Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ИССЛЕДОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙ НЕУСТОЙЧИВОСТИ
В ЗАДАЧАХ ЛАЗЕРНОГО ТЕРМОЯДЕРНОГО СИНТЕЗА
МЕТОДАМИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Редактор Е.С. Артоболевская
Оригинал-макет: О.В. Устинова
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
Подписано в печать 12.01.06. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Ус л. печ. л. 19. Уч.-изд. л. 23,0. Тираж 400 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография «Наука»
121099, г. Москва, Шубинский пер., 6
© ФИЗМАТЛИТ, 2006
ISBN 5-9221-0683-Х© И. Г. Лебо, В.Ф. Тишкин, 2006
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 6
Глава 1. Исследование гидродинамической неустойчивости в лазерных мишенях. Исторический очерк 11
Литература 16
Глава 2. Развитие возмущений формы границ сферической оболочки из несжимаемой жидкости 23
Постановка задачи, вывод основных уравнений 23
Особенности развития возмущений границ сферической оболочки 28
Задача о сравнении развития возмущений в сжимающейся и расширяющейся оболочках 32
Влияние временной формы импульса внешнего давления на характер развития возмущения 37
Учет эффекта испарения массы оболочки. Сравнение с приближенной формулой Bodner-Takabe 38
Модель сжатия оболочки из несжимаемой жидкости лазерным импульсом в приближении квазистационарности короны 43
Основные результаты второй главы 51
Литература 51
Глава 3. Физико-математическая модель сжатия сферических двумерно неоднородных лазерных мишеней. Программа «АТЛАНТ» 53
Решение уравнений газовой динамики и нелинейной теплопроводности в лагранжевых координатах 54
Уравнения состояния вещества, учет вырождения и упругости ...62
Кинетика реакций синтеза. Учет вклада термоядерной энергии и эффекта выгорания горючего 66
Перенос энергии быстрых электронов. Одногрупповая модель ....69
Решение уравнений радиационной газовой динамики в трехтемпературном приближении. Аналитические тесты 71
Учет влияния рефракции лазерных лучей в сферической короне . .78
Подпрограммы перестройки лагранжевых сеток для расчета сжатия мишеней с большими деформациями границ областей 82
Литература 86
Глава 4. Двумерное численное моделирование экспериментов по нагреву и сжатию сферических лазерных мишеней 89
О нелинейной стадии развития неустойчивости в сферических мишенях 89
Оптимизация параметров высокоаспектных оболочечных мишеней для экспериментов на установке «Дельфин» (ФИАН) 95
Моделирование развития длиноволновых возмущений при несимметричном облучении мишеней в условиях, соответствующих экспериментам на установке «Дельфин» 103
Моделирование несимметричного сжатия мишеней в условиях крупномасштабной неравномерности засветки на установке «Прогресс» 113
О возможности анализа параметров сжатой лазерной мишени и степени ее перемешивания по спектрам нейтрального компонента в разлетающейся плазме 117
Основные результаты четвертой главы 123
Литература 124
Глава 5. Исследование неустойчивости Рихтмайера-Мешкова методами математического моделирования 127
Неустойчивость Рихтмайера-Мешкова. Физико-математические модели 127
TVD-разностные схемы повышенного порядка апроксимации. Программа «НАТ» 130
Анализ результатов экспериментов на ударных трубах, полученных в ЭНИН и других лабораториях. Сравнение с результатами численных расчетов 133
О развитии синусоидальных и уединенных возмущений в области контакта двух газов при импульсном ускорении 143
Особенности развития возмущений в трехмерной геометрии. Сравнение с результатами, полученными в AWE Aldermaston (Англия) 148
Особенности развития многомодовых начальных возмущений .... 154
Особенности развития НРМ в случае контакта двух газов с одинаковыми плотностями, но различными показателями адиабаты .... 166
О развитии возмущений при прохождении ударной волны из газа большей плотности в газ меньшей плотности 171
Развитие неустойчивости на контактной границе «воздух-гелий» при многократном прохождении ударной волны. Сравнение с результатами, полученными во РФЯЦ-ВНИИЭФ (г. Саров) 172
Программа «HATCH» для моделирования НРМ в лазерной плазме.
Влияние нелинейной теплопроводности на рост возмущений 175
Выводы и основные результаты 5 главы 178
Литература 180
Глава 6. Использование адаптивных методов для расчета вихревых течений в многокомпонентном газе 183
Постановка задачи 183
Структура используемой сетки 184
Измельчение и огрубление сетки 186
Вычисление производных газодинамических величин 188
Тестовые расчеты 192
Решение уравнения теплопроводности на локально-измельчающих- ся сетках 196
Литература 202
Глава 7. Анализ и двумерное численное моделирование экспериментов по лазерному ускорениюи прожиганию фолы 204
Моделирование экспериментов по увеличению рентгеновского выхода при облучении иодным лазером алюминиевых фольг 204
Программа «АТЛАНТ-С» в лагранжевых цилиндрических координатах 208
Моделирование экспериментов по теплопроводному выравниванию при воздействии лазерного излучения на двух длинах волн 218
Моделирование экспериментов по прожиганию алюминиевых фольг на установке «ГАРПУН» 225
Анализ экспериментальных данных на установке «ПИКО» 232
Основные результаты седьмой главы 244
Литература 245
Глава 8. Гидродинамическая неустойчивость и проблема конструкции мишени реакторного масштаба 247
Требования к мишени реакторного масштаба. Возможные конструкции таких мишеней 247
Мишень с внутренним вводом энергии для коротковолнового лазера 261
Теплопроводное выравнивание и гидродинамическая компенсация в мишенях «Лазерный парник» 265
Учет влияния истечения плазмы через отверстия в мишенях типа «Лазерный парник» 274
О симметризующем влиянии предимпульса на развитие возмущений контактной границы оболочка-горючее 287
Моделирование сжатия сферической мишени с помощью двух лазерных пучков 295
Основные результаты8-йглавы 300
Заключение 301
Литература 301
Введение
Развитие средств вычислительной техники и методов решения сложных нелинейных многомерных уравнений в частных производных привело к возникновению такого нового самостоятельного направления в естественно-научных исследованиях, как вычислительный эксперимент. Вычислительный эксперимент — «это создание и изучение математических моделей исследуемых объектов с помощью ЭВМ» (см. [1] глава 1). Это направление является особенно эффективным в тех случаях, когда другие подходы (аналитические решения, непосредственное наблюдение в натурном эксперименте) не позволяют получить полной информации об исследуемом явлении.
Гидродинамическая неустойчивость, которая развивается в процессе ускорения и сжатия разноплотных слоев вещества, является типичным примером сложных неодномерных и нелинейных явлений. Такие задачи возникают в исследованиях по физике высоких концентраций энергии (в частности, по управляемому термоядерному синтезу —УТС), в астрофизике и ряде прикладных научно-технических исследований. Понимание закономерностей развития гидродинамической неустойчивости и условий перехода к турбулентному состоянию является также одной из важных проблем современной фундаментальной физики.
Проявление различных по характеру воздействия и масштабам процессов, их нелинейность и неодномерность затрудняют создание моделей, достаточно адекватно описывающих рассматриваемые явления. Для получения аналитических решений требуется существенное упрощение исходных уравнений и моделей (в основном, это линеаризация уравнений, предположение о несжимаемости сред и т. д.), что приводит к значительному сужению области их применимости. Экспериментальное исследование гидродинамической неустойчивости при больших сжатиях вещества оказывается затруднительным из-за дороговизны и технической сложности подобных экспериментов, а также трудностей при масштабировании разнообразных нелинейных процессов. Вычислительный эксперимент позволяет анализировать эти явления, интерпретировать результаты натурных экспериментов и прогнозировать эксперименты на будущих крупномасштабных установках.
Одним из перспективных и быстро развивающихся подходов к решению проблемы управляемого термоядерного синтеза является использование лазеров для инициирования термоядерных микровзрывов.
В основе этого подхода лежит концепция сверхвысокого сжатия и нагрева термоядерных мишеней с помощью мощных лазерных импульсов (см. [2-4], Глава 1). Физика лазерной плазмы содержит широкий класс гидродинамических, тепловых, радиационных и электро-динамических явлений.
Независимо от конкретной конструкции мишени и типа лазеров (или корпускулярных пучков), для достижения энергетически выгодной реакции необходимо сжимать горючее до огромных плотностей (порядка 100 г/см3) и нагревать до температуры порядка 100 млн градусов. Внешние слои мишени испаряются и разлетаются со скоростями в сотни км/с, что обеспечивает реактивное давление на неиспаренные слои. Для достижения больших сжатий внешние слои изготавливают из инертного вещества с плотностью, заметно большей, чем плотность конденсированного ДТ-горючего. В процессе такого сжатия развиваются гидродинамические неустойчивости, которые приводят к проникновению инертного вещества в глубь горючего, препятствуют достижению оптимальных параметров термоядерного горючего. Например, в современных экспериментах различие наблюдаемого выхода нейтронов от предсказаний одномерных расчетов превышает два порядка при объемных сжатиях горючего более 103—104 раз [5—7]. Поэтому проблема устойчивого сжатия мишеней является чрезвычайно важной и ей в настоящее время уделяется первостепенное внимание в исследованиях по инерциальному термоядерному синтезу.
Типичные времена исследуемых процессов менее 1 нс, пространственные масштабы на уровне 1-10 мкм, развитие неустойчивости происходит в плотной среде, при высоких температурах и мощном фоне переизлучения из плазмы. Эксперименты, в основном, позволяют получить лишь интегральную по времени и пространству информацию о тех процессах, которые протекают в лазерных мишенях. Для описания этих явлений требуется решать сложную нелинейную систему уравнений в частных производных в двумерной и трехмерной геометриях. Аналитические решения, как правило, получить не удается.
Выше описанные обстоятельства определяют актуальность и важность вычислительного эксперимента в исследованиях по лазерному термоядерному синтезу.
В ведущих лабораториях нашей страны и за рубежом развиваются алгоритмы и программы расчета неодномерных течений лазерной плазмы совместно с уравнениями переноса энергии, ионизации и рекомбинации, кинетики термоядерных реакций. Как правило, это сложные многоплановые программы, ориентированные на имеющуюся в распоряжении данных лабораторий вычислительную технику.
В настоящей монографии описаны физико-математические модели, алгоритмы двумерных и трехмерных программ и результаты численных исследований развития гидродинамических неустойчивостей в лазерных термоядерных мишенях. В монографию вошли оригинальные ре-
зультаты исследований, в которых авторы принимали непосредственное участие и внесли определяющий творческий вклад.
В первой главе монографии дан краткий исторический очерк и описание современного состояния теоретических и экспериментальных работ по неустойчивости в лазерных мишенях,
Во второй главе рассмотрена неустойчивость границ сферической оболочки из несжимаемой жидкости с учетом испарения внешних слоев. Развитие неустойчивости в этом случае описывается с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Дано описание программы и результаты аналитических и численных расчетов.
Выше уже было сказано, что развитие неутойчивости в лазерных термоядерных мишенях описывается, вообще говоря, сложной системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных для нескольких (двух и трех) пространственных переменных. В третьей главе дано описание физико-математической модели, положенной в основу двумерной программы «АТЛАНТ». Для описания физических процессов в сферичесих термоядерных мишенях числено решается система двумерных уравнений газовой динамики с учетом диссипативных механизмов (электронной, ионной и радиационной теплопроводностей), распространения лазерного излучения и надтепловых электронов, термоядерного энерговыделения, учета неидеальности плазмы. Переход к лагранжевым координатам позволяет рассчитывать многообластные задачи для случаев больших объемных сжатий. В этой же главе описывается алгоритм решения разностных уравнений и приведены тестовые расчеты, позволяющие контролировать правильность их решения.
Четвертая глава посвящена описанию вычислительных экспериментов, выполненных с помощью программы «АТЛАНТ», моделирующих сжатие сферических оболочечных мишеней с помощью различных лазерных систем. Представлены результаты анализа натурных экспериментов на установках «ДЕЛЬФИН» (ФИАН, г. Москва), «ПРОГРЕСС» (ГОИ, г. Санкт Петербург), «VULCAN» (лаборатория Резерфорда и Эплтона в Англии) и их моделирование на современных ЭВМ. Предложены новые методы анализа параметров сжатой термоядерной мишени по результатам сравнения расчетных и экспериментальных данных.
В пятой главе приводится описание особенностей развития гидродинамической неустойчивости на контактной поверхности двух газов при прохождении ударных волн, эта неустойчивость получила название неустойчивости Рихтмаера-Мешкова. Дано описание методов и алгоритмов решения трехмерных (и двумерных) уравнений многокомпонентной газовой динамики в эйлеровых координатах для случаев развитых вихревых течений. Дано описание физико-математической модели и алгоритмов счета алгоритмов программы «НАТ» В этой главе представлены также результаты численного моделирования экс-
периментов по исследованию неустойчивости Рихтмайера-Мешкова. Эксперименты были выполнены, в основном, на ударных трубах в Энергетическом институте им. Г. М. Кржижановского (г. Москва) под руководством профессора С. Г. Зайцева, а также во Всероссийском федеральном ядерном центре ——ВНИИЭФ (г. Саров) под руководством Е. Е. Мешкова. В этой же главе представлены результаты исследования эволюции трехмерных многомодовых начальных возмущений контактной границы, разделяющей два газа, и сравнение с расчетными данными, полученными во Всероссийском федеральном ядерном центре — ВНИИЭФ (г. Саров) и в Атомном Центре Вооружений в Алдермастоне, Англия (AWE Aldermaston, England).
Шестая глава посвящена описанию некоторых адаптивных методов расчета вихревых течений в многокомпонентной среде и дано описание физико-математической модели и алгоритмов счета двумерной и трехмерной версий программы «АДАПТ». Приводятся результаты тестовых расчетов, выполненных с помощью этих программ. В конце главы дано описание методов решения уравнения теплопроводности на адаптивных сетках.
Исследованию неодномерных явлений при облучении мощным лазерным импульсом плоских мишеней посвящена седьмая глава. В отличие от экспериментов со сферическим сжатием в рассматриваемом случае лазерные установки и средства диагностики плазмы гораздо проще и дешевле. Поэтому имеется богатая экспериментальная информация и возможность непосредственного сравнения с расчетами. Были развиты две двумерные программы-лагранжевая программа «АТЛАНТ_С» и эй- леровая программа «НАТСИ» в цилиндрических координатах (丁,z) для сравнительного анализа таких экспериментов.
С помощью этих программ проведено численное моделирование экспериментов на однопучковых лазерных установках «ГАРПУН» (KrF- лазер, ФИАН), «ПИКО» (Nd-лазер, ФИАН), «PERUN» (йодный лазер, Физический институт Чешской академии наук — ФИЧАН), получено хорошее согласие расчетных и экспериментальных результатов и дана количественная интерпретация исследуемых явлений.
Восьмая глава посвящена исследованию перспективных конструкций лазерных мишеней для будущих экспериментов реакторного масштаба. В частности, были рассмотрены конические мишени для коротковолнового (ультрафиолетового KrF-лазера) и мишени с внутренним вводом лазерной энергии для длинноволнового (инфракрасного) лазера. С помощью двумерных численных расчетов изучена возможность борьбы с нарушением симметрии сжатия мишени за счет использования малоплотных покрытий и симметризующего лазерного либо ренгенов- ского предимпульсов.
В заключении кратко сформулированы основные результаты исследований, представленные в монографии.
Авторы выражают глубокую признательность своим учителям — академику А. А. Самарскому и профессорам В. Б. Розанову и А. П. Фа-
ворскому, общение с которыми в значительной мере определило содержание и стиль данной монографии, а также своим коллегам: А. А. Андрееву, Г. А. Вергуновой, Р. А. Волковой, С. Ю. Гуськову, Н. Н. Демченко, В. В. Демченко, Н. В. Змитренко, С. Г. Зайцеву, В. Д. Зворыкину, М. Е. Ладонкиной, Ю. А. Михайлову, О. Ю. Милюковой, Е. Е. Мышец- кой, Р. В. Степанову за полезные обсуждения и помощь в работе над монографией.
Глава 1
ИССЛЕДОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОЙНЕУСТОЙЧИВОСТИ В ЛАЗЕРНЫХ МИШЕНЯХ.ИСТОРИЧЕСКИЙ ОЧЕРК.
В [8, 9] была рассмотрена задача о развитии гидродинамической неустойчивости при ускорении менее плотными слоями вещества более плотных слоев (этот тип неустойчивости получил в литературе название — неустойчивость Рэлея-Тейлора). Этот тип неустойчивости можно наблюдать при попытке удержать слой более плотной жидкости (например, ртути) на поверхности слоя менее плотной жидкости (например, воды). За счет существенного упрощения физико-математических моделей (предположения о несжимаемости и идеальности жидкостей, малости амплитуды по сравнению с длиной волны возмущения, стационарности ускорения и т. д.) удалось получить аналитические решения, описывающие эти явления. Было показано, что под действием постоянного ускорения g амплитуда малых возмущений формы контактной границы двух сред с плотностями pi и р2 нарастает по закону △⑴ 〜До exp (ut), где и = (Agk)0,5 — инкремент скорости роста возмущения, А = (02 — 01)/(02 + 01) — число Атвуда, к = 2тг/Х — волновое число возмущения. В зависимости от начальных и граничных условий, а также учета других физических процессов (поверхностного натяжения, вязкости, вращения и т. д.), решения несколько усложняются, но сохраняется экспоненциальная зависимость роста амплитуды от времени до тех пор, пока выполняется требование △«) • k « 1. В [10] был рассмотрен случай развития этого типа неустойчивости для границы двух идеальных несжимаемых жидкостей на нелинейной стадии, когда амплитуда возмущения соизмерима с длиной волны А (или △•/<;〜 1). Для получения приближенных решений Э. Ферми предположил, что в процессе развития возмущения сохраняют форму прямоугольников с меняющимися со временем размерами. При этом изучалась эволюция прямоугольного «пузыря» легкой жидкости в тяжелой, и «струи» тяжелой жидкости в легкой. Было показано, что «струя» проваливается в легкую жидкость пропорционально gt2, а «пузырь» всплывает со скоростью, которая уменьшалась со временем, что, вообще говоря, не вполне соответствовало данным натурных экс-
периментов и физических представлений самого автора и объяснялось несовершенством модели. По-видимому, Э. Ферми первый указал на то обстоятельство, что на нелинейной стадии из-за скольжения тяжелых слоев струи вдоль легких будет развиваться неустойчивость Кельвина-Гельмгольца (этот тип неустойчивости описан в [11]). Для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих такие процессы, уже в то время потребовалось использование ЭВМ.
В работе [12] в предположении о том, что граница жидкости вблизи вершины пузыря имеет параболический вид, была рассмотрена задача о развитии неустойчивости в поле постоянного ускорения. В дальнейшем эта модель широко использовалась для описания поведения возмущений на нелинейной стадии.
В работах Е. С. Фрадкина [13], Е. Г. Гамалия, В. Е. Неуважаева, Л. И. Шибаршова [14], Е. Г. Гамалия [15] и других авторов [16—24, 27] были получены аналитические решения, описывающие характер развития неустойчивости в упрощенных моделях. Эти решения позволяют оценить роль гидродинамической неустойчивости в рассматриваемых задачах. Однако, как правило, они не дают возможность получить количественные характеристики процессов, реализующихся в условиях современных экспериментов.
При прохождении ударных волн через контактную границу двух сжимающихся сред (например, газов, плазмы и т. д.) развивается несколько иной тип неустойчивости (см. [25—26]), который в научной литературе получил название неустойчивости Рихтмайера-Мешкова. В частности, было показано, что при условии малых начальных возмущений и импульсного воздействия на контактную границу возмущения нарастают линейно по времени. Для получения этого результата Rychtmyer предположил, что сразу же после окончания рефракции ударной волны на возмущенной границе можно использовать приближение несжимаемости двух граничащих сред, а ускорение имеет дельтаобразную зависимость от времени. Наряду с таким подходом, он использовал линеаризованные уравнения газовой динамики для решения задачи о рефракции ударной волны на ломаной контактной границе. Эти уравнения решались с помощью ЭВМ.
В нашей стране и за рубежом (см., например [28-30] и [33-35]) были созданы двумерные, а впоследствии, и трехмерные программы, позволяющие численно решать уравнения газовой динамики совместно с уравнениями нелинейной теплопроводности и исследовать нелинейную стадию развития гидродинамической неустойчивости в газах и плазме. Так, в середине 70-х годов в Институте прикладной математики АН СССР 9 под руководством А. А. Самарского и А. П. Фаворского и во
1) Впоследствии институту присвоено имя его основателя академика М. В. Келдыша
Всесоюзном научно-исследовательском институте технической физики 9 под руководством А. А. Бунатяна были созданы первые двумерные программы, моделирующие несимметричное сжатие лазерных мишеней (см. [33-34]).
Таким образом, уже в первых работах по гидродинамической неустойчивости развивались физико-математические модели и использовались ЭВМ для исследования закономерностей развития возмущений контактной границы.
Начиная с первых теоретических работ по лазерному термоядерному синтезу, проблеме устойчивости сжатия уделялось значительное внимание, причем оценки возможности устойчивого сжатия оболочечных мишеней и требований к точности их изготовления значительно расходились. Так, в работах Дж. Накколза и др. [31] высказывалось утверждение, что оболочки будут разрушаться после прохождения пути, равного всего лишь нескольким своим начальным толщинам (а для инициирования эффективной термоядерной реакции требуется сжатие в 10000 раз по сравнению с плотностью конденсированного ДТ-горючего, т. е. уменьшение начального радиуса мишени в 30-50 раз). Заметим, что даже при использовании мишеней, состоящих только из ДТ-смеси, например, ледяного шарика, проблема развития неустойчивости остается, так как для инициирования эффективной реакции требуется, чтобы в центре образовалась горячая область с меньшей плотностью, чем на периферии. Развитие гидродинамической неустойчивости приводит к перемешиванию горячих (менее плотных) и холодных плотных слоев горючего и к снижению эффективности термоядерного выхода.
В работах [32-39] на основании аналитических оценок и первых двумерных численных расчетов была показана возможность эффективного сжатия оболочечных мишеней и обсуждались методы борьбы с неустойчивостью. В частности, было отмечено, что возмущения из области поглощения лазерного излучения переносятся первой ударной волной в глубь мишени, что приводит, в дальнейшем, к развитию неустойчивости на границе «оболочка-горючее» в процессе его сжатия.
При ускорении оболочки внешним давлением, а также при торможении ее сжатым нагретым горючим вблизи фронта испарения (на первой стадии) и вблизи границы «оболочка-горючее» (на второй стадии) формируется зона неустойчивости, характерная тем, что в этой области градиенты плотности и давления антипараллельны [32]. На внешней стороне мишени развитие неустойчивости происходит на фоне выноса возмущений из зоны неустойчивости потоком испаренного вещества. Для исследования этого эффекта были использованы аналитические оценки [40-41] и развиты программы, позволяющие решать линеаризованные уравнения газовой динамики на заданных газодинамических
1) Впоследствии институту присвоено имя академика Е. И. Забабахина.
«профилях» плазмы (см. [42—44]), а также, непосредственно, двумерные нелинейные уравнения газовой динамики [33-36, 45].
Исследованию влияния эффекта испарения внешних слоев вещества на скорость роста возмущений посвящен большой цикл работ отечественных и зарубежных авторов. Так, в работах Н. Takabe с соавторами [46-47] на основании решения линеаризованных уравнений газовой динамики на стационарных распределениях плотности, скорости и температуры, описывающих разлет плазмы мишени, была получена приближенная формула. Она описывает зависимость скорости роста малых возмущений от параметров плазмы: о 〜о。ехр(в力)， где ш = a(gk)°'5 — PDk. Здесь а, к — амплитуда и волновое число возмущения, g ——ускорение слоя, D — скорость испарения вещества, а,。一 параметры, взятые из результатов численных расчетов, а ^ 0,9, 。3—4. Вообще говоря, такой вид инкремента неустойчивости слоя плазмы с учетом испарения был предложен в работе [41], поэтому в научной литературе говорят об инкременте Боднера-Такабе. В расчетах [46—47] использовался ряд приближений (в частности, стационарные «профили» плазмы в поле ускорения), поэтому полученная зависимость не является строгой. Влияние испарения на развитие неустойчивости изучалось также в работах [48—53]. Так, в [53] предложено пользоваться модифицированной формулой Боднера-Такабе ш = a(gk/(l + 卜乙))&5 — 0Dk, где £ = p/Vp — типичный для данной задачи масштаб градиента плотности плазмы в зоне неустойчивости. Следует отметить, что еще в работах [13, 14] был получен инкремент роста тейлоровских мод с учетом насыщения скорости роста больших гармоник за счет конечного значения градиента плотности.
Бурное развитие вычислительной техники в 80-е годы и разработка новых эффективных алгоритмов решения многомерных задач газовой динамики позволили приступить к изучению сложных нелинейных процессов при развитии неустойчивости в трехмерной геометрии ([54-60]). В этих работах на основании анализа численных расчетов было показано, что на нелинейной стадии рост возмущений в трехмерном случае больше, чем в двумерном. Это объясняется меньшим влиянием неустойчивости Кельвина-Гельмгольца в трехмерном случае (см. также [61]).
В большинстве перечисленных работ с помощью численного моделирования изучалось развитие одной или нескольких мод возмущений. При этом предполагалось, что каждая мода на линейной стадии развивалась независимо вплоть до некоторого значения величины Ат к (Ат — текущая амплитуда возмущений), после чего наступала нелинейная стадия и перемешивание. В [62-63] указано на возможность иного сценария — когда переход к нелинейной стадии зависит от начального спектра малых возмущений. К настоящему моменту не существует замкнутой теории перехода от эволюционной стадии развития неустойчивости к турбулентному перемешиванию.
В работах [64—70] с помощью двумерных и трехмерных численных расчетов и анализа экспериментов изучался переход в развитии зоны турбулентного перемешивания на автомодельный режим Lt ~ Qgt2, где g — ускорение, t — время, LT — зона турбулентного перемешивания, q — безразмерный коэффициент пропорциональности. Так, в [66-69] D. Youngs сделал попытку с помощью ЭВМ промоделировать развитие зоны турбулентного перемешивания, решая непосредственно многомерные уравнения газовой динамики с заданным начальным многомодовым спектром. Им было показано, что «пузыри» развиваются в двухмерном случае с а ^ 0,04—0,05, а в трехмерном случае а ^ 0,06. Вопрос о значении автомодельной переменной а вызвал в литературе дискуссию (см., например [7]), поскольку результат зависит от конкретных условий экспериментов [72].
В 1965 году была опубликована работа С. 3. Беленького и Е. С. Фрадкина [73], где было предложено использовать неэволюционный подход к описанию развития неустойчивости. В этой модели турбулентный слой развивался по диффузионному закону, а его скорость развития определялась величиной инкремента роста гидродинамической неустойчивости в окрестности контакта двух сред с конечным градиентом плотности. Определение коэффициента турбулентной диффузии потребовало ввести в модель параметры, которые можно было получить лишь a priori. Несмотря на этот недостаток, модель турбулентной диффузии интенсивно развивается и усовершенствуется (см. [74-80]). Следует отметить, что в лазерных мишенях имеются резкие границы между горючим и различными функциональными слоями оболочки. Вопрос о применимости диффузионного приближения в таких условиях является открытым.
Наряду с теоретическими и численными исследованиями, закономерности развития гидродинамической неустойчивости изучаются в различных экспериментах (смотри, например, [81—86]). Отметим, что методы математического моделирования играют важную роль в интерпретации результатов таких экспериментов.
Проблема выбора конструкции мишени с уменьшенной чувствительностью к развитию гидродинамической неустойчивости все годы являлась центральной в исследованиях по лазерному термоядерному синтезу. Так, в работах [87—89] обсуждалась возможность использования симметризующего предимпульса, в [85-86, 90-92] с помощью двумерных численных расчетов изучалось влияние малоплотных покрытий на скорость роста возмущений в мишени. В [93] отмечено, что в мишенях реакторного масштаба скорость роста гидродинамической неустойчивости может быть уменьшена за счет влияния продуктов термоядерного синтеза.
В [94, 95] было предложено использовать мишени непрямого сжатия, когда лазерная энергия поглощается на внутренней поверхности капсулы из тяжелого элемента (например, золота) и эффективно преобразуется в рентгеновское излучение. Этим излучением облучается
и сжимается внутренняя рабочая мишень. Это направление оказалось весьма перспективным, и рад лабораторий мира (в первую очередь, Ливерморская национальная лаборатория им. Лоуренса, США) ведут исследования сжатия мишеней в таком режиме (при строительстве Национального центра для демонстрации зажигания термоядерных мишеней с помощью лазера — National Ignition Facility, NIF, предусмотрена возможность применения двух режимов — прямого и непрямого облучения и сжатия). Обсуждаются и другие подходы — «прямого- непрямого сжатия» [96, 97], мишеней типа «Лазерный парник» [98], режимов сжатия термоядерных мишеней с дополнительным подогревом вторым сверхмощным импульсом [99—101].
Литература
Самарский А. А. // Вестник АН СССР. 1979. 38-49.
Басов Я. Г., Крохин О. Н. Условия разогрева плазмы излучением оптического генератора // ЖЭТФ. 1964. Т. 46. С. 171.
Nuckolls /. et al. Laser Compression of matter to super-high densities. Thermonuclear applications // Nature. 1972. V. 239. P. 139.
Афанасьев Ю. В. и ф. Лазерные термоядерные мишени с большими коэффициентами усиления. Plasma Physics and Controlled Fusion Research, V. II, Vth Conf. Proceedings Tokyo, 11-15 November, 1975. P. 59-563.
Laboratory for Laser Energetics Annual Report, University of Rochester, 1 October 1989 - 30 September 1990, P. 117-135.
Yamanaka T. et al. Implosion experiments of cryogenic foam targets with plastic ablator // 4th Intern. Conf, on Plasma Physics and Controlled Nuclear Fusion Research. Wursburg, Germany, 30 September - 7 October 1992, IAEA-CN-56/B-3.
Гамалий E. Г. " др. Теоретическое исследование устойчивости сжатия тонкостенных оболочечных мишеней, облучаемых лазерами с энергией в импульсе порядка 1 Кдж // Квантовая электроника. 1988. Т. 15. С.1622-1632.
Taylor G. The instability of liquid surfaces when accelerated in a direction perpendicular to their planes // Proc, of Roy. Soc., ser. A. 1950. V. 201. P. 192.
Chandrasekhar. Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability. Clarendon Press, Oxford, 1961.
Ферми Э. Тейлоровская неустойчивость несжимаемой жидкости. Научные труды 3.①ермн. М., Наука, 1972. Т. III. С. 493.
Ландау 〃•〃.，Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М., Наука, 1986.
Layzer D. // Astrophysics J. 1955. V. 122. Р. 1.
Фрадкин Е. С. Исследование устойчивости произвольного одномерного гидродинамического течения // Тр. ФИАН СССР. 1965. Т. 29.
Гамалий Е. Г., Неуважаев В. Е., Шибаршов 〃. И. Об устойчивости одномерного адиабатического движения газа // Численные методы механики сплошной среды. 1976. Т. 7, № 1. С. 47.
Gamaly Е. G. Hydrodynamic Instability of Target Implosion in ICF. In book: Nuclear Fusion by Inertial Confinement: A Comprehensive Treatise / Ed. G. Velarde, Y. Ronen and J. M. Martinez-Vai. CRC Press, Inc., 1993.
Plesset M. S. On the stability of fluids flow with spherical symmetry // J. of Appl. Phys. 1954. V.25, No. 1. P. 96.
Book D. L., Ott E. Rayleigh-Taylor Instability in the «shallow-watter» approximation // Phys. Fluids. 1974. V. 17. P. 676.
Manheimer Ж, Colombant D., Ott E. Tree-dimensional, nonlinear evolution of Rayleigh-Taylor instability of a thin layer // Phys. Fluids. 1984. V. 27. P.2164.
Иноеамов НА. Движение с «вмороженными» изобарами. Трохоидальные волны и изобарическая Рэлей-Тейлоровская мода // ДАН СССР. 1984. Т. 278. С. 57.
Kull Я. /. Rayleigh-Taylor Instability. Modes and nonlinear evolution // Laser and Particle Beams. 1986. V. 4. P. 473.
Иноеамов H. А. Фурье-аппроксимации высокого порядка и точные алгебраические решения в теории гидродинамической рэлей-тейлоровской неустойчивости // Письма в ЖЭТФ. 1992. Т. 55. С. 505.
Иноеамов Н. А. К теории неустойчивости и осцилляций в ускоряемых или гравитирующих слоистых структурах // ЖЭТФ. 1996. Т. 110. С. 559.
Абаджи С. И. Стационарные решения в Рэлей-Тейлоровской неустойчивости для пространственно-периодических течений, вопросы единственности, размерности, универсальности // ЖЭТФ. 1996. Т. 110. С. 1841.
Иногамов Н. А., Опарин А. М. О трехмерных сетчатых структурах, связанных с неустойчивостями Рихтмайера-Мешкова и Рэлея-Тейлора // ЖЭТФ. 1999. Т. 116. С. 908.
Richtmyer R. D. Taylor Instability in shock acceleration of compressible fluids // Commun. Pure Appl. Math. 1960. V. 13. P. 297.
Мешков E. E. Неустойчивость границы раздела двух газов, ускоряемых ударной волной // Известия АН СССР. Сер. Мех. жидкостей и газов. 1969. Т. 5. С. 151.
Mikaelian К. О. Analytic approach to nonlinear Rayleigh—Taylor and Richtmyer-Meshkov instabilities // Phys. Rev. Lett. 1998. V. 80. P. 508-511.
Изучение гидродинамической неустойчивости численными методами. Сборник научных трудов под редакцией А. А. Самарского. ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР, М., 1980;
см. также Волкова Р. А. и др. САФРА. Функциональное наполнение. Программа ATLANT. Решение двумерных задач управляемого лазерного синтеза. Инструкция. ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР, М. 1985.
К. И.Бабенко и ф. Исследование гидродинамической устойчивости с помощью ЭВМ / Под ред. К. И. Бабенко. ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССР, Москва, 1981.
Долголева Г. В. Методики расчета движения двумерного излучающего газа (СНД) // ВАНТ. Сер. Методики и программы числ. решения задач мат. физ. 1987. Т. 2. С. 29.
Nuckols /. et al. Laser driven implosion of hollow pellets, IAEA-CN-33/f 5-4, Plasma Physics and controlled nuclear fusion research, 1974, V. II. Vth Conf. Proc., Tokyo, 11-15 November, 1974, IAEA, Vienna, 1975, P. 535-542.
Афанасьев Ю. В. " ф. Симметрия и устойчивость сжатия лазерных термоядерных мишеней // Письма в ЖЭТФ. 1976. Т. 23. С. 617.
Волосевич /7. /7. " др. Двумерные эффекты при лазерном сжатии стеклянных оболочек // Письма в ЖЭТФ. 1976, Т. 24. С. 283.
Боков Н. Н. " ф. Развитие возмущений при сжатии оболочечных мишеней лазерным излучением // Письма в ЖЭТФ. 1977. Т. 26. С. 630.
Lindl /. Л., Mead Ж С. Two-dimensional simulation of fluid instability in laser-fusion pellets // Phys. Rev. Lett. 1975. V. 34. P. 1273.
McCrory R. L., Adorse R. L., Taggert K. A. Growth and Saturation of Instability of Spherical Implosions Driven by Laser or Charged Particle Beams // Nucl. Sci. Engin. 1977. V. 64, P. 163.
Анисимов С. И., Иногамов НА Развитие неустойчивости и потеря симметрии при изэнтропическом сжатии сферической капли // Письма в ЖЭТФ. 1974. Т. 20. С. 104.
Иногамов Н. А. Модельный анализ тейлоровской неустойчивости оболочек // Письма в ЖЭТФ. 1977. Т. 3. С. 314.
Шибаршов Л. И. Сжатие газа сосредоточенной оболочкой при малой асимметрии // ВАНТ. Сер. Теор. и прикл. физ. 1988. Т. 1. С. 37.
Нечпай В. И., Потапкина Л. Ф., Холин С. А. Влияние трехмерных возмущений на сжатие мишеней // ВАНТ. Сер. Теор. и прикл. физ. 1991. Т. 4. С.З.
Bodner S. Rayleigh-Taylor Instability and Laser-Pellet Fusion // Phys. Rev. Lett. 1974. V. 33. P. 761.
Brueckner K., Jorna S., J an da R. Hydrodynamic Stability of laser-driven plasma // Phys. Fluids. 1974. V. 17. P. 1554.
Henderson D. B., Morse R. L. Symmetry of Laser-Driven Implosions // Phys. Rev. Lett. 197. V. 4, 32. P. 355.
Лебо И. Г. Спонтанные магнитные поля в сферических лазерных мишенях. Препринт ФИАН №64, М., 1982; см. также Гамалий Е. Г., Лебо И. Г., Розанов В. Б. Спонтанные магнитные поля в сферических лазерных мишенях // Тр. ФИАН. М., Наука, 1984. Т. 149. С. 66.
Гамалий Е. Г. и ф. Гидродинамическая устойчивость сжатия сферических лазерных мишеней // ЖЭТФ. 1980. Т. 79. С. 459.
Takabe Я., Montierth 丄.，Morse R. L. Self-consistent eigenvalue analysis Rayleigh-Taylor instability in an ablating plasma // Phys. Fluids. 1983. V. 26. P. 2299.
Takabe //. et al. Self-consistent growth rate of the Rayleigh—Taylor instability in an ablatively accelerating plasma // Phys. Fluids. 1985. V. 28. P. 3676.
Kull H. J「Anisimov S. /. Ablative stabilization in the incompressible Rayleigh-Taylor instability // Phys. Fluids. 1986. V. 29. P. 2067.
Бычков В. В., Гольдберг С. 7W” Либерман М. А. Рост Рэлей-Тейлоров- ской неустойчивости в неоднородной абляционно ускоренной плазме // ЖЭТФ. 1991. Т. 100. С. 1162.
Betti R., McCrory R. L., Verdon С. P. Stability of Unsteady Ablation Fronts // Phys. Rev. Lett. 1993. V.71. P.3131.
Betti R. et al. Self-consistent stability analysis of ablation fronts in inertial confinement fusion // Phys. Plasmas. 1996. V. 3. P. 2122.
Neuuazhaev V. E. Dependence of turbulent mixing on the initial roughness in the evaporation front with continuous profile at the interface // Phys. Rev. E. 1994. V. 50. P. 1394.
Delettrez /., Bradley D. K., Verdon D. P. The role Rayleigh-Taylor instability in laser-driven burnthrough experiments // Phys. Plasmas. 1994. V. 1. P. 2342.
Sakagami Я., Nishihara K. Three-Dimensional Rayleigh—Taylor Instability of Spherical Systems // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 432.
Yabe Г, Hoshino H.,, Tsuchiya T. Two and Three-dimensional behavior of Rayleigh-Taylor and Kelvin-Helmholtz Instabilities // Phys. Rev. 1991. V. 44. P. 2756.
Dahlburg /. et al. The effect of shape in the three-dimensional ablative Rayleigh—Taylor Instability. 1: Single-mode perturbations // Phys. Fluids. B. 1993. V.5. P. 571.
Town R. P., Bell A. R. Three-dimensional simulations of the implosion of Inertial Confinement Fusion targets // Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 1863.
Popov /. et al. Numerical simulation and experimental study of Richtmyer- Meshkov Instability // Laser Interact with Matter Conf. EcilM'95, Oxford, England, September 1994.
Никишин В. В. " ф. // Мат. Моде л. 1995. Т. 7. С. 15-25.
Dahlburg /. et al. Three-dimensional multimode simulations of the ablative Rayleigh-Taylor Instability // Phys. Plasmas. 1995. V. 2. P. 2453.
Розанов В. Б., Змитренко Я. В. Инкременты неустойчивости Кельвина-Гельмгольца в задачах лазерного термоядерного синтеза. Препринт ①ИАН № 16, М., 1992.
Haan S. V. Onset of nonlinear saturation for Rayleigh-Taylor growth in the presence of full spectrum of modes // Phys. Rev. A. 1989. T. 39.5812.
Haan S. V. Weakly nonlinear hydrodynamic instabilities in inertial fusion // Phys. Fluids. 1991. V.3. P. 2349.
Анучина H. H. " ф. Турбулентное перемешивание на ускоряющейся границе разноплотных жидкостей // Известия АН СССР. Сер. Механика жидкости и газа. 1978. № 6.
Анучина Я. Я., Огибина В. Н. Численное моделирование гравитационного турбулентного перемешивания // ВАНТ. 1982. вып. 2/10.
Youngs D. Numerical simulation of turbulent mixing by Rayleigh-Taylor Instability // Physica D. 1984. V. 12. P. 32.
Hanshaw M. /., Pert G. /., Youngs D. Non-linear Rayleigh-Taylor Instability in (spherical) laser accelerated targets // Plasma Physics and Controlled Fusion. 1987. V. 29, P. 405.
Youngs D. Modelling turbulent mixing by Rayleigh-Taylor Instability // Physica D. 1989. V. 37. P. 270.
Youngs D. Three-dimensional numerical simulation of turbulent mixing by Rayleigh-Taylor Instability // Phys. Fluids, A. 1991. V. 3, 1312
Anuchina N. N. et al. 3D numerical simulation of Rayleigh-Taylor instability using MAH-3 code // Laser and Particle Beams. 2000. V. 18. P. 175-181.
Розанов В. Б. " др. Экспериментальное исследование гравитационной неустойчивости и турбулентного перемешивания стратифицированных потоков в поле ускорения в связи с задачами инерционного термоядерного синтеза. Препринт ①ИАН, №56, М., 1990.
Стаценко В. Б. " ф. Вопросы атомной науки и техники. Сер. Математическое моделирование физических процессов. 2002. Вып. 2. С. 18—29; а также Гарина С. М. " ф. // Математическое моделирование. 2003. Т. 15. С. 3-11.
Беленький С. 3., Фрадкин Е. С. Теория турбулентного перемешивания // Труды ①ИАН 1965. Т. 29. С. 207.
Неуважаев В. Е., Яковлев В. Г. Турбулентное перемешивание границы раздела в численном газодинамическом расчете // ЖВММФ. 1976. Т. 16. С. 440.
Лыков В. А. и ф. Влияние турбулентного перемешивания на сжатие оболочечных мишеней // Письма в ЖЭТФ. 1979. Т. 30. С. 339.
Адронов В. А. " ф. Численные расчеты некоторых турбулентных течений в приближении двумерной турбулентности // Известия АН СССР. Сер. Механика жидкости и газа. 1984. Т. 6. С. 20.
Неуважаев В. Е., Яковлев В. Г. Расчет гравитационного турбулентного перемешивания по к — е модели // ВАНТ. Сер. Теор. и прикл. физ. 1988. Т.1. С. 28.
Gauthier S., Bonnet М. А к — е model for turbulent mixing in shock-tube flows induced by Rayleigh-Taylor instability // Phys. Fluids A. 1990. V. 2. P. 1685.
Mikaelian К. O. Turbulent mixing generated by Rayleigh-Taylor and Richtmyer-Meshkov instabilities // Physica D. 1989. V. 36. P. 343.
Харша /7. Модели переноса кинетической энергии // Турбулентность. Принципы и применения / Под ред. У. Форета и Т. Модлена. М., Мир, 1980.
Meshkov Е. Е. et al. Jelly technique applications in evaluation study of hydrodynamic instabilitieson unstable plane and cylindrical surface // Proc, of the 5th Intern. Workshop on Compressible Turbulent Mixing. University at Stony Brook, New York, 18-21 July, 1995 / Eds. R. Young, J. Glimm & B. Boston, World Scientific. P. 243.
Kucherenko Yu. A. et al. Experimental investigations into inertial properties of Rayleigh-Taylor Turbulence // Ibid. P. 213.
Remington B. A. et u/. Large growth Rayleigh-Taylor experiments using shaped laser pulses // Phys. Rew. Lett. 1991. V. 67, No. 23. P. 3259.
Remington B. A. et u/. Large growth Rayleigh-Taylor experiments on Nova // Phys. Fluids B. 1992. V.4. P. 967.
Burdonsky /. N. et u/. Stability investigation of corrugated foil ablative acceleration at moderate laser pulse intensities and initial amplitudes of target perturbations // 24th European Conf, on Laser Interaction with Matter, Madrid, 3-7 June, 1996. Book of Abstracts.
Андронов В. A. 〃 ф. Исследование турбулентного перемешивания тонких слоев разноплотных веществ при лазерном ускорении плоских многослойных мишеней на установке «Искра-4» // ЖЭТФ. 1997. Т. 111. С. 882-888.
Боков Я. Н. 〃 ф. О возможности снижения чувствительности микромишени к несимметрии лазерного облучения // ПМТФ. 1982. Т. 4. С. 20.
Gamaly Е. G. et al. Nonlinear stage in the development of hydrodynamic instability in laser targets // Laser and Particle Beams. 1990. V. 8. P. 399-407.
Лебо И. Г. 〃 ф. О симметризующем влиянии лазерного предимпульса на развитие возмущений контактной границы оболочка-горючее // Квантовая электроника. 1996. Т. 23. С. 71-72.
Grun /. et 办〃 Phys. Rev. Lett. 1984. V. 53. P. 1023.
Lebo /. G., Rozanov V. B. „ Tishkin V. F. Hydrodynamic instability and target design // Laser and Perticle Beams. 1994. V. 12, No. 3. P. 361-369; см. также препринт ①ИАН №22. 1993.
Лебо И. Г. 〃 ф. Численное моделирование теплового выравнивания и гидродинамической компенсации в мишенях типа «Лазерный парник» // Квантовая электроника. 1995. Т. 22. С. 1257-1261.
Лыков В. А. Гидродинамические неустойчивости в мишенях инерциального термоядерного синтеза при учете переноса импульса частицами // ВАНТ. Сер. Теор. и прикл. физ. 1988. Т. 1. С. 43.
Hogan Ж /. // Fusion Engin. Design. 1989. V. 9. Р. 401.
Nakai С., Kahalas S., Rudakov // Nucl. Fusion. 1990. V. 30. P. 1779.
Eliezer S., Honrubia /./., Velarde G. // Phys. Lett. A. 1992. V. 249.
Лебо Я. Г., Розанов В. В., Тишкин В. Ф. О симетризующем воздействии рентгеновского предимпульса при сжатии лазерных мишеней // Квантовая электроника. 1997. Т. 24. С. 721-724.
Гуськов С.Ю., Змитренко Я. В., Розанов В. Б. Термоядерная мишень «Лазерный парник» с распределенным поглощением лазерной энергии // ЖЭТФ. 1995. Т. 108. С. 548.
Basov N. G., Gus'kou S. Yu., Feoktistov L. P. // J. of Soviet Laser Research. 1992. V. 13. P. 396.
Tabak M. et al. Ц Phys. Plasmas. 1994. V. 1. P. 1636.
Зворыкин В.Д., Лебо И. Г., Розанов В. Б. // Краткие сообщения по физике ①ИАН. 1997. №9. С. 20.
Глава 2
РАЗВИТИЕ ВОЗМУЩЕНИЙ ФОРМЫ ГРАНИЦСФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИИЗ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Постановка задачи, вывод основных уравнений
В гидродинамике и, в частности, при изучении гидродинамической неустойчивости широко используется приближение несжимаемости жидкости, то есть полагается, что скорость звука в среде равна бесконечности, а плотность не меняется в процессе развития неустойчивости. В том случае, когда можно пренебречь процессами вязкости и теплопроводности система уравнений гидродинамики для несжимаемых жидкостей имеет следующий вид:
(2.1)(2.1)divV = 0.
(2.1)
(2.1)
? 丫 + (VW) =(2.2)
p
В этих уравнениях р — это плотность, V ——вектор скорости, Р — давление. Если течение потенциальное (т. е. rot V = 0), то можно ввести потенциал скорости 认 причем V = gradz0. Система уравнений сводится к выражениям
V = grad(2.3)
(2.4)(2.4)△心=0△心=0gradgrad++(2.5)(2.5)
(2.4)
(2.4)
△心=0
△心=0
grad
grad
+
+
(2.5)
(2.5)
Рассмотрим задачу о развитии малых возмущений формы границ оболочки из несжимаемой жидкости. В случае бесконечно толстой оболочки задача сводится к задаче об устойчивости поверхности схлопывающегося пузырька в жидкости, которая была рассмотрена в [1, 2]. В [3-7] выведены уравнения, описывающие поведение воз-
мущений границ оболочки произвольной толщины, и численно реше
ны задачи о развитии этих возмущений для различных конкретных
условий.
Рис. 2.1. Общий вид возмущенной оболочкиРис. 2.1. Общий вид возмущенной оболочкиВ рассматриваемой задаче появляются две границы i?i«) — внутренняя граница оболочки, и 〃2«)——внешняя граница оболочки.
Рис. 2.1. Общий вид возмущенной оболочки
Рис. 2.1. Общий вид возмущенной оболочки
Задача об устойчивости оболочки из несжимаемой жидкости рассматривалась также в работах J. N. Hant (1961) [8] и H.J.Kull в 1990 [9]. В работе J.N.Hant дана общая постановка задачи и получены приближенные решения (в виде численных рядов) для двух предельных случаев —бесконечно тонкой и бесконечно толстой оболочек, а в работе Н. J. Kull
дано качественное описание взаимодей
ствия возмущений на внешней и внутренней границах оболочки (случай «тонкой» оболочки).
Получим систему уравнений для описания поведения малых возмущений для случая оболочки конечной толщины. Полагаем, что невоз
мущенные значения гидродинамических параметров зависят только от радиуса и времени, а возмущенные ——также от значений углов (仇夕).Ниже дан вывод уравнений, описывающих движение невозмущенной оболочки конечной толщины (V\ ——невозмущенная скорость внутренней границы,匕5 ——невозмущенная скорость внешней границы оболочки) и развитие возмущений на внешней и внутренней границах оболочки (Ai — амплитуда возмущения внутренней границы, — амплитуда возмущения внешней границы оболочки). Уравнение, описывающее движение невозмущенной оболочки получается следующим образом: из уравнения (1) следует, что R^t)Vi (t) = А^«)1/5«). Отсюда можно выразить значение скорости в любой точке жидкости через скорость на границе и(丁) = —. 1огда невозмущенныи потенциал
скорости имеет вид 吵=.
Интегрируя уравнение (2.5) по радиусу Qdr, получаем следующее уравнение для невозмущенной оболочки:
7⑴ аи(0,5(1 "4)1 匕2Ku, —
ZZZ——〈/ ——>i-——
〃2 况 1Ai(l—
Pout, Лп — давления на внешнюю и внутреннюю границы оболочки.
Из выражения (2.5) следует, что на границах возмущенной оболочки в системе координат, связанной с жидкостью, должно выполняться следующее соотношение:
ЭФ卜 2р
———И — Н= 0 (это интеграл Коши-Лагранжа). (2.7)
ot2р
Для получения уравнений, описывающих развитие возмущений границ оболочки представим гидродинамические параметры в следующем виде:
〃1 ⑵(仇夕/) = 〃1 ⑵⑴ + △1(2)(”/),
(z.o)
Vi,)(仇夕=匕⑵⑴e+
〃i(2), Vi(2) — радиусы и скорости границ возмущенной оболочки, причем невозмущенная скорость оболочки имеет только радиальную компоненту (е — единичный вектор, направленный вдоль радиуса).
(2.9)(2.9)p（几仇9,力）=几（一 t） + 0（-仇夕,t）,也（几仇夕,t）=也o（几t） +曲几仇9,t）.
(2.9)
(2.9)
Всюду полагается, что значения возмущений по абсолютной величине много меньше, чем невозмущенные значения.
Далее линеаризуем выражение (2.7) на внешней и внутренней границах и по стандартной процедуре разлагаем малые возмущения, зависящие от угла, по сферическим функциям.
Из (2.7) следует, что на границах возмущенной области выполняется условие для возмущений потенциала и давления
(2.Ю)(2.Ю)
(2.Ю)
(2.Ю)
(2.11)(2.11)Здесь индексом «О» отмечено, что в выражение входит невозмущенное значение скорости. В дальнейшем, для упрощения записи индекс «О» опускаем. Таким образом, возмущение давления на границах равно
(2.11)
(2.11)
^\н}(н2)
Для нахождения значения возмущенного давления воспользуемся следующими соображениями: разность давлений на возмущенной и невозмущенной границах в несжимаемой жидкости по закону Архимеда должна равняться:
Р(〃1(2) + А,)) — Р(〃1(2)) =^^01(2)А(2)・(2.12)
Здесь 0i(2)— плотности газов внутри и вне оболочки. Давления на границах представим в виде:
"公⑵ + △⑵)=P(G ⑵)+ (90/少)4(2) +〃・(2.13)
Из уравнения для невозмущенного движения следует, что
(2.14)
Это уравнение справедливо для невозмущенных параметров давления и скорости на внешней (индекс «2») и внутренней (индекс «1») границах оболочки. Подставляя выражения (2.12) и (2.13) в левую часть выражения (2.11) и с учетом (2.14) получим:
Р =(Р — 01(2))—方一△1(2).(2.15)
Приравнивая значения возмущения давления из (2.11) и (2.15) для внешней и внутренней границ, получим два уравнения
山&dt\R1山&dt\R1(2.16)(2.16)
山&
dt\R1
山&
dt\R1
(2.16)
(2.16)
Разложим возмущения гидродинамических параметров по сферическим гармоникам. Тогда получим выражение для гармоник возмущений потенциала. Для упрощения выкладок индекс «п» функции Ф?7 опускаем.
Из уравнения ДФ = 0 следует, что возмущение потенциала можно представить в следующем виде:
где ①九7n(仇夕)一сферическая функция.
На внешней и внутренней границах оболочки
V(i? + △)=卜(〃)斗 ++(2.17)
Здесь R ——радиус внешней (笈2) или внутренней (А〕) границ невозмущенной оболочки.
] △)= К (Я + △)=卜(А) +(2.18)
ator
Откуда ^- = ^^А + ^. Из условия R^V\ = r2V{г) = Л|р2 следует, BV 2卜
что a?=一方.
^ = пА^гп~{ — (" + 1)8 ⑴厂 т+2).(2.19)
Получается система 4 дифференциальных уравнений. Обозначим • dA • dB
А = —, В =— dt dt
*+沪+ ”肛=0,
nAR^ _(" + 1)84[①+2)=字 +
+『2崇+譬A + (1产)字A二о,
(2.20)
Исключая теперь из нее А и В и переписывая уравнения относительно Ai и △?, получим следующие уравнения для амплитуд возмущений:
d2Ai 3% 心「（И - Z匕2）心2 而=-布丁 + 3 + 1）一0；一丁
羚 产飞- Z3)乎*3(二Z;)V2写+dt2①九 R dt①九"2 dt羚 产飞- Z3)乎*3(二Z;)V2写+dt2①九 R dt①九"2 dt
羚 产飞- Z3)乎*3(二Z;)V2写+
dt2①九 R dt①九"2 dt
羚 产飞- Z3)乎*3(二Z;)V2写+
dt2①九 R dt①九"2 dt
矿+2//Р2\ п+(П+1)^ + Ц 1 亦5 八
72 +(72 + l)Z2n + 1 SP72 +(72 + l)Z2n + 1 SP00A200A2.(2.22).(2.22)
72 +(72 + l)Z2n + 1 SP
72 +(72 + l)Z2n + 1 SP
00A2
00A2
.(2.22)
.(2.22)
Здесь ①九=1 — Z2n+1, 6P — возмущение внешнего давления, Z 〃l/〃2・
Система уравнений решалась численно методом Рунге-Кутта 4 порядка аппроксимации. Эта программа была названа «РУНО» (расчет устойчивости «несжимаемой» оболочки).
Особенности развития возмущений границсферической оболочки
Приближенное решение для бесконечно толстой оболочки было получено в [2], где, в частности, было показано, что при торможении такого полубесконечного сферического слоя на границе с газом возмущения развиваются по экспоненциальному закону, являющемуся обобщением закона Тэйлора (см. [10]) на сферический случай △nl〜[g(巾/R⑴严此g⑴ —ускорение (торможение) внутренней границы.
Рассмотрим случай тонкой оболочки, двигающейся с постоянной кинетической энергией. В [3] было получено решение для случая свободного полета оболочки, т. е. 公口 = Pout = 0, И (t = 0) 0. Все разложения проводились для nd/R\ С 1, q = d/R\ « 1 (d —— толщина оболочки), при этом так, чтобы в коэффициентах уравнений (2.6), (2.21), (2.22) оставались порядки параметра малости не выше первого. Заметим, что в некоторых случаях нулевой порядок разложения сокращался, поэтому разложения приходилось проводить до второго порядка. Однако это не является превышением точности, так как впоследствии «лишние» порядки сокращались, и окончательно в коэффициенты вошли порядки не выше первого.
Введем дополнительные обозначения: И = V, R\ = R. После проведения необходимых разложений уравнения (2.6), (2.21), (2.22) запишутся следующим образом:
(2.23)
^△1— З Н
В 万斤(3 — 8Q)- Д1),(2.24)
^△2—卜 2
В-#(3 — 10°) (A - A). (2.25)
При выводе уравнений (2.24) и (2.25) использовано уравнение
(2.23) и аналогичное уравнение для_
Далее, сложим уравнения (2.24) и (2.25) и заметим, что nd/R С 1.
Из классического решения Тейлора (см. [10]) следует, что в случае плоского слоя конечной толщины возмущения (△) убывают от поверхности в глубь слоя согласно закону △(/) = До ехр(—кх). Полагаем, что в нашем случае имеется такая же связь между амплитудами возмущения на внешней и внутренней поверхности, то-
гда kd = nd/R^ △〕 = Д2 е-Ы Дг(1 — nd/R) и, следовательно, △? — △〔 ^ ^(nd/R) ос △?&, выражение в правой части полученного т d2(& + A) _
祟=* =。，А = △?,祟=* =。，А = △?,уравнения оказывается второго порядка по а. 1о есть= О,
祟=* =。，А = △?,
祟=* =。，А = △?,
откуда, с учетом начальных условий
△2 = △?, получим
Д2 + Ai = Д^ + △?•(2.26)
Теперь, вычитая из (2.24) (2.25), переобозначая △? — △〔 = G, переТеперь, вычитая из (2.24) (2.25), переобозначая △? — △〔 = G, переходя к новой переменной R согласно выше обстоятельством о порядке G,ходя к новой переменной R согласно выше обстоятельством о порядке G,dd—=V -— и пользуясь указанным atdRнаходимdd—=V -— и пользуясь указанным atdRнаходим
Теперь, вычитая из (2.24) (2.25), переобозначая △? — △〔 = G, пере
Теперь, вычитая из (2.24) (2.25), переобозначая △? — △〔 = G, пере
ходя к новой переменной R согласно выше обстоятельством о порядке G,
ходя к новой переменной R согласно выше обстоятельством о порядке G,
dd
—=V -— и пользуясь указанным atdR
находим
dd
—=V -— и пользуясь указанным atdR
находим
(2.27)(2.27)d2G 6 dG 6
(2.27)
(2.27)
Решением этого уравнения Эйлера является степенная зависимость RB, причем Д = —2, —3. С учетом начальных условий получаем
G=(&-△?)(》計G=(&-△?)(》計(2.28)(2.28)
G=(&-△?)(》計
G=(&-△?)(》計
(2.28)
(2.28)
Окончательно, выражения для амплитуд возмущений принимают
3 —僚-力(2.30)
Отметим, что (2.29), (2.30) справедливы лишь для «тонкой» оболочки, когда nd/R « 1. Пусть △? = △?= 10-4, начальное аспектное отношение в оболочке 4? = А?/(А? — А?) = 2000, А? = 1.
На рис. 2.2 представлен результат такого расчета для нескольких
гармоник.
сnd
"(a2⑴_R ⑴)"(a2⑴_R ⑴)Рассмотрим задачу о том, при каком значении параметра —
"(a2⑴_R ⑴)
"(a2⑴_R ⑴)
必⑴必⑴нарушается условие «тонкости» оболочки. Видно
必⑴
必⑴
из решения (2.29, 2.30), что в тонкой оболочке при условии, что
начальные амплитуды возмущений равны по величине и направлению (△? = △?), возмущения в процессе сжатия не развиваются. Однако, по мере сжатия оболочки величина nd/R возрастает и приближение «тонкой» оболочки нарушается.
Для каждой из приведенных гармоник было определено значение критерия, при котором указанное приближенное решение перестает выполняться. В зависимости от номера гармоники оно получилось
0,5 :0,5 :0,0；-0,5 ：0,0；-0,5 ：А — AminА — Amin工2R工2RРис. 2.2. Зависимость △]/△? от R для различных гармоник п в процессе сжатия первоначально тонкой оболочки. Vb = 0,5, Bn = Rut = 0. Сплошная кривая п = 10, штриховая п = 50, штрихпунктирная п = 100Рис. 2.2. Зависимость △]/△? от R для различных гармоник п в процессе сжатия первоначально тонкой оболочки. Vb = 0,5, Bn = Rut = 0. Сплошная кривая п = 10, штриховая п = 50, штрихпунктирная п = 100Т,5 T
0,5 :
0,5 :
0,0；
-0,5 ：
0,0；
-0,5 ：
А — Amin
А — Amin
工2
R
工2
R
Рис. 2.2. Зависимость △]/△? от R для различных гармоник п в процессе сжатия первоначально тонкой оболочки. Vb = 0,5, Bn = Rut = 0. Сплошная кривая п = 10, штриховая п = 50, штрихпунктирная п = 100
Рис. 2.2. Зависимость △]/△? от R для различных гармоник п в процессе сжатия первоначально тонкой оболочки. Vb = 0,5, Bn = Rut = 0. Сплошная кривая п = 10, штриховая п = 50, штрихпунктирная п = 100
несколько различным, но, обобщая, можно сказать, что приближение тонкой оболочки законно при nd/R < 0,8.
Рассмотрим задачу о развитии возмущениий при торможении оболочки конечной толщины внутренним газом при отсутствии внешнего давления. В этом случае уравнения (2.6, 2.21, 2.22 этой главы) можно обезразмерить (масштабы обезразмеривания А? и ^丁 ——начальные радиус и скорость внутренней границы оболочки). Характер поведения возмущений на внутренней границе оболочки зависит от соотношения параметров п, 〃2«), d«) = 〃2«)—笈1«)——текущее значение толщины оболочки, а также от величины параметров: Д =石由/石卜由，一отношения внутренней энергии газа, тормозящего оболочку, к ее кинетической энергии в начальный момент и 4?.
В процессе сжатия толщина оболочки увеличивается вследствие сохранения объема. В том случае, когда параметр nd/R^ < 1, т. е. можно считать, что «поперечный» масштаб возмущений А ~ Л/п велик по сравнению с толщиной оболочки d, поведение возмущений будет качественно соответствовать решению для бесконечно тонкой оболочки, т. е. возмущения нарастают по степенному закону, причем их поведение не зависит от_номера гармоники. В том случае, когда выполняется неравенство nd/R^》1, характер развития возмущений будет соответствовать случаю бесконечно толстой оболочки, т. е. нарастать по экспоненциальному закону, причем инкремент роста возмущений пропорционален ，几.Поэтому возмущения с фиксированной гармоникой п на начальной стадии могут вести себя как в случае «тонкой» оболочки, а на конечной стадии ——как в случае «толстой» оболочки. Численные расчеты подтверждают этот вывод.
На рис. 2.3 показаны результаты численных расчетов по программе «РУНО» («RUNO») для случая As0 = 200, % = 0,09 для различ
ных значений п (параметры выбраны таким образом, чтобы торможение оболочки происходило с момента 力=0). После обезразмеривания начальный внутренний радиус оболочки равен 1. Минимальный радиус, на который сжимается бесконечно-толстая оболоч
ка равен R\ min
это утверждение, как следу-
ет из численных расчетов, при
ближенно справедливо и при Рис. 2.3. Рост амплитуд возмущений 4$ = 200—300.△〔/△? для различных номеров гармо-
Из рис. 2.3 видно, что малыеник п
гармоники (вплоть до 10) ве
дут себя в соответствии с (2.29,
, т. е. со случаем «тонкой оболочки» (кривая 7). Гармоники с номером больше 50 нарастают по экспоненциальному закону (кривая 3). На рисунке также представлен промежуточный случай (кривая 2).
При наличии внешнего давления задача усложняется. В этом слу
чае на стадии ускорения оболочки неустойчивой является внешняя граница. Как и в случае с внутренней границей, характер развития возмущений зависит от толщины оболочки ——высокие гармоники раз
виваются по экспоненциальному закону, а малые гармоники имеют иной характер развития. В этом случае получить аналитическое решение не удается. По аналогии с инкрементом Тейлора и опираясь на результаты работы [2], введем понятие интегрального инкремента роста сферических гармоник как функцию следующего вида:
(2.31)
где g(力)=d2A2/d力2,尺2«) — функции, зависящие от времени.
На основании большой серии численных расчетов, моделирующих ускорение оболочек внешним постоянным давлением, был получен приближенный «скэйлинг», который позволяет описывать поведение таких возмущений. Найденная по результатам численных расчетов приближенная формула имеет вид
△2 ⑴=△?△2 ⑴=△?exp (上⑴)+ 90exp (上⑴)+ 90(2.32)(2.32)
△2 ⑴=△?
△2 ⑴=△?
exp (上⑴)+ 90
exp (上⑴)+ 90
(2.32)
(2.32)
здесь J j аНекоторые результаты проверки этой фор- о V
мулы приведены на рис. 2.4.
Рис. 2.4. Логарифмы нормированной амплитуды возмущения, полученные в расчетах по программе «РУНО» (сплошные кривые) и по формуле (2.32) (прерывистые линии) как функция инкремента и для различных гармоник п и Л® = 100
При больших номерах гармоник (п > 20 в данном случае) решения выходят на экспоненциальный рост, т. е. на биссектрису угла в представленных выше координатах. При малых значениях п кривая лежит выше.
Задача о сравнении развития возмущенийв сжимающейся и расширяющейся оболочках
Рассмотрим задачу о поведении расширяющейся и сжимающейся оболочек. Параметры задачи подбирались так, что в обоих случаях работа внешних сил по сжатию (расширению) мишени оказалась одинаковой (необходимое пояснение: в случае сжимающейся оболочки предполагалось, что мишень находится в центре сферической камеры некоторого радиуса, заполненной газом). Также было принято, что газ только ускоряет мишень, т. е. в случае расширения газ находился только внутри мишени, а в случае сжатия — только снаружи. Для двух ситуаций бралась одна и та же мишень с аспектным отношением
Процесс изменения давления газа считался адиабатическим (показатель адиабаты 7 = 5/3).
В качестве начальных условий полагаем, что в первый момент скорость оболочки равна 0. Для расширяющейся оболочки давление внутреннего газа равно ^ = 100, для сжимающейся оболочки задаем радиус камеры, равный 3 и Г^1t = 100/0,65. Основные результаты приведены на рис. 2.5 и 2.6.
На рис. 2.5, а изображены расчетная (сплошная линия) и модельная (формула 2.32 — пунктир) зависимости логарифма отношения текущего значения амплитуды возмущения на внешней границе оболочки к его начальному значению от инкремента нарастания 上=]V^^d力，где о
k = n/R, a g — абсолютное значение ускорения внешней границы при п = 2. Численное решение сравнивалось с приближенным аналитическим («модельным») решением (2.32).
На рис. 2.5, 6 в тех же переменных изображены расчетное (сплошная линия) и модельное (пунктир) решения той же задачи для случая п = 100. В качестве модельного было взято решение (2.32) для случая бесконечно толстой оболочки, т. е., в наших переменных, просто биссектриса квадранта. Из близости кривых можно заключить, что при данных условиях оболочка на протяжении своей эволюции является «толстой».
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10.0 12.00,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10.0 12.0山（今3）山（今3）Рис. 2.5. Сжатие щений границ поРис. 2.5. Сжатие щений границ пооболочки: а)冷=2. Пунктиром показано развитие возму- формуле (2.32). (б) п = 100. Пунктиром показано развитие возмущений границ по формуле (2.32)
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10.0 12.0
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10.0 12.0
山（今3）
山（今3）
Рис. 2.5. Сжатие щений границ по
Рис. 2.5. Сжатие щений границ по
Перейдем теперь к случаю расширяющейся оболочки. На рис. 2.6, а приведена зависимость нормированной амплитуды возмущения с п = 2 на внутренней границе от времени. Видно, что, начиная с некоторого
2 И. Г. Лебо, В. Ф. Тишкин
момента возмущения начинают расти линейно. Такую зависимость можно объяснить с помощью представлений о развитии возмущений границ при разлете тонкой оболочки.
Рассмотрим невозмущенное движение оболочки. В силу адиабатичности давление внутри оболочки меняется по закону Дп(7?1)= =М* ^В^/К\У, тогда, в силу сохранения энергии в системе газ + оболочка, получаем, что
现 = 2“用您（^ 一击），现 = 2“用您（^ 一击），(2.33)(2.33)
现 = 2“用您（^ 一击），
现 = 2“用您（^ 一击），
(2.33)
(2.33)
где Ao = A?, R = R\\ 石卜—кинетическая энергия невозмущенной оболочки. Так как в рассматриваемом случае nd/R С 1 (здесь d — толщина оболочки) и, следовательно, оболочка «тонкая», мы можем
записатьзаписатьEk = 47rEk = 47rR+bRR+bR户公=2不pV?重4户公=2不pV?重4
записать
записать
Ek = 47r
Ek = 47r
R+b
R
R+b
R
户公=2不pV?重4
户公=2不pV?重4
где V = V\. Сравнивая это выражение с (2.33), получим
(2.34)(2.34)
(2.34)
(2.34)
Теперь воспользуемся тем, что должна_сохраняться масса элемента объема в некотором телесном угле dQ: 0A2dde = const, откуда следует, что d =壮吧6. Подставив это выражение в (2.34), получим
(2.35)
(2.36)(2.36)Решая это дифференциальное уравнение, получим окончательное решение невозмущенных уравнений:
(2.36)
(2.36)
pdopdoгде I& — установившаяся скорость на бесконечности: I&
pdo
pdo
Из (2.36) видно, что скорость границы оболочки в процессе разлета быстро выходит на «стационарное» значение, при этом давление внутри оболочки стремится к нулю. Для описания процесса на данной стадии воспользуемся приближением тонкой оболочки, движущейся с постоянной кинетической энергией, при учете, что А? * 0. Тогда из (2.27) и (2.29) получим следующие выражения (Rq — некоторый «начальный» радиус, начиная с которого мы считаем кинетическую энергию оболочки постоянной):
△? + △? + (l/以)A? + ЛП (A —国)до до
△ 1△ 11彳一三(a)一
△ 1
△ 1
凜 -A)，(2.37)
ДоДо2222
До
До
2
2
2
2
Ao N7
+、2I&F(A)，(238)
где 己(А)=炉-初，F (А)=炉-初，т = R/Rq.
Оставляя только неубывающие слагаемые (己(А) — 0, Г (А) — 0 при R — оо) и учитывая, что R = V^t, получим (для тонкой оболочки на поздней стадии разлета △】До)：
(2.39)
здесь to ——«начальный» момент времени, соответствующий А。.
На рис. 2.7, а и б показана зависимость логарифма нормированной амплитуды возмущения соответствующей границы (△? = △[ ——в слу-
чае разлета и Д^ = Д2 в случае сжатия) от работы внешних сил
А = 4% 时n(out)A：(2)】/i(2)dy. Заметим, что при анализе экспериментов о
по развитию турбулентного слоя обычно откладывают зависимость роста амплитуды возмущений от пройденного контактной границей пути S = ©⑵/成2)— »•
Рис. 2.7. Зависимость логарифма нормированной амплитуды возмущения от работы внешних сил в случае сжатия (сплошная кривая) и разлета (пунктир) оболочки, а: п = 2, б: п = 100
Рис. 2.8. Зависимость логарифмов амплитуд возмущений от пройденного пути при сжатии (сплошные кривые) и разлете (пунктир) для (а) п = 2; (б) п = 100
На рис. 2.8 приведена зависимость амплитуды возмущения от пройденного пути, и в этом случае кривая зависимости амплитуды от пройденного пути при сжатии лежит выше, чем при расширении (см. рис.2.8, а и 6). Однако при сжатии граница проходит путь S V 1 (в рассмотренном случае приблизительно 0,5), а при разлете S》1.
Рис. 2.9. Развитие амплитуд возмущений внешней границы при ускорении к центру импульсом различной формыРис. 2.9. Развитие амплитуд возмущений внешней границы при ускорении к центру импульсом различной формыВлияние временной формы импульсавнешнего давления на характер развития возмущения
Рис. 2.9. Развитие амплитуд возмущений внешней границы при ускорении к центру импульсом различной формы
Рис. 2.9. Развитие амплитуд возмущений внешней границы при ускорении к центру импульсом различной формы
Следуя [4], рассмотрим случай полой оболочки (0 = 0), на внешнюю поверхность которой действует давление Po^(ty При t = 0 Ri = 1, V] = 0, ДП1 = 0, Дпо = I。—% d△[⑵/d力=0. Исследовалась эволюция возмущений внешней границы оболочки при ускорении ее к центру внешним давлением.
Рассмотрено четыре случая изменения внешнего давления. Законы изменения давления были выбраны таким образом, чтобы во всех случаях работа внешних сил была одинаковой: о
А = 4% PoutB^V2dt = const.
1
Зададим давление в следующем 7； a, F* — па
виде: Pout = Р7Aвиде: Pout = Р7Aраметры задачи. Были проведены расчеты для различных значений п. На рис. 2.9 показаны зависимости роста относительных амплитуд возмущений внешней границы от степени сжатия (7?oi/^1 (0) для случая оболочки с А^ = 100 и п = 9.
виде: Pout = Р7A
виде: Pout = Р7A
вариант (I) а = 2,尸=1 /3;
вариант (П) а = 0,尸=1;
вариант (III) а = —2,产=5/3;
вариант (IV) а = 0 и F* = 7,01 при А]》0,95 и F* = 0 при R] W 0,95 (т. е. короткий удар).
Из рис. 2.9 видно, что в случае нарастающего по мере сжатия давления (режим с обострением давления) возмущения нарастают до больших значений, а в случае короткого удара рост возмущений наименьший. Этот вывод справедлив для возмущений с различными значениями п.
Учет эффекта испарения массы оболочки.
Сравнение с приближенной формулой Bodner-Takabe
Рассмотрим задачу о развитии возмущений границ оболочки из несжимаемой жидкости с учетом испарения внешних слоев (D(t)—— скорость испарения) и наличия возмущения внешнего давления (Kut” 力)=几⑴力))•
必=%" + 3汇⑴,必=%" + 3汇⑴,Ниже приведены уравнения, описывающие движение оболочки с переменной массой:
必=%" + 3汇⑴,
必=%" + 3汇⑴,
(2.40)
Здесь W(t) — обьем неиспаренной части оболочки в телесном угле, равном одному стерадиану. Повторим вывод уравнений, описывающих развитие амплитуд возмущений на внешней и внутренней поверхностях оболочки, но с учетом того факта, что внешний радиус оболочки 尺2(力) меняется за счет движения и испарения вещества.
Тогда получим следующие уравнения:
d2Ai —- z(12 +0))dA
——万丁十(十)/
n + 1 + nZ^+in + 1 + nZ^+i— 3+1)— 3+1)
n + 1 + nZ^+i
n + 1 + nZ^+i
— 3+1)
— 3+1)
Z九+2(1 - z3)m心Фп R\ dtZ九+2(1 - z3)m心Фп R\ dt(2.41)
Z九+2(1 - z3)m心
Фп R\ dt
Z九+2(1 - z3)m心
Фп R\ dt
+
I dA ⑺―3 + 5 + 4)/九+1)1々-(n + (n + \)Z2n+^(V^ D) I
+(2…項(学(「君+ (1-廿證
\片\ p丿丿
/n + (n + I)z2n+1 21々。I
n + (n + 1)z2П+1 6pn + (n + 1)z2П+1 6pR3R3(2.42)
n + (n + 1)z2П+1 6p
n + (n + 1)z2П+1 6p
R3
R3
рь, pout — плотности газов внутри и вне оболочки.
Ниже приведены результаты расчетов сжатия оболочки (As = 200) под действием внешнего давления Pq без учета и с учетом испарения.
границ оболочки от времени. I — режим ускорения; II — режим торможения внешней границыграниц оболочки от времени. I — режим ускорения; II — режим торможения внешней границымента роста возмущений «ИРВ» на внешней границе ® от времени при скорости испарения 0 = 0」. Индексом «О» отмечены значения скорости и ИРВ в отсутствие испарениямента роста возмущений «ИРВ» на внешней границе ® от времени при скорости испарения 0 = 0」. Индексом «О» отмечены значения скорости и ИРВ в отсутствие испаренияПосле обезразмеривания уравнений (2.40—2.42) (масштаб длины Ro, масштаб скорости %)=，(凡/川,масштаб времени to = Aio/K), внешнее безразмерное давление равно 1. Безразмерная скорость испарения (D = 0,1).
границ оболочки от времени. I — режим ускорения; II — режим торможения внешней границы
границ оболочки от времени. I — режим ускорения; II — режим торможения внешней границы
мента роста возмущений «ИРВ» на внешней границе ® от времени при скорости испарения 0 = 0」. Индексом «О» отмечены значения скорости и ИРВ в отсутствие испарения
мента роста возмущений «ИРВ» на внешней границе ® от времени при скорости испарения 0 = 0」. Индексом «О» отмечены значения скорости и ИРВ в отсутствие испарения
На рис. 2.10, а, 6 показаны результаты расчетов сжатия оболочки без учета испарения (D = 0). Из рисунка следует наличие двух стадий процесса: (I) ускорение внешней границы оболочки к центру (скорость отрицательна, но растет по абсолютной величине), (П) стадия торможения внешней границы.
На рис.2.11, а, 6 показаны зависимости величины 上(力)，скорости внешней границы и объема оболочки в случае D = Q (на рисунке величины отмечены индексом «0») и О = 0,1. Видно, что учет испарения внешних слоев при фиксированном значении внешнего давления приводит к увеличению по абсолютной величине скорости и ускорения, а, следовательно, и к увеличению 上(力).С другой стороны, как указано в работах [11, 12], учет испарения приводит к снижению скорости роста возмущений. В работе [11] S. Bodner предложил формулу, позволяющую описать зависимость инкремента скорости роста возмущений от скорости испарения вещества:
上— kD. (2.43)
В работах [12, 13] на основании численного решения линеаризованных уравнений газовой динамики для малых возмущений газодинамических параметров изучалось развитие неустойчивости в короне лазерных мишеней. В формулу S. Bodner были введены корректирующие коэффициенты g,仇：cj = g，^ —仇 kD Вообще говоря, g,仇 не являются постоянными величинами, и для согласования с результатами расчетов были введены корректирующие выражения
a]=0,9G-$ = 3,1G-°，2(%/50产°75, (2.44)
где G = — значения радиуса, скорости и плотности в точке, где скорость разлета плазмы равна местной скорости звука (так называемая точка Жуге, где V^ = (1 + Z^T^/mi), ра — плотность плазмы на фронте испарения. При типичных параметрах лазерных мишеней а】、0,9 н 01 ^ 3—4. В расчетах предполагалось, что фоновые распределения плотности, температуры и скорости по радиусу являются стационарными.
Следует отметить, что в стационарном приближении не удается построить самосогласованную модель короны, содержащую зону неустойчивости, где градиенты плотности и давления являются антипараллель- ными.
В случае оболочки из несжимаемой жидкости получена согласованная система для фоновых решений и малых возмущений (см. формулы (2.40-2.42)).
На рис. 2.12 представлены результаты численных расчетов с учетом испарения оболочек для различных аспектных отношений (As) и номеров гармоник (п). Рассмотрено два случая зависимости скоростей испарения 1) О = 0,1; 2) D = 0,2. К внешней поверхности оболочки приложено постоянное давление Мх = 1.
На рис. 2.12 показаны зависимости амплитуд возмущений внешней границы оболочек (ln(Ao/Ao), △§ —— начальная амплитуда возмущения
g/能)
10
8
6 -
4 -
0 = 0/4 =100尸=2 ♦/ 口几=20▼六‘几=200 +// 04 = 200, = 2 ▲/ 口几=20■ zZ ◊ /n= 200*/ 口■ XD = 0,1, As= 100, n = 200 ◊0 = 0 2 4= 100, n = 200 口0 = 0/4 =100尸=2 ♦/ 口几=20▼六‘几=200 +// 04 = 200, = 2 ▲/ 口几=20■ zZ ◊ /n= 200*/ 口■ XD = 0,1, As= 100, n = 200 ◊0 = 0 2 4= 100, n = 200 口оо2 -
0 = 0/
4 =100尸=2 ♦/ 口
几=20▼六‘
几=200 +/
/ 0
4 = 200, = 2 ▲/ 口
几=20■ zZ ◊ /
n= 200*/ 口
■ X
D = 0,1, As= 100, n = 200 ◊
0 = 0 2 4= 100, n = 200 口
0 = 0/
4 =100尸=2 ♦/ 口
几=20▼六‘
几=200 +/
/ 0
4 = 200, = 2 ▲/ 口
几=20■ zZ ◊ /
n= 200*/ 口
■ X
D = 0,1, As= 100, n = 200 ◊
0 = 0 2 4= 100, n = 200 口
о
о
части спектра при k > org/(ДВ). В расчетах, сделанных по программе «РУНО», такая стабилизация не наблюдалась даже при очень больших значениях п, хотя скорость роста возмущений была значительно меньшей, чем следует из классического инкремента Тэйлора.
На рис. 2.13, а показаны результаты серии расчетов развития неустойчивости при ускорении к центру оболочки из несжимаемой жидкости (As。= 50) под действием постоянного внешнего давления (F = 1) и испарения (D = 0,1). По оси абцисс отложена зависимость
х = (几无丿 а по оси ординат у = ш — 1п(А2/А2)- Ранеты сдела- о
ны для различных значений п. С увеличением п зависимость амплитуды возмущения приближается к зависимости (2.43), однако даже при п = 1700 не наблюдалось абсолютного подавления неустойчивости, что следует из формулы (2.43) при тг — оо (напомним, что к = n/R).
7,叫g7,叫gРис. 2.13. Зависимость у = |^c\dt — hi(A/△?) от ж = |(nD/Rf^dt (а); дисперсионные кривые отношений значений инкремента роста возмущений, полученных в расчетах, к классическому выражению 7cl (6)Рис. 2.13. Зависимость у = |^c\dt — hi(A/△?) от ж = |(nD/Rf^dt (а); дисперсионные кривые отношений значений инкремента роста возмущений, полученных в расчетах, к классическому выражению 7cl (6)хпхп05100510 0,0,о,о,05100510 0,0,о,о,一一 一一 一一- 4 4 4 4一一 一一 一一- 4 4 4 4
7,叫g
7,叫g
Рис. 2.13. Зависимость у = |^c\dt — hi(A/△?) от ж = |(nD/Rf^dt (а); дисперсионные кривые отношений значений инкремента роста возмущений, полученных в расчетах, к классическому выражению 7cl (6)
Рис. 2.13. Зависимость у = |^c\dt — hi(A/△?) от ж = |(nD/Rf^dt (а); дисперсионные кривые отношений значений инкремента роста возмущений, полученных в расчетах, к классическому выражению 7cl (6)
хп
хп
05100510 0,0,о,о,
05100510 0,0,о,о,
一一 一一 一一- 4 4 4 4
一一 一一 一一- 4 4 4 4
На рис. 2.13, 6 показаны отношения мгновенного инкремента роста
к клас-к клас-неустойчивое™, полученного в расчетах 7 = Ш
к клас-
к клас-
сическому тэилоровскому инкременту )ci в зависимости от номера
гармоники п.
