным полям, задаваемым своими распределениями вероятности, эти распределения должны обладать известными свойствами регулярности, гарантирующими, что реализации соответствующих полей можно считать непрерывными и достаточно гладкими — имеющими все входящие в уравнения временные и пространственные производные. Предположим теперь, что распределения вероятности, относящиеся к значениям полей в фиксированный начальный момент времени t = t^ удовлетворяют этим условиям регулярности. В таком случае каждая конкретная реализация гидродинамических полей течения будет закономерно изменяться во времени в соответствии с изменением во времени решения, отвечающего заданным начальным (и граничным) условиям. Следовательно, вся совокупность возможных начальных гидродинамических полей перейдет через время т > 0 в строго определенную совокупность функций от пространственных координат, относящуюся к моменту / = /0 + т. Отсюда вытекает, что плотность вероятности для какого-либо гидродинамического поля в момент t можно (во всяком случае, в принципе) определить, рассчитав с помощью уравнений гидродинамики, какой совокупности начальных условий будет соответствовать тот или иной интервал значений нашего поля в момент / и найдя вероятность этой совокупности начальных условий.
Таким образом, в турбулентном течении уравнения гидродинамики будут однозначно определять эволюцию во времени распределения вероятности гидродинамических полей. Это означает, что более или менее произвольно (с соблюдением лишь некоторых «условий регулярности») здесь можно выбирать только распределения вероятности в один фиксированный момент времени; после этого уже все остальные и одно- и многовременные распределения вероятности будут однозначно определяться из уравнений движения. Поэтому основную задачу теории турбулентности (например, для случая несжимаемой жидкости) можно сформулировать следующим образом: по заданному распределению вероятности значений трех компонент скорости в различных точках пространства в момент t" tQl сосредоточенному на совокупности дважды дифференцируемых соленоидальных векторных полей, требуется определить распределения вероятности значений полей скорости и давления во все последующие моменты времени (включая и распределения для значений в несколько различных моментов времени). В случае сжимаемой жидкости надо только вместо распределений 176
вероятности трех компонент скорости исходить из распределений вероятности значений пяти независимых гидродинамических величин. К сожалению, эта общая задача слишком трудна, и в настоящее время еще не видно подхода к ее полному решению. Поэтому дальнейшее обсуждение этой задачи мы отложим до заключительного раздела тома 2 настоящей книги; в остальных же разделах мы будем заниматься лишь более частными задачами, в которых вместо распределений вероятности фигурируют некоторые менее полные статистические характеристики случайных полей.
Характеристические функции и характеристический функционал
Во многих случаях вместо плотностей вероятности (3.9) удобно рассматривать их преобразования Фурье
Фм ^ ... MN (^р ^ • • • > %) —
”‘ 2 Чик
= J 3 "Г ^Рм^... mn^uv ичuN)dutdu2...,duN. (3.13)
Такие преобразования Фурье называются характеристическими функциями соответствующих распределений вероятности; в силу (3.12) их, очевидно, можно также представить в виде
VMtM2... MN^b 62, ....O^ — expU ^kuk\-(зл4>
С помощью известной формулы обращения ^-мepныx интегралов Фурье по характеристической функции можно однозначно определить отвечающую ей плотность вероятности. Таким образом, задание характеристической функции равносильно заданию соответствующего распределения вероятности.
Характеристические функции по самому своему определению являются комплексными непрерывными функциями, обладающими следующими свойствами:
Фм^з MW(O, о, ...,0) = 1(3.15)
И п п 2 2»«,«,... м„(е?'-е?| б*-8?9<«>-е«)с1С;>о(316)
(где звездочкой обозначены комплексно сопряженные величины) при любых целых п, вещественных ^ , •••» ^1^» ^Р»^Р»^ и
комплексных сх, ..., сп. В самом деле, из соотношения (3.14) легко следует, что левая часть выражения (3.16) равна среднему значению неотрицательной случайной величины, откуда и вытекает это неравенство. Можно также показать (Бохнер, 1933), что любая непрерывная функция от N переменных, обладающая свойствами (3.15) и (3.16), является характеристической функцией некоторого ^-мерного распределения вероятности (которое, правда, может и не иметь плот-
12 Заказ № 303177
ности вероятности, а например, относиться к дискретному типу). Это обстоятельство нам еще понадобится ниже.
Нетрудно видеть, что условие симметрии (3.10) и условие согласованности (3.11) в применении к характеристическим функциям переходят в условия
Фм^г ... mnA% е29№)=Фл1,11,2... m^^.j. % ••••%).(3-17>
Ф.и, ... мп(®1- • • ®п) = Фл^ .мпмп+1 ... м^ (®i’ • • ®п> 0, ..0).(3.18)
Таким образом, случайное поле любой гидродинамической величины можно- также задать семейством характеристических функций (3.14), удовлетворяющих условиям (3.17) и (3.18).
Из соотношения (3.18) видно, что характеристическая функция распределения вероятности значений поля в заданной системе N точек крайне просто определяет характеристические функции значений поля в любой подсистеме этой системы. Поэтому естественно попытаться сразу задать все распределения вероятности, характеризующие поле, при помощи одной единственной величины — «характеристической функции распределения вероятности для значений поля во всех возможных точках». Оказывается, что таксе задание случайного поля при помощи одной величины — «характеристического функционала» — действительно возможно (и в этом состоит одно из важных преимуществ подхода, исходящего из характеристических функций, а не из плотностей вероятности). Впервые возможность подобного задания случайных функций была отмечена Колмогоровым (1935); в последующие годы ей был посвящен ряд как чисто математических работ, так и работ прикладного характера (среди которых особо следует отметить важную работу Хопфа (1952), о которой мы еще будем подробнее говорить во второй части книги). Здесь мы коротко изложим лишь самую суть дела, не останавливаясь на математических тонкостях.
Для простоты сначала рассмотрим вместо случайного поля, зависящего от четырех переменных, случайную функцию и(х) от одной переменной, заданную на конечном отрезке а^х^Ь оси х. Функция и(х) задается всевозможными распределениями вероятности для ее значений и(хх), и(х2), ..., u(xn)> где хь х2, ..., Xn — произвольные N точек, такие, что а^Хк^Ь. Будем теперь безгранично увеличивать число N, выбирая точки Хк так, чтобы все расстояния Хк-н—Хк стремились к нулю, а в качестве значений параметра 0а: выберем умноженные на x*+i—хк значения в точках хк некоторой функции 0(х) на [a, by Если функция 0(х) такова, что интеграл
Ь
(3.19)(3.19)и [0 (х)] — ^ 6 (х) и (х) dxа
(3.19)
(3.19)
N
существует почти для всех реализаций функции и(х)*э то ^ ^kUk при N->оо к= 1
будет стремиться к интегралу (3.19). Переходя к пределу ^->oo в формуле
мы придем к величине
Ф [0 (х)] =ехр(/м [0 (х)]} = ехрФ [0 (х)] =ехр(/м [0 (х)]} = ехр' ь1I ^ 0 (х) и (х) dx . а' ь1I ^ 0 (х) и (х) dx . а(3.20)(3.20)
Ф [0 (х)] =ехр(/м [0 (х)]} = ехр
Ф [0 (х)] =ехр(/м [0 (х)]} = ехр
' ь1
I ^ 0 (х) и (х) dx . а
' ь1
I ^ 0 (х) и (х) dx . а
(3.20)
(3.20)
Величина Ф[0(х)], очевидно, является значением характеристической функции случайной величины м[0(х)] при аргументе этой функции, равном единице. Следовательно, при заданной функции 0(х) это есть некоторое комплексное число. Таким образом, формула (3.20) сопоставляет каждой функции 0(х)
некоторое комплексное число, т. е. Ф[0(х)] является функцией от функции или, как обычно говорят в таких случаях, является функционалом. Мы будем называть этот функционал характеристическим функционалом случайной функции и(х).
Покажем, что, зная для некоторой случайной функции и^х) ее характеристический функционал, можно определить все конечномерные плотности вероятности рх^ х^ х^(иь и^> • • • Un)- Для этого достаточно подставить в качестве функционального аргумента ^(х) функционала Ф[0(х)] специальную функцию
0 (х) = 0^ (х - xj + 02д (х - х2) + ... + 0^6 (х - xNy (3.21)
где 0t, ..., 0^— произвольные числа, а д(х) — функция Дирака, так что функция (3.21) равна нулю всюду, кроме точек хь х2, ..., xn. Подставив равенство (3.21) в (3.20), получим:
/ N\
Ф [6 (x)J =ехр< / £6t«(x6) =ФххИ9!’•••’М’<3-22)
)
Следовательно, характеристический функционал в этом случае обращается в характеристическую функцию многомерного распределения вероятности для величин «(xj, и(х2), ..., u(xN), однозначно определяющую соответствующую плотность вероятности.
Характеристический функционал Ф[0<х)], очевидно, обладает следующими свойствами, аналогичными свойствам (3.15) и (3.16) характеристических функций:
Ф[9(х)]|6(х)_0=1,(3.23)
п п
Е £ф[М*)-<№л>°(з-24)
А=1 2=1
при любых функциях 0i(x), . .., 9п(х) и комплексных числах С\, ..., сп (последнее свойство называется свойством положительной определенности функционала Ф[0(х)]). Однако обратное утверждение о том, что непрерывный (в определенном смысле) положительно определенный функционал Ф[0(х)], обладающий свойством (3.23), всегда является характеристическим функционалом некоторой случайной функции, будет справедливым, лишь если принять значительно более общее определение случайной функции, чем то, которым мы здесь пользуемся (см. Гельфанд и Виленкин (1961), Прохоров (1961)).
Совершенно аналогично обстоит дело и тогда, когда вместо случайной функции и<х) от одной переменной приходится рассматривать случайное поле их(х, t), зависящее от четырех переменных. Здесь характеристическим функционалом называется величина
Ф [0 (х, О] =ехрФ [0 (х, О] =ехрZ ЭДЭД 0 (х, Z) Mi (х, Z) dx\ dx2 dx^ dtZ ЭДЭД 0 (х, Z) Mi (х, Z) dx\ dx2 dx^ dt(3.25)(3.25)
Ф [0 (х, О] =ехр
Ф [0 (х, О] =ехр
Z ЭДЭД 0 (х, Z) Mi (х, Z) dx\ dx2 dx^ dt
Z ЭДЭД 0 (х, Z) Mi (х, Z) dx\ dx2 dx^ dt
(3.25)
(3.25)
зависящая от функции 0(х, /) четырех переменных.* Ясно, что и в этом случае характеристический функционал будет однозначно определять все распределения вероятности для поля Wi(x, /) (и будет обладать свойствами, аналогичными (3.23) и (3.24)).
При рассмотрении нескольких статистически связанных между собой случайных функций или случайных полей приходится рассматривать характеристический функционал, зависящий от нескольких функциональных аргументов. Так, например, поле скорости турбулентного потока и(х, /)=={ц1(х, /), и^(х, 1)„ и^(х, /)} однозначно определяется характеристическим функционалом
Ф[6(х, /)] =ф [0, (х, /), 02 (х, /), Оз (х, /)] =
оо з
= ехр= ехр(3.26)(3.26)<5$ X0fe<x’ ^ик^х>^dx<it
= ехр
= ехр
(3.26)
(3.26)
—оо к=Д
зависящим от трех функций. В общем случае yV-мерного случайного поля и(х) = {«! (х), ..., unW^ в пространстве точек х
Ф [0 (х) ] = Ф [0, (х)eN (х)] = ехрФ [0 (х) ] = Ф [0, (х)eN (х)] = ехрN1z S 2?0& (х) “* *х)dxr <3-26')J i—1JN1z S 2?0& (х) “* *х)dxr <3-26')J i—1J
Ф [0 (х) ] = Ф [0, (х)eN (х)] = ехр
Ф [0 (х) ] = Ф [0, (х)eN (х)] = ехр
N1
z S 2?0& (х) “* *х)dxr <3-26')
J i—1J
N1
z S 2?0& (х) “* *х)dxr <3-26')
J i—1J
Распределение вероятности для поля скорости в фиксированный момент времени t определяется функционалом
оо 3‘
Ф [6 (х), /] =ехрФ [6 (х), /] =ехр(3.27)(3.27)г Ж X0fe(x)“ft(x’z)dx
Ф [6 (х), /] =ехр
Ф [6 (х), /] =ехр
(3.27)
(3.27)
—оо к=\,
зависящим от тройки функций 6(х) = {6i(x), 02(х), 03(х)} от трех переменных и от одного скалярного параметра L Согласно сказанному на с. 176 об однозначной зависимости распределений вероятности для поля скорости несжимаемой жидкости во все моменты времени от распределения вероятности в начальный момент / = 0, характеристический функционал Ф[6(х), /] в случае несжимаемой жидкости должен однозначно определяться своим начальным значением Ф[0(х), 0] (и даже более того, функционал Ф[0(х, /)] равенства (3.26) также должен однозначно определяться по Ф[0(х), 0]). Чуть более сложно обстоит дело в случае течений сжимаемой жидкости, где приходится рассматривать функционал сразу для пяти случайных полей (например, для трех компонент скорости, поля плотности и поля температуры).
Глава 4
МОМЕНТЫ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ.СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫИ ОДНОРОДНЫЕ ПОЛЯ
Моменты и семиинварианты случайных величин
Выше указывалось, что для полного статистического описания полей гидродинамических характеристик турбулентного течения требуется задать все многомерные распределения вероятности для значений этих характеристик на всевозможных системах точек пространства — времени. Однако определение таких многомерных распределений является весьма сложной задачей и редко может быть осуществлено с достаточной точностью; кроме того, сами эти распределения мало удобны для приложений в силу своей громоздкости. Поэтому на практике чаще всего ограничиваются рассмотрением лишь некоторых более простых статистических параметров, описывающих те или иные частные статистические свойства течения.
Наиболее важными из таких параметров распределений вероятности являются моменты. Моментами системы N случайных величин и\, U2, ..., Un с ^-мepнoй плотностью вероятности р^и\, и2, ..., uN) называются выражения
= ^ ^^“г2 ••• “^P^v и^ ..•,uN)du\du2 ••• duN* (4.1)
где кх, k2i ..., kN— целые неотрицательные числа, сумма которых называется порядком момента. В частности, моменты первого порядка — это средние значения величин Ui, и2, ..., Un.
Наряду с обычными моментами Вкхк2 ... kN> иногда удобно рассматривать некоторые специальные их комбинации. Например, часто используются так называемые центральные моменты, т. е. моменты отклонений величин их» и2, ..., Un от соответствующих средних значений:
bkxk2 ... kN= (U{ — й\)кЦи2 — Й^2 ... (Un — ЦлУ^ (4.2)
Раскрыв скобки в правой части формулы (4.2), легко выразить центральный момент bktk2...kN через Bkxk2...kN и подобные же моменты низших порядков. В частности, при N = 1
Ьх = О, Ь2 В2 — Вь b3 = B3 — 3BtB2 + 2В?,
&4 = В4 - 4BiB3 + 6В?В2 - 38?, . .. (4.3) (момент ^2 = о2^ называется дисперсией, а ои=(&2)1/2 — стандартным отклонением случайной величины и). Если йс = 0, i = 1, ..., N, то центральные моменты совпадают с обычными, так что момент bkxk2...kN является частным случаем момента Bkxk2... kN- Если величины Ui имеют определенную размерность, то размерными будут и соответствующие моменты или центральные моменты; однако, например, отношения
всегда безразмерны (отношение s называется асимметрией случайной величины и, а разность (6—3)— ее эксцессом).
Другими комбинациями моментов Вкхк2 ...kN> представляющими специальный интерес, являются так называемые семиинварианты (или кумулянты) Skxk2...kN, Общее определение этих величин будет дано несколько позже, сейчас же мы только отметим, что семиинвариант Skxk2...kN (так же как и центральный момент ^к\к2---кн) получается при помощи вычитания из момента Вкхк2... kN некоторой специальной комбинации моментов низших порядков. В частности, при N=X семиинварианты первых пяти порядков задаются равенствами
=8,, S2 = B2-8? = 62, S3 = В3 — ЗВ|В2 + 2В? = &3,
84 = В4 - 4В[В3 — ЗВ2 + 12В1В2 — бВ, = Ь4- ЗЬ2, (4.5)
S5 = Ь5 — 10b2ba.
В многомерном случае семиинварианты второго и третьего порядков также совпадают с соответствующими центральными моментами, а общий семиинвариант Sun четвертого порядка задается формулой
*^1111 ==: ^1111 ^1100^0011 ^1010^0101 ^1001^0110* (4.6)
Из дальнейшего будет видно, что в некоторых случаях семиинварианты оказываются особенно удобными характеристиками рас- лределений вероятности; пока, однако, мы в их отношении ограничимся лишь тем, что уже сказано.
Различные моменты величин и\, и^ ..., им не могут принимать произвольные значения, а должны удовлетворять некоторым специальным неравенствам. Так, например, если к\, ^. • • •, кк — чет-
ные числа, то момент В^... kN, очевидно, не может быть отрицательным. Далее, если N — 1, то
п п
2 £ВнАС(>0,(4.7>
к=0 1=0
где B0=L а с0> Сь ..., сп — произвольные вещественные числа
ибо левая часть выражения (4.7) равна среднему значению не-
отрицательной величиныотрицательной величины■ пп2L^=oJ■ пп2L^=oJПри и = 2 и Со = 0 отсюда,.При и = 2 и Со = 0 отсюда,.
отрицательной величины
отрицательной величины
■ пп
2
L^=oJ
■ пп
2
L^=oJ
При и = 2 и Со = 0 отсюда,.
При и = 2 и Со = 0 отсюда,.
в частности, получаются неравенства
\В,\^В2В^ и |s|^61/2\В,\^В2В^ и |s|^61/2(4.8>(4.8>
\В,\^В2В^ и |s|^61/2
\В,\^В2В^ и |s|^61/2
(4.8>
(4.8>
(так как Ьк— это частный случай момента ВкУ Аналогичные неравенства могут быть выведены и для моментов высших порядков и моментов многомерных распределений. Тем не менее ясно, что даже и при этих ограничениях произвол в выборе возможных значений различных моментов остается очень большим; поэтому задание всех без исключения моментов доставляет очень много информации о соответствующем распределении вероятности.
Во многих случаях задание всех моментов даже просто равносильно заданию самого распределения (см. ниже петит), так что- использование вместо плотности вероятности совокупности отвечающих ей моментов не приводит к какой-либо потере полноты статистического описания. На практике, однако, никогда не бывают известны сразу же все моменты, а обычно рассматривается лишь несколько моментов низших порядков; они уже, разумеется, не определяют однозначно распределения, а характеризуют лишь некоторые его частные свойства. Несмотря на это, подход к изучению случайных величин, опирающийся на рассмотрение лишь нескольких их моментов, часто оказывается весьма целесообразным в дальнейшем мы увидим, что в теории турбулентности он позволяет получить целый ряд конкретных результатов, представляющих значительный интерес.
Легко видеть, что моменты случайных величин и\, ..., Un могут быть просто выражены через соответствующую характеристическую функцию ф(0ь ..., 9^). В самом деле, из сравнения формулы (4.1) с (3.13) следует, что
Bk^k2-..k^ — ( ОBk^k2-..k^ — ( О0|=02=.. .=0^=00|=02=.. .=0^=0(4.9>(4.9>^Ф(01» ^2» • • 9^)де*1 до*2... де^
Bk^k2-..k^ — ( О
Bk^k2-..k^ — ( О
0|=02=.. .=0^=0
0|=02=.. .=0^=0
(4.9>
(4.9>
К = кх + k2 + ... + kN.
Отсюда, в частности, вытекает, что если характеристическая функция может быть представлена своим рядом Тэйлора, то
ф(6ь 02, .... 0^) =2 кТкУУ^Х^ •••(4J0>
ку» к2» • • •» ^W r 2 * * ' ^
Таким образом, в этом случае, зная все моменты распределения, можно однозначно определить характеристическую функцию, а следовательно, и плотность вероятности. Нетрудно показать, что такая однозначность восстановления плотности по совокупности моментов будет иметь место и тогда, когда ряд (4.10) является сходящимся лишь в некоторой области значений 01, 02, ..., 9n (для одномерного случая общие условия, при которых эта однозначность будет иметь место, указаны, например, в книге Ахиезера (1961)).
С помощью характеристической функции легко формулируется также и общее определение семиинвариантов случайных величин. Семиинвариант S*^ ... kN может быть задан формулой
.(4.11)6|=б2=- •0у—0.(4.11)6|=б2=- •0у—0
.(4.11)
6|=б2=- •0у—0
.(4.11)
6|=б2=- •0у—0
К — ^i + ^2 4* • • • 4~ &л >
где ф (61, 02, ..., 9n) = In ф (0i, 02, ..., 0з). Учитывая, что ф (0,0, ... ..., 0)= 1, отсюда легко получить формулы (4.5) — (4.6) и вообще выразить любой конкретный семиинвариант через моменты или центральные моменты.
Моменты и семиинварианты случайных полей
В теории турбулентности приходится иметь дело со случайными полями — случайными функциями и(М) от точки М четырехмерного пространства — времени. Моментами К-то порядка такого поля называются средние значения произведений К значений поля:
Выц...и(Мп М2, ..., MK) = u(Mt)^(M2) ... u(MKY (4.12)
Ясно, что момент (4.12), вообще говоря, является функцией от 4К переменных. Следует, однако, иметь в виду, что некоторые из точек Mi, М2, ..., Мк могут и совпадать друг с другом; число различных среди них определяет тип момента. Таким образом, моменты могут быть одноточечного, двухточечного, трехточечного и т. д. типа (короче — одноточечные, двухточечные, трехточечные и т. д. моменты), TV-точечный момент [^(ЛТ!)^1] [ц(М2)]^ ... ... [^(2^)]%/ обозначается символом Ви ... ы, и ... ии... и (Mi, М2, ..., Муу), где запятыми отделены группы, относящиеся к различным точкам пространства — времени.
Средние значения произведений значений нескольких разных случайных полей, статистически связанных друг с другом, называются смешанными моментами этих полей. Так, например, поле вектора скорости и(М) = {щ(М), ц2(М), из(М)} будет иметь Зк различных (обычных и смешанных) моментов порядка К» образующих вместе один трехмерный тензор К-го ранга. В частности, важные для дальнейшего двухточечные моменты второго и треть-
(4.13)(4.13)его порядков поля скорости являются компонентами следующих тензоров второго и третьего рангов соответственно:
(4.13)
(4.13)
В/у.^М^ М2) = иГЦ^^ТХ^
(где тензор ВгЬк, очевидно, симметричен по индексам i и /). Аналогичные обозначения будут употребляться и для смешанных моментов других гидродинамических полей; например, двухточечные смешанные моменты полей давления и скорости или давления и температуры будут обозначаться символами Bp/(Mi, М2), /=Ц 2, 3, или соответственно Врт^\> М2). В случае моментов, порядок которых превосходит их тип, группы индексов, относящиеся к различным точкам, будут отделяться запятыми (см., например, вторую формулу (4.13)). Центральные моменты (т. е. моменты пульсаций гидродинамических полей — их отклонений от своих средних значений) будут обозначаться так же, как и аналогичные обычные моменты, но с заменой буквы В на b или с добавлением штрихов у соответствующих индексов. Одноточечные моменты удобнее обозначать просто с помощью черты сверху (например, ик или uu);
впрочем для дисперсии Ьии(М) = [и(Л1)—и(М)]2 поля ЦМ) иногда будет использоваться также и символ ^и или U' (второе из этих обозначений уже использовалось в главе 2).
В тех случаях, когда аргументы Mb М2, ...» Мк являются произвольными точками четырехмерного пространства — времени, мы будем называть соответствующие моменты пространственно-временными. Чаще всего, однако, в теории турбулентности ограничиваются рассмотрением лишь моментов, в которых значения всех полей относятся к одному и тому же моменту времени t; такие моменты называются пространственными (ниже, впрочем, слово пространственные обычно будет опускаться). Иногда приходится иметь дело также со временными моментами — средними произведениями значений гидродинамических полей в одной точке (но в разные моменты времени).
Особенно часто в этой книге будут встречаться так называемые корреляционные функции — двухточечные моменты второго порядка. Корреляционная функция Buu^\i М2^= и^Мх^и^М^ поля п(Л4), очевидно, обладает следующими свойствами:
ВиДМХ1 M2)=Bull{M2, М,)(4.14)
и
п п
£ Е Вии(М£) M^CiCj^O(4.15)
/=1
при любых целых неотрицательных п, точках Mb ..., Мп и вещественных числах с\, .... сп (ибо левая часть (4.15) совпадает со
- пЕ u(Mi)Ci- пЕ u(Mi)Ciсредним значением неотрицательной величины
- п
Е u(Mi)Ci
- п
Е u(Mi)Ci
В частности, при п — 2 в силу неравенства (4.15)
|BUU(M„ М2)[<[Вии(Л4„ M,)]1/2[Buu(M2, М2)]1/2.(4.16)
Нетрудно показать, что любая функция Вии(М\, М2), удовлетворяющая соотношениям (4.14) и (4.15), является корреляционной функцией некоторого случайного поля. Смешанный двухточечный момент Виу(Мь М2) = ц(М1)и(М2) часто называют взаимной корреляционной функцией полей и и и. Эта функция удовлетворяет аналогичному (4.16) неравенству
|Вмо(М„ M2)|<[B„U(M„ М,)],/2 [Ву„(ЛТ2, М2)]1/2;(4.17)
кроме того, очевидно,
Вио(М„ Мг) = Вои(Мг, М.),(4.18)
и если обозначить Вц(Мх, М2)= Ui(Mx)uj(M2), где ui(Af), ..., ...., Uw(A4)— произвольные N полей, то
Е Е Bk.k. (Mh Mf) CiCj > 0(4.19)
при любых целых п, точках Mi, ..., Мп, вещественных числах €i, ..., сп и целых числах &ь ..., kn (принимающих значения от
1 до ^). Двухточечные моменты выше второго порядка, очевидно, представляют собой корреляционные функции некоторых новых полей, являющихся произведениями исходных; поэтому такие двухточечные моменты иногда называют корреляционными функциями высших порядков.
Центральные двухточечные моменты второго порядка
MMb М2) = [^М0^^
= ВиДМъ М2)~ЦЩЦМ7)(4.20)
и
Ь«и (Мп М2) = [и (Mt) - и (МО] [и (М2) - и (М2)] =
= Вии(Ми М2)-7(МГ)^М7)(4.20')
определяют корреляционные функции пульсаций соответствующих полей; при отсутствии опасности путаницы мы и их будем называть просто корреляционными функциями. Корреляционные функ-
ции пульсаций, разумеется, обладают всеми свойствами обычных корреляционных функций. Отметим также, что деление функции ЬиДМ^ М^ на 0^)0^), или Ьии(Мь М2) на ои(Л41)сги(Л42) дает коэффициент корреляции между ЦМх) и и(М2) или между ЦМх) и ^(М2); поэтому корреляционные функции пульсаций обращаются в нуль вместе с соответствующими коэффициентами корреляции. Поскольку естественно предполагать, что для любого гидродинамического поля и или пары таких полей и и v статистическая связь между величинами u(Afi) и и^М^ или и^Мх) и v(A12) безгранично ослабевает при неограниченном удалении точек Mi и М2 друг от друга, то корреляционные функции пульсаций гидродинамических полей (но не самих полей) при таком удалении должны стремиться к нулю.
Известно, что для независимых случайных величин среднее значение произведения равно произведению средних значений отдельных сомножителей. Поскольку значения гидродинамических полей в очень далеких точках почти независимы, то отсюда следует, что любые центральные моменты гидродинамических полей (например, взятых в точках Mi, ..., М^), порядок которых равен их типу,, стремятся к нулю при неограниченном удалении одной из точек Mi от всех остальных. Однако для центральных моментов, порядок которых превосходит их тип, последнее утверждение уже будет неверным. Точно так же для центральных моментов порядка ^ ^ 4 стремление к нулю, вообще говоря, не будет иметь места, если неограниченно удаляться от остальных будет не одна точка, а некоторая группа точек. В то же вр^мя в случае, например, общего центрального момента четвертого порядка нетрудно проверить, что разность
Ьрцухй? (Мп М2) М3> М^ b ри (-^i, ^*^2) ^vw (М3, ^^4)
-ЬРДМ^ M^bu^M2) M4)-bpW(Mli М4)Ьии(М2, М3) =
= SpUVW(Mlf М2> М3, М4) (4.21) уже будет стремиться к нулю при любом изменении положения точек Мь М2, М3, М^ таком, что расстояние между хотя бы двумя из них неограниченно возрастает. Можно показать, что и в случае любого другого момента (центрального или обычного — безразлично) всегда можно подобрать такую комбинацию моментов низших порядков, что разность исходного момента и этой комбинации стремится к нулю при неограниченном удалении друг от друга любых двух точек, от которых зависит рассматриваемый момент (см. ниже петит). Соответствующие разности момента порядка К и специально подобранных комбинаций моментов низших порядков как раз и совпадают с теми семиинвариантами случайных величин, о которых мы говорили в п. 4.1, и поэтому называются семиинвариантами (кумулянтами) порядка К рассматриваемых гидродинамических полей.
Для доказательства того, что семиинварианты гидродинамических полей действительно обладают указанным здесь свойством, рассмотрим семиинвариант
Sb ьМ2,Sb ьМ2,, ^)=(-Z), ^)=(-Z)do*1 do*2... do^do*1 do*2... do^61=02^61=02^=6/у=0=6/у=0
Sb ьМ2,
Sb ьМ2,
, ^)=(-Z)
, ^)=(-Z)
do*1 do*2... do^
do*1 do*2... do^
61=02^
61=02^
=6/у=0
=6/у=0
2(4.22)
К = кх**
где ф(0ь 02, • • •> 0^) — характеристическая функция значений гидродинамических полей их, и2, ..., uN (возможно, частично или полностью совпадающих между собой) в точках АЛ, М2, .. ., Mn (которые также могут частично совпадать). Пусть теперь система точек Мь М2> ..., Mn изменяется таким образом, что расстояние между хотя бы двумя из них (например, между точками Mi и Mj) неограниченно увеличивается. В таком случае эта система обязательно разобьется на, по крайней мере, две подсистемы, каждая точка первой из которых неограниченно удаляется от каждой точки второй (достаточно, например, принять за первую подсистему совокупность всех точек, неограниченно удаляющихся от точки М/). Отсюда вытекает, что N случайных величин ^(МО, ..., Un(Mn) распадаются на, по крайней мере, две группы, такие, что величины первой группы становятся в конце концов практически независимыми от величин второй группы. Воспользуемся теперь тем, что в силу (3.13) и того, что плотность вероятности любых двух независимых величин равна произведению плотностей вероятности сомножителей, характеристическая функция совокупности двух групп статистически независимых случайных величин равна произведению характеристических функций каждой из этих групп по отдельности. Следовательно, при рассматриваемом измерении совокупности точек Л4Ь М2, ..., Mn функция ф(0ь 02, . •., 0^) стремится распасться в произведение Ф(01, ..., 0п)Хф(0п+ь ..., 0^), где п<М. Подставляя это выражение функции ф(01, 02, . .., ^n) в формулу (4.22) и учитывая, что ^/^1 при всех I, убеждаемся, что семиинвариант Skxk2...kN (Мх, М2, .. ., MN) при таком изменении системы точек Afh М2, .. ., Mn стремится к нулю.
Случайные поля с нормальными распределениямивероятности (гауссовские поля)
Для случайных полей, так же как и для случайных величин, полное задание распределения вероятности предполагает, вообще говоря, задание всех моментов всевозможных порядков. Исключение в этом отношении могут представлять лишь случаи, когда имеются какие-то дополнительные сведения о распределениях вероятности, позволяющие по некоторым заданным моментам определить также и все остальные. Ниже будет рассмотрен один частный, но очень важный случай такого рода, позволяющий ограничиться заданием лишь моментов первого и второго порядков. А именно, мы рассмотрим случай, когда заранее известно, что рассматриваемое поле — гауссовское, т. е. что все распределения вероятности его значений являются многомерными нормальными распределениями (распределениями Гаусса).
Напомним, что TV-мерное распределение вероятности называется нормальным (или распределением Гаусса), если соответствующая плотность вероятности имеет вид
N
р^иъ u2,р^иъ u2,(4.23)(4.23).., илг) = Сехр —-1- £ g/»(“/— «/)(«»
р^иъ u2,
р^иъ u2,
(4.23)
(4.23)
I, c=i
Nе /• *='Nе /• *='Здесь a,, j=l, ..., N,— произвольные вещественные постоянные; g,k. b k = 1, ..., N,— такие вещественные числа, что Hg^ll — положительно определенная матрица (т. е. £ gjkCjCk > 0 при. любых вещественных с\, ..., cNs не все из которых равны нулю), а С — постоянная, определяемая из условия нормировки
N
е /• *='
N
е /• *='
^ик-ак)
duv . . . duN = 1 (4.24)
(нетрудно проверить, что С = С,/з(2л) — ^/2, где О=|^| = = det||g7fc||). Подставив выражение (4.23) в общие формулы (4.1) и (4.2), легко убедиться, что
й, = ab bik = (и, — й^ (ик — ^) = G^G, (4.25)
где Gjk = dG!dgjk — алгебраическое дополнение элемента g)k в детерминанте G (так что матрицы ||^|| и \\bjkW оказываются взаимно обратными). В силу выражения (4.25)
В,к = UjUk = Qjk!G + а^ак.(4.26)
Формулы (4.25) и (4.26) показывают, что в случае нормального распределения первые и вторые моменты полностью определяют плотность вероятности; поэтому они определяют все вообще статистические характеристики соответствующих случайных величин и, в частности, все моменты высших порядков. Ясно, что достаточно рассмотреть здесь лишь вопрос о вычислении центральных моментов высших порядков. Нетрудно видеть, что все центральные моменты нечетных порядков нормального распределения равны нулю; центральные же моменты четных порядков могут быть подсчитаны с помощью следующего общего правила, выведенного Ис- серлисом (1918): если w^ w^ ..., w2k— произвольные 2К случайных величин (некоторые из них могут и совпадать друг с другом), имеющие нормальное совместное распределение вероятности и нулевые средние значения, то
wtw2 ... w2K = £• WiWi4 ... wllK_xWiw (4.27)
где сумма справа распространена на всевозможные разбиения 2К индексов 1,2,..., 2К на К пар (ti, i2), (/з, й), ..., ^к-t» Ьл^ (не-
трудно подсчитать, что число таких разбиений равно (2^)!/2к^! = = 1-3-5.. .(2К—1)). Поэтому при кх + к2 Нh kN = 2К
bkxk2 ... kt\ = VUX — ^0 1 (^2 — ^2) 2 • • • (UN — UN) ^ =
= S bi^bi^ • • • bi^^i^(4.28)
где множители Ьц — те же, что и в формуле (4.25), а сумма справа распространена на все (2Ю.)12КЮ. разбиений 2К индексов 1, 1, ..., 1; 2, 2, ..., 2; N, N, ..., N (среди которых 1 повторяется кх раз, ..., N повторяется kN раз) на К пар (и, ;2), (is, ’4), • • ..(^2к-1, ^*2к). В частности,
bim = (^1 — ^1) (^2 — й2) (и3 — й3) (^4 — й4) = bx2b34 + bx3b2x + ЬХАЬ23.
(4.29)
Из сравнения формул (4.6) и (4.29) следует, что в случае нормального распределения 5цц=0. Можно показать, что вообще все семиинварианты порядка К ^ 3 любого многомерного распределения Гаусса тождественно равны нулю (см. ниже). Отметим также, что нормальность распределения вероятности значений случайного вектора u=(uj, и^, ..., Un) является свойством, не зависящим от выбора системы координат.
Перейдем теперь к гауссовским случайным полям и(Л4) или и(Л4) = ^их (Л4), ..., Un^M)^, распределения вероятности любого конечного числа значений которых являются нормальными распределениями. Согласно сказанному выше, полное статистическое описание таких полей сводится к заданию их средних значений и корреляционных функций. Отметим также, что для любого (одномерного или многомерного) случайного поля с конечными моментами первых двух порядков всегда можно подобрать гауссовское поле, имеющее то же среднее значение и ту же корреляционную функцию (или корреляционные функции). В самом деле, при известных средних значениях и(,М) (или и^М), i= 1, ..., ^) и кор- реляционных функциях ВиДМх, M2) = buu(Mb М2) + и(Мх)и(М2) (или Вц(Мь M2) = MMh М2) + и^МОиДМ,), I, /=1, ..., Му удовлетворяющих неравенствам вида (4.15) (или (4.19)), всегда можно в качестве конечномерных распределений вероятности поля и^М) (или u(A4) = {ui(Al), ..., ц^(Л1)}) выбрать нормальные распределения, имеющие именно такие первые и вторые моменты. Легко видеть, что в таком случае эти многомерные распределения всегда будут удовлетворять условиям симметрии (3.10) и согласованности (3.11), т. е. будут определять некоторое случайное поле.* Поэтому при приближенном изучении случайных полей,
использующем лишь данные об их моментах первых двух порядков, всегда можно предполагать, что изучаемые поля имеют нормальные распределения вероятности (в приложении к гидродинамическим полям турбулентных течений это последнее предположе- иие, как будет показано в т. 2 настоящей книги, довольно часто оказывается имеющим вполне приличную точность).
При изучении нормальных распределений вероятности очень удобно использовать характеристические функции. Нетрудно показать, что в случае плотности вероятности (4.23) в силу (3.13)
NN
Ф (ОР 62,Ф (ОР 62,(4.30)(4.30)• •. 6^) = exp i ^ а А ~ 4 Z МА •, к=1/, Ze=l
Ф (ОР 62,
Ф (ОР 62,
(4.30)
(4.30)
где постоянные aj и Ь,к — те же, что и в равенстве (4.25). Таким образом нормальное распределение можно также определить как распределение, характеристическая функция которого имеет вид (4.30).
Из формулы (4.30) сразу вытекает, что семиинварианты первого и второго порядков распределения Гаусса равны постоянным а/, / = 1, ..., N, и bjkt j, ^=1, ..., N соответственно, а семиинварианты всех порядков выше второго тождественно равны нулю. Нетрудно получить из этой формулы также и общее лравило (4.28) вычисления центральных моментов любого четного порядка: для этого надо воспользоваться общей формулой (4.9), в которую вместо Ф(0ь . .., 0^) следует подставить функцию (4.30) с al = ... = a^ = 0, разложив ее предварительно в степенной ряд по переменным 0Ь ..., 0^.
Метод характеристических функций позволяет очень просто доказать, что лю- ^ые линейные комбинации случайных величин мь . . ., uN) имеющих нормальное распределение вероятности, также будут иметь нормальное распределение. Поэтому для задания распределения вероятности таких линейных комбинаций надо только определить их моменты первых двух порядков, которые без труда находятся по моментам первых двух порядков величин «ь . .., uN.
Последнее замечание позволяет легко выписать в явном виде характеристический функционал произвольной гауссовской случайной функции. Пусть и(х) — это случайная функция переменной х, определенная на интервале Ее характеристический функционал (3.20) совпадает со значением характеристической функции случайной величины «[0(х)]= j u(x)^(x)dx а
при аргументе, равном единице. Но если распределения вероятности всех значений функции ц(х) являются нормальными распределениями, то и все интегральные суммы интеграла м[0(х)], являющиеся линейными комбинациями случайных величин и(Хк), а^хх<х^< ... <хп^Ь, имеют нормальное распределение. Поэтому интеграл w[0(xj] также является случайной величиной с нормальным законом распределения. Следовательно, для нахождения явной формулы для величины Ф[0(х)] надо лишь найти первые два момента случайной величины ц[0(х)]. Эти два момента определяются формулами
ь?
(4.31)(4.31)и [0 (X)] = ^0 (*) и (х) ^х = ^0 (х) и (х) dx,аа
(4.31)
(4.31)
b b
{“ [в (x)]}2 = ^ ^0 (x.) 0 (x2) и (x.) и (x2) dxidx2 =a a
b b
(4.32)(4.32)= 5^0 U1)9 to) в (xb x2) dxx dx2.
(4.32)
(4.32)
a a
Подставляя теперь моменты (4.31) и (4.32) случайной величины u[9f*)l в формулу (4.30) с N=V получаем:
ьь ь
ф [0 (х)] = ехрф [0 (х)] = ехрj 6 (х) и (х) dxL j j 6 (xi) 6 (x2) b (xi, x2) dx\ dx2 aa a
ф [0 (х)] = ехр
ф [0 (х)] = ехр
(4.33)
где Цхь x2) = B(xh x2)— «(xi)«(x2). Это и есть общее выражение для характеристического функционала гауссовской случайной функции, указанное еще в первой заметке Колмогорова (1935), посвященной характеристическим функционалам. Аналогично этому характеристический функционал Ф[0(М)] (или Ф[01(Л1), .. ., O^fЛl)]) гауссовского случайного поля и(М) (или ufM) = = {^(Af)..uN(M)^ равен
Ф [0 (M)J = exp (/ j 0 (M) u (M) dM —
(4.34)(4.34)(4.35)(4.35)—-1- j j 0(^)0 (M2)6(Afb M^ dMY dM2^или соответственно' N
(4.34)
(4.34)
(4.35)
(4.35)
Ф [0t (M), ..., 0W (M)] = exp i ^ £ 0,- (M) ujVM) dM -
N1
' [( У 0y (Mi) 0& (M2) 6;^ (Mi, M2)dMxdM2 .
Определение моментов и семиинвариантовслучайного поля по его характеристическому функционалу
Поскольку характеристический функционал содержит в себе полное статистическое описание случайного поля, то ясно, что он определяет также все его моменты и семиинварианты. Приведенные ниже явные формулы, связывающие моменты и семиинварианты с функционалом Ф(9), являются естественным обобщением формул (4.9) и (4.11), относящихся к конечномерному случаю.
Начнем опять с рассмотрения случайной функции w(x), а < х < b от одной переменной. Поскольку моменты и семиинварианты случайного вектора u={ui, ..., Un^ выражаются, как мы знаем, через частные производные соответствующей характеристической функции ф(91, ..., 9^), то прежде всего нам надо обобщить понятие производной на случай функции от бесконечного числа переменных — функционала Ф[9(х)] относительно функции 9(х). Напомним, что в конечномерном случае функция ф(91, ...,
..., 6лг) = ф(6) называется дифференцируемой в точке 0° = = {01, 6^}, если ее приращение Др = ф(6° + ^6 — ф(0°))при небольшом изменении d6 = {d9i, ..., d6N) значений аргумента представимо в виде
N
dv= Е1Л^ + 0(|^.1 + -..+1^|),
(т. е. с точностью до малых высшего порядка линейно зависит от dS). Частная производная дф(6°)/д9^ при этом совпадает с коэффициентом Ак (так что d^»^ -^ <Ж)- Аналогично этому функционал Ф [6(х) ] называется дифференцируемым при значении 0о(*) его аргумента, если при добавлении к 9о(х) небольшой добавки 69 (х) главная часть изменения 6Ф[90(х)] рассматриваемого функционала линейно зависит от 69 (х):
6Ф [9, (х)] = Ф [9 (х) + 69 (х)] - Ф [90 (х)] =
6г 6
(4.36)(4.36)= j A(x)69(x)dx + 0 j |69(x)|dxaLa
(4.36)
(4.36)
(иначе говоря, если существует производная 6оФ[9о(х)] = = ^-Ф[90(х) + Л91(х)] |Л=о, представимая в виде 60Ф[90(х)] =
— А (х) 9i (х) dx). Значение функции А (х) в точке х = Xi в этом
а
случае называется вариационной производной от Ф[9о(х)] по 9(х) в точке х = хь Учитывая, что А(х) является коэффициентом при 69(x)dx в линейной части приращения 9Ф[9о(х)], удобно принять для вариационной производной обозначение
дФ [0о (х)]69 (х) dxдФ [0о (х)]69 (х) dx= А(х).= А(х).(4.37)(4.37)
дФ [0о (х)]
69 (х) dx
дФ [0о (х)]
69 (х) dx
= А(х).
= А(х).
(4.37)
(4.37)
Это обозначение подчеркивает также, что фактически вариационная производная представляет собой двойной предел
дФ[90(х)1..Ф[9о(х)+60(х)]-Ф[9о(х)]
dQWdx "|de(x)|_o$ 69 (х) tfx
Ах-►ОАх
где на этот раз под 69(х) понимается функция, отличная от нуля лишь на малом интервале длины Дх, окружающем точку х. Требование дифференцируемости функционала Ф[9(х)] налагает на этот функционал определенные ограничения, которым, например, не удовлетворяет такой простейший функционал, как значение
0(хо) функции 0(х) в фиксированной точке х = х0. Наиболее простым примером дифференцируемого функционала является функционал Ф[0(х)] = |Л(х)0(х)с?х, для которого, очевидно,
(4-з8<
D6Ф[0(х)]
В примере (4.38) вариационная производная '"^^^ не за- висит от значения функции 9(х), при котором эта производная берется. Однако в общем случае это уже, разумеется, будет не так, поэтому формулы (4.36) и (4.37) более правильно было бы записать в виде
ь
6Ф [00 (х)] « 5 Л [00 (X); х,] 60 (х,) dxV, ^g. = А [0„ (х); х,].
Таким образом, вариационная производная от функционала Ф[0(х)] является снова функционалом от 9(х), зависящим от точки Xi как от параметра. Поэтому можно составить вариационную производную этой производной по 9(х) в точке х = х2, являющуюся второй вариационной производной от исходного функционала Ф[9 (х)]:
6 Г 6Ф [0 (х)] 162Ф [е (X)]4
60(x2)dx2 L60(Xi)(Zx1 J 60 (xj dxx 60 (х2) dx2 '' ’ '
Вторая вариационная производная будет уже функционалом Д[9(х); хь х2], зависящим от пары точек Xi и х2 и удовлетворяющим условию симметрии Л[9(х); Xi, х2] = Д[9(х); х2, xj, вытекающему из легко доказываемого тождества
62Ф[0(х)]=62Ф[0(х)]4 4т
60 (Xi) dxx 60 (х2) dx2 60 (х2) dx2 60 (xj dxx *' ’ '
Простейший пример дважды дифференцируемого функционала доставляет функционал ь ъ
ф[0(х)] = j |Д(х, x/)9(x)9(x')dxdx/. а а
В этом случае, как нетрудно проверить,
х2) +Д(х2,.х|).(4.41)
Аналогично определяются и вариационные производные высших порядков; n-я вариационная производная
б"ф [(0 х)]
60 (xjdxj . .. 60(Xrt)^Xn
(если она существует) является функционалом относительно 0(х), зависящим от п точек Xi, ..., хп.
Пусть теперь Ф[0(х)]— характеристический функционал (3.20) случайной функции ц(х). В этом случае легко найти производную дФ [0 (х) + hBi^x^/dh и показать, что
i j и (х)0 (х) dx .(4.42)
aJ
Аналогично выводится и более общее равенство
1 j“We(x)dxj,
(4.43) показывающее, что
Bu.-.u^v ••• xn^=uW ••• « М =
= Н)"^[Щ)]I(4 44)
' 60 (х,)^ ... 60(xn)dx„ |e(x)=o1;
Формула (4.44) и является обобщением формулы (4.9) на бесконечномерный случай.
Подобным же образом определяются вариационные производные от функционалов Ф[0(х)] и Ф[0 (х)]=Ф[01(х), ..., 0л/(х)], зависящих от (скалярной или векторной) функции точек х многомерного пространства. Так, например, если
-^-O[0t(x)0;(х)+Л0?(х)(х)]|/,= о =
= j ^[0(x); xje^dx,.(4.45)
то функционал
Л[о(х); х'] = -^т^-,(4-46)
зависящий от точки хь называется вариационной производной (или, подробнее, частной вариационной производной) от Ф[6(х)] по 0,(х) в точке х=хь Вариационную производную (4.46) можно затем продифференцировать по 0/(х); при этом придем ко второй вариационной производной
——— = At/ [6 (х); х,, х2],(4.47)
69/ (xj dxv 60/ (х2) dx2 4 1 х И 1х 1
зависящей уже от пары точек Xi и х2 и удовлетворяющей условию Л//[о(х); хь х2]=Л//[0 (х); х2, xj. Аналогично определяются и вариационные производные
ЪпФ [6(х)]
^t^x^dxx ... ^ink^dxn
высших порядков. Если Ф[0(х)] — это характеристический функционал (3.26') А^-мерного случайного поля u(x) = {^i(x), ..., uN(x)^ то подобно выводу формулы (4.44) получается равенство
Вц ... iNV4XN) = Uit (X!) ... Min(x„) =
, .xn6Ф[9 (X)]I
( 0 60f, (Xi)dxt ... 60i„ (Xn)dxn |e(x)=0'(4,48>
Семиинварианты случайного поля u(x) = {«i(x), ..., uNW) задаются формулой
О ,х /дп1пФ[0(х)]I
S<,х«)( z) eei.txOdx! 60i„(x„)dx„ |в(х)=0.
(4.49)
где Ф[0 (х)] — характеристический функционал этого поля. Легко убедиться, ЧТО 5,(Хг)=Цг(Х!), SiHxb Х2) = Ui (Xj) Uj (Х2) — Ui ^Uj (X2) = bij (xh X2) И ВООбЩС, что S^ ... in (Xi, ..., хп) совпадает с семиинвариантом ц-ro порядка системы п случайных величин иц (Xi), ..., U(n (xn).
Для функционала Ф[6(х)], имеющего вариационные производные всех порядков, при некоторых условиях можно получить разложение в ряд Тэйлора:
N
N N
+т ^ ^ П "eeTTxTTSxTSeT^^е,‘(Х|) 9/ (Х2) dX1 dX1 + ' ‘ ‘ (4’50)
В применении к характеристическому функционалу случайного поля и(х) это разложение обращается в разложение по корреляционным функциям всевозможных порядков:
N
Ф [6 (х)] = 1+/£ ^Uj (х) 0/ (x)dx —
N N
4ZZSBjk (хь х2) 0/ (Xi) ^к (х2) dxx dx2 +
kd\
NN
+J S (x-x^e,. (x.)
... ^in (xn) dxx ... dxn-V-“(4.51)
Можно показать, что для сходимости ряда в правой части (4.51) необходимо и достаточно, чтобы его и-й член стремился к нулю при и->оо; если же мы оборвем этот ряд на конечном числе членов, то для остатка можно получить оценку, близкую к оценке остаточного члена ряда Тэйлора гладкой функции (см. Новиков (1964)). Заметим, однако, что, оборвав разложение (4.51) функционала Ф[6 (х).] на конечном числе членов, мы придем к функционалу, удовлетворяющему условию (3.23), но, наверное, не удовлетворяющему (3.24) (ибо сумма конечного числа членов правой части (4.51) не удовлетворяет уже и неравенству |Ф[ 6(х)]| ^ 1, вытекающему из неравенства (3.24) с и=2). Поэтому, предположив, что все моменты некоторого случайного поля порядка выше данного К тождественно обращаются в нуль, мы можем в конце концов прийти к абсурдным выводам, противоречащим, например, условию, согласно которому вероятность никогда не может превосходить единицы.
Несколько более удобным с этой точки зрения представляется применение разложения Тэйлора к логарифму характеристического функционала Ф[6(х)], т. е. представление Ф[0 (х)] в виде
Ф [0 (х)] = ехрФ [0 (х)] = ехр/ £ ( Uj (х) 0/ (х) dx —/=1
Ф [0 (х)] = ехр
Ф [0 (х)] = ехр
N N
-iZZSbjk (Хь Х2)0/ (x1)0A(x2)dxIdx2 +
/ = 11 J
NN
++ -77т У ••• У j •• • J SG *п (хх„) 0;, (Xi)
(4.52)(4.52)... 0;„ (х„) dxx ... dx„4- ...
(4.52)
(4.52)
Оборвав разложение (4.52) на конечном числе членов, мы на этот раз придем уже к функционалу, удовлетворяющему не только условию (3.23), но и необходимому для характеристического функционала условию |Ф[0(х)]| ^ 1. Более того, ограничившись лишь линейными и квадратичными по 0/(х) членами в правой части (4.52), мы получим функционал, наверное, являющийся характеристическим функционалом некоторого случайного поля, а именно гауссовского случайного поля с теми же моментами первых двух порядков, что и исходное поле и(х) (см. формулу (4.35)). Если, однако, мы оборвем ряд (4.52) на каком-то конечном числе членов выше второго порядка по 0/(х), то придем к функционалу, удовлетворяющему (3.23) и условию |Ф[0(х)]| ^ 1, но, вообще говоря, не обладающему свойством (3.24) характеристических функционалов. Поэтому, предположив, что все семиинварианты рассматриваемого случайного поля и(х) порядка выше данного К^4 обращаются в нуль, мы также можем в конце концов прийти к противоречию с очевидными свойствами распределений вероятности (например, с неотрицательностью вероятности, из которой следует условие (3.24). В томе 2 книги мы еще будем иметь случай вспомнить об этом неприятном обстоятельстве.
Стационарные случайные процессыи однородные случайные поля
Вернемся теперь к упоминавшемуся выше важному вопросу о том, при каких условиях временные и пространственные средние значения случайного поля u(x, /) при неограниченном увеличении интервала осреднения сходятся к соответствующим теоретико-вероятностным средним значениям. При этом мы придем к некоторым специальным классам таких полей, представляющим большой интерес для теории турбулентности.
Будем сначала для определенности говорить лишь о временном осреднении; тогда зависимость поля u(x, /) от координат х не будет иметь значения, так что можно рассматривать лишь функции u^t) от одной переменной t. Нас будет интересовать вопрос о том, при каких условиях случайная величина
Г/2
йг(/)= *( utf+r)dT(4.53)
-Г/2
при Т-^оо сходится к и(/). Одно весьма важное необходимое условие выводится крайне просто. В самом деле, легко показать,
что для любой ограниченной функции и(/) разность йт^—иД1\^у где t и /1 — какие-то фиксированные числа, при Т-^оо неограниченно убывает. Поэтому пределы при Т-^оо величин йт^ и йг(/1) (если только они существуют) должны совпадать друг с другом, т. е. временное среднее значение функции и^ (определяемое как lim йг(/)) не может зависеть от 1. В то же время
Г ОО
вероятностное среднее значение и^ является, вообще говоря, функцией от /. Следовательно, для равенства этих двух средних значений необходимо, чтобы выполнялось условие
u^ = U = const.(4.54)
Аналогично обстоит дело с применением временного осреднения для определения моментов высших порядков и других функций от значений и^ в нескольких точках. Так, например, если использовать осреднение по времени t произведения u{t)u(t + s) (где s— фиксированное число) для определения корреляционной функции Вии^ / + $), то мы придем к величине, зависящей лишь от s, но не от t. Поэтому корреляционная функция SMM(/, t + s) может быть равна среднему во времени t значению произведения u^u^t + s), лишь если u^u^t + s) = Buu(s), т. е.
Buu(tx, t2) = Buu<t2-tx\(4.55)
Точно так же для возможности определения момента ^-гo порядка Вцц... и (Л, /2, . tN) при помощи временного осреднения необходимо, чтобы этот момент зависел лишь от N—1 разностей ^2 — 6, ..tn — ^i:
Вии U^tXt t2l . . ., t^ = Вии ...U (^2 Л, • • •> N Л)* (4.56)
Наконец, если потребовать, чтобы средние значения всевозможных функций от величин и (Л), и(/2), . ., м(М можно было получить при помощи временного осреднения, то придется ограничиться лишь такими случайными функциями и^, для которых ^мерные плотности вероятности ptxt2... tN (ui, u2, ..., Un) при любых N и 6, /2, ..., In зависят не от N параметров Л, /2, . ., tN> а лишь от N— 1 разностей /2—/ь ..., In— Л, т. е. удовлетворяют условию
Р^2 • ^W (^’ ^2» * * ’’ ^) ^ Ptx-Vh, t^-vh, ..., ^у + Л (^1, ^2, • • •> ^w) ===
= Pt2-tv :...tN-tx<ux, и2, .... UnY(4.57)
где h — любое вещественное число. Ясно, что из общего условия (4.57) вытекают, в частности, и условия (4.54), (4.55) и (4.56). Заметим еще, что в частном случае гауссовской случайной функции ЦГ) из (4.54) и (4.55) уже вытекают и общие равенства (4.56) и (4.57).
Случайные функции от времени, имеющие многомерные плотности вероятности, которые удовлетворяют условиям (4.57), т. е.
не меняются при сдвиге соответствующей группы точек ^ на любой интервал времени h, часто встречаются в самых разнообразных прикладных задачах; такие функции называются стационарными случайными функциями или, иначе, стационарными случайными процессами (поскольку случайные функции от времени часто называются также случайными процессами); им посвящена обширная литература (см., например, монографию Яглома (1981), содержащую подробную библиографию).
Условие стационарности, очевидно, означает, что физический процесс, численной характеристикой которого является функция ^(0, является установившимся, т. е. что все условия, вызывающие этот процесс, не меняются со временем. В применении к характеристикам турбулентности условие стационарности означает, что рассматриваемое турбулентное течение — установившееся в обычном гидродинамическом смысле: все его осредненные характеристики (в частности, распределение средней скорости и средняя температура), так же как и все внешние условия (например, внешние силы, положение ограничивающих течение поверхностей), остаются неизменными во времени. Установившиеся течения сравнительно просто реализуются в лаборатории; в случае же природных турбулентных течений обычно трудно гарантировать неизменность всех осредненных характеристик течения (например, в атмосфере среднее поле ветра обычно довольно неустойчиво и к тому же имеет явно выраженный суточный и годовой ход). Однако и здесь при рассмотрении мгновенных значений гидродинамических характеристик в течение сравнительно небольших промежутков времени (скажем, порядка нескольких минут или десятков минут) соответствующие случайные функции часто можно считать стационарными. Таким образом, и в этих случаях вероятностные средние значения характеристик течения часто можно находить при помощи временного осреднения; для этого требуется, чтобы временные средние значения при Г -^ оо сходились к вероятностным средним и чтобы средние за такое время Г, в течение которого рассматриваемый процесс еще можно считать стационарным, были уже достаточно близкими к предельным значениям, отвечающим Т-^оо.
Значения какой-либо гидродинамической характеристики в нескольких точках установившегося турбулентного течения или значения нескольких таких характеристик в одной или нескольких точках доставляют нам примеры многомерных стационарных случайных процессов — векторных функций u(/) = {ui(/), ..., un(0}> таких, что плотность вероятности для любого набора значений ^(/i), и^й), ...» Kiy(^) не меняется при одновременном сдвиге всех моментов времени Л, /2, • ., In на один и тот же произвольный интервал времени h. В этом случае, очевидно, и все смешанные моменты функций u^t) будут зависеть лишь от разностей соответствующих моментов времени (например, все взаимные корреляционные функции В)к^\, /2) = ^/(^i)^/?(^) будут зависеть
лишь от аргумента т=(/2— Л)). Ясно, что такая стационарность необходима для того, чтобы статистические характеристики, зависящие от значений нескольких случайных функций времени, можно было получить при помощи соответственно подобранного времени осреднения.
Аналогичные рассуждения применимы и тогда, когда вместо временного осреднения рассматривается пространственное осреднение. При этом, разумеется, следует рассматривать случайные функции и(х) от точки х = (хь х2, х3), т. е. случайные поля в трехмерном пространстве. Пространственные средние значения таких полей определяются равенством
Л/2 В/2 С/2
“л,в.с(х)= .вС j J j u(Xi + £i, x2 + c,2, x3 4- ^3)^1 d^2 d^.
-A12—B12-C12
(4.58)
Требуется определить, при каких условиях величина йд, в, с(х) при А-^-со, В-»-оо, С-*-оо (или же при выполнении хотя бы одного из этих предельных переходов) стремится в определенном смысле к теоретико-вероятностному среднему значению и(х). Ясно, что для этого прежде всего должно выполняться следующее условие, аналогичное (4.54):
и (х) = U = const,(4.59)
т. е. теоретико-вероятностное среднее значение должно быть всюду одинаковым. Точно так же для возможности определения с помощью пространственного осреднения корреляционной функции u(xt)u(x2) = Вии(х\, х2) необходимо, чтобы эта функция зависела лишь от векторной разности своих аргументов:
Вии(хх, х2) = Виы(х2 — хх).(4.60)
Наконец, для того чтобы средние значения всевозможных функций от значений поля в нескольких точках можно было получить при помощи пространственного осреднения, требуется, чтобы A-мерные плотности вероятности величин u(xi), u(x2), ..., u^xN) при любых N и Xi, х2, ..., xn зависели лишь от разностей х2 — Xi, ... ..., Xn — Xi, т. е. не менялись при сдвиге всей системы точек хь х2, ..., Ху на произвольный вектор у:
Рх,, х2xN(ux, U2, . . ., Uy) = pX1 + y, х2 + уx^ + y(Ui, U2, . . ., Un) =
= Рх2-х,xN-x^Ux, U2, . .., Uy)(4.61)
(в случае гауссовского поля и(х) равенство (4.61) уже вытекает из (4.59) и (4.60)). Поле и(х), удовлетворяющее условию (4.61), называется статистически однородным (или короче — просто однородным). При рассмотрении более общих функций от значений нескольких случайных полей Ui(x), u2(x), ..., ип(х) приходится тре-
бовать, чтобы однородным было многомерное (векторное) поле u(x)={ui(x), ..., ип(х)}, т. е. чтобы все плотности вероятности произвольных наборов значений компонент Ui(x), ..., ип^ поля и(х) на некотором множестве точек пространства не менялись при одновременном сдвиге всех этих точек на один и тот же вектор у.
В приложении к полям гидродинамических характеристик турбулентного течения предположение об однородности, очевидно, всегда является математической идеализацией, так как оно требует, чтобы течение заполняло все безграничное пространство, чего никогда не бывает. Кроме того, требуется, чтобы все средние характеристики течения (средняя скорость, давление, температура) были постоянными во всем пространстве и чтобы статистический режим пульсаций не менялся при переходе от одной части пространства к другой. Разумеется, все эти требования могут выполняться с удовлетворительной точностью лишь в пределах некоторых ограниченных областей пространства, малых по сравнению с масштабами макроскопических неоднородностей и достаточно удаленных от всех ограничивающих течение твердых стенок (или свободных поверхностей). Таким образом, на практике можно говорить лишь об однородности гидродинамических полей в некоторой определенной области , но не во всем безграничном пространстве. Тем не менее при рассмотрении такой однородной в некоторой области турбулентности часто очень удобно считать ее частью математически более простого однородного турбулентного течения, заполняющего все пространство.
О наиболее важном методе экспериментального воспроизведения турбулентного течения, весьма близкого к однородному, будет рассказано в VII разделе тома 2 в связи с изучением однородной и изотропной турбулентности. Отметим еще, что наряду с полями, однородными во всем трехмерном пространстве, можно рассматривать также поля и(х) = ц(хь х2, хз), однородные лишь в некоторой плоскости (или вдоль некоторой оси), т. е. удовлетворяющие условию (4.61) для всех векторов у, принадлежащих определенной плоскости (или оси), но, вообще говоря, не удовлетворяющие этому условию для других у. Значения такого поля Цх) на любой плоскости или прямой, параллельной направлению однородности, будут, очевидно, представлять собой однородное поле на этой плоскости или прямой; значения же и(х) на нескольких различных таких плоскостях или прямых можно рассматривать как многомерное однородное случайное поле на той же плоскости или прямой. Естественно ожидать, что осреднение по пространству часто может быть использовано и тогда, когда гидродинамические поля не являются однородными во всем пространстве, но однородны лишь в некоторой плоскости (или вдоль некоторой прямой); в этих
случаях надо только рассматривать осреднение не по трехмерному объему, а лишь по соответствующей плоскости или прямой (т. е. трехкратный интеграл в правой части .(4.58) надо заменить двукратным или однократным).,
В теории турбулентности встречаются ситуации, когда вполне можно считать, что соответствующие гидродинамические поля являются стационарными или однородными хотя бы в одном направлении. Поэтому если бы удалось доказать, что при наличии стационарности или однородности теоретико-вероятностные средние значения всегда можно заменять средними по времени или по пространству, то это имело бы очень большое практическое значение. На самом деле, однако, одной лишь стационарности или однородности еще недостаточно для сходимости временных или пространственных средних к средним значениям в смысле теории вероятностей. Тем не менее сейчас будет показано, что условия, необходимые для наличия такой сходимости, носят столь общий характер, что в прикладных вопросах их почти всегда можно считать выполняющимися.
Эргодическая теория
Будем пока говорить только о стационарных случайных процессах и^ ио временном осреднении; точно те же рассуждения будут, разумеется, применимы и к однородным случайным полям на прямой. Определим прежде всего, что мы будем понимать под сходимостью случайной величины йт^, задаваемой равенством (4.53), при Тоо к константе и^= U. Случайная функция йт будет считаться сходящейся при Т -^ оо к пределу U (вообще говоря, являющемуся случайной величиной), если
Нт | йт~и\2 = 0.(4.62)
Г оо
В силу известного неравенства Чебышева
.I “г - I2
P(|«r-t/|>eJ<-L^-l-(4.63)
из формулы (4.62) следует также, что при любом е > О
lim Р {| йг — [/| > е) = О, '(4.64)
Т оо
т. е. что вероятность отклонения величины йт от U, превышающего любое заданное число е, стремится к нулю при Т -^оо. Равенство
(4.64) дает достаточные основания для того, чтобы на практике можно было вместо U использовать значение величины йт, где Т сравнительно велико; поэтому остается лишь выяснить, при каких условиях соотношение (4.62) будет иметь место.
Легко понять, что левая часть (4.62) может быть выражена через корреляционную функцию пульсаций
Ьии (т)=мГ+ЧьЛТн^рггТ] = вии (т) - и2
(см. ниже равенство (4.74)). Поэтому справедливость равенства (4.62) должна определяться какими-то свойствами функции 6ыы(т). Для механики турбулентности основное значение имеет следующий факт: если 6ыи(т)-*0 при т-*оо, то сходимость величин йт(О к вероятностному среднему значению u^=U обязательно имеет место. Этот факт является следствием следующей общей теоремы, впервые доказанной Слуцким (1938) (см. также Обухов (1954) и Яглом (1981)): для того чтобы для стационарного случайного процесса u(t) выполнялось равенство (4.62), необходимо и достаточно, чтобы корреляционная функция Ьии(т) удовлетворяла условию .
т
lim -L ( Ьии (т) dr = 0(4.65)
(доказательство этой теоремы, называемой обычно законом больших чисел или эргодической теоремой для стационарных случайных процессов, приведено в конце этого параграфа). Ясно, что если 6мм(т)->0 при т—^оо, то и условие (4.65) также выполняется; отсюда вытекает, что в этом случае равенство (4.62) тоже справедливо. Поскольку корреляционную функцию 6ыы(т) пульсаций гидродинамического поля и^ турбулентного течения практически всегда можно считать стремящейся к нулю при т^-оо, то в случае установившихся турбулентных течений теоретико-вероятностные средние значения любых гидродинамических полей могут быть определены с помощью осреднения по достаточно большому интервалу времени.
Если скорость убывания Ьии^ при возрастании т такова, что
j bUu (т) dx < оа,(4.66)
о
то, как нетрудно показать, при достаточно большом Т будет иметь место асимптотическое равенство
|йг-[/р « 2 -Ь- ьии (0),(4.67)
т' — "b^wVuu^dTт' — "b^wVuu^dT(4.68)(4.68)
т' — "b^wVuu^dT
т' — "b^wVuu^dT
(4.68)
(4.68)
есть постоянная размерности времени, называемая «временем корреляции» или «интегральным масштабом времени» стационарной функции и^ (формула (4.67) была получена еще Тэйлором (1921)). Таким образом, для надежного определения величины U надо воспользоваться временным осреднением по периоду Ту много большему, чем соответствующее «время корреляции» Ть Выбрав желательную степень точности (т. е. ту среднюю квадратичную ошибку, которую еще можно считать допустимой при замене U на йт), можно определить по формуле (4.57) и требуемый период осреднения Т
Рассмотрим теперь вкратце ситуацию, когда речь идет об однородных случайных полях ^(х) и пространственном осреднении. Случай однородных полей на прямой, как уже отмечалось выше, вообще ничем не отличается от случая стационарных процессов. Что же касается однородных случайных полей на плоскости или в пространстве, то значения такого поля ^(х) на любой прямой будут представлять собой однородное случайное поле на прямой. Поэтому если только корреляционная функция 6мы(г) пульсаций этого поля такова, что хотя бы для одного направления (единичного вектора) г0 функция 6ыи(тг0) от т удовлетворяет условию (4.65) (например, если Ьии^^^ при |г|->оо хотя бы вдоль одного направления), то средние по пространству (или плоскости), наверное, будут сходиться к константе u^^U (такая сходимость здесь будет иметь место даже при осреднении лишь по одной прямой, параллельной г0). Общее условие, необходимое и достаточное для сходимости пространственных средних йд, в, с(х) в среднем квадратичном к U при Л—>оо, В—>оо, С->оо для однородных полей в пространстве имеет вид
АВС
lim ■ - .V ( ( j buu(r)drxdr2dr3 = 0 (4.69> Л-> oo, B->oo, с-^оо Jc .
(изменения для случая однородных полей на плоскости являются очевидными); доказательство этого условия почти не отличается от аналогичного доказательства для одномерного случая. Вместо формулы (4.67) теперь имеем формулу
Vuv-UY «2-^-Ьии (0), (4.67')
где йу — среднее по объему АВС = V, a Vi — «объем корреляции» (иначе «интегральный масштаб объема»):
ОО ОО ОО
1 — бнн(0)1 — бнн(0)(4.68'}(4.68'}j j J buu (r) dr, dr2 dr
1 — бнн(0)
1 — бнн(0)
(4.68'}
(4.68'}
который здесь предполагается конечным.
Указанные выше результаты могут быть применены и к вопросу о вычислении высших моментов или других теоретико-вероятностных средних значений каких-либо функций от значений «(/) или ы(х) при помощи временного или пространственного осреднения; при этом надо только заменить процесс u^t) или поле и(х) новым процессом или полем, являющимся нелинейной функцией исходного. Например, в случае стационарного процесса «(/) для возможности получения момента N-ro порядка (4.56) при помощи осреднения по времени т величины м(Л + т)и(/г + т)... ..., u\tN + т) надо только, чтобы момент 2Af-ro порядка
Ви ... иии ... и^2 Л t N — ^1, Т, /5 Л Т, . . .,— 11 т) =
=^T(Fy^7(M^(Fr+W^71^^(4.70)
при фиксированных tx, t2, ..., tN являлся функцией от т, удовлетворяющей условию (4.65). Поскольку обычно из физических соображений можно утверждать, что коэффициент корреляции между величинами u(/i)... u(/w) и u(/i + т)... Ц1М + т) при т->оо стремится к нулю, то нужное нам условие на практике обычно можно считать выполняющимся, а использование временного осреднения законным. Для оценки необходимого времени осреднения надо оценить соответствующее «время корреляции», т. е. интеграл от указанного коэффициента корреляции. В случае гауссовских процессов и(/) момент (4.70) можно выразить через корреляционную функцию и среднее значение процесса и(/) с помощью общего правила (4.28) вычисления высших моментов. В частности, при определении с помощью временного осреднения среднего квадрата м2(/) = Выы(0) значения гауссовского стационарного случайного процесса «(/) с нулевым средним значением роль корреляционной функции Ьии(0 будет играть функция
[м2 (< + т) - iT^O] [и2 (0 - ^7Ш = 2Й„ (т);(4.71)
поэтому здесь формулы (4.67) — (4.68) принимают вид
[йт — 6ии (О)]2 «^-^„(0), Т2 =* -J^B(T)dT. (4.72)
^ии W О
Заметим, что в этом случае из условия
т
lim ’ ( Ь„и (т) dr = 0,(4.73)
в которое обращается (4.65) при замене функции 6ии(т) функцией (4.71), будет вытекать также и первоначальное условие (4.65). Кроме того, для гауссовского стационарного процесса из (4.73) следует, что вероятностное среднее значение любой функции от значений процесса, имеющей конечное среднее значение, будет
равно пределу при Г ->- оо от соответствующего временного среднего за время Т (см., например, Гренандер (1950) или Яглом (1981)). Обобщение последнего результата на гауссовские однородные случайные поля (и на некоторые еще более общие гауссовские случайные функции) указано Темпельманом (1962, 1986); несколько более слабый результат о таких случайных полях доказан в работе Биркгофа и Кампе де Ферье (1962).
Для доказательства того, что из условия (4.65) вытекает равенство (4.62), надо выразить средний квадрат разности йт^ —U через функцию 6«и(т). Легко показать, что
7/2 7/2Т Т|
PF7T7F = ^r S 5 buJt-s)dtds = A- J \buuWdTdTx. (4.74) —TI2-TI20 0
Если buux-, удовлетворяет условию (4.72), то для любого 6>0 существует такое То = ^(д), что
при Т1>Г0.при Т1>Г0.(4.75)(4.75)Т1
при Т1>Г0.
при Т1>Г0.
(4.75)
(4.75)
bUu (т) ^т< —Ti о
С Другой стороны, поскольку | ^uu (т) | ^ 6М« (0), ТО При любом Т1
Т1
(4.76)(4.76)х $ ^ии (т) dx<buu (0) п.о
(4.76)
(4.76)
Интегрируя неравенство (4.76) по Ti от нуля до То, а (4.75)—от То до некоторого Т>То, найдем, что при любом Т>Т0
7 Tij j buu (т) dxdxt < о о7 Tij j buu (т) dxdxt < о оbuu (0) Г^2buu (0) Г^26 (Г2 — Fq)6 (Г2 — Fq)(4.77)(4.77)
7 Ti
j j buu (т) dxdxt < о о
7 Ti
j j buu (т) dxdxt < о о
buu (0) Г^2
buu (0) Г^2
6 (Г2 — Fq)
6 (Г2 — Fq)
(4.77)
(4.77)
Следовательно,
buuWTo , ЬТ»2< 4buuWTo , ЬТ»2< 4Ттх
buuWTo , ЬТ»
2< 4
buuWTo , ЬТ»
2< 4
bUu^dxdx\<-^-T2 при
т. е. при Г > 12Ьии(5У)1бУ^То. Итак, для любого д > 0 при Т^>Т0 и T>Y2buu(^№To
7 т,
( buu w dxdxx<b,(4.78)
о о
так что равенство (4.62) действительно имеет место.
Ниже в этой главе будет показано, что для любого стационарного процесса u(t) предел в левой части (4.65) обязательно существует, но может и отличаться от нуля. Если этот предел равен с=#0, то условию (4.65) будет удовлетворять функция 61 (т) = Ьцц(т) —с. Используя равенство (4.74), отсюда легко вывести, что в таком случае [йг — t/]2—*спри Т-^оо; поэтому если условие (4.65) нарушается, то йт, наверное, не сходится при Т-^оо к теоретико-вероятностному среднему значению u^=U. Заметим еще, что при условии (4.66) из равенства (4.74) легко вытекает и асимптотическая формула (4.67). Более подробно вопрос об эргодических теоремах для стационарных случайных процессов освещен в книге Яглома (1981).
Глава 5
СПЕКТРАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯСТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ И ОДНОРОДНЫХ ПОЛЕЙ
5.1, Спектральное разложение стационарных процессов
Настоящий параграф будет посвящен важному вопросу о приложении к случайным процессам и полям методов гармонического анализа, т. е. о разложениях Фурье таких случайных функций. Известно, что представление исследуемых функций в виде рядов или интегралов Фурье очень широко (и с большой пользой) используется во многих задачах математической физики. При этом, однако, приходится иметь в виду, что представление в виде ряда Фурье возможно лишь для периодических функций, а в виде интеграла Фурье — лишь для функций, достаточно быстро убывающих на бесконечности. Между тем в приложениях часто встречаются и непериодические незатухающие на бесконечности функции, которые, строго говоря, нельзя разложить ни в ряд, ни в интеграл Фурье. Отметим, что в физической литературе, тем не менее, и для таких функций довольно часто формально выписываются Фурье-представления, использование которых во многих случаях явно приводит к правильным результатам, несмотря на их очевидную математическую нестрогость. Объяснением этого факта может служить то обстоятельство, что в приложениях непериодические и незатухающие на бесконечности нерегулярные функции одной или нескольких переменных очень часто естественно считать реализациями некоторого стационарного случайного процесса или однородного случайного поля (для которых, очевидно, не может быть никакого затухания на бесконечности), а для этих типов случайных функций на самом деле всегда возможно разложение Фурье (иначе — спектральное разложение) специального вида, имеющее простой физический смысл.
Начнем со случая стационарного процесса u^tY Предположим для простоты, что и^ = 0. Смысл спектрального разложения процесса и^ проще всего понять на следующем наглядном примере. Пусть и^—случайная функция (вообще говоря, комплексная) вида
П2
Eito l t
Zke * ,(5.1)
k=l
где ©i, ..., ©л — заданные числа, a Zi, ..., Zn— комплексные случайные величины такие, что
Zk = 0, Z^Zt = 0 при h=M(5.2)
(здесь и ниже звездочка обозначает комплексно-сопряженную величину). Корреляционную функцию комплексного случайного процесса и^ удобно определить равенством
В (Л, /2) = й*1^)й(^)(5.3)
(для вещественных процессов это определение, очевидно, совпадает с приведенным в главе 4). Тогда из соотношений (5.1) и (5.2) получаем
В (Л, У = £ Е^^-1^ , Fk = \Z^>0.(5.4)
6=1
Мы видим,, что корреляционная функция здесь зависит лишь от ^2 — 6> как это и должно быть для стационарного случайного процесса. При некоторых дополнительных условиях, налагаемых на величины Zk (и автоматически выполняющихся, в частности, в случае, когда многомерные распределения вероятностей для величин ReZk и ImZk все являются гауссовскими), все высшие моменты и конечномерные распределения вероятностей значений u^t) также будут зависеть лишь от разностей соответствующих моментов времени, т. е. процесс и(/) будет стационарным. Равенство (5.1) и будет в таком случае задавать спектральное разложение этого стационарного процесса.*
Процесс (5.1) является вещественным тогда и только тогда, когда число п = 2m — четное, a 2m слагаемых в правой части формулы (5.1) распадаются на m комплексно-сопряженных пар вида XZke^k1, Zk е-*®^. При этом условии выражение (5.1) можно переписать в виде
«(0 = 1 № cos okt + Z^ sin tok0 = Z Wk cos (©V - фа), (5.5) k=lk=\
где .
Z^ = Zk-V Zk, z^ = l(Zk- Z^ Wk = 21 Zk I,
<Pa = arctg (Z^/Zk0).
и, следовательно, Z^Z/^MwEb Ек = -^к>0.(5.6)
Таким образом, вещественный процесс вида (5.1) является суперпозицией некоррелированных между собой гармонических колебаний со случайными амплитудами и фазами. Корреляционная функция процесса (5.5) равна
В(т) = У Ек cos ©йт;(5.7)
к=1
она зависит от средних квадратов амплитуд Wk, но не зависит от статистических характеристик фаз фь
Можно показать, что любой стационарный случайный процесс «(/) допускает спектральное разложение, обобщающее разложение (5.1). При этом в общем случае надо считать, что п-^оо в формуле (5.1), и допустить, что частоты ©ь ..., ©я могут неограниченно сближаться и их число на заданном интервале оси © может оказаться бесконечным (но сумма комплексных амплитуд Z6 конечна). Обозначим сумму амплитуд Zk, отвечающих частотам ©* < ©, символом Z(©). Тогда Z(©) будет комплексной случайной функцией, такой, что Z(«) =0, если и(/) =0, и
[Z* (©<2)) - Z* (©О)] [Z (ю(4)) - Z (ю<3))] = О' (5.8)
при ©О) < ©(2) ^ ю(3) < ю(4) (в СИЛу СВойств (5.2) амплитуд Z^. Равенство (5.8) можно также формально записать в виде
(5.8')(5.8')</Z*(©)</Z(©l) = 0 при to^top
(5.8')
(5.8')
Тот факт, что процесс и^ получается из процесса (5.1) при n->ooH^Z*->Z (ю), означает, что «>к«»
'п— 1
(5.9)(5.9)u (f) = lim lim У [Z (ю* +,) — Z(©fc)] “^“’Mft+l-^ft — Oft^O
(5.9)
(5.9)
где —Q = ©0 < ©i < ... <©n = Q и ©s ^ ©ft ^ ©ft+i (а пределы последовательностей случайных величин понимаются как пределы в среднем квадратичном: Wn^-W, если | №—U^n|2-*0 при п-*оо). Правая часть (5.9) совпадает с определением несобственного интеграла Стилтьеса (в пределах от —оо до оо), так что (5.9) можно переписать в виде
и^ = ^ eitotdZ(to).и^ = ^ eitotdZ(to).(5.10)(5.10)
и^ = ^ eitotdZ(to).
и^ = ^ eitotdZ(to).
(5.10)
(5.10)
Это и есть общее спектральное разложение стационарного процесса и^, впервые полученное Колмогоровым (1940а) и Крамером (1942) (см. также Дуб (1956), Розанов (1990) или Яглом
20920914 Заказ № 303
209
209
(1981)). Смысл этого разложения в силу (5.9) состоит в возможности сколь угодно точной аппроксимации любого стационарного случайного процесса и^ суммой некоррелированных между собой гармонических колебаний со случайными амплитудами и фазами.
Нетрудно показать, что из (5.10) вытекает также следующая «формула обращения», выражающая Z^ через ц(/):
т • ,
1 г — 1
Z (о) = lim ~z— I и (/) di + const. (5.11)
Из формулы (5.11) следует, что в случае гауссовского процесса и^ распределения вероятностей значений Z^ также будут распределениями Гаусса. Если процесс u^t)—вещественный (только этот случай будет рассматриваться в дальнейшем), то, очевидно, Z(—©i)— Z(—©2) = Z*(©2)— Z*(©i) при любых о)2 > о>1 ^ 0, т. е. dZ^—©) = dZ* (©). При этом условии спектральное разложение (5.10) может быть переписано в вещественной форме, родственной (5.5).
Реальный физический смысл спектрального разложения (5.10) виден из того, что спектральные компоненты процесса, отвечающие отдельным участкам спектра, могут быть выделены экспериментально при помощи соответственно подобранных фильтров. Как известно, фильтрами называются устройства, пропускающие гармонические колебания из определенного интервала частот, но задерживающие колебания прочих частот. Если вещественный стационарный процесс (5.10) пропустить через фильтр с полосой пропускания Аю = [®1, ©2], то на выходе фильтра мы получим процесс
С02—СО 1
и (А©, /)= j eltot dZ (о) + j eltot dZ (w) = 2Re J eitot dZ (©), (5.12) coi—w2Aco
где Re означает вещественную часть. Процесс (5.12)—это и есть спектральная компонента процесса u(t), отвечающая интервалу частот Део. Условие (5.8) (или (5.8')) показывает, что спектральные компоненты, отвечающие непересекающимся интервалам оси частот, некоррелированы между собой. Нетрудно показать, что в случае достаточно узкого интервала До спектральная компонента и (Дю, /) на любом не слишком длинном интервале временной оси будет с большой степенью точности аппроксимироваться гармоническим колебанием 2ReZ (Дш) eltot, хотя, вообще говоря, компоненты и (Дю, /) ни при каких Дш не являются строго периодическими.
Возможность экспериментального выделения спектральных компонент ц(Дю, /) придает реальный смысл также представлению о распределении энергии процесса u(t) по его спектру. Энергия процесса и^ в физических приложениях обычно пропорциональна [ц(0Р (например, если и^ —скорость, то [и (Ор лишь постоянным множителем отличается от кинетической энергии). Поэтому для стационарных случайных процессов и^ роль средней энергии 210
играет величина [u(f)]2 = B(0). Используя выражения (5.12) и (5.8), легко показать, что средняя энергия спектральной компоненты и (Део, /) (т. е. совокупности содержащихся в u[t) гармонических колебаний с частотами из интервала Асо = [cdi, сог]) равна
[и (Део, О]2 = | Z (Дсо)|2 + |2(-До))|2 = 2 ] Z (Дсо)|2,(5.13)
где 2(Дсо) = Z( [coi, со2]) = Z(ф2) — Z((Qi). Таким образом, неотрицательная функция интервала |Z(Aco)|2 описывает распределение энергии процесса u^t) по спектру частот —оо < со < оо (а функция 21Z(Део) |2 — по спектру 0 ^ со < оо).
В турбулентном течении распределение энергии по спектру всегда бывает непрерывным. Поэтому |Z(Aco)|2 здесь представляется в виде интеграла по do от спектральной плотности (или, короче, спектра) В (о) процесса u^t):
| Z (До) |2 = J F(w)dto.(5.14)
Aco
Вместо функции F(o), где — оо < со < оо и F^— со) = ^(со), часто удобнее рассматривать спектр Е(со) =2F(со), где 0 ^ со < оо. Согласно (5.14),
\dZ (о) |2 = Е (со) do = 1 /2Е (со) do.(5.15)
Равенства (5.15) и (5.8х) можно также переписать в виде одного символического равенства
dZ* (w)dZ ((0!)=6(cd — coj F (co) dw dwv— 1/26 (co — coJE (co)dcodcoi, (5.16)
где 6 (co)—несобственная б-функция Дирака.
Исходя из (5.10) и (5.16) легко показать, что корреляционная функция В(т)= u*(t)u(t + т) является преобразованием Фурье спектральной плотности
В(т) = etw^F (w) do) = ^ ms мтЕ (cd) do), (5.17) —ооО
так что
F^ = -L ( e^B^dx, ЕИ = — 1^ьусВ(т^т. (5.18) —ооО
Частный случай формулы (5.17) при т = О
В(0) = F(to)dto= j E^dat(5.19)
—ооО
показывает, что суммарная энергия процесса и(/) складывается из энергии отдельных спектральных компонент.
Из (5.14) и (5.18) следует, что преобразование Фурье корреляционной функции 5(т) всегда неотрицательно. Этот факт, составляющий содержание важной теоремы о спектральном разложении корреляционных функций, впервые был доказан Хинчиным
Рис. 5.1. Спектральная плотность продольной компоненты скорости в аэродинамической трубе за решеткой при различных значениях U (м/с).
(1934), показавшим также, что каждая функция, имеющая неотрицательное преобразование Фурье, является корреляционной функцией некоторого стационарного случайного процесса. Поэтому для того, чтобы проверить, может ли заданная функция S(t) быть корреляционной функцией, надо только найти ее преобразование Фурье и посмотреть, будет ли оно всюду неотрицательным или нет. Ряд примеров, задаваемых несложными формулами, может быть найден в книге Яглома (1981).
Функцию S(t) обычно можно определить по одной измеренной реализации процесса с помощью осреднения по времени (см. выше п. 4.6), а функцию Е(со) можно независимо измерить с помощью совокупности полосовых фильтров с различными полосами пропускания, поэтому формулы (5.17) и (5.18) допускают непосредственную экспериментальную проверку. Такая проверка этих формул впервые была проведена Тэйлором (19386) в приложении к пульсациям и^ продольной компоненты скорости в фиксированной точке турбулентного течения в аэродинамической трубе за решеткой, измеренных с помощью термоанемометра. Спектральная
плотность В (ю) таких пульсаций определена Симмонсом и Солтером (1938) с помощью специальной системы электрических фильтров (рис. 5.1). Ввиду отсутствия данных о функции В(т) Тэйлор воспользовался результатами измерений пространственной корреляционной функции В(х) — среднего значения произведения одновременных значений пульсаций продольных компонент скорости в двух точках течения на расстоянии х друг от друга (по направ-
лению оси трубы). Поскольку средняя много больше пульсационной скорости и'= и— U, Тэйлор предположил, что возмущения потока («вихри») переносятся средней скоростью без существенного искажения. Отсюда вытекает, что
В(х) = В((/т)В(х) = В((/т)(5.20)(5.20)(предположение о справедливости этого равенства с тех пор называется гипотезой Тэйлора). На рис. 5.2, заимствованном из работы Тэйлора (19386), черными кружками отмече
В(х) = В((/т)
В(х) = В((/т)
(5.20)
(5.20)
Рис. 5.2. Сравнение измеренных значений корреляционной функции (черные кружки) со значениями, вычисленными по формулам (5.17) и (5.20) (светлые кружки).
скорость и = U в трубескорость и = U в трубены результаты непосредственного измерения функции В^х), а светлыми — значения этой функции, рассчитанные по формулам (5.17) и (5.20) на основе данных рис. 5.1. Совпадение, как мы видим, оказалось вполне удовлетворительным.
скорость и = U в трубе
скорость и = U в трубе
Аналогичные результаты в последующие годы неоднократно получались и многими другими авторами. Развитие радиотехники позволило в дальнейшем обходиться без гипотезы Тэйлора, а непосредственно измерять временные корреляционные функции В(т) (подобные измерения позволяют* попутно аккуратно проверить и саму указанную гипотезу; см., например, Фавр, Гавильо и Дюма (1954, 1962), Френкил и Клебанов (1966) или Конт-Белло и Кор- син (1971)). Для примера на рис. 5.3 (заимствованном из работы Фавра, Гавильо и Дюма (1954)) приведены результаты непосредственных измерений спектральной плотности Е(со) продольных пульсаций скорости в аэродинамической трубе при помощи системы фильтров, а также значения B(to), вычисленные по формуле (5.18) на основании данных измерений функции В(т); и здесь совпадение оказалось вполне удовлетворительным.
Остановимся теперь вкратце на вопросе о спектральном разложении производных стационарного процесса ы((). Производную
случайной функции м(0 естественно определить как такую случайную функцию и'(О» чт0
lim I и' (t) — 2^ALV.^ "7 и (О I2 = о.(5.21)
В таком случае из формулы (5.10) легко следует, что
и^ = $ eitotitodZ(5.22)
Заметим, однако, что поскольку в левой части (5.21) стоит теоретико-вероятностное среднее значение, производная (5.22) харак-
Рис. 5.3. Сравнение измеренного временного спектра скорости (черные кружки) со значениями, вычисленными по формуле (5.18) (светлые кружки).
теризует весь статистический ансамбль реализаций процесса м(0, а не каждую реализацию в отдельности. Поэтому, если даже все индивидуальные реализации процесса u(t)—гладкие дифференцируемые функции, но средний квадрат производной в точке / бесконечен, то производная в смысле (5.21) все равно не будет существовать. С другой стороны, если только «производная в среднем квадратичном» (5.22) стационарного процесса «(/) конечна, то отсюда, как можно показать, уже вытекает, что и все реализации этого процесса дифференцируемы, причем производную от реализации здесь можно считать совпадающей с реализацией ■случайного процесса (5.22) (см., например, Дуб (1956), гл. XI, § 9; ср. также Яглом (1981)). Исходя отсюда процессы, для которых производная (5.22) конечна, уместно называть дифференцируемыми.
Из выражений (5.22) и (5.16) следует, что спектр производной и'^ равен ®2£(®), так что для дифференцируемого процесса и^ всегда
j w2E (co) dco < oo.(5.23)9
Левая часть неравенства (5.23) в силу соотношения (5.17) равна — 5"(0), а само условие (5.23) совпадает с условием существования конечной второй производной функции S(t) при всех т. Корреляционная функция процесса иг очевидно, равна
и' (О и' (t + т) = cos toTto2E (со) do = —-B" (т).(5.24)1
Аналогично этому для n-й производной процесса и^ имеем
= $ eitot (/о)" dZ (о),(5.25>
о
J cos «тм2пЕ (<o) do = (-1 fBW (t). (5.26>
Эти равенства имеют смысл, только если
j ы2пЕ (го) dto < оо(5.27У
o’
(или, что то же самое, если функция В^ 2п раз дифференцируема в точке т = 0). В частности, чтобы процесс «(О имел производные всех порядков, интеграл (5.27) должен сходиться при любом п, т. е. спектральная плотность должна при |ю|^-оо убывать быстрее любой конечной отрицательной степени |ю| (а функция В(т)—иметь производные всех порядков в точке т = 0).
Пусть теперь u(Z) = («i(Z), ..., Мп(0}—многомерный (векторный) вещественный случайный стационарный процесс, причем и* (0 = 0, &= 1, • • •, п. Предположим, что корреляционные функции Вы(т)= u^ui^t + т) достаточно быстро убывают на бесконечности, так что их можно представить в виде интегралов Фурье
Вм^ = J e^'Fki^dtir, k, Z=l, .... n, (5.28)-
где
F^ = -^7 S e^B^dx.(5.29)
Ясно, что функции Ркк(.®), k = 1, ..., n,— это обычные неотрицательные и четные по © спектры одномерных процессов ик^, k = = 1, ..., п. Что же касается функций ^/(ю) с к^М— взаимных спектральных плотностей (или взаимных спектров) процессов.
Uk^ и ш^, то они, вообще говоря, могут быть и комплексными. Однако в силу вещественности функций ВкАт^ всегда должно выполняться равенство
Fkl (о) = F*ki (—со).(5.30)
Далее, из очевидного условия.
В,/(т)=В//г(-т)(5.31)
вытекает, что
Fkt^-Flk^.(5.32)
Наконец, легко показать, что при любых комплексных сх, .... сп для любого ц выполняется неравенство
У Fki^c'kCt^O,(5.33)
fe. i=\
(ибо левая часть неравенства (5.39) совпадает со спектром комплексного случайного процесса схи,\(/)+... +спип(/)). Крамер (1940) и Колмогоров (1941в) показали также, что любая матрица IIB^/(to)||, удовлетворяющая перечисленным выше условиям, будет спектральной матрицей, т. е. матрицей взаимных спектров некоторого многомерного стационарного процесса.
Спектральное разложение многомерного стационарного процесса и(/) имеет вид
u(0= I ei6>tdZ(to),(5.34)
где Z (а>) = {Zi (го), ..., Zn (<о)}, а функции Z\ (to), ..., Zn (to) таковы, что
dZfc(to) <ZZ/(toi) = d(to — toi)Fw (to)dtodtoi.(5.35)
Ясно, что из равенства (5.35) также вытекают свойства (5.32) и (5.33) спектральных плотностей ^(го).
Спектральное разложение однородных полей
Все сказанное выше по поводу спектрального разложения стационарных случайных процессов и^ (кроме того, что касается его экспериментального осуществления при помощи фильтров) просто переносится и на однородные случайные поля м(х). В этом случае роль гармонических колебаний eitoi играют плоские волны eikx, а случайная функция Z(A<o) = Z([©i, to2]) = Z(to2)— Z(©i)
интервала оси частот со здесь заменяется случайной функцией Z(Ak) от многомерного интервала Ak = [kz, к"] — параллелепипеда (или, в случае полей на плоскости, прямоугольника) в пространстве волновых векторов к. Обозначив Z(dk) = Z([k, к -|- dk]) = = dZ(k), спектральное разложение однородного случайного поля ц(х) можно записать в виде
«(х)= j eikxdztk),«(х)= j eikxdztk),(5.36}(5.36}
«(х)= j eikxdztk),
«(х)= j eikxdztk),
(5.36}
(5.36}
где интеграл распространен по всему пространству волновых векторов и имеет тот же смысл, что и интеграл в равенстве (5.10). Будем считать поле и(х) вещественным, имеющим нулевое среднее значение и таким, что
$|B(r)|dr<$|B(r)|dr<ОО,ОО,(5.37}(5.37}где В(г)= ы(х)ы(х + г). Тогда случайные амплитуды dZ(k) разложения (5.36) будут обладать следующими свойствами:где В(г)= ы(х)ы(х + г). Тогда случайные амплитуды dZ(k) разложения (5.36) будут обладать следующими свойствами:dZ(k) = 0, dZ(-k) = dZ*(k),(5.38}dZ(k) = 0, dZ(-k) = dZ*(k),(5.38}dZ* (k) dZ (kJ = 6 (k - kJ F (k) dkdku(5.39}dZ* (k) dZ (kJ = 6 (k - kJ F (k) dkdku(5.39}где 6(k)—многомерная 6-функция. При k = ki равенство (5.39) надо понимать как равенство F(k) dk= \dZ(k) |2, откуда видно,что F(—k) = F(k). Функция F(к) называется трехмерной спектральной плотностью (или просто трехмерным спектром)* поля и(х). Формулы (5.36) и (5.39) показывают, что каждое однородное случайное поле может быть сколь угодно точно приближено конечной суммой некоррелированных между собой плоских волн различных длин и ориентаций со случайными амплитудами и фазами. Комплексные амплитуды dZ(k) этих плоских волн могут быть найдены по полю м(х) с помощью «формулы обращения»где 6(k)—многомерная 6-функция. При k = ki равенство (5.39) надо понимать как равенство F(k) dk= \dZ(k) |2, откуда видно,что F(—k) = F(k). Функция F(к) называется трехмерной спектральной плотностью (или просто трехмерным спектром)* поля и(х). Формулы (5.36) и (5.39) показывают, что каждое однородное случайное поле может быть сколь угодно точно приближено конечной суммой некоррелированных между собой плоских волн различных длин и ориентаций со случайными амплитудами и фазами. Комплексные амплитуды dZ(k) этих плоских волн могут быть найдены по полю м(х) с помощью «формулы обращения»—ikiXi —ik,x, е — е—ikiXi —ik,x, е — е—/Xi—/Xi—i^2^2—^2*2—ZX2—i^2^2—^2*2—ZX2е 33е 33— е 3 3— е 3 3—/х3—/х3и (х) dx.и (х) dx.(5.40}(5.40}
$|B(r)|dr<
$|B(r)|dr<
ОО,
ОО,
(5.37}
(5.37}
где В(г)= ы(х)ы(х + г). Тогда случайные амплитуды dZ(k) разложения (5.36) будут обладать следующими свойствами:
где В(г)= ы(х)ы(х + г). Тогда случайные амплитуды dZ(k) разложения (5.36) будут обладать следующими свойствами:
dZ(k) = 0, dZ(-k) = dZ*(k),(5.38}
dZ(k) = 0, dZ(-k) = dZ*(k),(5.38}
dZ* (k) dZ (kJ = 6 (k - kJ F (k) dkdku(5.39}
dZ* (k) dZ (kJ = 6 (k - kJ F (k) dkdku(5.39}
где 6(k)—многомерная 6-функция. При k = ki равенство (5.39) надо понимать как равенство F(k) dk= \dZ(k) |2, откуда видно,что F(—k) = F(k). Функция F(к) называется трехмерной спектральной плотностью (или просто трехмерным спектром)* поля и(х). Формулы (5.36) и (5.39) показывают, что каждое однородное случайное поле может быть сколь угодно точно приближено конечной суммой некоррелированных между собой плоских волн различных длин и ориентаций со случайными амплитудами и фазами. Комплексные амплитуды dZ(k) этих плоских волн могут быть найдены по полю м(х) с помощью «формулы обращения»
где 6(k)—многомерная 6-функция. При k = ki равенство (5.39) надо понимать как равенство F(k) dk= \dZ(k) |2, откуда видно,что F(—k) = F(k). Функция F(к) называется трехмерной спектральной плотностью (или просто трехмерным спектром)* поля и(х). Формулы (5.36) и (5.39) показывают, что каждое однородное случайное поле может быть сколь угодно точно приближено конечной суммой некоррелированных между собой плоских волн различных длин и ориентаций со случайными амплитудами и фазами. Комплексные амплитуды dZ(k) этих плоских волн могут быть найдены по полю м(х) с помощью «формулы обращения»
—ikiXi —ik,x, е — е
—ikiXi —ik,x, е — е
—/Xi
—/Xi
—i^2^2—^2*2
—ZX2
—i^2^2—^2*2
—ZX2
е 33
е 33
— е 3 3
— е 3 3
—/х3
—/х3
и (х) dx.
и (х) dx.
(5.40}
(5.40}
где интегралы в пределах от — оо до оо понимаются как пределы (в среднем квадратичном) интегралов в пределах от — А до + А приД-^оо (ср. формулу (5.11)).
Из формул (5.36) и (5.39) вытекает, что
В(г)= j elklF(k)dk.В(г)= j elklF(k)dk.(5.41)(5.41)
В(г)= j elklF(k)dk.
В(г)= j elklF(k)dk.
(5.41)
(5.41)
Заметим, что возможность представления функции В (г) в виде интеграла Фурье (5.40) вытекает уже из условия (5.37), а спектральное разложение (5.36) здесь нужно лишь для доказательства неотрицательности функции B(k)= lim|Z(Ak) |2/Дк. Верно и обратное предложение: любая функция В (г), имеющая неотрицательное преобразование Фурье, является корреляционной функцией некоторого однородного случайного поля (см., например, Кампе де Ферье (1953) или Яглом (1957, 1987)).
Из формулы (5.41) вытекает, что
FW—A^e-^B^dt.(5.42)
Поэтому задание трехмерного спектра F(k) равносильно заданию корреляционной функции В (г). Тем не менее иногда вместо В (к) используется менее полная статистическая характеристика
E(k) = j j F^dS^k)(5.43)
| к I =к
(где dS(k)—элемент площади сферы |к| = &), зависящая от одного аргумента к. Функция Е^ будет называться просто спект- ,ром (без прилагательного «трехмерный») поля ы(х). Спектр Е^к) не определяет однозначно В (г), но суммарная энергия поля [и (х) ]2 = В(0) просто выражается через Е^к):
B^^E^dk.(5.44)
В случае многомерного (векторного) однородного случайного поля u(x)={ui(x), ..., un(x)} с uz(x) = 0, /=1, ..., п, формула (5.36) будет приложима к каждой компоненте «/(х), так что
1^ = ^ e^dZ^ky(5.45)
При этом величины dZ;(k), / = 1, ..., п, будут удовлетворять условиям (5.38), а условие (5.39) в случае поля с достаточно быстро убывающими на бесконечности корреляционными функциями Вц (г) = и/ (х) щ (х + г) заменится следующим более общим условием:
dZ'j^dZi^ = б(k - к,)Fn (к)dk dkx.(5.46)
Из (5.45) и (5.46) вытекает, что
BjA^-V^F^dk,(ЬА7)
я, следовательно,
F/z(k) = -^j e^B^dt.(5.48)
Поскольку B,z(r)—вещественные функции и Вц(г) = Btl(—г), то трехмерные взаимные спектры B/z(k) полей и,^ и zzz (х) удовлетворяют условиям
Fil^=F*t(<-k) = Fl1(k\(5.49)
Кроме того, из (5.46) вытекает, что матрица ||Вд(к)|| при любом к неотрицательно определенна (т. е. такова, что ^Вд(к)с* cz О при любых Ci, ..., спу Верно и обратное утверждение: каждая удовлетворяющая условиям (5.49) и неотрицательно определенная при всех к матрица ||B/z(k)|| является спектральной матрицей некоторого многомерного однородного случайного поля (см., например, ссылки на литературу перед равенством (5.42)).
В важнейшем частном случае, когда и(х) —поле скорости течения жидкости, величина V2U2 = V2 2 ы/(х)= ‘/гВ/ДО) имеет смысл средней кинетической энергии единицы массы жидкости. Поэтому, кроме тензора спектральных плотностей Вд(к), здесь удобно ввести в рассмотрение еще и скалярные спектральные плотности
F (k) = -^Fn (к), Е(^= Ц B(k)dS(k). (5.50)
I M = k
через которые средняя энергия выражается по формулам
-Lt^) = $JjB(k)rfk = \E^dk.(5.51)
—000
Частные производные однородных полей.Дивергенция и вихрь векторного поля
Как и в случае стационарных случайных процессов, чем быстрее затухает на бесконечности (т. е. при ^=|к|->оо) спектральная плотность F(k) однородного случайного поля, тем большее число раз можно дифференцировать его корреляционную функцию В (г) (т. е. тем более гладкой функцией она является); и наоборот, быстрота убывания на бесконечности корреляционной функции В (г) определяет степень гладкости спектра В (к). Оба этих утверждения являются простыми следствиями того, что функции В (г) и В (к) представляют собой преобразования Фурье друг друга, так что
(5.52)(5.52)(5.53)(5.53)dm, + m! + m»B (г) = /m, + m2 + m, Г ^r^.^^p ^х dk dr”' dr”1 dr”1J
(5.52)
(5.52)
(5.53)
(5.53)
И5m, + m2 + m3p ^d^' d^1 dk”1И5m, + m2 + m3p ^d^' d^1 dk”1mi+m2 + m3 -
И5m, + m2 + m3p ^
d^' d^1 dk”1
И5m, + m2 + m3p ^
d^' d^1 dk”1
-g^3) e ri r2 r3 B(r)ar.
Из формулы (5.53), в частности, видно, что если функция В (г) при |г|=г->оо убывает как r~N, где N — целое число (иначе
говоря, если B(r)= O(r~N)), то спектр F (к) при всех значениях к будет дифференцируемым N — 4 раза по своим аргументам, но •его частные производные порядка N — 3 уже будут существовать лишь при к #= 0, но не в точке к = 0 (аналогично ведет себя и функция В (г), если F (к) = О ^krN^ при |к| = ^->-оо). Нетрудно показать, что при B(r) = O(r-JV) частные производные (N— 3)-го порядка функции F(k) (являющиеся при к =# 0 непрерывными функциями от к) будут, вообще говоря, логарифмически возрастать при к-*0. Точно так же обстоит дело и с более общими функциями В/;(г) и Рц(к), отвечающими многомерному однородному полю u(x) = {«i(x), ..., ип(х^. Поэтому, например, общее разложение Тэйлора функции f/i(k) в окрестности точки к = 0, имеющее вид
Fjl (к) = f п + fjl, i^i + fjl, im^i^m 4* fit, imnkikmkn -(-*..., (5.54)
при B(r)= О (г-”) будет содержать лишь члены до (N—4)-го порядка включительно, за которыми будет следовать остаточный член порядка к^~1 In к (в случае когда j = l, все члены ряда (5.54) нечетного порядка, очевидно, будут равны нулю). Для того же, чтобы спектр Рц(к) был бесконечно дифференцируемым, функция В;/(к) должна убывать на бесконечности быстрее любой конечной отрицательной степени |г|; аналогично для бесконечной дифференцируемости функции В)ч (г) нужно подобное же убывание на бесконечности спектра Рц^ку
Предположим, что
j kT'^k^F (k) dk < oo.(5.55)
В таком случае существует частная производная
^mx-vm2-vmau (х)^mx-vm2-vmau (х)дх^дх^дх^дх^дх^дх^J ^^^^ дг (к)J ^^^^ дг (к)(5.56)(5.56)
^mx-vm2-vmau (х)
^mx-vm2-vmau (х)
дх^дх^дх^
дх^дх^дх^
J ^^^^ дг (к)
J ^^^^ дг (к)
(5.56)
(5.56)
(понимаемая в смысле, аналогичном (5.21)), а также и все частные производные более низких порядков, причем
dxi*' дх™2 дх™’ dxf' дх"1 дх^3
•уп, + /n2+m3^ni + п2 + 'п,•уп, + /n2+m3^ni + п2 + 'п,gik (х' - х)gik (х' - х)кТ,+п'кТ,+п'^2 + "^»+"з^(к)г/к =^2 + "^»+"з^(к)г/к =gmi+mi + ma+nx + ni + nag (f)dr7l + ni дг^г + п‘ дг^з+Пзgmi+mi + ma+nx + ni + nag (f)dr7l + ni дг^г + п‘ дг^з+ПзЯсно также, что если существуют производныеЯсно также, что если существуют производныеdnl+n1+n,Ui (Х)дх^'дх^дх^ ’dnl+n1+n,Ui (Х)дх^'дх^дх^ ’то взаимная корреляционнаято взаимная корреляционная(5.57)(5.57)dmi+m2+m3^ (х)дх^'дх^дх™3функция этихdmi+m2+m3^ (х)дх^'дх^дх™3функция этих
•уп, + /n2+m3^ni + п2 + 'п,
•уп, + /n2+m3^ni + п2 + 'п,
gik (х' - х)
gik (х' - х)
кТ,+п'
кТ,+п'
^2 + "^»+"з^(к)г/к =
^2 + "^»+"з^(к)г/к =
gmi+mi + ma+nx + ni + nag (f)dr7l + ni дг^г + п‘ дг^з+Пз
gmi+mi + ma+nx + ni + nag (f)dr7l + ni дг^г + п‘ дг^з+Пз
Ясно также, что если существуют производные
Ясно также, что если существуют производные
dnl+n1+n,Ui (Х)
дх^'дх^дх^ ’
dnl+n1+n,Ui (Х)
дх^'дх^дх^ ’
то взаимная корреляционная
то взаимная корреляционная
(5.57)
(5.57)
dmi+m2+m3^ (х)дх^'дх^дх™3
функция этих
dmi+m2+m3^ (х)дх^'дх^дх™3
функция этих
двух производных задается формулой вида (5.51), где только В (к) надо заменить на Вд(к), а В (г)—на ^z(r).
Из многомерных случайных полей наиболее важен для теории турбулентности случай трехмерного поля скорости u(x) = {«i(x), ы2(х), мз(х)}. В силу (5.56)
—J-^i^e'^dZ^k),(5.58)
и, значит, dui (х) г
div u (х) = —= I j е к kj dZ, (k),(5.59)
toj (x) = гНт -^^_ = 1ецт j elkxhi dZm (k),(5.60)
где <в(х) = rotu(x)= V X u(x), а едт — антисимметричный по всем индексам единичный тензор третьего ранга. Следовательно,
divu (x)div u(x + r)= j elkxhjhiFц^к) dk =^г/^'" • (5.61)
to/ (X) to, (X + Г) — E-jlm^lpq в k[kpFmq(k)dk = —^jlm^ipq 57/^7’
(5.62)
Формулы (5.62) для корреляционного тензора поля вихря ю(х) = rot и(х) можно также преобразовать с помощью легко проверяемого тождества
^jlm^ipq = ^H^lp^mq 4" ^jp^lq^ml 4“ ^jq^H^mp
^ij^lq^mp ^jp^U^mq fyq^lp^mb(5.63)
Кроме того, из формулы (5.56) легко вытекает, что
(У =ИЛ(ЧЙ(5.64)
(по / не суммируется!) и
ё = -у £("^г+-^У = 4 Vk^jlkHWimWAdk. (5.65)
Ограничимся далее случаем, когда векторное поле и(х) соле- ноидально (бездивергентно), т. е. <9и/(х)/5х, = 0. Тогда
^L^- щ (х + г)=и/ (х + г) -^2- = 0,(5.66)
и, следовательно, в силу (5.58)
^/z(k) = ^/z(k) = O(5.67)
ии
и
и
(5.68)(5.68)дВц^дВи^
(5.68)
(5.68)
dr jdri
(из любого одного из четырех соотношений (5.67) и (5.68), очевидно, автоматически следуют три остальные). Вместо соотношений (5.67) и (5.68) можно также использовать эквивалентное им соотношение kjdZj (к) = 0.
Подставив тождество (5.63) в (5.62) и используя формулы (5.68) и (5.67), получаем следующие формулы для корреляционного и спектрального тензоров поля вихря соленоидального векторного поля и(х):
Btoltol (г) = Ю/(х)Ю/ (х + г) = -Ьц \Ви (Г) + ^^ + АВ// (г)
(5.69)
И
Ftojtiu (к) = ^ - W Fti (к) - кгРм (к),(5.70)
тан что следы тензоров Вк>(6)1 (г) и Ftojtol (к) равны
B<0W(r) = -AB//(r), Ftojtol\k') = k2Fij(k'). (5.71)
Используя соотношения (5.67), можно доказать, что спектральный тензор Рц(к) однородного соленоидального векторного поля и(х) всегда может быть представлен в виде
(5.72)(5.72)Fjt (к) = 62 (б/;^-) + 'а^ (1^-
(5.72)
(5.72)
где функции 62(к), а2(к) и а/(к), /=1, 2, 3, удовлетворяют условиям
/^(^=0, а} (к) а, (к) =02^) > 0, 62(к)>0, 62 (0) = О (5.73)
(Кампе де Ферье (1948)). Кроме того, если ввести в рассмотрение зависящий от к симметричный тензор
A/m(k)=6/m^-,(5.74)
то тогда ^/А/т(к) = 0, и если ктРт(к)=0, то, очевидно, ^т(к)Рт(к) = Р1(к').
Поэтому тензор Рц^, удовлетворяющий (5.67), всегда можно записать в виде
(5.75)(5.75)F/z(k)=A/m (к) А/П(к)^тп (к),
(5.75)
(5.75)
где Фтл(К) — это симметричный тензор. За Фтп(К) здесь можно принять сам тензор Ртп№; можно, однако, выбрать в качестве Фтя(К) и произвольный эрмитов симметричный тензор с неотрицательно определенной при всех к матрицей — при этом все равно тензор (5.75) будет удовлетворять всем требованиям, налагаемым на спектральный тензор бездивергентного векторного поля.
Если и(х)— соленоидальное однородное векторное поле, а б^х)— однородное и однородно связанное с и(х) скалярное поле, то, очевидно,
ди, (х)dxjди, (х)dxj6- (х + г) =6- (х — г)6- (х + г) =6- (х — г)ди, (х)дх$ди, (х)дх$
ди, (х)dxj
ди, (х)dxj
6- (х + г) =6- (х — г)
6- (х + г) =6- (х — г)
ди, (х)дх$
ди, (х)дх$
и, значит,
dB^t) _др^
—dTj—dq°’(5176>
= kiF»j (k) = °-(5.77)
Согласно (5.77), вектор /^(k) ортогонален k, и, следовательно, его можно представить в виде
В^(к)=Д/т(к)Фт(к).(5.78)
Приведенные результаты позволяют сделать определенные выводы и о поведении спектров поля и(х) в окрестности нулевой точки пространства волновых векторов. В самом деле, рассмотрим, например, тензор ^(к) и предположим, что в окрестности точки к = 0 он допускает разложение в ряд Тэйлора (5.54). В таком случае и фунции b2(k), а/(к) и а2 (к) в правой части (5.72) также могут быть разложены в ряды Тэйлора. Но из условий (5.73) легко следует, что а/(0)=0 при всех /, так что и а2(0)=0; поэтому ясно, что ряды Тэйлора функций а/(к) начинаются с членов первого порядка, а функций а2(к) и Ь2(к)— с квадратичных членов. Отсюда вытекает, что и разложение функций F//(k) в ряд Тэйлора должно начинаться с членов второго порядка, т. е. что
Fjl (^) = fit. mnkmkn+ ...(5.79)
Из (5.77) следует также, что разложение функций Fj$ (к) может начинаться только с членов первого порядка:
(5.80)
Переходя от спектров к корреляционным функциям, из (5.79) и (5.80) получаем:
^Вц (t} dt = '^Bll(j') rmdt = 0(5.81)
И
^Bw(r)dr = 0.(5.82)
ТУРБУЛЕНТНЫЕ СДВИГОВЫЕ ТЕЧЕНИЯИ ПОЛУЭМПИРИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Глава 6
ОСНОВНЫЕ КЛАССЫ ТУРБУЛЕНТНЫХ СДВИГОВЫХ ТЕЧЕНИЙ
Уравнения Рейнольдса
Под сдвиговыми течениями (или течениями с поперечным сдвигом, по-английски shear flows) понимаются течения жидкости, скорость (или, в случае турбулентных течений, средняя скорость) которых имеет во всех точках одно и то же (или хотя бы примерно одно и то же) направление, но по величине меняется в направлении, перпендикулярном направлению течения. Для таких течений скорость и или среднюю скорость й можно считать (точно или хотя бы в первом приближении) всюду направленной вдоль оси Oxi = Ох, но меняющейся при изменении значения координаты х3 = z, так что течение обладает поперечным сдвигом скорости, величина которого характеризуется градиентом ди/дг (или дй]дгу К числу сдвиговых течений относятся важнейшие классы течений в круглой трубе, плоском канале и пограничном слое на плоской пластине, а также течения в плоской или осесимметричной-^труе, плоском или осесимметричном следе за обтекаемым шаром или цилиндром и в плоском слое перемешивания двух примыкающих друг к другу плоскопараллельных течений, различающихся величиной (но не направлением) скорости. Все перечисленные классы течений легко осуществляются в лабораторных условиях и имеют большое значение для многих технических задач. Богатый экспериментальный материал, накопленный при изучении таких течений, позволяет рассматривать их как эталоны для проверки различных теорий и гипотез о природе турбулентности; неудивительно поэтому, что таким течениям посвящена обширная литература, лишь небольшая часть которой будет указана в настоящей главе. Основу же этой главы составит изложение основных сведений как о важнейших интегральных характеристиках простейших турбулентных сдвиговых течений — профилях средней скорости и температуры, расходе жидкости, законах сопротивления, законах тепло- и массопереноса от стенки к жидкости (или от жидкости к стенке), так и о закономерностях, касающихся статистических характеристик турбулентных пульсаций в таких течениях. В заключение совсем кратко будут обрисованы основные полуэмпирические подходы к описанию сдвиговых течений, широко используемые при практических инженерных расчетах. Прежде всего, однако, необходимо привести общие соображения
Рейнольдса (1894), относящиеся к произвольным турбулентным течениям и лежащие в основе всей теории турбулентности.
Выше уже указывалось, что гидродинамические поля скорости, давления, температуры и т. д. в случае турбулентных течений имеют столь сложную структуру, что их индивидуальное описание оказывается практически невозможным. Поэтому здесь приходится рассматривать сразу целую совокупность аналогичных течений и изучать лишь осредненные статистические характеристики этой совокупности, предполагая, что все рассматриваемые гидродинамические поля являются случайными полями (в смысле, объясненном в п. 3.2). В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что такой подход является возможным, т. е. турбулентными мы будем называть лишь такие течения, для которых существует статистический ансамбль аналогичных течений, характеризуемый определенными распределениями вероятности (с непрерывными плотностями) для значений всевозможных гидродинамических полей. Отметим в этой связи, что обычное определение турбулентных течений просто как течений, сопровождающихся беспорядочными пульсациями всех гидродинамических величин, еще недостаточно для возможности построения математической теории турбулентности. Если же соответствующий статистический ансамбль существует, то отвечающее ему статистическое описание гидродинамических полей турбулентности и с чисто практической точки зрения не будет «неполным», так как знание всех деталей очень запутанного индивидуального поля для практики никогда не нужно, а интерес представляют, в первую очередь, средние характеристики. Правда, на практике обычно используются не средние по ансамблю, а временные или пространственные средние; поэтому с практической точки зрения следует требовать еще, чтобы случайные поля гидродинамических величин обладали некоторыми эргодическими свойствами. Последнее условие в дальнейшем также всегда будет предполагаться выполняющимся.
Важнейшими и одновременно простейшими статистическими характеристиками случайных гидродинамических полей являются их средние значения. Разности и' = и — й между индивидуальными значениями поля и и его средним значением й естественно назвать пульсациями поля и. Разложение гидродинамических полей на их средние значения и пульсации и играло основную роль в рассуждениях Рейнольдса.
Средние значения гидродинамических полей обычно оказываются уже гладкими и медленно меняющимися; пульсации же, наоборот, характеризуются большой изменчивостью во времени и в пространстве. Вообще говоря, допустимо даже предполагать, что турбулентные неоднородности могут иметь сколь угодно малые масштабы (вплоть до масштабов, сравнимых со средней длиной свободного пробега молекул) и сколь угодно малые периоды (вплоть до периодов, сравнимых со средним временем между последовательными столкновениями молекул). Если бы это было так,, то использование при описании турбулентности обычных понятий
и методов механики сплошных сред (и в частности дифференциальных уравнений гидродинамики), разумеется, было бы незаконным. Однако опыт показывает, что на самом деле турбулентные неоднородности никогда не имеют столь малых пространственновременных размеров. Это объясняется тем, что неоднородностям очень малых размеров должны были бы отвечать очень большие градиенты скорости; поэтому затраты энергии на преодоление сил вязкого трения здесь становятся столь большими, что делают существование таких движений практически, невозможным. В результате минимальные масштабы и периоды турбулентных неоднородностей оказываются во всех случаях на несколько порядков превосходящими масштабы и периоды молекулярных движений. А именно, размеры наименьших неоднородностей, наблюдающихся и в воздушных, и в водных турбулентных течениях, имеют порядок миллиметров или, в крайнем случае, десятых долей миллиметра (ср. VIII раздел тома 2 настоящей книги) в то время как в нормальных условиях длина свободного пробега молекул воздуха имеет порядок 10-5 см, а молекул воды — еще много меньший. Поскольку скорости гидродинамических течений по порядку величины не превосходят средней скорости теплового движения молекул (близкой к 5-Ю4 см/с), то характерные периоды турбулентных пульсаций также всегда на несколько порядков превосходят промежутки времени между двумя молекулярными столкновениями. На расстояниях, сравнимых с размерами минимальных неоднородностей, и в течение промежутков времени, сравнимых е минимальными периодами пульсаций, все гидродинамические поля изменяются плавно и могут быть описаны дифференцируемыми функциями. Поэтому описание турбулентных течений с помощью дифференциальных уравнений гидромеханики является вполне оправданным.
Однако непосредственное использование этих уравнений невозможно хотя бы потому, что гидродинамические поля в турбулентном течении всегда нестационарны и очень сильно зависят от мельчайших деталей начальных условий, а эти детали никогда не бывают известны с достаточной полнотой. Кроме того, если бы даже начальные значения и были известны точно, то все равно решение соответствующей задачи с начальными условиями из-за ее неустойчивости относительно малых возмущений начальных данных было бы крайне громоздким и практически бесполезным. Однако отсюда еще не следует, что уравнения гидромеханики вообще не могут быть применены при изучении турбулентности. Благодаря тому, что индивидуальные реализации гидродинамических полей турбулентного течения удовлетворяют определенным дифференциальным уравнениям, статистические характеристики этих полей оказываются связанными целым рядом соотношений, весьма важных для теории турбулентности.
Простейшие связи такого рода и были установлены Рейнольдсом с помощью осреднения уравнений гидродинамики несжимаемой жидкости. Будем исходить из уравнений для импульса, т. е.
умноженных на р уравнений Навье—Стокса (1.6), в которых слагаемые Ua^duifdxa) удобно преобразовать с помощью уравнения неразрывности к виду d^UiUa)]дха. Применим ко всем членам этих уравнений операцию осреднения и используем перестановочность этой операции с дифференцированием по координатам и по времени (свойство (3.6)) и равенство
UiUj = (ц/ + Ui)\fij + U^ = llittj +UiUj',
вытекающее из (3.3) и (3.7х). При этом мы получим уравнения
-^- 4^- (р«х«а + P«i«Q = рАг — -^- + pv Ай, Z = 1, 2, 3,
(6.1)
обычно называемые уравнениями Рейнольдса. Эти уравнения содержат уже только плавно меняющиеся осредненные величины; поэтому при их использовании не возникает трудностей, связанных со сложностью и нерегулярностью гидродинамических полей турбулентных течений. Зато здесь возникает другая трудность, связанная с появлением в левых частях уравнений (6.1) новых неизвестных величин т^ = — ри^ (знак минус поставлен по причине, которая выяснится чуть ниже), характеризующих пульсационную компоненту поля скорости. Появление этих новых неизвестных, очевидно, является непосредственным следствием нелинейности уравнений гидродинамики. При осреднении же линейных уравнений никаких новых членов не возникает, так что, например, осредненное уравнение неразрывности имеет простой вид
^- = 0.(6.2)
дхаv ’
Для выяснения физического смысла дополнительных слагаемых — pu'tu'# в уравнениях (6.1) рассмотрим среднее значение плотности потока импульса
pUiUj + pbM — Оц = puiUj + рЬИ — (ог/ — pu'iu'iY
где Oij = pv(dui/dxj + ди^дх^—тензор вязких напряжений в несжимаемой жидкости. Это выражение показывает, что по отношению к осредненному движению роль вязкого тензора напряжений играет тензор тц = о,/ — ри'^ = az/ + т(^ (для того чтобы здесь получить сумму, и был добавлен знак минус в выражении для т!1/). Таким образом, в турбулентном течении, помимо обмена импульсом между молекулами (описываемого тензором вязких напряжений), имеет место также и передача импульса от одних объемов жидкости к другим, вызываемая перемешиванием, создаваемым пульсациями скорости. Иначе говоря, влияние турбулентного перемешивания на осредненное движение оказывается род-
ственным влиянию вязкости; чтобы подчеркнуть это, уравнения Рейнольдса иногда записываются также в виде
дй{ . — dui -п 1 др . д ( дй[
Таким образом, величины —ри^ в уравнениях (6.1) имеют смысл компонент тензора дополнительных напряжений, порождаемых турбулентными пульсациями скорости подобно тому, как микроскопические молекулярные движения приводят к появлению вязких напряжений. Эти дополнительные напряжения называются в теории турбулентности напряжениями Рейнольдса.
При рассмотрении тензора напряжений Рейнольдса особый интерес представляет компонента этого тензора, описывающая передачу импульса жидкости обтекаемому телу. Пусть Е — небольшая площадка на поверхности обтекаемого тела, которую приближенно можно считать плоской и совпадающей с частью плоскости л'з = 0. Предположим далее, что направление осредненного течения в окрестности этой площадки параллельно оси Охх. В таком случае сила трения, приложенная к площадке S, также будет направлена вдоль оси Ох\. Ясно, что величина силы трения, приходящейся на единицу площади поверхности тела, будет равна плотности потока ^-компоненты импульса по направлению Охз, взятой в точке этой поверхности, т. е. будет определяться формулой
То= (ni3 — Р^1^з)х3 = 0.
Величина то называется напряжением трения на стенке. Поскольку на обтекаемой поверхности скорости Hi и Ui и их производные по Xi равны нулю, a oi3 = р^^дй\)дхз + дйъ!дх\), то
^^Pv-^rl —о*(6,3>
Однако напряжение трения на площадке, параллельной 2, но расположенной над поверхностью обтекаемого тела, уже определяется формулой
т = О1з — рм1«з-(6.4)
В важном частном случае, когда осредненная скорость всюду направлена вдоль оси Oxi, очевидно,
T = PV-|^Р«^-(6.4')
В этом случае, следуя идеям Буссинеска (1877, 1897), часто формально полагают
—рщи3 = Р^"^-.(6.5)
где К-Уповая величина размерйостью L2?-1, называемая коэффициентом турбулентной вязкости; сумму v + К = Veft можно назвать суммарным (или эффективным) коэффициентом вязкости турбулентного течения. В отличие от обычного коэффициента (молекулярной) вязкости v коэффициент турбулентной вязкости К, очевидно, характеризует не физические свойства жидкости, а^ статистические свойства пульсационного движения. Поэтому он вполне может меняться в пространстве и во времени и даже принимать отрицательные значения.* Подчеркнем сразу же, что коэффициент К обычно значительно превосходит коэффициент молекулярной вязкости v; поэтому вдали от твердых границ напряжение трения (определяемое потоком xi-компоненты импульса вдоль оси 0%з) вполне можно рассчитывдть,по формуле*
т = t(1) ^ *-рЩНб.: ‘ -(6.6)
Уравнения Рейнольдса (6.1) представляют собой уравнения для импульса осредненного движения; входящие в них напряжения Рейнольдса описывают турбулентный перенос этого импульса. Аналогичные уравнения могут быть получены и для произвольной скалярной консервативной. усуб^тднции, переносимой жидкостью (например, для тепла' Ши йассивйои материальной примеси типа водяного пара, дыма или пыли в атмосфере). Применяя операцию осреднениям уравнению (1.72), описывающему перенос* субстанции ft в несжимаемой жидндрти, подучщи:
4г+-^7(^ + <5П = хАО,<6-7)
или, иначе,*
(ср. (6.1) и (6.1')). Если Ф — температура, то вектор cpp^Ui описывает адвективный перенос тепла осредненным движением, х-д^у (где х =^ сррх)— перенос тепла за счет молекулярной теплопроводности, а
qt ^Cppti'u'i(6.8)
есть плотность турбулентного потока тепла в направлении оси Ох,. Таким образом, турбулентные пульсации порождают поток тепла,
дополнительный к создаваемому молекулярной теплопроводностью. Аналогично соотношению (6.5) можно формально положить
Срр^" = _СррК»^_,(6.9)
где К^ играет роль нового коэффициента температуропроводности, называемого коэффициентом турбулентной температуропроводности (который, вообще говоря, может быть различным для разных координатных осей). Если же О в уравнениях (6.7) и (6.7'} представляет собой концентрацию пассивной материальной субстанции, то*
h = р^'щ(6.8')
имеет смысл плотности турбулентного потока примеси в направлении Oxi. В таком случае коэффициент К^ в равенстве
р^ = -рк» -^-(б.9'>
называется коэффициентом турбулентной диффузии (этот коэффициент был введен Шмидтом (1917, 1925)).
Общий вид профиля средней скорости теченияоколо стенки
* Перейдем теперь- к изучению общих свойств турбулентных течений около стенки, параллельной направлению средней скорости течения. Полученные при этом результаты будут приложимы и к течениям в круглой трубе или плоском канале, и к течениям в Пограничном слое на плоской пластинке (в частности, в приземном или приводном слое атмосферы над ровной подстилающей поверхностью при нейтральной термической стратификации).
Рассмотрим простейшее стационарное плоскопараллельное течение жидкости в направлении оси Ох в полупространстве z > О над твердой стенкой z = 0 в отсутствие градиента среднего давления. В случае ламинарного течения из первого уравнения гидродинамики немедленно следует, что профиль скорости должен быть линейным (см. выше). Для аналогичного турбулентного течения первое уравнение Рейнольдса имеет вид
(6J0>
Оно показывает, что поток х-компоненты импульса вдоль оси Oz (направленный от жидкости к стенке) здесь не зависит от расстояния от стенки
т (2) = pv -^pu'w' = т0 = const,(6.11)
где то — напряжение трения на стенке z = O. Однако выражение (6.11) не определяет однозначно профиль средней скорости и (г), так как, кроме функции u(z), сюда входит еще неизвестная величина u'w'. Заметим теперь, что осредненные характеристики рассматриваемого течения на расстоянии z от стенки могут зависеть лишь от напряжения трения то, координаты z и параметров жидкости v и р. При этом величины то и р могут входить в кинематические характеристики течения лишь в виде комбинации то/p, не зависящей от размерности массы. Вместо отношения то/p удобно использовать величину
« = VtJP,(6.12)
имеющую размерность скорости и являющуюся поэтому естественным масштабом скорости для течения около стенки; в, дальнейшем мы ее будем называть скоростью трения или же динамической скоростью* Поскольку из ц*, v и z можно составить единственную безразмерную комбинацию zujv. то в силу соображения размерности общий вид зависимости профиля средней скорости u(z) от z, то/p и v должен иметь вид. .
«(г)=и*/(^),(6.13)
так что
й^=^^^\ где й.^ = й!и^ z+=zu*/v.(6.13')
Здесь й+ и 2+ — безразмерные скорость и расстояние от стенки, a f(z+)—некоторая универсальная функция одного переменного. Важный результат (6.13), указанный Прандтлем (1925, 19326), называется универсальным законом пристенной турбулентности.
Формулы (6.13) и (6.13'), разумеется, справедливы лишь в случае, когда стенку можно считать гладкой. Поскольку естественным масштабом длин в рассматриваемом течении является длина г*=^!и*. то ясно, что стенку можно будет считать гладкой, лишь если средняя высота й0 имеющихся на ней бугорков удовлетворяет условию’
Ao<2* = v/m*(6.14)
(случай «динамически гладкой стенки», подробнее об этом см. п. 6.4). В случае же шероховатой стенки, высота неровностей которой не удовлетворяет условию (6.14), формулу (6.13) следует заменить более общей формулой
й(г) = ^(-^_, -^, »„ а2,(6.15)
где оь 02 — безразмерные параметры (характеризующие форму неровностей и их распределение по поверхности стенки), к которой мы также еще вернемся в п. 6.4.
Скажем теперь несколько слов о применимости соотношений (6.13) и (6.15) к реально встречающимся турбулентным течениям. Проще всего обстоит дело в случае турбулентного течения Куэтта — безнапорного турбулентного течения между двумя плоскими стенками, движущимися друг относительно друга. Здесь уравнения (6.10) и (6.11) являются точными; поэтому, например, при гладких стенках для применимости формулы (6.13) на расстоянии z от одной из стенок надо только, чтобы z было много меньше расстояния Н между стенками. Однако турбулентное течение Куэтта с трудом (и лишь неточно) моделируется в лаборатории; поэтому для проверки формул (6.13) и (6.15) желательно использовать иные течения.
Одним из таких течений может являться движение воздуха около поверхности Земли (или воды) при нейтральной термической стратификации. Правда, в земной атмосфере горизонтальный градиент давления обычно немного отличается от нуля, и, кроме того, на скорость ветра влияет еще и создаваемая вращением Земли сила Кориолиса (см. ниже п. 7.6). Однако в самом нижнем слое воздуха все эти факторы малосущественны и не вызывают заметного изменения с высотой напряжения трения т: простые оценки (которые мы отложим до с. 361) показывают, что в атмосфере вплоть до высоты порядка 50 м величина т обычно может считаться практически постоянной. Следовательно, в пределах этого слоя в случае нейтральной стратификации можно с достаточным основанием пользоваться упрощенным уравнением (6.11) и формулой (6.15).
Перейдем теперь к лабораторным течениям в трубах, каналах и пограничном слое на пластинке. Течение в широком плоском канале можно приближенно рассматривать как плоскопараллельное в среднем течение между бесконечными плоскостями z = О и z = Н = 2/Л, однородное в плоскостях z = const. В этом случае первое и третье уравнения Рейнольдса имеют вид
дт _ дР п dw'2 ._ дР /R 1 АХ дг дх ’ Р дг дг ’ ( • )
где, как обычно, т = ру dujdz— pu'w'. Из второго уравнения (6.16) следует, что p + pw'2=ро зависит только от х (величина ро, очевидно, совпадает со средним давлением на стенку). Но w'2 не может зависеть от х; поэтому в силу уравнений (6.16)
т = -^2- г + const.dx 1
Пусть т = то при 2 = 0; поскольку в силу соображений симметрии т = 0 при 2 = Нх, ясно, что
т = т0(1—z/Я,) при z<,Hv (6.17)
Таким образом, т(2) = то = const при z<^H\, поэтому здесь существует слой (примыкающий к стенке канала), в котором напряжение трения остается практически постоянным, и поэтому можно пользоваться формулами (6.13) и (6.15).
Вполне аналогично обстоит дело и в случае течения в круглой трубе с диаметром D = 2R. В этом случае, переходя к цилиндрическим координатам и далее рассуждая, как и при выводе формулы (6.17), нетрудно показать, что
т = т0 (1 — z/R} при z<.R, (6.17')
где 2 — расстояние от стенки трубы, т0 — напряжение трения на стенке, причем то =—(dpoldz)RI2, рц— среднее давление на стенку. Следовательно, т(г) =T0=const при z<.R, и в этой зоне профиль средней скорости снова задается той же формулой (6.13) или (6.15), что и в случае безнапорного плоскопараллельного течения вдоль плоской стенки. Наконец, в случае турбулентного пограничного слоя на плоской пластине в отсутствие продольного градиента давления (т. е. при ро = const) третье уравнение Рейнольдса с высокой степенью точности можно записать в виде
- ди । — ди д # . ■ д8й ,q , л.
+ +v-d2T- <6‘18)
Исходя отсюда можно оценить изменение напряжения трения т по вертикали и показать, что и в пограничном слое существует примыкающий к пластине заметный подслой, в пределах которого напряжение трения является практически постоянным, а течение можно считать плоскопараллельным и удовлетворяющим уравнению (6.13) или (6.15). Более того, тот же вывод часто можно сделать и в применении к пограничным слоям, для которых dp^dz^O (об этом см. ниже).
Заметим еще, что как данные экспериментов, так и боДее аккуратные расчеты, учитывающие зависимость т от z, показывают, что характеристики турбулентности обычно мало чувствительны к даже довольно значительным изменениям т; поэтому, например, к слою, где т меняется не больше чем на 15—20 %, почти всегда можно прилагать упрощённую теорию, предполагающую, что т = const.
6Л. Течение около гладкой стенки; вязкий подслойи логарифмический пограничный слой
Будем пока предполагать, что стенка г— 0 — динамически гладкая, так что имеет место формула (6.13). Тогда вид функции Цг.^ в формуле (6.13) может быть явно определен для предельных случаев больших и малых значений z+.
Заметим, что на стенке (при z=0) pu'w' =0 и то = Pv-^ (см. формулу (6.3)). Поэтому при малых значениях z вязкое напряжение трения значительно превосходит по величине напряжение Рейнольдса —pu'w'. Слой жидкости, в котором 4\du,ldz\"^>\u'w'v называется обычно вязким подслоем. В пределах этого подслоя, очевидно, можно считать, что
pv -^- = т0 = const;pv -^- = т0 = const;(6.19}(6.19}
pv -^- = т0 = const;
pv -^- = т0 = const;
(6.19}
(6.19}
следовательно, здесь
(6.20)
Формула (6.20), очевидно, представляет собой первый член разложения функции f(z+) в ряд Тэйлора по степеням z+. Следующие члены этого разложения можно получить, дифференцируя по z уравнение (6.11) в точке z = 0. При этом надо учесть, что и’ = v' = w' = 0 при z = 0; следовательно, при z = 0 равны нулю и все производные пульсаций скорости по х и у, и, кроме того (day7dz)z=o = O (в силу уравнения неразрывности). Отсюда легко следуют соотношения
W' 4"^W' 4"^dw' dzdw' dz—,а- -= ( — uw), dz2 Jz = QV \ 02—,а- -= ( — uw), dz2 Jz = QV \ 02_1_ V_1_ V(1~A 3 / du' d2w' \\ dz4 Jz—Q v \ dz3 uw )г==^ v \ dz dz2 )z=o*(1~A 3 / du' d2w' \\ dz4 Jz—Q v \ dz3 uw )г==^ v \ dz dz2 )z=o*
W' 4"^
W' 4"^
dw' dz
dw' dz
—,а- -= ( — uw)
, dz2 Jz = QV \ 02
—,а- -= ( — uw)
, dz2 Jz = QV \ 02
_1_ V
_1_ V
(1~A 3 / du' d2w' \
\ dz4 Jz—Q v \ dz3 uw )г==^ v \ dz dz2 )z=o*
(1~A 3 / du' d2w' \
\ dz4 Jz—Q v \ dz3 uw )г==^ v \ dz dz2 )z=o*
Таким образом разложение Тэйлора профиля средней скорости имеет вид
-UUAU К
d{z) = -^-z — ct^- z4 + c5-^-zs+ ...,
(6.20'}(6.20'}f (z+) = z+ — C4Z4. + C5Z+ + . . .
(6.20'}
(6.20'}
Здесь C4=—(v3/24u5) (dVw'/dz3)^ (знак минус здесь поставлен в связи с тем, что вблизи стенки u'w' < 0 и поэтому (d3u'w'fd^ z=o < 0) , а с5 = v4/l20u®(d4iFa>7dz4) z=0. Разложение (6.20') было указано (по-видимому, впервые)' в несколько другой, форме Мерфи (1932) (ср. также Таунсенд (1956)). Значения коэффициентов с4 и €5 в формулах (6.20') очень трудно определить с удовлетворительной точностью, по данным экспериментов из-за сложности измерений при малых значениях z+ (т. е. очень близко
от стенки). Имеющиеся немногочисленные данные таких измерений создают впечатление, что, по-видимому, с^ много меньше единицы (возможно, близко к OjOOl; см. Кадер и Яглом (1980)). Отметим также, что некоторые авторы (в частности, Левич (1959), Ландау и Лифшиц (1986)) склонны даже считать, что вообще с4 = 0 — имеющиеся экспериментальные данные не исключают и эту возможность. Тем не менее равенство нулю второй и третьей производных f(z+) в точке z+= 0 уже само по себе обеспечивает законность использования формулы (6.20) в сравнительно широком подслое. Впрочем для напорных течений в трубе и плоском канале, где x=#const, di/dz=const (см. формулы (6.17) и (6.17')), с2 Ф 0, но все равно с3 = 0.
Верхняя граница вязкого подслоя может быть условно определена, например, как такое значение z, при котором \u'w'\ = = 0,lv du/dz. Ясно также, что толщина этого подслоя при любом ее определении может зависеть только от и* и v. Отсюда следует, что 6У = a^v/u* = a^z*, где а„ —коэффициент порядка единицы (точное значение которого зависит от принятого определения бу, что вполне естественно, так как на самом деле вязкий подслой не имеет резкой верхней границы). Чаще всего на основании экспериментальных данных типа тех, что собраны на рис. 6.1, считается, что а, = 5, т. е. 6У = 5v/u*.
Перейдем теперь ко второму предельному случаю, когда z+> 1, т. е. z^>z* = v/w*. Вспомним, что в развитом турбулентном течении вдали от твердых стенок турбулентные напряжения во много раз превосходят по величине вязкие напряжения. Поэтому при достаточно большом z (скажем, фри z > 61) в уравнении (6.11) можно пренебречь членом pv fluids ц считать, что то =—pu'w'. Отсюда следует, что закон изменения1 средней скорости при z > 6; не должен зависеть от вязкости v, а должен как-то определяться лишь значениями плотйости р и потока импульса то, проходящего сквозь жидкость (и равного суммарной силе взаимодействия жидкости со стенкой, приходящейся на единицу 'площади стенки). Существенно подчеркнуть, что не случайно здесь говорится не о самой скорости, а именно о законе изменения средней скорости. Дело в том, что, рассматривая лишь движение жидкости внутри слоя, в котором можно пренебречь вязкими напряжениями, ничего нельзя сказать об абсолютных значениях скорости ы (z), а изучать можно лишь разности u(zi) — u(z2) значений скорости на двух высотах z\ и z2 в пределах этого слоя. Это вытекает из галилеевой инвариантности уравнений механики, согласно которой добавление ко всем скоростям u(z) при z ^ 61 постоянного слагаемого не может изменить передаваемого через жидкость потока импульса то. Следовательно, сами значения скорости «(z) при z > б/ не определяются лишь величинами то и z, а существенно зависят от й(6г), т. е. от закона изменейия скорости в слое z ^ 6ь на который уже влияет и вязкость v. Однако значение du/dz градиента средней скорости на высоте z при z > 61 не должно зави-
сеть от v, а может зависеть только от то, р и 2. Из этих параметров можно составить единственную комбинацию т^/р’^ — и*/^ размерности градиента скорости; поэтому
(6.21)(6.21)du (z) — л и*dz —
(6.21)
(6.21)
при z >6/, где А— универсальная безразмерная постоянная. Отсюда для профиля скорости при 2 > б/ получается логарифмическая формула
й (г) = Ли* In г + Л,, (6.22)
Рис. 6.1. Универсальный безразмерный профиль средней скорости турбулентного течения около гладкой стенки по данным измерений в трубах^ каналах и пограничном слое, полученный разными экспериментаторами (по Кестину и Ричардсону, 1963)./ — Щубауэр и Клебанов, 2 — Бребнер и Бегли, 3 — Никурадзе, 4 — Рейхардт и Моц- фельд, 5 — Рейхардт и Шу, 6 — Лауфер, 7 — Дейслер, 8 — Ван Дрист, 9 — Шульц- Грунов, 10 — Клебанов, // — Фейдж.Рис. 6.1. Универсальный безразмерный профиль средней скорости турбулентного течения около гладкой стенки по данным измерений в трубах^ каналах и пограничном слое, полученный разными экспериментаторами (по Кестину и Ричардсону, 1963)./ — Щубауэр и Клебанов, 2 — Бребнер и Бегли, 3 — Никурадзе, 4 — Рейхардт и Моц- фельд, 5 — Рейхардт и Шу, 6 — Лауфер, 7 — Дейслер, 8 — Ван Дрист, 9 — Шульц- Грунов, 10 — Клебанов, // — Фейдж.
Рис. 6.1. Универсальный безразмерный профиль средней скорости турбулентного течения около гладкой стенки по данным измерений в трубах^ каналах и пограничном слое, полученный разными экспериментаторами (по Кестину и Ричардсону, 1963).
/ — Щубауэр и Клебанов, 2 — Бребнер и Бегли, 3 — Никурадзе, 4 — Рейхардт и Моц- фельд, 5 — Рейхардт и Шу, 6 — Лауфер, 7 — Дейслер, 8 — Ван Дрист, 9 — Шульц- Грунов, 10 — Клебанов, // — Фейдж.
Рис. 6.1. Универсальный безразмерный профиль средней скорости турбулентного течения около гладкой стенки по данным измерений в трубах^ каналах и пограничном слое, полученный разными экспериментаторами (по Кестину и Ричардсону, 1963).
/ — Щубауэр и Клебанов, 2 — Бребнер и Бегли, 3 — Никурадзе, 4 — Рейхардт и Моц- фельд, 5 — Рейхардт и Шу, 6 — Лауфер, 7 — Дейслер, 8 — Ван Дрист, 9 — Шульц- Грунов, 10 — Клебанов, // — Фейдж.
где коэффициент Л1 в силу сказанного выше может уже зависеть и от коэффициента вязкости v. Слой жидкости, в котором выполняется соотношение (6.22), называется логарифмическим пограничным слоем; его наличие существенно для многих задач, в которых встречаются турбулентные течения, обтекающие твердые стенки. Универсальная формула (6.22) впервые была выведена Карманом (1930) и Прандтлем (19326) с помощью совсем других (и притом различных) соображений. Впоследствии для нее был найден и ряд других доказательств; некоторые из них будут воспроизведены ниже. Простой вывод этой формулы из соображений размерности, приведенный выше, был указан в 1944 г. в первом издании книги Ландау и Лифшица (1953, 1986).
Вместо соображений размерности при выводе формулы (6.22) можно использовать инвариантность уравнений гидродинамики идеальной жидкости относительно преобразований подобия х-^кх, y^ky, z-^kz и t-^kt. Поскольку эти преобразования переводят полупространство г > 0 в себя, естественно допустить, что относительно них будут инвариантны все не зависящие от v статистические характеристики турбулентности в области z > 0. Напомним, что, пренебрегая вязкостью (т. е. отвлекаясь от граничного условия и = 0 при 2 = 0), можно рассматривать лишь относительные скорости m(zi)—й(22). Поскольку динамическая скорость и* при рассматриваемых преобразованиях подобия не меняется, то принятое допущение требует, чтобы размерное отношение [й(г2) — — m(zi)]/u* при 21 > 6 г и z2 > 6г зависело бы от отношения 22/21:
a (z2)-« (zQ = g /zq (g 23)
Из формулы (6.23) очевидно вытекает, что g(23/zi) = g(z3/z2) + + g(22/zi); учитывая, что z3/zi = (23/z2) (22/zi), последнее соотношение можно записать в виде
gto)=gmg^ (6.24)
Нетрудно показать, что единственным непрерывным решением функционального уравнения (6.24) является логарифмическая функция £(5) = Л1п£. Тем самым мы приходим к соотношению
й (z2) — й (zj = Au* In -^-, (6.22')
эквивалентному (6.22).
Из соображений размерности ясно, что высота 6/ нижней границы логарифмического пограничного слоя должна определяться формулой вида 6z = Qzv/u*, где az — еще одна универсальная безразмерная постоянная (определяемая примерно с той же степенью точности, что и ао). Эмпирические данные рис. 6.1 показывают, что допустимо считать az = 30. Из сравнения выражения (6.22) с (6.13) вытекает, что At = Ли* In — +Ви*, где В — безразмерная универсальная постоянная; при этом (6.22) принимает вид
u(z)==u(A\n-^-A- B^ приг>а(-^-.(6.25)
Отсюда видно, что
/(2 + ) = Д1П2++В При 2 + > О/.(6.25')
Заметим еще, что вместо коэффициента А часто используется так называемая постоянная Кармана х = 1/Л. Заменяя А на 1/х и обозначая е-нВ через р, формулу (6.25) можно также переписать в виде
н(г) = -^1п-^£-.(6.25")
Численные значения постоянных А (или х = 1/Л) и В (или Р=е-хВ), входящих в формулы (6.25) — (6.25"), могут быть определены по данным экспериментов, производимых как в гладких трубах, так и в прямоугольных каналах с гладкими стенками или в пограничных слоях на гладких пластинках. Первые пригодные для этой цели измерения профилей u(z) и напряжения трения то в потоках воды в прямых гладких трубах были произведены Ни- курадзе (1932), показавшим, что действительно при z^30v/u* и вплоть почти до оси трубы распределение средней скорости хорошо описывается формулой вида (6.25). Для коэффициентов А и В Никурадзе дал даже два набора значений, отвечающих двум разным диапазонам значений z, к которым прилагалась формула (6.25). Позже подобные измерения много раз выполнялись для разных типов течений, причем формула (6.25) во всех случаях подтверждалась достаточно надежно, хотя значения коэффициентов А и особенно В характеризовались небольшим разбросом (см., например, обзорные статьи Хинце (1962), Пирса и Голда (1977), Яглома (1979), Кадера и Яглома (1980)). Значительное число данных, относящихся к трем указанным выше типам течений, собрано на сводном рис. 6.1 (заимствованном из обзора Кестина и Ричардсона (1963)). Мы видим, что при z < 5v/u# все наблюденные значения и+ = й/и* неплохо укладываются на кривую и+ = =zw*/v формулы (6.20), а при 500v/tz* > z > 30v/u*— на кривую и+ = 2,5 In (zu*/v)+ 5,1 вида (6.25) с коэффициентами А = = 2,5 и В = 5,1 (т. е. х ^= 0,4 и р = 0,13), неплохо согласующимися со значениями этих коэффициентов, отвечающим данным большинства других исследователей.*
В промежуточной области 5v/tz. < z < 30v/u«, т. е. 5 < z+< <30 (иногда называемой буферным подслоем или буферной'зоной) экспериментальные значения функции u+/z+ — f(z+) изображаются гладкой кривой, плавно переходящей в кривую вида (6.20) в точке Zj_ = 5 и в кривую вида (6.25') в точке z+ = 30 (штриховая кривая на рис. 6.1). Впрочем отклонение этой глад
кой кривой от ломаной, изображенной на рис. 6.1 сплошной линией, не очень велико; поэтому, когда не требуется большая точность, допустимо даже принять эту сплошную кривую за график функции f(z+), т. е. считать, что вплоть до значения z+=ll,l (равного абсциссе точки пересечения кривых ^+ = z+ и и+ = = 2,51nz+ +5,1) функция Цг.^ изображается первой из этих кривых, а при z+> 11,1 — второй из них. Такое предположение фактически использовалось в ранних работах Дж. И. Тэйлора (1916) и Прандтля (1927, 1928); однако для многих задач оно все же оказывается слишком грубым, в связи с чем в имеющейся литературе по механике турбулентности можно найти несколько десятков интерполяционных формул, задающих (явно или неявно) вид функции f(z+) в пределах буферного подслоя (а иногда также приводящих и к небольшим поправкам к формулам (6.20) и (6.25')). Большая часть этих формул имеет чисто эмпирический характер, но некоторые из них опираются на какие-то специальные гипотезы; однако ни одна из них не может быть строго доказана, и поэтому мы на них уже не будем задерживаться.
С точки зрения представления о турбулентной вязкости К (см. формулу (6.5)) вязкий подслой, очевидно, можно определить как подслой, где допустимо считать, что К = 0 (т. е. veff=v), в то время как в логарифмическом слое можно принебречь молекулярной вязкостью v и считать, что veff = К, где
К = и^-^- = хи*2, Х«О,4. (6.26)
Штриховой же кривой на рис. 6.1 отвечает буферный подслой, в пределах которого veff = v + К плавно изменяется от близкого к v значения при z = 50fu* до близкого к 30xz « 12v значения при z =30v/u*. Заметим в этой связи, что интерполяционные формулы для профиля средней скорости около стенки, о которых говорилось чуть выше, очень часто предлагались их авторами не как формулы ДЛЯ функции f(z+), а как формулы ДЛЯ Veff(z+) = = v(r(z+)r
Выше речь шла лишь о профиле средней скорости u^z); однако соображения, приводящие к универсальному пристенному закону (6.13) и к понятию логарифмического пограничного слоя, с равным правом могут быть приложены к исследованию любых других одноточечных характеристик поля скорости вблизи плоской стенки. В пределах слоя постоянства напряжения трения любая такая
характеристика J може! зависеть лишь от парамётров z, т, р и v, из которых можно составить единственную безразмерную_комбина- цию z+ = zi^/p^v = 2u*/v. Поэтому характеристика S должна представляться в виде произведения комбинаций величин z, т, р и v (или, что то же самое, z, и*, р и v), имеющей ту же размерность, что и S, на некоторую универсальную функцию от z+. На- чйем с простейшего примера вторых момёйтов пульсаций и', и' и w'. Ясно, что и'v' = v'w' = 0 в силу инвариантности режима турбулентности относительно замены у на — у (симметрии относительно плоскости Oxz); поэтому от нуля отличны только четыре вторых момента и'"=о^ о'2 = 0у, ш'2 = о™ и urw\ Эти моменты могут быть представлены в родственном (6.13) виде
Оц = и^х^Л % = MAzvY
(6.27)
Gw = uj3 (z+), —u'w' = uj4 (2+),
где fi, ..., f4— четыре новые универсальные функции. Вместо функции f4 можно также использовать функцию fs = ЫЫз = =—u'w'lou^w. описывающую изменение с безразмерной высотой z+ коэффициента корреляции между и' и w'.
В пределах логарифмического подслоя все одноточечные моменты пульсаций скорости не должны зависеть от вязкости v, причем здесь —u'w'= al. Поэтому в этом подслое f4(z+)=l, a fi, f2, fs и f4 принимают постоянные значенияft(00) = Ль f2(oo) = = Л2, f3(oo) = Л3 и f5(oo) = Л5 =(Л1Лз)-1. При приближении к стенке функции fi, ..., f4 стремятся к нулю, причем поскольку и' = -и' =w' =дхюЧдг = 0 при z = 0, то их разложения в ряды Тэйлора по степеням z+ имеют вид
f 1 (z..) = aiz+ + bxz\ + ..., f2(z+) = a2Z+ + Ь^г\ + . ..,
(6.28)
fs (2+) = <2324- + йз2^ + . .., f4 (z+) = а4гц- + 6424- + • • •
Коэффициенты а4 и Ь4 здесь просто связаны с коэффициентами с4 и с5 равенства (6.20'), так как вблизи стенки f4(z+) = l — — fi(z+) В СИЛУ (6.11).
Данные многочисленных измерений вторых моментов пульсаций компонент скорости в различных пристенных турбулентных течениях позволяют определить значения функций fi, ..., fs с приличной точностью; см., например, рис. 6.2 и 6.3, построенные на основе данных давних измерений Лауфера (1954) и Клебанова (1955), неплохо согласующихся и с данными большинства последующих измерений (ряд из них указан в обзоре Кадера и Яглома (1980)). В частности, из рис. 6.2 и 6.3 видно, что, по-видимому,
Ах « 2,3; Л2 ~ 1,7; Л3 « 1,0.(6.29)
Рис. 6.3. Универсальные функции MzV) и fs(2+) по данным измерений Лауфера.Рис. 6.3. Универсальные функции MzV) и fs(2+) по данным измерений Лауфера.Близкие значения этих постоянных Ль Л2, Л3 получались и у других исследователей, включая также тех, кто производил измерения в приземном слое атмосферы при близкой к нейтральной термической стратификации (см. главу 8, а также Кадер и Яглом (1980)). Имеющиеся экспериментальные данные позволяют также оценить (правда, лишь с невысокой точностью и не очень надежно) значения коэффициентов аь а2, а3 и а4; по-видимому,
Рис. 6.3. Универсальные функции MzV) и fs(2+) по данным измерений Лауфера.
Рис. 6.3. Универсальные функции MzV) и fs(2+) по данным измерений Лауфера.
Рис. 6.2. Универсальные безразмерные профили интенсивности флюктуаций трех компонент скорости в течении около гладкой стенки по данным Клебанова (/) и Лауфера (2).
ai « 0,25; а2 « 0,08; а3 « 0,065; а4 ~ 0,001 (см., например, Коан- тик (1966), Креплин и Эккельман (1979), Кадер и Яглом (1980)).
Ясно, что аналогичная (6.13) формула вида
u'Vw'm = u^l + mUim (г+)(6.27')
может быть выписана и для общего одноточечного момента пульсаций скорости, причем универсальная функция fwm(z+) также должна стремиться к постоянной fwm(<») = Xwm при z+->co. Однако пока имеется сравнительно немного экспериментальных данных о моментах пульсаций скорости выше второго порядка, и точность этих данных довольно низка (но кое-какие данные о моментах третьего и четвертого порядков, относящиеся, в частности, к профилям безразмерных комбинаций ы'3/(и'2),/2 и гТ^Ди")2, все же можно найти в имеющейся литературе; см., например, Кадер и Яглом (1980)). Заметный интерес представляет и зависимость от z (или от z+) средней скорости диссипации энергии турбулентности ё (где е определяется формулой (1.69)). В этом случае анализ размерностей приводит к формуле
8(z) = (Uyz)fE(z+),(6.30)
где fe(2+) —еще одна универсальная функция. Формула (1.69) показывает, что величина е включает v в качестве множителя;
однако легко видеть, что и на средние квадраты производных компонент скорости даже вдали от стенки также существенно влияет вязкость v, а вот величина ё входит в уравнение для турбулентной энергии (7.15) (см. ниже с. 338), опираясь на которое легко показать, что вдали от стенки, где К > v, эта величина должна зависеть от молекулярной вязкости. Поэтому /8(г+) = fe(oo) = const в пределах логарифмического подслоя, причем из уравнения (7.15) нетрудно вывести, что fe(°°) = Л^2,5— это та же постоянная, которая входит в уравнение (6.21). Итак, в логарифмическом слое
с = AuJz = uJkz,(6.30')
где А « 2,5; х « 0,4.
Аналогичные (6.13) формулы могут быть выписаны и для двухточечных характеристик поля скорости. Так, например, если |r|C L и г L, где L — типичный вертикальный масштаб длины течения (например, радиус трубы, полуширина канала или толщина пограничного слоя), то
So(r) = «^i+ r)«^i) = “^>/(-^(6.31)
где и'\ = и', М2 = «', и'з = w', Ui (%1 + r)= u'i (Х1 + Г, х2, Хз), uj(xi)= и/ (xi, х2, хз), a gu(rlz, z+)— универсальные функции двух переменных. Подобным же образом может быть представлено и преобразование Фурье корреляционной функции Вц^г)— продольный спектр Ец^к) (если i = j) или коспектр Ei,(k) (если i ф j) пульсаций скорости (см. формулы (6.18), (6.29))
и2
Ем (k) = -£- hM (kz, -2^ при z « L, к « 1/L.(6.32)
При z > z* = v/u* (т. е. при z+ > 1 — в пределах логарифмического подслоя) универсальные функции кц^кг, zu*h) = hii(k+, z+) не должны зависеть от v, если только волновое число к не слишком велико, т. е. длина волны рассматриваемых возмущений X = Ъ^к не слишком мала (на очень мелкомасштабные возмущения вязкость обязательно оказывает влияние — подробнее об этом см. VIII раздел в томе 2 настоящей книги). Материал VIII раздела позволяет также оценить значения к, начиная с которых можно уже пренебречь влиянием вязкости на спектры Ец(к) и Ец(к), i¥=j— для этого должно выполняться неравенство fcq 3> 1, где r)=(v3/e)V« — так называемый колмогоровский микромасштаб длины («внутренний масштаб турбулентности»), который в силу (6.30') в пределах логарифмического слоя равен Л^г^/м* = = А""'1*^»*. Таким образом,
и2
Еи^к) = ^-Н,Дк2) при l/L</z< l/z^z,,(6-32')
где hi] (&+) = hijV?+, oo)—универсальные функции одного переменного.■
Оказывается, что в ряде случаев форма функций кц(к+) может быть определена с точностью до постоянного множителя. В самом деле, если число Рейнольдса течения достаточно велико, то в силу предложенной А. Н. Колмогоровым и А. М. Обуховым общей теории локальной структуры развитой турбулентности (о ней см. VIII раздел, том 2)
Ец (k) = С^'к-1'* при 1/z < к с l/z+*z#,(6.33)
где z— расстояние от стенки (играющее здесь роль «внешнего масштаба турбулентности»), a Ci, i— 1, 2, 3,— универсальные постоянные, причем С2 = С3 = 4С1/3. Следовательно, при больших значениях Re в логарифмическом слое
Л„(^+) = О1■(к+у,!1, Еи^к) = Dti£z-1!’k"-bh при 1/z к < \/z'+ z,,
(6.33')
где D\=A*1>C\ и £>2 = £>з = 4£>i/3— универсальные постоянные (в отношении функций Ец^ с i ¥= / теория Колмогорова—Обухова указывает лишь, что при к >■ 1/z они должны убывать с ростом к заметно быстрее, чем функции Ea^kW С другой стороны, при 1/£ <С к < 1/z длина волны X = 2л/к возмущений с волновым числом к много меньше, чем £, но намного превосходит расстояние от стенки. Поэтому сдвиг вдоль оси z на расстояние Az <; £ здесь не должен привести к заметному изменению статистического режима рассматриваемых возмущений, даже если Az/z и не мало. Исходя отсюда следует ожидать, что при 1/£ <С к С 1/z переменная z должна выпасть из правой части (6.32'). Следовательно, hiS<k^ = Glb EiXk'> = Qitujrx ^ \\L<Ck<\\z, (6.33")
где Ga — некоторые универсальные постоянные. «Закон степени — 1» (6.33") для функции Ец(к) =Euu(k), по-видимому, впервые получил Чен (1958) исходя из некоторых нестрогих модельных уравнений; позже он был также обнаружен в ряде экспериментальных работ, причем Перри и Абель (1975) и Коротков (1976), рассматривавшие спектры продольной пульсации скорости при турбулентном течении в трубах, связали его с независимостью функции EuuW от 2 (см- также Кадер (1984, 1987), Кадер и Яглом (1980, 1984, 1987)).
Отметим, что продольные (в направлении оси Ох\ = Ох) пространственные корреляционные функции Вц^ и отвечающие им спектры Ец^ турбулентных пульсаций могут быть определены с приличной точностью по гораздо легче измеряемым временным корреляционным функциям B*.f (х)=и'{ (t + x)u'f О), отвечающим им временным спектрам Ец (to) пульсаций скорости и(^ = = и\ (х, 0 в фиксированной точке наблюдения x=(xi, х2, х3). Для этого надо только воспользоваться так называемой «гипотезой
Дж. И. Тэйлора о замороженной турбулентности», т. е. допущением о том, что для не слишком больших промежутков времени т и расстояний х = йт турбулентные возмущения переносятся без искажения вдоль оси Ох со средней скоростью течения й = й(г). Из гипотезы Тэйлора вытекает, что
(6.34)(6.34)Ви (г) = Вц (г (и), Ец (&) = йЕ* (ku).
(6.34)
(6.34)
Поскольку измерения временных спектров турбулентных пульсаций в настоящее время не представляют трудности, то формулы (6.33') и (6.33") легко экспериментально проверить. Такая проверка показывает, что эти формулы выполняются с хорошей точностью для широких диапазонов волновых чисел к в очень многих как лабораторных, так и природных турбулентных течениях над разнообразными
Рис. 6.4. Спектр продольных пульсаций скорости в логарифмическом подслое развитых турбулентных пограничных слоев у шероховатой стенки по данным трех работ.
типами стенок (см., например, Кадер (1984, 1987)). При этом «переходная зона» между областями применимости законов (6.33') и (6.33") оказывается весьма узкой, так что с приличной точностью функции hi^k*) можно аппроксимировать ломаными, состоящими из отрезков асимптотических выражений (6.33х) и (6.33") (см., например, рис. 6.4, относящийся к наиболее часто измерявшемуся спектру Eu(k) = EUU(k)). Собранные в работах Кадера экспериментальные данные приводят к следующим эмпирическим оценкам коэффициентов D< и Gif.
Dx«O^ D^D^YA
ОИ«0,8; G22«0,5; G33^0,3; G13^-l,2.
Законы (6.33') и (6.33") для продольных спектров ЕиЦ^ трех компонент пульсационной скорости вместе с определенными по данным измерений значениями коэффициентов Di и Ga и с учетом
того обстоятельства, что области применимости этих двух законов оказываются фактически примыкающими друг к другу (причем границу, разделяющую эти две области, можно отождествить с точкой пересечения графиков функций (6.33') и (6.33")), позволяют просто найти также в широкой области значений г значения продольных корреляционных функций В/,(г), являющихся преобразованиями Фурье спектров Eu(k). Такой расчет значений функций В,, (г) был выполнен Кадером, Ягломом и Зубковским (1989), результаты которых оказались хорошо согласующимися с данными непосредственных измерений продольных корреляционных функций турбулентных пульсаций скорости ветра вблизи поверхности почвы.
Законы подобия, родственные универсальному закону пристенной турбулентности (6.13), могут быть выписаны также для многоточечных статистических характеристик поля скорости и для общих многомерных плотностей вероятности компонент скорости и', v', w' в произвольных п точках (xi, yi, Zi), . . ., (хп, Уп, Zn) слоя постоянства напряжения трения. При условии, что все расстояния между парами рассматриваемых точек много меньше, чем L, такие плотности могут зависеть только от и*, v, вертикальных координат г, и разностей горизонтальных координат х, — х, и yt— у, рассматриваемых точек. Если же, кроме того, все Zi, t=l, ..., п, намного превосходят Zt = vlu„ (т. е. все точки (х,-, у,-, z,) принадлежат логарифмическому слою) и расстояния между любыми двумя из этих точек намного превосходят г) « z'+z*. то плотность вероятности безразмерных пульсационных скоростей и' (и*, v'(и» и w'/и. не должна зависеть от v, т. е. должна быть функцией безразмерных параметров
Ха — Х|хп — хх У1 — У\Уп — У\ZaZn
Будем считать, что Ло ^ v/u*, и рассмотрим опять отдельно случаи малых и больших значений 2. При малых 2, сравнимых с высотой Hq, след?^ ожидать, что средняя скорость и(2) будет существенно зависеть от формы и взаимного расположения неровностей стенки и будет различной над вершинами бугорков и над впадинами между ними, так что здесь действительно нельзя надеяться на нахождение каких-то простых общих закономерностей. Во многих случаях, однако, основной интерес представляет распределение средней скорости не слишком близко к стенке — на расстояниях 2, больших и по сравнению с динамической длиной 2*=v/w*, и по сравнению со средней высотой h0 неровностей стенки. Естественно думать, что на таких расстояниях от стенки ни вязкость, ни локальные свойства поверхности стенки уже не будут сказываться: существенным здесь будет лишь наличие постоянного потока импульса вдоль отрицательного направления оси Oz со «стоком» на плоскости 2 = 0. Поэтому оба вывода формулы (6.22), приведенные на с. 235—237 в применении к течению в полупространстве, ограниченном гладкой стенкой, при 2>/ю^/ц* полностью сохраняют силу и в случае шероховатой стенки. Следовательно,
й(г) = Au* In 2 + Л! при 2>Л0. (6.22а)
Отметим, что на практике формула (6.22) обычно оказывается применимой уже на высотах 2, не намного больших, чем Ао, так что, не претендуя на большую точность, условие 2 > Ао можно даже заменить на 2 > Ао; при этом в формуле и* = (то/р),/з под то надо понимать осредненное по поверхности стенки напряжение трения на стенке. '
Поскольку постоянная Л = 1/х в формуле (6.22) задает значение градиента средней скорости, отвечающего заданному потоку импульса то = ри2*, то она в случае шероховатой стенки должна иметь то же значение (^ 2,5), что и в случае гладкой стенки. Что же касается коэффициента Ль то он определяется граничным условием на нижней границе области применимости формулы (6.22а); следовательно, он зависит от закона изменения средней скорости в непосредственной окрестности стенки, существенно различающегося для гладких и шероховатых стенок.* Заметим, что начало отсчета расстояний 2 при z^ h0 ЯО многих случаях может быть произвольно выбрано между основаниями и вершинами бугорков стенки без заметного изменения результатов. На практике это начало отсчета часто выбирается просто из условия наилучшего совпадения наблюденного профиля й(2) с логарифмической формулой (6.22а) (см. по этому поводу также вывод формулы (6.45) на с. 253).
Формула (6.22а) для профиля скорости над шероховатой стенкой может быть несколькими различными способами переписана в безразмерной форме. Можно, например, воспользоваться записью (6.25), применявшейся в случае гладкой стенки, т. е. положить 246
(6.25а)(6.25а)й (z) = и* (л In -^- + в) при г » Ло
(6.25а)
(6.25а)
Однако при этом коэффициент В теперь уже не будет универсальной постоянной, а будет зависеть от безразмерных параметров,, определяющих размер, форму и расположение неровностей стенки: В = B(Aou*/v, 01, а2, ...). Кроме того, запись формулы (6.22а) в виде (6.25а) хоть и удобна для сопоставления профилей средней скорости около гладких и шероховатых стенок, но при ho ^ v/u* мало естественна. В самом деле, правая часть уравнения (6.25а) содержит v, в то время как можно ожидать, что при ho "> vju* профиль средней скорости (а значит, и значение Л1 в формуле (6.22а)) вообще не будет зависеть от вязкости, а будет определяться лишь размерами, формой и взаимным расположением неровностей стенки (полностью определяющими характер течения в самом нижнем слое). Поэтому при ho^v/u» целесообразнее переписать формулу (6.22а) в виде
«(г^ЦлЬч-^ + В').(6.36)
При этом уже можно ожидать, что при достаточно большом к^ч значение В' = В + A In (koujv) не будет меняться при изменении параметра k^aj^ содержащего вязкость v (т. е. будет функцией лишь от параметров oi, 02, ..., описывающих форму и взаимное расположение неровностей). Можно также переписать уравнение (6.25а) в виде
й(2) = и*(Л1п^ + В0),(6.256)
где Во « 5 — значение коэффициента В в уравнении (6.25), относящемся к течению над гладкой стенкой, а «эффективная вязкость» ve = че<Во~в^А зависит уже и от v, и от характеристик шероховатости.
