ПРЕДИСЛОВИЕ

Интерес к изучению гиперзвуковых течений газа, т. е. течений со скоростями, много превосходящими скорость звука, обусловлен прежде всего развитием авиационной, ракетной и космической техники.

Физико-химические процессы в газе, сопутствующие движению тел в атмосфере Земли или других планет с гиперзвуковыми скоростями, осложняют картину течения, и учитывать их в теоретических исследованиях и при решении практических задач становится все более необходимым. Поэтому в книге приведен вывод уравнений, описывающих поведение несовершенных газов при высоких температурах, ограниченный рамками термодинамики с целью дать общее представление о структуре физических соотношений, замыкающих основную систему уравнений газовой динамики.

В книге изложены общие газодинамические вопросы теории равновесных или неравновесных течений газа. Равновесные физико-химические процессы обычно не вносят в газодинамические задачи новых по сравнению с совершенным газом качественных эффектов физического и математического характера, а неравновесные течения (или течения релаксирующего газа) часто обладают определенной спецификой, описываются более сложной системой уравнений и требуют специальных исследований.

Однако, несмотря на все многообразие реальных эффектов, невязкие гиперзвуковые течения имеют ряд общих газодинамических свойств, что позволяет использовать при их исследовании единую методику или упрощенные схемы течения, лежащие в основе гиперзвуковой теории.

В методическом плане для гиперзвуковой теории характерен асимптотический анализ, т. е. исследование определенных предельных режимов течения (предельно большая скорость обтекания, предельно тонкие тела, предельно сильные ударные волны и др.), если они правильно отражают свойства течений в реальном диапазоне условий обтекания или форм тел. Проявление этих асимптотических свойств и определяет, как правило, весьма условную границу между гиперзвуковой и сверхзвуковой газовой динамикой.

Кроме общей теории книга содержит ряд конкретных задач, связанных в основном с хорошо исследованными течениями около плоских и осесимметричных тел. Рассмотрены некоторые про-

странственные течения, которые, хотя и менее изучены, должны привлечь внимание будущих исследователей.

С развитием вычислительной математики и техники стали простыми многие ранее неразрешимые задачи газовой динамики. В связи с этим автор стремился избегать громоздких приближенных методов, хотя и эффективных в прошлом, ставя основной задачей на простых допускающих аналитическую обработку примерах или с помощью законов подобия дать представление об общей картине и особенностях гиперзвукового (а часто и умеренно сверхзвукового) обтекания основных классов тел и о влиянии на это обтекание реальных свойств газа. Для иллюстрации положений гиперзвуковой теории широко использованы результаты точных численных решений или экспериментов.

При написании книги и подготовке ее к изданию большую помощь автору оказал научный редактор книги Б. А. Землянский. Полезные замечания и советы были даны рецензентами книги Г. Г. Черным, Н. Ф. Красновым, В. Н. Кошевым, а также В. Н. Архиповым, В. Г. Воронкиным, А. А. Гонором, Ю. А. Демьяновым, В. В. Знаменским, А. Н. Крайко, В. В. Михайловым, И. Н. Мурзиновым, В. П. Стуловым, В. В. Сычевым, Г. Н. Степановым, прочитавшим в рукописи отдельные разделы. Всем им автор приносит свою искреннюю благодарность.

Все замечания и пожелания следует направлять по адресу: Москва, Б-78, 1-й Басманный пер., д. 3, издательство «Машиностроение».

ЧАСТЬ I

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГИПЕРЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ РЕАЛЬНОГО ГАЗА

Глава 1

-ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА НЕСОВЕРШЕННЫХ ГАЗОВ.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Физические процессы в газе при гиперзвуковых скоростях полета1

При полетах в атмосфере Земли или других планет с гиперзвуковыми скоростями температура газа около тела может быть очень высокой, в чем легко убедиться из известной формулы для температуры в точке торможения в совершенном газе

Г0 = Гоо+-^ = Гоо 1 + ^М •(1.1.1)

Для холодного воздуха ср = 0,24 кал/г-град^1 Дж/(г-К)~ «1000 м2/(с2-град).

Для атмосферы Земли примерное распределение параметров по высоте Н показано на рис. 1.1. Температура воздуха и скорость звука изменяются сравнительно слабо. Давление же и плотность быстро падают с увеличением высоты. Для покоящейся атмосферы dp ——QgdH, где ^^9,8 м/с2. Отсюда для изотермической атмосферы (при постоянном отношении р/р) получим формулу

Pa QaР /

Для реальной атмосферы Земли эта формула правильно отражает порядок величин при 0 = 0,142 км-1, как показано на рис. 1.1.

Холодный воздух является в основном смесью двухатомных газов кислорода (21% от общего числа молекул) и азота (78%) с молекулярными весами соответственно ^о2 =32 и ^n2=28c незначительной (около 1%) примесью аргона с цаг = 40.

Подробное описание этих процессов дано в книгах [4, 12, 30, 32, 41] « up.

При низких температурах 7^500 К (в аэродинамике умеренных сверхзвуковых скоростей) воздух можно считать совершенным двухатомным газом, т. е. газом с постоянными молекулярным весом р^29, теплоемкостями и показателем адиабаты у =1,405.

Рис. 1.1. Распределение параметров в атмосфере

Земли:

7~lgpa/p; 2-lgQa/Q; 3-(р/ра) е^; 4-(c/Qa) е^77;

ра, Qa—наземные давление и плотность; 0=0,142 км-1

С увеличением температуры в молекулах воздуха возбуждаются колебательные степени свободы, что приводит к увеличению теплоемкостей (рис. 1.2). При 7^2000 К молекулярный кислород начинает распадаться (диссоциировать) на атомарный, а при 7^4000 К начинает диссоциировать азот. С дальнейшим увеличением температуры торможения до 7000—10 000 К начинается процесс ионизации с образованием свободных электронов.

Существенным обстоятельством является большая энергоемкость указанных процессов. На рис. 1.3 показана доля кинетической энергии набегающего потока, затраченная на реализацию физико-химических процессов в точке торможения потока при обтекании тупого тела. Как видно, энергия колебаний молекул сравнительно невелика, но диссоциация и ионизация газа поглощают до 75% энергии потока.

Эти эффекты делают неприменимыми многие результаты газовой динамики совершенного газа. Так, при скорости полета Uoo= 104-15 км/с температура воздуха в точке торможения может быть в 5—10 раз меньше температуры, определяемой формулой (1.1.1). В сущности, диапазоном небольших температур (со-

Др^С^ Дж;г- градЬЛжДДр^С^ Дж;г- градЬЛжДРис. 1.2. Зависимость удельных теплоемкостей и энтальпии (для воздуха) от температуры Т для различных давлений р=10п ат (1,01 X Х10п—1 МН/м2). Шкала чисел Моо связана с 7 условиями в точке торможения при наземном полетеРис. 1.2. Зависимость удельных теплоемкостей и энтальпии (для воздуха) от температуры Т для различных давлений р=10п ат (1,01 X Х10п—1 МН/м2). Шкала чисел Моо связана с 7 условиями в точке торможения при наземном полетеРис. 1.3. Отношения удельных энергий колебаний (/), .диссоциации (/7), иониза ции (///) и суммы последних (/V) к величине 72^ для высот полета 4'3 и 80 км; пунктир — относительная энергия колебаний при отсутствии диссоциацииРис. 1.3. Отношения удельных энергий колебаний (/), .диссоциации (/7), иониза ции (///) и суммы последних (/V) к величине 72^ для высот полета 4'3 и 80 км; пунктир — относительная энергия колебаний при отсутствии диссоциации

Др^С^ Дж;г- градЬЛжД

Др^С^ Дж;г- градЬЛжД

Рис. 1.2. Зависимость удельных теплоемкостей и энтальпии (для воздуха) от температуры Т для различных давлений р=10п ат (1,01 X Х10п—1 МН/м2). Шкала чисел Моо связана с 7 условиями в точке торможения при наземном полете

Рис. 1.2. Зависимость удельных теплоемкостей и энтальпии (для воздуха) от температуры Т для различных давлений р=10п ат (1,01 X Х10п—1 МН/м2). Шкала чисел Моо связана с 7 условиями в точке торможения при наземном полете

Рис. 1.3. Отношения удельных энергий колебаний (/), .диссоциации (/7), иониза ции (///) и суммы последних (/V) к величине 72^ для высот полета 4'3 и 80 км; пунктир — относительная энергия колебаний при отсутствии диссоциации

Рис. 1.3. Отношения удельных энергий колебаний (/), .диссоциации (/7), иониза ции (///) и суммы последних (/V) к величине 72^ для высот полета 4'3 и 80 км; пунктир — относительная энергия колебаний при отсутствии диссоциации

ответствующих наземным полетным числам Моо = 34-5 (см. рис. 1.2)) с постоянными теплоемкостями применение модели совершенного газа ограничено. Но этот предел может быть значительно расширен в зависимости от формы тела (например, для тел заостренной формы) и желаемой точности основных характеристик обтекания и может быть установлен лишь путем анализа конкретных течений. В аэродинамических трубах с невысокими температурами торможения модель совершенного газа может быть пригодна и для достаточно больших чисел Моо.

При заданной скорости полета в зависимости от соотношения скоростей протекания физико-химических и газодинамических процессов могут реализоваться различные типы течений. Если реакции идут значительно быстрей, чем меняется термодинамическое состояние частицы, то в каждой точке потока состав и вообще состояние газа можно считать равновесным, соответствующим бесконечно долгому пребыванию при

местных температуре и давлении. Такие течения называют равновесными. В другом предельном случае физико-химические процессы не успеют даже начаться, как газовая частица уже покидает данную область течения, так что состав газа в ней остается неизменным. Такие течения называют «замороженными». И, наконец, существует обширная промежуточная область неравновесных течений.

Рис. 1.4. Примерные границы влияния различных физических процессов для сферы радиусом 1 м (сплошные линии) при полете в атмосфере Земли; пунктир относится к боковой поверхности конуса со сферическим носком тех же размеров и половиной угла' при вершине 9S=7°; область применимости результатов заштрихована

Скорость протекания физико-химических процессов, как правило, возрастает вместе с плотностью газа. Поэтому равновесные режимы течений имеют место при полетах на небольшой высоте (для тел нормальных размеров при //<30 км), замороженные — на очень больших высотах (Н >80 км). Примерное представление об областях влияния различных физическихпро- цессов дает диаграмма рис. 1.4, построенная для лобовой части тупого тела размером L=1 м. Режим течения зависит от формы обтекаемого тела, так как она оказывает влияние на поле давлений, температур и скоростей. Для примера на рис. 1.4 пунктиром показана примерная граница применения равновесной теории для тонких притупленных конусов. Эта линия проходит значительно ниже, чем для лобовой части сферы.

И, наконец, отметим еще два существенных физических эффекта, учет которых, однако, выходит за рамки нашей книги. С увеличением температуры газ начинает излучать значительное количество энергии. При больших скоростях полета энергия, из-

лученная газовой частицей за время прохождения около тела, может быть сравнима с собственной энергией, и течение газа становится существенно неадиабатичным.

При полетах на больших высотах существенным может оказаться также влияние вязкости, которое, как известно, определяется числом Рейнольдса Re = L(7/v, где v — кинематическая вязкость. При очень больших числах Рейнольдса влияние вязкости сосредоточено лишь в узких, толщиной порядка LRe-1/2, пристеночных пограничных слоях (кроме особых случаев возникновения зон отрыва). Однако при больших высотах полета влияние вязкости может быть заметным во всей возмущенной •области течения, и тогда теория невязкого течения становится неприменимой. Примерные области влияния излучения и вязкости на обтекание тел также показаны на диаграмме рис. 1.4.

Физическая модель течения неравновесных смесей газов

Сформулируем основы феноменологической теории невязкого течения неравновесных смесей газов, последовательно (по мере необходимости) вводя гипотезы и допущения о физических свойствах рассматриваемой среды.

Дифференциальные уравнения, описывающие движение газа, обычно выводят из законов сохранения для малых жидких частиц и занимаемых ими объемов, масштаб которых много меньше характерного масштаба течения в целом. При этом жидкая или газовая среда предполагается однофазной сплошной с непрерывным и достаточно гладким распределением давления р, плотности р, скорости U и других макроскопических параметров течения в окрестности рассматриваемой точки.

Закон-сохранения массы при отсутствии источников приводит & известному уравнению неразрывности

^+q div £7=-^- +dive £7=0. (1.2.1)

Здесь djdt — полная производная по времени, характеризующая изменение величины в фиксированной движущейся газовой частице.

Закон сохранения количества движения требует определения характера действующих в газе сил. В невязкой жидкости или газе на каждую элементарную площадку действует лишь нормальная сила давления, не зависящая от ориентации площадки. Поскольку любой газ обладает вязкостью, то такая схема применима лишь для течений с достаточно малыми градиентами величин, а точнее, при достаточно больших числах Рейнольдса (вне тонких пограничных слоев на стенках или контактных разрывах, или вне отрывных зон).

Закон сохранения количества движения для элементарного

жидкого объема невязкой жидкости при отсутствии массовых сил приводит к уравнению

9-^-=—grad/?.(1.2.2)

a t

И, наконец, закон сохранения энергии для элементарной жидкой частицы в связанной с ней системе координат, достаточно малой для того, чтобы кинетической энергией движения ее частей относительно ее центра масс можно было пренебречь, приводит к 1-му началу или закону термодинамики. Если dq — внешний приток тепла в частицу с единичной массой, a dA— затраченная ею работа над внешней средой, то этот закон имеет вид

dq=de-ydA,

где е — удельная (на единицу массы) внутренняя энергия газа. В невязком газе элементарная работа сил давления dA = pd\fpy и 1-е начало термодинамики принимает вид (A = ^+^/q — удельная энтальпия газа)

dq = de-\- pd — = dh — — dp.(1. 2. 3)

Полагая dq = O, получим дифференциальное уравнение адиабатического процесса (адиабаты)

—4-^ — —=0, — = —^-.(1.2.4)

dt dt q dt Q dt

Дифференциальные уравнения Эйлера (1.2.1) — (1.2.2) и энергии (1.2.3) нельзя использовать при внезапном изменении состояния газа, например, при переходе через скачок уплотнения, когда необходимо использовать законы сохранения в конечных приращениях (см. гл. 2).

Все эти уравнения получены лишь в предположении сплошности среды и отсутствия внутреннего трения и не зависят от других свойств газа. Число этих уравнений на единицу меньше числа неизвестных, поэтому, чтобы замкнуть их, необходимо еще задать связь между плотностью, давлением и энергией (энтальпией). Эта связь проста лишь для несжимаемой р = const или, в крайнем случае, баротропной р = р(р) жидкости. В общем же случае плотность (и другие величины) зависит еще от температуры Т и совокупности некоторых других параметров qn (например, состава газа), поэтому соответствующие зависимости должны иметь вид

Q = Q^p, Т, qv q2,...) = Q(p, Т, qn\(1. 2. 5)

е = е\р,Т, q^ или h = HP' Т, q^.

Эти соотношения должны быть дополнены уравнениями для определения параметров ^п. Из термодинамики известно, что для равновесных состояний (т. е. предельных состояний изолированной системы, в которых она может пребывать бесконечно долго) эти уравнения имеют алгебраическую форму

f^T, 7„)=0. (1.2.6)

Число их равно числу параметров q^ что позволяет выразить все термодинамические параметры через давление и температуру (или два других независимых параметра).

Для неравновесных физико-химических процессов уравнения (1.2.6), или часть их, неприменимы. В этом случае изменение параметров qn во времени определяется уравнениями химической кинетики или релаксации типа (см. § 3.7)

^^(аЛ^, Ч1...^Др,Т, ЯЛ (1-2.7) at

которые и замыкают задачу.

Как видно, феноменологическая теория предполагает использовать для описания указанных выше физических зависимостей и процессов давление и температуру в качестве основных характеристик состояния газа. Эти понятия вводятся в термодинамике строго лишь для равновесных состояний, или равновесных (точнее, квазиравновесных) процессов, образуемых обратимой последовательностью бесконечно медленно сменяемых равновесных состояний. Следовательно, феноменологическая теория применима лишь для достаточно медленных газодинамических и физико-химических процессов.

Эти рассуждения дают представление о характере теории, но нуждаются, конечно, в обоснованных пояснениях для каждого конкретного случая, что и сделаем ниже, формулируя термодинамическую модель газовых смесей для диапазона условий, достаточного для современной аэродинамики.

Эта модель является следствием исследований по физике газов в рамках квантовой механики, статической физики и кинетической теории газов и основана на следующих фактах.

При тех плотностях газа, с которыми приходится иметь дело в аэродинамике, воздух, углекислый газ и другие газы можно считать идеальными газами, в которых атомы, молекулы и другие частицы взаимодействуют лишь в относительно короткие промежутки времени их непосредственного столкновения. Известно, что для установления равновесного максвелловского распределения частиц по скоростям их поступательного движе-

ния достаточно всего несколько соударений. Поэтому время? установления такого равновесия (время релаксации) обычно- столь мало, что при обтекании тел нормальных размеров в достаточно плотном газе гипотеза о равновесии поступательных, степеней свободы для каждого элементарного газового объема (малого по сравнению с характерным масштабом течения, но большего по сравнению с длиной свободного пробега) является хорошим приближением к действительности.

В этом случае средняя энергия, приходящаяся на любую поступательную степень свободы, одинакова (принцип равномерного распределения энергии) и равна £7/2 для частиц любого вида, где к — постоянная Больцмана, а Т — термодинамическая температура, т. е. температура термометра, находящегося в тепловом равновесии с газом. Импульс, переносимый частицами через элементарную площадку, также оказывается независящим от ее ориентации. Поэтому единственным внутренним напряжением в газе оказывается гидростатическое давление р.

Колебательные, электронные уровни атомов, молекул, ионов образуют группу внутренних степеней свободы. Энергия их возбуждения и энергия химических реакций и ионизации частиц, обычно велики, поэтому возбуждаются и реагируют прежде всего «быстрые» молекулы за счет потери части энергии поступательных степеней свободы, что, естественно, постоянно нарушает максвелловское распределение. Однако время протекания этих процессов обычно на несколько порядков превосходит время установления максвелловского распределения, которое таким образом непрерывно восстанавливается (с изменением температуры Т). *

Строго говоря, вращательные степени свободы молекул ведут себя аналогично внутренним, однако для их возбуждения требуется немного столкновений и их можно считать полностью возбужденными и применить к ним принцип равномерного распределения энергии. Поэтому в дальнейшем объединим вращательные и поступательные степени свободы и назовем их внешними.

Таким образом, физико-химические процессы в газе протекают как бы на фоне равновесия поступательных степеней свободы, что дает возможность ввести обычные, термодинамические понятия давления и температуры как основные характеристики состояния газа, которые только и характеризуют в такой постановке хаотическое поступательное движение частиц и зависящие от него величины и процессы.

Конечно, принцип равномерного распределения энергии, позволяющий ввести единую температуру для всех частиц, не универсален и может нарушаться, например, в очень быстрых газодинамических процессах, при большом различии молекулярных весов частиц (смесь ионов и электронов, например) или при достаточно высоких скоростях физико-химических превращений компонент определенного вида (например, при температурах в

несколько десятков тысяч градусов). В этом случае отдельным видам частиц следует отнести свою температуру (если это вообще окажется возможным), но мы такие ситуации рассматривать не будем.

Основанная на пп. 1, 2 модель течения имеет и более глубокие физические следствия. Для газовой смеси как термодинамической системы перечисленные выше физические процессы эквивалентны поступлению одних или исчезновению других частиц (другого вида или с другим возбуждением) с одновременным подводом или поглощением энергии. Но из-за малой скорости таких процессов массо- и энергообмена их можно считать обратимыми, а каждую компоненту смеси (группу частиц одного вида) или даже каждую внутреннюю степень свободы можно считать локально-равновесной термодинамической подсистемой, но уже не замкнутой, а с переменной массой или энергией и находящейся в процессе бесконечно медленного обмена энергией с другими подсистемами Ч С точки зрения термодинамики каждая внутренняя степень свободы характеризуется лишь энергией, затраченной на ее возбуждение, или температурой, равной температуре газа, при которой местное значение энергии данной внутренней степени свободы будет равновесным.

Часто оказывается, что равновесие устанавливается быстрее внутри одной родственной группы внутренних степеней свободы (например, колебательные уровни молекул одного вида). Тогда эту группу можно считать одной степенью свободы с одной определяющей энергией или температурой.

Таким образом, неравновесный в целом процесс сводится к более простой феноменологической схеме, а именно: к совокупности равновесных процессов в отдельных термодинамических подсистемах с привлечением уравнений, регулирующих массообмен незамкнутых подсистем и приток энергии в каждую из них, т. е. уравнений релаксации и химической кинетики типа (1.2.7) или других. Отличие от случаев полного термодинамического равновесия газовой смеси как термодинамической системы заключается здесь в том, что состояние газа определяется не только давлением и температурой, но и совокупностью других параметров 9П.

Такая постановка позволяет, например, ввести понятие энтропии отдельных степеней свободы, или компонент, как термодинамических подсистем, и применить 2-й закон термодинамики для определения условий равновесия (см. § 1.4).

Перейдем к количественному описанию смесей идеальных газов в рамках принятой выше их физической модели. Здесь конкретизируем соотношения (1.2.5), а в § 1.3 получим кинетиче-

1 Эта ситуация псдобна системе тел с разной температурой, теплопередача между -которыми столь медленна, что температура внутри каждого тела остается практически однородной.

ские уравнения (1.2.7). Для идеального газа парциальные давления отдельных компонент связаны с температурой уравнением Клапейрона

р =nikT=N tRT=— RT (R=kN0, е,=—) , (1.2.8) Hz \M) /

а для смеси в целом справедлив закон Дальтона р=^р^^ что приводит к следующему уравнению состояния:

p = nkT= NRT = -^-RT, р-

где п и Hi число всех частиц и частиц /то вида в единице объема; N и Nt — число их молей в единице объема; R — универсальная газовая постоянная; Т/о^б-Ю23 — число частиц в моле, одинаковое для всех газов (число Авогадро); ц^ — молекулярный вес; Ct — массовая концентрация; р^ — плотность Z-й компоненты. Введем еще молярные концентрации Хь связанные с массовыми так:

==(1.2.10)

N п р (л/

j •

Величина ц является средним молекулярным весом смеси и обладает всеми свойствами молекулярного веса чистого газа. В частности, pjN^ есть средний для смеси вес молекулы, р = = пр/^— средняя плотность, а число частиц в массе смеси, равной ц граммов, равно Ао. Та же связь (что и для парциальных величин) сохраняется между удельными f и молярными F величинами

=F = '^ixlFl = v'^cif. = ^f.(1.2.11)

Если V^vnipi — объем моля /-й компоненты при давлении pt и температуре Т, то молярный объем смеси К=ц/р, а из уравнений (1.2.8) — (1.2.9) следует

p.V. = pV = RT.(1.2. 12)

Для определения внутренней энергии идеального газа, или калорического уравнения состояния, используем принцип равно-

мерного распределения энергии по внешним степеням свободы. На каждую такую степень свободы моля газа приходится энергия \I2RT, поэтому вследствие аддитивности внутренняя энергия и энтальпия моля r-й компоненты равны

E^T^W

н^елрУ^с^т^еТЧн^ (1.2.13)

Первые члены в уравнении (1.2.13) представляют собой энергию и энтальпию внешних степеней свободы, /^ — их число, а С^ и С^ — молярные теплоемкости при постоянном объеме и давлении; атом имеет три степени свободы /г = 3, двухатомная молекула на две (вращательные) больше, т. е. U = 5 (энергией вращения вокруг продольной оси молекул пренебрегают). Трехатомная молекула СО2 также имеет /г = 5.

Член 5^ — есть энергия к-й внутренней степени свободы Их компоненты, а Е^ — их сумма. При равновесии они зависят лишь от температуры Т.

Постоянная Н^ — есть энергия образования одного моля данной компоненты, включенная в ее внутреннюю энергию. Для атомов это энергия, потребная для разложения соответствующего числа молекул, для ионов — энергия ионизации и т. д. Очевидно, эту энергию можно отнести к той или иной компоненте. Для удобства обычно полагают HQi = Q для тех компонент, которые присутствуют в исходном равновесном состоянии смеси при нормальной температуре (например, для молекул кислорода, азота, углекислого газа).

Удельные (на единицу массы) энергия ei = Eil^i и энтальпия hi^Hij^i в соответствии с уравнением (1.2.13) равны

т 4~е/

hi = eiV— = c^T-YeV4h.til;(1.2.14)

Qi

W^C<?,

Здесь c^\ c^pi, hot — удельные теплоемкости внешних степеней свободы и теплота образования.

Суммарная энтальпия равна

A = ,V cihi = e-'r-^- = 4T

■i9

H^H^E^pV-СЧЧ’ЧН»; (1.2. 15) с^ = ^ЧЧ C^^x^ и т. д.

При равновесии вместо (1.2.14) часто используют формулы, учитывающие энергетический вклад внутренних степеней свободы с помощью переменных теплоемкостей

h^y^dT^, с^с^^-.(1.2.16)

О

Заметим, что при этом всегда справедливы соотношения

Cpi-Cpi = vAcpt-c^=R.(1.2.17)

Величины ^(^определяются в статистической физике. При равновесии для энергии колебаний двухатомной молекулы, просуммированной по всем колебательным уровням, обычно используют формулу

<к2-18>

(которая и определяет колебательную температуру Т^\ если известно местное неравновесное значение Е^.

Характеристическая температура 9^=2230 К — для молекулы кислорода и О v = 3340 К для азота; следовательно, колебания в воздухе возбуждены уже при Т ^ 1000 К. Величина EW—>0при Г/Qv —>0, а при больших 7/9 v ее значение E^=RT соответствует сумме кинетической и потенциальной энергии колебаний при классическом равномерном распределении энергии по степеням свободы. Однако к началу диссоциации воздуха (около 2000 К) это предельное значение еще не достигается.

Молекулы углекислого газа имеют четыре типа нормальных колебаний с характеристическими температурами: 9д,2 = 960 К, 0v3 = 1920 К, 9 v4 =3380 К. Эти колебания возбуждаются раньше, чем в воздухе, и при полном возбуждении поглощают относительно большую (№9=4^7) энергию.

1.3. Скорости релаксации и химических реакций

Передача поступательной энергии к внутренним степеням свободы с последующей диссоциацией или ионизацией молекул, или атомов происходит за счет столкновений частиц, поэтому скорость протекания этих процессов будет, естественно, пропорциональна вероятности столкновения частиц, т. е. числу частиц в единице объема п^=рг(кТ каждого участвующего в элементарном процессе вида, или произведению Пп^ числа частиц всех ви

дов, участвующих в реакции. Если для совершения процесса необходимо участие Vi частиц Z-ro вида, то скорость реакции, следовательно, будет пропорциональна произведению

Символически химические реакции записываются в общем виде стехиометрическим соотношением:

(1.3.1)

Величины ^г являются стехиометрическими коэффициентами. Это соотношение означает, что для элементарного акта прямого процесса [слева направо в записи (1.3.1)] необходимо одновременное столкновение v, частиц типа А^ при этом появляется Av? =vz*—v/ частиц этого вида. Наоборот, для обратного процесса необходимо одновременное столкновение Vt частиц типа А^ при этом Av-i частиц исчезает (знак Avi, конечно, может быть любой, а понятие прямой и обратной реакций чисто условно). Тогда скорость возрастания числа молей Z-й компоненты (обозначим ее производной D]Dt в отличие от полной производной d/dt, используемой в гидродинамике) в единице объема будет равна

(1.3.2)(1.3.2)^■=Av,.r, г=^П P:i-kr П^;-.

(1.3.2)

(1.3.2)

Коэффициент /* является скоростью реакции и измеряется в моль/с-см3, а коэффициенты hj и hT — константами скоростей прямой и обратной реакций. Они могут зависеть только от температуры Т и от степени возбуждения внутренних степеней свободы, т. е. от их температур TVk- Если они зависят только от поступательной температуры Т, или если т^ — т, то

(1.3. 4)(1.3. 4)Функция К(7) называется константой равновесия (вид ее получим в § 1.4). Если ПрТ1<кт при местной температуре, то г>0, и реакция протекает в прямом направлении, и наоборот. В равновесном состоянии г=0, и условием равновесия будет так называемый закон действующих масс

(1.3. 4)

(1.3. 4)

I 1 kr

Пусть у — объем, занятый жидкой частицей; тогда ду = = const — условие сохранения массы в ней, а скорость изменения массы 9гУ = Сгру 7й компоненты в ней будет равна

dc?ovde?= oyl-dtdtdc?ovde?= oyl-dtdtdovde-,

dc?ovde?

= oyl-dtdt

dc?ovde?

= oyl-dtdt

-S—= Qy!- —p, уду Г-dtdt ''

Отсюда получим уравнение для скорости изменения массовой, концентрации r-й компоненты

== Wt.(1.3.5)

dt Q

Левая часть уравнения — полная производная по времени, связанная с фиксированной жидкой частицей. Величина Wi есть функция химического источника, или порождающая функция. Заметим, что из условия^ слеДУет ^AV/P'^O^ i =

III

Если одновременно происходит несколько реакций типа

z$=i,...,s

Ii

co скоростями rs, то из уравнения (1.3.5) получается скорость изменения концентрации Z-й компоненты за счет s-й реакции, а суммарная скорость

(L36)

55

Условием равновесия будет одновременное выполнение равенств

П^ = ^=КДП s=l,..., S. (1.3.7)

Для правильной записи стехиометрических соотношений и формул для скоростей химических реакций недостаточно знать конечный результат реакции, необходимо знать и механизм ее протекания. Поясним это на примере бинарной смеси атомов и молекул. Чтобы произошла прямая реакция диссоциации, молекула О2 должна столкнуться с частицей А. Процесс же рекомбинации протекает обычно путем столкновения двух атомов О и третьей частицы А, которая поглотит освободившуюся энергию. Таким образом, более точная запись реакции имеет вид

О2+А^О + О + А;

Vo2=L vq2 = 0, AvOa= — 1, vo = 0, vo = 2, Av0 = 2;

v! = va=1, Ava —0.

Пусть ^r = ^ra, если третьей частицей является атом, и 6Г=ДГМ) если третья частица — молекула. Поскольку в уравнении (1.3.4) константа равновесия этих реакций одна и та же, то ис-

пользуя (1.3.3), из (1.3.6) получим (с — концентрация атомов)

= РРоДк^-^-V(1.3.8)

dt QL^О2 J

гдеhr = hra ^^hrJ^ = kraxQ^-h.r№x01.

РР

Эта формула имеет тот же вид, что и для одной реакции, но эффективная константа скорости обратной реакции kr здесь может зависеть не только от температуры, но и от концентрации компонент, кроме случая &га = &гм.

В приведенном примере обе реакции имеют одинаковые константы равновесия. Другой пример. В смеси азот — кислород могут идти реакции

о2=о+о, n2=n+n, n+o=no,

NO + N = N2-[-O, NO + O = N + O2, N2+O2=2NO.

Как видно, произведение П р. 15 и, следовательно, константы

равновесия Ks в условиях равновесия (1.3.7) последних трех реакций выражаются через произведения тех же величин для предыдущих трех реакций, в которых участвуют все компоненты, содержащиеся в смеси.

В этом смысле первые три реакции можно назвать независимыми, а последние три — зависимыми (хотя, легко видеть, в выделении группы независимых реакций всегда имеется некоторый произвол). В общем случае, если ^-я реакция зависима от реакций с предыдущими к—1 номерами, то для нее из уравнений (1.3.7) следуют соотношения:

к—1к-1

^^М^ру(az*=const). (1.3.9)

1 = 11=1

В этом можно убедиться, прологарифмировав уравнения (1.3.7); тогда зависимые, линейные относительно In pi уравнения будут линейными комбинациями независимых.

Получим теперь уравнение релаксации для энергии внутренней степени свободы в рамках упрощенной модели, согласно которой частица имеет лишь два состояния: невозбужденное и возбужденное. Символически этот процесс можно записать в виде Mi+A^M2 + A, где Mi и М2 — невозбужденная и возбужденная частицы с объемными концентрациями п^ и л2, А — третья частица, участвующая в обмене энергией при столкновении. Строго говоря, как и выше, результат столкновения должен зависеть от вида третьих частиц, однако этим обстоятельством для простоты пренебрежем. При этом объемная концентрация третьих частиц

будет равна числу всех частиц п в единице объема (в общем случае п>ПхА-п^.

Тогда формулу (1.3.2) с учетом (1.3.7) можно представить в виде

= krn IkTf [К^ — n2]N0, К = — ,

Dtrixe

где равновесные концентрации п^е и м2е зависят лишь от местной температуры Т. Используя очевидное соотношение ^ + ^2= = П1е+п2е, получим

^_, 2_ = Л^ кМкТ^ (п1е + п2е). (1. 3. 10)

Dtтт П1г

(1.3.11)(1.3.11)Здесь т — так называемое время релаксации. Так как п^р, то T=p~V(T). Умножив это уравнение на энергию возбуждения частицы и разделив на плотность, получим подобно (1.3.5) уравнение для изменения энергии возбуждения единицы массы рас* сматриваемой компоненты

(1.3.11)

(1.3.11)

dtт

Уравнения типа (1.3.11) с величиной т = р~Ч(Т) оказываются пригодными и в более сложных случаях, в частности, для описания изменения полной энергии колебаний двухатомных молекул при равновесном распределении энергии по колебательным уровням.

Для времени релаксации в этом случае известна формула Ландау — Теллера

Т==А<71 £^^7—1/8), (1.3.12) р

где a = const, а А — «медленная» функция температуры.

Температурная зависимость констант скоростей химических реакций в общем случае очень сложна. Если принять за прямое то направление реакции, которое идет с поглощением энергии (например, диссоциация молекул и ионизация молекул и атомэв), то константа скорости прямой реакции определится законом Аррениуса:

kf = В (Г) ехр (~еаЖ), (1. 3. 13) где В(Т) уже медленная функция температуры, еа — так называемая энергия активации4. Для газов, входящих в состав воздуха, эту величину можно принять равной энергии D, необходимой для диссоциации или ионизации молекулы или атома.

В следующих параграфах будет показано, что /С^ехр(—D[kT^ поэтому функция кт^к^К часто не содержит экспоненциальных множителей, т. е. является медленной функцией температуры. Функцию кт обычно называют, имея в виду форму записи (1.3.5), просто константой скорости реакции. Определяется она в ochobho?v1 экспериментально и обычно убывает с увеличением

1 Такой вид kf обусловлен максвелловским распределением числа частиц п~ехр(—sjkT) по кинетической энергии е их поступательного движения.

температуры пс закону kr~I—\ где s=1/2-t-3/2. Множитель В (7) может также зависеть от температур внутренних степеней свободы. Это связано с тем,, что, например, молекула с уже возбужденными колебательными степенями свободы может потребовать для своего расщепления при столкновении меньше энергии, чем невозбужденная.

Отметим также, что уравнение (1.3.11) может оказаться неточным в присутствии химических реакций, так как средняя энергия, приходящаяся на данную внутреннюю степень свободы, например, диссоциирующих и рекомбинирующих молекул, может быть различной, что приведет к появлению в (1.3.11)- дополнительных членов j.

. Энтропия и условия равновесия

Найти константы равновесия и сформулировать общие тенденции направления неравновесных процессов можно с помощью- 2-го начала термодинамики, суть которого сводится к следующему (см. книги [4, 15, 20, 51] и др.).

Существует функция состояния — энтропия s, которая в обратимом процессе изменяется по закону

Tds = dq=de-v pd —=dhX—dp. (1.4. 1)

В адиабатическом изолированном обратимом процессе ^dq = = 0) энтропия остается постоянной, а в адиабатическом необратимом возрастает до тех пор, пока не наступит равновесие. Следовательно, состоянию равновесия изолированной системы соответствует максимальное значение ее энтропии.

Если в замкнутой системе можно ввести понятия единых температуры и давления (например, в соответствии с § 1.2, при химических реакциях в газах), то изменение энтропии в ней подчиняется неравенству

Tds^ dq = dh— dp.

В адиабатически изолированной системе всегда ds/dt^O. Причем знак равенства здесь относится лишь к обратимым процессам.

Приращение энтропии в произвольном необратимом процессе^ переводящем систему из одного равновесного состояния в другое^ можно вычислить с помощью какого-либо обратимого процесса^ связывающего эти состояния.

Энтропия — аддитивная функция. Если отдельные части изолированной системы (под которыми, в частности, в соответствии* с § 1.2 будем понимать группы степеней свободы или отдельные, компоненты смеси) не находились первоначально в равновесии между собой, и полное равновесие между ними устанавливается в результате процессов их взаимодействия, то 2-й закон термодинамики утверждает, что сумма энтропий отдельных частей возрастает.

Более подробное изложение этих вопросов, а также сведения о системе реакций и процессов, происходящих в воздухе и других газах, можно найти в работах [10, 12, 15, 16] и др.

Для энтропии совершенного газа sl0)c постоянными теплоемкостями (или энтропии внешних степеней свободы) уравнение (1.4.1) имеет вид:

Tds^ =dh^-^- = c(p?dT- — dp...(1.4.2)

6;Qt'

Интегрируя и используя уравнение Клапейрона (1.2.8), получим

s^^^lnr-Ain^ + so,..(1.4.3)

Постоянная интегрирования sot не может быть определена в рамках термодинамики, но, как будет показано ниже, не влияет на структуру основных формул.

При выводе уравнения для энтропии s^ внутренних степеней свободы следует иметь в виду, что вся работа расширения (сжатия) совершается за счет энергии внешних степеней свободы и уже учтена в уравнении (1.4.3). Как уже было указано в § 1.2, каждой внутренней степени свободы с энергией Е^, как внутренне равновесной термодинамической подсистеме, может быть поставлена в соответствие своя температура Т^Л т. е. такая температура газа (или вообще окружающей среды), при которой данное значение Е^ является равновесным. Это дает возможность выписать энтропию внутренней степени свободы следующим образом:

TW

1 Иг aSth —a ^ik , Sih — \

О

Интеграл (1.4.4) сходится, так как функции е<^ обычно экспоненциально убывают с уменьшением температуры [см. например, формулу (1.2.18)], а постоянную интегрирования здесь можно принять равной нулю, включив энтропию невозбужденных колебательных степеней свободы в s^.

Из аддитивности энтропии следует, что энтропия Z-й компоненты, имеющей & внутренних степеней свободы, и суммарная энтропия смеси совершенных газов соответственно равны

s.=sV4sV\ s^^W,(1.4.5а)

к

s = V ciSi = c^lnT-Vsw-R V-^-lnA + So;(1.4.56)

Перейдем в последней формуле к полному давлению смеси p^Pi. Тогда

S = Cp 1 In Т-V SW— la/2-|-S0,(1.4.6)

SO = SO——Vzilnx,. ix^pppV

Здесь s0 — постоянная, зависящая от вида газов и их концентраций. Поскольку молярная концентрация Xt<3, то so>so, т. е. энтропия смеси газов всегда больше суммы энтропий компонент,, находящихся при парциальных давлениях, равных полному.

Представим сосуд, разделенный на отдельные секции так, что в каждой секции находится однокомпонентный газ с одинаковыми всюду температурой и давлением. Если убрать перегородки, то за счет диффузии произойдет смешение газов без изменения давления и температуры: необратимость этого процесса приведет к увеличению энтропии. Формула (1.4.6) приводит к парадоксу (Гиббса), если рассматривать отдельные порции однокомпонентногс газа как разные компоненты. Это объясняется тем, что (как показывает опыт с сосудом) молекулы, находящиеся первоначально в разных секциях, уже отличаются друг от друга, и процесс их последующего перемешивания необратим. Поскольку учитывать такое различие бессмысленно, то формула (1.4.6) в этом случае просто неприменима.

Энтропия смеси изменяется за счет изменения энтропий отдельных компонент и изменения состава

ds=d ^с^—^ c.ds.^^SidCi-(1.4.7)

IIi

Пользуясь соотношениями (1.2.14), (1.4.2), (1.4.4), (1.4.5). получим

^dh^-Ldpi

или Tdst = T W + ds^ = dhE - -L dPi + у -—^- d^\

Qi

Умножая это соотношение на Сг, суммируя и подставляя & (1.4.7), получим общее соотношение для скорости изменения энтропии в жидкой частице

т ds _dh 1 dp \1„, VI Vl„ T-T^de^

dt dt q dt 2^gi dt 24 2^ 1 T^ dt Л ‘ 3 ii к

Функция gt носит название удельного, a Gi=gi^t молярного термодинамического потенциала Гиббса

gi = ^-Tsb G—H-TS^(1.4.9)

Согласно 2-му закону термодинамики в адиабатически изолированном процессе (dp = Qdh) энтропия должна возрастать, поэтому из соотношения (1.4.8) получим следующее фундаментальное условие, определяющее направление процессов в изолиро-

-e^)-e^)ванной неравновесной газовой смеси, которое преобразуем с помощью (1.3.6) и (1.3.11) к виду

-e^)

-e^)

Т —= dtТ —= dtGt^uGt^uVIV^ Ci (T—T^ №e

Т —= dt

Т —= dt

Gt^u

Gt^u

2j2j T^ik l К

ItIt(1.4. 10)

It

It

где an=rs и an = e^e~^k\ a bn — соответствующие коэффициенты.

Так как правая часть соотношения (1.4.10) есть функция состояния, т. е. переменных {р, Т, qn}> то согласно 2-му закону термодинамики она всегда, в любом процессе, положительна, кроме точек равновесия, в которых она равна нулю.

Рассмотрим вблизи точки равновесия пространство переменных {^7г} и выделим в нем множество точек, на котором все величины ап = 0, кроме одной ак. Тогда акЬь>0 и bk будет иметь тот же знак, что и а^ а так как 0^ = 0 в точке равновесия и является знакопеременной функцией своих аргументов по самой 'физической природе скоростей реакций или релаксаций, то в точке равновесия bk=0. Если же некая Д-я реакция зависима (в смысле, указанном в § 1.3) от предыдущих (к—р ^реакций, то вследствие (1.3.9) в точке равновесия будет Ьк = ^ а^ = $

в силу условий bi=0 для независимых реакций.

Таким образом, искомые условия равновесия примут вид

T^—t/^G^—O, / =Л=1,..., s=l,... (1.4.11)

I

Рассмотрим еще некоторые математические следствия из условий равновесия. Переменные (с/, Г^) в общем случае зависимы (например, согласно условию 5 с;=\ и условиям материального баланса из § 1.6). Введем вме- сто них набор независимых переменных {Хп}. Тогда формула (1.4.8) примет об- <щий вид

Tds = dh — -Г- dp + ^ DndX„ = de + pd-~\- ^ D^X,,, (1. 4. 12) nn

” ” k dXn ~ k дХп “ k дХл MV

Согласно 2-му закону термодинамики сумма ^DndXn > 0 в любом реаль- п

ном адиабатическом процессе, а следовательно, и в любом, так как коэффициенты Dn и производные d\u]dt есть функции состояния, а не процесса.

В точке равновесия Xm=Kme энтропия имеет максимум по переменным Хт, поэтому в этсй точке все Dn=01 а в ее окрестности справедливо разложение (индекс «е» относится к равновесным значениям параметров)

.24

(1.4.13>(1.4.13>f nm — 7"f nm — 7"T (S — Sg) = 22 f nm Q^n — ^ne) O^m ^me) < ° , n mT (S — Sg) = 22 f nm Q^n — ^ne) O^m ^me) < ° , n md^S^n^md^S^n^m

(1.4.13>

(1.4.13>

f nm — 7"

f nm — 7"

T (S — Sg) = 22 f nm Q^n — ^ne) O^m ^me) < ° , n m

T (S — Sg) = 22 f nm Q^n — ^ne) O^m ^me) < ° , n m

d^S

^n^m

d^S

^n^m

при X = X^, Dn = 0.

Таким образом, квадратичная форма в правой части (1.4.13) отрипателыа при любых значениях аргументов (X—Хе). Такие формы и матрицы {fnmj и» коэффициентов называются отрицательно определенными.

Вернемся к условиям (1.4.11). Первые из них очевидны в силу самого определения температур Т^и , но вторые несут новук> информацию. Используя (1.4.3) и (1.4.9), нетрудно проследить, что они содержат связь между температурой и суммой SAv<slnpb т. е. согласно (1.3.7) логарифмом константы равновесия Ks. Используя полученные выше выражения для Щ, Si и вспомогательное равенство

£^-/^^-=-7 ^Е^ЧГ)^(1.4.14)

оо

и введя обозначения

У ЕРЮ„, (1.4.15)

получим следующие формулы для констант равновесия:

т

Пр^-К^-^^-^ Qs=exp ^ ^. (1.4.16) /о

Очевидно, условий (1.4.16) должно быть столько, сколько возможных реакций в газовой смеси (хотя, как показано в § 1.3> эти условия не все независимы). Эти условия можно записать также для массовых или молярных концентраций

ГТ Дv. _ iГТ Дv. _ i-2 ^is=р s К8^=КРЛ\ЛЛП-2 ^is=р s К8^=КРЛ\ЛЛП

ГТ Дv. _ i

ГТ Дv. _ i

-2 ^is

=р s К8^=КРЛ\ЛЛП

-2 ^is

=р s К8^=КРЛ\ЛЛП

Поясним смысл отдельных величин, входящих в эти формулы. Величина cos — всегда постоянная, а знак ее зависит от типа реакции. Множитель QS(T) выделен отдельно потому, что роль его обычно менее значительна, чем экспоненты е—6^т»- кото-

рая и дает доминирующую температурную зависимость KS(TV Сумма 6.^=5 ^aiA^Ls представляет собой общую скрытую теп

лоту данной реакции, а величину 9S обычно называют характерной температурой реакции.

Дифференцируя выражения для Kps и Ks и используя (1.4.15), получим важное соотношение

(1.4.18) zр

Как видно, Kps(T) возрастает с увеличением температуры, если суммарное теплосодержание смеси возрастает в результате протекания физико-химических процессов, и убывает с увеличением давления, если суммарное число частиц увеличивается за счет реакции (AvSi>0), и наоборот.

Получим еще условия равновесия, связывающие парциальные давления частиц, находящихся на соседних возбужденных уровнях какой-либо внутренней степени свободы, при условии дискретного расположения последних. Для этого отнесем эти частицы к разным видам, как бы отличающимся лишь теплотой образования на величину энергии М08, затраченной на возбуждение этого уровня в моле частиц. Реакция возбуждения идет по схеме Mi+A^M2 + A, где частица М2 получается возбуждением частицы Mi, а А — третья частица. Для этой реакции условие <1.4.11) примет вид

(1.4. 19)

Так как Нг—Hi=N^, то получим условие

=(1.4.20)

Ра Hi

называемое распределением Больцмана или принципом детального равновесия.

Бинарные реакции и смеси

Многие реакции (диссоциация, ионизация) в газах протекают путем двойных столкновений, в результате чего происходит распад одной частицы на две по схеме

М + С^А + В + С, AvM= —1, Ava = Avb=1, Avc = 0.(1.5.1)

Для краткости такие процессы назовем бинарными, хотя обратные реакции здесь идут за счет тройных столкновений. Условие равновесия (1.4.16) примет вид

£±^в_=к IT^Qer^rr(1,5.2)

или, переходя к концентрациям Са = ЦаРа/рц и т. д.,

(Г)=^ е~в/г (qd= F^/qV (1.5.3)

Если частицы А и В одинаковы, то в (1.5.2) и (1.5.3) в силу структуры формул (1.4.16) следует формально заменить

/7А=/’в=/’а, сА = св=са, р.м = р.А + р.в=2р.а,(1.5.4)

где ра, ^а, На — параметры образующейся компоненты.

Если все частицы А и В образованы путем распада частицы- М, то, очевидно, р^=рв, ^а=^в, ^а/на = ^в/цв. В этом случае иногда пользуются степенью диссоциации (ионизации) а — отношением числа распавшихся частиц М к исходному. Легко получить, что

С^Са/СоЖ/^м)’ 1-« = СМ/^

где Со — начальная концентрация частиц М.

Для простейшей смеси, состоящей из частиц только двух видов (молекул и атомов, например), уравнение (1.5.3) примет вид

£L = ±m. £ ^ = ^-е-№, Р= ^ГО + с) (1.5.5) 1 — с ^реим

(Са = С, См=1-С, p.a = -j-p.M).

Такая смесь называется бинарной, она обладает всеми принципиальными особенностями неравновесных смесей и в качестве модели часто используется в теоретических исследованиях.

Для бинарных реакций формулы (1.4.15) имеют вид

R^ = С% + С^ - С^ R^ = Е^ + Е^- Е^\

Для атомов согласно (1.2.13) С^°а = 5АУ2, для двухатомных молекул — С^М = Ж2, так что для реакции распада молекул на атомы со = 3/2. Молярные теплоемкости иона и нейтральной частицы одинаковы, а теплоемкость электрона та же, что и у атома. Поэтому для ионизации со = 5/2. Для вычисления Q(T) необходимо знать энергии внутренних степеней свободы. Величина R0 для бинарной реакции есть энергия разложения одного моля исходных частиц, a D = k^ есть энергия диссоциации или ионизации одной частицы.

Характерная плотность реакции qd^150 г/см3 для диссоциации кислорода и рр^130 г/см3 для азота с незначительным (до 15%) отклонением в обе стороны в широком диапазоне Г = —10004-7000 К. Поэтому для качественных исследований можно1

принять qd постоянной. Такую модель бинарной смеси (предложенную Лайтхиллом) называют идеально-диссоциирующим газом. Ей можно придать физически более прозрачный смысл. Доля колебательной энергии молекул невелика ем)/Лм^2/9, поэтому, предположив, что колебания возбуждены всегда наполовину, т. е. Е^=— RT, допустим небольшую ошибку. Тогда Q^T-1^

и согласно (1.5.3) Qp = const. Энтальпия такого газа равна

А = сАа+(1 —с)Ам = (4+с) -£-T-Vch0.(1.5.6)

Выпишем общий вид уравнений для скоростей изменения концентраций в смеси газов, в которой все реакции идут по схеме (1.5.1). К таким смесям относятся воздух и углекислый газ. Условия равновесия каждой реакции согласно (1.5.2) не зависят от присутствия других компонент, но скорости их протекания взаимосвязаны. Для всех реакций 5 v/s=2, 5 ^is= L поэто- ii

му уравнение (1.3.6) с помощью (1.3.2) можно привести к виду

^=PWiRT V к^л,П(—Y'X

\/[ ^ГТ/ С1fl И 71

X-№11—(1.5.7)

Li' ^ '

или, выделяя коэффициенты, не зависящие от р,

^=pFxAT, Т^, CiWMT, Т%\ ctY (1.5.8) at

Первый член справа в уравнении (1.5.7) или (1.5.8) пропорционален скорости прямой реакции (диссоциации и ионизации), имеет сильную (экспоненциальную) температурную зависимость вместе с kf)kT и пропорционален давлению. Второй же член пропорционален скорости обратной реакции (рекомбинации или деионизации) и пропорционален квадрату давления.

Для бинарной смеси с константами скоростей реакций, зависящими лишь от температуры Т, получим, подставляя в (1.5.7) соотношение (1.5.5) для К(Т)

^ = рЛТ')\^-^^^^f=^krR^. (1.5.9)

Здесь f(T) — слабая (по сравнению с экспонентой) функция температуры, часто принимают f = const Т^, где степень q имеет порядок единицы.

Уравнение (1.5.7) можно привести к релаксационному виду типа (1.3.11). Для этого введем понятие локально-равновесных

величин сг-е, Це, Ре, удовлетворяющих при местных р, Т условиям равновесия (1.5.3), уравнению состояния (1.2.2) и другим условиям, определяющим равновесный состав смеси (см. § 1.6). При этом рре=РеЦ. Примем в дальнейшем, что kjSlkTS = Ks\Ty Выражая К8(П из (1.5.3) через локально-равновесные величины, получим, что каждая квадратная скобка в (1.5.7), относящаяся к s-й реакции, будет пропорциональна разности

СХ еСВ еС№ САСВСМе = ^Ве^М ^С Хе " Са) 4”

НV-eW

4 СХСЖ VCBe ^в) ^А^В (СМ е См)

^А^В^М ^^^ ”^Cle £^==^J ^nskCne Сп^ Пе 5* 10) Iп

где величины 6П8 легко вычислить для каждой конкретной реакции, а суммирование происходит по числу компонент. Тогда

^ iskrs^ns^ iskrs^ns^А А/Ms^M es^А А/Ms^M es.(1.5.11).(1.5.11)т^—pVW у.

^ iskrs^ns

^ iskrs^ns

^А А/Ms^M es

^А А/Ms^M es

.(1.5.11)

.(1.5.11)

Dn I

S

Введенные таким образом величины твпг можно назвать характерными временами реакций. Для бинарной смеси

(1.5. 12)(1.5. 12)de Се — с Qd(1~ се)

(1.5. 12)

(1.5. 12)

dt то ’° PQf^e + С — Сес) *

Равновесный состав

Кроме условий (1.4.17) равновесный состав смеси будет определяться еще своим начальным элементным составом и условиями его сохранения. Если dj — полная массовая доля /-го химического элемента с атомарным весом pj, a d^ и п<з— его массовая доля и число атомов в Z-й компоненте, то эти условия примут вид

X ==111У “<=X 1 ■ ■6-11

ii 1ji

Например, в диссоциированном воздухе кислород содержится в атомарном и молекулярном видах, в окиси азота NO и в их ионах. Соответствующее уравнение сохранения имеет вид

со+^-со + со2Р-0со+^-со + со2Р-0Рю2^О2Рю2^О2^О Л I ^NO г + gnoT" + gno ^0 \ ^NO .^О Л I ^NO г + gnoT" + gno ^0 \ ^NO .о-о-

со+^-со + со2

Р-0

со+^-со + со2

Р-0

Рю2

^О2

Рю2

^О2

^О Л I ^NO г + gnoT" + gno ^0 \ ^NO .

^О Л I ^NO г + gnoT" + gno ^0 \ ^NO .

о-

о-

Здесь со, ^о’ ^О’ Р-о и т- Д- — концентрации и молекулярные веса атомов и их ионов (поскольку масса электрона чрезвычайно мала, то ц/ц+^1), a do = 0,23 для наземных условий. Числа п^ для ионов и их нейтралов одинаковы.

Число всех компонент, или химических соединений I ^J = числа химических элементов, присутствующих в смеси. Поскольку определенность задачи о нахождении равновесного состава физически очевидна1, то среди S уравнений (1.4.17) может быть лишь /—J^S независимых (см. также § 1.3), поэтому для расчета равновесного состава смеси достаточно ограничиться лишь теми реакциями, в которых образуются новые компоненты.

Совокупность уравнений (1.6.1) и (1.4.17) дает возможность получить зависимости с^с-^р, Т) равновесного состава смеси газов от входящих в них параметров — давления и температуры. Тогда уравнение состояния и формулы для энтальпии и внутренней энергии из § 1.2 можно привести к виду

р = — oRT, — = V -^- Т- ,(1.6.2)

р-р-р-1

к^Тр^сМ РМТ^Цр, П е(р, Т,=П-р^. (1.6.3)

Следовательно, можно исключить Т и представить уравнение состояния в виде q = q^P, А). Уравнение состояния можно использовать и в другой форме. Подставляя в уравнение адиабаты ^dh^dp связь q(p. А), получим интеграл h = h(p, s), где постоянной служит энтропия s. Плотность и температура определяются с помощью соотношений (1.4.1)

Q-i = (dhldp)s, T=(dhtds)p.

Между функциями А(р, Г) и ц(р, Г) существует связь — соотношение взаимности Гиббса

^dh]dpp^ThR)Wld'np,(1.6.4)

которое можно получить, приравнивая перекрестные производные по р и Т в соотношении (1.4.1), переписанном в виде

ds =ds =

ds =

ds =

и пользуясь дифференциальной формой уравнения состояния

Для равновесных процессов можно ввести полные теплоемкости, учитывающие тепло, затраченное на физико-химические превращения

/ dh \/ де \(dh \1 (др \м

р \дТ )р° \дТ )е\дТ )еб \дТ /еv 7

С помощью (1.6.4) можно получить соотношение

с^с А[1_г(*\гг1 + лтг1. (1.6.6)

Эти теплоемкости для воздуха показаны на рис. 1.2. Так как при нагреве при постоянном давлении тело, расширяясь, совершает работу, то всегда cp>cv. Легко видеть, что известное соотношение ср—cy = R(p справедливо лишь для газа с постоянным молекулярным весом.

В газодинамических расчетах можно пользоваться дифференциальными уравнениями, эквивалентными системе условий равновесия, которые, кроме того, дают представление о смещении равновесного состава с изменением условий. В результате изменения s-й константы Кр,8, например, исходя из соотношения (1.4.18), произойдет смещение всех 5 реакций, причем изменение концентраций в каждой из них будет подчиняться стехиометрическим соотношениям. Поскольку в единице массы смеси находится Сг1р,г молей i-й компоненты, вариацию состава при смещении равновесия можно представить в виде

^z]} А^isdas^dasx5rd In Kpr, Г = 1,...,S.(1.6.7)

Sг

Здесь величины уТ8 и dos характеризуют смещение s-й реакции за счет вариации г-й константы и полное. В каждой реакции число атомов исходных элементов не меняется, т. е. 5 nij^u = 0, поэтому формулы (1.6.7) авто- 1

матически удовлетворяют условиям (1.6.1).

Системы уравнений для хТ8 получим, дифференцируя все независимые условия (1.4.17), подставляя в них (1.6.7)

^^а^а5=: — яНпА^, r,s,b=l,...yS,

S

2 ^ri^rs ^&$> ^^5 — 1, s = #; $£5 = 0, s ky г

_ ( ^ д v^ ( уч дv .^.(1.6.8)

IIi

Матрица атк симметричная, а следовательно, Хтк^Икт. Первый член в акк имеет минимум в точке xt = |AvZa|/2 IAvZfe|.Отсюда следует, что

Z а,кк>^

Изменение энтальпии смеси равно

dh = 2 Cldh. + 2 Mei = c^dT + 2(2 Н^1$) d=s. (1.6.9) iisi

Подставляя сюда (1.4.18), (1.6.7.), будем иметь

dh = CpdT — — RTB-^E- , cp = c^ -V—RA, c^ = Vc, ^-,

I Pp У- P ^ dT

(1. 6.10)

A - 22 <w 2"- M (2•

srii

в=22 ^ (2 ^4(2Av,y) ■

srII

Для изменения молекулярного веса аналогично .получим

d^ VdCl V4V» Ля RdT^rdp

= —[Л > = —и. >> .Avte do,= — В—— + G,

У-У1ХАЙ /Г р

is I

(1.6.11) £ ~ 22 ^rs (2 ^ ^з) (2 ^^)*

sr Ii

Если в смеси идет лишь одна реакция, то Хц=а ц>0, а остальные аТк, Иг к отсутствуют. В этом случае коэффициенты 4 и С положительны. Знак В при этом может быть в принципе любой, но если реакция идет с увеличением частиц и с поглощением тепла, то В>0.

Рассмотрим бинарную смесь, состоящую из атомов и молекул с концентрациями са=с и с^ =1—с (см. § 1.5), а именно:

t‘(l+O = t‘M. 1lHiMi = 2Ha-H№ = v.№(ha-h1J).(1.6.12)

i

В этом случае, пользуясь формулами (1.4.18), (1.6.9)—(1.6.12), легко получить

{ дс \ ^м(1.6.13)

\ дТ )р~ |Л *n dT ~ y.RT2 \ дс )/' '

Равновесные термодинамические величины для воздуха и углекислого газа (основная компонента в составе атмосферы Венеры и Марса) приведены в таблицах [23, 35, 45] L Некоторые концентрации, энтальпия и молекулярный вес для воздуха приведены на рис. 1.5—1.6. Энтальпия растет с увеличением температуры и падает с увеличением давления, а молекулярный вес имеет обратные зависимости.

Рис. 1.5. Массовые концентрации молекул атомов и их ионов в воздухе: р= Ю“~3 ат (102 Н/м2) jd=102 ат (107 Н/м2)

Рис. 1.6. Энтальпия и молекулярный вес воздуха при различных давлениях р—

-10^ ат (1,01 10^-1 МН/м2):

—зависимость энтальпии от темпера-

туры для совершенного газа (ср —

=0,24 кал/г • град~1 Дж/(г • К))

Основными по весу компонентами являются атомы и молекулы азота и кислорода и в незначительной степени окись азота NO. Диссоциация кислорода проходит в основном при Т = = 20004-5000 К, азота при 7 = 40004-10 000 К (характерные температуры реакций 0 =59 000 К и 0 = 119 000 К соответственно). При 7^10 0004-12 000 К значительную долю составляют однократные ионы этих компонент (0 = 100 000 4-200 000 К).

Условия равновесия этих реакций имеют бинарную форму (1.5.2) — (1.5.4), при этом SAv2*s=l. В температурном диапазоне протекания этих реакций величины 6/7^10 достаточно велики. Поэтому в соответствии с (1.4.18) равновесный состав, а вместе с ним и молекулярный вес, и энтальпия сильно зависят от температуры и слабее (логарифмически) от давления.

§1.7. Полная система уравнений движения газа с физико-химическими превращениями.

Простейшие интегралы. Предельные режимы

Результаты, полученные в § 1.1—1.6, позволяют выписать полную систему уравнений, описывающую невязкое течение химически неравновесного газа с неполным возбуждением внутренних степеней свободы

q—=—grades(1.7.1)

a t

div Z7=-^ + dive 67=0;(1-7.2)

dtdt

p=^QT,(1.7.3)

£=1, 2,..., Kp (1.7.4)£=1, 2,..., Kp (1.7.4)e<®>= V eW c(0) =Z‘ - —

£=1, 2,..., Kp (1.7.4)

£=1, 2,..., Kp (1.7.4)

124 № ’ p‘ 2

к

ssissiТа-ГЫ" . krs i.Та-ГЫ" . krs i.s=l, 2,... , Ss=l, 2,... , SdtT/^dtT/^e® =e<Me® =e<M(1.7. 5)(1.7. 6)(1.7.7)(1.7. 5)(1.7. 6)(1.7.7)

ssi

ssi

Та-ГЫ" . krs i.

Та-ГЫ" . krs i.

s=l, 2,... , S

s=l, 2,... , S

dtT/^

dtT/^

e® =e<M

e® =e<M

(1.7. 5)

(1.7. 6)

(1.7.7)

(1.7. 5)

(1.7. 6)

(1.7.7)

Напомним смысл входящих в эти уравнения величин. Здесь р, Q, A, ji — давление, плотность, энтальпия, молекулярный вес смеси, Т, с^ — температура и теплоемкость внешних (поступательных и вращательных) степеней свободы. Индекс «I» относится к парциальным значениям тех же величин для f-й компоненты, е^> (Г/Р) и Т^— энергия и температура ^-й внутренней степени свободы в z-й компоненте, R — универсальная газовая постоянная, с^ U — массовая концентрация и число внешних степеней свободы частиц z-й компоненты. Суммирования по I, s и к идут соответственно по числу компонент смеси I, числу S протекающих химических реакций (диссоциация, ионизация и т. д.) и числу внутренних степеней свободы Кг (колебания молекул, возбуждение электронных уровней). Величины Vls, V.s= = V;s+ AvZs — стехиометрические коэффициенты.

Константы скоростей прямой и обратной реакций kfS и кТ8 зависят в общем случае от температур Ч\ Т^; если они зависят лишь от Т или Т^ = Т, то их отношение равно константе равновесия Ks(J^ (см. § 1.4). Эти функции, так же как времена релаксации т^ и равновесные значения энергии внутренних степеней свободы е^)(см. § 1.3), определяются в соответствующих разделах физики и являются исходными данными для газодина- миков.

Число уравнений (1.7.6) равно числу компонент, но может быть уменьшено на одно за счет условия ^Ct=\ или на число элементов в смеси с помощью (1.6.1).

Для общности в уравнении (1.7.5) учтена неадиабатичность течения (излучение, например) с массовой скоростью притока тепла q. В дальнейшем, однако, в пределах этого параграфа течение будем считать адиабатическим (^=0).

Уравнения (1.7.6) — (1.7.7) можно записать в более краткой форме

Qn (7i> • • • > 7tv> Pt — qnQQn (7i> • • • > 7tv> Pt — qnQV^ Ф1^ " Ф2тV^ Ф1^ " Ф2т(1. 7. 8)(1. 7. 8)

Qn (7i> • • • > 7tv> Pt — qnQ

Qn (7i> • • • > 7tv> Pt — qnQ

V^ Ф1^ " Ф2т

V^ Ф1^ " Ф2т

(1. 7. 8)

(1. 7. 8)

где через qu обозначены величины с< или е;^, a Qn есть правые части соответствующих уравнений. Величины qn0 характеризуют масштаб изменения или измерения величин qn. Условия

ф1т(А T,qv..., д^=Ф2т^р, Т, q^-.q^ (1.7.9) представляют собой условия равновесия /n-й реакции или процесса, т. е. условия (1.4.10) или (1.4.16). Функции т„т определим таким образом, чтобы функции Ф1т и Ф2т имели порядок не бо-

лее единицы. Тогда величины т^т будут иметь смысл локальных характерных времен реакций.

Рассмотрим теперь некоторые общие свойства выписанных уравнений. Векторное уравнение (1.7.1) в проекции на линию тока в установившемся течении имеет вид

dU dU 1 dpdtdlq dl

Комбинируя с уравнением адиабаты (1.7.5), заметим, что вдоль линии тока существует интеграл

А/72 =V/ = const.(1.7.10)

Это и есть обобщение уравнения Бернулли на случай адиабатического установившегося течения газа с произвольными физико-химическими превращениями или процессами, равновесными или неравновесными, а Н — энтальпия торможения, постоянная вдоль линии тока, но на каждой линии тока своя.

В § 1.1 были введены понятия «замороженных» и «равновесных» течений. Покажем, что эти течения соответствуют предельным формам решения уравнений (1.7.1) — (1.7.7).

А. Замороженное приближение

Пусть /0 — характерное время изменения газодинамических параметров или характерное время пребывания газовой частицы в рассматриваемой области течения. Для установившихся течений t^= MU^ где L — характерная длина возмущенной области, Uo — характерная скорость. Тогда из уравнений (1.7.6) — (1.7.7) или (1.7.8) следуют оценки

t = min(T„m).(1.7.11)

Поэтому, если /о^т, то вдоль траектории частиц будем иметь qn = const. В действительности эти величины могут быть постоянными лишь приближенно и на некотором конечном участке траектории частиц (поэтому говорят о замороженном приближении для химически неравновесных течений). Однако при внезапном или очень быстром падении давления (например, при разлете в пустоту) все процессы в газе могут прекратиться еще до наступления равновесия и происходит его полное замораживание (эффект «закалки»).

В замороженном течении молекулярный вес ц остается постоянным, а энтальпия есть линейная функция температуры:

h^hy-^-Cp1 Т, fi^ = ^ с t ^01-^ е^ —const (1.7.12)

Введем замороженный показатель адиабаты смеси таким образом:

Р _ R _Y/-1 Q^V ^~ у/Р _ R _Y/-1 Q^V ^~ у/с(0)6 Ус(0)6 У2 ^(Л-+2)2 ^(Л-+2)(1.7. 13)(1.7. 13)

Р _ R _Y/-1 Q^V ^~ у/

Р _ R _Y/-1 Q^V ^~ у/

с(0)

6 У

с(0)

6 У

2 ^(Л-+2)

2 ^(Л-+2)

(1.7. 13)

(1.7. 13)

Этот показатель зависит лишь от мольных концентраций х, и числа внешних степеней свободы к компонент. Тогда уравнение адиабаты Qdh=dp будет иметь тот же интеграл — адиабату Пуассона, как и для совершенного газа

с<°) Т=к—h#=^i (s) р^ ^f, q — &2($) p^f, ^2=—^—.

pY/ — 1

(1.7. 14)

Здесь постоянные Оь ^ зависят лишь от энтропии, которая остается постоянной в замороженной адиабатически изолирован- яой частице, так как согласно (1.4.8) возрастание энтропии ГДз^/о/тС 1.

Интеграл Бернулли примет для стационарных течений свой обычный для совершенного газа вид

_Р_др_L U^ = H'= Н — h,—с'^Т^^ХЛ. 15)

2 уу— 1 Q 2J

Здесь To — замороженная температура торможения. Как видно, связанная энергия физико-химических превращений Лу в обмене энергией в процессе течения не участвует.

Таким образом, свойства газа в замороженном течении ничем не отличаются от совершенного, а течение его описывается теми же уравнениями (1.7.1), (1.7.2), (1.7.12) — (1.7.15), но в общем случае величины у/, Лу — свои для каждой частицы или в стационарных течениях для каждой линии тока.

Б. Равновесное приближение

Уравнения (1.7.1) — (1-7.7) описывают неравновесные течения газа и равновесное состояние должно получаться в виде решения этих уравнений, например, при неизменном давлении вдоль траектории частиц при достаточно большом времени их движения. Однако при очень большой относительной скорости процессов в газе может существовать предельный режим течения, в котором параметры в каждой точке потока сколь угодно близки к равновесным. Пусть выполняются условия

^^>1, t = max(rmJ.(1.7.16)

В этом случае соотношения (1.7.11) не пригодны для оценок изменения kqn, так как, очевидно, А^п^<7по в силу самого вы-

бора последних. Наоборот, следует предположить, что производные dqjdt^ q^t^ т. е. определяются характерным временем газодинамического процесса. Тогда наиболее естественным следствием уравнений (1.7.8) будут условия равновесия Ф^^Фг™, удовлетворяемые тем точнее, чем меньше тЛо- Отсюда следует дп~9пе, т. е. состав и состояние газа будут близкими к равновесным в каждой точке потока.

Такое приближение называют равновесным, и оно будет тем точнее, чем лучше выполняются условия (1.7.16). Следует подчеркнуть, что в отличие от полного термодинамического равновесного состояния газа скорости химических процессов в таком равновесном процессе не будут равными нулю, а остаются конечными:

Q = ^л * ^Чrte __ / ^Р I /^^ле\ dT п dt dt \ др )т dt \ дТ Jp dt

Разлагая в ряды коэффициенты 6П в формуле (1.4.10) или (1.4.11), получим

dtdt

п

т. е. течение в равновесном приближении является близким к: изэнтропическому. Заметим, что возрастание энтропии в таком, процессе есть величина 1-го порядка малости по ^qne—q-nY хотя разность s(^ne)—8^п) в соответствии с § 1.4 должна иметь второй порядок малости, как в истинном околоравновесном состоянии.

В равновесном приближении общая задача расчета течения' распадается на две последовательных, так как скорости, давление, плотность и энтальпию можно найти из систем (1.7.1)„ (1.7.2), дополненных одной из двух групп уравнений

dh 1 dp// \ ds пх 1/ dh \

— ——, Q=Q\P^ ^ или —~0, h = h (р, s\ —= — ,

dt q dt} dtq \dp

(1.7. 20} где функции q(p, h^ или h^p, s) заданы для каждого газа. Температуру, состав и состояние газа можно определить по известному уже распределению давления и энтальпии.

Рассмотренные случаи не являются единственными, допускающими упрощение уравнений. Например, иногда выполняются' условия, при которых состав газа заморожен (с^ = const}, а внутренние степени свободы возбуждены равновесно. Тогда система

уравнений (1.7.1) — (1.7.5) будет замкнутой, так как вместо уравнений (1.7.6) и (1.7.7) достаточно взять известные Ct = ^COnstH ^ = ^е\ту

И, наконец, следует отметить еще тривиальный случай достаточно холодного газа, когда равновесные значения концентра- дий и энергий внутренних степеней свободы практически не отличаются от некоторых начальных. Тогда, как и в замороженном течении, газ остается всюду совершенным независимо от отношений т//о.

Заметим, что понятия равновесных и замороженных течений распространяются и на неадиабатические течения, с тем лишь различием, что энтропия в таких процессах не будет постоянной, а будет подчиняться уравнению dsjdt—qlT.

Для околоравновесности течения во всей области условий (1.7.16) в общем случае еще недостаточно. Если в потоке внезапно нарушается равновесие (в ударной волне или волне разрежения, см. гл. 2, 3), то за этой точкой или областью будет переходная существенно неравновесная зона релаксации, размер которой, однако, вследствие больших скоростей физических процессов dqn!dt будет малым вместе с т/^о-

Эту мысль поясним на модельном примере релаксационного уравнения

с^с^ t=const(1.7.21)

dt т

Это уравнение с условием c = cQ при ^=0 имеет решение

cedt.(1.7.22)

о

Слагаемое c^e^h описывает здесь структуру зоны влияния начальных условий или зоны релаксации. При //т^хЗ>1 (а практически при значении х, равном нескольким единицам) этот член пропадет и с=ф. Интегрируя ф по частям, получим

с^се (/)+т^ (/) + 0(т//)2.(1. 7. 23)

Как и предполагалось ранее, с отличается от своего локально-равновесного значения всегда на величину xc'Jce~xlt.

Разложение (1.7.23) пригодно и для переменного т, в чем можно непосредственно убедиться из исходного уравнения (1.7.21), если принять в нем слева с = се. Однако при с^се это можно сделать лишь на расстояниях ^хт от начальной точки (т. е. за пределами зоны релаксации).

При t<^x из уравнения (1.7.22) при постоянном се следует c^c0-(W (^-сД

что наглядно иллюстрирует порядок отличия параметров течения от замороженных.

Скорость звука

Пусть по покоящемуся газу со скоростью D бежит фронт возмущения. Давление и плотность газа перед фронтом равны р$ и pi, за фронтом — р2, р2. Фронт вызывает движение газа со скоростью и, поэтому жидкий цилиндр (с осью, ортогональной фронту) с первоначальным размером Ddt за фронтом имеет длину (D—u^dt. В этом случае согласно закону сохранения массы и количества движения

q2(£>—р2— p^^Du.

Исключая скорость и, получим

£)2, ^=p2 — pv ^ = Q2-Qr (1.8.1)

А$ Q2

Формула (1.8.1) верна для фронта любой интенсивности (см. гл. 2); с ее помощью получим скорость а распространения малых возмущений или скорость звука

(1.8. 2)(1.8. 2)«2= litn ^=^.Ap,Aq->0 AQ^Q

(1.8. 2)

(1.8. 2)

Эта формула была известна еще Ньютону, но в таком виде остается неопределенной связь приращений Др и Др. В частности, Ньютон, предположив изотермичность процесса в звуковых волнах, т. е. p = const р, получил формулу а2~ (др/до)т — =p/q-

Но изотермичность при сжатии газа предполагает теплообмен частицы с окружающей средой, поэтому в рамках схемы невязкого газа более разумно предположить адиабатичность изменения состояния газа в звуковых волнах или изоэнтропич- ность при квазиравновесном процессе. В этом предположении* в частности, для совершенного газа из уравнения изоэнтропы P = t9’(s)qT следует известная формула а2= (др/др) S=yp/Q, которая хорошо согласуется с опытом.

Чтобы уяснить ситуацию в общем случае, получим дифференциальную связь между плотностью и другими параметрами. Для этого продифференцируем уравнение состояния

dQ dp dT . d\t ^ ^С1(1 8 3)

i

Дифференцируя далее формулу для энтальпии смеси и комбинируя с уравнением адиабаты (1.7.5), получим

h^c^ — c^^^qdi

(Г. 8. 4>

Тогда, используя формулы (1.7.13) для замороженного показателя адиабаты, из (1.8.3) получим

С Y/ Z^^ ' с^Т ^

(Yz=W0)).

Эту формулу запишем для краткости в общем виде, обозначив как и в § 1.7 через qu величины с< или е/^ со сквозной нумерацией этих неизвестных

— = —V Mq--§- ;(1. 8. 5)

е т/ рс„т

- A; u,С;

3„==~^Ь—- ПРИ Чп = сь Ъ^-^ при дп = ек .

Ср 1 ^iСр 1

Как указано выше, процесс распространения возмущений можно считать адиабатическим, поэтому положим далее 7 = 0 и рассмотрим различные предельные случаи этой формулы. Пусть изменение параметров в звуковой волне происходит так -быстро, что состав газа и внутреннее состояние частиц не успевают изменяться. Тогда ^п = 0, и из формулы (1.8.5) получим, как и для совершенного газа

«ММ= 7/^ = 7/—.ТМУ/-!)^.(1.8.6)

Здесь сц — так называемая замороженная скорость звука.

Если заморожен лишь состав газа, а внутренние степени свободы возбуждены равновесно e(y) = e<^) (Г), то, используя полные теплоемкости смеси при замороженном составе^ и с^’ получим

7 WQ )ci’sQ

Так как все de^dT^O, то у/>уУ\ Это неравенство сохраняется и в том случае, если равновесно возбуждена лишь часть внутренних степеней свободы, а остальные заморожены, заметим, что в этих формулах производная (др!д^) взята при постоянной энтропии, которая сохраняется в адиабатическом замороженном процессе (см. § 1.7).

Пусть теперь изменение параметров в звуковой волне происходит столь медленно, что в каждой ее точке успевает устано-

виться полное термодинамическое равновесие. Тогда величины* с^ выявляются согласно § 1.6 однозначными функциями давления и температуры (давления и энтропии) и можно записать

\ др )т ^Чдт !р Lw /г \ дТ )Ддр Л] 7

дТ \ ds)p к др ls ds )p’

В адиабатическом равновесном процессе ds = 0, поэтому, подставляя (1.8.7) в (1.8.5), получим

4=44 =4-+УаМ =— •(1.8. 8>

«е WP L a2f\др 's ЧеР

а

Здесь ае — равновесная скорость звука, а величину ^Лр» О назовем равновесным показателем адиабаты. Явное выражение- для ув, найдем, подставляя в (1.8.3) ц(р, Г), вычисляя производную (dT/dp)s из уравнения адиабаты и используя связи (1.6.4) — (1.6.6)

+1 .(1.8.9>

Y^ cpV W \др )т\

Как видно, при молекулярном весе, зависящем от давления^ показатель уе не равен (подобно у/ и у/1}) отношению теплоемкостей в соответствующем процессе.

В сущности, подобного рода-предельными случаями и ограничивается возможность представления скорости звука в конечном виде. В общем же случае вопрос о реальной скорости и характере распространения малых возмущений может быть решен? лишь на основе анализа полной системы уравнений, описывающих неравновесное течение газа. К этому вопросу мы вернемся в гл. 3, а пока выясним вопрос об относительной величине равновесной и замороженной скоростей звука в равновесном состоянии газа1, а именно: докажем существование неравенства

^/ ^^ йе^

т. е. что замороженная скорость звука всегда больше равновесной.

Для этого выберем в качестве независимых переменных энтропию 5, удельный объем и—р-1 и введенный в § 1.4 набор независимых параметсов^ {Хп }, характеризующих состав и состояние газовой смеси. Тогда, приравнивая в (1.4.12) перекрестные производные по Хп и v от энергии е, получим соотношения

/ др \/ дРп \

\ дХп \ dv / *

При равновесии Хп—^пе(s, у), р(р, v, km)~pe(s, и), поэтому, используя эти соотношения, получим

' 9 2/ дре А др VI дР д\пе2дРп д\пе

9п д-и 9д-и ди *

пл

(1.8.10)

Все входящие в соотношение (1.8.10) производные вычисляются в точке рав- ясвесия, в которой Dn=0. Отсюда следует

д-ид\т д-итд-ид\т д-ит(1.8.11)(1.8.11)

д-ид\т д-и

т

д-ид\т д-и

т

(1.8.11)

(1.8.11)

Исключая из (1.8.13) с помощью (1.8.11) производную (dDJou^, получим неравенство

- .=) — V V /,„ ^' ^ , » (/.„ _ ^ J .8.12)

п т

которое справедливо в силу неравенства (1.4.13), обеспечивающего отрицательную определенность матрицы { fnm^ и соответствующей ей квадратичной формы.

Таким образом, замороженная скорость звука всегда больше равновесной. Более того, если часть переменных %т заморожена, а остальные находятся в равновесии с местными значениями s и и, то в соотношениях (1.8.10) — (1.8.12) следует принять д%те1ду=<), что не изменит неравенства (1.8.12), так как квадратичная форма положительна при любых значениях своих аргументов. Следовательно, замораживание каждой степени свободы приводит к увеличению скорости звука.

Равновесное уравнение состояния в квазисовершенной форме

Температура газа не войдет в уравнения движения (1.21)4(1.24) для равновесного газа (см. также § 1.7), если уравнение состояния его задать в виде р=р(р, к) или более удобном, близком к аналогичному уравнению для совершенного газа:

Р h — e RT у—1Y*—1 ’ Ро^ро^ ’*^ *

(1.9.1)

Такую форму уравнения состояния назовем квазисовершенной. Здесь Y = Cp0/cu0, цо, Сро, с^ — показатель адиабаты, молекулярный вес и теплоемкости газа в холодном состоянии (когда его можно считать совершенным). Функция Z^p, Г) является как бы мерой несовершенства газа, поскольку при Z=1 уравнение (1.9.1) совпадает с уравнением для совершенного газа независимо от вида Цр, Т). Эта функция для воздуха показана на рис. 1.7 в диапазоне температур до нескольких, сот тысяч градусов и изменяется в сравнительно небольших пределах \Z= 14-3,5), что делает такую форму уравнения состояния бо- -лее предпочтительной.

Функция 'v^p, Т) есть некоторый эффективный показатель адиабаты, введенный пока чисто формально (это название помимо сходства формулы (1.9.1) для совершенного и несовершенного газа будет оправдано ниже). Кривые у* (р, 7) для воздуха и углекислого газа СО2 приведены на рис. 1.8. Как видно,, показатель у* этих газов для высоких температур близок к единице и значительно меньше своего значения для холодного сос-

Рис. 1.7. Функции Z для воздуха при постоянных р — 10” ат (1,0110п—1 МН/м2):Рис. 1.7. Функции Z для воздуха при постоянных р — 10” ат (1,0110п—1 МН/м2):данные [35] (Т <20 ООО К);данные [23] (7> 20 000 К); hс — энтальпия при 7=1000 Кданные [35] (Т <20 ООО К);данные [23] (7> 20 000 К); hс — энтальпия при 7=1000 К

Рис. 1.7. Функции Z для воздуха при постоянных р — 10” ат (1,0110п—1 МН/м2):

Рис. 1.7. Функции Z для воздуха при постоянных р — 10” ат (1,0110п—1 МН/м2):

данные [35] (Т <20 ООО К);данные [23] (7> 20 000 К); hс — энтальпия при 7=1000 К

данные [35] (Т <20 ООО К);данные [23] (7> 20 000 К); hс — энтальпия при 7=1000 К

тояния. Молекула СО2 является трехатомной, но атомы ее расположены на одной прямой, так что эта молекула имеет лишь две вращательные степени свободы, и в холодном состоянии* у = 7/5. Однако в углекислом газе, как указано в § 1.2, очень рано возбуждаются колебательные степени свободы, поэтому поведение его отклоняется от совершенного газа значительно- раньше, чем у воздуха.