Видно, что с увеличением номера гармоники скорость роста возмущений все больше отличается от классического выражения, однако, явление не носит пороговый характер. Действительно, в случае Z « 1
и n(Ro — 〃])/〃2 = "(1 — Z)》1 (т. е. случай очень толстой оболочки) второе уравнение из системы (2.42) принимает простой вид
(2.45)(2.45)d2A9riD dZп d^2 д
(2.45)
(2.45)
山2% dti?2 dt 2
Если теперь положить k = получим из (2.45) выражениеЕсли теперь положить k = получим из (2.45) выражение丁，|g| = 丁，А ~ ^20 ехр(7 • ”五2*丁，|g| = 丁，А ~ ^20 ехр(7 • ”五2*ТОТО
Если теперь положить k = получим из (2.45) выражение
Если теперь положить k = получим из (2.45) выражение
丁，|g| = 丁，А ~ ^20 ехр(7 • ”
五2*
丁，|g| = 丁，А ~ ^20 ехр(7 • ”
五2*
ТО
ТО
(2.46)(2.46)7 弋 Jk|g| + (衣0)2/4 - W/2
(2.46)
(2.46)
При к т оо, т т КПри к т оо, т т К(такой инкремент для плоского случая был получен в [ 14]).
При к т оо, т т К
При к т оо, т т К
значениях к и лишь при Dзначениях к и лишь при Dоо, 7^0.оо, 7^0.,т. е. остается больше 0 при любых конечных
значениях к и лишь при D
значениях к и лишь при D
оо, 7^0.
оо, 7^0.
Таким образом, граница испарения в идеальной жидкости будет неустойчивой для всех мод возмущений. Дело в том, что потенциал
скорости роста возмущений в идеальной несжимаемой жидкости в плоском случае будет убывать в глубь слоя как exp (—nz/R), где z — расстояние от границы испарения, поэтому, чем больше номер гармоники, тем более существенное стабилизирующее влияние оказывает конвекционный поток через границу испарения. Но скорость испарения D имеет конечное значение, а возмущения проникают в глубь мгновенно (в несжимаемой жидкости скорость звука бесконечна).
Модель сжатия оболочки из несжимаемойжидкости лазерным импульсом в приближенииквазистационарности короны
В предыдущем разделе была описана модель сжатия и развития возмущения границ оболочки из несжимаемой жидкости с учетом испарения внешних слоев. При этом давление, приложенное к внешней границе оболочки &х«), и скорость испарения вещества ℃) задавались в виде внешних функций. Для нахождения этих функций воспользуемся моделью квазистационарной короны. Постановка задачи о стационарном сферическом разлете была дана в [15] и получены приближенные аналитические решения, описывающие разлет плазмы в короне при условии, что лазерный поток поглощается на поверхности с критической плотностью. В [16-19] на основании этих представлений была развита модель динамики тонкой оболочки при облучении лазерным импульсом.
Ниже приводятся уравнения, описывающие стационарный сферический разлет плазменной короны в случаях J-образного и распределен-
ного энерговыделений:
(2.47)(2.47)= 0, аг
(2.47)
(2.47)
0?丿厂2 (е + ^ + 亍)-死0^2,5^ = Q(『).
Q(r) — лазерный поток. В модели(5-образного поглощения
(2.48)(2.48)
(2.48)
(2.48)
Здесь гсг — радиус, где плотность плазмы равняется критической. В модели распределенного поглощения лазерного излучения необходимо решать уравнения для падающего (Q?) и отраженного (Q『) потоков, Q = Qi — Qr — поток в 1 стерадиан. Вместо (2.48) в модели с распределенным энерговкладом решаются дополнительно два уравнения
(2.49)(2.49)dQ гdrdQ гdr—ka Qr •—ka Qr •竽="
(2.49)
(2.49)
dQ гdr
dQ гdr
—ka Qr •
—ka Qr •
Граничные условия: г = 〃2, р = оо, Г = ?; = 0; г оо, Г 0. Коэффициент обратного тормозного поглощения
々2々2кА = 1,86 - 103AZ2/A [см2 • кэВЬ5/г],
々2
々2
ко = 4,94 • 1020——^-―——— [эрг/см2 • кэВ3,5] — коэффициент электрон- + 4)
ной теплопроводности. Здесь: Z — средний заряд ионов в единицах
элементарного заряда, Z? — усредненный по компонентам квадрат заряда ионов плазмы, А — атомная масса вещества оболочки в атомных
единицах массы, А ——кулоновский логарифм, характеризующий плазму, £г ——температура в критической точке. Система (2.47)—(2.49) была
обезразмерена, в качестве масштабных величин были взяты значения радиуса (А*), скорости (14), температуры (Т*) и плотности (?J в точке Жуге, причем безразмерная переменная по пространству х = R^/r. Эта система уравнений решалась численно и были найдены зависимости газодинамических параметров в точке Жуге для различных значений 〃2, Qo, Z, 4 А (длина волны лазера). Как было показано в [15], харак-
тер решений стационарной короны зависит от величины безразмерного параметра 70,
(2.50)(2.50)
(2.50)
(2.50)
Достаточно определить зависимость。东=/(70)Per, а остальные параметры 14, А*, Т* могут быть найдены из соотношений размерностей, характеризующих стационарный сферический разлет плазмы.
На основании анализа численных решений были получены интерполяционные формулы для /(7о) в случае J-образного и обратного тормозного механизмов поглощения лазерного излучения.
В случае J-образного поглощения
0с г,0с г,70 W Ю,70 W Ю,= I Рсг(7о/Ю)ОЛ4, 70^10.= I Рсг(7о/Ю)ОЛ4, 70^10.(2.51)(2.51)
0с г,
0с г,
70 W Ю,
70 W Ю,
= I Рсг(7о/Ю)ОЛ4, 70^10.
= I Рсг(7о/Ю)ОЛ4, 70^10.
(2.51)
(2.51)
При 70 = Ю скорость течения плазмы через критическую поверхность равняется звуковой скорости.
В случае обратного тормозного механизма поглощения задача сферического разлета короны является двухпараметрической [17]— характер решений зависит от безразмерных параметров %)н £ = =Ва(Ао0сг产25君"5(〃％/(Z + I))1,25 (вообще говоря, чтобы то н § были безразмерными величинами, необходимо в параметрах кл и к° перейти к системным единицам температуры, т. е. 1 кэВ = 1,602Е—9 эрг):
(2.52)(2.52)О* = 0cr(To/17『i,
(2.52)
(2.52)
si является функцией §, вид которой определялся интерполяцией численных решений (см. ниже).
Для описания полета тонкой оболочки (i?2 ^ 〃i) в приближении квазистационарности лазерной короны используются следующие уравнения (модель «КОРОНА», см. [16, 17]):
(2.53)(2.53)A7sh 加=—4тг 屋(2и( — Дп),
(2.53)
(2.53)
= 47rRlDpsh = 47rA；at
d%
—■— = и.
dt
Давление co стороны горючего на внутреннюю поверхность оболочки находится из уравнения теплового баланса
—4离；(Pm〃 + 仃)，(2.54)
947г р3T3,5
Еп =一尸"，Qt =(2.55)
Здесь Су, Mg, Tg — удельная теплоемкость, масса и температура термоядерного горючего, gT — тепловой поток в оболочку (при температурах в горючем порядка и более 1 кэВ учет этого процесса является важным). Коэффициент 1,51 появляется при замене частной производной по радиусу на соотношение масштабов температуры и ? T3,5
радиуса области Т2,5— 亏 .
or 7 Я
Если теперь предположить, что в горючем температура распределена по закону Т(г) = 71пах(1 — r/R)2^, тогда усредненное по объему горючего значение температуры будет равняться Tg = 0,6217^пах, откуда следует (2.54). Давление 岂ut и скорость испарения вещества оболочки D определяются через значения параметров стационарной короны (при ЭТОМ 〃2«), Qo⑴)：
A昂求匕rIpA昂求匕rIpPout = (l+X0)p,V：2,Pout = (l+X0)p,V：2,
A昂求匕
rIp
A昂求匕
rIp
Pout = (l+X0)p,V：2,
Pout = (l+X0)p,V：2,
R* = Xo〃2,匕=309,5' 学
*'〈丁丿(N/(Z2a+ 4)А)*'〈丁丿(N/(Z2a+ 4)А)1/21/2[keV],[keV],(2.56)(2.56)
*'〈丁丿(N/(Z2a+ 4)А)
*'〈丁丿(N/(Z2a+ 4)А)
1/2
1/2
[keV],
[keV],
(2.56)
(2.56)
PerPer1,88* 10-3/Ьg》2[川7"] z Lem31,88* 10-3/Ьg》2[川7"] z Lem3恭恭
Per
Per
1,88* 10-3/Ьg》2[川7"] z Lem3
1,88* 10-3/Ьg》2[川7"] z Lem3
恭
恭
Xo = 1+0,218Xo = 1+0,218
Xo = 1+0,218
Xo = 1+0,218
В случае обратного тормозного механизма поглощения излучения 7о =
(0,4078 + 0,00155f(0
6 = [ 0,246 + 0,005f ， ‘2 = [ o,5i2 — 0,008^ 5
70》7o70》7o0
70》7o
70》7o
0,283 — 0,0033^ 7o < 7o ?
§ = 84,734A§ = 84,734A1 +Z丿1 +Z丿3/43/4-—2
§ = 84,734A
§ = 84,734A
1 +Z丿
1 +Z丿
3/4
3/4
Z2(z + 4)A
В случае J-образного механизма поглощения излучения)$ = 10:
В табл. 1 приведены результаты сравения расчетов нагрева и сжатия газонаполненных оболочечных мишеней лазерными импульсами, выполненные с помощью одномерной газодинамической программы «РАПИД-1», (подробнее, физико-математическая модель этой программы описана в Главе 4, п. 2) и с помощью программы «КОРОНА» для случаев J-образного (А), обратного тормозного (Б) поглощений. Третий случай (В) — корона с моделью J-образного поглощения при 70》Ю, и с моделью распределенного поглощения при 70 < Ю- В первом варианте лазерный импульс имел трапециедальную временную форму с моментами времени по основаниям 九=0, ^ = 0,6, /'з = 3,6, /■《=4,6 нс и энергией 500 Дж и облучал стеклянную оболочку с начальным радиусом 300 мкм и массой 7,28 мкг; во втором варианте лазерный импульс имел треугольную временную форму с 力=0,力2 = 20, ^з = 20,1 нс с энергией 1 МДж и облучал полиэтиленовую оболочку с радиусом 2,7 мм и массой 2,72 мг. В обоих вариантах длина волны излучения 1,06 мкм. В третьем варианте временная форма и энергия лазерного импульса такие же, как во втором варианте, но длина волны 0,25 мкм. Лазер облучал полиэтиленовую оболочку с начальным радиусом 2,7 мм и массой 4,5 мг; tc ——время коллапса оболочки, Mev ——испаренная масса оболочки к моменту коллапса.
Таблица 2.1
РАПИД
1
КОРОНА
Модель
А
Модель
Б
Модель
В
力с, НС
M?v, МГ
力с, нс
Mv, МГ
力с, нс
Mev, МГ
力с, нс
Mev, МГ
4,55
2,9Е-3
4,42
2,9Е-3
5Д
2,4Е-3
4,6
2,7Е-3
19,6
1,3
19,8
1,27
22
1,1
21
1,2
19,85
2,25
14,2
3,9
19,8
2Д
19,8
2,1
В программе «РАПИД-1» используется следующая модель поглощения лазерного излучения — лучи распространяются вдоль радиусов и поглощаются за счет обратного тормозного механизма в докритиче- ской плазме и поток, достигший критической плотности, полностью поглощается в этой ячейке. Как видно из таблицы, для мишеней с массой 〜10 мг н радиусом 200—300 мкм лучшее согласие с расчетами по программе «РАПИД-1» дает модель «КОРОНА-А», а для мишеней реакторного масштаба, где, в основном, энергия лазера поглощалась в существенно докритической плазме, лучшее согласие получается для модели «КОРОНА-Б». Чтобы иметь удовлетворительное согласие в широком диапазоне параметров мишеней и лазерных импульсов предлагается использовать «гибридный» вариант (В). Описанную выше модель «КОРОНА» предложено использовать для нахождения Pout и
D в модели развития возмущений границ оболочки из несжимаемой жидкости.
Рассмотрим следующую задачу. В начальный момент времени А? = 2,975 • 10-2 см, А? = 3 • ICT? см, Tg = Q кэВ. Параметры оболочки и плазмы: р = 2,5 г/см3, Л = 10, А = 20, Z = 9, № = 81, / =眼 внутри — ДД газ с начальной плотностью 0 г/см3. Временная зависимость Qo(^) имеет вид, описанный выше. Масса такой оболочки равна 7,28 мкг. Была написана программа расчета сжатия оболочки из несжимаемой жидкости при испарении ее внешних слоев с помощью лазера (программа «РУНО_С»).
На рис. 2.14 показаны зависимости безразмерных радиусов (必= =А?/"?, 〃1 = 〃1/А?) от безразмерного времени (t = t/to), полученные в расчетах по программе «RUNO_C» (сплошные линии), и по программе «КОРОНА».
Рис. 2.14. Изменение внешнего и внутреннего радиусов оболочки от времени. Штриховая линия — расчеты по модели «КОРОНА»
Видно, что внутренний радиус мишени движется немного быстрее, а внешний — медленнее, чем в модели «КОРОНА».
На рис. 2.15 показано развитие возмущений границ оболочки из несжимаемой жидкости с параметрами, указанными выше, а) — для сферической гармоники п = 2, 6) — для п = 20. Показаны зависимости амплитуд возмущений внешней границы, обезразмеренной на начальную амплитуду возмущения (△?) от радиуса 〃2・ Вертикальная линия соответствует минимальному радиусу сжатия оболочки (tc — момент коллапса). Заметим, что описанная выше модель дает большую скорость развития возмущений, чем следовало бы из формул (2.43). Действительно, если в формулы (2.43) подставить значение скорости звука в точке Жуге, полученное из модели «КОРОНА» и проинтегриро-
d? с учетомd? с учетомt
d? с учетом
d? с учетом
вать (численно) выражение в什)=
о
того, что коэффициенты сц и 仇 сами зависят от времени, то получаем оценку роста амплитуды возмущения по формуле Такабе (с поправками на сферичность).
200,0^200,0^150,0 = 100,0^ 50,0^0,0^150,0 = 100,0^ 50,0^0,0^1250,0q 1000,0；750,0^ 500,0^ 200,0^0Д 250,0i 500,0^ 750,0； 100,0^1250,0q 1000,0；750,0^ 500,0^ 200,0^0Д 250,0i 500,0^ 750,0； 100,0^50,0：100,0^150,0^200,0；250a f300,0 II И 11 Н I I I I I I I Н Н I Н И 11 I I 11 I I I Н I I 11 I IИ I Н I I I I Н I0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,050,0：100,0^150,0^200,0；250a f300,0 II И 11 Н I I I I I I I Н Н I Н И 11 I I 11 I I I Н I I 11 I IИ I Н I I I I Н I0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0工2 0,0工2 0,0
200,0^
200,0^
150,0 = 100,0^ 50,0^
0,0^
150,0 = 100,0^ 50,0^
0,0^
1250,0q 1000,0；
750,0^ 500,0^ 200,0^
0Д 250,0i 500,0^ 750,0； 100,0^
1250,0q 1000,0；
750,0^ 500,0^ 200,0^
0Д 250,0i 500,0^ 750,0； 100,0^
50,0：
100,0^
150,0^
200,0；
250a f
300,0 II И 11 Н I I I I I I I Н Н I Н И 11 I I 11 I I I Н I I 11 I IИ I Н I I I I Н I
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
50,0：
100,0^
150,0^
200,0；
250a f
300,0 II И 11 Н I I I I I I I Н Н I Н И 11 I I 11 I I I Н I I 11 I IИ I Н I I I I Н I
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
工2 0,0
工2 0,0
Рис. 2.15. Зависимость относительных амплитуд возмущения от интегральногоинкремента роста возмущений для различных D, As, п
На рис. 2.16, а, 6 показан рост относительных амплитуд возмущений внешней границы оболочки от сжатия для номеров гармоник а) п = 5 и б) п = 100 в оболочке с начальным аспектным отношением 4? = 46 H формой лазерного импульса, описанной выше (поглощенная энергия равна 300 Дж). Сплошная линия — результаты расчетов по программе «РУНО_С», штриховая линия ——по обобщенной формуле Такабе.
Развитая модель позволяет оценить сверху допустимый спектр начальных амплитуд возмущения на стадии ускорения к центру оболочечной мишени с заданными параметрами. Ниже приведены результаты расчетов роста возмущений внешней и внутренней границ оболочки. Параметры мишени и и излучения были выбраны следующими: длина волны лазера А = 1,06 мкм, А】。=247,6 мкм. Форма лазерного импульса показана на рисунке, Qm = 1,59 • 1011 Вт/ср, таким образом полная лазерная энергия, падающая на мишень равнялась 5 кДж. В расчете полагалось Mg = 0, т. е. стадия торможения оболочки горючим не рассматривалась. Начальные амплитуды возмущений задавались на внешней границе и равнялись ^20 = 24,76 нм. В то^случае, когда начальное аспектное отношение равнялось 4? = 70, d = 3,537 мкм
Рис. 2.16. Рост амплитуд возмущений оболочки с Л® = 46. Штриховой линией показан рост амплитуд возмущений, который получился бы из формулы (2.43) для слоучая, когда величины g«),兄(力)，0(力)взяты из расчетов по программе «КОРОНА»Рис. 2.16. Рост амплитуд возмущений оболочки с Л® = 46. Штриховой линией показан рост амплитуд возмущений, который получился бы из формулы (2.43) для слоучая, когда величины g«),兄(力)，0(力)взяты из расчетов по программе «КОРОНА»
Рис. 2.16. Рост амплитуд возмущений оболочки с Л® = 46. Штриховой линией показан рост амплитуд возмущений, который получился бы из формулы (2.43) для слоучая, когда величины g«),兄(力)，0(力)взяты из расчетов по программе «КОРОНА»
Рис. 2.16. Рост амплитуд возмущений оболочки с Л® = 46. Штриховой линией показан рост амплитуд возмущений, который получился бы из формулы (2.43) для слоучая, когда величины g«),兄(力)，0(力)взяты из расчетов по программе «КОРОНА»
получаем отношение Ao/do = 7 • 10^3, при 4? = 10, 厶=24,76 мкм, △20/厶=Ю-3.
Начальные амплитуды возмущений задавались на внешней границе и равнялись Д20 = 24,76 нм. В том случае, когда начальное аспектное отношение равнялось 4? = 70, d = 3,537 мкм получаем отношение
Рис. 2.17. Отношение амплитуды возмущения к толщине на внутренней (а) и внешней (б) сторонах оболочки при фиксированном значении внутреннего радиуса
На рис. 2.17 показаны значения A/d и △"〃(d = % — 〃1) на момент R(t) = 150 мкм для двух значений начальных аспектных от-
ношений. Видно, что с увеличением п скорость роста возмущений на внешней границе возрастает, однако уменьшается влияние внешней границы на внутреннюю (когда nd/R\》1).
Поэтому, в случае 4? = 10 значения (Aj /d) даже убывают с увеличением п. Поскольку задача линейная, то рост амплитуды возмущения не зависит от ее начального значения. Если под критерием разрушения оболочки понимать значение △"d^ 1 (т. е. возмущение формы оболочки стало сравнимо с ее толщиной), то можно сделать заключение, что в рассматриваемой задаче оболочки с 4? W 100 и начальными амплитудами возмущений («шероховатостью» поверхности) меньшей 25 нм не разрушаются на стадии ускорения к центру. Заметим, что при этом амплитуды возмущения внешней границы в линейном случае нарастают до больших значений. Учет влияния нелинейных механизмов, а также эффекта «теплового выравнивания» [20] в короне приведет к подавлению роста высоких гармоник возмущения на внешней стороне оболочки.
Основные результаты второй главы
В настоящей главе описано сжатие и развитие возмущения границ оболочки из несжимаемой жидкости, ускоряемой внешним давлением, в частности, за счет испарения внешних слоев лазерным излучением. Разработана физико-математическая модель и на ее основе написана программа «РУНО», которая позволяет анализировать развитие неустойчивостей в мишенях инерциального термоядерного синтеза, предсказывать основные закономерности и получать приближенные оценки уровня развития амплитуд возмущений в мишенях на линейной стадии.
Литература
Plesset М. S. Ц J. Appl. Phys. 1954. V. 25, No. 1. Р. 96.
Гам алий Е. Г. // Кр. сообщения по физике ФИАН. 1976. М., № 5. С. 23.
Basov N. G. et al. Theoretical research of two-dimensional effects under laser target compression. Preprint FIAN No. 315, Moscow, 1985; см. также Proc, of the 1-st Intern. Workshop on Iodine Laser and Applications, Bechyne, September 1986, Institute of Physics, Czechoslovac Academy of Sciences, 1986. P. 147-172.
Гам алий E. Г. 〃 ф. О развитии гидродинамической неустойчивости границ сферической оболочки из несжимаемой жидкости // Кр. сообщения по физике ①ИАН. 1987. Т. 5. С. 7-9.
Лебо И. J Розанов В. Б., Степанов Р. В. Модель развития возмущений границ оболочки из несжимаемой жидкости // Математическое моделирование. 1997. Т. 9. С. 83.
Lebo /. G., Rozanov И В. Rayleigh-Taylor instability in the incompressible shell with allowance for ablative stabilization // Laser and Particle Beams. 1994. V. 12. P. 379—386; см. также Препринт ФИАН №32, 1993.
Lebo /. G., Rozanov V. B., Stepanov A. V. // J. Russian Laser Res. 1999. V. 20, No. 5. P. 438.
Hunt J. N. // Appl. Sci. Res., Sec. A. 1961. V. 10, No. 1. P. 59.
К〃〃//./• 〃 Phys. Rev. A. 1990. V.41. P.4312.
Taylor G. // Proc. Roy. Soc. A. 1950. V. 201. P. 191.
Bodner S. E. Ц Phys. Rev. Lett. 1974. V. 33, No. 13. P. 761.
Takabe //., Montierth L., Morse A. L. // Phys. Fluids. 1983. V. 26. P. 2299.
Takabe H., Mima, Montierth L., Morse R. L. // Phys. Fluids. 1985. V. 28. P. 3676-3682.
Betti A, McCrory R. L., Verdon С. P. // Phys. Rev. Lett. 1993. V. 71. P.3131.
Афанасьев Ю. В. 〃 ф. // ЖЭТФ. 1976. Т. 71. С. 594.
Гуськов С. Ю., Лебо И. Г., Розанов В. Б. Модель сжатия тонкой оболочки в приближении квазистационарности лазерной короны. Препринт ФИАН № 135, 1980.
Лим по ух 〃.，Лебо Я. Г., Розанов В. Б. Модель «КОРОНА» с учетом обратно-тормозного механизма поглощения лезерного излучения в плазме // Краткие сообщения по физике ФИАН. 1987. Т. 11. С. 18-20.
Лебо Я. Г., Лим по ух Я., Розанов В. Б. Численное моделирование фи- ламентации и самофокусировки лазерных пучков в короне сферических мишеней. Препринт ФИАН №280, 1983.
Афанасьев Ю. В. 〃 ф. // Тр. ФИАН. 1982. М., Наука, 1982. Т. 134. С. 52.
Gardner /. Я, Bodner S. Е. // Phys. Rev. Lett. 1984. V. 47. Р. 1137.
Глава 3
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СЖАТИЯСФЕРИЧЕСКИХ ДВУМЕРНО НЕОДНОРОДНЫХЛАЗЕРНЫХ МИШЕНЕЙ.
ПРОГРАММА «АТЛАНТ»
Движение плотной лазерной плазмы описывается уравнениями газовой динамики. В процессе нагрева и испарения вещества с помощью лазера образуется высокотемпературная разлетающаяся плазма (корона), ее плотность меняется от плотности сжатого конденсированного вещества (десятки граммов в кубическом сантиметре) до плотностей 10-5—10-3 г/см3. Типичный размер короны в сотни раз превосходит размер сжатой части лазерной мишени, а их массы обычно сравнимы по величине. При этом физические свойства и коэффициенты переноса в различных областях могут отличаться на многие порядки величин. В процессе сжатия неиспаренной мишени ее обьем может уменьшаться в десятки и сотни тысяч раз (соответственно, линейные размеры в 10—100 раз). В этих условиях удобно пользоваться лагранжевой системой координат, когда координатные поверхности «вморожены» в движущуюся плазму. Подробнее о лагранжевом и эйлеровым подходах можно прочитать, например в [1]. Здесь лишь отметим, что в качестве переменных часто удобно выбирать координаты начального положения «лагранжевых частиц» плазмы и время, то есть тг =/(.т?, .т^，打， г = 1,2, 3. Здесь хг ——текущие координаты частицы, а .т?——координаты ее начального положения. Характер движения этих частиц /(т, t) определяется из решения соответствующих дифференциальных уравнений в частных производных (смотри ниже). Фиксируя значение t, получаем распределение всех частиц по пространству на данный момент времени. Контактные границы областей движутся с координатными поверхностями, поэтому лагранжевы координаты позволяют четко отслеживать эти границы (например, границу «оболочка-горючее»). В отличие от лагранжевого, подхода в подходе Эйлера наблюдение ведется за точками физического пространства, т. е. через неподвижные координатные поверхности «протекают» различные частицы среды. Связь между лагранжевыми и эйлеровыми координатами устанавливается следующим образом: пусть любой физический параметр F(tj , Т2, хз, t) зависит от положения в пространстве и от времени. В свою очередь,
эти пространственные переменные в лагранжевых координатах зависят от начального положения частицы. Таким образом, полная (или субстанциальная) производная по времени будет равняться
dFdtЗдесьdFdtЗдесь_ dF BF дхх BF》Г2" Эт3 _ BF
dFdt
Здесь
dFdt
Здесь
dt + Эт1 dt + 3.丁2 次 + Этз dt dt V
dF dF
方-и 豆-—производные по времени в лагранжевых и
эйлеровых координатах.
В плазме важную роль играет также перенос энергии электронами в виде термодиффузионного потока. Этот процесс может быть описан с помощью уравнений нелинейной теплопроводности. В сжатой части мишени тепловой поток ионов может сравняться или даже превзойти поток электронов, поэтому необходимо учитывать и этот процесс.
Ниже дано описание физико-математической модели и основные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных, положенных в основу двумерной программы «АТЛАНТ»
. Решение уравнений газовой динамикии нелинейной теплопроводностив лагранжевых координатах
Методы решения двумерных задач лазерного термоядерного синтеза (ЛТС) развивались в Институте прикладной математики, а затем в Институте математического моделирования коллективом научных сотрудников под руководством профессора А. П. Фаворского. Двумерные уравнения газовой динамики и нелинейной теплопроводности в сферических (г, в, t) лагранжево-эйлеровых координатах решаются с помощью разностных схем аддитивного учета физических процессов [1, 2]. Такие схемы являются экономичными и обладают достаточно высокой точностью.
Ниже дано описание моделей и подпрограмм, разработанных для пакета прикладных программ (ППП) «АТЛАНТ».
Базовая математическая модель. Уравнения, описывающие эволюцию лазерной мишени, имеют вид
— pdivu,
at
du1 с
О 丁 = —gradP,
= —Pe div u 一 div We - Q - Лизл + div 斤，
О之div u — div Ж + Q,
Р = Ре Рг,
Же = -же gradTe(3.1)
Ж = -ае^ gradTi?
с с 異В 2
Ре = Ре(р,Те),兄=兄(0,В),
% =銓 S, 叁)，〜,
Анзл =凡зл(. Те),
К = К(.£),
Qo = QoS，Те),
где р — плотность вещества, и — гидродинамическая скорость, Р — полное давление, Ре, Рг — электронное и ионное давления, £‘，&2 — электронная и ионная удельные внутренние энергии, же, аег — коэффициенты электронной и ионной теплопроводности,斤——поток лазерного излучения, К — коэффициент поглощения, Q — обменный член, 〃нзл — сток энергии за счет собственного излучения плазмы.
На внешней границе задается давление и нулевой поток тепла. На оси вращения и плоскостях симметрии задаются нулевые потоки тепла и нулевые составляющие скорости в направлении, нормальном к границе. Начальные условия могут быть произвольными.
Методика решения уравнений (3.1) была развита в работах [1—8].
Аддитивные схемы характеризуются следующими основными чертами:
переход с одного временного слоя на следующий осуществляется при помощи последовательности обычных разностных схем,
погрешность аппроксимации определяется как сумма невязок для всех промежуточных схем (т. е. аддитивная схема обладает суммарной аппроксимацией) (см. [2]). Аддитивные схемы экономичны и обладают необходимой точностью в реальных расчетах.
На первом этапе решается система уравнений гидродинамики с вязкостью
= —Odivu,(3.2)
at
du
= -pgradF,(3.3)
= ^Л divu.(3.5)
at
На этом же этапе в случае необходимости производится переинтерпо- ляция газодинамических величин на новую расчетную сетку.
На втором этапе учитывается поглощение лазерного излучения. При этом решаются уравнения
^ = div斤， ^, V^ = К9工田(3.6)
Далее производится учет потерь на собственное излучение плазмы
祟(3.7) at
1.1.5. На следующем этапе решается уравнение теплопроводности для электронной “ ионной температур
=—div We,
(3.8)
We =
—aee grad£,
(3.9)
=-divW„
(3.10)
w『
—® gradTg.
(3.H)
/./.6. Учитывается обмен энергией между электронной “ ионной температурами
总Q,(3.12)
0胃=a(3.13)
Q = Qo*3/丿0乙(3.14)
Использование такого последовательного учета физических процессов позволило максимально упростить разностные схемы для отдельных этапов и сократить общее время расчета.
Уравнения бездиссипативной газовой динамики в лагранжевых координатах в двухтемпературном приближении в векторной форме имеют вид
div u = О,dt
(3.15)(3.15)du л сp- + gradp = 0,
(3.15)
(3.15)
+ Ре div а = О,
3 div а = О.3 div а = О.
3 div а = О.
3 div а = О.
Для численного решения системы (3.15) использовались вариационно-разностные схемы [8]. При этом использовались приближения осевой симметрии и сферические координаты.Расчетная сетка выбиралась так, что термодинамические величины относились к центрам ячеек сетки, а значения координат и скоростей вычислялись в узлах (см. рис. 3.1).Объем ячейки расчетной сетки вычисляется по координатам ее узлов в соответствии с формулойДля численного решения системы (3.15) использовались вариационно-разностные схемы [8]. При этом использовались приближения осевой симметрии и сферические координаты.Расчетная сетка выбиралась так, что термодинамические величины относились к центрам ячеек сетки, а значения координат и скоростей вычислялись в узлах (см. рис. 3.1).Объем ячейки расчетной сетки вычисляется по координатам ее узлов в соответствии с формулойРис. 3.1. Схема лагранжево-эйлеровых координат и принадлежности физических параметров узлам сетки (i, j) и ячейки с теми же индексамиРис. 3.1. Схема лагранжево-эйлеровых координат и принадлежности физических параметров узлам сетки (i, j) и ячейки с теми же индексами
Для численного решения системы (3.15) использовались вариационно-разностные схемы [8]. При этом использовались приближения осевой симметрии и сферические координаты.
Расчетная сетка выбиралась так, что термодинамические величины относились к центрам ячеек сетки, а значения координат и скоростей вычислялись в узлах (см. рис. 3.1).
Объем ячейки расчетной сетки вычисляется по координатам ее узлов в соответствии с формулой
Для численного решения системы (3.15) использовались вариационно-разностные схемы [8]. При этом использовались приближения осевой симметрии и сферические координаты.
Расчетная сетка выбиралась так, что термодинамические величины относились к центрам ячеек сетки, а значения координат и скоростей вычислялись в узлах (см. рис. 3.1).
Объем ячейки расчетной сетки вычисляется по координатам ее узлов в соответствии с формулой
Рис. 3.1. Схема лагранжево-эйлеровых координат и принадлежности физических параметров узлам сетки (i, j) и ячейки с теми же индексами
Рис. 3.1. Схема лагранжево-эйлеровых координат и принадлежности физических параметров узлам сетки (i, j) и ячейки с теми же индексами
cos 6“ + cos ©i+ijcos 6“ + cos ©i+ij22bb3 十3 十cos+ —cos+ —22cos+ —cos+ —6分+1/+1cos © 2j+1 "叮+16分+1/+1cos © 2j+1 "叮+1223一片33一片3++++COS @2升1 + cos 6 2/COS @2升1 + cos 6 2/2233
cos 6“ + cos ©i+ij
cos 6“ + cos ©i+ij
2
2
b
b
3 十
3 十
cos
+ —
cos
+ —
2
2
cos
+ —
cos
+ —
6分+1/+1cos © 2j+1 "叮+1
6分+1/+1cos © 2j+1 "叮+1
2
2
3
一片
3
3
一片
3
+
+
+
+
COS @2升1 + cos 6 2/
COS @2升1 + cos 6 2/
2
2
3
3
В соответствии с [3] разностные схемы бездиссипативной двухтемпературной газовой динамики запишем в виде
7亠一+而7亠一+而LZJ = Const, 2\LZJ = Const, 2\мгз (幻T幻мгз (幻T幻丁丁£(иг+к J+I/=0,1£(иг+к J+I/=0,1工k=0,1 Z=0,l工k=0,1 Z=0,l工占0,1工占0,1а %—а： /—/а%а %—а： /—/а%(3.17)(3.17)
7亠一+而
7亠一+而
LZJ = Const, 2\
LZJ = Const, 2\
мгз (幻T幻
мгз (幻T幻
丁
丁
£(иг+к J+I
/=0,1
£(иг+к J+I
/=0,1
工
k=0,1 Z=0,l
工
k=0,1 Z=0,l
工
占0,1
工
占0,1
а %—а： /—/а%
а %—а： /—/а%
(3.17)
(3.17)
Здесь и, V — компоненты вектора скорости вдоль направлений R
и © сферической системы координат, m订—масса в ячейке сетки;
масса, присоединенная к узлу сетки; М/масса, присоединенная к узлу сетки; М/A%A%4工
масса, присоединенная к узлу сетки; М/
масса, присоединенная к узлу сетки; М/
A%
A%
fc=0,l /=0,1
Решение неявных разностных уравнений (3.17) производится с помощью модификации метода Ньютона, при этом линеаризованная система уравнений записывается относительно поправок к давлению [3—8].
Для сквозного счета ударных волн в расчетном алгоритме используется искусственная диссипация. В соответствии с принципом аддитивного учета физических процессов, учет влияния вязких членов производится отдельно. Расчетные формулы для искусственной диссипации строятся на основе концепции неупругих столкновений узлов разностной сетки [7] и имеют вид
A齿篦丁切A齿篦丁切丁丁「%+0什万 / /0,5)_ (0,5)乙力笛\аг+ад+^3a,万=—1,0,1(+a 卄万a=/3 关 Оa,/3=--1,0,1i+« j+/3「%+0什万 / /0,5)_ (0,5)乙力笛\аг+ад+^3a,万=—1,0,1(+a 卄万a=/3 关 Оa,/3=--1,0,1i+« j+/3江笛江笛5j т5j т工工5j5jа,/3=0,1 СЕ—fc=0,l 尸一51а,/3=0,1 СЕ—fc=0,l 尸一51a=/3 关 0((辽2 - k + a - 辽z + a/ +万) + (少2-目+ 0 一 少分+a^+万)川一к +— У"2 + 02+6a=/3 关 0((辽2 - k + a - 辽z + a/ +万) + (少2-目+ 0 一 少分+a^+万)川一к +— У"2 + 02+6
A齿篦丁切
A齿篦丁切
丁
丁
「%+0什万 / /0,5)_ (0,5)
乙力笛\аг+ад+^3
a,万=—1,0,1(+a 卄万
a=/3 关 О
a,/3=--1,0,1i+« j+/3
「%+0什万 / /0,5)_ (0,5)
乙力笛\аг+ад+^3
a,万=—1,0,1(+a 卄万
a=/3 关 О
a,/3=--1,0,1i+« j+/3
江笛
江笛
5j т
5j т
工
工
5j
5j
а,/3=0,1 СЕ—fc=0,l 尸一51
а,/3=0,1 СЕ—fc=0,l 尸一51
a=/3 关 0
((辽2 - k + a - 辽z + a/ +万) + (少2-目+ 0 一 少分+a^+万)
川一к +— У
"2 + 02+6
a=/3 关 0
((辽2 - k + a - 辽z + a/ +万) + (少2-目+ 0 一 少分+a^+万)
川一к +— У
"2 + 02+6
Выделившаяся в результате неупругих столкновений энергия b石订 добавляется к ионной внутренней энергии ячейки (ij)
В связи с тем, что уравнения теплопроводности для электронной ТЕ (3.8—3.9) и ионной 77 (3.10—3.11) температур строятся и решаются одинаково, опишем процесс для температуры Т и соответствующего потока тепла帀[6, 7].
Исходная задача эквивалентна минимизации функционала
FT(W) = S\W^d^l^2 Г div (W)dQ = min, _Q(3.19)
(帀，汾口 = 〃.
г, J + 1г + 1, j + 1г, J + 1г + 1, j + 1Рис. 3.2. Потоки тепла на границах ячейкиРис. 3.2. Потоки тепла на границах ячейки
г, J + 1г + 1, j + 1
г, J + 1г + 1, j + 1
Рис. 3.2. Потоки тепла на границах ячейки
Рис. 3.2. Потоки тепла на границах ячейки
Далее функционал аппроксимируется на разностной сетке. Поскольку любая вектор-функция может определяться в данной точке своими ортогональными проекциями на направления векторов локального базиса, то будем использовать такую дискретизацию (см. рис. 3.2): температура Т постоянна в ячейках и обозначается 厶小 потоки тепла характеризуются компонентами, нормальными к соответствующим сторонам ячеек S&‘，S^^, постоянны на этих сторонах и обозначаются 0&?, W^^. Используя формулы аналитической геометрии, имеем для модуля вектора следующее представление:
W^ • cos 夕W^ • cos 夕2 _ W| + W^ -.
W^ • cos 夕
W^ • cos 夕
sin夕
где з ——угол между направлениями векторов локального базиса.
Рассмотрим отдельно выражения, входящие в представление функционала (3.19).
Первый интеграл при помощи формулы среднего значения преобразуем следующим образом:
▽广д =工尸『(.也,%-).10"
где Qv — площадь ячейки Qv, (т^-, y*g) е Qv.
Второй интеграл также разобьем на сумму интегралов по ячейкам и применим к каждому формулу Грина
Т div |Ж| dQ = J2 ®? div (w)dQ =工出 (W, n)dr,
где Г订一граница ячейки Q^-, п — внешняя нормаль к Г^-.
В результате поставим в соответствие непрерывному функционалу (3.19) следующий разностный функционал:
球=球=++++sin2 cpOijsin2 cpOijsin2夕]第sin2夕]第—t^ov +—t^ov +• cos• cossin 夕 2?/+ 2R,cos 夕3切sin 夕 2?/+ 2R,cos 夕3切sin2 夕З23sin2 夕З23夕1 2^* U ] 2J +夕1 2^* U ] 2J +…cos%*少2第+…cos%*少2第+♦ v3Zj + 2T23 x♦ v3Zj + 2T23 x
球=
球=
+
+
+
+
sin2 cpOij
sin2 cpOij
sin2夕]第
sin2夕]第
—t^ov +
—t^ov +
• cos
• cos
sin 夕 2?/
+ 2R,cos 夕3切
sin 夕 2?/
+ 2R,cos 夕3切
sin2 夕З23
sin2 夕З23
夕1 2^
* U ] 2J +
夕1 2^
* U ] 2J +
…cos%
*少2第+
…cos%
*少2第+
♦ v3Zj + 2T23 x
♦ v3Zj + 2T23 x
(3.20)
где и021p ul簿，u2z九иЗ叮—приузловые площади, такие, что их сумма аппроксимирует |Q0-|;屮?尸夕» 歹工 夕^ — У「лы，Qv，%p S%, - длины сторон Qv-.
Для получения разностных уравнений выпишем условия минимума функционала (3.20) по переменным W^ ?, Wri/;.
dFh
而L=0; ，= 2,N—1, 7 = 1,M-1
dFhdFhi = 1,N— 1,i = 1,N— 1,7 = 2,M-l.7 = 2,M-l.
dFh
dFh
i = 1,N— 1,
i = 1,N— 1,
7 = 2,M-l.
7 = 2,M-l.
Процесс вычисления температуры при переходе на новый слой по времени происходит следующим образом. При известной функции Т” (на предыдущем шаге по времени) и граничных условиях
【"&/ = — 〃1广 W^N} = iNj, j = 1 , м - 1 ,
1少?7,1 = -%1，1少?7,1 = -%1，%M = -^гМ,分=1, N — 1 ,%M = -^гМ,分=1, N — 1 ,
1少?7,1 = -%1，
1少?7,1 = -%1，
%M = -^гМ,分=1, N — 1 ,
%M = -^гМ,分=1, N — 1 ,
где 气7 = 〃(02，%?，丁九+i)，где 气7 = 〃(02，%?，丁九+i)，решаются уравнения для потоков:решаются уравнения для потоков:sin2 ^Qij sin2 ^\i-\jsin2 ^Qij sin2 ^\i-\j+-胃詐—+CM +sin 屮2一3 sin ^3V- /+-胃詐—+CM +sin 屮2一3 sin ^3V- /
где 气7 = 〃(02，%?，丁九+i)，
где 气7 = 〃(02，%?，丁九+i)，
решаются уравнения для потоков:
решаются уравнения для потоков:
sin2 ^Qij sin2 ^\i-\j
sin2 ^Qij sin2 ^\i-\j
+-胃詐—+CM +sin 屮2一3 sin ^3V- /
+-胃詐—+CM +sin 屮2一3 sin ^3V- /
+萨+言｝"+萨+言｝"++++++/ F0v cos ^0vу sin2 ^0v(F3V cos屮屮+ т」 sin2夕3叮/ F0v cos ^0vу sin2 ^0v(F3V cos屮屮+ т」 sin2夕3叮『12- 1/ cos夕1分一 1/、 sin2^l,_b-『2?一 * cos q2z— *SHT 3—1)『12- 1/ cos夕1分一 1/、 sin2^l,_b-『2?一 * cos q2z— *SHT 3—1)02-1/102-1/11"力一-1 +1"力一-1 +
+萨+言｝"
+萨+言｝"
+
+
+
+
+
+
/ F0v cos ^0v
у sin2 ^0v
(F3V cos屮屮+ т」 sin2夕3叮
/ F0v cos ^0v
у sin2 ^0v
(F3V cos屮屮+ т」 sin2夕3叮
『12- 1/ cos夕1分一 1/
、 sin2^l,_b-
『2?一 * cos q2z— *
SHT 3—1)
『12- 1/ cos夕1分一 1/
、 sin2^l,_b-
『2?一 * cos q2z— *
SHT 3—1)
02-1/1
02-1/1
1"力一-1 +
1"力一-1 +
+ s& 7 (T — Тг_ ij),
T70笛 cos 夕023sin2 ^pQZjT70笛 cos 夕023sin2 ^pQZjl^v I 丿l^v I 丿
T70笛 cos 夕023sin2 ^pQZj
T70笛 cos 夕023sin2 ^pQZj
l^v I 丿
l^v I 丿
/ Уlv cos^i^т%+1/5г/7.Д
+ 5^(^-^_l). (3.21)
Полученные значения векторов ｛【"§订｝， ｛^W) используются в уравнении:
Id/'7 丁'^ =—【北，/S&J + W^i+bS^i+h-
-…(3.22)
для нахождения температуры на следующем слое по времени.
Система разностных уравнений для определения потоков имеет вид
A^W^^C^W^^B^^
A^W^_l+Crl!W^+B.^
где 4，8& q, *, 4" 8力 C”, Frl — известные сеточные функции. Поэтому можно построить следующий итерационный процесс:
Для решения каждого из этих уравнений применяется метод прогонки. Итерации ведутся до тех пор, пока не выполнено условие сходимости:
где £ — выбранная точность.
равнения состояния вещества,учет вырождения и упругости
В исходной версии ППП «АТЛАНТ» предполагалось, что уравнение состояния вещества (УСВ) — уравнение идеальной плазмы с заданной степенью ионизации Z и атомной массой А, причем, в случае смеси
нескольких химических элементов Z и А соответствуют усредненным значениям.
Для моделирования реальных экспериментов по ЛТС, которые проводились в ФИАНе и других отечественных и зарубежных лабораториях, потребовалось учесть более сложные уравнения состояния вещества. Для этих целей был разработан блок подпрограмм «FURS» (функции для описания УСВ). За основу были взяты УСВ, предложенные в [9], позволяющие учесть влияние упругих членов в давлении и внутренней энергии, связанных с вырождением электронов и влиянием деформации электронных оболочек в ионах при сжатии холодного вещества. В ППП «АТЛАНТ» предполагается, что плазма состоит из двух компонент — электронов и ионов. Материальное давление имеет следующий вид:
& = 丁目尸 если
01Zр—^, если Z > 1.
Такой вид электронного компонента давления позволил учесть эффект квантового вырождения электронов при сильном сжатии горючего. Размерная константа С\ = кв/гпц, кв — постоянная Больцмана, тн — масса ядра водорода, Ер — энергия вырождения Ферми, Ef = jh2/2nle.)(Зтг2т1е.)2/3.
В программе «АТЛАНТ» за масштаб времени взяты to = Ю^8 с, за масштаб длины £о = Ю-2 см, за масштаб массы mo = 10-6 г и за масштаб температуры То = ЮО эВ. Остальные масштабы физических величин получены как производные от выше перечисленных. В дальнейшем, при необходимости, в тексте внесистемные единицы «АТЛАНТа» будут указываться в квадратных скобках.
Влияние вырождения и упругости электронных оболочек в ионах, имеющих заряд ядра больше 1, учитывалось с помощью интерполяционной формулы, в ионной компоненте давления согласно [9].
兄= если Z > 1 и — > 1, (3.23а)
В Р
если Z = 1 или — < 1.
Здесь р, ро — текущее и начальное значения плотности конденсированного вещества; Q — скорость звука в холодном конденсированном веществе; cv — теплоемкость ионной компоненты при постоянном объеме; Г, С — электронная и ионная температуры; 7 — показатель адиабаты; N = 2—4 — интерполяционная константа.
Соответственно, удельная внутренняя энергия для электронов и ионов имела вид
4(TJ5 + (0,4Ef)1,5)2/34(TJ5 + (0,4Ef)1,5)2/3АcvZTeАcvZTe,если Z = 1,,если Z = 1,子+書子+書Аs/加Аs/加,если ,,если ,1111—1 亠（о。/。）— 1—1 亠（о。/。）— 1(3.236)(3.236)
4(TJ5 + (0,4Ef)1,5)2/3
4(TJ5 + (0,4Ef)1,5)2/3
А
cvZTe
А
cvZTe
,если Z = 1,
,если Z = 1,
子+書
子+書
А
s/加
А
s/加
,если ,
,если ,
1
1
1
1
—1 亠（о。/。）— 1
—1 亠（о。/。）— 1
(3.236)
(3.236)
f=〈f=〈если ( — ) > 1 и Z > 1
f=〈
f=〈
Vo /
если Z = 1 или — < 1.
Лро
Были написаны и оттестированы программы-функции для вычисления компонент давления и удельной внутренней энергии, а также их производных по температурам и плотности
адад7一(7 — l)cv —+ Cq ( — j , если Z > 1 и — > 1,О в том случае, когда Z = 1 или —1.7一(7 — l)cv —+ Cq ( — j , если Z > 1 и — > 1,О в том случае, когда Z = 1 или —1.(3.24)(3.24)
ад
ад
7一
(7 — l)cv —+ Cq ( — j , если Z > 1 и — > 1,
О в том случае, когда Z = 1 или —1.
7一
(7 — l)cv —+ Cq ( — j , если Z > 1 и — > 1,
О в том случае, когда Z = 1 или —1.
(3.24)
(3.24)
庄2庄2L2 (0/0。广一2/0。一 00/。?О при Z = 1 или — < 1. роL2 (0/0。广一2/0。一 00/。?О при Z = 1 или — < 1. роZ > 1 н — > 1,роZ > 1 н — > 1,ро(3.25)(3.25)а醜Жа醜Жz > 1,z > 1,(3.26)(3.26)7产 +（（）,4牙）1,57产 +（（）,4牙）1,5при Z = 1.при Z = 1.
庄2
庄2
L2 (0/0。广一2/0。一 00/。?
О при Z = 1 или — < 1. ро
L2 (0/0。广一2/0。一 00/。?
О при Z = 1 или — < 1. ро
Z > 1 н — > 1,ро
Z > 1 н — > 1,ро
(3.25)
(3.25)
а醜Ж
а醜Ж
z > 1,
z > 1,
(3.26)
(3.26)
7产 +（（）,4牙）1,5
7产 +（（）,4牙）1,5
при Z = 1.
при Z = 1.
В единицах программы «АТЛАНТ» (0,4Ер)1,5 = 0,0334р/А,
(3.27)(3.27)а醜J 0,0334ее/А/(Т^5 + 0,0334р/А)/1,5 если Z= 1,
(3.27)
(3.27)
Ар I 0 если Z > 1.
=*=(1)。+ 专)・(3.28)
Для учета влияния эффекта вырождения на коэффициенты переноса в блоке подпрограмм «FURS» были созданы подпрограммы-функции «FCAPE», «FCAPI», «FQEI». Функция «FCAPE» вычисляет значения коэффициента электронной теплопроводности при заданных значениях температуры, плотности, заряда и атомной массы элемента по следующей формуле:
= 0〈Z»3，/(〈Z〉+ 4), 0 = 15,81,
乙 2 = 03r 碎 5G/m?5/e4/z, Сз = 1,48,(3.29)
乙=(尤 1 + ^2)°'
Здесь ne, ve — концентрация и тепловая скорость электронов, /6 — длина свободного пробега между соударениями электронов, е, те — заряд и масса электрона, 〈Z〉——усредненное значение заряда иона по компонентам плазмы, G ——функция, зависящая от отношения прицельного параметра для ионов к межатомному расстоянию.
Длина свободного пробега электрона вычислялась по следующей формуле:
где /1 = vere = 2,45 • 10-/^ [100 эВ]/А.ег/{Z2/А)/р [см] — «физическая» длина свободного пробега электрона,小 ——геометрический фактор, который в программе задавался в виде параметра в зависимости от условий задачи. Обычно этот параметр приравнивался 1 см, так что не оказывал влияния на результаты счета. При расчете мишеней с внутренним вводом энергии (см. главу 8) для расчета процессов в малоплотном газе (с плотностью 0,1 мг/см°) /9 задавался как наименьшая диагональ расчетной ячейки. Введение такого ограничения позволило избежать физически неправильного решения в случае, когда тепловой поток в горячей малоплотной плазме мог формально превысить максимально возможное значение потока, равное пеуеквТе.
GT =1пGT =1пl,0 + 5,27〈Z〉2/3l,0 + 5,27〈Z〉2/30,39 + 5,10,39 + 5,1(3.30)(3.30)
GT =1п
GT =1п
l,0 + 5,27〈Z〉2/3
l,0 + 5,27〈Z〉2/3
0,39 + 5,1
0,39 + 5,1
(3.30)
(3.30)
В подпрограмме-функции «FCAPI» вычисляется значение коэффициента ионной теплопроводности
% = 0,164-20-% = 0,164-20-1,5кв1,5кв(МТ产 5力誓^z4A分(МТ产 5力誓^z4A分(3.31)(3.31)
% = 0,164-20-
% = 0,164-20-
1,5
кв
1,5
кв
(МТ产 5力誓^z4A分
(МТ产 5力誓^z4A分
(3.31)
(3.31)
В разностной схеме вычисления тепловых потоков коэффициенты переноса задавались на предыдущем шаге по времени, т. е. значения Те п р брались с «?г-го» слоя для вычисления значений на «п + 1» слое.
3 И. Г. Лебо, В. Ф. Тишкин
Кулоновский логарифм Л для электронной компоненты вычислялся по следующей формуле:
= 0,5= 0,51 + 1441 + 144丿丿(3.32)(3.32)
= 0,5
= 0,5
1 + 144
1 + 144
丿
丿
(3.32)
(3.32)
здесь температура взята в единицах 100 эВ.
Г/ = (/cbBf)/1,5 = 0」725(Z〃4)2/3 [100 эВ]
Лг = 0,5 1п(1,0 + 44,ЗА7；3 [100 эВ]Д6/р), если Лг > 0,5 In 2.
Программа-функция FQEI вычисляет значение Qei, для скорости обмена энергией между электронной и ионной компонентами
= 4尸丁= Qez"二-г),(з.зз)
причем для аппроксимации времени обмена между электронной и ионной компонентами используется интерполяционная формула для случаев классической и вырожденной плазмы
丁色2 = Зтг Д3 тгш| в4 Z2 Лбг,(3.34)
О
а = ехр (—Ер/квГ)——параметр вырождения плазмы, позволяющий правильно описать два предельных случая ——классической (а》1) и полностью вырожденной (а = 0) плазмы.
Для трехтемпературной физико-математической модели плазмы были созданы подпрограммы-функции расчета коэффициентов переноса в радиационном потоке и обменного члена. Подробнее об этом в отдельном разделе.
Кинетика реакций синтеза.
Учет вклада термоядерной энергиии эффекта выгорания горючего
Для моделирования процессов в лазерных мишенях реакторного масштаба требуется учитывать энерговклад от реакций синтеза и эффект «выгорания» горючего (т. е. уменьшение концентрации ядер дейтерия и трития и увеличение концентрации инертных ядер в горючем). Для этих целей был разработан блок подпрограмм «FUSION» для пакета прикладных программ «АТЛАНТ» [11]. Использовалась следующая физическая модель ——горючее состоит из пяти компонент
(водород, дейтерий, тритий, гелий-3 и гелий-4, нейтроны). Учитываются следующие реакции синтеза:
D + Т — Не’ + N,
D + D - …三士且…,(3.35)
Не° + N
D + He3 一 He4 + H.
Здесь H, D, T — ядра водорода, дейтерия и трития, Не3, Не4 — ядра гелия-3 и гелия-4, N ——нейтроны.
Предполагается, что нейтроны свободно покидают плазму, при этом изменением массы горючего можно пренебречь. Заряженные частицы ——продукты реакций синтеза (водород и гелий) поглощаются в той же ячейке, где они родились. В таком случае процессы синтеза можно описать с помощью следующей системы кинетических уравнений:
/d = /d +丁卫
齐=/т + Атрт齐=/т + Атрт—Rt + Rp—Rt + Rp
齐=/т + Атрт
齐=/т + Атрт
—Rt + Rp
—Rt + Rp
(3.36)(3.36)Ье3 = /Не3 + АгПрТЬе3 = /Не3 + АгПрТRn — RgRn — Rg/н = /н + Атпрт/н = /н + АтпртRp + RgRp + Rg
(3.36)
(3.36)
Ье3 = /Не3 + АгПрТ
Ье3 = /Не3 + АгПрТ
Rn — Rg
Rn — Rg
/н = /н + Атпрт
/н = /н + Атпрт
Rp + Rg
Rp + Rg
/Не4 = /не4 + AtTUpT ^^ .,
Здесь /н, /d, /т, /не3^ /не4^ — концентрации водорода, дейтерия, трития, гелий-3, гелий-4, нейтронов; △"/ ——масса счетной ячейки; р ——плотность в этой ячейке, Rt, Rp, Rn, Rg ——частота реакций синтеза в счетной ячейке; 丁 一 шаг по времени. Значком «/» отмечено значение концентрации на «п + 1» шаге по времени. Частоты реакций синтеза определяются из следующих формул
Rt = 3,575E + 41^t/D/TAM0 堂，
Яр = 3,575E + 41^)p0,5/2AMv 号，
丄(3.37)
Rn = 3,575E + 41Mn0,5/2AMv 号，
Rg = 3,575石 + 41 付*/WQA"力
Индексом «力》помечена частота реакции D + Т с образованием трития (см. верхнюю формулу в (3.35)), индексом «р» ——реакция D + D с образованием протона (вторая строка в (3.35)), индексом «Ж» — реакция с образованием нейтрона (третья строка в (3.35)) индексом «g» — реакция D + Не3 с образованием гелий-4 плюс протон (четвертая строка в (3.35)).
Эффективные сечения термоядерных реакций, согласно [10], находятся по следующей формуле:
Со
03 =+。3(0,1二产75)2( 一 〃2(0,1二厂°"3),(3.38)
04 = (0,1二产666 7(1 +〃4(0,1二)325)。，5.
Здесь (аг?) взято в [см3/с], а 二 ——в [КэВ]. Значения коэффициентов определяются из следующей таблннн:
Р
п
g
2,63Е— 12
1,35Е— 14
1,25Е— 14
1,86Е— 12
«2
20,0
18,8
18,8
31,7
аз
0,232
3,32Е — 2
4,98石-2
9,95石-2
9,41Е — 5
0
0
1,56Е —6
Вклад термоядерной энергии в ионный компонент плазмы в ячейку с массой △八厶/ за время 丁 определяется по формуле
△&7 = (PtE^Rt + PpEpRp + PnEnRn + PgEgRg)r,(3.39)
и в электронный компонент
△2? = ((1 — Pt)EtRt + (1 pp)EpRp + (1 — Рп)ЕпНп^г
+ (1 - Pg)EgRg)T. (3.40)
р
п
g
Е [0.1 Дж] Р [100 эВ]
5,664Е— 12
1000
6,448Е— 12
330
1,312Е— 12
330
29,36Е— 12
1000
В подпрограмме «FUSION» рассчитывается суммарная энергия, переданная от термоядерных заряженных частиц (Н, Не3, Не4) в плазму, и энергия, которую уносят нейтроны.
Уравнения (3.37)-(3.40) решались с помощью явных разностных схем на каждом шаге по времени.
Для проверки правильности работы программы с учетом термоядерного выгорания были проведены расчеты тестовых задач, моделирующих термоядерное горение предварительно нагретого и сжатого шара из ДТ-горючего. Результаты расчетов сравнивались с результатами решения той же задачи, полученными с помощью одномерного лагранжевого кода «ДИАНА» [12].
Ниже приведено сравнение расчетов, моделирующих горение термоядерной микромишени, выполненных по программам «ДИАНА» и «АТЛАНТ».
Таблица 3.1
Программа
Энергия, МДж
Масса, мг
Плотность, г/см3
К =3, кэВ
Коэф, усиления Q
ДИАНА
1
0,512
2,0
17,0
1,56
АТЛАНТ
1
0,512
2,0
17,0
1,62
ДИАНА
10
14,5
20
6
63
АТЛАНТ
10
14,5
20
6
63,5
ДИАНА
1
4,34
200
2
1,1
АТЛАНТ
1
4,34
200
2
1,2
Перенос энергии быстрых электронов.Одногрупповая модель
Для описания процесса переноса энергии быстрыми электронами в программе «АТЛАНТ» была разработана подпрограмма «FASTELEC». Эта подпрограмма позволяет рассчитывать перенос энергии в одногрупповом приближении. Предполагается, что поток энергии распространяется в глубь мишени и быстрые электроны передают энергию в процессе многократных пролетов приблизительно равномерно по массе плазмы на глубине проникновения (обоснование этой физической модели дано в [13]).
В подпрограмме «FASTELEC» численно решаются следующие уравнения:
если I pdr W(0^)с, в противном случае.если I pdr W(0^)с, в противном случае.(3.41)(3.41)
если I pdr W(0^)с, в противном случае.
если I pdr W(0^)с, в противном случае.
(3.41)
(3.41)
Здесь Rc ——радиус, соответствующий критической плотности плазмы, Rf — радиус, куда «проник» поток быстрых электронов в данный момент времени, г — текущее значение радиуса, Се — константа нормировки.
Значение (рА)е определяется по следующей формуле:
(心)е. = 2・10-需(кэВ).(心)е. = 2・10-需(кэВ).(3.42)(3.42)
(心)е. = 2・10-需(кэВ).
(心)е. = 2・10-需(кэВ).
(3.42)
(3.42)
Это значение приведено в г/см2. Согласно [13] предполагается, что из-за того, что длина замедления быстрых частиц увеличивается пропорционально квадрату их энергии, эффективное торможение происходит только для тех частиц, у которых энергия меньше 3,57^, где Th — «температура» быстрых электронов (Е6 = 3,57^ — энергия «отсечки» жесткой части спектра быстрых электронов). Для нахождения температуры быстрых электронов использовалась эмпирическая формула (см. [14])
(7,751О-10 ・(qX?)2/3 [кэВ], если (qX?) < 1015 (Вт/см2) • мкм2,
I 1,3781。—公25 [кзВ], если (qX?)》1015 (Вт/см2) • мкм2.
(3.43)
В описанной модели предполагается, что поток энергии быстрых электронов распространяется строго вдоль радиуса.
В подпрограмме «FASTELEC» используется следующий алгоритм —— на каждом временном шаге вычисляется радиус проникновения энергии быстрых электронов вдоль заданного луча (А/) из следующего условия:
=j+ 1 Н--^*г +1 j +—0,5(2?г^ -\-Кг^-1 j ) ) W(P，)e
(3.44) и определяется интервал суммирования j = jc, ..., jf.
Далее находится константа нормировки из условия, что часть мощности лазерного потока, достигнувшего критической поверхности (CQc)z в секторе углов, заключенном между z, z + 1-лучами сетки, преобразуется в поток энергии быстрых электронов, остальная часть (1 — C)Q&2 поглощается в ячейке содержащей критическую плотность ((—параметр задачи):
Се,г = CQcexp (-卷Се,г = CQcexp (-卷(3.45)(3.45)
Се,г = CQcexp (-卷
Се,г = CQcexp (-卷
(3.45)
(3.45)
Доля энергии, переданная в ячейку (分，з), равнаехр (-碧f)夕
Решение уравнений радиационной газовойдинамики в трехтемпературном приближении.Аналитические тесты
Для учета переноса излучения в лазерной мишени использовалась модель трехтемпературного приближения [9, 15-18] 9. Основная идея, положенная в основу этой модели, заключается в том, что в оптически плотной плазме перенос энергии за счет переизлучения можно описать в виде некой «лучевой» теплопроводности.
Пренебрегая рассеянием фотонов, уравнение переноса излучения имеет вид
+ l~i gr ad Iу = X"(/"@ —厶丿)，
,1(346)
c exp (hu/kT) — 1'
Iyp, /“ ——равновесная планковская и неравновесная спектральная интенсивность излучения, X" ^коэффициент поглощения излучения на частоте у с учетом вынужденного испускания, Q ——телесный угол.
Проинтегрировав верхнее уравнение (3.46) по полному телесному углу (4тг), получим
勺 + divS「
几=J] /“2, Uyp47r几=J] /“2, Uyp47r8тг%〃зc3 (exp {hy/kT) — 1)8тг%〃зc3 (exp {hy/kT) — 1)(3.47)(3.47)
几=J] /“2, Uyp
47r
几=J] /“2, Uyp
47r
8тг%〃з
c3 (exp {hy/kT) — 1)
8тг%〃з
c3 (exp {hy/kT) — 1)
(3.47)
(3.47)
Uy ——объемная спектральная плотность энергии излучения, S” —— спектральный поток энергии излучения. Верхнее уравнение (3.47) до- множим на телесный угол Q и проинтегрируем по полному телесному углу (4тг), тогда получим
:*+= -(3.48)
В лазерных мишенях, где типичные размеры плазмы £н 〜100—1000 мкм, а времена изменения газодинамических параметров порядка 0,1-1 нс, первый член в уравнении (3.48), как
правило, много меньше, чем член в правой части (х“ 〜1/£н ), и им можно пренебречь, тогда
S” = — * grad Uy.S” = — * grad Uy.(3.49)(3.49)
S” = — * grad Uy.
S” = — * grad Uy.
(3.49)
(3.49)
Усреднив по частотам уравнения (3.48) и (3.49), получим уравнения в одногрупповом приближении, описывающие перенос излучения в
плазме
(3.50)(3.50)W + div Wr = Qer, Wr = — ^ grad U.
(3.50)
(3.50)
Здесь U ——усредненная по частотам плотность энергии излучения,
Wr ——радиационный поток энергии, Qer = Хи口咋—U”)〃沙 ——член,
о
описывающий обмен энергией между фотонами и электронами, 1Г —— усредненный по спектру пробег излучения. Предположим, что «фотонный газ» имеет планковское распределение по частотам (энергиям квантов), причем эффективная температура фотонов Тг, вообще говоря, отличается от температуры плазмы. Тогда
口 81
сз exp(MfcTr)-l И U = 4;(3.51)
а = 27r5k4/15%3。2 — постоянная Стефана-Больцмана. Вводим понятие плотности радиационной энергии на единицу массы % = U/化 тогда
И4 = —clr grad ^-.
Введем понятие усредненной по частотам длины свободного пробега квантов (росселандового пробега)
(3.52)(3.52)
(3.52)
(3.52)
Обмен энергией между фотонным и электронным компонентом плазмы можно представить в следующем виде:
Qer = Jem — Jabs =Qer = Jem — Jabs =4"4"4*bp4*bp(3.53)(3.53)
Qer = Jem — Jabs =
Qer = Jem — Jabs =
4"
4"
4*
bp
4*
bp
(3.53)
(3.53)
Здесь Z@, Vp — усредненные («планковские») длины пробега квантов при излучении и поглощении 9. Если предположить, что эти длины
Заметим, что Zr и 1Р, как правило, не равны. В случае «планковской^> длины пробега проводится усреднение коэффициента поглощения излучения, т. е. величины, обратно пропорциональной длине пробега.
тогдатогдапробега имеют вид такой как в случае свободно-свободных квантовых переходов (тормозной механизм поглощения и испускания квантов),
тогда
тогда
73,57仇5 T3
и обменный член имеет сравнительно простой вид
(3.54)(3.54)Здесь J — численный коэффициент.В том случае, когда учитываются только свободно-свободные переходы, /р и 1Г вычисляется аналитически (см. [16]). Для учета влияния свободно-связанных и связано-связанных переходов в расчетах по программе «АТЛАНТ» использовались интерполяционные значения 1Р и 1Г.Ниже приведен блок уравнений, описывающих перенос энергии между электронной, ионной и радиационной компонентами плазмы.В программе «АТЛАНТ» отдельно решается блок подпрограмм, описывающий электронную (подпрограмма «НЕАТЕ»), ионную (подпрограмма «НЕАТЬ) и радиационную теплопроводности (подпрограмма «HEATR»):Здесь J — численный коэффициент.В том случае, когда учитываются только свободно-свободные переходы, /р и 1Г вычисляется аналитически (см. [16]). Для учета влияния свободно-связанных и связано-связанных переходов в расчетах по программе «АТЛАНТ» использовались интерполяционные значения 1Р и 1Г.Ниже приведен блок уравнений, описывающих перенос энергии между электронной, ионной и радиационной компонентами плазмы.В программе «АТЛАНТ» отдельно решается блок подпрограмм, описывающий электронную (подпрограмма «НЕАТЕ»), ионную (подпрограмма «НЕАТЬ) и радиационную теплопроводности (подпрограмма «HEATR»):於e於2於e於2—div We,—div We,00PPdt於厂dtdt於厂dt-div Ж,-div Ж,—div Wr,—div Wr,(3.55)(3.55)
(3.54)
(3.54)
Здесь J — численный коэффициент.
В том случае, когда учитываются только свободно-свободные переходы, /р и 1Г вычисляется аналитически (см. [16]). Для учета влияния свободно-связанных и связано-связанных переходов в расчетах по программе «АТЛАНТ» использовались интерполяционные значения 1Р и 1Г.
Ниже приведен блок уравнений, описывающих перенос энергии между электронной, ионной и радиационной компонентами плазмы.
В программе «АТЛАНТ» отдельно решается блок подпрограмм, описывающий электронную (подпрограмма «НЕАТЕ»), ионную (подпрограмма «НЕАТЬ) и радиационную теплопроводности (подпрограмма «HEATR»):
Здесь J — численный коэффициент.
В том случае, когда учитываются только свободно-свободные переходы, /р и 1Г вычисляется аналитически (см. [16]). Для учета влияния свободно-связанных и связано-связанных переходов в расчетах по программе «АТЛАНТ» использовались интерполяционные значения 1Р и 1Г.
Ниже приведен блок уравнений, описывающих перенос энергии между электронной, ионной и радиационной компонентами плазмы.
В программе «АТЛАНТ» отдельно решается блок подпрограмм, описывающий электронную (подпрограмма «НЕАТЕ»), ионную (подпрограмма «НЕАТЬ) и радиационную теплопроводности (подпрограмма «HEATR»):
於e
於2
於e
於2
—div We,
—div We,
0
0
P
P
dt於厂dt
dt於厂dt
-div Ж,
-div Ж,
—div Wr,
—div Wr,
(3.55)
(3.55)
We = —死egrad£; Wz = ^хг grad7^; Wr = ^xr grad (psr).
В случае радиационной теплопроводности при определении потока энергии удобнее пользоваться градиентом от удельной радиационной энергии &厂，умноженной на плотность р. В этом случае граничное условие на внешней поверхности имеет простой вид
"4"411-cper cos-cper cos11(3.56)(3.56)
"4
"4
1
1
-cper cos
-cper cos
1
1
(3.56)
(3.56)
т. е. имеет место линейная зависимость потока от удельной энергии. Коэффициент радиационной теплопроводности 死厂=clr/3, с ——скорость света, /г — росселандов пробег.
Была разработана подпрограмма «HEATR» для решения уравнения переноса радиационного потока (последнее уравнение в (3.55)) [17]. По сравнению с решениями уравнений теплопереноса для электронного и ионного компонентов (подпрограммы «НЕАТЕ» и «НЕАТ1»), где разностные уравнения записывались для функций температуры и потоков, в подпрограмме «HEATR» используются газодинамические
функции удельной энергии и потоков. Это позволило аппроксимировать квазилинейное уравнение теплопереноса (значение коэффициента радиационной теплопроводности берется с предыдущего временного слоя).
Подпрограмма расчета релаксации (RELAXR).
Решается следующая система уравнений:
忆 必
=-Qez(Te- T, - Qer{Te —厶)，
於2 . dt
= Qeг(Te-Tг\
(3.57)
於厂 dt
=Qer(Te — Tr).
Система уравнений (3.57) линеаризуется и решается с помощью
метода Ньютона последовательных итераций:
(3.58)(3.58)
(3.58)
(3.58)
Здесь нижний индекс q = i, е, г, соответствует ионной, электронной и радиационной компонентам плазмы, верхний индекс s ——номер итерации.
В разностном виде уравнения релаксации в каждой ячейке запишутся в следующем виде:
丁丁丁丁匠广(3.59)匠广(3.59)
丁丁
丁丁
匠广(3.59)
匠广(3.59)
『=—三三—+ (Ц 了匠
В векторном виде систему уравнений (3.59) можно представить следующим образом:
Адеа = 8,
где вектор дгагде вектор дга
где вектор дга
где вектор дга
Матрицы А п В имеют вид
—— Se ) + TQez(^^e, Р)— ^е(£^ Р)+ TQer^r(^, /9)— Te(&3 Р))
8=— (U — £；) — tQ%(TzG，。)一 K(d, Z9)).
-(E父一球)-T，丁(耳6,P)- Te^^ р))
(3.60)
Просуммировав разностные уравнения (3.59), получим
= 0.(3.61)
ттт
Соотношение (3.61) позволяет контролировать точность вычислений.
Особенностью уравнения переноса радиационного потока, по сравнению с уравнениями теплопроводности для электронного и ионного компонентов, является новый тип граничного условия. В радиационной задаче используется условие третьего рода на внешней границе. Для решения уравнения радиационного переноса, как и ранее, использовались прогонки по потоку тепла.
В подпрограммах «НЕАТЕ», «НЕАТЬ, «HEATR» и «RELAXR» введен собственный шаг по времени 丁 = q/NTR, где то ——основной
временной шаг программы, а тепловой блок в основной программе может рассчитываться с шагом в NTR раз меньшим, чем 7q. Поскольку при вычислении температуры и внутренней энергии на (п + 1)-ом слое коэффициенты теплопереноса в программе задаются с предыдущего слоя, и, как правило, типичные времена теплопереноса (особенно, радиационного) в лазерной плазме значительно меньше гидродинамических, то возможность введения дополнительных временных подуровней позволяет улучшить точность расчета.
Для тестирования тепловой части задачи (уравнения (3.55) и (3.57)) было предложено автомодельное решение для следующей системы уравнений (при р = 1 — const) [18]:
'/' 、(3.62)
При Z = 1 se = cvTe,乙=cvTx и = аТ^. Пусть Те = Т?严严, Тг = T^rmtn Н 4 = T^rmtn, Хе =死>Зт+2户忆=死少々—1, Xr = =x%%—\ Qez =酰2/力，Qer = Qerr3mt3n~] (здесь индексом «О» обозначим численные коэффициенты), подставив эти выражения в (3.62), получим связи для постоянных коэффициентов
= —宮)，
^T^m + 3)= УЕ — Т?),
(3.63)
4”(宮)4 = 4m(4m + 3)d仪雪户 + Q^^ - *)•
При m > 0 в центре мишени получим нулевые условия по температурам, а на правой границе будут условия второго рода для электронной и ионной теплопроводностей, и можно написать условие третьего рода для уравнения радиационной теплопроводности (при г = А)
И4 = -^rnT^R4m^t4n-\
Ж =-必加方Am+i严，
Wr = - х?4向厂上Г.
Далее приведены результаты сравнения численных и аналитических решений для случая m = 0,4; п = 2, Т? = \, Т? = 2, Т? = 3, 0 < t < 100, 0<r<R=l,Qer = 0,64戸，2户，Q^ = 574,85/力龜=143,712.
На рис. 3.3 представлены «профили» радиационной температуры (распределения по радиусу) для трех моментов времени t = 1,力=5, t = 10.
Рис. 3.3. Распределения температур по радиусу на различные моменты времени. Аналитические решения
Рис. 3.4. Относительные погрешности вычислений на моменты времени 5 и 10 для случаев граничного условия второго (и) и третьего (6) рода
Абсолютное значение температуры выросло в 100 раз в соответствии с аналитическим решением. Для определения точности решения
рассчитывалась «невязка» △ = abs(Tr —不】)"^】，где 丁厂—расчетное значение радиационной температуры,韋11 — аналитическое значение (см. рис. 3.4). Расчеты были выполнены на сетке (5 х 60), то есть в квазиодномерном приближении (вдоль луча две «реальные» счетные ячейки). Было выполнено два расчета при различных граничных условиях: 1) на границе задаются аналитические значения потоков We,玄厶， И4; 2) в уравнении для радиационного переноса задается граничное условие третьего рода Wr = — 1,6&厂/九
Видно, что в случае граничных условий второго рода во всей области счета, кроме окрестности г = 0, ошибка составляет менее 1 % (в окрестности нуля решение стремится к 0, поэтому точность аппроксимации несколько хуже).
В случае граничного условия третьего рода мы имеем также достаточно хорошую точность решений (на уровне нескольких процентов). Для удобства размещения обеих кривых на одном рисунке в этом случае по оси ординат было отложено значение In (Д). С увеличением узлов сетки точность решения возрастала, что доказывает сходимость численного решения к точному.
Учет влияния рефракции лазерных лучейв сферической короне
Влияние рефракции лазерных лучей в короне на сжатие сферических мишеней в одномерной постановке изучалось, в частности, в работах [19, 20]. В двумерно-неоднородной разлетающейся плазме, образованной в результате взаимодействия лазерного излучения с плоскими мишенями, задача о влиянии рефракции исследовалась в работе [21]. В случае сжатия двумерно-неоднородной сферической мишени эта задача рассмотрена в [22, 23].
Следуя [24, 25], приведем вывод основных уравнений. Если представить волну лазерного излучения в виде произведения высокочастотной части (exp (zcjt)) на медленно меняющуюся по времени компоненту (Е,Н), то уравнения Максвелла принимают вид
rot Е = 2%()Н,
rotH =—法 о&Е,(3.64)
= 一,с
s ——частота лазерного излучения; & ——диэлектрическая проницаемость плазмы.
Представим Е, Н в виде произведения медленно меняющейся по пространству амплитуды, умноженной на быстро меняющуюся пере-
менную по пространству компоненту:
e = Аeхр (注006), Н = В ехр (泳о℃).
(3.65)
Подставляя (3.65) в (3.64) и сокращая в левой и правой части уравнений exp (i/co^) получим следующую систему:
rot А + iko [Х70 х А]=法()В, rot В + ik^ [Х70 х В] = — 2%оА・
(3.66)
В приближении геометрической оптики первыми членами в левой части уравнений (3.66) можно пренебречь (так как ко》1/L, где L — типичный размер неоднородности плазмы), и тогда получим следующие
выражения:
[▽0 х А] =В, [▽0 х В] = —еА.
(3.67)
Подставляя значение В из первого уравнения (3.67) во второе и используя правило вычисления двойного векторного произведения,
находим
▽0(▽。- А) - A(V0)2 + &А = 0, (▽0 • А) = 0.
(3.68)
Второе соотношение в (3.68) следует, если домножить второе уравнение в (3.67) скалярно на Х70. Тогда из первого уравнения в (3.68) следует
(▽О)? = е или \7。=е (3.69)
Здесь е — единичный вектор в направлении луча.
Введем понятия коэффициента преломления п = у^, дифференциала вдоль луча 〃s и, соответственно, дифференциала оптического пути луча dr = ds/n,
g = ns.(3.70)
Продифференцируем уравнение (3.69) no d/ds, тогда
=^（▽（▽。产）=▽几2 = ▽几，（3.71）
n —(ne) = nvn =六▽几.as2
Окончательно получим следующую систему уравнений:
dr
(3.72)(3.72)丁 = ns,
(3.72)
(3.72)
…)=广儿
Каждому лучу «припишем» некоторую площадку в плоскости линзы и некоторую падающую мощность луча Р(г, 3, t), тогда к уравнениям (3.72) добавится уравнение переноса потока энергии
атат(3.73)
ат
ат
Выражения для коэффициентов 儿 и п определяются обратным тормозным механизмом поглощения излучения и взяты из [26, 27]. При этом предполагается, что: плазма полностью ионизована; электронная компонента квазиравновесна с температурой Те； интенсивность поля мала настолько, что нелинейных эффектов нет; электронными столкновениями можно пренебречь по сравнению с электронно-ионными (ло- ренцева плазма). Тогда комплексная диэлектрическая проницаемость определяется уравнениями
€ = £1 + 氾 2； &1 = 1€ = £1 + 氾 2； &1 = 1МVS1 + S”1 + S”МVS1 + S”1 + S”где игде иss
€ = £1 + 氾 2； &1 = 1
€ = £1 + 氾 2； &1 = 1
МVS
1 + S”1 + S”
МVS
1 + S”1 + S”
где и
где и
s
s
Z2e4XEinI
где введены обозначения: ует = эффективная ча-
石 ТЕ
стота столкновений электронов с ионами;上一частота лазерного
47Г€2П£ ——плазменная частота. Для значения кулоновского47Г€2П£ ——плазменная частота. Для значения кулоновского9PL9PLизлучения; пе,几/ — концентрации электронов и ионов в плазме; ше — масса электрона; т/ = Amp — средняя масса иона; А — средний атомный вес ионов; е ——заряд электрона; Z ——средний заряд ионов; Те ^ температура электронов; Ан/ — кулоновский логарифм;
47Г€2П£
——плазменная частота. Для значения кулоновского
47Г€2П£
——плазменная частота. Для значения кулоновского
9PL
9PL
у тЕ
логарифма используется асимптотическое выражение при s》^pl, но оно является достаточно точным даже при экстраполяции до частот s у ^pl- При < 1 используется борновское приближение,
Е
Z 一炉
при — > 1 ——квазиклассическое выражение для сечения рас-
5/2 /73/25/2 /73/2mjTE
5/2 /73/2
5/2 /73/2
V^Z2 J ПРИV^Z2 J ПРИсеяния, т. е. при Г < 0,077Z2 [кэВ]: Ан/ 4 т
V^Z2 J ПРИ
V^Z2 J ПРИ
Т > 0,077/ [кэВ]: Ан/ = —l，где 7 = 1,781.
7 "
КоэффициентыКоэффициентыпреломления п и поглощения 从 вводятся по
Коэффициенты
Коэффициенты
Отсюда:Отсюда:В случае 己i》己2：几=v^ ； 〃‘В случае 己i》己2：几=v^ ； 〃‘上三2上三2определению:= n + ic^i/2ш.
Отсюда:
Отсюда:
В случае 己i》己2：几=v^ ； 〃‘
В случае 己i》己2：几=v^ ； 〃‘
上三2
上三2
Система уравнений (3.70—3.73) решается численно. На границе двумерной разностной сетки задается дискретное число лучей (k = 1К) с заданными начальными условиями (r^, s£,收).Для каждого луча определяется также начальное значение произведения показателя преломления среды в точке г^ на вектор s^: (ns)o = п(г^)8^. Каждый луч последовательно проходит через ячейки. Наряду с траекторией луча рассчитывается мощность, которая выделяется в заданной ячейке. В качестве узлов сетки выбираются центры ячеек 4
разностной сетки А= = 0,25 工 А?, где / = 1 соответствует точке (г, J), 1= 1
2 — (г, j + 1), 3 — (г + 1, j + 1), 4 — (z + 1, j). Следуя [19] полагаем, что внутри каждой ячейки Vn2 = const, V(n^) = const, тогда траектории лучей в ячейках можно представить в параметрическом виде
(3.74)(3.74)г ⑴=го + (几 s)o 力 + 0,25(Vn2)t2.
(3.74)
(3.74)
Для определения точки выхода луча из заданной ячейки решается следующая задача. Уравнение грани в декартовых координатах имеет ^2 — х\ у2 — у\/ \、
вид = , поэтому, подставляя значения 力(力)，y(t) из
® —7] У ~У\
(3.74), приходим к квадратному уравнению для нахождения значения параметра 力 при котором кривая пересекает эту грань (см. рис.3.5).
Рис. 3.5. Схема распространения луча в ячейкеРис. 3.5. Схема распространения луча в ячейке
Рис. 3.5. Схема распространения луча в ячейке
Рис. 3.5. Схема распространения луча в ячейке
Поскольку при 力—оо траектория уходит на бесконечность, она должна пересечь хотя бы одну грань. Для каждой из четырех граней решается такая задача и выбирается минимальное значения 力тЕ, по
которому определяется точка выхода луча из ячейки и, соответственно, начальные параметры входа луча в следующую ячейку. Если п = О или Vn2 = 0, то полагаем, что в этой ячейке излучение полностью поглощается.