Наконец, можно еще попытаться выразить постоянную Л1 в формуле (6.22а) через характеристики трения жидкости о стенку, как-то зависящего от геометрических свойств стенки. В качестве безразмерной характеристики трения обычно принимается коэффициент сопротивления
(6'37>
где U — характерная скорость течения. Однако в случае идеализированного течения в безграничном полупространстве характерная скорость отсутствует, так что здесь речь может идти лишь о зависящем от высоты безразмерном коэффициенте с^2^ = = 2 [и*/и(г)р. Подставив в (6.22х) значение u(z) = "yj^p^"* получаем
1= д in 22
л/^ (z2)/2 л/cf (zJ/2zi *
так что в пределах логарифмического пограничного слоя
Таким образом, величина
z0 = z exp (^L™.™ Л = z exp (/2х ,. ^,(6.38)
\ Лл/с.^У Р1 л/сГ(г) у Х 7 имеющая размерность длины, уже не зависит от z. Эта величина является объективной характеристикой динамического взаимодействия течения со стенкой (существенно зависящего от неровностей стенки); ее называют параметром шероховатости, динамической шероховатостью или даже просто шероховатостью. Подставляя теперь формулу
л/cf (z)/2 = [Л]1п (z/zo)]"1
в равенство u(z^ =—7==^, найдем, что
■Vc/(z)/2
й(г) = Лм*1п —= -^1п—;(6.39)
Х 7* ц2о X Z0 •Х 7
следовательно, Zo =(v/u*)e-xB = (ve/u*)e>-xB» = hoe-*B'. Согласно формуле (6.39), параметр шероховатости можно также определить как ту высоту, на которой средняя скорость течения обратилась бы в нуль, если бы логарифмическая формула для й(г) была применима вплоть до этой высоты.
Для выяснения зависимости величин В, В', ме и zo от высоты бугорков стенки надо иметь данные опытов, в которых изменялся бы только размер, но не форма и не взаимное расположение этих бугорков. Очень тщательные опыты такого рода были произведены Никурадзе (1933) в круглых трубах, стенки которых были обклеены примыкающими друг к другу песчинками заданного размера (меняющегося от опыта к опыту). Полученная в этих опытах зависимость коэффициента В' в формуле (6.36) от fou*/v показана на рис. 6.5 (светлые и темные кружки здесь соответствуют двум использовавшимся Никурадзе способам определения значений В' по данным измерений). Мы видим, что для однородной песочной шероховатости при lg(/iou*/v) ^ 0,6 (где 1g — десятичный логарифм), т. е. при hou^M ^ 4, имеет место формула вида
В' = Д1п-^ + В, где А = 2,5, В = const (« 5,5).
Таким образом, при йо ^ 4v/u* профиль скорости вовсе не зависит от йо, т. е. стенка может рассматриваться как динамически гладкая (заметим, что при таких йо бугорки стенки будут полностью погружены в вязкий подслой; этим, очевидно, и объясняется то, что здесь они никак не влияют на течение в области ло-
гарифмического пограничного слоя). При 0,6 ^ lg(/iou#/v) ^ 1,7» т. е. при 4 ^ hou*N ^ 60, имеет место промежуточный режим, при котором вершины бугорков выступают из вязкого подслоя и создают дополнительные возмущения, приводящие к тому, что оба коэффициента В и В' как-то зависят от hou*lv\ стенку в этом случае следует считать динамически слегка шероховатой. Наконец, при lg(/tou*/v)> 1,7, т. е. при hou*h > 60, вязкий подслой практиче-
Рис. 6.5. Зависимость коэффициента В' от houjv по данным Никурадзе (1933).
/— при определении В' по сопротивлению, 2 — по распределению скоростей.
ски перестает существовать и течение в непосредственной близости от стенки целиком состоит из совокупности вихрей, возникающих при обтекании отдельных бугорков; здесь распределение средней скорости й(г) оказывается не зависящим от коэффициента вязкости v, а коэффициент В'— постоянным (а именно, В' «8,5 согласно данным рис. 6.5). В этом последнем случае стенку можно назвать динамически вполне шероховатой. Разумеется, будет ли стенка динамически гладкой, слегка шероховатой или вполне шероховатой, зависит не только от характера ее поверхности, но и от величин и* и v (т. е. в конечном счете от числа Рейнольдса течения). Значения параметров В, В', ve и zo по данным Никурадзе (относящимся лишь к однородной песочной шероховатости) оказываются равными:
для динамически гладкой стенки
В «5,5; В'« 2,5 In-^ + 5,5; ve = v; 2о = -*- —;
для динамически вполне шероховатой стенки
В«-2,51п-^ + 8,5; В' «8,5; че«0Жи;. 2,,=-^-.
Сопоставляя данные выполненных Никурадзе (а также и некоторыми другими исследователями — см. Кадер и Яглом (1984)) измерений профилей скорости в течениях вдоль стенок, покрытых однородной песочной шероховатостью, с данными аналогичных измерений в течениях вдоль других типов шероховатых поверхностей можно каждой такой поверхности сопоставить отвечающую ей высоту hs эквивалентной песочной шероховатости (которой при одинаковых значениях и* отвечает тот же логарифмический профиль средней скорости). Некоторые данные о значениях hs для ряда как искусственно созданных, так и реально встречающихся в технических устройствах шероховатых поверхностей, а также ссылки на дальнейшую литературу на эту тему можно найти в книгах Шлих- тинга (1969) и А. Рейнольдса (1979), обзорной статье Кадера и Яглома (1984) и работе Колемана, Ходжа и Тэйлора (1984). Легко понять, что для любой динамически вполне шероховатой стенки по значению hs и указанным выше данным о значениях В, В', ve и го в течениях над песочной шероховатостью можно определить и значения всех этих параметров в течении над рассматриваемой стенкой (в частности, здесь В' = 8,5 + 2,5 ln(/i0As), а г0 = = й5/30). Сложнее обстоит дело с определением интервала значений hQuJv = ho+, при которых стенку следует считать динамически слегка шероховатой; ясно, что границы этого интервала зависят от формы и расположения выступов стенки, так что их определение требует проведения специальных экспериментов (см. Кадер и Яглом (1984), с. 11 — 12).
Другой способ описания логарифмических профилей около стенок с различной шероховатостью состоит в указании уменьшения средней скорости Ай над шероховатой стенкой по сравнению с течением над гладкой стенкой при том же значении то. Поскольку наличие неровностей приводит к сглаживанию профиля скорости вблизи от стенки, т. е. замедляет возрастание средней скорости •с ростом г, то в случае шероховатой стенки скорость й(г) в пределах логарифмического пограничного слоя оказывается меньшей, чем в случае гладкой стенки. Используя формулы (6.25) и (6.36), получаем:
' _^_ = Л1п-^- + В — В', (6.40)
где А = const ^ 2,5, В = const « 5. Отсюда видно, что Ай/м* не зависит от г и что для динамически вполне шероховатой стенки эта величина линейно зависит от ln(/i0^*/v). При переходе же к слегка шероховатым стенкам зависимость Ай! и* от In (&ozz*/v) меняет свой вид, и при значениях й0, при которых стенка становится динамически гладкой, разность Ай обращается в нуль.
Значительное количество эмпирических данных о значениях Ай!и* (т. е. о значениях В') для различных типов шероховатости было собрано Хама (1954) (см. также Клаузер (1956)), Робертсоном (1957), Перри и Жубером (1963). На рис. 6.6, заимствованном из статьи Клаузера (1956), представлены полученные значе-
ния Ди/u*. Мы видим, что при больших значениях hQu* h значения Mila* для всех типов шероховатости действительно оказываются линейно зависящими от ln(AoW*/v), что соответствует постоянству коэффициента В' (т. е. случаю вполне шероховатой поверхности). Однако переход к промежуточному режиму (проявляющийся в нелинейности зависимости Au/u* от In Vw^h)) для разных типов
Рис. 6.6. Влияние шероховатости стенки на относительное уменьшение средней скорости Дй/ы* (по Клаузеру, 1956). Разными значками на рисунке отмечены данные, относящиеся к разным типам шероховатости; штриховая кривая соответствует данным для однородной песочной шероховатости.
шероховатости происходит при различных значениях hotijv (согласно данным рис. 6.6, обычно заключающихся между 30 и 100); кроме того, и характер зависимости МЦи^ от к^и^К для слегка шероховатых поверхностей разных типов оказывается различным. Заметим еще, что рис. 6.6 позволяет также для любой представленной на нем шероховатости легко определить и высоту ks эквивалентной песочной шероховатости (которой должно отвечать то же самое значение kuju*). Для вполне шероховатых стенок (и только для них) As, очевидно, пропорционально Ао; поэтому и параметр шероховатости z0 = As/30 здесь пропорционален Ао.
В п. 6.2 уже отмечалось, что одним из важных примеров плоскопараллельного течения вдоль стенки является движение воздуха в приземном или приводном слое атмосферы (толщиной порядка десятка или нескольких десятков метров) при нейтральной (или близкой к нейтральной) термической стратификации. Отсюда следует, что при такой стратификации зависимость средней скоро-
<?ти ветра u(z) от высоты z в предела* картельного д^п^збйй значений х должна описываться логарифмической формулой (6.39) (по-видимому, впервые это обстоятельство было отмечено Прандтлем, 1932а). Экспериментальная проверка указанного предсказания производилась еще в 30-х годах (в частности, Свердрупом (1936) и Пешке (1936)) и затем многократно повторялась целым рядом авторов, причем она всегда приводила к подтверждению логарифмической формулы. С начала 50-х годов измерение профиля ветра в приземном (или приводном) слое часто сопровождалось одновременным измерением напряжения трения то (при помощи непосредственного динамометрического определения силы трения, действующей на выделенный небольшой участок подстилающей поверхности, или же при помощи пульсационного метода, опирающегося на формулу (6.6)). Зная значение то, можно определить значение и* = (то/р)1/з, а следовательно, и значение коэффициента А в формуле (6.39). Такие измерения подтверждают с приличной точностью, что в атмосфере, как и в лабораторных течениях вдоль плоской стенки, А ^ 2,5, х = 1/Л « 0,4.
Все методы определения значения скорости и* в атмосфере показывают, что здесь она обычно заключается между 10 и 100 см/с. Поскольку для воздуха v « 0,15 см2/с, то длина х* = = v/м* в атмосфере обычно не прейобходит одной-двух десятых миллиметра. Отсюда ясно, что в случае суши (о морской поверхности еще будет специально сказано ниже) подстилающая поверхность атмосферы почти всегда является вполне шероховатой, что как раз и оправдывает использование формулы (6.39) для скорости ветра uV^Y Отметим, однако, что при изучении турбулентности в приземном слое атмосферы довольно часто важную роль играет правильный выбор начала отсчета высот х. Дело в том, что размеры й0 неровностей почвы могут принимать сравнительно большие значения (например, в случае высокой травы или поля, покрытого какой-либо сельскохозяйственной культурой); в то же время в атмосфере увеличение высоты измерений х часто оказывается вовсе не безобидным, ибо с ростом х возрастает роль всегда имеющихся отклонений температурного градиента от равновесного (см. ниже IV раздел). Поэтому имеет смысл специально остановиться на вопросе о виде профиля средней скорости u(z) на высотах, лишь ненамного превышающих среднюю высоту h0 неровностей почвы.
При х ~ й0 (т. е. при z и йо одного порядка) параметр й0 также будет влиять на осредненное течение; что же касается вязкости v, то в случае вполне шероховатой стенки ею, как мы знаем, можно пренебречь. Поэтому здесь dufdz будет функцией величин то, р, 2 и й0, из которых уже можно составить безразмерную комбинацию йо/z. Отсюда вытекает, что при z ~ й0 вместо формулы (6.21) для градиента средней скорости будет справедлива более общая формула
dll (z) и* / /ig \ ГА
где х ~ 0,4, a g*(/io/z)—некоторая поправочная функция, описывающая влияние шероховатости. Это влияние, очевидно, должно перестать сказываться при z > ho, откуда следует, что g’(O)—1. Учитывая, что h^z < 1, разложим функцию g^holz^ в ряд по степеням ее аргумента; при этом получим
^^^V^»^^6^2+•••]•<6-42)
Введем теперь новое начало отсчета высот, полагая z = d + z', где z' имеет тот же порядок величины, что и Ао. В таком случае uholz' < 1 и, заменив в правой части (6.41) z на z', можно вместо разложения по степеням h^z использовать разложение по степеням h^z'. Легко видеть, что первые члены этого нового разложения будут иметь вид '
-^-=-^[1 +(а — 4А-^Л-ЬХ(-^ + .. Л (6.43)
dz xz' [\/г0 / 2' 1 1 \ 2' / J х 7
Выберем теперь d так, чтобы в полученном выражении член первого порядка малости обратился в нуль (т. е. положим d = = aho = g' (O)/io). Тогда с точностью до членов второго порядка малости получим
(6.44)(6.44)du и* dz ~~ х (z — d) ’
(6.44)
(6.44)
откуда
Мы видим, что влияние высоты ft0 выступов стенки в первом приближении сводится к тому, что при не слишком малых z профиль скорости оказывается логарифмическим при отсчете высот от уровня z = d, а нс от уровня z = 0. Высота d может быть названа высотой вытеснения (по аналогии с понятием толщины вытеснения, вводимым в теории пограничного слоя).
Пешке (1936), а затем также и многие другие авторы исследовали вопрос о значениях высоты вытеснения d для различных типов естественных и искусственных шероховатых поверхностей; см., например, Монин и Яглом (1965, 1971), Дубов и др. (1978), Джексон (1981), Кадер и Яглом (1984), Братсерт (1975а, 1985) и Ло (1990), где можно найти также ряд дополнительных ссылок. Полученные в этих исследованиях данные о значениях d характеризуются значительным разбросом, но все же создают впечатление, что для покрытой растительностью земной поверхностью (а также и для многих типов искусственных шероховатых стенок) значение djho часто заключено между 1 и 0,5, причем в среднем разумной оказывается оценка d^2/i0/3. Ясно, однако, что такая оценка должна быть довольно грубой, так как истинное значение d не может -определяться только средней высотой Ао неровностей стенки, но должно зависеть и от густоты расположения этих неровностей.
В самом деле, в случае очень редко расположенных элементов шероховатости, когда основную часть поверхности стенки занимают промежутки между бугорками, в которые легко проникает течение жидкости, значение d, очевидно, будет очень небольшим (близким к нулю). Если же шероховатость является столь густой, что течение фактически скользит по верхушкам выступов стенки, не проникая внутрь промежутков между ними, то значение d будет близко к йо (но го здесь будет много меньшим, чем й0). «Густоту шероховатости» можно характеризовать значением отношения S/So, где S — фронтальная площадь отдельного бугорка (т. е. площадь его проекции на плоскость, перпендикулярную средней скорости), a So — средняя площадь стенки, приходящаяся на один бугорок. При этом удается показать, что для сравнительно редких шероховатостей (для которых S/So невелико) обычно d[h^« « CaS/So, где коэффициент Cd зависит от формы бугорков (см. Джексон (1981) или Кадер и Яглом (1984), где можно найти и некоторые дополнительные данные о значениях d, относящиеся, в частности, к случаю двумерной шероховатости, состоящей из параллельных друг другу гребней, перпендикулярных направлению средней скорости).
Перейдем теперь к данным о значениях параметра шероховатости zo = йоехр(—B'lAy Поскольку для вполне шероховатой стенки В' = const, то здесь zo пропорционально й0, т. е. коэффициент с=го/йо = ехр (—B'fA) зависит лишь от параметров oi, о2, • •., характеризующих форму и расположение неровностей («элементов шероховатости»). При этом, однако, для различных классов геометрически подобных шероховатостей значения с могут существенно отличаться друг от друга. Так, например, выше уже отмечалось, что для однородной песочной шероховатости с — 1/30; в случае же земной поверхности, покрытой растительностью (а также и в случае многих искусственных моделей «непесочной шероховатости»), c = zo/ho часто принимает заметно большее значение, близкое к 7ю или 7? (см. Монин и Яглом (1965, 1971), Зилитинкевич (1970), Дубов и др. (1978), Кадер и Яглом (1984), Братсерт (1985), где можно найти также много дополнительных ссылок). Некоторые грубые модели течения внутри растительного покрова, неплохо согласующиеся с эмпирическими данными о значениях с для такого покрова, предлагались, в частности, Кондо (1971) и Братсертом (1975а, 1985). Сводные таблицы значений Zo для различных участков земной поверхности имеются, в частности, в книгах Зилитинкевича (1970), Пановского и Даттона (1984) и Братсерта (1985); они показывают, что для земной поверхности значения отношения Zo/йо = с характеризуются большой изменчивостью, но в среднем они заметно ближе к 7ю> чем к 7зо- С этим фактом согласуется и имеющая в чисто прикладной книге Ханна и др. (1982) рекомендация считать при расчетах, относящихся к приземному слою воздуха, что zo « йо/1О, где йо— типичная высота имеющихся в данной местности «Элементов шероховатости» (например, травы, кустов, деревьев или зданий).
Ряд работ посвящен также попыткам как-то оценить зависимость коэффициента с = z^h^ от тех или иных параметров, характеризующих форму и распределение по плоскости стенки «элементов шероховатости». Больше всего внимания при этом уделялось зависимости с от значения уже рассматривавшегося выше отношения ai = S/So, определяющего «густоту шероховатости». По- видимому, первая, еще очень грубая эмпирическая формула для зависимости с от oi, имеющая вид ch « 0,5 oi, была предложена Леттау (1969); см. также Кондо (1971). Некоторые уточнения формулы Леттау, учитывающие уже, кроме зависимости от Oi, также и зависимость с от некоторых других геометрических параметров шероховатости, указаны, в частности, в работах Вудинга и др. (1973) и Арья (1975); см. также Кадер и Яглом (1984). Однако все эти формулы приводят к выводу о том, что зависимость коэффициента с (а значит, и В'=—А In с) от oi должна быть монотонной (с растет, а В' убывает при возрастании Oi), в то время как данные ряда перечисленных в обзоре Кадера и Яглома (1984) детальных исследований, охватывающих широкий диапазон значений oi, показывают, что на самом деле зависимость £ и В' от Qi часто оказывается немонотонной, а такой, что с принимает наибольшее, а В' — наименьшее значение при некотором конечном значении oi, по обе стороны от которого график функции r(oi) убывает (а график B'^Oi) возрастает). Качественно такое поведение функций c(oi) и В' (oi) легко объяснить особенностями турбулентного течения вдоль шероховатой стенки. Дело в том, что при малых значениях oi = S/So течение легко проникает в промежутки между бугорками стенки, так что возрастание значения <71 (т. е. увеличение S или уменьшение So) здесь влечет за собой возрастание сопротивления течению, т. е. уменьшение скорости Л (г), чему отвечает уменьшение значения В' и увеличение значения с. В то же время при весьма больших значениях oi, отвечающих тесной совокупности достаточно крупных выступов, течение не проникает в нижние части промежутков между выступами, где возникают «застойные зоны», заполненные стационарными вихрями, по которым «катится» внешнее течение.
Поэтому слишком большому возрастанию параметра oi отвечает уменьшение эффективной высоты элементов шероховатости (ибо «застойные зоны» здесь фактически должны быть исключены из области течения) и возрастание высоты вытеснения d; при этом значение отношения z^lh^c (где ho — номинальная высота элементов шероховатости) уменьшается, а значение В' возрастает.
Некоторые попытки модельных расчетов функции c(oi) или S'(oi), приводящие к таким немонотонным функциям, предпринимались Бюсингером (1974), Сегинером (1974) и Кондо и Акаши (1976), изучавшими вопрос о шероховатости покрытой растительностью земной поверхности (см. также Кадер и Яглом (1984) и Братсерт (1985)). В инженерной же литературе наиболее детально изучен случай особенно часто используемой в технике двумерной
шероховатости, состоящей из регулярно повторяющихся узких гребней (часто имеющих простейшую прямоугольную форму), перпендикулярных (или почти перпендикулярных) среднему течению. Такую двумерную шероховатость естественно характеризовать высотой гребней Ао, расстоянием между серединами соседних гребней р (или расстоянием между гребнями /) и шириной гребней w = р — / или же высотой гребней и двумя безразмерными параметрами Qi = holp и 02 = wfho (в случае гребней прямоугольного профиля эти параметры полностью задают форму шероховатой стенки). Большое число экспериментальных исследований турбулентных течений вдоль стенок, покрытых двумерной шероховатостью, перечислено (и кратко охарактеризовано) в обзорной статье Кадера и Яглома (1984). В ряде таких исследований изучалась зависимость коэффициентов с или В' от oi и а2 (иногда приближенно заменяемая зависимостью этих коэффициентов от какой-то одной функции друх переменных аии о2). В частности, Кадер (1977а), обработавший обширный экспериментальный материал, нашел, что в случае гребней с острыми кромками (в частности, прямоугольных) значения В'(<з^ 02) неплохо описываются функцией В' (а) = 8,5 ехр (—0,4о)+о0’45 одного переменного о = о~хЦо-у— о2)2/3 р1^3 (р —-wy4ho> в то время как для двумерной резьбы или же двумерных гребней с гладким профилем можно использовать формулу В'(ог, 02) = = 10 ехр (—0,3о) + 1,5с0,45. Обеим этим эмпирическим формулам отвечает немонотонная зависимость В' от о, согласно которой В' принимает наименьшее значение при определенном конечном значении параметра а.
Выше речь шла только об однородной шероховатости, т. е. предполагалось, что распределение неровностей стенки повсюду является примерно одинаковым. Для метеорологических приложений, однако, большой интерес представляет и случай неоднородной шероховатой стенки, так как земная поверхность часто имеет «пятнистый» характер с разбросанными там и здесь кустарниками, группами деревьев, зданиями (или группами зданий) и естественными неровностями почвы — холмами, оврагами и т. д. Заметим теперь, что с увеличением высоты z возрастает и площадь той части земной поверхности, течение над которой влияет на значение h(z). Поэтому в неоднородном случае при нейтральной термической стратификации в логарифмической формуле (6.39) (или (6.44)) для и^ значения z0 вполне могут оказаться различными для разных интервалов значений z— чем выше расположен соответствующий интервал, тем по большей площади земной поверхности должны быть осреднены локальные значения zo = zo(x, у) для получения нужного значения zq. Исходя отсюда для описания профиля скорости ветра над неоднородной подстилающей поверхностью целесообразно использовать формулу (6.39) или (6.44), где zo = zo(z) является медленно меняющейся функцией высоты. Такое зависящее от высоты z значение z0(z) = zQ(eff) часто называется эффективной шероховатостью на высоте z (см., например, 256
Фидлер и Пановский (1972), Кустас и Братсерт (1986), Кондо и Ямазава (19866), Андре и Блонден (1986), П. Тэйлор (1987) и Массон (1988), где можно найти и ряд дополнительных ссылок). Иногда наряду с этим в логарифмической формуле для скорости ветра над неоднородной поверхностью также и и* заменяется зависящей от высоты «эффективной скоростью трения» и*6^ (Андре и Блонден (1986), П. Тэйлор (1987)), получаемой с помощью осреднения локальных значений u* = u*(x, у) по надлежаще выбранной области плоскости.
Для метеорологических приложений заметный интерес представляет также течение жидкости вдоль податливой стенки, деформируемой обтекающим ее течением жидкости. Примером такой стенки может служить, например, земная поверхность, покрытая высокой травой, сгибающейся под действием ветра. Здесь zo, очевидно, будет зависеть от скорости ветра; так, Дикон (1960) нашел, что для травы высотой около 60 см zo может изменяться от 9 см при очень слабом ветре до 4 см при сильном ветре. Еще более важный пример податливой стенки доставляет поверхность моря, высота и форма волн на которой явно зависят от скорости ветра. Если допустить, что при изучении ветровых волн можно пренебречь влиянием вязкости и поверхностного натяжения и что шероховатость моря в данной его точке определяется лишь атмосферными условиями вблизи этой точки (т. е. локальным значением напряжения трения то), то из соображений размерности для zo получается впервые указанная Чарноком (1955) формула
и2
= (6.46)
где g— ускорение свободного падения, и* = (то/р)1/з, р — плотность воздуха, а коэффициент b может зависеть от отношения плотностей воздуха и воды. Последующие экспериментальные исследования шероховатости морской поверхности показали, однако, что, по- видимому, предположения, лежащие в основе формулы (6.46), не всегда можно считать справедливыми. Так, например, на море нередки случаи, когда его поверхность можно считать динамически гладкой или лишь слегка шероховатой, так что z0 зависит и от вязкости v; известно также, что высота морских волн часто зависит от разгона ветра (т. е. от пути, проходимого ветром над морем). Возможно, что именно эти обстоятельства (вместе с малой точностью измерений значений и* и zo в морских условиях) объясняют то, что значения коэффициента 6, предлагавшиеся разными исследователями, характеризуются очень большим разбросом (см., например, Монин и Яглом (1965, 1971), Филлипс (1980), By (1980), Чемберлен (1983), Кадер и Яглом (1984), Братсерт (1985)). В целом, однако, имеющиеся данные оставляют впечатление, что формула (6.46) с 6 = 0,016 довольно часто позволяет определить значение zo для морской поверхности с вполне удовлетворительной точностью.
Любопытно, что, как показал Чемберлен (1983), формула (6.46) неплохо описывает также данные о значениях параметра шероховатости zo для таких совсем непохожих на поверхность моря природных податливых поверхностей, как поверхность почвы, покрытой рыхлым снегом или песком, поднимаемым вверх порывами ветра; при этом в первом приближении даже значение b здесь можно считать равным 0,016 (т. е. тем же, что и для поверхности моря). Другие данные о значениях z0 над покрытой снегом почвой, показывающие, в частности, что такую почву иногда следует считать аэродинамически гладкой, содержатся в работе Кондо и Ямазава (1986а).
Выше рассматривалась лишь средняя скорость турбулентных течений вдоль шероховатой стенки. Легко понять, однако, что соображения, приведшие выше к выводу о том, что значение коэффициента А в формуле (6.22а) должно быть одним и тем же для развитых турбулентных течений как вдоль гладкой, так и вдоль шероховатой стенки, могут быть приложены и к очень многим безразмерным характеристикам турбулентных пульсаций скорости. Рассмотрим область турбулентного течения вдоль стенки, покрытой однородной шероховатостью (для определенности мы будем считать эту стенку динамически вполне шероховатой), расположенную выше примыкающего к стенке так называемого подслоя шероховатости, в пределах которого размеры, формы и распределение по плоскости отдельных «элементов шероховатости» (т. е. неровностей) еще непосредственно влияют на течение (толщина этого слоя обычно в 5—10 раз превосходит среднюю высоту /г0 выступов стенки, причем она зависит как от формы и распределения этих выступов, так и от того, какие характеристики течения исследуются и какая при этом требуется степень точности). Допустим, кроме того, что речь идет о группе точек Xi = = (xi, gi, zi), х2 = (х2, д^ z2), ..., хп= (хп, дп, г-п^ такой, что значение всех координат z,, /=1, ..., /г, здесь намного меньше типичного вертикального масштаба L рассматриваемого течения (например, радиуса трубы, полуширины канала или толщины пограничного слоя) и что расстояния между любыми двумя из точек х,, /=1, ..., п, также намного меньше, чем L, но значительно превосходят масштаб tj^z'^z* (где z+ = zu*/v, 2* = v/u, a z = min (21, ... ..., zn); см формулу (6.32х) и примыкающий к ней текст). В таком случае к многомерной плотности вероятности безразмерных пульсационных скоростей и'/и*, v'Ju*, w'Ju* в точках хь ..., хп будут полностью приложимы выводы, сформулированные для случая турбулентных течений вдоль гладкой стенки в конце п. 6.3: такая плотность должна представлять собой универсальную функцию переменных (6.35), причем эта функция для течений вдоль гладкой и вдоль шероховатой стенок должна быть одной и той же.
Приведенное выше весьма общее утверждение о плотностях вероятности влечет за собой также и множество более частных (но заметно легче проверяемых на опыте) выводов. Так, например, 258
отсюда сразу следует, что в турбулентном течении вдоль вполне шероховатой стенки при /г0<г<£
и V W =Амти< » (6-47) где Амт — те же постоянные, которые упоминались на с. 241 (так что Д2оо=Л2^(2,3)2«5; А^=А\ (1,7)2«3; Лооз=Л2 = 1,0). Аналогично показывается, что при йо<Сг<С£ должна быть справедлива формула (6.30') для е(г), а также и указанные в конце п. 6.3 результаты, касающиеся корреляционных функций и спектров пульсаций скорости в логарифмическом пограничном слое (в частности, результаты (6.33') и £6.33") с теми же коэффициентами Di и Gi3, что и в случае течений вдоль гладкой стенки).
Корсин и Кистлер еще в 1954 г. одними из первых показали, что вдали от стенки значения деленных на и* средних квадратичных значений компонент пульсационной скорости в пограничных слоях на гладкой и на шероховатой пластинах оказываются примерно одинаковыми. В последующие годы родственные результаты, относящиеся к целому ряду статистических характеристик пульсаций скорости в турбулентных течениях жидкости вдоль гладких и шероховатых стенок, были получены и многими другими исследователями; см., например, обзорную статью Кадера и Яг- лома (1984), глава 1, § 3, где можно найти много относящихся сюда ссылок. В частности, в этой статье приведен сводный график зависимости нормированного спектра продольных пульсаций скорости Eu^Jzu^ от кг, полученный по данным измерений в логарифмическом подслое нескольких турбулентных течений вдоль шероховатых стенок; этот график оказывается фактически совпадающим с графиком на рис. 6.4 и прекрасно описывается формулами (6.33') и (6.33") с теми же, что и на рис. 6.4, коэффициентами £>1 = 0,9 и Gii = 0,8.
6.5. Турбулентные течения в плоских каналахи круглых трубах. Законы сопротивления
Рассматривавшиеся выше общие закономерности турбулентных течений вдоль твердой стенки относились к широкому классу течений, включающему, в частности, и течения в каналах и трубах; поэтому выше в настоящей главе уже использовались многие экспериментальные данные о турбулентности в каналах и трубах. Однако течения в каналах и трубах обладают также и важными особенностями, отличающими их от идеализированных течений в полупространстве г > 0, о которых фактически только и шла речь выше. В первую очередь здесь надо отметить, что в отличие от течения в полупространстве для течений в каналах и трубах имеется обозначавшаяся выше буквой L характерная длина Hi (полуширина канала) или R (радиус трубы), а также и характерная скорость t/о (максимальная скорость в середине канала
или на оси трубы) или [/ср (среднемассовая скорость), задаваемая выражением
1Нх1Нхи^ dzи^ dzилиилиR-^г j u^rdr.R-^г j u^rdr.
1
Нх
1
Нх
и^ dz
и^ dz
или
или
R
-^г j u^rdr.
R
-^г j u^rdr.
Отсюда ясно, что теория течений в расположенном около стенки слое постоянства напряжения трения далеко не исчерпывает всей теории течений в каналах и трубах.
Начнем с общих соображений о подобии, причем сначала для простоты будем считать, что стенки являются динамически гладкими. Течение мы будем рассматривать лишь на достаточно больших расстояниях от входа в канал или трубу, на которых условия у входа уже никак не сказываются, и будем предполагать его стационарным и полностью турбулентным. В таком случае отличной от нуля будет лишь одна компонента й = йх средней скорости, и все статистические характеристики турбулентности будут зависеть от единственной координаты z— расстояния от стенки канала или трубы (для трубы z = R— г, где г — расстояние от оси). При заданных размерах канала или трубы и заданных плотности и вязкости жидкости мы будем иметь однопараметрическую совокупность течений, определяемых значением «напора» — постоянного продольного градиента давления. Градиент давления будет уже однозначно определять такие характеристики течения, как скорости [/0 и [/ср и напряжение трения на стенке то или, иначе, скорость трения и= (то/р)1/2. Таким образом, статистические характеристики течения на расстоянии z от стенки здесь могут зависеть от следующих параметров: р, v, z, Hi (для трубы мы теперь через Hi обозначаем радиус, т. е. полагаем Hi = R) и одной из скоростей [/о, UCp или и*. Из этих параметров можно составить две безразмерные комбинации: число Рейнольдса ^^u^Ht/v (в качестве характерной скорости удобно использовать скорость и*) и безразмерное расстояние ^ = z]Hv
Следовательно,
^-uMXAY (6.48)
эта более общая формула заменяет теперь формулу (6.13).* Таким образом, профиль средней скорости течения в канале или в трубе, вообще говоря, описывается функцией двух переменных (возможно, различной для канала и для трубы). Имеются, однако, два важных предельных случая, в которых функцию ф(£, £) удается все же заменить функцией одной переменной.
Первый случай (детально рассмотренный в п. 6.2—6.4)—это случай малых значений z (таких, что £ = г/Я1<С1). В этом случае
зависимость и (2) от Hi становится несущественной, так что формула (6.48) должна обратиться в соотношение
= f (-^) = f & • « ПРИ < ^«’(6Л9>
совпадающее с (6.13). Второй же предельный случай — это случай больших значений t = z!H^ соответствующих «турбулентному ядру» течения, примыкающему к середине канала или оси трубы. В пределах такого «ядра», удаленного от твердых стенок, можно применить те же рассуждения, которые были использованы в п. 6.3 в связи с выводом логарифмической формулы для профиля средней скорости. А именно, поскольку вдали от стенок при развитой турбулентности турбулентное напряжение трения обычно во много раз превосходит вязкое напряжение, то естественно ожидать, что в «турбулентном ядре» вязкость не будет непосредственно влиять на течение (а будет влиять лишь косвенно, сказываясь на граничных условиях на границе «ядра» и на значении параметра и*, определяющего в силу (6.17) и (6.17') величину напряжения трения во всех точках течения). При отсутствии внешнего масштаба длины отсюда следовало соотношение (6.21), приводящее к логарифмическому профилю; при наличии же такого масштаба Hi получается более общее равенство вида
da (z) u* _ f z \
Представив далее неизвестную функцию ф4 в виде ф1(^) =—/'(£)» где fi(l) =0, и проинтегрировав выражение для du(z)ldz в пределах от некоторого значения z до z = Hi, найдем:
== № при :,<:<!.(6.50)
Соотношение (6.50), называемое обычно законом дефекта скорости, впервые было получено Карманом (1930) на основе обработки экспериментальных данных Фрича (1928), относящихся к течению в трубе. В дальнейшем этот закон неоднократно тщательно проверялся (см. ниже рис. 6.7 и 6.8), и теперь уже нет сомнений, что он представляет собой частный случай весьма общего принципа подобия по числу Рейнольдса, выполняющегося со значительной степенью точности для широкого класса турбулентных течений. Согласно этому принципу, при достаточно больших числах Рейнольдса ULIv (где U и L — характерные масштабы скорости и длины) для большой области турбулентного течения (обычно охватывающей почти все течение за исключением сравнительно тонких слоев, примыкающих к стенкам) осредненное течение (а также и статистические характеристики пульсаций скорости) не зависит непосредственно от коэффициента вязкости (т. е. от числа Рейнольдса), оказывающего влияние на течение только через посредство граничных условий и зависящей от них величины U (см. Таунсенд (1956)).
Вернемся теперь к исследованию профиля й(г) и приведем важное рассуждение Изаксона (1937) (развитое затем в работах Милликена (1939) и Мизеса (1941)), позволяющее в некоторых случаях установить точный вид функций / и fi. А именно, предположим, что £i < Со, так что существует некоторый интервал Ci < С < Со значений t = z]H\, для которого общую формулу (6.48) можно представить и в виде (6.49), и в виде (6.50) (это предположение, разумеется, каждый раз должно быть проверено с помощью анализа экспериментальных данных). В таком случае, складывая равенства (6.49) и (6.50), получаем:
Г(СС) + Л(С)==А(С) при С1<С<Со,(6-51)
где через /г(С) обозначена величина t/o/u*, которая, очевидно, может зависеть только от числа Рейнольдса ^ = uMilv (но не от C=z//7i). Из функционального уравнения (6.51) легко следует, что все три функции f, fi и fa являются логарифмическими. В самом деле, продифференцировав равенство (6.51) сначала по |, а затем по С, придем к равенству
Г(Ю + ^Г(Ю=о.
Отсюда вытекает, что f (^С) =Л In ^ + В, где А = 1/х и В — постоянные интегрирования. Таким образом, исходя из других соображений мы снова пришли к соотношению (6.25). Подставляя теперь полученное выражение для функции f(CC) в равенство (6.51), убеждаемся, что
fl(C) = -AlnC + B„ f2 (£) = A In | + В2, В2-В. = В.
Таким образом, «закон дефекта скорости» в области его перекрытия с пристенным законом (6.49) должен иметь вид
=_Л1п г +В|(652)
и*п 1
Если дополнительно допустить, что формула (6.52) может быть применена вплоть до значения z = Hx (т. е. £=1), то отсюда, очевидно, будет следовать, что Bi = 0. Наконец, логарифмическая формула для /г(^) дает нам следующую зависимость отношения UqIu* от числа Рейнольдса:
(6.53)трения Су =переписать(6.53)трения Су =переписатьВводя вместо LMu* коэффициент сопротивленияВводя вместо LMu* коэффициент сопротивленияможноможнотакже в видетакже в виде_^1_ = Л In “^ +в2, В2 = В + В,.и*V11
(6.53)
трения Су =переписать
(6.53)
трения Су =переписать
Вводя вместо LMu* коэффициент сопротивления
Вводя вместо LMu* коэффициент сопротивления
можно
можно
также в виде
также в виде
-^ = ^=-ln(ReVcf) + B3; Re = -^-; В3 = -^^
VCf V2vV2 2д/2
(6.54)
Ниже будет показано, что указанный здесь простой вывод логарифмических формул для профиля скорости, закона дефекта скорости и закона сопротивления может быть приложен и к ряду других задач (см., в частности, п. 6.7 и 7.6).
До сих пор мы предполагали, что стенки рассматриваемого канала или трубы являются гладкими. Легко видеть, однако, что приведенные рассуждения применимы и в случае канала или трубы с шероховатыми стенками. Правда, в этом случае и функция ср(£, £) в равенстве (6.48), и функция f(^) в формуле (6.49) могут зависеть также от дополнительных аргументов h^Ub/v (или Ao/^i), 01, 02, ..., определяющих размеры, форму и взаимное расположение неровностей стенки. Однако естественно думать, что в «ядре» течения наличие шероховатости будет сказываться только через значения граничных условий и значение турбулентного напряжения трения ^зависящего от величины трения о стенку), но не непосредственно. Если это так, то соотношение (6.50) должно быть одинаковым и для гладких, и для шероховатых стенок. Однако в таком случае, предположив, что области в которых выполняются соотношения (6.49) и (6.50), частично перекрываются между собой, мы снова придем к функциональному уравнению (6.51) с той только разницей, что теперь функции f и /2 (но не fi) могут зависеть еще от дополнительных параметров, характеризующих шероховатость. Отсюда, как и выше, вытекает, что при £1 < < £ < £0 все три функции f, fi и f2 должны быть логарифмическими с общим коэффициентом Л = 1/х при логарифме; следовательно, этот коэффициент должен являться универсальной постоянной (так же как и коэффициент В^ который, впрочем, для труб и каналов в принципе может быть различным). Что же касается коэффициентов В и В2, то они могут содержать общее слагаемое, зависящее от размеров и характера шероховатости. Если считать, что формула (6.52) применима вплоть до значения z = H\s то вообще Bi=0 и 62 = В; поэтому при этом предположении данные измерений коэффициента сопротивления позволяют сразу определить и значение коэффициента В (или коэффициента В' в формуле (6.36), просто связанного с В). Именно таким образом, в частности, были получены значения В' при разных /iou*/v, представленные в виде черных кружков на рис. 6.5.
В случае динамически вполне шероховатой стенки функция uAoh, 0i, 02, ...) не должна зависеть от вязкости v, т. е. она будет функцией только от ^ • v/w*/io = 2//io, 01, 02.... Поэтому и функция f2(£, иЛ^/х, аь 02, ...) здесь зависит только от ^- xlu*ho = Hilh^ 01, 02, ... Следовательно, в этом случае соотношения (6.53) и (6.54) принимают вид
(6.53')(6.53')-^-ЛЬз-^ + В, В2 = В' + В„
(6.53')
(6.53')
л/q V2 До V2 ’л/q V2 До V2 ’(6.54')(6.54')
л/q V2 До V2 ’
л/q V2 До V2 ’
(6.54')
(6.54')
где коэффициент В2 = В' (оь о2, .. .)+Bi может зависеть от формы и взаимного расположения неоднородностей стенки.
Значительное число экспериментальных данных, подтверждающих справедливость соотношения (6.49) (совпадающего с (6.13) для турбулентных течений в трубах и каналах), было собрано на рис. 6.1. Разумеется, для того чтобы указанные здесь расстояния z+ = u»zh можно было перевести в значения переменной ^ = =z/Hi, надо знать число V=u*Hih, которое является сложной функцией от более обычного числа Рейнольдса Re = (7o/fi/v, неявно задаваемой соотношением (6.54). Для ориентировки приведем таблицу, показывающую зависимость нижней границы 6( = 30v/«* логарифмического пограничного слоя для течений в гладких трубах от наиболее часто используемого числа Рейнольдса ReD = = UCpDh (где D = 2Hi = 2R. — диаметр трубы):
ReD5 • 10310410s10е
-^- = 2-^-. . . 0,20,10,0120,0016
Л 1и
(на связи скоростей Uo и UCp мы еще остановимся ниже). С ростом числа Рейнольдса отношение 6i/Hit естественно, уменьшается, но не безгранично. Для каждой реальной трубы при возрастании числа Re в конце концов наступает момент, когда она оказывается уже динамически вполне шероховатой; после этого нижняя граница логарифмического слоя начинает зависеть только от Ао и не меняется при дальнейшем возрастании средней скорости течения.
Что же касается верхней границы значений z, для которых оказывается применимой логарифмическая формула для u(z), то, как уже отмечалось выше, по данным Никурадзе и в гладких, и в шероховатых трубах эта граница близка к значению z = R (т. е. допустимо считать, что логарифмический слой простирается почти до центра трубы). При этом, однако, пытаясь приложить формулу (6.25) к столь широкому интервалу значений z, Никурадзе был вынужден немного изменить значения коэффициентов Л и В по сравнению с теми, которые лучше всего соответствовали данным наблюдений при £ = z/R<Cl. На самом же деле значения Л и 6, очевидно, должны определяться на основе обработки данных большого числа измерений, относящихся лишь к пристенной зоне течений вдоль твердой стенки; только используя эти значения без всяких изменений, можно выяснить, нарушается ли универсальный логарифмический закон (6.25) в «ядре» течения. Попытка именно такого анализа была предпринята Милликеном (1939), использовавшим почти все имевшиеся в то время немногочисленные данные измерений профилей скорости турбулентных течений в трубах и каналах. Любопытно, что при этом Милликен получил значения Л ==2,5, В = 5,0, почти не отличающиеся от тех, которые считаются наиболее надежными в настоящее время. Далее, согласно его оценкам отклонения значений w(z) от результатов расчета
по формуле (6.25) могут быть реально замечены лишь при ^^0,1 (т. е. при отличии значения т(з) от то, не меньшем чем 10 % т0), причем эти отклонения при всех £ сравнительно невелики (не превосходят 10 % соответствующих значений n(z)). Несмотря на то
что количество имеющихся данных о профилях й(г) к настоящему времени во много раз возросло по сравнению с 1939 г., выводы Милликена и сейчас остаются в силе.
Зная значение А и нанеся на график найденную из измерений зависимость [t/o —
Рис 6.7. Проверка закона дефекта скорости для турбулентного течения в трубе по данным Лауфера (1954).
•и* ' ,•и* ' ,— й(з)]/и* от Z=zlHi, можно, аппроксимируя эту зависимость при малых £ логарифмической формулой (6.52), определить и значение коэффициента Bi (см., например, заимствованные из книги Хинце (1963) и статьи Шубауэра и Ченя (1959)
•и* ' ,
•и* ' ,
Рис. 6.8. Проверка закона дефекта скорости для турбулентного течения в прямоугольном канале по данным Лауфера (/) и Дёнха (2).
рис. 6.7 и 6.8, на одном из которых считается, что Л =2,44, т. е. х = 0,41, а на другом — что Л = 2,5, т. е. х = 0,40). Мы видим, что рис. 6.7 отвечает значение 61 = 0,8, а рис. 6.8 — значение Bi = 0,65. Не надо, однако, думать, что различие двух получающихся здесь значений Bi связано с тем, что на рис. 6.7 использованы данные измерений в трубе, а на рис. 6.8 — в канале. Дело в том, что пока еще и для трубы, и для канала имеющиеся эмпирические данные о Bi характеризуются заметным разбросом, но при этом почти все они лежат в интервале от 0,4 до 0,8. Поэтому в настоящее
время нет заслуживающих доверия данных о различии между значениями Bi для течений в круглой трубе и в плоском канале, так что для обоих этих классов течений можно рекомендовать использовать одну и ту же среднюю оценку В2~0,6.
Данные типа тех, которые представлены на рис. 6.7 и 6.8, могут быть использованы и для определения формы входящей в «закон дефекта скорости» (6.50) функции /ч(£) вне пределов логарифмического подслоя. В книге А. Рейнольдса (1979) указывается, что такого рода данные неплохо согласуются с допущением о том, что в «ядре» турбулентного течения и в круглой трубе, и в плос
ком канале —u'w' = r(z)/p = 7( dujdz, где А = const; это допущение приводит к соотношению
^(^ = 0(1—$)2. (6.55)
Большую точность, однако, как указано в той же книге, на самом деле имеет формула вида
f, (0 = 0(1-^, (6.56)
где п^1,9 для течения в канале и п^1,5 для течения в трубе. Заметим в этой связи, что для течения в центральной части круглой трубы закон дефекта вида (6.50) с функцией /т(£), задаваемой формулой (6.56) с п = 3/2=1,5 был эмпирически установлен еще в середине прошлого столетия (см. Дарси (1858)). В имеющейся литературе можно найти также и некоторые другие приближенные выражения для функции fi(^). В частности, определенные выводы о виде этой функции следуют из допущения о приложимости к турбулентным течениям в трубе и в канале так называемого «закона следа», предложенного Коулсом (1956) для течения в пограничном слое на пластине (см. ниже формулу (6.71), где в случае течений в трубе и канале 6 надо заменить на //1), или же модифицированной формы этого закона, о которой будет говориться в п. 6.6. Поскольку, однако, обычно считается, что закон следа для различных типов турбулентных течений, ограниченных твердой стенкой, имеет одинаковый вид, а первоначально он был изучен на примере течений в турбулентном пограничном слое, то обсуждение - этого закона мы отложим до п. 6.6. Отметим только, что все согласующиеся с опытом формы функции fi(^) не должны противоречить отмеченному еще Нику- радзе и Милликеном (и хорошо иллюстрируемому рис. 6.7 и 6.8) факту близости профиля й^ при всех z^^ju* к логарифмическому профилю скорости (6.25). Ясно, что такой профиль скорости резко отличается от гораздо быстрее меняющегося с изменением г параболического профиля скорости ламинарного течения Пуазейля, характеризуемого гораздо более слабым радиальным перемешиванием, чем то, которое имеет место в случае турбулентного течения (рис. 6.9).
Закон дефекта скорости (6.52) может быть использован для простой оценки разности между максимальной скоростью Uo на 266
больших Re очень неболь-больших Re очень неболь-оси трубы или канала и гораздо более просто измеряемой среднемассовой скоростью UCp, определенной в начале этого параграфа. В самом деле, пренебрежем подверженным непосредственному влиянию молекулярной вязкости тонким пристеночным слоем тол-
больших Re очень неболь-
больших Re очень неболь-
щиной 6^30v/u*, составляющим при шую долю Н\ (см. данные на с. 264)
иивносящим весьма малый вклад
и
и
в UCp (напомним, что и скорость и (г)
ввэтом слое сравнительно мала).
в
в
В таком случае из (6.54) немедленно вытекает, что
U—U
_...» -СР = с = const, (6.57)
Рис. 6.9. Сравнение профилей средней скорости при ламинарном (Л) и турбулентном (7) течениях в трубе.
1
где Ci=2 J fi(^) (1—О ^С в случае круглой трубы и С = о 1
= J/i(O^ в случае плоского канала. Точно тот же результат о
получается и для труб и каналов с шероховатыми стенками, если мы пренебрежем примыкающим к стенке подслоем шероховатости, в пределах которого на течение непосредственно влияют неровности стенки. Воспользовавшись теперь простейшим (но не очень точным) предположением о применимости логарифмической формы профиля скорости вплоть до оси трубы или канала, из которого следует, что Bi = 0 и /1(0 =—А In £, найдем, что С^1,5А^ ^3,75 для круглой трубы и С=Л^2,5 для плоского канала. Имеющиеся многочисленные экспериментальные данные о значениях отношений UCp/Uq и u*!U^ для турбулентных течений в гладких круглых трубах с большой точностью подтверждают соотношение (6.57) и приводят к выводу о том, что С = 4,1. Это значение С лишь ненамного отличается от грубой теоретической оценки С ^3,75 и еще лучше согласуется с уточненной оценкой, получаемой с помощью замены приближенной формулы f^ = = —Л In £, вытекающей из (6.56), более точной формулой вида /1(0 =—Л1п£ + ЛП[2 — ^(01 с согласующимися с опытными данными значениями П и w(0 (см. Кадер и Яглом (1980)). Кроме того, и в случае течений в шероховатых трубах (со стенками, покрытыми двумерными диафрагмами или трехмерными выступами) соотношение (6.57) с тем же, что и в случае гладких труб, значением С^4,1 также хорошо подтверждается
данными измерений (но только в случае сравнительно высоких шероховатостей при определении значения UCp здесь надо должным образом учесть влияние шероховатостей на величину площади сечения трубы; см. Кадер и Яглом (1984)).
В случае течений в плоских каналах с гладкими стенками Дин (1978) обработал большой материал измерений величин (7о„ Ucp и и* и нашел, что и в этом случае формула (6.57) выполняется с хорошей точностью, если принять, что С = 2,64. Это значение С опять же мало отличается от простейшей теоретической оценки С ^2,5 и еще лучше согласуется с уточненной формулой для функции fi(£), отвечающей турбулентным течениям в канале (Дин (1978), Кадер и Яглом (1980)). Естественно ожидать,, что то же значение С можно использовать и для турбулентных течений в каналах с шероховатыми стенками, в отношении которых пока нет надежных экспериментальных данных, позволяющих определить С.
Из формул (6.53) и (6.57) легко следует, что
-^-^AXnJb^-^B^ В2 = Вг-С.(6.58)
— = 8(M*/t/Cp)2 (отличающийся от коэффициента /О— = 8(M*/t/Cp)2 (отличающийся от коэффициента /ОПредставив в правой части этой формулы и*Н\1ч в виде ((7Cp7)/v) (и*/2[7Ср) и учтя, что для гладких труб А«2£г а 5^ = = B + Bi — С ^5,5+ 0,6— 4,1 =2,0, можно после небольших преобразований переписать равенство (6.58) в виде следующего соотношения, связывающего безразмерный коэффициент сопротив- . То ления Х = —-■-
— = 8(M*/t/Cp)2 (отличающийся от коэффициента /О
— = 8(M*/t/Cp)2 (отличающийся от коэффициента /О
Р^р
С) в (6.54) лишь несущественным числовым множителем и заменой Uо на t/cp) с числом Рейнольдса ReD = £/cp£Vv:
l/Vx = 0,881n(ReDVI)-0,82.(6.59)
Формула (6.59) практически совпадает с классическим законом сопротивления Прандтля—Никурадзе, общий вид которого» был найден Прандтлем из совсем других соображений, а числовые коэффициенты (почти не отличающиеся от входящих в (6.59)) были определены Никурадзе по данным измерений. Поскольку величины X и Кел просто подсчитываются по легко измеримым значениям перепада давления \ф = 41x^1 D на участке трубы длины I и расхода жидкости Q = (л7)2/4)[/ср, то неудивительно, что имеется очень много эмпирических данных о зависимости X от Ren. Как показал Никурадзе (1932), все эти данные хорошо согласуются с формулой (6.59) (см. рис. 6.10, где наряду с кривой, отвечающей уравнению (6.59), нанесена также зависимость X = 64/Ren^ в силу (1.26) отвечающая ламинарному течению в трубе, и эмпирический закон сопротивления Блазиуса (6.63'), о котором будет сказано ниже).
Согласно формуле (6.59), величина X неограниченно убывает с ростом Ren. На самом деле, однако, это будет не так, поскольку 268
при возрастании Ren каждая труба в конце концов оказывается динамически вполне шероховатой. После этого вместо формулы (6.53) следует использовать соотношение (6.53'), которое в соединении с (6.57) приводит к равенству
* =Л1п-^- + Вз, Л =^-«0,88, Вз = (В + B,-C)/V8, /Л
(6.59')
Рис. 6.10. Зависимость коэффициента сопротивления X = 4с/ от числа Рейнольдса Reo по данным различных авторов.
а — закон сопротивления К — 64/ReD для ламинарного течения Хагена—Пуазейля; б — закон (6.54) с х = 0,41 и В3 = —0,8; в — приближенный закон Блазиуса (6.63'). / — Никурадзе, 2 — Саф и Шодер, 3 — Нуссельт, 4 — Омбек, 5 — Якоб Эрк, 6 — Стэнтон и Паннел, 7 — Шиллер и Герман, 8— Гаген.
показывающему, что при достаточно больших значениях Rec величина X перестает зависеть от числа Рейнольдса. Последнее заключение хорошо согласуется с представленными на рис. 6.11 эмпирическими данными. Поскольку в случае стенок, покрытых не слишком мелкой песочной шероховатостью, В'«8,5 и С «4,1 для течений в трубе, но по-видимому, С «2,6 для течений в канале, a Bi«0,6 и для труб, и для каналов, то в случае такой шероховатости ^'«1,77 для течения в круглой трубе и, по-видимому, В'«2,30 для течения в плоском канале. Заметим, что приведенные значения Ai и В' (для течения в трубе) очень близки к эмпирическим значениям Л1 = 0,87 и В'= 1,74, подобранным Ни- курадзе (1933) на основании обработки собранных на рис. 6.11 данных проведенных им экспериментов.
Остановимся теперь вкратце на приложениях сформулированного на с. 261 принципа подобия по числу Рейнольдса к статистическим характеристикам пульсаций скорости. Начнем с рассмот-
fk fC ftn
рения общего одноточечного момента и и w компонент и , и и w'. Согласно указанному принципу, такой момент в точке х = = (х, у, z) при z^>max (z*, Ао) не должен зависеть ни от вязко-
юсхюсхРис. 6.11. Зависимость коэффициента сопротивления X от числа Рейнольдса Ren для шероховатых труб различной шероховатости. Данные для R/h0—Ганавича (технически гладкие трубы), остальные данные — Никурадзе (песочная шероховатость).Рис. 6.11. Зависимость коэффициента сопротивления X от числа Рейнольдса Ren для шероховатых труб различной шероховатости. Данные для R/h0—Ганавича (технически гладкие трубы), остальные данные — Никурадзе (песочная шероховатость).
юсх
юсх
Рис. 6.11. Зависимость коэффициента сопротивления X от числа Рейнольдса Ren для шероховатых труб различной шероховатости. Данные для R/h0—Ганавича (технически гладкие трубы), остальные данные — Никурадзе (песочная шероховатость).
Рис. 6.11. Зависимость коэффициента сопротивления X от числа Рейнольдса Ren для шероховатых труб различной шероховатости. Данные для R/h0—Ганавича (технически гладкие трубы), остальные данные — Никурадзе (песочная шероховатость).
сти v, ни от геометрических характеристик неровностей стенки (если стенка шероховатая), т. е. должен описываться формулой
^ = 2^.,(6.60)
где функции /^(^ для гладкой и шероховатой стенок будут одинаковыми, но могут различаться для течений в трубе и течений в канале. В частности, вертикальные профили четырех отличных от нуля вторых моментов и'\ х)'\ w'2 и aw' вне вязкого подслоя и подслоя шероховатости будут представляться в виде и\§Лг1Н\^ где gi(£), i=L 2, 3, 4,— четыре универсальные функции kgv = f^0 и т* д-)- Экспериментальные данные о функциях gi^) можно найти, в частности, в книгах Таунсенда (1959) и Хинце (1963), работах Конт-Белло (1963, 1965), статье Коантика (1967а) и ряде других источников. Из формулы для ил следует,
2 / g
что на оси трубы значение отношения и! ! и* (равное g4(l)) будет постоянным при всех достаточно больших числах Рейнольдса Ren; этот факт подтверждается множеством экспериментальных данных (показывающих, что на оси трубы и'уц2~о,788 (см, Коантик (1967а)). Из рис. 6.10 и 6.11 видно далее, что относительная интенсивность турбулентности на оси трубы (характеризуемая значением (и/2)‘/2/[/0) в случае гладкой трубы неограни- чено убывает с ростом Ren, а в случае шероховатой трубы, начиная с некоторого значения Ren, остается постоянной — этот результат также хорошо согласуется с данными прямых измерений такой интенсивности. Если область приложимости соотношения (6.60) (родственного закону дефекта скорости (6.50)) перекрывается с областью приложимости относящегося к тому же моменту пристенного закона подобия (6.27'), то в области перекрытия обе функции f^zm (2+) и f^^)» очевидно, должны принимать постоянное значение Akim, т. е. здесь будет справедливой формула (6.47).
Аналогично выводу формулы (6.60), из принципа подобия по числу Рейнольдса следует, что плотность вероятности нормированных на и* пульсаций скорости иЧи*, v4u* и w4u* на расстоянии z от стенки при z^max (z*, Ао) будет зависеть только от £ = = z]Hv, многомерная же плотность вероятности таких нормированных пульсаций в п точках Xi= (xi, у^ zi), ..., xn= (xn, yn, гп) при условии, что гонгах (z*, Ао) для всех /, и расстояния между любыми двумя из рассматриваемых п точек намного превосходят введенный перед формулой (6.32') масштаб т), будет зависеть от величин, описываемых формулами (6.35), и от еще одного добавочного параметра ^i=z4Hi. Профиль же средней скорости диссипации энергии e(z) при турбулентных течениях в трубах и каналах в области z^>max (z*, Ао) должен описываться формулой вида
Ц^ = (и3^Ч$, ^ = z]H\, (6.61)
дополняющей пристенный закон подобия (6.30) для e(z); родственные законы подобия, на которых мы, однако, уже не будем здесь задерживаться, могут быть выписаны и для двухточечных корреляционных функций пульсаций скорости, их пространственных спектров и т. д. Явный вид некоторых из таких законов, а также ссылки на большое число экспериментальных работ, содержащих данные, подтверждающие те или иные из упоминаемых здесь законов подобия для пульсационных характеристик, могут быть найдены, в частности, в обзорных статьях Кадера и Яглома (1980, 1984).
Закон дефекта скорости вида (6.5) справедлив также и для турбулентного течения в открытом плоском канале глубиной На, ограниченном сверху свобод-
ной поверхностью жидкости. Для такого канала под t/o надо понимать максимальную скорость течения, достигаемую на верхней границе — при z—H{, а функция fi(£) здесь может быть отлична от той, которая отвечает течению между двумя твердыми стенками. Ясно, что если для открытого канала допустить, что закон дефекта (6.50) при всех £ может быть описан логарифмической формулой (6.52), то в таком случае надо считать, что Bi = 0. Несколько лучшего согласия с экспериментальными данными можно добиться, приняв, что для открытого канала
h ^ = -А {VT^4 + Dln[(D- VT^/Sli, (6.62)
где Л = 2,5, a D — эмпирическая постоянная; при этом Карман (1930) считал, что D=l, в то время как Хант (1954) нашел, что лучшее согласие с данными измерений получается при несколько большем значении D. Более сложную формулу для отвечающей течению в открытом канале функции h®, имеющую вид
fi (С) = —л Jin J-^^H^5-In(6.62')
где b — эмпирическая постоянная (по-вйдимому, близкая к 1,4), предложил Эллисон (1960). Зная функцию Л (О> можно легко определить и значение постоянной В 2 (или В3) в законе сопротивления (6.58) (или (6.59х)) для открытого канала; на этом, однако, мы уже не будем задерживаться.
Вернемся теперь к закону сопротивления Прандтля—Никурадзе (6.59), относящемуся к турбулентным течениям в гладких трубах. Этот закон задает X в виде сложной неявной функции от Ren, однако для некоторых ограниченных интервалов значений Ren он может быть приближенно заменен гораздо более простыми степенными законами сопротивления вида
к = С^ео)-т. (6.63)
Такие степенные законы получаются, в частности, при аппроксимации (часто применявшейся в прошлом) профилей скорости й(г) степенными формулами вида
й^[и* = С\ ^zu*h^. (6.64)
Нетрудно видеть, что профилю (6.64), где 0 ^ z ^ R, отвечает закон сопротивления вида (6.63), где ли = 2n/(n + 1), а С просто выражается через Ci и п. Наиболее известным степенным законом сопротивления является эмпирический закон Блазиуса (1913)
Л = 0,3164Rep‘/<, (6.63')
установленный с помощью обработки данных, относящихся к числам Рейнольдса Reo, не превосходящим 5-Ю4 (см. рис. 6.10) и отвечающий допущению, что п = V? в формуле (6.64).
Помимо степенных формул, в литературе можно найти и целый ряд других приближенных формул для функции X(Reo), аппроксимирующих решение уравнения (6.59) на большом интервале значений Ren. Для течений в динамически слегка шероховатых трубах Коулбрук и Уайт предложили использовать составную формулу
1 ( hs । 18,6 fe ею ^= 1-74 - 0,8710^ + -^^). (6-65)
переходящую в уравнение вида (6.59) (с чуть-чуть отличными значениями коэффициентов) при hs <С 18,6R/ReD VX и в уравнение вида (6.59') (с 4, =0,87, 272
Вз= 1,74) при hs^ 18,6^/ReD ^X и хорошо описывающую эмпирические данные о значениях X = X(Reo) также и при промежуточных значениях к» (см. А. Рейнольдс (1979)).
некоторыми (z*, /г0) онинекоторыми (z*, /г0) ониЗаметим еще, что вывод законов сопротивления (6.59) и (6.59х) опирается на использование «пристенного закона» (6.13) (или его обобщения на случай течения вдоль шероховатой стенки), справедливого, строго говоря, лишь в предположении о постоянстве напряжения трения т = т0 = и2. Если же учесть изменчивость значений т = t(z) при изменении г, то в принципе можно допустить, что профиль средней скорости й(г) зависит, например, и от производной dx(dz, а это уже резко усложняет теоретический анализ. Один вариант усложненной теории такого типа был изучен Таунсендом (1961) и А. Рейнольдсом (1965), исходившими из общего уравнения (6.48), дополненного более специальными гипотезами. В результате для области z>»max получили следующее, уточняющее (6.21), уравнение:
некоторыми (z*, /г0) они
некоторыми (z*, /г0) они
(6.21')постоянная,(6.21')постоянная,^^А^Цх-Д'-Ц^ЦА,dz z \ т | dz |/ •
(6.21')
постоянная,
(6.21')
постоянная,
где m* = (t0/p)V2, А = 1/х«2,5, А' — еще одна безразмерная
а [dt/dz] =to///i для течений и в трубах, и в каналах (в силу (6.17) и (6.17х)). Согласно результатам проведенной А. Рейнольдсом обработки экспериментальных данных А^ХД для течений в трубе и Ах«1,7 для течений в канале (так что значение Ах=1,5 может рассматриваться как разумное первое приближение для обоих упомянутых классов турбулентных течений); почти то же значение (А'«1,47) Рейнольдс получил и для пограничных слоев на плоской пластине при dpjdx = 0.
Формула (6.21х) приводит к указанной Таунсендом (1961) более сложной, чем (6.25), форме профиля u(z), обращающейся в логарифмический профиль (6.25) только в тонком слое, где z\dxldz\<^xQ и, значит, можно считать, что r(z) = to = const.
Турбулентный пограничный слой на плоской пластинке
Перейдем теперь к рассмотрению турбулентного пограничного слоя на длинной плоской пластинке при постоянной скорости U набегающего течения. Осредненное движение в таком пограничном слое будет стационарным и почти плоскопараллельным; во многом оно будет близким к течению в трубе, радиус которой равен толщине 6 пограничного слоя, а скорость на оси — скорости U вне этого слоя. Имеются, однако, по крайней мере две причины, нарушающие аналогию между течениями в трубах и в пограничном слое. Во-первых, ясно, что физические условия на внешней границе пограничного слоя весьма отличны от условий в центре трубы. Во-вторых, характеристики пограничного слоя зависят не только от нормальной к пластине координаты z, но также (хоть и сравнительно слабо) и от продольной координаты х, отсчитываемой вдоль пластины. Указанные причины приводят к тому, что с теоретической точки зрения течение в пограничном слое оказывается значительно сложнее течений в канале или трубе.
Разница между течениями в пограничном слое и в трубах и каналах не затрагивает тонкого слоя жидкости, непосредственно примыкающего к пластине, в котором действует универсальный
«закон турбулентности вблизи стенки» (6.13). Как видно из рис. 6.1, этот закон одинаков и для труб, и для каналов, и для пограничных слоев. Величина и*, входящая в формулу (6.13), в пограничном слое, разумеется, может изменяться при изменении х; это изменение, однако, оказывается довольно медленным, так что в каждом сечении х = const поток успевает приспособиться к местным условиям и зависит уже лишь от значения и* при данном х. Изменяется с ростом х также и относительная толщина слоя, к которому приложим закон (6.13): если при малых Rex = = uxh, не превышающих 106, формулу (6.13) еще можно с приличной точностью прилагать ко всем z вплоть почти до самой границы турбулентного пограничного слоя, то при Rex порядка 107—108 суммарная толщина вязкого подслоя и логарифмического пограничного слоя уже не превосходит 10—20 % от толщины 6. Это последнее обстоятельство, очевидно, отличает течение около плоской пластинки от течений в трубах и каналах, где при всех Re > Recr логарифмическими формулами можно без большой ошибки пользоваться вплоть до оси трубы или середины канала.
Профиль средней скорости во внешней части пограничного слоя естественно характеризовать зависимостью от z дефекта скорости U — й^. Если исходить из хорошо подтверждающегося на опыте предположения, что для невозмущенного пограничного слоя профиль скорости в каждом сечении х = const зависит лишь от локальных условий, относящихся к этому же сечению, то разность U — й^ должна определяться значениями U и 6, параметрами жидкости v и р, а также (в случае шероховатой пластинки) характеристиками шероховатости при данном х. Согласно общему принципу подобия по числу Рейнольдса, следует ожидать, что во внешней части течения, достаточно далеко отстоящей от стенки, вязкость v и характеристики шероховатости будут сказываться только через посредство зависящей от них величины напряжения трения на стенке т0 (или динамической скорости и* = Ут0/р, или локального коэффициента трения Cf = 2(u*IUPY Отсюда вытекает следующая общая форма закона дефекта скорости для пограничного слоя:
“ ~t1,1 = Мт ■ тг) (6-“»
(см. Ротта (1962а, б)). Для проверки этого закона целесообразно нанести на график зависимость [t/—w(z)]/u* от £=z/6 и попытаться выяснить характер рассеяния экспериментальных точек в зависимости от значений u^fU. При этом оказывается, что это рассеяние полностью покрывается обычным разбросом экспериментальных точек, так что с точностью до погрешностей измерений все значения \U— zz(z)]/u* прекрасно ложатся на одну кривую (см., например, рис. 6.12, заимствованный из обзорной статьи Клаузера (1956)). Таким образом, зависимость отношения \U — й^УМи* от медленно меняющейся с изменением Rex величины u*IU, если только она имеет место, является крайне слабой.
Это означает, что на практике закон дефекта скорости для пограничного слоя на плоской пластинке может быть записан в виде
"^(2) =(6-67)
полностью аналогичном тому, который использовался выше при рассмотрении течений в трубах и каналах.
Рис. 6.12. Проверка закона дефекта скорости для турбулентного пограничного слоя по данным разных авторов.
/ — Фримен, 2 — Клебанов и Диль, 3 — Шульц-Грунов, 4—Хама, 5 — Унив. Дж. Гопкинса (для шероховатой стенки), 6 — Хама (для шероховатой стенки), 7 — Мур (для очень шероховатой стенки).
Закон (6.67) заметно менее удобен, чем закон дефекта скорости (6.50) для труб и каналов, так как в (6.50) фигурирует очень просто измеримая длина Н^ а в формулу (6.67) входит толщина пограничного слоя 6, не имеющая точного определения и лишь с малой точностью определяемая по данным эксперимента. В то же время отношение длины 6 к более точно определяемой толщине типа, например, толщины вытеснения 6* в турбулентном пограничном слое (в отличие от ламинарного) оказывается переменным (зависящим от u*!UY Действительно, из соотношения (6.67) и определения (1.53) толщины следует, что
1
д* = С -^ д, С = j f, (n) d^ = const(6.68)
(вкладом вязкого подслоя или подслоя шероховатости, к которому неприложим закон (6.67), здесь пренебрегается). Учтя это соотношение, Ротта (1951а) предложил использовать в формуле (6.67) вместо 5 = г/6 пропорциональный £ безразмерный аргумент
Ясно, что если данные наблюдении покажут, что
VU — й^и* является однозначной функцией от gi, то это означает, что выполняется также и обычный закон дефекта (6.67).
Рис. 6.13. Логарифмическая форма закона дефекта скорости для пограничного слоя, по данным разных авторов.
/ — Фримен, 2, 3 — Клебанов и Диль, 4 — Шульц-Грунов.
Разумеется, закон (6.67) не может выполняться вплоть до самой стенки, так как он не содержит вязкости v (и характеристик неровностей, если стенка шероховатая). Непосредственно около стенки действует универсальный закон (6.13) (или (6.15)), и, как мы уже видели, в области, к которой применимы одновременно оба эти закона, функции f и fi обязательно будут логарифмическими. Поэтому неудивительно, что после переноса данных рис. 6.12 на новый график, на котором по оси абсцисс нанесена логарифмическая шкала, функция fi(£) в пределах от £ = 0,01 и до примерно £ = 0,15 представляется прямой вида —A In t] + 5i, где А = 2,5 (см. рис. 6.13, где учтена лишь часть точек, имеющихся на рис. 6.12).
Аналогичные рис. 6.13 графики зависимости [(7— u^z^Ju* от ^ = 2,6 для пограничных слоев и на гладких, и на шероховатых пластинах строились в дальнейшем и многими другими авторами; при этом значение коэффициента А в логарифмической форме закона дефекта скорости, как правило, оказывалось близким к 2,5, а получаемые значения Bi характеризовались заметным разбросом, но лучшие из имеющихся данных определенно показывают, 276
что здесь Bi «2,4 (т. е. намного превосходит значение Bi в трубах и каналах). Заметим еще, что разброс экспериментальных значений Bi для течений в пограничном слое может в какой-то мере быть связан с неточностью определения длины б, но может также объясняться и еще одним обстоятельством. Дело в том, что, согласно данным ряда работ (перечисленных в обзоре Кадера и Яглома (1980)), «пристенный закон» (6.13) или (6.15), справедливый лишь в тонком прилегающем к стенке слое, при постепенном уменьшении числа Рейнольдса Re» = u*6/v очень долго сохраняет свою форму, в то время как закон дефекта скорости (6.67) раньше начинает реагировать на изменение Re». Поэтому при не слишком большом Re» эту величину надо добавить к числу аргументов, от которых зависит функция ft (или, что то же самое, использовать формулу (6.66) вместо (6.67)).
Нетрудно теперь показать, что при наличии интервала перекрытия областей применимости законов (6.13) (или (6.15)) и (6.66) обе функции f и fi на этом интервале обязательно будут логарифмическими, но только коэффициент Bi в выражении для fi(£) теперь уже может зависеть и от u*/t/ (или Re*). Логарифмический закон дефекта скорости с Bi = Bi(m»/(/) =Bi(Re*) рас- сма^ривался в работах Гранвила (1977) и Городцова (1979), где можно найти также эмпирические данные о зависимости Bi от Re» и учитывающее эту зависимость уточнение закона сопротивления для пограничных слоев, о котором еще будет идти речь ниже; см. также Кадер и Яглом (1980). Согласно данным Гранвила, Bi перестает зависеть от Re* при Re* ^ 103; в дальнейшем последнее условие всегда будет считаться выполненным и поэтому будет предполагаться, что Bi — это близкая к числу 2,4 постоянная. В области же £>0,15, как показал Хама (1954), отвечающая турбулентному пограничному слою функция fi(£) хорошо описывается следующей эмпирической формулой:
МО = 9,6(1-С)2. (6.69>
Другая приближенная форма функции М£)> менее точная, чем (6.69) в области £>0,15, но зато неплохо описывающая профиль скорости и на заметно более широком интервале значений £, была указана Жукаускасом и Шланчяускасом (1973); см. также Кадер и Яглом (1980) и обсуждение формулы Коулса (6.70) для й^ ниже в этом параграфе.
Существенная разница между профилем скорости в турбулентном пограничном слое около его внешней границы и профилем скорости в трубах и каналах около оси естественно объясняется резким различием турбулентных течений во внешней части пограничного слоя и в центральной части трубы или канала. Заметим, что в отличие от ламинарного пограничного слоя, не имеющего сколько-нибудь четкой границы, турбулентный пограничный слой обычно имеет отчетливую внешнюю границу, за которой турбулентность практически отсутствует. Эта граница имеет неправильные очертания, беспорядочно изменяющиеся во времени, как
это хорошо видно на теневых фотографиях турбулентного пограничного слоя, на которых визуализированы возмущенные области потока (см., например, рис. 6.14). Соответствующая такой фотографии общая схема турбулентного пограничного слоя представлена на рис. 6.15. По данным измерений многих авторов (в частности, Клебанова (1955), Корсика и Кистлера (1954), Фидлера и
Рис. 6.14. Теневая фотография турбулентного пограничного слоя на цилиндре (из статей Ротта, 1962а,б). Направление течения — слева направо.
Хеда (1966) и др.), верхняя граница турбулентного пограничного слоя в каждой отдельной точке колеблется в пределах примерно от 0,36—0,46 и до 1,26 (где 6—расстояние от стенки, на котором средняя скорость равна 0,99 U) почти по нормальному закону со средним значением 0,786—0,806.
Ввиду крайней изрезанности границы турбулентного пограничного слоя некоторые исследователи предложили рассматривать эту границу как «фрактальный геометрический объект», промежуточный между двумерной поверхностью и трехмерным телом и имеющий дробную размерность, большую чем 2 (Сринивасан и Менево (1986); ср. п. 2.11).
Доля у (г) времени, в течение которого на расстоянии г от стенки наблюдается турбулентность, убывает с ростом г и при 2=6 равняется всего лишь 0,06. Отсюда ясно, почему логарифмический профиль, характерный для развитой турбулентности, с неплохой точностью применимый почти до центра канала или трубы, в пограничном слое при большом Re, как это видно из рис. 6.13, неплохо выполняется лишь в пределах тонкого слоя жидкости, расположенного около стенки. Дело в том, что вне примыкающего к стенке тонкого слоя в каждой точке течения быстро чередуются периоды наличия и отсутствия турбулентности, так что среднее по большому промежутку времени значение скорости здесь фак-
тически оказывается средним между значениями скорости, отвечающими турбулентному и ламинарному течениям.
Отметим в этой связи, что, предположив, что при наличии турбулентности профиль скорости и при больших значениях £ может быть описан логарифмической формулой, в то время как в периоды отсутствия турбулентности й(г) совпадает со скоростью внешнего обтекающего пластину течения, Томпсон (1965)
Стэнка
Рис. 6.15. Общая схема турбулентного пограничного слоя на плоской пластинке.
построил семейство профилей й(г), хорошо согласующихся с данными измерений в турбулентных пограничных слоях (см. также Дворак и Хед (1967)). Поскольку в ламинарном течении скорость заметно быстрее возрастает с увеличением 2, чем в турбулентном течении (см. рис. 6.9), ясно, что во внешней части турбулентного пограничного слоя средняя скорость должна возрастать при удалении от стенки быстрее, чем по логарифмической формуле. Естественно также, что для пограничного слоя, возникающего при обтекании плоской пластины сильно турбулизованным внешним течением, различие между условиями во внешней части этого слоя и в центре трубы должно быть менее значительным. И действительно, опыты целого ряда исследователей, пропускавших обтекающее пластину течение сначала через турбулизирующую решетку, показывают, что форма функции /1(ц) в формуле (6.67) зависит от степени возмущенности внешнего течения и при увеличении этой степени возмущенности приближается к форме, характерной для турбулентных течений в трубах и каналах.
Интересная попытка объединения универсального пристеночного закона (6.13) с законом дефекта скорости (6.67) была предпринята Коулсом (1956). В силу соотношения (6.13) профиль средней скорости в сечении х = const пограничного слоя может быть представлен в виде
м(г) = Ы!И[/(^) + А(г)], (6.70)
где Цг+)—функция, изображенная на рис. 6.1 (и обращающаяся в А In 2+ + В при 2+>30), а /г (г)—поправка к универсальному закону (6.13), обращающаяся в нуль вблизи пластины. Однако в таком случае ((/ — й^!и* = А In (6/2) +Л(6)—Л(г) при 2> > 30v/u*; поэтому для справедливости закона дефекта скорости функция /1(2) должна зависеть только от £=2/6. Исходя отсюда Коулс предположил, что
-^ = /(-^) + АПю(^) = Нг + )4М^^^^(6.71)
где Л = 1/х^2,5, П — новая постоянная, а функция w(r]) удовлетворяет условиям w(0)=0 и и^(1) =2 (последнее из них всегда можно удовлетворить, подобрав должным образом значения П). При этом еще остается некоторая неопределенность, связанная с тем, что толщина 6 определяется не вполне однозначно; воспользовавшись этим, Коулс наложил на функцию w(t]) дополнительное 1
условие нормировки ^ w(t]) dx\ — 1, которое, как легко видеть, эко
я * U 1 +пбивалентно условию о*о. Тем самым он задал ко-и* х
эффициент С в формуле (6.68), указав точную связь масштаба 6 с заметно легче измеряемой толщиной вытеснения 6*, величиной u*IU и параметрами х и П.
Обработав большое число экспериментальных данных о профилях скорости в турбулентных пограничных слоях (как при постоянном, так и при зависящем от х давлении в обтекающем течении), Коулс обнаружил, что для широкого класса пограничных слоев функция ^(т]) оказывается одной и той же. Таким образом, по данным Коулса внешние условия обтекания (включая и распределение давления в свободном течении) отражаются лишь на величине множителя П (который в случае непостоянного давления может зависеть от координаты х); в простейшем случае безнапорного обтекания пластины течением постоянной скорости П = = const^0,55 при всех не слишком малых значениях числа Рейнольдса. (Согласно отчету Коулса (19626) П = const при Re** = = 6**{7/v ^6000, в то время как при меньших значениях Re** коэффициент П быстро убывает с уменьшением числа Рейнольдса). Значения функции w(£) (где 0^^^ 1) Коулс, определив с помощью обработки экспериментальных данных, представил в виде таблицы. Позже Хинце (1963) нашел, что эта функция очень неплохо аппроксимируется простой тригонометрической функцией w(£)=l—cos л£ (рис. 6.16), тогда как Ротта, затем Танака и Химено и, наконец, Мозес предложили три разные полиномиальные приближенные формулы для w^) (простейшей из них является формула Мозеса w(£)=6£2— 4£3; см., например, Кадер и Яглом (1980)). Отметим еще, что ряд авторов использовал формулу (6.71) с той же, что и у Коулса, функцией w^
(где теперь уже ^=г/Н1) для описания также и профилей средней скорости й(?) турбулентных течений в трубах и каналах и,, подобрав должным образом значение П (заметно меньшее, чем то, которое надо использовать для пограничных слоев), получил очень неплохое согласие с опытными данными (см., например, статью Хуанга (1974), где и показывается, что формула (6.71) с П = 0,5 хорошо описывает профиль скорости в турбулентном пограничном слое на пластине, а та же формула с П = 0,2 — профиль й(?) течения в круглой трубе). Однако использование формулы (6.71) для описания течения в трубе или канале вплоть до значения £ = 1 неудобно в том отношении, что
Рис. 6.16. Универсальная функция следа w^ по Коулсу (1956).
Сплошная кривая — йу(£), штриховая — ,.(. t — 1 'Л
1 + sin-’
при всегда принимаемом условии w' (1) = 0 из (6.71) следует неравенство duldz^Q при z = Hi (противоречащее соображениям симметрии). В связи с этим было предложено дополнить правую часть (6.71) еще одной функцией a>i(O, такой, что wi(0) = =ty.i(l)=O, a dw\ldK, = —А при £ = 1, причем оказалось, что хорошее согласие с опытом достигается при Щ1(0=М0— С3) (см., например, Брэдшоу (1980) или Кадер и Яглом (1980).
Поскольку w(0) =0 (а также и а>1(0) =0) и обе функции МО и wi(O очень медленно возрастают вблизи точки £=1 (ибо M(0)=w[(0) =0), то как формула (6.71), так и модифицированная формула, дополненная слагаемым wi(O при z<c6 (или z< -СН^ фактически переходят в «пристенный закон» (6.13). В то же время поскольку f(z+) =А Inz+ + B при z+^>l, то при z+>l из (6.71) вытекает «закон дефекта скорости» (6.67) (или (6.50)) с МО =—Л In С+ЛЩ2 — w(£)J (или же fi(^) = — Л1пС + +ЛП[2 — МО]— ^1(0» если считать, что правая часть (6.71) должна быть дополнена слагаемым wi(O)- Таким образом, задание функции МО (или функций to (О и 1У1(О) и постоянных А и П автоматически определяет также и вид функции МО в формулах (6.67) или (6.50); подробнее см. Кадер и Яглом (1980).
Чисто формально в равенстве (6.71) можно положить и*->-0 (т. е. то-э-0); тогда П->оо, и в силу условия а>(1)=2 получаем
Таким образом, функция w("n) задает форму профиля средней скорости в точке, где то=О, т. е. du/dz = 0 при z = 0, и значит, происходит отрыв пограничного слоя (ср. схематический рис. 2.2). Исходя отсюда Коулс назвал функцию ф(т)) функцией следа (так как на оси следа за цилиндром dujdz = 0 и т = 0), а закон (6.71) —законом следа.
Как и в случае течений в трубе, из существования области течения, к которой приложим и пристеночный закон (6.13), и закон дефекта скорости (6.67) (с логарифмическими функциями f и fi), вытекает, что локальный коэффициент трения
- т° — 9 (“» V- р^=/2 - и )
должен удовлетворять уравнению вида
^=~7Tln(Re^)+S3’ Кей = -^
^В3 = В + В1-Д(1п2)/2(6.72)
(ср. вывод уравнения (6.54)). Однако, наличие в формуле (6.72) неточно определяемой толщины пограничного слоя 6 делает эту формулу неудобной для приложений; поэтому желательно заменить здесь 6 какой-либо более легко определяемой длиной. Можно, например, воспользоваться формулой (6.68), позволяющей переписать уравнение (6.72) в виде
—^-=^lnRe6. + B„ Re6. = -^-, V^f V2v
в4 = В3 + А [(|n2)/2_-|nCl .(6.73)
V2
Сравнение этого соотношения с данными некоторых известных измерений значений с/ для пограничного слоя на гладкой плоской пластинке приведено на рис. 6.17; оно показывает, что формула (6.73) с А =2,5 и 54 = 2,6 достаточно хорошо описывает экспериментальные результаты.
Заметно удобнее, однако, использовать вместо 6 не толщину вытеснения 6*, а еще более простую длину х (отсчитываемую от переднего края пластины или от точки турбулизации пограничного слоя, если эта точка не совпадает с началом пластины). Для установления связи длин 6 и х можно, как это было показано Ландау (см. Ландау и Лифшиц (1986), § 44), воспользоваться общими соображениями анализа размерностей. Перейдем к системе координат, двигающейся горизонтально со скоростью U течения вне пограничного слоя. В этой системе координат толщина пограничного слоя будет расти со временем за счет захвата турбулентным слоем добавочных порций жидкости, проникающих
в его пределы через внешнюю границу пограничного слоя. Процесс такого захвата определяется режимом турбулентных пульсаций вблизи внешней границы, характеризуемым двумя физиче-
Рис. 6.17. Зависимость локального коэффициента сопротивления су для пограничного слоя на плоской пластине от числа Рейнольдса Re6# поданным разных авторов.
/ — данные Шульца-Гру нова, 2 — данные Смита и Уокера при разных х.
Отсюда вытекает, что db/dt может зависеть лишь от и* и 6, так что в силу соображений размерности db !dt = b\u», где bt — постоянный коэффициент, не зависящий от условий вблизи пластины (т. е., в частности, принимающий одно и то же значение в случаях гладкой и шероховатой пластины). Возвращаясь теперь к исходной (неподвижной) системе координат, получаем:
X
■^Г = ь^> b^ = bt\-^.dx.(6.74)
о
Значение отношения u*(U, вообще говоря, зависит от х, но так как с ростом х оно изменяется очень медленно, то в первом приближении u^/U можно просто вынести из-под знака интеграла в правой части второй формулы (6.74) (быть может, немного
изменив одновременно значение коэффициента bi). Отсюда получается приближенное равенство
Ь = Ь-^х. (6.75)
Равенство (6.75) Кадером и некоторыми другими авторами (см. Кадер и Яглом (1980, 1984)) сопоставлялось с многочисленными данными измерений толщины 6 пограничного слоя на гладких и шероховатых пластинах; оказалось, что при 6=0,33 оно хорошо согласуется почти со всеми экспериментальными результатами. Подставив равенство (6.75) в (6.72), приходим к формуле
^=^ln(Re,Cf) + B5, Re, = 5^63 + -^ in4-,
(6.76)
выражающей известный кармановский закон сопротивления для турбулентного пограничного слоя (найденный Карманом (1930, 1934) на основе несколько иных соображений). Приняв, что А«
«2,5, B + Bi«5,5 + 2,4 = 7,9 и 6 «0,33, получаем, что Л/У2 = 1,77 и Bs«2,4; эти значения коэффициентов слегка отличаются от предлагавшихся Карманом, но они приводят к значениям с/, хорошо согласующимся с данными большинства измерений в турбулентных пограничных слоях на гладких пластинах. В случае же шероховатых пластин постоянное значение В«5,5 надо заменить на Bt-Bkhoiuh, а1( аг...), входящее в формулу (6.25а). В частности, для динамически вполне шероховатой пластины В = = —A In (Aou*/v) + В', где В'=В' (Qi, 02, ...) уже не зависит от йо. Поэтому для таких пластин уравнение (6.76) принимает вид
> « V^ + S„ = , (6.76-) V<?f V2 х ^0 v М 6’ 6 V2
где в случае песочной шероховатости В' ж 8,5, т. е. если Bi«2,4 и 6^0,33, то В6^5,1. Можно показать, что при Л =2,5 и В6 = 5,1 уравнение (6.76х) хорошо согласуется с экспериментальными данными, относящимися к обтеканию потоком жидкости пластин, покрытых слоем приклеенных к ним и тесно примыкающих друг к другу песчинок (см., например, Кадер и Яглом (1984)).
До сих пор мы рассматривали только профиль средней скорости в турбулентном пограничном слое и тесно с ним связанные законы сопротивления, определяющие значение Cj^^^u^lUy. От-
метим теперь, что одноточечные моменты пульсаций компонент скорости в пограничном слое на плоской пластине, нормированные делением на степень и*, делающую их безразмерными, вблизи стенки (при 2<Сб), очевидно, должны зависеть, и притом точно так же, как и в случае турбулентных течений в трубах и каналах, только от z+ = zu*lv (если стенка гладкая) или же от z^ h+ = hQU^Iv, oi, 02, ... (если стенка шероховатая). Во внешней же части пограничного слоя, где 2>max (v/u*, /г0), нормированные моменты пульсаций скорости должны зависеть от £ = 2/6, т. е. здесь должны иметь место формулы вида (6.60), где /71 заменено толщиной 6, а функции f^ могут отличаться от тех же функций, отвечающих течениям в трубах и в каналах. Аналогичные сооб ражения применимы и к другим статистическим характеристикам турбулентности в пограничных слоях (в частности, к средней ско
рости диссипации энергии е(2), корреляционным функциям, спектрам и плотностям вероятности пульсаций скорости); см. в этой связи п. 6.3—6.5 и обзорные статьи Кадера и Яглома (1980, 1984). Отметим также, что для внешней области турбулентного пограничного слоя, наряду с обычными (безусловными) статистическими характеристиками пульсаций скорости, значительный интерес представляют также и условные статистические характеристики, описывающие режим пульсаций в те моменты времени, когда турбулентность реально присутствует (при определении таких условных характеристик с помощью осреднения данных измерений по времени промежутки времени, когда турбулентность отсутствует, должны быть просто исключены из рассмотрения). Изучению условных статистических характеристик турбулентности в пограничных слоях в последнее время уделяется много внимания; как правило, эти характеристики оказываются заметно отличающимися от безусловных характеристик и заметно более близкими, чем эти последние, к статистическим характеристикам турбулентных течений в трубах и каналах.
Можно проверить, что в силу уравнения (6.76) Cf является медленно убывающей функцией х. Однако явное определение зависимости Cf от Rex из уравнения (6.76) является довольно сложным делом и поэтому на практике вместо (6.76) обычно используются заметно более простые интерполяционные или эмпирические формулы. Так, например, Шлихтинг (1936) (и (1969), с. 597) предложил для Cf расчетную формулу с? = (2 lg Re* — 0,65) ~2*3, а Шульц-Грунов (1940) — формулу Q = 0,370 (lg Rex)-2,584 (где 1g — десятичный логарифм). Допустив, что й(г) ~ г-^7 при всех значениях х (см. с. 272), легко получить еще более простое соотношение Cf = с (Rex)-^5 > которое при с=0,0576 неплохо согласуется с данными измерений при 5-105<Rex< 107 (см. Шлихтинг (1969), с. 593). При Rex>107 последняя формула приводит уже к заниженным значениям cf, однако при всех Rex<109 неплохое согласие с опытом получается при использовании столь же простой эмпирической формулы Фокнера (1943)
cf = 0,0262 (Rex)-V'. (6.77)
Формулы (6.75) и (6.77) показывают, что для турбулентного пограничного слоя д^х13/м, в то время как толщина ламинарного пограничного слоя, согласно
гораздо медленнее возрастает с ростом х — всего лишь как хх1» (см. рис. 1.4, на котором нанесены измеренные значения б как в ламинарной, так и в турбулентной частях пограничного слоя).
Наряду с локальным коэффициентом сопротивления cf=cf(x), большой интерес представляет полный коэффициент сопротивления Cf пластины длиной 1У определяемый формулами
I 2
£f = Т 5 С^ ^^ ^х ~ (р£/2/2) • 2/ 1 ^ ~ $ j т° (х) dx (6.78)»
(ср. (1.51) и (1.52)). Коэффициент Cf значительно проще поддается измерению, чем Cf, и поэтому для него имеется очень много экспериментальных данных. Исходя из формулы (6.76) для Cf Шенгер (1932) получил для Cf уравнение
—^ = 4,1318 (Re/Cf), Rez=-^-, (6.79). VCf v
решение которого хорошо согласуется с опытными данными. Рассуждая иначе, Шлихтинг (см. (1969), с. 597) предложил для Cf простую интерполяционную формулу С/= 0,455 (lg Rez) —2’56; близкую к ней интерполяционную формулу использовал и Шульц-Грунов (1940). Наконец, формула (6.77) приводит к соотношению
Cf = 0,0306Re7"'/7, (6.80).
сопоставление которого с формулой (1.52) показывает, что при турбулентном обтекании пластины сопротивление обычно значительно больше, чем при ламинарном, и гораздо медленнее убывает с ростом числа Рейнольдса.
Предыдущие рассуждения, касающиеся величины С/, относились только» к случаю, когда пограничный слой можно считать турбулентным, начиная практически от самого переднего края пластины. Если же переход к турбулентному режиму происходит лишь в точке х0, удаленной от переднего края, то в выражение для Cf следует внести поправку на наличие ламинарного участка пограничного слоя, на которой мы здесь уже не будем задерживаться (см., например, Монин и Яглом (1965), Шлихтинг (1969) или Рейнольдс (1979)).
До сих пор мы говорили почти исключительно о простейшем случае турбулентного пограничного слоя, отвечающего постоянной (не зависящей от х) скорости U обтекающего пластину течения и, значит, отсутствию продольного градиента среднего давления dp/dx. Однако при рассмотрении закона следа Коулса (6.71) было отмечено, что этот закон с коэффициентом П, зависящим от х, с успехом использовался и для описания профиля скорости градиентных турбулентных слоев с dp/dx^Q. Поскольку турбулентные пограничные слои с dp/dx У= 0 очень часто встречаются в технических приложениях, приближенным методам расчета таких слоев посвящена обширная литература; см., например, Шлихтинг (1969), Федяевский, Гиневский и Колесников (1973), Гиневский, Иоселевич и др. (1979), А. Рейнольдс (1979), Лойцянский (1987), где можно также найти много дополнительных ссылок. Отличающийся от других метод исследования градиентных пограничных слоев был предложен Кадером и Ягло- мом (см. их обзор (1984)); он опирается на то, что из величин и., и л = = p-v\dp/dx\ можно составить «градиентный» масштаб длины Ьр=и^к, и близко примыкает к подробно излагаемой в IV разделе этой книги теории подобия для пограничных слоев температурно стратифицированной жидкости, в которой основную роль играет масштаб длины L, характеризующий стоатифи- кацию. Мы, однако, не имеем возможности подробно остановиться здесь на исследовании пограничных слоев с dp/dx^Q. Тем не менее отметим, что, как нетрудно показать (ср. аналогичный вывод для пристенных температурно стратифицированных течений в п. 8.2), при z^Lp влиянием продольного градиента давления dp/dx на турбулентное течение вообще можно пренебречь. Поэтому,
в частности, при z^min(Lp, д) в случае гладкой стенки профиль средней скорости й(г) будет описываться обычным прандтлевским законом (6.13) пристенной турбулентности (а в случае шероховатой стенки — таким же законом, где только функция /, кроме z+ = ziuht может уже зависеть и от безразмерных параметров /i+ = /iom*/v, oh о2, • • -, описывающих размер, форму и распределение неровностей стенки). Далее, при max(v/w*, До) <С С г <С min (Lp, д) в случае гладкой стенки профиль средней скорости будет описываться логарифмической формулой (6.25), где Л и В — универсальные постоянные (а в случае шероховатой стенки — таким же законом (6.25а), где теперь уже B = B(h+, oh а2, • ■•); см. п. 6.4). В области же max(v/w*, h0) <С С2<Сд при условии, что max(v/w*, h0) <C.LP<C6, параметры v, h0, д не влияют на течение, но и* и Lp могут играть существенную роль; поэтому здесь, в частности, duldz=(u1tlz)fp(zlLp), где /Р(У—универсальная функция одной переменной (принимающая разные значения при dp[dx>Q и dp!dx<Q). Кроме того, если Lp<cd, то при Lp<CzCd уже и и» не должно оказывать влияния на течение, и, следовательно, здесь 1р^)=К^^, dH/dz = Кк^г^2, где К — универсальная постоянная («закон V2»). Заметим еще, что в случае течения в круглой трубе радиусом L или в плоском канале полушириной L имеют место очень простые соотношения Lp = Ц2 или Lp — L соответственно. Таким образом, здесь величина тс = p-x\dp/dx\ просто выражается через L и и* и не должна учитываться в качестве дополнительного размерного параметра, а условие z ^ Lp эквивалентно условию z ^ L (так что при z ^ L должен выполняться обычный закон пристенной турбулентности (6.13), а при max(v/w*, ho) <^ z^L— логарифмический закон (6.25) или (6.25а)).
6.7. Профили концентрации пассивной примесиоколо стенки; тепло- и массопереносв турбулентном пограничном слое
Выше детально рассматривался вопрос о распределении средней скорости и о трении в турбулентных течениях вдоль твердой стенки. Оказывается, что аналогичные соображения могут быть применены и к распределению температуры или концентрации произвольной пассивной (т. е. не влияющей на движение жидкости) материальной примеси и к тепло- и массопереносу в таких течениях. Ниже будут приведены основные относящиеся сюда факты; более подробное изложение, включающее ряд дополнительных сведений, можно найти, например, в книгах Кэйса (1972), А. Рейнольдса (1979), Братсерта (1985) и ряде других, а также в обзорных статьях Кадера и Яглома (1980, 1984), содержащих обширные списки литературы.
Рассмотрим, как и в п. 6.2—6.3 этой книги, плоскопараллельное течение жидкости вдоль оси Ох в полупространстве 2 > 0 (ограниченном твердой стенкой, которую мы пока для простоты будем считать гладкой) при нулевом (или пренебрежимо малом) продольном градиенте среднего давления dpldx. Предположим, что на граничной поверхности 2 = 0 поддерживается постоянное значение Фо концентрации некоторой пассивной примеси. При этом в жидкости будет иметься постоянный поток / примеси, направленный от стенки (т. е. вдоль положительного направления оси Ozy и уравнение (6.7') будет иметь вид
j (z) = —рХ -^- + рУш = /о = const.(6.81)
Профиль средней концентрации Ф будет зависеть от статистических характеристик поля скорости (определяемых параметрами v и и), а также от коэффициента диффузии х, плотности р и интенсивности переноса примеси, характеризуемой значением потока /о. Вводя специальную размерность 0 для величины $ и обозначая размерность массы буквой М, получаем: [/0] = M0L“2T“\ [p] = ML“3, [u*] = LT-1, [v]= [x] = L2T~1. Следовательно, в силу соображений размерности
0(2)-0(О) = --А-Ф(^, ^-) = 0#<р(2+, Рг), (6.82)
где
есть величина размерности 0, задающая естественный масштаб концентраций (безразмерная постоянная Кармана х=1/Л«0,4 включена здесь в определение величины 0*, поскольку в дальнейшем это иногда окажется удобным), a <p(z+, Рг) —новая универсальная функция от двух переменных, удовлетворяющая условию <р(0, Рг) =0. Если -О— это температура Т, то формулы (6.81) — (6.83), естественно, следует записать в виде
(6.82')(6.83х)(6.82')(6.83х)q (z) = —сррХ -^- 4- CppT'w' = q0 = const, (6.81')
(6.82')
(6.83х)
(6.82')
(6.83х)
Рг),
Формула (6.82'), содержащая неизвестную функцию <р, может быть сильно упрощена в случае достаточно больших значений г. Под достаточно большими здесь понимаются значения г, удовлетворяющие прежде всего условию z>z* = v/«w, при котором коэффициент вязкости v не оказывает уже влияния на распределение средней скорости и (по той же причине) не влияет и на распределение средней температуры. Кроме того, от рассматриваемых значений z требуется, чтобы турбулентный поток тепла q^^Cpp^'w' при таких z был по абсолютному значению много больше потока тепла —Cpp^Vd^ldzy связанного с молекулярной теплопроводностью; при этом условии и коэффициент х также не будет влиять на изменение величины Ф с высотой. Заметим теперь, что, поскольку турбулентный поток тепла порождается тем же вихревым пульсационным движением, что и турбулентный поток импульса т’1^—pu'w', турбулентные коэффициенты вязкости К и температуропроводности К» естественно предполагать имеющими одинаковый порядок величины. Поэтому если Рг^1, т. е. X^v, то при z»z* = v/u* турбулентный коэффициент температуропроводности будет намного больше молекулярного коэффициента х, так что в этом случае при z>z* будут выполнены оба условия, нужные для того, чтобы значения z можно было считать достаточно большими. Если же Рг<С1, то турбулентный коэффициент температуропроводности (который при z>z*, согласно формуле (6.26), имеет порядок u*z) будет намного превосходить молекулярный коэффициент х лишь при z>x/u* = Pr-12*. Таким образом, вообще говоря, влиянием и v, и х на изменение средней температуры с высотой можно пренебречь, лишь если выполняются два условия: z»z* и z»Pr-1z* (второе из них, очевидно, существенно лишь при Рг<С1).
При выполнении условий z»z* и z>Pr-lz* градиент средней температуры должен определяться лишь параметрами qojcpp, и» и z. Отсюда в силу соображений размерности сразу следует формула
_^_ =2»J*.(6.84)
dzaCp^xu^zaz ’х 7
где а — новая безразмерная постоянная (порядка единицы). Следовательно,■
»(z) — »(0) = A- In z + Л!(6.85)
(ср. Ландау и Лифшиц (1986), § 54), причем постоянная Ai (так же как и в случае формулы (6.22)) здесь должна определяться из условия смыкания профиля (6.85) с профилем средней температуры в нижнем слое, к которому формула (6.85) уже неприменима.
Из формулы (6.85) видно, что
ф(2+, Рг) — -^- 1П2+ + С при 2+>max(l, Рг-1). (6.85')
Таким образом, при достаточно больших значениях z+ функция (р отличается от функции f формулы (6.13) лишь значением числовых коэффициентов (только один из которых — коэффициент С — может зависеть от числа Прандтля). Заметим еще, что профилю (6.85) в силу (6.9) отвечает следующее значение коэффициента турбулентной температуропроводности:
К^ = ау.и2.(6.86)
Отсюда видно, что постоянная а имеет смысл обратного значения турбулентного числа Прандтля для логарифмического пограничного слоя:
“ = tv=t. Рг' = т?Г' <6-87>
Эмпирические данные о профилях температуры и, особенно, концентрации пассивной примеси в турбулентных течениях вдоль плоской стенки являются более бедными, чем данные о профилях скорости в таких же течениях, поэтому и экспериментальные материалы, подтверждающие формулу (6.85), менее обширны, чем те, которые можно использовать для проверки логарифмической формулы (6.22) для профиля средней скорости. Измерения профилей средней температуры в атмосфере вблизи Земли, многократно проводившиеся метеорологами, мало пригодны для этой цели, так как в приземном (или приводном) слое воздуха при наличии заметного изменения средней температуры с высотой (т. е. при термической стратификации, отличной от нейтральной) значительную роль играет архимедова сила, не позволяющая рассматривать температуру как пассивную примесь (подробнее об этом см. в IV разделе). Более подходящими для этой цели могут быть данные тщательных измерений профилей влажности (т. е. концентрации водяного пара) в приземном или приводном слое атмосферы *; однако данных таких измерений пока имеется не слишком много. Тем не менее практически все достаточно аккуратные измерения профилей влажности над сушей и морем при близкой к нейтральной температурной стратификации (один из первых среди них принадлежат Паскуилу (1949) и Райдеру (1954)) показывают, что в этих условиях указанные профили хорошо описываются логарифмическими формулами на заметном
интервале высот z (см. также ниже п. 8.2). Близким к логарифмическому обычно оказывается и профиль средней температуры воздуха в приземном или приводном слое воздуха в условиях, когда эта температура достаточно слабо меняется с высотой (или, иначе, на столь малых высотах z, на которых влияние архимедовых сил еще не проявляется; см. снова в IV разделе). Имеются
Рис. 6.18. Распределение безразмерных средних температур Т+ (z) = Срр«*[Т(О)]/^о в слое течения в трубе по данным двух измерений Джонка и Хэн- ратти.
a) Re — 71,200; б) Re = 70,200.
также данные отдельных измерений профилей концентрации пассивной примеси в лабораторных турбулентных течениях (например, измерения профилей концентрации водяного пара над влажной стенкой или концентрации нафталина при сублимации нафталина над стенкой; см. Кадер и Яглом (1980)), хорошо согласующиеся с логарифмической формулой. Наконец, результаты довольно многочисленных измерений профилей средней температуры в лабораторных турбулентных течениях вдоль плоской пластины, в каналах и трубах в условиях вынужденной конвекции (т. е. при отсутствии заметного влияния архимедовых сил) также хорошо подтверждают логарифмическую формулу (6.85) (см., например, достаточно типичный рис. 6.18, а также обзорную статью Кадера и Яглома (1980), где можно найти много дополнительных ссылок).
Результаты, представленные на рис. 6.18, относятся к измерениям, в которых наряду с профилем температуры Т^ измерялся также поток тепла на стенке ^о, что позволило определить масштаб температуры Т* и универсальную функцию <p(z+, Рг) при Рг = 0,7 (для воздушного течения). Согласно представленным на этом рисунке данным,
ф(2+; 0,7) = 0,9 In z++ 1,3,(6.88)
так что Рг^а-^0,9 и а^1,1. Заметим, что измерения значений Рг< в турбулентных течениях ведутся уже давно, причем в течение ряда лет они приводили к очень противоречивым результатам (см. Кадер и Яглом (1980)). Большой разброс получавшихся значений, по-видимому, связан как со сложностью соответствующих измерений и необходимостью при определении Рп дифференцировать неточно измеряемые профили m(z) и T(z), так и с охватом в ходе этих измерений слишком широкой или же даже целиком лежащей за пределами логарифмического пограничного слоя области течения (напомним, что результат, согласно которому Рг< принимает постоянное значение а-1, не зависящее ни от z, ни от молекулярного числа Прандтля Рг, относится только к логарифмическому пограничному слою). В связи с этим Кадер и Яглом (1972) заново проанализировали примерно 25 измеренных профилей средней температуры T(z)=$(z) в пристенных турбулентных течениях различных жидкостей (при 0,02 ^ Рг ^ ^ 100), полученных в ходе измерений, включающих также измерения значений и* и q0 и характеризующихся наличием достаточно широкого участка значений z, в пределах которого профили 'O(z) и zz(z) хорошо описываются логарифмической формулой. При этом они обнаружили, что значения Рг/ и а = Рг~1 в пределах логарифмического пограничного слоя во всех рассмотренных экспериментах оказались практически не зависящими ни от z, ни от Рг и почти одинаковыми — они очень тесно группировались около средних значений Рг<=0,85, а=1,17 (данные Джонка и Ханратти (1962) также входили в число анализируемых; отличие отвечающих им значений а и Prz от указанных средних значений лежит в пределах наблюдающегося разброса получаемых значений).
После 1972 г. появился целый ряд новых данных тщательных измерений профилей температуры и значений и* и q0 в пристенных турбулентных течениях, и почти все они приводят практически к тем же значениям Рп и а, которые были указаны выше (см. Кадер и Яглом (1980)). Заметим еще, что измерения значений а и Рг, в атмосфере при термической стратификации, близкой к нейтральной, характеризуются очень большим разбросом получаемых результатов, но большинство из них неплохо согласуется и со значениями а = 1, Рг# = 1, чаще всего используемыми в микрометеорологии, и со значениями Рг, = 0,85, а=1,17, лучше всего соответствующими данным лабораторных измерений. Наиболее известным исключением здесь являются результаты Бюсин- гера, Вингаарда, Изуми и Брэдли (1971), согласно которым Рп = = 0,74, а =1,35; эти результаты вначале вызывали большое доверие, но в настоящее время они почти всеми считаются неточными.
Анализ Кадера и Яглома (1972) включал также и исследование значений слагаемого С = С(Рг) в формуле (6.85х). Больше всего данных имеется для Рг = 0,7 (теплоперенос в воздух), и те из них, которым отвечают достаточно большие числа Рейнольдса, 292
все приводят к значениям С (0,7), практически не зависящим от типа течения (одинаковым для течений в пограничных слоях на пластинке, трубах и плоских каналах) и группирующимся с умеренным разбросом (не превосходящим разброса в экспериментальных значениях коэффициента В в формуле (6.25)) около значения С (0,7) = 1,5. Вывод о том, что С (0,7) « 1,5, был в дальнейшем подтвержден также и данными многих других авторов (см. Кадер и Яглом (1980)). Кадер и Яглом (1972) исследовали также вопрос об асимптотическом поведении функции С(Рг) при Рг>1 и Рг<С1; согласно их результатам, С(Рг) «6iPr(m~1)m при Рг>1, где т — показатель степени в формуле Kh(z) = v6z™, выполняющейся при z+^l и характеризующей быстроту затухания коэффициента турбулентной температуропроводности Kh = Kh(z) при д = 0 и С(Рг) «а-1 In Рг + 62 при Рг<1, где bt и 62— некоторые постоянные. После этого из анализа имеющихся экспериментальных данных о значениях С(Рг) при разных значениях Рг они вывели, что т = 3, оценили значения коэффициентов bi и Ь2 и предложили интерполяционную формулу для функции С(Рг), позже еще уточненную Кадером (19776); согласно его выводам
С (Рг) = (2,44Рг'/а - 0,82)2 + 0,85 In Рг (6.89)
(см. также обзор Кадера и Яглома (1980) и книгу Братсерта (1985), с. 116—117).
Во внешней части сопровождаемого тепло- или массоперено- сом развитого турбулентного течения в трубе, канале или пограничном слое, где турбулентный перенос импульса, тепла и массы по интенсивности намного превосходит молекулярный перенос тех же субстанций, должен выполняться принцип обобщенного подобия по числу Рейнольдса (т. е. подобия по числам Рейнольдса и Пекле), согласно которому характеристики турбулентности на значительных расстояниях от стенки не зависят уже от молекулярных коэффициентов переноса v и х (а значит, и от включающих эти коэффициенты чисел Re, Ре и Рг). Важнейшим следствием из этого принципа является закон дефекта температуры, согласно которому
-Ц^-^Ш-ф^о. («о)
где Hi— радиус трубы, полуширина канала или толщина пограничного слоя, а ■0i=6(//i); функция <pi(£), разумеется, может быть разной для разных типов течения. Данные Джонка и Ханратти (1962), относящиеся к течению воздуха в трубе и частично представленные на рис. 6.18, хорошо согласуются с формулой (6.90) и оставляют впечатление, что при 0,02 < £ < 1 функция фД^) может быть приближенно описана как уравнением фД^) = =3[(1 — С)2—(1 — ^)‘Ч, так и более простым уравнением фДС) =2,9(1—С)2; последнее уравнение (с коэффициентом 3,1,
незначительно отличающимся от указанного Джонком и Ханратти) было рекомендовано также Ришаром (1972) на основании обработки данных измерений в турбулентном течении воды в трубе. В целом, однако, данных, позволяющих с хорошей точностью определить форму функции ф1(О для всех трех указанных выше типов турбулентных течений, пока еще явно не хватает.
Рис. 6.19. Закон дефекта температуры для развитых турбулентных течений в трубах и плоские каналах по данным измерений в течениях жидких металлов, воздуха и воды.
Если области применимости температурного пристенного закона (6.82) (или (6.82')) частично перекрываются друг с другом, то в зоне перекрытия обе функции ф(г+, Рг) (как функция от z+) и Ф1(О должны быть логарифмическими — это доказывается точно так же, как и аналогичное утверждение для профиля скорости (см. выше, п. 6.5). Таким образом, функция ф1(т]) в зоне перекрытия закона дефекта температуры с пристенным законом должна иметь вид
<р1С)=41п^ + С„ (6.91)
где а — то же самое, что и в формуле (6.85), а постоянная G для течений в трубе, канале и пограничном слое может принимать разные значения. Пока еще имеется лишь очень немного экспериментальных данных, позволяющих с приличной точностью оценить значения постоянной Ci для разных типов течения, но некоторые предварительные оценки уже могут быть получены. На рис. 6.19, заимствованном из статьи Кадера и Яглома (1980), собраны данные ряда авторов о законе дефекта температуры для течений в трубах и плоских каналах; согласно этим данным, для указанных типов течений Ci = 0,4 • 0,3 = 0,12. Отметим еще, что согласно рис. 6.19 логарифмическая формула для профиля средней температуры, теоретически обоснованная лишь при шах ^1и*у х/^*)^^<^^ь в трубах и каналах неплохо выполняется в очень
широкой области значений г(Н\. В случае течения в пограничном слое на плоской пластине перемежаемость турбулентности во внешней части такого слоя создает заметно более ранние и более
значительные отклонения профиля -O^z) от логарифмической формы и увеличивает значение коэффициента С,. Согласно имеющимся данным измерений профилей средней температуры в пограничных слоях на пластине (характеризующимся заметно большим разбросом, чем аналогичные данные, относящиеся к течениям в трубах и каналах), в случае течений в пограничном слое, по- видимому, Ci»0,6 (см. Кадер и Яглом (1980)).
Ряд предлагавшихся разными авторами формул для функций <р(г+, Рг) и cpi(C), а также и интерполяционных формул, описывающих весь профиль средней температуры #(2) в тех или других типах турбулентных течений, может быть найден в обзорной статье Кадера и Яглома (1980). Ниже мы, однако, ограничимся лишь приложением изложенных выше результатов к выводу универсальных законов тепло- и массопереноса. Складывая логарифмические формы пристенного закона (формулы (6.82) или (6.82') и (6.85')) и закона дефекта температуры (формулы (6.90) и (6.91)) в произвольной точке области, в которой справедливы обе эти формы, получаем:
А^ = ^1п-^^ + С(Рг) + С_.(6.92)
Последний результат можно также переписать в виде уравнения для числа Стэнтона
St ==,(6.93)
(1/ха) In [Re (cf/2) ^] + [С (Pr) + С|]/х'’
где, как обычно, St =/о/pzzi(*О*о — Oi) (или St = ^o/cop^i(^o— ^i), если речь идет о теплопереносе), С/ = 2(^*/ш)2, Re = wi//i/v, й1 = u(Hi) =Uo. Уравнение (6.93) представляет собой общий закон тепло- и массопереноса, вполне аналогичный закону сопротивления (6.54). Намеченный здесь вывод этого закона, родственный предложенному Милликеном (1939) выводу закона сопротивления, был независимо указан Фортье (1968, 1975) и Кадером и Яг- ломом (1970, 1972).
Наиболее просто прилагается формула (6.93) к тепло- и массо- переносу в турбулентном пограничном слое. В соответствии со сказанным выше здесь надо принять, что С = 0,6; кроме того, желательно также заменить трудно измеримое число Рейнольдса Re = wi//i/v на Rex = uixf^. Отметим, что под Н^ в данном случае надо понимать толщину 6© температурного пограничного слоя, определяемого неравенством $(6©) =0,99^1, где Th— постоянная температура вне пограничного слоя. Толщина /71=6© может не совпадать точно с толщиной 6, определяемой условием и(6) =0,99t/, где U— скорость набегающего на пластину течения,
но естественно думать, что различие толщин бе и б не должно быть значительным. Существенно подчеркнуть, что соображения, использовавшиеся выше для вывода соотношений (6.74) и (6.75), относящихся к толщине б, полностью приложимы также и к толщине бе- Поэтому толщина бе также должна удовлетворять соотношениям вида (6.74) и (6.75), откуда следует, что в случаях, когда точки начала роста динамического и теплового турбулентных пограничных слоев совпадают друг с другом (например, обе совпадают с передней кромкой пластины), толщины 6 и бе должны быть пропорциональны одна другой. Произведенная Кадером (см. Кадер и Яглом (1980)) обработка данных различных авторов о температурных пограничных слоях при 0,7 ^ ^ Рг ^ 64 подтвердила этот вывод и показала, что толщина б» также пропорциональна и* с коэффициентом пропорциональности, близким к 0,45 (т. е. лишь немного превосходящим значение b = =0,33 коэффициента в формуле (6.75)).
Подставив в формулу (6.93) значения а=1,17, х = 0,4, Ci = 0,6, формулу (6.89) для С(Рг) и соотношение ^=0,45(«x/i/)x, можно общий закон тепло- и массопереноса через турбулентный пограничный слой переписать в виде
Nu,-,(6.94)
2,12 In (Pexcf/2) +(3,85Рг /з - 1,3)2 + 1,5 ’'’
где Nux = St • Re« • Pr, Pex = Rex • Pr = xt//x. Сопоставление результатов расчетов по формуле (6.94), дополненной формулой (6.76), определяющей с/, с экспериментальными данными о зависимости Nux от Rex при различных значениях Рг, представлено на заимствованном из статьи Кадера и Яглома (1980) рис. 6.20.
Несколько более сложным оказывается приложение формулы (6.93) к расчету характеристик'тепло- и массопереноса в круглых трубах и плоских каналах. Дело в том, что на практике при изучении тепло- и массопереноса в трубах и каналах всегда вместо
средних значений ut = Uo и 01 = 01 скорости и температуры на оси (т. е. при z = Ht) используются заметно проще измеряемые среднемассовая скорость UCp и среднемассовая температура
©ср = -ут^- ( й» dy dz,(6.95)
где S— поперечное сечение трубы или канала, a S — его площадь. Вопрос о связи среднемассовой скорости UCp со скоростью [70 на оси рассматривался в п. 6.5, но форма этой связи не играет роли, так как замена скорости Uo на UCp в левой части (6.93) вообще никак не скажется на виде указанной формулы, если только условиться, что и значения с^ = Х] ^ и Re в ее правой части также будут относиться к скорости t/cp, а не Uo. Однако разность
Фо— th входит только в левую часть (6.93); поэтому при замене
в определении St разности до — 01 на до — ОСр надо дополнительно разделить правую часть (6.93) на Д=(до— 0ср)/(до— 01). Согласно Кадеру и Яглому (1972), в пренебрежении вкладом в среднемассовые значения UCp и 6ср тонкого пристенного под-
Рис. 6.20. Сравнение экспериментальных данных о теплоотдаче при турбулентном течении воздуха, воды и трансформаторного масла вдоль плоской пластины и данных о массопереносе при сублимации нафталина с поверхности пластины в течение воздуха (кружки) с результатами расчета по формуле (6.94) (кривые).
слоя непосредственного влияния молекулярных коэффициентов переноса v и х (законном при больших значениях Re и Ре)
А = 1 - St (X/8)-'/z [р2 - Рз (Х/8))72],(6.96)
где St = /o/pt/Cp(do — 0i), а постоянные 02 и 0з для течения в круглой трубе описываются формулами
11
р2 = 2 ((1 -ОфДОС Рз = 2 ^1-ОЛ(ОФ1(О^-Ср2( (6.97) оо
где С — та же постоянная, что и в равенстве (6.57), а ф±(^) и /1(0—функции, входящие в законы дефекта температуры и
скорости; аналогичные (но немного более простые) формулы для Ра и р3 получаются и в случае течения в плоском канале. Разделив правую часть формулы (6.93) на правую часть (6.96), мы приходим к следующей формуле для Nu = St0- Re- Рг, где Sto = joJpUCpX
X (-000 — ©ср):
NU =Re 1 Pr W8) /z /g ggx
(l/xaJlnlRelX/Sj'/q + ICtPrj + Cj/x-fc + pglX/S)'/2x 7
Простейший метод приближенной оценки значений р2 и Рз опирается на аппроксимацию обеих функций ft^) и <pi(£) логарифмическими формулами /ч(£) =—A In £, yi(t) =—(Л/a) In £ на всем интервале 0 < £ < 1. Отсюда для течения в круглой трубе легко получаются оценки р2=1,5Л/а, Рз=1,25Л2/а; для течения в плоском канале аналогично находим, что р2=Л/а, р3 = Л2/а. Улучшенные оценки значений постоянных р2 и Рз можно получить, воспользовавшись более точными, чем логарифмические, формулами для функций fi(£) и ф±(С); ясно, однако, что соответствующие поправки к значениям р2 и Рз будут сравнительно невелики, так что в первом приближении ими можно пренебречь (см. обсуждение вопроса о значении входящей в формулу (6.57) постоянной С в п. 6.5). Принимая, что Л=2,5; х = Л~‘ = 0,4; а = = 1,17; Ci=0,12; р2=1,5Л/а; рз=1,25Л2/а, и используя формулу (6.89) для С(Рг), приходим к следующей форме универсального закона тепло- и массопереноса при турбулентном течении в круглой трубе:
Nu =, (6.99)
2,12In [Ре (Л/8) Ч +(3,85Рг /з - 1,3)2 - 4,3 + 6,7 (Л/8) л 4 л
Сопоставление результатов расчета значений Nu по этой формуле (дополненной формулой (6.59) для X) с экспериментальными данными более чем пятидесяти работ, охватывающих значения Re и Рг, меняющиеся в пределах 5 • 103 < Re < 2 • 106 и 0,6 < Рг < < 4 • 104, представлено на заимствованном из статьи Кадера и Яг- лома (1980) рис. 6.21; мы видим, что согласие теории с экспериментом здесь оказывается вполне удовлетворительным. Дополнительные данные о сопоставлении результатов расчетов по формуле (6.99) с данными измерений, включающие, в частности, и обсуждение результатов измерений теплопереноса при турбулентном течении в трубах жидких металлов (для которых Рг<С1, и надо учитывать, что значение Pe = Re-Pr здесь часто оказывается недостаточно большим) можно найти в той же обзорной статье, из которой заимствован рис. 6.21.
Остановимся еще вкратце на вопросе о профиле средней температуры (или концентрации) ^(z) и законах тепло- и массопереноса в случае турбулентных течений вдоль шероховатой стенки. Будем рассматривать лишь случай стенки, покрытой однородной шероховатостью, где средний поток импульса т0 = рг? и средний
поток тепла или массы /о, осредненные по сравнительно небольшим участкам стенки, содержащим несколько выступов и промежутков между ними, можно считать постоянным (не зависящим от координат х и у). Ясно, что следующий из соображений размерности общий закон для вертикального распределения температуры ^(z)—^(0), в случае гладкой стенки имеющий вид
Рис, 6.21. Сравнение экспериментальных данных о тепло- и массопереносе при турбулентном течении различных жидкостей в трубах (кружки) с результатами расчета по формуле (6.99) (кривые).
при наличии однородной шероховатости со средней высотой ho выступов стенки следует уже записать в виде
»(2)-»(О) = 0*ф(г+, А+, ои о2, Рг), (6.100)
где h+ = hou*l,v) a ai, 02, ... — это безразмерные параметры, характеризующие форму неровностей стенки и их распределение по площади, а также и разброс формы этих неровностей, если не все они одинаковые (ср. выше п. 6.4). В соответствии с этим логарифмическая формула (6.85) и (6.85') для профиля средней температуры теперь уже будет иметь вид
❖ (z) —'0* (0) = 0* [a-1 In z++ С (А+, Он о2, ..., Рг], (6.101) причем ее можно также переписать и в одной из следующих трех форм:
»+ = [»2 - »(0)]/9* = a”1 In z+ + Со - АА+, (6. ЮГ)
#+ = a-1lnz/A0 + Cz,(6.101")
»4.=a-1lnz/ze,(6. ЮГ")
где Co = C(Pr)—значение коэффициента в формуле (6.85'), относящейся к случаю гладкой стенки; Д^+ = Со — C(/i+, ai, 02, ... ..Рг), С'= С + a™1 In/г+ и z© = ftoexp (—aC'). Параметр z© размерности длины, входящий в формулу (6.10Г"), называется параметром шероховатости для температуры (или концентрации примеси); разумеется, он вполне может отличаться от обычного параметра шероховатости zo, входящего в формулу (6.39).
При ho^Hi наличие шероховатости не будет непосредственно влиять на поле температуры в области z”^>ho\ если же z^>max (ho, v/p*, хМ*), то профиль температуры уже не будет зависеть ни от характеристик шероховатости h+, ai, a?, ..., ни от молекулярных коэффициентов обмена v и х и будет удовлетворять обычному закону дефекта температуры (6.90), где функция q>i(£)—та же,, что и в случае гладкой стенки. В нижней части рассматриваемой области (в зоне перекрытия областей применимости законов (6.101) и (6.90)) функция ф1 (ъ) будет описываться обычной логарифмической формулой (6.91) с универсальными значениями коэффициентов а и Ci.
Складывая разделенное на 0* равенство (6.101) с логарифмической формой закона дефекта температуры в произвольной точке справедливости обоих этих соотношений, получаем соотношение^ отличающееся от (6.92) лишь заменой слагаемого С(Рг) на C(h+, ab аг, ..., Рг). Немного удобнее, однако, вместо равенства (6.101) использовать эквивалентное ему равенство (6.101"), сложение которого с (6.92) дает
<У ^1п-Г- + С,(А+- °" а=> рг) + С.- (6.102) а по
универ-стенки:(6.103)универ-стенки:(6.103)Равенство (6.102) можно переписать в виде следующего сального закона тепло- и массопереноса от шероховатой ct . _ №Sh
универ-стенки:
(6.103)
универ-стенки:
(6.103)
a 1 In №/Ао)+ C^Ci ’
где St = jolpUi^o — Оч),Су = 2(н*/£Л)2, причем в качестве масштаба скорости Ui можно использовать как среднюю скорость U вне пограничного слоя («скорость набегающего потока»), так и среднемассовую скорость t/cp течения в трубе или канале. В случае течения в пограничном слое на плоской пластине естественно считать, что lk = U, а толщину температурного пограничного слоя //1=6© здесь можно приближенно выразить через координату х (отсчитываемую от точки турбулизации пограничного слоя) и значение u*IU=^ctl2.yh по формуле Н^^АЬ(и*1Щх (см. выше с. 295). В случае же течения в круглой трубе или плоском канале естественно считать, что t/i = t/Cp, а St = Sto = /o/pt/i('Oo— ©ср); в таком случае формулу (6.103) придется заменить на соотношение
St0 =St0 =(Л/в/^А*(Л/в/^А*a“’In (AZ1/A0) + С'— Ci ’a“’In (AZ1/A0) + С'— Ci ’(6.104)(6.104)
St0 =
St0 =
(Л/в/^А*
(Л/в/^А*
a“’In (AZ1/A0) + С'— Ci ’
a“’In (AZ1/A0) + С'— Ci ’
(6.104)
(6.104)
где X и А имеют тот же смысл, что и в формуле (6.96). Заметим, что для применимости формулы (6.96) теперь уже требуется, чтобы можно было пренебречь вкладом в среднемассовые значения Ucp и вср тонкого пристенного слоя непосредственного влияния как молекулярных коэффициентов обмена, так и шероховатости. При этом, вообще говоря, точность формулы (6.96) со значениями (6.97) коэффициентов 02 и р3 в случае шероховатых стенок обычно оказывается все же несколько худшей, чем в случае гладких стенок, и, кроме того, при значительной высоте шероховатости ho под Нх теперь надо понимать значение Кц эффективного радиуса трубы или полуширины канала, немного меньшее расстояния от уровня стенки в промежутках между выступами шероховатости и до оси; тем не менее даже в случае сильно шероховатых стенок точность формул (6.96) и (6.97) очень часто оказывается вполне достаточной для возможности их использования на практике (см. Кадер и Яглом (1984), где можно найти много дополнительных ссылок). Используя формулы (6.96) и (6.97), можно переписать закон (6.104) тепло- и массопереноса в трубах и каналах в виде
°а"1 ^(Ке^+С'-С^Рг + Рз (А/8)7/г *7
Об оценках значений коэффициентов a, Ci, р2 и р3 этой формулы, общих для течений как в гладких, так и в шероховатых трубах, уже говорилось выше. Что касается коэффициента C' = C'(Jr+> Ох, 02, ..., Рг), то он может существенно зависеть от геометрических характеристик шероховатости, и данных о его значениях пока еще имеется явно недостаточно; см. по этому поводу обзор относящихся сюда исследований, имеющийся в статье Кадера и Яг- лома (1984). В настоящей же книге мы укажем лишь формулу Братсерта (1985) Cz =2,9z*/*+Pr,/2 (где zo+ = zow*/v, а го— параметр шероховатости, связь которого с высотой ho обсуждалась в п. 6.4), приводящую к неплохому согласию с результатами измерений значений St над несколькими разными типами шероховатости при 0,6 ^ Рг ^ 6, но противоречащую опытным данным при очень больших значениях Рг, а также формулу Яглома и Кадера (1974)
С' = 2,1Л‘/ (Рг’/з - 0,2) 4- 3,9,(6.106)
предложенную для случая стенки, плотно покрытой трехмерными бугорками или двумерными гребнями, и формулу Кадера и Яглома (1977)
С' = 1,28/г^ (Рг2/з + 0,3) + 1,4, (6.106')
относящуюся к случаю стенки, покрытой сравнительно редкими и узкими параллельными гребнями, перпендикулярными направлению средней скорости. Небольшое уточнение формулы (6.106х),
включающее уже и зависимость С' от некоторых отличных от Ло геометрических характеристик двумерной турбулентности, было указано Кадером (1979). Сопоставление результатов расчета значений St и Nu = St.Re-Pr с помощью формул (6.106) или (6.106') либо формулы Кадера (1979) с данными прямых измерений этих характеристик тепло- и массообмена можно найти в указанных выше оригинальных работах и в обзоре Кадера и Яглома (1984).
Формула г© = Лоехр(—аС') позволяет по значениям С' легко рассчитать также значения параметра шероховатости z© для температуры или концентрации. Так, например, используя формулу (6.106), можно оценить, что в случае стенки, плотно покрытой бугорками, z©« (Ло/90) ехр {—0,26(Рг2/з— 0,2)Л^}. При Рг = 0,7 и Л+ = 50 отсюда следует, что г©«Ло/26О; это значение z© намного меньше всех реально наблюдаемых при высоте шероховатости ho значений обычного параметра шероховатости zo. На то, что значение z© обычно намного меньше, чем zo, специально обратил внимание Братсерт (19756); для случая обдуваемой почвы, покрытой растительным покровом, он же теоретически получил несколько меньшие значения отношения zo/z©, но и здесь z© оказалось заметно меньшим, чем zo. Братсерт (19856), Братсерт и Кустас (1985) указали также, что и данные метеорологических наблюдений также подтверждают, что z© < zo; см. также Кадер и Яглом (1984), Хикс и др. (1986).
В заключение рассмотрения характеристик поля А температуры или концентрации примеси в турбулентном течении остановимся совсем вкратце на некоторых результатах, касающихся характеристик турбулентных пульсаций О' = Ф— б*. Ограничимся лишь случаем турбулентных течений вдоль гладкой стенки; ясно, что в случае шероховатой стенки вне тонкого примыкающего к такой стенке подслоя непосредственного влияния шероховатости (имеющего толщину порядка немногих высот Ло) все статистические характеристики пульсаций -О-' будут подчиняться тем же закономерностям, которые справедливы для случая гладкой стенки (последнее заключение следует из общих физических соображений и хорошо согласуется с имеющимися экспериментальными данными; см., например, Кадер и Яглом (1984)). Легко понять, что все относящиеся к пульсациям компонент скорости соотношения, указанные в п. 6.3, 6.5 и 6.6, могут быть с очень небольшими изменениями переформулированы и в применении к пульсациям температуры $'. В частности, для одноточечных моментов пульсаций температуры -&,n=Mn и смешанных моментов пульсаций температуры и скорости ^'nu'kv'lw'm = Mnkim при г<^Н1 будут верны соотношения
Mn = 6X^, Pr), Mnklm = QX + l + >nktmU+. Рг), (6.107)
где фп и фплгт — некоторые универсальные функции, а при z^> S>max ^lu*, х/“«) —соотношения
Л1„ = ©;ф^(2/Я1), М„«т = ©Х + / + тф^(г/Н1), (6.108) где функции ф(^ и ф^;т уже могут быть различными для течений в трубе, канале и пограничном слое на пластине. Наконец, при max (v/u*, х/и,)<С2<СЯ! (в зоне перекрытия областей применимости законов (6.107) и (6.108)) все входящие в эти законы функции должны принимать постоянные значения, так что здесь
М„ = а„0" Мпк!т = апМт©Х+ 1 + т,(6.109)
где а» и апмт — универсальные постоянные. Аналогично этому так называемая «средняя скорость диссипации интенсивности температурных пульсаций» 7V = x(grad О')2, входящая в уравнение для интенсивности пульсаций температуры О2 (см. ниже уравнение баланса должна удовлетворять родственному уравнениям (6.30) и (6.61) уравнению
ту ( («.02/2)фЛ,(2+, Рг) при 2<Hv,/С11АХ
( yu^Jz) Флг (2/Я1) при z >• max (v/u#, X/uJ, при max (v/zz*, xM»)<Cz<C//i переходящему в соотношение
N = anu^Jz, а = const.(6.111)
Используя уравнение баланса, можно показать, что «N«l/ax, где постоянные и«0,4 и а« 1,17 — те же, что и выше в этом пункте. Наконец, те же соображения, которые выше привели нас к формулам (6.33') и (6.33") для продольных пространственных спектров и коспектров турбулентных пульсаций скорости Ец(к) и Ду (Л), в применении к пульсациям температуры приводят к соотношениям
/ахпри C^fz < к < 1/2+Л2.,
G^djtпри 1/Я1 < k < с^г
(где cv — постоянная порядка единицы), справедливым в пределах логарифмического пограничного слоя (т. е. при max ^/tu, к/и*)^ <^z^/7i). При выводе формулы (6.112) используется принадлежащий Обухову «закон —5/3» для спектра температуры, согласно которому
Е^(к) = С^г”ч,к-ь,а при 1/2 < к < \!Д'г„ (6.113)
если Pr = v/x имеет порядок единицы (этот закон будет подробно рассматриваться в VIII разделе тома 2 настоящей книги), а также допущение о том, что переходная зона между областями применимости «закона —5/з» (6.113) и «закона степени —1» (выражае-
мого нижней строкой формулы (6.112)) является столь узкой, что эти области можно считать примыкающими друг к другу.
Имеющиеся экспериментальные данные о характеристиках пульсаций температуры в целом неплохо согласуются с выписанными выше теоретическими формулами, но в одном отношении это согласие все же оказывается заметно менее полным, чем в случае формул, относящихся к пульсациям компонент скорости. Дело в том, что для пульсаций компонент скорости данные измерений и в логарифмических пограничных слоях лабораторных турбулентных течений, и в нейтрально стратифицированном приземном (или приводном) слое атмосферы почти всегда приводят к близким друг к другу результатам, как это и должно быть (по- сколько при нейтральной термической стратификации приземный слой атмосферы также представляет собой логарифмический пограничный слой — об этом см. ниже IV раздел). Однако в случае пульсаций температуры атмосферные измерения обычно приводят к результатам, хорошо согласующимся с выводами теории, но отличающимся от тех, которые получаются в лабораторных экспериментах. Наиболее известным примером здесь являются измерения дисперсии пульсаций температуры о^ ^й'2. Измерения значений о©/0* в лабораторных логарифмических пограничных слоях с теплопереносом (в условиях вынужденной конвекции) все неплохо согласуются друг с другом и приводят к выводу о том, что о©/0*^1,3, так что а2« (1,3)2^ 1,7 (см., например, Кадер и Яг- лом (1980), где имеются также данные о форме функции ф2(г+; 0,7)). Измерение значений о©/0* в нейтрально стратифицированном приземном слое атмосферы является более сложным, так как при безразличной термической стратификации ^о=О, т. е. 0* = О (напомним, что во избежание дублирования формул мы условились символом 0* обозначать и масштаб температуры 7*), да и величина о© при изотермии должно равняться нулю. Однако для определения значения о©/0* можно использовать данные измерений при близких к нейтральной стратификациях и рассмотреть затем предел получаемых значений а©/0* при стремлении стратификации к безразличной. Такие измерения не раз проводились различными исследователями (обычно над ровной покрытой травой почвой), и, согласно большинству из них, в приземном слое атмосферы o©/0ft«2,5 (т. е. а2~6,25).
Аналогично обстоит дело и с данными о значениях продольного турбулентного потока тепла qh = Cppv'T'. Измерения в приземном слое показывают, что qhlqo^—3,5 при нейтральной стратификации (см., в частности, рис. 6.22, согласно которому, qhlqe~—3; значение —3,5 является средним по всем имеющимся измерениям), в то время как лабораторные эксперименты приводят к выводу о том, что qhlq^—2,5 в пределах логарифмического пограничного слоя (см., например, Кадер и Яглом (1990)). Таким образом, аиоо^ —1,4 согласно данным измерений в атмосфере, но
йиоо~— 1 для лабораторных логарифмических пограничных слоев. Наконец, оценка О»«6,9 прилично согласуется с данными как лабораторных, так и атмосферных измерений; однако при этом 6#«5,6 по данным измерений в приземном слое атмосферы, но 6#«1,9 (т. е. принимает в три раза меньшее значение) по данным лабораторных измерений; см., например, Кадер (1984, 1987), Кадер, Яглом и Зубковский (1989), где формула (6.112) исполь-
qjq
Рис. 6.22. Зависимость qnlq от Ri по данным Зуб- ковского и Цванга (1965).
зуется для расчета корреляционной функции пульсаций температуры. Соответственно этому и значения с^ (определяемые по точке пересечения графиков функций в верхней и нижней строках правой части (5.113)) оказываются различными для приземного слоя атмосферы и лабораторных логарифмических пограничных слоев.
Причина указанных расхождений в значениях статистических характеристик пульсаций температуры в нейтрально стратифицированном приземном слое атмосферы и лабораторных пограничных слоях пока еще точно не установлена/ Представляется, однако, очень правдоподобным, что эти расхождения вызываются всегда присутствующей в природе термической неоднородностью почвы (да и морской поверхности, по-видимому, тоже), где более нагретые участки всегда перемежаются с участками с более низкой температурой. В то же время в лабораторных экспериментах стенка обычно имеет строго постоянную температуру, т. е. является термически совершенно однородной. Термическая неоднородность приводит к дополнительному подъему более теплых объемов воздуха и опусканию более холодных, т. е. является источником дополнительных пульсаций температуры, отсутствующих в лабораторных условиях. Напомним, что при нейтральной термической стратификации приземного слоя воздуха (т. е. при изотермии) в принципе пульсации температуры вообще должны бы были отсутствовать (т. е. здесь должны бы выполняться равенства
ае = в* = О). На самом деле, однако, в атмосфере даже при равном нулю осредненном по площади значении потока тепла qo всегда присутствуют локальные перемещения объемов воздуха с разной температурой, т. е. пульсации температуры никогда не обращаются в нуль. Если приведенное объяснение является верным, то тогда статистические характеристики пульсаций температуры вблизи поверхности Земли должны как-то зависеть от степени термической неоднородности подстилающей поверхности; к сожалению, в настоящее время экспериментальные данные, позволяющие проверить это заключение, полностью отсутствуют.
Свободная турбулентность
До сих пор в настоящей главе мы рассматривали турбулентные течения в каналах, трубах и пограничных слоях, т. е. течения около твердых стенок, трение о которые приводит к непрерывному порождению завихренности и оказывает непосредственное влияние на все течения. Однако в природе и в технике часто встречаются также турбулентные течения совершенно другого рода, в которых непосредственное влияние каких-либо твердых стенок отсутствует и которые называются поэтому свободной турбулентностью. Важнейшими видами свободных турбулентных течений являются турбулентные следы за обтекаемыми жидкостью (или движущимися сквозь жидкость) твердыми телами, турбулентные струи и зоны турбулентного перемешивания, возникающие на границе между течениями, имеющими разную скорость и не разделенными какими-либо твердыми стенками.
Свободные турбулентные течения играют большую роль во многих явлениях природы и в ряде технических устройств. Поэтому неудивительно, что их изучению было посвящено очень большое число теоретических и экспериментальных исследований. Эти исследования привели к ряду результатов, полезных для практических расчетов, но их вклад в наше понимание физической природы турбулентности пока невелик. Поэтому здесь мы ограничимся лишь кратким рассмотрением некоторых общих выводов, касающихся перечисленных выше основных видов свободных турбулентных течений.
Существующие методы описания свободной турбулентности основаны, во-первых, на некоторых гипотезах об автомодельности соответствующих течений и, во-вторых, на использовании более специальных полуэмпирических гипотез. Гипотезы об автомодельности опираются на некоторые общие свойства течений жидкости и могут быть обоснованы также с помощью методов подобия и размерности; их рассмотрение представляет определенный физический интерес. Полуэмпирические же теории свободной турбулентности используют, кроме общих законов физики, еще некоторые дополнительные гипотезы более специального характера; получаемые при этом выводы важны в первую очередь для приложений. В дальнейшем в настоящем параграфе мы ограничимся
почти исключительно анализом гипотез об автомодельности свободных турбулентных течений.
Начнем с того, что постараемся разъяснить общую идею об автомодельности свободной турбулентности на частном примере трехмерной турбулентной струи, бьющей по направлению оси Ох из конца тонкой трубки диаметром D (но произвольного сечения) в неограниченное пространство, заполненное той же жидкостью. Будем сравнивать друг с другом гидродинамические поля в различных сечениях х = const. Данные наблюдений показывают, что турбулентная струя обычно оказывается относительно узкой, так что продольная компонента средней скорости в струе значительно превосходит поперечную компоненту, а продольные изменения статистических характеристик гидродинамических полей оказываются много меньше, чем поперечные. Исходя отсюда естественно ожидать, что свойства гидродинамических полей в данном сечении струи будут в какой-то мере повторять соответствующие свойства в сечениях вверх по течению. Иначе говоря, следует ожи-‘ дать, что статистические характеристики гидродинамических полей струи в различных ее сечениях (т. е. при различных значениях х) будут подобны между собой. Это означает, что в каждом сечении х = const можно ввести такие характерные масштабы длины L^ и скорости U^, что безразмерные статистические характеристики, получаемые при использовании этих масштабов, будут одинаковыми во всех сечениях. Разумеется, такое подобие не может иметь места, начиная сразу же от отверстия, из которого бьет струя; оно представляется правдоподобным лишь на достаточно больших (по сравнению с диаметром D^ расстояниях от этого отверстия, на которых его размер и форма перестают сказываться на течении в трубе. Кроме того, для подобия нужно также, чтобы числа Рейнольдса Ке= в рассматривае
мых сечениях струи были достаточно большими и обеспечивали бы наличие полностью развитой турбулентности (и тем самым независимость от вязкости статистического режима крупномасштабных компонент турбулентности, создающих взаимодействие между гидродинамическими полями в близких сечениях струи, которое и является физической основой подобия этих полей).
Высказанное здесь предположение о подобии является еще одним применением общего принципа подобия по числу Рейнольдса, о котором мы говорили в п. 6.5, оно может быть также обосновано с помощью простых рассуждений, родственных тем, которые использовались в п. 6.3 при выводе логарифмической формулы для профиля средней скорости вблизи стенки (но за пределами вязкого подслоя). В самом деле, в рассматриваемом здесь случае трехмерной затопленной струи течение зависит от диаметра выходного отверстия D, исходной скорости истечения струи Uo и параметров жидкости тир. Поэтому статистические характеристики течения, например средняя скорость й или напряжение
Рейнольдса — pu'w' (где о»' — радиальная компонента пульсационной скорости в цилиндрической системе координат (г, ср, х) с осью Ох), в силу соображений размерности должны задаваться формулами вида
й = ио!х^д-. -5-, Ф, Reo),
—pu'w' = pOogi(-^~, -^-, Ф, Reo),(6.114)
где
Reo = U0D/v.
То, что на достаточно большом расстоянии от отверстия трубки зависимость этих характеристик от x/D практически перестает сказываться, означает, что при достаточно большом x/D мы можем положить x/D = oo в формуле (6.114) (т. е. является следствием предположения о том, что правые части в формуле (6.114) стремятся к пределу при x/Z)-^oo). Однако тогда естественно считать, что «начальные условия» 1/0 и D при столь большом x/D будут сказываться лишь через значение «начального импульса» струи, определяющего медленно изменяющиеся с ростом х интегральные характеристики течения в сечении х = const (типа скорости t/max = t/(x) на оси струи и полуширины струи £ = £(%)> равной тому значению г, при котором й(г, 0, х) =0,5t/max(x)); весь же статистический режим течения в окрестности плоскости х = const будет как-то приспосабливаться к значениям масштабов U и L. Отсюда вытекает, что при больших значениях x/D струю уже можно считать осесимметричной (так как зависимость от ср может определяться лишь формой выходного отверстия), и формулы (6.114) здесь будут представлены в виде
“ = ^ (х) f= [тт^Г • Re*]’гдеRex =“ = ^ (х) f= [тт^Г • Re*]’гдеRex =й7^7 = —и2 (*) gt [тГ^Г • Re*] ’
“ = ^ (х) f= [тт^Г • Re*]’
где
Rex =
“ = ^ (х) f= [тт^Г • Re*]’
где
Rex =
(6.115)
t/(x)L(x)V*
Наконец, при достаточно большом Rex мы можем положить Rex = oo в формулах (6.115), так как при развитом турбулентном режиме турбулентная вязкость всегда намного превосходит молекулярную и параметр v не должен играть роли в (этом и состоит принцип подобия по числу Рейнольдса). Следовательно, при достаточно больших значениях x/D и Rex имеем
«-^ООгГтгТг]’ й^=-O’Mgf-^J, (6116) где f(r) и ^ (г)—некоторые универсальные функции. Эти соотношения и выражают гипотезу об автомодельности течения
в струе. Заметим еще, что в отличие от случая турбулентных течений при наличии твердых стенок автомодельность здесь имеет место уже для всей области турбулентного течения (но, как и для течений в трубах, каналах и пограничном слое, она касается только статистических характеристик крупномасштабных компонент движения, не связанных с диссипацией энергии под действием вязкости).
Важные связи между функциями L^, U(х), f(r) и g^ можно получить, подставив формулы (6.116) в уравнения Рейнольдса. В случае стационарного осесимметричного движения в пренебрежении слагаемыми, содержащими вязкость, уравнения Рейнольдса, как нетрудно показать, могут быть сведены к одному уравнению
_ дй , - дй 1 д / -7—;\д
и-^—ч— \ru'w)з— ^ — ш (о.Н7) дх 1 or г dr х 7 дх \/ v 7
(см. например, Таунсенд (1956)). Слагаемое -^— (иХ2— w'2) здесь описывает нормальное турбулентное напряжение и действие продольного градиента давления; обычно оно оказывается много меньше других слагаемых (во всяком случае, в центральной части течения), и чаще всего им просто пренебрегают. В результате получается уравнение
- дй . - ди 1 д ( —.—- дй . - ди 1 д ( —.—(6.117х)(6.117х)
- дй . - ди 1 д ( —.—
- дй . - ди 1 д ( —.—
(6.117х)
(6.117х)
являющееся основой почти всех теоретических исследований, касающихся турбулентных струй. С помощью уравнения неразрывности для осредненного движения
да дхда дх1 д (rw) г dr1 д (rw) г dr(6.118)(6.118)
да дх
да дх
1 д (rw) г dr
1 д (rw) г dr
(6.118)
(6.118)
из уравнения (6.117х) можно исключить поперечную скорость w. Прежде всего заметим, однако, что, умножив уравнение (6.117х) на г и проинтегрировав по г от 0 до оо, мы в силу (6.116) получим:
-^- j u2r dr = 0, т. е. j tL^r dr = М = const (6.119)
(это равенство выражает закон сохранения импульса, т. е. равенство потоков импульса, протекающих через любую достаточно большую сферу с центром вблизи отверстия, из которого бьет струя). Если теперь мы подставим сюда первую из формул (6.116), то найдем, что U2L2^ /2(т]) dr] = const. Отсюда вытекает, о
что UL (а следовательно, и число Рейнольдса Rex = ULJxi) не
может зависеть от х. Таким образом, U^\]L. Учитывая этот результат и подставляя формулы (6.116) в уравнения (6.117') и (6.118), легко найдем, что уравнения эти могут быть удовлетворены, лишь если dLldx = const (тот же вывод, разумеется, следует и из более общего уравнения (6.117)).
Итак, мы убедились, что автомодельность возможна лишь при L(x)^x-x0, и~<х — х.у\(6.120)
где Хо — постоянная интегрирования. Точка х = хо при этом играет роль условного «начала струи». Поскольку нас интересуют лишь асимптотические закономерности при очень больших значениях х, то мы можем всюду в дальнейшем просто считать, что хо = О. Согласно условиям (6.120), на достаточно большом расстоянии от выходного отверстия трубы ширина струи растет пропорционально расстоянию (т. е. струя имеет форму прямого круглого конуса), а средняя скорость течения в струе убывает обратно пропорционально расстоянию. Отметим, что количество жидкости, протекающей через поперечное сечение струи, равно 2л J Tirdr, т. е. возрастает пропорционально х. Это показывает, о
что в струю все время втекает жидкость из окружающей ее неподвижной среды.
При условиях (6.120) система уравнений (6.117') — (6.118) имеет бесконечное число решений вида (6.116). Фактически эта система позволяет получить лишь одно соотношение, связывающее две неизвестные функции f(r]) и ^(л), которое имеет вид
Т)
g (п) =5 nJ ОъИть А = const
о
(см., например, Сквайр (1948)). Еще хуже будет обстоять дело, если принять более общее уравнение (6.117)—здесь мы уже получаем лишь одно соотношение, содержащее четыре неизвестные функции (см. Таунсенд (1956)). Полное определение всех неизвестных функций требует привлечения еще каких-либо дополнительных гипотез. Во многих работах с этой целью используются лолуэмпирические теории турбулентности; так, например, Толмин (1926) (по-видимому, впервые получивший формулы вида (6.116)) использовал теорию переноса импульса Прандтля и предположение, что / = /(х)~х, а Гертлер (1942), следуя Прандтлю (1942), вместо этого принял, что ^ = ^(x)~x и т. д. (подробнее об этом см., например, книги Бай Ши-и (1954), Хинце (1963), Абрамовича (1960) и Вулиса и Кашкарова (1965)).
Разумеется, из уравнений Рейнольдса следует лишь, что если только автомодельность (6.116) имеет место, то масштабы U и L должны удовлетворять соотношениям (6.120), но никак не вытекает, что должна иметь место автомодельность. Наличие такой
автомодельности кажется правдоподобным в силу приведенных выше общих соображений (которым, как мы покажем чуть ниже, можно придать также стандартную форму соображений размерности); однако окончательно оно может быть установлено лишь на основе анализа эмпирических данных. В случае струи, вытекающей в пространство, заполненное неподвижной жидкостью, формулы (6.116) и (6.120) проверялись в экспериментах боль-
Рис. 6.23. Зависимость нормированной средней скорости Щи от т) = r/L в трех разных сечениях осесимметричной струи по данным Рейхардта (1942).
шого числа авторов (см., например, Рейхардт (1942), Корсин (1943), Хинце и Ван дер Хегге Цийнен (1949), Корсин и Уберои (1950), Корсин и Кистлер (1954), Форстолл и Гейлорд (1955) и обзоры Хинце (1963), Абрамовича (1960), Вулиса и Кашкарова (1965). При этом было установлено, что уже на небольших расстояниях от отверстия, из которого вытекает струя (при х>&0), профиль средней продольной скорости й(х, г) хорошо описывается формулами (6.116), (6.120). Полная же автомодельность течения, проявляющаяся и в профилях осредненной скорости, и во вторых моментах пульсаций скорости, окончательно устанавливается лишь в более далеких от отверстия сечениях струи (при х>50£)). Наблюдается также некоторая зависимость профилей от числа Рейнольдса Re = t7o£>/v, которая ослабевает с ростом Re и при Re^lO5 уже перестает быть заметной. В качестве примера на рис. 6.23 приведены (по данным Рейхардта) профили скорости в трех сечениях струи, нормированные делением на Umax = U
и отнесенные к расстояниям г, измеренным масштабом L, таким, что tt(L) =V2^max. Мы видим, что подобие профилей выполняется вполне удовлетворительно.
Аналогичные гипотезы об автомодельности могут быть сформулированы и для других конкретных типов свободных турбулентных течений. Из них мы рассмотрим здесь следующие: плоскую турбулентную струю, бьющую в заполненное той же жидкостью лространство х>0 по направлению оси Ох из бесконечно длинной щели, расположенной в плоскости Oyz вдоль оси Оу; трехмерный след за расположенным вблизи начала координат телом конечных размеров, обтекаемым жидкостью по направлению оси Ох; плоский турбулентный след за бесконечно длинным цилиндром с осью вдоль оси Оу, обтекаемым жидкостью по направлению оси Ох; наконец, зону перемешивания между двумя плоскопараллельными течениями в направлении Ох в полупространствах г > 0 и z < 0, имеющими в начальном сечении Oyz постоянные, но различные скорости (скажем, Щ при z > 0 и Ua при z<0). При этом в случае следов за обтекаемыми телами естественно перейти к подвижной инерционной системе координат, перемещающейся вместе с невозмущенным обтекающим течением (т. е. рассматривать лишь отклонения скорости течения в следе от невозмущенной скорости, затухающие на большом расстоянии от тела); в случае же зоны перемешивания инерционную систему координат надо выбрать так, чтобы выполнялось равенство (/2 = —Uv В таком случае для всех перечисленных течений следует ожидать, что при достаточно большом числе Рейнольдса профили средней скорости и напряжения трения на достаточно большом расстоянии х будут представимы в виде (6.116), где г — поперечная координата (расстояние от оси Ох для трехмерных течений и от плоскости 2 = 0 для плоских течений), w— поперечная скорость. При этом масштабы длины и скорости L^x) и Щх) всегда оказываются пропорциональными некоторой степени продольного расстояния от условного начала отсчета х, т. с.
L<x^xm, U^-x"n (6.121)
(так что число Рейнольдса Re = £7(x)L(x)/v пропорционально лт-п). Показатели т и п могут быть определены, как и выше, из требования, чтобы функции (6.116) могли являться точными решениями соответствующих уравнений Рейнольдса (в пренебрежении молекулярной вязкостью). В случае следов за обтекаемым телом соответствующие уравнения Рейнольдса целесообразно предварительно упростить, воспользовавшись тем, что на большом расстоянии от тела средняя продольная скорость й в пределах следа будет лишь немного меньше постоянной скорости Uo обтекающего течения (равной невозмущенной скорости течения за пределами следа), так что u = Uo — ui, где Uo = const, ui<CUo, а средняя поперечная скорость будет по порядку величины не больше, чем ш. Поэтому, например, в случае трехмерного следа уравнение
Рейнольдса на большом расстоянии х может быть приближенно записано в виде
-и» ^-^L 5 (ru'ty'),(6.122>
и дхг дг хх г
и, следовательно, здесь
иг dr = N = const.иг dr = N = const.(6.122z>(6.122z>
иг dr = N = const.
иг dr = N = const.
(6.122z>
(6.122z>
Дальнейшие рассуждения для всех рассматриваемых типов, свободных турбулентных течений совершенно аналогичны тем, которые выше использовались в применении к случаю трехмерной струи. Получаемые при этом результаты приводятся в табл. 6.1.
Таблица 6.1
Трехмерная струя
Плоская струя
Трехмерный след
Плоский след
Зона перемешивания
т
1
1
1/3
1/2
1
п
1
1/2
2/3
1/2
0
т — п
0
1/2
-1/3
0
1
(см. также Сквайр (1948), Шлихтинг (1969), Шубауэр и Чен (1959)). Наиболее существенное различие между указанными здесь типами свободной турбулентности, которое можно усмотреть из таблицы, заключается в различной зависимости от расстояния х числа Рейнольдса Reoc = ^(x)L(x)/v. В плоском следе, как и в трехмерной струе, Rex не меняется с расстоянием, тем не менее течение в плоском следе оказывается в некотором смысле более неустойчивым, чем в трехмерной струе. Так, согласно Таунсенду (1956), полная автомодельность в плоском следе устанавливается лишь на расстояниях х > (500 4- 1000)0, где D — диаметр обтекаемого цилиндра. В плоской струе и в зоне перемешивания Rex растет с увеличением х. Наконец, в трехмерном следе Rex убывает с расстоянием, так что при достаточно больших х турбулентность должна вырождаться (на таких расстояниях предположения об автомодельности, конечно, перестают быть применимыми). Дальнейшие сведения об этих течениях см., например,, в книгах Бай Ши-и (1954), Таунсенда (1956), Биркхофа и Царан- тонелло (1957), Хинце (1963), Абрамовича (1960), Вулиса и Кашкарова (1965).
Упомянем еще одну; разновидность свободной турбулентности— вертикальные турбулентные струи термического происхождения, возникающие благодаря действию архимедовых сил над нагретыми телами. Предположения об автомодельности таких струй впервые были рассмотрены Зельдовичем (1937). Если, как
и выше, принять направление течения в струе (т. е. вертикальное направление) за ось Ох, то эти предположения заключаются в том, что в каждом сечении струи x = const можно ввести такие масштабы длины Л(х), скорости Щх) и температуры 6(х), что безразмерные осредненные характеристики гидродинамических полей, получаемые при использовании этих масштабов, будут одинаковыми во всех сечениях. В частности, будут иметь место формулы (6.116) и аналогичные формулы для распределения в струе средней температуры и радиального турбулентного потока тепла
ippw'T':
г = 0МЛ[-г^т]’ ^=-и wow^f-^] (6.123) (где w'— радиальная компонента пульсационной скорости в цилиндрической системе координат с осью Ох). Подставляя формулы (6.116) и (6.123) в уравнения Рейнольдса, получаемые при помощи осреднения системы уравнений свободной конвекции (приведенной в п. 1.5) и пренебрегая в этих уравнениях слагаемыми, содержащими молекулярную вязкость и молекулярную температуропроводность (но не слагаемым, описывающим архимедову силу!), получим, как и при выводе формулы (6.120), что
L(x)~x, U^~x”xu, О(х)~ х^'.(6.124)
Подобное же рассуждение может быть применено и к двумерной конвективной струе, возникающей над нагретым цилиндром, расположенным в горизонтальной плоскости х = 0 вдоль оси Оу. Здесь мы получим
1Дх)~х, (7 (х) = const, ©(х)-х'1(6.125)
(эти формулы также были получены Зельдовичем).
Заметим еще, что большая часть результатов, собранных в таблицу на стр. 313, так же как и формулы (6.124) и (6.125), легко может быть получена и из одних только соображений размерности. В самом деле, в случае, например, трехмерной струи все осредненные характеристики на большом расстоянии х от точки истечения струи, очевидно, могут зависеть, кроме расстояния х — хо^х, еще только от плотности р и от суммарного импульса 2лрЛ1 массы жидкости, вытекающей из отверстия за единицу времени. Отсюда следует, что
(6.126)
(в полном соответствии с формулами (6.120)). В случае плоской •струи вместо величины 2лрМ надо лишь рассмотреть импульс массы жидкости, вытекающей за единицу времени через единицу
длины щели: pAfi = рJ utdz. Следовательно, здесь
“—TiT-fVTb<6J27>
(в соответствии со вторым столбцом указанной таблицы). Еще проще применяются соображения размерности к случаю плоской зоны перемешивания: здесь условия в сечении х = const могут зависеть только от х и от фиксированной разности скоростей Ui — U2 = 2Ui = Uo, так что, например,
u-im^.(6-128>
В случае свободных конвективных струй все осредненные характеристики могут зависеть от полного потока тепла вдоль струи
Q = 2лсрр J u'T'rdr (или потока тепла на единицу длины нагре
ем
того цилиндра Qi = CpP u'T'dz) и параметра плавучести £0
(в случае идеального газа равного g/To). При этом величины Q и Qi, естественно, могут входить только в комбинациях Qlcpp и Q\]cPp. Отсюда вытекает, что
йА"^ТУ-Г)' т ^Г'11 ^‘й^Уг) (6129>
для трехмерной конвективной струи и
йЧ"^УЦ"т\ ^^У^'^УУ) (6.130} У/ У л /У СрР /л у л /
для плоской конвективной струи. Эти результаты, очевидно, соответствуют формулам (6.124) и (6.125).
Только в случае следов за обтекаемыми телами дело обстоит немного сложнее, так как здесь, кроме действующей на тело суммарной силы сопротивления F = 2лрЩУ = 2лр{7о/ u\rdr (или приходящейся на единицу длины обтекаемого цилиндра силы сопротивления Fi = 9UoNi = pUo J u^dzy определяющей «дефект импульса о
в следе», в условия задачи входит еще одна размерная величина, а именно невозмущенная скорость Uo. Поэтому здесь формулы типа (6.126) — (6.128) не могут быть выведены на основе одних только соображений размерности. Однако с помощью немного более специальных рассуждений и их можно получить, не привлекая точных уравнений гидромеханики. В самом деле, воспользуемся тем, что тангенс угла наклона линии тока осредненного
W W W
течения в следе к оси Ох равен —=—п=—~тг* Отсюда мо
и ио — щ ио
ж но заключить, что если L^ —характерная ширина следа, a U =
= U^ —характерные значения скоростей й1 и w, то
(6.131)(6.131)dL(£dx ~ U о
(6.131)
(6.131)
Однако из постоянства величины N = J mrdr в случае трехмер-
0
ного следа и величины ^ = J utdz в случае плоского следа выте
кает, что UI?~N = const в первом случае и [/L^^l = const во втором. Эти результаты вместе с соотношением (6.131) показывают, что L~ (Nx/Uo)l/\ U~ (NU2 /х2)\ т. е.
(6.132)(6.132)A^Y'3 V rl/^ \х2 7 ' v yV3XV3 )
(6.132)
(6.132)
в случае трехмерного следа и L^ ^N\xlUoY^, U ~ (.NdLMxYY т. е.
(6.133)(6.133)
(6.133)
(6.133)
в случае плоского следа.
Разумеется, результаты, относящиеся к свободным конвективным струям, не надо путать с аналогичными результатами, относящимися к вынужденной конвекции — переносу пассивной примеси fl* (которой может быть также и теплота) свободными турбулентными течениями динамического происхождения. В этом случае исходная система уравнений будет состоять из обычных уравнений гидромеханики (без слагаемого, описывающего архимедову силу) и уравнения диффузии (или теплопроводности) (1.72). Масштабы длины и скорости здесь будут теми же, что и для соответствующей чисто динамической задачи (т. е. будут описываться формулами (6.121) со значениями показателей, указанными в таблице), но, кроме того, появится еще масштаб концентрации (температуры) в(х). Этот новый масштаб можно определить с помощью дополнительного уравнения Рейнольдса, получаемого при осреднении уравнения (1.72) с % = 0. Проще, однако, исходить из постоянства массы примеси, переносимой через любое сечение x = const, сразу показывающего, что ©~L?k в случае трехмерных течений и 6 «Л-1 в случае плоских течений.
Подробнее о переносе примесей свободными турбулентными течениями мы еще будем говорить в V разделе в связи с изучением турбулентной диффузии. Здесь же мы только отметим, что, зная для свободных турбулентных течений распределения сред- 316
ней скорости и и средней температуры Ф и значения моментов u'w' и ^'w', можно определить также значения соответствующих коэффициентов турбулентного обмена К и Къ и найти их отношение a=\IPrt^=K^IK. Измерения, позволяющие осуществить это, много раз проделывались разными авторами в течениях разного типа (обзор полученных при этом результатов можно найти, например, в книгах Хинце (1963), Абрамовича (1960), Вулиса и Кашкарова (1965)). В целом все относящиеся сюда результаты сравнительно неплохо согласуются друг с другом и показывают, что в первом приближении коэффициенты обмена К и Ко допустимо считать принимающими постоянные значения в каждом поперечном сечении струи или следа и что отношение а = К^1К для свободной турбулентности больше единицы (и именно, а «1,8... 2 для следа за цилиндром и для плоской струи и <z«l,2... 1,4 для осесимметричной струи). Было обнаружено также, что значения К-о для переноса тепла и массы в точности совпадают (но отличаются от коэффициента турбулентной вязкости К), так что Pn = Scf=#l (см. Кизер (1963)). Независимость «а и Рг^а”1 от молекулярных свойств жидкости была наглядно продемонстрирована в экспериментах Закипова и Темирбаева (1965) (см. также книгу Вулиса и Кашкарова (1965)), которые измеряли К и Ко в свободных струях технического масла, воды и ртути (т. е. при молекулярных числах Прандтля в интервале от 103 до 10-2!) и получили идентичные значения а и Рг<.
Подчеркнем в заключение, что все свободные турбулентные течения имеют общую очень важную особенность: область пространства, занятая завихренным турбулентным течением, здесь в каждый момент времени имеет четкую, но очень неправильную по форме границу, промежуточно-асимптотически фрактальную (строго говоря, представляющую собой не поверхность, а очень тонкую зону, так называемый «суперслой Корсика»), вне которой движение является потенциальным. Как уже объяснялось в п. 2.2, жидкость может втекать извне в область завихренного движения, но не может вытекать из него наружу. Проникать же в область потенциального движения могут только крупномасштабные турбулентные пульсации скорости, затухающие на расстояниях порядка поперечных масштабов А(х) области завихренного движения. Эти пульсации и создают нерегулярные искривления границы.
В качестве иллюстрации к сказанному мы приводим на рис. 6.24 великолепную теневую фотографию турбулентного следа за пролетевшей в воздухе пулей, заимствованную из статьи Корсина и Кистлера (1954).
Таким образом, всякое свободное турбулентное течение имеет, по выражению Таунсенда (1956), «двойную структуру»: оно состоит из интенсивной мелкомасштабной турбулентности и сравнительно мало интенсивных крупномасштабных вихрей, создающих
нерегулярные искривления и движения границы турбулентной области. Благодаря этим движениям границы в любой точке свободного турбулентного течения, нс слишком далекой от его оси (или в случае двумерных течений—от плоскости симметрии), мелкомасштабная турбулентность будет временами присутствовать,, а временами отсутствовать, т. с. турбулентность будет перемежающейся. Часто подразумевают, что перемежаемость возникает лишь на достаточно больших расстояниях от оси или плоскости
Рис. 6.24. Теневая фотография турбулентного следа за пролетевшей пулей.
симметрии течения. Однако имеются некоторые указания на то, что, например, в осесимметричном следе не слишком близко от тела нерегулярные меандрирования следа создают значительную перемежаемость даже на оси следа (см. Хуанг и Болдуин (1966) или Гибсон, Чен и Линь (1969)).
В п. 6.6 мы уже указывали на перемежаемость турбулентности во внешних частях турбулентного пограничного слоя. В свободных турбулентных течениях зона перемежающейся турбулентности оказывается, однако, значительно более широкой, чем в пограничных слоях: если в пограничных слоях перемежаемость практически наблюдается в пределах расстояний от стенки от 0,46 до 1,26, то, например, в плоском турбулентном следе, согласно Корсику и Кистлеру (1954), она имеет место в зоне от z = 0,4L(x) (где z — поперечная координата) по меньшей мерс до z = 3,2L(x). Кроме случаев свободной турбулентности внешней части турбулентного пограничного слоя (во многом схожей со свободными турбулентными течениями) перемежаемость турбулентности и четкие подвижные границы между турбулентной и нетурбулентной частями течения наблюдаются, как мы знаем, и в случае течений в трубах и пограничных слоях при нс слишком малых, но и не слишком больших числах Рейнольдса, способствующих возникновению турбулентных «пробок» и «пятен» (см. выше п. 2.1), а также и в некоторых других случаях (см., например, обзор Коулса (1962а)). Можно думать, что подобные явления вообще
очень характерны для широкого круга турбулентных движений и играют большую роль в возникновении и развитии турбулентности. Однако их теоретическое объяснение пока наталкивается на значительные трудности (ср. Коулс (1962а), Липманн (1962), Таунсенд (1966) и Коваснаи (1967), где могут быть найдены и дополнительные ссылки). Мы не будем останавливаться далее на этих вопросах; отметим лишь, что они связаны с наличием в течениях когерентных структур, которыми свободные турбулентные течения исключительно богаты (см., например, работу Брауна и Рошко (1974) о когерентных структурах в плоском слое перемешивания, с которой начались современные попытки построения теории когерентных структур), и что перемежаемость мелкомасштабной турбулентности играет важную роль в некоторых проблемах, которые будут обсуждаться во втором томе книги.
Замыкания первого порядка
Мы уже указывали в п. 6.1, что в случае турбулентных течений законы механики описываются системой уравнений Рейнольдса, число неизвестных в которой превосходит число уравнений. Поэтому уравнения Рейнольдса не могут быть «решены» в обычном смысле этого слова: при выборе их решений, имеющих физический смысл, какие-то функции, описывающие турбулентность, должны быть заданы независимо от этих уравнений. В некоторых случаях вид таких функций можно найти (с точностью до небольшого числа эмпирически определяемых констант) исходя из соображений размерности. Чаще, однако, это все равно приводит к соотношениям, содержащим неизвестные функции. Общее число таких неизвестных функций, необходимых для описания различных турбулентных течений в природе или в технических устройствах, весьма велико. Поэтому естественно, что многие исследователи стремились свести их определение к нахождению небольшого числа связей между характеристиками турбулентности, применимых сразу ко многим течениям. Теории турбулентности, использующие наряду со строгими уравнениями гидромеханики также некоторые дополнительные связи, найденные эмпирически по данным экспериментов или же выведенные с помощью качественных физических рассуждений, называются полуэмпирическими теориями. С точки зрения «чистой» теоретической физики все эти теории должны рассматриваться как нестрогие, но в развитии наших представлений о турбулентных течениях они сыграли очень большую роль, и многие из них до сих пор продолжают широко использоваться в технике. Поэтому представляется целесообразным дать здесь хотя бы краткое представление об основных идеях важнейших полуэмпирических теорий, предложенных Буссинеском (1897), Прандтлем (1925), Тэйлором (1915, 1932) и Карманом (1930). Этому и будет посвящен настоящий параграф; дальнейшее развитие такого подхода к теории турбулентности и некоторые конкретные примеры применения полуэмпирических теорий будут рассмотрены в следующей главе.