Показатель у* совпадает с отношением теплоемкостей ус = — cP!cv лишь при условии их постоянства, т. е. для совершенного газа. Этот показатель не совпадает и с величиной уе, введенной в § 1.8. В самом деле, вычисляя производную

dp’s ^ \еР W /Л Q \dh)p

(1.9.2)

с помощью уравнения (1.9.1), получим

д In Zд In рд In Zд In р(Y*- 1)(Y*- 1)dlnZ 1д In h JdlnZ 1д In h J(1.9.3)(1.9.3)

д In Z

д In р

д In Z

д In р

(Y*- 1)

(Y*- 1)

dlnZ 1

д In h J

dlnZ 1

д In h J

(1.9.3)

(1.9.3)

Отсюда следует, что у*=уе лишь при постоянной функции Z, т. е. практически лишь для совершенного газа. Однако в действительности все эти показатели незначительно отличаются между собой (для воздуха, например, видно из рис. 1.9).

Как следует из рис. 1.7—1.8, величины Z или у* являются в общем слабыми функциями энтальпии (тимпературы) и, особен-

Рис. 1.8. Зависимость у* от температуры при р=10п ат для: а—воздуха; б—углекислого газаРис. 1.8. Зависимость у* от температуры при р=10п ат для: а—воздуха; б—углекислого газа

Рис. 1.8. Зависимость у* от температуры при р=10п ат для: а—воздуха; б—углекислого газа

Рис. 1.8. Зависимость у* от температуры при р=10п ат для: а—воздуха; б—углекислого газа

но, давления (что отмечено в § 1.6). Поэтому в ограниченном диапазоне изменения р и Т можно приближенно принять у* постоянным. Тогда интеграл уравнения адиабаты §dh = dp в этой области совпадает с изоэнтропой Пуассона (1.7.14) для совершенного газа *р^*-1^\ Q = ^*p^*e Степень (у*—1)/у* для реальных условий, как следует из рис. 1.8 и 1.10, достаточно мала, поэтому энтальпия, а следовательно, и степень (у*—1)у* сравнительно слабо зависят от давления вдоль изоэнтропы (см. рис. 1.10). Это дает возможность использовать для оценок адиабату Пуассона и для реального газа.

С помощью показателей у*, уу уравнению Бернулли (1.7.10) можно придать вид, сходный с Формулой для совершенного газа, х

А + 4-^2 = ^—Н— U- = H = h fl-+-^-^^M2V il.9.4)

2 Ye Y»-1T 2I ' Y* 2)’ v ’

где N\ = Uja — местное число Маха. Если воспользоваться при-

Здесь роформулыЗдесь роформулыи до давление и плотность в точке торможения, совпадают с темии до давление и плотность в точке торможения, совпадают с темиРис. 1.9. Зависимость различных показателей адиабаты для воздуха от температуры приМ ат (1,01 105 Н/м2):Рис. 1.9. Зависимость различных показателей адиабаты для воздуха от температуры приМ ат (1,01 105 Н/м2):Рис. 1.10. Зависимость от давления при постоянной энтро- дии величин:Рис. 1.10. Зависимость от давления при постоянной энтро- дии величин:Т*=^; Че=^е/р, Ч^Су!^, ЧгУ,Т*=^; Че=^е/р, Ч^Су!^, ЧгУ,

Здесь роформулы

Здесь роформулы

и до давление и плотность в точке торможения, совпадают с теми

и до давление и плотность в точке торможения, совпадают с теми

Рис. 1.9. Зависимость различных показателей адиабаты для воздуха от температуры при

М ат (1,01 105 Н/м2):

Рис. 1.9. Зависимость различных показателей адиабаты для воздуха от температуры при

М ат (1,01 105 Н/м2):

Рис. 1.10. Зависимость от давления при постоянной энтро- дии величин:

Рис. 1.10. Зависимость от давления при постоянной энтро- дии величин:

Т*=^; Че=^е/р, Ч^Су!^, ЧгУ,

Т*=^; Че=^е/р, Ч^Су!^, ЧгУ,

ближенным уравнением адиабаты Пуассона, то получим формулы

Ро \ Qo / L ■ Y* 2 J

Эти же для совершенного газа лишь при уе^У*- Поэтому, даже при сколь угодно узком диапазоне изменения р и Т с практически постоянной величиной у*, точные уравнения не будут совпадать с аналогичными уравнениями для совершенного газа с показателем адиабаты, равным местному значению у*, так как у^у*. Однако часто у? и Y* незначительно от-

(I*—!)/!*> hjHt •• •• Т^ при начальных состояниях:

I—по=3-104 Н/м2, Го = 10 000К;

2—ро=2«104 Н/м2, Го=6500К;

3-р0 =6.10=> Н/м», Го=7000 К;

4—ло = 1,5.105 Н/м2, Го=3200 К;

5—ро = Ю7 Н/м2,Го=6700 К

личаются (см. рис. 1.9), что позволяет в ограниченной области изменения р и Т моделировать течение реального газа совершенным с показателем y=Y*«

Таким образом, влияние реальных свойств воздуха на обтекание тел будет несущественным (кроме, может быть, распределения температуры и тонкой структуры состава газа) до тех пор, пока сохраняются равенства у*=уе=у=7/5.

При у*—>1 формулы (1.9.4) — (1.9.5) можно записать в виде

_р_= е—(1. 9. 6)

Строго говоря, в (1.9.6) следует положить уе, у*=1, однако, в таком виде эти формулы более точны для реальных значений уе, у*, особенно при М< 1.

Одномерные стационарные течения.

Роль замороженной и равновесной скорости звука

Рассмотрим простейший случай одномерного стационарного течения в канале переменного сечения F^xy В этом случае из условия сохранения расхода ри F=const и из уравнения движения вдоль оси канала имеем (и — скорость газа)

_L^,+_L^l+_L^=0, q« —. (1.10. 1) Q dx a dx F dxdx dx

Чтобы замкнуть задачу, необходимо выразить производную плотности через производную давления и других величин. Заметим, что та же операция потребуется и в более общем случае, так как производная плотности входит в систему уравнений движения (1.7.1) — (1.7.6) через уравнение неразрывности, частным случаем которого и является первое уравнение (1.10.1).

С помощью уравнений (1.7.8) представим формулу (1.8.5) в виде

■ (L10-2)

Здесь а^ — замороженная скорость звука, в предельном замороженном течении Qn = 0.

Это уравнение сохраняет смысл и для околоравновесных процессов, так как при этом величины Qn имеют, как показано в § 1.7, конечный предел. При этом можно исключить из рассмотрения релаксационные уравнения (1.7.8), заменив их равновесными зависимостями параметров Яп = ЯпЛр> Т) от давления и температуры, или Я-п^ЯпАР» s) от давления и энтропии.

Поэтому для околоравновесных течений приведем уравнение (1.10.2) к более удобному и присущему таким течениям виду. Для этого положим в этом уравнении Q,nz=dяneldt, т. е. вернемся к исходному его виду (1.8.5) и используем соотношения (1.8.7) и (1.8.8), учтя при этом, что в равновесном неадиабатическом течении Т(ds/dt) =q. Тогда уравнение , (1.10.2) примет вид

« Н +«5- 5. - -- 4"' X8” НЯ 1 1 ■ w.Эа)

еР L.п хр

где ае — уже равновесная скорость звука.

Уравнение (1.10.3а) можно получить и непосредственно, по* лагая равновесное уравнение состояния заданным в виде q = — q(P> s) или ^ = р(а Т). Тогда

dQ_(dQ\ dp,[dQ\ ds -<idp . dt \dp J j dt \ ds )p dt dtdQ_(dQ\ dp,[dQ\ ds -<idp . dt \dp J j dt \ ds )p dt dtеУе =еУе =i_f^L\ = _ёД1ДЛ LT \dsip cp \dT V Vi_f^L\ = _ёД1ДЛ LT \dsip cp \dT V Vdh (p, Г) \~ dT )dh (p, Г) \~ dT )(1. 10.36)(1. 10.36)

dQ_(dQ\ dp,[dQ\ ds -<idp . dt \dp J j dt \ ds )p dt dt

dQ_(dQ\ dp,[dQ\ ds -<idp . dt \dp J j dt \ ds )p dt dt

еУе =

еУе =

i_f^L\ = _ёД1ДЛ LT \dsip cp \dT V V

i_f^L\ = _ёД1ДЛ LT \dsip cp \dT V V

dh (p, Г) \

~ dT )

dh (p, Г) \

~ dT )

(1. 10.36)

(1. 10.36)

В идентичности обоих выражений можно убедиться непос* редственной проверкой.

Отметим, что уравнение (1.10.3) в сущности нельзя формально получить из уравнения (1.10.2) никаким предельным переходом, так как при любом процессе, сколь угодно близком к равновесию, непосредственное вычисление величин Q не позволяет еще перейти от замороженной скорости звука к равновесной; для этого нужно формально положить Qn = dqneldt. Это обстоятельство, как увидим в гл. 3, вносит весьма принципиальное различие между неравновесным и равновесным течениями.

Для удобства дальнейших рассуждений запишем уравнения (1.10.2) и (1.10.3) в общем виде

^ = 4^ + еД.(1.10.4)

dt a2 dt

где для неравновесных течений следует положить а = а/, Q = — Qb а для равновесных а=ае, Q — Qe. Отметим, что в предельных случаях адиабатических замороженных и равновесных течений Q = 0.

Подставляя (1.10.4) в систему (1.10.1), получим уравнение

М2-1М=—У(1.10.5)

и dx F dx и \ dt dxа '

Пусть для начала канал имеет постоянное сечение F = const. В этом случае в адиабатических равновесных и замороженных течениях (например, совершенного газа) скорость газа будет постоянной. В общем же случае скорость будет переменной и знак ее производной будет зависеть от величин М2—1 и Q.

Из сопоставления уравнений (1.10.5) и (1.10.2) следует, что неравновесные физико-химические процессы в газе действуют подобно источникам тепла, поэтому течение такого газа в канале постоянного сечения аналогично течению в тепловом сопле. В частности, при Q>0 газ будет ускоряться при М=М/^= = ufa^>Y и замедляться при М<1, а при Q<0 — наоборот, как и для совершенного, например, газа при съеме или подводе тепла.-

Рассмотрим теперь течение в сопле Лаваля с критическим сечением или горлом в точке 0 (рис. 1.11). Будем предполагать, что перепад давлений между входным и выходным сечениями (7 и д) на рис. 1.11 достаточно велик для того, чтобы газ в сопле ускорялся всюду, так что dp[dx<0, du[dx>0. В адиабатических течениях равновесного или замороженного газа ((? = 0) в горле сопла, при dF]dx = 0, имеем М=1, т. е. реализуется клас

сечение сопла являетсягде dF!dx<0, имеем до-сечение сопла являетсягде dF!dx<0, имеем до-Рис. ЦП.Рис. ЦП.сическая ситуация, когда критическое звуковым. Вверх по течению от горла, звуковое течение М<1; вниз по течению, где dFidx>0 — сверхзвуковое М>1.

сечение сопла являетсягде dF!dx<0, имеем до-

сечение сопла являетсягде dF!dx<0, имеем до-

Рис. ЦП.

Рис. ЦП.

Но в общем случае неравновесного или неадиабатического течения звуковое сечение, определяемое обращением в нуль правой части (1.10.5), будет смещаться вверх или вниз по течению от горла в зависимости от знака Q.

Далее рассмотрим лишь адиабатические течения (^ = 0). Перейдем в правой части уравнения (1.10.5) к пределу, устремив все параметры газа к равновесным. При этом величина Q, как отмечалось выше, будет стремиться к конечному пределу, поэтому по-прежнему в горле сопла будет M^l. Но, переходя к пределу, мы сохранили число М = М/ = ^/а/, поэтому полученный результат лишь означает, что в горле сопла и^а^, т. е. -скорость не равна замороженной скорости звука. Если же выписать уравнение (1.10.5) сразу для равновесных течений, положив в нем Q = 0, а = ае, то, естественно, получим звуковую ско-

рость u = aG в горле сопла.

Вблизи равновесия по определению из уравнения (1.10.2), например, должно быть

dp dt *dp dt *^TA«-V^,.eM^

dp dt *

dp dt *

Ду dtаге diI аГе

Так как в сопле dp]dx<0, а ае<^а^ то и Q<0, поэтому значение скорости u = df достигается в расширяющейся части сопла (сечение 2 см. на рис. 1.11).

Этот анализ не дает ответа на весьма интересный вопрос о характере распространения возмущений в области между сечениями 0—2, в которой a^uz^a^ В самом деле, если вносимые в поток возмущения распространяются по газу с замороженной скоростью звука а = а/, то вследствие и<а^ они должны достигать горла сопла и влиять на течение в его окрестности. Но, если скорость распространения возмущений по газу будет равновесной, т. е. а = ае, то они будут сноситься потоком, как и пола-

гается в сверхзвуковом течении. Некоторые разъяснения этого эффекта, называемого парадоксом двух скоростей звука, будут даны в гл. 3.

Обратим внимание на следующее свойство равновесных течений. Дифференцируя равенство и=аМ и используя 1-е уравнение (1.10.1), получим

^-=Г1 + _L qM2 (—] 1 — , (1.10.8)

М L 2 4 \др Л] a 7 где производная (da2/dp)s взята при постоянной энтропии. Для совершенного газа p(^a2/^)s=y—1, поэтому число Маха в сопле увеличивается вместе со скоростью газа.

Для известных нам газов в равновесном процессе всегда \da2fdp)s>0, поэтому при течении в сопле эти газы качественно ведут себя как совершенные. Можно сформулировать более общее требование, выписав следующее равенство:

1 + 1еД =W№ , (1.Ю.9) Т 2 " \др /s 2 k dpi )s '

Если производная справа положительна, то в районе звуковой точки dNv]du>Q и наоборот. В дальнейшем (см. гл. 2, 3) увидим, что выписанная справа в равенстве (1.10.9) вторая производная удельного объема р-1 по давлению при постоянной энтропии, точнее знак ее, является важной характеристикой газов, определяющей некоторые основные свойства его течений.

Глава 2

УДАРНЫЕ ВОЛНЫ И ЗОНЫ РЕЛАКСАЦИИ

Ударные волны. Общие соотношения

При сверхзвуковом обтекании тел перед ними или внутри возмущенной области возникают ударные волны, отошедшие или присоединенные, типичные формы которых показаны на рис. 2.1. Математически появление ударных волн обусловлено невозможностью построения в этих случаях непрерывного однозначного решения уравнений сверхзвукового невязкого течения газа, физически — тем, что с ростом давления последовательные волны сжатия догоняют друг друга, усиливая первоначальное возмущение 1 (§ 3.3).

Внутреннюю структуру ударной волны, по крайней мерс, качественно можно описать уравнениями Навье-Стокса, учитывающими влияние вязкости и теплопроводности. Известно, что толщина ударной волны имеет порядок нескольких длин свободно-

Вопросы возникновения и распространения ударных волн рассмотрены в книгах [12, 18, 22, 27, 39, 46] и др. ■

то пробега, которые обратно пропорциональны плотности газа. Поэтому в достаточно плотной атмосфере (например, при полете в атмосфере Земли на высотах //^604-80 км тел размером больше 0,1 — 1 м) ударную волну можно считать поверхностью нулевой толщины.Обычно размер зоны протекания неравновесных физико-хито пробега, которые обратно пропорциональны плотности газа. Поэтому в достаточно плотной атмосфере (например, при полете в атмосфере Земли на высотах //^604-80 км тел размером больше 0,1 — 1 м) ударную волну можно считать поверхностью нулевой толщины.Обычно размер зоны протекания неравновесных физико-химических процессов, или зоны релаксации, значительно превышает толщину ударной волны. Поэтому для невязкого обтекания тела физически достоверной оказывается схема предельномических процессов, или зоны релаксации, значительно превышает толщину ударной волны. Поэтому для невязкого обтекания тела физически достоверной оказывается схема предельнотонких ударных волн с примыкающими к ним невязкими зонами релаксации. Именно этатонких ударных волн с примыкающими к ним невязкими зонами релаксации. Именно этасхема и используется всюду в нашей книге.Если же толщина зоны релаксации мала по сравнению с размером тела (или точнее с размером возмущенного слоя), то ее можно включить в ударную волну, не интересуясь структурой такого обобщенного ударного фронта (см. § 2.2).Получим теперь общие соотношения, связывающие состояние потока по обе сто-схема и используется всюду в нашей книге.Если же толщина зоны релаксации мала по сравнению с размером тела (или точнее с размером возмущенного слоя), то ее можно включить в ударную волну, не интересуясь структурой такого обобщенного ударного фронта (см. § 2.2).Получим теперь общие соотношения, связывающие состояние потока по обе сто-Рис. 2.1. Формы ударных волн при обтекании притупленного тела с изломом образующей:Рис. 2.1. Формы ударных волн при обтекании притупленного тела с изломом образующей:/ / // / поверхность тела;/ / // / поверхность тела;уплотненияуплотненияскачкискачкироны ударной волны, а также внутри невязкой зоны релаксации, примыкающей к ударной волне, если последняя столь тонка по сравнению с радиусом кривизны ударной волны, что ее можно считать плоской. Кроме того, течение в этой зоне будем считать квазистационарным в связанной с ней системе координат и адиабатическим (без внешнего притока энергии).Пусть р, р, е, U — местные значения плотности, давления, внутренней энергии и вектора скорости газа, D — скорость распространения ударной волны в пространстве вдоль вектора п нормали к ней, направленного в сторону втекающего газа. Тогда нормальная скорость газа относительно фронта ударной волны будет равнароны ударной волны, а также внутри невязкой зоны релаксации, примыкающей к ударной волне, если последняя столь тонка по сравнению с радиусом кривизны ударной волны, что ее можно считать плоской. Кроме того, течение в этой зоне будем считать квазистационарным в связанной с ней системе координат и адиабатическим (без внешнего притока энергии).Пусть р, р, е, U — местные значения плотности, давления, внутренней энергии и вектора скорости газа, D — скорость распространения ударной волны в пространстве вдоль вектора п нормали к ней, направленного в сторону втекающего газа. Тогда нормальная скорость газа относительно фронта ударной волны будет равна^ = 0— nU.^ = 0— nU.(2. 1. la)(2. 1. la)Для стационарных течений, т. е. в системе координат, связанной с фронтом, имеемДля стационарных течений, т. е. в системе координат, связанной с фронтом, имеемD = 0, vn = — nU.D = 0, vn = — nU.(2. 1. 16)(2. 1. 16)

то пробега, которые обратно пропорциональны плотности газа. Поэтому в достаточно плотной атмосфере (например, при полете в атмосфере Земли на высотах //^604-80 км тел размером больше 0,1 — 1 м) ударную волну можно считать поверхностью нулевой толщины.

Обычно размер зоны протекания неравновесных физико-хи

то пробега, которые обратно пропорциональны плотности газа. Поэтому в достаточно плотной атмосфере (например, при полете в атмосфере Земли на высотах //^604-80 км тел размером больше 0,1 — 1 м) ударную волну можно считать поверхностью нулевой толщины.

Обычно размер зоны протекания неравновесных физико-хи

мических процессов, или зоны релаксации, значительно превышает толщину ударной волны. Поэтому для невязкого обтекания тела физически достоверной оказывается схема предельно

мических процессов, или зоны релаксации, значительно превышает толщину ударной волны. Поэтому для невязкого обтекания тела физически достоверной оказывается схема предельно

тонких ударных волн с примыкающими к ним невязкими зонами релаксации. Именно эта

тонких ударных волн с примыкающими к ним невязкими зонами релаксации. Именно эта

схема и используется всюду в нашей книге.

Если же толщина зоны релаксации мала по сравнению с размером тела (или точнее с размером возмущенного слоя), то ее можно включить в ударную волну, не интересуясь структурой такого обобщенного ударного фронта (см. § 2.2).

Получим теперь общие соотношения, связывающие состояние потока по обе сто-

схема и используется всюду в нашей книге.

Если же толщина зоны релаксации мала по сравнению с размером тела (или точнее с размером возмущенного слоя), то ее можно включить в ударную волну, не интересуясь структурой такого обобщенного ударного фронта (см. § 2.2).

Получим теперь общие соотношения, связывающие состояние потока по обе сто-

Рис. 2.1. Формы ударных волн при обтекании притупленного тела с изломом образующей:

Рис. 2.1. Формы ударных волн при обтекании притупленного тела с изломом образующей:

/ / // / поверхность тела;

/ / // / поверхность тела;

уплотнения

уплотнения

скачки

скачки

роны ударной волны, а также внутри невязкой зоны релаксации, примыкающей к ударной волне, если последняя столь тонка по сравнению с радиусом кривизны ударной волны, что ее можно считать плоской. Кроме того, течение в этой зоне будем считать квазистационарным в связанной с ней системе координат и адиабатическим (без внешнего притока энергии).

Пусть р, р, е, U — местные значения плотности, давления, внутренней энергии и вектора скорости газа, D — скорость распространения ударной волны в пространстве вдоль вектора п нормали к ней, направленного в сторону втекающего газа. Тогда нормальная скорость газа относительно фронта ударной волны будет равна

роны ударной волны, а также внутри невязкой зоны релаксации, примыкающей к ударной волне, если последняя столь тонка по сравнению с радиусом кривизны ударной волны, что ее можно считать плоской. Кроме того, течение в этой зоне будем считать квазистационарным в связанной с ней системе координат и адиабатическим (без внешнего притока энергии).

Пусть р, р, е, U — местные значения плотности, давления, внутренней энергии и вектора скорости газа, D — скорость распространения ударной волны в пространстве вдоль вектора п нормали к ней, направленного в сторону втекающего газа. Тогда нормальная скорость газа относительно фронта ударной волны будет равна

^ = 0— nU.

^ = 0— nU.

(2. 1. la)

(2. 1. la)

Для стационарных течений, т. е. в системе координат, связанной с фронтом, имеем

Для стационарных течений, т. е. в системе координат, связанной с фронтом, имеем

D = 0, vn = — nU.

D = 0, vn = — nU.

(2. 1. 16)

(2. 1. 16)

Рассмотрим контрольную поверхность, ограниченную неподвижными относительно ударного фронта и параллельными ему плоскостями и поверхностью трубки тока, сечение которой (в

т. е. область самого ударногот. е. область самого ударногоРис. 2.2. К выводу -соотношений за ударной волной: ууТ7 область ударного фронта; линии тока;контрольная поверхностьРис. 2.2. К выводу -соотношений за ударной волной: ууТ7 область ударного фронта; линии тока;контрольная поверхностьплоскости, содержащей векторы п, U) показано на рис. 2.2. Поместим одну из таких плоскостей перед ударным фронтом, а другую — за фронтом произвольно в зоне релаксации таким- образом, чтобы область влияния вязкости и теплопроводности, перехода, была заключена между этими плоскостями полностью.

т. е. область самого ударного

т. е. область самого ударного

Рис. 2.2. К выводу -соотношений за ударной волной: ууТ7 область ударного фронта; линии тока;контрольная поверхность

Рис. 2.2. К выводу -соотношений за ударной волной: ууТ7 область ударного фронта; линии тока;контрольная поверхность

Поскольку параметры течения в рассматриваемой области изменяются лишь по нормали, то размеры и форма сечения трубки тока указанными плоскостями будут постоянными, а сумма сил, приложенных к ее боковой поверхности, и их работа будут равны нулю. Тогда для квази- стационарного течения в зоне релаксации законы сохранения массы (или расхода), импульса и энергии для выбранной контрольной поверхности (с единичной площадью сечения трубки то

ка) будут иметь вид (индексом «1» помечены величины до ударного фронта)

еул=бЛл;(2.1.2)

б^Д ~рп = Q^P i-pxn;(2. 1.3)

e^(e + "y- ^-pP^QAn (ух+у- u^~p^i- (2-1Л) Уравнение (2.1.2) этой системы очевидно. Уравнение (2.1.3) — тоже, если учесть, что величина (р—р-^п — единственная внешняя сила, действующая на газ и изменяющая его количество движения внутри контрольной поверхности, так как вязкие напряжения на замыкающих плоскостях по условию их расположения пренебрежимо малы. Те же замечания относятся и к -уравнению (2.1.4), в котором первый член каждой части представляет собой перенос энергии, а второй — работу сил давления.

Пусть т — любой вектор, лежащий в касательной к ударной волне плоскости, а ^т — проекция вектора скорости на него*. Умножая уравнение (2.1.3) скалярно на т, в силу (2.1.2) получим -Оч = (Ьт, т. е. касательная составляющая скорости не изменяется при переходе через ударный фронт. Тогда с учетом (2.1.2) вектор скорости за ударной волной будет равен 52

(2. 1.5}(2. 1.5}

(2. 1.5}

(2. 1.5}

U=U-А-п/Уу. (1 — 6), к=— . с

Проектируя уравнение (2.1.3) на нормаль и переходя в (2.1.4) к энтальпии h = e-\-p(p, получим следующую систему уравнений, связывающую термодинамические состояния газа до; и после ударной волны с нормальной скоростью втекания газа Vin*

/7 = ^14-61^(1 — 61/6); (2.1.6а)

6=61+4" ^«(1-61/е2). (2.1.66)

Система (2.1.6) не замкнута, так как в ней отсутствует связь р(р, Л). Эта связь может быть получена лишь из анализа термодинамической структуры зоны релаксации с помощью уравнений химической кинетики и имеет замкнутую форму лишь ь случаях замороженного и равновесного состояний газа.

Уравнение (2.1.4) или (2.1.66) для стационарных течений (или в системе координат, связанной с ударной волной) имеет важное следствие

6+^=6, +^ = Н, 6 ^ =ИА ^=Нп. (2. 1.7}

Это означает, что энтальпия торможения газа сохраняется, при переходе через ударный фронт, т. е. уравнение Бернулли, полученное в § 1.7 для стационарных течений, не меняет своей постоянной при переходе через скачок.

Отметим, что уравнения (2.1.2) — (2.1.4) инвариантны относительно систем координат. Наиболее простой вид они имеют в системе координат, связанной с фронтом ударной волны (соотношения 2.1.16). Термодинамическое же состояние газа за фронтом ударной волны зависит лишь от относительной скорости втекания газа Ущ, или скорости распространения ударного фронта по газу. Поэтому в дальнейшем анализе в пределах этой главы не будем делать различия между стационарными и нестационарными волнами, кроме случаев (например, § 2.6), связанных с изучением кинематических свойств течений за ударными волнами.

Ударные волны в равновесном газе

Предположим, что уравнение состояния газа по обе стороны ударной волны одинаково в том смысле, что существует обратимый процесс, соединяющий оба этих состояния. Это допущение не исключает, конечно, физико-химических процессов внутри ударной волны, но требует равновесного состояния газа по обе ее стороны. Оно распространяется также на любой пол. 5а

имеет еще два решения, отве-имеет еще два решения, отве-тором скачок просто отсутствует,тором скачок просто отсутствует,0500-1000 р/рпРис. 2.3. Ударные адиабаты:0500-1000 р/рпРис. 2.3. Ударные адиабаты:I—совершенный газ; у=1,4; //—воздух в равновесном состоянии с наземными условиями перед скачком; III— касательная к адиабатам и параболам в точке /:I—совершенный газ; у=1,4; //—воздух в равновесном состоянии с наземными условиями перед скачком; III— касательная к адиабатам и параболам в точке /:параболы (2.4.2); — •—•—адиабаты Пуассонаh/ht—^pfpt^-^h при 1=1,4параболы (2.4.2); — •—•—адиабаты Пуассонаh/ht—^pfpt^-^h при 1=1,4(2.2.1)(2.2.1)

имеет еще два решения, отве-

имеет еще два решения, отве-

тором скачок просто отсутствует,

тором скачок просто отсутствует,

0500-1000 р/рп

Рис. 2.3. Ударные адиабаты:

0500-1000 р/рп

Рис. 2.3. Ударные адиабаты:

I—совершенный газ; у=1,4; //—воздух в равновесном состоянии с наземными условиями перед скачком; III— касательная к адиабатам и параболам в точке /:

I—совершенный газ; у=1,4; //—воздух в равновесном состоянии с наземными условиями перед скачком; III— касательная к адиабатам и параболам в точке /:

параболы (2.4.2); — •—•—адиабаты Пуассонаh/ht—^pfpt^-^h при 1=1,4

параболы (2.4.2); — •—•—адиабаты Пуассонаh/ht—^pfpt^-^h при 1=1,4

(2.2.1)

(2.2.1)

ностью замороженный ударный переход, который протекает как будто в совершенном газе с соответствующим замороженным показателем адиабаты у/ (см. § 1.7) и не распространяется на неравновесное состояние газа перед ударной волной или горючую смесь в метастабильном состоянии, по которой бежит вол

на детонации или горения.

При заданном уравнении состояния газа q = q^P, й) система (2.1.6), кроме тривиального решения р = р\, Q = Qi и т. д., в ко

чающих скачкам сжатия kP^Pv) и разрежения <Р<Р1У

Определенность здесь вносит 2-й закон термодинамики. Изменение параметров в ударных волнах происходит практиче- ;/ ски мгновенно (по край- 1 ней мере для условий применимости модели невязкого газа) и, следовательно, с точки зрения термодинамической классификации является необратимым. Согласно 2-му закону термодинамики адиабатические необрати-

мые процессы сопровождаются ростом энтропии.

На принципе возрастания энтропии основана фундаментальная в тео

рии ударных волн теорема Цемплена, не допускающая скачков разрежения, по крайней мере, для обычных газов.

Исключая из системы уравнений (2.1.6) параметр сг^, полу

чим так называемую ударную адиабату, или адиабату Гюгонио

2 \ Qi 0 /

-связывающую всевозможные состояния газа за ударным фронтом независимо от способа определения q. В сочетании с равновесным уравнением состояния q = q(p, й) формула (2.2.1) в плоскости (р, h) даст кривую, проходящую через точку Г (рис. 2.3), описывающую, кроме того, некоторый эквивалентный удар-

ному переходу обратимый процесс, протекающий с изменением энтропии и, следовательно, с притоком тепла. Эта кривая может иметь различные ветви, расположенные справа или слева от точки 1, отвечающие сжатию с одновременным выполнением неравенств

р> pv Q>Qi, h^h^ e>ev(2. 2. 2a)

и разрежению, когда

P<Pv Q < Qv А < hv е < ev(2. 2. 26).

Ударную адиабату (2.2.1) удобно исследовать с помощью параметрического представления Л(М1Л ) и р(Мх2л), которое задается уравнениями (2.1.6), если заменить aiMin = Um, где Мщ— нормальное число Маха, a c?i — скорость звука перед скачком. Согласно § 1.8 отношение (р—Pi)/(q—Qi)—^i при p^Pi, поэтому точке / соответствует значение Мщ = 1.

Применяя соотношение (1.4.1) для вычисления изменения* энтропии вдоль ударной адиабаты с помощью (2.1.6) получим

Tds=dh-\]Qdp=^ а\^\-dM\n. (2. 2. 3)

Как видно, энтропия монотонно возрастает с увеличением' Min, поэтому s>Si при Мщ>1 и s<Si при Мщ<1. Но так как. энтропия в ударной волне должна возрастать, то оказываются допустимыми лишь ударные волны, распространяющиеся по газу со сверхзвуковой скоростью, с Min>l.

Исследуем далее окрестность точки 1. Полагая р = р(р, s) я имея в виду, что (dpldQ>)s = a^ = а\ получим разложение

61 _ 1Р — Pi i 1/^е-1 \ , „I

—+ w) \P""Pi) "Г

Q91^12\ др^ JsA

) (5”51) 61+-• • •(2.2.4)

\ ds ) рд

Индекс «s» или «р» у производных указывает на постоянный параметр при дифференцировании, а индекс «1» на принадлежность к точке 1. Последний член в (2.2.4) имеет в силу (2.2.3) более высокий порядок малости, чем (Др)2, и может быть отброшен. Комбинируя (2.2.4) и (2.1.6а), получим при Mu— 1 < Н

V^K?^) (/;-A)=mL-1 + ....(2.2.5)

21 \ др^ /зЛ

Подставляя в (2.2.3) qJq из (2.2.4), а дифференциал dMu, из (2.2.5) и интегрируя, получим фундаментальное в теория Ударных волн соотношение

^(s-sJ^TfV) (Р-Рх?^..-(2.2.6)

12 \ др^ /5,1

Поскольку s>sb то знак разности р—pi для слабых ударных ®олн зависит от знака второй производной удельного объема по .давлению при постоянной энтропии.

Исходя из свойств обычных реальных газов, примем одно из основных в дальнейшем допущение:

/ д2^-1\д / 1 А 2 Г т q / да2 > 1

\ О/?2 )здр \ q^o2 JsQ3#4 L ' 2 \ dp /$]

=Y£±Ah^—l>o |M= 2^Y(2.2.7)

Q3ai I 1 Ye + 1 k Op ]s\ k p ) v !

Для совершенного газа с постоянным уе = у это условие выполняется автоматически. Для реальных газов (например, воздух, углекислый газ), как указано в § 1.9, величина уе изменяется в небольших пределах и производная ее по давлению обычно весьма мала1 и не нарушает условия (2.2.7). Но тогда из (2.2.5) или (2.2.6) следует, что среди слабых ударных волн .возможны лишь скачки уплотнения, удовлетворяющие условиям (2.2.2).

Обобщим этот результат на конечные значения р—р^ Ударная адиабата /?(/?) непрерывна, так как при р>рх плотность Q>Qi>>0. Поэтому ударная волна может стать скачком разре- -жения лишь в том случае, если ударная адиабата, показанная на рис. 2.3, выйдя с ростом Мщ из точки 1 вправо, вновь пересечет линию р = р\. Но так как в силу соотношений (2.1.5) q=qi, h=hv при р = рх, то такое пересечение может быть только в точке Л в которой энтропия как функция состояния должна принять значение s = sb что противоречит условию (2.2.3) монотонного ее возрастания вдоль ударной адиабаты. Следовательно, физически реализуемая ветвь ударной адиабаты для газов, удовлетворяющих условию (2.2.7), целиком лежит правее точки 1 и соответствует ударным волнам сжатия.

Полученный результат, однако, не обеспечивает еще однозначного решения системы (2.1.6). Для этого нужно доказать еще, что вдоль ударной адиабаты h и р монотонно возрастают с увеличением ЬЦп , или что производная dh[dp>^ и ограничена. Дифференцируя (2.1.6а) и используя вспомогательное соотношение

получим с помощью (2.2.3) и (2.1.6а) формулу (М2 = и2/п2)

(2. 2. 8)

1 Для обычных газов справедливо более сильное неравенство (да2/др) s>0. На это и на важность знака производной ^р-^др2) 8 было указано в § 1.10.

Для совершенного газа последний член квадратной скобки? равен — (у—1)(р—рх^чр, и поэтому эта скобка всегда положительна. Для обычных реальных газов этот член также невелик по абсолютной величине, поэтому примем в качестве дополнительного ограничения на свойства газов, что квадратная скобка в (2.2.8) всегда положительна.

Но производная dpld^n и разность 1—М2 согласно (2.2.5} и (2.2.8) положительны вблизи точки 1, следовательно, так как разность (1—М2 ) ограничена, производная dp(dl^n^0 всюду. Кроме того, эти величины могут поменять знак лишь в точке,, в которой одновременно 1—М2 =0, dpldM\n—)-оо. Докажем, что* это невозможно. В этой точке согласно (2.2.3) должно быть ds]dp = 0 (касание с изоэнтропой, для которой dh[dp = ^-xy поэтому согласно (2.2.7)

_^=_/_/2^\ = — ^/^^ <°-dp dp \ Q2#2 / \ др^ )$

Следовательно, кривая Мп(р) проходила бы через точку Мп = 1 убывая, что невозможно, так как до нее было Мп<1. Таким образом доказано, что Мп<1 всюду, т. е. нормальная скорость вытекания газа из ударной волны всегда дозвуковая. Кроме того, доказано, что функция/? (М^), а в силу соотношения

-^- = —+ г —> —>0 (2.2.9) dp Q dp q

и функция Н^ или Л(М2Л) монотонно возрастают вдоль ударной адиабаты.

Отсюда следует, что каждому значению Ми при заданных Qi, рь hi соответствует лишь одна пара значений р, Н, которой в силу однозначности уравнения равновесного состояния соответствует лишь одно значение р, т. е. система (2.1.6) соотношений за ударной волной сжатия имеет единственное решение. Заметим, что монотонность увеличения плотности можно доказать лишь для совершенного газа (см. § 2.3), а для воздуха, например, плотность иногда убывает с ростом Ущ (рис. 2.4).

Из соотношения (2.2.9) следует, что наклон ударной адиабаты всегда больше наклона местной изоэнтропы. Разложим Уравнение состояния h^p, s) вблизи точки 1 в ряд

91 2q^ 6 ' дР-

(2. 2. 10)

Для изоэнтропы, проходящей через точку 1, следует положить s = sb а для ударной адиабаты — воспользоваться соотношением (2.2.6). Но так как согласно (2.2.6) рост энтропии в слабых скачках имеет 3-й порядок малости, то обе эти кривые име-

ют касание 2-го порядка в точке 1. Взаимное расположение указанных кривых показано на рис. 2.3.

Таким образом, основные результаты нашего анализа сводятся к следующему:

в обычных газах могут существовать лишь ударные волны сжатия с увеличением давления, плотности, энтальпии и внутренней энергии;

Рис. 2.4. Отношения плотностей Qi/p до и после прямой ударной волны в равновесном воздухе

заданному набору параметров перед скачком и нормальной скорости распространения его по газу соответствует лишь одно состояние газа после скачка;

— газ втекает в ударную волну со сверхзвуковой нормальной к разрыву компонентой скорости, а вытекает с дозвуковой.

Эти утверждения доказаны при определенных ограничениях на свойства газа, которые справедливы для обычных газов и выполняются точно для совершенного газа.

Из единственности решения соотношений на ударной волне следует важный вывод: равновесное состояние газа в конце плоской зоны релаксации не зависит от ее структуры и от характера процессов между сечениями до и после зоны ударного перехода. Таким образом, если толщина зоны релаксации мала по сравнению с размером тела (или с размером возмущенного слоя), то ее можно включить в ударный фронт с равновесным состоянием за ним, что значительно упрощает общую газодинамическую задачу.

Сильные ударные волны

Ударные волны называют сильными, если скорость их распространения Ущ значительно превосходит местную скорость звука с?1, т. е. при числе Маха М1П = У1п/Д1^ 1 (ниже несколько уточним это условие).

Выпишем соотношения на ударной волне для совершенного газа. Подставляя в уравнение состояния p/^h= {у—1)/у формулы (2.1.6), получим квадратное уравнение для &=qi/q, одно решение которого k= 1, а другое —

k=Y—Hy~ W (2.3.1).

6 У + 1 Y + 1 M^ \61

Подставляя (2.3.1) в (2.1.6), получим

A Y + 1 1Л Y+1 hl Тх '2 lnV

(2. 3. 2).

При М^п—>оо эти формулы приобретают вид

д, 61 lР. ^ №*_ г_ 2у(у-1)№ =

6Y + 1’PlY + 11Л’hx Тх (Y + I)2 1Л

=77Т“?..(а. з.з>

Как видно, с увеличением Мщ отношение плотностей имеет предел, зависящий лишь от у, в то время как отношения давлений и температур неограниченно возрастают.

Как указано в § 2.1, для общего случая реального газа применима схема замороженного ударного фронта с примыкающей к нему зоной релаксации. В этом случае формулы (2.3.1) — (2.3.3) применимы для расчета ударного перехода, если заменить у замороженным показателем адиабаты уу, а энтальпию h, — разностью h—йу, где Лу — связанная энергия физико-химических превращений (см. § 1.7).

Теперь рассмотрим случай равновесного состояния реального газа за ударной волной, когда система уравнений (2.1.6) носит сложный трансцендентный характер. Будем сначала считать газ равновесным по обе стороны ударного фронта и представим (см. § 1.9) его уравнение состояния в квазисовершенной форме р)^Н= (у*—1)/у*, где Y*(p, А) =эффективный показа- е тель адиабаты.

Пусть нормальное число Маха Мщ будет столь большим, что выполняются условия

(2.3.4)

Именно эти условия и будем считать в дальнейшем признаком сильных ударных волн. Тогда уравнения (2.1.6) упростятся

р^^^х-^ ^^„(i-n(2.3.5)

Подставляя (2.3.5) в уравнение состояния, получим решение

9 Y* + l ’* е 1-^’9 Y* + l ’* е 1-^’(2. 3. 6)(2. 3. 6)

9 Y* + l ’* е 1-^’

9 Y* + l ’* е 1-^’

(2. 3. 6)

(2. 3. 6)

которое формально совпадает с тем же для совершенного газа при М^—>оо. Заметим, что ввиду возможной малости разности (У*—1)> условие Л^>А1 является более жестким, чем p^>pv Поэтому из (2.2.1) получим еще более общее соотношение, чем (2.3.6), при одном лишь условии р^р<.

(2. 3. 7)(2. 3. 7)1 + ^ h — hx1 — к е — ex

(2. 3. 7)

(2. 3. 7)

которое совпадает с соотношением (2.3.6) при k>>hi в силу у*= = 1г) е.

Соотношения (2.3.5) — (2.3.6) показывают, что состояние газа за сильной ударной волной зависит лишь от нормальной •скорости ее распространения и от плотности газа перед ней, но не от его температуры или статического давления.

Отношения pfpiP^ и hfv^ в отличие от р]рх и hjhi остаются конечными при Мщ—>оо, что следует из сопоставления формул (2.3.5) и (2.3.3).

Заметим, что если формула (2.3.6) справедлива лишь для равновесного состояния газа за ударной волной, то формулы (2.3.5) и (2.3.7) справедливы для любой сильной ударной волны-, в том числе и для зоны релаксации за ней.

Отметим еще одно важное свойство сильных ударных волн. Как показано в § 1.9, для воздуха или углекислого газа при высоких температурах величина у*^!,!, т. е. весьма близка к единице. Поэтому величина к оказывается малой. Если для совершенного газа с у=1,4 минимальное значение ^=1/6, то, как следует из рис. 2.4, в реальном случае й>0,05. В этих же пределах должно изменяться отношение к и в зоне релаксации за такой ударной волной.

Следовательно, с точностью до членов порядка к для давления и к2 для энтальпии вместо (2.3.5) можно использовать простейшие формулы

(2.3.8)

показывающие, что в первом приближении давление и энтальпия в отличие от плотности и температуры не зависят (точнее, зависят очень слабо) от состояния газа за ударной волной.

На этом основан простой итерационный процесс определения равновесных параметров за ударной волной. В самом деле, полагая, например, в уравнении (2.1.6) ^ = 0, уже получим достаточно точные значения давления и особенно энтальпии, подставляя которые в уравнение состояния, получим уже реальное значение плотности, или к за ударной волной. Повторяя процесс, довольно быстро приблизимся к точному решению.

Заметим также, что малость величины к и слабое изменение у* делают очевидным монотонный характер кривых Р^\п^ и w , доказанный в § 2.2. В самом деле, пренебрегая производной dkld№Xn, из (2.3.5) получим

Драж\пДраж\п9^2(19^2(1к^ -^~Л-«^\-к^<^л2к^ -^~Л-«^\-к^<^л2dh 1 + к 1dp 2&q q(2. 3. 9)dh 1 + к 1dp 2&q q(2. 3. 9)

Драж\п

Драж\п

9^2(1

9^2(1

к^ -^~Л-«^\-к^

<^л2

к^ -^~Л-«^\-к^

<^л2

dh 1 + к 1

dp 2&q q

(2. 3. 9)

dh 1 + к 1

dp 2&q q

(2. 3. 9)

Таким образом, наклон ударной адиабаты для сильных ударных волн намного превосходит наклон адиабаты Пуассона.

Получим еще некоторые простые формулы для изменения параметров вдоль линии тока за сильной ударной волной в стационарных равновесных течениях. В § 2.2 было показано, что энтропия газа в скачке уплотнения монотонно возрастает с увеличением NV^. Следовательно, энтропию газа можно считать однозначной функцией параметров (аь рь Ущ), а при заданных условиях обтекания — однозначной функцией Ощ.

В связи с этим для задач гиперзвукового обтекания тел оказывается удобным использовать вместо энтропии эквивалентную ей величину

s = sin2a =^^///2,(2.3. 10)

где Uy — скорость обтекания, а а — местный угол наклона ударной волны.

Введем безразмерные величины q = q/pi, p=p!^iU\ h = h,IUX- Индексом «s» обозначим величины сразу за ударной волной. Тогда формулы (2.3.5) — (2.3.6) примут вид

hs = ^\-k^s, (2.3.11)

В § 1.9 было отмечено, что эффективный показатель адиабаты у* практически постоянен вдоль изоэнтропы, что дает возможность использовать и в этом случае адиабату Пуассона. Но та же величина у* входит и в формулу (2.3.11), поэтому формулы, приведенные ниже для простоты записи лишь для совершенного газа, приближенно сохраняют силу (при замене у на у*) и Для реального газа.

Подставляя (2.3.11) в адиабату Пуассона, получим следующую связь между энтальпией и давлением вдоль линии тока:.

А = А$ 14- I =i—-sV^t-W^ ^-sMipU-x^q (у),

\pj2^_fe^-Uh2

^(Y)=(i+^(i-^/7^i-(ri\24_...

\Y + 1 /

Как видно, 7^1 с точностью до величины порядка № (реально 7 = 14-1,05 при у=14-5/3), что приведет к простой формуле

А = -Ь U2^ (piQyU^-^.(2. 3. 12).

Аналогичную формулу получим и для плотности

(2.3.13)

Обратим внимание на слабую зависимость энтальпии от давления, которая пропадает совсем при y~>1, так как в этом случае 7г—s.

2

Отметим некоторые особенности ударных волн, распространяющихся по неравновесному газу. В этом случае Vtv = c^ Tt-\-hfe Так как отношение kf/h может и не быть малым, то оценки (2.3.4), определяющие признак сильной ударной волны, примут теперь вид

~= Т/М^ >> 1 ,~ (Y/ - 1) М^ >> 1, М,л =.

Рх Р1с^7х^1/

(2. 3. 14)

Здесь число Маха М]П определяется по замороженной скорости звука. Отношение плотностей до и после ударного фронта можно получить из формулы (2.3.7), положив в ней e^h^hj и задав hje в соответствии с состоянием газа за ударной волной. Пусть это состояние будет равновесным. Тогда при hflh^Q получим формулу (2.3.6). В другом предельном случае набегающего потока, замороженного относительно равновесных параметров за прямой ударной волной (в принципе это возможно в сопле высокотемпературной аэродинамической установки), состав и состояние газа не изменятся при переходе через ударную волну и Ь (у/— 1) / (у/+1).

Для воздуха или углекислого газа (как было указано выше) минимум у*~М? максимум у/ = 5/3,— если газ перед скачком полностью диссоциирован и находится в атомарном состоянии. Следовательно, отношение плотностей до и после ударной вол-

ны может изменяться в широких пределах к = 0,054-0,25 в зависимости от степени замороженности набегающего потока, т.е. от отношения hj!H.

Зона релаксации за ударным фронтом

Рассмотрим некоторые общие свойства ударных волн в рамках схемы предельно тонкой ударной волны, включающей в себя полностью область влияния вязкости и теплопроводности, и примыкающей к ней зоны релаксации, в которой протекают физико-химические процессы (см. § 2.1).

В такой постановке ударный переход следует считать замороженным и рассчитывать его по формулам совершенного газа (соотношения (2.1.6), (2.3.1) — (2.3.2) для плотности, давления и температуры). Замороженный показатель адиабаты у/ вычисляется по формуле (1.7.13) по параметрам перед ударной волной. В отличие от (2.3.2) отношение температур будет равно

Т'/7'1 = (А-А/)/(А1-А/), где hj — связанная энергия физике-химических превращений, определяется формулой (1.7.12).

В последующей зоне релаксации давление, энтальпия и скорость газа связаны с плотностью теми же соотношениями (2.1.2) — (2.1.6), которые справедливы, как указано в § 2.1, в любой стационарной невязкой волне. Состояние газа в зоне релаксации изменяется непрерывно, поэтому, дифференцируя формулы (2.1.6) при постоянном значении Ui„, получим, как и следовало ожидать, уравнение адиабаты для непрерывного процесса

Qdk = dp = —Q^^d — .Qdk = dp = —Q^^d — .(2.4.1)(2.4.1)

Qdk = dp = —Q^^d — .

Qdk = dp = —Q^^d — .

(2.4.1)

(2.4.1)

В плоскости (р, р-1) «давление — удельный объем» любое состояние газа в зоне релаксации, как следует из (2.1.6а), лежит на одной прямой

Р — Р1е^-е-1Р — Р1е^-е-1= 62А-= 62А-

Р — Р1

е^-е-1

Р — Р1

е^-е-1

= 62А-

= 62А-

а в плоскости (р, к) — на параболе

612q^„612q^„(2.4. 2)(2.4. 2)

612q^„

612q^„

(2.4. 2)

(2.4. 2)

которую можно получить, исключив к из соотношений (2.1.6) (для краткости ниже будем называть ее просто параболой).

Хотя эта кривая согласно (2.4.1) касается в каждой точке местной адиабаты — замороженной изоэнтропы, ей, однако (в отличие от ударной адиабаты в постановке § 2.2), не соответствует никакой обратимый процесс, и она поэтому не является изоэнтропой, так как изменение плотности вдоль нее не отвечает никакому равновесному процессу.

- Рассмотрим сначала случай равновесного состояния газа перед ударной волной. Построим в плоскости (р, к) две ударные адиабаты (2.2.1): замороженную, вычисленную с помощью замороженного уравнения состояния (1.7.13), и равновесную, соответствующую равновесному уравнению состояния Р^Р(р, к^ (кривые / и // на рис. 2.3). Эти кривые имеют общую касательную в точке 1 с наклоном dk]dp—p^ и отличаются в ее окрестности лишь вторыми членами разложения (2.2.10), из которых следует, что равновесная адиабата лежит не выше замороженной, поскольку замороженная скорость звука °/i не меньше равновесной aei. Но в дальнейшем равновесная адиабата может

располагаться ниже или выше замороженной в зависимости от того, будет ли плотность в зоне релаксации возрастать или уменьшаться .

В точке 1 парабола (2.4.2) (пунктир на рис. 2.3 и 2.5, о) касается обеих адиабат / и //. Пусть У1П>«/1 (случай n/i>yi7? >n5i рассмотрим позже). Тогда вблизи точки / параболы будут лежать выше обеих адиабат. Но в точ-

Рис. 2.5. Ударные адиабаты (сплошные) и параболы (пунктир)Рис. 2.5. Ударные адиабаты (сплошные) и параболы (пунктир)

Рис. 2.5. Ударные адиабаты (сплошные) и параболы (пунктир)

Рис. 2.5. Ударные адиабаты (сплошные) и параболы (пунктир)

ке р=A + pi^ Я на параболах /i=/ii+V2yi^ dhfdp^, а на ударных адиабатах А=/г1 + 1/2^21Л(1+^). Следовательно, последние проходят выше параболы, которая пересекает обе адиабаты при любом их взаимном расположении, причем по одному разу, так как параметр ищ ссгласно' § 2.2 монотонно возрастает вдоль этих адиабат. Поэтому процесс ударная волна — зона релаксации может быть описан так: вначале газ из состояния 1 скачком переходит в состояние 2 на замороженной адиабате 1, а затем по отрезку (2—3) параболы непрерывно переходит в состояние 3 на равновесной адиабате II.

Пусть теперь ударная волна распространяется по газу, пребывающему в неравновесном состоянии. Такая ситуация возможна при обтекании тел сложной формы, когда внутри возмущенной области возникают скачки уплотнения, или при обтекании тела в высокотемпературной установке, в сопле кэ- торой газ может быть заморожен и т. д. При этом газ перед ударной волной может быть заморожен относительно более горячего или более холодного состояния, со скрытой теплотой h^ соответственно большей или меньшей равновесной (причем, это расхождение может быть значительным, порядка величины энтальпии торможения).

Эти случаи в значительной степени аналогичны процессам детонации, горения, конденсации2. В общих чертах и опишем картину подобных течений

в рамках сформулированной выше схемы ударная волна — невязкая зона релаксации.

Условное изображение этого процесса дано на рис. 2.5, а. Соответствующие ударные адиабаты III и IV описываются теми же формулами (2.2.1), но не должны уже проходить через точку 1 (и пересекаться с замороженной адиабатой IV так как Для этсго равновесное и неравновесное значения плотности при одинаковых р и h должны совпасть, что маловероятно. При этом общие соотношения (2.2.3) и (2.2.8) остаются справедливыми, так как при их выводе нигде не использовалось условие прохождения ударных адиабат через точку 1, поэтому вдоль этих адиабат имеем

dsdv\ndsdv\n> о,> о,(1-м^)(1-м^)dpd^ndpd^n> 0.> 0.(2.4.3)(2.4.3)

dsdv\n

dsdv\n

> о,

> о,

(1-м^)

(1-м^)

dpd^n

dpd^n

> 0.

> 0.

(2.4.3)

(2.4.3)

Если процесс в зоне релаксации протекает с увеличением плотности, то соответствующая адиабата III будет располагаться правее и ниже кривей I, а зона релаксации изобразится отрезком параболы 2—4 между адиабатами I и ///. Нескольку эти параболы идут тем выше, чем больше Уш, то вдоль адиабаты III при движении слева направо ^m>0, ds>0, а при обычной реальной ее форме и dp>0, а следовательно, и Мп<1.

Пусть теперь процесс в зоне релаксации идет с уменьшением плотности. Тогда равновесные ударные адиабаты IV будут лежать выше и левее адиабаты /. Парабола, соответствующая достаточно большой скорссти Uin, может пересечь адиабату IV дважды, в этом случае реальному процессу будет соответствовать отрезок 2—5; дальнейшее движение вдоль параболы лише г: смысла, так как газ, достигнув равновесия в точке 5, не будет в одномерном течении менять свои параметры. Такого пересечения может не быть совсем, если скорость Уш невелика. И, наконец, при некоторой величине Уш возможно касание параболы и адиабаты IV ^ точке -6. Тогда согласно уравнению (2.4.1) в этой точке вдоль ударной адиабаты ds=0, а в силу (2.4.3), duin—Q и Мп = 1 (что невозможно, например, для равновесной адиабаты II > рассмотренной в § 2.2).

Такие точки в теории детонации называют точками Жуге. Они делят адиабату IV на две ветви. Правую ветвь, соответствующую реальному процессу, параболы пересекают слева направо, поэтому наклон ее больше наклона парабол, следовательно, при удалении по ней вправо от точки касания 5 имеем dvin>^ ds>0, dp>6, Мп<?1, т. е. более скоростные и мощные ударные волны. (Можно показать, что вдоль левой нереальной ветви справедливы обратные неравенства [39; 46]).

Рассмотрим слабые ударные волны, скорость распространения которых меньше замороженней скорости звука а^> ощ> 0ei. Так как 3-й член в разложении (2.2.10) положителен согласно' условию (62p-V^'2)s>0, то соответствуют,ие параболы (см. рис. 2.5, б) идут ниже адиабаты /, но выше //. Поэтому в этом случае ударный процесс невозможен, а соответствующее состояние 2 или 3 на равновесных адиабатах II, III может быть достигнуто лишь непрерывно вдоль дуги параболы 1—2 или 1—3.

Аналогичная стационарная зона релаксации с уменьшением плотности при равновесном состоянии в точке 1 невозможна, так как конечная точка соответствующей параболы должна лежать на продолжении адиабаты // в области p<pi, что запрещено 2-м законом термодинамики (случай неравновесного начального состояния, относящийся к теории горения, анализировать не будем).

§2.5. Решение задачи о структуре зоны релаксации.

Бинарное подобие

Рассмотрим математическую постановку задачи о структуре зоны релаксации за прямолинейной ударной волной. Для этого обратимся к полной системе уравнений движения неравновесно-

го газа § 1.7. Ударную волну будем считать неподвижной, газ втекает в нее со скоростью Ущ = U>atv Направим оси х, у вдоль ударной волны и внутренней нормали к ней. Тогда для плоской зоны релаксации уравнения неразрывности, движения и энергии примут вид

д^угх диopдкдрm с

—— = 0, ри=—_2_ о= —^-.(2.5. 1

дудудудуду

Эти уравнения имеют интегралы, которые с учетом условий (2.1.6) на ударной волне, при у=0, представляют собой продолжение этих условий на область зоны релаксации

QT^Qpr, p+qv^p^q^, h.^-^-tP^h-vV-^-U2 (2.5.2)

(индекс «1» относится к величинам перед ударной волной).

Кроме того, имеются два конечных соотношения: уравнение состояния и формула для энтальпии

R т 1с, 1

р=— qT, —= Л — =,

(Лfl^^ fl;р(ул)

h=h{T. q^^Cihi, It^lW^i- (2.5.3)

Здесь сохранены те же обозначения, что и в § 1.7, через qn обозначены или концентрации с^ или е^ — удельная энергия к-и внутренней степени свободы z-й компоненты. И, наконец, уравнения химической кинетики и релаксации запишем в общем виде (1.7.8)

-^-=Qn^ qN, Р, П п=\, ..., N. (2.5.4) a t

Таким образом, задача о,структуре зоны релаксации сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (2.5.4) и пяти конечным соотношениям (2.5.2) — (2.5.3). Начальные условия для них на внутренней стороне ударной волны (у = 0) есть условия замороженного ударного перехода, т. е. сохранения состава и состояния внутренних степеней свободы газа

Ci = civ eW = eW или qn=qnV(2.5.5)

Возможны упрощенные схемы, например, когда зона колебательной релаксации много меньше зоны протекания химической реакции !. В этом случае можно предположить, что на внутренней стороне ударного фронта колебания возбуждены равновесно, а состав еще заморожен, и вместо (2.5.5) использовать условия е<’)=е<”>(Г), ci = civ

Решение системы (2.5.2) — (2.5.5) можно представить в следующем общем виде:

^^«(WeiA). е=е(Л и, е1( хд т=ту, и, qv хд

p = p^,U,QxAi\ h.=h^UyQxAt\ Xi^^nx, Px, hx, Tx). (2.5.6) Связь времени движения частиц с расстоянием ее от ударной волны задается уравнением

= при y=QxU\—. (2.5.7) dtQJ Q

0

Для сильных ударных волн (Ai<^t/, Qi<^p) задачу можно несколько упростить, положив в зоне релаксации в соответствии с § 2.3 р и h постоянными. Кроме того, такое решение не будет зависеть от давления pi и энтальпии hi (температуры Ti) в невозмущенном потоке.

Рассмотрим зону релаксации за ударной волной, бегущей по холодному невозмущенному газу, в котором при нагреве все реакции могут протекать лишь бинарным образом. Такая задача наиболее типична для атмосферы Земли и других планет. Этот случай описан в § 1.5, там же показано, что уравнения химической кинетики при этом имеют вид

-^=,у^-=рМт' т^* ciWMT' т^ ciY (2.5.8) где коэффициенты Гц пропорциональны произведениям концентраций исходных компонент и, кроме того, экспоненциально зависят от температуры, которая достаточно велика за сильной ударной волной в совершенном замороженном газе, что следует из формул (2.3.2). Поэтому коэффициенты Гц вблизи ударной волны достаточно велики. В то же время коэффициенты Fat пропорциональны произведениям образующихся за счет реакций компонент, которых в случае первоначально холодного газа при замороженном ударном переходе сразу за ударной волной нет. Поэтому на начальном участке зоны релаксации, где состояние газа еще далеко от равновесия, вторым членом справа (2.5.8) можно пренебречь. Времена релаксации, входящие в уравнения

релаксации внутренних степеней свободы (см. § 1.3), обратно пропорциональны давлению, поэтому правые части этих уравнений тоже пропорциональны р.

Тогда система уравнений, описывающих структуру начального участка зоны релаксации с учетом равенства q1U=qu, примет вид

=^"^77=^ГЛ ’ ё=7- (2-5.9)

Pl dt QQi dy Щ Qi

Соотношения (2.5.2) и (2.5.3) при переходе от р, q к р, р почти не изменят вида и главное не будут зависеть от плотности перед ударной волной, поскольку pt = pifpi = a^l^. Поэтому решение системы (2.5.9), т. е. набор функций Т, р, q, qn и т. д., будет зависеть лишь от начального состава и состояния газа, от скорости ударной волны и от произведения р^у или pit и не зависит явно от плотности Qi и координат у, t. Величины же р и р, а также число частиц z-й компоненты гц в единице объема будут пропорциональны рь

Это есть закон бинарного подобия, который дает простую зависимость pi6 = const для масштаба 6 основного, начального участка зоны релаксации от плотности Qi перед ударной волной. Заметим, что этот закон справедлив и в том случае, когда зона релаксации внутренних степеней свободы включена в ударную волну, и справедлив для всей зоны релаксации, если в ней идут лишь процессы возбуждения внутренних степеней свободы.

В подтверждение закона бинарного подобия и для иллюстрации характера структуры зоны релаксации для воздуха на рис. 2.6 приведены несколько кривых, полученных численным интегрированием системы (2.5.2) — (2.5.5) для плотностей Qi, отличающихся в двести раз. Эти кривые расходятся лишь вблизи равновесных значений параметров, которые согласно условиям равновесия (1.5.3) существенно зависят от плотности. Эта зависимость особенно сильна для компонент, равновесные концентрации которых малы, что следует, например, из условий равновесия (1.5.5). В самом деле, если равновесная концентрация атомов се близка к единице, то равновесная температура будет незначительно зависеть от давления, а концентрация молекул 1—c^^i. Наоборот, при се<1 получим с^р^.

Рассмотрим асимптотический характер решения в околорав- новесном участке зоны релаксации на простом примере бинарной смеси, для чего воспользуемся несколько измененным уравнением (1.5.12)

dC de Се~ °2 1 =PQf кТ^Се "УС —Сес) ^ £ ^^ dt dy Т! ’ Т! 9^(1 — Се) (Се + с)

В рассматриваемой области величины у, се и ti можно считать постоянными. Тогда это уравнение будет иметь решение

с=-=^^^P^f-.^L^L-. (2.5.12)

СеА-СVTi Q3^q2(1— Ce)

A = const

Первый множитель в co зависит в основном от скорости U и от температуры Т, а от плотности Qi зависит слабо. Поэтому

Рис. 2.6. Зависимость плотности, температуры и массовой концентрации окиси азота NO в зоне релаксации в воздухе с равновесно-возбужденными колебаниями молекул за ударной волной от переменной Г] = р1 у г/см2 10—4:

Г = 7к-м/с; Г^ЗООК; Q5/Qt = 8, 7^/71=60,6;

7—Qi=1,8.10-5 г/см3 (//=30 Rm);

2—Qi =4,0-10“6 г/см3 (//=40 км);

3—qv =9,3’10~^ г/см3 (/7=70 км); пунктир—равновесныезначения

основную зависимость от Qi поставляет второй сомножитель. Присе<^1 согласно (1.1.5) се —р^У2 и ш^рр2. Наоборот, при 1—се<^1 имеем (D~pi, т. е. околоравновесный участок зоны релаксации также подчиняется закону бинарного подобия.

- Заметим, что (2.5.12) есть точное решение задачи о структуре всей зоны релаксации для случая слабодиссоциированных

зон, когда с^се<С\. В этом случае величина со постоянна и ее можно вычислить по параметрам сразу за ударной волной, а А=(се—Ci)/(ce+G), где Ci — концентрация атомов перед скачком.

Отметим некоторые особенности ударных волн, распространяющихся по неравновесному газу. Начальный состав газа (при

Рис. 2.7. Профили концентраций, температуры и плотности в зоне релаксации идеально-диюсоциирующегс газа: слева (7 = 7,5 км/с; справу (7 = 3 км/с;температура;

7—<?1 —С£1=0; 2—Ci=0,5; 3—Ci = l

заданных плотности и скорости газа перед ударной волной) может сильно влиять на структуру зоны релаксации, что следует из рис. 2.7, где приведены соответствующие данные для бинарной смеси идеально-диссоциирующего газа. В этих случаях ввиду различных концентраций атомов перед скачком при достаточно больших теплотах диссоциации ho существенно различными оказываются энтальпии торможения газа

(c^ — U2 М~2)

при практически одинаковых (см. § 2.3) давлениях p^'pit/2. Поэтому в таких ударных волнах и конечные равновесные состоя-

ния могут заметно отличаться, на что уже обращалось внимание в § 2.3 и 2.4.

§ 2.6. Косой скачок уплотнения

Выше основное внимание было уделено термодинамике ударных волн, зависящей от нормальной скорости Ущ их распространения. Теперь рассмотрим косые скачки уплотнения. Получим формулы для составляющих и, и, w вектора скорости U в произвольной декартовой системе координат х, у, г. Для этого спроектируем последовательно на эти оси уравнение (2.1.3) или (2.1.5):

б^ш (« — «1) = пх (р — рх), и — их = пх-и1п (1 — ку

^I'Um^-'Ui^n-ykp-Р1У v-v^nyV^X-ky ( ^=-^-) (2.6. I) V о /

№„ (та - W1)=пг (р- рху w - ^ = про1п (1 - к).

Здесь Пос, пу, nz — направляющие косинусы нормали к ударной волне, направленной (как и в § 2.1) в сторону втекающего газа. Пусть форма ударной волны задана в общем виде F(x, у, z, Z) =0. Тогда

nx=Fxl^ ny=Fyl^ nz = FX,(2.6.2)

А = ]/^+^+^.

Скорости движения точек поверхности удовлетворяют условию

dF Ftdt^ F Xdx + Fyd у + F Zdz = 0, из которого получим формулу для скорости распространения ударной волны в пространстве вдоль нормали

dx , du , dzn

D=^tl..V Пп —-V^z= ~—(2. b. 3)

x dt 1 U d^ 12 dtL1'

Если эти формулы не удовлетворяют выбранному направлению нормали, то знаки их правых частей следует изменить на обратные.

Рассмотрим далее некоторые свойства стационарных скачков уплотнения (0 = 0, уп =—07). Пусть а — местный угол наклона скачка, т. е. угол между скачком и вектором скорости U\ набегающего потока в плоскости течения, содержащей векторы Щ. п- Пусть далее 9 — угол поворота вектора скорости при переводе через скачок. Тогда

^ = 0^ sin а, ^и = ^х = и± cos а, ^ = ^7?^ = ^^ sin а, (2.6.4)

и из геометрических соображений получим

-^- = tg (a — 6) = ^tg а(2. 6. 5)

или, полагая g = tgO, T) = tga,

№2_(i_mT] + !; = 0 или С =(2.6.6)

1 + Лт]2

При g—>0 возможны два решения: одно (т]->оо) соответствует прямой ударной волне, а другое — скачку исчезающей интенсивности (или звуковой волне), в котором р—^ь ру^Рь При этом (р—Pi)!(q—Qi)—hz2, где at — скорость звука в‘том процессе, который сопутствует распространению слабого возмущения. Тогда из (2.1.6а) следует

^1п = и± sin a = a1 или т) = (М?—1)“1/2,

где Mi=[7i/ai — полное число Маха. Такая волна называется волной Маха.

Таким образом, функция T](g) — двухзначная, а функция S(n) в некоторой точке go=tg9o, zno = tgao имеет максимум. Следовательно, поворот потока в скачке на угол больший, чем 9 о, невозможен, и если заостренное тело имеет при вершине угол 6 >0 о, то перед ним возникает не присоединенный скачок, а отошедшая ударная волна. Ветвь решения ц+^цо с большим давлением за скачком называют сильной ветвью скачка, а г]-<:т]о— слабой. Точка ветвления (go, т]0) определяется из уравнения dg/A] = 0, где

^С = (1—/?) (1—Ь]2)-ч (1^ д__ Qi \6 7)

dT](1 + ^2)2’\^ ’о /

Представляет интерес взаимное расположение точек ветвления (go, т|о) и звуковой (g*, г)*,) в которой за скачком М2=1:

М2 = — =,(2. 6. 8)

fl2 Y^[(l-^)^2 + С(1 +-q2)]'

Выясним это для совершенного газа (уе=у). Согласно (2.3.1)

•п(1_2 (!-^о)_2(^-ад I

Дам2^2\ y +1 /

(2. 6. 9)

Исключая из (2.6.8) величину с= (k—^о)/(1+^о) и положив М>1, получим вспомогательное неравенство

1-^о>^(1"^112.(2.6.10)

Наконец, исключив в формуле (2.6.7) величину к' с помощью (2.6.9) и заменив комплекс &(1—&)т]2 в числителе его верхним значением 1—ко, получим другое неравенство:

d^ (1 + кт^У

Таким образом, для совершенного газа сверхзвуковой участок ударной волны соответствует восходящей слабой ветви кривой ^(т])> а точка ветвления лежит в дозвуковой области. За сильным скачком течение при этом дозвуковое, а за слабым «сверхзвуковое, кроме некоторой окрестности предельно больших углов отклонения 0 ^9о-

Величины т]о и т]* удовлетворяют равенствам

№ =(2.6.11)

01 — к* i—k

которые преобразуются в биквадратные уравнения, если исключить к с помощью (2.3.1). При М1П—>-оо имеем k-^k^ так что -Н^-^-При Мт—>1, очевидно, &-И и ао-^а*—^л/2, такчто «о—а^->0 в обоих предельных случаях. Вычисления показывают, что эта разность невелика, не превышает при у= 1,4 нескольких градусов и, как легко убедиться, разлагая в (2.6.11) к в ряд по М~2, и убывает с увеличением числа Маха как М~2 (рис. 2.8).

Для реального равновесного газа определенных результатов получить не удается. При гиперзвуковых скоростях, как показано в § 2.3, ^=(у*—1)/(у* +1), где у*— эффективный показатель адиабаты в уравнении состояния p/^h = (у*—1)/у*.

Величины т]* и г|0 при Мщ-^оо удовлетворяют равенствам

^2=1-(1-^-1 г, 1Я—. (2.6. 12)

* L т* ' J^i/z

Величина к обычно мала и изменяется сравнительно слабо (см. рис. 1.10 и рис. 2.4). Так как т]о~т1* ^к~ч\ то углы do и а* близки к прямому (л/2—а^ 104-30° в реальном диапазоне у= 1,145/3). Эти углы незначительно различаются, поэтому величину к в обеих формулах (2.6.12) можно считать одинаковой.

Взаимное расположение точки ветвления и звуковой зависит от величин уе/у*, dkjdvin и к. При этом ситуация может быть в принципе любой, хотя для воздуха, например, Ло^ , как и для совершенного газа, что следует из рис. 2.8.

Выбор нужной ветви скачка определяется формой обтекаемого тела и является далеко не простым делом. Для заострениях тел присоединенный скачок всегда соответствует слабой ветви, что, по-видимому, объясняется несовместимостью обычно

дозвукового течения за сильным скачком с влиянием донного разрежения за телом конечных размеров. При обтекании тупого тела передняя часть отошедшей ударной волны соответствует сильной ветви, а удаленная вниз по потоку — слабой. Поэтому

Рис. 2 8. Предельный (а0) и звуковой (а*) углы я—для равновесно-диссоциирующего воздуха (/—^7=66 км,

II—Я=30 км), б— иля совершенного газа 7 = 1,4

^"tg ^oi'z]* = tga#1//^

теоретически легко построить пример течения с сильной ветвью присоединенного скачка: для этого достаточно заменить какую- либо линию тока, проходящую через передний участок отошедшей ударной волны, жесткой поверхностью. Причем, конец этой поверхности должен лежать в сверхзвуковой области с тем,что-

бы исключить влияние концевых возмущений на предшествующее течение. Этот пример, однако, является несколько экзотическим, поэтому впредь под присоединенным скачком будем всегда подразумевать его слабую ветвь.

Глава 3

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ свойства уравнений

НЕРАВНОВЕСНОГО ТЕЧЕНИЯ ГАЗА

§ ЗЛ. Структура и некоторые свойства уравнений течения реального газа

В декартовой системе координат (х, у, г) с составляющими скоростей и, и, w соответственно система уравнений (см. § 1.7), описывающая неравновесные течения газа, примет вид

du 1 др dv 1др dw 1др ^ }

dtq dx’ dtqdy' dtQdz ’

( dd , d . д , д \

=у иУт)Уту ;

\ dtdt дх dy dz /

^_+edivZV^-^-+div(Q^)=O,(3.1.2)

/div —-^-4-+, СР — гР-учту-чзУУ

\ dx dy dz/

^L=Qn, п = У N;(3.1.4)

р=-^>Т, h=h(T, qX(3.1.5)

I*)

Уравнения химической кинетики (3.1.4) записаны в общей форме, qn — есть концентрации компонент или энергии внутренних степеней свободы е^\

Рассмотрим некоторые свойства выписанных уравнений. Система (3.1.1) — (3.1.5) квазилинейна, т. е. линейна относительно старших производных (первого порядка в данном случае), но нелинейна относительно искомых функций. Решение этой системы определяется заданием начальных и граничных условий, которые могут быть весьма разнообразны и будут сформулированы в соответствующих разделах для рассматриваемых конкретных задач.

(3. 1.6)(3. 1.6)Уравнение неразрывности единственное из системы содержит производную плотности. Исключим ее с помощью общей формулы (1.10.4)

(3. 1.6)

(3. 1.6)

dt eft dt

В общем _случае неравновесных течений здесь следует положить a = af, Q = Qf, а для предельных равновесных течений а = = ае, Q=Qe. Здесь aj = yfpl^ и а^=^ер)^ — квадраты замороженной и равновесной скорости звука, а функции Qj и Qe определены соотношениями (1.10.2) и (1.10.3^. Для адиабатических замороженных или равновесных течений Q = 0,

Формула (3.1.6) указывает на важную роль скорости звука, которая войдет теперь в коэффициенты уравнения неразрывности (см. § 1.10). Отметим еще, что в обоих предельных случаях замороженных и равновесных течений уравнения (3.1.4) решать не нужно. Аналогичная картина может быть и в промежуточных равновесно-замороженных течениях, когда часть степеней свободы или концентраций заморожена, а остальные изменяются квазиравновесным образом.

Выпишем уравнение неразрывности для нестационарных плоских и осесимметричных течений. Если (х, г) декартовы или цилиндрические координаты (в последнем случае г — расстояние до оси симметрии), а и, v — составляющие скорости по этим осям, степени v = 0; 1 соответствуют плоскому или осесимметричному течениям, то это уравнение можно представить в виде

(3. \Л,

Заметим, что остальные уравнения системы (3.1.1) — (3.1.4) почти не изменят вида для рассматриваемых течений, в них следует лишь заменить у на г и положить ш = 0. Для нестационарных одномерных течений в том числе и со сферической симметрией в них и в (3.1.7) следует положить еще и = 0 и v = 2.

С помощью (3.1.6) преобразуем уравнение (3.1.7) к виду

др х и др х -и др х да , д-и __} g

grz2 dt Qa^ дх Qcft dr дх dr’7

Q=Q+v—•r

Это уравнение имеет интересную особенность: интенсивность внешних источников тепла, химические источники и член, обусловленный цилиндрической или сферической симметрией, входят одинаково в член Q.

Уравнение неразрывности (3.1.7) для установившихся дву-' мерных (д/д/=О) и нестационарных одномерных (д/5х = 0) течений допускает существование функций тока ф и т соответственно (т — чаще называют переменной Лагранжа), определяемых уравнениями

^L=^L=-Cq^,=Д1.9)

dt dxdrdr

Если произвольную постоянную положить С=(2л)^ при v = 0; 1 и С = 4л при v = 2, то легко убедиться, что для установившихся течений разность ф(х2, г2)—ф(%1, п) — есть расход газа через отрезок любой кривой г(х^ (или соответствующую поверхность вращения при v=l) с крайними точками хь н и х2, г2, а для нестационарных разность m^t, г2)—m^t, п) — есть масса газа, заключенная между плоскостями, окружностями или сферами (при v = 2) с г=г^ и г=гг.

2 dwdv g dudwx dydz ' udzdx ’2 dwdv g dudwx dydz ' udzdx ’В теории течения жидкостей и газов важно понятие «вихря», т. е. вектора Q = rotn с компонентами (в декартовых координатах)

2 dwdv g dudw

x dydz ' udzdx ’

2 dwdv g dudw

x dydz ' udzdx ’

2г = ——. (3. 1. 10)

dxdy

При Q = 0 уравнения (3.1.10) удовлетворяются одной функцией-потенциалом, производные которой по х, у, z равны соответственно скоростям и, v, w. Поэтому безвихревые течения называют еще потенциальными. С существованием потенциала связан довольно мощный аналитический аппарат для исследования свойств таких течений. Поэтому для уяснения ситуации в общем случае реальных газов получим формулу для вихря в простом случае двумерного установившегося течения, в котором вихрь направлен по нормали к плоскости течения. Первые два уравнения (3.1.1) для этого случая преобразуем к виду Громе- ки-Лемба:

^21 др— —£—^dxq dx^21 др— —£—^dxq dx<3. i. п)drq dr<3. i. п)drq dr

^21 др

— —£—^

dxq dx

^21 др

— —£—^

dxq dx

<3. i. п)

drq dr

<3. i. п)

drq dr

Умножив уравнения (3.1.11) соответственно на и и и и вычитая, получим общую формулу

uq=—L^e(и — =Д-Ъз. 1. 12)

q dn 2 dn \ dndx dr /

где д/дп — производная по нормали к линии тока ф = const. Для получения более прозрачных результатов исключим отсюда давление с помощью общей термодинамической формулы (1.4.8):

— dp-=dk--TdsJr^^^ndql

Смысл коэффициентов фп ясен из сопоставления с исходной формулой. Для нас здесь важно лишь то, что сумма 2фп^п = 0 при равновесии системы. Тогда формулу (3.1.12) приведем к виду 2^(2лг)’еГ7’^-^-у:Ря-^-), (з. 1. 13)

Следовательно, равенство Q=0 возможно (если исключить какие-либо специальные случаи) лишь при постоянных энтропии и энтальпии торможения и то лишь в предельных случаях — либо замороженного течения с постоянным составом, либо равновесного.

Таким образом, в динамике реальных газов практически не приходится иметь дело с безвихревыми, или потенциальными течениями, так как даже в изоэнергетическом потоке (//=const), однородном далеко впереди тела, вихрь будет возникать благодаря химическим реакциям или при больших числах Маха за счет неравномерного изменения энтропии в криволинейном скачке уплотнения, возникающем перед телом (см. гл. 2).

Рассмотрим более простой случай равновесного или замороженного течения газа за криволинейной ударной волной, образуемой при обтекании тела сверхзвуковым однородным потоком. Тогда

-^-=(2л)^. (3.1.14)

Поскольку энтропия в таких течениях сохраняется вдоль линий тока, то вдоль них будет сохраняться и комплекс слева в (3.1.14). В изоэнтропических течениях Q = 0. Вдоль линий тока в плоском течении несжимаемой жидкости вихрь постоянен (Q = const), а в совершенном (или замороженном) газе изменяется как Q~ Гр.

Характеристики уравнений с двумя переменными

В теории течения газов фундаментальную роль играют характеристические поверхности соответствующих уравнений, смысл которых заключен в следующем. Поставим, например, в случае стационарного течения для системы (3.1.1) — (3.1.5) с тремя независимыми переменными задачу Коши, или задачу с начальными данными, т. е. на некоторой начальной поверхности 5 зададим все искомые функции, а следовательно, и их производные по двум любым касательным к ней направлениям. Таким образом, из трех производных первого порядка от каждой искомой функции две на поверхности 2 можно считать известными, а неизвестные «выводящие» производные по нормали п к поверхности можно в принципе определить из системы (3.1.1) —-

которая является замкнутой системой линейных алгебраических уравнений относительно этих производных. Аналогично, с помощью последовательного дифференцирования уравнений и начальных данных, если оно допустимо, можно определить и старшие нормальные производные и, следовательно, представить решение в окрестности начальной поверхности в виде ряда

\ дп к 2\ дп2 о

Но совокупности начальных данных на поверхности 2, несмотря на их полноту, могут и не дать возможности определить нормальные производные однозначно. Такие поверхности называются характеристическими. Они обладают рядом важных свойств, которые опишем несколько позже.

Для уравнений с двумя независимыми переменными роль характеристических поверхностей играют характеристические кривые (или просто характеристики). Ниже дадим вывод уравнений характеристик для двумерных установившихся течений.

Предварительно конкретизируем задачу. Если на некоторой линии г=г(х) (в цилиндрической системе координат) заданы искомые функции fi(x), то вдоль этой линии имеем соотношения

+)(3.2.1)

dx дхдг х \ dx )

которые вместе с уравнениями (3.1.1) — (3.1.4) позволяют найти производные д^(дх и dfildr, а следовательно, и dft/dn на этой линии. При этом линейная алгебраическая система для искомых производных распадается на две независимые группы. Первая группа — это уравнения количества движения (3.1.1) и неразрывности в форме (3.1.8), содержащие производные от компонент скоростей и давления. Вторая группа — уравнения (3.1.3) и (3.1.4), содержащие производные лишь вдоль линий тока от энтальпии (при известных уже производных от давления) и от физико-химических параметров qn. Поэтому и характеристики этих групп уравнений можно (хотя и не обязательно) рассматривать отдельно.

Получим сначала характеристики первой группы уравнений, предварительно преобразовав ее к более удобному виду. В качестве неизвестных функций вместо и и и удобно использовать модуль скорости U и угол 9 наклона ее вектора к оси х, так что ^ — UcosO, v = U sin 9. Подставляя и и и в первые два уравнения (3.1.1), получим

cos 6 ——/7sin9 — = - — ^£-\(3.2.2)

dtdtQ дх

. r dU । т г л dB1 др/ q о о\

sin 9VU cos 9=—.(3. 2. 3)

dtdtq dr

Умножая первое уравнение на U cos 6, второе на U sin 6, складывая и привлекая 1-й закон термодинамики (3.1.3), получим известное уравнение (Я — энтальпия торможения)

—=М ^JLuA^—==q. (3.2.4)

2 dt q dt dt \2' dt

Отсюда для адиабатических течений (^ = 0) следует уравнение Бернулли, полученное в § 1.7: h-\-x^№ = 11 (^. Умножив (3.2.2) на sin О, а (3.2.3) на cos 0 и вычитая, получим

e(/2/'JL_^2L\_!;J?£__|_J?£_=o (C = tg9).(3.2.5)

\ дх дг ' дх дг

Преобразуем теперь уравнение неразрывности (3.1.8), переходя к U и 0 и исключив производные от Я с помощью (3.2.4)

q№ 'х дх дг ) дх дгU cos 6 \ а2 /

(3. 2. 6)

Таким образом, исходную систему уравнений газовой динамики заменили уравнениями (3.2.5) — (3.2.6), которые являются следствием уравнений количества движения и неразрывности, и системой уравнений (3.1.3), (3.1.4), (3.2.4), содержащих производные лишь вдоль линий тока.