После расчета траекторий всех лучей и суммирования выделенных ими энергий в ячейках за заданный временной шаг производится перерасчет на гидродинамическую разностную сетку, определение новых значений температур, давлений и внутренних энергий в лагранжевых ячейках.
Для тестирования была рассмотрена задача о падении плоской электромагнитной волны под углом на слой плазмы с диэлектрической проницаемостью, зависящей линейно от расстояния. Получено хорошее соответствие с аналитическим решением [27]. Для тестирования была рассмотрена задача о падении под углом в (при 2 = 0) плоской электромагнитной волны, длиной Лис вектором Е, расположенным в плоскости, перпендикулярной плоскости падения, на линейный слой плазмы с диэлектрической проницаемостью
i
al - zb\ + 分(Q2 + 262),2》0
(3.75)
Ql,2 < 0,
где ai, b\ > 0.
Коэффициент поглощения энергии излучения, полученный в [27], имел вид
々 1( т f 167r(ai -sin26»o + ia2)3/2\\
"1 2一二福(3.76)
Был проведен тестовый расчет для параметров А = 1 мкм, @】=1,仇= =200 см~\ @2 = 0, ^2 = 0,2 см™1 на прямоугольной сетке 20 х 20 и показано, что расхождение рассчитанного коэффициента поглощения от аналитического значения составило менее 0,2 % (см. рис. 3.6).
Было задано 10 лучей, распространяющихся из точки с。= —Qi/仇 под разными углами (на рис. 3.6 показана область с》0. Луч, распространяющийся параллельно градиенту плотности, достигает критической поверхности, остальные отражаются раньше, в строгом соответствии с аналитическим решением, полученным в [27].
Подпрограммы перестройки лагранжевых сетокдля расчета сжатия мишенейс большими деформациями границ областей
При расчете сжатия и термоядерного горения лазерных мишеней возникает необходимость перестройки сеток. Использовалось четыре подпрограммы перестройки сеток: ANGLE, SHPERT, MIDLE, SHIFT.
Рис. 3.6. Распространение лучей при наклонном падении на неоднородную плазму
Подпрограмма ANGLE позволяет увеличивать число лучей в разностной сетке. В этой подпрограмме каждый первоначально заданный сектор разбивался на М(г) лучей, где i — номер ячейки в направлении, перпендикулярном радиусу. При этом значения температуры и плотности сохранялись такими же, как в исходных ячейках, масса пересчитывалась в соответствии с новыми границами ячеек (в программе «АТЛАНТ» объем ячейки вычисляется по заданным координатам ее узлов с помощью подпрограммы-функции «FVOL»). Полученные значения затем умножались на плотность для нахождения массы новой ячейки.
В программе «АТЛАНТ» предусмотрена запись текущих параметров расчета на диск с целью продолжения численного решения задачи по команде оператора. Это позволяет осуществлять перестройку сетки в заданный момент времени — до перестройки сетки текущие параметры задачи записывались на диск, затем после их считывания до продолжения счета осуществлялась перестройка сетки. Эта подпрограмма использовалась при исследовании развития возмущений сферической оболочки на стадии торможения (см. [28, 29], а также Глава 4, п. 4).
С целью экономии процессорного времени стадия лазерного нагрева и ускорении оболочки к центру моделировалась в квазиодномерном приближении. На стадии торможения оболочки производилась перестройка сетки с помощью подпрограммы «ANGLE» — каждая из двух ячеек на слое делилась на 10—20 частей. Затем с помощью подпро-
граммы «SHPERT» вводилось возмущение формы границы оболочки и продолжался счет.
В другой версии подпрограммы «ANGLE» перестройка сетки в поперечном направлении осуществлялась следующим образом. Между лучами iieft и iright в заданный момент времени строилась новая сетка, шаг которой менялся по геометрической прогрессии, т. е. X = X? + HXuq『G, здесь Xz = X(%Q, Х『=X(zright); У, X — это лагранжевы координаты узлов сетки, ¥% — радиус узла (г, J), X?j — угол, образованный этим радиусом с осью с, i = 1,2, ...NX, j = 1,2,... NY. N^ ——дополнительное количество шагов сетки в поперечном направлении, HXq = (Xr — X%)(q化—У)/^гп — 1). Значения суммарной массы, внутренней и кинетической энергий ячеек сохранялись. (Такая перестройка сетки использовалась в Главе 8 при расчете воздействия второго импульса на коническую мишень).
Подпрограмма «SHPERT» позволяет вводить возмущение заданного
слоя.
После считывания с диска текущих параметров задачи с помощью подпрограммы «SHPERT» осуществлялась перестройка сетки по следующей формуле:
11△G(cos е)exp к —7—I R\—R?△G(cos е)exp к —7—I R\—R?
1
1
△G(cos е)
exp к —7—
I R\—R?
△G(cos е)
exp к —7—
I R\—R?
Здесь 先j, rij — текущие невозмущенный и возмущенный радиусы границ ячейки, 〃i, R^ — радиусы слоя, в котором вводится возмущения, к ——параметр, △ — амплитуда возмущения, G(cosn6*)——полином Лежандра. В ряде задач вместо полинома Лежандра использовалась функции cos 3. После того как введено возмущение в сетку, с помощью подпрограммы-функции FVOL рассчитываются объемы ячеек. В зависимости от задачи, определяется масса ячейки по заданной плотности и вычисленному новому объему ячейки (обычно так поступаем при задании начальных возмущений формы оболочки), либо определяется новая плотность в ячейке по заданной массе и вычисленному объему.
Подпрограмма «MIDLE» уменьшает количество ячеек в центральной области до одной при сохранении массы, кинетической и внутренней энергий в этой ячейке. Такая операция делается после считывания текущих параметров задачи с диска. Потребность в такой операции возникала при моделировании сжатия криогенных оболочечных мишеней, когда на внутреннюю поверхность оболочки наморожен ДТ-лед. В центральной области находился малоплотный газ (остаточные пары дейтерия-трития). Их масса была значительно меньше, чем масса конденсированного горючего, однако, в начальный момент они занимали большой объем, и для решения задачи на эту область отводилось 10—15 узлов по радиусу. В процессе сжатия этот газ «собирался» в
малый объем. Сильные деформации лагранжевых ячеек в центральной области препятствовали продолжению счета. Подпрограмма «MIDLE» уменьшает число узлов в центральной области до 2 (то есть одна ячейка вдоль луча). Масса и энергия этой новой ячейки равняются суммарной массе и энергии центральной области. Так как масса этой области на порядки величины меньше массы всего горючего, то точность решения всей задачи при такой операции не ухудшается, зато удается продолжить счет вплоть до момента максимального сжатия, либо сильной деформации оболочки.
Подпрограмма «SHIFT» позволяет рассчитывать смещение центра мишени в случае, когда мишень облучается преимущественно с одной стороны.
Если в процессе решения задачи обнаруживается, что происходит смещение мишени, как целого, в одном направлении, подключается подпрограмма «SHIFT». Эта подпрограмма позволяет учитывать смещение центра вдоль оси zzl (см. рис. 3.7), пересчитывает координаты узлов и значения газодинамических параметров (в первую очередь, проекции скоростей) в новой системе координат. Смещение центра рассчитывается по следующей формуле: zd = 0,5(У(2, 3) — Y {NX — 1,3))*1, где У (г, J) — значения радиуса узла (в программе «АТЛАНТ» крайние ячейки — фиктивные, так что внешняя граница первой «физической ячейки» имеет координаты с индексами j = 3, г = 2 и г = NX — 1), 0 < zv\ < 1 — расчетный параметр. Параметр этот подбирается таким образом, чтобы за один шаг по времени центр не мог сдвинуться на расстояние большее, чем размер одной ячейки.
Из рисунка видно, что расстояние zn = У (г, j) cos Х(г, J) — zd 9, где У (г, J), Х(г, J) — значения радиуса и угла узла с индексам^ (г, J). Новые значения радиуса и угла равны соответственно: Х(г, J), У (г, J)
= arctgQ'C，j) sin X(iJ)/zn\если е&/)>。今又&/)= е&/),если 6*储 j) v 0 今 Xg j) = 7г + 6*储 j),
Компоненты скорости пересчитываются по следующим формулам
Vуj) = %(〃,/) cos a —匕 sin a,忆(分，/)=匕(〃，j) cos a + % sin a.
9 Заметим, что при Y(NX — 1,3) > У (2, 3) центр смещается вниз (как показано на рис. 3.7) и zd < Q.
Рис. 3.7. Схемы подпрограмм перестройки сеток q) «ANGLE» — увеличения секторов разностной сетки в процессе расчета; 6) «MIDLE» — уменьшения числа узлов сетки вдоль радиуса в подобласти, где находился в начальный момент времени малоплотный газ; s) «SHIFT» — смещение центра мишени в процессе счета
После пересчета узлов сетки и компонент скорости вычисляется средняя плотность в первом слое (j = 2, % = 2, ...NX1) и пересчитываются массы ячеек в этом слое.
Подпрограмма «SHIFT» была использована для расчета сжатия высокоаспектной оболочечной мишени при несимметричном облучении и сжатии (см. Глава 4 п.3, [29]), и позволила довести расчет до момента максимального сжатия при сильной деформации лагранжевых ячеек.
Литература
Самарский А. А., Попов Ю. /7. Разностные методы решения задач газовой динамики. М., Наука, 1980.
Самарский А. А. Теория разностных схем. М., Наука, 1977.
Головизнин В. М., Тишкин В. Ф., Фаворский А. /7. Вариационный подход к построению разностных схем для уравнений гидродинамики в сферических координатах. Препринт ИПМ АН СССР. № 16. 1977.
Гасилов В. А. " ф. // ЖВМнМ①.1981. Т. 21, № 3.
Коришя Е. К. " ф. // ЖВМнМ①.1980. Т. 20, №2.
Тишкин В. Ф., Фаворский А. П., Шашков М. Ю. Алгоритм численного решения второй краевой задачи для уравнений теплопроводности на непрямоугольной сетке. Препринт ИПМ АН СССР. № 7. 1979.
Моисеенко Л. В. " ф. О введении искусственных диссипаторов в разностные схемы гидродинамики. Препринт ИПМ АН. № 18. 1982.
Головизнин В. М., Самарский А. А., Фаворский А. П. Вариационный подход к построению конечно-разностных математических моделей в гидродинамике // Докл. АН СССР. 1977. Т. 235, №6. С. 1285-12.
Афанасьев Ю. В., Га малый Е.「., Розанов В. Б. Основные уравнения динамики и кинетики лазерной плазмы. Труды ФИАН. М., Наука, 1982. Т. 134. С. 10-31.
Козлов Б. Я. Скорости термоядерных реакций // Атомная энергия. 1962. Т. 12. С. 238.
Лебо И. Г. " др. Двумерное численное моделирование нагрева и сжатия лазерных мишеней. Препринт ФИАН № 2, М., 1993; см. также J. Russian Laser Research. 1994. V. 15. Р. 136-14.
Змитренко Н. В. и др. // ВАНТ. Сер. Методика и программы численного решения задач математической физики. 1982. № 2. С. 34.
Гуськов С. Ю.、Зверев В. В. // Труды ①ИАН. М., Наука, 1986. С. 46.
Morse А.厶，Nielson С. Ж, Henderson D. В. LASL Preprint, LA-UR-77-1442, 1977.
Фр анк-Каменецкий Физические процессы внутри звезд. М., Физматгиз, 1959.
Зельдович 扌.6., Райзер Ю. П. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. М., Физматгиз, 1963.
Волкова Р. А. " ф. Разностные схемы гидродинамических течений в трехтемпературном приближении для расчета несимметричного сжатия оболочечных лазерных мишеней. Препринт ИММ РАН, № 6, М., 1993.
Лебо И. Г. Автомодельное решение системы уравнений теплопереноса в трехтемпературном приближении. Краткие сообщения по физике. ФИАН, 1997. №3-4, С. 42-47.
Афанасьев Ю. В. " ф. // ЖЭТФ. 1980. Т. 79. С. 837.
Афанасьев Ю. В. и ф. Поглощение лазерного излучения сферической мишенью с учетом рефракции и развитой гидродинамики // Труды ①ИАН. М., Наука, 1982. Т. 134. С. 32-41.
Большов Л. А. " ф. Численное моделирование распространения излучения в неоднородной поглощающей среде (приближение геометрической оптики). Препринт ИАЭ им. Курчатова, М., ЦНИИатоминформ, 1988. 4732/16.
Искаков А. Б. " ф. Моделирование распространения и поглощения лазерного излучения в неоднородной изотропной плазме в приближении геометрической оптики. Препринт ИММ РАН, М.,1995. № 24.
Искаков А. Б. " ф. Об учете рефракции лазерных лучей при моделировании двумерно-неоднородного сжатия мишеней // Краткие сообщения по физике ①ИАН, М. 1997. №1—2. С. 28—35.
Ландау Л. Д., Лифшиц Ю. М. Теория поля. Гл. VII, М., Наука, 1967.
Ландау 〃.“.，Лифшиц Ю. М. Электродинамика сплошных сред. Гл. X, М., Наука, 1982.
Лифшиц Ю. М., Питаевский Л. /7. Физическая кинетика. Гл. III,IV, М., Наука, 1979.
Гинзбург В. Л. Распространение электромагнитных волн в плазме. М., Наука, 1967.
Лебо И. Г. " др. О взаимодействии гармоник на слабо нелинейной стадии развития неустойчивости в сферических оболочках // Краткие сообщения по физике ①ИАН. 1988. №7. С. 9-11.
Га малый Е. Г. и ф. Теоретическое исследование устойчивости сжатия тонкостенных оболочечных мишеней, облучаемых лазерами с энергией в импульсе порядка 1 Кдж // Квантовая электроника. 1988. Т. 15. С.1622—1632.
Глава 4
ДВУМЕРНОЕ ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕЭКСПЕРИМЕНТОВ ПО НАГРЕВУ И СЖАТИЮСФЕРИЧЕСКИХ ЛАЗЕРНЫХ МИШЕНЕЙ
В этой главе представлены результаты численного моделирования экспериментов по взаимодействию мощного лазерного излучения со сферическими мишенями. В первом параграфе представлены результаты исследования развития возмущений формы сферической оболочки на линейной и нелинейной стадиях, сформулирован количественный критерий перехода на нелинейную стадию. В последующих параграфах представлены результаты моделирования неодномерного сжатия тонкостенных оболочечных мишеней на многопучковых лазерных установках «ДЕЛЬФИН» (Физический институт РАН, г. Москва), «ПРОГРЕСС» (Государственный оптический институт, г. Санкт-Петербург) и «ВУЛКАН» (лаборатория Рэзерфорда и Эпплтона, Англия). Приводится сравнение с имеющимися экспериментальными данными, сформулированы предложения по улучшению симметрии сжатия мишеней, обоснован метод определения гидродинамического КПД, неис- паренной массы и степени перемешивания, вещества оболочки на основании анализа нейтрального компонента в разлетающейся плазме мишени.
О нелинейной стадии развития неустойчивостив сферических мишенях
В классической задаче о развитии рэлей-тейлоровской неустойчивости на границе между двумя жидкостями в поле тяжести для плоского слоя известны два типа решений для роста возмущений. В работе [1] получена зависимость амплитуды малых возмущений границы двух жидкостей (а) на линейной стадии процесса (когда ак С 1, к = 2тг/Х — волновое число возмущения) в виде
а 〜@о ехр ⑴)，(4.1)
где 上丁(力)=(4gk)&5力 Л — число Атвуда, g — «ускорение свободного падения», а° — начальная амплитуда. В сферическом случае зави-
симость несколько сложнее (смотрите Главу 2), тем не менее, для больших номеров гармоник зависимость роста амплитуды от времени будет экспоненциальной, как и в плоском случае. Поздняя нелинейная стадия процесса для случая границы двух несжимаемых жидкостей в декартовых координатах рассмотрена в работе Э. Ферми [2]. Показано, что возмущения нарастают пропорционально gt2/2. В случае слоя из сжимающейся среды зависимость амплитуды возмущения от времени сложнее. Так, в работе [3] на основании численных расчетов показано, что в этом случае s = (0,3—0,5)上丁.
С помощью программы《АТЛАНТ» изучалась закономерность развития возмущений границ сферической оболочечной мишени, облучаемой лазером (см. [4—8]). Возмущения оболочки задавались в виде
品⑵=⑵(1 + ；二 cos 几"， (4.2)
где толщина оболочки в начальный момент d = В^ — R^. Для численных расчетов были выбраны параметры мишеней, близкие тем, которые использовались в экспериментах на установке «Дельфин-1» (ФИАН, г. Москва). Начальный радиус мишеней А?》200 мкм, As = R^/d 〜100—200. Внутри оболочки находился ДД-газ. Временная форма лазерного импульса — трапеция с моментами времени по основаниям 3=0 нс,力2 = 0,8 нс,力з = 3,1 нс,力4 = 4,1 нс. Оболочки были, как правило, из стекла. Несколько расчетов было сделано также для случая оболочек из полиэтилена. Расчеты были сделаны для возмущений с п = 10, 20 и 50; «о = 0,01,0,025 и 0,05.
На рис.4.1, а показана сводная картина развития неустойчивости на внутренней поверхности оболочки. По оси абцисс отложены относительные радиусы внутренней границы оболочки R\ (t)/R^ а по оси оор- динат ——относительные амплитуды возмущения b = (b/A) = (Aimax — -R\ min)/(^i max + ^1 min), где i?i max(min) — текущие значения радиусов внутренней поверхности в наиболее удаленной (приближенной) точках от центра. Как видно из рисунка, в рассматриваемом случае имеет место слабо нелинейная стадия развития неустойчивости, т. е. параметр нелинейности п{8/R)〜1—6 9.
На рис. 4.1, 6 показана зависимость логарифма отношения относительной амплитуды возмущения к ее начальному значению (b/bo) от величины
(4.3)(4.3)t
(4.3)
(4.3)
о
На рис. 4.1, и «звездочками» показаны точки, когда параметр нелинейности достигает 1.
Видно, что с учетом сферичности, в слабо нелинейном случае при п 〜10—50 можно пользоваться экспоненциальным законом роста возмущений. Однако, интерполяционная прямая лежит ниже биссектрисы угла, т. е.
b = bo exp {ctco^i)}, а = 0,6 ± 0,05. (4.4)
различных вариантов: 1) As = 115, п = 20,的=0,025; 2) As = 115, и = 20, а0 = ,05; 3) As = 122, п = 50, а0 = 0,01; 4) As = 115, 〃 = 50, а0 = 0,025; 5) As = 225, п = 50,的=0,025. Символом (★) отмечена граница, где параметр 〃6/А= 1.6 — Зависимость относительной амплитуды возмущения оболочки от интегрального инкремента ① для вариантов: 1 — (□); 2 — (★); 3 — (◊); 4 — (♦); 5 - (■); 6 - (+), здесь 4 = 225, 〃 = 50,的=0,025; 7 - (。)，4 = 225, п = 20,的=0,025; 8 — (▼) As = 115, и = 10,的=0,05различных вариантов: 1) As = 115, п = 20,的=0,025; 2) As = 115, и = 20, а0 = ,05; 3) As = 122, п = 50, а0 = 0,01; 4) As = 115, 〃 = 50, а0 = 0,025; 5) As = 225, п = 50,的=0,025. Символом (★) отмечена граница, где параметр 〃6/А= 1.6 — Зависимость относительной амплитуды возмущения оболочки от интегрального инкремента ① для вариантов: 1 — (□); 2 — (★); 3 — (◊); 4 — (♦); 5 - (■); 6 - (+), здесь 4 = 225, 〃 = 50,的=0,025; 7 - (。)，4 = 225, п = 20,的=0,025; 8 — (▼) As = 115, и = 10,的=0,05
различных вариантов: 1) As = 115, п = 20,的=0,025; 2) As = 115, и = 20, а0 = ,05; 3) As = 122, п = 50, а0 = 0,01; 4) As = 115, 〃 = 50, а0 = 0,025; 5) As = 225, п = 50,的=0,025. Символом (★) отмечена граница, где параметр 〃6/А= 1.6 — Зависимость относительной амплитуды возмущения оболочки от интегрального инкремента ① для вариантов: 1 — (□); 2 — (★); 3 — (◊); 4 — (♦); 5 - (■); 6 - (+), здесь 4 = 225, 〃 = 50,的=0,025; 7 - (。)，4 = 225, п = 20,的=0,025; 8 — (▼) As = 115, и = 10,的=0,05
различных вариантов: 1) As = 115, п = 20,的=0,025; 2) As = 115, и = 20, а0 = ,05; 3) As = 122, п = 50, а0 = 0,01; 4) As = 115, 〃 = 50, а0 = 0,025; 5) As = 225, п = 50,的=0,025. Символом (★) отмечена граница, где параметр 〃6/А= 1.6 — Зависимость относительной амплитуды возмущения оболочки от интегрального инкремента ① для вариантов: 1 — (□); 2 — (★); 3 — (◊); 4 — (♦); 5 - (■); 6 - (+), здесь 4 = 225, 〃 = 50,的=0,025; 7 - (。)，4 = 225, п = 20,的=0,025; 8 — (▼) As = 115, и = 10,的=0,05
Вообще говоря, уменьшение скорости роста возмущений по сравнению с классическим законом Тейлора связано с влиянием сжимаемости, теплопроводности, испарением внешних слоев и нелинейными механизмами.
Стабилизационный эффект испарения будет существенным для возмущений, с длиной волны менее 5—10 мкм. Действительно, как следует из численных расчетов, скорость испарения внешних слоев О 106 см/с, g 1016 см/с2, откуда, используя формулу Бод- нера-Такабе ([9, 10]), находим, что этот механизм будет существенным лишь при k》g/°2 ~ Ю4. Переход на нелинейную стадию будет рассмотрен ниже.
В том случае, когда оболочка двигается с постоянным ускорением (или торможением), легко проинтегрировать выражение (4.3), тогда
(4.5)(4.5)
(4.5)
(4.5)
Формулами (4.4), (4.5) можно пользоваться для оценки роста амплитуды возмущения в оболочке. Влияние перечисленных эффектов на начальной нелинейной стадии можно учесть за счет введения коэффициента а 0,6, который был получен ранее с помощью численных расчетов. Например, при объемном сжатии в 1000 раз, когда А«)/Ао = 1 — (t/to)2 = 0,1 для возмущений с п = 50 начальная амплитуда возрастет приблизительно в 2000 раз. Для п》100 возмущение могло бы возрасти более, чем в 104 раз (!). Однако, наша оценка справедлива лишь на линейной и начальной нелинейной стадиях процесса.
Рассмотрим вопрос о критерии перехода на нелинейную стадию в случае торможения сферических оболочек. На нелинейной стадии развития возмущений происходит рождение новых гармоник и их взаимодействие друг с другом. Для того чтобы в нашем случае определить нелинейную стадию развития неустойчивости, договоримся о том, что под таким переходом будем понимать ситуацию, когда нарушается принцип суперпозиции двух независимых гармоник. С помощью программы «АТЛАНТ» была проведена серия расчетов, моделирующих развитие двух гармоник сп = 4ип=12 при сжатии оболочки с помощью Nd-лазера с энергией в импульсе 360 Дж. Угол раствора счетной области 0 < 6* < 7г/2. Параметры лазера и мишени соответствовали тем, которые применялись в экспериментах на установке «Дельфин-1 (7?9 = 300 мкм, As = 115) [ 10]. Для экономии процессорного времени до момента начала торможения оболочки расчет проводился в «квази- одномерном» приближениии на 4 секторах по углу раствора области счета. В момент 力* = 2,4 нс с помощью подпрограммы «ANGLE» каждый сектор разбивался на 6 частей, после чего с помощью подпрограммы «SHPERT» вводилось возмущение внутренней границы оболочки.
А. Первая серия расчетов.
В двух расчетах возмущения имели вид
Г = Г XГ = Г X]+1 + 电 cosing)(电 I厂一А1(А)|R Ai(A)]+1 + 电 cosing)(电 I厂一А1(А)|R Ai(A)J = 1,2.J = 1,2.(4.6)(4.6)
Г = Г X
Г = Г X
]+1 + 电 cosing)
(电 I厂一А1(А)|
R Ai(A)
]+1 + 电 cosing)
(电 I厂一А1(А)|
R Ai(A)
J = 1,2.
J = 1,2.
(4.6)
(4.6)
j — номер расчета. Так, j = 1, п\ = 4, сц = 0,01; j = 2,几2 = 12, «2 = 0,01.
В третьем расчете в момент времени 力* = 2,4 нс была задана сумма двух гармоник
г = г х 1 + а
cos (几e)
COS("2°)
exp (zii I厂一Ai I /Ai) + exp(П2 |厂一尺2〔 /凡)
а = 0,01.
(4.7)
На рис. 4.2, а показана форма границы «оболочка-горючее» в момент времени t\ = 4,43 нс для третьего расчета (кривая /).
Рис. 4.2. Возмущения границы «оболочка-горючее» в зависимости от угла на моменты времени 4,43 нс (левый рисунок — расчеты серии А) и 4,6 нс (правый рисунок — расчеты серии Б). / — результаты расчета 3(A); 2 — суперпозиция гармоник, рассчитаннаых в вариантах 1(A) и 2(A); 3 — результаты расчета варианта 3(A); 4 — суперпозиция гармоник, рассчитаннаых в вариантах 1(Б) и 2(Б)
На кривой 2 показана зависимость радиуса границы от угла в том случае, если бы она имела вид
A(仇方1) = A"i)[l + «1 (ti) cos (几m)+a2"1) cos (几20)].(4.8)
Здесь R = 0,5(Aimax + Aimin) на момент времени ^; сц(2)= =(a1 ⑵ max -A1 ⑵ min)/(a1 ⑵ max + A1 ⑵ min) •
(Для удобства на рисунке сделан сдвиг на величину равную среднему значению радиуса границы). Видно, что в этом случае принцип суперпозиции двух гармоник справедлив (за исключением малой области у оси). Если пользоваться критерием тг(Ь/А), где, как и ранее, под 6 понимать наибольшее отклонение b = А(6*) — А, то для п = 12 этот параметр «нелинейности» менялся в интервале [0.01,0.95] и к моменту времени 力i： 12(b/A) х 1.
Во второй серии расчетов
® = 0,025, щ = 4; 2)從=0,025, п2 = 12;
SD3)
Г = Г X
1 +a1
COS 516*) + COS (几2。)
ехр(|厂-R} \ /R\) _ '
(4-9)
Расчеты были сделаны вплоть до момента максимального сжатия горючего ⑸=4,6 нс). На рис. 4.2, 6 показана форма границы оболочки для варианта Б (кривая /) и форма границы в том случае, если бы она описывалась выражением (4.8 ), но при условии, что амплитуды взяты из расчетов 1), 2) варианта Б (кривая 2). В момент времени 力2 = 4,6 нс параметр нелинейности достигает величины 12(Ь/А)弋 5. Видно, что в этой серии расчетов в 3-м варианте (кривая / на рис. 4.2,
амплитуда возмущения меньше, чем была бы в случае выполнения принципа суперпозиции двух гармоник. Кроме того, форма возмущения указывает на генерацию других гармоник. Для проверки этого факта была написана подпрограммы расчета коэффициентов Фурье. На рис. 4.3 приведены коэффициенты Фурье для второго случая (момент времени = 4,6 нс, вариант 3 второй серии расчетов).
Коэффициенты Фурье
0,02-
0,01-
UНомер гармоники
Рис. 4.3. Зависимость коэффициентов Фурье от номеров гармоник. Моментвремени 4,6 нс
Видно, что на нелинейной стадии (1 < тг(Ь/А) < 5) наряду с основными гармониками (4 и 12) существенный вклад вносят гармоники 12 + 4= 16 и 12-4 = 8.
На рис. 4.4 показан общий вид (лагранжевая сетка) сжатой мишени на момент времени ^ = 4,6 нс.
На основании представленных исследований можно сделать следующие выводы:
в сферической лазерной мишени вплоть до тг(Ь/А) ^ 1 можно использовать экспоненциальный закон роста для описания развития отдельных гармоник с учетом сферичности и того факта, что инкремент роста составляет приблизительно 0,6 от классического выражения;
на нелинейной стадии происходит замедление роста амплитуды возмущения и генерация новых гармоник (в первую очередь, удвоение и утроение гармоник);
как следует из линейной теории, инкремент Тейлора пропорционален сит 〜，卜g, в то время как инкремент сдвиговой неустойчивости (Кельвина-Гельмгольца [12]) зкн ~ ко丄/2. Для типичных параметров лазерных мишеней (взятых из приведенных численных расчетов) для g 2 • 1015 см/с2, R 弋 10一2 см,。丄 106 см/с, k = n/R и при n》100 инкремент Кельвина-Гельмгольца превосходит инкремент Тейлора зкн》^т- В этом случае интенсивно развиваются вихревые
МКМ I
102030R, мкм
Рис. 4.4. Форма сжатой мишени на момент времени 力2 = 4,6 нс
структуры вблизи вершины струй тяжелого вещества, проникающего в легкое. Лагранжевая методика не позволяет моделировать эти процессы.
В главах 5, 6 будут описаны эйлеровые программы «НАТ» и «HATCH», позволяющие моделировать развитие вихревых структур и представлены результаты исследований гидродинамической неустойчивости для случая коротковолновых начальных возмущений.
Оптимизация параметров высокоаспектныхоболочечных мишеней для экспериментовна установке «Дельфин» (ФИАН)
В начале 80-х годов в ФИАНе проводились эксперименты по нагреву и сжатию тонкостенных оболочечных мишеней, заполненных дейтериевым газом, на многоканальной лазерной установке «Дельфин-1» (6 составных пучков с суммарной энергией в импульсе до 1 кДж, подробное описание установки и условий экспериментов можно найти в [10]). Экспериментально были продемонстрированы скорости полета оболочки к центру более 200 км/с и достижение температур в сжатой плазме более 1 КэВ, что требуется для инициирования термоядерных реакций. Однако нейтронный выход, наблюдавшийся в этих экспериментах, на 2—3 порядка величины был меньше, чем предсказывалось
на основании аналитических оценок и одномерных численных расчетов. Поскольку эффективность сжатия микромишеней существенным образом зависит от согласования параметров мишени и лазерного излучения, то потребовалось провести численные исследования для определения оптимальных параметров мишеней для экспериментов на установке «Дельфин-1». Для проведения этих исследований было использовано два подхода — развита упрощенная физико-математическая модель «Корона», (смотри глава 2, п.6) описывающая динамику полета тонкой оболочки, и модифицирован одномерный лагранжевый код «РАПИД-1». На основании расчетов, выполненных по программам «Корона» и «РАПИД-1», сформулирована схема выбора оптимальной мишени для заданных параметров лазерного импульса.
В модели «Корона» численно решалась система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая полет тонкой оболочки. Динамика плазменной короны описывалась с помощью модели квазиста- ционарной короны.
Одномерная лагранжевая программа «РАПИД» была развита в секторе теории лазерной плазмы ФИАН Н. Н. Демченко (см. [12, 13]). Численно решались одномерные уравнения газовой динамики, распространения лазерных пучков с учетом рефракции в приближении геометрической оптики и поглощения излучения в плазме, электронной теплопроводности. Расчеты по двумерной программе «АТЛАНТ» требовали значительных затрат компьютерного времени, поэтому предварительные исследования проводились с помощью одномерной программы «РАПИД-1». Для этого программа «РАПИД» была модифицирована: включен учет переноса тепла за счет ионного компонента и термоядерных реакций, изменена модель поглощения лазерного излучения в соответствии с той, которая использовалась в программе «АТЛАНТ».
Ниже приведена система уравнений газовой динамики, которая решалась численно в программе «РАПИД-1».
BVа(产〃1 а〃 др дг
/ / 厶dt dm ' p" dt 力九' dt '
a%a(严")dt e dma%a(严")dt e dm"W；)-女;У+Qe冏-£)+(1 -兄)Q/，
a%a(严")
dt e dm
a%a(严")
dt e dm
P = Pe + Рг — vopAm2P = Pe + Рг — vopAm2dmdmdmdm
P = Pe + Рг — vopAm2
P = Pe + Рг — vopAm2
dm
dm
dm
dm
(4.Ю) в сферической(4.Ю) в сферической
(4.Ю) в сферической
(4.Ю) в сферической
dm ="汨厂,砲⑴=t 勺Qei
и = 0 —— в плоской, и = 1 —— в цилиндрической, и = 2
геометриях.
В программе «РАПИД-1» полагалось, что поток лазерного излучения распространяется вдоль радиуса, поглощение происходит за счет обратного тормозного механизма, а поток, достигший критической поверхности, поглощается в первой ячейке с плотностью выше критической, и。——коэффициент искусственной вязкости. Q/ ——мощность термоядерного энерговыделения,
е — Т/КэВ] +33，
в отличие от программы «АТЛАНТ» в «РАПИД-1» эффект выгорания горючего не учитывался. Выписанные выше уравнения решались с помощью неявных разностных схем (см. [14]).
Были проведены сравнения результатов расчетов, полученных с помощью кодов «РАПИД-1» и «ДИАНА» (одномерная лагранжевая программа, разработанная в Институте прикладной математики РАН [15]) и показано, что при одинаковых физических постановках задач получается хорошее согласие результатов.
Сравнительные расчеты, выполненные по программам «РАПИД-1» и «ДИАНА» при одинаковых физико-математических моделях, дали близкие результаты. Ниже приведен пример сравнительных расчетов, сделанных с помощью программ «РАПИД-1» и «ДИАНА», мишеней, с параметрами, близкими к тем, которые использовались в экспериментах на установке «Дельфин-1». В таблице 4.1 приведены полученные расчетные данные ——момент коллапса (tc), испаренная к этому моменту масса оболочки, отнесенная к начальной массе (АМ/Л1о), плотность горючего (р), температуры ионной (二)и электронной (Те) компонент дейтериевой плазмы, нейтронный выход (^). Представлены результаты двух вариантов: 1) стеклянная оболочка с начальным радиусом 250 мкм и толщиной 1 мкм, заполненная дейтериевым газом с плотностью 1 мг/см3. Временная форма лазерного импульса имела вид равнобедренного треугольника с основанием 4,5 нс, энергия в импульсе равнялась 315 Дж; 2) стеклянная оболочка с радиусом 300 мкм и толщиной 4 мкм, временная форма импульса трапеция с моментами времени по основаниям 0, 0,6, 3,6, 4,6 нс с энергией 1 Кдж. В расчетах полагалось 100% поглощение излучения.
Таблица 4.1
Программа
力с, НС
△М/Мо, %
〃 г/см3
£, кэВ
Те, кэВ
108
ДИАНА
2,81
57
2,17
1,13
1,09
0,7
РАПИД-1
2,7
60,5
1,9
1,2
1,07
1,0
ДИАНА
4,6
33,3
5,8
1,04
1,03
6,0
РАПИД-1
4,5
36
4,9
1,08
1,07
12,0
4 И. Г. Лебо, В. Ф. Тишкин
Из представленной таблицы видно, что обе программы дают весьма близкие результаты. Оболочки, расчитанные по программе «РАПИД-1», имеют несколько большую скорость и массовую скорость испарения. Причина в том, что в программе «ДИАНА» лазерный поток, достигший критической плотности, распределяется между двумя соседними ячейками, а в «РАПИД-1» (как и в «АТЛАНТе») поглощение происходит в первой ячейке с плотностью большей критической.
В табл. 4.2 приведены результаты сравнения двух программ «РАПИД-1» и «АТЛАНТ» в квазиодномерном приближении. Расчеты сделаны для случая нагрева Nd-лазером газонаполненной оболочечной мишени с параметрами 理=300 мкм, As = 115, с начальной плотностью ДД-газа р = 0,6 мг/см3. Поглощенная лазерная энергия равнялась 500 Дж, а временная форма импульса ——трапеция с моментами времени по основаниям 力i = 0 нс, ^ = 0,6 нс,力з = 3,6 нс, t^ = 4,6 нс, длина волны излучения 1,06 мкм (параметры мишени и лазерного импульса соответствовали тем, что реализовывались в экспериментах на установке «ДЕЛЬФИН-1»).
Таблица 4.2
Программа
力 коллапса, нс
А^испар /M^v
РДД, г/см3
кэВ
АТЛАНТ
4,68
2,97
4,46
1,3
РАПИД-1
4,6
2,82
4,2
1」
Небольшие расхождения в результатах счета связаны с различным учетом искусственной вязкости в программах «РАПИД-1» и «АТЛАНТ».
Расчеты по двумерным программам требовали больших затрат процессорного времени ЭВМ (в 80-годы, когда расчеты проводились на ЕС-1045 и на расчет одного варианта сжатия мишени уходило 2-4 недели), поэтому все новые мишени предварительно просчитывались с помошью одномерной программы «РАПИД-1», а затем уж изучалось влияние двумерных эффектов.
На основании численных одномерных расчетов и анализа экспериментальных данных, полученных к тому времени на установке «ДЕЛЬФИН-1», была сформулирована схема выбора мишеней для экспериментов на этой установке. В то время исследования в ФИАНе были направлены на достижение оптимальных параметров в горючем при прямом нагреве оболочечных лазерных мишеней.
Ниже приведены результаты расчетов и сформулированы основные положения этой схемы. Поскольку в начале 80-х годов вычислительные возможности ФИАНа были ограниченными, то для проведения широкой оптимизации мишеней использовался также следующий подход —— с помощью модели «Корона» проводилась предварительная оптимиза-
ция оболочечной мишени для заданных параметров лазерного импульса, затем выбранные оптимальные параметры мишени уточнялись с помощью расчетов по программе «РАПИД-1». На основании большой серии расчетов и соотношений подобия формулировались аналитические и графические зависимости параметров горючего от параметров лазера и мишени. Ниже приведены примеры таких зависимостей и сформулирована схема выбора мишеней для конкретных условий экспериментов.
Так, в диапазоне параметров установки «ДЕЛЬФИН-1» (1-я гармоника Nd-лазера, энергия в импульсе 300—2000 Дж, длительность 1-5 нс) было показано, что при фиксированных параметрах лазерного импульса время коллапса оболочечной мишени зависит, главным образом, от ее массы. Используя соотношения подобия и результаты одномерных расчетов была получена формула для определения согласованной с лазерным импульсом массы оболочки (т. е. такой мишени, у которой время коллапса 〜на 10% больше длительности импульса. Это позволяло вложить всю энергию на стадии ускорения оболочки):
7 1，2石0，6
= /(70,5)("3曲’)， (4.11)
/(to,5)=O,29-(3,8[to,5F. (4.12)
Здесь M$h ——согласованная масса оболочки (в мкг); ро, рСг — начальная плотность и критическая плотность в веществе оболочки (в г/см3); As — ее начальное аспектное отношение; El — энергия лазерного импульса (в Дж);乃万一длительность импульса по полувысоте (в нс). В газонаполненных мишенях масса ДД газа была на два-три порядка меньше массы оболочки, поэтому ею можно было пренебречь.
Выбор массы согласованной мишени позволяет перейти к рассмотрению зависимостей от аспектного отношения и начальной плотности горючего. На рис. 4.5 представлены результаты серии расчетов зависимостей внутренней энергии, средней плотности горючего и нейтронного выхода от начального аспектного отношения оболочек при фиксированных, согласованных с импульсом массах мишени (此九=5,8 • 10-$ г) и фиксированной начальной плотности горючего (руо = 0,3 мг/см3). Поглощенная лазерная энергия равнялась 361 Дж, а временная форма импульса имела вид трапеции с моментами времени по основаниям 0, 0,6, 3,6, 4,6 нс. Аналогичные расчеты были сделаны для лазерных энергий 500 и 1000 Дж. Характер зависимостей параметров сжатого горючего от аспектных отношений во всех сериях расчетов был таким, как на рис. 4.5.
Таким образом, для достижения оптимальных степеней сжатия в экспериментах предлагалось выбирать мишени со сравнительно умеренными аспектными отношениями (As 〜10—30), а для повышения нейтронного выхода рекомендовалось использовать высокоаспектные
Рис. 4.5. Зависимости внутренней энергии (В), плотности сжатого горючего (рс) и нейтронного выхода (^) на момент максимального сжатия от аспектного отношенияРис. 4.5. Зависимости внутренней энергии (В), плотности сжатого горючего (рс) и нейтронного выхода (^) на момент максимального сжатия от аспектного отношенияРис. 4.6. Зависимости внутренней энергии (В), плотности сжатого горючего и нейтронного выхода (^) на момент максимального сжатия от начальной плотности горючегоРис. 4.6. Зависимости внутренней энергии (В), плотности сжатого горючего и нейтронного выхода (^) на момент максимального сжатия от начальной плотности горючего
Рис. 4.5. Зависимости внутренней энергии (В), плотности сжатого горючего (рс) и нейтронного выхода (^) на момент максимального сжатия от аспектного отношения
Рис. 4.5. Зависимости внутренней энергии (В), плотности сжатого горючего (рс) и нейтронного выхода (^) на момент максимального сжатия от аспектного отношения
Рис. 4.6. Зависимости внутренней энергии (В), плотности сжатого горючего и нейтронного выхода (^) на момент максимального сжатия от начальной плотности горючего
Рис. 4.6. Зависимости внутренней энергии (В), плотности сжатого горючего и нейтронного выхода (^) на момент максимального сжатия от начальной плотности горючего
оболочки (А3 〜100—200). Следует отметить, что полученный результат согласуется с результатами расчетов сжатия оболочечных мишеней, выполненных в ВНИИТФ с помощью программы «Заря» (см. [16]).
На рис. 4.6 представлены зависимости внутренней энергии, плотности и нейтронного выхода в горючем от начальной плотности ДД-газа для согласованной мишени с массой 5,8 • 10一$ г, аспектным отношением А3 = 143 начальным радиусом 300 мкм. Лазерный импульс был таким же, как и в предыдущей серии расчетов. Видно, что степень сжатия горючего нарастает по мере уменьшения начальной плотности ДД-газа, а нейтронный выход достигает оптимума. Тот факт, что функция нейтронного выхода от начальной плотности горючего должна иметь максимум, является очевидным, так как в предельных случаях отсутствия горючего и равенства плотности горючего плотности оболочки получается минимальный нейтронный выход. Однако, для нахождения оптимального соотношения параметров оболочек, требуется решать сложную систему уравнений.
Соответствующие расчеты для энергий лазерного импульса 500 и 1000 Дж дали подобные зависимости параметров сжатия. Отсюда можно сделать вывод, что в одномерном приближении целесообразно использовать газонаполненные оболочки с начальной плотностью горючего 0,2-0,3 г/см3 (отметим, что к аналогичным выводам пришли наши коллеги из ГОИ им. С. И. Вавилова, которые в те же годы проводили эксперименты по сжатию оболочечных мишеней на установке «Прогресс» см. [17, 18]).
В экспериментах на установке «ДЕЛЬФИН-1» при формировании лазерных пучков имелась возможность изменять передний фронт импульса. Была проведена серия расчетов для определения чувствительности параметров сжатия мишени от формы переднего фронта импульса. В табл. 4.3 представлены результаты таких расчетов. Газонапол-
ненная мишень состояла из стеклянной оболочки радиусом 220 мкм и с аспектным отношением 100, заполненная ДД-газом с начальной плотностью 0,3 мг/см3. Поглощенная энергия в импульсе равнялась 361 Дж, а временная форма менялась ——это был треугольник с длительностью по основанию 2,5 нс, но момент максимальной мощности в первом варианте 1,5 нс, во втором — 0,5 нс, и в третьем — 2 нс.
Таблица 4.3
Вариант
力с, НС
3, кэВ
Еен, Дж
р, г/см3
N, 108
1
2,46
1,9
3,49
8,95
2
2
2,1
1,65
3,05
6,84
1,3
3
2,64
1,84
3,4
9,87
2
tc — время коллапса мишени;二，石вн, р ——средняя по области температура, внутренняя энергия и плотность горючего в момент коллапса; N ——нейтронный выход.
Из табл. 4.3 видно, что при более пологом переднем фронте степень сжатия горючего нарастает, так как уменьшается преднагрев горючего первой ударной волной. При крутом переднем фронте (в варианте 2) увеличивается ускорение оболочки и преднагрев горючего первой ударной волной. Время коллапса оказывается раньше окончания импульса, т. е. часть лазерной энергии расходуется напрасно.
В представленных выше результатах расчетов не учитывались неидеальность плазмы и кинетика ионизации. Чтобы оценить влияние этих эффектов были проведены сравнительные расчеты с результатами, полученными по программе «ДИАНА» с учетом неидеальности и кинетики ионизации (см. [19, 20]). Рассчитывалась стеклянная мишень с начальным радиусом 200 мкм и As = 133,3, заполненная ДД-газом с начальной плотностью 1 мг/см3. Поглощенный лазерный импульс имел энергию 400 Дж (временная форма — треугольник с моментами времени при вершинах 0, 2,2, 4,4 нс). В табл. 4.4 приведены результаты расчетов (А) УРС-идеальный газ, Б) учет неидеальности и кинетики ионизации).
Таблица 4.4
Вариант
力с, НС
△М/Мо, %
р, г/см3
Е, кэВ
Те, КЭВ
N, 107
А
2,49
55
2,86
1,19
1,22
20
Б
2,57
54
5,9
1,08
1,08
8,5
Видно, что учет перечисленных выше эффектов привел к снижению скорости полета оболочки приблизительно на 3 % и нейтронного выхода на 157%.
Таким образом, на основании одномерных расчетов была сформулирована следующая схема выбора мишеней для экспериментов на установке «ДЕЛЬФИН-1» (см. [21]):
при заданной энергии и форме лазерного импульса выбирается согласованная мишень по формулам (4.11—4.12);
для достижения больших степеней сжатия горючего используются мишени с аспектными отношениями 20—30, для достижения максимального нейтронного выхода используются мишени с As = 150—200;
плотности газообразного горючего 0,2-0,5 мг/см3.
На основе этих рекомендаций осуществлялся выбор мишеней для экспериментов на установке «ДЕЛЬФИН-1». Ниже представлены результаты сравнения с данными экспериментов. В экспериментах с помощью рентгеновских и оптических методик (по движению поверхностей соответствующих критической плотности) можно достаточно надежно определить скорость движения оболочки, по размеру светящегося в рентгеновских лучах центра — объемное сжатие. Определяется также масса испаренного вещества. Что касается нейтронного выхода, то здесь можно говорить лишь о качественном согласии расчетных и экспериментальных данных — так максимальный нейтронный выход на уровне 107 нейтронов наблюдался при снижении начальной плотности горючего до 0,3-0,5 мг/см3.
В табл. 4.5 показано сравнение расчетных и экспериментальных данных
Таблица 4.5
El, Дж
2Яо, мкм
△, мкм
а，км/e
△М/М, %
小%
Расчет
280
490,7
1,3
140
55
3,85
Эксперимент
263 土 20
490,7
1,3
155 土 25
55
5 ± 2
Здесь и — средняя скорость полета оболочки, которая определялась как отношение начального радиуса оболочки к времени коллапса; 〃 — гидродинамический кпд, равный 0,5 • (Mq — ^M)v?/El. Максимальный гидродинамический КПД в расчете (т. е. мгновенное отношение кинетической энергии в неиспаренной части мишени к поглощенной лазерной энергии) достигал 9,6%.
Светящаяся центральная часть мишени была ^ в 1,5 раза больше, чем сжатая область горючего в момент коллапса мишени. Этот факт и относительно малый нейтронный выход указывали на то, что в сжатой мишени развиваются гидродинамические неустойчивости. В следующем разделе будут представлены результаты численного моделирования несимметричного сжатия оболочечных мишеней.
Моделирование развития длиноволновыхвозмущений при несимметричном облучении мишенейв условиях^ соответствующих экспериментамна установке «Дельфин»
Как уже говорилось в предыдущем разделе, в экспериментах на установке «ДЕЛЬФИН-1» нейтронный выход отличался от предсказаний, полученных из одномерных расчетов, на 2 порядка величины. Причина таких больших расхождений — развитие гидродинамической неустойчивости и турбулентного перемешивания в сжимающейся лазерной мишени. Моделирование влияния развития длиноволновых возмущений, обусловленных несимметрией облучения мишени и отклонением от сферической симметрии лазерной мишени, на параметры сжатия исследовались с помощью двумерной лагранжево-эйлеровой программы «АТЛАНТ».
В работе [22] описана методика расчета несимметрии облучения лазерной мишени и приведены расчеты сжатия таких мишеней в предположении об одномерной сферической симметрии оболочек (поглощенная энергия усреднялась по слою). С помощью программы «РАПИД» с учетом рефракции и отражения лазерных лучей Н. Н. Демченко были рассчитаны задачи об одномерном сжатии мишеней применительно к условиям конкретных экспериментов на установке «ДЕЛЬФИН-1». Было показано, что несимметрия облучения лазерной мишени (т. е. разница между максимальной и минимальной интенсивностями при различных углах в фиксированный момент времени) достигала 50% для случая низкомодовых возмущений лазерного потока (с п = 1—4).
В первой серии расчетов предполагалось, что поглощенный лазерный поток имел следующий вид:
4刀(九e)=%⑴(1 +Qocos(m))/b,
6=1+ O,25qo6=1+ O,25qo\ n — 1\ n — 1++(—1 严+1 — 1(—1 严+1 — 1n + 1n + 1(4.13)(4.13)
6=1+ O,25qo
6=1+ O,25qo
\ n — 1
\ n — 1
+
+
(—1 严+1 — 1
(—1 严+1 — 1
n + 1
n + 1
(4.13)
(4.13)
Здесь a。— амплитуда возмущения лазерного потока,刀—номер гармоники. Как следует из анализа работы [22], основной вклад в несимметрию облучения дают малые гармоники (刀 < 8), причем амплитуды этих гармоник достаточно велики (а° 0,1—0,2).
Было выполнено более 20 двумерных расчетов с различными значениями а。и п, и параметрами мишеней, соответствующими условиям экспериментов на установке «ДЕЛЬФИН-1». Ниже приведен пример таких расчетов.
В представленной серии расчетов параметры лазерного импульса и мишени были следующими (см. [23, 24]): стеклянная оболочка радиусом 250 мкм и аспектным отношением 104, заполненная ДД- газом с начальной плотностью ро = 0,162 мг/см3. Лазерный импульс
имел треугольную временную форму с моментами времени в вершинах 右=0 нс,力？ = 2 нс,力3 = 7,2 нс. Поглощенная лазерная энергия равнялась 250 Дж. Квазиодномерный расчет, выполненный с помощью программы «АТЛАНТ» (а° = 0), дал следующие результаты: время коллапса 厶=5,26 нс, линейное сжатие горючего 《=Ro/Rc 〜40, где Ao, Rc — начальный и минимальный радиусы границы «оболочка-горю- чее», усредненная по массе горючего температура ионов Тг = 1,36 КэВ, нейтронный выход 2 • 108.
В следующем расчете моделировалось сжатие этой мишени при несимметрии облучения 刀=4 (четная гармоника), а° = 0,25. Расчет был сделан в интервале углов [0 < в < тг/2]. На рис. 4.7, а показана форма сжатой части мишени в момент времени t = 4,97 нс. В процессе сжатия мишень сильно деформировалась. К этому моменту Тг ^ 0,5 КэВ, а нейтронный выход 〜104. Из-за сильной деформации лагранжевых ячеек расчет не удалось завершить.
Рис. 4.7. (и) Форма сжатой мишени на момент времени 力2 = 4,6 нс. (6) Рост возмущений формы для случаев, когда начальные возмущения внешней и внутренней границ находятся в «фазе» /ив «противофазе» 2.△——текущая толщина неиспаренной оболочки
Остановимся на одном любопытном факте: как следует из Главы 2 (см формулы 2.29 и 2.30) в случае тонкой оболочки, когда начальные возмущения находятся «в фазе друг с другом» возмущения не нарастают. Эти решения были получены для оболочек из несжимаемых сред. Численное моделировалось развитие возмущений границ оболочки из сжимающейся среды. Начальные возмущения были заданы по формуле Ai(2)= ^oi(2)* (1 + @1(2)cosn®),刀=100. В первом варианте @1 = @2 = О,О01〃А； а во втором, ai = —@2 = —0,0001d/7?, где d, R — начальные толщина и радиус стеклянной оболочки с аспектным отношением As = 115. Лазерный импульс имел трапециоидальную форму с длительностью 4,6 нс и поглощенной энергией 500 Дж.
На рис. 4,7, 6 показан рост относительных амплитуд для вариантов 1 и 2. Видно, что «разнотолщинность» оболочки является наиболее опасным типом возмущений при заданных значениях амплитуды и номера гармоники возмущения. Действительно, амплитуда формы внутренней границы оболочки быстро нарастает в случае (2). В случае (1) возмущения развиваются, когда их длина Аб = R/n. становится меньше толщины △. На рис. 4,7, 6 вертикальными штриховыми линиями показаны радиусы оболочек, когда их толщина в 5 и 10 раз превосходят Аб.
Анализ несимметрии облучения мишеней показывает, что наряду с четными гармониками в спектре, значительный вклад в несиммет- рию облучения вносят нечетные гармоники (что требует расчетов в интервале углов [0, тг]), причем амплитуды гармоник с n = 1,3 близки амплитудам гармоник п = 2,4.
В следующей серии расчетов несимметрия возмущения задавалась непосредственно из результатов исследования несиммтрии облучения, полученных в [22]. Моделировалось облучение и сжатие стеклянной оболочки с радиусом 241,2 мкм и толщиной 1.2 мкм, заполненной ДД-газом с начальной плотностью ро = 0,617 мг/см3 (см. [23]). Лазерный импульс имел трапециидальную временную форму с моментами времени по основаниям 0, 0,5, 2,44, 3,3 нс. На мишень падала лазерная энергия 815 Дж. Поглощенный лазерный поток вычислялся по формуле
ОМ/)=以⑴①⑴/(%), (4.14)
где 乃刀(力—падающий лазерный поток; Ф(/;) — доля поглощенного лазерного потока; /(6*, t) — нормированная на единицу функция распределения по углам. Функции ①⑴，f (仇 t) были заданы в виде линейных интерполяций табличных значений, полученных из численных расчетов по программе «РАПИД».
В табл. 4.6 представлены табличные значения Ф(^)
Таблица 4.6
Т, нс
①⑴
t, нс
①⑴
t, нс
①⑴
0
0
0,6
0,55
1,8
0,63
0,1
0,25
0,8
0,63
2,0
0,59
0,2
0,35
1,0
0,64
2,2
0,55
0,3
0,41
1,2
0,68
汇
0,54
0,4
0,46
У
0,67
2,6
0,53
0,5
0,55
1,6
0,66
На рис. 4.8, а показаны функции распределения /(6*, t) от cos 3 на различные моменты времени (7 — t = 0,2 нс, 2 —力=0,74 нс, 3 — 力=1,18 нс, 4 —力=1,85 нс). Видно, что максимумы и минимумы интенсивности лазерного потока смещаются по углу, причем с течением времени неоднородность нагрева плазменной короны уменьшается.
мкммкм666060КоронаКорона404020120100Начальное положение центра 1 мишениНачальное положение центра 1 мишени50 凡 мкм50 凡 мкмРис. 4.8. Моделирование сжатия мишени при несимметричном облучении, и) угловая функция распределения неоднородности нагрева мишени на моменты времени / —力=0,2 нс, 2 —力=0,74 нс, 3 —力=1,18 нс, 4 —力=1,85 нс; б) форма сжатой части в момент коллапса (лагранжевые линии); б) форма короны; г) фотография мишени через камеру-обскуруРис. 4.8. Моделирование сжатия мишени при несимметричном облучении, и) угловая функция распределения неоднородности нагрева мишени на моменты времени / —力=0,2 нс, 2 —力=0,74 нс, 3 —力=1,18 нс, 4 —力=1,85 нс; б) форма сжатой части в момент коллапса (лагранжевые линии); б) форма короны; г) фотография мишени через камеру-обскуру0,00,0+1,0 cosg+1,0 cosg
мкм
мкм
6
6
60
60
Корона
Корона
40
40
201
201
0
0
Начальное положение центра 1 мишени
Начальное положение центра 1 мишени
50 凡 мкм
50 凡 мкм
Рис. 4.8. Моделирование сжатия мишени при несимметричном облучении, и) угловая функция распределения неоднородности нагрева мишени на моменты времени / —力=0,2 нс, 2 —力=0,74 нс, 3 —力=1,18 нс, 4 —力=1,85 нс; б) форма сжатой части в момент коллапса (лагранжевые линии); б) форма короны; г) фотография мишени через камеру-обскуру
Рис. 4.8. Моделирование сжатия мишени при несимметричном облучении, и) угловая функция распределения неоднородности нагрева мишени на моменты времени / —力=0,2 нс, 2 —力=0,74 нс, 3 —力=1,18 нс, 4 —力=1,85 нс; б) форма сжатой части в момент коллапса (лагранжевые линии); б) форма короны; г) фотография мишени через камеру-обскуру
0,0
0,0
+1,0 cosg
+1,0 cosg
На рис. 4.8, 6 показана лагранжевая сетка внешней части мишени, а на рис. 4.8, 6 — область сжатия мишени на момент коллапса tc = 2,017 нс. Если корона имеет почти сферическую форму, что оправдывает наш подход к моделированию несимметрии облучения мишени, который мы использовали в этой работе, то сжатая часть является сильно деформированной. В процессе расчета сжатая часть оболочки сместилась вдоль оси. Для того, чтобы рассчитать это смещение, была использована подпрограммы «SHIFT», описанная во второй главе (на рис.4.8 «звездочкой» показано первоначальное положение центра мишени — сдвиг составил 50 мкм). Из-за несимметричного нагрева разные части неиспаренной мишени подлетели к центру неодновременно (стрелками показаны направления движения частей оболочки в момент tc). В результате, не получилась сферическая кумуляция энергии. Следствием этого явилось снижение температуры, плотности и нейтронного выхода по сравнению с аналогичным одномерным
расчетом. Усредненные по массе горючего значения плотности ионной температуры и нейтронного выхода в одномерном расчете составляли в момент максимального сжатия 1,85 г/см3, 2 кэВ, 2 • 109 соответственно, в то время как в двумерном расчете они равнялись 0,47 г/см3, 1,4 кэВ, и 2- 107.
На рис. 4.8, г показано изображение мишени в рентгеновском излучении, полученное в эксперименте с помощью камеры-обскуры.
Видно, что центральная светящаяся область смещена относительно центра внешней светящейся области. Таким образом, даже без учета влияния развития коротковолновых возмущений и турбулентного перемешивания, несимметрия облучения мишеней, которая была реализована на установке «ДЕЛЬФИН-1», приводила к одностороннему смещению (которое наблюдалось на изображениях, полученных в рентгеновском свете с помощью камеры-обскуры), и существенному снижению нейтронного выхода, температуры и плотности по сравнению с тем, что предсказывали одномерные расчеты.
Сильную деформацию лагранжевой сетки можно трактовать как разрушение мишени. Поскольку условия симметрии облучения и интенсивности лазерного потока заданы конструкционными особенностями установки, были сделаны попытки подобрать конструкцию мишени, которая была бы слабо чувствительна к несимметрии облучения.
. Простейшая газонаполненная мишень.
Уменьшение аспектного отношения оболочки при заданной массе (она определяется лазерной энергией) приводит к снижению скорости полета оболочки, температуры и нейтронного выхода. Увеличение начальной плотности горючего при увеличении аспектного отношения оболочки позволяет несколько улучшить условия протекания термоядерных реакций в мишенях при сравнительно небольших степенях
Рис. 4.9. Форма сжатой части мишени на момент времени tc = 3,62 нс. I — ДТ-горючее, II — неиспаренная часть оболочки
сжатия горючего (напомним, что вероятность разрушения оболочки возрастает с увеличением степени ее сжатия).
По программам «РАПИД-1» и «АТЛАНТ» были проведены серии одномерных расчетов для подбора соответствующих параметров мишени (подробнее см. [24]). Была выбрана мишень, состоящая из стеклянной оболочки с радиусом 250 мкм и аспектным отношением As = 139, заполненой ДТ-газом с начальной плотностью 2,74 мг/см3. Лазерный импульс — треугольник с моментами времени по вершинам 0, 2, 7,2 нс (был задан экспериментаторами). Поглощенная энергия равнялась 450 Дж. Одномерные расчеты показали, что степень сжатия такой мишени《^ 8, нейтронный выход (5—10) • 108. Двумерные расчеты были сделаны для условий несимметрии облучения мишени, которая задавалась по формулам (4.13). На рис.4.9 показана форма сжатой части мишени на момент коллапса (厶=3,62 нс), п = 4, = 0,25. К этому моменту усредненная по массе температура составила 0,35 КэВ, а плотность горючего — 0,46 г/см3. Нейтронный выход 3 • 108.
Б) Малоплотное покрытие мишени.
В работе [25] обсуждалась возможность создания малоплотного покрытия вокруг рабочей мишени для выглаживания неоднородности нагрева рабочей мишени. В последние годы были достигнуты значительные успехи в создании пенообразных малоплотных материалов, что позволяет изготавливать мишени с покрытиями, имеющие плотность до 10-3 г/см3 (т. е. плотность меньше плотности атмосферного воздуха!). Физика взаимодействия мощного лазерного излучения с такими средами в настоящее время активно изучается. Была проведена серия двумерных расчетов, моделирующих влияние на несимметрию сжатия малоплотных покрытий (см. [26]). Лазерный импульс имел треугольную временную форму (моменты времени 0, 2 и 7,2 нс) и энергию (450 Дж), как в предыдущей серии расчетов. Стеклянная оболочка имела внутренний радиус R\ = 248,2 мкм н 丛=249,1 мкм. Внутри оболочки ДД-газ с начальной плотностью 2,74 мг/см3. Внешний слой с радиусом % моделировал малоплотное покрытие. В первом расчете этой серии плотность внешнего слоя равнялась нормальной плотности, т. е. А = 252,2 мкм (1), во втором расчете % = 420 мкм и плотность внешнего слоя р = 10-2 г/см3 (2), в варианте (3) параметры мишени были такими же, как и в варианте (2), но во внешнем слое показатель адиабаты 7 = 2(3), в четвертом расчете Аз = 510,09 мкм, р = 5 х х 10-3 г/см3 (4). Параметры подобраны так, чтобы масса внешнего слоя была одинаковой. Возмущение лазерного потока было задано в виде (4.13) для 刀=4 н а° = 0,25. На рис.4.10 показаны результаты расчетов.
Видно, что во всех четырех случаях скорость роста возмущений была одинаковая. Это связано, по-видимому, с тем, что при интенсивности лазера 〜2 • 1013 Вт/см2 температура в короне менее 1 КэВ, т. е. эффект теплопроводного выравнивания для случая малых гармоник
0%A2 A30%A2 A31 вариант (без покрытия)
0%A2 A3
0%A2 A3
Рис. 4.10. Вид мишени с малоплотным покрытием (и), зависимость относительной амплитуды возмущений от степени сжатия для 4 вариантов расчетовРис. 4.10. Вид мишени с малоплотным покрытием (и), зависимость относительной амплитуды возмущений от степени сжатия для 4 вариантов расчетов(п = 4) не проявляется. Вторая причина в том, что возникает на стадии ускорения к центру неустойчивая граница 尺2 («конденсированное вещество-пена»).
Рис. 4.10. Вид мишени с малоплотным покрытием (и), зависимость относительной амплитуды возмущений от степени сжатия для 4 вариантов расчетов
Рис. 4.10. Вид мишени с малоплотным покрытием (и), зависимость относительной амплитуды возмущений от степени сжатия для 4 вариантов расчетов
. Симметризующий предимпульс.
В работе [25] было предложено использовать симметризующий предимульс, позволяющий снизить влияние неоднородности нагрева мишеней.
С помощью программы «АТЛАНТ» были проведены численные расчеты, моделирующие влияние предимпульса в условиях экспериментов на установке «ДЕЛЬФИН» (подробнее см. [27]). Стеклянная оболочка имела радиус 225 мкм и толщину 1 мкм, была заполнена ДД-газом с плотностью 0,66 мг/см3. Лазерный импульс имел трапециидальную временную форму с моментами времени по основаниям 0, 0,8, 3,1, 4,1 нс и энергией 360 Дж. Возмущение лазерного потока задавалось в виде (4.13) с п = 50 и ао = 0,1. Первый расчет был без предимульса. Из-за сильной деформации лагранжевых ячеек расчет не был завершен. Во втором расчете энергия в основном греющем импульсе равнялась 330 Дж, а в симметризующем предимпульсе 30 Дж (симметризующий предимпульс имел идеальную сферическую симметрию). На рис.4.11 показан рост относительной амплитуды возмущения от степени сжатия для указанных выше вариантов.
Рис. 4.11. Рост относительной амплитуды возмущения от степени сжатия 1 — вариант без предимпульса; 2, 3 — варианты с предимпульсомРис. 4.11. Рост относительной амплитуды возмущения от степени сжатия 1 — вариант без предимпульса; 2, 3 — варианты с предимпульсом
Рис. 4.11. Рост относительной амплитуды возмущения от степени сжатия 1 — вариант без предимпульса; 2, 3 — варианты с предимпульсом
Рис. 4.11. Рост относительной амплитуды возмущения от степени сжатия 1 — вариант без предимпульса; 2, 3 — варианты с предимпульсом
Видно, что симметризующий предимпульс позволяет существенно снизить влияние неоднородности нагрева. Однако, техническая реализация этого метода оказалась крайне сложной и не была реализована в экспериментах на установке «ДЕЛЬФИН».
Г). Мишень с ^рельефом».
Для компенсации несимметрии облучения мишени в [26] было предложено использовать «мишень с рельефом».
«Рельеф» мишени задавался в следующем виде:
A aod cos 46*\A aod cos 46*\(4.15)(4.15)
A aod cos 46*\
A aod cos 46*\
(4.15)
(4.15)
здесь d — толщина оболочки, А? — внешний радиус оболочки. Для упрощения задачи рассматривалась четная гармоника, что позволило вести расчеты в секторе углов 0 < 6* < тг/2. Скорость испарения вещества мишени равна
牛=7产(^%) 1/3 О< QL； (4.16)
О*, м*, А* —значения плотности, скорости и радиуса в точке Жуге. Если возмущения лазерного потока описываются формулой (4.13) с 刀=4 н а。= 0,25, тогда из (4.15) следует
о—-—(X 0,554-—.(4.17)
dtQl
Отсюда, так как 8Q/Q 〜0,25, то можно определить «рельеф» мишени —утолщение оболочки — приблизительно в 0,554 х 0,25 0,14. Оценка (4.17) была сделана с использованием модели о b-образном поглощении лазерного излучения на критической поверхности. С учетом распределенного поглощения излучения было задано о。= 0,18.
Параметры мишени ——стеклянная оболочка с внешним радиусом 250 мкм и аспектным отношением 104 заполнена ДД-газом с начальной плотностью 0,162 мг/см3. Лазерный импульс с треугольной временной формой и моментами времени при вершинах 0, 2, 7,2 нс. Поглощенная энергия 250 Дж. Таким образом, параметры мишени и лазерного импульса такие же, как в первой мишени этого раздела (см. рис. 4.7, а).
Использование «рельефа» позволило досчитать сжатие мишени до момента времени 5,05 нс, достигнуть степени сжатия，23 H нейтронного выхода 106. На рис. 4.12 показана форма мишени к этому моменту (сравни с рис. 4.7).
Такой «рельеф» мог бы позволить скомпенсировать влияние
t = 5,05 нсt = 5,05 нсРис. 4.12. Форма мишени в момент времени 力=5,05 нсРис. 4.12. Форма мишени в момент времени 力=5,05 нснизкомодовых нечетных гармоник, когда мишень, как целое, смещается в процессе сжатия (см.
t = 5,05 нс
t = 5,05 нс
Рис. 4.12. Форма мишени в момент времени 力=5,05 нс
Рис. 4.12. Форма мишени в момент времени 力=5,05 нс
выше). Сочетание «рельефа» мишени и использования высокоаспектных мишеней с повышенной начальной плотностью горючего (см. А) позволили бы, на наш взгляд, увеличить в экспериментах на установке «ДЕЛЬФИН-1» нейтронный выход. К сожалению, к моменту завершения приведенных исследований эксперименты на установке «ДЕЛЬФИН-1» прекратились.
Заметим, что во всех представленных ранее расчетах не учитывались рефракция и отражение лазерных лучей. Вся энергия лазера, дошедшая до критической поверхности, поглоща
лась в ячейке, с плотностью большей критической.
Д). Учет рефракции для мишеней прямого сжатия.
В рассчетах исследовалось влияние учета рефракции на развитие возмущения границы мишени прямого сжатия, содержащей DD-газ в стеклянной оболочке с начальным радиусом 250 мкм и As = 104 (см. [28, 29]). Строго в ее центр был сфокусирован импульс Nd-лазера (длина волны 1,06 мкм) треугольной формы (с вершиной в момент 3,6 нс) общей длительностью 4,6 нс и мощностью 250 Дж. Угловое
распределение мощности импульса задавалось в виде
q(q)=如(1 +0,25cos(4q)) [Дж/(с • ср)].
Результаты, полученные с использованием описанного алгоритма, сравнивались с результатами, полученными в предположении прямолинейного распространения лучей вдоль радиусов с поглощением на критической поверхности.
С учетом рефракции мишень сжимается несколько медленнее, чем в случае прямолинейного распространения лучей с поглощением дошедшего до критической поверхности излучения. Это связано с тем, что лазерная энергия выделяется в менее плотных слоях плазмы, т. е. эффективность передачи энергии в неиспаренные слои оказывается меньше. Учет рефракции обеспечивает также более равномерный нагрев и сжатие мишени (рис.4.13-14).
力не力неРис. 4.13. Зависимость относительной степени сжатия £ от времени для случаев: / — расчета без учета рефракции, 2 — с учетом рефракцииРис. 4.13. Зависимость относительной степени сжатия £ от времени для случаев: / — расчета без учета рефракции, 2 — с учетом рефракцииd/Rd/R0,002,004,006,008,000,002,004,006,008,00Рис. 4.14. Зависимость относительной амплитуды возмущения от £ (степени сжатия) для случаев / и 2Рис. 4.14. Зависимость относительной амплитуды возмущения от £ (степени сжатия) для случаев / и 2
力не
力не
Рис. 4.13. Зависимость относительной степени сжатия £ от времени для случаев: / — расчета без учета рефракции, 2 — с учетом рефракции
Рис. 4.13. Зависимость относительной степени сжатия £ от времени для случаев: / — расчета без учета рефракции, 2 — с учетом рефракции
d/R
d/R
0,002,004,006,008,00
0,002,004,006,008,00
Рис. 4.14. Зависимость относительной амплитуды возмущения от £ (степени сжатия) для случаев / и 2
Рис. 4.14. Зависимость относительной амплитуды возмущения от £ (степени сжатия) для случаев / и 2
На графиках коэффициент сжатия: £ ==—，где
А (力)Атах + Amin
Ао, Атах, Amin — начальное, текущие максимальное и минимальное значения радиуса границы «оболочка-горючее»; относительная амплитуда возмущения
b — Атах — AminR Атах + Amin
Учет отражения и рефракции лазерных лучей привел к уменьшению скорости полета к центру оболочки (рис. 4.13) и снижению скорости роста возмущений (рис. 4.14).
Представленные выше результаты исследований обеспечили математическое моделирование и интерпретацию экспериментальных ре-
зультатов, которые были получены при сжатии сферических мишеней на установке «Дельфин-1» (ФИАН, Москва) за период с 1982 по 1992 гг.
Моделирование несимметричного сжатия мишенейв условиях крупномасштабной неравномерностизасветки на установке «Прогресс»
Особенностью установки «Прогресс» (ГОИ им. С. И. Вавилова) было использование более высоких интенсивностей и коротких лазерных импульсов по сравнению с установкой «ДЕЛЬФИН» (интенсивность излучения q 1015 Вт/см2, энергия в импульсе El ~ 50 Дж и длительность импульса 丁 ^ 0,2 нс). В отличие от установки «ДЕЛЬФИН», в этом случае реализовался квазиабляционный режим сжатия, когда оболочка практически полностью прогревалась тепловой волной к моменту коллапса. Этот режим являлся промежуточным между абляционным режимом (который использовался, в основном, в экспериментах на установке «ДЕЛЬФИН»), и режимом «взрывающейся оболочки», когда при облучении мишеней большими интенсивностями излучения (q刀》1016 Вт/см2 для Nd-лазера — такой режим использовался на американских экспериментальных лазерах «АРГУС», «ГЕЛИОС» и др.) в плазме генерировались потоки надтепловых электронов, прогревающих полностью вещество мишени. Достоинством «квазиабляционного режима» являлась возможность достичь сравнительно больших температур горючего и умеренных сжатий (до 103 от начальной плотности газа в оболочке) при малых энергиях лазера. Это позволяло рассчитывать на достижение значительного нейтронного выхода. Сравнительно высокая температура в короне позволяла частично симметризовать ее (по крайней мере, частично подавить коротковолновые возмущения), а практически полное испарение оболочки к моменту коллапса — использовать оптичекие методы для диагностики сжатого горючего.
Особенностью установки «Прогресс» (как и на установке «ДЕЛЬФИН») было то, что несимметрия облучения мишеней была довольно большой и достигала по амплитуде 60—70% от среднего уровня.
Для изучения влияния длиноволновых возмущений на симметрию сжатия мишеней на этой установке была использована методика подобная той, что описана в предыдущем разделе. Неоднородность облучения мишени была расчитана по программе «Осветка», разработанной в ГОИ [30] по методике, подобной той, что была использована для расчета несимметрии освещенности в предыдущем разделе [22]. В расчетах по программе «Осветка» также была учтена рефракция греющего излучения в плазме, а в качестве основных механизмов поглощения выбраны обратно-тормозной и резонансный механизмы. Полагалось, что наиболее существенное поглощение происходит в пределах расчетной области, содержащей точку поворота луча света. В случае
засветки несколькими пучками поглощение учитывалось аддитивно. Полученное по программе «Осветка» пространственное распределение энерговклада лазерного излучения на критической поверхности мишени показано на рис. 4.15 (Q(6*) — поток лазерного излучения на критической поверхности, Qo ——усредненный по углу В поток). Это распределение было симметризовано по углу 夕.На рис. 4.15 показана также аппроксимация этого распределения с помощью функции Q^) = Qo(l +acos46»)/6.
Рис. 4.15. Освещенность мишени на установке «Прогресс» (сплошная линия) и ее аппроксимация по программе «АТЛАНТ» (штриховая линия)
В программе «АТЛАНТ» использовалась эта аппроксимация для задания несимметрии осветки мишени. Падающий лазерный поток задавался в виде
q«,e)= Qo⑴Q(e),где Qo⑴=Q(〃h) exp (-(t/t0)2)；(4.18)
Q = 1011 Вт, t0 = 0,2V2 нс, так что энергия в импульсе равнялась 40 Дж.
В расчетах предполагалось полное поглощение лазерного излучения (в то время, когда проводились эти расчеты, в программе «АТЛАНТ» рефракция не учитывалась), а = 0,67, b = 1 — о/15. Расчет сделан в первой четверти телесного угла. Стеклянная оболочка с начальным радиусом Rq = 50 мкм и толщиной 0,6 мкм была заполнена ДТ-газом с начальной плотностью 2 мг/см3 (подробнее см. [31]). Выбран вариант, когда расфокусировка лазерных пучков относительно центра мишени мала, в результате, как следует из расчетов по программе «Осветка», вклад резонансного механизма в поглощение не велик. Это позволило в первом приближении не учитывать перенос энергии надтепловыми электронами. Несмотря на большую температуру в короне (乙^ 2 КэВ), теплопроводность полностью не выравнивает длинноволновые возмущения, что приводит к зависимости от угла давления на неиспаренную часть мишени.
Рис. 4.16. Форма мишени на момент времени 力=0,146 нс
Рис. 4.17. Распределения по углу тангенциальной (*%) и радиальной (К) компонент скорости границы «оболочка-горючее» при 力=0,152 нс
В процессе ускорения к центру оболочка приобретает форму, существенно отличную от сферической (см. рис.4.16). Движущиеся к центру ударные волны имеет фронты, выпуклые к центру при углах 0 и 7г/2. В результате взаимодействия этих фронтов в секторе углов 3 ~ 7г/4 ±0,2 рад начинается интенсивное торможение частей оболочки. На рис. 4.17 показаны распределения тангенциальной и радиальной компонент скорости вещества на границе «оболочка-горючее» в момент времени 0,152 нс.
Видно, что вдоль оси (^ ^ 0) и при Н ^ 7г/2 радиальная скорость вдвое превышала соответствующее значение при 3 ~ тг/4, причем имелась тенденция к увеличению этой разницы. Из-за сильной деформации лагранжевых ячеек расчет не удалось завершить. Можно трактовать результаты таким образом, что приблизительно к этому моменту произошло разрушение оболочки.
В таблице приведены усредненные по ДТ-области плотность (р), температура ионов (Д) и электронов (乙)，сжатие (а = р/ро) и нейтронный выход (N), полученные в расчетах по программе «АТЛАНТ» в описанных двумерной и одномерной (при о = 0) постановках. В одномерной постановке коллапс мишени соответствовал моменту времени 以=0,18 нс.
Таблица 4.7
Вариант
力не
р, мг/см3
С, КэВ
7；, КэВ
а
N
1D
0,146
34,8
1,97
0,38
17,4
107
2D
0,146
25,5
2,44
0,38
13
2- 107
1D
0,18
560
13,5
2,25
280
1010
Повышение температуры по сравнению с одномерным вариантом обусловлено взаимодействием сходящихся фронтов ударных волн. В дальнейшем начинала формироваться кумулятивная струя вдоль направления В тг/4 (в расчете наблюдалось увеличение разницы в скоростях вдоль оси и биссектрисы). К моменту 力^ 0,15 нс температура ДТ-горючего 么 ^ 2 КэВ, и малые добавки неона интенсивно излучали бы, причем из области с радиусом в 2—2,5 раза больше радиуса, который имела бы область горючего в момент максимального сжатия (это наблюдалось в эксперименте на установке «Прогресс»). Размер светящейся в рентгене центральной области, наблюдаемый через камеру-обскуру в экспериментах на установке «Прогресс», соответствовал степени сжатия в несколько сотен раз, а нейторонный выход на уровне 107, что согласуется с результатами двумерного расчета.
Оценим влияние процесса турбулентного перемешивания. Согласно имеющимся представлениям (см. [32, 33]) зона турбулентного перемешивания (£) в поле ускорения (g) развивается как
L 0,07 • gt2 〜0,07 • (Ао — KJ. (4.19)
В квазиабляционном режиме даже при одномерном сжатии оболочка до момента коллапса пролетает расстояние А。一 А, (0,8—О,9)Ао за время 0,2 нс. Учет испарения внешних слоев оболочки приводит к снижению скорости роста зоны перемешивания (см. глава 2 монографии, пункты 5—6). Следовательно, при малых степенях сжатия в этом режиме процесс турбулентного перемешивания не должен оказывать определяющего влияния на параметры сжатия горючего.
Отсутствие детальной экспериментальной информации и сложности численного моделирования затрудняют последовательное сравнение теории с экспериментом. Из анализа расчета следует, что в случае длиноволновых возмущений с длиной волны, много большей толщины оболочки (с 刀〜4), в первом приближении можно пренебречь перетеканием вещества в поперечном направлении в процессе сжатия.
Действительно, s = 0,6 f(g4/R)°^dt 0,3 < 1. В этом случае, можно оценить амплитуду деформации оболочки, не прибегая к расчету. Поскольку скорость полета оболочки и 〜^1/3 (см., например, [31]), то (Ь/A) (Ао/А⑴-l)(qMx - ^mii)/(<7max + 淵 1)・ Подставив значения "max, "min из численного расчета, получим 5/R、0,31. Эта оценка согласуется с результатами численного расчета, так из приведенного расчета следует, что амплитуда возмущения оболочки к моменту 力=0,146 нс 8/R = 0,28 (см. рис.4.16).
Таким образом, на основании двумерных численных расчетов было показано, что наблюдаемое расхождение по нейтронному выходу в экспериментах на установке «Прогресс» (квазиаблиционный режим, степени сжатия до 103) с предсказаниями одномерных расчетов можно объяснить влиянием крупномасштабной несимметрии облучения, которая была реализована на этой установке. Симметризующего эффекта относительно высоких температур в короне оказалось недостаточно, чтобы компенсировать эту несимметрию облучения.
О возможности анализа параметров сжатойлазерной мишени и степени ее перемешиванияпо спектрам нейтрального компонентав разлетающейся плазме
Одной из перспективных экспериментальных диагностик лазерой плазмы является метод ионной масс-спектрометрии (см. [36]). Наряду с ионной компонентой в разлетающемся веществе мишени наблюдается нейтральная компонента. Для выяснения условий существования потоков нейтральных атомов, их доли в разлетающемся веществе, а также возможности определения параметров сжатой оболочки и гидродинамического КПД была проведена серия численных расчетов по одномерной программе «ДИАНА». Уравнения состояния вещества и ионизационный состав плазмы учитывались при помощи модели, изложенной в [37]. Наряду с тепловым давлением электронной (&) и ионной (Д) компоненент плазмы учитывался вклад упругой составляющей (Ко?)： Р = Ре Pi РсоЬ
Значение Pcoi находилось из интерполяционной формулы
Здесь ро — плотность твердого тела при Т = О, Р = 0. Коэффициенты выбраны таким образом, чтобы при (р/ро) ^ 1 удовлетворялись известные табличные значения теплоты испарения вещества, модуля объемного сжатия, коэффициента Грюнайзена и т. д., а при больших сжатиях (р/ро)》1 давление и удельная внутренняя энергия удовлетворяли модели Томаса-Ферми с поправками (см. [37]).
Ионный состав рассчитывался в приближении среднего заряда иона отдельно для кислорода и кремния (для оболочек из стекла) согласно [38]
(4.20)
где Zk ——средний заряд иона к-го компонента (кремния, кислорода и т. д.); уг — скорость ионизации электронным ударом; 〃i『，沙2厂— скорости фото и тройной рекомбинации. Вид функций приведен в [39]. Заметим, что расчеты степени ионизации, выполненные по более точным моделям, не приводили к значительным различиям результатов по сравнению с рассматриваемой моделью (см. [39]).
В первой серии расчетов моделировались эксперименты, выполнение на установке «ДЕЛЬФИН-1» (подробнее, см. [40]). Расчеты проводились для мишеней и лазерных импульсов со следующими параметрами:
масса оболочки Msh = 0,628 мкг, радиус Ао = 120 мкм, поглощенная лазерная энергия El = 500 Дж, временная форма импульса — равнобедренный треугольник с 勺万=2 нс;
Msh = 2,29 мкг, А。= 300 мкм,石刀=501 Дж, временная форма импульса — трапеция с передним фронтом 0,6 нс и задним фронтом 1 нс, 7о,5 = 3,8 нс (для трапеции это длина средней линии);
Msh = 12 мкг, Rq = 358 мкм, El = 450 Дж, временная форма импульса такая же, как в варианте 2.