Незамкнутость системы уравнений Рейнольдса относительно средних значений гидродинамических полей вызывается наличием в ней дополнительных слагаемых, содержащих турбулентные напряжения (напряжения Рейнольдса). Простейший путь замыкания этой системы уравнений состоит в установлении связей, позволяющих выразить напряжения Рейнольдса через осредненные гидродинамические поля. Такие связи можно называть «замыканиями первого порядка». Ниже мы перечислим несколько связей такого рода, предложенных различными исследователями.
Будем рассматривать лишь простейшие плоскопараллельные течения, в которых отлична от нуля только х-компонента средней скорости йх = й, зависящая лишь от координаты г (или, что почти то же самое, течения в круглой
трубе, в которых средняя скорость й направлена вдоль оси Ох и зависит лишь от расстояния z=R—г до стенки трубы). В таком случае уравнения Рейнольдса будут иметь вид (6.16) (или аналогичный вид в полярной системе координат); поэтому профиль средней скорости будет определяться первым уравнением (6.16) (или уравнением (6.17')), содержащим единственное допол
нительное неизвестное т(1)=—pu'w'. Следовательно, для определения функции
надо только уметь выразить т(1) через u(z).
Простейшее возможное предположение о связи турбулентного напряжения т(1) = —pu'w’ с профилем й(г)—это предположение Буссинеска (1897) о существовании соотношения вида (6.5), содержащего коэффициент турбулентной вязкости К- Собственно говоря, само по себе соотношение (6.5) даже не явля
ется предположением и не устанавливает новой связи; оно только заменяет неизвестное т(1) новым неизвестным ^ =' р ^^j^z) * ^сли’ °Днако> предполо
жить, что К зависит от координат каким-либо определенным образом, то мы приходим к полуэмпирической теории, допускающей проверку на опыте.
Самое простое допущение о величине К состоит в том, что она считается постоянной. Легко понять, однако, что в применении к течению в плоском канале или круглой трубе это допущение приводит к заведомо неверным результатам. В самом деле, при Л =^ const уравнения для средней скорости турбулентного течения отличались бы от соответствующих уравнений для ламинарного течения лишь числовым значением коэффициента вязкости и, следовательно, из них следовало бы, что профиль скорости должен быть параболическим. В то же время известно, что такой профиль не соответствует данным экспериментов (ср. рис. 6.9).
В этом противоречии нет ничего неожиданного: известно, что при приближении к стенке коэффициент К должен стремиться к нулю (и притом даже, не медленнее, чем третья степень расстояния от стенки; см. формулы (6.20)), поэтому предположение о постоянстве К не может быть применено к течению около твердых стенок. Однако в некоторых задачах, касающихся, например, турбулентных струй в безграничном пространстве или турбулентности в свободной атмосфере, предположение К—const оказывается не столь уж плохим. В этих случаях подстановка соотношения (5.5) с постоянным К в уравнение Рейнольдса приводит к полуэмпирическому уравнению, содержащему неизвестный параметр К, который следует определять по данным наблюдений.
В случае течений, ограниченных стенками, нельзя считать, что К—const, но можно выдвинуть другие гипотезы о коэффициенте турбулентной вязкости К. Например, в случае плоскопараллельного течения около плоской стенки (но не слишком близко от нее — за пределами вязкого подслоя) к хорошим результатам приводит гипотеза о пропорциональности коэффициента К расстоянию до стенки: из нее вытекает логарифмическая формула (6.22) для профиля скорости, согласующаяся с выводами из соображений размерности. Для течений в трубах, каналах и пограничном слое также был предложен ряд гипотез о зависимости К от расстояния до стенки z. В качестве примера можно указать на заметку Госса (1961), в которой показано, что для труб и пограничного слоя к неплохо согласующимся с опытом результатам приводит предположение о пропорциональности К функции 1—(1—z/d)2, где б — радиус трубы или толщина пограничного слоя, или на гипотезу Сцаблевского (1968): = xh*z (1 — z/d)ехр (—г/тЬ) при O^z/d^m и ^=^(щд) при m^z/d<l, где т = 0,8. В непосредственной близости от стенки взаимодействие процессов молекулярного и турбулентного трения приводит к зависимости вида К= = xzz*zq)(zu*/v); некоторые полуэмпирические гипотезы о виде функции ср были предложены Дейслером (1955), Рэнни (1956), Левичем (1959) и другими авторами. В приземном слое атмосферы при неустойчивой термической стратификации коэффициент К по всем имеющимся данным с ростом высоты z сначала возрастает почти линейно, а затем все более медленно, и при достаточно больших z турбулентную вязкость можно считать практически постоянной. В соответствии с этим разными исследователями был предложен ряд формул для K(z), согласующихся с указанными здесь общими закономерностями
(см., например, Юдин и Швец (1940), Дородницын (1941), Берлянд (1947)).
При исследовании закономерностей переноса пассивных консервативных примесей в турбулентном течении роль турбулентного напряжения т(1) = =—pu'w' играет турбулентный поток массы /d) =—рф'м/ или тепла q^ = =—CppO-'tw', а роль коэффициента К — коэффициент К^» определяемый соотношением (6.9х). По поводу этого коэффициента можно повторить все, что выше говорилось о коэффициенте К (см., в частности, ниже — главу 11, где в связи с обсуждением вопроса о диффузии в атмосфере будут рассмотрены некоторые полуэмпирические теории, использующие определенную форму зависимости коэффициента от координаты z).
Часто, однако, выбор приемлемого допущения о величине К наталкивается на трудности. Для облегчения этого выбора были разработаны другие полуэмпирические теории, во многих из которых основную роль играет понятие пути перемешивания, введенное Прандтлем (1925) (в слегка отличной форме та же идея еще раньше высказывалась Тэйлором (1915)).
Применение этого понятия легче всего проиллюстрировать на примере турбулентного переноса консервативной пассивной примеси О. Пусть средняя концентрация О зависит только от координаты z, так что рассматривается перенос этой примеси по направлению оси Oz. Будем считать, что перенос осуществляется лишь турбулентными пульсациями скорости. Наглядно это можно представить так, что в среде случайным образом возникают отдельные струйки, переносящие примесь с одного уровня z=const на другой. Будем считать, что каждая такая струйка проходит по направлению оси Oz путь V и только после этого перемешивается с окружающей средой; в таком случае V и будет длиной пути перемешивания. Согласно этому, на уровень z будут попадать только струйки, зародившиеся на уровне z—V и двигающиеся вверх или зародившиеся на уровне z-\-V и двигающиеся вниз. Если принять, что перемешивание струйки происходит не постепенно, а сразу, то струйка, зародившаяся на уровне z—Г, донесет до уровня z свою исходную концентрацию примеси, в среднем равную ^(z—Г), а струйка, зародившаяся на уровне z + /х,— концентрацию, в среднем равную -0-(г + /'). Таким образом, на уровень г струйки будут приносить примесь, концентрация которой отличается от средней концентрации на этом уровне, т. е. будут приводить к появлению пульсаций концентрации, равных Ф (z + /') — Ф (z) « + V ■ ^д^) е Струйкам, двигающимся вверх, отвечает положительное значение пульсационной вертикальной скорости w\ а струйкам, двигающимся вниз,— отрицательное значение w\ Поэтому если считать, что V также имеет знак, положительный для струек, движущихся вверх, и отрицательный для струек, движущихся вниз, то
/(1) = — pw'^' = pl'w' ~^—- (6.134)
Отсюда видно, что коэффициент турбулентной диффузии К очень просто выражается через длину путй перемешивания (являющуюся, вообще говоря, случайной величиной):
K^Tw7. (6.135)
Эту формулу можно использовать не только для потоков пассивных консервативных примесей, но и для описания турбулентного обмена импульсом. Эта идея лежит в основе известной теории переноса импульса Прандтля (1925), предположившего, что для продольной компоненты импульса ри также существует определенный путь перемешивания V и, следовательно,
т(О = — pu'w' = pl'w' -^^-, K = l'w'. (6.136)
Длина /' в известном смысле аналогична длине свободного пробега молекул в кинетической теории газов — она определяет путь, который проходит небольшой элемент жидкости («струйка»), прежде чем он перемешается с про-
чими жидкими частицами и передаст им свой импульс. В этом смысле формулы (6.136) для К аналогичны известному выражению для коэффициента молекулярной ВЯЗКОСТИ \~lmUmi ГДС 1т — ДЛИНЗ СВОбоДНОГО пробега, Um— скорость теплового движения молекул. Длина U на много порядков больше, чем 1т\ поэтому, хотя ит обычно больше, чем w\ формула (6.136) приводит к значениям К, намного превосходящим v.
Струйки, попадающие в слой г из слоев г—V и z + /', будут в среднем иметь продольные скорости й(г — Г) и й(г + Г^, так что они будут создавать /»du I
пульсации и продольной скорости, близкие по абсолютному значению к \г -^ - . Допустив, что пульсации вертикальной скорости w' по абсолютному значению близки к пульсациям продольной скорости и', так что
w' ~ и' ~ U -з— .
dz *
Прандтль представил турбулентное напряжение т(1) в виде
где I — новая длина, имеющая тот же порядок, что и среднее квадратичное значение случайной длины V. Знак абсолютного значения величины в формуле (6.137) поставлен для того, чтобы напряжение т(1) имело тот же знак, что и duldz, так как импульс всегда передается от слоев жидкости, двигающихся более быстро, к слоям, двигающимся более медленно. Длина / в формуле (6.137), которая теперь уже не является случайной величиной, обычно также называется длиной пути перемешивания.
Формула (6.137) позволяет представить коэффициент турбулентной вязкости в виде
(6.138)
где I — длина, которая, вообще говоря, зависит от координат и характеризует масштаб турбулентности (средний размер турбулентных возмущений) в данной точке. После этого определение профиля средней скорости требует лишь задания явного вида зависимости длины / от координат. Поскольку при течении около бесконечной плоской стенки, характеризуемом постоянным значением т, в области за пределами вязкого подслоя не существует никакого масштаба длины, всякая величина размерности длины должна быть здесь пропорциональной расстоянию от стенки. Полагая / = хг и т^ =т = pu = const, из формулы (6.137) получим, что dujdz — ujuz, т. е. й= (ц*/х)г + const (см. Прандтль (19326)). Таким образом, мы снова пришли к логарифмическому закону для профиля скорости. Для течения в плоском канале или в круглой трубе в качестве первого приближения можно даже предположить, что соотношение /=хг остается справедливым вплоть до середины канала или оси трубы. Подставляя это соотношение в (6.137) и отождествляя т(1) _с т — т(1) + + v(duldz), получим дифференциальное уравнение относительно u(z), которое при соответственном подборе постоянной х приводит к профилю скорости, неплохо соответствующему данным опыта в значительной части сечения канала или трубы (см. Гольдштейн (1938)). Однако непосредственно вблизи оси канала или трубы лучше считать путь перемешивания приблизительно постоянным. Полагая, например, для трубы радиусом R, что l = $R, будем иметь
(6|39>
Интегрируя это уравнение при краевом условии u(R) = Uq, получаем:
(1—ЛЛ‘Ь- (6-14°)
м* зр \ R )
0,14 — 0,08(1^-)20,14 — 0,08(1^-)2Последний результат, как показал еще Дарси (1858), при 3^0,13 хорошо соответствует экспериментальным данным в области 0,25 < гЩ < 1 (см. п. 6.5). Наконец, чтобы получить совпадение с опытными данными при всех значениях zIR вне пределов вязкого подслоя, в случае течения в круглой трубе следует положить
0,14 — 0,08(1^-)2
0,14 — 0,08(1^-)2
(6.141)
(Никурадзе (1932)). Последняя формула при zlR<^.\ принимает вид /=0,4г— 0,44 (z2IR) + ... «0,4 г, а при z!R-^\ она обращается в соотношение /^0,14 7?, т. е. она может рассматриваться как интерполяционная формула между выражениями для / вблизи стенки и около оси. Близкие распределения I по сечению трубы предложили также Сцаблевский (1968) и Обухов (1942), высказавшие одновременно некоторую гипотезу о длине /, позволяющую находить ее зависимость от координат для труб любого сечения. Непосредственно около стенки (в пределах вязкого подслоя) /, по-видимому, должно убывать при убывании z быстрее, чем по линейному закону; гипотезы о поведении / в этой области течения предлагались Ротта (1950), Хама (1953), Ван Дристом (1956) и другими авторами. Трехслойное распределение / в плоском пограничном слое, объединяющее распределение Ван Дриста около стенки, линейное распределение l=xz с х = 0,435 в логарифмическом слое (при z ^0,09 б/х) и допущение о том, что 1= 0,09 d = const при z=0,09 б/х, предложил Сполдинг (1967), показавший, что такое распределение очень удобно и оказывается достаточно точным для большинства практических задач.
В дальнейшем Прандтль указал некоторые обобщения теории переноса импульса, применимые, например, к трехмерным течениям (ср. Гольдштейн (1938), § 81) или же учитывающие возможность того, что при dUldz = ^ турбулентная вязкость в противоречии с формулой (6.138) все же отлична от нуля (Прандтль (1942)).
Перейдем теперь к предложенной Тэйлором теории переноса вихря — второй основной полуэмпирической теории. Ее появление было связано с попыткой учета влияния пульсаций давления на перемещающиеся жидкие частицы, приводящего к изменению их импульса и поэтому не позволяющего считать импульс консервативной примесью, сохраняющейся при перемещении элементов жидкости. Исходя отсюда Тэйлор (1915), впервые введя понятие «пути перемешивания», в отличие от Прандтля предположил, что «путь перемешивания» должен существовать для вихря скорости, а не для импульса; впоследствии эту идею он развил более подробно (см. Тэйлор (1932)).
Идея Тэйлора наиболее обоснована для двумерного течения, в котором в отсутствие вязкости вихрь скорости переносится при движении жидких частиц без изменения. Поэтому единственная компонента вихря <ov = du/dz — —dw/dx вне вязкого подслоя является консервативной величиной. Турбулентное напряжение трения т = —pu'w' двумерного течения со средней скоростью й = = {й, 0}, параллельной оси Ох, удовлетворяет соотношению
1 dx р dz1 dx р dzd -г-5— iVwdzd -г-5— iVwdz. dwr .и -дГ + ш. dwr .и -дГ + ш
1 dx р dz
1 dx р dz
d -г
-5— iVwdz
d -г
-5— iVwdz
. dwr .
и -дГ + ш
. dwr .
и -дГ + ш
dx dzdx dz•pw wg•pw wg(6.142)(6.142)
dx dz
dx dz
•pw wg
•pw wg
(6.142)
(6.142)
du' dw' \ .1
= -w A—zдГ")+т
При однородности вдоль оси Ох производные по х от осредненных величин равны нулю; следовательно, в этом случае
^уdz *^уdz *= pw'l\= pw'l\
^уdz *
^уdz *
= pw'l\
= pw'l\
// 5(0-г-г
Введем путь перемешивания для вихря /ь так что ^у = Ц - ^ ,* тогда pty toy
Что же касается величины w', то ее, как и в теории Прандтля,
представим в видеш' = /' "д5—»гДе /' — случайная длина пути перемешивания - дй dw
для скорости. Заметив, что в рассматриваемом случае toy = ”dzдх"~ dudtoyd2u
= —:— и, значит, ---— - ,. окончательно получаем: dzdzdz2 *3
(6.143)(6.143)dx .2 du d2udz^ 1 dz dz2 ’
(6.143)
(6.143)
14
где /i = l—/ /i)—характерная длина. На самом деле возмущения поля
скорости плоскопараллельного течения могут быть и трехмерными, так что указанную формулу приходится рассматривать лишь как эмпирическую связь, допускающую проверку на опыте. Она также допускает некоторые обобщения (см., например, Тэйлор (1935в) или Гольдштейн (1938); § 84—85).
При /i = const формула (6.143) точно эквивалентна формуле Прандтля (6.137); вообще же теория Тэйлора приводит к несколько иным результатам, чем теория Прандтля. В применении к напорным течениям в плоском канале или круглой трубе формула Тэйлора с /i = xiZ (где приходится считать, что Xi«0,23 в случае канала и Xi«0,19 в случае трубы) позволяет получить зависимость средней скорости от z, которая почти вплоть до оси канала или трубы неплохо согласуется с опытными данными (см. Гольдштейн (1938), § 156—157).
# Аналогично выводу формулы (6.137) из (6.134) можно вывести равенство /0)=р/2_^£_^_ К(6Л44)
1 г 2 dz dz ’♦2 dz ’х 7
где /2 — еще одна длина пути перемешивания, характеризующая теперь перенос пассивной консервативной примеси О.
Как теория Прандтля, так и теория Тэйлора не решают полностью вопроса о связи между напряжениями Рейнольдса и полем средней скорости, поскольку в этих теориях вводится новая величина — длина пути перемешивания, определение которой требует привлечения дополнительных гипотез. Весьма общей гипотезой, позволяющей, в частности, во всех случаях установить связь между длиной I и осредненным полем скорости, является предложенная Карманом (1930) гипотеза о локальном кинематическом подобии: поля турбулентных пульсаций скорости в окрестности каждой точки развитого турбулентного течения (за исключением лишь тонкого «вязкого подслоя» около стенок, в котором непосредственно проявляется действие вязкости) подобны друг другу и различаются лишь масштабами длины и времени (или, что то же самое, длины и скорости). Для того чтобы записать эту гипотезу математически, введем в окрестности каждой точки х0 подвижную систему отсчета, движущуюся со скоростью, равной средней скорости и(х0) в данной _точке; координатами в этой системе отсчета будут компоненты вектора х—х0—и(х0)/. Согласно гипотезе Кармана, в каждой точке х0 могут быть определены такие масштаб длины /(х0) и масштаб скорости Щх^, что в окрестности этой точки поле турбулентных пульсаций скорости будет иметь вид
u'(x)=l/(x0)v(g), 5= ^^"Л^1 , (6.145) t (Хо)
где функция v(g) универсальна, т. е. не зависит от точки х0 (а следовательно, и от поля средней скорости и(х)). Таким образом, в теории Кармана связь между характеристиками турбулентных пульсаций и полем осредненной скорости имеет место лишь благодаря зависимости масштабов I и U от поля и(х).
В случае плоскопараллельного стационарного течения со средней скоростью й(г), направленной вдоль оси Ох и зависящей лишь от z, воспользуемся урав- 324
мнением (1.7) для вихря скорости, //-компонента которого в пренебрежении вязкостью имеет вид
dt + » дха а дхаdt + » дха а дха0.0.(6.146)(6.146)
dt + » дха а дха
dt + » дха а дха
0.
0.
(6.146)
(6.146)
U(z.)n (5,й (z0) t -U(z.)n (5,й (z0) t -Подставляя в это уравнение значение полной скорости u = U(z0)i +
U(z.)n (5,й (z0) t -
U(z.)n (5,й (z0) t -
где I —единичный вектор оси Ох, а 5 = {£ь Ь, Ы = <-* ? х
у2 — Zn )
”Т7—Т/—Гт—вектор относительных безразмерных координат (и предпола- t (Zo)i (z0) J
гается, что Хо=Уо=О), можно перейти от уравнения (6.146) к уравнению относительно неизвестных иа(Е), а=1, 2, 3, с коэффициентами, содержащими ве-
личины U(zq), l(z0), й(г0) и их производные по z0. Согласно гипотезе об универсальности функций у а (5), коэффициенты последнего уравнения не должны зависеть от z0. Таким образом могут быть получены соотношения
/ (Zo)t/(Zo)/ (Zo)t/(Zo)du (z0),— ? -- = const, dz0du (z0),— ? -- = const, dz0I2 (z0) d2u^ __U (z0) ^ZqI2 (z0) d2u^ __U (z0) ^Zqconstconst
/ (Zo)t/(Zo)
/ (Zo)t/(Zo)
du (z0),
— ? -- = const, dz0
du (z0),
— ? -- = const, dz0
I2 (z0) d2u^ __
U (z0) ^Zq
I2 (z0) d2u^ __
U (z0) ^Zq
const
const
(см., например, Гольдштейн (1938), § 158, или Шлихтинг (1969), гл. XIX, § 5, где соответствующий вывод подробно проведен для частного случая двумерного поля и^х)). Отсюда вытекает, что
, du / d2udu
/ = —к_^ = b/«_(6.147)
dz I dz2 *dz ’x 7
где x и В — универсальные постоянные (которым, вообще говоря, можно придать любое значение, так как масштабы / и U пока определены лишь с точностью до произвольного множителя). Первое из этих соотношений может быть выведено и непосредственно с помощью соображений размерности, если потребовать, чтобы длина / зависела лишь от dufdz и d2H[dz2 (в силу галилеевской инвариантности уравнений движения характерный масштаб пульсаций I не может зависеть от абсолютного значения средней скорости й(г), а зависит только от изменения й в окрестности заданной точки, т. е. от производных функций й(г); предположение о зависимости I только от первых двух производных du/dz и d2uld2z будет в таком случае простейшей возможной гипотезой об этой величине). Второе соотношение таким же образом получается из предположения, что и U зависит только от dujdz и d2uldz2 (или от / и dH[dzY
Длина I является аналогом длины пути перемешивания I и 1Х в теориях Прандтля и Тэйлора. В самом деле, в силу выражений (6.145) и (6.147)
тО) = —-pu'w' — pU2vx (0) и3 (0) = const • Р^2^"^~) ,(6.148)
где const = В2У1(0)Уз(0). Аналогично можно показать, что
дтО)д 7du d2u
—5— = ——u'w' = const • pl2 —(6.149)
dzdzdz dz2 ’х 7
где теперь const имеет другое значение.
Гипотеза Кармана, выраженная соотношением (6.145), при ее буквальном понимании налагает на турбулентные пульсации скорости непомерно жесткие ограничения, не согласующиеся с естественным представлением о нерегулярности изменений пульсационной скорости в пространстве и во времени. Как будет видно из дальнейшего, гипотеза о локальном самоподобии оказывается приемлемой не для индивидуальных реализаций поля пульсационной скорости, а лишь для статистических характеристик такого поля (см. VIII раздел тома 2 настоящей книги, посвященный гипотезам подобия А. Н. Колмогорова). Однако основные результаты (6.147) теории Кармана могут быть выве-
дены и при гораздо более слабых предположениях; как мы уже видели, в некотором смысле они являются следствиями соображений размерности. Как показал Лойцянский (1935), для вывода формул (6.147) гипотезу о локальном самоподобии достаточно применить к среднему полю скорости, потребовав, чтобы в каждой точке х0 = (х0, У^ £о) был определен такой масштаб Z(z0), для которого при Zq^z^Zq + Z с точностью до малых третьего порядка относительно Z выполняется условие
й (^) *“ й (г0)г /»\» z ZqiCnx
с(6.150)
В самом деле, с указанной степенью точности имеем
й^оА-Ц—й (z0)( du \ . 1 2 / d4 \
k ,dz /о 2 1 k dz» J»
*+4-[Z (^)0/ЙН]
Поскольку, согласно принятой гипотезе, последнее выражение не должно зависеть от z0, для Z, очевидно, получается первое равенство (6.147); после этого* из условия независимости от z0 отношения
т (zo) t(Zq)
Р [« (2о + 0 — й (z0)]2 ~ р;2 ( du
выводится также и равенство (6.148).
Для безнапорного плоскопараллельного течения над безграничной плоскостью z=0 с постоянным напряжением трения т=рм2 соотношение Кармана для Z в соединении с формулой Прандтля т=р/2(^й№)2 дает
<6',5|>
Отсюда снова получается логарифмический профиль средней скорости:
й (z) = -^ In (z — z0) + В
(исторически именно так он и был выведен впервые). В случае напорного течения в плоском канале или круглой трубе наряду с формулами 1=—х(й7й") и Т=р/2(бУй№)2 следует использовать еще соотношения (6.17) или (6.17'). При этом удается получить формулы для профиля u(z), которые при специальном выборе постоянной х (различном для канала и для трубы) можно привести в удовлетворительное соответствие с имеющимися опытными данными (см. Гольдштейн (1938)).
Полуэмпирические теории Прандтля, Тэйлора и Кармана суть классические примеры подходов к проблеме турбулентности, основанных на предположении о существовании локальной связи между полями напряжений Рейнольдса и средней скорости. Попытки найти улучшенную форму такой связи предпринимались рядом авторов (см., например, статью Леттау (19676), где можно найти и другие ссылки на работы этого автора; критическое обсуждение его подхода было предпринято Ламли и Стьюартом (1965)). Классические теории ранее казались удовлетворительными главным образом потому, что они сравнивались почти исключительно с измерениями распределения средней скорости, а оно
мало чувствительно к принимаемым гипотезам (особенно если в теорию включаются константы, подлежащие определению из наблюдений). Когда же были выполнены более детальные эксперименты, то стало ясно, что любая теория такого типа в принципе ошибочна и может использоваться для описания лишь весьма ограниченного круга турбулентных течений.
Например, измерения Шварца и Косарта (1961), Бегье (1965) и некоторых других авторов определенно показывают, что в течениях с несимметричными профилями скорости точка, где равно нулю касательное напряжение, очень часто не совпадает с точкой обращения в нуль градиента скорости; очевидно, этому факту противоречат все теории пути перемешивания и турбулентной вязкости. Отсюда также следует, что в несимметричных течениях турбулентная вязкость в некоторых точках должна быть отрицательной; из-за этого вся концепция турбулентной вязкости в применении к таким течениям представляется несколько странной. Действительно, если чисто формально определить турбулентную вязкость формулой K=xlp(duldz), то К довольно часто оказывается отрицательным, особенно в случае природной крупномасштабной турбулентности (см., например, специальную монографию Старра (1971), посвященную этому вопросу). В настоящее время почти все специалисты считают, что напряжения Рейнольдса не являются локальными характеристиками движения, а зависят от всего поля течения (включая его историю во времени). Из этой идеи имеются многочисленные выводы, указывающие на то, что турбулентная жидкость должна рассматриваться как специальная непрерывная среда с неньютоновской вязко-упругой реологией (Ривлин (1957), Моффат (1967), Крау (1968) и др.). Такое описание турбулентности отчетливо показывает ограниченность и неадекватность классических полуэмпирических теорий; к сожалению, это само по себе не дает однозначной аккуратной математической модели турбулентного течения со сдвигом. Несколько весьма различных попыток сформулировать улучшенную неньютоновскую полуэмпирическую теорию напряжений Рейнольдса (т. е. теорию с нелинейным соотношением между напряжениями и скоростями деформации) было предпринято Ламли (1967а), Филлипсом (1967) и некоторыми другими авторами (см. также работу Коваснаи (1967)). Однако полученные ими результаты имеют лишь предварительный характер, и мы здесь рассматривать их не будем.
Глава 7УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВТОРЫХ МОМЕНТОВ
Уравнения для напряжений Рейнольдса
Выше уже отмечалось, что из-за появления в уравнениях Рейнольдса для среднего движения дополнительных слагаемых, содержащих напряжения Рейнольдса т^) =—ри^и'., система этих уравнений оказывается незамкнутой. Естественно попытаться замкнуть ее, дополнив уравнения Рейнольдса новыми уравнениями, описывающими изменения во времени самих напряжений т^!. Эти уравнения для величин т<9 и будут выведены в настоящем параграфе. Мы увидим, что и они, в свою очередь, также содержат ряд дополнительных неизвестных и поэтому снова не образуют замкнутой системы. Тем не менее уравнения для величин т^), налагающие на статистические характеристики турбулентности новые динамические связи, позволяют сделать ряд качественных выводов о свойствах турбулентных течений. Особенно полезным оказывается уравнение баланса турбулентной энергии, описывающее изменения во времени плотности кинетической энергии пульсационного движения (или, короче, просто турбулентной энергии Et—VI^Pu'u'Y Подробному рассмотрению этого уравнения, все слагаемые которого имеют ясный физический смысл, будет посвящен ряд последующих параграфов.
Для вывода уравнений, описывающих изменения во времени напряжений Рейнольдса, можно воспользоваться общим методом составления уравнений для моментов, предложенным Келлером и Фридманом (1924) (см. также Келлер (1925)). А именно, пусть Mi, М2, ..., un — какие-то N различных или совпадающих друг с другом гидродинамических полей турбулентного течения сжимаемой жидкости, a Xi, хг, ..., Xn — какие-то N различных или совпадающих точек в области пространства, заполненной жидкостью. В таком случае производная по времени от момента N-ro порядка
Вихиа ... uN(xx, х2, ..., xN, 1)=1Цх^)йЛк^^ (7.1) в силу возможности перемены порядка операций осреднения и дифференцирования может быть представлена в виде
^ ®UxU2 «дг(^1» ^2» • • •» X^» О
= —■^’ ° Мх«, О ... uNlxN, 0 +
+ «l(X„ ц^?^’... uN(xN, 0 + ...
Ь «1 (xn О и2(х2, 0 • • • ^^-2L,(7.2)
Теперь достаточно исключить все производные по времени в правой части последнего равенства с помощью соответствующих гидродинамических уравнений, и мы получим уравнение для момента Вих... ttN (хр ..., xNty выражающее ^-5U(ttN (xt, ..., xN, i) в виде комбинации моментов самих гидродинамических полей и их
пространственных производных.
Указанный прием может быть применен и к неосредненным величинам. Так, например, подставляя уравнения Навье—Стокса дduidui
(1.6) в равенство -r—puiUj=pUi ———При,——, получаем: Lr 4(Jvvl
-^У- _|_ _£_ VpUiUjUa + (pUibja + рИ/dza) — (UiOia + U/Oza)] =- №u.X, ++ ^H",. X" +°-• <7-3)
/ dut ди< \
где Oi7 = p.(-^—।—dx~) —тензор вязких напряжении в несжимаемой жидкости. Отсюда, в частности, для плотности кинетической энергии £ = 0,5рырмр получается уравнение
4г + ~d^" ^£“a + pUa ~ и^°а^ = pUaXa ~ р6’<7,4)
где
диа и XV ®иа । ди9 Vдхр - 2 L( дх9 + дха )
имеет смысл удельной (на единицу времени и единицу объема жидкости) диссипации кинетической энергии. Выражение в скобках в левой части уравнения (7.4) представляет собой плотность потока энергии, обусловленного как непосредственным переносом энергии при перемещении частиц жидкости, так и работой сил давления и молекулярных сил внутреннего трения. Правая же часть уравнения (7.4) показывает, что суммарная кинетическая энергия произвольного объема жидкости изменяется нс только -вследствие механического втекания или вытекания энергии через
его границу и работы приложенных к границе сил давления и молекулярного трения, но также и вследствие работы объемных сил и вследствие диссипации, приводящей к переходу части кинетической энергии в теплоту.
Используя теперь вместо уравнений Навье—Стокса уравнения Рейнольдса (6.1)
Т ++ Р“Х + P^ia ~ О,а) = P^i(7-5)
и учитывая, что р = const и дйа/дха = 0, аналогично получим следующее уравнение для тензора putuf.
дрй;й. д _ _ __z_
—Ot + 777 [PWa + Р“,“ай/ + PW.- +
+ (pUibja + PUjbia^ — V^ia + йАа)] =
_ —_ -/ дй: дй: \/ дй, _ дй, \
= (рщХ, + pUjXi) + P+ Oia J 4-
/ —7—7-7—7- дй: \
+ \pu.u kpu.u -5— .(7.6)
’ V * a dxa * ' j cl dxa /V '
В частности, для плотности кинетической энергии осредненного движения £*8 = 0,5рйрйр получается уравнение
"ИГ + "дх^ kEs^a + PUa“p^p + P^a “ ^P°ap) =
= P“ A ~ Ph + P“a“P •(7‘7)
где
- дй» pv / дй . дй. \2
имеет смысл удельной диссипации энергии осредненного движения под действием молекулярной вязкости. Физический смысл всех слагаемых этого уравнения (за исключением последнего слагаемого, которое мы подробно рассмотрим ниже) аналогичен смыслу соответствующих слагаемых уравнения (7.4). Заметим лишь, что плотность потока энергии осредненного движения наряду со слагаемым йроар, описывающим перенос энергии силами молекулярной вязкости, содержит слагаемое Р^^^ нр, описывающее родственный процесс переноса энергии благодаря действию «турбулентной вязкости». .
Осредняя уравнение (7.3) и затем вычитая из него почленно уравнение (7.6), получаем искомое уравнение для тензора напряжений Рейнольдса:
daU; Uf d _ ;
Л/ +^ Wa + PUiUlU'a + (P ^ia + P UM ~
- Ma + “A«)l = P»^ + PUJXi + P ^+"^ ) *
/ z du,du, A / —7—7 du- —y—p du, \
-Iе- э<+"/- те;)- P“A te;+^Me;)-(7-8)
Это же уравнение можно получить, составив сначала динамическое уравнение для пульсации скорости и'. = щ — й. (равное разности t-х уравнений Навье—Стокса и Рейнольдса)
Р "^ + d^ (PUiUa + PUaUi + PUiUa ” P“.“a + P 6ia - Ota) = pXp
(7.9)
а затем применив формулу (7.2) к центральному моменту и'. и'.= ^~т(,у 0™етим сразу же, что уравнение (7.8), кроме средней скорости й, и напряжений Рейнольдса ри'и', содержит ряд новых неизвестных: во-первых, третьи центральные моменты ри'.и'.и'а; во-вторых, умноженные на v вторые моменты пульсаций скорости и ее пространственных производных, входящие в выра- , ,, dui
дщ dxjдщ dxjжения и.о ja и о /а ^х и непосредственно не выражающиеся через напряжения Рейнольдса; в-третьих, взаимные вторые моменты
дщ dxj
дщ dxj
(которые с по(которые с пополей давления и скорости вида р'и'. и р'
(которые с по
(которые с по
мощью равенства (1.9') можно представить в виде интегралов
от двухточечных моментов третьего порядка типа и', (х, t^u'. (х',/)Х
Хи^х', /)). Таким образом, уравнения Рейнольдса (7.5) и уравнения для напряжений Рейнольдса (7.8) снова не образуют замкнутой системы. Если мы попытаемся дополнить эту систему уравнениями для новых неизвестных, входящих в (7.8), и начнем с уравнений для третьих моментов ри'и'{и'к , то в эти уравнения, в свою очередь, войдут многие другие дополнительные неизвест
ные (например, четвертые моменты pu'.u'u'u' и третьи моменты
—diii dut .
типа p u.w' или типа ^—-—и. (см. Чжоу Пэй-Юань (1945a) ) 3OXm OXn
и разность между числом неизвестных и числом уравнений станет еще больше. Таким образом, составление уравнений для высших моментов ни на каком этапе не позволяет получить замкнутой системы уравнений, описывающей турбулентное движение.
Систему уравнений (7.5) и (7.8) можно попытаться замкнуть, привлекая для этой цели те или иные дополнительные гипотезы, позволяющие выразить перечисленные выше «новые неизвестные» в уравнениях (7.8) через первые и вторые моменты 1ц и UjUj. Таким попытки представляют собой фактически новые варианты «полуэмпирической теории турбулентности», отличающиеся от теорий, рассмотренных в п. 6.8, лишь тем, что гипотетические связи здесь имеют несколько более сложную структуру. Подобные усложненные полуэмпи- рические теории в разное время выдвигались многими авторами; мы здесь кратко остановимся лишь на некоторых из них. Одной из первых работ, посвященных попытке замкнуть систему уравнений (7.5) и (7.8), была работа За- густина (1938). Вслед за ней появилась заметка Колмогорова (1942), в которой турбулентность характеризовалась двумя основными параметрами — интенсивностью и масштабом; через них выражались затем все члены уравнения' баланса турбулентной энергии, вытекающего из (7.8) (близкая идея немного позже была выдвинута также Прандтлем (1945)). К работе Колмогорова (1942) примыкает целая серия работ Невзглядова (1945а, б и др.), предложившего в развитие идеи Колмогорова несколько различных гипотез для замыкания системы уравнений (7.5) и (7.8). Аналогичные исследования проводились также в 40-х годах Чжоу Пэй-юанем (1945а, б, 1947). Им, в частности, была впервые предпринята попытка использовать наряду с уравнениями (7.5) и (7.8) также и уравнения для третьих моментов и^^и^ появляющиеся при этом
четвертые моменты uiUjUkul исключались с помощью гипотезы о равенстве нулку семинвариантов поля скорости четвертого порядка или с помощью некоторой родственной гипотезы. В 50-х и 60-х годах появились работы Ротта (19516, в) и Давыдова (1958, 1959а, б, 19 61), на которых мы остановимся немного подробнее, чтобы на конкретных примерах дать представление об общем характере* этого круга исследований.
Ротта рассматривал уравнения (7.5) и (7.8) для турбулентного течения, в среднем стационарного и плоскопараллельного со средней скоростью й/хз) (направленной вдоль оси Oxi) в отсутствие внешних сил. При этом в целях упрощения предполагалось, что слагаемыми в квадратных скобках в левых частях уравнений (7.8), описывающими «перенос (диффузию) напряжений Рейнольдса», в первом приближении можно пренебречь, рассматривая лишь те части течения, где турбулентность более или менее близка к однородной, и, следовательно, перенос турбулентных величин из соседних областей играет малую роль. Далее, как и в работах Колмогорова (1942) и Прандтля (1945), предполагалось,что турбулентность можно описать ее интенсивностью Ь = (1/2) Ярйр*Е//ри масштабом / — величиной размерности длины, определяющей средние размеры «турбулентных возмущений» и являющейся аналогом «пути
перемешивания». Для вычисления величины р1перемешивания». Для вычисления величины р1dut ди. \
перемешивания». Для вычисления величины р1
перемешивания». Для вычисления величины р1
Ротта- следуя
Чжоу Пэй-Юаню (1945а, б), воспользовался тем, что пульсации давления удовлетворяют уравнению Пуассона вида (1.9) и, следовательно, могут быть представлены в виде, родственном (1.9х), где подынтегральную функцию можно представить в виде двух слагаемых — одного, зависящего от средней скорости й1(х3), и второго, содержащего только пульсации скорости. Вклад первой
(ди,(ди,|может быть представлен в виде
(ди,
(ди,
ряда последовательных производных профиля средней скорости й\(х^) с коэффициентами, являющимися интегралами от двухточечных вторых моментов поля скорости. Эти коэффициенты удовлетворяют алгебраическим соотношениям, вытекающим из уравнения неразрывности, и могут быть приближенно выражены через напряжения Рейнольдса и масштаб I. Вклад же второй части, зависящий от двухточечных третьих моментов, Ротта отождествил со значением величины
/ ди, Р \ dxj/ ди, Р \ dxjdu'i \du'i \в однородной турбулентности с постоянной средней ско*
/ ди, Р \ dxj
/ ди, Р \ dxj
du'i \
du'i \
ростью и предложил вычислять с помощью гипотетического соотношения (оправдываемого некоторыми качественными соображениями)
/ ди, ди» \61/2 / -т-р-2\
р' ^+^-j=-с1—1^ы/ - т ^«р(7J0)
где Ci — числовой коэффициент, определяемый из эмпирических данных. Аналогичную связь вида
, ди, , ди, ри,и, р62/3 е
°1а дха + °^а дха = C2V РI"Сз I 1^(7* 10
где сг и Гз — новые числовые постоянные, Ротта предложил использовать для вычисления «дисеипационных слагаемых» в правой части (7.8), содержащих коэффициент вязкости. При использовании этих формул уравнения (7.5) и (7.8) позволяют определить зависимость отношений различных напряжений Рейнольдса от градиента средней скорости и получить некоторые другие результаты, допускающие проверку на опыте. При соответствующем подборе параметров Гь с2 и г3 эти результаты оказались в неплохом согласии с данными измерений характеристик турбулентности в канале, выполненных Рейхардтом (1938) и Лауфером (1951). Во второй статье Ротта (1951 в) в добавление к соотношениям (7.10) и (7.11) было предложено также дифференциальное уравнение, описывающее изменение во времени и в пространстве длины /, и с его помощью было получено более полное объяснение наблюдающихся на опыте фактов.
Более детальная схема была развита Давыдовым. В его работах в отличие от работ Ротта в левых частях уравнений (7.8) отбрасывались лишь слагаемые -д^—(р и^д^ + р ujd/a ), описывающие перенос напряжений Рейнольдса,
вызываемый пульсациями давления. Слагаемые уравнений (7.8), содержащие множителем коэффициент вязкости ц, могут быть преобразованы к виду
-т-7 ди, ди,
ц ku,Uj + 2ц —^ ^—; первое слагаемое здесь выражается через напряжения Рейнольдса, а второе Давыдов предложил считать равным 21зр£\^п (в силу изотропии мелкомасштабных движений, о которой мы будем подробно
—еще одна подле—еще одна подлеdug ди»
—еще одна подле
—еще одна подле
говорить в томе 2 настоящей книги), ^eei=v-^^—
жащая определению основная характеристика турбулентности. Для определения слагаемых в правой части (7.8), содержащих давление, Давыдов использовал формулу •
/ ди, ди, \в, / -т—72\/1\
Р' 'dxj'"*"* "5x7 / =~~Cl ~ \P“i“/ ~“ Т ^И/^ ^Ч 3* ^аа^Цр (7-12)
Здесь ci -- эмпирическая постоянная (родственная постоянной ci в равенстве (7.10)), а Вц— довольно сложный добавочный тензор, выражающийся через среднюю скорость, ее пространственные производные и напряжения Рейнольдса и описывающий анизотропию пульсационной скорости в пограничных слоях около твердых стенок. Например, в случае течения около твердой, плоской стенки х3 = 0 разумно предположить, что Bij=dpe6i36^ где е = е, есть средняя скорость диссипации турбулентной энергии (использовать которую обычно удобнее, чем ei), a d— безразмерная константа. Такое предположение использовалось, например, Мониным (1965) в приложении к течению в пограничном слое термически стратифицированной жидкости. Монинрассмотрел /2<2/2
все уравнения для семи отличных от нуля вторых моментов их , М2 > из > «1^3, ихТ\ и3Т' и Т'2 (полученных в приближении Буссинеска); в этих уравнениях пренебрегалось всеми слагаемыми, описывающими турбулентный перенос («диффузию»), а слагаемые видар (dT Idxj) в уравнениях для моментов МуТ' исключались с помощью следующей гипотетической формулы, родственной (7.12):
р' dT'jdXj = —d^pu,?' — d^ -^ Р (r'T 5/3-(7.12')
др' дхкдр' дхкДалее, для третьих моментов поля скорости ри1и^ик выводились уравнения, аналогичные (7.8), которые затем подвергались еще более радикальным упрощениям (в них пренебрегалось всеми слагаемыми, содержащими множителем коэффициент вязкости, а также четвертыми семинвариантами поля ско
др' дхк
др' дхк
замезамерости; кроме того, симметричная комбинация слагаемых вида u^j
заме
заме
нялась выражением с^ ~^- uiUiuk' т^ с^— еш-е °ДИН эмпирический коэффициент). Наконец, для определения 81 Давыдов сначала предложил специальное «уравнение переноса», содержащее, кроме еь только первые, вторые и третьи моменты поля скорости; впоследствии, однако, он от него отказался (см. Давыдов (1961)) и заменил его уравнением вида
/ дд \ д^ь Е! -7—7 дй е?д2£.
\ dt а дхп / 1 дхь 1 3 b а р dxR b дх„дх„ ’ v 7
, 6Uq dUa
где с3 — новый эмпирический коэффициент, а у^ = ^ик 5х—Эх—2, 3 —
еще три дополнительных неизвестных. Теперь уже для замыкания системы требуется выписать еще и уравнения относительно величин у*, которые также можно составить исходя из уравнений (7.9) для ьц с помощью общего правила (7.2). После значительных упрощений, снова использующих некоторые гипотетические связи, эти последние уравнения приводятся к виду
£.(7.14)£.(7.14)d _ д \дйк тт де. 2 дики'а
£.
(7.14)
£.
(7.14)
dt"^ “а дха /Y^ "*" Y« зх+ икиа Qx+ "9"ei Qx
Окончательно, таким образом, получается весьма сложная, но замкнутая система из 23 квазилинейных дифференциальных уравнений относительно 23 неизвестных величин и^ utu,p и^и^, et и у&, содержащая 4 эмпирических коэффициента, значения которых можно оценить, например, на основании данных
измерений Лауфера (1954). Более точная проверка этой системы требует специальных опытов, в которых тщательно измерялись бы все неизвестные величины, входящие в полученную систему; подобные измерения, по-видимому, никем не производились.
Число публикаций о замыканиях системы уравнений для средних полей и моментов пульсаций второго порядка (так называемых «замыканиях второго порядка») резко возросло после Стэнфордской конференции 1968 г., посвященной проблемам расчета турбулентных пограничных слоев (см. Труды этой конференции под редакцией Клайна и др. (1969)). С тех пор на эту тему написано много сотен работ (см., например, обзоры У. Рейнольдса (1976) и Ламли (1978) и ряд глав в книгах Хогена (1973), Брэдшоу (1980), Дурста и др. (1982, 1987), Брэдбери и др. (1982, 1983, 1985), Фроста и Моулдена (1980), Кольмана (1984), Ньистадта и Ван Допа (1985)).
Очень часто в уравнениях для вторых моментов, ссылаясь на достаточно большое число Рейнольдса изучаемых течений, с самого начала пренебрегают молекулярным переносом одноточечных моментов по сравнению с их турбулентным переносом и используют колмогоровскую гипотезу о локальной изотропности мелкомасштабных пульсаций (о ней еще будет подробно говориться в томе 2 настоящей книги). В таком случае можно считать, что etj = 2е<ду/3 и 6x7=0, где е// — сумма членов, содержащих коэффициент вязкости в поделенном на р уравнении (7.8) (т. е. в уравнении для и^иу), е, = 8и/2 (т. е. 8/— пропорциональное v слагаемое в уравнении для Et=» iijuj^ о котором будет идти речь в п. 7.2), а е/т — сумма членов, содержащих молекулярные коэффициенты v и х в уравнении для момента и^Т (по поводу более общих аппроксимаций величин е,/ и e/т см. Хоген (1973), гл. 8; Ламли (1978), с. 51—54; Фрост и Моулден (1980), гл. 9; Кольман (1984), гл. 1). Для диссипации турбулентной энергии е# и диссипации ег интенсивности пульсаций температуры Т2/2 (часто обозначаемой также символом N — см., например, уравнение (7.5х) в п. 7.2) иногда выводятся самостоятельные полуэмпирические «уравнения переноса» (см., например, Ламли (19786); Фрост и Моулден (1980), главы 8 и 9; Кольман (1984), глава 1 и 4). Обычно et служит единственным параметром, характеризующим скорость переноса кинетической энергии по спектру турбулентности; в некоторых моделях, однако, эта скорость непостоянна (см. Лондер (1982, 1983); Ханьялич и др. (1983)).
Последовательный феноменологический подход к проблеме замыкания уравнений для моментов второго порядка развил Ламли (1967а, б, 1970, 1978а, б, 1983); см. также Ламли и Хаге-Наури (1974) и У. Рейнольдс (1976). Этот подход заключается в предположении, что дополнительные неизвестные суть функции от тех или иных известных моментов и их производных, разлагающиеся в ряды по малым отклонениям их аргументов от значений в стационарной однородной турбулентности. Величинами нулевого порядка считаются величины, которые в стационарной, однородной и изотропной турбулентности не равны нулю, такие как и^ Т, иаиа1 Т'2, гг, гт, а величинами первого порядка — их производные величины ^ = [11^1Y ^°^1^ И ^т = = utT )Ьх^от. При этом полагается, что с возрастанием порядка производных растет и порядок их малости. Список аргументов и вид упомянутых функций устанавливается в каждом случае при помощи тех или иных дополнительных физических соображений (не говоря уже о таких очевидных требованиях, как правильная физическая размерность, тензорная размерность и симметрия, галилеевская инвариантность уравнений и «реализуемость», т. е. выполнение строгих неравенств для вероятностных характеристик; см. Шуманн (1977)).
В большинстве моделей «замыка.ния второго порядка» (по Меллору и Ямада (1974, 1982)—«моделей четвертого уровня сложности») для диффузион-
ных слагаемых используются градиентные аппроксимации; например, в уравнениях (7.8) деленные на р такие слагаемые записываются в виде
д Г , , 1 /9 / ^ -гт . д тт д -г-7\
- дх6 [ lib( dxt и1иь"^ дХ] uiuk+ дхк “<“/)) +
+ ^2^ I fy* "57” umuj + ^ih дх UmUi)(7‘8 ^
\ UAmлт /J
и аналогично в уравнении для а^'—в виде
~ ^*7 Р3^2 Qdx7ukT +~dx^uiT ) + l^^bik "дх^и™Г ]• (718'а)
где /i, ..., /4 —некоторые масштабы длины (Хоген (1973), глава 8; см. также Фрост и Моулден (1980), глава 9; Меллор и Ямада (1974, 1982)). Фрост и Моулден (1980), Рейнольдс (1976), Земан (1981), Кольман (1984) (главы 1 и 4). Ламли (1978) рекомендуют для тех же слагаемых и более простые формулы вида
■д ГУ -Г-7]
<7Л'>
-тегР'^"^]’(7■8'a,
или же формулу вида д Г /тт д —— д — — д -т-т\1
~ ^ Г м<“т ^ “/“*+ uf“m ^Г utuk + uk“m "дГ" uiui • t7-8"' > или, наконец, более простой вариант
Wd f -тт д -ft]
dx^ p“fc«m dxm uiufy(7.8"")
причем масштабы длины /t /5 принимаются пропорциональными Ь'Нё-ь а масштабы времени Ть Тг — пропорциональными bjet- Более сложные аппроксимации диффузионных слагаемых см., например, в работах Земана (1981), Ламли (1978а, б), Земана и Ламли (1976, 1982), Ламли и Менсфилда (1984), Ши и Ламли (1987), Ламли (1983), Ламли, Земана и Зисса (1978), Андрэ и др. (1976а, б; 1982).
Следуя работам Роди (1976), Гибсона и Лондера (1976) и Мерони (1976) (см. также Хейнс (1982) и Кольман (1984), глава 4), в уравнениях для вторых моментов суммы слагаемых, описывающих перенос и диффузию, с точностью до малых поправок можно привести к виду
2(s6o +T6i/)(P —ё<) и sT\biTaTbX1^ (р~ е) -V sT2biTb (Рт — ег)
соответственно, где множители s, s? ь St2 равны единице (но в упрощенных схемах некоторые из них могут быть приравнены к нулю) и
р = — (“7“7 duJdXj + ^и^Т'),gt = -g$>№
Рт = —uj' дТ/дх^
При использовании этого подхода уравнения для вторых моментов оказываются алгебраическими и из них нетрудно выразить вторые моменты через гра-
диенты осредненных полей скорости и температуры. Простейший вариант таких уравнений Р=е/, Рт = ет называется локально-равновесным приближением (Фрост, Моулден (1980), глава 9; Хоген (1973), глава 8). Отметим еще вариант с одним только условием РТ=£Т) обобщающий простые «К-мо- дели».
Моделирование корреляций П// и П/т пульсаций давления (—рЧр) с пульсациями скоростей деформации dut, дх^ ди [ dxt и градиентов температуры dT4dxf основано на использовании решения уравнения Пуассона для р7р, получаемого вычислением дивергенции от уравнений движения (Ротта (1951), Чжоу (1945); см. также Фрост и Моулден (1980), глава 9; Земан (1981); Кольман (1984), главы 1 и 4; Ламли (1978); Меллор и Херринг (1973); Меллер и Ямада (1982), Ханджалич и Лондер (1972); Лондер, Рисе и Роди (1975), Лондер (1975), Гибсон и Лондер (1978), Наот, Шевит и Вольфштейн (1973); Лин и Вольфштейн (1982); Вейншток и Барк (1985); Земан и Теннекес (1975); Даког и Гибсон (1987)). Тогда каждая из величин П// и П/т представляется в виде суммы трех слагаемых П(*>, где 6=1 соответствует квадратичным по ир к = 2— линейным по и^ и ^ = 3 — линейным по Т слагаемым в правой части уравнения Пуассона.
Если величины diiildxj и pg/ в рассматриваемой области пространства квазипостоянны, то слагаемые ^р, п<2;, п<з> и п^, п*?, п<3г>, нормированные соответственно на е,—bd&k/dxm, b'^a^g^ и ёаг6—‘^ —aTb'** дйк]дХ{, <$тРбр будут представляться в следующем безразмерном виде: n^-*aZy + -Va^ — 2/3aaadZy; в П^ тензор ац заменяется на йцкт, в П/р — на ацк\ П$-*а1Т, atjkT, П^-*ацТ.
Следуя Царенко (1987а, б, в), сщ и ацкт можно представить как линейные функции от bpq (со свободными членами), а ацк, ап, а^кт, ацт — от ЬрТ (без свободных членов, причем ацт от Ьрт не зависит; Ламли с соавторами предлагали и более сложные модели, учитывающие дальнейшие члены разложений, но они очень громоздки). Коэффициенты этих линейных функций можно считать осесимметричными тензорами, зависящими от единичной нормали к стенке п и от безразмерного масштаба турбулентности //А, где А — расстояние от рассматриваемой точки х до ближайшей стенки (при //А=0 зависимость от п пропадает; в логарифмическом подслое l~z, Z/A=const). Попытка использовать такую модель в сочетании с локально-равновесным приближением для описания турбулентности в приземном слое атмосферы сделана в работах Царенко (1983; 1987а, б; 1989а). Близкий вариант был ранее предложен Гибсоном и Лондером (1978).
Изложенный обзор показывает, что за последние 10—15 лет в «замыканиях второго порядка» удалось реализовать ряд необходимых общих требований, но даже на этом уровне замкнутая система уравнений оказывается неизбежно громоздкой (как из-за большого числа неизвестных, так и вследствие нелинейности выражения третьих моментов через первые и вторые) и содержит много произвола, так что остановиться на какой-либо общепринятой модели до сих пор не удалось.
Уравнение для турбулентной энергии
Аналогично тому, как из уравнения (7.3) получается уравнение (7.4) для полной кинетической энергии Е, из уравнения (7.8) после суммирования по i=j получается следующее уравнение для средней плотности кинетической энергии пульсационного
движения E^Vzpz/и':
dEt д (1 —г ——\
"дГ + W А + Т Р“р“р“« + Р “а - U^6} =
= P“X - Р^ - Р“Х "5"’<7Л5>
где-
_ди» pv/dut du j V
pe^а ар ^•2Idx ."^" dxt у
имеет смысл средней удельной диссипации энергии пульсационного движения под действием вязкости. Выражение в скобках в левой части уравнения (7.15) представляет плотность потока турбулентной энергии, связанного с ее переносом осредненным течением, пульсациями давления, силами внутреннего трения (молекулярной вязкостью) и, наконец, «турбулентной вязкостью»» т. е. пульсационной компонентой скорости (слагаемое ^hv^^^^- Слагаемое
—-—- дй»
А=-^и^^<7Л6>
входящее в правые части уравнений для Es и Et с разными знаками, очевидно, описывает взаимные превращения энергии осред- ненного и пульсационного движений. На вопросе о знаке этого слагаемого мы специально остановимся ниже.
Уравнение (7.15) и представляет собой общее уравнение для турбулентной энергии. Оно показывает, что плотность турбулентной энергии в данной точке течения может изменяться вследствие переноса турбулентной энергии от других частей жидкости (т. е. диффузии турбулентной энергии), работы пульсаций внешних сил, диссипации турбулентной энергии под действием вязкости и, наконец, превращения части энергии осредненного движения в турбулентную энергию или обратного превращения части турбулентной энергии в энергию среднего движения. Энергию турбулентности Et в этом уравнении можно заменить интенсивностью турбулентности (т. е. средней кинетической энергией пульсационного движения единицы массы жидкости) b =Etlp = ^u^u'^ . кD д _ д
Ьсли обозначить символом—Vua-^ индивидуальную
производную относительно осредненного движения, то в силу того» что ди'^/дха = 0, уравнение (7.15) можно привести к виду
Db_—_ дйад Г 1 1
,, / ди' ди»
+ v“»(.7v+<E7)] + “X-<7|7>
Уравнение для турбулентной энергии (7.15) или (7.17) дополняет уравнения Рейнольдса в том отношении, что оно налагает еще одно ограничение на статистические характеристики турбулентности. Правда, оно содержит новые неизвестные величины
^р^р^а’ Р иа и 86 не входящие в уравнения Рейнольдса, т. е. требует более полного описания турбулентного движения. Однако физический смысл слагаемых в уравнении (7.17), содержащих эти новые неизвестные, достаточно нагляден, и это облегчает попытки их приближенного выражения через более простые характеристики. Кроме того, в ряде случаев (например, если турбулентность почти однородна в пространстве) слагаемыми, описывающими диффузию турбулентной энергии, можно в первом приближении пренебречь (в связи с тем, что пространственный перенос энергии здесь играет малую роль). Использование уравнения для турбулентной энергии в дополнение к уравнениям Рейнольдса впервые было предложено Колмогоровым (1942).
Переходя к более подробному рассмотрению отдельных слагаемых уравнения для турбулентной энергии, начнем со слагаемых, содержащих пульсации давления. В общем бюджете турбулентной энергии Et их роль незначительна: как показывают уравнения (7.15) и (7.17), в несжимаемой жидкости пульсации давления приводят лишь к дополнительному переносу турбулентной энергии от одних частей жидкости к другим. Поэтому, если рассмотреть объем жидкости, через границу которого турбулентная энергия не втекает и не вытекает, то на изменениях полной турбулентной энергии этого объема наличие пульсаций давления не сказывается. Кроме того, вклад пульсаций давления в плотность потока турбулентной энергии, как правило, весьма невелик. Тем не менее, эти пульсации играют весьма существенную роль.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим величины Et^^pu'.2 (по I не суммировать!), имеющие смысл средних плотностей кинетической энергии пульсационных движений по направлениям отдельных координатных осей. Уравнения (7.8) для этих величин в предположении, что X'. =0, могут быть приведены к виду
dEi । д / _, _ . 1 ' ,2 , , ,dEi \
-57- + — Ед„ + — ри. и+р и.d. — v = dt ’ ОХа у I а. х 2 r I а 1 I ta дха )
да, дй,
= Р ^"-Р^-Р^-^-(7-18)
где
v^ / ди( \2Р^-Р-Ц"^/ >0;а а
величина ре/, очевидно, может быть интерпретирована как «диссипация» энергии Ei (эти «частные диссипации» при достаточно
больших Re все равны ре^/З вследствие локальной изотропности мелкомасштабного движения; см. VIII раздел, том 2).
Рассмотрим для наглядности случай, когда осредненное движение параллельно направлению Ох^ (так что М2 = мз = 0), и турбулентность однородна в направлениях осей Ох\ и Ох2 (так что все осредненные характеристики турбулентности могут зависеть лишь от координаты х^. Воспользовавшись уравнением неразрывности du,Jdxa = 0) мы можем переписать уравнения (7.18) в виде
дЕ, д / 1 г -^“7 дЕ \— -7Г Р^1 ^о — v =-•dt 1 дхй \ 2 г 1 3 дх3 ]
ди9 диа _——- dih
= — р' р' -чре. —- рм.мя — ,(7.19}
м дх2 dx3 м 1 м 1 з дх3 ’7
dE2 d / 1 z2 ,^^2 \^^2—
~дГ \Т Р“2 “з ~ V ) = Р' дхГ — Р82'
дЕо д ( 1 —з дЕп \ du4
~дГ + дхГ\Т Р“3 + р “з — v "dx^J^P д^Г~ рз‘
Они показывают, что величины р' (дм' ]дх^ и р' (дм' /дх3) описы
вают взаимные превращения энергии Е^ продольных пульсаций и энергий Еэ и Е3 поперечных пульсаций. Кроме того, видно, что
энергия продольных пульсаций может поддерживаться за счет
дил дхздил дхз-Р“Х-Р“Хэнергии среднего течения (этот процесс описывается слагаемым
дил дхз
дил дхз
-Р“Х
-Р“Х
первого уравнения (7.19)), но энергия поперечных
пульсаций может пополняться только за счет энергии продольных пульсаций. В самом деле, рассматривая стационарный режим (т. е. считая, что dEildt = Q) и проинтегрировав (7.19) по области пространства V, через границу которой нет потока турбулентной энергии, получим:
S
dMnГС dllaс
р' -^dV = р \e2dV >0;\р' -^ dV = р\в3 dV> 0;
/дх,J 2’FJ дх» нi 3’
—р \ M.Mq dV = \р' dV + \ р' -Д-dV +
+ р ^81dK = p $8tdV>0.(7.20)
VV
Таким образом, энергия осредненного движения действительно передается непосредственно только продольным пульсациям м', а поперечные пульсации м' и м' получают энергию от продольных пульсаций скорости благодаря работе пульсаций давления.
Последние, следовательно, осуществляют перераспределение' энергии между пульсационными движениями различных направлений, создавая тенденцию к изотропности пульсационного движения.
Для того чтобы получить наглядное представление о механизме передачи энергии от продольных пульсаций скорости к поперечным, заметим, что отрицательный знак величины
ди,/ди9ди'о \
г дх\V дх2дха /
ди\Р dxtди\Р dxtчиначинаозначает наличие положительной корреляции между положительными (отрицательными) пульсациями давления и конвергенцией (дивергенцией) продольной пульсационной скорости. Другими: словами, конвергенция и\ приводит преимущественно к положительным, а дивергенция — к отрицательным пульсациям давления; в то же время положительные пульсации давления создают преимущественно дивергенцию, а отрицательные — конвергенцию поперечных пульсаций и^ и и'. Так и должно быть: если, например, два соседних элемента жидкости движутся вдоль осредненного течения навстречу друг другу, то в области между ними образуется за счет их энергии положительная пульсация давления, и этот рост давления приведет к оттоку жидкости в поперечных направлениях в соответствии с условием несжимаемости du'Jdxa = 0. Вообще, если и'2 > и2 и и2 > и'2 , так что основную роль играют пульсации скорости вдоль оси Oxi, то даже и при отсутствии средней скорости знак пульсаций давления будет в основном определяться тем, происходит ли сближение или расхождение соседних элементов жидкости по направлению Oxi. Следовательно, величина р'^du'Jdx^ будет отрицательной и пульсации давления будут стремиться уравнять энергии различных компонент пульсационной скорости (ср. работу Бэтчелора (1949а),. где эта роль пульсаций давления была разъяснена на частном примере однородной турбулентности).
ди\
Р dxt
ди\
Р dxt
чина
чина
-7—/ ^а
Рассмотрим теперь слагаемое Д =—puaup ^—, описывающее обмен энергией между осредненным и пульсационным движением. Если в данной точке пространства Д > О, то плотность турбулентной энергии в этой точке возрастает за счет энергии осредненного движения; наоборот, Д < О означает, что плотность энергии осредненного движения в данной точке растет за счет энергии пульсаций. Последняя возможность на первый взгляд представляется парадоксальной; однако этот вопрос требует более внимательного анализа.
Уравнение (7.15) показывает, что при течении несжимаемой жидкости в поле массовых сил pXz с X'. =0 единственным источником турбулентной энергии внутри объема, через границы которого нет притока турбулентной энергии, может быть лишь трансформация энергии осредненного движения. При этих условиях возникновение и развитие турбулентности или поддержание стационарной турбулентности в указанном объеме возможны лишь при условии, что интеграл от А по всему объему положителен (см., например, (7.20)). С такими условиями мы встречаемся при течении несжимаемой жидкости в трубах, каналах и пограничных слоях (при малой «начальной турбулентности» набегающего потока), где прямые измерения величин ри'и' и duildx^ показывают, что величина Д здесь, как правило, положительна во всех точках турбулентного течения (в согласии с полуэмпириче- скими формулами п. 6.9).
Если же турбулентность имеет какие-либо «внешние» источники энергии (например, создается искусственным перемешиванием жидкости или, в случае сжимаемой жидкости, образуется в результате появления пульсаций плотности, возникающих под действием притока тепла), то не исключена возможность превращения энергии турбулентности в энергию осредненного движения, т. е. выполнения неравенства Д < 0. Именно так обстоит дело в случае атмосферной турбулентности в масштабах общей циркуляции атмосферы. В этом случае под турбулентностью надо понимать так называемую макротурбулентность — совокупность нерегулярных крупномасштабных движений типа циклонов и антициклонов, налагающихся на регулярное течение общей циркуляции; идея статистического описания такой макротурбулентности была впервые выдвинута Дефантом (1921). В условиях общей циркуляции отдельные «турбулентные возмущения» (циклоны и антициклоны) могут возникать за счет энергии, вносимой локальным притоком тепла, а в дальнейшем некоторая часть их энергии может передаваться осредненному течению общей циркуляции. Геофизики, изучавшие эмпирические данные о бюджете энергии, импульса и момента импульса течений общей циркуляции атмосферы, уже давно пришли к выводу, что данные наблюдений невозможно объяснить без допущения о превращениях в некото- 342
рых областях атмосферы энергии нерегулярных возмущений в энергию осредненного течения (см., например, обзорную статью Росби (1948); в работе Лоренца (1953) установлены условия, определяющие знак величины Л). Заметим, наконец, что для течений, образующих общую циркуляцию атмосферы, фактические значения величины Л непосредственно подсчитывались рядом авторов на основании формулы (7.16) по данным метеорологических наблюдений, причем в ряде случаев действительно оказалось, что Л < 0; по этому поводу см., например, работы Монина (1956в), Груза (1961) и особенно книгу Старра (1971), содержащие обширную дополнительную библиографию.
Аналогично уравнению (7.15) можно вывести уравнение для среднего квадрата пульсаций концентрации пассивной примеси
(или температуры), т. е. для дисперсии а^^Ф— •в,)2=6/2:
дО'2 . дО'2 . д / ,<.,2„ дУ2 \ оо/п'2 о ' а'от-,
~г+“. тег + тег(“.» -zTr^ = 28Rте?-2"’
(7.15'У
где 2N = 2x 2 d^fdxi)2,— средняя скорость вырождения среднего квадрата пульсаций Ф'2 под действием молекулярной диффузии, (ее часто называют скоростью диссипации интенсивности пульсаций концентрации или температуры и обозначают ег или во — см. выше п. 7.1), a R'— пульсации интенсивности внешних источников поля Ф в данной точке (например, в случае температуры— пульсации лучистого притока тепла или притока тепла вследствие фазовых превращений влаги). Слагаемое Л^ = = —2г/-О' д^1дха в этом уравнении описывает порождение квадрата пульсаций Ф'2 при взаимодействии турбулентного потока примеси (или температуры) со средним градиентом концентрации (температуры). Слагаемое йадФ'УдХа описывает перенос величины ft'2 средним течением, а выражение в скобках дает плотность потока величины ft'2, создаваемого молекулярной и турбулентной диффузией.
Коэффициенты турбулентной вязкостии теплопроводности
Коэффициент турбулентной вязкости был введен в п. 6.1 для случая плоскопараллельного течения жидкости. Сейчас мы пока-
леем, как подобные коэффициенты могут быть введены и в общем случае произвольного трехмерного течения.
Будем предполагать, что турбулентность образуется лишь в результате перехода части энергии осредненного течения в энергию мелкомасштабных возмущений, т. е. за счет того, что Л >• 0. Ясно, что в этом случае все статистические характеристики турбулентности (в частности, напряжения Рейнольдса) должны зави- ■сеть от поля средней скорости. Учтем теперь то, что по отношению к среднему движению напряжения Рейнольдса играют роль, аналогичную роли вязких напряжений в обычных движениях жидкости. Поэтому если осредненное движение жидкости имеет характер движения всей жидкости в целом как твердого тела, т. е. не сопровождается никакими деформациями жидких частиц, то естественно предполагать, что рейнольдсовы напряжения, действующие на любой выделенный в жидкости элемент поверхности, будут направлены по нормали к этому элементу. Однако в таком •случае тензор ри'и'. будет изотропным: ри'и'. =с6;,-, где с =
= V3pu'au^ =2/зр6. Следовательно, турбулентная энергия Et = pb в определенном смысле аналогична давлению. Если же в осред- ненном движении имеет место перемещение частиц жидкости друг относительно друга, то напряжения тФ = ри'и'. должны зависеть от производных от средней скорости по координатам. Ограничиваясь случаем небольших градиентов средней скорости, можно в первом приближении учитывать лишь первые производные dut/dX] и зависимость т^ от этих производных считать линейной. Это рассуждение и является основой для попытки описания турбулентности при помощи коэффициентов турбулентной вязкости.
Поскольку напряжения ри' и', образуют симметричный тензор, их зависимость от производных duildxj должна иметь тензорный характер. Величины duildxj не образуют симметричного тензора, но из них можно образовать симметричный тензор скоростей деформации Ф^ = дй,7дх/+дй,7дх1, который и характеризует отличие осредненного движения жидкости от движения твердого тела. Следовательно, тензор ри'. и', естественно считать линейной функцией от тензора Ф;/ = дй{/дх,+д^/дяг, обращающейся в 2/3рЬб0 при Ф,-, = 0. Коэффициенты этой линейной функции и будут иметь смысл коэффициентов «турбулентной вязкости».
Известно, что коэффициенты молекулярной вязкости v и ц = = pv связаны соотношениями М~ит1т, ^~РПт1т со средней скоростью молекул um и средней длиной их свободного пробега 1т- Можно думать, что для коэффициентов турбулентной вязкости будут иметь место подобные же соотношения, в которых роль характеристик молекулярных движений um и 1т будут играть соот-
ветствующие характеристики неупорядоченных турбулентных движений. Аналогичной ит характеристикой, очевидно, является сред
нее квадратичное значение пульсаций скорости, т. е. величина -Vb. Вместо же 1т следует использовать масштаб турбулентности / — величину размерности длины, описывающую среднее расстояние, на которое способны перемещаться турбулентные образования, сохраняя свою индивидуальность (т. е. прандтлевский «путь перемешивания», который по порядку величины совпадает с «длиной корреляции», определяемой по пространственной корреляционной функции с помощью формулы вида (4.75)). При этом турбулентность может характеризоваться разными масштабами в разных направлениях, так как турбулентные движения могут быть неизотропными. Поэтому, строго говоря, в каждой точке течения должен быть определен эллипсоид масштабов, т. е. задан симметричный тензор второго ранга Ь, (тензор масштабов), компоненты которого имеют размерность длины. При надлежащем
его определении величины М^ = рКч = р^Ыц, имеющие размерность коэффициента вязкости, будут иметь смысл коэффициентов турбулентной вязкости. Используя тензор 1ц и учитывая симметрию тензора ри'. и'., можно положить
pi^=2l3pbb„ - 1/2р Vb (/<аФа/ + //аФа,). (7.21)
Такая формула была предложена Мониным (19506). Лежащее в ее основе допущение о линейной зависимости напряжений Рей
нольдса ри' и' от производных dUildxj можно рассматривать как еще одну гипотезу того же типа, что и гипотезы, используемые в классических полуэмпирических теориях турбулентности (см. выше п. 6.9). В наиболее общей форме линейную зависимость между тензорами ри'и' и Ф,, следовало бы записать в виде-
PU lU/ = 2/3p6dzy рК ija^a^i
где Кца» — некоторый тензор четвертого ранга, симметричный и по i, j, и по а, р, и удовлетворяющий условию А^арФар = 0. Использование формулы (7.21) означает, что тензор Кца» предполагается вырожденным, а именно представимым в виде
KijaS = 1/2 (.Kiabjg + Kjabi^y
Впрочем, если не делать никаких дополнительных предположений о тензоре /,/, то формулу (7.21) (аналогично формуле Буссинеска (6.5), определяющей скалярный коэффициент турбулентной вязкости К) можно рассматривать не как гипотетическую связь, а просто как определение новых характеристик турбулентности 1ц, вводимых вместо напряжений Рейнольдса t<V. В самом
деле, равенства (7.21) фактически представляют собой систему шести уравнений относительно шести неизвестных /и, /12, /13, /22, /23, /зз. Перейдя к системе координат, в которой тензор Фу диагоналей, и учтя, что Фц+Ф22+Фзз = 0, легко убедиться, что детерминант этой системы пропорционален (det ЦФ./Ц)2. Поэтому если только det ||Ф,^|| 5^=0, т. е. если тензор Ф,; не вырожден, то величины /у однозначно определяются по рм' и', и, наоборот, т. е. формула (7.21) всегда может быть удовлетворена. В этом случае рассуждения, использовавшиеся при выводе этой формулы, должны лишь помочь физической интерпретации величин 1ц и Кц =
= ^Ь1ц, позволяющей, если надо, сформулировать затем о них определенные гипотезы.
Если же det ||Фу|| = 0, то формула (7.21) налагает определенные ограничения на вид тензора напряжений Рейнольдса. В этом случае рассматриваемая формула иногда может оказаться довольно грубым приближением к действительности. Рассмотрим, например, случай, когда осредненное движение плоскопараллельно, так что й1 = й1(х3), Й2 = йз = 0, и соответственно этому только компоненты Ф13 и Ф31 тензора Фу отличны от нуля. Тогда ■формулы (7.21) принимают вид
, их = и2 =и3 = 2;зь,
«,«3= Vb 11 33 , u1u2 = u2u3 = 0.
Равенство нулю компонент т^) и т^ согласуется с выводами из соображений симметрии; однако равенство друг другу средних квадратов трех компонент пульсаций скорости является дополнительным ограничением, вообще говоря, не выполняющимся в реальных плоскопараллельных турбулентных течениях (ср. рис. 6.2).
Тем не менее использование вместо тензора ри' и' величин b и U, часто все же имеет смысл, так как тензор hj имеет более наглядный смысл, чем ри'. и'., и его главные направления иногда можно задать заранее исходя из геометрических соображений. В ряде случаев можно даже в качестве первого приближения просто предположить, что 1^ = 1* bij— изотропный тензор, т. е. принять за основу гипотезу, выражаемую формулой
рй^ = 2/3p№z/ — plVb Фи (7.22)
(заметим, что тензор ри' и' здесь все равно остается анизотропным). Гипотеза (7.22) близка к той, которая использовалась еще Буссинеском (1897); фигурирующая здесь величина 1л/Ь = К имеет •смысл скалярного коэффициента турбулентной вязкости. Эта ги-
потеза использовалась и обсуждалась в ряде работ, например, в работах Харлоу и Накаяма (1967) и Ламли (19676) (в работе Ламли вместо масштаба длины / используется масштаб времени
t* = //V&)- Согласно гипотезе (7.22), выражение для величины А имеет вид
А = рКФар 5- = l/2p/c Е Ф2Р, (7.23). а, 3
аналогичный виду выражения для диссипации энергии осреднен-
ного движения pes = —2 Ф2 , но с заменой коэффициента моле- 2 а, р аР
кулярной вязкости ц на коэффициент турбулентной вязкости рК. Условие А > 0 при этом эквивалентно условию К > 0, так что формальное использование соотношений (7.21) или (7.22) в случаях А < О означало бы введение в теорию отрицательных коэффициентов вязкости.
Формулы, аналогичные (7.21) или (7.22), могут быть записаны и в применении к турбулентному переносу тепла и материальных примесей. А именно, если Ф — концентрация примеси, то плотность турбулентного потока примеси по направлению ()Xi, равную p^uzp в общем случае анизотропной турбулентности можно задать соотношением
<7-24)
где компоненты тензора K»ia имеют смысл коэффициентов турбулентной диффузии для данной примеси; в случае когда 61— температура, в обе части соотношения (7.24) следует еще добавить множитель ср (ср. формулы (6.9) и (6.9')).
В формуле (7.24) учитывается, что турбулентная диффузия, вообще говоря, анизотропна. При использовании тензора масштабов турбулентности lq можно предполагать, что анизотропность коэффициентов турбулентной диффузии будет такой же, как и анизотропность этого тензора, т. е. что K»q = а»л/Ъ1ц, где о» — безразмерный параметр. Если предположить, что допустимо пренебречь анизотропностью тензора масштабов, т. е. принять, что lq«lbq, то (7.24) обратится в соотношение
^1 = -Чр1УЬ^- = -айрК-^-. (7.25)
Заметим, что даже в случае плоскопараллельных турбулентных течений, для которых формулу (7.25) можно рассматривать просто как определение новой величины К«= сцуК, это соотношение становится гипотетическим (и требующим проверки), как только мы допускаем, что а» = const (т. е. не меняется в прост-
ранстве и во времени). Чисто формально здесь можно положить также 6 = &'=V2u'u„, т. е. использовать формулу (7.25) для вычисления входящих в уравнения (7.15) и (7.17) третьих моментов поля скорости:
у Р“р“р“^ = Vb'ui = —аьР1 Vb-^-= —аьрК -Д-,(7.26)
где аь — численный коэффициент, который может и не совпадать с а» (формула (7.26), разумеется, представляет собой еще одну полуэмпирическую гипотезу). Аналогично можно заменить Ф на д'2 и получить формулу
«X = —асК^[дхр (7.26') где ас — новый безразмерный коэффициент (см., например, Ча- нади (1967а, б)).
Принимая гипотетические соотношения (7.22) и (7.26), мы вводим в уравнение для турбулентной энергии (7.17) вместо характеристик турбулентности ри'и' и ри^и^и'. характеристики I (или x* = ll^b) и b (или K = HbY т. е. существенно уменьшаем число неизвестных величин. Дальнейшим шагом в этом направлении будет установление связи между удельной диссипацией турбулентной энергии е;, также входящей в качестве неизвестной в уравнение (7.17), и величинами I и b (или / и А). Если допустить, что такая связь имеет место, то ее вид можно однозначно восстановить с помощью соображений размерности:
где с4— еще один неотрицательный безразмерный параметр (то, что мы записываем его как четвертую степень некоторого другого числа, будет удобно в п. 7.6). Соотношение (7.27) опять же можно рассматривать просто как определение новой величины с, заменяющей е< (предполагая, что К и I уже заданы, например, при помощи соотношений т(*) = рА(дй1/дхз) и К = 1а/Ь). Если, однако, мы допустим, что с = const, то тем самым мы сразу превращаем (7.27) в дополнительную гипотезу того же типа, что и другие гипотезы полуэмпирических теорий турбулентности.
Аналогично получается полуэмпирическое уравнение для среднего квадрата пульсаций концентрации примеси (или температуры)— надо лишь заменить величины «'О' и и^'2 в уравнении (7.15') их полуэмпирическими выражениями (7.25) и (7.26х) и одновременно использовать для N следующую гипотетическую формулу:
/2 «/о/2/2Оу .» б7К/2 «/о/2/2Оу .» б7К(7.27')(7.27')
/2 «/о/2/2
Оу .» б7К
/2 «/о/2/2
Оу .» б7К
(7.27')
(7.27')
где с« — новый (1967а, 6)).где с« — новый (1967а, 6)).безразмерный коэффициент (см. Чанади
где с« — новый (1967а, 6)).
где с« — новый (1967а, 6)).
Бюджет турбулентной энергии в сжимаемой жидкости
Учет сжимаемости жидкости и, в частности, пульсаций плотности р' сразу вносит в изложенные выше расчеты существенное усложнение. А именно, при этом средняя плотность импульса оказывается равной рщ =pui+pu', где pu'=p'u'— средняя плотность импульса пульсационного движения (при отсутствии пульсаций плотности обращающаяся в нуль). Аналогично выражение для средней плотности кинетической энергии здесь имеет вид £ = 1/2риаиа = 1/2рйайа + рй;ма + 1/2р«Х = Es + E,t + Е v (7.28) где Еа — плотность энергии среднего движения, Е^Ч^ри' и' =
^^(P^a^a + P'^a^a) —ПЛОТНОСТЬ ЭНерГИИ ПуЛЬСаЦИОННОГО ДВИжения, a Е81=ри'а-йа=р'и'а-йа— дополнительная часть пульсационной энергии, связанная с работой импульса ри'. при перемещениях жидкости, составляющих осредненное течение.
При составлении уравнений для моментов в случае сжимаемой жидкости в основу должны быть положены общее уравнение неразрывности (1.1) и уравнения движения (1.3), которые мы здесь перепишем в виде
-^"4—^-(Р“<"а + Pbia — О/а) = pXi, 1=1, 2, 3.(7.29)
В уравнениях (7.29) символом б,а, как обычно, обозначен единичный тензор, а символом о,а— общий тензор вязких напряжений, задающийся формулой
/ ди, ди, 2 ди_ \ ди„
=I-1 тр + те-— т тег М+• остальные обозначения не отличаются от использовавшихся в уравнениях (1.3). Осредняя уравнения (1.1) и (7.29), получаем соотношения
те+тегМ + ^Н0’Р-30'
4г (?й{ + ^) + -A- (рй,йа + ^£йа + р^й. + Р^ + Р\а - о(а =
=р^+рХ,(7.31)
играющие в данном случае ту же роль что и уравнения Рейнольд- дса (6.1) в случае турбулентности в несжимаемой жидкости. С помощью уравнения (7.30) и уравнения
дй1 _ dnt , duL—,1 др 1doia
dt +Ua dxa+ Ua- dxa^ip dxt"^" pdxa *
вытекающего из формулы (1.4) (и, следовательно, справедливого лишь в пренебрежении пульсациями коэффициентов вязкости), можно найти также выражение для производной dpuildt. При этом получим
дой.д - -—_
-аг+ "д^ №< + Р“ A + P^ia - °<а) = PXi + Ф<’(7-32>
где
_ , дР“а - аР“а . ( дР^Р) (ddia ~ 1 dcia А
дха '~Ui дхаР р дх;) дха — Рр дха )
(7.33)
есть величина, которая в случае несжимаемой жидкости обращается в нуль. Сравнение уравнений (7.32) и (7.31) показывает, что
дри^ д ——
— ++ pUA + pUiUa) = P'Xi - ^Г <7134>
Таким образом, величины ф, имеют ясный физический смысл — они описывают обмен импульсом между осредненным и пульсационным движением.
Из уравнений движения (7.29) и уравнения неразрывности (1.1) легко получается также уравнение для тензора рщиь отличающееся от соответствующего уравнения для несжимаемой жидкости (см. уравнение (7.3)) лишь тем, что под оц теперь надо понимать вязкие напряжения в сжимаемой жидкости. В частности, плотность кинетической энергии Е = Чтриаиа в сжимаемой жидкости будет удовлетворять уравнению
дЕ дди
(Еиа + риа — и^оа^ = риаХа + р — ре, (7.35)
отличающемуся внешне от уравнения (7.4) лишь наличием в правой части еще одного слагаемого р(диа/дха), описывающего изменения кинетической энергии в результате сжатий и расширений элементов жидкости (сопровождающихся изменением внутренней энергии). Взяв среднее значение от всех слагаемых этого уравнения, мы получим уравнение для средней плотности кинетической энергии 5. Это уравнение, однако, мы здесь не будем выписывать, а вместо того выпишем три уравнения для трех составляющих Es, Est и Et плотности Е:
дЕ д Г — _1____ дй„
~дГ +[£А + А^А + pUa - “AfJ = Р“ А ~ р£$ + Р"д^
+ [“аФа + 2 “А дха ] + (Р“аЫр дха J '~дГ + ~дх^ (£$А + Р “а“р ‘ “» + Т РЫа“р“р) ~
-1 - - дри^ 1(, дйд Ойй
1 2 Р Р ОХа J 1 Iг а р дха 1 r Dt
(7.36) dEf , д ( „ -.1 77—7 .~—77— \
ST + VEtUa + Т Р“а“р“р + Р “а - “р°ар) =
= ри X„ + риХ„ — ре, + р -з< Р^ -
г а а 1 r а а г i гJг а р дха х v а Dt
где
D дд „_ дйа—_, диа
Pes = aaPdx7 И Р®‘ = а“Р'Эх7'
В этих уравнениях выражение в квадратных скобках описывает взаимные превращения энергий £8 и E8t) а выражения в фигурных скобках — взаимные превращения Es и Et или Est.
Уравнения (7.30) — (7.34) и (7.36) содержат целый ряд новых статистических характеристик турбулентности, не содержавшихся в соответствующих уравнениях для несжимаемой жидкости. Наиболее существенными из них являются величины ри'. — компоненты средней плотности импульса пульсационного движения, или, что то же самое, компоненты средней плотности турбулентного потока массы. Если осредненный турбулентный поток массы по направлению среднего движения отсутствует, то Est = pu'aX Хйа = 0, и энергия пульсационного движения будет описываться лишь величиной Et. Самое важное отличие общего уравнения для Et от уравнения (7.15), справедливого для несжимаемой жидкости, заключается в появлении слагаемого
(737>
которое мы рассмотрим несколько подробнее.
В большинстве турбулентных течений, встречающихся на практике (как в природных условиях, так и в технических устройствах), основной массовой силой, действующей на жидкость и производящей работу, является сила тяжести. При этом, направив ось Охз вертикально вверх, мы можем положить Xi = Yt — gSts, где g — ускорение свободного падения, а Yt — компоненты ускоре-
ния других массовых сил. Однако ускорение свободного падения обычно значительно больше, чем индивидуальное ускорение ча-
Du,i
стиц в осредненном движении — и чем ускорения всех других массовых сил У„ так что в большинстве задач можно положить
В « — pi?3g.(7.38)
Смысл этой величины можно уяснить, заметив, что при наличии пульсаций плотности р' на турбулентные элементы действует архимедова сила — p'g, так что В есть средняя работа архимедовой силы при турбулентных перемещениях элементов жидкости. Таким образом, величина В описывает взаимные превращения кинетической энергии турбулентности и потенциальной энергии вертикального столба жидкости непостоянной плотности в поле тяжести. Особенно существенную роль играют такие взаимные превращения в случае вертикально стратифицированной жидкости с переменной по высоте средней плотностью (например, в атмосфере при отличной от безразличной температурной стратификации или в море со стратификацией солености). Если вертикальная стратификация жидкости устойчива, то вертикальные перемещения турбулентных элементов сопровождаются затратой энергии на работу против архимедовых сил, так что В < 0 (заметим, что при устойчивой стратификации плотность убывает с высотой, и пульсации плотности и вертикальной скорости, очевидно, будут иметь положительную корреляцию). В случае неустойчивой стратификации, наоборот, при вертикальных перемещениях турбулентных элементов работа архимедовых сил совершается за счет потенциальной энергии стратификации и приводит к росту энергии турбулентности; в этом случае В > 0 (корреляция и'3 и р' отрицательна).
В случае атмосферной турбулентности и в ряде других важных случаев для вычисления величины ри', можно воспользоваться уравнениями теории свободной конвекции (приближением Буссинеска) и в соответствии с (1.73) считать, что р'=РрТ', где Р— коэффициент теплового расширения среды. В дальнейшем для определенности мы будем рассматривать случай газовой среды и в соответствии с уравнением состояния идеального газа считать, что р = 1/7\ где Т— средняя абсолютная температура. В таком случае ри'.«^-Т'и'., т. е. турбулентный поток массы
оказывается пропорциональным турбулентному потоку тепла. Отсюда для величины В получается выражение
В = ^ГХ-^, где д = срр7Х. (7.39)
дХадХаДля приближенного вычисления этой величины часто можно_ис- - дТ пользовать полуэмпирическую формулуq =—сРрК»
дХа
дХа
- дТ
=—СрраК —— (см. соотношение (7.25), где вместо а использо- ОХз
валось обозначение а»), в силу которой
(7.40)(7.40)оg ~iz дТ
(7.40)
(7.40)
В = —аpH -з— •
Т дх3
Иногда, однако, приходится учитывать то, что при вертикальных перемещениях элементов среды температура Т, вообще говоря, меняется, т. е. что она не является строго консервативной величиной. Поскольку, однако, лучистый и молекулярный теплообмен между турбулентными элементами и окружающей средой почти всегда очень мал, энтропию или функционально с ней связанную потенциальную температуру Q = Т(j)olру^-м? (см формулу (2.11) уже можно считать консервативной величиной. Вследствие малости пульсаций давления по сравнению с пульсациями температуры (на которой основывается приближение свободной конвекции)
——7
7Z =Г^0'/0; поэтому.Исходя отсюда в тех случаях,.
03
когда соотношение (7.40) оказывается неточным из-за неконсер- вативности температуры, полуэмпирическое соотношение (7.25) обычно можно применить к потенциальной температуре 6, положив
В = —аВ = —а4-рК ^-0 дх34-рК ^-0 дх3(7.40х)(7.40х)
В = —а
В = —а
4-рК ^-
0 дх3
4-рК ^-
0 дх3
(7.40х)
(7.40х)
(где а снова имеет смысл отношения коэффициентов обмена для теплоты и для импульса).
Число Ричардсона и коэффициент турбулентной вязкости в температурно-стратифицированной среде
В предыдущем параграфе мы рассмотрели уравнение для турбулентной энергии в произвольной сжимаемой среде. В дальнейшем из всех эффектов, связанных со сжимаемостью, мы будем учитывать только эффект взаимных превращений кинетической энергии и потенциальной энергии расслоения по плотности, причем в соответствии с приближением Буссинеска плотность будем считать зависящей только от пульсаций температуры (но не давления). При этом жидкость можно снова считать несжимаемой (т. е. использовать уравнение dua/dxa = 0); однако в уравнении для вертикальной компоненты скорости следует учесть и архимедову силу, в случае газовой среды описываемую дополнительным
a
слагаемым g^T = -=T' в правой части (ср. уравнение (1.75)).
Совершенно аналогичные результаты получаются также и для несжимаемой жидкости непостоянной плотности р; в этом случае
р надо лишь заменить во всех последующих формулах=- Т
на р'.
Итак, будем считать, что сила тяжести — единственная объемная внешняя сила, производящая работу, и будем исходить из системы уравнений свободной конвекции, т\ е. предположим, что и3 удовлетворяет уравнению (1.75) с р = 1/Т. В таком случае, повторив снова вывод уравнения для турбулентной энергии, мы придем к уравнению
6Е< , д ( - . 1 7 7 7 , , -/~7——\
1Г + ^ Vе *и»+ "2 pWa + Р“а- U^) =
^-^“«“р-^ + у-ГИз-Р^.(7-41)
где Et = Ч2ри^и'. Это уравнение отличается от (7.15) только заменой слагаемого ри'аХ' в правой части слагаемым В =
= смысл которого был раскрыт в конце предыдущего параграфа (это слагаемое входит в уравнение для компоненты Ез = ри'^2 энергии Et). Уравнение (7.41) применимо, в частности, к атмосферной турбулентности, так как движения воздуха в атмосфере обычно с большой точностью описываются системой уравнений свободной конвекции.
Заметим теперь, что в условиях развитой турбулентности вязкие напряжения трения пренебрежимо малы по сравнению с турбулентными напряжениями Рейнольдса (за исключением премыкающего к твердым стенкам вязкого подслоя, который мы здесь не будем рассматривать). Поэтому естественно считать, что и перенос турбулентной энергии за счет сил вязкости (т. е. неупорядоченных молекулярных движений) очень мал по сравнению с переносом энергии турбулентными пульсациями скорости, т. с. что последнее слагаемое в скобках в левой части (7.41) пренебрежимо мало по сравнению со вторым слагаемым. Рассмотрим случай, когда осредненное течение однородно по направлению осей Ох\ и 0x2. В таком случае все статистические характеристики турбулентности будут зависеть только от хз, причем в силу уравнения неразрывности здесь дйз1дхз = 0, т. е. йз = 0. Будем наряду с обозначениями х, и ut для координат и скоростей использовать
обозначения х, у, z и и, v, w; тогда, пренебрегая малым слагаемым —^—и'ро^, можно переписать уравнение (7.41) в виде
56 = _ J_ ^W^ dt 2 дг56 = _ J_ ^W^ dt 2 дг1 dp'w' р~ дг1 dp'w' р~ дг—,—7 ди—,—7 диUWrУЧУ -ч-дгдг—,—7 ди—,—7 диUWrУЧУ -ч-дгдгS- T'w' — е<, Т(7-42)S- T'w' — е<, Т(7-42)
56 = _ J_ ^W^
dt 2 дг
56 = _ J_ ^W^
dt 2 дг
1 dp'w' р~ дг
1 dp'w' р~ дг
—,—7 ди—,—7 ди
UWrУЧУ -ч-
дгдг
—,—7 ди—,—7 ди
UWrУЧУ -ч-
дгдг
S- T'w' — е<, Т
(7-42)
S- T'w' — е<, Т
(7-42)
где u^u'^u^-Vc^-Vw^, a b =Et/p = и'аи'а(2— интенсивность турбулентности (т. е. средняя энергия пульсаций, приходящаяся на единицу массы жидкости).
Если средняя скорость течения всюду имеет одинаковое направление (допустим, вдоль оси Ох), то уравнение (7.42) еще более упрощается; здесь
db d 71 ", ", ‘ р' \ 7—7 дй , g ™—7 -/7
—- =ч— Нг и и + — ) W — и'w ~чk~ Г'о/ — 8,.(7.43)
dt dz \ 2 а а р удг 1 тt \/
Последнее уравнение можно также представить в виде
"ЗГ = ~ 44 (4 “X + -^р - ^ ^- (1 - R$) - ^ (744>
где
Безразмерная величина Rf, очевидно, определяет относительный вклад термической конвекции в порождение турбулентной энергии по сравнению с динамическими факторами (передачей энергии от осредненного движения); она называется динамическим (или потоковым^ числом Ричардсона. Ясно, что Rf < 0 при q > О (т. е. при неустойчивой термической стратификации) и Rf > О при q <0 (при устойчивой стратификации); при безразличной же стратификации Rf = 0.
В уравнении (7.43) мы уже пренебрегли переносом энергии силами молекулярной вязкости. Часто также предполагается, что перенос энергии, обусловленный работой сил давления, мал по сравнению с ее переносом пульсациями скорости. Поэтому в уравнении баланса турбулентной энергии часто пренебрегают слагаемым, содержащим пульсации давления, т. е. полагают, что
db 1 ди»' _— дй_
-^ = - т—^u'w'-^ (1 - Rf) - et. (7.46)
В случае стационарного течения, не сопровождающегося турбулентным переносом тепла (т. е. при безразличной термической стратификации), вблизи стенки образуется логарифмический пограничный слой, в пределах которого интенсивность турбулентно-
сти b постоянна (равна си?, где с«5, согласно данным на
рис. 6.2), a u^u^w' лишь постоянным множителем отличается от и3. Следовательно, перенос энергии в этом слое тождественно равен нулю, и в уравнении (7.46) здесь отличны от нуля только —7—т дй—
слагаемые —и w и —е^, которые должны взаимно компенси
роваться. Однако вне логарифмического пограничного слоя и при
наличии турбулентного потока тепла диффузионное слагаемое
может иногда оказаться сравможет иногда оказаться срав1 д -7—г-т
может иногда оказаться срав
может иногда оказаться срав
UaUaW ’ ПО-ВИДИМОМу,
нимым по величине с другими слагаемыми. Тем не менее часто им и здесь пренебрегают, так как немногие попытки измерить это слагаемое показывают, что обычно оно сравнительно невелико и не может быть надежно определено. При этом уравнение баланса энергии приобретает особенно простой вид
(7.47)(7.47)дЬ/ , ди / <т*1£\-
(7.47)
(7.47)
— = —ц й,'—(1 — Rf) — 6(,
так как оно не содержит уже никаких моментов пульсаций гидродинамических полей выше второго порядка. Иногда, впрочем, вместо отбрасывания диффузионного слагаемого' предполагают, что в пограничном слое это слагаемое пропорционально слагаемому Т w , одновременно с которым оно обращается в нуль (см., например, Клюг (1963), Такеучи и Иокояма (1963)). В таком случае вместо уравнения (7.47) получается уравнение
^- - ^. (1 - О Rf) - 8(, (7.47')
имеющее столь же простой вид, но содержащее дополнительный безразмерный параметр о, позволяющий добиться лучшего согласия с эмпирическими данными.
Будем пока исходить из уравнения (7.47). Поскольку всегда
Et > 0 и практически всегда —u'w' (duldz) > 0 (исключительными случаями, в которых энергия турбулентности передается среднему течению, мы здесь не будем заниматься), то в силу этого уравнения стационарная (незатухающая) турбулентность возможна лишь при
Rf<l. (7.48)
Результат (6.48) представляет собой фактически критерий возникновения турбулентности в стратифицированной среде, следующий из уравнения баланса энергии возмущения. Как и другие критерии, полученные с помощью энергетического метода, он, по- видимому, является довольно грубым, т. е. дает сильно завышенное значение критического числа Ричардсона. Поэтому исходя
отсюда можно лишь утверждать, что стационарная турбулентность возможна при Rf < /?, где R = Rfcr, наверное, меньше единицы (причем, по всей вероятности, значительно меньше). Чисто формально значение 1//?=1/Rfcr можно отождествить также со значением параметра о в уравнении (7.47')—при таком выборе о энергетический критерий, получаемый из этого последнего уравнения, оказывается уже точным.
Воспользовавшись полуэмпирическими соотношениями (6.5), (7.26), (7.27) и (7.40), мы можем преобразовать уравнение (7.46) в следующее полуэмпирическое уравнение баланса турбулентной энергии:
db vg v дТ К3 t д дЬ
"дГ = КЫ -Т аК(7.49)
Здесь К — коэффициент турбулентной вязкости (переноса импульса), а аК = Кт и аьК=Кь — коэффициенты турбулентного переноса тепла и энергии соответственно. Пренебрегая диффузией энергии (т. е. последним слагаемым в правой части), получаем отсюда следующий, эквивалентный (7.48) критерий существования незатухающей турбулентности:
Ri<l а=-^.(7.50)
Здесь
Ri = ^ (Т^^ —(7.51)
Т (du/dz)2 аv 7
есть обычное число Ричардсона (вместо dTldz здесь часто используется величина dQ)dz = dTldz—Ga, в соответствии с равенством (7.40'), немного более точным, чем (7.40)). Критерий (7.50) был впервые получен Ричардсоном (1920) .(предполагавшим, что ос = 1); он, очевидно, показывает, что Ricr < 1/«, но никак не определяет еще точного значения Ricr. В гл. 2 мы уже отмечали, что, согласно теории гидродинамической устойчивости, течение расслоенной жидкости оказывается устойчивым относительно бесконечно малых возмущений, если во всех его точках Ri > V4; следовательно, Ricrmm ^ V4. С другой стороны, однако, есть некоторые основания предполагать, что, может быть, даже &->0 при Rf-^Rfcr и турбулентность может существовать при сколь угодно больших значениях Ri (так что Ricr=°°; см. ниже гл. 8 и 9).
Поскольку по определению ^ ^— = -^- = и^, уравнение (7.49) для стационарных условий и в пренебрежении диффузией турбулентной энергии мо^ет быть представлено в виде и4и4к3
7f(i —RO-^O-Rf)-^-
Отсюда для коэффициента турбулентной вязкости К получается выражение
К = U^cl (1 — Rf)l/4.К = U^cl (1 — Rf)l/4.(7.52)(7.52)
К = U^cl (1 — Rf)l/4.
К = U^cl (1 — Rf)l/4.
(7.52)
(7.52)
Согласно этой формуле, К как будто бы обращается в нуль (т. е. прекращается турбулентный обмен) при Rf = 1, т. е. Rfcr= 1, Ricr = = 1/а в противоречии со сказанным выше. На самом деле, однако, использование полуэмпирического соотношения (7.27) с с = const при Rf, приближающемся к Rfcr, теряет смысл, так что и соотношение (7.52) здесь не может быть применено. Заметим теперь, что в отсутствие термической стратификации в пределах логарифмического пограничного слоя cl = xz (так как в силу (7.49) здесь cl = K'^duldzy-'*1, a K = xu*z, du}dz = u*fxz); поэтому при произвольной стратификации удобно положить
cl = xzXx (Rf), К =u^xzXx (Rf)(l — Rf)l/4. (7.53)
Функция M(Rf), очевидно, должна удовлетворять условиям Xt(O) = 1 и М(/?)=0, где R = RfCr. Чтобы подчеркнуть, что M(R) =0, можно ввести в рассмотрение вместо Xi(Rf) функцию X(Rf), такую, что
МШ)=МШ) '^^^ • а=тг <7'54>
С помощью этой новой функции выражение для К записывается в аналогичном (6.53) виде:
(7.53')(7.53')/< = u*xzX (Rf) (1 — oRf)1/4,
(7.53')
(7.53')
но уже с добавочным множителем a=\(R при Rf в последних скобках.
g —7— слагаемому -у Т wg —7— слагаемому -у Т wТот же результат (7.53'), очевидно, можно получить, если принять, что c/ = xzX(Rf), но вместо пренебрежения диффузией турбулентной энергии считать эту диффузию пропорциональной
g —7— слагаемому -у Т w
g —7— слагаемому -у Т w
(т. е. использовать вместо (7.47) уравнение
(7.47') с o=lJR). В соотношении (7.53'), очевидно, Х(0) = 1, но
теперь уже автоматически K(R) =0, и поэтому можно допустить, что X(Rf) нигде не обращается в нуль. В п. 8.4 мы увидим, в частности, что разумные в ряде отношений результаты получаются, если даже просто положить, что X(Rf) = l. Следует, однако, подчеркнуть, что с точки зрения теории такой выбор функции X(Rf) ничем не оправдан, и он вполне может быть изменен для получения лучшего согласия с данными экспериментов (подробнее об этом мы еще будем говорить в следующей главе).
Уравнение для среднего квадрата пульсаций температуры в плоскопараллельном термически стратифицированном течении не содержит дополнительных слагаемых и может быть записано
(7.55)(7.55)dTд ™,2 ,о—™ дТ ОА.
(7.55)
(7.55)
—г— ==— г w' — 2ф'Т' -5—— 2N
dtazdz
(слагаемыми хд^/Т'^дг2 и 2Т'R' уравнения (7.15') здесь прене- брегается). С помощью соотношений (7.25), (7.26') и (7.27') оно может быть преобразовано в полуэмпирическое уравнение для среднего квадрата пульсаций температуры следующего вида:
ЭТ'2dtЭТ'2dt(7.55')(7.55')^1г(дТ\? х д „ „ dT'2КТ'2
ЭТ'2dt
ЭТ'2dt
(7.55')
(7.55')
— 2а. К ( дг ) + д2 »сК дгс^2 •
Турбулентностьв планетарном пограничном слое атмосферы
В этом и следующем параграфах мы приведем два примера использования лолуэмпирического уравнения для турбулентной энергии в конкретных задачах, иллюстрирующие подход к изучению турбулентных течений, типичных для полу- эмпирических теорий турбулентности.
В качестве первого примера рассмотрим задачу о пограничном слое, образующемся в атмосфере около Земли вследствие того, что при движении воздуха относительно подстилающей поверхности возникают силы трения. Слой, в котором непосредственно проявляются эти силы, называется планетарным пограничным слоем, или слоем трения, или экмановским слоем. Будем рассматривать лишь пограничный слой над плоской однородной подстилающей поверхностью (которую мы примем за плоскость z=0) при стационарных внешних условиях и пока в предположении, что термическую стратификацию можно считать безразличной. Кроме того, воспользуемся тем, что в пределах планетарного погра
ничного слоя допустимо полагать р« const; поэтому сжимаемость воздуха для данной задачи оказывается несущественной. Поскольку все статистические характеристики турбулентности в планетарном пограничном слое зависят только от г, здесь можно использовать форму (7.42) уравнения для турбулентной энергии. В этом уравнении в рассматриваемом случае можно пренебречь слагаемым слева (в силу стационарности) и слагаемым —T'w' в правой
части (поскольку стратификацию мы считаем безразличной); кроме того, мы, „1 dp'w' ■
как это часто делается, пренебрежем и слагаемым -=^, описывающим
эффект переноса турбулентной энергии под действием сил давления (иначе можно считать, что это слагаемое включено в правую часть (7.56) — при этом лишь придется изменить определение коэффициента а&). В результате получается уравнение
(7.56)(7.56)-7-7 dudv -1 ди и ха'
(7.56)
(7.56)
—u'w' ^u'V —6/ = — 5
дгдг 12 дг
которое после использования полуэмпирических гипотез (7.22), (7.26) и (7.27) (с ad=const) и деления всех членов на р принимает вид
।К3д „ db v i it m^x
) "Цдг ) J сЧ* — ttbdzKdz’ K — Nb. (7.57) Это уравнение следует рассматривать совместно с уравнениями Рейнольдса (7.5), которые в данном случае можно записать в виде
z = 1, 2, 3z = 1, 2, 3(7.58)(7.58)dP^V др-т-
z = 1, 2, 3
z = 1, 2, 3
(7.58)
(7.58)
дг"*" дх:р ь
(при этом мы пренебрегли вертикальным потоком импульса, связанным с действием молекулярной вязкости, по сравнению с турбулентным потоком импульса ри^'У Внешние силы Xi, действующие в пограничном слое атмосферы,— это, во-первых, направленная вертикально вниз сила тяжести и, во-вторых, перпендикулярная вектору скорости и (т. е. не производящая работы) сила Кориолиса Y = 2[u, to], где ю—вектор угловой скорости вращения Земли. Выберем теперь оси Охх = Ох и Ох2=Оу так, чтобы ось Ох была параллельной направлению приземного ветра. В таком случае величины Хх и Х2 будут равны соответствующим компонентам ускорения Кориолиса, т. е. Х1 = У| = 2(о2у, X2 = Y2=—2(о2й, где <о2= eosin ср — вертикальная компонента векторам, а ср — широта точки наблюдения.
Воспользовавшись для вычисления величины putw полуэмпирической формулой (7.22) и поделив уравнения Рейнольдса на р, мы сможем записать первые два из этих уравнений (которые только и будут нужны) в виде
д дй _1 др д ди '_1 др
-ч— К-чh 2<ozu= — -ч—.-ч— К-ч2ozu = — -3-.(7.59)
dzdz1р dxdzdzр dyх 7
Горизонтальный градиент среднего давления (dpldx, dpldy) в рассматриваемой задаче является заданной величиной, которую мы будем считать не зависящей от координат х, у, г (независимость градиента давления от z является обычным допущением теории пограничного слоя). Вне слоя трения первыми слагаемыми в уравнениях (7.59) (которые описывают силу трения) можно пренебречь, и движение будет определяться так называемыми формулами геострофического ветра:
й =J= G cos а,и = - J= —G sina,(7.60)
2p(oz ду2p(oz дх
— скорость геострофического— скорость геострофическоговетра.ветра.1 где G = —=— 2p(oz
— скорость геострофического
— скорость геострофического
ветра.
ветра.
а а — угол между вектором с компонентами (—др/ду, dpldx) и вектором приземного ветра (угол полного поворота ветра в слое трения, подлежащий определению).
Уравнения (7.57) и (7.59) позволяют определить распределение ветра й(г), u(z) и коэфициента турбулентной вязкости К(2) в планетарном пограничном слое атмосферы, если задать каким-либо образом функцию l(z), т. е. указать зависимость масштаба турбулентности от высоты (что предпочтительнее,, чем задавать K(z)Y Такая задача рассматривалась Мониным (1950а), Блэке- даром (1962), Леттау (1962) и Эплби и Омстеде (1965) при различных предположениях об /(г); см. также детальные обзоры Зилитинкевича, Лайхтмана и Монина (1967), а также Зилитинкевича (1970), содержащие обширную библиографию. Начнем с того, что оценим изменение с высотой в приземном слое атмосферы х-компоненты турбулентного напряжения трения тх = рК X X №/<Эг) = pw2. Интегрируя по высоте первое уравнение (7.59), получаем:
и2 (0) -ц\нЛ= ( («te^ - 4т $-\dz < \ (A-^_\dz<^2H6G.о \ Р ОХ / О \ Р /
Здесь мы воспользовались тем, что отбрасывание члена 2о)2у приводит к усилению неравенства, так как сила Кориолиса частично компенсирует действие градиента давления. Выберем Но так, чтобы относительное изменение м2 в слое толщиной Но не превосходило допуска а, т. е. чтобы выполнялось неравенство
u^w — ^(н^«2(0)u^w — ^(н^«2(0)^a. Для этого, очевидно, достаточно потребовать,^a. Для этого, очевидно, достаточно потребовать,выполнялось следующее неравенство:выполнялось следующее неравенство:ям2(0)2(ozG *ям2(0)2(ozG *чтобы(7.61)чтобы(7.61)
u^w — ^(н^«2(0)
u^w — ^(н^«2(0)
^a. Для этого, очевидно, достаточно потребовать,
^a. Для этого, очевидно, достаточно потребовать,
выполнялось следующее неравенство:
выполнялось следующее неравенство:
ям2(0)
2(ozG *
ям2(0)
2(ozG *
чтобы
(7.61)
чтобы
(7.61)
(7.62)(7.62)Согласно опытным данным, uJG составляет примерно 0,05. Кроме того, в умеренных широтах 2(oz~lO~4 с~\гак что при G~10 м/с получается м2 (0)/2co2G~ ~250 м. При допуске а=20 % получаем оценку толщины приземного слоя Но ~50 м. В пределах этого слоя можно пренебрегать действием силы Кориолиса (а значит, и обусловленным этой силой вращением ветра с высотой) и считать и* постоянным, т. е. можно пользоваться обычной теорией логарифмического пограничного слоя. Следовательно, в этом слое К = xuiZ du/dz = ujxz, dv/dz = 0, b = cxi? = const, где Ci — постоянный коэффициент, который можно оценить, например, по данным рис. 6.2; и, наконец, в силу уравнения (7.57)
(7.62)
(7.62)
cl = XZ, 1 =Z.с
Вернемся теперь к уравнениям (7.59). Продифференцировав эти уравнения по 2, можно записать полученный результат в виде одного равенства:
(W)
.дй . . дй \.
где / = л I -^-- +1 -^ J —комплексная величина, характеризующая обе компоненты напряжения трения (поделенного на плотность р). В приземном слое /, очевидно, принимает значение и . Далее, с помощью величины / уравнение для турбулентной энергии (7.57) можно представить в виде
(7.64)(7.64)Ifl2К3 _ д д К2
(7.64)
(7.64)
КсЧ* — аь дг Л dz I2 *
Кроме входящего в граничное условие параметра и*, определяющего режим движения в приземном слое, уравнения (7.63)— (7.64) содержат еще параметр Кориолиса 2(oz. Из этих двух размерных параметров уже можно составить масштаб длины, в качестве которого мы примем
Н — xuJ2(az(7.65)
(постоянная Кармана х здесь добавлена для удобства).
Пользуясь соображениями размерности, теперь можно положить
1 = ^^); К = ии*гФ^Уу с1 = ^(^,(7.66)
причем безразмерные функции F^), Ф(И, ^(^J, подлежащие дальнейшему определению, при £ = 0 должны все равняться единице. Для их определения, вообще говоря, необходимо задать еще одно дополнительное уравнение, определяющее зависимость от высоты масштаба турбулентности /. В связи с отсутствием надежных данных об этой зависимости в работе Монина (1950а) для простоты допускалось, что наличие продольного градиента давления и силы Кориолиса на масштабе турбулентности вообще не сказывается, так что = 1. При этом допущении уравнения (7.63) —(7.64) после подстановки в них формул (7.66) принимают вид
£Ф-^ = <Т,IFP-O*^-^®^.^^.®»),(7.67)
где o = a6x2c2— число порядка единицы. Входящие в эти уравнения функции F и Ф по своему физическому смыслу должны стремиться к нулю при £ = = Z)Hоо.'
Можно показать, что затухающие решения системы (7.67) таковы, что функция F(t,) затухает экспоненциально, а функция Ф(£)—степенным образом, а именно как £—1V66, Следовательно, коэффициент турбулентной вязкости 1L_
K(z) здесь асимптотически пропорционален г ^66 . При б > 1/6 коэффициент турбулентности неограниченно возрастает с высотой, а при б < 1/6 достигает на некоторой высоте максимума, после чего стремится .к нулю. Таким образом, учет правой части второго уравнения (7.67) (т. е. учет вертикального переноса турбулентной энергии, создаваемого «турбулентной вязкостью») оказывается в рассматриваемой теории существенным для определения поведения коэффициента турбулентной вязкости K(z) на больших высотах.
При 6 = 0 уравнения (7.67) не имеют решений, затухающих при £->оо, однако имеется решение, стремящееся к нулю (по степенному закону) при ^ приближающемся к некоторому конечному значению. Другими словами, турбулентный пограничный слой имеет в этом случае конечную толщину. Уравнения (7.67) были проинтегрированы Мониным численно при значениях 6=0 и 6 = = х2^0,16. В случае 6 = 0 толщина турбулентного слоя оказалась близкой к 10/7, т. е. практически весьма большой. Максимум K(z) в этом случае достигается на высоте z = 2,8//. При г < 2 Н функция F^ и Ф(£) для 6 = 0 и для 6 = х2 оказались весьма близкими друг к другу.
Когда функция /*(6) уже определена, вектор скорости ветра (й, у) на различных высотах может быть найден из уравнений (7.59), которые удобно- записать для этой цели в виде
и+ 16 = Geia -i^F' ^j.(7.68 )
При этом параметры и* и а заранее не известны (напомним, что и» входит также в формулу для масштаба Ну Для их определения воспользуемся тем,, что скорость ветра обращается в нуль на некоторой высоте 20 («высота шероховатости»), которую можно считать заданной. Приравнивая выражение (7.68) при z=z0 к нулю, получаем соотношение
ф (Со) =—^= к)е д .(7.69 >
где ^q = Zq/H, а т) = x2G/2zocoz— известная величина. Функцию <р(Со) можно* считать известной, так как функция F^ уже определена. Следовательно,
a = ^L-argF'(Со).(7.70>
Кроме того, поскольку т)=|ф(^о)|, то Eo=^(t|), где ф — функция, обратная; функции | ср |. Последнее соотношение можно переписать в виде
чем и завершается определение неизвестных параметров.
Заметим еще, что при аппроксимации распределения ветра во всем слое трения с помощью формулы (7.68) для «шероховатости» г0 следует принимать существенно большие значения, чем при аппроксимации профиля ветра в приземном слое воздуха. Это естественно, так как при увеличении вертикальных масштабов рассматриваемого явления необходимо увеличивать и горизонтальные масштабы и, следовательно, вводить «эффективную шероховатость», характерную для подстилающей поверхности на больших площадях (см. п. 6.4).
Приведем еще один вывод из рассмотренной теории, полученный в более поздней работе Казанского и Монина (1961) и касающийся определения зави-
симости отношения ^ = u*JG от «внешнего параметра» T] = x2G/2(ozz0. Знание зависимости £(т]) позволяет по измеренной скорости G и известной шероховатости подстилающей поверхности г0 определить также и турбулентное напряжение трения у поверхности Земли, которое является одной из важнейших характеристик турбулентности в приземном слое воздуха. Как было указано выше, зависимость £(т]) можно определить из соотношения . (7.69); при этом можно воспользоваться малостью аргумента £о = го///, так что достаточно определить вид функции F^ при очень малых t>=zlH. Однако при малых г коэффициент турбулентной вязкости К приблизительно равен хы*г, так что в первом уравнении (7.67) можно заменить множитель Ф единицей. Тогда решение F этого уравнения, удовлетворяющее очевидному краевому условию F(0) = l, при малых £ будет иметь вид F= 1 + а£ + z£ In £ + ..., где а — постоянная интегрирования. Отсюда получаем
F' ^«F' (CO+Nn-^-,
где Zx — t.xH — высота, на которой еще можно полагать K=xw*z. При этом соотношение т] = |F'(£0) |/£о, вытекающее из соотношения (7.69), можно переписать в виде
^=L_/ln^|,£ I X2 I
где b = F,^t)l)—zln(x£i)—комплексная постоянная. Полагая b — A + IB, уравнение (7.63) можно переписать в виде (см. Казанский и Монин (1961))
1п^- = В-1п^ + д/-^--Д2; sina = -A.(7.72)
Постоянная b находится при решении полных уравнений (7.67) во всем пограничном слое. При 6 = 0 для н^е получается значение Ь = —1,69 + 2,49 i; при 6 = 0,16 получается Ь =—1,81 + 1,71 L Сравнение расчетов по формуле (7.72) с экспериментальными данными Леттау (1959) показало, что вычисленные при 6 = 0 значения £ явно завышены, но при 6 = 0,16 они уже оказываются в качественном согласии с результатами эксперимента (рис. 7.1), причем можно ожидать, что при некотором увеличении значения 6 это согласие улучшится.
Близкие результаты были получены также Леттау (1962), Бызовой и Машковой (1966), Курпаковой и Орленко (1967) и Блэкедаром (1962, 1967); рассмотревшими ту же задачу, но использовавшими иные исходные предположения. В частности, Блэкедар пренебрег вертикальной диффузией турбулентной энергии (т. е. предположил, что а& = 6 = 0), но при этом в соответствии с довольно грубыми эмпирическими данными Леттау (1950) принял, что масштаб / возрастает линейно с высотой лишь в самом нижнем слое атмосферы, а затем скорость его возрастания убывает, и асимптотически при z-^oo масштаб / стремится к некоторому постоянному значению Х)с. Исходя отсюда функция cl(z) была выбрана в виде
, , .XZ
cl (2) =х 71 + xz/X
Что же касается величины X, имеющей размерность длины, то Блэкедар
* о G
предположил, что Х = р ——, но одновременно указал, что с тем же осно- 2(0z
ванием можно было бы положить X = Bi = ^ХН, т. е. считать, что 2(0z
(
х X—1G
1 +-о— £) (предположение Х = 3——, очевидно, приводит к
значительно более сложному виду функции ф(£)). Числовой параметр Р был подобран так, чтобы получаемое значение угла поворота ветра совпало с дан-
ными наблюдений, проводившихся в Брукхевене (недалеко от Нью-Йорка). Оказалось, что этому условию удовлетворяет значение 0 = 0,00027.
Леттау (1962) рассмотрел другой вариант полуэмпирической теории, в котором он также пренебрег вертикальной диффузией энергии (т. е. положил аь = 0), но определил коэффициент турбулентной вязкости формулой. ^ = /^[(^й/dz)^+ (дб/аг)2]'л, аналогичной формуле Прандтля (6.112), и масштаб длины в виде / = xz[l + 33,62(2 cozz/xm*)5/4]-Г Упомянем также работу Эплби и Омстеде (1965), использовавших формулу / = Х[1—ехр(—xz/X)] вместе
Рис. 7.1. Зависимость u*/G от т) = x2G/2zo(oz по эмпирическим данным (/—4) и по теориям Казанского и Монина (1961 и Блэкедара (1962) (5 и 6).
1 — данные Леттау, 2 и 3 — результаты измерений в Брукхевене в июле и ноябре 1950 г., 4 — результаты измерений в Хен- форде в 1959 г., 5 и 6 — теоретические кривые Казанского и Монина при б = 0,16 (5) и Блэкедара (5).
с формулой Прандтля—Леттау для К и считавших 2 mz^IG определенной функцией от числа Россби Ro. Бобылева, Зилитинкевич и Лайхтман (1967) учли влияние термической стратификации атмосферы — этот вопрос будет рассмотрев в п. 8.4.
Основными результатами, полученными выше, являются общие уравнения (7-72), позволяющие при известных значениях постоянных Л, В (и х) определить зависимость коэффициента сопротивления u*/G для планетарного пограничного слоя и полного угла поворота ветра а от безразмерного параметра т| = = x2G/2 to2z0 (или так называемого числа Росби Ro=r]x2= GJ2 cdzz0). Покажем теперь, следуя Чанади (1967в) (см. также Гилл (1968), Блэкедар и Теннекес (1968)), что те или иные полуэмпирические гипотезы на самом деле нужны лишь для определения значений постоянных Л и В, а сами уравнения (7.72) могут быть легко выведены из простых соображений размерности, аналогичных тем, которые использовались Изаксоном (1937), Милликеном (1939) и Мизесом (1940) (см. выше п. 6.5). Выделим в пределах планетарного пограничного слоя нижний «пристенный подслой», где сила Кориолиса и градиент давления практически не влияют на течение, и «внешний подслой», где несущественны уже молекулярная вязкость и характеристики подстилающей поверхности. В пристенном подслое действует обычный «пристенный закон» — в случае динамически шероховатой стенки он имеет вид й(г) — ukf (z/zo), где Zo— «высота
шероховатости». В пределах «внешнего подслоя» отклонение скорости ветра u(z) от геострофического ветра G зависит лишь от и* и параметра Кориолиса 2 со2; поэтому здесь должен выполняться закон дефекта скорости вида Оехр(—ia)—й(г)=м*Л(2 cdzz)m*), где G exp(ia) = Gx + iGy— комплексная скорость геострофического ветра, й (z) = u(z)-V iv(z)— комплексная скорость ветра на высоте z, а fx — комплексная функция аргумента, пропорционального zIH (ср. п. 6.5 и 6.6). Допустим теперь, что пристенный и внешний подслои частично перекрываются; тогда, как и в п. 6.5 и 6.6, легко показать, что в области их перекрытия обе функции f и h должны быть логарифмическими, т. е.
й (Z) = -^ In ^-; G exp (-/a) - й (z) = —^ (in ^ + с),
где С=В—(А— комплексная постоянная, а х и z0 имеют тот же смысл, что и выше. Складывая теперь эти два равенства в какой-нибудь точке слоя перекрытия, получаем:
(7.72-)
Приравнивая друг к другу модули и мнимые части выражений в левой и правой частях (7.72х), получаем равенства (7.72).
Значения постоянных А и В, полученные с помощью двух разных полу- эмпирических расчетов (при 6=0 и 6 = 0,16) Казанским и Мониным (1961), были приведены выше. Сводку данных ряда авторов о значениях А и В (как правило, полученных с помощью обработки результатов метеорологических измерений) можно найти у Зилитинкевича (1989).
Как мы уже видели, задание закона изменения cl с высотой позволяет получить из уравнений Рейнольдса (7.59) и уравнения турбулентной энергии (7.57) замкнутую систему трех уравнений относительно трех неизвестных функций (то, что две из этих функций были объединены выше в одну комплексную функцию F, разумеется, не играет никакой роли). Соответствующие уравнения были записаны в работе Блэкедара в несколько другой безразмерной форме, чем в работе Монина, и решались численно. Полученные результаты также оказались неплохо соответствующими эмпирическим данным о зависимости ветра от высоты и о связи отношения g = u*/G с параметром т)=х2С/2 <o2zo (см. рис. 7.1).
Распределение взвешенных частицв турбулентном течении
Рассмотрим теперь задачу о движении взвешенных частиц в турбулентном течении несжимаемой жидкости. Теория этого явления была развита в работах Баренблатта (1953, 1955) (см. также Колмогоров (1954)). Основным предположением указанной теории является допущение о малости размеров взвешенных частиц (по сравнению с характерным масштабом турбулентности), позволяющее считать, что они образуют как бы непрерывно распределенную в основной жидкости примесь. Выражение для полной плотности смеси можно записать в виде
Р = Ро (1 — S) + p)S = po+ (Pi — Ро) S, (7.73) где ро и pi — плотности среды (т. е. жидкости и частиц, а s— относительный объем частиц (в работах по теории движения наносов величину s называют «мутностью»). При этом ро и pi являются постоянными, а «мутность» s в результате турбулентного перемешивания флюктуирует, так что
р' = (pi — р0) s'.
Скорость Ui движения смеси в данной точке (т. е. скорость движения центра тяжести бесконечно малого объема смеси, окружающего данную точку)
будет определяться как среднее взвешенное по массе из скорости движения ОСНОВНОЙ ЖИДКОСТИ Мог И СКОрОСТИ движения Примеси Щг.
(7.74)(7.74)Ро (1 -S) „ . , Pl5 „ .
(7.74)
(7.74)
Ul — uoi -|— Ulie
Уравнения движения для смеси можно записать в виде
-^-4" "^ [Ро <1 — s> uoiuoa + ?!$«,<«,« + P^ia ~ ®ia] = -Pg^ia, (7-75)
где p — полное гидродинамическое давление в данной точке смеси, бц — сумма вязкого тензора напряжений в основной жидкости (в присутствии примеси) и тензора напряжений, возникающих от взаимодействий взвешенных частиц. Из массовых сил мы учитываем лишь силу тяжести, направленную по направлению оси Охз в сторону убывания координаты х3.
Уравнения сохранения массы для основной жидкости и для примеси имеют вид
dpo(l-s) , dpo(l-s)uoadp,s dp,su,a _
dt ** dxa ~ ’ dt "T dxa "
Складывая эти уравнения, получаем уравнение сохранения массы для смеси
(7.76)(7.76)др . дРиа dt + дха —
(7.76)
(7.76)
С другой стороны, поделив указанные уравнения соответственно на р0 и pi и затем складывая, получим уравнение неразрывности для смеси
[О-$) “oa + s“ia] = °-(7.77)
Учитывая малость частиц и приняв дополнительное предположение Барен- блатта о малости индивидуальных ускорений в турбулентном течении по сравнению с ускорением свободного падения g (в более точной теории без него можно обойтись), можно считать, что горизонтальные компоненты скорости основной жидкости и примеси совпадают, а вертикальные различаются на некоторую величину а — скорость гравитационного оседания частиц (их «гидравлическую крупность»). В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением случая малой «мутности», т. е. будем считать, что s <С 1 (хотя и это необязательно). При этом величину а можно считать не зависящей от s, т. е. постоянной (равной скорости гравитационного оседания одиночной частицы в неограниченной жидкости). Таким образом, имеем
Ui = u0i--^abi3,(7.78)
р
Ро О -s) “o.»oa + PtSUliUla=pu<Ua +-^y-S (1 -S) аЧАз-
Уравнения движения (7.75) принимают вид
дрщ। дГ PoPiОs (1 — s)
dt4" дха(P“-“a+P6ia ®ia) — Р|_£+ р^ р
а уравнение -неразрывности (7.77) запишется в видеа уравнение -неразрывности (7.77) запишется в видеdxadxa, х д, х дs (1 — s) aРs (1 — s) aР(7.79)(7.80)(7.79)(7.80)
а уравнение -неразрывности (7.77) запишется в виде
а уравнение -неразрывности (7.77) запишется в виде
dxa
dxa
, х д
, х д
s (1 — s) aР
s (1 — s) aР
(7.79)
(7.80)
(7.79)
(7.80)
В дальнейшем нам понадобятся лишь уравнения (7.73), (7.76), (7.79) и (7.80). Рассмотрим с их помощью задачу о распределении взвешенных частиц в стационарном течении, занимающем полупространство, ограниченное снизу плоскостью х3 = 0, и однородном в среднем вдоль осей Охх, Ох^. При этом можно считать, что все осредненные характеристики зависят лишь от координаты г—х3 и что и2=0- "
Обозначив мз = ^ и осреднив уравнение неразрывности (7.76), получим: dpw)dz—Q или ри/= const. Поскольку при стационарном режиме вертикальный перенос массы в среднем отсутствует, мы должны положить ри/ = ри/ + р'^' = 0. Вспоминая формулу (7.73), можно переписать последнее соотношение в виде
w — —ow's', (7.81)
где о= (pi—Ро)/р. Из самого существования стационарного распределения взвешенных частиц следует, что корреляция между w' и s' должна быть положительной, так как при стационарном режиме регулярное гравитационное оседание частиц должно быть сбалансировано их турбулентным переносом вверх, а турбулентный поток массы равен p'w'= (pi—p0)w'sf. Следовательно, w < О, т. е. осредненное движение смеси имеет компоненту, направленную вниз (напомним, что скорость движения смеси определялась как среднее взвешенное из скоростей основной жидкости и частиц по массе, а не по объему).
Осредняя уравнение (6.70), получаем:
откуда после интегрирования по г найдем
й = —as (1 — s) а + const.
Постоянное слагаемое в этой формуле можно считать равным нулю, так как при больших г величины s, w's' и, следовательно, w стремятся к нулю. Поэтому, сравнивая последнюю формулу с соотношением (7.81), находим:
w's' = s (1 — s) а « as.(7.82)
Если воспользоваться полуэмпирической формулой типа (7.25)
w's' = -asK(7.83)
то последнее соотношение примет вид
asK-^- = -Q.(7184)
В качестве осредненного уравнения движения смеси используем уравнение Рейнольдса в проекции на ось Ох^ которое для не слишком больших z можно представить в виде
К~ = и2 = const.(7.85)
dz •
Исключая из соотношений (7.84), (7.85) величину К, получаем: dinsхdu
dzи* dz ’
где (o = a/a$xw*— безразмерный параметр. Интегрируя последнее уравнение, находим:
(7.86)
s = soe “• ,
где So — значение s на некоторой условной «высоте шероховатости» г0, на которой Цг) обращается в нуль.
Приняв для правой части уравнения движения (7.79) приближенное значение — pg6i з, мы убеждаемся, что это уравнение вместе с уравнением сохранения массы (7.76) совпадает с соответствующими уравнениями для сжимаемой жидкости. Поэтому уравнение для турбулентной энергии имеет такой же вид, как в случае сжимаемой жидкости. Пренебрегая эффектом диффузии энергии турбулентных пульсаций и другими малыми слагаемыми, запишем указанное уравнение в виде
^^(“ЭгУ—?Г—^ = °-<7-87)
причем л/6=к, а величина В =—pw'g имеет смысл работы взвешивания частиц турбулентным потоком в единице объема смеси. Для этой величины с помощью формул (7.73) и (7.82) получаем
В = — opgFw7 = —opgs (1 — s) а.(7.88)
Это соотношение впервые было получено Великановым (1946). Выражая sfw' с помощью формулы (7.83), находим:
B=asapgl л/b -^-.
С помощью этой формулы уравнение (7.87) может быть приведено к виду
6 = c4/2(-^-)2(l-asRi),6 = c4/2(-^-)2(l-asRi),(7.89)(7.89)
6 = c4/2(-^-)2(l-asRi),
6 = c4/2(-^-)2(l-asRi),
(7.89)
(7.89)
где
(ds/dz)(Эй/OzV
есть безразмерное число, аналогичное числу Ричардсона. Исключая из формулы (7.89) ^градиент скорости дй{дг с помощью уравнения (7.85) и соотношения K=l^b, получаем:
6 = cV V1-aRi. (7.90)
При отсутствии взвешенных частиц Ri = 0 и6 = А2. Формула (7.90) показывает, что наличие в течении взвешенных частиц приводит к уменьшению пульсационной энергии, т. е. влияет на динамику течения. Этот результат подтверждается прямыми экспериментами (впрочем, гораздо более существенным оказалось гасящее турбулентность действие некоторых малых добавок высокополимерных частиц — «эффект Томса», с Ri не связанный). Таким образом, расчет движения наносов в предположении, что взвешенные частицы не оказывают влияния на динамику течения (так называемая диффузионная теория), возможен лишь при достаточно малых Ri.
Распределение скорости й(г) в течении, несущем взвешенные частицы, может быть найдено с помощью уравнений (7.84), (7.85) и (7.90). Именно, если ввести безразмерные величины, полагая
й=-^т, К = хи»г<Х)^, cl =xz'¥ (t.), s = S^, Z =,(7-91)
где L = i?Iciz^og (эти формулы были предложены по аналогии с теорией турбулентности в стратифицированных течениях, см. главу 8), то указанные уравнения примут вид
COS' = — (OS, УЯР' = 1,COS' = — (OS, УЯР' = 1,Ф = 'К1 1 +Ф = 'К1 1 +S' \V<F'2 J ‘S' \V<F'2 J ‘(7.92)(7.92)
COS' = — (OS, УЯР' = 1,
COS' = — (OS, УЯР' = 1,
Ф = 'К1 1 +
Ф = 'К1 1 +
S' \V<
F'2 J ‘
S' \V<
F'2 J ‘
(7.92)
(7.92)
Основной интерес представляет функция S(£), описывающая вертикальное распределение взвешенных частиц. Исключая из уравнений (7.92) функции F и Ф, для величины Т^ = \18^ получим уравнение
Баренблатт исследовал решение этого уравнения в общем виде, не задаваясь конкретной формой функции Чг, а лишь допуская, что она удовлетворяет очевидному условию ^(О) = 1 и является невозрастающей функцией от числа Ричардсона (поскольку масштаб турбулентности / вследствие наличия взвеси должен уменьшаться). Результаты анализа показывают, что при со < 1 и о) > 1 характер решения оказывается существенно различным. При о > 1 (малая скорость течения или крупные частицы) перенос частиц происходит в основном вблизи дна, причем в придонной области изложенная теория (основанная) на допущении малости s) неприменима и должна быть заменена более точной теорией. Вне придонной области Ri->0, так что распределение взвешенных частиц асимптотически приближается к распределению, получающемуся в соответствии с диффузионной теорией. При со < 1 (большая скорость потока или же мелкие частицы) перенос частиц происходит в основной массе течения. Распределение частиц на больших высотах асимптотически приближается к некоторому предельному автомодельному распределению (Ri->const), при котором s обратно пропорционально г, а й(г) = (1/хо))1п г + const. При этом существует некоторое предельное насыщение течения частицами, такое, что при еще большем насыщении изложенная теория становится неприменимой в придонной области.
24 Заказ № 303
IV- ТУРБУЛЕНТНОСТЬВ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ СРЕДЕ
Глава 8
ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРИИЛОГАРИФМИЧЕСКОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯНА СЛУЧАЙ СТРАТИФИЦИРОВАННОЙ СРЕДЫ
Турбулентный пограничный слойв температурно-стратифицированной средекак модель приземного слоя атмосферы
В предыдущем разделе были подробно рассмотрены основные закономерности турбулентных течений жидкости в пограничном слое над неограниченной плоской пластинкой. Полученные выводы мы сравнивали с эмпирическими данными, относящимися как к искусственным течениям, создаваемым в лаборатории, так и к наблюдаемым в атмосфере движениям воздуха вблизи поверхности Земли. При этом, однако, пришлось оговорить, что из наблюдений в атмосфере для данной цели могут использоваться только наблюдения, относящиеся к нейтральной (безразличной) стратификации, т. е. к тем случаям, когда в нижних слоях воздуха средняя температура практически не меняется с высотой. Но такая нейтральная стратификация довольно редко наблюдается в природе. Действительно, днем температура обычно заметно понижается с высотой, а ночью она, как правило, повышается с высотой (как говорят, имеет место инверсия температуры), так что нейтральной стратификация оказывается лишь в течение небольших промежутков времени перед заходом и после восхода
Солнца. Следовательно, движения в приземном слое воздуха в большинстве случаев не могут быть уложены в простую схему турбулентного пограничного слоя, рассмотренную в III разделе.
Итак, как правило, при изучении турбулентности в приземном слое атмосферы необходимо учитывать наличие в атмосфере температурной стратификации, создающей систематическое измене- ние'плотности среды с высотой. Как известно, в поле тяжести наличие неоднородностей плотности приводит к появлению архимедовых сил, спососбтвующих перемещению вниз жидких частиц, более плотных, чем окружающая среда. Эти архимедовы силы складываются с силами чисто гидродинамического происхождения, которые действуют на жидкие частицы и в отсутствие силы тяжести. В результате частицы, менее (более) плотные, чем окружающая среда, при движении вверх (вниз) получают дополнительную энергию за счет работы архимедовых сил, а при движении вниз (вверх), наоборот, теряют часть своей энергии на преодоление архимедовых сил. Тем самым потенциальная энергия расслоенной по плотности среды в поле тяжести может непосредственно переходить в энергию турбулентности, а энергия турбулентности может переходить обратно в потенциальную энергию неоднородной тяжелой среды. Количественному учету влияния этих переходов энергии на режим турбулентности и будет посвящен настоящий раздел.
В п. 7.4 был подсчитан вклад, вносимый работой архимедовых сил в бюджет турбулентной энергии. Этот вклад (на единицу объема) описывается выражением
В = — p'w'g, (8.1) где wr — пульсация вертикальной скорости. Из выражения (8.1) видно, что стратификация воздуха будет влиять на турбулентность, лишь если пульсации плотности р' будут коррелированы с пульсациями wr.
Далее при рассмотрении атмосферы нам будет удобно перейти от пульсаций плотности к пульсациям температуры, легко доступным непосредственному измерению. При этом, как и в п. 7.5, мы будем учитывать только пульсации плотности, связанные с пульсациями температуры, а гораздо меньшими пульсациями плотности, вызываемыми относительно очень малыми пульсациями атмосферного давления, пренебрежем. Поскольку в случае не слишком больших пульсаций температуры можно полагать р'«— (р/Т)Т', где Т— абсолютная температура, в этом приближении
(8.2)
где q^Cppw'T — вертикальный турбулентный поток тепла (см, (7.39)). Отсюда видно, что в атмосфере влияние архимедовых сил на турбулентность непосредственно связано с турбулентной теплопередачей от подстилающей поверхности к атмосфере или наоборот. Это обстоятельство снова приводит к выводу о том, что указанное влияние должно исчезать при равном нулю вертикальном градиенте температуры: в самом деле, согласно основной формуле полуэмпирической теории,
q = -СррКт-^-, (8.3)
где Кт — коэффициент турбулентной температуропроводности, иу следовательно,
(8.4)
так что В = 0 при dTfdz — O.
Нас будет интересовать также и океанская турбулентность с вертикальным турбулентным потоком массы m = p,w\ причем р7р~—аТ'+ ys', где s'— пульсации солености, а а и у — коэффициенты термического расширения и соленост- ной сжимаемости морской воды. В этом случае
B = —gm = ag (q/cp)—ygl, (8.2') где / = pit/s'— вертикальный турбулентный поток соли (массы растворенных солей).
Мы видим, что при теоретическом анализе турбулентных процессов в приземном слое атмосферы надо учитывать наличие вертикальной температурной стратификации и связанного с ней вертикального турбулентного потока тепла. В то же время горизонтальной неоднородностью подстилающей поверхности, всегда в какой-то мере имеющейся в реальной атмосфере, естественно на первых порах пренебречь. В самом деле, можно надеяться, что по крайней мере в случае сравнительно ровной подстилающей поверхности, характер которой не меняется на протяжении достаточно большой области, эта неоднородность не будет играть большой роли. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать упрощенную модель турбулентности в жидкости, заполняющей полупространство над бесконечной однородной плоской поверхностью 2 = 0 с постоянной шероховатостью zo (высотой вытеснения d, учет которой сводится к сдвигу начала отсчета значений z, мы в дальнейшем для простоты также будем пренебрегать). В соответствии с этим в настоящей главе мы всегда будем предполагать, что все одноточечные осредненные характеристики гидродинамических полей зависят только от вертикальной координаты z.
Допуская, что все одноточечные моменты зависят только от 2, мы тем самым неявно предполагаем, что эти моменты могут 372
быть определены, т. е. что значения всех гидродинамических полей в приземном слое атмосферы обладают определенной статистической устойчивостью. Это предположение может вызывать сомнения, так как условия в атмосфере существенно зависят от времени суток и от времени года, причем, кроме регулярных суточных и годовых колебаний, значения любого гидродинамического элемента в данной точке испытывают еще нерегулярные колебания самых разнообразных периодов. Эти нерегулярные колебания можно рассматривать как проявления турбулентности различных пространственных масштабов, от весьма малых (порядка сантиметров и долей сантиметра) до очень больших — порядка размеров циклонов и антициклонов или даже масштабов общей циркуляции атмосферы. Поэтому временные средние значения, например, температуры или скорости ветра в фиксированной точке,, во-первых, оказываются существенно зависящими от величины интервала осреднения и, во-вторых, при данном масштабе осреднения колеблются от выборки к выборке под действием компонент турбулентности с периодами, сравнимыми с величиной интервала осреднения или превосходящими эту величину.
Указанное явление, называемое «эволюцией уровня» метеорологических полей, затрудняет определение статистических характеристик таких полей. Тем не менее опыт показывает, что если ограничиться лишь наблюдениями, относящимися к определенному сезону года, времени суток и синоптическим условиям (т. е. определенной «погоде»), то при осреднении по временному интервалу т, заметно превосходящему характерный период «макроструктурных элементов» или «когерентных структур» (турбулентных образований, содержащих основную долю энергии турбулентности), средние значения метеорологических полей будут относительно устойчивыми. В таком случае можно считать, что соответствующие наблюдения образуют «статистический ансамбль», позволяющий производить вероятностное осреднение. В приземном слое воздуха временной масштаб макроструктурных элементов можно оценить по порядку величины как отношение L^U, где U — характерное значение скорости ветра, a Lo — характерный горизонтальный масштаб макроструктурных элементов, измеряющийся десятками или несколькими сотнями метров. Поэтому отношение Lo!U имеет порядок несколько десятков секунд, и при осреднении по интервалам времени порядка десяти—двадцати минут средние значения скорости ветра, температуры и т. д. оказываются относительно устойчивыми и могут рассматриваться как приближенные значения вероятностных средних для соответствующих случайных полей. Правда, при дальнейшем значительном увеличении периода осреднения до интервалов порядка нескольких часов или еще больших средние значения заметно меняются и могут снова стать малоустойчивыми за счет влияния длинно- периодных «синоптических колебаний», относящихся к турбулентности средних масштабов, а затем и к макротурбулентности, однако такой турбулентностью мы здесь заниматься не будем.
Кроме предположения о горизонтальной однородности, примем еще некоторые упрощающие предположения, касающиеся гидродинамических уравнений, описывающих турбулентность. Прежде всего в соответствии со сказанным выше пренебрежем изменениями плотности, вызываемыми пульсациями давления, и ограничимся уравнениями, линеаризованными относительно отклонений полей плотности, температуры и давления от соответствующих «стандартных значений» ро, То и р0 (зависящих только от г и удовлетворяющих уравнению статики др^дх ——ро£ и уравнению
состояния ро = /?РоТо). Величины ро = р и То будем в дальнейшем считать постоянными, так как их изменения с высотой в приземном слое толщиной в несколько десятков метров пренебрежимо малы. В таком случае уравнения движения обратятся в уже известные нам «уравнения теории свободной конвекции» или «уравнения Буссинеска»
ди"дГди"дГди дхди дхди . vduдГ + и^ди . vduдГ + и^dw . dwdw . dwду. ди дуdw .■v + ’ду. ди дуdw .■v + ’■{- йУ■{- йУdw ”дхdw ”дхВ этих уравнениях слагаемоеВ этих уравнениях слагаемоеди"дхди"дхди"dxди"dxg_ Тоg_ То1 др1 дрРо1Ро1дхдхдрдр+ v Au,+ v Au,Ро1РоРо1РоГ,Г,дрbp* дхдрbp* дх+ vAu, (8.5)+ vAu, (8.5){- v АкуS— Т.1 о{- v АкуS— Т.1 оописывающее «архиме-описывающее «архиме-
ди"дГ
ди"дГ
ди дх
ди дх
ди . vdu
дГ + и^
ди . vdu
дГ + и^
dw . dw
dw . dw
ду
. ди ду
dw .
■v + ’
ду
. ди ду
dw .
■v + ’
■{- йУ
■{- йУ
dw ”дх
dw ”дх
В этих уравнениях слагаемое
В этих уравнениях слагаемое
ди"дх
ди"дх
ди"dx
ди"dx
g_ То
g_ То
1 др
1 др
Ро
1
Ро
1
дх
дх
др
др
+ v Au,
+ v Au,
Ро
1
Ро
Ро
1
Ро
Г,
Г,
др
bp* дх
др
bp* дх
+ vAu, (8.5)
+ vAu, (8.5)
{- v АкуS— Т.1 о
{- v АкуS— Т.1 о
описывающее «архиме-
описывающее «архиме-
довы ускорения» жидких частиц, явно учитывает влияние силы тяжести. В то же время сила Кориолиса здесь пока отброшена, так как, согласно оценке, приведенной на с. 361, эта сила в пределах нижних 50 м (или около того) не оказывает заметного влияния на пульсационное движение, скорость которого в нижней атмосфере примерно на порядок ниже средней скорости. Разумеется, на высоте более нескольких десятков метров над поверхностью Земли уравнения (8.5) без силы Кориолиса уже неприменимы; это надо иметь в виду при сопоставлении выводов из указанных уравнений с данными наблюдений.
Уравнение неразрывности в приближении свободной конвекции может быть записано так же, как и в случае несжимаемой жидкости:
du , du , dw А /о сх
В силу горизонтальной однородности отсюда вытекает, что м; = 0, так что осредненное движение здесь является плоскопараллельным и задается вектором средней скорости и(г) = {Г(г), Г (г), 0}. Ясно, что в отсутствие силы Кориолиса и при постоянном по высоте горизонтальном градиенте давления направление вектора u(z) не может зависеть от z. Направим ось Ох вдоль вектора
u(z). В таком случае будет справедливо равенство у=0; поэтому распределения вероятностей для гидродинамических полей здесь естественно считать инвариантными не только по отношению к параллельным переносам в плоскости Оху, но и по отношению к отражениям относительно плоскости Oxz. Отсюда, в частности, сле
дует, что Тху = —рои'и' =0 и xyz =—pov'w'=O.
Учитывая, что изменение средней скорости ветра в приземном слое в течение суток имеет порядок 10 м/с, нетрудно подсчитать,, что в обычных условиях (при которых не происходит какой-либо особенно быстрой смены погоды) слагаемое с производной dujdt в осредненном первом уравнении (8.5) оказывается заметно' меньшим, чем слагаемое с градиентом среднего давления др]дх или чем средняя кориолисова сила. Поэтому при осреднении уравнений (8.5) производные по времени также можно откинуть и считать, что в приземном слое
—pou'w' + pov -^- = т = const .(8.7)
(ср. выше уравнение (6.11)). Таким образом, среднее течение в приземном слое можно считать не только плоскопараллельным,, но и стационарным, а напряжение трения т = рои^ (вертикальный поток импульса) —постоянным по высоте.
Кроме уравнений (8.5) и (8.6), мы должны использовать еще* и уравнение притока тепла, определяющее изменения во времени температуры Т. Согласно результатам п. 1.5, это уравнение можно записать в виде
( дТ . дТ . дТ . дТ \ v , ~ /о
cA^^u^^u^^w^>=cp^T^Q,(8.8)
где Q — приток тепла за счет излучения и за счет изменений фазового состояния влаги в воздухе (другими формами притока тепла, и в частности притоком тепла за счет диссипации кинетической энергии, в приземном слое вполне можно пренебречь). Если мы пренебрежем и притоком тепла Q, то получим обычное, уравнение теплопроводности
дТ х дТ . дТ . дТ vо/х
—Ь и -чк и Н w = X АТ,(8.8 )
dt 1 дх 1 ду 1 dz’х '
осреднение которого приводит к выводу о том, что в стационарных условиях
q = Срро^'Т' — Срро X -^ = const,(8.9)
т. е., что средний поток тепла по вертикали, создаваемый молекулярной и турбулентной теплопроводностью, является постоянным. Если же учесть и величину Q (основную часть которой
обычно составляет радиационный приток тепла), то вместо (8.9) мы получим более сложное уравнение
q 4- qs = const,(8.9')
где Q =—dqsldz, так что qs обычно можно отождествить со средним лучистым потоком тепла по вертикали. Согласно ранним предварительным данным Робинсона (1950) (см. также Халтинер и Мартин (1957), глава 15), существенное изменение потока qs с высотой, по-видимому, обычно имеет место лишь в тонком слое воздуха около поверхности Земли, толщина которого не превосходит (или лишь немного превосходит) 1 м. Рассматривая более высокие слои, можно полагать qs = const, т. е. пренебрегать лучистым притоком тепла Q. Косвенным подтверждением этого может служить тот факт, что теория, основанная на уравнении (8.9), часто вполне удовлетворительно согласуется с данными наблюдений в приземном слое. Однако более поздние исследования (ссылки на некоторые из них можно найти в статье Коантика и Сегина (1971)) заставляют сомневаться в законности использования приближения (8.9) во всех задачах, касающихся приземного (или приводного) слоя атмосферы. Особенно много сомнений вызывают случаи очень устойчивой стратификации (часто наблюдаемой, например, в ночное время), когда турбулентный поток тепла очень мал, а изменение с высотой потока qs может быть довольно заметным (см., например, Функ (I960)); над океанами, где большую роль играет влажность воздуха, лучистый приток тепла также вполне может оказаться значительным (см. Монин (1967)). Поэтому попытки более точного учета влияния радиационного теплообмена на турбулентность, начатые работами Таунсенда (1958), Ямамото и Кондо (1959), Монина (1967), Коантика и Сегина (1971), следует считать вполне актуальными. Поскольку, однако, в этом направлении пока еще имеются лишь кое- какие предварительные оценки, мы ограничимся рассмотрением теории, исходящей из предположения (8.9), построение которой следует считать первым шагом к разъяснению закономерностей турбулентности в приземном слое. Можно думать, что эта модель может быть применена и к некоторым другим течениям — например, к турбулентности в придонном или приповерхностном слое моря (см. книгу Монина и Озмидова (1981)) и к некоторым турбулентным течениям, создаваемым в лаборатории. В дальнейшем, однако, мы для определенности будем говорить о турбулентности в приземном слое атмосферы (так как именно к ней будет относиться большинство привлекаемых нами эмпирических данных), понимая всюду под «приземным слоем» указанную идеализированную модель стратифицированной среды (а более общий случай упоминая лишь посредством оговорок).
Применение соображений размерностик турбулентности в стратифицированной среде
Характеристики турбулентности в температурно-стратифицированной среде, описываемой уравнениями (8.5), (8.6), (8.8') и условиями (8.7), (8.9), очевидно, могут зависеть только от небольшого числа физических величин. А именно, они могут зависеть от параметров glTe, ро, v и х, входящих в указанные уравнения, от значений т (или и^ и q, задающих потоки импульса и тепла, идущие из бесконечности к поверхности z = 0 (или наоборот), и характеризующих динамическое и тепловое взаимодействие приземного слоя воздуха с подстилающей поверхностью,, а также от параметров шероховатости zo и температурной шероховатости ze, суммарно описывающих геометрические свойства подстилающей поверхности. Не все эти параметры играют одинаково важную роль. В областях с развитой турбулентностью (практически всюду, кроме весьма тонкого подслоя, прилегающего к подстилающей поверхности) потоки тепла и импульса, обусловленные молекулярной теплопроводностью и вязкостью, очень малы по сравнению с турбулентными потоками тепла и импульса. Поэтому в этих областях слагаемые уравнений (8.5) и (8.8'), содержащие коэффициенты v и х> можно опустить. Тогда соотношения (8.7) и (8.9) можно переписать в более простой форме
—-pQu'w' = г = const, CpPoT'w' = q = const, (8.10) показывающей, что характеристики турбулентности не должны зависеть от v и х- Что же касается параметров шероховатости zo и ze, То они определяют граничные условия на поверхности Земли и через них влияют на абсолютные значения средней скорости w(z) и на разность средних температур Т^—7(0) на значительных расстояниях от подстилающей поверхности. Однако законы изменения средней скорости и средней температуры на расстояниях z, на которых непосредственное влияние подстилающей поверхности уже не ощущается, зависеть от zo и ze уже не должны, а должны определяться лишь значениями т и q потоков импульса и тепла. Иначе говор'я, изменение параметров шероховатости _z0 и ze может привести лишь к сдвигу кривых w = w(z) и 7 = 7(z) на некоторые постоянные значения, но не должно влиять на форму профилей w(z) и 7(z). Таким образом, зависимость от высоты градиентов средней скорости и температуры и других родственных им осредненных характеристик развитого турбулентного режима в приземном слое воздуха должна определяться значениями лишь следующих четырех параметров: плотности ро, «параметра плавучести» gjTo (характеризующего влияние архимедовой силы на турбулентность), турбулентного напряжения трения т (или u* = Vr/po) и вертикального турбулентного потока тепла q (или потока температуры qfc^po).* При этом в случае
q = 0 (т. e. при безразличной стратификации, когда dT/dz = 0) влияние архимедовых сил на турбулентность не должно сказываться, т. е. зависимость от параметра g]T0 должна исчезнуть. В этом случае мы возвращаемся к турбулентности в однородной среде, для которой справедлива теория логарифмического пограничного слоя, изложенная в п. 6.3.
Таким образом, при z»zo (напомним, что обычно ze<2o; см. п. 6.7) характеристики турбулентности на высоте z будут зависеть лишь от пяти величин: z, ро, g/Ta, и и ^/(срРо) (в слое над океаном иногда надо учитывать и поток испаряющейся влаги //Ро, а в океане надо добавить еще удельный поток соли 7/ро). Поскольку в данном случае имеются четыре независимые размерности— длина, время, масса и температура, из этих пяти величин можно составить лишь одну (с точностью до числового множителя) независимую безразмерную комбинацию. Следуя работам Обухова (1946), Монина (1950в), Монина и Обухова (1953, 1954), в качестве этой безразмерной комбинации выберем величину
£ = 2/L,(8.11)
где
«3
L = g * q(8-12)
х~-—
'0 Сдро
есть масштаб длины, составленный из параметров glT^ и* и яЦсрР^- Безразмерная постоянная Кармана х, не меняющая размерности L, введена в выражение для L Обуховым (1946), и с тех пор она традиционно сохраняется в формуле для L в большинстве работ, использующих эту длину. Заметим еще, что при наличии в рассматриваемом слое воздуха значительного потока влаги 5 = 90^^' (где ^ — относительная влажность), порождае-
мого испарением с подстилающей поверхности, поток тепла q следует заменить на ^ + О,61сРТо/^ q (1+0,075/В), где В = q!2?^ — безразмерное отношение Боуэна, $ = 525 кал/г — скрытая теплота испарения. Введенная здесь поправка, учитывающая влияние пульсаций влажности на плотность воздуха над сушей, обычно малосущественна, но над океаном она бывает довольно значительной (см., например, Буш (1973)). В общем случае слоя стратифицированной жидкости с вертикальным потоком массы т (который* например, в океане может быть связан с потоком солености) L = =—u3jxg^m; мы в дальнейшем, однако, ограничимся простейшим случаем, когда L можно задать формулой (8.12).
В силу соображений размерности можно утверждать, что зависимость от высоты любой осредненной характеристики / развитого турбулентного режима в приземном слое воздуха, не зависящей от свойств подстилающей поверхности, может быть представлена в виде
каче- вели-(8.14)каче- вели-(8.14)где fo—комбинация размерности /, составленная из параметров;
каче- вели-
(8.14)
каче- вели-
(8.14)
g!T^ ро, и* и —-—, a F^)—универсальная функция. В СррО
стве масштаба f0 для осредненной скорости ветра примем чину и*/х, а для осредненной температуры — величину
*хи* Срро
(ср. с формулой (5.83)), где постоянная х также введена для удобства последующих выкладок, а знак у Т* выбран так, чтобы при устойчивой термической стратификации было Т*>0 (в океане для осредненной солености используется масштаб s* = /(хрои*)-1). Отметим, что для коэффициента турбулентности К естественным масштабом будет величина хи*\Ц.
Согласно формуле (8.13), вводя с помощью масштабов f0 безразмерные величины, мы можем описать зависимость характеристик турбулентного режима от высоты универсальными функциями от £. Так, например, для вертикальных градиентов средней скорости ветра и температуры получаются соотношения
(8.15)
4=Т«»(816>
где g^ и gi^—две универсальные функции параметра £. Формулы (8.15) и (8.16) были указаны Мониным и Обуховым (1953, 1954); их можно рассматривать как непосредственное обобщение основных формул (6.21) и (6.84) теории логарифмического
пограничного слоя на случай температурно-стратифицированной среды. Подставляя эти формулы в соотношения (6.5) и (6.9), определяющие турбулентные коэффициенты обмена К "пограничного слоя на случай температурно-стратифицированной среды. Подставляя эти формулы в соотношения (6.5) и (6.9), определяющие турбулентные коэффициенты обмена К "ииКт дляКт дляимпульса и теплоты, получаем: —9/срРо xu*L— дй!дг ”£(£)• Т— dTfdz 81 (?) 'Отношение коэффициентов обмена Кт и К равноКт _ хТ* дй/дг _ g (?) К и* dTfdz g.(?) ХУ' вообще говоря, оно является некоторой универсальнойимпульса и теплоты, получаем: —9/срРо xu*L— дй!дг ”£(£)• Т— dTfdz 81 (?) 'Отношение коэффициентов обмена Кт и К равноКт _ хТ* дй/дг _ g (?) К и* dTfdz g.(?) ХУ' вообще говоря, оно является некоторой универсальной(8-17)(8-17)(8.18)(8.18)функциейфункциейот С- Число Ричардсона Ri (см. (7.51)) в силу выражений (8.12) и (8.14) — (8.16) оказывается равнымот С- Число Ричардсона Ri (см. (7.51)) в силу выражений (8.12) и (8.14) — (8.16) оказывается равным
пограничного слоя на случай температурно-стратифицированной среды. Подставляя эти формулы в соотношения (6.5) и (6.9), определяющие турбулентные коэффициенты обмена К "
пограничного слоя на случай температурно-стратифицированной среды. Подставляя эти формулы в соотношения (6.5) и (6.9), определяющие турбулентные коэффициенты обмена К "
и
и
Кт для
Кт для
импульса и теплоты, получаем:
—9/срРо xu*L
— дй!дг ”£(£)• Т— dTfdz 81 (?) '
Отношение коэффициентов обмена Кт и К равно
Кт _ хТ* дй/дг _ g (?)
К и* dTfdz g.(?) ХУ' вообще говоря, оно является некоторой универсальной
импульса и теплоты, получаем:
—9/срРо xu*L
— дй!дг ”£(£)• Т— dTfdz 81 (?) '
Отношение коэффициентов обмена Кт и К равно
Кт _ хТ* дй/дг _ g (?)
К и* dTfdz g.(?) ХУ' вообще говоря, оно является некоторой универсальной
(8-17)
(8-17)
(8.18)
(8.18)
функцией
функцией
от С- Число Ричардсона Ri (см. (7.51)) в силу выражений (8.12) и (8.14) — (8.16) оказывается равным
от С- Число Ричардсона Ri (см. (7.51)) в силу выражений (8.12) и (8.14) — (8.16) оказывается равным
в; 8 дТ/дг — gi (?) —1 (8 19)
К То Vduldzy [g(OF ~ a(?)g(?) •'°-
Оно также является универсальной функцией от £ (в океане
Ri =— (^/ро) (dp/dz) (du/dz)~2, причем, строго говоря, под р следует понимать потенциальную плотность). Аналогично этому динамическое число Ричардсона Rf, задаваемое формулой (7.45), т. е. определяемое по потокам тепла q и импульса т и профилю скорости u(z), будет описываться выражением
Rf =(8.20)
срТ0 ди_47
т дх
'(в океане Rf =—§"т(т-du/dz)-1). Число Rf, очевидно, просто связано с коэффициентом турбулентной вязкости К*.
K = uu*L • Rf. (8.21)
Из анализа общего характера функций q^) и 71 (С), которому будет посвящен следующий параграф, можно вывести, что обе функции Ri (О и Rf(£) монотонны и поэтому имеют однозначную обратную функцию. Отсюда вытекает, что величины Ri, Rf и £ могут на равных правах использоваться как параметры, характеризующие степень вертикальной устойчивости воздуха.
Аналогично обстоит дело и с характеристиками поля концентрации пассивной примеси в стратифицированной среде при наличии постоянного потока j = pow,^, этой примеси через границу z = 0 (в случае приземного слоя воздуха в качестве такой пассивной примеси можно рассматривать, например, водяной пар; тогда / будет иметь смысл величины испарения с единицы площади подстилающей поверхности за единицу времени). Здесь надо только добавить величину / к числу параметров, -определяющих
осредненные характеристики турбулентного режима. При этом добавляется также независимая размерность величины Ф, и, следовательно, мы опять имеем единственную безразмерную характеристику ^ = z]L. В частности, для вертикального градиента d^ldz средней концентрации примеси получается соотношение
-^Г=-П^Л^ (8.22)
9* — —9* — —/хи*ро ’/хи*ро ’
9* — —
9* — —
/
хи*ро ’
/
хи*ро ’
вполне аналогичное соотношениям (8.15) и (8.16); коэффициент обмена для примеси («коэффициент турбулентной диффузии») при этом равен
(8.23)(8.23)/Уро __ xu*Ld^ldz ' ^2(0 '
(8.23)
(8.23)
Сами профили скорости ветра, температуры и концентрации примеси в приземном слое могут быть получены интегрированием равенств (8.15), (8.16) и (8.22):
Т^ - Г (г,) = Г* [f. (^-) - h (^\,(8.24)
О (Z2) - 6 (2,) = 9* [f2 (^-) - f2 ,где£££
f G) = j g (I) ^; ь (0 = j яГЮ ^; Ь К) = J g. а) ^. (8.25)
Общий вид универсальных функций, описывающихтурбулентный режим в стратифицированной среде
Согласно сказанному выше, в приземном слое воздуха возможны два качественно различных универсальных режима, соответствующих случаям устойчивой стратификации (поток тепла направлен вниз, т. е. q < 0 и соответственно L > 0 и Г* > 0) и неустойчивой стратификации (^ > О, L < О, Т*<0). Эти два режима должны сливаться при приближении к безразличной стратификации (при ^->0).
В настоящем параграфе мы будем рассматривать лишь простейшие характеристики турбулентности, а именно — профили средней скорости ветра й, средней температуры Т и средней концентрации примеси О. Поэтому нас будут интересовать функции /(£), Л (С) И f2(C) И их производные gU)=f(^), gt(£)=f'(^ и
g2(£) =%(£)• Начнем с рассмотрения функций f(£) и ^(С). Формулу (8.15) будет удобно переписать в виде
^=^^Ю=-^£); <^=^ = ^4^(8.15'
Зафиксируем значения z, и и gjTo и будем неограниченно уменьшать величину турбулентного потока тепла q, приближаясь тем самым к условиям безразличной стратификации. При этом масштаб L будет неограниченно возрастать по абсолютной величине, так что £=z/L стремится к нулю. В пределе при q-^О мы, очевидно, должны получить обычную формулу теории логарифмического пограничного слоя duldz = и*]№, не содержащую ни q, ни gll\ Следовательно,
<р(0)= lim:f(O=l.(8.26}
Поскольку функцию $(£) естественно считать непрерывной, при фиксированных значениях q и и*, но достаточно малом z (а именно, при z<^|L|} значение <р(£) будет близко к единице. Это означает, что при zC|L| условия турбулентного обмена мало отличаются от условий в температурно-однородной среде, так что турбулентность в слое z<^[£| обусловлена в основном динамическими факторами. Таким образом, масштаб L определяет толщину слоя, в котором термические факторы не играют заметной роли; он может быть поэтому назван высотой подслоя динамической турбулентности* Из того обстоятельства, что в самом нижнем слое термическими факторами можно пренебречь, естественно вытекает, что учет свойств подстилающей поверхности в стратифицированной среде должен осуществляться так же, как в однородной среде. Иначе говоря, объективной характеристикой свойств подстилающей поверхности в отношении ее динамического воздействия на течение и в стратифицированной среде является параметр шероховатости z^ определяемый так же, как в п. 6.4. Параметр шероховатости может быть определен по распределению скорости ветра только в подслое динамической турбулентности, так что он не может зависеть от температурной стратификации воздуха. Практически этот параметр удобнее всего определять, аппроксимируя логарифмическим законом профили скорости ветра, относящиеся к нейтральной или почти нейтральной стратификации, при которой |£| велико и подслой динамической турбулентности имеет большую толщину. Учитывая, что на высоте z0 логарифмический профиль средней скорости обращается в нуль и что при zC|L| профиль скорости можно счи-
тать логарифмическим, первую формулу (8.24) можно переписать в виде
■Отсюда видно, что функция f(z) вместе с параметром шероховатости 2о однозначно определяет профиль скорости ветра во всем приземном слое. Доминирующая роль динамических факторов при zC|L|, естественно, должна быть связана с малостью числа Ричардсона при таких z. Действительно, из соотношений (8.20) и (8.26) получаем
limRfW-O;^)^^.(8.27)
•Следовательно, в пределах подслоя динамической турбулентности |Rf|«-j4r<L(8-28)
При небольших значениях £ = z/L функцию $(£)=£/'(£) можно представить в виде степенного ряда:
<рО=1+Р£ + Р2С2 + ...(8.29)
Отсюда для функции f(£) в условиях, близких к безразличной стратификации, получается представление
f С) = const + In КI + р.: + А. ^ + ...(8.30)
Для Rf отсюда получается степенной ряд
Rf^^-p^-^ + p^3-...(8.31)
Поскольку эмпирические данные не позволяют надежно определить несколько коэффициентов рп, практическое значение может иметь только линейная аппроксимация функции <р(С):
фЮ~1+К,(8.32)
НО ~ const+ М + р^, ^«^(in-^ + p-^-^), (8.33)
Rf « - PS2 = 4- - р (4-)2(8.34)
{здесь р— коэффициент Pi формул (8.29) — (8.31)). Поскольку случаям ^ ^ 0 и ^ ^ 0 соответствуют два качественно различных режима турбулентности, нет оснований предполагать, что функция <р(^) является аналитической в точке £ = 0 (хотя она и непрерывна в этой точке в силу того, что при £->0 оба режима турбулентности сливаются). Поэтому, вообще говоря, случаям £ ^ 0 и ^ ^ 0 могут соответствовать разные значения коэффициентов разложений (8.29) — (8.31) и, в частности, различные значения
постоянной р. Кроме того, коэффициенты рп следует считать универсальными постоянными (того же типа, что и постоянная Кармана х), только если рассматривать их как точные значения коэффициентов ряда Тэйлора универсальной функции ф(£) (ограничиваясь, например, лишь неотрицательными значениями £). Однако в настоящее время нет возможности определить точный аналитический вид функции ср(О» не прибегая к каким-либо дополнительным гипотезам. На практике коэффициент р обычно находят приближенно, аппроксимируя эмпирическую функцию ф(£) на некотором интервале значений £ формулой (8.32). В результате получаемое значение р оказывается существенно зависящим от выбора интервала аппроксимации, поэтому неудивительно, что разные авторы приводят сильно различающиеся значения этого коэффициента (см. ниже п. 9.1). Впрочем, все эти расхождения не касаются вопроса о знаке р, ответ на который следует из элементарных физических соображений. В самом деле, при устойчивой стратификации (т. е. при q < О, L > 0 и £ > 0) турбулентный обмен является затрудненным, и поэтому профиль средней скорости должен быть более «крутым», чем логарифмический профиль, наблюдающийся при более интенсивном обмене, отвечающем безразличной стратификации. Наоборот, при неустойчивой стратификации (q > 0, L < 0, £ < 0) еще более интенсивное турбулентное перемешивание должно приводить к выравниванию средней скорости, так что здесь скорость ветра должна возрастать с высотой медленнее, чем при безразличной стратификации. Поэтому значение P(z— z^]L должно быть положительным при L > 0 и отрицательным при L < 0, т. е. р > 0 и при £ > 0, и при £ < 0.
Формулы (8.32) — (8.34), как мы уже отмечали, могут иметь смысл лишь при сравнительно небольших по абсолютной величине значениях £. Перейдем теперь к вопросу о поведении функций ф(£) и f(£) при очень больших значениях |£|=z/|L| и начнем со случая сильной неустойчивости, т. е. больших отрицательных значений £. Асимптотическое поведение ф(£) и f(£) при ^->—оо можно изучать, рассматривая большие значения г^>|Л| при фиксированных q > 0, и* и gfTo (т. е. фиксированном £<0), или же рассматривая предельный переход и*->0 (т. е. L—>-0) при фиксированных q > 0, gJTo и z. Последний предельный переход отвечает приближению к случаю чисто термической турбулентности в условиях так называемой свободной конвекции (характеризуемой наличием неустойчивой стратификации с q > 0 и отсутствием ветра и связанного с ним трения воздуха о подстилающую поверхность). При этом турбулентность имеет весьма своеобразный характер — она получает энергию не из энергии осредненного движения, а из энергии температурной неустойчивости и имеет характер совокупности тепловых струек, возникающих в отдельных точках подстилающей поверхности и сравнительно слабо перемешивающихся между собой. Если предположить еще, что имеющееся горизонтальное перемешивание все же достаточно для того,
чтобы обеспечить инвариантность распределений вероятностей поля температуры относительно параллельных переносов и вращений в горизонтальной плоскости, то придется заключить, что турбулентность в условиях свободной конвекции представляет собой частный случай рассматриваемой в настоящем разделе модели турбулентности в стратифицированной среде, характеризуемый лишь двумя параметрами g!To и qfCppo (ибо при «чистой» конвекции u* = 0). С этой точки зрения в предельном случае—оо
проще сначала рассмотреть поведение функций fi(£) и £i(£) = = /'(£), характеризующих распределение средней температуры, и лишь затем обратиться к функциям g^ (или ф(^)=^(?)) И f(£) (ибо при изучении поля скорости мы не можем апеллировать к предельному случаю «чистой» термической конвекции, в котором средняя горизонтальная скорость вообще отсутствует).