В дальнейшем предположим (и это будет важным), что массовые источники тепла q зависят лишь от местных координат и искомых функций и не зависят от их производных.

Пусть теперь в меридиональной плоскости задана кривая г=г(х) и на ней все неизвестные функции р(х), 9 (х), а следовательно, и их полные производные (3.2.1). Определить производные по х и г от р и 9 из системы уравнений (3.2.1), (3.2.5) и (3.2.6) можно лишь в том случае, если отличен от нуля определитель D, составленный из коэффициентов при этих производных

D (1 + LrM? - З2 (г' - Q2 (З2 = М2 - 1).(3. 2. 7)

Такая возможность отсутствует, при D = 0, т. е. если кривая г(х) подчиняется дифференциальному уравнению

== (9 + a*), sin а* = —.(3.2.8)

dx“М v

При М>1, т. е. при сверхзвуковых скоростях, это уравнение определяет два семейства действительных характеристик (верхний знак — 1-е семейство, нижний — 2-е). В этом случае согласно существующей классификации система (3.2.5) — (3.2.6)

называется гиперболической. При М=1 имеем Р = 0, оба семейства сливаются в одно, и система имеет параболический тип. И наконец, при дозвуковых скоростях (М<1) система не имеет действительных характеристик указанных семейств и является эллиптической.

Из формулы (3.2.8) следует, что характеристики наклонены к линии тока под углом Маха а* . Следовательно, проекция скорости на нормаль к характеристике всегда равна скорости звука.

Из линейной алгебры известно, что при D = 0 система алгебраических уравнений или неразрешима, или же имеет множество решений, если все определители, полученные заменой в определителе D любого столбца столбцом свободных членов системы, равны нулю. Все эти условия приводят в нашем случае к одним и тем же уравнениям — так называемым условиям совместности:

^6 == + -dp H,(3. 2. 9

1 + C2(P=FC)^cos6

которым должны удовлетворять распределения р и 6 вдоль каждой характеристики и которые для сверхзвуковых течений эквивалентны исходной системе уравнений (3.2.5) — (3.2.6), переписанной в новых (характеристических) переменных, постоянных соответственно на каждой характеристике 1 и 2-го семейств.

Обратимся теперь к величинам A, ^n, U (или //). Легко видеть, что их нормальные производные не могут быть определены соответственно из уравнений (3.1.3), (3.1.4), (3.2.4), если начальная кривая совпадает с линией тока

—=(=—,(3.2.10)

dxи

которая также является характеристикой полной системы уравнений, но уже при любом местном числе Маха. Соответствующими условиями совместности служат просто исходные уравнения, записанные вдоль линий тока в форме

dh=—dp-\-dq, dqn = U~xQndl, —dU^-=-dp. (3.2. 11) Q2Q

(dl = Udt)

Для нестационарных одномерных течений 2-е уравнение импульсов (3.1.1) и неразрывности (3.1.10) аналогичны системе (3.2.5) и (3.2.6), поэтому соответствующую систему характеристик ц условий совместности приведем без вывода

dLH_ = r = чо а^ dv= + -^- + aQdt. (3. 2. 12) dtQa

Вместо линий тока другой системой характеристик будут траектории частиц с теми же условиями совместности

= dh. = ^dp\dq, dqn=Qndt. (3.2. 13)

Как видно, характеристики (3.2.12) действительны всегда и по структуре очень схожи с характеристиками (3.2.8) — (3.2.9) при М>1, что позволяет многие свойства таких течений изучать параллельно. Если в (3.2.8) — (3.2.9) положить

9—>0, М—>со, ^ = const, ^ = ^11, x = Ut, (3.2. 14) то эти характеристики (как и исходные системы уравнений) совпадут с характеристиками для одномерных нестационарных течений (что является частным случаем так называемой нестационарной аналогии, или закона плоских сечений, см. ч. III книги).

Геометрический и физический смысл характеристик (3.2.8) и (3.2.12) ясен из их уравнений. Это есть траектории возмущений^ или звуковых волн, распространяющихся со звуковой скоростью’ в обе стороны от движущихся частиц, чем и отличаются эти «волновые» характеристики от «траекторных» (3.2.10), (3.2.13)^ которые передают информацию лишь вдоль линий тока или траекторий частиц. .

Отметим одно принципиальное обстоятельство. При выводе уравнений характеристик мы не конкретизировали входящую в них скорость звука а. В соответствии с видом уравнения неразрывности (3.1.8) в общем неравновесном течении под а следует понимать замороженную aj, а в равновесном течении — равновесную ае скорость звука с соответствующим выбором функции Q.

Но при стремлении всех параметров течения к равновесным сц не стремится к ае. Поэтому равновесные характеристики (т. е. построенные при а = ае) не получаются из замороженных (при а = а^ никаким предельным переходом. Этот эффект носит название парадокса двух скоростей звука и будет объяснен в § 3.4.

Изложим вкратце основные свойства характеристик. Все возмущения, вносимые в точке В, будут локализованы в характеристическом угле между двумя характеристиками разных семейств ВС и BD, который и будет областью влияния этой точки (рис. 3.1).

Начальные данные на участке АВ нехарактеристической кривой будут определять решение в своей области определенности — характеристическом треугольнике АСВ, ограниченном характеристиками АС и ВС разных семейств, и начальной кривой АВ. В то же время продолжение решения из области. АСВ в

ACCZAZ определяется еще условиями на ААГ, которые могут быть произвольными. Область влияния отрезка АВ будет лежать между характеристиками BD и ACZZ.

Таким образом, характеристики являются границами областей определенности, влияния или зависимости решения от начальных или граничных условий, а также линиями возможного разрыва нормальных производных.

Области влияния, ограниченные волновыми характеристиками, принципиально отличают свойства уравнений гиперболического типа от эллиптических, или сверхзвуковых течений от дозвуковых. Так, для последних область влияния любых граничных условий распространяется во все стороны до бесконечности. Например, при дозвуковом обтекании тела вариация формы участка поверхности ab (рис. 3.2) повлияет в принципе на всю область течения, так как возмущения, распространяясь во все стороны со звуковой скоростью, не могут быть полностью снесены потоком. При сверхзвуковом течении эти изменения произойдут лишь правее характеристики ас и вверх по течению распространяться не могут.

Рассмотренные выше уравнения имеют еще одну систему характеристик (3.2.10) или (3.2.13), поэтому область АВС будет областью определенности отрезка АВ лишь в том случае, если она лежит между линиями тока, проведенными через его концы (см. рис. 3.1, а — пунктир). Примером противоположной ситуации является случай, когда начальной кривой АВ является стационарный скачок уплотнения (см. рис. 3.1, б), например, в так называемой обратной задаче определения формы тела, индуцирующего ударную волну заданной формы. Поскольку проекция вектора скорости U за скачком на нормаль к нему всегда меньше, а на нормаль к характеристике равна скорости звука, то линия тока AD за скачком всегда лежит между ним и характеристикой 2-го семейства АС. Следовательно, областью определенности участка ударной волны АВ с учетом характеристиче-

ских свойств линий тока будет криволинейный треугольник ABD.

Подчеркнем, что характеристические свойства линий тока сохраняются и для дозвуковых течений, так как только вдоль линий тока определена энтропия, состав газа и т. д.

Рис 3 2.

Свойства характеристик как границ областей влияния можно наглядно проследить, если представить себе коэффициенты в правых частях уравнений (3.2.8) — (3.2.9) или (3.2.12) постоянными. Тогда дифференциалы в этих уравнениях можно заменить конечными разностями и получить конечное выражение для величин в любой точке области АВС через их значения на отрезке АВ. Так можно поступать и в общем случае, если область АВС настолько мала, что эти коэффициенты можно считать постоянными. На этом основан один из наиболее простых и эффективных численных методов — метод характеристик.

Простые волны в замороженных и равновесных течениях

Уравнения совместности (3.2.9) и (3.2.12) интегрируются в конечном виде, если коэффициенты при dp зависят лишь от давления, a Q = 0. Последнее условие в простом толковании соответствует плоским адиабатическим течениям (v = 0, ^ = 0), замороженным при Qn = 0 или равновесным, когда величины Qn не будут входить в правые части Q, а скорость звука а = ае.

В § 1.6 и § 1.7 указано, что в этих случаях величины Л, рг а можно представить как функции давления и энтропии s, которая в свою очередь, как и полная энтальпия Н, будет посто-

янной вдоль траектории частицы. Поэтому уравнения совместности можно проинтегрировать, если энтропия и энтальпия торможения будут постоянными всюду в данной области течения (т. е. в соответствии с § 3.1 для безвихревых или потенциальных течений). Этот простейший случай, наиболее важный в приложениях и будет рассмотрен ниже.

Проинтегрированные условия совместности (3.2.9) или (3.2.12) вдоль характеристик 1-го (g = const) и 2-го (r] = const), семейств примут вид

9 + ^1 (Р) = С+ Ш> d^ = dr — tg(84-a^dx = 0; (3.3. la)

6 —Р^^СДц), dx\ = dr — tg^—a;^dx = O; (3.3.16)

+ ^2(/?) — С+ ^\ d^^dr — ^-Ya^dt^O; (3.3.2а)

у — Р2^рх) = С_^ь dr\ = dr — (v — a)dt^O;(3.3.26)

Р \ )/М— 1 Р ^р^=\^- a =arcsin —,

; J№} j аМ

Постоянные С+ и С_ определяются через значения величин в какой-либо точке. Если рассматриваемая область граничит с областью течения с постоянными параметрами, например, с областью I, слева от характеристики ас на рис. 3.2, то постоянная' С — будет одинаковой для всей области II, заполненной характеристиками 2-го семейства р = const, выходящими из области/.. С областью постоянных параметров может, конечно, граничить и характеристика 2-го семейства, тогда оба семейства просто поменяются ролями.

Такие течения называют простыми волнами, а в установившемся случае еще течениями или волнами Прандтля-Майера (комбинации хз^Р^ называют инвариантами Римана).

В простой волне одна из величин С+ или С_ постоянна во? всей области, а другая на характеристиках своего семейства,, следовательно, величины 0 и р, или v и р будут постоянными на этих характеристиках, которые в свою очередь будут прямыми линиями. Посмотрим, как меняется в простой волне наклон этих характеристик, например, 1-го семейства

d^*u-\-a)d^*u-\-a)—-Vda = \ 1+-)е ^аL 2rf(6 + aj^y ЛЖЛ—-Vda = \ 1+-)е ^аL 2rf(6 + aj^y ЛЖЛ' да^ \ dp 1 а =—о2#dp*;.

d^*u-\-a)

d^*u-\-a)

—-Vda = \ 1+-)е ^аL 2

rf(6 + aj^y ЛЖЛ

—-Vda = \ 1+-)е ^аL 2

rf(6 + aj^y ЛЖЛ

х др /sj Qa 2\ др^ q )s

(3. 3. 3}(3. 3. 3}dp 1 d№

(3. 3. 3}

(3. 3. 3}

наклона прямолинейных в простой волне характеристик 1то семейства изменяется в том же направлении, что и давление. Если прямолинейны характеристики 2-го семейства, то дифференциалы d^v—а) или d^—аД имеют те же правые части (3.3.3), но с обратным знаком, что, однако, не меняет характера течения, а связано лишь с его ориентацией.

Отсюда следует, что при обтекании выпуклой стенки (9<0 рис. 3.2, а), когда угол наклона и давление падают, линии £ = = const, выходящие из криволинейного участка ab поверхности стенки (или траектории поршня), образуют расходящийся пучок прямых. Если правее точки b стенка имеет постоянный наклон, то параметры течения здесь будут постоянными (область ///), а характеристики параллельными. Наоборот, при обтекании вогнутой стенки (9>0 рис. 3.2, б) эти линии g = const образуют сходящийся пучок, а поскольку каждая из них несет свои постоянные значения величин, то появляется нереальная область многозначности решения.

При этом точка пересечения хс, гс двух близких характеристик £ = const при стремлении расстояния между ними к нулю, отстоит на конечном расстоянии от поверхности. Если Хо, Го точка пересечения одной характеристики с криволинейной стенкой, а (хо+Л^ Го+Аг) — другой, то проводя геометрические построения, используя соотношения (3.3.1) — (3.3.3) и устремляя к нулю Ах, Аг, нетрудно получить 1

-1 (М2-1)3/2 cos (9 + аД ^

М3

-1(М2 —1)

cos а*sin (9 4- «*)

sin

М3

1 \ CU = ,

* м

sin а*

R,

где R — радиус кривизны, а <Х0, Го).

6 — угол наклона стенки в точке

Для одномерных нестационарных течений, вызываемых движением поршня по закону r=r(t), точка пересечения предельно близких характеристик будет иметь координаты

С = Го + 2 I) .

L \ op2 U dtz J

В действительности в таком течении образуется висячий скачок уплотнения, который зарождается в точке пересечения го-

1 Совокупность таких точек образует вгибающую семейства сходящихся характеристик. Подробное исследование этого вопроса можно найти в книгах [31, 40].

ловной (выходящей из точки разрыва кривизны поверхности) и ближайшей к ней характеристике. Как видно из выписанных формул, скачок образуется тем ближе к стенке, чем больше ее: кривизна R1 или ускорение поршня, f (/).

Особым случаем простых волн являются течение около угловой точки или за поршнем, внезапно приобретшим постоянную скорость. Характер течения при этом проще всего представить, устремив к нулю длину дуги ab на рис. 3.2 и оставляя при этом постоянными О или у, в точках а и Ь. Тогда в пределе получим или скачок уплотнения, присоединенный к вершине угла, или центрированную волну разрежения с веером характеристик g = =r/x = tg (6 + а*), или ^ = r[t= (у+а) • Решая эти формулы вместе с (3.3.16) и (3.3.26), получим распределение параметров в> такой волне в виде автомодельного решения р(^, 6(g) или y(g) с разрывными производными по g на головной и замыкающей характеристиках.

Для представления интегралов Pi и Р2 в замкнутом виде положим

=(3.3.41

Здесь для совершенного газа или равновесных течений U = = ^2Н—максимальная скорость стационарного истечения в пустоту. Для замороженных течений согласно § 1.7 Pmax = V^ ^— hj\ где hf — связанная энергия физико-химических процессов. Для совершенного и замороженного газа х=у—1 и х = у/—1. Для квазисовершенной формы равновесного уравнения состояния (см. § 1.9) х = у^(т*—1)/y*- Эта величина вместе с показателями’ Y* и уе слабо зависит от давления вдоль изоэнтропы (см. рис.. 1.10). Поэтому, чтобы получить конечные формулы, примем их постоянными. Тогда

= i / arc sinarctg|/ х а*

/

X.\ *

Здесь д$и Ло — скорость звука в звуковой точке потока и в покоящимся газе соответственно. Переход к давлению может быть выполнен по адиабате Пуассона а2 = const р^-^/71, где п=^ yf и Y* для совершенного, замороженного и равновесного газа.

Формулы (3.3.16) — (3.3.26) удобно представить в виде

д^ = — ^ = — (^0 — а\(3. 3. 6)

где ДО и Ду — приращение угла поворота потока (в радианах) и скорости газа при расширении от звуковой точки и от состояния покоя соответственно. На рис. 3.3 и 3.4 показаны зависимости давления от Дб или Ду для воздуха, подсчитанные по точным значениям А и Р2 и по (3.3.6) (значения уе и у* вычисле

ние. 3.3. Зависимость давления от угла поворота потока Абрад в волне Прандтля — Майера в воздухе:

точные равновесные кривые;x=const; —х—T*=T^const замороженное течение

Z—р*=58 ат (6 МН/м2), Т*=6200 К, Те = 1,23, Ъ = 1,22, х=0,22 ^=1,45; 1/—р*=0Д ат (104 7//м2), 7'^=6300 К, 1^=1,16, Т* = 1,13;;

Jх=0,131, 7 =^1,58

ныв начальной точке перед расширением). Как видно, принятая аппроксимация вполне удовлетворительна в широком диапазоне изменения давления. Более того, оказывается возможным обойтись одним показателем, положив уе=у*. Там же показаны кривые для тех же начальных условий, но для замороженного процесса, которые сильно отличаются от равновесных.

Таким образом, влияние реальных процессов можно в общем проследить на модельном примере совершенного газа с разными у. С увеличением у давление падает, как и при переходе от равновесного течения к замороженному. Предельный угол расширения Д0тах = ^1(^^) и максимальная скорость раз-

лета АУшах = 2б/0/х в пустоту (т. е. при а—^0, неограниченно увеличиваются при х = у—1—^0.

Как видно, в реальном физическом процессе при расширении газа состояние его будет в значительной степени сказываться на параметрах течения, так что здесь необходимо учитывать реальные скорости физико-химических процессов.

Рис. 3.4. Зависимость давления от скорости газа в нестационарной простой волне Римана в воздухе:

точные равновесные кривые:x=const, —х—у»—Т^;—замороженные течения;

/-ро = 100 ат (107 Н/м2), 7'о=6700 К, Т^ = 1,23, Т^- = 1,22, х = 0,22,7у = 1,45; 7/-^о = 0,18 аг (1,8-101 Н/м2), Го=б5С0К, 7^ = 1,16,х=0Д31, Ту = 1Л8, -f:, = l,13

В центрированной волне разрежения всегда найдется такая малая окрестность особой точки, время А^ пребывания газовых частиц в которой достаточно мало по сравнению с характерными временами т физико-химических превращений, т. е. А^<Ст. " этой окрестности в соответствии с § 1.7 течение будет замо-

роженным и подчиняться соответствующему решению для центрированной простой волны.

С другой стороны, ширина центрированной волны растет примерно линейно с расстоянием от начальной точки. Поэтому теоретически всегда будет существовать область, в которой Д/^>т и в соответствии с § 1.7 течение будет сколь угодно близко к равновесному.

Однако предельный переход к равновесному течению обладает в данном случае рядом принципиальных особенностей, которые рассмотрим в следующем параграфе.

В силу описанного характера течения при обтекании угловой точки давление на стенке после разворота не будет в общем ■случае постоянным, а должно изменяться (как правило, возрастать) между предельными значениями для замороженной и равновесной волн Прандтля-Майера. Заметим, однако, что крайние режимы замороженного Д^т и равновесного Д/^т течений имеют несоизмеримые геометрические масштабы.

Парадокс двух скоростей звука. Центрированная волна в неравновесном газе

Полученные в § 3.2 уравнения характеристик справедливы для любых процессов, в том числе и для сколь угодно близких к равновесным, которые должны, как предельный случай, следовать из точной системы уравнений. Таким образом, скорость

распространения возмущений всегда строго связана с замороженной скоростью звука 04, как бы ни были близки (параметры течения к локально-равновесным. Например, в центрированной волне разрежения на рис. 3.5 головной характеристикой в силу а^ае, строго говоря, будет всегда замороженная оа, а равновесная ob передним фронтом быть не может, так как впереди нее всегда наведено поле возмущений. В то же время при равновесии в уравнения характеристик входит равновесная скорость звука ае и поэтому естественно ожидать, что при равновесном течении передний фронт должен быть близок к ob.

Это интересное явление, когда области влияния в неравновесном течении не переходят в пределе вместе с решением в равновесные, известно как парадокс двух скоростей звука. Есте

ственное ожидаемое разрешение этого парадокса сводится к следующему: при стремлении к равновесию интенсивность возмущения в треугольнике aob между замороженной и равновесной характеристиками, выходящими из точки о, стремится к нулю.

а равновесная характеристика ob становится реальным практическим фронтом распространения этих возмущений.

Мы убедимся в этом и одновременно выясним асимптотический (в около- заморожешюм и околсравновесном приближении) характер решения на простейшем примере одномерной нестационарной адиабатической центрированной волны разрежения в бинарной смеси или в газе с одной внутренней степенью свободы. В этом случае имеем (см. § 1.3, 1.5):

de с а — с

= , г = т (р ,Т ,с), Q — Q(p,T,c) h~h(T,c).((3.1.1) dt т

Здесь с — концентрация атомов (или энергия какой-нибудь внутренней степени свободы); се^р, 7) — ее локально-равновесное значение; т — время релаксации. В окслоравновесном процессе cG~c, но отношение (се—с)/т остается конечным. Уравнение (3.1.6) (при q—^ примет вид

dQ dtdQ dt1я#1я#dpdtdpdt= ^Q= ^Q= q6= q6de= qSdtde= qSdtca — cca — c(3.4.2)(3.4.2)

dQ dt

dQ dt

1

я#

1

я#

dpdt

dpdt

= ^Q

= ^Q

= q6

= q6

de

= qS

dt

de

= qS

dt

ca — c

ca — c

(3.4.2)

(3.4.2)

где коэффициент 6 определяется из сопоставления с исходным уравнением.

Вычисляя производную dcc(p, T)!dt вдоль адиабаты Qdh(T, c^=dp, перепишем уравнение (3.4.1) в виде

d (се — с) dp de dp се— с

(3.4.3)(3.4.3)_ а — _ о — = а_ qdtdt dt dtт

(3.4.3)

(3.4.3)

Из сопоставления с формулами (1.6.13) следует, что |3>1, если под с понимать концентрацию атомов в бинарной смеси. Если же с=е^ — энергия внутренней степени свободы, то также Р>1, так как в этом случае dhide^^X^ дер]оТ>О1 из физических соображений. Таким образом, в нашем случае Р>0 всегда, что будет важно в дальнейшем.

При помощи (3.4.2) из (3.4.3), получим

dQ dtdQ dt1 dp б d (се — с) __ о b dt р dt1 dp б d (се — с) __ о b dt р dt(3. 4. 4)(3. 4. 4)

dQ dt

dQ dt

1 dp б d (се — с) __ о b dt р dt

1 dp б d (се — с) __ о b dt р dt

(3. 4. 4)

(3. 4. 4)

Вблизи равновесия сР~с, а энтропия s — постоянна, поэтому 6=а^ = ^Цор/др^ <Пу, так как согласно § 1.8 равновесная скорость звука всегда не больше замороженной.

Пусть при 7 = 0 в точке г=0 под действием конечного перепада давлений возникает центрированная велна разрежения, распространяющаяся по покзя- Щемуся равновесному газу с параметрами ро, ро и т. д. в сторону г>0. Течение газа в такой волне подчиняется уравнениям (3.2.12)

dpсе — с

du Л-= -addt, dr — {v + af) dt,(3. 4. oa)

Qapn

du ————аЛ—dt, dr—Ди— a^dt.(3.4.56)

pay J r

Как указано в § 3.3, в окрестности особой точки центрированной волны |"азрежения, время пребывания частицы в которой Д^т, течение всегда заморожено. Рассмотрим теперь передний пучок характеристик 1-го семейства в произвольной волне расширения столь узкий, что приращение всех функций в нем мало, и одновременно мало отношение Mjx вдоль линий тока или характеристик 2-го семейства, пересекающих этот пучок. Такой узкий пучок характеристик называют еще короткой волной. В этой узкой области коэффициенты уравнений (3.4.5) можно считать постоянными, теми же, что и в невозмущенном потоке. Тогда решение уравнений (3.4.3) и (3.4.56) будет иметь -вид

се — с = а (/2 — р^, -и = —^ (а/ — а/0).(3. 4. 6)

Qo^/oY /1

Псследнее соотношение есть линеаризованный интеграл простой волны Римана. Исключив се—с и v из уравнения (3.4.5а), получим закон изменения возмущений вдоль характеристик 1-гэ семейства пучка, на которых нельзя считать, что //т< 1:

’ (АР)о у0’

191\

ю = — 9оа6а/0= — ₽-11-(3.4.7)

\ ^0/

Здесь (Др) о, Уо — величины на характеристике в начальной точке. Следовательно, возмущения, вызванные изменением граничных условий, экспоненциально затухают с течением времени вдоль замороженных характеристик 1-го семейства, которые при больших t/т становятся параллельными головной (см. рис. 3.5), так как их наклон drldt=v + af-+afo. Таким образом, теоретический фронт возмущений перестает практически быть таковым.

Рассмотрим теперь область, достаточно удаленную от начальной точки, где относительное время пребывания частицы в волне разрежения будет уже большим, а течение, следовательно, стремится к равновесному. При Д^ г уравнение (3.4,3) переходит в следующее:

a dp x dcl dp

ce — c = т — — —(ce — c)^x —.(3. 4. 8)

edt dt vdt k

При помощи (3.4.4) и (3.4.8) преобразуем уравнение неразрывности и выпи

шем еше уравнение количества движения

1dp vдр ди 6d / аср \

Qa^dt+ Qa2dr+ dr~ 0at V 0dt /’<3'4'9а)

(3. 4. 96)(3. 4. 96)дид-и1d р

(3. 4. 96)

(3. 4. 96)

—— + -и= —.

dtdrqdr

Напомним, что производная в правой части (3.4.9а), как и в уравнении (3.4.3), взята вдоль траектории частиц. И, наконец, согласно § 1.7 изменение энтропии в потоке будет иметь порядок

(3. 4. 10)

Вид уравнений (3.4.8) — (3.4.10') и определяет характер стремления решения к локально-равновесному. Если градиенты давления вдоль траекторий частиц имеют нормальный порядок, то состав газа будет стремиться к локально-равновесному с-^сДр, 7), s -> s0 вместе с т/Д/ -> 0, на что и указано в § 17.

Но в уравнение (3.4.9а) входит вторая производная от давления, что повышает порядок системы, наделяя се «вязкими чертами с малым коэффициентом вязкости порядка т. Если поле возмущений гладкое (например, в волне расширения, вызванной плавным ходом поршня, или стационарным обтеканием гладкой стенки), то роль правой части (3.4.9а) будет мала вме сте с т/AZ (так как т ^pldt-^dpjdt-'xjLt^ и ее можно отбросить. Уравнения (3.4.9) в этом случае допускают решение в виде простой волны v—P, полученной в § 3.3.

Но если квазиравновесное решение имеет разрыв производных, например, на границах центрированной волны разрежения, то вторая производная, вычисленная ио этому решению, будет неограничена и не может быть отброшена. Этот разрыв, как и в вязком газе, будет размазан на некоторую пограничную область, где сосредоточено влияние производной cPpIdP. Физически это обусловлено предшествующим распространением возмущения вдоль замороженных характеристик.

Рассмотрим течение в такой области около головной равновесной характеристики (см. оЬ на рис. 3.5). Предположим, что производные в центрированной волне имеют нормальный порядок dpjdt^p^t и т. д. Перейдем к координатам t, ^—a^t—г где £=0 есть головная равновесная характеристика, на которой производные ио £ терпят разрыв в предельном равновесном решении. Тогда в пограничной области

Хр = Р — Ро~ =-Рй, v — Хсе~г.(3.4.11)

dpdtпримет видdpdtпримет видПравая часть уравнения (3.4.9) имеет множитель т, поэтому сохраним в ней лишь главный член, который с, учетом преобразований типа

dpdt

примет вид

dpdt

примет вид

d ( a dp \^ш д^р

dt Оdt '3др '

В пограничной области правая часть (3.4.9а) должна быть одного порядка с левой, например т(б2р/6^2) (cpjdt) 5, для чего ширина этой области должна иметь порядок А£^(тО]/2, или е~(тД) V2. Но согласно (3.4.8) и (3.4.10) приращение сР—с~т и As^t имеют белее высокий порядок малости, поэтому в пограничной зоне течение можно считать изоэнтропичным и около- равновесным, а все термодинамические величины с точностью порядка т~е2 считать функциями лишь давления.

Получим асимптотическое решение для этой пограничной области А Чтобы правильно учесть все члены порядка е в уравнениях (3.4.9), проще всего перейти к их сумме и разности. Тогда в переменных (Z, £) получим систему:

(3. 4. 12а)(3. 4. 126)(3. 4. 12а)(3. 4. 126)д(Рр*и)д (Р Р v)д^Р

(3. 4. 12а)

(3. 4. 126)

(3. 4. 12а)

(3. 4. 126)

—- ае - Л,

д (Р — и)д (Р — v)№Р

—^о+^-Л^—= ту. —,

1 Обш.ее изложение подобных1 Обш.ее изложение подобныхметодов дано в книге Ван-Дайка [6].

1 Обш.ее изложение подобных

1 Обш.ее изложение подобных

Коэффициенты этих уравнений, кроме малого аео—ае—-и, уже можно считать постоянными. Поскольку Д£~еЛ то уравнение (3.4.126) при е->0 имеет интеграл v=P как для простой волны в § 3.3. Полагая далее ае—fM— = (дае/дР)Р и исключая Р из (3.4.12а), получим нелинейное уравнение 2-го порядка для скорости в пограничной области •

дуду1д^уdtd£2d^дуду1д^уdtd£2d^(3.4. 13)(3.4. 13)

дуду1д^у

dtd£2d^

дуду1д^у

dtd£2d^

(3.4. 13)

(3.4. 13)

Коэффициент % содержится в формуле (3.3.3), откуда следует, что Х>Э'.Из-за малой толщины пограничной зсны течение в ней будет определятьсяКоэффициент % содержится в формуле (3.3.3), откуда следует, что Х>Э'.Из-за малой толщины пограничной зсны течение в ней будет определятьсяРис. 3.6.Рис. 3.6.

Коэффициент % содержится в формуле (3.3.3), откуда следует, что Х>Э'.

Из-за малой толщины пограничной зсны течение в ней будет определяться

Коэффициент % содержится в формуле (3.3.3), откуда следует, что Х>Э'.

Из-за малой толщины пограничной зсны течение в ней будет определяться

Рис. 3.6.

Рис. 3.6.

лишь внутренними ее свойствами и граничными условиями и не будет зависеть от начальных возмущений, сносимых потоком. Перед пограничной зоной течение соответствует равновесному приближению, поэтому и = 0 при У^—оо.

Решение построим в виде

^ w = X (//гтх)1^, X = (2/тх)-1/2^

(3.4.14)

При этом уравнение (3.4. 13) сведется к обыкновенному

1

— у" + ^х 4- 2г/) у1 + у =

= 0 —>• уг 4~ ^ху 4~ 2у^ == 0,(у\ у 0; х — со).

Умножая последнее уравнение на е г2 и используя комплекс уе^, получим

у = ——е-^2 (с — erf (лг))—1, erf (х) = —\ e^Vx. (3.4.15) УлУ л J

о

Как видно уе~х при х-^—оо. Ia/к как erf(oo) = l, то значения с>\ и с<1 дают неправдоподобные затухающее при х -> оо или неограниченное в некоторой точке решения. Физически разумное решение получим лишь при с=1. Оно (точнее, модуль у) показано (пунктиром) на рис. 3.6 и при х переходит (хотя и медленней, чем при х —оо) к решению для равновесной центрированной волны- (сплошная линия)

В автомодельных переменных (3.4.14) у~\, а ширина пограничной зоны Дх~>1, поэтому относительная ширина ее в физических переменных убывает как Д^/^ (т/f) '^ а скорости в ней затухают (т. е. стремятся к равновесным) по тому же закону. '

При анализе уравнения (3.4.9) мы отмечали, что в области гладкости предельно равновесного решения возмущения, порождаемые неравновеснсстью, имеют порядок т/f. Таким образом, в малой окрестности линий разрыва: про-

взводных предельного равновесного решения неравновесное решение стремится к нему на порядок медленней, чем в области гладкости решения.

Отражение возмущений от вихревых слоев и скачков уплотнения. Влияние осевой симметрии

Распространение возмущений в виде простых волн возможно лишь в однородном неограниченном плоском потоке. В реальных же течениях около тел сложной формы эти возмущения взаимодействуют с неоднородным неизоэнтропическим вихревым потоком, образующимся за криволинейным скачком уплот

нения, и с самими скачками или

искажаются, например, за счет неплоского характера течения. Механизмы таких взаимодействий рассмотрим на простейших примерах стационарных и (для начала) равновесных течений.

Взаимодействие с вихревыми слоями в плоском течении. Рассмотрим для начала взаимодействие возмущений с тангенциальным (или контактным) разрывом, разделяющим области I и // с разными параметрами в них. Давление и угол наклона вектора

скорости на разрыве одинаковы. Пусть на отрезок 1—3 тангенциального разрыва ab (рис. 3.7) вдоль узкого пучка, ограниченного характеристиками 1-го семейства Г—1 и 2'—2, приходит слабое возмущение (короткая волна), которое зададим разностью давления р2—£>i = e в точках 2 и 1. Нас будут интересовать

участке вдоль отрезка 2—3.Запишем условия совместности (3.2.9) в видеучастке вдоль отрезка 2—3.Запишем условия совместности (3.2.9) в видепараметры в отраженной волне, заключенной между характеристиками 2-го семейства 1—2” и 3—3м, а точнее на начальном ее

участке вдоль отрезка 2—3.

Запишем условия совместности (3.2.9) в виде

участке вдоль отрезка 2—3.

Запишем условия совместности (3.2.9) в виде

d^ + Adp = O, Д—| М2—1 (у^М2)-1, ^e=aeQjp. (3.5.1)

В рассматриваемой малой окрестности точки 1 коэффициенты Дт и Ап будем считать постоянными. Тогда применяя уравнения (3.5.1) вдоль отрезков характеристик 1—2, 2—3, Г—3 и полагая давления и углы 6 в точках 1 и Г' одинаковыми, получим равенства

(3.5.2)(3.5.2)®2 — ^l(A А), ^з $2 = ^МА Ab 63 ^"Дц^З Pl'-

(3.5.2)

(3.5.2)

Отсюда найдем

p<-p*i=^ бз-е^д^г, х=——Дц ,х|<1.(3.5.3)

А + Дн

Как видно, параметры в точках 3 и 2 не совпадают, как это было бы в простой волне, а отличаются на величину падающего возмущения, умноженного на коэффициент отражения X. При этом Хе естественно называть отраженным возмущением, которое накладывается на приходящее. Поскольку |Х| <1, то отраженное возмущение всегда меньше по модулю приходящего, а разность р3—pi=(14-X)e всегда имеет тот же знак, что и падающее возмущение в. __

При постоянном у5 функция А имеет максимум при М = ]/2, равный (уеРУЗ)-1, это обстоятельство и определяет знак X.

Пусть теперь возмущение взаимодействует с прямолинейной твердой поверхностью ab. Тогда 63 = 61 и из двух первых соотношений (3.5.2) получим, что возмущение давления удваивается

А~А = А~А> А-А = 2(А—А)-

Тот же результат получим и из (3.5.3), предположив Лт^> ^>Лп и Х^\, что соответствует отражению возмущения от области газа со значительно большими скоростными напорами.

Очень наглядно аналогичное решение в одномерном нестационарном случае или в предельном случае гиперзвукового с обеих сторон потока с одинаковыми Ui = Un (см. § 3.2—3.3). В этом случае А = (ря)-1, поэтому

(е^)н — (q^)i (е^)п +(e^)i(е^)н — (q^)i (е^)п +(e^)iq^-qV2Q^ + Q1/2q^-qV2Q^ + Q1/2(при(приY,i = Y,n).Y,i = Y,n).

(е^)н — (q^)i (е^)п +(e^)i

(е^)н — (q^)i (е^)п +(e^)i

q^-qV2

Q^ + Q1/2

q^-qV2

Q^ + Q1/2

(при

(при

Y,i = Y,n).

Y,i = Y,n).

Если возмущение выходит из менее плотной среды в более плотную, то Х>0 и наоборот. При Qi^Qn, т. е. при выходе возмущения в пустоту, Х^ — 1, рз^р! и возмущение нейтрализуется. При QiCen, например, при отражении от твердой стенки, Х=1, так что возмущение давления после отражения удваивается.

Пусть теперь в плоскопараллельном потоке с непрерывным неоднородным распределением параметров, но с постоянным давлением р=р\ и углом наклона 6 = 0° вдоль характеристик 1-го семейства распространяется короткая волна возмущения. Такая ситуация может возникнуть, например, при обтекании угловой точки поверхности потоком, прошедшим через криволинейный скачок уплотнения и поэтому имеющим неоднородное распределение энтропии по линиям тока.

В этом случае вдоль малых отрезков характеристик 2-го семейства в пределах короткой волны коэффициенты А можно считать постоянными. Интегрируя вдоль этих характеристик соотношение (3.5.1), получим 9 =А(р—рхУ В то же время вдоль характеристики 1-го семейства, замыкающей волну возмущения, 96 .

имеем d^ =—Adp, где коэффициент А уже нельзя считать постоянным. Исключая отсюда А, после интегрирования получим

Цр—Pi)=const или ——— = —(3.5.4) (р — Pi)o 6\ A J

Здесь (р—/?1)о или 9о — начальное возмущение в точке, где А=Ао.

При больших числах_Маха А/А0^М0/М. Если в сверхзвуковом потоке число М>У2 и по мере удаления от источника возмущения (искривления стенки, например) увеличивается, то первоначальное искривление линий тока будет уменьшаться (как (Мо/М)1/а при больших числах Маха), а возмущение давления увеличиваться, т. е. модель простой волны в таком потоке непригодна.

Отражение возмущения от скачков уплотнения. Пусть теперь ab есть скачок уплотнения со сверхзвуковым течением (/) за ним с углом наклона а к вектору скорости однородного набегающего потока (область //), на отрезок 1—3 которого приходит возмущение (короткая волна). Тогда первые два соотношения (3.5.2) должны быть дополнены соотношениями на скачке уплотнения p = ps(a), 9=6s(a), которые запишем в виде (штрих означает дифференцирование по а)

А-А=Л(«з-а1). 6з-61 = 6Иоз-°1)-(3.5.5)

Отсюда, комбинируя с (3.5.2), получим решение

р» ——62 = -А^£> X — (3.5.6) aps+о;

Аналогичный результат можно получить и для нестационарных волн: для этого в формулах (3.5.6) следует заменить А на (pa)”1, а 0 — на скорость газа у.

В § 2.6 было показано, что на сверхзвуковом участке удар* ной волны 9'>0, а так как р'>0 всюду, то |Х|<1. Коэффициент отражения X имеет сложный знакопеременный характер. Используя формулы (2.6.5) — (2.6.7), для гиперзвукового течения (при Mi—>оо в набегающем потоке) при отношении плотностей до и после скачка к= (у*—1)/(у* + 1) получим

(3. 5. 7)(3. 5. 7). [г^-П/у^-О-^2)172, ^^[2(Y*-l)/Yl*1/2+(l-^2)1/2’'

(3. 5. 7)

(3. 5. 7)

Эта формула неверна в окрестности звуковой точки, так как в ней в силу ^т]2-)-! при М—>1 (см. § 2.6) получим Х=1, вместо точного значения А=—1 при А = 0 для любого конечного, хотя

и большого числа Mi. Поэтому вычисление % в этой окрестности требует особой осторожности.

При &->0, или у*—>1, имеем Х->—1, рз—^pt, т. е. скачок уплотнения ведет себя как свободная поверхность с постоянным давлением. Однако, при ^#=0, но &т)2<С1 коэффициент Х = = —0,4,—0,14 и —0,05 соответственно при у*=1,1, 1,4 и 5/3. При

Mi sin а—И головной скачок вырождается в характеристику, поэтому p's/V —*dp!d^—^А, Х-^0 (см. § 3.6). Вычисления показывают, что при у =1,4 этот коэффициент невелик (Ш^0,1) для

Рж. 3'8.Рж. 3'8.сравнительно небольших углов а ^30° и Mi^ 10, что позволяет пренебрегать отраженными от скачка возмущениями. Это обстоятельство при сравнительно небольших Misina>l, если градиенты энтропии за скачком согласно § 2.2 невелики,

Рж. 3'8.

Рж. 3'8.

позволяет вести расчеты распределения давления по оживальным профилям с клиновидным носком при помощи соотношений простой волны для криволинейной стенки с начальными параметрами за головным скачком уплотнения на клине. Это есть так называемый метод скачков —

волн разрежения.

Влияние осевой симметрии. Пусть в однородном осесимметричном потоке, параллельном оси симметрии, в точке г=г0 возникает слабая волна разрежения (рис. 3.8). Уравнения (3.2.9) в узком пучке вблизи головной прямолинейной характеристики примут вид

dQ + Adp =^<1, р = /М2-1),

1 ± Гг

(3. 5.8)

где коэффициент A^A^pi) можно считать постоянным. При £<^1 вдоль характеристик 2-го семейства, пересекающей головной пучок, правая часть уравнения (3.5.8) имеет 2-й порядок малости, поэтому вдоль нее справедлив интеграл 6=Д(р—pi). Тогда вдоль характеристик 1-го семейства получим

^=-4-^,(д^=^-Л). (3.5.9)

2 г (^р)0 е0 \ г)

Таким образом, начальное возмущение затухает при удалении от оси симметрии (например, рис. 3.8, а) и, наоборот, возра-

стает (концентрируется) при приближении к ней (рис. 3.8,6). В последнем случае решение (3.5.9) имеет особенность на оси, обусловленную нарушением принятых упрощений. В самом деле слабое разрежение распространяется в расходящемся пучке, так что расстояние между ближайшими характеристиками будет расти. Поэтому с уменьшением г ширина короткой волны станет сравнимой с расстоянием до оси. Последним членом в (3.5.8) здесь уже нельзя будет пренебречь и интеграл 6 = —А(р—pi) не будет верен.

Решение (3.5.9) приводит к особенности в точке пересечения головной характеристики короткой волны с осью симметрии. Обозначим угол между головной характеристикой и ближайшей к ней через Дер. При малых Дер в центрированной (или вообще в любой) простой волне (Ap)0=const Аф, 60 = соп51Аф. Подставляя эти соотношения в (3.5.9) и полагая Аф—^0, получим 1

др4дб, / r0 у/2

—£— = const — ,= const —.

д^\ г )д^\ г /

Эти производные неограничены на оси в точке 1.

Последующие характеристики пучка взаимодействуют уже с областью (У—3—6) на рис. 3.8, на которую распространяется влияние условия 9=0 на оси симметрии. Взаимодействие возмущений с осью симметрии носит здесь регулярный характер. В этой области v^r, поэтому, рассматривая треугольник характеристик 4—5—6 на рис. 3.8, б и полагая в нем у/г=у2/^2, получим рз—р2=Р2—Р^ как и при отражении от твердой стенки (Х=1 в формуле (3.5.3)).

Взаимодействие возмущений с тангенциальным разрывом и скачком уплотнения в осесимметричном или неравновесном потоке. Выше мы рассмотрели аналогичную задачу для плоских равновесных течений, когда правые части условий совместности (3.2.9) равны нулю. При этом коэффициенты отражения Л получены из анализа условий лишь в ближайшей окрестности рассматриваемой точки и потому являются чисто локальным свойством течений. Короткая же волна, используемая нами в рассуждениях, служила лишь для придания результатам физической наглядности.

Рассмотрим более общий случай возмущений, распространяющихся в осесимметричном неравновесном потоке. Запишем Условия совместности вдоль характеристик в виде

Adp + dft = Bdl, B = Qsina*/Z7,(3.5.10)

гДе I — длина вдоль характеристик..

Комбинируя эти соотношения вдоль характеристик 1—2 и 2—3 на рис. 3.7, получим общую формулу

(3.5. И)

где Uh — расстояние между точками I и k.

Пусть отрезок ab будет тангенциальным разрывом. В этом случае треугольник 1—2—3 будет равнобедренным с углами а* при основании и из геометрических соображений следует Ф = 0. Аналогичный результат справедлив и для области //. Тогда

.। ,2Лц /х

А ~ А = ^ + т , л (А— А).

^ = А-А,I3'5'12)

А + Ai

Полагая здесь, как и раньше, pv =pi (в противном случае разность pv—Pv естественно считать возмущением, приходящим из области //), придем к той же формуле (3.5.3). В частности, при отражении возмущения от прямолинейной стенки в любом случае из (3.5.12) следует р3—р2=е или рг—pi = 2e.

Для возмущения угла 9 из (3.5.10) и (3.5.12) получим другую формулу

ga-g^-A^+s^.(3.5. 13)

Заметим, что в отличие от плоских равновесных течений (5 = 0) в общем случае из условия pv = Р\ еще нс следует 6 г = = 91, т. е. осесимметричные (кроме случая 9 = 0) или неравновесные течения всегда возмущены. В такой ситуации затруднительно отделить отраженное возмущение от «преломленного», пришедшего из области //. Если вместо условия pv =рь принять другое, например 0i = 01, то получим результат, отличный от (3.5.12) и (3.5.13).

Пусть отрезок ab есть скачок уплотнения. Проведем из точки 1 на рис. 3.7 линию тока, которая пересечет отрезок 2—3 в некоторой точке 4 (на рисунке нс обозначенной). Опуская из точки 4 перпендикуляр на скачок 1—3, а из точки 2 на линию тока 1—4, из геометрических соображений получим

/з4 = С/12, С = 2сО5а#-^Ы_sinfa* + 0 — а)

Комбинируя соотношения (3.5.11) и (3.5.5), получим формулу

Ср\р3 — р2=^ — 5р712, ц = (3.5. 14)

Aps + о;

С тем же X, что и в (3.5.6).

Проанализируем полученные результаты. В правых частях формул (3.5.13) и (3.5.14) первые слагаемые представляют собой решение однородных уравнений (3.5.10) при В = 0, пропорциональны падающему возмущению е и содержат то же Л, что и в рассмотренном ранее случае плоских равновесных течений. Это обстоятельство еще раз подчеркивает общность понятия коэффициентов отражения.

Слагаемые с В/12 обусловлены взаимодействием с тангенциальным разрывом или скачком тех возмущений, которые порождаются в каждой точке неоднородностью течения и математически обусловлены наличием правых частей в уравнениях (3.5.10), частные решения которых и представляют собой эти слагаемые Ч

Характеристики и слабые скачки уплотнения.

Линейная теория

Рассмотрим слабые ударные волны с малым перепадом давления

Ьр=р—Pi~£Pi, е<1,(3.6.1)

распространяющиеся в совершенном или равновесном (по обе стороны фронта) газе. Здесь индекс «1» относится к параметрам перед ударной волной.

Представим давление за стационарным скачком с углом наклона а в виде

-^-=(1 -£)=sirijej,,3 6 2а)

Q1V2nvln tsin a cos (a — 6)

kp=P_Pn 'k=^, ч)п=кч)1п, vln=U1 sin a,

где 9 — угол поворота потока в скачке.

Для вывода последней формулы воспользуемся соотноше- «ием

tg(a —8) = 6tga.

Скорости распространения такой ударной волны по газу перед и за волной равны соответственно Ущ и ип.

Аналогично представим перепад давлений в нестационарной

Заметим, что ц-х» вместе с С при а* 4-0 ** а или Musina — I, т. е. Для скачков очень слабой интенсивности (§ 3.6), в то время Л—►О. Однако при этом /з45>/24 и формула (3.5.14) не применима, так как на таком большом отрезке нельзя полагать постоянными коэффициент Вив неоднородном потоке угол а*. Этот случай требует специального анализа.

ударной волне, распространяющейся по покоящемуся газу со СКОрОСТЬЮ Vin

(3.6.26)

где у — скорость газа за ударной волной в неподвижной системе координат.

При 8-^0 скорость распространения ударных волн стремится к звуковой (ощ—^), а угол а стремится к углу Маха а*, поэтому для слабых волн соотношения (3.6.2) с точностью до величин порядка е2 можно представить соответственно в виде

МР-Р^. А1=—-1= 1,(3. 6. За)

91^1 tg a*

р — рх = ^хахч).(3. 6. 36)

Сравним эти формулы с полученными в § 3.3 соотношениями в плоской изоэнтропической простой волне (3.3.1) — (3.3.2) у распространяющейся вдоль характеристик 2-го (при выбранной ориентации скачков) семейства. Переходя в последних к пределу при р-^рь 0—^0 и т. д., легко проверить, что эти соотношения совпадут с (3.6.3).

Совпадут и следующие члены разложения соотношений в ударных и в изоэнтропических простых волнах, в чем убедимся на примере нестационарных волн. Разложим соотношение (3.3.2 б) в ряд по Ар

р.

J ea Qi^ 4 ( dpi 'sг i /

Pl

Здесь использовано уже встречавшееся ранее преобразование (§2.2):

=1 + -Le =_Lo:V(^^-^ =ф.(3.6.5) \ др L 1 2 v \ др 's 2 v k dpi s v ’

Для совершенного газа Ф= (у+1) /2.

Подставляя в формулу и=(1—6)vin разложение (2.2.4), учитывая, что изменение энтропии в слабом скачке As~(Ap)3 и используя соотношение (2.2.5), переписанное в виде

— Ф ■ Л™ ,(3. 6. 6)

2

получим разложение (3.6.4), что и требовалось доказать. .

Формула (3.6.6) дает связь между перепадом давлений в скачке и отличием скорости его распространения от скорости 102,

звука. Для стационарных течений этой формуле, поделив ее на #1П, можно придать вид

sin a — sin a*i а — a*i 1 ф ^Р (3 g 7^ sina tga*i 2 q^ ’

(sin a^^ajU^.

Полученные результаты имеют важное следствие: в течениях, содержащих слабые скачки уплотнения, можно беспрепятственно и сквозным образом применять условия совместности вдоль характеристик, полученные в § 3.2 для непрерывных течений. Наличие правых частей в соотношениях (3.2.9) и (3.2.12) нс является препятствием, так как при переходе через скачок в них следует положить dx = 0 или dt — 0 соответственно.

В первом приближении слабые скачки уплотнения, как и слабые центрированные волны разрежения согласно (3.6.4), можно заменить характеристиками, допустив на них разрыв «функций, соответствующий интенсивности этих скачков или волн. При этом погрешность порядка самих приращений Ар~е и т. д. возникает лишь в области между истинным скачком и заменяющей его характеристикой или в области волны разрежения.

Рассмотрим примеры обтекания тонких заостренных тел равномерным сверхзвуковым потоком совершенного газа. За малый параметр г примем относительную толщину или максимальный угол наклона поверхности тела 6о = е. Из формулы (3.6.3 а) следует, что возмущения давлений за скачком (а также углы между скачком и характеристиками 1-го семейства) будут малы, <если выполняется условие

^^tga* или 9О|/М2^Т<1. (3.6.8)

В этом случае коэффициенты в условиях совместности (3.2.9) можно считать постоянными, вычисленными по параметрам набегающего потока. Тогда эти соотношения станут линейными. Основанная на этом приближении теория называется линейной !.

Для плоских тонких профилей (v = 0) условие совместности Для характеристик 2-го семейства имеет решение (3.6.3 а), которое даст зависимость давления на поверхности тела лишь от местного угла ее наклона (например, на поверхности клина с углом наклона 6).

Например в работах [19, 26, 36, 44] показано, что в этом случае течение таза описывается одним уравнением для потенциала скоростей. Этой теории касаться не будем, ограничившись лишь теми простейшими задачами, решение которых следует непосредственно из условия совместности (3.2.9).

Получим аналогичное решение для тонкого конуса. Поскольку уравнение образующей г=ч\ох) T]o=tg9o, то уравнение (3.5.8) вместе с условием на конусе ?=Ло допускает решение, зависящее лишь от переменной т\ = г^х, в чем можно убедиться, переходя в правой части этих уравнений к переменной гр.

dr \ d-q 1 =F С/Рdr \ d-q 1 =F С/Р(C-tg6),(C-tg6),

dr \ d-q 1 =F С/Р

dr \ d-q 1 =F С/Р

(C-tg6),

(C-tg6),

где 6 — угол наклона линии тока к оси симметрии х.

Сохраним пока правую часть уравнения (3.5.8) в точном виде, положив лишь p = Pi=const. Складывая уравнения (3.5.8), получим

(1 + W~

(1 +^)2-р2(7)__^2^1-^2^ *

Здесь во втором соотношении опущены члены порядка т]£ и р£, которые малы (член Рк) = Рк)0-^1 должен быть оставлен). Отсюда получим решение

(3. 6. 9)(3. 6. 9)Г (1 02^2)1/2qg

(3. 6. 9)

(3. 6. 9)

( 1 - Rg)1'2^

На головной характеристике, где рт) = 1 и £ = 0, согласна (3.6.3) Ар=р—pi = 0, т. е. скачок в этом приближении точна совпадает с головной характеристикой.

Вычитая уравнения (3.5.8), получим уравнение

Р^-ОС d-ч РСч-СН d-ч ,3 6 Ю) (1 + Сч)2 - р2 0] - 02 ч1 _ ^2-<) ''

Интегрируя его с учетом (3.6.9), получим решение

Ар61^?Ар61^?111 / Io2 \ 1)21 / Io2 \ 1)2

Ар

61^?

Ар

61^?

1

1

1 / Io

2 \ 1)2

1 / Io

2 \ 1)2

Полагая т)=т]о и отбрасывая члены порядка р2т)о, получим давление на конусе

Заметим, что в уравнении (3.6.10) сохранен член £ в разности т)—£, так как оба ее члена вблизи поверхности тела имеют одинаковый порядок, хотя формально в основной области тече- 104

ния £<Cyi~₽-1- Это дало заметный добавок —1/2 в скобках {3.6.11) — в давление, так как 1пт)оР~1 в реальном диапазоне «qo, р. В рамках линейной теории давление на конусе значительно меньше, чем на клине (но пои MiT]o~l эти давления будут

иметь уже одинаковый порядок, что будет показано в гл. 5).

На рис. 3.9 дано сравнение точных давлений на клине и конусе с формулами (3.6.3а) и (3.6.11), которое свидетельствует об удовлетворительной точности последних для малых значений параметра т)Ор.

Линейная теория очень эффективна в области своей применимости, но в основном лишь для однородного внешнего потока.

В завихренном же потоке (с переменным поперек линий тока числом Mi) задача обтекания тонкого профиля уже не имеет общих простых решений типа (3.6.3). В то же время влияние завихренности на распределение давления должно быть сущест

венным (по крайней мере, того же по

рядка, что и влияние числа Mi в фор* рис 39 Сравнение линейной и точ- .муле (3.63а) на приращение давле- ной теории при у=1,4 для конуса «ия ^р1рх при заданном 9).(а) и клина (5)

Обратим теперь внимание на возможные случаи качественной неприменимости линейной теории. Такой пример был рассмотрен в § 3. 4, где для исследования распространения возмущений в окрестности равновесной характеристики было использовано нелинейное уравнение (3.4.13).

Здесь для слабой центрированной волны разрежения, казалось бы, можно

применить линейную теорию, заменив эту волну разрывом вдоль характеристики (что сделано в книге [15]).

Однако ширина любой (нестационарной для определенности) центрированной волны разрежения, возрастая пропорционально времени t, станет со временем больше ширины описанной в § 3.4 пограничной области, которая увеличивается как Д/2. Поэтому решение этой задачи в линейной постановке дает качественно неверную асимптотику (при £->оо) поведения решения.

Другим примером является распространение возмущений вдали от тела. В рамках линейной теории (например, при обтекании тонкого профиля) оаз- рыв давления малой, но фиксированной интенсивности на головной характеристике распространяется до бесконечности. Но в действительности при обтекании тела конечных размеров вслед за головным скачком возникнут волны разрежения, которые обязательно догонят скачок и ослабят его в пределе на Достаточно большом расстоянии от тела до нулевой интенсивности .

Закон затухания ударных волн (нестационарных для простоты) пслучим следующим образом. Представляя скорость звука за слабым скачком в виде

Zip ( да? \Aj9

a = ax + ~-— —— = ^ + (Ф — 1)2^1 \ dpQxax

и используя формулы (3.6.6) и (3.6.26), можно получить для нестационарных волн следующую зависимость:

а 4- v + ах а + -и — vXn = vXn — аъ vXn =,(3. 6. 12>

которая означает, что возмущения, распространяющиеся за скачком, догоняют его с такой же относительной скоростью, с которой скачок догоняет возмущения, распространяющиеся перед ним в том же направлении.

Для стационарных течений аналогичная формула имеет вид а—vn — = Ущ—«1. Поделив ее на иь можно при малых в получить

«^2 — а = а — a*i,(3.6.13)

где (только в пределах этой формулы) а*1 и а *2 углы наклона характеристик (линий Маха) 1-го семейства до и после скачка. Как видно, скачок делит пополам угол между этими характеристиками.

Как уже упоминалось в § З'Д коэффициент отражения возмущений от скачка уплотнения % -> О при vXu->ax [числитель формулы (3.5.6) для X обращается в нуль согласно соотношениям (3.6.3)]. Кроме того, переход через слабые ударные волны осуществляется изоэнтропически и по соотношениям простой волны. Следовательно, волна разрежения, догоняющая ударную волну,, должна иметь вид простой волны (см. § 3.3)

х = (я + v) t 4- л0,(3. б. 14)

где Хо — постоянная, которую на большом расстоянии от источника возмущений можно считать одинаковой для всего пучка характеристик в простой волне.

Исключая отсюда сумму (и 4а), сведем формулу (3.6.12) к уравнению для формы ударной волны х(4)

d (X —- Ха) 1 X — Ха 1

Интегрируя его, получим с помощью (3.6.6) соотношения:

х — х0 = axt + сх Щ, Ущ — ах = -у cxt~112,

kp = c^t-^2 (ci = const, С2 = const),(3. 6. 15)

характеризующие асимптотическое поведение слабых ударных волн, ослабляемых волной разрежения.

Характеристические поверхности уравнений пространственного движения газа

Опишем свойства характеристических поверхностей систем дифференциальных уравнений стационарного пространственного сверхзвукового течения газа, общее определение которых дано в § 3.2.

Введем в рассматриваемой точке О местную декартову систему координат х, у, г, в которой ось х касается вектора скорости U (рис. 3.10). Тогда в точке О имеем y = w = 0, а в малой окрестности ее углы скоса потока pi = y/£7 и $2=w/U малы. Уравнения (3.1.1) и (3.1.2) примут вид:

U dU1- дрдхQ дх ’

£у2др

дхдхq ду '

удр

дхдхq dz ’

(3. 7.1)(3. 7. 2)(3. 7. 3)(3. 7.1)(3. 7. 2)(3. 7. 3)Х(М2-1)-^QдхХ(М2-1)-^Qдхи(^\ дри(^\ др^\=-q(J,(№ = —\ (3.7.4)

(3. 7.1)

(3. 7. 2)

(3. 7. 3)

(3. 7.1)

(3. 7. 2)

(3. 7. 3)

Х(М2-1)-^

Qдх

Х(М2-1)-^

Qдх

и(^\ др

и(^\ др

дг )4\ al ) к 1

Последнее уравнение мощи уравнения (3.7.1).Последнее уравнение мощи уравнения (3.7.1).неразрывности преобразовано при по- Как и в § 3.2, под а в общем случае

Последнее уравнение мощи уравнения (3.7.1).

Последнее уравнение мощи уравнения (3.7.1).

неравновесных течений будем подразумевать замороженную скорость звука а/, а для равновесных течений — равновесную скорость звука ае. Величины Q в обоих случаях имеют тот же смысл, что и в § 3.2. В замороженных и равновесных адиабатических течениях ^ = 0.

Уравнение (3.7.1), как и уравнения энергии (3.1.3) или химической кинетики (3.1.4), имеют систему характеристик — линий тока, свойства которых ничем нс отличаются от рассмотренных в § 3.2. Поэтому характеристической поверхностью этих уравнений будет любая поверхность тока. Остальные уравнения симметричны относительно направлений у, х, поэтому огибающей всех характеристических поверхностей, проходящих через точку О, будет некоторый характеристический конус с осью х, половину угла при вершине которого определим следующим образом.

Рассмотрим характеристическую поверхность, касательную к оси х. Все производные по х будут для нес внутренними и в случае постановки на ней начальной задачи Коши, известными. Выводящая из этой поверхности производная от скорости w при этом также определяется (так как из (3.7.3) известна dw[dxV з для производных по х и у от давления р и скорости и будем иметь ту же систему уравнений (3.7.2), (3.7.4) (с другой лишь правой частью), что и для плоского течения в плоскости (х, у), и следовательно, и те же характеристики у' = ^-(№—1)~,/2. Эти характеристики будут образующими характеристического ко-

нуса, половина угла при вершине которого, или угол между произвольной характеристической поверхностью и вектором скорости U равен таким образом углу Маха a^ = arcsmM~, а проекция скорости на нормаль к характеристической поверхности равна скорости звука.

Образующие характеристического конуса, или конуса Маха^ называются бихарактеристиками. В конечной окрестности точки О бихарактеристики будут, естественно, пространственными кривыми, составляющими угол а* с местными линиями тока, а конус — криволинейным коноидом.

Свойства характеристических поверхностей в общем идентичны описанным в § 3.2 для двумерных течений. Коноид с вершиной в точке О будет областью ее влияния. Область определенности некоторого куска начальной поверхности 2 ограничена характеристической поверхностью, огибающей выходящие из границы 2 коноиды Маха изнутри, а область влияния — внешней огибающей поверхностью этих коноидов.

Если рассматривать плоские течения как предельный случай пространственных, то характеристики первых есть просто линии пересечения плоскостью течения перпендикулярных к ней характеристических поверхностей. Характеристики осесимметричных течений есть линии пересечения меридиональными плоскостями характеристических поверхностей, проходящих через окружности, проведенные в плоскостях, перпендикулярных оси симметрии течения с центром на ней.

Для получения условий совместности на характеристических поверхностях, аналогичных условиям (3.2.9), введем еще местную декартову систему координат I, п, х, где оси /, х лежат в касательной плоскости к характеристической поверхности, п — на нормали к ней, а вектор скорости U лежит в плоскости I, п. Тогда легко убедиться, что используя характеристические соотношения, из уравнений (3.7.2) и (3.7.4) можно исключить обе производные др]дп и dvldn сразу, в результате чего получим уравнение1 __

^1 | 1 ^2 . Км^Т др Q 3 7 5> dl М dz ‘ q№ dl NW ‘ V • • J

Для плоских течений ^2=0, и это уравнение просто перейдет в одно из соотношений (3.2.9).

Как и для двумерных течений, локальные характеристические свойства и математические формулы для пространственных течений заменой x=Ut и предельным переходом (М — — l)/^2—^ог2 переносятся на двумерные нестационарные течения газа.

Некоторые свойства течений с большими местными числами М

Введем безразмерные переменные

—, и=—, е=—, Р,=—,

Ро ^о СоЕ/

г = (3.8.1)

где индексом «0» помечены величины в точке О, L — продольный, a Lei и L&2 — поперечные масштабы течения, определяющие градиенты давления в интересующей нас области, в том числе и в окрестности точки О, для которой и выписаны уравнения (3.7.1) — (3.7.4). Тогда из этих уравнений получим

(3. 8. 2)(3. 8. 2)(3. 8. 3)(3. 8. 3)ди_ — -1 дР

(3. 8. 2)

(3. 8. 2)

(3. 8. 3)

(3. 8. 3)

дхуМд дх ° Oq ° Со

dpi 1 др dp2 1 др

дх уМ^ ^У &х Y^oe2 ^2

При Mg ^1 из (3.8.2) следует, что изменение полной скорости вдоль линий тока мало и она близка к максимальной скорости t7=<7max истечения газа в пустоту.

Предположим далее, что множители 8г выбраны таким образом, что производные в правых частях уравнений (3.8.3) имеют порядок единицы. Тогда порядок левых частей будет зависеть от параметров ATz = yM^?. Если течение происходит в узкой облас

ти со столь большими поперечными градиентами величин, что АГ/<1, то уравнения (3.8.3) не упрощаются, и этот случай не обладает какими-либо

Рис. 3.11.Рис. 3.11.специфическими локальными свойствами. (Подобные течения рассмотрены в гл. 8, посвященной гиперзвуковому обтеканию тонких заостренных тел).

Рис. 3.11.

Рис. 3.11.

4^-~0,(3.8.4)дх4^-~0,(3.8.4)дхНо при /<гО1 уравнения (3.8.3) принимают ВИД

4^-~0,(3.8.4)

дх

4^-~0,(3.8.4)

дх

откуда следует, что отклонение вектора скоро-

сти вдоль линии тока пренебрежимо мало, а линии тока — прямолинейны. Примером такого течения служит истечение газа из сопла в пустоту (рис. 3.11), где всегда найдется такая линия (поверхность) АВ, на которой и вниз по течению от нее числа М>М0>1.

Выделим на поверхности АВ около точки О произвольную элементарную площадку do0 и проведем через ее границу прямолинейную трубку тока с телесным углом йй и переменным сечением do.

Из баланса расхода массы в этой трубке получим

(3.8.5) Vo г /

Это означает, что при К—>оо закон изменения плотности вдоль прямолинейных линий тока тот же, что и для цилиндрического (v=l) или сферического (v = 2) источника с полюсом, лежащем на обратном продолжении вектора скорости в точке О на расстоянии г0 от нее. -

Рассмотрим еще некоторые характеристические свойства течений при Мо^>1. Поскольку характеристические поверхности составляют с линиями тока угол а* М^1^!, то при угле между крайними линиями тока 9а—бв^ЗМо"1, характеристики, выходящие из крайних точек А и В, никогда не пересекутся, т. е. задача Коши на такой поверхности имеет бесконечную область определенности.

При К—>оо уравнения (3.8.2), (3.8.4) вместе с уравнением неразрывности (3.7.4) не имеют других характеристик, кроме линий тока, что свидетельствует о параболическом вырождении уравнений газовой динамики. Это, конечно, следовало ожидать, так как обе характеристики (3.2.8) (как и характеристический конус) при М'1—^0 стремятся к линии тока. Но при этом надо быть уверенным в пренебрежимо малом изменении параметров поперек каждого характеристического коноида (местный параметр К^>1), так как иначе волновые свойства уравнений (например, в волнах Прандтля-Майера) будут проявляться и при сколь угодно больших числах Мо.

Глава 4

ОБЩИЙ ЗАКОН ПОДОБИЯ ГИПЕРЗВУКОВОГО

ОБТЕКАНИЯ ТЕЛ НЕВЯЗКИМ ГАЗОМ

. Замечания к постановке задач сверхзвукового невязкого обтекания тел несовершенным газом

Стационарное течение невязкого газа около тела определяется системой дифференциальных уравнений и термодинамических соотношений, выписанных в § 1.7, условиями на

поверхности тела, конечными соотношениями на возможных поверхностях разрыва, полученными в гл. 2, и параметрами невозмущенного потока вдали перед телом. Для нестационарных течений должно быть еще задано начальное распределение искомых величин в про

странстве.о

Очевидно, рассматриваемая система должна быть замкнутой в том смысле, что число неизвестных равно числу уравнений,

а число граничных и начальных условий достаточно для определения неизвестных поверхностей разрывов и произвольных функций в общем решении системы дифференциальных уравнений.

Предположим, что эта система уравнений всегда имеет решение и притом единственное. Хотя первое утверждение в общем случае не имеет строгого математического доказательства, в справедливости его (кроме, может быть, исключитель

Рис. 4Л. К общей картине обтекания те ла:линии тока;ударные волны;— —характеристики; —звуковая 4линияРис. 4Л. К общей картине обтекания те ла:линии тока;ударные волны;— —характеристики; —звуковая 4линияных случаев, связанных с физическими особенностями задачи) убеждает весь теоретический и практический опыт газовой динамики.

Рис. 4Л. К общей картине обтекания те ла:

линии тока;ударные волны;

— —характеристики; —звуковая 4линия

Рис. 4Л. К общей картине обтекания те ла:

линии тока;ударные волны;

— —характеристики; —звуковая 4линия

Второе же утверждение требует некоторых пояснений. В § 2.6 было указано на двузначность решения задачи о присоединенном скачке уплотнения, например, при обтекании бесконечного клина. Будем предполагать, что при учете всей со** вокупности граничных условий (а, может быть, и начальных,

если рассматривать стационарное течение как предел некоторого нестационарного процесса) нужная ветвь скачка уплотнения может быть отобрана. В частности, обтеканию заостренных тел с углом при вершине, меньшим предельного, всегда соответствует слабая ветвь.

Однако, этим не ограничивается возможность неединственности решения задачи. Например, при обтекании тела со щитком или иглой (рис. 4.1) можно построить множество решений с зоной покоя перед щитком. Такие отрывные зоны (в которых газ вращается с малыми скоростями, а давление почти постоянно) действительно образуются из-за влияния пограничного слоя, пристеночные струйки тока в котором, обладая слишком малы-

ми скоростями и давлением торможения, не могут преодолеть положительного перепада давления в скачке.

Вне этих зон в достаточно плотном газе (т. с. при больших числах Рейнольдса) течение можно считать невязким, но однозначно определить контактную разделяющую поверхность в рамках схемы невязкого газа без дополнительных условий нельзя (более того, стационарные течения такого рода часто оказываются невозможными).

При сверхзвуковом обтекании граничные условия достаточно задать лишь на передней представляющей интерес части тела (например, аа' на рис. 4.1) с тем однако, чтобы область определенности решения (левее характеристик ас, а'с' или соответствующей характеристической поверхности в пространственном течении) полностью содержала бы дозвуковую область течения около тупого тела. Кроме того, нужно иметь уверенность, что хвостовая часть тела не влияет на предшествующее течение, например, через зоны отрыва (т. с. что точка отрыва d лежит вниз по течению от точки а).

В однородном и равновесном набегающем потоке его параметры можно задавать на бесконечном удалении перед телом.

В неоднородном и неравновесном потоке параметры его достаточно задать лишь в той области, которая влияет на нужный нам участок тела аа' и на минимальном расстоянии впереди тела, на котором исключено влияние последнего вверх по течению.

Однако если (периферийная часть потока более высокона* порна, то вследствие образования скачков уплотнения возможно влияние ее на течение левее характеристики 2-го семейства ас. Более того, давление за скачком cb может быть столь большим, что низконапорные центральные струйки тока преодолеть его не смогут, и безотрывное обтекание тела в целом окажется невозможным L

Приведенные рассуждения, конечно, не исчерпывают всех возможных ситуаций и лишь показывают, что в общем случае математическая постановка задачи о сверхзвуковом обтекании тел требует иногда значительной априорной информации о картине течения. Дальнейшее содержание книги будет относиться лишь к безотрывному обтеканию тел относительно простой формы с присоединенными скачками уплотнения в точках излома поверхности.

4.2. Закон подобия стационарного сверхзвукового обтекания тел реальным газом

При выводе закона подобия будем исходить из общей постановки задачи, сформулированной в § 4.1, и систем уравнений § 1.7 или §3.1.

Пусть заданы форма, характерный размер тела L и параметры натекающего на него потока (которым припишем индекс «ОО»)

^ (^> Ui ^> ^*) "~ О, Z#, Poo, Qco, 7^00) ^ОО> qHoot Uсо (#00) ^00) ОО } •

(4. 2.1)

Введем безразмерные величины

Заметим, что все размерные величины отнесены здесь к характерным масштабам, связанным лишь с самой газодинамической задачей (с условиями обтекания и размером тела).

Параметры qn отнесены здесь к некоторым характерным масштабам, например, q-no=i для концентраций Ct и q-n^U^ для энергий внутренних степеней свободы.

Задача состоит в том, чтобы привести систему определяющих уравнений, граничных и начальных условий к безразмерному виду и выявить тс безразмерные параметры или функ- дии, от которых зависит решение (или вообще течение). Очевидно, что если для разных течений эти параметры, или, как их называют, критерии подобия, будут совпадать, то вследствие предполагаемой единственности решения будут одинаковыми и зависимости безразмерных функций (4.2.2) от безразмерных переменных (4.2.3). Такие течения называются подобными. В новых переменных уравнения движения, неразрывности и энергии не изменяют вида (производные в операторах градиента и дивергенции взяты по безразмерным переменным)

— =—— grad//, divQ't/'=O,(4.2.4)

dt* Qdt* ^ dt1

В этом можно убедиться также, переходя к безразмерным переменным в уравнениях § 3.1 в декартовой системе координат.

На поверхности тела f(xz, у', /)=0 задано условие непро- тскания

/zX+«^'+«X=0, nx=fx^-VPg-YAyX12 и т. д.,

(4.2.5)

где пх, пу, пг — направляющие косинусы нормали к поверхно-

сти. Ударные волны являются искомыми поверхностями типа F^x', у', 2^ =0 с условиями ударного перехода на них

P^№n=pVYs№

^'i+^-^^^+'y^ a^u^n^l-k), (4.2.6)

^ — ^Ч-М^С1-^ TO^w'^n^Jl-fe), k = QjQ2.

ударной волнеударной волнеЗдесь величины vn, пх и т. д. вычисляются (с заменой f на F) так же, как и в (4.2.5). Соотношения (4.2.6) для внутренних скачков уплотнения нс содержат каких-либо заданных параметров задачи, но в соотношения на головной войдут безразмерные условия обтекания (4.2.1):

ударной волне

ударной волне

=^-=!; м„

где вторые равенства в (4.2.7) выписаны для совершенного в набегающем потоке газа. Кроме того, для подобия течений согласно (4.2.5) — (4.2.6) должны быть одинаковыми форма тела и величины

fix'. у', г'^О. u'^UoolUoo. ^ = ^JUоо, ‘w^'WoolUoe. (4.2.8)

Эта группа критериев требует чисто геометрического подобия течений, выполнение которого впредь будем подразумевать без оговорок.

В неоднородном или неравновесном набегающем потоке величины р^, и^ и т. д. должны быть заданы как функции переменных (4.2.3), в однородном и равновесном потоке (которым для простоты впредь и ограничимся) эти величины постоянны.

Заметим, что закон подобия справедлив и для дозвуковых течений: в этом случае головной волны нет, но для определенности задачи нужно задать тс же условия обтекания (4.2.1), а следовательно, (4.2.7), (4.2.8).

Чтобы получить полную систему критериев подобия, нужно привлечь еще замыкающую систему термодинамических уравнений, что сделаем ниже, последовательно усложняя задачу.

Совершенный газ. Уравнение состояния совершенного газа, замыкающее систему (4.2.4), имеет вид

=h =(4.2.9)

Q ^ сруY

Оно не содержит иных параметров, кроме у. Поэтому согласно (4.2.7) — (4.2.9) критериями подобия геометрических подобных течений будут лишь у и Моо. Это классический и наиболее известный закон подобия обтекания тел невязким газом.

Случай течения газа, замороженного относительно состава и состояния перед телом (см. § 1.7), отличается от течения совершенного газа лишь связанной теплотой физико-химических превращений hf. Тогда следует заменить h на h—hf, и критериями подобия будут у/ и М<»/= ^оо/я/оо, где у/ и сц — замороженные показатель адиабаты и скорость звука. При свободном полете в атмосфере Лу = О.

Б. Равновесное приближение. Пусть в каждой точке потока состав и состояние газа локально-равновесны. Тогда систему (4.2.4) можно замкнуть уравнением состояния в квазисовершен- ной форме (см. § 1.9)

Р* У*—1 у* где у* — эффективный показатель адиабаты. В этом случае течения будут подобными при совпадении параметров р'^, h^ и одинаковых функциях у*(//, hzy Но последняя в действительности зависит от размерных давления или энтальпии, или точнее, от масштабов р^ и Ла для их измерения, не зависящих от газодинамической задачи. Поэтому функция у* должна иметь вид

Y*=Y*(a A) = Y*lp,——h ;

X Pa«а /

P=plPai h = hlhf(4.2.10)

Тогда_условиями подобия течений будут совпадение функций V* (^, й) и критериев подобия

е Z72I/2

' к.(4.2.11а)

°°°°

Эти критерии в принципе позволяют моделировать течение одного газа другим. Однако обычно р^ и h^ — просто стандартные масштабы (например, р'а=1 Н/м2, 1Аа = Дж/г), а функция у* задана в виде таблиц, поэтому для заданного газа условия подобия (4.2.11а) приводят, как правило, к требованию совпадения или тождественности условий обтекания, т. е. к совпадению размерных величин

иоо, Qoo, р^ h^ или Uоо, Qoo, Moo, Y*OO = Y« (4.2. 116)

Вторая группа критериев здесь выписана согласно (4.2.7) для совершенного в невозмущенном состоянии газа. В этом наиболее интересном для практики случае система (4.2.11) может быть упрощена. В самом деле, как указано в § 1.9, функция у* ^р, /г) слабо (логарифмически) зависит от давления, так что в ограниченном диапазоне его изменения этой зависимостью можно пренебречь.

Тогда из критериев (4.2.11) выпадает плотность Qoo или вы- сота полета Н. Влияние же Н через скорость звука а^ = (/оо/Моо мало вследствие сравнительно слабой зависимости а«\Щ (см, рис. 1.1) и слабого влияния Моо при больших его значениях на

Рис. 4.2. Формы ударных волн (а) и профили плотности в се- чении x = R0 (б) для сферы в совершенном газе при у=1,4 и в равновесно-диссоциирующем воздухе:

(/-Мто=4, 2-М^б; 3-M^lO, -Т-М^-ю); (5-^=4 км/с, 6-U^- =7,5 км/с при 0^=1,8* 10—5 г/см3, 77=30 км а^^ЗОО м/с; 7—(7^=7,5 км/с 6 00 = 8,3-10“^ г/см3 77=60 км, а оу=320 м/с

решение (что будет показано в п. «Д»). В подтверждение на рис. 4.2 показаны профили плотности между поверхностью сферы и ударной волной и формы последних, которые слабо зависят от Qoo и значительно сильнее от Uoo.

Общий случай. В общем случае неравновесное течение зависит еще от совокупности параметров q-n, характеризующих со-

став и состояние газа, которые определяются уравнениями- (см. § 1.7).

^ = ^"QnkP. Т, qn\ к = ЦТ, qn\ p^=RqT. (4.2. 12) atоо

Условия обтекания (4.2.1) должны быть дополнены величинами ^поо, которые сохраняются в ударной волне. Тогда для подобия течений будет необходимо еще совпадение параметров и функций

A- r)-trr^ *ЧГ- АА НЯ <~. А2- >3) 004 лО

что собственно и замыкает общий закон подобия.

Но функции Qn, h, ц зависят от размерных температуры и давления и от совокупности большого числа размерных или безразмерных параметров, характеризующих смесь (см. гл. 1). При этом в отличие от равновесного случая, функции Qn содержат в себе размерность времени, что особенно четко видно из: уравнений в релаксационной форме (см. § 1.5), когда Qn = = (^пе—q-пМт, где т — время релаксации.

Поэтому, кроме каких-либо особых случаев, совпадение функций (4.2.13) возможно лишь для одинаковых смесей при полном совпадении (тождественности) условий обтекания, которые и будут критериями подобия

L, Q„, и», h^ qnoo.(4.2. 14)

Связанные с этим трудности моделирования усугубляются сильным влиянием реальных свойств газа на структуру течения,, что иллюстрируют рис. 4.3 и 4.4. Тем не менее иногда удается уменьшить число критериев подобия и упростить задачу моделирования.

Такой случай рассмотрим ниже.

Г. Бинарное подобие. В воздухе, углекислом газе основные реакции протекают путем распада одной частицы на две и обратно. Такие реакции в § 1.5 названы бинарными. Для таких смесей в § 2.5 получен закон бинарного подобия для переднего участка зоны релаксации за ударной волной. Обобщим этот закон на течение около тела.

Пусть условия обтекания и размеры тела таковы, что во всей возмущенной области идут только прямые реакции. При обтекании тупого тела вблизи поверхности (как будет показано в. гл. 6) всегда присутствует подслой, в котором существенны и обратные реакции. В этом случае потребуем, чтобы этот подслой был тонок и нс оказывал влияния на течение в целом. Скорость протекания прямых реакций (диссоциация, ионизация)^ как и скорость релаксации внутренних степеней свободы, пропорциональна давлению р, а в уравнении (1.5.8) второй член,

Рис. 4.3. Формы ударных волн и профили температуры между поверхностью притупленного конуса и ударной волной для различных параметров бинарного подобия /7=(/?орХХ ХЮ6 г/см2 в сечении х—1О,8/?о:Рис. 4.3. Формы ударных волн и профили температуры между поверхностью притупленного конуса и ударной волной для различных параметров бинарного подобия /7=(/?орХХ ХЮ6 г/см2 в сечении х—1О,8/?о:н^ кмн^ км7-802—803-607-802—803-60Осо, г/см3 ^0, смОсо, г/см3 ^0, см2,Ь10~882,1-Ю™8943,3-10“782,Ь10~882,1-Ю™8943,3-10“78пп0,168 1,982,640,168 1,982,64rs/ rwrs/ rw1,431,371,371,431,371,37Рис. 4.4. Профили плотности между поверхностью сферы (Х=0) и ударной волной (Х=1) вдоль радиусов для различных параметров бинарного подобия п=(#оРоо)406 г/см2:Рис. 4.4. Профили плотности между поверхностью сферы (Х=0) и ударной волной (Х=1) вдоль радиусов для различных параметров бинарного подобия п=(#оРоо)406 г/см2:

Рис. 4.3. Формы ударных волн и профили температуры между поверхностью притупленного конуса и ударной волной для различных параметров бинарного подобия /7=(/?орХХ ХЮ6 г/см2 в сечении х—1О,8/?о:

Рис. 4.3. Формы ударных волн и профили температуры между поверхностью притупленного конуса и ударной волной для различных параметров бинарного подобия /7=(/?орХХ ХЮ6 г/см2 в сечении х—1О,8/?о:

н^ км

н^ км

7-80

2—80

3-60

7-80

2—80

3-60

Осо, г/см3 ^0, см

Осо, г/см3 ^0, см

2,Ь10~88

2,1-Ю™894

3,3-10“78

2,Ь10~88

2,1-Ю™894

3,3-10“78

п

п

0,168 1,98

2,64

0,168 1,98

2,64

rs/ rw

rs/ rw

1,43

1,37

1,37

1,43

1,37

1,37

Рис. 4.4. Профили плотности между поверхностью сферы (Х=0) и ударной волной (Х=1) вдоль радиусов для различных параметров бинарного подобия п=(#оРоо)406 г/см2:

Рис. 4.4. Профили плотности между поверхностью сферы (Х=0) и ударной волной (Х=1) вдоль радиусов для различных параметров бинарного подобия п=(#оРоо)406 г/см2:

1—Rq = oo, л = 00 (равновесие); 2—7?0=95см, л = 31,4; 3—7?0 = 15см, л=4,95; 4—7?0 = 1 см,л—0,3 3; (кривые 1—5—9оо = 3,3-10~7 г/см3, 17^=7,5 км/с (77=60 км)); 5—R0 = l см, л=4,0,@оо=4-10“6 г/см3, (7^=7,5 км/с (77=40 км); 6—совершенный газ Моо=оо, 1 = 1,4; 7?о=О

пропорциональный р, как и в § 2.5, можно опустить. Тогда» уравнения химической кинетики можно записать в упрощенной форме:

dq'U ! U2\

_^L=p'^L — fA-^-T', qx\ (4. 2. 15)

Отсюда получим следующие критерии подобия:

Q~£, Uоо, qnOO1 р(4. 2. 16}

т. е. в отличие от общего случая неравновесного течения, решение в безразмерных переменных (4.2.2) — (4.2.3) зависит лишь от параметра бинарного подобия QooL и не зависит от роо или L в отдельности.