Были получены следующие результаты. В том случае, когда масса оболочки мала по сравнению с массой согласованной мишени (вариант 1), время коллапса заметно меньше длительности импульса. Неиспа- ренные летящие к центру слои оболочки оказываются ионизованы к моменту максимального сжатия, и затем в процессе разлета навстречу лазерным лучам их кратность ионизации продолжает некоторое время нарастать. В том случае, когда время коллапса равно длительности импульса (вариант 2 — согласованная мишень) или более длительности импульса (вариант 3), неиспаренные слои мишени оказываются слабо ионизованными к моменту максимального сжатия (т. е. Z V 1, за исключением слоев, граничащих с нагретым ДД-горючим, где Z ^ 5—8).
На рис. 4.18 показаны распределения плотности (р), температуры (Т) и среднего заряда (Z) на момент коллапса от массовой координаты А/ = 4тг / pr2dr в логарифмическом масштабе, а) вариант 3, tc = 6,91 нс, б) вариант 1, tc = 1,42 нс. Видно, что за счет прогрева тепловой волной из горючего пограничные слои оболочки ионизованы. Однако, у них большая масса и время разлета значительно больше, чем в варианте 1. В процессе разлета эти слои рекомбинируют. В результате, уже к моменту времени 40 нс вся разлетающаяся масса имела средний заряд менее 1.
Скорость разлета сжатой части мишени, как правило, в 3—5 раз меньше, чем скорость разлета короны, поэтому при регистрации с помощью масс-спектрометрии ионов и нейтральной компоненты вещества
Рис. 4.18. Распределения плотности, электронной температуры и заряда ионов по массовой координате М на момент коллапса 九、для вариантов 3: tc = 6,91 нс (и) и 1: tc = 1,42 нс (6)Рис. 4.18. Распределения плотности, электронной температуры и заряда ионов по массовой координате М на момент коллапса 九、для вариантов 3: tc = 6,91 нс (и) и 1: tc = 1,42 нс (6)
Рис. 4.18. Распределения плотности, электронной температуры и заряда ионов по массовой координате М на момент коллапса 九、для вариантов 3: tc = 6,91 нс (и) и 1: tc = 1,42 нс (6)
Рис. 4.18. Распределения плотности, электронной температуры и заряда ионов по массовой координате М на момент коллапса 九、для вариантов 3: tc = 6,91 нс (и) и 1: tc = 1,42 нс (6)
мишени можно определить, к каким слоям принадлежали эти атомы и ионы.
С помощью численного моделирования было показано, что в мишенях с согласованной массой (либо с большими массами), измеряя массу и энергию нейтральных атомов и «медленных» ионов (Е^), можно определить неиспаренную массу оболочки, а также гидродинамический k口Д 〃 =石к/石刀.
Так, в эксперименте с параметрами мишени, соответствующими варианту 3 по нейтральной компоненте, были определены Е^ ~ 10—20 Дж и ту = 3,6 %. В расчете Е^ = 16 Дж, максимальный гидродинамический КПД в момент максимального сжатия 〃 = 4,8 %, а если определить среднее гидродинамическое КПД как 〃e。= 0,5(Ms/1 — —Маъ)и2/El, где А〃ь — испаренная к моменту коллапса масса оболочки, и = RQ/tc — средняя скорость сжатия мишени, то 〃^。= 2,4%.
Развитая в ФИАН диагностика нейтральных атомов использовалась в экспериментах на установке «VULCAN» (лаборатория Резерфорда и Апполтона в Англии). Это 12 пучковый Nd-лазер с энергией в импульсе около 1 Кдж на второй гармонике (длина волны 0,53 мкм). Ю. А. Захаренков на установке «VULCAN» исследовал спектры ионов и нейтральных атомов от сжатых с помощью лазера мишеней. По программе «ДИАНА» были проведены расчеты сжатия мишеней, соответствующих экспериментам на установке «VULCAN». Подробнее об условиях экспериментов и численных расчетов можно прочесть в [41, 42]. В этих экспериментах излучение было расфокусировано на мишени так, чтобы обеспечить достаточно равномерное облучение (так называемый режим《HART»).
Лазерный импульс имел следующую временную форму:
=Ёоехр —dt\ Т J=Ёоехр —dt\ Т J(4.21)(4.21)
=Ёоехр —
dt\ Т J
=Ёоехр —
dt\ Т J
(4.21)
(4.21)
где Ёо,力0, 丁 — параметры лазерных импульсов. Лазерная энергия в рассматриваемой серии экспериментов равнялась 300-350 Дж. Поглощенная энергия и длительность импульса варьировались в расчетах. Мишень представляла стеклянную оболочку радиусом 296 мкм и толщиной 1,1 мкм, заполненную ДТ-газом с начальной плотностью 464 мкг/см3. В табл. 8 представлены расчетные параметры мишеней на момент максимального сжатия.
Таблица 4.8
&)/丁，Дж/нс
九не
мкг
Psh. г/см3
Lh, КэВ
р\ г/см3
Т；, КэВ
109
300/0 6
2,23
0,805
6,3
0,327
1,16
1,72
4,6
300/0,84
2,31
0,93
15
0,246
1,85
1,4
2,4
350/0,84
2,16
0,805
10,6
0,335
1,77
1,62
5,4
Параметры лазерных импульсов в трех представленных вариантах были следующими:
to = 1,2 нс, 丁 = 0,6 нс,瓦=300 Дж;
2)打=1,2 нс, 丁 = 0,84 нс,瓦=300 Дж;
to = 1,2 нс, 丁 = 0,84 нс, Ео = 350 Дж.
В случае 2 по сравнению со случаем 1 изменена временная форма импульса при сохранении суммарной энергии, в случае 3 изменена длительность импульса и суммарная энергия. В таблице tc — момент максимального сжатия; М* — масса сжатой мишени (не испаренная часть оболочки с плотностью, большей 1 г/см3, плюс масса ДТ-горюче- го); р*, Т： — плотность и температура ионов ДТ-горючего; 0s九，，九— усредненные по неиспаренной части оболочки значения плотности и температуры.
Расчеты были продолжены после момента коллапса до момента времени 10 нс.
На рис. 4.19 показаны результаты расчетов вариантов 1 и 2 на момент времени 10 нс по программе «ДИАНА». Видно, что плотность плазмы к этому моменту меньше 0,1 мг/см3, а температура электронов 3—5 эВ, в этом случае характерные времена рекомбинации ионов кремния и кислорода превосходят 1 мкс и быстро нарастают в процессе разлета (скорость разлета около 100 км/с). Время пролета атомов до коллектора было 1 — 10 мкс, так что можно было считать, что зарядовый состав плазмы мало изменится с момента времени 10 нс.
Видно, что в отличие от экспериментов на установке «ДЕЛЬФИН», где масса нейтральных атомов приблизительно была равна всей массе сжатой мишени, в экспериментах на установке «ВУЛКАН» за счет более высокой интенсивности излучения и меньших масс оболочек нейтральной компоненты разлетающегося вещества составляет лишь несколько процентов от общей массы сжатого вещества (〜10一®「). Наряду с интегральными характеристиками (массой и энергией нейтраль-
Рис. 4.19. Распределения плотности (штрихпунктирная линия), температуры электронов (штриховая линия) и эффективного заряда (сплошная линия) от массовой координаты для вариантов 1 (и) н 2 (6). Вертикальная штриховая линия — граница «оболочка-горючее»
ной компоненты) измерялись спектры нейтральных атомов, то есть распределения по энергиям (или скоростям) количества атомов. На рис. 4.20 показаны расчетные данные (кривая 1 — вариант 2) и данные экспериментов («квадратики»). По оси абсцисс отложена скорость нейтральных атомов, а по оси ординат — отношение количества нейтральных частиц dN, имеющих скорости в интервале [丿，丿 + dN] и прилетевших в телесные углы [Q, Q + dQ] к соответствующим интервалам dV и dQ. Видно, что в одномерных расчетах нейтральная компонента (первый пик — рекомбинировавшие атомы дейтерия и трития, второй пик — остатки сжатой оболочки) летит в виде узких сферических слоев. В экспериментах наблюдается более широкое распределение по скоростям этой компоненты, при этом диапазон скоростей совпадает с расчетными значениями. Отличия в распределениях нейтральных частиц по скоростям связано с развитием турбулентного перемешивания на стадии торможения оболочки и последующего разлета. Для того чтобы учесть этот эффект, в одномерном расчете была предложена следующая упрощенная модель: допустим, что происходит полное перемешивание неиспаренных слоев оболочки и ДТ-горючего в момент
Рис. 4.20. Сравнение расчетных данных (/ — без учета перемешивания, 2, 3 — с учетом перемешивания) с результатами измерений (■ ■ ■)
времени 力 < t* < tc, где t\, tc моменты начала торможения оболочки и коллапса в одномерном расчете. До момента времени t* расчет велся по стандартной методике, далее полагалось, что в этот момент времени происходит равномерное перемешивание части оболочки и горючего. Доля перемешанного вещества оболочки (Mmix) к полной его массе k = Mmix/M*, тогда значения параметров плазмы будут следующими:
= (Мот + кМ^)/
石* =石也 +石kin，
(4.22)
石* = 1,5+ -一 腕
z* = f(T*,P*),
肉匕—постоянная Больцмана, p* — плотность внутри сферы радиуса R*,石* и Т* — полная энергия и температура перемешанного вещества, Z* — заряд элементов оболочки. Значения Л1* и Е* брались из численного расчета, Z* находился из распределения Саха-Райзера для заданных значений р* и Т*. Таким образом, в задаче было два параметра — момент времени 力* и доля перемешанного вещества оболочки к. Для определения момента времени перемешивания воспользовались дополнительной информацией об этом эксперименте: через камеру-обскуру фотографировалось изображение в а-частицах, вылетавших из мишени. Радиус этого изображения, был заметно больше, чем минимальный радиус мишени, полученный в одномерном расчете. Поэтому полагалось, что наблюдаемый радиус R = 30—40 мкм есть радиус области перемешивания А* на момент времени t*. При t > 禽< расчет был продолжен, но уже с условием перемешивания части массы оболочки и горючего. Параметр к варьировался. Были сделаны расчеты для к = 0,683 и к = 0,385.
Рис. 4.21. Распределения плотности (штриховая линия) и температуры (сплошная линия) на момент максимального сжатия (力* = 2」5 нс). Вертикальная штрих-пунктирная линия — это граница перемешанного с материалом оболочки горючего
На рис. 4.21 показаны распределения плотности и температуры в момент времени t* = 2,15 нс (в расчете отраженная ударная волна достигала оболочку к моменту 力]=2 нс) для случая к = 0,683. Мишень еще некоторое время сжималась, а затем происходил разлет. По сравнению с расчетами без учета перемешивания общая доля нейтральных атомов уменьшалась, а спектр уширялся. Нейтронный выход равнялся 5,7 • 107 (в расчете без учета перемешивания он был более 109). В эксперименте нейтронный выход был 108. Этот факт также указывал на перемешивание слоев мишени и горючего. Из формулы (4.19) следовало, что £ ^ 20 мкм к моменту времени 力*, т. е. практически область турбулентного перемешивания сравнима с радиусом А*. На рис.4.20 кривая 2 соответствует результату расчета с перемешиванием при к = 0,683, кривая 3 — результат расчета с перемешиванием при к = 0,385. Видно сравнительно хорошее согласие расчетных и экспериментальных данных в случае (2).
Подробнее с результатами исследований можно познакомиться в [41-44].
Основные результаты четвертой главы
Разработанные физико-математические модели и программы позволили:
сформулировать соотношения подобия и зависимости амплитуды возмущения границы «оболочка-горючее» от условий несиммет- рии облучения мишеней на линейной и нелинейной стадиях развития неустойчивости (пб/R = 1—2).
сформулировать и обосновать схему выбора оптимальных газонаполненных оболочечных мишеней для экспериментов на установке «ДЕЛЬФИН-1» (ФИАН, г. Москва);
проанализировать влияние крупномасштабной несимметрии облучения мишеней, обусловленной конкретными условиями экспериментов на установках «ДЕЛЬФИН-1» и «Прогресс» (ГОИ, г. Санкт- Петербург), на параметры сжатия термоядерного горючего (плотность, температуру и нейтронный выход»);
показать, что в согласованных с лазерным импульсом мишенях, измеренные массы и энергии нейтральной компоненты позволяют определить гидродинамический КПД и долю сжатой массы мишени;
объяснить наблюдаемое расхождение в спектрах нейтральной компоненты с результатами одномерных расчетов влиянием перемешивания.
Литература
Taylor G. 〃 Proc. Roy. Soc. A. 1950. V. 201. P. 192.
Ферми Э. Научные труды. M., Наука, 1972. Т. 2. С. 490.
Emery М. Н.，Gardner /. Я., Boris，尸.// Appl. Phys. Lett. 1982. V. 41. P. 808.
Гамалий £. Г. и ф. О нелинейной стадии развития гидродинамической неустойчивости в лазерных мишенях. Препринт ФИАН № 143. 1988.
Лебо И. Г. 〃 ф. О взаимодействии гармоник на слабо нелинейной стадии развития неустойчивости в сферических оболочках // Краткие сообщения по физике ①ИАН. 1988. № 7. С. 9-11.
Gamaly £ G. et al. Nonlinear stage in the development of hydrodynamic instability in laser targets // Laser and Particle Beams. 1990. V. 8. P. 399-407.
Lebo /. G., Rozanov К В., Tishkin V. F. Hydrodynamic instability and target design // Laser and Particle Beams. 1994. V. 12, No. 3. P. 361-369; cm. также препринт ФИАН № 22. 1993.
Bodner S. E 〃 Phys. Rev. Lett. 1974. V. 33, No. 13. P. 761.
Takabe H., Montierth L., Morse R. L. // Phys. Fluids. 1983. V. 26. P. 2299.
Труды ФИАН «Оптика мощных лазеров для исследований по лазерному термоядерному синтезу» / Под ред. Н. Г. Басова, Г. В. Склизкова. М., Наука, 1985. Т. 149.
Ландау Л. Д., Лифшиц £. М. Гидродинамика. М., Наука, 1986. С. 152.
Афанасьев Ю. В. 〃 ф. // ЖЭТФ. 1977. Т. 72. С. 170-179.
Афанасьев Ю. В. 〃 др. Труды ①ИАН. М., Наука, 1982. Т. 134. С. 32—41.
Самарский А. А., Попов Ю. /7. Разностные методы решения задач газовой динамики. М., Наука, 1980.
Змитренко Я. В. 〃 ф. Вопросы атомной науки и техники. Сер. Методы и программы численного решения задач математической физики. 1983. №2. С. 38.
Аврорин £. Я 〃 ф. Препринт ИПМ АН СССР №9, 1980.
Алексеев В. Н. 〃 ф. // Известия АН ССР, сер. физ. 1984. Т. 48. С. 1477.
Барышева Н.М. 〃 др. // Квантовая электроника. 1986. Т. 13. С. 837.
Амад 3. 〃 ф. Гидродинамика разлета микросферы, нагреваемой и сжимаемой лазером // ЖЭТФ. 1991. Т. 100. С. 1140-1152.
Hall Т. A. et al. Neutral particle velocity distributions of laser-imploded microshells // Plasma Physics and Controlled Fusion. 1992. V. 34. P. 725-736.
Гуськов С. Ю. 〃 др. Оптимизация параметров высокоаспектных мишеней для экспериментов по ЛТС при лазерной энергии 1-2 Кдж // Квантовая электроника. 1987. Т. 14. С. 2288-2297.
Розанов В. Б., Демченко Н. Н. // Квантовая электроника. 1985. Т. 112. С. 1895.
Гамалий £. Г. 〃 др. Теоретическое исследование устойчивости сжатия тонкостенных оболочечных мишеней, облучаемых лазерами с энергией в импульсе порядка 1 Кдж // Квантовая электроника. 1988. Т. 15. С.1622-1632.
Lebo /. G. et al. // J. of Russian Laser Research. 1994. V. 15, No. 2. P. 136-143.
Боков Я Я 〃 ф. // ЖГШТ①.1982. Т. 4, № 134. С. 20.
Lebo /. G., Rozanov К В., Tishkin К F. Hydrodynamic instability and target design // Laser and Perticle Beams. 1994. V. 12, No. 3. P. 361-369; cm. также препринт ①ИАН №22, 1993.
Gamaly £. G. et и/. Nonlinear stage in the development of hydrodynamic instability in laser targets // Laser and Particle Beams. 1990. V. 8. P. 399-407.
Искаков А. Б. 〃 ф. Моделирование распространения и поглощения лазерного излучения в неоднородной изотропной плазме в приближении геометрической оптики. Препринт ИММ РАН, №24, 1995.
Искаков А. Б. " др. Об учете рефракции лазерных лучей при моделировании двумерно-неоднородного сжатия мишеней // Краткие сообщения по физике ①ИАН. 1997. М., №1—2. С. 28—35.
Андреев А. А. 〃 ф. // Квантовая электроника. 1989. Т. 16. С. 2510.
Андреев А. А. 〃 ф. Сжатие оболочечных мишеней в условиях крупномасштабной неравномерности осветки лазерным излучением // Квантовая электроника. 1991. Т. 18. С. 463-466.
Анучина Я. Я. 〃 ф. // Механика жидкости и газа. 1978. Т. 6. С. 157.
Youngs D. L. // Physica D. 1984. V. 19.
Takabe Я, Yamamoto A. // Phys. Rev. A. 1991. V. 44. P. 5142.
Neuvazhaev K£ 〃 Phys. Rev. E. 1994. V. 50. P. 1394.
Басов Я. Г. 〃 ф. Диагностика плотной плазмы. М., Наука, 1989.
Киржниц Д. А., Лозовик Ю. Е., Шпатаковская Г. В. // Успехи физических наук. 1975. Т. 117. С. 3.
Афанасьев Ю. В., Гамалий £. Г., Розанов В. Б. // Труды ① И АН, М., Наука, 1982. Т. 134. С. 10.
Базылев В. Н. 〃 ф. // Квантовая электроника. 1986. Т. 13. С. 1981.
Захаренков Ю. А. 〃 ф. Диагностика сжатия микросфер, облучаемых лазером, по энергетическим спектрам нейтральных атомов // Физика плазмы. 1988. Т. 14. С. 623-628.
Амад 3. 〃 ф. Гидродинамика разлета микросферы, нагреваемой и сжимаемой лазером // ЖЭТФ. 1991. Т. 100. С. 1140-1152.
Hall Т. A. et al. Neutral particle velocity distributions of laser-imploded microshells // Plasma Physics and Controlled Fusion. 1992. V. 34. P. 725-736.
Захаренков Ю. А., Лебо И. J Шпатаковская Г. В. Об учете влияния перемешивания при численном моделировании сжатия лазерных оболочечных мишеней // Краткие сообщения по физике ФИАН. 1991. № 9. С. 40—42.
Глава 5
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕУСТОЙЧИВОСТИРИХТМАЙЕРА-МЕШКОВА МЕТОДАМИМАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Неустойчивость Рихтмайера-Мешкова.Физико-математические модели
При прохождении ударной волны через контактную поверхность развивается неустойчивость Рихтмайера-Мешкова ([1, 2]). Рихтмайер получил приближенную формулу, описывающую развитие малой амплитуды возмущения под действием импульсного ускорения: скорость роста амплитуды пропорциональна начальной амплитуде возмущения после прохождения ударной волны (а。)，волновому числу (к = 2тг/А, где А ——длина волны синусоидального возмущения) и скорости потока за фронтом ударной волны (U)
必Е = ^ = aokAU. (5.1) at
Здесь а — текущее значение амплитуды; А =(偌一〃)/(偌 + 〃) 一 число Атвуда для двух газов с плотностями pi и р2；必in — скорость роста возмущений на линейной стадии. Вообще говоря, формула (5.1) получена в приближении несжимаемости двух сред и наличия «J-образного» импульсного ускорения. Под термином начальная амплитуда а。следует понимать амплитуду возмущения контактной границы сразу же после завершения процесса рефракции ударной волны (т. е. сразу же после прохождения этой волны через контактный разрыв). Эта амплитуда связана с амплитудой возмущения на границе до прихода ударной волны (а0) следующим соотношением: а° = а° (1 — U/W), где W ——скорость фронта ударной волны.
Как уже упоминалось ранее, развитие неустойчивости может проходить четыре стадии ——линейную, нелинейную, переходную и турбулентного перемешивания. Следует отметить, что в лазерных мишенях нелинейная и переходная стадии развития неустойчивости играют существенную роль. Действительно, «шероховатость поверхности» ми-
шени составляет менее 0,1 мкм при начальном радиусе 100—1000 мкм. Типичные ускорения на первой стадии (5—10) • 1015 см/с2, что позволяет оценить инкремент роста Рэлей-Тейлоровской неустойчивости 7、(5—8) нс— для возмущений с длиной волны А ^ 10 мкм. Возмущения с длиной волны А < 1 мкм эффективно подавляются за счет испарения внешних слоев, о чем говорилось в главах 2, 4. Таким образом, при типичном времени ускорения мишени 力〜1 нс и экспоненциальном законе росте амплитуды а 〜exp (0,6)力)(см. глава 4, п. 1 и 3) возмущение могло бы нарасти в е"' раз. Таким образом, значение параметра ак < 3—8. Это нелинейная и переходная стадии процесса, согласно введенной ранее терминологии.
В случае неустойчивости Рихтмайера-Мешкова (НРМ) при скоростях плазмы в оболочке за фронтом ударной волны U 〜10—50 км/с и времени прохождения ударной волны через оболочку ^ 0,1 нс ак ^ 3—5, т. е. опять-таки переходная стадия процесса. В малоплотном горючем скорость ударной волны значительно выше (более 100 км/с), но в этом случае существенную роль в подавлении коротковолновых возмущений играет нелинейная теплопроводность. Исследованию этого эффекта посвящен последний раздел данной главы.
В 80-е годы прошлого века были сформулированы постановки задач и начаты эксперименты на ударных трубах профессором С. Г. Зайцевым с его коллегами в Энергетическом институте им. Г. М. Кржижановского (ЭНИН, г. Москва) по исследованию развития одномодовых возмущений контактной границы, которые задавались с помощью тонкой пленки, разделяющей два газа ([3—10]). Целью этих исследований было научиться моделировать нелинейную и переходную стадии развития гидродинамической неустойчивости, изучить особенности и возможности борьбы с неустойчивостью. В основу этого подхода была положена концепция эволюционного развития неустойчивости вплоть до стадии образования слоя турбулентного перемешивания. Этот подход был сформулирован в докладе, представленном на Европейскую конференцию по взаимодействию лазерного излучения с веществом (Мадрид, 1988 г.) [5] и ряде публикаций [6, 7].
Даже на линейной стадии процесса не удается найти строгие аналитические решения задачи о развитии НРМ в сжимающихся средах. В приближении несжимаемости сред сразу за фронтом ударной волны и мгновенного ее воздействия на контактную поверхность на линейной стадии поведение возмущений можно описать формулой Рихтмайера (5.1). Недавно для этих приближений (т. е. несжимаемость и «дельта- образное» ускорение) в [11] были получены приближенные аналитические выражения, описывающие поведение возмущений контактной границы на ранней нелинейной стадии:
~ + max{0, a油2 _ + 0,5}味口к2/• (5.2)
Эти решения были получены с помощью рядов при сохранении трех членов (вплоть до третьего порядка по параметру £ = AkUt). Они не описывают формирование мелкомасштабных структур, которые, как будет видно из дальнейшего изложения, начинают формироваться уже при a(t)k ~ 1, и взаимодействие с соседними возмущениями. Таким образом, в них полностью отсутствует даже указание на переходную стадию процесса. Для последовательного изучения развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова необходимо использовать методы математического моделирования.
В работах D. Lazyzer, Н. А. Иногамова, К. Mikaelian, Q. Zhang, упомянутых ранее (см. глава 1), используется модель пароболической аппроксимации границы несжимаемой среды вблизи вершины пузыря для случаев неустойчивостей Рэлея-Тейлора и Рихтмайера-Мешкова. Эта модель позволяет изучать нелинейную стадию процесса в том случае, когда плотность второй среды пренебрежимо мала и движение —— потенциальное. Таким образом, такой подход не позволяет рассмотреть переходную стадию процесса (формирование и развитие «грибов»), а также распространение ударных волн с большими числами Маха (когда нельзя пренебрегать сжимаемостью среды).
Лагранжевая методика, описанная выше, позволяла рассчитывать раннюю стадию неустойчивости в сжимаемых средах. При формировании «грибообразной структуры» (которая наблюдалась в экспериментах) из-за деформации лагранжевых ячеек счет прекращался. В начале 90-х годов В. В. Демченко и др. [12] удалось рассчитать развитие «грибообразных структур» на контактной поверхности двух газов по эйлеровой двумерной программе. Для этих расчетов использовались явные схемы первого порядка аппроксимации [13] 9. Расчеты позволили интерпретировать результаты натурных экспериментов на линейной и нелинейной стадиях развития одномодовых возмущений. Однако количественное сравнение результатов вычислительных и натурных экспериментов, выполненных в ЭНИН, указывало на то, что используемая программа обладала значительной аппроксимационной вязкостью, а компьютиерные ресурсы были ограниченными. При сравнении с измеряемыми в экспериментах амплитудами возмущений она давала на поздней нелинейной стадии заниженный результат (см. следующий раздел). Были предприняты также попытки численного моделирования образования «грибообразных структур» с помощью метода «частиц Дирихле» [15, 16], однако этот подход требовал еще больших ресурсов ЭВМ. Выполненные в те годы сравнения результатов расчетов и экспериментальных данных (опубликованных в [7]), показали, что в численных экспериментах из-за аппроксимационной вязкости форма возмущений оказывалась «размытой».
1) На этой же конференции были доложены результаты численного моделирования НРМ, полученные во ВНИИТФ Н. Н. Анучиной с сотрудниками [14].
5 И. Г. Лебо, В. Ф. Тишкин
Параллельно в Институте математического моделирования и Институте прикладной математики РАН развивались новые подходы к моделированию такого класса задач, основанные на использовании разностных схем с повышенным порядком точности (см. [17-20]). Программа впоследствии получила название «НАТ».
TVD 9-разностные схемы повышенного порядкаапроксимации. Программа «НАТ»
Программа «НАТ» численно решает систему уравнений бездис- сипативной газовой динамики в эйлеровых декартовых координатах. В векторном виде эта система уравнений имеет следующий вид:
гдегдеU =U =дхдхРРf。）=〈f。）=〈dU "(U) dt +dU "(U) dt +G(U)=G(U)=puvpv2 + рpuvpv2 + рpvwpvw£ +£ ++ pv+ pv++9G(U) + dH(U)9G(U) + dH(U)дудуdzdz＞，H(U)=＞，H(U)==0,=0,(5.3)(5.3)ри9 .ри^ +рри9 .ри^ +рpuvpuvpuwpuw0〃£ +0〃£ ++ pu+ pupwpwpuwpuwpvwpw2 + рpvwpw2 + рpW £ +pW £ ++ pw+ pw〉，〉，
где
где
U =
U =
дх
дх
Р
Р
f。）=〈
f。）=〈
dU "(U) dt +
dU "(U) dt +
G(U)=
G(U)=
puv
pv2 + р
puv
pv2 + р
pvw
pvw
£ +
£ +
+ pv
+ pv
+
+
9G(U) + dH(U)
9G(U) + dH(U)
ду
ду
dz
dz
＞，H(U)=
＞，H(U)=
=0,
=0,
(5.3)
(5.3)
ри
9 .
ри^ +р
ри
9 .
ри^ +р
puv
puv
puw
puw
0〃£ +
0〃£ +
+ pu
+ pu
pw
pw
puw
puw
pvw
pw2 + р
pvw
pw2 + р
pW £ +
pW £ +
+ pw
+ pw
〉，
〉，
(5.4)(5.4)Система уравнений (5.3) дополнена уравнением состояния
(5.4)
(5.4)
"=(T — 1)吸
Здесь p ——плотность; 〃， и, w ——компоненты вектора скорости 丿；£ ——удельная энергия на единицу объема; р — давление; 7 — постоянная адиабаты.
При решении задач, моделирующих развитие гидродинамической неустойчивости необходимо учитывать наличие нескольких компонент газов (в простейшем случае двух компонент), причем каждая г-я компонента может иметь различные значения теплоемкости С? и адиабатической постоянной 7г.
Для каждой компоненты вводится понятие массовой концентрации & = рг/Р^ где 0高 р ——плотность z-й компоненты и плотность смеси. При условии, что химические реакции между компонентами смеси не происходят и их относительные скорости малы по сравнению с гидродинамической скоростью смеси, уравнения непрерывности каждой компоненты имеют вид
^ = div AV = 0 (2= 1,2,..・，N).(5.5)
Вместо решения N уравнений непрерывности для каждой компоненты удобнее решать N — 1 уравнение и уравнение непрерывности для смеси. Для нахождения теплоемкости и показателя адиабаты смеси воспользуемся следующими соображениями: положим, что время релаксации между компонентами много меньше, чем характерные времена рассматриваемых процессов, тогда температуры отдельных компонент равны температуре смеси. В фиксированном объеме тепловая энергия смеси равна сумме энергий отдельных компонент: СтТ = £О?7п?Т, откуда О = £§?О小 По закону парциальных давлений р = £〃？， откуда, используя соотношение (5.4), для каждой компоненты получим
(56)
Выписанные выше уравнения решались числено с помощью явных разностных схем. Ниже кратко описан метод решения этих уравнений.
Прямоугольная область в системе координат (X, У, Z) разбивается сеткой 心=心/х 心^ х 心z，где
= {△?, ?■ = 1,…N^, △? = хг — хг— 1, |АгI =九①，hyNх = Lx},
={△小 j Ny, △彳=yj — Vj-\, I△ jI = hy, hyNу = Ly},
= 1, ... N^, Afe — ^k— 1,1 ^k I =九k, hkN• (5.7)
Здесь L化(yz)— размеры расчетной области вдоль осей {ж, у, z}.
Все дискретные значения газодинамических функций взяты в центрах узлов.
Для аппроксимации системы (5.3—5.4) использованы нелинейные консервативные разностные схемы повышенного порядка локальной аппроксимации. Ниже дано описание таких схем:
丁丁£+1/2汴—£—1/2汴£+1/2汴—£—1/2汴hxI G叮 1 /2khxI G叮 1 /2k++笛—]/2k I H笛k+1/2 — H%汴一1/2 _ c笛—]/2k I H笛k+1/2 — H%汴一1/2 _ c(5.8)(5.8)
丁
丁
£+1/2汴—£—1/2汴
£+1/2汴—£—1/2汴
hx
I G叮 1 /2k
hx
I G叮 1 /2k
+
+
笛—]/2k I H笛k+1/2 — H%汴一1/2 _ c
笛—]/2k I H笛k+1/2 — H%汴一1/2 _ c
(5.8)
(5.8)
胤十1/2/储 G?/+i/2k и H第七+1/2 — дискретные газодинамические потоки.
Все газодинамические параметры относятся к центрам ячеек, в то время как потоки вычисляются на поверхностях этих ячеек. Для того чтобы повысить точность аппроксимации разностной схемы, воспользуемся следующим приемом: будем полагать, что дискретные газодинамические потоки являются функциями двух переменных:
£+1/2井=①仔3/2汴,u]]®/,
(5-9)(5-9)G^ + i/2k田(4十]少，U£ + i/2k)' Ejk+T/2 = 6 (吟k+[/2, U*k+]/2 J
(5-9)
(5-9)
Здесь UJ+]/2/k и и^]/??^ — «левое» и «правое» значения вектора U на поверхности разностной ячейки, относительно которой рассчитывается поток Fz+y2jk (т.е. поверхности между двумя ячейками с индексом «?'» и «?' + 1»). Вектор U имеет N + 4 компоненты, соответствующие количеству уравнений системы (5.3-5.4). Соответственно U^+y2k,喝卜十[/2, (а = /,г) — «левые» и «правые» значения векторов на поверхностях между 《)》 и 《)+1» и 《к» и 《к + 1» ячейками. Для нахождения этих значений введем новый вектор Y(U), приращения которого будем ограничивать по следующим правилам:
(5.10)(5.10)^i^l/2,jk =匕汴 + 寸a(耳+[/2 汴)
(5.10)
(5.10)
匸 1/2…"(k+1/2汴)5丁
Функция-лимитер &(尺升1/2)антидиффузионных потоков имеет следующий вид (согласно [19]):
а«Я/2)=。‘ “ли A；]?/? W。,。W &(刃"/2)W 2, a⑴=1. (5.11)
Аргументы указанной выше функции имеют следующий вид:
Е>Г j+1/2Е>Г j+1/2（e+1汴产一（e/门и （e+2汴门一（匕+1汴门（e+1汴产一（e/门и （e+2汴门一（匕+1汴门(5.12)(5.12)（元一（元/门（元一（元/门
Е>Г j+1/2
Е>Г j+1/2
（e+1汴产一（e/门и （e+2汴门一（匕+1汴门
（e+1汴产一（e/门и （e+2汴门一（匕+1汴门
(5.12)
(5.12)
（元一（元/门
（元一（元/门
Индекс т = 1,2,... ,N + 4 соответствует компонентам векторов R и Y (т. е. газодинамическим параметрам в уравнениях (5.1-5.6).
«Левые» и «правые» величины для поверхностей (J, J + 1), (k, k + 1) узлов находятся по формулам, аналогичным (5.10) и (5.11).
В программе «НАТ» используются разностные схемы, потоки которых рассчитываются с помощью решения задачи о распаде произвольного разрыва на границе между двумя ячейками [22]. Для повышения порядка аппроксимации базовые потоки подправляются описанными выше антидиффузионными составляющими:
"^г+ y^jk =①(3+1/2汴)，G 第+ i/2k =田(U笛+1/2k)，
厂〜(5.13)
&汴+1/2 = 6("汴+1/2),
где 3十1/2汴，игз+х^к и，汴十1/2 — решения задачи о распаде произвольного разрыва на границе между соответствующими ячейками (так называемая《схема Годунова», подробнее см. [22]).
Вид функции а(А) может быть различным, при условии удовлетворения требований (5.11). В представленных расчетах использовался обычно «острый лимитер»
0, A W0，
2凡 0 W A W 0,4,
о + 可凡0,4 W A W 2,
23…
В качестве граничных условий задавались, как правило, на левой и правой границах условия непротекания (и = 0, и = 0, если считать, что волна падает вдоль оси 0Z), на границе 2 = 0 можно задать w = 0 (абсолютно упругая стенка), либо невозмущенный поток dw/dz = 0.
Анализ результатов экспериментов на ударныхтрубах, полученных в ЭНИН и других лабораториях.Сравнение с результатами численных расчетов
С помощью программы 《НАТ» в двумерной геометрии были проведены численные расчеты, моделирующие развитие одномодовых возмущений для случая контакта двух разноплотных газов. Параметры
газов, ударных волн и начальных возмущений брались из условий, которые были реализованы в экспериментах на ударных трубах в ЭНИН. Результаты расчетов сравнивались с данными экспериментов и расчетов, выполненных в других лабораториях.
Были выполнены три серии расчетов для случая пар газов:
криптон-ксенон; число Атвуда мало, А = 0,188 (начальная плотность в криптоне ркг = 1,87 • 10-3 г/см3, и в ксеноне рхе = 2,73 х х 10-3 г/см3, начальное давление в обоих газах Ро = 0,5 атм.). Ударная волна падала из криптона в ксенон. Число Маха (т. е. отношение скорости ударной волны к скорости звука) равнялось 3,5. Расчеты проводились в области 0 х Lx и 0 z Lz.
Граничные условия на левой и правой границах 一〃 = 0 (плоскость симметрии). Начальные условия ——три подобласти; Z, + Zsw < z < Lz подобласть газа, сжатого и нагретого ударной волной с числом Маха М = 3,5. Из условий Гюгонио находились значения плотности, давления и скорости течения газа за фронтом ударной волны (они отмечены индексом «1», в то время как невозмущенные значения отмечены индексом «0»):
Q = А)Q = А)7 + 17 + 1Pl = РОPl = РО7+l +(7-l)/ZF. l + 6+l)/ZP7+l +(7-l)/ZF. l + 6+l)/ZP(5.15)(5.15)若=若=/ П т —i +(—)/zp/ П т —i +(—)/zp2)2)
Q = А)
Q = А)
7 + 1
7 + 1
Pl = РО
Pl = РО
7+l +(7-l)/ZF. l + 6+l)/ZP
7+l +(7-l)/ZF. l + 6+l)/ZP
(5.15)
(5.15)
若=
若=
/ П т —i +(—)/zp
/ П т —i +(—)/zp
2)
2)
плотность pi = 6,01 • 10-3 г/см3, скорость за фронтом ударной волны wq = D — ui, положение ударной волны от контактного разрыва Zsw = =1,2 см, вторая область Zc < z < Zc + Zsw ——невозмущенный криптон, и третья область 0 < z < Zc невозмущенный ксенон.
Были проведены расчеты, когда контактная поверхность возмущена по синусоидальному закону. Возмущение контактной границы задавалось следующей формулой: + @о • cos (К • ж), 0 < ж < А/2 и расчет проводился в области с поперечным размером, равным половине длины волны возмущения. На границах 汽=0 и х = А/2 задавались условия абсолютно упругой стенки (乜=0 ——тангенциальная компонента скорости), на границе 2 = 0 —— условие dw/dz = 0. Ударная волна падала в направлении, противоположном направлению оси 0Z.
На рис. 5.1 показан рост амплитуд возмущения контактной поверхности от времени для следующих начальных параметров: длина волны возмущения А = 3,6 см и полная амплитуда Лт° = 2ao = 1 см (под полной амплитудой будем понимать расстояние от «вершины» до «подошвы» возмущения контактной границы). Это расстояние определи-
ется в расчетах с помощью частиц-«маркеров», которые располагаются на контактной границе в начальный момент времени. В расчете была взята сетка (20 х 600); число частиц-«маркеров» (120 х 120); сплошная кривая ——расчеты по коду «НАТ»; штриховая кривая ——результаты расчетов, выполненные R. Holmes из Института Куранта Нью-Йоркского университета на той же сетке; точками ——результаты экспериментов, выполненные в ЭНИН. Видно, что код «HAT» дает хорошее согласие с экспериментальными данными и результатами расчетов американских авторов на ранней стадии развития неустойчивости, далее, в процессе развития возмущения, американские расчеты на поздней нелинейной стадии образования 《грибов» дают несколько заниженный результат [7] (возможно причина этого в том, что разностные схемы в американской программе имели более низкий порядок аппроксимации, чем в программе «НАТ»).
Рис. 5.1. Рост амплитуды возмущения контактной границы Кг—Хе с начальной амплитудой Лт° = 1 см и длиной волны 3,6 см. Число Маха в ударной волне 3,5. Сравнение с расчетами, выполненными в США (штриховая линия) и экспериментами (точки)Рис. 5.1. Рост амплитуды возмущения контактной границы Кг—Хе с начальной амплитудой Лт° = 1 см и длиной волны 3,6 см. Число Маха в ударной волне 3,5. Сравнение с расчетами, выполненными в США (штриховая линия) и экспериментами (точки)m 3 再月0档再'3 A3 区厶 9^ 9^ 9^ 1^ 一―TLm 3 再月0档再'3 A3 区厶 9^ 9^ 9^ 1^ 一―TL
Рис. 5.1. Рост амплитуды возмущения контактной границы Кг—Хе с начальной амплитудой Лт° = 1 см и длиной волны 3,6 см. Число Маха в ударной волне 3,5. Сравнение с расчетами, выполненными в США (штриховая линия) и экспериментами (точки)
Рис. 5.1. Рост амплитуды возмущения контактной границы Кг—Хе с начальной амплитудой Лт° = 1 см и длиной волны 3,6 см. Число Маха в ударной волне 3,5. Сравнение с расчетами, выполненными в США (штриховая линия) и экспериментами (точки)
m 3 再月0档再'3 A3 区厶 9^ 9^ 9^ 1^ 一―TL
m 3 再月0档再'3 A3 区厶 9^ 9^ 9^ 1^ 一―TL
На рис. 5.2, а показаны результаты расчетов для случаев: 1) А = =3,6 см, Лт° = 0,2 см; 2) А = 2,4 см, Лт° = 0,2 см; 3) А = 1,2 см, Агт° = 0,2 см. Видно, что с уменьшением длины волны скорость роста амплитуд возмущения нарастает на начальной стадии, как предсказывает формула Рихтмайера, причем амплитуды возмущения нарастают практически по линейному закону по времени вплоть до параметра Л • Ат • k W 1—2, к = 2тг/А. (Как будет видно из дальнейшего, подобная зависимость наблюдается и для пары газов аргон-ксенон, Л = 0,535).
ааРис. 5.2. а) Рост амплитуды возмущения на контактной границы Кг—Хе для различных длин волн и фиксированной начальной амплитуды (Лт° = 0,2 см) и длин волн 1) X = 3,6 см, Лт° = 0,2 см; 2) А = 2,4 см, Лт° = 0,2 см; 3) X = 1,2 см. б, в) Рост амплитуды возмущения на контактной границы Кг—Хе для различных длин волн, но фиксированном значении Лтп° • к = 0,349, на рис. бив даны разные масштабы по времени, что позволяет проследить линейную (6) и нелинейную (в) стадии процессов
а
а
0,0400800力，мке0,0400800力，мкеНа рис. 5.2, 6, в показан рост амплитуд возмущений для случая фиксированных начальных значений «кривизны поверхности возмущения», то есть Л viz0 • к = 0,349 = const. На рис. 5.2, 6 показана начальная стадия (до момента времени 300 мкс), а на рис. 5.2, в те же графики, но вплоть до момента времени 800 мкс. Видно, что на ранней стадии наблюдается линейный рост, причем скорость роста одинаковая и зависит прямо пропорционально величине Агг^ ♦ к. Однако уже при Л • Ат • к》0,5 происходит замедление роста возмущения (кривая 3: А = 1,2 см ——штриховая линия).
0,0400800
力，мке
0,0400800
力，мке
Б) пара газов гелий-ксенон. Начальное давление 0,5 атм, начальная плотность в гелии pi = 8,23 ■ 10-5 г/см3, в ксеноне р2 = 2,273 х х 10-3 г/см3, откуда число Атвуда: Л = 0,94, число Маха: М = 2,25. Это случай, когда число Атвуда было порядка 1.
На рис. 5.3, а показан рост амплитуд возмущений контактной границы в том случае, когда Лт° = 0,2 см и А = 3,6, 2,4, 1,2 см (А х х Лт° • к < 1). Видно, что в этом случае результаты качественно согласуются с предсказаниями формулы Рихтмайера, и скорость роста амплитуды возмущения увеличивается с увеличением к. В ЭНИН с такой парой газов проводились эксперименты для случая начальных
660,050100150力мкс0,050100150力мксРис. 5.3. а) Рост амплитуды возмущений контактных границ Хе—Не для случаев одинаковых начальных амплитуд Лт° = 0,2 см и различных длин волн А: 1) А = 3,6 см, 2) А = 2,4 см, 3) X = 1,2 см. Рост амплитуды возмущений контактных границ Хе-Не. На рис. б показано сравнение с экспериментальными данными для 1) А = 3,6 см, 2) X = 2,4 см и Лт° = 1 см, в) А = 0,8 см — сравнение с экспериментальными данными и расчетами, сделанными В. В. Демченко (штриховая линия), а) Показаны изолинии плотности вблизи контактной границы на различные моменты времени X = 1,2 см, Лт° = 1 см
6
6
0,050100150
力мкс
0,050100150
力мкс
амплитуд возмущения контактной границы Лт° = 1 см. На рис. 5.3, 6 показан рост полных амплитуд от времени для случаев 1) А = 3,6 см, Агт° = 1 см, 2) X = 2,4 см, /т° = 1 см, (были сделаны также расчеты для случая: 3) А = 1,2 см, /тп° = 1 см. На рисунке эта кривая не показана ——она практически сливается с кривой 2)). В отличие от предыдущих вариантов во всех трех случаях амплитуды возмущения нарастают приблизительно с одинаковой скоростью. Эту же зависимость можно наблюдать и в экспериментах на ударных трубах (см. точки на рисунке — «квадратики» соответствуют варианту 1); «крестики» —варианту 2)). Видно, что в случае интенсивных ударных волн (М > 3), когда число Атвуда близко к 1, а начальная амплитуда возмущения достаточно велика, (т. е. Л ■ Лт° • к = 1—2) реализуется режим, качественно отличающийся от предсказаний линейной теории. В дальнейшем, в соответствии с терминологией, используемой в [24], будем называть такой режим «нерегулярным». В этом случае «вершина» возмущения быстро разрушается уже в процессе рефракции ударной волны на искривленной контактной границе. На рис.5.3, г показаны изолинии плотности вблизи контактной границы на моменты времени 力=12,5 мкм,力=75 мкс,力=200 мкс для случая развития возмущения на контактной границе двух газов: Kr-Хе (т. е. Л = 0,188) с длиной волны А = 1,2 см. В момент 力=0 Arr^ = 1 см, т. е. Л х х Лт° ' k = 1 ——имеет место «нерегулярный» режим развития неустойчивости. Видно, что при 力=12,5 мкс, когда амплитуда возмущения равна практически начальной, происходит разрушение вершины при 力=75 мкс, при Am W 2 • Лт°, уже полностью сформировался «гриб», при 力=200 мкс сформировалась зона турбулентного перемешивания.
В [20] опубликованы результаты расчетов развития возмущения контактной границы пары газов гелий-ксенон для случая А = 0,8 см и Лт° = 1 см на ранней стадии. Были проведены сравнительные расчеты на одинаковых сетках (80 х 2000). На рис. 5.3, в показаны результаты расчетов по программе «НАТ» (сплошная кривая), данные, предоставленные В. В. Демченко и опубликованные в [23] (пунктирная кривая) и данные экспериментов в ЭНИН (точки). Видно, что аппроксимационная вязкость в программе «НАТ» меньше, что позволило получить хорошее согласие с экспериментальными данными на поздней стадии развития неустойчивости.
. Пара газов аргон-ксенон. Начальное давление, как и ранее 0,5 атм, число Атвуда —— / = 0,535, число Маха М = 3,5. Исследовался вопрос о том, до каких значений параметра нелинейности (к • Ат) справедливо соотношение (5.1). Для начальных возмущений контактной границы с длинами волн 1) А = 3,6 см, 2) А = 2,4 см, и 3) А = 1,2 см была проведена серия расчетов с различными значениями начальной амплитуды Лт°. На рис. 5.4, о показаны рост амплитуд возмущений от времени для случаев, когда в расчетах Лт° • к = const, 1) Ат° = 0,62 см, 2) Лт° = 2/15 см, 3) Лт° = 1 /15 см. Видно, что при значениях параметра Лт° ■ к = 1 скорость роста возмущений
пропорциональна этой величине, как предсказывает формула (1), т. е. углы наклона трех кривых в окрестности 力〜0 одинаковые. Однако с ростом возмущений происходит отклонение от закона Рихтмайера, причем уже на довольно ранней стадии (сравните с рис. 5.2, 6 для случая А = 1,2 см). Тот факт, что отклонение от «рихтмайеровского режима» в этом случае начинается раньше, чем для пары газов крип- тон-ксенон, объясняется тем, что на контактной границе аргон-ксенон число Атвуда больше (А = 0,535). С увеличением Лт° зависимость амплитуды от времени носит более сложный характер (см. рис. 5.4, 6, где представлены зависимости амплитуд от времени для А = 3,6 см и /ш° = 0,2, 1 и 2 см. Видно, что в последнем случае отклонение от линейной зависимости по времени происходит уже при Ат》1,5Лт°). На рис. 5.4, в показан рост амплитуд возмущений для разных длин волн (3,6, 2,4 и 1,2 см) и начальных амплитуд 0,2 см. Коротковолновое возмущение (А = 1,2 см) быстро нарастает, достигнув амплитуды порядка 1 см, а затем происходит насыщение. Дальнейший рост уже связан с развитием турбулентного слоя.
Рис. 5.4. а) Рост амплитуды возмущений контактной границы Аг—Хе от времени при условии Лт° • k = const. 1) X = 3,6 см, Лт° = 0,2 см; 2) А = 2,4 см Лт° = 2/15 см; 3)入=1,2 см, Лт° =1/15 см. 6) Рост амплитуды возмущений границы Аг-Хе при фиксированной длине волны А = 3,6 см и различных начальных амплитудах Лт°: 1) 2 см; 2) 1 см; 3) 0,2 см. в) Рост амплитуды возмущений границы Аг—Хе для разных длин волн при начальной амплитуде Лт° = 0,2 см и длинах волн возмущений: 1) А = 3,6 см; 2) X = 2,4 см; 3) X = 1,2 см и с начальной амплитудой Лт° = 1 см
Таким образом, во всех рассмотренных случаях нарушения линейного закона происходят, когда начальные значения Л • Лт° • k 1. Поэтому, приближенно рост возмущений вплоть до переходной стадии можно описать следующей формулой:
dAm Ат* к AU
力мкс力мкс= 1 + акАт- ?()
力мкс
力мкс
где Ат* ——полная амплитуда возмущения сразу же после прохождения ударной волны через контактную поверхность (на графиках зависимости роста амплитуды от времени это соответствует минимальному значению Ат), а ——безразмерный коэффициент, который подбирается из численных расчетов. Формула (5.16) позволяет учесть регулярный (когда выполняется зависимость Рихтмайера) и нерегулярный режимы развития возмущений. Коэффициент а, вообще говоря, зависит от параметров газов вблизи контактной границы. Приближенно его можно определить, как а 2 ±0,5. Заметим, что формула (5.16) справедлива лишь на линейной и ранней нелинейной стадиях, пока взаимодействие между возмущениями не велико.
На рис. 5.5, а представлены зависимости амплитуд от времени для случаев Лт° = 1 см и А = 3,6, 2,4 и 1,2 см. Наблюдается перегиб кривой роста амплитуды при Ат • к 〜5—6, затем дальнейшее развитие уже турбулентного слоя (как и в предшествующих вариантах).
****■■ сетка 30-500 сетка 100-500сетка 25-250****■■ сетка 30-500 сетка 100-500сетка 25-250I I I I I I I I I I I I 11 I I I I I I I I 11 I I200300400I I I I I I I I I I I I 11 I I I I I I I I 11 I I200300400Рис. 5.5. и) Рост амплитуды возмущений контактной границы Аг—Хе от времени для длин волн возмущений: 1) X = 3,6 см; 2) А = 2,4 см; 3) А = 1,2 см и с начальной амплитудой Лт° = 1 см. б, в) Сравнение результатов расчетов роста амплитуды возмущений контактной границы Аг-Хе от времени для случаев Лт° = 1 см, 6) А = 3,6 см; в) А = 2,4 см на разностных сетках с различным числом узлов
****■■ сетка 30-500 сетка 100-500
сетка 25-250
****■■ сетка 30-500 сетка 100-500
сетка 25-250
I I I I I I I I I I I I 11 I I I I I I I I 11 I I
200300400
I I I I I I I I I I I I 11 I I I I I I I I 11 I I
200300400
Чтобы убедиться, что полученные разностные решения обладают свойством сходимости к истинному решению, и использованные в расчетах сравнительно грубые сетки позволяют передать характер развития возмущений, были проведены расчеты с различным количеством узлов на разностной сетке. На рис. 5.5, 6, в показаны результаты этих расчетов для случаев: б) А = 3,6 см, Am0 = 1 см, и в) А = 2,4 см, Am0 = 1 см. Расчеты сделаны на сетках (30 х 500), (100 х 500), (25 х 250). Во всех вариантах область счета 0 < х < 0,5А, 0 < г < 12 см.
На рис. 5.5, 6 видно, что заметное отличие результатов возникает лишь на поздней нелинейной стадии, причем в случае «грубой» сетки (25 х 250) рост амплитуды возмущения несколько «отстает» от случаев
Рис. 5.6. а, 6, в) Рост амплитуд возмущений (а) и формы контактной границы для случаев различных длин волн и на различные моменты времени (6, &). г) Рост амплитуды возмущений контактной границы от времени для случаев сильной ударной волны (число Маха М = 10) при прохождении через контактную границу Аг-Хе. Длины волн возмущений 3,6 (вариант 121), 2,4 (вариант 122), и 1,2 (вариант 123) смРис. 5.6. а, 6, в) Рост амплитуд возмущений (а) и формы контактной границы для случаев различных длин волн и на различные моменты времени (6, &). г) Рост амплитуды возмущений контактной границы от времени для случаев сильной ударной волны (число Маха М = 10) при прохождении через контактную границу Аг-Хе. Длины волн возмущений 3,6 (вариант 121), 2,4 (вариант 122), и 1,2 (вариант 123) см
Рис. 5.6. а, 6, в) Рост амплитуд возмущений (а) и формы контактной границы для случаев различных длин волн и на различные моменты времени (6, &). г) Рост амплитуды возмущений контактной границы от времени для случаев сильной ударной волны (число Маха М = 10) при прохождении через контактную границу Аг-Хе. Длины волн возмущений 3,6 (вариант 121), 2,4 (вариант 122), и 1,2 (вариант 123) см
Рис. 5.6. а, 6, в) Рост амплитуд возмущений (а) и формы контактной границы для случаев различных длин волн и на различные моменты времени (6, &). г) Рост амплитуды возмущений контактной границы от времени для случаев сильной ударной волны (число Маха М = 10) при прохождении через контактную границу Аг-Хе. Длины волн возмущений 3,6 (вариант 121), 2,4 (вариант 122), и 1,2 (вариант 123) см
сетки с большим числом узлов. На рис. 5.5, в показан рост амплитуд возмущений от времени для А = 2,4 см и Ат° = 1 см для случаев счетных сеток (40 х 250), (20 х 250) и (80 х 500). Видно, что результат практически не зависит от выбора сетки.
До сих пор, для пары газов Ar-Хе, рассматривался «регулярный» режим развития неустойчивости, когда на первой (линейной) стадии развития скорость роста возмущения была пропорциональна волновому числу, затем наступала нелинейная стадия, когда «струи» и «пузыри» развивались с разной скоростью и форма возмущения уже отличалась от синусоидальной и, наконец, — переходной режим, когда струи разрушались и формировался турбулентный слой.
На рис. 5.6, а, 6, в представлены результаты расчетов развития возмущений для сильно выраженного нерегулярного режима (А • Ат° х х к > 2 для длин волн возмущений А = 3,6, 2,4, 1,2 см и Агт° = 2 см). Видно, что в этом случае начальная скорость роста будет одинаковой для трех различных длин волн, но в случае коротких волн возмущение разрушается быстрее (см. рис. 5.6, а). Уже на стадии рефракции ударной волны происходит такое разрушение возмущения (t = 25 мкс), когда амплитуда еще не достигла своего первоначального значения (рис. 5.6, 6). На рис. 5.6, в показаны формы возмущений к моменту, когда «шляпки грибов» сравниваются по размеру с начальной длиной возмущения (переход к стадии формирования зоны турбулентного перемешивания).
Заметим, что характер развития возмущений слабо зависит от интенсивности ударной волны (значений чисел Маха). Так на рис. 5.6, г показаны зависимости амплитуд от времени для случая, когда М = 10 (очень сильная ударная волна). В этих расчетах начальные значения A viz0 = 1 см, а А = 3,6 (вариант 121), 2,4 (вариант 122) и 1,2 см (вариант 123). Поведение амплитуд на начальной стадии 0 < t < 40 мкс возмущений близко тому, что наблюдается на рис. 5.4, в 9.
Аналогичное поведение наблюдалось и для пар газов А) и Б). Физическая причина наблюдаемой в расчетах «временной стабилизации роста амплитуды возмущения» подробнее обсуждается в следующем разделе.
Таким образом, параметр г = А - Ат° ■ к определяет характер развития неустойчивости при е W 1 имеет место регулярный режим развития неустойчивости (линейный, слабо нелинейный и т. д.), а при е > 1 — нерегулярный. Вплоть до значений А • Ат° • к = 3 рост амплитуды возмущения можно описать с помощью (5.16). Для описания более поздней стадии следует учитывать взаимодействие с соседними возмущениями.
Понятно, что при больших числах Маха скорость газа за фронтом ударной волны больше и неустойчивость развивается быстрее, поэтому можно говорить лишь о качественном подобии поведения амплитуды возмущения от времени.
О развитии синусоидальных и уединенныхвозмущений в области контакта двух газовпри импульсном ускорении
Были проведены расчеты развития неустойчивости контактной поверхности пары газов — аргон и ксенон [25]. Параметры задачи соответствовали условиям экспериментов, описанных в [7] — до прихода ударной волны давление в обоих газах равнялось 0,5 атм, а число Атвуда А = 0,54. Ударная волна имела скорость в 3,5 раза превосходящую скорость звука (число Маха М = 3,5). Задача решалась в двумерной области (х, z). Полагалось, что система координат смещается с постоянной скоростью Wq = 553,2 м/с вдоль оси 0Z, что позволило проводить расчеты на временах до 600 мкс в области 0 < г < 12 см на сетках, имевших умеренное число узлов (от 250 до 1000 узлов вдоль 0Z и от 20 до 80 узлов по направлению 0Х).
Было сделано две серии расчетов — в первой серии предполагалось, что контактная поверхность возмущена по синусоидальному закону. Возмущение контактной границы имело вид косинусоиды a。cos(k х х х), где а。= 0,5Ат° и k = 2тг/А. Расчет проводился в области с поперечным размером равным половине длины волны возмущения. На границах х = 0 и х = А/2 задавались условия абсолютно упругой стенки (Ux = 0 — тангенцальная компонента скорости) на границе z = 0 ——условие dWz/dz = 0. Ударная волна падала в направлении противоположном направлению оси 0Z.
Вторая серия расчетов соответствовала «уединенному возмущению», когда расчеты проводились в области с поперечными размерами: 0 < х < 0,75А и 0 < х < 1,5А, причем
% = %о + @0 cos(k • x), если 0 < x < А/2 и
(5.17)
Zc = Zco — а。при х > А/2.
На рис. 5.7 показаны изолинии плотности в окрестностях контактной границы на моменты времени 100 и 400 мкс для случаев «уединенного» и «синусоидального» возмущений. Начальная полная амплитуда возмущения равнялась 1 см (полная амплитуда — расстояние от пика до основания возмущения), а длина волны — 3,6 см.
На рис. 5.8 показан рост полных амплитуд этих возмущений. Точками ——результаты экспериментов, выполненных в ЭНИН. Видно, что при Am(t) • к < 4,5 (если под амплитудой понимать половину расстояния от пика до основания, тогда это значение будет равняться 2,2—2,3) граничные условия не влияют на развитие «грибообразной структуры», затем синусоидальное возмущение начинает разрушаться быстрее и амплитуда его растет медленнее, чем в случае «уединенного» возмущения. Аналогичная картина наблюдается для случаев А = 2,4 и 1,2 см.
а 力=100 мкс
Уединенное возмущениеУединенное возмущениеСинусоидальное возмущениеСинусоидальное возмущениеРис. 5.7. Развитие возмущений на контактной границе Ar-Хе для случаев одиночного (слева) и синусоидального (справа) возмущений с длиной волны 3,6 и начальной амплитудой 1 смРис. 5.7. Развитие возмущений на контактной границе Ar-Хе для случаев одиночного (слева) и синусоидального (справа) возмущений с длиной волны 3,6 и начальной амплитудой 1 см
Уединенное возмущение
Уединенное возмущение
Синусоидальное возмущение
Синусоидальное возмущение
Рис. 5.7. Развитие возмущений на контактной границе Ar-Хе для случаев одиночного (слева) и синусоидального (справа) возмущений с длиной волны 3,6 и начальной амплитудой 1 см
Рис. 5.7. Развитие возмущений на контактной границе Ar-Хе для случаев одиночного (слева) и синусоидального (справа) возмущений с длиной волны 3,6 и начальной амплитудой 1 см
На рис. 5.9, а, 6 показаны формы первоначально синусоидальных возмущений с длинами волн А = 3,6 см, 2,4 см и, соответственно, Лт° = 1,5, 1 см на моменты времени 力=200 и 400 мкс. Сравнивалось развитие возмущений с одинаковой кривизной поверхности (Лт° • к = =const).
Ниже на рис. 5.9, в показаны рост амплитуд возмущений для случаев синусоидальных возмущений с 1) А = 3,6 см, Am0 = 1,5 см; 2) А = 2,4 см,厶?7?° = 1 см; и «уединенного возмущения 3) А = 2,4 см и Am0 = 1 см.
Рис. 5.8. Сравнение роста амплитуд уединенных и синусоидальных возмущений, крестиками отмечены экспериментальные точки. Начальная амплитуда 1 см, длина волны 3,6 см. / ——«синусоидальное» н 2 ——«уединенное» возмущения
t = 200 мкс
12
10
О 1,83,61,22,4 О
Рис. 59 о, 6) Формы возмущений контактных поверхностей газов Аг-Хе на моменты времени 200 (а) и 400 мкс (6) для случаев А = 3,6 см, Ат° = 1,5 см (слева) и 入=2,4 см, Ат° = 1 см (справа). Изолинии плотности на моменты времени 力=200 и 力=400 мкс (6). На рис. в показан рост амплитуд для различных значений Аш° и А
6 才=400 мкс
1,83.6 01.22.4
о о
о О
см 6 Уединенное возмущение
Am0 = 1,5 см /
2 = 3,6 см /
Am0 = 1 см
2
2
5 0 5
9^
от，
см 4 of
см
'5о 工工
0万Q万0 乙 6 6 4 1
Al
00
2
о
40
ОО
6
00
8
о м оосм
1力
Рис. 5.10. Изолинии плотности на различные моменты времени. «Уединенное» возмущение на контактной границе Ar-Хе, А = 2,4 см, Ат° = 1 см
На рис. 5.10 приведены изолинии плотности вблизи контактной поверхности для случая «уединенного» возмущения с А = 2,4 см и Ат° = 1 см, когда правая стенка удалена на пол длины волны. Видно, что синусоидальное и «уединенное» возмущения растут одинаково приблизительно до 150—200 мкс. Этот момент соответствует «событию» когда «шляпки» двух соседних синусоидальных возмущений начинают соприкасаться (в используемой модели это соответствует соприкосновению «шляпки» гриба с абсолютно упругой стенкой, см. рис. 5.9, а, 6. Абсолютно упругая стенка (либо плоскость симметрии в нашей задаче) не позволяют взаимодействовать двум соседним возмущениям. Происходит замедление роста возмущения и изменение его формы. «Уединенное возмущение» продолжает расти, как видно на рис. 5.10.
В случае коротких длин волн для случая синусоидальных возмущений при Ат ■ k > 3 наблюдается период замедленного роста основного «гриба» и формирования нового образования.
На рис. 5.11 показаны результаты расчетов возмущений для длины волны 1,2 см с начальной полной амплитудой 1 см. Слева — «уединенное возмущение», справа — «синусоидальное». К моменту t р^ 75—80 мкс для случая X = 1,2 см, шляпка расширилась вплоть до боковой стенки (или плоскости симметрии) и рост этого «гриба» приостановился. Этот эффект объясняется тем, что из-за перезамыкания «шляпок» соседних грибов возрастает лобовое сопротивление набегающему потоку. Если бы поверхность возмущения представляла бы плоскость перпендикулярную потоку, то рост возмущения прекратился бы, так как набегающий поток не мог бы «обтекать» эту поверхность, а сдвиговая неустойчивость не развивалась. Однако, поверхность возмущения искривлена, происходит как бы удвоение волнового числа и начинается рост нового более коротковолнового возмущения. Ма-
а力=75 мкс
Уединенное возмущение Синусоидальное возмущение
Рис. 5.11. Изолинии плотности вблизи контактной границы Ar-Хе на моменты времени 力=75 (а) и 力=200 (б) мкс. Слева ——«уединенное» возмущение, справа — синусоидальное
тематическая постановка задачи позволяет реализоваться только тем длинам волн возмущений, которые кратны длине 1,2 см.
Рис. 5.12. Сравнение роста амплитуд возмущений для случаев синусоидального (сплошная кривая), уединенного (штриховая кривая) и экспериментальных данных (крестики)
В соответствующих экспериментах к моменту t ^ 50—70 мкс наблюдался «перехлест» и слияние «шляпок» после чего начинался рост области перемешивания, как целого. На рис. 5.12 сплошной линией показан рост амплитуды синусоидального возмущения, штриховой линией показан рост амплитуды возмущения «уединенного гриба», причем при 力 > 100 мкс его амплитуда больше, чем в случае синусоидального возмущения; точками показаны данные экспериментов в ЭНИН.
Таким образом, на переходной стадии процесса скорость роста возмущений зависит уже не только от параметров, описывающих отдельные возмущения (то есть амплитуды, длины волны и соотношения плотностей газов у контактной границы), но и от характера их взаимодействия с соседями. Ниже будет показано, что на этой стадии эволюция возмущений будет зависеть также от размерности задачи (т. е. от того, изучается эволюция двухмерных или трехмерных возмущений).
Особенности развития возмущений в трехмернойгеометрии. Сравнение с результатамит полученнымив AWE Aldermaston (Англия)
С помощью трехмерной версии программы «НАТ» были проведены исследования развития неустойчивости вблизи контактной границы двух газов для случая начальных возмущений, зависящих от координат х, у, z. Расчеты были сделаны для пар газов аргон-ксенон и гелий-ксенон. На ударной трубе в ЭНИН были проведены эксперименты с соответствующими параметрами газов и возмущений контактной поверхности. На контактной поверхности с помощью тонкой лавсановой пленки и нитей создавалась «решетка». Слегка увеличив давление в одном из
газов, можно было обеспечивать выпуклость возмущений навстречу падающей ударной волне, либо в противоположном направлении.
В расчетах трехмерное возмущение задавалось в следующем виде
4(z, g) = a。cos4(z, g) = a。cos(5.18)(5.18)
4(z, g) = a。cos
4(z, g) = a。cos
(5.18)
(5.18)
Расчеты были сделаны в области 0 < х < 0,5入片,Q < у < 0,5А^ и О < г < Lz.
В первой серии расчетов моделировалось развитие трехмерных возмущений на контактной поверхности пары газов аргон-ксенон. Параметры газов (плотность и давление) были такими же, как в случае двухмерных возмущений, А = 0,54, число Маха М = 3,5. Сравнивали скорость роста двумерных (с X = 2,4 см) и трехмерных (入①=Ху = Азр — 3,6 см) возмущений. В трехмерном случае волновое число
Таким образом, возмущения в двухмерном случае с А = 2,4 см имели приблизительно то же волновое число, что и трехмрные с Азр = 3,6 см.
На рис. 5.13, а показан рост амплитуд возмущений в трехмерном и двухмерном случаях, когда полная начальная амплитуда равнялась Ат° = 1 см (в двухмерном случае Am0 = 2a°, в трехмерном случае Ат° = а。). Видно, что на ранней стадии двумерные и трехмерные возмущения растут с одинаковой скоростью, затем двухмерное возмущение разрушается быстрее, чем трехмерное.
На рис. 5.13, б, в показаны изолинии плотности в трехмерном и двухмерном случае при t = 100 мкс. Видно из рисунка, что струя в трехмерном случае толще и для ее разрушения требуется больше времени 9.
Во второй серии расчетов исследовалось развитие неустойчивости для пары газов гелий-ксенон (начальное давление 0,5 атм, число Атвуда А = 0,92). Были сделаны расчеты для случая одномодовых возмущений:
1)入片=Ху = 7,2 см; а。= 1 см, число Маха равнялось 2,5;
Хх = Ху = 3,6 см; а。= 0,91 см; число Маха — 3,43;
% =儿=3,6 см; а。= —0,91 см; число Маха — 3,11.
Расчетная область 0 < х, у < 0,5 • %®. —9 V z V 5,4 см. В первом расчете скорость движения невозмущенного газа (или системы координат, что то же самое) равняется 493,7 м/с. Расчет был сделан на сетке (20 х 20 х 80). Во втором и третьем вариантах использовалась такая же сетка. Скорость невозмущенного потока равнялась 666 м/с.
1) В [26] также представлены сравнительные результаты расчетов развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова в двумерной и трехмерной геометриях.
1010Рис. 5.13. а) Сравнение роста возмущений с одинаковым волновым числом для случаев трехмерного и двухмерного начального возмущений. На рис. (а) показан рост амплитуд, на (6, е) — изолинии плотности на указанные моменты времени, б, 6)Очертания (изолинии плотности) возмущений для случаев двумерных (б) и трехмерных (б) возмущений на указанные моменты времени
10
10
88662D version, Ar-Хе, 2 = 2,4 см2D version, Ar-Хе, 2 = 2,4 см3D version, Ar-Хе, 2 = 3,6 см3D version, Ar-Хе, 2 = 3,6 см01,22,41,22,4 01,83,0 01,83,0100 мкс200 мкс100 мкс200 мкс01,22,41,22,4 01,83,0 01,83,0100 мкс200 мкс100 мкс200 мксРезультаты сравнивались с данными, полученными в расчетах доктора D. Youngs из Алдермастона (Atomic Weapon Establishment — AWE Aldermaston, UK) по программе TURMOIL. На рис. 5.14 сверху показаны фотографии возмущений контактной границы, полученные в ЭНИН для случая 1), во втором ряду — изолинии концентрации Хе в осевом сечении вблизи контактной границы, полученные в расчетах по программе «НАТ», а в третьем ряду — контуры возмущенной поверхности, полученные в расчетах д-ра Янгса (D. Youngs).
8
8
6
6
2D version, Ar-Хе, 2 = 2,4 см
2D version, Ar-Хе, 2 = 2,4 см
3D version, Ar-Хе, 2 = 3,6 см
3D version, Ar-Хе, 2 = 3,6 см
01,22,41,22,4 01,83,0 01,83,0
100 мкс200 мкс100 мкс200 мкс
01,22,41,22,4 01,83,0 01,83,0
100 мкс200 мкс100 мкс200 мкс
На рис. 5.15 соответственно, результаты экспериментов (верхний ряд), изолинии концентрации Хе, полученные по программе «НАТ», и контуры возмущений, расчитанные в Алдермастоне для варианта 2).
На рис. 5.16, о — соответствующие результаты для варианта 3). В отличие от предыдущих картинок на рис. 5.16, 6 (второй ряд) показаны усредненные по направлению 0У" изолинии концентрации (т. е. взят интеграл от концентраций по направлению 0У и поделен на это расстояние).
Z； = 4()( )—5(2 мксZ； = 4()( )—5(2 мкс200 мкс200 мкс400 мкс400 мксРис. 5.14. Сравнение результатов трехмерных расчетов по программам «НАТ» (6) и AWE Aldermaston (е). Вариант 1. Сверху показаны фотографии возмущений, полученные в эксперименте в условиях, близких к тем, которые задавались в расчетахРис. 5.14. Сравнение результатов трехмерных расчетов по программам «НАТ» (6) и AWE Aldermaston (е). Вариант 1. Сверху показаны фотографии возмущений, полученные в эксперименте в условиях, близких к тем, которые задавались в расчетах
Z； = 4()( )—5(2 мкс
Z； = 4()( )—5(2 мкс
200 мкс
200 мкс
400 мкс
400 мкс
Рис. 5.14. Сравнение результатов трехмерных расчетов по программам «НАТ» (6) и AWE Aldermaston (е). Вариант 1. Сверху показаны фотографии возмущений, полученные в эксперименте в условиях, близких к тем, которые задавались в расчетах
Рис. 5.14. Сравнение результатов трехмерных расчетов по программам «НАТ» (6) и AWE Aldermaston (е). Вариант 1. Сверху показаны фотографии возмущений, полученные в эксперименте в условиях, близких к тем, которые задавались в расчетах
На рис. 5.17, а приведены амплитуды возмущений от времени для трех вариантов, сплошные линии ——расчеты по программе «НАТ», «звездочки», «крестики» и «точки» — соответствующие результаты, полученные D. Youngs.
Ударная
100 мкс200 мкс
Рис. 5.15. Вариант 2. Очертание возмущений контактной границы Не-Хе, полученное в эксперименте (о), в расчетах по программе «НАТ» (6) и в расчетах, выполненных в Англии (в)
Видно хорошее согласие расчетных результатов, полученных в разных лабораториях и по различным методикам.
В следующей серии расчетов моделировалось развитие трехмерных возмущений с одинаковыми начальными амплитудами Аш0, но с различными длинами волн Хх = Ау = А.
Рис. 5.16. Сравнение результатов расчетов развития трехмерного возмущения контактной границы Не-Хе, вариант 3. (а) — эксперимент; (6) — контуры возмущений, полученные в расчете по программе《НАТ»; (в) — контуры возмущений, полученные в расчете в AWE Aldermaston
На рис. 5.17, 6 показаны зависимости роста амплитуд трехмерных возмущений от времени для случаев 1) Аж =入^ = 3,6 см; 2) Ах = =Ху = 2,4 см; 3) Ах = Ху = 1,62 см. Во всех случаях AmQ = 0,91 см. Ударная волна падала из гелия в ксенон и имела число Маха М = 3,43. Видно, что скорость роста возмущений на начальной стадии оказалась одинаковой, хотя длины волн отличались в два раза. Причина в том,
8866Рис. 5.17. а) Рост амплитуд возмущений контактной границы Не-Хе для случая трехмерных начальных возмущений. Сравнение с расчетами, сделанными в AWE Aldermaston, варианты 1, 2, 3. б) Рост амплитуд трехмерных возмущений на контактной границе Не-Хе от времени для случаев: 1) Хх = Ху = 3,6 см и 2)Рис. 5.17. а) Рост амплитуд возмущений контактной границы Не-Хе для случая трехмерных начальных возмущений. Сравнение с расчетами, сделанными в AWE Aldermaston, варианты 1, 2, 3. б) Рост амплитуд трехмерных возмущений на контактной границе Не-Хе от времени для случаев: 1) Хх = Ху = 3,6 см и 2)% = 2,4 см (б) и усреднен% = 2,4 см (б) и усреднен力，мке力，мке664422ОО01,22 = 2,4 см01,22 = 2,4 см—2—2ные вдоль оси ОХ концентрации при 力=100 мкм (в)ные вдоль оси ОХ концентрации при 力=100 мкм (в)
8
8
6
6
Рис. 5.17. а) Рост амплитуд возмущений контактной границы Не-Хе для случая трехмерных начальных возмущений. Сравнение с расчетами, сделанными в AWE Aldermaston, варианты 1, 2, 3. б) Рост амплитуд трехмерных возмущений на контактной границе Не-Хе от времени для случаев: 1) Хх = Ху = 3,6 см и 2)
Рис. 5.17. а) Рост амплитуд возмущений контактной границы Не-Хе для случая трехмерных начальных возмущений. Сравнение с расчетами, сделанными в AWE Aldermaston, варианты 1, 2, 3. б) Рост амплитуд трехмерных возмущений на контактной границе Не-Хе от времени для случаев: 1) Хх = Ху = 3,6 см и 2)
% = 2,4 см (б) и усреднен
% = 2,4 см (б) и усреднен
力，мке
力，мке
6
6
4
4
2
2
О
О
01,2
2 = 2,4 см
01,2
2 = 2,4 см
—2
—2
ные вдоль оси ОХ концентрации при 力=100 мкм (в)
ные вдоль оси ОХ концентрации при 力=100 мкм (в)
что уже при 力=0 параметр А • Ат° ■ к = 3, т. е. имеет место «нерегулярный» режим развития неустойчивости.
Особенности развитиямногомодовых начальных возмущений
В предыдущих разделах изучалось развитие одномодовых возмущений в двумерной и трехмерной геометриях. В этом разделе представлены результаты расчетов для случая многомодовых начальных возмущений [28]. В первой серии расчетов моделировалось развитие неустойчивости для пары газов аргон-ксенон. Начальное давление в газах было 0,5 атм, число Атвуда Л = 0,535, число Маха в падающей волне 3,5. На рис. 5.18, а дана постановка задачи для трех вариантов:
«уединенное» возмущение с длиной волны 3.6 см и начальной полной амплитудой 1 см (левый рисунок);
«двойное» возмущение, когда первая мода имела длину волны 3,6 см и амплитуду 1 см, а вторая мода с длиной волны 1,8 см и
амплитудой 0,5 см была сдвинута на расстояние между вершинами на 2,7 см (средний рисунок);
«симметричное тройное возмущение», основная мода с длиной волны 3,6 см и полной амплитудой 1 см и двумя модами с длинами волн 1,8 см и амплитудами 0,5 см, вершины сдвинуты относительно вершины основной моды на 0,9 см (правый рисунок).
На рис. 5.18, 6 показаны изолинии плотности вблизи контактной границы на моменты времени 200 мкм, 300 мкм и 500 мкм. Видно, что в случае 2) наряду с ростом амплитуд возмущений между двумя модами формируется «провал». При этом верхняя часть малого возмущения немного смещается в сторону большого. В третьем варианте происходит слияние малых мод с основной.
На рис. 5.18, в показан рост полной амплитуды для трех вариантов. Расчеты были сделаны в двумерной геометрии. В ЭНИНе на ударной трубе были проведены соответствующие эксперименты для одного, двух- и трехмодовых возмущений. Такие возмущения контактной границы создавались с помощью тонкой изогнутой лавсановой пленки. Результаты расчетов качественно согласуются с тем, что наблюдается в экспериментах. На рис. 5.19 показаны фотографии соответствующих экспериментов, проведенных в ЭНИН для моментов времени t = 225 мкс,力=250 мкс, t = 275 мкс (на фотографиях во втором столбце малое возмущение находится слева от большого, в отличие от расчетной постановки задачи. Однако это расхождение не меняет
АгУдарная волна '/ : %'КонтактнаяграницаХе '4 Ат, см32-АгУдарная волна '/ : %'КонтактнаяграницаХе '4 Ат, см32-АгУдарнаяволнаАгУдарнаяволнаАгУцарнаяволнаТСонтактнаяграницаАгУцарнаяволнаТСонтактнаяграницаКонтактная границаКонтактная границаХеХеХеХе1- /°0 100 200 300 400 500 6001- /°0 100 200 300 400 500 60066力，мке力，мке
Аг
Ударная волна '
/ : %'
Контактнаяграница
Хе '
4 Ат, см
3
2-
Аг
Ударная волна '
/ : %'
Контактнаяграница
Хе '
4 Ат, см
3
2-
Аг
Ударнаяволна
Аг
Ударнаяволна
Аг
Уцарнаяволна
ТСонтактнаяграница
Аг
Уцарнаяволна
ТСонтактнаяграница
Контактная граница
Контактная граница
Хе
Хе
Хе
Хе
1- /
°0 100 200 300 400 500 600
1- /
°0 100 200 300 400 500 600
6
6
力，мке
力，мке
Рис. 5.18. Форма начальных возмущений контактной границы газов Аг-Хе в вариантах 1, 2, 3 (а); рост амплитуд возмущений от времени для этих вариантов (б); изолинии плотности на моменты времени 力=200, 300 и 500 мкм (в)
сути задачи). К сожалению, размеры окна визуализации не позволили наблюдать развитие возмущений в большем диапазоне времен.
Рис. 5.19. Результаты экспериментов, выполненных в ЭНИН. Развитие одно-,двух- и трехмодовых возмущений контактной поверхности Аг-Хе
На рис. 5.20 показаны результаты расчетов развития неустойчивости для случая пары газов гелий-ксенон, начальное давление 0,5 атм, число Атвуда А = 0,94. Было проведено два расчета для двухмодовых возмущений, с Ai = 3,6 см, Ait^ = 1 см; 为 =1,8 см, Агп^ = 0,5 см. В первом варианте обе моды были «в фазе» (вариант 604), а во втором — «в противофазе» (вариант 605). На рис. 5.20, а показаны формы контактной границы до прихода ударной волны. На рис. 5.20, 6 показан рост полных амплитуд возмущений (т. е. расстояние Am(t) = Z：ax — z：m, где Zc — координата контактной границы). Поскольку уже в начальный момент полная амплитуда возмущения в варианте 605 больше в 1,5 раза, чем в варианте 605, то и в дальнейшем ее график лежит выше. И в этом случае результаты расчетов сравнивались с экспериментами, выполненными в ЭНИНе. «Крестиками» (вариант 604) и «кружочками» (вариант 605) отмечены значения амплитуд возмущений, полученные в экспериментах на ударной трубе [29].
Аш, см 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0.
0 100 200 300 400 t, см
6
Рис. 5.20. Развитие двумодовых возмущений на контактной границе Не-Хе. Форма начальных возмущений для случаев, когда возмущения направлены в одну сторону (вариант 604) и в противоположные (вариант 605) стороны (а). Рост амплитуд возмущений от времени для вариантов 604 и 605 (6). «Крестиками» и «кружочками» отмечены данные экспериментов
Рис. 5.21. Форма двумодового возмущения контактной границе Не-Хе на момент времени 52 и 150 мкс (эксперимент). Слева (о) — соответствует варианту 604, справа (б) — варианту 605Рис. 5.21. Форма двумодового возмущения контактной границе Не-Хе на момент времени 52 и 150 мкс (эксперимент). Слева (о) — соответствует варианту 604, справа (б) — варианту 605Изображения возмущенных контактных поверхностей в экспериментах показано на рис. 5.21, а, 6. Видно, что имеется хорошее согласие расчетных и экспериментальных данных не только по амплитуде, но и по форме возмущений (например, появление боковых «отростков», изгиб «ножки большого гриба» и т. д.).
Рис. 5.21. Форма двумодового возмущения контактной границе Не-Хе на момент времени 52 и 150 мкс (эксперимент). Слева (о) — соответствует варианту 604, справа (б) — варианту 605
Рис. 5.21. Форма двумодового возмущения контактной границе Не-Хе на момент времени 52 и 150 мкс (эксперимент). Слева (о) — соответствует варианту 604, справа (б) — варианту 605
В следующей серии расчетов моделировалось развитие трехмерных многомодовых возмущений. Расчеты соответствовали условиям экспериментов, выполненных в ЭНИН. На контактной границе двух газов — гелий-ксенон задавались многомодовые трехмерные возмущения.
66力=100 мкс力=100 мксZZ0,03,60,03,60,03,60,03,6в力=200 мксв力=200 мкс0,03,60,03,60,03,60,03,6Рис. 5.22. Эволюция шестимодовых возмущений, вариант 404: линии изоконцентраций, усредненные вдоль направлений 0У (слева)и 0Х (справа) на моменты времени (а)力=0; (6)力=100 н (s)力=200 мксРис. 5.22. Эволюция шестимодовых возмущений, вариант 404: линии изоконцентраций, усредненные вдоль направлений 0У (слева)и 0Х (справа) на моменты времени (а)力=0; (6)力=100 н (s)力=200 мкс
6
6
力=100 мкс
力=100 мкс
Z
Z
0,03,6
0,03,6
0,03,6
0,03,6
в力=200 мкс
в力=200 мкс
0,03,60,03,6
0,03,60,03,6
Рис. 5.22. Эволюция шестимодовых возмущений, вариант 404: линии изоконцентраций, усредненные вдоль направлений 0У (слева)и 0Х (справа) на моменты времени (а)力=0; (6)力=100 н (s)力=200 мкс
Рис. 5.22. Эволюция шестимодовых возмущений, вариант 404: линии изоконцентраций, усредненные вдоль направлений 0У (слева)и 0Х (справа) на моменты времени (а)力=0; (6)力=100 н (s)力=200 мкс
В первой серии расчетов (варианты 404—405) исследовалось развитие шестимодовых начальных возмущений. Вся плоскость ОХУ была разбита на 6 подобластей с границами по оси ОХ х^ = 0, 1,2, 3,6, 7,2 см, и по оси ОУ уг = 0, 2,4, 7,2 см.