Поскольку из величин g/To и q]c^6 нельзя составить никакого масштаба длины, турбулентный режим при свободной конвекции должен быть автомодельным (ср. выше исследование конвективных струй в п. 6.8). В частности, легко проверить, что соотношение (8.16) и второе из соотношений (8.24) не будут содержать величину и», лишь если g\^ ~VM1 и fi(t) ^f^-h const. Таким образом,
gi (?) = - -^4— Е"*'’’ f1 ^ = const + СА-4* при £ < -1 (8.35) (множитель х*/= здесь добавлен для удобства). Иначе говоря,
при z>|Z.|, L < 0. Соотношения (8.36) впервые были указаны Прандтлем (1932а), а затем, независимо от него, Обуховым (1946); они вполне аналогичны выведенным Зельдовичем (1937) формулам (6.129)—(6.130) для распределения температуры в конвективных восходящих струях. В дальнейшем эти соотношения подробно обсуждались в ряде работ (см., например, Монин и Обухов (1953, 1954), Пристли (1954, 1955, 1956, 1964), Казанский и Монин (1958)). Из них, в частности, следует, что при неустойчивой стратификации распределение температуры на больших высотах приближается к изотермии; это объясняется наличием очень интенсивного перемешивания (усиливающегося с высотой за счет появления все более и более крупных турбулентных возмущений, сравнимых по масштабу с расстоянием до поверхности Земли), приводящего к выравниванию температуры. Коэффициент обмена для тепла в условиях свободной конвекции в силу соотношения (8.36) описывается формулой
Кт =2'$’(837>
дГ Ci \ c^po ^о /47
Срр0"дГ
38538525 Заказ № 303
385
385
с увеличением расстояния от поверхности он быстро возрастает.
Задача определения асимптотической формы функций g^), ф(^)=^(С) и f(£) ПРИ ^—00 представляется более трудной. Выше уже отмечалось, что рассмотрение предельного случая «чистой конвекции», где и*=0 и средняя горизонтальная скорость вообще отсутствует, здесь не может быть плодотворным. Вместо этого, начиная с работы Прандтля (1932а), обычно используются следующие более косвенные соображения. Поскольку предельный переход £ ->—оо эквивалентен переходу и* ->- О (при фиксированных значениях q/Cp^o, g(To и z), то режим турбулентности при £<С—1, по-видимому, не должен зависеть от и*. Поскольку из величин qlcp^o, g/To, ро и z нельзя составить никакой безразмерной комбинации, то все безразмерные характеристики турбулентности при £<g—1, определяемые этими величинами, должны иметь постоянное (универсальное) значение. В частности, такой безразмерной характеристикой можно считать отношение а = К.т(К коэффициентов обмена для тепла и для импульса. Следовательно, можно считать, что при —1
-5г = а_оо = const, К =— (—^—^) Л zu (8.38)
(где a-оо = Ит а(£)) и, значит,
С-*-оо
g(0 = —фК) = --з-Г,/а.(8.39)
/Ю = С2Г‘/’ +const,(8.39')
где С2 = С1Х,/чх-00. Иначе говоря,
-5-= -4г £ (— 4-Ти^м‘.(8.40)
dz 3x/f V СрРо Т» )’
и И - й W- -C„r''^(-ir 4-V'h ^'Ь - гГ\ СрРо 0 /
при q > 0, zi^|L|, Z2^|L|. Соотношения (8.40) также были впервые получены (в немного другой форме) Прандтлем (1932а) (см. также Обухов (1946), Монин и Обухов (1954)). При возрастании z скорость ветра u(z) в силу (8.40) приближается к постоянному значению; можно считать, что это объясняется теми же причинами, которые вызывают при z^-oo приближение к изотермии, если L < 0. Для чисел Ричардсона Ri и Rf из формул (8.38), (8.39), (8.19) и (8.20) следуют соотношения
Отсюда видно, что при возрастании z оба числа Ri и Rf неограниченно возрастают по абсолютной величине, оставаясь отрицательными.
Отметим, что в силу соотношения (8.40) градиент средней скорости ветра дй/dz, так же как и сама функция й(г), при всех значениях z/|L| оказываются зависящими от скорости трения и*, которая входит и в формулы, определяющие значения Ri и Rf. Это обстоятельство обычно объясняют тем, что средняя скорость й(г) не может быть независимой от и», так как нулевой скорости трения отвечает «чистая конвекция» в отсутствие горизонтальной скорости, т. е. течение с й(г)=0. (Такую «чистую конвекцию» нетрудно реализовать в лаборатории, но в земной атмосфере она никогда не встречается.) Приведенное объяснение на первый взгляд кажется разумным, но по обдумывании оно все же вызывает определенные сомнения. Ведь указанный здесь вывод формул (8.39) — (8.41) опирается на допущение, что К = Кт!а при £<С—1 не зависит от и*, в то время как при и* = 0 также и дй/дг = 0 и поэтому понятие коэффициента обмена К здесь вообще теряет смысл. В связи с этим не совсем ясно, почему же именно К при свободной конвекции должно не зависеть от u*, а й(г) уже зависит. Можно даже думать, что приведенные соображения скорее применимы при сильной, но не слишком сильной неустойчивости, когда обмен импульсом в основном регулируется конвективными движениями, порождаемыми архимедовыми силами, однако на формирование профиля скорости й(г) решающее влияние оказывает напряжение трения т = р«2. Если это так, то и утверждение о том, что u(z)->-const при £->оо, когда и* уже перестает играть какую бы то ни было роль, которое опирается на допущение о быстром возрастании коэффициента обмена К в области очень больших z/]L|, также может оказаться несостоятельным.
Укажем теперь, что данные микрометеорологических измерений, которые в 50-е годы и в начале 60-х годов представлялись очень хорошо согласующимися с формулами (8.39) — (8.41) (об этом см., например, Монин и Яглом (1965)), по мере их дальнейшего накопления все более убедительно указывали на отклонение профиля скорости й(г) от предсказываемых этими формулами закономерностей при достаточно больших значениях —z/L (подробнее об этом будет говориться в п. 9.1). Поэтому представлялось желательным поискать новые пути обоснования указанных формул, не обладающие недостатками указанного выше их вывода и позволяющие точнее определить область их применимости.
По-видимому, Бернстейн (19666) первым попытался приложить к определению профилей средних метеорологических полей в приземном слое атмосферы своеобразную (и вызывавшую много споров) «анизотропную» (иначе «векторную») форму анализа размерностей. Такой анализ размерностей впервые использовался для решения физических задач еще в конце XIX века; в дальнейшем он нередко применялся и обсуждался многими авторами (см., например, главу 5 книги Хантли (1970), содержащей как и работы Бетчова и Яглома (1971) и Кадера и Яглома (1990), 25*387
ряд дополнительных ссылок на литературу). Опыт использования такого анализа показал, что иногда (но далеко не всегда) он позволяет получить правильные соотношения, заметно уточняющие выводы, следующие из обычного анализа размерностей.
В связи с работой Бернстейна Колдер (1967) указал, что «анизотропный анализ» автоматически влечет за собой формулы (8.36) и (8.40) (в те годы считавшиеся хорошо описывающими данные измерений в атмосфере при сильной неустойчивости), но приводит к совершенно неверным результатам в логарифмическом слое, что заставляет считать такой анализ ошибочным (с этим выводом Бернстейн согласился). Позже, однако, Зилитинкевич (по-видимому, независимо от предыдущих авторов) снова попробовал приложить «анизотропный анализ размерностей» к приземному слою атмосферы и показал, что при этом получаются не только известные соотношения (8.36) и (8.40^, но и некоторые новые формулы для профилей одноточечных моментов турбулентных пульсаций, неплохо согласующиеся с имевшимися данными измерений при неустойчивой стратификации, часто противоречащими требованию независимости рассматриваемых моментов от и*.
Первоначально (в устном сообщении в Институте физики атмосферы АН СССР) Зилитинкевич предполагал, что его теория справедлива в «слое свободной конвекции», охватывающем все достаточно большие по модулю отрицательные значения £; однако, обсуждая это сообщение, Бетчов и Дглом пришли к выводу, что, по-видимому, анизотропный анализ размерностей на самом деле приложим лишь к некоторому промежуточному подслою неустойчиво стратифицированного приземного слоя, где |£|=—z/L не слишком велико, но и не слишком мало, в то время как выше этого подслоя располагается истинный «слой свободной конвекции», где профиль средней скорости имеет уже отличную от (8.40) форму. Это обсуждение привело к одновременной публикации двух статей (Зилитинкевич (1971) и Бетчов и Яглом (1971)), в первой из которых указывались основные следствия из «анизотропного анализа размерностей», касающиеся неустойчиво стратифицированного приземного слоя атмосферы, а во второй подробно анализировалась область приложимости этого анализа и формулировались некоторые предположения, относящиеся к еще большим по модулю отрицательным значениям £.
Остановимся теперь немного подробнее на выводах Зилитин- кевича и Бетчова и Яглома. Анизотропный анализ размерностей исходит из предположения, что длины в направлениях различных координатных осей имеют разные (и независимые) размерности; его приложения к приземному слою используют две размерности длины: Lx для длин в горизонтальных направлениях и Lx для длин по вертикали. Легко видеть, что в таком случае величины «* = (—и'ю'уь, qlcp^=w'T', gITo, z, u^z) и T(z) будут иметь следующие размерности:
[u*] = L^L^TT1, [^/^Po] = L^T?', ^/To] = L^-'rr2\z\=U Й-L^-1, 1T| = 6,
где [a] — это размерность физической величины a, Tv— размерность времени, а в — температуры. Из величин и*, ф/Срро, gITo и г можно составить единственную комбинацию той же размерности, что и dTtdz, и единственную комбинацию размерности duldz, и обе они точно совпадают с выражениями в правых частях формул (8.36) и (8.40) для градиентов температуры и скорости ветра. Таким образом, анизотропный анализ размерностей автоматически приводит к формулам (8.36) и (8.40).
Бетчов и Яглом, рассмотрев ряд имевшихся в литературе примеров успешного применения анизотропного анализа размерностей, не обнаружили ни в одном случае указания условий, оправдывающих такое применение, но вместе с тем выяснили, что во всех этих примерах физические процессы в направлениях, которым отвечали разные размерности длины, оказывались энергетически расщепленными, т. е. между ними не было непосредственного обмена энергией. Естественно предположить, что именно отсутствие такого обмена энергией позволяло считать размерности длин в соответствующих направлениях не зависящими друг от друга. В связи с этим Бетчов и Яглом указали, что даже если обмен энергией в направлениях, например, осей Ох и Oz имеет место, то размерности Lx и Lx все равно можно считать независимыми, но только тогда уже к числу основных физических величин, влияющих на рассматриваемые процессы, нужно добавить еще какую- нибудь величину, характеризующую такой энергообмен; при этом, однако, получающиеся выводы уже оказываются точно совпадающими с теми, которые следуют из обычного анализа размерностей»
Вернемся к стационарному турбулентному течению в пограничном слое стратифицированной жидкости. При достаточно большом числе Рейнольдса, когда молекулярным переносом можно пренебречь по сравнению с переносом турбулентными пульсациями, уравнения баланса для трех компонент и'212, v'2/2 и ^/2/2 кинетической энергии турбулентности в силу (7Л9) и (7.41) имеют вид
2 дй . "р7 ди',1 du'2w'
--дГ=е'
р' dv' о , 1 dy^w1 ро др82 ‘ 2 755’
^О СрРо^О СрРоР' dw', 1 д(ю'3 + 2р'йу7о0)
^О СрРо
^О СрРо
Ро дг —6з 2Ж
где 61, е2 и ез — соответствующие скорости диссипации энергии. Здесь u^duldz — это скорость динамического порождения энергии продольной компоненты скорости и', заимствующей энергию
у среднего течения, a (g/To) (?/срро) — скорость термического порождения энергии вертикальной компоненты ш за счет работы архимедовых сил; слагаемые же в левых частях уравнений, содержащие пульсацию р', описывают перенос энергии от данной компоненты к двум остальным (или наоборот). Отношение скоростей термического и динамического порождений энергии при близкой к безразличной стратификации (когда du/dz««*/xz), близка к z/|L| = |£|. Поэтому при z<c|L| термическое порождение энергии не играет роли, т. е. энергия притекает практически лишь к компоненте и' и затем перераспределяется между всеми тремя компонентами, компенсируя диссипацию их энергий. В другом: крайнем случае—при z>|£|—основную роль играет термический приток энергии к компоненте w' (ибо dujdz здесь очень, мало), и эта компонента затем передает энергию пульсациям и' и и'. Ясно поэтому, что должен существовать какой-то промежуточный интервал щ <—^ < «2 положительных значений — £ (где' <Zi и Ог — универсальные постоянные), в котором порождаемая архимедовыми силами энергия пульсаций w' тратится практически лишь на компенсацию диссипации ез, в то время как заимствуемая у среднего течения энергия пульсаций и' тратится на компенсацию диссипаций Si и ег. В динамико-конвективном подслое, отвечающем этому интервалу значений £, между вертикальными и горизонтальными пульсационными движениями фактически нет никакого обмена энергией, так что здесь к турбулентности в неустойчиво стратифицированном приземном слое можна приложить анизотропный анализ размерностей с масштабами длин Ls и Lz. Следовательно, в этом подслое должны быть справедливы формулы (8.40) и (8.36).
При —£ > аг уже нельзя пренебречь притоком энергии от вертикальной компоненты скорости к горизонтальным компонентам, так что здесь приходится вернуться к обычному анализу размерностей и использовать общие формулы (8.15) и (8.16). Однако еще выше (при —£ > Оз, где Оз > Ог) можно вообще пренебречь динамическим порождением энергии компоненты и' и считать, что обе горизонтальные компоненты пульсационной скорости также получают энергию лишь от компоненты w', поддерживаемой за счет работы архимедовых сил. В таком случае и* уже вообще не должно играть роли при —С > «з, и режим турбулентности здесь будет зависеть только от q!cPpo, giTo и z. Именно слой, где — £ > Пз, следует называть слоем свободной конвекции. В этом слое формулы (8.15) и (8.16) могут быть существенно упрощены, так как они не должны уже содержать параметра «*; поэтому здесь
Ct) 2/С|Х
и, значит,
<8-40')
02 Зх \ Сдро / 0 /7
” = _ < (8.36,)
U2 3 \ СрРо / \ 1 о /
Отметим, что формула (8.36') имеет тот же вид, что и формула (8.36) для дТ/дг, но коэффициент С' здесь не должен обязательно совпасть с Ci. Что касается формулы (8.40х), то она уже и по форме отличается от (8.40).
В 1971 г. Бетчов и Яглом высказали опасение, что в земной -атмосфере нижняя граница г = аз\Ь\ слоя свободной конвекции может располагаться выше верхней границы приземного слоя, в котором можно пренебречь влиянием вращения Земли; в таком случае определенный здесь слой свободной конвекции вообще не будет существовать. Это опасение было повторено Ягломом (1974); в несколько иной форме оно высказывалось также Уинга- .ардом, Котэ и Изуми (1971). Однако обработка данных более поздних тщательных измерений показала, что на самом деле слой свободной конвекции достаточно часто может быть обнаружен в земной атмосфере; об этом подробнее будет рассказано в следующей главе.
Перейдем теперь ко второму предельному случаю £-> +оо, отвечающему условиям очень устойчивой стратификации. Поскольку при устойчивой стратификации энергия притекает лишь к компоненте и', а пульсации и' и w' вынуждены заимствовать энергию у и', то здесь всегда имеет место энергообмен между компонентами скорости и поэтому анизотропный анализ размерности применен быть не может. Исследование асимптотического поведения -функций g(£), ф(£) и /(£) при больших положительных £ требует рассмотрения профиля u(z) при больших z в случае устойчивой стратификации (фиксированное L > 0) или же рассмотрение при фиксированном z случая весьма малых положительных L (т. е. очень резких инверсий температуры). При этом, однако, надо иметь в виду, что в предельном случае резкой инверсии при слабом ветре (малое и*^ турбулентность вырождается: становится невозможным существование крупных турбулентных возмущений (так как эти возмущения должны были бы затрачивать слишком много энергии на работу против архимедовых сил) и' турбулентность может существовать лишь в виде мелких вихрей. При еще большей устойчивости даже мелкомасштабная турбулентность, по-видимому, будет практически невозможной, и флуктуирующие движения среды в основном будут реализовываться в виде случайных внутренних гравитационных волн (при потере же ими устойчивости возникают турбулентные пятна, расплывающиеся затем в тонкие слои — формируется тонкослойная вертикальная микроструктура, наблюдаемая, например, почти всюду в океане, см. п. 8.6 ниже).
Во всяком случае при сильной устойчивости турбулентный обмен между различными слоями жидкости очень затруднен и поэтому турбулентность приобретает локальный характер: характеристики турбулентного обмена (такие, как коэффициент обмена
К, а значит, также и число Rf=K/(xu.L) при £>1 не должны явно зависеть от расстояния z от подстилающей поверхности. Последний вывод можно еще подкрепить следующим рассуждением: согласно известному заключению Ричардсона (см. п. 7.5), число Rf при стационарных условиях не может превосходить единицу (по-видимому, Rfcr даже заметно меньше единицы). Естественно предполагать, что изменение Rf при фиксированном z с увеличением степени устойчивости стратификации должно быть монотонным. Однако если Rf(€) монотонно возрастает с ростом £ и в то же время не может превзойти некоторого значения Rfcr, то, значит, при ^ -^- оо оно должно приближаться к некоторому предельному значению R (которое естественно отождествить с Rfcr).
Итак, в случае устойчивой стратификации должно существовать такое универсальное значение R, что
Rf « R = const, К ~ xu*LR при z » L. (8.42)
Отсюда следует, что
g (0 = 4 = const’ Ф ^ = 4 = С^’(8ЛЗ>
f (£) = const +-£-= const + СзС при?»!,
где Сз= 1/^ = 1 /Rfcr, и, значит,
“ (2) = “вЧ 12 + const = С3 х—- -^- 4- const. (8.44)
Таким образом, на больших высотах в случае устойчивой стратификации скорость ветра линейно возрастает с высотой, причем постоянный градиент этой скорости определяется единственным «внешним» параметром кТ^и^—qlcpt, меняющимся от случая к случаю. Этот результат был указан Обуховым (1946) (см. также Монин и Обухов (1954)).
Согласно формулам (8.32), (8.33), (8.39), (8.39') и (8.43), универсальные функции <р(£) и /(£)—/(±*/2) (слагаемое —f(±V2) здесь добавлено, чтобы устранить неопределенность в выборе «начала отсчета» функции /(£)) должны иметь вид, представленный на рис. 8.1 и 8.2. Если же считать, что формулы (8.39) и (8.39') справедливы лишь на ограниченном интервале отрицательных значений £, а при очень больших значениях —£ справедлива формула (8.40'), то и вид функций ф(^) и f(£) —/(±^2) окажется соответствующим рис. 8.1 и 8.2 лишь при положительных и не слишком больших по модулю отрицательных значениях £, а при дальнейшем возрастании —£ обе эти функции начнут возрастать (асимптотически пропорционально (—£)2/з). В следующей главе мы увидим, что это последнее заключение неплохо согласуется с данными многочисленных измерений, простирающихся вплоть до очень больших значений —V
Скажем теперь несколько слов об общем виде функций gi^> Л(£) и £г(£), /г(£), описывающих вертикальные профили температуры и концентрации пассивной примеси. Согласно п. 6.7,
Л(£)«-^1п|С| +const при |£|«1,(8.45)
где оо = а(0) — постоянная (которую в п. 6.7 мы обозначали просто а). В метеорологической литературе в течение ряда лет довольно часто использовалась оценка а0~1,35, полученная Бюсин-
Рис. 8.1. Схематический вид универсальной функции <р(£).Рис. 8.1. Схематический вид универсальной функции <р(£).Рис. 8.2. Схематический вид универсальной функции f(?)-f(±l/2).Рис. 8.2. Схематический вид универсальной функции f(?)-f(±l/2).
Рис. 8.1. Схематический вид универсальной функции <р(£).
Рис. 8.1. Схематический вид универсальной функции <р(£).
Рис. 8.2. Схематический вид универсальной функции f(?)-f(±l/2).
Рис. 8.2. Схематический вид универсальной функции f(?)-f(±l/2).
гером с соавторами (1971) на основе обработки большого массива результатов микрометеорологической экспедиции, проведенной в штате Канзас (США) в 1968 г. Однако эта оценка не подтвердилась последующими измерениями, и в настоящее время она почти всеми считается заметно завышенной. В п. 6.7 уже отмечалось, что обработка большого числа тщательных лабораторных экспериментов, проведенная Кадером и Ягломом (1972), привела к выводу о том, что ао« 1,17, Рг^ = а”1 «0,85; эта оценка хорошо согласуется с данными подавляющего большинства последующих лабораторных измерений, и, по-видимому, она заслуживает значительного доверия. Метеорологические измерения в приземном слое атмосферы обычно не очень точны и характеризуются значительным разбросом; большинство из них (результаты Бюсин- гера с соавторами (1971) здесь являются исключением) приводит к выводу о том, что ао~1, мало отличающемуся от более аккуратной оценки Кадера и Яглома.
Вплоть до конца 60-х годов большинство исследователей считало, что поведение функции /ч(£) при ^<0 неплохо описывается формулой (8.35), отвечающей условиям «свободной конвекции», начиная с относительно очень небольших значений —£ (порядка
четырех-пяти сотых). Поскольку в те годы считалось, что функция f(£) в этой же области значений £ хорошо аппроксимируется формулой (8.39'), то профили w(z) и 7(0) —Т^ на большей части полуоси £=2/7^0 обычно предполагались подобными друг другу; часто считалось даже, что без большой погрешности при неустойчивой стратификации их можно считать при всех г точно- подобными друг другу (см., например, Монин и Яглом (1965)). Однако в конце 60-х и начале 70-х годов появились новые экспериментальные данные, которые породили большие сомнения в справедливости такого утверждения. Согласно этим данным обе формулы (8.35) и (8.39') хорошо согласуются с измерениями лишь при относительно небольших значениях —£=2/|7|, а при больших значениях —£ (начиная примерно с —£~1) измеренные профили и скорости ветра, и температуры начинают отклоняться от результатов, следующих из теоретических формул (8.40) и (8.36). (Вкратце этот факт отмечался уже в вышедшем в 1971 г. английском переводе книги Монина и Яглома (1965); см. также* Бюсингер и др. (1971) и обзорную статью Яглома (1974а). Как уже отмечалось выше, одно # из возможных объяснений этого* факта было предложено Бетчовым и Ягломом (1971) (использовавшими идею Зилитинкевича (1971)). Согласно их объяснению- при неустойчивой стратификации формулы (8.36) и (8.40) относятся лишь к промежуточному динамико-конвективному интервалу высот, а при больших значениях —£ они должны быть заменены формулами (8.36') и (8.40'), где коэффициент С' может отличаться от Сь Сопоставление этих теоретических представлений с имеющимися в настоящее время данными измерений профилей скорости ветра и температуры при неустойчивой стратификации будет рассмотрено в главе 9. Заметим еще, что общая форма функции fi(£)—fi(—V2) при £<0, согласно и старым, и новым представлениям, качественно не должна отличаться от формы функции f(£)—fi(—V2), которая изображена на рис. 8.2.
Более сложен вопрос о поведении функции fi(£) при £ > 0. Поскольку
f, О = ( -^- ^ + const,(8.46)
вопрос о форме функции fi(£) связан с зависимостью величины а(?) от параметра устойчивости t,=z!L (или от чисел Rf и Ri). Если для простоты принять (как это часто делается в прикладной метеорологической литературе), что Кт!К=а=const, то функция fi (С) совпадает с функцией f(t) с точностью до постоянного множителя; если а=1 (как это также часто предполагается), то вообще fi(£)sf(C) (с точностью до аддитивных постоянных). При малых положительных С функция fi(£) задается логарифмической формулой (8.45); при немного больших £ можно использовать «логарифмическую + линейную» формулу 394
Ш = соп81 + -^-(1п£ + р£)«о
(с коэффициентом pi, который, вообще говоря, может отличаться от соответствующего коэффициента в формуле (8.33)). Если предположить, что а(£) сравнительно мало меняется на достаточно большом интервале положительных значений £, охватывающем часть области, в которой имеет место линейный профиль скорости (8.44), то при достаточно больших значениях t из этого интервала профиль температуры будет неплохо описываться линейной формулой вида
МО = const+ -^-, r^^^l^y^ + const, (8.48) где a — постоянная порядка единицы.
Однако наблюдения за турбулентностью в море при сильно устойчивой стратификации и измерения в лаборатории показывают, что при очень сильной устойчивости a (С) принимает очень малые значения (см. ниже п. 9.2 и, в частности рис. 9.21). Иначе говоря, при очень большой устойчивости коэффициент обмена для теплоты Кт оказывается значительно меньшим, чем коэффициент обмена для импульса К. Стюарт (1959) привел физические соображения, объясняющие причину этого. Среду с предельно устойчивой стратификацией можно представить себе в виде слоя тяжелой жидкости (скажем, воды), над которым помещается гораздо более легкая среда (например, воздух). При этом турбулентное движение в нижней жидкости будет приводить к возмущениям свободной границы и появлению отдельных «брызг», проникающих в верхнюю среду, а затем снова падающих под действием архимедовых сил. Проникновение «воды» в «воздух» будет создавать в «воздухе» пульсации давления, осуществляющие обмен импульсом между двумя средами; в то же время турбулентный обмен теплом здесь будет отсутствовать. Поэтому можно думать, что при очень сильной устойчивости коэффициент обмена К будет иметь конечное значение, а Кт будет близко к нулю. Отсюда следует, что при очень больших положительных t,=z[L профиль температуры T(z) будет значительно более крутым, чем профиль скорости u(z) (из того, что Кт^-0 при £->-оо, вытекает, что крутизна профиля температуры неограниченно возрастает с ростом z/L). Следовательно, вид функций Л(£)—М1/?) и <pi(C) =£/'(С) при очень больших положительных £ будет отличаться от вида функций /(£) —f (V2) и <р(С) (рис. 8.3 и 8.4). Число Ri = Rf/a при сильной устойчивости, по-видимому, может принимать очень большие значения (так как если а->0 при Rf^-Ricr, то Ri->-oo); поэтому никакого предельного («критического») значения Ri не существует (в отличие от числа Rf).
Перейдем теперь к функциям /г(£) и §йк^=Ггк^- Эмпирические данные о значениях К» и ^(5) еще беднее, чем данные
о значениях Кт и fi(£), так что на их основе нельзя сделать никаких существенных выводов. Поэтому остается апеллировать, лишь к физической интуиции. В статье Пристли и Суинбенка (1947) было высказано предположение о том, что в силу особой роли пульсаций температуры в конвективных движениях под действием архимедовых сил (проявляющейся, например, в том, что тенденцию двигаться вверх имеют в первую очередь частицы, более теплые, чем окружающая среда) коэффициент обмена для
Рис. 8.3. Схематический вид универсальной фуНКЦИИ ф|(£).Рис. 8.3. Схематический вид универсальной фуНКЦИИ ф|(£).универсальной функции MP~fi(±l/2).универсальной функции MP~fi(±l/2).
Рис. 8.3. Схематический вид универсальной фуНКЦИИ ф|(£).
Рис. 8.3. Схематический вид универсальной фуНКЦИИ ф|(£).
универсальной функции MP~fi(±l/2).
универсальной функции MP~fi(±l/2).
тепла Кт может иметь иное значение, в то время как коэффициенты обмена для импульса К и для примесей К» будут совпадать.. Однако рассуждения этих авторов не очень ясны, и их точка зрения разделяются далеко не всеми (см., например, Робинсон. (1951)). Большинство же специалистов (см., например, Эллисон: (1957), Чарнок (1958а)) придерживается в настоящее время другого мнения, которое заключается в том, что в силу подобия физического механизма обмена теплом и пассивной примесью, осуществляемого посредством прямого перемешивания воздушных масс, коэффициенты Кт и К» будут равны друг другу, в то время как коэффициент обмена К, на который влияют и пульсации давления, может быть отличен от них.
Дальнейшие соображенияо виде универсальных функций;интерполяционные и полуэмпирические формулы
Для универсальных функций f(£), <р(?) =Cf (?) и /ч(£), <pi(?) =?fi(?) иногда удобно иметь явные формулы при всех t, = z[L. Проще всего явные формулы могут быть получены с по- 396
мощью интерполяции, использующей какие-то вызывающие доверие асимптотические закономерности (и учитывающей имеющиеся эмпирические данные о поведении функций в промежуточных областях значений у. Можно также использовать какой-либо из вариантов полуэмпирической теории турбулентности, обобщив его на случай стратифицированной среды, или же попытаться подобрать выражения для статистических характеристик турбулентности на основе эмпирических данных без всяких ссылок на теорию.
Трем указанным подходам к описанию характеристик турбулентности в стратифицированной среде посвящена обширная литература, насчитывающая сотни работ. Мы вкратце остановимся лишь на некоторых относящихся сюда результатах.
Начнем с рассмотрения поведения функций f(C) и fi(C) в области отрицательных У При малых отрицательных значениях £ обе эти функции должны аппроксимироваться логарифмической функцией. При несколько больших по абсолютной величине значениях £ можно использовать «логарифмическую + линейную» формулу (8.33) или (8.47). Что же касается очень больших по абсолютной величине отрицательных У то длительное время считалось, что при таких t, обе функции /(£) и fi(C) приближаются к постоянным значениям, причем их отклонения от этих значений затухают, как Л |С|_1/’, где Л = const (см. формулы 8.35) и (8.39')). В последнее время появились некоторые основания считать, что это последнее утверждение справедливо лишь в применении к функции fi(y (причем на определенном конечном интервале значений —£ постоянная Л принимает одно значение, а при очень больших значениях —£— уже другое); в случае же функции /(С) это утверждение справедливо лишь на ограниченном интервале значений —С, а при дальнейшем увеличении —£ значения ЦЬ,) начинают возрастать (асимптотически пропорционально |^|2/з)- Иллюстрируя историю развития исследований пограничного слоя атмосферы, мы рассмотрим в настоящем параграфе ряд предлагавшихся формул для f(£) и /ч(£) (или ф(У и ф1(£)), опирающихся на первоначальные представления об асимптотике этих функций; единственные известные нам экстраполяционные формулы для ф(£) и ф1(^), использующие более новый подход к определению общего поведения этих функций при ? <0 и результаты обработки данных большого числа сравнительно недавних микро- метеорологических измерений будут приведены ниже — в п. 9.1 и 9.2.
Казанский и Монин (1958), опираясь на логарифмическую формулу для профиля скорости при нейтральной стратификации и асимптотическую формулу (8.39'), предложили для f(£) при С < 0 интерполяционную формулу
, In (У при У < £ < О,
7(У = { I , г и ч\ (8.49) in|ci| + при
Аналогично этому для fi(?) можно предложить формулу
(8.50)(8.50)■~1п|С|ПРИ Сг<£<°>
(8.50)
(8.50)
-^-ИЧ&Ц-^СГ7'-^7’) при С<^,
где Сг/ос-» = С1Х*/з. Значения безразмерных коэффициентов в этих формулах должны быть определены на основании эмпирических данных. В применении к функциям <p(£)=Cf'(£) и фг(^) = = oc<^f't(C) =ософ1(^) формулы (8.49) — (8.50) приводят к соотношениям
Ф (У = <Ф (У = <13 ^13 ^при ^ < $ < 0,при ^ < $ < 0,при £ < Ciпри £ < Ci(8.51)(8.51)
Ф (У = <
Ф (У = <
1
3 ^
1
3 ^
при ^ < $ < 0,
при ^ < $ < 0,
при £ < Ci
при £ < Ci
(8.51)
(8.51)
и соответственно
Фг (О = ‘Фг (О = ‘(8.52)(8.52)1при & С С < О,
Фг (О = ‘
Фг (О = ‘
(8.52)
(8.52)
^2 Ч» „
3~Спри С<&.
где С'2=Сг^С^оц). Эти функции оказываются разрывными, так как функции (8.49) и (8.50) непрерывны, но не дифференцируемы в точках Ci и соответственно Сг-
Несмотря на наличие разрыва производной, функции (8.49) и (8.50) часто вполне достаточны для описания профилей ветра и температуры в приземном слое при неустойчивой стратификации. В тех же случаях, когда желательно иметь функцию /(£) с непрерывной производной, можно, например, следуя Пристли (1960а), отказаться от определения значений Ci и Сг из эмпирических данных, а положить Ci=—(С2/З)3 и £2=— (С'/З)3. Того же можно добиться, если, следуя Казанскому и Монину (1958) (см. также Зилитинкевич и Чаликов (1968а)), сохранить линейный член в формулах для f(C) и fi(C) при малых С, т. е. считать, что, например, f (С) =ln|C| + К, ф(С) = 1+РС при 0 > С > Ci и ^(С)=1п|:1|+р^+с2(С-^-^з)) ф(^)=__^_^/з „ри С<С1-
При этом р можно выбрать так, чтобы функция 1+Р£ хорошо
аппроксимировала эмпирические значения <р(С) при малых £, a ^
затем определить из условия 1+P£iзатем определить из условия 1+P£iС2
затем определить из условия 1+P£i
затем определить из условия 1+P£i
-у- £у/з, обеспечиваю
щего непрерывность ф(£) в точке £ = £i. С другой стороны, следуя Пристли (1960а), можно подобрать постоянные р и ^ так, чтобы функция
ф К) = *
1 + к
'/з
з ^
при Ci<C<0, при с < е,
(8.53)
имела в
J ё
точке £i непрерывную производную (тогда f(£) = dg при всех £ будет иметь уже две непрерывные про
изводные). Вообще, полагая
Ф (0 = ‘
1 ч-Р^+.-.+Р^Лпри :,<с<о.^Ч"'Ь при ^<:ь
(8.54)
можно так подобрать значения pt, ..., pn, Сь чтобы функция (8.54) имела п непрерывных производных (и, следовательно, функция f(£) имела п+1 непрерывную производную). Нетрудно показать, что в таком случае, если n^-оо, то ^->оо, но значения коэффициентов Рл все стремятся к конечным значениям:
аЗА НШ В* =55- ,
Л->==(3£ + 1) А I С^
о 1-Уп\^П\о-
где a — 3Jnn 4.7 (3га + 1) ^ 2)7
(8.55)
(см. Пристли (1960а)). Предельным значениям (8.55) коэффициентов Рд отвечает бесконечно дифференцируемая (даже аналитическая) предельная интерполяционная функция
с oVUJC1 „
Ф(9 = -^( e^dt.(8.56)
Аналогичные интерполяционные формулы могут быть выписаны и для функции фт(С), с той только разницей, что коэффициент С2 надо заменить на С'=—^—Сг = С1И*као. Таким образом, 2 а-»
придавая п значения 0, 1, 2, ... и оо, мы получаем бесконечное число интерполяционных формул вида (8.54) для функций <р(£) и Фт(£). При этом оказывается, что все эти интерполяционные формулы (включая и предельную формулу (8.56)) мало различаются и практически одинаково хорошо описывают имеющиеся эмпирические данные. Для иллюстрации степени близости различных интерполяционных формул друг к другу мы приводим заимствованный из работы Пристли (1960а) рис. 8.5, на котором изображен безразмерный поток тепла
*q х2а^2
ч~ сб6 (jlNu I ^L Г Z2 “ [фт (?) Г2 ^,/2
Cp^Vl7) I I 2
(обращающийся в постоянную величину, если справедлива формула (8.35)), который получается при использовании для фг(С) интерполяционной формулы вида (8.54) с п = 0, 2 и 5. При расчетах для рис. 8.5 принималось ао=1 (и вообще а(^) = 1), % = 0,4 и С'2=С2=0,95 (последнее значение соответствует некоторым эмпирическим данным о профилях температуры в атмосфере); по
Рис. 8.5. Зависимость безразмерного потока тепла q от числа Ричардсона Ri.
/ — функция Ф„(£) вида (8.52) с £2 - — (С '/З)3; 2 и 3 — кривые, соот- 2
ветствующие интерполяционным формулам вида (8.54) для фт(£) с п = 2 и с /1 = 5 соответственно.
оси абсцисс здесь отложена величина Ri = Rf=——- (при вы- Фг(£)
боре вместо нее аргумента ^=z/L расхождение между тремя кривыми было бы еще меньшим). Вообще при Са=0,95 расхождение между значениями ф(^), отвечающими «нулевой» интерполяционной формуле (8.51) (с £( =—С®/27) и «предельной» формуле (8.56), нигде не превосходит 15 %, причем близкое к 15 % расхождение наблюдается лишь на коротком интервале значений £, и оно в основном связано с наличием у кривой (8.51) «угловой точки» C = Ci. Первое же сглаживание с помощью формулы (8.53) сразу приводит к значениям <р(£), нигде не отличающимся от значений, полученных по формуле (8.56), больше чем на 5%. Отсюда ясно, что в приложениях к наблюдениям в атмосфере использование более сложных, чем (8.53), интерполяционных формул вида (8.54) не имеет большого гмысла. С этой точки зрения вряд ли оправданным является также и предложение Уэбба (1960) использовать интерполяционную функцию вида
( 1+К при £,<£<0.
»m-(^t-v. + crv, „р„ t<Cu (8.57,
где коэффициент Сг определяется из эмпирических данных, а 0, С и £i подбираются из условия, чтобы функция (8.57) имела две непрерывные производные в точке £=£i (или же £t находится по данным наблюдений, а 0, Сг и С подбираются из указанного условия).
Случай положительных £ до сих пор экспериментально изучен хуже, чем случай неустойчивой стратификации. Поэтому представляется разумным при 0 < £ < оо использовать для функций f(£) и ф (£)=£/'(£) простейшие интерполяционные формулы вида
f (£) = In £ + 0£; Ф (£) = 1 + ₽1£, (8.43')
которые дают правильные результаты и около нуля, и при больших положительных £.
Интерполяционную формулу другого типа можно получить, если, следуя Эллисону (1957), принять за основу, что при £ = =zlL-*0 (т. е. в условиях безразличной стратификации) Rf-*O и K«xu*z, а при |£| ^>1 (т. е. в условиях свободной конвекции) —Rf~|£|,/3 и K = xu*L • Rf^xu*z|£|'/s (см. формулы (8.38) и (8.41)), т. е. К1ииЛ« (—oRf)7*, где а — некоторая постоянная (равная, как легко видеть, (З/Сг)3). Исходя отсюда можно ожидать, что на всем интервале изменения Rf— от нуля до —оо (т. е. на полуоси 0 ^ £ > —оо) — зависимость К от Rf будет неплохо описываться формулой вида
/С = хи.2(1-oRf)v*, (8.58)
дающей правильные результаты в предельных случаях и малых, и больших отрицательных значений Rf. Формула (8.58) при о = = 1/Rfcr дает асимптотически правильные результаты и в предельном случае очень устойчивой стратификации. В самом деле, из формулы (8.58) видно, что при возрастании числа Rf оно нс может превзойти 1/о, и что KJz->0 при Rf->l/o (т. с. при £ = =z/L->- +оо) в полном соответствии с формулами (8.42). Правда, трудно рассчитывать, что значение а= 1/Rfcr точно совпадает со значением о = 27С“3, которое приводит к правильному асимптотическому поведению функции /((Rf) при больших отрицательных значениях Rf; однако до сих пор Rfcr известно очень неточно, и поэтому пока нет оснований для использования в формуле (8.58) разных значений о при Rf < 0 и при Rf > 0.
Формула (8.58) может быть получена также из простейшего обобщения полуэмпиричсской теории турбулентности на случай стратифицированной среды. В самом деле, как мы уже видели в п. 6.5, уравнение турбулентной энергии в стратифицированной
среде в рамках полуэмпирической теории может быть преобразовано к виду
К= «./1(1 _ о Rf)'/4,К= «./1(1 _ о Rf)'/4,(8.59)(8.59)
К= «./1(1 _ о Rf)'/4,
К= «./1(1 _ о Rf)'/4,
(8.59)
(8.59)
где /± = x^X(Rf)—«масштаб турбулентности». Если предположить, что Z(Rf) = l, т. с. что масштаб турбулентности при любой стратификации задастся равенством /i = xz, верным в случае нейтральной стратификации, то отсюда следует соотношение (8.58). Именно таким образом это соотношение и было впервые выведено Обуховым (1946). Различные методы вывода соотношения (8.58) детально обсуждались рядом авторов (см., например, Ямамото (1959), Пановский (1961а), Пристли (1961), Селлерс (1962)„ Сионо и Хамуро (1962), Клюг (1963) и Рейкорт (1968)).
Поскольку /( = хи*2/ф(£), a Rf = £/q>(£), соотношение (8.58) может быть переписано в виде следующего простого алгебраического уравнения относительно функции ф(?):
(8.60)(8.60)ф4 — о^ф3 —1=0.
(8.60)
(8.60)
2^ = 0^=-—, где L. = L/a;2^ = 0^=-—, где L. = L/a;Это уравнение содержит единственную неизвестную постоянную о, которую можно исключить, введя вместо l^=zlL в качестве
2
^ = 0^=-—, где L. = L/a;
2
^ = 0^=-—, где L. = L/a;
независимой переменной величину
тогда оно примет вид
(8.61)(8.61)ф4 —- т]ф3 — 1=0.
(8.61)
(8.61)
Уравнение (8.61) было численно решено Ямамото (1959), а затем также и Клюгом (1963). Позже Сионо и Хамуро (1962), а также Окамото (1963} выписали решение уравнения четвертой степени (8.61) в радикалах и исходя из него подробно исследовали форму функции ф(л) и отвечающих ей профилей скорости ветра.
Заметим также, что при ^^0 аргументы в пользу формулы (8.58) можно- использовать и для обоснования формулы
К = xu*z (1 -a' Ri)'/-,(8.58')
где о'=а-ооО. Если заменить L на L' = a(£)L и £ на ^^zIU, то формула (8.58') сможет быть приведена к виду (8.60), но с заменой £, о на £', ^^ Такое уравнение для ф(£') использовалось Пановским, Блэкадером и Маквей- лом (1960), а также многими другими авторами (см. п. 10.1).
То, что уравнение (8.61) не может быть точным, следует, в частности,, из соответствия этого уравнения физически мало естественному предположению о независимости масштаба турбулентности /1 на высоте г от температурной стратификации. Если же предположить, что
/,=xzX(2/L),(8.62}
то для ф получится уравнение
ф4 — а£ф3ГГ=0>(8.63)
содержащее еще одну неизвестную универсальную функцию Х(£) (ср. Иокояма (19626)). Монин (1967) вывел такое уравнение с коэффициентом о=(1 + + q^lq)~' + bqci кр/<7 для влажной атмосферы с описанием лучистого переноса тепла в диффузионном приближении (здесь b «0,07).
В случае устойчивой стратификации турбулентный обмен затруднен и ^большие турбулентные образования не могут существовать; поэтому естественно ожидать, что при положительных £ масштаб 1\ будет убывать с ростом £ (или Rf). В этой связи Казанский и Монин (1956) предположили, что 1\ = =xzX(Rf), где Х(0) = 1, а при возрастании Rf от нуля до значения Rfcr=l/a функция X(Rf) монотонно убывает от единицы до нуля. В качестве конкретного примера они рассмотрели случай, когда X (Rf) = (1 — qRf)7~^4, где v > 1/4— некоторое число. При таком выборе X(Rf) уравнение (8.59) обращается в соотношение
(8.64)(8.64)К = ^иг (1 — о Rf)7
(8.64)
(8.64)
(такое соотношение с у=1/2 ранее использовалось Холцменом (1943) в качестве эмпирической формулы для К). Выразив здесь опять К и Rf через функцию ср(£), найдем, что (8.64) эквивалентно уравнению
Ф (С) L ф(С) J ■Ф (С) L ф(С) J ■(8.65)(8.65)
Ф (С) L ф(С) J ■
Ф (С) L ф(С) J ■
(8.65)
(8.65)
Полагая o£=q и вводя в качестве параметра величину ф(л), нетрудно получить из (8.65) следующее параметрическое представление функции / (т)) =
f==(p + _L г В , ч==<р—tp*-I/v.(8.66)
Y J1
Поскольку в инверсионных условиях т} = о^ ^ 0, второе из соотношений (8.66) показывает, что в этих условиях ф ^ 1, причем ф(0) = 1 и ф(^) -> оо при т]->оо. При малых q можно положить ф(^) = 1+6, где 6^1; подставив эту
Рис. 8.6. Зависимость безразмерного коэффициента обмена KlniuL от безразмерной g, согласно теории Казанского и Монина (/) и согласно эмпирической формуле Дородницына и др. (2).
формулу во второе равенство (8.66), получим 6=yq, т- е- Ф~ 1 +УЛ = 1 + 0Y?- Отсюда видно, что произведение ау=Р должно совпадать с коэффициентом р в формуле (8.32). Далее, при больших q в силу того же второго равенства (8.66) будет выполняться асимптотическое соотношение ф~т) = о£ показывающее, что о == 1//?= 1/Rfст (ср- (8.43)). Казанский и Монин рассчитали значения /(q) для частного случая у=0,6 (в этом случае интеграл в первом равенстве (8.66) выражается через элементарные функции); полученный график зависимости безразмерного коэффициента обмена К/ииХ от безразмерной высоты -ц = ог/Ь приведен на рис. 8.6 вместе с графиком экспоненциальной функции К(ии»Ь=\—е-^х использовавшейся в ряде метеорологических работ (Дородницын (1941), Матвеев (1960) и др.). Случай у=6 был рассмотрен Борковским (1964), а общее уравнение (8.6о) было детально исследовано при различных у Рейкортом (1968).
Аппроксимация (8.64) целесообразна только при положительных значениях £ (и Rf). Действительно, если попытаться применить ее одновременно и при отрицательных £, то асимптотические закономерности теории свободной конвек-
ции (8.35)—(8.41) будут получаться при ^->—оо и Rf->—оо, лишь если у =74. Таким образом, при £ < 0 надо пользоваться либо уравнением (8.60) (т. е. заранее принять у=74), либо же применять интерполяционные формулы вида (8.51) — (8.54). Исходя из этих формул можно уточнить зависимость масштаба турбулентности 1Х от стратификации при неустойчивых условиях (уравнение (8.60), как мы знаем, приводит к неправдоподобно простой формуле: /i=xz). В самом деле, если принять Zi = xzX(z/L), то в силу (8.63)
МО»МО»_ og *1-74ф(О J_ og *1-74ф(О J(8.67>(8.67>
МО»
МО»
_ og *1-74ф(О J
_ og *1-74ф(О J
(8.67>
(8.67>
Поэтому, зная функцию ф(£) (и постоянную а), можно найти поправочный множитель %(£). В частности, в условиях свободной конвекции в соответствии с формулами (8.67) и (8.39)
С2За^’С2За^’1 /< —Х(оо) =1 /< —Х(оо) =/ 27 хУ*/ 27 хУ*при —ООпри —ОО
С2
За^’
С2
За^’
1 /< —Х(оо) =
1 /< —Х(оо) =
/ 27 хУ*
/ 27 хУ*
при —ОО
при —ОО
(8.68).
(то, что здесь X(oo)=const, т. е. /1 пропорционально z, естественно вытекает из отсутствия в условиях свободной конвекции какого-либо фиксированного масштаба, отличного от z). Поскольку следует думать, что с ростом неустойчивости масштаб турбулентности должен возрастать, то тогда Х(оо) > 1, т. е. С2 < з/^а . При малых значениях £, используя формулу (8.32), получаем:
Л(?)«1-(р--2-)е. /!«хг[1-(рт)"г}(8168,>
Таким образом, если р > о/4, то при изменении £ от нуля до —оо функция Х^=1х1иг сначала будет линейно возрастать, затем рост ее замедляется, и. при £->—оо она будет стремиться к постоянной (в соответствии с формулой (8.68)).
Можно также начать с того, что выбрать каким-либо образом функцию %(£); тогда из уравнения четвертой степени (&63) легко определить и функцию <р(£), т. е. найти распределение ветра с высотой, отвечающее заданному масштабу турбулентности Zi=xzX(z/L). В частности, Такеучи и Иокояма (1963) исходя из некоторых довольно грубых эмпирических данных, позволяющих оценить один из возможных «масштабов» турбулентности, приняли
где ст — тот же числовой коэффициент, что и в формуле (8.63). Исходя отсюда; они рассчитали функцию ф(£), которая, как оказалось, не удовлетворяет «закону 7з» (8.39) при —оо (так как выбранная функция Х(£) не стремится к постоянной при £->—оо).
Все полуэмпирические теории содержат произвольные допущения, требующие дополнительной проверки; получающиеся из них выражения для ф(£) иногда даже не удовлетворяют общим асимптотическим соотношениям, выделенным в предыдущем параграфе. Так, например, в первой полуэмпирической теории турбулентности в стратифицированной среде, предложенной Росби и Монтгомери (1935), предполагалось, что К=и*1х, и использовалась специальная гипотеза для определения зависимости масштаба /1 от высоты и стратификации;, в результате указанные авторы пришли к выводу, что
~ (l+aRi)'7’ ’ где о=const, т. е. что
Ф3— ф — q£ = o,(8.70)
если а(£) = 1 (ср. вывод уравнения (8.60) из соотношения (8.58)). При |£|<1 равенства (8.69) и (8.70) приводят к разумной «логарифмической + линейной»
формуле для профиля ветра (с 3 = <у/2); однако асимптотическое поведение ф(^) и при £->—оо, и при ^->4-оо здесь оказывается неправильным (в частности, из равенства (8.69) видно, что в этой теории нет критического числа Ричардсона).
В полуэмпирической теории Огуры (1952а) в основу были положены
и
уравнение турбулентной энергии и гипотезы К =—2— и а=1. При этом для XZ
градиента скорости ветра была получена формула, в наших обозначениях имеющая вид
ф(^)=(1 + ^-£2)'/2 + -5-^(8.71).
где о — эмпирическая постоянная. При |g| с 1 она эквивалентна «логарифмической 4-линейной» формуле для профиля ветра с р=о/2. Однако при £->—оо здесь также не получается соотношения (8.39), отвечающего «закону 7з» для профиля скорости ветра (и температуры) в условиях свободной конвекции (в другом предельном случае £->+оо асимптотическое соотношение (8.43)> теперь выполняется, если принять о= 1//?= 1/Rfcr). Гипотеза Огуры о коэффициенте обмена К использовалась Бюсингером (1955) в соединении с гипотезой Росби и Монтгомери о масштабе h. При этом был получен результат, который может быть преобразован к виду
Ф (О =гГП(8• 72)
1/2(1+ (1-4?)'Ч-С
(как отмечалось в сноске в начале п. 8.2, Бюсингер пользовался более сложной xz du, х
записью, так как считал, чтоз— может зависеть от z^z). Согласно'
И* CLZ
формуле (8.72), ф(£) « 1 + 2£ при |£|) < 1, но асимптотическое поведение ф(£) при больших значениях |£| снова оказывается неверным при любом знаке £ (при сильной устойчивости ф(£) оказывается даже комплексным).
С помощью специальной довольно искусственной гипотезы Суинбенк (1960г 1964) получил простую формулу
ф(£) = V(8.73>
как и (8.72), не содержащую эмпирических констант. Эта формула имеет правильную асимптотику (вида (8.32) и соответственно (8.43)) при малых и больших положительных значениях £ (с коэффициентами £ = 0,5, Сз—1), но при £->—оо и она явно приводит к Неверному результату. Заметим еще, что соотношение (8.73) приводит к простой экспоненциальной зависимости коэффициента обмена от высоты (изображенной пунктиром на рис. 8.6), правдоподобной в условиях устойчивой стратификации. Еще один вариант был предложен Као (1959), основной результат которого может быть записан в виде
v^—^-d+d+^R при ^>—Ь"'(8-74)’
где a — эмпирическая постоянная. Формула (8.74), как и все предыдущие, приводит к «логарифмическому 4- линейному» профилю в близких к равновесным условиям, но при ^->4-оо она имеет неправильную асимптотику. Более сложное соотношение
(8.75>
было получено Бюсингером (1959). Оно обладает тем преимуществом, что соответствующая функция <р(£) имеет правильное асимптотическое поведение и при
^_^+оо (с Rfcr=l/<r, т. е. Сз=а), и при £->—оо. Теми же достоинствами
обладает иобладает инайденная Зилитинкевичем и Лайхт-найденная Зилитинкевичем и Лайхт-функция f (2) = j ■ V ^- d^,
обладает и
обладает и
найденная Зилитинкевичем и Лайхт-
найденная Зилитинкевичем и Лайхт-
маном (1965) (без учета диффузии энергии) из полуэмпирического уравнения энергии турбулентности, дополненного следующим обобщением гипотезы Кармана (6.147) о «пути перемешивания» I:
( du V _ g dT
(8.62')(8.62')\ dz ) а То dz
(8.62')
(8.62')
du d2u g d2T
(где Xi и a — эмпирические константы, а=Кт!КУ
Более общая полуэм лирическая теория, учитывающая эффект диффузии энергии, была численно развита Вагером (1966); она также приводит к определенному виду функций ф(£) и f(^). В то же время Ямамото и Шимануки (1966) при помощи полуэмпирических аргументов предложили заменить уравнение (8.61) парой уравнений
Ф4 — | n I ф3— 2ф2+1=0 при неустойчивости (т]<0),
(8.61') ф4 — | Л 11 ”2рф3 — 2ф2 + 1 = 0 при устойчивости (л > 0),
где р— малая числовая постоянная; они рассчитали соответствующие универсальные функции при р=Чб. Решение первого из этих уравнений весьма близко к решению уравнения (8.61) при т) < 0 (и имеет такое же асимптотическое поведение при л*^0 и л-*-—°°)> но решение второго уравнения ведет себя при малых л, как 1 + V2 | Л 1^2~р» а ПРИ больших л, как 1л11-2р» т- е- имеет обычное поведение лишь при р=0.
Другой подход к определению универсальных функций для профилей скорости ветра и температуры в нижнем слое атмосферы при неустойчивой стратификации был развит Пандольфо (1966). Он предположил, что скорость ветра описывается «логарифмическим 4- линейным» законом в интервале 0 > ^ > ti, а температура—«законом 7з> (8.35)— (8.36) при всех £ < ^. При этом для полного определения функций ф(£) и Ф1 (?) на всей полуоси £<0 необходимо знать только функцию Кт!К=а^. Она была определена Пандольфо с помощью сомнительной гипотезы о том, что £=Ri при всех £ <0. Отсюда следует, что a(£) = (1 + Pg)-1 при 0>£>gi и а(£) ~ |£|‘/б при £<£ь После этого нетрудно выписать окончательные формулы для функций ф(£) и Ф1 (?) при всех £ < 0. Поскольку, согласно теории Пандольфо, а->оо(£->—оо), ясно, что соответствующий профиль ветра не удовлетворяет «закону !/3».
Примеры применения полуэмпирических гипотез для явного определения функций ф(£) и f(£) можно было бы еще продолжить (см., например, Эллиот (1957, 1960), Кравченко (1963), Наито (1964), Зилитинкевич и Чаликов (1968а) и особенно работу Рейкорта (1968), рассмотревшего целый ряд гипотетических уравнений для ф(£) и /(£)). Более поздние обзоры предлагавшихся уравнений для ф(£) и ф1(£) можно найти у Дайера (1974), Яглома (1974а, 1977), Цванга, Зубковского и др. (1985).
Особенно следует отметить простые формулы для функций ф(£) и фД^), •отвечающих неустойчивой стратификации (т. е. £<0), предложенные на основе обработки эмпирических данных Бюсингером (1966) и Дайером (см., например, Дайер и Хикс (1970)) и имеющие вид
Ф(Ц=(1-ТтС;)-,Л, «р, (Ц-а^О-У^Г''2- (8.72')
Эти формулы не имеют теоретического оправдания; им отвечает никогда не предсказывавшееся асимптотическое поведение при £-*■—оо функции а(£), стре- ■мящейся при —оо к бесконечности (как |^|V4), и профиль скорости ветра и^, приближавшийся при 2->оо к постоянной скорости (но медленнее, чем
следовало бы из формулы (8.40)). Однако формулы (8.72') заслуживают внимания, так как, согласно опубликованным данным, они описывают с приличной, точностью (правда, при использовании нескольких разных значений ут, ул и ао) результаты целого ряда измерений безразмерных градиентов скорости ветра, и температуры (а также и некоторых измерений профилей влажности) при неустойчивой стратификации в различных географических пунктах и с помощью разных приборов (см., например, обзорную статью Яглома (1974а), и более поздние работы Фрэнси и Гаррата (1981), Дайера и Брэдли (1982) и Хег- стрема (1988)). В связи с последним обстоятельством формулы (8.72') привлекают в последнее время много внимания; в частности, они рекомендуются для использования в целом ряде монографий и сборников статей прикладного характера (см., например, Хоген (1973), Ханна и др. (1982), Пановский и Даттон (1984), Ньистадт и Ван Доп (1985) и Сталл (1988)). Популярность формул (8.72') подчеркивается также специальными публикациями, исследующими форму отвечающих им функций f(£) и f^) (Полсон (1970), Бюн (1990); см. также Пановский и Даттон (1984)). Отметим, однако, что все эмпирические данные, аппроксимировавшиеся формулами (8.72'), относились лишь к условиям умеренной неустойчивости (£ > —3, причем чаще всего рассматривался даже еще более узкий интервал значений £). Поэтому можно думать, что, по-види- мому, эти формулы правильно улавливают начинающиеся при £«— 1 отклонения безразмерных профилей ф(£) и q>i(P от функций (8.35) и (8.39), в то время как с данными, соответствующими еще большим значениям t при которых должны выполняться асимптотические формулы (8.36') и (8.40'), они никогда не сопоставлялись.
Кроме полуэмпирических формул для профиля ветра, согласующихся с соображениями размерности (т. е. сводящихся к некоторым предположениям относительно функций ф(£) или /(£)), в метеорологической литературе можно найти также большое число работ, в которых предлагались полуэмпирические или чисто эмпирические формулы для профилей метеорологических элементов, не опирающиеся на соображения размерности (и содержащие чаще всего вместо эмпирических постоянных некоторые эмпирические функции от числа Ричардсона илц других характеристик стратификации). Так, например, в течение ряда лет в научной литературе широко дискутировался вопрос о возможности использования «логарифмического закона» (с параметрами, вообще говоря, зависящими от устойчивости) для описания профиля ветра в приземном слое воздуха при различных стратификациях. В 30-х и 40-х годах этого столетия ряд авторов отстаивал возможность применения этого закона при любых условиях. Так, например, Будыко (1948) разработал схему, в которой профиль ветра описывается формулой
й(2)=-^1п-^-,(8.76>
v ' xm z0 ’'
где т— параметр, специальным образом зависящий от температурной стратификации, а также и от «высоты приземного слоя воздуха»; ясно, что такая формула не согласуется с размерностным анализом п. 8.2. Позже Бьоргум (1953)' рассмотрел также более общую формулу вида
и (z) =—~ In—- ,Х 7 XZq ’
где параметры х, z0 и hQ зависят от стратификации. Очевидным недостатком всех этих формул является то, что они не учитывают реально существующих систематических отклонений профиля ветра при нейтральной стратификации от логарифмического закона; кроме того, и^ здесь зависит от стратификации: даже в самом нижнем слое, где стратификация не должна играть роли.
Другие авторы в те же годы предлагали аппроксимировать профиль ветра в приземном слое воздуха степенными функциями от г и использовать либо- простейшую формулу вида й (z) ~z8, либо немного более сложную формулу
Z8 — Zn
«(2) = «(z1) —(8.77)
'(так что дй!@г = Агг !)> где е — зависящий от стратификации параметр того же знака, что и поток тепла q (см. Лайхтман (1944, 1947а), Дикон (1949), Такеда (1951)). Формула (8.77) уже позволяет уловить характер отклонений профиля ветра от логарифмического закона (а при е->0 она естественно переходит в обычный логарифмический профиль). Однако эта формула также противоречит изложенной в п. 8.2 теории подобия.
Учет влияния стратификации на профиль ветра путем введения линейной добавки к логарифмическому закону, т. е. использования формулы вида
“(г) = -^(|п^- + 62). (8.78)
где b— параметр, зависящий от степени устойчивости (положительный при инверсиях и отрицательный при неустойчивой стратификации), предлагался исходя из анализа эмпирических данных, в частности, Хелстедом (1943) и Пановским (1952). Формула (8.78), очевидно, может быть согласована с соображениями размерности, для чего надо только положить b = $(L; после этого она переходит в формулу Монина и Обухова (8.33),
Все сказанное выше о профиле ветра может быть перенесено и на профили температуры и влажности, если только стратификация является неустойчивой, безразличной или слегка устойчивой. Однако при очень сильной устойчивости, как мы уже отмечали выше, по-видимому, возникает особая ситуация: есть основания думать, что при таких условиях коэффициент обмена Кт=КХ) гораздо меньше, чем К, и поэтому профили температуры Т и концентрации пассивной примеси О’ в этом случае отличаются по форме от схематического профиля средней скорости, изображенного на рис. 8.2 и 8.4. Теоретический анализ этого явления представляет большие трудности, однако предпринятая Эллисоном (1957) попытка оценки зависимости величины а=Кт!К от числа Ричардсона Rf = ^/ф(^) заслуживает все же упоминания, поскольку она привела к результатам, которые оказались неожиданно хорошо соответствующими результатам последующих экспериментов Эллисона и Тэрнера (1960) (см. ниже п. 9.2). Для расчета величины а Эллисон использовал уравнение бюджета турбулентной энергии b = -~ (и'2 + и'2 + ш'2) в стратифицированной среде и родственные
-ему уравнения для вторых моментов Г'2, w'2 и w'T'. Как мы видели в п. 7, такие уравнения содержат большое число новых неизвестных членов; поэтому для получения своих выводов Эллисону пришлось принять ряд дополнительных предположений типа полуэмпирических гипотез о пренебрежимой малости некоторых слагаемых и о связях, позволяющих выразить не пренебрежимо малые неизвестные члены через сами рассматриваемые моменты. Использовав эти предположения, неявно содержащие допущение о малости обмена теплом по сравнению с обменом импульсом при сильной устойчивости, Эллисон пришел к соотношению, которое можно представить в виде
„ _ «О (1 — Rf/^) jw(0_[^H0^4L ,R 7Qx к (1_Rf)2 - Я[<р(£)-£Р ’ v ’
где ао и R — медленно меняющиеся функции от £, которые в первом приближении можно считать просто эмпирическими постоянными. Ясно, что ао здесь совпадает со значением Кт!К при безразличной стратификации (в условиях логарифмического пограничного слоя), a R— это критическое значение RfCr, при котором Кт обращается в нуль. Грубые оценки, произведенные Эллисоном на основе соображений интуитивного характера, привели его к выводу о том, что параметр R должен быть значительно меньше единицы; это заключение, однако, .пока еще нельзя считать окончательным.
Общая формулировка гипотезы подобиядля турбулентного режима в приземном слое атмосферыи ее применение к исследованиюпульсаций метеорологических полей
До сих пор мы рассматривали только профили средних значений скорости ветра, температуры и влажности в приземном слое атмосферы и лишь к ним применяли сображения размерности, изложенные в в. 8.2. Однако эти соображения имеют общий характер, и результаты п. 8.3—8.4 далеко не исчерпывают всех приложений теории подобия к турбулентности в приземном слое. Сейчас мы рассмотрим некоторые дальнейшие приложения этой теории, относящиеся к статистическим характеристикам, отличным от средних значений основных гидротермодинамических полей.
Начнем с того, что сформулируем в самой общей форме наши основные предположения о подобии. В п. 8.1 мы отмечали, что в случае турбулентного течения стратифицированной жидкости над плоской однородной шероховатой поверхностью (являющегося естественной моделью «приземного слоя») все одноточечные моменты гидродинамических полей будут зависеть только от вертикальной координаты z. Однако ограничение лишь одноточечными моментами было там принято только потому, что именно они интересовали нас в первую очередь. Фактически же в такой модели все распределения вероятностей для значений гидродинамических полей в каком-то конечном Числе точек будут инвариантными относительно произвольных параллельных переносов этой совокупности точек в плоскости Оху и ее отражений в вертикальной плоскости Oxz, проходящей через направление среднего ветра u(z), а также стационарными (не зависящими от сдвигов во времени). Иначе говоря, в этой модели распределение вероятностей для значений произвольных гидродинамических полей в точках (xi, yi, zi, Л), ..., (хп, уп, zn, tn) может зависеть лишь от параметров х2 — Xi, ..., хп — хц у2 — У1, ..., Уп — уг, zi, ... ..., Zi, ..., Zn, U—ti, ..., tn — ti и не меняется при изменении направления оси Оу на противоположное.
Будем рассматривать только поля трех компонент скорости ветра и, и, w и температуры Т (включение еще и поля влажности О приводит лишь к появлению очевидных добавочных формул, на которых не стоит задерживаться). Эти поля можно представить в виде
u = u(,z)-Vu, v = v, y» = w, Т = Т(г)-^Т,(8.80)
где u(z) и T(z)—обычные (неслучайные) функции от 2, уже детально изученные в предыдущих параграфах настоящей главы. Таким образом, остается рассмотреть распределения вероятностей для случайных полей и' (х, у, z, t), и'(х, у, z, t), w' (х, у, z, t) и Т'(х, у, z, t). Гипотеза о подобии турбулентного режима в рассматриваемой модели может быть сформулирована следующим образом: совместное распределение вероятностей для значений
ных параметровных параметровбезразмерных величин «'/“*> «Чи*, w4u* и Т'/|Т*| в точках (xi, yt, zi, А), ..., (xn, уп, zn, tn) может зависеть лишь от безразмер
ных параметров
ных параметров
х2 — х,хп — xv . у2 — У1Уп — Уу . z,2п .
~|’|L|’|L| |L|’ L 'L ’
(^2 * 0) и*On “* ^i) a*
ГЛ •। li •
если только выполняются следующие два условия: 1) высоты zi, ..., Zn не слишком велики (находятся в пределах слоя, в котором можно считать, что и* = const, q = const, и пренебрегать влиянием силы Кориолиса) и не слишком малы (много больше «высоты шероховатости» zo, от которой рассматриваемое распределение не должно зависеть); 2) расстояния между любыми двумя различными точками (х,-, yit z,) и (х,-, yj, zj) и все отличные от нуля разности |fc— /,| не слишком малы (так, чтобы на взаимодействия между пульсациями в рассматриваемых точках пространства— времени не оказывали влияния молекулярные эффекты, определяемые коэффициентами молекулярной вязкости и теплопроводности воздуха) и не слишком велики (чтобы не нарушались условия горизонтальной однородности и стационарности). Через L и Г, здесь обозначены те же величины (8.12) и (8.14), что и всюду в этом разделе.
В частности, рассмотрим совместное распределение вероятностей для пульсаций (u't o', w', Т') в фиксированной точке (х, у, z, t) пространства — времени. Оно может зависеть лишь от вертикальной координаты г, и его плотность вероятности Ф(м/, и', w', Т') может быть записана в виде
, I г т,х1 тгг/ и' V* w' Т- г \
Ф(и , о , га , Т') = - ъ ■- ■ ; У(, , , -<-*-.-; -у-),
и I Т | х ^*^*^* I * * I /
* ’(8.81)
где V— универсальная функция от пяти переменных. Существенно, что в предельных случаях сильной неустойчивости (zlL-+ —»—оо) и сильной устойчивости (z/L->oo), так же как и в случае безразличной стратификации (z/L->-0), формула (8.81) может быть упрощена. В случае безразличной стратификации ^->•0 и архимедовы силы не влияют на турбулентность, так что параметр g]T0 должен выпадать из соотношения (8.81). Поэтому зависимость от z!L (где L содержит g/To) в этом случае отсутствует, т. е. распределение вероятностей не зависит от высоты. Кроме того, при безразличной стратификации не существует и пульсаций температуры, так что зависимость Ф от Т' описывается множителем б(Т'). В результате получаем
Ф(м', o', w', Т')->_^ЧЧ(—, ^ X м*Ф(м', o', w', Т')->_^ЧЧ(—, ^ X м*и'и'-^-)б(Г') при О,(8.82)-^-)б(Г') при О,(8.82)
Ф(м', o', w', Т')->_^ЧЧ(—, ^ X м*
Ф(м', o', w', Т')->_^ЧЧ(—, ^ X м*
и'
и'
-^-)б(Г') при О,
(8.82)
-^-)б(Г') при О,
(8.82)
где Vi — универсальная функция от трех переменных, описывающая распределение вероятности пульсаций скорости в точке логарифмического пограничного слоя. Предельный случай очень сильной неустойчивости (свободной конвекции) получается при q > 0, и* -*- 0, так что параметр и* должен выпасть из соотношения (8.81). Отсюда следует, что
? qО СрРо /? qО СрРо /(8.83)(8.83)
? q
О СрРо /
? q
О СрРо /
(8.83)
(8.83)
где ^2 — еще одна универсальная функция. Наконец, при очень сильной устойчивости турбулентные пульсации приобретают локальный характер, т. е. их статистические свойства перестают зависеть от расстояния z до подстилающей поверхности. Поэтому при z/L-> 4-оо параметр z будет выпадать из соотношения (8.81), т. е., иначе говоря,
Ф(н', o', w\ Г)~>
ТГ’ 4г) при-£--+«>. (8.84)
Далее мы ограничимся рассмотрением простейших характеристик распределения (8.81)—младших моментов пульсаций и', и', w', Т' в фиксированной точке (х, у, z, t). Согласно общей формуле (8.13), любой одноточечный момент этих пульсаций может быть представлен в виде некоторой комбинации из парамет-
q
ров gjTo, и* и —-—, умноженной на универсальную функцию от СрРо
t=z!L. По определению пульсаций их средние значения равны нулю, поэтому мы сразу перейдем ко вторым моментам рассматриваемых величин. Таких моментов всего имеется десять. Однако
три из них, а именно u'v', W и и'Т', тождественно равны нулю вследствие симметрии турбулентности относительно направления среднего ветра. Моменты u'w' =—и^ и w'T' = q/(cppo) имеют постоянные значения; поэтому остается рассмотреть лишь пять моментов— дисперсии пульсаций и', v', w', Т', вместо которых нам будет удобнее рассматривать стандартные отклонения ои, от, Ow,
от, и смешанный второй момент и'Т'. Эти величины в силу (8.13) можно записать в виде
^=М$,^=ш,
и*
(8.85)
Таким образом, для описания всех вторых моментов пульсаций ^скорости ветра и температуры достаточно определить параметры и* и q и знать пять универсальных функций /з, f^ fs, Ь и f?. Через них могут быть выражены, в частности, такие интересные характеристики турбулентности, как коэффициенты анизотропии ^vl^u и <5wIGu и коэффициенты корреляции ги^ rwT и гит*.
Ои ft Ow fs r 1
ou~ h ' Ou ~ h ’ uw~fbfs ’
(8.86)
X f 7
Г“'Г = ±Т7Г’ ГиТ = ^~ы7
'(в последних двух равенствах верхний знак относится к неустойчивой стратификации, а нижний — к устойчивой).
Функции /з(£), ..., fe(£)> очевидно, неотрицательны при всех значениях £ по самому их определению. Момент и'Т', определяемый функцией fi^, описывает турбулентный перенос тепла по направлению среднего ветра. При безразличной стратификации, а также, по-видимому, и при очень сильной неустойчивости и'Т' =0 (см. ниже); однако при других значениях £ функция /?(£) принимает положительные значения (за счет того, что при неустойчивой стратификации, когда Т« < 0, неравенство Т' > 0, как правило, будет иметь место, когда и/ > 0, и при этом пульсация и' чаще будет отрицательной, а при устойчивой стратификации— наоборот).
Асимптотическое поведение функций /з, ..., f? при £->—оо, при £ —>-оо и при |£|->0 можно установить исходя из формул (8.82)— (8.84) подобно тому, как это было сделано выше при выводе формул (8.36') — (8.40'), относящихся к функциям f, ft и /г, описывающим осредненные профили. При возрастании неустойчивости (т. е. при £->оо) величина и* должна выпасть из всех равенств (8.85); следовательно, функции fs, /4 и fs должны при этом возрастать асимптотически пропорционально (ОЧ функция fe — стремиться к нулю асимптотически пропорционально |С|-,Л, а функция fi — стремиться к некоторой постоянной. Кроме того, можно также ожидать, что при и* ^- 0 турбулентность приближается к режиму, при котором в плоскости Оху уже нет никакого выделенного направления, и пульсации и' и и' ничем не
различаются между собой (режим «чистой конвекции» при отсутствии средней горизонтальной скорости). Поэтому следует ожидать, что при £ -> —оо
/з (О «ftС) «ОД \'h, k (О «ОД Г/1,
(8.87)
или, иначе говоря, "\ СрРо Го /•\ СрРо Го /*
(8.87') аг«с;М-У/Ч-^-Г,/’. ^«Q
\<СрРо /\ То /’
(формула (8.87') для ow фактически была известна еще Прандтлю (1932а), но затем была забыта; позже она была получена Обуховым (1960) вместе с формулами для от, Ои и о®). Универсальные постоянные С4 = С'х~|/,( С5=С'х~‘/з и Св = С'х4/> в формулах (8.87) должны определяться из эмпирических данных. Из (8.87) вытекает также, что в условиях свободной конвекции a«/Ou~l, ow/au = const, rwT = const, rUto ~ | £ | ~2/а->-0 и гит«0.
Заметим, однако, что формулы (8.87) и (8.87'), по-видимому, должны быть справедливыми лишь при очень сильной неустойчивости — столь больших —5, при которых и* уже совсем не влияет на режим турбулентности, а профили средних скорости ветра и температуры описываются соотношениями (3.36') и (3.40'). В условиях же умеренной неустойчивости (при отрицательных, но не слишком больших по модулю значениях £) на некотором интервале значений £ можно ожидать реализации динамико-конвективного режима, при котором вертикальные и горизонтальные движения энергетически не взаимодействуют и поэтому размерности Lx и Lx горизонтальных и вертикальных длин можно считать независимыми. В таком случае, обращаясь к указанным в п. 8.3 (после формулы (8.41), но до (8.40')) размерностям величин и*, ql&ppo, g!To и г, мы для вторых моментов (8.85) получим соотношения
а. _ ВД! ’- SA"'h, о, = DVl-S-ti1-,
*\ СрРо ^0 /’*\ СрРо TQ ) *
(8.87") \ с-рро 1 0 /
«г - d, (-VT. тт —о,^мл1-(дрГ*.
\ срро /\/* \ Срро /\/
Формулы (8.87") для oto и От по форме точно совпадают с соответствующими формулами (8.87'), но объясняются они по-раз-
ному и поэтому коэффициенты С' и £>5, а также С' и D6 могут оказаться и не совпадающими друг с другом (аналогично коэффициентам Ci и С' в формулах (8.36) и (8.36')). Однако формулы
для Ou, ov и и'Т' в динамико-конвективном слое и при свободной конвекции оказываются совсем непохожими; если о величинах ои и ov при неустойчивой стратификации до сих пор нет надежных данных (см. ниже п. 9.5), то имевшиеся в 1971 г. данные измерений момента и'Т' убедительно свидетельствовали в пользу формулы (8.87"), а нс (8.87'). Именно это обстоятельство и побудило Зилитинкевича (1971), впервые получившего формулы (8.87"), предположить, что именно они должны на самом деле соответствовать условиям свободной конвекции.
Заметим еще, что поскольку скорость ветра й(г) в силу (8.40') в слое свободной конвекции должна возрастать с высотой (хотя дй!дг и убывает как г-2/3), допущение об отсутствии выделенного направления в этом слое нс кажется оправданным. Можно подозревать поэтому, что формулы для ov и и'Т' при свободной конвекции должны иметь вид
Оо = с; (—2—^Y^, й7!7= -Су -5—, (8.87'") X СрРо Го / ’ Срр0 1 ' г
где С" и С; — новые универсальные постоянные. Формулы (8.87х), (8.87") и (8.87"') показывают, в частности, что при неустойчивой стратификации величины ои и оу должны сперва убывать с высотой, а затем возрастать (в силу выражений (8.40) и (8.40') аналогично должна вести себя и функция ф(^)).
В другом предельном случае — при ^-*+оо (т. е. при неограниченном возрастании устойчивости) — характеристики турбулентности в силу (8.84х) не должны явно зависеть от координаты х. Следовательно, при £->оо все функции (8.85) (и их комбинации (8.86)) должны приближаться к некоторым постоянным. Наконец, при |£|->0 исчезают пульсации температуры (см. формулу (8.82)) и Г* —>■ 0. Поэтому фактически функции fe(£) и f?(£) следует рассматривать как состоящие из двух отдельных ветвей (при С > 0 и при £<0). Что же касается постоянных /з(0)=Аз, Д(0)=Л4 и fs(O) =As, то они описывают интенсивность пульсаций скорости в логарифмическом пограничном слое однородной жидкости и имеют вполне определенное значение (см. выше п. 6.3, где эти постоянные обозначались Ai, Д2 и Аз). При малых значениях |^| функции fs, /4 и fs допустимо приближенно описывать двумя членами ряда Тэйлора
fiU) = A + M. / = 3, 4, 5, (8.88) где коэффициенты р„ очевидно, все отрицательны (так как турбулентный обмен ослабевает с возрастанием устойчивости).
Формулы, аналогичные (8.85) и содержащие новые универсальные функции, могут быть записаны и для моментов более высокого порядка пульсаций и', и', w' и Т'. Так, например,
и М I
_ f,. (О, ^ - ,„ (Е).(8.89)
ми Т
•♦ ♦
Функции fa и fg характеризуют асимметрию распределений вероятностей для w' и для Т':
а функции fio и fn— вертикальную диффузию турбулентной энергии и интенсивности пульсаций температуры. Исходя из представления о термической конвекции как о совокупности восходящих движений нагретого воздуха в форме сравнительно интенсивных узких струек и нисходящих движений охлажденного воздуха в форме медленного оседания значительных масс, можно ожидать, что функции fa, ..., fa при отрицательных £ будут положительными. Согласно формулам (8.82) — (8.84), с ростом неустойчивости (при £->оо) функции fa и fig должны возрастать асимптотически пропорционально |£|,. функция fg — убывать асимптотически пропорционально |£|-1 (так что коэффициенты асимметрии f8/fs и fg/p должны стремиться к постоянным), а функция fn(£)— убывать пропорционально |£|~'/а. В промежуточном же слое отрицательных, но не слишком больших или малых по модулю значений t, для моментов (8.89) и всех других третьих моментов турбулентных пульсаций должны выполняться иные соотношения, получаемые так же, как выше были получены формулы (8.87") (см., например, Бетчов и Яглом (1971), Зилитинкевич (1974), Кадер и Яглом (1990)). С ростом устойчивости (при £-#-оо) все функции f8, ..., fn, так же как и отношения fafs и fg/fe, должны стремиться к постоянным.
Статистические характеристики производных от скорости и температуры в фиксированной точке (х, у, z, t), вообще говоря, будут уже зависеть и от коэффициентов молекулярной вязкости и температуропроводности v и х (напомним, что в формулировке гипотезы подобия требовалось, чтобы отличные от нуля разности |/,— f>| и расстояния между различными точками (х,, у,, z^ и кхь Уъ zi) были не слишком малыми). Поэтому применение к таким характеристикам соображений размерности приводит к более сложным формулам, содержащим универсальные функ-
ции от нескольких переменных. Однако имеются два важных исключения из этого правила, относящиеся к величинам
(8.91)(8.92)(8.91)(8.92)£"2" ^ V \ дх, + dxi J ’
(8.91)
(8.92)
(8.91)
(8.92)
И-1ДО)=1^.
Эти величины входят в уравнение бюджета турбулентной энергии (7.43), где е обозначалось символом е/, и в родственное ему уравнение (7.55) для интенсивности пульсаций температуры и с их помощью могут быть выражены через обычные одноточечные моменты полей скорости и температуры и их производные. Следовательно, величины е и N не должны явно зависеть от молекулярных констант v и %. Это обстоятельство не является случайным — как будет показано в VIII разделе тома 2 настоящей книги, величины е и N играют существенную роль в закономерностях крупномасштабных движений и могут быть определены по распределениям вероятностей для пульсаций гидродинамических полей в двух достаточно далеких точках. Таким образом, для описания зависимости величин е и N от высоты г в приземном слое атмосферы можно воспользоваться обычной формулой теории подобия (8.13), не содержащей v и х, и положить
е =е =(8.93)(8.93)и3— хи Г2
е =
е =
(8.93)
(8.93)
■^Фе(О, # = -^-^(0,
где фе и ф^ —новые универсальные функции. При |£|~>0 функции фе и ф^ будут стремиться к конечным пределам фе(0)=1 — дй
q дТ——; см-Срро игq дТ——; см-Срро иг(так как здесь е = и2*-^-; см. уравнение (7.43) и следующий за
q дТ
——; см-
Срро иг
q дТ
——; см-
Срро иг
ним текст) и Ф^(0)=a~i (так как здесь N
— л а
уравнение (7.55)). Кроме того, е«—^—, т. е. ф8(^)~|?|> и
СррО То
N ~^^У\"Т~^ /зг-*/3 т. е. <p^)~|^, при оо (в условиях свободной конвекции). В динамико-конвективном слое все члены уравнения (7.55) не должны зависеть от и*, и, следовательно, снова флг(?) ~ |£|~1/з (но коэффициент пропорциональности здесь может и отличаться от того же коэффициента в слое свободной конвекции); что же касается ф8(^), то из уравнения (7.43) следует лишь, что <ре(£) =6i|£|+&2|£|~,/з в динамико-конвективном подслое (см. Кадер (1988), Кадер и Яглом (1990)). Некоторые эмпирические формулы для функции фе(£), получен-
ные с помощью обработки данных измерений, можно найти в книге Пановского и Даттона (1984), п. 8.3. Дополнительные выводы о функциях <ре(О и ^(t), опирающиеся на некоторые полуэмпирические гипотезы, см. в конце настоящего параграфа.
Значительно более сложный вид имеют формулы для моментов пульсаций в нескольких точках, которые будут содержать универсальные функции от нескольких переменных. Так, например, двухточечные моменты пульсаций гидродинамических полей в точках (xi, yi, 21) и (х2, у2, 22) в один и тот же момент времени будут, вообще говоря, зависеть от четырех переменных 21/L, 22/L, \хг — Xy^L и ^y2. — y^lL-
Большой интерес представляют условия, при которых число переменных в формулах для двуточечных моментов может быть уменьшено. Таковым является, в частности, условие —£ < £i, где £i — положительное число, определяющее нижнюю границу интервала значений |£|, для которых турбулентный режим является режимом свободной конвекции. При этом условии можно считать, что и*^0, так что из параметров задачи здесь уже нельзя составить никакого конечного масштаба длины. Кроме того, здесь, по-видимому, допустимо считать, что в плоскости Оху нет выделенного направления, так что все не зависящие от ориентации координатных осей двухточечные моменты могут зависеть только от го = [ (х2 — Xi)2+(у2 — yi)2p2, но не от х2 — xt и у2 — уу по отдельности. Из величин 21, 22 и го можно составить две безразмерные комбинации, например 22/21 И г/У^122, где Г = [г2 + (22 — 21)2]'/2. Поэтому в условиях свободной конвекции все скалярные двухточечные моменты будут равны некоторым комбинациям из параметров g/To, qlcp^Q и л/zyz^ умноженным на универсальные функции от 22/2i и г I ^zy.Z2* В частности,
^'(хи Ух» 2Н t^w' (х2, у2 z2, 0 =
\ СрРо 1 \ То /21 VZ1Z2 /
u4xt, у„ zn ^и'(х2, у2) z2, f) = u'(xl, у„ zn t)v'(x2> у2, z2, 0 =
=(_^_у/3 ( 8_у/з ( )■/, R2(8.94)
X СрРо / X То /4 1 z/ xz \ Z] ’^/Z1Z2 )’v 7
Т4хм у it ^1. O^'fe. №. z2, t) =
где Ri, R2 и Rs— универсальные функции от двух переменных (эти формулы были указаны Обуховым (I960)). Замечательно, что в некоторых случаях удается теоретически предсказать форму
27 Заказ № 303417
зависимости таких функций двух переменных от одной из них, а для ряда статистических характеристик вообще свести всю неопределенность, имеющуюся в теоретических формулах, к выбору числового коэффициента. Для этого надо использовать дополнительные соображения о подобии, относящиеся к некоторому классу турбулентных течений, включающему атмосферную турбулентность в качестве частного случая. Рассмотрению такого подобия будет посвящена основная часть VIII раздела тома 2; поэтому дальнейший анализ формул типа (8.94) мы отложим до тома 2 настоящей книги.
Как и в случае функций f, Л и /2, ряд дополнительных результатов относительно функций /з, ..., Ло, Фе и фл- можно получить с помощью полуэмпириче- ских теорий. Так, например, Казанский и Монин (1957) (см. также Монин (1959 а)) исходя из упрощенного уравнения бюджета турбулентной энергии (7.47), дополненного еще некоторыми полуэмпирическими гипотезами, получили для функции f5(£) приближенную формулу
МО=лф—^-Jz\(8-95)
где Л5=/5(0)—эмпирическая постоянная. Те же соображения, примененные к уравнению бюджета турбулентной энергии в форме (7.47'), приводят к соотношению
^(С)=Л6р--^у-]'Л,(8.95')
содержащему еще одну эмпирическую постоянную а. Позже Пановский и Маккормик (1960) выдвинули гипотезу, приведшую их к формуле
(5(£) = 45[^'(С) + 6£Г/$,(8.96)
где В — новая эмпирическая постоянная, а Бюсингер (1959) и Манн (1961) с помощью двух разных предположений о пути перемешивания в стратифицированной среде получили формулы
Г m _ Н + Ь2 + 4 (f (С) - а)2Г/! V11(8 97)
*5 (о -{2pTcj J ’(8 •97)
h^ = -Ae J"^(8-98)
(о — тот же коэффициент, что и в формуле (8.75)). Соотношение (8.98) сЛ5=1 (что противоречит эмпирическим данным) использовал также Иокояма (1962а).
Для функции Uto Пристли (19606) и Пановский (19616) использовали полуэмпирическое соотношение
hto=A6aQLhto» А6 = ^.(8.99)
Монин (1965) рассмотрел полную систему динамических уравнений для одноточечных вторых моментов скорости и температуры в пренебрежении слагаемыми, описывающими вертикальный перенос рассматриваемых величин (в частности, всеми слагаемыми, содержащими третьи моменты), а пульсации давления исключил с помощью простой полуэмпирической гипотезы типа (7.10) и (7.12). При этом он получил приближенное соотношение
Рз(С)-(4(О] fid') «2-(8.100)
связывающее значения функций f3, Л и f5 (и при £ = 0 хорошо подтверждающееся эмпирическими данными, приведенными на рис. 6.2). Приняв еще некото-
рые полуэмпирические гипотезы, он смог выразить коэффициенты анизотропности h^lfA® и fs^lfA® через ф(£)=£Г(£) и известные из экспериментов постоянные Д3 = М0), A4 = f4^ и Д5 = /5(0) (причем оказалось, что дисперсии Qu, <т« и Gw могут быть положительными, лишь если C2=\]R > 5,5). Еще одно полуэмпирическое соотношение, связывающее функции ф(£), /(£) и fs(£), было предложено Пандольфо (1963). Использовав некоторые грубые гипотезы, Панчев (1961) получил следующие связи между коэффициентами Сь С5 и С^ формул (8.36) и (8.87'):
(8|01>
(из которых, в частности, следует, что при свободной конвекции rwT = l; это прямо противоречит имеющимся эмпирическим данным).
Связь между универсальными функциями Фе(£), f(£) и fioK) можно получить из упрощенного уравнения бюджета турбулентной энергии (7.46):
Фе(О=^' (О-С-^УюЮ(8.102)
(см. Монин (1958)). Соотношение (8.102) правомерно точно в той степени, в какой законно пренебрежение вертикальным переносом энергии турбулентности, обусловленным работой сил давления и вязкого трения. Если вообще пренебречь вертикальной диффузией энергии (т. е. принять уравнение (7-47)), то получим
Фе (?)=€/'(С)-с.(8.103)
а если считать эту диффузию пропорциональной величине 2— (т. е. при-
1 о СрР
нять уравнение (7.47')), то получим
Фе^) = ^'^)-а£.(8.103')
Разумеется, соотношения (8.103) и (8.103') менее точны, чем (8.102).
Вспомнив асимптотические формулы (8.33) и (8.39) для функции f(£) и исходя, например, из соотношения (8.103'), находим,
Фе ^ =Фе ^ =(8.104)(8.104)~^^ТЕТ при ^~*““°°’ 1 + (Р-а)С при ICICI.
Фе ^ =
Фе ^ =
(8.104)
(8.104)
Таким образом, при стратификации, близкой к безразличной, ё«u3/xz; при сильной же неустойчивости ё«а—S— -5- I т. е. перестает зависеть от вы- 1 о I срР I
соты (те же результаты, но с неопределенными числовыми коэффициентами, были выше получены из одних лишь соображений размерности).
Подобные же соотношения можно вывести и для функции ф^(C), если принять за основу уравнение
+(Т2)— 2Х (VT)2,(8.105)
di ‘ дх • ду ‘ dz71'7
получающееся из уравнения теплопроводности (8.8') после умножения на 2Л Подвергнув уравнение (8.105) операции осреднения и учитывая однородность по горизонтали и стационарность турбулентности, получаем следующее уравнение бюджета интенсивности температурных неоднородностей:
,dzdz2dz\ dz J x 7
(ср. (7.55)) или, иначе,
N =-7Г»'Т'г-WT'A-lULA ,(8.106')
2 dz \ dzу \ dz у ’ v 1
где, как обычно, N = Х ^ Т'У. Пренебрегая эффектом молекулярной теплопроводности (первый член в скобках и последний член в правой части), получаем соотношение
<Pw (О =Cf? (С)(8.107)
Если, кроме того, пренебречь вертикальной диффузией квадрата пульсаций температуры (второй член в скобках (8.106')), то получим
^N^=«v^-(8.108)
Функция (8.108) обладает свойствами
-^— С, IC 1 11 при СОО,
^N^='
d(8.109)
Oto
стратификации, близкой кнеустойчивости N убываетстратификации, близкой кнеустойчивости N убываетбезразлич- с высотойбезразлич- с высотойСледовательно, в этом приближении при
стратификации, близкой к
неустойчивости N убывает
стратификации, близкой к
неустойчивости N убывает
безразлич- с высотой
безразлич- с высотой
— ии*Т»
ной, N «. а при сильной
аог ’
по закону
Однако поведение Ф^(^) при £->+оо нельзя указать, не зная, как ведет себя функция а (£) = f (O/fi (?) ПРИ больших положительных значениях £.
Вертикальная тонкослойная микроструктура
Как указывалось выше, при очень устойчивой стратификации турбулентность вследствие затрат ее энергии на работу против архимедовых сил нс может сколько-нибудь долго охватывать всю жидкость и может существовать лишь в отдельных тонких слоях или «блинах», как их называл Колмогоров, предсказывавший это явление в своих выступлениях еще в 1948—1949 гг. (после чего термин blini вошел в литературу по турбулентности на английском языке). Вследствие перемешивания турбулизованныс слои должны быть квазиоднородными по вертикали и разделяться очень тонкими прослойками («простыни» или sheets) с микроскачками («ступеньками») температуры, плотности и других термодинамических параметров.
Эта гипотеза была вначале предварительно подтверждена в 50-х годах при обнаружении «облаков турбулентности» в свободной атмосфере в полетах на аэростатах сотрудников Геофизи-
ческого института АН СССР, а затем нашла блестящее подтверждение в открытии в 70-х годах вертикальной тонкослойной микроструктуры оксана, причем оказалось, что она распространена в Мировом оксане практически всегда и везде (а ее отсутствия можно ожидать лишь в областях микроконвекции, встречающейся
Рис. 8.7. Вертикальные профили температуры (а) и солености (б) по данным многократного зондирования с дрейфующего судна с интервалом в 6 мин в слое красноморских мод, распространяющихся в толще вод Аравийского моря.
Зондирование А—107 М3, станция 501, 10°34' с. ш., 56°О4' в. д., 19 марта 1972 г., 06 ч 29 мин —07 ч 01 мин. Цифры в кружках обозначают порядковые номера профилей. На горизонте 675 м хорошо видна быстро растущая тонкая прослойка (показана стрелкой).
в океане, по крайней мере в низких и умеренных широтах, довольно редко). Примеры приводятся на рис. 8.7 и 8.8.
Особенно сильная устойчивость имеет место в «слое скачка плотности» (пикноклине) под верхним перемешанным слоем окс
ана. Там обычно |dp/dz|~10“6 г/см4 и N~3- 10 2 с”1 (тогда как в наиболее сильных приземных температурных инверсиях в атмосфере |dp/dz]~4- 10-8 г/см4, и в среднем в нижнем 10 км слое атмосферы 7V~10-2 с-1). Слои микроструктуры в оксане имеют толщину /г~10°— 103 см, турбулентность в них слаба (неспособна разрушать эти слои), имеет локальный характер (непосредственно от глубины не зависит) и характеризуется небольшими числами Рейнольдса v^hU 102 — 105.
Главным механизмом образования тонкослойной микроструктуры, действующим в океане практически повсеместно, представляется расплывание перемешанных пятен, образующихся в областях сдвиговой и конвективной гидродинамической неустойчиво-
Рис. 8.8. Вертикальные профили потенциальной температуры 0, солености s и условной потенциальной плотности ае, полученные с помощью прецизионного микропрофилографа Брауна ниже прослойки левантийских вод в Тирренском море.
На профиле а^, несмотря на инструментальный шум, хорошо видны вертикальные ступеньки в распределении плотности с перепадом 0,005—0,010 усл. ед. о^ .
сти внутренних волн — в их ложбинах и гребнях, когда локальные значения Ri оказываются там ниже 74 (а также в сдвиговых течениях с профилем скорости [/(г) у критических уровней zc, где Uk^ = c,yl вследствие «взрывной» неустойчивости).
При устойчивой стратификации, когда плотность среды (точнее, потенциальная плотность) возрастает с глубиной, в верхней половине перемешанного пятна плотность оказывается больше, а в нижней половине — меньше, чем на тех же уровнях в окружающей среде. Под действием архимедовых сил верхняя половина перемешанного пятна должна погружаться, а нижняя —
всплывать к его среднему уровню. Таким образом, пятно должно сплющиваться («коллапс»), одновременно вследствие слабости сжимаемости расплываясь в стороны и тем самым превращаясь в тонкий «блин». Его интрузия в окружающую среду и образует в ней новый слой микроструктуры.
Если исходная внутренняя волна была длинной (и долгопериодной; таковы, например, вынужденные внутренние волны с приливными периодами), то образующиеся пятна турбулентности имеют большие размеры, а получающиеся из них слои микроструктуры— большую толщину. На них могут развиваться внутренние волны с меньшими длинами, образуя пятна турбулентности меньших размеров, расплывающиеся в слои микроструктуры меньшей толщины, и т. д. до внутренних волн минимальной длины, пятен турбулентности минимальных размеров и слоев микроструктуры минимальной толщины. Таким образом, здесь ответ на вопрос, что является первичным — курица или яйцо, заключается в указании каскадного процесса «устойчивая стратификация внутренние волны—> пятна турбулентности-^ слои микроструктуры -> внутренние волны и т. д.
Начальные стадии расплывания турбулентного пятна были экспериментально изучены By (1968) и количественно теоретически описаны Као (1976). Пятно расплывается, сначала с большим запасом преодолевая силы сопротивления и интенсивно излучая внутренние волны, а затем достигая квазистационарного режима, при котором движущая сила расплывания (коллапс) уравновешивается суммой сопротивления формы и волнового сопротивления. Эта стадия проходится за время в несколько десятков периодов Вяйсяля—Брента. Относительная скорость роста горизонтальной площади S пятна S-1 dS/dt сначала пропорциональна скорости коллапса (так как архимедово ускорение пропорционально /V2). При этом горизонтальный размер пятна растет по закону (L — L^!Lq~N4\ Затем достигается режим dLfdt~ ~Nh, где к— толщина языка интрузии; у круглого пятна h~ ~L/L2 (где V— объем пятна, не меняющийся со временем) и получаем L~ [^V(/ — /о)],/з.
После этого наступает продолжительная заключительная стадия расплывания перемешанного пятна, на которой движущая сила расплывания уравновешивается вязким сопротивлением (Баренблатт (1978); Баренблатт и Монин (1979)). Уравнение сохранения массы пятна здесь имеет вид
' _^_ + divAv = 0; v = --^-V(M), (8.111) где второе равенство выражает равновесие между движущей силой — (6S) V (p/i) и сопротивлением (6S)cpv//i (р— вязкость; с — числовой коэффициент, в течении между плоскими стенками, например, равный 12). Здесь р— избыточное давление, т. е. разность между давлением в среде pi — pig(z — zi) +1/гР1№(х — zi)2
и в интрузии pi — ptg<2 —z^-Vxkp^Nг<h|'2V в среднем равная V^pi^A2. Таким образом, уравнение (8.111) приводится к виду
dh/dt = K АА5; х = рЛ720сц.(8.112)
Для осесимметричного пятна решение имеет вид
А = (У/2лх)'/5 (/ - 1хУк f (0; С = (xVVien4)-7” ^ - t\Y'h* г;
(8.113)
fC) = (10,/76)v*(l - :W*; О<КЕо= 10э/72,
так что радиус пятна (£ = £о) растет, как (/ — Л)‘Ч Возможно, что такие перемешанные линзы в атмосфере с поддерживаемой в них турбулентностью пылью при некоторых условиях освещения могут быть приняты за «летающие тарелки». Для цилиндрического пятна турбулентности с горизонтальной осью (скажем, осью у), образованного плоской внутренней волной, вместо (8.113) получается следующее решение уравнения (8.112):
А = (52/4х)‘/б (/ - txyu fi fo); = (х54/1б)-‘/б (t - tvyu x;
0 <= (15)'/; J^npfl,(8J 14)
где S — площадь сечения пятна в плоскости х, z. Законы расширения осесимметричного пятна r~^t— Zi)Vi« и цилиндрического пятна x~^t — ^)'/s нашли подтверждение в лабораторных экспериментах.
Другой механизм образования тонкослойной микроструктуры внутренними волнами был предложен Борисенко, Вороновичем, Леоновым и Миропольским (1976). Ими было показано, что пакет слабонелинейных волн в плоскости (х, z) описывается функцией тока
Ф = s (Aei9 + А'е^ С, (z) + е2 (AVi9 +(г) +
+ е21Л |2 V (z) + 0 (е2).(8.115)
Здесь е — малый параметр порядка крутизны волн; A=A(s2xy е2, /, 6) —комплексная огибающая; 0 = e-^(E2x, е2/) —«быстрая» фаза; первые два слагаемых описывают основную волну и вторую гармонику, а третье—нелинейный вклад в среднее течение типа стоксова дрейфа. Этот вклад (и соответствующие ему возмущения плотности) по вертикали знакопеременен с длиной волны порядка сёЫ~1 (где cg — групповая скорость) при малых длинах несущей волны малой, так что он представляет собой тонкослойную микроструктуру (существующую в течение времени Lc™1 прохождения волнового пакета длиной L).’Существование тонкослой-
ной микроструктуры среднего течения в океане было открыто в результате измерений Монина, Федорова и Шевцова (1973) (см. пример на рис. 8.9). При несущей волне с приблизительно вертикальным волновым вектором и, значит, приблизительно 0)2 — f2
инерционной частотой o^f получаем Cg«—— к, т. е. волновой пакет распространяется приблизительно горизонтально. По-види-
Рис. 8.9. Образец регистрации зондом «кроссбим» модуля скорости и направления течения при спуске и при подъеме зонда 16 марта 1972 г.
мому, этому случаю соответствуют измерения Санфорда (1975), обнаружившего в колебаниях во времени тонкослойной микроструктуры течения инерционный период (см. пример на рис. 8.10).
Еще одним механизмом образования тонкослойной микроструктуры в океане, возможным, правда, далеко не повсеместно, является микроконвекция в слое соленой воды с устойчивой стратификацией плотности dp*/pdz«—adTldz+Ч dsjdz < 0, но разными знаками вкладов в нее градиентов температуры и солености (что аномально: обычно температура уменьшается, а соле-
ность растет с глубиной, т. е. дТ/дг > 0 и ds/d2<0), возникающая благодаря молекулярным процессам так называемой двойной, диффузии, т. е. различию в коэффициентах диффузии тепла и соли в воде х/^^ЮО (Стоммел, Ароне, Бланшар (1956); Стом- мел (1962)).
Так, при расположении теплой соленой воды над более плотной холодной и менее соленой ^dT)dz > 0; dsfdz^O) относительно быстрое выравнивание флюктуаций температуры при со
храняющихся из-за медленности диффузии флюктуациях солености создает флюктуации плотности, порождающие ламинарную конвекцию в форме узких и длинных вертикальных ячеек — соленых пальцев. Их удалось обнаружить и даже сфотографировать теневым методом под средиземноморскими водами в Атлантике (Уильямс (1974)). Лабораторные измерения показали, что при
Рис. 8.10. Вертикальные профили меридиональной составляющей скорости течения (см/с), полученные с интервалом времени, равным половине инерционного периода (по данным Санфорда (1975) для района МОДЕ-1).
Зондирование 190D и 192D.
этом a^z/y/z^0,56, т. е. более половины потенциальной энергии» освобождающейся при концентрационной (соленостной) конвекции, затрачивается на перенос тепла.
Наоборот, при расположении холодной и относительно пресной воды над более плотной теплой и соленой микроконвекция из-за быстрой диффузии тепла снизу задерживается микроскачками плотности и образуется расслоение, в котором безразмерные потоки тепла и соли qz^CpPonSTfh)-1 и Iz^poDbsIh)-^ пропорциональны (Ка)1/з (где Ra — число Рэлея) с коэффициентами пропорциональности, зависящими от у6$/а6Г. Согласно лабораторным измерениям, отношение ^Ы^Яг с ростом ^SsfabT сначала быстро уменьшается, а при yds/adT становится приблизительно равным 0,15; при больших вкладах солености в стратификацию плотности 15 % потенциальной энергии, освобождающейся при термической конвекции, затрачивается на подъем соли.
Впрочем микроконвекция из-за двойной диффузии возможна далеко не повсеместно, а тонкослойная микроструктура наблюдается даже в пресноводных водоемах, где диффузия вообще не происходит. Так, например, Симпсон и Вудс (1970) обнаружили микроструктуру в знаменитом шотландском озере Лох-Несс.
Стратифицированные пограничные спои
Распространим теорию подобия для приземного слоя атмосферы, изложенную в п. 8.2, 8.3 и 8.5, на весь планетарный пограничный слой атмосферы (или верхний перемешанный слой океана, или придонный пограничный слой, и т. п.). В случае статистически стационарного и горизонтально-однородного (СГО) течения этот слой отличается от приземного слоя атмосферы лишь действием силы Кориолиса (тогда он называется экмановским, сокращенно — ЭПС), и к определяющим параметрам теории подобия здесь достаточно добавить параметр Кориолиса f = 2coz.
Имея в распоряжении дополнительный размерный параметр f, можно ввести еще один масштаб длины ho = v.u„lf (толщину нейтрально стратифицированного ЭПС) и безразмерный параметр стратификации цо = Ао (Казанский и Монин (1961)). Тогда толщина стратифицированного ЭПС будет иметь вид A = /to?(go), где С(цо) —некоторая универсальная функция. Определяя ее как толщину потери импульса можно положить h~ (KlfY!S где К — эффективное значение кинематического коэффициента турбулентной вязкости. По правилам п. 8.3 при сильной неустойчивости асимптотически К перестает зависеть от и», так что К~ kg!ToYuX X (,q ! CpPoYuh'i\ откуда
н ~ kgrr^Xb kqlcp^T2 г"'1 ~ Ao I Цо P- (8-116)
При сильной устойчивости Rf~ (glTo) (q/cPpo) (K/u1^) ~R. Определив отсюда К, получим:
h~h^4\ (8.117)
Поскольку и с ростом устойчивости, и с ростом неустойчивости |L| убывает, а |Ио| возрастает, толщина h слоя затухания потока импульса в стратифицированном ЭПС при ослаблении устойчивости или усилении неустойчивости растет.
То же самое обобщение теории подобия получается, если к определяющим параметрам вместо f добавить толщину пограничного слоя h (и ввести внутренний параметр стратификации \к=КЩ. Такой подход будет даже обладать большей общностью— он будет применим нс только к ЭПС, но и к квази — СГО пограничным слоям, зависящим от (хд, /) через h (и через другие определяющие параметры теории подобия). Вместо выражения (8.81) теперь имеем
Mu. n-u.-’lT.r's^, 4-, 4, 4-, 4. (8.118)
причем от zo могут зависеть только абсолютные значения осред- ненных скорости течения и температуры (но нс их градиенты и не флюктуации):
»м=^(1. f)-f.(^-. и)}(8.И9>
?(г)-?Ы = Г.[Цт- n)-fr(^L, „)]
(для простоты мы не различаем здесь параметры шероховатости для скорости и температуры). При z<Ch зависимость от h в формулах (8.118) — (8.119) должна пропадать, так что универсальные функции F, fu и fT (функция fv при z<R вообще обращается в нуль) должны зависеть уже не от трех аргументов zjh, zo/h и ц, а лишь от двух их произведений \xzlh=zlL и p,zo/A = zo/L, т. с» мы возвращаемся к теории подобия п. 8.3—8.5. Если, ^роме того^ z<c|L|, то формулы (8.119) должны превращаться в «пристеночные» логарифмические законы
'й(з)«-^1п —; v(z)«0;
.(8.120)
7(2)«T(z0) + -^ln^,
где ось х выбрана по направлению вектора напряжения трения на уровне z = z^ (т. е. в приземном слое). У верхней же границы пограничного слоя должны действовать «законы дефекта»
“(2) — U cosy =^TU(-^, ц); 5 (z) — U sin у = -^ ^ ^, ц);
T^-T(ft) = T^T(zlh, ц),(8.121)
где U = [(й(A))2+ (y(A))2],/2—скорость ветра на верхней границе пограничного слоя («скорость геострофического ветра»), у — угол между направлениями ветра на высоте Айв приземном слое (угол поворота ветра в ЭПМ, который в п. 7.6 обозначался а), a Ч^, Vv, Vr — универсальные функции. При малых z эти «законы дефекта» должны выполняться одновременно с «пристеночными» законами (8.120). Приравнивая определяемые законами (8.120) и (8.121) значения u(z)f v(z) и T(z) друг другу, введем следующие предельные при z/A->0 безразмерные величины:
-= ^("Ь ^ВМ (8-122>
а0 -^ + In ^ = -a0Vr (4, ц) + In4 ->С (ц),
где 6T=TV0—T’(zo)—перепад температуры поперек пограничного слоя. Отсюда получаются следующие законы сопротивления и теплообмена, выражающие коэффициент сопротивления u*IU, угол поворота течения у и коэффициент теплопередачи Т*16Т через параметры zolh и р,:
sin у =5tB^Y(8.123)
57 “ «о ^ (Ю 1П “У-]
Внешнее число Ричардсона получается в виде
Ri —таНта [с W - '" т] (В2 W + [^Ы - in -^J}-1.
(8.124)
С помощью этих формул по внешним параметрам пограничного слоя А, 2а, U, 6Т и параметру плавучести g(T0 (и, значит, Ri) можно определить внутренние параметры и*, qlcp^Q (и, значит, 7*, L и ц) и у. Для этого, конечно, нужно знать функции Л, В, С от ц. При нейтральной стратификации формулы (8.123) для u*lnv и sin у обращаются в результаты, указанные в п. 7.6 (где вместо символов у, Л и В используются а, В и Л). В качестве оценок величин Л(0)=Л и В(0)=В можно использовать значения Л(0)=1,1±0,5 и В(0) =4,3±0,7, рекомендованные Кларком и Хессом (1974), или значения Л = 1,7, В = 4,5 (Зилитинкевич (1989)). Их асимптотики в стратифицированном пограничном слое можно получить, склеивая «законы дефекта» (8.121) вместо логарифмических пристеночных законов с асимптотиками для стратифицированного приземного слоя атмосферы (Зилитинкевич (1975)). При этом при устойчивой стратификации (ц^>1) получается
^~lnn-ATm,/2; В~М2рь; С ~ In ц - ЛГ3Ц72, (8.123') а при неустойчивой стратификации
А~ 1п-1±-аи+ Mill* Г7’; в ~ М21 ц Г'/2;
(8.123")
С ~ In -±!аопе — Мз | ц |""'/2,
где Ni, М2, N3, Mi, М2, Мз, аи, о^ае — некоторые числовые постоянные. При больших | ц | слагаемые порядка | н |—1/2 в (8.123") могут быть отброшены, и получаются известные выражения Гилла (1968), Теннекеса (1970) и Вингаарда с соавторами (1974) для режима свободной конвекции. При устойчивой стратификации мак-
симальный угол между изобарой и напряжением приземного трения определяется соотношением sin утах = М2(Л^ +^ )-|/2.
Составленная Зилитинкевичем, Мониным и Чаликовым (1978) сводка эмпирических данных разных авторов о функциях X, В, С
Рис. 8.11. Безразмерная функция Л(ц).
Усл. обозначения см. рис. 8.12.
от р приведена на рис. 8.11—8.13 вместе с асимптотами (8.123х) — (8.123"), построенными при х = 0,4; аи = \; аоае = О,1; ^l = ^2 = 4; Мз = 6; Afi = 10; М2 = Мз = 0 (при этом утах = 45°). Несмотря на большой разброс точек, представляется, что эти асимптоты качественно согласуются с эмпирическими данными.
Функции А, В, С от р также рассчитывались при помощи полуэмпирических теорий, одна из которых будет сейчас изложена в соответствии с работами Монина (1965 а, б, в) на примере ЭПС. В этом случае во всех формулах (8.118) — (8.124) величины к, р можно заменить на к0, р0 (при этом полагают ко1гй=- 430
^{^u^U)^, где Ro=U/zof — так называемое число Росби, введенное Росби в 1932 г.). В излагаемой полуэмпирической теории в уравнениях Рейнольдса пренебрегается молекулярным потоком импульса, и они записываются в виде
Рис. 8.12. Безразмерная функция В(ц) (по работе Зилитинкевич, Монин, Чаликов (1978)).
/—3 — экспериментальные данные; / — Зилитинкевич (1968), 2 — Кларк (1970), 3 —Дирдорф (1974); теоретические кривые — по формулам (8.123") при ц < 0 и (8.123х) при ц > 0; 4 и 5 — утренний и вечерний переходные периоды (Кларк, 1970).
а кроме того, используется еще и уравнение (8.9), предполагаемое имеющим вид ^/срро = const.(8.126)
Затем выводятся упрощенные уравнения для всех десяти одноточечных вторых моментов пульсаций и' и 7'. Основным упрощением является представление одноточечных вторых моментов производных от полей флюктуаций через b и I по идее Колмогорова (1942) с учетом тензорной размерности этих моментов:
• Vu'j = [(Ci + ЗС2) XiXj + C2dz/] ЬЧ-1;
X ^Т-у = C3ba2TrV (v + %) VU, • vr' = C462ar/-1X,;(8.127)
1 ,(du'i— p I —po V dXj
^~дзО — ~С5Ы ' (“<“/
— p' -^—=—C7brvuiT' -СА,ГЧЬpo dxi11871 ’
где Ci, ..., Co — числовые постоянные (некоторые из этих формул впервые были предложены Ротта (1951)). Дополнительным упрощением является пренебрежение «потоками вторых моментов», создаваемыми турбулентностью (т. е. третьими моментами пульсаций) и молекулярными эффектами (или допущение, что эти величины также описываются выражениями (8.127), так что их учет осуществляется подбором числовых постоянных Ci, ..., Се). Третьим непринципиальным упрощением будет пренебрежение прямым действием силы Кориолиса на пульсационное движение. При всех этих упрощениях уравнения для недиагональных элементов тензора напряжений Рейнольдса принимают вид
Txz дй (п Сб + Се ^^з,—! । Сб
—6—г1 +—ы а-
^Г = (С2 -^^)б3/-"' + "^ ЬГ^(8.128)
Уравнения dxXzldt=dxylldt=^ приводятся к виду
С hHXxz I8qx — п2дй •С ЬГ1Xyz I8 qy—с? 65
С&Ро + ГоСрРо -°wдг ’L^1ро + ГоСрРодг ’
(8.129)
а уравнение dxxy!dt=^ принимает вид
С5ЬМ
Хху _/_
rxz дб ।
1^
дй \
(8.130)
Ро\
Ро дг 1
' Ро
дг /
Уравнения для горизонтальных компонент dqxldt=dqyldt = Q получаются в виде
турбулентного
потока тепла
Xxz
Ро
- с7ы- дг
1 Чх _ СрРо
q
СрРо
дй дг ’
Xyz
- с7ы- дг
1—
q
дй
(8.131)
ро
СрРо
СрРо
дг 9
а уравнение dq/dt=Q приводится к виду
4- Л = 4 4г + С4 "^ + (С4 + Сз) ЬЧ-ЧТ.(8.132)
1 оLpPo
Наконец, уравнение do^dt = 0 принимает вид
c-6rVr = -^^T'(8J33>
Двенадцать уравнений _(8.125)^ (8.128) —(8.133) содержать тринадцать неизвестных величин — и (z), v (z), Т (z), девять вторых моментов пульсаций (десятый из них (8.126) считается заданным) и масштаб турбулентности /^хзЛ^, р,о), T] = z/A0, для определения которого можно привлечь, например, гипотезу (8.62).
43343328 Заказ № 303
433
433
Из уравнения (8.133) видно, что при ^ = 0 получается от = 0, тогда из уравнения (8.132) получается равновесный градиент температуры (точнее, потенциальной температуры) дТ1дг = Ъ. Значит, для связи между q и дТ)дг целесообразно пользоваться обычной формулой qlcp^ =—КтдТ!дг. Из уравнений (8.129) —(8.131) получаем
„ дй„ ди2роК1 дй dv
Txz-PoK-^; Хуг-РоК-^; Тху;
q I С7Ы 1 о'СрРо g/Toq I С7Ы 1 о'СрРо g/Toс5с7ьч-2g/Toс5с7ьч-2g/To(8.134)(8.134)
q I С7Ы 1 о'
СрРо g/To
q I С7Ы 1 о'
СрРо g/To
с5с7ьч-2g/To
с5с7ьч-2g/To
(8.134)
(8.134)
Соотношения Rf = aRi, а = Кт!К здесь остаются в силе. Далее, с помощью первых двух формул (8.134) и определения Rf из уравнений (8.128) находим
^и^ио0о0Ь2 Ь2Ь2 Ь22"Б2"2"Б2"Ф“ и*Ф“ и*• bQ2 ativOl дй• bQ2 ativOl дй1 -Rf1 -Rf^иО - <4»0I^иО - <4»0Idz • ^ u*dz • ^ u*Ь2Ь2Rf .1 - Rf 1Rf .1 - Rf 12^иОд2 ^02^иОд2 ^0№60M№60M22°и0 ~ °и022°и0 ~ °и0д2 ^од2 ^о1-Rf '1-Rf 'А-Ц^-;(8.135)А-Ц^-;(8.135)-^-; <р2 = Фи + Фо; X = l/xL,-^-; <р2 = Фи + Фо; X = l/xL,
^и
^и
о0
о0
Ь2 Ь2
Ь2 Ь2
2
"Б2"
2
"Б2"
Ф“ и*
Ф“ и*
• bQ
2 ativO
l дй
• bQ
2 ativO
l дй
1 -Rf
1 -Rf
^иО - <4
»0
I
^иО - <4
»0
I
dz • ^ u*
dz • ^ u*
Ь2
Ь2
Rf .
1 - Rf 1
Rf .
1 - Rf 1
2^иО
д2 ^0
2^иО
д2 ^0
№
60M
№
60M
22
°и0 ~ °и0
22
°и0 ~ °и0
д2 ^о
д2 ^о
1-Rf '
1-Rf '
А-Ц^-;(8.135)
А-Ц^-;(8.135)
-^-; <р2 = Фи + Фо; X = l/xL,
-^-; <р2 = Фи + Фо; X = l/xL,
2222/22/ 22/ 2•
где au0, od0, a^0 —значения величин аи/и , аа/и , о^/и в нейтрально стратифицированном приземном слое воздуха (связанные соотношением (^о — qdo) aw0= ^ и’ согласно измерениям, равные 5,8; 2,9 и 0,7), а 6 = = о2 + о2 + а^.
Аналогично из уравнений (8.131) и (8.133) получаем
(Чх, qy)q(Чх, qy)qихЬо «р 1 + a ,.•^—ь ГТЙ(ф“’ фо):ихЬо «р 1 + a ,.•^—ь ГТЙ(ф“’ фо):22(8.135')(8.135')г 1 _ 2г 1 _ 2|2^-ф2(1-к<),|2^-ф2(1-к<),
(Чх, qy)q
(Чх, qy)q
ихЬо «р 1 + a ,.
•^—ь ГТЙ(ф“’ фо):
ихЬо «р 1 + a ,.
•^—ь ГТЙ(ф“’ фо):
2
2
(8.135')
(8.135')
г 1 _ 2
г 1 _ 2
|2^-ф2(1-к<),
|2^-ф2(1-к<),
величин(8.129),величин(8.129),X Rf ср3 1 — RfX Rf ср3 1 — Rfкк1 - Rf1 - Rf(8.136)(8.136)араара224"2^ш0^ш04"2^ш0^ш0ap 1 + aa 1 + a0ap 1 + aa 1 + a0
величин(8.129),
величин(8.129),
X Rf ср3 1 — Rf
X Rf ср3 1 — Rf
к
к
1 - Rf
1 - Rf
(8.136)
(8.136)
ара
ара
2
2
4"2
^ш0^ш0
4"2
^ш0^ш0
ap 1 + aa 1 + a0
ap 1 + aa 1 + a0
2 /
где qXQ, ато и а0 —числовые постоянные (пределы соответствующих в нейтрально стратифицированном приземном слое). Из уравнений определения Rf и четвертого уравнения (8.134) получаем
2величину от, получаем для2величину от, получаем для(8.137)(8.137)
2
величину от, получаем для
2
величину от, получаем для
(8.137)
(8.137)
у которого надо брать решение Ф, обращающееся в единицу при Rf->-0. Это решение определяет RfKp. По нему из третьей формулы (8.136) определяется <z = a(Rf). Обращаясь теперь к уравнениям Рейнольдса (8.125), введем в них безразмерную комплексную функцию т W = ^Xz +^ту2^№*’ и тогда после применения к ним оператора Кд/dz они приведутся к изящному виду
Rf iTpx"^^. (8.138)
Решение должно удовлетворять краевым условиям т-И в приземном слое воздуха и т'->0 на верхней границе пограничного слоя (при устойчивой и безразличной стратификации, по-видимому, на конечной высоте). В уравнении (8.138) имеются две неизвестные функции: т и Rf. Дополнительное соотношение между |т| и Rf можно получить, приравняв значения I из первой формулы (8.136) и из обобщенной формулы Кармана (8.62'):
| т ГА Rf (1 -Rf)‘/2 _ / d In W \—1. (1—Rf)‘/8
‘ ’ HIRf ’ (8.139)
Положив т=|цо|Т1 и т) = I Цо l'^8 th > Для функций Ti(rii) и Rf(i]t) получим универсальные уравнения (8.138) — (8.139) со значениями ц0=±1. В этом смысле все стратифицированные ЭПС с одним и тем же знаком стратификации обладают динамическим подобием.
Аналогичные вышеизложенной полуэмпирические теории структуры стратифицированного пограничного слоя атмосферы, использующие «замыкания второго порядка», см., например, в работах Доналдсона (глава 8 в книге Хогена (1973)), Меллора (1973), Левеллена и Теске (1973), Меллора и Ямады (1974), Уингаарда и Котэ (1974), Земана и Ламли (1982); см. также обзор Земана (1981) и приведенную в нем библиографию.
Глава 9
СОПОСТАВЛЕНИЕ ВЫВОДОВ ТЕОРИИС ДАННЫМИ ИЗМЕРЕНИЙ
Профили скорости ветра в приземном слое атмосферы
Перейдем теперь к вопросу о сопоставлении данных непосредственных измерений метеорологических величин в приземном слое атмосферы с теоретическими выводами главы 8. Начнем с простейших измерений средней скорости ветра на различных высотах z, многократно производившихся в разных точках земной поверхности с помощью тех или иных анемометров. Как уже указывалось в гл. 6, в случае ровной подстилающей поверхности и температурной стратификации, близкой к безразличной, эмпирические данные о профиле скорости ветра в нижнем слое атмосферы достаточно хорошо описываются логарифмической формулой (6.39). Однако при наличии заметных градиентов температуры зависимость скорости ветра m(z) от In z (данные о которой можно найти
Рис. 9.1. Эмпирические профили средней скорости ветра в приземном слое при различных термических стратификациях.
у многих авторов, в частности у Торнвейта и Кейзера (1943)) обнаруживает закономерные отклонения от простой линейной зависимости. При этом при неустойчивой стратификации возрастание zZ(z) с ростом In z всегда оказывается более медленным, чем линейное, а при устойчивой стратификации более быстрым. В качестве типичных примеров мы приводим на рис. 9.1 (заимствованном из работы Монина (1953)) осредненные профили, полученные в 1951 г. при измерениях скорости ветра (и температуры) в условиях открытой степи в Казахстане на высотах 0,5, 1, 2, 4>
8 и 15 м. Шесть кривых на рис. 9.1 были получены при помощи осреднения 61 индивидуального профиля скорости ветра по шести группам, однородным в отношении устойчивости, характеризуемой значениями параметра
В7(2)—7(0,5)
То 5Чи ’
где То — стандартная температура, а цифры в скобках указывают высоту (в метрах) точки наблюдения. Число случаев, вошедших в каждую группу, и соответствующее среднее значение параметра 51 приведены в табл. 9.1 вместе с качественной характеристикой
Таблица 9.1
Шифр группы
Числр случаев
100В!
Качественная характеристика
—3
8
—0,52
Сильная неустойчивость
—2
19
—0,24
Умеренная неустойчивость
—1
7
-0,11
Слабая неустойчивость
0
10
—0,01
Безразличная стратификация
1
11
0,17
Слабая устойчивость
2
6
0,56
Умеренная устойчивость
отдельных групп. Мы видим, что, действительно, лишь при безразличной стратификации профиль скорости ветра хорошо описывается логарифмической формулой (т. е. изображается на рис. 9.1 прямой линией). Во всех же остальных случаях на достаточнобольших высотах наблюдаются отклонения от логарифмического» закона, качественно согласующиеся с теоретическими предсказаниями предыдущего параграфа. В то же время на малых высотах профили скорости ветра при всех значениях Bi могут быть приближенно аппроксимированы формулой вида h(z) = Л ln(z/z0) с одним и тем же значением «высоты шероховатости» zo (наиболее надежно устанавливаемым, разумеется, по профилям при стратификации, близкой к безразличной); в условиях, к которым относится рис. 9.1, эта высота оказалась близкой к 1 см.
Согласно выводам из теории подобия, изложенным в главе 8,. изменения скорости ветра с высотой во всех случаях должны определяться универсальной функцией /(£) от безразмерной высоты £ = z/L, где L = — cP9oTou*l^gq. Для непосредственной проверки этого результата и установления точного вида функции /(£) надо иметь, наряду со значениями h(z), также и значения величин и^=\т19оУ1г и q, позволяющие подсчитать масштаб L. Однако надежные приборы, позволяющие непосредственно измерять турбулентные потоки т и q в приземном слое атмосферы, появились лишь в 60-х годах и до сих пор такие изменения не являются массовыми. Поэтому первая эмпирическая проверка общей формулы (8.24), содержащей функцию f^y позволившая впервые построить
примерный график этой функции, была произведена Мониным и Обуховым (1953, 1954) иным путем. В основу этой проверки были положены обширные данные (полученные в ходе четырех экспедиций, проводйвшихся в 1945—1951 гг.) только о профилях ветра и температуры при разных метеорологических условиях. Далее было предположено, что имеют место формулы (8.24) и, кроме того, были приняты еще некоторые добавочные предположения о виде функций f^ и f\^. Хорошая согласованность между собой результатов обработки имеющихся данных, исходящей из этих предположений, в известной мере подтвердила их допустимость и позволила считать найденные таким образом эмпирические значения функции f^) разумным первым приближением.
Добавочные предположения о профилях ветра и температуры, принятые в упомянутых работах Монина и Обухова, состояли в допущении законности «логарифмической + линейной» аппроксимации (8.33) функции /(£) при описании профиля ветра в нижнем четырехметровом слое и в том, что профиль температуры в этом слое предполагается подобным профилю ветра. Исходя отсюда все использовавшиеся профили ветра в пределах нижнего четырехметрового слоя аппроксимировались формулой вида
й{ (2) = Ai (1g г + О) + CiZ.(9.2)
где I — номер профиля, a Ai, Ci и D — эмпирические коэффициенты (определявшиеся по методу наименьших квадратов). Поскольку все измерения относились к высотам г > Zq, коэффициент D предполагался одинаковым для всех профилей, относящихся к одному и тому же месту наблюдения (т. е. для каждой из четырех экспедиций), и равным —1g 20, где 20— шероховатость. Значения же коэффициентов At и Ci позволяли найти для каждого профиля величины и*/х и р/L по формулам
И* ^1. Р I In 10
In 10 ’ L " Ai •
Далее, для каждого профиля вычислялось эмпирическое значение „D g 7(2) —7(0,5),
параметра устойчивости В\ =-2-L, которое в силу фор-
70w2(0
мулы (8.33) и предположения о подобии профилей и^ и 7(2) считалось равным следующему выражению:
Зная zo = 1O~D, можно было определить и число 0 как коэффициент регрессии совокупности значений Ф(р/Л) (где р/Л определялось по формуле (9.3)) на эмпирические значения Bi. При этом выяснилось, что 0^0,6, причем корреляция между значениями Ф(Р/Л) и Si была довольно высокой. По значениям ujz и L = ^"p/L и всем Данным °б h(z) была построена эмпирическая функция
но-/(±4)=-^[^)-.<(4к)]' <=-4>
где знак плюс соответствует устойчивой, а знак минус — неустойчивой стратификации (значение й(|£|/2) при этом определялось интерполяцией измеренных значений й^У Полученные результаты изображены на рис. 9.2; они позволяют построить эмпирическую функцию /(£) на интервале —3 < £ < 6. Мы видим, что несмотря на неточность измерений скорости ветра и сравнительную* грубость использованного приближенного метода определения величин uju и L, эмпирические точки ложатся на гладкую кривую,, состоящую из двух ветвей, с весьма небольшим разбросом (кроме, пожалуй, случаев больших положительных значений £, для которых разброс оказывается довольно значительным). Тем самым полученный график подтверждает существование универсальной функции f(^), определяющей зависимость скорости ветра от высоты. Мы видим также, что эмпирическая функция f(£) в целом согласуется со схематическим графиком, представленным на рис. 8.2, т. с. обладает рядом асимптотических свойств, теоретически предсказанных в предыдущей главе: при условиях, близких к безразличной стратификации (малые |^|), она близка к функции In|£|+ const; при сильной неустойчивости (£ С —1)— асимптотически приближается к постоянной, а при сильной устойчивости (£ >- 1)—возрастает приблизительно как линейная функция (на рис. 9.2 эти три асимптоты изображены штриховыми линиями). Заметим, что, как показали последующие исследования, значения функции Ц^У найденные в первых работах Монина и Обухова, при £ ^ 0 оказались довольно точными, но при £ > 0 они сильно занижены (на самом деле график f^y по-видимому, поднимается вверх при возрастании £ значительно круче, чем это изображено на рис. 9.2).
В дальнейшем графики, аналогичные приведенному на рис. 9.2, неоднократно строились также и на основе другого эмпирического материала, причем результаты чаще всего оказывались довольно близкими к полученным Мониным и Обуховым. Так, Перепелкина (19596) использовала для построения графиков функций ЦО— — f(± V2) данные тщательных измерений профилей ветра и температуры при* z ^ 2 м, опубликованные Паскуиллом (1949) и Райдером (1954), а также данные наблюдений за профилями ветра и температуры до высоты 70 м, проводившихся на 70-метровой вышке в степи вблизи Цимлянска. Шиотани (1962) использовал
для той же цели данные наблюдений за профилями ветра и температуры, проводившихся на 45-метровой телевизионной вышке около Токио (Шиотани (1962)). После того как появились приборы для непосредственных измерений величин и* и q, естественно было также попытаться построить график, аналогичный приведенному на рис. 9.2, исходя из значений L, определенных по результатам таких измерений (одновременных с измерениями профилей). С начала 60-х годов такое построение универсальных функций выполнялось многими авторами; типичными примерами здесь являются работы Гурвича (1965) и Зилитинке- вича, Чаликова (1968а) (см. ниже рис. 9.3 и 9.4).
Рис. 9.2. Эмпирический график функции f(£)—f(±l/2) по Монину и Обухову (1953, 1954).
Разными значками на рисунке отмечены данные, полученные в разных экспедициях.
Графики функции f^)— f(± V2), приведенные на рис. 9.2, очень наглядны и дают хорошее представление об общем ходе зависимости скорости ветра от высоты при неустойчивой и при устойчивой стратификации. Однако для количественной оценки отклонений функции f(£) от логарифмической функции при малых значениях |£| и ее отклонений от постоянной при больших отрицательных значениях эти графики малоудобны, так как соответствующие части эмпирической кривой на таких графиках оказываются сильно сжатыми. Поэтому ряд исследователей использовал преобразования графика рис. 9.2 или же преобразования самой эмпирической функции f^), оказывающиеся более удобными в том или ином отношении. Так, например, Пристли (1959а) преобразовал часть рис. 9.2, отвечающую отрицательным значениям £ (т. е. неустойчивой стратификации), заменив линейную шкалу безразмерных высот £ = z/L логарифмической шкалой. При таком преобразовании отклонения функции f(£) от логарифмической функции при малых |^| стали значительно более заметными, и, в частности, стало видно, что даже при £ <^ —0,05 эти отклонения оказываются довольно значительными (хотя кажется, что на рис. 9.2 сплошная и штриховая кривые при |£|< 0,5 сливаются).
Аналогичные графики (но с заменой значения й(|£|/2) на значение й(|£|/10), во многих случаях проще определяющееся по измеренным значениям u(z)) были позже опубликованы также Р. Тэйлором (1960а), использовавшим данные измерений Райдера (1954) и Суинбенка (1955), и Такеучи (1961) и обработавшим собранный в монографиях Леттау и Дэвидсона (1957) и Бареда (1958) обширный материал наблюдений в степи вблизи О’Нейла (штат Небраска, США), проводившихся в 1953 и 1956 гг. При этом Р. Тэйлор определял значения и Ju и L по данным измерений величин т = рои» и q, производившихся Райдером и Суинбенком, в то время как Такеучи использовал для этой цели аппроксимацию профилей ветра и температуры функциями вида (9.2) и формулы (8.33) и (8.47) (с а0=1, Pi = Р). Одновременно Такеучи на большом материале сравнил получающиеся таким образом значения L со значениями, получающимися при применении близкого по идее (но различающегося деталями) метода Монина и Обухова (1953, 1954) и при использовании измеренных значений и* и q. Согласно полученным им результатам, все три перечисленных метода определения L приводят к сравнительно близким значениям, которые в пределах точности существующих метеорологических наблюдений во многих случаях можно считать практически эквивалентными. Наконец, Гурвич (1965) построил такие же графики по данным одновременных измерений профиля ветра, турбулентного потока тепла и напряжения трения, проводившихся летом 1962 и 1963 гг. вблизи г. Цимлянска (рис. 9.3 и 9.4, точки на которых соответствуют данным, осредненным по ряду измерений).
Дополнительные результаты обработки данных о профилях ветра на основе теории подобия (см. главу 8) можно найти в ряде
работ, включая работы Пановского, Блэкадера и Маквейла (1960), Пановского (1963, 1965), Ламли и Пановского (1964), Пановского, Буша, Прасада и др. (1966), Уэбба (1960, 1965), О’Брайена
Рис. 9.3. Эмпирический график функции /(£) — /(—1/2) при £ < 0 по данным Гурвича (1965),Рис. 9.3. Эмпирический график функции /(£) — /(—1/2) при £ < 0 по данным Гурвича (1965),
Рис. 9.3. Эмпирический график функции /(£) — /(—1/2) при £ < 0 по данным Гурвича (1965),
Рис. 9.3. Эмпирический график функции /(£) — /(—1/2) при £ < 0 по данным Гурвича (1965),
(1965), Суинбенка (1964, 1966, 1968), Суинбенка и Дайера (1968), Буша (1965), Буша, Фриззолы и Сингера (1968), Бернстайна (1966), Чарнока (1967а, б) Полсона (1967), Бюсингера, Мияке,
Дайера и Бредли (1967), Зилитинкевича и Чалико- ва (1968а),Райкорта (1968), Фихтля (1967), Бюсингера с соавторами (1971), Хоге- на (1973), Пановского и Даттона (1984) и др. Аналогичные результаты были также получены в лабораторных экспериментах со специальными аэродинамическими трубами, в которых часть дна могла нагреваться или охлаждаться для созда-
Рис. 9.4. Эмпирический график функции НУ— /(1/10) при £>0 по данным Гурвича (1965).
ния термической стратификации (см., например, работы Малхотры и Сермака (1963), Сермака, Сендборна и др. (1966), Сермака и Чуонга (1967), Чуонга и Сермака (1967)). Хотя во всех измерениях разброс экспериментальных точек был значительным, значе-
ния Ц^) у различных исследователей оказались в целом удовлетворительно согласующимися друг с другом (некоторые из обнаружившихся расхождений будут указаны ниже).
В ряде случаев при обработке эмпирических данных за основу принимался не сам профиль ветра u(z), а значения градиента скорости ветра du^jdz. Согласно формуле (8.15х) для получения универсальной зависимости надо рассмотреть безразмерную величину
* (9.5)
или, что то же самое, величину
U.2^ф(£) *
дг
Поскольку, однако, вычисление значений z(L = £ требует знания турбулентных потоков т = ри* и q, последний из которых трудно»
t(Ri)
1,0-0,7-1,0-0,7-0,5- ОЛ*0,5- ОЛ*2, Or1)5-
1,0-
0,7-
1,0-
0,7-
0,5- ОЛ*
0,5- ОЛ*
Рис. 9.5. Эмпирический график функ
ции K(Ri) по Гурвичу (1962).0JD05 0,010,02 0,05 0,1 0,2 0,5 1 23 5 -Ri
измерить с хорошей точностью, то значения К чаще определялись ~б дт WduV
в зависимости от числа Ричардсона Ri1 =
являющегося однозначной функцией от £. Графики
функции K(Ri) были опубликованы Райдером (1954), Диконом (1955), Эллисоном и Тернером (1960), Гурвичем (1962), Диконом и Уэббом (1966) и Уэббом (1965). На рис. 9.5 мы приводим один из графиков Гурвича (1962), относящийся к диапазону —0,005 ^ ^ Ri ^—4 и учитывающий также и данные Дикона (1955). Штриховой линией на этом графике нанесена зависимость
*I // 9 \31 /
(9.7)(9.7)К (Ri) = a I Ri I Л; а = М-) ха1*о
(9.7)
(9.7)
\ ^2 /
отвечающая асимптотическому «закону */з» (см. (8.39)) с коэффициентом а = 0,97, найденным в результате применения метода наименьших квадратов к совокупности данных с Ri < —0,05.
Сплошной линией отмечено асимптотическое значение К(0) = х «
« 0,4 функции К (Ri) в области применимости логарифмического закона, которое весьма точно определяется по графику функции K(Ri), построенному с использованием линейной шкалы чисел Ri. Значения Ri > 0 (устойчивая стратификация) на рис. 9.5 отсутствуют, но вообще наблюдения при больших положительных Ri в метеорологии очень редки. Поэтому наиболее обширные данные о значениях К (Ri) при Ri > 0 были получены Эллисоном и Тернером (J960) в лабораторных экспериментах, в которых роль градиента температуры играл градиент солености воды (ср. ниже п. 9.2). Данные Эллисона и Тернера, вообще говоря, характеризу
по-Р°-ZТ7по-Р°-ZТ7ются большим разбросом точек, но в целом они убедительно называют, что и на положительной полуоси К (Ri) убывает с стом Ri, как этого и следовало ожидать.
по-
Р°-
Z
Т7
по-
Р°-
Z
Т7
оxz ди
Зависимость величины ср = -—^от параметра V =
a$LL также однозначно связанногоa$LL также однозначно связанного/ т / ди I g дТ \где L — и^р-^-^
a$LL также однозначно связанного
a$LL также однозначно связанного
с £, была изучена на большом эмпирическом материале Панов- ским, Блэкедаром и Маквейлом (1960). Согласно их результатам, функция ф(£) при всех отрицательных £' (т. е. при неустойчивой температурной стратификации) хорошо аппроксимируется решением уравнения (8.60) с коэффициентом о' = па_оо = 18 (т. е. со- •отношением ф(^) = (1—o'Ri)-1^ с о'= 18— см. п. 8.4, формулу (8.58')). Позже это уравнение было проверено на обширных материалах измерений в различных местностях в ряде работ, включая Кондо (1962), Ламли и Пановского (1964), Пановского (1965), Суинбенка (1966), Пановского, Буша и др. (1967), Бернстейна (1966), Чарнока (1967а), Полсона (1967), Фихтля (1968) и Рей- корта (1968). В результате имеются небольшие расхождения, но в общем можно заключить, что формула вида ср(£) = (1 — oRi)~1/4 описывает имеющиеся данные при всех отрицательных Ri с достаточной точностью, если о' выбирается из интервала между значениями 10 и 20 (например, Полсон считает наилучшим значение о'= И, Кондо рекомендует полагать о' = 13, а по работам Пановского и его группы, во всех местностях о' = 18).
Тем не менее некоторые исследователи предпочитают исходную формулу Эллисона (8.58) (или, что то же самое, формулу (8.60)), которая эквивалентна (8.58'), лишь если а(£) считается постоянным; однако, в этом приближении для ф(£) коэффициент обычно оказывается значительно меньшим, чем а' (исключение составляют работы Пановского и др. (1960) и Бернстейна (1966), в которых рекомендуется значение о =14, а также Зилитинкевича и Чали- кова (1968а), где в ограниченном интервале значений Ri получено о= 12). Так, Пановский (1965) и Клюг (1967) рекомендуют зна- чёние о = 7, Паскуил (см. Суинбенк (1966)) признал подходящими значения между 4 и 6, а Чарнок (1967а) использует в своем пересмотре результатов Бернстейна значение о = 4 (во всех этих
работах использовались материалы измерений Суинбенка в Австралии). Относительная малость а хорошо согласуется с тем, что а-оо оказывается значительно больше единицы (см. п. 9.2 ниже). Отметим также, что обе формулы—(8.58) и (8.58')— согласуются с «законом 7з» (8.39) при а=(3/С2)3 и о'= оа_оо =(а/^4, где о'— константа Гурвича в формуле (9.7). Поэтому данные рис. 9.4 соответствуют значению о порядка 30 (тогда как о'= 18 соответствует значению а « 0,82).
Уэбб (1960) аппроксимировал эмпирические значения ф(^) на полуоси ^ ^ 0 уравнением вида (8.56), которое приводит к значениям ф(£')> близким к получаемым из уравнения v(Ri) =
Рис. 9.6. Эмпирический график универсальной функции ф(^) по данным Гурвича.Рис. 9.6. Эмпирический график универсальной функции ф(^) по данным Гурвича.Рис. 9.7. Эмпирическая зависимость £' = У а от числа Ричардсона Ri при Ri < 0, полученная в результате ‘осреднения данных Пановского, Блэкедара и Мак- вейла (1960), а также Уэбба (1960) (/) и по данным Гурвича (1962) (2).Рис. 9.7. Эмпирическая зависимость £' = У а от числа Ричардсона Ri при Ri < 0, полученная в результате ‘осреднения данных Пановского, Блэкедара и Мак- вейла (1960), а также Уэбба (1960) (/) и по данным Гурвича (1962) (2).
Рис. 9.6. Эмпирический график универсальной функции ф(^) по данным Гурвича.
Рис. 9.6. Эмпирический график универсальной функции ф(^) по данным Гурвича.
Рис. 9.7. Эмпирическая зависимость £' = У а от числа Ричардсона Ri при Ri < 0, полученная в результате ‘осреднения данных Пановского, Блэкедара и Мак- вейла (1960), а также Уэбба (1960) (/) и по данным Гурвича (1962) (2).
Рис. 9.7. Эмпирическая зависимость £' = У а от числа Ричардсона Ri при Ri < 0, полученная в результате ‘осреднения данных Пановского, Блэкедара и Мак- вейла (1960), а также Уэбба (1960) (/) и по данным Гурвича (1962) (2).
= (1 — 18Ri)—1/4 при всех нс слишком больших значениях —У (см. работы Пановского (1963) или Ламли и Пановского (1964)), но в пределе при У -з—оо соответствует «закону Vs» в форме ф(^) ~ « —(ЗО^)^8 (т. е- уравнению ф ^(—30Ri)—1/4). Позже Уэбб (1965) предложил другую форму универсального уравнения для профиля ветра, которая при £ <С —1 нс согласуется с «законом 7з»- Некоторые преобразования и аппроксимацию наиболее широко употребляющегося уравнения ф(Ri) = (l — o'Ri)”74 можно найти у Фихтля (1968). В работе Зилитинкевича и Лайхтмана (1965) утверждается, что их полуэмпирическое уравнение для ф(£) дает удовлетворительное описание результатов измерений (однако в этой работе использовались лишь ранние измерения). Суинбенк (1964, 1966) нашел, что его экспоненциальная формула (8.71) (которая противоречит «закону 7з») довольно хорошо аппроксимирует имеющиеся данные измерений, но некоторые другие авторы это мнение не разделяют (см., например, Баред (1963), Пановский
(1965), Суинбенк (1966); см. также Бернстейн (1966) и Чарнок (1967а)). Расходится с «законом */з» и эмпирическая формула (8.72') для ф(£), но ее хорошее согласие со многими эмпириче- скими данными, относящимися к умеренно неустойчивым термическим стратификациям, сделало эту формулу популярной среди прикладников (об этом уже говорилось в п. 8.4). Чисто эмпириче- ские графики функций ф(^) и ф(^) были построены Гурвичем
Рис. 9.8. Эмпирическая зависимость £ от Ri по Мордуховичу и Цвангу (1966).Рис. 9.8. Эмпирическая зависимость £ от Ri по Мордуховичу и Цвангу (1966).(1962, 1965) (см. рис. 9.6 из второй из этих работ), а также Бушем (1965) и Су- инбенком (1968)); в этих работах дана также зависимость ^_1/зф(О от Ri. Результаты всех этих работ в целом не противоречат предположению об универсальности, но обнаруживают некоторые отклонения друг от друга. Зная функцию ср(£) (или /(£)), легко найти и зависимость динамического числа РичардсонаRf =
Рис. 9.8. Эмпирическая зависимость £ от Ri по Мордуховичу и Цвангу (1966).
Рис. 9.8. Эмпирическая зависимость £ от Ri по Мордуховичу и Цвангу (1966).
=Оф(О от £. Точно так же, зная функцию <р(О), где
О =2,1/ = Оа(О, легко найти зависимость обыкновенного числа Ричардсона Ri= Rf/a = О/ф(О) от 0- Последняя зависимость, получающаяся по данным Пановского, Блэкедара и Маквейла (1960), Уэбба (I960) и по данным Гурвича (1962), показана на рис. 9.7 (для значений О < 0, т. е. для неустойчивой стратификации). Если считать (как это часто делается), что a(£) = 1, то эта зависимость будет тождественно совпадать и с зависимостью Ri от ^. Наконец, если мы знаем функцию а(£) (ее определение будет обсуждено ниже) и функцию <р(£) (или <р(£'), то можно определить зависимость обоих чисел Ричардсона Rf и Ri от любого из аргументов £ или £'. В качестве примера на рис. 9.8 показана зависимость £ от Ri по данным Мордуховича и Цванга (1966). Эмпирические графики зависимости Ri от £ (или £z) были построены также Пановским (1963); см. в этой связи книгу Ламли и Пановского (1966) и работы Гурвича (1962), Уэбба (1965), Пандольфо (1966), Суинбенка (1968) и др. Эмпирический график зависимости Rf от 5 был сконструирован Крамером (1967). При £->0 и Ri —0г разумеется, Rf~£ и Ri~£'~£/a0 (см. формулу (8.28)). Поэтому из данных рис. 9.8 (и из всех других данных о зависимости Ri от £) следует, что а0 близко к единице.
Точность имеющихся в 60-х годах данных об осредненных профилях и турбулентных потоках нс позволяла надежно оценить степень достоверности различных формул, предлагавшихся в те годы для описывающих профили скорости ветра универсальных функций. Поэтому вряд ли стоит детально обсуждать все эти фор-
мулы. Рассмотрим в качестве примера результаты Зилитинкевича и Чаликова (1968а) (см. также книгу Зилитинкевича (1970)), использовавших обширные данные измерений Института физики атмосферы АН СССР за период 1963—1965 гг. в степи около г. Цимлянска. В случае неустойчивой стратификации (устойчивая будет рассмотрена позже) предполагалось, что справедлива простая интерполяционная формула (8.53), т. е. что
ГК) =ГК) =in । а+ка1 + сс'иin । а+ка1 + сс'ипри ^Спри ^Спри £ < £Ьпри £ < £Ь0,0,(9.8)(9.8)
ГК) =
ГК) =
in । а+ка1 + сс'и
in । а+ка1 + сс'и
при ^С
при ^С
при £ < £Ь
при £ < £Ь
0,
0,
(9.8)
(9.8)
где неизвестные константы ди и р могут быть исключены требованиями непрерывности функций f(£) и ^^=^f^ в точке £ = £ь Поэтому в эту форму универсальных функций для профиля скорости ветра на отрицательной полуоси £ < 0 на самом деле входят только два неопределенных коэффициента С2 и ^. Значения этих коэффициентов (и константы х, входящей в определение универсальных функций) были определены методом наименьших квадратов по всем данным одновременных измерений профилей скорости ветра и температуры и турбулентных потоков т и q. В результате были получены следующие оценки: С2 ~ 1,25; ^ « i^—0,16; х^0,43, откуда следует, что р«1,45 и ai«0,24. Доверительные интервалы (95 %) всех этих оценок оказались довольно узкими, и эмпирические точки концентрировались около кривой (9.8) с относительно небольшим разбросом; таким образом, асимптотическое поведение функций f(£) и <р(£) =£/'(£), заданных формулами (9.8), согласуется с обработанными Зилитинкевичем и Чаликовым экспериментальными данными (к сожалению, относящимися лишь к узкому интервалу 0 ^ £ ^—1,2). Зилитинкевич и Чаликов также установили, что эти данные без заметного увеличения разброса могут быть описаны и формулой вида (8.49)
In | £ [ при —0,07 < £ < 0,*(9.8')
1,2: /з +0,25 при: <-0,07
или формулой (8.60) с а = 12, или полуэмпирическим уравнением типа предложенного Зилитинкевичем и Лайхтманом (1965).
Мы уже видели, что согласно данным Гурвича, представленным на рис. 9.5, «закон */з» начинает выполняться уже при —: > 0,05, причем С2 ~ 0,93а2«. Более непосредственная проверка этого закона была еще раньше осуществлена Р. Тэйлором (1960а, б), который представил значения ^-£ й(г)—“(^г)]1 найденные Мониным и Обуховым (1954) и подсчитанные по данным Райдера (1954), Суинбенка (1955), Леттау и Дэвидсона (1957), в виде функции от |£|-,/з. При этом он тоже обнаружил, что уже при —: « 0,05... 0,08 соотношение (8.39), выражающее «закон Vs», выполняется довольно хорошо. Оказалось также, что данные Монина и Обухова, Суинбенка, Леттау и Дэвидсона (при
уравнению Пановского иK(Ri) = x(l — 18Ri)’/9 и С2уравнению Пановского иK(Ri) = x(l — 18Ri)’/9 и С2
уравнению Пановского и
K(Ri) = x(l — 18Ri)’/9 и С2
уравнению Пановского и
K(Ri) = x(l — 18Ri)’/9 и С2
обработке которых использовались три разных способа оценки длины L) хорошо согласуются друг с другом и приводят к примерно одинаковым значениям коэффициента С2= С^3 а.^ (а именно, к значениям С2 ^ 1,3... 1,5, так что Ci « 4,4cCL . . ... 5aZL ; см. рис. 9.9, где пунктирная прямая отвечает значению С2 = 1,4), в то время как по данным Райдера С2 « 0,8... 0,9 (т. е. Ci « 2,7aZL ... SaZL). Аналогично этому уравнение (8.59) относительно функции ф(£х) с о=18, эмпирически полученное Па-
новским, Блэксдаром и Маквейлем, и формула Уэбба также приводят к выводу о том, что соотношения (9.7) и (8.39) начинают выполняться уже при сравнительно малых отрицательных Ri или £. При этом для коэффициентов С2 и Ci здесь получаются следующие значения: С2 = За 2^/(18)1/з ^ 1,1а2^, Ci ~ 3,8а zX3 согласно
др. (эквивалентному соотношению « 0,95a2u, Ci « 3,2aZX3, согласно формуле Уэбба. Наконец, данные последней работы Гурвича (1965), представленные на рис. 9.3, также хорошо подтверждают «закон Vs» и приводят к выводу о том, что Сг~1,4, хорошо согласующемуся с результатами Р. Тэйлора, представленными на рис. 9.9. Заметим еще, что справедливость «закона 7з» (теоретически относящегося лишь к случаю очень больших отрицательных £) уже при очень небольших —£, так же как и наличие значительных отклонений функции f^ от логарифмической функции уже при значениях |£| порядка
Рис. 9.9. Проверка «закона 1/3» для профиля ветра при сильно неустойчивой стратификации (по Тэйлору (1960 б)).
нескольких сотых, показывают что толщина подслоя динамической турбулентности (в котором термические факторы нс играют заметной роли) на самом деле составляет лишь очень небольшую долю от | А | ).
Измерения профилей скорости и турбулентных потоков в термически стратифицированных течениях, созданных в специальных аэродинамических трубах, еще менее надежны, чем полевые ме-
теорологические измерения. Однако данные Сермака, Сендборна и др. (1966), Чуонга и Сермака (1967) вполне согласуются с выводами теории подобия (см. главу 8) и показывают, что нс имеется никаких существенных расхождений между универсальными соотношениями, полученными в аэродинамических трубах с искусственной термической стратификацией и в приземном слое атмосферы (и при неустойчивой, и при устойчивой стратификации). Менее определенные результаты получаются при проверке асимптотического закона (8.43) — (8.44), относящегося к случаю предельно устойчивой стратификации. В области больших положительных значений £ эмпирические данные вообще хуже всего согласуются с предположением о существовании универсального подобия, определяемого одной лишь безразмерной высотой z/L (поэтому график Гурвича на рис. 9.4 до дополнительного подтверждения следует рассматривать, как предварительный). Возможно, что разброс экспериментальных точек при таких £ объясняется сильной перемежаемостью турбулентности при устойчивой температурной стратификации, приводящей к значительной изменчивости временных средних значений, ввиду которой для получения надежных результатов здесь требуется существенно увеличить период осреднения. Какую-то роль здесь может играть и то, что мощные инверсии в приземном слое воздуха обычно сопровождаются сильным радиационным выхолаживанием, при котором метеорологические условия оказываются уже нестационарными, a q заметно изменяется с высотой. Отмстим, тем нс менее^ что еще в начале 50-х годов Райдер и Робинсон (1951) и Хелстед (1952) нашли из наблюдений, что при очень устойчивой стратификации профиль ветра обычно оказывается примерно линейным. Тот же вывод можно сделать и из результатов наблюдений Лилиеквиста (1954), проводившихся в Антарктике, где сильные инверсии весьма обычны. Согласно Маквейлу (1964) и Уэббу (см. Лам ли и Панов- ский (1966)), при 0 ^ ^ ^ 0,3, где ^ = г/Ь', функцию ф(^) сравнительно хорошо представляется формулой ф(£х) = 1 Н-р"^, где Р" = 7 по данным Маквейла (обработавшего результаты наблюдений, проводившихся вблизи О’Нейла в США и на станции Южный полюс в Антарктике) и р" « 4,5 по данным Уэбба. Исходя отсюда, Уэбб высказал предположение, что функция Ф (^) при всех положительных значениях £ должна неплохо аппроксимироваться выражением
Ф(О-1+К—
имеющим правильное асимптотическое поведение и при ^-»-+00> и при £->-0. Если еще принять, что при степени устойчивости, характерной для приземных инверсий, а лишь немного отличается от единицы, то надо будет считать, что коэффициент р' по порядку величины близок к С3.
Данные Гурвича (1965), представленные на рис. 9.4, как будто бы показывают, что ф(С)~ Cg£ +const при ? ^ 0,3, где Сз ~ 10
(заметим только, что точность этих данных заметно ниже точности данных той же работы, относящихся к неустойчивой стратификации). Наконец, обработка различных метеорологических измерений в температурных инверсиях Маквейла (1964), Уэбба (1965) (см. также книгу Ламли и Пановского (1966), О’Брайена (1965), Гурвича (1965), Буша (1965), Пановского, Буша и др. (1967), Хегстрема (19676), Чаликова (1968), Хебера (1968), Зи-
ч^.^ „/с ■
Рис. 9.10. Сравнение предсказаний «логарифмического + линейного» закона с р" = 7 о разности й2 — ^i скоростей ветра на высотах 1 и 2 м с данными измерений Маквейла (1964) при устойчивой стратификации (при 0<z/L'<03).
литинкевича и Чаликова (1968а) приводит к весьма сходным выводам, что усиливает их убедительность. Согласно всем этим данным, при возрастании устойчивости нс происходит резкого изменения режима (похожего на переход от вынужденной конвекции к свободной при неустойчивой стратификации), и профиль ветра может быть описан одним и тем же «логарифмическим-!-линейным» законом (8.58) в широком интервале положительных значений £ (или или Rf, или Ri).
В качестве примера на рис. 9.10 приводится сравнение расчета по формуле f(£j =ln £' + 7£' +const или, что то же самое, ф(£') = = 1+7^ (сплошная линия на рисунке) с результатами измерений Маквейла, выполненными около О’Нейла, Небраска, и на станции Южный полюс в Антарктиде. График демонстрирует очень хорошее совпадение; согласно Пановскому и др. (1967), формула ф(ъ) = 1+7£' в этом интервале значений V приблизительно эквивалентна формуле ф(£)= 1 + Ю£ вида (8.58). Это же значение pi = 10 коэффициента Рр в формуле (8.58) было получено Гурвичем (1965) (см. рис. 9.4), Зилитинксвичсм и Чаликовым (1968а) (см. также Зилитинксвич (1970)), которые обработали по методу наименьших квадратов обширные данные ряда экспедиций в степи около Цимлянска.
В то же время О’Брайен (1965) получил осредненную оценку Р"«5,0 (с большим разбросом) коэффициента в формуле ф(£') = = 1 + Р"^; Фихтль (1968) использовал двухслойное представление Ф(^) = 1+4,5^ при 0 < Ri <0,01 и =1+7^ при 0,0 Ri < 0,1, а Чаликов (1968) по данным советской антарктической экспедиции получил Pi « 7. Значение Pi « 7 было получено также Сермаком и др. (1966) из лабораторных измерений в аэродинамической трубе с устойчивой термической стратификацией. Таким образом, следует заключить, что формула (8.58) с Pi «10 удовлетворительно описывает почти все имеющиеся данные при устойчивой стратификации. Коэффициент Сз в асимптотических формулах (8.43) и (8.44), по-видимому, должен быть такого же порядка (около 0). В этой связи интересно отметить, что данные Эллистона и Тернера (см. п. 9.2) приводят также к выводу о том, что значение константы R = Rfcr, по-видимому, находится между 0,1 и 0,15, так что, согласно этим данным, Сз = 1/R «7... 10. Однако наиболее надежные оценки значения р^ были, по-видимому, получены Уэббом (1970), пришедшим к выводу о том, что Pi « 5,2, и участниками большой микрометеорологической экспедиции в штате Канзасе, США, в 1968 г. (см. Бюсингер и др. (1971)), нашедшими, что р'«4,6. Эти две оценки весьма близки и неплохо согласуются также с результатами большинства последующих измерений в полевых условиях при устойчивой стратификации; поэтому в настоящее время принято считать, что Р'^5 (см., например, Хоген (1973), главы 1 и 2; Яглом (1974а); Ханна и др. (1982); Пановский и Даттон (1984); Ньистадт и Ван Доп (1985), глава 2).,
Легко видеть, что формула ф(^) = 1 + Pi С эквивалентна соотношению ф(Rf) = (1 — pl Rf)-1. Зависимость £ от Rf в этом случае также принимает очень простой вид: здесь $ = Rf(1—p'Rf)-1 и Rf = £(l+P'£)_1 (см. уравнение (8.20)). Аналогично этому, если Ф(П = 1 + РТ, то r = Ri(l-P//Ri)-1 и Ri =£'(1+Р"£')-1. Если а(£) считается константой (и она известна), то эти соотношения дают также зависимость Ri от £. Эмпирический график этой зависимости по Гурвичу (1965) приведен на рис. 9.11.
Наконец, значение постоянной р в формулах (8.32) — (8.33), определяющей поведение функций ф(£) и f(£) при малых |£|, оказывается весьма неопределенным — оно сильно зависит от выбора интервала 5, по которому это значение находится. Как мы уже указывали, в работе Монина и Обухова (1954) было найдено, что значение р « 0,6 приводит к неплохой аппроксимации профиля ветра в нижнем четырехметровом слое «логарифмической + линейной» функцией. Этот результат был позже подтвержден также Па- новским, Блэкедаром и Маквейлем (1960), О’Брайеном (1965), Бушем (1965), Бернстейном (1966а) и другими авторами, использовавшими аппроксимацию вида (8.32) для сравнительно широ-
кого диапазона отрицательных значений L В то же время некоторые авторы, определявшие р фактически с помощью формулы
Г д / xz ди \1
L ^ \ ы* дг Д=о’
получили значительно большие значения р — порядка нескольких единиц (например, Зилитинкевич и Чаликов (1968а) нашли, что Р= 1,45 или даже порядка 10 (см., например, Уэбб (1960, 1965), Р. Тэйлор (1960а) и таблицу значений р в работе Кондо (1962а)).
Рис. 9.11. Эмпирическая зависимость Ri от £ при устойчивой стратификации по данным Гурвича (1965).
Отсюда видно, что определение р из условия наилучшей аппроксимации на конечном интервале значений £ не совпадает с определением р по производным от функции ф(£) в нуле. Положение осложняется еще тем, что второе определение может дать два разных значения р в зависимости от того, определяются ли производные по значениям при устойчивой стратификации (т. е. в точке £ = + 0) или по значениям при неустойчивой стратификации (в точке ^ = — 0); первое же определение, вообще говоря, будет приводить к различным р при любых различных интервалах аппроксимации. Поэтому нет ничего удивительного в том, что в работах Р. Тэйлора (1960а, б), Такеучи (1961) и Кондо (1962а) был получен целый ряд разных значений р. Исходя отсюда к использованию «логарифмическойЧ-линейной» аппроксимации вообще надо относиться с известной осторожностью, и при £ < 0 ее вряд ли целесообразно широко применять. Дело в том, что в силу данных, приведенных на рис. 9.3, при неустойчивой стратификации переход от логарифмического закона для профиля скорости к следующему за ним «закону 7з» происходит в очень тонком слое, поэтому формулы (8.32) и (8.33), относящиеся фактически только к этому переходному слою, здесь. нс имеют большого смысла.
Скажем теперь несколько слов о результатах последних лет. Напомним, что данные Зилитинкевича и Чаликова (1968а) хорошо подтвердили «закон 7з» (8.40) для профиля й(г), но лишь для ограниченного интервала —0,07 ^- £> —1,2 значений 5- Представленные на рис. 9.3 и 9.9 экспериментальные данные также хорошо 452
согласуются с этим законом, но и они охватывают лишь интервал значений — £, нс превосходящих 1,5. В главе 8 уже отмечалось (в частности, в связи с обсуждением формул Бюсингсра—Дайера (8.72')), что это обстоятельство имеет общий характер: данные измерений профиля ветра казались хорошо согласующимися с «законом 7з» для функций f^ и у(£), лишь пока они охватывали только нс слишком большие значения —£; когда же появились измерения при сильной неустойчивости, такой, что £ « —2 или даже еще больше (такие значения £ довольно редко достигаются в средних широтах на высотах порядка нескольких метров, на которых обычно производились первые измерения), то выяснилось, что экспериментальные значения ф(£), начиная со значений —С, лишь ненамного превышающих единицу, уклоняются вверх от кривой ф(£) = -—-1£|-1/\ которая, казалось бы, должна соответ
ствовать асимптотике при £->—оо. Это уклонение впервые было четко зафиксировано при обработке результатов экспедиции в штате Канзас (США) в 1968 г. (см. Бюсингер и др. (1971), где приведены данные вплоть до значений —£, немного превышающих 2), хотя кое-какие указания на его справедливость имелись и раньше (напомним, что формулы Бюсингсра—Дайера (8.72'), согласно которым ф(£) ~ |£|~1/4 при £->—оо, были предложены еще в 1966 г.).
После 1971 г. большинство новых измерений профилей ветра при сильной неустойчивости привело к результатам, неплохо согласующимся с первой формулой (8.72'), которая приобрела в этой связи очень большую популярность.
Формулы (8.72'), однако, являются чисто эмпирическими — они нс имеют никакого теоретического объяснения. Что касается факта уклонения профиля скорости ветра от «закона Уз» в области больших по модулю отрицательных значений £, то здесь одно возможное объяснение было предложено Бетчовым и Ягломом (1971). Эти авторы опирались на результат Зилитинкевича (1971), показавшего, что «закон Уз» получается при приложении к профилю скорости ветра «анизотропного анализа размерностей» с разными размерностями вертикальных и горизонтальных длин. Как было указано в п. 8.3, Бетчов и Яглом пришли к выводу о том, что такой анализ должен приводить к верным результатам лишь в ограниченном интервале отрицательных значений £, не слишком больших, но и не слищком малых по абсолютной величине. В то же время при £ <С —1 должен наблюдаться «режим свободной конвекции», при котором величина и* уже не влияет на профиль скорости ветра и поэтому выполняются формулы (8.40').
В 1971 г. данные о профиле ветра при значениях г порядка нескольких \L\ (и L < 0) полностью отсутствовали, и Бетчов и Яглом даже предположили, что слой свободной конвекции, возможно, почти никогда нс существует в земной атмосфере. В последующие годы, однако, появились, наконец, данные измерений профилей ветра и температуры при весьма больших значениях —V
В первую очередь следует упомянуть измерения, проводившиеся в 1981—1987 гг. на научной базе Института физики атмосферы АН СССР вблизи Цимлянска. Для этих измерений использовалась 40-метровая мачта, и они охватили интервал отрицательных значений £ вплоть до £^—12. Б. А. Кадер, участвовавший в измерениях, организовал (частично вместе с В. Г. Перепелкиным — см. Кадер (1988), Кадер и Перепелкин (1989), а также Кадер и Яглом (1990)) тщательную обработку полученных данных, уделяя особое внимание именно случаям очень сильной неустойчивости. Выяснив, что результаты измерений в Цимлянске неплохо согласуются с предположением о существовании в неустойчиво стратифицированном приземном слое как динамико-конвективного подслоя, в пределах которого выполняются формулы (8.40), так и расположенного выше него слоя свободной конвекции, где верны соотношения (8.40х), он занялся поисками других данных, относящихся к столь же большим значениям —£. При этом он выяснил, что сводные таблицы данных измерений как в экспедиции 1968 г. в штате Канзас (Изуми (1971)), так и в экспедиции 1973 г. в штате Миннесота (Изуми и Кофи (1976)) и международной экспедиции в Австралии в 1976 г. (Гаррат и др. (1979), Дайер, Гаррат и Фрэнси (1981)) содержат довольно много результатов, относящихся к большим отрицательным значениям £, которые, однако, нс были учтены в основанных на материале этих экспедиций научных статьях Бюсингсра и др. (1971), Фрэнси и Гаррата (1981), Дайера и Брэдли (1982) (во всех указанных статьях безразмерные профили ср(£) и фЦ?) аппроксимировались формулами Бюсингсра—Дайера (8.72')). Пренебрежение данными измерений при больших отрицательных £, возможно, объясняется тем, что большие значения |£|, как правило, отвечают случаям слабого ветра (когда и*, а значит, и |L| мало), а при слабом ветре данные измерений всегда характеризуются большим разбросом. Однако тот факт, что средние данные измерений при больших —£ в Ростовской области СССР, Австралии и штатах Канзас и Миннесота в США оказались очень близкими друг к другу, дает основание отнестись к ним с определенным доверием и попытаться выявить отвечающие этим данным закономерности. На рис. 9.12 (заимствованном из статьи Кадера и Перепелкина (1989)) приведен свободный график значений функций ф(^) и Ф1(£) (о ее измерениях мы будем говорить в п. 9.2) по данным измерений в Цимлянске (светлые кружки) и результатам экспедиций в штатах Канзас и Миннесота, а также в Австралии (черные кружки); каждая точка здесь отвечает среднему значению всех измерений в пределах узких интервалов оси —£ с центрами, совпадающими с абсциссами соответствующих точек. Мы видим, что данные измерений хорошо согласуются с предположением Бетчова и Яглома (1971) о существовании в неустойчиво стратифицированной атмосфере трех слоев, в пределах которых функция ф(£) задастся очень простыми формулами: логарифмического подслоя, где ф(£)~ 1, динамико-конвективного подслоя, где ф(^) ^ С2 [^|-1/з и, наконец, 454
подслоя свободной конвекции, где ф(^)« С2 (£)'/з. Согласно данным, представленным на рис. 9.12, в первом приближении допустимо считать, что Сг ~ 0,5 и С» я 0,4, а границы указанных подслоев — задавать неравенствами: z^0,04|L|, 0 > £J>—0,04 (логарифмический подслой); 0,12|L| / z ^ 1,2|L|, —0,12 ^ ^ ^г> ^—1,2 (динамико-конвективный подслой) и z ^ 2|L|, £ ^—2
Рис. 9.12. Эмпирические значения функций <р(?) и <Pi (5) (ПРИ ? < 0) по данным измерений в Цимлянске в 1981—1987 гг. (светлые кружки) и по данным экспедиций в США (в штате Канзас в 1968 г. и штате Миннесота в 1973 г.) и в Австралии в 1976 г. (черные кружки).
Сплошные линии описываются формулами, указанными на рисунке, а штриховые — интерполяционными формулами Кадера и Перепелкина (1989).
(слой свободной конвекции). Штриховой линией на рис. 9.12 про- [1 । о 4£2 1
—^- рз, подобранная Кадером и Перепелкиным таким образом, чтобы неплохо соответствовать эмпирическим данным о ф(^) при всех учтенных на этом рисунке значениях £.
Данные о профилях температуры и влажности
Наряду с наблюдениями за профилем скорости ветра й(г), к числу весьма обычных метеорологических наблюдений относятся также и наблюдения за профилями средней температуры Т^ и (в меньшей мере) средней влажности ^(г) в приземном слое атмосферы. Для измерения температуры используются термометры разных типов, снабженные специальными приспособлениями, предохраняющими их от непосредственного влияния солнечной радиа-
ции. Наиболее удобными для измерения профилей T(z) являются электрические приборы — термометры сопротивления и термисторы, в которых регистрируются измерения силы тока, вызванные изменениями сопротивления вынесенного в атмосферу проводника или специального полупроводника (термистора) при повышении лпературы, и термопары, один из спаев которых поддерживается при постоянной температуре, а второй выносится в атмосферу (см., например, Лайхтман и Чуднов- ский (1949), Кречмер (1957), Леттау и Дэвидсон (1957)). Существенно, что электрические приборы позволяют непосредственно измерять^ малые разности температуры T(z^ —^(22), что позволяет увеличить точность таких измерений и довести ее до немногих сотых или даже одной сотой градуса. Для измерения влажности ^(г) чаще всего используется сравнение показаний сухого и смоченного термометров. В разное время было предложено также много других принципов, позволяющих производить такие измерения (см., например, Лайхтман и Чудновский (1949), Мидлтон и Спил- хаус (1953), Леттау и Дэвидсон (1957); однако до сих пор ни один из принципов не привел к созданию простого и надежного прибора.
Рис. 9.13. Эмпирические профили средней температуры в приземном слое при различной стратификации.
дающего значения ft с высокой относительной точностью. Поэтому получение доброкачественных данных о профилях 'fr(z) пока еще остается очень трудной задачей.