На рис. 4.3 показаны профили температуры между поверхностью конуса со сферическим носком и ударной волной и формы последних, а на рис. 4.4 профили плотности для сферы при- различных Qoo^o, где R^ — радиус сферы. Эти профили близки- для близких значений параметра бинарного подобия, причем для течений, значительно отличающихся от полностью замороженного (Qoo/?0—>0).

Д. Принцип гиперзвуковой стабилизации Ч В главе 2 былопоказано, что параметры газа за сильной ударной волной перестают зависеть от числа Мео при очень больших его значениях. Распространим этот результат на случай обтекания тела.

Пусть а — местный угол атаки ударной волны, так что Vm=- = £7ooSina, а оо — его минимальное значение в рассматриваемой области течения. Пусть далее выполняется условие

М^ sin2 a0^> 1 (Y=Y, Y*, Y/)- (4.2.17)

Тогда условия (4.2.6), как и в гл. 2, упростятся

/?' = (! — A) sin2a, А' = —(1 —A2)sin2a, А = -^—, (4. 2. 18} 2 Q2

число Моо выпадает из граничных условий и решение будет зависеть лишь от следующих условий обтекания:

qnoo, Q со > У,», L. (4. 2. 19}

Все другие упрощения, рассмотренные выше, учитываются при этом автоматически. Например, для совершенного (замороженного) газа решение будет зависеть лишь от у.

Этот вывод имеет принципиальное значение для гиперзвуковой аэродинамики и носит название принципа гиперзвуковой стабилизации или принципа независимости от числа Маха.

В пределах его применимости можно просто рассматривать предельный случай Моо—>оо, что облегчает моделирование течений и аналитические исследования.

Однако в полете скорость U^ увеличивается вместе с Моо, поэтому для реального газа, строго говоря, никакой стабилизации течения нс произойдет (что наглядно следует из сопоставления форм ударных волн на рис. 4.2). Но, например, суммарные аэродинамические характеристики простых тел могут слабо зависеть от скорости газа при больших Моо (например, гл. 5).

Заметим, что из условия (6т — минимальный угол наклона тела)

-М sin26m>l,

как правило, следует условие (4.2.17), но обратное неверно, так как течение будет стабилизироваться независимо от 0т в области, ограниченной характеристикой ас на рис. 4.1, в точке с пересечения которой с ударной волной выполняется условие (4.2.17).

Вывод закона подобия из теории подобия и размерностей

При выводе законов подобия весьма полезны соображения теории подобия и размерностей, процедура применения которой состоит в записи физических законов в виде функциональных связей безразмерных величин.

Рассмотрим сначала случай совершенного газа. Искомое решение задачи о стационарном обтекании заданного тела должно .иметь, например, для давления следующий общий вид:

р = р (х, у. z, у, L, р^, Л^, а^, U^.(4.3. 1

Очевидно, что в такой задаче характерными являются нс общепринятые стандартные масштабы измерения величин (метр, грамм, секунда и т. д.), а определяющие параметры задачи. Причем размерности выбранных масштабных параметров должны быть независимыми и содержать размерности массы, длины и времени (через которые выражаются размерности всех величин в механике). В газовой динамике в качестве таких масштабов удобно выбрать размер тела L, плотность q»» и скорость Uoo или аоо. Тогда, поделив каждую величину в скобке (4.3.1) на соответствующие се размерности произведения масштабных величин, убедимся в том, что отношение pIqooU^, например, будет зависеть лишь от тех безразмерных параметров, которые можно образовать из выписанных в скобке (4.3.1) величин Ч

p^^p'L'^^L, у',=(4.3.2а)

\LР ОО^оо/

От тех же параметров и переменных будут зависеть функции Q' = Q/Qoo, A' = /z/£/t, u^uIUqo и т. д. (4.3.26) Формы ударных волн представляют собой зависимости типа

F (-^) У^ ^, Qco, ^ОО, poos ^оо)0)(4. 3. 3)

или

У*. ^, у, Моо)=0.

Соотношения типа (4.3.2) — (4.3.3) и представляют собой формальную запись закона подобия.

Для несовершенного газа заданного состава недостаточна воспользоваться масштабами величин, связанными с конкретной задачей. В этом случае свойства газа, как отмечалось в § 4.2, зависят от абсолютных значений давления и температуры, или энтальпии, для измерения которых нужно ввести какие-либа стандартные масштабы ра, Та (например, 1 Н/м2 и 1 К). На неравновесное течение реального газа влияют правые части кинетических уравнений Qn, которые по своему характеру и размерности обратно пропорциональны некоторому характерному времени та протекания физико-химических процессов (это отчетливо видно на примере уравнений в релаксационной форме иа § 1.3 и 1.5). Таких характерных времен тп может быть много, но это не меняет существа дела, а приведет лишь к появлению безразмерных определяющих функций или параметров Тп/та.

Но поскольку для измерения искомых величин целесообраз* но сохранить тс же (связанные с задачей) масштабы, что и для совершенного газа, так как именно они определяют порядок искомых величин, то в число определяющих безразмерных параметров в зависимостях (4.3.2) и (4.3.3) войдут отношения ^Jpa, №JTaR и та^оо/Д Так величины ра, Та, та чаще всего не зависят от газодинамической задачи, то эти безразмерные критерии подобия для течений реального газа и приводят к зависимости безразмерных параметров решения (4.3.2) от размерных величин Qoo, Uoo, а для неравновесных течений еще и от L. Именно в этом смысле следует понимать наличие размерных в^ личин в системе критериев подобия § 4.2.

Как видно, вывод закона подобия из теории подобия и размерности более краток, чем из анализа полной системы уравнений. Это впечатление, однако, обманчиво, и оба приведенных вывода практически эквивалентны, так как при подборе системы определяющих параметров мы неявно исходили из общей постановки задач, в частности, из вида уравнений и определяющих граничных условий. Например, для получения из общей теории подобия и размерности принципа гиперзвуковой стабилизации нужно знать конкретные соотношения на ударной волне, исходя из которых, можно пренебречь давлением роо» энтальпией Аоо или скоростью звука си невозмущенного потока; для получения закона бинарного подобия необходимо знать структуру и особенности уравнений химической кинетики и т. д.

В этой связи для более глубокого понимания полученных результатов целесообразно при выводе законов подобия использовать оба подхода.

Для примера применения теории подобия и размерности рассмотрим обтекание так называемых конических тел, образованных пучком прямых, исходящих из одной обращенной к потоку точки — полюса (например, конус и в плоском течении — клин). При выборе слабой ветви присоединенного скачка донный срез нс окажет влияния на сверхзвуковое течение вверх по потоку, поэтому длину такого тела можно считать бесконечной. В такой задаче характерный размер L отсутствует, поэтому возможны лишь следующие комбинации безразмерных независимых переменных, от которых будет зависеть решение

(х, у, z, и_ та)^(-^ , , ^). (4.3.4)

Как видно, в предельном случае равновесного или замороженного (совершенный газ) течения, если параметра та нет, все параметры течения должны быть постоянными на лучах, проходящих через полюс. Подобными же лучами будет образован и присоединенный скачок уплотнения. Такие течения называются коническими, исследование их облегчено из-за меньшего числа независимых переменных (что было использовано на примере круглого конуса в § 3.6). В неравновесном же течении характерным размером задачи будет произведение УооТа, и комичность течения нарушается L

Сформулируем еще закон подобия для нестационарного обтекания тела. Пусть теперь в том же потоке тело изменяет свою форму или положение по закону

. /(/', х', у', z'^0, (4.3.5)

Тогда, очевидно, течения, соответствующие одинаковым согласно (4.3.5) телам, будут подобными с теми же критериями подобия, что и в § 4.2.

Однако обычно нестационарное движение имеет свои масштабы времени 70 и размера I, отличные от Zo и L, так что все движения одного типа, совершаемые геометрически подобными телами, можно задать единой зависимостью /(^До, ^ • • •> VQ =0. Тогда в число критериев подобия § 4.2 войдут параметры

HL. (4.3.6)

Здесь «о — число Струхаля, характеризует степень отличия нестационарного течения от квазистационарного, которому отвечает (Do—>0.

Решения задач, в которых удается понизить число переменных, называет автомодельными, т. е. подобными самим себе. Например, в конических течениях во всех сечениях x=const профили -величин между телом и скачком будут подобными.

ЧАСТЬ II

ТЕЧЕНИЕ ГАЗА С БОЛЬШОЙ ПЛОТНОСТЬЮ

ЗА УДАРНОЙ ВОЛНОЙ

Глава 5

ОБЩАЯ НЬЮТОНИАНСКАЯ ТЕОРИЯ

Постановка задачи. Толщина ударного слоя. Криволинейные координаты

В § 2.3 были отмечены некоторые свойства сильных ударных волн с гиперзвуковой нормальной составляющей скорости:

а2 °°Л=^~ 1)ML»1, (^ = £AoSina). (5. 1. 1)

Здесь a — угол наклона ударной волны к направлению набегающего потока. Индексом «оо» помечены параметры в невозмущенном газе, который для простоты будем считать совершенным. В этом случае в соотношениях на ударной волне можно пренебречь давлением и энтальпией в невозмущенном газе (см. закон гиперзвуковой стабилизации, гл. 4)

Рз Роа ~Q ОО^ОО Л ( 1 QССрУ ООП ( 1 ^)> (^ В ^)

hs_fl^^<u2Mn(\-^~_L^oorl^-^,(k==e-^y

В том же § 2.3 для совершенного (или замороженного) и в случае сильной ударной волны равновесного газа были получены соответственно формулы

^оо у —1QsY + 1^оо у —1QsY + 121^ С^ у.;-^1V + I M^n ’ qs Y* + Г21^ С^ у.;-^1V + I M^n ’ qs Y* + ГY* = Y*(^, As),(5.1.3)Y* = Y*(^, As),(5.1.3)

^оо у —1

QsY + 1

^оо у —1

QsY + 1

21^ С^ у.;-^1

V + I M^n ’ qs Y* + Г

21^ С^ у.;-^1

V + I M^n ’ qs Y* + Г

Y* = Y*(^, As),

(5.1.3)

Y* = Y*(^, As),

(5.1.3)

где у* — эффективный показатель адиабаты (см. § 1.9).

Для воздуха или углекислого газа у* = 1,14-1,4, поэтому при МооП>6 величина k^ 0,054-0,2 оказывается небольшой. В зоне релаксации отношение Qoo/ps имеет, как правило, промежуточную величину между значениями (5.1.3). Следовательно, в воз-

мущенном слое за сильной ударной волной плотность газа достаточно велика по сравнению с плотностью в набегающем потоке (q^Ps^Qoo), если только газ нс претерпевает затем чрезмерного расширения, т. с. если всюду в слое q)qs~ (p/PsY^*^.

Это обстоятельство побуждает рассмотреть предельные свойства течений в плотных так называемых ударных слоях при к —>0, т. с. при Мооп~>оо; у*, у—>1. Такой подход широко распространен и весьма нагляден для выяснения качественных особенностей и основных свойств гиперзвуковых течений. Исследо-

Ри’С. 5.1. К постановке задачи о тонком ударяем слое:Ри’С. 5.1. К постановке задачи о тонком ударяем слое:

Ри’С. 5.1. К постановке задачи о тонком ударяем слое:

Ри’С. 5.1. К постановке задачи о тонком ударяем слое:

/—область ударного слоя на теле; //—область свободного слоя; ///—аэродинамическая тень

ванию этих вопросов (притом лишь для стационарных, кроме § 5.8, течений) и посвящена часть II нашей книги (см. также [47, 48]).

Наиболее важной особенностью таких течений является малая относительная толщина б/d ударного слоя. Из баланса расхода массы через ударный слой следует (рис. 5.1)

<Р~Л Q^tZ^’ ~ (2л)1 qcuX.

_81_d 2 qc ис_81_d 2 qc исYuс °’ V0 е.Yuс °’ V0 е.(5. 1.4)(5. 1.4)

_81_

d 2 qc ис

_81_

d 2 qc ис

Yuс °’ V0 е.

Yuс °’ V0 е.

(5. 1.4)

(5. 1.4)

где d — характерный размер тела, Qc^Ps, ^с — характерные плотность и продольная (вдоль поверхности тела) скорость газа в ударном слое; v = 0; 1 соответствует плоским или осесимметричным течениям (в общем случае и трехмерным, если все поперечные размеры тела одного порядка). Отношение §ld~k> •если только u^Uoo. Последнее условие весьма существенно. Например, если скорость ис в контрольном сечении близка к зву-

ковой, равной (согласно § 1.9) Ucwa^Rsk'^U,», то 6ld~k'i*. На поверхности тупых тел из уравнений Бернулли и адиабаты Пуассона (гл. 1) имеем

tt^Ux{\ — Ь1Н)№=и<х> [1 — (/’//’оУ1-1^1^—>0 при у—>1,

(5.1.5) где pg и Н — давление и энтальпия в точке торможения. Поэтому порядок средней скорости ис требует внимательной оценки и, отложив уточнение этого вопроса, дальнейший анализ проведем при условиях

£0—>0, Zld —>0 или е = шах(А0, b/d} —>0.(5.1.6)

Далее будет показано, что b/d-^O всегда при &о—>0, но, возможно, с другим порядком малости.

Малая толщина ударного слоя делает естественным использование системы криволинейных координат, связанных с поверхностью тела, где х^, ха направлены вдоль, а у по нормали к поверхности тела (рис. 5.2). Потребуем, чтобы такая система была триортогональной, т. е. чтобы элемент длины в пространстве определялся канонической квадратичной формой (Н( — коэффициенты Ламе)

dl^HWi^H^dx^H^dy2, Н^ — , Н^—, Нд=—.

*[^xiдх^ду

Из дифференциальной геометрии известно, что направления х^ х2 должны совпадать с направлением главных кривизн (с радиусами Rt и Rs), тогда координатные плоскости Xi = const и x2=const будут пересекаться вдоль нормали к телу. В общем случае под Xj и х2 будем подразумевать длины соответствующих дуг. Тогда параметры Ламе будут равны

Hi = ^yfRp Ha=\^yfRa, Hg=L (5.1.7)

В этом можно убедиться, совместив плоскость рис. 5.2 поочередно с плоскостями, содержащими направления (xi, д') или (х2,г/).

Для плоских (v=0) тел или тел вращения (v = l) xi=x будет длиной дуги образующей, отсчитываемой от передней точки тела, х2=ф — меридиональным углом. В этих случаях

Hx=\^glR, Н^г', Ну = \,(5.1.8)

где г — расстояние до оси симметрии.

Для плоских и осесимметричных течений дадим краткий вывод уравнений движения газа в криволинейных координатах. Если x(t), g(t) — траектория частицы вдоль линии тока, то полная производная какой-либо величины вдоль нее записывается следующим образом:

d д dx_ । dy R ^ д .

dtдх dt ду dt R + У ' дх ду ’

что и определяет вид уравнений, записанных вдоль линий тока. Здесь и, и — составляющие скорости по осям х, у.

На поверхности тела всегда имеем граничное условие

(5. 1. 10)(5. 1. 10)// = 0, ^ = 0.

(5. 1. 10)

(5. 1. 10)

Уравнения количества движения получим из векторного уравнения

х QU1.i их

=ик^=grad р. (5. 1. И)

dt R + у дх 1 ду Q

Если z и / — единичные векторы вдоль координат х, у, то

t^w’ + ^Z grad р=I^ + 7^- •

R + у дх ду

Тогда, учитывая очевидные равенства (см. рис. 5.2)

di j dj i di d j dxR* dxR’ dydy

получим следующие проекции уравнения количества движения на оси х и у\

_(5.1.12а)

R + у dx dy R + у R + у q дх

_R_ й^ + т, dJLHi_= dJL.(5. 1. 126)

R + У дх dy R-V У Q dy

Выделим объем, ограниченный близкими координатными линиями % = const и z/=const, и в осесимметричном течении — близкими меридиональными плоскостями <p=const (рис. 5.2). Через взаимно ортогональные грани этого объема втекает в единицу времени количество газа

dQx = ^u^rd^ dy, dQy=Q^y*d^y dlx = Q^ dx.

Через противоположные грани вытекает количество газа, определяемое теми же формулами, только в точке x-^-dx, y-\-dy. Из условия баланса массы получим уравнение неразрывности

-^(е«П+^( qw’^-^)=o.(5.1.13)

dxду \ R )

И, наконец, группу уравнений, определяющих термодинамическое состояние газа, выпишем в обычном виде, полагая течение адиабатическим

(5.1.14) dt q dt

^=Q^P’ Т' q^’ ^^^’^^ЯгЛ (5.1.15).

Здесь, как и в § 1.7, qw есть набор параметров, характеризующих состав и состояние газа.

Для равновесного, совершенного или замороженного газа систему (5.1.15) можно заменить одной связью (см. § 1.7, 1.9)

e = Q(A А) или ^- = -—-, Y* = Y*(A Qh.у*

(5. 1. 16)

Для общего трехмерного течения систему уравнений движения приведем без вывода (см., например, книги [18, 27, 39]):

du।quwdH! -qu-udHi qw2dH=21_dpe

6 at1HXH2dx2HiдуHXH2 dxxHxdxx’

dv qu^dHy qw^dH^dp e

dtHxdyH<xdydy

dwj ^uw dHs। qwv dH^ qiz2 dHx 11dp e

dtHXH2 dxxH^ dyHXH<2 dx^H^dx^.

, (0«^2) + , (0^1)+, (q^i//2) = 0. dxxdx^dy

(5. 1. 17a)

(5. 1. 176)

(5. 1. 17b)

(5. 1. 18)

Здесь и, v, w — составляющие скорости вдоль направлений хь

у, X2, а полная производная вдоль линии тока dи d . w д । d

dtНх dxx Н^ dx^dy

(5.1.19)

Для плоских или осесимметричных течений перейдем к переменным Мизеса (х, ф), где функция тока ф удовлетворяет уравнениям

— (2лг)',е-г ( 1 + "^-) , ^-=(2лг)'-рм

(5. 1.20)

и равна расходу между телом и данной точкой (цилиндрической

поверхностью г=const при v=l). Тогда получим ду __1ду _ R -V у у .

d^(2лгУ^и 1 dxR и '

du । dvdk1 dp

иk v — ;

dxdxdxq dx

R + У dx RA-У^ ’

(5. 1.21)

(5. 1.22)

(5. 1.23)

^- q=qvP) Т, qm\ h^T, qm\ (5. 1.24) к-ту ox

Здесь координата у lx, ф) является искомой формой линии тока. Уравнения (5.1.21) получаются обращением уравнений (5.1.20). Уравнения (5.1.22) приводят к уравнению Бернулли.

Предельное решение для тонкого ударного слоя. Формулы Буземана и Ньютона

Малая толщина ударного слоя позволяет получить простые представления для распределения давления по поверхности тела, которые найдем ниже для плоских и осесимметричных течений. В самом деле, условие b(d<^\ означает, что линии тока почти параллельны поверхности тела r=rw(x), а ударная волна r=rs(x) ^rw(x) как бы облегает тело, т. е. и<и. Тогда в уравнении (5.1.23) первый член слева можно отбросить и оно будет иметь интеграл

Р<х» ^=Ps—(C) \~р^ wd^ (Ф^ кА^о^иД (5. 2. I) Ф

При гр=0 это решение дает распределение давления по телу и в таком виде называется формулой Буземана. Это решение имеет очень наглядный физический смысл: давление на теле равно давлению ps за ударной волной за вычетом (при 7?>0) или с добавлением (при R<0) центробежных сил, возникающих за счет искривления траектории движения частиц.

Величина ps определяется из формулы (5.1.2), которая при наших предположениях примет вид:v

^P=PS-Р^=(^е=О- (5-- 2)

Для плоской поверхности с R = оо (например, клин или конус) центробежные силы исчезают и давление на теле и в ударном слое будет определяться формулой (5.2.2), которая в этом случае носит название формулы Ньютона.

Ньютон в теории сопротивления тел предполагал2, что в достаточно разреженном газе частицы доходят до поверхности тела без изменения своего состояния. Взаимодействие же их с поверхностью происходит абсолютно неупруго с полной потерей нормальной составляющей скорости, но с сохранением касательной2. Масса частиц, падающих в единицу времени на элементарную площадку тела do с местным углом атаки 0, равна poot/ooSinOdo. Умножив на нормальную составляющую скорости ^oon = ^oosin0, получим потерянную газом за единицу времени нормальную составляющую импульса, которая равна действующей на этот газ со стороны тела избыточной нормальной силе, откуда и следует формула (5.2.2).

При умеренных скоростях полета толщина возмущенного слоя сравнима с размерами тела, поэтому теория сопротивле»

ния Ньютона не давала удовлетворительных результатов (и о ней гидродинамики забыли). Однако, при гиперзвуковых скоростях и небольших значениях к толщина ударного слоя мала, так что ньютонианская схема течения реализуется, хотя бы внешне. Ньютон не учел лишь того обстоятельства, что набегающий поток при условии достаточной его плотности взаимодействует не непосредственно с поверхностью тела, а со слоем газа, движущимся вдоль нее. Однако, для плоской поверхности, когда центробежными силами этого тонкого, но с конечной массой, слоя можно пренебречь, схема Ньютона становится справедливой. В связи с этим теорию, основанную на предельных при ^-^0 соотношениях, в литературе часто называют ньютонианской, хотя многие свойства таких течений, в частности более точная формула (5.2.1), Ньютону известны не были.

Формулы Буземана и в особенности Ньютона играют важную познавательную и практическую роль в аэродинамике. Поэтому, не ограничиваясь интуитивным характером их вывода, придадим им асимптотический смысл, получив предельное решение при ^-^-0, что понадобится нам и в дальнейшем. Для этого определим малый параметр как &о = Роо/ртпь где ртш — минимальное значение плотности в рассматриваемой области течения. Тогда р = ро/^о, где ро^роо. Формально у->0 при к^О, если сходится интеграл первого уравнения (5.1.21) ^(гр). Предполагая это, как и в § 5.1, систему (5.1.21) — (5.1.24) приведем при k-^О к виду

^-=о, г/ = м ^-=0, я—==0,—=0, (2лг)'^-=—. (5. 2. 3) дфдхдх дхдф R

Эта система имеет следующее решение:

Уо=уо=О, г=г$,+ г/соз6=гш(л:), «=«0(ф),

к = Р=Ро^, Ф),(5.2.4)

где функция ро(х, ф) определяется формулой Буземана (5.2.1), которая (а следовательно, и формула Ньютона для плоской поверхности) является точным решением при к->0. Произвольная функция Рз(х) определяется формулой (5.2.2), а ^о(ф), Ао(Ф)— в точке пересечения ударной волны данной линией тока. На ударной волне

€ = -Т^т-=^+М0,= гГ.(5. 2. 5)

Отсюда можно получить зависимость 6 = 6 (rw) =Oo(^). Тогда к=«о(ф) = ^ооС05 90 (ф)., Л = Л0(ф) = Аоо+-|-^ sin2 90 (ф).

(5. 2. 6)

Это решение означает, что конечное изменение давления не в состоянии повлиять на скорость и энтальпию (и внутреннюю энергию e = h—p)q) газа, обладающего бесконечно большой плотностью.

И, наконец, термодинамическое состояние газа (т. е. функции Т, р, q^ определяются уравнениями (5.1.24):

То, qm\(5.2.7)

Q = T-Qo(a, ^0, qn\ h^P», To, qn) = ha(^.

Отметим важное свойство ньютонианских течений: распределения давления по телу (5.2.1) или (5.2.2) и скоростей по линиям тока ^о(ф) не зависят от физических свойств газа и определяются только формой тела. Это утверждение распространяется и на течение излучающего газа, если только не происходит его нагрева с заметным уменьшением плотности, так как излучение влияет лишь на энтальпию (плотность) через уравнение адиабаты dh = qdt, где q — скорость притока тепла.

Заметим, что непосредственный «корпускулярный» вывод формулы Ньютона справедлив для любой элементарной площадки произвольного тела, если в (5.2.2) sin0 заменить на nx = cos (U^ п), где п— вектор нормали к площадке. Тогда

р — Poo=QooUoo cos2 (U^ пу(5.2.8)

Формула же Буземана в пространственном случае должна содержать центробежные члены, обусловленные обеими главными кривизнами площадки. В самом деле, при е—>0 в уравнении (5.1.176) слева останутся лишь два последних члена, тогда, проинтегрировав это уравнение от тела до ударной волны, получим давление на теле

p = ps— QttMy—— ^dy, (5. 2. 9) оо

где давление на скачке ps определяется формулой (5.2.8). Одаа- ко здесь далеко не тривиальным становится расчет траекторий линий тока и скоростей на них.

Подчеркнем, что формулы Ньютона и Буземана справедливы лишь для лобовой, обращенной к потоку поверхности тела, и то, 130■

Рис. 5.3. Отношение избыточного давления на клине к ньютонианскому: точное;решение § 6. 2Рис. 5.3. Отношение избыточного давления на клине к ньютонианскому: точное;решение § 6. 2точное;решение § 6. 2точное;решение § 6. 2

Рис. 5.3. Отношение избыточного давления на клине к ньютонианскому: точное;решение § 6. 2

Рис. 5.3. Отношение избыточного давления на клине к ньютонианскому: точное;решение § 6. 2

точное;решение § 6. 2

точное;решение § 6. 2

если около нее ударный слой имеет малую толщину (область I на рис. 5.1). В частности, формула Ньютона для затененной части тела (область Ш) неверна, но давление здесь обычно мало и в практических расчетах аэродинамических сил им пренебрегают.

Примеры применения и анализ точности формул

Ньютона и Буземана

Формулы Буземана и, в особенности, Ньютона очень просты, поэтому представляет интерес проверить их согласованность с точными результатами. На рис. 5.3 и 5.4 показаны отношения точного избыточного давления р—роо к ньютонианскому (5.2.2)

Рис. 5.4. Отношение избыточного дав ле ния на конусе к ньютонианскому:

для конусов и клиньев с углом наклона 9, которые в общем близки к единице при больших Моо и средних 0 и, по крайней мере, почти всегда порядка единицы. Заметим, что точность фор-, мулы Ньютона выше для конуса, толщина ударного слоя б = = xtg (а—9) на котором меньше, чем на клине (рис. 5.5). За

Рис. 5.6. Отношение давления — автомодельное решение. Моо=°о — на степенных телах к ньютони- анскому Рн^= pool/^n2c2x2<n-^:7—7=1 [формула Буземана (5.3.1а)]; 2—7 = 1,2;3—Т=1,4; 4—7=1,67;отношение rs/rw координат ударной волны и тела при 7 = 1,4; 00—интегральный метод [см. §10.3(7 = 1,4)]Рис. 5.6. Отношение давления — автомодельное решение. Моо=°о — на степенных телах к ньютони- анскому Рн^= pool/^n2c2x2<n-^:7—7=1 [формула Буземана (5.3.1а)]; 2—7 = 1,2;3—Т=1,4; 4—7=1,67;отношение rs/rw координат ударной волны и тела при 7 = 1,4; 00—интегральный метод [см. §10.3(7 = 1,4)]параметр kQ здесь взято отношение плотностей до и после скачка с углом наклона а, равным углу 6. Для совершенного газа

Рис. 5.6. Отношение давления — автомодельное решение. Моо=°о — на степенных телах к ньютони- анскому Рн^

= pool/^n2c2x2<n-^:

7—7=1 [формула Буземана (5.3.1а)]; 2—7 = 1,2;

3—Т=1,4; 4—7=1,67;

отношение rs/rw координат ударной волны и тела при 7 = 1,4; 00—интегральный метод [см. §10.3

(7 = 1,4)]

Рис. 5.6. Отношение давления — автомодельное решение. Моо=°о — на степенных телах к ньютони- анскому Рн^

= pool/^n2c2x2<n-^:

7—7=1 [формула Буземана (5.3.1а)]; 2—7 = 1,2;

3—Т=1,4; 4—7=1,67;

отношение rs/rw координат ударной волны и тела при 7 = 1,4; 00—интегральный метод [см. §10.3

(7 = 1,4)]

Y + 1 Y + 1 М^ sin2 6Y + 1 Y + 1 М^ sin2 6Исключение составляет диапазон небольших Моо и 6, когда вместо сильной ударной волны перед телом возникает скачок уплот-Исключение составляет диапазон небольших Моо и 6, когда вместо сильной ударной волны перед телом возникает скачок уплот-ппРис. 5.5. Наклон скачка уплотнения: а—для клина; б—для конуса; в—параметр ^о,' • точное, у = 1,4; —• — -—точное, у=1,1; -метод тонкого ударного слоя (§ 6. 2)Рис. 5.5. Наклон скачка уплотнения: а—для клина; б—для конуса; в—параметр ^о,' • точное, у = 1,4; —• — -—точное, у=1,1; -метод тонкого ударного слоя (§ 6. 2)

Y + 1 Y + 1 М^ sin2 6

Y + 1 Y + 1 М^ sin2 6

Исключение составляет диапазон небольших Моо и 6, когда вместо сильной ударной волны перед телом возникает скачок уплот-

Исключение составляет диапазон небольших Моо и 6, когда вместо сильной ударной волны перед телом возникает скачок уплот-

п

п

Рис. 5.5. Наклон скачка уплотнения: а—для клина; б—для конуса; в—параметр ^о,' • точное, у = 1,4; —• — -—точное, у=1,1; -метод тонкого ударного слоя (§ 6. 2)

Рис. 5.5. Наклон скачка уплотнения: а—для клина; б—для конуса; в—параметр ^о,' • точное, у = 1,4; —• — -—точное, у=1,1; -метод тонкого ударного слоя (§ 6. 2)

клине и конусе тем меньшеклине и конусе тем меньшеуменьшается также при больших углах 9, близких к предельному углу 0о поворота потока в скачке уплотнения. В этом случае толщина ударного слоя имеет порядок tg(a—0) ~ /г tg 0О &V2, а не к, как для умеренных 0 (§ 2.6).

клине и конусе тем меньше

клине и конусе тем меньше

Заметим также, что давление на

отличается от своего предельного при Моо—>оо значения, чем больше Моо и 9, что является наглядной иллюстрацией закона гиперзвуковой стабилизации (см. гл. 4).

.Рис. 5.7. Распределение давления по телу оживаль-ной формы (у = 1,4):

точный расчет,-формула Ньютона; —- — метод местных конусов; — •• — формула Буземана

Как пример тел с криволинейной образующей, для которых при к—>0 необходим учет центробежных членов, рассмотрим очень тонкие тела степенной формы rw = cxn, когда при Моо-^оо для совершенного газа существуют автомодельные решения L Для тонких тел sinO^r^, cos 9—1, поэтому u^^U^ и из (5.2.1) и (5.2.2) соответственно получим

=^р=р — Роо\ (5.3.16)

На рис. 5.6 для v=l дано отношение давления, полученного

Рис. 5.8. Распределение давления пс окружности острого конуса с 0=10° при а=70о, М^б:Рис. 5.8. Распределение давления пс окружности острого конуса с 0=10° при а=70о, М^б:— О —О —эксперимент;форму-ла Ньютона— О —О —эксперимент;форму-ла Ньютонаиз автомодельных решений, к ньютонианскому (5.3.16). Как видно, с уменьшением у давление на таких телах приближается к буземановскому (точному при у—И), хотя это различие увеличивается с уменьшением п, а при п ^ 0,7 и у >1,2 нарушается и качественное согласование кривых,, что объясняется увеличением толщины ударного слоя.

Рис. 5.8. Распределение давления пс окружности острого конуса с 0=10° при а=70о, М^б:

Рис. 5.8. Распределение давления пс окружности острого конуса с 0=10° при а=70о, М^б:

— О —О —эксперимент;форму-

ла Ньютона

— О —О —эксперимент;форму-

ла Ньютона

Дополнительно на рис. 5.7 и 5.8 показано распределение давления по телу типа конус-- оживало—цилиндр, обтекаемому под небольшим и большим углами атаки; формула Ньютона и здесь дает удовлетворительные результаты, кроме подветренной или затененной стороны тела.

Заметим, что при у — 1,4 для

выпуклых тел, как следует из рис. 5. 6 и 5.7, формула Ньютона дает в общем лучшие результаты, чем формула Буземана. Это объясняется тем, что уменьшение давления за счет центробежных сил часто компенсируется

- Л^— = sin2 а (1 — А)- Л^— = sin2 а (1 — А)sin а sin 6 cos (а — 6)sin а sin 6 cos (а — 6)sin2 6sin2 6(5. 3. 2)(5. 3. 2)повышенным по сравнению с ньютонианским давлением за скачком уплотнения. Последнее утверждение следует из соотношения (2.6.2) на скачке уплотнения (0 — угол отклонения потока)

- Л^— = sin2 а (1 — А)

- Л^— = sin2 а (1 — А)

sin а sin 6 cos (а — 6)

sin а sin 6 cos (а — 6)

sin2 6

sin2 6

(5. 3. 2)

(5. 3. 2)

Вблизи носка при п<\ такое тело не будет тонким, а при п>\ ударная волна вблизи носка не может быть сильной. Но этим обстоятельством можно пренебречь (эти вопросы будут рассмотрены в гл. 10).

Для вогнутых тел центробежные силы увеличивают давление на теле, и формула Ньютона может давать большие погрешности.

На практике для слабовыпуклых тел и сравнительно небольших сверхзвуковых чисел Моо иногда используют метод местных конусов или клиньев, в котором давление на поверхности тел берется таким же, как и для клина или конуса с половиной угла при вершине, равным местному углу атаки поверхности. Метод этот, однако, не имеет какого-либо обоснования и требует осторожности в применении, так как на выпуклых телах давление может оказаться даже ниже ньютонианского, и применение метода местных клиньев и конусов лишь усугубит ошибку.

Рассмотрим теперь тупые тела, перед которыми возникает отошедшая ударная волна. Ограничимся лишь лобовой частью тела, для которой sin 9 ~1. Формуле Буземана для сферы и цилиндра можно придать простой вид. Из геометрических соображений имеем

^Ш1^'), ^^rV^ooUeo.(5.3.3)

Подставляя эти формулы в (5.2.1), получим

1

Р . О л COS2 6 С / Ф \V(l + v) , / Ф \1 Q3 + V

-^r = sin26\ — d = 1 — d cos2 6, 0=—1—. ^о1 + v Ц ф J\ ф5 У2 4- V

(5. 3. 4)

Для цилиндра [3 = 3/2, а для сферы [3 = 4/3, по формуле же Ньютона для них [3 = 1:

-^=sin2 6=1 — cos2 6==со£2(о, (о) = л/2—6).(5.3.5)

Здесь множитель р' — давление в точке торможения за прямой ударной волной (введен вместо pooU^ для повышения точности). В таком виде формулу (5.3.5) называют модифицированной формулой Ньютона. Величину р^ легко получить, интегрируя уравнение движения (5.1.176) вдоль оси симметрии:

8

— -^ ^У- P^Pco-VQooIA (1 —

0

Qs = Qjk, — Ds=kU«,. (5.3.6)

Если плотность на оси зависит лишь от давления (совершенный или равновесный газ), то под интегралом можно принять p/ps^l. Тогда

(5-3'7!

Эта формула обладает высокой точностью уже при Моо>2 (рис. 5.9, бУ При £->0, Моо—>оо величина р^—^рооб^; обычно ^о/роо^ = 0,9-0,97 при Моо^5.

На рис. 5.9 для цилиндров с сечением в форме эллипсов и для эллипсоидов вращения приведены кривые р[р'^. Как видно, точные кривые лежат между приближенными, но формула Ньютона, как и для заостренных тел (и по тем же причинам) в целом дает лучшие результаты, чем формула Буземана.

Эти данные подтверждают наиболее существенный момент ньютонианского закона сопротивления — зависимость давления на лобовой части тела в основном от местного угла атаки.

Другим следствием этого закона является слабая зависимость распределения давления по лобовой части тела плавной формы от условий обтекания. Например, для сферы, движущейся в атмосфере Земли со скоростями t7oo^2000 м/с, кривые р[р^ для совершенного газа, равновесных или неравновесных процессов, располагаются в узкой полосе, центральная линия которой аппроксимируется формулой (рис. 5.10)

^' = 1-1,17 81па)+0,2258тва), ^=-^—б) . (5.3.8)

Это обстоятельство тем более примечательно, что структура ударного слоя на тупых телах существенно зависит от его физико-химического состояния (см. рис. 4.3 и 4.4).

На этом основан так называемый метод линий тока, в рамках которого уравнения энергии и химической кинетики [например, (5.1.14) и (5.1.15)] решаются вдоль линий тока по заданному распределению давления (взятому, например, по формуле Ньютона или из расчетов для совершенного газа).

Приведенные примеры показывают, что для заостренных и тупых выпуклых тел с плавным изменением кривизны поверхности в реальных условиях обтекания формула Ньютона даст точность, вполне приемлемую для проведения оценок, чем и объясняется ее широкое применение в гиперзвуковой и даже сверхзвуковой аэродинамике.

Конечно, современное развитие вычислительной математики и техники дает возможность с высокой точностью получить харак-

Рис. 5.9. Распределение давления на эллиптических цилиндрах (а) и эллипсоидах вращения (б) при М.оо = °о> у—1,4:

сплошные линии снизу вверх:

^~-6 = а/Ь 2, 3/2, 1 (цилиндр), 1/2; б—6=3/2, 1 (сфера), 1/2;

формула Ньютона; —— формула Бузе-

мана для 6 = 1; в—величина р0' в совершенном газе приу= 1,4

теристики обтекания широкого класса тел. Тем не менее, ньюто- нианская теория по-прежнему служит эффективным и чрезвычайно простым средством для понимания основных закономерностей распределения и порядка сил, действующих на тело в гиперзвуковом потоке. Формула Ньютона (и, реже, Буземана) часто и успешно используется для составления корреляционных формул, взаимного пересчета данных для разных тел плавной формы, решения вариационных задач и т. д..

Р/Р’о

Рис. 5.10. Распределение давления по сфере при Uоо > 2 км/с:

аппроксимирующая формула (5 3.8); —• —формулаНьютона, — •• — формула Буземана

Ввиду широкого распространения ньютонианской теории, и особенно формулы Ньютона, оговорим особо те ситуации, в которых эта теория непосредственно неприменима. Выше уже подчеркивалась применимость формул Буземана и Ньютона лишь к лобовой части тел достаточно плавной формы. Формула Буземана приводит к качественным погрешностям в окрестности точек разрыва кривизны (например, рис. 5.7 или 5.19)^ так как здесь первый член в (5.2.1) непрерывен (вместе с формулой Ньютона), а второй терпит разрыв, в то время как точное распределение давления при любых у^1 будет непрерывным.

Обе формулы в их непосредственном виде также не применимы или могут давать большие погрешности перед точкой излома поверхности с дозвуковым течением перед ней (см. § 5.6) и за угловой точкой (или вообще в области значительного изгиба поверхности), где поток или быстро расширяется (напримеру

в волне Прандтля-Майера) или, наоборот, сжимается, с образованием скачков уплотнения.

Пример такого тела, в целом малоподходящего для применения формулы Ньютона, показан на рис. 5.11 (примерные формы ударных волн около этого тела показаны на рис. 2.1),

Как видно из рисунка, давление как на переднем конусе, так и на заднем (щитке) заметно отличается от постоянного, рас-

Рис. 5.11. К определению давления на телах е изломом образующей:

2—совершенный газ М =6, у = 1,4; 2—воздух, равновесное течение, Н=60 км, £7=6000 м/с;

точные кривые (метод характеристик): метод местных клиньев; ■ • — внешняя формула

2

Ньютона Ap=QooUсо sin2 6

считанного по формуле Ньютона (исследование обтекания таких притупленных тел проведено в гл. 11).

Остановимся несколько подробнее на телах с положительным изломом поверхности. Возникающий при этом внутренний скачок уплотнения определяется углом излома и местными параметрами потока перед ним. Поэтому расчет давления за внутренним скачком по формуле Ньютона (5.2.2) со скоростным напором набегающего потока не имеет отношения к делу. В этом случае характерные величины в ударном слое при &^1 имеют порядки (индексом «1» помечены параметры перед внутренним скачком):

Qi— , Hi — L^cosdi,к

2

P^ ~ Q^ sin2 ev Ml ~4L-.(5. 3. 9;

Здесь принято для простоты, что скорость поперек ударного' слоя имеет одинаковый порядок. Течение в ударном слое будет гиперзвуковым, т. е. M^^l, если выполняется условие &tg29i<^ <<1. Тогда для определения сил, действующих на щиток или вообще на некоторое препятствие, погруженное в ударный слой,, можно использовать местную формулу Ньютона (или Буземана) :

А/2=/72 —^^Qi^i sin2 д9,(5.3. 10>

где Д9 — угол между поверхностью щитка (препятствия) и приходящей б эту точку (/ на рис. 5.11, б) линией тока с параметрами Qi, pi и 14 на ней.

Об оправданности такого локального подхода свидетельствует сравнение на рис. 5.11, а кривых давления на щитке точных и определенных по методу местного клина (примененного здесь вместо формулы (5.3.10) из-за сравнительно умеренных чисел Mi^3 перед щитком в этом примере), согласно которому давление в каждой точке щитка приравнивается давлению на клине с углом ДО, обтекаемом потоком с параметрами Qi, Ua и т. д.

Рассмотрим еще простой пример двойного клина (см. рис. 5.11, б) с малыми углами 91 и 62>0i, обтекаемого совершенным1 газом при Мое = оо. Тогда давления на щитке, посчитанные по внешней (5.2.2) и местной (5.3.10) формулам Ньютона, будут соответственно равны

—772-= sin2 02~ 62;

^00^00

—^^sin^+^Jcos2^ sin2(62~91)^6i +^-^4-(63 —OJ2.

е=ои=оY-lY-1

(5.3. 11).

При О2 = 201, например, последняя, более точная формула,, даст давление в у/2(у—1) раз больше, чем первая.

Оценим еще продольную силу X, действующую в этом примере на щиток единичной ширины с высотой бо, меньшей толщины ударного слоя б перед щитком. Согласно оценкам (5.1.4) _ 6~&г0 (см. рис. 5.11, б), поэтому при малых к и 02—9i~0i<^l получим

sin 62 COS 6i/т2 §0 /л

Sin (62 — 61)6

Таким образом, на малое препятствие с размером порядка толщины ударного слоя действует конечная при у->1 сила, сравнимая с силой сопротивления Xo^QooU^r^ всего предшествующего участка тела. В пределе же, при к—>0, 6-^0 эта сила будет сосредоточенной, приложенной к точке излома поверхности. (Такой схемой часто пользуются в теоретических исследованиях).

Этот вывод, очевидно, носит общий и принципиальный характер, обусловлен лишь большой плотностью газа в ударном слое и справедлив для выступающих над поверхностью тела элементов (например, крыло, стабилизатор, уступ и т. д.) любой формы. Это обстоятельство позволяет при гиперзвуковых скоростях обходиться управляющими или несущими органами малых размеров, при сохранении порядков действующих на них сил L

Если щиток выше толщины ударного слоя до>6, то дополнительную силу, действующую на выступающую над ударным слоем часть препятствия, можно оценить по обычной формуле Ньютона (5.2.2).

§ 5.4. Аэродинамические характеристики тел.

Коэффициенты сопротивления

Используя закон сопротивления Ньютона, рассмотрим несколько примеров, раскрывающих характер сил, действующих на тело при его пространственном обтекании2.

Введем некоторые определения. Пусть (х, у, 2) — ортогональная система координат с осью х, параллельной вектору скорости набегающего потока Uoo, а (т, п, г) — связанная система координат с осью г, совмещенной с характерной осью тела, например, осью симметрии, с началом в передней точке. Проекции полной аэродинамической силы на направления этих координатных осей принято соответственно представлять в виде

X—qc^S^ У=qcySOl Z=qc г8й,

T=qCxS0, N=qcnS6, q=^- Ц^Ло, (5.4. 1)

где So — площадь характерного поперечного сечения (миделя) тела, а сх, с^ и т. д. безразмерные коэффициенты, зависящие от формы тела и условий обтекания в соответствии с теорией подобия гл. 4. Если считать плоскостью угла атаки плоскость, содержащую вектор (/оо, с которой совместим координатные плоско-

На этот эффект впервые обратил внимание Г. И. Таганов в 1958 г. Заметим, что реальная картина течения около выступающих элементов может содержать передние срывные зоны, существенно искажающие описанную выше картину обтекания.

Подробные сведения по этому вопросу приведены в книге [19].

сти (х, у) и (т, и), а углом атаки а угол между осями хит, (рис. 5.12), то

су = сп cos а + ст sin а, сх = — сп sin а4- ст cos а. (5.4.2)

Пусть пХ) пп — направляющие косинусы нормали п к телу в связанной системе координат. Тогда

Т=- ^pnxd 2- N=-^ РМ^, (5.4.3)

где 2 — площадь поверхности тела.

Рис. 5.12. Корреляция между аэродинамическими характеристиками для 'различных тел вращения:

значки — расчетные и экспериментальные данные;сплошная линия — ньютонианская зависимость (5. 4. 12)

(для заостренных тел а/=1)

Выпишем еще момент аэродинамических сил относительно некоторой точки т0 на оси тела в проекции на ось г

Mz= — ^ pVinVc — То) — п.л^^ = Мд— x6N;

1(5. 4. 4)

Мо = - J J р <ппх - Лг/г) d ^=qcmSgL.

Здесь Л40 — момент относительно передней точки, L — длина тела.

Ограничимся обтеканием осесимметричных и плоских тел под углом атаки а. В этом случае вектор аэродинамической силы лежит в плоскости угла атаки. Если ср — меридиональный угол, то

пт= — sin 6, /гл = cos ср cos 9,(5.4.5)

где 9 — угол между осью т и касательной плоскостью к элементу поверхности тела. (Для плоских тел cosq) = + l для наветренной и подветренной сторон). Тогда формула Ньютона (5.2.2) примет вид

p—Poo = QaoU2oo cos2 (п, U’oo) = qoo U2^ (cos a sin 9-|-sin Ct COS 9 COS (p)2,

(?<?*» cos cp* = — tg 9 ctg ct).(5.4.6)

При <p>' ср* имеем «аэродинамическую тень», в которой (так же, как и за донным срезом тела конечной длины) будем полагать р=роо.

Определим коэффициенты сопротивления некоторых тел, обтекаемых без угла атаки (а = 0). Тогда сх = ст, пт =—sin 9, S0 = nvr^+v, где 2г0 — поперечный размер миделя тела. Для клина и конуса с половиной угла при вершине 0 имеем cx = 2sin2Q. Для тел с лобовой частью в виде цилиндрического сектора или сферического сегмента с центральным углом со0 = зт/2—0о формула Ньютона (5.3.5) даст

^ = 2^(1-451п2<“о)4-, v = 0,(5.4.7)

Woo

РоРоРоРо

Ро

Ро

Ро

Ро

сх~М (1-J-sin2 °)0)-^Г

Эти формулы имеют удовлетворительную точность (рис. 5.13). По ньютонианской теории ^=1 и максимальный сх=2 будет при о)о = 0, т. е. у диска или пластины, перпендикулярных потоку. Очевидно, в этом приближении тот же коэффициент сопротивления будет у перпендикулярной к потоку пластины любой конфигурации. Для цилиндра сх = ^-р^> для сферы сх^р^ ^1, такой же, как и для клина или конуса с 9о = 450. Заметим, что коэффициенты сопротивления тупых тел значительно больше, чем тонких, у которых величины сх вместе с давлением имеют порядок sin29.

Для кругового конуса, подставляя (5.4.6) в (5.4.1) — (5.4.4), получим при а<;9

ст = 2 sin 6 cos2 a-|-sin2 a cos2 6,

о(5.4.8)

cn= —* cos2 6 sin 2a, cm =— sin 2a.7

Аналогичные выражения легко получить и при а>0, когда появляется «аэродинамическая тень», но они более громоздки. Для одной наветренной стороны клина будем иметь

ст = 2 sin2 (6-|-a), сл= —2ctg6 sin2(9-|-a),4

ст~— 2 sin2(6 4-a)/sin 26, (S0==Ztg 6, a>0).

точные,по формуле Ньютона (5.4.7); 7-М^-б;, 7 = 1,4; 2-М^-оо, 1 = 1,4; З-М^оо, 1 = 1,13

Важной характеристикой является коэффициент центра давления

(^0-^=0).(5.4.10)

О1V ОС ц

Здесь точка т^ лежит на пересечении равнодействующей аэродинамических сил с осью тела L Для конуса и клина соответственно ^ = 2/(3 cos20) и Cd = 1/(2 cos2 0).

Формула Ньютона часто позволяет получить полезные зависимости между аэродинамическими характеристиками. Например, для произвольного осесимметричного тела, образующая которого задается зависимостью /г(т), можно найти

гоСт = 4 cos2 а\dr-4-2sin2 а \dx,(п=—,

Л+nJ1 + п\dx)

оо

(5.4. 11a)

L

г^сп = —4 sin а cos а ^ -у^—тг dx, (r0 = n(L)y (5. 4. 116) о

Первый интеграл в (5.4.11а) выражается через второй, поэтому комбинируя формулы (5.4.11), получим универсальную, нс зависящую от формы тела формулу 1

спспsin a cos а1 — 1,5 sin2 аsin a cos а1 — 1,5 sin2 а(2 cos2 а— ст\(2 cos2 а— ст\(5. 4. 12)(5. 4. 12)

сп

сп

sin a cos а

1 — 1,5 sin2 а

sin a cos а

1 — 1,5 sin2 а

(2 cos2 а— ст\

(2 cos2 а— ст\

(5. 4. 12)

(5. 4. 12)

Для затупленных тел в соответствии с уточненной формулой (5.3.5) коэффициент при cosset следует заменить на 2^^. Данные рис. 5.12, приведенные для точных значений сТ1 и ст, подтверждают зависимость (5.4.12).

Подставляя в (5.4.12) формулы перехода (5.4.2), можно получить столь же универсальную зависимость коэффициента сопротивления тела от его аэродинамического качества К = су!сх\

сх 4 sin а

7о (2 —3 *§2 а) ^+<4 — ‘g2«) <g а '

Рассмотрим еше вопрос о сопротивлении тел, близких к осесимметричным. Пусть ферма обтекаемого тела, заданная в цилиндрической системе координат 1

(5. 4. 13)(5. 4. 13)г = ге (х, т) = г0 ^ + ЕП (х, ср), Е < 1

(5. 4. 13)

(5. 4. 13)

мало отличается от некоторой осесимметричной г=г0(х).

Для этих тел направляющие косинусы нормали равны соответственно

1 дге , дД дх1 дге , дД дх2 1। +22 1। +2дге \2дге \2д<рд<р(5.4. 14а)(5.4. 14а)пх^ = —, Aq = V 1 4Разлагая (5.4.14а) в ряд по е, получим1 дггпх^ = —, Aq = V 1 4Разлагая (5.4.14а) в ряд по е, получим1 дгг/2' __О ’ го —/2' __О ’ го —d^ dxd^ dx(5. 4. 146)(5. 4. 146)Пд = ПХО — ЕПд = ПХО — ЕДо дхДо дх+ О (е2).+ О (е2).(5. 4. 15)(5. 4. 15)

1 дге , д

Д дх

1 дге , д

Д дх

2 1

। +2

2 1

। +2

дге \2

дге \2

д<р

д<р

(5.4. 14а)

(5.4. 14а)

пх^ = —, Aq = V 1 4

Разлагая (5.4.14а) в ряд по е, получим

1 дгг

пх^ = —, Aq = V 1 4

Разлагая (5.4.14а) в ряд по е, получим

1 дгг

/2' __

О ’ го —

/2' __

О ’ го —

d^ dx

d^ dx

(5. 4. 146)

(5. 4. 146)

Пд = ПХО — Е

Пд = ПХО — Е

До дх

До дх

+ О (е2).

+ О (е2).

(5. 4. 15)

(5. 4. 15)

Предполагая справедливой формулу Ньютона /7=9^1^ выпишем продольное сопротивление исходного тела, которое преобразуем с помощью разложений (5.4.13) и (5.4.15): '

XX(5.4. 16)(5.4. 16)Z, 2*

X

X

(5.4. 16)

(5.4. 16)

РГ& -dx~d^dX = ^"о + еХ, + О (в2);

О О

LL

Хо = 2л \, РоГоГдДх. Xi = Q^U^ ^ОО

2itх

ДоДоd Г \ dx.dx J

До

До

О )

Выберем теперь тело г=г0(х) таким образом, чтобы в произвольном сечении х=const площади его и исходного тела были одинаковы. Тогда

2т2it

So=лг^ = S = — ^ г^? = лг^ + е r0 ^ rxd^ + О ^.(5.4. 17)

Оо

Из этого равенства следует

1лг01лг02it

1

лг0

1

лг0

(5. 4. 18)(5. 4. 18)J r\d^ ~ е, Хх ~ eXq.о

(5. 4. 18)

(5. 4. 18)

Можно потребовать точного равенства нулю интеграла (5.4.18). Тогда будет 5—So~eSo. В обоих случаях из (5.4.16) получим следующий результат:

(5.4. 19)(5.4. 19)^-^0~е2^с<

(5.4. 19)

(5.4. 19)

Таким образом, отличие в сопротивлении сопоставляемых тел имеет более высокий порядок малости, чем отличие их форм, если равны площади их поперечного сечения.

Этот эффект носит название правила площадей. Примером его применения служит осесимметричное тело, обтекаемое под малым углом атаки а, приводящим к изменению сопротивления тела лишь на величину порядка а2. Это следует также из формулы (5.4.8).

Правило площадей доказано для тел, близких к осесимметричным \ по область применимости его может быть шире. Для эллиптических конусов, например, по формуле Ньютона

Сх=2 sin '61 sin 62,

где 91 и 02 — половины углов при вершине в двух плоскостях симметрии. Легко убедиться, что при малых 6; коэффициенты сопротивления таких конусов с равными площадями поперечного сечения одинаковы (см. также гл. 42).

Но такое совпадение не является правилом. Например, из формулы (5.4.8) следует, что влияние угла атаки при а,—<9 на сх конуса велико. Другой пример: коэффициенты сопротивления правильных многогранников с числом

граней п п эквивалентного им конуса (схп и схь соответственно) связаны согласно формуле Ньютона соотношением

Схп = ВсхД 1 - -у (1 - S) Сх^-1 ,В = -у ctg .

При п^> 1 В^1, но при п=3, например, В=0,55.

Свободные слои. Распределение энтропии за тупом телом

Формула Буземана (5.3.4) для сферы и цилиндра имеет интересную особенность: при sin2 о/= (2 + v)/(3 + v) давление на теле обращается в нуль, а при со^со' становится отрицательным; для сферы (±/ = 60°, для цилиндра о/^55°. В то же время за ударной волной в этой точке ps = poot/^/(3+v). Это означает, что возросшая центробежная сила искривленного ударного слоя уравновешивает в этой области воздействие скоростного напора и, следовательно, основная масса газа, двигаясь по инерции, отойдет от поверхности, что приведет к утолщению возмущенного слоя (область // на рис. 5.1) и к нарушению ньютонианской картины течения.

При у = 1 плотность газа на любой линии тока будет бесконечна и, следовательно, вся масса газа будет двигаться в бесконечно тонком свободном ударном слое1 (схематично изображенном на рис. 5.1), примыкающем к ударной волне и отделившемся от поверхности тела. Давление же на теле и в «вакуумной» зоне между телом и свободным слоем равно нулю. Свободный слой образуется в той точке, где радиус кривизны поверхности 7? окажется меньшим радиуса R\ определяемого формулой Буземана при ф = 0 и р = 0 (например, в точке излома поверхности, в которой 7? = 0).

В реальном течении «вакуумная» область будет, конечно, заполнена газом с конечной плотностью и давлением. Однако схема свободного слоя обладает несомненной качественной достоверностью. На рис. 5.14 показаны формы ударных волн и давление на теле сфера — цилиндр и на ударной волне на одной нормали к телу. При со ^ 60° действительно ударная волна быстро отходит от тела, а давление на теле существенно меньше, чем за ударной волной.

В предельном случае у—^1 форма ударной волны и свободного слоя rs(x) описывается интегродифференциальным уравнением, в которое превратится формула Буземана (5.2.1) при р = 0 на линии тока ф = 0. Найдем решение этой задачи более простым путем, позволяющим в то же время связать форму свободного

.1 Впервые описанном М. Лайтхиллом (в сборнике «Вопросы ракетной

техники», 1957, № 5, 6). См. также работу Фримена [13].

слоя с интегральными характеристиками лобовой части тела. Пусть и, v компоненты скорости в цилиндрической системе координат (х, г). Выпишем уравнения баланса количества движения в проекции на оси х и г для контрольной поверхности, охватывающей переднюю часть тела с формой г =

ud^ud^Рис. 5.14. К картине течения за отделившимся свободным слоем:а—распределение давления на теле (I) сфера-цилиндр и (II) ударной волне: Моо=оо, 7—1,4;Моо=6, 7 = 1,4;qoo=3,3-10—7 г/см3(/7=60 км), 7700=10 км/с (7*=1,1); б—формы ударных волн для пластины (и=0): 7—М00=00, 1=1,4, 2—М00=00, 7=1,13; и для цилиндра (v=l); 3—Моо = о°, 7=1,4; 4 — Q0o=3,3«10~7 г/см3, 77оо = 10км/с, (7*=1,1);свободный слой; 5—м=0; 6—м=1Рис. 5.14. К картине течения за отделившимся свободным слоем:а—распределение давления на теле (I) сфера-цилиндр и (II) ударной волне: Моо=оо, 7—1,4;Моо=6, 7 = 1,4;qoo=3,3-10—7 г/см3(/7=60 км), 7700=10 км/с (7*=1,1); б—формы ударных волн для пластины (и=0): 7—М00=00, 1=1,4, 2—М00=00, 7=1,13; и для цилиндра (v=l); 3—Моо = о°, 7=1,4; 4 — Q0o=3,3«10~7 г/см3, 77оо = 10км/с, (7*=1,1);свободный слой; 5—м=0; 6—м=1QUDF^drQUDF^dr~^\ ^ = 1гхАЖ(2 л) J~^\ ^ = 1гхАЖ(2 л) J(^ = (2n)VvQZZ6/r).(^ = (2n)VvQZZ6/r).(5. 5. 2)(5. 5. 2)

ud^

ud^

Рис. 5.14. К картине течения за отделившимся свободным слоем:

а—распределение давления на теле (I) сфера-цилиндр и (II) ударной волне: Моо=оо, 7—1,4;Моо=6, 7 = 1,4;qoo=3,3-10—7 г/см3

(/7=60 км), 7700=10 км/с (7*=1,1); б—формы ударных волн для пластины (и=0): 7—М00=00, 1=1,4, 2—М00=00, 7=1,13; и для цилиндра (v=l); 3—Моо = о°, 7=1,4; 4 — Q0o=3,3«10~7 г/см3, 77оо = 10км/с, (7*=1,1);свободный слой; 5—м=0; 6—м=1

Рис. 5.14. К картине течения за отделившимся свободным слоем:

а—распределение давления на теле (I) сфера-цилиндр и (II) ударной волне: Моо=оо, 7—1,4;Моо=6, 7 = 1,4;qoo=3,3-10—7 г/см3

(/7=60 км), 7700=10 км/с (7*=1,1); б—формы ударных волн для пластины (и=0): 7—М00=00, 1=1,4, 2—М00=00, 7=1,13; и для цилиндра (v=l); 3—Моо = о°, 7=1,4; 4 — Q0o=3,3«10~7 г/см3, 77оо = 10км/с, (7*=1,1);свободный слой; 5—м=0; 6—м=1

QUDF^dr

QUDF^dr

~^\ ^ = 1гхАЖ

(2 л) J

~^\ ^ = 1гхАЖ

(2 л) J

(^ = (2n)VvQZZ6/r).

(^ = (2n)VvQZZ6/r).

(5. 5. 2)

(5. 5. 2)

Здесь Qoo^^oro+v^— количество движения, приобретенное газом до точки отделения г0 в радиальном направлении (в осесимметричном случае импульс рассчитан на единицу угла между дву-

мя близкими меридиональными плоскостями), сх — коэффициент сопротивления этой части тела. При Moo^l последним членом справа в (5.5.1) можно пренебречь. Так как давление под, свободным слоем с толщиной б равно нулю, то второй член справа в (5.5.1) будет мал вместе с б/г0 и его можно также опустить. Поскольку свободный слой тонкий и суммарный вектор количества движения газа в нем параллелен ударной волне, то из (5.5.1) и (5.5.2) получим

1г^’ Г1 У»’с/1г^’ Г1 У»’с/

1г^’ Г1 У»’с/

1г^’ Г1 У»’с/

Рис. 5.15. Примерная зависимость импульса /0=2//бх от центрального угла сегмента: м = 1;v=0; 1—&=0,05;.2—^=0,2Рис. 5.15. Примерная зависимость импульса /0=2//бх от центрального угла сегмента: м = 1;v=0; 1—&=0,05;.2—^=0,2

Рис. 5.15. Примерная зависимость импульса /0=2//бх от центрального угла сегмента: м = 1;v=0; 1—&=0,05;.

2—^=0,2

Рис. 5.15. Примерная зависимость импульса /0=2//бх от центрального угла сегмента: м = 1;v=0; 1—&=0,05;.

2—^=0,2

Интеграл уравнения (5.5.3) в этих переменных имеет вид АТ - ги =27^+с.(5. 5. 5)

2 + V

Постоянная с определяется в точке отделения свободного слоя.

В формулах (5.5.4) характерный размер Л°) связан с сопротивлением Ло части тела с прилегающим ударным слоем. Так как последующая часть тела г>г^ где р^О, не вносит вклада в;

сопротивление тела, то в качестве г0 и сх в соотношении для Л°> можно взять радиус миделя и коэффициент сопротивления всей лобовой части тела, что и будет подразумеваться в дальнейшем.

Кривые (5.5.5) для сферы и цилиндра показаны на рис. 5. 14. Из-за конечной толщины ударного слоя, они, конечно, далеки от точных. Однако, схема свободного слоя позволяет получить один интересный результат. В § 2. 3 было указано, что для заданных условий обтекания энтропия зависит от -величины s = sina в точке пересечения данной линии тока с ударной волной. Из (5.5.3) следует, что распределение ^(T) зависит лишь от относительного импульса /0. Оказы-

вается, что этот параметр в реальном диапазоне fe>0,05 для тупых тел (особенно плоских) зависит от формы тела незначительно (рис. 5.15). Поэтому кривые ^(Ч7) для различных тел оказываются значительно более близкими, чем в исходных координатах 5(ф/), что показано на р-ис. 5.16. То же справедливо и для формы ударных волн в переменных (5.5.4) на большом

удалении от тела, где константой с в (5.5.5) можно пренебречь. Конечно, кривые s(xF) до точки отделения должны зависеть от формы тела, но это различие оказывается также небольшим, тем более что в этой области величина s близка к единице.

Отсюда следует, важный, хотя в сущности, эмпирический вывод: распределение энтропии по линиям тока за отошедшим скачком около тупого тела зависит в основном лишь от коэффициента его сопротивления.

Заметим, что универсальной функции s^) соответствует совпадение форм ударных волн /?i(%i) в координатах подобия (5.5.4) (если начало координат %i = 0 поместить в переднюю точку ударной волны).

Общая картина обтекания тупого тела

Найденное выше распределение давления позволяет описать картину гиперзвукового обтекания (рис. 5.17) тупых тел.

Дозвуковая область в центре (эллиптический тип уравнений, гл. 3) ограничена звуковыми линиями (поверхностью в трехмерном течении), местное число Маха на которых М = 1. К ним примыкает так называемая трансзвуковая область с небольшими сверхзвуковыми скоростями (гиперболический тип уравнений), в

Рис. 5.17. Формы ударных волн, звуковых линий и (пунктир) предельные характеристики при обтекании;

о— сферы; б—цилиндра; 1—Моо=6, 1 = 1,4; 2—№^=00, 7=1,4; з—q^»» = 3,3.10”7 г/см3 (Н * 60 км), Uоо=7,5 км/с, 7^=1,13, £=0,06;

4—^00 = 00, 7=1,13

которой возмущения, идущие по характеристикам вниз по потоку, могут тем не менее достигать звуковой линии и через дозвуковую область передаваться вверх по течению.

Эта область справа ограничена предельной характеристикой, (характеристической поверхностью в трехмерном течении), выходящей из звуковой точки (линии), или близкой к ней, на теле. В зависимости от формы тела и условий обтекания эта характеристика может принадлежать к первому (тело типа торца) или второму (сфера) семейству.

Дозвуковая и трансзвуковая области в целом составляют область, минимально необходимую для одновременного анализа, так как течение здесь зависит от формы всей заключенной в ней поверхности тела. Форма же тела за пределами этой области^ омываемая уже сверхзвуковым потоком, не влияет на течение в ней, за исключением, может быть, отдельных случаев (напри-

мер, излом поверхности, вызывающий отрыв потока вплоть до дозвуковой области или вообще изменяющий положение головной ударной волны).

При строгой математической постановке задачи о течении в трансзвуковой области при сверхзвуковом обтекании тупого тела помимо полной системы уравнений следует задать лишь условия обтекания, соотношения на ударной волне и условия на передней части тела, минимальный размер которой заранее неизвестен; никаких других условий, например, в районе предельных характеристик или звуковой линии ставить не требуется.

Рассмотрим форму дозвуковой и трансзвуковой областей течения при гиперзвуковом обтекании тупых тел, полагая для оценок показатель адиабаты подходящей постоянной величины. Из ^формулы (1.9.5) следует, что давление в звуковой точке (М=1),

т~"—0,525-^-0,605, (5.6.1)

Ро \ 2 /

Т=1,4н-1, (Итр*/^о=е-1/2)

Т-1

сравнительно слабо зависит от у (как впрочем и энтальпия Л^ = 2Я/(у4-1), которая близка к энтальпии торможения Н). С другой стороны, вдоль поверхности тел гладкой формы распределение давления определится формулой Ньютона (5.3.5), так что полагая /7*//^=cos2'«)*, найдем, что положение звуковых точек и вообще распределение чисел Маха по поверхности тел гладкой формы слабо зависят от условий обтекания или от у. Например, для сферы и цилиндра центральный звуковой угол .со* =36-4-41° в широком диапазоне условий обтекания при Моо^б.

Положение звуковой точки на ударной волне с углом наклона а определяется условием tga*^&~1/2 (§ 2.6). Полагая форму ударной волны близкой к форме тела, получим, что при к—>0 звуковая точка на ударной волне стремится к оси симметрии по закону со* = л/2—а*^^1'2, что и просматривается на рис. 5.17.

Рассмотрим теперь тела с угловыми точками, например, сегментальной формы. Если угол раствора сегмента соо больше угловой координаты cot предельной характеристики, скажем, на сфере или цилиндре (на сфере при Моо>3, coi = cd^), то картина обтекания лобовой части такого сегмента ничем не отличается от картины обтекания соответствующей части гладкого тела. Если же о)о<(о*, то внезапное падение давления за угловой4точ- кой будет распространяться по дозвуковой области вверх по течению, что приведет к ускорению газа и перемещению звуковой точки на угловую. При этом давление при у#=1 перестает подчиняться закономерностям формул Ньютона или Буземана и уже

не определяется лишь местным наклоном поверхности (по крайней мере, в окрестности угловой точки).

Такие тела (картина их обтекания и распределения давления на них показаны на рис. 5.18—5.20) будем называть сильно- затупленными в отличие от гладких тел (типа сферы, цилиндра), давление на которых следует ньютонианской теории.

Рис 5.18. Распределение давления по плоскому торцу (а) и пластине (6), формы ударных волн и звуковых линий (пунктир):Рис 5.18. Распределение давления по плоскому торцу (а) и пластине (6), формы ударных волн и звуковых линий (пунктир):/—у=1,02; 2—^ = 1,05; <?—у=1,1; 4—у=1,2; 5, 6—Y = M; /—5—Моо = оо; 6—М^б/—у=1,02; 2—^ = 1,05; <?—у=1,1; 4—у=1,2; 5, 6—Y = M; /—5—Моо = оо; 6—М^б

Рис 5.18. Распределение давления по плоскому торцу (а) и пластине (6), формы ударных волн и звуковых линий (пунктир):

Рис 5.18. Распределение давления по плоскому торцу (а) и пластине (6), формы ударных волн и звуковых линий (пунктир):

/—у=1,02; 2—^ = 1,05; <?—у=1,1; 4—у=1,2; 5, 6—Y = M; /—5—Моо = оо; 6—М^б

/—у=1,02; 2—^ = 1,05; <?—у=1,1; 4—у=1,2; 5, 6—Y = M; /—5—Моо = оо; 6—М^б

Гладкие и сильнозатупленные тела имеют различную асимптотику течения при к—^0. Чтобы уяснить это, оценим снова толщину ударного слоя б, исходя (подобно § 5'1) из баланса расхода через соосный оси симметрии цилиндр малого радиуса г:

(5. 6. 2}(5. 6. 2}ф^л^оо^ооГ^^^лг)^^, (Qc& ~ Qoo),

(5. 6. 2}

(5. 6. 2}

где QC, ис — некоторые средние плотность и продольная скорость в ударном слое. Пусть Rs — радиус кривизны ударной волны на оси. Тогда us^vx =UOO cos a, r=Rs cos а, поэтому, полагая отношение ujus конечным при к—>0, получим

8 ~ kRs^us[u^ kRss8 ~ kRs^us[u^ kRss(5. 6. 3)(5. 6. 3)

8 ~ kRs^us[u^ kRss

8 ~ kRs^us[u^ kRss

(5. 6. 3)

(5. 6. 3)

т. е. радиус Rs как бы является характерным масштабом течения в окрестности оси. При к—^0 для гладких тел RS->R, где

— радиус кривизны тела на оси. Но для торца R = oo, так чта в формуле (5.6.3) обе величины б, 7?s остаются неопределенны-

Рис. 5.19. Распределение давления по сферическим сегментам при Моо=6, у=1,4:1 — со0 = 20°;2 — о)о = 30°:3 — сфера; распределение чисел Маха по сфереРис. 5.19. Распределение давления по сферическим сегментам при Моо=6, у=1,4:1 — со0 = 20°;2 — о)о = 30°:3 — сфера; распределение чисел Маха по сфере

Рис. 5.19. Распределение давления по сферическим сегментам при Моо=6, у=1,4:

1 — со0 = 20°;2 — о)о = 30°:3 — сфера;

распределение чисел Маха по сфере

Рис. 5.19. Распределение давления по сферическим сегментам при Моо=6, у=1,4:

1 — со0 = 20°;2 — о)о = 30°:3 — сфера;

распределение чисел Маха по сфере

Рис. 5.20. Распределение давления и формы ударных волн для тупого конуса со сферическим носком для NY^oo:

2—у = 1,4; 2—Y = l,3; 3—Y = l,2; 4—у = 1,1;

5формула Ньютона и звуковые линии; 6• — — формула Бу

земана

ми. Полагая здесь для оценок в угловой точке (при г=г0) скорость звуковой и^а^ ^k'-W^ получим

ь-к^г^(5.6.4)

В этой связи к сильнозатупленным естественно отнести такие тела, форма ударной волны которых в заданном диапазоне к не соответствует форме тела и для которых даже приблизительно Ks^K, где K8 = R~X и K=R-X — кривизны ударной волны и тела. При к-^0 к сильно затупленным телам принадлежат лишь перпендикулярные к потоку диск (торец) или пластина, но в определенных диапазонах к к ним могут относиться, например, сферические сегменты с малой кривизной или показанное на рис. 5.20 тело, тип которого по качественной картине течения меняется от сильно затупленного к гладкому при уменьшении^.

Математически принадлежность к сильно затупленным или гладким телам определим соответственно условиями

K-K-Ks. KS-K«KS.(5.6.5)

Конечно, и для торца при к~^0 будем иметь Ks~k'u—>0. Но основанное на этом предельное решение даст постоянное давление и нулевые скорости, что нс позволит исследовать реальную структуру течения при малой, но конечной и заранее неизвестной кривизне К8 (см. гл. 6).

Закон подобия,

использующий эффективный показатель адиабаты

Опираясь на полученные выше результаты, получим закон подобия равновесного обтекания лобовой части тупых тел, основанный на использовании эффективного показателя адиабаты Y* (А ^), введенного в § 1.9.

В гл. 4 для равновесных течений было показано, что для заданного сорта газа условиями подобия таких течений являются совпадение скорости Uoo и (в меньшей степени) плотности р^» газа в набегающем потоке. Эти довольно жесткие требования могут быть для течений в дозвуковой и трансзвуковой областей существенно ослаблены на основании следующих соображений.

Давление и энтальпия в этой области изменяются от максимальных значений в точке торможения до минимальных в районе предельной характеристики, которые, как следует ожидать, отличаются от первых не столь значительно, по крайней мере, с сохранением порядка величин р^р'^ h^H. Для сферы, например, в этой области р^ 0,5pg, h^ 0JH. Следовательно, трансзвуковая область есть область больших давлений и высоких температур.

В § 1.9 было показано, что локальное течение реального газа можно характеризовать местной величиной эффективного по-

Указателя адиабаты у* и равновесным показателем ^e^Qe^lp, характеризующим скорость звука и зависящим от у* и его производных. Там же показано (см. рис. 1.8 и 1.9), что при изменении энтальпии и давления в полтора-два раза величины у* и уе изменяются, как правило, незначительно, так что для рассматриваемой области течения их вполне можно считать постоянными и таким образом характеризовать все многообразие условий равновесного обтекания тел двумя параметрами у* и уе, которые и будут в первом приближении основными критериями подобия.

Более того, для воздуха отличие отношения уе/у* от единицы не более 10% вплоть до температуры Т^ 10000 К (см. рис. 1.9) или до скоростей полета Uoq^ 104-15 км/с. Поскольку величина уе входит в уравнения непосредственно, а не через малую разность, как у*— 1, то в первом приближении в этом диапазоне можно принять уе~у*, особенно для тел гладкой формы, для которых, как будет показано ниже, чисто волновые эффекты, связанные со скоростью звука, не играют особо существенной роли.

Таким образом, течение газа в дозвуковой и трансзвуковой областях при обтекании тупого тела (или другого тела с малым изменением у*, например, клин, конус) будет зависеть лишь о г параметра у* или

= (5.7. 1) Qs Y*+l '

В этом приближении течение реального газа моделируется течением совершенного газа с подходящим значением показателя адиабаты, что часто используется на практике.

В подтверждении этого закона подобия на рис. 5.21 приведены отходы ударной волны б, радиусы ее кривизны Rs на оси симметрии и величины звукового угла на теле со* для широкого диапазона условий гиперзвукового обтекания сферы равновесно-дис- ооциирующим воздухом и совершенным газом (распределение давления на теле в этой области зависит от к лишь через величину Pq, что следует из рис. 5.10 и аппроксимирующей формулы (5.3.8)). Эти данные хорошо аппроксимируются корреляционными формулами

8=0,7ZkR, Rs=(\W+\&k)R, о)°=34+4Ой. (5.7.2) Аналогичные формулы для цилиндра имеют вид

8 = 2,2kR, /?s=(l,02+6,U)A>, to°=36 + 43,5A. (5.7.3)

Для перпендикулярных потоку круглого диска (плоский торец) и пластины зависимости толщины ударного слоя от к, по- 156

Рис. 5.21. Радиусы кривизны ударной волны (а); относительные толщины ударных слоев (б); угловое положение звуковой точки (в) при обтекании сферы и цилиндра:

\7—совершенный газ; Q—равновесно-диссоциирующий воздух; сплошные линии — аппроксимации § 5. 7; пунктир — (6. 4. 23)

казаны на рис. 5.22. Эти кривые для диска аппроксимируются формулами

-1— =1 + 0,6^, -^=0,45 (1 + 0,4Л).(5.7.4)

ГО Vкгоу к

Там же показана величина Ь=^1х^д^р1р^!дх\, характеризующая градиент давления на теле на оси симметрии.

Нестационарное обтекание тел

Формулы Ньютона и Буземана можно с успехом применять и для нестационарных течений, если относительная толщина ударного слоя также мала. Рассмотрим простейший пример внезапного движения поршня плоского, цилиндрического или сферического (v = 0; 1; 2) с гиперзвуковой скоростью U^a^. Если r(t) и R(t) законы распространения поршня и ударной волны, то масса газа в возмущенном слое и толщина его будут равны

т = -9оол R =-—г8~——^о,

1 + V1 + V1 + V

[/?(0)=г(0) = 0](5.8.1)

(£o = Qoo/Qc> ^ = 0 при v = 0, [1=1 при v=l,2).

Здесь рс — средняя плотность газа за ударной волной. Как видно, относительная толщина слоя д/г<^1 при pc^Qoo. Выпишем интегральное уравнение сохранения импульса. Поскольку в случае осевой и сферической симметрии суммарный импульс равен нулю, то при v—1, 2 это уравнение выпишем для объемов, за' ключенных в малом меридиональном (телесном) угле tZcp, с массой т^. Ускорение возмущенного тонкого слоя создается перепадом давлений на поршне, поэтому, полагая скорость газа и тонком слое U^f^R, получим

Ьр = р — />00 = 4- -^- (m^^Q^r2 +^,(5.8.2)

г dtГ

Первый член справа аналогичен формуле Ньютона, второй— буземановской поправке на действие центробежных сил, а в целом формула совпадает по существу с формулой Буземана (на-* пример, (5.3.1а)) для тонких заостренных тел (см. гл. 8 и 9). Ускоряющийся поршень (г>0) испытывает большее давление, а замедляющийся — меньшее, подобно вогнутым или выпуклым 158

телам при стационарном обтекании тел. Эта же аналогия позволяет ожидать удовлетворительной точности формулы Ньютона А/7 = РооГ2, особенно для замедляющихся тел (см. § 5.3).

Учет инерциальных сил довольно сложен в общем случае пространственного нестационарного обтекания тела, так как при подсчете массы газа в данном сечении возмущенного слоя и распределения продольных скоростей в нем необходимо следить за траекториями частиц, зависящими, по крайней мере, от двух переменных: координат и времени. Поэтому ограничимся формулой Ньютона, основанной на тождественном переносе давления с ударной волны на тело (формы последних совпадают при ^о—^0). Если тело обтекается стационарным потоком со скоростью Uoo и изменяет свою форму, то формуле Ньютона следует придать вид

^P^Q^oon. <Doon = D — UoorosVns UooY (5.8.3) где D — скорость перемещения поверхности тела вдоль его внешней нормали п. Если форма тела f(t, х, у, z)=0, то из условия df=O, как и в § 2.6, получим

D=nx — -упд^-Л-пг—(5.8.4)

dt У dt ' z dt ДД7

д=(Л+Л+/2)1/2-

Знаки в производных ft, fx и т. д. должны быть выбраны соответствующими внешней нормали.

Рассмотрим тело вращения r=rw(r), совершающее плоские колебания {dzldt — Q) по закону а(/) в плоскости ф = 0 около точки то на оси тела (рис. 5.12, § 5.4), например, около центра масс в свободном полете.

Используя формулы преобразования координат

х = (т— т0) cos а —/г sin а, # = (т — r0) sin а-р^ cos а

и выражения для направляющих косинусов нормали п

nx = cos ^п, U00)= — sin ам = — cos а sin 6— sin а cos 6 cos ср, пу— — sin а sin 64" cos а cos 6 cos ср ^^^drJdxY можно получить

D — а [(т — т0) cos 6-рг sin б] cos ?•(5- 8. 5)

Угловую скорость этих колебаний будем считать малой

Л)ЛееЛее-< / *\/г- q

^~^<»+«> ~™.<а + «)'«1 (°°-^?(5'8'6)

где L — длина тела, Т — период колебаний. Тогда разлагая формулу (5.8.3) в ряд по а, получим

-^Г=а + <“^, A = sin2aM, С ОО ОООО

/?<о = 2 sin ам ——/?<о = 2 sin ам ——cos 6 +— sin 6icos ср.cos 6 +— sin 6icos ср.(5.8.7)(5.8.7)

/?<о = 2 sin ам ——

/?<о = 2 sin ам ——

cos 6 +— sin 6icos ср.

cos 6 +— sin 6icos ср.

(5.8.7)

(5.8.7)

_ Здесь ро — квазистационарная составляющая давления, а р^ — чисто нестационарный добавочный член. Подчеркнем, что формулу Ньютона можно применять лишь при xj^ п>0.

В соответствии с (5.8.7) можно представить и интегральные величины § 5.4, например, момент Л!^ = Alo+coAltn» на вычислении которых здесь останавливаться не будем. Выпишем лишь коэффициент демпфирующего момента для острого конуса

QooU^LQooU^L_rcosa_/1_8^cos20_^221cos40y (5.8.8)

QooU^L

QooU^L

coS2 6 \ ЗЛ£21’

Как видно, всегда 7ИСО<0, так что демпфирующий момент всегда препятствует изменению угла атаки.

Таким образом, давление, а следовательно, и действующие силы на колеблющемся теле зависят не только' от мгновенного положения тела, как при квазистационарном обтекании, но и от скорости перемещения его поверхности. Эти добавочные силы обычно малы, так при L=1 м, ^=1 км/с, Т=1 с имеем со^Ю-3. Однако в ряде случаев учет их может быть необходим.

Глава 6

СТРУКТУРА УДАРНОГО СЛОЯ НА ОСТРЫХ И ТУПЫХ ТЕЛАХ

§6.1. Метод тонкого ударного слоя 1

В § 5.2 в наиболее простой форме получено предельное решение при отношении плотностей до и после скачка к—>0, что позволило исследовать распределение давления по телам различной формы и общую картину их обтекания. В этой главе исследуем структуру тонких ударных слоев на заостренных и притупленных телах. Для этого уточним решение путем учета следующих членов ряда в разложениях искомых функций по к0: к—МоМ+МД-к, Ф)+- • •; y=^i (*-. Ф)+- • •;

Р=Р<М W+^iCt. Ф)+-• •; к^Ж^- Ф)+-..;(6.1.1)

Q^-reo+ei-• •; у=коуЖ ф)+-..;

У5=к0У1Лх)Л-.. .; a = 6 + ^oaI(x) + ..