Возмущения контактной границы задавались по формуле
〃)= Ao sin〃)= Ao sin(5.20)(5.20)
〃)= Ao sin
〃)= Ao sin
(5.20)
(5.20)
где Жж1 = 1,2 см, Жж2 = 2,4 см, Жжз = 3,6 см, Wy\ = 2,4 см, Жу2 = =4,8 см, i = 1,2, 3; J = 1,2.
Рис. 5.23. Моды возмущений контактной границы (и) и рост амплитуд возмущений от времени (б) для вариантов 405 и 404. «Крестиками» показаны результаты расчетов, выполненных в AWE Aldermaston. Линии изоконцентрации ксенона вблизи контактной поверхности на моменты времени 0, 100 и 200 мкс (в)Рис. 5.23. Моды возмущений контактной границы (и) и рост амплитуд возмущений от времени (б) для вариантов 405 и 404. «Крестиками» показаны результаты расчетов, выполненных в AWE Aldermaston. Линии изоконцентрации ксенона вблизи контактной поверхности на моменты времени 0, 100 и 200 мкс (в)0,03,6力=200 мкс0,03,6力=200 мкс
Рис. 5.23. Моды возмущений контактной границы (и) и рост амплитуд возмущений от времени (б) для вариантов 405 и 404. «Крестиками» показаны результаты расчетов, выполненных в AWE Aldermaston. Линии изоконцентрации ксенона вблизи контактной поверхности на моменты времени 0, 100 и 200 мкс (в)
Рис. 5.23. Моды возмущений контактной границы (и) и рост амплитуд возмущений от времени (б) для вариантов 405 и 404. «Крестиками» показаны результаты расчетов, выполненных в AWE Aldermaston. Линии изоконцентрации ксенона вблизи контактной поверхности на моменты времени 0, 100 и 200 мкс (в)
0,03,6
力=200 мкс
0,03,6
力=200 мкс
66+Эксперимент+ЭкспериментЛт, смЛт, смВар. 407Вар. 4073322110,00,0100200力，мкм100200力，мкмvar.408var.4080]2 0,11“21= 0,159a22= 0,0820]2 0,11“21= 0,159a22= 0,082
6
6
+Эксперимент
+Эксперимент
Лт, см
Лт, см
Вар. 407
Вар. 407
3
3
2
2
1
1
0,0
0,0
100200
力，мкм
100200
力，мкм
var.408
var.408
0]2 0,11
“21= 0,159
a22= 0,082
0]2 0,11
“21= 0,159
a22= 0,082
Начальная амплитуда задавалась по формуле
Д)= 0,91 J%#%」/3,6.
Число Маха в расчетах было задано М = 3,11. На рис. 5.22, о показана форма начальных возмущений в двух проекциях. Для получения такого изображения значения концентраций усреднялись вдоль оси ОУ (левая сторона) и оси ОХ (правая сторона). По направлению 0Z расчетная область имела размер 10 см. В расчетах задавалась сетка (60 х 20 х 80), что позволило проследить эволюцию возмущений вплоть до момента времени 250 мкс, когда возмущение достигло границ области счета. На рис. 5.22, 6, в показана эволюция этих возмущений. Как и ранее, представлены усредненные значения линий
Вар. 407
"п= 0,313
®2= 0,313出1= 0,057“22= 0,057
Рис. 5.24. Варианты 407 и 408. Верхняя часть рисурка — начальные возмущения контактной границы (изолинии концентрации Хе, усредненные вдоль осей 0У (слева) и 0Х (справа)). В нижней части — рост их амплитуд, «+» — данные эксперимента
изоконцентраций вдоль направлений ОУ и ОХ. В варианте 405 знак амплитуды возмущения был изменен на противоположный. Остальные параметры остались такими же, как и в варианте 404.
На рис. 5.23, а показаны моды возмущений контактной поверхности, на рис. 5.23, 6 —- рост наибольшей амплитуды возмущений от времени для двух вариантов 404 и 405, «крестиками» показаны результаты расчетов варианта 405, сделанные в Атомном центре вооружений Англии (AWE Aldermaston) доктором Дэвидом Янгсом по просьбе авторов. На рис. 5.23, 6 показаны линии изоконцентрации, усредненные вдоль оси 0У на различные моменты времени. В варианте 405 скорость роста несколько меньше и «струи» тяжелого газа разрушаются быстрее, так как в рассматриваемом случае они имеют меньшие поперечные сечения, чем в предыдущем варианте.
Вар. 407а 力=50 мксВар. 407а 力=50 мксРис. 5.25. Вариант 407. Эволюция четырехмодовых возмущений на моменты времени (q) t = 50; (6) t = 100 и (s)力=150 мксРис. 5.25. Вариант 407. Эволюция четырехмодовых возмущений на моменты времени (q) t = 50; (6) t = 100 и (s)力=150 мкс
Вар. 407а 力=50 мкс
Вар. 407а 力=50 мкс
Рис. 5.25. Вариант 407. Эволюция четырехмодовых возмущений на моменты времени (q) t = 50; (6) t = 100 и (s)力=150 мкс
Рис. 5.25. Вариант 407. Эволюция четырехмодовых возмущений на моменты времени (q) t = 50; (6) t = 100 и (s)力=150 мкс
6 И. Г. Лебо, В. Ф. Тишкин
Видно хорошее согласие результатов расчетов для случая сложного многомодового трехмерного возмущения, сделанных по разным методикам.
6Вар. 408 力=150 мкс
Рис. 5.26. Вариант 408. Эволюция четырехмодовых возмущений
В следующем варианте моделировались четырехмодовые возмущения с поперечными размерами и амплитудами заметно меньшими, чем в вариантах 404, 405. Эти расчеты были сделаны для анализа экспериментов, выполненными в ЭНИН на ударной трубе (в экспериментах задавалось до 64 мод). Из-за того, что начальное положение разделяющей два газа лавсановой пленки, находилось вне пределов окна визуализации, то начальную амплитуду возмущения приходится определять с помощью экстраполяции экспериментальных данных. В случае одномодовых возмущений такая операция не представляет труда, а в случае многомодовых возмущений требуется привлекать дополнительные соображения. Возмущения, как и ранее, задавались по формуле (5.20), где 伤=0,⑦=1 см, у\ = 0,焚=3,6 см, Wx\ = 1, Wxo = 0,7 см, Wy\ = 3,6, Wy2 = 3,6 см. В варианте 407 амплитуды были заданы непосредственно с помощью экстраполяции экспериментальных данных и имели следующие значения а” = 0,313, @12 = 0,313, @21 = 0,057, @22 = 0,057 см. В варианте 408 для определения начальных амплитуд исходим из соображений, что наибольшая амплитуда соответствует экстраполяционному значению, а остальные определяются из соображений теории упругости (см. [30]).
(5.21)(5.21)Var.406,t = 0А(х,у) = ац8т(1гх/А¥к)8Ш(1ту/\\у) ah = 0,314 WM2/(V^+Wv)Var.406,t = 0А(х,у) = ац8т(1гх/А¥к)8Ш(1ту/\\у) ah = 0,314 WM2/(V^+Wv)initial conditions:initial conditions:
(5.21)
(5.21)
Var.406,t = 0
А(х,у) = ац8т(1гх/А¥к)8Ш(1ту/\\у) ah = 0,314 WM2/(V^+Wv)
Var.406,t = 0
А(х,у) = ац8т(1гх/А¥к)8Ш(1ту/\\у) ah = 0,314 WM2/(V^+Wv)
initial conditions:
initial conditions:
Рис. 5.27. Развитие четырехмодовых возмущений (вариант 406). Показанылинии изоконцентрации Хе в начальный момент. В нижней части рисунка —схема начальных волн четырехмодового возмущения
Рис. 5.28. Вариант 408. Эволюция четырехмодовых возмущений: (а)力=50; (б) t = 100 и (е)力=250 мкс; (г) рост амплитуды возмущенияРис. 5.28. Вариант 408. Эволюция четырехмодовых возмущений: (а)力=50; (б) t = 100 и (е)力=250 мкс; (г) рост амплитуды возмущения
Рис. 5.28. Вариант 408. Эволюция четырехмодовых возмущений: (а)力=50; (б) t = 100 и (е)力=250 мкс; (г) рост амплитуды возмущения
Рис. 5.28. Вариант 408. Эволюция четырехмодовых возмущений: (а)力=50; (б) t = 100 и (е)力=250 мкс; (г) рост амплитуды возмущения
На рис. 5.24 сверху показаны формы начальных возмущений для контактных границ, усредненные вдоль направлений 0Х и ОУ для варинтов 407 и 408. Ниже показан рост полных амплитуд возмущений от времени для этих вариантов. «Крестиками» отмечены экспериментальные данные. Видно, что в варианте 408 имеется более хорошее согласие результатов. На рис. 5.25, 5.26 показаны усредненные вдоль направлений 0Х и 0У значения изоконцентраций на различные моменты времени (т. е. эволюция струй тяжелого вещества, проникающего в легкий газ).
В варианте 406 изучалось поведение четырехмодовых возмущений другого вида:廿⑵=0, (1) см и Жт1(2)= 1, (0,7) см; %⑵=0, (1) см
но
()1
6
4
0
о
1.9
3.6
6
6
7,2 0.00.9
t = 750 мкс
в
4
•2
О
г 厂丁丁 т ” Гтт「т т т
0,03,6
DR'
丄
4
2
О
о
Вар. 409
6зАт, см
2
400
0
800 t, мкс
7.2 0,0
0,9
1,9
Рис. 5.29. Эволюция возмущения, «вытянутого» вдоль оси
ОХ
на
момент
времени: (а)力=0; (6)力=360 и (s)力=750 мкс. Вариант 409. Рост амплитудывозмущения (е)
На рис. 5.27 показан вид начальных возмущений контактной границы в дух проекциях.
На рис. 5.28 — усредненные по направлениям ОХ и ОУ линии изоконцентраций. Видно, что уже к 200 мкс возмущения «перекрываются» и формируется слой тяжелого газа, проникающий в глубь легкого газа.
В варианте 409 было задано одномодовое возмущение сильно вытянутое вдоль оси ОХ и «сплюснутое» вдоль оси ОУ. Вид возмущения был задан формулой
4®, g) = @о cos4®, g) = @о cos(5.22)(5.22)
4®, g) = @о cos
4®, g) = @о cos
(5.22)
(5.22)
где а。= 0,15 см, Wx = 7,2 см, Wy = 1,8 см, а расчетная область 0 W ® W 3,6 см, 0 W g W 0,9 см. Ударная волна имела М = 2,5 и падала сверху на возмущенную контактную поверхность газов Не-Хе.
На рис. 5.29 показана эволюция такого возмущения. Видно, что при наблюдении возмущения вдоль оси 0Х формируется «грибообразное» возмущение, когда еще по направлению 0У происходит линейное нарастание возмущений. В дальнейшем, у возмущения вдоль оси 0Х «шляпки» грибов взаимодействуют друг с другом, и начинает формироваться струя, как и в п. 3 этой главы. Вдоль направления 0У возмущения развиваются в соответствии с ранней нелинейной стадии процесса, что и определяет почти линейный рост амплитуды (см. рисунок). Наблюдаемое в экспериментах поведение таких «вытянутых» возмущений подобно тому, что было получено в расчетах.
Особенности развития НРМ в случае контактадвух газов с одинаковыми плотностями,но различными показателями адиабаты
Исследовалось развитие возмущений на контактной границе двух первоначально равноплотных газов, но с различными показателями адиабаты.
О возможности развития неустойчивости в таком случае упоминалось, в частности, в [31]. Одним из авторов монографии была предложена схема серии экспериментов, выполненных в ЭНИН, проведены численные исследования и сравнения результатов расчетных и экспериментальных данных развития неустойчивости на контактной границе двух первоначально равноплотных газов [32, 33].
Два газа: аргон (Аг, начальная плотность ро = 8,289 • 10-4 г/см3, показатель адиабаты 7 = 5/3) и углекислый газ (СО2, ро = 8,289 х X I。-’ г/см3 и 7 = 1,25). Полагалось в расчетах, что показатель адиабаты не меняется за фронтом ударной волны. В расчетах задавалось движение невозмущенного газа со скоростью 700 м/с, что равносильно смещению осей координат вместе с потоком.
В первой серии расчетов ударная волна падала из СО9 — газа в Аг. Были выполнены расчеты в двумерной (координаты ®, г) и трехмерной (координаты ®, д, г) геометриях. Падающая ударная волна распространялась вдоль оси 0Z. В двумерной геометрии начальное возмущение контактной границы имело вид А(х, г) = qch cos (k • х) + Zc, где k = 2тг/А,厶一положение невозмущенной контактной границы. В трехмерной геометрии начальное возмущение задавалось в виде 4(®, д, г) = @02 cos(k3d • ж) • cos(hd • 4)+ Z,, где k3d =兀/* Поперечный размер области счета в двухмерной и трехмерной геометриях равнялся А/2, «02 = 1 см, а начальная амплитуда — aoi = 0,5 см, соответственно полные начальные амплитуды (расстояние от пика до впадины возмущения) в обоих случаях равнялись 1 см. Граничные условия при ®(д) = 0 и /(g) = А/2 〃 = 0 (условие симметрии). Расчеты были сделаны для случаев А = 3,6 и 2,4 см. Число Маха (отношение скорости ударной волны к скорости звука) в падающей ударной волне равнялось 3,5. Во второй серии расчетов ударная волна падала из аргона в углекислый газ.
На рис. 5.30, а показаны зависимости полных амплитуд от времени для вариантов 1 и 2 при начальной длине волны А = 3,6 см (двумерная геометрия). «Крестами» на графике показаны результаты экспериментов (для варианта 2). На рис. 5.30, 6 показаны изолинии плотности вблизи контактной границы в начальный момент (сверху) и на момент времени 600 мкс для вариантов 1 и 2 (ударная волна на рисунках падала сверху). В первом варианте после прохождения ударной волны СО9 газ сжался сильнее, чем аргон (в бесконечно сильной ударной волне сжатие газа равно (7 + 1)/(7 — 1), — см., например, [34]). Поэтому качественно неустойчивость ведет себя как в случае перехода ударной волны из тяжелого газа в легкий — т. е. происходит изменение «фазы» возмущения и скорость роста оказывается несколько меньше, чем в варианте 2.
При уменьшении длины волны (А = 2,4 см) поведение возмущений качественно такое же, как и в случае А = 3,6 см, однако при меньших длинах волн быстро происходит разрушение отдельных возмущений и на поздней стадии развития неустойчивости скорость роста зоны перемешивания в обоих вариантах приблизительно одинаковая. На рис. 5.31 показаны фотографии контактной границы на момент времени 130 мкс для первого и второго случаев. Видно, что имеется хорошее согласие расчетных и экспериментальных данных (см. также рис. 5.30, о).
В следующей серии расчетов изучалось развитие трехмерных возмущений и результаты сравнивались с данными, полученными в двумерной геометрии.
На рис. 5.32, а показаны зависимости роста амплитуд возмущений от времени в двумерной (2D) и трехмерной (3D) геометриях для А = 3,6 и 2,4 см, Am0 = 1 см и при падении ударной волны с М = 3,5 из аргона в СО9. Сплошными линиями показаны зависимости амплитуд трехмерных возмущений (入化=入^ = 2,4 см — верхняя
кривая и Хх = Ху = 3,6 см — нижняя кривая), штрихованные линии —результаты двумерных расчетов с А = 2,4 см (верхняя кривая)
границаграницаграницаграницаРис. 5.30. Рост амплитуд возмущений контактных границ СОг-Аг и Аг- СО2 с начальной амплитудой 1 см и длиной волны 3,6 см. «+» — данные экспериментов. Форма контактных границ на момент 600 мкс для случаев СОг-Аг (6) и Аг- СО2 (б)——переходы. Число Маха в падающей волне 3,5Рис. 5.30. Рост амплитуд возмущений контактных границ СОг-Аг и Аг- СО2 с начальной амплитудой 1 см и длиной волны 3,6 см. «+» — данные экспериментов. Форма контактных границ на момент 600 мкс для случаев СОг-Аг (6) и Аг- СО2 (б)——переходы. Число Маха в падающей волне 3,5
граница
граница
граница
граница
Рис. 5.30. Рост амплитуд возмущений контактных границ СОг-Аг и Аг- СО2 с начальной амплитудой 1 см и длиной волны 3,6 см. «+» — данные экспериментов. Форма контактных границ на момент 600 мкс для случаев СОг-Аг (6) и Аг- СО2 (б)——переходы. Число Маха в падающей волне 3,5
Рис. 5.30. Рост амплитуд возмущений контактных границ СОг-Аг и Аг- СО2 с начальной амплитудой 1 см и длиной волны 3,6 см. «+» — данные экспериментов. Форма контактных границ на момент 600 мкс для случаев СОг-Аг (6) и Аг- СО2 (б)——переходы. Число Маха в падающей волне 3,5
Рис. 5.31. Изображение окрестности контактных поверхностей, полученные в экспериментах на момент времени 130 мкс для случаев СОг-Аг (и) и Аг-
СОг-переходов (6)
ЗР-геометрия, % = 3,6 мкм, Ат° = 1 смЗР-геометрия, % = 3,6 мкм, Ат° = 1 смX = 100 мксX = 200 мксX = 100 мксX = 200 мкс力=700 мкс力=700 мксРис. 5.32. Рост амплитуд возмущений от времени в случае трехмерных (3D) и двумерных (2D) возмущений при начальных амплитудах 1 см (и) и 0,2 см(6). Изолинии концентрации на момент времени 100, 200 и 700 мкс. Верхний ряд — двумерные возмущения с длиной волны 2,4 см и начальной амплитудой 1 смРис. 5.32. Рост амплитуд возмущений от времени в случае трехмерных (3D) и двумерных (2D) возмущений при начальных амплитудах 1 см (и) и 0,2 см(6). Изолинии концентрации на момент времени 100, 200 и 700 мкс. Верхний ряд — двумерные возмущения с длиной волны 2,4 см и начальной амплитудой 1 см
ЗР-геометрия, % = 3,6 мкм, Ат° = 1 см
ЗР-геометрия, % = 3,6 мкм, Ат° = 1 см
X = 100 мксX = 200 мкс
X = 100 мксX = 200 мкс
力=700 мкс
力=700 мкс
Рис. 5.32. Рост амплитуд возмущений от времени в случае трехмерных (3D) и двумерных (2D) возмущений при начальных амплитудах 1 см (и) и 0,2 см(6). Изолинии концентрации на момент времени 100, 200 и 700 мкс. Верхний ряд — двумерные возмущения с длиной волны 2,4 см и начальной амплитудой 1 см
Рис. 5.32. Рост амплитуд возмущений от времени в случае трехмерных (3D) и двумерных (2D) возмущений при начальных амплитудах 1 см (и) и 0,2 см(6). Изолинии концентрации на момент времени 100, 200 и 700 мкс. Верхний ряд — двумерные возмущения с длиной волны 2,4 см и начальной амплитудой 1 см
и А = 3,6 см (нижняя кривая). На рис. 5.32, 6 показан рост амплитуд двумерного возмущения с А = 2,4 см и трехмерного возмущения с % = % = 3,6 см и Ат° = 0,2 см. На рис. 5.32, в показаны изолинии плотности вблизи контактной границы для случаев двухмерных (нижний ряд с А = 2,4 см) и трехмерных (верхний ряд с А = 3,6 см) при Ат° = 1 см. Видно, что скорость роста амплитуд возмущений с одинаковой длиной волны в двухмерном и трехмерном случаях приблизительно равна (см. рис. 5.32, о), однако двумерная струя СО9-газа быстрее разрушается (см. рис. 5.32, в).
0100200300400
力мкм
Рис. 5.33. Эволюция возмущений контактной границы Аг-воздух. Сравнение развития трехмерных (入з。= 3,6 см) и двухмерных (Л = 2,4 см) возмущений; б) — форма границы; в — рост амплитуд возмущений
В следующей серии расчетов была рассмотрена задача для пары газов — аргон (Аг) и воздух (Air). В Аг показатель адиабаты 7 = =5/3, в воздухе 7 = 1,4. Начальное давление в обоих газах 0,5 атм, а плотности ро = 8,289 • 10^4 г/см3.
Ударная волна падала из аргона в воздух. Число Маха М = =3,5. Сравнивались результаты расчетов для случаев двухмерных (А = 2,4 см) и трехмерных (Хзо = 3,6 см) возмущений. Начальная полная амплитуда в обоих случаях равнялась 1 см. Расчеты были сделаны в области 0 < Му) <。，5 • А. В двухмерном случае использовалась сетка (20 х 250) в трехмерном (20 х 20 х 250). В расчете предполагалось, что система координат смещалась вдоль оси 0Z со скоростью Wz = 650 м/с. На рис. 5.33, о, 6 показаны изолинии концентраций вблизи контактной границы на моменты времени t = 250 мкс и t = 500 мкс для двухмерного и трехмерного случаев. На рис. 5.33, 6 показан рост амплитуд от времени для двумерного и трехмерного случаев. Видно, что двухмерное возмущение с тем же волновым числом нарастает быстрее, чем трехмерное (см. также рис. 5.32, о, 6). В этом случае, характер развития возмущения качественно отличается от рассмотренного ранее (см. рис. 5.13, о), где двухмерные и трехмерные возмущения с одинаковым волновым числом к на начальной стадии нарастали с одинаковой скоростью (что находится в согласии с формулой Рихтмайера). В случае контактной границы двух первоначально равноплотных газов ситуация иная ——при равных волновых числах двумерное возмущение имеет большую скорость роста. Однако, как видно на рис. 5.32, е, 5.33, 6, двумерное возмущение разрушается быстрее, чем трехмерное.
О развитии возмущений при прохожденииударной волны из газа большей плотностив газ меньшей плотности
Как было показано в [2] при падении ударной волны из газа большей плотности в газ меньшей плотности наблюдалась «перефази- ровка» возмущения. Были выполнены расчеты развития одномодовых возмущений на границе двух газов — ксенон и аргон (ударная волна падала из ксенона в аргон). Параметры газов были такими как в п. 2, число Маха в ударной волне М = 3,5. Длины волн возмущений равнялись 3,6, 2,4 и 1,2 см, а начальная амплитуда Ат° = 1 см. На рис. 5.34 показаны рост амплитуд возмущений для этих вариантов (а) и изолинии плотности на моменты времени 400, 400 и 320 мкс (б) для А = 3,6, 2,4 и 1,2 см. Действительно, после прохождения ударной волны происходит «перефазировка». Затем возмущения нарастают, причем на начальной стадии коротковолновые возмущения имеют несколько большую скорость роста. Как и в случае падения ударной волны из менее плотного газа в более плотный при А • Ат • к 〜1 реализуется
88654326543287654328765432力=01. Л = 3,6 см2. Л = 2,4 см3.4 = 1.2 см Ат° = 1 см力=01. Л = 3,6 см2. Л = 2,4 см3.4 = 1.2 см Ат° = 1 см,：|А.гJО,6'Ч,8t = 400 мксЛ = 3,6 см,：|А.гJО,6'Ч,8t = 400 мксЛ = 3,6 см880,0 1,2 t = 400 мкс% = 2,4 cM0,0 1,2 t = 400 мкс% = 2,4 cM3232Рис. 5.34. Результаты численных расчетов прохождения ударной волны их Хе в Аг; (а) — рост амплитуд возмущений контактной границы для случаев длин волн 3,6 см (1), 2,4 см (2) и 1,2 см (1). Начальная амплитуда возмущений Л то = 1 см 6 — изолинии плотности газа для трех вариантов длин волн возмущенийРис. 5.34. Результаты численных расчетов прохождения ударной волны их Хе в Аг; (а) — рост амплитуд возмущений контактной границы для случаев длин волн 3,6 см (1), 2,4 см (2) и 1,2 см (1). Начальная амплитуда возмущений Л то = 1 см 6 — изолинии плотности газа для трех вариантов длин волн возмущенийАг0,0 0,6t = 320 мксЛ = 1,2 смАг0,0 0,6t = 320 мксЛ = 1,2 см
8
8
6
5
4
3
2
6
5
4
3
2
8
7
6
5
4
3
2
8
7
6
5
4
3
2
力=0
1. Л = 3,6 см
2. Л = 2,4 см
3.4 = 1.2 см Ат° = 1 см
力=0
1. Л = 3,6 см
2. Л = 2,4 см
3.4 = 1.2 см Ат° = 1 см
,：|А.гJ
О,6'Ч,8
t = 400 мкс
Л = 3,6 см
,：|А.гJ
О,6'Ч,8
t = 400 мкс
Л = 3,6 см
8
8
0,0 1,2 t = 400 мкс
% = 2,4 cM
0,0 1,2 t = 400 мкс
% = 2,4 cM
3
2
3
2
Рис. 5.34. Результаты численных расчетов прохождения ударной волны их Хе в Аг; (а) — рост амплитуд возмущений контактной границы для случаев длин волн 3,6 см (1), 2,4 см (2) и 1,2 см (1). Начальная амплитуда возмущений Л то = 1 см 6 — изолинии плотности газа для трех вариантов длин волн возмущений
Рис. 5.34. Результаты численных расчетов прохождения ударной волны их Хе в Аг; (а) — рост амплитуд возмущений контактной границы для случаев длин волн 3,6 см (1), 2,4 см (2) и 1,2 см (1). Начальная амплитуда возмущений Л то = 1 см 6 — изолинии плотности газа для трех вариантов длин волн возмущений
Аг
0,0 0,6
t = 320 мкс
Л = 1,2 см
Аг
0,0 0,6
t = 320 мкс
Л = 1,2 см
нелинейный режим развития возмущений, при А • Атк- 2,5—3 формируется турбулентный слой.
Развитие неустойчивости на контактной границе«воздух-гелий» при многократном прохожденииударной волны. Сравнение с результатами,полученными во РФЯЦ-ВНИИЭФ (г. Саров)
В [35] приведены результаты исследования развития неустойчивости при двухкратном прохождении (падающей и отраженной) ударных волн через контактную границу между двумя газами «воздух-гелий», выполненные в Российском федеральном ядерном центре — ВНИИЭФ (г. Саров). Начальное возмущение было задано в виде наклонной поверхности к направлению движения падающей волны. Задача моделировалась в двумерной геометрии (т, z). В расчете форма границы задавалась по следующей формуле:
(5.23)(5.23)Zc^=Zo^aJ\- 2
(5.23)
(5.23)
\ /'max — /*min
В расчетах Zo = О, а。= 1,2 см, Xmin = —6 см, ХП1ах = +6 см. Начальная плотность в невозмущенном воздухе 01 = 1,161 • 10一？ Г/См3, в гелии р2 = 0,16 • I。—？ г/см3. Невозмущенные газы находились при атмосферном давлении. Из воздуха падала ударная волна с числом Маха 1,3 (давление за фронтом волны 1,8 атм). Положение фронта ударной волны в момент времени 力=0 Zsw = —2 см. Плотность воздуха за фронтом ударной волны равнялась 17,6 мг/см3 при давлении 1,8 атм. Вся расчетная область имела размеры [—40,20] см по оси 0Z и [—6,6] см по оси ОХ. При Z = Zmax = 20 см задавалась граничное условие — «абсолютно упругая стенка». Сравнение расчетных и экспериментальных данных проводилось до момента времени 1000 мкс. На первой стадии задачи ударная волна падает из «тяжелого» газа в «легкий». Происходит «перефазировка» возмущения контактной границы. После отражения от стенки ударная волна вновь проходила через контактную границу уже в противоположном направлении.
Поскольку постановка задачи содержала сложный спектр начальных возмущений, а время процесса было достаточно велико, то для решения этой задачи была использована версия программы «НАТ», созданная для многопроцессорной рабочей станции (типа PARSYTEC СС с операционной системой AIX 4.1). Явная схема, которая используется в программе «НАТ» для решения газодинамических уравнений, позволила разработать параллельный алгоритм при котором вычисления проводились в независимых блоках. Так как число узлов вдоль оси 0Z на порядок больше, чем вдоль оси 0Х, то разбиение на блоки было сделано вдоль этого направления. Число блоков соответствовало количеству процессоров (12 штук). При расчете уравнений газовой динамики в каждом блоке задавались граничные условия при переходе из одного блока на другой. При этом, газодинамические значения на нижней грани заданного блока задавались при пересылке информации с верхней грани предыдущего слоя. Граничные условия при т = 0 и т = Хтах задавались обычным образом. На всю область была отведена сетка 240 х 1200 ячеек. При 12 процессорах в каждом блоке использовалась сетка с размерностью 240 х 100 ячеек (плюс 4 дополнительные эффективные ячейки по каждому направлению).
На рис. 5.35 показаны результаты расчетов на различные моменты времени. После вторичного прохождения ударной волны через контактную поверхность она, практически, останавливается, изменяя лишь форму. При этом, сверху (т 6 см) формируется тонкая струя тяжелого газа (воздуха), проникающего в легкий газ. Снизу (при т ^ —6 см) формируется «пузырь» легкого газа, проникающего в тяжелый. На рис. 5.36 показаны фотографии контактной границы на моменты времени 335 и 1080 мкс, полученные во РФЯЦ-ВНИИЭФ. Видно удовлетворительное согласие расчетных и экспериментальных данных.
В 2001—2002 гг. мы повторили расчет этой задачи, но уже в трехмерной геометрии. Для проведения таких расчетов был использован многопроцессорный суперкомпьютер. В [39] представлен резуль-
Рис. 5.36. Фотографии турбулентной зоны перемешивания (TMZ) после прохождения падающей ударной волны (слева) и отраженной от торца (справа). Стрелками показано направление движения ударной волны (SW)Рис. 5.36. Фотографии турбулентной зоны перемешивания (TMZ) после прохождения падающей ударной волны (слева) и отраженной от торца (справа). Стрелками показано направление движения ударной волны (SW)
Рис. 5.36. Фотографии турбулентной зоны перемешивания (TMZ) после прохождения падающей ударной волны (слева) и отраженной от торца (справа). Стрелками показано направление движения ударной волны (SW)
Рис. 5.36. Фотографии турбулентной зоны перемешивания (TMZ) после прохождения падающей ударной волны (слева) и отраженной от торца (справа). Стрелками показано направление движения ударной волны (SW)
тат сравнения расчетов с данными экспериментов, выполненных во ВНИИЭФ (г. Саров). В той же работе даны сравнения с экспери-
ментами, выполненными во ВНИИТФ (г. Снежинск) по исследованию неустойчивости типа Рэлея-Тейлора. Было показано, что развитие зоны турбулентного перемешивания можно описывать с помощью формулы L = aA^t2, но коэффициент а, вообще говоря, меняется. Так, на первой стадии а、0,22—0,24, а затем для описания расчетных данных требуется использовать а、0,09 + 0,1. Этот вывод согласуется с результатами, полученными Ю. В. Янилкиным и др. (см. гл. 1, [72]).
Программа «НАТСИ» для моделирования НРМв лазерной плазме. Влияние нелинейнойтеплопроводности на рост возмущений
В этом разделе приведены результаты вычислительных экспериментов, моделирующих развитие неустойчивости Рихтмайера-Мешкова в условиях, соответствующих тем, которые могут реализоваться в лазерных мишенях. В высокотемпературной плазме наряду с гидродинамическими явлениями существенную роль играют процессы нелинейной теплопроводности. Для моделирования процессов в лазерной плазме была разработана новая программа «НАТСИ» [33].
9喫9喫Двумерная эйлеровая программа в цилиндрических координатах «НАТСИ» позволяет решать числено систему уравнений газовой динамики, нелинейной теплопроводности и переноса лазерных лучей вдоль направления 0Z.
9喫
9喫
dpw dt
1 drpuw dpuw др + r dr + dz *
=0,
(5.24)
次+
1 Aru(e + p) a(e + p)w r drdz
=—divqr — divqz,
1 дгри ,k
dt r dr дри1 дгри2
dtг dr
dpuw dp °
Здесь скорость 丿 имеет два компонента вдоль радиуса и и вдоль оси w. дт ——поток тепла. В расчетах использовалось однотемпературное приближение — учитывалась только электронная теплопроводность, дт = — xgradT, х — коэффициент электронной теплопроводности, q刀(丁，之，力)—интенсивность лазерного излучения. В расчетах полагается, что излучение распространяется вдоль направления 0Z. Расчетная область 0 < г < R и 0 < z < L.
При решении системы уравнений (5.23) использовался метод расщепления по физическим процессам. Для решения уравнений газовой
динамики (уравнение непрерывности, уравнения Эйлера для двух компонент скорости и уравнение сохранения энергии без учета теплопереноса и переноса лазерного излучения) использовались явные нелинейные консервативные квазимонотонные разностные схемы повышенного порядка аппроксимации, как и в программе «НАТ». Для решения теплопереноса были использованы неявные разностные схемы. Уравнения, выписанные ниже, решались с помощью раздельных прогонок.
「ат д / вт\ д / вт\ dq
(5.25)(5.25)0。。而=而）+买卜仄丿+买，
(5.25)
(5.25)
dqL(z,r,t)
о二—Xlas^L-
oz
Коэффициент электронной теплопроводности был взят в форме Спитцера-Брагинского х = xqT2,5 [36].
Была проведена серия расчетов, моделирующих прохождение отраженной от центра ударной волны через горючее и не испаренную часть оболочки [33, 37]. Расчетная область имела размеры 0 < 7^ < А。， О W 之 W 乙 мкм, в первой подобласти находилась смесь углерода и водорода (СН) с плотностью pi = I。—？ г/см3 (0 Li = 10 мкм), во второй подобласти ——оболочка с плотностью р2 = 1 г/см3 и с тем же химическим составом, что и в первой подобласти (L\ W 之 W 乙2 = 20 мкм) н 乙2 W W 乙3 = 121 мкм — третья подобласть — содержащая смесь дейтерия и трития. Полагалось, что давление в неохваченной ударной волной области было одинаковым и равнялось 1011 дин/см2. Ударная волна падала из третьей подобласти (т. е. из ДТ в оболочку).
Расчеты были сделаны для чисел Маха 10, 20 и 40. Чтобы увеличить время пребывания слоя в расчетной области полагалось, что система координат смещалась вдоль оси 0Z со скоростью w = wo км/с (wo зависело от заданного числа Маха, так для случая М = 20 wo = 273 км/с). Возмущения на контактной границе «ДТ-оболочка» (炙1)задавались в виде
(5.26)(5.26)Zc = Zd + а° . cos(7г .丁/А。).
(5.26)
(5.26)
Ниже приведены результаты 6 расчетов для случая М = 20 и трех значений Rq. Первые три расчета были сделаны без учета теплопроводности:
1) А。= Ю мкм и «о = 1 мкм; 2) А。= 5 мкм и «о = 1 мкм;
Rq = 2,5 мкм и «о = 1 мкм; а следующие три с теми же параметрами, что 1), 2) и 3), но с учетом теплопроводности. По аналогии с плоским случаем можно ввести понятие длины волны возмущения, как А = 2А° и Ат° = 2 мкм.
На рис. 5.37, а показан рост амплитуд от времени для вариантов 1), 2), 3) без учета теплопроводности. В данном случае Ат° • k 1 и имеет место нерегулярный режим развития неустойчивости, когда
в) t = 0,4 нс,丸=20 мкмв) t = 0,4 нс,丸=20 мкмг) t = 0,4 нс,丸=5 мкмг) t = 0,4 нс,丸=5 мкм0,80,80,60,60,40,40,2“照0,2“照0,8070,6：0,5:0,4； (),3；0,8070,6：0,5:0,4； (),3；в—Е—в—Е—I till iiiiI I I I I I I I I I I ill iiii Ojl_^ I IT Г1 I Г1Г1 f Г1 rf fl'l'r^ I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I0,00,1—0,10,00,1—0,025 0,0 0,025—0,025 0,0 0,025I till iiiiI I I I I I I I I I I ill iiii Ojl_^ I IT Г1 I Г1Г1 f Г1 rf fl'l'r^ I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I0,00,1—0,10,00,1—0,025 0,0 0,025—0,025 0,0 0,025
в) t = 0,4 нс,丸=20 мкм
в) t = 0,4 нс,丸=20 мкм
г) t = 0,4 нс,丸=5 мкм
г) t = 0,4 нс,丸=5 мкм
0,8
0,8
0,6
0,6
0,4
0,4
0,2“照
0,2“照
0,8
07
0,6：
0,5:
0,4； (),3；
0,8
07
0,6：
0,5:
0,4； (),3；
в—
Е—
в—
Е—
I till iiiiI I I I I I I I I I I ill iiii Ojl_^ I IT Г1 I Г1Г1 f Г1 rf fl'l'r^ I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
0,00,1—0,10,00,1—0,025 0,0 0,025—0,025 0,0 0,025
I till iiiiI I I I I I I I I I I ill iiii Ojl_^ I IT Г1 I Г1Г1 f Г1 rf fl'l'r^ I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
0,00,1—0,10,00,1—0,025 0,0 0,025—0,025 0,0 0,025
Рис. 5.37. Рост амплитуд возмущений контактной границы «DT-СН» для различных волн возмущений и начальной амплитуды Лш° = 2 мкм. Слева (〃) результаты расчетов без учета теплопроводности, справа (б) с учетом теплопроводности. В нижней части рисунка — изолинии плотности на момент времени 0,4 нс для А = 20 мкм (в) и 5 мкм (г). В левой части — результаты расчетов без учета теплопроводности, в парвой части — с учетом теплопроводности
скорость роста не зависит от длины волны. На рис. 5.37, 6 те же варианты, но с учетом теплопроводности. Видно, что с уменьшением Rq, снижается скорость роста возмущений. На рис. 5.37, в, г показаны изолинии плотности вблизи контактной границы для вариантов 1) и 3) без учета теплопроводности (слева) и с учетом теплопроводности (справа).
Теплопроводность приводит к перестройке продольных градиентов плотности и снижению скорости роста длиноволновых возмущений, к тому же поперечная теплопроводность подавляет мелкомасштабные возмущения вблизи вершины струи. Видно, что в варианте 3) теплопроводность практически подавила развитие неустойчивости. Отметим, что температура в ДТ-области за фронтом ударной волны находилась в диапазоне —0,3—0,4 КэВ. На рис. 5.38, а показаны распределения плотности в струе вдоль оси для варианта 3 без учета теплопроводно-
сти (слева) и с учетом теплопроводности (справа). Продольный размер струи при наличии теплопроводности оказался в 4—5 раз меньше, чем в случае ее отсутствия. На рис. 5.38, 6 показаны распределения температуры вдоль оси на моменты времени 0,05 и 0,4 нс для варианта 3) с учетом теплопроводности.
力=0,4 мкм力=0,4 мкм0,2 0,4 0,6 0,80,2 0,4 0,6 0,8Z(X 100 мкм) 々(X 100 мкм)0,2 0,4 0,6 0,80,2 0,4 0,6 0,8Z(X 100 мкм) 々(X 100 мкм)Т(Х100зВ)Т(Х100 эВ)Т(Х100зВ)Т(Х100 эВ)0,2 0,4 0,6 0,8 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Z( X 100 мкм) Z( X 100 мкм)0,2 0,4 0,6 0,8 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Z( X 100 мкм) Z( X 100 мкм)66Рис. 5.38. Распределение плотности вдоль оси 0Z на момент времени 0,4 нс а, левый рисунок получен без учета теплопроводности, правый — с учетом теплопроводности; распределения температуры вдоль оси на моменты времени 0,05 и 0,4 нс (до и после прохождение ударной волны) 6Рис. 5.38. Распределение плотности вдоль оси 0Z на момент времени 0,4 нс а, левый рисунок получен без учета теплопроводности, правый — с учетом теплопроводности; распределения температуры вдоль оси на моменты времени 0,05 и 0,4 нс (до и после прохождение ударной волны) 6
力=0,4 мкм
力=0,4 мкм
0,2 0,4 0,6 0,80,2 0,4 0,6 0,8
Z(X 100 мкм) 々(X 100 мкм)
0,2 0,4 0,6 0,80,2 0,4 0,6 0,8
Z(X 100 мкм) 々(X 100 мкм)
Т(Х100зВ)Т(Х100 эВ)
Т(Х100зВ)Т(Х100 эВ)
0,2 0,4 0,6 0,8 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Z( X 100 мкм) Z( X 100 мкм)
0,2 0,4 0,6 0,8 0 0,2 0,4 0,6 0,8 Z( X 100 мкм) Z( X 100 мкм)
6
6
Рис. 5.38. Распределение плотности вдоль оси 0Z на момент времени 0,4 нс а, левый рисунок получен без учета теплопроводности, правый — с учетом теплопроводности; распределения температуры вдоль оси на моменты времени 0,05 и 0,4 нс (до и после прохождение ударной волны) 6
Рис. 5.38. Распределение плотности вдоль оси 0Z на момент времени 0,4 нс а, левый рисунок получен без учета теплопроводности, правый — с учетом теплопроводности; распределения температуры вдоль оси на моменты времени 0,05 и 0,4 нс (до и после прохождение ударной волны) 6
В расчетах с М = 40 поведение возмущений качественно повторяло те особенности, которые можно наблюдать при М = 20, лишь эффект подавления возмущений с А = 5 мкм был более выражен.
Таким образом, при параметрах плазмы близких к тем, которые могут быть получены в экспериментах на современных крупномасштабных лазерных установках, на границе «оболочка-горючее» мелкомасштабная составляющая возмущений (с длиной волны А 〜1 мкм) будет подавлена за счет теплопроводности. Длиноволновые возмущения будут развиваться (с 入〜10 мкм). В результате, будет сдерживаться формирование слоя перемешивания, а отдельные струи смогут проникать в более глубокие, чем следует из теории эволюции турбулентного слоя (см. например, [38]), слои горючего.
Выводы и основные результаты 5 главы.
Были разработаны физико-математические модели и программы для расчета развития гидродинасических неустойчивостей в ударно-трубных и лазерно-плазменных экспериментах в эйлеровых координатах в плоской и цилиндрической геометриях.
Двух- и трехмерная версии программы «НАТ» в декартовых координатах позволяют моделировать неустойчивость типа Рихтмайера-Меш- кова, развивающуюся при прохождении ударных волн через границу
раздела двух сред. Такие эксперименты с участием авторов монографии ведутся в ЭНИН им. Кржижановского (г. Москва), а также в Федеральном Ядерном Центре ——ВНИИЭФ и других лабораториях.
Двухмерная программа в цилиндрических координатах «НАТСИ» позволяет моделировать гидродинамическую неустойчивость, которая может развиваться как в ударных трубах цилиндрического сечения, так и при лазерном ускорении тонких фольг.
Численное моделирование развития одномодовых возмущений кон- такной границы двух газов при прохождении ударной волны, выполненное по программе «НАТ», с высокой степенью точности воспроизводит данные экспериментов, проведенных в ЭНИН и ВНИИЭФ, а также согласуется с расчетными результатами, полученными в МФТИ, в AWE Aldermaston (England) и в Университете Stony Brook (USA) на нелинейной и переходной стадиях процесса.
Отклонения по скорости развития амплитуды возмущений от предсказаний линейной теории Рихтмайера возникают уже на сравнительно ранней стадии, когда параметр нелинейности А • Ат° • к》0,6— 1 (для удобства в критерии используется значение начальной амплитуды, а не амплитуды Ат, которая образуется после завершения процесса рефракции ударной волны).
Эволюция возмущений на нелинейной стадии существенным образом зависит от начальной амплитуды и числа Атвуда. При А • Ат° х х k》1 реализуется нерегулярный режим развития неустойчивости, когда начальная скорость роста возмущений не зависит от волнового числа. Возмущения с большими кив этом случае разрушаются раньше; при Ат • к W 3,5 возмущения практически не взаимодействуют с соседями, т. е. их скорость роста и характер развития не зависят от граничных условий на боковой стенке (это линейная и нелинейная стадии процесса). С помощью формулы (5.16) удается приближенно описать развитие одномодовых возмущений вплоть до переходной стадии процесса.
На поздней нелинейной (или переходной) стадии, когда размер «шляпки» гриба сравним с длиной волны возмущения, характер его развития определяется условиями на боковых границах, т. е. соседние возмущения эффективно взаимодействуют между собой.
В случае контакта двух разноплотных газов с одинаковыми показателями адиабаты трехмерные возмущения разрушаются медленнее, чем двумерные при одинаковых значениях волнового числа и начальных амплитудах; в случае контакта двух газов с различными показателями адиабаты, но с одинаковыми начальными плотностями, при одинаковых волновых числах трехмерные возмущения на ранней стадии развиваются несколько медленнее, чем двумерные. Двумерные и трехмерные возмущения с одинаковой длиной волны на ранней стадии имеют приблизительно одинаковые скорости роста. Впоследствии, двумерные возмущения быстро разрушаются, образуя слой турбулентного перемешивания.
Развитие возмущений при прохождении ударной волны из газа большей плотности в газ меньшей плотности качественно носят такой же характер, как в случае прохождения газа из менее плотной среды в более плотную, но при этом наблюдается «перефазировка», что согласуется с полученными ранее результатами экспериментов и расчетов.
С помощью программы «НАТ» проведен анализ экспериментов по развитию многомодовых начальных возмущений и получено согласие расчетных и экспериментальных данных. Это позволяет формулировать постановки задач и прогнозировать результаты последующих экспериментов.
В лазерной плазме существенную роль играет эффект нелинейной теплопроводности, причем в этом случае получаются зависимости скорости роста возмущений от длины волны, противоположные тем, что предсказываются на основе линейной теории Рихтмайера. Факт подавления мелких структур в плазме приводит к сдерживанию формирования зоны турбулентного перемешивания. Это обстоятельство обосновывает важность эволюционного сценария развития неустойчивости в лазерных мишенях даже на поздней нелинейной стадии.
Литература
Rychtmyer R. D. Taylor Instability in a shock acceleration of compressible fluids // Comm. Pure and Appl. Math. 1960. V. 13, No. 2. P. 297.
Мешков £. £. Неустойчивость поверхности двух газов ускоряемой ударными волнами // Известия АН СССР. Сер. Механика жидкости и газа. 1969. Т. 5. С. 151.
Алешин А. Н. " 0卩 Влияние взаимодействия ударной волны с областью контакта двух разноплотны потоков на интенсивность перемешивания // Квантовая электроника. 1987. Т. 14. С. 2299-2303.
Гамалий Е. Г. " ф. Взаимодействие ударной волны с областью контакта разноплотных газов // Теплофизика высоких температур. 1988. Т. 25. С. 960-964.
Gam а! у Е. G. et al. Investigation of nonlinear and intermediate stages in the development of Richmyer-Meshkov instability. In Laser Interaction With Matter. ECLIM'98, Madrid, Spain, October, 1988. / Eds. G. Velarde, E. Mingues, J. Perlado, World Scientific, Singapure, 1989.
Алешин A. H. " ф. Исследование нелинейной и переходной стадии развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова // Письма в ЖТФ. 1988. Т. 14. С. 1063-1066.
Алешин А. Н. " ф. Исследование линейной, нелинейной и переходной стадий развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова // Доклады Академии наук СССР. 1990. Т. 310, №5. С. 1105-1108.
Зайцев С. Г. " ф. Гидродинамическая неустойчивость области контакта газовых сред, движущихся ускорено // Известия Академии наук. Сер. Механика жидкости и газа. 1991, Т.15—21.
Зайцев С. Г. 〃 ф. Влияние переходного слоя на развитие неустойчивости Рэлея-Тейлора // Письма в ЖТФ. 1989. Т. 15. С. 33-37.
Розанов В. В. 〃 др. Экспериментальное исследование гравитационной неустойчивости и турбулентного перемешивания стратифицированных потоков в поле ускорения в связи с задачами инерционного термоядерного синтеза. Препринт ①ИАН, №56, М., 1990.
Zhang Q., Sohn S.-Л Nonlinear theory of unstable fluid mixing driven by shock wave // Phys. Fluids. 1997. V. 4. P. 1106;
Li X., Zhang Q. A comparative numerical study of RMI with nonlinear analysis in two and three dimensions // Ibid. V. 9. P. 3069.
Zaytsev S. et al. Experimental investigation of RT and RM instabilities // 3rd Intern. Workshop on the Physics of Compressible Turbulent Mixing. Abbey of Royaumont, France, June 17-19, 1991.
Белоцерковский О. M. 〃 ф. // ЖВММ①.1978. Т. 18, № 2. С. 420-444.
Anuchina N.N., Volkov V. I. // Ibid. P. 315.
Hazins V. M., Svetsov V. V. A conservative Stable Smoothness-Enhancing Free-Lagrangian Method // Journal of Computational Physics. 1993. V. 105, No. 2. P. 187-198.
Лебо И. Г., Неледова А. В., Тишкин В. Ф. Решение задачи о развитии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова на нерегулярных адаптивных сетках. Препринт ①ИАН, №46, М., 1996.
Вязников К. В., Тишкин В. Ф., Фаворский А. /7. // Математическое моделирование. 1989. Т. 1, №5. С. 95.
Popov /. et al. Numerical simulation and experimental study of Richtmyer-Meshkov Instability // Paper presented at Laser Interact with Matter Conf. ECLIM'95, Oxford, England, September 1994.
Никишин 8 8 〃 др. // Математическое моделирование. 1995. T. 7, №5. C.15—25.
Lebo /. G. et 〃/. Numerical simulation of Richtmyer-Meshkov Instability // Proc, of 20th Intern. Symposium on Shock Waves, (Pasadena, USA, July 1995. V. 1. P. 605-610; см. также Proc, of 5th Intern. Workshop on Compressible Turbulent Mixing. N. Y.: University of Stony Brook, July, 1995. / Eds. R. Young, J. Glimm&B. Boston, World Scientific. P. 346—356.
Harten A. On a class of high resolution total-variation-stable finite- difference schemes // SIAM J. Numeric. Anal. 1984. V. 21, No. 1. P.l—23.
Годунов С. К. Разностный метод численного расчета разрывных течений // Мат. сборник. 1959. Т.47(89), №3. С. 271—306.
Белоцерковский О. М., Демченко В. В., Опарин А. М. Моделирование перехода к турбулентности в неустойчивости Рихтмайера-Мешкова // Доклады РАН. 1994. Т. 334, №5. С. 581.
Henderson 厶尸.〃 J. Fluids Meeh. 1966. V. XXVI, 3,607-637, (1966)
Лебо И. Г. 〃 ф. О влиянии условий на границах на развитие неустойчивости на контактной поверхности при прохождении ударной волны // Краткие сообщения по физике. М.,①ИАН, 1997. № 1-2. С. 47—56.
Белоцерковский О. М., Демченко В. В., Опарин А. М. Нестационарное трехмерное численное моделирование неустойчивости Рихтмайера-Мешкова // Доклады РАН. 1997. Т. 3 54, №2. С.190-193.
Lebo /. G. et al. Numerical simulationd of nonlinear and transitional stages of Richtmyer-Meshkov and Rayleigh-Taylor instabilities. Препринт ФИАН, M., № 30, 1997; см. также Proc, of 6th Intern. Workshop on The Physics of Compressible Turbulent Mixing / Eds. G. Jourdan&L. Houas. IUSTI, Marseille, France, 1987. P. 381—387.
Лебо И. Г. 〃 др. Численное моделирование эволюции многомодовых начальных возмущений при развитии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова. Препринт ФИАН №63, М., 1997; см. также J. of Russian Laser Research. 1998. V. 19, No. 5.
Сергеев С. В. 〃 др. Экспериментальное исследование неустойчивости РихтмайераМешкова при негармоническом возмущении контактного разрыва // Тезисы докладов XXIV Звенигордской конференции по физике плазмы и УТС. 17-21 февраля 1997 г. М.,①ИАН, 1997.
Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория упругости. М.,Наука, 1987.
Mikaelian К. О. Growth Rate of the Richtmyer-Meshkov Instability at Shocked Interfaces // Phys. Rev. Lett. 1993. V.71. P. 2903—2906.
Лебо И. Г. 〃 ф. О развитии неустойчивости вблизи контактной границы двух равноплотных газов при прохождении ударной волны // Краткие сообщения по физике. 1997. М., ФИАН. №1—2. С. 67—73.
Lebo /. G. et al. Computational modeling of the hydrodynamic instability development in shock tube and laser driven experiments. Препринт ФИАН N31, M., 1997; см. также Proc, of 6th Intern. Workshop on The Physics of Compressible Turbulent Mixing. Editors G. Jourdan&L.Houas. IUSTI, Marseille, France. 1997. P. 312—317.
Зельдович Я. Б., Райзер Ю. /7. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. ГИФМЗЛ, Москва, 1963.
Bashurou V. V. et al. Experimental and numerical evolution studies for 2-D perturbations of the interface accelerated by shock waves // Proc, of the 5th Intern. Workshop on Compressible Turbulent Mixing. University at Stony Brook, NY, USA, 18—21 July, 1995; World Scientific, Singapure, 1996.
Брагинский С. И. Вопросы теории плазмы, вып. 1, Госатомиздат. М., 1963.
Лебо И. Г. 〃 др. Об особенностях развития неустойчивости Рихтмайера-Мешкова в лазерной плазме // Краткие сообщения по физике ФИАН. М., 2000. №7. С.13-18.
Неуважаев В. Е., Яковлев В. Г. О перемешивании контактной границы, замедляемой стационарными ударными волнами // ПМТФ. 1981. № 2. С. 85.
Гарина С. М. 〃 др. Численное моделирование и анализ характеристик турбулентного перемешивания с помощью трехмерного кода NUT // Математическое моделирование. 2003. Т. 15, № 5. С. 3-11.
Глава 6
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДАПТИВНЫХ МЕТОДОВДЛЯ РАСЧЕТА ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЙВ МНОГОКОМПОНЕНТНОМ ГАЗЕ
Постановка задачи
При решении задач, связанных с развитием гидродинамических неустойчивостей, определяющую роль играет точность расчета в областях высоких градиентов. Эти области возникают, в частности, при наличии разрывов в газодинамических течениях, таких, как ударные волны и контактные границы. Для правильной передачи таких особенностей эффективными оказываются адаптивные методы, когда расчетные сетки сгущаются в вышеупомянутых областях. В настоящей главе рассматривается применение для этих целей иерархических локально- измельчающихся адаптивных сеток (adaptive mesh refinement — AMR). Идея данного метода состоит в том, что во время вычислений в областях, где требуется более точно аппроксимировать решение, ячейки сетки дробятся, образуя более мелкие (дробление происходит до тех пор, пока требуемая точность не будет достигнута), а в областях, где точность вычисления уже является избыточной, ячейки объединяются в более крупные.
Метод AMR был предложен в работе [1] и развит в последующих работах [2—4]. Преимущество данного метода перед другими методами заключается в возможности получить решение требуемой точности за минимальные вычислительные затраты. Кроме того, иерархическая структура построения и хранения расчетных сеток предоставляет возможность эффективного использования высокопроизводительных машин с распределенной памятью.
Методика AMR базируется на иерархической последовательности сеток (в нашем случае на основе четырехугольных или кубических в трехмерном случае ячеек), которые имеют все лучшее пространственное разрешение при переходе от одного уровня сетки к следующему, более высокому. Идеология построения AMR сетки позволяет интегрировать каждый уровень не только со своим временным шагом
(выбираемым из условия Куранта-Фридрихса), но и со своим методом интегрирования. Критерий измельчения сетки основан на анализе гладкости газодинамического течения в данной области. Например, если перепад плотности в соседних ячейках превышает допустимую величину, то данные ячейки маркируются, как требующие дальнейшего измельчения.
Также для двумерного случая разработан метод решения уравнений теплопроводности совместно с уравнениями газовой динамики на локально-измельчающихся сетках. Применение явных схем для уравнения теплопроводности ограничивает величину временного шага значительно больше, чем применение явных схем для остальных уравнений, описывающих физические явления в плазме. Поэтому решение уравнения теплопроводности, с граничными условиями Неймана осуществляется с помощью неявной разностной схемы.
Для решения газодинамических задач были разработаны алгоритмы расчетов и создан пакет прикладных программ АДАПТ на основе концепции адаптивных локально-измельчающихся сеток. Для решения задач динамики жидкости и газа используются модификации схем типа TVD. Для численного решения уравнения теплопроводности —— неявная разностная схема, удовлетворяющая требованию самосопряженности получившегося оператора. Для решения неявных разностных уравнений, возникающих при аппроксимации диффузионных членов, используется метод сопряженных градиентов с предобуславливателем на основе неполного разложения Холецкого.
Структура используемой сетки
тельности сетоктельности сетокМетодика AMR базируется на иерархической последовательности сеток (в нашем случае на основе четырехугольных ячеек), которые имеют все лучшее пространственное разрешение при переходе от одного уровня сетки к следующему более высокому. Сама последовательность сеток строится рекурсивным способом, а именно, новые ячейки сетки внедряются в области более грубой сетки до тех пор, пока требуемая точность не будет достигнута. В нашем случае это достигается последовательным делением parent
тельности сеток
тельности сеток
(«родительской») ячейки на(«родительской») ячейки нарис. 6.1). Дочерним ячейкамрис. 6.1). Дочерним ячейкамчем у родительской ячейки.чем у родительской ячейки.четыре child («дочерних») ячейки (см.
(«родительской») ячейки на
(«родительской») ячейки на
рис. 6.1). Дочерним ячейкам
рис. 6.1). Дочерним ячейкам
чем у родительской ячейки.
чем у родительской ячейки.
присваивается ранг на единицу больше,
Сетка формируется следующим образом: сначала заводится равномерная сетка из так называемых базовых ячеек, которые получают значение ранга, равное нулю. В процессе вычислений некоторые ячейки дробятся, образуя более мелкие, а также некоторые ячейки могут объединяться в более крупные. В данной реализации ячейка может дробиться только пополам по каждому измерению одновременно, образуя таким образом 4 или 8 дочерних ячеек. На стратегию дробления и объединения сетки накладываются следующие ограничения:
Первое требование звучит следующим образом: ранги соседних ячеек не должны отличаться больше, чем на единицу. Требование накладывается из соображений обеспечения большей однородности сетки, и приводит к наличию переходной буферной зоны между областями высокой и низкой степени дробления. Данное требование является жестким, так как существенно используется при реализации структуры сетки (это будет видно ниже). На приведенном ниже рисунке показаны два фрагмента сетки. Слева показан фрагмент сетки с неправильной структурой (ячейки, помеченные темно-серым цветом, для обеспечения данного требования должны быть раздроблены), справа —фрагмент с правильной структурой. Здесь приводится двумерная иллюстрация, в трехмерном случае все аналогично. Где это возможно и далее будут приводиться двумерные аналогии.
Рис. 6.2. Неправильная (слева) и правильная (справа) структуры сеток
Второе требование вводится для удобства. В сетке не должно быть ячеек, все соседи которых имеют больший ранг. Обеспечение этого требования достигается за счет поиска всех подобных ячеек и их дробления. В отличие от предыдущего требования, данное требование не является жестким, так как не влияет на представление структуры
сетки. На иллюстрации показана ячейка (отмеченная темно-серым цветом), которая в соответствии с указанным требованием должна быть раздроблена.
Третье требование касается стратегии объединения. Объединять можно только те 8 (или 4 ячейки в двумерном случае) ячеек, которые являются дочерними по отношению к одной и той же ячейке. Таким образом, объединение является операцией, обратной к дроблению. На приведенном рисунке слева показаны ячейки, которые нельзя объединять, а справа — которые объединять можно.
Рис. 6.4. Слева показаны ячейки, которые нельзя объединять, а справа — которые объединять можно
Измельчение и огрубление сетки
Рекурсивный процесс деления (если точность еще недостаточна) или объединения (если требуемая точность уже избыточна) управляется специальной процедурой. От этой процедуры существенным образом зависит качество получаемой сетки и, следовательно, и качество самого решения.
Решение о необходимости дробления или объединения ячеек в конкретной области принимается на основе критерия, который позволяет определить величину градиентов газодинамических параметров. Если течение достаточно гладкое, то дробление не происходит. В данной работе принятие решений о дроблении и объединении основывается на значениях интенсивных величин. Рассматриваются два подхода к определению критериев. Пусть 巾—одна из интенсивных величин (р, и, з w, е). Пусть 0 ——рассматриваемая ячейка. Принятие решения о дроблении ячейки 0 (или объединении ячеек, одной из которых является 0) основывается на соотношении интенсивных величин между ячейкой 0 и каждой из ее соседей. Существует масса разнообразных способов определения критериев (см., например, [4]). В данной работе критерий для двух соседних ячеек определяется одним из двух следующих способов (тут е обозначает величину критерия, а не удельную внутреннюю энергию):
Принятие решения, основанное на абсолютной разнице величин.
Е =呐一V;0| -
Принятие решения, основанное на относительной разнице величин.
8 + тах(|т/；1| , I力о|)'8 + тах(|т/；1| , I力о|)'
8 + тах(|т/；1| , I力о|)'
8 + тах(|т/；1| , I力о|)'
где 8 — малая величина.
Решение принимается на основе величин Ei < £2, которые определяются особым образом для каждой интенсивной величины:
Если е > £2, то судя по рассматриваемым двум ячейкам, нужно провести дробление 0.
Если г < £ь то нужно провести объединение для 0.
Если Ei < е < £2, то не нужно проводить ни дробление, ни объединение ячейки 0.
Решение о дроблении ячейки принимается в том случае, если хотя бы для одного из соседей рассматриваемой ячейки такое дробление требуется. Если рассматриваются 8 ячеек, то для осуществления объединения для каждого соседа должен выполняться соответствующий критерий обьединения. В остальных случаях не происходит ни дробления, ни объединения.
При измельчении ячейки сетки должны выполняться все законы сохранения (массы, импульса и энергии). Выполнение законов сохранения достигается согласованным присвоением газодинамических величин дочерним ячейкам по формулам (для простоты здесь приводится случай двух пространственных измерений):
…/4 +…/4 +н『о,1,2,з,(6.1)н『о,1,2,з,(6.1)
…/4 +
…/4 +
н『о,1,2,з,(6.1)
н『о,1,2,з,(6.1)
где /р° — газодинамический параметр дочерней ячейки с центром в точке (力俨,嚟)，а /раг — значение соответствующего параметра родительской ячейки с центом в точке (力par,gpar)
В формулу (6.1) входит аппроксимация градиентов газодинамических величин. Способ вычисления градиента будет приведен ниже.
При расчете течений, динамически изменяющихся во времени часто возникает ситуация, когда области сильных изменений градиентов, требующие подробной сетки, изменяют свое расположение относительно построенной сетки. В этом случае в рассматриваемой области, где решение стало гладким, достаточно уже более грубой сетки для достижения требуемой точности решения. Гибкое управление расчетными ресурсами (добавление и удаление ячеек сетки) повышает качество алгоритма.
Огрубление сетки производится по тем же принципам, что и измельчение. Во-первых, газодинамические параметры должны удовлетворять законам сохранения. Во-вторых, огрубление возможно лишь в том случае, когда параметры течения газа достаточно гладки во всех дочерних ячейках. Сама родительская ячейка должна иметь уровень, гармонирующий с уровнями соседних ячеек (уровень без единицы
должен быть как минимум не меньше, чем максимальный уровень соседей). Значения газодинамических величин в родительской ячейке определяются из условия выполнения законов сохранения:
Рраг = 7 У4成
14
14
…=—У成h碎h
14
尸=戸工 у成％+严=?(L)，
.par = [ l+ l 碎1呼川)
о严г 乙I \k 2— 1 у
(尸)2 + epar )2
2*
Вычисление производныхгазодинамических величин
Для распределения сохраняющихся величин между дочерними ячейками при дроблении требуется уметь вычислять производные удельных сохраняющихся величин (°, ри,。少，pw, pl г Н丿丿 по направлениям х, у, z в центре ячейки. Эти же значения производных потребуются в дальнейшем при построении
разностных схем повышенного порядка точности.
Для определенности рассмотрим вычисление соответствующих производных по направлению х (для других осей производные вычисляются аналогично). Для вычисления производных используются только
данные ячеек, непосредственно граничащих с рассматриваемой. Для вычисления производной одной величины по направлению х (/| ，
где / — одна из сохраняющихся удельных величин) будем вычис-
д —од —ои производную справа 粵ихи производную справа 粵ихлять две производные по этой оси ( производную слева — ” \их
д —о
д —о
и производную справа 粵
их
и производную справа 粵
их
0,
Of присух
g 一0
дх
^o+O
包 дх
=<
包 дх
刃
,при —
хо-0 а®
g — 0
'包 дх
жо+0
> 0 и
包 дх
1
包 дх
^о+О
包 дх
а/
,npИ 不-
⑪一0
'包 дх
⑪+0
> 0 и
包 дх
网一0
>
竺 дх
3)+0
получившихся производных по принципу
Данный принцип получения производной
связан с построениемсвязан с построениемсхем, которые уменьшают или сохраняют полную вариацию функции
связан с построением
связан с построением
(и используются в TVD-схемах). Информацию о TVD-схемах можно найти, например, в работе [5].
Рассмотрим подробно вычисление производной — (все хо+0 остальные производные вычисляются аналогично). Вычисление данной
производной производится в зависимости от наличия соседей и соотношений их рангов с рангом рассматриваемой ячейки (если соседи есть). Рассмотрим все случаи (везде считается, что 0 — центр рассматриваемой ячейки, V ——объем рассматриваемой ячейки, / ——ее линейный размер по рассматриваемому направлению, индексы величин означают их принадлежность к той или иной ячейке, Ф = fV):
Сосед отсутствует, т. е. рассматриваемая ячейка является граничной. В этом случае все производные можно принять равными нулю. Можно поступить несколько иначе. Создать со стороны рассматриваемой грани виртуальную ячейку с такими же данными, как и у рассматриваемой, за исключением компоненты скорости, перпендикулярной грани (в случае жестких границ эту компоненту нужно взять противоположной по знаку). Далее же вычислить производные так же как в пункте 2 (т. е. при наличии соседа того же ранга). Заметим, что в этом случае одна производная может быть отличной от нуля (по удельной составляющей импульса вдоль оси, перпендикулярной рассматриваемой грани).
包 =力一而=也1 一也。 "I"包 =力一而=也1 一也。 "I"田 1 — фо).田 1 — фо).Сосед присутствует и имеет ранг, равный рангу рассматриваемой ячейки (см. рис. 6.5).
包 =力一而=也1 一也。 "I"
包 =力一而=也1 一也。 "I"
田 1 — фо).
田 1 — фо).
Здесь специально вынесен множитель —. В дальнейшем множитель / сократится, когда производная будет использоваться для экстраполяции, а Утакже пропадет, так как везде в местах использования данной производной вместо величин / будет подставлено Ф/V.
Рис. 6.5. Соседи имеют одинаковый рангРис. 6.5. Соседи имеют одинаковый ранг
Рис. 6.5. Соседи имеют одинаковый ранг
Рис. 6.5. Соседи имеют одинаковый ранг
Присутствуют четыре соседа большего ранга (см. рис. 6.6).
Рис. 6.6. Присутствуют соседи большего рангаРис. 6.6. Присутствуют соседи большего ранга
Рис. 6.6. Присутствуют соседи большего ранга
Рис. 6.6. Присутствуют соседи большего ранга
包 дх包 дх包 дх包 дх4(Ф1 + Ф4) - Фо0754(Ф1 + Ф4) - Фо0754(田 2 + Фз) — Фо0754(田 2 + Фз) — Фо075
包 дх
包 дх
包 дх
包 дх
4(Ф1 + Ф4) - Фо
075
4(Ф1 + Ф4) - Фо
075
4(田 2 + Фз) — Фо
075
4(田 2 + Фз) — Фо
075
Существует два подхода для вычисления производных в данной ситуации: 1) вычислить производные с использованием всех пяти отмеченных точек или 2) вычислить две производные (по точкам 0, 1, 4 и 0, 2, 3), а затем выбрать из них одну по принципу аналогичному описанному выше (если они разных знаков, то взять нуль, иначе —— минимальное по модулю значение).
При первом подходе получается следующее:
包 _((力+力+力+ /4)一而)/4=
(3Z)/4—
—1 /2(Ф1 + Ф2 + ф3 + ^4)- Фо
=VI (075
Аналогично при втором подходе получаются следующие две произ
водные:
Присутствует сосед меньшего ранга (см. рис. 6.7).
Рис. 6.7. Присутствуют соседи меньшего ранга
При рассмотрении ячейки, обозначенной на рисунке 0, производная вычисляется по четырем точкам: 0, 1, 2, В. Нетрудно видеть, что плоскость 1В2 перпендикулярна общей грани ячеек с центрами 0 и В, а значит, значение производной по направлению ОХ в данном случае не будет зависеть от значения величины, от которой берется производная, в точке 0.
包 — fp - (/i + 力)/2 —丄 /(田B 一皿一田2)/4)=诃(
Заметим, что в любом случае из производной можно вынести множи- эфdf 1 эф
тель 1 /VI. Введем величину -— следующим образом: — = —^—.
仃ихихV / их
Для аппроксимации уравнений газовой динамики на локально- измельчающихся сетках будем использовать потоковую схему вида:
△力 + p £ 小=o，по всем соседям
где Fkj — потоки через грани между к и j ячейками (см рис. 6.8), 2储一 длина соответствующего граничного ребра со знаком в зависимости от направления внешней нормали к границе к ячейки. Выбор знака можно пояснить на рисунке для двумерного случая: /оз, %04, ^05 имеют положительный знак (внешняя нормаль направлена вдоль направления координатных осей), а /оь 办2 ——отрицательный (внешняя нормаль направлена против направления координатных осей).
Потоки Fkj вычисляются в соответствии со схемой Годунова. Рассматриваются два варианта:
Распад разрыва между значениями газодинамических величин в к и j ячейках (схема первого порядка).
Рис. 6.8. Схема границ ячеек разных уровнейРис. 6.8. Схема границ ячеек разных уровней
Рис. 6.8. Схема границ ячеек разных уровней
Рис. 6.8. Схема границ ячеек разных уровней
Распад разрыва между величинами, интерполированными из ячейки к и j на центр соответствующей грани (схема второго порядка). При интерполяции используются значения производных от соответствующих величин, вычисленных по правилам пункта 3. Интерполяция в к ячейке осуществляется по формулам
где xkj, ykj, ^kj — координаты центра границы к и j ячейки, хк, ук, Zk — координаты центра ячейки к.
Тестовые расчеты
力=0力=0ПлотностьПлотность；Давление^；Давление^Плот. эн.Плот. эн.Скорость ZСкорость ZВ качестве первого теста произведен расчет распада разрыва. Данные перед и за фронтом разрыва следующие:01 = 1. 02 = 4・El = 1.£2 = 1.U\ = 0. 〃2 = О-В качестве первого теста произведен расчет распада разрыва. Данные перед и за фронтом разрыва следующие:01 = 1. 02 = 4・El = 1.£2 = 1.U\ = 0. 〃2 = О-
力=0
力=0
Плотность
Плотность
；Давление^
；Давление^
Плот. эн.
Плот. эн.
Скорость Z
Скорость Z
В качестве первого теста произведен расчет распада разрыва. Данные перед и за фронтом разрыва следующие:
01 = 1. 02 = 4・
El = 1.£2 = 1.
U\ = 0. 〃2 = О-
В качестве первого теста произведен расчет распада разрыва. Данные перед и за фронтом разрыва следующие:
01 = 1. 02 = 4・
El = 1.£2 = 1.
U\ = 0. 〃2 = О-
Рис. 6.9. Граничное условие — абсолютноупругая неподвижная стенкаРис. 6.9. Граничное условие — абсолютноупругая неподвижная стенка
Рис. 6.9. Граничное условие — абсолютноупругая неподвижная стенка
Рис. 6.9. Граничное условие — абсолютноупругая неподвижная стенка
На рис. 6.9 приведены начальные профили газодинамических величин.
На рис. 6.10—6.12 приведены профили газодинамических величин на момент 力=2. На графике 6.10 приведены данные для схемы первого порядка на трехуровневой сетке, на графиках 6.11 и 6.12 ——для схемы второго порядка на трехуровневой сетке и пятиуровневой сетке соответственно.
Скорость z
力=2 ДИ
Рис. 6.10.
Скорость Z 力=2,001
Рис. 6.11.
Скорость Z 力=2,(Ж
Рис. 6.12. Распределения газодинамических параметров (плотность, давление, удельная энергия и компоненты скорости) вдоль направления ж на различные моменты времени 力
Видно значительное улучшение качества решения при переходе к схеме второго порядка и увеличении степени дробления.
7 И. Г. Лебо, В. Ф. Тишкин
Рис. 6.13. Распределения плотности по （力，胃）на различные моменты времени
Следующий расчет проведен для развития неустойчивости Рихтма- ера-Мешкова. Начальное возмущение задавалось в виде синусоидального профиля с амплитудой равной 2. Ударная волна двигалась слева направо, начальные значения газодинамических величин следующие:
0=3/?2=1 Оз = 2,
=0,1 £? = 0,3 £3 = 0,5,“1=0〃2=0 〃з = 0,5.
Здесь индексом 1 обозначены параметры тяжелого вещества, индексом 2 ——параметры легкого вещества перед фронтом ударной волны, индексом 3 ——параметры за фронтом ударной волны.
Тест проведен с использование трехуровневой сетки. На рис.6.13 приведены контуры плотности на различные моменты времени.
Структура сетки на момент времени 25 приведена на рис. 6.14.
Рис. 6.14. Структура сетки
t = 65,01t = 65,01
t = 65,01
t = 65,01
Рис. 6.15. Распределения плотности на плоскости (ж, г) на равномерной (о) илокально-измельчающейся (6) сетке
На рис. 6.15, о, 6 приведены данные этой же тестовой задачи, полученные на равномерной сетке (рис. 6.15, а) с числом ячеек приблизительно таким же, как и в локально-измельчающейся (рис. 6.15, 6).
По графикам видно, что на адаптивной сетке удается разрешить гораздо более тонкие структуры развития неустойчивости.
Решение уравнения теплопроводностина локально-измельчающихся сетках
Постановка задачи. Учет тепловых процессов в случае использования локально-измельчающихся сеток проведен в случае двух пространственных измерений. Для решения уравнения теплопроводности целесообразно использовать неявные разностные схемы, что приводит к необходимости решения систем линейных уравнений с сильно разреженной симметричной положительно определенной матрицей. Для решения возникающих систем разностных уравнений будем использовать метод сопряженных градиентов с предобусловливанием неполного разложения Холецкого и его модификации [6—13, 18—19].
Для аппроксимации уравнения теплопроводности
(6.3)(6.3)дт
(6.3)
(6.3)
= div A; grad Т
мы будем использовать разностную схему, построенную методом опорных операторов [14]. Значения температуры отнесем к центрам ячеек локально-измельчающейся сетки. В качестве опорного оператора выберем оператор grad. Шаблон разностных уравнений получается различным в разных узлах сетки, что зависит от уровня соседних узлов сетки в иерархической последовательности сеток, и может содержать от 5 до 8 точек во внутренних узлах сетки.
В регулярных узлах сетки, ячейки которых окружены соседями того же уровня, разностные уравнения, аппроксимирующие уравнение (6.3), имеют вид (см. рис. 6.16, а)):
+ ^y^ % +，ind(4)(丁九]—
где % — значение коэффициента теплопроводности 网/通)в точке с индексом j, ind (/) — индекс точки с номером I, (Z = 2,3,4,…) на рисунке, причем точки шаблона нумеруются снизу вверх и слева направо, ind (1) = " hx, hy — длина и высота ячейки; 丁 一 шаг по времени.
В случае контакта ячейки рассматриваемого узла с 2 ячейками высшего уровня, например, см. рис. 6.16, 6, имеем
Рис. 6.16. Примеры шаблонов разностного оператора при различных расположениях ячеек разных уровнейРис. 6.16. Примеры шаблонов разностного оператора при различных расположениях ячеек разных уровней% + Xind(5)2% + Xind(5)2[«1 Аг + Q2(*nd ⑵ + *nd ⑶)][«1 Аг + Q2(*nd ⑵ + *nd ⑶)]mn 丄丁笈丄 ind(2)十丄 ind(3)2mn 丄丁笈丄 ind(2)十丄 ind(3)2++% + *nd(6)2% + *nd(6)2（鑑 d（6）（鑑 d（6）
Рис. 6.16. Примеры шаблонов разностного оператора при различных расположениях ячеек разных уровней
Рис. 6.16. Примеры шаблонов разностного оператора при различных расположениях ячеек разных уровней
% + Xind(5)
2
% + Xind(5)
2
[«1 Аг + Q2(*nd ⑵ + *nd ⑶)]
[«1 Аг + Q2(*nd ⑵ + *nd ⑶)]
mn 丄丁笈
丄 ind(2)十丄 ind(3)
2
mn 丄丁笈
丄 ind(2)十丄 ind(3)
2
+
+
% + *nd(6)
2
% + *nd(6)
2
（鑑 d（6）
（鑑 d（6）
В случае контакта с одной ячейкой нижнего уровня, например см. рис. 16, в), разностное уравнение имеет вид
+(制0^)(服⑸f)+⑺广+(制0^)(服⑸f)+⑺广% + *nd(4)2% + *nd(4)21 fhx\1 fhx\[aCind ⑵ + &2(Х +》ind(4))KTi；d(2) — О[aCind ⑵ + &2(Х +》ind(4))KTi；d(2) — О(/ъЛ)с^= (?). % + ”)(咪d(3)— T；j +
+(制0^)(服⑸f)+⑺广
+(制0^)(服⑸f)+⑺广
% + *nd(4)
2
% + *nd(4)
2
1 fhx\
1 fhx\
[aCind ⑵ + &2(Х +》ind(4))KTi；d(2) — О
[aCind ⑵ + &2(Х +》ind(4))KTi；d(2) — О
x(倉"…沿)
В случае контакта с ячейками разных уровней, например рис. 6.16, г), имеем
{hxhy')lcvl{hxhy')lcvl丁丁[eq% + Q2(*nd(3) + ^ind(4))][eq% + Q2(*nd(3) + ^ind(4))]7笈 _L 7笈7ind(3)十 Jind(4)27笈 _L 7笈7ind(3)十 Jind(4)2% + ^ind(5)2% + ^ind(5)2[d] ^ind(6) + &2(入？ +，ind(5))] }义[d] ^ind(6) + &2(入？ +，ind(5))] }义1 АЛ丿1 АЛ丿"1，ind(6) + &2(% + ^ind(5))]义"1，ind(6) + &2(% + ^ind(5))]义X (^nd(6) - T】)+ (g)X (^nd(6) - T】)+ (g)% +》ind(2)2% +》ind(2)2
{hxhy')lcvl
{hxhy')lcvl
丁
丁
[eq% + Q2(*nd(3) + ^ind(4))]
[eq% + Q2(*nd(3) + ^ind(4))]
7笈 _L 7笈
7ind(3)十 Jind(4)
2
7笈 _L 7笈
7ind(3)十 Jind(4)
2
% + ^ind(5)
2
% + ^ind(5)
2
[d] ^ind(6) + &2(入？ +，ind(5))] }义
[d] ^ind(6) + &2(入？ +，ind(5))] }义
1 АЛ
丿
1 АЛ
丿
"1，ind(6) + &2(% + ^ind(5))]义
"1，ind(6) + &2(% + ^ind(5))]义
X (^nd(6) - T】)+ (g)
X (^nd(6) - T】)+ (g)
% +》ind(2)2
% +》ind(2)2
В случае ситуации, изображенной на рис. 6.16, д), имеем
(h境hy)(h境hy)丁丁4i=g+ «2(Aind(2)厂_7门一1 4+ {hxhy)icvi "―~~= зX / 丄 ind(5)十丄 ind(4)4i=g+ «2(Aind(2)厂_7门一1 4+ {hxhy)icvi "―~~= зX / 丄 ind(5)十丄 ind(4)2+ 32+ 3mn 丄 mn丄 ind(2)十丄 ind(3)2mn 丄 mn丄 ind(2)十丄 ind(3)2++X [ai*nd⑺ + Q2(，ind(6) + %)]X [ai*nd⑺ + Q2(，ind(6) + %)]xx丄 ind(6)十2丄 ind(6)十2
(h境hy)
(h境hy)
丁
丁
4i
=g+ «2(Aind(2)
厂_7门一1 4
+ {hxhy)icvi "―~~= з
X / 丄 ind(5)十丄 ind(4)
4i
=g+ «2(Aind(2)
厂_7门一1 4
+ {hxhy)icvi "―~~= з
X / 丄 ind(5)十丄 ind(4)
2
+ 3
2
+ 3
mn 丄 mn
丄 ind(2)十丄 ind(3)
2
mn 丄 mn
丄 ind(2)十丄 ind(3)
2
+
+
X [ai*nd⑺ + Q2(，ind(6) + %)]
X [ai*nd⑺ + Q2(，ind(6) + %)]
x
x
丄 ind(6)十
2
丄 ind(6)十
2
45可"2 =匹・45可"2 =匹・
45
可"2 =匹・
45
可"2 =匹・
В приведенных выше формулах а\
Решение системы неявных разностных уравнений. После аппроксимации возникает необходимость решать систему разностных уравнений, которая может быть записана в виде:
(6.4)(6.4)Ay = f,
(6.4)
(6.4)
где матрица А — симметричная, положительно определенная.
Для решения уравнения (6.4) будем использовать метод неполного разложения Холецкого сопряженных градиентов ICCG(O) [6, 7], алгоритм которого имеет вид [6, 12]
戸=Ay。— f,
далее для к = 0, 1,...
решить уравнение Ви)к =戸,
В к = 7р[V ПРИ 卜 # 0, Эо = О,рк = Wk + [3kPk~^,
(6.5)(6.5)(wk,rk)
(6.5)
(6.5)
gk+1 = yk —
где матрица предобусловливатель В = (L + D~})D(LT +。一丨)，Ь — строго нижне-треугольная матрица, ук — приближенное решение уравнения (6.4) на к-той итерации. Мы будем пользоваться модифицированным вариантом [5, 17]:
В = (А- + D-])D^A-)T + О〕，(6.6)
где А~ — строго нижнетреугольная часть матрицы А. Элементы диагональной матрицы D выбираются из условия совпадения диагональных элементов матриц А и В (так же , как в методе ICCG(O)). Заметим, что в случае одноуровневой сетки L = А~.