Общая форма профилей температуры Т(г) как при устойчивой, так и при неустойчивой стратификации в настоящее время хорошо известна из многочисленных наблюдений. В качестве типичного примера, иллюстрирующего эту форму, мы приводим на рис. 9.13 данные Монина (1953), полученные при помощи осреднения 61 индивидуального профиля температуры, наблюденного летом 1951 г. в условиях открытой степи, по шести однородным в отношении устойчивости группам, охарактеризованным в приведенной выше табл. 9.1. Из рис. 9.13 видно, что при неустойчивой стратификации убывание Т(г) с ростом In 2 происходит медленнее, чем по линейному закону, а при устойчивой стратификации возрастание T(z) с ростом In 2 оказывается быстрее линейного. Аналогичная зако-
номерность выше уже отмечалась и в отношении зависимости от стратификации закона возрастания скорости ветра с высотой (см. рис. 9.1). Сравнив рис. 9.1 с рис. 9.13, можно даже предположить, что при всех условиях стратификации профили скорости ветра и температуры подобны друг другу, т. е. что при любой устойчивости атмосферы отношение
(9.9)(9.9)r^Q-rfzo)й (zj — й (z0)
(9.9)
(9.9)
для любых двух высот 21 и 2о в пределах приземного слоя принимает одно и то же значение (положительное при инверсиях, равное нулю при безразличной стратификации и отрицательное при неустойчивой стратификации).
Для проверки этого предположения достаточно сравнить функции
_ к (г) - к (г°) T^V-TJ^_ (9 10) и(г,)-и(г0) т (г^-Т (г0)
где высоты 2о и 21 фиксированы, а 2 переменно, и выяснить, совпадают ли они между собой. Такая проверка в разное время и с разной степенью точности производилась многими исследователями (в частности, Паскуилом (1949), Райдером и Робинсоном (1951), Пановским (19616), Суинбенком (1964), Маквейлом (1964), Гурвичем (1965), Бушем (1965), Суинбенком и Дайером (1967) и Чарноком (19676). При этом в самых старых работах всегда оказывалось, что профили ветра и температуры в приземном слое при не слишком больших отклонениях от нейтральной стратификации практически подобны друг другу; часто даже утверждалось, что это подобие имеет место вообще при любой стратификации (или хотя бы при любой неустойчивой стратификации) . В то же время более поздние результаты Пристли и Суин- бенка указывают на существование значительного различия формы профилей скорости ветра и температуры при неустойчивой стратификации (см., например, рис. 9.14); некоторое (хотя и заметно меньшее) отклонение от подобия было обнаружено и Гурвичем. Таким образом, можно сделать вывод о том, что профили й(2) и T(z) не являются подобными друг другу, хотя точное количественное определение их различия еще требует дополнительных исследований (см. ниже дискуссию о функции а(£)). _
Еще хуже обстоит дело с данными о профилях влажности -О’(2). Имеющиеся пока данные измерений этих профилей (см., например, Паскуил (1949), Райдер (1954)) показывают, что в пределах
. Ф (z) — fl (z0)
нижних нескольких метров функция -=—~—77-' очень близка (^1) (^о)
к функциям (9.10). Иначе говоря, имеющиеся данные о профилях влажности 'O(z) при различной стратификации не противоречат и тому, что эти профили подобны профилям ветра, и тому, что они подобны профилям температуры; напомним, что профили скорости
ветра и температуры, согласно ранним данным, подобны. Однако последующие измерения Кроуфорда (1965), Хенгстрема (1967а, б), Суинбенка и Дайера (1967, 1968) (см. также Дайер (1967)) показывают, что профили влажности, по-видимому, подобны профилям температуры, но, вообще говоря, нс подобны профилям скорости ветра. Болес полно эти результаты будут обсуждены в конце настоящего пункта; здесь мы рассмотрим рис. 9.14, заимствованный из работы Суинбенка и Дайера (1967), на котором показана зависимость трех функций формы Sx=[X(4)—Х(1)]/[Х(16)—Х(1)]
Рис. 9.14. Функции формы Sx = = Щ4)-Х(1)№(16)-Х(1)] для осредненной скорости и, температуры Т и влажности -0- в зависимости от числа Ричардсона на высоте 2 м с соответствующими стандартными отклонениями (по Суинбенку и Дайеру (1967)).
от числа Ричардсона на высоте 2 м (только при отрицательных Ri) по всем данным четырех австралийских экспедиций. Аргументы в определении этих функций суть высоты в метрах; роль X играют осредненная скорость ветра й, осредненная температура Т и осредненная влажность О (соответствующие функции суть Su, St и S^ ); стандартные отклонения от этих осредненных значений в однородных по стратификации группах указаны вертикальными отрезками (за исключением лишь профилей ветра в середине интервала Ri, где стандартные отклонения очень малы).
Согласно рис. 9.14, вблизи нейтральной стратификации значения Su и S^ близки к 0,5, что соответствует логарифмическим профилям; значений St при |Ri|<0,01 на графике нс имеется, так как ясно, что точность измерений разностей температуры при почти изотермических условиях недостаточна для определения ST. Однако с ростом неустойчивости все три функции все более уклоняются от нейтрального значения 0,5; более того, St и 5$ практически неразличимы на всем интервале значений Ri, но они существенно отличаются от значений Su. Результаты, показанные на рис. 9.14, весьма важны; они полностью согласуются с интуитивными физическими соображениями о подобии механизмов перемешивания для тепла и пассивных примесей, изложенными в конце
п. 8.3. Следует иметь в виду, что точность измерений профилей влажности довольно низка и что даже данные температурных измерений австралийской группы обнаруживают некоторые регулярные отклонения от ряда данных из других источников (см., например Зилитинкевич и Чаликов (1968а)). Поэтому результаты, приведенные на рис. 9.14, следует считать предварительными и, следовательно, требующими тщательной дальнейшей проверки.
В силу общих формул теории подобия (8.24) отношение (9.9) может быть представлено в виде
(gj-h (go)Q/.
й (2,) - a (20) ~ и* f (gt) - f (go) ’}
где gi = Zi/L, t,o = ZolL, a f^) и fi^—универсальные функции, описывающие зависимость профилей ветра и температуры от безразмерной высоты. Отсюда ясно, что постоянство этого отношения при всех Zi и zo означает, что функции f(g) и fi(g) различаются лишь постоянным множителем. Однако f^MVf\ ^А^01-^ =Кт,К; поэтому подобие профилей ветра и температуры равносильно независимости от высоты (и от числа Ричардсона) отношения а коэффициентов обмена для тепла и для импульса. Данные, приведенные на рис. 9.14, и другие аналогичные данные показывают, что отношение коэффициентов обмена Кт!К не является строго постоянным, но нет еще достаточных данных для надежного определения его зависимости от g = z/L (подробнее об этом см. ниже). Что же касается коэффициента обмена К^ для влаги, то пока можно лишь сказать, что эмпирические данные о профилях влажности нс противоречат предположению о том, что К^ (Кт = const (и даже что К/1Кт = 1).
Болес полное исследование профиля температуры с точки зрения теории подобия требует построения эмпирической зависимости -'-z дТ
величины [7(z)—Т^а\ L\)] IT* или — ^ от аргумента g = z/L, где а — фиксированный коэффициент (например, V2 или Ую), a L и 7* должны быть определены по значениям и* и q (полученным из непосредственных измерений или оцененным с помощью какого-либо надежного косвенного метода) на основе формул (8.12) и (8.14). Функция [Т(z) — Т(а|jL|)]/Т* была построена, в частности, Р. Тэйлором (1960а) (по данным Райдера (1954) и Суинбенка (1955)), Такеучи (1961) (по данным обширных наблюдений профилей ветра и температуры, производившихся в 1956 г. вблизи О’Нейла, США), Гурвичем (1965), Зилитинкевичем и Ча- ликовым (1968а) (по данным измерений вблизи Цимлянска в 1962 и 1963 гг.; см. рис. 9.15 и 9.16). Поскольку, однако, Такеучи определял величины £ и 7* с помощью косвенного метода (аналогичного тому, который раньше использовался Мониным и Обуховым (1953, 1954)) в предположении, что Кт = К, его данные непригодны для определения a(g). В работе Р. Тэйлора данные были представлены в виде, ясно показывающем, что уже при g ^ —0,03
в атмосфере происходит переход к «режиму свободной конвекции», характеризуемому «законом Уз» (8.35) — (8.36). Кроме того, поскольку здесь для определения величин L и 7* привлекались из-
I(z)-t(\U/2)I(z)-t(\U/2)Рис. 9.15. Эмпирический график функции Л (£)— — fi(—1/2) при £ < 0 по данным Гурвича (1965).Рис. 9.15. Эмпирический график функции Л (£)— — fi(—1/2) при £ < 0 по данным Гурвича (1965).
I(z)-t(\U/2)
I(z)-t(\U/2)
Рис. 9.15. Эмпирический график функции Л (£)— — fi(—1/2) при £ < 0 по данным Гурвича (1965).
Рис. 9.15. Эмпирический график функции Л (£)— — fi(—1/2) при £ < 0 по данным Гурвича (1965).
Т^-Т^/ю)Т^-Т^/ю)ции /1(£) —/1(0,1) при ^>0 по данным Гурвича (1965).ции /1(£) —/1(0,1) при ^>0 по данным Гурвича (1965).
Т^-Т^/ю)
Т^-Т^/ю)
ции /1(£) —/1(0,1) при ^>0 по данным Гурвича (1965).
ции /1(£) —/1(0,1) при ^>0 по данным Гурвича (1965).
меренные значения и* и q, Тэйлор смог приближенно оценить и величину a = f'(£)/f'(£). Согласно этим оценкам оказалось, что при |5|^О.ОЗ (т. е. в условиях «вынужденной конвекции») а(£) = = ао«1,2 по данным Рай-
дера и ао~О,8 по данным Суинбенка; при £ < —0,03 (при свободной конвекции) a(^) =а-оо^ 1,7 по данным Райдера и а_оо=1,3 по данным Суинбенка (см. также Дикон ,(1959)); наконец, при инверсиях (когда £ > 0) а«1,8 по данным Райдера и а«1,0 по данным Суинбенка. Заметное расхождение между оценками, вытекающими из данных Райдера и Суинбенка,. является совершенно естественным, если учесть, что турбулентные потоки измеря
лись этими авторами довольно неточно (особенно это относится
к значениям q, полученным Райдером с помощью замыкания уравнения баланса энергии), и что количество использованных наблю-
дений в обоих случаях было очень небольшим (например, из данных Райдера удалось использовать лишь семь профилей).
Позже были предприняты многочисленные попытки оценить значения функции а(£) = Кт!К по различным данным измерений в приземном слое атмосферы (см., например, Суинбенк (1964, 1966), Гурвич (1965), Буш (1965), Дайер (1965, 1967), Мордухо-
Рис. 9.17. Данные о зависимости а = Кт!К от £.
/ — Керанг, Австралия, Суинбенк (1964); 2 — Цимлянск, СССР (Мордухович и Цванг (1966); 3 — Раунд Хилл, Массачусетс, США (Пановский и др. (1967)); пунктирная линия предложена Чарноком (1967а), штриховая — Зубковским (1967), сплошная — Зилитинкевичем и Чаликовым (1968а).
вич и Цванг (1966), Пандольфо (1966), Рекорд и Крамер (1966), Чарнок (19676), Зубковский (1967), Бюсингер, Мияке и др. (1967), Пановский, Буш, Прасад и др. (1967), Зилитинкевич и Чаликов (1968а)). Однако разброс имеющихся оценок до сих пор остается весьма значительным, как это видно, в частности, из рис. 9.17, где приведены данные, полученные в Австралии, СССР и США. Пунктирной (точечной) линией на этом рисунке изображены результаты обработки Чарноком (19676) австралийских данных, штриховая и сплошная линии были предложены Зубковским (1967), Зилитинкевичем и Чаликовым (1968а) на основе измерений около Цимлянска, охватывающих значительно более узкий интервал значений ^ = z/L (согласно этим авторам, а(£) « 1 и ф(^) ~ « фД^) при всех значениях £, наблюдавшихся в Цымлянске).
Такой же разброс обнаруживают и все другие данные о а(£). Он может быть естественно объяснен необходимостью дифференци-
ровать неточно измеренные эмпирические профили скорости ветра и температуры и использовать очень неточно измеряемые значения турбулентных потоков т и q. Следует также помнить, что пространственная и временная изменчивость этих потоков в приземном слое атмосферы почти неизвестна. Однако предварительные данные Мордуховича и Цванга (1966), а также Дайера (1968) о зависимости т и q от высоты показывают, что эта зависимость часто оказывается вполне заметной. Таким образом, из всех дан-
Рис. 9.18. Эмпирический график универсальной функции Ф1(£) по данным Гур- вича (1965).
ных следует общий вывод о том, что надежная оценка а(£) требует значительно более точных, чем имеющиеся в настоящее время, измерений профилей скорости ветра и температуры и одновременно значений т и q в том же самом месте.
В целом имеющиеся данные свидетельствуют лишь о том, что а(0) = а0 близко к единице, т. с. они согласуются с лучшими лабораторными измерениями, упомянутыми в п. 6.7, согласно которым ао « 1,1; с ростом неустойчивости отношение а увеличивается, а с ростом устойчивости оно, по-видимому, слегка убывает. Однако оценки предельного значения а_оо еще весьма ненадежны; по данным австралийских измерений а_оо ~ 3... 3,5. Тем нс менее некоторые исследователи склонны использовать значительно меньшие значения (близкие к 2 или даже лежащие между 1 и 1,5). Данные для случаев температурных инверсий имеют еще больший разброс, и их имеется гораздо меньше, чем для случаев неустойчивой стратификации. Согласно расчетам Прасада и Пановского (Па- новский и др. (1967); см. также Буш и Пановский (1968)), среднее значение а в приземных инверсиях близко к 0,7; данные из неатмосферных источников о значениях а при сильной устойчивости будут обсуждаться в конце этого пункта.
ГурВИЧ, ИСХОДЯ ИЗ СВОИХ ДаННЫХ, ПОСТРОИЛ фуНКЦИЮ ф1(£) =
дт
—^- (рис. 9.18) и оценил значения а(^) = ф(^)/ф] (□. Согласно его результатам, а(О) = ао^О,8, а с ростом неустойчивости (т. е. при убывании £) функция а(£) возрастает вплоть до значения а_оо ~ 1,3 (с ростом устойчивости, согласно Гурвичу, значения а(£) также слегка возрастают, но этот его результат 462
вряд ли можно считать надежным, учитывая малую точность данных, относящихся к инверсионным условиям). Таким образом, выводы из работы Гурвича, относящиеся к неустойчивой стратификации, оказались полностью совпадающими с результатами обработки наблюдений Суинбенка (1955); однако полученное ими значение а0 расходится с данными большинства измерений в лабораторных условиях (согласно которым, «о слегка больше единицы).
Рис. 9.19. Зависимость величины Г от Ri при неустойчивой стратификации по эмпирическим данным.
То, что в земной атмосфере переход от «режима вынужденной конвекции», характеризуемого близким к логарифмическому профилем температуры, к «режиму свободной конвекции» с его «законом 7з» происходит при очень небольших отрицательных числах Ричардсона (и значениях £), следует также и из результатов Уэбба (1958), обработавшего данные о профилях температуры, полученные в ходе многолетних наблюдений вблизи Эдитвейла в Австралии. Так, например, Уэбб вычислил для ряда наблюдений при неустойчивой стратификации величину
Г= 1 Г (8) —7 (2)1,5 in 4 (dT/dz)z_15
(цифры в скобках — высота в метрах) и графически представил зависимость этой величины от числа Ri на высоте 1,5 м (рис. 9.19). Сплошными линиями на рис. 9.19 нанесены значения Г = 1 (отвечающее логарифмическому профилю Г (2) ~ const— In 2) и Г = = 0,73 (отвечающее закону Т(г) ^ const + ^~’/з) • Мы видим, что при наименьших наблюдавшихся значениях —Rii,s, близких к 0,015 или еще меньших, Г действительно оказывается близким к 1, но затем оно начинает убывать и уже при Ri ^ —0,03 принимает значение, близкое к 0,73, сохраняющееся затем на значительном интервале чисел Ричардсона. Штриховой кривой на рис. 9.19 указан постепенный переход от Г = 1 к Г = 0,73, который должен
был бы наблюдаться, если бы соотношение dTIdz ~ 2г1, отвечающее логарифмическому профилю, точно выполнялось вплоть до высоты 2, на которой Ri = —0,03, а выше ее выполнялось бы соотношение дТ/дг ~
Любопытной особенностью рис. 9.19 является то, что начиная примерно с Rij,5 = —0,4, значение Г снова начинает уменьшаться. Если только этот результат верен, то отсюда следует, что и при возрастании неустойчивости (но фиксированной высоте), и при возрастании высоты (но фиксированной неустойчивой стратификации) наступает момент, когда используемая нами теория подобия (приводящая к «закону 7з») перестает действовать. Последнее обстоятельство в какой-то мере согласуется также с неподтвер- ждением «закона 7з» в довольно грубых лабораторных экспериментах Томаса и Таунсенда (1957) и Таунсенда (1959), в которых горизонтальная скорость равнялась нулю. Впрочем следует иметь в виду, что при нулевой (или очень малой) горизонтальной скорости существенно ослабевает горизонтальное перемешивание, и в результате турбулентность на фиксированной высоте z оказывается однородной по горизонтали лишь при очень большом периоде осреднения по времени. В то же время есть основания предполагать, что при отсутствии создаваемого горизонтальной скоростью горизонтального перемешивания на весь турбулентный режим будут существенно влиять условия зарождения восходящих конвективных струй в пределах подслоя молекулярной теплопроводности, так что статистические характеристики турбулентности на всех высотах будут зависеть уже и от коэффициента % (ср. теорию термической конвекции Малкуса (19546)). Более детальное обсуждение этого вопроса может быть найдено в работах Таунсенда (1962а), Пристли (1962) и Уэбба (1962); см. также конец этого параграфа.
Позже Дайером (1965, 1967) и Суинбенком (1968) были получены новые данные измерений, показывающие, что при очень неустойчивой стратификации (приблизительно при t < — 0,06) в атмосфере могут возникать некоторые отклонения от «закона 7з» свободной конвекции, но теперь они представляются значительно меньшими, чем ранее (Дайер и Суинбенк считают, что ф1 (£) ~ |£|1/2 при £ < —0,6 и что закон ф1(£) ~|£|~0,44 отлично согласуется со всеми данными при —0,1 > £ > —5, в противоположность закону z(dTfdz) ~z~\ вытекающему из теории Малкуса). Эта же проблема обсуждалась в упомянутой выше работе Дирдорфа и Уиллиса (1967), но их выводы также были нс очень надежными. Вследствие неясности вопроса в дальнейшем при рассмотрении неустойчивой стратификации мы, как правило, будем иметь в виду лишь слой с 2^|L|, в котором, по-видимому, «закон 7з» выполняется с хорошей точностью, начиная с высоты z порядка 0,02|Л| — 0,05| Г |.
Для определения численного значения коэффициента Ci, входящего в «закон 7з» (8.36), удобно рассмотреть безразмерную величину
q ? - (911)
р| дх |
являющуюся однозначной функцией от £ и Ri. В условиях свободной конвекции эта величина принимает постоянное значение q_oo =(3/Ci)8/2, где Ci— коэффициент в «законе Уз» (8.36); ее асимптотическое поведение при малых £ и Ri описывается формулой g = a8/2x2|£|-V2 = a^lRil-'A Схематический вид зависимости
Рис. 9.20. Зависимость q от Ri по данным Суинбенка и Дж. Тэйлора (/), Перепелкиной (2) и Мордуховича и Цван- га (5).
In^(Ri) от In Ri представлен на рис. 8.5; эмпирически эту зависимость исследовали Пристли (1955, 1956) (на материале Суинбенка (1955)), Р. Тэйлор (1956а), Перепелкина (1959а), Буш (1965), Мордухович и Цванг (1966), Суинбенк (1968), использовавшие данные одновременных измерений профилей T(z) и й(г) и величины q.
На рис. 9.20 представлен сводный эмпирический график ^(Ri), построенный по данным перечисленных выше работ. На этом графике индивидуальные значения q(Ri), полученные, на основе данных измерений Р. Тэйлора, Суинбенка, Перепелкиной (1959а), Мордуховича и Цванга (1966), осреднены по нескольким узким интервалам значений Ri; светлые кружки на рис. 9.20 соответствуют этим осредненным значениям, а вертикальные отрезки характеризуют средние квадратичные отклонения внутри каждой группы. Эти вертикальные отрезки оказались довольно большими, что указывает на значительный разброс индивидуальных значений ^(Ri), связанный, по-видимому, со сравнительно невысокой точ-
3 0 Заказ № 303 465
ностью применявшихся методов измерения. Однако средние точки вертикальных отрезков на рис. 9.20 хорошо согласуются с предположением о существовании двух предельных режимов q ~|Ri|-1/2 ♦*
и q = q-oo = const, изображенных на рис. 9.20 сплошными линиями, причем переходная область между ними по этим данным оказывается очень узкой. Треугольники на рис. 9.20 представляют осредненные данные Перепелкиной, хорошо согласующиеся с данными Пристли и Тэйлора в отношении асимптотического поведения q(Ri), но указывающие на несколько более плавный переход между предельными режимами (как отмечено в работе Панов- ского, Блэксдара и Маквсйла (1960), более плавный, чем у Пристли и Тэйлора, переход между предельными режимами получается и при обработке американских наблюдений, проводившихся вблизи О’Нейла). Эмпирическое значение коэффициента пропорциональности в асимптотическом соотношении g(Ri) ~ | Ri |~1/2 близко к 0,17 (Дикон (1959)), что хорошо согласуется с обычно принимаемыми значениями х « 0,4, а0 ~ 1. Что касается константы q_oo, то для нее большинство эмпирических данных даст почти одинаковые значения: согласно измерениям Суинбснка и Р. Тэйлора, исправленным посредством введения инструментальной поправки, q_oo « 0,9 (Пристли (1959а), Дикон (1959)); по ♦
данным Перепелкиной q_oo ~ 0,8; по данным Гурвича (1965) и Зилитинкевича и Чаликова (1968а), измеривших значение коэффи
циента С\ = 3((д_ооУ!», получается, что q-oo ~ ОД... 0,75, в то время как согласно довольно грубым данным Крамера и Рекорда и Пановского q-oo ~ 0,95 и q_oo ~ 0,75 соответственно (см. Дикон (1959)), а Мордухович и Цванг (1966) нашли, что q-oo « 0,8. Все эти результаты, очевидно, неплохо согласуются друг с другом. Однако результаты более поздних австралийских экспедиций (см. Суинбенк и Дайер (1968)) не подтверждают более ранние оценки ♦
q-oo. Согласно Дайеру (1967), наилучшая оценка, следующая из результатов этих экспедиций — это q-oo ~ 1,15, а Суинбенк (1968) нашел, что ^ (Ri) вообще нс является постоянной величиной, а увеличивается с ростом —Ri и при наибольших рассмотренных им значениях — Ri (близких к единице) принимает почти постоянное значение, близкое к 1,5. Эти результаты, долго казавшиеся загадочными, в настоящее время находят объяснение в рамках «трсх- слойной модели» неустойчиво стратифицированного приземного слоя, включающей логарифмический, динамико-конвективный и свободно-конвективный подслои. Из относящихся к этим слоям результатов, изложенных в главе 8 (см. формулы (8.36) и (8.36'), ♦
следует, что q = const как в динамико-конвективном подслое, так и при свободной конвекции, но эти постоянные значения вполне
могут различаться; график функции ^(^), опубликованный Кадером и Перепелкиным (1989) и основанный на данных многочисленных тщательных измерений, указывает два интервала примерного постоянства функции ^(^): при —0,12^^^ 1,2, где 7 » 0,95, и при — 5 ^^^ — 15, где q « 1,15.
Зная 7-оо, легко вычислить также и коэффициент Ci = ^^J^q-ooY1^ Значению q_oo = 0,9 отвечает Ci « 3,2, а значениям 7-оо = 0,73 и 7-00 = 1,2 — значения Ci ~ 3,7 и Ci = 2,7 соответственно. Можно также попытаться непосредственно определить Ci по эмпирическим данным о значениях q и профилях температуры. Для этого надо отобрать данные, относящиеся к условиям, когда выполняется «закон 7з» и, например, приравнять Ci к коэффициенту регрессии измеренных значений АТ = Т(///2)—Т(2Я) (где Н — фиксированная высота) на значения Fi\q, Я) = = (7/срРо)2/з(^)-,/з^— 2-'/з)//-'/з (совпадающие с AT/Ci при выполнении «закона 7з»)- Подобное определение Ci было выполнено Перепелкиной (1962) на материале 52 значений АТ и q (при условиях с Ri <—0,04), найденных при измерениях в 1958— 1959 гг. в открытой степи вблизи Цимлянска. При этом было получено значение Ci = 3,4, хорошо согласующееся с большинством имеющихся данных о константе q_oo (этому значению отвечает q_oo = 0)83>). Позднее Гурвич (1965) подобным же образом нашел значение Ci 3,7, указывавшееся выше.
Приведенные эмпирические значения коэффициента Ci хорошо согласуются также с оценками, полученными выше на основе данных о профиле ветра, если предположить, что а_оо лишь немного отличается от единицы. Если взять за основу какую-то одну из приведенных выше оценок коэффициента С2 и одно значение Ci (или 7-оо), то из их сопоставления можно даже получить определенную оценку постоянной а_оо (именно так в работе Панов- ского, Блэкедара и Маквейла (1960) была получена оценка а_оо « « 1,3). Однако имеющаяся пока неопределенность в эмпирических значениях Ci и С2 нс позволяет придать большой вес получаемым таким образом значениям а-оо.
Значение Ri, начиная с которого можно считать справедливым «закон Vs», оценивается достаточно надежно как абсцисса точки пересечения двух асимптот функции 7(Ri), т. с. как корень уравнения a0x2|Ri|—1/2 = 7-оо. Отсюда получаем Ri = — аох4/7-оо, что при всех разумных значениях оо, х и 7-оо приводит к значению Ri, заключающемуся между —0,02 и —0,05, т. с. находящемуся в соответствии с имеющимися эмпирическими данными.
В работах Паскуила (1949), Райдера (1954) и Перепелкиной (1959а) была эмпирически построена также функция
f,(Ri) =f,(Ri) =q _du dT 9Спро -ЧЧ— 221 dz dzq _du dT 9Спро -ЧЧ— 221 dz dzX2X2(о /; (?) ‘(о /; (?) ‘(9.12)(9.12)
f,(Ri) =
f,(Ri) =
q _
du dT 9
Спро -ЧЧ— 22
1 dz dz
q _
du dT 9
Спро -ЧЧ— 22
1 dz dz
X2
X2
(о /; (?) ‘
(о /; (?) ‘
(9.12)
(9.12)
Ясно, что если известна функция /(£), то значения fJRi) позволяют определить также и функцию fi(£), описывающую универсальный профиль температуры. Однако недостаточная точность имеющихся пока данных о значениях f^Ri) и недостаточная их согласованность между собой нс позволяют использовать эти данные для дополнительного уточнения поведения функции fi (£) или хотя бы для уточнения значений универсальных постоянных ао, а_оо и Ci (например, с помощью соотношения F\ (0) = аох2). Суин- бенк (1968) построил также эмпирические графики функции F3U)= Л(К1)= — (g/To) (z/uJdT/du =(£/х2)ф1(£)/<р(£), характе- ризовавшисся малым разбросом эмпирических данных, причем в широком интервале неустойчивых стратификаций оказалось, что «а) «2,7|^|‘м
Аналогичная функция, относящаяся к профилю влажности,
f2(Ri) = ~f2(Ri) = ~du д^ 9Ро з™ 2dz dzdu д^ 9Ро з™ 2dz dzх2?¥ (?) /2 (?)х2?¥ (?) /2 (?)(9.13)(9.13)
f2(Ri) = ~
f2(Ri) = ~
du д^ 9
Ро з™ 2dz dz
du д^ 9
Ро з™ 2dz dz
х2
?¥ (?) /2 (?)
х2
?¥ (?) /2 (?)
(9.13)
(9.13)
была эмпирически построена Паскуилом (1949) и Райдером (1954) по данным измерений профилей ветра и влажности и измерения испарения с помощью почвенных испарителей. Поскольку, очевидно,
Fx^ = Kt!z^, a F2(Ri) = W4f- и КЧ^ = К!^%
(см. формулу (9.6)), то сопоставляя значения F2, F\ и К, можно в принципе сделать определенные выводы и об отношениях К^!Кт и К^/К. Однако очень большая неточность существующих методов измерения профиля влажности и испарения лишает пока такие сопоставления какого-либо реального значения.
Разумеется, если интересоваться лишь сравнением различных коэффициентов обмена, то можно нс рассматривать безразмерные величины F^ F2 и К, а сразу определять К = и* 1^-, Кт =
=— 9/срРо-^- и д$ =— //Р"52"‘ К сожалению, надежные данные о / и ^(2), позволяющие непосредственно подсчитать значение коэффициента К^, пока, по-видимому, отсутствуют; поэтому в настоящее время приходится принять гипотезу о том, что К^ = = Кт, без проверки (если нс считать косвенной проверки Чарнока и Эллисона (1959), обнаруживших сильную корреляцию между пульсациями влажности и температуры над морем). Что же каса-
ется коэффициентов К и Кт, то большое число пар значений этих коэффициентов, подсчитанных по данным одновременных измерений величин т, q, й^ и Т(г), выполненных в Австралии, было опубликовано Суинбенком (1955), попытавшимся даже построить графики зависимости а = Кт1К от Ri и от Rf. Однако очень большой разброс точек на этих графиках (связанный, очевидно, с неточностью определения коэффициентов обмена) делает количественную зависимость а от Ri (или Rf), полученную Суинбенком, крайне ненадежной. Качественно же результаты Суинбенка сводятся к тому, что а нс является постоянной, а возрастает с убыванием Ri (или Rf, или £) и принимает значения меньше единицы при слабых инверсиях и больше единицы при «свободной конвекции». В такой форме эти результаты согласуются также с весьма грубыми оценками Лсттау по данным наблюдений вблизи О’Нейла, США (см. Лсттау и Дэвидсон (1957), раздел 8.3). В той части, которая относится к неустойчивой стратификации, результаты работы Суинбенка (1955), как мы уже отмечали, хорошо согласуются и с немного более поздними результатами Гурвича (но противоречат еще более поздним данным самого Суинбенка и Пристли) .
До сих пор рассматривались эмпирические данные, относящиеся лишь к отрицательным или, в крайнем случае, небольшим положительным значениям Ri и £. Данных, относящихся к сильным инверсиям, в течение многих лет было получено очень немного, причем эти данные характеризовались большим разбросом точек и, следовательно, требовали дополнительной тщательной проверки. Тем нс менее следует указать, что наблюдения Лилиек- виста (1954) в Антарктике как будто бы подтверждают в ряде случаев наличие линейного профиля температуры при сильных инверсиях, предсказываемого теорией подобия при некоторых дополнительных предположениях (см. п. 8.3). В то же время если принять гипотезу о совпадении коэффициентов обмена для тепла и для пассивной примеси, то при исследовании вопроса о значениях а = Кт/К = К^/К в условиях крайней устойчивости можно воспользоваться данными океанографических наблюдений и лабораторных экспериментов, относящимися к течениям жидкости при очень устойчивой плотностной стратификации, создаваемой отрицательным вертикальным градиентом солености.
Первые и наиболее известные данные такого рода были получены Дж. Тэйлором при океанографических наблюдениях в проливе Каттегат. Они показали, что заметный турбулентный обмен может существовать даже при Ri порядка 10 и что а = Кь/К при этом настолько мало, что Rf = aRi остается заметно меньшим единицы (см. книгу Праудмена (1953) и дискуссию по докладу Стюарта (1959)). Обработка этих данных, приведенная в книге Праудмена, показывает, что а « 0,03... 0,05 при 4 < Ri < 10 (см. результаты Тэйлора (3) на рис. 9.21). Близкие значения a = Кт!К ^ 0,02... 0,05 были обнаружены и при непосредственном измерении Кт и К в подледном слое воды оз. Байкал (см. Колес-
биков (I960)). Дальнейшие эмпирические данные о зависимости а от Ri при Ri > О были получены (в менее чистых условиях) в лабораторных экспериментах Эллисона и Тернера (1960). В этих экспериментах в трубе прямоугольного сечения (со стеклянными боковыми стенками) искусственно создавалось турбулентное течение соленой воды с отрицательным вертикальным градиентом солености. После этого в одном сечении трубы измерялись профили
Рис. 9.21. Сравнение эмпирических данных Дж. Тэйлора и Эллисона и Тернера о зависимости а от Ri с результатами, полученными по формуле Эллисона.
/ — данные Эллисона и Тернера, относящиеся к высоте 2 = 1,5 см; 2 — данные, относящиеся к 2=1 см;
— данные Тэйлора. Светлые значки соответствуют менее надежным экспериментальным данным.
скорости и плотности, а также (с помощью косвенных методов) коэффициенты обмена К и К^. Полученные результаты вместе с океанографическими данными Тэйлора—Праудмена представлены на рис. 9.21. Мы видим, что разброс экспериментальных точек здесь оказывается весьма значительным и, кроме того, имеется систематическое расхождение данных, относящихся к z = 1 см и г= 1,5 см; однако общая тенденция убывания а с ростом Ri на рис. 9.21 выявляется достаточно наглядно. Сплошные линии на рис. 9.21 соответствуют значениям а, полученным с помощью эмпирической формулы
a(Rf)= “^ ~R^^ Rf = «Ri. (9-14)
предложенной Эллисоном (1957). При этом принято, что «о = 1,4; значения R = Rfcr, отвечающие разным кривым, указаны на рисунке. В целом экспериментальные точки на рис. 9.20 более или менее согласуются с выводами, следующими из формулы (9.14); наилучшая оценка R = Rfcr, согласно этим данным, лежит где-то между 0,10 и 0,15.
Предыдущее обсуждение опиралось в основном на довольно старые данные наблюдений. Более поздние тщательные измерения профилей температуры в устойчиво стратифицированных приземных (и приводных) слоях, начатые работой Уэбба (1970), убедительно показали, что безразмерный профиль температуры (а вероятно, также и влажности) при устойчивости в широком интервале значений £ хорошо описывается простой «логарифмической + + линейной» формулой (8.47), так что ф] (^) = ao-1 (1 + р4?), где Яо ~ 1 (или, что более точно, ао-1^ 0,85). При этом имеющиеся
оценки значения Pi мало отличаются от оценок коэффициента Pi в аналогичной формуле для поля скорости: так pi ^ 5,2 по данным Уэбба (1970), pi » 7 по данным Полсона (1970) и pi « « 6,4 по данным Бюсингера и др. (1971). Последующие измерения нс внесли никаких существенных поправок в эти оценки, неплохо согласующиеся друг с другом; на практике часто используется простейшая оценка pi » 5 (см., например, Ханна и др. (1982) или Пановский и Даттон (1984)).
В случае неустойчивой стратификации эмпирические данные указывают на то, что график функции <pi(S) где-то около точки = —1 начинает отклоняться вниз от графика функции <pi(£) = = Z>i|g|—V3, отвечающей «закону 7з»— на это указывает, в част* ности, и возрастание вблизи £ =—1 функции Пристли q^r о которой говорилось выше. Это отклонение неплохо описывается часто используемой второй формулой Бюсингера—Дайера (8.72"), согласно которой <pi(£) ~ |ч-1/2 при больших значениях —£. Однако формула (8.72") нс имеет теоретических оснований — она была предложена лишь на основе результатов обработки данных наблюдений, причем данные эти относились только к умеренной неустойчивости (значениям —£ < 3). Согласно теоретическим представлениям Бстчова и Яглома (1971), при еще больших —£ снова должен начать выполняться «закон 7з», но, вообще говоря, уже с другим коэффициентом Di ^ Dx (см. формулу (8.36')); при D' < £>i в таком случае будет иметь место именно такое отклонение функции ф1(£) от первоначального «закона !/з», которое реально наблюдается. Пытаясь проверить предсказания Бстчова и Яглома, Кадер и Перепелкин (1989) подсчитали значения ф! (£), отвечающие данным обширных измерений вблизи Цимлянска в 1981—1987 гг., а также в Австралии и штатах Канзас и Миннесота, США (ср. выше); полученные ими результаты представлены на рис. 9.12. Мы видим, что эмпирические данные хорошо согласуются с допущением о наличии логарифмического подслоя при 0 > £ ^ 0,04, динамико-конвективного подслоя при —0,12 ^ ^^^— 1,2 и подслоя свободной конвекции при £ < —2 и указывают, что Di ^ 0,3, Di ^ 0,25. Штриховая кривая на рис. 9.12 — это подобранная Кадером и Перепелкиным интерполяционная кри- "ТТТТоёТ^Ор"J'/3’ хорошо согласующаяся с эмпирическими данными при всех £ < 0.
9.3. Определение турбулентных потоковпо данным о профилях метеорологических величин
Методы измерения величин u*, q и / довольно сложны и требуют специального оборудования, обычно имеющегося лишь в немногих научно-исследовательских учреждениях. В то же время для геофизики большой интерес представляло бы систематическое определение турбулентных потоков в большом числе пунктов земной поверхности. Поэтому большое значение приобретают методы определения величин и*, q и / по данным более простых измерений, и в первую
«очередь обычных измерений профилей метеорологических полей (т. е., как часто говорят, градиентных измерений).
Мы здесь не будем задерживаться на имеющих значительную давность многочисленных спекулятивных «полуэмпирических» формулах, выражающих потоки через профили, так как почти все они не сравнивались с данными непосредственных измерений (как правило, появившихся лишь заметно позже этих формул) и малонадежны. Вместо этого мы воспользуемся развитой в главе 8 теорией подобия для турбулентного режима в приземном слое воздуха. Согласно этой теории, профили скорости ветра и температуры (влажности мы пока касаться не будем) определяются общими формулами (8.24), содержащими параметры ц», q, 20 (от последней величины зависит полная скорость и (2)), ТО — Т (z0) или Т (26) (от Го зависит Т (2)), универсальную постоянную Кармана х и две универсальные функции f(£) и fi(t>). Постоянная х близка к 0,4; относительно функций / и fi также имеется ряд сведений, собранных в главе 8 и п. 9.1, 9.2. Будем пока считать, что эти функции нам точно известны. В таком случае любые четыре измерения значений скорости и температуры позволяют составить четыре уравнения, в принципе достаточные для определения четырех параметров: и», q, 21 и Го, причем число необходимых измерений, вообще говоря, нетрудно даже уменьшить (например, вовсе не рассматривая значений Т (2) или рассматривая только разности Т^)—Г(21), не зависящие от То). Сложность здесь состоит только в том, что на самом деле функции f и fi известны лишь приближенно и не задаются никакими простыми аналитическими формулами, а результаты измерений всегда содержат некоторые ошибки. Поэтому на практике приходится пользоваться какими-то приближенными выражениями для f и /ь и разные методы, использующие разные наборы исходных данных, будут приводить к несколько различным результатам.
Напомним, что описанный в п. 9.1 метод Монина—Обухова обработки измерений профилей ветра и температуры уже содержал в качестве составной части определение значений и»1х и L (позволяющих найти также и q) по значениям и^г) и Г(2). Несмотря на то, что этот метод опирался на использование «логарифмической + линейной» формулы для профилей, которая позже была подвергнута критике, и на нестрогое предположение о том, что а=1, точность его, как показало сопоставление получаемых таким образом значений и* и q с данными непосредственных измерений, оказалась более высокой, чем можно было бы ожидать. Однако рекомендовать этот метод для практического применения никак нельзя, так как он весьма груб и громоздок.
Близкие методы определения значений и* и q по измерениям профилей ветра и температуры, также использующие «логарифмическую 4- линейную» аппроксимацию универсальных функций и предположение о том, что Кт —К, были предложены Такеучи (1961) и Шиотани (1962). В работе Такеучи, в частности, приведены некоторые практические приемы, позволяющие упростить вычисления; там же проведено сравнение получающихся значений и* и q с некоторыми данными непосредственного измерения потоков.
Методы определения турбулентных потоков по измерениям профилей рассматривались также в работах Казанского и Монина (1956, 1958, 1962), Пристли (19596), Уэбба (1960), Пановского, Блэкедара и Маквейла (I960), Монина (1962а), Кондо (19626), Дикона и Уэбба (1962), Пановского (1963), Клюга (1963, 1967), Дайера (1965, 1967), Бюсингера, Мияке и др. (1967), Зилитинке- вича и Чаликова (19686), Буша и др. (1968), Цванга и др. (1985), и ряде других работ. Мы здесь изложим, следуя в основном старым работам Казанского и Монина, общий метод представления данных об универсальных функ-
циях в виде, удобном для практического нахождения турбулентных потоков; предварительно, однако, мы сделаем несколько замечаний общего характера.
Начнем с вопроса о выборе величин, наиболее удобных для определения потоков. Согласно сказанному выше, одних только значений скорости ветра на трех высотах в принципе уже должно хватить для нахождения параметров и*, q и 20; поэтому может создаться впечатление, что привлечение данных о температуре воздуха совершенно излишне. Однако, как показал Пристли (19596), использование даже значений и^, для более чем трех высот г не позволяет надежно определить q, так как получаемые при этом значения сильно расходятся с данными непосредственных измерений и весьма различны при разных методах обработки. Поэтому представляется, что дополнительное использование значений Т^ имеет большую практическую ценность. Этот вывод фактически следует и из статьи Пановского, Блэкедара и Маквейла (1960), испробовавших метод определения q по одним лишь значениям и^ на трех высотах (и значению 20), но не получивших хороших результатов.
Поскольку обычно нужны в первую очередь значения и* и q, можно думать, что целесообразно с самого начала исключить величину 2о, рассматривая лишь разности и(22)—u(2i), а не сами значения и (2). Нетрудно понять, однако, что при этом мы сильно теряем в точности, так как разности скорости ветра определяются заметно менее точно, чем сама скорость ветра (особенно если высоты 21 и z2 сравнительно близки друг к другу). Кроме того, можно показать, что при исключении величины Zo даже небольшая ошибка в разностях скоростей будет уже сильно сказываться на величинах и* и q. Поскольку значение 2о для данного пункта и времени года фактически надо определить лишь один раз (оно не меняется) и его нахождение несложно, более целесообразно заранее найти 2о и затем уже все время пользоваться полученным значением. В то же время значение То не является постоянным, и его исключение не приводит к вредным последствиям; поэтому данные о профиле температуры разумно использовать лишь в форме разностей Г(22)—T^zxY При этом для определения значений и* и q достаточно иметь данные лишь двух измерений.
Исходя из сказанного выше можно рекомендовать при определении значений и* и q по данным о u(z) и Г (г) начать с определения параметра шероховатости 20, а затем исходить из скорости ветра U на некоторой фиксированной высоте Н и из разности дТ средних температур на двух высотах (например, на высотах 2// и ///2). Согласно основной гипотезе подобия для турбулентного режима в приземном слое атмосферы, величины и=ЦН) и 6Т = Т(2Я)— —Т (Я/2) могут быть выражены через Н, q/To, и*, q/cppQ и 2о. Следовательно, и* и q/cp^Q (а также зависящая от них величина L) в свою очередь могут быть выражены через Н, q,!^ U, ЬТ и Zq. Из этих пяти величин можно составить две независимые безразмерные комбинации, которые мы запишем в виде
=(9.15)
оп
гд^ а — произвольный безразмерный коэффициент, об удобном выборе которого мы скажем чуть ниже. Таким образом, получаем
-^—Fx^B,^, 1^^- =РИВ,Ы. -^^^(ВЛ),(9.16)
где Рь F^ Fa — некоторые универсальные функции переменной В, зависящие также от параметра £о. Располагая графиками этих функций, мы имели бы возможность определять с помощью таких графиков величины и*, q и L по данным градиентных измерений. Графики же функций Ft, i=l, 2, 3, можно построить либо эмпирически, по данным независимых синхронных измерений величин U, ЬТ, и* и q, либо теоретически, на основе задания вида универсальных функций ЦУ и fi(y. На втором из этих способов, позволяющем последовательно улучшать точность определения потоков по мере уточнения наших сведений об универсальных функциях, мы здесь остановимся немного подробнее.
Примем за основу общие формулы (8.24), с помощью которых были определены универсальные функции ЦУ и Ь^. Тогда первую формулу (9.15) и первые две формулы (9.16) можно переписать в виде
„а h ^jF^-b ОГО
Fa If O/F3)-f (№H ’
j№WW ’
»[f (l/F3)-f (^//^Hfi №)-fi (V2f3)j ’
Первое из этих уравнений задает в неявной форме вид функции F3^B, £0). Если функции f(£) и fi (^) известны, то это уравнение можно разрешить относительно ?з, например, графически, и тогда два остальных уравнения (9.17) будут параметрически задавать функции Fx (В, £о) и F^B, £0)-
Имеющиеся данные обычно показывают, что различие формы профилей скорости ветра и температуры на относительно небольшом интервале высот является не очень значительным; поэтому имеет смысл в качестве первого приближения принять простейшее предположение о подобии этих профилей, т. е. считать, что fi(L)=— f(£), где a=Кт/К=const. В таком случае и коэффициент a a
в уравнениях (9.16) и (9.17) также удобно принять равным отношению Кт!К. При этом формулы (9.17) несколько упрощаются и принимают вид
и 1 f (2/^3) ~f (№)
f3 и (1/^3) — / (Со/^з)]2 ’
Fx=’(9Л8)
ставление о порядке_величины ту£булентных потоков, соответствующих тем или иным значениям U = u(H) и 6Г=Т(2Я)—Т^Н^.
Разумеется, номограмма для F2 может быть использована не только для определения турбулентного потока тепла q, но также и для определения ско-
Рис. 9.22. Номограмма Казанского и Монина для определения безразмерного напряжения трения u*JU = Fx по параметру стратификации В и параметру шероховатости £0.Рис. 9.22. Номограмма Казанского и Монина для определения безразмерного напряжения трения u*JU = Fx по параметру стратификации В и параметру шероховатости £0.Рис. 9.23. Номограмма для определения безразмерного потока тепла qlCp^UbT = F2 по В и £0-Рис. 9.23. Номограмма для определения безразмерного потока тепла qlCp^UbT = F2 по В и £0-
Рис. 9.22. Номограмма Казанского и Монина для определения безразмерного напряжения трения u*JU = Fx по параметру стратификации В и параметру шероховатости £0.
Рис. 9.22. Номограмма Казанского и Монина для определения безразмерного напряжения трения u*JU = Fx по параметру стратификации В и параметру шероховатости £0.
Рис. 9.23. Номограмма для определения безразмерного потока тепла qlCp^UbT = F2 по В и £0-
Рис. 9.23. Номограмма для определения безразмерного потока тепла qlCp^UbT = F2 по В и £0-
рости испарения /, если только, кроме U и 6Г, измерена также разность массовой доли влаги на двух высотах 6^=^(2Я)—Ф(Я/2). Действтельно, согласно общим формулам (8.24) и эмпирически обнаруженному подобию профилей Т^
и *0(2), имеем
Co),Co),(9.19)(9.19)I //Ро Lp/CA|_F
Co),
Co),
(9.19)
(9.19)
| a,t/W | ~ I aUbT I 2
где ax=K^!K
9.4. Пульсации скорости ветра и температуры в приземном слое атмосферы
Турбулентные потоки импульса и тепла представляют собой лишь частные примеры статистических характеристик пульсаций скорости ветра и температуры. Многие другие характеристики этих пульсаций были проанализированы с точки зрения теории подобия в п. 8.5, и все они могут быть найдены экспериментально с помощью той же аппаратуры, которая применяется в пульсационном методе определения величин и* и q. Имея данные одновременных измерений значений и*, q и еще какой-нибудь статистической характеристики пульсаций (или имея данные измерений этой статистической характеристики и оценив и* и q с помощью метода, изложенного в п. 9.3), можно проверить относящиеся к этой характеристике выводы из теории подобия и эмпирически построить соответствующую универсальную функцию от ^=z(L. Таким образом, данные пульсационных измерений в принципе позволяют определить все функции /з, ..., /и, Фе и фя, введенные в п. 8.5.
К сожалению, имеющиеся в настоящее время многочисленные эмпирические данные о характеристиках пульсаций (содержащиеся, в частности, в статьях и книгах Суинбенка (1955), Р. Тэйлора (1956а), Перепелкиной (1957, 1962), Гурвича (I960), Цванга (1960), Пановского и Маккормика (1960), Леттау и Дэвидсона (1957), Бареда (1958), Монина (19626), Зубковского (1962), Ламли и Пановского (1966), Клюга (1965),Пановского и Присада (1965), Мордуховича и Цванга (1966), Пановского, Буша и др. (1967), Крамера (1967), Уингаарда и Котэ (1971), Уингаарда, Котэ и Изуми (1971), Хогена (1973), Яглома (1974а), Пановского и Даттона (1984), Кадера (1988), Кадера и Яглома (1990) и ряда 476
других работ пока еще не очень точны, недостаточно полны и часто позволяют сделать лишь некоторые предварительные выводы. Существенно, однако, что эти выводы, как правило, неплохо согласуются с предсказаниями теории и дают определенное представление о форме ряда фигурирующих в теории универсальных функций.
В качестве типичных примеров (основанных на данных сравнительно ранних измерений) на рис. 9.25 мы приводим ориентировочные эмпирические графики функций /3, /4 и /5, на рис. 9.26 — функцию /6, на рис. 9.27 — график значений коэффициента анизотропии ow/o u = fs/fs, на рис. 9.28 — графики коэффициентов корреляции ruw = — l/f3f5 и rwT= ^h^Hbfe; аналогичные графики функций /з, ..., /б и /5//з, построенные по данным ряда исследователей, можно найти в статье Ариель и Надежиной (1976), снабженной большим списком литературы. Согласно всем имеющимся данным (см. их сводку у Ариель и Надежиной, Пановского и Даттона (1984)), при малых |q отношение Оц/u* близко к 2,4 (т. с. /3(0) « « 2,4), в то время как f4(0) ^ 1,9, a f5(0) « 1,25. Эти значения близки к значениям (6.29) тех же отношений в лабораторных логарифмических пограничных слоях, но все же немного их превосходят; наибольшее (но также небольшое) расхождение наблюдается в значениях Gwin*, что может объясниться наличием в атмосфере даже при практически нейтральной стратификации некоторых вертикальных конвективных движений, порождаемых термическими неоднородностями почвы. Что же касается значений в атмосфере отношений От/|Т^| и u'TI^Cp^-'q ПРИ малых значениях |£| (при 5 = 0, строго говоря, должны быть справедливы равенства q = 0, Г* = 0, и'Т = 0, которые на самом деле никогда точно не выполняются, так как термические неоднородности подстилающей поверхности всегда порождают небольшие пульсации температуры), то они в атмосфере оказываются заметно большими, чем в логарифмическом подслое лабораторных пограничных слоев с тепло- переносом (об этом см. п. 6.7).
Более полные и аккуратные, чем на рис. 9.25, данные о значениях функции owlu^ = l5^ можно найти, в частности, у Уин- гаарда, Котэ и Изуми (1971), Пановского, Буша и др. (1967) (см. также Монин и Яглом (1971)); Хогена (1973), гл. 2 и 3; Мерри и Пановского (1976); Пановского, Теннекеса и др. (1977); Пановского и Даттона (1984); Ньистадта и Ван Допа (1985); см., кроме того, конец настоящего параграфа и рис. 9.29. Все указанные здесь источники указывают, что f3(5) ~ ^5 |5Г/з (где D5 = D^-^, см. (8.87")) на значительном интервале отрицательных значений 5‘, рекомендуемые здесь оценки коэффициента Ds сравнительно мало различаются и все близки к значению £>5 = 2. Пановский, Тенне- кес и др. указывают также, что простая формула f5(5) = 1,25(1 — — 35)1/3 неплохо описывает эмпирические данные о значениях Gw,и* на интервале отрицательных 5, простирающемся от 5 = 0 и до, по крайней мере, 5 =—3. При устойчивой стратификации (5 > > 0) значения /^(5) сравнительно медленно убывают с ростом 5-
Представленные на рис. 9.26 данные о зависимости (Уг/17"^ | от £ характеризуются очень большим разбросом (особенно при малых |£|, где и от и q (а значит, и |Т*|) принимают очень малые значения), но в целом они нс противоречат предположению
Рис- 9.25. Данные Креймера (1967) об универсальных функциях a Ju* == /з(£), oju* = Ш, Cwlu» = f5®.
4
2
О
▼ 15м
•- а адм
■ адм
. Австралия
х 30 м
v 6м о 8м
▲ 12 м
Цимлянск
□ 1 м
-0,6 .-^
5 Монин (1962 б) Цимлянск • 16 м Г Край мер (1967) д адм\ Раунд Хилл
^2*0,^~06
бт/1Т01у .
( Пановскии и др^ (1967)
. Раунд ХимО1 Нейл
v 16м
Рис. 9.26. Эмпирический график функции аг/|Т*| = fe(5)«
08 >z/L
об универсальности этой зависимости. Дополнительные данные о значениях универсальной функции /б(£)= Ot/IT*! можно найти, например, в работах Уэсли и др. (1970), Уингаарда, Котэ и Изуми (1971), Монджи (1972), Хогена (1973), главы 2 и 3, Ариель и На- дежиной (1976), Пановского и Даттона (1984) и многих других.
Qw/^u
Рис. 9.27. Зависимость коэффициентаанизотропии (Swl^u от £ по эмпириче-ским данным.Рис. 9.27. Зависимость коэффициентаанизотропии (Swl^u от £ по эмпириче-ским данным.-1,0-0,500,5 ^/L-1,0-0,500,5 ^/L
Рис. 9.27. Зависимость коэффициентаанизотропии (Swl^u от £ по эмпириче-ским данным.
Рис. 9.27. Зависимость коэффициентаанизотропии (Swl^u от £ по эмпириче-ским данным.
-1,0-0,500,5 ^/L
-1,0-0,500,5 ^/L
О значении постоянной f6(0) уже говорилось в п. 6.7; на значительном интервале отрицательных значений £ функция /б(£), согласно всем имеющимся данным, неплохо аппроксимируется зависимостью вида /6(£) ~ De К|_1/з (где De = D^ly, см. формулу (8.87")), причем для коэффициента De практически у всех авторов получаются близкие оценки: De ~ 2,25... 2,35. Отмстим, что измеренные значения отношения ад7|®*| (где q'— пульсация
Рис. 9.28. Зависимость коэффициентов корреляции ruw и rwт от £ при £ < 0 по эмпирическим данным.Рис. 9.28. Зависимость коэффициентов корреляции ruw и rwт от £ при £ < 0 по эмпирическим данным.^гот^гот-.।—'оt; -0,1-0,05-.।—'оt; -0,1-0,05
Рис. 9.28. Зависимость коэффициентов корреляции ruw и rwт от £ при £ < 0 по эмпирическим данным.
Рис. 9.28. Зависимость коэффициентов корреляции ruw и rwт от £ при £ < 0 по эмпирическим данным.
^гот
^гот
-.।—'о
t; -0,1-0,05
-.।—'о
t; -0,1-0,05
влажности, 0* = — /|хри*, / — испарение с почвы) обычно при всех £ оказываются близкими к значениям fe^) (см., например, Ариель и Надсжина (1976)); в частности, Хегстрем и Смедман- Хегстрем (1974) нашли, что в области применимости соотношения /б(£] ~ UM3 также и о^/|6* | ^ l^l""1^ с коэффициентом пропорциональности, мало отличающимся от эмпирических оценок коэффициента De*
Измеренные в приземном слое значения —u'T'I^CpP^q при неустойчивости быстро убывают с ростом —£; при устойчивой стратификации эти значения, по-видимому, слабо возрастают с ростом £ (см. Зубковский и Цванг (1965), Уингаард, Котэ и Изуми (1971); ср. также ниже рис. 9.29).
Вопрос о закономерностях, относящихся к значениях отношений Ом/ц* й Gylu^, не очень прост. Данные о значениях этих отношений, представленные на рис. 9.25, хорошо согласуются с предположением о том, что ou/u* и ov/u* зависят лишь от £ и описываются
универсальными функциями f^^) и Ь®» к родственному выводу приводят и сводные данные Ариель и Надежиной о значениях о^и* и Qvlu*. Однако некоторые исследователи получали при измерениях величин би!и* и <5vlu* и резко отличные результаты; вообще данные о значениях оы и оУ (в первую очередь при неустойчивой стратификации) характеризуются очень большим разбросом. Этот разброс естественно объяснять тем, что спектры пульсаций горизонтальных компонент скорости ветра охватывают очень широкий диапазон частот и при измерении дисперсий и/2 и
,2 -
и используемые приборы часто регистрируют только часть этого диапазона, различную у разных приборов. В связи с этим некоторые авторы высказывали даже подозрение, что теория подобия Монина—Обухова вообще неприменима к горизонтальным компонентам скорости ветра, в значения которых вносят вклад очень крупномасштабные возмущения, подверженные влиянию мезо- и макромасштабных характеристик планетарного пограничного слоя (см., например, Колдер (1966); Хоген (1973), с. 109 и 130; Яглом (1974а); Гаррат (1975)). Эта точка зрения подкрепляется также данными Пановского, Теннекеса и др. (1977) (см. также Панов- ский и Даттон (1984), п. 7.3.2), согласно которым значения отношений Gulu* и gvIu* в приземном слое (на сравнительно больших высотах) зависят при неустойчивой стратификации не от z/Л, а от hIL, где h — толщина планетарного пограничного слоя. Однако данные Пановского, Теннекеса и др. противоречат результатам многих других исследователей, и использовавшиеся этими авторами измерения не сопровождались одновременными измерениями спектров и/ и t/, только и позволяющими обосновать выбор частотного интервала, интеграл по которому следует приравнять к дисперсиям и и и' . Поэтому в настоящее время приходится считать, что вопрос о надежном определении значений аы/р* и avlu* в приземном слое атмосферы требует еще дополнительного изучения.
Вернемся теперь снова к закономерностям, отвечающим условиям свободной конвекции. В п. 8.5 указывалось, что требование независимости режима турбулентности от и* приводит к соотношениям Owliu = C5\t>Vk и аг|Т*| =Се|^|-1/з (см. формулу (8.87)), а в настоящем пункте мы отмечали, что имеющиеся данные измерений подтверждают справедливость этих соотношений на очень широком интервале отрицательных значений £. Этот интервал реально начинается где-то около точки £ « —0,1. В то же время данные Монджи (1972) (см. также Хоген (1973), глава 2) оставляют впечатление, что указанные соотношения выполняются с неплохой точностью вплоть до очень больших значений —£, превышающих 50. С другой сторены, обнаруженное на опыте быстрое убывание значения отношения —^^/(срр)”1^ с ростом |£| в широком интервале умеренно неустойчивых стратификаций явно противоречит допущению о применимости здесь «законов свободной конвекции», требующих, чтобы значение этого отношения остава- 480
лось постоянным (или даже равнялось нулю — см. формулы (8.87) и (8.87')). Именно по этой причине Зилитинкевич (1971) предположил, что свободной конвекции должны отвечать совсем другие условия, при которых к характеристикам турбулентности приложим «анизотропный анализ размерностей». Мы уже говорили в предыдущем параграфе, что, развивая идеи Зилитинкевича, Бетчов и Яглом (1971) предположили, что полученные Зилитин- кевичем соотношения на самом деле должны быть справедливы в промежуточном «динамико-конвективном» подслое, охватывающем некоторый интервал не слишком больших или малых по модулю отрицательных значений £, а при очень больших отрицательных £ должны уже выполняться настоящие законы свободной конвекции (8.87"), в которые и* не входит. Яглом (1974а) указал также, что результаты Монджи (1972), как будто бы показывающие, что формулы (8.87) и (8.87') для o^ju» и ат/|Т*| неплохо выполняются на очень широком интервале отрицательных значений £, возможно, свидетельствуют только о том, что коэффициенты Сб. С6 и Ds, De мало отличаются друг от друга.
В конце 80-х годов Кадер (1988) попытался проверить предсказания Бетчова и Яглома на массиве данных многолетних измерений моментов турбулентных пульсаций на научной станции ИФА АН СССР вблизи г. Цимлянска, дополненных обширными материалами об этих моментах, имеющимися в научной литературе. К сожалению, по причинам, объясненным выше, надежных данных о значениях gJu* и Оо/u* (для которых использование анизотропного анализа размерностей и допущение о несущественности параметра и* приводят к резко различным выводам) найти вообще не удалось. Поэтому здесь мы ограничимся лишь рис. 9.29г где собраны результаты обработки Кадером данных многолетних измерений моментов w'2, Т'2 и и'Т' (и турбулентных потоков ри^ и 7) на Цимлянской научной станции. Мы видим, что эти результаты очень неплохо согласуются с предсказанием о наличии в неустойчиво стратифицированном приземном слое атмосферы как динамического («логарифмического») подслоя, в пределах которого можно пренебречь влиянием термической стратификации, так и промежуточного динамико-конвективного подслоя и расположенного еще выше подслоя свободной конвекции; границы этих трех слоев по данным рис. 9.29 примерно соответствуют границам по данным рис. 9.21. Рисунок 9.29 показывает также, что коэффициенты в законах (8.87') и (8.87") для ow и от действительно не сильно различаются; именно поэтому данные о значениях о^и» и От/|Г*| удается неплохо аппроксимировать одной степенной зависимостью на очень широком интервале отрицательных значений £. Данные о значениях и'Т' при больших отрицательных значениях t не слишком надежны, но все же они оставляют впечатление, что, вероятно, —u'T'l(срр)~xq =N 0 в слое свободной конвекции, а принимает там постоянное значение, равное примерно-
Результаты, очень близкие к представленным на рис. 9.29, Кадер получил также, обработав имеющиеся в литературе многочисленные данные измерений характеристик Oulu,., ат/|Т»| и — "iFT'I^Cpp^A (см- Кадер (1988), Кадер и Яглом (1990)). Дан-
Рис. 9.29. Значения нормированных стандартных отклонений Gw и От пульсаций вертикальной скорости и температуры и горизонтального потока тепла и'Т' при неустойчивой термической стратификации по данным многолетних измерений в Цимлянске.
ные о функциях фе(£) и ф^(?) при £<0 можно также найти в этих двух работах. Последняя из них содержит, кроме того, результаты обработки некоторых данных измерений третьих моментов турбулентных пульсаций в неустойчиво стратифицированных приземных слоях; на этом, однако, мы здесь уже не будем оста навливаться.
У, ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦ В ПОЛЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Глава 10ЛАГРАНЖЕВО ОПИСАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
Уравнения гидродинамикинесжимаемой вязкой жидкости в переменных Лагранжа
В предыдущих главах мы пользовались эйлеровым методом- описания движений жидкости. При использовании этого метода течение несжимаемой жидкости в момент t характеризуется полем скорости и(Х, /), т. с. значениями вектора скорости во всевозможных точках Х=(Х1, Х2, Х3) пространства (в настоящем разделе по причинам, которые будут ясны из дальнейшего, нам будет удобно обозначать координаты Xi, а нс Xi, как в предыдущих главах). Уравнения гидродинамики (из которых давление можно исключить с помощью уравнения (1.9)) при этом в принципе позволяют определить значения переменных Эйлера и(Х, 0 в любой момент времени / > /о по заданным начальным значениям u(X, /o) = Uo(X). Однако для изучения таких явлений, как турбулентная диффузия (т. с. распространение примесей в поле турбулентности) или деформация материальных поверхностей и линий (состоящих из фиксированных элементов жидкости) в турбулентном течении, более удобным оказывается лагранжев метод описания движений жидкости. Он заключается в том, что вместо скоростей жидкости в фиксированных точках X пространства за основу берется движение фиксированных «жидких частиц», прослеживаемое, начиная от некоторого начального момента времени / = /о- Под «жидкими частицами» при этом понимаются объемы жидкости, размеры которых очень велики по сравнению со средним расстоянием между молекулами (так что для соответствующих объемов имеет смысл говорить об их скорости, оставаясь в рамках механики сплошной среды), но все же настолько малы, что скорость и давление внутри частицы можно считать практически постоянными и в течение рассматриваемых промежутков времени эти частицы можно считать перемещающимися «как одно целое» (т. с. без заметной деформации). Лагранжев метод самым непосредственным образом связан с реальными движениями отдельных элементов жидкости, совокупность которых и составляет течение; поэтому его можно считать физически более естественным, чем эйлеров метод описания. В то же время в аналитическом отношении использование переменных Лагранжа, относящихся к индивидуальным частицам жидкости, оказывается гораздо более громоздким, чем использование переменных Эйлера и(Х, /), вслед-
ствие чего уравнения гидродинамики в форме Лагранжа используются при конкретных расчетах довольно редко. Если для случая идеальной (невязкой) жидкости такие уравнения все же приводятся в некоторых учебниках (см., например, Лэмб (1932)), то для случая вязкой жидкости соответствующие уравнения изучены до сих пор очень мало; вывод этих уравнений, позволяющий записать их в сравнительно компактном виде, был опубликован, по-видимому, впервые лишь в середине этого столетия Гербером (1949) (см. также Монин (1962в)). Хотя использование лагранжевых уравнений гидродинамики вязкой жидкости в задачах теории турбулентности еще является делом будущего (см., впрочем, Любимов (1969)), мы все же приведем здесь вывод таких уравнений, попутно вводя ряд понятий и обозначений, которые будут постоянно использоваться в настоящем разделе.
Исчерпывающей лагранжевой характеристикой течения несжимаемой жидкости может служить функция Х(х, /), задающая для любого момента времени t координаты X всевозможных «жидких частиц», идентифицируемых по значениям некоторого параметра х. Уравнения гидродинамики в принципе должны позволить определить значения Х(х, 0 при любых t > t0 по заданным начальным значениям скоростей «жидких частиц» V(x, t) = ^^-^, т. е. по величинам
V (х, М-Г^9-] .
Связь между лагранжевыми и эйлеровыми характеристиками дается соотношением
^^- = и[Х(х, 0. П- (10.1)
Переход от эйлеровых уравнений гидродинамики к лагранжевым заключается в замене независимых переменных (X, 0 на (х, 0 и переходе от неизвестной функции и(Х, /) к новой неизвестной Х(х, 0, связанной с u(X, /) формулой (10.1).
Далее, в настоящей главе мы будем использовать в качестве лагранжевых параметров «жидких частиц» х начальные значения их пространственных координат X в момент / = /о, т. е. положим
х = Х(х, /.). (10.2)
При этом функция двух переменных Х(х, f) описывает семейство траекторий «жидких частиц», находившихся в начальный момент времени / =/о во всевозможных точках х объема, занятого жидкостью. Ясно, что в любой момент t > t0 точки X = Х(х, 0. соответствующие всевозможным допустимым значениям х, непрерывно заполняют весь объем, занятый жидкостью. Таким образом, мы видим, что лагранжев метод заключается в задании течения в виде семейства траекторий (отличающихся друг от друга значениями х), на каждой из которых роль параметра играет время t.
Перейдем к выводу лагранжевых уравнений динамики несжимаемой вязкой жидкости. Будем пользоваться декартовыми компонентами векторов X и х, которые обозначим (Хь Х^ Х^ и (хь х2, х3). Как указывалось выше, переход от эйлеровых уравнений гидродинамики к лагранжевым заключается прежде всего в замене независимых переменных (Xi, Х2, Х3, О на (хь х2, х3, /). При этой замене переменных мы переходим от декартовых координат к нестационарным криволинейным и неортогональным координатам, сопутствующим движению жидкости. Действительно, каждая координатная поверхность Xi = const во все моменты времени состоит из одних и тех же «жидких частиц»; в начальный момент времени такие поверхности суть плоскости, но с течением времени они, перемещаясь вместе с жидкостью, искривляются.
Будем использовать для якобианов по переменным (хь х2, х3) сокращенное обозначение
-^AA£L = [^ в. С](Ю.з)
<?(ХЬ Х2, Хз) 1JХ '
и будем учитывать, что величина [4, В, С] не меняется при циклической перестановке переменных А, В, С и меняет знак при их ациклической перестановке.
При переходе от эйлеровых координат Ха к лагранжевым хр большую роль играет матрица
М = |^.|; det М = |/И | = [Xn X, Хз]. (10.4)
Согласно формуле (10.2), в начальный момент времени дХа/дх$ = = 6ар, т. е. матрица М является единичной, и |М|= 1. Величины дх^дХ^, суть элементы обратной матрицы М-1, т. е. алгебраиче-
ские дополнения элементов -,— в матрице М, деленные на |Л1|. Отсюда для вычисления производных по эйлеровым координатам Xi получаем формулу
титО05’
Здесь и в дальнейшем под (/, /", Л) всегда подразумевается циклическая перестановка индексов (1, 2, 3). В справедливости формулы df дха (10.5) легко убедиться, записав ее левую часть в виде -^—-д^ (где по повторяющемуся индексу а, как обычно, подразумевается суммирование); такое же выражение получается в правой части при разложении входящего в нее детерминанта по элементам столбца /.
Из формул (10.1) и (10.5) вытекает следующее соотношение для дивергенции скорости:
div иdiv и__диа_ д дХа_ 1 ГГ^ дХа~ дХа dt '"|М| Ц dt ’__диа_ д дХа_ 1 ГГ^ дХа~ дХа dt '"|М| Ц dt ’1 d | М | ПГТ dt1 d | М | ПГТ dt
div и
div и
__диа_ д дХа_ 1 ГГ^ дХа~ дХа dt '"|М| Ц dt ’
__диа_ д дХа_ 1 ГГ^ дХа~ дХа dt '"|М| Ц dt ’
1 d | М | ПГТ dt
1 d | М | ПГТ dt
(где иа — декартовы компоненты поля скорости). В случае несжимаемой жидкости дивергенция скорости тождественно равна нулю, так что д|Л1|/д/ = 0 и, следовательно, |Л1| нс меняется со временем. Поскольку в начальный момент времени |Л1|=1, это равенство остается справедливым и в любой момент времени. Вспоминая выражение (10.4) для |Л4|, запишем
YXX) X2l ^3] = 1.(Ю.6)
Это равенство играет роль уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости в лагранжевых переменных.
Далее будем пользоваться формулой (10.5), полагая в се правой части |Л11 = 1. Дважды используя эту формулу, для оператора Лапласа по эйлеровым координатам Ха получаем выражение Axf=^7^ = №, ^3, №. ^3. /]] + №, х. [Х„ х„ ш +
+ [Х„ Х2, И„ Х2, т-(10.7)
Теперь можно перейти к лагранжевым переменным в уравнениях Навье—Стокса
du. 1 др
Пользуясь формулами (10.1), (10.5) и (10.7), получаем:
^-=LVxh Хк, p] + v{[x2, Хз[х2, X», ^-]] +
+ |Х Х„ [%з, хи ^Lj|+|X X», [х„ Х2,(10.9)
Уравнения (10.6) и (10.9) относительно неизвестных ХДх, /), i = 1, 2, 3, и р(х, f) образуют полную систему уравнений динамики несжимаемой вязкой жидкости в переменных Лагранжа.
Нелинейным относительно основных динамических переменных слагаемым в уравнениях движения соответствуют силы, описывающие взаимодействие между компонентами механической системы. Так, в уравнениях Навье—Стокса (10.8) нелинейные (а именно, квадратичные) относительно переменных щ слагаемые содержатся в выражении для ускорения dujdt; им соответствуют силы инерционного взаимодействия между пространственными неоднородностями поля скорости и(Х, /), через которые (с помощью
формулы (1.9')) выражается и градиент давления (подчеркнем, что силы вязкости описываются в уравнении (10.8) линейными выражениями). Однако инерционные взаимодействия имеют относительный характер — они устраняются при переходе к сопутствующей системе отсчета. В лагранжевых уравнениях движения (10.9) нелинейными относительно переменных Xi выражениями описываются реальные силы взаимодействия между жидкими частицами— силы давления и вязкости (причем силы вязкого взаимодействия здесь описываются нелинейными выражениями пятой степени относительно переменных Х^. Отношение типичных для данной задачи значений нелинейных и линейных слагаемых в уравнениях движения можно назвать константой взаимодействия. Так, в случае уравнений Навье—Стокса (10.8) константой инерционного взаимодействия является отношение типичных значений сил инерции и сил вязкости, т. е. число Рейнольдса Re; при достаточно больших Re (характерных для развитой турбулентности) инерционные взаимодействия оказываются весьма сильными. В лагранжевом описании константой вязкого взаимодействия является отношение типичных значений сил вязкости к типичному ускорению, т. e. 1/Re; при больших Re вязкие взаимодействия оказываются весьма слабыми.
Приведем еще вид лагранжевых уравнений гидродинамики для двумерного плоскопараллельного течения. Пусть движение жидкости происходит только в плоскостях Хз = const (так что Аз — х3), причем Х\ и Аг нс зависят от хз. Тогда, используя для якобианов по (хь х2) обозначения
В].(10.10)
уравнения (10.6) и (10.9) нетрудно привести к виду
И., х2]-1,
(10.11) 5-1*,. ?! + »{№„[Л. ^]|
В этом случае вязкие силы описываются нелинейными выражениями третьей степени относительно переменных Xi.
В заключение настоящего параграфа отмстим, что, кроме использования соотношения (10.1), имеется еще один способ установления связи между лагранжевыми и эйлеровыми характеристиками течения, основанный на рассмотрении произвольных характеристик «жидких частиц» (т. е. гидродинамических характеристик, значения которых у фиксированной «жидкой частицы» не меняются при ее движении). При лагранжевом описании каждую такую характеристику можно записать в виде ^(х), так как при фиксированном х она не зависит от времени I. При эйлеровом описании,
однако, значения V такой характеристики в фиксированной точке пространства X могут меняться со временем /, т. с. У = Т(Х, /). Связь между лагранжевым и эйлеровым описанием будет даваться соотношением
^(х) = ф[Х(х, tY /].(10.12)
Поскольку дЧг(х)/д/ = 0, полная производная по времени от правой части должна быть равна нулю, т. с.
d^ d^ дф дХа дф дф
где мы воспользовались формулой (10.1). Пользуясь, кроме того, уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости диа/дХа = = 0, получаем:
Это уравнение является дифференциальным аналогом соотношения (10.12). Таким образом, эйлерово поле любой консервативной характеристики «жидких частиц» удовлетворяет уравнению переноса (10.13). В частности, консервативной характеристике Т(х) = = 6(х — хо), отличной от нуля (и равной бесконечности) лишь для одной «жидкой частицы» (с начальной координатой хо), соответствует эйлерово поле
ф(Х, О = б[Х-Х(хо, 01,(Ю.14)
которое является решением уравнения переноса (10.13) при начальном условии
ф(Х, /о) = б(Х-Хо).(10.15)
Общее понятие «консервативной характеристики» представляет собой математическую идеализацию. Для возможности фактически следить за «жидкой частицей» она должна быть «маркирована», т. с. иметь некоторые свойства, отличающие ее от окружающей среды. Такая маркировка достигается проще всего добавлением некоторой заметной пассивной примеси, которая переносится течением, нс оказывая на него влияния. Тогда концентрация примеси ^(Х, /) ведет себя, как эйлерова консервативная характеристика ф(Х, /). Однако реальное поле концентрации испытывает влияние молекулярной диффузии и, следовательно, удовлетворяет уравнению диффузии
дй ди_й
Оно отличается от уравнения адвекции (10.13) для идеализированной консервативной характеристики -ф(Х, /) правой частью, пропорциональной коэффициенту молекулярной диффузии %. Лаг-
ранжева форма уравнения диффузии может быть выведена аналогично лагранжевым уравнениям динамики [Коррсин (1962); см. также Окубо (1967)]. Основной переменной будет лагранжево поле концентрации
»(х, /) = &[Х(х, 0. Л-(10.12')
Эта переменная зависит от t и удовлетворяет уравнению
^^- = Х{[Х2) ХзН2, Х„ &]] + [Хз, Х„ [Х,, X., 0]] +
+ №. Х^ ^2, »Ш,(10.9')
которое показывает, что О’ не зависит от t, если % = 0; здесь А\(х, /), i=l, 2, 3, суть решения динамических уравнений (10.6) и (10.9).
Лагранжевы статистические характеристикитурбулентности
При статистическом описании турбулентности необходимо прежде всего указать, какие именно ее характеристики предполагаются имеющими распределения вероятностей, т. е. представляющими собой реализации некоторых случайных полей. В предыдущих главах при рассмотрении турбулентных течений мы предполагали, что случайным полем является эйлерово поле скорости и(Х, /). Однако в таком случае и лагранжевы величины
t
V(x, /) = и[Х(х, 0. Л и Х(х, 0 = х+ $V(x, t')dt'
будут случайными функциями аргументов хи/. Более того, при этом для любого конечного числа п «жидких частиц» (характеризуемых тем, что в момент / = 0 они находились в точках Xi, ... ..., хп) будут существовать многомерные совместные плотности вероятности для их координат X и скоростей V в произвольные моменты времени t\, ..., tm, являющиеся функциями от Зп + т переменных Х11, Х12, Х13, . .., Хщ, ХП2, Хпз, /1, • • ., tm (ГДС х,1, Хй, Х« — компоненты вектора х<). Эти многомерные плотности вероятности и являются основными лагранжевыми статистическими характеристиками турбулентности. В этом случае будут существовать также и совместные распределения вероятности для наборов величин, одни из которых являются лагранжевыми величинами (координатами или скоростями фиксированных «жидких частиц»), а другие — эйлеровыми величинами (скоростями течения в фиксированных точках).
Далее мы будем обозначать плотности вероятности символами вида р(Х, V, ...|xi, Хг, ...; Л, /2, ...), где в скобках перед вертикальной чертой указываются возможные значения рассматриваемых случайных величин (обозначаемые теми же буквами, что и
сами величины), а после вертикальной черты — параметры, от которых эти величины зависят. В тех случаях, когда параметры, отвечающие нескольким величинам, совпадают, мы будем их указывать после черты только один раз (если при этом нс возникает опасность путаницы).
Между различными лагранжевыми (и смешанными) статистическими характеристиками турбулентности существует целый ряд общих соотношений; некоторые из них мы и укажем в настоящем параграфе. Начнем с соотношений, являющихся следствиями «уравнения переноса» (10.13). Учитывая, что выражение (10.14) является решением этого уравнения, и что, согласно формуле (10.1),
иа(Х, /)д[Х —Х(х, /)] = иа[Х(х, 0. Ч6[Х-Х(х, 01 == Иа(х, 06[Х-Х(х, 01,
получаем:
дб[Х —Х(х, О] ^а(х, 06[Х-Х(х, О) _fi
dt +дХа— U’
Однако в силу самого определения теоретико-вероятностного осреднения
д[Х — Х(х, 01 = Р (X | х, 0.
Va(x, /)6[Х -Х(х, /)] = $ Vap (X, V|x, /)dV.
Следовательно, осреднив уравнение для б [X— Х(х, /)], получим:
др--^’ ° Н-атЧ^^’ Vlx' 0dV = 0.(10.16)
Это уравнение и является статистическим аналогом «уравнения переноса» (10.13).
Другой тип соотношений между статистическими характеристиками можно получить, введя в рассмотрение, наряду с лагранжевой скоростью V(x, /), представляющей собой значение случайной функции и(Х, /) в случайной точке Х(х, /), также случайную величину V(Xi, х, /), относящуюся к фиксированной точке Xi = X(x, /). Значениями этой величины являются скорости тех жидких частиц, которые в момент t = t0 находились в точке х, а в момент / оказались в фиксированной точке X], а се плотность вероятности р(¥|Хь х, /)—это условная плотность вероятности величины V(x, t) при условии, что Х(х, t) = Хь Поэтому, строго говоря, величина V(Xi, х, /) нс является ни чисто лагранжевой, ни чисто эйлеровой. Однако можно ожидать, что при возрастании / — /о зависимость распределения вероятности для этой величины от значения х, как правило, будет становиться все менее и менее
существенной. При достаточно больших по сравнению с лагранжевым временем корреляции
Г = Гdt
to [V2 (х, /) V2 (х, /о)]1/2
значениях t — /0 этой зависимостью, по-видимому, в ряде случаев вообще можно пренебречь, и тогда случайную величину V(Xb х, /) при таких t — /о можно считать эквивалентной эйлеровой случайной величине и(Хь /). Подчеркнем, впрочем, что иногда замена V(Xi, х, /) на u(Xh /) может оказаться незаконной при любых t — /0; так, например, в дальнейшем мы увидим, что в турбулентном пограничном слое над плоскостью х3 = О всегда V3(Xi, х, /) > О (в частности, в области приложимости логарифмического закона для профиля средней скорости У3(Хь х, /)= Ьи* где b — положительная универсальная постоянная, в то время как u3(Xi, /) = 0).
Нетрудно видеть, что совместную плотность вероятности для скоростей п «жидких частиц» V(xi, Л), ..., V(xn, /п), взятых в разные моменты времени Л, ..., /п, можно представить в виде '
p(Vi, ..., Vn|Xi, . . ., xn; tb ..., /п) =
= 5* * ** ^l^n • • •’ ^n* Xl» • • Xn» ^1» • * tn)^
Xp(Xb ..., Xn|X1, ..., xn; tx, ..., tn)dXx ... dXn, (10.17) где первый множитель под знаком интеграла есть условная плотность вероятности для указанных скоростей «жидких частиц» при условии, что их координаты в соответствующие моменты времени принимают фиксированные значения Х(хь t)=Xi, ..., Х(хп, tn) = = Хп. Если все рассматриваемые «жидкие частицы» различны (т. е. среди начальных точек хь ..., хп нет двух одинаковых), то этот первый множитель есть совместная плотность вероятности для случайных величин V(Xi, хь Л), ..., V(Xn, хп, /п), введенных выше. Второй множитель под знаком интеграла в формуле (10.17) есть совместная плотность вероятности для лагранжевых случайных величин Х(хь /1), ..., Х^хп, tnV Формула (10.17) (принадлежащая, так же как и рассматриваемые ниже ее следствия, Монину (I960)) является частным случаем общей «теоремы о полной вероятности». Отметим, что если все рассматриваемые «жидкие частицы» различны, и все разности Л— /о, • • •, tn — to достаточно велики, то зависимость первого множителя под знаком интеграла в правой части (10.17) от аргументов в ряде случаев можно считать несущественной. При этом указанный множитель можно отождествлять с плотностью вероятности для значений поля скорости Vi=u(Xi, /), ..., V„ = u(Xn, tn) в фиксированных точках, и тогда формула (10.17) становится приближенным соотношением между лагранжевыми и эйлеровыми статистическими характеристиками турбулентности.
Рассмотрим особо частный случай формулы (10.17) при Х1 = х2= ... =хп( = х), когда эта формула содержит плотности вероятности для координат и скоростей одной и той же «жидкой частицы» в разные моменты времени. При п = 1 получаем
р(¥|х, /) = $р(¥|Х, х, /)р(Х|х, t^dX. (10.18)
Как уже отмечалось, при достаточно больших t—/о функцию р(¥/Х, х, /) иногда можно отождествить с плотностью вероятности для значений ¥ = и(Х, /) эйлерова поля скорости в фиксированной точке пространства—времени (X, /) (в этом смысле формулу (10.18) можно считать статистическим аналогом основного соотношения (10.1), связывающего лагранжеву и эйлерову скорости течения). Подставляя формулу (10.18) в выражение для среднего значения ¥(х, /), вытекающее из общей формулы (3.12), получаем:
¥ (х, /) = Jv(X, х, /)Р(Х|х, t^dX. (10.19)
В тех случаях, когда зависимость V (X, х, /) от х исчезает при /—/о-^сю, последнюю формулу при достаточно больших t—/о можно переписать в виде
¥ (х, 0 = $u(X, Qp(X|x, t^dX. (10.20)
Для совместного распределения вероятностей значений ¥i = = V(x, /0) и ¥2 = ¥(х, /) скорости одной и той же «жидкой частицы» в два последовательных момента времени /0 и / > /0 формула (10.17) приводит к соотношению
р(¥ь ¥2|х, /0, Ц=\рфь V2|X; х, /о, 0P(X|x, t^dX. (10.21) где первый множитель под знаком интеграла есть совместная плотность вероятности для величин ¥i = ¥(x, /о)=и(х, /о) и ¥2 = = ¥ (X, х, /). Отсюда для лагранжевой корреляционной функции скорости (т. е. смешанного второго момента VuV^ распределения
где индексы I и / нумеруют компоненты векторов Vi и ¥2), получается соотношение
VTkxTT^V^^ ПйХ. (10.22)
При достаточно больших (по сравнению с лагранжевым временем корреляции) значениях t — /0 корреляционную функцию скоростей под знаком интеграла можно с некоторым основанием отождествить с более простой эйлеровой пространственно-временной корреляционной функцией иАх, t^u^X, /)• Однако при таких t—U величины ¥/(х, /0) и ¥Дх, /) (а также величины и^х, /0) и Uj^X, t)) можно считать практически некоррелированными, так что в данном случае асимптотический вид формулы нс представляет большого интереса. Заметим еще, что левая часть формулы
не является самой общей лагранжевой корреляционной функцией скорости, так как здесь в момент /о координата соответствующей «жидкой частицы» имеет фиксированное значение (равное х). Более общей является лагранжева корреляционная функция Vi(x, <i) У/(х, /2), где 1ц >• t\ > to; для нее с помощью формулы (10.17) можно получить выражение
У. (х, t^x, Q = Ц У,(Х„ х, /^(Х,. Х„ х, tu t^ X
Хр(Х„ Х2|х, tt, t^dX,, dX2, (10.23)
где V(Xi, Х2, х, ti, tz) означает случайную скорость жидкой частицы в момент tz при условии, что в моменты to, t\ и /2 эта частица находилась в фиксированных точках х, Xi и Х2. При достаточно большом ti — to величину V(Xi, х, Л) можно с некоторым основанием считать эквивалентной и(Х], /1); точно так же при достаточно большом t2—ti величину V(Xi, Х2, х, t\, tz) часто можно считать эквивалентной и(Х2, /2).
Характеристики смещения фиксированнойжидкой частицы в случае однородной турбулентности
Движение одной жидкой частицы (скажем, той, которая в момент t = to находилась в точке х) полностью описывается векторной функцией Х(х, t), задающей положение этой частицы в произвольный момент времени t. Вместо вектора Х(х, /) можно использовать вектор смещения частицы за промежуток времени т
<o+t
Y(t) = X(x, #, + т)-х= J V (х, t)dt, (10.24)
что обычно оказывается более удобным. В настоящем параграфе мы рассмотрим вопрос о статистических характеристиках случайного вектора Y(t).
Полное описание величины ¥(т) требует задания ее трехмерной плотности вероятности p(Y|r; х, /о), зависящей от параметров т, х и to. Нетрудно видеть, что в случае очень малого (по сравнению с типичным лагранжевым временем корреляции Т) значения т эта плотность вероятности может быть выражена через эйлеровы статистические характеристики турбулентности. В самом деле, при т <С Т лагранжева скорость практически не изменится за время т, так что равенство (10.24) можно переписать в виде Y(t)~ V(x, /0)т = и(х, /о)т. Поэтому выражение для плотности вероятности для Y(t) в этом случае можно преобразовать к виду
P(Y|t; х, /0)«т-3р(^|х, /0),(10.25)
где Р(п|х, /о)—плотность вероятности (эйлеровой) скорости и(х, /о) в фиксированной точке х в момент /0. Если рассматривае-
мое турбулентное течение является установившимся, то плотность Р(и|х, /о) может быть определена по данным наблюдений за скоростью в точке х в течение длительного промежутка времени. Так, например, в случае течения в аэродинамической трубе, в начальной части которого установлена решетка с квадратными ячейками (создающая ниже по течению сильную турбулентность), данные измерений Симмонса и Солтера (1938) и Таунсенда (1947) убедительно показывают, что распределение Р(и|х) (а следовательно, и р(¥|т, х) при т<^Т) близко к нормальному распределению.
При не слишком малом т распределение p(Y|t; х, Zo) уже не может быть выражено через эйлеровы статистические характеристики. Однако если т ^> Т, то правая часть (10.24) может быть представлена в виде суммы ряда интегралов, берущихся по непе- ресекающимся интервалам времени продолжительностью более Т и являющихся слабо зависимыми случайными величинами. Поэтому к этой сумме должна быть применима центральная предельная теорема для слабо зависимых случайных величин, согласно которой распределение вероятностей суммы большого числа таких величин при некоторых широких условиях оказывается очень близким к нормальному. В последние годы центральная предельная теорема была при некоторых условиях доказана и непосредственно для интегралов вида (10.24) (см., например, Розанов (1990), где рассмотрен случай интеграла от стационарной случайной функции; близкие теоремы имеются и для интегралов от некоторых нестационарных случайных функций). К сожалению, прямо воспользоваться этими доказательствами все же нельзя, так как фигурирующие в них условия, налагаемые на случайные функции, нс могут быть точно проверены в применении к характеристикам реальных процессов. Тем нс менее эти условия настолько естественны, что было бы крайне странно, если бы распределение вероятностей для смещения Y(t) при т > Т существенно отличалось от нормального распределения. В некоторых случаях распределение для Y(r) (или хотя бы для отдельных компонент этого вектора) может быть найдено экспериментально с помощью измерения распределения концентрации в различных сечениях «облака», создаваемого источником примеси (например, распределения температуры в различных сечениях «теплового следа» за нагретым телом). Таким образом, удалось и экспериментально показать, что во многих турбулентных течениях распределение для Y(t) при больших т действительно очень близко к нормальному, причем в частном случае турбулентности в аэродинамической трубе за решеткой оказалось, что оно является почти нормальным при всех значениях т (см., например, Коллис (1948), Таунсенд (1951), Уберои и Корсин
(1953)). Последнее обстоятельство не кажется удивительным, так как в этом случае, как мы видели, распределение для Y(t) должно быть нормальным и при малых, и при больших значениях т; поэтому его близость к нормальному распределению при всех т означает только, что при промежуточных значениях т не происходит очень резкой перестройки формы соответствующего распределения. В общем же случае нет никаких оснований ожидать, что распределение для Y(t) будет близким к нормальному при не слишком больших значениях т.
Перейдем к рассмотрению важнейших характеристик случайного вектора Y (т) — его первых и вторых моментов. Среднее значение этого вектора описывается формулой
YCO= J V (х, f)dt.(10.26)
Исходя отсюда можно показать, что в ряде важных частных случаев Y(t)=Ut, где U — соответственно определенная средняя скорость течения (см. примеры ниже). После этого остается исследовать характеристики пульсации смещения
Y'(t) = Y(t)-Y(t)= $ V'(x, t^dt.
Тензор вторых моментов этого случайного вектора будет задаваться формулой
^о+Т <0+Т
D./(t)=y;(T)r;(t)= J $ к;(х, t^x, t^dtxdt^ (10.27) to t0
его естественно назвать тензором дисперсии смещения «жидкой частицы». В случаях когда распределение для Y (т) можно считать нормальным, вектор (10.26) и тензор (10.27) исчерпывающим образом характеризуют это распределение.
При достаточно малых т, при которых Y'CtJ^u^x, /0)т, из формулы (10.27) получаем
DM^ ~ м;(х, t^x, /0)т2 = В^.(10.28)
Коэффициенты Bij = ui(x, t^u) (х, /о) в случае установившихся турбулентных течений будут зависеть лишь от х, а при дополнительном предположении об однородности случайного поля u(x, t) вообще будут постоянными. Конкретные же сведения о виде функций Dtjtj) при не слишком малом т удается получить только для некоторых частных классов турбулентных течений.
Рассмотрим в первую очередь идеализированный случай стационарной однородной турбулентности, в которой все гидродинамические поля являются однородными случайными полями в трехмерном пространстве и одновременно стационарными функциями
от времени t. В этом случае средняя скорость и постоянна и в пространстве, и во времени, и, следовательно, V(x, /)=и[Х(х, /),/] = = u, Y(t) = u(t). Пульсационная скорость жидкой частицы V'(x, /) здесь при всех х будет иметь одни и тс же статистические характеристики и будет стационарной случайной функцией от /, так что
v;(x, z,)^^. Ц =■ я<№ -',)=(Л/)1'2 д$' ('= - 'D <1 °-29> (буквой L отмечаются лагранжевы характеристики). Перейдя к переменным s = t2 — tv и t =(Л + /г)/2, формулу (10.27) можно переписать в виде
т ^о+т—s/2
Dq (т) = $$[в^ (s) + В^ (s)] dt ds =
0tg-{-S/2
Т ^о+т—S/2
= («Y2\ SPW + ^ (*)]<« ds>(10.30)
470 to+s/2
откуда после интегрирования по t получаем
т
Dq (т) = $ (т - s) № (s) + В^ (s)] ds =о
т
= («;2»;2) $ (t - s) ^ (s) + r^ (s)] ds.(ю.зо')
Формула типа (10.30) для дисперсии одной компоненты Y(t) впервые была получена в классической работе Тэйлора (1921); в виде (10.30') она была представлена Кампе де Ферье (1939) в случае i = j и Бэтчелором (19496) в общем случае. При i — j формула (10.30') обращается в соотношение
т т
Dit (т) = 2 J (т - з) в^) (s) ds = 2uf $ (т - s) R^ (s) ds (10.31) оо
(здесь и ниже в формулах этого параграфа суммирование по I не предполагается!). Примем естественное допущение, что лагранжева корреляционная функция Ru^s) стремится к нулю при з -> оо и притом настолько быстро, что существует конечное «время корреляции»
Tt = ^ R^^ds(10.32)
о
(за лагранжев временной масштаб Г, упоминавшийся выше, при этом можно принять максимальное или среднее значение трех величин h, i = 1, 2, 3). Предполагая еще, что интеграл
$ sR$(s)ds = Si(10.33)
о
является конечным, можно при достаточно большом т (при т » 7,) заменить (10.31) асимптотическим соотношением
Du (т) «^ $ (т - s) R$ (s) ds = ^(7j - ЗЛ. (10.34) о
При очень большом т, когда т»7,, первый член в правой части соотношения (10.34) будет играть основную роль; таким образом, здесь
О^дааи'^Т^(10.35)
(этот результат может быть легко получен и без предположения о конечности интеграла (10.33)). Аналогично для jD,/(t) при очень большом т получается
Пц^«(й^у2Тмт; ТМЦ [^(s) + /?^(s)]ds.(10.36)
Равенство (10.35) показывает, что дисперсия смещения частицы за достаточно больщое время т оказывается пропорциональной т. Этот результат вполне аналогичен основному закону броуновского движения (т. е. молекулярной диффузии), согласно которому, средний квадрат смещения частицы, участвующей в молекулярной диффузии, пропорционален времени движения (диффузии). При очень малых т дисперсия смещения в силу соотношения (10.28) квадратично зависит от т, как это и должно быть при любом движении, происходящем с конечной скоростью. При промежуточных значениях т зависимость П</(т) от т оказывается более сложной и зависит уже от формы корреляционной функции R^ (s). Графики функций Da^t), отвечающих нескольким частным формам функции R^u (s), приведены в работах Френкила (1952, 1953) и книге Па- скуила (1974). Согласно их данным, большие изменения Dii(r) при изменении формы функции Ли^а) возникают, лишь если функция Rh^s) может принимать и отрицательные значения, а также много раз менять знак при возрастании аргумента s. В случае же всюду неотрицательных функций R^(s') зависимость Du(t) от R'm (s) оказывается весьма слабой, причем асимптотическая формула (10.28) хорошо выполняется при всех т ^ 7„ а асимптотическая формула (10.35)—при всех т ^ 7,. Таким образом, при неотрицательных функциях Rh? (s) дисперсия £>й(т) существенно зависит от интенсивности турбулентности ut и ее временного масштаба Ti и очень слабо от формы функции Ru^s).
Однородная турбулентность в безграничном пространстве является математической идеализацией, а предположение о стационарности еще усугубляет дело, поскольку из-за наличия диссипации энергии стационарное течение вязкой жидкости должно иметь внешние источники энергии и поэтому не может быть однородным. Однако вывод формулы (10.31) требует лишь, чтобы течение было однородным в направлении Ох,. Это позволяет указать реальные течения, к которым могут быть применены полученные результаты. В частности, Бэтчелор отметил, что эти результаты могут быть непосредственно применены к простейшему турбулентному течению в длинной прямой трубе (Бэтчелор и Таунсенд (1956), Бэтчелор (1957)). В самом деле, пусть направление трубы совпадает с осью Oxi; тогда по этому направлению течение будет однородным. Рассмотрим компоненту У1(т) смещения жидкой частицы за время т по направлению Охь Соответствующая лагранжева скорость е/У1(т)/с?т = Vi(x, /о + т) будет, вообще говоря, нестационарной случайной функцией т, зависящей от выбора начального положения частицы х в плоскости Ох2хз. Однако через некоторое время после момента to выхода рассматриваемой частицы влияние ее начального положения х практически перестанет сказываться, так что далее функцию Pi (х, to + т) можно будет считать не зависящей от х и стационарной. В таком случае средняя продольная скорость Vi(x, /о + т)=СЛ при достаточно большом т не будет зависеть ни от т, ни от х, т. е. будет постоянной по времени и одной и той же для всех «жидких частиц», занимавших фиксированное положение в момент to. При этом может быть строго доказано (с помощью рассуждений, о которых мы будем говорить в п. 10.5), что Ui будет совпадать со средней продольной скоростью всех жидких частиц, пересекающих фиксированное сечение трубы в течение заданного промежутка времени, т. е. со средней скоростью (/Ср, определяемой как отношение объема жидкости, вытекающей из трубы за единицу времени, к площади ее поперечного сечения. Таким образом,
УЛ?) ~(/срТ (10.37) при достаточно большом т. Далее, при достаточно большом т, в силу формулы (10.35)
[У1 (т)-та]2 ~ 2^Т,т; (10.38) при чуть меньших значениях т можно пользоваться более точной формулой (10.34) с Z = 1. Заметим, что характеристики и^ и Т\ в формуле (10.38) должны определяться параметрами, от которых зависит статистический режим турбулентности в трубе. Поскольку в круглой трубе при достаточно большом числе Рейнольдса вязкий подслой составляет незначительную часть сечения (см. выше п. 6.5), из результатов этого параграфа следует, что при Re ^> 1 величины п'2 и Ту будут зависеть только от радиуса трубы R и 498
скорости трения и* = Уто/р, где то — напряжение трения на стенке. Тогда в силу соображений размерности
= CRu„(10.39)
где с — универсальная постоянная, значение которой можно оценить по эмпирическим данным (см. ниже п. 11.4). Формула такого же вида будет справедлива и в случае турбулентного течения в прямой трубе или канале некругового сечения при достаточно большом Re, если под R понимать типичный линейный размер сечения трубы или канала, а и* определять по среднему значению напряжения трения на стенке.
Смещение жидких частиц в турбулентностиза решеткой
и в турбулентных течениях со сдвигом скорости
Лагранжевы характеристикиавтомодельных турбулентных течений
Вывод формул (10.37) — (10.39) опирается на то, что движение жидких частиц в поперечной плоскости Ох2х3 происходит лишь в пределах фиксированной конечной ее части. Это условие выполняется лишь для некоторых специальных турбулентных течений. В случае же, например, турбулентного пограничного слоя или турбулентной струи среднее расстояние частицы от ограничивающей поток стенки или от оси струи будет неограниченно возрастать с ростом т; поэтому здесь лагранжеву скорость dY\^!dx нельзя считать стационарной случайной функцией времени. Таким образом, класс течений, к которым можно непосредственно применить формулы (10.30) — (10.36), довольно узок.
Бэтчелор (1957) заметил, что имеется класс практически важных течений, к которым можно применить указанные формулы после несложного их преобразования. Этот класс состоит из установившихся автомодельных течений, в которых средняя скорость преимущественно направлена вдоль оси Ох\, и статистический режим турбулентности при разных значениях координаты х.\ является подобным, т. с. отличается лишь значениями масштаба длины L(xx) и масштаба скорости i/(xi). Иначе говоря, в рассматриваемых потоках все эйлеровы статистические характеристики турбулентности в плоскости X] = const, приведенные к безразмерному виду путем деления на соответствующую комбинацию масштабов L и U, не зависят от значения хь При этом фиксированная жидкая частица все время находится в одинаковых условиях, но с переменными масштабами скорости
{/(т) = [/[^(х, fo + т)] и времени
Llx' <х* Z° + T)l
W-£/[^ (х, /о + т)]’
При изучении движения такой частицы представляется целесообразным измерять время масштабом Г(т) (т. е. использовать вместо времени т переменную л(т)> связанную с т соотношением dx\ = — dx!T(x)), а скорость — масштабом Ux. Естественно предположить, что при достаточно больших значениях т (таких, что влияние начального положения х уже перестает сказываться) безразмерная пульсационная лагранжева скорость V'(x, t0 + т)/£7(т) будет стационарной случайной функцией F(r|) переменной ц:
V' (^ Д+т) =F(T|)> = (10.40)
Правда, строгое доказательство этого предположения (и вообще того, что из автомодельности эйлеровых свойств турбулентности вытекает автомодельность ее лагранжевых свойств) пока отсутствует. Однако оно представляет собой очень правдоподобную гипотезу, следствия из которой в ряде случаев хорошо согласуются с имеющимися эмпирическими данными о лагранжевых статистических характеристиках. В тех случаях, когда автомодельность эйлеровых характеристик турбулентности устанавливается с помощью соображений размерности, этими же соображениями обычно можно обосновать и автомодельность лагранжевых характеристик, причем получаемые здесь результаты всегда согласуются со сформулированным выше предположением.
Одним из простейших случаев, к которому можно приложить сформулированную гипотезу, является турбулентность в аэродинамической трубе за решеткой, установленной для турбулизации течения. В этом случае средняя скорость u = t/oii (где h — единичный вектор оси Oxi) строго постоянна, и, следовательно, Yl(т)=^7oт, Уг(т) = У3(т) = 0. Однако турбулентность здесь все же не является вполне однородной^ так как под действием вязкости интенсивность пульсаций скорости слегка убывает с возрастанием расстояния от решетки. Как показывают результаты измерений характеристик такой турбулентности (о них будет рассказано в томе 2 этой книги), в течение начального периода вырождения (т. с. на сравнительно небольших расстояниях от решетки) турбулентность за решеткой приблизительно однородна в плоскостях Xi = const и отличается при разных значениях Х] лишь масштабом скорости, который часто можно считать пропорциональным (xi — х?)-’^, и масштабом длины, который можно считать пропорциональным (xi— х?)^ (где х? —некоторое условное начало отсчета на оси Oxi). Поскольку здесь средняя скорость Оо всегда много больше пульсаций скорости,можно считать,что Х1(т)— х^ = = Uqt, где т — время движения жидкой частицы, отсчитываемое от момента /0 пересечения сю плоскости Xi = х?. За масштаб скорости О(т) в плоскости xi = х? + О0т можно принять любую постоянную скорость, умноженную на г|/г, например, при рассмотрении движения жидкой частицы, находившейся в начальный момент времени В ПЛОСКОСТИ Х1 = а, удобно ПОЛОЖИТЬ Щт) = иДТо^У11, где Uа —
типичное значение пульсации скорости при Xi = а, а хо=(а— —х®)/1/о. Переменная т, равенства (10.40) в этом случае равна 1пт + const; поэтому можно считать, что т] = 1п(т/та). Значит, из (10.40) здесь получается соотношение
^(г^ S„ (inЛ - Ini).
(10.41) где Sij — взаимная корреляционная функция стационарных процессов
Подставляя выражение (10.41) в формулу (10.27) и заменяя интегрирование по Л и ^ интегрированием по xi и хг в пределах от Та до х, аналогично выводу (10.30') получаем:
DM (Т) = иуа ^ ^ е 2 — е 2 ) р„ (0) + S,. (9)] <№. (10.42)
При достаточно быстром затухании корреляционной функции (10.41) с ростом ti — Т2 из формулы (10.42) следует, что при очень больших значениях т
оо 9
Dz/(t) = 2C/2TaB17T, SZ/ = 4S [S,v(6) + S„(6)]e 2 d6. (10.43) о
Тем самым мы показали, что асимптотический закон Д;(х) ~ х приближенно может быть применен и к вырождающейся турбулентности за решеткой в аэродинамической трубе.
Аналогичное рассуждение может быть применено к турбулентному следу за цилиндром произвольного сечения, расположенным вдоль оси Охг, или за каким-то конечным твердым телом с центром в начале координат. Как мы уже видели в п. 6.8, на достаточно большом расстоянии от обтекаемого тела (где турбулентные скорости в следе становятся малыми по сравнению со средней скоростью Оо обтекающего течения) турбулентный режим в следе можно считать автомодельным и различающимся при разных значениях продольной координаты Xi лишь масштабом длины Z-(xi) и масштабом скорости O(xi). При этом L(xi) ~ х‘/г, (/(xi)~xF'/1 в случае двумерного следа (за цилиндром) и L(xj) ~х'/а, O(xi) ~ ~ Х1/з в случае трехмерного следа (за конечным телом). В рассматриваемом случае Xt(x)« О0т при соответственном выборе начала отсчета времени и достаточно большом т, так что dt] = dx/x, т) = In x/xa как для двумерного, так и для трехмерного следа. Поскольку турбулированная жидкость не вытекает из следа, фиксированная жидкая частица будет все время блуждать в пределах
объема, занимаемого следом. Поэтому при достаточно большом т здесь также будет справедлива гипотеза' (10.40) (с Щт) = = Ua(TahY/2 или соответственно £/(т) =(/а(та/т)2/з). Это означает, что в двумерном турбулентном следе
In (т/Та)е е
Вц^ = и^а $l:l.e-T_e-J^/(6) + S/i(6)]d6>(Ю.44)
а в трехмерном следе
[57(0) + М0)] de,[57(0) + М0)] de,
[57(0) + М0)] de,
[57(0) + М0)] de,
(10.45)
причем Sz/(0) в обоих случаях имеет тот же смысл, что ив (10.42). Таким образом, при достаточно больших значениях т
(10.46)(10.46)г т для двумерного следа,Dz/(t)~<! £
(10.46)
(10.46)
I т3 для трехмерного следа.
В двумерном следе за длинным цилиндром, расположенным вдоль оси Ох2, очевидно, У2(т)=0. Что же касается величины Х3(т) в плоском следе и величин %2(т) и Х3(т) в трехмерном следе, то поскольку на большом расстоянии от обтекаемого тела плоский след становится практически симметричным относительно плоскости Ох\х<2, а трехмерный след — осесимметричным, при достаточно большом т они также будут близки к нулю при любом начальном положении жидкой частицы.
Рассмотрим теперь движение жидкой частицы в плоской или круглой турбулентной струе, распространяющейся по направлению оси Oxi в заполненном жидкостью пространстве. Здесь при достаточно большом Xi статистический режим полностью характеризуется масштабом длины L(xi) и масштабом скорости O(xi), как это было показано в п. 6.8, причем L(xi) ~ хь O(xi) ~ х*/2 в случае двумерной (плоской) струи и L(xi) ~ Xi, O(xi) ~ хГ1 в случае трехмерной (осесимметричной) струи. Однако в отличие от турбулентного следа, в турбулентной струе отсутствует основное движение с постоянной скоростью Uq 3> щ; поэтому здесь нельзя считать, что Xi(t) « Uqt. Поскольку, однако, в струе осредненное течение также автомодельно, можно надеяться, что в этом случае гипотеза (10.40) с ^(т) = C7[Xi(t)J, L(t) = L [Xi (т)] при достаточно большом т применима нс только к пульсациям лагранжевой скорости, но и к самой лагранжевой скорости ¥(х, /о + т). Тогда
где Fi = Fi (л) = const (ибо Fi(r|) — стационарный случайный процесс). Учтя, что У(Х1) ~ х?а, где а = */г или а = 1, при соответственном выборе начала отсчета времени т получаем:
для двумерной струи
ХС0~т2/3, £7(т)~т-'/3, £(т)~т2/3,(10.47)
для трехмерной струи
АТО^т1/2, £(т)~т-'/2, L(t)~tV2.(10.47')
В обоих случаях dr) = dtlt, т] = 1п(т/та). Далее, аналогично выводу равенств (10.42), (10.44) и (10.45) находим:
для двумерной струи
1п(тЛа)г ± _2£ -I
ВЦЮ=^Л $[(^е 3 - е3 J [5//(е) + 5,;(0)] б?9.
(10.48)
для трехмерной струи
,П(;Л«Ь__е _ех
D^-U^1-^е 2 _е2 rs (6) + s (6)]d9) (10.49)
где Sq (0) = F (т] + 0) Fj (т]).;
При достаточно больших значениях эти формулы обращаются в асимптотические соотношения
^/(т)~{^/(т)~{(10.50)(10.50)т4/3 для двумерной струи, т для трехмерной струи.
^/(т)~{
^/(т)~{
(10.50)
(10.50)
Соображения, примененные при рассмотрении движения жидких частиц в турбулентных струях, приложимы также к двумерным (плоским) и трехмерным конвективным струям над нагретыми телами и, кроме того, к зоне турбулентного перемешивания двух плоскопараллельных течений различной скорости Ui и U^. Как показано в п. 6.8, турбулентное движение в конвективных струях и в зоне перемешивания автомодельно при достаточно большом Xi (где ось Oxi считается вертикальной в конвективных струях и параллельной скорости течений в зоне перемешивания). При этом линейный масштаб L = L(xi) во всех случаях пропорционален Хь а масштаб скорости U в двумерной конвективной струе над нагретым цилиндром и в зоне перемешивания оказывается одним и тем же во всех сечениях xi = const, в то время как в трехмерной конвективной струе U(xi) ~ хГ*/з. Отсюда вытекает, что средняя продольная лагранжева скорость Vi = —в двумерной конвективной струе и в зоне перемешивания постоянна (в зоне перемешивания она равна (t7i + ^г)/2), а в трехмерной конвек-
тивной струе — пропорциональна X"'1». Поэтому гипотеза (10.40) с U^= ЩЛ)(т)] и L(t)= L[Xi(t)J в двумерной конвективной струе и зоне перемешивания сводится к утверждению, что V^x, t0 + т) является стационарной случайной функцией переменной т] = 1п(т/та). В трехмерной конвективной струе d.Xild.T~X~'k, т. е. Xi(t)~ts/‘, Z.(t) ~ Xi (т) ~ т3/*, U(т) ~ v'1*, и стационарной функцией от л = 1п(т/та) является величина V'(x, t0 + + т) Uа Д — р. Отсюда получаем:
\ Та /
в двумерной конвективной струе и зоне перемешивания
1П (т/та)
о.,^=1ич $ [(^уе-е-^^ен^о^ (io.5i)
в трехмерной конвективной струе
(10.52)
В частности, при очень больших значениях т
О,/(т)~
( т1 в двумерной конвективной струе и зоне перемешивания,
I т3/2 в трехмерной конвективной струе
(10.53) (асимптотические формулы (10.43), (10.46), (10.50) и (10.53) были указаны Бэтчелором и Таунсендом (1956), Бэтчелором (1957) и Ягломом (1965)).
Формулы (10.50) и (10.53) могут быть выведены из соображений размерности без использования гипотезы (10.40), если принять общую гипотезу подобия для лагранжевых характеристик, утверждающую, что физические параметры, от которых зависят эйлеровы статистические характеристики соответствующих турбулентных течений, полностью определяют и их лагранжевы характеристики (т. е. полностью задают весь турбулентный режим). В самом деле, согласно п. 6.8, для трехмерной струи динамического происхождения определяющими физическими параметрами являются плотность жидкости р и суммарный импульс вытекающей за единицу времени жидкости 2лрМ; для двумерной динамической струи — плотность р и импульс pMi, приходящийся на единицу времени и единицу длины сопла, из которого вытекает струя; для зоны перемешивания плоскопараллельных течений — плотность р и скорость Vo= V2— V); для трехмерной конвективной струи — р, ср, поток тепла вдоль струи Q и параметр плавучести g!To\ для двумерной конвективной струи — р, ср, g/T0 и поток тепла Qi, приходящийся на единицу длины нагретого цилиндра. Если, например,
распределение вероятностей для смещения Y(t) жидкой частицы за время т при достаточно большом т может зависеть только от этих параметров и от т, то в силу соображений размерности соответствующая плотность вероятности р(У) = р(Уь У2, Уз) должна описываться следующими выражениями:
в случае трехмерной струи
в случае двумерной струи
р (Y)=X? р(2> (<3?'3 * м;/3?/3 • liW).(1 °-54')
(10.54")(10.54")в случае зоны перемешивания р (Y) = — р^ (Л1.Y1 X3 ^
(10.54")
(10.54")
PV ’ и^Г \U»x* ивх’ U»x)'
в случае трехмерной конвективной струи
р^ — ( Q g W4 тэ/4 Х
X Срр То /
V P^V— ^2 ^3\ ЛП Ч4ОТ1
АgY/4T3/4 • / Q g ум тз/4 ’ (jQ-jV14^ ’ u }
\\CpP То)\срр То)\срр То) /
в случае двумерной конвективной струи
■-г0 срР Т о
V /— У2Уз\/ 1 А С AffffX
л U Q1 g Y/3 т У (JL_LX13 ’Г U
V \ СрР То /\ ^рР 70/\ £рР Го/ /
Здесь Р^х\ ..., Р^ — универсальные функции, характеризующие указанные автомодельные турбулентные течения. Из формул (10.54) — (10.54"") вытекают и соотношения (10.50) и (10.53); вообще говоря, из них легко получаются асимптотические соотношения для произвольных моментов случайного вектора Y(t) = = (Уь Уг, Уз). Аналогичные (10.54) — (10.54"") формулы могут быть выписаны для плотности вероятности лагранжевой скорости V(t)= dY(r)/dr и других лагранжевых величин.
Дисперсии смещений частиц в течениис постоянным сдвигом скорости
Еще одним случаем, в котором можно определить асимптотическое поведение дисперсий Z)z/(t), является идеализированное турбулентное течение в безграничном пространстве, у которого эйле-
рово поле пульсаций скорости u'(x, /) стационарно и статистически однородно, а средняя скорость и(х) нс меняется во времени и линейно зависит от пространственных координат. Последнее условие необходимо, чтобы поле пульсаций скорости можно было считать однородным, так как сдвиг скорости существенно влияет на статистический режим турбулентности и поэтому в однородной турбулентности градиент скорости должен принимать постоянное значение. Пусть средняя скорость всюду направлена вдоль оси Охх и изменяется только по направлению Охз, так что й1 = Гхз, Й2 = = йз = 0, где Г = const. Нс ограничивая общности, достаточно рассмотреть движение жидкой частицы, находившейся в момент / = 0 в точке х = 0. Обозначим координаты этой частицы в момент / через Xf(Z), а се скорость — через ¥(/). Тогда
V (0 = u [X (/)] + u'[X (/), П,(10.55)
или в проекциях на оси координат
v,(O=rx3(o + v;(o,г
v3^=v3w,(10155,)
t
ХДО^Г^Ю + ^Ю] dt,t°t(Ю.56)
X^^V'^dt, X3(t)=\v3(t)dt.
оо
Исходя из этих формул нетрудно выразить величины Z),/(t) через статистические характеристики поля и'(х, /). Поскольку u'(x, f) = 0, то и ¥'(/)= 0; следовательно, и Х(/)=0 (в силу (10.56)). Поскольку поле и'(х, 0 однородно и стационарно, лагранжева скорость V'(0 также будет стационарной случайной функцией; ее корреляционный тензор будет иметь вид Vz (/i) V/ (is) = В^ (/i — /г). Рассмотрим тензор дисперсии 2?,/(т) = = ХДт)Х/(т). Наличие осредненной скорости, направленной вдоль оси Oxi, не сказывается на смещениях частицы в направлениях Охг и Охз. Поэтому величины £>22(т), Дзз(т) и Дгз(т) представляются в обычном для однородной турбулентности виде (10.30') и их асимптотическое поведение при малых и больших значениях т описывается формулами (10.28) и (10.35). Иначе обстоит дело с наиболее интересными компонентами Dn(x) и £>1з(т). Для первой из них из первой формулы (10.56) вытекает соотношение
о о
-A-X^V^-VB^^-t^dt^.
В силу третьего равенства (10.56) первое слагаемое в фигурных скобках может быть преобразовано к виду
о о
= J J S^ (01 - e2) d0! d02 = J (Л - 0) B^ (0) de + 00
<2I 11 — ^2 I
+ j (/2-0)B^(0)d0- J (|(1-/г|-9)В&Ш 00
Аналогично вычисляется второе слагаемое в фигурных скобках:
-ЭД^КУ + ЭДОД = 5 в$ (t, - в) да+ о
+ j в^ (/! - 0) de = j в^ (0) de + j в^ (0) de + 000
+ J [в^(0)-в^(е)]^0.О
Используя эти выражения, формулы для £>ц(т) после повторного интегрирования по частям удастся привести к виду
Он (т) = -^ ((2т3 - 3т20 4- 03) В^ (0) de + Г 5 (т - 0)2 В^ (0) de + оо
+ Г { (т2 - О2) В$ (0)dO + 2 j (т - 0) В^ (0) de. (10.57)
Аналогичный расчет приводит к следующей формуле для £>13:
013 (Т) = Гт ( (т - 0) В^ (0) de + ( (т - 0) [В(^ (0) 4- В^ (0)] de. оо
(10.57')
При больших т из (10.57) и (10.57') получаются следующие асимптотические формулы:
Оп(т)«4г2<Т3.тЗ, О13(т)«г5"2Т3.<(10.58)
Таким образом, дисперсия смещения жидкой частицы вдоль оси Oxi (по направлению осредненного течения) при больших т асимптотически пропорциональна т3, т. с. растет со временем значительно быстрее, чем дисперсии поперечных смещений (асимптоти-
чески пропорциональные т). Кроме того, смещения вдоль осей Ох\ и Охз оказываются взаимно коррелированными. Используя для Рзз(т) асимптотическую формулу (10.35), для коэффициента корреляции между величинами Х1(т) и Х3(т) получаем следующее универсальное предельное значение:
rXlXs = Du to Р» to ^33 tof1/2 = 0,866 ... (10.59)
Асимптотические формулы (10.58) и (10.59) были опубликованы Коренным (19596). Эквивалентные выражения еще раньше были известны из полуэмпирической теории, использующей для описания движения жидких частиц дифференциальные уравнения параболического типа; к этому вопросу мы еще вернемся в следующей главе.
Результат, вполне аналогичный первой формуле (10.58), получил Хегстрем (1964). Он рассматривал рассеяние частиц в течении СО строго ПОСТОЯННОЙ скоростью «2 ВДОЛЬ ОСИ Ох2 (что позволило вместо времени т использовать координату Х2 = и2т), линейным профилем «1 = ГХз компоненты Ui и наличием турбулентных пульсаций скорости из = Шз только в направлении оси Ох3. Предположив, что Взз(Х2)= СХ2, он получил соотношение Вц(х2) = = r2D33(X2)X2/2(a + 1), совпадающее с (10.58) при a = V2; это соотношение он использовал в попытках объяснить некоторые явления атмосферной диффузии. Позже эту же задачу исследовал Смит (1965) [см. также в том же журнале обсуждение его статьи], который учел наличие трех компонент пульсационной скорости и уделил специальное внимание условным характеристикам частиц, достигающих в фиксированный момент времени т = Х2]и\ заданной высоты Х3.
Лагранжевы характеристики турбулентностив пограничном слое
Перейдем к вопросу о смещении жидких частиц в турбулентном пограничном слое. Как и в III и IV разделах, будем считать, что течение заполняет полупространство г > 0, причем стенку z = 0 для определенности условимся считать динамически вполне шероховатой с параметром шероховатости zq. Ось Ох выберем совпадающей с направлением осредненного течения. Не ограничивая общности, можно считать, что рассматриваемая жидкая частица в момент / = /о находилась в точке с координатами х = = (0, 0, 77). Пусть Х(т) = (Х(т), У(т), Z(r))—координаты этой частицы в момент <о + т, а V (т) = (U (т), V (т), W (т)) — ее скорость в этот момент. Случайная функция ¥(т) не стационарна: например, за достаточно большой промежуток времени т частица вернее всего поднимется на значительную высоту 2(т) и поэтому ее горизонтальная скорость U^ сильно возрастет. Вообще говоря, нет оснований рассчитывать, что функцию ¥(т) можно преобразовать в стационарную с помощью перехода к новым масштабам длины
и времени. Естественно предположить, однако, что лагранжевы статистические характеристики турбулентности в пограничном слое будут зависеть, кроме параметров т и Я, только от небольшого числа «внешних» параметров, определяющих турбулентный режим, т. е. входящих в выражения для эйлеровых статистических характеристик. Это предположение, существенно упрощающее изучение лагранжевых характеристик, в неявной форме использовалось Казанским и Мониным (1957) (см. также Монин (1959а)) для расчета формы дымовых струй в приземном слое атмосферы при разных условиях стратификации. Позже оно было четко сформулировано Эллисоном (1959) и Бэтчелором (1959) (см. также Бэтчелор (1964) и Чатвин (1968)), применившими его к исследованию рассеяния примеси в нестратифицированном турбулентном пограничном слое. В дальнейшем Гиффорд (1962) (дополнивший указанное предположение некоторыми более специальными гипотезами) и Яглом (1965) указали ряд следствий из этого предположения, относящихся к более общему случаю термически стратифицированного приземного слоя атмосферы, причем выводы Гиффорда были им самим, а также в работах Малхотры и Сер- мака (1963) и Сермака (1963) сопоставлены с имеющимися эмпирическими данными о турбулентной диффузии в приземном слое. Последующему развитию соображений подобия для лагранжевых характеристик турбулентности и приложениям этих соображений к исследованию диффузии в приземном слое атмосферы посвящены работы Пановского и Прасада (1965), Паскуила (1966), Е. О’Брайена (1966), Мандела и О’Брайена (1967), Чодри и Ме- рони (1972), Хорста (1979) и ряд других. Краткое обсуждение такого подхода к теории турбулентной диффузии имеется в книгах Паскуилла (1974), Ханна, Бригса и Хоскера (1982), Паскуилла и Смита (1983); значительно более подробный его разбор можно найти в книге Бызовой, Гаргера и Иванова (1991), включающей обзор большого числа относящихся сюда экспериментальных работ (многие из которых были выполнены сотрудниками Института экспериментальной метеорологии в г. Обнинске под руководством Е. К. Гаргера) и обширную библиографию.
Остановимся теперь чуть подробнее на основных выводах из теории подобия, касающихся лагранжевых характеристик турбулентности в приземном слое атмосферы. Целесообразно ограничиться случаем, когда движение «жидкой частицы» не выводит ее за пределы слоя постоянства турбулентного напряжения трения т = ри^ и (в случае температурно-стратифицированной жидкости) турбулентного потока тепла q. Начнем, следуя Эллисону (1959) и Бэтчелору (1959, 1964), со случая пограничного слоя нестрати- фицированной жидкости, в котором q = 0 (например, приземного слоя атмосферы при нейтральной стратификации). В этом случае турбулентный режим определяется параметрами и* и Zq. Вне очень тонкого слоя жидкости (толщина которого имеет тот же порядок величины, что и z0), непосредственно примыкающего к стенке z — 0, важную роль играет только параметр и*. Изменение же
величины z0 (например, ее замена на zQx) приводит лишь к дополнительному горизонтальному перемещению всей массы жидкости в направлении оси Ох с постоянной скоростью — ln-^т-, где х «
« 0,4 — постоянная Кармана (см. выше главу 4, п. 6.4). Кроме того, ясно, что через достаточно большое время т частица должна «забыть» свою начальную высоту Н, т. е. при больших т значение Н практически перестает сказываться на статистических характеристиках движения жидкой частицы. Значит, из четырех параметров т, Н, и* и zo влияние второго и четвертого является ограниченным. А именно, влияние величины Н может сказываться лишь в течение конечного промежутка времени (порядка Н,и^, а значение параметра zo будет существенным, только если H^zo, причем и в этом случае лишь в течение промежутка времени порядка 20/м*. Если же Н > z0 или Н <,г^ но т » 2Q/u*, то 20 будет влиять на статистические характеристики ¥(т) только через посредство дополнительного постоянного слагаемого видаIn zo в выражении для Щх).
Рассмотрим среднюю скорость ¥(r) = (t7(r), У(т), №(т)) жидкой частицы в момент to + т. Из симметрии относительно плоскости Охг вытекает, что У(т) = 0 при всех т и, следовательно, У(т) = dY(x)Jdx) = 0. Что же касается компонент U(x) и ^(т)^ то при x^HIu^ (или при т » Zo/^*, если Н = 0 или, вообще^ Н ^ zo) вторая из этих компонент может зависеть только от и* и т, а первая должна равняться сумме некоторой функции от и* и от т и постоянного слагаемого —^ In z0. В силу соображений размерности отсюда получаются формулы
+(Ю.60)
v 7 dx х \ z0 1 J х z0 ’47
^)=-^^-=6“*>(10-61>
где & и c = ed— безразмерные универсальные постоянные. Интегрируя эти формулы по т, при достаточно большом т получаем:
^Lfln^- Л = ^1п^,(10.60')
Z (т) « bu^x.(10.6Г)
При возрастании начальной высоты Н формулы (10.60х) и (10.61') становятся применимыми позже, но значения параметров b и с при любом Н остаются одними и теми же. Наличие у частицы асимптотически постоянной средней вертикальной скорости №(т) несмотря на то, что средняя вертикальная эйлерова скорость w(X) всюду равна нулю (в частности, №(0) = w(0, 0, /7) = 0), связано
с тем, что из-за наличия стенки при 2 = 0 частица не может опуститься ниже этого уровня, в то время как ничто не препятствует ее неограниченному подъему. Поэтому распределение вероятностей для Z(t) с ростом т все более вытягивается вверх, так что средняя высота частицы Z(t) возрастает и, значит, b > 0. Отсюда вытекает, что в любом слое 0 ^ 2 ^ h имеет место постоянный отток массы в верхние слои жидкости, который должен компенсироваться эквивалентным притоком массы из верхних слоев вниз (напомним, что для эйлеровой скорости ш(Х) неравенство ш(Х)=#0 означало бы, что нарушается закон сохранения массы!). Естественно думать, однако, что скорость №(т) должна быть все же меньше, чем типичное значение пульсаций эйлеровой вертикальной скорости, в качестве которого можно использовать, например, ow= (w2)'^ « и* (см. п. 6.3 и 9.4). Поэтому следует ожидать, что постоянная b меньше единицы (об оценках ее значения еще будет идти речь ниже). Что же касается постоянной с, то ее можно попытаться оценить с помощью приближенного равенства
(7С0^й[2С0], (10.62)
где u(Z)—средняя горизонтальная эйлерова скорость на высоте Z. В формуле (10.62), однако, нельзя поставить знак точного равенства, так как в левой части среднее значение берется по совокупности жидких частиц, находившихся в начальный момент т = 0 на заданной высоте Я, а в правой части — по другой совокупности жидких частиц, находящихся (в любой момент времени) на фиксированной высоте Z(t). Правда, то обстоятельство, что жидкие частицы начали свое движение именно на высоте Н, при т » > Щи* не будет существенно сказываться на величине С/(т). Тем не менее средняя лагранжева горизонтальная скорость и при таких т не будет точно равна средней эйлеровой горизонтальной скорости на высоте Z(t), так как №(т)> 0, и.поэтому в выражении U (т) = U [X (т), У(т), Z(t)] осреднение преимущественно учитывает частицы, приходящие на высоту Z(t) снизу. Кроме того, u(Z) возрастает медленнее, чем Z, и, следовательно, и [Z(т)]=# #= u[Z(t)]. Обе причины должны приводить к тому, что левая часть (10.62) окажется несколько меньше правой. Однако можно надеяться, что при т » Щи* различие между правой и левой частями (10.62) не будет все же очень значительным, так что вытекающее из (10.62), (10.60) и (10.6Г) соотношение с^Ь будет приемлемым первым приближением (завышающим, однако, значение с; подробнее об этом будет говориться в гл. 11).
Опираясь на соображения размерности, можно выписать общие формулы для плотностей вероятности векторов Y4t)=V(t)— - У(т) = (^'(т), Г(т), W'^D и Х'(т)=Х(т)-Х(т) = (Г(т), Y'^YZ'^Y При т » Щи* и т » ztlu* распределение вероятностей для V'(t) может зависеть только от параметров и* и т.
Следовательно, соответствующая плотность вероятности должна иметь вид
где Pi (и, и, w)— универсальная функция от трех переменных. Аналогично этому плотность вероятности вектора Х'(т) определяется формулой
(10.64)(10.64)— х d ( х' Y' z'\р ( ) „зтз 2 \ и^т ’ и*т ’ и*Т / ’
(10.64)
(10.64)
где Pi(x, и, z)—еще одна универсальная функция; отсюда, в частности, сразу вытекает, что в логарифмическом пограничном слое Р<,(т)~т2. Согласно равенству (10.6Г), длину и*х в формуле (10.64) можно заменить пропорциональной ей длиной Z = Z(t); поэтому, например, плотность вероятности для вектора Х(т) можно записать в виде
/v.1 п fX—X/v.1 п fX—XYZ ’YZ ’z — z\Z )’z — z\Z )’(10.65)(10.65)
/v.1 п fX—X
/v.1 п fX—X
Y
Z ’
Y
Z ’
z — z\
Z )’
z — z\
Z )’
(10.65)
(10.65)
где функция Р3 получается из Pi изменением масштабов на осях координат. Формулы (10.63)—(10.65) позволяют указать и выражения для моментов любых порядков компонент векторов V' и X'; их мы уже не будем приводить.
Перейдем теперь к более сложному случаю движения жидких частиц в пограничном слое температурно-стратифицированной жидкости. Здесь к числу «внешних параметров» задачи наряду с и* следует отнести и параметры ц1сррй и g[T0. Из этих трех величин можно составить комбинацию размерности длины L =
= — u^/x -S-—2— , игравшую важную роль в выводах в разделе ' 0 Срро
существенным, лишь если Н <,zq, и одновременно т< z0/u*. Если же Н » 20 или Н ^ z0, но т » z0/«*, то замена z0 на zo приведетсущественным, лишь если Н <,zq, и одновременно т< z0/u*. Если же Н » 20 или Н ^ z0, но т » z0/«*, то замена z0 на zo приведетIV. Параметр шероховатости zo и в рассматриваемом случае будет
существенным, лишь если Н <,zq, и одновременно т< z0/u*. Если же Н » 20 или Н ^ z0, но т » z0/«*, то замена z0 на zo приведет
существенным, лишь если Н <,zq, и одновременно т< z0/u*. Если же Н » 20 или Н ^ z0, но т » z0/«*, то замена z0 на zo приведет
лишь к дополнительному движению всей массы воздуха в направ- ^«м* Ft Г 2°^1 f ^0'll xzt\
лении Ох с постоянной скоростью— [/\—/ — /\“)\> гДе IW —
универсальная функция, определяющая профиль средней скорости (см. раздел IV). Следовательно, при т » Щи» и т >• z0/zz# должны иметь место соотношения
(10.66)(10.67)(10.66)(10.67)
(10.66)
(10.67)
(10.66)
(10.67)
где ф1 и ^г — универсальные функции переменной g = u^x/L. Интегрируя второе из этих соотношений, получаем:
"Т" = ^3 (¥") ’ "Т^4^"^")-(10.68)
где фз(?) = j ^(п)^. а Т — функция, обратная фз- С помощью о
(10.68) равенства (10.66) — (10.67) можно переписать также в виде
ta.T(^!2.),(10.70)
где epi и ф — еще две универсальные функции, а постоянная & введена для обеспечения справедливости условия ф(0) = 1, при котором b будет иметь то же значение, что и в равенстве (10.61). В силу приближенного равенства (10.62) следует также ожидать, что ф1(^)« f®; поэтому в первом приближении можйо считать, что
OO.Ti)
Если стремиться к большей точности, то следует учесть, что на самом деле Ф1(£)< f(?) при всех ?; поэтому есть основания считать, чтоlL л / ^
« й (c,Z (т)) = ^ [/ (-Ц^-) - f (-^)],(10.7 Г)
где Ci может зависеть от ? = Z(t)/L, но при всех £ принимает значения, меньшие единицы (при ? = 0, очевидно, Ci = с/6).
33 Заказ № 30333 Заказ № 303Соотношения (10.69) — (10.71х) использовали, в частности, Гиффорд (1962), Малхотра и Сермак (1963), Сермак (1963), Клюг (1968), Чодри и Мерони (1973), Хорст (1979). Первые четыре автора полагали (без достаточных к тому оснований), что функция ф(£) в формуле (10.70) лишь постоянным множителем отличается от функции /б(£) равенства (8.85), определяющей среднее квадратичное значение эйлеровой вертикальной скорости. Исходя отсюда и используя так&е полуэмпирическую формулу Казанского и Монина (8.95) для f5(?) и условие ф(0) = 1, они полагали, что ф(£) = = [1 — Wf'C^H4*- Чодри и Мерони использовали полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии (см. ниже п. 11.5) и показали, что с той точностью, с какой справедливо это уравнение, Ь«и, Ф(^) = [VrtE,) ]—где, как и в п. 8.4, фГ(?) = a0?fi (?). Используя затем приближенную формулу (10.71) и формулы для f(?) и фГ(?), предложенные в работе Бюсингера и др. (1971),Чодри и Мерони рассчитали значения Z на разных расстояниях X от непрерывно действующего источника примеси и при разных значениях Zo/L. Результаты этих расчетов оказались неплохо согласующимися с результатами диффузионных экспериментов в О’Нейле, США (см.
33 Заказ № 303
33 Заказ № 303
513
Баред (1958)). Предположение о том, что ф = ф~\ и значения функций фт и f, рекомендовавшиеся Бюсингером и др. (1971), использовал также Хорст (1979), но вместо применения (10.71) он в соответствии с эмпирическими данными ряда авторов (см., например, Паскуил (1974)) принял, что в случае непрерывного линейного источника на оси OY ^(Х, Z)='&(X, 0) exp [—(Z/bZW где г«1,5, при всех X. Исходя отсюда Хорст рассчитал значения Х(т), оценил значения коэффициента ci в формуле (10.7Г) при различных стратификациях (они все оказались в пределах от 0,55 до 0,9) и нашел значения наземной концентрации ■0(Х, 0) при разных X, неплохо согласующиеся как с данными измерений в О’Нейле, так и результатами некоторых последующих диффузионных экспериментов.
Для плотности вероятности р(Х) трехмерного вектора Х(т) = = (Х(т), У(т), 7(т)) при т » го! и* и т> Н(и* в силу соображений размерности должны иметь место формулы
р(Х)=4-Р(Х~Х , X, ^), (10.72) к 7 Z3 \ Z Z Z L)
гдеХ = Х(т) и Z=Z(t) определяются из (10.69) (или (10.71)) и (10.70), а Р^х, у, г, £) —универсальная функция четырех переменных (последнее из них играет роль параметра, от которого зависит форма распределения вероятностей). В цитировавшихся работах Гиффорда, Малхотры и Сермака использовалась более простая формула
р(Х) = 4=-p(ti^ _L (10.72') у 73 7 * 7 » Z )
т. е. неявно предполагалось, что зависимостью формы распределения вероятностей от параметра стратификации £ = ZJL в первом приближении можно пренебречь. Это предположение оправдывается лишь некоторыми весьма предварительными эмпирическими данными (см. Сермак (1963)).
При q > 0 (т. с. при неустойчивой стратификации) для лагранжевых характеристик турбулентности можно получить ряд дополнительных соотношений, опираясь на относящиеся к этому случаю результаты, изложенные в IV разделе. Начнем, следуя работе Яглома (1965), с рассмотрения асимптотических соотношений при очень большом времени диффузии, когда т>|Ц/ц* (и т > > max Go/ц*, Hju^, но в то же время т ^Ыи*, где А— толщина приземного слоя, т. с. слоя воздуха, для которого допустимо считать, что — u/w' = и* = const, q = const. При таких т частица, находящаяся в момент т = 0 на высоте Н, основное время проведет в зоне свободной конвекции приземного слоя, где скорость трения и* не влияет на режим турбулентности. В этом случае, очевидно, ц* должно выпасть из большинства выписанных выше со-
отношений; в частности, здесь чргС^) ~ (—£)Ч Фз(£)~(—О3/’. и» значит,
(10.74)
где а — универсальная постоянная, значение которой можно определить по эмпирическим данным. Более сложно обстоит дело со средней горизонтальной лагранжевой скоростью U (т) = dX(т) /di, так как при тяглах (|Ц/ы*, z^Ut, Н]и^ только среднее горизонтальное ускорение d2X(%)/dr2 не будет зависеть от и* и zo, в то время как на скорость У(т)«й(2(т)) влияет и профиль средней эйлеровой скорости на малых высотах, зависящий от и* и го. Тем не менее в первом приближении этой зависимостью от и* и Zo можно пренебречь, отбросив в формуле( 10.66) слагаемое f(zo/T) в правой части и считая, что ф1(£)~(—£)'/2- Что касается плотностей вероятности пульсаций V'= ([/', V', W') и Х' = (Х', У', 2'^, то они при. таких т должны описываться выражениями •
^ ’ V', W') = ^-^ Xх^рро Го /
✓ IPV'W
ХР4( / д ( яgту'2'’/ д gУ/2
X Х^рРо ^0/ Х^рРоТо /\ СрРо То/
1U'V'W' X
£рРо 'О Хх^рРо -*0/ Х^рРо * о / Х^рРо •* о //
(10.75)
и
P^t Y\ ГP^t Y\ ГX' Y'Z ’ ZX' Y'Z ’ Z(10.75'}(10.75'}
P^t Y\ Г
P^t Y\ Г
X' Y'Z ’ Z
X' Y'Z ’ Z
(10.75'}
(10.75'}
соответственно.
В IV разделе отмечалось, однако, что при q > 0 режим свободной конвекции, никак нс зависящий от и*, наблюдается лишь на высотах г, не менее чем в несколько раз превосходящих |L|. В то же время на меньших высотах (по-видимому, при 0,12|L| ^ ^ 2^1,2|L|) здесь располагается динамико-конвективный подслой, в котором можно пользоваться анизотропной формой анализа размерностей с размерностями Lx и Lz горизонтальных и вертикальных длин. Зилитинксвич (1971), первым приложивший такой анализ размерностей к исследованию статистических характери-
33*33*51&
33*
33*
стик турбулентных пульсаций в приземном слое атмосферы, указал также получаемые исходя отсюда формулы для плотности вероятности р (X', У', 2') и тензора вторых моментов Л;у(т) = = Хцт)Х/(т) (где Xi, Х2, Х3— другое обозначение координат X, У, 2). В частности, для р^Х', Y', 2') при этом получается формула
/ <? g У/2р(х\ Y', z^W^J х
отличная от (10.75'). Заметим, что для характеристик 2(т) и 1Г(т) в динамико-конвективном подслое (т. е. при умеренных значениях ти*/|£|) снова получаются формулы вида (10.73) и (10.74), но значение коэффицента а теперь уже может оказаться отличным от того, который отвечает очень большим временам диффузии т> \Щи*.
10.5. Лагранжева корреляционная функция скоростии ее связь
с эйлеровыми статистическими характеристиками
Задача об определении лагранжевых статистических характеристик по эйлеровым не может быть простой. В самом деле, в силу основных формул
V(x, /) = и[Х(х, 0» Л. Х(х, 0 = *+ J V(x, t^dt, (10.76)
являющихся фактически определением величин V(x, 0 и Х(х, 0» лагранжевы величины в момент / зависят от значений эйлерова поля и(Х, 0 во всех точках случайной траектории Х(х, ('), /0 ^ ^ f ^ А Траектория же эта определяется как решение системы интегральных уравнений
v
Х^х, О = ^+$«ЛХ(х, /"), ndt", i = l, 2, 3, (10.77)
в свою очередь содержащих поле u(X, 0. Поэтому распределение вероятностей для каждой лагранжевой величины будет, вообще говоря, зависеть от всего бесконечномерного распределения вероятностей для значений u(X, f) в функциональном пространстве всевозможных векторных полей. При эт^м даже и связь между распределениями в функциональном пространстве полей u(X, f) и
V(x, Z) (или u(X, Z) и Х(х, 0) оказывается очень сложной (см. например Ламли (19626), Новиков 1969), Малахов и Саичев (1976)).
Рассмотрения распределений вероятностей в функциональном пространстве можно избежать, допустив, что функции и,(Х, Z), i=l, 2, 3,— аналитические по всем переменным и поэтому разлагаются в ряды Тэйлора. Тогда можно заключить, что все лагранжевы величины должны выражаться через значения эйлеровой скорости и всех ее частных производных в одной точке пространства-времени. Действительно, представив значения Х(х, Z) и V (х, Z) в виде степенных рядов
n=0
_. у I dnX (х, Z) I
" х + 2, П! dtn U, ^ to) '
°(Ю.78)
/1=1
можно с помощью соотношения (10.76) преобразовать коэффициенты этих рядов к виду
д"х (х, Z) _ ^“'V (х, Z) dz" t=tJд"х (х, Z) _ ^“'V (х, Z) dz" t=tJп=\, 2п=\, 2d”V (х, Z)dtnd”V (х, Z)dtn,_„=№ + “-<х. 'W) "(X. 01,„.,_(|,_„=№ + “-<х. 'W) "(X. 01,„.,_(|(10.79)(10.79)
д"х (х, Z) _ ^“'V (х, Z) dz" t=tJ
д"х (х, Z) _ ^“'V (х, Z) dz" t=tJ
п=\, 2
п=\, 2
d”V (х, Z)dtn
d”V (х, Z)dtn
,_„=№ + “-<х. 'W) "(X. 01,„.,_(|
,_„=№ + “-<х. 'W) "(X. 01,„.,_(|
(10.79)
(10.79)
n = 0, 1, 2, ...,
т. е. выразить их через эйлеровы величины, относящиеся к точке (х, Zo). Из формул (10.78) — (10.79) вытекают важные общие выводы; например, как было замечено Ламли (1962а), если случайное поле u(X, t) является статистически однородным, то статистически однородными будут и случайные поля Y(x, Z) = X(x, Z)—х и V(x, Z) (этим мы уже пользовались в п. 10.3). Но использовать такие представления для конкретного подсчета лагранжевых характеристик можно лишь при очень малых значениях Z—Zo, при которых всеми членами рядов (10.78), кроме небольшого числа первых из них, можно пренебречь. В частности, в случае применения к лагранжевой корреляционной функции поля скорости таким образом удается оценить лишь члены порядка не выше (Z — Zo)2, причем уже для членов порядка (Z — Zo)2 получаемая оценка ока-
зывается довольно сложной (см. VII раздел тома 2 настоящей книги).
Лишь в случае членов нулевого порядка по t — t0 (т. е. относящихся к моменту времени /о) дело обстоит просто, так как по определению V(x, /0) = и(х, /0). Поэтому, например, B^(to, to; х) = = щ(х, to^Uj^x, to) = Bij(to, t0; x). Оказывается, что в случае несжимаемой жидкости и статистически однородного поля и(Х, /) (а следовательно, и поля V(x, /)) аналогичный результат имеет место и для всех вообще одноточечных характеристик поля скорости. Этот факт был доказан Ламли (1962а) и другим методом Новиковым (1969); здесь мы наметим вкратце его доказательство, следуя работе Ламли. Выберем в пространстве точек х объем R и рассмотрим интеграл вида j ф(У(х, t))dx, где ф(У) = ф(Уь У2,
R
V3)—некоторая функция от трех переменных. Перейдем в этом интеграле от переменных хх, х2, Хз к новым переменным Xi, Х2, Х3, где Х = Х(х, /). В случае несжимаемой жидкости такой переход упрощается тем, что якобиан= [%ь Х2, Х3] то
О Х2, Хз) LJ
ждественно равен единице (см. формулу (10.6) на с. 486). Следовательно, в этом случае
$ф(У(х, t^dx = $ф(и(Х, t^dV(10.80)
* ЯRt
где Rt — область пространства, которую в момент t заполняет жидкость, заполнявшая в момент to область R. Если, кроме того, поля V(x, t) и u(X, t) статистически однородны, то средние значения функций под знаками интегралов в (10.80) не зависят от координат. Тем не менее мы не можем просто осреднить (10.80) и вынести средние значения функции ф из-под знака интегралов, поскольку область интегрирования Rt в правой части случайна и Зависит от поля u(X, t). Однако пространство, заполненное жидкостью, неограниченно (иначе не могло бы быть однородности), и можно при любом фиксированном t выбрать в качестве R» например, шар сколь угодно большого радиуса. В частности, можно выбрать его радиус настолько большим, чтобы область Rt отличалась от R только некоторой частью, расположенной близко от границы R и имеющей объем, который с очень большой вероятностью не будет превосходить достаточно малой части объема шара R. Заменив в правой части (10.80) интеграл по Rt аналогичным интегралом по фиксированной области R, мы с очень большой вероятностью внесем этим лишь очень малую относительную ошибку. Осреднив обе части полученного приближенного равенства и разделив результат на объем R, найдем:
Ф(¥(х, 0) = ф(и(Х, 0),(Ю.81)
где мы пишем знак точного равенства, так как относительная ошибка может быть сделана сколь угодно малой, если выбрать
достаточно большую область R. В частности, если ф(¥) — ^'^^а, то ф(¥(х, /))—это характеристическая функция лагранжевой скорости ¥(х, /), а ф(и(Х, /))—характеристическая функция эйлеровой скорости и(Х, /). Поэтому в случае однородной турбулентности в несжимаемой жидкости распределения вероятностей для эйлеровой и для лагранжевой скорости во все моменты времени совпадают между собой. Таким образом, в однородной турбулентности невозможны парадоксы того типа, с которым мы встретились в случае пограничного слоя, где и^Х, t) = 0, но ¥3(х, /)=/=0.
Все это рассуждение относится только к одноточечным распределениям вероятностей; для распределений, относящихся к двум моментам времени, выделенное курсивом утверждение уже будет, вообще говоря, неверным. Поэтому для лагранжевой корреляционной функции ^^(Л, /2; х) следует лишь, что в случае однородной турбулентности
B^(t, t; х> = Вц^ = ^СТЙчЩ^
но ничего не следует о форме зависимости B^(t\, /2) от ta—t\. Однако если поле скорости u(X, /) не только однородно, но и стационарно, то и функция V (х, /) будет стационарной по / (этим обстоятельством мы также уже пользовались выше). В самом деле, представив Vi(x, /+т) =u,[X[x, Z+t), /+т] в виде ряда Тэйлора (10.78) — (10.79) (с заменой /0 на t, a t на /+ т), можно записать корреляционную функцию В^У, t + т)= V((x, t)Vj(x, /+т) как сумму одноточечных эйлеровых характеристик (относящихся к точке (Х(х, /), <)), умноженных на степени т. Поэтому если соответствующие эйлеровы одноточечные характеристики не зависят от t (в силу стационарности и однородности поля и(х, /)), то B^(t, ( + т) = В^(т).
Равенство (10.81) было выше доказано для идеализированного случая однородной турбулентности в безграничном пространстве. Покажем теперь, что близкое равенство может быть установлено и для турбулентного течения в бесконечно длинной прямой трубе. В этом случае надо принять за R достаточно длинный отрезок трубы между сечениями х\ = а и Xi = b. При любом фиксированном т = t — /о можно выбрать b — а столь большим, чтобы область Rt отличалась от R лишь небольшими кусками вблизи краев х\ = а и х\ = Ь, суммарный объем которых очень мал по сравнению с объемом R. Тогда после деления обеих частей равенства (10.80) на объем R и последующего осреднения мы получим в правой части величину, почти не отличающуюся от объемного среднего значения функции ф(и(Х, /)), взятого по цилиндрическому объему, ограниченному сечениями х\ = а и х\ = b и стенками трубы. В левой же части будет стоять величина ф(¥(х, /)), которую при достаточно большом t — /о можно считать нс зависящей
от х (ср. конец п. 10.3). В частности, при <p(u)=«i получается равенство Pi = Ucp, о котором шла речь перед равенством (10.37).
Вернемся к случаю однородной и стационарной турбулентности. В этом случае u = U = const, причем без ограничения общности можно считать, что U = 0 (это эквивалентно переходу к новой инерционной системе координат). Если В^ (т) = У,(х, /)Р,(х, t + т)—лагранжев корреляционный тензор скорости, а Вц^х, g2, ^3, т) = щ(хх, х2, х3, t^u^xx + ^1, х2 + ь. Хз + &, t + ^—пространственно-временной эйлеров корреляционный тензор, то В//>(0) = = В;/(0, 0, 0, 0). Однако значения В*/’ (т) при т > 0, вообще говоря, уже не могут быть выражены через значения Bj/di, g2, ^з, т). Некоторые авторы предлагали в качестве первого приближения использовать равенство B(/)(t)=Bi7 (0, 0, 0, т) (см., например, работу Болдуина и Майкельсена (1962), содержащую также сопоставление следствий из этого равенства с эмпирическими данными) ; но такое предположение не имеет теоретических оснований. Более естественно предположить, что лагранжевы коэффициенты корреляции Rh\t) = Вц\т))У1 (по i не суммируется!), описывающие связь между i-й компонентой скорости фиксированной жидкой частицы в моменты времени / и / + т, будут убывать с ростом т медленнее, чем эйлеровы коэффициенты корреляции Rn^x) = = Вц(0, 0, 0, т)/^?, описывающие связь между скоростями разных элементов жидкости, оказывающихся в момент /ив момент / + т в одной и той же точке пространства. Если это так, то при т>0 для всех i=l, 2, 3 должно выполняться неравенство R^Hx) >Ra(x). Из последнего неравенства, в частности, следует, что лагранжев макромасштаб времени Тi = ^ R^u (т) dx должен быть больше эйлерова макромасштаба времени Ti=j Ra(x)dx, ,о
а лагранжев микромасштаб времени 9; = |_—2 Д д^^и (Т)]т_оу! должен быть больше эйлерова микромасштаба 9< = [ — 2/Ru (0)]'/z.
Как заметил Корсин (1963а), сопоставление результатов измерений Фавра, Гавильо и Дюма (1953) эйлеровых пространственно-временных корреляционных функций поля скорости в аэродинамической трубе за турбулизирующей решеткой с данными диффузионных экспериментов Уберои и Корсина (1953) в таком же течении дает некоторые основания думать, что в таких условиях б{/6, « 0,7. В случае же когда средняя скорость | и | = О отлична от нуля и сравнительно велика, можно ожидать, что коэффициент корреляции Ra(x) = Вь(0, 0, 0, т)/и,2 будет убывать с ростом т еще значительно быстрее, чем при U = 0 (так как теперь он описывает связь между скоростями элементов жидкости, 520
проносящихся в моменты t И / + т с большой скоростью мимо одной и той же точки пространства, т. е. фактически находящихся на большом расстоянии друг от друга). И действительно, Хэй и Паскуил (1959), предположив, что
ЯггСО — ^^т) (10.82)
(где направление оси 0x2 совпадает с горизонтальным направлением, перпендикулярным среднему ветру), нашли, что эмпирические данные о горизонтальной диффузии в атмосфере позволяют получить для значения р в приземном слое воздуха в качестве первого (весьма грубого) приближения оценку р « 4 (см. в этой связи ниже равенство (11.11) и следующий за ним текст). Позже вопрос об оценке значения р для атмосферной турбулентности (обычно задаваемого равенством р = Т^Т^Р, где Т^ и Т^ — лагранжев и эйлеров временные масштабы исследуемой компоненты ui скорости ветра, определяемые тем или иным образом по соответствующим корреляционным функциям или спектрам) изучался многими авторами; см., например, сводки относящихся сюда результатов в книгах Ламли и Пановского (1966), п. 5.8; Бызовой (1974), п. 1,3; Пановского и Даттона (1984), п. 9.5; Бызовой, Гаргера и Иванова (1991), глава 5. Полученные при этом оценки характеризуются большим разбросом, но все они определенно показывают, что р растет при убывании относительной интенсивности турбулентности oilU (где Qi = (utyb, а ^ = (|и|2)1/2), как это и должно быть в силу возрастания с увеличением U скорости убывания эйлеровой корреляционной функции; нс претендуя на большую точность, на основе имеющихся данных можно считать, что ^^a^OilU)-1, где а«0,6. Полученные оценки значений р в атмосфере почти все заключены в пределах 2 ^ Р ^ 15; Па- новский и Даттон (1984) отмечают, что р растет с увеличением устойчивости атмосферы и шероховатости подстилающей поверхности и рекомендуют в качестве типичных значений при нормальной шероховатости почвы оценки р « 2 при значительной неустойчивости, р « 4 при нейтральной или близкой к ней стратификации и р « 10 при сильной устойчивости. Тот факт, что р почти всегда заметно превосходит единицу, как раз и свидетельствует о том, что лагранжева корреляционная функция затухает значительно медленнее, чем эйлерова.
Предположение (10.82) о совпадении формы лагранжевой и эйлеровой временных корреляционных функций, часто использующееся в исследованиях турбулентной диффузии, можно считать допустимым лишь по той причине, что на самом деле точная форма функций R^u (т), i = 1, 2, 3, во многих случаях оказывается не очень существенной. Никаких теоретических оснований это предположение нс имеет. Болес того, в VIII разделе тома 2 настоящей книги будет показано, что при очень больших значениях числа Рейнольдса RiLi (т) « 1 — Cj при ^(Ti < т С Тг, в то же время
эйлерова временная корреляционная функция Rh(t) при очень большом Re и условии | и | ^> {и'У1^ (практически всегда выполняющемся в земной атмосфере) для таких т имеет вид Ru^ ~ ^ 1 — С iVu (но снова является линейной по т, если и = 0; ср. Корсин (1963а), где исходя отсюда приближенно оценивается зависимость отношений различных временных масштабов от числа Рейнольдса). Таким образом, при |п| ^> (и'2)1/2 соотношение (10.82) заведомо нс может выполняться при всех т; последнее обстоятельство должно увеличить разброс экспериментальных оценок параметра р, делая их зависящими от используемого определения этого параметра.
Теоретическое определение формы лагранжевых корреляционных функций при всех т возможно лишь на основе каких-то нестрогих чисто эмпирических или полуэмпиричсских гипотез. Некоторые гипотезы такого типа выдвигались, в частности, Сафмсном (1963), Иноуэ (1950-51, 1952, 1959), Огура (19526), Грантом (1957) и Мацуока (1960). Некоторые связи между лагранжевой и эйлеровой корреляционными функциями, позволяющие хоть как-то теоретически оценить значение р (и в какой-то мерс оправдать его пропорциональность значению U/Ci) были предложены Джонсом (1966), Филлипом (1967), Францем (1970) и некоторыми другими авторами — см. также Бызова (1974), п. 1.3.2; Бызова, Гаргср и Иванов (1991), п. 1.3.1. Болес сложные модельные связи между лагранжевыми и эйлеровыми характеристиками, опирающиеся на специальные гипотезы, рассматривались Вейнштоком (1976) и Дэвисом 1982). Однако все эти результаты представляются недостаточно обоснованными, а предлагавшиеся в указанных работах формы функций В^и (т) и Rh^t) в большинстве своем слишком сложны для практического использования. Единственным исключением здесь является экспоненциальная форма лагранжевых корреляционных функций R(u (т) = е“т lTi, предложенная Иноуэ (1952, 1959) и в связи со своей простотой крайне широко используемая в диффузионных расчетах, где она обычно приводит к вполне удовлетворительным результатам (см., например, Нейман (1978)).
Глава 11
ТУРБУЛЕНТНАЯ ДИФФУЗИЯ
Постановка задачиоб описании турбулентной диффузии
Если в определенные места турбулентного течения вводить примесь, то в результате ее переноса беспорядочно перемешивающимися струйками, составляющими в своей совокупности такое течение, она быстро распространится на весь занятый жидкостью объем. Это явление, называемое турбулентной диффузией, характерно именно для турбулентных течений; недаром в классических опытах Рейнольдса возникновение турбулентности определялось как раз тем, что при добавлении небольшого количества краски вся жидкость быстро становилась окрашенной. Кроме турбулентной диффузии, примесь будет участвовать и в молекулярной диффузии, нс связанной с турбулентностью, но этот процесс является несравненно более медленным, и поэтому при наличии турбулентности он играет лишь сравнительно небольшую роль. Именно турбулентной диффузией определяются такие всем известные и важные явления, как распространение в атмосфере Земли пыльцы растений, бактерий и вирусов, радиоактивных веществ, вулканической пыли и морской соли, загрязнение воздуха (особенно в городах) дымами и газами, выделяемыми промышленными предприятиями и транспортом, перенос влаги, испаряемой поверхностью Земли и всевозможными водоемами, рассеяние предметов, плавающих на поверхности водоемов, и т. д. Поэтому неудивительно, что изучению турбулентной диффузии посвящена обширная литература (см., например, книги Саттона (1953), Френкиля и Шеппарда (1959), Чанади (1973), Паскуила (1974), Бызовой (1974), Хогсна (1975), Берлянда (1975, 1985), Ханна, Бригса и Хоскера (1982), Паскуила и Смита (1983), Ньистадта и Ван Допа (1985), Озми- дова (1986), Тсвсровского и Дмитриева (1988), Бызовой, Гаргера и Иванова (1991), а также многочисленные выпуски Трудов ГГО и Трудов ИЭМ, посвященные исследованиям.атмосферной диффузии и загрязнений воздуха, обзорные статьи Бэтчелора и Таунсенда (1956), Эллисона (1959), Монина (1959в), Фишера (1973), Чатвина и Аллена (1985), Ханта (1985) и др.).
Для возможности принять частицы жидкости, отмеченные наличием в них какой-то примеси, за «жидкие частицы» в смысле § 10, прежде всего необходимо, чтобы примесь была «пассивной» (т. с. нс влияла бы на движение среды) и двигалась бы в потоке
со скоростью, совпадающей с мгновенной скоростью течения в соответствующей точке. Отсюда, в частности, вытекает, что частицы примеси должны быть достаточно мелкими [меньшими по линейным размерам, чем те расстояния, на которых может быть сколько- нибудь заметно измениться скорость и(Х, 0], и столь близкими по плотности к окружающей среде, чтобы ни гравитационное оседание примеси, ни ее всплывание вверх под действием архимедовой силы не играли бы существенной роли. Даже и тогда частицы примеси все равно не будут полностью тождественными идеальным «жидким частицам». В самом деле, любая примесь может рассеиваться и в результате молекулярной диффузии или броуновского движения, связанных с тепловым движением молекул среды, в то время как на «жидкие частицы» (представляющие собой фактически «математические точки» непрерывной среды, подчиняющейся уравнениям гидромеханики) молекулярное движение не оказывает никакого влияния. Это обстоятельство, о котором еще будет идти речь в п. 11.2, имеет, однако, лишь второстепенное значение, и в большинстве случаев им можно пренебречь.
Если частицы примеси могут наблюдаться по отдельности, то можно, следя за их движением, определить индивидуальную лагранжеву траекторию Х = Х(0 и затем попытаться подсчитать лагранжевы статистические характеристики турбулентности с помощью осреднения данных, полученных по ряду таких траекторий. Этот метод получил довольно широкое распространение в метеорологии с использованием так называемых уравновешенных шаров- пилотов (вес которых подбирается так, чтобы они плавали в воздухе, нс поднимаясь и не опускаясь), тетронов (баллонов постоянного объема), воздушных шаров и других перемещающихся в воздухе объектов (например, мыльных пузырей) (см., в частности, книги Ламли и Пановского (1966), Паскуила (1974) и Бызовой, Гаргсра и Иванова (1991), где можно найти также много дополнительных ссылок). Однако полученные таким образом результаты дают лишь весьма предварительные оценки лагранжевой корреляционной функции скорости и других лагранжевых характеристик турбулентности. Дело в том, что используемые трассеры часто могут наблюдаться лишь в течение ограниченного времени и нс очень точно следуют движениям воздуха, так как их объем не настолько мал, Чтобы они могли реагировать на мелкомасштабные возмущения поля скорости, сказывающиеся на движении идеализированных «жидких частиц»'.
Очень часто в качестве трассера используется примесь, вводимая в течение в виде жидкой или газообразной добавки или в виде большого числа мелких твердых частиц. При этом ее обычно можно считать непрерывно распределенной в пространстве и характеризовать эйлеровым полем объемной концентрации ^(Х, 0 (в случае сжимаемой жидкости более удобной характеристикой была бы удельная концентрация О/р, но мы здесь будем для простоты рассматривать лишь диффузию в несжимаемой жидкости). Под описанием турбулентной диффузии мы будем по-
нимать статистическое описание поля й(Х, /) при заданных начальных и краевых условиях, включающих и задание всех источников примеси. Отметим, что при наличии источников поле концентрации примеси ^(Х, /) будет, вообще говоря, неоднородным и нестационарным, и его математическое ожидание — средняя концентрация О(Х, /)—будет некоторой функцией от X и t. Определение этой функции является важнейшей (хотя и не единственной) задачей теории турбулентной диффузии.
При описании турбулентной диффузии можно исходить из того, что в каждой индивидуальной реализации турбулентного течения поле концентрации ^(Х, 0 в областях, не содержащих источников примеси, удовлетворяет уравнению молекулярной диффузии
<30 ди_й
с заданными краевыми условиями на границах рассматриваемой области пространства. Поскольку примесь пассивна, уравнение (11.1) линейно относительно О. Краевые условия, как правило, также линейны относительно О; обычно они имеют вид
Х^ + ₽д = Н0. (11.2)
где п — нормаль к границе, ар — некоторая постоянная. В случае твердых стенок, ограничивающих течение, краевые условия однородны, т. е. f(0=O; при этом стенке, полностью поглощающей примесь, соответствует значение 0 = оо; стенке, совершенно непроницаемой для примеси,— значение р = 0, а значения 0 < р < оо соответствуют частичному поглощению и частичному отражению примеси на границе. В исследованиях В. Феллера, Е. Б. Дынкина, А. Д. Вентцеля и других авторов по общей теории марковских случайных процессов были изучены также и более общиё граничные условия, допускающие возможность временной остановки примеси в момент достижения границы и ее диффузии вдоль границы (см., например, Дынкин (1963)). Поскольку, однако, эффекты такого рода вряд ли могут иметь реальное значение при распространении примесей, на соответствующих граничных условиях (которые также линейны) мы не будем задерживаться. В случае неограниченного по каким-то направлениям течения краевые условия на бесконечности обычно берутся в виде требования О -> О, т. е. опять же имеют вид (11.2) (с f(0 = O и 0 = оо). Мгновенные источники примеси описываются заданием начальных условий для поля ^(Х, 0; непрерывно же действующим источникам соответствуют неоднородные краевые условия вида (11.2) с f(0=^O (подробнее эти условия при различных типах источников будут рассмотрены ниже).
При однородных краевых условиях эволюция поля ^(Х, 0 будет обусловлена исключительно переносом примеси полем скорости и(Х,0 и молекулярной диффузией. Поле скорости в принципе однозначно определяется по начальному полю u(X, /о)=ио(Х)
с помощью уравнений гидродинамики. Следовательно, решение уравнения (11.1) при заданном начальном поле концентрации ^(Х, /0) = 'О’о(Х) может быть записано в виде
»(Х, /) = Л[и0(Х), /]д0(Х), (11.3)
где А — некоторый оператор, зависящий от начального поля скорости Uo(X), параметра t и вида краевых условий. Вследствие линейности уравнения (Н.1) и краевых условий этот оператор линеен.
При статистическом описании турбулентности начальное поле скорости Uo(X) рассматривается как случайное, т. с. предполагается, что ему соответствует некоторое распределение вероятностей в функциональном пространстве его реализаций, соленоидальных векторных полей). Значит, и оператор Л[и0(Х), /], зависящий от случайного поля и0(Х), будет случайным оператором, характеризуемым некоторым распределением вероятностей в пространстве линейных операторов, могущих являться реализациями оператора А. Следовательно, при фиксированном ^(Х) поле концентрации ^(Х, t при t*>U будет случайным (так как оно зависит от А, т. с. от Uo(X)). При этом среднее значение поля ^(Х, /) будет определяться равенством
«(X, 0 = дТйдхмГмх) = Ж)^о(X), (11.4)
где оператор A (t) = А [и0(Х), /] получается из случайного оператора Л[и0(Х), /] с помощью теоретико-вероятностного осреднения (т. с. интегрирования по вероятностной мере, заданной в пространстве полей и0(Х)). Поскольку операторы Л[по(Х), /] линейны и осреднение является линейной операцией, осредненный оператор A(t) также линеен. Таким образом, при фиксированном начальном поле концентрации ^(Х) осредненная концентрация ^(Х, О удовлетворяет некоторому линейному уравнению. Для корреляционной функции и моментов более высокого порядка случайного поля ^(Х, /) с помощью (11.3) также можно получить некоторые уравнения; они будут уже нелинейными. Эти уравнения, однако, довольно редко используются при изучении турбулентной диффузии (см., впрочем, работы Чанади (1967а, б; 1973) и Ханна (1984), где речь идет о дисперсии поля ^(Х, /)). Обычно же описание турбулентной диффузии сводится к конструированию линейного уравнения для средней концентрации ^(Х, /) или, что эквивалентно, к нахождению (теоретическому, полуэмпирическому или чисто эмпирическому) линейного оператора Л(/).
В частном случае, когда допускается, что при определении осредненной концентрации можно пренебречь молекулярной диффузией по сравнению с турбулентной (условия, при которых законно это ^допущение, будут рассмотрены в следующем пункте), оператор Л(/) может быть представлен в значительно более конкретном виде, чем это делалось выше. В самом деле, рассмотрим прежде всего случай, когда в начальный момент времени t = to
вся примесь (в количестве Q) сосредоточена в одной «жидкой частице», находящейся в точке х. В таком случае, очевидно, У'о(Х)= Q6(X — х). Поскольку молекулярной диффузией прене- брегается, примесь все время будет оставаться в той же жидкой частице, что и вначале, т. е. в момент t она будет находиться в точке Х(х, /). Следовательно, в рассматриваемом случае
(X, /) = Q6 [X — X (х, /) ]. Учитывая, что
д[Х —Х(х, 0]=р(Х|х, /)
есть плотность вероятности для координат «жидкой частицы» в момент /, получаем: Л(/)б(Х — х)= р(Х/х, /). В силу линейности оператора A^t) при произвольном начальном поле ^(Х) можно воспользоваться принципом суперпозиции; отсюда, вытекает, что
^7x7O = ^(O«o(X) = Jp(X|x, t)Mx)dx. (11.5)
Таким образом, нахождение осредненной концентрации ^(Х, /) в пренебрежении молекулярной диффузией сводится к определению плотности вероятности для координаты Х(х, () одной «жидкой частицы». Саму функцию р(Х|х, () в силу выражения (11.5) можно интерпретировать как поле концентрации примеси ^(Х, /) при наличии в начальный момент t = to в точке х мгновенного точечного источника примеси (единичной концентрации). Отсюда вытекает возможность эмпирического определения р(Х|х, /), по данным диффузионных опытов, о которой мы упоминали в п. 10.3.