ффЗдесь х—координата вдоль поверхности тела rw(%); гр—функция тока; ^о = Роо/рс — отношение плотностей в какой-либо характерной точке ударной волны или ударного слоя. Подставляя (6.1.1) в систему уравнений (5.1.21) — (5.1.24) и приравнивая члены при одинаковых степенях £0, получим систему:

ф

ф

(6. 1.2)(6. 1.2)1 Г^^1

(6. 1.2)

(6. 1.2)

(2 л rw) ' Qc^oдх

О

“о-^-=—™—«0“i;(6.1.3)

OXQo OX

(2лгго)'(2лгго)'дР\ дфдР\ дф14th ^iR^ дх14th ^iR^ дхПрУх cos 6 г TyRПрУх cos 6 г TyR(6. 1. 4)(6. 1. 4)

(2лгго)'

(2лгго)'

дР\ дф

дР\ дф

14th ^i

R^ дх

14th ^i

R^ дх

ПрУх cos 6 г TyR

ПрУх cos 6 г TyR

(6. 1. 4)

(6. 1. 4)

Аналогично можно выписать и поправочные уравнения к термодинамической системе (5.2.7).

Уравнения (6.1.2) — (6.1.4) имеют простые решения в квадратурах. Эти решения содержат две произвольные функции — uis(Ф) и pks(x), определяемые из граничных условий на ударной волне следующим образом. Расход через ударную волну равен

(6.1.5) %s= л^0- 6=0^00, <Pis = (l + v) (лг^)’^ COS BqJJ,». .

Тогда, разлагая в ряд соотношение на скачке, получим

Ро (М+ Mis) + Mi (М + MJ=ж (М) +

=J ™ ИЛп2 9~MMi s*11 9 cos 6),(6. 1.6)

\ Qos /

А^/^+е-ЧД sin26,=——sin2 6-)- sin 2бД—.

Qo=U=o SosP

Проектируя нормальную yn = ^oo^sina и касательную pt = = ^ооСО5а скорости за скачком на касательную и нормаль к телу, будем иметь

u^Uoo cos acos (а —в) [l-|-£tga tg(a — 6)],—) (6. 1.7)

^5 — ^00 cos a cos (a — 6) [tg (a — 6) — к tg a].

Применяя ту же процедуру, что и для давления, получим

«1ЛФ)=«1Ш= — ^= sin 6y'ls — «о(К) Ф1Г (6- L8i

Аналогично можно вычислить и следующие члены ряда (6.1.1), хотя о сходимости его, в общем, нет каких-либо сведений. Несмотря на это, метод ввиду его простоты часто используют в той или иной модификации в аналитических исследованиях.

Этот метод, однако, применим непосредственно лишь к заостренным телам и неприменим к притупленным, с отошедшей головной ударной волной. Дело в том, что на тупом теле согласно (5.2.6) Wo(0)=0, интеграл (6.1.2) оказывается несобственным, а исходное уравнение (5.1.21) — сингулярным. Вычислим этот интеграл в пределах [фоз, ф] для сферы и цилиндра, пользуясь распределением скоростей ujus—У^зУ^"^ в нью- тонианском приближении (5.3.3) и полагая плотность постоянной:

§ —^^^(^Кф/^)» v=l; S — y=kQR ln<y^ v=0- (6.1.9)

Как видно, для сферы интеграл сходится при ф—^0 и дает b=koR, но для цилиндра интеграл расходится, приводя к бесконечной толщине ударного слоя.

Причина такого абсурдного результата в том, что действительная скорость на теле конечна. Поэтому при zzo(O)=O существенную роль в решении должно играть следующее приближение, которое, однако, нельзя получить с помощью рядов по целым степеням к. В самом деле, из уравнения Бернулли или из уравнения (5.1.22) на теле с помощью формулы Ньютона получим:

и = У^{Н —- к)^ -^^^р^— p^Q^Uoo ф 2&cos6. (6. 1. 10)

Следовательно, вблизи тела продольная скорость имеет порядок кг/\ т. е. она неаналитична по к, поэтому непосредственное разложение (6.1.1) оказывается здесь невозможным. В то же время уточнение скоростей вблизи тела лишь слабо повлияет на перепад давлений за счет центробежных сил, т. е. не изменит формул Буземана (5.2.1), (5.3.4). Корректный асимптотический анализ этого случая будет дан ниже (см. § 6.3 и 6.4).

§ 6.2. Обтекание клина и конуса

Рассмотрим обтекание клина и конуса, которые принадлежат к простейшим и наиболее распространенным в технике заостренным телам. Ограничимся сначала предельными случаями полностью замороженного или равновесного течения. В этой задаче отсутствует характерный размер, и согласно § 4.3 решение

должно быть постоянным на каждом луче, проходящем через носок тела, а присоединенный скачок уплотнения — прямолинейным. Известны точные и многочисленные приближенные решения этих задач. Здесь применим метод тонкого ударного слоя.

В ньютонианском приближении

P^PooA-QooUXo sin6, M0 = ^ooCOs6, Q0 = ^oQ = Qoo, (6.2.1)

z/o = O, г^О, ^^роо^л'(xsin 6)1+v, r = rw = xsin6, вследствие чего при R=oo система (6.1.2) — (6.1.4) имеет простое решение.

Для клина при сверхзвуковом обтекании параметры газа постоянны, так как такое решение удовлетворяет уравнениям движения и граничным условиям. Связь углов клина и скачка 0, а представлена формулой (6.1.7) при у = 0, разлагая которую вряд по ^о, получим

a = 6 + ^otge.(6.2.2)

Тогда из (6.1.2) — (6.1.8) получим следующее решение:

^ = ^oc4-Qcc(7L(l + ^o)sin20, u^U^ [cos 9—£0 sin 6 tg6]. (6.2.3)

На конусе трубки тока сужаются из-за осевой симметрии течения, поэтому после прямолинейного скачка уплотнения происходит некоторое поджатие потока с увеличением давления. В этом случае, подставляя (6.2.1) в (6.1.2) — (6.1.4), получим

ф = (2лроо/7оол; sin 6 cos 6) У^ — (2kQoo х2 sin 6)

a=6 + -l-^tg9.(6.2.4)

Следовательно, отход скачка уплотнения на конусе вдвое меньше, чем на клине (при равных 9). Из (6.1.6) в свою очередь следует pis = O, после чего уравнение (6.1.4) будет иметь решение

- ^2" — У15.^-г. cos2 9 = (a? —е2) cos2 6, ^=yjx\(6.2,5)

Отсюда получим формулу для давления на конусе

/’=/,oo+eoo^^i + ^-^0)sin2e.(6.2.6)

Для Ui, Ui получим

—^“^°° s*n ^g^’— cos 6.

Как следует из рис. 5.3—5.5, полученные поправки к формуле Ньютона заметно повышают ее точность, конечно, при малых ^о- Заметим, что поправочный член для конуса в четыре раза меньше, чем для клина, т. е. для осесимметричных тел точность ньютонианской теории должна быть выше, чем для плоских.

Рассмотрим теперь картину неравновесного обтекания клина и конуса (а на их примере вообще заостренных тел). В этом случае, как указано в § 4.3, в задаче появляется характерный размер t/ооТа, где та — какое-либо характерное время релаксации, реакции и т. д., и решение перестает быть автомодельным. В малой окрестности носка x<<t/ooTa, в которой толщина возмущенного слоя много меньше релаксационной зоны за скачком, течение будет замороженным. Вдали от носка x^UooXa течение в основной части возмущенной области будет равновесным, а зона релаксации относительно узкой и практически плоской. Но за такой зоной релаксации, как показано в гл. 2, равновесные параметры течения не зависят от ее структуры, поэтому течение, угол наклона скачка, не будут отличаться от тех же при полностью равновесном обтекании. Следовательно, при неравновесном обтекании клина или конуса давление на поверхности тела и угол скачка будут изменяться (обычно уменьшаясь) между своими предельными значениями для замороженного и равновесного обтеканий.

Но поскольку начальный (при х^О) угол скачка соответствует замороженному течению за ним, то вблизи поверхности тела образуется так называемый релаксационный слой газа, заполненный линиями тока, прошедшими через этот участок скачка и поэтому имеющими в принципе другие равновесные параметры. Расход фо через него ограничен и, следовательно, он имеет конечную толщину б~фо/роо£Лю для клина и исчезающую б^фо/роо^ооХ sin 0 для конуса, и на больших удалениях от носка в целом не будет оказывать влияние на течение.

В, ньютонианском приближении структура неравновесного ударного слоя описывается уравнениями (5.2.7), которые для клина и конуса имеют решение типа

^=^(^n> е°о> \->9=9^ боо, \-, t—t0\ • •,

‘-й^ = Чг=Т^ЭТ'(6-2-

'П Л U оо sin 6, Х^ |^ЛОО) pool ^ОО) Ло}, ^0^(^о)*

Здесь х0 — координата входа данной линии тока ф в ударный слой, z — расстояние вдоль оси тела.

Это решение отличается от решения (2.5.6) для структуры зоны релаксации за прямой ударной волной, распространяющей-

ся по газу со скоростью рп с временем пребывания частицы в ней t—^о, лишь постоянством давления и энтальпии, что несущественно в нашем приближении.

С помощью (6.2.7) решение уравнения (6.1.2) для клина и конуса можно представить в следующем общем виде:

—=У1 ^, ^ -Un- Q=,(6- ‘2- 8)

где б — толщина ударного слоя.

Решение (6.2.1) и (6.2.7) отражает следующий закон подобия: давление и другие термодинамические параметры (кроме продольной скорости и) в предельном случае &0—^0 зависят лишь от нормальной составляющей скорости yn = t7ooSinO и переменной t = xj(UooCos 9 ), равной времени движения газовых частиц вдоль поверхности тела, но не зависят по отдельности от скорости обтекания Uoo и от угла наклона 6 клина или конуса.

Этому же закону подобия подчиняются относительная толщина ударного слоя 61гго и поправочный член pt.

Очевидно, при к0—^0 релаксационный слой отсутствует, так как наклон скачка уплотнения в этом приближении всюду одинаков и равен а= 6.

Но на члены порядка к0 в решении для скорости, энтальпии и параметров qn будет влиять переменность угла наклона ударной волны через начальные условия на ней, т. е. возможно появление релаксационного слоя.

' Проанализируем еще формулы для толщины ударного слоя и наклона скачка

6=;9 к°.-\ ^=^\^^хй,^=б^х-хоу, (6.2.9)

(2jTX Sin 6)* J Qorzo X J Qo

•00

^_=^otg9-^- (v=0),— dx^—Vy

dxQo (x)dx X J \ X ) Qo

0

(6. 2. 10)

Как видно, угол между ударной волной и телом для клина обратно пропорционален плотности на стенке (при ф=0), а для конуса в меньшей степени зависит от плотности вблизи стенки и, следовательно, будет всегда ближе к замороженному, чем на клине, из-за влияния растекания, приводящего к весовой функции (1—%оЛ) под интегралом (6.2.9).

Асимптотическая форма уравнений тонкого ударного слоя

В § 6.1 показано, что обычный метод тонкого ударного слоя, основанный на разложении решения в ряды по целым степеням

к, не пригоден для тупых тел с отошедшей ударной волной. Ниже для плоских и осесимметричных течений получена асимптотическая форма уравнений для течения в тонком ударном слое около лобовой части тупых тел при к—^0 и рассмотрены некоторые свойства и частные случаи этих уравнений.

Относительная толщина b]Rs или д/7? убывает с уменьшением к. Эти толщины вычислим ниже, в § 6.4, пока же для оценки асимптотической точности результатов введем малый параметр

е = шах(^ ^58, К^С !• (6- 3* О

Будем использовать криволинейную систему координат х, у. связанную с телом (см. рис. 5.2). Очевидны оценки

^--a~Ksx, ^--й~Кх<К5х, Кх^\\(6.3.2)

где а и 0 — углы наклона ударной волны и поверхности тела к оси симметрии, RS = R~X и K=R~X их кривизны.

Естественно предположить, исходя из ньютонианской теории, что характер распределения давления по телу (до точки отделения свободного слоя) тот же, что и вдоль ударной волны

р=еХ (1 - k) sin2 а ~ еЖ [1 - (АГ^)2]-(6. 3. 3)

Если и, и — составляющие скорости по осям (х, у), то на ударной волне при е<^1 будем иметь

^=^00 [cos a cos(a — 6) + ^ sin (а —6) sin а] —

— Uоо sin (л/2— а)~(/0О/<'5л:;(6. 3. 4)

^s—Uoo [cos a sin (а — 6)—к sin a cos (а — 9)]~

~Uoo [ —& + sin f——al sin (a—6)1Uoo \k-VKs(Ks— K) x2].

L\ 2/J

Следовательно, на ударной волне вблизи оси всегда существует область с размерами

к^<^ф<^,+'’ (%=e=u=nRV-V (6.3.5)

в которой обе составляющие скорости одного порядка или дажё и^>и. При KsX^k имеем гх^и, т. е. линии тока параллельны скачку согласно ньютонианской схеме течения.

Перейдем к анализу уравнений, выписанных в § 5.1. Из (6.3.1) видно, что параметр Ламе Нх = \+Ку^ 1, следовательно, эти уравнения при 8—>0 примут теперь вид

ди/ . ,ди/ । и/и* дх ду Rди/ . ,ди/ । и/и* дх ду R@ОО др[ f Ир\Q

ди/ . ,ди/ । и/и* дх ду R

ди/ . ,ди/ । и/и* дх ду R

ли ==ТГ'рTT^VI6-3-6)

б 6ХV У „обоо^оо'

Отношение последнего члена слева в (6.3.6) ко второму имеет порядок (u/R)/ (ди/ду) ~е, поэтому он может быть опущен. Это уравнение содержит справа еще один член порядка Qoo/q~& с градиентом давления, которым нельзя пренебречь по следующим соображениям. На поверхности тела, полагая плотность постоянной и используя (6.3.3), (6.3.4), будем иметь

, ди'дх, ди'дх1 ^'22 дх1 ^'22 дх-к^^^кх.-к^^^кх.

, ди'дх

, ди'дх

1 ^'2

2 дх

1 ^'2

2 дх

-к^^^кх.

-к^^^кх.

u'^a^V'lkKsX — V^kuV (6.3.8)

Таким образом, опуская правую часть уравнения (6.3.6), получим нулевые скорости на теле вместо конечных порядка &1/2, что, как показано в § 6.1, может существенно исказить картину течения в ударном слое.

Это обстоятельство носит принципиальный характер. Оказывается, что применение ньютонианской теории, например, для анализа сложных пространственных течений в области малых скоростей (см. гл. 7) требует особой осторожности в оценке роли членов, содержащих градиенты давления, хотя формально они имеют тот же порядок малости, что и другие отбрасываемые члены.

Однако вблизи ударной волны роль градиента давления невелика

^ ^ — kxlCs ^а' — ~ KV. (6. 3.9) Q дх дх

В этой области можно положить dujdt^Q, и течение будет чисто инерциальным, ньютонианским с постоянной продольной скоростью Цо(Ф) вдоль линий тока, переносимой со скачка уплотнения. Следовательно, влияние градиента давления следует учитывать лишь в пристеночном подслое на тех линиях тока, где окажется ^о<^д- Из этого условия, используя оценки (6.3.4) и (6.3.8), получим порядок толщины подслоя А и расхода через него:

ф < фд = (2л)У ^Qa^ < ^(1 + ')/2ф5,

д_^(2 + »)/2^ (ф^Л^' + 'е^оо). (6.3.10) Следовательно, относительный расход через подслой всегда мал. Заменяя в оценках (5.6.3) толщины ударного слоя б среднюю скорость ее верхним значением uc^us, получим А/б^А1/2 для осесимметричных течений и А/d-^l для плоских, что уточним В § 6.4.

Рассмотрим теперь уравнение (6.3.7) сохранения импульса по нормали к телу. Используя (6.3.3) — (6.3.4) получим, что члены в левой части этого уравнения имеют соответственно порядок

К, VK-KSV\ 8'1 \HVKs-K^Ksx^\\ K2sKx\ (6. 3. И)

Слагаемое — во втором члене конечно при х—н), но дает малый порядка к вклад в перепад давлений вдоль оси (§ 5.3) и может быть опущен. Оценим поперечный перепад давлений. Для гладких тел по условию (5.6.5) Ks—K<^KS, и первые два члена (6.3.11) будут малыми по сравнению с последним. Для сильно затупленных тел, наоборот К8—К~К8, и последний член в (6.3.11) может быть одного порядка с остальными или малым. В этом случае перепады давлений поперек ударного слоя и вдоль него за счет конвективных членов уравнения могут быть одного порядка

e^Le^L— К^хг, к— К^хг, кW)xW)xк^.к^.

e^L

e^L

— К^хг, к

— К^хг, к

W)x

W)x

к^.

к^.

При этом для торца, например, согласно (5.6.4) имеем

К8х~К8гй~кХ1\ ^p)x~^p)y~Qo=ULfe«.l. (6.3.12)

Но именно эти перепады, а не абсолютная величина давления влияют на структуру течения в ударном слое, в частности, на распределение скоростей, поэтому в уравнении (6.3.7) для сильно затупленных тел должны быть сохранены все члены в левой части.

Таким образом, система уравнений, описывающих течение около лобовой части тупого тела, имеет следующий асимптотический при к—>-0 вид ди , ди1 др .

U(-77 =— Ц

дх дуQ дх

dour । до-иг ~г dp . диг . д-ur ~ v—1— = о или—I= — Qr ;дх дуqu- dt дх дуdour । до-иг ~г dp . диг . д-ur ~ v—1— = о или—I= — Qr ;дх дуqu- dt дх ду(6. 3. 13)(6. 3. 13)

dour । до-иг ~г dp . диг . д-ur ~ v

—1— = о или—I= — Qr ;

дх дуqu- dt дх ду

dour । до-иг ~г dp . диг . д-ur ~ v

—1— = о или—I= — Qr ;

дх дуqu- dt дх ду

(6. 3. 13)

(6. 3. 13)

dh 1 dp dqn/ d д . д \

= —, — ■ = Q = ин чз I .dt Q dt dt П \ dt дх д^у /

Здесь / = 0 для гладких тел и /=1 для сильно затупленных. Мно^ житель /=1 в первом уравнении введен формально для того, чтобы проследить потом, полагая Z = 0, свойства ньютонианских течений. Уравнение неразрывности преобразовано здесь с помощью формулы (3.1.8) с теми же значениями функций Q и скорости звука а.

Для исследования свойств системы (6.3.13) получим уравнения ее характеристик, следуя общей теории § 3.2. Дополняя систему (6.3.13) начальными данными вдоль линии у(х)> получим

*d-=ddL^ g-<d_, y'=djL.(6.3.14)

dx дх дуdx

Последние два уравнения системы (6.3.13) имеют характеристики — линии тока uy' = v, как и в § 3.2, характеристики же первых трех уравнений найдем, приравнивая нулю определитель, составленный из их коэффициентов [вместе с уравнениями (6.3.14)]:

Vuy’ — ^V^ia21 — ^2)у'24-2^/У' + (&2~/^2)]=0. (6. 3. 15)

Уравнение (6.3.15) всегда имеет корень и=у'и, соответствующий линиям тока. Дальнейшие свойства системы (6.3.13) зависят от типа тел.

Для сильно затупленных тел при /=1 уравнение (6.3.15) имеет решение

,— ни ± а V и2 + Zv2 — 1а2У —ia» - и2

При Z=1 это обычные характеристики полной системы уравнений газовой динамики, и единственным упрощением является совпадение их формы в криволинейных и местных декартовых координатах. При М<1 система (6.3.13) имеет комплексные характеристики и будет, следовательно, эллиптической, а при М>1 — действительные характеристики и будет гиперболической. Поэтому математическая постановка и принципиальные особенности решения этой задачи не изменяются и не упрощаются при к—ИЗ. Решения, в том числе форма ударной волны, как и в точной постановке задачи, будут зависеть не от локальной формы тела, а от формы его во всей дозвуковой и трансзвуковой области течения.

В ныотонианском приближении, полагая /=0, получим из (6.3.16) всегда действительные характеристики uy'^Vzha, соответствующие гиперболическому или волновому типу уравнений.

Для гладких тел нельзя положить в уравнении (6.3.15) / = 0 без риска потерять корень уг = оо. Поэтому будем искать характеристики сразу в обращенном виде х = х(у). Тогда вместо (6.3.15) при любом i получим уравнение

х,2(и—их')=0,'

из которого следует, что кроме линий тока, характеристиками являются еще линии х=const, как и для параболических уравнений.

Таким образом, для гладких тел при к —*0 или для ньюто- нианских течений около сильно затупленных тел происходит вырождение, казалось бы, основных свойств уравнений газовой динамики, так как дозвуковые течения теряют способность передавать возмущения вверх по потоку.

Но это обстоятельство нс дает еще в общем случае возможности построить замкнутое решение, например, в окрестности оси тела, полностью утопленной в дозвуковую область. Дело

в том, что краевой характер математической задачи с неизвестной заранее границей — ударной волной, может придать решению «эллиптические» свойства. Это покажем в § 6.8, где для окрестности оси круглого диска в простейшем ньютонианском приближении будет построено решение, содержащее неизвестный параметр, для определения которого требуется какое-либо условие вниз по течению от центральной области.

Принципиальное облегчение этой задачи возможно для гладких тел, для которых ударную волну можно считать совпадающей с формой тела. Глубокий смысл этого условия заключается в том, что оно задаст ударную волну, на которой все искомые параметры известны, что приводит к задаче Коши с начальными данными на нсхарактсристичсской кривой. Ввиду аналитического характера этой кривой существование и единственность решения в се малой окрестности гарантируется известной теоремой Коши — Ковалевской (изложенной, например, в [34] независимо от типа уравнений Эйлера, что позволяет построить решение, например, в виде рядов по степеням расстояния от начальной кривой Г

Рассмотрим некоторые дополнительные упрощения, которые допускает система (6.3.13). Как уже указано, градиент давления в первом уравнении влияет на решение лишь во внутреннем пристеночном слое со следующими параметрами (при оценках используем уравнение неразрывности):

b~kxwRs, u^ — U^ Ksx, ^ — l/^3"^. (6.3. 17)

Тогда получим, что относительный перепад давлений поперек подслоя за счет каждого члена левой части второго уравнения (6.3.13) будет иметь порядок

к^\ к^^КК^, (6.3.18)

что, по крайней мере, на порядок меньше вклада внешней части ударного слоя. Следовательно, перепадом давлений поперек внутреннего подслоя из-за малых скоростей в нем можно пренебречь, а градиент давления в первом уравнении (6.3.13) заменить его значением на стенке

О£_ = / дх \О£_ = / дх \(6. 3. 19)(6. 3. 19)др_\ = dpw дх /0 dx

О£_ = / дх \

О£_ = / дх \

(6. 3. 19)

(6. 3. 19)

Для малой окрестности оси симметрии К2х2<с1 рассмотрим течение равновесного или замороженного, или просто совершенного газа. Тогда согласно § 1.10 или § 3.1 следует положить ^=0. Для этого случая сравним относительную ценность членов в уравнении неразрывности

иQtf2VQ^2иQtf2VQ^2(-^~(^)2«i; р(-^~(^)2«i; р^+(W«1-^+(W«1-др е ди дх дх др е д*и ду * ду

и

Qtf2

V

Q^2

и

Qtf2

V

Q^2

(-^~(^)2«i; р

(-^~(^)2«i; р

^+(W«1-

^+(W«1-

Отсюда следует, что член dpldt в уравнении неразрывности может быть опущен, и это уравнение будет таким же, как и для несжимаемой жидкости

(6. 3. 20)(6. 3. 20)диг* । dvr4дх ду

(6. 3. 20)

(6. 3. 20)

Кроме того, относительное изменение плотности в этой области будет иметь также порядок (Л^)2С1, поэтому в уравнениях (6.3.13) в правых частях можно всюду положить Q = Qco/k= = const. Заметим, что в отличие от изоэнтропических течений, такое упрощение нс связано с малыми числами Маха. В самом деле, положение звуковой точки на ударной волне определяется условием etg2 а* ~ (Ks*)2~&, так что значительная часть области, удовлетворяющая условию (Кх)2<^1, может оказаться трансзвуковой или сверхзвуковой.

Заметим также, что для сильно затупленных тел условие (/(s%)2<d выполняется в силу оценок (6.3.12) при х<Го, т. е. течение здесь будет почти всюду несжимаемым. Однако в некоторой окрестности звуковых угловых точек относительные перепады давлений в обоих направлениях будут велики Ар^р (в звуковой точке р[р^ = 0,54-0,6) и уравнение неразрывности, как впрочем и остальные, следует использовать в неупрощенном виде.

Течение в окрестности критической точки тупого тела

Ниже получим решение задачи о равновесном течении в тонком ударном слое в малой окрестности оси симметрии тупого тела, т. с. (в тех же обозначениях, что и в § 6.3) при условиях

е-шах№, ^, ^)<^1, (^x)2«l. (6.4. 1)

В § 6.3 показано, что принципиальная возможность такого локального решения системы (6.3.13) без учета всех краевых условий в дозвуковой и трансзвуковой областях существует для гладких тел и отсутствует для сильно затупленных. Там же показано, что в малой окрестности оси для совершенного газа, при равновесном или замороженном течении плотность можно

считать постоянной, так что система (6.3.13) примет «несжимаемый» вид

ди . дик др

и—=;

дх дуQ<x> дх

. /дт) Iди \ту окд р<а л

j \ и— -Ка =— ;(6. 4. 2)

кдх 1ду УQooдуV 7

dWA | «ЖЫ-д дх ду

Разлагая соотношения (6.3.3), (6.3.4) на ударной волне с формой ysM, получим граничные условия (6 — отход скачка на оси)

^-U^k-V К S<K s-KVHи^и^КзХ-V...;

,(6. 4. 3)

^=еоо<(1-^[1-(ад+...], у=ь- ^x4Ks-KW.-- '

Кроме того, у = 0 при # = 0. Хотя конечной целью нашей будет получить решение для гладких тел, пока не будем полагать KS~K, с одной стороны, для большей общности результатов, а с другой — с тем, чтобы отметить важную роль этого условия для получения замкнутого решения.

В соответствии с видом граничных условий (6.4.3) будем искать решение в виде рядов Ч

^=-^oo[VoW+^/2(Q + --T u^JC^a^H-A (6.4.4).

Р = Q^ut [/7„ ^~<хК5Т рй^Г = х+..., ( = Z//8.

Энтальпию и плотность при необходимости можно легко найти из уравнений адиабаты и состояния. Функция р0 дает распределение давления вдоль оси

p^\-^-k-^kfl(6.4.5)

Так как )0~1, то 1—ро~к, поэтому с точностью нашей теории Ро~1, но dpojdy~klb. Формула (6.4.5) идентична соотношению' (5.3.7).

Подставляя разложение (6.4.4) в (6.4.2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим

X(l + v)a1=/^ \=К^к;(6.4.6)

/7~(l + v)/o/o=2(l + v№2, [Р = а(0)];(6.4.7)

ХК5(1 + v)2 № = -КАЧMs [(1 + v)2 (Л/2)' - 2 (1 + v) /о/2].

(6. 4. 8)

В уравнении (6.4.7) производная др,дх заменена ее значением на стенке в соответствии с § 6.3, где показано, что градиент давления следует учитывать лишь в пристеночном подслое. Эта система содержит функции, зависящие лишь от £, поэтому граничные условия для них нужно снести на линию у = д. Сопоставляя (6.4.3) с разложениями типа

(!) W^) ((У V8) - 1) +

^к^/2т=м-клк$-к^

и учитывая, что /?' (1) =—Ц'о (1), получим

/•1/ 1 I \3 + V 1 V К

/о= L /o = ^(l+v), Р1 = —— — .

Z§

(6. 4. 9)(6. 4. 9)г _3 + v Ks-K

(6. 4. 9)

(6. 4. 9)

2/<’ ' Ь

/о-Л-о, ^о.

Система (6.4.7) — (6.4.8) не замкнута: два уравнения ее содержат три функции /0, Рг, /2- Учет следующих членов разложения (6.4.4) не поправит положения, которое отражает принципиальную невозможность определения лишь локального решения в общем случае. Но для гладких тел KS = K, поэтому полагая, как и в § 6.3, что порядок функции /2 определяется ее значением на границе /2^8, ее можно опустить из уравнения (6.4.8) [случай / = 0 в системе (6.3.13) или (6.4.2)], и система станет разрешимой. Лишнее граничное условие в (6.4.9) в этом случае позволяет найти неизвестный отход ударной волны д, в чем еще убедимся ниже.

Перейдем в уравнении (6.4.7) к независимой переменной /0 и искомой функции /^

^/o^-/o2=-2(1 + v)W(6.4.10)

Решение этого уравнения дает распределение продольной скорости по линиям тока

—=—^4/o/(1+v)(l~2W2^]1/2,(6-4.11)

Us W+v)\ Ys /

Заметим, что отсюда четко просматривается существование подслоя с относительным расходом /0~&(1 н)’2, в котором только градиент давления (член с р) и влияет на профиль скорости.

С учетом (6.4.11) уравнение (6.4.8) при /=0 или /2 = 0 имеет интеграл

К(2 + v) KsК(2 + v) Ks/(2+v)/(l+v) /0/(2+v)/(l+v) /0(6.4. 12)(6.4. 12)

К

(2 + v) Ks

К

(2 + v) Ks

/(2+v)/(l+v) /0

/(2+v)/(l+v) /0

(6.4. 12)

(6.4. 12)

Здесь мы пренебрегли членом 2^р в (6.4.11), так как он вносит в р2 вклад лишь порядка к, т. с. распределение скоростей в пристеночном подслое не влияет на поперечный перепад давлений (что уже отмечалось в § 6.3). Поэтому с учетом условия р2(1) = 1 при К8 = К получим буземановское (как и в § 5.3) значение р= (3+v)/(2+v).

Интегрируя повторно (6.4.11), можно получить решение ^(у), что однако проще сделать другим путем. Продифференцируем уравнение (6.4.7)

(1 - v) /о/о=( 1 + V) /о/о, (/о (0) = л (1 + V)(6. 4. 13)

Дальнейшее решение проведем отдельно для плоского и осесимметричного течений. При v = 0 имеем

/о=а2/0, (a=const).(6.4.14)

Последнее уравнение имеет решение

/0 = ^£(еаС —e~aC) = £sh с£.(6.4. 15)

Подставляя (6.4.14) в уравнение (6.4.7) на ударной волне и используя условие (6.4.13) для /^ (0), получим

(6.4. 16)(6.4. 16)а = Х(1-2^)1/2^Х, с = /23Л.

(6.4. 16)

(6.4. 16)

Тогда из условия f0 (1) = 1 получим

^l=X=arcsh —= 1п[—+ 1/1 + —l^ln]/" — .(6.4. 17) кс [ с |/^ J И ^

С помощью (6.4.17) решение (6.4.15) приведем к виду

/0^y2^shX!~n^-j“(2) Г I6-4-18)

В случае осевой симметрии (v=l) уравнение (6.4.13) /0” =0 имеет простое решение

/0=^+^ (С1=/о(О) = 2Х]/2^).(6.4..19)

(6. 4. 20)(6. 4. 20)Из условий (6.4.9) получим

(6. 4. 20)

(6. 4. 20)

к 1 + /2^ '

В результате решение (6.4.19) примет вид

1 + /2^^^ i +/2^^ '

(6.4.21)

Полученные профили нормальной /0 и касательной f'0A(l+v)

составляющих скорости для плоских и осесимметричных течений показаны на рис. 6.1. Там же для осесимметричных течений приведены точные кривые /о, которые близки к приближенным.

При выводе формул для отходов ударных волн и профилей скорости нигде не использовалось условие KS = K и они, следо-

вательно, носят общий характер и применимы к любым телам. Имея в виду слабую зависимость этих формул ОТ Р&, можно положить, например, Р = 1. Тогда

Н

Rs

— In — при v = 0, —

2£ н/?5

= TTW Мб. 4. 22)

Эти формулы имеют высокую точность, а произведение ^Ks действительно слабо зависит от формы тела, что следует из рис. 6. 2.

Для гладких, и только для гладких тел в пределе KS^K и формулы (6.4. 17) и (6.4.20) примут вид

R 2 3£ н R

к

1 +/W3

при v=l.

(6. 4. 23)

Эти кривые показаны на рис. 5.21. Точность их оказывается лучшей для осесимметричных течений вследствие меньшей толщины ударного слоя за счет растекания линий тока. Для плоских течений приближение RS~R оказывается слишком грубым для реальных условий.

Полученные результаты позволяют, параметр е, введенный выше, е=тах(&, В^, Ж^ — кХ^к"1 при v = 0,

• — точные кривые

наконец, оценить малый

г~к при v=l. (6.4.24)

Однако реально — 1п& = 1,54-3 при ^ = 0,2—0,05, так что нельзя придавать серьезного значения различной асимптотике е

U /о Я/2Us ~/о(1)U /о Я/2Us ~/о(1)V 2 ) ПРИ V =V 2 ) ПРИ V =Рис. 6.2. Отношение отхода ударной волны к ее радиусу для различных тел:Рис. 6.2. Отношение отхода ударной волны к ее радиусу для различных тел:

U /о Я/2

Us ~/о(1)

U /о Я/2

Us ~/о(1)

V 2 ) ПРИ V =

V 2 ) ПРИ V =

Рис. 6.2. Отношение отхода ударной волны к ее радиусу для различных тел:

Рис. 6.2. Отношение отхода ударной волны к ее радиусу для различных тел:

и к при v = 0. Точно так же относительная голщина подслоя с существенным влиянием градиента давления на поле скоростей А/д~ (—In ^)~1^1, как и по оценкам § 6.3.

При к—^0 профили скоростей в ударном слое для осесимметричных и плоских течений имеют соответственно вид

У1 и/о

— при v=l, — = —

5Us /о(1)

(6. 4. 25)

точные значения: светлые значки — совершенный газ,темные значки — равновесный воздух;формулы

(§ 6. 4, |3 = 1);3 = 2/3 (торец, § 6. 8)

При v=l профиль u!us не зависит от градиента давления на стенке и соответствует чисто ньютонианскому течению. Но для плоских течений эта зависимость сохраняется всегда. В то же время в реальном диапазоне k^0,05-4-0,2 профили /о(О почти линейны, слабо зависят от к и заметно отличаются от предельных форм (6.4.25).

Касательная составляющая скорости при v = 0 примерно постоянна вблизи тела, а при v=l — всюду линейно зависит от £. Это различие является принципиальным и связано с поведением вихря ,в окрестности линии (или точки) растекания (§ 3.1)

х К2

<2 = ^L-dJLдх ду<2 = ^L-dJLдх дудидудиду^J»U«A^Y

<2 = ^L-dJL

дх ду

<2 = ^L-dJL

дх ду

диду

диду

„2(6.4/26)

Завихренность растет с уменьшением к, но при v = 0 на стенке й = 0. Тогда согласно (3.1.14) на всей поверхности плоского притупленного тела Q = 0.

Течения в окрестности критической точки

с переменной плотностью вдоль оси симметрии

В неравновесных течениях плотность газа в окрестности оси в отличие от равновесных, рассмотренных в § 6.4, будет переменной, так же как в случае потерь тепла за счет излучения.В неравновесных течениях плотность газа в окрестности оси в отличие от равновесных, рассмотренных в § 6.4, будет переменной, так же как в случае потерь тепла за счет излучения.Типичные профили плотности для таких течений показаны на рис. 6.3. В то же время, давление вдоль оси будет почти неизменным и при увеличении плотности о г скачка к телу заключено согласно (5.3.6) в узких пределахQooU^ Х — к^<^р<; р^(^=Qoo/q5), (6. 5. 1)где qs — плотность сразу за скачком уплотнения.Распределение же давления по телу в нашем приближении нс зависит от тонкой физической структуры течения в ударном слое, что показано в § 5.2.Рассмотрим некоторые общие свойства течений с переменной плотностью вдоль оси для тел гладкой формыТипичные профили плотности для таких течений показаны на рис. 6.3. В то же время, давление вдоль оси будет почти неизменным и при увеличении плотности о г скачка к телу заключено согласно (5.3.6) в узких пределахQooU^ Х — к^<^р<; р^(^=Qoo/q5), (6. 5. 1)где qs — плотность сразу за скачком уплотнения.Распределение же давления по телу в нашем приближении нс зависит от тонкой физической структуры течения в ударном слое, что показано в § 5.2.Рассмотрим некоторые общие свойства течений с переменной плотностью вдоль оси для тел гладкой формыРис. 6.3. Профили плотности и скорости вдоль оси сферы для течений:Рис. 6.3. Профили плотности и скорости вдоль оси сферы для течений:с химической неравновесностью, £=0,167: /—6//? =0,054; 2—6//?=0,079; 5—6/7^=0,095; с равновесным излучением £=0,07; 4—6/R =0,05; 5—6^ = 0,054; пунктир — у0(<//6) ; заштрихованный пучок — те же кривые в переменных fo (Л/Л&); сплошная линия — решение с постоянной плотностью при £=0,1с химической неравновесностью, £=0,167: /—6//? =0,054; 2—6//?=0,079; 5—6/7^=0,095; с равновесным излучением £=0,07; 4—6/R =0,05; 5—6^ = 0,054; пунктир — у0(<//6) ; заштрихованный пучок — те же кривые в переменных fo (Л/Л&); сплошная линия — решение с постоянной плотностью при £=0,1(/ = 0 в системе (6.3.13)). Решение в окрестности оси, как и в § 6. 4, представим в виде(/ = 0 в системе (6.3.13)). Решение в окрестности оси, как и в § 6. 4, представим в виде

В неравновесных течениях плотность газа в окрестности оси в отличие от равновесных, рассмотренных в § 6.4, будет переменной, так же как в случае потерь тепла за счет излучения.

В неравновесных течениях плотность газа в окрестности оси в отличие от равновесных, рассмотренных в § 6.4, будет переменной, так же как в случае потерь тепла за счет излучения.

Типичные профили плотности для таких течений показаны на рис. 6.3. В то же время, давление вдоль оси будет почти неизменным и при увеличении плотности о г скачка к телу заключено согласно (5.3.6) в узких пределах

QooU^ Х — к^<^р<; р^

(^=Qoo/q5), (6. 5. 1)

где qs — плотность сразу за скачком уплотнения.

Распределение же давления по телу в нашем приближении нс зависит от тонкой физической структуры течения в ударном слое, что показано в § 5.2.

Рассмотрим некоторые общие свойства течений с переменной плотностью вдоль оси для тел гладкой формы

Типичные профили плотности для таких течений показаны на рис. 6.3. В то же время, давление вдоль оси будет почти неизменным и при увеличении плотности о г скачка к телу заключено согласно (5.3.6) в узких пределах

QooU^ Х — к^<^р<; р^

(^=Qoo/q5), (6. 5. 1)

где qs — плотность сразу за скачком уплотнения.

Распределение же давления по телу в нашем приближении нс зависит от тонкой физической структуры течения в ударном слое, что показано в § 5.2.

Рассмотрим некоторые общие свойства течений с переменной плотностью вдоль оси для тел гладкой формы

Рис. 6.3. Профили плотности и скорости вдоль оси сферы для течений:

Рис. 6.3. Профили плотности и скорости вдоль оси сферы для течений:

с химической неравновесностью, £=0,167: /—6//? =0,054; 2—6//?=0,079; 5—6/7^=0,095; с равновесным излучением £=0,07; 4—6/R =0,05; 5—6^ = 0,054; пунктир — у0(<//6) ; заштрихованный пучок — те же кривые в переменных fo (Л/Л&); сплошная линия — решение с постоянной плотностью при £=0,1

с химической неравновесностью, £=0,167: /—6//? =0,054; 2—6//?=0,079; 5—6/7^=0,095; с равновесным излучением £=0,07; 4—6/R =0,05; 5—6^ = 0,054; пунктир — у0(<//6) ; заштрихованный пучок — те же кривые в переменных fo (Л/Л&); сплошная линия — решение с постоянной плотностью при £=0,1

(/ = 0 в системе (6.3.13)). Решение в окрестности оси, как и в § 6. 4, представим в виде

(/ = 0 в системе (6.3.13)). Решение в окрестности оси, как и в § 6. 4, представим в виде

у= — ^^(z/), u^U^Ks хи^, k=^-U1aah.ti^H ка(у;.

РQoo^ОО [А) ^ sX^p^^y^ , kQ6ooQo(y)-(^- 5- 2)

Граничные условия останутся теми же, что и в § 6.4, мы лишь упростим их, полагая К8 — К

У = Ъ, ^1= 1, Ч)о= 1, р2 = 1, Qo= 1; у=А уо = О.(6. 5. 3)

(6. 5.4)(6. 5.4)Перейдем к переменным 8

(6. 5.4)

(6. 5.4)

/o(Q=Qo,yo, ^=т~> |т1= \ Му* г1г=('

16\J

\ оо

Тогда из уравнения неразрывности получим

^(i + v)"!^ —^-°= 7" ^- или /^=X(l+v)aP (6.5.5) Qo dy Is di;

Остальные уравнения (6.3.13) примут вид

/о ~ (1 + V) /о/о=2ЛХ2 (1 + ^р^;(6.5.6)

'Ш4МР2=~/? (Х=М<ДУ, (6.5.7)

Ло = О, Ао=1, /20=1.(6.5.8)

Уравнение (6.5.7) можно проинтегрировать с помощью уравнения (6.5.6), если в последнем, как и в § 6.4, пренебречь правой частью, что внесет ошибку порядка к. Тогда получим ту же формулу, что и в § 6.4 для течений с постоянной плотностью

A(0) = ₽ = (3+v)/(2+v),

что согласуется с общим выводом § 5.2 о независимости распределения давления в буземановском приближении от уравнения состояния газа.

Уравнение (6.5.6) отличается от рассмотренного в § 6.4 лишь переменной плотностью §о- Переходя к переменным fg, f0, получим аналогично (6.4.11) решение (Д^ф/фз по-прежнему)

/o2=X2(1 + v)2 /o/(1+v)/o2=X2(1 + v)2 /o/(1+v)—(3+v)/(l + v) , fо^ У 0 •—(3+v)/(l + v) , fо^ У 0 •(6. 5. 9)(6. 5. 9)

/o2=X2(1 + v)2 /o/(1+v)

/o2=X2(1 + v)2 /o/(1+v)

—(3+v)/(l + v) , f

о^ У 0 •

—(3+v)/(l + v) , f

о^ У 0 •

(6. 5. 9)

(6. 5. 9)

/о

Интеграл справа несобственный, вследствие чего роль члена P2/Q0 заметна лишь в пристеночном слое А с относительным расходом /0~&(1+v)/2. Пусть в этом подслое плотность изменяется мало

Qo(O)-Qo(A)«L (6.5.10)

Тогда в уравнении (6.5.6) можно положить

kPilQo — k^* ^о=Ш(0)=6=о/е(0),(6.5.11.)

и решение его /0(£) будет тем же, что и в § 6.4, если в последнем положить ^=т)/г|а и заменить ^к на 0&о. Из рис. 6.3 видно, как разные в исходных координатах профили Vo(<//6) стягиваются в узкий пучок в переменных /о(т}/т]s).

Приведенные толщины ударного слоя будут равны

2£ = 1п-|/Л- (v=0); —=(v=l);

№|/ ?^0kRs 1 4- ]Л2р£0

(6.5. 12)

Для условий рис. 6.3 истинные толщины b/kR = 0,34-0,8. В то же время им соответствуют почти одинаковые отношения Лз/^7? 0,8, как и для случая постоянной плотности.

Пусть теперь условие (6.5.10) не выполняется, т. е. плотность в подслое меняется заметно (например, в сильно замороженном течении, § 6.6). Тогда уравнение (6.5.6) нельзя решать независимо от уравнений, регулирующих изменение плотности. При этом основное влияние переменность р0 окажет на решение в подслое А. Заменяя для оценок под интегралом (6.5.9) q0 значением ее при нижнем пределе, получим для этого подслоя решение

(6.5. 13)(6.5. 13)Д ~ Ц1 + v) j/Jp^+WP~ Л (1 + V) Q-1/2 у^

(6.5. 13)

(6.5. 13)

при /о<^<1+',)-

Последнюю формулу можно получить непосредственно из (6.5.6), опустив там малый член /о/о\ Из (6.5.13) следует, что большие градиенты плотности вблизи стенки влекут за собой большие градиенты касательной скорости, т. е. подслой А ока* зывается сильно завихренным.

Если Qo=l всюду, кроме подслоя А, то это обстоятельство все равно повлияет на толщину ударного слоя через толщину подслоя (особенно в плоском течении v = 0), равную

dT\ QodT\ QoJОДJод

dT\

Qo

dT\

Qo

rrli2QocW^2Rs,rrli2QocW^2Rs,П с_ ^з<2^> Z f d/0

rrli2QocW^2Rs,

rrli2QocW^2Rs,

1 5 I — I

j eo/o Hi + v) J ei/2

(6. 5. 14)

где qOg — среднее значение q0 в подслое. Это влияние пропадет только в том случае, если плотность переменна лишь в некоторой пристеночной области А*<^А. Тогда qOc^1 и, следовательно, течение в ударном слое при z/^A* и толщина его будут теми же, что и для постоянной плотности.

Структура неравновесного ударного слоя

Продолжая анализ § 6.5, рассмотрим теперь термодинамическую группу уравнений в ударном слое

-^- = Qn(A Л6006^== const,(6.6.1)

Q=e(A Т, qm\ h=h(T, qjH = const,/z = 1, ...; m=l, ...

с граничными условиями сохранения состава и состояния газа при переходе через ударную волну, т. е. qn^q-noo при /=0. Здесь t — время движения частицы вдоль своей траектории.

Вследствие постоянства давления и энтальпии уравнения (6.6.1) имеют то же решение (как и в задаче о клине, конусе, § 6.2), что и для структуры прямой ударной волны (§ 2.5)

Чп = ЧЛ^ £оо, XJ, ^ = QooQ0(^ Qoo, U_ Xz), (6.6.2) Т = ТДД q^, U^, Xz), X^^q^ p^ T^.

Если плотность ро(О> таким образом, известна, то задача сводится к решению системы

^-(l + vj/o/^-^-^fl + v)2, dt = ^ = ^f-^-, (6.6.3) Qo (О"Uоо fo

/о=/Ж £=X(1-Q, C=W, \=4s!kRs.

Первое уравнение получено из (6.5.6) переходом к переменной £. Условия (6.4.9) для этой системы

/0=1, Д=-(1-Н) при /=$=0(6.6.4)

достаточны для построения интегральной кривой до некоторой точки ^ = ^о, где /о = О, т. е. до поверхности тела у = ^=0. Отсюда получим Х = £о, а затем, как и в § 6.5, толщину ударного слоя б и распределение всех параметров в физических переменных.

Отмстим важное обстоятельство. Вблизи стенки имеем

/o«-/W(l + v), /0^(l + v)-|Z2^(e0-^

/2k. in^-^Iny. (i^X)(6.6.5)

Таким образом, точке торможения ^ = ^о соответствует бесконечное время пребывания частицы и, следовательно, равновесное значение всех параметров, независимо от состояния основной части ударного слоя.

Решение системы (6.6.3) упрощается, если плотность в пристеночном подслое изменяется мало [условие (6.5.10)]. В этом

случае функция /0(£, ^о), гае ^в/л^ известна заранее (см. § 6.5). Поэтому, используя формулы (6.4.18) и (6.4.21), получим'

= — In-2? + <1-аК , Х= ——, v=l; (6. 6. 6а) Rs 2а (14~^)С1 4~ ^

= —X = lni/——, v=0 (6.6.66), Rs a (e«-i)(ex + l)Г ^o

(а=У2^0,^=000/6(0)).

Ранее было приведено достаточно примеров распределения плотности в неравновесном ударном слое1 (см. рис. 4.5 и 6.3). Качественные эффекты исследуем на простейшем примере малой концентрации c^Ce-СЛ атомов бинарной смеси (или малой энергии ^^eW<Нвозбуждения внутренней степени свободы), где св — равновесная концентрация при местной температуре, которую, как и плотность, и время релаксации г при этих условиях можно считать постоянными. В набегающем потоке примем с = 0. Тогда, используя решение (2.5.12) соответствующей задачи о структуре неравновесной зоны релаксации, получим,, например, для сферы

се- с = e_z/ т _ Г (1+л)С f се -V сL 2(2 + (1 — <2) С J

(6. 6. 7)(6. 6. 7)Rs _ Х-15

(6. 6. 7)

(6. 6. 7)

^и«>УЖ 2 тШ^Жо

Типичные кривые для различных х показаны на рис. 6.4. Случай х—^оо соответствует узкой зоне релаксации за ударной волной, т. е. почти равновесному ударному слою. Случай х^О, наоборот, соответствует сильно замороженному ударному слою с узкой зоной релаксации вблизи стенки.

Поскольку Х~1, то х есть отношение характерного времени газодинамического процесса 6/С/' к времени релаксации. Отмстим, что характерная скорость здесь Ur = ШооУ2^кй при к-^-0 меньше скорости kU,» за ударной волной.

Течение в окрестности критической точки тупого тела в расходящемся гиперзвуковом потоке

Интересным примером применения изложенной теории является задача о тупом теле в расходящемся гиперзвуковом потоке с переменным углом ср наклона вектора скорости, например, при обтекании тела сильно недорасширенной гиперзвуковой струей

Сведения об этом можно получить, также в книгах [3, 32] и различных статьях (например, В. П. Стулов, Г. Ф. Теленин.— «Механика», 1965, № 1).

(рис. 6.5). Рассмотрим лишь равновесное течение с постоянной плотностью в окрестности оси, которое описывается системой

(6.4.2). В расходящемся потоке соотношения на ударной волне, которая при к«С\ для гладких тел (/ = 0, KS~K) совпадает с

телом, примут вид (а — угол наклона скачка к оси симметрии; poo, U оо — плотность и скорость газа в струе на оси перед телом):

Рис. 16.5.Рис. 16.5.ZZ^t/ooSin (0)+?),“ U^k COS (о)4-ф),

Рис. 16.5.

Рис. 16.5.

/^^Poo^cos2 ((о+ф), (о) = л/2—а),

(6. 7.1)(6. 7.1)Последнее соотношение показывает, что давление по телу падает не только с уменьшением угла наклона тела, но и с увеличением угла скоса потока (р, что может существенно изменить картину течения. В частности, звуковые линии (см. рис. 6.5, пунктир) и предельные характеристики будут ближе к оси, чем в однородном потоке. Условия (6.7.1) в малой окрестности оси, где ф = тх, примут вид

(6. 7.1)

(6. 7.1)

u-UJ^x, v=-kU^ p^JJ^-x^.(6.7.2)

Здесь /(* — эффективная кривизна ударной волны:

m^^-4-m,(m>°).(6.7.3)

Решение ищем, как и прежде, в виде рядов

и=иооК^х-^—/',(6.7.4)

P = qxU2oo [1— х^рД^

Для функции /о(£) будем иметь те же уравнения и граничные условия (только с Л* вместо Л), что и в § 6.4, и, следовательно, го же решение. В частности,

Х* = -^- =/-— при v = l, X* = lni/-2— при v=0.

* к 1 + УжI/ ^

(6. 7. 5)

Уравнение для ра примет вид

XX. (1 + v)2 р' = - Kf0VAP. (!) = !)•(6. 7. 6)

Рис. 6.6. Отход ударных волн при обтекании сферы различными недорасширенными струями:

а—отношение 6/Rk:

0-0-*—зависимости от к;

О-Х-о-—зависимости от mR;

. — — сфера в однородном потоке;

б—отношение 6iR*k в зависимости от к: формула (6.7.8);

□—плоская стенка

Здесь KS^K, как и в § 6.4, но К^ч^К при т^О. Поэтому, интегрируя это уравнение, получим

А(0) = ^1 + -1-^.(6.7.7)

Поскольку К/К* =0—1, то величина [3 = 14-(3+^)/(2+^) ближе к единице, чем для тела в однородном потоке. В этом Диапазоне изменения р отходы б, а следовательно, и профили скорости изменяются слабо, поэтому для простоты положим Р = 1. Тогда

— при v = 0;=при v=l. (6.7.8)

у k‘1 -Ь У 2&

Таким образом, толщина ударного слоя и профили скорости в нем зависят только от эффективного радиуса кривизны и не зависят от отношения т!К.

На рис. 6.6 приведены полученные точными численными расчетами отношения S/kR для обтекания сферы сильно недорасширенными осесимметричными струями *. Кривые даны в зависимости от к или ст произведения tnR. Эти кривые не имеют какой-либо- видимой закономерности, но обработанные в виде S)kR* образуют единую зависимость (на которую ложатся и данные для

а—от x/R; бот x]R* ;

— • — сфера в однородном потоке;

формула Ньютона p/po' — cos2 x/R*

плоской стенки с 7?=оо), совпадающую с формулой (6.7.8), которая имеет здесь лучшую точность, чем для сферы в однородном потоке, видимо, за счет меньшей толщины ударного слоя d/R.

Хотя величина р2(0) = ₽ зависит от параметра KIK*» кривые распределения давления по телу, сильно зависящие от условий обтекания в исходных координатах x]R, в координатах xfR* собираются в узкий пучок (рис. 3.7) во всей дозвуковой области течения.

Этот пучок лежит несколько ниже ньютонианской кривой ^= ^Qoo^^'os(x/R*) и аналогичной кривой для сферы в однородном потоке, что обьясняется падением скоростных напоров в струях от оси к перифе ии и нарушением линейной зависимости ^—тх. Эти эффекты можно учесть с по-

мощью местной формулы Ньютона (6.7.1), в которой в качестве роо, Поо еле* дует взять уже местные значения величин.

§ 6.8. Об обтекании круглого диска (ньютонианское решение)

В § 6.3 при анализе общих асимптотических свойств уравнений, списывающих течение в тонком ударном слое около лобовой части тупого тела, было показано, что в ньютонианском приближении при к-^, когда влиянием градиента давления на поле скоростей формально можно пренебречь, а скорость газа становится постоянной вдоль линии тска, эти уравнения имеют гиперболический тип. Это обстоятельство, казалось бы, сулит большие возможности для получения локальных решений, скажем, в окрестности оси симметрии, так как решение уравнения гиперболического типа не зависит от условий вниз по течению от рассматриваемой области (см. § 3.2).

Но такое представление оказывается неверным, что проиллюстрируем на примере одного решения, полученного Хзйзом [47] для круглого диска (торца) с радиусом г0, перпендикулярного потоку, которое имеет замкнутую аналитическую форму для некоторой конечной (в отличие от решения § 6.4) окрестности оси симметрии.

Будем использовать уравнения §5.1 в форме Мизеса

Фу

У = 7,—-. \ —, Ф = (2лх)’ \ ^udy,(2кху J QUJ

Оо

дх8ф дх

В § 6.3 показано, что в окрестности оси симметрии, удовлетворяющей условию К^х2<СХ, где К8 — кривизна ударной велны (с формой y=ysW), течение в ударном слое можно считать несжимаемым. Но для торца (или пластины) согласно оценкам (5.6.4) Ks^o^ k^, так что течение будет несжимаемым почти всюду при х<г0. Так как \ys\~Ksx, то скорости в ударном слое около этих тел будут малыми, что следует из соотношений на скачке

Малыми, согласно оценкам (6.3.12), будут и перепады давлений \p~kp. Однако в окрестности г0—х<1 угловых точек течение будет околозвуковым1 с конечным перепадом давлений ^p^p.

Положив в уравнениях (6.8.1)

Л1

а ~ а U к1^,ф- ф0= jtvq^p~~—,

ООГ 1 иЧ СООО иг Ч оо оо ’’

где а — скорость звука, получим следующие оценки (6*— толщина ударного слоя в углевой точке, рис. 5.22)

/ ~ 8* ~ г0Ц2 у _ „ _ U^12.(6. 8. 2)

Таким образом, продольный и поперечный размеры околозвуковой области возле угловых точек будут одного порядка, как и составляющие скорости в ней. Очевидно, наклон линии тока ду/дх~\ должен сохраниться до самой ударной волны, вблизи которой согласно соотношениям на скачке уплотнения

будем иметь и~ и ~ Uoo, что, однако, не отразится на оценках (6.8.2) ввиду малости расхода Дф^фо^о через эту внешнюю часть ударного слоя.

Отсюда следует, что звуковая точка на ударной волне может быть ближе к оси, чем угловая, что видно для малых к на рис. 5.17, где приведены фоомы ударных волн и распределение давления по торцу и пластине.

Искомое решение относится лишь к несжимаемой области течения (с постоянной плотностью p=Qoo/^). Введем в уравнениях (6.8.1) (при v=l) безразмерные величины

Ш1 / dys V ^х^К2

, z = — ) , т =, t =,

U^kк \ dx /^JJ^hк

На ударной волне имеем

“ ~ -г=2-

Полагая в первом дважды, придадимПолагая в первом дважды, придадим(6. 8.3)(6. 8.3)его по хего по х1 -Zz 11 -Zz 1dZVkZ d (-= 1 + 2Z - —^\dt2лроо dx JdZVkZ d (-= 1 + 2Z - —^\dt2лроо dx JФФ(6. 8.4)(6. 8.4)уравнении (6.8.1) ф=ф5, у=у3 и дифференцируя ему вид

Полагая в первом дважды, придадим

Полагая в первом дважды, придадим

(6. 8.3)

(6. 8.3)

его по х

его по х

1 -Z

z 1

1 -Z

z 1

dZVkZ d (-

= 1 + 2Z - —^\

dt2лроо dx J

dZVkZ d (-

= 1 + 2Z - —^\

dt2лроо dx J

Ф

Ф

(6. 8.4)

(6. 8.4)

В ньютонианском течении q^uUx^ —крх ^ 0, так что ц = ц(ф). Поэтому последний член в уравнении (6.8.4) можно опустить, и оно станет чисто дифференциальным со следующим решением:

Z = Ц\+2ZfP.(6.8.5)

Кривая t(Z) имеет максимум в особой точке 7=1, ^=/o=iO,192. Физический смысл имеет лишь ветвь этой кривой на отрезке 7=0н-1, удовлетворяющая граничному условию 7=0 на оси симметрии. Вторая же ветвь интегральной кривой (6.8.5) при t—►О дает бессмысленное значение Z-^oo. Произвольная постоянная в этом решении выбрана таким образом, чтобы неизвестная величина К3 действительно была кривизной ударной волны на оси.

Распределение скоростей вдоль линий тока получим, заменив в (э.8 5) 7 на z, a t на т. Подставляя этс решение в уравнения (6.8.1), получим форму линий тока и ударной волны в неявном параметрическом виде

yKs 1 +21 Г т IhKs I + 7о

к " (I + 2^)3/4 V t' к - (1+27)3/4*

Нормальная к телу составляюшая скорости равна

-^G-H^-p(6-8-7)-

И, наконец, из последнего уравнения (5.8.1), используя соотношение на скачке Р=1—к—kZ, получим давление на теле

р - Р/е^ = 1 - -у к - kZS (Z);

(1 + 2Z)3 TZ (10Z2 + 5Z + 1)1 ,„ 1„ п

Ф (Z) = 1 —— —^„ ;- — ln(l + 2Z) .(6.8.8)

vZ3 [8(1+2Z)316 v J

Разлагая Ф(2) в ряд при малых t или х, с помощью (6 8 5) получим

Р = 1 - -у к - ^К2х1, р = Ф (0) = 2/3.

Здесь р<1, т. е. в отличие от гладких тел (для которых р = 4/3) давление на торце вблизи оси всегда несколько больше, чем на ударной волне.

Как уже отмечалось, полученное решение нельзя распространить в область Z>L Но в окрестности этой особой точки формула (6.8.5) не является при строгом асимптотическом анализе приближением к точному решению ин- тегродифференциального уравнения (6.8.4). В самом деле, формулы (6.8.5) и (6.8.8) при Z 1 дают oZ/5x->oo и o'pjox оо. Следовательно, при вычислении в следующем по к приближении поля скоростей получим oufdx ->оо и пренебрегать последним членом уравнения (6.8.4) при Z 1 нельзя ни при каком сксль угодно малом к. Креме того, в этой области возможно уже и влияние сжимаемости, совсем не учтенное в уравнении (6.8.4).

Другим направлением уточнения теории является учет влияния градиента давления на поле скоростей в пристеночном подслое (что мы делали в § 6.4—67).

Однако это уточнение не исправит принципиальный недостаток полученного решения: оно не является замкнутым ни в каком предельном случае, так как содержит неизвестный параметр Кз, который может быть определен лишь из условий сопряжения полученного решения с каким-либо специальным ое- шением в околозвуковой области. Таким образом, гиперболический тип уравнений для предельного ньютонианского течения не дает еще возможности получить замкнутое решение в центральной области течения, так как краевой характер задачи с неизвестной ударной велной придает ей эллиптические свойства, требуюшие задания условий вниз по течению от рассматриваемой области. Формально это нашло свое выражение в том, что условию 2=0 при х=0 вследствие особенности в этой течке решение (6.8.5) удовлетворяет автоматически. Физически же этот вопрос совершенно ясен, так как радиус диска является единственным характерным размером задачи и получить решение для дозвуковой области течения без учета условий при x—rQ, естественно, нельзя.

Поскольку значение 2=1 при малых к в точности соответствует звуковому углу на ударной волне, есть соблазн положить 2=1 в угловой точке. Тогда получим

Ksr0 = 0,44 /1, 6 = 2,28г0 у" к, 8* = 2г0 у к. (6. 8. 9) где 6 — толщина ударного слоя на оси.

Однако эти формулы завышают в два с лишним раза значения точных величин (показанных на рис. 5.22). Кроме того, нарушается и качественною согласование: точное отношение 6*/6 при малых к примерно вдвое меньше приближенного. Приближенное произведение 6=рК^Го=О,128^ характеризующее распределение давления [и скорость и(х)] по телу вблизи оси, оказывается в несколько раз меньше точного (см рис 5 22).

Заметим, что формула

5 = ^(1 + ГЖТ1,

полученная в § 64 для произвольных тел, имеет для диска при Р=2/3 высокую точность (см. рис. 6 2).

Глава 7

НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ

С ТОНКИМ УДАРНЫМ СЛОЕМ

. Течение в окрестности критической точки с двумя плоскостями симметрии

Пусть форма тела в окрестности передней точки имеет две 'плоскости симметрии с главными кривизнами Ki и Кч, Kd^i^ = 04-1. Предположим также, что эта передняя точка по классификации и анализу § 6.3 принадлежит гладкому телу, так что течение в ее окрестности можно исследовать локально, независимо от формы последующей части тела. Как и в предыдущих главах будем проводить анализ при условии

s = max{^z, ^Ksi, ^j < 1, /=1,2, k = ^ool^s, (7.1.1) где б — отход ударной волны на оси симметрии; KSi — главные кривизны ударной волны.

В § 6.4 было показано, что наиболее медленно, как &1п& убывает толщина ударного слоя на плоском теле, что и будет верхней оценкой 8. Тогда ударная волна при 8—^0 будет облегать тело, а передняя точка, следовательно, будет точкой торможения и течение в ее окрестности будет обладать теми же плоскостями симметрии, что ад тело. Замыкающим условием задачи будет равенство Кзг^Къ хотя как и раньше без особой нужды не будем отождествлять эти кривизны.

Используем криволинейную систему координат хь х2, У с центром в передней точке тела, где ось у направлена по нормали к телу, а Хг — вдоль линий главной кривизны (рис. 7.1).

Давление р и проекции скорости и^ и2, v на оси хь х2, У на ударной волне равны

Рз=^ (1 - ^) (1 - ед - еду(7. 1. 2)

v^—U^k.(7.1.3)

В последнем соотношении учтено, что Kt^Kst для гладких тел. На поверхности тела, при у = 0, имеем ^=0.

По аналогии с оценками и анализом § 6.3 упростим систему уравнений (5.1.17) — (5.1.19) (в которой заменим w на u2V отбрасывая несущественные члены порядка 8. В частности, для равновесного или совершенного газа, которыми и ограничимся, уравнение неразрывности примет такой же вид, как для несжи-

Маемой жидкости. В результате для гладких тел получим систему

ди,; 1

ду

1 др .= с дх^

1,2;

(7. 1.4а)

1 дхг

дх2

dv .

д-и ।

д-и

22

М1м21

^р

^1 .1 ^2

дхх

-—^ дхч

ду

^1^2Q

ду '

(7. 1.46)

дих дхх

। ди2

। ду ду

0) Q Q^, RlKt

:1.

(7. 1.4в)

Рис. 7.1. Система координат иформа линий тока на поверхноститупого тела с двумя плосксотями'симметрии

Граничные условия (7.1.2) — (7.1.3) позволяют искать решение в виде

ui = xiUooKsiall^1 v= —U^kf^), Z=y/^

P =[p^-K^P^~К^М" (7- L 5)

Функция po(O определяется из уравнения (7.1.46) на оси. причем, в точке торможения р0=1—^/2, как и в двумерном течении. Очевидно, 1—р0^ ^kj2-^k.

Подставляя (7.1.5) в (7.1.4), получим систему уравнений

М11 + М12 /о’ ^i Ks^!k;(7. 1.6)

Pz = /MO), /=1,2;(7.1.7)

Ks^-^K^ Z= 1^2(7.1.8)

с граничными условиями:

С = /о = О; (=1, y^u^p^L (7. 1.9)

Из уравнения (7.1.7) следует, что на стенке Ци(0) ^‘2^к. Так как вблизи скачка ин^Х, то член 2рг-й влияет лишь в пристеночном слое со скоростями и^^к1^, в котором согласно (7.1.8) давление изменяется мало. Поэтому в уравнении (7.1.7)

мы заменили р^ на р2г(0). Но отбросить эти члены совсем нельзя, что следует из опыта анализа двумерных течений (см. § 6.3 и 6.4). Введем переменную t^ таким образом:

/^1=^(1^, / (0) = 0 /(!)= 1.(7. 1. 10)

Тогда решение уравнений (7.1.7), а затем (7.1.6) примет вид

и*уу —^1и*уу —^1Ct + ta' Ct - ta‘ ’Ct + ta' Ct - ta‘ ’^12 — ^2^12 — ^2C2+£2.C^- twa*C2+£2.C^- twa*(7. 1. 11)(7. 1. 11)

и*уу —^1

и*уу —^1

Ct + ta' Ct - ta‘ ’

Ct + ta' Ct - ta‘ ’

^12 — ^2

^12 — ^2

C2+£2.

C^- twa*

C2+£2.

C^- twa*

(7. 1. 11)

(7. 1. 11)

Ct = ^, at = uu^ = V^ ^~=-^ (7- L 12) v — atAi Ks\

CO = (C1—1) (C2—1)CO = (C1—1) (C2—1)

CO = (C1—1) (C2—1)

CO = (C1—1) (C2—1)

При ^1/a—>0 получим чисто ньютонианское решение

«ц ==- —,(7.1.13)

11 1-ln/f 12 1-coln/f11 12'

Это решение дает «1г(0)=0 и, следовательно, не пригодно (особенно, согласно § 6.4, в плоском случае) в пристеночном слое, в котором u^^k1^. В нашей задаче два подслоя, которые определяются из условия, что знаменатели в формулах для «j2 и «и имеют порядок единицы. Это вместе с (7.1.10) приводит к оценкам

—(7. 1. 14а)

^_1^^1/2 ПрИ о^О-М.(7. 1. 146)

Очевидно, £2 <51. Широкий диапазон оценки gi обусловлен порядком разности С2—ttoa* при со = 0ч-1 в этом подслое.

. Но поскольку пристеночные слои не дают вклада в перепад давлений, то решение (7.1.13) используем (при Ksi = K?) для определения коэффициентов рг*. В § 6.4 показано, что такая процедура при со = О; 1 вносит ошибку порядка к. Опуская оценки в общем случае, заметим лишь, что эта ошибка будет мала ввиду слабого влияния Рг на решение (7.1.11) — (7.1,12). Интегрируя уравнение (7.1.8), получим

g । ।1 — 3«0)21110)

g | СО (3 — (о) (О If] СО“2(1 — со)2 (1 - со)3 *

Эти функции показаны на рис. 7.2. Как видно, рг= 14-3/2, но в гл. 5 показано, что в реальных условиях более приемлема формула Ньютона с Pi=l. Толщина ударного слоя, полученная

из уравнения (7.1,10) с помощью (7.1.12) и (7.1.15), показана на рис. 7.3. При со = 0 и со = 1 связь £(/) имеет явный вид, а решение переходит в полученное в § 6.4 для плоских и осесимметричных течений.

Заметим, что полученное решение (7.1.10) 4- (7.1.12) зависит явно лишь от кривизны ударной волны, а от кривизны (формы) тела только через рг-, которые

в рамках подслояв рамках подслояслоислоивлияют слабо, так что решение, как и в § 6. 4, можно отнести и к сильно затупленным телам, хотя при этом форма ударной волны останется неопределенной.

в рамках подслоя

в рамках подслоя

слои

слои

Профили скоростей показаны на рис. 7.4. Осевая скорость fo практически не зависит от со. Продольная скорость и\Х при <о > 0,25 изменяется слабо. Но скорость U12-^1 при оз^О всюду, кроме поверхности тела, где Wi2 = |2£. Таким образом, вблизи сильно вытянутого тела, с К\*>К^ образуется завихренный

(7.1.14а), который -физически не (Представляет как при этом и^и^ со^О.

Рассмотрим поведение линий тока:

интереса, такинтереса, такdxx dx2 dy 1 dt

интереса, так

интереса, так

«I^2^Uoo^S ^t

С помощью (7.1.5) и (7.1.11) получим

С\ tQv х2 С2 ^^। |у)

X1S (С! - Ь^’Л25(С2 - l)/^2 ’* *

где XiS — координата входа данной линии тока в ударную волну.

Вблизи стенки, при /->-0, отношение ^/^^(^/^У^1-^2^2- Как следует из рис. 7.2, а2<П1 при w<l, поэтому х2/%1—>0. Таким образом, линии тока вблизи тела разворачиваются в сторону плоскости симметрии с большой главной кривизной.

На поверхности тела согласно (7.1.16) линии тока имеют форму х2 = const«x^adai. При ox^l эти линии образуют узел, всегда касаясь (кроме линии тока х2=0) направления меньшей главной кривизны, как это показано на рис. 7.1.

Рис. 7.3.

Рис. 7.4.

7.2. Острый конус под углом атаки

Рассмотрим гиперзвуковое обтекание круглого конуса с половиной угла при вершине 60 под углом атаки а с присоединенной ударной волной при условии 0-<а+6 о^я/2. В сферической системе координат г, 0, ф, в которой полярный угол 9 отсчитывается от оси конуса, а меридиональный ф от наветренной сторо

ди । w диоб sin 6 д<рди । w диоб sin 6 д<р(-и24-^2) = 0;(-и24-^2) = 0;(7.2. 1а)(7.2. 1а)ны плоскости симметрии, составляющие скорости по этим осям (и, -о, w) и другие величины не зависят в коническом равновесном течении от г (см. § 4.3), и система уравнений примет вид1 (s — энтропия):

ди । w диоб sin 6 д<р

ди । w диоб sin 6 д<р

(-и24-^2) = 0;

(-и24-^2) = 0;

(7.2. 1а)

(7.2. 1а)

_L2P_; (7.2.16)Q дб_L2P_; (7.2.16)Q дбдо . w до .о ± л

_L2P_; (7.2.16)

Q дб

_L2P_; (7.2.16)

Q дб

Уk UV — w2 ctg 6 =

дб sin 6 д^

dw . w dw ।।1 др ~.

у1+ у ctg 6) =(7. 2. 1в)

дб sin б doq sin б дер7

—— (q^ sin 6)+-^-sin 6 = 0;(7. 2. 2)

дбдер

у—Н^__^_=о.(7.2.3)

дб sin б д<р

Внешняя нормаль п к ударной волне 68(ф) имеет направляющие косинусы

1б'/б'2\1/2

мг = 0, п^ = —, пФ=—, д= Н— . (7.2.4)

Д ‘ Asin6s \1 Sin2 6s / v 7

Скорость набегающего потока на ударной волне имеет составляющие:

u00 = U00^os Q^cos a— sin 6S sin a cos ср),

у со = — U оо (sin 6S cos а ф- cos 6S sin a cos ср), (7. 2. 5)

Woo=c/ooSin a sin ср, т)поо = —Noo—^ooL

A \sin 6S /

Ha конусе y = 0, a на ударной волне

Л=Peo +200^(1 — ^), Qsk = Q=o,(7.2.6)

us=Uoo, ^=^00— (1 — k^n^noo, ^=^=0 — (1 — k^n^unoo.

Рассмотрим некоторые принципиальные особенности кониче- ских течений. Можно показать (методом, изложенным в гл. 3), что система (7.2.1) — (7.2.3) имеет характеристики

—(7.2.7а)

sin б d<v w

См. книги [5, 19].

72382юз

1 d6 vw ± a VV^ — a21 d6 vw ± a VV^ — a2sin 9 d^sin 9 d^w^ — a2w^ — a2tg (6 + a*), sin a* = —. (7. 2. 76)tg (6 + a*), sin a* = —. (7. 2. 76)Рис. 7.5. Формы ударных воли и сверхзвуковых областей (заштрихованы) для острых конусов на координатной сфере при М^=5, у=1,4Рис. 7.5. Формы ударных воли и сверхзвуковых областей (заштрихованы) для острых конусов на координатной сфере при М^=5, у=1,4

1 d6 vw ± a VV^ — a2

1 d6 vw ± a VV^ — a2

sin 9 d^

sin 9 d^

w^ — a2

w^ — a2

tg (6 + a*), sin a* = —. (7. 2. 76)

tg (6 + a*), sin a* = —. (7. 2. 76)

Рис. 7.5. Формы ударных воли и сверхзвуковых областей (заштрихованы) для острых конусов на координатной сфере при М^=5, у=1,4

Рис. 7.5. Формы ударных воли и сверхзвуковых областей (заштрихованы) для острых конусов на координатной сфере при М^=5, у=1,4

I/2 = ^2 +W2.

Эти характеристики те же, что и для плоского течения на координатной сфере r=const и не зависят от радиальной скорости и. Для убедительности заметим, что дифференциальная часть уравнений (7.2.16, в) и (7.2.2), от которой только и зависит форма характеристик, та же, что и в уравнениях плоского течения в местной декартовой системе dy = d$, dx — s\x\^ d<^.

Семейство (7.2.7а) есть линии пересечения координатной сферы r=const с изоэнтропическими поверхностями тока.

Характеристические же направления (7.2.76) ограничивают проекцию характеристического конуса с вершиной на данной координатной сфере на касательную плоскость к ней. Поэтому, кроме случая и = 0, линии возможного пересечения координатной сферы с конусом Маха с вершиной на ней лежат внутри угла между линиями (7.2.76).

Если ¥>а, то характеристики (7.2.76) действительные, а система уравнений (7.2.2) — (7.2.3) гиперболического типа. На теле в окрестности плоскости симметрии ¥<а, поэтому эти характеристики — комплексные, а система уравнений эллиптического типа.

Эта ситуация аналогична нестационарному обтеканию тупого тела, уравнения здесь всегда гиперболические, но предельный установившийся режим обтека-

ния содержит эллиптические и гиперболические области течения. Координата г в этой аналогии играет роль времени.

Условие ¥>а достигается в основном за счет окружной скорости ю, т. е. при достаточно больших углах атаки .или вообще несимметрии течения. Возможные формы «звуковых линий» ¥ = а показана на рис. 7. 5.

Упростим теперь уравнения при условиях

е = й + 8« 1, ШЧЧ)-

(7. 2. 8)

Тогда на ударной волне получим

д=1, vs=^00+w008'sec60— eUoc.(7.2.9)

Система (7.2.1) — (7.2.3) принципиально не изменится, за исключением уравнения (7.2.16), которое примет вид

pwctg90=-^-.(7.2.10)

Характеристиками такой упрощенной системы будут, как и для тупых тел в § 6.3, поверхности тока 6/=(^/w)sin6 и меридиональные плоскости ф = const, т. е. произойдет вырождение системы с потерей волновых ее свойств и способности передавать возмущения вверх по потоку. Но тогда, несмотря на эллиптичность исходных уравнений в окрестности плоскости симметрии, в этой области можно получить локальное замкнутое решение, что и сделаем ниже.

Для наветренной области при qx^l это решение будем искать в виде 1

il^UooUo^ cos(90-{-a), ч)= — Ujvv^ sin (90-(- а),

w^^w^Qsina, S = S0,—(7.2.11)

— /7oo = Qoo^t [sin2 (60+ а) р^(Q — ср2 cos 60 sin (60+ а) sin а^2 (Q].

Так как ги ~6<С 1, то граничные условия упростятся

С = 0, ^о = О,

С=1,1, р0=1“-^+2^Х(1 —to). (7-2. 12)

Для р0 учтены члены порядка к, чтобы определить затем давление на теле поточнее. Здесь и ниже введены величины

ш =, 1 — 0 =^, х=—^-. (7. 2. 13)

cos 60 sin (О0 + a)tg (90 + а) к tg 60

Уравнения движения (7.2.1в) и неразрывности (7.2.2), «несжимаемое» в нашем приближении (p^Qoo/^), примут вид

^ow^ = X(o^2+^o(l ~ со)^—-2k\r^(7.2. 14)

^ = Xq)W1 + 2^0(1 — со) (3 = ^2(0)).(7. 2. 15)

Из (7.2.1а) получим du^d^ — ®, т. е. ^о=1. Справа в (7.2.14) оставлен член порядка к, отражающий влияние окружного градиента давления на поле скоростей, которое сосредоточено лишь в пристеночном подслое с малыми скоростями и постоянным

давлением, поэтому рг заменено на р2(0). Введем переменную Ц^):

т^ЖХЖ ЦО)=О, /(1)=1.(7.2.16)

Тогда, используя условия (7.2.12), получим решение

«1 (to — 02) — а2(м — ар ^а) [а) — а2 — (to — aj ^]«1 (to — 02) — а2(м — ар ^а) [а) — а2 — (to — aj ^]11 = ^— a2>0; (7.2. 17)11 = ^— a2>0; (7.2. 17)

«1 (to — 02) — а2(м — ар ^а) [а) — а2 — (to — aj ^]

«1 (to — 02) — а2(м — ар ^а) [а) — а2 — (to — aj ^]

11 = ^— a2>0; (7.2. 17)

11 = ^— a2>0; (7.2. 17)

co — «2 — (to — aO tw

При ^1/2-^0 это решение упростится:

<1(7.2.18)

Подставляя (7.2.18) в (7.2.16), будем иметь

Х =—^= C-I^L=-Л-1п(1 —со)L, (7.2.19)

к tg 60 J t<о2со

О

а из уравнений (7.2.10) и при ср = 0 (7.2.16) получим

!i=l+.(^L»:

dttJ t

о

?=1.^^22L 3(1-^1]](1_|i).(LZ20)

2co2co3

2X—02X—0/^(O^l-^+^H(7.2.21)

2X—

0

2X—

0

-[2(3-3d) + 2o)2) ln(l-0)) +

—p 3to (2O) -j- O)2)j .

Эти функции показаны на рис. 7.6 (сплошными линиями). Сравнение с точным численным решением задачи о конусе показывает (рис. 7.7 и 7.8), что формула (7.2.19) при величине к, вычисленной по углу наклона скачка 90+«, удовлетворительна

всюду, кроме области вблизи 9о+«^л/2, что обсудим ниже. Формула Ньютона, дающая р = 1, оказывается для реальных условий (как и для двумерных течений) точнее формулы Буземана (7.2.20). Формула (7.2.21) согласуется с точным решением при всех со (см. рис. 7.8)

При со—>0 решение (7.2.18) — (7.2.21) совпадает с тем же для конуса без угла атаки (§ 6.2). В частности, при малых о* имеем

«),—+ —, /?0(0) = 1-1-^f——<о\ (7.2.22)

'42 ' 3 k 7\ 430/ k 7

В другом предельном случае ю—>1, или 6о/а->О, имеем р = = 3/2, ро (0) = 1—^/2, как для круглого цилиндра, перпендикулярного потоку, но предельная формула (7.2.19) дает К—^оо. Вычисление же X по решению (7.2.17) дает при со—>1 конечную величину, а само решение (7.2.17) переходит в решение для цилиндра, полученное в § 6.4. (Аналогия обтекания тонких тел под

большими углами атаки с местным плоским течением с общих позиций будет рассмотрена в § 9. 4).

Это обстоятельство требует анализа применимости предельного решения (7.2.18). Выделим два режима течения. При умеренных относительных углах атаки имеем

^2^ tg^o^2^ tg^oРис. 7.7. Относительный отход ударной волны на конусе:Рис. 7.7. Относительный отход ударной волны на конусе:Рис. 7.6, (7.2.21)Рис. 7.6, (7.2.21)Формулы — «>0,Формулы — «>0,(7.2.19) —со<0(7.2.19) —со<0■точный расчет; по

^2^ tg^o

^2^ tg^o

Рис. 7.7. Относительный отход ударной волны на конусе:

Рис. 7.7. Относительный отход ударной волны на конусе:

Рис. 7.6, (7.2.21)

Рис. 7.6, (7.2.21)

Формулы — «>0,

Формулы — «>0,

(7.2.19) —

со<0

(7.2.19) —

со<0

формуле (7.2.19); И—круглый ци-линдр; — • — к за скачком уплот-нения с углом наклона 9о+а

tg9s tge0tg9s tge0^'—1L.|0Tt/2ТС^'—1L.|0Tt/2ТСРис 7 9. Форма ударной волны на различРис 7 9. Форма ударной волны на различных конусахных конусахРис. 7.10. Формы поверхностейтока вблизи плоскссти симмет-рии круглого конуса под уг-лом атаки.Рис. 7.10. Формы поверхностейтока вблизи плоскссти симмет-рии круглого конуса под уг-лом атаки.действительная форма; предельная форма при ^-*0; Аб— вихревой слойдействительная форма; предельная форма при ^-*0; Аб— вихревой слой

tg9s tge0

tg9s tge0

^'—1L.|

0Tt/2ТС

^'—1L.|

0Tt/2ТС

Рис 7 9. Форма ударной волны на различ

Рис 7 9. Форма ударной волны на различ

ных конусах

ных конусах

Рис. 7.10. Формы поверхностейтока вблизи плоскссти симмет-рии круглого конуса под уг-лом атаки.