Элементы ^ матрицы D вычисляются по формулам
l<il<iгде q〃 一 элементы матрицы А. Если D > 0, то 8 = ВТ > 0, и итерационный процесс при условии А = 4T > 0 сходится [5]. Можногде q〃 一 элементы матрицы А. Если D > 0, то 8 = ВТ > 0, и итерационный процесс при условии А = 4T > 0 сходится [5]. Можнодоказать, что если все ац W 0 при I ^ i и аи ^ то О > 0.доказать, что если все ац W 0 при I ^ i и аи ^ то О > 0.а〃 для всеха〃 для всех2,2,(6.7)
l<i
l<i
где q〃 一 элементы матрицы А. Если D > 0, то 8 = ВТ > 0, и итерационный процесс при условии А = 4T > 0 сходится [5]. Можно
где q〃 一 элементы матрицы А. Если D > 0, то 8 = ВТ > 0, и итерационный процесс при условии А = 4T > 0 сходится [5]. Можно
доказать, что если все ац W 0 при I ^ i и аи ^ то О > 0.
доказать, что если все ац W 0 при I ^ i и аи ^ то О > 0.
а〃 для всех
а〃 для всех
2,
2,
Условие аг1 W 0 при / 老 z выполнено для достаточно медленно меняющихся от узла к узлу разностной сетки коэффициентов Аг, условие а況》一* а〃 для всех i выполнено всегда. Однако, как показывают расчеты, итерационный процесс (6.5) сходится и для резко меняющихся Аг, только скорость сходимости становится существенно меньше. В этом случае целесобразно использовать вместо d? значения dg, которые вычисляются по формулам
乒 2Z<Z
где qi = (hxhy^ic^r в случае решения разностного аналога уравнения (6.3) и qt = (hxhy\dz в случае аппроксимации уравнения (6.3). Можно
доказать, что_если в качестве элементов диагональной матрицы D использовать dg, то О > 0. Как показывают расчеты модельной задачи, такой подход резко ускоряет сходимость итерационного процесса при наличии положительных внедиагональных элементов матрицы А.
Мы будем также использовать вариант метода, в котором матрица предобусловливания имеет вид (6.6), а элементы диагональной матрицы D определяются из критерия равенства строчных сумм
т!е + 卜 D а? = 8е,
где в = (1, 1,..., I)?, Da — диагональная часть матрицы А, А — диагональная матрица с неотрицательными элементами аг малого порядка. Диагональные элементы матрицы D вычисляются по формуле
l<i J>1
В настоящей работе будем использовать а^ = 0. Можно доказать,
для всех %, то О > 0для всех %, то О > 0что если все q〃 W 0 при I 关 i % а^ и метод сходится.
для всех %, то О > 0
для всех %, то О > 0
Заметим, что существенное влияние на скорость сходимости итераций оказывает способ упорядочения узлов сетки [13]. Будем придерживаться следующего способа упорядочения узлов локально измельчающейся сетки. Все ячейки самого низшего уровня нумеруются слева направо и снизу вверх. Если какая либо ячейка подвергается измельчению, то вновь образующиеся 4 ячейки нумеруются слева направо и снизу вверх, а номера ячеек, идущие после этой измельченной ячейки увеличиваются на 3.
При таком способе упорядочения узлов сетки ширина ленты матрицы близка к минимальной, что уменьшает число обусловленности
рассматриваемых меторассматриваемых метоматрицы и хорошо сказывается на сходимости
рассматриваемых мето
рассматриваемых мето
дов.
Численное исследование влияния теплопроводности на развитие неустойчивости. Проведены численные исследования развития неустойчивости при прохождении сильной ударной волны через контактную границу «оболочка-ДТ-горючее» с учетом влияния электронной теплопроводности на эволюцию возмущения границы.
Ниже приведен пример двух таких расчетов. Постановка задачи: двумерная декартова система координат (т, 2). Число Маха ударной волны, движущейся вдоль оси 0Z сверху вниз, составляет величину М = 20. Размеры расчетной области 0 т Хо, 0 L:
0 W % W О】=5 • 10一2 г/см3; pi = 105 атм;
W 2 W Ь2； Р2 = 1 г/см3； Р2 = Р1 ；
乙2 W 2 W Ьз； рз = 10-2 г/см3; "3 = рь
В первой области малоплотная смесь углерода и водорода (СН2), моделирующая корону лазерной мишени; вторая область — неиспа-
66聞2.070161.677321.359021.101130.8921760.7228740.5856980.4745 540.3845010.3115370.2524180.2045180.1657090.1342630.1087850.08814130.07141530.0578632 0.0468829 0.0379862 0.03077780.02493 73聞2.070161.677321.359021.101130.8921760.7228740.5856980.4745 540.3845010.3115370.2524180.2045180.1657090.1342630.1087850.08814130.07141530.0578632 0.0468829 0.0379862 0.03077780.02493 731.802231.454191.189550.95543 71.802231.454191.189550.95543 70,020,040,06 0,08 %0,020,040,06 0,08 %0.7851550.6378950.5182480.4210420.3420690.2773080.2257820.1834330.1490270.1210750.0983650.0733150.05492570.05274780.04285410.03481510.02828580.02298030.7851550.6378950.5182480.4210420.3420690.2773080.2257820.1834330.1490270.1210750.0983650.0733150.05492570.05274780.04285410.03481510.02828580.02298030,020,040,06%0,020,040,06%
6
6
聞
2.07016
1.67732
1.35902
1.10113
0.892176
0.722874
0.585698
0.4745 54
0.384501
0.311537
0.252418
0.204518
0.165709
0.134263
0.108785
0.0881413
0.0714153
0.0578632 0.0468829 0.0379862 0.0307778
0.02493 73
聞
2.07016
1.67732
1.35902
1.10113
0.892176
0.722874
0.585698
0.4745 54
0.384501
0.311537
0.252418
0.204518
0.165709
0.134263
0.108785
0.0881413
0.0714153
0.0578632 0.0468829 0.0379862 0.0307778
0.02493 73
1.80223
1.45419
1.18955
0.95543 7
1.80223
1.45419
1.18955
0.95543 7
0,020,040,06 0,08 %
0,020,040,06 0,08 %
0.785155
0.637895
0.518248
0.421042
0.342069
0.277308
0.225782
0.183433
0.149027
0.121075
0.098365
0.073315
0.0549257
0.0527478
0.0428541
0.0348151
0.0282858
0.0229803
0.785155
0.637895
0.518248
0.421042
0.342069
0.277308
0.225782
0.183433
0.149027
0.121075
0.098365
0.073315
0.0549257
0.0527478
0.0428541
0.0348151
0.0282858
0.0229803
0,020,040,06%
0,020,040,06%
Рис. 6.17. Уровни постоянной плотности на момент времени 0,439 нс для случаев отсутствия эффекта теплопроводности （о）; при наличии этого процесса （6）
ренная часть оболочки, с тем же химическим составом （СН?）; третья область — горючее: смесь дейтерия и трития. Чтобы увеличить время пребывания слоя в расчетной области, полагалось, что система координат смещалась вдоль оси г со скоростью w = г/；о = 200 км/с. В представленных расчетах моделировалась ситуация, когда ударная волна в лазерной мишени отражается от центра и тормозит оболочку.
Возмущения на контактной границе «ДТ-оболочка» задавались в виде 丄2（力）=二3 + ао cos （芊），где a（）= 1 мкм, X（）= 5 мкм, Lq = 30 мкм, J = 10 мкм,二з = 105 мкм, L = 151 мкм. В расчетах использовался коэффициент электронной теплопроводности в форме Спитцера-Брагинского к = к（］Т2^. Расчеты проведены без учета теп-
лопроводности (рис. 6.17, о) н с учетом влияния теплопроводности (рис. 6.17, 6). На рисунке представлены контуры постоянной плотности вблизи контактной границы на момент времени t = 0,439 нс. В отличие от задачи, рассмотренной в гл. 5, п. 10 (см. также [20]), в рассматриваемом случае длинноволновых возмущений (20 мкм) влияние электронной теплопроводности невелико. Тем не менее видно, что теплопроводность несколько «разгладила» контактную поверхность и подавила мелкомасштабные возмущения.
Литература
Berger М., Oli ger /. Local adaptive mesh refinement for hyperbolic partial differential equations // J. Comp. Phys. 1984. No. 53. P. 484-512.
Berger M., Colella P. Local adaptive mesh refinement for shock hydrodynamics // J. Comp. Phys. 1989. No. 8 2. P. 64-84.
Супалов А. В. Разработка алгоритмов построения трехмерных локально- даптивных сеток и их программная реализация. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Институт Вычислительной Математики РАН, Москва, С. 1-100, 1993.
Bell /. et uZ. A three dimensional adaptive mesh refinement for hyperbolic conservatiin laws // SIAM. J. Sci. Statist. Comput. 1994. No. 15(1). P. 127-138.
Тишкин В. Ф. 〃 ф. Разностные схемы трехмерной газовой динамики для задачи о развитии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова. // Математическое моделирование. 1995. Т. 7, №5. С. 15-25.
Meijerink /. 4., Van der Vorst Я. A. An Iterative Solution Method for Linear Systems, of which the Coefficient Matrix is a Symmetric M-matrix // Math. Comp. 1977. V.31, No. 137. P. 148-162.
Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М.: Мир, 1991.
Gustafsson /. A. Class of First Order Factorization Methods //BIT. 1978. V. 18. P. 142-156.
Кучеров А. Б., Макаров M. M. Метод приближенной факторизации для решения разностных смешанных краевых задач // Разностные методы математической физики. М.: МГУ, 1984. С. 54-65.
Axelsson О., Lindskog G. On the eievalue distribution of class of preconditioning methods // Numer. Math. 1986. V. 48. P. 479-498.
Doi S. On parallelism and convergence of incomplete LU factorization // Appl. Numer. Math. 1991. V.7(5). P. 417-436.
Mityukova O. Yu. Parallel approximate factorization method for solving discreate elliptic equations // Parallel Computing. 2001. V. 27. P. 1365-1379.
Милюкова 0. Ю. Параллельные варианты некоторых итерационных методов с факторизованной матрицей предобусловливания // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41, №11. С. 1619-1636.
Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука. 1978. 589С.
Duff /. S., Meurant G.A. The Effect of Ordering on Preconditioned Conjugate Gradients // BIT. 1989. V. 29. P. 635-657.
Самарский A. A. 〃 Ор. Разностные схемы на нерегулярных сетках. Минск, 1996.
Милюкова О. Ю. Параллельный вариант обобщенного попеременно-треугольного метода для решения эллиптических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38, № 12. С. 2002-2012.
Милюкова О. Ю., Четверушкин В. Н. Параллельный вариант попеременно-треугольного метода // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1998. Т. 38, №12. С. 219-229.
Kershaw D. S. The incomplete Cholesky-Conjugate gradient method for the iterative solution of systems of linear equations // J. Comp. Phys. 1978. V.26. P. 43-65.
Лебо И. Г. 〃 др. Краткие сообщения по физике ФИАН. 2000. № 7. С. 13-18.
Глава 7
АНАЛИЗ И ДВУМЕРНОЕ ЧИСЛЕННОЕМОДЕЛИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТОВПО ЛАЗЕРНОМУ УСКОРЕНИЮ
И ПРОЖИГАНИЮ ФОЛЫ
В этой главе представлены результаты численного моделирования и анализ экспериментов по ускорению и прожиганию металлических фолы с помощью различных однопучковых лазеров. Проведение экспериментов на однопучковых лазерах значительно проще и дешевле, чем в случае многопучковых сферических систем, к тому же и сам объект исследования — плазменная струя более доступен для современных диагностических средств. Благодаря относительной простоте эксперимента, представляется возможным проведение систематических исследований плазмы и более аккуратное сравнение расчетных и экспериментальных данных.
Моделирование экспериментов по увеличениюрентгеновского выхода при облучениииодным лазером алюминиевых фолы
В Физическом институте Чешской академии наук (г. Прага) на иодном лазере «Perun» [1] были проведены эксперименты по взаимодействию лазерного излучения с алюминиевыми фольгами. Лазерный импульс с энергией до 50 Дж при длительности импульса на полувысоте 300 псек фокусировался на алюминиевую фольгу толщиной 30 мкм. Диаметр минимального фокального пятна равнялся приблизительно 100 мкм («идеальный фокус»). Мишень могла смещаться относительно фокуса лазерной системы. Энергия в лазерных импульсах сохранялась приблизительно постоянной. В результате, при смещении фольги менялся радиус фокального пятна (А/) и интенсивность падающего лазерного излучения (qz). Измерялось рентгеновское излучение из плазмы двумя методами: 1) по He-подобным линиям А1Х/ и 2) по непрерывной части спектра при использовании бериллиевых фильтров толщиной 25 и 270 мкм. На рис. 7.1 показана схема эксперимента и зависимость рентгеновского выхода (в относительных единицах) от местоположения мишени по отношению к «идеальному» фокусу [2].
Лазерный лучЛазерный лучd < 0d < 0Рис. 7.1. Схема эксперимента (и) и зависимость рентгеновского выхода, полученная в экспериментах, от положения фольги по отношению к «идеальному» фокусу (6), / — измерения, сделанные по He-подобным линиям А1, 2 —— измерения, сделанные с помощью Ве-фильтровРис. 7.1. Схема эксперимента (и) и зависимость рентгеновского выхода, полученная в экспериментах, от положения фольги по отношению к «идеальному» фокусу (6), / — измерения, сделанные по He-подобным линиям А1, 2 —— измерения, сделанные с помощью Ве-фильтров
Лазерный луч
Лазерный луч
d < 0
d < 0
Рис. 7.1. Схема эксперимента (и) и зависимость рентгеновского выхода, полученная в экспериментах, от положения фольги по отношению к «идеальному» фокусу (6), / — измерения, сделанные по He-подобным линиям А1, 2 —— измерения, сделанные с помощью Ве-фильтров
Рис. 7.1. Схема эксперимента (и) и зависимость рентгеновского выхода, полученная в экспериментах, от положения фольги по отношению к «идеальному» фокусу (6), / — измерения, сделанные по He-подобным линиям А1, 2 —— измерения, сделанные с помощью Ве-фильтров
Численное моделирование экспериментов было сделано с помощью программы «АТЛАНТ» в трехтемпературном приближении (см. [3, 4]). Чтобы моделировать динамику разлета плазмы, была использована «квазицилиндрическая» геометрия, т. е. начальный радиус алюминиевого слоя равнялся 2 см, а раствор угла был мал. 6*тах = 0,1 рад. В результате, задача решалась, фактически, в цилиндрической геометрии. Направление вдоль оси задачи обозначили переменной т, а в перпендикулярном направлении: г = х sin 3 = /'б*.
Лазерный импульс имел гауссову временную форму с максимумом в момент времени 力о = 300 пс. Энергия в импульсе равнялась 20 Дж, причем все 100% энергии поглощалось в плазме. Лазерный поток задавался в виде qL = qi (力)42(。)・
⑺⑺=So exp⑺⑺=So exp
⑺⑺=So exp
⑺⑺=So exp
% 必=20 Дж,(7.1)
о
二 ехр(一(6>/分产)
2 - const '
Постоянная (const) выбирается из условия (12^) sin OdO = 1, о
丁 = 300 пс, a R3f = Rf, Rf — радиус фокального пятна. Была проведена серия расчетов с различными значениями Rf. Остальные параметры задачи (энергия и временная форма импульса, толщина и зяряд ионов) были фиксированными (толщина слоя 30 мкм, Z = 6, начальная плотность 2,7 г/см3). Ниже представлены сравнения результатов двух расчетов. Вариант 504: Rf = 250 мкм (максимальная интенсивность равна приблизительно 2 • 1013 Вт/см2 — параметры соответствуют смещению
Рис. 7.2. Очертания пламенных факелов, полученных в двумерных расчетах на момент времени 0,3 нс в вариантах 504 (и) и 505 (6)Рис. 7.2. Очертания пламенных факелов, полученных в двумерных расчетах на момент времени 0,3 нс в вариантах 504 (и) и 505 (6)ж (10-2 см)ж (10-2 см)05100510Г, 10—2 СМГ, 10—2 СМ
Рис. 7.2. Очертания пламенных факелов, полученных в двумерных расчетах на момент времени 0,3 нс в вариантах 504 (и) и 505 (6)
Рис. 7.2. Очертания пламенных факелов, полученных в двумерных расчетах на момент времени 0,3 нс в вариантах 504 (и) и 505 (6)
ж (10-2 см)
ж (10-2 см)
0510
0510
Г, 10—2 СМ
Г, 10—2 СМ
фольги на 1,2 мм, где наблюдался максимум рентгеновского выхода). Вариант 505: Rf = 50 мкм (максимальная интенсивность достигает 1015 Вт/см2 — параметры соответствует положению «идеального фокуса»).
На рис. 7.2, о, 6 показаны формы пламенного факела на момент времени 0,3 нс для вариантов 504 (а) и 505 (б).
Рис. 7.3. Распределения плотности плазмы вдоль оси на момент времени 0,3 нсРис. 7.3. Распределения плотности плазмы вдоль оси на момент времени 0,3 нс
Рис. 7.3. Распределения плотности плазмы вдоль оси на момент времени 0,3 нс
Рис. 7.3. Распределения плотности плазмы вдоль оси на момент времени 0,3 нс
В варианте 505 плазменный факел ——сравнительно узкий и вытянутый, в варианте 504 факел широкий и короткий, при этом суммарная площадь поверхности несколько больше, чем в первом случае. На рис. 7.3 показаны распределения плотности от расстояния т вдоль оси задачи на момент времени 0,3 нс.
На рис. 7.4, 7.5 показаны распределения электронной, ионной и радиационной температур для варианта 504 (рис. 7.4) и варианта 505 (рис. 7.5).
ной (£), ионной (Тг) и радиационной (Тг) температур вдоль оси на момент времени 0,3 нс. Вариант 504ной (£), ионной (Тг) и радиационной (Тг) температур вдоль оси на момент времени 0,3 нс. Вариант 504Т (100 eV)Т (100 eV)тронной (£), ионной (乙)и радиационной (Тг) температур вдоль оси на момент времени 0,3 нс.Вариант 505тронной (£), ионной (乙)и радиационной (Тг) температур вдоль оси на момент времени 0,3 нс.Вариант 505ж (100 мкм)ж (100 мкм)Рис. 7.6. Распределения радиационных температур вдоль оси в вариантах 504 и 505 на момент времени 0,3 нсРис. 7.6. Распределения радиационных температур вдоль оси в вариантах 504 и 505 на момент времени 0,3 нсТ (100 eV) о,8аТ (100 eV) о,8аz (100 мкм)z (100 мкм)Рис. 7.7. Распределения радиационных температур вдоль оси в вариантах 504 и 505 на момент времени 0,6 нсРис. 7.7. Распределения радиационных температур вдоль оси в вариантах 504 и 505 на момент времени 0,6 нс
ной (£), ионной (Тг) и радиационной (Тг) температур вдоль оси на момент времени 0,3 нс. Вариант 504
ной (£), ионной (Тг) и радиационной (Тг) температур вдоль оси на момент времени 0,3 нс. Вариант 504
Т (100 eV)
Т (100 eV)
тронной (£), ионной (乙)и радиационной (Тг) температур вдоль оси на момент времени 0,3 нс.
Вариант 505
тронной (£), ионной (乙)и радиационной (Тг) температур вдоль оси на момент времени 0,3 нс.
Вариант 505
ж (100 мкм)
ж (100 мкм)
Рис. 7.6. Распределения радиационных температур вдоль оси в вариантах 504 и 505 на момент времени 0,3 нс
Рис. 7.6. Распределения радиационных температур вдоль оси в вариантах 504 и 505 на момент времени 0,3 нс
Т (100 eV) о,8а
Т (100 eV) о,8а
z (100 мкм)
z (100 мкм)
Рис. 7.7. Распределения радиационных температур вдоль оси в вариантах 504 и 505 на момент времени 0,6 нс
Рис. 7.7. Распределения радиационных температур вдоль оси в вариантах 504 и 505 на момент времени 0,6 нс
Видно, что в короне в варианте 504 температура более чем в два раза меньше, чем в варианте 505, причем из-за большой скорости разлета в варианте 505 температура падает к краю плазмы, в то время как в варианте 504 температура в короне почти постоянная. Отдельно на рис. 7.6 и 7.7 показаны распределения радиационной температуры для вариантов 504 и 505 на моменты времени t = 0,3 и 0,6 нс.
Несмотря на то, что в варианте 505 вблизи критической поверхности корона имеет большую температуру, радиационная температура на границе «плазма-вакуум» приблизительно одинаковая, откуда и интенсивность излучения Q = о* приблизительно одинаковая (к концу импульса Тг на поверхности плазмы в варианте 504 даже немного
больше). К тому же поверхность плазмы в варианте 504 больше, чем в варианте 505. В результате, к концу импульса интегральный выход в варианте 504 оказался в 3 раза больше, чем в варианте 505. Как видно на рис. 7.1 разница между максимальным и минимальным выходом составила 4 + 5 раз. Большее различие, которое было получено в экспериментах по сравнению с расчетами, по нашему мнению, связано с тем, что при «острой фокусировке» возрастут потери лазерной энергии на отражение и рефракцию. Эти процессы в наших расчетах не учитывались, а доля отраженной лазерной энергии в экспериментах не измерялась.
Программа «АТЛАНТ-С»в лагранжевых цилиндрических координатах
Была разработана новая версия программы «АТЛАНТ» в цилиндрических координатах (г, z) [5] 9. Физическая модель, положенная в основу этой программы, соответствовала той, что была в программе «АТЛАНТ.ЗТ».
Ниже приведены основные уравнения, которые решаются численно с помощью этой программы.
dp dtdp dt=-pVv,=-pVv,(7.2)(7.2)
dp dt
dp dt
=-pVv,
=-pVv,
(7.2)
(7.2)
0石=' Pe Pi + Pr)・
zJ\ = -Z? ♦ FeVv + ▽(力▽Те) — Qei — Qer—
Rrad^P，^б) + Vq,
(7.3)(7.3)0勺=一巳▽V + ▽("/▽巧)+ Qei, p^^ = -FrVv + ▽ (хд VTr) + Qer,
(7.3)
(7.3)
,▽ q = k(p,TE) • q,
Qei = Q^Te)^^p\ Те
Программа «АТЛАНТ-С» сделана совместно с А. Б. Искаковым. Под руководством авторов монографии А. Б. Искаков защитил диссертацию кандидата физ.-мат. наук.
Ре = Ре^Р，丁石)；Pi =巳(。,巧)；Pr = Pr〈P，Tr),
(7.3)
Ее =石石(o, Те)； Е【=Е/(р, Tj); Er = Е£р, Тд).
Здесь р — плотность вещества, у — скорость вещества;石石，石/, Er — удельные энергии электронов, ионов и фотонов, приходящиеся на единицу объема; Ре,巳，EPr, Те, G, Tr— электронные, ионные и радиационные давления и температуры; Те,巧，Tr берутся в расчете на единичную степень ионизации; Rrad — потери на собственное
излучение плазмы;— скорость обмена энер
гией между электронами и ионами в приближении Ландау-Спитцера;
Qer = Qoer——— • Zf — скорость обмена энергией между элек- уТЕ
тронами и фотонами, определяемая тормозными процессами; q — поток лазерного излучения;死石，х/, хд — коэффициенты теплопроводности для электронной, ионной и радиационной компонент плазмы; 2 —— средняя степень ионизации.
Плазма предполагается квазинейтральной. В программе используется модель средней степени ионизации, когда считается, что в каждой точке области все ионы имеют одинаковую «среднюю» степень ионизации Z?. Изменения степени ионизации рассчитываются как результат ионизации электронным ударом, рекомбинации при тройных столкновениях и рекомбинации с излучением кванта:
-^ = 2 ・(а (/?, Те, Zi)-夕21 (р, ТЕ, %) — ^з(р, ТЕ, Z/).(7.4)
В этом уравнении температура электронов Те является также функцией 2, определяемой из условия сохранения энергии. Если реализуется приближение лучистой теплопроводности необходимо также учесть ионизацию излучением.
Предполагается, что длина волны лазера значительно меньше характерных размеров задачи, и потому при распространении излучения справедливо приближение геометрической оптики. Поток падающего излучения q задается на внешней границе области и удовлетворяет внутри неоднородной изотропной плазмы следующему уравнению:
VnVnк同к同К(0, ТЕ) • q,К(0, ТЕ) • q,(7.5)(7.5)
Vn
Vn
к
同
к
同
К(0, ТЕ) • q,
К(0, ТЕ) • q,
(7.5)
(7.5)
где к — направление распространения потока излучения; п(р，Те), К(р，Те) — коэффициенты преломления и поглощения излучения в плазме, рассчитываемые на основе обратного тормозного механизма.
Первое слагаемое в справа в уравнении (6.5) определяет изменение в направлении распространения луча, а второе слагаемое ——скорость поглощения энергии вдоль луча.
При расчете электронной теплопроводности предусматривалось ограничение максимального теплового потока величиной
"max ="max =' Атру/тЁ' Атру/тЁ(7・6)(7・6)
"max =
"max =
' Атру/тЁ
' Атру/тЁ
(7・6)
(7・6)
где р — плотность вещества; Те — температура электронов; % — средняя степень ионизации; А — атомный вес вещества;任一постоянная Больцмана; тр — атомная единица массы; тп石一масса электрона; / — параметр, принимающий в зависимости от конкретной задачи значения в пределах 0,3 -4- 0,05
Решение системы уравнений (7.2)—(7.5) осуществляется методом последовательного учета физических процессов. Такой подход позволил скомпоновать программу в виде отдельных модулей для моделирования отдельных физических процессов: лагранжевая газовая динамика, теплопроводность, обмен энергиями трех компонент, поглощение лазерного излучения, процессы ионизации, потери на собственное излучение.
Созданная программа является естественным развитием сферической программы «АТЛАНТ» и использует те же модели и алгоритмы для расчета теплопроводности, обмена энергией и уравнения состояния.
Для повышения устойчивости лагранжевых разностных сеток в новой версии программы использовался подход, предложенный в [6], состоящий в увеличении числа узлов разностной сетки, в которых заданы термодинамические величины, в несколько раз по сравнению с количеством узлов, в которых заданы координаты и скорости среды.
В предлагаемой схеме используются четырехугольные ячейки и вводится 4 вспомогательных давления, каждое из которых относится к половине ячейки, полученной разбиением четырехугольника диагональю. Рассмотрим двумерную четырехугольную лагранжеву сетку (в плоской или цилиндрической геометрии). К узлу сетки (?,J) будем относить координаты r/j, zu и скорости 〃/j, u/j по направлениям г и 二 соответственно, где 1 W。W N, 1 W j W М. Ячейка (。，j) находится между узлами 亿 j), (° + 1, j), (° + 1, j + 1),(分，j + 1). Проведем диагонали. Величины, соответствующие левым верхним треугольникам, будем отмечать сверху индексом 1, правым нижним треугольникам —
厶7分+1,7厶7分+1,7Рис. 7.8. Схема нумерации треугольников в ячейке (г, J)Рис. 7.8. Схема нумерации треугольников в ячейке (г, J)
厶7分+1,7
厶7分+1,7
Рис. 7.8. Схема нумерации треугольников в ячейке (г, J)
Рис. 7.8. Схема нумерации треугольников в ячейке (г, J)
индексом 2, правым верхним — индексом 3, а левым нижним — индексом 4 (рис. 7.8).
В каждом треугольнике будем задавать массу, объем, плотность, ионное, электронное и радиационное давления: т»,卜势，。3 = =т弋j卜 Pgj (q = К e,厶，1 W。W N - 1; 1 W j W 应-1.
Удельные энергии будем считать во всех треугольниках равными общему значению удельной энергии в ячейке: &｝」=е|7 = &；」=&｝」= =^и, 1 ^ i ^ ^V — 1; 1 j М — 1.
Для вывода разностной схемы воспользуемся вариационным методом: аппроксимируем функционал действия для непрерывной среды в лагранжевых координатах («, /3):
+ 2/2+ 2/2(7.7)(7.7)
+ 2/
2
+ 2/
2
(7.7)
(7.7)
его дискретным аналогом на разностной сетке следующим образом:
ShShТоТо22(7.8)(7.8)
Sh
Sh
То
То
2
2
(7.8)
(7.8)
А 9(/，g).д 1а(戸,2)
где △=—-———в случае плоской симметрии и △=-—；——в ОР)
случае осевой симметрии; т» и &£丿 ——массы и удельные внутренние энергии вещества внутри соответствующих треугольников, а скорости в центрах треугольников аппроксимируются по следующим формулам:
^｝\j = g (后j + w/+i j+1 + 后，
〈〃2〉力=о (〃h + "Ml J + ^/+1 J+l)，
(^2)1j = g (若j + 〃*i j + 〃h+i)
и аналогично для〈宗〉〃，1 W〃WN—1, 1 j 1.
Считая независимыми переменными координаты узлов сетки, про- варьируем этот функционал с учетом естественной связи
於3於30存"方0存"方
於3
於3
0存"方
0存"方
и получим следующие динамические дискретно-разностные уравнения:
Mij •Mij •dtdt1212411「「「6 i—m,j_nA A—-K= 1 M=0 N=0'411「「「6 i—m,j_nA A—-K= 1 M=0 N=0'411411P±M,J—NP±M,J—NK=1 M=0 ^=0K=1 M=0 ^=0av，M,j—NdzLJav，M,j—NdzLJ(7.10)(7.10)
Mij •
Mij •
dt
dt
1
2
1
2
411
「「「6 i—m,j_n
A A—-
K= 1 M=0 N=0'
411
「「「6 i—m,j_n
A A—-
K= 1 M=0 N=0'
411
411
P±M,J—N
P±M,J—N
K=1 M=0 ^=0
K=1 M=0 ^=0
av，M,j—NdzLJ
av，M,j—NdzLJ
(7.10)
(7.10)
Рис. 7.9. Граничное условие — абсолютно упругая неподвижная стенкаРис. 7.9. Граничное условие — абсолютно упругая неподвижная стенкаМыМыdtdt1212411411ЕЕЕ可…ЕЕЕ可…К= 1 А/=0 N=0К= 1 А/=0 N=0dsLjdsLj(7.12)(7.12)
Рис. 7.9. Граничное условие — абсолютно упругая неподвижная стенка
Рис. 7.9. Граничное условие — абсолютно упругая неподвижная стенка
Мы
Мы
dt
dt
1
2
1
2
411
411
ЕЕЕ可…
ЕЕЕ可…
К= 1 А/=0 N=0
К= 1 А/=0 N=0
dsLj
dsLj
(7.12)
(7.12)
где выражение
M/J=5 Wtjt +田—ij—i + 用—+ 历 _[j+(7.11)
\ +历一+历亠/
аппроксимирует массу узла.
Эти формулы применимы ко всем внутренним узлам расчетной сетки: 2 i N — 1, 2 j М — 1. Соответствующие уравнения для граничных узлов сетки будут зависеть от заданных граничных условий.
Если на границе задана непо-
движная прямая стенка без трения с единичным вектором внешней нормали п (пд, п^) (см. рис. 7.9), то при варьировании функционала граничному узлу соответствует лишь одна независимая переменная —смещение вдоль направления сетки s (—〃z,几к) и уравнение для граничного узла (г, j) запишется в виде:
WJ = -nzUsjJ, VI j = TIrUsi J,
где Usrj — скорость узла (分，j) вдоль направления стенки s; дд д…
=—п^т;h пд-оператор дифференцирования вдоль на- osuдгиdzu
правления сетки s (—п^, ^я)； суммирование в (7.12) учитывает только реально существующие ячейки; масса Ми вычисляется по формуле (7.10), где в сумму входят лишь массы реально существующих ячеек.
Легко видеть, что уравнения (7.12) автоматически обеспечивают выполнение условия непротекания вещества через границу:
Если на некоторых участках границы (обозначим их число Жгр) задаются значения внешнего давления P^v, 1 ^ / ^ Жгр, то к функционалу (7.8) необходимо добавить слагаемое
工几⑴•Где K；m 一。6b^ внешнего пространства гра-
То
ничащего с расчетной областью Q вдоль границы /. К функционалу действия Sh (7.8) добавится соответствующий дискретный аналог. В результате для соответствующих граничных ячеек будут справедливы уравнения, аналогичные уравнениям (7.10), только вместо слагаемых с индексами, вышедшими за пределы допустимого диапазона, dVl / dVl
появятся слагаемые明£丄 и/空丄,где номер границы / под-
р drLj ° dzu
бирается в соответствии с номером граничного узла @, j).
Чтобы уравнения для граничных узлов в обоих вариантах задания граничных условий имели вид (7.10), вдоль границы разностной сетки вводится слой вырожденных ячеек с нулевыми объемами и массами:
ГО/ =门 J, rjv+i,j=^ N ,J,丿:=0, 1,...1,Г/0 =Г/1, Г/,Л/+1=Г/,м, / :=0, 1,...к=ш0/ =。‘J = 0, 1,..=0,4,К 加务二:加分7=°,/ = 0, 1,..=o.ГО/ =门 J, rjv+i,j=^ N ,J,丿:=0, 1,...1,Г/0 =Г/1, Г/,Л/+1=Г/,м, / :=0, 1,...к=ш0/ =。‘J = 0, 1,..=0,4,К 加务二:加分7=°,/ = 0, 1,..=o.(7.14)(7.14)
ГО/ =
门 J, rjv+i,j
=^ N ,J,丿:
=0, 1,...
1,
Г/0 =
Г/1, Г/,Л/+1
=Г/,м, / :
=0, 1,...
к
=ш0/ =。‘
J = 0, 1,..
=0,4,
К 加务二
:加分7=°,
/ = 0, 1,..
=o.
ГО/ =
门 J, rjv+i,j
=^ N ,J,丿:
=0, 1,...
1,
Г/0 =
Г/1, Г/,Л/+1
=Г/,м, / :
=0, 1,...
к
=ш0/ =。‘
J = 0, 1,..
=0,4,
К 加务二
:加分7=°,
/ = 0, 1,..
=o.
(7.14)
(7.14)
Давление в мнимой ячейке будем полагать равным либо внешнему давлению (если задано внешнее давление), либо давлению в прилегающей действительной ячейке (если на границе задана прямая стенка). Тогда движение всех узлов 1 ^ г ^ Ж, 1 ^ J ^ М можно рассчитывать по единым формулам (7.10). В случае цилиндрической симметрии узлы на оси также можно формально рассматривать как узлы, граничащие с прямой стенкой т = 0. Уравнения для энергии электронов, ионов и фотонов получаются из первого начала термодинамики:
d 匕 cdjmi J 37 atd 匕 cdjmi J 37 at1 4Z K=11 4Z K=1хх—1乂ai^JK=1 M=0 N=0a%, 〃/— A/,J—N + оVi^m,J^N—1乂ai^JK=1 M=0 N=0a%, 〃/— A/,J—N + оVi^m,J^N(7.15)(7.15)
d 匕 cdj
mi J 37 at
d 匕 cdj
mi J 37 at
1 4
Z K=1
1 4
Z K=1
х
х
—1乂
ai^J
K=1 M=0 N=0
a%, 〃/— A/,J—N + оVi^m,J^N
—1乂
ai^J
K=1 M=0 N=0
a%, 〃/— A/,J—N + оVi^m,J^N
(7.15)
(7.15)
где индекс q = e, z, т определяет электронную, ионную и радиационную компоненты энергии. Проводя дискретизацию по времени, получаем
окончательный вид разностной схемы:
1411K=1 M=0N=01411K=1 M=0N=0dr иdr и(7.16)(7.16)1I — M,J—N21I — M,J—N2K=1 M=0N=0K=1 M=0N=01 w / W N, 1 w J w м,1 w / W N, 1 w J w м,
1411
K=1 M=0N=0
1411
K=1 M=0N=0
dr и
dr и
(7.16)
(7.16)
1I — M,J—N
2
1I — M,J—N
2
K=1 M=0N=0
K=1 M=0N=0
1 w / W N, 1 w J w м,
1 w / W N, 1 w J w м,
(九+1) _5) i 411
…工
K=\ A7=0N=0
++9zi^m,J-N9zi^m,J-N(0，5)I — M'J—N(0，5)I — M'J—NXX吟（；+i）k任5+1））吟（；+i）k任5+1））1)K _ f (3 + l)K 式也+1)1)K _ f (3 + l)K 式也+1)
+
+
9zi^m,J-N
9zi^m,J-N
(0，5)
I — M'J—N
(0，5)
I — M'J—N
X
X
吟（；+i）k任5+1））
吟（；+i）k任5+1））
1)K _ f (3 + l)K 式也+1)
1)K _ f (3 + l)K 式也+1)
)(九+1)k—c p(n+0^ 丄 *5+i)k 丄 *5+i)k.
1 W / W N — 1, 1 ^ J ^ M — 1, 1 ^ К ^ 4, q = e, i, r,
где 丁 — шаг по времени; /5) и /(九+D — значения функции f на временных слоях п и n + 1;
Q/J средняя степень ионизации вещества; мнимые ячейки задаются в соответствии с (7.14); массы узлов Ми вычисляются по формулам (7.16); объемы четырехугольной и треугольной ячеек в случае осевой симметрии вычисляются по формулам
匕,丿=^{(吟J - *+lJ+l) •(2/+1J - 2"+1) +
+ 俨-也+1)・(2/+1J+1 -}'(7.17)
1厶23 = 2 {rl (-2 — -3)+ 丁々(-3 — 21) + ^3(21 — 22)},
а производные от объема вычисляются как соответствующие производные этих выражений.
При численном исследовании гидродинамических неустойчивостей важно, чтобы применяемая разностная схема не искажала симметрии исходного одномерного течения. Для получения схемы, одновременно сохраняющей плоскую, цилиндрическую и сферическую симметрии течения предлагается использовать специальные выражения для аппроксимации начальных масс ячеек, их объемов и пространственных производных от этих объемов.
Для определенности будем считать, что взятые последовательно узлы с номерами (г, J), (г + 1, j), (% + 1, j + 1) н (i,j + 1) соответствуют в цилиндрических координатах (г, з) обходу ячейки (г, J) против часовой стрелки. Аппроксимируем объемы треугольников по следующим формулам:
'[x (-/+1 J+l — -/+1J)+(T/+1J+1 + T/J)(2/J — 2/+1J+1) J
{
(77J+1 + ri+uXzI+u — 2/J+l) +(L/+1J + n+u+i)x
X(2/+1J+1 - -/+1J)+(П+1 J+l +T"+1)X
X(2"+l - -/+1 J+l)
vij =用「j Ivij =用「j I(Т/J + rI+\J)+1J — 2/J)+(T/+1J + T/J+l) *X (-/J+l — -/+1J)+(T"+l +— 2"+l)
vij =用「j I
vij =用「j I
(7・18) где гы = ；(rTj + 77+1 j + n+u+i + rJJ+i) - радиус центра ячейки.
Производные от этих объемов по радиусу R аппроксимируем по формулам
drI+udrI+udr и ~
drI+u
drI+u
drI+1J+i
drTJ
wru{z1+xj — 2/+1J+1)；
drI+u
~ 7ГГ/+и(2/+и+1 — 2")；
~ ^J+| j+l (Zjj - 2/+1 j)；
^ 0,
a 吟jn j、
不"0； Б ~ ^/+1/(-/+1/+1 _ Z/J+D，
orLJ orI+u
dVfjdVfj<9n+u+i<9n+u+i~ ^7+U+l(-/J+l - -/+1J)；~ ^7+U+l(-/J+l - -/+1J)；
dVfj
dVfj
<9n+u+i
<9n+u+i
~ ^7+U+l(-/J+l - -/+1J)；
~ ^7+U+l(-/J+l - -/+1J)；
amaid
n ~ 7n7J(2/+1J — 2/J+l)； о~ ^^/+1/(-//+! — 2/J)；
a广"drI+iJ
а】％а】％drIJ+idrIJ+i~ ^rij+\{zu - 2/+1J).~ ^rij+\{zu - 2/+1J).
а】％
а】％
drIJ+i
drIJ+i
~ ^rij+\{zu - 2/+1J).
~ ^rij+\{zu - 2/+1J).
Аналогичным образом аппроксимируем производные объемов по Z:
dzLJdzI+xj
aLbvx
T:-- ~ -兀丁/+1 J+1 (丁/J+1 - 丁/J)； 0~~~ -兀丁/J+l(丁/J-T/+1 J+1),
02/ +1J+1°2/ J+1
awap2
分"~ —^IJ^I+LJ — T/+1J+1)； о~ —7ГП+1 j(^/+lJ+l — T/j)；
a%/、 dvh n
■7；——- ~^Г1+и+1(Ги - 77+1 j)； -~— - о, ^J+u+idzIJ+\
(7.20)
02/+1J+ldzu+\02/+1J+ldzu+\正“OZI+\J
02/+1J+ldzu+\
02/+1J+ldzu+\
-^WJ+dn + UrJ + u+l),-^WJ+dn + UrJ + u+l),~ —仃/十1 J+l(T/J+1 — Гг+1 J)；
-^WJ+dn + UrJ + u+l),
-^WJ+dn + UrJ + u+l),
adaS
- -7ГГи(П+и - Г/J+l)； -—-厂")；
OZuOZI+\j
■7；——-— -0；-一— ^ -7ГГи+1(Ги 一 rJ+u).
02/+1J+1OZu+\
Объем лагранжевых ячеек будем вычислять по формуле
'- г1+иХги + rIJ+x + rI+1J)+、
7Г+2/+lJ(T/J — 丁/十1 J+1)(厂/十1 J + rIJ + r/+l J+l) +
J +^/+i J+I(n+1 j - rij^i)[ri+ij+i + ri^u + r/j+i) +
、+2"+l(T/+lJ+l - T")(丁+ T/+1J+1 + nj) ,
(7.21)
Массы лагранжевых ячеек вычисляются в начальный момент расчета: mu = puijVij, где рои — плотность вещества в ячейке (分，j) в начальный момент. Для вычисления массы узла разностной сетки вместо формулы (7.11) будем использовать приближенное выражение
Ми = 2ttRij^Sijpqu + Si^ijpQi^\j + S/_ 11 +
+ S/j—/о/」—i), где приузловые площади S вычисляются по формулам
((гкь + Гк+1Ь)(ЗК+1Ь - ^KL) + ^K+\L +Гк+1Ь+1)Х 、
SkL = 2 < X(-K+1L+1 - 2K+1Z)+(Гк+IL+I +刀+1)х> ,
、Х(2к厶+1 - 2К+1 厶+1) + (『К厶+1 +『К厶)(2к厶-2к厶+1) >
(7.22) гдеК = /,= J, J—1.
Если использовать аппроксимацию геометрических коэффициентов в виде (7.18)—(7.22), то непосредственная подстановка в схему (7.22) условий плоской, цилиндрической или сферической симметрии течения на временном шаге п показывает, что уравнения схемы обеспечивают соответствующую симметрию течения на временном шаге n + 1.
Уравнения бездиссипативной газовой динамики решаются с помощью явной схемы. Решение уравнений теплопроводности для электронной, ионной и радиационной компонент плазмы производится по неявной схеме с помощью раздельных прогонок. Учет ограничения теплового потока производится путем умножения коэффициента теплопроводности в разностной ячейке на величину ——, где ^П1ах —— "max + q
максимальный тепловой поток, определяемый формулой (7.6), q — наибольший из четырех тепловых потоков, определенных на сторонах рассматриваемой ячейки. Такой способ позволяет избежать нефизических искажений в направлении потока, к которым приводит непосредственное ограничение компонент теплового потока на сторонах ячейки.
В программе имеются также дополнительные возможности для:
—моделирования облучения мишени лазерами, имеющими различную длину волны излучения;
—расчета двумерных профилей проинтегрированного по времени рентгеновского излучения, высвечиваемого плазмой;
——автоматического измельчения сетки в процессе расчета в заданных областях (подробнее см. Глава 3).
Моделирование экспериментов по теплопроводномувыравниванию при воздействии лазерного излученияна двух длинах волн
В [7, 8] было предложено использовать симметризующий предим- пульс на большей длине волны чем основной греющий импульс для выравнивания абляционного давления. На установке «ПЕРУН» в кооперации с сотрудниками Всероссийского научно-исследовательского института экспериментальной физики (РФЯЦ-ВНИИЭФ, г. Саров) была развита техника генерации импульсов на вторй и третей гармониках иодного лазера [9]. На основании двумерных численных расчетов по программе «АТЛАНТ» было продемонстрировано преимущество использования симметризующего предимпульса на большей длине волны, чем основной греющий импульс при облучении и сжатии сферических оболочечных мишеней с параметрами близкими к мишеням реакторных масштабов (подробнее, см. Глава 8, п.4 и [10]). Анализ экспериментальных данных, полученных на установке «ПЕРУН», был выполнен с помощью цилиндрической версии программы «АТЛАНТ-С» [11].
В экспериментах импульс был поделен на три части, первая часть преобразованная во вторую гармонику (красный свет А = 0,638 мкм) имела энергию 6 Дж, второй и третий пучок были преобразованы в третью гармонику (синий свет А = 0,438 мкм) и имели каждый энергию по 3,5 Дж. Пучок красного света был сфокусирован в пятно с радиусом
Рис. 7.10. Схема эксперимента по нагреву фольги тремя лазерными лучами, (а)——временные (гауссовые) формы импульсов, первый ——красный расфокусированный предимпульс и два синих сфокусированных
Rbred = ЮО мкм и моделировал симметризующий предимпульс. Два пучка синего света фокусировались в пятна радиуса 区厶ыие = 20 мкм с расстоянием между центрами равным 80 мкм. Полагалось, что доля поглощенной энергии в каждом синем пятне составляет 70% от падающей, а в красном — 50%. Лазерное излучение падало на алюминиевую фольгу толщиной 7 мкм. На рис. 7.10 показана геометрия эксперимента. Временное распределение всех трех импульсов представляло гауссовый профиль с длительностью по полувысоте — 0,5 нс. Между красным и синим импульсами использовалась временная задержка различной длительности (в экспериментах, в первом случае задержка △力=0, во втором, — 0,5 и в третьем, — 1 нс). Изображение облученной фольги фотографировалось в рентгеновских лучах через камеру-обскуру. Использовались фильтры, обрезающие излучение с энергией квантов меньших 0,6 кэВ. Камера-обскура была помещена сбоку за фольгой и позволяла получать изображение с тыльной части фольги.
На рис. 7.11 показаны эти изображения мишени в рентгеновском свете для случая 1, 2 и 3 (в расчетах эти параметры соответствовали номерам вариантов 6.21, 6.22 и 6.23). В том случае, когда задержка равнялась 0 или 1 нс на тыльной стороне фольги наблюдались в рентгеновском свете выбросы плазмы там, где было сфокусировано
Рис. 7.11. Денситограммы интегральных по времени изображений фольги в рентгеновском свете для трех случаев задержки
синее излучение. В случае, когда время задержки равнялось 0,5 нс выбросы плазмы на тыльной стороне фольги исчезали.
Расчеты были выполнены с помощью программы 《АТЛАНТ_С». Полагалось, что плазма является полностью ионизованной с зарядом Zi = 12, кинетика ионизации не учитывалась. Лазерные лучи распространялись строго параллельно оси и поглощались за счет обратного тормозного механизма. Излучение, достигшее критической поверхности, поглощалось там полностью. В расчетах задавалось постоянное по радиусу распределение красного светового пучка. Единственный синий пучок имел гауссовое распределение в радиальном направлении с эффективным радиусом 20 мкм. В первом расчете красный и синий импульсы совпадали по времени (максимум мощности в момент времени 0,6 нс), во вторм расчете — максимум синего импульса был сдвинут на момент 1,1 нс (время задержки 0,5 нс ), в третьем расчете — на момент 1,6 нс (время задержки 1 нс). Лазерный поток задавался с помощью следующих формул:
%ed⑴=2,64 •[Вт/см2],
兀琮(7.23)
"blue*, т) = 2,45 • 1013Qt(t, 0,6 + At)Qr(r,r0) [Вт/см2],
где
九力о) = exp (―((力一t0)/r)2), 丁 = l/(4，ln 2),
Q『(t,H)) = ехр(^(г/го)2)/(7гго)；
t, At ——измеряется в нс, г, го, 〃о ——измеряется в 10^2 см. В расчетах Ло = 60 мкм — граница области счета, го = 20 — радиус пятна фокусировки синего излучения, △力 ——время задержки, которое задавалось соответственно 0, 0,5 и 1 нс в вариантах: 621, 622, 623.
В расчетах полагалось, что уравнение состояния — идеальная полностью ионизованная плазма. На рис. 7.12 показаны поверхности наибольшей плотности плазмы (вдоль оси 0Z) на разные моменты времени для трех случаев. Сверху — в том случае, когда не было задержки между красным и синим лазерным импульсами; по середине — когда задержка равнялась 0,5 нс; внизу — когда задержка равна 1 нс. Под амплитудой возмущения будем понимать расстояние от наиболее до наименее удаленной точек поверхности максимальной плотности. На рис. 7.13 показано как растут со временем эти амплитуды в трех случаях. Из рис. 7.12 и 7.13 видно, что в случае, когда задержки импульсов отсутствовала, рост возмущений был максимальным. В том случае, когда задержка равнялась 0,5 нс, — скорость роста возмущений была минимальной. Этот результат согласуется с данными экспериментов (см. рис. 7.11)
Вообще говоря, в эксперименте получены интегральные по времени фотографии в рентгеновском свете, поэтому, чтобы приблизить расчетные и экспериментальные данные была сделана следующая обработка
Рис. 7.12. Линии максимальной плотности от времени для трех случаев задержки (даны через каждые ОД нс)Рис. 7.12. Линии максимальной плотности от времени для трех случаев задержки (даны через каждые ОД нс)
Рис. 7.12. Линии максимальной плотности от времени для трех случаев задержки (даны через каждые ОД нс)
Рис. 7.12. Линии максимальной плотности от времени для трех случаев задержки (даны через каждые ОД нс)
Положение максимумасинего импульса
Рис. 7.13. Рост амплитуд возмущений от времени для трех случаев задержкипредимпульса
расчетных результатов: написана подпрограмма пересчета значений температуры и плотности плазмы на эйлеровую стационарную сетку
и проинтегрирована по времени следующая функция F（г, %, t） = G х х 方万.^2 * ехр（—0,6/真），которая имеет смысл интегральной светимости плазмы из заданной точки пространства. Полагалось, что основной вклад в излучение дает тормозной механизм. Поглощение и переизлу- чение квантов света не учитывалось. Действительно, при температуре 0,6 кэВ и плотности плазмы 2,7 г/см3, росселандов пробег квантов был бы 0,7 см, в то время как толщина фольги равнялся 5—7 мкм. Экспоненциальный член в формуле для F（厂，％,力）учитывает влияние фильтра. На рис. 7.14 показаны изолинии функции /（『，％） = F（r, z, t）dt для трех случаев задержки синих импульсов. Видно, что во втором случае светимость была наиболее равномерно распределенной вдоль направления 0г.
Рис. 7.14. Интегральная светимость из плазмы для трех случаев временной
задержки
Рис. 7.15. а Изолинии относительного поглощенного лазерного потока в плазме для трех вариантов задержки
Механизм выравнивания возмущений с помощью предимпульса можно понять из анализа рис. 7.15, а. На этом рисунке показаны изолинии распределения относительного поглощенного в плазме лазерного потока отнесенного к единице объема на момент времени максимума синего лазерного импульса для трех случаев временной задержки. Если в первом и третьем случаях, лазерное излучение поглощается
Q
Рис. 7.15. б Отнормированное распределение поглощенной лазерной мощности на единицу объема при г = О (Q) вдоль оси пучка, D ——расстояние от абляционной поверхности
вблизи критической поверхности, то во втором случае, — имеет место распределенное вдоль оси % поглощение.
На рис. 7.15, 6 показано распределение вдоль оси % (при г = 0) относительное поглощение на момент максимума синего импульса для трех случаев. Предимпульс приводит к формированию высокотемпературной протяженной короны, в которой происходит поглощение лазерного излучения и перенос возмущений на границу испарения. При этом осуществляется выравнивание абляционного давления. В случае отсутствия предимпульса, протяженность короны мала, а при задержке 1 нс плотность в разлетевшейся части плазы сильно уменьшается, что приводит к снижению поглощения в периферийных областях короны. В результате, основная мощность излучения вкладывается вблизи критической поверхности. Расстояние от этой поверхности до фронта испарения мало и эффект симметризации не значителен.
Расчеты были сделаны с коэффициентом электронного теплопе- реноса, соответствующим классическому выражению Спитцера-Брагинского. Чтобы убедиться, что в рассматриваемом случае ограничение теплопереноса не приведет к существенному изменению результатов, был пересчитан вариант 622 (с задержкой «синего» импульса на 0,5 нс) и введением ограничения теплового потока на уровне 0,05 от максималього (0,05 • neTeVe, где пе,耍,匕一концентрация, температура и скорость электронов). Результаты изменились незначительно.
Моделирование экспериментов по прожиганиюалюминиевых фолы на установке «ГАРПУН»
Исследованию скорости прожигания различных материалов с помощью лазера посвящено большое количество экспериментальных и теоретических работ (см. [12]). В основном, эти работы относились к изучению скорости испарения вещества облучаемого лазерами с наносекундной длительностью импульса и интенсивностью излучения 1()12 — 1014 Вт/см2 (такие лазеры создавались для исследований в области ЛТС), либо в диапазоне 1О^1О10 Вт/см2 и с длительностями импульсов в микросекундном (и более) диапазоне (технологические лазеры). Совместно с В. Д. Зворыкиным была исследована физика прожигания фолы при параметрах лазера 1012™ 1013 Вт/см2, длительности импульса порядка 100 нс с короткой длиной волны излучения (А = 0,25 мкм). Эксперименты проводились на KrF-лазере «ГАРПУН» в Отделении Квантовой Радиофизики ФИАН под руководством В. Д. Зворыкина [13].
Если полагать, что толщина «просветленной» фольги должна быть приблизительно равна глубине испаренного за время импульса слоя, тогда из формул, опубликованных в [14] следует, что скорость испарения массы вещества равняется
= 425= 42510141014(7.24)(7.24)
= 425
= 425
1014
1014
(7.24)
(7.24)
а абляционное давление
(7.25)(7.25)F[M6ap] = 20
(7.25)
(7.25)
Здесь / — интенсивность лазерного излучения в [Вт/см2], А — длина волны лазера в [мкм].
При средней интенсивности имульса / = 5 • 1012 Вт/см2 и длительности импульса 丁 =100 нс испаренный слой алюминия должен
равнятьсяравняться丁^ 30 мкм.丁^ 30 мкм.(7.26)(7.26)
равняться
равняться
丁^ 30 мкм.
丁^ 30 мкм.
(7.26)
(7.26)
На рис. 7.16 показана схема экспериментов, которые были выполнены на установке «ГАРПУН». Излучающая плазма фотографировалась через вертикальную щель с помощью фото-электронного регистратора (ФЭР). Слева — изображение, полученное в экспериментах (о), справа —схема таких экспериментов (6).
Облучались алюминиевые фольги различной толщины. За фольгой на расстоянии 1—2 мм помещелся диагностический экран. На тыльной стороне фольги и практически одновременно на экране появлялось
Рис. 7.16. Изображение фольги и экрана (а) и схема эксперимента (6)
свечение, что трактовалось как момент ее «просветления». Заметим, что для того, чтобы плазма с тыльной стороны мишени успела достичь экрана требуется время tp ^ 1 мм/lj ^ 10 нс, при типичных скоростях разлета 50-100 км/с для лазерных интенсивностей 5 • 1012 Вт/см2. Энергия рентгеновского излучения слишком мала, и должна рассеиваться в большой телесный угол, поэтому это излучение не может вызвать столь сильного испарения экрана и свечения, которое можно было бы зафиксировать на фотографии. Наблюдалось прожигание фолы с толщиной на порядок большей, чем следовало из формулы (7.24).
Были выполнены одномерные и затем двумерные расчеты для объяснения этих экспериментов. Одномерные расчеты, проведенные одним из авторов по программе «ДИАНА» [15], показали, что при заданных интенсивностях лазерного излучения толщина испаренного слоя за время действия лазерного импульса составляла от 20 до 100 мкм в зависимости от используемой модели поглощения излучения. В расчетах закладывались три физико-математических модели: 1) предполагалось, что уравнение состояния вещества (УСВ) - идеальный газ, кинетика ионизации не учитывалась, а средний заряд алюминия равнялся 8, лазерное излучение поглощалось в плазме за счет обратного тормозного механизма; 2) учитывалась кинетика ионизации и потери энергии на этот процесс, и неидеальность плазмы по модели «РАВИОН» (см. [15-18]); 3) УСВ — идеальный газ, процессы ионизации не учитывались, а лазерное излучение доходило до критической поверхности без поглощения, а в ячейке, содержащей критическую плотность, полностью поглощалось («дельта-образное» поглощение).
На рис. 7.17, а по оси абцисс отложена толщина алюминиевой фольги, а по оси оординат — «время прогорания» 力储 когда ее плотность станет меньше критической. Штрих-пунктирной линией показана временная форма лазерного импульса (трапеция с моментами времени по основаниям 0,20, 80,100 нс. Верхнее основание трапеции соответствует плотности лазерного потока 3,54 • 1012 Вт/см2). Сплошная линия —
tb, нс Обратный тормознойtb, нс Обратный тормозной10010070-70-50-50-30-30-10-10-механизм поглощениямеханизм поглощения! z z 6-образноеJ Лазерный I/ j импульс! z z 6-образноеJ Лазерный I/ j импульс020 40020 406080 100d^ мкм6080 100d^ мкм66Рис. 7.17. Сравнение результатов одномерных расчетов с экспериментальными данными (а). Двумерное численное моделирование прожигания фольг (б). Символами «/» показаны экспериментальные данные. Штрих-пунктирные линии ——временная форма лазерного импульса, (в) Распределения плотности плазмы вдоль оси z на момент времени 60 нс. Расчеты сделаны по программе «ДИАНА». Слева ——результат, полученный в том случае, когда учитывалась ионизация и УСВ ——неидеальная плазма, справа ——результат для случая идеальной плазмы без учета ионизации. Z ——расстояние, которое пролетел пик плотности на 60 нс, V — направление скорости полетаРис. 7.17. Сравнение результатов одномерных расчетов с экспериментальными данными (а). Двумерное численное моделирование прожигания фольг (б). Символами «/» показаны экспериментальные данные. Штрих-пунктирные линии ——временная форма лазерного импульса, (в) Распределения плотности плазмы вдоль оси z на момент времени 60 нс. Расчеты сделаны по программе «ДИАНА». Слева ——результат, полученный в том случае, когда учитывалась ионизация и УСВ ——неидеальная плазма, справа ——результат для случая идеальной плазмы без учета ионизации. Z ——расстояние, которое пролетел пик плотности на 60 нс, V — направление скорости полета
tb, нс Обратный тормозной
tb, нс Обратный тормозной
100
100
70-
70-
50-
50-
30-
30-
10-
10-
механизм поглощения
механизм поглощения
! z z 6-образное
J Лазерный I
/ j импульс
! z z 6-образное
J Лазерный I
/ j импульс
020 40
020 40
6080 100
d^ мкм
6080 100
d^ мкм
6
6
Рис. 7.17. Сравнение результатов одномерных расчетов с экспериментальными данными (а). Двумерное численное моделирование прожигания фольг (б). Символами «/» показаны экспериментальные данные. Штрих-пунктирные линии ——временная форма лазерного импульса, (в) Распределения плотности плазмы вдоль оси z на момент времени 60 нс. Расчеты сделаны по программе «ДИАНА». Слева ——результат, полученный в том случае, когда учитывалась ионизация и УСВ ——неидеальная плазма, справа ——результат для случая идеальной плазмы без учета ионизации. Z ——расстояние, которое пролетел пик плотности на 60 нс, V — направление скорости полета
Рис. 7.17. Сравнение результатов одномерных расчетов с экспериментальными данными (а). Двумерное численное моделирование прожигания фольг (б). Символами «/» показаны экспериментальные данные. Штрих-пунктирные линии ——временная форма лазерного импульса, (в) Распределения плотности плазмы вдоль оси z на момент времени 60 нс. Расчеты сделаны по программе «ДИАНА». Слева ——результат, полученный в том случае, когда учитывалась ионизация и УСВ ——неидеальная плазма, справа ——результат для случая идеальной плазмы без учета ионизации. Z ——расстояние, которое пролетел пик плотности на 60 нс, V — направление скорости полета
результаты численных расчетов в том случае, когда учитывалась кинетика ионизации и уравнения состояния неодеальной плазмы (версия «РАВИОН» в пакете прикладных программ «ДИАНА»). Штриховой линией показаны результаты, полученные в том случае, когда предполагалось «дельта-образное» поглощение излучения. Значком «I» отмечены экспериментальные данные. Видно, что в одномерной задаче согласовать расчетные и экспериментальные данные для тонких фольг (do < 40 мкм) можно лишь предположив, что эффективность поглощения коротковолнового лазерного излучения в докритической короне существенно меньше, чем следует из классических формул для
обратного тормозного поглощения (например, предположив, что из-за сильного бокового разлета плазмы излучение доходит до критической поверхности без потерь). Но даже в предположении о «дельта-образном» поглощении невозможно объяснить прогорание фолы с толщиной более 100 мкм (заметим, что в экспериментах наблюдалось прогорание фолы толщиной вплоть до 250-350 мкм).
На рис. 7.17, в показаны распределения плотности вблизи максимума в неиспаренной части фольги на момент времени 60 нс для расчетов по модели 2) — левый рисунок и 1) — правый рисунок, Lz — расстояние, которое пролетели эти максимумы плотности за 60 нс (в начальный момент левая граница алюминиевого слоя имела координату z = 0). Символом «V» и стрелками показано направление полета слоя. Лазер падал слева-направо. Видно, что в первом случае слой пролетел несколько меньшее расстояние и его плотность в макимуме меньше, чем во втором. Действительно, потери энергии на ионизацию уменьшают кинетическую энергию, которая сообщается слою, а учет упругих членов в давлении уменьшает сжимаемость плазмы. Отметим, что 乙％〜200—300 мкм, т. е. сравнима с толщиной фолы, которые использовались в экспериментах.
Для моделирования эффекта прожигания фольги удобнее пользоваться программой в эйлеровых координатах. По двумерной программе «НАТСИ» были выполнены следующие расчеты: задавалась область 0 W W Ао = 200 мкм, 0 W % W 4500 мкм [19]. Толщина алюминиевой фольги с начальной плотностью 2,7 г/см3 и зарядом ядра 8 менялась от варианта к варианту от 20 до 400 мкм. Физическая модель в программе «НАТСИ» была аналогичной той, что использовалась ранее в программе «АТЛАНТ», но для случая однотемпературной плазмы (что оправдано тем, что температура в короне плазмы, образованной KrF- лазером не превосходила 0,5 кэВ, а критическая плотность для такого лазера составляла 0,101 г/см3). Лазерный импульс задавался в следующем виде q(r, t) = Qi(t)Q2(^)- 41 (力)—имел трапециидальную форму с моментами времени по основаниям 0, 20, 70 и 100 нс и энергию в импульсе % ⑴d力=30 Дж.史⑺=exp (—r/Rf)2/Со, Rf = 49 мкм. (параметры лазерного импульса в этой серии экспериментов несколько отличались от предшествующей серии), Со — нормировочный множитель, такой, чтобы интеграл по радиусу от 0 до R。от @ был равен 1 (Jq^rdr = 1). На рис. 7.17, 6 показано сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными. Видно хорошее согласие вплоть до толщин фольги 250 мкм.
В том случае, когда диаметр пятна фокусировки оказывается значительно меньше, чем толщина фольги (а следовательно, и длины канала, который образуется при прожигании фольги) на скорость проникновения лазера через фольгу оказывают существенное влияние конкретные условия фокусировки. В программе «НАТСИ» предполагалось, что лучи распространяются параллельно оси 0Z. В фольгах с d > 250 мкм
эффект «каустики» лазерных лучей приводит к тому, что время прожигания фолы оказывается несколько большим, чем предсказывают расчеты.
Рис. 7.18. Изолинии плотности А1 фольги на моменты времени 40 и 45 нс. Начальная толщина фольги 200 мкм (вариант 103). Время прогорания фольги tb = 45 нсРис. 7.18. Изолинии плотности А1 фольги на моменты времени 40 и 45 нс. Начальная толщина фольги 200 мкм (вариант 103). Время прогорания фольги tb = 45 нс
Рис. 7.18. Изолинии плотности А1 фольги на моменты времени 40 и 45 нс. Начальная толщина фольги 200 мкм (вариант 103). Время прогорания фольги tb = 45 нс
Рис. 7.18. Изолинии плотности А1 фольги на моменты времени 40 и 45 нс. Начальная толщина фольги 200 мкм (вариант 103). Время прогорания фольги tb = 45 нс
На рис. 7.18 показаны линии изоплотности на моменты времени 40 и 45 нс. Представлены результаты расчета для случая толщины алюминиевой фольги 200 мкм (вариант 103). В варианте 103 — энергия в лазерном импульсе 30 Дж н А/ = 49 мкм, временная форма импульса описана ранее. Приблизительно к 42 нс произошло прогорание фольги, т. е. вещество вблизи оси разлетелось и плотность стала значительно меньше критической. На рис. 7.19 показны распределения плотности и давления вблизи оси в момент времени 40 нс. Видно, что плотность неиспаренной части фольги достигает около 2 г/см3, а давление чуть более 1 Мегабара. Справа на рис. 7.19 показано распределение плотности вдоль направления 0Z при г = 45 мкм на момент времени 45 нс. Видно, что плотность стала заметно меньше критической (на оси плотность настолько мала, что на графике получается негладкая «ступенчатая» линия). В следующем расчете изучалась зависимость скорости прожигания фольги от диаметра пятна фокусировки при фиксированной интенсивности падающего лазерного излучения. В варианте 107 энергия в импульсе равнялась 120 Дж и 丁/ = 98 мкм, Rq = 300 мкм. Остальные параметры лазерного импульса и мишени были такими же, как и в варианте 103. В варианте 107 поперечный размер области счета был увеличен в 2 раз по сравнению с вариантом 103, а средняя интенсивность в пятне фокусировки осталась прежней. Из расчетов
следовало, что с увеличением пятна фокусировки в два раза время прожигания увеличилось на 10 нс и составило приблизительно 55 нс.
времени 40 нс, и распределение плотности на момент 45 нс (&). К этому мо
менту лазер проходит через слой. Толщина фольги 200 мкм, энергия лазерного импульса 30 Дж, прадиус пятна фокусировка 49 мкм
а 力=45 нса 力=45 нсб 力=45 нсб 力=45 нсРис. 7.20. Распределения плотности от радиуса (г) при Z = 3,3 мм а и распределения плотности вдоль осия 0Z (при г = 0) на моменты времени 45 б и 55 в нс. Энергия в лазерном импульсе равнялась 120 Дж, радиус пятна фокусировки Rf = 98 мкм, начальная толщина фольги 200 мкм. Время продавливания 力ь = 45 нсРис. 7.20. Распределения плотности от радиуса (г) при Z = 3,3 мм а и распределения плотности вдоль осия 0Z (при г = 0) на моменты времени 45 б и 55 в нс. Энергия в лазерном импульсе равнялась 120 Дж, радиус пятна фокусировки Rf = 98 мкм, начальная толщина фольги 200 мкм. Время продавливания 力ь = 45 нсв 力=55 нсв 力=55 нс
а 力=45 нс
а 力=45 нс
б 力=45 нс
б 力=45 нс
Рис. 7.20. Распределения плотности от радиуса (г) при Z = 3,3 мм а и распределения плотности вдоль осия 0Z (при г = 0) на моменты времени 45 б и 55 в нс. Энергия в лазерном импульсе равнялась 120 Дж, радиус пятна фокусировки Rf = 98 мкм, начальная толщина фольги 200 мкм. Время продавливания 力ь = 45 нс
Рис. 7.20. Распределения плотности от радиуса (г) при Z = 3,3 мм а и распределения плотности вдоль осия 0Z (при г = 0) на моменты времени 45 б и 55 в нс. Энергия в лазерном импульсе равнялась 120 Дж, радиус пятна фокусировки Rf = 98 мкм, начальная толщина фольги 200 мкм. Время продавливания 力ь = 45 нс
в 力=55 нс
в 力=55 нс
На рис. 7.20 показаны распределения плотности вдоль направления 0г при фиксированном значении % = 3,2 мм (левый рисунок). Видно, что в поперечном направлении происходит интенсивное движение плазмы от оси. Ударная волна, сформировавшаяся впереди фронта испарения, «разгребает» массу фольги. Фронт этой ударной волны имеет вид
конуса, с вершиной направленной вдоль распространения лазерного луча. На среднем и правом рисунках 7.19, в показано распределение плотности вдоль напраления 0Z в моменты 力=45 н 力=55 нс. Эффект «продавливания» плазмы носит существенно-двумерный характер и может быть описан только при решении неодномерных уравнений газовой динамики.
Для сравнения результатов расчетов по разным программам был выполнен квазиодномерный расчет. В квазиодномерном расчете (<72 = 1) по программе «НАТСИ» (толщина фольги, как и ранее d = 200 мкс), плотность неиспаренной части фольги превосходила 1 г/см3 до 100 нс и позже. Скорость полета неиспаренной части фольги согласуется с результатами одномерных расчетов по программе《ДИАНА». Заметим, что при моделировании лазерного ускорения фольг в квазиодномерном приближении, как правило, плотность в неиспаренной части фольги, полученная в расчетах по эйлеровой программе, была несколько меньшее, чем аналогичные значения, полученные по лагранжевым программам («ДИАНА» и 《АТЛАНТ»). Это связяно с тем, что в эйлеровых программых аппраксимационная вязкость выше, чем в лагранжевых. При удвоении числа узлов сетки плотность неиспаренной части фольги в расчетах по программе «НАТСИ» увеличивалась на 30%. Недостаток оперативной памяти ЭВМ не позволил достичь одинаковой плотности неиспаренной части фольги в расчетах по разным методикам, но продемонстрировал тенденцию к увеличению плотности при увеличении числа узлов в эйлеровой разностной сетке. Баланс энергии в расчетах по разным методикам контролировался и строго выполнялся.
С помощью лагранжевой программы «АТЛАНТ_С» был также проведен расчет, моделирующий прожигание алюминиевой фольги толщиной 200 мкм. Пространственно-временное распределение падающей мощности излучения задавалось в виде q(厂/) = q(厂)• q«), где q(厂)=exp (―(厂/A/)?), Rf = 49 мкм имело форму гауссовского распределения, a q(t) — форму трапеции с моментами времени по основаниям 力1 = 0 нс,力2 = 20 нс, *з = 70 нс и ^4 = 100 нс. В расчете не учитывались рефракция и отражение, и таким образом вся падающая на мишень энергия полностью поглощалась. При моделировании использовались уравнения состояния для идеального газа. Начальная температура и плотность фольги полагались равными 2,5 • 10一？ эВ и 2,7 г/см3 соответственно.
Расчет прожигания фольги по лагранжевой методике потребовал значительно больших затрат процессорного времени (вообще говоря, расчеты по программам «АТЛАНТ-С» и «НАТСИ» были сделаны на различных компьютерах, поэтому строгое сравнение затрат процессорного времени не проводилось) и неоднократных перестроек сетки (вблизи оси осуществлялось дробление сетки по методике, описанной в гл. 3). На рис. 7.21, а, 6 представлены форма лагранжевой сетки на моменты 力=21,6 нс н 力=38,5 нс.
Рис. 7.21. (〃). Вид лагранжевой сетки на момент времени 21,6 нс. (6) Вид лагранжевой сетки на момент времени 38,5 нс
Время прогорания, полученное в расчете, составило 〜39 нс, что с точностью экспериментальной ошибки согласуется с данными, полученными на установке «ГАРПУН» (力匕=42 ± 4 нс) и результатами расчетов по программе «НАТСИ».
Сравнение расчетных и экспериментальных данных по лазерному прожиганию фолы (установка «ГАРПУН» ФИАН, г. Москва), позволили получить хорошее согласие результатов и объяснить наблюдаемые зависимости времени прожигания от толщины и диаметра пятна фокусировки. Наблюдаемое расхождение экспериментальных данных с известными ранее «скэйлингами» объясняется существенно двумерным эффектом «продавливания» слоя плазмы.
Анализ экспериментальных данныхна установке «ПИКО»
Краткое описание условий экспериментов. Эксперименты по взаимодействию мощного излучения Nd-лазера с тонкими алюминиевыми фольгами выполнены в Лаборатории лазерной плазмы ОКРФ ФИАН на установке «ПИКО» [20-22]. Авторами монографии проведены численные расчеты и на их основе выполнен анализ экспериментальных данных [23]. Ниже приведено краткое описание экспе-
Рис. 7.22. Схема эксперимента на установке «ПИКО». / — мишень; 2 — фокусирующая система; 3 ——устройство для позицирования мишени; 4, 5 — контроль положения мишени; 6-8 ——система транспортировки прошедшего излучения; 9-11 — калориметры; 12 — фильтры; 13 — оптические элементы
риментов, выполненых на установке «ПИКО». Принципиальная схема установки показана на рис. 7.22.
Мишени в виде алюминиевой фольги различной толщины облучались наносекундным лазером на Nd-стекле. Давление окружающего мишень остаточного газа (воздуха) менялось от 10-2 Торр до 6 х 10—6 Торр. Длительность лазерного импульса по полувысоте составляла 2 нс. Энергия на выходе лазера варьировалась в диапазоне (2 + 20) Дж, что позволяло получать плотность потока на поверхности мишени от 1013 Вт/см2 до 1014 Вт/см2. Расходимость излучения была 2а = (5 + 8) • 10-4 рад, энергетическая контрастность составляла Ke = Ю4 -4- 105. Ширина спектра излучения по полувысоте была 6Х = ЗОА. Толщина алюминиевых фольг варьировалась от 3 до
нескольких десятков мкм. Для изучения процессов в лазерных мишенях, была разработана диагностическая аппаратура, включающая в себя систему сбора и автоматической обработки экспериментальных данных о энергетической и временной структуре лазерного излучения в зоне взаимодействия с помощью калориметрического комплекса и коаксиальных фотоэлементов а также автоматизированную систему контроля структуры фокусируемого на мишень лазерного излучения (см. [21, 22]). Разработанная диагностическая методика позволяла одновременно измерять энергетический баланс и динамику прогорания фольги с пространственным и временным разрешением при синхронном контроле структуры лазерного излучения на поверхности мишени.
Такое сочетание диагностических средств обеспечивало возможность корректной интерпретации результатов эксперимента. Для измерений энергии, прошедшей через прогоревшую фольгу, использовалась специальная система защиты от паразитной засветки приемников излучения возможным фоновым излучением (из плазмы и рассеянным лазерным), включающая линзу (6), светозащитный тубус (7) и узкополосный (ЬХ 5А в области А = 1,06 мкм) интерференционный фильтр (см. рис. 7.22). Минимальная энергия, измеряемая калориметрической системой (10-13 на указанном рис. 7,22) составляет 0,1 мДж, погрешность абсолютных измерений — (7 + 9)%, погрешность относительных измерений — (1,5 + 3)% и чувствительность измерительного тракта ——2,5 мкВ/бит. Высокоскоростные измерения временной структуры падающего и прошедшего излучения осуществлялись коаксиальными фотоэлементами с временным разрешением 丁 0,2 нс.
Теоретическая модель и обсуждение результатов. Как следует из результатов работы [24], скорость испарения вещества dm]dt зависит от плотности потока q и длины волны А лазерного излучения следующим образом
dm/dt [кг/см2 • с] 143 • (10一％ [Вт/см2])1//,3(А [мкм])-4//3,
откуда при q W Ю14 Вт/см2 и А = 1,06 мкм за время 力=3—4 нс может испариться слой алюминия толщиной 1,5-2 мкм. Эти данные согласуются с результатами, приведенными в [12].
С помощью одномерной программы 《ДИАНА» были проведены расчеты, моделирующие нагрев и ускорение алюминиевых фолы в диапазоне лазерных интенсивностей 1013—1015 Вт/см2 и длительностях импульса 4 нс. Расчеты были выполнены в декартовых координатах. Реальный лазерный импульс аппроксимировался равнобедренным треугольником с длительностью по основанию 4 нс. Варьировались максимальная плотность потока на поверхности мишени qm, соответствующая вершине аппроксимационного треугольника, и толщина фольги d. Было сделано более 50 вариантов расчетов. На рис. 7.23 представлена зависимость величин толщины фольги d^, прогоревшей к концу лазерного импульса, от плотности потока на поверхности
мишени на момент t = 2 нс ——qm. Штриховая кривая соответствует расчетам, выполненным без учета потерь энергии на ионизацию, а сплошная кривая — с учетом эффекта ионизации.
Рис. 7.23. Постановка задачи (и) при результаты одномерных численных расчетов, выполненных по программе «ДИАНА» (б). По оси абсцисс отложена интенсивность лазерного импульса, по оси ординат — толщина фольг, прогоревших к концу импульса
Видно, что в одномерном случае за счет испарения внешних слоев «просветление» может происходить только для фолы с толщиной менее (1 4- 3) мкм при плотности потока qm = (1013™ 1014) Вт/см2.
Следующая серия расчетов, моделирующих неодномерный лазерный нагрев и ускорение фольги, была сделана с помощью двумерной эйлеровой программы «НАТСИ». Поток лазерного излучения в расчетах задавался следующим образом ^(r, t) = qi«) • 42 (厂)，причем q\ (t) имел вид равнобедренного треугольника с длительностью по основанию 4 нс, а <72(厂)=exp (r/T?y)2)/Ci, т. е. «гауссовое распределение» в поперечном направлении. С\ — нормировочный параметр, так, чтобы
q2rdr = 1. Здесь Rq = 200 мкм — поперечный размер области счета,
Rf = 70 мкм — эффективный радиус лазерного пучка. Энергия поглощенного лазерного пучка равнялась 10 Дж, а толщина алюминиевой фольги (с начальной плотностью 2,7 мкм и зарядом ионов 12) варьировалась.
На рис. 7.24 представлены результаты двумерных численных расчетов и сравнение с экспериментальными данными. По оси абцисс отложена толщина фольги, а по оси ординат — доля лазерной энергии, прошедшей через фольгу. Сплошная кривая — результат двумерных численных расчетов, а значками «I» показаны экспериментальные данные. Видно, что прогорание фольги при использованиее гладкого «гауссового» фронта излучения возможно при толщинах менее 3 мкм, что согласуется с результатами одномерных расчетов. На рис. 7.24 эта толщина фольги отмечена вертикальной штриховой линией — лишь при толщинах меньших этого значения возможен «эффект прогорания фольги». Тем не менее, в экспериментах наблюдается малая доля лазерной энергии, проходящей при толщинах фольги заметно больших, чем те значения, которые следуют из численных расчетов.
Рис. 7.24. Зависимость доли прошедшей лазерной энергии от толщины фольги при фиксированных параметрах лазера
Была выполнена серия расчетов по прожиганию фольг толшиной 4 мкм лазерным импульсом с энергией 10, 20 и 50 Дж. Временная форма лазерного импульса и поперечное распределение интенсивности в пучке было таким же, как ранее. Из расчетов следовало, что лишь в случае, когда энергия в лазерном импульсе составляла 50 Дж плотность плазмы на оси к концу импульса снижалась до плотности равной критической, т. е. такая плазма могла бы пропустить излучение.
На рис. 7.25 показаны распределения плотности плазмы вдоль оси на момент времени 力=4 нс для двух вариантов расчетов: с энергией лазерного импульса El = 10 Дж (левый рисунок ) н 石刀=50 Дж (правый рисунок). Здесь же показано расстояние Lz = 500 мкм, которое пролетел максимум плотности к указанному моменту времени. Таким образом, если бы лазерный пучок был гладким по сечению, то «просветление» фольги к концу лазерного импульса могло бы проявиться в том случае, если бы энергия в импульсе была бы в несколько раз больше, чем измеренная в экспериментах.
Рис. 7.25. Распределения плотности плазмы вдоль оси на момент окончания лазерного импульса для случаев а ——поглощенная лазерная энергия El = =10 Дж; 6 — Ее = 50 Дж; Lz — расстояние, которое пролетел максимум плотности к этому моментуРис. 7.25. Распределения плотности плазмы вдоль оси на момент окончания лазерного импульса для случаев а ——поглощенная лазерная энергия El = =10 Дж; 6 — Ее = 50 Дж; Lz — расстояние, которое пролетел максимум плотности к этому моменту
Рис. 7.25. Распределения плотности плазмы вдоль оси на момент окончания лазерного импульса для случаев а ——поглощенная лазерная энергия El = =10 Дж; 6 — Ее = 50 Дж; Lz — расстояние, которое пролетел максимум плотности к этому моменту
Рис. 7.25. Распределения плотности плазмы вдоль оси на момент окончания лазерного импульса для случаев а ——поглощенная лазерная энергия El = =10 Дж; 6 — Ее = 50 Дж; Lz — расстояние, которое пролетел максимум плотности к этому моменту
При обработке фотографий, полученных при «отщеплении» лазерного пучка от основного греющего излучения, в сечении наблюдались яркие пятна, имеющие диаметральный размер 10-20 мкм, причем интенсивность в отдельных структурах могла на порядок превышать среднее значение плотности потока энергии.
Механизм «просветления» фолы при наличии сильной неоднородности по сечению пучка отличается от рассмотренного выше испарения внешних слоев. Эти структуры — «спеклы» создают области повышенного давления и приводят к «микропродавливанию» фольги. На рис. 7.26 показана типичная «спекловая структура» лазерного пучка, измеренная в экспериментах на установке «ПИКО» [27].
Вертикальная штриховая линия на рис. 7.24 является условной границей раздела двух областей, соответствующих различным режимам просветления фольг: режима прогорания (испарения) — слева от штри-
ховой линии и режима «микропродавливания» — справа от штриховой линии.
Рис. 7.26. Распределение интенсивности лазерного пучка по сечению (в условных единицах). Измерения сделаны на установке «ПИКО»
На рис. 7.27 показаны результаты расчетов прогорания фольги толщиной 4 мкм при облучении ее лазерным импульсом «гауссовой формы», но с эффективными радиусами Rf = 5, 10 и 20 мкм, и энергией в пучке El = 10(7?у/70)2 Дж соответственно. Расчеты выполнены по программе «НАТСИ».
В верхнем ряду показаны изолинии плотности, а в нижнем — распределения плотности вдоль оси на соответствующие моменты времени. Видно, что при Rf = 5 мкм время прожигания фольги равнялось 仇 2,5 нс, при Rf = 10 мкм 仇 = 3—3,5 нс, а при Rf = 20 мкм фольга не прогорела. При этом максимум плотности фольги к моменту «просветления» пролетал расстояние Lz равное (10—20)А/.
На рис. 7.28 представлен анализ большой серии одномерных численных расчетов по ускорению фолы, выполненных по программе «ДИАНА». Показано расстояние, которое пролетает ячейка с максимальной плотностью (£z) от интенсивности лазера (qm) и толщины мишени (d°). Тонкие мишени «прогорают» и поэтому Lz оказывается меньше, чем в более массивных, но не прогоревших фольгах. Как видно из двумерных расчетов (см. рис. 7.27) разрыв фолы наступает, когда их максимум плотности смещается на расстояние порядка 10 диаметров фокальных пятен. Рисунок 7.28 позволяет оценить при каких параметрах «спеклов» (диаметрах и интенсивностях) можно ожидать эффекта «микропродавливания».