Зная оператор Л(/), легко определить и среднюю концентрацию, отвечающую различным типам источников примеси, встречающимся на практике. Рассмотрим, например, снова случай «чисто турбулентной» диффузии, определяемой формулой (11.5), причем поле скорости и(Х, /) для простоты будем считать стационарным (что соответствует установившейся турбулентности). В таком случае плотность вероятности р(Х|х, /о+т) для координат «жидкой частицы» в момент /о + т при условии, что в момент to она находилась в точке х, удобно обозначить символом pi(X|x, т); тогда функция pi в отличие от р не будет зависеть от параметра to. При этом средняя концентрация от мгновенного точечного источника с производительностью Q (т. е. создавшего Q единиц массы примеси) будет равна Qpi(X|x, t— to). В случае непрерывно действующего стационарного точечного источника в точке х с производительностью Q (т. е. создающего Q единиц массы примеси за единицу времени) средняя концентрация ^(Х, /) = ^(Х) не будет зависеть от времени и будет описываться формулой
tсо
O(X) = Q $ р,(Х|х, t — t6)dt0 = Q^ р,(Х|х, т)с?т. (11.6) —ооО
На практике довольно часто приходится иметь дело с диффузией в течении с постоянной средней скоростью u={^7, 0, 0}, на-
правленной вдоль оси ОХ\; тогда удобно перейти к системе координат, движущейся вместе со средним течением. При этом средняя концентрация от непрерывно действующего стационарного точечного источника в точке х принимает вид
O(X) = Q$ pAXv-Ux, Х2 А^х, T)dr, (11.6') о
где рАХх, Х2, Х3/х, т) — плотность вероятности для координат жидкой частицы при отсутствии средней скорости. В случае линейного источника, расположенного вдоль оси ОХ2, средняя концентрация Ф(Х, /) получается интегрированием по х2 концентрации от точечного источника в точке (0, х2, 0). Отсюда вытекает, что в случае установившейся турбулентности, однородной по направлению оси ОХ2, и при наличии средней скорости течения U по направлению оси 0X1 средняя концентрация от мгновенного линейного источника на оси ОХ2 будет описываться формулой
»(Х„ X», t) = Q $ pAXi-Ux, Х2, Xs|0, t-te)dX2 =
= QpAX1-Ut, Х3|0, t — t»Y (11.7)
Здесь Q — это количество примеси, внесенное в течение на интервале оси ОХ2 единичной длины (это количество мы считаем постоянным, т. е. не зависящим от Х2), a pi(Xh Х3|0, т) = = Jp!^!, Х2, Хз|0, т) dX2— двумерная плотность вероятности для
координат Xi и Х3 «жидкой частицы» в момент fo+т (при условии, что в момент ^о она находилась в точке х = 0) в течении с нулевой средней скоростью. В случае стационарного линейного источника на оси ОХ2 с производительностью Q (т. с. производящего Q единиц массы примеси за единицу времени на каждую единицу длины) средняя концентрация ^(Xi, Х3) равна
а(Хи XA = Q^ pAXt-Ux, Х3|0, T)dr. (11.8) о
С помощью формул для моментов Xi и XiXj координат «жидкой частицы», приведенных в предыдущей главе, можно выразить через лагранжевы характеристики турбулентности величины j ^/^(Х, t^dX, J XtXj^^X, t)dX и некоторые другие того же типа. В то же время эти величины можно определить и по найденной из диффузионных экспериментов средней концентрации ^(Х, /), что дает возможность получить эмпирические сведения о лагранжевых характеристиках. Рассмотрим в качестве иллюстрации случай непрерывно действующего линейного источника на оси ОХ2 в тече-
нии со средней скоростью U, намного превосходящей типичные значения пульсаций скорости. В этом случае основной вклад в интеграл по 5т в’ правой части выражения (11.8) внесут значения т, близкие к XilU. Поэтому здесь с большой степенью точности можно положить
«(X,, Х^ = const • р, № I О, XJU),(11.9)
где р1(Хз/0, т)= j pi (Xi, Х3/0, x)dX\—одномерная плотность вероятности для координаты Хз «жидкой частицы». В силу формулы Тэйлора (10.31) отсюда, в частности, вытекает, что при однородной турбулентности
J ^№> ^ахгXxiu
^= [Аз (Ал)]2 = 2«з $ ^_т)/?^(т)^т, (11.10)
j Пх^х^ах»0
где, как и в главе 10, UaR$ (т) = У'3(0, /)Уз(0, t + г). Следовательно, средняя толщина (A2)'/s следа за стационарным линейным источником примеси на малых расстояниях от источника-возрастает пропорционально этому расстоянию (так как Хз« U3XI/U2 при Xi <С UT3 = U \R3^(x)dx), а набольших — пропорционально квадратному корню из расстояния (так как Хз« 2U3T3X1IU при Х\ » Uis). Это хорошо подтверждается данными диффузионных экспериментов Калинске и Пиена (1944), Уберои и Корсика (1953), Таунсенда (1954) и других исследователей. Аналогично, след за точечным стационарным источником должен вначале иметь форму конуса, а затем — параболоида вращения. Этот факт также давно известен из лабораторных экспериментов и наблюдений за дымовыми струями из фабричных труб (ср. Тэйлор (1921), Орлоб (1959)).
Согласно формуле (11.10),
так что в принципе по эмпирическим значениям X|(Ai) можно определить и функцию R^^). Однако точность такого определения 7?зз\т) низка, так как при этом приходится дважды дифференцировать экспериментальную кривую, на практике всегда определяемую ненадежно. Тем не менее некоторые авторы (в том числе Тэйлор (19356), Коллис (1948), Баред (1959) и Пановский
(19626)) пробовали получить таким образом ориентировочные значения лагранжевой корреляционной функции скорости. Ряд исследователей (в частности, Калинске и Пиен (1944), Уберои и Корсин (1953), Майкельсен (1955), Хэй и Паскуил (1959), Болдуин и Майкельсен (1962), Хегстрем (1964), Н. Томпсон (1965), Хоген (1966) и другие — см., например, обзоры Бызовой (1974) и Бызовой и др. (1991)) использовали измерения величины А^ (в следе за линейным или точечным стационарным источником) для получения прежде всего данных о лагранжевом масштабе времени Т = | R^ (т) ск. В частности, Хэй и Паскуил измеряли (с помощью специальных коллекторов, представляющих собой небольшие липкие цилиндры) распределение примеси (в их опытах споры ликоподия) вблизи Земли на расстоянии 100 м от непрерывного точечного источника. Одновременно регистрировались изменения скорости и направления ветра в фиксированной точке вблизи источника (на высоте 2 м над поверхностью Земли), что позволяло определить эйлерову временную корреляционную функцию скорости ветра. Предположив, что эйлерова и лагранжева корреляционные функции поперечной компоненты скорости ветра подобны друг другу (см. формулу (10.82)) и использовав формулу Тэйлора (10.31), эти авторы смогли оценить по экспериментальным данным коэффициент пропорциональности 0; именно так было получено значение 0 « 4, упоминавшееся выше, а также и большинство других оценок 0, о которых шла речь в п. 10.5. Калинске и Пиен (1944), Уберои и Корсин (1953) измерили в лабораторных условиях значения функции Лз^) в следе за линейным стационарным источником, оценили по ней масштаб Т и некоторые другие параметры функции Т^зз^т) и использовали эти оценки для уточнения значений /?зз}(т), найденных по формуле (11.11); однако и в этом случае она определялась ненадежно. В большинстве упоминавшихся опытов измерения относились к случаю диффузии тепла (работы Тэйлора, Коллиса, Уберои и Корсина) или некоторого газа в воздухе (работы Майкельсена, Бареда, Томпсона, Хогена), так что пренебрежение молекулярной диффузией здесь требовало специального обоснования (отсутствующего во всех этих работах). Хэй и Паскуил, а также Хегстрем рассматривали диффузию мелких частиц, на которую в принципе могло влиять их броуновское движение. В опытах же Калинске и Пиена, в которых изучалась диффузия в воде мелких капелек жидкой примеси (той же плотности, что и вода), молекулярная диффузия вряд ли могла проявляться, но предположение об однородности турбулентности оказывалось, по-видимому, нс очень точным.
Как указывалось в п. 10.3, в случае однородной турбулентности есть основания предполагать, что распределение вероятностей для координат «жидкой частицы» при любых временах диффузии 530
будет довольно близким к гауссовскому. Иначе говоря, если принять за оси координат главные направления тензора дисперсии координат жидкЬй частицы £>(Дт) = [ХДт)—x;][Aj(t)—xj, то при любом т допустимо считать, что
Pl (Х I X, Т) (2л)3/2 рн (т) д22 (т) рзз (т)]1/2
Vexof- №-х,)2№-х2)2№-х3)21' m j™
Лехр1 20и(т)2D22 (т) 2Рзз(т) J’ (HJ2)
где величины Z)z/(t) выражаются с помощью формулы (10.31) через лагранжевы коэффициенты корреляции НиЧт). Подставляя эту формулу в выражения (П.5) — (П.9) (в предположении, что направление средней скорости совпадает с одним из главных направлений тензора Вц(т)), можно конкретизировать эти выражения, исследовать их асимптотическое поведение в различных предельных случаях, получить более простые приближенные формулы и провести детальные расчеты для отдельных модельных примеров функций КиЧ1^ (Френкил (1952, 1953), Флейшмен и Френкил (1954); ср. также Хинце (1963), § 5.5 и начало п. Н.4 настоящей книги).
В ряде случаев примесь можно рассматривать как совокупность дискретных частиц, причем иногда это оказывается более удобным. Хотя в дальнейшем мы не будем этим пользоваться, приведем все же некоторые результаты, касающиеся математического описания поля дискретной примеси. Обозначим общее число частиц примеси через ^, а их суммарную массу примем за единицу. Будем считать все частицы не отличающимися друг от друга и статистически равноправными в том смысле, что при любых k ^ N, пространственных областях Vi, ...» Vk и различных номерах ц, ..., ik, I ^is^ N, вероятность P{Xix^ е Ki, .., Xife^VkV где Xt=V означает, что точка X принадлежит области V, не зависит от номеров Zi, ..., (к. Отсюда, в частности, вытекает, что все случайные векторы Хг являются одинаково распределенными и что P^Xi^Vx, ..., Х^е е Vft} является симметричной функцией от областей Уь ..., Vk.
Полной характеристикой распределения дискретной примеси в фиксированный момент времени будет случайная функция области p,(V), значение которой равно массе примеси, содержащейся в пространственной области V. Эта случайная функция играет ту же роль, что и случайное поле 'О'(Х) в применении к непрерывно распределенной примеси (точнее говоря, и(Ю является аналогом величины | -O-(X)dX). Функция ц(У), очевидно, является аддитивной функцией V
области, т. е. н(^1 + ^2)—M^Vi) + ц( Уг). Вместо многомерных распределений вероятностей для поля 'О'(Х) теперь выступают вероятности
fnink I
на всевозможных конечных наборах областей Уь ..., Vk. В дальнейшем будем для простоты рассматривать лишь вероятности (11.13) для непересекающихся областей Vb ..., Vk. Отметим, что в частном случае независимых статистически
равноправных частиц примеси распределение (11.13) вырождается в так называемое полиномиальное распределение
Рпх...ч<Ух^-^-"‘[Q,^,)]"- [Q.p^X
где
=С^-*1^ ^ ^^^ 01(К)=Р(х,еУ}.
Таким образом, в случае независимых частиц функция ц(У) полностью задается значением вероятности Qi (V) для всех областей V. В общем же случае зависимых статистически равноправных частиц распределение (11.13) будет представлять собой обобщение полиномиального распределения; для его задания уже надо знать все вероятности
Qnx...nk(vtvM)=
= Р|Х1еИ1, Х^е!^; ...; Xnj+ ^_n^^veV к, ..., X„i+ +л^е1/^.
(11.14)
Можно показать, что произвольный момент случайных величин h(Vi), ..., ц(Уь) выражается через вероятности (11.14) по формуле
кmi тк
s==lп^...-^пк<т0
(11.15) где т = тх + ... + тн — порядок момента, а а™ —так называемые числа Стирлинга, отличные от нуля лишь при 0 < п ^ т и удовлетворяющие разностному уравнению а™ = а™~\ + иа^ ~1 при краевых условиях а™ = а™ = 1. Отсюда, в частности, следует, что момент m-го порядка случайной функции ц(У) полностью определяется совместным распределением вероятностей для координат т частиц; иначе говоря, вероятности (11.14) с пх + ... + пн ^ т определяют случайную функцию ц(У) с точностью до моментов тп-го порядка.
При т=\ из (11.15) получается формула
MV) = Q.(V),(11.16)
аналогичная формуле (11.5) (точнее говоря, формуле, получающейся из (11.5) после интегрирования по области V переменной X). При т = 2 из формул (11.15) и (11.16) получаем
Ti7(F)^^T2 = Q2 (^) - [Q1 (П12+ ^[Q. (П -Q2 (И)], (11.17)
[n(F,)-n(F,)][g(V2)-n(V2)] =
= Q..(Kb V2)-QI(V1)Q1(V2)-A-Qn(Flt V2).(11.18)
Первая из этих формул показывает, что при наличии связей между частицами (т. е. при Q2(V) ^iQi (V)]2) флюктуация количества примеси в фиксированном объеме V не убывает неограниченно (по средней квадратичной величине), даже
когда N-^oo. Иначе говоря, в случае взаимозависимых частиц даже при очень большом числе частиц N значения ц(У) оказываются заметно различными для различных реализаций. Формула (11.18) показывает, что флюктуации количества примеси в различных (непересекающихся) объемах оказываются коррелированными. Взаимная зависимость между частицами как раз характерна для турбулентной диффузии, где движения частиц на не слишком большом расстоянии друг от друга определяются в значительной степени одними и теми же возмущениями поля скорости, т. е. статистически связаны друг с другом. Поэтому при турбулентной диффузии концентрации примеси в каждом объеме флюктуируют и для близких (но не пересекающихся) объемов оказываются зависимыми друг от друга при любом N и даже при N=oo — этот случай, и описывается моделью непрерывно распределенной примеси с концентрацией ^(Х), непрерывно зависящей от X.
Взаимодействие между молекулярнойи турбулентной диффузией
Турбулентная диффузия обычно происходит много быстрее, чем молекулярная диффузия. Например, в приземном сдое атмосферы коэффициент турбулентной диффузии для пассивных примесей (т. е. отношение турбулентного потока примеси к градиенту концентрации) обычно имеет значения порядка 10* — 105 см2-с-1 и оказывается в 105—106 раз больше коэффициента молекулярной диффузии х, который у большинства газов имеет порядок 10-1 см2-с-1. В результате турбулентной диффузии дым от папиросы в концентрациях, достаточных для воздействия на человеческое обоняние, распространяется по комнате за несколько секунд, в то время как действие одной лишь молекулярной диффузии привело бы к такому результату лишь через несколько суток. Но означает ли это, что при описании турбулентной диффузии можно полностью пренебречь молекулярной диффузией?
Перенос примеси движущимися жидкими частицами приводит к тому, что объем, первоначально занятый примесью, по каким-то направлениям растягивается, а по другим сжимается, искривляясь при этом самым запутанным образом (подробнее об этом мы будем говорить в VIII разделе тома 2 настоящей книги). Суммарный объем примеси при такой деформации не меняется. В результате в каждой реализации турбулентного течения концентрация ^(Х, О в каждой точке в любой момент времени будет равной либо плотности примеси ра, либо 0 в зависимости от того, содержала ли соответствующая «жидкая частица» в начальный момент t = to примесь или не содержала (см. рис. 11.1, заимствованный из статьи Корсина (1959а)). Таким образом, турбулентная диффузия приводит к образованию в жидкости очень искривленных и запутанных слоев с резко различающимися значениями концентрации примеси. Выравнивание концентрации в соседних слоях, сопровождающееся возрастанием объема, занятого примесью, и сглаживанием поля концентрации, в результате которого значения функции ^(Х, t') оказываются промежуточными между ро и 0, происходит только вследствие молекулярной диффузии и тем медленнее, чем меньше коэффициент х- Отсюда ясно, что при описании мел-
комасштабной статистической структуры поля ^(Х, /) пренебречь молекулярной диффузией невозможно — иначе при большом t мы получим совершенно противоестественное распределение концентрации типа, изображенного в правой части рис. 11.1. Однако вопрос о том, нельзя ли пренебречь молекулярной диффузией по
б)б)1=01=0Рис. 11.1. Изменение формы объема, занятого примесью, в результате турбулентной диффузии (а) и схематический вид распределения концентрации примеси вдоль прямой, пересекающей этот объем (б).Рис. 11.1. Изменение формы объема, занятого примесью, в результате турбулентной диффузии (а) и схематический вид распределения концентрации примеси вдоль прямой, пересекающей этот объем (б).
б)
б)
1=0
1=0
Рис. 11.1. Изменение формы объема, занятого примесью, в результате турбулентной диффузии (а) и схематический вид распределения концентрации примеси вдоль прямой, пересекающей этот объем (б).
Рис. 11.1. Изменение формы объема, занятого примесью, в результате турбулентной диффузии (а) и схематический вид распределения концентрации примеси вдоль прямой, пересекающей этот объем (б).
сравнению с турбулентной при нахождении средней концентрации ^(Х, /), как это было сделано при выводе формулы (11.5), более сложен.
При выяснении относительной роли молекулярной и турбулент- ной диффузии в формировании поля осредненной концентрации ^(Х, /) мы ограничимся для простоты рассмотрением диффузии от мгновенного точечного источника единичной производительности в поле однородной турбулентности с нулевой средней скоростью. Пусть источник помещен в момент / = /о в точку X = 0. Иначе говоря, мы будем рассматривать решение уравнения (11.1) при начальном условии ^(Х, /0) = б(Х). Исследуем диффузию примеси по какому-то одному направлению, например по направлению оси ОХ\. В качестве характеристики роли молекулярной диффузии мы используем относительный вклад этой диффузии в дисперсию распределения '&(Х, /). При этом существенно различать, во-первых, дисперсию распределения средней концентрации относительно источника
Do(t) = $Xk(X, t)dX (11.19) и, во-вторых, дисперсию (также относительно источника) центра тяжести Xc(t)=^ Х^Х, t)dX распределения ^(Х, <)> т- е- ве" личину
A^(O = [J^|6(X, O^xJ. (11.20)
Помимо того, интерес представляет и дисперсия распределения О(Х, 0 относительно своего центра тяжести
• d^(0 = J[x,-xc(0]2»(x, мх. (11.21)
Воспользовавшись условием нормировки j ^(Х, t)dX = \, выражающим закон сохранения количества примеси, нетрудно проверить, что
j^ (0 = Do (0-^0,(11.22)
так что достаточно подсчитать две величины: Do(O и Xc(,f)-
Далее будет удобно перейти от неподвижной системы координат X к подвижной неинерциальной системе координат Y = X — — Х(0, ()• начало отсчета которой в каждый момент времени совпадает с точкой, в которой в этот момент находится жидкая частица, находившаяся в момент to в точке X = 0. Для поля концентрации в этой новой системе отсчета примем обозначение
0(Y, 0 = »[Y + X(0, t), П=»(Х, 0-(11.23)
Ясно, что
de (Y, t) _ да (X, О IдУ<дХ, lx=Y+X(0, t)
С другой стороны,
^0[Y + x(°, 0. ^ = -$- + ^(0, t)-^-, (11.24)
где V(0, t)= —^ ■—лагранжева скорость «жидкой частицы»,
находившейся в момент Zo в точке X = 0. Следовательно, уравнение (11.1) в подвижной системе координат принимает вид
^ + {M.[Y + X(0, 01-^(0, О)^- = ХД0, (11.25)
где Л — оператор Лапласа по переменным (У1, Уг, Уз), a V(0, /) — скорость начала отсчета подвижной системы относительно исходной неподвижной системы координат. Поле 9(Y, 0 также удовлетворяет условию нормировки j 9(Y, 0^Y= 1, которым мы будем пользоваться, нс оговаривая этого.
Равенства (11.19) и (11.20) после перехода к новой системе координат принимают вид
Do (0 = $ [У. + хх (0, /)]2 6 (V, 0 dY =
= Х\ (0, 0 + 2X1 (0, о j У!0 (Y, 0 dY + j У10 (Y, t) dY, (11.26)
^(0 = {J[^ + ^(0. 0]6(Y, о^у}2 =
= ^1(0, 0 + 2Xi (0, 0 J Y.0 (Y, 0 dY + [ J У,0 (Y, /) rfy]2. (11.27)
(у^г^^ XYv'Y^Y^(у^г^^ XYv'Y^Y^(11.28)(11.28)Ограничимся вычислением величин Do(t) и Xc (/) при малых значениях t — /0. Будем считать, что все моменты
(у^г^^ XYv'Y^Y^
(у^г^^ XYv'Y^Y^
(11.28)
(11.28)
(11.29)(11.29)
(11.29)
(11.29)
(где ^i, ^2, ^з — неотрицательные целые числа) могут быть представлены в виде рядов по степеням t — /0. В таком случае и дисперсии Do(/) и Xc(t) будут представлены в виде рядов по степеням t — /о, причем для вычисления первых членов этих рядов надо знать лишь несколько первых членов рядов для моментов <У1> и <у2>> входящих в формулы (11.26) и (11.27).
Для вычисления моментов (11.28) воспользуемся уравнением (11.25). При этом существенно, что uz[X(0, /), /]= V/(0, /), и> следовательно, разность скоростей, стоящая в фигурных скобках в левой части (11.25), может быть представлена в виде
ди, 1д2и,
MY + X(0, о, d-МО, о=Га^-+тУаГР^т
+ 6 УаУр Y^ дХа&х^дх^ + • • • .
где все производные от u,(X, f) берутся в точке Х = Х(0, /), т. е. являются функциями только от t. Подставим разложение (11.29) в уравнение (11.25), а затем умножим все его члены на У1 У^Уз* и проинтегрируем по всем значениям Y. Учитывая, что dutldXi=Q, после интегрирования по частям придем к соотношению
дХадХ^дХч
где моменты, содержащие отрицательные степени Yu считаются тождественно равными нулю.
Из формулы (11.28) видно, что момент нулевого порядка равен единице; поскольку 0(Y, М —6(Y), все остальные моменты стремятся к нулю при t -*■ /о- Первый порядок малости по / — to будут иметь только те моменты, для которых правая часть (11.30) содержит момент нулевого порядка. Этим свойством будут обладать лишь моменты <У|>, причем их главные члены имеют вид
<У|> = 2Х(/-/,) + ...(11.31)
Чтобы определить последующие члены разложения для момента <У<Х которые нам понадобятся ниже, требуется выписать все моменты, имеющие при /-► <0 порядок (t — /0)2.
Этим свойством будут обладать моменты ненулевого порядка,, отличные от <УО, Для которых среди слагаемых в правой части формулы (11.30) встречаются моменты <У2>. Таковыми являются лишь моменты <У<>, <У<> и <¥,¥;'>, <У;У/> при i^j, причем их главные члены имеют вид
<У/>=у ХАм,((-/0)2 + ...,
/ ди. ди, \
<У*>= 12Х2 (/— f0)2 + • • •,(11.32>
<У^> = 4Х2(/-/0)24-...,
где все производные от и(Х, /) берутся в точке Х = 0 в момент
t = t0.
Поставим задачей вычислить величины Do(t) и Xc(t) с точностью до слагаемых порядка (/ — to)3 включительно. Поскольку
Х(0, 0 = и(0, /0)(/-/0)+...,(11.33).
надо знать момент <У1> с точностью до слагаемых порядка (<—to)2, а момент <У2>— до слагаемых порядка (t—<о)3. Таким образом, равенство (11.32) для <У]> достаточно, но разложение (11.31) для <У2> должно быть уточнено. Чтобы определить недостающие слагаемые, выпишем формулу (11.30) при & = 2, ^2 == ^з ^ 0:
4(у;> = 2Х + 2^г<У.У1>+^_<У.У,У|> +
+4 «J.^v1'',Wi>+---
Учитывая лишь слагаемые порядка малости не выше (/ —10)2,, с помощью (11.32) получаем:
А<У>> _ 2Х + 2 ^-<У^ + 2 ^ <У Л> + 2^. <у ,у8> +
+ 4^«>+ ^г«^ + ^г W . -
иХ ।иХуиХ£илуОл^
= 2X + 2^<yf> + 2X&(^ + -^) +
ОХ\ Х '1^2 \vA2 UA\ / 1
+■& (-^+■$?№ - ^2+4x2v •
UA3 \ UA 3 1 дХ\иХ\
Поскольку Йг=^|,_,.+4Ш-. +"" "НееМ
«> = 2Z« - м + 2х ^1L V - t.f + I X (2 ^ + 2(^-)Ч
+ SL(SL+Tr-)+5r-(SL + ^) + 2Z^|(<
С/Л2 \ОЛ2 дХХ /0X3 \илз/дХХ J
(11.34)
где все производные от и(Х, 0 берутся в точке X = 0, t = t0.
Далее понадобится только среднее значение момента <У<>- Поскольку турбулентность однородна, средние значения всех величин, зависящих лишь от одной пространственной точки X, сами от X нс зависят. В частности,
d дих д дих । д ди*х А
dt ЭХ, — М7"дГ+"5^7“® М7 — и-
Таким образом, в случае однородной турбулентности ^=2x(t-/0) + 4x{2(^)24-.^(^ + ^^
О ( \ОЛХ / ОЛ2 \ОЛ2Ол 1 /
+ дХа VdX3 + дХ.УГ о) +’"
Выражение в фигурных скобках может быть преобразовано к виду
ди. (ди. ди_ \ д ди„
dT7(dX7 + 'dT"/ = ^V“^ "^ ■dX^Ux~dX" ==^U^ '
и. окончательно получается
<y?> = 2X(/-i0) + 4x(W(<-M3 + ...(П.35)
Согласно формулам (11.22), (11.26), (11.27) и (11.32), величина D?(0 с точностью до слагаемых порядка (/— /о)3 совпадает с <У1>; поэтому
Е?с (t) = 2Х (t -10) + -|- X (V^/ - /0)3 4- ...(11.36)
В ’неподвижной жидкости молекулярная диффузия приводит к тому, что сосредоточенная в точке примесь за время t — t0 расплывается в облако, описываемое сферически симметричным распределением концентрации с дисперсией 2%(/— /0). Из равенства (11.36) видно, что при настолько малом t— /о, что вторым членом можно пренебречь по сравнению с первым, среднюю дисперсию распределения примеси ^(Х, /) относительно ее центра тяжести Xc(t) также можно принять равной 2%(/ — /0). Иначе говоря, можно считать (в той мере, в какой это касается дисперсий), что на
первом этапе турбулентной диффузии от точечного источника расплывание примеси под действием молекулярной диффузии налагается на ее перенос соответствующей «жидкой частицей», но нс взаимодействует с этим переносом. При больших значниях t — t0 положение изменяется, поскольку начинает сказываться и второе слагаемое в правой части (11.36). В результате дисперсия Dc(0 начинает возрастать быстрее, чем при молекулярной диффузии в неподвижной жидкости, причем добавочный член уже зависит и от коэффициента молекулярной диффузии жидкости %, и от среднего квадрата градиента скорости турбулентного движения. Таким образом, возникает взаимодействие молекулярной диффузии с турбулентной, приводящее к «ускорению молекулярной диффузии», т. е. более быстрому расширению объема, занятого примесью, и к более быстрому убыванию максимальной концентрации. Причиной этого являются деформации занятого примесью объема в турбулентном течении (типа изображенных на рис. 11.1), существенно увеличивающие роль молекулярной диффузии. Поэтому неудивительно, что «ускорение молекулярной диффузии» начинает сказываться нс сразу, а лишь через некоторое время — после того, как молекулярная диффузия превратит точечную массу примеси в облако, объем которого достаточен, чтобы деформироваться под влиянием неоднородностей поля скорости u(X, t).
Эффект «ускорения молекулярной диффузии под действием турбулентности» был впервые отмечен Таунсендом (1951). В этой работе были даны предварительные оценки указанного эффекта, и приведены результаты экспериментов по измерению постепенного падения максимальной температуры «тепловых пятен», создаваемых импульсным разрядом тока, подтвердивших его существование (и показавших, что формулы типа (11.36) неплохо соблюдаются при значительно больших значениях t — /0, чем можно было бы заранее предполагать). Болес полные формулы для диффузии от мгновенного линейного источника (содержащие, впрочем, некоторые ошибки в значениях числовых коэффициентов; см. Сафмен (I960)) были получены Таунсендом (1954) и Бэтчелором и Таунсендом (1956). Заметим, что второе слагаемое в правой части формулы (11.35) напоминает формулу (10.58) для дисперсии продольной координаты «жидкой частицы» в однородном турбулентном течении со сдвигом. Это сходство не случайно: при малых t—/0 вся примесь находится в малой окрестности источника, в которой поле скорости и(Х, /) допустимо считать линейно зависящим от координат X, а такому представлению поля скорости и соответствует формула (11.35).
Переходя к дисперсии D^U^ облака примеси относительно положения источника (совпадающего со средним центром тяжести Хс(/)) и дисперсии Xc(t) самого центра тяжести, убеждаемся, что здесь взаимодействие молекулярной и турбулентной диффузии приводит к противоположному эффекту «замедления диффузии». В самом деле, для подсчета величин Do (t) и XcU)» согласно фор-
мулам (11.26) и (11.27), надо определить среднее значение ^1(0, /№>■ Пользуясь формулами (11.33) и (11.32) для Х](0, /) и <У1>, получаем:
х.(0, 0<г,>=4tiiMt-/0)3 +...,
или, поскольку в однородной турбулентности «1 Ami = —(Vui)2, x^6T7)<^> = -4xW(<-M3 + ...(11.37)
Отсюда и из формул (11.26), (11.27), (11.35) и (11.32) следует, что■
Do (0 ^ Х?(0, 0 + 2Х V - /.) - 4 X wnt -<„)» + ..., (Н .38)
^(0 = Xi(0, /)-X(V«.)2(<-^o)3 + ... (11.39)
Эти формулы впервые были получены Сафменом (1960). Вторая из них показывает, что дисперсия центра тяжести распределения примеси 6(Х, /) при малых / —t0 оказывается меньше дисперсии Х^ (0, /) координаты жидкой частицы (определяемой при малых /—/о почти исключительно разбросом начальной скорости Vi(0, ^o)=ui(O, /о) «жидкой частицы», т. е. близкой к u^t — fo)2). Образно говоря, частица примеси вследствие молекулярной диффузии в среднем «отстает» от «жидкой частицы», с которой она вначале совпадает, т. е. «молекулярная диффузия замедляет турбулентную диффузию». Легко понять, в чем состоит механизм этого «замедления»: величина X8 (0, f) определяется дисперсией «средней скорости переноса жидкой частицы»
t
-АЛиДХ^, t'idt\
‘о
а молекулярная диффузия приводит к тому, что при /' > /0 полем скорости ui(X, f) переносится не точечная «жидкая частица», а целое облако примеси; поэтому скоростью переноса здесь является скорость «1(Х, f), осредненная по некоторому объему, которая, как правило, меньше мгновенной скорости в точке Х(0, /').
В результате того, что Хс(/) оказывается меньше, чем Xi(0, f), полная дисперсия Во(О оказывается все же меньше, чем сумма X? (0, <)+2%(<— /о) вкладов от турбулентной и от молекулярной диффузии по отдельности (без учета их взаимодействия).
Этот эффект можно описать также с помощью введенной Сафменом (1962а) «корреляционной функции для примеси» В(*>(/ — — /о), определяемой, как коэффициент корреляции между значе-
ниями скорости жидкости в точках, занятых примесью в моменты Г> to и t0:
Bw (t - (о) = <«,(0, /,)«,[¥ 4-Х (О, О, Ф, (11.40) где угловые скобки означают осреднение по значениям Y с весовой функцией 6(Y, t). Сафмен показал, что дисперсия Do(t) может быть выражена через BW^t— to) по формуле
#о (t) = 2Х V - to) 4- 2 J (t -10 - т) В№ (т) dr,(11.41)
аналогичной формуле Тэйлора (10.31), имеющей вид
Xi (0, 0 = 2 J V - to - т) В№) (т) dr.(11.42)
Подобно представлению В^Ц — to) в виде
B(L)(<-/„) = Ju,(0, t0)u.(X, Оф(Х, t)dX, (11.43) где ф(Х, t) = 6(X— Х(0, t)]—решение «уравнения переноса» -^ 4- иа -^- = 0 при начальном условии ф (X, t0) = 6(Х), функцию (11.40)/ можно записать в виде
B^t - /о) = j и, (О, M«i(X, ОЛХ, t>dX, (11.44) где ф(#)(Х, t)—решение уравнения диффузии '^(■ + иа-^-= = % Лф при том же начальном условии ф(Х, to) = 6(X). Эффект «замедления турбулентной диффузии» в функции В<*)(т) проявляется в том, что В<о> (т) < В<£> (т) при всех т > 0 (если предполагать BW(r) неотрицательным при всех т). Можно сказать, что вследствие молекулярной диффузии частица примеси скорее «забывает» свою начальную скорость, чем «жидкая частица» (причиной этого является дополнительное осреднение по У в формуле (11.40)). Исходя отсюда Хинце (1963) положил Bw (т)= В<£>(т)Х Xf(x), где f(r)— монотонно убывающая функция (зависящая от параметра %), такая, что f(0) = 1. Следуя предложению Бюргерса, он рассмотрел модель, в которой /:(т)=е-“т (где а = = cxJL?, с — безразмерная постоянная, a L — масштаб турбулентности). Это предложение, однако, не имеет теоретического основания (кроме, может быть, частного случая турбулентности при очень малом числе Пекле Ре = L(u,4)'4x* СР- Сафмен (1962а)). Можно показать, что при очень малых x = t—10 функция Bw^ представима в виде
В^ (т) = В^ (т) — X (VuJ2 т 4- ...,
откуда вытекает и равенство (11.38). С возрастанием /—/0 (т. е» с возрастанием объема, занятого примесью) эффект «замедления турбулентной диффузии» усиливается, т. с. отношение [5<£)(т)— — B(,0,)(t)]/B(l)(t) возрастает с ростом т. Предположив, что при т-^оо это отношение приближается к некоторой постоянной Л, Сафмен (1960, 1962а) получил асимптотическую формулу
Do (0 = ^(О, О + 2Х (/ - /о) - АХ2^, П. (11.45)
Он привел также некоторые соображения, согласно которым А ~ (Pr-Re)-1 =(Ре)-1, где Re — число Рейнольдса турбулентности. Это предсказание оказалось в качественном согласии с данными экспериментов Майкельсена (1959), измерившего распределение средней концентрации гелия и углекислого газа за точечным источником в турбулентном течении за решеткой в аэродинамической трубе. Однако ни количественного подтверждения формулы Сафмена (11.45), ни хотя бы качественного подтверждения формулы (11.38), относящейся к малым значениям t— /о, до сих пор нс получено.
Для того чтобы понять причину этого, следует оценить относительную роль молекулярной и турбулентной диффузии и взаимо- дсйствия между ними в формировании поля осредненной концентрации О(Х, /). Для этого надо сравнить порядок величины трех, членов в правых частях формул (11.38) и (11.45). При очень малых t— to следует пользоваться формулой (11.38); в се правой части наибольшим слагаемым является второе (порядка t—toK а наименьшим — третье (порядка (t— /о)3). Однако с ростом t — to вклад турбулентной диффузии растет быстрее, чем вклад молекулярной диффузии, и при значениях t—to, превышающих некоторое значение ть вклад турбулентной диффузии уже превосходит величину 2%(/— to). Считая, что ti мало по сравнению с лагранжевым масштабом времени 71, при оценке ti можно воспользоваться формулой (11.33) для Xi (0, t); тогда получается Ti = =2%/u?. В большинстве реальных турбулентных течений это значение очень мало; например, в приземном слое воздуха w? ~ ~ 102—103 см2-с-2, так что п ~ 10-3 с при % ~ 10-1 см2-с-1. При больших значениях t— to, когда величину Xi(0, t) можно оценить с помощью асимптотической формулы (10.35), отношение вкладов молекулярной и турбулентной диффузии имеет порядок %1и^1\ = ~"^-х* Это отношение еще можно оценить как (Pr-Re2)-1 (так как можно показать, что обычно Ti ~ V/v); обе эти оценки показывают, что в реальных условиях рассматриваемое отношение очень мало.
При достаточно малых t— to, при которых вклад в дисперсию Do (t) слагаемого, связанного с взаимодействием молекулярной и турбулентной диффузии, можно считать пропорциональным
(t—M3> этот вклад будет много меньше вклада молекулярной диффузии, если (/— to)2 С 6[( v Ui)2]-1. Однако в случае стационарной однородной турбулентности ’ (Vui)2 = (“'„“' У ~
гранжев микромасштаб времени. Таким образом, при t— to < тх отношение вклада в дисперсию, вызываемого взаимодействием молекулярных и турбулентных движений, к вкладу молекулярной диффузии является малой величиной (порядка [(<—М/тх]2). Наоборот, при t — to ■» тх с помощью асимптотической формулы (11.45) можно установить, что указанное отношение имеет порядок 2А—~-^- и может и не быть малым. При этом, однако, от-
Рет| г
ношение вклада, вносимого взаимодействием, к вкладу «чистой турбулентной диффузии» имеет порядок А ~ (Ре)-1, т. е. при больших Re (и Pr ~ 1) оно очень мало.
Подводя итоги, можно сказать, что относительное изменение величины Ро(О> вызываемое молекулярной диффузией, при не слишком малом t — to и достаточно большом числе Рейнольдса пренебрежимо мало. Поэтому в реальных условиях при вычислении средней концентрации ^(Х, t) молекулярную диффузию допустимо во внимание не принимать.
Полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии
При турбулентной диффузии в пренебрежении молекулярной диффузией средняя концентрация примеси О(Х, t) в момент t связана с начальной концентрацией О0(Х) соотношением (11.5). Отсюда видно, что если плотность вероятности для координат жидкой частицы р(Х.|х, t) удовлетворяет некоторому линейному уравнению по переменным X, t, то такому же уравнению будет удовлетворять и функция О(Х, t). Постараемся понять, какой вид может иметь это уравнение.
В пренебрежении молекулярной диффузией поле концентрации примеси ^(Х, t) удовлетворяет уравнению переноса, получающемуся из уравнения диффузии (11.1) после приравнивания к нулю его правой части. Осреднив все члены этого уравнения, получим:
^r+w = -^ s=u^' (1L46)
где вектор S = (Si, Sz, Зз) имеет смысл плотности турбулентного потока диффундирующей примеси. Простейшая (и наиболее ранняя) теория турбулентной диффузии, предложенная Тэйлором (1915) и Шмидтом (1917, 1925) (но восходящая еще к Бусси-
неску (1877, 1897)), исходит из предположения, что поток S пропорционален градиенту средней концентрации примеси, т. е. что
<IL47)
где К — это коэффициент К» Ш и IV разделов (в настоящей главе мы будем иметь дело только с ним, и поэтому индекс ■О будет удобно опустить). В более общем анизотропном случае вместо предположения (11.47) принимается существование линейной зависимости между векторами Sz и д^дХй
(11.48)
где тензор коэффициентов турбулентной диффузии Кц является, вообще говоря, функцией от X и t.
Из полуэмпирической гипотезы (11.48) получается полуэмпи- рическое уравнение турбулентной диффузии
д* дйЛ дд»
-^4-^—=-=^^-^.(1L49)
C/Zx дО Л. дСгАр
В силу большой важности этого уравнения целесообразно рассмотреть дополнительные соображения, относящиеся к выводу этого уравнения и позволяющие лучше понять область его приложимости. Начнем с простейшего случая диффузии в поле стационарной однородной турбулентности. В этом случае тензор вторых моментов Оц (т) = У г (т)У / (т) смещений жидкой частицы за время т определяется обобщенной формулой Тэйлора (10.30'), а среднее значение смещений равно У,(т)=йгг, где й=(й1,Й2,йз)— постоянная средняя скорость течения. Кроме того, как мы знаем из п. 10.3, в этом случае есть веские основания предполагать, что совместное распределение вероятностей для величин (Уь Уг, Уз) и при малых, и при больших (по сравнению с лагранжевым масштабом времени 7) значениях т будет весьма близким к гауссовскому распределению и, по-видимому, не будет сильно отличаться от гауссовского при всех вообще значениях т. Поэтому плотность вероятности р(Х|х, /) можно приближенно представить в виде трехмерной гауссовской плотности (4.23) со средними значениями а; = х/ + й/(/— /0) и матрицей дисперсий £>,/(т) (обратной матрице коэффициентов g,/ в выражении для плотности), определяемой формулой (10.30'). Легко показать, что такая функция р(Х|х, t) является решением уравнения (11.49) с коэффициентами Кц вида
=I №(т) + В^(т)]йт (11.50)
(см. Бэтчелор (19496)). Тому же уравнению будет удовлетворять и средняя концентрация ^(Х, f); таким образом, предположение
о справедливости уравнения вида (11.49) (с коэффициентами Kip определяемыми формулой (11.50), т. е. зависящими от времени распространения примеси т=/—/0) для диффузии в поле стационарной однородной турбулентности эквивалентно предположению, что распределение вероятностей для вектора смещения жидкой частицы при любом т будет гауссовым. Если, однако, в духе полуэмпирической гипотезы (11.48) желать, чтобы распределение средней концентрации при всех t = /0 + т описывалось уравнением вида (11.49) с одними и теми же коэффициентами Kij, то, согласно (11.50), приходится ограничиться лишь рассмотрением значений т, больших по сравнению с лагранжевым масштабом Т. При этом в силу (11.50)
^/ = т(“ГЧ7/2 Tii’ Tii==\ VR^^-VRb4^ dx. (11.51)
Мы убедились, что для диффузии в поле однородной стационарной турбулентности полуэмпирическое уравнение (11.49) (с постоянными коэффициентами диффузии Кц) справедливо лишь при /^;/о + Т, но при таких t может быть обосновано весьма убедительно. Заметим, однако, что в этом случае уравнение (11.49) нс слишком полезно, так как здесь выражение для ^(Х, t\ может быть легко найдено и без него.
Покажем теперь, что и в общем случае уравнение (11.49) может быть применимо, лишь если время диффузии т = / — /о значительно превосходит типичный лагранжев масштаб времени. Уравнение (11.49) является уравнением первого порядка по t; следовательно, его решение однозначно определяется начальным значением ^(Х,/0) ='О’о(Х) (краевые условия мы считаем фиксированными). Обозначим временно плотность вероятности р(Х|х, t) символом р(Х, /|х, /о) (чтобы подчеркнуть се зависимость от начального момента времени /0); тогда соотношение (И.5) можно переписать в виде ^(Х,/)= j ^(х, to)p(X,/|х, tQ)dx. Полагая ^(Х,/о) = б(Х — х), получаем ^(Х,/) = р(Х,/|х,/0) при любом / > /0. Используем этот результат для момента времени Л < f и затем решим снова уравнение (11.49) для интервала времени от момента 6 до t при начальном условии ^(Х, Л) = р(Х,Л |х, /0). Тогда получим
р(Х, /|х, /0)=(р(Х, /|Х„ /,)Р(Х„ /Jx, t0)dXn (11.52) где /о < Л < t. Такое уравнение для «плотности вероятности перехода» р(Х,/|х,/о) случайной функции Х(/) будет справедливо, если эта функция является марковской, т. с. такой, что условное распределение вероятностей для значения функции в момент t при условии, что известны ее значения в произвольные моменты tn < tn-\ < ... < /о (где to < t), будет зависеть только от последнего из этих значений Х(/о), но нс от значений Х(^) с /t < t^
545-545-35 Заказ № 303
545-
545-
(в теории марковских случайных процессов уравнение (11.52) называется уравнением Смолуховского). В самом деле, для произвольной (не обязательно марковской) случайной функции Х(/) при to < t\ < t имеет место очевидное соотношение
р(Х, /|х, /0) = $р(Х, f|X„ tx; х, t.)p^Xx, /Jx, t^dXx,
где первый множитель под знаком интеграла есть условная плотность вероятности для Х(^) при условии, что значения X(^i) = Xi и Х(/о) = х фиксированы. Последняя формула превращается в формулу (11.52), только если указанная плотность вероятности не зависит от значения Х(/о) = х, а это означает, что случайная функция Х(/) является марковской.
Наоборот, если случайная функция Х(х, /) является марковской, то для плотности вероятности р(Х|х, /) = р(Х, /|х, to) (а потому, согласно (11.5), и для средней концентрации ^(Х, t)) при весьма общих условиях может быть получено дифференциальное уравнение вида (11.49). Этот важный математический факт был установлен Колмогоровым (1931, 1933) (его частные случаи еще раньше рассматривались физиками — Эйнштейном, Фоккером и Планком). А именно, Колмогоров доказал, что при некоторых общих условиях регулярности (налагаемых на переходную вероятность р(Х|х, t) и гарантирующих, что марковская случайная функция Х(/) будет в определенном смысле непрерывной) существуют производные
ж»^. м-[$-у;<х. оудх, оцж»^. м-[$-у;<х. оудх, оц(11.53)(11.53)
ж»^. м-[$-у;<х. оудх, оц
ж»^. м-[$-у;<х. оудх, оц
(11.53)
(11.53)
(где, как обычно, Y(x, t) = Х(х, t)— х и Y'= Y— Y), и плотность вероятности р(Х|х, t) удовлетворяет уравнению
^„^-[T^XTOpJ-^L^^lX, <)р](11.54)
(см. также Гнеденко (1988), § 54, и Леонтович (1983), ч. II, гл. 6). Это уравнение совпадает с (11.49), если положить Vt/ — дКц/dXj = щ. Смысл последнего равенства заключается в том, что величина Уь являющаяся, согласно первой формуле (11.53), средней скоростью движения частицы примеси, в общем случае равна сумме «скорости переноса» Ui и дополнительной -скорости dKij/dXj, связанной с тем, что в поле неоднородной турбулентности частицы примеси даже в отсутствие осредненного течения могут иметь тенденцию двигаться в определенном направлении. Подчеркнем, что здесь фигурирует лишь понятие 'средней, но не мгновенной скорости движения частицы; мгновенная скорость в «марковской модели» не существует. В самом деле, предел
который должен был бы иметь смысл среднего квадрата мгновенной скорости движения частицы в момент /о, в силу второго равенства (11.53) нс может быть конечным при Кп(х,/)=#0 (так как средний квадрат длины пути, пройденного частицей за время от момента to до Л = /о+т, при т-^0, согласно (11.53), имеет порядок т, а не т2). Вторая формула (11.53) даст статистическую интерпретацию «коэффициентов турбулентной диффузии»: Ки отличается лишь множителем 1/2 от скорости изменения тензора дисперсии смещения частицы (изученного в п. 10.3).
Невозможность определения мгновенной скорости движения -^-Х(х,/) означает, что случайная функция Х(х,/) недифференцируема. На самом деле траектории «жидких частиц» таким свойством не обладают: функция Х(х, /) при всех t дифференцируема по t и удовлетворяет лагранжевым уравнениям гидродинамики (10.6) и (10.9), содержащим первые и вторые производные от Х(х, /) по Xi и по t. Знание статистических свойств производной <ЭХ(х, /) /dt = V (х, /) важно для многих задач, использующих лагранжево описание турбулентного движения (см., например, формулу (10.27) для тензора дисперсии смещения жидкой частицы). С этим связано и то, что дисперсии смещения «жидкой частицы» за очень малое время т на самом деле пропорциональны нс т, а т2 (см. формулу (10.28)). Наконец, функция Х(х, /) нс является марковской; например, плотности вероятности р(Х,/|х,/о) и р(Х,/|х, Vo, to) для величины X(t) при фиксированном значении Х(/0) = х и соответственно фиксированных значениях Х(/0) = х и (dX/dt) |t=tQ = Vo, которые для марковской функции должны совпадать, на самом деле различны (в частности, при малых т = t— tQ вторая из этих плотностей вероятности существенно отлична от нуля лишь при X ^ х + Vox, а первая таким свойством не обладает).
Однако если рассматривать функцию Х(х, t) лишь на дискретном множестве моментов времени t = tn = to + пт, где шаг по времени т велик по сравнению с лагранжевым масштабом времени 7, то практически можно считать, что случайная последовательность Х(х, tn) является марковской. В самом деле, приращения функции Х(х, t) на непересекающихся интервалах времени длиной т ^> 7 практически некоррелированы, и естественно ожидать, что они будут также и почти независимы, а случайная последовательность с независимыми приращениями является марковской. Дисперсии приращений функции Х(х, t) на интервалах времени длиной т ^ 7, согласно (10.35), пропорциональны т, как это и должно быть при условиях (11.53). Таким образом, если бы вместо дифференциального уравнения (11.49) мы рассмотрели аналогичное разностное (по времени) уравнение, соответствующее марковской последовательности Х(х, tn), то оно уже близко
соответствовало бы реальным свойствам движения «жидких частиц» в турбулентном течении. Следовательно, полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии (11.49) имеет смысл как дифференциальный аналог некоторого разностного по времени уравнения с шагом т >> Т. Отсюда вытекает, что уравнение (11.49) можно использовать для описания поля ^Х, /), в фиксированный момент времени /, где t—to Т. Иначе говоря, формулы для распределения примеси ^(Х,/) или тех или иных характеристик этого распределения, получаемых при решении уравнения (11.49), можно рассматривать как асимптотические формулы, справедливые при t— to Т.
В практических задачах, связанных, например, с диффузией примесей в атмосфере, как правило, представляет интерес именно описание диффузии в масштабах, значительно превышающих лагранжев масштаб времени (который в приземном слое воздуха обычно имеет значения порядка секунд); поэтому в этих задачах обычно можно пользоваться полуэмпирическим уравнением турбулентной диффузии. Заметим, впрочем, что даже при больших t—to полуэмпирическое уравнение может приводить все же к неверным результатам на очень больших расстояниях от источников примеси в связи с тем, что эта теория фактически предполагает, что скорость распространения примеси может быть бесконечно большой (см. ниже п. 11.6). Более подробный анализ условий приложимости к турбулентным течениям приближения Буссинеска (11.48), лежащего в основе полуэмпирического уравнения диффузии, выполнил Корсин (1974) (см. также Сринивасан, Та- вуларис и Корсин (1982)); согласно полученным здесь выводам приближение (11.48) далеко не всегда имеет высокую точность, но тем не менее на практике оно очень часто оказывается вполне приемлемым.
В дальнейшем чаще всего нам придется иметь дело со случаем стационарного и однородного в плоскостях Х3 = Z = const турбулентного движения со средней скоростью й = U, направленной вдоль оси ОХх = ОХ. В этом случае коэффициенты К// (как и все другие статистические характеристики турбулентности) могут зависеть только от координаты Z. Кроме того, при поверхностном рассмотрении ситуации кажется естественным предположить, что координаты оси ОХх = OX, ОХ^^ OY иОХ3 = = OZ совпадают с главными направлениями тензора Кц. В таком случае полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии (11.49) принимает вид
^ + u (Z)^ = Кхх (Z) ^ + Куу (Z) ^ + -^ Kzz (Z) ^. (11.55) В приложении к диффузии в атмосфере такое уравнение рассматривалось уже Ричардсоном (1926) и Шмидтом (1925); позже оно стало общепринятым и использовалось в целом ряде книг и многих сотнях статей (см., например, Саттон (1958), Халтинер и Мартин (1960), Слейд (1971), Паскуил (1974), Берлянд (1975, 1985) 548
и Озмидов (1986)). В 50-е и 60-е годы, однако, появились данные, указывающие на то, что эта форма уравнения диффузии не может быть точной (см., например, Леттау (1952), Колдер (1965) и Яглом- (1969), где можно найти также ряд дополнительных ссылок). Мы подробнее расскажем об этом в п. 11.5, а сперва рассмотрим некоторые выводы, опирающиеся на традиционную форму (11.55) диффузионного уравнения.
Если необходимо учесть гравитационное оседание диффундирующих частиц (происходящее с постоянной скоростью ау), то к левой части уравнения (11.55) следует добавить слагаемое
—w "dZ* Т°чно так же возможность распада примеси (с периодом полураспада 1п2/а) приводит к появлению в левой части добавочного слагаемого а^. Если область течения по какому-то на* правлению простирается до бесконечности, то соответствующим краевым условием обычно будет условие достаточно быстрого убывания #(Х,/) при неограниченном удалении точки X от всех источников примеси. Краевые условия на твердых стенках следует подбирать исходя из анализа физических процессов, происходящих на этих стенках, но обязательно так, чтобы получающееся решение соответствовало марковской случайной функции Х(х,/) (перечислению всех таких условий посвящены работы Феллера, Дынкина и Вентцеля, упоминавшиеся вслед за уравнением (11.2)). Достаточно общим краевым условием на твердой стенке Z = 0 является условие
К22-|^- + ^=Й при 7 = 0, (11.56)
где р— постоянная размерности скорости; для общности мы допускаем здесь наличие гравитационного оседания со скоростью w, приводящего к добавлению к вертикальному турбулентному потоку примеси —^zz"^" потока —wb. Случай р = 0 соответствует «отражению» примеси от стенки, случай р = оо— «поглощению» примеси, а случай 0 < р < оо — промежуточной ситуации частичного отражения и частичного поглощения (более подробное обсуждение условия (11.56) см. в работах Монина (1956а, 19596) и Колдера (1961)).
Диффузия в поле однородной турбулентностии в поле простейших течений со сдвигом
Распространение примеси от источниковв случае однородной турбулентности
Вернемся к случаю диффузии в поле однородной и стационарной турбулентности с постоянной средней скоростью й = U (направленной, как обычно, вдоль оси ОХ\ = ОХу Направим оси координат ОХх = ОХ, ОХ2=ОУ и ОХ3 = OZ по главным осям
тензора дисперсии Dij^ = Г,(т)У/(т) (считая ось ОХ, одной из главных осей) и пренебрежем молекулярной диффузией по сравнению с турбулентной. Воспользовавшись тем, что плотность вероятности р(Х|х,/) турбулентности при всех т = / —/0 близка к плотности многомерного нормального распределения, для поля осредненной концентрации ^(Х,t), отвечающей начальному значению ^(Х, /о) = ФоМ, можно написать формулу
&(Х, 0 =1—ЗЙ5- Ш (х, у, г) X
[8л DXX (т) Dgy (т) Dzz (т)] _оо
у exn I—— х — ^т)2 ^—У)г^~г)21 ^г Ду д~ri । сух
ХеХр[2О^(т)2Руг,(т)Wzz (т) /йХйУ dZ' <IL&/7
Для решения любых вопросов, относящихся к осредненной концентрации ^(Х,/), здесь надо только знать дисперсии Dxx^, Dyy(x) и DZz^ компонент смещения жидкой частицы за время т, которые выражаются по формуле (10.31) через соответствующие лагранжевы корреляционные функции В^ (т), В^ (т) и В^)(т)» В частности, при t — /0 = т >> Т = max(7\, Tti, Tz), (где Тх, Ту и Tz — лагранжевы масштабы времени) можно полагать Dxx(x) = = 2и'2Тхх = 2КххХ, Dyy^ = 2-unTyx = 2KyyX и Dzz(x) = 2wnTzx = = 2/(zzt; при этом правая часть (11.57) будет решением уравнения
дб* । Т1 d'O* d20- ,j d20* Z1 t CQX
"di + U "дГ-^^’дХ2"^dZ2 ,(11.Do)
являющегося частным случаем уравнения (11.55). Если начальное условие имеет вид 'О’о(Х) = Q6(X) = Q6(X)6(K)6(Z) (мгновенный точечный источник в точке Х = 0), то распределение (11.57) будет описывать эллипсоидообразное облако примеси, концентрация которой убывает при удалении от центра по закону Гаусса. Центр облака находится в точке (Ux, 0, 0) (т. е. перемещается со средней скоростью течения), а максимальная концентрация (в центре) пропорциональна [/)>:>: (т)£^Дт)£)гг(т)]~1/2 (т. е., например, при х*>Т убывает с ростом х пропорционально т-3/2)^ Если 'О’о(Х) = Q6(X)6(Z) (мгновенный линейный источник вдоль оси ОУ), то облако примеси при любом х будет иметь форму цилиндра эллиптического сечения с осью на прямой X = Ux, Z = 0. В этом случае максимальная концентрация пропорциональна VDxx^Dzz^x^-^, т. е. при больших значениях х убывает пропорционально v1. При непрерывно действующем точечном источнике в точке X = 0 с постоянной производительностью Q следует пользоваться формулами (И.6') и (11.12), причем при X UT в последней из них без большой ошибки можно заменить Dn^ на 2Кцх. После этого интеграл по т в формуле (11.6') явно берется, и тогда получается соотношение
4л ( Куу KzzX2 + KxxKzzY2 + KxxKyyZ2)^^ X
ХеХР( 2Кхх l^k^x + Куу + Kzz)• (1L59)
Формула (11.59) описывает струю примеси, имеющую форму эллиптического параболоида, вытянутого вдоль оси ОХ. При X ^ ^/Y2 + Z2 эта формула может быть преобразована к виду
&(Х, Y, Z) «ехр, (11 -60)
4л kKyyKzz^ X К I 4Z V Куу Kzz )\ Х 7 показывающему, что на большом расстоянии от источника при фиксированных У и Z концентрация примеси убывает приблизительно пропорционально Х™\ а при фиксированном X и возрастании расстояния от оси струи вблизи оси она убывает экспоненциально. При стационарном линейном источнике на оси OY с производительностью Q (на единицу длины) формулы (11.8) и (11.12) при X^>UT (когда можно принять, что Dxx = 2Кххх, DZz = 2Kzzx) дают
Q iz Г^ / X2 . Z2 \'/2]^/ UX \
MX, Z)^по-Ао — —«Г"^—г—ехР>
^<KxxKzzyi2 V 2 \К2ХХ ' ^хх^гг) \ V\2KXX)
(11.61)
где Ко (z) — функция Макдональда (модифицированная функция Бесселя второго рода). В частном случае, когда UX ^ К$х и Z С X, решение (11.61) можно упростить, представив его в виде
6(Х, Z) «^.-^ ехр.(11.62)
’ 2^КмУХу'2 Ч 4KZZX)
Отсюда видно, что в случае стационарного линейного источника концентрация примеси в поле однородной турбулентности с постоянной средней скоростью убывает при Х->оо (и фиксированном Z) приблизительно пропорционально Х-гК
Продольное рассеяние примесив прямой трубе или канале
Рассмотрим теперь турбулентную диффузию в течении со сдвигом. Начнем с практически важного случая продольной диффузии примеси в прямой длинной трубе (или прямом канале). Важность этого случая связана с тем, что измерение скорости продольного распространения примеси в трубе часто оказывается наиболее доступным методом измерения средней скорости течения (и турбулентного, и даже ламинарного). По этой причине продольное рассеяние уже давно привлекало внимание экспериментаторов (см., например, исследования рассеяния при ламинарном течении в кровеносных сосудах и в стеклянных капиллярах, перечисленные в статье Тэйлора (1953), и работу Аллена
и Е. Тэйлора (1923) о рассеянии при турбулентном течении в трубе). Эксперименты, описанные в перечисленных работах, состояли в том, что в какой-то момент времени /0 в трубу в некоторой точке вводилась определенная масса примеси (т. е. имитировался мгновенный точечный источник). Затем на некотором расстоянии X от этой точки вниз по течению измерялось изменение во времени средней (по сечению трубы) концентрации примеси ^mW. В течение некоторого времени после введения примеси в трубу ее концентрация в точке X будет равна нулю. Пусть ^=^0 + ^0— момент, в который в точке X впервые обнаруживается примесь; тогда величина Un\ax = Х/т^ будет равна максимальной скорости течения в трубе (в случае осесимметричных труб — скорости на оси трубы). Средняя же скорость течения может быть определена по формуле U^ = Х[тх. где /о + т1 = Л— время, отвечающее некоторой характерной точке функции O^U)-
Согласно экспериментальным данным (полученным в прямых круглых трубах), продольное рассеяние примесей в трубах обладает следующими примечательными особенностями: 1) кривые •бт^. соответствующие достаточно большим (по сравнению с радиусом трубы /?) расстояниям X, оказываются приблизительно симметричными относительно своих максимумов, хотя распределение скорости течения по сечению трубы йх^ (где г — радиальная координата) не симметрично относительно средней скорости цсР; 2) если время Л = /о + ^/мСр соответствует максимуму кривой timt 0 > то Мер совпадает со средней скоростью UCp, определяемой как отношение объема жидкости, вытекающего из трубы за единицу времени, к площади ее поперечного сечения (иначе говоря, центр тяжести продольного распределения концентрации перемещается вниз по течению со скоростью Ucp; 3) ширина кривой йт^, определяемая как квадратный корень из отношения q2 = j (/ — /0)2 &m (t) dt ^^m^dt, увеличивается при возрастании расстояния X (или, что эквивалентно, времени л — X/U^ пропорционально Хх^ (или i1/2), т. е. дисперсия о^ имеет вид о^= 2KiTi, где Кх— некоторая постоянная; 4) величина К = = KXU^ которая играет роль эффективного коэффициента продольной диффузии, во много раз превосходит коэффициент радиальной (турбулентной или молекулярной) диффузии примеси. Наиболее любопытна особенность 2, которая показывает, что определение максимума кривой ^(О дает возможность измерить среднюю скорость Ucp, которая наиболее интересна для большинства гидротехнических приложений, и особенность 3, согласно которой, длина участка трубы (симметричного относительно точки Х=исрх\^ содержащего, скажем, 90 % (или 95%, или 99%) диффундирующей примеси, растет со временем как т’1/2,так что ее отношение к среднему расстоянию X = f7cpTi этого участка
от источника примеси непрерывно уменьшается. Поскольку участок, заполненный примесью, движется со средней скоростью С/ср, жидкость вниз по течению от этого участка, находящаяся у оси трубы* (и, следовательно, движущаяся со скоростью, превышающей t/cp), с течением, времени, догоняет, а затем и перегоняет этот участок.
Особенности продольного рассеяния примесей в трубах были теоретически проанализированы (и проверены экспериментально) в работах Тэйлора (1953, 1954а, б), первая и третья из которых посвящены ламинарным, а вторая — турбулентным течениям. Опубликование этих работ обострило интерес к рассматриваемому явлению и способствовало появлению большого числа примыкающих сюда новых теоретических и экспериментальных исследований (см. работы Бэтчелора, Бинни и Филлипса (1955), Ариса (1956), Элдера (1959), Эллисона (1960), Сафмена (19626), Тилдсли и Уэллингтона (1965), Лайтхилла (1966), Фишера (1973, 1976), Чатвина (1977), Р. Смита (1977, 1987, 1990), Марона (1978), Фишера и др. (1979), Ясуда (1984), Чиквенду и Оджиа- кора (1985), Чатвина и Аллена (1985), Чиквенду (1986), Фран- кела и Бреннера (1989), Стокса и Бартона (1990) и др., где можно найти много добавочных ссылок). В этих исследованиях классические результаты Тэйлора были уточнены и дополнены в ряде отношений, а область их применимости заметно расширена (так, например, было изучено продольное рассеяние примеси при малых и умеренных значениях t— /о; см. Лайтхилл (1966), Чатвин (1977), Дьюи и Салливан (1982)) и выводы теории были сопоставлены со множеством новых данных (в частности, с данными о рассеянии примесей в атмосфере и гидросфере Земли — см., например, Сафмен (19626), Тилдсли и Уэллингтон (1965), Боуден (1965), Фишер (1976), Р. Смит (1977), Фишер и др. (1979), Чатвин и Аллен (1985)).
В работах Тэйлора и его последователей было показано, что перечисленные выше свойства 1—4 продольного распространения примеси можно просто объяснить исходя из общих соображений о движении жидких частиц в прямых трубах и каналах. Как отмечалось в конце п. 10.3, продольное перемещение жидкой частицы в прямой трубе (или канале) при не слишком малом времени т = /—t0 подчиняется тем же закономерностям, которые справедливы в случае однородной турбулентности в течении с постоянной средней скоростью u = Uc^. Следовательно, среднее значение продольной координаты Х(/0 + т) жидкой частицы, находившейся в момент /0 в точке X = 0, при большом т весьма точно определяется соотношением Х(/0 + т) ^ (/сРт, а дисперсия координаты Х(/0 + т) имеет вид (X— X)2 ^ 2Кт, где К = const (в п. 10.3 эту постоянную мы записывали в виде U\T\Y Центральная предельная теорема теории вероятностей дает основания предполагать, что при больших т плотность вероятности pi(X|r) для значений Х(/0 + т) будет близка к плотности нормального
ния жидкой частицей фиксированного участка трубы длиной Х„ния жидкой частицей фиксированного участка трубы длиной Х„то TW = V^xJто TW = V^xJраспределения вероятностей. Отсюда вытекает, что продольное распределение облака примеси от мгновенного точечного источника через большое время т будет иметь колоколообразную «гауссовскую» форму со средним значением £/СрТ и дисперсией 2Лт. Если фиксировано нс т = t— /0, а X и т(Х)—время прохожде
ния жидкой частицей фиксированного участка трубы длиной Х„
ния жидкой частицей фиксированного участка трубы длиной Х„
то TW = V^xJ
то TW = V^xJ
, где Vr(X) — средняя лагранжева скорость час
тицы за время от /0 до /о + т(Х). Поскольку при возрастании X пульсации времени прохождения т(Х) становятся все менее существенными, а т(Х) приближается к X|J7Cp, при достаточно большом X распределение вероятностей средней за время т(Х) лагранжевой скорости будет с высокой степенью точности совпадать, с распределением вероятностей средней за время Х|1/Ср лагран
жевой скорости Vxiucp= X^t0 + X/U^ (Ucp/X). Однако X(t0-V* + X/Uc^ = X, т. e. X(/o + X/Ucp) = X + X'\ следовательно, при достаточно большом X
<1L63>
Пренебрегая слагаемым (ХуХ)2 и последующими слагаемыми более высокого порядка малости, при больших значениях X получаем:
т(Х)«^-^,(11.64)
иср иср
где Хг— нормально распределенная случайная величина с нулевым средним значением и дисперсией 2К(Х/’Ucp). При этом и сама величина т(Х) будет иметь нормальное распределение вероятностей, но со средним значением x=X/IJQp и дисперсией 2Кхт, где Ki = KfU2p> что вполне соответствует эмпирически установленным свойствам 1—3 продольного рассеяния примеси. Свойство 4 также имеет простое объяснение, так как продольная дисперсия примеси вызывается в первую очередь влиянием сдвига скорости, т. е. порождается разностями скоростей й^—^ср, заметно превосходящими турбулентные пульсации продольной скорости uf = и^—й(г), приводящие к турбулентной диффузии, и тем более молекулярные флюктуации, вызывающие молекулярную диффузию.
В рассматриваемом случае продольного рассеяния примесей б трубе или канале значение К можно довольно точно оценить, воспользовавшись полуэмпирическим уравнением турбулентной диффузии для эйлерова поля концентрации ^(Х,/)—именно этот путь исследования и был применен в работах Тэйлора. Поскольку задача состоит в изучении асимптотических закономерностей при большом т (или X), полуэмпирическое уравнение здесь является достаточно точным, причем одна и та же теория может быть применена к рассеянию и в турбулентных, и в ла-
минарных течениях (в последнем случае приближенное полуэм- лирическое уравнение заменяется точным уравнением молекулярной диффузии (11.1)). Следуя Тэйлору (1953, 1954а), предположим, что средняя концентрация Ф нс зависит от угловой переменной ср, и поэтому запишем уравнение диффузии (11.55) (или в ламинарном случае уравнение (11.1)) в виде
— Кхх -5^2 А" ~ Г^гг ^ -др. (П.65)
Далее будет удобно перейти к системе отсчета, движущейся со средней скоростью течения, т. с. заменить продольную координату X на х = X— Ucp^t — /о); кроме того, вместо г введем безразмерную радиальную переменную z = r]R, где R— радиус трубы. Ориентируясь на особенность 4 продольного рассеяния примесей в трубах, пренебрежем в уравнении (11.65) слагаемым Лхх -^у, описывающим продольную диффузию примеси. Тогда уравнение (11.65) в переменных х, г, t примет вид
5$ I Г ~\ ТТЛ 5$11 д IZ Г X ^^/11
~дГ + [^Х (2) — t/ср]г^тт "дх **6$)
Будем использовать это уравнение для описания распределения концентрации А (х, z, /), соответствующего мгновенному точечному источнику в момент t = tQ в точке х = z = 0. Предварительно сравним интервалы времени т^ и т^, в течение которых концентрация примеси в фиксированной точке может существенно изменяться вследствие одного только переноса примеси осреднен- ным течением (конвекции) и одной только поперечной диффузии. Можно положить Хк = о^ где o^t) — стандартное отклонение распределения концентрации примеси по сечению трубы. С другой стороны, Xd есть время, в течение которого поперечная диффузия приводит к выравниванию неоднородностей распределения концентрации по сечению, и можно положить Xd = R2/K^ где Ко— типичное значение коэффициента поперечной диффузии. Ясно, что значение а^>т, а потому и т^, растет со временем т (асимптотически пропорционально т1/з), тогда как т^ не меняется со временем. Поэтому при достаточно большом т (т. с. х) будет выполняться неравенство Хк ^> т^, т. с.
(11.67)
Ограничимся рассмотрением лишь таких т, при которых выполняется неравенство (11.67), и вычислим значение Qi полного потока примеси через сечение трубы х = const (напоминаем, что х = X—U^px, так что сечение х = const движется вдоль трубы со скоростью (/ср). Очевидно,
1
Q. = И ^(г) - ^ о ds = 2я^2 ( 1йх(2) - t/ej ^z dz, (И .68) sо
где 5 — сечение трубы; отсюда видно, что Qi может быть отлично от нуля лишь при наличии радиальных неоднородностей поля концентрации *0*. При условии (11.67) радиальные неоднородности быстро выравниваются; поэтому достаточно длительно могут существовать лишь слабые неоднородности, постоянно создаваемые неоднородным конвективным переносом примеси и «приспосабливающиеся» к этому переносу в том смысле, что в них эффекты конвекции и поперечной диффузии уравновешиваются. Такие неоднородности удовлетворяют уравнению
(И-69>
(в левой части мы заменили dti/dx на д^т/дх вследствие малости радиальных неоднородностей О'— От). Отсюда получаем
2
(г) = 6 (0) + R2 ^ | ^т^ту j [й, (2") - С7ср] z" dz".
После этого формула (11.68) приводится к виду
Q1 = -nR2K^,
где
2Z*
К = -2R2 ( [йДг) - Уср] 2 dz J -ТГ^ТТГГ J [Йх (2") - t/ep] 2" dz" =
6 z ^zz {z * 0
Г 1I2
= 2R2 j ^^y j [Йх (2') - Ocp] 2' dz' I .(11.70)
Подставляя выражение для Qi в уравнение
R2 д^,+^_== о,dt 1 dx
выражающее закон сохранения примеси, получаем:
д^т tz д2^тdt дх2 е
Отсюда видно, что продольное рассеяние примеси относительно ПЛОСКОСТИ, движущейся ВДОЛЬ трубы СО скоростью Оср, происходит аналогично молекулярной диффузии (в частности, оно также приводит к гауссовскому распределению концентрации по направлению Ох), но с коэффициентом диффузии Ку определяемым формулой (11.70). Следовательно,пространственная дисперсия продольного распределения примеси равна 2K^t— /0), и, значит, о^ = 2^т, где ^l = ^|Ocp, x = t — /0. Учитывая, что» согласно (11.70), К есть величина порядка U^R^/Kq, условие (11.67) можно привести к виду
x>R2IK0.(Н.71>
Остается вычислить значения коэффициента К для ламинарных и для турбулентных течений. В первом случае в формуле (11.70) для К в соответствии с формулой (1.23) следует положить йх^ = 2(/ср(1—z2) и принять Кгг = ь гДе X— коэффициент молекулярной диффузии. Тогда формула (11.70) для К приводится к виду
р2/72
K = ^f>Ш-72)
К /1 RU™ \2 о„
так что у—* ^а исключением чрезвычайно медленных течений в особо тонких капиллярах, число 1/7/?{7сР/х значительно превосходит единицу, так что К^>^. При учете также и молекулярной диффузии, т. с. при сохранении слагаемого
-^г в уравнении (11.65), вместо (11.72) получилась бы формула ^ =/?2[/сР/48х + X, на практике почти нс отличающаяся от формулы (11.72).
Если скорость и^ была бы постоянной, то продольная диффузия определялась бы лишь значением коэффициента х; таким образом, сдвиг скорости приводит к резкому увеличению продольной дисперсии примеси. Любопытно, что поперечная диффузия, наоборот, задерживает продольное рассеяние примеси: согласно формуле (11.72), с увеличением х значение К уменьшается. Если бы поперечной диффузии нс было, то распределение примеси, вначале сосредоточенное на участке трубы малой длины 6Х (и равномерное по сечению трубы), за время т превратилось бы в равномерное распределение, при котором ^т (^) = const на участке длиной £ЛпахТ, и фт(Х) = 0 вне этого участка. При наличии же поперечной диффузии оно превращается в гауссовское распределение, в котором почти вся примесь сосредоточена на участке трубы длиной L ~ ^Кх, при достаточно большом т весьма малой по сравнению с UmaxT.
Поскольку значение К нетрудно определить экспериментально с помощью измерений концентрации ^(О или 'От(Х), использование формулы (11.72) открывает возможность измерения коэффициента молекулярной диффузии х- Этот метод был проверен Тэйлором (1953), экспериментально исследовавшим диффузию марганцевокислого калия в стеклянных капиллярах и получившим значение коэффициента молекулярной диффузии этого вещества, хорошо согласующееся с данными других измерений. Обсуждению такого метода измерения х посвящена также статья Тэйлора (19546).
В случае турбулентного течения с достаточно большим числом Рейнольдса (таким, что толщина вязкого подслоя составляет пренебрежимо малую долю радиуса R) осредненную скорость их (г) можно задать с помощью «закона дефекта скорости» (6.50):
йх (0) — йх (г) ( г \и* ”r)»
где и*— «скорость трения», определяемая по напряжению трения на стенке. Учитывая, что турбулентное напряжение трения в круглой трубе имеет вид т = рм^- (см. формулу 6.17х)), и допустив, что турбулентный коэффициент диффузии совпадает с турбулентным коэффициентом вязкости, можно представить радиальный коэффициент диффузии в виде
Используя значения функции Л('П)» полученные по измерениям Никурадзе и других исследователей, Тэйлор (1954а) получил по формуле (11.70) значение К = 10,06Ru* (так что в формуле (10.39) с ^ 10). К этому значению К нетрудно ввести поправку за счет продольной турбулентной диффузии, вычислив соответствующий поток примеси через сечение трубы:
= К,,№^dS = -Ы? J (г) г dz. (11.73)
Для грубой оценки можно принять, что КXXН=К„(г); тогда Qi =—^R2^”^ ’ ?№ численное интегрирование даст значение К' = 0,052Ru*. Величина К7 очень мала по сравнению с К, но поскольку для /С/Ru* удастся получить лишь приближенное значение, целесообразно все же добавить указанную выше оценку К' к полученному выше значению К, т. е. принять формулу
^=10,lRu*. (11.74)
Формула (11.74) хорошо согласуется с эмпирическими данными. Так, например, данные Аллена и Е. Тэйлора (1923) о диффузии соли в воде в прямых круглых (но не очень длинных) трубах, приводят к значению ^Ru*= 10,6 для одной серии экспериментов и A/Ru*=ll,7 для другой (см. Тэйлор (1954а)). В аналогичных опытах самого Тэйлора (проводившихся при участии Эллисона), в которых использовалась значительно более длинная гладкая труба, при условиях, наиболее точно соответствующих описанной выше теории, было получено значение K/Ru* = 10,0; при использовании же трубы с сильно шероховатыми стенками оказалось, что Д'/Ru* =10,5. Зависимость концентрации йт от времени t во всех перечисленных опытах на достаточно большом расстоянии от источника примеси близко соответствовала гауссовской кривой (см., например, рис. 11.2, воспроизводящий данные одного из опытов Тэйлора). В случае же изогнутых труб или, например, промышленных нефтепроводов, никогда нс бывающих идеально прямыми, значения Д/Ru* оказываются заметно отличающимися от теоретического значс-
ния для прямых труб; в ряде случаев здесь /</Ru* принимает значения, близкие к 20 (Тэйлор (1954а)).
1,61,82,02,2 t с1,61,82,02,2 t сАналогично может быть рассмотрена задача о продольном распространении примеси в широком прямом канале, ограниченном стенками Z = 0 и Z = Н (роль верхней стенки может играть также свободная поверхность жидкости). Эта задача рассматривалась, в частности, в работах Элдера (1969), Эллисона (1960), Сафмена (19626), Тилдсли и Уэллингтона (1965), Боудена (1965), Фишера (1973, 1976), Чатвина и Аллена (1985), Чик- венду и Оджиакора (1985), Чиквенду (1986) — в третьей и четвертой из них в каче-
1,61,82,02,2 t с
1,61,82,02,2 t с
в атмосфере при на- цего подъема примесив атмосфере при на- цего подъема примесиРис. 11.2. Зависимость концентрации соли в фиксированном сечении прямой трубы от времени по данным Тэйлора (1954а).
в атмосфере при на- цего подъема примеси
в атмосфере при на- цего подъема примеси
стве модели распространения личии инверсионного слоя, нс
выше некоторой высоты //, а в работах Фишера, Боудэна и Чатвина и Аллена в связи с изучением перемешивания примесей в гидросфере Земли. В первых двух из перечисленных здесь работ к исследованию рассеяния примесей в открытом плоском канале (со свободной поверхностью на высоте //) прилагается метод Тэйлора, а в третьей — изящный метод моментов Ариса (1956), о котором будет сказано немного ниже; Тилдсли и Уэллингтон опирались на численное интегрирование полуэмпириче- ского уравнения диффузии; Фишер (1973) дал обзор значительного числа как теоретических, так и экспериментальных исследований продольного рассеяния в открытом канале, а в работах Чиквенду предложена некоторая модификация метода Тэйлора — Элдера, позволившая добиться лучшего согласия с экспериментальными данными Фишера.
Метод Ариса (1956) использует полуэмпирическое уравнение диффузии (11.56) (или же уравнение молекулярной диффузии (11.1)) для получения уравнений для моментов распределения примеси
enm(Z, 0= J ( »(^, У, Z, t)XnYmdXdY. (11.75)
Например, в случаях когда т = 0, а п равно 0, 1 или 2, и используется уравнение (11.55), эти уравнения будут иметь вид
<1L76>
T-^^.^)-6^)6-<1L76-)
Sr —$z (K= T?-)=ж"W^A-mme„;(11.76")
аналогично выглядят и уравнения для моментов 0оь Он, 0О2 и моментов высших порядков.
Полученные уравнения можно решать последовательно при начальных и граничных условиях, следующих из условий для концентрации ^(Х,/). Асимптотическое поведение решений будет описывать среднее распределение примеси при больших значениях t в плоскости Z = const (т. с. в тонком слое, окружающем высоту Z) с точностью до моментов того порядка, на котором была оборвана система уравнений для величин (11.75). Аналогично этому асимптотическое поведение величин 0лт(/) = н
= ^&nm(Z,t)dZ будет с той же степенью точности описывать о
среднее распределение примеси во всем трехмерном объеме, занятом жидкостью. Окончательные результаты, получаемые на этом пути, оказываются такими же, как и при применении метода Тэйлора. Согласно этим результатам, если примесь была внесена в поток в момент t = t0 в точке (О, О, Z), где 0 Z Я, и она нс поглощается стенками, то центр тяжести облака примеси в момент / = /о + т асимптотически (при больших значениях т) н
будет иметь координаты ((/сРт, 0,///2), где ^ср =-^ j u^dZ,
т. е. будет горизонтально перемещаться вдоль оси ОХ со скоростью [7ср. По вертикали примесь будет распределена асимптотически равномерно (любой слой жидкости фиксированной толщины AZ при большом т будет содержать одно и то же количество примеси), причем центр тяжести примеси в каждом слое будет перемещаться с асимптотически постоянной скоростью [/Ср (но в разных слоях координаты центра тяжести примеси будут при больших т различаться на постояннную величину, зависящую от значений Z и формы профилей m(Z) и /<zz(Z)). Распределение примеси в плоскостях X = const в момент [о + т будет при большом т близко к распределению Гаусса с нулевым средним значением и дисперсией
н
^ = 2Л> +const.(IL77>
Распределение же примеси в плоскости У = const будет близко к распределению Гаусса со средним значением X ~ [/срт и дисперсией
^ = 2Кхт + const, Кх = К + (Кхх\р, (11.78)
где
н1 f dZн j Kzz (Z)н1 f dZн j Kzz (Z)- H-12
н
1 f dZ
н j Kzz (Z)
н
1 f dZ
н j Kzz (Z)
j [/2 (Z') - t/cp] dZ'\
H
(11.79)(11.79)(Axx)cp = “^ j КXX (Z) dZ
(11.79)
(11.79)
(cp. (11.70)). Дисперсия распределения примеси по направлению ОХ в тонком слое вблизи фиксированной высоты Z также будет иметь асимптотическую форму (11.78), но постоянное слагаемое, вообще говоря, будет зависеть от Z.
Сафмен исследовал продольную диффузию в плоском канале между двумя твердыми стенками, рассматривая такой канал, как возможную модель приземного слоя атмосферы при наличии на высоте Н инверсионного слоя, преграждающего подъем примеси выше этой высоты. Поскольку эта модель является довольно грубой, профиль скорости ветра zz(Z) он описывал лишь схематически: кроме ламинарного течения Куэтта, когда Z7(Z) = 2Z
= иср, Kzz = X = const и, следовательно, согласно (11.78) — (11.79)
^со^2
^=^г + х--(1L8°)
им был разобран еще случай, когда «(Z) = (а 4~ 1) (^/^)°^ср, где а = const, и Kzz(Z) = -,.. jy . В этом случае интеграл в первой формуле (11.79) также берется в явном виде и получается
Кх =ЕР+(^х)ср.(11.81)
(а + 2) (За + 2) i?1 '7 рv 7
Элдер рассмотрел диффузию в канале со свободной поверхностью на высоте Z = Н и сравнил результаты с данными экспериментов по расплыванию капель раствора марганцевокислого калия в потоке воды, текущей в слегка наклонном лотке. Здесь уже требовалось подобрать профиль средней скорости, соответствующий течению в лотке; результат оказался весьма чувствительным даже к небольшим изменениям этой формы. В работе Элдера предполагалось, что профиль скорости в канале дается логарифмической формой «закона дефекта скорости» с постоянной Кармана х = 0,41; если значение Kzz снова определять с помощью аналогии Рейнольдса (т. е. приравнять его турбулентной вязкости) и принять, что Кхх = KVy = Kzz, то получим:
(К* = ШххХр = 0,068Яи*, К = 5,86Я«*,
Кх = (5,86 4- 0,068) Ни* = 5,9377м*.(11.82)
56156136 Заказ № 303
561
561
Согласно данным измерений Элдера, КУ1Ни* = ^К^с^Ни*» ^ 0,23, что приблизительно втрое превосходит значение (11.82); возможным объяснением этого расхождения может служить несправедливость гипотезы о равенстве коэффициентов Ках, Куу и Kzz- Если принять, ЧТО Кхх = КУУ> Kzz_ (напомним, что и w'2 обычно оказывается меньшим, чем и/2 и и/2 ср. п. 6.3), то тогда Кх = (5,86 + 0,23) Ни* = 6,1 Ни*. Это значение хорошо соответствует полученной Элдером экспериментальной оценке Кх/Ни* = = 6,3. Согласие теории с экспериментом здесь оказалось даже лучшим, чем можно было бы ожидать, так как в опытах Элдера Re и т принимали недостаточно большие значения; по мнению Эллисона (1960), это согласие вообще надо считать случайным, так как около свободной поверхности логарифмическая форма закона дефекта скорости нс может служить хорошей аппроксимацией. Эллисон повторил расчеты Элдера, задав профиль скорости формулой (6.62'); при этом значение Кх/Ни* оказалось существенно зависящим от значения коэффициента b в этой формуле, причем экспериментальным данным Элдера лучше всего соответствует значение 6=1,4. Однако позже Фишер (1973) составил сводку результатов значительного числа новых измерений (в том числе и своих собственных) продольного рассеяния в открытом канале, показывающую, что значение отношения Кх/Ни* здесь зависит от шероховатости нижней стенки и в разных опытах варьирует от пяти до пятнадцати. Согласно расчетам Эллисона (1960), Боудена (1965) и Чатвина (1971), этот разброс вполне можно объяснить различиями в форме профиля u(Z); большую сложность, однако, представляет объяснение результатов измерений в лабораторных и природных трехмерных течениях воды, где значения Кх/Ни* иногда оказываются в тысячу раз большими, чем в опытах Элдера.
В связи с этим последним обстоятельством Фишер (1973, 1976), Чатвин и Аллен (1985) рассмотрели некоторые приближенные методы обобщения тэйлоровского подхода на трехмерные течения. В то же время Чиквенду и Оджиакор (1985) предложили разбить двумерное течение в открытом канале на две зоны («медленную» около стенки и «быструю» в верхней части канала), связанные вертикальной диффузией через разделяющую их границу, и применить затем метод Тэйлора к каждой из зон в отдельности; на этом пути они сумели получить хорошее согласие с экспериментальными результатами Фишера. Дальнейшему обобщению такого подхода посвящена работа Чиквенду (1986), но на этом мы уже нс будем задерживаться.
Диффузия в свободных турбулентных течениях
Теоретическое изучение диффузии в струях или следах с помощью полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии осложнено тем, что при этом приходится привлекать дополнительные гипотезы, позволяющие определить зависимость коэффи- 562
циентов турбулентной диффузии (и средней скорости й) от пространственных координат. Обычно здесь используются тс или иные полуэмпиричсскис теории турбулентного обмена (опирающиеся, например, на понятие пути смешения). Получаемые результаты часто оказываются вполне удовлетворительными с точки зрения практики (см., например, Хинце (1963), Абрамович (I960)), но теоретически они нс очень обоснованы и мы не будем их рассматривать.
Когда исследуется распределение примеси в плоскости X =' = const вниз по течению за непрерывным точечным или линейным источником на малом расстоянии от него (по сравнению с масштабом L=UT), ряд результатов можно получить, перейдя к переменным Лагранжа и пользуясь разложением лагранжевой скорости в ряд Тэйлора (10.78). Как заметил Хинце (1951, 1963), во многих случаях полезно уже первое приближение, согласно которому V(x, 0 = и(х,/0) +и'(х, А)), так что Х(х,/) = = х + (w + и') Vt—М и Z(x, t)=w'(t—/о), где й, и' и wr относятся к точке (х, /о). Отсюда следует что в установившемся течении со средней скоростью вдоль оси ОХ, координата Z^ жидкой частицы, вышедшей в момент /0 из точки х = 0, в момент достижения плоскости X = const, Х<£, в первом приближении равна
(11.83)
Если |«'|<й, то Z(X) ^ (^7^)^; поэтому распределение вероятностей для Z(X) лишь постоянным множителем отличается от распределения для ау'(О). Если, однако, значения и' меньше й, но не пренебрежимо малы, то
(11.84)
X и и2 х х ’
Отсюда можно выразить моменты случайной величины Z^X) через моменты эйлеровой пульсационной скорости uz = Vu^w') в точке х = 0, причем обычно можно ограничиться несколькими первыми членами ряда (11.84). В случаях когда формулы содержат моменты и' четвертого порядка, по-видимому, допустимо также заменить их комбинациями вторых моментов, приняв, что семиинварианты пренебрежимо малы (см. Бэтчелор и Таунсенд 0 956), Хинце (1963)). Несмотря на грубость таких расчетов, они неплохо описывают ряд наблюдавшихся Хинце и Ван дер Хегге Цийненом (1951), Корсином и Уберои (1950, 1951) особенностей распределения температуры в плоскости X = const в турбулентной струе, в которую в плоскости X = 0 помещалась нагретая проволочка. В качестве примера на рис. 11.3 приведено распределение температуры по опытам Хинце и Ван дер Хегге Цийнена, в которых в плоскую струю, вытекающую из узкого сопла, на расстоянии 100 мм от сопла и на 6 мм ниже оси струи вводилась тонкая проволочка, нагретая электрическим током до темпера-
туры 400 °C. Ось ОХ на рис. 11.3 выбиралась параллельной средней скорости у проволочки и проходящей через проволочку (начиная от которой измерялось расстояние X); значками обозначены данные измерений при разных значениях X. Распределение температуры оказывается асимметричным — вытянутым в область положительных значений Z, которым отвечают большие, чем при отрицательных Z, значения средней скорости. Этот результат со-
10-10-0.8-0.8-XX0505ол-ол-0,2-0,2-AА X +д6AА X +д67Д+А-7Д+А-~=0,C3S~=0,C3SXX
10-
10-
0.8-
0.8-
X
X
05
05
ол-
ол-
0,2-
0,2-
A
А X +д
6
A
А X +д
6
7Д+А-
7Д+А-
~=0,C3S
~=0,C3S
X
X
00
0
0
-0,6 -ОД -0,2 О 0,2 ОД 0,6 z/x
Рис. 11.3. Распределение температуры в нескольких се-чениях двумерной турбулентной струи, в которую по-мещена нагретая проволочка (по Хинце и Ван дерХегге Цийнену).
гласуется с формулой (11.84), поскольку в данном случае w' = О и u'w' < 0. Среднее значение распределения, приведенного на рис. 11.3, равно 0,036; такое же значение имеет —u'w'lu2 . Таким образом, в данном случае при вычислении среднего значения Z(X) = J ^JT^ZdZ^ О(Х, Z^dZ третьим слагаемым в правой части (11.84) можно пренебречь. Если бы мы попытались описать распределение температуры полуэмпирическим уравнением тур- булентной диффузии с постоянным коэффициентом Kzz, то в случае, представленном на рис. 11.2, получилось бы J ^^X.Z^ZdZ <С < 0, в противоречии с эмпирическими данными.
В другом крайнем случае очень большого X (очень большого времени диффузии т = /—/о) некоторые результаты могут быть получены на основе гипотезы автомодельности, рассматривавшейся в п. 6.8 и 10.4. Из них вытекает, что в случае непрерывного источника (около обтекаемого тела или сопла, из которого вытекает струя), распределения средней концентрации й в любых двух плоскостях X = const с достаточно большими значе-
ниями X будут подобными друг другу. Точно так же в случае мгновенного источника (также расположенного около тела или сопла и внесшего в поток примесь в момент t = t^ подобными будут распределения средней концентрации в трехмерном пространстве в два момента времени t, достаточно удаленные от /0. Естественно предполагать, что распределения будут симметричными, причем их максимум будет расположен около оси струи или следа в плоскости X = const (в случае непрерывного источника, расположенного близко от оси) или же около точки (Х(т),0,0), где Х(т) дается формулами п. 10.4 (в случае мгновенного источника). При этом результаты п. 6.8 и 10.4 позволяют определить зависимость максимальных концентраций ^(Х) или ^(т) от X или т.
Начнем с непрерывно действующего стационарного источника прим*еси и воспользуемся тем, что поток примеси через любую плоскость X = const должен быть постоянным. В случае турбулентного следа скорость переноса примеси по направлению ОХ вдали от обтекаемого тела практически равна скорости обтекаемого потока. В то же время размеры площади в плоскости X = const, на которой имеется заметный поток примеси от точечного источника в точке х = 0, в случае трехмерного следа за небольшим телом будут расти пропорционально L2 ~ Х2{\ а в случае двумерного следа за цилиндром — пропорционально* ЦХ) [D22(t)]V= ~ xv.[d22(^)] - X. в случае следа за цилиндром и линейного источника примеси (параллельного оси цилиндра) постоянными должен быть поток примеси на единицу длины оси OY; в плоскости X = const единичному отрезку оси ОУ отвечает прямоугольная площадка с заметно отличной от нуля концентрацией Ф, площадь которой пропорциональна L^X^ ~ XX. Поскольку концентрация примеси в плоскости X = const пропорциональна ^(Х), получаем:
S
X-2/s для точечного источника в трехмерном следе, X-1 для точечного источника в двумерном следе, Х-1/2 для линейного источника в двумерном следе.
(11.85>
Аналогичное рассуждение применимо к диффузии в зоне перемешивания двух плоскопараллельных течений и в турбулентных струях (включая конвективные струи). Теперь скорость й будет функцией от X, У и Z, причем при изменении X функция й(Х, У, Z) от У и Z подобна себе, а ее максимальное значение постоянно в плоской зоне перемешивания и двумерной конвективной струе и убывает пропорционально X-1 в трехмерной струе (бьющей в пространство, заполненное той же жидкостью), пропорционально Х-,/2 в двумерной струе и пропорционально X"1/» в трехмерной конвективной струе. Площадь части плоскости
X = const, на которой концентрация ^(Х, У, Z) заметно отлична от нуля, в случае точечного источника примеси в трехмерной струе растет пропорционально L2(X), в случае линейного источника в двумерной струе или зоне перемешивания — пропорционально L^Xy а в случае точечного источника в двумерном течении— пропорционально L(X) [^(тх)]^, где тх определяется по формулам (10.47) или родственным им из условия Х^тх^ = Х. Поскольку поток примеси пропорционален произведению концентрации на скорость и на площадь, соображения типа тех, которые приводят к (11.85), позволяют получить следующее:
1 X 1/2 для линейного источника в двумерной струе*, X-1 для точечного источника в трехмерной струе и для линейного источника в зоне перемешивания или двумерной конвективной струе,
x-3/2
Г"5'3
для точечного источника в двумерной струе,
для
точечного источника в трехмерной конвек-
тивной струе,
для
точечного источника в зоне перемешивания
1
или
двумерной конвективной струе.
(11.85')
В случае мгновенного источника постоянной должна оставаться общая масса примеси (или, если источник линейный, масса на единицу длины). Через время т размер вдоль оси ОХг облака примеси от мгновенного источника характеризуется масштабом VD^V11 (совпадающим с L[X(r)]). В силу результатов п. 10.4 для ^(т) получаем следующие формулы:
т-1 для точечного источника в трехмерном следе и линейного источника в двумерном следе,
т~4/3 для линейного источника в двумерной струе, т~3/2 для точечного источника в двумерном следе и трехмерной струе,
^т (Т) ~^т (Т) ~т~2 для точечного источника в двумерной струе и для линейного источника в двумерной конвективной струе и в зоне перемешивания,
^т (Т) ~
^т (Т) ~
т~9/4 для точечного источника в трехмерной конвективной струе,
т~3 для точечного источника в двумерной конвективной струе и зоне перемешивания
(11.86)
* Если не указано, что струя конвективная, то речь идет об обычной струе в заполненном той же жидкостью пространстве.
(основная часть результатов (11.85) — (11.86) принадлежит Бэтчелору (1957), а остальные — Яглому (1965)).
Диффузия в безграничном турбулентном течениис постоянным сдвигом
Рассмотрим диффузию примеси в безграничном течении с постоянным градиентом средней скорости йх^ и однородным и стационарным полем пульсаций и'(Х,/). В п. 10.4 мы видели, что в этом случае взаимодействие сдвига с поперечным рассеянием приводит к качественному изменению продольного рассеяния: продольная дисперсия Dxx\t^ становится асимптотически пропорциональной т3, а не т, как обычно. Поэтому вначале сферическое облако примеси в таком течении через некоторое время принимает форму вытянутого по направлению оси ОХ эллипсоидообразного веретена, большая ось которого слегка наклонена по отношению к плоскости Z = 0. Поскольку поле пульсаций и' однородно и стационарно, коэффициенты турбулентной диффузии постоянны в пространстве и во времени. Поэтому основные особенности диффузии можно выяснить, рассмотрев решение дифференциального уравнения
< + Г2^ = ^^- + Куу^ + Кгг^(11.87)
при начальном условии ti* (X, /0) = 6(Х). Нетрудно показать, что решение (11.87) представляет собой трехмерное распределение Гаусса с нулевым средним значением и вторыми моментами
DXx =^^zz^ + 2КХхт» Dtiу = 2КУуТ» Dzz = 2Kzzt,
d(11.88)
DXy = DyZ = 0, DXz= Г Kzz^2»где т = / — /о, т. e. оно имеет вид•
»(X, t0 + т) = (4лт)-3/2 \lKxx + Г2/<ггт712) KHtiKzzV х
X exo I-t£1 л J 88з
X Pl ^Кххт + Г2К22т3/3 4^ут 4KzztJ
(этот результат и некоторые его обобщения были опубликованы1 Новиковым (1958); позже более подробно он был рассмотрен Элриком (1962)). Метод Ариса (1956), опирающийся на уравнения (11.76) — (11.76") и т. д. для моментов распределения примеси, был приложен к той же задаче Смитом (1965), принявшим, что Кхх = 0. Он нашел, что распределение концентрации на фиксированной высоте Z при больших значениях t— /о = т имеет центром тяжести точку (Г2т/2,0) и дисперсии о»х = Г2А22т3/6 и о^ = 2КИИт, как это и должно быть в силу (11.88').
Формулы (11.88) и (11.88') наглядно показывают разницу между случаями Г = 0 и Г =# 0; они полностью согласуются
и с формулами (11.53), согласно которым, удвоенные коэффициенты турбулентной диффузии Кц равны производным в нуле от компонент тензора дисперсии Pij^. При сравнении с формулами (10.57), (10.57') и (10.58) видно, что новые результаты представляют собой асимптотический вид найденных раньше выражений для дисперсий Рц=Рхх и jDi3 = Pxz при т^>Т3 (причем, как обычно, Kzz = w'T3, Кхх = u'Ti).
Поскольку максимум плотности нормального распределения вероятностей обратно пропорционален квадратному корню из детерминанта матрицы дисперсий, концентрация -6*^(0 в центре облака примеси, созданного в момент / = /о мгновенным точечным источником, в поле однородной турбулентности со сдвигом с ростом т = /— /о будет убывать асимптотически пропорционально т“5/г (а не пропорционально т-3/2, как это было при постоянной средней скорости). Точно так же в случае мгновенного линейного источника на оси OY максимальная концентрация примеси будет убывать пропорционально т-2 (вместо т-1).
При более сложном, чем линейный, профиле средней скорости w(Z) в безграничном пространстве и зависимости коэффициентов турбулентной диффузии от координаты Z в случаях, когда эти зависимости задаются достаточно простыми формулами (например, если функции ZZ (Z), KXX(Z^ Kgg(Z) и Kzz^ являются степенными), особенности диффузии можно исследовать с помощью уравнений (11.76), (11.76'), (11.76") и т. д. для моментов Bnm^Zj). При этом оказывается, что взаимодействие вертикального сдвига с вертикальной диффузией приводит к горизонтальному рассеянию, как правило, при большом времени диффузии т=/— /0 много превосходящему обычную горизонтальную турбулентную диффузию с коэффициентом Кхх. Однако в безграничном пространстве горизонтальное рассеяние не сводится к простому увеличению коэффициента горизонтальной диффузии, как это было в случае течений в трубах и каналах, и приводит 2
к тому, что горизонтальная дисперсия о^х, оказывается пропорциональной более высокой, чем первая, степени т. Об этом мы более подробно будем говорить в следующем параграфе в связи с рассмотрением практически более важного случая диффузии в полупространстве Z > 0.
Диффузия в приземном слое воздуха
В литературе по турбулентной диффузии очень большое место занимают работы, посвященные диффузии в атмосфере. Наибольший интерес при этом представляет диффузия в приземном слое воздуха, непосредственно связанном с деятельностью человека. Здесь диффузия происходит в турбулентном пограничном слое (вообще говоря, термически стратифицированном), заполняющем полупространство над твердой или жидкой подстилающей поверхностью (которую будем предполагать однородной и примем за
плоскость Z = 0). Рассматривавшаяся выше модель диффузии в плоском канале между стенками 2 = 0 и 2 = Н может быть применена к диффузии в приземном слое воздуха при наличии на высоте Н мощного инверсионного слоя, приводящего к резкому уменьшению вертикального обмена на этой высоте (см., например, Раундс (1955), Сафмен (19626), Цейтин (1963), Тилдсли и Уэллингтон (1965)). Однако основной интерес для теории атмосферной диффузии представляет все же не эта модель, а случай диффузии во всем полупространстве 2 > 0.
Решения полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии,не учитывающие изменения ветра с высотой
Будем пока для простоты предполагать, что оси системы координат OXYZ, в которой направление ОХ совпадает с направлением среднего ветра й = й(2), совпадают с главными осями тензора коэффициентов турбулентной диффузии Кц = KiA^V Тогда полуэмпирическое уравнение диффузии принимает вид (11.55), и требуется еще задать зависимость от высоты скорости ветра й и коэффициентов диффузии Кхх, Куу и Kzz-
Качественные особенности решений, отвечающих различным типам источников примеси, можно выяснить на простейшем примере уравнения (11.55) с постоянными коэффициентами й, Кхху Куу и Kzz (см. (10.58)). Такое простейшее уравнение было исследовано Робертсом (1923). В этом случае рёшение, отвечающее наличию в точке Х = х безграничного пространства мгновенного точечного источника с производительностью Q, получается из формулы (11.12) заменой Хх на Хх— их и Du^—на 2К//Т. В случае диффузии в полупространстве 2 > 0 с краевым условием «отражения» ^d^/dZ = 0 при 2 = 0)' решение, отвечающее мгновенному точечному источнику в точке (0, 0, Н) в момент / =/о, описывается формулой
Цх, У, Z, 0= :По- X
1VKxxKyyKzzV^
^Кхх U — ^о)^Кхх U — ^о)У 2}
^Кхх U — ^о)
^Кхх U — ^о)
4Куу « — /о) 1 Х
Г(2—H)2tZ^-HV 1
(11.89>(11.89>Х[е ^('-'о) +е ««(‘"Mj.
(11.89>
(11.89>
При краевом условии «поглощения», когда О (X, У, 0, 0 = 0, решение будет отличаться от (11.89) тем, что при втором слагаемом в квадратных скобках будет стоять знак минус. Аналогично формулы (11.59) и (11.61) могут быть использованы для получения решений уравнения (11.58) в полупространстве Z>0 с поглощающей или отражающей примесь границей, отвечающих стационарному точечному или линейному источнику на высоте Z = Н. Эти решения можно упростить, воспользовавшись тем, что й^^и'^', и поэтому слагаемое й-^ почти всегда значи-
тельно превосходит «диффузионный член» —Кхх "5x2"="^у u'^ (см., например, оценки Кароля (1960), Уолтерса (1964) и Йорданова (1967), относящиеся к некоторым частным диффузионным задачам). Поэтому слагаемым Кхх в формуле (11.55) обычно можно пренебречь (что соответствует в формулах (11.59) и (11.61) переходу к пределу при Kxx-^OY При этом решение, отвечающее стационарному точечному источнику с производительностью Q в точке (0, 0, Н) и условию отражения примеси на границе Z = 0, принимает вид
й (Z — H^x 4K2ZX )й (Z — H^x 4K2ZX )+ exp(+ exp(й (Z + нухл4КггХ Л 1й (Z + нухл4КггХ Л 1(11.90)(11.90)«(X, У, Z) =%exp(-^^y)fexpf
й (Z — H^x 4K2ZX )
й (Z — H^x 4K2ZX )
+ exp(
+ exp(
й (Z + нухл4КггХ Л 1
й (Z + нухл4КггХ Л 1
(11.90)
(11.90)
В случае поглощения примеси на границе 2 = 0 следует заменить в последней формуле знак плюс в квадратной скобке знаком минус. Согласно (11.90) распределение примеси поперек направления ветра в горизонтальной плоскости задастся гауссовской функцией со средним квадратичным отклонением ^Kyy^f^V1^ пропорциональным Х1/з и обратно пропорциональным й1^. ПрИ возрастании X (и фиксированных У и 2) концентрация -б- убывает асимптотически пропорционально X-1 (как и в случае диффузии в поле однородной турбулентности в безграничном пространстве). В случае «отражения» примеси наибольшая наземная концентрация примеси
а—5— (Ы12
тах пейН2\Куу)
обратно пропорциональна квадрату высоты источника; она достигается при У = 0 на расстоянии от источника X = u№/^Kzz, прямо пропорциональном №. При краевом условии поглощения скорость поглощения примеси подстилающей поверхностью
убывает асимптотически пропорционально X-2. В этом случае наибольшая скорость оседания
„_ 4QKZZ°max ~ ^^„_ 4QKZZ°max ~ ^^
„_ 4QKZZ
°max ~ ^^
„_ 4QKZZ
°max ~ ^^
обратно^ пропорциональна кубу высоты и достигается при У = 0 и X = il№f%Kzz. Решение, отвечающее стационарному линейному источнику на прямой X = 0, Z = Н, производящему за единицу времени массу Q примеси на каждую единицу своей длины, при краевом условии «отражения» будет иметь вид
A(Y 7ЛQ ГсупГ uVZ-Hy\ / й^^нууу
^х-^-ШйХКг^хп *kzzx ;+expl 4Kzzx ;]
(11.91)
(в случае поглощения примеси поверхностью Земли снова надо заменить знак плюс на минус). Согласно формуле (11.91), наземная концентрация от линейного источника на больших расстояниях должна убывать пропорционально Х~хь.
Перечисленные результаты кажутся вполне правдоподобными^ но на самом деле они не согласуются с эмпирическими данными, полученными при многочисленных полевых исследованиях диффузии в приземном слое воздуха. Например, опыты показывают,, что наземная концентрация примеси, создаваемой стационарным точечным источником, при безразличной температурной стратификации убывает при удалении от источника приблизительно пропорционально X-2 (согласно Саттону (1958)—пропорционально X-1’8), но нс X-1; наземная концентрация от стационарного линейного источника при безразличной стратификации убывает пропорционально X-1 или Х-0»9 (Саттон (1958), Паскуил (1974)), но не Х“,/2. Данные опытов показывают, что ни при какой стратификации убывание наземной концентрации нс следует законам, вытекающим из формул (11.90) и (11.91) (см., например, Дикон (1949)). Таким образом, приходится заключить, что уравнение (11.58) непригодно для количественного описания процесса турбулентной диффузии в приземном слое воздуха.
Естественно попытаться обобщить используемую здесь модель, приняв разумные предположения о виде функций й^, Kxx^Z^ Kyy(Z) и Rzz^. Такие попытки предпринимались многими авторами и породили обширную литературу, представляющую в основном прикладной интерес.
Явное аналитическое решение нестационарных задач теории диффузии в полупространстве Z > 0 (легко сводящихся к нахождению формул для диффузии примеси от мгновенного точечного источника) в случае меняющейся с высотой скорости ветра z7(Z) до сих пор ни в одном случае получено не было. Поэтому при решении задачи о расплывании облака примеси, созданной мгновенным источником, всегда используются приближенные приемы. Чаще всего сначала исследуется процесс вертикальной диффузии примеси, т. е. определяется зависимость от времени суммарной концентрации на высоте Z, равной 0oo(Z’, 0 = = jj#(X, Y. Z, OdXdy (ср. выше формулу (11.75)), а после этого приближенно учитывается горизонтальная диффузия. Функция 0oo(Z, О удовлетворяет уравнению (11.76) вида
50оо _ Г1/ (Moldt ~ 52dZ
соответствующие начальные и краевые условия в случае мгновенного источника на высоте Z = H в момент / = /0 и «отражения» примеси на границе 2=0 имеет ВИД
0оо (Z, <о) = Q6 (Z —//),/^-^l=0, Ooo(Z, 0-^0 при Z-oo.
(11.92>
Таким образом, распределение примеси по вертикали не зависит от профиля ветра и коэффициентов горизонтального обмена и определяется единственной функцией Kzz^Z) (и высотой источника Ну Решения уравнения (11.76) при условиях (11.92) для некоторых функций Kzz^Zy пригодных для аппроксимации коэффициента вертикального обмена в приземном слое при различных метеорологических условиях, были найдены, в частности, Лайхтманом в 40-х годах; позже они исследовались и многими другими авторами (см., например, Монин (1956а)). При Kzz — K\Z такое решение имеет видо (7 м Q CXDf Z + H 1/J 2У^ 1 (1193) eOo(z, о — Кх (t_to) ехР[ К\ J/oLKi J’ ( L93)Таким образом, распределение примеси по вертикали не зависит от профиля ветра и коэффициентов горизонтального обмена и определяется единственной функцией Kzz^Z) (и высотой источника Ну Решения уравнения (11.76) при условиях (11.92) для некоторых функций Kzz^Zy пригодных для аппроксимации коэффициента вертикального обмена в приземном слое при различных метеорологических условиях, были найдены, в частности, Лайхтманом в 40-х годах; позже они исследовались и многими другими авторами (см., например, Монин (1956а)). При Kzz — K\Z такое решение имеет видо (7 м Q CXDf Z + H 1/J 2У^ 1 (1193) eOo(z, о — Кх (t_to) ехР[ К\ J/oLKi J’ ( L93)где /о — символ функции Бесселя от мнимого аргумента. Поскольку при безразличной температурной стратификации /Czz = axu*Z, где х^0,4, а = К-и1К= = 1,15 (ср. п. 6.3 и 6.7), решением (11.93) естественно пользоваться при отсутствии заметного вертикального градиента температуры. В случае наземного источника (т. е. при Я=0) формула (11.93) упрощается:где /о — символ функции Бесселя от мнимого аргумента. Поскольку при безразличной температурной стратификации /Czz = axu*Z, где х^0,4, а = К-и1К= = 1,15 (ср. п. 6.3 и 6.7), решением (11.93) естественно пользоваться при отсутствии заметного вертикального градиента температуры. В случае наземного источника (т. е. при Я=0) формула (11.93) упрощается:Ооо (Я, /) =, ^■ ехр ГА1 {t — to) LОоо (Я, /) =, ^■ ехр ГА1 {t — to) LZКХ (/- /о)ZКХ (/- /о)(11.93')(11.93')В более общем случае степенной зависимости коэффициента обмена от высоты, когда Kzz = KiZn, где 0 < п < 2 *, решение уравнения (11.76) описывается формулойВ более общем случае степенной зависимости коэффициента обмена от высоты, когда Kzz = KiZn, где 0 < п < 2 *, решение уравнения (11.76) описывается формулой*воо (Z, /)*воо (Z, /)Q(2 —n) Kt (t — to) Нп~1Q(2 —n) Kt (t — to) Нп~1ZVX-nMiН /ZVX-nMiН /z2-n _|_ H2-n(2 —п)2 К, «-М -z2-n _|_ H2-n(2 —п)2 К, «-М -X/ ,_„X/ ,_„2—п2 ^2Н~^-п^Кг V-t^2—п2 ^2Н~^-п^Кг V-t^(11.94)(11.94)при Н -> 0 отсюда получаемпри Н -> 0 отсюда получаемОоо (Z, О =7~гЧX(2 - п)п1^ Г (-2=у ) (К- (' - М]‘/(2~П)Ооо (Z, О =7~гЧX(2 - п)п1^ Г (-2=у ) (К- (' - М]‘/(2~П)ХехрХехрz2-n. (2-n)2 KtU-Mz2-n. (2-n)2 KtU-M(11.94')(11.94')
Таким образом, распределение примеси по вертикали не зависит от профиля ветра и коэффициентов горизонтального обмена и определяется единственной функцией Kzz^Z) (и высотой источника Ну Решения уравнения (11.76) при условиях (11.92) для некоторых функций Kzz^Zy пригодных для аппроксимации коэффициента вертикального обмена в приземном слое при различных метеорологических условиях, были найдены, в частности, Лайхтманом в 40-х годах; позже они исследовались и многими другими авторами (см., например, Монин (1956а)). При Kzz — K\Z такое решение имеет вид
о (7 м Q CXDf Z + H 1/J 2У^ 1 (1193) eOo(z, о — Кх (t_to) ехР[ К\ J/oLKi J’ ( L93)
Таким образом, распределение примеси по вертикали не зависит от профиля ветра и коэффициентов горизонтального обмена и определяется единственной функцией Kzz^Z) (и высотой источника Ну Решения уравнения (11.76) при условиях (11.92) для некоторых функций Kzz^Zy пригодных для аппроксимации коэффициента вертикального обмена в приземном слое при различных метеорологических условиях, были найдены, в частности, Лайхтманом в 40-х годах; позже они исследовались и многими другими авторами (см., например, Монин (1956а)). При Kzz — K\Z такое решение имеет вид
о (7 м Q CXDf Z + H 1/J 2У^ 1 (1193) eOo(z, о — Кх (t_to) ехР[ К\ J/oLKi J’ ( L93)
где /о — символ функции Бесселя от мнимого аргумента. Поскольку при безразличной температурной стратификации /Czz = axu*Z, где х^0,4, а = К-и1К= = 1,15 (ср. п. 6.3 и 6.7), решением (11.93) естественно пользоваться при отсутствии заметного вертикального градиента температуры. В случае наземного источника (т. е. при Я=0) формула (11.93) упрощается:
где /о — символ функции Бесселя от мнимого аргумента. Поскольку при безразличной температурной стратификации /Czz = axu*Z, где х^0,4, а = К-и1К= = 1,15 (ср. п. 6.3 и 6.7), решением (11.93) естественно пользоваться при отсутствии заметного вертикального градиента температуры. В случае наземного источника (т. е. при Я=0) формула (11.93) упрощается:
Ооо (Я, /) =, ^■ ехр Г
А1 {t — to) L
Ооо (Я, /) =, ^■ ехр Г
А1 {t — to) L
Z
КХ (/- /о)
Z
КХ (/- /о)
(11.93')
(11.93')
В более общем случае степенной зависимости коэффициента обмена от высоты, когда Kzz = KiZn, где 0 < п < 2 *, решение уравнения (11.76) описывается формулой
В более общем случае степенной зависимости коэффициента обмена от высоты, когда Kzz = KiZn, где 0 < п < 2 *, решение уравнения (11.76) описывается формулой
*воо (Z, /)
*воо (Z, /)
Q
(2 —n) Kt (t — to) Нп~1
Q
(2 —n) Kt (t — to) Нп~1
ZVX-nMi
Н /
ZVX-nMi
Н /
z2-n _|_ H2-n
(2 —п)2 К, «-М -
z2-n _|_ H2-n
(2 —п)2 К, «-М -
X/ ,_„
X/ ,_„
2—п
2 ^2Н~^-п^Кг V-t^
2—п
2 ^2Н~^-п^Кг V-t^
(11.94)
(11.94)
при Н -> 0 отсюда получаем
при Н -> 0 отсюда получаем
Ооо (Z, О =7~гЧX
(2 - п)п1^ Г (-2=у ) (К- (' - М]‘/(2~П)
Ооо (Z, О =7~гЧX
(2 - п)п1^ Г (-2=у ) (К- (' - М]‘/(2~П)
Хехр
Хехр
z2-n
. (2-n)2 KtU-M
z2-n
. (2-n)2 KtU-M
(11.94')
(11.94')
Более громоздкие формулы для 0Oo(Z, t) получаются при использовании функций K„(Z), составленных из двух аналитических выражений в различных интер- валах высот. В случае
(11.95)(11.95)( K\Zпри ^<Z<HX,
(11.95)
(11.95)
1 ^l^l= const при Z>HX,
аналитическое представление функции 0oo(Z, Г) в виде некоторого интеграла от цилиндрических функций было указано и численно исследовано Мониным (1956а); более сложная «двухслойная модель» Kzz^Zy составленная из двух степенных функций, рассматривалась Йордановым (1966, 1968а).
При выборе аналитической формулы для функции Кгг^ целесообразно перейти к безразмерным переменным
у ._ ^ т __ xU*^ ^ Кгг (Z)^ [ L | 0оо
(11.96)
где L— масштаб высот в приземном слое, определяемый формулой (8.12). Если коэффициент обмена для тепла совпадает с коэффициентом обмена для пассивной примеси, то в силу формулы (8.21) величина Л равенства (11.96) будет отличаться от числа Ричардсона Ri (или в случае неустойчивой стратификации от его модуля) лишь множителем а2 = (К^/Ку, который, по-видимому, часто не сильно отклоняется от единицы. Функция 0(£, Т) = 0(£, т/ц) будет определяться условиями
50 _ d д0де I
dt ~ д£ К д£’°’(11.97)
0-0 при 2-со, 0(2, 0)=д(£ —п).
которые уже не содержат никаких метеорологических параметров. При этом надо рассмотреть лишь два случая — неустойчивой и устойчивой стратификации, которым отвечают две разные функции К®. Удобно добавить сюда и случай безразличной стратификации (хотя его можно получить и предельным переходом при |L|->oo). В этом третьем случае целесообразно полагать К^=^ и применять формулы (11.93) и (11.93'). При неустойчивой и устойчивой стратификации достаточно ограничиться рассмотрением приближенных выражений для К®, позволяющих получить для 0(£, т/т)) явные формулы. В случае устойчивой стратификации при слабой устойчивости (или же произвольной, но когда интерес представляют лишь малые значения £), можно, следуя Лайхтману (1944) и Дикону (1949), приближенно описать К^) степенной функцией K\t>n с показателем п, немного меньшим единицы. При сильной устойчивости можно воспользоваться тем, что Л(£)=а0£ при g->0 и К^)-* aooIR при £->оо (см. главу 8), и применять функцию Л(£) вида (11.95). При слабой неустойчивости можно положить К (^ = К i^, где п немного больше единицы. При сильной неустойчивости более оправдана «составная» формула
К^ =К^ =«о I £ I«о I £ Iпри,при,(11.98)(11.98)|214/3 при -ос?,|214/3 при -ос?,
К^ =
К^ =
«о I £ I
«о I £ I
при,
при,
(11.98)
(11.98)
|214/3 при -ос?,
|214/3 при -ос?,
вытекающая из (8.51); этот случай изучался Йордановым (1966, 1968а). Наконец, при особо резкой неустойчивости (когда интересны значения |£|, превосходящие 0,05) можно положить, что К (С) = К\^^ и воспользоваться формулами (11.94) —(11.94') с п=4/3.
Полученные результаты позволяют описать вертикальную диффузию в приземном слое воздуха при любой температурной стратификации. Что же касается учета горизонтальной диффузии, то простейший метод заключается в том, что скорость ветра и^ и коэффициенты Кхх^ и Куу^ приближенно заменяются постоянными [/Ср, (Кхх)ср и (Луу) ср, равными средним значениям соответствующих функций от Z между верхней и нижней границами получающегося облака примеси (которые можно рассчитать по функции S^Z, t^Y При этом концентрация О(Х, У, Z, tY отвечающая мгновенному точечному источнику с производительностью Q в точке (0, 0, Я) в момент времени /=/о, в первом приближении представляется в виде
^(Х, У, Z, /)~^(Х, У, Z, /)~1
^(Х, У, Z, /)~
^(Х, У, Z, /)~
4л [(Лхх)ср (Л^)ср) ]^2 (^ — to)
ХехР1—та177—П•TiK" \ ' (t "/V^Z, О. (11.99)
(4 (Лхх)ср V — to) 4(Д^)Ср([ — to))
где 6oo(Z, /)—решение уравнения (11.76) при условии (11.92). Независимо от того, как определяются коэффициенты Кхх и КО1 при использовании формул вида (11.99) с постоянной средней скоростью ветра теряется важный эффект взаимодействия вертикального перемешивания с вертикальным сдвигом скорости. Отсюда ясно, что формула (11.99) и в приземном слое воздуха может быть применима лишь при сравнительно малых значениях /—/о.
Горизонтальное рассеяние,создаваемое сдвигом скорости ветра
Для того чтобы приближенно учесть влияние сдвига средней скорости на горизонтальное рассеяние, Сафмен (19626) воспользовался методом Ариса, при котором распределение примеси в плоскости Z = const описывается несколькими первыми моментами 0^(2, Z), задаваемыми формулой (11.75). В уравнениях (11.76) для моментов 6Оо, Ою, 020 и т. д. теперь краевое условие |~^ L я = 0 на верхней границе канала Z = H заменяется условием Qnm(Z, t)-^-0 при Z-^oo. Нас будет интересовать асимптотическое поведение облака примеси от мгновенного источника при t—/0->оо, так что можно ограничиться случаем наземного источника в точке (0,0, 0) (поскольку при наличии источника на конечной высоте Н эта высота будет заметно сказываться на рассеянии облака примеси лишь в течение ограниченного промежутка времени). Рассмотрим простейший модельный случай, когда z/(Z)=T2 и KZz(Z) = К = const. Искомым решением уравнения (11.76) будет 0OO(Z, O^ootZ.toH- т)=—^Т ехр(72/4/(т)
(jtat) 7 2
(буквой т здесь и ниже обозначается разность t — /0). Решение уравнения (11.76') для функции 0ю(2, /) должно быть пропорционально QF и, следовательно, в силу соображений размерности должно иметь вид
0IO(Z, /) = O.o(Z, ;0 + r) = QrT.«p10(Z/(/<T),/2). (11.100)
Здесь <рю(^)—универсальная функция, такая, что фю(^)-*0 при 5^ сю; с помощью уравнения (11.76') эту функцию удается явно выразить через ехр(—£2) и так называемые функции параболического цилиндра (см. Сафмен (19626)). Аналогично обстоит дело с функцией 02o(Z,/), описывающей дисперсию распределения примеси в плоскости Z = const по направлению оси ОХ. Согласно (11.76"), эта функция зависит и от коэффициента горизонтального обмена Кхх, точнее, она представляет собой сумму двух слагаемых, первое из которых зависит только от iZ(Z) и Кгг=К (но не ОТ Кхх), 3 Второе — ОТ Kxx^Z) и Кгг = К (НО не от w(Z)). Первое из указанных слагаемых пропорционально QF2 и поэтому в силу соображений размерности должно записываться в виде произведения Qr2/C-2(A’T)s/j<p2o(Z/(/(T)1/2); что же касается второго из них, то его общий вид может быть выписан, если Кхх представляет собой степенную функцию от Z. В част-
ности, если Кхх = Kv = const или Кхх = К* Z, где К* = const, то нужное нам решение уравнения (11.76) представимо в виде
(11.101)(11.101)020 (Z, #0 + Т) = (М'2 ф20 (+ХУ-г^УН np“ к"=к"«^ при K„ — K"Z-
(11.101)
(11.101)
Здесь ф2о(^), ф2о(£) и фзо(^) — затухающие на бесконечности функции, которые, как оказывается, тоже выражаются через функцию ехр(—£2) и функции параболического цилиндра. Аналогичные, но более сложные выражения могут быть получены и для моментов 0nm(Z, /) высших порядков (с п + т >* 2).
Согласно формулам (11.100), (11.101) и т. д., моменты распределения примеси в плоскости Z = const в момент времени У = /о + т представляют собой степенные функции от т, умноженные на функции от ^ = Z/ ^ Кт, принимающие конечные значения при £ = 0. Поэтому в любом слое 0 < Z < Н фиксированной толщины моменты распределения примеси во всех плоскостях Z = const при т-^оо имеют асимптотически одинаковую форму. Суммарное распределение примеси описывается функцией
000 (Z, /о + т) = —^e-Z2№-у ЯДТ
Эта функция не зависит от u(Z) и 7<XX(Z) и показывает, что толщина облака примеси имеет порядок У Кт; при этом если Н С
<С^Кт, то примесь почти равномерно распределяется по вертикали в пределах слоя толщиной Н (с постоянной вертикальной плотностью 0оо=ф/УлКт). Выражения для моментов 6io(Z, to+т)
и 02o(Z, to+т) при Z^aIKt, получающиеся после подстановки в формулы (11.100) и (11.101) явных выражений специальных •функций фю(^), ф2о(|), ф2о(|) и ф22о(£) и перехода к пределу £-►0, согласно Сафмену, имеют следующий вид:
о QPt л7 Qr2।
0.0020 -^--^(Кт) +
2QK1 7 т \1/2_
(11.102)(11.102)Ул Ш при —
(11.102)
(11.102)
+' QKVc.
"РИ Кхх = К7.
Отсюда вытекает, что координата X центра тяжести распределения примеси в нижнем слое (толщиной Н <С л/Кт) и дисперсия
о2 этого распределения по направлению ОХ имеют следующий вид:
п2 ^20 / 010 Y^хОоох боо /п2 ^20 / 010 Y^хОоох боо /
п2 ^20 / 010 Y^хОоох боо /
п2 ^20 / 010 Y^хОоох боо /
\ 3016 J1 х ~
ЗК^при Кхх = Кх
к: , (п.юз)
-^-а/яКтл при KXX = KVZ.
Мы видим, что центр тяжести распределения примеси в нижнем слое переносится средним течением по направлению оси ОХ с возрастающей скоростью 3 ^~ Г VКт. Дисперсия этого распределения складывается из двух слагаемых. Первое из них пропорционально Г2/(т3 (т. с. только постоянным множителем отличается от соответствующего слагаемого в выражении (11.88) для горизонтальной дисперсии облака примеси в безграничном пространстве); оно создастся взаимодействием вертикального турбулентного переноса с вертикальным сдвигом скорости. Однако численный коэффициент 7/30 — л/6« 0,036 здесь намного меньше, чем коэффициент в формуле (11.88), так что наличие стенки резко уменьшает горизонтальное рассеяние. Второе слагаемое в выражении для о^х описывает рассеяние, вызываемое турбулентными пульсациями горизонтальной скорости (т. с. турбулентной диффузией с коэффициентом Кхх). Это слагаемое при КХХ = К имеет обычный вид 2К1Т, а при Кхх = K*\Z оно зависит также и от Кгг = К (т. с. выражает взаимодействие горизонтальной и вертикальной диффузии) и пропорционально тк. В любом случае при достаточно больших т второе слагаемое пренебрежимо мало по сравнению с первым (имеющим порядок т3). Уравнение для бог (2,0 будет отличаться от (11.76,z) отсутствием члена с u(Z) (если средняя скорость при всех Z направлена вдоль оси ОХ). Поэтому дисперсия отбудет описываться вторым слагаемым формулы (11.103) для о^л. (с заменой Кхх на Кии), т. с. при больших значениях т будет много меньше, чем о^.Максимальная наземная концентрация 'О m = ^(т) (достигающаяся в точке (<Х>,0)) при т-^оо будет убывать асимптотически пропорционально т_5/2, если Ки,у = const, и пропорционально т-п/*, если Куу ~ Z. Все эти факты нс согласуются с упрощенной формулой (11.99); она неверна и в том отношении, что распределение примеси в плоскости Z = const при достаточно большом значении т = /— /0 и по форме нс напоминает распределения Гаусса. В самом деле, воспользовавшись аналогичными (11.100) — (11.102) соотношениями для момента 0ЗО, можно показать, что 63о ~ ~ -^ QPKt4 при достаточно большом т, откуда вытекает, что асимметрия распределения примеси по направлению оси ОХ при
фиксированном Z и т->оо не стремится к нулю, а приближается к единице.
Перечисленные результаты относились к простой модели, в которой w(Z)=FZ, Кгг = К=const. В других случаях при зависимости скорости ветра от высоты дело будет обстоять аналогичным образом. Наибольший интерес, разумеется, должно .представить исследование случая, когда
S(Z) = ^-ln(Z/Zo), Кгг = аии^
(диффузия в логарифмическом пограничном слое, в частности в нейтрально стратифицированном приземном слое), а также случаев, когда u(Z) и Kiz(Z) определяются формулами, рассматривавшимися в IV разделе в связи с изучением температурно-стратифицированного приземного слоя атмосферы.
Рассмотрим прежде всего, следуя Чатвину (1968), диффузию в нейтрально- стратифицированном приземном слое. Положим ^ (Z, Z, /) = j ^(Z, У, Z, t)dY, где Ф (X, У, Z, /)—средняя концентрация примеси от мгновенного точечного источника с производительностью Q в точке (О, О, Я) в момент /о; тогда ^(Х, Z, Ц— это также и концентрация примеси от мгновенного (в момент /о) линейного источника на прямой Х = 0, Z=H с производительностью Q на единицу длины. Полуэмпирическое уравнение диффузии, в пренебрежении продольной турбулентной диффузией (обычно играющей малую роль по сравнению с ролью переноса примеси средней скоростью) имеет вид
at ЧТ1" ZJ дХ — dZVU*Z dzr 4(11.104)
Ясно, что функция 0оо (2, /)= j ^(Х, Z, t) dX должна иметь вид (11.93). где К\ = хги*. Отсюда вытекает, что
<Z> = j 20оо (Z, t)dZ j 600 (Z, /) dZ = n'u* (r + H/u'u*), T = t — to.
(11.104')
Простейший вывод этой формулы основывается на уравнении d^Zyldt^^'u** вытекающем из (11.104) при начальном условии <Z$ = H при /—/о=О. При Я=0 формула для 6Oo(Z, /) существенно упрощается (см. формулу (11.93')), и результат (11.104') получается совсем легко (см. Эллисон (1959)).
Далее для простоты мы будем полагать, что Я=0 и Q=l. Тогда из формулы (11.93') легко получается
a^ = <[Z-(Z)]2> = j (Z - х'и,т)2 О^ (Z, 0^ = x'W. (11.104") о
Таким образом, центр тяжести облака примеси от мгновенного источника в пограничном слое поднимается с постоянной скоростью х'м*, а толщина облака, определяемая как его удвоенное стандартное отклонение, равна удвоенному расстоянию от центра тяжести до земной поверхности.
Изучение горизонтального рассеяния облака примеси оказывается более трудным делом. Тем не менее если рассмотреть величину (X) = j ХФ (X, —со 0
Z, t)dXdZ, то из формул (11.93') и (11.104) получаем
. х'и*тIn=— г^. х'и*тIn=— г^1 ,(11.105)1 ,(11.105)dW _uNx'u»/т еu*L
. х'и*т
In=— г^
. х'и*т
In=— г^
1 ,(11.105)
1 ,(11.105)
dt v.Zoe-"»’‘ "х
где у = —\ е-Х I*1 XdX = lim (1 + '/2 + • • • + V" — In n) « 0,58—так на- 0n ОО
зываемое число Эйлера. При Я#=0 вычисления усложняются; однако в этом случае Чатвин также получил точную асимптотику при /->оо;
’<Х)«-^ [in Х Ц* (т + -^-)~ 11.(11.105')
х [20е; X х'и» / J''
Вычисление величины о^ = <[-¥—(¥)]2? еще более сложно и требует громоздких алгебраических выкладок, но и в этом случае конечный результат Чатвина довольно прост:
^Цт-1)!"^)’ ке- Х«°.8-Т-«2^т.(11.105")
Все упомянутые результаты полностью согласуются с выводами из допущения о приложимости к лагранжевым характеристикам в нестратифицированном пограничном слое соображений размерности. Мы видим также, что приближенная полуэмпирическая теория диффузии позволяет оценить безразмерные универсальные константы в общих формулах (10.60), (10.61) и т. д. С той точностью, с которой справедливо полуэмпирическое уравнение диффузии (11.104), справедливы оценки Ь = % = ах « 0,47; с = be~v « 0,566; D33 (т) — х м2т2, т. е. ^33= = х «0,22; Dn (т) = (л2/б—1)м2т2/х2, т. е. ^н=(л2/б—1)х~2«4. О степени точности этих оценок еще будет идти речь ниже.
Заметим, что прямое сравнение приведенных выше результатов расчета диффузии в логарифмическом пограничном слое с формулами (11.103) не оправдано, так как последние формулы относятся к характеристикам распределения примеси только в тонком примыкающем к стенке слое (при Z <^ y^Y^Y Однако уравнение (11.104) может быть также использовано для вычисления зависящих от Z характеристик распределения примеси на заданной высоте Z:
<X(Z, t))=^ X»dxR*dX,
0=°°0=(11.105'")
^(2, 0 = j U-<X(Z, t)»2»dX J »dX.
0I —00
Ясно, что при t-^co любая фиксированная высота Z оказывается в пристенном •слое, и поэтому асимптотики при больших / и любом Z оказываются не зависящими от Z. Согласно расчетам Чатвина, при / = оо и любом Z
<XVZ,t^ = W-^;^(Z. t)« 0,6^-.(11.105"")
где <Х> дается формулой (11.105); эти результаты уже можно сравнивать с (11.103). Формулы (11.105"") показывают, что центр тяжести примеси на
любом заданном уровне отстает от центра тяжести. всего облака. Этого и следовало ожидать, так как при любом Z есть момент времени, после которого- почти вся примесь находится выше уровня Z и поэтому переносится по горизонтали быстрее, чем это происходит на высоте Z.
Аналогичных общих результатов для диффузии в термически стратифицированное пограничном слое не имеется. Однако при рассмотрении вертикальной диффузии в условиях сильной неустойчивости (как в случае, когда интересуют промежутки времени т, при которых основное время облако примеси проводит в слое свободной конвекции, где параметр и* не влияет на режим турбулентности, так и при меньших т, когда это облако в основном распространяется в динамико-конвективном слое, где и* не влияет лишь на вертикальные движения и вертикальную диффузию) можно использовать коэффициент диффузии Kzz^ вида (8.37) (с коэффициентом Сь который, вообще говоря, принимает разные значения в двух указанных случаях)- Поскольку здесь Кг,(Z)~ Z^1*, то, точное решение соответствующего уравнения для 0oo(Z, О может быть получено, из (11.94) и (11.94'). Легко показать, что средняя высота облака примеси, описываемого решением (11.94') с коэффициентом Кгг вида (8.37), и коэффициент а в формуле Яглома (10.79) задаются соотношениями
<Z> - -®- (АЛ’" (А. ^ а
277Срр Го/3V3nC^2
Рассмотрим теперь вкратце результаты Сафмена (19626), полученные при использовании аппроксимации всех вертикальных профилей степенными функциями. Предположим, что
u^=uxZm, KzzW = KZn, ь.(11.106)’
Кхх (Z) = K1Z\ Куу (Z) = K2Zl,
где uXl К, К\, К2 — постоянные и п < 2. В таком случае общий вид решений уравнений (11.76), (11.76'), (11.76") и т. д. (для случая наземного мгновенного точечного источника с производительностью Q в начале координат в момент / = /0) снова может быть установлен на основе соображений размерности. В частности, в уравнение (11.76) для 0Oo(Z, 0 теперь входит единственный размерный параметр К; поскольку из К, Z и т=/—/о можно составить единственную безразмерную комбинацию £ = Z (Л‘т) —, получаем:
Ooo(Z, t)=Q (КтГ1/(2-п)фоо(г(Кт)-1/(2-п)),(11.107)
где Фоо(£)—безразмерная универсальная функция (явный вид которой дается формулой (11.94')). Функция 0io(Z, /), согласно (11.76') и (11.104), должна быть пропорциональна Qux, а в остальном также зависит лишь от К, Z и т; следовательно, т—1
el0(Z, /) = Qi^t (Кт)"2””-фю (z (Кт)-1/*2-*)),(11.107')
где фю(^)—еще одна универсальная функция. Наконец, 02о в силу (11.76") и (11.104) представляется в виде суммы слагаемого, пропорционального Qu\, и слагаемого, пропорционального QK\, а 0О2 пропорционально QK2; поэтому
2^—1
020 (Z, о = Q“?T2 (^^ ф$ (Z (Кт)-1'*2-"’) +
+ QKxt kKx^ ч$ (z (Кт)-1/(2-п)),(11.107")
/-1
002 (Z, О = QK2t (Кт) ^ ф02 (Z (^)-1/(2-п>).
Поскольку ^(.Z, /)-^0 при Z —> оо. все функции Фоо(б)> Фю Ш - Ф20 (I) т. д. должны убывать при £->оо; в силу (11.107) отсюда вытекает, что тол-
щина облака примеси в момент /о + т должна иметь порядок (Кт)1^2 п\ В слое толщиной Н <С (KiV^2-^ распределение примеси будет практически независимым от высоты и будет иметь плотность
qOoQ
где
«оо = фоо (0) (т. е. «00 = (2 — п)-”712-”* | Г (у^-^
в силу (11.94').
При принятом нами предположении о том, что скорость u(Z) на всех уровнях параллельна оси ОХ (от которого, впрочем, при необходимости легко освободиться, введя в рассмотрение компоненту и (Z) = U|Zm* ), центр тяжести распределения примеси в этом слое будет иметь координаты
т
<Х>=Ъихт^Кт^, <Г>=0,(И.Ю8)
При том же предположении дисперсии распределения примеси в плоскости Z=const, где Z <^ VKxy*^~n\ будут иметь вид
2тkI
^ = bxir^ <ЛхУ^ ЛАК\хЦ<лГ^s^ — b^xW)42^,(11.108')
где b\, b2 и b3 — новые постоянные, а смешанный момент axy = <(Z—<Х»У> = -вп/^э —%ieio/eoo будет равен нулю (так как 0о1 = 6ц=0). Первое слагаемое первой формулы (11.108') снова описывает горизонтальное рассеяние, вызываемое взаимодействием вертикального сдвига скорости с вертикальным турбулентным переносом, а второе слагаемое той же формулы — обычную горизонтальную турбулентную диффузию. Ясно, что первый из этих эффектов при больших т будет преобладающим, если только 2/п + 2 — п > к. В приземном слое атмосферы последнее условие, по-видимому, всегда можно считать выполняющимся (так как при устойчивой или безразличной стратификации п ^ 1, и, по-видимому, п + к ^ 2, а при сильной неустойчивости п « 4/з, но коэффициент K^Z.V если только им здесь можно пользоваться, вряд ли будет заметно возрастать с высотой). Поэтому следует ожидать, что в атмосфере наличие вертикального сдвига скорости ветра всегда играет основную роль в горизонтальном рассеянии в течение сравнительно больших промежутков времени. Поскольку естественно думать, что Kyy(Z) приблизительно пропорционально Кхх№, в пренебрежении поворотом ветра с высотой рассеяние по направлению среднего ветра при больших т будет заметно превосходить рассеяние в перпендикулярном к направлению ветра горизонтальном направлении. Кроме того, дисперсия Оу оказывается заметно больше, чем средняя толщина облака (имеющая порядок (Кт)1^2-^)', поэтому облако примеси при больших т оказывается больше всего вытянутым по направлению среднего ветра.
Влияние сдвига скорости ветра на горизонтальное рассеяние примесей в приземном слое атмосферы обсуждается также в работах Хегстрема (1964), Смита (1965), Тилдсли и Уэллингтона (1965), где используются численные методы и лагранжев подход при сравнении теоретических результатов с экспериментальными данными. Тот же эффект в применении к простирающемуся до заметно больших высот пограничному слою атмосферы рассмотрел, в частности, Лей (1985).
Выше использовались лишь упрощенные модели термически стратифицированного приземного слоя атмосферы, в которых как скорость ветра, так и коэффициенты турбулентной диффузии считались степенными функциями высоты Z. На самом деле в таком слое функции u(Z) и K«(Z) (а также и Кхх^ и
Kyy(Z)) задаются некоторыми универсальными функциями от ^=Z[L (где L — масштаб длины (8.12)), определенная информация о форме которых имеется в IV разделе настоящей книги. Поэтому значительный интерес представляет изучение решений полуэмпирических уравнений диффузии с коэффициентами, определяемыми в соответствии с изложенной в IV разделе теорией подобия и имеющимися экспериментальными данными о характеристиках турбулентности приземного слоя атмосферы.
Ограничимся для простоты рассмотрением рассеяния облака примеси от мгновенного (порождающего примесь в момент /=/о) наземного линейного источника на прямой Х = 0, Z — 0 (или, что то же самое, изучением осредненных по прямым Х = const, У = const характеристик рассеяния примеси от мгновенного точечного источника в точке X = Y=Z=0y В этом случае коэффициент диффузии Куу не будет играть роли, и, кроме того, можно надеяться, что влиянием продольной диффузии (характеризуемой коэффициентом Кхх) здесь в первом приближении можно пренебречь по сравнению с продольным переносом примеси полем скорости. Тогда уравнение диффузии можно представить в виде
(ср. (11.104)), так что здесь нужны только значения функций u(Z) и Кгг^. Кое-какие аналитические решения уравнения (11.104'") известны лишь для степенных функций u(Z) и Кггк^ виДа (11.106); поэтому многие авторы (в частности, Пановский и Прасад (1965), Клюг (1968), Чодри и Мерони (1973), Ван Ульден (1978)) использовали формулы (11.106), но при этом большое внимание уделяли вопросу об определении показателей степени т и п по значениям универсальных функций f (£) и Ф1(С)=^1(С) теории подобия; коэффициент KzZ(Z) при этом приравнивался либо к вертикальному коэффициенту температуропроводности Кг (2), либо к коэффициенту^турбулентной вязкости K(Z) (см. (8.17)). Получаемые выражения для Z(r) и Х(т), где т=4—t0, сопоставлялись затем с формулами (10.69) и (10.70), вытекающими из гипотез подобия, изложенных в IV разделе, которые прилагаются к лагранжевым характеристикам турбулентности. В частности, Чодри и Мерони исходя именно отсюда заключили, что в формуле (10.70) Ф (£) = [фр (£)]—1 = [ед^ (£)]—1, обнаружив, что последнее соотношение выполняется при ф^(^)~£р, каков бы ни был показатель р.
Численное решение уравнения (11.104"), отвечающее рассеянию облака примеси, порожденного мгновенным наземным источником в термически стратифицированном приземном слое атмосферы, исследовал Миккельсен (1982) в предположении, что Kzz = Kt, а функция £/'(£) =ф(£) и Ф1(£) линейны по £ при L > 0, а при L < 0 задаются формулами Бюсингера—Кайера (8.72') с коэффициентами, рекомендованными в статье Бюсингера и др. (1971) (напомним, что в настоящее время эти рекомендации уже не вызывают доверия). При указанных предположениях он рассчитал зависимость Z(r)/|L| от u»tI\L\ (оказавшуюся прекрасно согласующейся с упомянутым выше заключением Чодри и Мерони), а также изучил зависимость функции ^(Z, т) — j Ф(А\ Z, т) dX от Z и т и исследовал горизонтальное рассеяние облака примеси.
• Более сложная, чем в указанных выше работах, зависимость функции Kzz(Z) от профилей средней скорости ветра и температуры u^Z) и T(Z) использовалась Берляндом (1975). Эта зависимость была применена автором для численного расчета распределения примеси от непрерывных источников примеси в приземном слое атмосферы при различных стратификациях и различных типах подстилающей поверхности. Проведенные расчеты позволили получить целый ряд практически важных выводов о загрязнениях атмосферы; мы, однако, не имеем возможности рассмотреть их в этой книге.
. Формулы Саттона для рассеяния примесей в атмосфере
Приведенные оценки горизонтального рассеяния в приземном слое воздуха открывают новые возможности для математического анализа распространения примесей от мгновенных источников. Однако такой анализ довольно сложен, поэтому в практических приложениях широкое применение получили различные простые приближенные приемы описания атмосферной диффузии. В частности, в Англии и США при расчетах диффузии примесей в атмосфере в течение многих лет нередко использовались приближенные формулы, предложенные Саттоном (1932, 1949, 1958). В них распределение примеси от мгновенного точечного источника предполагается имеющим гауссовскую форму (11.12) (в системе координат, перемещающейся со средним ветром с постоянной скоростью и), но с дисперсиями Da^, растущими быстрее, чем первая степень т (в соответствии и с формулами (11.108'), и с тем, что убывание наземной концентрации, отвечающее дисперсиям Da (т) =2/СггТ, в реальных приложениях оказывается слишком медленным). Чтобы определить функциональную форму дисперсий Dh^t), Саттон воспользовался формулой Тэйлора (10.31) для DaW (строго получающейся лишь в предположении об однородности турбулентности), приняв, что лагранжевы корреляционные функции R^ (т) имеют вид
^Е<)(т) = (1+-^-р, <‘=1,2,3. (11.109)
Здесь тг — некоторые масштабы времени, а показатель п принимает значения порядка 0,1—0,3 в зависимости от стратификации. Поскольку п < 1, лагранжев масштаб времени Tt формулы (10.32) оказывается бесконечно большим; поэтому теория Саттона не приводит к асимптотически линейному росту дисперсий со временем т (отсюда следует, что эта теория не является одним из вариантов, полуэмпирической теории турбулентной диффузии, пригодной лишь при т^Тг)- Как и в обычной полуэмпирической теории, в теории Саттона также рассматриваются лишь большие значения т, но не по сравнению с Tt (равным здесь бесконечности), а по сравнению с тг. Согласно (11.109) и (10.31), при т > тг, дисперсия Ргг(т) оказывается асимптотически пропорциональной т2-п:
С2
О./(т) = -^ (йт)2-", (11.110)
где и — средняя скорость ветра, a Ct — постоянные (при ui — и2 это означает* что т,^(ц)~1. Для диффузии примесей от высотных источников Саттон, ориентируясь на экспериментальные данные, рекомендует считать коэффициенты С< убывающими с ростом Н. Отметим, что при определении дисперсий Da^x) формулой (11.110) функция (11.12) также оказывается решением уравнения диффузии вида (11.55), но с коэффициентами диффузии /<^=[(2—n)/4] С2 (й')2”п X Х^-П» зависящими не от высоты Z, а от времени диффузии т. При этом уравнение (11.55) уже не может быть выведено из статистических предположений, требующих (см. формулы (11.53)), чтобы коэффициенты диффузии определялись только полем скорости и(Х, /), но не зависели бы от источников примеси (как отметил Тэйлор (1959), то, что коэффициенты турбулентной диффузии не могут зависеть от т, вытекает из принципа суперпозиции, соответствующего линейности уравнения диффузии: при зависимости от т значение Кн в точке (X, /) при наличии нескольких мгновенных источников примеси, выделивших примесь не одновременно, было бы многозначным).
Зная распределение концентрации от мгновенного точечного источника, можно без труда рассчитать концентрацию и от стационарных точечного и линейного источников. Диффузии от стационарного точечного источника производи-
тельности Q в точке (О, О, Я) при условии «отражения» примеси поверхностью Земли в теории Саттона отвечает родственная (11.90) формула
^(Х, Г, Z)^(Х, Г, Z)у2 г / и — нух ,у2 г / и — нух ,_Ц£±^\1г>2 у 2—п 11_Ц£±^\1г>2 у 2—п 11(ПЛИ)(ПЛИ)
^(Х, Г, Z)
^(Х, Г, Z)
у2 г / и — нух ,
у2 г / и — нух ,
_Ц£±^\1
г>2 у 2—п 11
_Ц£±^\1
г>2 у 2—п 11
(ПЛИ)
(ПЛИ)
(в случае линейного источника на прямой Х = 0, Z=H надо опустить множитель, зависящий от У, и заменить Q на л/к QCgXx -п12). Согласно (11.111), распределение примеси поперек ветра в горизонтальной плоскости оказывается гауссовским с дисперсией (С^/2) X1 ~п/2 , а распределение наземной концентрации по направлению среднего ветра имеет вид
^(Х, 0, 0)^(Х, 0, 0)2QяСуСгйХ2-п ехр2QяСуСгйХ2-п ехрН2С2Х2-"Н2С2Х2-"(11.112)(11.112)
^(Х, 0, 0)
^(Х, 0, 0)
2Q
яСуСгйХ2-п ехр
2Q
яСуСгйХ2-п ехр
Н2
С2Х2-"
Н2
С2Х2-"
(11.112)
(11.112)
Хп 2 (в случае линейногоХп 2 (в случае линейного(11.112) равен ОтахХ = (Н/Сг)2'^-^(11.112) равен ОтахХ = (Н/Сг)2'^-^
Хп 2 (в случае линейного
Хп 2 (в случае линейного
(11.112) равен Отах
Х = (Н/Сг)2'^-^
(11.112) равен Отах
Х = (Н/Сг)2'^-^
е. убывает асимптотически пропорционально
источника — пропорциональноисточника — пропорциональноХп^ !). Максимум наземной концентрации
источника — пропорционально
источника — пропорционально
2Q Сг
= "^^2— и достигается на расстоянии от источника
(которое, в отличие от теории Робертса (1923), не зависит
от скорости ветра и).
Сопоставление формул Саттона с эмпирическими данными о диффузии в атмосфере можно найти, например, в работах Бареда и Хогена (1959), Дрим- меля и Рейтера (1960), Хогена, Бареда и Антанаитиса (1961) и ряде других; сопоставлению формулы (11.109) с эмпирическими данными о лагранжевых корреляционных функциях посвящена работа Манна (1963). Имеющиеся материалы показывают, что формулы Саттона весьма неточно описывают лагранжевы корреляционные функции; их можно согласовать с эмпирическими данными, лишь если значительно расширить интервал допустимых значений п и допустить, что не только параметры Сг, но и п могут принимать различные значения для диффузии по различным направлениям (т. е. заменить в формуле (11.110) параметр п на nf). Однако тогда число неопределенных параметров оказывается настолько большим, что оно уже само по себе обеспечивает возможность согласования с результатами экспериментов; зависимость же параметров Сг и гц от метеорологических условий здесь оказывается неоправданно сложной. Поэтому в настоящее время формулы Саттона потеряли свое былое значение.
Стационарные решения полуэмпирического уравнениятурбулентной диффузии
Выше мы рассматривали приложения полуэмпирических уравнений турбулентной диффузии к расчету рассеяния примеси от мгновенного источника; именно к этой задаче относилось замечание об отсутствии точных аналитических решений, отвечающих реальным условиям возрастания скорости ветра с высотой. На практике, однако, основной интерес представляет распределение концентрации примеси, выделяемой каким-то непрерывно действующим стационарным источником. Ряд формул для расчета таких распределений можно найти, в частности, в специальных монографиях Слейда (1971), Чанади (1973), Паскуила (1974), Берлянда (1975), Ханна и др. (1982), Паскуила и Смита (1983).
Здесь мы остановимся только на некоторых результатах, вытекающих из полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии (11.55), относящегося к случаю стационарного и однородного по горизонтали и приземного слоя атмосферы.
Начнем с концентрации ^(Х, Z) от стационарного линейного источника, перпендикулярного среднёму ветру и производящего Q единиц массы примеси за единицу времени на единицу длины (эта концентрация равна Чгакже величине
^(Х, Z) = J ^(Х, У, Z)dY,
где ^(Х, У, Z)—концентрация, создаваемая стационарным точечным источником с производительностью Q). В этом случае в (11.55) можно опустить члены,
дЧУ
содержащие djdt и dldY. Если пренебречь также слагаемым —Кхх "£^2 = д
=описывающим продольную диффузию, по сравнению со слагаемым
u (Z)■, описывающим перенос примеси средним течением, то уравнение
еще упростится и превратится в так называемое двумерное уравнение турбулентной диффузии
В случае отражения примеси поверхностью Земли и источника на высоте Н решение должно удовлетворять условиям
$ — 0 при X — оо или Z — oo; ^^^~^~^—О;
оо(11.114)
0 = 0 при Х = 0, Z^H-, ^u»dZ = Q при Х>0 .о
(последние два условия могут быть записаны в виде и^Н^^, Z') = Qb^Z—H)Y Таким образом, мы приходим к задаче с начальными и краевыми условиями для параболического уравнения (11.113), в котором роль времени играет переменная X. В частном случае, когда u(Z) =и=const, Кг,^=Кг, г = const, решение задачи (11.113) — (11.114) описывается формулой Робертса (11.91), которая, как мы зна^м, не согласуется с эмпирическими данными. Случай постоянной скорости ветра и, но линейно возрастающего коэффициента обмена Ktz(Z)=K\Z был рассмотрен Бозанке и Пирсоном (1936), получившими (для наземного источника) простую формулу
A 1АА 1Л
неплохо согласующуюся с данными наблюдений, относящимися к температурной стратификации, близкой к безразличной.
В дальнейшем ряд авторов изучил также случай произвольной степенной зависимости скорости ветра и коэффициентов обмена от высоты
Кгг^ = КхХ\ u^=uxZm.(11.116)
В случае п=\—m уравнение (11.113) с такими коэффициентами, но при отличных от (11.114) краевых условиях, было решено Саттоном (1934); близкую задачу рассмотрел Лайхтман (19476). Решение уравнения (11.113) при условиях
т+1т—п+2т+1т—п+2(11.117)(11.117)(11.114), отвечающих наземному источнику, в случае коэффициентов (11.116) рассматривалось, в частности, Робертсом (см. Колдер (1949)), Фростом (1946) (в предположении, что п=\—т^ и Лайхтманом (1963, 1971); оно имеет следующий вид:
т+1
т—п+2
т+1
т—п+2
(11.117)
(11.117)
Л(У 7\— (m —» + 2)Q Ги,]
г f m +1 \ 17^^+++^" 1“>г(/п_„+2;
[и ^т—п+Ъ "
~ ^т-пА-^У К\Х.
(в предположении, что т — л + 2>0). Решение, отвечающее источнику на произвольной высоте Н, можно найти, например, в работах Раундса (1955), Монина (1956а) и Смита (1957), Лайхтмана (1963, 1971), Берлянда (1975); в этом случае
^(Х, 2)^(Х, 2)Q (JiZ^-"^(m-n + 2) KiX Х
^(Х, 2)
^(Х, 2)
X expX exp(11.118)(11.118)u, (z",-"+2 + ят-"+2) ] Г 2 м, (^нг^-^'Ч(т-и + 2)2 KiX ]/р[ (т — п + гр/^Х J’
X exp
X exp
(11.118)
(11.118)
где /р—функция Бесселя от мнимого аргумента индекса р =—т-
П1 — П -|- 2 (см. также Лебедев и Хамид (1975), Хуанг (1979), Гаврилов и Горматюк (1989)). Более громоздкое решение, уравнения (11.113) с коэффициентами (11.116) при краевых условиях Kzz -^-|^_o = fK> |z-o’ опубликовано Лайхтманом (1963, 1971); им же, а также Цейтиным (1963) исследован случай, когда скорость ветра и и коэффициент обмена Kzz удовлетворяют степенным формулам (11.116) до некоторой фиксированной высоты Z—Hx, а выше остаются постоянными.
Более общая и сложная модель, в которой z/(Z) и Kzz (2) в слое Z ^ Zx задаются одними степенными функциями, а при Z^ZX—другими, исследовалась, в частности Йордановым (1968а, б, в); см. также Лайхтман (1971, п. V,4) и Берлянд (1975, п. 1.7 и 1.8).
Если при использовании степенных формул (11.116) принять, что Kzz(Z) может отличаться от коэффициента турбулентной вязкости лишь постоянным множителем а, т. е. Д'zz-^T" = const, то п=\—т. При безразличной стратификации логарифмический профиль скорости ветра хорошо аппроксимируется на значительном интервале высот степенной функцией с показателем m = xh\ поэтому целесообразно принять m = xh, n = 6h. Формулы (11.117) и (11.118) при таких т и п (и соответствующем подборе коэффициентов U\ и К\) неплохо соответствуют эмпирическим данным о диффузии при безразличной стратификации (см., например, Колдер (1949)). Из (11.117) и (11.118) видно, что при таких т и п наземная концентрация убывает асимптотически пропорционально Х_8/э, что хорошо согласуется и с опытными данными и с данными рис. 11.4 для малых £о. При стратификации, не являющейся безразличной, многие авторы пробовали применять формулы (11.117) — (11.118), в которых показатели т и п определялись в зависимости от метеорологических условий (см. например, Дикон (1949), Воэн (1961), Ги (1966), Хуанг (1979)), но результаты при этом оказались довольно сильно зависящими от выбора значений т и п и поэтому представляются менее убедительными.
В случае когда й (Z) = щ In—~—, Kzz = K\Z, отвечающем логарифмиче- «кому пограничному слою, задачу (11.113) — (11.114) не удается решить анали-
тически, но ее можно решить численно (см., например, Джолов и Сираков (1977), а также обсуждение работы Паскуила (1966)). Для нескольких значений высоты Н источника численное решение подобной задачи было построено Берляндом, Гениховичем и др. (1963, 1964), принявшими, однако, что линейное возрастание коэффициента Кгг^ сохраняется лишь до некоторой условной «высоты h приземного слоя», а далее Кгг остается постоянным (или даже изменяется с высотой причудливым образом, так что график функции Kzz(Z) имеет несколько изломов (см. также Берлянд (1975), гл. 4). Другие примеры численного решения диффузионных уравнений для случая стационарного линейного или точечного источника рассматривались Клюгом и Випперманом (1967), Бер-
Рис. 11.4. Зависимость показателя р в законе убывания наземной концентрации примеси от расстояния от источника и от параметра устойчивости.
ляндом и Оникулом (1968). В работе Ямамото и Шимануки (1960) численное решение уравнения (11.113) для случая наземного (на высоте Z=Z^ линейного источника, испускающего «отражающуюся» от Земли примесь, решалось для приземного слоя атмосферы при условии, что Kzz(Z) совпадает с коэффициентом турбулентной вязкости К (Z) = ^l"^- » а и^) описывается общей формулой (8.24) теории подобия с универсальной функцией q)(^) = ^fz(^), удовлетворяющей уравнению четвертого порядка (8.60).
Параметр а, входящий в уравнение (8.60), в процессе численного решения удалось исключить переходом к масштабу длины L* = L/o. После этого задача о диффузии примеси от наземного линейного источника (на высоте шероховатости Z=Zo) при условии «отражения» на поверхности Земли свелась к решению универсального уравнения относительно функции от двух переменных, зависящего от единственного параметра t^^Z^L* (возникающего в связи с зависимостью u^Z) от Zo). Положительным значениям £о отвечает устойчивая стратификация, а отрицательным значениям — неустойчивая. Полученные Ямамото и Шимануки численные решения соответствующего уравнения для ряда значений £0 были представлены в виде нескольких графиков. На рис. 11.4 мы приводим один из них, показывающий зависимость показателя р, характеризующего быстроту убывания наземной концентрации (при Z=Z0) с расстоянием Ху от «параметра устойчивости» £о и безразмерного расстояния от источника X]Z^ Параметр р здесь определялся из условия
й(Х21 Z^ (ХА-р
где оба значения Х2 и Хх брались вблизи определенной координаты X. Мы видим, что при безразличной стратификации (близком к нулю значении £0) параметр р вплоть до весьма больших расстояний остается приблизительно постоянным, близким к 0,9, в соответствии с эмпирическими фактами, о которых говорилось выше. Однако при стратификации, отличной от безразличной, он существенно зависит от расстояния X.
В 70-е и ранние 80-е годы большую популярность приобрели результаты Бюсингера и др. (1971) (в настоящее время уже не считающиеся вполне надежными), согласно которым функции ф(£) и ф1(£) при ^>0 можно считать линейными, а при £ < 0 они задаются формулами Бюсингера—Дайера (8.72') с определенными значениями коэффициентов. В связи с этим ряд авторов рассчитал диффузию примеси от стационарных источников в приземном слое с такими функциями ф(£) и Ф1(£); коэффициент Kzz(2) при этом обычно приравнивался или к коэффициенту турбулентной температуропроводности KtAZ), или к произведению a0K(Z), где K^Z)—турбулентная вязкость (см. 8.17)). В частности, Ньистадт и Ван Ульден (1978) численно решили задачу о диффузии от стационарного линейного источника на высотах 2=0,5 м и 2 = 2о (наземный источник) в приземном слое с рекомендованными Бюсингером и др. функциями Ф(С) и ф1(?) при двух предположениях: 1) Kzz = KT и 2) Kzz = a0K, где ао=1,35 (рекомендация Бюсингера и др., в настоящее время считающаяся заметно завышенной). Решение искалось при условии отражения на поверхности Земли; пробные расчеты при граничном условии (11.56) с разумными значениями коэффициента р — w = uq показали, что при этом результаты меняются незначительно. Полученное решение как при Kzz — Kt, так и при Кгг = ^оК оказалось неплохо согласующимся и с данными измерений в О’Нейле, США (Баред (1958)), и с экспериментальными результатами Томпсона (1965); вообще, решения, отвечающие этим двум выборам Kzz^Z) заметно различались лишь при очень сильной неустойчивости. (Заметим, впрочем, что, согласно результатам Хорста (1979) и Грюнинга, Ван Ульдена и Ларсена (1983), результаты расчетов при Кп — Кт заметно лучше согласуются с опытными данными, чем результаты расчетов при Kzz = a0KY
Одновременно Ван Ульден (1978) рассмотрел приближенное решение той же диффузионной задачи, при котором на первом этапе полагалось, что обе функции i/(Z) и Kzz(Z) являются степенными, затем использовалось отвечающее таким функциям точное аналитическое решение задачи, после чего входящие в это решение степенные функции, пропорциональные и(2) и Kzz^ZV заменялись более сложными функциями, рекомендованными Бюсингером и др. Ван Ульден показал, что эта нестрогая процедура (впервые использовавшаяся в другой связи Чодри и Мерони (1973)) приводит к результатам, неплохо согласующимся как со следующими из точного решения задачи выводами Ньистадта и Ван Ульдена, так и с имеющимися экспериментальными данными о диффузии в приземном слое атмосферы. Случай диффузии от линейного источника в устойчиво стратифицированном приземном слое, где ф(£)^14-5£, /Czz(2) =аохм*2/ф(£), изучался Вильсоном (1982); более сложная модель устойчиво стратифицированного пограничного слоя рассматривалась Робсоном (1987). Наконец, Грюнинг, Ван Ульден и Ларсен (1982) выполнили детальный численный расчет решений уравнения (11.113), отвечающих наземному линейному источнику на оси ОУ в приземном слое атмосферы с граничными условиями Knd^ldZ->0 при Z-^oo и KzZd‘^dZ= uq^ при 2=20, где постоянная uq (размерности скорости) выбиралась в соответствии с условиями диффузионных экспериментов в О’Нейле (Баред (1958)), а функции //(2) и Kzz(Z) отвечали или рекомендациям Бюсингера и др. (1971), или же отличающимся от них лишь значениями числовых коэффициентов рекомендациям Дайера (1974). Результаты расчета сопоставлялись с данными измерений в О’Нейле, и оказалось, что они хорошо согласуются, причем согласие это при Kzz=Kt было заметно лучшим, чем при Kzz = aoK, но примерно тем же при двух рассматривавшихся значениях функций ф(£) и
Перейдем теперь к рассмотрению диффузии от стационарного точечного источника с производительностью Q в точке (0, 0, Я). Выше уже отмечалось,
что проинтегрированная по dY концентрация ^(Х, У, Z) от такого источника совпадает с концентрацией 6* (X, Z) от стационарного линейного источника; поэтому при известном решении задачи о диффузии от стационарного линейного источника здесь надо только еще дополнительно рассчитать рассеяние примеси в «поперечном» направлении OY. Простейшим предположением о таком рассеянии является допущение о гауссовской форме распределения примеси вдоль прямых Х = const, Z= const с дисперсией Dyy = Dyy(X, Z), где, впрочем, зависимостью от Z можно в первом приближении пренебречь (например, заменив Z на Z=Z(X)) и считать, что Dyy = Dyy^X). Иногда удобно также считать, что Dyy — Dyy (т), где т=Х/£Д U — средняя скорость ветра в пределах струи примеси.
Довольно сложные приближенные формулы для поперечной дисперсии Dy3/^ были предложены Бютнер и Лайхтманом (1963), но формулы эти неудобны для практических применений. Использование для расчета Dyy^ и ^уу(Х) формулы Тэйлора (10.31) и некоторых ее обобщений пропагандировалось, в частности, Лайхтманом (1963, 1971) и Хуангом (1979). Обширный материал наблюдений за значениями Dyy(X) при различных типах погоды содержится в книгах Слейда (1971), Паскуила (1974), Паскуила и Смита (1983), Хогена (1975), Ханна и др. (1982), Бызовой и др. (1991); см. также Гиффорд (1976) и Даббердт (1986). Зная значения функции Dyy^X) при заданных погодных условиях (характеризуемых небольшим числом стандартных данных метеорологических наблюдений), можно ограничиться, расчетом лишь проинтегрированной по переменной Y средней концентрации *&(Х, Z), удовлетворяющей двумерному уравнению стационарной диффузии (11.113). Если же рассеяние вдоль оси OY описывать также полуэмпирическим уравнением диффузии, то, пренебрегая снова диффузией по направлению ОХ по сравнению с переносом примеси средним течением, мы придем к уравнению для средней концентрации вида
й (Z) 1^ = ^(К^ж) + ^^224г)' (П.ПЭ)
Решение этого уравнения должно удовлетворять условиям
6-0 при №+r2 + Z3-oo, Кг,-^= ° (или = Vg^ lz_0)>
(11Л20>
ё(о, у, z) = -^-6(y)6(Z-H)
(ср. (11.114)). Дэвис (1950) попытался найти точное решение задачи £11.119)— (11.120) для случая наземного источника в предположении a(Z)~Zm, KzT^~Zx~m и Kyy(Z) ^Za; однако он достиг цели лишь в частном случае,, когда а = т, т. е. Ку у (Z) = cu(Z), где с = const. В этом случае
^x-Y-z'-^e4--&>x'z''
где ^(Х, Z)—решение задачи (11.113) — (11.114). Решение той же задачи в случае источника на высоте И более сложно, но и оно при а=п может быть получено в явном виде (см. Уолтерс (1965)). Таким образом, при а=п учет диффузии вдоль оси OY не представляет трудности; поэтому допущение о том, что Куу^и, принималось в целом ряде теоретических работ (см., например, Берлянд (1975), с. 27). К сожалению, получаемые при этом формулы для концентрации ^(Х, У, Z) во многих случаях оказались противоречащими эмпирическим данным. В связи с этим Смит (1957) вернулся к случаю общего показателя а, но ограничился нахождением лишь двух первых моментов распределения концентрации примеси вдоль прямых Х=const, Z=const:
Оо (X, Z)= J O(X, Г, Z2Hr, 0g (X, K) = J r26(X, Y, Z)dY. (11.121)
Функция 00 (X, Z) удовлетворяет тому же уравнению (11.113) с условиями (11.114), которое описывает распределение концентрации в случае линейного стационарного источника, т. е. ее можно определить из равенства (11.118) с м=1 — щ. Что же касается функции 62 (X, Z), то для нее из (11.119) получается дифференциальное уравнение второго порядка, содержащее также коэффициент Kyy^Y Это уравнение при некоторых частных значениях т и а может быть решено в общем виде, но при произвольных тиа его явное решение (выражающееся через сложные специальные функции) удалось найти лишь для наземного источника, т. е. при Н = 0. Естественно думать, однако, что при не слишком большом Н и достаточно большом X решение при Н > 0 будет мало отличаться от того, которое отвечает //=0. Кроме того, если интересоваться лишь наземным распределением примеси (т. е. значениями ^ (X, У, 0)), то решение для случая высотного источника может быть выведено с помощью доказанной Смитом изящной теоремы взаимности, выражающей статистическую обратимость процесса диффузии, описываемого полуэмпирическим уравнением (11.55). Согласно этой теореме, в случае турбулентной диффузии с условием отражения примеси на поверхности Z=0 значение ^(Х, У, 0) функции^(X, Y,Z), отвечающей высотному источнику примеси в точке X=Y=0, Z=H, совпадает со значением Ф (X, Y, Н) функции ^(Х, У, Z), отвечающей такому же наземному источнику в точке X=Y=Z=0 (так что для й (X, У, 0) при любом Н можно записать явную формулу). Зная 0о(Х, Z) и 02(X, Z), можно приближенно определить и функцию 61 (X, У, Z), допустив, что распределение примеси вдоль прямой Х=const, Z=const мало отличается от распределения Гаусса. Следовательно, при любых X, У и Z
»(х, у, z), (11.122) [глУ^х, z)]1/2
где
У2 (X Z) =-^А^\„?1.
} 0о (X, Z) *
С помощью этой формулы Смит, в частности, нашел скорость убывания наземной концентрации вдоль направления ОХ по оси облака примеси (т. е. при У=0) при m = xh и п = а=йИ. Оказалось, что асимптотически ^ ~Х“б/з; это более или менее согласуется с эмпирическими данными, отвечающими стационарным точечным источникам в приземном слое атмосферы при близкой к нейтральной стратификации.
В общем случае произвольной стратификации Ямамото и Шимануки (1964) попытались оценить коэффициент диффузии в «боковом» направлении OY с помощью сопоставления эмпирических данных о диффузии от точечных источников с результатами численного решения задачи (11.119) — (11.120) при значениях Kyy(Z), содержащих неопределенный параметр. При этом предполагалось, что скорость ветра задается формулой (8.24), где ф(£) = У'(С) удовлетворяет уравнению (8.60), и что K«=u<.uZ^^. Что же касается коэффициента Kyy(Z), то в первом приближении было принято
где a (to)—неизвестная функция от £0 (т. е. от стратификации). Удобство такого выбора Куу состоит в том, что от параметра а можно легко избавиться переходом к безразмерным координатам X1=X/Z0, У1 = У/а^2Х0, Zx = ZfZ0, зависящим от а. После этого задача о диффузии от наземного стационарного точечного источника сводится к решению универсального уравнения относительно функции 6(ХЬ Уь Zi), зависящего от единственного параметра to- Это уравнение было решено численно для ряда значений £о, после чего найденное распределение примеси вдоль оси OYX при Xi = 32 000 и Zi = 240 было сопоставлено с дан-
ными экспериментов Бареда (1958) и других исследователей. Результаты позволили приближенно определить значения а(£о) (значения Zo и L* оценивались по профилям ветра и температуры, измерявшимся в ходе экспериментов). Полученные значения а(^0) легли со сравнительно небольшим разбросом на плавную кривую, монотонно убывающую при возрастании £0; согласно этой кривой, а«13 при £о=О, а^100 при £о=— 0,014 и а«3 при £о = О,О1. С целью проверки принятого предположения о Kyy(Z) найденные значения а(£о) были использованы для теоретического расчета распределения концентрации вдоль оси OY при некоторых других значениях X и Z, результаты которого снова были сопоставлены с данными наблюдений. Оказалось, что общее согласие теории с опытом является удовлетворительным, но разброс экспериментальных точек был столь велик, что полученные выводы приходилось считать ненадежными. Для убывания наземной концентрации вдоль оси облака примеси при безразличной стратификации расчет, основанный на формуле Куу = 13xz/*Z, привел к соотношению Ф ~ X-I,7S, хорошо согласующемуся с эмпирическими данными.
Эмпирические данные показывают, что горизонтальная диффузия по направлению оси OY становится более быстрой при увеличении горизонтального протяжения облака, так что коэффициент Куу как бы возрастает с ростом времени диффузии т=/—/0 (или координаты X). Это объясняется важным эффектом ускорения относительной диффузии облака примеси (т. е ускорения изменения расстояния между составляющими облако частицами) при увеличении размера облака, связанным с тем, что по мере возрастания размера облака в его рассеянии начинают принимать активное участие все более крупномасштабные возмущения поля скорости (об этом мы будем говорить в VIII разделе тома 2 настоящей книги). Выше уже отмечалось, что в рамках рассматриваемой здесь полуэмпирической теории турбулентной диффузии на первый взгляд кажется неестественным допустить, что коэффициенты диффузии могут зависеть от времени диффузии т. На самом деле, однако, допущение Буссинеска (11.48) и тесно к нему примыкающее предположение о марковости процесса турбулентной диффузии, лежащие в основе полуэмпирического уравнения диффузии, являются лишь довольно грубыми приближениями, часто оказывающимися малоприемлемыми; поэтому вовсе не обязательно считать коэффициенты На истинными характеристиками турбулентности, зависящими лишь от режима турбулентных пульсаций в данной точке, но не от характеристик рассматриваемого процесса диффузии (к которым относятся т и X). Поэтому в теории турбулентной диффузии довольно часто используются и зависящие от т (или X) коэффициенты диффузии Da; см., например, равенство (11.50) и следующий за ним текст, а также работы Чанади (1973), Дирдорфа (1974) и Яглома (1975). Так, Дэвис (1954а) попробовал учесть ускорение диффузии вдоль оси OY с ростом X, формально допустив, что в (11.119) коэффициенты и и Kzz зависят только от Z (а именно й — Z^, KZz~ZX-mY но Ktiy~Z°\Y\^ (т. е. Куу фактически зависит от положения источника примеси, так как только им выделяется значение У=0). В частном случае а = т, р = 1 —2т Дэвису удалось найти точное решение уравнения (11.119); однако принятое им предположение о зависимости Кци от Y представляется довольно искусственным и малообоснованным.