Рис. 7.10. Формы поверхностейтока вблизи плоскссти симмет-рии круглого конуса под уг-лом атаки.

действительная форма; предельная форма при ^-*0; Аб— вихревой слой

действительная форма; предельная форма при ^-*0; Аб— вихревой слой

Рис. 7.8. Давление на конусе н наветренной образующей в плоскс сти симметрии:

точный расчет; мето гонкого ударного слоя (формул!

(7.2.20), (7.2.21))

l-<o = tg60/tg(a + 60)»(M)1/2l-<o = tg60/tg(a + 60)»(M)1/2(7. 2. 23a)(7. 2. 23a)^(0)=^-^(0)=^-2^31 — to2^31 — to2^co 3«1~-2^co 3«1~-a2~co — 1. (7.2.236)a2~co — 1. (7.2.236)

l-<o = tg60/tg(a + 60)»(M)1/2

l-<o = tg60/tg(a + 60)»(M)1/2

(7. 2. 23a)

(7. 2. 23a)

^(0)=^-

^(0)=^-

2^3

1 — to

2^3

1 — to

2^co 3

«1~-

2^co 3

«1~-

a2~co — 1. (7.2.236)

a2~co — 1. (7.2.236)

Но в предельном решении ид(0)=0, поэтому оно всегда отличается от (7.2.17) в пристеночном подслое со скоростями wt~ ~ai/(o и, следовательно, толщиной Iй ^ai, или £~с^. Вне подслоя, где /~1, имеем/" ^1+ailn/^l и решение (7.2.17) отличается от (7.2.18) лишь членами порядка к. Сам же подслой столь мал, что не повлияет на решение в целом.

Иная картина течения будет при больших углах атаки

(7.2.24)(7. 2. 25)(7.2.24)(7. 2. 25)1—ш^^1/, ^1 (0) о^ — X1/2, a2 —^V2.Здесь в пристеночном слое, в котором w^^k"2, имеем1 —1, ^^—1.

(7.2.24)

(7. 2. 25)

(7.2.24)

(7. 2. 25)

Размер подслоя здесь сравним с размером ударного слоя, и решение (7.2.18) не пригодно для исследования структуры течения, как и в случае точки торможения тупого тела, рассмотренной в § 6.4.

Полученное решение применимо и для подветренной окрестности плоскости симметрии, если, конечно, ударную волну там еще можно считать сильной, а ударный слой тонким, т. е. если местное к<3. Для этого достаточно положить а<0. В этом случае (о = 04—оо при а = 0~—0о, а формулы (7.2.236) справедливы при всех со. Поэтому всюду, кроме тонкого подслоя толщиной A^af, будет достоверным предельное решение (7.2.18). При со——оо, или а-*—0о, имеем X—^0, но при этом ударная волна не может быть сильной ни при каких реальных условиях, и наша теория становится неприменимой.

Сравнение кривых на рис. 7.6 показывает, что ударный слой тоньше на подветренной стороне, чем на наветренной1. Толщина ударного слоя определяется продольным расходом газа, при а<0 меньшим, чем при а>0, за счет меньшего наклона поверхности тела, и окружным растеканием (при а>0) или стеканием (при а<0) газа. В рамках нашей схемы первый эффект оказывается преобладающим. В реальных же условиях максимум толщины ударного слоя может быть где угодно (рис. 7.9).

Рассмотрим теперь распределение энтропии в ударном слое. Подставляя разложение s = s0—ф% в уравнение (7.2.3), получим So=const, а для х2(0 получим формулы (величины х0 и s2(l) будут, конечно, различными для наветренной и подветренной сторон)

у./"1to — «2 — (to — «9 t^у./"1to — «2 — (to — «9 t^52 = S2(1)52 = S2(1)/1_\2

у./"1

to — «2 — (to — «9 t^

у./"1

to — «2 — (to — «9 t^

52 = S2(1)

52 = S2(1)

s2=^(l). (7.2.26)

\1 - О)/1-™/

Левая формула соответствует решению (7.2.17), а правая — предельному при к—уО. Последняя на теле дает конечную величину S2(0) = Sz(1) (1—(о), т. е. в этом приближении поверхности тока, входящие при ф = ф5 в ударную волну, заканчиваются на теле при ф0 = ф8/(1—со) (рис. 7.10).

Левая же формула на наветренной стороне, где сс>0 и «1>0, дает S2(0)=0, т. е. тело всегда омывается поверхностью тока, проходящей через плоскость симметрии. В пристеночном подслое (в котором только и отличаются формулы (7.2.26)) поверхности тока резко изгибаются и идут вдоль поверхности тела. В случае умеренных углов атаки — условие (7.2.23) — подслой очень тонок, и в нем будут большие градиенты энтропии, поэтому этот подслой называют еще вихревым слоем L При условии же (7.2.24) толщина подслоя велика, но в этом случае предельное решение непригодно.

На подветренной стороне «1<0, поэтому s2—^оо при /->0 и изоэнтропические поверхности тока сходятся на теле в одну особую точку ф = 0, которую называют еще точкой Ферри2.

Из уравнения rud^ = vdr следует г=г61-^”^ , т. е. линии тока, войдя в скачок в точке r=rs, стремятся к поверхности тела при г—>оо. Стекание линий тока к плоскости симметрии ограничивает область применимости изложенного метода к подветренной стороне лишь небольшими а/6о, так как в локальном решении нельзя учесть правильно влияние поверхностей тока, пришедших с далекой периферии, а их роль будет, конечно, возрастать с увеличением углов атаки.

Скошенный цилиндр в неоднородном гиперзвуковом потоке

Эта задача имеет отношение к обтеканию передних кромок крыла, руля, стабилизатора и т. д. неоднородным потоком за искривленной ударной волной, индуцированной фюзеляжем летательного аппарата. Ввиду большого разнообразия таких течений рассмотрим лишь основные качественные их особенности и для некоторых частных случаев получим приближенные решения.

Выберем систему координат х, у, ф, где х—расстояние вдоль цилиндра, у — по нормали к нему, а ф — меридиональный угол. Параметры набегающего на кромку потока зададим в ви-

де распределения плотности, давления, энтальпии, скорости, числа Маха и местного угла атаки по % в плоскости, касательной к цилиндру на линии ф = 0:

^(л:), /^(Л), к-Лх^ U^^Y NV^xY a^xY (7.3.1)

Этого достаточно, если допустить, что радиус цилиндра г0 много меньше масштаба неоднородности в направлении, ортогональном плоскости ср = О, и что на расстоянии порядка г0 изменение параметров течения вдоль внешних линий тока несущественно.

Для простоты ограничимся совершенным газом и столь большими числами Mi, что отношение плотностей в скачке к = = (у—1)/(у+1), а величинами pi и hi можно пренебречь. Решение будет получено в окрестности плоскости симметрии в рамках схемы сжатого ударного слоя (с толщиной 6) и в предположении умеренной неоднородности, т. е. при условиях

г = ^ + В/г0<1, r0^L0 = L sin а0, ф<^1, (7.3.2)

где L — характерный масштаб неоднородности внешнего поля, определяемый так

а До — собственный масштаб неоднородности внешнего поля по нормали к его линиям тока (а0 — характерный угол а), который по существу и задан физически. В этом случае толщина ударного слоя б^/гго определяется поперечным растеканием газа, как при плоском обтекании цилиндра (при этом строго б~г0&1п&, но практически In к^ 1).

В случае, противоположном условию го<До, а именно, при г0>Д0 поперечное растекание несущественно и течение в плоскости симметрии будет, как можно показать, плоским, а толщина ударного слоя будет определяться масштабом До.

Представим решение в виде

р=рЛр0Х. y'Xfp^X. у')Ь p^QiP^

'и=—^т‘и»Х, У'^ тв^^щЧЮхХУ'^(7.3.4)

kQ=Q1XWoX' У'^ h. = 'Ulnh0X- У'^

где рн — местное ньютонианское давление.

Тогда граничные условия на скачке, облегающем цилиндр при 8^(1, примут вид

/>0=60=2^0 = ^= 1,«' = 4^'^

^о=1-^;^=1 + ^-^^-. u)1=-y-ctga. (7.3.5)

dx2 dxL

малых 8(7.3.6)малых 8(7.3.6)На теле по = О при z/z = 0.

малых 8

(7.3.6)

малых 8

(7.3.6)

Продольная скорость и на скачке уплотнения при равна

т т /у •Гр\

us=UA cos а — к sin a——1.

s ЧL dx' /

В соответствии с этим рассмотрим два режима течения и способа представления и, которые, несколько упрощая ситуацию, определим так: умеренные углы атаки

tga< 1, и = ч)ухи0^х', у'\ ^lT=^71cosa; (7.3.7а) ■ uQ=\ при у' = \ и большие, близкие к прямому, Hga^l, u = kUxu^x^ У’У(7.3.76)

1rpsin a d^n ~*

tu =—cosay—< 1 при у =bQ.

кLdx'

Подставляя решение в форме (7.3.4) и (7.3.7) в уравнения (5.1.17) — (5.1.19) и опуская в них члены порядка 8,* получим для по уравнения, соответственно при условиях (7.3.7а) и (7.3.76):

Hex ^Uy Uq^ир д In р ро о \

(0i-^— г^—= — co^tg^-^-(7.3.8а)

v1Tdx'dy'Qo ^х'

г0 rocos a ~j

£tga Lq*

du0Ui du0 _ _ r0 sin ap0d In pHp0gg.

Ux dx' ° dy'L Qo dx' ’ 4

Остальные уравнения движения и неразрывности примут вид

дрр дд/ М Up ^1п»1 1 vyn dx'

°’ "^~=-Qo,ya^dy’1

^о

to/ (^glgQttQ^0) eiV(-') dx'

-y<1) = -y1T,

dwy । dy* de0«0 dy’

у2 = 2^^;

1 ео

)-6от,1=О;

T)^=UV

(7. 3.9)

(7.3. 10)

(7.3. 11)

Параметр со± будет постоянным при постоянном а. В уравнении (7.3.10) сохранен, как обычно, член порядка к, отражающий влияние окружного градиента давления на поле скорости. Поскольку влияние его важно лишь вблизи поверхности тела, то, как и прежде, заменим р2 на р2<Х, 0)=р(х')- Величина р~1 по аналогии с поперечным обтеканием цилиндра. Первое уравнение (7.3.9) имеет решение р0=1, означающее постоянство давления поперек ударного слоя в плоскости -симметрии.

При (ог-<С1 все содержащие этот параметр члены исчезают из уравнений (7.3.10) — (7.3.11), которые совпадают при этом с уравнениями плоского поперечного обтекания цилиндра с местными внешними параметрами. Течение же газа в сечении х = = const, из-за наличия продольной скорости (постоянной «о=1 в случае (7.3.7а) и малой и~кЪ\ в случае (7.3.76)) будет соответствовать скошенному цилиндру в однородном потоке с местными внешними параметрами.

В этом случае линии тока с постоянной энтропией на них в масштабе переменных х^ у' (но не х, у) идут по нормали к телу, что следует из уравнения

(7. 3. 12)(7. 3. 12)dy' =1 у0dx' to-L и0

(7. 3. 12)

(7. 3. 12)

Такой характер течения нарушается в тонком пристеночном подслое, в котором 0o<(Oi и все члены в левых частях уравнений (7.3.7) — (7.3.11) будут одного порядка, а вблизи поверх- •ности тела линии тока почти параллельны ей.

Характер течения в этом подслое может быть весьма разнообразным. В случае (7.3.76) порядок скорости здесь определяется градиентом давления, причем u^^kU^, как на поверхности тупых тел, в то время как вне подслоя u~kUv В зависимости от характера распределения давления здесь возможны местные критические точки растекания или стекания и т. д.

В наиболее простом случае г^Ь<^\, т. е. кромки, обтекаемой слабо неравномерным потоком под большим углом атаки, имеем ^!к<^\, так что первыми членами уравнений (7.3.10) и (7.3.11) можно пренебречь всегда. Пристеночный подслой со специфическим распределением энтропии будет иметь весьма малую толщину (так как в нем v^kr^L).

Мы не будем заниматься анализом всегз многообразия возможных течений и ограничимся лишь рассмотрением обтекания достаточно скошенной кром-ки, определяемого условием (7.3.7а).

В этом случае наклон линии тока dy !dx~kiga мал, а полная скорость (u-Vu^y^~tt. Поэтому длина линии тока, вошедшей в скачок в точке x—xSs

равна l~x—xs, давление вдоль нее в силу ро=1 заранее известно, так что можно воспользоваться адиабатой Пуасссна и уравнением Бернулли в форме:

6о6о_61(4)~ 61 <Л')_61(4)~ 61 <Л')Рн (Х*)Рв (4)Рн (Х*)Рв (4)IVTIVT2^о —2^о —^Рв (х')^н «)^Рв (х')^н «)(T-D/T(T-D/T(7. 3. 13)(7. 3. 13)

6о

6о

_61(4)

~ 61 <Л')

_61(4)

~ 61 <Л')

Рн (Х*)

Рв (4)

Рн (Х*)

Рв (4)

IVT

IVT

2^о —

2^о —

^Рв (х')

^н «)

^Рв (х')

^н «)

(T-D/T

(T-D/T

(7. 3. 13)

(7. 3. 13)

cos2 uz/q 4- 2/z0 sin2 a — 1.

Перейдем к переменным (х', х^), где координата xs — постоянная вдопь

линий тока. Используя формулы перехода

—,(7. 3.14)и—,(7. 3.14)иdxsдх80 / dxs \ / ду \/ ду \

—,(7. 3.14)

и

—,(7. 3.14)

и

дхду \ дх /у \ dxs /^\ дх )х

приведем уравнения к виду

dwX4)Xn^\^\п . "Г дх*dwX4)Xn^\^\п . "Г дх*+ (^1л^1)2 = 2 — к^\^Оо+ (^1л^1)2 = 2 — к^\^Оод^у*дх* дх\д^у*дх* дх\д^11 ду'—- In (QiQo^it) + 7Эх'<^0 J д/д^11 ду'—- In (QiQo^it) + 7Эх'<^0 J д/(7. 3. 15)(7. 3. 16)(7. 3. 15)(7. 3. 16)

dwX4)Xn

^\^\п . "Г дх*

dwX4)Xn

^\^\п . "Г дх*

+ (^1л^1)2 = 2 — к^\^Оо

+ (^1л^1)2 = 2 — к^\^Оо

д^у*дх* дх\

д^у*дх* дх\

д^11 ду'

—- In (QiQo^it) + 7

Эх'<^0 J д/

д^11 ду'

—- In (QiQo^it) + 7

Эх'<^0 J д/

(7. 3. 15)

(7. 3. 16)

(7. 3. 15)

(7. 3. 16)

Решение уравнения (7.3.15) выпишем приближенно, положив d(In xuin)(дхл<. <С1. Это условие выполняется, например, при постоянных Уш, ^ и р, так как при этом д In ро/^х^(у—1)/у<1

1 + 2-1 — х0 _2а

wi = х, z =е *,(7. 3. 17)

11 - г1 + х0V 7

f xdx*Г 2р£

£ = \ , х = 1 / , ха = у 2^ = const.

j а)1Мо У Q0

Это решение имеет следующие предельные формы:

х /Р \-1

W1 = — 1+—, 2$<1;(7.3.18а)

хо \^о /

^1 = х, 2^»1.(7.3.186)

Можно показать, что при у—^1 формула (7.3.18а) переходит в решение уравнения (7.3.15) с отброшенной правой частью, т. е. ньютонианское решение. Формула (7.3.186), наоборот, является точным предельным решением в пристеночном подслое.

Интегрируя уравнение (7.3.16) по х', получим

(7. 3. 19)(7. 3. 19)&У* = сУх'д 61 (^) v1T (4) FV' 4) dx's <»i(4) 61 ^'^"it^') 6о“о

(7. 3. 19)

(7. 3. 19)

Используя решение (7.3.17), получим

(7. 3. 20)(7. 3. 20)(l-i)e-Eг =—, о ~

(7. 3. 20)

(7. 3. 20)

1 — Ье~^^ + 7-о

Формула (7.3.19) дает изменение расстояния между двумя близкими линиями тока в зависимости от окружного растекания (функция F) и изменения внешних параметров. Произвольную функцию с^х^ найдем, полагая, по определению, вдоль ударней волны dxs[dx=\. Тогда при x=xs получим

ссd^dxd^dxv— = £tga; иv— = £tga; и(7.3.21)(7.3.21)

с

с

d^

dx

d^

dx

v

— = £tga; и

v

— = £tga; и

(7.3.21)

(7.3.21)

Интегрируя (7.3.19), получим форму линий тока и величину 60:

У* кх'> х^=\ —ГЛ—Т-^7Тхdx's’ 50 (•*') = У* U' х’Х (7.3.22)

х'

Как видно, решение в значительной степени зависит от конкретного распределения внешних параметров, поэтому ниже мы лишь подчеркнем некоторые его принципиальные особенности.

Важной характеристикой, очевидно, является размер /0 предшествующей области задания начальных данных, влияющих на структуру ударного слоя в данном сечении х. Оценим его, положив

F ~ е 0 или ? ^ ^;F ~ е 0 или ? ^ ^;(7.3. 23)(7.3. 23)

F ~ е 0 или ? ^ ^;

F ~ е 0 или ? ^ ^;

(7.3. 23)

(7.3. 23)

—- =_ xs ^ ——, z0 ^ qr^ tg a,

где q — число порядка нескольких единиц. Как видно, длина /0 зависит от радиуса цилиндра, а не от масштаба неоднородности L и тем меньше, чем больше угол атаки. Так как х->0 при к -> 9, то to с уменьшением к растет Согласно (7.3.22) линии тока приближаются к стенке по закону y'^F ~ ^ехр(—g), который обусловлен поведением поперечной скорости и ~—у вблизи стенки, что видно из уравнения (7.3.12).

Линии тока, вошедшие в скачок вверх по потоку от рассматриваемого сечения х на расстояниях, больших /0, в этом сечении практически сливаются с цилиндром, т. е. соответствующие газовые частицы за счет растекания уходят из плоскости симметрии. Поэтому некоторую координату xsQ«x—lQ можно уже считать начальной для данного поперечного сечения.

Заметим, что функция wy согласно (7.3.17) стремится вдоль линии тока к своему предельному значению w,v = u как е-2§, и достигает его, следовательно, на расстояниях, вдвое меньших /0.

При G)i<1 из (7.3.23) имеем U<^L, т. е. линии тока достигают стенки значительно раньше, чем внешние параметры успеют заметно измениться. В этом случае в каждом сечении течение во всем ударном слое будет тем же, что и на цилиндре в однородном потоке с местными значениями внешних параметров.

Но при 0)1^1 пристеночная область (с размерами порядка толщины ударного слоя или меньше) будет заполнена линиями тока, пришедшими издалека. Структура ударного слоя в этом случае будет существенно неоднородной, а быстрое сужение трубок тока, пропорциональное dy]oxs~F, приведет кболъ-

1 Величина K2^^G,3h-0,7 при ^=0,05—0,2, и ее, а следовательно и х, при здравом подходе к делу трудно считать очень малой величиной. Полагая ^>3, получим, что при tga~l расстояние /0 все же достаточно велико — порядка десятка радиусов цилиндра.

шим iрадием 1ам энтропии, плотности, скорости в пристеночном подслое, т. е. сильно завихренному характеру течения в нем.

Отметим еще один возможный эффект принципиального характера. Вдоль линии тока

к

du^/1 — — — dp — —dp^(7.3.24)

Qi

и по ныстонианской теории при к<Л скорость газа должна быть постоянной. Но при toi^l давление вдоль цилиндра может изменяться в несколько раз, что при малых (но конечных) к может привести к конечному изменению скорости. В частности, давление в некоторой точке х0 мсжет сравняться с давлением торможения на некоторой, например, начальной линии тока xs0, и скорость газа в этсй точке обратится в нуль. Поскольку градиент давления в этой точке остается величиной конечной (в отличие, скажем, от обычной критической точки тупого тела, в которой др1дх=^, то из формулы (7.3.13) для окрестности точки (х0, xso) получим

и ~ [Л (х0 — х) + (х5 — xs0)]1/2, Л = const f—7^)(7. 3.25)

V рн дх )х0.

В формуле (7.3.19) при х х0 все члены, кроме Но, конечны (в том числе и F), поэтому из нее следует

У ~[х0 —х + Л-1 (xs — xs0)]1/2 — (^0 — х)1/2;(7. з.26)

V { 0 Ц\1/9

— = Ii ~(Ло — х) 1/2 — [х0 — х + Л-1 (xs - х50)].

xs

Как видно, при xs=^xso наклоны всех линий тока dyjdx--* оо при х-^х0.

Наше решение и сама схема сжатого ударного слоя в этой окрестности неприменимы, а для анализа картины течения следует использовать полную систему уравнений *.

Этот вопрос пока не исследован и далеко не тривиален. В силу конечности Wt и неограниченности производных ди[дх и ov/dy при х -* х0, течение в окрестности этой точки носит локально плоский характер. Но такое течение, скажем, при обтекании клина неоднородным потоком, в рамках схемы невязкой жидкости просто невозможно. Реально в таких случаях возникает зона вязкого возвратного течения. На кромке с тонкими пристеночными низконапорными трубками тока отрыва может и не возникнуть из-за окружного растекания газа. Тонкий завихренный подслой может быть поглощен вязким пограничным слоем и т. д.

ЧАСТЬ III

ГИПЕРЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ ТЕЛ

Глава 8

ТОНКИЕ ЗАОСТРЕННЫЕ ТЕЛА. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ

Общие соображения.

Нелинейная теория малых возмущений

Эта глава посвящена исследованию гиперзвукового обтекания тонких заостренных тел с малым местным углом атаки поверхности, т. е. при условиях 1:

cos (/г, йоо) — т< 1, 1^00=17оо faoo > L (8. 1. 1)

Здесь п — вектор нормали к телу; Uoo — скорость его обтекания.

Обычно под т подразумевают относительную толщину d(L, где d — диаметр, a L — длина тела, но первое условие (8.1.1) является более жестким, чем d!L^i\. Например, при продольном обтекании длинного цилиндра может быть d]L<^\, но поле возмущений будет определяться тупым передним концом, на котором соз(щ LM~1.

Для наглядности рассмотрим сначала плоские и осесимметричные течения в цилиндрической системе координат х, г с осью х, параллельной Uoo. Пусть r=rw(x) форма обтекаемого тела, а щ у — составляющие скорости по осям х, г (рис. 8.1). Тогда на поверхности тела

vla = tg§ = г^(х)~г,—(8.1.2)

Выпишем общие соотношения на скачке уплотнения (см. гл. 2)

Первые основополагающие результаты в этой области, в частности, закон подобия и закон плоских сечений (см. § 8.2 и 8.4) были получены Цянь Сюэ-сэнем (Н. S. Tsien, J. Math, Fhys. 1946, №• 3), С. В. Фальковичем (ПММ, ^ Хэйзсм (Quart. Appl, Math, 1, 1947) и А. А. Ильюшиным (ПММ, 195S, .№'*6). Отметим -в этом направлении работу Г. М. Бам-Зеликэви- А. И. Бунимовича, М. П. Михайловой («Теоретическая механика», М., ^боронгиз, 1949, № 4). Подробное изложение истории и существа вопроса дано в книгах [9, 47, 48].

kp = p — Pi=^Ax~kV h — hi=-^v\Sx — k^' (8.1.3) ^ ^ ^i + ^^1л U ~ £), г> = ^ 4- ^y4)Yrl (1 — £), w = ^+ii^in (1 — £), где Ощ — нормальная скорость втекания газа (с параметрами 1) в скачок уплотнения.

В набегающем потоке для плоского скачка с углом а имеем^1л —^oon = ^oo sin а, nx= — sin а, ^=cosa,^ = 0, ^ = ^ = 0, Q^Qoo, Р1 = Роо, h^h^, u^Uoo.

Рис. 8.1.

Поскольку угол отклонения потока поверхностью тела является основным источником возмущения, то он не может иметь больший порядок, чем на теле, т. е. u^tUoo всюду, в том числе и на скачке. При обтекании тонких тел всегда реализуется слабая ветвь скачка (§ 2.6) с cosa~l, поэтому из (8.1.3) следует

,u;Uoo~(J — к) sin a —г, u^U^.(8. 1. 4)

Если (1—&) ~1, то а^т, если к^\, то скачок слабый и угол наклона его близок к углу Маха a^arcsinM™1 . Следовательно, в общем случае

а~г = а* + т = -^+т«1, 8~е£«.£,(8.1.5)

где б — поперечный размер возмущенной области.

Получим еще эту оценку строго для совершенного газа, подставляя в (8.1.4 )формулу (2.3.1),

2/1 Y

(1 — кА sin a =/ 1 —\ sin a ~ sin a —

Y + 1 \M^ /

—(Мл = Моо sin a).

Таким образом, при обтекании тонких тел гиперзвуковым потоком угол наклона скачка уплотнения оказывается малым.

Теперь нетрудно из (8.1.3) получить порядки других величин

за головным скачком

ДР = Р~ Роо — бооСГ^гт, P — QooU^^NV-^-VeT^Q^U^; (8.1.6а)

д/г=Л — Aeo — ZV^er, h — U^,(8.1.66)

\u = Uoo-u~U^x, м^^Н + ОИ]. (8. 1.6в)

Здесь использованы известные соотношения

^^^P^J^X-V^(8.1.7)

точные для совершенного газа в невозмущенном потоке и характеризующие порядки величин в общем случае.

Чтобы оценить порядок плотности, воспользуемся уравнением состояния в квазисовершенной форме

У Р Уу — 1 h у — 1У Р Уу — 1 h у — 1QooQoo •QooQoo •(8.1.8)(8.1.8)

У Р Уу — 1 h у — 1

У Р Уу — 1 h у — 1

QooQoo •

QooQoo •

(8.1.8)

(8.1.8)

Здесь у — соответствующий процессу, происходящему в газе, показатель адиабаты (§ 1.7 и 1.9).

Заметим, что здесь разность у—1 уже не считаем малой (как в ч. II). Поэтому расстояние 61 между телом и ударной волной (или толщина ударного слоя) будет иметь тот же порядок малости по е, что и полная толщина 6, введенная в (8.1.5). В этом можно убедиться из уравнения расхода через слой di, полагая

Q^U^ + rJ^-Q//^,

откуда следует 6i~ (Qoo/ps) б — б.

Покажем, что полученные выше порядки величин сохраняются во всей возмущенной области. Из уравнения импульса в поперечном направлении имеем

1 дрди ди т п \^2

= — и— Ч)^и1Q дгдх дг 00 \ L гЬ

Отсюда и из уравнения адиабаты вдоль линий тока получим следующие оценки для перепадов величин в возмущенном слое:

ЗРsT, ^ML^-j^(8.1.9)

q^Lее Y Р

И, наконец, из уравнения Бернулли получим

^ — (-Р — ^ u^~U lU— ч)^ ~ Lh, ^u^U^xz. (8.1.10)

Эти оценки справедливы и для течений с внутренними скачками уплотнения, углы наклона которых «1 также будут малыми в силу гиперзвукового характера течения за головным скачком, что следует из оценки

ОЛ р е2М,

Оценки параметров течения за такими скачками с соотношениями (8.1.3) на них не отличаются от приведенных выше.

Аналогичный вывод следует и для центрированных волн разрежения, исходящих из угловых точек поверхности (с малыми согласно (8.1.1) углами поворота потока), в которых перепад давлений А/7/’роо^ ~т/М^ет, что следует из соотношений совместности вдоль характеристик (§ 0.2). Заметим также, что хотя вблизи угловых точек градиенты всех величин за счет уменьшения масштаба длины будут велики, относительная роль членов дифференциальных уравнений не изменится, так как из-за малого, порядка е, наклона центрированной волны продольные (по %) производные в ней будут всегда много меньше поперечных, как и в основной области течения.

Рассмотрим теперь общий случай пространственного течения. Пусть форма тела в декартовой системе координат с осью х, параллельной U^, будет /(х, у, z)--=0 с направляющими косинусами нормали (рис. 8.2)

^ = ЛД-1« 1, ^у = /м^1,

(8. 1. 12)

Одновременно рассмотрим нормаль п* к контуру поперечного сечения х = const, для которой

«зд=лау> ^AV’ д.=(Л+/1)1/2. <8. г 13) Но для тонкого тела имеем

Поэтому условию непротекания на теле можно придать вид 4)n=unx^vny"V45,nz — ttn.x"V'u* — (^18. 1. 15)

Здесь у* — проекция скорости на нормаль п*. Естественно

предположить, как и выше, что именно эта скорость определяет порядок поперечных скоростей во всей возмущенной области. Тогда для местного угла атаки скачка а получим то же условие (8.1.4), а следовательно, и те же оценки других величин.

Дополнительной оценки требует лишь составляющая поперечной скорости по касательной к телу, величина которой определяется не условием непротекания, а окружным градиентом давления. Обозначив эту скорость yz, а соответствующее направ-

Рис. 8.2. Возможные типы поперечных сечений тонкие телРис. 8.2. Возможные типы поперечных сечений тонкие тел

Рис. 8.2. Возможные типы поперечных сечений тонкие тел

Рис. 8.2. Возможные типы поперечных сечений тонкие тел

ление через / и имея в виду, что (Д/ф^роо^те, ОЬ^гЕ, получим из уравнения движения (знак ^ здесь употреблен с тем, чтобы охватить и случай i>>6, рассмотренный в § 9.1)

dt дх о д1dt дх о д1и1 ,, £у2 Т£ ~ £/2 11L 00 I 00 L ’и1 ,, £у2 Т£ ~ £/2 11L 00 I 00 L ’

dt дх о д1

dt дх о д1

и1 ,, £у2 Т£ ~ £/2 11

L 00 I 00 L ’

и1 ,, £у2 Т£ ~ £/2 11

L 00 I 00 L ’

-Ui <‘U*~UCOT, (8.1.16) т. е. порядок окружных скоростей не больше порядка нормальных к телу.

Таким образом, возмущения скоростей при обтекании тонких тел малы по сравнению со скоростью обтекания, а возмущения давления и энтальпии малы по сравнению со скоростным напором роо£Д и с энтальпией торможения Н^ ^^2 . Однако в общем случае малые возмущения скорости не влекут за собой малых возмущений термодинамических величин по сравнению с их величинами в набегающем потоке. В самом деле из (8.1.6) и (8.1.7) получим

-^- — M^r^M^l + MooT), -^-М^тЛ + М^т), Poo

(8. 1. 17)(8. 1. 17)де __ м<^боо 1 + М<хУ

(8. 1. 17)

(8. 1. 17)

Следовательно, эти возмущения будут малы лишь при условии МооТ< 1, т. е. при нормальной к телу скорости U^x^a^.

Выпишем теперь одно из уравнений движения и уравнение неразрывности (для простоты для плоского течения совершенного газа) и оценим порядки входящих в них членов:

dx dy q dx qo2 дх qo2 ду дх ду

т2Т U / Т ^7 Т£ 6^" Т

ъ °° / । °°°°

00 А ’00 А ’00 L '°° eZ, ’ L \ г Г L ’ U *

Как видно, при т~е или при MooT^l все члены одного порядка, т. е. уравнения движения остаются нелинейными, несмотря на малость возмущения скоростей. Поэтому соответствующую теорию, которой будем заниматься ниже, называют нелинейной гиперзвуковой теорией малых возмущений.

И лишь при М№т<1 в коэффициентах этих уравнений и граничных условиях можно, как видно из (8.1.17), положить u=Uoos р = роо, а = аоо и т. д. и, что важно, опустить нелинейные конвективные члены, после чего эта система станет линейной

ц dv 1 др у dw1 др е

(8. 1. 18)(8. 1. 18)/м2 - 1) -^ v ”' дх/м2 - 1) -^ v ”' дхdv । dw ду. dzdv । dw ду. dz°° дх^оо ду °° дхQco dz ’

(8. 1. 18)

(8. 1. 18)

/м2 - 1) -^ v ”' дх

/м2 - 1) -^ v ”' дх

dv । dw ду. dz

dv । dw ду. dz

Здесь мы исключили из уравнения неразрывности производную ди/дх с помощью уравнения импульса вдоль оси х. Поскольку при этом скачок близок к характеристике, т. е. a^cz*, то ^ооп ^ ^оо, так что соотношения на скачке выродятся в линейные соотношения

.г г .9г4 (Z (Х<.9

Y + 1^§ (/^

Q^a^^ — wti^p, ^a^^ — n^p. (8. 1. 19}

Эти соотношения определяют разрыв величин на головной характеристике или характеристической поверхности, с которыми в рамках линейной теории и совмещается скачок. На это указано в § 3.6, откуда и взято приращение а—а* в формуле (8.1.19), где был применен несколько другой подход к обоснованию линейной теории.

Заметим, что линейная теория малых возмущений справедлива и для умеренных чисел Моо, но имеет в этом случае погрешность т/е^МооТ, в отличие от квадратичной погрешности с2 нелинейной гиперзвуковой теории.

Линейная теория неприменима в ее непосредственном виде и при Моо—И. В самом деле, в этом случае пу, nz~cosa*~ 212

^ (AV—I)1'2, так что при заданном порядке возмущения скоростей, например, v^xUoo, из (8.1.19) получим уже не малые приращения давления Ар pooT/yAV—1 (на что было указано в §3.6).

Линейная теория малых возмущений хорошо разработана \ однако реальная область ее применимости при гиперзвуковых скоростях весьма ограничена.

Закон плоских сечений или нестационарная аналогия

Ранее был получен важный результат, на который теперь обратим особое внимание: при гиперзвуковом обтекании тонких тел возмущение (дефект) продольной скорости имеет более высокий ^порядок малости, чем поперечной, а именно:

U^ — u — U^x^v— UooT.(8.2. 1)

Этот результат является главным образом следствием свойств скачков уплотнения малого наклона, что видно из соотношений

д^^^оо — и = х) tg а = и tg 6 tg a,(8. 2. 2)

вытекающих из (8.1.3), где 6 — угол поворота вектора скорости в скачке.

Отсюда следует, что в первом приближении продольная скорость газа совпадает со скоростью набегающего потока, а скоростью перемещения газа Ап из неподвижных в пространстве тонких слоев, нормально пересекаемых телом (перпендикулярных вектору (/оо), можно пренебречь; тело при своем движении как бы раздвигает газ в этих слоях (рис. 8.3), не выводя его из них. Это есть закон плоских сечений, который играет фундаментальную роль в газовой динамике.

Выпишем теперь уравнения движения в декартовой системе координат (см. § 1.7 и 3.1):

du

1 dp

(—

d i

- = uH

d

1d \

V Ui ;

(8. 2. 3)

dt

о dx

\ dt

dx

dg

1dz )

dv

1 dp

dw

1 dp

dh

1 dp e

(8. 2. 4)

dt

e dy ’

dt

о dz

dt

о dt

— 4*6 div£/ =

Ofdiv#=—+

dy

, dw \

(8.2.5)

at

dx

dg

dz J

dqn dt

=СЛа T, qm

=qm\

Q = Q

kP^ T,qm\

(8.2.6)

п= 1, ...; m= 1....

1 См. перечисленные в библиографии монографии по газовой динамике. Некоторые результаты приведены в § 3.6.

Последняя группа уравнений описывает физико-химические процессы в потоке и их конкретизировать пока не будем. Упростим теперь эту систему, воспользовавшись условием ц = /7оо[1 + +О(те)]. Очевидно, что в операторе полной производной djdt можно сразу же положить a-U^. Так как одна из скоростей у или w имеет порядок не меньший U^x, а толщина возмущенного слоя б^гЕ, то в операторе диверген-

Рис. >8.3.Рис. >8.3.ции имеем:

Рис. >8.3.

Рис. >8.3.

диUди х dwт т х

дхLду dz гЬ

(8.2.7)

Поэтому с точностью до членов порядка е2 получим

div^7 = —+—.(8.2.8)

dy dz

(8.2.9)(8.2.9)Но тогда уравнения (8.2.4) — (8.2.6) образуют замкнутую систему, независимую от уравнения (8.2.3). Сделаем далее замену

(8.2.9)

(8.2.9)

X^U^t

Тогда эта система совпадет с системой уравнений для двумерных нестационарных течений в плоскости у, г.

Рассмотрим граничные условия на теле и ударной волне. Сопоставим их поверхностям нестационарные поверхности в плоскости у, z*.

у, z} = f{Uxt, у, г), F^t, у, z)=F(U^t, у, г). (8.2.10)

Нормальная скорость распространения поверхности тела, определяемая из условия df* = O согласно условию непротекания (8.1.15), совпадет со скоростью газа на поршне

+—(8.2. 11)

Z w л *z dt д** v

Скорость распространения ударной волны в силу аналогичного соотношения будет равна DF =—Uoonx = uoon скорости втекания газа в скачок уплотнения в исходном стационарном течении. Соотношения же на скачке в виде (8.1.3) в общем случае одинаковы для стационарных и нестационарных течений.

Эти результаты особенно наглядны для плоских и осесимметричных течений, для которых на теле rw^ и ударной волне R(x) имеем

т=и^=(Ь^, у —^ooSina=^, (8.2.12) dx at 1dt

о=1\ RA^=R<U«ty

Таким образом, стационарному гиперзвуковому обтеканию тонкого тела можно сопоставить математически и физически эквивалентное нестационарное течение, вызываемое поршнем, закон расширения которого следует из формы исходного тела заменой х на Uoot Все параметры (кроме U^—и) в стационарном течении в плоскости х=const и в эквивалентном нестационарном в момент времени t=-x[Uoo будут одинаковыми.

Это правило эквивалентно закону плоских сечений и носит название нестационарной аналогии. Хотя нестационарная аналогия в общем случае и не дает особых преимуществ при точном численном решении уравнений, так как число независимых переменных сохраняется, а уменьшение уравнений на одно не столь принципиально; она играет большую роль в установлении закономерностей физического характера, а в ряде случаев позволяет понизить размерность задачи, т. е. уменьшить число независимых переменных. Эти случаи будут рассмотрены ниже (см. гл. 9).

Уравнения сохранения в интегральной форме

Установим аналогии между интегральными характеристиками в эквивалентных стационарных и нестационарных течениях. Для стационарного обтекания тела рассмотрим цилиндрическую контрольную поверхность (см. рис. 8.1), соосную оси х, т. е. вектору скорости t/оо, через внешний контур поперечного сечения ударной волны. Пусть S площадь сечения, ограниченная этим контуром, a So площадь поперечного сечения тела. Тогда баланс расхода массы через такую поверхность примет вид

Qoo^ooS= f QudS, QoqS= f QdS,(8.3.1)

S —So5 —So

где второе равенство получено из первого при u^U^ и отражает закон сохранения массы в возмущенном слое при нестацио парном расширении поршня в плоскости ^ = х—(7oo/ = const.

Запишем теперь закон сохранения продольного импульса

ivpoa-VQooU^S = X-V ( kP-V^dS, (8.3.2)

5 -So

где X — сила сопротивления отсекаемого контрольной плоскостью переднего участка тела.

Это уравнение при помощи (8.3.1) преобразуем к виду

\(8.3.3)

s-s Le ^oo боо J

Привлекая уравнение Бернулли и соотношение ^ = е+р/р, получим

” е2 + 2

Тогда уравнению (8.3.3) можно придать вид

\ ^^^-V^^dS^X^Se^^E^ s-s0

Р ( (и — и —и ]

^1= \-—- — + -77hJ^dS. (8.3.5)

s—s0 '00 J

В силу оценок (8.1.6) — (8.1.10) с точностью до членов порядка

еграл Е^ может быть опущен. Тогда получим

J Q^^^-AdS^X^SeooQoo. (8.3.6) s-s0

Это уравнение представляет собой уже закон сохранения энергии при нестационарном течении газа в перпендикулярном к направлению движения тела плоском слое единичной ширины, причем работа расширения эквивалентного поршня, т. е. энергия Е, сообщенная им газу, заключенному в этом слое, равна работе силы сопротивления X исходного тела на единичном пути, т. е. численно Е^Х.

Соотношение (8.3.5) в дальнейшем будет важным, поэтому получим его еще другим способом, более наглядно. Пусть Е'г—

этом слое получимэтом слое получимf QAdS-A- dt dt )2 def QAdS-A- dt dt )2 de«1г^, V22*22«1г^, V22*22энергия в неподвижном в пространстве плоском слое, не учитываемая законом плоских сечений. Тогда из баланса энергии в

этом слое получим

этом слое получим

f QAdS-A- dt dt )2 de

f QAdS-A- dt dt )2 de

«1г^, V2

2*22

«1г^, V2

2*22

S—SqS—So

(8.3.7)(8.3.7)д C

(8.3.7)

(8.3.7)

— pu^S, ^ux = u — U^ ^ = х — и^.

" s-s0

Первый член справа обусловлен кинетической энергией продольного движения газа со скоростью ць второй — переносом энергии, а третий — работой сил давления. Но для стационарных в связанной с телом системе координат течений djdt — Uoodfdx, dfdt^dldx, поэтому используя, как и выше, уравнение Бернулли, получим

^1dС ’

дхдх J

s— s0 L

Foo-")2

Е-и

/Zoo QdS. (8. 3. 8)

Это соотношение точное и справедливо для стационарного обтекания любого тела потоком любой сверхзвуковой скорости. Интегрируя его в пределах %0, х, где х0 — произвольная точка впереди тела, в которой уже Ui = 0, например, х0 ——оо, получим Е^ = ЕЪ что и следовало ожидать.

Рассмотрим, наконец, закон сохранения поперечного импульса, например, в направлении оси у для того же контрольного объема. Поскольку в набегающем потоке этот импульс равен нулю, то

^u<x)dS=Y1 J Qfi)dS=Jy=-^-. (8.3.9) So S-So °°

Здесь У — подъемная сила передней части тела в направлении осп у. X второе соотношение получается из первого при u^U^ и представляет собой закон сохранения импульса для единичного плоского слоя при расширении поршня, сообщившего газу импульс Jy. Следовательно, нестационарная аналогия дает связи

Е = Х, uJ=Y.(8.3. 10)

Заметим, что для их выводов пока было достаточным справедливость закона плоских сечений лишь в концевом сечении контрольной поверхности. Но если тело всюду тонкое, то эти связи можно получить непосредственно из действующих на тело сил с помощью равенств (8.1.14) и (8.2.11) (/ — периметр поперечного сечения тела)

Xt

Х = — ^ pnxdldx = С <^ pv*dldt— Е; (8. 3. 11) 6 iо 1

Xt

Y = f (^prtydldx^U^ j* (£ pn*ydldt=U ^J y.(8. 3. 12)

6 zdz

Здесь интегралы справа — есть работа расширения поршня и импульс, сообщаемый нм газу.

В симметричных течениях векторы У = 7 = 0, поэтому (как и в § 5.5) ограничим контрольную поверхность или поверхностью тела гДх) и ударной волной R(x) по одну сторону плоскости симметрии в плоском течении (v = 0), или еще двумя близкими меридиональными плоскостями с малым углом Дер между ними в случае осевой симметрии (v=l). В последнем случае характерным будет импульс J на единицу меридионального угла. Закон сохранения импульса для тонкого тела примет вид

. 3. 13)

р

р

р

J ^uvr>dr = UQO J qwv dr= ^ Ew рй-\-^ j pdr — p^F? dx =

о

TV

(8

Здесь ро — давление на теле.

Закон подобия гиперзвукового обтекания тонких тел совершенным газом

Наиболее важным следствием закона плоских сечений является закон подобия, который и рассмотрим ниже. В соответствии с установленным в § 8.1 порядком возмущений введем безразмерные величины

x’=x]L, yr=y!Lx, zf = z/Lx, =(8.4.1)

a =, чУ =, w =, p =—, A =•

u^ Л 6оо^г2u^

(8. 4. 2)

В этих переменных форму тела и искомую поверхность ударной волны представим в общем виде

У^ 2/) = 0, F ^х\ у*. zr)=Q. (8.4.3а)

Для плоских или осесимметричных течений в явном виде

^ = 77^М>==(8.4.36)

LxLxт

где а — местный угол атаки ударной волны.

Нетрудно убедиться, что уравнения (8.2.4) — (8.2.5) с учетом упрощений (8.2.8), т. е. при u=Uoo не изменят в новых переменных вида, и в них не появится каких-либо безразмерных параметров. Граничное условие (8.1.15) на поверхности тела при т2<С1 также останется неизменным:

=П X' 117

„ х* пхf у' fz' Д ДА

АТАА

Соотношения на скачках уплотнения (8.. 1.3) останутся неизменными при переходе к новым переменным. Но соотношения на головном скачке уплотнения содержат условия обтекания в виде

Р’ = ^ =зЦ• (8-4.5)

Из предполагаемой единственности решения Задач следует, что решения одинаковых безразмерных уравнений будут совпадать при одинаковой безразмерной форме (8.4.3) сопоставляе-

(8.4.5). Для совер-= у —.(8.4.6)(8.4.5). Для совер-= у —.(8.4.6)мых тел и одинаковых условиях обтекания шейного газа ,

(8.4.5). Для совер-

= у —.(8.4.6)

(8.4.5). Для совер-

= у —.(8.4.6)

Р _ Р*1^2^. ^2 _

Q^ ^h' у ’ С^

В этом случае согласно (8.4.5) критериями подобия течений будут параметры

Moot, у.(8.4x7)

Таким образом, при гиперзвуковом обтекании тонких тел совершенным газом требования к общему закону подобия (см. гл. 4) — совпадение чисел Моо и формы тела при одинаковом показателе у — существенно ослаблены, так как оказываются подобными — при совпадении нормальных к поверхности тела чисел Мп=МооТ, течения около аффинноподобных тел, т. е. получающихся одно из другого равномерным растяжением в направлениях, перпендикулярных вектору скорости набегающего потока (оси %). Например, обтекание тонкого тела при очень большом числе Moot (трудно достижимом в эксперименте) можно моделировать меньшим Моо2, увеличив относительную толщину тела согласно равенству T2=TiMooi/Moo2. В подобных течениях совпадают распределения безразмерных величин (8.4.2) по безразмерным переменным (8.4.1), т. е., например, давления в сходственных точках подобных течений изменяются как р~т2 и т. д.

Выше форма тела (8.4.3) была выписана в поточной системе координат с осью х, параллельной вектору скорости набегающего потока (7оо. Часто форма тела более проста в некоторой связанной системе координат g, п, г (см. § 5.8), где ^^х, п^у. Суть дела от этого не изменится. Если тело с формой

LT^LX^L

(r^max sin 6T ф 0),

где 6i — угол между касательной к образующей тела и осью g, обтекается под углом атаки а, то дополнительным критерием подобия будет отношение а/ть За малый параметр т следует в этом случае принять т=Т1+а.

Аэродинамические характеристики подобных течений можно, используя определения § 5.8, представить в виде

L1

сх =pnxdl dx=x2 p'nxrdlf dx^xV*. (8.4.8a)

L

cu= Q ^pn-ydldx^xc'y, (So=^-, 1'=ф’ (8.4.86)

где сх (Y, Moot), с'у (у, Moot) одинаковы для подобных те чений-

Полученный закон подобия очень эффективен и имеет хоро шую точность в широком диапазоне т и Моо, что проиллюстриро вано на рис. 8.4 и 8.5.

Рис. 8.4. Распределение давления и формы ударных волн на тонких конусах:

Моо = 5-' 6=20°’ « = 10°;

М^ = 10, о = ю°, а = 5°; М^ sill 9 = 1,7;

а/0 = 0,5

Сравним полученный закон подобия с законом подобия для тонких тел при умеренных числах Маха Моо, который получается в рамках линейной теории. Для этого заменим в (8.4.2) величину р на Np^p—poo (a Fi на й—Лоо), оставив прежними безразмерные скорости и координаты. Тогда, переходя в уравнениях (8.1.18) к безразмерным величинам, убедимся, что в них появится параметр т]/м2оо—1.

В этом случае форма головного конуса Маха, а следовательно, и порядки величин пу и nz уже не определяются формой тела (для простоты примем, что тело погружено в этот конус полностью. Случай тел типа крыльев рассмотрен в книге [26]).

Поэтому последние соотношения (8.1.19) на головном скачке следует представить б виде

тКм^-1тКм^-1у'Пуу'Пуw'nz ’w'nz ’МОо«г/=гаг/Тм^—1 и т. д.Для плоского профиля пу=1, nz = 0. Как видно, в эти соот-МОо«г/=гаг/Тм^—1 и т. д.Для плоского профиля пу=1, nz = 0. Как видно, в эти соот-Рис. 8.5. Давление (а) и толщина ударного слоя (5) на тонких конусах (Моо = 2~у20)Рис. 8.5. Давление (а) и толщина ударного слоя (5) на тонких конусах (Моо = 2~у20)

тКм^-1

тКм^-1

у'

Пу

у'

Пу

w'

nz ’

w'

nz ’

МОо«г/=гаг/Тм^—1 и т. д.

Для плоского профиля пу=1, nz = 0. Как видно, в эти соот-

МОо«г/=гаг/Тм^—1 и т. д.

Для плоского профиля пу=1, nz = 0. Как видно, в эти соот-

Рис. 8.5. Давление (а) и толщина ударного слоя (5) на тонких конусах (Моо = 2~у20)

Рис. 8.5. Давление (а) и толщина ударного слоя (5) на тонких конусах (Моо = 2~у20)

Этот критерий подобия переходит в полученный выше параметр МооТ при М^^>1. Таким образом, можно предположить, что произведение т VМ^—1 является критерием подобия обтекания тонких тел во всем сверхзвуковом диапазоне чисел Моо. Приведенные в § 3.6 иллюстрации подтверждают это предположение.

Принцип гиперзвуковой стабилизации, установленный в гл. 4, применительно к тонким телам имеет следующее толкование. Пусть М^т2)М. Тогда в соотношениях на скачке уплотнения можно положить р^=0, А^ =0, и решение (в безразмерном виде (8.4.1) — (8.4.2), конечно) перестанет зависеть от Moot. Критерием подобия в этом случае будет лишь показатель адиабаты у.

В гл. 4 приведен вывод общего закона подобия из теории подобия и размерности. Провести аналогичные рассуждения для нашего случая не представляет труда в рамках нестационарной аналогии. При расширении поршня (для простоты одномерного) в совершенном газе течение зависит от параметров

L г, Т, d, роо, а^L г, Т, d, роо, а^(8.4.9)(8.4.9)

L г, Т, d, роо, а^

L г, Т, d, роо, а^

(8.4.9)

(8.4.9)

Здесь Т и d характерные время и размер в законе расширения поршня. Образуя из этих параметров безразмерные комбинации и имея в виду, что для исходного стационарного обтекания тела x^UJ, L^U^T, d=xL, получим следующую структуру решения, например, для давления

Р=есо — ^ — , —Y = 600^-Т2/3 —, — , Moot, Т) ,

1\ 1 d ^00/\ L XL/

(8.4. 10)

которая и отражает закон подобия.

Несколько труднее получить закон подобия в исходной стационарной постановке, так как в этом случае все независимые переменные имеют одинаковую размерность. Для этого нужно ввести характерную скорость Uoot вместо Uoo, как в общем законе подобия гл. 4, и, что главное, два независимых масштаба L и Lx для измерения длин в продольном и поперечном направлениях, что и делается автоматически при переходе к эквивалентным нестационарным течениям.

Закон подобия для несовершенного газа

На этом вопросе остановимся лишь вкратце, поскольку ход рассуждений здесь не отличается от приведенного в гл. 4.

При полностью замороженном относительно состояния в набегающем потоке течении уравнение состояния имеет вид (§ 1.7)

где hf — связанная энергия физико-химических превращений. Поэтому в законе подобия достаточно заменить у на замороженный показатель адиабаты у/, a h на h—hj. Температура в подобных течениях T^-^U^R, так же как и давление. При свободном полете в атмосфере А/—0, так что никакого отличия о г совершенного газа не будет.

В другом предельном случае равновесного течения уравнению состояния согласно § 1.9 можно придать вид (8.4.6), заменив в последнем у на эффективный показатель адиабаты

V* (Р, Л) = у* ^jA^p', u^h’) = у' (р', h'Y (8. 5. 2)

В этом случае течения будут подобными лишь при одинаковых функциях Y*(//, h^, что для газа заданного сорта с учетом (8.4.5) приводит к следующим условиям подобия течений:

боо, ^соТ' Роо, ^оо.(8.5.3)

При этом размерные величины в системе условий подобия следует понимать в том же смысле, что в гл. 4. Отличие от обшего закона подобия § 4.2 лишь в том, что определяющей является не скорость обтекания Uoo, а ее нормальная к телу составляющая Hoot, так как именно от нее зависят состав и состояние газа в ударном слое около тела. При этом в сходных точках подобных течений будут одинаковыми давление, температура и другие термодинамические величины.

В общем случае неравновесного течения газа уравнение (8.2.6) приведем к виду

dqn LtU

= — Qn kp. Г qm\ tr = —-.(8. 5. 4)

Здесь все величины, кроме t, оставлены размерными, так как приводя их к безразмерному виду, получим те же условия подобия (8.5.3). Функции QH содержат времена протекания физических процессов (это четко следует из формул § 1.5). Поэтому такие течения будут подобными лишь при одинаковых временах ЦГ^ движения газа около тела, и, конечно, при заданном одинаковом начальном составе и состоянии газа, т. е. в целом при совпадении параметров

LlUoo,боо, Poo, hoo, Чпоо.(8.5.5)

Система критериев подобия, несмотря на сложность, тем не менее проще аналогичной системы (4.2.14), так как накладывает лишь два условия на три величины L, т, Поо, чем допускает возможность моделирования течений путем вариации условий обтекания и формы тела. Заметим, что из совпадения параметров HUсо и Ucot следует совпадение толщин подобных тел d=Lx.

Если в возмущенной области идут только бинарные реакции и только в прямом направлении, то естественное упрощение общего закона бинарного подобия гл. 4 приведет к следующим критериям подобия:

t/o U т, h q(8.5. 6)

Этот случай представляет большой интерес в реальных условиях, поскольку сравнительно малые, порядка p^p^U^T2, давления задерживают процессы рекомбинации на' тонких телах.

При больших числах М^ т2^>1 (как в § 8.4) из системы критериев подобия исчезнут давление р^ и энтальпия hco (температура Тсс) набегающего истока, но зависимость течения от скорости U^x останется, как и в общем законе подобия, полученном в гл. 4.

Глава 9

НЕКОТОРЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ

ОКОЛО ТОНКИХ ТЕЛ

Обтекание тонких крыльев. Правило полос

Особым классом тел, допускающим существенное упрощение математической задачи их обтекания, являются тонкие крылья с острыми кромками, с размахом / много большим толщины d, все точки поверхности которых близки к некоторой плоскости

# = 0 (рис. 9.1). Потребуем еще, чтобы этот размах много превосходил ширину конуса Маха и, кроме того, чтобы нормаль к телу всюду составляла малый угол с осью у. Таким образом, должны выполняться условия

Ч^гЬЦ^Х, б=^хД-%<^\, т=1пах|/гЛК1, пг—dH <^ 1. (9.1.1;

Этим условиям удовлетворяет, например, контур «б» на рис. 8.2 и не удовлетворяют контуры «в», «г», хотя они также сильно сплюснуты в одном направлении.

Условие еС1 приводит к закону плоских сечений и к закону подобия, уже рассмотренным в предыдущей главе. Но условие eiCl дает дополнительные возможности, которые и рассмотрим ниже.

В этом случае головная волна F (х, у, 2)= О присоединена к передним кромкам и направляющие косинусы ее нормали будут равны «Х=ДД~1~Т< 1, «^ = Дд-1^1, n^F^-e^ 1,

(9-1.2)

Тогда из соотношений (8.1.3) на скачке уплотнения получим

——(9. 1. 3)

Тот же порядок окружной скорости на теле будет индуцирован и за счет градиентов давления, в чем легко убедиться, полагая в формулах (8.1.16). Ui = w, l^Ls]^. Но тогда

Рис. 9.1. К теории полос.

Особые полосы заштрихованы

д \

W дг /

2

^ь

dw ди 2

— : — ~ ег

dz ду

(9. 1.4^

в силу чего соответствующие члены в операторах (8.2.8) можно 2„

опустить, внеся погрешность порядка ei, а из уравнении движения можно выделить независимую группу

д-и। д-и1дрг т до। do. dv

—=—, с/оо———rQ — дх дуqду дх ду ду

(9. 1.5)

IT dh ,dh _Uo= др . V др ,, dqn , dq, дх ду q дх q дудх ду

Q^

с граничными условиями на теле и на ударной волне

dx dt

^=^00

dR dx

dR*dt

(9. 1.6)

где г^ и 7? (%) — формы тела и ударной волны в плоскостях 2 = const. Система (9.1.5) описывает плоское нестационарное течение в этих плоскостях, вызванное перемещением поршня г = г^(^, если сделать замену x^U^t.

В каждой плоскости z расчет течения можно проводить независимо, что понижает размерность исходной задачи и является существенным упрощением. При необходимости остальные компоненты скорости можно получить затем из уравнений

г г dw, dw1 дрj г ди. ди1 др

и^-—Н—=/"’ ^”1—И — =" (9.1.7)

дх дуq dz dx дуQ dx

и граничных условий на уже известной ударной волне.

Полученный результат носит название правила полос. Физический смысл его заключается в том, что газ остается практически без перемещения не только в плоскостях % = const, но и в плоскостях z = const.

Остановимся теперь на некоторых ограничениях применимости теории полос. Пусть передняя кромка крыла или часть ее сильно скошена и составляет с осью х малый угол р, порядка угла Маха до (а^л^М^) или после (а^=М71 ^е) скачка уплотнения, такой, что из-за малости нормальных чисел Маха Мп головная волна перестает быть присоединенной к кромке. Тогда прилегающие к кромке верхняя и нижняя части крыла будут влиять друг на друга, что вызовет изменение всех параметров на величину своего порядка. Но область этого влияния будет иметь поперечный размер порядка Nz~ a^L^^L. к так как именно это kz должно входить в оценки (9.1.4) для отношений производных, то эти отношения будут иметь порядок еь а нее!, как в основной области.

Аналогичная ситуация будет вблизи любой линии z = const, которая проходит через точку разрыва или резкого изменения граничных условий, например, около плоскости симметрии крыла.

Этот эффект дает в таких особых областях поправку в теорию полос порядка еь так что решение здесь можно представить в виде ряда

Ф^фД—,, —^4-г,фД— , ^-, — ^+.... (9. 1.8)

0 \ LI / 1 1 И L tZL tZ. /

Однако при конечном числе таких областей относительная их площадь мала, порядка г^гЦ!, и ошибка в решении порядка £1 дает ту же квадратичную ошибку порядка ei в интегральных характеристиках, что и сама теория полос.

Для примера рассмотрим треугольную пластину с углом 2р при вершине L Течение около нее коническое и зависит лишь ОТ отношений у i х, z)x. Параметром т служит малый угол атаки

а, так что ^ay-Mj, 81 = sctgp. Поэтому критериями подобия согласно § 8.4 являются параметры

Моей, a/tgP = e1a/s==o1M00a(l+Mcca)~1.(9. 1.9;

Последний критерий обеспечивает аффинное подобие сопоставляемых крыльев и пропорционален малому параметру еь При ei<l к таким крыльям применима теория полос, которая дает постоянное решение Фо, как для клина с углом а. Точное же ре-

Рис. 92. Распределение давления на наветренной стороне треугольного крыла в плоскости поперечного сечения у—1,4: Моо=10, а = 3°, M^sin а= 0,52, / —р= 44,5», 2-[p=g30°.

а = 9°, sin а = 1,56, 3- [3=44,5°, 4 — р = 30° (tg p/tg а = 3,64), а *15°, М^ sin а = 2,61, 5- р = 44,5°, 6 - ₽ = 30°, М^ =6, 0-7 = 15°, М^ sin а = 1,55, р = 44,5° (tg p/tg а = 3,67);

' • — клин с половиной угла при вершине 9 = а

шение (вне особой области влияния плоскости симметрии) в нормальной к кромкам плоскости совпадает на наветренной стороне с решением для клина с углом 60 и скоростью набегающего потока [/„, где

tg %=tg a/sin U^U^V 1 — cos2 a cos2sinT

COS VQ

Если a0 — угол скачка на таком клине, то за косым скачком вблизи кромки будем иметь

w^Z/^sin 60 cosptg(a0 — 60)>0,

что в силу условия симметрии ^ = 0 при 2 = 0 приводит к вытеканию газа из центральной особой области и понижению давления там.

На подветренной стороне течение совпадает с течением Прандтля—Майера при развороте на угол 0о- Здесь газ стекается к плоскости симметрии, что приводит к повышению давления в центральной области.

На рис. 9.2, а показаны кривые безразмерного давления (р—P^l^l sin2a на наветренной стороне крыла в плоскости его поперечного сечения. Вне особой области в соответствии с теорией полос при одинаковых М^а эти величины независимо от размаха крыла (угла р) практически совпадают и близки к давлению на клине с углом а. В особой области около плоскости симметрии поправка к теории полос незначительна и убывает вместе с отношением a/tg[3. При одинаковых Моо« и a/tg[3 в соответствии с законом подобия распределения давления совпадают и в особой области (рис. 9.2, б). Обработка кривых в силу представления (кривая 4 и светлые точки па 9.1.8) в виде

-Ф— р f <(9. 1. Ю) ^о ~ Poo tg а \х tg а /

делает решение в особой области зависимым лишь от параметра MooCt.

Нестационарное обтекание тонкого тела

Пусть тонкое тело, обтекаемое гиперзвуковым стационарным потоком со скоростью Uoo, изменяет со временем свою форму по закону ^t, х, у, г)=0 в неподвижной системе координат. Ось х, как и прежде, параллельна Uoo. Нормальная скорость перемещения поверхности тела равна гх dx । dy [ dz1 df1

Очевидно, dx/dt^Ui есть переменная часть продольной скорости тела, а сумма двух последних членов (9.2.1) — поперечной. Обычно отношение uJU^ очень мало и учет его не представляет интереса.

Основным допущением дальнейшей теории будут условия

т = шахК|« 1, Моо>1, сортах 10/^1 < 1.(9.2.2)

Два первых условия совпадают с (8.1.1), последнее — новое, обусловленное нестационарностью течения. Например, если тело с собственной относительной толщиной т0 совершает угловые колебания с периодом Го, амплитудой ат и мгновенной угловой скоростью порядка ат1Т^ то согласно (9.2.2) должно быть

т = т0+ат«1шо = ^Лг)-

°° uCoZ0\0°и оо о )

(9. 2. 3)

Здесь соо — Так называемое число Струхаля.

Перейдем к оценкам возмущений. Нормальная составляющая скорости газа на поверхности тела yn—Df. Отсюда для тонкою тела согласно соотношениям (8.1.15) имеем

(9. 2. 4)

Это условие, как и в гл. 8, определяет порядок поперечных скоростей в возмущенном слое. Тогда из соотношений (8.1.3) на головной ударной волне получим оценку для скорости УооП втекания газа в ударную волну

^* '^ОТ'П ( 1^)) ^ооп 2=2Dp ^х^оо> [ Dp — ' (9. 2. 5)

Здесь пх и Df — угол наклона и скорость распространения ударной волны в пространстве, определяемые через ее форму F (t, х, у, г) =0 аналогично (9.2.1).

Если 1—к~\, то Уооп^^оо(т+<л). Угол а наклона скачка малой интенсивности близок к углу Маха, поэтому в общем случае

sin a+^~s + <u« 1, /s=-r+-L«.lV (9.2.6) UU\М х /

ОООО\ОО/

Толщина возмущенной области 6 определяется наклоном ударной волны и нестационарным ее перемещением

В ~ aL-V DFT — (a + со) L <^L,(9. 2. 7)

что и будет порядком толщины возмущенной области.

Подставляя (9.2.5) — (9.2.6) в соотношения за ударной волной, получим такие же оценки, как и (8.1.6)

Д/э -^ рооТ/оо со) (т-j-со), р - poo U(s -j- со)-;(9.2.8а)

^к~и^Дг^-^^А^\U^o^A-^(9.2.86)

ku = Uoq —Uoq.(9.2.8в)

Наличие особых областей вблизи угловых точек поверхности не изменит конечных результатов, на что указано в § 8.1. Таким образом, как и в стационарном течении, продольная скорость u—U^ с точностью до (е+<л)2. В дальнейшем для определенности примем, что число Струхаля

^EfF^U^X.(9.2.9)

Оценим порядок возмущений внутри области. Полная производная некоторой величины Ф имеет порядок

ДФдФ.дФ,дФ. дФдф^/.. т + со \ /л о

—=Vuк у —+ wсоод- 14. (9. 2. 10)

dtdt1дх1ду dz LV е + со У

Отсюда и из следующих уравнений движения

du1 др du1 др du^1 др

dtQ dr ’ dtq dx ’ dxq dl ’

получим (как и в § 8.1), что Кр, Ки имеют те же порядки (9.2.8), а окружная скорость хь < и*.

Тем самым показано, что при условиях (9.2.2) закон плоских сечений справедлив и для нестационарного обтекания тонких тел. Этот закон, как и в § 8.1, 8.2, распространяется, очевидно, и на течения с внутренними скачками уплотнения (например, на теле с изломом образующей или при внезапном изменении скорости Di его поверхности).

Физический смысл этого закона тот же, что и в стационарном случае: газ практически не выходит из неподвижных в пространстве плоскостей £ = х—U^t, ортогональных вектору скорости U ОО.

Чтобы уяснить существо нестационарной аналогии, перейдем к переменным /, L Тогда оператор

+ 0[(т+и>)Й + < (9.2.11)

Следовательно, уравнения нестационарного пространственного течения газа переходят в уравнения нестационарного двумерного течения в плоскости £ = const.

Тогда (как и в гл. 8) легко прийти к выводу, что распределение всех параметров исходного течения в любой плоскости £=const будет гем же, что и при расширении в этой плоскости эквивалентного поршня по закону

ЛЖ - У. ^ = f\y U^t-t^y, г]=0 (9.2.12) (u = — = const,

Этот поршень начинает расширяться в некоторой точке у, г в момент времени t = tQ, совпадающий с временем пересечения носком тела плоскости L

Совпадение граничных условий на теле и на ударной волне для сопоставляемых течений следует из соотношений типа (9.2.4). Но согласно нестационарной аналогии гл. 8 тот же закон (9.2.12) расширения поршня в плоскости £ будет порождать некоторое тело f*^, £, у, г) =0, обтекаемое стационарно со скоростью Uoo, форма которого получается переходом к переменной х ^=^оо/ в законе расширения поршня /*=0, что эквивалентно

деформации или искривлению формы исходного тела следующим образом:

/*(х, С, у,, :, у, 2^ = /^-^, х, У, z) = 0.

.°°°°(9.2. 13j

Здесь £ остается параметром, т. е. каждой плоскости £ = const соответствует свое искривленное тело.

Таким образом, закон плоских сечений для нестационарного обтекания тел позволяет заменить решение исходной задачи совокупностью решений задач меньшей размерности. Потребное

Рис. 9.3Рис. 9.3

Рис. 9.3

Рис. 9.3

число таких задач определяется желаемой подробностью описания течения, т. е. числом плоскостей £ = 0н—L.

Рассмотрим еще закон подобия нестационарного гиперзвукового обтекания тонких тел.

При этом естественно, как и в § 4.3, выделить характерные

предста-предста-(9. 2. 14)(9. 2. 14)нестационарные масштабы времени Т^ и размера / и вить формы сопоставляемых тел в универсальном виде

предста-

предста-

(9. 2. 14)

(9. 2. 14)

2L JL 1

\ То ’ L ’ tL ’ ^L ' nL I

задачи взадачи вВ этих же переменных следует представить и решение

задачи в

задачи в

целом. Тогда дополнительными к стационарным критериям подобия при совпадении форм тел (9.2.14) будут число Струхаля to0 = L/T0Uoo и отношение нестационарного и стационарного поперечных размеров //тЛ.

В простейшем примере плоских колебаний около точки %0 на оси жесткого тела с формой f0( х', и\ z')=0 в связанной системе координат V, у\ zr (рис. 9.3) и собственной относительной толщиной to форму (9.2.14) легко получить с помощью преобразования

°J2L а'(«>„/'),а' = —• (9.2. 15)

Tq^ ТоЛ L TqT Lam

Тогда при одинаковом законе колебаний а'^1Т0) критериями подобия будут параметры ат/то, x0[L, coo-

Медленные колебания тела

Рассмотрим случай медленных вращений жесткого осесимметричного тела с формой Гу^гДх'^ в связанной системе координат х\ у', г*. Пусть это тело вращается в плоскости угла атаки по закону а(^) около центра масс xQ на оси тела, который движется по криволинейной траектории с углом 0(/) поворота вектора скорости Uco к оси х и с которым свяжем систему координат кх\ у'\ z Y И, наконец, х, у, z будет инерциальной системой кэ- ординат. Взаимное расположение этих систем в начальный момент времени /=0 и в процессе движения тела показано на рис. 9.3.

Будем считать угловые скорости этих -вращений малыми:

0 (0 ~ 9*0 Т ~ со' < т = -Ид + а0 С 1, Да = « -а0 ~ а07 -

а0 = а (0), а0 = а (0), 90 = 9 (0), со = ——, со = ——,(9. 3. 1)

t0 = max | r'^ [.

Тсгда связи между системами координат будут такими

х = х* = х" + х0, 2 = z' — 2";(9. 3. 2)

..1

у. = у'—(л - х0) (а0 + а0 < + 9оО + —

При этом смещение носка Ах относительно плоскости х=0 мало и его можно не учитывать. Заметим, что форма введенного в § 9.2 искривленного тела получится из формы исходногс в инерциальной системе координат

/ (Л X, у, z) = у'2+z'2— г^(х') = (у — у0УА-^ — г^ _ О;

Уо = — (х — х0)(а0 + aoZ + 60О + — U^^(9. 3. 3)

искривлением его оси вращения (заменой t=to-\-x,U ^ по закону

Уо {х) = [х0 (a0 + <V0 + W + "у ^оо^о^о] ~ ao-Y ~ «1* — a^Jt. (9. 3.4)

а1 = «0 (Со — Xti(U— ~~ %> 02 = —(«О + ~ ^ — w 4- — О)'.

Постоянный первый член на решение не влияет. Решение задачи об обтекании искривленного тела можно представить в виде ряда 1

Ф = Фо + а^ 4- «2Ф2, Ф/ = ф/ (ао, х', у', z'),(9. 3. 5)

Рис. 9.4. Возмущение давления на колеблющемся клине (у = 1,4):Рис. 9.4. Возмущение давления на колеблющемся клине (у = 1,4):У ' _ У +—^о/,т0 Дт0У ' _ У +—^о/,т0 Дт0L V2 U^oL V2 U^o1’2 , (9.3.8)1’2 , (9.3.8)

Рис. 9.4. Возмущение давления на колеблющемся клине (у = 1,4):

Рис. 9.4. Возмущение давления на колеблющемся клине (у = 1,4):

У ' _ У +—^о

/,т0 Дт0

У ' _ У +—^о

/,т0 Дт0

L V

2 U^o

L V

2 U^o

1’2 , (9.3.8)

1’2 , (9.3.8)

где функции Фг уже не зависят от а0 и to. Для исходного тела решение в момент времени t—T получается из (9.3.5) заменой to^^L—x^[Uoo.

Заметим, что форма искривленного тела, движущегося по криволинейной траектории с постоянным углом атаки не зависит от параметра to, который при ао=О исчезает из сх-ь

При нестационарном подходе к решению задачи при условиях (9.3.1) ре

шение представимо в виде:

Ф = Фо + ДаФа + соФ- + со'Ф-

(2Ф6 =®.+-£J- Фа). (9.3.6)

В отличие от (9.3.5) такой вид решения имеет общий характер и не связан с гиперзвуковой теорией. Легко установить связи

X + Ха

Ф а = Фт, Ф- = Ф2 — Фт,

ф6=Тф2-^Фь (9-3,7)

Как видно, эти решения зависят лишь от мгновенных угловых скоростей «о и 0о, поэтому, переходя к координатам подобия

светлые значки— метод искривленных тел;

темные значки — точное решение

получим, что помимо квазистацио- нарного критерия ао/то, нестационарными критериями подобия обтекания аффинноподобных тел вращения с формой образующей rw =rw(xlL)lxo будут параметры со/то, о//то, xo[L. В ре

для давле-для давле-зультате решения задачи для любого параметра, например, ния будем иметь

для давле-

для давле-

Рр^ Да , о> , о/ ,

—х- —4- п. 4- о. :

(9.3Д)

Ра>’ ^6=^0 ’ Р® eoo^L^o

где р^ р^ , р. —универсальные функции координат подобия х'/L^'/LXq , z'/Lx^Для примера рассмотрим медленные колебания клина с мгновенным угломпри вершине а=ао4-ао^ Граничное условие на его поверхности точное и уп-

рошенное при u=Uимеет вид

ап (х — х^.

и = и tg а0 +^и^ао -^- а0 <х — х^.(9.3.10)

COS Qq

Для эквивалентного искривленного тела

u=uJ^—> у* W = аох-J-dof„ (х — х0)4--^ (х — х0).(9.3.11)

Так как основное решение Фо постоянно, то согласно линейности по х граничного условия решение линеаризированной задачи (9.3.5) или (9.3.6) имеет вид 1

Ф( — а-^х — х^) b-Ly.(9.3.12)

Очевидно, для клина L=x. Функция р; на теле, подсчитанная при хо = О точно и в гиперзвуковсм приближении в рамках метода искривленных тел, показана на рис. 9.4. Эти данные дают представление о пределах примени* мости и точности гиперзьуковой теории. При больших М^ эти данные согласуются с пыстонианской теорией, которая для тонких тел дает р.^ =2х.

Обтекание тонких тел под большими углами атаки

Закон плоских сечений и закон подобия могут быть получены и для случая обтекания тонкого заостренного тела при больших углах атаки2. Суть дела поясним на примере ссвершенногд газа. Направим ось х в^олъ оси тела, плоскость z = 0 совместим с плоскостью угла атаки (рис. 9.5) и потребуем выполнения условий:

d]L < т = шахcos ^tix^^ 1, M^Moosin а > М^^ 1. (9.4.1) Здесь d — максимальный диаметр поперечного сечения, L — длина тела, а п — нормаль к его поверхности.

Будем считать толщину возмущенного слоя малой д^Дт. Как- правило (по аналогии с плоским течением около тупых тел), для этого достаточно умеренно сверхзвуковых нормальных чисел М„о, что и отражено в условиях (9.4.1). При этом толщина возмущенной области может и не быть малой в затененной области течения (см. рис. 9.5), в этом случае наш анализ будет справедлив лишь для наветренной области3.

Запишем форму тела и ударной волны в новых переменных

О. Ю. Полянский (МЖГ, 1966, № 4). Приводимые ниже вычисления проведены Г. Ы. Степановым.

Этот закон подобия получен В. В. Сычевым (ДАН, т. 131, 1960, № 4).

При больших а решающую роль в организации течения в затененной области будет играть вязкость. Но вклад этой области в интегральные характеристики обтекания мал, и заниматься ею не будем.

f (x', у', z')=0, F (x', у’, 2/)=0, x'=— , у'=— , z' = — .

(9.4. 2)

Тогда косинусы нормали, например, к телу, будут равны пх=— = х = тпх, пу= ^^^^п^у, пг=п^, (9.4.3)

!-(/,+/;+/Т=№ У. У=(/М АТ.

где п^ и п*г — косинусы нормали к контуру поперечного сечения тела х = const.

Рис. 9.5. Система координат (а) и формы ударных волн в плоскости поперечного сечения конуса (б) при Мпо=5; 0=2>01°

Введем безразмерные величиныp^p'Q»^, h = h'D\,u=u'uoo, 0п = ^'л0оо, d = d'Doo, to=to'Doo, (9.4.4)Uoo=Uoo cos a, Doo=U„oSi\i a.

Тогда на скачке уплотнения получим соотношения

^=^s =А1+у ^^Д1-^2)’(9.4.5)

_Y—1 I 26s Y + 1 (Т + 1)М^2 ’

■У1Л= M^rctga -V^n^y-VTOvn.^^y5 =г,1 — v*y^~k\ ^;=®; --и;лп*г(1-А),

M^ctg а==и( ctg a— xn’xD'Xn (1 — k\(9. 4. 6)

Здесь безразмерные величины в набегающем потоке равны

и' =^'=0' = 1,Ц , Ai =2Wi=0. (9.4.7)

т ctg a^n^-V^n^y-V^'n^^O.т ctg a^n^-V^n^y-V^'n^^O.1111 YM‘(Y-DM2’

т ctg a^n^-V^n^y-V^'n^^O.

т ctg a^n^-V^n^y-V^'n^^O.

d , ,,хт

(u ctg «1=

dp’

d, ,

— = ти/ ctg a

—4

/ д I

г d

чу ;

dt*Q'

dx' ’

dt'

dx

dy"

dz*

(9.4.8)

d-u* 1 др'

dw'

1 dp'

dh * _

_ 1 dp'

dt'Qr ду/

’ df

o' dt 1

dt*

Q' dt'

1 dQ' dv'

dw'

, dur

— rctga — , dx

P’

_Y- 1 ,

(9.4. 9)

o' dt' dy'

dz'

q' hd

7 *

Уравнения движения примут вид

И, наконец, граничное условие на теле будет

(9.4. 10)

Из (9.4.6) следует важный вывод: с точностью порядка т на скачке, а согласно (9.4.8) вдоль любой линии тока, т. е. всюду имеем

^'ctga=ctga + O (т).(9. 4. 11)

Но все производные по Z в уравнениях (9.4.9) умножены на т, поэтому, положив и'=\, внесем в решение лишь ошибку ~т2. Тогда получим закон подобия: при гиперзвуковом обтекании аффинноподобных тонких тел под конечным углом атаки течения будут подобными при совпадении критериев

rctga, M/z = Moosina, у.(9.4.12)

Этот закон подобия при малых а непрерывно переходит в установленный в § 8.4. При этом

rctga —*r/a, Мл—> (a/т) Moot.(9.4.13)

Условие (9.4.11) приводит к закону плоских сечений или нестационарной аналогии. Сделаем замену

x = tU^ cos a = /z/oo.(9. 4. 14)

Тогда уравнения (9.4.9) при z/=l перейдут в уравнения нестационарного движения газа в плоскости поперечного сечения я=const, что следует из преобразования

777=“сот——г™ — •(9.4.15)

dt dx dy dz dt dy dz

Закон расширения эквивалентного поршня получается из формы исходного тела заменой (9.4.14). Поршень не только расширяется, но и движется в плоскости х = const со скоростью

Voo. Условия на теле и ударной волне также автоматически переходят в нестационарные.

Физический смысл такого закона плоских сечений прежний: газ как бы остается в неподвижных в пространстве плоскостях, нормальных оси тела. При ctga~l это происходит за счет постоянства, а при малых ctg a — за счет малости скорости и.

Рис. 9.6. Распределение давлений в поперечных сечениях тонких конусов при больших углах атаки и цилиндров:

7 — т ctg a = 0,24; М^ sin a = 1,7;

2 — т ctg a = 0,122; M^ sin a = 4,15;

— т ctg a = 0,0465; M^ sin a = 2,9; 4,83:

— цилиндр M^ =--6; 5 — цилиндр = 2

В такой постановке ясен и смысл параметра rctga: это есть число Струхаля нестационарного расширения поршня с характерными размером d~xL и временем Т^Ци^ в потоке со скоростью Уоо = IVooSin а. Роль этой нестационарности, как видно, мала вместе с rctg а и исчезает совсем при rctga—>0. В этом случае течение в каждой плоскости % = const совпадает с течением около плоского профиля с формой местного поперечного сечения исходного тела, обтекаемого со скоростью Уоо, а точнее, из-за

постоянной по сечению продольной скорости и^О, с течением около бесконечного цилиндра с углом скоса а.

О применимости такой предельной модели течения и точности закона подобия можно судить по данным рис. 9.6 и 9.7, построенных для конуса. Как видно, формы ударных волн и рас-

Рис. 9.7. Формы ударных волн в поперечных сечениях тонких конусов при больших углах атаки:

т ctg а = 0,24; М sin а - 1,7: 1 — М^ = 5,0, 9 = 5°, а = 20°; 2-= 2,9, 0 = 10°, а = 36°; 3 — М^ = 2,34 , 6 = 15°, а = 47°; т ctg а = 0,0465: 4 — М^ = 3,0, 9 = 10°, а = 75°, Musina = 2,9; 5 — М^ = 5,0; 9 = 10°, а = 75°, М^ sin а = 4,F3; 6 — цилиндр М^ = 3,0; 7 — цилиндр

Моо = 5,0

пределение давления следуют закону подобия, причем давление слабо зависит от нормального числа Mn=MooSina. Невыполнение условий (9.4.1) приводит к нарушению закона подобия форм ударных волн при т >0,2 (0 >10°), хотя подобие распределения давления на теле еще хорошо сохраняется, по-видимому, в силу его ньютонианского характера. При тctga <0,05 решение совпадает с решением для плоского цилиндр а,^обтекаемого с числом Маха, равным Mw.

Некоторые из полученных результатов можно обобщить на случай обтекания тонких тел неоднородным потоком1. Для этого достаточно, чтобы поперечный di (в плоскости х = const) и продольный Lt (вдоль оси х) масштабы неоднородности удов-

Например, передняя кромка крыла, стабилизатора и т. д., установленного на фюзеляже, индуцирующем криволинейную ударную волну. В рамках схемы тонкого сжатого ударного слоя такая задача рассмотрена в § 7 3.

летворяли условиям

d<dv т=- -f- -«1. (9.4.16) пип (z^, L)

При d<Cdi неоднородность внешнего потока можно учитывать лишь вдоль оси х; если при этом и L<cLi, то тело просто обтекается однородным потоком. При L^>Li (цилиндр в неоднородном потоке) характерным масштабом задачи будет Ль и следует принять х' = xj Li, у'=у Id и т. д.

Используя те же безразмерные переменные (9.4.4), в которых под рсо, Uoo, а и т. д. следует понимать уже некоторые характерные величины в набегающем потоке, все параметры последнего можно представить в виде

С1=^оощ(л\ yr, z'^ u^UoqIIx и т. д. (9.4. 17}

Граничные условия на скачке, на теле и уравнения движения примут прежний вид (9.4.5) — (9.4.10), за исключением условий (9.4.7), которые должны быть заменены более общими (9.4.17). Поэтому помимо равенства критериев (9.4.12) для подобия обтекания аффинноподобных тел неоднородным потоком в нем должны быть одинаковыми распределения параметров Qi« у', /) и т. д.