Эффект «микропродавливания» может оказаться весьма вредным в исследованиях по ЛТС, так как при нагреве сферической мишени несколькими пучками и их наложении друг на друга на поверхности мишени из-за интерференции может формироваться сильно неодно-
родное поле излучения. «Микропродавливание» приведет к проникновению энергии в глубь мишени, предварительному нагреву горючего, разрушению внутренней структуры мишени. В иностранной научной литературе вредное явление преднагрева мишени называют единым термином «imprint».
Как было показано в третьем параграфе данной главы с помощью симметризующего предимпульса можно частично подавить неоднородность нагрева мишени. Этот подход, на наш взгляд, является весьма перспективным методом борьбы с явлением «микропродавливания». Для демонстрации этого эффекта были выполнены следующие расчеты. Лазерный импульс разбивался на две части, в период 0 < t < 3,6 нс на слой алюминия толщиной 4 мкм падал постоянный в поперечном направлении лазерный поток (q? = const), имеющий временную зависимость в виде равнобедренного треугольника с длительностью 4 нс и интенсивностью при вершине 2 • 1012 Вт/см2 (%⑴)，а с момента 3,6 нс
а) Вар. 10-19а (兄/=10 мкм)0 Вар.10-19Ь (%= 20 мкм) в) Вар.10-19с (% = 5 мкм)
t = 3,5 нс2Z р 0,25 0,5 0.75 1 Z, 10Фольга6[^I'6t = 3,5 нс2Z р 0,25 0,5 0.75 1 Z, 10Фольга6[^I'6смсм006-6-5二:Лазер - 55二:Лазер - 55-5--4-44-4-60^25 6,5 о'75 160^25 6,5 о'75 1Ь4Ь4力=4 нс0,25 0,5 0,75 1Фольга力=4 нс0,25 0,5 0,75 1Фольга6 0：25 О',5 0,75 1г, 10-2 см6 0：25 О',5 0,75 1г, 10-2 смРис. 7.27. Изолинии плотности плазмы для вариантов с различными радиусами пятен фокусировки Rf, приведенные на момент времени прожигания фольги tb = 3,5 нс и;力ь = 2,5 нс в; и в случае, когда фольга не прогорела к концу импульса 6. На рис. г, д показаны распределения плотности вдоль оси 0Z для варианта 10-19а на моменты времени 力=3 н 力=3,5 нс; на рис. е и ж распределения плотности вдоль оси 0Z для вариантов 10-19Ь и 10-19с на моменты времени 力=4 н 力=4,5 нсРис. 7.27. Изолинии плотности плазмы для вариантов с различными радиусами пятен фокусировки Rf, приведенные на момент времени прожигания фольги tb = 3,5 нс и;力ь = 2,5 нс в; и в случае, когда фольга не прогорела к концу импульса 6. На рис. г, д показаны распределения плотности вдоль оси 0Z для варианта 10-19а на моменты времени 力=3 н 力=3,5 нс; на рис. е и ж распределения плотности вдоль оси 0Z для вариантов 10-19Ь и 10-19с на моменты времени 力=4 н 力=4,5 нс
t = 3,5 нс2
Z р 0,25 0,5 0.75 1 Z, 10
Фольга
6[^I'6
t = 3,5 нс2
Z р 0,25 0,5 0.75 1 Z, 10
Фольга
6[^I'6
см
см
0
0
6-
6-
5二:Лазер - 5
5二:Лазер - 5
5-
5-
-4
-4
4-
4-
60^25 6,5 о'75 1
60^25 6,5 о'75 1
Ь4
Ь4
力=4 нс
0,25 0,5 0,75 1
Фольга
力=4 нс
0,25 0,5 0,75 1
Фольга
6 0：25 О',5 0,75 1
г, 10-2 см
6 0：25 О',5 0,75 1
г, 10-2 см
Рис. 7.27. Изолинии плотности плазмы для вариантов с различными радиусами пятен фокусировки Rf, приведенные на момент времени прожигания фольги tb = 3,5 нс и;力ь = 2,5 нс в; и в случае, когда фольга не прогорела к концу импульса 6. На рис. г, д показаны распределения плотности вдоль оси 0Z для варианта 10-19а на моменты времени 力=3 н 力=3,5 нс; на рис. е и ж распределения плотности вдоль оси 0Z для вариантов 10-19Ь и 10-19с на моменты времени 力=4 н 力=4,5 нс
Рис. 7.27. Изолинии плотности плазмы для вариантов с различными радиусами пятен фокусировки Rf, приведенные на момент времени прожигания фольги tb = 3,5 нс и;力ь = 2,5 нс в; и в случае, когда фольга не прогорела к концу импульса 6. На рис. г, д показаны распределения плотности вдоль оси 0Z для варианта 10-19а на моменты времени 力=3 н 力=3,5 нс; на рис. е и ж распределения плотности вдоль оси 0Z для вариантов 10-19Ь и 10-19с на моменты времени 力=4 н 力=4,5 нс
0,01.100”0,01.100”0,12-:0,12-:0,08 %0,08 %0,06 <0,06 <0011Y—0 7 d^ мкмY—0 7 d^ мкм% см 0,15-% см 0,15-67679 349 340,10 <0,10 <0,03 ..；0,03 ..；^ 1013 Вт/см2^ 1013 Вт/см2
0,01.
100”
0,01.
100”
0,12-:
0,12-:
0,08 %
0,08 %
0,06 <
0,06 <
0
0
1
1
Y—0 7 d^ мкм
Y—0 7 d^ мкм
% см 0,15-
% см 0,15-
67
67
9 34
9 34
0,10 <
0,10 <
0,03 ..；
0,03 ..；
^ 1013 Вт/см2
^ 1013 Вт/см2
Рис. 7.28. Расстояние Lz, котороеРис. 7.28. Расстояние Lz, котороепролетает максимум плотности плазмы к
Рис. 7.28. Расстояние Lz, которое
Рис. 7.28. Расстояние Lz, которое
окончанию лазерного импульса в зависимости от толщины слоя. Результаты одномерных расчетов. qm — значение максимума интенсивности лазерного импульса, dg — начальная толщина А1 фольги
подключался лазерный импульс, имевший «гауссовое» в поперечном направлении распределение с А/ = 10 мкм (q^, и временной формой в виде аналогичного равнобедренного треугольника, но с началом в момент времени 3,6 нс. Энергия во втором импульсе равнялась 0,2 Дж, но из-за разницы в поперечном размере фокусного пятна, интенсивность излучения на оси пучка во втором импульсе была приблизительно в 16 раз выше, чем в первом. Моделировалось влияние лазерного предимпулса на скорость продавливания фольги за счет «спекловой» структуры лазерного пучка. На рис. 7.29 показаны изолинии плотности и распределение плотности плазмы вдоль оси на моменты времени 7 и 4 нс (что приблизительно соответствует моментам времени 3 и 3,5 нс на рис. 7.27). Первый импульс имел постоянное распределение интенсивности вдоль оси 0г, а второй импульс имел «гауссовое» распределение интенсивности в фокальном пятне с радиусом Rf = 10 мкм и моделировал действие «спекла». Несмотря на то, что во втором импульсе энергия меньше, чем в первом, за счет уменьшения площади фокального пятна, интенсивность в «спекле» была в 16 раз больше, чем в предимпульсе.
Видно, что в результате действия лазерного предимпульса, фольга к моменту окончания второго импульса не продавилась (плотность выше критической — смотри рис. 7.29, е).
Рис. 7.29. Влияние предимпульса. Показана постановка задачи а и изолинии плотности плазмы на момент окончания второго импульса 6. На рис. в, а показаны распределения плотности плазмы вдоль оси 0Z к концу в торого импульса (力=7,2 нс н 力=7,6 нс)
Чтобы оценить влияние симметризующего предимпульса на подавление эффекта «микропродавливания» была выполнена следующая серия расчетов. Алюминиевая мишень толщиной d = 3 мкм облучалась двумя лазерными импульсами. Оба импульса имели треугольную временную форму с моментами времени 力？=力о,力？=力0 + 1,5 нс, 力2 = h + 3 нс,力о ——параметр, который в первом импульсе равнялся 0, а во втором At — времени «задержки» между импульсами. Максимальные интенсивности импульсов равнялись Q\ и Q2, при этом первый импульс имел постоянное распределение по радиусу, а второй — «гауссовое» 〜e~(r/Rf)2? где Rf — эффективный радиус пучка. Первый импульс моделировал влияние предимпульса лазерного излучения, а второй влияние «спекла». В расчетах варьировались значения Qi, Q2, Rf и At, а параметры мишени были фиксироваными. Параметры мишени и лазерного импульса соответствовали условиям экспериментов на установке «ПИКО». Изучалось симметризующее воздействие предимпульса в зависимости от «задержки» △力=0, 0,5, 1,5 нс. При фиксированном отношении интенсивностей лазерных импульсов. На рис. 7.30 представлены результаты численных расчетов. Первый расчет соответствовал ситуации, когда предимпульс отсутствовал: △力=0, Qi = 2,358 х
х 1013 вт/см, Q = 8,48 • 1014 вт/см2 (отношение интенсивностей п = 36), Rf = 5 мкм, размер области OZ х OR = 800 х 300 мкм. Приблизительно к моменту времени 力=1,5 нс в мишенях формировалась «дырка», которая заполнялась высокотемпературной плазмой (см. рис. 7.30, а). При задержках △力=0,5, 1 и 1,5 нс и отношении интенсивностей п = 36 наблюдалась полная симметризация мишени, т. е. на рисунках «дырка» не возникала (смотри рис. 7.30, 6).
Рис. 7.30. Показаны распределения плотности на моменты времени 1,5 и 3 нс при отсутствии предимпульса а и при наличии предимпульса 6 с задержкой At = 1,5 нсРис. 7.30. Показаны распределения плотности на моменты времени 1,5 и 3 нс при отсутствии предимпульса а и при наличии предимпульса 6 с задержкой At = 1,5 нс
Рис. 7.30. Показаны распределения плотности на моменты времени 1,5 и 3 нс при отсутствии предимпульса а и при наличии предимпульса 6 с задержкой At = 1,5 нс
Рис. 7.30. Показаны распределения плотности на моменты времени 1,5 и 3 нс при отсутствии предимпульса а и при наличии предимпульса 6 с задержкой At = 1,5 нс
Во второй серии расчетов изучалась зависимость эффекта симметризации от отношения интенсивностей п. Были сделаны расчеты для п = 90,200, 360 при фиксированном значении Q = 8,48 • 1014 вт/см2 и At = 1,5 и 0,5 нс. Вплоть до п = 200 и временных задержках △力=0,5 и 1,5 нс происходит симметризация абляционного давления. Заметим, что с увеличением времени задержки до At = 1,5 нс симметризация наступала даже при п W 250 9.
В соответствующих экспериментах на установке «ПИКО» часть лазерной энергии (порядка 1 — 10%) отщеплялось от основного импульса и подводилось к мишени, причем время задержки основного импульса по отношению к предимпульсу могло варьироваться в пределах длительности импульса (3 нс). Экспериментально наблюдаемый эффект сглаживающего влияния предимпульса наглядно иллюстрируется рис. 7.31, на котором приведены результаты прожигания фольги при отсутствии предимпульса (светлые «квадратики») и при его включении (заштрихованные эллипсы). По оси ординат отложена зависимость
Рис. 7.31. Экспериментальная зависимость отношения энергии прошедшего через фольгу излучения к энергии падающего на мишень излучения от падающей энергии для случаев отсутствия предимпульса («точки» прямоугольной формы) и с предимпульсом («точки» эллиптической формы). В качестве мишени использовались А1 фольги толщиной 3 мкмРис. 7.31. Экспериментальная зависимость отношения энергии прошедшего через фольгу излучения к энергии падающего на мишень излучения от падающей энергии для случаев отсутствия предимпульса («точки» прямоугольной формы) и с предимпульсом («точки» эллиптической формы). В качестве мишени использовались А1 фольги толщиной 3 мкм
Рис. 7.31. Экспериментальная зависимость отношения энергии прошедшего через фольгу излучения к энергии падающего на мишень излучения от падающей энергии для случаев отсутствия предимпульса («точки» прямоугольной формы) и с предимпульсом («точки» эллиптической формы). В качестве мишени использовались А1 фольги толщиной 3 мкм
Рис. 7.31. Экспериментальная зависимость отношения энергии прошедшего через фольгу излучения к энергии падающего на мишень излучения от падающей энергии для случаев отсутствия предимпульса («точки» прямоугольной формы) и с предимпульсом («точки» эллиптической формы). В качестве мишени использовались А1 фольги толщиной 3 мкм
доли прошедшего через прожигаемые отверстия энергии лазерного излучения по отношению к энергии падающего на мишень излучения, по оси абцис ——энергия греющего излучения, падающего на мишень (подробнее смотри [28]).
При проведении расчетов наблюдался любопытный эффект «затекания», когда отверстие, образованное при продавливании мишени, заполнялось плазмой с периферийных слоев. Так на рис. 7.32 показаны результаты расчетов в том случае, когда п = 90 и и время задержки △力=0. Радиус «спекла» —5 мкм. Видно что к моменту времени △力=1,5 нс в плотной плазме сформировалось отверстие у оси, а к моменту At = 3 нс, наоборот, у оси возникает уплотнение за счет столкновения в центре плазмы, натекающей с периферийных слоев.
О11Е-?7Я&彳用敢白 *1 総 52O34Z15S7 心33 d白9P13333Z Hi田心仆n 物黑中吕22Я 8*京71k 匚七«И ：F2fl OM1Z33C 0；*О11Е-?7Я&彳用敢白 *1 総 52O34Z15S7 心33 d白9P13333Z Hi田心仆n 物黑中吕22Я 8*京71k 匚七«И ：F2fl OM1Z33C 0；*1, 1,5 и 3 нс1, 1,5 и 3 нс
О11Е-?7Я
&彳用敢白 *1 総 52
O34Z15S7 心33 d白
9P13333Z Hi
田心仆n 物黑中吕22Я 8*京71k 匚七«И ：F2fl OM1Z33C 0；*
О11Е-?7Я
&彳用敢白 *1 総 52
O34Z15S7 心33 d白
9P13333Z Hi
田心仆n 物黑中吕22Я 8*京71k 匚七«И ：F2fl OM1Z33C 0；*
1, 1,5 и 3 нс
1, 1,5 и 3 нс
Поскольку в натурном эксперименте «спеклы» могут менять свое положение в процессе нагрева мишени, то можно ожидать, что эффект «затекания» приведет к появлению «мерцающих картинок», которые могли бы наблюдаться при фотографировании свечения мишеней с тыльной стороны и соответствующим временным разрешением. В сферических мишенях этот эффект приведет к тому, что будет наблюдаться сжатие мишеней до больших плотностей, но из-за «микропродавливания» значительная часть инертного вещества будет «впрыснута» в горючее. В результате, эффективность термоядерного энерговыделения будет существенно ниже, чем следует из одномерных расчетов.
Основные результаты седьмой главы
Развитие двумерные программы «АТЛАНТ_С» и «НАТСИ» позволили описать и анализировать ряд интересных и важных с практической точки зрения экспериментов на различных лазерных установках, построенных в ФИАН («ГАРПУН» и «ПИКО») и за рубежом («PERUN», Чешская республика).
С помощью численного моделирования удалось объяснить наблюдаемую в экспериментах зависимость рентгеновского выхода от положения облучаемой фольги относительно «идеального фокуса». Несовпадение максимума светимости плазмы в рентгене с расположением фольги в «идеальном фокусе» обьсняется существенно двумерным разлетом плазмы в этом случае, а также ее быстрым остыванием.
Проведено моделирование на ЭВМ экспериментов по исследованию влияния предимпульса на симметризацию абляционного давления и показано, что при соответствующем выборе задержки лазерного предимпульса по отношению к основному греющему импульсу можно обеспечить такую симметризацию
На основании двумерных численных расчетов дано объяснение обнаруженного в экспериментах на установке «ГАРПУН» эффекта аномально глубокого проникновения лазерного излучения через фольги с толщиной 200-300 мкм. Причина наблюдаемого эффекта в том, что наряду с испарением внешних слоев важную роль играет эффект «продавливания» вещества мощными конусообразными ударными волнами, образующимися в области поглощения лазерного излучения.
Дано объяснение наблюдаемому в экспериментах на установке «ПИКО» эффекту проникновения лазерного излучения через фольги с толщиной большей, чем может испариться при заданных параметрах лазерного импульса. Этот эффект может оказаться черезвычайно вредным для термоядерных лазерных мишеней, так как создает преднагрев горючего. Использование симметризующего предимпульса позволяет снизить вредное влияние этого эффекта. С помощью двумерных численных расчетов показана возможность демонстрации такой симметризации на существующих лазерных установках.
Литература
Beranek /. et al. // Laser and Particle Beams. 1992. V. 10. P. 871.
Chvojka M. al. 〃 Czech. J. Phys. B. 1992. V.42. P. 899.
Lebo /. G. et u/. Two-Dimensional Modeling of Laser-Target Heating and Compression // J. Russian Laser Research. 1994. V. 15, No. 2. P. 136-143.
Lebo /. G. et u/. The results of 2D numerical simulations of subnanosecond iodine laser interaction with an Al foil target // J. Russian Laser Physics Research. 1994. V. 15, No. 4. P. 346-350.
Искаков А. Б., Лебо ".「.，Тишкин В. Ф. Программа《ATLANT_C» для двумерного численного моделирования задач лагранжевой газовой динамики в цилиндрической геометрии. Препринт ФИАН №47, М., 1999;
см. также Iskakov А. В., Lebo /. G., Tishkin У 尸.// J. Russian Laser Research. 2000. V.21, No.3. P. 247-263.
Волкова P. А., Головизнин В. M., Коршунов В. К. Двумерные вариационно-разностные схемы газовой динамики с мультиплетным числом термодинамических степеней свободы. Препринт ИПМ, №64, М., 1982.
Боков Н.Н. и ф. // ГШТ①.1982. Т. 4. С. 20.
Gamaly Е G. et al. Laser and Particle Beams. 1990. V. 8, No. 3. P. 399-407.
Masek K. et u/. // Proc. SPIE. 1996. V. 2767/91.
Лебо И. Г. и ф. О симметризующем влиянии лазерного предимпульса на развитие возмущений контактноцй границы оболочка-горючее // Квантовая электроника. 1996. Т. 23. С. 71-72.
Iskakov А. В. et al. Two-dimensional model of thermal smoothing of laser imprint in double-pulse plasma // Phys. Rev. E. 2000. V. 61. P. 842-847.
Басов H.「" ф. Нагрев и сжатие термоядерных микромишеней, облучаемых лазером // Итоги науки и техники. Радиотехника. 1982. Т. 26. С. 83.
Басов Я. Г. и ф. // Квантовая электроника. 1994. Т. 24. С. 13.
Dahmani 尸Kerdjia Т. // Laser and Particle Beams. 1991. V. 9. P. 769.
Змитренко Я. В. " ф. // ВАНТ. Сер. Методы и программы решения задач математической физики. 1982. Т. 2. С. 38.
Киржниц Д. А., Лозовик Ю. £., Шпатаковская Г. В. // УФН. 1975. Т. 18. С. 649.
Амад 3. и ф. Гидродинамика разлета микросферы, нагреваемой и сжимаемой лазером // ЖЭТФ. 1991. Т. 100. С. 1140-1152.
Зворыкин В.Д. " ф. О возможности ускорения тонких фольг с помощью длиноимпульсного ультрафиолетового лазера. Препринт ФИАН №41, М., 1996; см. также J. of Russian Laser Research. 1997. V. 18. P. 147-152.
Zvorykin V. D., Lebo /. G. Laser and target experiments on KrF GARPUN laser installation an FIAN // Laser and Particle Beams. 1999. V. 17. P. 69-88.
Иванов В. В. и ф. // ЖЭТФ. 1996. Т. 109. С. 1257.
Иванов В. В. и ф. // Приборы и техника эксперимента. 1996. №4. С. 123.
Иванов В. В. " ф. // Приборы и техника эксперимента. 1997. №4. С. 168.
Иванов В. В. " ф. Аномальное прогорание тонких фольг при нагреве лазерным излучением высокой яркости // ЖЭТФ. 1999. Т. 116. С. 1287-1299.
Dahmani 尸.，Kerdja Г // Phys. Rev. A. 1991. V. 44. P. 267.
Lebo /. G. et u/. Simulation of High-Intensity Laser-Plasma Interactions by Use of the 2D Lagrangian Code «ATLANT-НЕ» // Laser and Particle Beams. 2004. V. 22. P. 267-273.
Aristova E N. et al. // Proc, of SPIE. ECLIM 2002: 27th European Conf, on Laser Interaction with Matter. Memorial to Academician, Nobel Laureate N. G. Basov / Eds. O. N. Krokhin, S. Yu. Gus'kov, Yu. A. Merkufev. 2003. V.5228. P. 131-142.
Lebo /. G. et u/. // Proc. Intern. Fusion Sciences and Applications 2003; American Nuclear Society / Eds. B. A. Hammel, D. D. Meyerhofer. J. Meyer-ter-Vehn, H. Azechi. 2004. P. 1081-1085.
Илясов А. О. " др. Исследование симметризующего воздействия лазерного предимпульса на неоднородность нагрева тонких фольг // Квантовая электроника. 2005. Т. 35. С. 641-644.
Глава 8
ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬИ ПРОБЛЕМА КОНСТРУКЦИИ МИШЕНИРЕАКТОРНОГО МАСШТАБА
Требования к мишени реакторного масштаба.Возможные конструкции таких мишеней
В работах [1—5] были представлены результаты физико-технического и параметрического анализа гибридной термоядерной станции, выполненные группой сотрудников Московского инженерно-физического института (МИФИ), Научно-исследовательского института электрофизической аппаратуры (НИИЭФА г. Санкт-Петербург), ФИАН, Научно-исследовательского и конструкторского института энерготехники (НИКИЭТ) и Института атомной энергии им. И. В. Курчатова (ИАЭ, г. Москва). Для формулировки требований к мишени воспользуемся результатами этого анализа.
На рис. 8.1 показан энергетический цикл лазерной термоядерной электростанции. Здесь 〃 — КПД лазера, G — коэффициент усиления в мишени (т. е. отношение выделившейся термоядерной энергии к поглощенной лазерной энергии в мишени), М — коэффициент усиления энергии в реакторе, К = (0,2 + 0,8M)G ——полный коэффициент усиления в реакторе. Приблизительно 80% энергии содержится в термоядерных нейтронах. Энергия этих нейтронов может быть приумножена в бланкете реактора, остальные 20% — в энергии заряженных частиц и излучении. Эта энергия поглощается, в основном, первой стенкой реактора. El — энергия в лазерном импульсе, / — частота повторения импульсов. (1/〃 一 1)石刀—потери энергии при накачке лазера, 0 —— КПД преобразования тепловой мощности в электрическую в реакторе (Wb =。旧，Wb — так называемая брутто-мощность реактора, Wt = KfEb — тепловая мощность). Брутто-мощность расходуется на поддержание работы драйвера-лазера (石刀/〃) и собственные нужды реактора (прокачку теплоносителя, вакуумирование, системы безопасности и т. д. — 01吟).Оставшаяся часть мощности — нетто (W^, будет отпускаться потребителям. Видно, что для замыкания энергетического
цикла станции необходимо выполнить следующее условие Wn > 0. Для описания энергетической эффективности станции вводится понятие нетто-КПД станции q = Wn/Wt, а энергетическая эффективность станции характеризуется отношением С = 0/а. Проведенный группой сотрудников МИФИ анализ показал, что в гибридной термоядерной станции допустимым будут значения С ^ 1,25 [3]. На рис. 8.1 приведены возможные соотношения параметров станции (а, 0, ф, г/, М и G) для «чистого» термоядерного реактора (М = 1,2) и гибридного (с М от 10 до 5000). Согласно [3] 0 = 0,1, 0 = 0,4.
了"勿
Рис. 8.1. Схема энергетического цикла лазерной термоядерной станции, ту — КПД лазера, G — коэффициент усиления энергии в мишени, М — коэффициент усиления в бланкете, ф — доля энергии, затрачиваемая на собственные нужды реактора, 0 — брутто-КПД преобразования тепловой энергии в электрическую
В бланкете реактора термоядерные нейтроны будут поглощаться, например в литии. Это позволило бы наработать тритий для последующего использования в термоядерном реакторе и получить усиление по энергии М = 1,2. Таким образом, для замыкания энергетического цикла в чистом термоядерном реакторе требуется выполнить условие Gt] > 24. Для лазеров с 〃 = 0,05, G = 500, а в случае 〃 = 0,01, G = 2400. Таким образом, на систему «лазер-мишень» в чистом термоядерном реакторе накладываются чрезвычайно жесткие требования.
В работах [6, 7] было предложено использовать термоядерные нейтроны для деления ядер урана-238 в бланкете реактора. Это позволило бы увеличить усиление по энергии приблизительно в десять раз, а следовательно, понизить требования на систему «лазер-мишень».
В 80-е годы в ФИАН совместно с МИФИ, НИИЭФА, ИАЭ им. И. В. Курчатова (см. [1-3]), а также совместно с НИКИЭТ (см. [4-5]) были разработаны проекты лазерных гибридных ядерно-термоядерных реакторов. Авторы принимали участие в этих исследованиях и занимались вопросами выработки требований к мишеням для таких реакторов. На основании анализа системы «лазер-мишень-реактор» было
показано, что для таких реакторов достаточными будут коэффициенты усиления в мишенях G ^ 60—80 при усилении энергии в бланкете М = 10 раз (см. рис. 8.1).
As fmp(av)t СутТAs fmp(av)t СутТВ [8, 9] был предложен концептуальный проект двухкаскадного ядерного реактора с возбуждением реакций деления за счет термоядерных нейтронов. Преимуществом таких реакторов является их безопасность (так как сборка подкритичная) и высокий коэффициент переработки горючего. В таких реакторах по мнению авторов [8, 9] можно было бы достичь коэффициентов усиления в бланкете М》1000, а следовательно, как видно из (8.1), Gq》0,03, что позволило бы существенно снизить требования на систему «лазер-мишень». Усиление в ДТ-горючем определяется следующим соотношением:
As fmp(av)t СутТ
As fmp(av)t СутТ
(8.1)
Здесь тп, °, Т —- масса, плотность и температура горючего, бу — энергия, выделяющаяся в результате одного акта синтеза, {av) = /(Т)—
сечение реакции, усредненное по максвелловскому спектру, котороесечение реакции, усредненное по максвелловскому спектру, котороеявляется функцией температуры Т, 4 G广—коэффициенты. В случае инерциального удержания эффекявляется функцией температуры Т, 4 G广—коэффициенты. В случае инерциального удержания эффек力 ——эффективное время реакции,力 ——эффективное время реакции,тивное время реакции оценивает- R пся временем разлета 力^ ——，R —тивное время реакции оценивает- R пся временем разлета 力^ ——，R —XVsразмер области, занятой горючим,XVsразмер области, занятой горючим,4— скорость звука, ко-Vторая зависит от температуры. В4— скорость звука, ко-Vторая зависит от температуры. Вслучае, если горючее имеет формуслучае, если горючее имеет формушарика, то видеть, чтошарика, то видеть, чтои можнои можноQ ^力1/302/3①(T), (8.2)где ①(Т) — функция, которая зависит только от температуры. Эта функция имеет быстрый рост приQ ^力1/302/3①(T), (8.2)где ①(Т) — функция, которая зависит только от температуры. Эта функция имеет быстрый рост при〈"〉/w〈"〉/wсти реакций термоядерного синтезасти реакций термоядерного синтезаот температурыот температурыувеличении температур до 1 Кэв иувеличении температур до 1 Кэв иимеет максимум при температурахимеет максимум при температурахtm = 10—20 КэВ (см. рис. 8.2). Из (8.3) видно, что при фиксированнойtm = 10—20 КэВ (см. рис. 8.2). Из (8.3) видно, что при фиксированнойтемпературе усиление по энергии зависит, главным образом, от степени сжатия горючего и его массы. Чем большие коэффициенты усиления требуются в реакторе, тем сильнее нужно сжимать горючее. Для достижения усиления по энергии в 100 раз необходимо сжимать горючее в 104 раз (т. е. до плотностей р у 100 г/см3). Гидродинамическая неустойчивость препятствует достижению больших степеней сжатия.температуре усиление по энергии зависит, главным образом, от степени сжатия горючего и его массы. Чем большие коэффициенты усиления требуются в реакторе, тем сильнее нужно сжимать горючее. Для достижения усиления по энергии в 100 раз необходимо сжимать горючее в 104 раз (т. е. до плотностей р у 100 г/см3). Гидродинамическая неустойчивость препятствует достижению больших степеней сжатия.
сечение реакции, усредненное по максвелловскому спектру, которое
сечение реакции, усредненное по максвелловскому спектру, которое
является функцией температуры Т, 4 G广—коэффициенты. В случае инерциального удержания эффек
является функцией температуры Т, 4 G广—коэффициенты. В случае инерциального удержания эффек
力 ——эффективное время реакции,
力 ——эффективное время реакции,
тивное время реакции оценивает- R п
ся временем разлета 力^ ——，R —
тивное время реакции оценивает- R п
ся временем разлета 力^ ——，R —
XVs
размер области, занятой горючим,
XVs
размер области, занятой горючим,
4— скорость звука, ко-
V
торая зависит от температуры. В
4— скорость звука, ко-
V
торая зависит от температуры. В
случае, если горючее имеет форму
случае, если горючее имеет форму
шарика, то видеть, что
шарика, то видеть, что
и можно
и можно
Q ^力1/302/3①(T), (8.2)
где ①(Т) — функция, которая зависит только от температуры. Эта функция имеет быстрый рост при
Q ^力1/302/3①(T), (8.2)
где ①(Т) — функция, которая зависит только от температуры. Эта функция имеет быстрый рост при
〈"〉/w
〈"〉/w
сти реакций термоядерного синтеза
сти реакций термоядерного синтеза
от температуры
от температуры
увеличении температур до 1 Кэв и
увеличении температур до 1 Кэв и
имеет максимум при температурах
имеет максимум при температурах
tm = 10—20 КэВ (см. рис. 8.2). Из (8.3) видно, что при фиксированной
tm = 10—20 КэВ (см. рис. 8.2). Из (8.3) видно, что при фиксированной
температуре усиление по энергии зависит, главным образом, от степени сжатия горючего и его массы. Чем большие коэффициенты усиления требуются в реакторе, тем сильнее нужно сжимать горючее. Для достижения усиления по энергии в 100 раз необходимо сжимать горючее в 104 раз (т. е. до плотностей р у 100 г/см3). Гидродинамическая неустойчивость препятствует достижению больших степеней сжатия.
температуре усиление по энергии зависит, главным образом, от степени сжатия горючего и его массы. Чем большие коэффициенты усиления требуются в реакторе, тем сильнее нужно сжимать горючее. Для достижения усиления по энергии в 100 раз необходимо сжимать горючее в 104 раз (т. е. до плотностей р у 100 г/см3). Гидродинамическая неустойчивость препятствует достижению больших степеней сжатия.
Требования к конструкции лазерной мишени для реактора зависят от параметров лазера (драйвера) и реактора. Уменьшение коэффициентов усиления мишени, необходимых для замыкания энергетического цикла, позволяет уменьшить степень сжатия горючего и снизить требования к симметрии облучения. При достижении в бланкете реактора коэффициентов усиления более 1000 оказывается возможным использовать мишени с коэффициентом усиления порядка и менее 1, а следовательно, с малыми степенями сжатия. Это позволяет рассматривать в качестве драйверов для реактора некоторые газовые лазеры, которые, вообще говоря, имеют определенные преимущества перед неодимовым лазером. Так, например, в них легче обеспечить частотный режим работы драйвера с энергией в импульсе 0,3—1 Мдж и частотой 1 — 10 Гц и достичь высокого КПД (на уровне 5-10%).
Газовые СО? и KrF- лазеры обладают рядом достоинств, которые позволяют рассматривать их в качестве претендентов на драйвер в ядерно-термоядерном реакторе. Они имеет высокий КПД и технологически развиты. Однако в СО2-лазере из-за большой длины волны излучения поглощение в плазме происходит при малых плотностях. Электроны в плазме не успевают «термализоваться» и дальнейший перенос энергии осуществляется, в основном, потоками надтепловых электронов и рентгеновским излучением. Длины свободных пробегов таких электронов в плазме достаточно велики, в результате энергия распределяется на больших массах плазмы, что препятствует эффективному сжатию горючего. У эксимерных KrF-лазеров высокий КПД может быть получен при длительностях импульсов порядка 100 нс. Для получения импульсов в наносекундном диапазоне требуются сложные дорогостоящие оптические системы деления и суммирования импульсов. В [10-12] обсуждалась возможности использования слоистых сферических мишеней, нагреваемых с помощью СО2-лазера в режиме «взрывающейся оболочки» 9, и двухсторонних конических мишеней для KrF-лазеров с длительностью импульса около 100 нс. Такие мишени могли бы обеспечить коэффициент усиления G》0,05 и в реакторе с коэффициентом усиления в бланкете на уровне 3000-5000, позволить замкнуть энергетический цикл.
А. О возможности использования мишеней без сжатия для длинноволновых лазеров в гибридных реакторах.
На рис. 8.3 схематически показаны мишени для такого лазера. Мишени с внутренним вводом СО2-лазера могут иметь вытянутую форму, как показано на рисунке.
При нагреве мишени коротким импульсом в режиме «взрывающейся оболочки» энергия лазерного излучения, в основном передается в поток надтепловых электронов, которые распределяют энергию по всей массе
1) В [13] изучалась возможность инициирования термоядерной вспышки с помощью СОг-лазера в абляционном режиме.
Рис. 8.3. Схема нагрева мишени в режиме «взрывающейся оболочки» (а). Многослойная мишень с внутренним вводом энергии для СОг-лазера (б). / —— слой золота; 2 — ДТ-горючее; е — надтепловые электроны
мишени. Рассмотрим следующую задачу: (рис. 8.3, а) на сферическую мишень, состоящую из тонких золотых слоев с намороженным на внутренней поверхности ДТ-льдом падает излучение СО2-лазера. Слои тяжелого материала требуются для торможения надтепловых электронов и сжатия ДТ-горючего за счет выравнивания давления в плотном материале и горючем (эффект «сахаризации»). Температура надтепловых электронов зависит от величины параметра ^А2 (см. [14, 15]) и при величине большей 1017 (Вт/см2)мкм2 составляет 30-100 кэВ, а доля поглощенной лазерной энергии от падающей 20-30%. Длина торможения таких электронов в золоте будет менее 10 мкм [16]. В плотной мишени перенос вложенной энергии будет происходить за счет гидродинамического движения, электронной и радиационной теплопроводностей. С помощью программы《АТЛАНТ_ЗТ» (в одномерной постановке) в двух- и трехтемпературном приближениях были сделаны следующие расчеты — сферическая оболочка из золота толщиной 10 мкм с намороженным на внутреннюю поверхность ДТ-льдом. Эта оболочка и горючее равномерно прогреты мгновенным источником энергии (быстрыми электронами, возникшими в результате взаимодействия длинноволнового лазерного импульса с мишенью). В табл. 8.1 представлены результаты расчетов. Варианты b,d выполнены в трехтемпературном приближении, остальные — в двухтемпературном. Для моделирования такой мишени полагалось, что ДТ-горючее и 10-микрометровый слой золота равномерно прогреты, а остальная внешняя часть золотой оболочки (варианты 840) в начальный момент была холодной. В табл. 8.1 △九—толщина прогретого слоя золота в начальный момент времени,
Ro — внешний радиус золотой оболочки,尺分—внутренний радиус золотой оболочки, Мот ——масса горючего,瓦 ——энергия, вложенная в мишень в кДж, Еет — энергия излучения, которая высветилась с поверхности мишени к моменту коллапса (в трехтемпературных расчетах). Расчеты 840с,d моделировали мишень с внутренним вводом энергии (рис. 8.3, 6), когда внешний толстый холодный слой тяжелого вещества сдерживал разлет плазмы. Достоинствами таких мишеней является увеличение доли поглощенной лазерной энергии (при условии успешного ввода излучения в полость) и повышение температуры и нейтронного выхода при соударении разлетающегося внутрь горючего. Распределенный характер энерговклада в плазму, в принципе, позволяет использовать малое количество отверстий (возможно, даже одно). Из-за большой длины пробега горячих электронов, вводимая в мишень энергия распределяется на большую массу, что снижает ее температуру. Создание чередующихся слоев «золото-ДТ лед», в принципе, могло бы увеличить температуру и нейтронный выход в горючем.
Таблица 8.1
Вар.
Яо, см
△а，мкм
Ri. см
Mdt, мкг
Eq]Ее кДж
У • 1015
G
840а
0,1147
10
0,1137
600
300/ 0
10
0,09
840b
0,1147
10
0,1137
600
300/ 40
6
0,056
840с
0,5
10
0,1137
630
300/ 0
26
0,23
840d
0,5
10
0,1137
630
300 / 0
12
0Д1
840k
0,1147
5 + 5
0,1142
372 + 187
300/ 0
5
0,045
840m
0,5
5 + 5
0,1142
372 + 187
300/ 0
25
0,23
Были сделаны расчеты теплового взрыва сферических мишеней, содержащих два слоя конденсированного ДТ-горючего, между которыми и вне их расположены слои золота (см. рис. 8.3, 6). В варианте 840k — внешний радиус Rq = 0,1147 см, а в варианте 840m — Rq = 0,5 см, а радиус прогретой области Rt = 0,1147 см. Толщины золотых слоев по 5 мкм, а масса ДТ-льда варьировалась от 100 до 600 мкг. Начальная температура задавалась постоянной по радиусу в области г W Ат, причем поглощенная энергия равнялась 300 кДж. Нейтронный выход в варианте 840 к составил 5 • 1015, а в варианте 840m — 3 • 1016 9.
Ввод излучения в полость, вообще говоря, является весьма сложной проблемой и в настоящий момент она не решена. При увеличении в
При соотношениях параметра qA2》1019(Вт/см2)мкм2 в плазме существенную роль будут играть релятивистские эффекты, в частности, самофокусировка лазерного пучка (см., например, [14-17]). Вопрос о проникновении энергии лазера в сверхкритическую плазму при таких параметрах излучения не решен и, в настоящее время, интенсивно исследуется применительно к новому подходу в ЛТС, который в иностранной литературе получил название «fast ignition» (быстрое зажигание) [15].
расчетах радиуса 尺分 в три раза, нейтронный выход убывал на порядок из-за снижения эффективной плотности и температуры горючего в результате разлета плазмы внутрь, т. е. увеличение объема внешней камеры приводит к снижению эффективности термоядерных реакций. Для достижения необходимых значений G потребуется вводить излучение через достаточно малые размеры отверстий с радиусами 100—300 мкм. Возможно, что за счет релятивистской самофокусировки и эффекта «продавливания» плазмы [15] вблизи отверстий эта проблема окажется разрешимой.
На основании представленных расчетов можно сделать следующие выводы:
—так как КПД СО2-лазера может быть сделан достаточно большим (более 5%), то несмотря на сравнительно низкую эффективность взаимодействия излучения с мишенями такой лазер следует рассматривать в качестве претендента на драйвер для гибридной станции, поскольку при поглощенной энергии 300-500 кДж можно достичь нейтронных выходов на уровне 1015-1016 за вспышку в режиме «взрывающейся оболочки»;
—мишени с внутренним вводом энергии, в принципе, позволяют повысить эффективность взаимодействия лазерного излучения с плазмой при условии успешного ввода излучения внутрь полости. При этом потребуются лазерные импульсы длительностью 200-300 пс.
Б. Конические мишени для KrF-драйвера.
В лазерных системах с длительностью импульса порядка 100 нс проще достигнуть больших значений КПД лазера, чем в режиме нано- секундных импульсов (см, например, [16]). Так как при коэффициентах усиления в гибридном бланкете более 103 и КПД лазера порядка 10% можно замкнуть энергетический цикл в реакторе уже при G ^0,1, то достаточными будут сжатия в горючем в 20-100 раз (т. е. плотности DT-плазмы рс = 5—20 г/см3). Заметим, что сжатие конденсированного горючего в 20-30 раз в шарике может быть достигнуто на падающей и отраженной от центра первой ударной волне даже в отсутствии тяжелой оболочки [18].
Для достижения температур на уровне 3-5 кэВ в результате удара о центр требуется разогнать вещество до скоростей более 100 км/с. Это легче обеспечить в том случае, когда вещество сконцентрировано в виде оболочки. Если длительность стадии ускорения такой оболочки порядка 100 нс, то начальный радиус ее следует выбрать 0,5-1 см. При массах вещества порядка 1 мг начальные аспектные отношения такой оболочки (т. е. отношение начального радиуса к толщине) будут 500—1000. Имеется практический опыт ускорения высокоаспектных сферических оболочек (As 〜200) до скоростей порядка 200 км/с на установке «ДЕЛЬФИН» [19], и в экспериментах на установке GEKKO- XII, Япония, (Л 〜200-700) [20].
Возможность использования конических мишеней в исследованиях по ЛТС обсуждается давно (см., например [21-27]). Однако из-
за невозможности достижения больших коэффициентов усиления по отношению к таким мишеням возник определенный скепсис. В гибридных реакторах с большими коэффициентами усиления конические мишени могут представлять определенный интерес. Их достоинством является возможность использования одностороннего (либо двухстороннего в случае двух встречных конусов) облучения. Для достижения больших коэффициентов усиления в бланкете реактора М важно оптимальным образом использовать поверхность первой стенки реактора для размещения урановых ТВЭЛ-ов. С этих позиций сферическая геометрия облучения мишеней, требующая большого числа пучков, не является наиболее оптимальной.
При сжатии вещества в конических мишенях эффективность вклада энергии в термоядерное горючее существенно снижается из-за деформации стенок у вершины конуса. С помощью одномерной программы «ДИАНА» была выполнена серия расчетов (более 50), моделирующих сжатие квазисферических конических мишеней с учетом влияния деформации дна конуса (напомним, что ранее было показано, что программы «АТЛАНТ-ЗТ» и «ДИАНА» при одинаковых постановках задач дают близкие результаты). Однако расчеты по программе «ДИАНА» в 5-8 раз экономичнее даже в том случае, когда с помощью «АТЛАНТ-а» проводится квазиодномерный расчет. Причина в том, что на двумерной сетке для формулировки граничных условий в поперечном направлении нужно отвести как минимум 4 ячейки по углу, из которых две будут являться «фиктивными». Такие же «фиктивные ячейки» используются на внешней и внутренней границах области счета в продольном направлении.
В расчетах полагалось, что стенки конуса являются идеально гладкими, абсолютно упругими и теплоизолированными. Мощность лазерного импульса линейно нарастала до момента времени 九=100 нс, а энергия в импульсе варьировалась от El = 0,2—2 МДж. Размер внешнего радиуса конуса — Rq и угол при вершине — ©о- У подножия конуса располагался «ударник» в виде алюминиевого (или полиэтиленового) сегмента с толщиной △(). Внутри конуса на расстоянии Ai от вершины располагался слой дейтерий-тритиевого льда, либо малоплотного пористого полимерного материала, содержавшего жидкую ДТ-смесь с массой Mf. Для учета потерь на деформацию дна конуса в центральной части располагался слой золота с радиусом 尺2・ Полости мишени были заполнены ДТ-газом с плотностью 0,01-0,1 мг/см3. На рис. 8.4, а показана конструкция такой мишени. Параметры А。， До, Му, R\ менялись, причем с помощью расчетов выбирались такие значения первых двух параметров, чтобы ударник начинал торможение к концу лазерного импульса (т. е. моменты максимального сжатия горючего в различных вариантах находились в интервале времен 96-104 нс). С увеличением радиуса конуса и уменьшением начальной толщины ударника возрастает скорость полета ударника и эффективность передачи энергии в горючее (как и в случае сферических оболочечных мишеней).
Au DT-газ DT-лед AlAu DT-газ DT-лед Al。A? △dt^i △о %。A? △dt^i △о %Au DT-газ DT-лед Al
Au DT-газ DT-лед Al
Au DT-газ DT-лед Al
。A? △dt^i △о %
。A? △dt^i △о %
。^2 △dt △o^o
t = 0
V ОТ-ледЧ-
Рис. 8.4. Схемы конических мишеней. Односторонние двухкаскадная (а) и однокаскадная (6), а также двухсторонняя (в) мишени. Показан общий вид и «разрез» вдоль оси конуса с указанием вещества в подобласти; / — ударник;2 ——ДТ-газ; 3 ——оболочка; 4 ——намороженный слой ДТРис. 8.4. Схемы конических мишеней. Односторонние двухкаскадная (а) и однокаскадная (6), а также двухсторонняя (в) мишени. Показан общий вид и «разрез» вдоль оси конуса с указанием вещества в подобласти; / — ударник;2 ——ДТ-газ; 3 ——оболочка; 4 ——намороженный слой ДТ—внешняя оболочка,—DT-газ,—внутренняя оболочка,——DT-горючее—внешняя оболочка,—DT-газ,—внутренняя оболочка,——DT-горючееDT-газ от-лед ПТ'газDT-газ от-лед ПТ'газDT-газ
Рис. 8.4. Схемы конических мишеней. Односторонние двухкаскадная (а) и однокаскадная (6), а также двухсторонняя (в) мишени. Показан общий вид и «разрез» вдоль оси конуса с указанием вещества в подобласти; / — ударник;
2 ——ДТ-газ; 3 ——оболочка; 4 ——намороженный слой ДТ
Рис. 8.4. Схемы конических мишеней. Односторонние двухкаскадная (а) и однокаскадная (6), а также двухсторонняя (в) мишени. Показан общий вид и «разрез» вдоль оси конуса с указанием вещества в подобласти; / — ударник;
2 ——ДТ-газ; 3 ——оболочка; 4 ——намороженный слой ДТ
—внешняя оболочка,
—DT-газ,
—внутренняя оболочка,
——DT-горючее
—внешняя оболочка,
—DT-газ,
—внутренняя оболочка,
——DT-горючее
DT-газ от-лед ПТ'газ
DT-газ от-лед ПТ'газ
По аналогии со сферическими мишенями введем понятие аспектного отношения оболочки As = (А。一尺2)/厶0・
В рамках рассматриваемой модели, коэффициент усиления конических мишеней будет зависеть от вложенной лазерной энергии (石刀) и аспектного отношения (4) 9. Кроме того, он будет зависеть от отношения поперечных радиусов подножия (п = Rq • 0,56°) и вершины (г2 =尺2 • 0,56。) конической мишени: е = (r\/r^) = Rq]R?. Учет наличия центральной плотной области мишени (г W 尺2) приводит к существенному снижению нейтронного выхода по сравнению с результатами, полученными в том случае, когда такая область отсутствовала. Так, на рис. 8.5 показаны результаты расчетов в том случае, когда не учитывались затраты энергии на деформацию материала конуса (смотри 8.5, вариант 6 — когда вся область г ^ 0,15 см заполнена газом и когда эти потери учитывались, вариант а). Ниже приведены распределения плотности (слева) и ионной температуры (справа) на момент максимального сжатия горючего. В варианте (о) нейтронный выход составил 1015, а в варианте 6 — 1017.
Вообще говоря, зависимость будет более сложной, так как в рассматриваемой модели не учитываются неодномерные эффекты.
42321
О 0,1 0,15 0,1611,002 Я см
р, г/см3р, г/см3Рис. 8.5. Постановка задач (сверху) и распределения плотности (слева) и ионной температуры (справа) вдоль оси. Сплошная линия соответствует варианту а (при наличии центральной плотной области из золота), а штриховая — варианту 6 (когда отсутствует центральная масивная область)Рис. 8.5. Постановка задач (сверху) и распределения плотности (слева) и ионной температуры (справа) вдоль оси. Сплошная линия соответствует варианту а (при наличии центральной плотной области из золота), а штриховая — варианту 6 (когда отсутствует центральная масивная область)О 0,15 0,161 1,002 Z, см
р, г/см3
р, г/см3
Рис. 8.5. Постановка задач (сверху) и распределения плотности (слева) и ионной температуры (справа) вдоль оси. Сплошная линия соответствует варианту а (при наличии центральной плотной области из золота), а штриховая — варианту 6 (когда отсутствует центральная масивная область)
Рис. 8.5. Постановка задач (сверху) и распределения плотности (слева) и ионной температуры (справа) вдоль оси. Сплошная линия соответствует варианту а (при наличии центральной плотной области из золота), а штриховая — варианту 6 (когда отсутствует центральная масивная область)
В табл. 8.2 показаны результаты 4-х расчетов сжатия конических «двухкаскадных» мишеней с различными параметрами.
Таблица 8.2
EL, МДж
Яо, см
R], см
必，ем
△о, мкм
△dt, мкм
У - ю16
G
0,3
1,2015
0,21
од
15
100
0,15
0,014
0,3
1,26156
0,21
0,126
15,6
100
0,0091
0,0085
2
1,4035
0,22
од
35
200
11
0,15
2
1,4435
0,22
0,14
35
200
зд
0,04
В представленных в таблице расчетах полагалось, что 6° = тг/4. Для обобщения результатов расчетов получена приближенная формула зависимости коэффициента усиления в таких мишенях G от параметров 石刀，4 и е.
G 0,01(Еь/300)°75(Л/330)°(е/10)4'5. (8.3)
Значение El взято в кДж. Видно, что существует достаточно сильная зависимость от параметра е и при е = 10, As = 370 н 石刀=2 МДж достижимы коэффициенты усиления на уровне 0,1.
На рис. 8.6 показаны распределения плотности и температуры вдоль оси сжатой мишени на момент коллапса для энергии драйвера 2 МДж
(во всех расчетах полагалось 100% поглощение лазерного излучения). В верхней части рисунка показаны параметры мишени в момент времени /■= 0 и временная форма лазерного импульса, в нижней — результаты расчета. Видно, что горючее сжалось до плотностей 1-2 г/см3, а температура в нем достигла 1-5 кэВ.
Рис. 8.6. Постановка задачи (сверху) и распределения плотности (справа) и ионной температуры (слева) вдоль радиуса. Энергия лазерного импульса равна 2 МДжРис. 8.6. Постановка задачи (сверху) и распределения плотности (справа) и ионной температуры (слева) вдоль радиуса. Энергия лазерного импульса равна 2 МДж42321餌皿跳ЯИЧ00,1 0,2 0,231,4 1,404 см42321餌皿跳ЯИЧ00,1 0,2 0,231,4 1,404 см
Рис. 8.6. Постановка задачи (сверху) и распределения плотности (справа) и ионной температуры (слева) вдоль радиуса. Энергия лазерного импульса равна 2 МДж
Рис. 8.6. Постановка задачи (сверху) и распределения плотности (справа) и ионной температуры (слева) вдоль радиуса. Энергия лазерного импульса равна 2 МДж
42321
餌皿跳ЯИЧ
00,1 0,2 0,231,4 1,404 см
42321
餌皿跳ЯИЧ
00,1 0,2 0,231,4 1,404 см
Наряду с такой «двухкаскадной» конической мишенью рассматривались также мишени, у которых горючее было наморожено на внутреннюю сторону «ударника» либо оболочка была в виде легкого пористого вещества, заполненного жидкой ДТ-смесью (см. рис. 8.4, 6). В таких мишенях на стадии ускорения к центру будет происходить разделение более тяжелых материалов и горючего, причем более плотные инертные материалы окажутся «сверху» и будут захвачены волной испарения. В случае двухкомпонентных однокаскадных мишеней, в рамках нашей модели, зависимость коэффициента усиления от параметров мишени была приблизительно такой же, как и в случае двухкаскадных мишеней, по крайней мере на уровне энергий 300 кДж нейтронный выход составляет 1015 за вспышку (т. е. G 〜0,01), а при 石刀=2 МДж вплоть до 1017.
Видно, что необходимый коэффициент усиления G》0,1 в конических мишенях может быть достигнут при энергиях драйвера 石刀》1—2 МДж. Использование двухсторонних конических мишеней (см. рис. 8.4, в), позволяет несколько повысить нейтронный выход при заданной вложенной энергии, но усложняет конструкцию драйвера, так как вместо одного потребуется два синхронизованных встречных пучка.
9 И. Г. Лебо, В. Ф. Тишкин
КПД лазера, в режиме генерации 100 нс импульсов может быть достаточно большим, поэтому возможность достижения нейтронных выходов на уровне 1016—1017 при вложенной энергии 〜2 МДж представляется перспективной несмотря на то, что в режиме наносекунд- ных импульсов такие нейтронные выходы, в принципе, могли бы быть достигнуты при значительно меньших энергиях драйвера. Но для достижения таких параметров потребуется очень высокая симметрия облучения и сжатия мишени.
Увеличение нейтронного выхода из ДТ-горючего в конических мишенях, облучаемых KrF-лазером может быть достигнуто за счет использования составного (длинный плюс короткий) лазерного импульса [28]. Дело в том, что в одном усилительном модуле KrF-лазера, в принципе, можно получить длинный импульс (丁1 〜100 нс) с КПД 6-8 % И цуг коротких импульсов(72 〜10 пс) с КПД около 1 %.
Предлагаемая схема опирается на идею раздельного нагрева и сжатия мишени, которая обсуждалась ранее в работах [29-31]. В рассматриваемом случае сжатие и предварительный нагрев горючего осуществляется длинным 100 наносекундным импульсом, а дополнительный нагрев горючего в момент максимального сжатия может быть обеспечен коротким импульсом с длительностью порядка 10 пс. Как уже упоминалось выше при очень больших интенсивностях лазерного излучения (q》2 > 1019 Вт/см2) энергия лазерного излучения проникает в глубь мишени, что позволяет дополнительно нагреть горючее.
Выше была рассмотрена конструкция двухкаскадной криогенной конической мишени. Для случая нагрева мишени двойным импульсом более подходит однокаскадная двухкомпонентная мишень, так как на стадии ускорения инертные слои будут испаряться, а второй короткий импульс будет проникать непосредственно в горючее. В расчетах моделировалась коническая мишень с углом при вершине тг/4 и начальным радиусом 1,2206 см, у основания которого располагалась алюминиевая оболочка —- «ударник» с толщиной 6 мкм. На внутреннюю поверхность был наморожен слой горючего, толщиной 100 мкм. В центральной части располагалась область из золота с радиусом 0,1 см. Как и ранее лазерный поток нарастал пропорционально времени вплоть до 100 нс и поглощенная энергия лазерного импульса равнялась 300 кДж. В расчетах полагалось, что стенки конуса абсолютно упругие, гладкие и теплоизолированные.
Расчеты сжатия мишени были сделаны с помощью программы 《АТЛАНТ—ЗТ» в сферических осесимметричных координатах (г, 3). Физическая модель, использованная в этой программе была такой же, как и в одномерной программе «Диана».
На рис. 8.7, а показаны параметры мишени и лазерного импульса. Длинный лазерный импульс (丁i = ^ = 100 нс) имел треугольную временную форму и энергию 300 кДж, а короткий (丁2 =力3 — 力2 = Ю пс)— 20 кДж. Мощность лазерного излучения задавалась по следующей
формуле q(K 6*)=⑺⑴42(。)，причем j 42(。)sin OdO = 1. Были сделаны расчеты для случаев, когда у первого импульса: интенсивность излучения не зависела от угла ^2 = const (1о); либо имела «гауссовы й вид» q2(e)= ехр (—(е/6*о)2)/С\ С — нормировочная постоянная 6*о = 7г/4 (16); 6*о = 7г/8 (1е) том случае, когда интенсивность лазерного излучения зависела от угла (т. е. имела«гауссовый вид»). В процессе полета оболочка деформировалась. В вариантах (1е) и (16) из-за сильной деформации ячеек расчеты не удавалось досчитать до момента торможения (в случае 1е расчет был остановлен при /25 нс, а в случае 16 — при /■ ^ 40 нс). Можно сделать вывод о необходимости высокой однородности облучения «ударника». Так, при различии в интенсивности падающего лазерного потока в 2—3 раза на оси и периферии слоя он разрушается в процессе ускорения в канале (заметим, что при такой неоднородности освещенности сферических оболочечных мишеней также не удается достичь больших степеней сжатия).
KrF-лазер qL =虱力)-Qo(0)KrF-лазер qL =虱力)-Qo(0)0,00001 0,25 2,7 p1,21 1；22 1,2206CM力20,00001 0,25 2,7 p1,21 1；22 1,2206CM力2Рис. 8.7. Постановка задачи (а) и результаты двумерных численных расчетов. Распределения плотности (6) и температуры ионнов (в) вдоль оси конуса на моменты максимального сжатия горючего. Штриховая линия соответствует параметрам плазмы до прихода второго импульса (力2), а сплошная ——после дополнительного нагрева вторым импульсом (力3)Рис. 8.7. Постановка задачи (а) и результаты двумерных численных расчетов. Распределения плотности (6) и температуры ионнов (в) вдоль оси конуса на моменты максимального сжатия горючего. Штриховая линия соответствует параметрам плазмы до прихода второго импульса (力2), а сплошная ——после дополнительного нагрева вторым импульсом (力3)
KrF-лазер qL =虱力)-Qo(0)
KrF-лазер qL =虱力)-Qo(0)
0,00001 0,25 2,7 p
1,21 1；22 1,2206
CM
力2
0,00001 0,25 2,7 p
1,21 1；22 1,2206
CM
力2
Рис. 8.7. Постановка задачи (а) и результаты двумерных численных расчетов. Распределения плотности (6) и температуры ионнов (в) вдоль оси конуса на моменты максимального сжатия горючего. Штриховая линия соответствует параметрам плазмы до прихода второго импульса (力2), а сплошная ——после дополнительного нагрева вторым импульсом (力3)
Рис. 8.7. Постановка задачи (а) и результаты двумерных численных расчетов. Распределения плотности (6) и температуры ионнов (в) вдоль оси конуса на моменты максимального сжатия горючего. Штриховая линия соответствует параметрам плазмы до прихода второго импульса (力2), а сплошная ——после дополнительного нагрева вторым импульсом (力3)
Нагрев мишени вторым импульсом моделировался следующим образом: полагалось, что излучение доходит до критической плотности, а затем проникает в глубь мишени, поглощаясь по закону 〜ехр (— pdz/Az\ где г — расстояние, которое отсчитывается от критической поверхности. В пробном варианте второй импульс не зависел от 3, как и первый, проникал на глубину 入之=0,1 г/см2 и, фактичски, равномерно прогревал всю сжатую область (2о). При
этом нейтронный выход увеличился в 2 раза. В следующих вариантах угловая зависимость лазерного импульса задавалась в «гауссовом виде»: 02(е)= ехр (—(6*/6*『)2)/и Параметры 工 и 6*『—варьировались. Вторая стадия процесса моделировалась с момента времени /"2, причем распределения газодинамических параметров мишени были получены в варианте (1о). Были сделаны расчеты когда интенсивность второго импульса не зависела от угла (случай 2о); и когда угловая зависимость имела «гауссовый вид» с 0^ = тг/16,入之=0,1 г/см2 (26), 》z = 0,02 г/см2 (2е),》z = 10-4 г/см2 (2г). Случай (26) моделирует возможность проникновения потока энергии короткого импульса в глубь мишени за счет «надтепловых» частиц и «каналирования» ([31, 15]), а случай 2г) — перенос энергии ударными волнами [29]. На рис. 8.7, 6, 6 показаны результаты расчета варианта (26) — распределения плотности (о) и ионной температуры (б) вдоль оси конуса на моменты времени /"2 = 91,533 нс (штриховая линия) н 力з = 91,543 нс (сплошная линия). За счет энергии второго импульса температура горючего вблизи оси резко выросла, в то время как плотность практически не изменилась. Нейтронный выход нарастает в процессе сжатия и последующего разлета плазмы.
Рис. 8.7. г Форма сжатой мишени (лагранжевая сетка) на момент 92,43 нс
По сравнению с вариантами без второго импульса благодаря дополнительному нагреву горючего нейтронный выход возрос в 5-10 раз и составил (1—3) • 1016. Отметим, что в вариантах 2, 6, в он выше, чем в варианте 2, г, т. е. дополнительный нагрев за счет ввода энергии в глубь горючего будет эффективней, чем попытка дополнительно нагреть его сильной ударной волной [29].
В заключение этого раздела заметим, что в конических мишенях взяты большие значения масс ДТ горючего, так чтобы излучение второго импульса гарантировано вводилось в горючее. Вообще говоря, требуется дополнительно исследовать механизм разделения плотных инертных слоев и горючего в процессе ускорения оболочки за счет «всплытия» легких слоев. В том случае, если он окажется эффективным, то часть массы горючего можно будет заменить на равную ей массу инертного вещества, что позволит экономить тритий.
Вопрос о том, могут ли указанные выше газовые лазеры быть конкурентноспособными с Nd-лазером пока не ясен. К тому же пере-
численные конструкции мишеней могли бы быть перспективными лишь при очень больших коэффициентах усиления в бланкете.
Ниже рассмотрены конструкции мишеней, в основном, для коротковолновых лазеров (A W 1 мкм) и с длительностями импульсов 1-10 нс. Проведены одномерные и двумерные расчеты нагрева и сжатия мишеней с пониженной чувствительностью к гидродинамической неустойчивости. В параграфах 2-6 представлены результаты теоретических и численных исследований следующих типов мишеней:
мишень с внутренним вводом лазерной энергии (или «мишень с обращенной короной»);
мишень «лазерный парник»; 3) мишени с лазерным и рентгеновским предимпульсами; 4) мишень с малоплотным покрытием, облучаемая двумя пучками.
Мишень с внутренним вводом энергиидля коротковолнового лазера
Схематично, мишень с внутренним вводом энергии показана на рис. 8.8, а.
Рис. 8.8. Схема мишени с внутренним вводом лазерной энергии (и) и сравнение расчетных и экспериментальных данных, полученных во РФЯЦ-ВНИИЭФ (г. Саров)с результатами, полученными в расчетах по программе «АТЛАНТ» (отмечены «звездочками») (б)
Физика нагрева и сжатия таких мишеней исследовалась во РФЯЦ- ВНИИЭФ (г. Саров) применительно к экспериментам на установках «Искра-4» и «Искра-5» (иодные лазеры с длиной волны излучения 1,3 мкм и энергией в импульсах от 100 до 104 Дж) [33, 34]. На
внешнюю золотую камеру с внутренней стороны наморожен слой из ДТ. Через несколько отверстий лазерное излучение вводилось в сферическую полость (см. рис. 8.8). В работах ВНИИЭФ такая мишень получила название «мишень с обращенной короной —《МОК»). В первой серии расчетов проводилось сравнение расчетов, выполненных авторами монографии, с опубликованными данными [33]. Расчеты были выполнены с помощью программы «АТЛАНТ_ЗТ» в квазиодномерном приближении. Полагалось, что все параметры задачи зависят только от радиуса и времени. Излучение лазера распространялось вдоль радиуса от центра мишени и падало на слой ДТ или ДД.
Ниже даны параметры мишени и лазерного импульса. В расчетах полагалось, что импульс имел «гауссовую» временную форму с длительностью по полувысоте (FWHM) 丁 = 0,3 нс. Внешняя камера была из золота, на внутреннюю поверхность нанесен слой ДД. Поглощенная лазерная энергия (石)，масса горючего и длительность импульса (т = 0,3 и 0,6 нс) варьировались. Так как в экспериментах слой горючего представлял CD?, то полученный нейтронный выход домножался на коэффициент 0,667. Были сделаны расчеты с энергиями от 300 до 8000 Дж и массами горючего от 1 до 10 мкг. Внутренний радиус камеры был фиксирован и равен 0,1 см. Длина волны лазера 1,35 мкм.
На рис. 8.8, 6 показан нейтронный выход из таких мишеней как функция параметра D = Е/{R\tQ'^). Рисунок взят из упомянутой выше работы. Сплошная линия — результаты расчетов, сделанных во ВНИИЭФ, «точки», «квадратики» ——результаты экспериментов, «звездочки» —расчеты, сделанные по программе 《АТЛАНТ_ЗТ». Видно, что в диапазоне энергий 0,1-1 кДж (D = 0,11) имеется хорошее
согласие расчетных и экспериментальных данных, полученных по разным программам. При D > 2 в статье не приводятся расчетные данные (сплошная кривая обрывается), а данные экспериментов на установке «Искра-5» (с энергией импульса порядка 10 кДж) демонстрируют выход нейтронов существенно меньше, чем предсказывают численные расчеты и экстраполяция аппроксимационной кривой. Одной из основных причин, на наш взгляд, является трудность с вводом лазерной энергии большой мощности внутрь мишени.
С ростом интенсивности излучения возрастает также вклад надтепловых частиц (электронов и ионов) и рентгеновского излучения. В представленных расчетах эти эффекты не учитывались.
В следующей серии расчетов моделировался нагрев мишеней реакторного масштаба. Внешняя золотая камера имела радиус 0,12 см. Лазерный импульс имел гауссовое распределение по времени с шириной импульса по полувысоте (FWHM) 0,1 нс. Малая длительность импульса необходима для того, чтобы ввести излучение в полость до того, как плазма затечет в отверстие и будет «экранировать» его.
В расчетах варьировались энергия лазерного импульса, длина волны излучения и параметры мишени. В табл. 8.3 показаны результаты расчетов. N — номер варианта, А — длина волны излучения, Е — энергия лазерного импульса, А。— внешний радиус мишени, Мди — масса золотой оболочки в мг, Мот — масса слоя дейтерий-трития в мкг, Yn, G — нейтронный выход и коэффициент усиления в мишени к моментам времени 1 и 5 нс.
Таблица 8.3
N вар.
Л, мкм
КДж
До, см
Mau , мг
Мот, мкг
力=1, In • ю]6
5 нс G
力=1, In • ю]6
5 нс G
912а
1,06
300
0,12
49,7
500
1,5
0,14
2,7
0,25
913
1,06
300
0,12
49,7
318
1,5
0,14
4,0
0,37
914
1,06
300
0,12
49,7
276
1,5
0,14
4,5
0,4
912b
0,35
300
0,12
49,7
500
0,85
0,08
2,4
0,22
910
0,35
500
0,12
49,7
500
2,3
0,13
6」
0,34
912w
0,35
300
0,12
49,7
500
0,4
0,04
1,0
0,1
В расчетах полагалось 100% поглощение лазерного излучения, большинство расчетов были сделаны в двухтемпературном приближении, в варианте 912w — расчет был сделан в трехтемпературном приближении. Из расчетов следует, что к 0,3-0,5 нс полости заполняются плазмой с плотностью превышающей критическую, так что лазерный импульс должен быть короче, иначе его не введешь в эту полость. Можно ожидать, что «затекание» отверстий произойдет еще раньше. Этим и определялся выбор длительности импульсов.
В расчетах не учитывался перенос энергии надтепловыми электронами. Эти процессы приведут к выравниванию нагрева горючего и к увеличению потерь за счет потока энергии в золотую оболочку. При интенсивностях лазера 10" Вт/см2 и длине волны 0,35 мкм температура надтепловых электронов, согласно [14] Th 1,4・ ICT3(公2产25 15 [кэВ]. При таком значении температуры пробег надтепловых электронов 〜10 мкм. Эта величина меньше толщины слоя ДТ. Увеличение потока электронной теплопроводности в золоте в 2—3 раза не приводили к существенному изменению результатов расчетов.
Видно из таблицы, что: а) при поглощенной лазерной энергии на уровне 300-500 кДж, в принципе, можно получить нейтронный выход порядка 1015^1016 и G 〜0,05—0,1; б) при этом потребуется фокусировать лазерные пучки с интенсивностью 10" Вт/см2 и вводить их в отверстия с диаметром 300—500 мкм за время порядка 0,1 нс; в) в расчетах не учитывались двумерные эффекты и влияние плазменных неустойчивостей, поэтому приведенные результаты можно считать верхней оценкой возможностей такого класса мишеней.
Мишени с внутренним вводом энергии, в принципе, могут оказаться приемлемыми для реакторов с большими коэффициентами усиления (М 〜1000), как и мишени для газовых лазеров, рассмотренные выше.
В том случае, когда требуются коэффициенты усиления G > 1 необходимы большие сжатия горючего, что, возможно только в сферических мишенях. В [35—36] было показано, что при прямом облучении и сжатии мишеней в виде тонкостенных оболочек с намороженным на внутреннюю поверхность ДТ-льдом, в принципе, можно достичь коэффициентов усиления G 〜1 при поглощенной лазерной энергии 100-200 кДж. Однако, развитие гидродинамической неустойчивости приводит к существенному снижению эффективности термоядерного горения. Для обеспечения устойчивого сжатия высокоаспектных оболочек необходима симметрия облучения мишени на уровне нескольких процентов (см. [36]), что требует большого количества лазерных пучков, высокой степени синхронизации и пространственной однородности излучения. Использование «обостреного к концу» лазерного импульса, в принципе, позволяет несколько уменьшить энергию драйвера, необходимую для достижения «зажигания» мишени [35, 38, 39]. Однако следует иметь в виду, что при использовании обостренного импульса абляционного давления скорость роста возмущений на внешней поверхности мишени увеличивается (см. глава 2).
В случае непрямого нагрева и сжатия мишеней (см. [40, 41]) требуется энергия в несколько раз большая для достижения G 〜1. При этом, требования на симметрию облучения мишени оказываются заметно ниже за счет симметризации давления на мишень при переносе энергии рентгеновским излучением.
Симметризация давления на неиспаренную часть оболочки может быть осуществлена за счет создания высокотемпературного малоплотного слоя между областью поглощения неоднородного лазерного излучения и границей оболочки.
В [42] была предложена конструкция мишени, получившая название «Лазерный парник». Такая мишень содержит внешнюю сферическую камеру из тяжелого элемента (меди, золота или свинца) с отверстиями для ввода излучения. Внешняя камера удерживает от разлета нагретое вещество. В центре камеры расположена рабочая мишень, содержащая различные функциональные слои, в частности намороженный на внутреннюю поверхность ДТ-слой. Между рабочей мишенью и внешней камерой расположен слой малоплотного вещества —поглотителя. Поглотитель может быть изготовлен из малоплотного пенообразного вещества. При поглощении лазерного излучения в поглотителе температура возрастает до 2—3 КэВ, что, в принципе, может обеспечить теплопроводное выравнивание возмущений фронта давления на неиспаренную часть мишени.
Одномерные расчеты предсказывают возможность достижения коэффициентов усиления порядка 1 на уровне энергии 200-300 кДж.
Вопрос о неоднородности нагрева и сжатия таких мишеней в цитируемых работах не исследовался.
Теплопроводное выравниваниеи гидродинамическая компенсация в мишенях«Лазерный парник»
С помощью двумерного лагранжевого кода «АТЛАНТ_ЗТ» моделировалось неоднородные нагрев и сжатие лазерных мишеней в схеме «Лазерный парник» [43]. Решались числено уравнения трехтемпературной радиационной газовой динамики. Процессы ионизации и рекомбинации в расчетах не учитывались. Вся падающая на мишень лазерная энергия поглощалась в плазме за счет обратного тормозного механизма, а поток, достигший критической поверхности — поглощался в этой ячейке. Была проведена следующая серия расчетов:
Постановка задач. Варианты 915-920. Мишень — свинцовая оболочка с радиусом 0,1506 см и толщиной 6 мкм, внутри полимерная пена с начальной плотностью 1 мг/см3 и толщиной 590 мкм — «поглотитель». В центре расположена рабочая мишень, состоящая из полимерной оболочки с начальной плотностью 1 г/см3, радиусом 910 мкм и толщиной 20 мкм, с внутренней стороны наморожен ДТ-лед с массой 19,6 мкг, а в центральной области — остаточный ДТ-газ с плотностью 0,1 мг/см3. Nd-лазер на первой гармонике, с энергией 100 кДж и длительностью импульса 2 нс. Импульс имел временную форму в виде прямоугольного треугольника с длительностью 2 нс (см. рис. 8.9, а).
Чтобы моделировать прохождение излучения через отверстия предполагалось, что лазер свободно проходит через свинцовую оболочку, а поглощение начинается с первой ячейки поглотителя. Вопрос о влиянии отверстий требует отдельного рассмотрения (см. следующий раздел главы). Оценки показывают, что заметную роль в переносе энергии играет поток излучения из свинцовой оболочки внутрь, поэтому все расчеты были сделаны в трехтемпературном приближении.
Вариант 9/5. «Квазиодномерный расчет». Был проведен расчет, когда интенсивность лазерного потока не зависела от угла. В этом случае время коллапса рабочей мишени равнялось 2,97 нс, максимальная степень сжатия (отношение начального внутреннего радиуса рабочей оболочки к конечному) равнялось 11, усредненная по ДТ-области температура ионов в момент коллапса 2,7 кэВ. Сравнительно малая степень сжатия объяснялась довольно сильным прогревом ДТ-горюче- го излучением, т. е. внесением дополнительной энтропии в горючее на стадии ускорения рабочей оболочки к центру.
Вариант 917. В этом варианте моделировалась несимметрия облучения мишени, которая может реализоваться в «реальных экспериментах» при облучении 6 пучками, когда 2 пучка расположены у
DT-газ DT-лед СН-оболочка СН-пена РЬ
10-40,2110-311,3
Рис. 8.9. а Постановка задачи о нагреве мишени «лазерный парник». 6 Изолинии электронной температуры (в кэВ) в плазме на момент времени 1,95 нс
«полюсов» мишени, а 4 пучка — равномерно по «экватору». Лазерный поток задавался в следующем виде
q(ej) =q«)(0,51 +8(cos 初/0,51,(8.4)
% ⑴=如％о,(8.5)
где Д — функция Лежандра 4-й степени (см. рис. 8.9,。)，力=2 нс, qo подобрана так, чтобы полная энергия в импульсе равнялась 100 кДж. Расчет удалось провести до степени сжатия 3,1. При этом из-за сильной деформации лагранжевых ячеек продолжение расчета оказалось невозможным.
Вариант 918. Для того, чтобы исследовать влияние малоплотного поглотителя на процесс теплопроводного выравнивания и сравнить скорость роста возмущений при наличии и в отсутствие поглотителя,
был проведен расчет сжатия рабочей мишени без внешней оболочки и поглотителя. Лазерный поток имел угловую зависимость такую же, как и в варианте 917.
Вариант 918а. В этом варианте рабочая мишень была окружена малоплотным поглотителем с радиусом 0,15 см и плотностью 0,1 мг/см3, но внешняя камера отсутствовала. Из-за сильной деформации лагранжевых ячеек эти варианты удалось досчитать лишь до момента /■〜2 нс.
Вариант 919. В [43] обсуждался метод борьбы с влиянием крупномасштабной несимметрии лазерного облучения с помощью использования разнотолщинной рабочей мишени и были выполнены двумерные численные расчеты, подтверждающие такую возможность. В рабочей мишени напротив отверстий предлагается создать утолщения оболочки. В секторном приближении, когда перетеканием массы в поперечном направлении можно пренебречь, ускорение которое приобретает часть мишени, расположенная под углом 仇 определяется из следующей формулы
dV
SO —円)・ (8・6)
Здесь р — плотность оболочки, / — толщина неиспаренной мишени, значок 0 — обозначает усреднение по радиусу оболочки, Рс — давление на оболочку со стороны поглотителя, Pf — давление в горючем. Из формулы (8.6) видно, что разнотолщинность оболочки должна быть пропорциональна перепаду давления в поглотителе. Из-за не одинаковой скорости испарения вещества в оболочке и перетекания вещества в поперечном направлении зависимость разнотолщинности будет несколько более сложной. Двухмерные численные расчеты позволяют моделировать эти эффекты.
В расчетах была задана разнотолщинность рабочей оболочки по следующей формуле:
hop = г [1. + a0AF4(cos е)/(г ехр (2|/ — "/△))] . (8.7)
Здесь Педр, г — радиусы ячейки с коррекцией и без нее, △ — толщина оболочки без коррекции, Ag — радиус границы рабочей оболочки, а° — параметр коррекции, ехр — функция экспоненты, а° = 0,554, в этом случае на полюсе толщина оболочки 1,475 ■ △, при угле 45° — 0,81А, а на экваторе — 1,178Д. Параметры мишени без коррекции и лазерного импульса были такими же, как и в варианте 917.
Вариант 920. Параметры мишени и лазерного импульса такие же, как в варианте 919, но параметр коррекции а° = 0,8.
Обсуждение результатов. Как видно из расчетов в процессе нагрева мишени тяжелое вещество внешней камеры испаряется внутрь, сжимая поглотитель. Поэтому, если вначале процесса лазерное излучение нагревало по объему весь поглотитель, то затем, когда плотность поглотителя стала больше критической, максимум температуры
d/R 0,5-d/R 0,5-ОД-ОД-сместился к внешней границе поглотителя. При наличии отверстий, через которые вводится излучение, возможна иная ситуация, когда нагретое вещество будет вытекать из открытого отверстия, а излучение будет проникать в глубь мишени. На рис. 8.9, 6 показаны изолинии температуры электронов в поглотителе на момент времени 力=1,95 нс, полученные в расчете варианта 917. Числами отмечены значения температуры в данной области. Видно, что если в зоне поглощения излучения перепад температуры достаточно велик (Те = 4 кэВ у «полюса» и на «экваторе», и Те = 2,7 на биссектрисе угла), то вблизи контактной границы с рабочей мишенью температура почти выравнялась (всюду приблизительно 3 кэВ).
d/R 0,5-
d/R 0,5-
ОД-
ОД-
Рис. 8.10. Зависимость относительной амплитуды возмущения контактной границы «рабочая оболочка-горючее» d/R в вариантах 917 (1) и 918/918а (2) от степени сжатия ^ = Rq/R (и); контуры рабочей мишени на момент времени 力=2,37 нс в варианте 917 (б)
На рис. 8.10, а показаны зависимости относительной амплитуды возмущения контактной границы «рабочая оболочка-горючее» от степени сжатия £ = Ао/А«), А«) — текущий усредненный по углу радиус контактной границы «оболочка-горючее» А«) = 0,5(7?max + Amin)・ Видно как в процессе сжатия нарастают возмущения на контактной границе. При £ = 3,1 (момент времени t = 2,5 нс) относительная амплитуда возмущения 6/R достигла 0,544. Здесь же представлены зависимости относительной амплитуды возмущения контактной границы от степени сжатия для вариантов 918 и 918а (Результаты расчетов вариантов 918 и 918а практически «слились», поэтому на рис. 8.10 показана одна кривая 2).
Из сравнения графиков для вариантов 918 и 918а следует, что скорость роста длинноволновых возмущений (напомним, возмущение лазерного потока соответствует четвертой гармонике функции Лежандра) при наличии и в отсутствии поглотителя, приблизительно равны. Действительно, для 4-й гармоники поперечная длина возмущения составляет приблизительно l± ^ R/n 500 мкм, что сравнимо с толщиной поглотителя (△□)• Для того, чтобы поперечная теплопроводность могла эффективно подавить возмущения требуется, чтобы 1± « △口. Однако, реализация этого условия в конкретных мишенях крайне затруднительна в случае малого числа пучков из-за того, что весьма сложно создать и поддерживать высокотемпературный слой с плотностью порядка критической на протяжении действия всего импульса (см., также Глава 4, рис. 4.10, где было показано, что невозможно пода-
вить крупномасштабную несимметрию облучения за счет малоплотных покрытий).
В мишени типа «Лазерный парник» амплитуда возмущения нарастает медленнее, чем в случае прямого облучения рабочей мишени. Тот факт, что на первой стадии скорость роста возмущений в мишени типа «Лазерный парник» меньше, чем в мишенях прямого облучения объясняется двумя обстоятельствами ——более высокой температурой в короне и поперечными ударными и звуковыми волнами, распространяющимися в поглотителе между плотными внешней и внутренней оболочками, которые частично выравнивают абляционное давление. Однако, этого оказывается недостаточно для полного выравнивания несимметрии облучения, которая воздействует на мишень в заданных угловых секторах в процессе всего сжатия. Поэтому по мере сжатия рабочей мишени возмущения внутренней границы нарастают до значительных величин (при £ ^ 3, S/R ^ 0,5—0<6).
Р, 1012 эрг/см3
力，не
Рис. 8.11. Зависимости давления от времени в лагранжевых ячейках рабочей мишени при углах 0 = 0° (1), тг/4 (2), тг/2 (3)
На рис. 8.11 показаны временные зависимости давления в лагранжевом слое для трех различных углов 6* = 0°, в = 45°, в = 90°. Был взят лагранжевый слой в середине рабочей оболочки. Видно, что давление меняется в процессе сжатия, причем на стадии ускорения рабочей оболочки к центру давление на биссектрисе угла приблизительно в 1,5-2 раза меньше, чем на экваторе и полюсе. К моменту 力=2,32 нс давления выравниваются и это связано с приходом отраженной от центра ударной волны. После чего, как указывалось ранее, резко нарастает скорость перемешивания вещества.
Ниже представлены результаты моделирования сжатия мишеней с «рельефом». В этом случае удается досчитать сжатия мишени заметно большего, чем в варианте 917.
На рис. 8.12 показан контур рабочей мишени, полученный в варианте 919 на момент времени 力=2,85 нс. Отметим, что степень сжатия горючего в этом варианте составила 5,8 (сравни с рис. 8.9, 6).
122740 мкм122740 мкмРис. 8.12. Контуры рабочей мишени с «рельефом» на момент времени 力=2,85 нс (вариант 919)Рис. 8.12. Контуры рабочей мишени с «рельефом» на момент времени 力=2,85 нс (вариант 919)
122740 мкм
122740 мкм
Рис. 8.12. Контуры рабочей мишени с «рельефом» на момент времени 力=2,85 нс (вариант 919)
Рис. 8.12. Контуры рабочей мишени с «рельефом» на момент времени 力=2,85 нс (вариант 919)
На рис. 8.13 показаны рост амплитуды возмущения границы (а) и относительный нейтронный выход от степени сжатия (6), полученные в расчетах. Для удобства дано отношение нейтронного выхода к величине полученной в одномерном расчете (вариант 915). Видно, что в мишенях с «рельефом» удается заметно снизить скорость роста амплитуды возмущения контактной границы и получить значения нейтронного выхода по порядку величины близкие к тем, которые предсказываются в одномерных расчетах.
6/砌6/砌4d/Xd4d/Xd0,50,40,30,2 ОД0,50,40,30,2 ОДBap. 917Bap. 919 ./—hap. 920Bap. 917Bap. 919 ./—hap. 92002468 10自=力/砌02468 10自=力/砌1,0 io2—4 10 ю6 ю81,0 io2—4 10 ю6 ю86Bap. 915Bap. 919(920)//*也Bap. 9176Bap. 915Bap. 919(920)//*也Bap. 917I F I I I I I I I I J02468 10自=a瀬)I F I I I I I I I I J02468 10自=a瀬)
6/砌
6/砌
4d/Xd
4d/Xd
0,5
0,4
0,3
0,2 ОД
0,5
0,4
0,3
0,2 ОД
Bap. 917
Bap. 919 ./—hap. 920
Bap. 917
Bap. 919 ./—hap. 920
02468 10
自=力/砌
02468 10
自=力/砌
1,0 io2
—4 10 ю6 ю8
1,0 io2
—4 10 ю6 ю8
6
Bap. 915
Bap. 919(920)
//*
也Bap. 917
6
Bap. 915
Bap. 919(920)
//*
也Bap. 917
I F I I I I I I I I J
02468 10
自=a瀬)
I F I I I I I I I I J
02468 10
自=a瀬)
Рис. 8.13. Зависимости амплитуды возмущения на границые «оболочка-горю- чее» от степени сжатия для вариантов 917 (1), 919 (2), 920 (3) (и). Относительный нейтронный выход (ln/^ш) в зависимости от степени сжатия £ (6)
Следующая серия расчетов моделировала двухпучковое облучение мишени типа «Лазерный парник». При этом, параметры лазера и мишени были взяты близкими к тем, которые могут реализоваться на современных мощных лазерных установках.