Более последовательным представляется уже упоминавшееся выше предложение Лайхтмана (1963, 1971), согласно которому концентрацию ^(Х, У, Z) в случае точечного источника следует искать в виде (11.122), где 0о(Х, Z) задается как решение уравнения (11.113), а при определении величины У2(Х, Zj рекомендуется опираться на представления, связанные с лагранжевым описанием турбулентности (в первую очередь на формулу Тэйлора (10.31)), вообще не используя полуэмпирическую теорию. Ясно, что при таком подходе функция У2(Х, Z) будет возрастать с ростом X, как это и должно быть в силу ускорения с ростом X относительной диффузии частиц, составляющих облако примеси. Позже аналогичный подход использовал также Хуанг (1979), предполагавший, что функции w(Z) и KzzW можно считать степенными с показателями m и п, и специально исследовавший (с привлечением теории подобия, рассмотренной в IV главе) вопрос о зависимостй показателей m и п от термической стратификации атмосферы, а затем сопоставивший полученные им рас-
четные данные с некоторыми данными измерений характеристик диффузии примесей в приземном слое.
Эффект отклонения главных осей тензоракоэффициентов турбулентной диффузии от осей OX, OY и OZ
Предыдущие выводы опирались на предположение о том, что полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии в приземном слое атмосферы имеет вид (11.55). Напомним, что даже самое общее полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии (11.49) опирается на нестрогую гипотезу (11.48), имеющую ограниченную точность; вывод же уравнения (11.55), помимо того, использует дополнительное предположение о том, что оси OZ, ОХ и OY, направленные вертикально вверх вдоль среднего ветра и перпендикулярно к ОХ и ОУ, являются главными осями тензора коэффициентов диффузии Кц. Вводя уравнение (11.55), мы специально отмстили, что это предположение тоже нс является точным и может привести к определенным ошибкам; сейчас мы рассмотрим этот вопрос более подробно.
В главе 8 уже отмечалось, что в термически стратифицированном приземном слое атмосферы момент и'Т' = u*T*f7(Z/L), описывающий турбулентный перенос тепла вдоль оси ОХ, отличен от нуля (положителен при устойчивой стратификации и отрицателен при неустойчивой). Затем в главе 9 было указано, что данные измерений подтвердили указанный вывод и показали, что безразмерное отношение и'Т'/w'T' = срри'Т/q часто принимает в приземном слое атмосферы относительно большие по модулю значения; в частности, при близкой к нейтральной термической стратификации, по-видимому и'Т'/w'T' ^ —3,5 (см., в частности, рис. 9.29). Поскольку в приземном слое атмосферы над ровной
„ „ дТ дТ п
и однородной подстилающей поверхностью "5x‘ = "dY- = т0 в применении к моменту и'Т'= Sx равенство (11.48) принимает вид Sx = —Kxz -^Г» Следовательно, Kxz Ф 0 в приземном слое атмосферы, причем Kxz < 0 и |/<xz| сравнительно велик; в частности, при близкой К нейтральной стратификации Kxz ~ —S^Kzz (напомним, что w'T'= Kzz^-У Поэтому правая часть уравнения турбулентной диффузии (11.55) должна на самом деле включать еще и слагаемое ■^"(^(^) "^)- На это обстоятельство, по-видимому, впервые обратил внимание Леттау (1952); смё также Пристли (1963). Из симметрии течения в приземном слое атмосферы относительно направления средней скорости (т. с. плоскости OXZ^ легко следует, что в таком течении Кху = Кух = = Kyz = Kzy = 0. Однако нет оснований полагать, что в рассматриваемом течении Kzx = 0; поэтому следует считать, что полу-
эмпирическое уравнение диффузии в приземном слое атмосферы имеет вид
-VKuti<Z> ■^^ + ^(Kzx(Z)-^^ + ^(Kzz^^ (11.55') и отличается от уравнения (11.55) двумя дополнительными слагаемыми в правой части.
Необходимость при исследовании атмосферной диффузии замены уравнения (11.55) более точным уравнением (11.55х) специально отмечалась Калдером (1965). Позже Яглом (1967) указал, что данные измерений момента и'Т' в приземном слое атмосферы убедительно показывают, что Kxz < 0, и дают основание считать, что Kxz ~ —3£Kzz при нейтральной термической стратификации; здесь же были приведены качественные соображения, указывающие, что также и Kzx < 0 в двумерных турбулентных течениях, и дана грубая оценка значения Kzx (плохо согласующаяся с результатами более точных расчетов, о которых будет идти речь ниже). Заметим, что из малости отношения Kzz/\KXz\ вовсе нс следует, что слагаемое К2х д^д2 в правой части (11.55х) всегда играет большую роль: поскольку турбулентный продольный перенос примеси Sx = и^' часто оказывается малым по сравнению с адвективным переносом мФ, то можно ожидать, что указанным слагаемым во многих случаях можно пренебречь по сравнению со слагаемым u(Z) -^-. Это ожидание в какой-то мере подтверждается модельными расчетами Дэвиса (19546), а также Ги и Дэвиса (1963), показавшими, что в рассмотренных ими частных задачах влияние слагаемого, включающего коэффициент Kxz, мало меняет решение (нс более чем на 15—20%); однако позже Ги и Дэвис (1964) нашли, что при расчетах горизонтального рассеяния примеси, порождаемой мгновенным источником, влияние двух дополнительных слагаемых в правой части (11.55х) может оказаться весьма существенным. Уравнение вида (11.55х) рассматривал также Мацуока (1961, 1962), полагавший, что Kxz = Kzx = —^KxxKzzY1^ в противоположность этому Ги и Дэвис (1964) и Ги (1967), опираясь на грубые полуэмпириче- ские соображения, приняли, что Kzx = Kxz/^ (см. также обзорную статью Яглома (1976)). Некоторые попытки измерить значения коэффициента KZz в плоскопараллельных лабораторных турбулентных течениях описаны Корсином (1974), а также Тавуларсом и Корсином (1981, 1985).
В 70-е и 80-е годы для расчета коэффициентов турбулентной диффузии Kij началр" широко использоваться так называемые «замыкания второго порядка» полуэмпирической теории турбулентности, о которых рассказывается в заключительной части
7.1. В частности, К. Дональдсон (см. Хоген (1973), гл. 8) показал, что локально-равновесное приближение замыканий второго порядка, о котором уже говорилось в п. 7.1, часто позволяет получить систему линейных алгебраических уравнений, определяющую все элементы тензора Кц. Такой метод полуэмпириче- ского определения коэффициентов Кц использовали также Левеллен (см. Фрост и Моулден (1980), гл. 9) и Фримен (1977), но никто из них нс рассматривал диффузию в приземном слое атмосферы. При нейтральной термической стратификации, когда профили средней скорости и температуры u(Z) и T(Z) описываются логарифмическими формулами, все коэффициенты диффузии Ки в силу соображений размерности должны иметь вид Кц = x//U#Z, где иц — некоторые универсальные постоянные (причем Х12 = Х21 = Х2з=хз2 = 0). Рассматривая температуру как пассивную примесь (так что Кгз = Кт^ легко найдем, что Х33 = = аох ^ 0,4-1,17 « 0,47. Далее можно использовать данные измерений моментов и'Т' и w'r, показывающие, что при нейтральной стратификации Kxz ~ 3£Kzz, Х13 ~—З,5х33 ^—1,65.
Что касается остальных неизвестных коэффициентов хи, Х22 и хзь то для их определения надо привлечь какие-то дополнительные уравнения. Царенко (1983), впервые рассмотревший задачу определения всех коэффициентов иц, использовал для этой цели несложный (но достаточно общий) вариант «замыкания второго порядка» в локально равновесном приближении, т. с. уравнения для трех турбулентных потоков Si = u$ , t = 1, 2, 3, в которых пренебрегается слагаемыми DSilDt=dSi/dt^-uadSi/dXa, а также и слагаемыми, описывающими турбулентную диффузию моментов Si (и включающими моменты третьего порядка турбулентных пульсаций), а для слагаемых Пг=—р^р'д-й'/dXt используется полуэмпирическая аппроксимация вида
_6 —7—гдйь Г —-—-1~—-—— '
П. = — и в —О' ~+ Ььи.^\ ’
i 1 I2 оXпг vr m4 х к 1 ^пг t )
где </2 = utu^ ^ = \i*^Z— средняя скорость диссипации энергии в логарифмическом пограничном слое, а сх и с2—неопределенные постоянные. Получаемая таким образом система уравнений относительно моментов Si = и /0 в случае установившегося плоскопараллельного течения имеет решение вида (11.48), где Kij— = yqjtuZ, а коэффициенты Xi/ однозначно определяются из простой системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Полученные решения включают отношения А\ = си/и^ Л2 = = Ои/и*, А3 = Gw/u* и А4 = u'T'/w'T', многократно измерявшиеся в приземном слое атмосферы (см. п. 9.4), и постоянные С] и с2, определяемые из соотношений х33 = 0,47, xi3 =—1,65. После этого для хп, х22 и x3i получаются следующие значения:
х„ 3,78; х22 « 1,98; х32 « —0,23.(11.123)
Для того чтобы выяснить, какое влияние на получаемые результаты оказывает конкретный выбор аппроксимации слагаемых П/ в уравнениях для турбулентных потоков примеси Sz = и^ Царенко (1987в) и Царенко и Яглом (1991) рассмотрели четыре различных аппроксимации слагаемых П/, обобщающих большинство встречающихся в литературе о замыканиях второго порядка, аппроксимаций этих величин, и рассчитали значения хп, Х22 и хзь отвечающие всем этим аппроксимациям (снова при условиях, что Х33 = 0,47, Х1з = —1,65). Полученные результаты показали, что выбор конкретной модели слагаемых IL сравнительно* мало влияет на получаемые результаты, которые во всех случаях оказались довольно близкими к результатам (11.123). В целом проведенные расчеты дают основание считать, что в нейтрально стратифицированном приземном слое атмосферы продольный коэффициент диффузии Кхх примерно в 7—8 раз больше вертикального коэффициента Kzz, в то время как Куу примерно в два (или чуть больше чем в два) раза меньше, чем Кхх, а коэффициент Кхх отрицателен и его абсолютное значение лежит где-то между значениями Kzz и Kzz/2.
В случае термически стратифицированного приземного слоя атмосферы ситуация оказывается заметно более сложной. Как мы знаем, здесь уже
К(2) = Ы2/-^- = хм7фк($),
где фя(£)=1/ф(£) — универсальная функция аргумента £ = Z/ZL, a Kij(Z) = K(Z)kij(Z)y где кц^—новые универсальные функции £, зависящие уже и от универсальных функций теории подобия, рассматривавшихся в IV разделе. Царенко (1977а, б; 1979а, б) использовал специальные «замыкания второго порядка», родственные тем, которые им применялись в случае нейтральной стратификации, для расчета как всех нужных ему универсальных функций, о которых шла речь в IV разделе, так и универсальных функций ^зз(^), ^1з(£), £и(£), £22^) И £31 (5). К сожалению, пока еще нет надежных экспериментальных данных, которые можно было бы сопоставить с рассчитанными Царенко значениями этих последних функций.
Приложения гипотезо подобии лагранжевых статистических характеристикв приземном слое атмосферы
Напомним, что в пренебрежении действием молекулярной диффузии средняя концентрация примеси от мгновенного точечного источника единичной производительности в точке х = = (*,*/,£) в момент to равна плотности вероятности лагранжевых координат (X, У, Z) жидкой частицы, находившейся в момент to в точке х. Отсюда, в частности, следует, что в случае мгновенного наземного источника с производительностью Q в начале 594
координат средняя концентрация в момент /=/о + т при безразличной термической стратификации и достаточно большом т будет определяться‘формулой вида
<ЦХ, Y, Z, t0 + t) = -^P3(^^-, ^(11.124)
z3 \ z ' z z )’
где Ра— универсальная функция от трех переменных,
Z«bu*x, Х«^-1п^-.
а Ь, с и е = 2,718...— универсальные постоянные (см. формулы (10.65), (10.60) и (10.61)). В случае источника на высоте Н можно пользоваться тем же соотношением, если только т ^> Н/и*. Впрочем, при нс очень больших (но все же заметно превосходящих Н/и^ значениях т более точные результаты получаются, если допустить, что статистические свойства лагранжевой скорости частицы, находившейся в момент /0 в точке (0, 0, Щ, через время т после момента /о совпадают со свойствами частицы, находившейся в момент /о — Ti в точке (0,0,0), где т\ = $Н/и*, а |3 — универсальная постоянная; иначе говоря, если принять, что равенства (10.60') и (10.6Г) для 2(т) и Х(т) здесь сохраняют силу после замены т на т + ri = т + р/7/u* (Бэтчелор (1964)). Напомним также, что, как уже указывалось выше, простейшее полуэмпирическое уравнение диффузии вида (11.55) с Кхх =0, Kzz = ^u*Z приводит к оценкам р = 1/х' « 2,2, 6 = х' ^ 0,47 и с = е-^Ь « 0,566; более точные оценки постоянных b и с будут указаны ниже в этом и следующих параграфах. Заметим, что указанная поправка играет роль лишь в течение сравнительно небольшого промежутка времени, но при обработке реальных экспериментов, в которых часто поневоле приходится ограничиваться лишь нс слишком большими значениями т, она иногда оказывается полезной (см., например, Ссрмак (1963)).
Из формулы (11.124) следует, что центральные моменты распределения примеси
©^„(t) = Q-‘ ^^ (X — Xf Ym (Z — Z^11 (X, Y, Z, t^T^dXdYdZ в случае нейтральной стратификации имеют вид
^kmn (т) — bkmn VZ^m^ = Qkmn^T^(11.124')
где bkmn и akmn = bkmn.bk+m+n — универсальные постоянные. Длины = 0^о> °» ^^ого и а»2 = 0о^> очевидно , характеризуют средние размеры облака примеси в направлениях трех координатных осей, смешанный момент ©ю! (или pxz = ©ioi/a# о» ) определяет отклонение оси облака от горизонтали, моменты 0Ооз (или S(z) = = ©ооз/о»2) и ©оо4 (или Fw = ©оо4/о»2)—форму вертикального
распределения примеси и т. д. Из формул (11.124') следует, в частности, что дисперсии о! , о2 и о^ облака примеси от мгновенного точечного источника в логарифмическом пограничном слое асимптотически пропорциональны т2 (а не т, как в случае однородной турбулентности с й = const, и не т3, как в случае однородной турбулентности с постоянным градиентом средней скорости дй, (dz)).
Оценка численных значений констант аьтп, так же как и коэффициентов b и с в равенствах (10.60') и (10.61'), требует использования каких-то дополнительных полуэмпирических гипотез. Выше уже отмечалось, что Чатвин (1968), приняв справедливость полуэмпирического уравнения (11.55) с Кхх = 0 и Kzz = х'и^, получил результат Эллисона (1954) 6 = х' и оценки с = е-^Ь « «0,566, аоо2 = «г = х2 и а2оо = «я = (л2/6—1)(1/х2)«4 (см. формулы (11.104'), (11.104"), (11.105) и (11.105")); аналогично здесь получаются и соотношения аооз = 2х'3, а004 = 9х'4. Заметим, что указанные оценки коэффициентов Ь, с, а002, «ооз и а004 (но не Й2оо = и*) не зависят от допущения, что Кхх = 0, — легко видеть, что при Кхх = ХцП^, где хп— произвольное число, все эти оценки остаются в силе. Однако замена уравнения (11.55) на уравнение (11.55'), где Kzz = x13u*Z, Кгх = Из1и^, уже меняет оценку коэффициента с: в этом случае в правой части уравнения (11.105) для dX/dt появляется добавочное слагаемое xi3u, и поэтому здесь с = е~?+хх”х'да 0,Зх' ПрИ и » 0,4, xi3 «—1,65 (Яг- лом ^1972, 19746)). Мы видим, что предположение (10.62) о том, что U(т) = й [2(т)], равносильное допущению с = b = х' (см. формулу (10.71')), в условиях нейтральной стратификации и при справедливости уравнения (11.55') оказывается весьма грубым.
Еще хуже обстоит дело с оценкой Чатвина коэффициента О2оо = а *: если считать справедливым более точное, чем (11.55), уравнение (11.55') с Ktj — v-tjU^Z, то а* оказывается уже зависящим от значений четырех коэффициентов хп, xi3, x3i и х33, а формула (11.105") заменяется заметно более сложной формулой
^х = [(4 - 0^ + *■№ + ^^\ku.^ (11.105")
(Яглом (19746, 1976)). Аналогичные оценки могут быть выведены из уравнения (11.55') и для коэффициентов «020 и «юь
^020 = ^22^33,^101 ^ "^" (*хИ ^31 “h ^13^
(Гаврилов (1981), Царенко (1983)). Используя затем оценки (11.123) и х33 « 0,47, Х1з ^—1,65 коэффициентов хц, Царенко нашел, что
«оо2« 0,22; «2оо «3,46; «ого « 0,93; «101^0,15.
Приведенные оценки, как и полученные выше оценки констант b и с, нс могут претендовать на большую точность — они опи- 596
раются на неточное уравнение (11.55') (выводимое из гипотетического соотношения (11.48) и предположения о том, что коэффициенты Кц зависят только от Z) и ряд дополнительных гипотез,, лежащих в основе оценок (11.123) коэффициентов Kij. В связи с этим Царенко (1984) рассчитал также оценки постоянных b и с и большого числа коэффициентов актп как на основе уравнения (10.55') с указанными выше значениями ^/(Z), так и на основе более полных (нс локально равновесных) замыканий второго порядка, рекомендуемых в главе 8 книги под редакцией Хогсна (1973) и главе 9 книги под редакцией Фроста и Моулдсна (1980). Расчеты на основе более полных замыканий второго порядка, противоречащих гипотезе (11.48), оказались гораздо более сложными и громоздкими, чем тс, которые опираются на уравнение (11.55'), но привели к очень близким (отличающимся не более чем на 10%) оценкам констант b и с и сравнительно слабо изменили также и оценки коэффициентов а^ аооз, аоо4, #200 и аО2о. Оценки других коэффициентов актп (описывающих более тонкие характеристики облака примеси), а также характеристики распределения в пространстве турбулентных потоков S; = и^ оказались заметно более чувствительными к выбору используемой полуэмпирической модели. Еще раньше Яглом (19746, 1975, 1976) рассмотрел ряд совсем других оценок коэффициентов 6, с и а^п, п = 2, 3 и 4, вытекающих из иных форм полуэмпирических уравнений диффузии (включая уравнения с коэффициентами, зависящими от времени, а также и гиперболические уравнения, которым будет посвящен п. 11.6). Совсем другие соображения были использованы для получения оценок кое-каких коэффициентов,, входящих в выражения для лагранжевых характеристик, Хантом и Вебером (1979) и Возжениковым (1984). Согласно результатам всех этих работ, теоретические оценки коэффициентов Ь и с, следующие из разных полуэмпирических гипотез, нс очень сильно расходятся друг с другом (оценки b меняются в пределах от 0,35 до 0,47, а оценки с—нс больше, чем вдвое), но оценки коэффициентов, определяющих вторые и, уж конечно, более высокие моменты распределения примеси варьируют гораздо больше, так что здесь пока вряд ли можно рекомендовать какое-то одно разумное «теоретическое значение».
Разумеется, в принципе все коэффициенты Ь, с и актп можно определить по данным диффузионных экспериментов в условиях, близких к тем, которые характерны для нейтрально стратифицированного приземного слоя атмосферы. К сожалению, задача надежного измерения осредненных характеристик диффузии является технически весьма сложной, а длительное поддержание условий, отвечающих идеализированной модели горизонтально однородного плоскопараллельного и стационарного турбулентного течения вдоль плоской стенки, в котором напряжение Рейнольдса —u'w' = ue всюду принимает одно и то же значение, трудно осуществимо и в лаборатории, и в природных условиях. Поэтому
неудивительно, что имеющиеся экспериментальные оценки значений коэффициентов Ь, с и а*тп или вообще отсутствуют (для величин ahmn с k + m + n>2), или характеризуются очень большим разбросом. Так, например, ранние опытные данные о значении коэффициента b менялись от 6 «0,1 (Сермак, Малхотра и Сермак) до & « 0,4 (Паскуил, Клюг, Чодри и Мерони). В 70-е и 80-е годы широкая работа по измерению лагранжевых характеристик атмосферной турбулентности проводилась в Институте экспериментальной метеорологии под руководством Е. К. Гаргера; сводка полученных при этом оценок констант Ь, с (и Ci = c/6), а 002 = «г (и а = (а^ + Ь2'^'1^ йога = 22
= ау и Я200 = ах, дополненная данными измерении других авторов и кое-какими теоретическими оценками, представлена в п. 3.5 книги Бызовой, Гаргера и Иванова (1991). Приведенные здесь оценки также характеризуются значительным разбросом, но в целом как будто показывают, что b принимает значение, меньшее, чем х' « 0,47, но заметно большее чем 0,1 (по-видимому, заключенное между 0,3 и 0,4); значение с, судя по всему, меньше, чем -6, но больше, чем 0,36. Разброс экспериментальных оценок коэффициента «2 = а002 заметно меньше разброса имеющихся теоретических оценок этого коэффициента и, по-видимому, а2 не- jmhoto меньше, чем Ь. Имеющиеся единичные опытные оценки коэффициентов а^ = ау и Ягоо = а* малонадежны, но оставляют впечатление, что, вероятно, и ах, и ау не слишком сильно отличаются от единицы. Разумеется, все эти результаты пока еще должны считаться предварительными и требуют дальнейшей проверки и уточнения.
В случае неустойчивой или устойчивой стратификации формула (11.124) должна быть заменена соотношением
ЦХ, У, Z, t04-x) = -^p (2LzX 4(11.125)
'' ' Z3 \ Z Z z l )
где_ Р —универсальная функция четырех переменных, Z = Z(t) и Х = Х^ определяются равенствами (10.69) и (10.70), a L — масштаб длины в стратифицированном пограничном слое, введенный в IV разделе. При сравнительно небольшом т здесь также имеет смысл учесть еще и поправку на высоту источника Н, на которой мы уже нс будем задерживаться.
Формула (11.125) показывает, что при наличии термической стратификации момент 9ктпИ уже нс будет строго пропорциональным [Z(т) ] ^"^Л так как здесь форма распределения примеси ^^X.Y.Z) может зависеть от Z^/L, т. е. меняться с изменением т. Можно, однако, думать, что зависимость от Z/L часто будет не очень сильной, так что и здесь, например, дисперсии о^.
22Х
b°^v и о^2 в ряде случаев в первом приближении допустимо считать пропорциональными Z2 (ср. формулу (10.72')). Это заключе- 598
ние, наверное, будет справедливым при сильной неустойчивости и больших значениях т, когда большую часть времени диффундирующая примесь находится в подслое свободной конвекции (области 2^аз\Ь\), где все характеристики турбулентности не зависят от и*. В таком случае из соображений размерности следует, что
— Л А £ Y/2 — л q § т3х 7 \CpPo 70 / vz 1 СрРо То ’
^^ ^ Оф ^ О^
(Яглом (1965); см. также формулы (10.73) и (10.75')). Считая справедливым полуэмпирическое уравнение (11.55) или (11.55'), постоянные а и од легко выразить через коэффициент Ci формулы (8.36') (иначе, коэффициент Л± = 3/С± формулы Кзз^ = = А\(-Я-—J-V3 Z*^; см. (8.37)). В самом деле, функция
\Срро о /
^6(Х, У, M-T)dXdy = 0oo(Z, т) в силу (11.55') или (11.55) должна удовлетворять уравнению (11.76); поэтому при Кзз(2) ~ ~ Z*k функция 0oo(Z, т) имеет вид (11.94') с п = 4/3. Учитывая,, что
Z = J Z0OO (Z, т) dZ, а2 = $ (Z - Zf 0Ю (Z, т) dZ, о2 о
находим:
а = (—Ц^ Д!/2 « 4 Л'/2> °* ~ °>7Л1 \ 27/3
(Яглом (1972)).
При меньших (но все же достаточно больших) временах диффузии т, когда большую часть времени диффундирующая примесь находится в динамико-конвективном подслое (см. п. 8.3), формулы для 2(т) и ое (т) имеют тот же вид, который указан выше, но числовые коэффициенты а и ai здесь, вообще говоря, уже могут иметь другие значения (в приближении, приводящем к полуэмпирическому уравнению диффузии, они выражаются не через Ci или Л1 = З/Сь а через коэффициент Ci или Д1 = 3/С1, где Ci — коэффициент в формуле (8.36')). Однако горизонтальные дисперсии о »х и о#у здесь уже в силу (10.75") будут удов- 224 q 0
летворять соотношению си ~ о»„ ~-=-
Х" _ Срро 1 0
(1971)). Продольную координату Х(т) центра тяжести облака примеси здесь можно приближенно оценить с помощью формулы (10.62) или несколько более точной формулы (10.7Г), где с\ < 1,. а й(2) находится по относящимся к динамико-конвективному подслою формулам, приведенным в главах 8 и 9. Опираясь на полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии, можно прибли-
женно оценить значение коэффициента сх в формуле (10.71') для диффузии в динамико-конвективном слое: уравнение (11.55) с ^ = КТ приводит к оценке сх ^0,3, а уравнение (11.55') вместе с эмпирическими данными рис. 9.21 и 9.29 заставляет эту оценку еще уменьшить примерно на 20 % (Яглом (1972)). Таким образом, значение сх здесь оказывается неожиданно малым; надо, однако, иметь в виду, что скорость iZ(Z) в динамико-конвективном подслое оч_ень медленно меняется с ростом Z, так что разница между ЦХ) и u^CxZ") здесь при указанных значениях сх оказывается очень небольшой.
В случае сильной устойчивости, как мы знаем, K33(Z)~ ~ u*L = const (см. формулу (8.42)); если 2Кзз^ интерпретировать как dxs^Jdt (ср. (11.53)), то отсюда вытекает соотношение: o^z(t) ~ u*Lt. Естественно думать также, что и Z(t) при сильной устойчивости будет определяться теми же параметрами, которые определяют о^2; в таком случае Z(r) ~ (иДлУ12. Приведенные соотношения, определяющие о^2(т) и Z(r), принадлежат Гаргеру (1978); см. также Бызова, Гаргер и Иванов (1991), п 3.1.1.
Некоторые экспериментальные данные о рассеянии облаков примеси в термически стратифицированном приземном слое атмосферы можно найти в п. 3.4 и 3.5 книги Бызовой, Бартера и Иванова (1991). Однако заметно более удобными для проверки на опыте являются следствия из предположения об автомодельности лагранжевых характеристик, относящихся к распределению концентрации от стационарных источников примеси, о которых будет идти речь ниже.
Согласно формуле (11.125), наземная концентрация примеси от стационарного точечного источника на достаточно большом расстоянии X от этого источника по направлению среднего ветра определяется формулой
^(Х, 0, 0) = Q Jp^j-^, 0, -1; 4^^- (1L126)
В случае линейного источника эту формулу надо заменить соотношением
Y
Z’
. ZXdYdx
’ L) /з '
(11.127)
Последние две формулы можно также переписать в виде
^(Х, 0, 0) = Q Jp^-™^ , 0, — 1;
-, 0, -1; A
72dX
(11.126')
и аналогично
»(Х, 0) = Q ^ j^==^-
' ’ 'JJ ^уХ-Х dZ , dX'
[2 dxdx
d( X _X\d^r .(11.127')
\ Z ) z vr
Для приближенного вычисления интегралов в правых частях (11.126') и (11.127') воспользуемся, следуя Бэтчелору (1959, 1964) и Эллисону (1959), тем, что при большом X облако примеси от мгновенного точечного источника в начале координат должно проплыть мимо плоскости X = const за время, много меньшее, чем время т, требующееся для достижения облаком этой плоскости. Иначе говоря, поскольку 2/Х-*0 при т->-оо, ин- тервал значений X, при которых—=—, 0, —1; — j (^или
Р|—=—,1; —Н заметно отличается от нуля, при
Z Z L
большом X составляет малую долю X. Поэтому при достаточно _/ уу
большом X и фиксированном У/Z допустимо считать Р^—=— уz х/у"у \
-=-, — 1;—J пропорционалным 6^—=—j (это допущение родственно пренебрежению продольной диффузией по сравнению1 с продольным переносом примеси средним течением). Отсюда следует, что равенства (11.126') и (11.127') при больших значениях X можно без большой ошибки заменить приближенными соотношениями
W 0, 0)« —^ j Р^, 0, -1; ^-)^,(11.126")
ЧХ, 0)« —^- J J рк 71, -1; 4)^^. (11.127").
у—ОО —со'
dx
где Z = Z(t) и Х = Х^ берутся при таком т, при котором Х^ = Х. Если нас интересует не наземная концентрация, а концентрация на фиксированной высоте Z, то аргумент —1 функции Р в правых частях последних формул надо заменить на Z/Z—L
В случае диффузии при_ безразличной стратификации функ- дия Р не зависит от ZfL, а Х(т) и Z(r) удовлетворяют соотношениям (10.60')— (10.61'). Поэтому здесь
(11.128)
(11.129)
Отсюда видно, что при нейтральной стратификации концентрация примеси от линейного стационарного источника убывает приблизительно пропорционально Х-1, а от точечного стационарного источника — немного медленнее, чем X-2; эмпирические данные хорошо согласуются с этим выводом. Более аккуратно показатель
РРРРв соотношении ft ~ Х-р можно определить с помощью формулы d 1g 6-п
Р
Р
Р
Р
= -3-1 у-; такое его определение было произведено Серма-
ком (1963), принявшим во внимание также упоминавшуюся выше поправку к Х(т) и 2(т), связанную с конечной высотой источника Н. При этом теоретические значения р = р(Х), вычисленные в предположении, что 6 = с = 0,1, оказались совпадающими с эмпирическими данными ряда авторов (и по лабораторным экспериментам, и по наблюдениям в атмосфере при нейтральной стратификации) даже лучше, чем этого можно было ожидать. Однако позже Паскуил (1966) (см. также конец этого пункта), имея в виду замечания Эллисона (1959) о том, что из полуэм- пирического уравнения турбулентной диффузии как будто бы следует (при а0=1), что b = х, обработал данные многочисленных атмосферных измерений характеристик диффузии при •близкой к нейтральной термической стратификации; при этом он пришел к выводу, что лучше всего соответствует опытным данным оценка b = 0,4. К такому же выводу пришли некоторые другие исследователи; однако надо иметь в виду, что до сих пор все экспериментальные оценки b остаются не очень надежными (см. выше с. 598, а также монографию Бызовой, Гаргера и Иванова (1991)).
В случае стратификации, отличающейся от безразличной, интегралы в правых частях равенств (11.126") и (11.127") могут зависеть от Z/L (т. е. фактически от X). Однако эта зависимость обычно слабее зависимости от X множителей перед интегралами, так что и здесь можно использовать соотношения
»№ 0, 0)»№ 0, 0)QЙТ X (т)=ХQЙТ X (т)=Х^(Х 0)~^(Х 0)~_ Q 2^1 “т 1у(т)=х_ Q 2^1 “т 1у(т)=х
»№ 0, 0)
»№ 0, 0)
Q
ЙТ X (т)=Х
Q
ЙТ X (т)=Х
^(Х 0)~
^(Х 0)~
_ Q 2^1 “т 1у(т)=х
_ Q 2^1 “т 1у(т)=х
Однако функции Х(т) и Z(t) теперь уже определяются соотношениями (10.69) и (10.70), содержащими универсальные функции f^, <pi(£) и ср(^), только асимптотическое поведение которых есть основания считать известным (с точностью до числовых коэффициентов). Так, например, при сильной неустойчивости и достаточно больших (но все же не слишком больших) значениях X, когда вплоть до этого X диффузия в основном происходит в динамико-конвективном подслое приземного слоя, Z(x)~ ~ тьХ (т) ~ т, и, следовательно, Ф (X, 0,0) ~ Х~3, Ф (X, 0) ~ Х-’ь. Можно надеяться (и данные, приведенные в разделе, в известной мере подкрепляют эту надежду), что на значения концентраций б1 (X, 0,0) и ^(Х, 0) в первую очередь будет влиять асимптотическое поведение универсальных функций теории подобия. Если это так, то в первом приближении можно подставить вместо неизвестных функций почти любые функции, изменяющиеся так, как надо, при малых и при больших значениях аргумента. Так,, в частности, поступил Гиффорд (1962), который в_соответствии с (10.71) предположил, что ф1(£) = f(Z) (так что dX/dx = UtZ^ „ а затем выбрал в качестве (?) функцию
1п? + 6?1п? + 6?приприf(u=f(u=In |:|приГ1/3 + (О,ОЗ)“1/3 + In 0,03 приIn |:|приГ1/3 + (О,ОЗ)“1/3 + In 0,03 при:>о,0 < £ < —0,03,£ < —0,03,:>о,0 < £ < —0,03,£ < —0,03,(11.130)(11.130)
1п? + 6?
1п? + 6?
при
при
f(u=
f(u=
In |:|при
Г1/3 + (О,ОЗ)“1/3 + In 0,03 при
In |:|при
Г1/3 + (О,ОЗ)“1/3 + In 0,03 при
:>о,
0 < £ < —0,03,
£ < —0,03,
:>о,
0 < £ < —0,03,
£ < —0,03,
(11.130)
(11.130)
принял, что 6 = 0,1, а функцию ф(^), следуя Казанскому и Монину (1957), определил соотношением <р(£) = [1 — l/f'(£)]/4- По найденной с помощью этих предположений зависимости безразмерной концентрации -^ $ (X, 0) от безразмерного расстояния xb^X/L), Гиффорд подсчитал показатель р в соотношении # (X, 0) Х~р при различных термических стратификациях и различных расстояниях X. Полученные значения р оказались в среднем неплохо согласующимися с опубликованными Баредом (1958) эмпирическими данными диффузионного эксперимента «Прэри Грасс» в О’Нейле, США. После этого Малхотра и Сермак (1963) и Сермак (1963) сравнили результаты расчетов Гиффорда и их модификации, отвечающей еще одной модели функции f(£), с данными некоторых лабораторных измерений диффузии в аэродинамических трубах с подогреваемой нижней стенкой и кое-каких дополнительных полевых диффузионных измерений; здесь также согласие расчетов с результатами измерений оказалось более или менее удовлетворительным. Однако Паскуил (1966), который повторил вычисления Гиффорда, считая, что 6 = 0,4, и особое внимание уделил расчету зависимости Z от X (ранее оценивавшейся также Пановским и Прасадом (1965)), нашел, что результаты расчетов при наличии термической стратификации часто неважно согласуются с опытными данными; при нейтральной же
стратификации согласие оказывается достаточно хорошим, но лишь при 6 = 0,4. Клюг (1968) тоже повторил расчеты Гиффорда, приняв, что b = 0,4, и немного изменив форму функции /(£); при этом и он нашел, что некоторые особенности диффузии при значительной термической стратификации не согласуются с выводами теории. Чодри и Мерони (1973) вместо соотношения <Р(О = [1 — М/ЧО]74 приняли, что ф(^) = [а2фт(?)]“1, а для функций и fi(^) они использовали формулы, рекомендованные Бюсингером и др. (1971); считая, кроме того, что 6 = 0,4, а (7(т)= й[2(т)], они рассчитали зависимость Z от X и получили заметно лучшее согласие с результатами измерений, чем то, которое достигалось в предыдущих работах. Наконец, Хорст (1979) использовал те же функции f(£), fi(£) и 6ф(£), что_и Чодри и Мерони, но отказался от допущения, что £7(т)= £[Z(t)], а вместо этого использовал предположение, что вертикальные профили средней концентрации Ф(Х, Z) при любом фиксированном значении X имеют одну и ту же согласующуюся с данными измерений форму; при этом он получил хорошее согласие как с данными измерений в О’Нейле, так и с данными кое-каких последующих диффузионных экспериментов. Предположение о постоянстве формы вертикальных профилей средней концентрации при разных X (или т) нс очень хорошо согласуется с результатами расчетов концентрации примеси с помощью полуэмпирических уравнений диффузии (Ньистадт и Ван Ульден (1978), Миккельсен (1982), Грюнинг, Ван Ульден и Ларсен (1983)); в целом, однако, в настоящее время можно считать, что выводы из гипотезы о подобии лагранжевых характеристик турбулентности вполне удовлетворительно описывают имеющиеся результаты диффузионных измерений.
Диффузия с конечной скоростью
Параболический характер полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии (11.55) или (11.55') приводит к тому, что примесь, внесенная в жидкость в момент времени /0> немедленно распространяется по всему пространству и в момент /о + т, где т сколь угодно мало, уже может быть обнаружена, хотя бы и в очень малом количестве, на сколь угодно большом расстоянии от источника примеси (см., например, формулу (11.89)). Это обстоятельство явно противоречит ограниченности скоростей движения частиц примеси. Оно связано с тем, что в полуэмпириче- ской теории мгновенная скорость «жидких частиц», как было показано в п. 11.3, оказывается бесконечной. Появление в теории бесконечной скорости не играет большой роли, так как объем, внутри которого концентрация примеси не слишком мала, ограничен, и распределение концентрации внутри этого объема при не слишком малом времени диффузии удовлетворительно описывается параболическим уравнением диффузии. Однако вблизи от
границ облака примеси использование параболического уравнения диффузии может привести к заметным ошибкам. Например, дым, вышедший из трубы высотой Н, достигает поверхности Земли на расстоянии от трубы не менее (и/с)Н, где и — минимальная скорость ветра, а и— максимальная скорость вертикальных движений частиц дыма; в то же время, согласно полуэмпи- ричсскому параболическому уравнению диффузии, дым может быть обнаружен у поверхности Земли сколь угодно близко к трубе. Поэтому в некоторых случаях желательно иметь более общую теорию диффузии, в которой учитывалась бы ограниченность скорости движения жидких частиц. Подобное обобщение теории диффузии (не обязательно турбулентной) было совсем вкратце намечено еще Дж. И. Тэйлором (1925), а затем в разное время предлагалось рядом авторов; в настоящем параграфе мы его изложим, следуя в основном работам Монина (1955, 19566).
Будем считать, что случайная функция Х(х,/), описывающая движение «жидкой частицы», почти всюду дифференцируема по /, и ее производная — скорость «жидкой частицы» ¥(х,/) —ограничена. Функцию Х(х, /) при этом уже нельзя считать марковской функцией от t. Действительно, в случае марковской функции Х(х,/) скорость dX(x, t^/dt всегда будет бесконечной, если только Kij #= 0. Если же Кц = 0, то скорость не будет бесконечной, но функция Х(х, /) уже не будет случайной.
Аналогичная ситуация возникает в случае молекулярной диффузии и броуновского движения из-за инерции диффундирующей (совершающей броуновское движение) частицы: благодаря инерции ее траектория Х(х, /) оказывается всюду имеющей конечную производную V(x, /) = дХ(х, /) /dt, откуда вытекает, что функцию Х(х,/) нельзя считать марковской. В теории броуновского движения учет инерции частиц осуществляется на основе предположения, что марковской является не функция Х(х,/), а шестимерная функция {Х(х,/), V(x,/)} (см., например, Улен- бек и Орнштейн (1930) или Чандрасекар (1947)), Аналогично этому будем поступать далее и мы.
Ограничимся для простоты рассмотрением одномерной задачи о диффузии по направлению оси OZ. В соответствии со сказанным ' выше попытаемся построить обобщение полуэмпирической теории турбулентной диффузии на основе предположения, что марковской является двумерная случайная функция {/(г,/), W^z, /)}, где Z^z.t)—координата «жидкой частицы», a W^Z, /) = — dZ(z, t)/dt— ее скорость. Поставив целью только учет ограниченности скорости W, можно ограничиться грубым описанием возможных значений W. Пусть |№|<С; разобъем всю область возможных значений скорости —С < W < С на конечное число N интервалов Ап и вместо значений W будем указывать лишь номера п интервалов Ап, в которые эти значения попадают. Иначе говоря, вместо случайной функции W^zJ^ будем рассматривать случайную функцию п(/), принимающую дискретные значения
2, ..., N, и примем предположение, что марковской является случайная функция {7(2, t),n(t)}.
Рассмотрим условные вероятности
z
Р {Z (z, t) < Z; n(t)— i\ Z (z, t0) —z] = \ pt(Z\z, t)dZ. (11.131)
Плотность вероятности для координаты «жидкой частицы» 7(2, t) выражается через функции pz(7|2,t) по формуле
p(7|z, 0 = £/MZ|z, О-(11.132)
Общие дифференциальные уравнения марковских случайных процессов, указанные Колмогоровым (1931), в данном случае сводятся к следующей системе уравнений относительно функций р,(7|г,/):
=(Ц1зз>
^ = ^, (7, /) = [Ayz(T|Z, Z)^.
ац = аи (7, О = ^ р (га (/ + т) = 1|7 (г, /) = 7, га (О = /}^_о,
где У/(т|7, /) = 7(2, t + т) — Z(2, Z)— смещение частицы при условии, что значения Z(z,t) = 7 и n(t + т) = п^ = 1 фиксированы. Очевидно, Wi — это математическое ожидание скорости частицы W при условии, что W принадлежит интервалу Ai, так что значение Wi^Z, t) лежит внутри интервала Ai. Смысл величин aji можно пояснить следующим образом. Поскольку функция n^t) принимает только целочисленные значения, она может изменяться лишь скачками, переходя от значения n^t— 0) = / в момент, непосредственно предшествующий 1, к значению* n^t -V^ = I в момент, сразу следующий за t. Величины ац при i #= j — это средние частоты переходов от n(t — 0) = / к п(/4*0) = = 1 (ибо ацМ— вероятность скачка от n = j к п = i в течение промежутка времени (/, / + А/) при условии, что л (/) = /).. Поскольку У P^(t + т) = i|7(2, /) = 7, п(/) = /} = 1, имеем 2«// = 0; следовательно, ац = — 1L ан равно взятой со знаком минус средней частоте переходов от п = i к какому-то другому значению п.
Уравнения (11.133) образуют полуэмпирическую систему уравнений диффузии, соответствующую сформулированным выше предположениям. Эти уравнения надо решать при начальных условиях
(11.134)(11.134)pi^Z\z, t)->Ei(z)d(Z — 2) при t->t0,8i(2) = p{/Z(Z0) = Z|7(z, t^ = z\.
(11.134)
(11.134)
Величины s< задают распределение вероятностей для значений л (/о), т. е. для значений начальной скорости «жидкой частицы».
Любопытная модель диффузии с конечной скоростью, в которой область значений скорости W разбивается на четыре интервала и затем полагается, что каждому из них отвечает единственное значение W, т. е. что W может принимать лишь четыре дискретных значения Уь —Vi, У2 и —У2, была приложена Левиным (1974) (см. также Яглом (1976)) к описанию диффузии в пограничном слое атмосферы в направлении, перпендикулярном среднему ветру. Здесь мы, однако, рассмотрим более подробно лишь самую простую схему, в которой область возможных значений скорости «жидкой частицы» —С < № < С разбивается на два интервала 0 < W < С и —С < W < 0; случайная функция при этом указывает направление движения «жидкой частицы». Предположим, что оба направления равноправны, так что, в частности, ^ = 0; в этом случае можно положить IFi = —1F2 = W (где W — средняя абсолютная скорость частицы) и ai2 = a2i = —Оц= = —о22 = а (где а — частота изменений направления движения). Тогда уравнения (11.133) принимают вид
dpi , dWpt dtdZдргdWp2dtdZdpi , dWpt dtdZдргdWp2dtdZ= а(р, —р,).= а(р, —р,).= 0^, —р2).= 0^, —р2).(11.135)(11.135)
dpi , dWpt dtdZ
дргdWp2
dtdZ
dpi , dWpt dtdZ
дргdWp2
dtdZ
= а(р, —р,).
= а(р, —р,).
= 0^, —р2).
= 0^, —р2).
(11.135)
(11.135)
Уравнения такого типа (или вытекающее из них телеграфное уравнение, которое мы выведем ниже) впервые были получены (для описания одномерной диффузии фотонов) Фоком (1926), затем (для описания молекулярной диффузии с учетом конечности скоростей диффундирующих частиц) — Давыдовым (1935), Каттанео (1948—1949, 1958), Р. Дэвисом (1954), Венотте (1958) и другими авторами; в теории теплопроводности близкие модели обсуждались, в частности, Дефачо (1975), Свенсоном (1978) и Лю (1979). Для описания турбулентной диффузии такие уравнения предлагались Ляпиным (1948, 1950), Гольдштейном (1951) (развившим до уровня математической теории краткие замечания Тэйлора (1921)), Мониным (1955, 19566), Гупта (1959); аналогичные уравнения для двумерной и трехмерной турбулентной диффузии рассматривали Монин (1956в), Бурре (1961) и Гирги- дов (1973, 1975).
Предположим, что диффузия происходит в поле стационарной турбулентности. Тогда величины а и W не зависят от t, следовательно, могут зависеть лишь от Z. Введя новые неизвестные р = Рх + Ра (плотность вероятности для координаты диффундирующей частицы) и q = W(pi — р2) (плотность потока диффундирующих частиц), получим:
(11.136)(11.136)др . dq _п.dt т dZ — и’
(11.136)
(11.136)
Первое из этих уравнений (справедливое и в случае нестационарной турбулентности) выражает закон сохранения количества диффундирующей примеси. Согласно этому уравнению, можно положить
дтР~~ dZ*дтР~~ dZ*ЭФЭФ(11.137)(11.137)
дт
Р~~ dZ*
дт
Р~~ dZ*
ЭФ
ЭФ
(11.137)
(11.137)
Z
причем V = ^(Zlz,/) = J р (Zz12, t) dZ' будет иметь смысл инте
гральной функции распределения вероятностей для координаты Z(z,/) диффундирующей частицы. Подставив формулы (11.137) во второе уравнение (11.136), получаем для функции Ч1 так называемое телеграфное уравнение *
d/2 dt w az w dZd/2 dt w az w dZ(11.138)(11.138)
d/2 dt w az w dZ
d/2 dt w az w dZ
(11.138)
(11.138)
Это уравнение гиперболического типа; оно описывает распространение диффундирующей примеси в пространстве с конечной скоростью, не превосходящей W (на самом деле здесь даже считается, что скорость по модулю всегда равна №). Уравнение (11.138), разумеется, приближенное, так как оно опирается на нестрогую гипотезу о марковском характере функции {Z(/), п(/)}, но все же оно точнее обычного одномерного полуэмпирического уравнения турбулентной диффузии. В самом деле, последнее получается из уравнения (11.138) как некоторый предельный случай. Это легче всего продемонстрировать на примере диффузии в поле стационарной однородной турбулентности, в котором коэффициенты а и W не зависят не только от ^, но и от Z, т. е. являются постоянными. В этом случае р (а также р\ и р2) удовлетворяет такому же уравнению, что и V, а именно — телеграфному уравнению
-^. + 2«^ = И^. (11.139)
Если параметры а и W неограниченно возрастают, причем так, что отношение W2/2a стремится к конечному пределу (который мы обозначим /(), то телеграфное уравнение (11.139) в пределе „1 1др
превращается в параболическое уравнение диффузии =
A 3Z2 •
Решение уравнения (11.139) в неограниченном пространстве —оо < Z < оо при начальных условиях (11.134) имеет вид
P (z I z, t) = e*a' 8,6 (E - Ft) + e26 (^ + Ft) +
(11.140)
где т = / — /о, £ = Z — z. Io и h — символы функций Бесселя мнимого аргумента, и при |£|> Ft функция р принимается равной нулю. Формула (11.140) показывает, что в рассматриваемой теории распределение примеси, диффундирующей от мгновенного точечного источника, имеет четкую границу — «фронт волны» g = ±Fx, на котором сосредоточена конечная доля всего количества диффундирующей примеси (эта доля экспоненциально убывает со временем). За этим «фронтом» тянется непрерывный «след», образованный частицами примеси, испытавшими многократное «рассеяние», т. е. изменение направления движения. В основной части этого «следа» при |£|^Ft правая часть (11.140) при т> 1/а и любых 81 и 82 почти не отличается от функции/у/ ^^-(exp ^v)» являющейся решением параболи-
др v ®®Р у W2 —,
ческого уравнения -^ = К -^-', К = -^. Таким образом, теория диффузии с конечной скоростью приводит к заметному расхождению с выводами из параболического уравнения диффузии при очень малом времени диффузии т ^ 1/а или же вблизи от границы. В качестве иллюстрации на рис. 11.5 приведены графики непрерывной части распределения p^Zfz,^ при ei = е2 =’А и si = 1, е2 = 0 для двух значений ат вместе с графиками, отвечающими параболическому уравнению диффузии.
Математическое ожидание и дисперсия распределения (11.140) описываются формулами
Z-z + ^e.-e^l-e-2^);
= W2t V 1 »-2at(1_»~2атХ2 1(11.141)
(Z — Zy =1 —h (e, — e2)2 ——7;
'' a L 2ат r'’ 4ат J ’
при ат 5> 1 они почти не отличаются от значений Z = г + + "^"(81— 62) и (Z— Z)2 = 2Kt= F2/a. Согласно принятой модели, вероятность «рассеяния» на малом интервале времени т равна ат + О(т), а «рассеяния» на непересекающихся интервалах времени — это независимые случайные события. Поэтому число
v(t) «рассеяний» на интервале времени т — это случайная величина, имеющая распределение Пуассона с параметром аг.
Р {v (т) = /п} =e-Qx.
Рис. 11.5. Сопоставление непрерывной части распределения р^Дх, О при ат — 2 (а) и ат = 5 (б) по теории диффузии с конечной скоростью с распределением Гаусса, вытекающим из параболического уравнения диффузии. .
Кривая 1 отвечает правой части формулы (11.140) (без слагаемых, содержащих б-функции) при et=e2=l/2; кривая 2 —то же, при 81 = 1, е2 = 0; штриховая кривая—распределение Гаусса..
Если обозначить символом рт(£, т) условную плотность вероятности величины Z (z, t) = Z (2, /о + т) при условиях м(<о)=1, v(t) = m, то
= п(11.142)
рЩг, f) = £т) + е2рт(-:, т)].
Эта формула дает разложение распределения (11.140) по «кратности» рассеяний; с помощью (11.140) можно убедиться, что ро(£, т) = 6(£—Wt), а при m ^ 1 функции рш^т) отличны от нуля лишь при |^| ^ 1^т и при этом имеют вид
D , (Г тх Г(т + 3/2)1 ЛV"
, Г(т + 3/2) 1 /£ \/(И.143)
р2т+2^,iPtV + wJv W41) •
При а->оо, №->оо, W2/2a~^ К распределение (11.140) асимптотически приближается к нормальному распределению с математическим ожиданием г и дисперсией W2x/а = 2Кт, являющемуся решением параболического уравнения диффузии “^“ = ^*^'’ Тот же предел достигается, если а и W (а также W2/2a = К) фиксированы и £ фиксировано, а т неограниченно возрастает. Таким образом, при достаточно больших т в точках £, далеких от «фронта волны» £; = ±№т, изложенная схема описания турбулентной диффузии дает практически те же результаты, что и обычная полуэмпирическая теория.
В качестве примера применения теории диффузии с конечной скоростью к случаю неоднородной турбулентности посмотрим, как будет выглядеть эта теория в применении к вертикальной диффузии в приземном слое воздуха. Начнем с простейшего случая нестратифицированного пограничного слоя. В пределах логарифмического слоя с помощью соображений размерности получаем W=Xu*t a = ^u*JZ, где X и ц— универсальные постоянные. Легко видеть, что уравнение (11.138) с такими а и W обращается в обычное уравнение диффузии dpldt—(d!dZ)K dpfdZ при а->оо или ц-^-оо, №->оо или Х->со, W2[a->2K. Поскольку W2(2a имеет смысл коэффициента турбулентной диффузии К, должно выполняться соотношение ц=Х2/2х (для простоты будем считать, что а=1; в противном случае х надо всюду заменять на х'=ах). Переходя к безразмерным переменным £=Z/L, т=Хы*(/ — to)IL, где L — произвольный масштаб длины, уравнение (11.138) можно переписать в виде
(11.144)(11.144)d2^2/1 дф _ д2¥
(11.144)
(11.144)
Jr2 + С дт dt2 ’
где n=X/2x=const. Удобно в качестве масштаба L для измерения высот Z избрать высоту источника Я, так что ^=Z]H и x—Xu*{t — t^jH. Если же Я=0 (наземный источник), то удобнее всего использовать размерные переменные £ = Z и т = Xu*(t—/0). Начальные условия для Ч^, т) можно сформулировать сначала в терминах условных плотностей вероятности р\ и рг, удовлетворяющих уравнениям (11.135):
рх (Z\H, O-e^Z-tf), Pi(Z\H, /)— e26(Z-^) при /-/о.
где 81 и е2 — вероятности положительного и отрицательного направления начального движения диффундирующей частицы, определяемые из физических соображений (например, для частиц дыма, выходящих из дымовой трубы, естественно принять, что 81=1, е2=0, а для частиц газа, распространяющихся от точки разрыва снаряда, 8i = e2=l/2). Однако поскольку
г
(jh + p^dZ и -^- = — W (pi—^2) о
в силу формул (11.137), для функции Ч, начальные условия записываются в виде
ЧГ^ 0)=Е^- 1). ^-^lL|=(в2-81) 6U-1), (11.145)
OX lt-0
где Е®—сосредоточенное в точке £=0 распределение вероятностей, т. е. функция, равная нулю при £ < 0 и единице при 5^0.
Интересующее нас решение уравнения (11.144), удовлетворяющее условию отражения примеси на поверхности Земли Z = 0, очевидно, будет совпадать с решением уравнения
д2ф , 2п дТ дт2 + |g| дтд2ф , 2п дТ дт2 + |g| дтd2W at,2d2W at,2(11.146)(11.146)
д2ф , 2п дТ дт2 + |g| дт
д2ф , 2п дТ дт2 + |g| дт
d2W at,2
d2W at,2
(11.146)
(11.146)
во всем пространстве — оо < £ < оо, соответствующим наличию, кроме источника в точке Н, также и симметрично действующего источника в точке —Н. Поэтому можно положить ^(^ т)=Чг1(£, т) + Ф^—£, т), где Ф1(£, т)—решение уравнения (11.146), удовлетворяющее условиям (11.145). В частном случае наземного источника (при //=0) в условиях (11.145) надо полагать ei = l, 62=0, а решение Ф1(£, т) здесь обращается в функцию Фо (5, т), которая может зависеть только от отношения своих аргументов 5=£/r=Z/Xu*(f— to), т. е. имеет вид Фо(£, t)=F^). При этом уравнение (11.146) обращается в обыкновенное уравнение второго порядка относительно F(^), решение которого, отвечающее условиям задачи, имеет вид
00Фо (£, t) = FU) =Фо (£, t) = FU) =11при § < 0,при 0<£<1, при g > 1при § < 0,при 0<£<1, при g > 1(11.147)(11.147)(Монин (19566)). Следовательно, концентрация(Монин (19566)). Следовательно, концентрацияпримеси ^ — Qпримеси ^ — QdW0-^-здесь заdW0-^-здесь за
0
0
Фо (£, t) = FU) =
Фо (£, t) = FU) =
1
1
при § < 0,
при 0<£<1, при g > 1
при § < 0,
при 0<£<1, при g > 1
(11.147)
(11.147)
(Монин (19566)). Следовательно, концентрация
(Монин (19566)). Следовательно, концентрация
примеси ^ — Q
примеси ^ — Q
dW0
-^-здесь за
dW0
-^-здесь за
дается формулой
4(Z, /|0) =4(Z, /|0) =Q (1 - Z/X^t)"-1W»x (1+Z/Ak,t)"+1 'Q (1 - Z/X^t)"-1W»x (1+Z/Ak,t)"+1 '0 ^ Z ^ Ли^т.0 ^ Z ^ Ли^т.(11.148)(11.148)
4(Z, /|0) =
4(Z, /|0) =
Q (1 - Z/X^t)"-1
W»x (1+Z/Ak,t)"+1 '
Q (1 - Z/X^t)"-1
W»x (1+Z/Ak,t)"+1 '
0 ^ Z ^ Ли^т.
0 ^ Z ^ Ли^т.
(11.148)
(11.148)
Отметим, что F(1—0) = 1 согласно формуле (11.147), т. е. функция F^) непрерывна в точке 5=1; иными словами, доля примеси, находящаяся на «фронте» Z=Xu*r, во все моменты времени равна нулю (это объясняется тем, что в точке Z = 0 частота «рассеянии» а бесконечно велика, так что частица, вышедшая из источника в точке Z=0, не может не испытать ни одного рассеяния). Поведение концентрации примеси около «фронта» существенно зависит от значения числовой постоянной п=Х/2х. При n < 1 (т. е. Х<2х«0,8) концентрация примеси неограниченно растет при приближении к «фронту», так что он имеет характер сильного разрыва. При п > 1 (т. е. Х>2х^0,8), наоборот, концентрация примеси при приближении к фронту стремится к нулю (а при п=1 — к некоторому конечному значению). Экспериментальным данным Казанского и Монина (1957) лучше всего соответствует значение п, близкое к единице. В экспериментах этих авторов измерялись профили концентрации примеси в дымовой струе от стационарного линейного источника, перпендикулярного направлению ветра, на расстоянии от источника в 100 м. Двадцать измеренных профилей были сведены на один график в форме Ф/^тах —f(Z///), где Фтах— наибольшее значение концентрации дыма для данного профиля (которое из-за того, что дым был теплее воздуха и поэтому стремился подняться вверх, обычно достигалось не при Z=0, а на небольшой положительной высоте), а Н — высота дымовой струи в точке измерения. Эмпирические данные о ^l^max следует сравнить с теоретической кривой f (Q = (1 — — С)"”*1 (1 + С)—л ~1. Такое сравнение проведено на рис. 11.6, где штриховыми кривыми представлены теоретические функции с п=1 и п=5/4. График показывает, что концентрация дыма при приближении к «фронту» остается, по крайней мере, ограниченной (т. е. п ^ 1) и что теоретическая кривая с п=\ все же
лучше аппроксимирует экспериментальные данные, чем кривая с п=ьЦ. В одном из опытов Казанского и Монина с помощью кинематографирования одиночного клуба дыма был также изучен характер роста его вертикального диаметра d со временем. При этом оказалось, что экспериментальная кривая d^ хорошо аппроксимируется прямой d=W\t — /о), причем значение X=Wlu» оказалось равным 0,75, чему опять соответствует значение п=Л/2х, близкое к единице. С другой стороны, естественно допустить, что средняя квадратичная скорость диффундирующих частиц, согласно рассматриваемой теории равная IF=Xu*, имеет такой же порядок, как типичная эйлерова вертикальная скорость течения в пограничном слое Ow. Поскольку о^/м*^ 1 (см. п. 6.3 и 9.5), опять полу-
чается Х/2х«1.
При сопоставлении теории диффузии с конечной скоростью с обычной по- луэмпирической теорией турбулентной диффузии решение (11.148) целесообразно сравнивать с решением (11.933'), отвечающим случаю линейного возрастания коэффициента обмена К = ии*2 = = KiZ. Такое сопоставление (в предположении, что и =1,25) представлено на заимствованном из книги Паскуила (1974) рис. 11.7. Мы видим, что профиль средней концентрации $ (Z) при каждом фиксированном т=/ — /0 в пределах значений Z, которым еще соответствуют относительно большие значения кон-
Рис. 11.6. Вертикальное распределение плотности дыма в дымовой струе.
центрации -0-, принимает очень близкую форму в теории диффузии с конечной скоростью и в обычной полуэм лирической теории. Существенное расхождение профилей наблюдается лишь около «вершины» облака примеси, где согласно теории диффузии с конечной скоростью концентрация внезапно падает до нулевого значения, в то время как согласно обычной теории она продолжает плавно убывать, оставаясь отличной от нуля при сколь угодно больших значениях Z.
Другой вариант полуэмпирической теории диффузии с конечной скоростью, приводящий к гиперболическому уравнению диффузии с зависящими от времени т (а не от Z) коэффициентами, рассмотрел Яглом (1975, 1976). В приложении к диффузии от наземного точечного источника в нейтрально стратифицированном (логарифмическом) приземном слое эта теория также позволяет найти явное выражение для'0,(Z, т), которое теперь уже имеет вид
= ’ 0<Z<Xu^ (11.148') х“*т \ XzuzV /
где X имеет тот же смысл, что и выше, а ц — это решение трансцендентного Уравнения л“’^Т (ц + 1/2)/Г (ц) = м, 1г = Х/2и. Распределение примеси, описываемое формулой (11.148'), заметно отличается от распределения (11.148), но имеющиеся экспериментальные данные до сих пор не позволяют уверенно выбрать одно из этих двух распределений.
Интересно сопоставить оценки лагранжевых статистических характеристик, полученные в п. 11.5 при использовании обычной полуэмпирической теории, с оценками по теории диффузии с конечной скоростью; такое сравнение может дать представление о точности полуэмпирической теории. Будем исходить из
(1—£)"-* (l+£)n+1(1—£)"-* (l+£)n+1;^-<z)2=;^-<z)2=
(1—£)"-* (l+£)n+1
(1—£)"-* (l+£)n+1
;^-<z)2=
;^-<z)2=
решения (11.148) и для простоты положим, что и=1, а также пренебрежем различием между х и х' = ах. Согласно (11.148), имеем
<Z>= Z»(Z, t)dz \ »(z, t^) dZ = —^-\^—^w^ = 0/ 00 v ~
= 4 (In 2 — 0,5) хн*т « 0,77хн*т при n=l, t. e. Z = 2x.(11.149)
Мы видим, что теория диффузии с конечной скоростью приводит к оценке константы в лагранжевой формуле 2=Ьил (см. 10.61')), которая приблизительно на 13 % ниже оценки по обычной теории диффузии, если выбрать разум-
Рис. 11.7. Сопоставление вертикального распределения концентрации по теории диффузии с конечной скоростью (/) с распределением, получаемым из параболического уравнения диффузии с линейным по высоте коэффициентом обмена (2).
ное значение вертикальной скорости W. С другой стороны, если аналогичным образом оценить значение о^ = <Z-(Z»2, то получается
/1
а^ = J Z4 (Z, t) dZ I { ^ (Z, t) dZ — <Z)2 =
0/ 0
= [8 (1,5 — 2 In 2) — 16 (In 2 — 0,5)2] xVr2 « 0,32x2u2t2 при n=l. (11.149')
Мы видим, что оценка константы d33 в лагранжевой формуле D33 (т) =d33u2t2 составляет только около 30 % оценки по обычной теории диффузии, а оценка стандартного отклонения о^ —около 55 %, если выбрать то же значение W. Для того чтобы оценить на основе теории диффузии с конечной скоростью значение коэффициента с в формуле (10.60), надо рассмотреть двумерную задачу распространения примеси в логарифмическом пограничном слое от мгновенного линейного источника, расположенного на оси ОУ. Пренебрегая, как это обычно делается, продольной диффузией по сравнению с переносом примеси средним течением, мы в таком случае получим следующую систему уравнений относительно неизвестных р(Х, Z, 1^=р\^р2 и q^X, Z, t) = W(pi— рг), обобщающую систему (11.136):
41 + a(Z)^ —A(Ц.136-)
"^" + й <z> "5У + ^"4 ="А-
(см. Яглом (1972)).
Учитывая формулу (6.31) для u(Z) и то, что
dX!dt = jj j й (Z) р (X, 2, О dXdZ,— ОО О
легко получить соотношение
с = X ехрс = X ехр2п j2п j(i-O*-1(I'+^+l(i-O*-1(I'+^+lln£d£ln£d£при n>l.при n>l.
с = X ехр
с = X ехр
2п j
2п j
(i-O*-1
(I'+^+l
(i-O*-1
(I'+^+l
ln£d£
ln£d£
при n>l.
при n>l.
Отсюда, в частности, следует, что с/х «0,5 при п=1, что очень мало отличается от результата Чатвина (1948) с/х «0,56, полученного с помощью обычного параболического уравнения диффузии. Значения отношений Ь/н, cl^, d&№ и d^/к (а также и отношений аОоз/х3 и а004/х\ где аОоз и Ооо4 — коэффициенты в формулах (11.124') для 0ооз(т) и 0оо4(т)) при целом ряде значений параметра п можно найти в работе Яглома (1972); аналогичные результаты, опирающиеся на теорию, приводящую к формуле (11.148'), см. в статье Яглома (1975). Общий вывод из всех относящихся сюда результатов можно сформулировать следующим образом: обычные полуэмпирические уравнения диффузии параболического типа можно использовать для приближенной оценки положения центра тяжести облака примеси в пограничном слое, но получаемым на этой основе оценкам вторых и более высоких моментов распределения примеси доверять ни в какой мере нельзя.
При Х^оо функция (11.148), естественно, стремится к функции (11.93'), являющейся решением параболического уравнения диффузии
~дГ~ "dzxu*z "дГ
В случае наземного точечного источника, производящего примесь, начиная с момента ^=0, с постоянной (единичной) скоростью, концентрация i (Z, 0 находится с помощью интегрирования по времени решения (11.148): при /->-оо отсюда легко получается следующее разложение по степеням 1//:
MZ2, О-М^ь /)=— f -^^тг^«
(in А 4. j^=2j_+\(11.150)
XU* \ Z2 xu*//'’
Эта формула позволяет оценивать скорость приближения профиля концентрации к логарифмическому профилю, соответствующему стационарному наземному источнику.
В случае высотного источника (на произвольной высоте Я) решение соответствующей задачи с начальными условиями для уравнения (11.146) может быть найдено с помощью общего метода Римана решения дифференциальных уравнений второго порядка гиперболического типа. Это решение имеет значительно более громоздкий вид (оно представляется в виде интеграла от сложной комбинации гипергеометрических функций; см. Монин (19566)). Тем не менее в некоторых случаях оно может быть заметно упрощено. Так, например, для наземной концентрации примеси от высотного мгновенного точечного источника, выпустившего всю примесь вверх (дымовая труба), получается формула вида
дт пт 1 [d^t+O, т) cW, (-0, тИ_2п (Т-1)" о(о,/|Я) = -г[к^ТГ+Т)"^1"’
(11.151)
Исходя из формул (11.140) и (11.151) для распределения наземной концентрации по направлению ветра от дымовой трубы высотой Н можно получить формулу
где
/ю=е-Ч/ои)+л(0]. в=^#>>. а=^ к'=^>
Q — масса дыма, выходящего из трубы за единицу времени, [/ — скорость ветра (предполагаемая постоянной), а «1 и aj—средняя скорость движения и частота «рассеяний» частиц, диффундирующих в горизонтальной плоскости поперек направления ветра. Параметр а следует считать малым, и при оценке положения и величины максимума функции (11.152) можно приближенно заменить f(a£) единицей.
Рассмотрим вкратце диффузию с конечной скоростью в термически стратифицированном пограничном слое. В этом случае распределение концентрации - - дф*
^(Z, t) следует определять по формуле О = Q -^ , гДе 4r=4r(Z, /)—решение телеграфного уравнения (11.138) при надлежащих краевых условиях (ниже будем использовать лишь условие «отражения» примеси при Z=0) и начальном условии, отвечающем наличию в момент /=/о мгновенного точечного источника примеси единичкой интенсивности в точке (0, 0, Н). В силу общих принципов подобия, развитых в IV разделе, следует ожидать, что коэффициенты W (размерности скорости) и а (размерности частоты) могут быть представлены в виде
W-Xu^x^), a = ^.(p2(£), (11.153)
где ф1 и ф2— безразмерные универсальные функции, а X— введенная для удобства числовая постоянная, позволяющая наложить на функцию Ф1(?) дополнительное ограничение ф1 (0) = 1 (при этом X будет иметь смысл предельного значения Wla* при ZIL->0, т. е. отношения W(u* при безразличной стратификации). Поскольку рассматриваемая теория диффузии не является точной, имеет смысл привлечь дополнительные приближенные соображения полуэмпирического характера и для определения функций ф1(£) и ф2(£). Это можно сделать, например, следующим образом. Примем за основу полуэмпирическое соотношение К = и*Ц\—oRf)*/* (см. главу 7); если,кроме того,допустить, что K~Wl, то отсюда вытекает, что
№ ~ и* (1 — aRf)l/4 т. е. ф| (С) =[^1 — —^-JM. (11.154) где f (£) — универсальная функция, определяющая профиль средней скорости ветра в приземном слое воздуха. Воспользуемся тем, что в стационарном случае уравнения (11.136) имеют вид _
q = const, 2aq = — W - j^ , (11.155)
где q—вертикальный поток диффундирующей примеси. При безразличной стратификации W = Хи* = const; поэтому правую часть второго уравнения (11.155)
можно записать в виде —w2 ■ • В общем случае это уже не так, но можно надеяться, что и тогда поправка к слагаемому — W2 -^ ■ будет относительно невелика и не будет играть большой роли. Таким образом, в первом приближении можно положить
дО- _ 2aq 2q ф2 (Q
dZ W» - "x^Z [q,, (О]2 '
С другой стороны, если пренебречь возможным различием коэффициента турбулентной диффузии и коэффициента турбулентной вязкости, то, согласно теории подобия, градиент стационарного распределения концентрации пассивной примеси будет описываться формулой
Сравнивая эти выражения для d^/dZ и используя формулу (11.154), получаем:
Ф2(£)=-^'(о[1-р^у]1/2.(11.156)
Формулы (11.153), (11.154) и (11.156) при известной функции f(y и известной постоянной о (которую допустимо считать принимающей разные значения при устойчивой и при неустойчивой стратификации) полностью определяют вид коэффициентов телеграфного уравнения диффузии (11.138) для приземного слоя воздуха при произвольной стратификации. При этом предельный переход а-^-оо, W-^-oo, W2/2a^ К=const, соответствующий замене телеграфного уравнения обычным параболическим уравнением диффузии, будет эквивалентен переходу к пределу при Х~>-оо.
Пользуясь полученными формулами и переходя к безразмерным переменным 1^—ZIL и т=ХиД1— to)jL, мы можем привести уравнение (11.138) к виду
(11.157)(11.157)2п dW _ d2Wдт + g U) От ~ д£2 *
(11.157)
(11.157)
где п = Х(2х, а переменная £ и функция g^) определяются формулами
о 1-1/V- 1 ГГ (£)J;’ 8~ Г O.Lо 1-1/V- 1 ГГ (£)J;’ 8~ Г O.Lа -1—1/2Г (С) Jа -1—1/2Г (С) J(11.158)(11.158)
о 1-1/V- 1 Г
Г (£)J;’ 8~ Г O.L
о 1-1/V- 1 Г
Г (£)J;’ 8~ Г O.L
а -1—1/2
Г (С) J
а -1—1/2
Г (С) J
(11.158)
(11.158)
Как и функция /(У, переменная £ и функция g^) в случаях безразличной, устойчивой и неустойчивой стратификации определяются по-разному. Так, в случае безразличной стратификации во всех предыдущих формулах следует перейти к пределу L-*oo или ^=ZIL-^0. Однако р (£)«!/£, £«£ и g~^ при малых |У; поэтому уравнение (11.158) здесь принимает вид
(11.159)(11.159)д2¥ 2п № _ д2^дт2 + £ дт - д^2 *
(11.159)
(11.159)
Если вернуться от безразмерных переменных (5, т) к размерным переменным (Z, t), то масштаб L сократится. Поэтому в случае безразличной стратификации мы можем пользоваться уравнением (11.159), понимая дод L любой конечный масштаб. В случае устойчивой стратификации, пользуясь для /(У, нацример, интерполяционной формулой /(У«1п£ + С2У где С2= 1/Rfcr=0, при больших £ получаем: f' (5) — о + С. 5 — С1, и g ~^/б. В случае неустойчивой стратификации при больших £ имеем f' (О~£—‘*’> так что 1~£ и g~£*‘- Следовательно, функция g(%) в уравнении (11.157) при устойчивой стратификации возрастает с увеличением § медленнее, чем £, а при неустойчивой стратификации — быстрее; в этом и заключается основное качественное отличие указанных случаев от случая безразличной стратификации.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Абрамович Г. Н.
Теория турбулентных струй. М., Физматгиз.
А и к с, Уэсли, К а у л т е р, Харт, Д э р х е м, Спир и Стедман (Aicks В. В., Wesely М. L., Coulter R. L, Hart R. L, Durham J. L, Speer R., Stedman D. H.)
An experimental study of sulfur and NOX fluxes over grassland, Bound.-Layer Meteor., 34, No. 1—2, 103—121.
А л e p c (Ahlers G.)
Low-temperature studies of the Rayleigh-Benard instability and turbulence, Phys. Rev. Lett, 33, 1185—1188.
Аллен и Тэйлор E. (Allen С. M., Taylor E. A.)
The salt velocity method of water measurement. Trans. Amer. Soc. Meeh. Engrs, 45, 285—341.
А н д p о н о в А. А., В и т т А. А. и X а й к и н С. Э.
Теория колебаний, 2-е изд. М.: Физматгиз.
Андронов А.;А. и Понтрягин Л. С.'
Грубые системы. Докл. АН СССР, 14, № 2, 247—251.
Андреопулос, Да р ст, 3 а р ич и Иованович (Andreopoulos Т., Durst F., Zaric Z., Jovanovic T.)
Influence of Reynolds number on characteristics of turbulent wall boundary layer, Exp. Fluids, 2, No. 1, 7—16.
Андре и Блондин (Andre J.-C., Blondin С.).
On the effective roughness length for use in numerical three-dimensional models. Bound.-Layer Meteor., 35, No. 3, 231—245.
Андре, Де Моор, Лакаррер и др. (Andre J.-C., de Moor G., Lacar- rere P. et al.)
. Turbulence approximation to inhomogeneous flows 1, J. Atmos. Sci.^ 33, No 3, 476—481.
Turbulence approximation to inhomogeneous flows 2, J. Atmos. Sci.r 33, No 3, 482—491.
Усеченная аппроксимация .и моделирование неоднородной турбулентности. В кн.: Турбулентные сдвиговые течения I. Ред. Ф. Дурст и др.. М.: Машиностроение, 322—334.
Аносов Д. В.
Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отри'цательной кривизны. Труды МИАН СССР, 90, 3—209.
Ар а неон И. С., Гапонов-Грехов А. В. и Рабинович М. И. (Агап- son I. S., Gaponov-Grekhov А. V., Rabinovich М. I.)
Развитие хаоса в ансамблях динамических структур. ЖЭТФ, 89, № 1, 92—94.
Рождение автоструктур. Иерархия неустойчивостей и бифуркации.. Изв. АН СССР. Сер. физическая, 51, № 6, 1133—1143.
The onset and spatial development of turbulence in flow systems.. Physica, 33D, No. 1/3, 1—20.
Ар ансон И. С., Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М. И. и Старо б и н ец И. М.
Странные аттракторы и пространственное развитие турбулентности в потоковых системах. ЖЭТФ. 90, № 5, 1707—1718.
Ариель Н. 3. и Надежина Е. Д.
Безразмерные характеристики турбулентности при разных условиях стратификации. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 12, № 8, 802—809.
Арис (Aris R.)
On the dispersion of a solute in a fluid flowing through a tube, Proc. Roy. Soc., A235, No. 1200, 67—77.
Арнольд В. И.
Об условиях нелинейной устойчивости плоских стационарных криволинейных течений идеальной жидкости. Докл. АН СССР 162, № 5, 975—988.
Математические методы классической механики. М.: Наука.
Ария (Arya S. Р. S.)
A drag partition theory for determining the large-scale roughness parameter and wind stress on the Arctic pack ice. J. Geophys. Res., 50, No. 24, 3447—3454.
Афендиков A. Л.. Бабенко К. И.
О потере устойчивости течения Куэтта при различных числах Россби. Докл. АН СССР, 281, № 3, 548—551.
АфраймовичВ. С., Быков В. В., Шильников Л. П.
О возникновении и структуре аттрактора Лоренца. Докл. АН СССР, 234, № 2, 336—339.
А х и е з е р Н. И.
Классическая проблема моментов. М.: Физматгиз.
Б а бенк о К. И., Афендиков А. Л. и Юрьев С. П.
О бифуркации течения Куэтта между цилиндрами в случае двукратного собственного значения. Докл. АН СССР, 266, № 1, 73—78.
Бабин А. В., Виши к М. И.
Существование и оценка размерности аттракторов квазилинейных параболических уравнений и системы Навье—Стокса. Успехи матем. наук, 37, № 3, 173—174.
Аттракторы эволюционных уравнений. М.: Наука.
Бай Ш и - и (Pai Shih-i)
Fluid dynamics of jets, Toronto — N. Y.—London: Van Nostrand (nep. на рус. яз.: Бай Ши-и, Теория струй. М.: ИЛ, 1960).
Б а к в е л л и Л а м л и (Bakewell Н. Р., Lumley J. L.)
Viscous sublayer and adjacent wall region in turbulent pipe flow. Phys. Fluids, 10, No. 9, 1880—1889.
Бар ед (Barad M. L.)
Project Prairie Grass, a field program in diffusion, vols. 1—2. Geophys. Res. Pap., No. 59, Cambridge, Mass.
Analysis of diffusion studies at O’Neill, Adv. Geophys., 6 (Atmospheric Diffusion and Air Pollution), 389—398 (пер. на рус. яз. в сб.: Атмосферная диферузия и загрязнение воздуха. М.: ИЛ, 1962, 428— 438).
Examination of a wind profile proposed by Swinbank. J. Appl. Meteor., 2, No. 6, 747—754.
Бар ед и Хоген (Barad М. L., Haugen D. A.)
A preliminary evaluation of Sutton’s hypothesis for diffusion from a continuous point source. J. Meteorol., 16, No. 1, 12—20.
Баренблатт Г. И.
О движении взвешенных частиц в турбулентном потоке. Прикл. матем. мех., 17, № 3, 261—274.
О движении взвешенных частиц в турбулентном потоке, занимающем полупространство или плоский открытый канал конечной глубины. Прикл. матем. мех., 19, № 1, 61—88.
Динамика турбулентных пятен и интрузии в устойчиво стратифицированной жидкости. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 14, № 2, 195—206.
Баренблатт Г. И., Монин А. С.
О возможном механизме явления дискоидных образований в атмосфере. Докл. АН СССР, 246, № 4, 834—837.
Барнс и Кокер (Barnes Н. Т., Coker Е. G.)
Experiments on streamline motion and the measurements of critical velocity. Proc. Roy. Soc., London, 74, No. 503, 341—356.
Б e г ь e (Beguier C.)
Mesures des tensions de Reynolds dans un ecoulement dissymetrique en regime turbulent incompressible. J. Mecan., 4, No. 3, 319—334.
Бен и лов А. Ю., Филюшкин Б. Н.
Приложение методов линейной фильтрации к анализу флуктуаций в поверхностном слое моря. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 6, № 8, 810—819.
Бенни (Benney D. J.)
A non-linear theory for oscillations in a parallel flow. J. Fluid Meeh., 10, No. 2, 209—236.
Finite-amplitude effects in an unstable laminar boundary layer. Phys. Fluids, 7, No. 3, 319—326.
Берже (Berge P.)
Rayleigh—Benard convection in high Prandtl number fluid, in: Chaos and Order in Nature (ed. by H. Haken). Berlin: Springer—Verlag, 14—24.
Берже и Дюбуа (Berge P., Dubois M.) r
Transient reemigrant order in convective spatial chaos. Phys. Lett., 93A, No. 8, 365—367.
Берже, Дюбуа, Манневиль и П о м о (Berge Р., Dobois М., Меп- neville Р., Pomeau У.) 1980. Intermittency in Rayleigh—Benard convection. J. de Phys. Lett., 41, No. 15, 341—345.
Б e p л я н д M. E.
Теория изменения ветра с высотой. Труды научно-иссл. учр. Глав», упр. гидрометслужбы, сер. I, № 25, 16—67.
Современные проблемы атмосферной диффузии и загрязнения воздуха. Л.: Гидрометеоиздат.
Прогноз и регулирование загрязнений атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат.
Б ер л янд М. Е., Генихо в ич Е. Л., Ложкина В. П. и О ник ул Р. И. 1963. Численное решение уравнений турбулентной диффузии и расчет загрязнения атмосферы вблизи промышленных предприятий. Труды ГГО, вып. 138, 3—17.
Численное исследование атмосферной диффузии при нормальных и аномальных условиях стратификаций. Труды ГГО, вып. 158, 22—31. Берлянд М. Е., О ник ул Р. И.
Физические основы расчета рассеивания в атмосфере промышленных выбросов. Труды ГГО, вып. 234, 3—27.
Бернстейн (Bernstein А. В.)
. An examination of three wind profile hypotheses. J. Appl. Meteor., 5, No. 2, 217—219.
A new dimensional approach to the problem of flux-gradient relationships near the ground. Quart. J. Roy. Met. Soc., 92, 560—566.
Бертон (Burton R. A.)
A simple universal velocity profile equation. A. I. A. A. J. 3, № 4, 784—785.
Б e т ч о в (Betchov R.)
On the mechanism of turbulent transition. Phys. Fluids, 3, No. 6, 1026—1027.
Бетчов и Криминале (Betchov R., Criminale W. O., Jr.)
Spatial instability of the inviscid jet and wake. Phys. Fluids, 9, No. 2, 359—362.
Stability of Parallel Flows. New York: Academic Press (пер. на рус. яз.: Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971).
Бетчов и Шевчик (Betchov R., Szewczyk А.)
Stability of shear layer between parallel streams. Phys. Fluids, 6, No. 10, 1391—1396.
Б е т ч о в и Я г л о м
Замечания о теории подобия для турбулентности в неустойчиво стратифицированной жидкости. Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 7, № 12, 1270—1279.
Б и р и х Р. В.
О спектре малых возмущений плоскопараллельного течения Куэтта. Прикл. матем. и механ., 29, № 4, 798—800.
О малых возмущениях плоскопараллельного течения с кубическим профилем скорости. Прикл. матем. и механ., 30, № 2, 356—361.
Б и р к г о ф (Birkhoff G.)
Helmholtz and Taylor instability. Proc. Symp. Appl. Math., 13, (Hydrodynamic instability) 55—76 (Пер. на рус. яз. в сб.: Гидродинамическая неустойчивость, М.: Мир, 1964, 68—94).
Биркгоф и Кампе де Ферье (Birkhoff G., Kampe de Feriet J.)
Kinematics of homogeneous turbulence. D. Metric transitivity. J. Math. Meeh., 11, No. 3, 319—340.
Биркгоф и Царантонелло (Birkhoff G., Zarantonello E. H.)
Jets, wakes and cavities, N. Y.: Acad. Press, (пер. на рус. яз.: Струи, следы и каверны, М.: Мир, 1964).
Бишоп (Bishopp F. Е.)
Nonlinear effects in thermal convection, J. Math, and Meeh., 11, No. 5, 647—663.
Блазиус (Blasius H.)
Das Ahnlichkeitsgesetz bei Reibungsvorgangen in Flussigkeiten, For- schungsarbeiten des Ver. Deutsch. Ing. No. 131.
Блом и де Вриз (Blom J., DeVries D. A.)
О величине турбулентного числа Прандтля, в сб.: Тепло- и массо- перенос, т. 1 (Труды 3-го Всесоюзн. совещан. под ред. А. В. Лыкова и Б. М. Смольского). М.: «Энергия», 147—154.
Блэквелдер (Blackwelder R. F.)
Analogies between transitional and turbulent boundary layers, Phys. Fluids, 26, No. 10, 2807—2815.
Блэквелдер и Эккельман (Blackwelder R. F., Eckelmann H.)
Streamwise vortices associated with the bursting phenomenon. J. Fluid Meeh., 94, No. 3, 577—594.
Блэкедар (Blackadar A. K.)
The vertical distribution of wind and turbulent exchange in a neutral atmosphere, J. Geophys. Res., 67, № 8, 3095—3102.
External parameters of the wind flow in the barotropic boundary layer of the atmosphere, in: Global Atmosphere Research Programme (Rep. Study Conf., Stockholm, 28 June—11 July 1967), Stockholm, IV.l— IV.ll.
Блэкедар и Теннекес (Blackadar A. К., Tennekes H.)
Asymptotic similarity in neutral barotropic planetary boundary layer, J. Atmos. Sci., 25, No. 6, 1015—1020.
Бобылева И. M., ЗилитинкевичС. С., Лайхтман Д. Л.
Турбулентный режим в термически стратифицированном планетарном слое. В сб.: Атмосферная турбулентность и распространение радиоволн (ред. А. М. Яглом и В. И. Татарский). М.: Наука, 179—190. БовшеверовВ. М. и Ворон-овВ. П.
Акустический флюгер. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 6, 882—885. Бовшеверов В. М., Гурвич А. С., Мордухович М. И. и Ц в а н г Л. Р.
Приборы для измерений пульсаций температуры и скорости ветра и для статистического анализа результатов измерений. В сб.: Атмосферная турбулентность (Труды ИФА АН СССР, № 4), 21—29.
БовшеверовВ. М., Г урв ич А. С., Татарский В. И. и Цв а нг Л. Р. 1959. Приборы для статистического анализа турбулентности, Труды совещ. по исслед. мерцания звезд. М.: Изд. АН СССР, 26—32.
Б о в ш ев е р о в В. М., Г у р в и ч А. С. и Ц в а н г Л. Р.
Прямые измерения турбулентного потока тепла в приземном слое атмосферы. Докл. АН СССР, 125, № 6, 1242—1245.
Богард и Тидерман (Bogard D. G., Tiderman W. G.)
Characteristics of ejections in turbulent channel flow. J. Fluid Meeh., 178, 1—19.
Боз анке и Пирсон (Bosanquet С. Н., Pearson J. L.)
The spread of smoke and gases from chimneys. Trans. Faraday Soc., 32, No. 8, 1249—1263.
Болдуин и Майкельсен (Baldwin L. M., Mickelsen W. R.)
Turbulent diffusion and anemometer measurements. J. Eng. Meeh., 88, No. 1, 37—69; discussion, 151—153.
Болтон, Буссе и Клевер (Bolton Е. W., Busse F. H., Clever R. M.)
Oscillatory instabilities of convection rolls at intermediate Prandtl numbers. J. Fluid Meeh., 164, 469—485.
Борисенко Ю. Д., Воронович А. Г., Леонов А. И. и Миропольский Ю. 3.
О распространении слабонелинейных внутренних гравитационных волн в стратифицированной жидкости. Изв. АН СССР. Физика атм. и океана, 12, № 3, 293—301."
Борковский (Borkowski J.)
The wind profile and turbulent diffusion in a stable surface layer of the atmosphere. Acta Geophys. Polonica, 12, № 4, 199—205.
Боуден (Bowden K. F.)
Horizontal mixing in the sea due to a shearing current. J. Fluid Meeh., 21, 83—95.
Боуэн и P юэ л ль (Bowen R., Ruelle D.)
The ergodic theory of axiom A flows. Invent. Math., 29, 181—202. Бохнер (Bochner S.)
Monotone Funktionen, Stieltjessche Integrate und harmonische Analyse. Math. Ann., 108, No. 3, 378—410 (пер. на рус. яз. в кн.: Бохнер. С. Лекции об интегралах Фурье. М.: Физматгиз, 1962).
Браммедж (Brammage К. G.)
The calculation of atmospheric dispersion from a stack, Atmosph. Environment, 2, No. 3, 197—224.
Benjamin-Feir turbulence in convective binary fluid mixture. Physica D, 23, No. 1/3, 345—361.
Брандретт, Бэйнс, Перегрим и Бэрроуз (Brundrett Е., Baines W. D., Peregrym J., Burroughs P. R.)
Inner and outer law descriptions of temperature and velocity in two- and three-dimensional boundary layers. AGARDograph 97, Part 2.
Б p а н дштетер, Свифт, Суинни и Волф (Brandstater A., Swift J., Swinney H. L, Wolf A.)
A low-dimensional chaos in a hydrodynamic system. Phys. Rev. Lett., 51, No. 16, 1442—1445.
Б p а тсер т (Brutsaert W.)
. Comments on surface roughness parameters and the height of dense vegetation. J. Meteor. Soc. Japan, 53, No. 1, 96—98.
The roughness length for water vapor, sensible heat and other scalars. J. Atmos. Sci., 32, No 10, 2028—2031.
Испарение в атмосферу. Теория, история, приложение/Пер. с англ. Л.: Гидрометеоиздат.
Братсерт и К У с т а с (Brutsaert W., Kustas W. Р.)
Evaporation and humidity profiles for neutral conditions over rugged hilly terrain. J. Climate and Appl. Meteor., 24, No. 9, 915—923.
Браун и P о ш к о (Brown G. L., Roshko A.)
On density effects and large structures in turbulent mixing layers. J. Fluid Meeh.. 64, 775—816.
Б p а у э н д (Browand F. K.)
An experimental investigation of the instability of an incompressible separated shear layer. J. Fluid Meeh., 26, № 2, 281—307.
Брушлинская Н. Н.
О поведении решений уравнений гидродинамики при переходе числа Рейнольдса через критическое значение. Докл. АН СССР, 162, № 4, 731—734.
Брэдбери и др., ред. (Bradbury L. J. S. et al., eds.)
Turbulent shear flows 3. Berlin: Springer.
Турбулентные сдвиговые течения 2/Пер. с англ. М.: Машиностроение.
Turbulent shear flows 4. Berlin: Springer.
Брэдли (Bradley E. F.)
A shearing-stress meter for micrometeorological studies. Quart. J. Roy. Meteor. Soc., 94, No. 401, 380—387.
Брэдшоу, ред.
1980. Турбулентность/Пер. с англ. М.: Машиностроение.
Брэнд, Л о м д а л ь и Ньюэлл (Brand Н. R., Lomdahl Р. S., Newell А. С.) 1986. Evolution of the order parameter in situations with broken rotational symmetry. Phys. Lett. A, 118, № 2, 67—73.
Benjamin—Feir turbulence in convective binary fluid mixtures. Physica, 23D, No. 1/3, 345—361.
Б у д ы к о M. И.
Испарение в естественных условиях. Л.: Гидрометеоиздат. Бунимович, Синай (Bunimovich L. A., Sinai Ya. G.)
Markov partitions for dispersed billiards. Comm. Math. Phys. 78, No. 2, 247—280.
Бунимович и др. (Bunimovich L. A., Lambert A., Lima R.)
The emergence of coherent structures in coupled map lattices. J. Stat. Phys., 61, No. 1/2, 253—262.
Бурре (Bourret R. C.)
Turbulent diffusion in two and three dimensions by the random-walk model with memory. Canad. J. Phys., 39, № 1, 133—140.
Буссе (Busse F. H.)
. Nonstationary finite amplitude convection. J. Fluid Meeh., 28, No. 2, 223—239.
On the stability of two-dimensional convection in a layer heated from below. J. Math, and Phys., 46, No. 2, 140—150.
The stability of finite amplitude cellular convection and its relation to an extrefnum principle. J. Fluid Meeh., 30, No. 4, 625—649.
The oscilatory instability of convection rolls in a low Prandtl number fluids. J. Fluid Meeh., 52, No. 1, 97—112.
Transition to turbulence in Rayleigh—Benard convection. In: Hydrodynamic Instabilites and the Transition to Turbulence (ed. by H. L. Swinney and J. P. Gollub), Berlin: Springer, 97—137 (пер. на рус. яз. в сб.: Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. М.: Мир, 1984, 124—168).
Oscillations of a rotating liquid drop. J. Fluid Meeh., 142, 1—8. Буссе и Болтон (Busse F. H., Bolton E. W.)
Instabilities of convection rolls with strain-free boundaries near threshold. J. Fluid Meeh., 146, 115—125.
Буссе и Уайтхед (Busse F. H., Whitehead J. A.)
Oscillatory and collective instabilities in large Prandtl number convection. J. Fluid Meeh., 66, No. 1, 67—79.
Буссинеск (Boussinesq J.)
Essai sur la theorie des eaux courantes. Мёт. pres, par div. savants a 1’Acad. Sci., Paris. 23, No. 1, 1—680.
Theorie de l^coulement tourbillonnant et tumulteux des liquides dans les lits rectilignes a grande section, 1—II. Paris: Gauthier—Villars.
Буш и Пановский (Busch N. E., Panofsky H. A.)
Recent spectra of atmospheric turbulence, Quart. J. Roy. Meteorol. Soc., 94, No. 400, 132—148.
Буш (Busch N. E.)
A note on the similarity hypothesis for wind profiles, Danish Atomic Energy Commission, Riso Report No. 100, 1—26.
On the mechanics of atmospheric turbulence. In: Workshop on Micrometeorology (ed. by D. A. Haugen). Boston: Amer. Meteor. Soc., 1—65. Буш, Фривола и Сингер (Busch N. A., Frizzola J. A., Singer I. A.)
The micrometeorology of the turbulent flow-field in the atmospheric surface boundary layer, Acta Polytechn. Scandinavica, Phys, inch Nucleonics Ser., No. 59, 1—45.
Бызова H. Л.
Рассеяние примеси в пограничном слое атмосферы. М.: Гидрометео- издат.
БызоваН. Л., ГаргерЕ. К. и Иванов В. Н.
Экспериментальные исследования атмосферной диффузии и расчеты рассеяния примеси. Л.: Гидрометеоиздат.
Бьоргум (Bjorgum О.)
On the velocity, temperature and humidity profiles. Quart. J. Roy. Meteor. Soc., 79, No. 339, 84—93..
Бэйли, Op саг и Херберт (Bayly В. I., Orszag S. A., Herbert T.)
Instability mechanisms in shear-flow transition. Ann. Rev. Fluid Meeh., 20, 359—391.
Бэтчелор (Batchelor G. K.)
. The role of big eddies in homogeneous turbulence. Proc. Roy. Soc., A195, No. 1043, 513—532.
Diffusion in a field of homogeneous turbulence. Austr. J. Sci. Res., A2, No. 4, 437—450.
Diffusion in free turbulent shear flows. J. Fluid Meeh., 3, № 1, 67—80.
Diffusion from sources in a turbulent boundary layer (неопубликованная рукопись).
Diffusion from sources in a turbulent boundary layer. Arch. Meeh. Sto- sowanej, 16, No. 3, 661—670.
An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge: University Press, (пер. на рус. яз. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973).
Computation of the energy spectrum in homogeneous two-dimensional turbulence. Phys. Fluids, 12, No. 12, suppl. 11, 233—239.
Бэтчелор, Бинни и Филлипс (Batchelor G. К., Binnie A. M., Phillips O. M.).
The mean velocity of discrete particles in turbulent flow in a pipe. Proc. Phys. Soc., B68, No. 432, 1095—1104.
Бэтчелор и Гилл (Batchelor G. К., Gill A. E.)
Analysis of the stability of axisymmetric jets. J. Fluid Meeh., 14, No. 4, 529—551.
Бэтчелор и Таунсенд (Batchelor G. К., Townsend A. A.)
Turbulent diffusion. In: Surveys in Mechanics (ed. by G. K. Batchelor and R. M. Davies). Cambridge: Univ. Press, 352—399.
Бюн (Byun D. W.)
On the analytical solutions of flux-gradient relationships for the atmospheric surface layer. J. Appl. Meteor., 29, № 7, 652—657.
Бюсингер (Businger J. A.)
On the structure of the atmospheric surface layer. J. Meteor., 12, No. 6, 553—561.
A generalization of the mixing-length concept. J. Meteor., 16, No. 5, 516—523.
Transport of momentum and heat in the planetary boundary layer. Proc. Sympos. Arctic Heat Budget and Atmosph. Circul. (Memo RB— 5233—NSF, Rand Corp.), 305—332.
1974. Aerodynamics of vegetated surfaces. In: Heat and Mass Transfer in the Biosphere. 1. Transfer Processes in the Plant Environment. Washington, D. C.: Scripta, 139—165.
Бюсингер, Ми яке, Дайер и Брэдли (Businger J. A., Miyake М., Dyer A. J., Bradley Е. F.)
On the direct determination of the turbulent heat flux near the ground. J. Appl. Meteorol., 6, No. 6, 1025—1Q32.
Б ю с и н г е р, Вингаард, Изуми и Брэдли (Businger J. A., Wynga- ard J. С., Izumi Y., Bradley E. F.)
Flux-profile relationships iji the atmospheric surface layer. J. Atmos. Set, 28, No. 2, 181—189.
БютнерЭ. К. и Лайхтман Д. Л.
О рассеянии пассивных частиц от точечного источника в неоднородной среде, Труды ЛГМИ, вып. 15, 130—136.
В а г е р В. Б.
Об учете диффузии турбулентной энергии в полуэмпирической модели приземного слоя атмосферы. Изв. АН СССР. Физика атм. и океана, 2, № 9, 920—927.
В а з з а н, Окамура и Смит (Wazzan A. R., Okamura Т. Т., Smith А. М.) 1967. Stability of laminar boundary layers at separation. Phys. Fluids, 10, No. 12, 2540—2545.
В а з о в (Wasow W.)
. On small disturbances of plane Couette flow. J. Res. Nat. Bur. Standarts, 51, 195—202.
Asymptotic solution of the differential equation of hydrodynamic stability in a domain containing transition point. Ann. of Math., 58, No. 2, 222—252.
Вальц (Walz A.)
Boundary Layers of Flow and Temperature. Cambridge, Mass.: MIT Press.
Ван Атта (Van Atta C. W.)
Exploratory measurements in spiral turbulence. J. Fluid. Meeh., 25, No. 3, 495—512.
Ван Атта и А н т о н и a (Van Atta С. W. and Antonia R. A.)
Reynolds number dependence of skewness and flatness factor of turbulent velocity derivatives. Phys. Fluids, 23, No. 2, 252—257.
Ванг и Болдуин (Hwang N. H. C., Baldwin L. V.)
Decay of turbulence in axisymmetric wakes. J. Basic Engineering, 88, No. 1, 261—268.
Ванг и Стюарт (Wang F. M., Stuart I. T.)
Instability of Hagen—Poiseuille flow for axisymmetric mode. Appl. Math, and Meeh., 8, No. 11, 1037—1044.
В а н дер б о p к и П л а т т e н (Vanderborck G., Flatten I. К.)
Stability of the pipe Poiseuille flow, with respect to axi- and nonaxi- symmetric disturbances. J. Non-Equilibr. Thermodyn., 3, No. 3, 169—190. Ван Др ист (van Driest E. R.)
On turbulent flow near a wall. J. Aeronaut. Sci., 23, № 11, 1007—1011.
Convective heat transfer in gases. In: Turbulent Flows, and Heat Transfer (ed. by С. C. Lin). Princeton: Univ. Press, 339—427 (nep. на рус. яз. в кн.: Турбулентные течения и теплопередача, М.: ИЛ, 1963, 349—436).
Ван Ульден (van Ulden А. Р.)
Simple estimates for vertical diffusion from sources near the ground. Atmos. Environ., 12, No. 11, 2125—2129.
Васудева (Vasudeva B. R.)
Boundary layer instability experiment with localized disturbance. J. Fluid Meeh., 2 9, No. 4, 745—764.
Вашкевич О. В., Гапонов-Грехов А. В., Езерский А. Б. и Рабинович М. И.
Рождение уединенных автоструктур при термоконвекции в слое с неоднородным подогревом, Докл. АН СССР, 293, № 3, 563—567.
Вебстер (Webster С. A. G.)
An experimental study of turbulence in a density-stratified shear flow. J. Fluid. Meeh., 19, No. 2, 221—245.
В e й л о в и т, Цао и Ди Прима (Walowit J., Tsao S., Di Prima R. S.)
Stability of flow between arbitrarily spaced concentric cylindrical surfaces including the effect of a radial temperature gradient. J. Appl. Meeh., 31, No. 4, 585—593,
Вейншток (Weinstock I.)•
Lagrangian—Eulerian relation and the independence approximation. Phys. Fluids, 19, No. 11, 1702—1711.
Вейншток и Барк (Weinstock L, Вигк S.)
Theoretical pressure-strain term, experimental comparison, and resistance to large anisotropy. J. Fluid Meeh., 154, 429—443.
Вейнштейн (Weinstein M.)
Nonlinear instability in plane Poiseuille flow: a quantitative comparison between the methods of amplitude expansions and the method of multiple scales. Proc. Roy. Soc. London, A375, No. 1761, 155—167.
В а сан и В ильке (Wasan D. M., Wilke G. R.)
Turbulent exchange of momentum, mass, and heat between fluid streams and pipe wall. Int. J. Heat and Mass Transfer, 7, 87—94.
Великанов M. A.
Динамика русловых потоков. Л.—М.: Гидрометеоиздат.
Вельте (Velte W.)
Uber ein Stabilitatskriterium der Hydrodynamik. Arch. Rat. Meeh. Anal., 9, No. 1, 9—20.
Stabilitatsverhalten und Verzweigung stationarer Losungen der Navier— Stokesschen Gleichungen. Arch. Rational Meeh. Anal., 16, No. 2, 97— 125.
Stabilitat und Verzweigung stationarer Losungen der Navier—Stokesschen Gleichungen beim Taylor problem. Arch. Rational Meeh. Anal., 22, No. 1, 1—14.
Венезьен и Сэйдж (Venezian E., Sage В. H.)
Temperature gradients in turbulent gas streams: effect of viscous dissipation on evalution of total conductivity. A. I. Ch. E. J., 7, No. 4, 688—692.
В енот те (Venotte P.)
Les paradoxes de la theorie continue de Fequation de la chaleur. Compte Rend. Acad. Sci, 246, No. 22, 3154—3155.
В e p о н и c (Veronis G.)
Large-amplitude Benard convection. J. Fluid Meeh., 26, № 1, 49—68. Вигнанский и Шампань (Wygnanski I. J., Champagne F. H.)
Turbulent puffs and slugs in pipe flow. J. Fluid Meeh., 59, № 2, 281—335.
Вигхардт (Wieghardt K)
Uber die Wirkung der Turbulenz auf den Umschlagspunkt. Zs. angew. Math. Meeh., 20, No. 1, 58—59.
Uber die turbulente Stromung in Rohr und langs der Platte. Zs. Angew. Math. Meeh., 2 4, No. 4, 294—296.
ВильгельмиТ. А., ГольдштикМ. А. и Сапожников В. A.
Устойчивость течения в круглой трубе. Изв. АН СССР, Мех. жидк. и газа, № 1, 20—24.
Вильсон Б. (Wilson В. W.)
Note on surface wind stress over water at low and high wind speed. J. Geophys. Res., 65, No. 10, 3377—3382.
Вильсон И. (Wilson I. D.)
An approximate analytical solution to the diffusion equation for short range dispersion from a continuous ground-level source, BoundaryLayer Meteor, 23, No. 1, 85—103.
Вильямс (Williams R.)
The ,,DA“ maps of Smale and structural stability.— In: Global Analysis.— Proc. Symp. in Pure Math., 14, Proocdence: American Math. Soc., 329—334.
В и т т и н г (Witting H.)
Uber den Einfluss der Stromlinienkriimmung auf die Stabilitat lamina- rer Stromungen. Arch. Rat. Meeh. Anal., 2, № 3, 243—283.
В иши к M. И. и ФурсиковА. В.
Математические задачи статистической гидромеханики. М.: Наука.
Власов Е. В. и ГиневскийА. С.
Акустическое воздействие на аэродинамические характеристики турбулентной струи. Изв. АН СССР, Мех. жидк. и газа, № 4, 133—138.
Генерация и подавление турбулентности в асимметрической турбулентной струе при акустическом воздействии. Изв. АН СССР, мех. жидк. и газа, № 6, 37—43.
ВозженниковО. И.*
К определению лагранжевых характеристик турбулентности в приземном слое атмосферы. Труды ИЭМ, вып. 29 (103), 40—53.
Вортман (Wortmann F. X.)
Untersuchung instabiler Grenzschichtschwingungen in einem Wasserka- nal mit der Tellurmethode, 50, Jahre Grenzschichtforschung, Vieweg, Braunschweig, 460—470.
Во фан (Vaughan L. M.)
The prediction of atmospheric diffusion by using an eddy diffusivity based on the vertical transfer of heat. J. Meteor., 18, No. 1, 43—49.
By (Wu J.)
Laboratory studies of wind-wave interactions. J. Fluid Meeh., 34, No. 1, 91—112.
Wind-stress coefficients over sea surface near neutral conditions — a revisit. J. Phys. Oceanogr., 10, № 4, 727—740.
В уд инг, Брэдли и Маршал (Wooding R. A., Bradley Е. F., Marshall J. К.)
Drag due to regular arrays of roughness elements of varying geometry. Boundary-Layer Meteorol., 5, No. 3, 285—308.
ВулисЛ. А., Кашкаров В. П. '
Теория струй вязкой жидкости. М.: Наука.
Гаврилов В. П.
Об определении коэффициентов турбулентной диффузии. Метеорология и гидрология, № 3, 46—53.
Гаврилов В. П. и ГорматюкЮ. К.
Рассеяние примеси от стационарных источников в приземном слое атмосферы. Метеорология и гидрология, № 2, 37—47.
Гад-ель-Хак и Хуссейн (Gad-el-Hak М., Hussain А. К. М. F.)
Coherent structures in a turbulent boundary layer. Part I. Generation of „artificial” bursts, Phys. Fluids, 29, No. 7, 2124—2139.
Галлагер (Gallagher A. O.)
On the behaviour of small disturbances in plane Couette flow, Part 3. J. Fluid Meeh., 65, No. 1, 29—32.
Галлагер и Мерсер (Gallagher A. О., Mercer A. McD.)
On the behaviour of small disturbances in plane Couette flow. J. Fluid Meeh., 13, No. 1, 91—100.
On the behaviour of small disturbances in plane Couette flow. Part 2. The higher eigenvalues. J. Fluid Meeh., 18, № 3, 350—352.
Гамель (Hamel G.)
Zum Turbulenzproblem. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.—Phys. KL, 261—270.
Г амильтон (Hamilton R. M.)
Solid-liquid Mass Transfer in Turbulent Pipe Flow. Ph. D. Thesis, Cornell University, Ithaca, N. Y.
Гапонов-Грехов А. В., Ломов А. С. и Рабинович M. И.
Локализованные автоструктуры в двумерных однородных средах. Письма в ЖЭТФ, 55, № 5, 224—228.
Гапонов-Грехов А. В., Ломов А. С., Осипов Г. В. и Рабинович М. И.
1988. Рождение и динамика двумерных структур в неравновесных диссипативных средах. Препринт ЙПФ АН СССР, № 199.
Гапонов-Грехов А. В. и Рабинович М. И.
АвтсГструктуры. Хаотическая динамика ансамблей. В кн.: Нелинейные волны. Структуры и бифуркации/Под ред. А, В, Гапонова-Грехова и
• М. И. Рабиновича. М.: Наука, 5—44.
Гапонов-Грехов А. В.. Рабинович М. И. и Старобинец И. М.
Динамическая модель пространственного развития турбулентности. Письма в ЖЭТФ, 39, № 12, 561—564.
Г а р г е р Е. К.
Модель дымовой струи Гиффорда с использованием гипотезы подобия лангранжевой турбулентности в приземном слое атмосферы. Труды ИЭМ, вып. 21 (80), 3—15.
Г а р р а т (Garratt J. R.)
Limitations of the Monin—Oboukhov similarity theory for turbulent transfer of momentum in unstable conditions in the atmospheric surface layer. Quart. J. Roy. Met. Soc., 101, № 427, 169—172.
Г аррат и др. (Garratt J. R., Francey R. J., McIlroy I. C., Dyer A. I., Helmond L., Bradley E. F., Denman О. T.)
The International Turbulence Comparison Experiment (Australia, 1976) —Micrometeorological support data. CSIRO, Div. Atmos. Phys., Tech. Pap. 37.
Г а стер (Gaster M. A.)
A note on the relation between temporally-increasing and spatially- increasing disturbances in hydrodynamic stability. J. Fluid Meeh., 14, No. 2, 222—224.
On the generation of spatially growing waves in a boundary layer. J. Fluid Meeh., 22, No. 3, 433—441.
Гедеке (Godecke K.)
Messungen der atmospharischen Turbulenz in Bodennahe mit einer Hitzdrahtmethode. Ann. Hydrogr., No. 10, 400—410.
Гейзенберг (Heisenberg W.)
Uber Stabilitat und Turbulenz von Flussigkeitsstromen. Ann. Phys., (4), 74, 577—627.
Zur statistischen Theorie der Turbulenz, Zs. Phys., 124, № 7—12, 628—657.
Гельмгольц (Helmholtz H.)
Uber discontinuierliche Fliissigkeitsbewegungen, Monatsber. Kon. Akad. Wiss., Berlin, 23, 215—228 (пер. на рус. яз.: Гельмгольц Г. Два исследования по гидродинамике. СПб, 1902).
Гельфанд И. М. и ВцленкинН. Я.
Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства (Обобщенные функции, вып. 5). М.: Физматгиз. Гербер (Gerber R.)
Sur la reduction a un principe variationnel des equations du mouve- ment d’un fluide visqueux incompressible. Ann. Inst. Fourier, 1, 157— 162.
Гертлер (Gortler H.)
Berechnung von Aufgaben der freien Turbulenz auf Grund eines neuen Naherungsansatzes. Zs. angew. Math., Meeh., 22, № 5, 244—254.
Uber eine Analogic zwischen der Instabilitaten laminaren Grenzschicht- stromungen an konkaven Wanden und an erwarmten Wanden. Ing. Arch., 28, No. 1, 71—78.
Гертлер и Вельте (Gortler H., Velte W.)
Recent mathematical treatments of laminar flow and transition problems. Phys. Fluids, 10, Supplement, S3—S10.
Гершуни Г. 3., Жуховицкий E. M.
Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука.
Гесс и Пановский (Hess G. D., Panofsky Н. А.)
The budget of turbulent energy near the ground. Quart. J. Roy. Meteor Soc., 92, No. 392, 277—280.
Г и (Gee J. H.)
An approximate treatment of the effect of thermal stability on turbulent diffusion. Quart. J. Roy. Meteor. Soc., 92, No. 392, 301—305.
A note on the effect of directional wind shear on medium scale atmospheric diffusion. Quart. J. Roy. Meteor. Soc., 93, No. 396, 237—241.
Г и и Дэвис (Gee J. H., Davies D. R.)
A note on horizontal dispersion from an instantaneous ground source. Quart. J. Roy. Met. Soc., 89, No. 382, 542—545.
A further note on horizontal dispersion from an instantaneous ground source. Quart. J. Roy. Met. Soc., 90, No. 386, 478—480.
Г и б с о н M. и Л оу н дер Б. (Gibson M. M., Launder В. E.)
О расчете свободных горизонтальных турбулентных течений со сдвигом в условиях влияния естественной конвекции. Теплопередача, № 1, 86-94.
Ground effects on pressure fluctuations in the atmospheric boundary layer. J. Fluid Meeh., 86, 3, 491—511.
Гибсон, Чен и Линь (Gibson С. Н., Chen С. С., Lin S. С.)
Measurements of turbulent velocity and temperature fluctuations in the wake of a sphere. A. I. A. A. J., 6, № 4, 642—649.
Гилл (Gill A. E.)
On the behaviour of small disturbances to Poiseuille flow in a circular pipe. J. Fluid Meeh., 21, No. 1, 145—172.
Interferometric measurement of temperature gradient reversal in a layer of convecting air. J. Fluid Meeh., 30, № 2, 371—384.
Similarity theory and geostrophic adjustment. Quart. J. Roy. Met. Soc., 94, 586—588.
Гиневский А. С., Иоселевич В. А., Колесников А. В., Лапин Ю. В., ПилепенкоВ. Н. и Секундов А. Н.
Методы расчета турбулентного пограничного слоя. Итоги науки и техники, сер. Механика жидкости и газа, 11, 155—304.
Гиргидов А. Д.
Уравнение диффузии с конечной скоростью в двух- и трехмерном пространствах. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 9, № 1, 91—93.
Расчет диффузии в приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, II, № 9, 951—955.
Г ир шфел ьдер Дж., Кертисс Ч. и Берд Р.
Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: ИЛ.
Гиффорд (Gifford F. А.)
Diffusion in the diabatic surface layer. J. Geophys. Res., 67, № 8, 3207—3212.
Turbulent diffusion typing schemes —A review. Nucl. Saf., 17, No. 1„ 68—86.
ГледзерЕ. Б., Должанский Ф. В. и Обухов А. М.
Системы гидродинамического типа и их применение. М.: Наука. Гнеденко Б. В.
Курс теории вероятностей. М.: Наука.
Го (Kuo H.-L.)
Dynamic stability of two-dimensional nondivergent flow in a barotropic atmosphere. J. Meteor., 6, 2, 105—122.
Solution of the nonlinear equations of cellular convection and heat transport. J. Fluid Meeh., 10, No. 4, 4511—634.
Го и К о p с и н (Kuo A.-Y. and Corrsin S.)
Experiments on internal intermittency and fine-structure distribution functions in fully turbulent fluid. J. Fluid Meeh., 50, 2, 285—319.
Годович (Godowitch J. M.)
Characteristics of vertical turbulent velocities in the urban convective boundary layer. Boundary-Layer Meteor., 35, № 4, 387—407.
Голла б, Бенсон и Стейнмен (Gollub J. P., Benson S. V., Steinman J.}
A subharmonic route to turbulent convection. Ann. New-York Acad.. Sci. 357, 22—27.
Г о л л а б и Суинни (Golub J. P., Swinney H. L.)
Onset of turbulence in a rotating fluid. Phys. Rev. Lett., 35, No. 14, 927—930.
Голлаб и Фр ей л их (Gollub J. Р., Freilich М. Н.)
Optical heterodyne study of the Taylor instability in a rotating fluid. Phys. Rev. Lett., 33, No. 25, 1465—1468.
Толдстейн, Чанг и Си (Godstein R. J., Chiang Н. D., See D. L.)
High-Rayleigh-number convection in a horizontal enclosure. J. Fluid Meeh., 213, 111—126.*
Гольдстейн (Goldstein S.)
On the stability of superposed streams of fluids of different densities. Proc. Roy. Soc., A132, No. 820, 524—539.
Modern Developments in Fluid Dynamics. Vols. 1—2. Oxford Univ. Press (пер. на рус. яз.: Современное состояние гидродинамики вязкой жидкости/Под ред. С. Гольдштейна. Т. 1—2. М.: ИЛ, 1948).
On diffusion by discontinuous movement and on the telegraph equation. Quart. J. Meeh. Appl. Math., 4, No. 1, 129—156.
Гольдштик M. A.
. Динамические, равновесные и потоковые структуры в турбулентности. В кн.: Структурная турбулентность/Под ред. М. А. Гольдштика. Новосибирск: Изд. Ин-та теплофизики СО АН СССР, 3—12.
Структурный анализ стохастического поведения динамических систем. В кн.: Структурная турбулентность/Под ред. М. А. Гольдштика. Новосибирск; Изд. Ин-та теплофизики СО АН СССР, 13—48.
Гольдштик М. А. и Штерн В. Н.
Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука.
Городцов В. А.
К подобию неразвитых турбулентных пристеночных течений. Инж.- физ. ж., 37, № 6, 1007—1011.
Горьков Л. П.
Стационарная конвекция в плоском слое жидкости вблизи критического режима теплопередачи. ЖЭТФ, 83, № 2 (8), 402—411.
Госс (Gosse J.)
Sur Pecoulement turbulent des fluids. C. r. Acad. Sci., 253, № 1, 61—63. Гото (Gotoh K.)
The equilibrium state of the finite disturbance in free flows. J. Phys. Soc. Japan, 24, No. 5, 1137—1146.
Гофман (Hofmann E.)
Der Warmetibergang bei der Stromung im Rohr. Zs. Kalteind., 44, 99—107.
Uber die Gesetzmassigkeiten der Warme- und Stoffiibertragung auf Grund des Stromungaverganges im Rohr. Forsch. Gebiete Ingenieurwe- sens, All, 159—169.
Гр анвил (Granville P. S.)
Drag and turbulent boundary layer of flat plates at low Reynolds numbers. J. Ship. Res., 21, No. 1, 30—39.
Грант (Grant A. M.)
Corrected mixing-length theory of turbulent diffusion. J. Meteor.. 14, No. 4, 297—303.
Г p e 6 e p и Э p к (Grober H., Erk S.)
Die Grundgesetze der Warmeiibertragung. Berlin—Gottingen—Heidelberg; Springer (Пер. на рус. яз.: Гребер У., Эрк С., Григулль У. Основы учения о теплообмене. М.: ИЛ, 1958).
Гренандер (Grenander U.)
Stochastic processes and statistical inference. Ark. Mat., 1, № 3, 195— 277 (Пер. на рус. яз.: Гренандер У. Случайные процессы и статистические выводы. М.: ИЛ, 1961).
Гринспан и Бенни (Greenspan Н. Р., Benney D. J.)
On shear-layer instability, breakdown and transition. J. Fluid Meeh., 15, No. 1, 133—153.
Грош и Салвен (Grosch С. E., Salwen H.)-
The stability of steady and time-dependent plane Poiseuille flow. J. Fluid Meeh., 34, No. 1, 177—205.
The continuous spectrum of the Orr—Sommerfeld equation. Part. 1. The spectrum and the eigenfunctions. J. Fluid Meeh., 87, No. 1, 33—54. Гроне (Grohne D.)
Uber das Spektrum bei Eigenschwingungen ebener Laminarstromumgen.. Zs. angew. Math. Meeh., 34, No. 3, 344—357.
Груза Г. В.
Макротурбулентность в общей циркуляции атмосферы. Л.: Гидро- метеоиздат.
Гупта (Gupta Н. С.)
Diffusion by continuous movements. J. Math. Phys., 38, № 1, 36—41. Г у p в и ч А. С.
Акустический микроанемометр для исследования микроструктуры турбулентности. Акустич. журнал, 5, № 3, 368—369.
Экспериментальное исследование частотных спектров и функций распределения вероятностей вертикальной компоненты скорости ветра. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 7, 1042—1055.
Измерение напряжения трения в приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 3, 458—466.
Турбулентный поток количества движения при неустойчивой стратификации и в условиях, близких к безразличному равновесию. В сб.: Атмосферная турбулентность (Труды ИФА АН СССР, № 4), 81—100.
Вертикальные профили скорости ветра и температуры в приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана. 1, № 1, 55—64.
Г уставсон (Gustavsson L. Н.)
Resonant growth of three-dimensional disturbances in plane Poiseuille flow. J. Fluid Meeh., 112, 253—264.
Грюн инг, Ван Ульден и Ларсен (Gryning S.-E., van Ulden А. Р., Larsen S. Е.)
Dispersion from a continuous ground-level source investigated by a К-model. Quart. J. Roy. Met. Soc., 109, № 460, 355—364.
Гухман А. А. и Кадер Б. A.
Массопередача от стенки трубы к турбулентному потоку жидкости при больших числах Шмидта. Теоретические основы химической технологии, 3, № 2, 216—224.
Даббердт (Dabberdt W. F.)
Overwater atmospheric diffusion: measurements and parametrization. J. Climate Appl. Meteor., 25, No. 8, 1160—1172.
Давыдов Б. И.
Уравнение диффузии с учетом молекулярной скорости. Докл. АН СССР, 2, № 7, 474—478.
Феноменологические уравнения статистической динамики несжимаемой турбулентной жидкости. ЖЭТФ, 35, № 2 (8), 527—529.
. К статистической динамике несжимаемой турбулентной жидкости. Докл. АН СССР, 127, № 4, 768—771.
К статистической теории турбулентности. Докл. АН СССР, 127, № 5, 980—982.
К статистической динамике несжимаемой турбулентной жидкости. Докл. АН СССР, 136, № 1, 47—50.
Дайер (Dyer A. J.)
An improved electromagnetic integrator. J. Scient. Instr., 35, No. 7, 240.
Heat transport anemometer of high stability. J. Scient. Instr., 37, No. 5, 166—169.
Measurements of evaporation and heat transfer in the lower atmosphere by an automatic eddy-correlation technique. Quart. J. Roy. Met. Soc., 87, No. 373, 401—412.
The flux-gradient relation for turbulent heat transfer in the lower atmosphere. Quart. J. Roy. Met. Soc., 91, No. 388, 151—157.
The turbulent transport of heat and water vapour in an unstable atmosphere. Quart. J. Roy. Met. Soc., 93, No. 398, 501—508.
An evaluation of eddy flux variation in the atmospheric boundary layer. J. Appl. Meteor., 7, No. 5, 845—850.
A review of flux-profile relationships. Boundary-Layer Meteor., 7, 363—372..
Дайер и Брэдли (Dyer A. J., Bradley E. F.)
An alternative analysis of flux-gradient relationships at the 1976 ITCE. Bondary-Layer Meteor., 22, No. 1, 3—19.
Дайер, Гар p ат и Фр эн си (Dyer A. J., Garratt J. R., Francey R. J.)
The International Turbulence Comparison Experiment (Australia, 1976)—Central core data. CSIRO, Div. Atmos. Phys.. Tech. Pap. 38. Дайер и Махер (Dyer A. J., Maher F. Y.)
. The “Evapotron”. An instrument for the measurement of eddy fluxes in the lower atmosphere. C. S. I. R. O., Div. Meteor Phys. Techn. Paper No. 15.*
. Automatic eddy-flux measurement with the Evapotron. J. Appl. Meteor., 4, No. 5, 622—625.
Дайер и Хикс (Dyer A. J., Hicks В. B.)
Flux-gradient relationships in the constant flux layer. Quart. J. Roy. Met. Soc., 96, No. 410, 715—721.
Дайер, Хикс и Кинг (Dyer A. J., Hicks В. В., King К. М.)
The Fluxatron-A revised approach to the measurement of eddy fluxes in the lower atmosphere. J. Appl. Meteor., 6, No. 2, 408—413.
Дайсон (Dyson F. J.)
Stability of an idealised atmosphere. II. Zeros of the confluent hypergeometric function. Phys. Fluids, 3, No. 2, 155—158.
Д а к о с и Гибсон (Dakos T., Gibson M. M.)
On modelling the pressure terms in the scalar flux equation. In: Turbulent shear Flows 5 (Proc. Intern, sympos. ed. by F. Durst et al.). Berlin: Springer, 7—18.
Дарси (Darcy H.)
Recherches experimentales relatives aux mouvement de 1’eau dans les tuyaux. Mem. Sav. Etrang. Acad. Sci., 15, 265—342.
Дворак и Хед (Dvorak F. A.. Head M. R.)
Heat transfer in the constant property turbulent boundary layer. Int. J. Heat Mass Transfer, 10, No. 1, 61—81.
Деблер (Debler W. R.)
On the analogy between thermal and rotational hydrodynamic stability. J. Fluid Meeh., 24, No. 1, 166—176.
Д e й с л e p (Deissler R. G.)
Investigation of turbulent flow and heat transfer in smooth tubes, including the effects of variable fluid properties. Trans. Amer. Soc. Meeh. Engrs, 73, No. 1, 101—107.
Heat transfer and fluid friction for fully developed turbulent flow of air and supercritical water with variable fluid properties. Trans. Amer. Soc. Meeh. Engrs, 76, No. 1, 73—86.
Analysis of turbulent heat transfer, mass transfer and friction in smooth tubes at high Prandtl and Schmidt numbers. Nat. Adv. Com. Aeronaut. Rep. 1210.
Convective heat transfer and friction in flow of liquids. In: Turbulent Flow and Heat Transfer (ed. by С. C. Lin). Princeton; Univ. Press, 288—338 (пер. на рус. яз. в кн.: Турбулентные течения и теплопередача. М.: ИЛ, 1963, 297—353).
Д е ф а н т (Defant А.)
Die Zirkulation der Atmosphare in den gemassigten Breiten der Erde. Geografiska Annaler, 3, 209—265.
Де Фа чо (De Facio B.)
Heat conduction model with finite signal speed. J. Math. Phys., 16, No. 4, 971—974.
Джекобс и Шолс (Jacobs A. F., Schols E.)
Surface roughness parameters estimated with a drag technique. J. Climate and Appl. Meteorol., 25, № 11, 1577—1582.
Джексон Р. С.
On the displacement height in the logarithmic velocity profile. J. Fluids Meeh., Ill, 15—25.
Д ж e p с e л и Гобл (Jersel M., Goble R.)
Roughness effects on urban turbulence parameters. Boundary-Layer Meteor., 37, No. 3, 271—284.
Джефрис (Jeffreys H.)
The stability of a layer of fluid heated from below. Phill Mag. (7) 2, 833—844.
Some cases of instability in fluid motion. Proc. Roy. Soc., Al 18, No. 779, 195—208.
Д ж о з e ф Д. Д. (Joseph D. D.)
On the stability of the Boussinesq equations. Arch. Rat. Meeh. Anal., 20, No. 1, 59—71.
Nonlinear stability of the Boussinesq equations by the method of energy. Archiv. Rat. Meeh. Anal., 22, No. 3, 164—184.
Устойчивость движений жидкости. M.: Мир.
Джозеф, Голдстейн и Грехам (Joseph D. D., Goldstein R. J., Graham D. J.)
Subcritical instability and exchange of stability in a horizontal fluid, layer. Phys. Fluids, 11, No. 4, 903—904.
Джозеф и Карми (Joseph D. D., Carmi S.)
Subcritical convective instability. Part 2. Spherical shells. J. Fluid. Meeh., 26, No. 2, 769—777.
Джозеф и Сеттинджер (Joseph D. D., Sattinger D. H.)
Bifurcating time periodic solutions and their stability. Arch. Rat. Meeh.. Anal., 45, No. 2, 79—109.
Джозеф и Шир (Joseph D. D., Shir С. C.)
Subcritical convective instability. Part. 1. Fluid layers. J. Fluid Meeh.,.
26, No. 1, 753—768.
Джо лов Г. и Сир а ков Е.
О турбулентной диффузии от стационарного источника в безразлично - стратифицированном приземном слое. Бълг. геофиз. списание, 3, № 1,. 41—46.
Д ж о н к и Ханратти (Johnk R. Е., Hanratty Т. J.)
Temperature profiles for turbulent flow of air in a pipe-1. The fully developed heat-transfer region. Chern. Engng. Sci., 17, No. 11, 867—879. Джонс (Jones C. A.)
Nonlinear Taylor vortices and their stability. J. Fluid Meeh., 102, 249—261.
On flow between counter-rotating cylinders. J. Fluid Meeh., 120, 433—450.
Джонс Дж. (Jones J. I. P.)
C. R. T. displays of wind eddies and some Lagrangian deductions from a vortex model of turbulence. J. Appl. Meteor., 5, No. 6, 816—823.
Джонс и П а с к у и л (Jones J. I. Р., Pasquill F.)
An experimental system for directly recording statistics of the intensity of atmospheric turbulence. Quart. J. Roy. Met. Soc., 85, No. 365, 225— 236.
Джордж, Хелламс и Мартин (George W. D., Heliums J. D., Martin B.)
Finite-amplitude neutral disturbances in plane Poiseuille flow. J. Fluid. Meeh., 63, No. 4, 765—771.
Дикий Л. A.
. Об устойчивости плоскопараллельных потоков неоднородной жидкости. Прикл. матем. и мех., 24, № 2, 249—257.
Устойчивость плоскопараллельных потоков идеальной жидкости. Докл. АН СССР, 135, № 5, 1068—1071.
О корнях функции Уиттекера и функции Макдональда комплексного индекса. Изв. АН СССР, сер. матем., 24, № 6, 943—954.
Об устойчивости плоскопараллельного течения Куэтта. Прикл. матем.
и мех., 28, № 2, 389—392.
1965а. К нелинейной теории гидродинамической устойчивости. Прикл. ма- тем. и механ., 29, № 5, $52—855.
К нелинейной теории устойчивости зональных течений. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 1, № 11, 1117—1122.
Одна теорема о бароклинной неустойчивости. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 9, № 2, 1312—1315.
Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы. Л.: Гидро- метеоиздат.
Дикон (Deacon Е. L.)
Vertical diffusion in the lowest layers of the atmosphere. Quart J. Roy. Met. Soc., 7 5, No. 323, 89—103.
The turbulent transfer of momentum in the lowest layers of the atmosphere. C. S. I. R. 0., Div. Meteor. Phys., Techn. Pap. No. 4, Melbourne.
The measurements of turbulent transfer in the lower atmosphere. Adv. Geophys., 6 (Atmospheric diffusion and air pollution), 211—228 (nep. на рус. яз. в сб.: Атмосферная диффузия и загрязнение воздуха. М.: ИЛ, 1962, 236—255).
Aerodynamic roughness of the sea. J. Geophys. Res., 67, № 8, 3167— 3172.
Дикон и Уэбб (Deacon E. L, Webb E. K.)
Interchange of properties between sea and air. Small scale interaction. The Sea (ed. by B. N. Hill), 1, N.-Y.— London; Interscience Publ., 43—87.
Д и л ь м а н В. В.
К теории тепло- и массообмена при турбулентном течении. Теорет. основы хим. технол., 1, № 4, 438—444.
Дин (Dean R. В.)
Reynolds number dependence of skin friction and other bulk flow variables in two-dimensional rectangular duct flow. Trans. ASME. J. Fluids Eng., 100, № 2, 215—223.
Д и n p и и Себерски (Dipprey D. F., Sabersky R. H.)
Heat and momentum transfer in smooth and rough tubes at various Prandtl numbers. Int. J. Heat and Mase Transfer, 6, № 5, 329—353. Ди Прима (Di Prima R. C.)
Application of the Galerkin method to the calculation of the stability of curved flows. Quart. Appl. Math., 13, № 1, 55—62 (пер. на рус. яз. в сб.: Механика, № 3 (37), 1956).
Stability of nonrotationally symmetric disturbances for viscous flow between rotating cylinders. Phys. Fluids, 4, No. 6, 751—755.
Stability of curved flows. J. Appl. Meeh., 30, 486—492.,
Ди Прима и Г p а н н и к (Di Prima R. С., Grannick R. N.)
A nonlinear incestigation of the stability of flow between counter- ratating cylinders. In: Proc. 1969 Symp. on Instability of Continuous Systems (ed. by H. Leipholz). Berlin: Springer, 51—60.
Ди Прима и Стюарт (Di Prima R. C., Stuart J. T.)
Hydrodynamic stability. Trans. ASME. J. Appl. Meeh., 50, № 4b, 983—991.
Ди Прима и Суинни (Di Prima R. C., Swinney H. L.)
Instabilities and transition in flow between concentric rotating cylinders. Hydrodynamic Instabilities and the Transition to Turbulence (ed. by H. L. Swinney and J. P. Gollub). Berlin: Springer, 139—180 (nep. на рус. яз. в сб.: Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. М.: Мир, 1984, 169—217).
Ди Прима и Хабетлер (Di Prima Р. S., Habetler G. Y.)
A completeness theorem for non-selfajacent eigenvalue problems in hydrodynamic stability. Arch. Ration. Meeh. Anal., 34, No. 3, 218—227. Д и p д о p ф (Deardorff J. W.)
On the stability of viscous plane Couette flow. J. Fluid Meeh., 15,
No. 4, 623—631.
A numerical study of two-dimensional parallel-plate convection. J. Atm.. Sci., 21, No. 5, 419—438.
Differences between eddy coefficients for instantaneous and continuous- vertical diffusion into the neutral surface layer. Boundary-Layer Meteor., 5, No. 4, 451—457.
Дирдорф и Уиллис (Deardorff J. W., Willis G. E.)
The free-convection temperature profile. Quart. J. Roy. Met. Soc., 93, No. 396, 166—175.
Домингес-Лерма, А л ep с и Кеннел (Domingues-Lerma M. A.,. Ahlers G., Cannel D. S.)
Marginal stability curve and linear growth rate for rotating Couette- Taylor flow and Rayleigh-Benard convection. Phys. Fluids, 27, N. 4, 856—860.
Доннелли (Donnelly R. J.)
Experimental determination of stability limits. Proc. Symp. Appl. Math., 13, (Hydrodynamic Instability) 41—53 (пер. на рус. яз. в сб.: Гидродинамическая неустойчивость. М.: Мир, 1964, 54—67).
Experimental confirmation of the Landau law in Couette flow. Phys. Rev. Letters, 10, No. 7, 282—284.
Доннелли и Саймон (Donnelly R. J., Simon N. J.)
An empirical torque relation for supercritical flow between rotating cylinders. J. Fluid Meeh., 7, No. 3, 401—418.
Доннелли и Фульц (Donnelly R. J., Fultz D.)
Experiments of the stability of viscous flow between rotating cylinders. II. Visual observations. Proc. Roy. Soc. A258, № 1292, 101—123.
Доннелли и Шварц (Donnelly R. J., Schwartz K. W.)
The approach to equilibrium in nonlinear hydrodynamics. Phys. Letters,. 5, No. 5, 322—324.
Experiments on the stability of viscous flow between rotating cylinders. IV. Finite-amplitude experiments (with an appendix by P. H. Roberts). Proc. Roy. Soc., A283, № 1395, 531—556.
Донован, Ханна и Веразунис (Donovan L. F., Hanna О. T., Vera- zunis S.)
Similar solutions of turbulent boundary layer heat and mass transferproblems. Chern. Engrg. Sci., 22, No. 4, 595—610.
Дородницын A. A.
К теории суточного хода температуры в слое перемешивания. Докл. АН СССР, 30, № 5, 410—413..
Д р а з и н (Drazin Р. G.)
The stability of a shear layer in an unbounded heterogeneous fluid. J. Fluid Meeh., 4, No. 2, 214—224.
On the stability of parallel flow of an incompressible fluid of variable density and viscosity. Proc. Cambr. Phil. Soc., 58, No. 4, 646—661.
Д разин и Рид (Drazin P. D., Reid W. H.)
Hydrodynamic Stability. Cambridge; Cambr. Univ. Press.
Др азин и Ховард (Drazin Р. G., Howard L. N.)
The instability to long waves of unbounded parallel inviscid flow. J. Fluid Meeh., 14, No. 2, 257—283.
Hydrodynamic stability of parallel flows of inviscid fluid. Advan. Appl Meeh., 9, 1—89.
Драйден (Dryden H. L.)
Transition from laminar to turbulent flow. In.: Turbulent Flow and Heat Transfer (ed. by С. C. Lin). Princeton; Univ. Press, 3—74 (nep., на рус. яз. в кн.: Турбулентные течения и теплопередача. М.: ИЛ, 1963, 9-82).
Драйден, Шу ба у эр, Мок и Скрэмстад (Dryden Н. L., Schuba- uer G. В., Mock W. C., Skramstad H. К.)
Measurements of intensity and scale of wind-tunnel turbulence and their relation to the critical Reynolds number of spheres. Nat. Adv. Com. Aeronaut., Rep. № 581.
Дриммель и хРейтер (Drimmel J., Reuter Н.)
Der Exponent п in Sutton’s Ansatz fiir die Lagrangesche Korrelations- funktion. Arch. Meteor., Geophys. und Bioklim., A12, No. 1, 24—39. Двайер (Dwyer О. E.)
Eddy transport in liquid-metal heat transfer. A. I. Ch. E. J., 9, No. 2, 261—268.
Дуб Дж. Л.
Вероятностные процессы. М.: ИЛ.
Дубов А. С., Быкова Л. П. и МаруничС. В.
Турбулентность в растительном покрове. Л.: Гидрометеоиздат.
Дурст Ф. и др., ред. (Durst F. et al., eds.)
Турбулентные сдвиговые течения 1/Пер. с англ. М.: Машиностроение.
Turbulent shear flows 5. Berlin: Springer.
Дхаван (Dhawan S.)
Direct measurements of skin friction. Nat. Adv. Com. Aeronaut, Tech. Note, No. 2567.
Д ы н к и н E. Б.
Марковские процессы. M.: Физматгиз.
Дьюи и Салливен (Dewey R. J., Sullivan Р. J.)
1982. Longitudinal-dispersion calculations in laminar flows by statistical analysis of molecular motions. J. Fluid Meeh., 125, 203—217.
Дьюти и Рид (Duty R. L., Reid W. H.)
On the stability of viscous flow between rotating cylinders. J. Fluid Meeh., 20, No. 1, 81—94.
Дэви (Davey A.)
The growth of Taylor vortices in flow between rotating cylinders. J. Fluid Meeh., 14, No. 3, 336—368.
On the stability of plane Couette flow to infinitesimal disturbances. J. Fluid Meeh., 57, No. 2, 369—380.
On Itoh’s finite amplitude stability theory for pipe flow. J. Fluid Meeh., 86, No. 4, 695—703.
Дэви, Ди Прима и Стюарт (Davey A., Di Prima R. C., Stuart J. T.) 1968. On the instability of Taylor vortices. J. Fluid Meeh., 31, № 1, 17—52.
Дэви и Др азин (Davey A. and Drazin P. G.)
The stability of Poiseuille flow in a pipe. J. Fluid Meeh., 36, No. 2, 209—218.
Дэви и Нгуен (Davey A., Nguyen H. P. F.)
Finite-amplitude stability of pipe flow. J. Fluid Meeh., 45, No. 4, 701—720.
Дэви, Хокинг и Стюартсон (Davey A., Hocking L. M., Stewartson К.) 1974. On the nonlinear evolution of three-dimensional disturbances in plane Poiseuille flow. J. Fluid Meeh., 63, No. 3, 529—536.
Дэвидсон и Ба ред (Davidson В., Barad М. L.)
Some comments on the Deacon wind profile. Trans. Amer. Geophys. Union, 37, No. 2, 168—176.
Дэвис (Davies D. R.)
Three-dimensional turbulence and evaporation in the lower atmosphere I—II. Quart. J. Meeh. Appl. Math., 3, No. 1, 51—63, 64—73.
. On diffusion from a continuous point source at ground level into a turbulent atmosphere. Quart. J. Meeh. Appl. Math., 7, No. 2, 168—178.
. A note on the two-dimensional equation of diffusion in the atmosphere. Quart. J. Roy. Met. Soc., 80, No. 345, 429—434.
Дэвис P. E. (Davis R. E.)
On relating Eulerian and Lagrangian velocity. statistics: single particles in homogeneous flows. J. Fluid Meeh., 114, 1—26.
Дэвис P. У. (Davies R. W.)
The connection between the Smoluchowski equation and the Kramers — Chandrasekhar equation. Phys. Rev., 93, No. 6, 1169—1171.
Дэвис C. (Davis S. H.)
Convection in a box: on the dependence of preferred wave-number upon the Rayleigh number at finite amplitude. J. Fluid Meeh., 32, No. 3, 619—624.
Дэвис и Моррис (Davis G. В., Morris A. G.)
Stability of plane Couette flow for high Reynolds number. J. Austral. Math. Soc., B24, No. 3, 350—357.
Дэвис и Сигел (Davis S. H., Segel L. A.)
Effects of surface curvature and property variation on cellular convection. Phys. Fluids, 11, No. 3, 470—476.
Дюма и Марсилла (Dumas R., Marcillat J.)
Repartition en amplitudes de la vitesse dans une couche limite turbu- lente. Compte Rend. Acad. Set, 26, No. 12. A700—A703.
Дэвис и Уайт (Davies S. J., White С. M.)
An experimental study of the flow of water in pipes of rectangular section. Proc. Roy. Soc., Al 19, No. 781, 92—107.
Елагина Л. Г.
Оптический прибор для измерения турбулентных пульсаций влажности. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 8, 1100—1107.
Жигулев В. Н. и Тулин А. М.
1987. Возникновение турбулентности. Новосибирск: Наука.
Ж у (Zhou Н.)
On the nonlinear theory of stability of plane Poiseuille flow in the subcritical range. Proc. Roy. Soc. London, A381, No. 1781, 407—418. Жукаускас А. и Шланчяускас A.
Теплоотдача в турбулентном потоке жидкости. Вильнюс: Минтис. Жукаускас А. А., Шланчяускас А. А., Пядиешюс и Улин- с к а с Р. В.
Перенос тепла и количества движения в турбулентном пограничном слое на пластине в потоке вязкой жидкости. В сб.: Тепло и массо- перенос. Т. I (Труды 3-го Всесоюзн. совещ./Под ред. А. В. Лыкова и Б. М. Смольского). М.: Энергия, 133—140.
Загустин А. И.
Уравнения турбулентного движения жидкостей. Труды Воронежского ун-та, 10, № 2, 7—39.
3 а к ипо в 3. Б. и Темирбаев Д. Ж.
Об отношении коэффициентов турбулентной диффузии импульса и тепла в свободной турбулентной струе. В кн.: Тепло- и массоперенос (Труды 2-й Всесоюзн. конфер./Под ред. А. В. Лыкова). Минск: Наука и техника, 407—413.
Зальцман (Saltzman В.)
Finite amplitude free convection as an initial value problem. J. Atmos. Sci., 19, No. 4, 329—341.
Зельдович Я. Б.
Предельные законы свободно восходящих турбулентных потоков. ЖЭТФ, 7, № 12, 1463—1465.
Земан (Zeman О.)
Progress in the modeling of planetary boundary layers. Ann. Rev. Fluid Meeh., 13, 253—272.
Земан и Л а м л и (Zeman О., Lumley J. L.)
Modeling buoyancy driven mixed layer. J. Atmos. Sci., 33, 10, 1974— 1988.
Эффекты плавучести в турбулентных пограничных слоях с эжекцией: исследование замыкания второго порядка. В кн.: Турбулентные сдвиговые течения 1/(Под ред. Ф. Дурста и др.), 310—322. М.: Машиностроение.
Земан и Теннекес (Zeman О., Tennekes Н.)
A self-contained model for the pressure terms in the turbulent stress equations of the neutral atmospheric boundary layer. J. Atmos. Sci., 32, 9, 1808—1813.
Зилитинкевич С. С. (Zilitinkevich S. S.)
Динамика пограничного слоя атмосферы. Л.: Гидрометеоиздат.
О турбулентности и диффузии при свободной конвекции. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 7, № 1, 1263—1269.
Shear convection, Boundary-Layer Meteorology, 3, No. 4, 416—423.
Resistance laws and prediction equations for the depth of the planetary boundary layer. J. Atmos. Sci., 32, No. 4, 741—752.
Velocity profiles, the resistance law and the dissipation rate of mean flow kinetic energy in a neutrally and stably stratified planetary boundary layer. Boundary-Layer Meteor., 46, 367—387.
Зилитинкевич С. С. и ЛайхтманД. Л.
Турбулентный режим в приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 1, № 2, 150—156.
Зилитинкевич С. С., Лайхтман Д. Л. и Монин А. С.
Динамика пограничного слоя. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 3, № 3, 297—333.
Зилитинкевич С. С., Монин А. С. и Ча ликов Д. В.
Взаимодействие океана и атмосферы. В кн.: Океанология. Физика океана. I. Гидрофизика океана. М.: Наука, 208—340.
Зилитинкевич С. С. и Ча лик о в Д. В.
. Определение универсальных профилей скорости ветра и температуры в приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 4, № 3, 294—302.
О расчетах вертикальных турбулентных потоков в приземном слое атмосферы по данным градиентных наблюдений. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 4, № 9, 915—929.
Зубковский С. Л.
Частотные спектры пульсаций горизонтальной компоненты скорости ветра в приземном слое воздуха. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 10, 1425—1433.
Экспериментальное исследование характеристик турбулентности в приповерхностном слое атмосферы над сушей и морем. Автореф. канд. дис. Москва: ИФА АН СССР.
О горизонтальном турбулентном потоке тепла. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 2, № 12, 1307—1310.
Иванилов Ю. П.
Вторичные режимы в конвективных течениях. Изв. АН СССР, сер. Мех. жидк. и газа, № 3, 93—94.
Вторичные режимы в течении Куэтта. Изв. АН СССР, сер. Мех. жидк. и газа, № 1, 118—121.
Иванилов Ю. П. и Яковлев Г. Н.
О бифуркации течений жидкости между вращающимися цилиндрами. Приклад, матем. и механ., 30, № 4, 768—773.
И г л з (Eagles Р. М.)
On stability of Taylor vortices by fifth-order amplitude expansions. J. Fluid Meeh., 49, 529—550.
On the torque of wavy vortices. J. Fluid Meeh., 62, No. 1, 1—9. Йенсен, Бак и Бор (Jensen М. Н., Bak Р., Bohr Т.)
Transition to chaos by interaction of resonances in dissipative systems. 1. Circle maps. Phys. Rev. A30, No. 4, 1960—1969.
Изаксон A.
К определению турбулентности. Ж. русск. физ.-хим. общ., 61, № 3, 257—293.
О формуле распределения скоростей вблизи стенки. Ж. экспер. и теор. физ., 7, № 7, 919—924.
Изуми (Izumi У.)
Kansas 1968 field program data report. AFCRL-72-0041. Environ. Res. Paper 372. Air Force System Command.
Изуми и Кофи (Izumi Y., Caughey I. S.)
Minnesota 1973 atmospheric boundary layer experiment data report. AFCRL-TR-76 0038. Environ. Res. Papers 547. Air Force Cambridge Res. Lab.
Ильяшенко Ю. C.
Слабо сжимающие динамические системы и аттракторы. Успехи матем. наук, 36, № 3, 243—244.
Слабо сжимающие системы и аттракторы галеркинских приближений уравнений Навье—Стокса на двумерном торе. Успехи механ., 5, № 1/2, 31—63.
О размерности аттракторов R-сжимающих систем в бесконечномерном пространстве. Вестник МГУ, сер. матем. и механ., № 3, 52—59. Иноуэ (Inoue Е.)
1950—1951. On the turbulent diffusion in the atmosphere, I—II. J. Meteor. Soc. Japan, 28, No. 12, 441—456; 29, No. 7, 246—253.
On the Lagrangian correlation coefficient for turbulent diffusion and its application to atmospheric diffusion phenomena. Geophys. Res. Pap., No. 19, 397—412.
The effects of thermal stratification on turbulent diffusion in the atmospheric surface layer. Adv. Geophys., 6 (Atmospheric Diffusion and Air Pollution), 319—330 (пер. на рус. яз. в сб.: Атмосферная диффузия и загрязнение воздуха. М.: ИЛ, 1962, 354—364).
И о к о я м a (Yokoyama О.)
. On the thickness of smoke plume in diabatic surface layer. J. Meteor. Soc. Japan, sen II, 40, No. 2, 83—92.
On the contradiction and modification of the equation of diabatic wind profile. J. Meteor., Soc. Japan, sen II, 40, No 6, 359—360.
Иорданов Д. Л. (Yordanov D. L.)
О диффузии примеси от точечного источника в приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 2, № 6, 576—584.
О диффузии по направлению ветра и некоторых асимптотических формулах диффузии в приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 3, № 8, 818—826.
. On some asymptotic formulae describing diffusion in the surface layer of the atmosphere. Atm. Envin, 2, No. 2, 167—180.
On turbulent diffusion from a steady line source in the surface layer under unstable stratification. Rev. Pure Appl. Geophys., 69, No. 1, 229—236.
Диффузия примеси от линейного источника в приземном слое при неустойчивой стратификации. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 4, № 6, 677—679.
Иорданский С. В., Куликовский А. Г.
Об абсолютной устойчивости некоторых плоскопараллельных течений при больших числах Рейнольдса. ЖЭТФ, 49, № 4, 1326—1331.
Иссерлис (Isserlis L.)
On a formulae for the product-moment coefficient in any number of variables. Biometrika, 12, No. 1—2, 134—139.
Ито (Itoh N.)
. Spatial growth of finite wave disturbances in parallel and nearly parallel flows. 1. The theoretical analysis and numerical results for plane Poiseuille flow. Trans. Japan Soc. Aero. Space Sci., 17, No. 38, 160—174.
Spatial growth of finite wave disturbances in parallel and nearly parallel flows. 2. The numerical results for the flat plate boudanry layer. Trans. Japan Soc. Aero. Space Sci., 17, No. 38, 175—186.
Nonlinear stability of parallel flows with subcritical Reynolds numbers. Part 1. An asymptotic theory valid for small amplitude disturbances. J. Fluid Meeh., 82, No. 3, 455—467.
Nonlinear stability of parallel flows with subcritical Reynolds numbers. Part 2. Stability of pipe flow to finite axisymmetric disturbances. J. Fluid Meeh., 82, No. 3, 469—479.
й и (Yih C.-S.)
Spectral theory of Taylor vortices. Part I. Structure of unstable modes. Part II. Proof of nonoscillation. Arch. Rat. Meeh. Anal., 46, No. 3, 218—240; 47 No. 4, 288—300.
Кавере, Хею, Шл ингер и Сейдж (Cavers S. D., Hsu N. Y., Schlin- ger W.-G., Sage В. H.)•
Temperature gradients in turbulent gas streams. Behavior near boundary in two-dimensional flow. Ind. Eng. Chern., 45, № 9, 2139—2145.
Кадер Б. A.
К строению вязкого подслоя турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости. Изв. АН СССР, сер. Механ. жидк. и газа, № 6, 157—163.
. Гидравлическое сопротивление поверхностей, покрытых двумерной шероховатостью, при больших числах Рейнольдса. Теор. основы хим. технол., 11, № 3, 393—404.
Турбулентный тепломассоперенос при Pr » 1 и закон затухания турбулентной диффузии у твердой стенки. Изв. АН СССР, сер. Мех. жидк. и газа, № 2, 172—175.
Тепло- и массоперенос от стенок, покрытых двумерной шероховатостью, при больших числах Рейнольдса и Пекле. Теор. основы хим. технол., 13, № 5, 663—675.
Структура анизотропных пульсаций скорости и температуры в развитом турбулентном пограничном слое. Изв. АН СССР, сер. Мех. жидк. и газа, № 1, 47—56.
Анизотропные пульсации скорости ветра и температуры в нейтрально стратифицированном приземном слое атмосферы. Метеорологические исследования, № 28, 26—35.
Кадер Б. А. и Перепелкин В. Г.
Влияние неустойчивой стратификации на профили скорости ветра и температуры в приземном слое. Изв. АН СССР, Физ. атмосф. и океана, 25, № 8, 787—795.
Кадер Б. А. и Я г л о м А. М. (Kader В. A., Yaglom А. М.)
Универсальный закон турбулентного тепло- и массопереноса при больших числах Рейнольдса и Пекле. Докл. АН СССР, 190, № 1, 65—68.
Turbulent heat and mass transfer from a wall with parallel roughness ridges. Int. J. Heat and Mass Transfer, 20, No. 4, 345—357.
Законы подобия для пристенных турбулентных течений. Итоги науки и техники, сер. Мех. жидк. и газа, 15, 81—155. М.: ВИНИТИ.
Влияние шероховатости и продольного градиента давления на турбулентные пограничные слои. Итоги науки и техники, сер. Мех. жидк. и газа, 18, 3—111. М.: ВИНИТИ.
Спектры анизотропных турбулентных пульсаций скорости и температуры в пристеночных турбулентных потоках. В кн.: Проблемы турбулентных течений/Под ред. В. В. Струминский. М.: Наука, 67—74.
Heat and mass transfer laws for fully turbulent wall flows. Int. J. Heat and Mass Transfer, 15, No 12, 2329—2351.
Mean fields and fluctuation moments in unstably stratified turbulent boundary layers. J. Fluid Meeh., 212, 637—662.
Кадер Б. А., Я г лом A. M. и Зубковский С. Л. (Kader В. A., Yaglom А. М., Zubkovskii S. L.)
Spatial correlation functions of surface-layer atmospheric turbulence in neutral stratification. Boundary-Layer Meteor., 4 7, No. 1, 233—249.
Казанский А. Б. и Монин A. C.
Турбулентность в приземных инверсиях. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 1, 79—86.
О форме дымовых струй. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 8, 1020—1033.
О турбулентном режиме в приземном слое воздуха при неустойчивой стратификации. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 6, 741—751.
О динамическом взаимодействии между атмосферой и поверхностью земли. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 5, 786—788.
Определение турбулентных потоков количества движения, тепла и влаги по данным градиентных наблюдений. Метеорология и гидрология, № 12, 3—8.
Кайзер (Kiser К. М.)
Material and momentum transport in axisymmetric turbulent jets of water. A. I. Ch. E. J.. 9, No. 3, 386—389.
Кай мал и Бюсингер (Kaimal J. C., Businger J. A.)
A continuous wave sonic anemometer-thermometer. J. Appl. Meteor 2 No. 1, 156—164.
Кайма л и Изуми (Kaimal J. C., Izumi У.)
1965. Vertical velocity fluctuations in a nocturnal low-level jet. J. Appl. Meteor., 4, No. 5, 576—584.
К ай м а л, Крамер, Рекорд, T и ль м ан, Бюсингер и Ми я ке (Kaimal J. С., Cramer Н. Е., Record F. A., Tillman J. Е., Businger J. А., Miyake М.)
Comparison of bivane and sonic techniques for measuring the vertical wind component. Quart. J. Roy. Met. Soc., 90, № 386, 467—471.
К а й м а л, У и н г aia p д и X о г e н (Kaimal J. C., Wyngaard J. C., Haugen D. A.)
Deriving power spectra from a three-component sonic anemometer. J. Appl. Meteor., 7, No. 5, 827—837.
Кайма л, Хоген и Ньюмен (Kaimal J. C., Haugen D. A., Neuman J. T.)
A computer-controlled mobile micrometeorological observation system. J. Appl. Meteor., 5, No. 4, 411—420.
Калинске и Пиен (Kalinske A. A., Pien С. C.)
Eddy diffusion. Ind. Eng. Chern., 36, No. 3, 220—223.
Калугин В. H., Лепеха П. П., Чечко Г. А.
Устойчивость течения жидкости в круглой цилиндрической трубе. Вычисл. и прикл. мат. Межвед. науч, сб., вып. 28, 94—100.
Кампе де Ферье (Катрё de Feriet J.)
Les fonctions aleatoires stationnaires et la theorie statistique de la turbulence homogene. Ann. Soc. Sci. Bruxelles, 59, 145—194.
Averaging processes and Reynolds equations in atmospheric turbulence. J. Meteor., 8, No. 5. 358—361.
Fonctions aleatoires et theorie statistique de la turbulence (в кн.: A. Blanc-Lapierre. R. Fortet. Theorie des fonctions aleatoires. Paris: Masson, 568—623).
Problemes mathematiques poses par la mechanique statistique de la turbulence. Proc. Intern. Congress Math. Amsterdam, 1954, 3, 237—242. Кан cko (Kaneko K.)
Spatiotemporal intermittancy in coupled map lattices. Progr. Theor. Phys., 74, No. 5, 1033—1044.
Lyapunov analysis and information flow in coupled map lattices. Phy- sica D., 23, No. 1/3 436—447.
Кантуэлл Дж.
Организованные движения в турбулентных потоках. Вихри и волны (Механика, вып. 33), М.: Мир, 9—79.
Као (Као S. К.)
Turbulent transfer in the boundary layer of a stratified fluid. J. Meteor., 16, No. 5, 497—503.
Капица П. Л.
Теоретические и эмпирические выражения для теплопередачи в двумерном турбулентном потоке. Докл. АН СССР, 55, № 7, 595—602.
Каприз, Гелардони и Ломбарди (Capriz G., Ghelardoni G., Lombardi G.)
Numerical study of the stability problem for Couette flow. Phys. Fluids, 9, No. 10, 1934—1936.
Карлсон, У и д н e л и Петерс (Carlson D. R., Widnall S. E., Paeters M. F.) 1982. A flow-visualization study of transition in plane PoiseuiHe flow\ J. Fluid. Meeh., 121, 487—505.
64164141 Заказ № 303
641
641
Карман (Karman Th. von)
Doer die Slabiiitai dcr Laminarstromung und die Theorie der Turbu- lenz. Proc. 1st Intern. Congr. AppL, Meeh., Delft, 97—112.
Mechanische Ahnlichkeit und Turbulenz. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. KL, 58—76 (пер. на рус. яз. в сб.: Проблемы турбулентности. М.-Л.: ОНТИ, 1936, 271—286).
Seme aspects of the theory of turbulent motion. Proc. Intern. Congr. Appl. Meeh. Cambridge (пер. на рус. яз. в сб.: Проблемы турбулентности М.-Л/ ОНТИ, 1936, 35-74).
The analogy between fluid friction and heat transfer. Trans. Amer. Soc. Meeh. Engrs., 61, 705—710.
Кароль И. Д.
О влиянии турбулентной диффузии в направлении ветра на распределение концентрации субстанции, диффундирующей в атмосфере. Докл. АН СССР, 131, № 6, 1283—1286.
Карр (Carr A. D.)
The transport of heat in a fluid in turbulent pipe flow. Reactor, 1. 6—14.
Картер П. и др. (Carter P. H., Cawley R., Licht A. L., Yorke J. A. and Melnik M. S.) 1986. Dimension measurements from clowd radiance. In: Dimensions and Entropies in Chaotic Systems (ed. G. Mayer-Kress), Berlin: Springer- Verlag, 215—221.
Карриер и Карлсон (Carrier G. F., Carlson F. D.)
On the propogation of small disturbances in a moving compressible fluid. Quart. Appl. Math., 4, No. 1, 1—12.
Каса г и, Хирата и Нишино (Kasagi N., Hirata M., Nishino К)
Streamwise pseudo-vertical structures and associated vorticity in the near-wall region of a wall-bounded turbulent shear flow. Exp. Fluids, 4, № 6, 309—318.
Кастри накис и Эккельман (Kastrinakis В. G., Eckelmann H.) 1983. Measurement of streamwise vorticity fluctuations in a turbulent channel flow. J. Fluid Meeh., 137, 165—186.
К а стэн и др. (Castaing В., Gunaratke G., Heslot F., Kadanoff L., Libcha- ber A., Thomae S., Wu X., Zaleski S., Zanetti G.)
Scaling of hard thermal turbulence in Rayleigh-Benard convection. J. Fluid Meeh., 204, 1—30.
Каттанео (Cattaneo C.)
1949. Sulla conduzione del calore. Atti sem. Mat. Fis. Univ. Modena, 3, 83—101.
Sur une forme de 1’equation de la chaleur eliminant le paradoxe d’une propogation instance. Compte Rend. Acad. Sci., 247, No. 4, 431—433. Каттон (Catton I.)
Natural convection in horizontal liquid layer. Phys. Fluids, 9, No. 12, 2521—2522.
Качанов IO. С., Козлов В. В. и Левченко В. Я.
Возникновение турбулентности в пограничном слое. Новосибирск: Наука.
Качанов Ю. С. и Левченко В. Я. (Kachanov Yu. S., Levchenko V. Ya.) 1984. The resonant interaction of disturbances at laminar-turbulent transition. J. Fluid Meeh., 138, 209—247.
Каули и Смит (Cowley S. I., Smith F. T.)
On the stability of Poiseuille-Couette flow: a bifurcation from infinity. J. Fluid Meeh., 156, 83—100.
Кедроливанский В. H. и СтернзатМ. С.
Метеорологические приборы. Л.: Гидрометеоиздат.
Келдыш М. В.
1951. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосопряженных уравнений. Докл. АН СССР, 77, № 1, 11—14.
Келдыш М. В. и Л и д с к и й В. Б.
Вопросы спектральной теории несамосопряженных операторов. Труды 4-го Всесоюзн. матем. съезда, I. Л.: Изд. АН СССР, 101—120.
Кел л ер Л. В.’
Uber die Ausstellung eines System von Charakteristiken der atmospha- rischen Turbulenz. Ж. геофиз. метеор., 2, № 34, 275—290.
Келлер Л. В. и Фридман А. А.
Differentialgleichung fur die turbulente Bewegung einer kompressiblen Flussigkeit. Proc. 1st Intern, congr. Appl. Meeh., Delft, 395—405 (nep. на рус. яз. в кн/. А. А. Фридман. Избран, труды М/. Наука, 1966). Келли (Kelly R. Е.)
On the stability of an inviscid shear layer which is periodic in space and time, J. Fluid Meeh., 27, No. 4, 657—689.
On the resonant interaction of neutral disturbances in two inviscid shear flows. J. Fluid Meeh., 31, No. 4, 789—799.
Кемпф (Kempf G.)
Neue Ergebnisse der Wiederstandforschung. Werft, Reederei, Hafen, 10, 234—239, 247—253.
Керл (Curie N.)
On hydrodynamic stability in unlimited fields of viscous flow. Proc. Roy. Soc., A238, No. 1216, 489—501.
Кестин и Ричардсон (Kestin J., Richardson P. D.)
Heat transfer across turbulent incompressible boundary layers. Intern. J. Heat Mass Transfer, 6, No. 2, 147—189.
Кефед-Хансен и Вен дел (Kafoed-Hansen О., Wandel С. F.)
On the relation between Eulerian and Lagrangian averages in the statistical theory of turbulence. Riso Report No. 50, Danish Atomic Energy Commision, Riso, Denmark.
К и б e л ь И. A.
Приложение теории турбулентности к вопросу о распределении ветра с высотой. В кн.: Динамическая метеорология, 2/Под ред. Б. И. Извекова и Н. Е. Кочина. Л.—М.: Гидро метео из дат, 28—36.
Кизер (Kiser К. М.)
Material and momentum transport in axisymmetric turbulent jets of water. A. I. Ch. E. Journal, 9, No. 3, 386—389.
Ким, Клайн и Рейнольдс (Kim Н. Т., Kline S. J., Reynolds W. C.)
Report FB-20. Department of Mechanical Engineering, Stanford University.
The production of turbulence near a smooth wall in a turbulent boundary layer. J. Fluid Meeh., 50, No. 1, 133—160.
Кирхгеснер (Kirchgassner K.)
Die Instabilitat der Stromung zwischen zwei rotierenden Zylindern gegeniiber Taylor-wirbeln fur beliebige Spaltbreiten. Z. angew. Math. Phys., 12, No. 1, 14—30.
Кирхгеснер и Зор rep (Kirchgassner К., Sorger P.)
Branching analysis for the Taylor problem, Quart. J. Meeh. Appl. Math., 22, 183—209.
Кистлер (Kistler A. L.)
The * structure of the laminar sublayer, Mecanique de la turbulence (Coll. Intern, du CNRS a Marseille). Paris: Ed. CNRS, 287—297.
Китайгородский C. A.
К вопросу о расчете параметра шероховатости морской поверхности. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 4, № 8, 870—878.
Китайгородский С. А. и В о л к о в Ю. А.
О расчете турбулентных потоков тепла и влаги в приводном слое атмосферы. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 1, № 9, 973—988. Кишиневский (Kishinevsky М. Kh.)
613613Heat transfer at high Prandtl numbers and mass transfer to a turbulent flow from the wall at a smooth tube. Int. J. Heat and Mass Transfer, 8, 1181—1186.
613
613
41*
Клайн, Морковин, Совран и Кокрель, ред. (Kline S. J., Morko- vin М. V., Sovran G., Cockrell D. J., eds.).
Computation of Turbulent Boundary Layers (Proc. 1968 AFOSR-IFP- Stanford Conf.), 1. Stanford: Thermosci. Div., Dep. Meeh. Eng. Stanf. Univ.
Клайн, Рейнольдс, Шрауб и Ранстадлер (Kline S. J., Reynolds W. C., Schraub F. A., Runstadler P. W.)
The structure of turbulent boundary layers. J. Fluid Meeh., 30, No. 4, 741—773.
Кларк, Хесс (Clarke R. H., Hess G. D.)
Geostrophic departure and the functions A and В of Rossby-number similarity theory. Boundary-Layer Meteorol., 7, No. 3, 267—287.
Клаузер (Clauser F. H.)
The turbulent boundary layer. Adv. Appl. Meeh., 4, 1—51 (пер. на рус. яз.: Клаузер Ф. Турбулентный пограничный слой. Проблемы механики, вып. 2, М/. ИЛ, 1959, 297—340).
Клебанов (Klebanoff Р. S.)
Characteristics of turbulence in a boundary layer with zero pressure gradient. Nat. Advis. Com. Aeronaut., Rep., No. 1247.
Клебанов и Тидстром (Klebanoff P. S., Tidstrom K. D.)
Evolution of amplified waves leading to transition in a boundary layer with zero pressure gradient. Nat. Aeronaut. Space Adm., Tech, note D-195.
Клебанов, Тидстром и Сарджент (Klebanoff Р. S., Tidstrom К. D., Sargent L. M.)
The three-dimensional nature of boundary layer instability. J. Fluid Meeh., 12, No. 1, 1—34.
Клейнштейн (Kleinstein G.)
Generalized law of the wall and eddy-viscosity model for wall boundary layers. AIAAJ., 5, No. 8, 1402—1407.
Клен шоу и Эллиотт (Klenshow С. W., Elliott D.)
A numerical treatment of the Orr-Sommerfeld equation in the case of a laminar jet. Quart. J. Meeh. Appl. Math., 13, No. 3, 300—313.
Клюг (Klug W.)
Zum vertikalen Windprofil. Beitr. Phys. Atmosph., 36, No. 3—4, 226—253.
Diabatic influence on turbulent wind fluctuations. Quart. J. Roy. Met. Soc., 91, No. 388, 215—217.
Determination of turbulent fluxes of heat and momentum from the wind profile. Quart. J. Roy. Met. Soc., 93, No. 395, 101—104.
Diffusion in the atmospheric surface layer: comparison of similarity theory with observations. Quart. J. Roy. Met. Soc., 94, No. 402, 555—562.
Клюг и Випперман (Klug W., Wippermann F.)
Numerische Integrationen einer Gleichung fur die Turbulente Diffusion in der Atmosphare. Arch. Meteor., Geophys. und Bioklimatol., 16, No. 1, 1—11.
Коан тик (Coantic M.)
Remarques sur la structure de la turbulence a proximite d’une paroi. Compte Rend. Acad. Sci., 260, No. 11, 2981—2984.
Contribution a 1’etude de la structure de la turbulence dans une conduite de section circulaire. These doctorat d’etat des sciences physiques. Univ. d’Aix-Marseille, Marseille.
. Evolution, en fonction du nombre de Reynolds, de la distribution des vitesses moyennes et turbulentes dans une conduite. Compte Rend. Acad. Sci., 264, No. 19, A849—A852.
Quelques resultats nouveaux sur la structure de la turbulence dans la sous-couche visqueuse. Compte Rend. Acad. Sci., 264, No. 20, A967—A970. Ко антик и Сегин (Coantic M., Seguin В.)
On the interaction of turbulent and radiactive transfers in the surface layer, Boundary-Layer Meteor., 1, 245—263.
Коваснаи (Kovasznay L. S. G.)
Spectrum of locally isotropic turbulence. J. Aeronaut. Sci., 15 No. 12, 745—753.’
Turbulence in supersonic flow. J. Aeronaut. Sci, 20, No 10 657—674.*'
Structure detaillee de I’ecoulement pendant la transition, Compt. rend. 8 Journees hydraul. Soc. hydrotechn. France, Lille, 1964, 1, Grenoble, 1965, 21—42.
Turbulence measurements. Applied Mechanics Surveys, Spartan Books, Macmillan and Co., 971—982.
Structure of the turbulent boundary layer. Phys. Fluids, 10, Supplement, S25— S30.
Коваснаи, Комода и Васудева (Kovasznay L. S. G., Komoda H., Vasudewa B. R.)
Detailed flow field in transition. Proc. Heat Transfer and Fluid Meeh. Inst. Stanford Univ. Press, 1—26.
Когельман и Ди Прима (Kogelman S., Di Prima R. C.)
Stability of spatially periodic supercritical flows in hydrodynamics. Phys. Fluids, 13, No. 1, 1—11.
Козлов В. В. (ред. Kozlov V. V., ed.).
Laminar-Turbulent Transition. Proc. Intern. Symposium. Berlin: Springer.
Козлов В. В. и Рамазанов М. П. (Kozlov V. V. and Ramazanov М. Р.) 1984. Development of finite-amplitudd disturbances in Poiseuille flow. J. Fluid Meeh., 147, 149—157.
Колдер (Calder K- L.)
1949. Eddy diffusion and evaporation in flow over aerodynamically amooth and rough surfaces: a treatment based on laboratory laws of turbulent flow with special reference to conditions in the lower atmosphere. Quart. J. Meeh. Appl. Math., 2, No. 2, 153—176.
Atmospheric diffusion of particulate material, considered as a boundary value problem. J. Meteor., 18, No. 3, 413—416.
On the equation of atmospheric diffusion. Quart. J. Roy. Met. Soc., 91, No. 390, 514—517.
Concerning the similarity theory of Monin/Obukhov. Quart. J. Roy. Met. Soc., 92, No. 391, 141—146.
A criticism of Bernstein’s new dimensional approach to the flux-gradient relationships near the ground. Quart J. Roy. Met. Soc., 93, 544—550. Колеман, Ходж и Тэйлор (Coleman Н. W., Hodge В. K-, Taylor R. P.)
A re-evaluation of Schlichting’s surface roughness experiment. Trans. ASME. J. Fluids Eng., 106, No. 1, 60—65.