Но поскольку в действительности распределения параметров в набегающем потоке зависят от масштабов неоднородности Ль d^ не связанных с характерными размерами обтекаемого тела L, d, то в общем случае эти условия подобия являются очень жесткими. Конечно, здесь возможны специальные случаи, допускающие частные законы подобия, но их рассматривать не будем.

В общем случае n^const поле продольных скоростей будет неоднородным и закон плоских сечений не будет иметь места. Из уравнения (9.4.8) следует лишь, что изменение скорости ut вдоль линий тока будет малым вместе с т.

В данной ситуации наибольший практический интерес представляет случай xctga<J, когда все производные по V исчезнут из уравнений (9.4.9) и граничных условий (9.4.5) и (9.4.6) и поле течения в каждом сечении х = const будет тем же, что и при плоском поперечном обтекании тупого тела со скоростями Ui, Wi за исключением продольной скорости, которая будет или постоянной, или пренебрежимо малой. Однако в некотором пристеночном слое такая картина течения может нарушиться в части распределения энтропии, а следовательно, плотности и скорости.

Такой пример рассмотрен в § 7.3 (введенный там параметр о)1 совпадает с Tctga). Хотя исследование там проведено в объеме схемы тонкого ударного слоя, основные качественные выводы, в частности о толщине пристеночного подслоя и характере течения в нем, являются общими.

Глава 10

НЕКОТОРЫЕ АВТОМОДЕЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ

ОДНОМЕРНОЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ

Расширение поршня по степенному закону

Рассмотрим класс автомодельных решений одномерной нестационарной газовой динамики, которые в силу нестационарной аналогии непосредственно приложимы к некоторым стационарным гиперзвуковым течениям X Пусть в совершенном газе расширяется поршень плоский, цилиндрический или сферический (v = 0, 1, 2) по степенному закону

r^ctn. (10. 1. 1)

Применим теорию подобия и размерности, как это было сделано в § 4.3 или § 8.4. Соответствующее решение должно зависеть от переменных и параметров

t, г, с, у, боо, a^NpjQ^ (10. 1.2)

В отличие от общего случая § 8.4 здесь характерное время Т и длина d отдельно не заданы. Размерность [c] = d/Tn, поэтому ударная волна должна иметь вид

R-c^R^x, у, п\ x = Ra^c^^ (10. 1.3)

Давление же, скорость и плотность представим в виде

Р = с^п-Х>^X), ^ = cQtn'xV^ X),

Q=QooQ^x, X), X = rlcQtn, r = Aoco.(10. 1.4)

Здесь Xo — некоторое число. (Можно построить решение в виде Р = Роо^^ Г' (т, X) и т. д., но выбранная форма предпочтительней при R^a^, в чем убедимся ниже.) Функции Р, V, q не зависят от с, но по-прежнему зависят от двух независимых переменных.

Рассмотрим те частные случаи, в которых решение автомо- дельно и зависит лишь от одной переменной.

Во-первых, случай постоянной скорости ударной волны п=1, в котором с и Поо имеют одинаковую размерность. Тогда безразмерную переменную т образовать нельзя, а решение зависит от X и параметра a^ic^ (МоД)-1, где 9 — угол эквивалентного тонкого клина или конуса, которым и соответствуют такие течения. При этом удобно положить Х=1 на ударной волне, что определит Хо.

Во-вторых, случай очень сильных ударных волн, при отсутст-

га ал Подробное исследование таких течений дано в книгах [38, 40], а также ьА 4/, 4о].

вии противодавлениявии противодавленияR^a^, PooC^Jk2.(10.1.5)R^a^, PooC^Jk2.(10.1.5)

вии противодавления

вии противодавления

R^a^, PooC^Jk2.(10.1.5)

R^a^, PooC^Jk2.(10.1.5)

Тогда скорость звука аоо выпадает из соотношений на ударной волне и, следовательно, из определяющих параметров (10.1.2). Переменную т в этом случае образовать также нельзя, так что решение (10.1.4) примет вид

^0=соп81, ^^^(Х), 1/ = 1/0(л), е=Со(Х). (10.1.6)

Функции Р0) р0, Vo описывают профили величин в возмущенной области и, в чем нетрудно убедиться подстановкой в уравнения одномерного нестационарного движения, удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с начальными данными (задача Коши) на ударной волне

x=1>^=vrr’^НгТ’ ^10Л-7)

у + 17+1 Y — 1

Отношение Ко = с(со определится из условия на поршне

y=^L или 1/0(Х0) = /^А0.(10.1.8)

dt

Заметим, что траектории частиц гт^, характеризуемые массой газа т внутри поверхности г=гт^ (полной при v = 2, на единицу длины при v=l и на единицу площади при v = 0) должны в силу соображений размерности зависеть от отношения m/poo (с^) 1++, следовательно, не будут линиями % = const, кроме случая т = 0.

Качественное аналитическое исследование поведения решения (10.1.6) с начальными данными (10.1.7) показывает, что

Ио (Хо) = ллХо = О при /7 = /z0 = 2/(3+v)(10. 1.9)

и при п<п0 решения, удовлетворяющего условию (10.1.8) при Ао<1, не существует. Это имеет следующий физический смысл. Выпишем суммарную энергию газа в возмущенном слое

R1 / т/2\

E = z я \ о— I г dr = 2 я ОооСо t \ Qo —— X d^

°°(10.1.10)

uj = (3-tv)n— • 2; 8 = 0, v = 0; 8=1, v=l; 2.

Как видно, G)>0 при n>n0) и энергия увеличивается за счет работы расширяющегося поршня. При со<0, п<п0 энергия бесконечна в начальный момент и такое течение невозможно.

Особый интерес представляет случай со = О, п = п^ с постоян-

ной энергией в возмущенном слое, т. е. при отсутствии поршня (%о = О). Этот случай соответствует мгновенному точечному выделению энергии Е, или сильному взрыву (см. § 10.2).

В рамках нестационарной аналогии расширению поршня по степенному закону соответствует обтекание тонких тел степенной формы

ги=ахп , R=aQx\ a = cU"n, t = x!Uоо. (10.1.11)

При п>\ автомодельное решение дает давление р = 0 при / = 0 вместо точного роо, поэтому плотность на теле в таком решении имеет нереальное значение р = оо. Наоборот, при п<Л в нестационарном течении на теле q = 0 в силу бесконечной скорости ударной волны и давления за ней при ^ = 0. Но к эквивалентному телу этот результат неприложим, так как в реальном стационарном течении ударная волна около притупленного носка в силу rw—^оо при х->0 будет отошедшей с конечной интенсивностью. Кроме того, в окрестности притупленного носка нестационарная аналогия не применима, что вносит дополнительные возмущения относительно автомодельного решения. Однако эти эффекты не очень существенны в области тела, где Tw^^ о чем свидетельствует сравнение точных и автомодельных распределений давления по телам вращения, а также коэффициентов сопротивления, приведенных на рис. 10.1 и 10.2.

Тела степенной формы обладают рядом интересных свойств, в частности, наличием минимума по п сопротивления тела заданного удлинения. Этот результат может быть получен в рамках закона сопротивления Ньютона. Подставляя в выражение для коэффициента сопротивления формулу (5.3.16), получим

c=N(n)\—\,=—•(Ю.1.12)

х\ х )(3 + v) п - 2

Полагая d,N]dn = Q при постоянном удлинении rwjx, получим п=1 при V —0 и /г = 3/4 при v=l, т. е. плоским телом минималь- ного сопротивления является клин, а осесимметричным — выпуклое тело. Расчет по автомодельной теории дает для тел вращения несколько другое значение п = 0,71, что показано на рис. 10.2.

Несмотря на то, что оптимальность такого тела в строгой постановке вариационной задачи о стационарном обтекании притупленного тела не доказана, их сопротивление заметно мень-

ше, чем сопротивление конуса при равном удлинении и, тем более, при равном объеме. Причем это свойство, как следует из рис. 10.2, сохраняется и при умеренных числах Моо.

Рис. ЮЛ. Отношение точного давления на теле степенной формы к автомодельному р0Рис. ЮЛ. Отношение точного давления на теле степенной формы к автомодельному р0Рис. 10.2. Коэффициенты сопротивления тел степенной формы:Рис. 10.2. Коэффициенты сопротивления тел степенной формы:

Рис. ЮЛ. Отношение точного давления на теле степенной формы к автомодельному р0

Рис. ЮЛ. Отношение точного давления на теле степенной формы к автомодельному р0

Рис. 10.2. Коэффициенты сопротивления тел степенной формы:

Рис. 10.2. Коэффициенты сопротивления тел степенной формы:

точное решение; по формуле Ньютона; О О О —автомодельное решение

Сильный взрыв

Выше было показано, что существует автомодельное решение уравнений одномерного нестационарного движения совершенного газа, соответствующее постоянной энергии в возмущенном слое, т. е. мгновенному точечному выделению энергии или сильному взрыву. Такая схема применима в том случае, когда размер и масса заряда или взрывного устройства много меньше размера образовавшейся взрывной зоны и массы вовлеченного в нее газа. Ударная волна при взрыве возникает за счет внезапного нагрева и повышения давления газа. В реальных условиях сильной взрывной ударной волне сопутствуют различные физические процессы: излучение, химические реакции и т. д., но основные газодинамические закономерности таких течений можно изучить на примере совершенного газа L

Общий вид решения указан в § 10.1, а коэффициент с0 в законе распространения ударной волны определится из (10.1.10)

Задача о сильном взрыве была сформулирована и решена Л. И. Седовым [38] и Дж. Тейлором («Механика», 1952, № 1). Это решение, его свойства и многочисленные приложения описаны в широко распространенных монографиях [17, 38, 40]. Сопутствующие физические процессы разобраны в книге [12]. Таблицы решения задачи о сильном взрыве с противодавлением есть в работах [33, 37].

при со = О. Но это решение легко получить непосредственно из анализа размерностей. По

схеме точечного мгновенного взрыва оно будет зависеть от параметров

/, г, Qoo, Е, а^, у. (10. 2. 1)

Размерность [E/qJ=d3 4 v IT2, так как Е— либо полная энергия в объеме (при v = 2), либо — энергия, приходящаяся на единицу длины (взрывающийся шнур) при v=l или на единицу площади при v = 0. Это отношение и будет играть роль с в анализе § 10.1. Если противодавлением пренебречь нельзя (аоо¥=0), то решение должно иметь функциональный вид (10.1.3) — (10.1.4) с величинами

— cons

1/(3+ V)

п

2

3 + v’

Рис. 10.3. Функции xv(Y) и xv (y)' точный расчет; интегральный метод (10. 3. 8); ОФ к — v = 0; 7; 2 — асимптотика 7^1 (10. 2.8)

(10.2.2)

Это решение при т->0 переходит в автомодельное (10.1.6) для предельно сильного взрыва

Е \l/(3+v) /2/(3 + v)

E = QcoE(0)(X)

Е

0оУ

2/(3+v)

^-2(l + v)/(3+v)^-2(l + v)/(3+v)(10.2. 3)

^-2(l + v)/(3+v)

^-2(l + v)/(3+v)

v показаны на рис. 10.3. вид (М — масса газа воv показаны на рис. 10.3. вид (М — масса газа воЗависимости %v, yv =Е<°)(0) от у .и

v показаны на рис. 10.3. вид (М — масса газа во

v показаны на рис. 10.3. вид (М — масса газа во

Зависимость давления от R имеет взрывной зоне);

p = Pw y1+v~= 2'—. p(Q) ^^Е.(10.2 4)

лбЕ1+" 1+^ v М

Остановимся еще на распределении плотности внутри взрывной зоны. Плотность некоторой частицы, характеризуемой лаг-

ранжевой координатой, массой т. будет с учетом (10.2.4) равна

(10. 2.5)(10. 2.5)Q (/и) Г р (т) ШЛ Г р (/и) 1VT / т \ VI

(10. 2.5)

(10. 2.5)

Qs WVPs №1LPs (М) J V М )

Здесь pS) qs — давление и плотность сразу за ударной волной при прохождении ею координаты т. Заменим давление его значением р0 вблизи центра, что оправдано, как увидим ниже. Тогда, из соотношения 7/т = 2^л5рг^г получим формулы

пг ~ М + ( Ро?j(^+D/(i-i)9^Ц+'О/а-1). ^g 2.6)

м L У \ Ps / J 4Qs

Отсюда следует, что в центре плотность q = 0, а при конечных л тем меньше, чем мень-Отсюда следует, что в центре плотность q = 0, а при конечных л тем меньше, чем мень-Рис. 10.4. Распределение параметров в зоне цилиндрического (v=l) взрыва:Рис. 10.4. Распределение параметров в зоне цилиндрического (v=l) взрыва:ше у—1. При этом основная масса газа с большой плотше у—1. При этом основная масса газа с большой плотностью оказывается сосредоточенной вблизи ударной волны. Малые плотности делают невозможным большие градиенты давления, которое оказывается практически постоянным в основной по объему части взрывной зоны. Профили величин во взрывной зоне показаны на рис. 10. 4.Приведем еще асимптотический при у-^1 вид точного решения для сильного взрыва 1ностью оказывается сосредоточенной вблизи ударной волны. Малые плотности делают невозможным большие градиенты давления, которое оказывается практически постоянным в основной по объему части взрывной зоны. Профили величин во взрывной зоне показаны на рис. 10. 4.Приведем еще асимптотический при у-^1 вид точного решения для сильного взрыва 17 = 1,1; 7 = 1,4;7 = 1,67;О#А —асимптотические соотношения(10. 2. 7)1 + ^ /7 = 1,1; 7 = 1,4;7 = 1,67;О#А —асимптотические соотношения(10. 2. 7)1 + ^ //1+у.—1Ps 2 \2) "/1+у.—1Ps 2 \2) "(10.2.7)(10.2.7)

Отсюда следует, что в центре плотность q = 0, а при конечных л тем меньше, чем мень-

Отсюда следует, что в центре плотность q = 0, а при конечных л тем меньше, чем мень-

Рис. 10.4. Распределение параметров в зоне цилиндрического (v=l) взрыва:

Рис. 10.4. Распределение параметров в зоне цилиндрического (v=l) взрыва:

ше у—1. При этом основная масса газа с большой плот

ше у—1. При этом основная масса газа с большой плот

ностью оказывается сосредоточенной вблизи ударной волны. Малые плотности делают невозможным большие градиенты давления, которое оказывается практически постоянным в основной по объему части взрывной зоны. Профили величин во взрывной зоне показаны на рис. 10. 4.

Приведем еще асимптотический при у-^1 вид точного решения для сильного взрыва 1

ностью оказывается сосредоточенной вблизи ударной волны. Малые плотности делают невозможным большие градиенты давления, которое оказывается практически постоянным в основной по объему части взрывной зоны. Профили величин во взрывной зоне показаны на рис. 10. 4.

Приведем еще асимптотический при у-^1 вид точного решения для сильного взрыва 1

7 = 1,1; 7 = 1,4;7 = 1,67;

О#А —асимптотические соотношения

(10. 2. 7)

1 + ^ /

7 = 1,1; 7 = 1,4;7 = 1,67;

О#А —асимптотические соотношения

(10. 2. 7)

1 + ^ /

/1+у.—1

Ps 2 \2) "

/1+у.—1

Ps 2 \2) "

(10.2.7)

(10.2.7)

' (3 + v)2(l +v)(Y-1) р+з _2,2

21+vJ ’(3+v)2 Z/

Это решение показано также на рис. 10.3, 10.4 и вполне согласуется-с качественными оценками, приведенными выше. Как видно, сильное изменение давления и плотности действительно

происходит в малой области АХ вблизи Х^ 1. Чтобы оценить по- рядок Лк, положим в (10.2.7) к1-1=(1 — дк)1-1 = ^0, где постоянная 7о<1- Тогда, устремляя у—И, получим

дк^1п(1 — дк)=^—! 1пу0, т. е. Дк—Tn.1.

1 + v1 -h v

Используя решение (10.2.3) и асимптотическое представление (10.2.7), (10.2.8), получим, что кинетическая ЕКин и внутренняя Е^ энергии при взрыве равны

^Hh~(Y-1)^. Е№ = Е-Екга^-^Е. (10.2.9) Используя (10.2.4) и (10.2.8), можно получить еще следующие предельные при у—^1 формулы для скорости ударной волны и давления

^-=^ = 2(у-1) — , -El =J_ A=(Y_i)J., (10.2.10)

Coo'M26=0 VT ; M ';

где M — масса вовлеченного во взрывную зону газа.

Заметим, что с уменьшением у скорость ударной волны и давление падают, что связано с ростом внутренней энергии р/(у—1) в единице объема.

§ 10.3. Интегральный метод. Метод эффективной энергии для взрыва в реальном газе

К задачам о сильном взрыве или расширении поршня применим простой метод интегральных соотношений, суть которого состоит в следующем1. Выпишем, как и в § 8.3, для возмущенной области закон сохранения энергии

4- QooR^X-V-^ ^R1+'-rV') /2=

= ^Т£ ++^+v) ^P/w^di. (10.3.1)

Здесь p0 — давление в центре или на теле;

ns — скорость за ударной волной R (/);

ГДП —закон расширения поршня;

Е — начальная энергия.

Входящие сюда интегралы Ц имеют вид

R, г1 + V С рdm, /2=r~\~r dr’К — Г w J pQR, г1 + V С рdm, /2=r~\~r dr’К — Г w J pQмм 2 Л1 + V 2 Л1 + VQoo/?' + V.Qoo/?' + V.

R

, г1 + V С р

dm, /2=r~\~r dr’

К — Г w J pQ

R

, г1 + V С р

dm, /2=r~\~r dr’

К — Г w J pQ

м

м

2 Л

1 + V

2 Л

1 + V

Qoo/?' + V.

Qoo/?' + V.

(10.3.2)

Рассмотрим для начала предельно сильный взрыв, для которого

p^Q, rw=0, ^^-Z-L^-.A.p, р,=-АЛ (Ю.З.З)Qs Y 4- 1 Y + 1I + 1

В этом случае, как показано в § 10.2, основная масса газа сосредоточена вблизи ударной волны и имеет, следовательно, скорость, близкую к ys. Давление же в основной части объема взрывной зоны вследствие малой плотности постоянно и, кроме узкой уплотненной зоны вблизи ударной волны, близко к р0. Эти условия, как показано в § 10.2, выполняются тем лучше, чем меньше разность (у—1), поэтому в пределе, при у—>1, можно в уравнении (10.3.1) положить

'= Р=Р^ Ii=^-(10.3.4)

Чтобы замкнуть задачу, воспользуемся еще уравнением импульсов в лагранжевых координатах (/, т):

6 v дрdv / дт . дтА

2лг —— =(-= 0 .(10.3.5)

dmdt \ dt dr/

Придерживаясь асимптотической (при у—Я) теории, положим здесь r^R^ v = vs=R. Тогда, интегрируя (10.3.5), получим линейное распределение давления по массе:

p=pAR ухгг' рй=Рз^е»-—.(Ю.3.6)

2 Л К1 4- V

В этих формулах член р8 обычно существенно больше второго, поэтому используем для него точную формулу (10-3.3). Тогда при R~tn получим

1 4-1+2. ^ 8-= 2(га~ ^(10.3.7)

Ps '4(1 + v) и

2М

Для сильного взрыва n=2/(3+v), ра!рз= —- • Подставляя это в (10.3.1), получим коэффициенты решения (10.2.3) в явном виде

= Г(3 + V)2(l + у) (Y- 1) (Т + 1)211/(3+ V) _2 (3 - у) . 2

(xv = P(0)(0).(xv = P(0)(0).Л L 21+’(6у-72_ 1)]’ * (Y + i)(3 + v)2Z'”

(xv = P(0)(0).

(xv = P(0)(0).

(10. 3. 8)

которые близки к точным (рис. 10.3) и при у—И совпадают с (10.2.8).

Заметим, что формально решение (10.3.8) не точнее предельного (10.2.8), так как в нем оставлены не все члены порядка (у—1), например, взята точная формула для ps, но приближенная ys = ^- Кроме того, вклад первого члена в уравнении (10.3.1), т. е. доля кинетической энергии газа в общем балансе, имеет порядок у—1, поэтому учитывать его, полагая одновременно Д=1, нелогично. Но мы вполне удовлетворимся высокой точностью решения (10.3.8), рассматривая его, на худой конец, как хорошую аппроксимацию истинных коэффициентов %и xv.

Определим форму ударной волны для степенного поршня Г1и = с1п. Подставляя (10.3.7) в уравнение (10.3.1) при £ = 0, Роо — 0 с теми же условиями (10.3.4), получим решение [О' — то же, что и в (10.3.7)]

R = c<A е0~,

х,=[Г—/(_^+Ayi + l^'|l1"-*", (10.3.9) Ц(Т + 1>8//1т + 12Д1+1/1

которое имеет хорошую точность (см. рис. 5.6), заметно лучшую, чем предельная формула Буземана. Это объясняется тем, что в последней принято R = rw (§ 5.3 и 5.9), что не очень хорошо для выпуклых тел или замедляющихся поршней. В изложенном же методе для вычисления R используется еще уравнение энергии, что улучшает результаты.

Используем интегральное уравнение энергии для исследования сильного взрыва в реальном равновесном газе с уравнением состояния (§ 1.9):

(10.3.10)

где у* — эффективный показатель адиабаты; у — показатель адиабаты в невозмущенном газе.

Внутреннюю энергию газа во взрывной зоне представим так

Н«'= Tk‘Wdr

J1 4- v у — 1J \ у — 1 /

оо

(10.3. 11) Первый член правой части здесь тот же, что и в уравнении (10.3.1), а второй дает разность объемных внутренних энергий реального и совершенного газов при одинаковом давлении. 1огда уравнению энергии (10.3.1) можно придать тот же вид, что и для совершенного газа, если заменить в нем энергию взрыва Е некоторой эффективной энергией Е*:

м

5±,__ 1 С h Z-\,y-Y(°) £(0)

—— —— dm = \—-——. (10.3.12)

Рис. 10.5. Коэффициент ослабления иля наземного сферического взрыва:Рис. 10.5. Коэффициент ослабления иля наземного сферического взрыва:метод эффективной энергии;данные Броуда (v=2); — — — данные Роуза (v=l)метод эффективной энергии;данные Броуда (v=2); — — — данные Роуза (v=l)ный метод ном газе с вместо Е:ный метод ном газе с вместо Е:(10.3. 13),(10.3. 13),

Рис. 10.5. Коэффициент ослабления иля наземного сферического взрыва:

Рис. 10.5. Коэффициент ослабления иля наземного сферического взрыва:

метод эффективной энергии;

данные Броуда (v=2); — — — данные Роуза (v=l)

метод эффективной энергии;

данные Броуда (v=2); — — — данные Роуза (v=l)

ный метод ном газе с вместо Е:

ный метод ном газе с вместо Е:

(10.3. 13),

(10.3. 13),

Здесь у<°)— 'среднее значение у*- Так как обычно у*^¥> 10 Е*<Е. *

Для сильной стадии взрыва, когда отношение плотностей в

ударной волне к^ — = — мало, интегралы Л и Л в урав-

Р^ V* + 1 е.

нении (10.3.1) и отношения vslR и ps/QooR2 близки к единице

и различия в свойствах газа мало на них повлияют. Поэтому все влияние реальных свойств газа будет проявляться через Е^. Так как согласно (10.2.9) отношение Е^/Е1, то Е* изменяется за счет у^°\ т. е. сравнительно медленно, что для воздуха следует из данных §1.9. Забегая вперед, сошлемся также на рис. 10.5, где Е* зависит лишь от логарифма давления. Тогда в первом приближении можно пренебречь изменением функции Е* по сравнению с изменением давления или формы ударной волны и, подставляя (10.3. 11) —(10.3. 12) в

интегральное уравнение (10. 3. 1), считать энергию Е* постоянной. После этого из-

ложенный выше интеграль- даст то же решение, что и для взрыва в совершен- показателем адиабаты у, но с энергией взрыва Е*

' Е„ \У(3 + '1) ,2/(3+»)

./

' Е* \2/(3+») 2(1 + »)/(3 + у)

Goo^8 )

Величина Е*, конечно, остается переменной, равной своему местному значению, зависящему от р6 и R, но играет роль параметра.

Подставляя это решение в исходные уравнения (10.3.1) и (10.3.6), мы должны, чтобы удовлетворить им, пренебречь величинами порядка tdEJdt, что и будет строгим условием применимости метода.

В стадии взрыва с ослабленной ударной волной, например при R< 2000 м/с, воздух будет диссоциирован лишь в центральной зоне с маломеняющейся массой т^. Тогда величины е, pl^, а следовательно, и Е^ будут изменяться слабо, как /^т*-1)/?*. Поэтому можно ожидать, что не только скорость ударной волны, но и распределение параметров вблизи нее при m > т0 будут теми же, что и при взрыве в совершенном газе, но с энергией Е*.

Таким образом, влияние реальных свойств газа на интенсивность ударной волны при сильном взрыве можно приближенно учесть, заменив в точном решении (10.2.3) и (10.2,4) для совершенного газа энергию взрыва местной эффективной энергией Е^.

Необходимый для вычисления Е^Е профиль энтальпии во взрывной зоне можно получить, интегрируя уравнение адиабаты y$dln/i= (у*—\^d\x\p вдоль траектории частиц г=гтkt, т) с каким-либо приближенным распределением давления 1 и начальным профилем энтальпии при малом значении М. Одновременно с помощью соотношений (10.3.13) определяется и закон движения ударной волны. Пример такого расчета для наземного сферического взрыва вместе с данными других работ2 приведен на рис. 10.5. Коэффициент ослабления взрыва EJE имеет минимум, соответствующий максимуму функции Z на рис. 1.7. При р§—^роо отношение E^Ec^S, что объясняется сохранением (для нетеплопроводного и неизлучающего газа) высоких температур в центре.

Слабая зависимость свойств равновесного воздуха от давления влечет за собой слабую зависимость отношения Е^Е ог плотности Qco, т. е. от высоты взрыва. Кроме того, при у =1,4 имеем psMlpooE = 0J0; 0,67; 0,66 соответственно для v = 0; 1; 2. Поэтому распределение энтропии по массе, а следовательно, и отношение E^jE весьма слабо будут зависеть и от размерности пространства.

Заметим, что введенная энергия £* не является строго говоря разностью Е—Еь где Ef — полная связанная энергия физико-химических превращений, так как для этого в последнем интеграле (10.3.11) следовало бы заменить у на замороженный показатель адиабаты у/ (§ 1.7). Но поскольку в воздухе у/ = -1,674-1,4, то при большой затрате энергии на физико-химические превращения, т. е. при е^, разница между

энергией и Е Ef вряд ли будет большой.

мула ЬХУ’А ПрИ ps 51’5р” хорошую аппроксимацию дает фор- Vo оЛ"^?^ ^Т?Д«0Й постановке И. Erode (Phys. Fluids, 1959, a4v = f 2 Роу3' к' (Сб' сваривающиеся проволочки», М., ИЛ, 1963)

ЧАСТЬ IV

ОБТЕКАНИЕ ТОНКИХ ТЕЛ

С ПРИТУПЛЕННЫМИ НОСКОМ ИЛИ кромками

Глава 11

ПЛОСКИЕ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТОНКИЕ ПРИТУПЛЕННЫЕ ТЕЛА

§ ILL Влияние носка на гиперзвуковое обтекание тонкого притупленного тела

Применение заостренных тел, предназначенных для полета с гиперзвуковыми скоростями, ограничено чрезмерным нагревом, разрушением острого носка фюзеляжа или кромки крыла. Поэтому перспективным оказывается класс тел с малым притуплением носка или кромки, т. е. с размером (радиусом миделя) носка fo<CL — длины тела. Обтекание таких тел (рис. 11.1), пока плоских (v = 0) и осесимметричных (v=l) рассмотрим ниже.

По сравнению с заостренными телами в этом случае возникают два новых основных эффекта. Первый эффект — распространение повышенного давления в районе носка вниз по потоку. Характерный угол наклона поверхности в области носка 6 ^л/2, а давление на нем p^p^^^U^, что следует из формулы Ньютона (см. гл. 5). В то же время на боковой поверхности тела с малым углом наклона R4X) ~ tg 6 ^тС 1. Поэтому после прохождения окрестности носка газ претерпевает быстрое расширение с более (или менее) длительным переходным процессом.

Проходя через слой газа, тело сообщает ему энергию и импульс, что является причиной изменения состояния газа. Поэтому относительную роль носка в формировании течения около боковой поверхности можно оценить вкладом его в суммарные характеристики течения. Пусть сх и сх^— коэффициенты сопро-

тивления носка и боковой поверхности с площадью миделя

Для оценки величины с^ь примем, что порядок давления на боковой поверхности определяется формулой Ньютона, т. е. P^PooU^t2 (это может быть неверно в некоторой прилегающей к носку окрестности, исключаемой из рассмотрения. В § 11.2 покажем, что полученные ниже оценки области влияния носка L не являются заниженными).

Рис. 11.1. Ударные волны, характеристики, высокоэнтропий- ный слой и распределение давления при гиперзвуковом обтекании тонкого притупленного тела

В этом предположении с^ь — т2 и отношение сил сопротивления носка Хо и боковой поверхности Аз будет равно

ttirow_w min

Полагйя /С=1, получим длину и толщину тела с равновеликим (по порядку величин) вкладом носка и боковой поверхности в общее сопротивление тела

L =/'^V/(1+v\-(3+v)/(i-h) • d^.r W(1+v)T-2/(i+v)

К 2 /\ 2 /

(11.1.2)

Пусть Vq=PooUооГ^'11 —поперечная сила, действующая на газ в окрестности притупления (например, на верхнюю половину течения при v = 0 и на единицу угла между близкими мери-

диональными плоскостями при v= 1, см. § 8.3). Тогда отношение поперечных сил носка и боковой поверхности имеет порядок

f/0 = ^V (11.1.3)

\ L / \ сх )

Полагая далее У0^Тб, получим длину соответствующего тела

L'~LtWJ! ^ ^„/’/(Н^-^)/^^ (1L L4)

Отношение Lfr0 при малых т очень велико. Так, при cY = l (цилиндр, сфера) и 0=2,54-15°, или r = tg 6 =0,0444-0,27, имеем Л/го^6ООО4-ЗО для клиньев (v = 0) и Л/г0 —3704-10 для конусов (v=l). Оценки длины области влияния притупленного носка будут подтверждены ниже на многочисленных примерах.

Отношение L7r0 велико тоже, но при /~1 много меньше L]r^ т. е. основное влияние носовое притупление оказывает на сопротивление тела. В этом можно убедиться, полагая в формуле (11.1.3) К~1 и/0~1.

Оценим теперь относительную роль носка, сравнив энергию, сообщаемую им газу в слое единичной ширины, численно равную £ = Х0 (см. § 8.3) с начальной внутренней энергией £оо = = ^v/?I+v Роо(у—I)-1 в возмущенной части этого слоя. Полагая R^ (r-f-^T1)^ и Е = Еоо, получим зависимость области £м влияния носка от числа Моо

Ам ~r0ML3+v)/(I +v) 4/(Hv) (Y- 1)1/(1+” (1+M0OT)-!, (11.1. 5) которая растет с увеличением М^ и сокращается с уменьшением у.

Второй эффект притупления связан с распределением энтропии по линиям тока. В § 2.3 получено распределение энтальпии и плотности вдоль линий тока после прохождения сильной ударной волны с углом наклона а

Р Q _Y + 1 /Y + 1 у/\-1/т/ р \Vi

Соо Y-И 2 ;

(s — sin2 а), (11. 1. 6) где под у можно понимать какое-либо эффективное его значение, соответствующее проходящим в газе процессам. Как правило, давление между боковой поверхностью и ударной волной имеет одинаковый порядок p^pJU^ а2, определяемый наклоном ударной волны a~dR^dx, малым при Моо>>1 и т<1, поэтому распределение энтальпии и плотности будет в основном определяться изменением энтропии, или параметра s, поперек возмущенного слоя.

Линии тока вблизи поверхности тела, прошедшие через головную часть отошедшей от притупления ударной волны в ок- 252

рестности носка с s~l, образуют так называемый высокоэнтропийный слой (показан пунктиром на рис. 11.1), который в невязком газе теоретически существует на любом удалении от носка. В нем согласно (11.1.6) имеем следующие порядки величин

у — aUoo- 1- 7)

где и, и — продольная и поперечная скорости.

Рис. 11.2. Профили энтальпии, дефекта скорости (а) и плотности, давления и чисел Маха (б) между поверхностью притупленного пс сфере конуса и ударной волной:

Н = 30 км, и^ - 7500 м/с; —М^-23, 7 = 1.4, + = 7,3го, 9 = 10°

Наоборот, вблизи ударной волны достаточно далеко от носка на линиях тока, прошедших через скачок с s~a2<Cl, будем иметь те же порядки величин, что и при обтекании тонких заостренных тел в § 8.1.

h — U^a?, е~6оо, u=Ux [1+0 (а2)], M~(y-1)~1/2°-1’ ^ — а^.

(11.1.8)

Эти линии тока образуют ударный слой, для которого справед- лив закон плоских сечений, или нестационарная аналогия, сформулированные в гл. 8.

Таким образом, эйтальпии (температуры) и плотности в ударном и высокоэнтропийном слоях отличаются в а2 т раз, т. е.

между боковой поверхностью и ударной волной тонкого притупленного тела имеют место большие градиенты энтропии, энтальпии и плотности (рис. 11.2).

В высокоэнтропийном слое газ имеет высокую температуру и низкую плотность по сравнению с теми же величинами на ударной волне. Поэтому при полетах в атмосфере физико-химические превращения будут проходить главным образом в области носка и высокоэнтропийном слое (с возможными малыми эффективными показателями адиабаты у* согласно § 1.9), в то время как в ударном слое газ может остаться сравнительно холодным и совершенным.

Полученные оценки свидетельствуют о большом влиянии даже малого притупления на гиперзвуковое обтекание притупленных тел, чем и объясняется повышенный интерес к таким задачам. В дальнейшем будем (как правило) полагать носок тупым телом с сх~ 1, несмотря на то, что достаточно сх^>т2.

Значительная в сравнении с размером носка протяженность рассматриваемых при этом областей течения позволяет предполагать, что влияние деталей в распределении давления или углов наклона скорости в переходном начальном сечении между носком и боковой поверхностью затухнет на некотором удалении от него и на течение вниз по потоку будут влиять, во-первых, интегральные силовые характеристики носка и, во-вторых, распределение энтропии по линиям тока (или по массе) в высокоэнтропийном слое. Такая схематизация течения (положенная в основу излагаемой гиперзвуковой теории) справедлива лишь асимптотически, для достаточно удаленной от носка области, поэтому класс изучаемых ниже тел и течений должен удовлетворять условиям

L>R>rOl т« 1, Mw»l. (11.1.9)

В рамках этой схемы силовое воздействие носка можно считать сосредоточенным, приложенным к одной точке в районе притупления. •

Однако приведенные ниже иллюстрации показывают, что многие результаты такой асимптотической теории часто справедливы уже на расстоянии нескольких радиусов притупления, что существенно повышает прикладное значение теории и свидетельствует о более широкой применимости интегрального метода учета начальных данных в задачах обтекания притупленных тел L Поэтому в дальнейшем совместим точку приложения силового воздействия носка с переходным сечением между нос-

Интегральный способ учета начальных данных широко используется в механике, в частности, в теории пограничного слоя или распространения вязких струй. Этот способ не имеет строгого обоснования, но опыт решения и анализа многочисленных задач убеждает нас в его достоверности, кроме отдельных случаев.

ком и боковой поверхностью в начале цилиндрической системы координат (см. рис. 11.1).

Обратим внимание на следующее обстоятельство. В сверхзвуковом потоке всякое выравнивание начальных возмущений происходит путем многократного взаимодействия звуковых волн или характеристик. Но в ударном слое тонкого (как заостренного, так и притупленного) тела местные числа М~а-1 очень велики (см. § 8.1), поэтому область взаимодействия или отражения возмущений может быть достаточно протяженной. Кроме того, из § 3.5 следует, что возмущения, дойдя до скачка уплотнения, при этих условиях отражаются от него весьма слабо. Поэтому основное выравнивание возмущений происходит в сравнительно разреженном высокоэнтропийном слое благодаря их отражению от более плотного ударного слоя. В высокоэнтропийном слое числа М — а~(7^1)/7 существенно меньше, чем в ударном, практически течение в нем умеренно сверхзвуковое (см. рис.^11.2). Все это определяет характер распространения возмущений, показанный на рис. 11.1.

§ 11.2. Обтекание притупленных пластины и цилиндра.

Взрывная аналогия

Простейшим примером тонких притупленных тел являются притупленные пластина (v = 0) и цилиндр (v= 1), с которых начнем изучение этого класса тел пока для совершенного газа. Угол наклона ударной волны в этом случае изменяется от прямого (а^л/2) вблизи носка до угла Маха а~М~т на достаточном удалении. Поэтому при Моо^>1 должна существовать протяженная область с малыми углами наклона ударной волны а^ ^(л;)^!, для которой применим закон плоских сечений. Этот закон несправедлив в окрестности носка и, как следствие, в высокоэнтропийном слое, но пока этим пренебрежем.

В рамках закона плоских сечений радиальное течение в плоском неподвижном в пространстве слое единичной ширины, перпендикулярном к направлению движения тела, будет совпадать с эквивалентным нестационарным течением, вызванным (в нашем случае) сосредоточенным силовым воздействием притупления. Это воздействие сводится к выделению энергии, равной работе сопротивления носка, и сообщению газу поперечного импульса

E = X0=^c^QJJ^ (11.2. 1)

_ Импульс J вычислен для верхней полуплоскости г^О при V —U и на единицу угла между близкими меридиональными плоскостями при v=l (см. § 8.3). Поэтому для вычисления / необходимо знать распределение давления не только по поверх-

ности носка (как для Хо), но и в ударном слое по плоскости г = 0 при v = 0 и по меридиональной плоскости при v=l.

Боковая же поверхность притупленных цилиндра или пластины не вносит вклада в сопротивление, поэтому суммарная энергия в таком течении будет постоянной, но количество движения расходящегося газа будет возрастать за счет действия распределенных сил давления по плоскости пластины (v = 0) или по соседним меридиональным плоскостям и -поверхности цилиндра 0 = 1).

При условиях (11.1.9) выделение энергии и импульса происходит в области с размером fo<CR за время 1о = гои-г<^Еи~^ много меньших характерных пространственного и временного масштабов течения.

Таким образом, в рамках схемы нестационарной аналогии влияние притупления на газ эквивалентно точечному взрыву с наложенным начальным импульсом.

Но в такой постановке задача о взрыве неразрешима. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим предельный случай у—>1, —>*00, когда (согласно § 10.2 и 10.4) весь газ при взрыве сосредоточен в узкой, шириной порядка (у—1)/?, области вблизи ударной волны, а вне этой области давление р0 постоянно. В этом случае интегральные уравнения энергии и импульсов (8.3.6) и (8.3.13) с учетом упрощений, принятых в § 10.3, примут вид

QooW+’+ (яр2у — 1

t(11.2.2)

e^+v^Cv-HV+O+i) f p0R-dt.

6

Эти уравнения с заменой x=Uoot описывают и предельное течение около притупленных цилиндра или пластины. Второе уравнение при t—>0 имеет вид /?1+v^ = const, что при /?->0 невозможно при конечной кинетической энергии. При сильном же взрыве (рассмотренном в § 10.2) 7 = 0, и применение этого решения к нашему случаю требует оговорок.

Эту трудность обойдем, предположив, что профили величин между телом и ударной волной те же, что и при взрыве, с энергией Е = Х0, начало которого, однако, следует отнести к некоторой точке х =—х0 впереди тела для того, чтобы в плоскости х = 0 импульс газа, нарастающий как z'(U v)(3^v> был бы равен величине J. Тем самым удовлетворим двум основным законам сохранения: энергии и импульса (причем первый закон в исходной стационарной постановке задачи эквивалентен закону сохранения количества движения в продольном направлении, см.

§ 8.3). Тогда искомое решение согласно § 10.1 и 10.2 при Моо = = оо примет вид

Jo=x,(Y)eoo^L(A:1 + ^10) 3+7%(Х);

Ri=Д==/ЛУ)+1 + -М2/(3++(11.2. 3)

-v=uoo-^l v0(x), Q=e=oeo+);

гИ’гИ’x v _ xo -Г0)— %o( Cx\V(l + v)

г

И’

г

И’

Д0) > ^o r№ , r - ^^ r^ 2 )

Переменные Xi и i\ здесь те же, что и в § 5.5, а характерный размер-г(0) связан лишь с сопротивлением носка.

Для конечного противодавления или числа Моо аналогично получим

-^=Р(Х,т), /?1 = M^/d+^v^oCr);

-и = а»+1(Х,т), q^^coq+t);(11.2.4)

е°° °° |= х +—о М-(3+'>/0+--)Е /г<°>00

(Коэффициенты Xv и /? приведены в гл. 10 на рис. 10.3, а функции Р(0, т) и /?о(т) — на рис. 11.3).

Сдвиг координат Хо=^оо/о определяется из условия

R

QW^dr^J = Q^U^rx^4.(11.2.5)

6

Подставляя в левую часть уравнения точное решение для сильного взрыва, после вычислений и аппроксимаций при у <5/3, получим

Х„-ЛСАу"' + " = „,(т)(?1^2у»->"»'|/^-10«1; (11.2.6) го \сх)\у2 — 1/

/0=, «)0 = 0,68 [1+1,15(y-1)1, a)1 = 2,25[l-0,l(Y-l)].

Если /§ импульс, сообщаемый боковой поверхностью, то

(11.2. 7)(11.2. 7)(1 + х[х^ = (1 + J.IJP^W^.

(11.2. 7)

(11.2. 7)

Далеко от носка, при х^>х0 начальный импульс перестает влиять на течение. Тогда в формулах (11.2.3) — (11.2.4) можно

Рис. 11.3. Давление и ударные волны для цилиндрического и плоского взрывов:

Роо^О, взрыв с противодавлением (см. 11.2.4);

•— — сильный взрыв без учета противодавления

(см. 11. 2. 3)

принять Хо = О> и они совпадут с формулами для сильного взрыва с центром в точке х = 0 и будут отражать закон подобия, который объединяет течения для различных носков и чисел Маха и

Рис. 11.4. Давление и ударные волны на притупленных цилиндре и пластине, у=1,4, Мсо = сю: численный расчет для круглого носка ^сх = 1,25 при

v = ^’ сх = ^’^’ V = П^ сильный взрыв со сдвигом координат;сильный взрыв при х0 = 0;

ОО О—эллиптический носок:

а/в = 0,5, 6^ = 0,517, v = 1; <?/в = 2, ^ = 1,44, v = 0

асимптотически точен при х/Го—^°°. В этом и состоит классический вариант взрывной аналогии !, очень эффективной в оо-

Взрывная аналогия сформулирована в работах С. Лина, X. Ченга, А. Паллоне и Г. Г. Черного, цитированных в § 11.1. Связь сдвига координат с импульсом введена в работе В. В. Лунева и В. Г. Павлова (МЖГ, 1966, № 6).

ласти своей применимости, так как для ее использования необходимо знать лишь коэффициент сопротивления носка, для вычисления которого обычно вполне достаточно формулы Ньютона (см. гл. 5). Как следует из рис. 11.4 — 11.6, в таком виде взрывная аналогия имеет удовлетворительную точность на достаточ*

Рис. 11.5. Давление и ударные волны на притупленной пластине с круглым носком у = 1 ,-4; точный расчет:

хо =2,5 г0;—Xq = 0;

— X —X— взрыв с противодавлением; 1 — М^ = 10;

2-Мт =7

ном удалении от носка (порядка нескольких десятков его радиусов) .

Отметим еще сравнительно быстрое (уже при %>4г0) стремление профилей давления и, вблизи ударной волны, плотности (температуры) к соответствующим профилям при взрыве (рис.. 11.7). Плотность (температура) вблизи тела, в высокоэнтропийном слое, имеет качественно другой характер и в соответствии с формулами (11.1.6) определяется распределением энтропии за отошедшей от носка ударной волной. В частности, на’ поверхности тела энтропия определяется прямой ударной вол-

ноц s=l или параметрами торможения в критической точке тупого тела. Взрывная же аналогия дает в центре нулевую плотность и бесконечные энтропию и температуру, что является ее существенным и принципиальным ограничением.

Параметр /0 иля достаточно тупых носксв (сх > 1) сравнительно слабо зависит от их формы (см. рис. 5.14) и поэтому практически не нарушает закона подобия, как показано на рис. 11.4. Сдвиг координаты х0 для таких носков при у=1,4 невелик (порядка их размера). Так, для круглого носка /о=О,8/, х1О=5,57о =3,7, х0 = 2,4г0 при v=l; 7o=l,O5, Хю =3,5/q =4,1, x0=2,5r0 при v=0. Однако и такой сдвиг делает точность взрывной аналогии удовлетворительной уже на расстоянии порядка размера носка, что следует из рис. 11.4—11.3. (Для лучшей корреляции результатов на некоторых рисунках на малых рас стояниях от носка сравниваются, по существу, площади поперечного сечения возмущенного слоя, а не непосредственно формы ударных волн).

Но если тело не очень тупое, то величина /0 для него может быть заметной (для острого конуса, например, /0~ (2 tg Оо)-)^ 1 при малых 0О).

Влияние этого параметра становится существенным и при малых у, так как Хо 00 при у->1.

Конечно, лишний параметр /0 лишает взрывную аналогию элементарности S так что учет его ставит целые скорее уяснение принципиальной стороны вопроса, чем получение расчетных формул.

Взрывная аналогия может быть использована и для описания течения в дальнем следе за каким-либо телом *, так как речь в этом случае идет о расстояниях порядка десятков и даже сотен калибров тела (на которых влияние параметра /0 уже мало). Для примера на рис. 11.8 дано распределение давления за тонким притупленным конусом, которое описывается взрывной аналогией, несмотря на сложную конфигурацию донной части тела и внутренние скачки уплотнения.

При у-Ч на любом конечном расстоянии х<^х0 формулы (11.2.3) перестают зависеть от х, причем ро^(\—I) убывает, а R^^—l)-7/(I + v) нереально возрастает с уменьшением у. В действительности же в этой области боковая поверхность тела в силу /8 </ не влияет на движение ударного слоя, который согласно § 5.5 становится свободным, а решение, основанное на взрывной аналогии, становится неприменимым. В этом случае при R'<^1 уравнения (11.2.2) имеют простое решение

^^(l+V) (2 + у)/гУ'л + ^+', (л)” р0 = £ (у - 1) /?-<1+’>. (11.2.8)

Первая формула является предельной формой решения (5.5.5) для свободного слоя при R^>r0, х^Го. Под pQ здесь следует понимать среднее значение давления под свободным слоем. Схема свободного слоя применима, пока ро^р8, где ps^poot/^/?'12 давление за ударной волной. Поскольку p^R-^^^ , a po~R~U + v),to с ростом R получим р$~ psn х~х0. В этой области схема свободного слоя не применима и начинает формироваться уже «взрывная» картина течения 2.

Решение (11.2.8) показано на рис. 11.9—111.10 и для у=1,05 дает положительные результаты для большой окрестности носка, но, уже при у=1,13 это согласие нарушается^! аким образом, для реальных (см. § 1.9) значений показателя адиабаты у > 1,1 схема свободного слоя практически не имеет приложений (на что указано в § 5.5).

Рис. 11.6. Давление (а, 5) и ударные волны (в) на притупленном цилиндре со сферическим носком при у—1,4:

Xвзрыв с противодавлением;а — хй = 0; б и в — х0 = 2,4г0Xвзрыв с противодавлением;а — хй = 0; б и в — х0 = 2,4г0Р РР Р

Xвзрыв с противодавлением;

а — хй = 0; б и в — х0 = 2,4г0

Xвзрыв с противодавлением;

а — хй = 0; б и в — х0 = 2,4г0

Р Р

Р Р

' 7* Профили давления и плотности между цилинд-ром со сферическим носком и ударной волной

Моо = оо, у=1Д:

X _

г0 =°; 2~х~Мг0; 3-х-6,05го; 4-Х-12.9Г0;

сильный взрыв

В то же время в следующем параграфе покажем, что при интегральном учете процессов в высокоэнтропийном слое взрывная аналогия дает правильные результаты и для малых у—1 уже на небольших расстояниях от носка (см. рис. 11.9—11.10).

Рис. 11.8. Распределение давления в следе за телом:Рис. 11.8. Распределение давления в следе за телом:1 - r0/L = 0,48; d/r0 = 1,04; сх = 0,54;1 - r0/L = 0,48; d/r0 = 1,04; сх = 0,54;70 — 1,2; х 1 о — 7,9;70 — 1,2; х 1 о — 7,9;

Рис. 11.8. Распределение давления в следе за телом:

Рис. 11.8. Распределение давления в следе за телом:

1 - r0/L = 0,48; d/r0 = 1,04; сх = 0,54;

1 - r0/L = 0,48; d/r0 = 1,04; сх = 0,54;

70 — 1,2; х 1 о — 7,9;

70 — 1,2; х 1 о — 7,9;

^ = 0,35;10 = 1,45;d[r0 = \№ сх = ^Дй\^ = 0,35;10 = 1,45;d[r0 = \№ сх = ^Дй\х0 = 4,7г0;2 — r0/L = 0,35; djr0 = 0,8;

^ = 0,35;10 = 1,45;

d[r0 = \№ сх = ^Дй\

^ = 0,35;10 = 1,45;

d[r0 = \№ сх = ^Дй\

^20= 13,2; х0 = 5,5г0;3 - r0[L = 0,27:

7о = 1,9; _г10 = 20,2; х0 = 6,0 г0

точные кривые;сильный взрыв с противодавлениембез сдвига координат; — • — взрыв со сдвигом;

Вернемся теперь к полученным в § 11.1 оценкам области влияния притупления для тел с малым порядка т, но> конечным углом наклона боковой поверхности. Очевидно, что на передней части тела х < Li, где R' > т, форма ударной волны и давление за ней все еще определяются взрывной аналогией, а не углом т, как это было принято в § 11.1. Чтобы определить Lt, положим в формулах (11.2.3) R'~t или р^р^^т2.

Тогда получим, что LX~L, где длина L определена формулой (11.1.2) Таким образом, более точный учет давления на теле (чем по принятой в 264

формуле Ньютона) не изменил полученных там оценок области влияния притупления.

Рис. 11.9. Давление на притупленных пластине и цилиндре при Моо=оо и малых (у— 1):точный расчет; —сильный взрыв, — сильный взрыв со сдвигбм с учетом эффекта перетекания (7 = 1,13, v = О, « 1,5, f* « 1,15, -rQ ^ 3);—Х—Х — свободныйРис. 11.9. Давление на притупленных пластине и цилиндре при Моо=оо и малых (у— 1):точный расчет; —сильный взрыв, — сильный взрыв со сдвигбм с учетом эффекта перетекания (7 = 1,13, v = О, « 1,5, f* « 1,15, -rQ ^ 3);—Х—Х — свободныйРис. 11.10. Ударные волны для притупленных пластины и цилиндра при Моо = оо и малых (у—4): точный расчет;сильный взрыв;—сильный взрыв со сдвигом с учетом эффекта перетекания;—Х—Х—свободный слой (11. 2. 8)Рис. 11.10. Ударные волны для притупленных пластины и цилиндра при Моо = оо и малых (у—4): точный расчет;сильный взрыв;—сильный взрыв со сдвигом с учетом эффекта перетекания;—Х—Х—свободный слой (11. 2. 8)слой (11. 2. 8)слой (11. 2. 8)

Рис. 11.9. Давление на притупленных пластине и цилиндре при Моо=оо и малых (у— 1):

точный расчет; —сильный взрыв, — сильный взрыв со сдвигбм с учетом эффекта перетекания (7 = 1,13, v = О, « 1,5, f* « 1,15, -rQ ^ 3);—Х—Х — свободный

Рис. 11.9. Давление на притупленных пластине и цилиндре при Моо=оо и малых (у— 1):

точный расчет; —сильный взрыв, — сильный взрыв со сдвигбм с учетом эффекта перетекания (7 = 1,13, v = О, « 1,5, f* « 1,15, -rQ ^ 3);—Х—Х — свободный

Рис. 11.10. Ударные волны для притупленных пластины и цилиндра при Моо = оо и малых (у—4): точный расчет;

сильный взрыв;

—сильный взрыв со сдвигом с учетом эффекта перетекания;—Х—Х—сво

бодный слой (11. 2. 8)

Рис. 11.10. Ударные волны для притупленных пластины и цилиндра при Моо = оо и малых (у—4): точный расчет;

сильный взрыв;

—сильный взрыв со сдвигом с учетом эффекта перетекания;—Х—Х—сво

бодный слой (11. 2. 8)

слой (11. 2. 8)

слой (11. 2. 8)

Влияние высокоэнтропийного слоя

В § 11.2 указано, что взрывная аналогия не описывает течение в пристеночном высокоэнтропийном слое, параметры в котором (оцененные в § 11.1) определяются изоэнтропическим расширением газа от состояния за отошедшей от притупления Ударной волны до малого давления p^pooU^a2 на боковой поверхности тонкого притупленного тела. (Причем угол наклона Ударной волны а может превышать соответствующий угол е = ^М^+т на заостренном теле за счет влияния притупления.) В связи с этим рассмотрим некоторые свойства течения в высокоэнтропийном слое и его влияние на течение в целом.

. Расходы газа через высокоэнтропийный слой и через всю возмущенную область и их отношение имеют соответственно порядки

%~n’ri+.eooZ7co; = + ф0/^~(г0//?)1 + ’<<1.(11.3. 1) 10 2382

Однако толщина высокоэнтропийного слоя может стать значительной вследствие малой плотности р0^Рооа2/Т в нем. Так, для притупленных пластины и цилиндра для границы г^ (%) высокоэнтропийного слоя получим оценку

r8 ~№WA^» г0.(И. 3.2)

Согласно взрывной аналогии R^x2^3+^ , поэтому с учетом a~dR,dx получим

V^~^-2(1+’)/(3+v), гЖ — х-^-гм^у (П. 3.3)

Как видно, относительный расход газа через высокоэнтропийный слой уменьшается с увеличением х значительно быстрей, чем относительный его размер. Граница же слоя при у^1 всегда отходит от ударной волны. Поэтому нельзя, например, заменив границу высокоэнтропийного слоя твердой поверхностью, рассчитать давление на ней по формулам Ньютона или Буземана. В этом случае, полагая, р~ (dr^Rlx)2 и г^ ~ Р~^\ получим

р^х~п, где ^ = 2y(l + v)/[2-]-y(l-(-v)], что противоречит при у=/=1 взрывной аналогии.

Выпишем теперь уравнение движения в поперечном направлении в форме Мизеса

—= -(2лг)'^.(11.3.4)

дхдф

Полагая в нем г8, Аф~ф0 и учитывая, что u^aUoo, р^ получим оценку перепада давлений поперек высокоэнтропийного слоя

А£(О-^Г < _Zo_ .(11.3.5)

р аАл \ г8 / аАл

Если поверхность тела достаточно гладкая, то

\х~ L, \plp<rQlR<\.(11.3.6)

Но поперечный перепад давлений необходимо учитывать, ^если поверхность тела имеет участки малой кривизны, где Az<r0/a (например, в волне разрежения или сжатия около угловых точек), так как плотность газа в высокоэнтропийном слое мала, но конечна.

Таким образом, высокоэнтропийный слой представляет собой область с малой плотностью и расходом (массой) и, как правило, с почти постоянным давлением, что делает его качественно схожим с центральной частью взрывной зоны. В этом одна из причин успешного применения взрывной аналогии к обтеканию тонких притупленных тел.

Оценим величину дефекта продольной скорости в высокоэнтропийном слое. Используя уравнение Бернулли

т т^*

(11.3.7)

и учитывая, что в высокоэнтропийном слое А^>^2, получим для малых h

LU=U^u = Uoo-VUl~‘2h^^-h^ CV-t-ix (11. 3. 8)

Из-за малости степени (у—1)/у ^0,14-0,3 дефект скорости в высокоэнтропийном слое оказывается много большим, чем в ударном (или для тонких заостренных тел), где Ди^а2^, а следовательно, точность закона плоских сечений в этом слое много хуже.

Для реальных условий обтекания тонких притупленных тел воздухом с учетом физико-химических его превращений на поверхности тела обычно Дц/£/оо~ 0,24-0,5.

Конечно, kuiUoo—>0 при а->0, но другой порядок точности закона плоских сечений требует специальной коррективы, основанной на нем взрывной аналогии.

Для оценки этого эффекта воспользуемся интегральным уравнением продольного импульса в форме (8.3.5).

R

(2л)v

E*=E0-VEv E^X^^c^+W^;(11.3.9)

^dr.^dr.- «Р U - U

^dr.

^dr.

——I^A

2U

Интеграл Ei представляет собой добавочную по сравнению с работой поршня Х§ энергию газа в перпендикулярном к направлению движения плоском неподвижном в пространстве слое единичной ширины, обусловленную продольным перетеканием газ^а, сопровождающимся переносом кинетической и потенциальной энергии и работой проталкивания. При Moo^l вторым слагаемым в Ey можно пренебречь. Кроме того, для тонких тел внутри высокоэнтропийного слоя можно заменить и на полную скорость U. Тогда получим

^1=4" С^и°0-иу сП/.(11.3.10)

2 J U Т7

о

Здесь интегрирование распространено лишь на высокоэнтропийный слой с расходом фз, поскольку вне его подынтегральная величина мала, порядка а4. Так как U=U(p, ф), то Ei зависит лишь от давления, постоянного поперек высокоэнтропийного слоя, и от формы носка. Как видно, добавочная энергия Ei имеет более высокий порядок малости, чем дефект скорости Uoo—u.

Уравнение (11.3.10) показывает, что эквивалентное обтеканию притупленного тела нестационарное течение в плоском слое обладает энергией большей, чем работа силы сопротивления носка на единичном пути. В частности, для притупленных цилиндра или пластины течение соответствует взрыву с энергией Е*>Е0 — энергии, сообщенной газу носком.

Для оценок величины EY представим форму ударной волны около носка в виде параболы 2z7?0 = ^ радиус кривизны на оси /?о которой свяжем с сопротивлением носка, аппроксимируя практически универсальные функции ^(W) (см. рис. 5.16) зависимостью

1i+^/d+d ’2 j С Во / ‘

(11.3. И)

(7^1/2 при v = 0, ^=1/4-н1/8 при v = 1 и № <4).

Так как область малых значений s дает малый вклад в интеграл (11.3.10), то при вычислении условность границы фв не играет особой роли. Результаты таких расчетов (при ^з ^ ~0,1) показаны на рис. 11.11. Для малых давлений (точнеедля е<^1) можно получить разложение

Е\ 1(’9/Y/ Р \2(Т О/Т / ч Q

—av =— \ е =, (11.3.12)

Во8 }’ I 6оо^ /’

I °4 q 2-y,

При у=1,4 можно считать E^^Eq, что и объясняет хорошую точность взрывной аналогии на рис. 11.4 — 11.8. С уменьшением у и ростом р (т. е. с ростом е) роль EY возрастает. При этом отношение EJEq при у—>1 ограничено при v—1, но для плоского течения (v = 0) вследствие того, что U—>0 на теле неограниченно возрастает1

д-^-»-1- при v=l, Vq" ^- ln(l —eV2)-0,3

при v = 0.(11. 3. 13)

При М„=оо и х—>оо очевидно Ei-^О вместе с р(т-1)'т, и энергия газа в любом плоском слое стремится к величине Ео, т. е. взрывная аналогия применительно к обтеканию притупленных

м = 0; v = 1;предельная формула (11. 3. 13)

пластины и цилиндра и с этой точки зрения носит асимптотический характер.

Эффект продольного перетекания газа можно просто учесть с помощью взрывной аналогии и метода эффективной энергии (сформулированного для взрыва в гл. 10) или применительно к

притупленным телам, метода эффективного коэффициента сопротивления носка

(11.3.14)

Для этого в формулах (11.2.3) — (11.2.4) взрывной аналогии, а также в формуле (11.2.6) для сдвига координат величину сх следует заменить на с*х. Как следует из рис. 11.9 — 11.10 (на которых величины с* ввиду малости степени (у—1)/у взяты просто постоянными), скорректированная таким образом взрывная аналогия имеет удовлетворительную точность в реальном диапазоне у> 1,1 уже на расстояниях нескольких величин радиусов носка.

Следует подчеркнуть, что применение взрывной аналогии с учетом поправок на импульс (см. §11.2) и на эффективный коэффициент сопротивления не имеет строго асимптотического характера (кроме области х—>оо, где влияние этих поправок исчезает), а основано лишь на методе интегральных соотношений, т. е. на предположении о совпадении профилей в возмущенном слое с профилями при взрыве, чего нигде (по крайней мере для конечных расстояний от носка) доказано не было.

Об эффекте вытеснения высокоэнтропийного слоя

Рассмотрим теперь обратную задачу отыскания форм тела г№(х), индуцирующего при Моо = оо, начиная с некоторого расстояния х>хо, «взрывную форму» ударной волны

r = Мт / х

где сх и 20 — коэффициент сопротивления и радиус эквивалентных притупленных цилиндра или пластины, вызывающих при х-^оо ту же ударную вол ту. Форма же начального участка ударной волны R2W при х<хо может быть пока произвольной (рис. 11.12).

Такая постановка задачи закономерна, так как ударная волна является нехарактеристической кривой (см. § 3.2) и задание любого ее участка ab в сверхзвуковой области полностью определяет течение в треугольнике abc> ограниченном характеристикой cb и линией тока ас.

Из уравнения расхода следует очевидное равенство'

(11.4.1)(11.4.1)ФеФе

(11.4.1)

(11.4.1)

л’ ) t^QHM) w л’ }’

оо

^ = Q=V R1+\

где Qi(P* Ф)—распределение плотности по массе Ч^/Л^ при взрыве, а р2(р, [Др, ф) — распределение плотности и скорости в реальном стационарном течении с ударной волной Ra^x). Рассмотрим сечение Хс^Ха столь удаленное, что рс^Ра. Тогда ниже точки с плотность р < ра(р/ра)1п будет столь мала, что давление будет постоянным (таким же, как и при взрыве, — ^оо^^Г2^^3^)’ и из (И-4-!) с учетом (11.1.6) получим

Здесь Si^) и 52(4^) — распределения энтропии по функциям тока в сравниваемых течениях. Пусть теперь ударная волна всюду совпадает со взрывной. В этом случае

51 = "^У ■ 52 ~ 1 + ^Д ’ ^ = (—з-) ^ (3+')- (11.4.3)

Полагая в (11.4.2) U~U^ и Ч^ ^оо (интеграл при этом будет равен величине у/(Т— 07v), получим

— V_ п r2/T(3+v)A ^-2(T-l)/T(3+v).

>xfTqК

(11.4.4)(11.4.4)v L^ y + 1'y + i/ v J ’ v X.

(11.4.4)

(11.4.4)

функции qs, д, Ь^ показаны на рис. 11.13. Форма тела гДх) изменяется п, тому же закону, что и толщина высоко энтропийного слоя, а при у 1 имеем 1 и r^-^R, как и для траектории частиц при сильном взрыве.

Носовая часть искомого тела остается при этом неизвестной (для ее оп- Р деления нужно решать более сложную задачу Коши, в частности, в дозву- о ооласти за отошедшей ударной волной), но некоторые представления наоси^°^о° ПОлучить ПР°СТС- Радиус кривизны «взрывной» ударной волны

Ro/ro = -~ Xi

|/ ^«o, 2^0.5

при v = 1, Y= 1,1 4- 1,67, Сл. = о,9,

причем 7?о—у0 при у-*1. В осесимметричном случае радиус сферического носка п< 7?о, поэтому сопротивление его (пропорциональное г?) в несколько раз- меньше, чем у сопоставляемого цилиндра радиусом г0, т. е. значительная часть сопротивления искомого тела поставляется боковой поверхностью. Это

-2(7-1) (1 + у) сопротивление Х->Х0 при х—^оо, но разность Х^—Х~Х^хх 7 <3+v> убывает медленно.

При х -> оо относительная толщина тела rw]R->Q, и онс становится похожим на притупленные цилиндр или пластину. Взрывная аналогия при этом точно описывает течение окслО' них (кроме распределения энтропии в высокоэнтропийном слое), в чем и состоит ее асимптотический смысл применительно к обратной задаче. Асимптотика эта, однако, достигается медленно. Так, отношению r^JR^OA соответствуют огромные расстояния %i>10n, где н = 7ч-20 для v=l и н=15н-1Б для v = 0 при у=1,4н-1,1. Из приведенных на рис. 11.4—11.10 данных следует, что «взрывная» асимптотика применительно к прямой задаче обтекания притупленных пластины и цилиндра устанавливается значительно быстрей.

Таким образом, рассмотренная обратная задача имеет в сущности лишь косвенное отношение к прямой задаче обтекания притупленных пластины или цилиндра, а полученное при этом тело мало на них похоже.

В прямой задаче описанный вытесняющий эффект высокоэнтропийного слоя должен иметь тот же порядок rw/R~рП-ПЛП + Л, причем больший, чем эффект перетекания Е^рЭД—D/Т, и казалось бы на величину такого порядка должна быть подправлена взрывная ударная волна в прямой задаче (напои- мер, r^JR«0,7-^,4 при Xi=104-100 даже при у= 1,4). Однако в действительности этого не происходит. Мы видели выше, что взрывная аналогия (со сдвигом координат и с учетом эффекта перетекания) описывает течение около притупленных тел и без учета эффекта вытеснения. Этот эффект мал в основном потому, что форма ударной волны в окрестности тупого носка (как и форма носков) значительно отличается от соответствующей взрывной.

В принципе возможна такая форма передней части ударной волны Т?2(#)> при которой формула (11.4.2) дает rw=0, а взрывная аналогия для цилиндра или пластины с таким специальным носком дает близкую к точным ударную волну и давление, что, видимо, и имеет место в действительности.

Причина такого удачного стечения обстоятельств заключается в следующем. Объем V совершенного газа определяется лишь его давлением р (пусть постоянным) и потенциальной энергией E<°)=pV/(7—1) и совсем не зависит от распределения энтрспии (плотности). Следовательно, в силу специфики течения при взрыве или около притупленных пластины и цилиндра (почти постоянное давление между телом и ударной волной и близость энергии Ew к полной Е, § 10.2 и 10.3) уравнение энергии уже задает вполне достоверную связь между давлением и объемом nv (7?1+v—roJ+v) возмущенной области, включая и высоко энтропийный слой (другую связь дает уравнение импульсов). В этом мы уже убедились, с успехом применив простейший интегральный метод к решению задачи о взрыве в § 10.3.

Поэтому в рамках взрывной аналсгии нет особой необходимости в специальном учете эффекта вытеснения высокоэнтропийного слоя и при построе* нии дальнейшей теории обтекания тонких притупленных тел для получения простых и эффективных результатов будем исходить по-прежнему из интегральных представлений о влиянии носка, сформулированных в § 11.1.

с 11.5. Закон подобия обтекания тонких притупленных тел с геометрически подобной боковой поверхностью 1

В § Н.2 на основе взрывной аналогии установлен закон подобия гиперз1вукового обтекания притупленных пластины и цилиндра. Ниже обобщим его на притупленные тела с геометрически подобными кусочно-гладкими боковыми поверхностями

="Ьг^-к'), (x' = x[L, г’=г!хЦ (11.5.1)

TL TL

и сделаем попытку применить его ко всем течениям в целом, в том числе и на высокоэнтропийный слой.

Одинаковый для всех тел параметр т включен в (11.5.1) для указания порядков величин и чтобы подчеркнуть те трудности, которые препятствуют получению закона подобия для аффинноподобных тел. Будем полагать

т«1, М^»!,

так как лишь при этих условиях область влияния притупления достаточно велика.

Методически будем следовать тем же путем, что и при выводе общего закона подобия (см. § 4.2) или закона подобия обтекания тонких заостренных тел (см. гл. 8), поэтому подробно остановимся лишь на новых элементах, связанных с учетом влияния притупления.

Перейдем к тем же безразмерным переменным, что и в гл. 8

, р . . h, , о^ОО ОООО^оо, р . . h, , о^ОО ОООО^оои' = —и' = —, ЧУ, ЧУ-и(11.5. 2)-и(11.5. 2)

, р . . h, , о

^ОО ОООО^оо

, р . . h, , о

^ОО ОООО^оо

и' = —

и' = —

, ЧУ

, ЧУ

-и

(11.5. 2)

-и

(11.5. 2)

При этом в уравнениях движения как в ударном, так и в высокоэнтропийном слоях не появятся безразмерные определяющие параметры, кроме уравнения продольного количества движения, или уравнения Бернулли:

и/ = 1 - ]/1 - 2 (^ - h'^ т2 - ^'2т2.(11. 5. За)

В ударном слое, где справедлив закон плоских сечений, как и

для заостренных тел, следует положить и'«1. В высокоэнтропийном слое это уравнение запишем в виде (см. § 11.3):

и* ^U*и* ^U*(11.5. 36)(11.5. 36)

и* ^U*

и* ^U*

(11.5. 36)

(11.5. 36)

тел полученытел полученыР р ДеРвые ?А3ЛльТаты по теории подобия обтекания таких *„ *• черним [48] и X. Ченгом (JAS, 1959, № 9), ас учетом влияния высоко- 1961°№ 6;МЖга^^ СВ°ЙСТВ Га3а В неМ ~ В- В- ЛУневьш <ПММ’

тел получены

тел получены

Соотношения на внутренних скачках уплотнения rs(x), как ина поверхности тела (y = z/tg6), при переходе к переменным (11.5.2) не изменяют вида.

Соотношения же на головном скачке уплотнения около боковой поверхности тела вследствие условия и^\ в ударном слое приведут (для совершенного газа в набегающем потоке) к параметрам у и МооТ, как и для заостренных тел.

Сформулируем теперь граничные условия в начальном переходном сечении xz = 0 между тупым носком и боковой поверхностью. Точный учет этих условий приведет, по существу, к общему закону .подобия (см. гл. 4). Поэтому для ослабления требований в соответствии с общей постановкой задачи § 11.1 удовлетворим при %z = 0 лишь интегральным уравнениям количества движения в проекции на оси V, rz, которые в переменных (11.5.2) примут вид

lim2v \ (и' ^rr''idr,= К с ( — + t-(3+v);

г'

R'

lira \ Q’u’v'r’^dr'= Ix-^^l—V+ — 1йКт; (11.5.4) J\ L )

\ сх

Физический смысл параметров К, I пояснен в § 11.1.

Но эти условия не обеспечивают еще подобия течений, в высокоэнтропийном слое или хотя бы подобия его границы rQ(x'). Дело в том, что все уравнения, определяющие распределение термодинамических параметров газа, записаны вдоль линий тока, и начальные условия для них заданы на ударной волне в окрестности притупления, форма которой (в отличие от скачка уплотнения около боковой поверхности) должна быть в нашей постановке известна заранее.

Соотношения на этой ударной волне при Moo^l имеют вид (см. § 2.3)

ps^JJ^X-k\ h^^U^i-k*),

(11.5.5)

где а — угол наклона ударной волны в точке пересечения ее линией тока xp = const.

Пусть газ в высокоэнтропийном слое будет или совершенным или равновесным с постоянным вдоль линии тока (для

качественных лишь оценок) эффективным показателем адиабаты уЛЛ (§ L9)- Тогда (Y*—1)/(У*+1) и согласно формуле (11.1.6) для изоэнтропических вдоль линий тока течений будем иметь соотношения (которые при наличии внутренних скачков будут определять параметры перед ними):

бобо^Соо^0^Соо^0— (Y* + ^ /2^^*5—1/Т*д;-'2 (7*—^/Т^Ч/Т*-

бо

бо

^Соо

^0

^Соо

^0

(Y*—1) \Y* + V

(11.5. 6)

— ————1— 51/7*^2(7* П/7* л'(г*—1)/Tse

2

Чтобы получить условие подобия распределения параметров в высокоэнтропийном слое, выпишем уравнение для линий тока

г'и+^-7ч1+^:=к\4r=2tl.(11.5.7)

™J 6'17'

о 0

При V^Vg имеем г' = г^. Здесь в форме тела (11.5.1) пренебрегли величиной ToILt, что можно сделать, если размер возмущенной области r-R>rQ (как обусловлено в § 11.1).

Если/^ 1, то qz^t2/7* Cl при s~l в высокоэнтропийном слое. В ударном слое имеем

Ф —s<l, р'>т2/ь

Поэтому погрешность в определении границы Vs порядка AV^ ^Vs слабо повлияет на форму границы высокоэнтропийного слоя Го (Z). Более того, при т-^0 можно полагать Vs—^°о (как это было сделано в § 11.3).

Из полученных соотношений следует, что обязательным условием подобия течений в высокоэнтропийном слое должно быть совпадение функций s(V), которые зависят от формы носка. Но эта зависимость (как показано в § 5.5) не столь велика по сравнению с качественным многообразием этих форм, поэтому будем предполагать в дальнейшем функцию s(V) универсальной, не зависящей от формы носка (на форму границы rs (х') это допущение отразится меньше, так как функция s(V) входит в (11.5.7) под интегралом).

Начальный импульс /0 асимптотически при т-^0 исчезает из уравнения (11.5.4) ib области Л^1. Для тел фиксированной длины L влияние /о согласно (11.1.3) тем меньше, чем большет. Учитывая еще сравнительно слабую зависимость /0 от формы носка (см. § 5.5), впредь также не будем этот параметр принимать во внимание.

Тогда получим следующий закон подобия. При гиперзвуковом обтекании совершенным газом (случай реального газа

рассмотрим позже) тел с одинаковой формой образующей 4(0 и при одинаковых критериях подобия

У, Мст, К, т(11.5.8)

зависимости безразмерных величин (11.5.2) от безразмерных переменных V, г' будут одинаковыми. Этот закон подобия по сравнению с общим, полученным в гл. 4, позволяет варьировать форму носка притупленного тела в пределах условия

ДО)/ с

= const, r^ = r01 — y+v.(11.5.9) L\ 2/

Легкопроследить,чтопоявлениет всистемекритериевподобия связаносвысокоэнтропийнымслоем.ПриК-^0толщина

этого слоя согласно (11.5.7) будет пренебрежимо мала. Тогда оба параметра т и К станут несущественными, и критериями подобия останутся лишь у и МооТ, как и для тонких заостренных тел аффинноподобной формы (см. гл. 8).

Параметр Мгот введен в систему критериев вместо Мто, чтобы подчеркнуть связь его с ударным слоем. Распределение же энтропии в высокоэнтропийном слое для совершенного газа не будет зависеть от числа Мто в силу закона гиперзвуковой стабилизации, справедливого при Moo^l для окрестности носка в области s~ 1.

Соотношения (11.5.6) — (11.5.7) подсказывают возможность подобия течений и для тел с различной относительной толщи ной. Для этого в высокоэнтропийном слое вместо р' и hf в системе безразмерных величин (11.5.2) следует ввести qq и h^. Тогда согласно (11.5.6) и (11.5.7) получим, что дополнительным условием подобия, сохраняющим относительную толщину высокоэнтропийного слоя, будет -^(b-iyr^ const, что возможно лишь при у*—И или в фиксированном диапазоне изменения т. Подобия профилей плотности во всей возмущенной области при этом получить не удается. Кроме того, этот закон подобия не приемлем для тел с изломом образующей. В самом деле, при повороте стенки на малый угол Аб по линейной теории получим Др/р'^МоАО , где число Маха на стенке Мо^^т-^*-1^1*. На заостренном теле или в ударном слое М~т-1 и прирост давления Npjр~М^)% подчиняется закону подобия.

Как и взрывная аналогия, полученный закон подобия имеет точный, асимптотический характер при А/г0—>0, т-^0. В этом случае согласно (11.5.7) в области, где К~\ и R~tw~tL, относительная толщина высокоэнтропийного слоя убывает как т2^*-1)/?* , и решающим фактором его влияния будет лишь энергия (продольное количество движения), переданная им ударному слою в начальной области течения. Но это убывание из-за малости у*—1 происходит слишком медленно (для сравнения

Го/Я^т^+^при /(~1), чтобы можно было рассчитывать на быстрое проявление асимптотических свойств. Можно было бы причислить к критериям подобия еще функции s(4f) и параметры /от, однако распоряжаться этими критериями практически нет возможности. Поэтому мы пренебрегли ими, включив их действительное, незначительное (как показано выше) влияние в погрешность закона подобия, предпочитая сохранить прибли-

Рис. 11.14. Распределение давления и ударные волны на конусах с ломаной образующей и с притуплениями в виде сферических сегментов (М=оо, у=1,4):

7- со = 80°, сх = 0,9, г0/А = 0,26, 0t = 10°, Q2 = 93 = 20°; 2 -ю =50°, <^ = 1,23, г0/Л = 0,22,[91=10°,92 = 93 = 20°;

3 — ш = 80°,8i=t0°,Q2=23°,93 = 0°; XXX -« = 50°,

91=10°,9i2 = 20°,93 = 0°; 4 — ™ = 85°, сх = 0,89, rQ[L =

= 0,065, ^=5°, 92 = 9з = 10°

женный характер теории, но с более широкой областью применимости.

В подтверждение закона подобия на рис. 11.14 приведены кривые распределения давления и формы ударных волн длл притупленных конусов с коническими щитками. Эти кривые близки между собой для тел с одинаковыми т, а для тел с разными т величины давления заметно отличаются.

Обобщим теперь закон подобия для реального газа. Из анализа течения в ударном слое получим, что для подобия течений должны совпадать те же параметры, что и для заостренных тел (см. § 8.5) с добавлением параметра Д’:

LlU^ U^x, h^ 6оо, qnoo, К.(И. 5. 10)

Здесь набор параметров qn характеризует состояние и состав газа.

В окрестности носка на ударной волне значения величин qs, qns, как и функция ^(W), зависят от тех же критериев подобия, что и течение около тупого тела, т. е. от Qoo, Uoo, qnoo, hoo, Го, а течение в высокоэнтропийном слое зависит еще от параметра т, который добавится к системе условий (11.5.10).

При этом для неравновесных течений нужно еще дополнительно предположить, что изменение г0 с условием г^ = const не отразится на распределении параметров в переходном сечении х' = 0.

Равновесные течения не зависят от размеров L или Гд. В принципе здесь возможно моделирование течений одного газа другим, если в сравниваемых течениях эффективный показатель адиабаты в уравнении состоянии p/Qh=(y*—1)/у* будет одинаково зависеть от pfpooU2^, hfU\. Однако для заданного газа это практически возможно (как и в гл. 4 и 8) лишь при одинаковых Qoo И Uoo.

Закон бинарного подобия для тонких притупленных тел требует некоторых пояснений. Трудность заключается в существовании околоравновесной зоны в окрестности критической точки тупого тела (см. § 6.6). В этой зоне, как и на проходящих через нее линиях тока, бинарное подобие не имеет места. Однако если эта зона мала, то влияние ее будет локализовано лишь в узком пристеночном слое и не отразится на течении в целом. Поскольку основные физико-химические процессы происходят в окрестности носка, то именно его размер и следует ввести в параметр бинарного подобия, а таким размером может быть величина г^ (с учетом сделанных выше замечаний). Тогда для заданного газа в системе (11.5.10) вместо двух параметров Qoo и L получим один QoofW.

Иллюстрации закона бинарного подобия для притупленного конуса приведены на рис. 4.3.

Интегральный учет влияния реальных свойств газа в высокоэнтропийном слое

Слишком жесткие условия подобия течений реального газа (полученные в § 11.5) можно ослабить путем интегрального учета влияния реальных процессов в высокоэнтропийном слое на течение в целом1 (как это делалось в § 11.2 и 11.3 и в гл. 10 для сильного взрыва), что позволит применить закон подобия к телам с аффинноподобной формой боковой поверхности, но

А. А. Никольский (ЦЖ, 19*61, №• 3) использовал такой подход для учета влияния излучения газа в окрестности носка на обтекание тонкого притупленного тела; в этом случае из эффективней энергии Е* [справа в (11.6.1)] следует вычесть энергию, излученную в окрестности носка.

лишь небольшой кривизны. Поскольку реальные свойства проявляются прежде всего в высокоэнтропийном слое, а в ударном слое при умеренно гиперзвуковых скоростях полета в атмосфере (например, при нормальной к скачку скорости (7ооТ<2000 м/с) газ почти совершенный, рассмотрим именно этот случай.

Представим уравнение состояния в квазисовершенной форме pl^h= (у—1)/(у£), где у — показатель адиабаты в набегающем потоке (см. 1.9). Для газа в равновесном состоянии функция Z=Z^p, h). В неравновесном течении функция Z будет зависеть еще и от других параметров, характеризующих состав и состояние смеси. Используя те же преобразования, что и в § 10.3, в уравнении энергии (11.3.9) заменим е на pIq^—1), а эффективную энергию (эффективный коэффициент сопротивления) на

Е^Е^-Е^-Е,, ^_=\ JL_Z^d^.

OxEq iZ

(11.6.1)

Слагаемое Ei учитывает влияние перетекания (11.3.16), а Е^— влияние реальных свойств газа в высокоэнтропийном слое. Интегрирование выполнено лишь по высокоэнтропийному слою, так как вне его Z= 1.

Эти величины вместе с функцией s^) слабо зависят от формы носка. Для равновесного течения в высокоэнтропийном слое функции Е^^p^^*-x^*vi Ей^р^*-1^* слабо зависят от давления. В неравновесном течении газ в высокоэнтропийном слое путем быстрого расширения и охлаждения, как правило, «замораживается» относительно состава и состояния в окрестности носка на большие (в десятки и сотни радиусов носка) расстояния. При этом Е^ и Е2 также зависят лишь от давления. Поэтому величина сх!сх будет практически постоянной для тел со сравнительно небольшим изменением давления (притупленные клин и конус), что подтверждается рис. 11.15 и 11.16, где для осесимметричных равновесных и неравновесных течений воздуха показано отношение c*jcx. В области действия закона бинарного подобия для сферических затуплений справедлива аппоокси- мация 1

с*

_£_= 1-0,09(0,16//^- l)zzV6

(11.6.2)

[//оо]=км/с, [Qoo] = r/CM3, [г0] = см.

заморажива-м для высатзаморажива-м для высат„„„ ‘ Д^ЛуЧена В-.Г- Воронкиным (МЖГ, 197В', № 1). Эффект ния высокоэнтропииного слоя в воздухе имеет место при г,^1

заморажива-м для высат

заморажива-м для высат

^ КМ’ “Ри г0^ 0,1 м и й ^ 30 км течение около тонких притупленных тел можно считать равновесным.