На рис. 8.14, а показана постановка задачи о сжатии такой мишени с помощью Nd-лазера на третьей гармонике (А = 0,353 мкм) с поглощенной энергией 6 кДж. Медная оболочка имела внешний радиус 634 мкм и толщину 12 мкм. Чтобы предохранить рабочую мишень от вредного преднагрева рентгеновским излучением на внутреннюю поверхность наносится слой полиэтилена толщиной 22 мкм. Внутри — поглотитель с начальной плотностью 8 мг/см3. Рабочая мишень представляет наполненную ДТ-газом полиэтиленовую оболочку радиуса 350 мкм и толщиной 8 мкм. Лазерный импульс имел временную форму в виде равностороннего треугольника с длительностью по основанию 2,6 нс. Была выполнена серия из 4 расчетов (варианты 930-933) с помощью кода «АТЛАНТ_ЗТ».
66q(力)马=6 kДж,q(力)马=6 kДж,1,3 2,6 力，нс1,3 2,6 力，нс
6
6
q(力)马=6 kДж,
q(力)马=6 kДж,
1,3 2,6 力，нс
1,3 2,6 力，нс
7,16 • КН 18 • КН 1 8,93 р, г/см3
F"I”””—E=L””К•":”:Г—」
0342 350600 622 634 凡 мкм
Рис. 8.14. Постановка задачи о сжатии мишени при двухстороннем облучении: схема мишени (и) и временная форма лазерного импульса (6). На схеме мишени указаны плотности в г/см3
Вариант 930 — «квазиодномерный расчет». Время коллапса мишени составило 2,1 нс, степень сжатия горючего £ = 4,8, а нейтронный выход на 2 ♦ 1011.
Вариант 93/. В этом варианте моделировалось прямое облучение и сжатие рабочей мишени, состоящей из полиэтиленовой оболочки, заполненной ДТ-газом. Параметры такие же как в рабочей мишени в варианте 930. Расчет был выполнен в квазиодномерной постановке. В этом случае время коллапса 1,95 нс, степень сжатия £ = 5,4, нейтронный выход на этот момент 1012. Заметим, что при прямом облучении рабочей мишени нейтронный выход и степень сжатия получаются в одномерных расчетах больше, чем в мишени типа «Лазерный парник». Однако для достижения значительных степеней сжатия требуется обеспечить высокую степень симметрии облучения мишени.
Вариант 932. В расчете моделировалось двухстороннее облучение мишени типа «Лазерный парник». Параметры мишени как в варианте 930. Лазерный поток был задан в следующем виде:
(l^,t) = % ⑴ 02(е), (8.8)
a1 - как в варианте 930,史(e) = (0,51 +4(6f))/0,51.
Вариант 933. Рабочая оболочка имела «рельеф», согласно (8.7). Параметр коррекции равнялся = 0,5.
На рис. 8.15, а показаны рост относительной амплитуды возмущения внутренней границы оболочки от степени сжатия Видно, что в мишенях с «рельефом» возмущения растут медленнее. На рис. 8.15, 6 показан рост нейтронного выхода от степени сжатия. Сплошная кривая — одномерный расчет (вариант 930). При двухстороннем облучении части оболочки у полюса летят к центру быстрее, чем остальная часть оболочки и быстрее, чем полетела оболочка в варианте 930. В результате ударная волна пришла к центру и отразилась ранее, чем в одномерном случае. Скачок температуры в центре и рост нейтронного выхода в варианте 932 получается раньше, чем предсказывает одномерный расчет. Форма рабочей мишени на момент времени 1,5 нс показана на рис. 8.16. Несмотря на то, что из-за разрушения оболочки в вариантах 932, 933 нам не удалось досчитать до степеней сжатия горючего более 4 (сильную деформацию лагранжевых ячеек особенно вблизи полюса можно трактовать как разрушение оболочки), нейтронный выход в варианте 933 оказался лишь в 10 раз меньше, чем варианте 930. Заметим, что во всех представленных выше расчетах полагалось, что излучение распространяется строго вдоль радиусов и полностью поглощается в плазме.
Следующая серия расчетов мишеней типа «Лазерный парник» была выполнена по программе «АТЛАНТ_ЗТ» с учетом рефракции лазерных лучей. Параметры мишени, энергия и временная форма лазерного импульса были такими же, как выше. Угловая зависимость лазерного потока была следующей:
公开/6,小7 0,/6. (89
Изучалось влияние условий фокусировки лазерных пучков на симметрию сжатия. В первом расчете лучи были сфокусированы в центр мишени. Расчет удалось провести до момента времени t = 1,05 нс. На рис. 8.17, а показана форма мишени к этому моменту. Жирными линиями показаны траектории лучей. Учет рефракции привел к дополнительной фокусировке излучения вблизи оси. На «экваторе» мишень почти не сжалась, а на «полюсе», где сфокусированы лучи, из-за повышенного давления образовался кратер. На рис. 8.17, 6 показаны результаты расчетов мишени в том случае, когда лучи распространялись параллельно оси. Видно, что давление на рабочую мишень, в этом
лочка-горючее» от степени сжатия для вариантов 932 (1), 933 (2) (а) и нейтронного выхода от степени сжатия для вариантов 930 (1), 932 (2) и 933 ⑶(6)
Рис. 8.16. Контуры рабочей мишени и поглотителя на момент времени 力二 =1,5 нс для варианта 932. Стрелкой показано направление лазерного пучка
варианте — более равномерное, что позволило досчитать задачу до момента времени 1,48 нс и достичь большей степени сжатия рабочей мишени.
66Рис. 8.17. Влияние условий фокусировки на симметрию сжатия рабочей мишени при двустороннем облучении. Слева (а): лучи сфокусированы к центру 力=1,05 нс; справа (6): параллельный лазерный пучок 力=1,48 нсРис. 8.17. Влияние условий фокусировки на симметрию сжатия рабочей мишени при двустороннем облучении. Слева (а): лучи сфокусированы к центру 力=1,05 нс; справа (6): параллельный лазерный пучок 力=1,48 нс
6
6
Рис. 8.17. Влияние условий фокусировки на симметрию сжатия рабочей мишени при двустороннем облучении. Слева (а): лучи сфокусированы к центру 力=1,05 нс; справа (6): параллельный лазерный пучок 力=1,48 нс
Рис. 8.17. Влияние условий фокусировки на симметрию сжатия рабочей мишени при двустороннем облучении. Слева (а): лучи сфокусированы к центру 力=1,05 нс; справа (6): параллельный лазерный пучок 力=1,48 нс
В представленных выше расчетах не учитывалось влияние вытекания плазмы через отверстия на параметры сжатия. В следующем разделе рассмотрено влияние этого эффекта.
Учет влияния истечения плазмы через отверстияв мишенях типа «Лазерный парник»
По лагранжевой методике, которая положена в основу программы «АТЛАНТ_ЗТ», учет такого эффекта, как вытекание плазмы через отверстия, представляется весьма затруднительным. С помощью двухмерной лагранжево-эйлеровой программы «РАЗРЯД» (см. [44]), разработанной в ИММ РАН, были предприняты попытки рассчитать истечение плазмы в мишенях типа «Лазерный парник» [45]. Задача решалась в цилиндрической двухмерной геометрии (г, г,力)и моделировалось как бы одно отверстие. Физическая модель соответствовала той, что использовалась в расчетах по программе «АТЛАНТ» плюс учет ионизации в приближении среднего иона. Для учета эффекта истечения плазмы была разработана методика перестройки разностной сетки. Расчеты истечения плазмы через отверстия по указанной выше методике оказались чрезвычайно трудоемкими.
По изложенным выше причинам, в дальнейшем для моделирования этих процессов использовался другой чисто эйлеровый подход (программы «НАТСИ» и «ФАКЕЛ»). С помощью программы «НАТСИ» исследовался вопрос о возможности ввода излучения в отверстие (см. [46]). Параметры задачи были выбраны близкими тем, которые могут быть реализованы в экспериментах на современных установках. Была рассмотрена следующая задача (см. рис. 8.18, о, Ь). Цилиндрическая область с радиусом 2000 мкм и высотой 3000 мкм, разбита на 5 подобластей. В первой подобласти (I: 0 < Z < 400 мкм), плотность
среды р = 10-5 г/см3, во второй подобласти П: при 400 < Z < 470 мкм р = 1 г/см3, в третьей подобласти (Ш) р = 2 • 10一？ г/см3 (эта подобласть имеет сложную форму 470 < Z < 2070 мкм при г < 500 мкм и 470 < Z < 2000 мкм при г〉500 мкм). Третья подобласть моделирует малоплотный поглотитель с плотностью меньшей критической для лазера с длиной волны 0,35 мкм (для третьей гармоники неодимового лазера и плазмы, образованной из полиэтилена, критическая плотность равняется рс = 3,07 • 10一2 г/см3). Четвертая подобласть (IV) имеет плотность 1 г/см3 и толщину 70 мкм (2000 < Z < 2070 мкм). Она имеет отверстие в центре с радиусом 『^ мкм. Наконец, пятая подобласть (V) — малоплотная плазма (р = 10-5 г/см3). Лазер падает сверху и имеет энергию в импульсе 3 кДж при длительности 1 нс (временная форма импульса — прямоугольный треугольник). В поперечном направлении интенсивность излучения имеет «гауссовое распределение» ос ехр (—(r/J?/)2), где Rf = 250 мкм. Радиус отверстия 丁d варьировался в расчетах.
Nd-лазер, 3%; EL= 3 кДж; % = 250 мкмNd-лазер, 3%; EL= 3 кДж; % = 250 мкма力=0 нс6а力=0 нс6010002000010002000於，力)=%(方)%2⑺exp(-(〃％?) 政)=-於，力)=%(方)%2⑺exp(-(〃％?) 政)=-Рис. 8.18. Постановка задачи об эфективности ввода лазерной энергии. Слева форма и параметры мишени (а); справа временная форма импульса и распределение интенсивности лазерного излучения в поперечном направлении (6)Рис. 8.18. Постановка задачи об эфективности ввода лазерной энергии. Слева форма и параметры мишени (а); справа временная форма импульса и распределение интенсивности лазерного излучения в поперечном направлении (6)0 Rf0 Rf
Nd-лазер, 3%; EL= 3 кДж; % = 250 мкм
Nd-лазер, 3%; EL= 3 кДж; % = 250 мкм
а力=0 нс6
а力=0 нс6
010002000
010002000
於，力)=%(方)%2⑺
exp(-(〃％?) 政)=-
於，力)=%(方)%2⑺
exp(-(〃％?) 政)=-
Рис. 8.18. Постановка задачи об эфективности ввода лазерной энергии. Слева форма и параметры мишени (а); справа временная форма импульса и распределение интенсивности лазерного излучения в поперечном направлении (6)
Рис. 8.18. Постановка задачи об эфективности ввода лазерной энергии. Слева форма и параметры мишени (а); справа временная форма импульса и распределение интенсивности лазерного излучения в поперечном направлении (6)
0 Rf
0 Rf
Результаты этих расчетов сравнивались между собой с результатами варианта, когда『& = 1000 мкм, т. е. фактически условие отсутствия верхней «крышки». Изучалась эффективность ввода излучения в отверстие при различных соотношениях г^/?；/■. На рис. 8.19 показаны изолинии плотности мишени на моменты времени 1 и 2 нс для варианта с 丁& = 300 мкм. К 2 нс вещество внутреннего слоя мишени полностью пришло в движение.
На рис. 8.20, с показаны распределения давления (Р), температуры (Т) и плотности (р) вдоль оси на момент времени 1 нс для указанного выше варианта. Видно, что наряду с максимумом плотности при Z < 500 мкм (внутренний слой мишени), возникает пик плотности
rd = 300 мкм
Рис. 8.20. Распределения давления (F), температуры (Т) и плотности (р) вдоль оси на момент времени 1 нс для варианта 2 (厂壮=300 мкм)
при Z = 2000 мкм. Причина этого явления — в испарении вещества с боковой стенки отверстия. Это приводит к повышенной температуре в этой области (см. рис. 8.20, б) и снижению эффективности передачи энергии в глубь мишени. Таким образом, возникает «экранировка» внутренней мишени. В случае, когда 厂d = 1000 мкм, такой эффект отсутствует (см. рис. 8.21, о, Ь, с). Для оценки потерь на «экранировку» в зависимости от соотношения rd/Rf рассчитывались суммарные энергии в подобластях I, П, III, IV. Под энергией, введенной в полость (石由)， подразумевается энергия в областях I + П. Под энергией, переданной во внутреннюю мишень (石/) — энергия в области I (заметим, что
Рис. 8.21. Распределения давления (F), температуры (Т) и плотности (р) вдоль оси на момент времени 1 нс для варианта 2 (丁壮=1000 мкм)Рис. 8.21. Распределения давления (F), температуры (Т) и плотности (р) вдоль оси на момент времени 1 нс для варианта 2 (丁壮=1000 мкм)
Рис. 8.21. Распределения давления (F), температуры (Т) и плотности (р) вдоль оси на момент времени 1 нс для варианта 2 (丁壮=1000 мкм)
Рис. 8.21. Распределения давления (F), температуры (Т) и плотности (р) вдоль оси на момент времени 1 нс для варианта 2 (丁壮=1000 мкм)
в процессе нагрева мишени внутренний слой практически полностью смещается в область I (см. рис. 8.19). На рис. 8.22, а показаны зависимости Ein от времени для различных вариантов 厂d = 300,400 и 1000 мкм.
@=々 + 4@=々 + 4〃 =El/Ein〃 =El/EinРис. 8.22. а Зависимости введенной энергии в полости от времени для различных размеров отверстий rj (о). Зависимости гидродинамической эффективности рабочей мишени от времени для различных размеров отверстий rj (6)Рис. 8.22. а Зависимости введенной энергии в полости от времени для различных размеров отверстий rj (о). Зависимости гидродинамической эффективности рабочей мишени от времени для различных размеров отверстий rj (6)01234% нс01234% нс
@=々 + 4
@=々 + 4
〃 =El/Ein
〃 =El/Ein
Рис. 8.22. а Зависимости введенной энергии в полости от времени для различных размеров отверстий rj (о). Зависимости гидродинамической эффективности рабочей мишени от времени для различных размеров отверстий rj (6)
Рис. 8.22. а Зависимости введенной энергии в полости от времени для различных размеров отверстий rj (о). Зависимости гидродинамической эффективности рабочей мишени от времени для различных размеров отверстий rj (6)
01234
% нс
01234
% нс
Видно, что при соотношении 川R§ = 1,6 энергия, которая вводится внутрь мишени, будет близка той, что реализуется в случае прямого облучения. Под гидродинамической эффективностью будем понимать соотношение 〃 =石//石也.На рис. 8.22, 6 показаны зависимости г/ от
времени для указанных выше вариантов. Видно, что гидродинамическая эффективность в случае, когда 厂d/А/ = 1,6, будет близка той, что реализуется в мишенях прямого облучения.
Выше обсуждалась модели ввода излучения в одно отверстие. Мишень «Лазерный парник» будет иметь сферическую форму и содержать несколько отверстий. Для моделирования нагрева такой мишени с учетом влияния отверстий В. В. Демченко была разработана двухмерная эйлеровая программа в сферических осесимметричных координатах, которая получила название «ФАКЕЛ» [47]. С помощью этой программы один из авторов монографии провел исследования представленные ниже.
Краткое описание программы «ФАКЕЛ». Ниже выписана система уравнений радиационной газовой динамики в трехтемпературном приближении, которая решается числено с помощью программы «ФАКЕЛ».
4 = -pdiv V,d" = div V; j = 1,2,dV】c
= -gradF,
—Pe div V — divq刀一div We — Qe?(Te — T?) — Qer(Te —
= -FzdivV + &?(Te - Tjp二=-divWr + Qer(Te - Try
(8.10)
В расчетах полагалось, что лазерное излучение распространяется строго вдоль радиальных лучей, поглощаясь в плазме за счет обратного тормозного механизма. Различием в скоростях движения компонент плазмы можно пренебречь. Излучение, достигшее критической поверхности, поглощается в этой области (тем самым, моделировался вклад резонансного и параметрических механизмов поглощения).
V qL = -Ka(p,Te,A)qL.V qL = -Ka(p,Te,A)qL.(8・11)(8・11)
V qL = -Ka(p,Te,A)qL.
V qL = -Ka(p,Te,A)qL.
(8・11)
(8・11)
Здесь Р = Ре ^ Рг ^ Рг — давления электронного, ионного и радиационного компонентов плазмы, р, £(Q, V — плотность, температуры электронного и ионного компонентов, скорость плазмы, Q — объемная концентрация первого (j = 1) и второго (j = 2) элементов. Для учета переноса излучения в плазме использована трехтемпературная модель, — полагается, что излучение удовлетворяет планковскому спектру с эффективной температурой Тг. В лазерной плазме вклад
радиационного давления пренебрежимо мал. W€, 1%, Wr — потоки электронной и радиационной энергии.
(8.12)(8.12)We = — gradTe,W『=—xr grad {р£г\
(8.12)
(8.12)
В расчетах использовались коэффициенты переноса, анологичные тем, что применялись в программе «АТЛАНТ». Здесь с — скорость света, аг — размерный коэффициент.
саь т尸r 3 р2саь т尸r 3 р24,915 . [(Я方,5研1пАегФ3(Ф1 +4)4,915 . [(Я方,5研1пАегФ3(Ф1 +4)эргсм • с • кэВэргсм • с • кэВ(8.13)(8.13)
саь т尸r 3 р2
саь т尸r 3 р2
4,915 . [(Я方,5研1пАегФ3(Ф1 +4)
4,915 . [(Я方,5研1пАегФ3(Ф1 +4)
эргсм • с • кэВ
эргсм • с • кэВ
(8.13)
(8.13)
эргсм • с • кэВэргсм • с • кэВ6,3679 • 10"0異①26Фз In Ар
эргсм • с • кэВ
эргсм • с • кэВ
1пАег = 0,51п(1 + 1,436) • 宁
(8.14)(8.14)TF = 1,734 • 10-2产3嗚/3 “(3b],
(8.14)
(8.14)
In Af = ln(l + 5,27)片3 ( 0,39 + 51
Функции ①j — зависят от концентраций элементов в ячейке (《一 объемная концентрация первого элемента,《2 — объемная концентрация второго элемента, всего предусмотрено наличие трех элементов), Z?, Аг — заряды и атомные массы ионов этих элементов, 1Г — россе- ландов пробег квантов излучения.
① 1 = Z£ + @《2 + %3(1・-G -《2), ①3 = Z“1+Z気2 +窃(1—G—⑵,① 1 = Z£ + @《2 + %3(1・-G -《2), ①3 = Z“1+Z気2 +窃(1—G—⑵,① 4 = 4G + /2e2 + /3(1 - 4 — G),① 4 = 4G + /2e2 + /3(1 - 4 — G),(8.15)(8.15)Q「B=8,797・1必①皿Q「B=8,797・1必①皿In АегТ』5+3,155・ 10-3風2In АегТ』5+3,155・ 10-3風2эргсм3 • с • кэВэргсм3 • с • кэВQer = = 1,7323 • 1()23①6Qer = = 1,7323 • 1()23①6
① 1 = Z£ + @《2 + %3(1・-G -《2), ①3 = Z“1+Z気2 +窃(1—G—⑵,
① 1 = Z£ + @《2 + %3(1・-G -《2), ①3 = Z“1+Z気2 +窃(1—G—⑵,
① 4 = 4G + /2e2 + /3(1 - 4 — G),
① 4 = 4G + /2e2 + /3(1 - 4 — G),
(8.15)
(8.15)
Q「B=8,797・1必①皿
Q「B=8,797・1必①皿
In Аег
Т』5+3,155・ 10-3風2
In Аег
Т』5+3,155・ 10-3風2
эрг
см3 • с • кэВ
эрг
см3 • с • кэВ
Qer = = 1,7323 • 1()23①6
Qer = = 1,7323 • 1()23①6
①6 =①6 =《2 +《2 +4 +4 +G +G +(8.16)(8.16)
①6 =
①6 =
《2 +
《2 +
4 +
4 +
G +
G +
(8.16)
(8.16)
В материалах с небольшим зарядом ядра коэффициент @匕 задается из представлений о классическом тормозном механизме излучения на свободно-свободных переходах электронов, в случае элементов с большими зарядами ядер используются интерполяционные формулы (см. гл. 3, □. 5).
Для решения системы уравнений (8.10-8.12) была использована методика, описанная в [48]. Система уравнений решалась методом расщепления по физическим процессам, причем уравнения бездиссипа- тивной газовой динамики решались с помощью явных разностных схем (первый процесс), уравнения теплопереноса — с помощью неявных схем (второй процесс), и отдельно решались уравнения электрон-ион- ной и электрон-радиационной релаксации (третий процесс).
В качестве граничных условий на оси сферической системы координат и в центре ставились условия отсутствия потоков по нормали к границе; на плоскости симметрии, являющейся границей первого квадранта при в = тг/2 — условия симметрии. На внешней границе сферической области ставились условия нулевых градиентов для всех величин кроме радиальной скорости, которая полагалась равной нулю.
Результаты численного моделирования. Для моделирования влияния отверстий на симметризацию и эффективность передачи энергии в мишени типа «Лазерный парник» были проведены две серии расчетов с помощью двухмерного эйлерового кода «ФАКЕЛ>. В расчетах использовалась сферическая осесимметрическая геометрия (координаты г, в, t).
В первой серии расчетов моделировался нагрев и сжатие такого типа мишени лазерными импульсами с энергией на уровне 100-200 кДж.
Nd-лазер, EL = 200 кДжNd-лазер, EL = 200 кДж2 t, нс%&8)= %(方)%(e)Qi⑼ 0<0<0=，оQ2(0) лг/2-^2<0<лг/22 t, нс%&8)= %(方)%(e)Qi⑼ 0<0<0=，оQ2(0) лг/2-^2<0<лг/2
Nd-лазер, EL = 200 кДж
Nd-лазер, EL = 200 кДж
2 t, нс
%&8)= %(方)%(e)
Qi⑼ 0<0<0
=，о
Q2(0) лг/2-^2<0<лг/2
2 t, нс
%&8)= %(方)%(e)
Qi⑼ 0<0<0
=，о
Q2(0) лг/2-^2<0<лг/2
Рис. 8.23. Постановка задачи о нагреве мишени «Лазерный парник» (и),распределения температуры ионнов вдоль радиусов для значений углов0 = 0, тг/4, тг/2 (б)
На рис. 8.23, а показана постановка задачи. Внешняя камера изготовлена из свинца радиусом 1516 мкм и толщиной 6 мкм, и имеет два отверстия у полюсов (раствор угла 30 градусов) и щель на экваторе (раствор угла 20 градусов). В этом случае моделируется ситуация, когда два лазерных пучка распространяются вдоль оси мишени, а четыре находятся на экваторе. На внутренней поверхности внешней камеры имелся слой полиэтилена толщиной 10 мкм, частично предохраняющий свинец от сильного нагрева тепловой волной из поглотителя. Внутренняя рабочая мишень из полиэтилена радиуса 900 мкм и толщиной 20 мкм. На внутренней поверхности наморожен ДТ-слой, в центре — остаточный газ. Промежуток между внешней и внутренней оболочками был заполнен малоплотной средой (с плотностью 2 ■ 10-3 г/см3). Лазерный поток имеет следующий вид q刀=% (力)q2(®)・ Импульс линейно нарастает по времени (qi(力)=qo(t/to),力о ——длительность лазерного импульса равная 2 нс, qo = Ю14 Вт, так что энергия в импульсе равнялась 100 кДж).
{С1Р1(со8 6) еслиQP^cos 6) если{С1Р1(со8 6) еслиQP^cos 6) если0 W J W 7Г/6,0 W J W 7Г/6,(8.17)(8.17)7г/2 — 7г/9 W J W тг/2.7г/2 — 7г/9 W J W тг/2.
{С1Р1(со8 6) если
QP^cos 6) если
{С1Р1(со8 6) если
QP^cos 6) если
0 W J W 7Г/6,
0 W J W 7Г/6,
(8.17)
(8.17)
7г/2 — 7г/9 W J W тг/2.
7г/2 — 7г/9 W J W тг/2.
Функция 42 отнормирована так, чтобы интеграл q? sin 6d6 = 1, длина волны лазерного излучения 1,06 мкм. Параметры задачи были близки тем, что приведены в предыдущем разделе, однако в данном случае учитывалось влияние отверстий.
На рис. 8.23, 6 показаны распределения ионной температуры по радиусу на момент времени 2 нс для значений углов 6 = 0,45 и 90 градусов. Если электронная температура в поглотителе имеет локальные максимумы против отверстий (при углах 6 = 0 н тг/2), то ионная температура к моменту времени 1,5—2 нс имеет максимальное значение при угле 7г/4. Причина этого в столкновении поперечных ударных волн, распространяющихся в поглотителе, и в том, что в этом направлении разлету плазмы препятствует внешняя камера.
На рис. 8.24 показаны изолинии плотности. По оси абсцисс — радиус, по оси оординат — угол. Момент времени 2 нс. К 2 нс формируется «складка» и при углах 0,6-0,7 рад плотность оболочки оказывается меньше 1 г/см3. В дальнейшем, тепловая волна «прорывается» в горючее в этой области (заметим, что в серии расчетов, выполненной с помощью программы «АТЛАНТ_ЗТ» разрушение такой мишени наблюдалось к моменту 2,5 нс).
На рис. 8.25 показаны изотермы электронной температуры на момент времени 2 нс. Видно, что к концу импульса локальные максимумы температуры возникают вблизи отверстий («hot spots»), что связано с «экранировкой» отверстий испаренной массой вещества со стенок
Рис. 8.24. Изолинии плотности на момент времени 2 нс
внешней камеры, и поглощением излучения в этой области (этот эффект был рассмотрен ранее для случая одного отверстия).
Рис. 8.25. Изотермы электронной температуры на момент времени 力=2 нс. На рисунке отмечены области «горячих пятен», где происходит поглощение лазерного излучения
В представленных расчетах учитывалось влияние отверстий — резкая граница между освещенной областью и «тенью» и возможность истечения плазмы через отверстия. При этом «потери» тепловой и кинетической энергии в плазме, вылетевшей через отверстия составили около 40% от вложенной, а доля массы полиэтилена, занимающего объем с радиусом больше, чем 15—16 мкм, составила 32 %.
Для компенсации влияния отверстий, как указывалось ранее, было предложено создавать «рельеф» рабочей мишени. Была выполнена серия расчетов с различными параметрами «рельефа» рабочей оболочки. Ниже представлены результаты одного из вариантов. В этом расчете заданы следующие параметры мишени и лазерного импульса — внешняя камера имела те же параметры, что и в предыдущем расчете, внутренняя рабочая мишень состояла из полиэтиленовой оболочки радиуса 910 мкм и толщиной 20 мкм, с намороженным на внутреннюю поверхность слоем ДТ-льда, толщиной 20 мкм. Начальная плотность поглотителя 1,5 • 10^3 г/см3. Напротив отверстий на внешней поверхности рабочей мишени был сделан «рельеф» (утолщение оболочки). Рельеф задавался по следующему закону:
近 з(8) = Аз + /(8),
/⑻=ai/exp/⑻=ai/exp+ а?/ехр+ а?/ехр/ о,5тг-е\(0,5тг — & 丿/ о,5тг-е\(0,5тг — & 丿(8.18)(8.18)
/⑻=ai/exp
/⑻=ai/exp
+ а?/ехр
+ а?/ехр
/ о,5тг-е\(0,5тг — & 丿
/ о,5тг-е\(0,5тг — & 丿
(8.18)
(8.18)
Значения параметров были следующими Ji = тг/15, 6? = 8тг/9, qi = =10 мкм и «2 = 20 мкм, расчет сделан в области 0 W J W тг/2. Как и ранее лазерное излучение на длине волны 1,06 мкм вводилось через отверстия на полюсе и на экваторе, причем раствор половины угла на «полюсе» 0 < ^ < ^i, а на «экваторе» — ^2 < ^ < 0,5тг. Распределение по углу лазерного потока задавалось в следующем виде:
Оз/ехр ( — J если J W 仇，
史(6) =《0 ° 4 (8.19) exp I ) если 仇 W ® W 0,5тг,
Параметры "з = 0,664 и 6^4 = 0,66?. Энергия в лазерном импульсе была увеличена до 200 кДж. Нормировочные параметры Сз, & были заданы так, чтобы через отверстия на полюсе проходило внутрь 32,8 кДж лазерной энергии, а через отверстия на экваторе — остальные 167,2 кДж. Таким образом учитывалось, что телесные углы отверстий на полюсе и экваторе не равны.
На рис. 8.26 показаны линии концентрации полиэтилена (а) и изолинии ионной температуры (б) на момент времени 2,3 нс. Видно, что рабочая мишень полностью прогрета тепловой волной.
На рис. 8.27, а и б показаны изолинии плотности на моменты времени 2,2 и 2,5 нс. Видно, как формировалась «складка» в процессе сжатия рабочей мишени.
Для определения потерь массы и энергии за счет отверстий, рассчитывалась масса полиэтилена и суммарная энергия в области с г > А4.
На рис. 8.28 показано как со временем меняется доля суммарной энергии от вложенной лазерной (E/Eq) и доля массы полиэтилена от
@, рад@, радR, 10-2 смR, 10-2 см0, рад0, рад66Рис. 8.26. Изолинии концентрации полиэтиленовой плазмы на момент времени 2,3 нс (и). Изолинии ионной температуры на момент времени 2,3 нс (6)Рис. 8.26. Изолинии концентрации полиэтиленовой плазмы на момент времени 2,3 нс (и). Изолинии ионной температуры на момент времени 2,3 нс (6)0, рад0, рад凡 10-2 см凡 10-2 см凡 10-2 см凡 10-2 см(и) и 2,5 нс(6)(и) и 2,5 нс(6)Рис. 8.28. Изменение со временем относительной массы полиэтилена и суммарной энергии в области R > RqРис. 8.28. Изменение со временем относительной массы полиэтилена и суммарной энергии в области R > Rq
@, рад
@, рад
R, 10-2 см
R, 10-2 см
0, рад
0, рад
6
6
Рис. 8.26. Изолинии концентрации полиэтиленовой плазмы на момент времени 2,3 нс (и). Изолинии ионной температуры на момент времени 2,3 нс (6)
Рис. 8.26. Изолинии концентрации полиэтиленовой плазмы на момент времени 2,3 нс (и). Изолинии ионной температуры на момент времени 2,3 нс (6)
0, рад
0, рад
凡 10-2 см
凡 10-2 см
凡 10-2 см
凡 10-2 см
(и) и 2,5 нс(6)
(и) и 2,5 нс(6)
Рис. 8.28. Изменение со временем относительной массы полиэтилена и суммарной энергии в области R > Rq
Рис. 8.28. Изменение со временем относительной массы полиэтилена и суммарной энергии в области R > Rq
полной массы (M/Mq) в этой области. Уменьшение доли полиэтилена
говорит о том, что испарение с внутренней поверхности внешней камеры превосходит потери от вылета массы через отверстия, а увеличение доли энергии — на потери через отверстия.
В следующей серии расчетов моделировались возможные эксперименты по нагреву и сжатию мишеней типа «Лазерный парник» на уровне энергии 5—10 кДж в двух пучках. Длина волны излучения 0,353 мкм.
Вариант 3. Импульс имел треугольную временную форму с длительностью по основанию 2,6 нс и моментом времени при вершине 1,3 нс. Поглощенная лазерная энергия равнялась 6 Кдж. Внешняя камера из меди радиуса 634 мкм и толщиной 12 мкм с внутренней стороны имела защитный слой из полиэтилена толщиной 22 мкм. В камере два отверстия у полюсов с углами раствора 2®i = тг/6 радиан. Рабочая мишень из полиэтилена имеет радиус 350 мкм и толщину 8 мкм, внутри рабочей мишени ДТ-газ с начальной плотностью 103 г/см3. Распределение по углу лазерного потока имеет вид q?(J) = С/ ехр(^/^о)4, 7Г/2
^о = тг/15, а константа С выбрана так, чтобы J q?(J) sin 6曲 =1. о
Счетная область 0 ^ ^ ^ тг/2 и 0 г А°.
На рис. 8.29 показаны изолинии плотности в мишени на момент времени 0,5 нс. Видно, что к моменту времени 0,5 нс часть мишени против отверстия оказалась «продавленной». В результате, рабочая мишень не сжалась.
0, рад
Рис. 8.29. Изолинии плотности в мишени при двухстороннем облучении. Момент времени 0,5 нс
Вариант 4. В этом варианте увеличен радиус внешней оболочки до 1370 мкм.
Толщина медной камеры 5 мкм, толщина полиэтиленового покрытия 15 мкм.
Рабочая мишень имеет радиус А? = 200 мкм и толщину 5 мкм. Плотность поглотителя 8 • 10一？ г/см3. На рабочей мишени имеется «рельеф» в виде А? = А? + а/ехр (J/Ji), здесь Ji — половина угла раствора отверстия. Параметры отверстия и лазерного импульса такие же, как и в предыдущем расчете.
На рис. 8.30 показаны изолинии плотности на момент времени 1,25 нс. Видно, что внутренняя оболочка полностью прогрелась, причем вблизи оси ее плотность уменьшилась до 0,01—0,02 г/см3 к моменту времени 1,25 нс, то есть происходит разрушение рабочей оболочки. Таким образом, полностью компенсировать «рельефом» несимметрию нагрева рабочей мишени не удалось.
0, рад Изолинии плотности,力=25 нс
Рис. 8.30. Изолинии плотности на момент времени 1,25 нс. Вариант с двухсторонним облучением
В программе «ФАКЕЛ» не учитывается эффект рефракции лазерных лучей в плазме. В расчетах полагалось, что излучение распространялось строго вдоль радиуса. Как видно из результатов расчетов по программе «АТЛАНТ_ЗТ», представленных в предыдущем разделе, распространение лучей параллельно оси мишени приведет к более равномерному нагреву всего поглотителя.
Представленные результаты двумерных численных расчетов нагрева и сжатия мишеней типа«Лазерный парник» позволяют сделать следующие выводы:
в таких мишенях имеется возможность получить в поглотителе более высокие температуры, а следовательно обеспечить более эффективное выравнивание мелкомасштабных возмущений по сравнению с мишенями прямого нагрева при заданной энергии лазера;
для гидродинамической компенсации длинноволновых возмущений, связанных с конкретной геометрией облучения и расположением отверстий в мишени предложено использовать рабочие мишени с «рельефом». Показано, что в этом случае имеется возможность достичь степеней сжатия и нейтронного выхода по порядку величины сравнимого с тем, что предсказывают одномерные численные расчеты;
при вводе в отверстия параллельного пучка лучей (что, по-види- мому в большей мере соответствует условиям реального эксперимента) удается увеличить степень сжатия мишени по сравнению с фокусировкой лучей в центр;
учет вытекания плазмы через отверстия приводит к снижению доли энергии, остающейся в поглотителе на 30—40% и увеличению неоднородности давления на рабочую мишень.
О симметризующем влиянии предимпульсана развитие возмущений контактной границыоболочка-горючее
Возможность улучшить однородность сжатия мишени за счет использования симметризующего предимпульса обсуждалась в гл. 4 и 6.
Возникающие в короне лазерных мишеней возмущения, обусловленные неоднородностью лазерного потока, будут подавляться при переносе их тепловым (либо радиационным) потоком из области поглощения излучения до фронта испарения. Этот механизм подавления возмущений тем эффективней, чем больше параметр nXR]R, где R — текущий радиус мишени, AR — расстояние от области поглощения лазерного излучения до фронта испарения, п — номер сферической гармоники возмущения потока. Отношение AR/R — увеличивается с ростом длины волны лазерного излучения, так что можно ожидать, что чем больше длина волны, тем эффективней будет механизм выравнивания возмущений. Для эффективного сжатия мишени предпочтительным является использование лазерного излучения на меньшей длине волны, для чего преобразуют его во вторую или третью гармоники. При этом неизбежно теряется часть энергии. Использование симметризующего предимпульса на основной частоте излучения позволяет увеличить его энергию и, как будет показано ниже, при фиксированной энергии предимпульса уменьшить вредный преднагрев горючего.
С помощью программы «АТЛАНТ_ЗТ» были проведены исследования влияния симметризующего предимпульса на большей длине волны, чем основной греющий импульс, на устойчивость сжатия оболочечных мишеней [49, 50].
Ниже представлены результаты исследований. Начальный радиус алюминиевой оболочки равнялся 1 мм, а толщина — 10 мкм. Оболочка была заполнена ДТ-газом с начальной плотностью 5 мг/см3. Мишень облучалась иодным лазером на третьей гармонике с длиной волны
излучения А = 0,438 мкм. (Длина волны лазера на основной частоте равняется 1,315 мкм). Импульс имел гауссовую временную форму с максимумом в момент времени 力=5 нс н шириной импульса на полувысоте 4 нс (вариант 514). Возмущение падающего лазерного потока в расчетах задавалось в виде
q(仇力)=% ⑴(1 +0,lR(cos 6» (8.20)
&(cos J) — функция Лежандра восьмого порядка. q(t)dt = 202 кДж.
Как следует из расчета момент коллапса в таких мишенях наступал к моменту времени 5,92 нс, при этом усредненная по области горючего плотность составляла 1,7 г/см3, температура ионов 3,8 кэВ, а нейтронный выход 〜1015. Степень сжатия горючего на момент коллапса составила g = 7,15 и при этом относительная амплитуда возмущения границы «оболочка-горючее» составила 6/R = 0,11. Чтобы уменьшить рост возмущений, во втором варианте расчета использован симметризующий предимпульс на той же длине волны, что и основной греющий импульс (вариант 516). От основного импульса отделялся предимпульс с энергией 22 кДж, имеющий гауссовую временную форму с максимумом в момент времени 1 нс и шириной по полувысоте 0,4 нс. Предимпульс не имел возмущений по углу. Энергия основного импульса равнялась 180 Кдж. В этом варианте степень сжатия уменьшилась до g = 6,4 в момент коллапса 5,5 нс. Причина такого снижения степени сжатия в том, что предимпульс формирует ударную волну, которая создает вредный преднагрев горючего. На рис. 8.31, а показаны временные формы лазерных импульсов в вариантах 514, 515, 516.
Вариант 515 имел предимпульс такой же, как в варианте 502, но А = 1,315 мкм. На рис. 8.31, 6 показана зависимость степени сжатия горючего от времени для трех вариантов расчетов. В варианте 515 удалось достичь степень сжатия практически такую же, как в варианте 514 (без предимпульса). На рис. 8.31, в показаны кривые, описывающие рост относительной амплитуды возмущения в зависимости от степени сжатия. Видно, что использование предимпульса позволило заметно уменьшить амплитуду возмущения оболочки к моменту коллапса, причем в варианте 515 это, практически, не привело к снижению степени сжатия горючего. Ясно, что в случае более коротких поперечных размеров возмущений лазерного потока влияние симметризующего предимпульса будет существенней.
Однако создание симметризующего предимпульса существенно усложняет конструкцию лазера — драйвера, который должен генерировать излучение в предимпульсе на первой гармонике, а затем необходимо было бы конвертировать излучение основного греющего импульса в третью гармонику.
В следующей серии расчетов было изучено влияние различных сим- метризующих предимпульсов в случае Nd-драйвера (поскольку, именно, с помощью такого типа лазера предполагается продемонстрировать
Вар. 514Вар. 514156 нсВар. 516156 нсВар. 516Рис. 8.31. Временные формы лазерных импульсов в вариантах 514, 515, 516 (и), зависимости степени сжатия от времени (6) и амплитуд возмущений от степени сжатия (s) для соответствующих вариантовРис. 8.31. Временные формы лазерных импульсов в вариантах 514, 515, 516 (и), зависимости степени сжатия от времени (6) и амплитуд возмущений от степени сжатия (s) для соответствующих вариантов
Вар. 514
Вар. 514
156 нс
Вар. 516
156 нс
Вар. 516
Рис. 8.31. Временные формы лазерных импульсов в вариантах 514, 515, 516 (и), зависимости степени сжатия от времени (6) и амплитуд возмущений от степени сжатия (s) для соответствующих вариантов
Рис. 8.31. Временные формы лазерных импульсов в вариантах 514, 515, 516 (и), зависимости степени сжатия от времени (6) и амплитуд возмущений от степени сжатия (s) для соответствующих вариантов
физический порог зажигания термоядерных реакций). Был рассмотрен также иной подход — предлагалось конвертировать энергию лазерного предимпульса в рентгеновское излучение, с помощью которого осуществить нагрев внешних «шероховатых» слоев мишени. При этом сжатие мишени будет обеспечено энергией основного греющего лазерного импульса. Для преобразования энергии предимпульса предполагалось использовать конструкцию мишени на подобии той, что обсуждалась в [51], то есть двухкаскадную мишень, у которой внешний каскад представлял из себя тонкий слой металла с большим порядковым номером в таблице Менделеева (например медь или золото). Внутри —рабочая мишень. Промежуток между этими двумя оболочками может быть заполнен газом с большим номером таблицы Менделеева (например, ксеноном), либо малоплотной пеной с вкрапленными в нее атомами золота. Пена будет поддерживать внешний каскад, а элементы с большим номером увеличат радиационный поток. Суммарный лазерный импульс состоял из предимпульса (с энергией порядка 10 % от энергии основного импульса) и основного греющего импульса, который падал на мишень с некоторой временной задержкой (время задержки подбиралось на основании предварительных одномерных расчетов таким образом, чтобы внешний слой испарился, а сама рабочая мишень, имевшая массу на порядок больше, чем этот слой, не успела разрушиться). В работах [51—53] было показано, что 10—15% от падающей
10 И. Г. Лебо, В. Ф. Тишкин
на золотую фольгу лазерной энергии преобразуется в рентгеновское излучение, распространяющееся с тыльной (по отношению к лазеру) стороны золотого слоя. Следовательно, приблизительно 80—90% энергии теряется в том случае, если сжатие мишени будет осуществляться рентгеновским излучением. Поэтому, экономичнее использовать конверсию в рентгеновское излучение только энергии предимпульса, что позволит создать высокотемпературный малоплотный симметризующий слой.
Влияние крупномасштабной неоднородности засветки мишени, связанное с ограниченным количеством пучков и системой облучения, можно будет скомпенсировать с помощью специального «рельефа» мишени.
Постановка задачи. Рассмотрена мишень с параметрами соответствующими экспериментам с энергией лазера на уровне 200 кДж. Внешний слой из золота («конвертор») радиуса Rq и толщины △(). Рабочая мишень состит из полимерной оболочки с внешним радиусом А? и толщиной △. На внутреннюю поверхность наморожен ДТ — слой с массой Mdt- В центральной области мишени — остаточный ДТ-газ с начальной плотностью 10-5 г/см3 (см. рис. 8.32, о).
Рис. 8.32. Схема мишени для симметризации рентгеновским предимпульсом, Rq, До ——радиус и толщина внешней оболочки (1) из тяжелого металла (золото, медь и т. д.), Rq, До ——радиус и толщина рабочей оболочки (2); ДТ — слой дейтерий-тритиевого конденсированного горючего (3); 4 — малоплотный ДТ-газ (а). Временная фоорма лазерного импульса (6)Рис. 8.32. Схема мишени для симметризации рентгеновским предимпульсом, Rq, До ——радиус и толщина внешней оболочки (1) из тяжелого металла (золото, медь и т. д.), Rq, До ——радиус и толщина рабочей оболочки (2); ДТ — слой дейтерий-тритиевого конденсированного горючего (3); 4 — малоплотный ДТ-газ (а). Временная фоорма лазерного импульса (6)
Рис. 8.32. Схема мишени для симметризации рентгеновским предимпульсом, Rq, До ——радиус и толщина внешней оболочки (1) из тяжелого металла (золото, медь и т. д.), Rq, До ——радиус и толщина рабочей оболочки (2); ДТ — слой дейтерий-тритиевого конденсированного горючего (3); 4 — малоплотный ДТ-газ (а). Временная фоорма лазерного импульса (6)
Рис. 8.32. Схема мишени для симметризации рентгеновским предимпульсом, Rq, До ——радиус и толщина внешней оболочки (1) из тяжелого металла (золото, медь и т. д.), Rq, До ——радиус и толщина рабочей оболочки (2); ДТ — слой дейтерий-тритиевого конденсированного горючего (3); 4 — малоплотный ДТ-газ (а). Временная фоорма лазерного импульса (6)
Мишень облучается Nd-лазером с энергией в импульсе 202 кДж и длительностью импульса 5,1 нс (импульс нарастет линейно по времени вплоть до 5 нс, затем резко спадает). Основной греющий лазерный импульс был преобразован в третью гармонику и имел длину волны 0,353 мкм.
В первой серии расчетов (варианты 621) изучалась динамика испарения внешнего слоя и сжатие рабочей мишени. Подбирались пара-
метры мишени так, чтобы момент коллапса соответствовал 1,05—1,1 от длительности лазерного импульса (в этом случае в плазму вкладывалась вся лазерная энергия и обеспечивалось эффективное ускорение оболочки к центру). «Конвертор» в этих вариантах отсутствовал.
Затем в последующих вариантах часть энергии основного импульса (5%, 10%) «отщеплялась» от основного импульса и формировался предимпульс, имевший треугольную временную форму.
В вариантах 622, а, б, в, г — предимпульс имел длину волны ту же, что и основной греющий импульс, но вид равнобедренного треугольника по времени с шириной по полувысоте 0,5 нс. Момент времени, соответствующий максимуму интенсивности, — варьировался. В вариантах 623, а, 6, в, е — лазерный предимпульс имел длину волны 1,06 мкм. В вариантах 624; 625, а, 6, в полагалось, что часть энергии лазерного предимпульса преобразуется с помощью внешнего слоя в рентгеновское излучение с помощью «конвертора».
Численное моделирование описанной выше задачи было осуществлено с помощью двухмерной лагранжево-эйлеровой программы 《АТ- ЛАНТ_ЗТ».
Ниже представлены результаты расчетов мишени имевшей следующие параметры: А? = 0,123 см, А = 30 мкм, А/дт = 36 мкг. Параметры лазерного импульса указаны выше. Вариант 621 — лазерный импульс имел энергию 202 кДж без предимпульса. Вариант 622 — основной греющий импульс имел энергию 180 кДж, а предимпульс на той же частоте излучения, что и основной импульс (3-я гармоника неодимового лазера) — 22 кДж. Вариант 623 — энергия основного греющего импульса 180 кДж, а энергия предимпульса на первой гармонике —22 кДж. Нейтронный выход в этой серии расчетов составлял 1015—1016.
На рис. 8.33 показана зависимость от времени степени сжатия горючего £ = R^/R(t), ГДе R(t) = 0,5(i?max + 〃min), "max, 〃min - Наиболее и наименее удаленный от центра радиусы границы «оболочка-горючее», А。_ начальное значение радиуса этой границы А° = А? — А. На рис. 8.33 вариант 621 помечен символом «1», вариант 623 — символом «2» и вариант 622 — символом «3». Из рисунка видно, что предимпульс с энергией порядка 10% от полной энергии создает предварительный прогрев ударной волной, что снижает несколько степень сжатия. При уменьшении энергии предимпульса снижается его выравнивающее воздействие. Поэтому выбор энергии и длины волны симметризующего предимпульса следует проводить с учетом этих двух факторов. Кроме того, весьма проблематичным представляется создание лазерного предимпульса со сферически симметричным фронтом, поскольку его неоднородность будет также зависеть от ограниченного числа пучков, как и неоднородность основного импульса. Симметризация рентгеновским предимпульсом, созданным с помощью «конвертора», представляется более доступной, хотя при этом будут потери по энергии.
Рис. 8.33. Зависимость степени сжатия от времени для варианта без предим- пульса (1), с предимпульсом на первой гармонике излучения (вариант 2), и на третьей гармонике, как и основной греющий импульс (вариант 3)Рис. 8.33. Зависимость степени сжатия от времени для варианта без предим- пульса (1), с предимпульсом на первой гармонике излучения (вариант 2), и на третьей гармонике, как и основной греющий импульс (вариант 3)
Рис. 8.33. Зависимость степени сжатия от времени для варианта без предим- пульса (1), с предимпульсом на первой гармонике излучения (вариант 2), и на третьей гармонике, как и основной греющий импульс (вариант 3)
Рис. 8.33. Зависимость степени сжатия от времени для варианта без предим- пульса (1), с предимпульсом на первой гармонике излучения (вариант 2), и на третьей гармонике, как и основной греющий импульс (вариант 3)
Ниже представлены результаты исследования влияния рентгеновского предимпульса.
Моделировалось развитие неустойчивости оболочки при начальном возмущении, заданном в следующем виде:
аоАаоАcos%ecos%e〃切 ехр(2| (А^ — А»〔/△)〃切 ехр(2| (А^ — А»〔/△)(8.21)(8.21)
аоА
аоА
cos%e
cos%e
〃切 ехр(2| (А^ — А»〔/△)
〃切 ехр(2| (А^ — А»〔/△)
(8.21)
(8.21)
Здесь △ — толщина оболочки рабочей мишени, R、— внешний радиус
рабочей мишени, R^ — значения радиусов границ лагранжевых слоев
мишени. В варианте 621, а, п = 2Q и ао = 0,05. Рост амплитуды возму
щения на внутренней границе оболочки——(где Лтах,
% %тах 十
Emin — текущие значения максимального и минимального расстоянии
внутренней границы оболочки от центра) в зависимости от степени сжатия мишени g = 2(А? — А)/(Лтах + 〃тЕ)・ Вариант не удалось досчитать до момента максимального сжатия из-за сильной деформации лагранжевых ячеек. В случае а° = 0,01 н 刀=20 (вариант 621, б) расчет был доведен до момента максимального сжатия. При этом нейтронный выход достигал величины 8 • 1015.
Чтобы промоделировать влияние рентгеновского предимпульса на внешней границе задавался поток радиационной температуры в виде
(варианты 624 и 625)
Qr =t < to,
(8.22)
Qr = —ьТ旣一一—;to < t < й-打
Здесь to = 0,5 нс,力=1,5 нс. В варианте 624 полагалось, что Тгт = 200 эВ (энергия рентгеновского предимпульса Ег ^ 12 кДж), а в вариантах 625, а, б) Тгт = 120 эВ (£. ~ 1,2 кДж). На рис. 8.34, а, 6 показана постановка задачи о влиянии симметризующего рентгеновского предимпульса.
Рис. 8.34. Конструкция мишени с указанием начальных плотностей и радиусов подобластей (а) и временная форма рентгеновского предимпульса — верхняя часть рисунка, и основного греющего импульса — нижняя часть (6)
На рис. 8.35, а показаны степени сжатия горючего (g) от времени для вариантов 624 и 625 (на рис. 8.35, а символом «4» помечена расчетная кривая для варианта 624 и символом «5» ——для варианта 625). В варианте 624 рентгеновское излучение прогрело всю мишень. В результате, горючее сжимается очень слабо (всего в 6 раз по радиусу). В этом случае нейтронный выход мал. В варианте 625 рентгеновское излучение прогрело только внешние слои оболочки. На рис. 8.35, 6 показаны зависимости относительных амплитуд возмущения (6/А) от параметра g для случаев начальных возмущений оболочки а = 0,05 и п = 20 без предимпульса (вариант 621,。一 помечен символом «1а» на рисунке) и в случае рентгеновского предимпульса с радиационной температурой 120 эВ (вариант 625,。一 помечен символом «5а»).
В варианте 625, а удалось задачу досчитать до момента максимального сжатия, причем скорость роста возмущений была значительно меньше, чем в варианте 621, а. Таким образом «шероховатость поверхности» с амплитудой 〜1—2 мкм и длиной волны W 300 мкм эффективно сглаживается рентгеновским предимпульсом.
Для компенсации влияния крупномасштабной «регулярной» несимметрии засветки мишени предлагается использовать рельеф мишени.
Рис. 8.35. Зависимость степени сжатия от времени для вариантов 4 и 5 (с рентгеновскими предимпульсами) (а). Зависимость амплитуд возмущений от степени сжатия (6)Рис. 8.35. Зависимость степени сжатия от времени для вариантов 4 и 5 (с рентгеновскими предимпульсами) (а). Зависимость амплитуд возмущений от степени сжатия (6)
Рис. 8.35. Зависимость степени сжатия от времени для вариантов 4 и 5 (с рентгеновскими предимпульсами) (а). Зависимость амплитуд возмущений от степени сжатия (6)
Рис. 8.35. Зависимость степени сжатия от времени для вариантов 4 и 5 (с рентгеновскими предимпульсами) (а). Зависимость амплитуд возмущений от степени сжатия (6)
Допустим, основной греющий импульс зависит от времени и угла по следующему закону
q(e/)=qo«)(l+O,l^(e)),q(e/)=qo«)(l+O,l^(e)),(8.23)(8.23)
q(e/)=qo«)(l+O,l^(e)),
q(e/)=qo«)(l+O,l^(e)),
(8.23)
(8.23)
qo«)——мощность лазерного излучения, нарастающая по времени до момента времени 4 нс. Энергия в лазерном импульсе 180 кДж и длина волны 0,353 мкм.
Начальные параметры мишени были такими же, как в предыдущих расчетах:
в центре ДТ-газ с начальной плотностью 10-4 г/см3, затем слой ДТ-льда с внутренним радиусом 0,119 см и внешним 0,12 см и по-
Рис. 8.36. Рост относительной амплитуды возмущения (6/А) от степени сжатия (£) при наличии (1) и отсутствии (2) «рельефа» рабочей мишени (а). Форма сжатой части лазерной мишени (лагранжевая сетка) на момент времени 力=5,32 нс. Вариант 2 (6)Рис. 8.36. Рост относительной амплитуды возмущения (6/А) от степени сжатия (£) при наличии (1) и отсутствии (2) «рельефа» рабочей мишени (а). Форма сжатой части лазерной мишени (лагранжевая сетка) на момент времени 力=5,32 нс. Вариант 2 (6)е = о。е = о。
Рис. 8.36. Рост относительной амплитуды возмущения (6/А) от степени сжатия (£) при наличии (1) и отсутствии (2) «рельефа» рабочей мишени (а). Форма сжатой части лазерной мишени (лагранжевая сетка) на момент времени 力=5,32 нс. Вариант 2 (6)
Рис. 8.36. Рост относительной амплитуды возмущения (6/А) от степени сжатия (£) при наличии (1) и отсутствии (2) «рельефа» рабочей мишени (а). Форма сжатой части лазерной мишени (лагранжевая сетка) на момент времени 力=5,32 нс. Вариант 2 (6)
е = о。
е = о。
лимерная оболочка с внешним радиусом R、= 0,123 см. Снаружи был нагретый слой медной плазмы с температурой 13 эВ и средним зарядом Z = 8.
В представленных расчетах не исследовался процесс образования симметризующего слоя в результате действия предимпульса. Полагалось, что этот однородный слой имел плотность 1,3 • I。—？ Г/См3 .
Рельеф полимерной оболочки был задан по следующей формуле:
瓦з = 〃切(1 + а0АД(^)/ехр (—2 阳幻一Ai I/А) /А" .(8.24)
Здесь а。— параметр, который варьировался в расчетах, 〃切一радиусы лагранжевых ячеек, i?i, △ — внешний радиус и толщина СН-оболочки.
Вариант 626, а: расчет сделан с а。= 0, вариант 626, а: расчет сделан с а。= 0, вариант 626, б: а° = 0,1. На рис. 8.36, а показан рост амплитуд возмущений внутренней границы оболочки (6/R) от степени сжатия g для вариантов 626, а и б. Видно, что рельеф оболочки приводит к уменьшению скорости роста возмущений границы. Этот эффект проявляется главным образом с момента, когда первая отраженная ударная волна достигает оболочки. На рис. 8.36, 6 показана форма мишени к моменту времени 5,32 нс.
Таким образом, на основании двухмерных численных расчетов было показано, что рентгеновский предимпульс позволяет выравнивать «шероховатость» поверхности мишени. С помощью такого предимпульса можно также частично подавить влияние спеклов и мелкомасштабной неоднородности лазерного потока.
Для борьбы с крупномасштабной несимметрией облучения мишени, связанной с особенностями конструкции лазерной установки, предлагается использовать рельеф оболочки. При соответствующем подборе параметров мишени сочетание этих двух подходов позволит, на наш взгляд, существенным образом повысить симметрию сжатия термоядерного горючего.
Моделирование сжатия сферической мишенис помощью двух лазерных пучков
С целью демонстрации «зажигания» термоядерных мишеней в США [54] и Франции [55] в настоящее время ведутся работы по созданию мощных многолучевых неодимовых лазерных установок с энергией в импульсе порядка 1—2 МДж. Аналогичные проекты разрабатываются также и в России [56]. Обычно предполагается, что на промежуточном этапе создания установки она будет функционировать с небольшим количеством лучей (двумя, шестью и т. д.). В этом случае хорошая симметрия облучения сферических мишеней, как правило, не достигается.
В [57, 42-43, 59] обсуждалась конструкция сферической мишени с малоплотным поглотителем (пеннообразной средой). Такой поглоти-
тель нужен для того, чтобы избежать регулярной рефракции лазерных лучей в короне (сферическая разлетающаяся плазма выполняет роль «рассеивающей линзы», что приводит к потерям энергии и созданию дополнительной неоднородности нагрева короны). Возможно также, что при поглощении лазерного излучения в пористой структуре удасть- ся симметризовать мелкомасштабные возмущения лазерного потока («спеклы» — см. глава 7, п. 5 и [58]).
Ниже представлены результаты двумерных численных расчетов нагрева и сжатия сферических оболочечных мишеней, выполненные с помощью программы «АТЛАНТ_С» [60]. Получено самосогласованное решение о нагреве и сжатии оболочечных мишеней такими лазерными пучками [61].
Лазерные пучки падают на мишень вдоль оси симметрии с противоположных сторон (длина волны излучения неодимового лазера 1,06 мкм). Суммарная энергия обоих лучей составляла 100 КДж, а длительность импульса равняется 3 нс. Временная фора импульса —— прямоугольный треугольник (см. рис. 8.37, в). Лазерный поток нарастает линейно по времени до момента 3 нс. Чтобы обеспечить симметрию облучения, радиальное распределение лазерного потока задается в следующим виде: qL = qi«)q2(厂)，qi«) — временная зависимость лазерного потока, 42(厂)=— (〃〃/产,где г — расстояние от оси, Rf равен начальному радиусу мишени, О ——нормировочная константа, выбранная так, чтобы полная энергия в одном пучке равнялась 50 кДж.
рабочая СН-оболочкаDT-лед IDT-газ I СН-пена DT-газ ] I СН-пенарабочая СН-оболочкаDT-лед IDT-газ I СН-пена DT-газ ] I СН-пенаРис. 8.37. Конструкция газонаполненных (а) и криогенных (6) мишеней, а также временная форма лазерного импульса (в) и поперечное распределение интенсивности излучения в одном пучке (г)Рис. 8.37. Конструкция газонаполненных (а) и криогенных (6) мишеней, а также временная форма лазерного импульса (в) и поперечное распределение интенсивности излучения в одном пучке (г)
рабочая СН-оболочкаDT-лед I
DT-газ I СН-пена DT-газ ] I СН-пена
рабочая СН-оболочкаDT-лед I
DT-газ I СН-пена DT-газ ] I СН-пена
Рис. 8.37. Конструкция газонаполненных (а) и криогенных (6) мишеней, а также временная форма лазерного импульса (в) и поперечное распределение интенсивности излучения в одном пучке (г)
Рис. 8.37. Конструкция газонаполненных (а) и криогенных (6) мишеней, а также временная форма лазерного импульса (в) и поперечное распределение интенсивности излучения в одном пучке (г)
Было рассмотрено два типа сферических оболочечных мишеней — газонаполненные и криогенные мишени (т. е. оболочки с намороженным на внутреннюю поверхность дейтерий-тритиевым льдом). В обоих
случаях снаружи оболочки были покрыты слоем низкой плотности. На рис. 8.37 показаны конструкции таких оболочечных мишеней (а, б) и временная форма лазерного импульса (е), а также распределение интенсивности лазерного пучка в поперечном направлении (г).
Ниже приведены результаты оптимизации параметров газонаполненных мишеней для фиксированных параметров лазерного импульса.
В первой серии расчетов был зафиксирован радиус оболочки и радиус всей мишени, которые равнялись R、= 900 мкм, R^ = 1540 мкм, причем, Rf = 〃5, и изменяли толщину рабочей оболочки (или иными словами ее массу). На рис. 8.38, а показаны результаты расчетов. С уменьшением массы оболочки (Msheii) уменьшается время коллапса (力с(я)・ В том случае, когда толщина оболочки равнялась 10 мкм, время коллапса составило 3,3 нс, т. е. было согласовано с длительностью лазерного импульса.
Оптимальная масса оболочки 0,1 мгОптимальная масса оболочки 0,1 мг力col = 3,3 НС ^ г = 3 нс力col = 3,3 НС ^ г = 3 нсРис. 8.38. Зависимость времени сжатия мишени от массы рабочей оболочки. Символ показывает соответствующую толщину полиэтиленовой оболочки. Оптимальное значение соответствует мишени с толщиной оболочки 10 мкм. Параметры Ry = 900 мкм, R^ = Rf = 1540 мкм в расчетах были фиксированными (а). Зависимость нейтронного выхода от массы горючего. Оптимальное значение плотности дейтерий-тритиевой газовой смеси соответствует 0,5 мг/см3 (6)Рис. 8.38. Зависимость времени сжатия мишени от массы рабочей оболочки. Символ показывает соответствующую толщину полиэтиленовой оболочки. Оптимальное значение соответствует мишени с толщиной оболочки 10 мкм. Параметры Ry = 900 мкм, R^ = Rf = 1540 мкм в расчетах были фиксированными (а). Зависимость нейтронного выхода от массы горючего. Оптимальное значение плотности дейтерий-тритиевой газовой смеси соответствует 0,5 мг/см3 (6)
Оптимальная масса оболочки 0,1 мг
Оптимальная масса оболочки 0,1 мг
力col = 3,3 НС ^ г = 3 нс
力col = 3,3 НС ^ г = 3 нс
Рис. 8.38. Зависимость времени сжатия мишени от массы рабочей оболочки. Символ показывает соответствующую толщину полиэтиленовой оболочки. Оптимальное значение соответствует мишени с толщиной оболочки 10 мкм. Параметры Ry = 900 мкм, R^ = Rf = 1540 мкм в расчетах были фиксированными (а). Зависимость нейтронного выхода от массы горючего. Оптимальное значение плотности дейтерий-тритиевой газовой смеси соответствует 0,5 мг/см3 (6)
Рис. 8.38. Зависимость времени сжатия мишени от массы рабочей оболочки. Символ показывает соответствующую толщину полиэтиленовой оболочки. Оптимальное значение соответствует мишени с толщиной оболочки 10 мкм. Параметры Ry = 900 мкм, R^ = Rf = 1540 мкм в расчетах были фиксированными (а). Зависимость нейтронного выхода от массы горючего. Оптимальное значение плотности дейтерий-тритиевой газовой смеси соответствует 0,5 мг/см3 (6)
Во второй серии расчетов выбиралась оптимальная масса топлива. В этом случае толщина рабочей мишени бралась равной 10 мкм, а варьировалась начальная плотность дейтерий-тритиевой газообразной смеси. На рис. 8.38, 6 изображена зависимость нейтронного выхода от
исходной массы DT смеси. Видно, что оптимальное значение нейтронного выхода приблизительно равного 2 ■ 1015 достигается при начальной плотности газа 0,5 мг/см3. Были сделаны предварительные расчеты для криогенной мишени. В этом случае нейтронный выход увеличивался. Так при фиксированной массе горючего 12 мкг нейтронный выход по сравнению с газонаполненной мишенью увеличивался почти на порядок (этот показатель показан на графике в виде крестика).
Следует заметить, что оптимальные значения массы горючего в газонаполненных мишенях не соответствуют криогенным, к тому же в криогенных мишенях нейтронных выход зависит также от начальной плотности остаточного газа, поэтому задача оптимизпции становится по-меньшей мере двухпараметрической.
На рис. 8.39 показаны результаты двумерного моделирования газонаполненной мишени с оптимально толщиной оболочки в 10 мкм и оптимальной массой топлива. Рисунок соответствует моменту максимального сжатия t = 3,28 нс. Показаны распределения плотности вдоль оси (сплошная линия) и при угле 6* = тг/2 (пунктирная линия), как функции расстояния от центра мишени. Максимальная плотность топлива достигает 30—50 г/см3, а максимальная ионная температура достигает 5—7 КэВ. Нейтронный выход составлял порядка 1015.
Рис. 8.39. Распределения плотности (а) и ионной температуры (6) вдоль оси 0Z (сплошные линии) и при угле 夕=тг/2 (штриховая линия соответствует оси 0R) на момент 3,28 нс (момент максимального сжатия)
На рис. 8.40 показаны распределения плотности и температуры на момент 3,5 нс, когда уже мишень полностью разлетается после удара о центр.
Видно, что несмотря на сферически симметричное ускорение оболочки к центру, на стадии ее торможения не удалось достичь идеального сферически-симметричного сжатия. На рис. 8.41, а показаны распределения скорости плазмы вдоль оси и при угле 6* = тг/2, как функции расстояния от центра мишени, а на рис. 8.41, а, 6 — форма лазерной мишени на момент 3,5 нс.
Рис. 8.40. Распределения плотности (а) и ионной температуры (6) вдоль оси 0Z (сплошные линии) и при угле 夕=тг/2 (штриховая линия) на момент 3,5 нсРис. 8.40. Распределения плотности (а) и ионной температуры (6) вдоль оси 0Z (сплошные линии) и при угле 夕=тг/2 (штриховая линия) на момент 3,5 нсРис. 8.41. (а) Распределения компонент скорости при 夕=0 (сплошная линия) и при 夕=тг/2 (штриховая линия) на момент 3,5 нс. (6) Форма мишени (лагранжевая сетка) на момент 3,5 нсРис. 8.41. (а) Распределения компонент скорости при 夕=0 (сплошная линия) и при 夕=тг/2 (штриховая линия) на момент 3,5 нс. (6) Форма мишени (лагранжевая сетка) на момент 3,5 нс66
Рис. 8.40. Распределения плотности (а) и ионной температуры (6) вдоль оси 0Z (сплошные линии) и при угле 夕=тг/2 (штриховая линия) на момент 3,5 нс
Рис. 8.40. Распределения плотности (а) и ионной температуры (6) вдоль оси 0Z (сплошные линии) и при угле 夕=тг/2 (штриховая линия) на момент 3,5 нс
Рис. 8.41. (а) Распределения компонент скорости при 夕=0 (сплошная линия) и при 夕=тг/2 (штриховая линия) на момент 3,5 нс. (6) Форма мишени (лагранжевая сетка) на момент 3,5 нс
Рис. 8.41. (а) Распределения компонент скорости при 夕=0 (сплошная линия) и при 夕=тг/2 (штриховая линия) на момент 3,5 нс. (6) Форма мишени (лагранжевая сетка) на момент 3,5 нс
6
6
Следует отметить, что в этих расчетах из-за быстрого сжатия рабочей мишени до 30% лазерной энергии не поглощается и проходит в плазменной короне мимо мишени даже в том случае, когда в расчетах не учитывалось отражение лазерных лучей. Одним из возможных методов «перехвата» проходящего излучения является добавление в конструкцию мишени диска из плотного материала в экваториальной плоскости с внутренним радиусом равным радиусу рабочей мишени и внешним, равным радиусу малоплотного покрытия («кольцо Сатурна»). Такой подход использовался, в частности, в экспериментах на установке «Новьетта» в США (национальная лаборатория им. Лоуренса) в 80-х годах прошлого века.
Вторая возможность увеличить долю поглощенной энергии и, соответственно, нейтронный выход,——обеспечить уменьшение диаметра
пятна фокусировки в процессе сжатия рабочей мишени (например, за счет смещения лазерного фокуса ——«zooming»).
С целью улучшения симметрии сжатия и увеличения нейтронного выхода предлагается также использовать рабочую оболочку с изменением ее толщины в соответствии со специальным «рельефом» (см. главу 4. п. 3 и главу 8. п. 4).
Переход к криогенным мишеням также позволит улучшить параметры сжатия горючего
Основные результаты 8-й главы
В настоящей главе дано описание физико-математических моделей, постановки задач и результаты расчетов мишеней реакторного масштаба. Исследована возможность борьбы с гидродинамической неустойчивостью за счет специальных конструкций мишеней. В частности, для реакторов с большими коэффициентами усиления в бланкете рассмотрены две перспективные конструкции мишеней для газовых драйверов (многослойная сферическая мишень с внутренним вводом энергии для СО2- или СО-лазеров и коническая мишень для KrF-лазера с двойным импульсом). На основании численных расчетов показано, что в таких мишенях можно получить коэффициенты усиления на уровне G》0,1 при поглощенной лазерной энергии 300 кДж.
Проведены двухмерные численные расчеты нагрева и сжатия мишеней «Лазерный парник». Показана перспективность использования малоплотных покрытий для борьбы с мелкомасштабными возмущениями. Предложено использовать «рельеф» рабочей мишени для гидродинамической компенсации влияния крупномасшабной неоднородности засветки мишени.
Предложено использовать рентгеновский предимпульс и показана эффективность такого подхода к симметризации мелкомасштабных возмущений. Показана перспективность конструкции рабочей мишени с рельефом для компенсации влияния длинноволновых возмущений лазерного облучения.
На основании двумерных численных расчетов показано, что в случае специально выбранной формы лазерного импульса и мишени с малоплотным покрытием на начальной стадии сжатия можно обеспечить близкий к сферическому нагрев оболочки и получить относительно высокий нейтронный выход 1015 при лазерной энергии порядка 100 кДж. За счет использования криогенных мишеней с «рельефом» рабочей оболочки и перечисленных выше мер по увеличению доли поглощенной лазерной энергии, в принципе, можно увеличить нейтронный выход еще на порядок величины.
Проведение таких экспериментов, по нашему мнению, является весьма перспективным на промежуточной стадии создания установок для лазерного инициирования реакций синтеза.
Заключение
В монографии описаны комплексы прикладных программ, позволяющие моделировать физические явления в ударных трубах и в лазерных мишенях, и на основе численного моделирования интерпретировать полученные в экспериментах данные, а также прогнозировать результаты будующих крупномасштабных экспериментов.
С помощью этих программ ведутся широкие исследования развития гидродинамических неустойчивостей в ударно-трубных и лазерных экспериментах, анализируется влияние этого эффекта на параметры сжатия термоядерного горючего, изучаются перспективные конструкции лазерных мишеней и т. д.
В монографии приведены результаты, которые были получены при активном участии авторов монографии в ФИАН, ИММ РАН, ЭНИН, ФИ ЧАН и других лабораториях на различных ударно-трубных и лазерных установках.
По возможности, авторы стремились отметить вклад других исследователей в рассматриваемые в монографии вопросы и дать соответствующие ссылки. В том случае, если это им не удалось выполнить в полной мере, они заранее приносят свои извинения.
Литература
Basov N. G. et al. «Physical-Technikal and Parametrical Analysis of a Hybrid Fusion Power-Plant». Препринт ①ИАН №214, M., 1983.
Басов Я. Г. 〃 др. параметрах фокусирующей оптики лазерного термоядерного реактора // Квантовая электроника. 1985. Т. 12. С. 584-594.
Басов Я. Г. 〃 ф. Гибридный реактор на основе лазерного термоядерного синтеза // Квантовая электроника. 1987. Т. 14. С. 2068-2081.
Адамов Е. О. " др. «Выбор камеры и параметров термоядерного реактора с лазерным возбуждением». Препринт ФИАН, № 72, М., 1988.
Адамов Е. О. 〃 ф. «Опытный и демонстрационный термоядерные реакторы с лазерным возбуждением». Препринт ФИАН, №73, М., 1988.
Феоктистов 〃./7. 〃 ф. // Квантовая электроника. 1978. Т. 5. С. 349.
Басов Я. Г. и др. // Известия АН СССР, Сер. Энергетика и транспорт. 1979. №2. С.З.
Басов Я. Г., Субботин В. И., Феоктистов 〃./7. // Вестник РАН. 1993. Т. 63. С. 878.
Феоктистов 〃./7. // Математическое моделирование. 1995. Т. 7. С. 41.
Feoktistov 厶 Р. et al. Alternative Approches to the laser target design for fusion-fission reactor // Proc, of Laser 0Ptic'95 and ICONO'95, Superintense Laser Fields, (27June-l July 1995, St.Peterburg, Russia), SPIE / Eds. A. Andreev, M. Gordienko.
Basov N. G. et al. he different approaches to the Laser Target Design for Fusion- Fission Reactor // Advances in Laser Interaction with Matter and Inertional Fusion. ECLIM'96 Madrid, Spain, June 1996, World Scientific. 1997. P. 279-282.
Басов Я. Г. 〃 ф. Альтернативные подходы к конструкции мишени для гибридной термоядерной станции // Квантовая электроника. 1998. Т. 25. С. 327-332.
Теория сжатия мишеней излучением длиноволновых лазеров. Труды ФИ- АН, 170, 1986; Preprint Intern. Centre for Theor. Phys., H4, SMR, 121-10 Trieste, Italy, 1987.
Henderson D. B. Preprint LA-UR-&&-1442, LLNL ,USA, 1977; см. также Розанов В. Б., Шумский С. А. // Квантовая электроника. 1986. Т. 13. С. 1545.
Tabak М. et и/. // Phys. Plasmas. 1994. V. 1. Р. 1636.
Молчанов А. Г // У①Н. 1972. Т. 106. С. 165.
Pukhou Д., Meyer-ter-Vehn J. // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 79. P. 2686.
Бракнер К., Джорна С. Управляемый лазерный синтез. М., Атомиз- дат,1977. 62.
Basov N. G. et al. // Laser and Particle Beams. 1984. V. 2. P. 103.
Yamanaka C. // Laser and Particle Beams. 1990. V. 8, No. 1-2. P. 3-17.
Вовченко В. И. 〃 ф. // Письма в ЖЭТФ. 1977. Т. 26. С. 628.
Таран М.Д. 〃 ф. О моделировании схлопывания квазисферических мишеней в твердотельных конусах. Препринт ИПМ им. Келдыша, М., 1980.
Гамалий Е. Г., Лебо В. Б., Розанов В. Б. Генерация магнитных полей при сжатии лазерной плазмы. Препринт ФИАН, №97, М., 1981.
Боровский А. В., Коробкин В. В. // Квантовая электроника. 1981. Т. 8. С. 5.
Демченко В. В., Чукбар К. В.①изика плазмы. 1990. Т. 16. С. 496-500.
Анисимов С. И. 〃 ф. Письма в ЖЭТФ. 1980. Т. 31. С. 67-70.
Физические процессы в оболочечных конических мишенях. Труды ИО①АН. 1992. М., Наука, 1992. Т. 36.
Зворыкин В.Д., Лебо И. Г., Розанов В. Б. О возможности создания мощного источника термоядерных нейтронов на основе KrF-лазера // Краткие сообщения по физике ①ИАН. 1977. № 9, С. 20-28.
Щербаков В. А. // ①изика плазмы. 1983. Т. 9. С. 409.
Феоктистов Л. /7. Горизонты ЛТС. В сб. Будущее науки. М., Знание, 1985. №18, С. 168.
Basov N. G., Gus'kou S. Yu., Feoktistov L. P. // Journal of Soviet Laser Research. 1992. V. 13. P. 390.
Лебо И. Г. О нейтронном выходе в конических мишенях при нагреве их двойным (длинный плюс короткий) импульсом KrF-лазера // Квантовая электроника. 2000. Т. 30. С. 409-415.
Бессараб А. В. 〃 ф.//Доклады АН СССР.1985. Т. 282.С. 857.
Бессараб А. В. 〃 ф.//ЖЭТФ. 1992. Т. 102.С. 1800.
Афанасьев Ю. В. 〃 ф. Труды ①ИАН. 1982.Т. 134. С.167.
McCrory R.L. et. al.//Nature. 1988. V. 335.P. 255.
Гамалий E. Г. «Теория процессов сжатия и гидродинамической устойчивости в лазерном термоядерном синтезе». Докторская диссертация, ① И АН, Москва-1980.
Наккольс Дж. Дж. и др. // В сб. Проблемы лазерного термоядерного синтза. М., Атомиздат, 1976.
Бельков С., Долголева Е. В. // Квантовая электроника. 1998. Т. 25. С. 49.
Hogan Ж. Л Fusion Energ. and Design. 1989. V. 9. P. 401.
Nakai C., Kahalas S., Rudakov L. // Nuclear Fusion. 1990. V. 30. P. 1779.
Гуськов С. Ю.、Змитренко H. В.、Розанов В. Б. // ЖЭТФ. 1995. Т. 108. С. 548.
Лебо И. Г. 〃 ф. Численное моделирование теплового выравнивания и гидродинамической компенсации в мишенях типа «Лазерный парник» // Квантовая электроника. 1995. Т. 22. С. 1257-1261.
Гасилов В. А., Круковский А. Ю., Оточин А. А. Пакет программ для расчета двумерных осесимметричных потоков радиационных газовых сред. Препринт ИММ РАН № 162, Москва, 1990.
Gasilov V. A. et uZ. Numerical simulation of plasma flows in the interior cavities of laser fusion targets // Journal of Russian Laser Research. 1997. V. 18, No. 6. P. 515-528.
Лебо И. Г. 〃 ф. Об эффективности ввода лазерного излучения в полость через отверстие. Физика плазмы. 2000. Т. 26. С. 434-438.
Gus'kou S. Yu. et al. Numerical simulation on the effect or radiation injection through holes on the compression symmetry in targets of the laser-greenhouse type // J. of Russian Laser Research. 1998. V. 19. P. 397.
Белоцерковский O.M. 〃 勿.〃 ЖВММ①.1978. T. 18, №2. С. 420-444.
Лебо И. Г. 〃 др. О симметризующем влиянии лазерного предимпульса на развитие возмущений контактноцй границы оболочка-горючее // Квантовая электроника. 1996. Т. 23. С. 71-72.
Лебо И. Г., Розанов В. Б., Тишкин В. Ф. О симетризующем воздействии рентгеновского предимпульса при сжатии лазерных мишеней // Квантовая электоника. 1997. Т. 24. С. 721-724.
Eliezer S., Honrubia /., Velarde G. // Phys. Lett. A. 1992. V. 166. P. 249.
Honrubia /./. et uZ. Laser Interaction and Related Plasma Phenomena, AIP Conf. Proc. 369, Part 1 / Eds. S. Nakai and G. H. Miley, American Inst, of Physics, NY, 1996.
Dune M. et u/. Evalution of a foam buffer target design for use in ICF. Laser Interaction with Matter // Proc, of 23rd European Conf., St.John's College, Oxford, 19-23 September 1994 / Ed. by S. J. Rose, Institute of Physics Conference Series N140, Institute of Physics Publishing, Brisol and Phyladelphia. 54.
Michael Campbell, William J. Hogan. Inertial Fusion Science Technology for the Next Centure. In Proc. Inertial Fusion Sciences and Applications 99 (IFSA-99), State of the art 1999 / Eds.: C. Labaune, W. Hogan, K. Tanaka, ELSEVIER. 1999. P. 9-18.
Michel L. Andre. Laser megajoule project status // Proc. Inertial Fusion Sciences and Applications 99 (IFSA-99), State of the art 1999 / Eds.: C. Labaune, W. Hogan, K. Tanaka, ELSEVIER. 1999. P. 32-39.
Galakhov /. V. et u厶 // Fusion Engineering and Design. 1999. V. 44. P. 51-56.
Lebo /. G., Rozanov V. B., Tishkin V.尸.// Laser and Particle Beams. 1994. V. 12. P. 361; см. также препринт ФИАН №22, M., 1993.
Lebo /. G., Rozanov V. В. On the influence of «spectra» of laser radiation on plasma parameters when irradiating aluminium soils by a picosecond pulse // Journal of Russian Laser Research. 2001. V. 22, No. 4. P. 346-353.
Vergunova G. A. et u/. Hydrodynamic instability and target design // J. of Russian Laser Research. 2000. V. 21. P. 335; см. также препринт ФИАН №58, M., 1999.
Iskakov А. /., Lebo /. G., Tishkin V. F. 2D numerical simulation of the interaction of high power laser pulses with plane targets using the «ATLANT-С» code// Journal of Russian Laser Research. 2000. V. 21. P. 247; см. также препринт ФИАН №47, M., 1999.
Iskakov А. /. et al. On the neutron yield in the two-beam scheme of laser heating and compression of spherical shell targets with a low-density coating // Journal of Russian Laser Research. 2001. V. 22, No. 1. P. 82-89; см. также препринт ФИАН №48, M., 2000.
1 I111 II1
1) Трехтемпературная версия программы 《АТЛАНТ» сделана совместно с
диссертация кандидата физ.-мат. наук.
1) TVD — «total variation» diminishing. Это метод второго порядка точности
с использованием специальных ограничителей потоков (лимитеров). Подробнее см. [21].
1) Под симметризацией мы понимаем следующее обстоятельство: к концу
УДК 539.17ББК 31.49Л 33УДК 539.17ББК 31.49Л 33
УДК 539.17
ББК 31.49
Л 33
УДК 539.17
ББК 31.49
Л 33
口 Издание осуществлено при поддержке р 口 Российского фонда фундаментальных, исследований по проекту 05-01-14057д
Лебо И. Г., Тишкин В. ①. Исследование гидродинамической неустойчивости в задачах лазерного термоядерного синтеза методами математического моделирования. — М.:①ИЗМАТЛИТ, 2006. — 304 с.— ISBN 5-9221-0683-Х.
В монографии представлены результаты исследований устойчивости сжатия термоядерных мишеней при облучении их мощными лазерными пучками и особенностей развития гидродинамических неустойчивостей в лазерном термоядерном синтезе. Дано описание методов и программ, с помощью которых были проведены эти исследования, обсуждаются возможности развития и усовершенствования изложенных подходов. С помощью методов математического моделирования проанализированы данные экспериментов на семи ударнотрубных и лазерных установках, прогнозируются результаты, которые могут быть получены на проектируемых крупномасштабных установках.
Все результаты, изложенные в монографии, получены авторами, опубликованы в открытой печати и докладывались на российских и международных научных конференциях.
Научное издание
ЛЕБО Иван Германович
ТИШКИН Владимир Федорович