Колесников А. Г.
Вертикальный турбулентный обмен в устойчиво стратифицированном море. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 11, 1614—1623.
Коллис (Collis D. С.)
The diffusion process in turbulent flow. Austr. Counsil Sci. Ind. Res., Div. Aero., Rep. A55.
Колмогоров A. H.
Uber die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichketsrechung, Math. Ann., 104, 415—458 (пер. на рус. яз. этой и следующей работ в кн.: Колмогоров А. Н. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1986, 60—105 и 149—161).
La transformation de Laplace dans les espaces lineaires Compt. Rendus Acad. Sci., 200, N 21, 1717—1718 (пер. на рус. яз. кн. Колмогоров И. Н. Математика и механика. М.: Наука, 1985, 178—179).
Кривые в гильбертовском пространстве, инвариантные по отношению к однопараметрической группе движений. Докл. АН СССР, 26, № 1, . 6—9.
. Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса. Докл. АН СССР, 30, № 4, 299—303.
Рассеяние энергии при локально изотропной турбулентности. Докл, АН СССР, 32, № 1, 19-21.
в. Стационарные последовательности в гильбертовском пространстве, Бюлл. МГУ, 2, № 6, 1—40.
Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости, Изв. АН СССР, сер. физ., 6, № 1—2, 56—58.
К вопросу о сопротивлении и профиле скоростей при турбулентном течении в трубах. Докл. АН СССР, 84, № 1, 29—30.
О новом варианте гравитационной теории движения взвешенных наносов. Вестник МГУ, № 3, 41—45.
A refinement of previous hypotheses concerning the local structure of turbulence in a viscous incompressible fluid at high Reynolds number. Fluid Meeh., 13, No. 1, 82—85 (пер. на рус. яз. в кн.: Колмогоров А. Н, Математика и механика. М.: Наука, 1985, 348—352).
Ко л ь м а н В., ред.
Методы расчета турбулентных течений/Пер. с англ. М.: Мир.
Комода (Komoda Н.)
-^496^(№)пИпеаг development of disturbance in a laminar boundary layer. Phys. Fluids, 10, Supplement. S87—S94.
К о м о л e (Comolet R.)
Recherches. sur la genese de la turbulence dans les conduites en charge. Publ. Sci. Techh. Min. Air, No. 246, Paris.
Кондо (Kondo J)
. Observations on wind and temperature profiles near the ground. Sci. Reports Tohoku Univ., ser. 5, Geophys., 14, No. 2, 41—56.
Evaporation from extensive surface of water. Sci. Rep. Tohoku Univ., ser. 5, Geophys., 14, No. 3, 107—119.
Relationship between the roughness coefficient and other aerodynamic parameters. J. Meteor. Soc. Japan, 49, 121—124.
Кондо и Акаши (Kondo J., Akashi S.)
Numerical studies on the two-dimensional flow in horizontally homogeneous canopy layers, Boundary-Layer Meteor., 10, No. 3, 255—272.
Кондо и Кавана к a (Kondo J., Kawanaka А.)
Numerical study on the builk heat transfer coefficient for. a variety of vegetation types and densities. Boundary-Layer Meteor., 37, No. 3, 285—296.
Кондо и Ям азава (Kondo J., Yamazawa H.)
. Bulk transfer coefficient over a snow surface, Boundary-Layer Meteor., 34, No. 1—2, 123—135.
Aerodynamic roughness over an inhomogeneous ground surface, Boundary-Layer meteor., 35, No. 4, 331—348.
Константинов A. P.
Расчет испарения с сельскохозяйственных полей с учетом влияния лесных полос. Труды ГГИ, вып. 34 (88), 15—65.
Конт-Белло (Compte-Bellot G.)
Coefficients de dissymetrie et d’aplatissement, spectres et correlations en turbulence de conduite. J. Mecanique, 2, No. 2, 105—128.
Ecoulement turbulent entre deux parois paralleles, Paris: Publ. Sci. Techn. Min. Air. No. 419 (пер. на рус. яз.: Конт-Белло Ж. Турбулентное течение в канале с параллельными стенками, М.: Мир, 1968).
Конт-Белло и Кор с ин (Comte-Bellot G., Corrsin S.)
Simple Eulerian time correlation of full- and narrow-band velocity signals in grid-generated “isotropic” turbulence. J. Fluid Meeh., 48, No. 2, 273—337.
Коппел (Koppel D.)
On the stability of flow of a thermally stratified flow under the action of gravity. J. Math. Phys., 5, No. 7, 963—982.
Корине и Бродки (Corino E. R., Brodkey R. S.)
A visual investigation of the wall region on turbulent flow. J. Fluid Meeh., 37, b, 1--30.
Коркоран, Пейдж, Шингер и Сейдж (Corcoran W. Н., Page F., Schinger W. G„ Sage В. H.) ' •:•
Gradients in turbulent gas streams. Ind. Eng. Chem., 44, No. 3, 410—430. Корнер, Хьюстон и Росс (Corner D., Houston D. J. R?, Ross M. A. S.)
Higher eigenstates in boundary layer stability theory. J. Fluid Meeh., 77, No. 1, 81—103.
Коротков Б. H.‘
О некоторых видах локального самоподобия поля скорости пристеночных турбулентных течений. Изв. АН СССР, сер. Мех. жидкости и газа, № 6, 35—42.
К о р с и н (Corrsin S.)
Investigation of flow in an axially symmetric heated jet of air. Nat Adv. Com. Aeronaul. Wartime Report W-94.
. Outline of some topics in homogeneous turbulent flow. J. Geophys. Res., 64, No. 12, 1234—2150..
Progress report on some turbulent diffusion research. Adv. Geophys., 6 (Atmospheric Diffusion and Aeir Pollution) 161—164 (пер. на рус.яэ. в сб.: Атмосферная диффузия и загрязнение воздуха.. М.: ИЛ, 1962, 187—190).
Theories of turbulent dispersion, Mecanique de la turbulence (Coll. Intern, du CNRS a Marseille). Paris: Ed. CNRS, 27—52.
. Estimates of the relations between Eulerian and Lagrangian scales in large Reynolds number turbulence. J. Atmosph. Sci., 20, No. 2, 115—119.
Turbulence: Experimental Methods. Handbuch der Physik, v. VIII/2. Berlin: Springer, 525—590..
Limitations of gradient transport models in random walks and in turbulence. Adv. Geophys., 18A, 25—60.
К о p с и н и Кистлер (Corrsin S. and Kistler A. L.)
1954. The free-stream boundaries of turbulent flows. NACA Tech. Note 3133 (also NACA Rep. 1244, 1955).
К о p с и н и У б e p о и (Corrsin S., Uberoi M. S.)
Further experiments on the flow and heat transfer in a heated turbulent air jet, Nat. Adv. Com. Aeronaut., Rep. No. 998.
Spectra and diffusion in a round turbulent jet, Nat. Adv. Com. Aeronaut.. Rep. No. 1040.
Коулс (Coles D.)
The law of the wall in turbulent shear flow, 50 Jahre Grenzschichtfor- schung. Braunschweig: Vieweg, 153—163.
The law of the wake in turbulent boundary layer. J. Fluid Meeh., 1, No. 3, 191—226.
. Interface and intermittency in turbulent shear flow. Mecanique de la turbulence (Coll. Intern, du CNRS a Marseille). Paris: Ed. CNRS, 229—248.
The turbulent boundary layer in a compressible fluid. RAND Corp. Rep. R-403-PR. Santa Monica, Calif.
Transition in circular Couette flow. J. Fluid Meeh., 21, No. 3, 385—425.
Коулс и Ван Атта (Coles D., Van Atta C. W.)
Digital experiments in spiral turbulence. Phys. Fluids, 10, Supplement, S120—S121.
К о ч и н H. Е., К и б е л ь И. А. и Розе Н. В.
Теоретическая гидромеханика. Т. 1 и 2, 3-е изд. М.; Физматгиз.
Кошмидер (Koschmieder Е. L.)
On convection on a uniformly heated plane. Beir. Phys. d. Atmosph., 39, No. 1, 1—11.
On convection under an air surface. J. Fluid Meeh., 30, No. 1, 9—15, Коффи (Coffee T.)
Finite amplitude instability of plane Couette flow. J. Fluid Meeh., 83, No. 3, 401—413.
Кравченко И. М.
О профиле ветра в приземном слое. Изв. АН СССР, сер. геофиз., К« 3 498—499.
Крамер X. (Cramer Н.)
On the theory of stationary random processes. Ann. Math., 41, No. 1, 215—230.
On harmonic analysis in certain functional spaces. Ark. Mat. Astr. Fys., 28B, No. 12, 1—17.
Крамер (Cramer H. E.)
Turbulent transfer processes for quasi-homogeneous flows within the atmospheric surface layer. Phys. Fluids, 10, Supplement, S240—S246. Крамер и Рекорд (Cramer H. E., Record F. A.)
The variation with height of the vertical flux of heat and momentum.
J. Meteor., 10, No. 3, 219—226.
Кратчфилд и К а н e к о (Crutchfield J. P., Kaneko K.)
Phenomenology of spatiotemporal chaos. In: Directions in chaos. Singapore: World Scientific), 272—353.
Крейчнан (Kraichnan R. H.)
The structure of isotropic turbulence at very high Reynolds numbers. J. Fluid Meeh., 5, No. 4, 497—543.
. Turbulent thermal convection at arbitrary Prandtl number. Phys. Fluids, 5, No. 11, 1374—1389.
The closure problem of turbulence theory. Proc. Symp. Appl. Math., 13 (Hydrodynamic Instability), 199—225 (пер. на рус. яз. в сб.: Гидродинамическая неустойчивость. М.: Мир, 1964, 231—264).
Inertial ranges in two-dimensional turbulence. Phys. Fluids, 10, No. 7, 1417—1428.
. An almost markovian Galilean invariant turbulence model. J. Fluid Meeh., 47, No. 3, 513—524.
Inertial-range transfer in two- and three-dimensional turbulence. Phys. Fluids, 4 7, No. 3, 525—535.
К p e п л и н и Эккельман (Kreplin H.-Р., Eckelmann H.)
Behavior of the three fluctuating velocity components in the wall region of a turbulent channel flow. Phys. Fluids, 22, No. 7, 1233—1239.
Креч мер С. И.
Методика измерения микропульсаций скорости ветра и температуры в атмосфере, Труды Геофиз. инет. АН СССР, № 24 (151), 43—111,
Полевой градиентометр для измерения градиентов температуры воздуха, Труды ЦАО, № 22, 96—99.
Криминале (Criminale W. О., Jr.)
Interaction of the laminar boundary layer with free-stream turbulence. Phys. Fluids, 10, Supplement, S101—S107.
Криминале и К о в а с н а и (Criminale W. О., Jr., Kovasznay L. S. G.)
The growth of localized disturbances in a laminar boundary layer. J. Fluid Meeh.. 14. No. 1, 59—80.
Кристиансен (Christiansen О. B.)
Spatial correlations in coupled map lattices. Copenhagen: The Niels Bohr Institute, Preprint.
Кристоферсон (Christopherson D. G.)
Note on the vibration of membranes. Quart. J. Math., 11, No. 1, 63—65.
К p о к к о (Crocco L.)
Turbulent boundary layer and mixing coefficient. J. Soc. Ind. Appl. Math., 13, No. 1, 206—215.
К p о п и к (Kropik К.)
Beitrage zum Stabilitatsproblem def Poiseulleschen Stromung. Acta Phys. Austr., 17, No. 4, 351—377.
К p о у (Crow S. C.)
1968. Viscoelastic properties of fine-grained incompressible turbulence. J. Fluid Meeh., 33, No. 1, 1—20.
Кроуфорд (Crawford Т. V.)
Moisture transfer in free and forced convection. Quart. J. Roy. Met. Soc., 91, No. 387, 18—27.
Крюгер и Ди Прима (Krueger Е. R„ Di Prima R. C.)
The stability of viscous fluid between rotating cylinders with an axial flow. J. Fluid Meeh., 19, No. 4, 528—538.
Крюгер, Гросс и Ди Прима (Krueger Е. R„ Cross A., Di Prima R. С.) 1966. On the relative importance of Taylor-vortex and non^axisymmetric modes in flow between rotating cylinders. J. Fluid Meeh., 24, No 3, 521—538.
Крылов А. Л.
Доказательство неустойчивости одного течения вязкой несжимаемой жидкости. Докл. АН СССР, 153, № 4, 787—789.
Об устойчивости течения Пуазейля в плоском канале. Докл. АН СССР, 159, № 5, 978—981.
Крюгер (Krueger Е. R.)
The Stability of Couette and Spiral Flow, Ph. D. Thesis. Rensselaer Polytechnic Institute, Troy, New York.
Кувабара (Kuwabara S.)
Nonlinear instability of plane Couette flow. Phys. Fluids, 10, Supplement, SI 15—SI 16.
Кудряшов А. В., Мансфельд А. Д., Рабинович M. И. и Сущи к M. M.
Модуляционный механизм подавления турбулентности в сдвиговых течениях. Докл. АН СССР, 277, № 1, 61—64.
Кул ле (Cou-llet Р.)
Commensurate-incommensurate transition in nonequilibrium systems. Phys. Rev. Lett., 56, 7, 724—727.
КурпаковаТ. А. и ОрленкоЛ. P.
О закономерностях распределения температуры и ветра в пограничном слое. Труды ГГО, № 205, 13—24.
К У с т а с и Братсерт (Kustas W. Р., Brutsaert W.)
Wind profile constants in a neutral atmospheric boundary layer over complex terrain. Boundary-Layer Meteor., 34, No. 1, 35—54.
Кэйз (Case К. M.)
. Stability of inviscid plane Couette flow. Phys. Fluids, 3, No. 2, 143—149.
Stability of an idealised atmosphere. I. Discussion of results. Phys. Fluids, 3, No. 2, 149—155.
Taylor instability of an inverted atmosphere. Phys. Fluids, 3, No. 3, 366—368.
Hydrodynamic stability and the inviscid limit. J. Fluid Meeh., 10, No. 3, 420—429.
Hydrodynamic stability and the initial value problem. Proc. Simp. Appl. Math., 13 (Hydrodynamic Instability), 25—33 (пер. на рус. яз. в сб/. Гидродинамическая неустойчивость. М.: Мир, 1964, 37—46).
Кэйс В. М.
Конвективный тепло- и массообмен/Пер. с англ. М.: Энергия.
Кэрри и др. (Curry J. Н., Herring J. R., Loncaric J., Orszag S. A.)
Order and disorder in two- and tree-dimensional Benard convection.
J. Fluid Meeh., 147, 1—38.
Лавджой C. (Lovejoy S.)
Area-perimeter relation for rain and cloud areas. Science, 216, No. 4542, 185—187.
Лавджой С. и Шерцер C. (Lovejoy S. and Schertzer S.)
Scale and dimension dependence in the detection and calibration of remotely sensed atmospheric phenomena. In: Proc. 2nd Conf, on Satellite Meteorology and Remote Sensing. Williamsburg, USA.
Ладыженская О. А.
О динамической системе, порождаемой уравнением Навье—Стокса. Записки научных семинаров Ленингр. отд. Математ. ин-та АН СССР 27, 91—114.
О конечномерности ограниченных инвариантных множеств для системы Навье—Стокса и других диссипативных систем. Записки научных семинаров Ленингр. отд. Матем. ин-та АН СССР, 115, 137—155.
Лайтхилл (Lighthill М. J.)
On sound generated aerodynamically. I. General theory. Proc. Roy. Soc., A211, No. 1107, 564—587.
On sound generated aerodynamically. II. Turbulence as a source of sound. Proc. Roy. Soc., A222, No. 1148, 1—32.
Initial development of diffusion in Poiseuille flow. J. Inst. Math, and Appl., 2, No. 1, 97-108.
Лайхтман Д. Л.
Профиль ветра и обмен в приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР, сер. геогр. и геофиз., 8, № 1, 1—5.
. О профиле ветра в приземном слое атмосферы при стационарных условиях. Труды научно-иссл. учр. гидрометслужбы, сер. 1, № 39, 58—76.
Трансформация воздушной массы под влиянием подстилающей поверхности. Метеорология и гидрология, № 1, 17—21.
Диффузия примеси от точечных источников в приземном слое атмосферы. Труды ЛГМИ, вып. 15, 3—9.
Физика пограничного слоя атмосферы. Л/. Гидрометеоиздат. ЛайхтманД. Л. и ЧудновскийА. Ф.
Физика приземного слоя атмосферы. Л.—М.: Гостехиздат.
Л а м б Г.
1947. Гидродинамика. М.—Л.: Гостехиздат.
Л а м л и (Lumley J. L.)
. The mathematical nature of the problem of relating Lagrangian and Eulerian statistical functions in turbulence, Mecanique de la turbulence (Coll. Intern, du CNRS a Marseille). Paris: Ed. CNRS.
An approach to the Eulerian—Lagrangian problem. J. Math. Phys., 3, No. 2, 309—312.
Rational approach to relations between motions of differing scales in turbulent flows. Phys. Fluids, 10, No. 7, 1405—1408.
The applicability of turbulence research to the solution of internal flow problems. In: Fluid Mechanics of Internal Flow (ed. by G. Sovran). Amsterdam: Elsevier, 152—169.
Toward a turbulent constitutive relation. J. Fluid Meeh., 41, No. 2, 413—434.
A model for computation of stratified turbulent flows. Int. Symp. on Stratified Flows: Paper 14, Novosibirsk.
. Simulating turbulent transport in air-pollution models. In: Advances in Environmental Sciences and Engineering, 1 (eds J. R. Plafflin and E. H. Zeigler). N. Y.: Gordon and Breach, 103—127.
Computational modeling of turbulent flows. Adv. Appl. Meeh., 18, 123—176..
Turbulence modeling. J. AppL Meeh., 50, No. 4b, 1097—1103.
Ламли, Земан и Сисе (Lumley J. L., Zeman O., Siess J.)
The influence of buoyancy on turbulent transport. J. Fluid Meeh., 84, No. 3, 581—597.
Ламли и Мэнсфилд (Lumley J. L., Mansfield P.)
Second order modeling of turbulent transport, in the surface mixed layer. Boundary-Layer Meteor., 30, Nos. 1/4, 109—142.
Ламли Дж. Л. и ПановскийГ. А.
Структура атмосферной турбулентности/Пер. с англ. М.; Мир.
Ламли и Стюарт (Lumley J. L., Stewart R. W.)
On a conjecture of Lettau. J. Atmosph. Sci., 22, No. 5, 592—594,
Дамли Дж. Л. и Ходже-Нури Б.
Моделирование турбулентных потоков количества движения и тепла в стратифицированном течении. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океанй, 10. № 6, 636—645.
Л ан да ль (Landahi М. Т.)
Wave mechanics of breakdown. J. Fluid Meeh., 56, 4, 775—802. Ландау Л. Д.
К проблеме турбулентности. Докл. АН СССР, 44, № 8, 339—342. Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М.
Статистическая физика. М.: Гостехиздат.
Механика сплошных сред. М.: Гостехиздат.
Статистическая физика. М.: Наука.
Гидродинамика. М.: Наука.
Лаурин и Клейзер (Laurien Е., Kliser L.)
Numerical simulation of boundary-layer transition and transition control. J. Fluid Meeh., 199, 403—440.
Л а у ф e p (Laufer J.)
Investigation of turbulent flow in a two-dimensional channel. Nat. Advis. Com. Aeronaut., Rep. No. 1033.
The structure of turbulence in fully developed pipe flow. Nat. Advis. Com. Aeronaut., Rep. No. 1174.
Лачик и Тидерман (Luchik T. S., Tiederman W. G.)
Time scale and structure of ejections and bursts in turbulent channel flows. J. Fluid Meeh., 174, 529—552.
.Лебедев и Хамид (Lebedeff S. A., Hameed S.)
Steady-state solution of the semiempirical diffusion equation for area sources. J. Appl. Meteor., 14, No. 4, 546—549.
Левеллен и Теске (Lewellen W. S., Teske M.)
Prediction of the Monin—Obukhov similarity functions from an invariant model of turbulence. J. Atm. Sci., 30, No. 7, 1340—1345.
Левин A. B.
Некоторые модели турбулентного переноса с дискретными значениями скорости. Труды УкрНИГМИ, вып. 130, 87—91.
Л е в и ч В. Г.
Теория концентрационной поляризации. Ж. физ. химии, 18, № 9, 335—355.
Теория диффузионных процессов в движущейся жидкости (гидродинамика при больших числах Прандтля). Докл. АН СССР, 78, № 6, 1105—1108.f
Физико-химическая гидродинамика, 2-е изд. М.: Физматгиз.
Левченко В. Я, ВолодинА. Г. и Гапонов С. А.
Характеристики устойчивости пограничных слоев. Новосибирск: Наука.
Лей (Lei X.)
Effect of wind vertical shear on diffusion characteristics in the mesoscale range. Adv. Atm. Sci., 2, No. 2, 225—233.
Лейте (Leite R. J.)
An experimental investigation of the stability of Poiseuille flow. J. Fluid Meeh., 5, No. 1, 81—96.
Леонтович M. A.
Введение в термодинамику. Статистическая физика. М.: Наука. Лесли (Leslie D. С.)
Developments in the theory of turbulence. Oxford: Clarendon Press. Л e с с e н (Lessen M.)
On stability of free laminar boundary layer between parallel streams. Nat. Adv. Com. Aeronaut., Rep. No. 979.
Лессен и Ko (Lessen M., Sung-Hwan Ко)
Viscous instability of an incompressible fluid halfjet flow. Phys. Fluids, 9, No. 6, 1179—1183.
Лессен, Сэдлер и Лю (Lessen М., Sadler S. G., T.-Y. Liu)
Stability of pipe Poiseuille flow. Phys. Fluids, 11, No. 7, 1404—1409. Лес сен, Фокс, Бхат и Лю (Lessen N., Fox J. A., Bhat W. V., T.-Y. Liu)
Stability ofHagen—Poiseuilleflow. Phys. Fluids, 7, No. 8,
1384—1385.
Л e с с e н и Ч e й ф e т ц (Lessen M , Cheifetz M. G.)
Stability of plane Couette flow with respect to finite two — dimensional disturbances. Phys. Fluids, 18, No. 8, 939—944.
Л e т т a у (Lettau H.)
A re-examination of the “Leipzig wind profile” considering some relations between wind and turbulence in the friction layer. Tellus, 2, No. 2, 125—129.
On eddy diffusion in shear zones. Geophys. Res. Pap., No. 19, '437—445.
Wind profile, surface stress and geostrophic drag coefficients in the atmospheric surface layer. Adv. Geophys., 6 (Atmospheric Diffusion and Air Pollution), 241—257 (пер. на рус. яз. в сб.: Атмосферная диффузия и загрязнение воздуха. М.: ИЛ, 1962, 268—287).
Theoretical wind spirals in the boundary layer of a barotropic atmosphere. Beitr. Phys. Atmosph., 35, No. 3—4, 195—212.
. Problems of micrometeorological measurements. In: Collection and Processing of Field Data (ed. by E. F. Bradley and О. T. Denmead), New York: Interscience Publ.
New hypothesis for the relationship between eddy and mean states. Phys. Fluids, 10, Supplement, S79—S83.
Note on aerodynamic roughness-parameter estimation on the basis of roughness-element description. J. Appl. Meteor., 8, No. 5, 828—832.
Летта у и Дэвидсон (Lettau Н., Davidson В.)
Exploring the atmosphere’s first mile, vols. 1—2. London—N.-Y.—Paris: Pergamon Press.
Ли и Йорк (Li T. Y., Jorke J. A.)
Period three implies chaos. Am. Math. Month., 82, No. 10, 985—992’, Ликудис и Тулукян (Lykoudis P. S., Touloukian J. S.)
Heat transfer in liquid metals. Trans. Amer. Soc. Meeh. Engrs., 80^ No. 3, 653—666.
Л и л иеквист (Liiljequist G. H.)
Energy exchange of the Antarctic snowfield. Norwegian—British— Swedish Antarctic expedition 1949—1952. Scientific Results, 2, part L Oslo.
ЛинДгрен (Lindgren E. R.)
The transition process and other phenomena in viscous flow. Ark. Fysik.^ 12, No. 1—2, 1—169.
63. Liquid flow in tubes I—VIII. Ark. Fysik, 15, No. 2, 97—119; No. 6, 503—519, 16; No. 1, 101—112, 18; No. 5, 449—464; No. 6,. 533—541, 23; No. 5, 403—409, 24; No. 2—3, 269—283.
Experimental study on turbulent pipe flows of distilled water. DepL Civil Eng., Oklahoma State Univ., Rept. 1AD621071.
Propagation velocity of turbulent slugs and streeks in transition pipeflow, Phys. Fluids, 12, No. 2, 419—425.
Лин дзен (Lindzen R. S.)
Turbulent convection Malkus theory, Nat. Centr. Atmosph. Res. Techn, Notes, No. 24, 151—175.
Линь (Lin С. C.)
On the stability of two-dimensional parallel flows. Parts I—III. Quart. Appl. Math., 3, No. 2, 117—142, No. 3, 218—234; No. 4, 277—301.
The theory of hydrodynamic stability. Cambridge: Univ. Press (nep, на рус. яз.: Линь. Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ, 1958).
Some mathematical problems in the theory of the stability of parallel flows. J. Fluid Meeh., 10, No. 3, 430—438.
Линь и Бенни (Lin С. С., Benney D. J.)
On the instability of shear flows. Proc. Symp. Appl. Math., 13 (Hydrodynamic Instability), 1—24 (пер. на рус. яз. в сб.: Гидродинамическая неустойчивость. М.: Мир, 1964, 9—36).
Линь, Дентон, Гаскилл и П а т н е м (Lin С. S., Denton Е. В., Gaskill Н. S., Putnam G. L.)
Diffusion-controlled electrode reactions. Ind. Eng. Chern, 43 No 9 2136-2143.* ’
Л инь А. иВольфштейнМ.
Теоретическое исследование уравнений для напряжений Рейнольдса. В кн.: Турбулентные сдвиговые течения 1/Под ред. Ф. Дурста и др. М.: Машиностроение, 343—360.
Линь, Мултон и Патнем (Lin С. S., Boulton R. W., Putnam G. L.)
Mass transfer between solid walls and fluid streams. Ind. Eng. Chem, 45, No. 3, 636-646.*
Лион (Lyon R. N.)
Liquid metal heat-transfer coefficients. Chem. Eng. Progress, 47, No 2, 75—79.
Липман (Liepmann H. W.)
Free turbulent flows. Mecanique de la turbulence (Coll. Intern, da CNRS a Marseille). Paris, Ed. CNRS, 211—226.
Лихтенберг А. и Либерман M.
Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир.
Л о (Lo А. К.)
On the determination of zero-plane displacement and roughness length for flow over forest canopies. Boundary-Layer Meteor., 51, No. 3, 255—268.
Лойцянский Л. Г.
О некоторых приложениях метода подобия в теории турбулентности. Прикл. матем. и мех., 2, № 2, 180—206.
Аэродинамика пограничного слоя. Л.—М.: Гостехиздат.
Гипотеза локальности в турбулентном движении жидкости при наличии вязкости. Прикл. матем. и мех., 22, № 5, 600—611.
Перенос тепла в турбулентном движении. Прикл. матем. и мех., 24, № 4, 637—651.
. Полуэмпирические теории взаимодействия процессов молекулярного и молярного обмена в турбулентном движении жидкости. Труды Все- союзн. съезда теор. прикл. мех., 1960. М.—Л.: Изд. АН СССР, 145—166.
Ламинарный пограничный слой. М.: Физматгиз.
Механика жидкости и газа, изд. 6-е. М.: Наука.
Локк (Look R. С.)
1955. The stability of the flow of an electrically-conducting fluid between parallel planes under a transverse magnetic field. Proc. Roy. Soc., A233, No. 1192, 105-125.
Ломов А. С. и Рабинович M. И.
Частицеподобное решение в трехмерных неравновесных средах.. Письма в ЖЭТФ, 48, № 11, 598—602.
Лонгвелл (Longwell Р. А.)
Mechanics of Fluid Flow. McGraw-Hill Book Co., New York.
Л он дер (Launder В. E.)
On the effect of a gravitational field on the turbulent transport of heat and momentum. J. Fluid Meeh., 67, No. 3, 569—581.
Модели замыкания для напряжений — третье поколение. В кн.: Турбулентные сдвиговые течения 1/Под ред. Ф. Дурста и др. М.: Машиностроение, 270—279.
Введение. В кн.: Турбулентные сдвиговые течения 2. Под ред. Л. Дж. С. Брэдбери и др. М.: Машиностроение, 8—11.
Лондер, Рис и Роди (Launder В. Е., Reece G. L., Rodi W.)
Progress in the development of a Reynolds-stress turbulence closure. J. Fluid Meeh., 68, No. 3, 537—566.
Л ондер и Ши с тель (Launder В. Е., Schiestel R.)
Application d’un modele de turbulence a echeHes multiples on calcul d’ecoulements libres turbulents. C. r. Acad. Sci., Ser. B, 288, No. 8, 127—130.
• Лоренц E. (Lorenz E.)
The interaction between a mean flow and random disturbances. Tellus, 5, No. 3, 238—250.
Deterministic nonperiodic flow. J. Atmos. Sci., 20, No. 3, 130—141 (пер. на рус. яз.'в сб.: Странные аттракторы. М.: Мир, 1981, 88—116). Лоренц (Lorentz Н. А.)
Uber die Entstehung turbulenter Fliissigkeitbewegungen und fiber den Eimluss dieses Bewegungen bei der Stromung durch Rohren. Abh. theor. Phys., Lpz, 1, 43—71.
Л a у (Low A. R.)
On the criterion for stability for a layer of viscous fluid heated from below. Proc. Roy. Soc., A125, 180—195.
Л о э в (Loeve M.)
Probability theory, 2nd ed. Princeton: van Nostrand (пер. на рус. яз.: Лоэв М. Теория вероятностей, М.; ИЛ, 1962).
Львов В. С. и ПредтеченскийА. А.
Сценарий Ландау и «стохастического аттрактора» в проблеме перехода к турбулентности. Препринт № 111. Новосибирск; Ин-т автоматики и электрометрии СО АН СССР.
Поэтапный переход и турбулентности в течении Куэтта. В кн.: Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность. Горький: ИПФ АН СССР, 57—77.
Льюис (Lewis D. J.)
An experimental study of the motion of a viscous liquid contained between two coaxial cylinders. Proc. Roy. Soc., Al 17, 388—407.
Л ю (Liu V. C.)
On the instantaneous propagation paradox of heat conduction. J. Non.Equilibr. Thermodyn., 4, No. 3, 143—148.
Любимов Б. Ю.
Лагранжево описание динамики турбулентного движения. Докл. АН СССР, 184, № 5, 1069—1071.
Людвиг (Ludwieg Н.)
Bestimmung des Verhaltnisses der Austauschkoeffizienten fiir Warme und Impuls bei turbulenten Grenzschichten. Zs. fiir Flugwiss., 4, No. 2, 73—81.
Людвиг и Тиль м ан (Ludwieg Н., Tillmann W.)
Untersuchungen fiber die Wandschubspannung in turbulenten Reibungs- schichten. Ing.-Arch., 17, No. 4, 288—299.
Ляпин E. C.
О турбулентном перемешивании воздуха в атмосфере. Метеорология и гидрология, № 5, 13—23.
О гиперболическом уравнении вертикального турбулентного обмена в атмосфере. Труды ГГО, вып. 19 (81), 175—184.
Л я т х е р В. М.
Турбулентные пульсации в вязком подслое. Докл. АН СССР, 180, № 2, 300—303.
Майкельсен (Mickelsen W. R.)
An experimental comparison of the Lagrangian and Eulerian correlation coefficients in homogeneous isotropic turbulence. Nat. Adv. Com. Aeronaut., Techn. note No. 3570..
Measurements of the effect of molecular diffusivity in turbulent diffusion. J. Fluid Meeh., 7, No. 3, 397—400.
Майкл (Michael D. H.),
Note on the stability of plane parallel flows. J. Fluid Meeh., 10, No. 4, 525—528.
Майлс (Miles J. W.)
On the velocity profile for turbulent flow near a smooth wall J. Aeronaut. Sci., 24, No. 9, 704.
On the stability of heterogeneous shear flows. J. Fluid Meeh.. 10 No 4 496—508.1*
On the stability of heterogeneous shear flows. Part 2. J. Fluid Meeh.. 16, No. 2, 209—227.
M а й p e n (Myrup L. O.)
Temperature and vertical velocity fluctuations in strong convection. Quart. J. Roy. Met. Soc.. 93, No. 39, 350—360.
Мак Адамс (McAdams W. H.)
Heat transmission, 3rd ed. N.-Y.—Toronto—London: MGraw-Hill (nep. на рус. яз. Мак-Адамс В. X. Теплопередача. М.: Металлургиздат, 1961). М а к в е й л (McVehil G. Е.)
1964. Wind and temperature profiles near the ground in stable stratification. Quart. J. Roy. Met. Soc., 90, No. 384, 136—146.
Макилрой (McIlroy I. C.)
The atmospheric fine structure recorder. C.S.I.R.O., Div. Meteor. Phys. Techn. Pap. No. 3, Melbourne.
Макилрой и Энг ac (McIlroy I. С., Angus D. E.)
The Aspendale multiple weighed lysimeter installation. C.S.I.R.O., Div. Meteor., Phys., Techn. Paper No. 14.
Маккриди (MacCready P. B.)
Atmospheric turbulence measurements and analysis. J. Meteor., 10, No. 5, 325—337.
Маклафлин и Мартин (Mclaughlin J. В., Martin P. C.)
Transition to turbulence of a statially stressed fluid system. Phys. Rev. A12, No. 1, 186—203.
Максворти (Maxworthy T.)
Bubble formation, motion and interaction in a Hale—Shaw cell. J. Fluid Meeh., 173, 95—114.
Малахов A. H. и Саичев А. И.
О связи лангранжевых и эйлеровых характеристик случайных полей. Изв. ВУЗов, сер. Радиофизика, 19, № 10, 1559—1561.
Мал ку с (Malkus W. V. R.)
1954а. Discrete transition in turbulent convection. Proc. Roy. Soc., A225, No. 1161, 185—195.
The heat transport and spectrum of thermal turbulence. Proc. Roy. Soc., A225, No. 1161, 196—212.
Мал кус и В ер о нис (Malkus W. V. R., Veronis G.)
Finite amplitude cellular convection. J. Fluid Meeh., 4, No. 3, 225—260.
Малрайсон, Аттен, Берже и Дюбуа (Malraison В., Atten Р., Berge Р., Dubois Н.)
Dimensions of strange attractors: an experimental determination for chaotic regime of two convective systems. J. Phys. Lett. (France), 44, L897—L902.
Малхотра и Сер мак (Malhotra R. C., Cermak J. E.)
Wind-tunnel modeling of atmospheric diffusion. J. Geophys. Res., 68, No. 8, 2181—2184.
Манневилль и П о м о (Mannewille Р., Pomeau J.)
Different ways to turbulence in dissipation dynamical systems. Phy- sica D, 1, No. 2, 219—226.
Мандел и О’Брайен (Mandell D. A., O’Brien E. E.)
Single point and relative diffusion in unstable wall layers. Phys. Fluids, 10, Supplement, S259—S262.
Мандельброт (Mandelbrot В. B.)
Intermittent turbulence in self-similar cascades: divergence of high moments and dimension of the carrier. J. Fluid Meeh., 62, No. 2, 331—358.
On the geometry of homogeneous turbulence, with stress on the fractal dimension of the iso-surfaces of scalars. J. Fluid Meeh., 72, No 3 401—416.
The Fractal Geometry of Nature. W. H. Freeman.
Манн (Munn R. E.)
A theoretical expression for the root mean square vertical eddy fluctuation (W2)V2. J. Meteor., 18, No. 1, 38—42.
A reappraisal of Sutton’s parameter n. J. Appl. Meteor., 2, No. 4, 440—445.
Марон (Maron V. I.)
Longitudinal diffusion in a flow through a tube. Int. J. Multiphase Flow, 4, No. 3, 339—355.
Марсден Дж. и Мак-КракенМ. (Marsden J. E., McCracken M.)
The Hopf Bifurcation and its applications, New York Springer (nep. на рус. яз.: Бифуркация рождения цикла и ее применения. М.: Мир, 1980).
Мартинелли (Martinelli R. S.)
Heat transfer to molten metals. Trans. Amer. Soc. Meeh. Engrs, 69, 947—959.
Маруяма и Танака (Maruyama S., Tanaka H.)
The effect of spatial restriction on the inner-layer structure of wall turbulence. J. Fluid Meeh., 177, 485—500.
Массон (Masson P. J.)
The formation of areally-averaged roughness length, Quart. J. Roy, Met. Soc., 114, No. 480, 399—420.
Матвеев Л. T.
К установлению зависимости коэффициента турбулентности от высоты в приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 1, Мацуока (Matsuoka Н.)
A corrected turbulon model theory of turbulent diffusion and its application. J. Met. Soc. Japan, 38, No. 3, 148—153.
Note on two-dimensional diffusion in the atmospheric surface layer. J. Met. Soc. Japan, 39, No. 6, 324—330.
On the turbulent diffusion in the atmosphere. Mem. Colil. Sci. Univ. Kyoto, Ser. A30, No. 2, 245—272.
Мейер (Meyer K. A.)
Time-dependent numerical study of Taylor vortex flow. Phys. Fluids, 10, No. 9, 1874—1879.
Мейер, ред. (Meyer R. E., ed.).
Transition and Turbulence. New York: Academic Press.
Мексин (Meksyn D.)
1946. Stability of viscous flow between rotating cylinders, I—III. Proc. Roy. Soc., A187, No. 1008, 115—128, No. 1011, 480—491, 492—504.
Stability of laminar flow between parallel planes for two- and three-dimensional finite disturbances. Zs. Phys. 178, No. 2, 159—172.
Мексин и Стюарт (Meksyn D., Stuart J. T.)
Stability of viscous motion between parallel planes for finite disturbances. Proc. Roy. Soc., A208, No. 1095, 517—526.
Меллор (Mellor G.)
The effects of pressure gradients on turbulent flow near a smooth wall. J. Fluid Meeh., 24, No. 2, 255—274.
Analytic prediction of the properties of stratified planetary surface layers. J. Atmos. Sci., 30, No. 6, 1061—1069.
Меллор Дж. и Херринг Дж.
Обзор моделей для замыкания уравнений осредненного турбулентного течения. Ракетная техника и космонавтика, 11, № 5, 17—29.
Меллор и Ямада (Mellor J. L., Yamada Т.)
A hierarchy of turbulence models for planetary boundary layers. J. Atmos. Sci., 31, 7, 1791—1806.
Development of a turbulence closure model for geophysical fluid problems. Rev. Geophys. Space Phys., 20, No. 4, 851—875.
M e p о н и (Meroney R. N.)
An algebraic stress model for stratified turbulent shear flows. Computer and Fluids, 4, No. 2D, 93—107.
Мерри и Пановский (Merry M., Panofsky H. A.)
Statistics of vertical motion over land and water. Quart. J. Roy. Met. Soc., 102, 255—260.
Мерфри (Murphree E. V,)
Relation between heat transfer and fluid friction. Ind. Eng. Chem., 24, No. 7, 726—736.
Мидлтон и Спилхаус (Middleton W. В. К., Spilhaus A. F.)
Meteorological Instruments. Toronto: Univ. Press.
Мизес (Mises R. von)
Some remarks on the laws of turbulent motion in tubes, Th. v. Karman Anniversary Volume, Pasadena: Calif. Inst. Techn. Press, 317—327.
Миккельсен (Mikkelsen T.)
A parametric description of a skewed puff in the diabatic surface layer. Rise Rep. 476, Roskilde (Denmark), Rise Nat. Lab.
Миллер и Фейер (Miller J. A., Fejer A. A.)
Transition phenomena in oscillating boundary-layer flows. J. Fluid Meeh., 18, No. 3, 438—448.
Милликен (Millikan С. B.)
A critical discussion of turbulent flows in channels and circular tubes. Proc. 5th Intern. Congr. Appl. Meeh., Cambridge (USA), 386—392. Миллионщиков M. Д.
Вырождение однородной изотропной турбулентности в вязкой несжимаемой жидкости. Докл. АН СССР, 22, № 5, 236—240.
Миропольский Ю. 3. и ФилюшкинБ. Н.
Исследование флуктуаций температуры в верхнем слое океана в масштабах внутренних гравитационных волн. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 7, № 7, 778—797.
Мисюревич (Misiurevics М.)
Strange attractors for the Lozi mapping. In: Nonlinear Dynamics (Ed. R. Helleman). N.-Y.: Am. N.-Y. Acad. Sci.. 357, 348—358.
M и т с у т a (Mitsuta J.)
Sonic anemometer-thermometer for general use. J. Meteor. Soc. Japan, 44, No. 1, 12—23.
Михалджян (Mihaljan I.)
A rigorous exposition of the Boussinesq approximations applicable to a thin layer of fluid. Astrophysics J., 136, 1126—1133.
Митчелл и Ханратти (Mitchell J. E., Hanratty T. J.)
A study of turbulence at a wall using an electrochemical wall shearstress meter. J. Fluid Meeh., 26, No. 1, 199—221.
M и x а л к e (Michalke A.)
On the inviscid instability of the hyperbolic tangent velocity profile. J. Fluid Meeh., 19, No. 4, 543—556.
. Vortex formation in a free boundary layer according to stability theory. J. Fluid Meeh., 22, No. 2, 371—383.
On spatially growing disturbances in an inviscid shear layer. J. Fluid Meeh., 23. No. 3, 521—544.
The instability of mixing regions, lecture read at a meeting on Transition from Laminar to Turbulent Flow. London, July 1968.
The influence of the vorticity distribution on the inviscid instability of a free shear layer. Fluid Dynamics Transactons, 4, (ed. by Fiszdon, W., Kucharczyk P., Prosnak W. J.), Warszawa: Panstwowe sydawnictwo naukowe, 751—760.
M и x а л к e и Тимме (Michalke A., Timme A.)
On the inviscid instability of certain two-dimensional vortex-type flows. J. Fluid Meeh., 29, No. 4, 647—666.
Михалке и Фреймут (Michalke A., Freymuth Р.)
The instability and the formation of vortices in a free boundary layer. AGARD Conference Proceedings No. 4 (Proc. Spec. Meeting held in Rhode—Saint—Genese. Belgium, 10—13 May 1966), 575—595.
Михалке и HI а де (Michalke A., Schade H.)
Zur Stabilitat von freien Grenzschichten. Ingenieur—Archiv, 33, No. L 1—23..
M о н д ж и (Monji N.);
Budgets of turbulent energy and temperature variance in the transition, zone from forced to free convection. J. Met. Soc. Japan, 51, No. 2, 133—145.
Монин A. C.
. Динамическая турбулентность в атмосфере. Изв. АН СССР, сер, геогр. и геофиз., 14, № 3, 232—254.
О характеристиках анизотропной турбулентности. Докл. АН СССР,. 75, № 5, 621—624.
Турбулентный режим в приземном слое воздуха. Информ, сборн. Гл. упр. гидрометслужбы, № 1, 13—27.
О механизме нагревания воздуха в открытой степи. В сб.: Климатические и микроклиматические исследования в Прикаспийской низменности. М.: Изв. АН СССР, 100—123.
О диффузии с конечной скоростью. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 3,. 234—248.
. Полуэмпирическая теория турбулентной диффузии. Труды Геоф. инет. АН СССР, № 33 (160), 3—47.
О турбулентной диффузии в приземном слое воздуха. Изв. АН СССР,, сер. геофиз., № 12, 1461—1473.
О макротурбулентном обмене в земной атмосфере. Изв. АН СССР,, сер. геофиз., № 4, 452—463.
Структура атмосферной турбулентности. Теор. вероятн. и ее применение, 3, 285—317.
Изменения давления в бароклинной атмосфере. Изв. АН СССР, сер., геофиз., № 4, 497—514.
Smoke propagation in the surface layer of the atmosphere. Adv. Geophys., 6 (Atmospheric Diffusion and Air Pollution), 331—343 (nep. на рус. яз. в сб.: Атмосферная диффузия и загрязнение воздуха. М.: ИЛ, 1962, 366—381).'
On the boundary condition on the earth surface for diffusing pollution. Adv. Geophys., 6 (Atmospheric Diffusion and Air Pollution). 435—436 (пер. на рус. яз. в сб.: Атмосферная диффузия и загрязнение- воздуха. М.: ИЛ, 1962, 477—478).
1959в. Атмосферная диффузия. Успехи физ. наук, 67, № 1, 119—130.
О лагранжевых характеристиках турбулентности. Докл. АН СССР,. 134, № 2, 304—307.
. О структуре полей скорости ветра и температуры в приземном слое воздуха. В сб.: Атмосферная турбулентность (Труды ИФА АН СССР,. № 4), 5—20.
Empirical data on turbulence in the surface layer of atmosphere. J. Geophys. Res., 67, No. 8, 3103—2109.
О лагранжевых уравнениях гидродинамики несжимаемой вязкой жидкости. Прикл. матем. и мех., 26, № 2, 320—327.
О свойствах симметрии турбулентности в приземном слое воздуха. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 1, № 1.
О структуре пограничного слоя атмосферы. Изв. АН СССР. Физ., атмосф. и океана, 1, № 3, 258—265.
О температурно-неоднородном пограничном слое атмосферы. Изв, АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 1, №5, 490—500.
О турбулентном обмене над океанами. Докл. АН СССР,. 175, № 4, 819—822..
Уравнения для конечномерных распределений вероятностей турбулент^ ного поля. Докл. АН СССР, 177, Ке 5, 1036—1038.
О природе турбулентности. Успехи физ. наук, 125, Кв 1, 97—122.
Гидродинамическая неустойчивость. Успехи физ. наук, 150, Кв 1, 61-105.
Мо н и н А. С. и О б у х о в А. М.
Безразмерные характеристики турбулентности в приземном слое атмосферы. Докл. АН СССР, 93, Ке 2, 223—226.
Основные закономерности турбулентного перемешивания в приземном слое атмосферы. Труды Геофиз. ин-та АН СССР, Кв 24 (151), 163—187.
Монин А. С., Федоров К. Н. и Шевцов В. П.
О вертикальной мезо- и микроструктуре океанских течений. Докл. АН СССР, 208, Ке 4, 833—836.
Монин А. С. и Яглом А. М. (Monin A. S., Yaglom А. М.)
Статистическая гидромеханика. Ч. 1. М.: Наука.
Statistical Fluid Mechanics. Vol. 1. Cambridge (Mass., USA): MIT Press. Монин А. С. и Якобсон M. В.
О локальной фрактальности. Докл. АН СССР, 287, Кв 4, 795—798.
Мори и Фуджисака (Mori Н., Fujisaka Н.)
Statistical dynamics of turbulence. Leet. Notes in Phys., 132. Berlin: Springer, 181—197.
Морковин (Morkovin M. V.)
Flow around circular cylinder — a kaleidoscope of challenging fluid phenomena. Symp. on Fully Separated Flows. New York: Amer. Soc. Meeh. Eng., 102—118.
Моффат (Moffat H. K)
The interaction of turbulence with strong wind shear. В сб.: Атмосферная турбулентность и распространение радиоволн/Под ред. А. М. Яг- лома и В. И. Татарского). М.: Наука, 139—156.
Наито (Naito К.)
Some remarks on the Monin—Obukhov function in the atmosphere near- the ground. J. Met. Soc. Japan, 42, No. 1, 53—63.
H а й ф e (Nayfeh A. H.)
1987. Nonlinear stability of boundary layers. AIAA Pap., No. 44, 1—53.
H а к а я (Nakaya C.)
The second stability boundary for circular Couette flow. J. Phys. Soc. Japan, 38, 576—585.
Нарайанан и Нарайана (Narayanan M. A., Narayana T.)
Some studies on transition from laminar to turbulent flow in a two- dimensional channel. Zs. angew. Math. Phys., 18, No. 5, 642—650.
Нахташейм (Nachtasheim P. R.)
An initial value method for the numerical treatment of the On—Sommerfeld equation for the case of plane Poiseuille flow. N.A.S.A. Tech, Note D-2414.
Невзглядов В. Г.
. К феноменологической теории турбулентности. Докл. АН СССР, 47, Ке 3, 169—173.
К статистической теории турбулентности. Докл. АН СССР, 47, Ке 7, 482—485.
Нейман (Neumann J.)
Some observations of the simple exponential function as a lagrangian velocity correlation function in turbulent diffusion. Atmosph. Environ., 12, No. 10, 1965—1968.
Никурадзе (Nikuradse J.)
Gesetzmassigkeiten der turbulenten Stromung in glatten Rohren, VDI-Forschungsheft No. 356 (пер. на рус. яз. в сб.: Проблемы турбулентности. М.—Л.: ОНТИ, 1936, 75—150).
Stromungagesetze in rauhen Rohren. VDI-Forschungsheft No. 361.
>Н и л д (Nield D. А.)
The thermohaline Rayleigh—Jeffreys problem. J. Fluid Meeh., 29, No. 3, 545—558.
The Rayleigh—Jeffreys problem with boundary slab of finite conductivity. J. Fluid Meeh., 32, No. 2, 393—398.
Ниссан, Нардаччи и Xo (Nissan A. H., Nardacci J. L, Ho, C. Y.) 1963. The onset of different modes of instability for flow between rotating cylinders. A. I. Ch. E. J., 9, 620—624.
Лишиока, Иида и И ч и к а в a (Nishioka М., Iida S., Ichikawa J.)
An experimental investigation of the stability of plane Poiseulle flow. J. Fluid Meeh., 72, No. 4, 731—751.
Новиков E. A.
О турбулентной диффузии в потоке с поперечным градиентом скорости. Прикл. матем. и мех., 22, № 3, 412—414.
Сходимость функционального ряда Тэйлора для характеристического функционала случайного поля. Успехи матем. наук, 19, № 6 (120), 195-197.
Связь лагранжевого и эйлерового описаний турбулентности. Прикл. матем. и механ., 33, № 5, 887—888.
Нот, Ш а в и т и Вольфштейн (Naot D., Shavit A., Wolfshtein М.)
Two-point correlation model and the redistribution of Reynolds stresses. Phys. Fluids, 16, No. 6, 738—734.
Нуннер (Nunner W.)
Warmeubertragung und Druckabfall in rauhen Rohren. VDI-Forschungs- heft No. 455.
НьистадтФ. T. M. и Ван Доп X., ред.
Атмосферная турбулентность и моделирование распространения при- месей/Пер. с англ. Л.: Гидрометеоиздат.
Ньистадт и Ван Ульден (Nieuwstadt F. Т. М., van Ulden А. Р.) 1978. A numerical study on the vertical dispersion of passive contaminant from a continuous source in the atmospheric surface layer. Atmos. Environ., 12, No. 11, 2119—2124.
Ньюхаус, P ю э л л ь и T а к e н c (Newhouse S., Ruelle D., Takens F.)
Occurance of strange axiom A attractors near quasiperiodic flows on Tm, m > 3. Comm. Math. Phys., 64, 35—40.
О’Брайен E. (O’Brien E. E.)
Diffusion of clouds of contaminant in a turbulent boundary layer. J. Atmosph. Sci., 23, No. 4, 387—389.
О’Брайен (O’Brien J. J.)
An investigation of the diabatic wind profile of the atmospheric boundary layer. J. Geophys. Res., 70, No. 10, 2277—2290.
Обухов A. M.
О распределении энергии в спектре турбулентного потока. Изв. АН СССР, сер. геогр. геофиз., 5, № 4—5, 453—466.
О распределении масштаба турбулентности в трубах произвольного сечения. Прикл. матем. и мех., 6, № 2—3, 209—220.
Турбулентность в температурно-неоднородной атмосфере. Труды Ин-та теорет. геофиз. АН СССР, 1, 95—115.
Структура температурного поля в турбулентном потоке, Изв. АН СССР, сер. геогр. и геофиз., 13, № 1, 58—69.
Статистическое описание непрерывных полей. Труды Геофиз. ин-та АН СССР, № 24 (151), 3—42.
О структуре температурного поля и поля скоростей в условиях свободной конвекции. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 9, 1392—1396.
Some specific features of atmospheric turbulence. J. Fluid Meeh., 13, No. 1, 77—8L
Овчинникова С. H. и Юдович В. И.
Расчеты вторичных стационарных течений между вращающимися цилиндрами. Прикл. матем. и механ., 32. № 5, 858—868.
Огура (Ogura J.)
52a. Note on the wind velocity profile in the non-adiabatic atmosphere. J. Met. Soc. Japan, ser. 11, 30, No. 10, 329—342.
The theory of turbulent diffusion in the atmosphere,. I—III. J. Met. Soc. Japan, 30, No. 1, 23—28; No. 2, 53—58; No. 11, 386—397.
О з м и д о в P. В.
Диффузия примесей в океане. Л.: Гидрометеоиз дат.
О к а м о т о (Okamoto М.)
A note on the wind and temperature profiles in the diabatic atmosphere near the ground. Geophys. Mag. (Japan), 31, No. 3, 505—514.
Окубо (Okubo A.)
Study of turbulent dispersion by use of Lagrangian diffusion equation. Phys. Fluids, 10, Supplement, S72—S75.
О p л о 6 (Orlob G. T.)
Eddy diffusion in homogeneous turbulence. Proc. Amer. Soc. Civil. Engrs. J. Hydraul. Div., 86, No. 9, 75—101.
Орлов В. В.
Экспериментальное исследование пристенной турбулентности в канале. Ж. прикл. матем. и технич. физики, № 4, 124—126.
О р р (Orr W. McF.)
1906—1907. The stability or instability of the steady motions of a liquid. Proc. Roy. Irish Acad., A27, 9—27, 69—138.
О p с a г (Orszag S. A.)
Analytical theories of turbulence. J. Fluid Meeh., 41, No. 2, 363—386. Opcar и Келе (Orszag S. A., Kells L. C.)
Transition to turbulence in plane Poiseuille and plane Couette flow. J. Fluid Meeh., 96, No. 1, 159—205.
Opcar и Патера (Orszag S. A., Patera A. T.)
Subcritical transition to turbulence in planar shear flows. In: Transition and Turbulence (ed. by R. E. Meyer). New York: Academic Press, 127—146.
Three-dimensional instability of plane channel flows at subcritical Reynolds numbers. In: Numerical and Physical Aspects of Aerodynamic Flows (ed. by T. Cebeci). New York: Springer, 69—86.
Secondary instability of wall-bounded shear flows. J. Fluid Meeh., 128, 347—385.
Оселедец В. И.
Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем. Труды Моск, матем. общества, 19, 179—210.
Оффен и Клайн (Offen G. R., Kline S. J.)
Combined dye-streak and hydrogen-bubble visual observation of a turbulent boundary layer. J. Fluid Meeh., 62, No. 2, 223—239.
A proposed model of the bursting process in turbulent boundary layer. J. Fluid Meeh., 70, No. 2, 209—228.
Пальм (Palm E.)
On the tendency towards hexagonal cells in steady convection. J. Fluid Meeh., 8, No. 2, 183—192.
Nonlinear thermal convection. Ann. Rev. Fluid Meeh., 7, 39—61.
Пальм и Эйянн (Palm E., Oiann H.)
Contribution to the theory of cellular thermal convection. J. Fluid Meeh., 19, No. 3, 353—365.
Пальм, Эллингсен и Гьевик (Palm Е., Ellingsen Т., Gjevik В.)
On the occurrence of cellular motion in Benard convection. J. Fluid Meeh., 30, No. 4, 651—661.
Пандольфо (Pandolfo J. P.)
A formulae relating various nondimensional parameters of turbulence fields in atmospheric surface layer under diabatic conditions. J. Geophys. Res., 68, No. 10, 3249—3256.
Wind and temperature profiles for constant-flux boundary layers in lapse conditions with a variable eddy conductivity to eddy viscosity ratio. J. Atmosph. Sci., 23, No. 5, 495—502.
П а новский (Panofsky H. A.)
A comparison of different types of stress measurement. Quart. J. Roy. Met. Soc., 78, No. 337, 411—414.
. An alternative derivation of the diabatic wind profile. Quart. J. Roy. Met. Soc., 87, No. 371, 109—110.
Similarity theory and temperature structure in the lower atmosphere. Quart. J. Roy. Met. Soc., 87, No. 374, 598—601.
The budget of turbulent energy in the lowest 100 meters. J. Geophys. Res., 67, No. 8, 3161—3165.
Scale analysis of atmospheric turbulence at 2 m. Quart. J. Roy. Met. Soc., 88, No. 375, 57—69.
Determination of stress from wind and temperature measurements. Quart. J. Roy. Met. Soc., 89, No. 379, 85—93.
Vertical variation of roughness length at the Boulder atmospheric observatory. Boundary-Layer Meteor., 28, No. 3/4, 305—308.
Пановский, Блэ кедар и Ма кв ей л (Panofsky Н. A., Blackadar А. К., McVehil G. Е.)
The diabatic wind profile. Quart. J. Roy. Met. Soc., 86, No. 369, 390—398.
Пановский, Буш и др. (Panofsky Н. A., Busch V., Prasad В., Наппа S., Peterson Е., Mares Е.)
Properties of wind and temperature at Round Hill, Dartmouth Mass., Penn. State Univ. Res. and Develop. Tech. Rept. ECOM-0035-F.
Пановский и Даттой (Panofsky H. A., Dutton J. A.)
Atmospheric Turbulence. Models and Methods for Engineering Applications. New York: Wiley.
Пановский и Маккормик (Panofsky H. A., McCormick R. A.)
The spectrum of vertical velocity near the surface. Quart. J. Roy. Met. Soc., 86, No. 370, 495—503.
Пановский и Прасад (Panofsky H. A., Prasad В.)
Similarity theories and diffusion. Int. J. Air Water Poll., 9, 419—430. Пановский, Тен некое и др. (Panovsky Н. A., Tennekes Н., Lenschow D. Н., Wyngaard J. С.)
The characteristics of turbulent velocity components in the surface layer under convective conditions. Boundary-Layer Meteor., 11, No. 3, 355—361.
П а н ч e в Ст.
Некоторые количественные соотношения между статистическими характеристиками чисто термической турбулентности в атмосфере. Докл. Болг. Акад, наук, 14, № 8, 791—794.
Паску и л (Pasquill F.)
Eddy diffusion of water vapour and heat near the ground. Proc. Roy. Soc., Al 98, No. 1052, 116—140.
The aerodynamic drag of the grassland. Proc. Roy. Soc., A202, No. 1068, 143—153.
Recent broad-band spectral measurements of turbulence in the lower atmosphere. J. Geophys. Res., 67, 3025—3031.
Lagrangian similarity and vertical diffusion from a source at ground level. Quart. J. Roy. Met. Soc., 92, No. 392, 185—195 (also Discussion, Quart. J. Roy. Met. Soc., 93, No. 395, 1967, 142—144).
Atmospheric diffusion, 2nd edition. Chichester (England): Ellis Horwood.
Па скуй л и Смит (Pasquill F., Smith F. B.)
Atmospheric Diffusion. 3rd edition, Chichester (England): Ellis Horwood.
Патанкар и Сполдинг (Patankar S. V„ Spalding D. В.)
Heat and Mass Transfer in Boundary Layers. London: Morgan— Grampian, (пер. на рус. яз.: Патанкар С., Сполдинг Д. Тепло- и массо- обмен в пограничных слоях. М.: Энергия, 1971).
Патера и Opcar (Patera А. Т., Orszag S. А.)
. Transition and turbulence in planar channel flows. In: Proc. 7th Intern. Coni, on Numer. Methods in Fluid Dyn. (ed. by W. C. Reynolds and R. W. MacCormack). Berlin: Springer, 329—335.
Finite-amplitude stability of axisymmetric pipe flow. J Fluid Meeh., 112, 467—474.
Педли (Pedley T. J.)/
The stability of rotating flows with a cylindrical free surface. J. Fluid Meeh., 20, No. 1, 127—147.
Пексрис (Pekeris C. L.)
Stability of a laminar flow through a straight pipe of circular cross section to infinitesimal disturbances which are symmetrical about the axis of the pipe. Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 34, 285—295.
Пекерис и Школлер (Pekeris C. L., Shkoller В.)
Stability of plane Poiseuille flow to periodic disturbances of finite amplitude in the vicinity of the neutral curve. J. Fluid Meeh., 29, No. 1, 31—38.
The neutral curves for periodic perturbations of finite amplitude of plane Poiseuille flow. J. Fluid Meeh., 3 9, No. 3, 629—637.
71. Stability of plane Poiseuille flow to periodic disturbances of finite amplitude. Parts I—III. J. Fluid Meeh., 39, No. 3, 611—627; Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 68, No. 1, 197—199; No. 7, 1434—1435.
Перепелкина A. B.
Некоторые результаты исследования турбулентных пульсаций температуры и вертикальной составляющей скорости ветра. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 6, 765—778.
Об определении турбулентного потока тепла. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 7, 1026—1035.
О характеристиках турбулентности приземного слоя в условиях свободной конвекции. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 2, 271—274.
Перри и А б е л л (Perry А. Е., Abell С. J.)
Scaling laws for pipe-flow turbulence. J. Fluid Meeh., 67, No. 2, 257—271.
Asymptotic similarity of turbulence structures in smooth- and roughwalled pipes. J. Fluid Meeh., 79, 785—799.
Перри и Жубер (Perry A. E., Joubert P. N.)
Rough-wall boundary layers in adverse pressure gradients. J. Fluid Meeh., 17, No. 2, 193—211.
Перри, Белл и Жубер (Perry А. Е., Bell J. В., Joubert Р. N.)
Velocity and temperature profiles in adverse pressure gradient turbulent boundary layers. J. Fluid Meeh., 25, No. 2, 299—320.
Перри, Лим и X e н б e с т (Perry А. Е., Lim К. L., Henbest S. М.)
An experimental study of the turbulence structure in smooth- and rough-wall boundary layers. J. Fluid Meeh., 177, 437—466.
Петухов Б. С. и Кириллов В. В.
К вопросу о теплообмене при турбулентном течений в трубах. Теплоэнергетика, № 4, 63—68.
Пешке (Paeschke W.)
Experimented Untersuchungen zum Rauhigkeits- und Stabilitatsprob- lem in der Bodennahen Luftschicht. Beitr. Phys. fr. Atmosph., 24, No. 3, 163—189.
Пирс и Голд (Pierce F. J., Gold D. S.)
Near wall velocity measurements for wall shear inference in turbulent flows. In: US Dep. Commer., Nat. Bur. Stand. Spec. PubL, No. 484/2, 621—648.
П л а у c (Plows W. Н.)
Some numerical results for two-dimensional steady laminar Benard convection. Phys. Fluids, 11, No. 8, 1593—1599.
Плацман (Platzman G.)
The spectral dynamics of laminar convection. J. Fluid Meeh., 23, No. 3, 481—510.
Поулсон (Paulson C. A.)
Profiles of wind speed, temperature and humidity over the sea. Dept, of Meteorology, Univ, of Washington, Sci. Rep. NSF GP-2418.
The mathematical representation of wind speed and temperature profiles in the unstable atmospheric surface layer. J. Appl. Meteor., 9, No. 6, 857—861.
По mo и Манневилль (Pomeau Y., Menneville P.)
Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical system, Comm. Math. Phys., 74, No. 2, 189—197.
Пономаренко Ю. Б.
О жестком возникновении стационарных движений в гидродинамике. Прикл. матем. и механ., 29, № 2, 309—321.
. О возникновении пространственно-периодических движений в гидродинамике. Прикл. матем. и механ., 32, № 1, 46—58.
Процессы установления шестигранных конвективных ячеек. Прикл. матем. и механ., 32, № 2, 244—255.
Об устойчивости плоского течения Куэтта. Прикл. матем. и механ., 32, № 4, 606—614.
Попович и Хам мел (Popovich А. Т., Hummel R. L.)
Experimental study of viscous sublayer in turbulent pipe flow. A. I. Ch. E. J., 13, No. 5, 854—860.
Поттер (Potter M. C.)
Stability of plane Couette—Poiseuille flow. J. Fluid Meeh., 24, No. 3, 609—619.
Прандтль (Prandtl L.)
Eine Beziehung zwischen Warmeaustausch und Stromungwiderstand der Flussigkeiten. Phys. Zs., 11, 1072—1078.
Uber den Luftwiderstand von Kugeln. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. KL, 177—190.
Bemerkungen fiber die Entstehung der Turbulenz. Zs. angew. Math. Meeh., 1, No. 6, 431—436.
Bericht fiber Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz. Zs. angew. Math. Meeh., 5, No. 2, 136—139.
Uber der Reibungswiderstand stromender Luft. Ergebn. Aerodyn. Ver- suchsanst., Gottingen, 3, 1—5.
Bemerkung fiber den Warmefibergang in Rohr. Phys. Zs., 29, No. 14, 487—489.
. Meteorologische Anwendung der Stromungslehre. Beitr. Phys. fr. At- mosph. 19, No. 3, 188—202.
Zur turbulenten Stromung in Rohren und langs Flatten. Ergebn. Aerodyn. Versuchsanst., Gottingen, 4, 18—29.
Bemerkungen zur Theorie der freien Turbulenz. Zs. angew. Math. Meeh., 22, No. 5, 241—243.
Uber ein neues Formelaystem fur die ausgebildete Turbulenz. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen. Math.-Phys., KL, 6—19.
Fuhrer durch die Stromungslehre, 3ed. Braunschweig: F. Vieweg (nep. на рус. яз.: Прандтль Л. Гидроаэромеханика. М.: ИЛ, 1951).
Праудмен (Proudman J.)
Dynamical Oceanography. London: Methuen (пер. на рус. яз.: Праудмен Дж. Динамическая океанография. М.: ИЛ, 1957).
Прис и Эплби (Pries Т. Н., Appleby J. F.)
The distribution of eddy velocities and temperature fluctuations in the first 100 meters. Technical Report ECOM-6027, U.S. Electr. Command, Fort Huachuca, Arizona.
Пристли (Priestley С. Н. В.)
Convection from a large horizontal surface. Austr. J. Phys., 7, No. 2, 176—201.
Free and forced convection in the atmosphere near the ground. Quart.
J. Roy. Met. Soc., 81, No. 348, 139—143.
Convection from the Earth’s surface. Proc. Roy. Soc. A238, No 1214 287—304.'
Estimation of surface stress and heat flux from profile data. Quart.
J. Roy. Met. Soc., 85, No. 366, 415—418.
. A determinant hypothesis for the superadiabatic wind and temperature profiles. Quart. J. Roy. Met. Soc., 86, No. 368, 232—236.
Temperature fluctuations in the atmospheric boundary Layer J Fluid Meeh., 7, No. 3, 375—384.
An alternative derivation of the diabatic wind profile. Quart. J Roy Met. Soc., 87, No. 373, 437—438.
Free convection in a wind. Quart. J. Roy. Met. Soc., 88, No. 375 100—101.
Eddy diffusion in shear zones. Quart. J. Roy. Met. Soc., 89, No 380 287—288.
Турбулентный перенос в приземном слое атмосферы. Л.: Гидромет- издат.
Пристли и Суинбенк (Priestley С. Н. В., Swinbank W. С.)
Vertical transport of heat by turbulence in the atmosphere. Proc. Roy. Soc., A189, No. 1019, 543-561.
Прохоров Ю. В. (Prohorov Yu. V.)
The method of characteristic functionals. Proc. 4th Berkeley Symp. Math. Stat. Probab., 2. Berkley—Los Angeles: Univ. Calif. Press, 403—419.
Пфеннингер (Pfenninger W.)
Transition experiments in the inlet length of tubes at high Reynolds numbers. In: Boundary Layer and Flow Control, 2 (ed. by G. V. Lach- mann). Oxford: Pergamon Press, 970—980.
Пелью и Саусвелл (Pellew A., Southwell R. V.)
On maintained convective motion in a fluid heated from below. Proc. Roy. Soc., A176, No. 966, 312—343.
Рабинович M. И. и Сущик M. M.
Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости.
Успехи физ. наук, 160, вып. 1, 3—64.
Рабинович М. И. и Трубецков Д. И.
Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука.
Райдер (Rider N. Е.)
Eddy diffusion of momentum, water vapour and heat near the ground. Phil. Trans. Roy. Soc., A246, No. 918, 481—501.
Райдер и Робинсон (Rider N. E., Robinson G. D.)
1951. A study of the transfer of heat and water vapour above a surface of short grass. Quart. J. Roy. Met., 77, No. 333, 375—401.
Раундс (Rounds W.)
Solutions of the two-dimensional diffusion equations. Trans. Amer. Geophys. Union, 36, No. 2, 395—405.
Рейкоорт (Rijkoort P. J.)
The increase of mean wind speed with height in the surface friction layer. Meded. en Verhand. No. 91, Roy. Netherl. Meteor. Inst, 1—115. Рейнольдс A. (Reynolds A. J.)
Wall layers with non-uniform shear stress. J. Fluid Meeh., 22, No. 3, 443—448.
Турбулентные течения в инженерных приложениях. М.: Энергия. Рейнольдс (Reynolds О.)
On the extent and action of the heating surface of steam boilers. Proc. Lit. Phil. Soc. Manchester, 14, 7—12.
An experimental investigation of the circumstances which determine whether the motion of water shall be direct or sinouos, and the law of
tance in parallel channels. Phil. Trans. Roy. Soc., London, 174, 935—982.
On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion. Phil. Trans. Roy. Soc., London, 186, 123—161 (пер. на рус. яз. в сб/. Проблемы турбулентности. М.: ОНТИ, 1936, 185—227).
Рейнольдс У. (Reynolds W. С.)
Computation of turbulent flows. AIAA Paper No. 74—556, 1—20.
Compulation of turbulent flows. Ann. Rev. Fluid Meeh., 8, 183—208. Рейнольдс и Поттер (Reynolds W. C., Potter M. C.)
Finite-amplitude instability of parallel shear flows. J. Fluid Meeh., 27, No. 3, 465—492.
Рейнольдс и Тидерман (Reynolds W. C., Tiederman W. G.)
Stability of turbulent channel flow, with application to Malkus’ theory. J. Fluid Meeh., 2 7, No. 2, 253—272.
Рейнольдс, Кейз и Клайн (Reynolds W. C., Kays W. M., Kline S. J.) 1958. Heat transfer in the turbulent incompressible boundary layer. 1—Constant wall temperature. NASA Tech. Mem. 12—1—58 W.
Рейхардт (Reichardt H.)
Messungen turbulenten Schwankungen, Naturwiss., 26, No. 24/25, 404—408.
Die Warmeubertragung in turbulenten Reibungsschichten. Zs. angew. Math. Meeh., 20, No. 6, 297—328.
Gesetzmassigkeiten der freien Turbulenz. VDI-Forschungs. No. 414.
. Vollstandige Darstellung der turbulenten Geschwindigkeitsverteilung in giatten Leitungen. Zs. angew. Math. Meeh., 31, No. 7, 208—219.
Die Grundlagen des turbulenten Warmeuberganges. Arch. Ges. War- metech., 2, 129—142.
Рекорд и Крамер (Record F. A., Cramer H. E.)
Turbulent energy dissipation rates and exchange processes above a non-homogeneous surface. Quart. J. Roy. Met. Soc., 92, No. 394, 519—532.
P e ш о т к о (Reshotko E.)
Boundary-layer stability and transition. Ann. Rev. Fluid Meeh., 8, 311—349 (пер. на рус. яз. в сб/. Вихревые движения жидкости. М/. Мир, 1979, 11—57).
Рибо (Ribaud G.)
Courbe des vitesses au voisinage de la paroi en regime d’6coulement turbulent, deduite des mesures de convection. Compte Rend. Acad. Sci., 211, No. 22, 541—543.
Nouvelle expression du coefficient de convection de la chaleur en regime d’ecoulement turbulent. J. Phys. Radium (8) 2, No. 1, 12—25. Ривлин (Rivlin R. S.)
The relation between the flow of non-Newtonian fluids and turbulent Newtonian fluid. Quart. App1!. Math., 15, 212—215.
Рид (Reid W. H.)
The stability of parallel flows. In: Basic Developments in Fluid Mechanics (ed. by M. Holt). New York: Academic Press, 249—307.
Composite approximations to the solutions of the Orr—Sommerfeld equation. Stud. Appl. Math., 51. No. 4, 341—368.
Uniform approximations to the solutions of the Orr—Sommerfeld equation. Parts 1 and 2. Stud. Appl. Math., 53, No. 2, 91—110; No. 4, 217—224.
Рид и Харрис (Reid W. H., Harris D. L.)
Some further results on the Benard problem. Phys. Fluids, 1, No. 2, 102—110.
On the stability of viscous flow between rotating cylinders. J. Fluid Meeh., 20, 95—101.
Риис (Riis E.)
The stabijity of Couette flow in non-stratified and stratified viscous fluids. Geofys. Publik. (Oslo), 23, No. 4, 3—37.
Ричардсон (Richardson L. F.)
The supply of energy from and to atmospheric eddies. Proc. Roy. Soc., A97. No. 686, 354—373.
Weather prediction by numerical process. Cambridge, Univ. Press.
Atmospheric diffusion on a distance — neighbour graph. Proc. Roy. Soc., AllO, No. 756, 709—737.
Ришар (Richard J.-G.)
Etude des profils de temperature dans un ecoulement turbulent etabli dans un tube cylindrique lisse. Bull. Dir. etud. et rech., ser. A, No. 2, 1—173.
Робертс О. (Roberts О. F. T.)
The theoretical scattaring of smoke in a turbulent atmosphere. Proc. Roy. Soc., A104, No. 728, 640—654.
Робертс (Roberts P. H.)
The solution of the characteristic value problems. Proc. Roy. Soc., A283, No. 1395, 550—555 (appendix to Donnelly and Schwarz, 1968).
On nonlinear Benard convection. In: Non-equilibrium Thermodynamics, Variational Techniques, and Stability (ed. by R. J. Donelly, R. Herman, I. Prigogine). Chicago: University of Chicago Press, 125—162.
Робертсон (Robertson J. M.)
The turbulent velocity distribution in rough pipe. Proc. 5th Midwestern Conf. Fluid Meeh. Ann. Arbor: Univ. Michigan Press, 67—84.
Робинсон (Robinson G. D.)
Two notes on temperature changes in the troposphere due to radiation. Centenn. Proc. Roy. Meteor. Soc., 26—33.
The vertical convective heat flux in the atmosphere — a critical essay. Quart. J. Roy. Met. Soc., 77, No. 331, 61—73.
Робсон (Robson R. E.)
Turbulent dispersion in a stable layer with a quadratic exchange coefficient. Boundary-Layer Meteor., 39, No. 3, 207—218.
Роди (Rodi W.)
A new algebraic relation for calculating the Reynolds stresses. Zs, angew. Math. Meeh., 56, No. 3, 219—221.
Розанов Ю. A.
Стационарные случайные процессы. Изд. 2-е. М.: Наука. Розенблют и Саймон (Rosenbluth М. N., Simon А.)
Necessary and sufficient condition for the stability of plane parallel inviscid flow. Phys. Fluids, 7. No. 4, 557—558.
Розенкранц и Сэтинджер (Rosencrans S. I., Sattinger D. H.).
On the spectrum of an operator occurring in the theory of hydrodynamic stability. J. Math, and Phys., 45, No. 3, 289—300.
Ролл Г. У.
Физика атмосферных процессов над морем. Л.: Гидрометеоиздат. Романой В. А.
Устойчивость плоскопараллельного течения Куэтта. Докл. АН СССР, 196, № 5, 1049—1051.
Устойчивость плоскопараллельного течения Куэтта. Функциональный анализ и его приложение, 7, № 2, 62—73.
Ромашко Е. А.
Об устойчивости движения вязкой жидкости в зазоре между вращающимися концентрическими цилиндрами относительно неосесимметричных возмущений. Докл. АН БССР, 25, № 6, 899—902.
Росс, Барнес, Бэр нс и Росс (Ross Y. A., Barnes F. Н., Burns Y. G., Ross М. A. S.)
The flat plate boundary layer. Part 3. Comparison of theory with experiment. J. Fluid Meeh., 43, No. 3, 819—832.
Рос б и (Rossby C. G.)
On the nature of the general circulation in the lower atmosphere. Inr The Atmospheres of the Earth and Planets (ed. by G. P. Kuiper). Chicago: Univ. Press, ch. 2.
Р о с б и и Монтгомери (Rossby С. G., Montgomery R. В.)
The layer of frictional influence in wind and ocean currents. Pap. Phys. Oceanogr. Meteor., 3, No. 3.
Роеслер (Rossler О. E.)
An equation for continuous chaos. Phys. Lett, 57A, No. 5, 397—398. Рота (Rota G. C.)
Spectral theory of smoothing operators. Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 46, No. 6, 863—868.
Ротта (Rotta J. C.)
Das in Wandnahe gultige Geschwindigkeitsgesetz turbulenter Stromun- gen. Ing.-Arch., 18, No. 4, 277—280.
. Beitrag zur Berechnung der turbulenten Grenzschichten. Ing.-Arch., 19, No. 1, 31—41.
Statistische Theorie nichthomogener Turbulenz, 1. Zs. Phys., 129, No. 5, 547—572.
Statistische Theorie nichthomogener Turbulenz, 2. Zs. Phys., 131, No. 1, No. 1, 51—77.
Experimenteller Beitrag zur Entstehung turbulenter Stromung im Rohr. Ing.-Arch., 24, No. 4, 258—281.
. Incompressible turbulent boundary layers. Mecanique de la turbulence (Colloque Inten. du CNRS a Marseille). Paris: Ed. CNRS, 255—283.
Turbulent boundary layers in incompressible flow. Progr. Aeronaut. Sci., 2. Oxford: Pergamon Press, 1—219 (пер. на рус. яз.: Ротта И. К. Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости. Л.: Судостроение, 1967).
Рэлей (Rayleigh)
1887. 1895. On the stability, or instability, of certain fluid motions. I—III. Sci. Papers. Cambridge: Univ. Press, 1, 474—487; 3, 17—23; 4, 203—209.
On the question of the stability of the flow of fluids. Sci. Papers, 3, 575—584.
The theory of sound. London: Macmillan (пер., на рус. яз.: Рэлей, Теория звука, изд. 2-е. Т. 1—2. М.: Гостехиздат, 1955).
On the stability of the laminar motion of an inviscid fluid. Sci. Papers,
6, 197—204.
1916a. On the dynamics of revolving fluids. Sci. Papers, 6, 447—453.
1916b. On convection currents in a horizontal layer of fluid when the higher temperature is on the under side. Sci. Papers, 6, 432—443.
P э н н и (Rannie W. D.)
Heat transfer in turbulent shear flow. J. Aeronaut. Sci., 23, No. 5, 485—489.
Рюэлль и Такс нс (Ruelle D., Takens F.)
On the nature of turbulence. Comm. Nath. Rhys. 20,k 167—192 (пер. на рус. яз. в сб.: Странные аттракторы. М.: Мир, 1981, 115—151).
С а к ипо в 3. Б. и ТемирбаевД. Ж.
Об отношении коэффициентов турбулентной диффузии импульса и тепла в свободной турбулентной струе. В кн.: Тепло- и массообмен (Труды 2-й Всесоюзной конференции/Под ред. А. В. Лыкова и Б. М. Смольского). Минск: Наука и техника, 407—413.
Салвен и Грош (Salven Н., Grosch С. Е.)
The continuous spectrum of the Orr—Sommerfeld equation. Part 2. Eigenfunction expansions. J. Fluid Meeh., 104, 445—465.
Салвен, Коттон и Грош (Salwen Н., Cotton F. W\ Grosch С. E.)
Linear stability of Poiseuille flow in a circular pipe. J. Fluid Meeh., 98, No. 2, 273—284.
Сан и Ханратти (Son J. S., Hanratty T. J.)
Limiting relation for the eddy diffusivity close to a wall. A. I. Ch. E. J., 13, No. 4, 689—696.
Сани (Sani R.)
On the non-existence of subcritical instabilities in fluid layers heated from below. J. Fluid Meeh., 20, No. 2, 315—319.
Санфорд (Sanford Т. В.)
Observations of the vertical structure of internal waves. J. Geophys. Res. 80, No. 27, 3861—3871.
Сато (Sato H.)
Further investigation on the transition of two-dimensional separated layer at subsonic speeds. J. Phys. Soc. Japan, 14, 1797—1810.
The stability and transition of a two-dimensional jet. J. Fluid Meeh., 7, No. 1, 53—80.
Сато и Окада (Seto H., Okada О.)
The stability and transition of an axisymmetric wake. J. Fluid Meeh., 26, No. 2, 237—253.
Сато и Сакао (Seto H., Sakao F.)
1964. An experimental investigation of the instability of a two-dimensional jet at low Reynolds numbers. J. Fluid Meeh., 20, No. 2, 337-t-352.
Сэттинджер (Sattinger D. H.)
On the Raylegh problem in hydrodinamic stability. SIAM. J. Appl. Math., 15, No. 2, 419—425.
The mathematic problem of hydrodynamic stability. J. Math, and Meeh., 19, No. 9, 797—819.
Саттон О. Г. (Sutton О. G.)
The theory of eddy diffusion in the atmosphere. Proc. Roy. Soc., A135, No. 826, 143—165.
Wind structure and evaporation in a turbulent atmosphere. Proc. Roy. Soc., A146, No. 858, 701—722.
The application to micrometeorology of the theory of turbulant flow over rough surfaces. Quart. J. Roy. Met. Soc., 75, No. 326, 335—350.
On the stability of a fluid heated from below. Proc. Roy. Soc., A204, No. 1078, 297—309.
Микрометеорология/Пер. с англ. Л.: Гидро метеоиз дат.
Саусвелл и ЧиттИ (Southwell R. V., Chitty L.)
On the problem of hydrodynamic stability. I. Uniform shearing motion in a viscous fluid. Phil. Trans. Roy. Soc. London, A229, 205—283.
Сафмен (Saffman P. G.)
On the effect of the molecular diffusivity in turbulent diffusion. J. Fluid Meeh., 8, No. 2, 273—283.
. Some aspects of the effects of the molecular diffusivity in turbulent diffusion. Mecanique de la turbulence (Coll. Intern, du CNRS £ Marseille). Paris: Ed. CERS, 53—62.
The effect of wind shear on horizontal spread from instantaneous ground source. Quart. J. Roy. Met. Soc., 88, No. 378, 382—393.
An approximate calculation of the Lagrangian auto-correlation coefficient for stationary homogeneous turbulence. Appl. Sci. Res., All, No. 3, 245—255.
Свенсон (Swenson R. J.)
Heat conduction: finite or infinite propagation? J. Non-Equilibr. Ther- modyn., 3, No. 1, 39—47.
Свердруп (Sverdrup H. U.)
The eddy conductivity of the air over a smooth snow field. Geophys. Pub. 11, No. 7.
Свифт и Хоэнберг (Swift J. $., Hohenberg P. C.)
Hydrodynamic fluctuation at the convective instability. Phys. Rev. A., 15, No. 1, 319-328.
С e г и н e p (Seginer I.)
Aerodynamic roughness of vegetated surfaces. Boundary-Layer Meteor., 5, No. 4, 383—393.
С e к с л (Sexi T.)
. Zur Stabilitatsfrage der Poiseuilleschen und Couetteschen Stromung. Ann. Physik, 83, 835—848.
Uber dreidimensionale Storungen der Poiseuilleschen Stromung. Ann. Physik, 84, 807—822.
е л и 1 ^оип^ 1 ./
1964 Variational principle for Rayleigh—Taylor instability. Phys. Fluids, 7, No. 8, 1114—1166.
Селл (Sell G. R.)
Resonance and bifurcation in Hopf—Landau dynamical system. In: Nonlinear dynamics and turbulence (ed. by G. I. Barenblatt, G. loss and D. D. Joseph. Boston: Pitman, 305—313.
Селлерс (Sellers W. D.)
A simplified derivation of the diabatic wind profile. J. Atmosph. Sci., 19, No. 2, 180—181.
Сен и Венкатесварлу (Sen P. К., Venkateswarlu D.)
On the stability of plane Poiseuille flow to finite-amplitude disturbances, considering the ligher-order Landau coefficients. J. Fluid Mach., 133, 179—206.
C e p м а к (Cermak J. E.)
Lagrangian similarity hypothesis applied to diffusion in turbulent shear flow. J. Fluid Meeh., 15, No. 1, 49—64.
Сер мак и др. (Cermak J. E., Sdndborn V. A., Plate E. J., Binder G. H., Chuang H., Meroney R. N., Ito S.)
Simulation of atmospheric motion by wind-tunnel flows. Fluid Dynamics and Diffusion Lab., Colorado State Univ., Techn. Rep. CER66JEC—VAS—EJP—GJB—HC—RNM—S117, 101.
Сер мак и Чанг (Carmak J. E., Chuang H.)
Vertical-velocity fluctuations in thermally stratified shear flows. В кн.: Атмосферная турбулентность и распространение радиоволн/Под ред. А. М. Яглома и В. И. Татарского. М.: Наука, 93—104.
С е р р и н (Serrin J.)
On the stability of viscous fluid motions. Arch. Rat. Meeh. Anal., 3, No. 1, 1—13.
Сибалкин (Sibulkin M.)‘
Transition from turbulent to laminar pipe flow. Phys. Fluids, 5, No. 3, 280—284.
Сид ж ел (Segel L. A.)
The non-linear interaction of two disturbances in the thermal convection problem. J. Fluid Meeh., 14, No. 1, 97—114.
The non-linear interaction of a finite number of disturbances to a layer of fluid heated from below. J. Fluid Meeh., 21, No. 2, 359—384.
Non-linear hydrodynamic stability theory and its applications to thermal convection and curved flows. In: Non-equilibrium Thermodynamics, Variational Techniques, and Stability (ed. by R. J. Donnely, R. Herman and I. Prigogine). Chicago: Univ. Press, 165—197.
Сид ж ел и Стюарт (Segel L. A., Stuart J. T.)
On the question of the preferred mode in cellular thermal convection. J. Fluid Meeh., 13, No. 2, 289—306.
Силвестон (Silveston P. L.)
Warmedurchgang in waagerechten Fliissigkeitsschichten I—II. Forsch. Gebiete Ingenieurwes., 24, 29—32; 59—69.
Convectional heat transport between rigid horizontal boundaries. Phys. Fluids. 6, No. 2, 313—314.
Симмонс и Солтер (Simmons L. F. G., Salter C.)
An experimental determination of the spectrum of turbulence. Proc. Roy. Soc., A165, No. 920, 73—89.
Симпсон и Вудс (Simpson J. H., Woods J. D.)
Temperature microstructure in a freshwater thermocline. Nature, 226, No. 5248. 832—834.
С и н д ж (Synge J. L.)
The stability of heterogeneous liquids. Trans. Roy. Soc., Canada, 27, No. 1, 1—18.
Hydrodynamic stability. Semicentennial publications of the Amer. Math. Soc., 2 (Addresses), 227—269.
Си о но и Ха муро (Syono S., Hamuro М.)
Notes on the wind-profile in the lower layer of a diabatic atmosphere. J. Meteor. Soc. Japan. Ser. II, 40, No. 1, 1—12.
Сквайр (Squire H. B.)
On the stability of the three-dimensional disturbances of viscous flow between parallel walls. Proc. Roy. Soc., A142, No. 847, 621—628.
Reconsideration of the theory of free turbulence. Phil. Mag., 39, No. 288, 1—14.
Сквайр (Squire W.)
Turbulent heat and mass transfer in smooth pipes. Int. J. Heat and Mass Transfer, 7, No. 10, 1069—1076.
Скэрлон и Сиджел (Scanlon J. W., Segel L. A.)
Finite amplitude cellular convection induced by surface tension. J. Fluid Meeh., 30, No. 1, 149—162.
Слейд Д. X., ред.
Метеорология и атомная энергия/Пер. с англ. Л.: Гидрометеоиздат. Слейчер (Sleicher С. A., Jr.)
Experimental velocity and temperature profiles for air in turbulant pipe flow. Trans. Amer. Soc. Meeh. Engrs, 80, No. 3, 693—704.
Слуцкий E. E. (Slutsky E. E.)
Sur les fonctions aleatoires presque periodiques et sur la decomposition des fonctions aleatoires stationnaires en composantes. Actual. Scient. Industr., No. 738, 33—55 (пер. на рус. яз. в кн.: Слуцкий Е. Е. Избранные труды. М.: Изд. АН СССР, 1960, 252—268).
Смейл (Smale S.)
Diffeomorphisms with many periodic points. In: Differential and Combinatorial Topology. Princeton: Princeton Univ. Press, 63—80 (пер. на рус. яз. в сб.: Математика, 11, № 4, 1967, 88—106).
Differential dynamical systems. Bull. Am. Math. Soc., 73, 747—817 пер. на рус. яз. в журнале: Успехи мат. наук, 25, № 1, 1970, 113—185).
Смит (Smith F. В.)
The diffusion of smoke from a continuous elevated point source into a turbulent atmosphere. J. Fluid Meeh., 2, No. 1, 49—76.
The role of wind shear in horizontal diffusion of ambient particles. Quart. J. Roy. Met. Soc., 91, No. 389, 318—329. (Обсуждение статьи в том же журн., 1966, 92, № 393, 427—430).
Смит Ф. (Smith F. Т.)
Two-dimensional disturbance travel, growth and spreading in boundary layers. J. Fluid Meeh., 169, 353—377.
Смит P., (Smith R.)
Long-term dispersion of contaminants in small estuaries. J. Fluid Meeh., 82, No. 1, 129—146.
Shear dispersion looked at from a new angle. J. Fluid Meeh., 182, 447—466.
An easy-to-use formula for contaminant dispersion. J. Fluid Meeh., 215, 195—207.
Смит и Бодоний (Smith F. T., Bodonyi R. J.)
Amplitude-dependent neutral model in the Hagen—Poiseuille flow through a circular pipe. Proc. Roy. Soc., A3 84, No. 1787, 463—489.
Смит и Уокер (Smith D. W., Walker J. H.)
Skin-friction measurements in incompressible flow. Nat. Aeronaut. Space Adm., Rep. R-26.
Снайдер (Snyder M. A.)
Stability of rotating Couette flow. I. Asymmetric waveforms. II. Comparison with numerical results. Phys. Fluids, 11, No. 4, 728—734; No. 8, 1599—1605.
Снайдер и Карлсон (Snyder M. A., Karlsson S. K. F.)
Nonaxisymmetric modes of secondary flow. Bull. Am. Phys. Soc., 10, 24.
Снайдер и Ламберт (Snyder Н. A., Lambert R. В.)
Harmonic generation in Taylor vortices between rotating cylinders, J. Fluid Meeh., 26, No. 3, 545—562.
Сол вен и Грош (Salwen Н., Grosch С. Е.)
Stability of Poiseuille flow in a circular pipe. Bull. Amer. Phys. Soc., 13, No. 5, 814.
С о p г e p (Sorger P.)
Ober ein Variationsproblem aus der nichtlinearen Stabilitatstheorie zaher inkompressibler Stromungen. Zs. angew. Math. Phys. 17, No. 2, 201—216, 1967. Ein hinreichenes Stabilitatskriterium far Couette—Stromungen. Zs, angew. Math, und Meeh., 47, Sonderheft, T126—T128.
Спигел (Spiegel E. A.)
On the Malkus theory of turbulence. Mecanique de la turbulence (Colloq, Inten. du CNRS a Marseille). Paris: Ed. CNRS, 181^-201.
Сполдинг Д. (Spalding D. B.)
A single formula for the “law of the wall”. J. Appl. Meeh., 28E, No. 3, 455—457.
Исследование теплообмена пластины с турбулентным потоком жидкости. Инж.-физ. журн., 6, № 3, 21—33.
A unified theory of friction, heat transfer and mass transfer in the turbulent boundary layer and wall jet, Aero. Res. Counc., Rep. No. 25, 925.
Theories of the turbulent boundary layer. Appl. Meeh. Rev., 20S, No. 8, 735—740.
Сполдинг и Джаятилака (Spalding D. В., Jayatilleke C. L. V.)
A survey of the theoretical and experimental information on the resistance of the laminar sublayer to heat and mass transfer. В кн.: Тепло- и массоперенос (Труды 2-го Всесоюзн. совещания под ред. А. В. Лыкова и Б. М. Смольского). Т. 2. Минск: Наука и техника.
Спэрроу, Голдстейн и Джонсон (Sparrow Е. М., Goldstein R. J., Jonsson V. К.)
Thermal instability in a horizontal fluid layer: effect of boundary condition and non-linear temperature profile. J. Fluid Meeh., 18, No. 4, 513—528.
Спэрроу, Мунро и Джонсон (Sparrow Е. М., Munro W. D., Jonsson V. К.)
Instability of the flow between rotating cylinders: the wide-gap problem. J. Fluid Meeh., 20, No. 1, 35—46.
Сринивасан и Мен ев о (Sreenivasan К. R. and Meneveau С.)
The fractal facets of turbulence. J. Fluid Meeh., 173, 357—386.
Сринивасан, Рамшанкар и Мен ев о (Sreenivasan К. R., Ramshankar and Meneveau С.)
Mixing, entrainment and fractal dimensions of interfaces. In: turbulent flows. Rep. of Mason Lab., Yale Univ., New Haven (USA).
Сринивасан, Тавуларис и Корси н (Sreenivasan К. R., Tavoularis S., Corrsin S.)
A test of gradient transport and its generalizations. In: Turbulent Shear Flows 3 (ed. by L. J. S. Bradbury et al.). New York: Springer, 96—112, Сталл (Stull R. B.)
An Introduction to Boundary Layer Meteorology. Dordrecht: Kluwer, Старр В.
Физика явлений с отрицательной вязкостью/Пер. с англ. М.: Мир, Стейнмен (Steinman Н.)
The stability of viscous flow between rotating cylinders. Quart. Appl, Math., 14, No. 1, 27—33.
Стернберг (Sternberg J.)
A theory for the viscous sublayer of a turbulent fluid. J. Fluid Meeh., 13, No. 2, 241—271.
Стокс и Бартон (Stokes A. N., Barton N. G.)
The concentration distribution produced by shear dispersion of solute in Poiseuille flow. J. Fluid Meeh., 210, 201—221.
Сто мм ел (Stommel Н.)
Horizontal diffusion due to oceanic turbulence. J. Mar. Res., 8, No. 3, 225.
С т о м м e л, Ароне и Бланшар (Stommel Н., Arons А. В., Blanchard D.)
An oceanographic curiosity: the perpetual salt fountain. Deep-Sea Res.,
No. 2, 152—153.
Стюарт P. (Stewart R. W.)
Irrotational motion associated with free turbulent flows. J. Fluid Meeh.,
No. 6, 593—606.
The problem of diffusion in a stratified fluid. Adv. Geophys., 6 (Atmospheric Diffusion and Air Pollution), 303—311 (пер. на рус. яз. в сб.: Атмосферная диффузия и загрязнение воздуха. М.: ИЛ, 1962, 337—347).
Стюарт (Stuart J. Т.)
On the non-linear mechanics of hydrodynamic stability. J. Fluid Meeh.,
No. 1, 1—21.
On the non-linear mechanics of wave disturbances in stable and unstable parallel flows. Part I. The basic behaviour in plane Poiseuille flow. J. Fluid Meeh., 9, No. 3, 353—370.
On three-dimensional non-linear effects in the stability of parallel flow. Advances Aeronaut. Sci. 3, 121—142.
Hydrodynamic stability. In: Laminar Boundary Layers (ed. by L. Ro- senhead). Londoni Oxford Univ. Press, 492—579.
On the cellular patterns in thermal convection. J. Fluid Meeh., 18, No. 4, 481—498.
Hydrodynamic stability. Appl. Meeh. Revs., 18, No. 7, 523—531.
On finite amplitude oscillations in laminar mixing layers. J. Fluid Meeh., 29, No. 3, 417—440.
Noulinear stability theory. Ann. Rev. Fluid Meeh., 3, 347—370. Субботин В. И. Ибрагимов М. X. и Номофилов Е. В.
Определение отношения между коэффициентами переноса тепла и количества движения. Атомная энергия, 14, № 4, 414—416.
Суинбенк (Swinbank W. С.)
. The mensurement of vertical transfer of heat and water vapour and momentum in the lower atmosphere with some results. J. Meteor., 8, No. 2, 135—145.
A sensilive vapour pressure recorder. J. Sci. Instr., 28, No. 3, 86—89.
An experimental study of eddy transports in the lower atmosphere. C.S.I.R.O., Div. Meteor. Phys., Techn. Pap. No. 2, Melbourne.
Wind profile in thermally stratified flow. Nature, 186, No. 4723, 463—464.
The exponential wind profile. Quart. J. Roy. Met. Soc., 90, No. 384, 119—135.
Discussion on a paper: The exponential wind profile, Quart. J. Roy. Met. Soc., 92, No. 393, 416—426.
1968. A comparison between predictions of dimensional analysis for the constant-flux layer and observations in unstable conditions. Quart. J. Roy. Met. Soc., 94, No. 402, 460—467.
Суинбенк и Дайер (Swinbank W. C., Dyer A. J.)
An experimental study in micrometeorology. Quart. J. Roy. Met. Soc., 93, No. 398, 494—500.
Micrometeorological Expeditions 1962—1964. C.S.I.R.O., Div. Meteor. Phys., Techn. Pap. No. 17, Melborne.
Суинни и Г о л л а б, ред. (Swinney Н. L., Gollub J. Р., eds.)
Hydrodynamic Instabilities and Transition to Turbulence. Berlin: Springer (пер. на рус. яз.: Гидродинамическая неустойчивость и переход к турбулентности. М.: Мир, 1984).
Супруненко И. П.
Устойчивость струйных течений. Изв. АН СССР, сер. Мех. жидк. и газа, № 4, 31—35.
Сцаблевский (Szablewski W.)
Turbulente Parallelstromungen. Zs. angew. Math. Meeh., 48, No. 1, 35—50.
Тавуларис и Корсин (Tavoularis S., Corrsin S.)
Experiments in nearly homogeneous shear flow with a uniform mean temperature grodient. Part I. J. Fluid Meeh., 104, 311—347.
Effects of shear on the turbulent diffusivity tensor. Int. J. Heat Mass Transfer, 28, No. 1, 265—276.
Та кеу ч и (Takeuchi K.)
On the structure of the turbulent field in the surface boundary layer. J. Met. Soc. Japan, 39, No. 6, 346—367.
On the nondimensional rate of dissipation of turbulent energy in the surface boundary layer. J. Met. Soc. Japan, 40, No. 3, 127—135.
Такеучи и Иокояма (Takeuchi K-, Yokoyama О.)
The scale of turbulence and the wind profile in the surface boundary layer. J.. Met. Soc. Japan, 41, No. 2, 108—117.
Там (Tam С. K. W.)
A note on disturbances in slightly supercritical plane Poiseuille flow» J. Fluid Meeh., 30, No. 1, 17—20.
T а м K. (Tam К. K.)
On the asymptotic solution of the Orr—Sommerfeld equation by the method of multiple-scales. J. Fluid Meeh., 34, No. 1, 145—150.
Тани (Tani I.)
1967. Review of some experimental results on boundary-layer transition. Phys. Fluids, 10, Supplement (No. 9, Part II), Sil— S16.
Boundary layer transition. Ann. Rov. Fluid Meeh., 1, 169—196.
Тани и Комода (Tani I., Komoda H.)
Boundary layer transition in presence of streamwise vortices. J. Aerosp. Sci., 29, 440—444.
Татарский В. И.
Распространение волн в турбулентной атмосфере. М.: Наука.
Таунсенд (Townsend А. А.)
The measurement of double and triple correlation derivatives in isotropic turbulence. Proc. Cambr. Phil. Soc., 43, No. 4, 560—570.
The diffusion of heat spots in isotropic turbulence. Proc. Roy. Soc., A209, No. 1098, 418—430.
The diffusion behind a line source in homogeneous turbulence. Proc. Roy. Soc., A224, No. 1159, 487—512.
The Structure of Turbulent Shear Flow. Cambridge: Univ. Press (nep. на рус. яз.: Таунсенд А. А. Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом. М.: ИЛ, 1959).
The effects of radiative transfer on turbulent flow of a stratified fluid. J. Fluid Meeh., 4, No. 361—375.
Temperature fluctuations over a heated horizontal surface. J. Fluid Meeh., 5, No. 2, 209—241.
Equilibrium layers and wall turbulence. J. Fluid Meeh., 11, No. 1, 97—120.
. Natural convection in the earth’s boundary layer. Quart. J. Roy. Met. Soc., 88, No. 375, 51—56.
. Remarks on the Malkus theory of turbulent flow. Mecanique de la turbulence (Coll. Intern, du CNRS a Marseille). Paris: Ed. CNRS, 167—180.
The mechanism of entrainment in free turbulent flows. J. Fluid Meeh., 26, N 4, 689—715.
Тацуми (Tatsumi T.)
Stability of the laminar inlet-flow prior to the formation of Poiseuille regime. I—II. J. Phys. Soc. Japan, 7, 489—494, 495—501.
Тацуми и Гото (Tatsumi T., Gotoh К.)
The stability of free boundary layers between two uniform streams.
J. Fluid Meeh., 7, No. 3, 433—441.
Тацуми и Какутани (Tatsumi Т., Kakutani Т.)
The stability of a two-dimensional laminar jet. J. Fluid Meeh 4, No. 3, 261—275.
Теверовский E. H., Дмитриев E. C.
Перенос аэрозольных частиц турбулентными потоками. М.: Энерго- атомиздат.
Те й т г е н (Tёitgen R.)
Laminar-turbulent trasition in pipe flow: development and structure of turbulent slug. В кн.: Laminar-turbulent Transition (ed. by R. Eooler and H. Fasel). Berlin: Springer, 27—36.
Тел м он, Кунен и О уме (Talmon А. М., Kunen J. М. G., Ooms G.)
Simultaneous flow visualization and Reynolds-stress measurement in a turbulent boundary layer. J. Fluid Meeh., 163, 459—478.
Тетпельман A. A.
Эргодические свойства однородных случайных полей на группах. В кн.: Труды VI Всесоюзн. совещ. теор. вероятн. мат. стат. Вильнюс: Гос. полит, научн. изд., 253—255.
Эргодические теоремы на группах. Вильнюс: Мокслас.
Теннекес (Tennekes Н.)
Free convection in the turbulent Ekman layer of the atmosphere. J. Atmos. Sci., 27, No. 7, 1027—1034.
Теннекес и Л а мл и (Tennekes Н., Lumley J. L.)
A First Course in Turbulence. Cambridge, Mass.: MTI Press.
Типпельскирх (Tippelskirch H.)
Ober Konvektionszellen, insbesondere im fliissigen Schwefel. Beitr, Phys. Atmosph., 29, No. 1, 37—54.
Титьенс (Tietjens O.)
Beitrage zur Entstehung der Turbulenz. Zs. angew. Math. Meeh., 5, No. 3, 200—217.
Тилдсли и Уэллингтон (Tyldesley J. В., Wallington С. E.)
The effect of wind shear and vertical diffusion on horizontal dispersion. Quart. J. Roy. Met, Soc., 91, No. 388, 158—174 (also Disoussion: Quart. J. Roy. Met. Soc., 1966, 92, No. 393, 427—430).
Тол мен и Файн (Tolman R. C., Fine P. C.)
On the irreversible production of entropy. Rev. Mod. Phys. 20, No. 1,
Тол м иен (Tollmien W.)
Berechnung turbulenter Ausbreitungsvorgange. Zs. angew. Math. Meeh.,
6, No. 6, 468—478.
Uber die Entstehung der Turbulenz, Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. KL, 21—44.
Beitrag zur Theorie der Turbulenz. Proc. 3rd Int. Congr. Appl. Meeh., Stockholm, 1, 105—108.
Ein allgemeines Kriterium der Instabilitat laminarer Geschwindigkeits- verteilungen. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-Phys. KL, 79—114.
Asymptotische Integration der Stdrungsdifferentialgleichung ebener laminarer Stromungen bei hohen Reynoldsschen Zahlen. Zs. angew. Math. Meeh., 25/27, 33—50, 70-^83.
Толмиен и Преч (Tollmien W., Pretsch J.)
Instabilitat laminar Grenzschichten. Gottinger Monogr. iiber deutschen Luftfahrtforsch., 3, Gottingen.
Томас (Thomas L. H.)
The stability of plane Poiseuille flow. Phys. Rev., 91, No. 5, 780—783.
Томас и Таунсенд (Thomas D. В., Townsend A. A.)
Turbulent convection over a heated horizontal surface. J. Fluid Meeh., 2, No. 5, 473—492.
Томпсон (Thompson B. G. J.)
A new two-parameter family of mean velocity profiles for incompressible turbulent boundary layers on smooth walls. Aero. Res. Counc. Rep. No. 26, 830.
Томпсон Н. (Thompson N.)
Short-range vertical diffusion in stable conditions. Quart. J. Roy. Met, Soc., 91, No. 388, 175—183 (also Discussion, Quart. J. Roy. Met. Soc., 1967, 93, No. 397, 383—386).
Томпсон и С о д ж и н (Thompson Н. A., Sogin Н. Н.)
Experiments on the onset of thermal convection in horizontal layer of gases. J. Fluid Meeh., 24, No. 3, 451—479.
Торнтвейт и Кейзер (Thornthwaite С. H., Kaser Р.)
Wind-gradient observations. Trans. Amer. Geophys. Union, 24, No. 1, 166—182.
T у м ин A. M. и Федоров A. В.
Возбуждение волн неустойчивости локализованным вибратором в пограничном слое. Ж. прикл. мех. техн, физ., № 6, 65—72.
Тьен (Tien С. L.)
A note on distributions of temperature and eddy diffusivity for heat in turbulent flow near a wall. Zs. angew. Math., Phys., 15, No. 1, 63—66.
Тьен и В а сан (Tien C. L., Wasan D. T.)
Low of the wall in turbulent channel flow. Phys. Fluids, 6, No. 1, 144—145.
Тэйлор (Taylor G. 1.)
(Все статьи Тэйлора за исключением работы 1959 года могут быть также найдены в кн.: Taylor G. I. Scientific Papers, 2. Cambridge: Univ. Press, 1960).
Eddy motion in the atmosphere. Phill. Trans. Roy. Soc., A215, 1—26,
Conditions at the surface of a hot body exposed to the wind. Brit. Adv. Com. Aero. Rep. and Memor., 272.
Diffusion by continuous movements. Proc. London Math. Soc., (2), 20, 196—211.
Stability of a viscous liquid contained between two rotating cylinders. Phil. Trans. Roy. Soc., A223, 289—343.
Effect of variation in density on the stability of superposed streams of fluid. Proc. Roy. Soc., A132, No. 820, 499—523.
The transport of vorticity and heat through fluids in turbulent motion. Proc. Roy. Soc., A135, No. 828, 685—706 (пер. на рус. яз.: в сб.: Проблемы турбулентности. М.—Л.: ОНТИ, 1936, 228—248).
. Statistical theory of turbulence. I—III. Proc. Roy. Soc., A151, No. 874, 421—464.
Statistical theory of turbulence. IV. Diffusion in a turbulent air stream. Proc. Roy. Soc., A151, No. 874. 465—478.
Distribution of velocity and temperature between concentric rotating’ cylinders. Proc. Roy. Soc., A151, No. 874, 494—512.
Statistical theory of turbulence. V. Effect of turbulence on boundary layer. Proc. Roy. Soc., A156, No. 888, 307—317.
Fluid friction between rotation cylinders. I. Torque measurements. Proc. Roy. Soc., A157, No. 892, 546—564.
Some recent developments in the study of turbulence. Proc. Sth Ink Congr. Appl. Meeh. Cambridge (USA), 294—310.
The spectrum of turbulence. Proc. Roy. Soc., A164, No. 919, 476—490.
Dispersion of soluble matter in solvent flowing slowly through a tube. Proc. Roy. Soc., A219, No. 1137, 186—203.
. The dispersion of matter in turbulent flow through a pipe. Proc. Roy. Soc., A223, No. 1155, 446—468.
Conditions under which dispersion of a solute in a stream of solvent can be used to measure molecular diffusion. Proc. Roy. Soc., A225, No. 1163, 473—477.
The present position in the theory of turbulent diffusion. Adv. Geophys., 6 (Atmospheric Diffusion and Air Pollution), 101—112 (пер. на рус. яз, в сб.: Атмосферная диффузия и загрязнение воздуха. М.: ИЛ, 1962, 124—137).
Тэйлор П. (Teylor Р. А.)
Comments and further analysis of effective roughness lengths for use in numerical three-dimensional models. Boundary-Layer Meteor., 39y No. 4, 403—418.
Тэйлор P. (Tayler R. J.)
The dissipation of kinetic energy in the lowest layers of the atmosphere. Quart. J. Roy. Met. Soc., 78, No. 336, 179—185.
. Some measurements of heat flux at large negative Richardson number. Quart. J. Roy. Met. Soc., 82, No. 351, 89—91.
An electronic analogue of the saturated vapour pressure curve of water. J. Sci. Instr., 33, No. 11, 436—438.
A linear unidirectional anemometer of rapid response, J. Sci. Instr, 15, No. 1, 47—52.
. Similarity theory in the relation between fluxes and gradients in the lower atmosphere. Quart. J. Roy. Met. Soc., 86, No. 367, 67—78.
Вид профиля ветра в приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР, сер. геофиз., № 12, 1821 — 1827.
The effect of instrumental inertia on measurement of the turbulent flux of water vapour. Austr. J. Appl. Sci., 14, No. 1, 27—37.
Тэйлор и Дайер (Taylor R. J., Dyer A. J.)
An instrument for measuring evaporation from natural surfaces. Nature, 181, No. 4606, 408—409.
Тэйлор и Уэбб (Taylor R. J., Webb E. K.)
A mechanical computer for micrometeorological research. C.S.I.R.O., Div. Meteor. Phys., Techn. Pap. No. 6, Melbourne.
Тэннер и Пелтон (Tanner С. В., Pelton W. L.)
Potential evapotranspiration estimates by the approximate energy balance method of Penman. J. Geoph. Res., 65, No. 10, 3391—3413.
У б e p о и и К о p с и н (Uberoi М. S., Corrsin S.)
Diffusion of heat from a line source in isotropic turbulence. Nat. Adv.
Com. Aeronaut. Rep., No. 1142.
Уиллис и Дирдорф (Willis G. E., Deardorff J. W.)
Confirmation and renumbering of the discrete heat flux transitions of Malkus. Phys. Fluids, 10, No. 9, 1861—1866.
The oscillatory motions of Rayleigh convection. J. Fluid Meeh., 44, No. 4, 661—672.
Уил март и Ту (Willmarth W. W., Bo-Jang Tu)
Structure of turbulence in the boundary layer near the wall. Phys. Fluids, 10, Supplement, S134—S137.
Уилсон (Wilson B. W.)
Note on surface wind stress over water at low and high wind speed. J. Geophys. Res., 65, No. 10, 3377—3382.
Уильямс (Williams A.)
Salt fingers in the Mediterranean outflow. Science, 185, No. 4155, 941—943.
Уингаард, Ария и Котэ (Wyngaard J. C., Arya S. P. S., Cote O. R.)
Some aspects of the structure of convective planetary boundary layers.
J. Atmos. Sci., 31, No. 3, 747—757.
Уингаард и Коте (Wyngaard J. C., Cote O. R.)
The budgets of turbulent kinetic energy and temperature variance in the atmospheric surface layer. J. Atmos. Sci., 28, No. 2, 190—201.
The evolution of a convective planetary boundary layer A higher— order closure model study. Boundary-Layer Meteor., 7, No. 3, 289—308. Уингаард, Котэ и Изуми (Wyngaard J. C., Cote О. К., Izumi Y.)
Local free convection, similarity, and the budgets of shear stress and heat flux. J. Atmos. Sci., 28, No. 7, 1171—1182.
Уленбек и Орнштейн (Uhlenbeck G. E., Ornstein L. S.)
On the theory of Brownian motion. Phys. Rev., 36, No. 3, 823—841.
Уолтерс (Walters T. S.)
The effect of diffusion in the mean wind direction in atmospheric turbulence. Mathematika, 11, 119—124.
Diffusion from an elevated point source into a turbulent atmosphere. Mathematika, 12, 49—57.
Уотсон (Watson J.)
. On the non-linear mechanics of wave disturbances in stable and unstable parallel flows. Part 2. The development of solution for plane Poiseulle and for plane Couette flow. J. Fluid Meeh., 9, No. 3, 371—383.
Three-dymensional disturbances in flow between parallel planes. Proc. Roy. Soc., A254, No. 1279, 562—569.
On spatially-growing finite disturbances in plane Poiseuille flow. J. Fluid Meeh., 14, No. 2, 211—221.
УховскийМ. P. и Юдович В. И.
Об уравнениях стационарной конвекции. Прикл. матем. и мех., 27, № 2, 295—300.
Уэбб (Webb Е. К.)
Vanishing potential temperature gradients in strong convection. Quart. J. Roy. Met. Soc., 86, No. 360, 118—125.
An investigation of the evaporation from Lake Eucumbene. C.S.I.R.O., Div. Meteor. Phys., Techn. Pap. No. 10. Melbourne.
Thermal convection with wind shear. Nature, 193, No. 4818, 840—842.
Aerial microclimate. Meteor. Monogr., 6, No. 28, 27—58.
Profile relationships: The log-linear range, and extension to strong stability. Quart. J. Roy. Met. Soc., 96, No. 407, 67—90.
Уэсли, Тертелл и Таннер (Wesly М. L., Thurtell G. W., Tanner С. B.) 1970. Eddy correlation measurements of sensible heat flux near the Earth’s surface. J. Appl. Meteor., 9, 45—50.
Фавр, Гавильо и Дюма (Favre A., Gaviglio J., Dumas R.)
Quelques measures de correlation dana le temps et Tespace en souffle- rie. La Rech. Aero., No. 32, 21—28.
Quelques fonctions d’autocorrelation et de repartitions spectrales d’energie, pour la turbulence en aval des diverses grilles. C. r. Acad. Sci., 283, No. 15, 1561—1563.
Correlation spatio-temperelles en ecoulements turbulents, Mecanique de la turbulence (Coll. Intern, du CNRS a Marseille). Paris: Ed. CNRS, 419—445.
Фазе ль и Концельман (Fasel Н., Konzelmann U.)
Non-parallel stability of a flat-plate boundary layer using the complete Navier-Stokes equations. J. Fluid Meeh., 221, 311—347.
Федяевский К. К., Гиневский А. С. и Колесников А. В.
Расчет турбулентного пограничного слоя. Л.: Судостроение. Фейгенбаум (Feigenbaum М. J.)
Quantitative universality for a class of nonlinear transformations. J. Stat. Phys., 19, No. 1, 25—32.
The universal metric properties of nonlinear transformations. J. Stat. Phys., 21, No. 6, 669—706.
Фенстермахер, Суинни и Г о л л у 6 (Fenstermacher Р. R., Swinney Н. L., Gollub J. Р.)
Dynamical instabalities and the transition to chaotic Taylor vortex flow. J. Fluid Meeh., 94, No. 1, 103—128.
Фидлер и Пановский (Fiedler F., Panofsky H. A.)
The geostrophic drag coefficient and the effective roughness length. Quart. J. Roy. Met. Soc., 98, No. 415, 213—220.
Фидлер и Хед (Fiedler H., Head M. R.)
Intermittency measurements in the turbulent boundary layer. J. Fluid Meeh., 25, No. 4, 719—735.
Фидман Б. A.
Некоторые данные о течении в вязком слое турбулентного потока. В кн.: Гидравлика сооружений и динамика речных русел. М.: Изд. АН СССР, 183—188.
Филип (Philip J. R.)
The theory of dispersal during laminar flow in tubes, I—II, Austr. J. Phys., 16, No. 3, 287—299; 300—310.
Relation between Eulerian and Lagrangian statistics. Phys. Fluids, 10,. Supplement, S69—S71.
Филлипс О. M. (Phillips О. M.)
The irrotational motion outside a free turbulent boundary layer. Proc. Cambr. Phil. Soc., 51, No. 1, 220—229.
The maintensnce of Reynolds stress in turbulent shear flow. J Fluid Meeh., 27, No. 1, 131—144.
1980. Динамика верхнего слоя океана. Л.: Гидрометеоиздат.
Ф и х т л ь (Fichtl G. Н.)
Characteristics of turbulence observed at the NASA 150-m meteorological tower. J. Appl. Meteor., 7, No. 5, 838—844.
Фишер (Fisher H. B.)
Longitudinal dispersion and turbulent mixing in open-channel flow. Ann. Rev. Fluid Meeh., 5, 59—78.
Mixing and dispersion in estuaries. Ann. Rev. Fluid Meeh., 8, 107—133.
Фишер и др. (Fisher H. В., List Е. J., Koh R. C. Y., Imberger J., Brooks N, H.) 1979. Mixing in Inland and Coastal Waters. New York: Academic Press.
Флейшман и Френкил (Fleishman В. A., Frenkil F. N.)
Diffusion of matter emitted from a line source in a non-isotropic turbulent flow. J. Meteor., 12, No. 2, 141—145.
Фойя и Проди (Foias C., Prodi G.)
Sur le comportement global des solutions non stationnaires des equa- tins de Navier—Stokes en dimension 2. Rend. Sem. Mat. Univ. Padova. 39, 1—34.
Фок В. A.
Решение одной задачи теории диффузии по методу конечных разностей и приложение его к диффузии света. Труды ГОИ, 4, № 34.
Фолкнер (Falkner V. М.)
The resistance of a smooth flat plate with turbulent boundary layer. Airor. Eng., 15, 65—69.
Фокс, Л e с с e н и Б x а т (Fox J. A., Lessen M., Bhat W. V.)
Experimental investigation of the stability of Hagen—Poiseuille flow. Phys. Fluids, 11, No. 1, 1—4.
Форстолл hi Гейлорд (Forstall W., Gaylord E. W.)
Momentum and mass transfer in a submerged water jet. J. Appl. Meeh., 22, No. 2, 161—164.
Фортье (Fortier A.)
Transfer problems in turbulent flows. Ann. N. Y. Acad. Sci., 154, No. 2, 704—727.
Mecanique des fluides et transferts de chaleur et de masse par convection. Paris: Masson.
Франкел и Бреннер (Frankel I., Brenner H.)
1989. On the foundations of generalized Taylor dispersion theory. J. Fluid
Meeh., 204, 97—119.
Франк-Каменецкий Д. A.
Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.—Л.: Изд. АН СССР.
Франц (Franz Н. W.)
Lur Beziehung zwischen Lagrangeschen und Eulerschen Korrelatious- funktionen. Beitr. Phys. Atmosph., 43, No. 2, 93—118.
Фреймут (Freymuth P.)
On transition in a separated laminar boundary layer. J. Fluid Meeh., 25, No. 4, 683—704.
Френкил (Frenkiel F. N.)
Application of the statistical theory of turbulent diffusion to micrometeorology. J. Meteor., 9, No. 4, 252—259.
Turbulent diffusion: Mean concentration distribution in a flow field of homogeneous turbulence. Adv. Appl. Meeh., 3, 61—107 (пер. на рус. яз.: Френкил Ф. Н. Турбулентная диффузия: распределение средней концен-
траций в поле однородного турбулентного потока. В кн.: Проблемы механики. М.: ИЛ, 1955, 384—421).
Френки л и Клебанов (Frenkiel F. N., Klebanoff Р. S.)
Space-time correlations in turbulence. In: Dynamics of Fluids and Plasmas (ed. by S. I. Pai). New York: Academic Press, 257—274.
Френки л и Шеппард (Frenkiel F. N., Sheppard P. A., ed.)
Atmospheric Diffusion and Air Pollution. Adv. in Geophys., 6, N. Y.— London: Acad. Press (пер. на рус. яз.: Атмосферная диффузия и загрязнение воздуха. М.: ИЛ., 1962).
Фримен (Freeman В. Е.)
Tensor diffusivity of a trace constituent in a stratified boundary layer. J. Atmos. Sci., 34, No. 1, 124—136.
Фрич (Fritsch W.)
Einfluss der Wandrauhigkeit auf die turbulente Geschwindigkeitsvertei- lung in Rinnen. Zc. angew. Math. Meeh., 8, No. 2, 199—216.
Фромм (Fromm J. E.)
Numerical solutions of the non-linear equations for a heated fluid layer. Phys. Fluids, 8, No. 10, 1757—1769.
Фрост (Frost R.)
Turbulence and diffusion in the lower atmosphere. Proc. Roy. Soc., A186, No. 1004, 20—35.
Atmospheric turbulence. Quart. J. Roy. Met. Soc., 74, No. 321, 316—338. Ф p о с т У. и M о у л д е н Т., ред.
Турбулентность. Принципы и применения. М.: Мир.
Ф р э н с и и Г а р р а т (Francey R. J., Garratt J. R.)
Interpretation of flux-profile observations at ITCE (1976). J. Appl. Meteor., 20, 603—618.
Фуджимура (Fujimura K)
The first Landau coustant in a viscous free shear layer. Phys. Fluids, 31, No. 12, 3563—3570.
Функ (F u n k J. P.)
Measured radiative flux divergence near the ground at night. Quart. J. Roy. Met. Soc., 86, No. 369, 382—389.
Фуруйя и Фуджита (Furuya Y., Fujita H.)
Effect of surface roughness on the velocity defect law. Phys. Fluids, 10, Supplement, SI55—SI56.
Фьортофт (Fjortoft R.)
Applications of integral theorems in deriving criteria of stability of laminar flow and for the baroclinic circular vortex. Geophys. PubL, 17, No. 6, 1—52.
Фэйдж и Тауненд (Fage A., Townend H. С. H.)
An examination of turbulent flow with an ultramicroscope. Proc. Roy. Soc., A135, No. 828, 656—677 (пер. на рус. яз. в сб.: Проблемы турбулентности. М.—Л.: ОНТИ, 1936, 163—184).
Хаббард (Hubbard D. W.)
Mass Transfer in Turbulent Flow at High Schmidt Numbers, Ph. D. Thesis. The University of Wisconsin. Madison.
Хаббард и Лайтфут (Hubbard D. W., Lightfoot E. N.)
Correlation of heat and mass transfer data for high Schmidt and Reynolds numbers. Industr. and Engng. Chern. Fundament, 5, No. 3, 370—379.
Хаген (Hagen G.)
Uber die Bewegung des Wassers in engen zylindrischen Rohren. Pogg. Ann., 4 8, 423—442.
Хайди и Плате (Hidy G. M., Plate E. J.)
Wind action on water standing in a laboratory channel. J. Fluid Meeh., 26, No. 4, 651—688.
X а й и о (Hino M.)
A theory on the fetch graph, the roughness of the sea and the energy transfer between wind and wave. Proc. Tenth Conference on Coastal Eng.
Халтинер Дж. и Ма р т и н Ф.
Динамическая и физическая метеорология/Пер. с англ. М.: ИЛ.
Хама (Hama F. R.)
On the velocity distribution in the laminar sublayer and transition region in turbulent shear flows. J. aeronaut. Sci., 20, No. 9, 648—650.
Boundary layer characteristics for smooth and rough surfaces. Trans. Soc. Naval Arch. Marine Engrs., 62, 333—358.
Хама, Лонг и Хегарти (Hama F. R., Long J. D., Hegarty J. C.)
On transition from laminar to turbulent flow. J. AppL, Phys, 28, No. 4, 388—394.
Хама и Ньюта нт (Hama F. R., Nutant J.)
Detailed flow-field observations in the transition process in thick boundary layer. Proc. Heat Transfer Fluid Meeh. Inst. Stanford Univ. Press, 77—93.
Ханзен (Hansen M.)
Die Geschwindigkeitsverteilung in der Grenzschicht an einer eigentauch- ten Platte. Z. angew. Math. Meeh., 8, No. 2, 185—199.
Ханна (Hanna S. R.)
Concentration fluctuations in a smoke plume. Atm. Envinon., 18, No. 6, 1091—1106.
Ханна, Бригс и X ос кер (Наппа S. R., Briggs G. A., Hosker R. Р.)
Handbook on Atmospheric Diffusion. Springfield: U. S. Dept, of Energy Inf. Center.
Ханратти (Hanratty T. J.)
Study of turbulence close to a solid wall. Phys. Fluids, 10, Supplement, SI 26—SI 33.
Хант (Hunt J. N.)
The turbulent transport of suspended sediment in open channels. Proc. Roy. Soc., A224, No. 1158, 322—335.
Хант Дж. (Hunt J. C. R.)
Turbulent diffusion from sources in complex flows. Ann. Rev. Fluid. Meeh., 17, 447—485.
Хант и Вебер (Hunt J. C. R., Weber A. H.)
A Lagrangian statistical analysis of diffusion from a ground-level source in a turbulent boundary layer. Quart. J. Roy. Met. Soc., 105, No. 6, 444, 423—443.
Хантли Г.
Анализ размерностей/Пер. с англ. М.: Мир.
Ханьялич и Лоундер (Hanjalic К., Launder В. Е.)
A Reynolds stress model of turbulence and its application to thin shear flows. J. Fluid Meeh., 52, No. 4, 609—638.
Ханьялич К., Лоундер Б. Е. и Шистель Р.
Концепции многих временных масштабов в моделировании турбулентного переноса. В кн.: Турбулентные сдвиговые течения 2/Под ред. Л. Дж. С. Брэдбери и др. М.: Машиностроение, 42—57.
Харлоу и Нака яма (Harlow F. Н., Nakayama Р. I.)
Turbulence transport equations, Phys. Fluids, 10, No. 11, 2323—2332. Харриот и Гамильтон (Harriott P., Hamilton R. M.)
Solid-liquid mass transfer in turbulent pipe flow. Chern. Engng. Sci., 20, No. 12, 1073—1078.
Хаттон (Hatton A. P.)
Heat transfer through the turbulent incompressible boundary layer on a flat plate. Int. J. Heat and Mass Transfer, 7, 875—890.
Хаупт (Haupt D.)
Ober die Entwicklung einer wilkiirlichen Funktion nach den Eigenfunk- tionen des Turbulenzproblems. Sitzungsberichte d. K- Bayer, Akad. Wiss., 289—301.
Хегстрем (Hogstrom U.)
An experimental study of atmospheric diffusion. Tellus, 16, No. 2, 205—251.
. A new sensitive eddy flux instrumentation. Tellus, 19, No. 2, 230—239.
Turbulent water-vapor transfer at different stability conditions. Phys, Fluids, 10, Supplement, S247—S254.
Non-dimensional wind and temperature profiles in the atmospheric surface layer: A re-evaluation. Boundary-Layer Meteor., 42, No. 1, 55-78.
Хегстрем и Смедман-Хегстрем (Hogstrom U., Smedman—Hog- strom A.)
Turbulence mechanisms at an agricultural site. Boundary-Layer Meteo- rol., 7, No. 3, 373—389.
Хейл анд (Holand E.)
On two-dimensional perturbation of linear flow. Geofys. Publ., 18, No. 9, 1—12.
Хийнес (Haines A. B.)
Turbulence modelling. The Aeronautical J., No. 857, 269—277.
Хейнс (Hains F. D.)
Stability of plane Couette—Poiseuille flow. Phys. Fluids, 10, No. 9, 2079—2080.
Хелстед (Halstead M.)
A stability term in the wind-gradien equation. Trans. Amer. Geophys. Union, 24, No. 1, 204—208.
The relationship between wind structure and turbulence near the ground. Geophys. Res. Pap. No. 19, 97—126.
X e н о н (Henon H.)
A two-dimensional mapping with a strange attractor. Comm. Math, Phys., 50, No. 1, 69—77.
X e л 6 e p т (Herbert T.)
Secondary instabilities of boundary layers. Ann. Rev. Fluid Meeh., 20, 487—526.
Херл, Джейкман и Пайк (Hurle D. T., Jakeman E., Pike E. R.)
On the solution of the Benard problem with boundaries of finite conductivity. Proc. Roy. Soc., A296, No. 1447, 469—475.
Херринг (Herring J. R.)
Investigation of problems in thermal convection. J. Atmosph. Set, 20, No. 4, 325—338.
Investigation of problems in thermal convection: Rigid boundaries. J. Atmos. Sci., 21, No. 3, 277—290.
Some analytic results in the theory of thermal convection. J. Atmos. Sci., 23, No. 6, 672—677.
Хикс, Уэсли и др. (Hicks В. В., Wesely М. L., Coulter R. L., Hart R. L., Durham J. L., Speer R., Stedman D. H.)
An experimental study of sulfur and NOX fluxes over grassland. Boundary-Layer Meteor., 34, No. 1—2, 103—121.
Хименез (Himenez J.)
Transition to turbulence in two-dimensional Poiseuille flow. J. Fluid Meeh., 218, 265—297.
Хинце И. О. (Hinze J. О.)
Turbulent diffusion from a source in turbulent shear flow. J. Aeronaut. Sci., 18, No. 8, 565—566.
Turbulent pipe-flow, Mecanique de la turbulence (Coll. Intern, du CNRS a Marseille). Paris: Ed. CNRS, 130—165.
Турбулентность. M.: Физматгиз.
Хинце и Ван дер Хегге Цийнен (Hinze J. О., Van der Hegge Zij- nen В. G.)
Transfer of heat and matter in the turbulent mixing zone of an axially symmetric jet. Appl. Sci. Res., Al, 435—461.
Local transfer of heat in anisotropic turbulence. Inst. Meeh. Eng., Proc. Gener. Discus, on Heat Transfer, 188—197.
X и н ч и н А. Я.
Теория корреляции стационарных стохастических процессов/Пер. с нем. Успехи мат. наук, вып. 5, 4'2—51.
Аиш ид a (Hishida М.)
Turbulent heat transfer and temperature distribution in the thermal entrance region of a circular pipe. Bull. Jap. Soc. Meeh. Eng., 10, No. 37, 113123
Хобер (Hoeber H.).
Einige Ergebnisse von Windprofilmessungen fiber See bei stabiler Schichtung. Tellus, 20, No. 3, 495—501.
Ao ген (Haugen D. A.)
Some Lagrangian properties of turbulence deduced from atmospheric diffusion experiments. J. Appl. Meteor., 5, No. 5, 646—652.
Ao ген, ред. (Haugen D. A., ed.)
Workshop on Micrometeorology. Boston: American Meteorological Society.
Lectures on Air Pollution und Environmental Impact Analysis. Boston: American Meteorological Society.
Ao ген, Ба ред и Антанаитис (Haungen D. A., Barad М. L., Antanai- tis P.)
Values of parameters appearing in Sutton’s diffusion models. J. Me- teorol., 18, No. 3, 368—372.
А о г e н с и Аанратти (Hogenes J. H. A., Hanratty T. J.)
The use of multiple wall probes to identify coherent flow patterns in the viscous wall region. J. Fluid Meeh., 124, 363—390.
Аокинг (Hoching L. M.)
Long wavelength disturbances to non-planar parallel flow. J. Fluid Meeh., 31, No. 4, 625—634.
Аолланд (Holland J. Z.)
Joint density functions of turbulent variables in the atmospheric boundary layer. Phys. Fluids, 10, Supplement, S220—S222.
An application of some statistical techniques to the study of eddy structure. Report TID-24585 (Meteorology TID-4500). U. S. Atomic Energy Commission, Washington, D. C.
Аолцмен (Holzman B.)
The influence of stability on evaporation. Ann. New York Acad. Sci., 44, 13—19.
Хопф (Hopf E.)
Abzweigung einer periodischen Losung von einer stationaren Losung eines Differentialsystems. Ber. Math. Phys. Sachsische Academic der Wissenschaften, Leipzig, 94, 1—22.
A mathematical example displaying the features of turbulence. Comm. Pure appl. Math., 1, 303—322.
Statistical hydromechanics and functional calculus. J. Rat. Meeh. Anal., 1, No. 1, 87—123.
Хорст (Horst T. W.)
Lagrangian similarity modeling of vertical diffusion from a groundlevel source. J. Appl. Meteor., 18, No. 6, 733—740.
Ховард (Howard L. N.)
Hydrodynamic stability of a jet. J. Math, and Phys., 39, No. 4, 283—298.
Note on a paper of John W. Miles. J. Fluid Meeh., 10, No. 4, 509—512.
. Neutral curves and stability boundaries in stratified flow. J. Fluid Meeh., 16, No. 3, 333—342.
Heat transport by turbulent convection. J. Fluid Meeh., 17, No. 3, 405—432.
X о у a p т Л., ред.
Современное состояние аэродинамики больших скоростей, М.: ИЛ.
X с у, Сато и Сейдж (Hsu N. Т., Sato К., Sage В. Н.)
Temperature gradients in turbulent gas streams. Effect of flow condition upon eddy conductivity. Ind. Eng. Chern., 48, No. 12, 2218—2223.
Хуанг (Huang С. Н.)
A theory of dispersion in turbulent shear flow. Atmos. Environ., 13, No. 4, 453—463.
Хуанг T. (Huang T. T.)
Similarity laws for turbulent flow of dilute solution of drag-reduced polymers. Phys. Fluids, 17, No. 2, 298—309.
Хуанг и Болдуин (Hwang N. H. C., Baldwin L. V.)
Decay of turbulence in axisymmetric wakes. J. Basic Eng., 88, No. 1, 261—268.
Хуанг и Сер мак (Huang Н., Cermak J. E.)
Similarity of thermally stratified shear flows in the laboratory and atmosphere. Phys. Fluids, 10, Supplement, S255—S258.
Худимити (Hudimiti B.)
On the turbulent boundary layer. Trans. Japan Soc. Meeh. Eng., 7.
A brief note on the laminar sublayer of the turbulent boundary layer. Mem. Fac. Eng. Kyoto Univ., 13, 174—179.
Хуссейн и Хасан (Hussain А. К. M. F., Hasan M. A. Z.)
Turbulence suppression in free turbulent shear flows under controlled exitation. Part 2. Jet-noice reduction. J. Fluid Meeh., 150, 159—168. Хьюберман и Рудник (Huberman В. A., Rudnich J.)
Scaling behavior of chaotic flows. Phys. Rev. Letters, 45, No. 3, 154—156.
Хьюз и Рид (Hughes T. H., Reid W. H.)
The stability of laminar boundary layers at separation. J. Fluid Meeh., 23, No. 4, 737—747.
Хэй и Па скуй л (Hay J. S., Pasquill F.)
Diffusion from a continuous source in relation to the spectrum and scale of turbulence. Adv. Geophys., 6 (Atmospheric Diffusion and Air Pollution), 345—365 (пер. на рус. яз. в сб.: Атмосферная диффузия и загрязнение воздуха, М.: ИЛ, 1962, 382—404).
X ю р р е (Huerre Р.)
On the Landau constant in mixing layers. Proc. Roy. Soc., A409, 369—381.
Ц а й К о - e н
Теплообмен в турбулентном потоке жидкости при больших значениях чисел Прандтля. Инж.-физ. ж., 4, № 8, 20—29.
Царенко В. М.
Модельный расчет коэффициентов турбулентной диффузии в нестра- тифицированном приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 19, № 4, 366—375.
О рассеянии облака примеси в безразлично стратифицированном приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 20, № 6, 485—494.
. О полуэмпирическом описании турбулентности в приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 23, № 5, 470—479.
Модельный расчет тензора коэффициентов турбулентной диффузии примеси в термически стратифицированных течениях. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 23, № 10, 1041—1048.
Коэффициенты турбулентной диффузии в безразлично-стратифицированных турбулентных течениях. Метеорологические исследования, № 28, 141—151.
Модельный расчет универсальных функций теории Монина—Обухова. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 25, № 2, 115—124.
Об определении тензора коэффициентов турбулентной диффузии в стратифицированном приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 25, № 3, 257—265.
Царенко В. М. и Яглом А. М. (Tsarenko V. М., Yaglom А. М.)
Semiempirical theories of turbulent diffusion in a neutrally stratified atmospheric surface layer. Phys. Fluids А (в печати).
Ц в а н г Л. Р.
Измерение частотных спектров температурных пульсаций в приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР, сер. геофиз. № 8, 1252—1262.
Цванг, Зубковский и др. (Tsvang L. R., Zubkovskii S. L., Kader В. A.r KaMistratova M. A., Foken T., Gerstmann V., Przadka A., Pretel Ya., Ze- leny Ya., Keder J.)’
International turbulence comparison experiment (ITCE-81). Boundary
Layer Meteor., 31, No. 3, 325—348.
Ц e й т и н Г. X.
Распространение примеси от высотного источника. Труды ЛГМИг вып. 15, 10—31.
Ч а л и к о в Д. В.
О профилях ветра и температуры в приземном слое атмосферы при устойчивой стратификации. Труды ГГО, вып. 207, 170—173.
Ч а н а д и (Csanady G. Т.) 1967а. Concentration fluctuations in turbulent diffusion. J. Atmos. Sci., 24, No. 1, 21—28.
Variance of local concentration fluctuations. Phys. Fluids, 10, Supplement, S76—S78.
On the „resistance law” of a turbulent Ekman layer. J. Atmos. Sci., 24, No. 5, 467—471.
Turbulent Diffusion in the Environment. Dordrecht: Reidel.
Чанади, Хилст и Боун (Csanady G. T.. Hilst G. R., Bowne N. E.) 1968. Turbulent diffusion from a cross-wind line sourse in shear flow at
Fort Wayne. Indiana, Atmos. Environ., 2, No. 3, 273—292.
Чандрасекар C. (Chandrasekhar S.)
Стохастические проблемы в физике и астрономии. М.: ИЛ.
The stability of viscous flow between rotating cylinders in the presence of a magnetic field. Proc. Roy. Soc., A216, No. 1126, 293—309.
The stability of viscous flow between rotating cylinders. Mathematika,. 1, 5—13.
The stability of viscous flow between rotating cylinders. Proc. Roy. Soc., A246, No. 1246, 301—311.
The stability of inviscid flow between rotating cylinders. J. Indian Math. Soc. (N. S.), 24, 211—221.
Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. Oxford: Clarendon Press.
Чандрасекар и Элберт (Chandrasekhar S., Elbert D. D.)
The stability of viscous flow between rotating cylinders. II. Proc. Roy, Soc., A268, No. 1333, 145—152.
4 a p н и и Стерн (Charney J. G., Stern M. E.)
On the stability of internal baroclinic jets in a rotating atmosphere, J. Atmos. Sci., 19, No. 2, 159—172.
Чарнок (Charnock H.)
. Meteorology. Sci. Progress, 46, No. 183, 470—487.
Physical oceanography. Sci. Progress, 46, No. 183, 487—501.
Comments on „An examination of three wind-profile hypotheses”, J. Appl. Meteor., 6, No. 1, 211—212.
Flux-gradient relations near the ground in unstable conditions. Quart. J. Roy. Met. Soc., 93, No. 395, 97—100.
Чарнок и Эллисон (Charnok H., Ellison T. H.)
Fluctuations of temperature and humidity at 134 m over the sea. Deutsch. Hydrograph. Zs., 12, No. 4, 171—180.
Чатвин (Chatwin P. C.)
The dispersion of a puff of passive contaminant in the constant stress region. Quart. J. Roy. Met. Soc., 94, No. 401, 350—360.
On the interpretation of some longitudinal dispersion experiments. J. Fluid Meeh., 48, 689—702.
The initial development of longitudinal dispersion in straight tubes. J. Fluid Meeh., 80, No. 1, 33—48.
Чатвин и Аллен (Chatwin Р. С„ Allen С. М.)
Mathematical models of dispersion in rivers and estuaries. Ann. Rev. Fluid Meeh., 17, 119—149.
Чемберлен (Chamberlain A. G.)
Transport of gases to and from grass and grass-like surfaces. Proc. Roy. Soc., A290, No. 1421, 236—265.
Transport of gases to and from surfaces with bluff and wave-like roughness elements. Quart J. Roy. Met. Soc., 94, No. 401, 318—332.
Roughness length of sea, sand, and snow. Boundary-Layer Meteor., 25, No. 4, 405—409.
Чен (Tchen С. M.)
On the spectrum of energy in turbulent shear flow. J. Res. Nat. Bur. Standards, 50, No. 1, 51—62.
Чен и Джозеф (Chen T. S., Joseph D. D.)
Subcritical bifurcation of plane Poiseuille flow. J. Fluid Meeh., 58, No. 2, 337—351.
Чен, Джозеф и Спэрроу (Chen Т. S., Joseph D. D., Sparrow E. M.) 1966. Evalution of Tietjens function in stability calculations. Phys. Fluids, 9, No. 12, 2519—2521.
Чен иСпэрроу (Chen T. S., Sparrow E. M.)
Stability of the developing laminar flow in a parallel-plate channel. J. Fluid Meeh., 30, No. 2, 209—224.
Чен и Уайтхед (Chen M. M., Whitehead J. A.)
Evolution of two-dimensional periodic Rayleigh convection cells of arbitrary wave-numbers. J. Fluid Meeh., 31, No. 1, 1—15.
Чепмен С. и КаулингТ.
Математическая теория неоднородных газов/Пер. с англ. М.: ИЛ.
Чепмен и Кестер (Chapman D. R., Kester R. Н.)
Measurements of turbulent skin friction on cylinders in axial flow at subsonic and supersonic velocities. J. Aeronaut. Sci., 20, No. 7, 441—448. Черчилль и Чой (Churchill S. W., Choi B.)
A simple expression for the velocity distribution in turbulent flow in smooth pipes. AICHE J., 19, No. 1, 196—197.
Чжоу (Chou P. Y.)
. On velocity correlations and the solutions of the equations of turbulent fluctuation. Quart. Appl. Math., 3, No. 1, 38—54.
Pressure flow of a turbulent fluid between parallel planes. Quart. Appl. Math., 3, No. 3, 198—209.
Turbulent flow along a semi-infinite plane. Quart. Appl. Math. 5, No. 3, 346—353.
Чжу и Коваснаи (Chu В. T., Kovasznay L. S. G.)
Non-linear interactions in a viscous heat-conducting compressible gas. J. Fluid Meeh., 3, No. 5, 494—514..
Чилтон и Колбэрн (Chilton T. H., Colburn А. Р.)
Mass transfer (absorption) coefficiente. Ind. Eng. Chern., 26, No. 11, 1183—1187.
Чиквенду (Chikwendu S. C.)
Calculation of longitudinal shear dispersivity using an У-zone model as У-^оо. J. Fluid Meeh., 167, 19—30.
Чиквенду и Оджиакер (Chikwendu S. C., Ojiaker G. U.)
Slow-zone model for longitudinal dispersion in two-dimensional shear flows. J. Fluid Meeh., 152, 15—38.
Чодри и Мер он и (Chaudhry F. Н., Meroney R. N.)
Similarity theory of diffusion and the observed vertical spread in the diabatic surface layer. Boundary-Layer Meteor., 3, No. 4, 405—415.
Ill а д e (Schade H.)
Zum Stabilitatstheorie axialsymmetrischer Parallelstromungen. Ing- Arch., 31, No. 5, 301—316.
Contribution to the nonlinear stability theory of inviscid shear layers. Phys. Fluids, 7, No. 5, 623—628.
Шварц, Спрингетт и Донелл и (Schwarz К. W., Springett В. Е., Donelly R. J.)
Modes of instability in spiral flow between rotating cylinders. J. Fluid Meeh., 20, No. 2, 281—289.
Шварц и Косарт (Schwarz W. H., Cosart W. P.).
The two-dimensional turbulent wall-jet. J. Fluid Meeh, 10 No 4 481—495.’* *
Шенерр (Schoenherr К. E.)
Resistance of flat surfaces moving through a fluid. Trans. Soc. Nav, Arch. Marine Eng., 40, 279—313.
Шенстед (Schensted I. V.)
Contributions to the Theory of Hydrodynamic Stability, Ph. D. Thesis, University of Michigan.
Шен (Shen S. F.)
Calculated amplified oscillations in plane Poiseulle flow and Blasius flows. J. Aeronaut. Sci., 21, No. 1, 62—64.
Stability of laminar flows. In: Theory of Laminar Flows (ed. by F. K. Moore). Princenton: Princeton Univ. Press, 719—853.
Шеппард (Sheppard P. A.)
The aerodynamic drag on the Earth’s surface and the value of von Karman’s constant in the lower layer. Proc. Roy. Soc., A188, No. 1013, 208—222.
Шервуд (Sherwood T. K.)
Heat transfer, mass transfer and fluid friction relationships in turbulent flow, Ind. Eng. Chern., 42, No. 10, 2077—2084.
Шиллер (Shiller L.)
Stromung in Rohren. Handbuch der Experimental Physik, 4, No. 4 (пер. на рус. яз.: Движение жидкостей в трубах. М.: ОНТИ, 1936).
Neue quantitative Versuche zur Turbulenzentstehung. Zs. angew. Math. Meeh., 14, No. 1, 36—48.
Шин, Ламли и Д ж e н и к a (Shin Т.-H., Lumley J. L., Janicka J.)
Second order modeling of variable-density mixing layer. J. Fluid Meeh., 180. 93—116.
Ш йота ни (Shiotani R.)
On the fluctuation of the temperature and turbulent structure near the ground. J. Met Soc. Japan, No. 3, 117—123.
The relationship between wind profiles and stabilities of the air layer in the outskirts of the city. J. Met. Soc. Japan, 40, No. 6, 315—329.
Шлихтинг Г. (Schlichting H.)
. Zur Entstehung der Turbulenz bei der Flattenstromung. Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-phys. KL, 610—198.
Berechnung der Anfachung kleiner Storungen bei der Plattenstromung. Zs. angew. Math. Meeh., 13, No. 3, 171—174.
Amplitudenverteilung und Energiebilanz der kleinen Storungen bei der Plattengrenzschicht Nachr. Ges. Wiss. Gottingen, Math.-phys. KL, 1, 47—48.
Turbulentz bei Warmeschichtung. Z. angew. Math. Meeh., 15, No. 6, 313—338.
Experimented Untersuchungen zum Rauhigkeitsproblem. Ing.-Arch., 7, No. 1, 1—34.
Возникновение турбулентности. M.: ИЛ.
Теория пограничного слоя. М.: Наука.
Шлютер, Лорц и Буссе (Schliiter A., Lortz D., Busse F. Н.)
On the stability of steady finite amplitude convection. J. Fluid Meeh., 23, No. 1, 129—144.
Шмидт (Schmidt W.)
Der Massenaustausch bei der ungeordneten Stromung in freier Luft und seine Folgen. Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien, Math.-nat. KL (2a), 126„ No. 6, 757—804.
Der Massenaustausch in freier Luft und verwandte Erscheinungen. Hamburg: Grand.
Шнек и В ер он и с (Schneck Р., Veronis G.)
Comparison of some recent experimental and numerical results in Benard convection. Phys. Fluids, 10, No. 5, 927—930.
Штерн В. H.
Устойчивость плоского течения Куэтта. Ж. приклад, мех. и техн, физ., № 5, 117—119.
Спектр малых возмущений плоского течения Куэтта. Ж. прикл. мех. и техн, физ., № 1, 189—190.
Шуба у эр и Клебанов (Schubauer G. В., Klebanoff Р. S.)
Contributions on the mechanics of boundary layer transition. Nat. Adv. Com. Aeronaut. Rep. No. 1289.
Шуба у эр и Скрэмстед (Schubauer G. В., Skramstad Н. К.)
Laminar boundary layer oscillations and stability of laminar flow. J. Aeronaut. Sci., 14, No. 2, 69—78.
Шубауэр и Чен (Schubauer G. В., Tchen С. M.)
Turbulent flow. В кн.: Turbulent Flow and Heat Transfer (ed. by С. C. Lin). Princeton: Univ. Press., 75—195 (пер. на рус. яз. в кн.: Турбулентные течения и теплопередача. М.: ИЛ, 1963, 83—205).
Шуберт и Кор кос (Schubert G., Corcos G. М.)
The dynamics of turbulence near a wall according to a linear model. J. Fluid Meeh., 29, No. 1, 113—135.
Шульц-Грунов (Sdhultz-Grunov F.)
Neues Reibungswiderstandgesetz fur glatte Flatten. Luftfahrtforsch., 17, No. 8, 239—246.
The stability of circular Couette flow with respect to two-dimensional perturbations. Fluid Dynamics Transactions, 3 (ed. by W. Fiszdon, P. Kucharczyk, W. J. Prosnak). Warszawa: Panstwowe wydawnictwo naukowe, 83—93.
Шуман (Schumann V.)
Realizability of Reynolds-stress turbulence model. Phys. Fluids, 20, No. 5, 721—725.
Щербаков Л. Ф.
Исследование некоторых способов характеристики турбулентного обмена на основе данных наблюдений в нижнем слое атмосферы. Труды ГГО, вып. 16 (78), 25—51.
Эйнштейн и Ли (Einstein Н. A., Li Н.)
The viscous sublayer along a smooth boundary. Proc. Amer. Soc. Civ. Engrs., Pap. 945.
Эйфель (Eiffel G.)
Sur la resistance des spheres dans Pair en mouvement. C. r. Acad. Sci., 155, 1597—1599.
Эккерт (Eckert E. R. G.)
Introduction to the Transfer of Heat and Mass. New York: Me. Graw- Hill (русск. перевод: Э. P. Эккерт. Введение в теорию тепло- и массо- обмена. М.—Л/. Госэнергоиздат, 1957).
Эккерт и Дрейк (Eckert Е. R. G., Drake R. М.)
Heat and Mass Transfer. New York: McGraw-Hill.
Экман (Eckman J.-P.)
Roads to turbulence in dissipative dynamical systems. Rev. Mod. Phys., 53, No. 4, 643—654.
Экман H. (Ekman V. W.)
On the change from steady to turbulent motion of liquids. Ark. Mat. Astron. Fys., 6, No. 12.
Э к x а у з (Eckhaus W.)
Studies in Non-linear Stability Theory. Berlin: Springer.
Элдер (Elder J. W.)
The dispersion of marked fluid in turbulent shear flow. J. Fluid Meeh., 5, No. 4, 544—560.
An experimental investigation of turbulence spots and breakdown to turbulence. J. Fluid Meeh., 9, No. 2, 235—249.
Элиас (Elias F.)
Die Warmetibertragung einer gehiezten Platte an stromende Luft. I. An- lage und Ergebnisse der Versuche. Zs. angew. Math. Meeh., 9, No. 6^ 434—465.
Элиассен, Холланд и Риис (Eliassen A., Holland Е., Riis Е.)
Two-dimensional perturbation of flow with constant shear of a stratified fluid. Publ. Inst. Weath. Clim. Res., Oslo, No. 1.
Эллингсен, Гьевик и Пальм (Ellingsen Т., Gjevik В., Palm Е.)
On the non-linear stability of plane Couette flow. J. Fluid Meeh., 40, No. 1, 97—112.
Эллиот (Elliot W. P.)
A comparision of some approaches to the diabatic wind profile. Trans. Amer. Geophys. Union, 38, No. 1, 21—24.
An hypothesis for the diabatic mixing length. J. Meteor., 17, No. 6, 680—681.
Эллисон (Ellison T. H.)
Atmospheric turbulence. In: Surveys in Mechanics (ed. by G. K. Batchelor and R. M. Davies). Cambridge: Univ. Press, 400—430.
Turbulent transfer of heat and momentum from an infinite rough plane. J. Fluid Meeh., 2, No. 5, 456—466.
A note on the velocity profile and longitudinal mixing in a broad open channel. J. Fluid Meeh., 8, No. 1, 33—40.
Эллисон и Тернер (Ellison T. H., Turner J. S.)
Mixing of dense fluid in a turbulent pipe flow. Parts 1—2. J. Fluid Meeh., 8, No. 4, 514—544.
Э л p и к (Elrick D. E.)
Source functions for diffusion in uniform shear flow. Australian J. Phys.,. 15, No. 3, 283—288.
Элрод (Elrod H. G.)
Note on the turbulent shear stress near a wall. J. Aeronaut. Set, 24, No. 6, 468—469 (см. также исправления к этой статье: J. Aeronaut. Sci., 27, No. 2, 145, 1960).
Эмис (Emeis S.)
Pressure drag and effective roughness length with neutral stratification. Boundary-Layer Meteor., 39, No. 4, 379—401.
Эндере к, Лю и Суинни (Andereck C. D., Liu S. S., Swinney H. L.)
Flow regimes in a circular Couette system with independently rotating cylinders. J. Fluid Meeh., 164, 155—183.
Эплер и Ф а з ел ь, ред. (Eppler R., Fasel H., eds.)
Laminar-turbulent Transition (Proc. Symp. in Stuttgart, Sept. 16—22,.
. Berlin—Heidelberg—New York: Springer.
Эплби и Омстед (Appleby J. F., Ohmstede W. D.)
Numerical solution of the distribution of wind and turbulence in the- planetary boundary layer. Proc. Army Sci. Conf. 1964, 1, Washington (D.C.), 85—99.
Эскудиер и Ни ко л л (Escudier М. Р., Nicoll W. В.)
The entrainment function in turbulent boundary layer and wall-jet calculations. J. Fluid Meeh., 25, No. 2, 337—366.
Эш (Esch R. E.).
The instability of shear layer between two parallel streams. J. Fluid Meeh., 3, No. 3, 289—303.
Э ш п и с и P e ш о т к о (Aspis D. E., Reshotko E.)
The vibrating ribbon problem revisited. J. Fluid Meeh., 213, 531—547.
Ю и Сен (lu, I.-S., Sen D. D.)...
Stability of viscous flow between two rotating coaxial cylinders. J. Frankin. Inst., 277, No. 2, 140—149.
Юдин M. И. и Ш в e ц M. E.
689-689-Стационарная модель распределения ветра с высотой в турбулентной атмосфере. Труды ГГО, вып. 31, 42—52.
689-
689-
44 Заказ № 303
Юдович В. И.
. Об устойчивости стационарных течений вязкой несжимаемой жидкости. Докл. АН СССР, 161, № 5, 1037—1040.
Пример рождения вторичного стационарного или периодического течения при потере устойчивости ламинарного течения вязкой несжимаемой жидкости. Прикл. матем. и механ., 29, № 3, 453—467.
Вторичные течения и неустойчивость жидкости между вращающимися цилиндрами. Прикл. матем. и механ., 30, № 4, 688—698.
О возникновении конвекции. Прикл. матем. и механ., 30, К<> 6 1000—1005.
Свободная конвекция и ветвление. Прикл. матем. и мех., 31, К<> 1, 101—111.
Устойчивость конвективных потоков. Прикл. матем. и мех., 31, № 2, 272—281.
Пример потери устойчивости и рождения вторичного течения жидкости в замкнутом сосуде. Матем. сборник, 74, № 4, 565—579.
Метод линеаризации в гидродинамической теории устойчивости. Ростов-на-Дону: Изд-во Ростовск. унив.
Я гл ом А. М. (Yaglom А. М.)
Однородная и изотропная турбулентность в вязкой и сжимаемой жидкости. Изв. АН СССР, сер. географ, и геофиз., 12, № 6, 501—522.
Введение в теорию стационарных случайных функций. Успехи матем. наук, 7, № 5 (51), 3—168.
Некоторые классы случайных полей в n-мерном пространстве, родственные стационарным случайным процессам. Теор. вероятн. и ее применение, 2, № 3, 292—337.
Лагранжевы характеристики турбулентности в термически стратифицированном приземном слое и в конвективных струях. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 1, № 2, 157—166.
Horizontal turbulent transport of heat in the atmosphere and the form of the eddy diffusivity tensor. Fluid Dyn. Trans., 4, 801—812.
О турбулентной диффузии в приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 8, № 6, 579—593.
. Данные о характеристиках турбулентности в приземном слое атмосферы. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 10, № 6, 566—586.
Диффузия примеси от мгновенного точечного источника в турбулентном пограничном слое. В кн.: Турбулентные течения. М.: Наука, 62—74.
Об уравнениях с зависящими от времени коэффициентами, описывающих диффузию в стационарном приземном слое воздуха. Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 11, № 11, 1120—1128.
Semi-empirical equations of turbulent diffusion in boundary layers. Fluid Dyn. Trans., 7, pt. II, 99—144.
Comments on wind and temperature flux-profile relationships. Boundary- Layer Meteor., 11, No. 1, 89—102.
Similarity laws for constant-pressure and pressure-gradient turbulent wall flows. Ann. Rev. Fluid Meeh., 11, 505—540.
Корреляционная теория стационарных случайных функций. Л.: Гид- рометеоиздат.
Correlation Theory of Stationary and Related Random Functions. Vols. I and II. New York: Springer.
Яглом A. M. и Кадер Б. A. (Yaglom A. M., Kader B. A.)
Heat and mass transfer between a rough wall and turbulent fluid flow at high Reynolds and Peclet numbers. J. Fluid Meeh., 62, No. 3, 601—623.
Ямада (Yamada H.)
On the stability to long waves of two-dimensional laminar jet. Repts. Res. Inst. Appl. Meeh., 12, No. 43, 1—15.
Ямамото (Yamamoto G.)
Theory of turbulent transfer in non-neutral conditions. J. Met. Soc. Japan, 37, No. 2, 60—69.
Ямамото и Кондо (Yamamoto G., Kondo J.)
1959. Effect of surface reflectivity for ilong wave radiation on temperature profiles near the bare soil surface. Sci. Reports Tohoku Univ., ser. V., Geophysics, 11, No. 1, 1—9.
Ямамото и Шимануки (Yamamoto G., Shimanuki A.)
Numerical solution of the equation of atmospheric turbulent diffusion. Sci. Rep. Tohoku Univ., ser. V, Geophys., 12, No. 1, 24—35.
The determination of lateral diffusivity in diabatic conditions near the- ground from diffusion experiments, J. Atmos. Sci., 21, No. 2, 187—196. Янг и Бенни (Jang P. S., Benney D. J.)
On the origin of streamwise vortices in a turbulent boundary layer. J. Fluid Meeh., 169, 109—123.
Ясуда (Yasuda H.)
Longitudinal dispersion of matter due to the shear effect of steady and oscillatory currents. J. Fluid Meeh., 148, 383—403.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 3
Введение 6
Ламинарные и турбулентные движения
Глава 1. Уравнения динамики жидкости и их основные следствия . . .27
Система уравнений динамики несжимаемой жидкости . . . .—
Простейшие течения несжимаемой жидкости 30
Число Рейнольдса и критерий подобия 36
Течения с большими числами Рейнольдса; пограничный слой .38
Уравнение притока тепла и уравнение теплопроводности; вынужденная и свободная конвекция 48
Критерии подобия для температурно-неоднородной жидкости; температурный пограничный слой 53
Малые колебания сжимаемой жидкости 58
Глава 2. Гидродинамическая неустойчивость и возникновение турбулентности 64
Эмпирические данные о возникновении турбулентности в трубах и в пограничном слое —
Отрыв пограничного слоя, кризис сопротивления и механизм
турбулизации пограничного слоя 70
Неустойчивость течений идеальной жидкости 79
Бароклинная неустойчивость 88
Бифуркации 95
Неустойчивость течений вязкой жидкости 100
Стохастичность 124
Сценарии стохастизации 130
Круговое течение Куэтта и конвекция в слое жидкости . . .139
Начала теории когерентных структур 155
Фрактальность турбулентности 161
11. Математические методы описания турбулентности, средние значения и корреляционные функции
Глава 3. Методы осреднения. Поля гидродинамических характеристик х как случайные поля 166
Практические методы осреднения и условия Рейнольдса . .—
Случайные поля гидродинамических величин и вероятностное осреднение 169
Понятие об эргодичности. Статистическая формулировка основной задачи теории турбулентности 174
Характеристические функции и характеристический функцио
нал 177
Глава 4. Моменты гидродинамических полей. Стационарные случайные процессы и однородные поля 181
Моменты и семиинварианты случайных величин —
Моменты и семиинварианты случайных полей 184
Случайные поля с нормальными распределениями вероятности (гауссовские поля) 188
Определение моментов и семиинвариантов случайного поля по его характеристическому функционалу 192
Стационарные случайные процессы и однородные случайные поля 197
Эргодическаятеория 202
Глава 5. Спектральные разложения стационарных процессов и однородных полей 207
Спектральноеразложениестационарныхпроцессов—
Спектральноеразложениеоднородныхполей 216
Частные производные однородных полей. Дивергенция и вихрь векторного поля 219
Турбулентные сдвиговые теченияи полуэмпирические теории турбулентности
Глава 6. Основные классы турбулентных сдвиговых течений 224
Уравнения Рейнольдса —
Общий вид профиля средней скорости течения около стенки 230
Течение около гладкой стенки; вязкий подслой и логарифмический пограничный слой 233
Влияние неровностей стенок; параметр шероховатости и высота вытеснения 245
Турбулентные течения в плоских каналах и круглых трубах. Законы сопротивления 259
Турбулентный пограничный слой на плоской пластинке . . .273
Профили концентрации пассивной примеси около стенки, тепло- и массоперенос в турбулентном пограничном слое 287
Свободная турбулентность 306
Замыкания первого порядка . . . 319
Глава 7. Уравнения для вторых моментов 328
Уравнения для напряжений Рейнольдса —
Уравнение для турбулентной энергии 337
Коэффициенты турбулентной вязкости итеплопроводности.343
Бюджет турбулентной энергии и сжимаемойжидкости...349
Число Ричардсона и коэффициент турбулентной вязкости в температурно-стратифицированной среде 353
Турбулентность в планетарном пограничном слое атмосферы 359
Распределение взвешенных частиц в турбулентном течении .365
Турбулентность в стратифицированной среде
Глава 8. Обобщение теории логарифмического пограничного слоя на случай стратифицированной среды 370
Турбулентный пограничный слой в температурно-стратифицированной среде как модель приземного слоя атмосферы . .—
Применение соображений размерности к турбулентности в стратифицированной среде 377
Общий вид универсальных функций, описывающих турбулентный режим в стратифицированной среде 381
Дальнейшие соображения о виде универсальных функций;
интерполяционные и полуэмпирические формулы 396
Общая формулировка гипотезы подобия для турбулентного режима в приземном слое атмосферы и ее применение к исследованию пульсаций метеорологических полей 409
Вертикальная тонкослойная микроструктура 420
Стратифицированные пограничные слои 427
Глава 9. Сопоставление выводов теории с данными измерений . . . .436
Профили скорости ветра в приземном слое атмосферы . . .—
Данные о профилях температуры и влажности 455
Определение турбулентных потоков по данным о профилях метеорологических величин 471
Пульсации скорости ветра и температуры в приземном слое атмосферы 476
V. Движение частиц в поле турбулентности
Глава 10. Лагранжево описание турбулентности 483
Уравнения гидродинамики несжимаемой вязкой жидкости в переменных Лагранжа —
Лагранжевы статистические характеристики турбулентности .489*
Характеристики смещения фиксированной жидкой частицы в случае однородной турбулентности 493
Смещение жидких частиц в турбулентности за решеткой и в турбулентных течениях со сдвигом скорости 4991
Лагранжева корреляционная функция скорости и ее связь с эйлеровыми статистическими характеристиками 516
Глава 11. Турбулентная диффузия 523
Постановка задачи об описании турбулентной диффузии . .—
Взаимодействие между молекулярной и турбулентной диффузией 533
Полуэмпирическое уравнение турбулентной диффузии . . . .543
Диффузия в поле однородной турбулентности и в поле простейших течений со сдвигом 549’
Диффузия в приземном слое воздуха 568
Диффузия с конечной скоростью 604
Список литературы 618
Монография
Монин Андрей СергеевичЯглом Акива Моисеевич
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ГИДРОМЕХАНИКА
Том 1
Редактор О. В. Лапина. Художник Г. Б. Бурмистров. Художественный редакторБ. А- Бураков. Технический редактор Н. Ф. Грачева. Корректор И. Б. Михайлова.
И Б № 1634—1637
•Сдано в набор 2 4.12.91. Подписано в печать 18.06.92. Формат 60X 90V16. Бумага офсетная.
Гарнитура литературная. Печать высокая. Печ. л. 43,5. Кр-отт. 43,5. Уч.-изд. л. 52,23.
Тираж 1000 экз. Индекс МОЛ-126. Заказ № 303.
Гидрометеоиздат, 199397. Санкт-Петербург, ул. Беринга, д. 38.
Типография № 8 ордена Трудового Красного Знамени ГПО «Техническая книга» Мин-информпечати РФ.
190000 г. Санкт-Петербург. Прачечный переулок, 6.
* Толщина 6 пограничного слоя является условным понятием, так как пограничный слой не имеет четкой границы, и скорость и лишь асимптотически стремится к U при удалении от пластинки по направлению Ох. Поэтому под 6 следует понимать расстояние от пластинки по направлению Ох, на котором скорость достигает определенной, достаточно большой доли от U, например становится равной 0,99 U (такое определение 6 часто используется в гидромеханике). Существуют также и другие определения толщины пограничного слоя, имеющие несколько менее формальный характер (но приводящие практически, к эквивалентным результатам); об этом см. замечание в конце этого параграфа.
В п. 2.8—2.9 обсуждались пути возникновения хаоса при эволюции динамических систем, описываемых функциями от времени (непрерывного или дискретного — первый случай сводится ко второму, если вместо всего фазового потока рассматривать создаваемое им отображение последования Пуанкаре некоторого трансверсального подмножества фазового пространства). В течениях жидкостей и газов такими функциями от времени являются значения их термогидродинамических характеристик в той или иной фиксированной точке пространства. Однако течения обладают также и пространственной структурой, которая у ламинарных течений упорядочена, а у турбулентных — хаотична, и возникновение хаотической эволюции во времени еще не означает возникновения пространственного хаоса, т. е. перехода к турбулентности. Так, например, стохастизация течения Лоренца, описываемого динамической системой (2.114), не меняет его упорядоченной пространственной структуры — конвективных роликов (2.113).
Ясно, что описание стохастизации пространственной структуры течений аналитически более сложно — оно требует расчета функ
ций не только от времени, но и от пространственных координат.
При этом появляется новое качество: в пространственном хаосе,
* Здесь рассматриваются лишь однородные поля w(x) в трехмерном пространстве, так как изменения, возникающие при рассмотрении случайных полей на плоскости, являются совершенно очевидными. Кроме того, величина [w(x)]2 всегда будет называться энергией, хотя в приложениях ее физический смысл будет зависеть от того, о каком конкретном поле w(x) идет речь.
* Подробнее о гипотезе Тэйлора будет идти речь в томе 2 этой книги. Ссылки на ряд работ, посвященных уточнению гипотезы Тэйлора, можно найти у Кадера и Яглома (1980), с. 110.
(1 — А2) (1 - Rf) Т=[Т-А (1 - Во • Rf)]2;
22
Д _ ^х0ат0 . о 1 .2. «оао
* Можно показать, что при п ^ 2 уравнение (11.76) не имеет решения, обращающегося в 6(2—Я) при t^t0. В метеорологических приложениях всегда л < 2.
А.С.МОНИН, А.М.ЯГЛОМ
СТАТИСТИЧЕСКАЯГИДРОМЕХАНИКА
ТЕОРИЯ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
ТОМ 1
САНКТ-ПЕТЕРБУРГ
ГИДРОМЕТЕОИЗДАТ 1992
УДК 532.507
Книга посвящена систематическому изложению основ механики турбулентных течений жидкостей и газов, являющейся важнейшей частью современной гидромеханики. По сравнению с первым изданием книги, вышедшим в 1965— 1967 гг., настоящее второе издание существенно модернизировано и дополнено.
Книга издается в двух томах. Первый том содержит современное изложение вопроса о гидродинамической неустойчивости и переходе к турбулентности, а также описание основных положений теории турбулентных течений в трубах, каналах и пограничных слоях. Специальные разделы здесь посвящены играющим очень большую роль в метеорологии и океанологии турбулентным течениям в термически стратифицированной среде, а также важной для экологии теории распространения примесей в турбулентных течениях.
Книга рассчитана на студентов, аспирантов и научных работников в области общей, технической и геофизической гидродинамики, метеорологии, гидрологии, океанологии, климатологии и планетологии.
The book „Statistical fluid mechanics: Mechanics of turbulnce“ by A. S. Monin, A. M. Yaglom contains a systematic exposition of basic results from mechanics of turbulent liquid and gas flows which is the main part of modren fluid mechanics (since most of fluid flows are turbulent). In comparison with the first edition published by Nauka Press in 1965—1967 the present second edition is considerubly updated, augmented and revised. The book consists of two volumes. The present vol. 1 includes the modren presentation of the problem of hydrodynamic instability and transition to turbulence. The main theoretical and experimental results related to turbulent flows in circular tubes, plane channels and boundary layers on plates are described in detail. Special chapters are devoted to turbulent flows in thermally stratified media playing on great role in meteorology and oceanology and also to the theory of turbulent diffusion very important for ecology.
The book is designed for undergraduate and graduate students of general, technical or geophysical fluid mechanics, hydrometeorology, oceanology, climatology or planetology and for researchers and practical workers dealing with these fields.
© А. С. Монин, A. M. Яглом, 1992.© А. С. Монин, A. M. Яглом, 1992.1805040400-075
© А. С. Монин, A. M. Яглом, 1992.
© А. С. Монин, A. M. Яглом, 1992.
M 069(02)-92
ISBN 5—286—00857—7