сх Юсх ЮРис. 11.15. Зависимость эффективного коэффициента сопротивления для осесимметричных течений в равновесном воздухе: /|— Mqq =оо, у = 1,4; 2 — 77=30 км (q^ =Рис. 11.15. Зависимость эффективного коэффициента сопротивления для осесимметричных течений в равновесном воздухе: /|— Mqq =оо, у = 1,4; 2 — 77=30 км (q^ == 1,8-Ю—^ г/см3),Uдо = 4 км/с; 3 — 77=30 км,Uод = 5 км/с; 4 —■ 77=60 км (Qqq = 3,4-10~5 >/См3), 77^ = 5 км/с; 5 — Н =30 км,Uqq = 7,5 км/с;6,8 — 77=60 км, U оо = 7,5 км/с; 7 — 77=60 Км; Uоо = Ю км/с; (7 — 7 — сферический носок;8 — сегмент со = 45°)= 1,8-Ю—^ г/см3),Uдо = 4 км/с; 3 — 77=30 км,Uод = 5 км/с; 4 —■ 77=60 км (Qqq = 3,4-10~5 >/См3), 77^ = 5 км/с; 5 — Н =30 км,Uqq = 7,5 км/с;6,8 — 77=60 км, U оо = 7,5 км/с; 7 — 77=60 Км; Uоо = Ю км/с; (7 — 7 — сферический носок;8 — сегмент со = 45°)Рис. 11.16. Зависимость эффективного коэффициента сопротивления от параметра бинарного подобия. Сферический носок:

сх Ю

сх Ю

Рис. 11.15. Зависимость эффективного коэффициента сопротивления для осесимметричных течений в равновесном воздухе: /|— Mqq =оо, у = 1,4; 2 — 77=30 км (q^ =

Рис. 11.15. Зависимость эффективного коэффициента сопротивления для осесимметричных течений в равновесном воздухе: /|— Mqq =оо, у = 1,4; 2 — 77=30 км (q^ =

= 1,8-Ю—^ г/см3),Uдо = 4 км/с; 3 — 77=30 км,

Uод = 5 км/с; 4 —■ 77=60 км (Qqq = 3,4-10~5 >/См3), 77^ = 5 км/с; 5 — Н =30 км,Uqq = 7,5 км/с;

6,8 — 77=60 км, U оо = 7,5 км/с; 7 — 77=60 Км; Uоо = Ю км/с; (7 — 7 — сферический носок;

8 — сегмент со = 45°)

= 1,8-Ю—^ г/см3),Uдо = 4 км/с; 3 — 77=30 км,

Uод = 5 км/с; 4 —■ 77=60 км (Qqq = 3,4-10~5 >/См3), 77^ = 5 км/с; 5 — Н =30 км,Uqq = 7,5 км/с;

6,8 — 77=60 км, U оо = 7,5 км/с; 7 — 77=60 Км; Uоо = Ю км/с; (7 — 7 — сферический носок;

8 — сегмент со = 45°)

аппроксимация (11.6. 2); X —77=80км; • — 77 =60 км; о — 77 =40 км;

— U = 5 км/с. 2 — Uqq =6,3 км/с,

— Uоо =7,4 км/с; о^ г0 = л-10-4 г/см2

III1I

902020202 С ,5

В отличие от соотношений §11.5 запишем (исходя из § 8.3) законы сохранения импульса в виде закона сохранения энергии и поперечного импульса для неподвижного в пространстве плоского слоя при пересечении его телом. В переменных (11.5.2) будем иметь ^р0 — давление на теле)

^.(l + v)_ r4i+v)) /2 =^.(l + v)_ r4i+v)) /2 =

^.(l + v)_ r4i+v)) /2 =

^.(l + v)_ r4i+v)) /2 =

=К^\ pV'^r, +1• 6- За)

О

^--^-^ITdx', (11.6.36)

о00

у , т— d — , vs msу , т— d — , vs ms1Л-Н _ г + ’'

у , т

— d — , vs ms

у , т

— d — , vs ms

J Р^* W

О

( R J R J Po ’ Y+d^' H МД2 (dR',dx’y\dm^^uyQr^dr, d^^^nyquHdr.

Здесь параметр К* равен

KA=-Lc*fn.y+V(3+»=^K.(Н.6.4)

Отметим одно важное свойство интегральных уравнений (11.6.3), на которое уже обращалось внимание в § 10.3, при решении задачи о взрыве. Интегралы /к близки к единице, поскольку основная масса газа сосредоточена в ударном слое, а давление в высокоэнтропийном слое для гладких тел постоянно (§ 11.3). Поэтому уравнения (11.6.3) можно в грубом приближении считать замкнутыми для определения величин R и р^ так что эти уравнения уже сами по себе позволяют делать достаточно общие и физически достоверные выводы.

В подтверждение этому на рис. 11.17 приведены решения этих уравнений для конуса, полученные при различных дополнительных (не очень существенных) упрощениях1. Как видно, эти решения согласуются качественно и количественно с точным.

Используем эти соображения для получения приближенного закона подобия. Как уже отмечалось в § 11.5, уравнения движения и граничные условия на скачке уплотнения в ударном слое приводят при переходе к безразмерным переменным (11.5.1) — (11.5.2) лишь к критериям подобия у и Moot. Эти уравнения имеют однозначное решение при заданной форме ударной вол-

Р

Рис. 11.17. Распределение давления по конусу со сферическим носком Моо = оо, у=1,4, 0=10°:

метод интегральных соотношений;точная кривая

ны Rr^хг^ (задача Коши для гиперболических уравнений на нехарактеристической кривой, см. § 3.2 и § 11.4). Для определения ударной волны в качестве замыкающего условия используем интегральное уравнение энергии (т. е. продольного импульса) (11.6.3а), которое учитывает не только влияние начальных при х = 0 условий, но и граничное условие на теле через работу расширения поршня (сопротивление тела). Это уравнение содержит лишь параметры /С*, у и Moot, так как интегралы /к одинаковы для подобных в ударном слое течений. Что касается уравнения (11.6.36), то, если пренебречь в нем величиной /о (по причинам, изложенным в § 11.5), оно будет следствием уравнений движения в ударном слое, так как высокоэнтропийный слой почти не дает вклада в поперечный импульс газа вследствие малой плотности в нем.

Тогда в этом приближении критериями подобия обтекания тонких притупленных тел с совершенным газом в ударном слое будут параметры

Y, М^т, (11.6.5)

При совпадении их в сопоставляемых течениях будут совпадать в переменных (11.5.1) — (11.5.2) формы ударных волн, распределение давления во всей возмущенной области и других параметров вне высокоэнтропийного слоя, независимо от процессов в нем, от формы носка и относительной толщины тела.

В высокоэнтропийном же слое подобия течений не будет. Поэтому закон подобия справедлив лишь для тел с боковой пэ- верхностью, достаточно плавной, в смысле оценок (11.3.6) формы, для которых давление поперек высокоэнтропийного слоя можно считать постоянным. В противном случае, например, в окрестности угловых точек, давление будет зависеть от чисто местных условий. Таким образом, обтекание тела реальным газом как бы эквивалентно (кроме течения в высокоэнтропийном слое) обтеканию совершенным газом того же тела, но с другим носком, имеющим коэффициент сопротивления, равный с*.

Если газ совершенный всюду, то для него Е2~0, а величина Ei согласно рис. 11.15 при у ^ 1,4 пренебрежимо мала. В этом случае можно считать с* ~^сх, К^К^, т. е. высокоэнтропийный слой как бы не оказывает влияния на течение в целом.

Сформулированный закон подобия (как и полученный в § 11.5) асимптотически точен при т—>0 «в области К~1, когда относительная толщина высокоэнтропийного слоя, убывая как г2(ъ-1)/ъ становится малой. Но при этом с такой же скоростью убывает и разность сх—^/'^2(т*“1)/т*’так что в этом асимптотическом пределе реальные процессы в высокоэнтропийном слое просто перестают влиять на течение.

Вводя критерий подобия /С*, мы предполагаем величину с* постоянной, что можно допустить, если давление сохраняет порядок по длине тела. Но для притупленных, например, пластины или цилиндра, где давление при Моо = оо убывает как р~ ^x-2(1+v)/(3+v), можно использовать местное значение с*,как и в методе эффективной энергии для сильного взрыва (см. § 10.3). Координаты подобия Xj и (введенные в § 11.2) следует при этом заменить на

(11.6.6)(11.6.6)

(11.6.6)

(11.6.6)

В подтверждение полученного закона подобия на рис. 11.18 приведены кривые распределения давления по притупленному цилиндру для различных условий обтекания, которые в координатах подобия (11.6.6) (со сдвигом координат, как в § 11.2 и 11.3) совпадают с решением для сильного взрыва.

Заметим, что в предельном равновесно-замороженном течении, когда газ в окрестности носка находится в равновесии, а затем замораживается, доля связанной энергии физико-химических превращений (а следовательно, и влияние их) оказывается наибольшей (см. рис. 11.18).

Таким образом, «неравновесное» распределение давления по притупленным телам не обязательно должно лежать между кривыми для совершенного и равновесного газов, и их взаимное расположение может быть любым.

Но поскольку для реальных условий величина Д невелика, тс при заметном влиянии физико-химических- процессов всегда сх<^сх, т. е. эти процессы уменьшают область влияния притупления.

Рис. 11.18. Давление на цилиндре со сферическим носком при различных режимах обтекания //=60 км, 1/оо = 7 км/с:Рис. 11.18. Давление на цилиндре со сферическим носком при различных режимах обтекания //=60 км, 1/оо = 7 км/с:

Рис. 11.18. Давление на цилиндре со сферическим носком при различных режимах обтекания //=60 км, 1/оо = 7 км/с:

Рис. 11.18. Давление на цилиндре со сферическим носком при различных режимах обтекания //=60 км, 1/оо = 7 км/с:

а—исходные координаты; б—координаты подобия со сдвигом;1— равновесно-диссоциирующий воздух (сх*=0,64); 2—равно-весно-замороженное течение (сх* = 0,34); 3— совершенный газ(Моо =23, у=1,4); 4—сильный взрыв с противодавлением

физико-химическими энергию газа в видефизико-химическими энергию газа в видеР \,— г dr. Q (Y — 1) /Р \,— г dr. Q (Y — 1) /Применим полученный закон подобия к течениям с превращениями в ударном слое. Представим внутреннюю

физико-химическими энергию газа в виде

физико-химическими энергию газа в виде

Р \,

— г dr. Q (Y — 1) /

Р \,

— г dr. Q (Y — 1) /

RvR

CW \ Qe^dr = Е2 + ^^ (д' + ^ + ^+рпУ \ q (е

Jу — 1J \

r Wг 8

(11.6.7)

Тогда в уравнении энергии (11.6.3а) получим тот же параметр К^, что и раньше. Но последний член в (11.6.7) зависит от структуры ударного слоя так же, как и для заостренных тел. Поэтому в итоге получим те же критерии подобия (11.5.10), нс с величиной К* вместо К.

§ 11.7. Притупленные конусы и клинья.

Сравнение гиперзвуковой теории с точными результатами

Проанализируем точность гиперзвуковой теории подобия (изложенной в § 11.5 и 11.6) и рассмотрим некоторые дополни; тельные особенности обтекания тонких притупленных тел на

Рис. 11.19. Распределение давления по притупленным конусам 6=10° в исходных координатах (а) и координатах подобия (5):

7’3-£7^=7,5 км/с; q^-1,8.10-5 г/см’, (#=30 км), О-U^ =7,5 км/с, Q00=^3,3-10~7 г/см’ (Н=60 км); 2,4—Моо=оо, Т-1,4

Рис. 11.20. Распределение давления по притупленным конусам при различны* числах Моо и углах 0: острый конус; **р =Рис. 11.20. Распределение давления по притупленным конусам при различны* числах Моо и углах 0: острый конус; **р =х2= — ( -Ау/1+',т(зм/(1+''), Г0 \ СХ /х2= — ( -Ау/1+',т(зм/(1+''), Г0 \ СХ /

Рис. 11.20. Распределение давления по притупленным конусам при различны* числах Моо и углах 0: острый конус; **р =

Рис. 11.20. Распределение давления по притупленным конусам при различны* числах Моо и углах 0: острый конус; **р =

х2= — ( -Ау/1+',т(зм/(1+''), Г0 \ СХ /

х2= — ( -Ау/1+',т(зм/(1+''), Г0 \ СХ /

примере обтекания притупленных конусов (с половиной угла О при вершине) путем сравнения с результатами точных численных расчетов Ч

Для конусов и клиньев отсутствует характерный размер L

и за него примем длину тела, боковая поверхность которого имеет сопротивление того же порядка, что и носок, приняв, например, К* = 1 или А=1. Тогда все параметры течения будут зависеть от переменных

,*/ сх2

\ сх /

г / 2—

= —/—)1+»Т+'.(11.7.1)

г0 \сх )

Для тел с одинаковой относительной толщиной т используем введенные ранее переменные (11.6.6), %Г‘,

Г1*, %1 или Xi, Гу.

На рис. 11.19 показаны типичные распределения давления и формы ударных

волн для конусов с различными носками, но с одинаковыми r = tg6. Как видно, закон подобия правильно учитывает влияние формы носка и значительно сближает исходные кривые.

Число Моо, а точнее параметр Moot, существенно влияет на величину давления (рис. 11.20). Как нетрудно убедиться, обработка приведенных кривых давления в виде (р—pc^lQooU^, сде

лает их соизмеримыми.

На рис. 11.21, 11.22 и 11.23 показаны давления и ударные волны для конусов и клиньев с различной относительной толщиной т. Соответствующие кривые в координатах подобия (11.7.1) образуют узкие пучки, в то время как в исходных координатах они часто просто несоизмеримы.

На рис. 11.24 — 11.26 показаны профили величин между телом и ударной волной в подобных сечениях для различных конусов, обтекаемых при различных условиях.

Как видно, профили безразмерных величин (11.5.2) — дав-

Рис. 11.21. Давление и ударные волны для конусов со сферическим носком Мео = °°, ^=1,4-

а—в исходных координатах, T-tg 9; б—в координатах подобия (рк—дав ление на остром конусе)

ление р' и углы наклона линий тока ^ = y/wtg9 — близки между собой всюду, в то время как энтальпии IV—только в ударном слое.

Для конусов с одинаковым т (см. рис. 11.24) различие энтальпий в высокоэнтропийном слое в соответствии с законом подобия § 11.5 примерно соответствует различию функций ^(V) и не является слишком большим. Для различных т кривые /i//iw близки между собой, но лишь в небольшой пристеночной области, а в промежуточной области подобия профилей получить не удается.

При обтекании тел с очень тупым носком может возникнуть висячий скачок уплотнения, который имеет слабую интенсивность (практически совпадает с линией Маха) и, как следует из рис. 11.27, не нарушает существенно подобия в распределении давления, формах ударных волн и полей течения.

Посмотрим, как влияют реальные свойства газа на обтека-

Рис. (1)1.22. Давление и ударные волны дляконусов со сферическим носком в координатахподобия с учетом эффективного коэффициентасопротивления при одинаковом Мсо(§0^2,8(T=tg0^O ):

l — U^^ км/с, 9 = 10°, С* = О№ 2—(7^ = 10 км/с, 9 = 5°,

Рис. 11.23. Давление (а и б) и ударные волны (в) для клиньев с круглым носком при М^^оо, у=1,18:

а—в исходных координатах (острый клин); б и в—в координатахподобия (рк—давление на остром клине; t=tg9 )

ние тонких притупленных тел. Из рис. 11.22, 11.26, 11.28 следует, что эффективный коэффициент сопротивления с* в согласии с законом подобия § 11.6 правильно учитывает влияние реальных процессов газа в высокоэнтропийном слое на распределе-

Рис. 11.24. Профили энтальпии в подобных сечениях для притупленных конусов с 0=19° и с носками сегментальной формы:

сплошные линии —Моо=оо

7 = 1,4; I—xt = 5AT, П-хх=20; 7—ш=80°, ^=0,94; 2-ш = =50°, сх « 1,23; пунктир — равновесно-диссоциирующий воздух; U^=7500 м/с; 0^ = 3,3-10"7 г/см3, //=60 км; III—^=4,7; Iv~^1=18,8; S-cd=80°, ^^0,94; 4—«=45°, ^=1,45

ние давления, формы ударных волн и профили плотности в ударном слое.

Эффективный показатель адиабаты у*, от которого согласно § 11.5 зависит подобие равновесных течений, является слабой функцией от давления. Отсюда следует, что плотность Qoq сравнительно слабо влияет на безразмерные параметры обтекания тел, в чем можно убедиться сравнением соответствующих данных на рис. 11.19.

В целом физико-химические превращения газа заметно вли-

Рис. 11.25. Профили величин в подобных сечениях при обтекании конусов со сферическим носком (Моо=<х>, у—1,4):

/—^2=0,27.0 = 10°, ^/ГО = 5,6; 2—х2=0,27,9=5°, ^/г0=24,2;

3_^2 = 0,86,9 = 15°, х/г0~8,2; 4-х2-0,86, 9=5°, ^/г0 = 75,4

Рис. 11.26. Профили энтальпии и плотности в сечениях х2~О,33 лля условий рис. 11.22

Рис. 11.27. Обтекание конусов и цилиндрсв с сегментальными носками при Моо = 6, у=1,4: ш=80°, 90°, ^=0,9, <о=30°, ^^.=1,5; я—распределение давления; б— головные ( —) и висячие () скачки

уплотнения: *—ш— 90°, 9=0°, О—ш=80°, 0 = 10°; в—профили давления и энтропийной

п /б УП

,nI w оо оо I

функции В- = II в сече-Qoo ' р /

р

Pcxj^co^2

Рис. 11.28. Давление и ударные волны на притупленном по сфере конусе с 0=101° в исходных координатах (а) и координатах подобия (б) с учетом эффективного коэффициента сопротивления (У со =7,5 км/с;

Н=Ш км; T = tg 0:

равновесное течение <?*^0,61; •"неравновесноего=0,155 м, с* ^0,52; совершенный газ 1 = 1,4 f =0,9

яют на давление и ударные волны, но гораздо существенней — на структуру течения, особенно в высокоэнтропийном слое (рис. 11.29, 11.30). Сравнительно консервативный характер распределения давления делает возможным применение простого метода

Рис. 11.29. Профили температуры и концентраций кислорода со и азота Cn в воздухе на притупленном конусе 6=10°, (7оо=7,5 км/с, х/го=2О:

совершенный газ; ——равновесное тече-ние ZZ—60 км; неравновесное течение г0—15 см;1—Н=40 км; 2—Н=60 км: 3—//=80 км

линий тока (см. § 5.3) для расчета физико-химической структуры высокоэнтропийного СЛОЯ К

Приведенные данные показывают, что для притупленных тел с одинаковой относительной толщиной t закон подобия (полученный в § 11.5) имеет удовлетворительную точность практически уже на расстояниях L^r^ хотя здесь совсем не выполняется условие R^>rQ. Это обстоятельство существенно расширяет область применимости закона подобия.

мет°Да изложены в работе В. Г. Воронкина (МЖГ, 1370, № 1).

Несколько хуже в этом отношении обстоит дело с законом подобия для тел аффинноподобной формы, с различной относительной толщиной. Рассмотрим притупленные конусы конечной длины с малыми и различными углами 6. Из рис. 11.31 следует, что в диапазоне 9 = 2,54-20° закон подобия начинает действовать лишь при х2> 0,2 (этот предел тем меньше, чем меньше диапазон изменения (0). Обратная зависимостьх —

= ^от"-2 (сх/2)1/2 показывает, что если при 9—104-15° по- Z добие нарушается лишь вроо^#2

относительно небольшой °°

Рис. 11.31. Давление на тонких конусах вблизи носка в координатах подобия (r=tgO^O)Рис. 11.31. Давление на тонких конусах вблизи носка в координатах подобия (r=tgO^O)Рис. 11.30. Распределение температуры вдоль поверхности конуса 0—7°, го=О,8 м; Uoo=7,5 км/с:Рис. 11.30. Распределение температуры вдоль поверхности конуса 0—7°, го=О,8 м; Uoo=7,5 км/с:окрестности носка, то при 0 ^5° эта окрестность велика и составляет уже более 10 г0. Это объясняется тем,

Рис. 11.31. Давление на тонких конусах вблизи носка в координатах подобия (r=tgO^O)

Рис. 11.31. Давление на тонких конусах вблизи носка в координатах подобия (r=tgO^O)

Рис. 11.30. Распределение температуры вдоль поверхности конуса 0—7°, го=О,8 м; Uoo=7,5 км/с:

Рис. 11.30. Распределение температуры вдоль поверхности конуса 0—7°, го=О,8 м; Uoo=7,5 км/с:

с*х 4+’(<

К*=Ч A^=U=T>^ = cL-\ (11.7.2)

о = п (3 + v) — 2.

При этом должно быть о)>0, так как в противном случае при х-^ оо течение будет следовать той же асимптотике, что и для притупленных цилиндра или пластины, что видно из сопоставления с результатами гл. 10.

Остановимся еще на телах вращения с протоком с притупленней передней кромкой (рис. 11.32). За определяющую примем ту часть энергии, порожденную притупленной кромкой, которая попадает во внешнюю область течения

E^—nc^oQ^, Fo = (h + rop- №.(11.7.3)

В принципе Eh зависит от пропускной способности канала, что можно учесть коэффициентом сх. Переходя в форме тела rw — =h 4- r0 4- Lxr^x’) к переменным (11.5.1), получим дополнительный

Рис. 11.33. Отношение коэффициентов сопротивления конусов со сферическим носком (сх^0,9) и острых (Сх кон=2,08 sin2 0), Моо=<», F^ вклад носка сх^то1т«ц)^*’ сумма сопротивлений притупления и усечённого острого конуса, равнаяcx^r°^rw^ 4“ ^ кон U~(ro/^w)3lРис. 11.33. Отношение коэффициентов сопротивления конусов со сферическим носком (сх^0,9) и острых (Сх кон=2,08 sin2 0), Моо=<», F^ вклад носка сх^то1т«ц)^*’ сумма сопротивлений притупления и усечённого острого конуса, равнаяcx^r°^rw^ 4“ ^ кон U~(ro/^w)3lРис. 11132Рис. 11132по сравнению с предыдущим критерий подобия h/Lx, а комбинируя его с па- / '2 V/2

Рис. 11.33. Отношение коэффициентов сопротивления конусов со сферическим носком (сх^0,9) и острых (Сх кон=2,08 sin2 0), Моо=<», F^ вклад носка сх^то1т«ц)^*’ сумма сопротивлений притупления и усечённого острого конуса, равная

cx^r°^rw^ 4“ ^ кон U~(ro/^w)3l

Рис. 11.33. Отношение коэффициентов сопротивления конусов со сферическим носком (сх^0,9) и острых (Сх кон=2,08 sin2 0), Моо=<», F^ вклад носка сх^то1т«ц)^*’ сумма сопротивлений притупления и усечённого острого конуса, равная

cx^r°^rw^ 4“ ^ кон U~(ro/^w)3l

Рис. 11132

Рис. 11132

раметром К* , критерий N = hx " * _ | , который при N = 0-^oo характе- ризует^ всю совокупность течений между осесимметричным и плоским телами.

Обратим внимание на различие характера кривых распределения давления на притупленных конусах и клиньях (рис. 11.21—11.23): первые имеют за-

метный минимум и вообще волнообразный характер, а вторые при 9<15° практически плавно снижаются до значений для острого клина. Толщина ударного слоя на клине больше, чем на конусе, высокоэнтропийный слой на клине в пределе при xjr0 ”о© имеет постоянную толщину, тогда как на конусе вследствие растекания эта толщина убывает как rQlrw.

Остановимся на коэффициентах сопротивления тонких притупленных тел. Следуя общему закону подобия, коэффициент сопротивления притупленного тела можно представить в виде

СР=СХ’> ср=™^ и^ ’ r™=r<ATLr'KAx'V (11-7.4)

Первый член дает вклад носка, второй — боковой поверхности, первый зависит от К, второй от К*, поэтому при Tq!xL<^\ отношение сх/т2 для тел заданной формы rw'(V) зависит лишь от критериев подобия

Y, М^т, К^К. (И.7.5)

Однако с практической точки зрения отбрасывание члена r^xL в формуле (11.7.4) для сопротивления вносит заметные ошибки вплоть до больших расстояний носка (рис. 11.33), поэтому непосредственное использование зависимостей типа (11.7.4) нежелательно (более точный способ корреляции предложен1 в § 12.2).

Из рис. 11.33 следует, что сопротивление притупленного конуса заметно меньше, чем сумма сопротивлений притупления и усеченного острого конуса, но всегда больше последнего.

Глава 12

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ ОКОЛО ПРИТУПЛЕННЫХ ТЕЛ

Особенности пространственного обтекания тонких притупленных тел

Рассмотрим некоторые особенности гиперзвукового обтекания затупленных тонких тел с одинаковым поперечным размером во всех направлениях, например, тел вращения с малой относительной толщиной т<С1, обтекаемых под небольшим углом атаки а<^1. Используем цилиндрическую систему координат х, г, ф с осью х, связанной с телом (ось симметрии, например), наклоненной под углом а к вектору Uoo, с составляющими скорости Uoo, уоо, Woo соответственно (рис. 12.1, а).

Новым, по сравнению с двумерными течениями, рассмотренными в гл. 11, является здесь вопрос об окружном распределении давления. Наиболее просто обтекание таких тел схематизируется в рамках нестационарной аналогии как сильный взрыв

(с энергией, равной работе притупления) с последующим расширением поршня по закону г*(/, ф) и смещением его со скоростью I7oosina.

Поскольку при сильном взрыве ударная волна R~f \ то при малых t=x(Uoo тело rw~t занимает лишь малую центральную область с почти нулевой плотностью и очень большой скоростью распространения возмущений, откуда и следует, что окружной перепад давлений Ар/р^О.

Рис. 12.1. Сравнительная толщина тела, ударного (заштрихован) и высокоэнтр опийного слоев. Характер распространения возмущений в высокоэнтропийном слсе для притупленного конуса (0—10°, Моо = оо, у=1,4, а=0)

Но в высокоэнтропийном слое плотность газа и скорость звука конечны и имеют вместе с числом Маха Мо порядки

, (12. 1. 1) (ti=r+a).

Обычно на поверхности тела р0>р<»/4 при р> O.OIqooU^ и ао<0,35[7оо, М0>2,5 при р < 0, 1qtoJ7^. Поэтому нет препятствий для конечного окружного перепада давлений, который определяется взаимодействием высокоэнтропийного и ударного слоев

и не может быть оценен только из уравнения количества движения

dw dw . dw , w dw ^wu1 др

dt dx dr r d^ r^r d^p

так как порядок окружной скорости w в высокоэнтропийном слое (равной нулю на плоскости симметрии) заранее неизвестен, а определяется через др/дф и ограничен сверху, по уравнению Бернулли, лишь максимальной скоростью УЗЯ^С^». Но поскольку скорость звука в высокоэнтропийном слое конечна, но все же много больше, чем в ударномU^r^)

следует проанализировать условия распространения возмущений в окружном направлении, что сделаем для круглого конуса при а~0. Из рис. 12.1 следует, что уже в начальном сечении ;г = 0 толщина возмущенного слоя между телом и ударной волной, в отличие от схемы «взрыв — поршень», почти вдвое меньше размера тела, а тем более, его периметра (обычно (R—roVfo^0,24-0,6 при у < 1,4). Пометим некоторые средние значения параметров теченияв высокоэнтропийном слое с толщиной 6 индексом «0». Тогда из условия сохранения расхода через него, полагая r~rw, a р^дооЯ^б, получим (6 — полуугол при вершине конуса)

,2

г^г^г^М',Ш Л ,(12. 1. 3)

^6 = Чра^

(коэффициент ф'^1 для простоты примем ф^уГЛоМо).

Распространение возмущений в окружном направлении определяется (при ^ = 0) уравнением

^=Могш = Мо(го + 0л).(12.1.4)

Интегрируя его в пределах ф = 04-2л, найдем длину I, на которой это возмущение вернется в исходную меридиональную плоскость, отразившись от противоположной:

гтог=го+е/^гоехр(2лМо0).(12.1.5)

Это возмущение дважды пересечет высокоэнтропийный слой на расстоянии Ах^2М0д, поэтому с помощью (12.1.3) и (12.1.4), предполагая, что число п таких пересечений на расстоянии I велико, получим

I2 2

п^с ^=4-мо0^421=^моееХр(^^ .1 2Мл О 22

00

Рис. 12.2

Рис. 12.3. Окружное распределение давления по тонким притупленным кону- еам при малых углах атаки: 8=0°;6=2,5°; ••0=5°

Величины п и цг^ показаны на рис. 12.2. Как видно, уже при 6 > 4° многократное отражение возмущений, а следовательно, и выравнивание давления, происходит значительно быстрей в радиальном направлении, чем в окружном. Более того, учет окружной скорости в уравнении (12.1.4) лишь увеличит длину / и даже при наличии местных зон с w>a может сделать невозможным возврат отраженных возмущений. Поэтому окружной

Рис. 12.4. Распределение давления на наветренной образующей (ф=0) притупленных конусов и ци- Линдра:

9=0°, а=5°;6=2,5°, а=2,5°; X X X-6 = 5°, а = 0°; • 6=0°, а = 0

перепад давлений может существовать и существует даже для очень тонких тел (рис. 12.3 и 12.4). Как видно, окружное распространение давления существенно зависит от местного угла наклона поверхности.

В то же время для следа за тупым телом, когда ничто не препятствует свободному распространению возмущений, давление в высокоэнтропийном слое выравнивается быстрее, а ударная волна за несимметричным телом становится осесимметричной (рис. 12.5).

Основная схема течения около тонкого притупленного тела с относительно малым размером носка (г0<С£), приведенная в § 11.1, сводится к замене влияния притупления его силовым воздействием с учетом начального распределения энтропии по линиям тока. Из изложенного выше следует, что рациональная схема пространственных течений около тонких притупленных тел должна учитывать меридиональное распределение силового воздействия притупления, определенного законами сохране-

ния импульса для каждого малого меридионального угла Аф в проекциях на направления х, г, ф, которые соответственно представим в виде

R

Ит [-Ь^JJ^VP^- ^ ^-VpVdr^X^

Рис. 12.5. Форма ударной волны за прямоугольной пластиной с тонкой державкой в двух перпендикулярных плоскостях

Величины Хъ У^ W^ учитывают не только влияние давления на теле, но и окружной перенос импульса и массы в окрестности носка за счет скорости w. Полная сила сопротивления носка с учетом баланса расхода равна

^НД.-вННп/^ X^^c^U^ (12.1.7) 0 ГоО

где сх — коэффициент сопротивления, a So — площадь миделя носка.

-—QooCTcoR^—^ QurdrA = Фу(<р),(12. 1.8)-—QooCTcoR^—^ QurdrA = Фу(<р),(12. 1.8)Рис. 12 6. Форма изоэнтропических поверхностей Гф (ф), ударной волны /?(ф) для конуса со сферическим носком при Моо = оо, У" 1,4, 0=10°, а—5° в сечении х/го~1О, 6=r^ — r№, \R=R—rwРис. 12 6. Форма изоэнтропических поверхностей Гф (ф), ударной волны /?(ф) для конуса со сферическим носком при Моо = оо, У" 1,4, 0=10°, а—5° в сечении х/го~1О, 6=r^ — r№, \R=R—rw

-—QooCTcoR^—^ QurdrA = Фу(<р),(12. 1.8)

-—QooCTcoR^—^ QurdrA = Фу(<р),(12. 1.8)

Рис. 12 6. Форма изоэнтропических поверхностей Гф (ф), ударной волны /?(ф) для конуса со сферическим носком при Моо = оо, У" 1,4, 0=10°, а—5° в сечении х/го~1О, 6=r^ — r№, \R=R—rw

Рис. 12 6. Форма изоэнтропических поверхностей Гф (ф), ударной волны /?(ф) для конуса со сферическим носком при Моо = оо, У" 1,4, 0=10°, а—5° в сечении х/го~1О, 6=r^ — r№, \R=R—rw

В сущности, следует задать еще распределение расхода R Иш

но в связи с тем, что необходимо задать и распределение энтропии, используем другой подход. Рассмотрим изоэнтропические поверхности г=г^(х, ср, ф), проходящие через линии равного наклона ударной волны (или равной величины 5(ф) = = sin2a) к набегающему потоку и характеризуемые расходом ф. По аналогии с осесимметричными течениями запишем расход через элементарную площадку между близкими изоэнтропическими г = Гф(ср) и меридиональными ф = const поверхностями в виде

^r^adr^Qd^

J Qd^^n. (12.1.9) О

Функция Q(x, ф, ф) характеризует окружное распределение расхода (для осесимметричных течений Q = = 1). Для этой функции из баланса расхода через объем dxd^ dr^ получим уравнение

о.(12.1. ю) дх ду хпг^ /

Интегрируя (12.1.9) по ф, получим формулу

r.? = ri+\Q—> Q=Q^pA s = s^,(12.1.11)

J QU

0

которая является аналогом формулы (11.5.7). (Для примера на рис. 12.6 показаны формы таких поверхностей для конуса). Очевидно, на большом удалении от носка начальная (при х = 0) форма поверхности Гф(ф) не играет роли, а ъажно лишь меридиональное распределение массы и энтропии по ней. Поэтому следует задать две функции з(ф) и Q0(cp, ф)=С(0, ф, ф).

Эти условия отражают общую и наиболее сложную ситуацию. В § 12.2 покажем, что для носка в виде тела вращения

под углом атаки задание окружного распределения начальных данных не требуется. Для следа за телом с двумя плоскостями симметрии (как на рис. 12.5) достаточно задать лишь сопротивление тела X. В общем же случае требуется задавать и поперечную силу У.

Закон подобия для тонких притупленных тел с осесимметричным носком. Правило местных притупленных конусов

Получим закон подобия для геометрически подобных тел (см. § 11.5)

x'=x]L(12.2.1)

Рис. 12.7.^ Форма ударной волны при обтекании плоского диска при Моо—6:Рис. 12.7.^ Форма ударной волны при обтекании плоского диска при Моо—6:(с одинаковой относительной толщиной т), отличающихся лишь формой симметричного относительно оси х носка с радиусом миделя Го- Пусть носок обтекается под небольшим углом атаки а. Поскольку угол наклона поверхности носка 0~1, а а<С1, то можно воспользоваться разложениями

Рис. 12.7.^ Форма ударной волны при обтекании плоского диска при Моо—6:

Рис. 12.7.^ Форма ударной волны при обтекании плоского диска при Моо—6:

А? = -— ^+«^1^),

у^у^аУ^),(12.2.2)

Q0=l + aQi(?,^).

а—в системе координат, связаннойс телом; б—в поточной системе ко-ординат;а=и-а=10°а—в системе координат, связаннойс телом; б—в поточной системе ко-ординат;а=и-а=10°Но влияние угла атаки на течение около боковой поверхности может быть значительным. Например, для тел вращения р~(0 + + acos (p)Qoo^, поэтому это влияние имеет порядок a/т значительно больший, чем порядок а добавок в распределениях (12.2.2). Следо

а—в системе координат, связаннойс телом; б—в поточной системе ко-ординат;

а=и-а=10°

а—в системе координат, связаннойс телом; б—в поточной системе ко-ординат;

а=и-а=10°

вательно, этими добавками можно пренебречь и характеризовать силовое воздействие носка на течение сопротивлением Хй и радиальным импульсом Уо (на единицу меридионального угла) при а = 0.

При малых а на ударной волне вблизи носка функция 5(ф) с точностью до величины порядка а совпадает с -s(xp) для осесимметричных течений2. Практически же при малых углах ата-

ки (а< 10°) ударная волна вблизи носка в поточной системе координат остается, по существу, осесимметричной (для сферы это точно, для круглого диска показано на рис. 12.7).

Окружная составляющая количества движения, вошедшая в ударный слой в меридиональном угле Аф, равна

(Woo = at/ooSin ср).

Поскольку в окрестности носка R~r0, то W^W^ ^Rfr^2, так что вдали от носка, где Rfro^l, влиянием начального импульса IF? будем пренебрегать.

Более того, предполагая течение в поточной системе координат осесимметричным вместе с ударной волной, в связанной системе координат будем иметь ^^анзшф. Подставляя эту формулу в (12.1.6) и учитывая, что Ф?^а, получим приближенную зависимость

—— ~ \ ^u^Joo — uydr a sin? JГо—— ~ \ ^u^Joo — uydr a sin? JГо2л2лR^О^л ^ prdr. (12.2.3)ГоR^О^л ^ prdr. (12.2.3)Го

—— ~ \ ^u^Joo — uydr a sin? J

Го

—— ~ \ ^u^Joo — uydr a sin? J

Го

2л

2л

R

^О^л ^ prdr. (12.2.3)

Го

R

^О^л ^ prdr. (12.2.3)

Го

Поскольку qu(Uoo—u^^Qh^^pl^—1), то интеграл XW составляет лишь небольшую долю от Х^ и с некоторым приближением его опустим, выразив тем самым импульс W^ лишь через сопротивление Xq.

Как и в § 11.5, пренебрежем зависимостью параметра /0 = = ¥^Х0 и функции s^) от формы носка, после чего единственной характеристикой последнего в нашей постановке останется лишь его сопротивление Х^ при а = 0. Тогда, дополнив набор безразмерных переменных (11.5.2) величиной w^wlnU^ придем к следующим критериям подобия обтекания геометрически подобных тел, которые выпишем для совершенного газа:

К =— т2, Moot, a/t, у, т.(12.2.4)

2

В частности, для притупленных конусов получим те же переменные подобия Х1= (х/Го)У2/сх И Г\ = \г1Г^\^1С^

Реальные свойства газа также не добавляют новых критериев подобия по сравнению с полученными в § 11.5.

Об удовлетворительной точности полученного закона подобия в том числе и для параметров течения в высокоэнтропийном слое свидетельствуют данные рис. 12.8, 12.9 и 12.10.

Закон подобия асимптотически точен при условиях

К = const, т —♦ 0, а—>0, а/т = const. (12.2.5)

Так как в этом случае относительная толщина высокоэнтропийного слоя будет убывать вместе с (т+а)2(т*"1)/т*, то вместе с ней

исчезнет из системы критериев подобия (12.2.4) и параметр т, т. е. закон подобия в асимптотическом пределе (12.2.5) будет справедлив и для тел различной относительной толщины (но достаточно гладких, как и в § 11.5).

Рис. 12.8. Давление на теле и ударные волны при обтекании притупленного конуса с коническим щитком, а=5°, Моо=Ю, у=1,4:Рис. 12.8. Давление на теле и ударные волны при обтекании притупленного конуса с коническим щитком, а=5°, Моо=Ю, у=1,4:

Рис. 12.8. Давление на теле и ударные волны при обтекании притупленного конуса с коническим щитком, а=5°, Моо=Ю, у=1,4:

Рис. 12.8. Давление на теле и ударные волны при обтекании притупленного конуса с коническим щитком, а=5°, Моо=Ю, у=1,4:

1—ф=0; 2—cp=it/2; 3—ф=к; сферический носок сх =0,9;1 эллипсоиде =1,26

* * * /•*

Закен подобия требует геометрического подобия боковых поверхностей тел тчю (^ Ф)- В ряде случаев это требование можно ослабить, прибегнув к правилу плош.адей, которое следует из схемы «взрыв — поршень» (см. § 12.1). В самом деле, при осесимметричной (при а=0, например) ударной волне и постоянном давлении р поперек высокоэнтропийного 'слоя, котором глубоко (далеко от границы г5(х)) погружено теле с площадью поперечного сечения S(x), внутренняя энергия газа и работа расширения поршня равны

2л2лRг8Rг8РГу- 1РГу- 1PodS.PodS.(12.2.6)(12.2.6)

2л

2л

R

г8

R

г8

РГу- 1

РГу- 1

PodS.

PodS.

(12.2.6)

(12.2.6)

Следовательно, в уравнение энергии, которое заменяло нам в § 11.6 и начальное (при х=0), и граничное на теле условия, форма тела войдет лишь через S(x). Прибегая к закону подобия обтекания тел вращения, получим: все тела с одинаковым законом изменения безразмерной площади *$i(xi) = =25/лсхГо будут индуцировать одинаковые давления p0(xi) и ударные волны /?1(Х1).

Рис. 12.9. Профили давления, энтальпии и окружной скорости для условий рис. 12.8 при Xi — 5,75

В § 12.1 было показано, что величина скорости звука в высокоэнтропийном слое хотя и велика, но все же недостаточна для выравнивания давления го периметру тела. Тем не менее правило площадей может давать приемлемые результаты для некоторых классов тел.

Для примера на рис. 12.11 приведены коэффициенты сопротивления Сг для притупленных конуса и эквивалентных ему трех- и четырехгранников, которые в координатах подобия образуют единую кривую (вплоть до длин примерно равного сопротивления носка и боковой поверхности).

По-видимому, неравномерность в распределении давления мало влияет на сопротивление тела в соответствии с правилом площадей, доказанным в § 5.4 для тел, близких к осесимметричным. На рис. 12.12 для ряда острых кониче-

ских тел с одинаковой площадью поперечного сечения приведено распределение давления \ далекое от постоянного, но тем не менее коэффициент сопротивления этих тел различается не более 4%.

Приведем теперь некоторые результаты, имеющие отношение к обтеканию тел с аффинноподобной формой образующей. Как

Рис. 12.11. Сопротивление различных притупленных тел с той же площадью поперечного сечения, что и у конуса с 0^5°:Рис. 12.11. Сопротивление различных притупленных тел с той же площадью поперечного сечения, что и у конуса с 0^5°:Рис. 12.10. Окружная скорость на поверхности тела для условий рис. 12.8 и 12.9:Рис. 12.10. Окружная скорость на поверхности тела для условий рис. 12.8 и 12.9:£)-—сферический носок; X—эллипти-ческий носок£)-—сферический носок; X—эллипти-ческий носокгелий 7=5/3, Mqq^IS, т = tg 5°, ^2 =

Рис. 12.11. Сопротивление различных притупленных тел с той же площадью поперечного сечения, что и у конуса с 0^5°:

Рис. 12.11. Сопротивление различных притупленных тел с той же площадью поперечного сечения, что и у конуса с 0^5°:

Рис. 12.10. Окружная скорость на поверхности тела для условий рис. 12.8 и 12.9:

Рис. 12.10. Окружная скорость на поверхности тела для условий рис. 12.8 и 12.9:

£)-—сферический носок; X—эллипти-ческий носок

£)-—сферический носок; X—эллипти-ческий носок

2л е, .

у -—— хт*; сх кон— коэффициент сопро

тивления острого конуса cO=50;S*0, площадь плоского носка и его коэффициент сопротивления

уже отмечалось, анализ пространственного обтекания притупленных тел сильно усложнен окружным перетеканием газа, которое перераспределяет массу, энергию, импульс в возмущенной области. Поэтому нс будем пытаться строить общую теорию подобия таких течений (типа разработанной в § 11.6), а ограничимся лишь некоторыми сведениями полуэмпирического характера для наиболее простых тел — притупленных конусов под углом атаки.

Для заостренных конусов распределение давления носит ньютонианский характер и определяется в основном местными углами атаки поверхности. Для притупленных конусов ньюто- нианская теория, вообще говоря, нс применима, но тем не менее для небольших углов атаки а < 6 можно применить правило местных притупленных конусов, согласно которому давление, ударная волна и поле течения в меридиональной плоскости

(кроме окружной скорости w) совпадают с теми же величинами для обтекаемого без угла атаки при тех же условиях и с тем же носком конуса с половиной угла при вершине, равным местному углу атаки рассматриваемой образующей 9М = 9 + + acosq). Некоторые данные, подтверждающие это правило для

Рис. 12.12. Распределение давления и формы ударных волн для заостренных тел с одинаковой пл отладьте поперечного сечения (Мто=5, у=1Д);

/--конус 0 =20°; сх1=0,260; сх2=0,256; сх3-0,254; сх4=0,250

конусов со сферическим носком, приведены на рис. 12.4 и, более подробно, на рис. 12.12—12.15.

Правило местных притупленных конусов, кроме его непосредственного применения в вычислительных целях, позволяет также использовать законы подобия предыдущей главы. При этом каждая образующая конуса будет иметь свой параметр T = tg9M и свой эффективный коэффициент сопротивления с*у который вследствие слабой зависимости от давления можно брать одинаковым для всего тела (соответствующим, напри-

Правило местных притупленных конусов сформулировано в работе В. В. Лунева, И. Н. Мурзинова и О. Н. Остаповича («Известия АН СССР, мех. и маш.», 1960, № 3). Систематические исследования обтекания притупленных конусов под углами атаки проводили Ю. Н. Дьяконов [11], К. М. Магомедов [28], которому принадлежат приведенные ниже корреляционные зависимости, и для неравновесных течений — А. В. Антонец (МЖГ, № 2, 1970; 1974, № 2).

мер, наветренной образующей тела, которая дает основной' вклад в действующие на тело силы).

Приведенные соображения могут быть плодотворно использованы для построения различных корреляционных зависимостей, что покажем на примере аэродинамических характеристик притупленных конусов. В § 11.7 отмечалось, что непосредственное применение закона подобия в форме (11.7.5) для коэффициента сопротивления приводит к заметным погрешностям, если только длина тела не очень велика; в то же время распределение давления по образующим притупленных конусов подчиняется закону подобия уже на небольших расстояниях от носка. Поэтому целесообразно при построении корреляций выделить еилы, действующие на боковую поверхность тела (вклад носка может быть всегда учтен отдельно с помощью, например, данных гл. 5). Соответствующие коэффициенты осевой и нормальной силы и момента относительно точки х = 0 определяются интегралами

гТСXТС

2( w2 с

с^ =—— \ r№dr \ cpd/a, с№ =—— \ rTOdx\ срго%^ч?;

/0 оо о

(12.2.7)

= \rw (x-Vr^-^Adx \ CpCos^d», ср = ‘2 ———• .

Q Х70оо

Для острых конусов ньютонианская зависимость дает примерно постоянное отношение Ср/б^^с^/В2^, где с^— коэффициент давления при а = 0. В этом случае

— t c^<p=c(°)fl+—Y — { cDcos^ = — cW (12.2.8) оо

и для усеченного конуса получим соотношения

(

О*CtCt

— cW, cN^ — cW cmS~—Cw,

(12.2.9)(12.2.9)CW = ^‘^^^ е*2 = 92 + -Г-а2,

(12.2.9)

(12.2.9)

где с^— коэффициент сопротивления боковой поверхности тела при а = 0. Опирая'сь на эти зависимости, можно построить комбинации

f cxbrwгг9

Jx77= —’ JN— J т 7

292(/i-''o)4°)0*24°’а

Очевидно, все А = 1 при ньютонианском распределении давления. Удобным обобщением переменной подобия %2 является величина

5 = 1/ 4- —(v ^ = r»W.(12.2. И)

V с Y го \ ° /

Данные, приведенные на рис. 12.16 — 12.17, свидетельствуют о достаточной универсальности функций (12.2.10) в широком диапазоне 6=54-15°, а ^54-10°.

Заметим, что /4<1 при §<1,2, т. е. подъемная сила боковой поверхности притупленного конуса заметно меньше, чем острого, что объясняется пониженным уровнем давления на притупленном конусе.

Рис. 12.13. Давление на конусе (а) и профили величин в сечении х=10г0 (6)

6 = 9,5°, а=5°, Моо='6, у =1,4:

точный расчет;местный притуплен-

ный конус, 6M=6 + acos<p Х= ™-~ \rw I

5)

зн

Рис. 12.14. Давление и отход ударной волны на конусе (0 = 10°. а = 5°, £7оо=5 км/с.

7/ = 30 км): равновесное течение точный расчет;

местный притупленный конусы BM=9+acosq)

Рис. 12.15. Профили температуры меж^ телом и ударной волной (0=»Юр, а=10°, Я=60 км, (/оо =7,5 км/с, г0= 15,5ам), неравновесное течение: '

точный расчет;местный притуп-ленный конус

fx

1,5

о

о4-

o-#=t

□ - 71

^00=°° > ^=7,4

20°^ ^ 50 км у U^ 5км/с

1,0

°*+ Х"°В+х°о Ъ

Н=30кМ, 11^=7^ КМ (С

ЙОП X ex ■

6а оЧ>оа^°

°-5^

-II1

1702.03,0 5

Рис. 12.16. Корреляция коэффициента сопротивления боко-вой поверхности притупленных, конусов при а=0

Вис. 12.18. Схема обтекания треугольной пластины с притупленными кромками:Вис. 12.18. Схема обтекания треугольной пластины с притупленными кромками:/, 2, а—предельные характеристики по уравнениям(12.3.11), (12.3.12); (12.3.13) соответственно/, 2, а—предельные характеристики по уравнениям(12.3.11), (12.3.12); (12.3.13) соответственноj_^/3 (Сх У/3 го / \ 2 /j_^/3 (Сх У/3 го / \ 2 /рА = Ъ9« (—У^^л)-273 = Ч^ХрА = Ъ9« (—У^^л)-273 = Ч^Х—2/3—2/3(12.3. 1)(12.3. 1)

Вис. 12.18. Схема обтекания треугольной пластины с притупленными кромками:

Вис. 12.18. Схема обтекания треугольной пластины с притупленными кромками:

/, 2, а—предельные характеристики по уравнениям(12.3.11), (12.3.12); (12.3.13) соответственно

/, 2, а—предельные характеристики по уравнениям(12.3.11), (12.3.12); (12.3.13) соответственно

j_^/3 (Сх У/3 го / \ 2 /

j_^/3 (Сх У/3 го / \ 2 /

рА = Ъ9« (—У^^л)-273 = Ч^Х

рА = Ъ9« (—У^^л)-273 = Ч^Х

—2/3

—2/3

(12.3. 1)

(12.3. 1)

§ 12.3. Треугольная пластина с притупленными кромками

На примере обтекания совершенным газом при М<х> = оо треугольной пластины конечной, но малой толщины с постоянной формой поперечного сечения рассмотрим особенности гиперзвукового обтекания тонких крыльев с притупленными кромками

Носок пластины будем

считать острым, так что на некотором удалении от него обтекание кромки и прилегающей к ней области А (рис. 12. 18) будет тождественно обтеканию бесконечной пластины, скошенной под углом О к набегающему потоку, с постоянной составляющей скорости газа вдоль кром'ки Uos cos 9. В плоскости, перпендикулярной кромке, в этой области течение будет тем же, что и для притупленной пластины, обтекаемой без угла скоса со скоростью t/n=f/ooSm9.

В рамках взрывной аналогии давление на стенке и форма ударной волны в области А имеют вид (§ 10.2, 10.3, § 11.2)

RaRa= Zo(Y) (—y/3(W^==ro%o\ Осо /

Ra

Ra

^—-^-o^Qoo^, l = x sin 6—1^| cos 9;

где сх — коэффициент сопротивления, а 2г0 — толщина тупой кромки.

В высокоэнтропийном слое, образованном поверхностями тока, прошедшими через ударную волну вблизи кромок,плотность и энтальпия выражаются через энтропию и постоянное поперек слоя давление //0) = рооУ^о:

Q = QooQos—^ /z —^qS1^ (s=sin2p);

a=W№), а2 = ^_.^.(12.3.2)

Y-Д 2 JY-l Qo ~ 2’

где р — угол между плоскостью пластины и касательной плоскостью к ударной волне при пересечении ее данной поверхностью тока.

Проекции скорости на оси х и 2 (см. рис. 12.18) в области А равны

Ua = Uоо(1 — sin2 9), чйЗа^^пЧ) cos 9.(12.3.3)

Здесь х) — дефект скорости газа в направлении, перпендикулярном кромке, равной

-и = КЬ=2Ад~^ + -у^+..., №A=hAY (12.3.4)

Последнее разложение справедливо на большом удалении от кромки, где выполняются условия

ГО<А*Д<Л PaCq^, h'A< 1,(12.3.5)

которых и будем придерживаться в дальнейшем.

Такой характер течения нарушается в примыкающей к плоскости симметрии области В, где влияет условие

w = 0, 2 = 0.(12.3.6)

Области А и В разделены проходящей через окрестность носка предельной характеристической поверхностью. Поскольку wA> >0, то газ вытекает из области В, что должно привести к падению давления и другим изменениям картины течения (в отличие от эффекта перетекания газа в высокоэнтропийном слое на плоских притупленных телах (см. § 11.3), который сравнительно невелик за счет непрерывного перетекания газа через любой неподвижный в пространстве слой, в результате чего втекающие и вытекающие масса и энергия газа в значительной степени компенсируют друг друга).

Из (12.3.1) — (12.3.4) следует, что возмущения, вызванные условием (12.3.6), возникают и располагаются по оси 2 в основном в пристеночном высокоэнтропийном слое, где s^l, и все

величины имеют тот же 'порядок, что и на стенке: а^№\ w ~ W<°) и т. д.

В низкотемпературной области, или ударном слое, где s<Cl эти возмущения малы, локализованы вблизи г^О и их учитывать не будем. Здесь, как и для заостренных крыльев, рассмотренных в § 9.1, справедлив закон плоских сечений и, согласно условию (12.3.5) R<CL правило полос. Поэтому возмущения, пришедшие из высокоэнтропийного слоя, будут распространяться лишь вдоль плоскостей 2=const.

Для оценки указанного эффекта растекания примем упрошенную модель течения, отражающую лишь основные качественные особенности его. Будем считать течение в высокоэнтропийном слое одномерным с осредненными параметрами (помечены индексом «с»), и ограничим условно этот слой поверхностью тока б(х, 2), характеризуемой начальным (в области Л) расходом фо^рооУпГоф' в направлении, перпендикулярном кромке,

(12.3.7)(12.3.8)(12.3.7)(12.3.8)"г(1 — Ус) = боо^о' (т = ес8)-

(12.3.7)

(12.3.8)

(12.3.7)

(12.3.8)

Тогда уравнения движения в высоксэнтропийном слое примут вид

- dwc dwc 1 др - нс

с dt с dzqc dz^со

^qcBwc dQcSwcdt 4 dz^qcBwc dQcSwcdt 4 dzt —иt —и

^qcBwc dQcSwcdt 4 dz

^qcBwc dQcSwcdt 4 dz

t —и

t —и

Скорость uc определяется уравнением Бернулли. Воспользуемся далее п;о- стейшим методом интегральных соотношений из § 10.3

— 6=о^2 +^у ^ = ^o = fio--ei,(12.3.9а)

Рз = ^ Qoo^2 = PW - QooRR. Р(0) » 9оо ^ №. (12.3.96)

Здесь член Ел учитывает, как и в § 11.3', энергию, обусловленную скоростями газа ис—Ueo и wc в высокоэнтропийном слое относительно неподвижной в пространстве системы координат £=х—U ^t, 2. Из баланса энергии для параллелепипеда с основанием А£Д2 получим

дЕх dt(

д

_ 2 + 2 |

д

4- — рсВДм дх

(Д«)2 «с

L 22 J

+

д

+ 77 ес8»с

Ма>^ , 2

wc

+ ~ + ^ 4-

д

-— ВДир 4- - дх<

д

T)Wcp , ku = и дг

-^00

Так как для стационарных течений djdt=U ^д^дх, то используя (12 3.8), уравнения Бернулли и адиабаты pcdhc=dp, получим

(12.3.10)(12.3.10)дЕ\dpcBdm

(12.3.10)

(12.3.10)

—— =— /г—-— ——-—.

дхдхдх

В области А, где решение зависить лишь от е, мы должны получить ту же формулу для £i, что в § 11.3; в нашем приближении EiA =—^рсб^с^.

Положим далее uc=const, тогда уравнения (12.3 8) лишь множителем ис> близким к единице, будут отличаться от уравнений одномерного нестационарного течения газа в канале переменного сечения 6 (А 2).

Полученная система уравнений (12.3.8) — (12.3.10)) имеет систему характеристик

(12.3.11)(12.3.11)ис — — wc ± с , с = ас ^IRVI<Z, ^с =(Y " 1)^с*

(12.3.11)

(12.3.11)

Величина с>ас в принятой схеме является скоростью распространения возмущений в высокоэнтропийном слое с учетом взаимодействия его с низкоэнтропийной областью. Такой несколько неожиданный результат объясняется осреднением давления поперек всего возмущенного слоя в уравнении (12.3J). В ударном слое вместо (12.3.9) можно использовать уравнения одномерного нестационарного движения газа в плоскости 2=const, как и полагается в рамках теории полос. Тогда, рассматривая эти уравнения вместе с (12.3.8) (при постоянном нс), получим обычную систему волновых характеристик

ucz'=wc±ac. (12.3.12)

Точные бихарактеристики на поверхности пластины, ограничивающие область влияния плоскости симметрии, имеют вид

(12.3.13)(12.3.13)u^z'-^^\

(12.3.13)

(12.3.13)

Характеристика 2* (х) 1-го семейства (12.3.11), проходящая через носок, -будет в приближенной постановке разделять области Л и В. Поскольку w^> >w<t, ci^^c, то эта линия будет ближе к центру, чем характеристики (12.3.12) или (12.3.13).

(12.3.14)(12.3.14)Используя (12.3.3), (12.3.4) и (12.3.7), получим

(12.3.14)

(12.3.14)

З^о'(У — 1)сх cos2 6З^о'(У — 1)сх cos2 6“c^' = w»(l + Co)«wt(l+Co),

З^о'(У — 1)сх cos2 6

З^о'(У — 1)сх cos2 6

с0 ~ Со 1 + 4 /ic2), С2 =

w* = Vi^» cos 6, v# = vc (х, г* (x)).

Здесь и ниже используются одновременно следующие упрощения:

ХА ^А2(7-1) ~ е=ИД дхЗуХА ^А2(7-1) ~ е=ИД дхЗу« 1, ^2 « 1, ^^ ~^* (Y-D-« 1, ^2 « 1, ^^ ~^* (Y-D-(12.3.15)(12.3.15)

ХА ^А2(7-1)

~ е=

ИД дхЗу

ХА ^А2(7-1)

~ е=

ИД дхЗу

« 1, ^2 « 1, ^^ ~^* (Y-D-

« 1, ^2 « 1, ^^ ~^* (Y-D-

(12.3.15)

(12.3.15)

Тогда при 2< z* можно положить /е « (xsin9)e и из (12.3.14) получим

г* Wг* WЗуУ +2ЗуУ +2COS 6А—т— v* (1 + Со) х sin 6,COS 6А—т— v* (1 + Со) х sin 6,(12.3.16)(12.3.16)

г* W

г* W

Зу

У +2

Зу

У +2

COS 6А

—т— v* (1 + Со) х sin 6,

COS 6А

—т— v* (1 + Со) х sin 6,

(12.3.16)

(12.3.16)

Кроме того, интегрируя (12.3.10) и полагая Б1л~0, получим простую формулу

Еу ~ h. Д(т* — т), т* = тд[х, г* (х)]_(12.3.17)

Пренебрежем в уравнении (12.3.9а) первым членом — кинетической энергией газа, доля которой при взрыве невелика. Растекание газа из области Л должно прежде всего изменить давление, и, в меныйей степени, за счет инерции тяжелого ударного слоя форму ударной волны, поэтому полежим пока R = Ra всюду. Тогда в области В давление с учетом (12.3.15) будет равно

\д^с А ^А _ ^а£0^А\д^с А ^А _ ^а£0^А(12.3.18)(12.3.18)рт

\д^с А ^А _ ^а

£0^А

\д^с А ^А _ ^а

£0^А

(12.3.18)

(12.3.18)

— = 1 —«>(1 —Ю. [л = —, <о =

Вд

Очевидно со < 1 и ю-^ О при //г0-^оо.

Представим далее решение в области В в виде

®С = ®»V (1)) , [Л = (Л (7]) ,

■4 = 212*^,(12.3.19)

w*(*) = «сД[*. г* (х)].

Подставляя в (12.3.8) и опуская члены порядка е, получим систему уравнений и граничных условий

[V — (1 ^Q^jy' +CV=0;

[^-(l+^^^' + ^'^O;

(12.3.20)

И = р.= 1,7]=:1; V = 0, 7] = 0.

Здесь

Г2^аРд

//>. \1/т

= С^ —.(12.3.21)

\ Р /

В первом уравнении (12.3.20) оставлен член C2\xf ~ г, отражающий влияние градиента давления на поле скоростей; опустив его, мы получили бы лишь тривиальное решение V=p,= l. Из последующего же будет ясно, что этот член дает в решение вклад порядка 8 j •

Рис. 12.19Рис. 12.19И+СК^(1 + С0)т]1 — V — ^C0N = 0И+СК^(1 + С0)т]1 — V — ^C0N = 07V (ю, р) = \ — d УрJ и07V (ю, р) = \ — d УрJ и0(12.3.22)(12.3.22)■Система (112.3.20) имеет нетривиальное решение лишь прч равенстве нулю определителя, составленного из коэффициентов при производных, что вместе с условиями при г, — 1 дает в итоге два конечных соотношения

Рис. 12.19

Рис. 12.19

И+СК^(1 + С0)т]

1 — V — ^C0N = 0

И+СК^(1 + С0)т]

1 — V — ^C0N = 0

7V (ю, р) = \ — d Ур

J и0

7V (ю, р) = \ — d Ур

J и0

(12.3.22)

(12.3.22)

Это решение не удовлетворяет условию V=0 при т)=0, поэтому в центральной области решение уравнений (12.3.21) должно быть постоянным:

У = О,^ = ^о (JV^.^-L, тхчо^-СМО+СоГ1/^. (12.3.23) 2С0

Полученное решение имеет вид центрированной простой волны, линии т) — const при л^Ло являются характеристиками 1-го семейства, а второе соотношение (12.3.22) аналогично инварианту Римана в нестационарной одномерной волне разрежения. При значениях ^^^«^(со, О)]-1 равенство р = 0 в решении (12.3.22) наступает при больших значениях ц, чем V = 0, и

Р

Рис. 12.20. Относительное распределение давления в центральной эоне крыла в различных сечениях т= =х sin 0/(схго):

•формула (12.3.18);формула (12.3.27)

продолжение этого решения в область меньших т) лишено физического смысла. В этом случае газ в высокоэнтропийном слое полностью вытекает из области В и вместо (12.3.23) должно быть

^0 = 1-2^(0), 0), рэ = о, h <^^^(1 4-С0)-1). (12.3.24

Для численных оценок нужно задаться расходом газа в высокоэнтропийном слое. Чтобы учесть, хотя бы качественно зависимость его от у, положим ^оЧСх —Зу2, чтс примерно соответствует граничному значению £5=0,Зч-0,4 на рис. 5.16.

Примем еще s^7^0,8 и, для простоты, cos 0=1. Кривые К(г|) и ц(т]) показаны на рис. 12.19. Эни слабо зависят от со, что подтверждает автомодельный характер решения (12.3.19). Показатель у сильно влияет на решение, особенно на р — массу газа в высокоэнтропийном слое, но ро>О при у>1,1.

Полученное распределение давления по размаху крыла в разных сечениях

показано на рис. 12.20. Эффект растекания существенно уменьшает давление в центральной части крыла, особенно при у=1,1—1,2. Поэтому в реальных условиях гиперзвуков'Ого сбтекания крыльев с учетом влияния физико-химических превращений эффект растекания должен быть особенно заметен. Поскольку параметр о) убывает с удалением от носка медленно, как Is, то эф-

xtge

Рис. 12.21. Относительное распределение д—ния по размаху треугольной притупленной пла-стины:

///—эксперимент Моо = 11,6, 7 = 1,4, 6=45°; I—x!r0=651 II—х1тй=^2\ теория — 1— Моо=7; 2—Моо = 10; S—М^^оо,

7=1,4

Размер области В соизмерим с размахом крыла, причем показатель у влияет на него меньше, чем на давление. Границы этой области, определенные уравнениями (12.3.11) — (12.3.13), незначительно отличаются между собой (см. рис. 12.18).

Оценим еще изменение формы ударной волны. Интегрируя уравнение (12.3.96) с учетом (12.3.18), получим для каждой плоскости 2=const:

X X

/?2 = ^-2\ \ -^кХ-^ахах, (z = z*[x^-(12.3.25)

Хй Xq

Интеграл здесь оценим, положив

(О (1 - р.)(х) (1 — р0) , хо/х

Кроме того, вынесем w(l—р0) из-под знака интеграла, тогда с учетом (10.3.8) получим простую формулу

/ = ^(1 + -1_7)4/3_А1)1/з\(12.3.26)

АдY Т 1 \<>°/

Возвращаясь к первому уравнению (12.3.9а), определим давление так:

~ « [1 - “ (1 - ц)] [1 - «/ (1 - ЫГ1/2 ■ (12.3.27) Рд

Соответствующие кривые показаны (пунктиром) на рис. 12.20. Как видно, учет уменьшения отхода ударной волны в области В приводит к некоторому подрастанию давления, особенно при т]«0.

Полученное решение в целсм носит сугубо оценочный характер вследствие множества допущений, произвольного выбора величин ф', sc и др. Но приведенные на рис. 12.21 экспериментальные данные подтверждают наличие эффекта растекания не только качественно, но и количественно, причем в эксперименте этот эффект оказывается более значительным

Заметим, что эффект растекания должен сильно зависеть от числа Мп. В самом деле, основными параметрами, определяющими этот эффект, являются скорость wA в высокоэнтропийном слое и отношение 6a!Ra. При конечном числе Мп эта скорость

г 1

’ Мл=м~sin6 (12,3'28)

уменьшается с уменьшением Мп, как и отношение ^aJRa, за счет увеличения Ра и Ra. Поэтому эффект понижения давления сильно уменьшается с уменьшением 1Лп> что следует из сравнения кривых на рис. 12.21, полученных примерно в том же приближении, что и описанное выше.

Эти эксперименты выполнены А. В. Красильниковым и В. В. Ивановым (МЖГ, 1972, №• 2). Меньшее падение давления в расчетах можно объяснить размазыванием возмущений давления за счет осреднения его в уравнении (12.3.9) на весь возмущенный слой. Теоретические кривые на рис. 12.21 получены А. В. Красильниковым (МЖГ, 1967, № 1; 1968, № 5).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Бабенко К. И., Воскресенский Г. П., Любимов А. Н., Русанов В. В, Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом. М., «Наука», 1964, с. 505.

Бай Фи-И. Динамика излучающего газа. М., «Мир», 1968, с. 324.

Белоцерковский О. М. и др. Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа. М., Изд. АН СССР, 1966, с. 400.

Бонд Дж., Уотсон К., Уэлч Дж. Физическая теория газовой динамики М., «Мир», 1968, с. 556.

Булах Б. М. Нелинейные конические течения газа. М. «Наука», 1970, с. 343.

Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М., «Мир», 1967, с. 310.

Вулис Л. А. Термодинамика газовых потоков. М., Госэнергоиздат, 1950, с. 304.

Газодинамика и теплообмен при наличии химических реакций. [Сборник статей]. Под ред. В. П. Мотулевича и В. П. Ионова. М., ИЛ, 1962, с. 552.

Гиро Ж. Основные вопросы теории гиперзвуковых течений. М., «Мир», 1965, с. 300.

Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М , ИЛ, 1961, с. 929.

Дьяконов Ю. Н., Пчелкина А. В., Сандомирская И. Д. Сверхзвуковое обтекание затупленных тел. Под ред. Рослякова Г. С. М., изд. МГУ, 1971.

Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М., «Наука», 1966, с. 686.

Исследование гиперзвуковых течений. Под ред. Ф. Ридделла, М., «Мир», 1964, с. 544.

Кацкова О. Н., Крайко А. Н. Расчет плоских и осесимметричных сверхзвуковых течений при наличии необратимых процессов. ВЦ АН СССР. М,1964, с. 44.'

Кларк Дж., Макчесни М. Динамика реальных газов. М., «Мир», 1967, с. 566.

Кондратьев В. Н. Кинетика химических газовых реакций. М., Изд-во АН СССР, 1958, с 688.

Коробейников В. П., Мельников Н. С., Рязанов Е. В. Теория точечного взрыва. М., Физматгиз, 1961, с. 332.

Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. Под ред. И. А. Кибеля. М., Гостехиздат, 1955, с. 560.

Краснов Н. Ф., Кошевой В. Н., Данилов А. Н., Захарченко В. Ф. Аэродинамика ракет., М., «Высшая школа», 1968, с. 772.

Кубо Р. Термодинамика М., «Мир», 1970, с. 304.

Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. М.-Л, Гос- техтеоретиздат, 1951, с. 476.

Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковые течения и ударные волны. М., ИЛ, 1950, с. 427.

Кузнецов Н. М. Термодинамические функции и ударные адиабаты воздуха при высоких температурах М., «Машиностроение», 1965, с. 463.

Ладыженский М. Д. Пространственные гиперзвуковые течения газа. М., «Машиностроение», 1968, с. 120.

Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М., Гостех- издат, 1954, с. 796.

Липман Г. В., Рошко А. Элементы газовой динамики. М., ИЛ, 1960, с. 518.

Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., «Наука», 1970, с. 904.

Лунев В. В., Магомедов К. М., Павлов В. Г. Гиперзвуковое обтекание притупленных конусов с учетом равновесных физико-химических превращений. М., Изд. ВЦ АН СССР, 1968, с. 203.

Любимов А. И., Русанов В. В. Течения газа около тупых тел. М., «Наука», 1970, с. 287.

. Мартин Дж. Вход в атмосферу. М., «Мир», 1969, с. 320.

Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М., ИЛ, 1961, с. 588.

Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. Под ред. Г. И. Майкапара. М., «Машиностроение», 1972, с. 344.

Охоцимский Д. Е., Кондрашева И. Л., Власова 3. П., Казакова Р. Н. Расчет точечного взрыва с учетом противодавления.— «Труды математического института АН СССР им. В. А. Стеклова», 1957, т. 50, с. 65.

Петровский Г. И. Лекции об уравнениях с частными производными. М., Физмаггиз, 1961, с. 400.

Предводителев А. С., Ступоченко Е. В., Плешанов А. С., Самуй- лов Е. В., Рождественский И. Б. Таблицы термодинамических функций воздуха (для температур от 12С30 до 20000° К и давлений от 0,001 до 1000 атм.). М„ Изд-во АН СССР, 1959, с. 230.

Рахматулин X. А., Сагомонян А. Я., Бунимович А. И., Зверев И. Н. Газовая динамика. М., «Высшая школа», 1965, с. 724.

Росляков Г. С., Костенбойм X. С. Численное решение одномерных задач о взрыве. М., изд. МГУ, 1971, с. 190.

Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М, «Наука», 1972, с. 440.

Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М., «Наука», 1973, с. 536.

Станюкович К. П. Неустановившееся движение сплошной среды. М., «Наука», 1971, с. 854.

Ступоченко Е. В., Лосев С. А., Осипов А. И. Релаксационные процессы в ударных волнах. М., «Наука», 1965, с. 484

Теленин Г. Ф. Законы подобия при больших сверхзвуковых скоростях. М., Оборонгиз, 1956, с. 150.

Теория оптимальных аэродинамических форм. Под ред. Миелле. М., «Мир», 1969, с. 507.

Ферри А. Аэродинамика сверхзвуковых течений. М., Гостехтеоретиз- дат, 1953, с. 463.

Физическая газодинамика. [Сборник статей]. Под ред. А. С. Предво- дителева. М., Изд-во АН СССР, 1959, с. 168.

Хейз У. Д. Основы теории газодинамических разрывов.— В кн/. Основы газовой динамики. Под ред. Г. Эммонса. М., ИЛ, 1963, с. 702.

Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф. Теория гиперзвуковых течений. М., ИЛ, 1962, с. 607.

Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М., Физматгиз, 1959, с. 220.

Чушкин П. И., Шулишнина Н. П. Таблицы сверхзвукового течения около затупленных конусов. М., Изд-во АН СССР, 1961, с., 92.

Чушкин П. И. Метод характеристик для пространственных сверхзвуковых течений. М., Изд-во АН СССР, 1968, с. 122.

Эпштейн П, Курс термодинамики. М.—Л., Гостехиздат, 1948, с. 419.

Z. Kopal. Tables of supersonic. Flow Around cones. Report N 1 M IL 1947.

Napolitano L. Journal de Mechanique.Vol. II. N 2 Juin 1963. Archiwuni Mechaniki, stosowanej 2. 1964.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Предисловие 3

Часть I. Основы теории гиперзвуковых течений реального газа .5

Глава 1. Физические свойства несовершенных газов. Уравнения движения 5

. Физические процессы в газе при гиперзвуковых скоростях полета 5

2. Физическая модель течения неравновесныхсмесей газов ..9

Скорости релаксациии химическихреакций16

Энтропия и условияравновесия21

Бинарные реакции исмеси26

6 Равновесный состав ....29

Полная система уравнений движения газа с физико-химическими превращениями. Простейшие интегралы. Предельные режимы 34

Скорость звука40

Равновесное уравнениесостояния в квазисовершенной форме 43

Одномерные стационарные течения. Роль замороженной и равновесной скоростизвука47

а 2. Ударные волны и зоны релаксации50

. Ударные волны. Общие соотношения .50

2.2. Ударные волны в равновесном газе53

. Сильные ударные волны 59

. Зона релаксации за ударным фронтом63

. Решение задачи о структуре зоны релаксации. Бинарное подобие 65

. Косой скачок уплотнения71

Г лава 3. Характеристические свойства уравнений неравновесного течения газа75

Структура и некоторые свойства уравнений течения реального газа75

Характеристики уравнений с двумя переменными ....78

Простые волны в замороженных и равновесных течениях ..84

Парадокс двух скоростей звука. Центрированная волна в неравновесном газе90

Отражение возмущений от вихревых слоев и скачков уплотнения. Влияние осевой симметрии 95

Характеристики и слабые скачки уплотнения. Линейная теория 101

Характеристические поверхности уравнений пространственного движения газа106

Некоторые 'свойства течений с большими местными числами М 109

Глава 4. Общий закон подобия гиперзвуковогэ обтекания тел невязким газомПО

Замечания к постановке задач сверхзвукового невязкого обтекания тел несовершенным газсмПО

Закон подобия стационарного сверхзвукового обтекания тел реальным газом113

Вывод закона подобия из теории подобия и размерностей .120

Часть II. Течение газа с большой плотностью за ударной волной ,123

Глава 5. Общая ньютонианская теория .123

Постановка задачи. Толщина ударного слоя. Криволинейные координаты123

Предельное решение для тонкого ударного слоя. Формулы Буземана и Ньютона 128

Примеры применения и анализ точности формул Ньютона и Буземана131

Аэродинамические характеристики тел. Коэффициенты сопротивления 141

Свободные слои. Распределение энтропиизатупым телом.147

Общая картина обтекания тупоготела151

Закон подобия, использующий эффективный показатель адиабаты155

Нестационарное обтекание тел158

Глава 6. Структура ударного слоя на острых и тупых телах ...160

Метод тонкого ударного слоя160

Обтекание клина и конуса162

Асимптотическая ферма уравненийтонкогоударного слоя.165

Течение в окрестности критической точки тупого тела ...171

Течения в окрестности критической точки с переменной плотностью вдоль оси симметрии177

Структура неравновесного ударного слоя180

Течение в окрестности критической точки тупого тела в расходят емся гиперзвуковом потоке181

Об обтекании круглого диска (ньютснианское решение) ..185

Глава 7. Некоторые пространственные течения с тонким ударным слоем 188

Течение в окрестности критической точки с двумя плоскостями симметрии188

Острый конус под углом атаки193

Скошенный цилиндр в неоднородном гиперзвуковомпотоке.200

Часть III. Гиперзвуковое обтекание тонких тел207

Глава 8. Тонкие заостренные тела. Общая теория207

. Общие соображения. Нелинейная теория малых возмущений207

. Закон плоских сечений или нестационарная аналогия ...213

. Уравнения сохранения в интегральной форме215

8.4. Закон подобия гиперзвуксвого обтекания тонких тел совершенным газом218

8.5. Закон подобия для несовершенного газа . 222

Глава 9. Некоторые пространственные течения около тонкихтел.223

Обтекание тонких крыльев. Правило полос223

Нестационарное обтекание тонкого тела 227

Медленные колебания тела231

Обтекание тонких тел под большими углами атаки..233

Глава 10. Некоторые автомодельные решения одномерной нестационарной газовой динамики239

Расширение поршня по степенному закону239

Сильный взрыв242

Интегральный метод. Метод эффективной энергии для взрыва в реальном газе245

Стр.

Ч а с т ь IV. Обтекание тонких тел с притупленными носком или кромками 250

Г лава 11. Плоские и осесимметричные тонкие притупленные тела ..250

. Влияние носка на гиперзвуковое обтекание тонкого притупленного тела250

Обтекание притупленных пластины и цилиндра. Взрывная аналогия255

.Влияние высокоэнтропийногсслоя 265

11.4.Эб эффекте вытеснения высокоэнтропийного слоя ...270

. Закон подобия обтекания тонких притупленных тел с геометрически подобной боковойповерхностью273

11.6. Интегральный учет влияния реальных свойств газа в высокс- энтропийном слое■278

. Притупленные конуса и клинья. Сравнение гиперзвуковой теории с точными результатами 284

Г лава 12. Пространственные течения около притупленных тел ...296

§ 12.1. Особенности пространственного обтекания тонких притупленных тел 296

§ 12 2. Закон подобия для тонких притупленных тел с осесимметричным носком. Правило местных притупленных конусов . .303

§12 3. Треугольная пластина с притупленными кромками ...315

Список литературы ,323

Замеченные опечатки

Страница

Строка

Напечатано

Следует читать

97

Формула

Ap's-»'s

(3.5.6)

APS + 6»

Ap's + e;

98

8 сверху

Psl»'s^-dpld6->A

Pj^dp/dti-^A-x

99

Формула

Adp ± db ~ Bdl

Adp ± й?6 = — Bdl

(3.5.10)

100

7 сверху

ф = 0*

l-n = ^23

202

Формула

Го

<й2 = к —— « 1

^ = k—-—< 1

(7.3.86)

sin a

1 sin a

204

Формула

2Ао==Г_£Л£)_1(т-1)/т

2Aq —

(7.3.13)

Рк(х^ J

°‘ Po

267

Формула

AM — U^tt-Uoo—. . .

ku = Uoo —- U ^ Uoo—. . .

(J 1.3.8)

286

13 сверху

/ Cx \l/l + v

= ( ——x2

/ Cx \l/l + v — 1 Х1

\ cx )

\-cx /

318

4 сверху

c > ac

318

23 сверху

W* = Ф^* cos 6

™>* ~ «пУ* cos 9

Заказ 2382/3787

Владимир Васильевич ЛУНЕВ

ГИПЕРЗВУКСВАЯ АЭРОДИНАМИКА

Редактор издательства Н. Л. Педченец

Художник Е. В. Бекетов

Техн, редактор И. А. Юдина

Корректор А. И. Карамышкина

Сдано в набор 25/XII—1975 г. Подписано к печати 10/IV—1975 г. Т-07402

Формат 60X90716Бумага № 2

Печ. л. 20,5Уч.-изд. л. 20,10

Тираж 4000 экз. Изд. заказ 3787 Цена 94 коп.

Издательство «Машиностроение», 107885 Москва, Б-78, 1-й Басманный пер., 3

Московская типография № 8 Союзполиграфпромапри Г осударственном комитете Совета Министров СССРпо делам издательств, полиграфии и книжной торговли,Хохловский пер., 7. Тип. зак. 2382

1 Такая схема вполне приемлема для воздуха до скоростей ^^5—6 км/с

1 / d2 1 \ Q^a^dp

1 Например, при натекании недэрасширенной струи на плоскую прегради (МЖГ, 1971, №2).

1 Этот принцип установлен С. В. Валандером (1949 г.) и затем К. Осва-

1 Что является частным случаем общей П-теоремы из теории подобия и

1 Такого определения сд достаточно вместе с сп и ст для определения

симметрии. В общем случае необходимо задать линию действия и величину

равнодействующей и момент сил относительно этой линии, который в нашем

случае равен нулю.

1 В -строгой пэстансвке правило площадей обосновано М. Н. Коган >м (Инж. журнал, 1961, № 3), и А. Н. Крайкз и др. (ПММ, 1974, №■ 6). Для тонких тел в рамках линейной теории (см. § 3.6) правило площадей применимо

1 Применению этого метода обычно препятствует ограниченный радиус сходимости таких рядов, ввиду чего он часто не приводит к решению пс всей области между ударной волной и телом. Во многих работах (обзор их дан

1 Более подробно см. в статье В. В. Лунева и Н. Е. Храмова.— МЖГ,

1 Пснятие о вихревом слое в пространственном течении введено впервые А. Ферри (NACA, Rep. 1045, 1951) при анализе разложения решения в ряд по а для малых углов атаки. В рамках асимптотической теории при ^->0 зтот слой рассмотрен в книге [5].

нения использовались затем рядом исследователей и сыграли известную роль

на раннем этапе развития гиперзвуковой теории обтекания тонких притуплен

ных тел. Кривые 2, 5 получены В. В. Луневым («Известия АН СССР», 1953,

м. д. Ладыженским [24]. В нашей работе (см. «Механика», 1965, № 3), дано

Приближенное решение задачи о треугольной пластине с притупленными кром

ками, обтекаемой без угла атаки совершенным газом при М^-^оо. Упрошен

в. В. ЛУНЕВ

ГИПЕРЗВУКОВАЯ

АЭРОДИНАМИКА

Допущено

Министерством высшего и среднего специального образования СССРв качестве учебного пособия для студентовавиационных специальностей высших учебных заведений

Москва

«МАШИНОСТРОЕНИЕ» 1975

Л 84

УДК 629.73.533.6(075.8)

Лунев В. В. Гиперзвуковая аэродинамика. М., «Машиностроение», 1975, с. 328

В учебном пособии описаны течения невязкого газа с гиперзвуковыми скоростями с учетом реальных равновесных и неравновесных процессов, со путствующих движению тел в атмосфере. Приведены уравнения движения несовершенных газов и описана общая теория их сверхзвуковых и гиперзвуковых течений. Рассмотрены задачи обтекания тел наиболее типичных для гиперзвуковой аэродинамики форм.

Книга может быть также полезна специалистам авиационной промышленности.

Ил. 144, список лит. 53 назв.

Рецензенты: чл.-корр. АН СССР Г. Г. Черный, д-р техн, наук, цроф. Н. Ф. Краснов, канд. техн, наук В. Н. Кошевой

Научный редактор канд. физ.-мат. наук Б. А. Землянский

ЛЛ20303-180038(01)-7520303-180038(01)-75180-75180-75

Л

Л

20303-180

038(01)-75

20303-180

038(01)-75

180-75

180-75

© Издательство «Машиностроение», 1975